スピン角運動量
M2, 2(C) を複素二次正方行列全体の集合とし、I を単位行列とするとき、Spin(3) = SU(2)は2次元ユニタリ変換全体の集合
U(2) = \{U\in M_{2,2}(\mathbf{C}) ~:~U^*U=I\}
の部分集合である。したがって
V_{1/2}=\mathbf{C}^2   …(H1)
と定義すると、包含写像
\mathrm{id} ~:~U\in \mathrm{SU}(2) \mapsto U\in \mathrm{U}(2)
は Spin(3) = SU(2) の元の V1/2 上のユニタリ表現になっている。このユニタリ表現が、定理3で述べた既約ユニタリ表現の s=1/2 の場合に相当している。すなわち、
\pi_{1/2}=\mathrm{id} …(H2)
軌道角運動量を定義する際SO(3)の無限小変換の集合so(3)が必要になったのと同様の理由で、スピン角運動量の定義にはSpin(3) = SU(2) の「無限小変換」全体の集合spin(3)su(2)を用いるので、本節ではその具体的形と基本的な性質を調べる。(G4)、(G7)より、
\mathsf{spin}(3)=\mathsf{su}(2)=\Bigg\{ {\operatorname{d} U(t) \over \operatorname{d} t} \Bigg|_{t=0} ~:~U(t)は Spin(3)SU(2) 上の可微分な曲線で、t=0 のとき単位行列となる\Bigg\}.=\{A\in M_{2,2}(\mathbf{C}) ~:~ A^*=-A, ~ \mathrm{tr}A=0\}  ...(L1)
である。su(2) 上に内積
\langle A,B \rangle := 2\mathrm{tr}(AB^*)   …L2
を定義すると{1\over 2}\operatorname{tr}(\sigma\tau)と定義しているが、これはパウリ行列で貼られた空間に対してのものなので、これをsu(2)に写すと内積が本節で定義した形になる。、su(2) は実3次元分の自由度を持った計量ベクトル空間であるとみなせる。
次にsu(2) の基底について述べる。パウリ行列 σ1, σ2, σ3 を
\sigma_1 =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}\mbox{, } \quad
\sigma_2 =
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix} \mbox{, } \quad
\sigma_3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
…(L3)
により定義し、su(2)の元X1、X2、X3を
X_1=-{i\over 2} \sigma_1=
{1\over 2}
\begin{pmatrix}
0 & -i\\
-i & 0
\end{pmatrix},~~
X_2=-{i\over 2} \sigma_1=
{1\over 2}
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix},~~
X_3=-{i\over 2} \sigma_3=
{1\over 2}
\begin{pmatrix}
-i & 0\\
0 & i
\end{pmatrix}
....(L4)
により定義すると、(L1)、(L2)より次が成立することがわかる。
X1、X2、X3はspin(3) = su(2) 上の正規直交基底である。    ...(L5)
そこで3次元ベクトルx=(x, y, z)∈R3に対し、
X_{\mathbf{x}=xX_1+yX_2+zX_3=
-{i\over 2}(x\sigma_1+y\sigma_2+z\sigma_3)
=
{1\over 2}
\begin{pmatrix}
-iz & -y-ix\\
y-ix& iz
\end{pmatrix}    …(L6)
と定義すると、写像
\mathbf{x}\in\mathbf{R}^3\overset{\sim}{\to}X_{\mathbf{x}\in \mathsf{spin}(3)
により\mathbf{R}^3  と spin(3) = su(2) を計量ベクトル空間として同一視できる。しかもこの同一視において、以下が成立する:
X_{\mathbf{x} \times \mathbf{y} =[X_{\mathbf{x},X_{\mathbf{y}]
ここで「×」はクロス積であり、[A,B] = AB-BAは交換子積である。
Spin(3) = SU(2) は、α, β の実数を用いて
\mathrm{SU}(2)
=\left\{
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
-\bar{\beta} &\bar{\alpha}
\end{pmatrix}
\Bigg| \alpha,\beta\in \mathbf{C}, ~ |\alpha|^2+|\beta|^2=1
\right\}  …(X1)
と書き表すことができる事が簡単な計算から従う。
一方、n=(x, y, z)∈R3を単位ベクトルとし、パウリ行列を使って
\sigma_{\mathbf{n} = x\sigma_1+y\sigma_2+z\sigma_3  …(X2)
と定義すると簡単な計算により、
\sigma_{\mathbf{n}^2 = I
がわかる。よって行列Aに対する指数関数exp(A)を(A3)式のように定義すると、τ ∈ [0,2π]に対し、
