スピン角運動量
:={1\over (2u)!}\sum_j\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{2u}\phi_{j,\sigma_1}\otimes\cdots\otimes\phi_{j,\sigma_{2u} …(M1)
により定義する。ここで\mathfrak{S}_{2u}は置換群である。すなわち\mathcal{S}(\psi) は各jに対し、\phi_1\otimes \cdots \otimes \phi_{2u}の添字を入れ替えたもの全ての和を(2u)!で割ったものである。(このように定義してもwell-definedである)。対称化したテンソルを対称テンソルと呼び、対称テンソル全体なす部分ベクトル空間を
W_{1/2}{}^{\odot 2u}
と表記する。e0、e1をW1/2C2の基底とし、
E_j=\underbrace{\mathbf{e}_0\odot~\cdots~\odot\mathbf{e}_0}_{j}\odot\underbrace{\mathbf{e}_1\odot~\cdots~\odot\mathbf{e}_1}_{2u-j}
と定義すると、E0、…、E2sは明らかにW_{1/2}{}^{\odot 2u} の基底となる。したがってW_{1/2}{}^{\odot 2u} は2u+1次元である。
Wuを
W_u=W_{1/2}{}^{\odot 2u}    …(M2)
と定義する。
U∈Spin(3)に対し、
(D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)~:~W_{1/2}{}^{\otimes 2u}\to W_{1/2}{}^{\otimes 2u}
\sum_{j}\phi_{j,1}\otimes \cdots \otimes \phi_{j,2u}\mapsto \sum_{j}D^{1/2}(U)(\phi_{j,1})\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U)(\phi_{j,2u})
により定義すると、(D^{1/2})^{\otimes 2u}(U) はW_{1/2}{}^{\otimes 2u}上の内積を保つ線形写像である。明らかに(D^{1/2})^{\otimes 2u}(U) は対称テンソルを対称テンソルに移すので、(D^{1/2})^{\otimes 2u}(U) のW_u=W_{1/2}{}^{\odot 2u} への制限写像を、
D^{u}(U)=(D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)(U)|_{W_u}          …(N1)
と定義する。
D^{u}(U) は内積を保つので、これは
D^{u}(U)\in\mathsf{U}(W_u)
を意味する。この写像が、求めるべき既約ユニタリ表現である。
本節では、前節で定義したSpin(3)の既約ユニタリ表現Duを用いて、オブザーバブルを定義し、そのオブザーバブルの性質を調べる。
D^{u}~:~\mathsf{Spin}(3)=\mathsf{SU}(2)\to W_s
(D^{u})_*~:~\mathsf{spin}(3)=\mathsf{su}(2)\to W_u,   \left.{\operatorname{d} U(t)\over \operatorname{d} t}\right|_{t=0} \mapsto \left.{\operatorname{d} D^u(U(t))\over \operatorname{d} t} \right|_{t=0}
と3次元空間の単位ベクトル\mathbf{n}\in \mathsf{spin}(3)\simeq \mathbf{R}^3を用いてオブザーバブル
\hat{T}_{\mathbf{n}=i\hbar(D^{u})_*(X_{\mathbf{n})
を定義できる。ここでiは虚数単位であり、Xnは(L6)に定義されたものである。具体的には
Wuがスピノール空間Vsのときはu=sで、\hat{T}_{\mathbf{n}は一粒子のスピン角運動量演算子\hat{S}_{\mathbf{n}
WuがL2(R3)の2u+1次元部分空間のときは、\hat{T}_{\mathbf{n}は一粒子の軌道角運動量演算子\hat{L}_{\mathbf{n}
WuはL^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_tの2u+1次元部分空間のときは、\hat{T}_{\mathbf{n}は一粒子の全角運動量演算子\hat{J}_{\mathbf{n}
である。
(Du)*を具体的に書き表す。U(t)を
X_{\mathbf{n}=\left.{\operatorname{d} U(t)\over \operatorname{d} t}\right|_{t=0}
を満たすように取ると、ライプニッツルールと(N1)より
(D^{u})_*(X_{\mathbf{n})= \left.{\operatorname{d} D^u(U(t))\over \operatorname{d} t}\right|_{t=0} = \left.{\operatorname{d} \over \operatorname{d} t}D^{1/2}\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U(t))\right|_{t=0}  = \sum_{j=1}^{2u} D^{1/2}(U(t))|_{t=0}\otimes \cdots \otimes \overset{\overset{j}{\vee}{\left.{\operatorname{d} D^{1/2}(U(t))\over \operatorname{d} t}\right|_{t=0}\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U(t))|_{t=0}= \sum_{j=1}^{2u} I \otimes \cdots \otimes \overset{\overset{j}{\vee}{(D^{1/2})_*(X_{\mathbf{n})} \otimes \cdots \otimes I
である。ここでIは常に単位行列Iを返す写像である。
スピン1/2のときと同様の議論により、オブザーバブルD1/2は2つの固有値
{\hbar\over 2}, -{\hbar\over 2}
を持つので、これらに対応する固有状態をそれぞれe_{\mathbf{n}^+ 、e_{\mathbf{n}^- とし、k  −u, −(u − 1), …, (u − 1), uに対し、
E_{\mathbf{n},k}=c(k)\underbrace{e_{\mathbf{n}^+\cdot~ \cdots ~\cdot e_{\mathbf{n}^+}_{u+k}\cdot \underbrace{e_{\mathbf{n}^-\cdot~ \cdots ~\cdot e_{\mathbf{n}^-}_{u-k}
=c(k)\mathcal{S}(\underbrace{e_{\mathbf{n}^+\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}^+}_{u+k}\otimes \underbrace{e_{\mathbf{n}^-\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}^-}_{u-k}) \in W_{1/2}{}^{\odot 2u}=W_u       …(P1)
とする。
ここでc(k)は正規化定数
c(k)=\sqrt{(2u)!\over(u+k)!(u-k)!}        …(P2)
すると、
\hat{T}_{\mathbf{n}(E_{\mathbf{n},k})=i\hbar(D^{u})_*(X_{\mathbf{n})(E_{\mathbf{n},k})
= c(k)\cdot\mathcal{S}(\sum_{j=1}^{2u} (I \otimes \cdots \otimes \overset{\overset{j}{\vee}{(D^{1/2})_*(X_{\mathbf{n})} \otimes \cdots \otimes I)(e_{\mathbf{n}^+\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}^+\otimes e_{\mathbf{n}^-\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}^-)) =\hbar c(k)\cdot\mathcal{S}(k\cdot e_{\mathbf{n}^+\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}^+\otimes e_{\mathbf{n}^-\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}^-)=k\hbar \cdot E_{\mathbf{n},k}
なので、En,kは固有値k\hbarに対応する固有状態である。
昇降演算子nがx軸、y軸、z軸であるときの\hat{T}_{\mathbf{n}を\hat{T}_x、\hat{T}_y、\hat{T}_zとし、
\hat{T}_+:=\hat{T}_x+i\hat{T}_y
\hat{T}_-:=\hat{T}_x-i\hat{T}_y
とすると、
\hat{T}_{\pm}(E_{z,k})
= \hbar \sqrt{u(u+1)-k(k+1)}\cdot E_{z,k\pm 1}
である。(\hat{D}^u)_*(X_1)+i(\hat{D}^u)_*(X_2)
\hat{D}^u_-:=(\hat{D}^u)_*(X_1)-i(\hat{D}^u)_*(X_2)
とする。
e_+=
\begin{pmatrix}
1\\
\end{pmatrix} 、e^-=
\begin{pmatrix}
0\\
\end{pmatrix}
である。u1/2のときは、
\hat{D}^{1/2}_+e_+
=
{\hbar\over 2}
\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix}
e_+
=
、
\hat{D}^{1/2}_+e_-
=
{\hbar\over 2}
\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix}
e_-
=
{\hbar\over 2}
e_+ 、
\hat{D}^{1/2}_-e_+
=
{\hbar\over 2}
\begin{pmatrix}
0&0\\
1&0
\end{pmatrix}
e_+
=
{\hbar\over 2}
e_-
、
\hat{D}^{1/2}_-e_-
=
{\hbar\over 2}
\begin{pmatrix}
0&0\\
1&0
\end{pmatrix}
e_-
=
0
なので、(N1)、(M1)、(P1)、(P2)より、
\hat{T}_+(E_{z,k})
= c(k)\cdot\mathcal{S}(\sum_{j=1}^{2u} (I \otimes \cdots \otimes \overset{\overset{j}{\vee{D^{1/2}_+(X_{\mathbf{n})} \otimes \cdots \otimes I)(\underbrace{e_{\mathbf{n}^+\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}^+}_{u+k}\otimes \underbrace{e_{\mathbf{n}^-\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}^-}_{u-k}) =c(k)\cdot\mathcal{S}((u-k)\hbar\cdot \underbrace{e_{\mathbf{n}^+\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}^+}_{u+k+1}\otimes \underbrace{e_{\mathbf{n}^-\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}^-}_{u-k-1}) = {(u-k)\hbar c(k)\over c(k+1)}\cdot E_{z,k+1} = \hbar \sqrt{(u-k)(u+k+1)}\cdot E_{z,k+1} = \hbar \sqrt{u(u+1)-k(k+1)}\cdot E_{z,k+1}
\hat{T}_-(E_{z,k}) のケースも同様に証明できる。
|drop=yes}
クレブシュ–ゴルダン係数Wu、Wvをそれぞれ2u+1次元、2v+1次元の複素計量ベクトル空間とし、
D^{u}~:~\mathrm{Spin}(3)\to \mathrm{U}(W_u)
D^{v}~:~\mathrm{Spin}(3)\to \mathrm{U}(W_v)
D^{u}\otimes D^{v}~:~\mathrm{Spin}(3)\to \mathrm{U}(W_u)\otimes \mathrm{U}(W_v) \subset \mathrm{U}(W_u\otimes W_v)
は既約ユニタリ表現になるとは限らない。しかし適切に基底を取り替えれば、以下の事実が成り立つ事が知られている:
W_{u}\otimes W_{v} \simeq \bigoplus_{w=|u-v〕^{u+v} W_w
D^{u}\otimes D^{v} \simeq \bigoplus_{w=|u-v〕^{u+v} D^w
上式をクレブシュ–ゴルダン分解という。
上式左辺の基底は、
|u,j_1\rangle\otimes |v,j_2\rangle
の形式で記述できる。ここで|u,j_1\rangle は固有値j1に対応するDuの固有状態である。一方右辺の基底は
|u,v,w,j\rangle
の形式で記述できる。ここで|u,v,w,j\rangle はW_u\otimes W_v における、固有値jに対応するDwの固有状態である。両者は基底変換で結ばれるので、何らかの係数c(u,v,w,j1,j2,j)を用いて
|u,v,w,j\rangle = \sum_{w=|u-v〕^{u+v}c(u,v,w,j_1,j_2,j)|u,j_1\rangle\otimes |v,j_2\rangle
と書ける。c(u,v,w,j1,j2,j)をクレブシュ–ゴルダン係数という。