中学受験
中学受験(ちゅうがくじゅけん)とは、中学校の入学試験を受験することである。特にこの試験を中学入試(ちゅうがくにゅうし)・中受(ちゅうじゅ)という。
日本においては、中学校とは、戦前は優秀な男子のみが進学する道であった。戦後の新制中学校は義務教育となり、入試を課す中学校を受験することで、選抜試験に合格するための準備が必要となる点で、戦前とは位置付けが異なる。
1998年(平成10年)6月の学校教育法改正により、中等教育学校の設置が認められ、中高一貫教育校の併設型・連携型が認められ、小学校を卒業見込みの者が受験できる入試は広がってきている。
本記事では狭義の中学校のみならず、広く前期中等教育の学校(中学校・中等教育学校前期課程・特別支援学校中学部など)の入試の受験について取り上げ、特に断らない限り「中学校(等)」・「前期中等教育(の学校)」という表記は前掲の全てを含む。同様に「私立中学(等)」という表記は選抜制でない公立中学以外の全てを含む。
中学受験の歴史は、近代教育制度である学制を導入した明治以降に始まる。明治末期の小学校の就学率は98%であるが、当時の義務教育は小学校までであり、官立の上級学校に進学できるのは富国強兵を支えうる優秀な男子のみで、少数であった。
大正に入ると、第一次世界大戦による国内好況で、富裕層の多くいる都市部で、中学への進学希望者が増加していく1920年の中学進学希望者は47,000人だったが、1924年には73,000人に増加している。。
この頃に創立された公立校や私立校は多くあるが、進学希望者が増えても定員は急に増えるわけではないため、競争は鮮烈を極めた。先述の通り、義務教育は小学校までなので、浪人生がいた。1919年の中学合格者は、現役よりも浪人の方が多かったという。家庭教師をつけ、睡眠時間を削りながら一日のほとんどを勉強に費やす児童も少なくなかったという。
高等小学校は浪人生の受け入れ先としても機能していた。
1927年と1939年、文部省(当時)は、中学入試における学科試験を禁止し、代わりに小学校からの報告書、人物考査、身体検査によって選抜を行うよう通達、指示している。
戦時中は、物資や人手が不足し、筆記受験は行われず面接や作文のみで合否を判断する場合もあったという。
戦前から戦後にかけて、旧制中学校のうち公立は多くは共学の新制高等学校となり、私学は、男子校・女子校の男女別学の形態を現在に至るまで継承した学校が多い。ミッションスクールの多くもその一例である。都市部の特に港町にミッション系女子校が多いのはそのためである。2020年3月現在、東京の私立女子中学校の9割近くは、戦前に創立されている。
戦後、富裕層の多い東京、神奈川、阪神間と京都では戦前とは比にならない中学受験ブームとなり、後述する御三家の他、学費の安い国立大学附属中、早慶や関関同立の附属中が難関校となる。
全国の公立高校入試で総合選抜や学校群制度が敷かれ、実力があっても第一志望の公立高校には必ずしも入れないことに失望した受験生・家庭は、私学を目指した。これが現在の中学受験の基となる。
難関国立大学への合格実績における国私立中高一貫校の台頭と、中学受験の受験者数の増加および難化は強い正の相関があるといえる。
1998年(平成10年)6月、学校教育法が改正され、中等教育学校の設置、中高一貫教育校の併設型・連携型が認められるようになる。これにより、国公私立問わず、中学・高校課程を制度上弾力的に取り扱うことができるようになり、公立高校の制度上の中高一貫化が始まり出した。
また、21世紀に入り、都立高校の学区撤廃が石原慎太郎都知事(当時)により実現する。この動きが全国に広がり、私立中と公立中高一貫中で公立を選択する動きが始まってきた。
私立中高一貫校では、21世紀以降、九州、関西の順に男子校の共学化が見られる。また、特に首都圏で、女子校の共学化が2010年代後半以降でも見られる。
中学受験といえば、特に都市部では、一部の小学生が国私立中学を目指すというパターンは変わってきている。
