特性類
よってP_{\sigma}、C_iがH^*(BSO(2)^m;\mathbb{Z})\approx \mathbb{Z}[\gamma_1,\ldots,\gamma_m]上に誘導する写像を特定すれば、H^*(BSO(n);\Lambda)の構造が決定できるが、これらの写像は以下の通りである:
1の場合のみ示せば良い。実際、m=1の場合にC_1が誘導する写像が\gamma_iを-\gamma_iに代える写像であれば、H^*(BSO(2)^m;\mathbb{Z})\approx \otimes_{i=1,\ldots,m}H^*(BSO(2);\mathbb{Z})\approx \otimes_{i=1,\ldots,m}\Lambda[\gamma_i]である事から一般の場合が従う。
すでに述べたように\pi~:~PSO(2)\to BSO(2)(のモデルの一つ)は、無限次元の正規直交スティーフェル多様体V^O_2\mathbb{R}^{\infty}と向きづけられた無限次元グラスマン多様体\tilde{G}_2\mathbb{R}^{\infty}により、
\pi~:~(e_1,e_2)\in PSO(2)=V^O_2\mathbb{R}^{\infty} \to [e_1,e_2]\in BSO(2)=\tilde{G}_2\mathbb{R}^{\infty}
と表現できた。ここで[e_1,e_2]は(e_1,e_2)が張る向きづけられた平面である。
分類空間への誘導写像の定義より、B\varphi_{C_1}~:~BSO(2)\to BSO(2)は、PSO(2)\times_{\varphi_{C_1SO(2)=V^O_2\mathbb{R}^{\infty}\times_{\varphi_{C_1}SO(2) \to BSO(2)=\tilde{G}_2\mathbb{R}^{\infty}の分類写像であった。C_1による共役\varphi_{C_1}~:~SO(2)\to SO(2)はR(\theta)をR(-\theta)に写す写像なので、バランス積PSO(2)\times_{\varphi_{C_1}SO(2)は
((e_1,e_2),R(\theta))\sim (R(-\theta)(e_1,e_2),1)
という同値関係でPSO(2)\times SO(2)を割る事により定義される。ここでR(-\theta)(e_1,e_2)は(e_1,e_2)を含む平面上で(e_1,e_2)を-\thetaだけ回転させたものである。この同値類による同値関係を以下[\cdot]_{\varphi_{C_1}と表す。
写像\xiを
\xi~:~[e_1,e_2]\in BSO(2)=\tilde{G}_2\mathbb{R}^{\infty} \mapsto [e_1,-e_2]\in BSO(2)=\tilde{G}_2\mathbb{R}^{\infty}
により定義すると、下記の図式が可換になる:
\begin{array}{ccc}
[((e_1,e_2),R(\theta))]_{\varphi_{C_1}\in V^O_2\mathbb{R}^{\infty}\times_{\varphi_{C_1}SO(2) & \to & R(\theta)(e_1,-e_2)\in V^O_2\mathbb{R}^{\infty}\\
\downarrow & \circlearrowright & \downarrow \\[]
[e_1,e_2]\in \tilde{G}_2\mathbb{R}^{\infty} & \overset{\xi}{\to} & [e_1,-e_2]\in \tilde{G}_2\mathbb{R}^{\infty}\\
\end{array}
よって、B\varphi_{C_1}の定義より、B\varphi_{C_1}はξと一致し、ξの定義からB\varphi_{C_1}=\xiがH^*(BSO(2);\mathbb{Z})上に誘導する写像は、生成元\gamma_1を-\gamma_1に写す。
|drop=yes}
よって、以下が成立する:
これらの事実を用いると、基本対称式p_i=\sigma_i(\gamma_1{}^2,\ldots,\gamma_m{}^2)とe=\gamma_1\cdots\gamma_mを用いて、
H^*(BSO(n);\Lambda)\approx \Lambda[p_1,\ldots,p_m,e]
と書ける事がわかる。
2mとする。
m1の場合は、変数γiが1つしかないため「λiの偶数回の符号反転」は恒等写像のみであるので、定理は自明に従う。
m≧2に対し、任意のf(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)\in\Lambda[\gamma_1,\gamma_2]^Wは
f(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)=\sum_{\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m\in\{0,1\f_{\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m}(\gamma_1{}^2,\ldots,\gamma_m{}^2)\gamma_1{}^{\varepsilon_1}\cdots\gamma_m{}^{\varepsilon_m}
という形で書きあらわせる。ここでf_{\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m}(\gamma_1{}^2,\ldots,\gamma_m{}^2)\gamma_1{}^{\varepsilon_1}\cdots\gamma_m{}^{\varepsilon_m}は各i1,2に対し、λiの次数を\bmod 2したものが\varepsilon_iになる項の和である。
k,\ell\in\{1,\ldots,m\}に対し\gamma_k,\gamma_{\ell}の符号を反転すると、
f(\gamma_1,\ldots,-\gamma_k\ldots,-\gamma_{\ell},\ldots,\gamma_m)
=\left(
\sum_{\varepsilon_k=0,\varepsilon_{\ell}=0}
