六進法
六進法(ろくしんほう、senary、Sechsersystem)とは、6 を底とし、底およびその冪を基準に数を表す方法である。英語名の"senary"は、ラテン語で「六個一組」を意味する"senarius"にちなむ。
六進記数法とは、六を底とする位取り記数法である。慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数で表記し、六進記数法の表記は括弧および下付の 6 で表す。六進記数法で表された数を六進数と呼ぶ。
通常は、0, 1, 2, 3, 4, 5 の計 6 個の数字を用い、六を 10、七を 11、八を 12 …と表記する。すなわち、「5 + 1 = 10」が六進法の基本であり、一桁で表記できる数が5までなのは六進法であって、五進法ではない。
六進法では「5 + 1 = 10」「2×3 = 10」になるので、上記の表の通り、9は 13(1×6 + 3、"六三")、十進法10は 14(1×6 + 4、"六四")、十進法12は 20(2×6、"二六")、十進法18は 30(3×6、"三六")、十進法15は 23(2×6 + 3、"二六三")、十進法27は 43(4×6 + 3、"四六三")という数え方になる。すなわち、3の倍数は一の位が3か0のどれかになる。
100(十進法36)以降の数も、以下のようになる。
十進法と六進法は、「10が素数二つの積」「10-1が6未満の素数かその冪数」という同じ構造を持っており、2の冪数の扱いは同じになる。しかし、六進法では「5+1 = 10」「2×3 = 10」となるので、十進法と比べた時に、3と5の立場が逆転するだけではなく、9(=13(6)=32)と5の立場も逆転する。つまり、六進法では3とその冪数が優位に立ち、5とその冪数は劣位に落ちる。更に、2と3の冪指数が同じなので、2の冪数と3の冪数が同等の地位になる。
六進法では、3の倍数は一の位が3か0のどれかになる。一の位が3ならば3の倍数であり、素数にはならない。
六進法では、11(七)以後の素数は、一の位が1か5のどれかである。
11(七)から100(三十六)までの素数:11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51
101(三十七)から300(百八)までの素数:101,105,111,115,125,135,141,151,155,201,211,215,225,241,245,251,255
十進法では1/5が0.2(つまり十分の二)だが、六進法では1/3が0.2(つまり六分の二)になる。同じく、六進法では、2の冪数の逆数は3の冪数になり、3の冪数の逆数は2の冪数になる。
例として、冪指数が3だと、23 = 12、33 = 43、2-3 = 0.043、3-3 = 0.012 となる。
「3×5」の数は、十進法では「15」「十五」となり5の倍数の仲間だが、六進法では「23」「二六三」となり3の倍数の仲間になる。
3×5の小数は、十進法では0.15、六進法では0.23となるが、既約分数が十進法では「二十分の三」「素因数分解すると3」になるが、六進法では「二六分の五」「素因数分解すると5」になる。仲間になる冪数も、十進数0.15は25 (=52)だけに対して、六進数0.23は13 (=32)と43 (=33)の計二つになる。
小数に変えると37(10) = 101(6)の倍数が循環する無限小数になる単位分数は、十進法が1/3、1/32 (= 1/9)、1/33 (= 1/27(10)) に対して、六進法では 1/5 や 1/11(6) (= 1/7) になる。
例:2/5 = 0.2222…(2222 = 518(10))、4/11 = 0.3232…(3232 = 740(10))
六進数では、5p ÷ 3p(pは同じ冪指数)の小数点を消した値は、十の冪数になる。
例:52÷32 = 41÷13 = 2.44(244(6)=100(10))
例:53÷33 = 325÷43 = 4.344(4344(6)=1000(10))
乗算表は「九九・八十一」ではなく「五五・四六一」という呼び方になるが、五の段は「一の位」と「六の位」の和が5になる。また、5の倍数は、各位の数の和も5の倍数になる。
例:2521(= 625(10))→ 2+5+2+1 = 14 → 1+4 = 5
例:4344(= 1000(10))→ 4+3+4+4 = 23 → 2+3 = 5
401や4001など、「4×6n + 1」となる整数は、5の倍数になる。例えば、401は十進法の145であり、4001は十進法の865である。
3の冪数は一の位も3になる。「100の1/4」と「100の3/4」は両方とも3の冪数になる上に、「100のm/4」となる整数は全て9の倍数である。1/9(10) (= 1/13(6))も0.04で、「100のm/9」となる整数は全て4の倍数である。
