相対論的力学
相対論的力学(relativistic mechanics)とは、特殊相対性理論、および一般相対性理論に基づく古典力学である。
ニュートン力学において粒子の運動は、時刻 t を媒介変数とする粒子の位置の関数  x = r(t) として表される。つまり、粒子の運動を表すことは時々刻々の位置を追うことである。
相対論においては時間が空間とともに4元ベクトルとして振る舞うので、運動のパラメータとして時間を用いると、ローレンツ変換の下での共変性が明白ではなくなる。すなわち、相対論において時間は運動を記述する自然なパラメータではなくなる。そもそも相対論には自然なパラメータが存在せず、パラメータの付替えの下で相対論は不変である。なお、明白なローレンツ共変性を犠牲にすれば、時間を運動のパラメータとして選ぶこともできる。
適当な運動のパラメータを λ として、粒子の位置を
X(\lambda)
で表す。
パラメータの付替え λ → λ' = f(λ) が適当である条件として、旧いパラメータ λ の増加に伴って、新たなパラメータ λ' も単調に増加する必要があり
\dot{f}(\lambda) \ge 0
である。特に、光速 c を用い、時間 t = X0/c を運動のパラメータとして選ぶことができるので
\frac{1}{c} \dot{X}^0(\lambda) \ge 0
である。
ニュートン力学においては、位置の時間導関数として速度が定義された。
相対論においては自然なパラメータが存在しないため、導関数 \dot{X} は物理的意味を持たない。
すなわちパラメータの付替えに対して、導関数は連鎖律により
\frac{dX}{d\lambda} \to \frac{dX}{d\lambda'} =\frac{dX}{d\lambda} \bigg/ \frac{d\lambda'}{d\lambda}
と変化するので、dλ'/dλ の分だけ変化する。
この変化を相殺するように、4元速度は
\frac{c \dot{X}^\mu(\lambda)}{\sqrt{-\dot{X}^\nu \dot{X}_\nu
}
で定義される。定義から明らかに UμUμ = −c2 である。
運動のパラメータとして時間 t を用いれば
\frac{c}{\sqrt{1-v^2/c^2,
}
\frac{\boldsymbol{v{\sqrt{1-v^2/c^2}
}
と表わされる。
ローレンツ因子 γ を用いれば
(\gamma c,\gamma\boldsymbol{v})
である。
\frac{1}{c} \sqrt{-\dot{X}^\mu \dot{X}_\mu}
で定義される。固有時間 τ を用いれば4元速度は
\frac{dX^\mu}{d\tau}
と表される。
質量 m の粒子の4元運動量は
mU^\mu(\lambda)
で与えられる。4元速度の定義から pμpμ = −m2c2 である。この関係式は質量殻条件(mass-shell condition)と呼ばれる。
\int L_X(\dot{X},e)\, d\lambda
\frac{e}{2} \left[ e^{-2} \dot{X}^\mu \dot{X}_\mu(\lambda) -m^2c^2 \right]
で書かれる。ここで e は作用に導関数が含まれない補助変数である。パラメータ付替えの下で
e(\lambda)\, d\lambda \to e'(\lambda')\, d\lambda'
と変換して、作用汎関数のパラメータ付替え不変性を保障する。
力学変数 X に共役な運動量は
\frac{\partial L_X}{\partial\dot{X}^\mu} =e^{-1}\dot{X}_\mu(\lambda)
であり、運動方程式として
-\dot{P}_\mu(\lambda) =0
が導かれて、自由粒子の運動量は保存する。
補助変数 e から導かれる拘束条件として質量殻条件
-\frac{1}{2}\left[ e^{-2} \dot{X}^\mu \dot{X}_\mu(\lambda) +m^2c^2 \right]
=-\frac{1}{2} \left[ P^2(\lambda) +m^2 c^2 \right] =0
が得られる。質量 m がゼロでないときには
\frac{1}{mc}\sqrt{-\dot{X}^\mu \dot{X}_\mu}
となって共役運動量は4元運動量に一致する。
拘束条件を用いてラグランジュ関数から補助変数 e を消去すれば
-mc\sqrt{-\dot{X}^\mu \dot{X}_\mu} =-mc^2 \frac{d\tau}{d\lambda}
であり、作用汎関数は
-mc\int \sqrt{-\dot{X}^\mu \dot{X}_\mu} d\lambda =-mc^2 \int d\tau