日本において、義務教育課程である中学校またはそれに相当する学校(中学校、中等教育学校前期課程、特別支援学校中学部など)に入学するには、通例、初等教育の課程(小学校、義務教育学校、特別支援学校小学部など)を修了する必要がある。したがって、日本では学齢により、初等教育課程を修了し、前期中等教育課程に入学する者は満12歳以上である。
法制度上は、12歳を越える年齢の者や既卒者の入学が禁止されているわけではない。
しかしながら、中学校の昼間課程においては、実際には、年齢に上限を設けたり、過年度卒業生の入学を認めていない場合がほとんどである。
ただし、帰国子女の場合は日本国外の学校制度に各国間で違い(年度のずれなど)があることから、日本国内からの受験生とは異なり、ある程度年齢に幅を持たせて募集している場合もある。
中学校の夜間課程・中学校の通信教育においては、逆に生徒のほとんどが学齢超過者である(詳しくは「過年度生」を参照)。
1947年(昭和22年)の教育基本法で推奨されてきた男女共学は、その使命は十分に果たされたとして、2006年(平成18年)の法改正で削除されることとなった。現在、国立と私立のそれぞれ中学校で男女別学の学校が存在する。
国立で男女別学の中学校は、男子校の筑波大学附属駒場中学校のみである。(お茶の水女子大学附属中学校、奈良女子大学附属中等教育学校は共学)
全国の私立中学校で、男女別学の学校は、戦前から続く学校が多い。ミッションスクールの特に女子校もその一例である。これは、学制改革で公立の旧制中学校の多くは共学になった(ただし、埼玉県、群馬県、栃木県は男女別学を受け継いでいる)のに対し、私学は、5年制である旧制中学校を6年制である中高一貫校にし、形態を継承したからである。ただし、#概要に記した通り、21世紀に入って、西日本では私立男子進学校の共学化が見られ、女子校の共学化は首都圏などで見られる。
学校側が体力や時間の負担を考え、中学では学区を設けたり、通学時間を制限する(例えば新幹線通学などの遠距離通学を認めない)場合がある。国立中学校には多い。下宿については、中高一貫校においては高校生なら下宿を認めるが、中学は不可の場合が多い。
完全小中一貫校へは、当然入学できない。そのような例は多くないが、例えば、田園調布雙葉中学校、聖心女子学院中等科は完全小中一貫校である。また、義務教育学校の場合も、第7学年時への編入を認めていない場合が多い。
加えて、学校側の指針への理解が特に求められる場合がある。例えば、国立大学教育学部附属中学の場合、教員・学生への教育研究協力への使命、私学ではキリスト教、仏教などの宗教教育への理解である。
また、学校の広告への協力、併設の高校に内部進学すること(特に、中等教育学校、中高一貫教育校)、大学進学希望を前提とすることなども挙げられる。
中学受験が盛んな地域は、首都圏、関西圏(主に京阪神)をはじめとする大都市圏である。
国立中学は、東京と大阪、広島以外は各都道府県に分散している。対して私立中学は、2020年度時点では、日本に782校あるうち、首都圏では東京都188校、神奈川県64校、埼玉県31校、千葉県25校と1都3県で308校と全体の39%を占める。京阪神では大阪府63校、兵庫県43校、京都府26校と2府1県で132校に上り、全体の17%を占めている。
そのため、中学受験に対する情報量には地域によって差がある。都市部では小学生の半数以上が中学受験する地域もあれば、郊外などで皆無やそれに近い地域がある。地域によっては小学生の大部分が国私立中へ進学するため、地域の公立中学が大幅な定員割れを起こす地域もある。また、そもそも中学受験という選択肢自体を知らない人が大半という地域も多い。
中学校は義務教育であり、小学校では、一部の私立小を除き、中学受験を前提にしていないカリキュラムが組まれる。そのため、一般には、塾や個別指導なしに有力な中学校に合格するのは無理といわれており、進学後の学費だけでなく塾や個別指導の学費も必要である。
