特性類
特性類 (Characteristic class)は、位相群を構造群とするファイバーバンドルの不変量であり、(十分性質がよい)位相空間Bを底空間とするファイバーバンドル
\pi~:~E \to B
に対し、Bのコホモロジー群の元を対応させる対応関係
c~:~\xi=(E,X,\pi)\mapsto c(\xi)\in H^q(X;A)
で、「自然な」ものである。
原理的には任意のファイバーバンドルに対して特性類を定義できるが、研究が進んでいるのは主にベクトルバンドルに対する特性類である。ベクトルバンドルの特性類は以下の数学の分野に応用がある:
またXが可微分多様体であれば、Xの接バンドルTXの特性類をX自身の不変量とみなす事ができる。接バンドルTXはXの可微分構造に依存しているので、ミルナーはTXの特性類を利用する事により、ミルナーの7次元球面の存在を示した。
1935年の多様体上のベクトル場についてのエドゥアルト・シュティーフェル (Eduard Stiefel) とハスラー・ホイットニー (Hassler Whitney) の仕事より、特性類の考え方が発生した。
以下、Fをファイバーに持つファイバーバンドルの事をF-バンドルと呼ぶこととし、全空間E、底空間Xおよび射影\pi~:~E\to XからなるF-バンドルを(E,X,\pi)と表記する。特性類の概念を厳密に定義するには圏論の概念を使う必要があるので、まずは若干厳密性を犠牲にした定義を以下に述べる:
上の定義における記号の意味を説明すると、f^*(c(\xi))=c(f^*(\xi))における左辺のf^*は、fがコホモロジーに誘導する写像
f^*~:~c(\xi)\in H^q(Y,A)\mapsto f^*(c(\xi))\in H^q(X,A)
の事であり、右辺のf^*はX上のF-バンドル\xi=(E,X,\pi)のfによる引き戻しによって定義されるY上のF-バンドルの事である。
上の定義に関して2つの注意点を述べる。第一に、上の定義におけるバンドル写像fは構造群GのFへの作用と両立するもののみを考えている。したがって例えばn次元実ベクトルバンドルを\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})を構造群として持つ\mathbb{R}^n-バンドルとみなしたとき、各点x\in XのファイバーF_x上にバンドル写像fを制限したf|_x~:~F_x\to F_yは線型同型写像でなければならず、行列式が0になってはならない。逆に言えば、いずれかの点x\in Xで行列式が0になるfに対してはf^*(c(\xi))=c(f^*(\xi))が成立する必要はないし、次元が異なるベクトルバンドル間の写像に関してもこの性質が成立する必要はない。
第二に、本項では多くの教科書と同様、ファイバーバンドルの底空間BがCW複体である場合に限定して特性類を定義したが、より一般の空間、例えばパラコンパクトな位相空間に対しても特性類を定義できる。ただしこの場合本項で述べる性質のいくつかは成立しない。なお幾何学における多くの用途ではCW複体を対象にすれば十分である。実際、任意の可微分多様体は単体的複体、したがってCW複体と位相同型になる事が知られており、(可微分とは限らない)位相多様体もコンパクトな場合はCW複体とホモトピー同型になる事が知られている。さらにいえば任意の位相空間はCW複体と弱ホモトピー同型である。
また本項では底空間Bに対してはCW複体である事を要求したものの、構造群G、ファイバーF、全空間Eは(CW複体とは限らない)任意の位相群、位相空間でよい。
構造群を持つファイバーバンドルの性質として以下が知られている:定理同じホモトピークラスの写像は同じバンドルを誘導する
すなわち特性類を考える上では、底空間の間の写像はホモトピークラスのみを考慮すればよい。
以上では特性類の定義に「対応関係」という未定義の言葉を使ったが、圏論の概念を使えばこうした未定義の語に頼らずに特性類の概念を定義できる:定義なお、上述の特性類の定義において圏CWの射は連続写像としたが、下記の定理より、これを胞体写像に変えても定義は同値になる:定理
特性類に登場するコホモロジーとして、特異コホモロジーより簡便な(だが特異コホモロジーと同値である)胞体コホモロジーを用いる場合は議論に胞体写像を用いる必要があるのでこの定理は有用である。
以下の事実は特性類を具体的に定義する上で鍵となる重要な性質である:定理
この定理と特例類の定義からファイバーバンドルの特性類と主バンドルの特性類が1対1対応するという重要な事実が明らかに従う:定理
