二項係数
\frac{1}{\sqrt{8n\epsilon(1-\epsilon)} \cdot 2^{H(\epsilon) \cdot n} \leq \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \leq 2^{H(\epsilon) \cdot n}
と評価することができる。
n が大きく、k が n に対して十分小さいとき \textstyle {n \choose k} = \frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!} \approx \frac{(n-k/2)^k }{ k^k e^{-k} \sqrt{2\pi k} = \frac{(n/k-0.5)^k e^k}{\sqrt{2\pi k} と書くことができるので、
\log{n \choose k} \approx k \ln(n/k-0.5) + k - 0.5 \ln(2 \pi k)
を得る。より精度を望むならば、ln⁡(n(n − 1)…(n − k + 1)) を積分で近似して
\log{n \choose k} \approx (n+0.5) \ln\frac{n+0.5}{n-k+0.5} + k \ln \frac{n-k+0.5}{k} - 0.5 \ln(2 \pi k)
となる。n  20 かつ k  10 に対して log⁡(n) ≈ 12.127 およびこれら近似式からそれぞれ近似値 12.312 および 12.133 を得る。
(-1)^k {z \choose k}= {-z+k-1 \choose k} = \frac{1}{\Gamma(-z)} \frac{1}{(k+1)^{z+1} \prod_{j=k+1} \frac{(1+\frac{1}{j})^{-z-1}{1-\frac{z+1}{j}
{z \choose k} \approx \frac{(-1)^k}{\Gamma(-z) k^{z+1}, \quad {z+k \choose k} = \frac{k^z}{\Gamma(z+1)}\left( 1+\frac{z(z+1)}{2k}+\mathcal{O}\left(k^{-2}\right)\right)
が k → ∞ で成り立つ。この漸近挙動は近似
{z+k \choose k}\approx \frac{e^{z(H_k-\gamma)}{\Gamma(z+1)}
にも表れている。ここに、Hk は k-番目の調和数で、γ はオイラー–マスケローニ定数である。さらに、k → ∞ かつ適当な複素数 x に対して j → x なるとき、漸近公式
\fracz+k\choose jk\choose j\to \left(1-\frac{j}{k}\right)^{-z},
\quad \fracj\choose j-kj-z\choose j-k\to \left(\frac{j}{k}\right)^z
が成り立つ。
二項係数の和について、二項定理を用いると
\sum_{i=0}^k {n \choose i} \leq \sum_{i=0}^k n^i\cdot 1^{k-i} = (1+n)^k
という単純で粗い上界が得られる。
n が十分大きいとき、
\binom{n}{k} = \frac{2^n}{\sqrt{\tfrac{1}{2}n \pi } e^{-\frac{(k-(n/2))^2}{n/2}\left[1+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}\right)\right]
は二項係数と正規分布との関係に基づく近似を与える。これは、二項分布と等しい期待値と分散 (np, np(1-p)) を持つ正規分布をとり、p = 1 - p = 1/2 として、2n を掛ければ、中心極限定理に対する評価から従う。
{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_r} =\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!}\qquad(\sum_{i=1}^rk_i=n)
で定義される数を多項係数と呼ぶ。二項係数が (x + y)n の係数であったのに対し、多項係数は (x1 + x2 + … + xr)n の多項式展開の係数であり、r  2 のとき二項係数を与える:
{n\choose k_1,k_2}={n\choose k_1, n-k_1}={n\choose k_1}= {n\choose k_2}.