となり、粒子が時空上に描く世界線の長さに比例する。
複数の粒子がある場合は、粒子を区別する添え字 i を導入し、各々の粒子の位置 Xi に対する作用汎関数を足し合わせることで相互作用のない自由粒子系の作用汎関数が得られる。すなわち
\frac{1}{2} \int \sum_{i\in I} \left[ e_i^{-2} \dot{X}_i^\mu \dot{X}_{i\mu} -m_i^2c^2 \right] e_i\, d\lambda
である。補助変数 e は粒子 i ごとに導入される。拘束条件として各々の粒子ごとに質量殻条件が得られて、これを用いて補助変数を消去すれば
-\sum_{i\in I} m_i c\int \sqrt{-\dot{X}_i^\mu \dot{X}_{i\mu d\lambda \\
&=-\sum_{i\in I} m_i c^2 \int d\tau_i \\
\end{align}
}
となる。
曲がった時空においては時空点に依存する計量 g を導入して
\frac{e}{2} \left[ e^{-2} g_{\mu\nu}(X) \dot{X}^\mu \dot{X}^\nu(\lambda) -m^2c^2 \right]
となる。作用は計量を置き換えただけであり、平坦な時空の場合と変わらず拘束条件として質量殻条件が導かれる。
\frac{\partial L_X}{\partial\dot{X}^\mu}
=g_{\mu\nu}(X)\, p^\nu(\lambda)
となり、運動方程式は
\frac{e^{-1{2} \partial_\mu g_{\rho\nu}(X)\dot{X}^\rho \dot{X}^\nu(\lambda) -\dot{P}_\mu(\lambda) \\
&= -e^{-1} \varGamma_{\mu\rho\nu}(X) \dot{X}^\rho \dot{X}^\nu(\lambda) -g_{\mu\nu}(X)\, \dot{p}^\nu(\lambda) \\
&=0 \\
\end{aligned}
}
0
として測地線の方程式が導かれる。ここで Γ は接続係数
\frac{1}{2} g^{\mu\sigma} \left[
\partial_\rho g_{\nu\sigma}(x) +\partial_\nu g_{\rho\sigma}(x) -\partial_\sigma g_{\rho\nu}(x) \right]
である。
ベクトル場 A と最小結合の形で相互作用する粒子は、相互作用項が
\int L_\text{int}(X,\dot{X})\, d\lambda
qA_\mu(X)\, \dot{X}^\mu(\lambda)
で書かれる。相互作用項は補助変数 e を含まないため拘束条件に影響せず、自由粒子の場合と変わらず質量殻条件が導かれる。
\frac{\partial}{\partial\dot{X}^\mu}(L_X+L_\text{int})
=p_\mu(\lambda) +qA_\mu(X)
となり、自由粒子の4元運動量にベクトル場が加えられた形となる。
q\partial_\mu A_\nu(X) \dot{X}^\nu(\lambda)-\dot{P}_\mu(\lambda) \\
&= qF_{\mu\nu}(X) \dot{X}^\nu(\lambda) -\dot{p}_\mu(\lambda) \\
&= 0 \\
\end{aligned}
qF_{\mu\nu}(X) \dot{X}^\nu(\lambda)
が導かれる。ベクトル場が電磁場である場合は、これはローレンツ力である。
ここで F はベクトル場の強度
\partial_\mu A_\nu(x) -\partial_\nu A_\mu(x)
であり、電磁場の場合は電磁場テンソルに相当する。
qF^\mu{}_\nu(X) \dot{X}^\nu(\lambda)
となる。テンソル添字は時空の計量を用いて
g^{\mu\rho}(x)\, F_{\rho\nu}(x)
により上げ下げされる。
自由粒子のハミルトン関数は、平坦な時空においては
P_\mu \dot{X}^\mu(\lambda) -L_X =\frac{e}{2} \left[ P^\mu P_\mu(\lambda) +m^2c^2 \right]
となり、曲がった時空においては
\frac{e}{2} \left[ g_{\mu\nu}(X) P^\mu P^\nu(\lambda) +m^2c^2 \right]
となる。
ベクトル場 A と相互作用する粒子のハミルトン関数は
\frac{e}{2} \left[ (P^\mu -qA^\mu)(P_\mu -qA_\mu) +m^2c^2 \right]
となる。