ド・モアブルの定理
ド・モアブルの定理(ド・モアブルのていり、de Moivre's theorem; ド・モアブルの公式(ド・モアブルのこうしき)ともいう)とは、複素数(特に実数)θ および整数 n に対して
(\cos \theta +i\sin \theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta
が成り立つという、複素数と三角関数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない。数学的帰納法による証明では、三角関数の加法定理が利用される。
実数 θ と正の整数 n に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、n倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n倍角の公式を内在的に含んでいる。
オイラーの公式:e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta より、ド・モアブルの定理は複素指数函数についての指数法則の一つ:
(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\quad(\theta \in \mathbb{C},\,n \in \mathbb{Z})
が成り立つことを意味している。
(\cos \theta + i\sin \theta)^0 = 1
(右辺)=\cos 0 + i\sin 0 = 1
よって n  0 のときに本定理は成立する。
[ii] n − 1 のとき、すなわち
(\cos \theta + i\sin \theta)^{n-1} = \cos (n-1)\theta + i\sin (n-1)\theta
\begin{align}
(\cos \theta + i\sin \theta)^n
&= (\cos \theta + i\sin \theta)^{n-1}(\cos \theta + i\sin \theta) \\
&= \{\cos [(n-1)\theta] + i\sin [(n-1)\theta]\}(\cos \theta + i\sin \theta)\\
&= \{\cos [(n-1)\theta] \cos \theta - \sin [(n-1)\theta]\sin \theta\} + i\{\sin [(n-1)\theta] \cos \theta + \cos [(n-1)\theta] \sin \theta\}\\
&= \cos n\theta + i\sin n\theta
\end{align}
ゆえに、n のときも本定理は成立する。
よって、[i], [ii] から、数学的帰納法によって、n ≥ 0 に対して本定理が成り立つ。
2. 続いて n < 0 の場合を、1. を利用して証明する。
n < 0 のとき、n  −m とおくと、m は自然数である。
1. の結果より、m については定理の等式が成り立つから、
\begin{align}
(\cos \theta + i\sin \theta)^n
&= (\cos \theta + i\sin \theta)^{-m} \\
&= \frac{1}{(\cos \theta +i\sin \theta)^m} \\
&= \frac{1}{\cos m\theta +i\sin m\theta} \\
&= \frac{\cos m\theta -i\sin m \theta}{(\cos m\theta +i\sin m \theta)(\cos m\theta -i\sin m\theta)} \\
&= \cos m\theta - i\sin m\theta \\
&= \cos (-m\theta) + i\sin (-m\theta) \\
&= \cos (-m)\theta+i\sin (-m)\theta \\
&= \cos n\theta + i\sin n\theta
\end{align}
ゆえに n < 0 のときも本定理が成り立つ。
したがって、1、2 より、任意の整数 n に対して、本定理が成り立つ。
(Q.E.D.)
(\cos \theta\cos \phi-\sin \theta\sin \phi)+i(\sin \theta\cos \phi+\cos \theta\sin \phi)\\
&=\cos (\theta+\phi)+i\sin (\theta+\phi)
\end{align}
が成り立つ。よって帰納的に
(\cos \theta+i\sin \theta)^n=\cos n\theta + i\sin n\theta
が分かる。
(Q.E.D.)
\cos\theta+i\sin\theta(θ は複素数)
ならびに複素指数関数の指数法則を用いても証明できる。n を整数として、この式の両辺を n 乗すれば
\begin{align}
(\cos \theta+i\sin \theta)^n &=(e^{i\theta})^n \\
&=e^{in\theta} \\
&=\cos n\theta+i\sin n\theta \\
\end{align}
\begin{align}
(\cos \theta+i\sin \theta)^n
&=\cos n\theta+i\sin n\theta \\
\end{align}
が得られる。
(Q.E.D.)
ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る(多価関数)からである(冪乗#指数・対数法則の不成立参照)。n が整数でないとき、ド・モアブルの定理における n 乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。
θ を実数、w を複素数とすると
\{\exp(i\theta)\}^w=\exp\{w\log \exp(i\theta)\}=\exp\{wi(\theta+2n\pi)\}=\exp(iw\theta)\exp(2n\pi iw)(n は整数)
である。したがって、w が整数であれば
\{\exp(i\theta)\}^w=\exp(iw\theta)\cdot1=\cos(w\theta)+i\sin(w\theta)
という 1 つの値を取るが、w が整数でないときは \cos(w\theta)+i\sin(w\theta) を含む複数の値を取ることになる。
{exp(iθ)}w の値の取り方について、w が有理数であれば、w  a  (a, b は互いに素)と表すと、2nwπ  2π × na であるから、n  0, 1, …, b − 1 で循環し、b 個の値を取る。w ∉ Q(無理数または虚数)ならば循環せず、可算無限個の値を取る。
n を整数とすると、
i^n =(0+i)^n =\left(\cos \frac{\pi}{2} +i\sin \frac{\pi}{2} \right)^n = \cos \frac{n\pi}{2} +i\sin \frac{n\pi}{2}
\therefore \ i^{\,n} = \begin{cases}
1  &\text{if }n\equiv0\pmod4\\
i  &\text{if }n\equiv1\pmod4\\
-1 &\text{if }n\equiv2\pmod4\\
-i & \text{if }n\equiv3\pmod4
\end{cases}
n が非整数のときは、先述したように、複数取る値のうちの1つだけを求めている。
n を 2 以上の自然数とするとき、zn  1 を満たす z を求める。
z の極形式を z  r(cos θ + i sin θ)(r ≥ 0, θ は実数)とする。
\begin{align}
z^n
&= \{ r(\cos \theta +i \sin \theta )\}^n \\
&= r^n (\cos \theta +i \sin \theta )^n \\
&= r^n (\cos n\theta +i \sin n\theta ) \\
&= 1
\end{align}
\therefore r^n =1, \ n\theta = 2\pi k \quad (k = 0, 1, \cdots, n-1)
\therefore r =1, \ \theta = \frac{2\pi}{n} k \quad (k = 0, 1, \cdots, n-1)
\therefore \ z = \cos \frac{2\pi}{n} k +i \sin \frac{2\pi}{n} k \quad (k = 0, 1, \cdots, n-1) \quad \blacksquare