\exp(i\tau\sigma_{\mathbf{n})= \sum_{j=0}^\infty {1\over j!} (i\tau \sigma_{\mathbf{n})^j
=\sum_{j~:~\text{even}{(i\tau)^j\over j!}I + \sum_{j~:~\text{odd}{(i\tau)^j\over j!}\sigma_{\mathbf{n}
=\cos(\tau) I + i\sin(\tau) \sigma_{\mathbf{n}     ...(X3)
が従う。
\theta = 2\tau
とすると、(L4)で述べたspin(3)su(2)の基底を用いてスピン群の元を次のように書き表す事ができる事が、(X1)、(X2)、(X3)からわかる:
Spin(3)SU(2)の任意の元Uは単位ベクトルn=(x, y, z)∈R3と
U=\exp(\theta X_{\mathbf{n})
の形で表記可能である。しかもS≠I, −Iであればこのように表記できるn、θは一意である。 ...(X4)
前の節で述べたように、su(2) は3次元の計量ベクトル空間なので、R3と同一視できる。U ∈ Spin(3)  SU(2)とY\in \mathsf{su}(2) \simeq \mathbf{R}^3に対し、UYU−1も\mathsf{su}(2) \simeq \mathbf{R}^3の元である事が簡単な計算からわかる。しかも線形写像Φ3(U)を
\Phi_3(U) ~:~Y \in \mathsf{su}(2)\simeq \mathbf{R}^3 \mapsto  UYU^{-1} \in \mathsf{su}(2) \simeq \mathbf{R}^3
と定義するとΦ3(U)が(L2)で定義された内積と空間の向きを保つ事を簡単な計算で確かめられる。すなわちΦ3(U)は回転変換であるので、Φ3(U)∈SO(3)である。
以上により、Spin(3) から SO(3) への準同型写像
\Phi_3 ~:~U\in \mathrm{Spin}(3)=\mathrm{SU}(2) \mapsto \Phi_3(U) \in \mathrm{SO}(3)
が定義できた。この Φ3の具体的表記は後の節で述べる。
(G14)に従い、Φ3が誘導する写像(Φ3)* を、
(\Phi_{3})_* ~:~\left.{\mathrm{d}U(t)\over \mathrm{d} t}\right|_{t=0}\in \mathsf{spin}(3)=\mathsf{su}(2) \mapsto \left. {\mathrm{d}\Phi_3(U(t))\over \mathrm{d} t}\right|_{t=0} \in \mathsf{so}(3)…(D1)
により定義する。このとき(Φ3)* は
(\Phi_3)_*(X_{\mathbf{x})=F_{\mathbf{x}     …(D2)
を満たす。成分で書けば
{1\over 2}
(\Phi_3)_*
\begin{pmatrix}
-iz & -y-ix\\
y-ix& iz
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 &-z &y\\
z& 0 &-x\\
-y&x&0
\end{pmatrix}
である。特に
(\Phi_3)_*~:~\mathsf{spin}(3)\overset{\sim}{\to} \mathsf{su}(2) …(D3)
は同型写像である。\exp(X_{\mathbf{x}(t)})
という形で表記できる。x=(x1,x2,x3)=x(0)とすると、任意のY=v1X1+v2X2+v3X3∈spin(3)=su(2)に対し、
(\Phi_3)_*(X_{\mathbf{x)Y=\left.{\operatorname{d} \over \operatorname{d}t}\Phi_3(\exp(X_{\mathbf{x}(t)}))Y\right|_{t=0}=\left.{\operatorname{d} \over \operatorname{d}t}\exp(X_{\mathbf{x}(t)})Y\exp(-X_{\mathbf{x}(t)})\right|_{t=0}
(X_1,X_2,X_3)
\begin{pmatrix}
0 &-x_3 &x_2\\
x_3& 0 &-x_1\\
-x_2&x_1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2\\
\end{pmatrix}
である。ここで[A,B]=AB-BAは交換子積である。
よってYの任意性と(G11)から以下の結論が得られる:
(\Phi_3)_*(X_{\mathbf{x})=F_{\mathbf{x}|drop=yes|title=(D2)の証明}
(G16)、(D2)より、
\Phi_3(\exp(\theta X_{\mathbf{x}))=\exp((\Phi_3)_*(\theta X_{\mathbf{x}))=\exp(\theta F_{\mathsf{x})    …(E1)
である。(X4)より、Spin(3)の元は何らかのθ∈[0,4π]を用いて、exp(θXx)の形に書けるので、上式によりΦ3の振る舞いを完全に記述可能である。
\Phi_3(\exp((\theta+2\pi) X_{\mathbf{n})) = \exp((\theta+2\pi) F_{\mathbf{n})=\exp(\theta F_{\mathbf{n})=\Phi_3(\exp(\theta X_{\mathbf{n}))
であるので、スピン群の定義(C1)で述べた、Φ3が2:1の写像であるという事実が確認できる。