100×(1/4) = 13 = 32 = 9(10)
100×(2/4) = 30 = 32×2 = 18(10)
100×(3/4) = 43 = 33 = 27(10)
100 = 32×22 = 36(10)
十進法では乗算表が81(10)(34=81)種類になるが、六進法では16(10)(24=24)の倍数が81(10)(34=213)種類になる。同じく、81(10)(213)の倍数も16(10)(24)種類になる。
倍数表を乗算表に例えると、十進乗算表での9倍=13(6)倍の欄には、144(10)(400)の倍数が来る。
例:「4×5 = 20」→「24×52 = 2212」。「7×9 = 63」→「24×143 = 4400」。「8×1 = 8」→「24×144 = 4424」。「9×9 = 81」→「24×213 = 10000」。
81(10)(213)の倍数のうち奇数は、下四桁が 0213, 1043, 1513, 2343, 3213, 4043, 4513, 5343 のどれかになる。
例:13213 = 2025(10) → 213×41 = (81×25)(10)
例:101043 = 8019(10) → 213×243 = (81×99)(10)
六進法でも、十進法と同じように倍数判定ができる。2と3の倍数が一目で判る上に、割り切れない5の倍数の判定も可能になる。十進法では 5n×3 と 5n×32 が判定可能なのに対して、六進法では 3n や 3n×5 が判定可能になる。また、2n と 2n×5 の倍数は、十進法では 5n 種類になるが、六進法では 3n 種類になる。
個別の倍数判定も、以下のようになる。素因数分解を左に【】で示す。
【2】2:一の位が2か4か0
【3】3:一の位が3か0
【22】4:下二桁が {04,12,20,24,32,40,44,52,00} のどれか。計9 (= 32) 種類。
【5】5:各位の数字和が5の倍数
【2×3】10(=6(10)):一の位が0
【32】13(=9(10)):下二桁が {13,30,43,00} のどれか。計4 (= 22) 種類。
【2×5】14(=10(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が 2か4か0。
【3×5】23(=15(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が 3か0 。
【22×32】100(=36(10)):下二桁が00 。
【11】11(=7(10)):二桁のゾロ目、あるいは二桁ゾロ目に0がいくつも付く。 {例:220(=84(10))、3311(=763(10))}
【23】12(=8(10)):下三桁が12の倍数 {012,024,040 … 532,544,000} 。 {計43(=27(10)) 種類。例:1224(=304(10))}
【22×3】20(=12(10)):下二桁が {20,40,00} のどれか。 {例:3440=580(12)=816(10)}
【24】24(=16(10)):下四桁が24の倍数。 {計213(=81(10)) 種類。例:12544=1936(10)}
【2×32】30(=18(10)):下二桁が 30 か00 。
【22×5】32(=20(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ下二桁が {04,12,20,24,32,40,44,52,00} のどれか。 {例:13204=510(20)=2020(10)}
【23×3】40(=24(10)):一の位が0、かつ整数第三位〜第二位が {04,12,20,24,32,40,44,52,00} のどれか。 {例:1520=408(10)}
【52】41(=25(10)):「一の位以外」から「一の位を4倍」を引き、その差が0か、その差を41で割って余りが0。 {例:13051 = 1975(10)}
【33】43(=27(10)):下三桁が {043,130,213,300,343,430,513,000} のどれか。 {例:1213 = 297(10)}
【2×3×5】50(=30(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が0。
【23×5】104(=40(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ下三桁が12の倍数。 {計43(=27(10)) 種類。例:2012(=440(10))}
【22×3×5】140(=60(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ下二桁が {20,40,00} のどれか。 {例:13100=1980(10)}