したがって、中学受験は、教育の機会均等を奪っているのではという指摘もある。
質の高い小学生が中学受験で他地域の中学へ流れ、無試験である地域の公立中学校の質の低下を見たときに、いっそう中学受験が過熱するのではという指摘もある。
21世紀に入り、全国の一部の公立高校で附属中学を設置したり、中等教育学校に改組する学校も出てきた。公立中は機会均等のために、選抜の段階においても学力検査を行わない建前になっており、入試に当たるものは実際には「受検」「適性検査」、作文、面接などとしている。出題形式は知識の暗記を積み重ねたものでなく、科目横断型、記述式が特徴で、国私立中の入試とは大きく形式が異なる。一見機会均等に見えるが、難関私立中学に合格する程度の学力が必要との指摘もある。入試倍率が10倍を超える公立中高一貫校もある。
公立中高一貫校の数は、地方自治体の取り組みや方針によって差がある。
首都圏・関西圏をはじめとする都市部の中でも、地域によって中受率に差がある。
私立中学在籍率は、全国では7.7%であるが、首都圏では東京都は25.5%、神奈川県は11.0%、近郊では千葉県6.7%、埼玉県5.2%である。岩手県は0.8%で圧倒的な格差がある。
さらに首都圏でも、郊外、下町では少ない。私立中学進学率は、2021年度では、文京区47.4%に対し江戸川区11.4%と大きな差がある。また、都心・山の手では、付属小学校からの内部進学も多い。
西日本の一部では首都圏・京阪神並みに中学受験が盛んである。京都府13.6%、高知県18.1%、広島県10.3%となっている。
東北・北陸では中学受験ができる学校は少なく、必然的に中受率も低くなる。2013年度以降、秋田、山形には生徒募集している私立中学校はない。
日本では、近代教育制度を導入した明治以来、国立の最難関旧制高校、新制大学への合格実績が高い学校のうち、上位3校を「御三家」と称してきた。
戦前では、高等学校(旧制)の中でも一高が頂点とされ、一高への合格者数の高さが中学入試での人気・難度の高さにもなった。当時の一高合格者数の上位は、官立のそれも「一中」など若い番号のナンバースクールであった(第一高等学校 (旧制)#一高生の出身校を参照)。そのため、東京府立第一中、愛知県立第一中、兵庫県立第一神戸中は「一中御三家」と呼ばれていた(御三家#教育機関を参照)。
戦前では、高等教育校に進学できるのは男子に限られたため、進学校とは、当然男子校に限られた。
明治以来、名門公立よりも私立中を優先するという歴史は、富裕層が多くいた東京と京都、阪神間で始まった。私立の上位3校を称した「私立御三家」は開成中、麻布中、芝中学である。武蔵は戦前から公立に次ぐとされたが、当時は7年制高等学校である。東京帝大への合格率では一高を上回ることもあったという(武蔵高等学校 (旧制)#設立と発展を参照)。
新制東京大学合格者数において、都立高校の学校群制度導入以前は、戦前の公立中学校・高等女学校ナンバースクールが上位を占め、共学化して校名が変わった以外は戦前とあまり変わらなかった。
戦後、富裕層の多い東京、阪神間、京都では、戦前とは比にならない中学受験ブームとなる。全国の公立高校で総合選抜、学校群制度が導入された60年代後半以後、東大合格者数で私立中高一貫校が台頭し始める。その頃から、開成、麻布、武蔵が「(東京男子)御三家」と呼ばれるようになる。
神奈川男子では、私立で突出していた栄光学園が、1980年〜1990年代の神奈川県公立高校の学区細分化により、全国有数であった湘南高校を凌いだ。それに次ぐ進学校として、聖光学院がある。90年代前半までは、マンモス校である桐蔭学園が創立以来台頭し、大学合格者数では、ほとんど他を圧倒していた。2000年以降、もともと実績のあった浅野が伸長しこの3校が「神奈川男子御三家」と呼ばれるようになる。
関西においては、80年代後半から2000年代前半頃まで、東大・京大合格者数が高い灘、甲陽、東大寺、洛星、大阪星光学院、洛南が6強と呼ばれるようになる。2000年代後半以降、東大・京大合格者数の漸増減、高校募集の停止、洛南や西大和などの共学化により、3校や6校で括るのが難しくなってきている。
