ケイリー・ハミルトンの定理
線型代数学におけるケイリー・ハミルトンの定理(ケイリー・ハミルトンのていり、Cayley–Hamilton theorem)、またはハミルトン・ケイリーの定理とは、(実数体や複素数体などの)可換環上の正方行列は固有方程式を満たすという定理である。アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンに因む。
n次正方行列 A に対して、In を n次単位行列とすると、A の固有多項式は
p(\lambda) := \det(\lambda I_n-A)
で定義される。ここで det は行列式を表し、λ は係数環の元(スカラー)である。引数の行列は各成分が λ の 1次式以下の多項式(1次式または定数)だから、その行列式も λ の n次モニック多項式になる。ケイリー・ハミルトンの定理の主張は、固有多項式を行列多項式と見れば A が零点であること、すなわち上記の λ を行列 A で置き換えた計算結果が零行列であること、すなわち p(A)=O の成立を述べるものである。
注: 置き換えにおいて、λ の冪は、A の、行列の積による冪に置き換わるから、特に p(λ) の定数項は A0 すなわち単位行列の定数倍に置き換わる。
定理により、特に An は、より低次の A の多項式で表されることが分かる。係数環が係数体のとき、ケイリー・ハミルトンの定理は「任意の正方行列 A の最小多項式は A の固有多項式を整除する(割り切る)」という主張に同値である。
この定理は1853年にハミルトンが初めて証明した(それは「非可換」環である四元数を変数とする一次函数の逆を用いたものであった)。これは一般の定理において、実4次または複素2次という特別の場合に当たるものである。
ケイリー・ハミルトンの定理は、四元数係数の行列に対しても成立する四元数の乗法およびそれを用いた任意の構成(この文脈では特に行列式が顕著)には非可換性がかかわってくるから、十分に定義を検討する必要がある。分解型四元数に対するケイリー・ハミルトンの定理も(ややよく振る舞うが)同様に成立する。四元数の場合も分解型四元数の場合も、ある種の複素2次行列として表すことができる(ノルム 1 に制限すれば、これらの乗法の定める作用はそれぞれ特殊ユニタリ群 SU(2) および SU(1, 1) である)から、これらに対して定理が成り立つことは驚くことではない。そのような行列表現のできない八元数(八元数の乗法は非結合的であるから行列の積で表現することは不合理)でさえ、それでも修正版のケイリー・ハミルトンの定理が満足される。
1858年にケイリーは 3次およびそれより小さい行列に関して定理を述べているが、証明は 2次の場合のみを著している。一般の場合が初めて証明されたのは1878年でフロベニウスによる。
1次正方行列 A  (a) に対し、その固有多項式は p(λ) coloneqq λ − a であり、p(A)  (a) − a⋅I1  (0) は明らかである。
2次正方行列 A=\begin{pmatrix}
a &b \\
c &d
\end{pmatrix} に対しては、固有多項式は
となり、ケイリー・ハミルトンの定理の述べるところによれば
p(A)=A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=\begin{pmatrix}
0 &0 \\
0 &0
\end{pmatrix}
が成り立つはずであるが、これは実際に A2 の成分を具体的に書き出せば、確かに成り立っていることが確認できる。
この定理を証明するのに、固有多項式:
の λ を A に置き換えて
を得るとするのは、明らかに誤った論法である。
この論法が誤りである理由は、第一に、上式 error の左辺は n次正方行列、右辺はスカラーである 0 であり、(n = 1 でない限り)不合理である。
第二に、(1) の右辺の λ はスカラーだからこそ行列式として意味をもつものであり、行列式の展開の前に λ を A に置き換えると意味をなさなくなる。
様子が分かるように具体的に 2次の場合をとらえると、
p(\lambda) = \begin{vmatrix}
\lambda-a &-b \\
-c &\lambda-d
\end{vmatrix}
の λ を A=\begin{pmatrix}
a &b \\
c &d
\end{pmatrix} に置き換えても、行列式としての意味をなさなくなることが分かる。
ただし、スカラーであるところをスカラー行列(単位行列のスカラー倍)で置き換えた区分行列
\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
a &b \\
c &d
\end{pmatrix} - aI_2 &-bI_2 \\
-cI_2 &\begin{pmatrix}
a &b \\
c &d
\end{pmatrix} - dI_2
