パウリ行列
パウリ行列(パウリぎょうれつ、Pauli matrices)、パウリのスピン行列(パウリのスピンぎょうれつ、Pauli spin matrices)とは、下に挙げる3つの複素2次正方行列の組のことである。σ(シグマ)で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された。
\sigma_1 = \sigma_x = \begin{bmatrix}
0 &1 \\
1 &0
\end{bmatrix}\mbox{, } \quad
\sigma_2 = \sigma_y = \begin{bmatrix}
0 &-i \\
i &0
\end{bmatrix} \mbox{, } \quad
\sigma_3 = \sigma_z = \begin{bmatrix}
1 &0 \\
0 &-1
\end{bmatrix}
添字は数学では 1, 2, 3 が、物理学では x, y, z が使われる。座標系によっては添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。
上記3つに単位行列 I を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。
\sigma_0 = I = \begin{bmatrix}
1 &0 \\
0 &1
\end{bmatrix}
パウリ行列は次の性質を満たす。
{\sigma_k}^\dagger =\sigma_k \qquad (k=1,2,3)
を満たすエルミート行列であり、
{\sigma_k}^\dagger \sigma_k =\sigma_k {\sigma_k}^\dagger = I \qquad (k=1,2,3)
を満たすユニタリ行列でもある。
パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。
{\sigma_1}^2 = {\sigma_2}^2 = {\sigma_3}^2 = I
また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。
\sigma_1 \sigma_2 = -\sigma_2 \sigma_1 = i \sigma_3, \quad
\sigma_2 \sigma_3 = -\sigma_3 \sigma_2 = i \sigma_1, \quad
\sigma_3 \sigma_1 = -\sigma_1 \sigma_3 = i \sigma_2
すなわち i, j, k  1, 2, 3 について
\begin{cases}
{\sigma_i}^2 &= I = -i \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 \\
\sigma_i \sigma_j &= -\sigma_j \sigma_i \qquad (i \ne j)
\end{cases}
が成り立つ。ここでクロネッカーのデルタ δij とエディントンのイプシロン εijk を用いれば、これらをまとめて
\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I + i \textstyle\sum\limits_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \sigma_k \qquad (i,j,k=1,2,3)
と書くことができる。
\begin{align}[]
[ \sigma_i, \sigma_j ] &= \sigma_i \sigma_j - \sigma_j \sigma_i = 2i \textstyle\sum\limits_{k=1}^3 \epsilon_{ijk} \sigma_k, \\
\{ \sigma_i, \sigma_j \} &= \sigma_i \sigma_j + \sigma_j \sigma_i = 2\delta_{ij} I
\end{align}
となる。
それぞれのパウリ行列は、固有値 +1 と −1 を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、
\begin{alignat}{4}
&|\sigma_{1,+} \rangle ={}& \frac{1}\sqrt{2} &\begin{bmatrix}
1 \\
\end{bmatrix},&\qquad &|\sigma_{1,-} \rangle ={} &\frac{1}\sqrt{2} &\begin{bmatrix} 1 \\
-1 \end{bmatrix} \\
&|\sigma_{2,+} \rangle ={}& \frac{1}\sqrt{2} &\begin{bmatrix}
1 \\
\end{bmatrix},& &|\sigma_{2,-} \rangle ={} &\frac{1}\sqrt{2} &\begin{bmatrix}
1 \\
-i \end{bmatrix} \\
&|\sigma_{3,+} \rangle ={} & &\begin{bmatrix}
1 \\
0 \end{bmatrix}, & &|\sigma_{3,-}\rangle ={} & &\begin{bmatrix}
0 \\
\end{bmatrix}
\end{alignat}
である。
パウリ行列 σk (k  1, 2, 3) のトレース (Tr) は 0 となり、行列式 (det) は −1 となる。
\begin{align}
\operatorname{Tr} (\sigma_k ) &=0 \\
\det(\sigma_k ) &=-1
\end{align}
2次単位行列 σ0  I を含めた場合、
\begin{align}
\operatorname{Tr} (\sigma_0 ) &= 2 \\
\det(\sigma_0 ) &= 1
\end{align}
である。
単位行列を含めたパウリ行列 σμ (μ  0, 1, 2, 3) について、
