ヤコビの二平方定理
ヤコビの二平方定理(Jacobi's two square theorem)は、自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。
r_2(n)=4\sum_{2{\nmid}d{\mid}n}(-1)^\frac{d-1}{2}
で与えられる。但し、シグマ記号は2で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。言い替えれば、自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、Nの約数のうち、4を法にして1と合同になるものの個数から3と合同になるものの個数を引いたものの4倍に等しい。
例えば、
r_2(25)=4\left((-1)^\frac{1-1}{2}+(-1)^\frac{5-1}{2}+(-1)^\frac{25-1}{2}\right)=12
であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は
\begin{align}25
&=(\pm5)^2+0^2\\
&=0^2+(\pm5)^2\\
&=(\pm4)^2+(\pm3)^2\\
&=(\pm3)^2+(\pm4)^2\\
\end{align}
であり、符号と順序を区別すれば12個になる。
テータ関数の比は楕円関数(二重周期を持つ有理型関数)になり、楕円関数の導関数も楕円関数になるから、
\begin{align}
F(v)&=\frac{\partial}{\partial{v}\left(\frac{\vartheta_1(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)}\right)=\frac{\vartheta_1'(v,\tau)\vartheta_2(v,\tau)-\vartheta_1(v,\tau)\vartheta_2'(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)^2}\\
G(v)&=\left(\frac{\vartheta_3(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)}\right)\left(\frac{\vartheta_4(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)}\right)=\frac{\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)^2}\\
\end{align}
F(v)とG(v)は共に楕円関数である。且つ、
\begin{align}
&\vartheta_1'\left(v+\frac{1}{2}+\frac{\tau}{2}\right)=\vartheta_2'\left(v+\frac{1}{2}+\frac{\tau}{2}\right)=0\\
&\vartheta_1'\left(v+\frac{\tau}{2}\right)=\vartheta_2'\left(v+\frac{\tau}{2}\right)=0\\
\end{align}
であるから、G(v)=0となるところにおいて悉くF(v)=0となり、リウヴィルの定理によってF(v)/G(v)は定数である。v\to0として
\begin{align}
&\vartheta_1(0,\tau)=0\\
&\vartheta_1'(0,\tau)=\pi\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)\\
\end{align}
により、F(0)=\pi\vartheta_2(0,\tau)^2G(0)を得る。従って、
F\left(v\right)=\frac{\pi\vartheta_2(0,\tau)^2\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)^2}
である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、v=\tfrac{1}{4}を代入し、q=e^\frac{\pi\left(2q^{1/4}\right)^2}{\left(2q^{1/4}\right)^2\cos^2\tfrac{\pi}{4\prod_{m=1}^{\infty}\frac{(1-q^{2m})^2(1+q^{2m})^4(1-q^{2m})(1+iq^{2m-1})(1-iq^{2m-1})(1-q^{2m})(1-iq^{2m-1})(1+iq^{2m-1})}{(1-q^{2m})^2(1+iq^{2m})^2(1-iq^{2m})^2}\\
&=2\pi\prod_{m=1}^{\infty}\frac{(1-q^{2m})^2(1+q^{2m})^4(1+iq^{2m-1})^2(1-iq^{2m-1})^2}{(1+iq^{2m})^2(1-iq^{2m})^2}\\
&=2\pi\prod_{m=1}^{\infty}\frac{(1-q^{4m})^2(1+q^{2m})^2(1+q^{4m-2})^2}{(1+q^{4m})^2}\\
&=2\pi\prod_{m=1}^{\infty}\frac{(1-q^{4m})^2(1+q^{4m})^2(1+q^{4m-2})^2(1+q^{4m-2})^2}{(1+q^{4m})^2}\\
&=2\pi\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{4m})^2(1+q^{4m-2})^4\\
\end{align}
となり、ヤコビの三重積の公式により
\begin{align}F\left(\tfrac{1}{4}\right)
&=2\pi\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{2n^2}\right)^2=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{2(n^2+m^2)}
\end{align}
となる。一方、
\begin{align}
&\vartheta_2\left(v\right)=\vartheta_1\left(\tfrac{1}{2}-v\right)\\
&\vartheta_2'\left(v\right)=\vartheta_1'\left(\tfrac{1}{2}-v\right)\\
\end{align}
\begin{align}F\left(\tfrac{1}{4}\right)
&=\frac{\vartheta_1'\left(\tfrac{1}{4}\right)\vartheta_2\left(\tfrac{1}{4}\right)-\vartheta_1\left(\tfrac{1}{4}\right)\vartheta_2'\left(\tfrac{1}{4}\right)}{\vartheta_2\left(\tfrac{1}{4}\right)^2}=\frac{2\vartheta_1'\left(\tfrac{1}{4}\right)}{\vartheta_1\left(\tfrac{1}{4}\right)}\\
\end{align}
であり、テータ関数の対数微分の公式により
\begin{align}F\left(\tfrac{1}{4}\right)
&=2\pi\cot\frac{\pi}{4}+8\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n}{1-q^{2n}\sin\frac{\pi{n}{2}\\
&=2\pi+8\pi\sum_{k=0}^{\infty}\frac{q^{2(2k+1)}{1-q^{2(2k+1)}(-1)^k\qquad(n\to2k+1)\\
&=2\pi+8\pi\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\sum_{j=1}^{\infty}q^{2j(2k+1)}\\
\end{align}
である。以上により、
\frac{F\left(\tfrac{1}{4}\right)}{2\pi}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{2(n^2+m^2)}=1+4\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\sum_{j=1}^{\infty}q^{2j(2k+1)}
が得られ、q^{2N}の係数を比較することにより、
r_2(N)=4\sum_{2{\nmid}d{\mid}N}(-1)^\frac{d-1}{2}
が得られる。