多項係数は、区別可能な n 個の元を r 個の箱にわけて入れるとき、箱の番号 i (1 ≤ i ≤ r) に対して各箱がちょうど ki 個の元を含むような分け方の総数として組合せ論的に解釈できる。
多項係数は二項係数の性質とよく似たたくさんの性質を満たす。例えば漸化式
{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_r} ={n-1\choose k_1-1,k_2,\ldots,k_r}+{n-1\choose k_1,k_2-1,\ldots,k_r}+\dotsb+{n-1\choose k_1,k_2,\ldots,k_r-1}
および任意の置換 σ に関する対称性
{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_r} ={n\choose k_{\sigma_1},k_{\sigma_2},\ldots,k_{\sigma_r}
が挙げられる。ただし、(σi) は (1,2,...,r) を並べ替えたものである。
第一種スターリング数を用いれば、二項係数の任意に選んだ点 z0 の周りでのテイラー展開は
\begin{align} {z \choose k} = \frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k z^i s_{k,i}&=\sum_{i=0}^k (z- z_0)^i \sum_{j=i}^k {z_0 \choose j-i} \frac{s_{k+i-j,i}{(k+i-j)!} \\ &=\sum_{i=0}^k (z-z_0)^i \sum_{j=i}^k z_0^{j-i} {j \choose i} \frac{s_{k,j}{k!}\end{align}
と与えられる。
二項係数の定義(積による表示)は n が実数、k が整数の場合にも意味を持つ。特に n  1/2 のとき任意の非負整数 k に対して
1/2}\choose{k=2k}\choose{k\frac{(-1)^{k+1}{2^{2k}(2k-1)}
が成り立つ。これは二項級数展開 1 + x  ∑ k≥0 (1/2)xk に現れる。
{z \choose m} {z\choose n} = \sum_{k=0}^m {m+n-k\choose k,m-k,n-k} {z\choose m+n-k}
と表すことができる。この展開の結合係数は多項係数で与えられる。ラベル付けられた組合せ論的対象を用いて言えば、この結合係数はそれぞれ重み m および n のラベル付けられた対象の対で最初の k 個のラベルが一致するようなものに m + n − k をラベル付ける方法の総数、あるいはそれらを貼り合せて新たに重み m + n − k でラベル付けられた対象を付け加える方法(つまり、このラベルを一方の対象の貼り合せない部分、他方の対象の貼り合せない部分、両者の貼り合せ部分の三つの部分に分ける方法)の総数である。このように見ると、二項係数の母函数は下降階乗冪に対する通常母函数に対応する指数型母函数である。
\frac{1}z \choose n= \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{n-1-i} {n \choose i} \frac{n-i}{z-i}
\frac{1}z+n \choose n= \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} {n \choose i} \frac{i}{z+i}
で与えられる。
アイザック・ニュートンに名を因むニュートンの二項級数は、二項定理の無限級数版
(1+z)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha\choose n}z^n = 1+{\alpha\choose1}z+{\alpha\choose 2}z^2+\dotsb
である。これが成り立つことは両辺が微分方程式 (1 + z)f(z)  αf(z) を満足することを見ればよい。
この級数の収束半径は 1 である。
\frac{1}{(1-z)^{\alpha+1} = \sum_{n=0}^{\infty}{n+\alpha \choose n}z^n
とも書ける。
二項係数は与えられた集合から決められた位数の部分集合を数え上げるものであった。関連する組合せ論的問題として、与えられた集合から元をとって作られる決められた位数の多重集合を数え上げる問題、すなわち与えられた集合から重複を許して決められた数の元を選び出す重複組合せの問題がある。その総数は多重集合係数と呼ばれ、n 個の元から k 個選ぶ重複組合せの総数は \left(\!\tbinom{n}{ k}\!\right) と書かれる。
以下議論の便宜のため n を使わずに、その代わり f  r + (k - 1) および r  f - (k - 1) なる非負整数 f, r を用いる。
\binom{f}{k}=\left(\!\!\binom{r}{k}\!\!\right)=\binom{r+k-1}{k}