この事実から主バンドルに対して特性類を定義できるのが必要十分ファイバーバンドルに対して特性類を定義するには主バンドルに対して特性類が定義できる事が必要十分である事がわかる。そこで以下、おもに主バンドルにフォーカスして特性類の議論をすすめる事とする。
なお上の定理ではGがFに効果的に作用している事を仮定しているが、多くの場合この仮定は必須ではない。実際、Fが十分性質の良い空間、たとえはCW複体であれば、GのFへの作用が連続である必要十分条件は、GのFへ作用のから定まる写像\phi~:~G \to \mathrm{Homeo}(F)が(\mathrm{Homeo}(F)にコンパクト開位相を入れたとき)連続になる事である。よってGの作用が忠実ではない場合であっても、写像\phiのカーネルで割った位相群G/\mathrm{ker}\phiはFへ忠実かつ連続に作用するので、F-バンドルの特性類を定義するには主G/\mathrm{ker}\phi-バンドルの特性類を定義すれば良い。
本節では位相群の分類空間のいう概念を導入し、分類空間の概念を用いて主バンドルの特性類の概念を全く別の角度から特徴づける。この分類空間を用いた特性類の定義は、後の節で特性類の具体例を構築する上で非常に有益である。
分類空間の概念を定義するため、まず以下の概念を定義する。
弱可縮の概念を用いて、分類空間の概念は以下のように定義される:
定義「分類空間」という名称の由来は次節に回すが、分類空間は必ず存在し、本質的に一意である:定理記号の定義上述したように、分類空間はホモトピー同型を除いて一意ではあるものの、同一の位相群に対し位相同型ではない複数の分類空間が存在しうる。このため位相群に対する個々の分類空間の事を分類空間のモデル(model)という。
分類空間はその名称が示す通り、与えられた底空間上のG-バンドルは、底空間から普遍G-バンドル(PG,BG,\pi_G)への写像のホモトピークラスにより完全に分類される:
定理なお、上の定理において写像[f]\in[X,B]\mapsto f^*(P)\in \mathcal{P}_{G,F}(X)がwell-definedな事は、ホモトープな2つの写像が引き戻したバンドルは互いに同型な事だというすでに見た事実から従う。
上記の定理から、X上の任意の主G-バンドルξに対し、写像f~:~X\to Bがホモトピー同値を除いて一意に定まる。このfの事をξの分類写像(classifying map)という。
構造群Gを持つファイバーバンドルと主G-バンドルは1対1対応するので、上記の定理から一般のファイバーバンドルに対する分類定理が系として従う:系
分類定理の場合と同様、X上のF-バンドルξに対応する写像f~:~X\to Bをξの分類写像(classifying map)という。
Gが離散群である場合は、定義より明らかに次が成立する:
定理この意味において、分類空間とは離散群におけるアイレンベルグ・マックレーン空間の概念を位相群に拡張したものである。
2つの位相群G、Hの間の連続な準同型写像\varphi~:~G\to Hが与えられたとき、φから分類空間の間の写像B\varphi~:~BG\to BHを定義できる。
この事を見るために主バンドルの一般論を簡単に復習する。\pi~:~P\to Xを主G-バンドルとし、\varphi~:~G\to Hを連続準同型写像とするとき、
P\times_{\varphi} H
をPG\times H を同値関係
(ag,h)\sim (a,\varphi(g)h)~\text{ for some}~g\in G
で割った空間とする事で、バランス積(balanced product)と呼ばれるX上の主H-バンドル
[(a,h)]\in P\times_{\varphi} H \mapsto \pi(a) \in X
を構成できる。そこでB\varphi~:~BG\to BHを次のように定義する:
実はこの対応関係は関手になっている:定理
本節では、後で特性類を計算するとき必要となる分類空間の性質を述べる。
分類空間の関手Bは直積に関して以下のように振る舞う。
なお圏論的に言えば、「X \times_k Y」はコンパクト生成位相空間の圏における圏論的な直積になっている。
PG、BH=PG/Hとみなすと、可換図式
\begin{array}{ccc}
PH=PG  & \overset{id}{\to} & PG\\
\downarrow & \circlearrowright & \downarrow \\
BH=PG/H &\to &BG=PG/G
\end{array}
が考えられ、この可換図式にバランス積を取ることで、
