準群
準群とは、数学 (特に抽象代数学分野)において群に似た代数的構造で常に除法が可能なものである。
準群は群とは異なり、必ずしも結合法則を満たす必要がなく、単位元を持たなくてもよい。
準群のうち、単位元を持つものは、擬群 (英: loop)と呼ばれる。
準群の正式な定義は、構造的に同値なものが少なくとも二つある。一つは二項演算を持つ集合として定義される。もう一つは普遍代数から、準群は三つの原始演算を持つものとして定義する。
ただし、一つの二項演算で定義された準群の準同型写像の像は、必ずしも準群であるとは限らない。
準群 (Q, ∗) は、二項演算 ∗ が定義された空でない集合 Q (すなわち、マグマであり、演算で閉じる)が、ラテン方格性を満たすものである。
すなわち、Q の任意の元 a, b に対して、Q の元 x と y がそれぞれ唯一つ存在して、
a ∗ x = b,
y ∗ a = b
を満たすことをいう。
(言い換えると、Q の各要素は、準群の 積表 (英 :Cayley table) において、各列、各行にちょうど1回ずつ出現する。
この性質により、特に Q が有限集合の場合には、積表はラテン方格となる。
ここで x と y が一意的であるという要件は、マグマが簡約律を満たすという要件に置き換えることができる
。
上記の式における一意の解は、それぞれ、
x = a \backslash b および
y = b / a
と書く。演算子 \backslash (resp. /) は、
左除算 (resp. 右除算) と呼ばれる。
積表 (ケーリー表) に関して述べると、定義の一番目の式 (左除算) は、a 行の x 列目に b が出現し、
二番目の式 (右除算) は、a 列の y 行目に b が出現することを意味する   。
空集合 は 演算 empty binary operation により、準群の定義を満たす。
空集合を準群として認める著者もいれば、除外する著者もいる
。
与えられた代数的構造に対し、恒等式とは、すべての変数について 全称量化された方程式のことを言う。さらに、すべての演算について、その代数的構造に特有の原始演算を含む  。
恒等式のみよって与えられる公理を満たす代数構造を、バラエティと呼ぶ。
普遍代数 に対する多くの標準的な結果は、バラエティに対してのみ成立するものが多い。
準群は、左右の演算を原始的と見なすことでバラエティを形成する。
準群 (Q, ∗, \, /) は (2,2,2) 型代数、つまり三つの二項演算を備えた集合であって、
それらの演算が以下を満たすことを言う:
y = x ∗ (x \ y),
y = x \ (x ∗ y),
y = (y / x) ∗ x,
y = (y ∗ x) / x.
言い換えると、同じ側から同じ要素 x を乗算しその後に除算する、あるいは、除算してその後に乗算することは、元々の値 y のまま値を変えない。
従って、(Q, ∗) が、最初の代数的定義による準群であるとき、
(Q, ∗, \, /) は二番目の普遍代数による定義の意味で同じ準群を構成する。
その逆に、(Q, ∗, \, /) が普遍代数による準群であるとき、
(Q, ∗) は、最初の定義による準群と同じものになる。
擬群 (あるいは単位的準群、英: loop) とは、単位元が存在する準群である。すなわち、ある要素 e \in Q が存在して、
x * e = x, e *x = e \quad \forall x \in Q
を満たす。
この時 e は唯一つ存在する。
さらに、Q の各要素は、それぞれ唯一つずつの左逆元と右逆元を持つ (左右の逆元が同じとは限らない)。
冪等元を持つ準群は、pique ("pointed idempotent quasigroup") と呼ばれる。
これは。擬群よりも弱い概念であるが、それでも一般的な概念である。
例えば、アーベル群 (A, +) に対して、準群の乗法としてA の減法を採用すると pique (A, −) が得られる これは下記の例にもあるが、0 は右単位元ではあるが、左単位元ではないため、この準群は擬群ではない。さらに単位元 0 は、この準群において冪等元である。(すなわち、(A, +) から (A, −) へのイソトピー (x, y, z) ↦ (x, −y, z) が存在する。)
結合的な擬群は群になる。
群は非結合的な pique とイソトピックであることは有り得るが、非結合的な擬群とイソトピックになることはできない 。
特別な名前が付けられた、弱い結合性がある。
例えば、Bol 擬群 とは、以下のいずれかを満たす擬群のことである:
x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = (x ∗ (y ∗ x)) ∗ zquad for each x, y and z in Q (左 Bol 擬群),
((z ∗ x) ∗ y) ∗ x = z ∗ ((x ∗ y) ∗ x)quad for each x, y and z in Q (右 Bol 擬群).
