スピン角運動量
物理学スピン角運動量(スピンかくうんどうりょう、spin angular momentum)は、量子力学上の概念で、粒子が持つ固有の角運動量である。単にスピンとも呼ばれる。ここでいう「粒子」は電子やクォークなどの素粒子であっても、ハドロンや原子核や原子など複数の素粒子から構成される複合粒子であってもよい。換算プランク定数 \hbar を単位として量子数 s で表す。なお、粒子の角運動量には、スピン以外にも粒子の回転運動に由来する角運動量である軌道角運動量が存在し、スピンと軌道角運動量の和を全角運動量と呼ぶ。
「スピン」という名称はこの概念が粒子の「自転」のようなものだと捉えられたという歴史的理由によるものであるが、現在ではこのような解釈は正しいとは考えられていない。なぜなら、スピンは古典極限 ħ→0において消滅する為、スピンの概念に対し、「自転」をはじめとした古典的な解釈を付け加えるのは全くの無意味だからである。
スピン量子数 s が半整数 1/2, 3/2, … になる粒子をフェルミ粒子(フェルミオン)、整数 0, 1, 2, … になる粒子をボース粒子(ボゾン)といい、両者の物理的性質は大きく異る(詳細はそれぞれの項目を参照)。
2016年現在知られている範囲において、
フェルミオンのスピン量子数は全て 1/2 である。
ボゾンはヒッグス粒子のみスピン量子数が 0 であり、それ以外のボゾンのスピン量子数は 1 である。
複合粒子のスピン量子数はそれ以外の値も取りうるが、単純に複合粒子を構成する素粒子のスピン量子数の合計値になるわけではない。例えばヘリウム原子を構成する素粒子である電子やクォークはいずれもフェルミオンであり、したがってそのスピン量子数は半整数であるが、ヘリウム原子のスピン量子数は 0 である。
s の値と統計性の間のこのような関係は、相対論的な場の量子論によって説明できる。
非相対論的な量子力学において、スピン角運動量はそれ以外のオブザーバブルとは大きく異る振る舞いをする為、スピン角運動量を記述するためだけに理論の修正を迫られる。それに対し相対論的量子力学では、例えばディラック方程式の定義それ自身にスピンの概念が織り込まれているなど、より自然な形でスピンが定式化される。
ナトリウムのスペクトルを観測する実験で、磁場においたD線が 2 本に分裂することが発見され(ゼーマン効果)、これは電子がいまだ知られていない 2 値の量子自由度があるためと考え、1925年にウーレンベックとゴーズミットは、電子は原子核の周りを公転する軌道角運動量の他に、電子が質点ではなく大きさを持ち、かつ電子自身が自転しているのではないか、という仮説をたてた。この仮定では、その自転の角運動量の大きさが\hbar/2であるとし、自転の回転方向が異なるため、公転に伴う角運動量との相互作用でエネルギー準位が2つに分裂したと考えると実験の結果をうまく説明できた。そしてこの自由度を電子のスピン角運動量と呼んだ。
ただし、実際にこの仮定通りスピン角運動量が電子の自転に由来していると考えると、電子が大きさを持ち、かつ光速を超える速度で自転していなければならないことになり、これは特殊相対論と矛盾してしまう。そのため、1925年にラルフ・クローニッヒによって提案されたものの、パウリによって否定されていた。パウリは、自転そのものを考えなければならない古典的な描像を捨て、一般の角運動量 \hbar \hat{\mathbf{J} の固有値として半整数の価が許されることに注目し、この半整数の固有値をスピン角運動量とした。
その後発展した標準模型においても、電子は大きさ 0 の質点として扱っても実験的に高い精度で矛盾がなく、電子に内部構造があるか(スピン角運動量などの内部自由度に起源があるか)はわかっていない。
本稿では以下、特に断りがない限り非相対論な量子力学に対するスピンの概念について述べる。
本節ではまず回転群とユニタリ群について紹介し、次にこれらの概念を使って軌道角運動量の概念を回転対称性の観点から定式化する。本節で軌道角運動量の概念を復習するのは、次節以降、軌道角運動量の定義を参考にしながらスピン角運動量の概念を定式化する為である。
スピン角運動量演算子の定義に必要な数学的知識を簡単に述べる。Rを実数全体の集合、Cを複素数全体の集合とする。3次元空間R3における回転行列全体の集合を
\mathrm{SO}(3)=\{R\in M_{n,n}(\mathbf{R})~:~{}^tRR=I,~\det R =1\}
と表記する。ここで M_{n,n}(\mathbf{R}) は n 行 n 列の実行列全体の集合であり、I は単位行列であり、tR は R の転置行列である。SO(3) は行列の積に関して群をなすので、SO(3) を3次元回転群という。