西日本においては、関西の私立中は当時統一入試をしており、関西の難関中学を落ちた者が、寮を設置している西日本の中学を受験し始めた。西日本の私立進学校が、寮を設置している学校をはじめとして台頭し始め、東大合格者数が多い灘、ラ・サール、愛光が「西日本御三家」と呼ばれるようになる。
東京女子においては、日本人の女性のみの手で創設された進学校桜蔭、日本で最初に創設されたミッションスクール女子学院、外国人として初めて来日したシスターによる雙葉が進学実績、入試難度で上昇し「女子御三家」と呼ばれるようになる。横浜山手でも同じく国内最古のフェリス、横浜雙葉、横浜共立学園が「神奈川女子御三家」と呼ばれるようになる。
全国の有数私立進学校は20世紀後半まで男子校が多く、成績上位の女子は公立高校に進学するしかなかった。2000年代以降、私立男子進学校の共学化は、少子化にあえぐ九州や関西で始まる。首都圏でも特に女子校の共学化は2010年代後半以降でも見られる。
九州では、青雲、久留米大附設が共学となり、合格実績が上昇した。ラ・サールと併せて「九州私立御三家」と呼ばれるようになる。
進学校の大学合格実績は、成績上位の入学者数で変化する。合格実績によって「~御三家」の括りが変わることもある。ただし、特に21世紀以降、旧帝大合格者数や率だけが上位の進学校であることを示す指標でもなくなってきている。例えば、国公立大医学部や海外の名門校への合格者数・率である。合格者数が下がっても、それまでの伝統かつ質のある教育を評価し、御三家に称されることがある。東京・神奈川の男子・女子は特にそうである。
また、90年代末の制度改正以降、公立高校が附属中学を設置し、中高一貫教育を開始したり(最初は1999年の岡山市立岡山後楽館中学校・高等学校)、中等教育学校に改組する学校(最初は1999年宮崎県立五ヶ瀬中等教育学校)が現れたりしている。「中学」受験の御三家という点において、今後、戦前のように公立中の「御三家」が登場することもありうる。
入試の難易度を表す指標として、これまでに批判も受けつつも学力偏差値が便利である。大手の学習塾では公開模試により広く大きい母集団から各学校の偏差値を割り出している。例えば、SAPIX小学部や四谷大塚、日能研、あるいは中小の学習塾の連合である首都圏模試センターである。これは学校が発表するものではない。定員が男女ごとに決まっている場合も多いため、偏差値は男女別で表示される。
京阪神では各学習塾が個別に模試を行うことが多く、複数の塾が開催するのは関西統一模試など少数である。また、関西だけは、社会を除く3科型または4科との選択が挙げられる。
日本の私立中学在籍率は、2022年の時点で8%弱でかなり少数精鋭の集団であるため、偏差値が例えば50でも、中学受験のそれと高校入試のそれでは指標はかなり異なる。
自分が合格する確率を見定めるには、以下の情報が必要である。
学校の形態や方針(国立・私立・公立、共学・男子校・女子校、併設学校への内部進学制度、進学校・附属校、宗教系校か、寄付金の多寡・有無)
文化祭、運動会、オープンスクールなどの公開行事の様子
学校の昨年度の合格実績、大きなニュースの有無
学習塾による模試の結果は、独自に集計されたデータやアンケートなどを元に概算の値が算出される。
複数回の入試を設けている学校では、複数回受験すると点数を加算する学校と一切考慮しない学校がある。
また、両親や親戚、兄弟姉妹で同校出身の者がいれば加算する学校もある。
心身が発達の段階である小学生が、自律・自立して自身の努力だけで学習し、希望の中学校に合格するのは、並大抵のことではない。保護者や家族の協力が不可欠である。加えて、学費、時間を割いて塾、家庭教師の利用がほとんどである。
選抜試験を経た中学校に進学することで、質の良い教育、質の良い級友に恵まれることができる。ここでは、中学受験の利点と問題点を挙げてみる。