-\sum_{\varepsilon_k=1,\varepsilon_{\ell}=0}
-\sum_{\varepsilon_k=0,\varepsilon_{\ell}=1}
+\sum_{\varepsilon_k=1,\varepsilon_{\ell}=1}
\right)
f_{\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m}(\gamma_1{}^2,\ldots,\gamma_m{}^2)\gamma_1{}^{\varepsilon_1}\cdots\gamma_m{}^{\varepsilon_m}
となる。fは偶数回の符号反転に関して不変でなければならない事から、f(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)=
f(\gamma_1,\ldots,-\gamma_k\ldots,-\gamma_{\ell},\ldots,\gamma_m)なので、
\varepsilon_k=\varepsilon_{\ell}となる項以外は0でなければならない。
k,\ellの任意性から\varepsilon_1=\cdots=\varepsilon_mとなる項のみが生き残る事になるので、fは
f(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)=
f_{0,\ldots,0}(\gamma_1{}^2,\ldots,\gamma_m{}^2)
+f_{1,\ldots,1}(\gamma_1{}^2,\ldots,\gamma_m{}^2)\gamma_1\cdots\gamma_m
であり、fが\gamma_1{}^2,\ldots,\gamma_m{}^2,\gamma_1\cdots\gamma_mの多項式で書ける事がわかる。
fは変数の入れ替えに対しても不変でなければならないので、以上の議論からfは\gamma_1{}^2,\cdots,\gamma_m{}^2の基本対象式と\tau=\gamma_1\cdots\gamma_mの多項式として書く事ができ、定理が示された。
|drop=yes}
n=2m+1とし、ワイル群W=W(SO(n))を具体的に求めるため、実ベクトル空間として\mathbb{R}^{n}=(\mathbb{R}^2)^m\times \mathbb{R}という同一視をし、Pσ、Ciをnが偶数の場合と同様に取るy_j)_j,z)を対応させる。}。さらに以下の行列を考える:
M:((x_i,y_i)_i,z)\in(\mathbb{R}^2)^m\times\mathbb{R}に((x_i,y_i)_i,-z)を対応させる写像。
Mは明らかに位数2の元であり、しかもCiと可換である。そして埋め込み\mu~:~SO(2)^m\hookrightarrow SO(n)の定義からMによる共役はSO(2)^m上恒等写像になる。
nが偶数の場合と同様の議論により、ワイル群の任意の元はC_1,\ldots,C_m,Mの偶数個の積とPσとの積により書ける事がわかるが、Mに着目するとさらに簡単な表現も得られる。
実際、Mによる共役はSO(2)^m上恒等写像なので、変換に影響するのはM以外のC_1,\ldots,C_m(とPσ)のみである。そしてこれらの積C_{1}{}^{\varepsilon_1}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon_m}が偶数個の積であっても奇数個の積であっても、
\bar{C}_i:=C_iM
とすると、\bar{C}_1{}^{\varepsilon_1}\cdots\bar{C}_m{}^{\varepsilon_m}=C_{1}{}^{\varepsilon_1}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon_m}M^{\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_m} は必ず偶数個の元C_1,\ldots,C_m,Mの積である。よって以下が成立する:
0 \bmod 2
という形で書ける事を示せる。
よって、
[C_{1}{}^{\varepsilon_1}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon_m}M^{\delta}P_{\sigma}]
\underset{(1)}{=}
[C_{1}{}^{\varepsilon_1}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon_m}M^{\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_m}P_{\sigma}]
\underset{(2)}{=}
[(C_{1}M){}^{\varepsilon_1}\cdots (C_{m}M){}^{\varepsilon_m}P_{\sigma}]
\underset{(3)}{=}
[\bar{C}_{1}{}^{\varepsilon_1}\cdots \bar{C}_m{}^{\varepsilon_m}P_{\sigma}]
が成立する。ここで
(1)は\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_m+\delta=0 \bmod 2とMの位数が2な事から従う。
(2)はMがCiと可換な事から従う。
(3)は\bar{C}_iの定義から従う。
nが偶数の場合と同様、P_{\sigma}、C_iがH^*(BSO(2);\mathbb{Z})\approx \mathbb{Z}[\gamma_1,\ldots,\gamma_m]上に誘導する写像は、それぞれ\gamma_1,\ldots,\gamma_mを\gamma_{\sigma(1)},\ldots,\gamma_{\sigma(m)}に写す写像、\gamma_iを-\gamma_iに代える写像である。またMによる共役は恒等写像なので、\bar{C}_i=C_iMがH^*(BSO(2);\mathbb{Z})\approx \mathbb{Z}[\gamma_1,\ldots,\gamma_m]上に誘導する写像も\gamma_iを-\gamma_iに代える写像である。よって以下が成立する。