SO(3) のように、「滑らかな」構造を持った群をリー群という(厳密な定義はリー群の項目を参照)。特にSO(3) のように行列からなるリー群を行列リー群あるいは単に行列群という。本項で登場するリー群は以下の行列群に限られる。そこで本項ではリー群の一般論を展開するのは避け、以下の行列群に限定して話をすすめる。 以下でVは複素計量ベクトル空間であり、Iは単位行列であり、A*はAのエルミート共役である:
3次元回転群\mathrm{SO}(3)=\{R\in M_{n,n}(\mathbf{R})~:~{}^tRR=I,~\det R =1\}    …(G1)
ユニタリ群\mathrm{U}(V) = \{U ~:~V 上の線形写像で、UU^*=I\}    …(G2)
特殊ユニタリ群\mathrm{SU}(V) = \{U ~:~V 上の線形写像で、UU^*=I,~\mathrm{det}U=1\}   …(G3)
ベクトル空間VがCnである場合は、U(V)、SU(V)の事をそれぞれU(n)、SU(n)と表記する。
GをSO(3)、U(V)、SU(V)のいずれかとするとき、集合
\mathsf{g} = \Bigg\{ {\operatorname{d} R(t) \over \operatorname{d} t} \Bigg|_{t=0} ~:~R(t)は G 上の可微分な曲線で、t=0 のとき単位行列となる\Bigg\}    …(G4)
をGのリー環と呼び、\mathsf{g}の元をG上の無限小変換と呼ぶ。リー「環」という名称なのは、\mathsf{g}が行列の交換子積
[A,B] =AB-BA
に関して環をなすからである。SO(3)、U(V)、SU(V)のリー環はそれぞれ、
\mathsf{so}(3)=\{F\in M_{n,n}(\mathbf{R}) ~:~ {}^tF = -F\}     …(G5)
\mathsf{u}(V)=\{A~:~AはV上の線形写像で、A^*=-A\}=\{A~:~AはV上の歪エルミート演算子\}    …(G6)
\mathsf{su}(V)=\{A~:~はV上の線形写像で、A^*=-A,~\mathrm{tr}A=0\}    …(G7)
である。so(3)が上述した形になるのは以下の理由による。R(t)をSO(3) 上の可微分な曲線で、t=0 のとき単位行列となるものとすると、SO(3) の定義より、
{}^tR(t)R(t) = I
なので、その t = 0 での微分は
\left.0}
+\left.{\operatorname{d} R(t)\over \operatorname{d} t}\right,F_{\mathbf{y}]=F_{\mathbf{x}\times\mathbf{y}   …(G13)
ここで「×」はクロス積である。G、HをSO(3)、U(V)、SU(V)のいずれかとし、\mathsf{g}、\mathsf{h}をG、Hのリー環とする。(すなわち\mathsf{g}、\mathsf{h}はso(3)、u(V)、su(V)のいずれかである)。
\pi~:~G\to H
をGからHへの可微分な準同型写像とする。このときπが誘導する写像π*を
\pi_*~:~ {\operatorname{d} R(t) \over \operatorname{d} t}\Bigg|_{t=0} \in \mathsf{g} \mapsto {\operatorname{d} \pi(R(t)) \over \operatorname{d} t}\Bigg|_{t=0}\in\mathsf{h}     …(G14)
により定義すると、この写像はwell-definedになる。しかもこの写像はリー環としての準同型写像になることが知られている。すなわち
\pi_*([A,B]) = [\pi(A),\pi(B)]       …(G15)
である。
πが誘導する写像π*と行列の指数関数expは以下の関係を満たす:
任意のA \in \mathsf{g}に対し、\pi(\exp(A)) = \exp(\pi_*(A))          …(G16)
(非相対論的な)量子力学において、波動関数全体の集合はヒルベルト空間 \mathcal{H}として記述可能であり、(スピンを考慮しない)一粒子からなる系の場合、\mathcal{H} は3次元ユークリッド空間 R3 上のL2 空間と等しい、すなわち
{\cal H} = L^2(\mathbf{R}^3)
である。
軌道角運動量演算子は、空間の回転に対する対称性として導出される。 そこで軌道角運動量演算子を導出するため、回転行列によって波動関数がどのように変化するかを調べる。3次元の回転行列全体のなすリー群を SO(3) と書くとき、回転行列 R ∈ SO(3) により座標系を回転したとき、波動関数 ϕ(x) は ϕ(R−1x) に移動する。すなわち、各回転行列 R ∈ SO(3) に対し、波動関数の空間 L^2(\mathbf{R}^3) 上にユニタリ演算子