学力などで選抜されて入学した者しかいないため、自分の段階に合った教育課程の内容が期待できる。
中高一貫校においては、6年間で学びを俯瞰することができ、先取り学習、中学課程と高校課程の内容の重複を取り払うことができる。その結果、大学入試に有利である。多くの私立中高一貫校では、5年間で中学課程と高校課程の内容を修了し、最後の1年間を大学受験の学習に当てている。
希望して入学した者しかいない。志向を共有できる級友に恵まれる。
中高一貫校では、高校入試をしなくてよい。
私立大学附属校では、大学入試もしなくてよい。受験勉強にとらわれない真の学習ができる。
私立では、宗教教育を受けることができる。
施設が充実している所がめずらしくない。
中高一貫校では、高校受験に時間を取られず、中学と高校の部活動が一体となって運営でき、5年間で打ち込むことができる。
私立大学附属校では、大学までエスカレーターで進学できるため、大学に入って行いたい研究内容を視野に入れて中学高校を過ごすことができる。
学習が競争原理に晒されるため、短期間で成果を出すことが求められる。
受験ストレスが心を不安定にし、また学校を息抜きの場と見て、荒れた行動を起こす。
受験勉強に時間を取られ、運動、稽古、趣味、睡眠に多くの時間を割くことはできない。
受身の学習が保護者や学習指導者に放置されると、自分から学ぶ態度と意欲が遅れる。
入試に優れただけでは、中学以降の課程に優れるとは限らないことを認識させる必要がある。
合格できなかった場合、特に全滅した場合は、それで学習の優劣がつくものではないことを認識させる必要がある。
選抜試験を経ない公立中学と違い、家庭環境や境遇が似た者同士の集団に所属し、進路志向が大きく異なる同級生と学校で会うことがない。
地域の同級生と異なる中学校に進学する。
中高一貫校の場合、高校入試がないため、中だるみが起こりうる。
ほとんどの場合、近隣の公立より通学時間がかかる。
学校の方針に極端に合わないと感じた場合、転校しなければならない。
私立では、学費が国公立より高い。
男女別学の場合、異性の同級生と交流する機会が少ない。
自分の進路志向が学校が想定しているものと大きく異なる場合、校外で広く見聞を深める必要がある。
中高一貫校で系列以外の高校に進みたい場合、同級生と異なり自分で高校受験対策をしなければいけない。
国公立校などでは12月以前に入試日が設定されている場合もある。
私立中入試においては、各都道府県の私学協会で入試解禁日を設けている。帰国子女入試や専願入試は通常、解禁日以前の早期に実施されている。
首都圏や関西圏などの都市部では、私立中の入試解禁日は曜日に関係なく設定されている。愛知県の私立中入試は、土日に実施されている。
入試を複数回実施している学校も多いが、難関校または伝統校ほど入試日が少ない傾向にある。
首都圏の場合、埼玉県…1月10日、千葉県…1月20日、東京都・神奈川県…2月1日となっている。埼玉・千葉の私立中入試には首都圏一円の受験生が腕試しに受験する。
いわゆる御三家はすべて2月1日のみに入試を実施している。したがって、御三家を併願することはできない。ただし、2月1日が日曜日の年は、ミッションスクールで試験を翌日の月曜日に設定する学校がある。これは日曜礼拝との重複を避けるためである。これを「サンデーショック」という。サンデーショックの年は、1日校は集中するが、2日校は集中と分散がある。
関西圏(2府4県)においては、統一して1月18日となっている。
また、21世紀初頭から、午後入試を実施する学校が現れ始めている。近年では、午後入試で算数1科目入試を実施する学校も現れ始めている。
通常、公立中高一貫校を除く国私立中は、最大で2日後、早い学校は午前入試・午後入試の当日の夜22時ごろに発表する学校もある。
発表の形式は、近年では、校内掲示板またはインターネットの専用ページで発表する学校が多い。かつては、発表日の所定時間にFAX、電子メール、レタックス、電報にて個別送信する学校もあった。
