特性類
区別のため代数幾何学の方のチャーン類をc'{}^{(n)}_kと書くことにすると、代数的位相幾何学のチャーン類とは
c'{}^{(n)}_k=(-1)^kc^{(n)}_k
という関係を満たす。本稿では以下、特に断りがない限り、代数的位相幾何学の規約を採用するものとする。
定理・定義
前節で定義したチャーン類が次元公理と正規化公理を満たすのは明らかである。ホイットニー和の公式の証明は下記のとおりである。
0}^i H^{2k}(BU(n);\mathbb{Z})\times H^{2(i-k)}(BU(m);\mathbb{Z})
が成立する。よって\alpha_1,\ldots,\alpha_{n+m}をチャーン根とすると、
c^{(n+m)}_i=\sigma_i(\alpha_1,\ldots,\alpha_{n+m})=\sum_{k=0}^i\sigma_k(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\sigma_{i-k}(\alpha_{n+1},\ldots,\alpha_{n+m})\approx \sum_{k=0}^ic^{(n+m)}_k\smile c^{(n+m)}_{i-k}
が成立する。なお上式の2つ目の等号は、対称多項式に関する簡単な計算により従う。
ホイットニー和の公式は上式を\xi \oplus \eta、ξ、ηに関する分類写像で引き戻す事で従う。
一方、上記の公理を満たす特性類の一意性は数学的帰納法により容易に示せる。
チャーン類を取り扱う上で、下記のチャーン多項式を考えると便利である:定義
なお、チャーン類の定義より、チャーン多項式はチャーン根を使って形式的に
c(\xi,t)=\prod_i(t+\alpha_i)
と因数分解できる。
チャーン多項式を用いると、ホイットニー和の公式は以下のように言い換えられる:定義
チャーン多項式は以下の性質を満たす。なお文献によっては以下の性質をチャーン類の公理として入れているものもあるが、実は他の公理から従うので、公理に入れる必要はない。
1+c_1(\epsilon)tとかけるので、c_1(\epsilon)=0のみ示せば良い。
\{x\}を任意の一点集合とし、p~:~X\to \{x\}を\{x\}への唯一の写像とし、εxを\{x\}上の自明な直線バンドルとし、さらにf_x~:~\{x\}\to BU(1)を\{x\}の分類写像とする。明らかに\varepsilon=p^*(\varepsilon_x)なので、分類定理より、εの分類写像はf_x\circ pとホモトープである。H^2(\{x\};\mathbb{Z})=0なので、c_1\in H^2(BU(1);\mathbb{Z})の引き戻しc_1(\varepsilon)=(f_x\circ p)^*(c_1)=0である。
本節以降、実ベクトルバンドルの特性類を記述していくが、その記述は複素ベクトルバンドルのそれと比べかなり複雑であるので、詳細は次節以降に譲り、本節では実ベクトルバンドルの特性類の概要を述べる。
実ベクトルバンドルの特性類が複雑になる理由は2つある:
実ベクトルバンドルの主バンドルの分類空間H^*(BO(n),\mathbb{Z})は複素ベクトルバンドルの主バンドルのH^*(BU(n),\mathbb{Z})と違い、\mathbb{Z}_2-捩れ部分群を持つ。この捩れ部分群が「悪さ」をするため、H^*(BO(n),\mathbb{Z})を簡単に記述する事ができない。
実ベクトルバンドルの場合は複素ベクトルバンドルと違い、向き付けの概念がある。このため向き付けのない場合の分類空間H^*(BO(n),\mathbb{Z})と向き付けのある場合の分類空間H^*(BSO(n),\mathbb{Z})の両方を考察しなければならない。
1つ目の問題を回避するために、以下ではH^*(BO(n),\mathbb{Z})を直接考察するのを諦め、H^*(BO(n),\mathbb{Z}_2)とH^*(BO(n), \Lambda)の2つを別々に考察することにする。ここでΛは2の逆元を持つ任意の可換環である。ボックシュタインスペクトル系列を使う事でH^*(BO(n),\mathbb{Z}_2)とH^*(BO(n), \Lambda)からH^*(BO(n),\mathbb{Z})を計算できるので、実用上はこの2つに対する特性類が把握できていれば十分である。
2つ目の問題に関しては、H^*(BO(n))とH^*(BSO(n))とは環構造が異なるので、この2つを両方とも考察する必要がある。