Spin(3)SU(2)の元の成分表示(X1)を用いると、Φ3は下記のように表示できることも知られている:
\Phi_3
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
-\bar{\beta} & -\alpha
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\mathrm{Re}(\alpha^2-\beta^2) &\mathrm{Im}(\alpha^2+\beta^2)& -2\mathrm{Re}(\alpha\beta)\\
-\mathrm{Im}(\alpha^2-\beta^2) &\mathrm{Re}(\alpha^2+\beta^2) & 2\mathrm{Im}(\alpha\beta)\\
2\mathrm{Re}(\alpha\bar{\beta}) &2\mathrm{Im}(\alpha\bar{\beta})&|\alpha|^2-|\beta|^2\\
\end{pmatrix}
以上の準備の元、スピン角運動量を定義する。
\pi~:~\mathrm{Spin}(3) \to \mathrm{U}(V_s)
を Spin(3)=SU(2) の Vs上の既約ユニタリ表現とする(そのようなユニタリ表現の存在性と(同型を除いた)一意性は定理3で保証される)。なお s=1/2 に対するVs、πs は(H1)、(H2)にすでに記載した。それ以外のsに対するVs、πs は次節以降に後述する。
\Phi_3 ~:~ \mathrm{Spin}(3) \to \mathrm{SO}(3)
を(C1)式で述べた、Spin(3) から SO(3)への 2:1 写像とする(この写像の具体的な形は(E1)式を参照)。これらの写像を図にすると以下のとおりである。ここで記号「G{}^{\curvearrowright}V」はGがベクトル空間V上の行列群である事を意味する(すなわちGはVに作用する)。
\begin{array}{rl}
\mathrm{Spin}(3) &\xrightarrow
{~~~~~\pi~~~~~}{}\mathrm{U}(V_s){}^{\curvearrowright} V_s\\
\Phi_3\downarrow &\\
SO(3) & {}^{\curvearrowright} \mathbf{R}^3
\end{array}
πs が誘導する写像 (πs)*を以下のように定義する:
\pi_* ~:~\left.{\operatorname{d} U(t) \over \operatorname{d} t}\right|_{t=0} \in \mathsf{spin}(3)=\mathsf{su}(2)
\mapsto \left.{\operatorname{d} \pi_s(U(t)) \over \operatorname{d} t}\right|_{t=0} \in \{V_s上のエルミート演算子\}     …(F1)
同様に Φ3 が誘導する(Φ3)* を(D1)式のように定義すると、(Φ3)* は(D2)式のように書け、(D3)より
(\Phi_{3})_* ~:~ \mathsf{spin}(3) \overset{\sim}{\to} \mathsf{so}(3)
である。
単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ R3に対し無限小回転 Xn ∈ su(2) を(L6)式のように定義し、合成写像
X_{\boldsymbol{n}\in \mathsf{spin}(3) \overset{(\pi_s)_*}{\to}\{V_s上の歪エルミート演算子\}\overset{\times i\hbar}{\to}\{V_s上のエルミート演算子\}
\hat{S}_{\mathbf {n} }=i\hbar\cdot (\pi_s)_* (X_{\mathbf {n} })      …(F2)
を考えると、(D2)より、
\hat{S}_{\mathbf {n} }=i\hbar\cdot (\pi_s)_* (X_{\mathbf {n} })=i\hbar\cdot (\pi_s)_*((\Phi_3)_*{}^{-1}(F_{\mathbf {n} }))
と書けるので、\hat{S}_{\mathbf{n}は3次元空間上の無限小回転Fnに対応する演算子とみなせる。
この\hat{S}_{\mathbf{n}を、n'を回転軸にもつスピン角運動量演算子と呼ぶは射影表現を使って定義しているので、これをスピンのユニタリ表現に読み替える必要がある。。
x軸(1,0,0)、y軸(0,1,0)、z軸(0,0,1)∈\mathbf{R}^3を回転軸に持つスピン角運動量演算子を\hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_zとすると、
\begin{array}{rcl}
\hat{S}_x &=& i\hbar(\pi_s)_*(X_1)\\
\hat{S}_y &=& i\hbar(\pi_s)_*(X_2)\\
\hat{S}_z &=& i\hbar(\pi_s)_*(X_3)
\end{array}
となる。よって(G15)より、軌道角運動量と同様、以下の交換関係が成り立つ:
\begin{align}
\left[ \hat{S}_x , \hat{S}_y \right] = (i\hbar)^2(\pi_s)_*([X_1,X_2])
=i\hbar\cdot i\hbar(\pi_s)_*(X_3)=i\hbar\hat{S}_z\\