\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{cc|cc}
0 &b &-b &0 \\
c &d-a &0 &-b \\\hline
-c &0 &a-d &b \\
0 &-c &c &0
\end{array}\right)
を考えるならば式としては有効で、この行列式は実際に 0 になるが、この行列が上記の論法で det の引数とした AIn − A でないことは明らかである。
あるいはまた、この論法が実際に成立していたと仮定した場合、それは行列式以外にもほかの任意の多重線型形式についても成立しないといけないことになる(つまり任意の線型写像は零ベクトルを零ベクトルに写すのだから、AIn − A = O(零行列)は任意の多重線型形式で 0 に写る)。そのような多重線型形式として例えばパーマネント (permanent)「天然(の)」という意味ではなく、permutation(置換)と determinant(行列式)を合成したカバン語のモジり。直訳的に合成すれば「置換式」。(テンソルの交代積に対する対称積のように、置換の符号を掛ける部分を取り除いて)行列式の反対称性を対称性で置き換えた対応物なので「対称的行列式」のように呼べるかもしれない。を使って q(λ) coloneqq perm(λ⋅In − A) とすれば、同じ論法で q(A) = 0 が証明されなければならないわけだが、それは見るからに誤りである。実例として 2次の場合を書けば、\operatorname{perm} \begin{pmatrix}
a &b \\
c &d
\end{pmatrix} = ad + bc であるから、q(\lambda) = \operatorname{perm} (\lambda I_2 - A) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad+bc) であり、これに A を代入した
q(A)=A^2-(a+d)A+(ad+bc)I_2=\begin{pmatrix}
2bc &0 \\
0 &2bc
\end{pmatrix} は一般には零でない。
ケイリー・ハミルトンの定理の証明の中には、数以外を成分とする行列を用いて、あたかも error 式を用いた論法にある意味似た方法をとるものがあるが、その場合でも AIn は A と等しくなく、結論も異なる所へ到達する。
n次正方行列の固有多項式:
p(t)=t^n+c_{n-1}t^{n-1}+\dots+c_1t+c_0
において、i次の係数 ci は A の固有値たちのなす (n − i)次基本対称式に等しい。特に、定数項(0次の係数)c0 は固有値の総乗ゆえそれは A の行列式 detA に等しい。
ニュートンの公式を用いると、基本対称式は冪和対称式で書き表せるから、上記の ci は固有値の冪和対称式 s_k = \textstyle\sum\limits_{i=1}^n {\lambda_i}^k たちで表されると分かるが、
s_k = \textstyle\sum\limits_{i=1}^n {\lambda_i}^k = \operatorname{tr} A^k
である。したがって、ci は Ak のトレースたちで書き表せる。特に c_{n-1} = \operatorname{tr}A である。
ケイリー・ハミルトンの定理により、一般の n次正則行列 A(つまり A の行列式は 0 でない)に対し、その逆行列 A−1 は A の n − 1次以下の行列多項式で表せる。実際、
式 (∗) において、定数項を移項すると
-(-1)^n \det(A) I_n = A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_1I_n)
両辺に A−1 を掛けると
A^{-1} = \frac{(-1)^{n-1}{\det A} (A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_1I_n)
を得る。
一般に、係数 ci を与える公式が、完全指数型ベル多項式によって
c_{n-k} = \frac{(-1)^k}{k!} B_k(s_1, -1! s_2, 2! s_3, \cdots, (-1)^{k-1}(k-1)! s_k)
と与えられる \sum_{ k_1,k_2,\cdots ,k_n}\prod_{l=1}^n \frac{(-1)^{k_l+1{l^{k_l} k_l!}\operatorname{tr}(A^l)^{k_l}
で与えられる。ただし、和は l1 l⋅kl = n − i を満たす分割 kl ≥ 0 全体の成す集合上を亙る}。特に A の行列式は c0 であるから、トレースを含む表示(トレース恒等式)として
\det(A) = \frac{1}{n!} B_n(s_1, -1! s_2, 2! s_3, \cdots, (-1)^{n-1}(n-1)! s_n)
と書ける。同様に、