係数環が\mathbb{Z}_2の場合の特性類の記述は比較的簡単であり、H^*(BO(n))とH^*(BSO(n))の差はさほど大きくなく、
\begin{align}
H^*(BO(n),\mathbb{Z}_2)&=\mathbb{Z}_2[w_1,\ldots,w_n] \\
H^*(BSO(n),\mathbb{Z}_2)&=\mathbb{Z}_2[w_2,\ldots,w_n],~~w_1=0  \\
\end{align}
という形で両者を記述できる。ここでw_1,\ldots,w_n はスティーフェル・ホイットニー類と呼ばれる特性類で、このようなw_1,\ldots,w_nの存在はチャーン類の場合と類似した方法で証明できる。ただし第iチャーン類が2i次のコホモロジー群に属するのに対し、第iスティーフェル・ホイットニー類はi次のコホモロジー群に属するので注意が必要である。
それに対し係数環が2^{-1}\in \Lambda を満たすΛの場合はより複雑である。H^*(BO(n), \Lambda)に関しては、
H^*(BO(n), \Lambda)=\Lambda[p_1,\ldots,p_{\lfloor n/2\rfloor}]
の形で記述でき、p_1,\ldots,p_nをポントリャーギン類という。(p_iは4i次のコホモロジー群に属する)。ここで\lfloor\cdot\rfloorは床関数である。
p_i=(-1)^ic_{2i}
と書ける。(なお、実ベクトルバンドルの複素化の場合、奇数次のチャーン類c_{2i+1}
は2c_{2i+1}=0
を満たし、よって係数環がΛの場合は必ずc_{2i+1}=0
になる)。
一方、H^*(BSO(n), \Lambda)はnが偶数か奇数で形が異なり、
H^*(BSO(n), \Lambda)=
\begin{cases}
\Lambda[p_1,\ldots,p_{\lfloor n/2\rfloor}] & \text{ if }n \text{ is odd}\\
\Lambda[p_1,\ldots,p_{\lfloor n/2\rfloor},\chi]/(\chi^2= p_{\lfloor n/2\rfloor})& \text{ if }n \text{ is even}\\
\end{cases}
と書ける。ここでp_1,\ldots,p_{\lfloor n/2\rfloor}は前述のポントリャーギン類であり、χはオイラー類と呼ばれる特性類である。また\Lambda[p_1,\ldots,p_{\lfloor n/2\rfloor},\chi]/(\chi^2= p_{\lfloor n/2\rfloor})は多項式環\Lambda[p_1,\ldots,p_{\lfloor n/2\rfloor},\chi]においてχ2をpnと同一視して得られる環を表す。すなわち\Lambda[p_1,\ldots,p_n,\chi]を単項イデアル(\chi^2- p_{\lfloor n/2\rfloor})で割った環である。
以上をまとめると、実ベクトルバンドルの分類空間のコホモロジーは以下のように記述できる:
本節ではH^2(BO(n);\mathbb{Z})の構造を具体的に決定し、それをもとにスティーフェル・ホイットニー類を定義する。
H^2(BO(n);\mathbb{Z})の構造の決定方法やスティーフェル・ホイットニー類の定義は、基本的にはH^2(BU(n);\mathbb{Z})の構造の決定方法やチャーン類の定義と同様である。一点大きく違うのは、チャーン類の場合はH^*(BU(1);\mathbb{Z}) =\mathbb{Z}[\alpha]を満たす\alphaが2次のコホモロジー群H^2(BU(1);\mathbb{Z})に属していたのに対し、スティーフェル・ホイットニー類の場合はそのような元が1次のコホモロジー群に属する事である:
この違いが原因でチャーン類は偶数次のコホモロジー群にしか登場しなかったが、スティーフェル・ホイットニー類は奇数次のコホモロジーにも登場する。
なお、コホモロジーの係数が\mathbb{Z}_2なので、カップ積は奇数次のコホモロジーにおいても可換である。
自然数n\ge 1に対しH^2(BO(n);\mathbb{Z}_2)の具体的形を調べるため、チャーン類のときと同様、連続準同型写像
\iota~:~O(1)^n\hookrightarrow O(n),~(A_1,\ldots,A_n)\mapsto A_1\oplus\cdots\oplus A_n
によりO(1)^nをO(n)の部分群とみなす。ここで「\oplus」は対角線上に行列を並べる演算である。