\left[ \hat{S}_y , \hat{S}_z \right] = (i\hbar)^2(\pi_s)_*([X_2,X_3])
=i\hbar\cdot i\hbar(\pi_s)_*(X_1)=i\hbar\hat{S}_x\\
\left[ \hat{S}_z , \hat{S}_x \right] = (i\hbar)^2(\pi_s)_*([X_3,X_1])
=i\hbar\cdot i\hbar(\pi_s)_*(X_2)=i\hbar\hat{S}_y
\end{align}
次に回転軸の異なるスピン角運動量の関係を見る。n、m∈R3を2つの単位ベクトルとし、nとmが回転行列Rにより、
\mathbf{n}=R\mathbf{m}
で移り合っていたとする。写像Φ3  :  Spin(3)=SU(2) → SO(3)は2:1の全射であるので、
R=\Phi_3(U)=\Phi_3(-U)
を満たすUが存在する。
スピン角運動量演算子\hat{S}_{\mathbf{n}、\hat{S}_{\mathbf{l}はその定義より、Vs上のユニタリ演算子であり、両者は
\hat{S}_{\mathbf{n}=\pi_s(U)\hat{S}_{\mathbf{m}\pi_s(U)^{-1}
という関係で結ばれる。ここで右辺は\hat{S}_{\mathbf{l}とπs(U)の行列としての積である。
(\Phi_3)_*(X_{\mathsf{n)=F_{\mathsf{n}=RF_{\mathsf{m}R^{-1}=(\Phi_3)_*(UX_{\mathsf{m}U^{-1})
なので、(Φ3)*が同型写像である事から、
X_{\mathsf{n}=UX_{\mathsf{m}U^{-1}
よって任意のt∈Rに対し、
\exp(tX_{\mathsf{n})=\exp(tUX_{\mathsf{m}U^{-1})
=\sum_n{1\over n!}(tUX_{\mathsf{m}U^{-1})^n=\sum_n{1\over n!}U(tX_{\mathsf{m})^nU^{-1}
=U(\sum_n{1\over n!}(tX_{\mathsf{m})^n)U^{-1}
=U\exp(tX_{\mathsf{m})U^{-1}
\hat{S}_{\mathbf{n}=i\hbar(\pi_s)_*(X_{\mathbf{n})=i\hbar\left.{\operatorname{d}\over \operatorname{d}t}\pi_s(\exp(tX_{\mathbf{n}))\right|_{t=0}
=i\hbar\pi_s(U)\left.{\operatorname{d}\over \operatorname{d}t}\pi_s(\exp(tX_{\mathbf{m}))\right|_{t=0}\pi_s(U)^{-1}=i\hbar\pi_s(U)(\pi_s)_*(X_{\mathbf{m})\pi_s(U)^{-1}=i\hbar\pi_s(U)\hat{S}_{\mathbf{m}\pi_s(U)^{-1}
|drop=yes}
スピン量子数sが1/2である場合、スピノール空間は(H1)より
V_{1/2}=\mathbf{C}^2
であり、単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ R3を回転軸に持つスピン角運動量演算子は、(H2)、(L6)、(F1)、(F2)より、
\hat{S}_{\mathbf {n} }=i\hbar\cdot (\pi_s)_* (X_{\mathbf {n} })=i\hbar\cdot \mathrm{id} (-{i\over 2}(x\sigma_1+y\sigma_2+z\sigma_3)) = {\hbar\over 2}(x\sigma_1+y\sigma_2+z\sigma_3)
である。よって特に、 {\hbar \over 2} \sigma_x = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix}
0 && 1 \\
1 && 0
\end{pmatrix}
\hat{S}_y = {\hbar \over 2} \sigma_y = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix}
0 && -i \\
i && 0
\end{pmatrix}
\hat{S}_z = {\hbar \over 2} \sigma_z = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix}
1 && 0 \\
0 && -1
\end{pmatrix}
\hat{S}_{\mathbf{n}はnによらず常に固有値
{\hbar\over 2}, -{\hbar\over 2}
を持つ。
それぞれの規格化された固有ベクトルは、次のとおりとなる。
\begin{align}
&|s_{x,+}\rangle = \frac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, & &|s_{x,-}\rangle = \frac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\
&|s_{y,+}\rangle = \frac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, & &|s_{y,-}\rangle = \frac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \\