\begin{array}{ccc}
PH=PG\times_H G  & \to & PG \times_G G\approx PG\\
\downarrow & \circlearrowright & \downarrow \\
BH=PG/H &\to &BG=PG/G
\end{array}
と書ける。B\iotaの定義からB\iota~:~BH\to BGはバランス積PH \times_{\iota} G \to BH=PG/Hの分類写像であったので、上述の議論からB\iotaは商写像
BH=PG/H \to BG=PG/G
に一致する。BH=PG/H \to BG=PG/GはG/Hをファイバーとするバンドルであり、特にHが正規部分群であればG/H-主バンドルであるので定理が示された。
分類空間の概念を用いる事により、主バンドルに対する特性類の概念を以下のように特徴づける事ができる:定理
上述の定理の1対1関係は具体的に以下のようにかける。すでに述べたように構造群Gの忠実な作用を持つ任意のF-バンドルの特性類は主G-バンドルの特性類と主G-バンドルの1対1対応するのでこの場合に話を限定する。
まず主G-バンドルの任意の特性類cに対し、
c(PG)\in H^*(BG;A)
が対応する。逆にc_G\in H^*(BG;A)を任意に選ぶと、主G-バンドル\xi=(P,X,\pi)に対し、分類定理により分類写像f_{\xi}~:~X\to BGがホモトピーを除いて一意に定まるので、Xのcに対する特性類を
c(\xi):=f_{\xi}{}^*(c_G)\in H^*(X;A)
により定義できる。
上の定理から、H^*(BG;A)の元を普遍特性類(universal characteristic class)という事がある。上の定理は普遍特性類と特性類が1対1対応する事を意味している。
定理の証明は以下の通りである:
f_{\xi}{}^*(c_G)はwell-definedである。
次に、c(\xi)=f_{\xi}{}^*(c_G)が前の節で述べた特性類の定義を満たす事を示す。CW複体X、Yの間の任意の連続写像g~:~X\to YとY上の任意の主G-バンドル\eta=(P,Y,\pi)に対し、ηの分類写像をf_{\eta}~:~Y \to BGとし、X上のバンドル\xi:=g^*(\eta)の分類写像をf_{\xi}~:~X \to BGとすると、f_{\xi}{}^*(PG)\approx \xi=g^*(\eta)とg^*(f_{\eta}{}^*(PG))\approx g^*(\eta)は同型なバンドルを定めるので、分類定理よりf_{\xi}とf_{\eta}\circ gはホモトープである。よって
c(g^*(\eta))=c(\xi)=f_{\xi}{}^*(c_G)=g^*(f_{\eta}{}^*(c_G))=g^*(c(\eta))
が成立する。
定理の対応関係が1対1である事は明らかである。
特性類の概念は原理的には任意の位相群の主バンドルに対して定義できるが、研究が進んでいるのはベクトルバンドル(の主バンドル)に対する特性類である。
そこでベクトルバンドルの特性類について記述するための準備として、本節ではベクトルバンドルの構造群の分類空間を具体的に記述する。
すなわち本節ではK=\mathbb{C},\mathbb{R}に対し、一般線型群GL_n(K)の分類空間を記述する。さらに\mathbb{R}の場合にはベクトルバンドルに向き付けが定義可能なので、向き付け可能な\mathbb{R}上ベクトルバンドルの構造群であるGL_n^+(\mathbb{R})の分類空間についても記述する。ここでGL_n^+(\mathbb{R})は行列式が正の\mathbb{R}上可逆行列のなす群である。
本節ではさらに、ユニタリ群U_n、直交群O_n、回転群SO_nの分類空間についても記述する。後述するようにGL_n(\mathbb{C})、GL_n(\mathbb{R})、GL_n^+(\mathbb{R})の分類空間は、実はそれぞれU_n、O_n、SO_nの分類空間と等しい。
GLn(K)の分類空間を記述する為、本節ではスティーフェル多様体とグラスマン多様体を定義する。
後述するようにこれらはそれぞれ普遍GLn(K)-バンドルの全空間、分類空間になる。定義Wが次元mの有限次元ベクトル空間の場合は、V_nW、V^U_nW、V^O_nWは集合として自然に
\begin{align}
V_nW&\simeq \mathrm{GL}_m(K)/\mathrm{GL}_{m-n}(K)\\
