円周率
\Gamma \biggl( \frac{1}{2} \biggr) = \biggl( -\frac{1}{2} \biggr)! = \sqrt{\pi}(ガンマ関数)
整数全体から無作為に2つ取り出すとき、その2つが互いに素である確率は 6 である(互いに素_(整数論)#互いに素である確率を参照)。
ロジスティック写像 xi+1 = 4xi(1 − xi) により帰納的に定まる数列 xi を考える。初期値 x0 を 0 以上 1 以下に取るとき、そのほとんど全てで、次が成り立つ。
\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sqrt{x_i} =\frac{2}{\pi}
f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi} \, \exp \biggl[ -\frac{(x-\mu )^2}{2\sigma^2} \biggr](正規分布の確率密度関数)
幅 1 の無数の平行線の上から長さ 1 の針を落とすとき、その針が直線と共有点を持つ確率は 1 である(ビュフォンの針)。
河川の長さの水源・河口間の直線距離に対する比率は、平均すると円周率に近い。
π の桁を記憶術に頼らずに暗記する方法が各種存在している。
日本語では、語呂合わせにより、長い桁を暗記するのも比較的簡単である。有名なものとして、以下がある。
全く傾向が異なるものとして、
英語圏では語呂合わせがうまくいかないため、単語の文字数で覚える方法がある。
3桁目の like を want としたものもある(出典は不明)。
これらのような覚え方は多くあり、日本語では上記のものの改編で90桁までのものや、歌に合わせたもの、数値を文字に置き換えて1,000桁近く覚える方法などがある。
2004年9月25日、原口證が8時間45分かけて円周率5万4000桁の暗唱に成功し、従来の世界記録を更新した。しかしながら、実際はより多くの桁を覚えていたため、2005年7月1日 - 7月2日に再挑戦し、8万3431桁までの暗唱に成功した。2006年10月3日午前9時 - 10月4日午前1時30分(16時間30分)の挑戦で円周率10万桁の暗唱に成功した。
2022年2月現在で『ギネス世界記録』に認定されている円周率暗唱の世界記録は、2015年3月21日にRajveer Meenaが10時間近くかけて暗唱した7万桁である。
円という日常でもよく知られた図形についての単純な定義でありながら、小数部分が循環せずに無限に続くという不可思議さから、数学における概念の中で最もよく知られたものの一つである。
3月14日は円周率の日および数学の日である。小数点以下が「永遠に続く」という意味にあやかり、3月14日に結婚するカップルもいる。また、pi (pi) とパイ (pie) は同音異義語であること、パイが円形であることから、アメリカ合衆国など複数の国で「パイの日」として祝われ、パイ焼きやパイ食のほか、数学に関係した活動が行われる。
7月22日は円周率近似値の日とされている(22 は円周率の近似値)。
1999年の学習指導要領の改訂により「小学校の算数で円周率は3で計算することになる」との噂が世間に広まったが、実際には必要に応じて3で計算することも可能にするための措置であった。
2012年8月14日、米国勢調査局が、米国の人口が円周率と同じ並びの3億1415万9265人に達したと発表した。アメリカには円周率の曲を作る人もいる。
組版処理ソフトウェア TeX のバージョン番号は、3.14, 3.141, 3.1415, … というように、更新の度に円周率に近づいていくように一桁ずつ増やされる。
円弧の長さの計算など、実務上の数値計算では、その用途に応じて必要な桁数の円周率が計算に用いられる。例として、
公認陸上競技場の曲走路の計算では、3.1416を用いている。
NASAのJPLの惑星間航行システムにおける最高精度の計算では、小数点以下15桁までの3.141592653589793を用いている。
観測可能な宇宙が球体だとして、その円周の誤差が水素原子程度になるためには、小数点以下40桁程度を使えば足りる。
π = 3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 …
(A000796)
二進記数法(基数 (数の表現)2)による最初の48桁(48ビットとも呼ばれる)は 11.0010(A004601)
三進記数法(基数3)による最初の38桁は 10.010(A004602)
十六進記数法(基数16)による最初の20桁は3.243F(A062964)
六十進記数法(基数60)による最初の5桁は 3;8,29,44,0,47(A060707)
『円周率πの不思議―アルキメデスからコンピュータまで』堀場芳数、講談社〈ブルーバックス〉、1989年10月17日。ISBN 978-4061327979。
『π(パイ)のはなし』金田康正、東京図書、1991年4月1日。ISBN 978-4489003387。
『πの公式をデザインする』猪口和則、新風舎、1998年1月9日。ISBN 4-7974-0493-0。
『円周率πをめぐって』上野健爾、日本評論社、1999年3月。ISBN 978-4535608405。
『π-魅惑の数』ポール・ドゥラエ、畑政義訳、朝倉書店、2001年10月1日。ISBN 978-4254110869。
『πの歴史』ペートル・ベックマン、田尾陽一訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2006年4月。ISBN 978-4480089854。
『π ― πの計算アルキメデスから現代まで』竹之内脩、伊藤隆、共立出版、2007年3月22日。ISBN 978-4320018341。
『円周率が歩んだ道』上野健爾、岩波書店〈岩波現代全書〉、2013年6月19日。ISBN 978-4000291040。
『円周率 ―歴史と数理―』中村滋、共立出版、2013年11月23日。ISBN 978-4320110625。
Pi: A Source Book (3rd ed.). Lennart Berggren; Jonathan Borwein; Peter Borwein (2004-8-9). シュプリンガー. ISBN 978-0387205717
Pi: The Next Generation: A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation (1st ed.). David H. Bailey; Jonathan M. Borwein (2016-8-5). シュプリンガー. ISBN 978-3319323756