\lambda(R) ~:~   L^2(\mathbf{R}^3)\to  L^2(\mathbf{R}^3),~~\phi(\boldsymbol{x}) \mapsto \phi(R^{-1}\boldsymbol{x})
が定義される。
複素計量ベクトル空間V上のユニタリ演算子全体のなす群をU(V)とするとき、回転行列 R に対し複素ベ クトル空間L^2(\mathbf{R}^3) 上のユニタリ演算子 λR を対応させる(連続準同型)写像
\lambda~:~R \in \mathrm{SO}(3) \mapsto \lambda(R) \in \mathrm{U}( L^2(\mathbf{R}^3))
を SO(3) のL^2(\mathbf{R}^3)上のユニタリ表現という。
一方、SO(3) に対応する「無限小変換」全体の集合 so(3) を(G1)のように定義し、(G14)に従ってλが誘導する写像λ*を
\lambda_*~:~ {\operatorname{d} R(t) \over \operatorname{d} t}\Bigg|_{t=0} \in \mathsf{so}(3) \mapsto {\operatorname{d} \lambda(R(t)) \over \operatorname{d} t}\Bigg|_{t=0}\in\{ L^2(\mathbf{R}^3)上の歪エルミート演算子\}
そこで単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ R3に対し、Fnを(G11)のように定義し、虚数単位 i と換算プランク定数ħを用いて、
\hat{L}_{\mathbf{n}=i\hbar\lambda_*(F_{\mathbf{n})  …(J1)
と定義すると、\hat{L}_{\mathbf{n}はL2(R3)上のエルミート演算子になる。この演算子は「無限小回転Fnに対応する演算子」であり、この演算子を軸 n = (x, y, z) ∈ R3の周りの軌道角運動量演算子と呼ぶ。
例えば z 軸の周りの軌道角運動量\hat{L}_z が球面座標系 (r, θ, φ) を用いて
\hat{L}_z=-i\hbar{\partial \over \partial \varphi}
と表記できる事を以下のように確認できる。ψを任意の波動関数とすると、(G10)、(G12)より
\hat{L}_z\psi(r,\theta,\varphi) =i\hbar\lambda_*(F_{(1,0,0)})\psi(r,\theta,\varphi)
=
\lambda_*\left({\operatorname{d}\over \operatorname{d} t}\exp(tF_{(1,0,0)})\Bigg|_{t=0}\right)\psi(r,\theta,\varphi)
= i\hbar{\operatorname{d}\lambda(\exp(tF_{(1,0,0)}))\over \operatorname{d} t}\Bigg|_{t=0}\psi(r,\theta,\phi)
=  i\hbar{\operatorname{d}\over \operatorname{d} t}\psi(r,\theta,\varphi-t)\Bigg|_{t=0}
= -i\hbar{\partial \over \partial \varphi}\psi(r,\theta,\varphi)
さらに x 軸、y 軸の周りの軌道角運動量をそれぞれ\hat{L}_x、\hat{L}_yとし、Fx=F(1,0,0)、Fy=F(0,1,0)、Fz=F(0,0,1)とすると、(G15)、(G13)より交換関係
[\hat{L}_x,\hat{L}_y]=(i\hbar)^2\lambda_*([F_x,F_y])=(i\hbar)^2\lambda_*(F_z)=\hat{L}_z
[\hat{L}_y,\hat{L}_z]=(i\hbar)^2\lambda_*([F_y,F_z])=(i\hbar)^2\lambda_*(F_x)=\hat{L}_x
[\hat{L}_z,\hat{L}_x]=(i\hbar)^2\lambda_*([F_z,F_x])=(i\hbar)^2\lambda_*(F_z)=\hat{L}_y
が従う。
2つの軸に関する軌道角運動量演算子は、SO(3) のユニタリ表現 λ によって結ばれる。すなわち、R を回転行列で z 軸を w 軸に移すものとすると、w 軸の周りの軌道角運動量\hat{L}_w は合成写像