\varphi_A~:~B\mapsto ABA^{-1}を内部自己同型とする。チャーン類の時と同様、O(1)^nの正規化群
N=\{A\in O(n)\mid \varphi_A(O(1)^n)= O(1)^n\}
をO(1)^nの中心化群
Z=\{A\in O(n)\mid \forall B\in O(1)^n ~:~\varphi_A(B)= B\}
で割った\Sigma=N/Zを考え、
H^*(BO(1)^n;\mathbb{Z})^{\Sigma}:=\{u\in H^*(BO(1)^n;\mathbb{Z})\mid \forall [A]\in \Sigma ~:~B\varphi_A{}^*(u)=u\}
と定義するとこの定義はWell-definedである。ここで[A]\in \Sigma=N/Zは同値類を表す。このとき次の事実が従う:定理ここでβiはH^*(BO(1)^n;\mathbb{Z}_2)\approx H^*(BO(1);\mathbb{Z}_2)\otimes \cdots \otimes H^*(BO(1);\mathbb{Z}_2)のi番目のH^*(BO(1);\mathbb{Z}_2)の生成元である。定理
スティーフェル・ホイットニー類を以下のように定義する:定義
分類空間H^*(BO(n);\mathbb{Z}_2)の元と特性類は1対1でするので、第iスティーフェル・ホイットニー類w_iに対応する特性類
w_i(\xi)
をベクトルバンドルξの第iスティーフェル・ホイットニー類という。分類空間の元w_iをw_i(\xi)と区別したいときは、w_iを第i普遍スティーフェル・ホイットニー類(i-th universal Stiefel–Whitney class class)という。
チャーン類のときと同様、w^{(n)}_0:=(\iota^*)^{-1}(1)=1、w^{(n)}_m:=0 for m>nと定義する。
明らかに以下の事実が従う:定理
チャーン類と同様スティーフェル・ホイットニー類も公理的に特徴づける事ができる:定理・定義
全チャーン類と同様、全スティーフェル・ホイットニー類を定義でき、全チャーン類と同様の性質を示す事ができる:定義・定理
自然な写像\nu~:~SO(1)\to U(1)が誘導する写像H^*(U(1);\mathbb{Z}_2) \to H^*(SO(1);\mathbb{Z}_2)は単射であり、H^*(U(1);\mathbb{Z}_2)の生成元αの自乗α2がβに移る事が知られている。したがって
\sigma_i(\alpha_1{}^2,\ldots,\alpha_n{}^2) \in H^*(U(1)^n;\mathbb{Z}_2)はw_i\in\sigma_i(\beta_1,\ldots,\beta_n) \in H^*(U(1)^n;\mathbb{Z}_2)に移るが、\mathbb{Z}_2上では\sigma_i(\alpha_1{}^2,\ldots,\alpha_n{}^2)=\sigma_i(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^2=c_iになので、以下が成立する:
定理複素化におけるスティーフェルホイットニー類とすると、任意の非負整数iに対して以下が成立する:
c_i(\xi_{\mathbb{C})=w_i(\xi)^2 in H^*(X;\mathbb{Z}_2)
}
逆に複素ベクトルバンドル\omegaから複素構造を忘却関手実ベクトルバンドルとみなしたものを\xiの脱複素化(decomplexification、realification)と呼び、\omega_{\mathbb{R}と書くと任意の非負整数iに対して以下が成立する事が知られている:
定理)=c_i(\xi)、w_{2i+1}(\omega_{\mathbb{C}))=0 in H^*(X;\mathbb{Z}_2)
}
本節では2^{-1} \in \Lambdaを満たす可換環Λに対し、H^*(BSO(n),\Lambda)、H^*(BO(n),\Lambda)の構造を決定し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する。
本節ではコホモロジー環H^*(BSO(n),\Lambda)、H^*(BO(n),\Lambda)の構造し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する。そのために利用するのは、チャーン類のときと同様、ワイル群に関する議論である。そこでSO(n)の極大トーラスを記述するため、nが偶数であるか奇数であるかに応じてn=2m、n=2m+1として\mu~:~SO(2)^m \hookrightarrow  SO(n)を:
により定義する。ここで「\oplus」は対角線上に行列を並べる演算であり、R(θ)は2次元の回転行列
R(\theta):=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta\\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
である。\muによるSO(2)mの像はSO(n)の極大トーラスである事が知られている。さらに自然な埋め込み\iota~:~SO(n)\hookrightarrow O(n)を考える。
そしてこれら2つの写像が分類空間のコホモロジーに誘導する写像を考える:
:
上式の最後の同型「\approx」は、リー群としてSO(2)\approx U(1)である事からチャーン類のときの議論により従う。ここで「\approx」は環としての同型であり、H^*(BSO(2)^m,\Lambda)の積はカップ積である。
またγjはH^*(BSO(2)^m;\Lambda)\approx \otimes_j H^*(BSO(2);\Lambda)のj番目のH^*(BSO(2);\Lambda)の生成元であり、γjは次数2のコホモロジー\gamma_j\in H^{2}(BSO(2);\Lambda)に属している。(これらもチャーン類のときの議論により従う)。
なお、H^*(BSO(2);\Lambda)\approx \Lambda[\gamma]の生成元γの選び方は、Λの単元倍の自由度があるので、この自由度をなくす為、以下の規約を置く:
上で自然な同型SO(2) \approx U(1)を用いた。このように規約を決めると、チャーン類の定義から\gamma=c_1は整数係数のコホモロジーH^*(BSO(2);\mathbb{Z})=H^*(BU(1);\mathbb{Z})に属する事になるのが利点である。
本項の目標は、H^*(BSO(2)^m,\Lambda) \approx \Lambda[\gamma_1,\ldots,\gamma_m]を用いる事でH^*(BSO(n),\Lambda)とH^*(BO(n),\Lambda)の構造を特定し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する事である。
詳細は後回しにし、先に結論を述べる。
\begin{cases}
\Lambda[p^{(n)}_1,\ldots,p^{(n)}_m]& \text{ if }n=2m+1\\
\Lambda[p^{(n)}_1,\ldots,p^{(n)}_m,e^{(n)}]& \text{ if }n=2m\\
\end{cases}
H^*(BO(n);\Lambda)\overset{B\mu^*\circ B\iota^*}{\overset{\sim}{\to}
\Lambda[p^{(n)}_1,\ldots,p^{(n)}_m]
|note=H^*(BSO(n);\Lambda)、H^*(BO(n);\Lambda)の構造実ベクトルバンドルの分類空間の構造}
ポントリャーギン類とオイラー類を以下のように定義する:
紛れがなければ、p^{(n)}_i、e^{(n)}を単にp_i、eと書く。
分類空間H^*(BO(n);\Lambda)やH^*(O(n);\Lambda)の元と特性類は1対1でするので、第iポントリャーギン類p_iやオイラー類eに対応する特性類
p_i(\xi)、e(\xi)
をそれぞれベクトルバンドルξの第iポントリャーギン類、オイラー類という。分類空間の元p_i、eをp_i(\xi)、e(\xi)と区別したいときは、p_i、eをそれぞれ第i普遍ポントリャーギン類(i-th universal Pontryagin class)、普遍オイラー類(universal Euler class)という。
なぜ上述の定理が成立するのかについては後述する。
本節では、前述したH*(BSO(n);Λ)とH*(BO(n);Λ)の構造を記述した定理がなぜ成立するかを次の3つの場合に分けて説明する:
nが偶数の場合のH*(BSO(n);Λ)の構造
nが奇数の場合のH*(BSO(n);Λ)の構造
H*(BO(n);Λ)の構造
定理を示すにはチャーン類の場合と同様、ワイル群を用いる事でH*(BSO(n);Λ)の構造を決定する。そのためにBorelによる以下の一般的な定義を用いる:
H^*(SO(n);\Lambda)がp\neq 2のねじれ元を持たない事を利用して、以下の命題を示せる:
上述の命題ではBorelの定理で「\mathbb{Z}_p」であったところが「Λ」に代わっているが、普遍係数定理を用いる事で「Λ」に代えてよい事が容易に示せる。
\mathbb{Z}[1/2]=\{a/2^n \mid a\in\mathbb{Z},n\in \mathbb{Z}_{\ge 0}\}の場合に対してのみ定理を証明する。それ以外の場合に関しては普遍係数定理から従う。なお\Lambda=\mathbb{Z}[1/2]は単項イデアル整域であり、\Lambda上のイデアルは素数p\neq 2により生成される単項イデアルのみである事を容易に示せる。
\mu~:~SO(2)^m\to SO(n)が誘導する写像
B\mu{}^*_{\Lambda}~:~H^k(BSO(n),\Lambda)\approx H^k(BSO(n),\mathbb{Z})\otimes\Lambda \to H^k(BSO(2)^m,\mathbb{Z})^W\otimes \Lambda ...(1)
を考えるとき、まず(1)式の右辺について、
H^k(BSO(2)^m,\mathbb{Z})^W \otimes \Lambda \approx \Lambda^{r_k}  ...(2)
となる非負整数rkが存在する事が言える。
実際、SO(2)\approx U(1)であるので、チャーン類のところで述べた議論から、H^*(BSO(2)^m;\mathbb{Z})\approx \mathbb{Z}[\gamma_1,\ldots,\gamma_m]であり、よって特に各kに対し、H^k(BSO(2)^m;\mathbb{Z})は自由アーベル群であり、したがってその部分群であるH^k(BSO(2)^m,\mathbb{Z})^Wも自由アーベル群であるので(2)がしたがう。
\Lambda=\mathbb{Z}[1/2]は単項イデアル整域なので、有限生成加群の基本定理を使ってH^k(BSO(n);\mathbb{Z})\approx \Lambda^{t_k}\oplus S^{(k)}と自由Λ-加群部分\Lambda^{t_k}と捩れ部分群部分S^{(k)}の直和として表すと、(2)式より(1)式は
B\mu{}^*_{\Lambda}~:~H^k(BSO(n),\Lambda)\approx\Lambda^{t_k}\oplus S^{(k)}  \to H^k(BSO(2)^m,\mathbb{Z})^W\otimes \Lambda\approx\Lambda^{r_k}   ...(3)
と書ける。
H^*(SO(n);\mathbb{Z})は素数p\neq 2に対し、p-捩れ部分群を持たないので、G=SO(n)、T=SO(2)^mに対してBorelの定理を使う事ができ、
B\mu{}^*_{\mathbb{Z}_p}~:~H^*(BSO(n),\mathbb{Z}_p) \overset{\sim}{\to} H^*(BSO(2)^m,\mathbb{Z})^W\otimes \mathbb{Z}_p for p\neq 2
である。上式と(3)式と普遍係数定理を使って書き換える事で、
B\mu{}^*_{\mathbb{Z}_p}~:~\mathbb{Z}_p{}^{t_k}\oplus (S^{(k)}\otimes \mathbb{Z}_p) \oplus (S^{(k+1)}\otimes \mathbb{Z}_p)\overset{\sim}{\to} \mathbb{Z}_p{}^{r_k} for p\neq 2   ...(4)
が言える。
有限生成加群の基本定理からS^{(k)}、S^{(k+1)}は有限集合なので、S^{(k)}、S^{(k+1)}には位数qの元が存在しない素数q \neq 2を取る事ができる。(4)式でp=qとすると、qの取り方からS^{(k)} \otimes \mathbb{Z}_q= S^{(k+1)} \otimes \mathbb{Z}_q=0が成立する。よって(4)式から
r_k=t_k ...(5)
が成立する。すなわちH^k(BSO(n);\Lambda)の自由アーベル群部分のランクはH^k(BSO(2)^m,\mathbb{Z})^W\oplus\Lambdaのランクに等しい。
また任意のp\neq 2に対し(4)式の両辺で\mathbb{Z}_p上の次元が同じでなければならないので、(5)式からS^{(k)}\otimes \mathbb{Z}_p=S^{(k+1)}\otimes \mathbb{Z}_p=0である。よってS^{(k)}もS^{(k+1)}もp\neq 2に対しp-捩れ元を持たない。Λの定義から2-捩れ元はそもそも存在しないので、結局(4)式は同ランクの自由加群の間の写像
