整関数
複素解析における整函数(せいかんすう、entire function)は、複素数平面の全域で定義される正則函数を言う。そのような函数の例として、特に複素指数函数や多項式函数およびそれらの和、積、合成を用いた組合せとしての三角函数および双曲線函数などを挙げることができる。
二つの整函数の商として有理型函数が与えられる。
解析函数論の特定の場合として考えれば「整函数の基本理論」は一般論からの単に帰結であり、それは本質的に複素関数論の初歩(しばしばヴァイヤシュトラスの因数分解定理によって詳しく調べられる)である。しかしその研究は、19世紀半ばごろのコーシー, エドモン・ラゲール, ヴァイヤシュトラスらから始まり、ボレル, アダマール, ポール・モンテル, ピカール, ジョルジュ・ヴァリロン, オットー・ブルメンタールら(そしてネヴァンリンナを忘れることはできない)によって著しく豊かに推し進められ、いまや堂々たる理論となった。
整函数の理論は、整函数をその増大度によって分類しようとするものであり、整函数のテイラー係数と増大度の間の関係、取りうる零点と整函数の振る舞いの間の関係、整函数とその導函数の間の関係を特定する。
整函数の理論におけるこれらの側面は、有理型函数に対するものに拡張される。
複素解析函数の分類は普通はそれらの複雑さ、つまりそれらの持つ特異点に従ってなされる。多項式函数を除けば、本項の主題である整函数、整函数の商として極のみを特異点に持つ有理型函数、そして真性特異点あるいは分岐点を持つような函数は一変数複素解析函数の中でもっとも複雑である。
整函数は多項式函数の一般化として現れ、ある意味で「無限次数の多項式」のように振る舞う。ゆえに整函数は、多項式函数を除いてもっとも単純な解析函数であり、有限な領域において特異点を持たず、無限遠点においてただ一つの特異点を持つ(後述)。それでも、整函数の研究は難しく、二百年近い研究史にも拘らず未だに多くの未解決問題を抱えている。
複素解析函数 f が z に関して正則とすれば、テイラー–マクローリンの公式により点 z の周りで整級数 f(s)=\sum_{n=0}^\infty{a_n (s-z)^n} に展開される。整級数論により、上の級数は z を中心とし、コーシー–アダマールの定理により
\frac{1}{R}=\limsup_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}
で与えられる半径 R をもつ開円板上で絶対かつ一様に収束することが分かる。複素解析函数論の主結果は、収束半径が z と最も近くにある特異点との間の距離 R によって決まることである。複素解析函数が整であるとは、それが複素数平面の任意の点において正則であるときに言う。したがって、整函数は有限の距離にある特異点を持たない。ある点 y において正則な函数は y において無限回微分可能であることを思い出そう。
f が整函数ならば、任意の点において正則であるから、収束整級数 f(z)= \sum_{n \ge 0}a_n z^n に展開され、また無限遠点を除いて特異点を持たないから整級数の収束半径は無限大であり、すなわちこの級数は任意の z に対して収束する。したがって \limsup_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}=0 が成り立つ。またそれゆえ、整函数の任意の階数の導函数もまた整函数になる。
コーシーの積分公式:  f(z)=\frac1{2\pi i}\int_\gamma{\frac{f(s)}{s-z}ds} は、分数式 1/(s − z) を整級数に展開することにより、各テイラー係数を積分 a_n=\frac{f^{(n)}(z)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(s)}{(s-z)^{n+1}ds  によって決定できる。ただし上記の両方の積分では、積分路 γ は z を囲まない閉路 (位相空間論)とする。さらに M(R) を z を中心とする半径 R の円板上での函数の最大絶対値とすれば、極めて重要なコーシーの不等式 |a_n| \le \frac{M(R)}{R^n} が簡単な論法により得られる。
整函数に関する重要な結果としてリウヴィルの定理がある:
定理 (Liouville) : 整函数が有界ならば、定数函数である。