【34】213(=81(10)):下四桁が213の倍数。 {計24(=16(10)) 種類。例:14043=2187(10)}
【22×52】244(=100(10)):「一の位以外」から「一の位を4倍」を引き、その差が0か、その差を41で割って余りが0になり、その上で下二桁が4の倍数。 {例:3412 = 800(10)}
<図>六進小数の進み方(「六分の一」の位)
0   0.1  0.2  0.3  0.4  0.5   1   1.1  1.2  1.3  1.4  1.5   2   2.1  2.2…
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<図>六進小数の進み方(「三十六分の一」の位)
0   0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.1  0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.2  0.21 0.22 … 0.52 0.53 0.54 0.55  1   1.01…
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六進法では「5 + 1 = 10」「2×3 = 10」になるので、2と3という基本的な数による演算が非常に容易である。小数でも、六進法では 0.1 が六つ集まると 1 になるので、0.1が1/6となり、0.3が1/2となり、0.2が1/3となり、1/3は割り切れる小数になる。0.5は「5/6」となり、「1/2」ではない。小数の位取りも、0.1が「六分の一」に続いて、0.01は「三十六分の一」、0.001は「二百十六分の一」となる。
小数の数値も整数と同様になる。右に既約分数を表記する。
(0.1)6 = 1/6 (1×6-1)
(0.01)6 = 1/36 (1×6-2)
(0.14)6 = 10/36 (1×6-1 + 4×6-2) = 5/18 = (5/30)6
(0.43)6 = 27/36 (4×6-1 + 3×6-2) = 3/4
(0.001)6 = 1/216 (1×6-3)
(0.205)6 = 77/216 (2×6-1 + 0×6-2 + 5×6-3)
(0.332)6 = 128/216 (3×6-1 + 3×6-2 + 2×6-3) = 16/27 = (24/43)6
(0.0001)6 = 1/1296 (1×6-4)
(0.3213)6 = 729/1296 (3×6-1 + 2×6-2 + 1×6-3 + 3×6-4) = 9/16 = (13/24)6
(0.4424)6 = 1024/1296 (4×6-1 + 4×6-2 + 2×6-3 + 4×6-4) = 64/81 = (144/213)6
を、それぞれ意味する。
整数と小数の桁の移動も、(12)6 を例に挙げると:
(1200)6 = (288)10
(120)6 = (48)10
(12)6 = (8)10
(1.2)6 = (8/6)10 = 1と(2/6)10 = 1と1/3
(0.12)6 = (8/36)10 = (2/9)10
(0.012)6 = (8/216)10 = (1/27)10
となる。
六進法の整数の除算では、100や1000など桁上がりの冪数も三分割が可能になり、10(六)の冪指数と同じ2の冪数と3の冪数で割り切れることになる。例えば、1000ならば23と33の両方で割り切れ、かつ2と3の冪指数が同じになる。
100 ÷ 3 = 20
十進法の整数の除算では、「四分割(2-2)は百(100)まで待たねばならない」上に、100は三分割も九分割(3-2)もできない。しかし、六進法の整数の除算では、「四分割は三十六(100)まで待たねばならない」が、「九分割も三十六(100)まで待てばいい」。「100個の饅頭」が、六進法では以下のように分けることができる。
二分割:100個 ÷ 2人 = 30個 → 十進換算値は「36個 ÷ 2人 = 18個」
三分割:100個 ÷ 3人 = 20個 → 十進換算値は「36個 ÷ 3人 = 12個」
四分割:100個 ÷ 4人 = 13個 → 十進換算値は「36個 ÷ 4人 = 9個」「62個 ÷ 22人 = 32個」
六分割:100個 ÷ 10人 = 10個 → 十進換算値は「36個 ÷ 6人 = 6個」
九分割:100個 ÷ 13人 = 4個 → 十進換算値は「36個 ÷ 9人 = 4個」「62個 ÷ 32人 = 22個」
1000 ÷ 3 = 200
