土圧
土圧 (どあつ、earth pressure)とは、地盤内における土による圧力のことで、状態によって水平土圧の値が変化する。擁壁に裏込めされた土により,擁壁には土圧が作用する。擁壁が転倒しないように設計を行うためには、土圧の算定が重要となる。
静止した状態にある水において、ある点における水圧はどの方向からも等しい大きさであり、水の単位体積重量にその点よりも上にある水の高さを乗ずることで得られる。土圧の場合、鉛直方向に関しては土の単位体積重量に深さを乗じた値が土圧となり、これは水と同様である。一方、水平方向は、土の単位体積重量に深さを乗じた値の0.4~0.7倍が土圧となる。土の状態によって水平土圧の値が変わり、それぞれ主働土圧、受働土圧、静止土圧と呼ばれる。
土圧の種類は3つあり、以下の通りである。
水平土圧と変位の関係は右図の通り。
また、地盤の状態はそれぞれ下図の通りである。それぞれK_0\,\!、K_a\,\!、K_p\,\!は静止土圧係数、主働土圧係数、受働土圧係数である。
主働土圧と受働土圧の計算方法は2つ存在し、それぞれランキン土圧、クーロン土圧と呼ばれる。
ランキン土圧を算出する時は下記のような仮定を用いている。
擁壁は考えない。(擁壁の摩擦及び形状は考えない。)
塑性平衡状態となる。モールクーロンの破壊基準に従う。
傾斜角を考慮しない。
モール・クーロンの破壊規準の主応力表示は下記の通りである。
\sigma_1-\sigma_3=2\mathrm{ccos}\phi+(\sigma_1+\sigma_3)\mathrm{sin}\phi\,\!
主働土圧の時、最大主応力は\sigma_v\,\!、で最小主応力は\sigma_{ha}\,\!、なので、上式に代入すると、以下の式を得る。
\sigma_v-\sigma_{ha}=2\mathrm{ccos}\phi+(\sigma_v+\sigma_{ha})\mathrm{sin}\phi\,\!
上式を\sigma_{ha}\,\!について整理する。
\sigma_{ha}=\sigma_v\mathrm{tan}^2\left( \frac{\pi}{4}- \frac{\phi}{2}\right)-2\mathrm{ctan}\left( \frac{\pi}{4}- \frac{\phi}{2}\right)\,\!
また、主働土圧係数K_a\,\!を用いて上式を書く。
\sigma_{ha}=\sigma_vK_a-2\mathrm{c}\sqrt{K_a}\,\!・・・・①
K_a=\mathrm{tan}^2\left( \frac{\pi}{4}- \frac{\phi}{2}\right)\,\!
モール・クーロンの破壊規準の主応力表示は下記の通りである。
\sigma_1-\sigma_3=2\mathrm{ccos}\phi+(\sigma_1+\sigma_3)\mathrm{sin}\phi\,\!
受働土圧の時、最大主応力は\sigma_{hp}\,\!、で最小主応力は\sigma_v\,\!、なので、上式に代入すると、以下の式を得る。
\sigma_{hp}-\sigma_v=2\mathrm{ccos}\phi+(\sigma_{hp}+\sigma_v)\mathrm{sin}\phi\,\!
上式を\sigma_{hp}\,\!について整理する。
\sigma_{hp}=\sigma_v\mathrm{tan}^2\left( \frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}\right)-2\mathrm{ctan}\left( \frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}\right)\,\!
また、受働土圧係数K_p\,\!を用いて上式を書く。
\sigma_{hp}=\sigma_vK_p-2\mathrm{c}\sqrt{K_p}\,\!・・・・・②
K_p=\mathrm{tan}^2\left( \frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}\right)\,\!