これらの写像で不変な元は\gamma_i{}^2の対称式なので、基本対称式p_i=\sigma_i(\gamma_1{}^2,\ldots,\gamma_m{}^2)を用いて、
H^*(BSO(n);\Lambda)\approx \Lambda[p_1,\ldots,p_m]
と書ける事がわかる。
O(n)/SO(n)=\mathbb{Z}_2である事から、部分群の分類空間に関する定理より、包含写像\iota~:~SO(n)\subset O(n)が誘導する写像
B\iota~:~BSO(n)\to BO(n)
は\mathbb{Z}_2-主バンドルである。
\mathbb{Z}_2のBSO(n)への作用は、\mathbb{Z}_2のH^*(BSO(n);\Lambda)への作用を誘導する。\mathbb{Z}_2の作用により不変なH^*(BSO(n);\Lambda)の元の集合をH^*(BSO(n);\Lambda)^{\mathbb{Z}_2}とすると以下が成立する事が知られている:
&2t  &\text{ for } \forall t\in C_*(BO(n);\Lambda)\\
p_! \circ B\iota(s)&=&s+g(s) &\text{ for } \forall s\in C_*(BSO(n);\Lambda)
\end{array}
が成立する。よってこれらがコホモロジーに誘導する写像は、
\begin{array}{rcll}
p_!{}^*\circ B\iota{}^*  (v)&=&2v  &\text{ for } \forall v\in H^*(BO(n);\Lambda)\\
B\iota{}^* \circ p_!{}^* (u)&=&u+g^*(u) &\text{ for } \forall u\in H^**(BSO(n);\Lambda)
\end{array}
を満たす。
2-1∈Λであった事からp_!{}^*\circ B\iota{}^* (v)=2vは逆写像を持つので、B\iota{}^*は単射である。
またu\in H^*(BSO(n);\Lambda)^{\mathbb{Z}_2}であれば、g^*(u)=uであるので、u=2^{-1}u+g^*(2^{-1}u)=B\iota{}^* (p_!{}^* (u))となり、uはB\iota{}^*に関する逆像p_!{}^* (u)を持つ。
以上からB\iota^*~:~H^*(BO(n);\Lambda)\to H^*(BSO(n);\Lambda)^{\mathbb{Z}_2}が環同型な事が証明された。
上述の定理から特に、
H^*(BO(n);\Lambda) \to H^*(BSO(n);\Lambda) \to \Lambda[\gamma_1,\ldots,\gamma_m]
は単射である事が従う。この単射におけるH^*(BO(n);\Lambda)の像は、前述のCiの(偶数個または奇数個の)積が作用が誘導する写像、Pσが誘導する写像で不変でなければならないので、H*(BSO(n),Λ)のときと同様の議論により、
H^*(BO(n);\Lambda)\approx \Lambda[p_1,\ldots,p_m]
が従う。
前述の定理が成り立つ理由の説明は後回しにし、本節ではポントリャーギン類とオイラー類の性質を述べる。
ポントリャーギン類はチャーン類との間に以下の関係を満たす:
定理
とすると、任意の非負整数jに対し、以下が成立する:
p_j(\xi)=(-1)^j c_{2j}(\xi_{\mathbb{C})、c_{2j+1}(\xi_{\mathbb{C})=0 in H^*(X;\Lambda)
|note=チャーン類との関係}
\begin{cases}
(-1)^jp_j & \text{if } k= 2j\\
0 & \text{if } k= 2j+1
\end{cases}
となる事を任意の非負整数kに対して示せば良い。
\mu~:~O(2)^m\hookrightarrow O(n), ~~ (A_1,\ldots,A_m) \mapsto
\begin{cases}
R(\theta_1)\oplus\cdots\oplus R(\theta_m) &\text{if }n=2m\\
R(\theta_1)\oplus\cdots\oplus R(\theta_m)\oplus 1 & \text{if }n=2m+1
\end{cases}
を考え、可換図式
\begin{matrix}
O(2)^m                    &\overset{\mu}{\hookrightarrow} &O(n)                      &\overset{\iota}{\hookrightarrow}& U(n)  \\
\rho\downarrow&\circlearrowright              &\varphi_{\hat{U|_{SO(n)}\downarrow&\circlearrowright        & \varphi_{\hat{U}\downarrow \\
U(1)^n                     &\overset{\nu}{\hookrightarrow}  &U(n)                       &                  =              & U(n)
\end{matrix}
、
を考える。ここで\rhoは
(R(\theta_j))_{j=1,\ldots,m}\mapsto
\begin{cases}
(e^{i\theta_j},e^{-i\theta_j})_{j=1,\ldots,m} &\text{if }n=2m\\
((e^{i\theta_j},e^{-i\theta_j})_{j=1,\ldots,m},1) & \text{if }n=2m+1
\end{cases}
であり、\varphi_{\hat{U}は回転行列を
UR(\theta)U^{-1}=\begin{pmatrix}
\mathrm{e}^{i\theta} & 0\\
0 & \mathrm{e}^{-i\theta}
\end{pmatrix}.
