カーダー・パリージ・ザン方程式
カーダー・パリージ・ザン方程式(Kardar–Parisi–Zhang equation) は、メヘラーン・カールダール、ジョルジョ・パリージ、イー・チャン・ジャン (Yi-Cheng Zhang) らによって提案された、ランジュバン型の非線形の確率偏微分方程式であり、結晶の界面成長を記述する。しばしば提案した三人の頭文字を取って、KPZ方程式と略記される。
\frac{\partial h}{\partial t}\left(\vec{x},t\right)
= \nu\nabla^2 h\left(\vec{x},t\right)
+ \frac{\lambda}{2}\left(\nabla h\right)^2\left(\vec{x},t\right)
+ \eta\left(\vec{x},t\right).
\textstyle h\left(\vec{x},t\right) は、時刻 \textstyle t での \textstyle \vec{x} における界面の高さを表し、\textstyle \nu は界面張力、\textstyle \lambda は非線形効果の強さ、\textstyle \eta\left(\vec{x},t\right) は確率的なノイズを表す。ノイズ項 \textstyle \eta\left(\vec{x},t\right) は、
\left\{\begin{align}
\left\langle\eta\left(\vec{x},t\right)\right\rangle &= 0\\
\left\langle\eta\left(\vec{x},t\right)\eta\left(\vec{x}\,',t'\right)\right\rangle &= 2D\delta^d\left(\vec{x}-\vec{x}\,'\right)\delta\left(t-t'\right)
\end{align}\right.
を満たすホワイトノイズ、特にガウシアンノイズであるとする。ここで \textstyle \left\langle\cdot\right\rangle は角括弧で囲まれた物理量の配位空間での平均を表し、\textstyle \delta\left(\cdot\right) はディラックのデルタを表す。また \textstyle D はノイズの強さである。
界面の高さ \textstyle h\left(\vec{x},t\right) は、\textstyle \vec{x} に対する一価関数であることを仮定する。この仮定により、KPZ方程式で記述される界面は巨視的にはオーバーハングを持たない。
右辺第2項の非線形項 \textstyle \frac{\lambda}{2}\left(\nabla h\right)^2\left(\vec{x},t\right) がなければ、方程式はエドワーズ・ウィルキンソン方程式 (Edwards–Wilkinson equation; EW eq.) になる。
界面の傾きを \textstyle \theta とし、その方向に速度 \textstyle v で界面が成長すると考えると、微小時間 \textstyle \delta t の間に、界面の高さは \textstyle \delta h = \left[\left(v\delta t\right)^2 + \left(v\delta t \tan\theta\right)^2\right]^{1/2} だけ変化する。\textstyle \tan\theta = \left|\nabla h\right| と置き換えられることに注意すれば、
\frac{\delta h}{\delta t} = v\left[1 + \left(\nabla h\right)^2\right]^{1/2}
\simeq v + \frac{v}{2}\left(\nabla h\right)^2 + \cdots,
とテイラー展開することができる。展開の第1項は座標変換によって消去することができるので、最も主要な項は第2項の非線形項であり、これが KPZ方程式の非線形項を与える。
高さの関数 \textstyle h\left(\vec{x},t\right) を関数 \textstyle W\left(\vec{x},t\right) を用いて、\textstyle h\left(\vec{x},t\right) = \left(2\nu/\lambda\right)\ln W\left(\vec{x},t\right) と変換すると、KPZ方程式は以下のように書き直される。この変換をコール・ホップ変換という。
\frac{\partial W}{\partial t}\left(\vec{x},t\right)
= \nu\nabla^2 W\left(\vec{x},t\right)
+ \frac{\lambda}{2\nu}\eta\left(\vec{x},t\right)W\left(\vec{x},t\right).