この定理はコーシーの不等式を適用して証明できる。すなわち、R が何であっても M(R) が有界であることに注意して、R を無限大に飛ばせば所望の結果を得る。
このリウヴィルの定理から、代数学の基本定理「次数 n の任意の多項式は、重複度を込めて n 個の根を持つ」の簡単な証明が得られる。次のピカールの小定理はリウヴィルの定理の強化版であると考えられる:
定理 (Picard): 定数でない任意の整函数は、複素数平面上において、高々一つの値を除いたすべての複素数の値をとる。
詳しくは後述するが、ある意味で整函数論はピカールの小定理のまったく周辺を周っている。
一つの領域—つまり、連結開集合—上定義された正則函数が整函数に解析的に延長できるための必要十分条件は、そのテイラー級数の収束半径がその領域上の任意の点において無限大となることである。(注:領域上のある1点に於いてテイラー級数の収束判型が無限大であれば整関数に延長できる。)
整函数全体の成す集合は、写像の合成に関して閉じているから、複素数平面からそれ自身への連続函数全体の成す空間の複素部分多元環を成す。
整函数は有界ならば定数であり、また無限遠点以外では特異点を持てないから、定数でない任意の整函数に対して無限遠点は特異点である。可能性としてその特異点は極または真性特異点であるが、前者の(無限遠点に極を持つ)場合、その整函数は多項式である。後者の(無限遠に真性特異点を持つ)場合、その函数は超越整函数と言う。
孤立零点の原理: 函数 f は領域 U 上で定義された解析函数で、a において消えているとする。このとき、f は恒等的に零か、さもなくば a を中心とする円板 D が存在して、a と異なる任意の s ∈ D に対して f(s) ≠ 0 が成り立つ。
これは解析接続の原理からの帰結である。
開写像定理: 開集合 U 上で定数でない解析函数 f に対し、f(U) もまた開集合である。
これは孤立零点の原理によっても示せる。
領域 D 上で定数でない解析函数 f に対し、開写像定理から以下が直ちに従う:
f の絶対値は D に極大値を持たない(したがって、D が有界ならば f は D の境界上で最大値を持つ);
f が D 上で消えないならば、f は D に極大値を持たない;
f の実部は D に極大値も極小値も持たない。
特にシュヴァルツの補題が導ける。
より一般に、任意の劣調和函数(例えば f や f が消えない場合の 1/f などはそう)は最大値の原理を満足する。また任意の調和函数(例えば Re(f) はそう)は最大値および最小値の原理を満足する。
フラグメン–リンデレーフの原理は最大絶対値の原理の非有界領域への一般化である。
定義により、整函数は無限遠点にのみ孤立特異点を持つ。整函数 f に対して M_f(r)=\max_〔z|=r}|f(z)| と置けば、この函数は最大値原理により単調増大で、f が定数でなければリウヴィルの定理から有界ではない。これを f の最大絶対値函数と言う。
定理 (Hadamard): 最大絶対値の自然対数函数 ln Mf(r) は、ln r の凸函数である。
定理 (Blumenthal)
最大絶対値の自然対数函数 ln Mf(r) は、任意の区間上で連続かつ解析的である。2017年8月
上記の凸性からの帰結として、ln Mf(r) は右および左微分を持ち、それらは単調増大である。必ずしも連続でない函数 v(t) が存在して \ln M_f(r) = \ln M_f(1)+\int_1^r {v(t)\frac{dt}{t} が成り立つ。
関数fの絶対最大値函数 Mf(r) の r に関しての増大にはいくらでも速いものが存在する。より精確には、任意の単調増大函数 g: 0, +∞ → 0, +∞ に対して、適当な函数 f を選ぶことで、任意の実数 x に対して f(x) が g(x) より真に大きい実数となるようにできる。そのためには f として f(z)=c+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{z}{k}\right)^{n_k} の形のものを、うまく選んだ整数列 nk に対してとればよい。実際、c coloneqq g(2) および n_k := 2\lceil k \ln g(k+2)\rceil\quad(\forall k\ge 1) と取れるAugust 2016。
実はこれはトルステン・カーレマンの一様近似定理「 Q が R 上定義された複素数値連続函数で、E: R → 0, +∞ が連続ならば、整函数 f が存在して、任意の実数 x に対して |f(x)-Q(x)| < E(x) とできる」の特別の場合になっている。
整函数 f が適当な値 λ に対して \liminf_{r \to \infty}\frac{M_f(r)}{r^\lambda}=0 を満たすならば、函数 f は次数が高々 λ の多項式である。等号を満足する λ が存在しないときは、Mf(r) の増大度を exp(rk) と比較する。適当な値 r0 より大きい r に対して不等式 M_f(r) < \exp(r^k) が常に成り立つならば、f は有限増大度であると言う。整函数 f の増大度 (order of growth) あるいは上増大度 (superior order)superior は上極限 limsup を取ることに由来する。すぐ後で下極限に対応する下増大度なども定義するは、等式 \rho=\rho_f=\limsup_{r \to \infty}\frac{\ln \ln M_f(r)}{\ln r} によって定義される。同じ増大度 ρ の整函数の間でも、\sigma_f=\limsup_{r \to\infty}\frac{\ln M_f(r)}{r^\rho} と定義される型 σf の函数を区別することができる。σf の値により、極小型 (σf = 0), 通常型 (0 < σf < ∞) または極大型 (σf = ∞) に分類する。
そのとき以下の不等式が成り立つ:
\rho_{f+g} \le \max(\rho_f,\rho_g);
\rho_{fg} \le \max(\rho_f,\rho_g);
\sigma_{f+g}\le \max(\sigma_f,\sigma_g);
\sigma_{fg} \le \sigma_f+\sigma_g.
指数函数 exp の増大度は 1 であり、また正弦 sin および余弦函数 cos もそうである。
ミッタク゠レフラー函数 f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\Gamma\left(1+\frac{n}{\rho}\right)} は増大度 ρ である。リンデレーフ函数 f(z)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{n^{1/\rho}\right)^n も同じ。
整函数の増大度と整級数展開の係数の間には以下のような関係がある:
整函数 f(z)=\sum_{n\ge 0}a_n z^n が十分大きな r に対して M_f(r) < e^{Ar^k}を満たすならば、
|a_n| \le \left(\frac{eAk}{n}\right)^{n/k}
が十分大きな n に対して成り立つ。
逆に、十分大きな n に対して |a_n| \le \left(\frac{eAk}n\right)^{n/k} が成り立つならば、任意の ε > 0 に対し
M_f(r) < e^{(A+\epsilon)r^k}
が十分大きな r に対して成り立つ。
まとめると:
\limsup_{n \to \infty}\frac{n\ln n}{\ln 1/
円周上の最大値と整級数展開の係数には関係があることを見たが、同様の関係がたとえば函数の実部のみに関してどのようになるかを問うことができる。この関係は一般にはボレル-カラテオドリの補題によって与えられる。それもまた導函数の評価を考えるものである:
定理 (Borel–Carathéodory): 函数 f(z) は原点中心、半径 R の閉球体 B(0, R) において解析的とし、その実部の半径 r の円上でとる最大値を A(r) とすると、∀r ∈ 0, R に対して、以下の不等式 M(r) \le \frac{2r}{R-r}A(R)+\frac{R+r}{R-r} に従って与えられる増大度 ρ = ρ(r) に基づく。
整函数論は、リウヴィルの定理により、代数学の基本定理のシンプルでエレガントな証明を可能にする。
増大度が整数でない整函数は無限個の零点を持つという性質により、リーマンゼータ函数が 0 < ℜe(z) < 1 に無限個の零点を持つことの証明にも整函数論はあらわれる。
二つの整函数の商である有理型函数の研究にも整函数論は応用される。有理型函数はさまざまな微分方程式に関する問題に自然にあらわれる。
整函数や有理型函数に対する方法論は、より複雑な(複数の変数などに関する……)解析函数の研究に対する重要な示唆や直観の源を与えるものでもある。