2020年3月以降の新型コロナウイルスの流行を受けて、合格発表を伝統的に校内掲示としていた学校も、人の殺到を避けるため、インターネットでの発表も行うようになってきている。
私立をはじめ国公立でも合格者全員が入学するわけではないため、過年度のデータを基に、通例は、若干多めに、または補欠合格者として別に発表される。見込んだ人員以上に辞退者が出た場合、繰り上げ合格の連絡が順次行われる。それにより入学手続済みの学校で新たな辞退者を生み、順次波及して年度末の一定期日まで繰り上がり合格者を出していくことがある。
逆に、入学辞退者が見込みより少なかった場合、学級数増で対応し、次年度募集人員を減らす併設の小学校からの内部入学者が多い場合も、中学入試合格者が絞られることがある。形で翌年の受験に影響することがある。
合格発表後、学校側が定めた一定の期間で合格者からの入学手続きが行われる。難関校や名門校とされる学校の中には、受付期間を短く設定しているものもあり、中には受付が1日限りで終了する学校もある。逆に合格者の併願校の合否を待つため、長期間や二段階で入学受付を行うところもある。
手続きは合格証書他、手続き書類一式を受け取る。多くの場合、入学金とその他初期費用を学校または指定の金融機関の口座に事前に納付しておき、必要書類と納付済書を提出して入学への手続きは完了する。入学手続きそのものは学校の受付窓口、事務所、郵送など学校ごとに異なる。併願している学校がある受験者については、まず一時金を納め、その後の合格発表の日程に合わせて残金延納可としているところもある。
合格発表日と入学手続開始日が異なることも多く、この場合、入学手続き用書類の受取期限に注意を要する。受取期限を過ぎても受領しなかったり、手続き期間ても入学の手続きを済ませなかった合格者は自動的に入学辞退として扱われ、定員に対して空きが発生した場合には補欠合格者に繰り上げ合格の通知が行われる。
学校で手続きを行う場合は併せて入学式までの日程の案内が行われることも多いが、これとは別に3月中に事前登校日を設定して入学予定者を召集する学校も多い。また、入学手続きの際や事前登校日には、制服の採寸を行ったり、学校生活やカリキュラムについての説明が行われることもある。特に名門校や伝統校の場合には、別途保護者を集めて学校関係者との事前の懇談会が行われることもある。また保護者に対しては生徒を狙った学習塾などの勧誘や寄付金詐欺などに対する注意をしたり、幼稚園受験や小学校受験などと同様にほかの保護者への対応の心得中学受験においても、幼稚園受験や小学校受験のいわゆる「お受験」と同様に、受験に熱を上げる母親同士でのいわゆる“ママ友トラブル"などがしばしば発生しているためである。などの説明を行ったり、これらをまとめた冊子が配布される場合もある。
なお、他校への入学が決まった場合、入学手続き後であっても辞退を申し出ることはできる。受付期間後に生じた繰り上げ合格者については学校側の都合であるので別途受付を行う。
国公立中学校は、小学校課程を超えない範囲で出題しなければいけない。管轄する文部科学省が私学に対して出題範囲を制限する権限はないが、文部科学省は私立学校に対して、学習指導要領を逸脱しすぎないよう要請し、中学校側も小学校で学習している範囲にて出題していると公言している。ただし、私立では指導要領から範囲外になった範囲から出題されている場合もある(例えば2002年度など)。
特に理科、算数、社会では、事実上中学課程以上の内容が、誘導付きで、小学生の言葉で、出題されていることが、私立では多く見られる。
公立小学校での学習のみで国私公立中学校の選抜試験に合格するのは事実上不可能に近い。
国語は漢字、語法、ことわざなどの基礎的な国語力を問われるほか、読解力を見る長文読解問題が出題される。アドミッションポリシー(どんな生徒に入学して欲しいか)を伝えやすい科目であることから、工夫を凝らした出題をする学校が見受けられる。