左 Bol 擬群かつ右 Bol 擬群であるような擬群は、Moufang loopと呼ばれる。これは、任意の x, y, z に対して、以下の Moufang 恒等式の内、任意の一つ の式と同値である:
x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = ((x ∗ y) ∗ x) ∗ z,
z ∗ (x ∗ (y ∗ x)) = ((z ∗ x) ∗ y) ∗ x,
(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = x ∗ ((y ∗ z) ∗ x), or
(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = (x ∗ (y ∗ z)) ∗ x.
は、以下の重要な性質とサブクラスに名前を付けた。
準群が 半対称 であるとは、以下の同値な恒等式の一つ、従って全部を満たすときを言う。
x ∗ y = y / x,
y ∗ x = x \ y,
x = (y ∗ x) ∗ y,
x = y ∗ (x ∗ y).
このクラスは、特別なように見えるが、任意の準群 Q は、
下記の演算を定義するにより、直積 Q3 上に半対称な準群 QΔ を誘導する:
(x_1, x_2, x_3) \cdot (y_1, y_2, y_3) = (y_3/x_2,\, y_1 \backslash\, x_3,\, x_1 \!* y_2) = (x_2/\!/y_3,\, x_3 \backslash\!\backslash\, y_1,\, x_1 \!* y_2) ,
ここで、 "//" および "\\" 演算は、y /\!/ x = x / y and y \backslash\!\backslash x = x \backslash y で与えられる共役除算である。
より狭いクラスは、全対称準群 (totally symmetric quasigroup である (TS-準群 と略されることもある)。
全ての 共役 演算が、一つの演算に一致する、すなわち x ∗ y = x / y = x \ y ことと定義される。
全対称準群を (同じ概念で) 定義する別の方法は、可換な準群、すなわち x ∗ y = y ∗ x と定義することである 。
冪等全対称準群は、正確に (すなわち、全単射で Steiner triples である。そのような準群は、Steiner 準群 とよばれ、squag と略されることさえある。
sloop は、擬群の類似の概念である。x ∗ x = x の代わりに x ∗ x = 1 を満たす全対称的である。冪等性がない場合、全対称準群は、extended Steiner triple  の幾何学的概念に対応する。
準群 (Q, ∗) において、任意の  c, x, y ∈ Q に対して、次の二つの含意が成り立つとき、Q は 全反対称 (totally anti-symmetric) であると呼ばれる  。
(c ∗ x) ∗ y = (c ∗ y) ∗ x ⇒ x = y
x ∗ y = y ∗ x ⇒ x = y.