により二項係数として書ける。この等式を以下のようにも特徴づけることができる。
\begin{align}
(f)_{k}&=f^{\underline k}=(f-k+1)\cdots(f-3)\cdot(f-2)\cdot(f-1)\cdot f,\\
r^{(k)}&=r^{\overline k}=\,r\cdot(r+1)\cdot(r+2)\cdot(r+3)\cdots(r+k-1)
\end{align}
が等しいことに注意すれば、二項係数を下降階乗冪を用いて
\binom{f}{k} = \frac{(f)_{k}{k!} =\frac{(f-k+1)\cdots(f-2)\cdot(f-1)\cdot f}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots k}
と書くとき、対応する多重集合係数は下降階乗冪を対応する上昇階乗冪で置き換えた
\left(\!\!\binom{r}{k}\!\!\right)=\frac{r^{(k)}{k!}=\frac{r\cdot(r+1)\cdot(r+2)\cdots(r+k-1)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots k}
として与えられる。
任意の n に対して
\begin{align}\binom{-n}{k} &= \frac{-n\cdot-(n+1)\dots-(n+k-2)\cdot-(n+k-1)}{k!}\\
&=(-1)^k\;\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)\cdots (n + k - 1)}{k!}\\
&=(-1)^k\binom{n + k - 1}{k}\\
&=(-1)^k\left(\!\!\binom{n}{k}\!\!\right)\;\end{align}
が成り立つ。特に、負の整数における二項係数は符号付多重集合係数である。n  −1 なる特別の場合には、これは (-1)^k=\tbinom{-1}{k}=\big(\!\tbinom{-k}{k}\!\big) と簡単になる。
{x \choose y}= \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(y+1) \Gamma(x-y+1)}= \frac{1}{(x+1) \Beta(x-y+1,y+1)}
と書けば、二項係数の二つの引数を任意の実数または複素数まで一般化することができる。この定義においてガンマ函数の性質を用いれば、
{x \choose y}= \frac{\sin (y \pi)}{\sin(x \pi)} {-y-1 \choose -x-1}= \frac{\sin((x-y) \pi)}{\sin (x \pi)} {y-x-1 \choose y}
が満たされることもわかる。特に
{x \choose y} \cdot {y \choose x}= \frac{\sin((x-y) \pi)}{(x-y) \pi}
である。この一般化に関する研究は少ないが、 などにはすでに現れている。通常の二項係数に関する多くの等式がもはや成り立たなくなっていることに注意すべきである(例えば正の n に対して\textstyle {n \choose n-m や \textstyle は一般には正しくない)。その挙動は極めて複雑で、x-軸、y-軸と直線 y  x で分けられる八分象限 (octant) のどの位置にあるかで著しく異なる。負の x に対しては負の整数の位置に特異点を持ち、正と負の領域が市松模様を成す:
0 ≤ y ≤ x なる八分象限では、通常の二項係数を滑らかに補間し、稜線を成す(「パスカルの稜線」("Pascal's ridge"))。
0 ≤ x ≤ y なる八分象限または x ≥ 0, y ≤ 0 なる四分象限では、函数は零に近い。
x ≤ 0, y ≥ 0 なる四分象限では、四点 (−n, m + 1), (−n, m), (−n − 1, m − 1), (−n − 1, m) を頂点とする平行四辺形ごとに非常に大きな正の値と負の値を交互に取る。
0 > x > y なる八分象限では、やはり非常に大きな正の値と負の値を交互に取るが、今度は正方形の格子で起こる。
−1 > y > x + 1 なる八分象限では、特異点の近くを除けば零に近い。
二項係数の q-類似はガウスの二項係数と呼ばれる。
部分集合の数を数える二項係数の組合せ論的定義を、基数 α, β に対して濃度 α を持つ適当な集合 A をとって
{\alpha \choose \beta} = | \{ B \subseteq A : |B| = \beta \} |
の形に表せば、無限基数に対しても一般化できる。基数 α を表す集合 A の取り方に依らず () が等しいという意味でこの一般化はうまく定義されている。有限基数に対してこれが通常の二項係数の定義に一致するのは明らかであろう。
選択公理を仮定すれば、任意の無限基数 α に対して ()  2α が示せる。
クンマーの定理: 二項係数の素冪因子に関する—
Robert B.
Ronald L.
Nicholas J.
Donald E.