デデキントのイータ関数
デデキントのイータ関数 (デデキントのイータかんすう、Dedekind Eta function) は次のような式で定義される関数である。
\eta(\tau)=e^{\pi{i}\tau/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m})\qquad(\image\tau>0)
ヤコビの三重積の公式により、
\eta(\tau)=e^{\pi{i}\tau/12}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\left(e^{2\pi{i}\tau}\right)^{n(3n-1)/2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\left(e^{2\pi{i}\tau}\right)^{(6n-1)^2/24}\qquad(\image\tau>0)
となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。
\image\tau>0であれば\left|e^{2\pi{i}\tau}\right|<1であるから、
\begin{align}\left|\log\eta(\tau)\right|
&=\frac{\left|\pi{i}\tau\right〕{12}+\sum_{m=1}^{\infty}\left|\log(1-e^{2\pi{i}\tau{m})\right|\\
&=\frac{\left|\pi{i}\tau\right〕{12}+\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left|e^{2\pi{i}\tau{mn}\right〕{n}\\
&=\frac{\left|\pi{i}\tau\right〕{12}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left|e^{2\pi{i}\tau{n}\right〕{n(1-\left|e^{2\pi{i}\tau{n}\right|)}\\
&\le\frac{\left|\pi{i}\tau\right〕{12}+\frac{1}{1-|e^{2\pi{i}\tau}〕\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}\\
&\le\frac{\left|\pi{i}\tau\right〕{12}-\frac{\log(1-|e^{2\pi{i}\tau}|)}{1-|e^{2\pi{i}\tau}〕\\
\end{align}
である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、\tau=q/rが有理数であれば1-e^{2\pi{i}\tau{r}=0であるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。
イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて
\begin{align}\eta^3\left(\tau\right)
&=e^{\pi{i}\tau/4}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-e^{2\pi{i}\tau{m}\right)^3\\
&=e^{\pi{i}\tau/4}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-e^{2\pi{i}\tau{m}\right)^3\left(1+e^{2\pi{i}\tau{m}\right)^2\left(1-e^{2\pi{i}\tau{(2m-1)}\right)^2\\
&=e^{\pi{i}\tau/4}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-e^{2\pi{i}\tau{m}\right)^3\left(1+e^{2\pi{i}\tau{m}\right)^2\left(1+e^{(2m-1)\pi{i}\tau}\right)^2\left(1-e^{(2m-1)\pi{i}\tau}\right)^2\\
&=\frac{1}{2}\vartheta_2\left(0,\tau\right)\vartheta_3\left(0,\tau\right)\vartheta_4\left(0,\tau\right)\\
\end{align}
である。また、
\begin{align}\eta(\tau)
&=e^{\pi{i}\tau/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m})\\
&=e^{\pi{i}\tau/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m}/3})(1+e^{2\pi{i}\tau{m}/3}+e^{4\pi{i}\tau{m}/3})\\
&=\frac{2}{\sqrt{3}e^{\pi{i\tau}/12}\cos\frac{\pi}{6}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m}/3})\left(1+2\cos\frac{\pi}{3}e^{2\pi{i}\tau{m}/3}+e^{4\pi{}i\tau{m}/3}\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{3}\vartheta_2\left(\frac{1}{6},\frac{\tau}{3}\right)\\
\end{align}
である。
\begin{align}\eta^3\left(-\frac{1}{\tau}\right)
&=\frac{1}{2}\vartheta_2\left(0,-\frac{1}{\tau}\right)\vartheta_3\left(0,-\frac{1}{\tau}\right)\vartheta_4\left(0,-\frac{1}{\tau}\right)\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{-i\tau}\vartheta_4(0,\tau)\sqrt{-i\tau}\vartheta_3(0,\tau)\sqrt{-i\tau}\vartheta_2(0,\tau)\\
&=\sqrt{i\tau^3}\eta^3(\tau)\\
\end{align}
であるが、\tauが純虚数であれば両辺ともに実数であるから、
\begin{align}\eta\left(-\frac{1}{\tau}\right)
&=\sqrt{-i\tau}\eta(\tau)\\
\end{align}
である。また、
\begin{align}\eta\left(\tau+1\right)
&=e^{\pi{i}(\tau+1)/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}(\tau+1)m})\\
&=e^{\pi{i}/12}e^{\pi{i}\tau/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m})\\
&=e^{\pi{i}/12}\eta\left(\tau\right)\\
\end{align}
であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。
\begin{align}
&\eta^{24}\left(-\frac{1}{\tau}\right)=\tau^{12}\eta^{24}(\tau)\\
&\eta^{24}\left(\tau+1\right)=\eta^{24}\left(\tau\right)
\end{align}
実際、モジュラー判別式\Deltaの定数倍と一致する。
(2\pi)^{12}\eta^{24}(\tau)=\Delta(\tau).
イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式であるから、一般のモジュラー変換については c ≠ 0 のとき、ある1の24乗根 \epsilon(a, b, c, d) について関数等式
\eta\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right)=\epsilon(a, b, c, d)(c\tau+d)^{1/2}\eta(\tau)
が成り立つ。\epsilon(a, b, c, d)は
\epsilon(a, b, c, d)=\exp \pi i\left(\frac{a+d}{12c}-s(-d, c)-\frac{1}{4}\right)
により求められる。ここでs(h, k)はデデキント和
s(h, k)=\sum_{r=1}^{k-1}\frac{r}{k}\left(\frac{hr}{k}-\left\lfloor\frac{hr}{k}\right\rfloor-\frac{1}{2}\right)
をあらわす。