\operatorname{Tr} (\sigma_\mu \sigma_\nu) = 2 \delta_{\mu \nu} \quad (\mu ,\nu =0,1,2,3)
が成り立つ。よって、複素2次正方行列空間 Mat(2,C) において、単位行列を含めたパウリ行列はヒルベルト=シュミット内積 ⟨A, B⟩  Tr(A†B) について、直交する。
複素2次正方行列空間 Mat(2,C) において、単位行列を含むパウリ行列は直交基底をなす。よって、任意の複素2次行列 A は単位行列を含むパウリ行列 σμ (μ  0, 1, 2, 3) の線形結合として、次の形で書ける。
A=s_0 I + s_ 1\sigma_1 + s_2 \sigma_2 + s_3 \sigma_3 = \textstyle\sum\limits_{\mu=0}^3 s_{\mu} \sigma_{\mu}
ここで複素係数 sμ は
s_{\mu} = \frac{1}{2} \operatorname{Tr} (A\sigma_\mu) \quad (\mu=0,1,2,3)
で与えられる。
また、任意の2次エルミート行列 A は単位行列を含むパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数 sμ は実数になる。
部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトルと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。
{\sigma_i}^2 =I
から、その行列指数関数はオイラーの公式の類似である関係式
\exp(i a \sigma_i) =I\cos a + i\sigma_i \sin a  \quad (a \in \mathbb{C})
を満たす。
さらに実ベクトル a  (a1, a2, a3) ∈ R3 とパウリ行列の組 σ  (σ1, σ2, σ3) に対し、
\exp(i \vec{a} \cdot \vec{\sigma}) = I \cos + i (\vec{n} \cdot \vec{\sigma})\sin
が成り立つ。ただし、n は
\vec{n} =\frac{1} (a_1, a_2, a_3)
で与えられる単位ベクトルである。
a が実ベクトルの場合、exp(i a⋅σ) は2次特殊ユニタリ群 SU(2) の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた iσk (k  1, 2, 3) が SU(2) に対応するリー代数 &;&;(2) の基底であることによる。
パウリ行列は、行列式を 1 とする 2次ユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群 SU(2) に対応するリー代数 &;&;(2) の生成子である。パウリ行列に −i を乗じた
\begin{align}
X_1 &= -\frac{i}{2}\sigma_1 = \begin{bmatrix}
0 &-i/2 \\
-i/2 &0
\end{bmatrix} \\
X_2 &= -\frac{i}{2} \sigma_2 = \begin{bmatrix}
0 &-1/2 \\
1/2 &0
\end{bmatrix} \\
X_3 &= -\frac{i}{2} \sigma_3 = \begin{bmatrix}
-i/2 &0 \\
0 & i/2
\end{bmatrix}
\end{align}
は &;&;(2) の基底であり、交換関係
[X_1, X_2] = X_3, \, [X_2, X_3] = X_1, \, [X_3, X_1] = X_2
を満たす。&;&;(2) はトレースが 0 かつ反エルミート
\begin{align}
\operatorname{Tr}(X) &= 0 \\
X^{\dagger} &= -X
\end{align}
である元 X から構成されるが、X1, X2, X3 はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群である
SU(2) の任意の元は、リー環の指数写像によって、
\exp(\sum\limits_{k=1}^3 t_k X_k) \quad (t_1,t_2, t_3 \in \mathbb{R})
の形で与えることができる。
量子力学において、パウリ行列はスピン 1 の角運動量演算子の表現に現れる。角運動量演算子 J1, J2, J3 は交換関係
[J_1, J_2]=i \hbar J_3, \, [J_2, J_3]=i \hbar J_1, \, [J_3, J_1]=i \hbar J_2
を満たす。ただし、ℏ  h はディラック定数である。エディントンのイプシロン εijk を用いれば、この関係式は
[J_i, J_j] =i \hbar \textstyle\sum\limits_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} J_k
と表すことができる。ここで、
\begin{align}
J_1^{1/2} &= \frac{\hbar}{2} \sigma_x = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix}
0 &1 \\
1 &0
\end{bmatrix} \\
J_2^{1/2} &= \frac{\hbar}{2} \sigma_y = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix}
0 &-i \\
i &0
\end{bmatrix} \\
J_3^{1/2} &= \frac{\hbar}{2} \sigma_z = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix}
1 &0 \\
0 &-1
\end{bmatrix}