六進法の「1000人」は十進法で「216人」、同じく「200人」は十進法で「72人」になる。従って、「1000人の1/3で200人」「1000人の1/23で43人」「1000人の1/33で12人」といった計算が可能になる。従って、単位分数以外でも2の冪数や3の冪数を分母にして「1000人の『(5×2)/33』で212人」「1000人の『5/23』で343人」といった計算も可能になる。
二分割:1000人 ÷ 2 = 300人 → 十進換算値は「216人 ÷ 2 = 108人」
三分割:1000人 ÷ 3 = 200人 → 十進換算値は「216人 ÷ 3 = 72人」
四分割:1000人 ÷ 4 = 130人 → 十進換算値は「216人 ÷ 4 = 54人」
六分割:1000人 ÷ 10 = 100人 → 十進換算値は「216人 ÷ 6 = 36人」
八分割:1000人 ÷ 12 = 43人 → 十進換算値は「216人 ÷ 8 = 27人」「63人 ÷ 23 = 33人」
九分割:1000人 ÷ 13 = 40人 → 十進換算値は「216人 ÷ 9 = 24人」
二十七分割:1000人 ÷ 43 = 12人 → 十進換算値は「216人 ÷ 27 = 8人」「63人 ÷ 33 = 23人」
八分の五:1000人 × (5/12) = 343人 → 十進換算値は「216人 × (5/8) = 135人」
二十七分の十:1000人 × (14/43) = 212人 → 十進換算値は「216人 × (10/27) = 80人」
10000 ÷ 3 = 2000
もし通貨を六進法にすると、「10000円」は十進法の「1296円」になり、「2000円」は十進法の「432円」になり、「10000円 ÷3 = 2000円」「10000円を3人で分けて、1人2000円」といった三分割が可能になる。
二分割:10000円 ÷ 2 = 3000円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 2 = 648円」
三分割:10000円 ÷ 3 = 2000円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 3 = 432円」
四分割:10000円 ÷ 4 = 1300円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 4 = 324円」
六分割:10000円 ÷ 10 = 1000円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 6 = 216円」
八分割:10000円 ÷ 12 = 430円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 8 = 162円」
九分割:10000円 ÷ 13 = 400円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 9 = 144円」
十六分割:10000円 ÷ 24 = 213円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 16 = 81円」「64円 ÷ 24 = 34円」
二十七分割:10000円 ÷ 43 = 120円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 27 = 48円」
八十一分割:10000円 ÷ 213 = 24円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 81 = 16円」「64円 ÷ 34 = 24円」
通貨の列も、「100円硬貨」は十進法「36円硬貨」、「1000円硬貨」は十進法「216円硬貨」、「10000円札」は十進法「1296円札」、「100000円札」は十進法「7776円札」となり、どれも三分割・四分割・六分割・九分割が可能になる。
十進法は1/3が割り切れない、十六進法など「2の冪数」進法は1/3も1/5も割り切れないのに対して、六進法では十の冪数も2の冪数も三分割することができる。
十進法:51 ÷ 2 = 25.5
六進法:123 ÷ 2 = 41.3
十進法:100 ÷ 3 = 33.3333…
六進法:244 ÷ 3 = 53.2
十進法:100 × (2/3) = 66.6666…
六進法:244 × (2/3) = 150.4
十進法:1000 ÷ 3 = 333.3333…
六進法:4344 ÷ 3 = 1313.2
八進法:100 ÷ 3 = 25.2525…
十進法:64 ÷ 3 = 21.3333…
六進法:144 ÷ 3 = 33.2
十六進法:100 ÷ 3 = 55.5555…
十進法:256 ÷ 3 = 85.3333…
六進法:1104 ÷ 3 = 221.2
十六進法:100 ÷ 5 = 33.3333…
十進法:256 ÷ 5 = 51.2