\hat{L}_w = \lambda(R)\hat{L}_z \lambda(R)^{-1}
である。
前節まで述べたように、軌道角運動量演算子は粒子の位置を表す(x,y,z)による3次元空間上の回転対称性として定義できる。それに対しスピンはそのような定式化ができない。様々な物理実験から、スピンは(x,y,z)とは独立な粒子の第四の内部自由度である事が知られているからである。これが原因で、スピンを考慮した場合、波動関数全体のなすヒルベルト空間 \mathcal{H} は一粒子系であっても  \mathcal{H}はL2(R3) とは等しくならない。
したがってスピンを記述するには、スピンの状態ベクトルの空間Vs をL2(R3)とは別個に用意し、
\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s
を考える必要があるL^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_sではなく\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\hat{\otimes} Vと書いてあるが、 V=V_sが有限次元であるため両者は同一である(同ページDef17.21の直前の記述)。。ここで添字s ≥ 0は整数もしくは半整数であり、Vsは2s+1 次元の複素計量ベクトル空間である。
一粒子系の波動関数の空間  \mathcal{H}が上述のように表記できるとき、s をその粒子のスピン量子数という。Vs をスピノール空間、Vs の元をスピノールという。s が整数ではない半整数になるときその粒子をフェルミオンといい、s が整数になるときその粒子をボゾンという。
多くの物理の教科書では、スピンを考慮した波動関数\psi\in\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_sを二通りの方法で表記する。そこで次にこの二通りの表記方法を紹介する。
テンソル積の定義より、波動関数\psi\in\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_sは
\psi=\sum_j \phi_j(x,y,z)\otimes \sigma_j     …(B1)
という形に成分表示できる。ここで\phi_j(x,y,z)はL2(R3)の元であり、σjはVsの元である。そこで、
\varphi_j(x,y,z,\sigma) := \phi_j(x,y,z)\otimes \sigma
と定義すれば、
\psi=\sum_j \varphi_j(x,y,z,\sigma_j)
である。このように表記すると、スピン(を表すスピノール)σjが(x,y,z)とは独立の第四の内部自由度である事がわかりやすい。
スピンを考慮した波動関数ψの成分表示(B1)を別の角度から解釈する。スピンを考慮した波動関数ψに対し、ψ(x,y,z)を
\psi'(x,y,z):=\sum_j \phi_j(x,y,z) \cdot\sigma_j \in V_s
と定義する事ができる。なお上式で「・」はベクトルσjの\phi_j(x,y,z)によるスカラー倍である。スピンを考慮しない通常の波動関数が1次元複素計量ベクトル空間Cに値を取るのに対し、ψ(x,y,z)は2s+1次元複素計量ベクトル空間Vsに値を取る波動関数であるとみなせる。スピンを考慮した波動関数ψを、Vsに値を取る波動関数とみなしたものを、ψのスピノール表示という。
多くの物理の教科書では、Vsの元を成分表示した形で紹介している。e−s, e−(s − 1), …, es − 1, es をVsの基底とするとき、ψ(x,y,z)は必ず
\psi'(x,y,z):=\sum_j \phi'_j(x,y,z) \cdot e_j \in V_s
の形で表記できるので、ψ(x,y,z)はベクトル
\begin{pmatrix}
\phi'_{-s}(x,y,z)\\
\vdots\\
\phi'_s(x,y,z)\\
\end{pmatrix}
と成分表示できる。
なお基底 e−s, e−(s − 1), …, es − 1, es は通常、(何らかの軸に関する)スピン演算子に対応した固有ベクトルとする。
量子力学においてスピンを考慮しない場合のオブザーバブル\hat{A}は、L2(R3) 上のエルミート演算子として定式化されている。スピンを考慮した場合、この演算子\hat{A}を