U=
{i \over \sqrt{2}
\begin{pmatrix}
i & 1\\
1 & i
\end{pmatrix}
\hat{U}:=
\begin{cases}
\overbrace{U\oplus\cdots\oplus U}^m &\text{if }n=2m\\
\overbrace{U\oplus\cdots\oplus U}^m\oplus 1 & \text{if }n=2m+1
\end{cases}
\varphi_{\hat{U}~:~U(n) \to U(n), ~R \to \hat{U}R\hat{U}^{-1}
であり、\nuは対角線への埋め込み
\nu~:~U(1)^n\hookrightarrow U(n), ~~ (a_1,\ldots,a_n) \mapsto
a_1\oplus\cdots\oplus a_n
である。
n=2mの場合に元の動きを図示すると、以下の通りである:
\begin{matrix}
(R(\theta_j))_{j=1,\ldots,m} &\overset{\mu}{\hookrightarrow} &R(\theta_1)\oplus \cdots \oplus R(\theta_m) &\overset{\iota}{\hookrightarrow}& R(\theta_1)\oplus \cdots \oplus R(\theta_m)  \\
\rho\downarrow&\circlearrowright              &\varphi_{\hat{U}\downarrow&\circlearrowright        & \varphi_{\hat{U}\downarrow \\
(e^{i\theta_j},e^{-i\theta_j})_{j=1,\ldots,m}   &\overset{\nu}{\hookrightarrow}  &e^{i\theta_1}\oplus e^{-i\theta_1}\oplus\cdots\oplus e^{i\theta_m}\oplus e^{-i\theta_m}                       &                  =              &e^{i\theta_1}\oplus e^{-i\theta_1}\oplus\cdots\oplus e^{i\theta_m}\oplus e^{-i\theta_m}.
\end{matrix}
よって非負整数kに対し、
B\iota^*(c_k)\underset{(1)}{=}B\iota^*B\varphi_{\hat{U}{}^*(c_k)
=B(\varphi_{\hat{U}|_{SO(n)}){}^*(c_k)
\underset{(2)}{=}B(\varphi_{\hat{U}|_{SO(n)}){}^* (B\nu^*{}^{-1}(\sigma_k(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)))
=B\mu^*{}^{-1}(B\rho^*(\sigma_k(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)))
\underset{(3)}{=}
\begin{cases}
B\mu^*{}^{-1}(\sigma_k(\gamma_1,-\gamma_1,\ldots,\gamma_m,-\gamma_m))&\text{if }n=2m\\
B\mu^*{}^{-1}(\sigma_k(\gamma_1,-\gamma_1,\ldots,\gamma_m,-\gamma_m,0)) & \text{if }n=2m+1
\end{cases}
が成立する。ここで\alpha_s、\gamma_tはそれぞれH^*(U(1)^m;\mathbb{Z})\approx \otimes_{u}H^*(U(1);\mathbb{Z})、H^*(O(2)^m;\mathbb{Z})\approx \otimes_{v}H^*(O(2);\mathbb{Z})のs番目、j番目のH^*(U(1);\mathbb{Z})、H^*(O(2);\mathbb{Z})の生成元を表し、(1)は内部自己同型は分類空間に恒等写像を誘導する事から従い、(2)はチャーン類の定義から従い、(3)はρの定義から従い、それ以外の等号は可換図式を追う事で従う。
\sigma_k(\gamma_1,-\gamma_1,\ldots,\gamma_m,-\gamma_m,0)=\sigma_k(\gamma_1,-\gamma_1,\ldots,\gamma_m,-\gamma_m)である事が対象多項式の定義から容易に従うので結局nによらず