近年、有名作家の文を使用した入試問題をそのままウェブサイトや過去問集に掲載したとして、複数の会社の出版物などが問題となった。
長文読解(説明文、論説文、物語文、随筆文、韻文の出題率が非常に高い)
記述問題(10字ほどに簡単にまとめる記述から、200字以上の作文まで非常に幅広い)
算数は点数の差がつきやすいことが多く、そのため難度の点でも話題に上ることが多い。出題形式は大むね、問題数が多く、正確さとスピードが重視されるタイプの学校と、3~6題程度の応用問題のみ出題する学校とに分かれる。
文章題では、方程式だけに頼らず、単元に固有の性質に着目して解くことが求められる。小学校では方程式を習わないため、方程式だけを使おうとすると、文字数や等式が多くなったり、立式が困難になる問題がほとんどである。
四則混合、逆算
論理的思考・場合分けが問われ、難問もある。
覆面算(同じラベル(アルファベットなど)には同じ数字が入る)
小町算とは、123456789の数字に四則などの演算記号やかっこを挿入して計算結果が100(99という説もある)になる計算式を作る問題。
小町算は、小野小町が、言い寄って百夜通いをしていた深草少将の死を悼んで考え出した計算といわれる。
挿話の出典は世阿弥の浄瑠璃による架空のものであるとする説がある。
転じて、いくつかの数字に演算記号やかっこを挿入して与えられた数にする問題を小町算と称する、あるいは区別して、小町算もどきと称する。
n×n個の小正方形に、縦・横・対角線の列内の和が互いに等しくなるように数を入れる。また、対角線については問わないものや、和の替わりに積であるといった変則的な問題もある。
魔方陣もどきもある。例えば、いくつかの互いに交わる円があり、その円周や交点に書かれた空欄に、各円周上に並ぶ数の和が互いに等しくなるように埋める問題である。形状はさまざまのものがある。
四則混合に加えて、ガウス記号が挙げられる。
約数・倍数に関する問題
3数以上の最大公約数 (GCD)、最小公倍数 (LCM) には、素因数分解が有効である。
ユークリッドの互除法(数が大きく素因数分解が困難な場合に使う)
オイラー関数は、大学課程の範囲であるが、検算用に利用できる。
商・余りに関する問題
カードを枚数の等しい2組に分け、一定の規則で並べ直すときの、カード番号の配置を問う問題。
位置番号の偶奇で場合分けする。
中学入試では1982年に麻布中に出たものが初出とされる。2002年に東京大学で出たことを受けて、2004年から中学入試に再浮上してきた。
継母の子と先妻の子を混ぜて輪状に並ばせ、10人ごとに取り除いて最後に残った者を後継者にするというもので、最後に残る者を選ばせたら、特定の者が残る数え方を問いたりする問題。
江戸時代の有名な塵劫記や鎌倉時代の徒然草にも出てくるが、室町時代の書にも、西行が源頼朝からもらった猫の置物を道すがら遊んでいた子を環に並べて、いくつかずつに数えながら順次環から出して最後に残った子に与えたという風聞が載っているなど出典は特定できない。
西洋ではヨセフスの問題ともいわれている。
2009年に開成中で出題されて以来、他の中学校でも出題されている。
中学入試では「輪状に並べた碁石を1つおきに取り除く」や、「1山に積み上げられたカードを上から1枚ずつ捨てる、1番下にするを交互に繰り返し、最後に残るカードを問う」という2形態で出る。
数と規則性(数列、数表)
三角数(=1から連続する自然数の総和)
四角数(=1から連続する奇数の総和)
連続する2つの三角数の和に等しくなる。
五角数、矩形数、三角錐数など
自分の値が前の2項の和に等しい数列のことである。
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
レオナルド・フィボナッチが自書『算術の書』にうさぎの増え方を例にとり説明している。この数列は生物の増え方にさまざまな局面において見られることが知られている。
中学入試では、次の形態で出題される。