一番目の条件だけ成立するときは、弱い全反対称性 (weakly totally anti-symmetric) と呼ばれる。
この性質は、例えばDammアルゴリズムで必要となる。
任意の群は擬群である。a ∗ x = b if and only if x = a−1 ∗ b, かつ y ∗ a = b if and only if y = b ∗ a−1 だからである  。
整数全体の集合 Z (有理数 全体の集合 Q や実数全体の集合 R も同様) に減法 (−) を入れたものは、準群となる。この準群は、単位元を持たないので疑群ではない。実際 0 は a − 0 = a を満たすので右単位元であるが、0 − a ≠ a となるので左単位元ではない。
有理数全体から零を除いた集合 Q× (同様に、非零な実数全体の集合 R×) に、除法 (÷) を入れたものは準群となる。
標数が2でない体上の任意のベクトル空間は、演算 x ∗ y = (x + y) / 2 によって、 かつ可換な準群をなす。
任意の Steiner triple system は、冪等かつ可換な準群を定義する。a ∗ b は、a と b を含むトリプルの三番目の要素である 。これらの準群は、 任意の x と y に対して、(x ∗ y) ∗ y = x を満たす。これらの準群は、Steiner quasigroups として知られている  。
集合 {±1, ±i, ±j, ±k} (ただし ii = jj = kk = +1 ) と、さらに四元数と同様にして他の積を定義すると、位数 8 の非可換な準群を成す。詳細は、双曲線四元数 を参照。(なお、hyperbolic quaternions 自身は準群でも疑群でもない。
非ゼロな八元数は、乗算に関して、非結合的な擬群を成す。八元数は、ムーファン・ループ として知られる、特別なタイプの擬群である。
演算が結合律を満たす準群は、空集合であるか、さもなくば群になる。実際、少なくとも一つ以上の要素があるとき、。さらに、。よって、群の定義をすべて満たす。
以下の構築方法は Hans Zassenhaus による。3要素のガロア体F = Z/3Z上の4次元ベクトル空間で、演算を次のように定義する:
(x1, x2, x3, x4) ∗ (y1, y2, y3, y4) = (x1, x2, x3, x4) + (y1, y2, y3, y4) + (0, 0, 0, (x3 − y3)(x1y2 − x2y1)).
この時 (F4, ∗) は 可換なムーファン・ループ であるが、群ではない 。
より一般的に、可除多元環の非ゼロ要素は準群を成す 。
以下では、準群の乗法を、a b のように演算子を省略して表記する。 .
準群は、簡約律を満たす。すなわち、
を満たす。この式は、a による ab および ac の除算の一意性から証明される。
同様に、: ba = ca ならば b = c が成り立つ。.
準群のラテン特性は、xy = z という式に表れる三つの変数のうち、任意の二つが与えられると、残りの三番目の変数の値が一意に決定されることを意味する。
準群の定義は、左- および 右- 乗算作用素  Lx, Rx: Q → Q の条件として扱うことができる。ここで、乗算作用素とは以下で定義される:
\begin{align}
L_x(y) &= xy \\
R_x(y) &= yx \\
\end{align}
この定義は、上の二つの写像が Q からそれ自身への全単射であると述べている。
A magma Q is a quasigroup precisely when all these operators, for every x in Q, are bijective.
逆写像は、左除算と右除算、すなわち
\begin{align}
L_x^{-1}(y) &= x\backslash y \\
R_x^{-1}(y) &= y/x
\end{align}
である。
この記法においては、準群の乗算・除算演算の間の恒等式 (#普遍代数による定義 セクションに記載) は、
\begin{align}
L_xL_x^{-1} &= 1\qquad&\text{corresponding to}\qquad x(x\backslash y) &= y \\
L_x^{-1}L_x &= 1\qquad&\text{corresponding to}\qquad x\backslash(xy) &= y \\
R_xR_x^{-1} &= 1\qquad&\text{corresponding to}\qquad (y/x)x &= y \\
R_x^{-1}R_x &= 1\qquad&\text{corresponding to}\qquad (yx)/x &= y
\end{align}
と書き直すことができる。ここで、1 は Q に於ける恒等写像を表す。
有限準群の積表はラテン方格である。すなわち、n × n の表で、n 種類の異なる記号からなっている。さらに、各記号は、どの行、列においてもちょうど一回ずつ出現するような表である。
逆に、すべてのラテン方格は、様々な方法で準群の積表と見なすことができる。
境界行 (列ヘッダを含む行のこと) と境界列 (行ヘッダを含む列の事こと) は、それぞれ要素を任意の順序に並び替えることが出来る 。
可算無限 準群 Q に対しても、無限配列を想像することが可能である。
その配列は、すべての行と列が Q のある要素 q に対応し、要素 a ∗ b が a 行 b 列に対応する。
この状況でも、ラテン方格の性質は、すべての可能な値が無限配列の各行と各列にちょうど一回ずつ含まれることを示す。
For an uncountably infinite quasigroup, such as the group of non-zero real numbers under multiplication, the Latin square property still holds, although the name is somewhat unsatisfactory, as it is not possible to produce the array of combinations to which the above idea of an infinite array extends since the real numbers cannot all be written in a sequence. (This is somewhat misleading however, as the reals can be written in a sequence of length \mathfrak{c}, assuming the well-ordering theorem.)