A^{-1} = \frac{1}{\det A} \textstyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} (-1)^{n+k-1} \dfrac{A^{n-k-1}{k!} B_k(s_1, -1! s_2, 2! s_3, \cdots, (-1)^{k-1}(k-1)! s_k)
なる表示もできる。
例えば、ベル多項式の最初の方は B0 = 1, B1(x1)  x1, B2(x1, x2)  x + x2, B3(x1, x2, x3)  x + 3x1x2 + x3, … であるから、これらを用いて 2次の場合の固有多項式の係数 ci を具体的に計算すれば
\begin{align}
&c_2 = B_0 = 1,\quad c_1 =  \frac{-1}{1!} B_1(s_1) = - s_1 = - \operatorname{tr}(A) \\
&c_0 = \frac{1}{2!} B_2(s_1, -1! s_2) = \frac{1}{2}(s_1^2 - s_2) = \frac{1}{2}((\operatorname{tr}(A))^2 - \operatorname{tr}(A^2))
\end{align}
などとなる。ここで、c0 は行列式であるから、この場合の逆行列を
A^{-1} = \frac{-1}{\det A}(A + c_1 I_2) = \frac{-2(A - \operatorname{tr}(A) I_2)}{(\operatorname{tr}(A))^2 - \operatorname{tr}(A^2)}
と計算することができる。
ここで出てきた式 1((trA)2 − tr(A2)) は、cn−k に対する(ベル多項式を用いた)一般式から出たものだから、n次正方行列に対してもこれは常に λn−2 の係数 cn−2 を与えるものとなっていることが一見して分かる。ゆえに特に、3次正方行列 A に対するケイリー・ハミルトンの定理の主張を
A^3- (\operatorname{tr}A)A^2+\frac{1}{2}((\operatorname{tr}A)^2-\operatorname{tr}(A^2))A-\det(A)I_3=O
と書くことができる。同様に n  3 の場合の行列式は今度は
\begin{align}
\det(A) &= \frac{1}{3!} B_3(s_1, -1! s_2, 2! s_3) =  \frac{1}{6}(s_1^3 + 3 s_1 (-s_2) + 2 s_3) \\
&= \tfrac{1}{6}((\operatorname{tr}A)^3-3\operatorname{tr}(A^2)(\operatorname{tr}A)+2\operatorname{tr}(A^3))
\end{align}
と書けるが、これはそのまま一般の場合の λn−3 の係数 cn−3 を表す式として理解できる。ゆえにさらにこれを用いて 4次正方行列 A に対する定理の主張は
A^4-(\operatorname{tr}A)A^3 + \tfrac{1}{2}\bigl((\operatorname{tr}A)^2-\operatorname{tr}(A^2)\bigr)A^2 - \tfrac{1}{6}\bigl( (\operatorname{tr}A)^3-3\operatorname{tr}(A^2)(\operatorname{tr}A)+2\operatorname{tr}(A^3)\bigr)A + \det(A)I_4 = O
と書けるし、この場合の行列式
\tfrac{1}{24}((\operatorname{tr}A)^4-6 \operatorname{tr}(A^2)(\operatorname{tr}A)^2+3(\operatorname{tr}(A^2))^2+8\operatorname{tr}(A^3)\operatorname{tr}(A) -6\operatorname{tr}(A^4))
は cn−4 を表す式に他ならない。以下より大きな次数の行列に対しても帰納的に同様の話を適用することができる。
係数 ck に対するもっと複雑な表示が、ニュートンの公式やファデーエフ–ルヴェリエのアルゴリズムなどから導ける。係数 ck を求める別の方法として、一般の n次正方行列でどの根も 0 でないものと仮定すれば、指数函数を用いた行列式の別表示
p(\lambda)= \det (\lambda I_n -A) = \lambda^n \exp (\operatorname{tr} (\log (I_n - A/\lambda)))
を用いたアルゴリズムがある。メルカトル級数を用いて書けば
p(\lambda)= \lambda^n \exp\!\bigg( -\operatorname{tr} \textstyle\sum\limits_{m=1}^\infty \dfrac{(\frac{A}{\lambda})^m}{m} \biggr)