\hat{A} \otimes \mathrm{id} ~:~ L^2(\mathbf{R}^3) \otimes V_s \to L^2(\mathbf{R}^3) \otimes V_s, \sum_j \phi_j(x,y,z)\otimes \sigma_j \mapsto \sum_j \hat{A}(\phi_j(x,y,z))\otimes \sigma_j
と同一視する事で、スピンを考慮した波動関数の空間\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s上のオブザーバブルとみなす。(ここでidは恒等写像である)。
後述するように、スピン角運動量演算子は、Vs上のエルミート演算子として定式化できるが、これも同種の同一視により、\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s上のオブザーバブルとみなす。すなわち\hat{S}を(何らかの軸に関する)スピン角運動量とするとき、\hat{S}は
\mathrm{id} \otimes \hat{S} ~:~  L^2(\mathbf{R}^3) \otimes V_s \to  L^2(\mathbf{R}^3) \otimes V_s,~~\sum_j \phi_j(x,y,z)\otimes \sigma_j \mapsto \sum_j \phi_j(x,y,z)\otimes \hat{S}(\sigma_j)
と同一視する。
軌道角運動量演算子がL^2(\mathbf{R}^3)上の「無限小回転に対する演算子」として定義可能であったのと同様、スピン角運動量演算子は Vs に対する無限小回転に対する演算子として定義する事ができる。しかしながら、軌道角運動量演算子の定義におけるL^2(\mathbf{R}^3)を単純に Vs に置き換えただけではスピン角運動量演算子は定義できない。これは次の理由による。
軌道角運動量演算子の場合、3次元回転行列群 SO(3) のL^2(\mathbf{R}^3)上のユニタリ表現
\lambda(R(t)) ~:~  L^2(\mathbf{R}^3) \to  L^2(\mathbf{R}^3),~~\phi(\boldsymbol{x}) \mapsto \phi(R(t)^{-1}\boldsymbol{x})
を t に関して微分する事で軌道角運動量演算子を定義していた。
したがって軌道角運動量演算子の定義において単純にL^2(\mathbf{R}^3)を Vs に置き換えてスピン角運動量演算子を定義しようとすると、SO(3) の Vs 上のユニタリ表現が必要となる。しかしながら、そのような表現は常に存在するわけではないことが知られている:次が成立する:
sが整数の場合、SO(3) の Vs 上の既約なユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。
s が整数でない半整数の場合、SO(3) のVs 上の既約なユニタリ表現は存在しない。すなわち上述した方法論では、s が半整数の場合に対してスピン角運動量演算子を定義する事ができない。この問題の解決方法は2つあり、後述するように2つは本質的に同値である。
一つ目の解決方法は Vs を直接考えるのではなく、Vs の元を位相の相違を無視する同値関係
\phi \sim \psi \overset{def}{\iff} \exists \alpha \in [0,2\pi] ~:~\phi = \mathrm{e}^{i\alpha}\psi
V_s/\sim
を考え、同様にユニタリ演算子に対しても同様の同値関係
U\sim U' \overset{def}{\iff} \exists \alpha \in [0,2\pi] ~:~ U= \mathrm{e}^{i\alpha}U'
により同一視した同値類 [U] を考えるというものである。このユニタリ演算子の同値類全体の集合を
\mathrm{PU}(V_s)=\mathrm{U}(V_s)/\sim
と表記する。PU(Vs) を Vs 上の射影ユニタリ群、PU(Vs) に属する同値類を Vs 上の射影ユニタリ演算子と呼ぶ。
射影ユニタリ演算子 [U] は Vs / ∼ 上の写像となる事が知られている:
[U] ~:~ V_s/\sim~\to~V_s/\sim
そこでスピン演算子の振る舞いを記述するため、SO(3) のユニタリ表現の代わりに SO(3) の射影ユニタリ表現
R \in \mathrm{SO}_3 \mapsto \lambda'(R)\in \mathrm{PU}(V_s)
を用いる。
