随伴関手
hom集合随伴。自由群FYから群Xへの群準同型は正確に集合Yから集合GXへの写像に対応する。すなわち、FYからXへの射は生成元への作用により完全に決定される。この対応が自然同型であることも直接確認できる。よって(F,G)に対応するhom集合の随伴が得られた。
余単位-単位随伴。εとηが自然であることは直接確かめられる。そして、余単位-単位随伴(\varepsilon,\eta):F\dashv Gであることは以下のようにして示す。
1つ目の余単位-単位恒等式 1_F = \varepsilon F\circ F\etaというのは各集合Yに対して、合成
FY\xrightarrow{\;F(\eta_Y)\;}FGFY\xrightarrow{\;\varepsilon_{FY}\,}FY
が恒等射であるということである。途中の群FGFYは自由群FYの語たちから生成される自由群である。(以降、括弧でくくられた語は独立した生成元を表すことにする)。射F(\eta_Y)はFYからFGFYへの群の単射準同型であり、FYの生成元yを対応するFGFYの生成元である長さ1の語 (y) に写す。射\varepsilon_{FY}はFGFYからFYへの群の準同型であり、生成元を対応するFYの語に写す(つまり「括弧を外す」)。これらの合成はもちろんFYの恒等射である。
2つ目の余単位-単位恒等式 1_G = G\varepsilon \circ \eta G というのは各群Xに対して、合成
GX\xrightarrow{\;\eta_{GX}\;}GFGX\xrightarrow{\;G(\varepsilon_X)\,}GX
が恒等射であるということである。途中の集合GFGXは単にFGXの台集合である。射\eta_{GX}は集合GXから集合GFGXへの「生成元たちの包含」写像である。射G(\varepsilon_X)は集合GFGXから集合GXへの写像で、FGXの生成元をXの元に写す(「括弧を外す」)という群の準同型の台である。これらの合成はもちろんGXの恒等射である。
自由対象は全て忘却関手の左随伴の例となる。ここで忘却関手は代数的対象をその台集合に写す。これらの代数的な自由関手に対しても、上記の自由群に詳細に記述したものと同様のことが一般に成り立つ。
積、引き戻し、等化子、核はどれも圏論的な極限の例である。全ての極限関手は対応する対角関手(考えている極限の種類から決まる)の右随伴である。随伴の余単位は極限対象からの(つまり、関手圏における、考えている極限に対応する対角関手からの)定義射を与える。以下に個々の例を示す。
積 関手Π : Grp2 → Grpを各対(X1, X2)に直積群X1×X2を対応させるものとし、関手Δ : Grp2 ← Grp を各群Xに積圏Grp2の対象(X, X)を対応させる対対角関手とする。直積群の普遍性からΠはΔの右随伴であることが分かる。この随伴のcounitは極限を定めるX1×X2からX1 と X2への2つの射影の対である射である。unitは群XからX1×X2の中への対角包含射(xを(x, x)に写す)である。
集合のデカルト積や環の直積や位相空間の直積なども同じである。さらに2つ以上の場合も素直な方法で拡張できる。もっと一般には、どの種類の極限も対角関手の右随伴である。
核 アーベル群の準同型の圏Dを考える。Dの2つの対象f1 : A1 → B1 とf2 : A2 → B2に対して、f1 から f2 への射は、対(gA, gB)であって、gBf1 = f2gAを満たすもののことをいう。関手G : D → Abを各準同型をその核に対応させるものとし、関手F : D ← Abを各群Aを群準同型A → 0に対応させるものとする。GはFの右随伴であり、これは核の普遍性を示している。この随伴の余単位射は準同型の核をその始域に埋め込む射であり、単位射は群Aを準同型A → 0の核と同一視する射である。
この例の適切な変種として、線形空間や加群の核関手も右随伴である。同様に、アーベル群や線形空間や加群の余核関手が左随伴であることも分かる。
余積、押し出し、余等化子、余核はいずれも圏論における余極限の例えある。
全ての余極限関手は対応する対角関手(考えている余極限の種類から決まる)の左随伴である。随伴のunitは余極限対象への定義射を与える。以下に個々の例を示す。
余積 関手F : Ab ← Ab2を各アーベル群の対(X1, X2)に直和を対応させるものとし、関手G : Ab → Ab2を各アーベル群Yに対(Y, Y)を対応させるものとする。このときFはGの左随伴である。こちらも直和の普遍性から導かれる。この随伴のunitはX1 と X2から直和への包含写像の対からなる射であり、counitは(X,X)の直和からXへの加算による射である(直和の元 (a, b)にXの元 a+b を対応させる)
同様の例として加群や線形空間の直和や、群の自由積や集合の非交和がある。
非単位的環への単位元添加。これは動機の節で議論した例である。非単位的環 R が与えられたとして、R×Zを選び、Z双線形な積を(r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0)、 (r,0)(s,0) = (rs,0)、 (0,1)(0,1) = (0,1)で定めることにより、乗法単位元を追加することが出来る。この構成は環の台となる非単位的環を取る関手の左随伴である。
環の拡大。RとSを環とし、ρ : R → Sを環の準同型とする。このときSは「左」R-加群とみなすことができ、Sとのテンソル積は関手F : R-Mod → S-Modを引き起こす。そして、Fは忘却関手G : S-Mod → R-Modの左随伴である。
テンソル積構成。Rを環、Mを右R-加群とし、Mとのテンソル積は関手F : R-Mod → Abを引き起こす。関手G : Ab → R-Modを、各アーベル群Aに対して、G(A) = homZ(M,A)で定めると、Fの右随伴となる。
群環構成。整係数モノイド環構成はモノイドから環への関手を与える。この関手は各環をその台となる乗法モノイドに写す関手の左随伴である。同様に整係数群環構成は群から環への関手を与え、各環をその単元群に写す関手の左随伴である。(整係数ではなく)係数体 K を与える場合、環の圏のかわりに K-代数の圏を使えば K 上のモノイド環や群環が得られる。
商体構成。整域の圏で射を単射に限ったものをDommと書くことにする。忘却関手Field → Dommは左随伴を持つ。これは全ての整域に商の体を割り当てる。
多項式環。Ring*を基点付き可換環の圏とする(環Aとその元aの対 (A, a)を対象として、射はこの区別された元を保存する準同型とする)。忘却関手G:Ring* → Ringは左随伴を持ち、各環Rに対して(R[x], x)を割り当てる。ここでR[x]はRを係数とする多項式環である。
アーベル化: アーベル群から群への包含関手G : Ab → Grpを考えると、アーベル化と呼ばれる左随伴を持つ。これは各群Gに商群Gab=G/[G,G]を割り当てる。
グロタンディーク構成: 発端は、K-理論において位相空間上のベクトル束の圏が直和の下で可換モノイド構造を持つことである。各ベクトル束(の同値類)に加法逆元を形式的に追加することにより、このモノイドをグロタンディーク群と呼ばれるアーベル群にすることができる。同じことだが、各群を(逆元の存在を忘れることにより)その台となるモノイドへ写す函手は左随伴を持つ。このようなグロタンディーク構成は、自然数からの負の整数の構成をなぞるようにすることもできるし、存在定理として使うこともある。有限項演算の代数構造の場合に対しては、そのような構成の存在性は普遍代数学やモデル理論に言及することもできるし、圏論的に適当な形での証明としても自然に述べられる。
群の表現論におけるフロベニウス相互律によれば、表現の誘導は表現の制限の左随伴である。
左随伴と右随伴を持つ関手。G を位相空間から集合への関手で、各位相空間にその台集合を割り当てるものとする (位相を忘れる)。G は左随伴 F を持ち、集合 Y 上に離散位相を定める。G は右随伴 H も持ち、Y に密着位相を定める。
懸垂とループ空間。位相空間XとYに対して、Xの懸垂 SXからYへの連続写像のホモトピー類がなす空間 [SX, Y] はXからYのループ空間ΩYへの連続写像のホモトピー類がなす空間と自然同型である。これはホモトピー論で重要である。
ストーン–チェックコンパクト化。KHausをコンパクトハウスドルフ空間の圏とし、G : KHaus → Topを位相空間の圏への包含関手とする。このとき、Gは左随伴F : Top → KHausを持ち、ストーン–チェックコンパクト化となる。この随伴のcounitは各位相空間Xからそのストーン–チェックコンパクト化の中への連続写像である。Xがチコノフ空間であるとき、またそのときのみ、この写像は埋め込み(つまり、単射な連続開写像)である。
層の順像と逆像。全ての連続写像f : X → YはX上の層(集合の層、アーベル群の層、環の層など)からYの対応する層への関手f ∗を誘導し、順像関手と呼ばれる。さらに、Y上のアーベル群の層からX上のアーベル群の層への関手 f −1 も誘導され、逆像関手と呼ばれる。f −1 は f ∗ の左随伴である。ここで微妙な点は連接層での左随伴は(集合の)層のそれとは異なっていることである。
sober化。ストーン双対性の記事にあるように、位相空間の圏とsober空間の圏は随伴である。特に、この記事はpointless topologyで見つかった、sober空間とspatial localeの間の有名な双対性のための別の随伴も詳細に記述している。
随伴の列。関手π0を各圏にその連結成分を与える関手とすると、これは各集合に離散圏を割り当てる関手Dの左随伴である。さらに、Dは圏に対象集合を割り当てる対象関手Uの左随伴である。最後に、Uは各集合にindiscrete圏を割り当てる関手の左随伴である。
指数対象。デカルト閉圏において–×Aで定まる自己関手C → Cは右随伴–Aを持つ。
quantification Any morphism f : X → Y in a category with pullbacks induces a monotonous map f^{*} : \text{Sub}(Y) \to \text{Sub}(X) acting by pullbacks (A monotonous map is a functor if we consider the preorders as categories). If this functor has a left/right adjoint, the adjoint is called \exists_f and \forall_f, respectively.
In the category of sets, if we choose subsets as the canonical subobjects, then these functions are given by:
(T \subseteq Y) \; \mapsto \; f^{*}(T)
= f^{-1}\lbrack T \rbrack
(S \subseteq X) \; \mapsto \; \exists_f S
= \{ \; y \in Y \; \mid \; \exists x \in f^{-1}\lbrack \{y\} \rbrack, x \in S \; \}
= f\lbrack S \rbrack
(S \subseteq X) \; \mapsto \; \forall_f S
= \{ \; y \in Y \; \mid \; \forall x \in f^{-1} \lbrack \{y\} \rbrack, x \in S \; \}
See also powerset for a slightly simplified presentation.
全ての関手 G: 𝒞 → 𝒟 が左随伴を持つわけではない。𝒞 が完備圏であるときは、左随伴を持つ関手はPeter J. Freydの随伴関手定理「G が左随伴を持つための必要十分条件は、それが連続(極限を保つ)かつ、ある種の「集合性(小ささ)」条件をみたすことである」で特徴付けられる。具体的には、𝒟 の各対象 Y に対して、集合(つまり真クラスでない集合という意味で「小さい」) I の元で添字付けられた射の族 fi: Y → G(Xi) が存在して、任意の射 h : Y → G(X) が適当な元 i ∈ I と射 t: Xi → X ∈ C を用いて h  G(t) ∘ fi と書けることが条件である。
同様のことが右随伴に関しても成り立つ。
関手F : C ← Dが2つの右随伴GとG′を持つとすると、GとG′は自然同型である。左随伴についても同様である。
逆に、FがGの左随伴であり、GとG′が自然同型であるとすると、FはG′の左随伴でもある。より一般には、〈F, G, ε, η〉が(ε,η)をcounit-unitとする随伴であり、
σ : F → F′
τ : G → G′
がともに自然同型であるとすると、〈F′, G′, ε′, η′〉も随伴である。ここで、
\begin{align}
\eta' &= (\tau\ast\sigma)\circ\eta \\
\varepsilon' &= \varepsilon\circ(\sigma^{-1}\ast\tau^{-1}).
\end{align}
であり、\circは自然変換の垂直合成を表し、\astは水平合成を表すとする。
随伴は自然なやり方で合成できる。明示的に書くと、CとDとの間の随伴〈F, G, ε, η〉とDとEとの間の随伴〈F′, G′, ε′, η′〉が与えられたとき、関手
F' \circ F : \mathcal{C} \leftarrow \mathcal{E}
G \circ G' : \mathcal{C} \to \mathcal{E}.
の左随伴である。さらに詳しく書くと、F′ FとG G′の間の随伴のunitとcounitは以下の合成で与えられる。
\begin{align}
&1_{\mathcal E} \xrightarrow{\eta} G F \xrightarrow{G \eta' F} G G' F' F \\
&F' F G G' \xrightarrow{F' \varepsilon G'} F' G' \xrightarrow{\varepsilon'} 1_{\mathcal C}.
\end{align}
この新しい随伴は与えられた2つの随伴の合成と呼ばれる。
これにより、小さな圏を対象とし、随伴を射とする圏を作ることが出来る。
随伴のもっとも重要な性質は連続性である。左随伴を持つ全ての関手(つまり右随伴である関手)は連続である(つまり圏論での極限と可換である)。右随伴を持つ全ての関手(つまり左随伴である関手)は余連続である(つまり余極限と可換である)。
数学における多くの共通の構成は極限か余極限であるので、このことはたくさんの情報をもたらす。例えば。
CとDを前加法圏とし、F : C ← Dを加法的関手とし、G : C → DがFの右随伴であるとすると、Gも加法的関手であり、hom集合の全単射
\Phi_{Y,X} : \mathrm{hom}_{\mathcal C}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal D}(Y,GX)
は、実は、アーベル群の同型である。双対的に、Gが加法的で、FがGの左随伴であるとすると、Fもまた加法的である。
さらに、CとDを加法圏(つまり、前加法圏であり有限双積をもつ)とすると、任意の随伴関手の対は自動的に加法的となる。
初めに書いたように、圏CとDの随伴は2つの普遍射の族に持ち上げることができる。片方はCの対象について、もう片方はDの対象についての普遍射である。逆に、Dの各対象から関手G : C → Dへの普遍射が存在するとき、Gは左随伴である。
しかし、普遍的構成は随伴関手よりもっと一般的である。普遍的構成は最適化問題に似ていて、随伴の対に持ち上げられるのは、この問題が全てのDの対象について解を持つときであり、またそのときに限る(Cの対象についても同様)。
関手F: C→Dが圏同値の片方であるとすると、同値のもう片方の左随伴である。つまり、unitとcounitがともに同型である随伴である。
全ての随伴〈F, G, ε, η〉はある部分圏の同値性を拡張する。Cの対象XでεXが同型射であるものからなるCの充満部分圏をC1とする。Dの対象YでηYが同型射であるものかならるDの充満部分圏をD1とする。このとき、FとGをそれぞれD1 と C1に制限した関手はこれらの部分圏の同値の反転となっている。
この意味で、随伴は一般化された逆元である。しかし、Fの右逆(つまり、関手GであってFGが1Dに自然同型なもの)は必ずしもFの右または左随伴になるとは限らない。随伴は2方向に一般化された逆である。
全ての随伴〈F, G, ε, η〉はDにおける関連するモナド〈T, η, μ〉に持ち上げることができる。関手
T : \mathcal{D} \to \mathcal{D}
はT = GFで与えられる。モナドのunit
\eta : 1_{\mathcal{D} \to T
は随伴のunit ηそのものである。乗法の変換
\mu : T^2 \to T\,
はμ = GεFで与えられる。双対的に、〈FG, ε, FηG〉はCにおけるコモナドを定める。
全てのモナドが随伴から作ることができる。実際、典型的なモナドは多くの随伴から上の方法を用いて構成されている。2つの構成Eilenberg–Moore algebraとクライスリ圏はモナドから随伴を構成する問題に対する、2つの両極端の解である。