であるが、p(λ) は n次だから、この指数函数部分は λ−n のオーダーまで展開するだけでよい。λ の最後の負冪はケイリー・ハミルトンの定理により自動的に消える(再度、これには係数環が有理数体を含むことが必要である)。λ に対する係数たちが完全ベル多項式によって直接的に書けることは、この級数表示とベル多項式の母函数を比べれば分かる。この表示を λ に関して微分することで、一般の n に対する固有多項式の一般係数を m次行列式
c_{n-m} = \frac{(-1)^m}{m!} \begin{vmatrix}
\operatorname{tr}A &m-1 &0 &\cdots \\
\operatorname{tr}A^2 &\operatorname{tr}A &m-2 &\cdots \\
\vdots &\vdots & & & \vdots \\
\operatorname{tr} A^{m-1} &\operatorname{tr} A^{m-2}& \cdots &\cdots &1 \\
\operatorname{tr} A^m &\operatorname{tr} A^{m-1} &\cdots &\cdots &\operatorname{tr} A
\end{vmatrix} として求めることができる。 p(\lambda)\sum^\infty_{m=0}\lambda^{-(m+1)}\operatorname{tr} A^m = p(\lambda)\operatorname{tr}\frac{I}{\lambda I -A}\equiv\operatorname{tr}B,
ただし B は後で述べる随伴行列である。これと同値な、再帰的に関係したアルゴリズムをユルバン・ルヴェリエとドミトリー・ファデーエフが導入した。そのファデーエフ–ルヴェリエアルゴリズムからは
\begin{align}
M_0 &\equiv O, & c_n &= 1\quad &(k&=0) \\
M_k &\equiv AM_{k-1} -\frac{1}{k-1} (\operatorname{tr}(AM_{k-1}))I, &c_{n-k} &= -\frac{1}{k} \operatorname{tr}(AM_k) & (k&=1,\cdots,n)
\end{align} が導かれる(例えば  を見よ)。A−1  −Mn/c0 が再帰の終端となる。あとで述べる代数的証明では、件の随伴行列 Bk ≡ Mn−k の満たす性質に依拠している。具体的には (\lambda I-A)B = Ip(\lambda) および上記の p の微分を追跡すれば \lambda p' -n p =\operatorname{tr} (AB) を得、上記の再帰手続きが順に繰り返される。
ケイリー・ハミルトンの定理は A の冪の間に成り立つ(最も
とは限らないが)関係を記述するものであるから、それにより A の十分大きな指数の冪を含む式の計算において、式を簡単化して A の(n 以上の指数が大きな)冪を直接計算することなく値を評価することができるようになる。
例えば二次の場合に、A = \begin{pmatrix}
a &b \\
c &d
\end{pmatrix} とすれば定理より
A^2=\color{red}\operatorname{tr}(A)A-\det(A)I_2
だから、A4 を計算したければ、順に
\begin{align}
A^3 &=(\operatorname{tr}(A)A-\det(A)I_2)A
=\operatorname{tr}(A)(\color{red}\operatorname{tr}(A)A-\det(A)I_2\color{black})-\det(A)A
=\color{green}{(\operatorname{tr}(A)^2-\det(A))A - \operatorname{tr}(A)\det(A)I_2}\\[5pt]
A^4&=(\color{green}(\operatorname{tr}(A)^2-\det(A))A - \operatorname{tr}(A)\det(A)I_2\color{black})A
=(\operatorname{tr}(A)^2-\det(A))(\color{red}\operatorname{tr}(A)A-\det(A)I_2\color{black}) - \operatorname{tr}(A)\det(A)A \\
&=(\operatorname{tr}(A)^3 - 2\operatorname{tr}(A)\det(A))A - (\operatorname{tr}(A)^2\det(A)-\det(A)^2)I_2
\end{align} のように次数の低い多項式表示に帰着される。同様に
A^{-1}=-\frac{A-\operatorname{tr}(A)I_2}{\det(A)}.