通常のユニタリ表現と違い、射影ユニタリ表現は次を満たす事が知られているs が整数であっても半整数であっても、SO(3) の Vs 上の既約な射影ユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。よってユニタリ表現の代わりに射影ユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。
本稿では、射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義の詳細は述べない。これは射影ユニタリ表現を使ってスピン演算子を記述している物理の教科書は少ない為である。しかしすでに述べたように、射影ユニタリ表現による解決方法は後述するもう一つの解決方法と本質的に同値なので、もう一つの解決方法を利用したスピン角運動量演算子の定義から射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義を導くことができる。
射影ユニタリ表現による解決方法は、物理的に意味を持たないフェーズで同一視した事を除けば、他のオブザーバブルと類似した形式でスピン角運動量演算子を記述できるため、後述するもう一つの解決と比べ、その物理的意味がわかりやすい事が利点である。
今一つの解決は、SO(3) の代わりに3次元スピン群 Spin(3) を用いるというものである。そこでまず、スピン群の定義と性質を紹介する。n 次元スピン群とは以下の性質を満たす連結な行列群の事である。(このような性質を満たす連結行列群は同型を除いて1つしか存在しない事が知られている):
可微分準同型写像 Φn: Spin(n) → SO(n) で、2:1 の全射となるものが存在する。   …C1
ここでSO(n)はn次元回転行列のなす群である。スピン角運動量の定義に必要なのは、次元が3の場合のスピン群Spin(3)であり、Spin(3)は2次元特殊ユニタリ変換群 SU(2) と同型なことが知られている:
\mathrm{Spin}(3) \simeq \mathrm{SU}(2) = \{U\in\mathrm{M}_{2,2}(\mathbf{C}) ~:~ U^*U=I,~\mathrm{det}U=1\}
したがって以下、特に断りがない限り Spin(3) と SU(2) を同一視する。
スピン群の定義より、回転行列 R は何らかのスピン群の元 U を用いて
R=\Phi_3(U)
と書くことができる。これはすなわち、回転行列 R を直接扱う代わりに、スピン群の元 U により回転が記述可能な事を意味する。そこで SO(3) のユニタリ表現の代わりに Spin(3) のユニタリ表現を考える。SO(3) のユニタリ表現と違い、Spin(3) のユニタリ表現は以下を満たす:sが整数であっても半整数であっても、Spin(3) の Vs 上の既約なユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。よって SO(3) のユニタリ表現の代わりに Spin(3) のユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。詳細は後述する。
上述した2つの解決方法は、本質的に同値である。これは Spin(3) のユニタリ表現と SO(3) の射影ユニタリ表現が自然に1対1対応する為である。具体的には、πs(S) をスピン群の元 S の Vs 上のユニタリ表現とし、γ(R) を回転行列 R の Vs 上の射影ユニタリ表現とすると、(適切に同型なものと置き換えれば)以下の図式が可換になる。ここで proj は同値類を取る写像。
\begin{array}{ccc}
\mathrm{Spin}(3) & \overset{\Phi_3}{\longrightarrow} & \mathrm{SO}(3)\\
\pi_s\Big\downarrow &\circlearrowleft& \gamma\Big\downarrow\\
\mathrm{U}(V_s)&\overset{\text{proj}{\longrightarrow} &\mathrm{PU}(V_s)
\end{array}
以上の議論により、Spin(3)=SU(2)を用いる事でスピン角運動量を定義できる事がわかった。そこで本節では、スピン角運動量の定義に必要となる
スピノール空間Vs
定理3で述べたSpin(3)=SU(2)の既約ユニタリ表現\pi_s ~~:~~\mathrm{Spin}(3) \to \mathrm{U}(2)
Spin(3)=SU(2)からSO(3)への写像\Phi_3~~:~~\mathrm{Spin}(3) \to \mathrm{SO}(3)
などを具体的に書き表す。ただし本節ではVsとπsに関しては最も重要なs1/2の場合を述べるに留める。それ以外のsに関しては後の章を参照されたい。