ハイネの和公式
ハイネの和公式(ハイネのわこうしき、Heine's summation formula)はガウスの超幾何定理の q-類似である。ドイツの数学者エドゥアルト・ハイネに因む。ハイネは19世紀中頃に超幾何級数のq-類似の研究を行った。
_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n
に対し、その q-類似は
_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right]
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}z^n
で定義される。但し、ポッホハマー記号
(a)_n=a(a+1)\cdots (a+n-1)
と q-ポッホハマー記号
(a;q)_{n}=  \begin{cases} (1-aq)(1-aq^2)\cdots (1-aq^{n-1})& (n>0)\\
1 & (n = 0)\end{cases}
を用いた。
このとき、次の関係式をハイネの和公式と呼ぶ。
_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,\frac{c}{ab}\right]=\frac{\left(\frac{c}{a};q\right)_\infty\left(\frac{c}{b};q\right)_\infty}{\left(c;q\right)_\infty\left(\frac{c}{ab};q\right)_\infty} \qquad \biggl (\bigl |\frac{c}{ab}\bigr |<1 \biggr )
_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};1\right]=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\qquad(\real{a}+\real{b}<\real{c},c\not\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N})
の q-類似となっている。
ハイネの和公式は、次のハイネの変換式(Heine's transformation)から導くことができる。
_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right]=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},z\\az\end{matrix};q,b\right]
ハイネの変換式はq二項定理から導かれる。
\begin{align}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right]
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}z^n\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_\infty(cq^n;q)_\infty}{(q;q)_n(c;q)_\infty(bq^n;q)_\infty}z^n\\
&=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\left(\frac{(cq^n;q)_\infty}{(bq^n;q)_\infty}\right)z^n\\
&=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m}(bq^n)^m\right)z^n\\
&=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(zq^m)^n\right)b^m\\
&=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m}\left(\frac{(azq^m;q)_\infty}{(zq^m;q)_\infty}\right)b^n\\
&=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m(z;q)_m(az;q)_\infty}{(q;q)_m(az;q)_m(z;q)_\infty}\\
&=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},z\\az\end{matrix};q,b\right]\\
\end{align}
ハイネの和公式はハイネの変換式にz=\tfrac{c}{ab}を代入することにより得られる。
\begin{align}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,\frac{c}{ab}\right]
&=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},\frac{c}{ab}\\\frac{c}{b}\end{matrix};q,b\right]\\
&=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_n(\frac{c}{ab};q)_n}{(q;q)_n(\frac{c}{b};q)_n}b^n\right)\\
&=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{ab};q)_n}{(q;q)_n}b^n\right)\\
&=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\left(\frac{(\frac{c}{a};q)_\infty}{(b;q)_\infty}\right)\\
&=\frac{(\frac{c}{a};q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\\
\end{align}