準群の二項演算は、可逆 (invertible である。すなわち、
左右の乗算作用素 L_x and R_x が共に、全単射であり、従って可逆 でる。
任意の擬群は、一意な左逆元と右逆元を持つ。すなわち:
x^{\lambda} = e/x \qquad x^{\lambda}x = e
x^{\rho} = x\backslash e \qquad xx^{\rho} = e
任意の x に対して、x^{\lambda} = x^{\rho} が成り立つとき、
擬群は (両側) 可逆 ((two-sided) inverses) を持つと言われる。
この場合、この逆元は通常 x^{-1} と表される。
擬群において、可逆性よりも強い概念がある。よく使われるものとしては、以下のようなものがある。
擬群が 左可逆性 (left inverse property) を持つとは、任意のx, yに対して、x^{\lambda}(xy) = y が成り立つことをいう。同値であるが、L_x^{-1} = L_{x^{\lambda} あるいは x\backslash y = x^{\lambda}y と書いても良い。
擬群が 右可逆性 (right inverse property) を持つとは、x and yに対して、(yx)x^{\rho} = y が成り立つことである。 R_x^{-1} = R_{x^{\rho} あるいはor y/x = yx^{\rho} と書いても同じ。
擬群が 反自己同型可逆性 (antiautomorphic inverse property) を持つとは (xy)^{\lambda} = y^{\lambda}x^{\lambda} が成り立つことである。あるいは (xy)^{\rho} = y^{\rho}x^{\rho} が成り立つことと言っても同値。
擬群が 弱可逆性 (weak inverse property) を持つとは、(xy)z = e \Leftrightarrow x(yz) = e の時である。 これは、逆元を使って書き表すと (xy)^{\lambda}x = y^{\lambda} あるいは x(yx)^{\rho} = y^{\rho} である。
擬群において、左可逆性と右可逆性の両方がある場合、その擬群は可逆性を持つ。可逆擬群は反自己同型可逆性および弱可逆性も持つ。
実際、上記のムーファン恒等式の四つの内のいずれか二つを満たす擬群は、可逆性を持ち、従って四つすべてを満たす。 。
左可逆性、右可逆性、反自己同型可逆性 のいずれかを満たす擬群は、自動的に (両側) 可逆性を持つ。
準群 (resp. 擬群) の 準同型 とは 二つの準群 (resp. 擬群) の間の写像 f : Q → P  であって、f(xy) = f(x)f(y) を満たすものを言う。必然的に、準同型写像は、左除算と右除算を保存するし、(もし存在するなら) 単位元も保存する
Q と P を準群とする。Q から P への 準群ホモトピー (quasigroup homotopy) とは、Q から P への写像の三つ組み (α, β, γ) であって、以下を満たすものを言う:
\alpha(x)\beta(y) = \gamma(xy)
for all x, y in Q. 特に三つの写像が等しい時に 準群準同型 (quasigroup homomorphism) と言う。
イソトピー (または アイソトピー、isotopy) とは、三つの写像 (α, β, γ) が全単射であるようなホモトピーである。
二つの準群の間に、イソトピーが存在するとき、それらは、イソトピック (または アイソトピック、{lang-en-short|isotopic) と呼ばれる。
ラテン方格で言えば、イソトピー (α, β, γ) は、α は行の置換、β は列の置換、γ は、表内の P の要素集合の置換に相当する。
オートトピー (autotopy)) とは、
準群からそれ自身へのイソトピーである。準群のすべてのオートトピーの集合は、自己同型#自己同型群 を部分群とする群を成す。
全ての準群は、ある擬群とイソトピックである。