これは時間依存するランダム・ポテンシャル中での拡散方程式になっている。
この方程式の解は形式的に、以下の形に書ける。
\displaystyle
W\left(\vec{x},t\right) = \int_{(\vec{0},0)}^{(\vec{x},t)} D\vec{x}\,'\left(t'\right)
\exp\left\{
-\int_0^t dt' \left[\frac{\nu}{2}\left(\frac{d\vec{x}\,'\left(t'\right)}{dt'}\right)^2 + \frac{\lambda}{2\nu}\eta\left(\vec{x}\,',t'\right)\right]
\right\}.
上記の経路積分より、\textstyle W\left(\vec{x},t\right) は、\textstyle (\vec{0},0) と \textstyle \left(\vec{x},t\right) を結ぶ、\textstyle d + 1 次元空間上の方向付きの高分子 (directed polymer; DP) のすべての配位に対するボルツマン因子の和であると見なせる。
別の有用な変換として、ベクトル場 \textstyle \vec{v}\left(\vec{x},t\right) = - \nabla h\left(\vec{x},t\right) を用いて、界面の高さ \textstyle h\left(\vec{x},t\right) を \textstyle \vec{v} で書き換えると、方程式は以下の形になる。
\frac{\partial \vec{v}{\partial t}\left(\vec{x},t\right)
+ \lambda\vec{v}\left(\vec{x},t\right)\cdot\left(\nabla{}\vec{v}\right)\left(\vec{x},t\right)
= \nu\nabla^2 \vec{v}\left(\vec{x},t\right) - \nabla\eta\left(\vec{x},t\right).
ここで \textstyle \lambda = 1 と置けば、これは \textstyle \vec{v} を渦なしの速度場としたときの、バーガース方程式にノイズを加えたものになっている。
あるいは \textstyle \lambda\vec{v}\left(\vec{x},t\right) = -\lambda\nabla h\left(\vec{x},t\right) を改めて \textstyle \vec{v}\left(\vec{x},t\right) に置き換えてもバーガース方程式の形に変形できる。
KPZ方程式をバーガース方程式へ変換した後、時間と空間に対し適当なスケール変換を施すと、
\vec{x} \rightarrow b\vec{x}, \quad
t \rightarrow b^{z}t, \quad
\vec{v} \rightarrow b^{\alpha-1}\vec{v} \quad \left(h \rightarrow b^{\alpha}h\right),
ノイズ \textstyle \eta\left(\vec{x},t\right) について、\textstyle
\left\langle\eta\left(\vec{x},t\right)\eta\left(\vec{x}\,',t'\right)\right\rangle = 2D\delta^d\left(\vec{x}-\vec{x}\,'\right)\delta\left(t-t'\right)
の関係を仮定したことに注意すれば、デルタ関数について、
\delta\left(x\right) \rightarrow b^{-1}\delta\left(x\right), \quad
\delta\left(t\right) \rightarrow b^{-z}\delta\left(t\right),
と変換されるので、バーガース方程式は、
\left.\begin{align}
b^{\alpha-z-1}\frac{\partial \vec{v}{\partial t}\left(\vec{x},t\right)
+ b^{2\alpha-3}\lambda\vec{v}\left(\vec{x},t\right)\cdot\left(\nabla\vec{v}\right)\left(\vec{x},t\right)
&= b^{\alpha-3}\nu\nabla^2 \vec{v}\left(\vec{x},t\right)
- b^{-\left(d+2+z\right)/2}\nabla\eta\left(\vec{x},t\right),\\
\frac{\partial \vec{v}{\partial t}\left(\vec{x},t\right)
+ b^{\alpha+z-2}\lambda\vec{v}\left(\vec{x},t\right)\cdot\left(\nabla\vec{v}\right)\left(\vec{x},t\right)
&= b^{z-2}\nu\nabla^2 \vec{v}\left(\vec{x},t\right)
- b^{\left(z-2\alpha-d\right)/2}\nabla\eta\left(\vec{x},t\right).
\end{align}\right.
となる。ここで \lambda の項はスケール変換に対して不変であるとすると、指数 \textstyle \alpha, \textstyle z について、\textstyle \alpha + z = 2 が成り立つことになる。