二次の場合には二つの項の和で書けるということが上での計算から分かる。事実として、任意の k-乗がその正方行列の次数 n に対して次数高々 n − 1 の多項式として書き表せる。これは定理を行列函数の表示に利用できることの一つの実例であり、次の節でより系統的に述べる。
f(x)=\textstyle\sum\limits_{k=0}^\infty a_k x^k
と与えられ、n次正方行列 A の固有多項式を p(x) と書くとき、上記の冪級数を十分大きな k で打ち切った多項式に対する剰余付きの除法を考えれば、
f(x) = q(x) p(x) + r(x)
で「剰余」多項式 r(x) が 0 ≤ deg r(x) < n となる「商」解析函数 q(x) とともに一意的に決まる。x を行列 A に置き換えれば、ケイリー・ハミルトンの定理により p(A) = O だから、ある種の剰余の定理:
f(A) = r(A)
が成り立つ。ゆえに、行列変数の解析函数は各行列 A ごとに n 次以下の行列多項式として書き表される。
上記除算の剰余を r(x) := c_0 + c_1 x + \cdots + c_{n-1} x^{n-1} と書けば、A の固有値 λ において評価するとき p(λ) = 0 となるから、各固有値に関して等式
f(\lambda_i) = r(\lambda_i) = c_0 + c_1 \lambda_i + \cdots + c_{n-1} \lambda_i^{n-1} \qquad(\forall i=1,2,\cdots,n)
を作ることができる。これは n個の線型方程式系になっているから、解くことで係数 ci を決定することができて、
f(A) = \textstyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} c_k A^k
が決まる。
固有値が重複を持つ場合、つまり適当な i ≠ j に対して λi = λj となるものが存在するとき、上記の方程式系は少なくとも二つの方程式が一致してしまうから、それにより方程式系を一意に解くことができない。そのような場合には、固有値 λ の重複度が m とすれば、p(x) の m − 1 階までの導函数がその固有値において消えるから、線型独立な方程式
\frac{d^k f(x)}{\mathit{dx}^k} \Big|_{x=\lambda} = \frac{d^k r(x)}{\mathit{dx}^k} \Big|_{x=\lambda}\qquad (\forall k=1,2,\cdots,m-1)
を新たに m − 1 本追加して、係数 ci を決めるのに必要な n 個の方程式系を得ることができる。
全ての点 (λi, f(λi)) を通る多項式を求めることは本質的に補間問題であり、ラグランジュ補間やニュートン補間法を用いて解くことができ、シルベスターの公式が導かれる。
例として、
f(A) = e^{At} \qquad(A = \begin{pmatrix}
1 &2 \\
0 &3
\end{pmatrix})
の多項式表現を求めよう。A の固有多項式は p(x) = x2 − 4x + 3, 固有値は λ = 1, 3 である。剰余を r(x) = c0 + c1x と置き、固有値における値 f(λ) = r(λ) を評価して、線型方程式系
et = c0 + c1,
を得る。これを解けば
を得るから、
e^{At} = c_0 I_2 + c_1 A = \begin{pmatrix}
e^t &e^{3t} - e^t \\
0   &e^{3t}
\end{pmatrix}
となる。函数を g(A) = sin(At) に変えれば、係数は c0 = (3sin(t) − sin(3t))/2 および c1 = (sin(3t) − sin(t))/2 となるから
\sin(At) = \begin{pmatrix}
\sin t &\sin 3t - \sin t \\
0      &\sin 3t