\end{align}
を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。J1, J2, J3 の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現は J3 を選び対角化している。J31/2 の固有値は +ℏ, −ℏ であり、スピン 1 の状態を記述する。
パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 σμ (μ 0, 1, 2, 3) は反交換関係
\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = \gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu = 2g^{\mu\nu} I
を満たすものとして定義される。ただし、I は単位元であり、gμν (μ, ν  0, 1, 2, 3) は4次元時空のミンコフスキー計量 g = (gμν) = diag(+1, −1, −1, −1) である。このとき、2次単位行列 I2 とパウリ行列により、4次正方行列
\gamma^0 = \begin{bmatrix}
I_2 & 0 \\
0 & -I_2 \\
\end{bmatrix}, \, \gamma^j = \begin{bmatrix}
0 & \sigma_j \\
-\sigma_j &0
\end{bmatrix} \quad (j=1,2,3)
を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4次正方行列表現である。
\gamma^0 = \sigma_3 \otimes I_2, \, \gamma^j = i\sigma_2 \otimes \sigma_j \quad (j=1,2,3)
パウリ行列は順時固有ローレンツ群 L↑+ とその普遍被覆群である2次特殊線形群 SL(2, C) を対応づけるのに用いられる。ローレンツ群 L  O(3, 1) は一般線形群 GL(4, R) の元 Λ で4次元時空のミンコフスキー計量 g = (gμν) = diag(+1 ,−1, −1, −1) (μ, ν = 0, 1, 2, 3) に対し、ΛTgΛ  g を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。
L= \{ \Lambda \in GL(4, \mathbb{R})| \, \Lambda^Tg\Lambda=g \}
一方、順時固有ローレンツ群 L↑+  SO+(3, 1) はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から
L^{\uparrow}_+ = \{ \Lambda \in L | \, \Lambda_{00} \geq 1, \det{\Lambda}=1 \}
として、定義される。ここで4元ベクトル x  (x0, x1, x2, x3) に対し、パウリ行列 σ0 = I, σ = (σ1, σ2, σ3) により、2次正方行列
X=\textstyle\sum\limits_{\mu=0}^3 \sigma_{\mu} x^{\mu} = x^0 I+ \vec{x} \cdot \vec{\sigma} = \begin{bmatrix}
x^0 + x^3 &x^1 +ix^2 \\
x^1 -ix^2 &x^0 -x^3
\end{bmatrix}
を導入する。その行列式は
\det X=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2
であり、ミンコフスキー内積 ⟨x, x⟩ を与える。ここで SL(2, C) の元 A により、変換
X' =AXA^{\dagger}
を定義すると、
\det X'= \det X
であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換 Λ(A) を与える。さらに、±A は同じローレンツ変換 Λ(A)  Λ(−A) を与えることから、これは SL(2, C) から L↑+ への2対1の準同型写像を与える。その核は Z2  ±1 であり、群の同型対応
SL(2, \mathbb{C})/\mathbb{Z}_2 \cong L^{\uparrow}_+
が成り立つ。
パウリ行列により、四元数の2次正方行列表現を与えることができる。
e_k= -i \sigma_k \quad (k=1,2,3)
を導入すると、関係式
{e_1}^2 = {e_2}^2 = {e_3}^2 =-I
e_1 e_2 = -e_2 e_1 = e_3, \, e_2 e_3 = -e_3 e_2 = e_1, \, e_3 e_1 = -e_1 e_3 = e_2
を満たす。これは四元数の基底元 i, j, k が満たす関係式
i^2 = j^2 = k^2 =-1
ij = -ji= k, \, jk = -kj = i, \, ki = -ik = j
と対応する。四元数環 H から複素行列環 Mat(2,C) へのR-線形写像
a1+bi+cj+dk \mapsto aI+be_1+ce_2+de_3\ \quad (a,b,c,d \in \mathbb{R})
は和と積と保ち、四元数の2次正方行列表現を与える。この像は
M= \left\{ \begin{bmatrix}
a-di &-(c+bi) \\
c-bi &a+di
\end{bmatrix} \, \Biggl| \, a,b,c,d \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ \begin{pmatrix}
\alpha &\beta \\
-\bar{\beta} &\bar{\alpha}
\end{pmatrix}\, \Biggl| \, \alpha, \beta \in \mathbb{C} \right\}
であり、H と M は R-多元環として同型である。