クーロン土圧を算出する時は下記のような仮定を用いている。
壁体の背後の土の中に直線状の滑り面が生じ、くさび状の土塊が滑り面に沿って動く
クーロン土圧はランキン土圧よりも適用範囲が広く、壁体との摩擦、壁体の傾斜、背後の地表面の傾斜も考慮している。
クーロンの主働土圧計算時の地盤の状態は下図の通りである。
右図を連力図という。土のくさびの重量W\,\!は既知。3つ力のベクトルが閉じた 三角形になるように主働土圧の合力P_a\,\!と滑り面に作用する力F\,\!の大きさを決める。その時の\theta\,\!が滑り面の角度となる。
(土と壁体の摩擦角\delta\,\!と\phi\,\!内部摩擦角は既知、\alpha\,\!と\beta\,\!は土や擁壁の形を決めるものなので既知)
連力図に着目すると、正弦定理より以下の関係式を得る。
\frac{W}{\mathrm{sin}(\alpha+\delta-\theta+\phi)}=\frac{P_a}{\mathrm{sin}(\theta-\phi)}\!
したがって、P_a\,\!は以下の通り。
P_a=\frac{W\mathrm{sin}(\theta-\phi)}{\mathrm{sin}(\alpha+\delta-\theta+\phi)}\!
W\,\!は土の重さなので別途計算する必要がある。
つまり、土塊の体積V\,\!を計算し、土の単位体積重量を乗ずればよい。
この時、土の体積は単位奥行きあたりの体積であるので、実質的には土くさびの面積S\,\!を求めればよい。
右図より土くさびの面積は以下の通りとなる。
S=\frac{1}{2}AB*AC\mathrm{sin}(\alpha-\theta)
また、正弦定理より以下の関係式を得る。
\frac{AB}{\mathrm{sin}(\theta-\beta)}=\frac{AC}{\mathrm{sin}(\pi-\alpha+\beta)}=\frac{AC}{\mathrm{sin}(-\alpha+\beta)}
辺ABを壁体の高さHを用いて表す。
AB=\frac{H}{\mathrm{sin}\alpha}
以上より土くさびの面積は以下の通りである。
S=V=\frac{H^2\mathrm{sin}(\alpha-\theta)\mathrm{sin}(-\alpha+\beta)}{2\mathrm{sin}^2\alpha \mathrm{sin}(\theta-\beta)}
したがって、土の重さは以下のように得られる。
W=\frac{\gamma_tH^2\mathrm{sin}(\alpha-\theta)\mathrm{sin}(-\alpha+\beta)}{2\mathrm{sin}^2\alpha \mathrm{sin}(\theta-\beta)}
つまり、クーロンの主働土圧は以下のように導かれる。
P_a=\frac{\gamma_tH^2\mathrm{sin}(\alpha-\theta)\mathrm{sin}(-\alpha+\beta)\mathrm{sin}(\theta-\phi)}{2\mathrm{sin}^2\alpha\mathrm{sin}\theta-\beta)\mathrm{sin}(\alpha+\delta-\theta+\phi)}
\theta\,\!の最適解は極限定理の上界定理の考え方からP_a\,\!を最大とする時の\theta\,\!となる。
すなわち、以下の関係を満たす時の\theta\,\!が最適解となり、その時のP_a\,\!がクーロンの主働土圧となる。
\frac{\partial P_a}{\partial \theta}=0
クーロンの主働土圧は以下の通りである。
P_a=\frac{1}{2}\gamma_tK_aH^2\,\!
K_a=\frac{\mathrm{sin}^2(\phi-\alpha)}{\mathrm{sin}^2\alpha \mathrm{sin}(\alpha+\delta)\left[1+\sqrt{\frac{\mathrm{sin}(\phi-\beta)\mathrm{sin}(\phi+\delta)}{\mathrm{sin}(\alpha-\beta)\mathrm{sin}(\alpha+\delta)}\right]^2\,}\,\!
クーロンの受働土圧計算時の地盤の状態は下図の通りである。
主働土圧と同様に連力図を用いて解く。正弦定理より以下の関係式を得る。
\frac{W}{\mathrm{sin}(\alpha-\delta-\theta-\phi)}=\frac{P_p}{\mathrm{sin}(\theta+\phi)}\!
したがって、P_p\,\!は以下の通り。
P_p=\frac{W\mathrm{sin}(\theta+\phi)}{\mathrm{sin}(\alpha-\delta-\theta-\phi)}\!
