合同ゼータ関数
数学において、q 個の元をもつ有限体 Fq 上で定義された非特異射影代数多様体 V の合同ゼータ関数 (congruent zeta function) Z(V, s)(または局所ゼータ関数 (local zeta function))とは、Nm を Fq の m 次拡大体 Fqm 上の V の(有理)点の数(定義方程式の解の個数)としたとき、
Z(V, s) = \exp\left(\sum_{m = 1}^\infty \frac{N_m}{m} (q^{-s})^m\right)
で定義される。変数変換 u  q-1 を行うと、これは u の形式的冪級数として
\mathit{Z} (V,u) = \exp
\left( \sum_{m=1}^{\infty} N_m \frac{u^m}{m} \right)
で定義される。
あるいは同じことだが、
(1)\ \ \mathit{Z} (V,0) = 1
(2)\ \ \frac{d}{du} \log \mathit{Z} (V,u) = \sum_{m=1}^{\infty} N_m u^{m-1}
が定義に採用されることもある。
言い換えると、合同ゼータ関数 Z(V, u) とは、有限体 F 上で V を定義する方程式の F の k 次拡大体 Fk における解の数の生成母関数が、Z(V, u) の対数微分となるような関数とも定義できる。
有限体 F  Fq が与えられたとき、自然数 k  1, 2, ... に対し、拡大次数が [ Fk : F ]  k である体 Fk  Fqk が同型を除き一意に存在する。F 上の多項式からなる方程式系、あるいは、代数多様体 V が与えられると、Fk における解の数 Nk を数えることができ、その生成母関数
G(t) = N_1t + N_2t^2/2 + N_3t^3/3 +\dotsb
を作ることができる。
局所ゼータ関数 Z(t) の定義は、log Z が G に等しくなるようにする。つまり、
Z(t) = \exp (G(t))
とする。
G(0)  0 だから Z(0)  1 である。また、Z(t) はア・プリオリに形式的冪級数である。
Z(t) の対数微分
Z'(t)/Z(t)
は、生成母関数 G(t) の微分
G'(t) = N_1 +N_2t^1 + N_3t^2 +\dotsb
に等しい。
まず、一点からなる多様体を考え、多様体の定義方程式を X  0 とする。この定義方程式は、拡大次数 k がどのような値であっても、方程式の解の数は、Nk  1 となる。このことから全ての k に対し、形式的べき級数の各係数が 1 である場合と、V を一点からなる多様体として取ることとが対応する。従って、
G(t) = -\log(1 - t)
は、!t ! < 1 に対する対数の展開であり、
Z(t) = \frac{1}{(1 - t)}
となる。
さらに興味深い例は、V を F 上の射影直線(projective line)としたときである。F が q 個の元を持つとすると、この多様体は q + 1 個の点を持ち、この +1 個は無限遠点と考えるべきである。このことから、
N_k = q^k + 1
となり、!t ! が充分小さいとき、
G(t) = -\log(1 - t) -\log(1 - qt)
となることが分かる。
この場合には、
Z(t) = \frac{1}{(1 - t)(1 - qt)}
となる。
これらの関数を最初に研究したのは、1923年のエミール・アルティン(Emil Artin)であった。彼は、超楕円曲線の場合の結果を得て、さらに曲線一般への適用として、理論の主要な点を予想とした。この理論は、F. K. シュミット(F. K. Schmidt)とヘルムート・ハッセ(Helmut Hasse)により開発された。 局所ゼータ関数の非自明で最初な例は、カール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)のDisquisitiones Arithmeticaeの論文 358 により、暗に与えられていた。虚数乗法をもつ有限体上の楕円曲線の特別な例は、円分の方法(cyclotomy)により、それらの解の個数を数えることができる。
定義やいくつかの例については、も参照。
G と Z の定義の間の関係は、多くの方法で説明することができる(例えば、以下の Z の無限積の公式を参照)。実際は、(一般の代数多様体に対しても、)この方法は、V が有限体上の楕円曲線 V の場合のように、Z は t の有理関数となっている。
関数 Z は多重のとなっていて、大域的ゼータ関数(global zeta function)を得る。これらは、異なる有限体を意味していて、p が全ての素数を渡るときの体 Z/pZ の族の全体を意味している。これらの関係の中で、変数 t は p-s が代入される。この s はディリクレ級数に使われる伝統的な複素数変数である。詳細はハッセ・ヴェイユのゼータ関数を参照。
このように理解すると、例で使われた 2つの場合の Z の積は、\zeta(s) と \zeta(s)\zeta(s-1) となる。
F 上の非特異な射影曲線 C に対し、g を曲線 C の種数とし、P(t) を曲線を定義する次数 2g の多項式とすると、
Z(t) = \frac{P(t)}{(1 - t)(1 - qt)}
となる。
P(t)=\prod^{2g}_{i=1}(1-\omega_i u)
と書くと、有限体上の曲線のリーマン予想は、
|\omega_i|=q^{1/2}
となるということを言う。
例えば、楕円曲線の場合は、2つの根を持っていて、根の絶対値が q1/2 であることを容易にしめすことができる。楕円曲線のハッセの定理は、2つの根が同じ絶対値を持ち、このことは(楕円曲線の)点の数の直接的な結果であることを言っている。
アンドレ・ヴェイユ(André Weil)は1940年頃、このことを一般的な場合に証明した (Comptes Rendus note, April 1940) が、代数幾何学を建設するために多くの時間を注ぎ込んだ。このことから、彼はヴェイユ予想へ至り、グロタンディエク(Grothendieck)はこの予想の解決のため、スキーム論を開発し、最終的に予想は後に、ドリーニュ(Deligne)により証明されることとなった。一般論の基本公式については、エタールコホモロジーを参照。
Z(X,t)=\prod_{i=0}^{2\dim X}\det\big(1-t \mbox{Frob}_q |H^i_c(\overline{X},{\Bbb Q}_\ell)\big)^{(-1)^{i+1}.
この式は、フロベニウス写像に対するレフシェッツ不動点定理の結果である。
ここに X は、q 個の元を持つ有限体 F 上の有限タイプの分離的スキームであり、Frobq は \overline{X} のコンパクトな台を持つ幾何学的フロベニウス作用である。\overline{X} は F の代数的閉体への X のリフトである。このことは、ゼータ関数が t の有理関数であることを示している。
Z(X, t) の無限積公式は、
Z(X, t)=\prod\ (1-t^{\deg(x)})^{-1}
である。ここに、積は X の閉点 x 全てを渡り、deg(x) は x の次数である。局所ゼータ関数 Z(X, t) は q-s の変数変換を通して、複素数変数 s の関数と見ることができる。
上で議論した X が多様体 V の場合は、閉点は \overline{V} 上の点 P の同値類 x = [P] のこととなり、2つの点の同値とは F 上で共役なこととなる。x の次数は P の座標により生成される F の拡大次数である。無限積 Z(X, t) の対数微分は、容易に、上で議論した生成母関数と見なすことができる。すなわち、
N_1 +N_2t^1 + N_3t^2 +\cdots
である。