&|s_{z,+}\rangle =                  &\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, & &|s_{z,-}\rangle =                  &\begin{pmatrix} 0 \\  1 \end{pmatrix}
\end{align}
本節では3次元スピン群Spin(3)SU(2)のユニタリ表現について詳細に述べ、これを土台として軌道角運動量、スピン角運動量、およびそれらの和である全角運動量の性質を調べる。
nを3次元空間の単位ベクトルするとき、nを回転軸に持つ一粒子の軌道角運動量はSO(3)のユニタリ表現λが誘導する写像λ*と同型写像(\Phi_3)_*~:~\mathsf{spin}(3) \overset{\sim}{\to}\mathsf{so}(3)を用いて
\hat{L}_{\mathbf{n}=i\hbar\lambda_*(F_{\mathsf{n})=i\hbar\lambda_*\circ(\Phi_3)_*(X_{\mathsf{n})\in\{L^2(\mathbf{R}^3) 上のユニタリ演算子\}
と表記できる事が(J1)と(D2)から従う。ここで「\circ」は関数の合成である。一粒子のスピン角運動量も(F2)から
\hat{S}_{\mathbf {n} }=i\hbar\cdot (\pi_s)_* (X_{\mathbf {n} })\in \{V_s上の歪エルミート演算子\}
と定義されていた。
nを回転軸に持つ一粒子の全角運動量演算子\hat{J}_{\mathbf{n}を
\hat{J}_{\mathbf {n}=\hat{L}_{\mathbf {n}\otimes \mathrm{id}+\mathrm{id}\otimes\hat{S}_{\mathbf {n}\in\{L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s上の歪エルミート演算子\}
と定義すると、
\hat{J}_{\mathbf{n}=i\hbar(\lambda_*\circ(\Phi_3)_*\otimes\mathrm{id}+\mathrm{id}\otimes(\pi_s)_*)(X_{\mathsf{n})
と表記できる。(\lambda_*\circ(\Phi_3)_*\otimes\mathrm{id}+\mathrm{id}\otimes(\pi_s)_*) は
\rho~:~\exp(A)\in\mathsf{Spin}(3)\to \exp((\lambda_*\circ(\Phi_3)_*\otimes\mathrm{id}+\mathrm{id}\otimes(\pi_s)_*)(A))\in\{L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s 上のユニタリ演算子\}
が誘導する写像であるので、一粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量のいずれも
i\hbar\times (Spin(3)のユニタリ表現が誘導する写像)(Xn)   …(K1)
という形で書けている事がわかる。
複数粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量は一粒子のものの和として表記できるので、やはり(K1)の形で表記できる事がわかる。
よってSpin(3)のユニタリ表現の具体的な形を特定する事ができれば、(一粒子もしくは複数粒子に対する)軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量を具体的に書き下す事ができる。そこで本設では、Spin(3)のユニタリ表現を具体的な形で書き下し、Spin(3)のユニタリ表現を使って(K1)の形で表記できる演算子の性質を調べる。
u≧0を整数もしくは半整数とし、Wuを2u+1次元の複素計量ベクトル空間とする。具体的には
一粒子のスピン角運動量を考える場合は、usで、Wuはスピノール空間Vs
一粒子の軌道角運動量を考える場合は、WuはL2(R3)の2u+1次元部分空間
一粒子の全角運動量を考える場合は、WuはL^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_sの2u+1次元部分空間
を想定している。複数粒子の場合も同様である。定理1より、Spin(3)のWs上での既約ユニタリ表現が同型を除いて一意に存在するので、この既約ユニタリ表現を
D^{u}~:~\mathrm{Spin}(3)\to \mathrm{U}(W_u)
と表記する。(H1)、(H2)ですでに述べたように、
W_{1/2}=\mathbf{C}^2
D^{1/2}=\mathrm{id}
である。
一般のuに対するWuとDuはW1/2とD1/2から構成できる。
Wuを構成する準備として、対称テンソル積を定義する。W1/2の2u個のコピーのテンソル積
W_{1/2}{}^{\otimes 2u}=\underbrace{W_{1/2}\otimes~\cdots~\otimes W_{1/2}_{2u}
を考え、W_{1/2}{}^{\otimes 2u}の元\psi=\sum_{j}\phi_{j,1}\otimes \cdots \otimes \phi_{j,2u}に対し、ψの対称化を
\mathcal{S}(\psi):=\sum_j\phi_{j,1}\odot~\cdots~\odot\phi_{j,2u}