V_n^UW&\simeq U(m)/U(m-n)~~\text{when }K=\mathbb{C}\\
V^O_nW&\simeq O(m)/O(m-n)~~\text{when }K=\mathbb{R}
\end{align}
という同一視ができ、上式右辺には多様体としての構造が入る事がリー群の一般論から従うので、スティーフェル「多様体」と呼ぶ。Wが無限次元の場合はV_nW、V^U_nW、V^O_nWは有限次元多様体にはならないが、言葉を混用してこの場合もスティーフェル「多様体」と呼ぶ。定義スティーフェル多様体と同様、Wが次元mの有限次元ベクトル空間であれば、
G_nW\simeq \mathrm{GL}_m(K)/(\mathrm{GL}_{n}(K)\times \mathrm{GL}_{m-n}(K))\simeq
\begin{cases}
U(m)/(U(n)\times U(m-n))~&~\text{when }K=\mathbb{C}\\
O(m)/(O(n)\times O(m-n))~&~\text{when }K=\mathbb{R}
\end{cases}
\tilde{G}_nW \simeq \mathrm{GL}_m(K)/(\mathrm{GL}^+_{n}(K)\times \mathrm{GL}_{m-n}(K)) \simeq O(m)/(SO(n)\times O(m-n))~~\text{when }K=\mathbb{R}
という同一視ができ、この同一視により、G_nW、\tilde{G}_nWに多様体としての構造が入る。
スティーフェル多様体V_nWの元であるn-フレームにそのフレームの貼る部分空間を対応させる事で商写像
\pi_n~:~V_nW \to G_nW
を定義できる。\pi_n~:~V^U_nW \to G_nW、\pi_n~:~V^O_nW \to G_nW、\pi_n~:~V^O_nW \to \tilde{G}_nWも同様に定義できる。定理
上記の定理に関する留意点を述べる。K=\mathbb{C}, \mathbb{R}に対するGLn(K)の分類空間はU(n)、O(n)の分類空間と同一な空間G_nK^{\infty}である。
これはCW複体上の任意のベクトルバンドルには必ず内積が定義でき、グラム・シュミットの正規直交化法によりGLn(K)がU(n)、O(n)に可縮である事が理由である。
分類定理で述べたように、GnK∞上の主GLn(K)-バンドルVnK∞に随伴するn次元ベクトルバンドルは、任意のCW複体X上のn次元ベクトルバンドルを分類する上で有益である。このためVnK∞に随伴するn次元ベクトルバンドルの事を普遍n-平面バンドル(universal n-plane bundle)と呼ぶ。
バンドルの一般論から、普遍n-平面バンドルは(V_nK^{\infty} \times K^n)/GL_n(K)
と表記できるが、より具体的に表記する事も可能である。
グラスマン多様体GnKmはKmのn次元部分ベクトル空間全体のなす多様体なので、グラスマン多様体の元V=ベクトル空間上のファイバーとして、V自身を取ったベクトルバンドルを定義でき、これをグラスマン多様体のトートロジカル・バンドルと呼ぶが、GnK∞のトートロジカル・バンドルが普遍n-平面バンドルになっている。
E^m_n:=\{(V,v)\in G_nK^m \times K^m \mid v\in V\}
とし、第一成分への射影\pi^m_n~:~(V,v)\in E^m_n\mapsto V\in G_nK^m
によりE^m_n
をGnKm上のベクトルバンドルとみなしたものがGnKmのトートロジカル・バンドルであり、m→∞に関する帰納的極限をとった
\pi_n~:~ E_n\to  G_nK^{\infty}
が普遍n-平面バンドルになっている。
本章では、複素ベクトルバンドルの特性類であるチャーン類について述べる。これまでの議論からわかるように、複素ベクトルバンドルの整数係数の特性類とは分類空間
BGL_n(\mathbb{C})=BU(n)=G_n\mathbb{C}^{\infty}
のコホモロジーH^*(BU(n);\mathbb{Z}) の元と1対1対応するので、H^*(BU(n);\mathbb{Z}) の具体的構成を調べる事で複素ベクトルバンドルの特性類を決定できる。チャーン類は、H^*(BU(n);\mathbb{Z}) の生成元である。
チャーン類について記述するため、まずH^*(BU(n);\mathbb{Z}) の具体的構成を調べる。n=1に対しては以下が成立する:
H^*(BU(1);\mathbb{Z})をカップ積に関して次数付き環とみなしたとき、ある\alpha\in H^2(BU(1);\mathbb{Z})が存在し、
H^*(BU(1);\mathbb{Z}) =\mathbb{Z}[\alpha]
が成立する。ここで\mathbb{Z}[\alpha]は変数\alphaに関する\mathbb{Z}に関する多項式環である。}
なお、上の補題において\alphaは偶数次のコホモロジーの元なので、\mathbb{Z}[\alpha]上カップ積は可換であるため、\mathbb{Z}[\alpha]が可換環であるという事実と矛盾しない。
一般のnに対してH^*(BU(n);\mathbb{Z})の具体的構造を求めるため、連続準同型写像
\iota~:~U(1)^n \hookrightarrow U(n), ~~(A_1,\ldots,A_n)\mapsto A_1\oplus\cdots\oplus A_n
を考える。ここでA_1\oplus \cdots\oplus A_nはA_1,\ldots,A_nをn×n行列の対角成分に配置したU(n)の元である。(なおリー群の観点からは、U(n)の極大トーラスU(1)^nである)。このとき以下が成立する。
なお、上式においてコホモロジー環における積はカップ積である。また上式の値域における同型は直積に対する分類空間の振る舞いとKünnethの公式、および上記の補題から従う。
以上の事実から、後はH^*(BU(n);\mathbb{Z}) の\iota^*による像が\mathbb{Z}[\alpha_1,\ldots,\alpha_n] のどのような部分集合に落ちるかを決定すれば、H^*(BU(n);\mathbb{Z}) を具体的に書きあらわす事ができる。
H^*(BU(n);\mathbb{Z}) の像を決定するため、主バンドル一般に対して成立する以下の事実を利用する:
任意の位相群G、および任意のg\in Gに対し、G上の内部自己同型\varphi_g~:~h\mapsto ghg^{-1}がBGに誘導する写像
B\varphi_g~:~BG\to BG
は恒等写像とホモトープである。
|}
(a,\varphi_u(\varphi_{u^{-1(h)))\simeq (a\varphi_{u^{-1}(h),1)を満たすのでμは全射である。また明らかに\mu(a)=\mu(b) \iff [(a,1)]=[(b,1)] \iff a=bなので、μは単射でもある。μとμ-1の連続性の証明は省略する。
以上の事実を用いて命題を示す。定義よりB\varphi_g~:~BG \to BGは主バンドルPB \times_{\varphi_g} G \to BG に対応する分類写像であり、上記の議論によりこの主バンドルはPG  \to BG 自身に等しいので、分類定理よりB\varphi_Aは恒等写像とホモトープである。
|drop=yes}
A\in U(n)に対し\varphi_A~:~B\mapsto ABA^{-1}をU(n)上の内部自己同型とすると、上述の命題より、\varphi_{A} がコホモロジー群に誘導する写像
B\varphi_{A}{}^*~:~ H^*(BU(n);\mathbb{Z})\to H^*(BU(n);\mathbb{Z})
は恒等写像である。単射\iotaによりU(1)^nをU(n)の部分群とみなし、U(1)^nの正規化群
N=\{A\in U(n)\mid \varphi_A(U(1)^n)= U(1)^n\}
をU(1)^nの中心化群
Z=\{A\in U(n)\mid \forall B\in U(1)^n ~:~ \varphi_A(B)= B\}
で割ったW=N/Zを考え、
H^*(BU(1)^n;\mathbb{Z})^{W}:=\{u\in H^*(BU(1)^n ;\mathbb{Z})\mid \forall [A]\in W ~:~B\varphi_A|_{U(1)^n}{}^*(u)=u\}
と定義するとこの定義はWell-definedである。ここで[A]\in W=N/Zは同値類を表す。
uは[A]\in N/Zの代表元の取り方によらない。
\begin{array}{lll}
H^*(BU(n);\mathbb{Z}) & \overset{\iota^*}{\to} & H^*(BU(1)^n;\mathbb{Z})\\
B\varphi_A{}^* \downarrow & & B\varphi_A