また、右図より土くさびの面積は以下の通りとなる。
S=\frac{1}{2}AB*AC\mathrm{sin}(\alpha-\theta)
また、正弦定理より以下の関係式を得る。
\frac{AB}{\mathrm{sin}(\theta-\beta)}=\frac{AC}{\mathrm{sin}(\pi-\alpha+\beta)}=\frac{AC}{\mathrm{sin}(-\alpha+\beta)}
辺ABを壁体の高さHを用いて表す。
AB=\frac{H}{\mathrm{sin}\alpha}
以上より土くさびの面積は以下の通りである。
S=V=\frac{H^2\mathrm{sin}(\alpha-\theta)\mathrm{sin}(-\alpha+\beta)}{2\mathrm{sin}^2\alpha \mathrm{sin}(\theta-\beta)}
したがって、土の重さは以下のように得られる。
W=\frac{\gamma_tH^2\mathrm{sin}(\alpha-\theta)\mathrm{sin}(-\alpha+\beta)}{2\mathrm{sin}^2\alpha \mathrm{sin}(\theta-\beta)}
つまり、クーロンの受働土圧は以下のように導かれる。
P_p=\frac{\gamma_tH^2\mathrm{sin}(\alpha-\theta)\mathrm{sin}(-\alpha+\beta)\mathrm{sin}(\theta+\phi)}{2\mathrm{sin}^2\alpha \mathrm{sin}(\theta-\beta)\mathrm{sin}(\alpha-\delta-\theta-\phi)}
\theta\,\!の最適解は極限定理の上界定理の考え方からP_p\,\!を最大とする時の\theta\,\!となる。
すなわち、以下の関係を満たす時の\theta\,\!が最適解となり、その時のP_p\,\!がクーロンの受働土圧となる。
\frac{\partial P_p}{\partial \theta}=0
クーロンの受働土圧は以下の通りである。
P_p=\frac{1}{2}\gamma_tK_pH^2\,\!
K_p=\frac{\mathrm{sin}^2(\phi-\alpha)}{\mathrm{sin}^2\alpha \mathrm{sin}(\alpha-\delta)\left[1-\sqrt{\frac{\mathrm{sin}(\phi+\beta)\mathrm{sin}(\phi+\delta)}{\mathrm{sin}(\alpha-\beta)\mathrm{sin}(\alpha-\delta)}\right]^2\,}\,\!
ランキン土圧における仮定は、以下の通りである。
\alpha=\frac{\pi}{2},\beta=0,\delta=0\,\!
この時主働土圧および、受働土圧は以下のように得られる。
P_a=\frac{\gamma_tH^2\mathrm{cos}(\theta)\mathrm{sin}(\theta-\phi)}{2\mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}(\theta-\phi)}\,\!
先ほどと同様に上界定理を用いる。
\frac{\partial P_a}{\partial \theta}=0
この方程式を解くと、\theta\,\!は次のように得られる。
\theta=\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}\,\!
この時の主働土圧は次のように得られる。
P_a=\frac{1}{2}\gamma_tK_aH^2\,\!
K_a=\mathrm{tan}^2\left( \frac{\pi}{4}- \frac{\phi}{2}\right)\,\!
P_p=\frac{\gamma_tH^2\mathrm{cos}(\theta)\mathrm{sin}(\theta+\phi)}{2\mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}(\theta+\phi)}\,\!
先ほどと同様に上界定理を用いる。
\frac{\partial P_p}{\partial \theta}=0
この方程式を解くと、\theta\,\!は次のように得られる。
\theta=\frac{\pi}{4}-\frac{\phi}{2}\,\!
この時の受働土圧は次のように得られる。
P_p=\frac{1}{2}\gamma_tK_pH^2\,\!
K_p=\mathrm{tan}^2\left( \frac{\pi}{4}+ \frac{\phi}{2}\right)\,\!
ランキン土圧とクーロン土圧は一見違う理論のように見えるが、実は同じである。ただし、適用できる対象がやや異なるので下に表にしてまとめた。