ローレンツ力
ローレンツ力(ローレンツりょく、Lorentz force)は、電磁場中で運動する荷電粒子が受ける力のことである。
名前はヘンドリック・ローレンツに由来する。
電場 \boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{x}) と磁束密度(磁場) \boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{x}) の空間中を運動する荷電粒子(位置 \boldsymbol{x}(t)、速度 \boldsymbol{v}(t)、電荷 q)に作用する電磁気的な力 \boldsymbol{F}(t) は
\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{E} + q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} = q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})
であり、この \boldsymbol{F} をローレンツ力と言う。ここで、「×」はクロス積である。
上式で右辺第一項は電場中で荷電粒子が受ける力でありクーロン力とも呼ばれる。
第二項は。
なお、第二項は磁場中で荷電粒子が受ける力
q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}
であるが、ローレンツ力という用語がこの項のみを指すものとされる場合もある。
荷電粒子が加速度運動している場合、その荷電粒子自身による電磁場の効果が存在するが、その影響はごく小さい場合が多いので通常は無視されるか、ごく小さなものとして扱われる2021年7月。
(参考: 制動放射、ラーモアの公式 放射の反作用、Abraham–Lorentz force)
ローレンツ力の向きについて、電場による力(q\boldsymbol{E})は電場と平行である。
また、磁場による力(q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})
は右手の法則に従い、下図のようにフレミングの左手の法則で表される。
また、右手の姿で示す方法もある。
\mathrm{d}W = \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = q (\boldsymbol{E} +\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}
である。
ここで、磁場による力の項は、
\mathrm{d}W_{\mathrm{m} = q (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = q (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{v} ~ \mathrm{d}t
= 0
であり、磁場は仕事をしない。
電場による力の項は、
\mathrm{d}W_{\mathrm{e} = q \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = q \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{v} ~ \mathrm{d}t
= w\, \mathrm{d}t
である。この電場による仕事量は、巨視的に見るとジュール熱に相当する。
磁場による力は速度と直交する方向に生じるので、運動の向きを変えるだけで粒子の運動エネルギーは変化しない。エネルギーの移動は電場により生じている。
電荷 qi の時刻 t における位置を ri、速度を vi とすると、電荷密度 ρ、電流密度 j は、
\begin{align}
\rho(t, \boldsymbol{x})
&= \sum_i q_i \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t)) \\
\boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{x})
&= \sum_i q_i \boldsymbol{v}_i(t) \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))
\end{align}
と表すことができる。δ(x)はディラックのデルタ関数である。
\boldsymbol{F}(t)
= \sum_i q_i \left(
\boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{r}_i(t))
+ \boldsymbol{v}_i(t) \times \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{r}_i(t))
\right)
となる。ここで、
\begin{align}
\boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{r}_i(t))
&= \int \mathrm{d}^3x\, \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))
\boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{x}) \\
\boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{r}_i(t))
&= \int \mathrm{d}^3x\, \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))
\boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x})
\end{align}
として、和と積分を入れ替えると、
\boldsymbol{F}(t)
= \int \mathrm{d}^3x\, \left(
\rho(t, \boldsymbol{x}) \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{x})
+ \boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{x}) \times \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x})
\right)
このようにミクロな粒子に作用する力(ローレンツ力)から、マクロな粒子系に作用する力(クーロン力及びアンペール力)が導かれた。
\dot{p}_\mu = q\dot{z}^\nu F_{\nu\mu}(z)
となる。
ここで z=(ct,r) は粒子の相対論的な位置、p=(E/c,p) は粒子の相対論的な運動量、ドットは運動のパラメータによる微分である。
F は電場と磁場を合わせた電磁テンソルで、具体的には
(F_{01}, F_{02}, F_{03}) =(E_1/c, E_2/c, E_3/c),~
(F_{32}, F_{13}, F_{21}) =(B_1, B_2, B_3)
と表される。
位置の微分は非相対論的な速度 v によって
\dot{z}^\mu = (c\dot{t}, \dot{t}\boldsymbol{v})
と表される。
従って、この式の空間成分は
\dot{\boldsymbol{p} =q\dot{t} \boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r})
+q\dot{t}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r})
となる。非相対論的な力 f は
\boldsymbol{f} =\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}{\mathrm{d}t}
= \frac{\dot{\boldsymbol{p}}{\dot{t}
= q\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r})
+q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r})
となる。