楕円曲線
この予想は1950年代に主張され、1999年にアンドリュー・ワイルズのアイデアを用いて完全に証明された。彼は1994年に大きな楕円曲線の族についてこの予想を証明した。
予想には様々な定式がある。これらが同値であることを示すことは難しく、20世紀の後半の数論の主要なテーマであった。導手 N の楕円曲線 E のモジュラーリティは、モジュラー曲線 X0(N) から E への、Q 上に定義された非定数の有理写像が存在することも表すことができる。特に、E の点はモジュラー関数によりパラメトライズされる。
例えば、曲線 y^2 - y = x^3 - x のモジュラーパラメータ化は  により与えられた。
\begin{align}
x(z) &= q^{-2} + 2q^{-1} + 5 + 9q + 18q^2 + 29q^3 + 51q^4 +\ldots\\
y(z) &= q^{-3} + 3q^{-2} + 9q^{-1} + 21 + 46q + 92q^2 + 180q^3 +\ldots
\end{align}
ここでは、上記のように q = exp(2πiz) とする。関数 x(z) と y(z) はウェイト 0 でレベル 37 のモジュラー関数で、言い換えると、それらは上半平面 Im(z) > 0 で定義された有理型で、関数等式
x\left(\frac{az + b}{cz + d}\right) = x(z)
を満たす。また同じことが、ad − bc = 1 かつ 37|c となる全ての整数 a, b, c, d と y(z) について成り立つ。
別な定式化は、一方では楕円曲線に、他方ではモジュラー形式に関連するガロア表現の比較に依拠している。モジュラー形式に関係付けられた定式化は予想の証明に使用された。形式のレベルを扱うこと(と曲線の導手との関係)は特に微妙である。
予想の最も重要な応用はフェルマーの最終定理(FLT)の証明である。素数 p > 5 に対して、フェルマー方程式
a^p + b^p = c^p
は、零ではない整数解を持つとする、つまり、フェルマーの最終定理の反例であるとすると、判別式
\Delta = \frac{1}{256}(abc)^{2p}
y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)
は、モジュラーではありえない。従って、楕円曲線のこの族(ヘレゴーチ・フライ曲線(Hellegouarch–Frey curves)と呼ぶ)の谷山志村予想の証明は、フェルマーの最終定理を意味する。2つのステートメントを結び付ける証明は、ゲルハルト・フライの1985年のアイデアを基礎にしていて、難しくテクニカルである。1987年にケン・リベットにより出版された。
楕円曲線上には整数点は有限個しか存在しない。すなわちxが整数であるような E(Q) の点 P = (x, y) の集合は有限集合である。一般に種数が 1 以上の代数曲線には整数点は有限個しか存在しない。これはアクセル・トゥエがディオファントス近似に関する定理から特別の場合について証明し、ジーゲル(C. L. Siegel)が一般の場合について証明した。この定理は、x の座標の分母が有限個の素数によってのみ割ることのできる点へと一般化される。しかし、これらの定理は計算可能性を備えていない。ベイカーは超越数論の方法をつかい、種数1の代数曲線には有限個の整数点しか存在せず、それらは計算可能であることを示した。
定理は分かりやすく定式化できて、例えば、 によると、E のワイエルシュトラスの方程式が定数 H により有界付けられた整数係数を持つ方程式であれば、x も y も整数である E の点の座標 (x, y) は、
\max (|x|, |y|) < \exp\left(\left[10^6H\right]^x & y\geq 0 \\ -\phi(-P) & y<0\end{cases} \pmod{\Lambda}
と定めると、 φは E(R) から R/Λ への群同型を定める。そこで、E(K) の生成元を P_1, P_2, \ldots, P_r とおくと K-有理点 P=m_1P_1+m_2P_2+\cdots +m_rP_r+T\in E(K) (Tは有限位数の点)に対し
\phi(P)\equiv \phi(m_1P_1+m_2P_2+\cdots +m_rP_r+T)\equiv m_1\phi(P_1)+m_2\phi(P_2)+\cdots +m_r\phi(P_r)+\phi(T) \pmod{\Lambda}
が成り立つ。この写像φを楕円対数と呼ぶ。
通常の対数関数の一次形式の下からの評価に関するベイカーの定理に対応し、楕円対数の下からの評価が知られている。次の不等式が成り立つような、E と代数体 K およびランク r にのみ依存する計算可能な定数 c_1, c_2, c_3 がとれる。
B=\max \left| m_i \right| とおくと、格子Λ上の任意の点 l_1\omega_1+l_2\omega_2 に対して
\left| m_1\phi(P_1)+m_2\phi(P_2)+\cdots +m_r\phi(P_r)+\phi(T)+l_1\omega_1+l_2\omega_2 \right| >\exp -c_1(\log B+c_2)(\log\log B+c_3).
一方 P が整数点であるとき、この絶対値は B に対して指数関数的に減少する。というのは、P が整数点であるとき x=\exp h_x(P) となる一方、標準的高さは m_1, m_2, \ldots, m_r の正定値二次形式としてあらわされることから、対数的高さも正定値二次形式で近似されるので、
\phi(P)=O(-|x|^{1/2})=O(\exp -(h_x(P)/2))=O(\exp -c_4 B^2)
となるからである(c_4>0 もE と代数体 K およびランク r にのみ依存する計算可能な定数である。)。このことから、整数点の大きさに対する上からの評価が得られる。
この方法は E(K) が知られているときには整数点の大きさに対する計算可能な上界を与えるが、前にも述べたように E(K) 自体を特定するアルゴリズムが知られていないため、この方法は一般の楕円曲線に対しては理論上は必ずしも有効ではない。
楕円曲線は任意の体 K 上で定義することができる。楕円曲線の公式な定義は、K 上で定義された点を持ち、種数 1 の K 上の非特異射影代数多様体ことを言う。
K の標数が 2 でも 3 でもなければ、全ての K 上の楕円曲線は、
y^2 = x^3 - px - q
の形に書くことができる。ここに p と q は K の元で、多項式の右辺 x3 − px − q は二重点を持たない。標数が 2 や 3 であれば、さらに項を注意深く扱わねばならなく、標数 3 の場合は、最も一般的な方程式は、多項式の右辺が異なる根(記法は歴史的な理由を持っている)を持つような任意の定数 b2, b4, b6 に対し、
y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6
の形をしている。
標数 2 の場合は、以上のようなことな不可能で、最も一般的な方程式である
y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6
が、非特異な多様体を与える。標数が問題にならない場合は、各々の方程式は、適切な変数変換により前の方程式となる。
一つの典型例を挙げると、全ての曲線の点 (x, y) が上の方程式を満たし、そのような点 x と y が K の代数的閉包に属するとする。K に属する座標を持つ点は、K-有理点と呼ばれる。
一般の体 k 上の楕円曲線は、射影平面 P2(k) の非特異三次曲線
y^2z + a_1xyz + a_3yz^2 = x^3 + a_2x^2 z + a_4xz^2 + a_6z^3\,
と書くことができる。この式は、三次曲線の変曲点が (0, 1, 0) にあり、その接線が z = 0 であるとした時に得られる形で、ワイエルシュトラスの標準形と呼ばれる。この斉次式を非斉次形に直すと
y^2+{a_1}xy+{a_3}y=x^3+{a_2}x^2+{a_4}x+a_6\,
となる。
E と D を体 k 上の楕円曲線とする。E と D の間の同種 (isogeny) は、基点を保つアーベル多様体の間の有限射 f: E → D である(言い換えると、写像は E 上の与えられた点から D 上の点へ写像する)。
二つの楕円曲線が同種とは、それらの間に同種写像があるときを言う。この関係は同値関係であり、双対同種の存在により対称的である。全ての同種は、代数的準同型であり、このようにして k に値を持つ楕円曲線の群の準同型が導出される。
K  Fq を q 個の元を持つ有限体として、E を K 上に定義された楕円曲線とする。K 上の楕円曲線の点の数を数えるを正確に数えることは、一般には難しいが、楕円曲線のハッセの定理は、無限遠点を含めると、この数を、
|\operatorname{card} E(K) - (q + 1) | \le 2\sqrt{q}
と評価できることを教えている。
言い換えると、曲線の点の数は、大まかには、体の元の数の増加具合と同じ増加具合を示している。この事実は一般的な理論の助けを借りて理解し証明することができる。局所ゼータ関数やエタールコホモロジーを参照。
点の集合 E(Fq) は有限アーベル群である。常に、巡回的か、もしくは二つの巡回群の積となる。例えば、 では、
y^2 = x^3 - x
で F71 上に定義される楕円曲線は72個の点をもち((0, 0) を含む 71 個のアフィン点と無限遠点をひとつ持っている)、その群構造は、Z/2Z × Z/36Z で与えられる。具体的な曲線の点の数は、シューフのアルゴリズムにより計算することができる。
Fq の拡大体上の曲線の研究は、Fq 上の E の局所ゼータ関数を導入することにより促進された。局所ゼータ関数は、上記のように一般化された級数
Z(E(K), T) \equiv \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{card} \left[E(K_n)\right] {T^n\over n} \right)
により定義される。ここに体 Kn は体 K = Fq の n 次拡大、つまり Fqn である。ゼータ関数は T の有理関数である。ある整数 a が存在し、
Z(E(K), T) = \frac{1 - aT + qT^2}{(1 - qT)(1 - T)}
となる。
さらに、絶対値が q である複素数 α, β とすると、
\begin{align}
Z \left(E(K), \frac{1}{qT} \right) &= Z(E(K), T)\\
\left(1 - aT + qT^2 \right) &= (1 - \alpha T)(1 - \beta T)
\end{align}
が成り立つ。この結果はヴェイユ予想
の特別な場合である。例えば、 では、体 F2 上の E のゼータ関数である y2 + y = x3 は、
\frac{1 + 2T^2}{(1 - T)(1 - 2T)}
により与えられる。このことは、次の式に従う。
\left| E(\mathbf{F}_{2^r}) \right| = \begin{cases} 2^r + 1 & r \text{ odd} \\ 2^r + 1 - 2(-2)^{\frac{r}{2} & r \text{ even} \end{cases}
佐藤・テイト予想は、Q 上の楕円曲線 E を法 q で還元した場合に、ハッセの定理の中の誤差項 2q が素数 q によってどのように変わるのかについての言明である。佐藤・テイト予想は(ほとんどすべてのそのような曲線に対し)、により証明され、誤差項が等分分布していることを言っている。
有限体の上の楕円曲線は、特に暗号理論や大きな整数の素因数分解に応用されている。これらのアルゴリズムには、E 上の点の群構造がしばしば利用されている。一般の群(例えば有限体の可逆元からなる群,Fq∗)に適用できるアルゴリズムは、楕円曲線上の点の群へも応用することができる。例えば、離散対数はそのようなアルゴリズムである。興味深いのは、楕円曲線を選ぶ方が、体の位数 q(と単位元)を選ぶよりも、高い柔軟性がある点である。また、楕円曲線の群構造は、一般にはより複雑である。
有限体上の楕円曲線は、整数の素因数分解への応用と同じように、暗号理論への応用にも使われる。典型的には、暗号理論への応用の一般論は、ある有限群を使った知られているアルゴリズムを、楕円曲線の有理点の群を使うように書き換えて使う。さらに以下を参照。
楕円曲線のヘッセ形式(Hessian curve)