六進法:1104 ÷ 5 = 123.1111…
十進法では 1/3 メートルが割り切れずに「100 ÷ 3 = 33.3333… センチメートル」「1/3 メートル = 333.3333… ミリメートル」になってしまうが、六進法では「100(10)」センチメートルは「244」センチメートルと表記され、1/3 メートルは「244 ÷ 3 = 53.2 センチメートル」となる。
四分割と九分割(2-2と3-2)
十進法で「100分率」を作ると「百分率」だが、六進法で「100分率」を作ると「三十六分率」になる。「三十六分率」になると、十進法の1/3の数量で、「m/4」と「m/9」を同じ桁数で実行することができる。
十進法:75 ÷ 100 = 0.75 → 75 %
六進法:203 ÷ 244 = 0.43 → 43 (三十六分率)
十進法:2 ÷ 3 = 0.6666… → 66.6666… %
六進法:2 ÷ 3 = 0.4 → 40 (三十六分率)
十進法:8 ÷ 9 = 0.8888… → 88.8888… %
六進法:12 ÷ 13 = 0.52 → 52 (三十六分率)
十進法:90 ÷ 100 = 0.9 → 90 %
六進法:230 ÷ 244 = 0.5222… → 52.2222… (三十六分率)
その他、「2の冪数」や「十の冪数」の九分割の例は以下の通りになる。
八進法:100 ÷ 11 = 7.0707…
六進法:144 ÷ 13 = 11.04
十六進法:100 ÷ 9 = 1C.71C71C…
六進法:1104 ÷ 13 = 44.24
十進法:100 ÷ 9 = 11.1111…
六進法:244 ÷ 13 = 15.04
八分割(2-3)と二十七分割(3-3)
十進数では m/33 (= m/27(10)) は割り切れず、37(10) (= 101(6)) の倍数三桁が循環するが、六進数では m/33 (= m/43(6))は割り切れて23=12(6)=8(10)の倍数になる。m/23 の小数も、十進数では 53 (= 125(10) = 325(6))の倍数だが、六進数では 33 (= 43(6) = 27(10))の倍数になる。
従って、六進数では、23 (=12(6)=8(10))で割ると被除数の33 (=43(6)=27(10))倍の数が現れ、33 (=43(6)=27(10))で割ると被除数の23 (=12(6)=8(10))倍の数が現れる。
十進法:3 ÷ 10 = 0.3
六進法:3 ÷ 14 = 0.14444…
十進法:8 ÷ 27 = 0.296296…
六進法:12 ÷ 43 = 0.144
23/33 の小数は、十進法では割り切れずに 37×8 = 296 が循環するのに対して、六進法では割り切れて 12×12 = 144 が現れ、これを十進法で換算すると 8×8 = 64 になる。「十分の三」が割り切れない一方で、その概数である「二十七分の八」は「四六三分の六二」として計数され、割り切れる小数になる。
このように、六進法は六分割で一桁下がるので、三分割、九分割、二十七分割など、3の冪数で分ける方法がかなり便利になる。
十進法:3 ÷ 8 = 0.375
六進法:3 ÷ 12 = 0.213
3/8の小数は、小数点を消すと十進法が 375(10) = 3×53 に対して、六進法は 213(6) = 3×33 = 81(10) が現れる。これらを分数化すると、十進法が (375/1000)10 に対して、六進法は (81/216)10 = (213/1000)6 になる。
割分厘も、十進法は「千分率」だが、六進法は「二百十六分率」になる。3/8も、十進法の「打率0.375」「3割7分5厘」に対して、六進法だと「打率0.213」「2割1分3厘」という数え方になる。
その他、2-3、3-3、列びに5-2を伴う除算の例は、以下のようになる。
28 ÷ 33
十六進法:100 ÷ 1B = 9.7B425ED09…
十進法:256 ÷ 27 = 9.481…
六進法:1104 ÷ 43 = 13.252
28 ÷ 52
十六進法:100 ÷ 17 = A.3D70A…
十進法:256 ÷ 25 = 10.24
六進法:1104 ÷ 41 = 14.12350…
六進法は2と3の冪指数が同じなので、十六分割(2-4)と同じく八十一分割(3-4)も容易である。その他、2と3の冪指数が4以上の計算例は、以下のようになる。
38 ÷ 24
九進法:10000 ÷ 17 = 505.0505…
十進法:6561 ÷ 16 = 410.0625(十進帯分数:410と625/10000=410と3/16)
六進法:50213 ÷ 24 = 1522.0213(十進帯分数:410と81/1296=410と3/16)
(212)10 ÷ 34  { (220)6 ÷ 34}