B\iota^*(c_k)=
B\mu^*{}^{-1}(\sigma_k(\gamma_1,-\gamma_1,\ldots,\gamma_m,-\gamma_m))
が成立する。
任意の不定元au、bv、Xに対し、
(1+a_1X)\cdots(1+a_{2m}X)=\sum_k\sigma_k(a_1,\ldots,a_{2m})X^k
なので、
\sum_{k=1}^{2m}\sigma_k(b_1,-b_1,\ldots,b_m,-b_m)X^k
=(1+b_1X)(1-b_1X)\cdots (1+b_mX)(1-b_mX)
=(1-b_1{}^2X^2)\cdots (1-b_m{}^2X^2)
=\sum_{j=1}^m(-1)^j\sigma_j(b_1{}^2,\ldots,b_m{}^2)X^{2j}
が成立する。両辺の次数を比較する事により、
\sigma_k(b_1,-b_1,\ldots,b_m,-b_m)=
\begin{cases}
(-1)^j\sigma_j(b_1{}^2,\ldots,b_m{}^2) &\text{if }k=2j\\
0 & \text{if }k=2j+1
\end{cases}
である。以上の議論とポントリャーギン類の定義
p_i=B\mu^*{}^{-1}(\sigma_j(\gamma_1{}^2,\ldots,\gamma_m{}^2))
から定理が従う。
|title=証明|drop=yes}
上の定理がΛ係数のコホモロジーに関するものである事に注意されたい。チャーン類は整数係数のコホモロジーに属するが、整数係数の場合はc_{2j+1}(\xi_{\mathbb{C})=0が成立するとは限らない。しかし2c_{2j+1}(\xi_{\mathbb{C})=0である事は言える。実際、一般に複素ベクトルバンドル\etaの複素共役バンドル\bar{\eta}とすると、c_k(\bar{\eta})=(-1)^kc_k(\eta)が成立し、しかも実ベクトルバンドルの複素化\xi_{\mathbb{C}はその複素共役バンドル\bar{\xi}_{\mathbb{C}と同型なので、
2c_{2j+1}(\xi_{\mathbb{C})=0
が成立する。
またチャーン類は整数係数のコホモロジーに属している事から、以下の系も従う:
H^*(BO(n);\mathbb{Z})\hookrightarrow H^*(BO(n);\Lambda)は単射ではない(位数2の元が0に移る為)が、この写像によるp_iの逆像として(-1)^jc_{2j}(E_{\mathbb{C})を選べば、c_{2j}(E_{\mathbb{C})が整数係数のコホモロジーに属するというのが上記の定理の意味である。以下、整数係数のコホモロジーにおけるポントリャーギン類をp_i:=(-1)^jc_{2j}(E_{\mathbb{C})によって定義する。
チャーン類の場合と同様以下の定義をする:
p_0 + p_1t + \cdots p_{\lfloor n/2 \rfloor}t^{\lfloor n/2 \rfloor}
により定義し、全ポントリャーギン類を
p(\xi):=p(\xi,1)
により定義する。
チャーン類に対するホイットニー和の公式からポントリャーギン類のホイットニー和の公式が従う:
上の定理では整数係数のコホモロジーを考えているので、両辺についている「2」を消すことはできない。2^{-1}\in\Lambdaを満たす可換環Λを係数とするコホモロジーにおいては両辺に2の逆元をかける事で、
p(\xi\oplus \eta) = p(\xi)\smile p(\eta) in H^*(BO(n);\Lambda)
が成立する事がわかる。
また複素ベクトルバンドル\omegaから複素構造を忘却関手実ベクトルバンドルとみなしたものを\xiの脱複素化(decomplexification、realification)と呼び、\omega_{\mathbb{R}と書く。\omega_{\mathbb{R}を再び複素化したベクトルバンドル(\omega_{\mathbb{R})_{\mathbb{C}は\omega \oplus \bar{\omega}と同型になる事が知られている。ここで\bar{\omega}はωの共役バンドルである。
よって、チャーン類のホイットニー和の公式からチャーン多項式がc((\omega_{\mathbb{R})_{\mathbb{C},1)=c(\omega,1)c(\bar{\omega},1)=c(\omega,1)c(\omega,-1)を満たす事がわかる。成分で書くと、