もし、擬群がある群とイソトピックであれば、それはその群と同型であり、従ってその擬群自身が群である。
一方、群とイソトピックな準群は、必ずしも群とは限らない。
例えば、乗法を  (x + y)/2 と定義した R 上の擬群は、加法群 (R, +) とイソトピックであるが、それ自体は群では無い。
ブルック–マードック–豊田の定理 によれば、すべての中可換準群は、アーベル群とイソトピックである。
左除算と右除算は、定義式の変数を並び替えて準群を構成する例である。
オリジナルの演算 ∗ (i.e., x ∗ y = z) から、我々は次の五つの新しい演算を定義できる: x o y := y ∗ x ( 逆演算 (opposite operation) )、/, \, および/, \,  の逆演算である。
これにより、合計六つの準群演算が得られる。それらは、共役 (conjugates) または パラストロフィ (parastrophesと呼ばれる。
また、これら六つの演算の内の任意の二つは (同じもの同士を含む) は、互いに共役 (パラストロフィ) と呼ばれる。
集合 Q が準群の演算を二つ  ∗ と ·を 持っているとする。つまり、集合は同じだが、異なる演算が定義された二つの準群 (Q, ∗) と (Q, ·) を考える。これらの片方が、他方の共役に対してイソトピックである場合、これらの演算は互いに イソストロフィック (isostrophic ) であると言われる。なお、この関係には パラトピー (paratopy) など、にも多くの名前がある。
n-項準群 (n-ary quasigroup) とは、集合 (Q, f) に、n-項演算 f: Qn → Q が定義されたものであって、方程式 f(x1,...,xn) = y が、他の n 個の変数が任意に指定されたときに、残り一個の変数が一意の解を持つ  ことを言う。
多項 (Polyadic または multiary) とは、ある非負整数 n に対して、n-項準群と言う意味である。
0-ary または nullary 準群は、単に Q の定数に過ぎない。1-ary または unary 準群は、Q からそれ自身への全単射である。
多項準群の例は、反復群演算 y = x1 · x2 · ··· · xn である。群に於いては、演算は結合律を満たすので、演算の順序を指定するのに括弧は不要である。One can also form a multiary quasigroup by carrying out any sequence of the same or different group or quasigroup operations, if the order of operations is specified.
これらの方法では表現できない多項準群も存在する。
演算を以下のように二つの演算の合成として分解できない場合、n-ary 準群は規約 (irreducible) であると言う。
f(x_1,\dots,x_n) = g(x_1,\dots,x_{i-1},\,h(x_i,\dots,x_j),\,x_{j+1},\dots,x_n),
ここで 1 ≤ i < j ≤ n and (i, j) ≠ (1, n)。
すべての n > 2 に対して、有限規約 n-ary 準群が存在する。詳細は Akivis and Goldberg (2001) を見よ。
n-項準群で、結合律を満たすものは、n-項群 と呼ばれる。
右-準群 (right-quasigroup) は、タイプ (2,2) 代数 (Q, ∗, /) であって、以下の恒等式を両方とも満たすものである:
y = (y / x) ∗ x;
y = (y ∗ x) / x.
同様に、左-準群 ({lang-en-short|left-quasigroup)は、タイプ (2,2) 代数 (Q, ∗, \) であって、以下を満たす者である:
y = x ∗ (x \ y);
y = x \ (x ∗ y).
小さい準群 A057991 および 擬群 A057771 の数 (ただし同型なもの同士は一つと数える) は、下表の通りである 。