十六進法:1000 ÷ 51 = 32.9161F9ADD 3C0CA4587 E6B74F032…(循環節は27(10)桁)
九進法:5551 ÷ 100 = 55.51(十進帯分数:50と46/81)
十進法:4096 ÷ 81 = 50.567901234…
六進法:30544 ÷ 213 = 122.3224(十進帯分数:50と736/1296=50と46/81)
十進分数 11/64(11÷26)
十進法 11 ÷ 64 = 0.171875
六進法:15 ÷ 144 = 0.101043(十進数に換算して 8019)
十進分数 31/729(31÷36)
十進法:31 ÷ 729 = 0.04252400548…
六進法:51 ÷ 3213 = 0.013104(十進数に換算して 1984)
十進分数 135/256 {(33×5) ÷ 28}
十進法:135 ÷ 256 = 0.52734375
六進法:343 ÷ 1104 = 0.30552343(十進数に換算して 885735)
十進分数 2000/6561 {(24×53) ÷ 38}
十進法:2000 ÷ 6561 = 0.30483158055…
六進法:13132 ÷ 50213 = 0.14545104(十進数に換算して 512000)
除数が十五(15(10)=23(6))の倍数になる除算を割り切る条件は、被除数の因数に5が含まれていることが第一となる。
十進法:100 ÷ 90 = 1.1111…
六進法:244 ÷ 230 = 1.04 ← 因数に5が含まれている。
十進法:216 ÷ 75 = 2.88
六進法:1000 ÷ 203 = 2.5140251402… ← 因数に5が含まれていない。
十進法:500 ÷ 180 = 2.7777…
六進法:2152 ÷ 500 = 2.44
分数を六進法の小数に変換すると、「二分の一」と「三分の一」が小数第一位、「四分の一」と「九分の一」が小数第二位、「八分の一」と「二十七分の一」が小数第三位となる。つまり、2-nと3-nがそのまま「小数第n位」になる。しかし、五分の一だけが割り切れず、循環節が一桁になる。
1/2 = 0.3
1/3 = 0.2
2/3 = 0.4
1/4 = 0.13(十進換算で 9/36 = 1/4)
3/4 = 0.43(十進換算で 27/36 = 3/4)
(1/9)10 = 1/13 = 0.04(十進換算で 4/36 = 1/9)
(2/9)10 = 2/13 = 0.12(十進換算で 8/36 = 2/9)
(4/9)10 = 4/13 = 0.24(十進換算で 16/36 = 4/9)
(5/9)10 = 5/13 = 0.32(十進換算で 20/36 = 5/9)
(7/9)10 = 11/13 = 0.44(十進換算で 28/36 = 7/9)
(8/9)10 = 12/13 = 0.52(十進換算で 32/36 = 8/9)
(1/12)10 = 1/20 = 0.03(十進換算で 3/36 = 1/12)
(5/12)10 = 5/20 = 0.23(十進換算で 15/36 = 5/12)
(7/12)10 = 11/20 = 0.33(十進換算で 21/36 = 7/12)
(11/12)10 = 15/20 = 0.53(十進換算で 33/36 = 11/12)
(1/18)10 = 1/30 = 0.02(十進換算で 2/36 = 1/18)
(5/18)10 = 5/30 = 0.14(十進換算で 10/36 = 5/18)
(11/18)10 = 15/30 = 0.34(十進換算で 22/36 = 11/18)
分母が23
(1/8)10 = 1/12 = 0.043(十進換算で 27/216 = 1/8)
(3/8)10 = 3/12 = 0.213(十進換算で 81/216 = 3/8)
(5/8)10 = 5/12 = 0.343(十進換算で 135/216 = 5/8)
(7/8)10 = 11/12 = 0.513(十進換算で 189/216 = 7/8)
従って、1/2にするには0.3を掛ける、1/3にするには0.2を掛ける、2/3にするには0.4を掛ける、3/4にするには0.43を掛ける、(4/9)10にするには0.24を掛ける、(5/8)10にするには0.343を掛ける、(8/27)10にするには0.144を掛ける、という方法でも算出できる。
十進法の 99.75 → 六進法では 243.43
十進法の 141.375 → 六進法では 353.213
十進法で 100×0.5 = 50 → 六進法では 244×0.3 = 122
十進法で 100÷3 = 33.3333… → 六進法では 244×0.2 = 53.2
十進法で 100×(2/3) = 66.6666… → 六進法では 244×0.4 = 150.4