B\mu{}^*_{\Lambda}~:~H^k(BSO(n),\Lambda)\approx \Lambda^{r_k} \to H^k(BSO(2)^m,\mathbb{Z})^W\otimes \Lambda \approx \Lambda^{r_k} ...(6)
として書ける。
B\mu{}^*_{\Lambda}を行列として表してその行列式
以上の事からSO(n)のワイル群W=W(SO(n))の具体的な形と
H^*(BSO(2)^m,\mathbb{Z})^W\otimes \Lambda\subset H^*(BSO(2)^m,\mathbb{Z})\approx \Lambda[\gamma_1,\ldots,\gamma_m]
の具体的な形を決定すればH^*(BSO(n),\Lambda)の具体的な形が決定できる事になる。
n=2mとし、ワイル群W=W(SO(n))の具体的な形を決定するため、実ベクトル空間として\mathbb{R}^{n}=(\mathbb{R}^2)^mという同一視をし、以下の2種類の行列を考えるC_i、P_σの定義:
Pσ:(\mathbb{R}^2)^m の成分を置換\sigmaに従って入れ替える置換行列。すなわち(x_j,y_j)_{j=1,\ldots,m}\in (\mathbb{R}^2)^mを(x_{\sigma(i)},y_{\sigma(i)})_{i=1,\ldots,m}\in (\mathbb{R}^2)^mに写す行列。
Ci:yiの符号を反転する写像。すなわち(x_j,y_j)_{j=1,\ldots,m}\in(\mathbb{R}^2)^m を(x_j,(-1)^{\delta_{i,j}y_j)_{j=1,\ldots,m}\in(\mathbb{R}^2)^m に写す行列x_j,y_j)_{j=1,\ldots,m}は、Ciと90度回転の組み合わせで書く事ができるので、ワイル群の生成元を議論する際にはCiの方だけあれば十分である。なお本項ではに合わせてCiを用いる事にしたが、ではCiの代わりに
\begin{pmatrix}
0 &1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
を用いている。しかしこれもワイル群上ではCiと同一の元を表すので、どちらを用いても問題ない。}。ここでδi,jはクロネッカーのデルタである。
Pσの方はxiとyiがセットになって置換されるので\mathbb{R}^{n}=(\mathbb{R}^2)^m上の空間の向きを保ち、SO(n)に属するが、Ciの方は空間の向きを反転するのでO(n)には属するもののSO(n)には属さない。しかしCiを偶数個かけ合わせたものはSO(n)に属する。
R(\kappa_1)\oplus \cdots \oplus R(\kappa_m)とする。
さらにe_1,f_1,e_2,f_2,\ldots,e_m,f_mを\mathbb{R}^n=(\mathbb{R}^2)^{m}の基底とし、E_iをei、fiが張る(\mathbb{R}^2)^{m}の部分ベクトル空間とする。
ワイル群の定義から、[A]\in Wと上記のGに対し、\varphi_A(G)\in SO(2)^mなので、ある\kappa'_1,\ldots,\kappa'_m\in[0,2\pi)が存在し、
\varphi_A(G)=R(\kappa'_1)\oplus \cdots \oplus R(\kappa'_m)
が成立する。
e'_i:=e_iA、f'_i:=f_iAとし、e'i、f'iが張る\mathbb{R}^{2m}の部分ベクトル空間をE'iとすると、直交行列Kの標準形の一意性より、ある置換\sigma~:~\{1,\ldots,m\}\to \{1,\ldots,m\}が存在し、
E'_i=E_{\sigma(i)}
が成立する。これはE'_i=E_{\sigma(i)}の二組の基底(e_i,f_i)、(e'_i,f'_i)が2次元の可逆行列で移り合う事を意味する。
よってある2次元の可逆行列A_1,\ldots,A_mが存在し、
A=(A_1\oplus\cdots\oplus A_m) \cdot P_{\sigma}
が成立する。Aが向きを保つ直交行列であり、\mathbb{R}^n=(\mathbb{R}^2)^m上の置換行列P_{\sigma}も向きを保つ直交行列なので、A_1\oplus\cdots\oplus A_mも向きを保つ直交行列でなければならない。したがってA_1,\ldots,A_mはすべて直交行列であり、しかも