\end{pmatrix}
と求まる。
同様にして、
f(A) = e^{At} \qquad(A = \begin{pmatrix}
0  &1 \\
-1 &0
\end{pmatrix})
を考える。A の固有多項式は p(x) = x2 + 1, 固有値は λ = ±i である。先と同様に、固有値における値に関する連立方程式
eit = c0 + ic1,
を解いて、
を得る。この場合の
e^{At} = (\cos t)I_2 + (\sin t)A = \begin{pmatrix}
\cos t  &\sin t \\
-\sin t &\cos t
\end{pmatrix}
は回転行列である。
このような利用法の標準的な例は、行列リー群への付随するリー環からの指数写像である。これは行列指数関数 \exp\colon \mathfrak g \to G;
tX \mapsto e^{tX} = \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{t^nX^n}{n!} = I + tX + \dfrac{t^2X^2}{2} + \cdots \qquad(t \in \mathbb{R}, X \in \mathfrak{g})
として与えられる。その多項式表示は SU(2) に対しては古くから知られており、パウリ行列 σ を用いて
e^{i(\theta/2)(\hat n \cdot \sigma)} = I_2 \cos \theta/2 + i(\hat n \cdot \sigma) \sin \theta/2
と書ける。SO(3) も同様で
e^{i\theta(\hat n \cdot \mathbf J)} = I_3 +  i(\hat n \cdot \mathbf J) \sin \theta  + (\hat n \cdot \mathbf J)^2 (\cos \theta - 1)
と書ける(これはロドリゲスの回転公式である)。記法についてはrotation group SO(3)#A note on Lie algebraを見よ。
後に下れば、ほかの群に対する表示も知られており、例えばローレンツ群 SO(3, 1), O(4, 2), SU(2, 2), GL(n, R)など。ここに O(4, 2) は時空の共形群 で SU(2, 2) はその単連結被覆(より精確には、O(4, 2) の連結成分 SO+(4, 2) の単連結被覆)である。得られた多項式表示は、これら群の標準表現 (standard representation) に適用される。行列の冪を計算するために固有値に関するある種の知識が必要である。SU(2) の(したがって SO(3)) の)閉じた式は、近年にはすべての既約表現(例えば任意の spin)に対して得られている。
代数的整数の最小多項式の計算においてもケイリー・ハミルトンの定理は有用である。例えば、Q の有限次拡大 Q[α1, …, αk] とその代数的整数 α(これは添加された元の冪積 α…α の非自明な Q-線型結合に書ける)が与えられたとき、α を掛けるという Q-線型変換
\cdot \alpha \colon \mathbb{Q}[\alpha_1,\cdots,\alpha_k] \to \mathbb{Q}[\alpha_1,\cdots,\alpha_k]
の表現行列を A と書けば、A にケイリー・ハミルトンの定理を適用することにより α の最小多項式が求まる。
一般次数の n次正方行列 A=(a_{ij})_{i,j=1}^n についてのケイリー・ハミルトンの定理の証明には、いくつかの方法がある。
文献に掲載されている方法による。
A の固有多項式を p_A (t) = \det(t I_n - A), 固有値を λ1, …, λn とする。
p_A (t)=(t- \lambda_1 ) \cdots (t- \lambda_n )
A を上三角化した行列を B とする。このとき対角成分に固有値 λ1, …, λn が並ぶ: