電磁場テンソル
電磁場テンソルとは、電磁場を相対性理論に基づいた4次元時空の形式で記述した2階の反対称テンソル場である。以後、相対論と言えば、特に断りがなければ特殊相対性理論を指す。
電磁場の強度(field strength)F は二階のテンソル
\partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu
と定義される。
ここで A は相対論的な4元ベクトルの電磁ポテンシャル
\left(
\frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A} \right),~
A_\mu =\eta_{\mu\nu} A^\nu = \left(
-\frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A} \right)
である。
また、微分も相対論的な4元ベクトル
\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \left(
\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right)
である。
定義から電磁場テンソルは明らかに反対称テンソルである。従って独立成分は6つある。
これは3次元空間のベクトル場である電場の強度 E と磁束密度 B の各成分に対応する。
-\nabla\phi -\frac{\partial\boldsymbol{A{\partial t}
}
\nabla\times\boldsymbol{A}
と表される。
\partial_j A_0 -\partial_0 A_j = -F_{0j}
\partial_j A_k -\partial_k A_j = F_{jk}
と書くことが出来る。
(-E_x/c,-E_y/c,-E_z/c)
(B_x,B_y,B_z)
である。上付きの
F^{\mu\nu} =\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}F_{\rho\sigma} は
(E_x/c,E_y/c,E_z/c)
(B_x,B_y,B_z)
となる。それぞれ行列の形で表せば
\begin{bmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\
E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\
E_z/c & B_y & -B_x & 0 \\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\
-E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\
-E_z/c & B_y & -B_x & 0 \\
\end{bmatrix}
となる。
完全反対称テンソル ε を用いれば、電磁場の強度 F に双対なテンソル
\frac{1}{2}
\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}
が定義される。
(F_{23},F_{31},F_{12}) =(B_x,B_y,B_z)
(F_{01},F_{02},F_{03}) =(-E_x/c,-E_y/c,-E_z/c)
であり、行列の形で表せば
\begin{bmatrix}
0 & B_x & B_y & B_z \\
-B_x & 0 & -E_z/c & E_y/c \\
-B_y & E_z/c & 0 & -E_x/c \\
-B_z & -E_y/c & E_x/c & 0 \\
\end{bmatrix}
となる。
媒質中での電磁場を表す電束密度 D と磁場の強度 H は、電磁場の強度と同様に二階のテンソル G によって相対論的な形式で記述される。
(D_x,D_y,D_z)
(H_x/c,H_y/c,H_z/c)
である。このテンソル G はサブ電磁テンソルとも呼ばれる。
サブ電磁テンソル G は電磁場の強度 F と
\frac{1}{Z_0} F^{\mu\nu} +P^{\mu\nu} = \frac{1}{c\mu_0} F^{\mu\nu} +P^{\mu\nu}
で関係付けられる。ここで P は分極テンソルであり、その成分は誘電分極 P と磁化 M である。
(P_x,P_y,P_z)
(-M_x/c,-M_y/c,-M_z/c)
である。
サブ電磁テンソル G と分極テンソル P をそれぞれ行列の形で表せば
\begin{bmatrix}
0 & D_x & D_y & D_z \\
-D_x & 0 & H_z/c & -H_y/c \\
-D_y & -H_z/c & 0 & H_x/c \\
-D_z & H_y/c & -H_x/c & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & P_x & P_y & P_z \\
-P_x & 0 & -M_z/c & M_y/c \\
-P_y & M_z/c & 0 & -M_x/c \\
-P_z & -M_y/c & M_x/c & 0 \\
\end{bmatrix}
である。
球面座標系 (ct, r, θ, φ) による4元ポテンシャルの成分表示は
\left (-\frac{\phi}{c}, A_r, rA_\theta, rA_\varphi\sin\theta \right)
であり、電磁場強度 F として
\begin{bmatrix}
0 & -E_r/c & -rE_\theta/c & -rE_\varphi\sin\theta/c \\
E_r/c & 0 & rB_\varphi & -rB_\theta\sin\theta \\
rE_\theta/c & -rB_\varphi & 0 & r^2B_r\sin\theta \\
rE_\varphi\sin\theta/c & rB_\theta\sin\theta & -r^2B_r\sin\theta & 0 \\
\end{bmatrix}
が得られる。
\operatorname{diag}(-1,1,r^2,r^2\sin^2\theta)
\operatorname{diag}(-1,1,\tfrac{1}{r^2},\tfrac{1}{r^2\sin^2\theta})
であり、電磁場強度の添え字を上げると
\begin{bmatrix}
0 & E_r/c & E_\theta/cr & E_\varphi/cr\sin\theta \\
-E_r/c & 0 & B_\varphi/r & -B_\theta/r\sin\theta \\
-E_\theta/cr & -B_\varphi/r & 0 & B_r/r^2\sin\theta \\
-E_\varphi/cr\sin\theta & B_\theta/r\sin\theta & -B_r/r^2\sin\theta & 0 \\
\end{bmatrix}
となる。
例えば、原点に点電荷 q が存在するときの電磁場テンソルは
\begin{bmatrix}
0 & \frac{1}{4\pi\epsilon_0c}\frac{q}{r^2} & 0 & 0 \\
-\frac{1}{4\pi\epsilon_0c} \frac{q}{r^2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
で表される。
電磁場テンソルによって、相対論的な形でマクスウェルの方程式を記述することができる。
0
が成り立つ。
\frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu F_{\rho\sigma} =0
と表すことも出来る。
この式は添え字 ν = 0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ
0
\nabla\times \boldsymbol{E}
+\frac{\partial\boldsymbol{B{\partial t} =\mathbf{0}
}
と対応する。
-\frac{Z_0}{c}\, j^\nu =-\mu_0 j^\nu
と表される。
ここで j は4元電流密度である。
この式は添え字 ν = 0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ
\frac{\rho}{\epsilon_0}
\nabla\times \boldsymbol{B}
-\frac{1}{c^2} \frac{\partial\boldsymbol{E{\partial t}
=\mu_0 \boldsymbol{j}
}
と対応する。
-\frac{1}{c}\, j^\nu
と表される。
\rho
\nabla\times \boldsymbol{H}
-\frac{\partial\boldsymbol{D{\partial t}
=\boldsymbol{j}
}
である。
電磁テンソルは、荷電粒子に作用するローレンツ力を相対論的に記述した式の中に現れる。
電荷 q を持ち、相対論的な位置 z=(ct,r) を運動する荷電粒子に作用する相対論的なローレンツ力は以下のようになる。
q\dot{z}^\nu F_{\nu\mu}(z)
ここで p は相対論的な運動量である。ドットは運動のパラメータによる微分である。
時空の曲率、すなわち重力場がある場合に、偏微分はテンソルとはならず、接続を導入して共変微分への置き換えが必要となる。しかし、電磁場強度 F は偏微分による定義を変更することなくテンソルである。反対称性により共変微分の接続が相殺されるため
\mathcal{D}_\mu A_\nu -\mathcal{D}_\nu A_\mu =\partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu
となる。ビアンキ恒等式は定義から成り立つので変更を要しないが、運動方程式は
-\frac{Z_0}{c}\, j^\nu
であり、共変微分への置き換えが必要となる。