このとき次の事実が従う事が知られている:定理一般に連結なコンパクトリー群Gに対し、Gの極大トーラスをTとするとき、Tの正規化群N := \{g\in G\mid \varphi_g(T)=T \}を中心化群Z := \{g\in G\mid \forall t\in T ~:~\varphi_g(t)=t \}で割った群
W(G) := N/Z
の事をGのワイル群という。なお極大トーラスは共役を除いて一意に定まる事が知られているので、ワイル群は極大トーラスの取り方によらず同型になる。またTの極大性から中心化群Z(G)は実はT自身に等しい。
明らかに前述のWはU(n)のワイル群に相当する。後はU(n)のワイル群を決定しさえすれば、H^*(BU(n);\mathbb{Z}) \approx H^*(BU(1)^n;\mathbb{Z})^Wの構造が決定できる。
P_{ij}~:~\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n を第i成分と第j成分を入れ替える行列とすると、明らかに[P_{ij}]\in W である。この事実を利用すると、以下の事実が示せる:
定理を示すためにU(1)^nのU(n)における正規化群NからA\in Nを任意に選び、Aの形を決定する。
そのためにu_1,\ldots,u_n\in \mathbb{C}を
位相群に分類空間を対応させる関手Bと位相空間にコホモロジー環を対応させる関手H*が直積を保つので、上述の定理からWはH^*(BU(1)^n;\mathbb{Z}) \approx \mathbb{Z}[\alpha_1,\ldots,\alpha_n] の\alpha_1,\ldots,\alpha_nを入れ替える形でH^*(BU(1)^n;\mathbb{Z})に作用する。よって
H^*(BU(1)^n;\mathbb{Z})^W\subset H^*(BU(1)^n;\mathbb{Z}) \approx \mathbb{Z}[\alpha_1,\ldots,\alpha_n]
は対称多項式全体の集合に一致する。よく知られているように、任意の対称多項式は基本対称式の多項式として書けるので、以上の事実からチャーン類を以下のように定義する:
分類空間H^*(BU(n);\mathbb{Z})の元と特性類は1対1でするので、第iチャーン類c_iに対応する特性類
c_i(\xi)
をベクトルバンドルξの第iチャーン類という。分類空間の元c_iをc_i(\xi)と区別したいときは、c_iを第i普遍チャーン類(i-th universal Chern class)という。
なお、1\in H^*(BU(1)^n;\mathbb{Z})を「0次の基本対象式」とみなし、c^{(n)}_0:=(\iota^*)^{-1}(1)=1を第0チャーン類と呼ぶ。またn+1次以上の基本対称式は存在しないので、m>nに対しては、第mチャーン類をc^{(n)}_m:=0と定義する。
またチャーン類は埋め込み\iota~:~U(1)^n\to U(n)を使って定義されており、この埋め込みは\mathbb{C}^nの正規直交基底の取り方に依存している。しかし正規直交基底の取り替えにより、\iotaはU(n)の内部自己同型\varphi_{A} との合成\iota\circ\varphi_{A} に置き換わるだけなので、前述した命題から、チャーン類は正規直交基底の取り方によらずwell-definedである。
以上で見たように各α1,...,αnは対称多項式の根に相当するものなので、α1,...,αnの事をチャーン根2022年5月(Chern root)という。
これまでの議論とチャーン類の定義から明らかに以下の事実が従う:定理HBUの構造
チャーン類の定義において、α1,...,αnの代わりに単元u\in \mathbb{C}, \text{ s.t. } |u|=1をこれらに掛けた\beta_1:=u\alpha_1,\ldots,\beta_n:=u\alpha_nをチャーン根とするようにチャーン類を定義する事もできるため、チャーン類の定義には単元uの選び方だけ自由度がある事になる。
そこで何らかの規約を置くことでこの自由度を消す必要があるが、どのような規約を置くかは分野による。代数的位相幾何学では普遍1-平面バンドル\xi_U=(EU(1),BU(1),\pi)に対し、c^{(1)}_1(\xi_U)がH^2(BU(1),\mathbb{Z})のcanonicalな生成元になるという規約を置く事が多いが、代数幾何学では\xi_Uの双対ベクトルバンドル\xi^*_Uに対してc^{(1)}_1(\xi^*_U)がH^2(BU(1),\mathbb{Z})のcanonicalな生成元になるという規約を置く事が多い。