フィンスラー多様体
フィンスラー多様体(フィンスラーたようたい、Finsler manifold)とは、可微分多様体 M であって各接空間 TxM でミンコフスキー汎関数 F(x, −) (非対称のときもある) が与えられ、任意の滑らかな曲線 γ: [a, b] → M の長さが
L(\gamma) = \int_a^b F\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\,\mathrm{d}t
であるものと定義される、微分幾何学の概念である。
正接ノルムが内積から誘導されていないことから、フィンスラー多様体はリーマン多様体よりも一般的な概念と言える。
フィンスラー多様体は、2点間の距離がそれらを結ぶ曲線の最小長で定義されるときintrinsicな準距離空間になる。
ポール・フィンスラーがこの幾何学を研究し、がそのことにちなんでフィンスラー多様体と名付けた。
フィンスラー多様体は、可微分多様体 M であって、接束上の連続非負関数 F: TM → [0, +∞) であるフィンスラー計量がM の各点 x に対して、以下の性質をもつものである:
(劣加法性)x で M に正接する 2 つの任意ベクトル v,w に対して F(v + w) ≤ F(v) + F(w)。
(正の斉次性)任意の λ ≥ 0 に対して F(λv)  λF(v)。
(正定値性)v  0 でない限り F(v) > 0。
つまり、F(x, −) は接空間 TxM 上の非対称ノルムである。フィンスラー計量 F は「滑らか」である必要がある。より正確には
F は TM の零切断の補集合で滑らか。
劣加法の条件は次の強い凸性条件に置き換えることができる:
各接線ベクトル v ≠ 0 について、v での F2 のヘッセ行列は正定値である。
ここで、v における F2 のヘッシアンは対称な双線型形式
\mathbf{g}_v(X, Y) := \frac{1}{2}\left.\frac{\partial^2}{\partial s\partial t}\left[F(v + sX + tY)^2\right]\right|_{s=t=0}
である。これは v における F の基本テンソルとも呼ばれる。強い凸性は、u ≠ v の場合に厳密な不等式による劣加法性を意味する。 F が強い凸性を持つならばそれは接空間のミンコフスキーノルムである。
さらに、
任意の接ベクトル v に対して F(−v)  F(v)
のとき、フィンスラー計量は可逆であるという。可逆なフィンスラー計量は接空間の (通常の意味での) ノルムを定義する。
有限次元のノルム線型空間の滑らかな部分多様体 (開部分集合を含む) は、ベクトル空間のノルムが原点の外側で滑らかならばフィンスラー多様体である。
(擬リーマン多様体ではない)リーマン多様体はフィンスラー多様体の特殊なケースである。
(M, a) をリーマン多様体とし、b を M 上の微分 1 形式で
\|b\|_a := \sqrt{a^{ij}b_i b_j} < 1,
を満たすものとする。ここで aij は aij の逆行列である。アインシュタインの縮約記法を用いている。すると
F(x, v) := \sqrt{a_{ij}(x)v^i v^j} + b_i(x)v^i
は M 上のランダース計量を定義し、(M, F) は非可逆フィンスラー多様体の特殊なケースであるランダース多様体である。
(M, d) を準距離とする。つまり M は可微分多様体であり、d は M の微分構造と次の意味での互換性をもつ:
M の任意の点 z の近傍で滑らかな M のチャート (U, ϕ) と定数 C ≥ 1 が存在して、任意の x, y ∈ U に対して次が成り立つ:
\frac{1}{C}\|\phi(y) - \phi(x)\| \leq d(x, y) \leq C\|\phi(y) - \phi(x)\|.
関数 d: M×M → [0, ∞] がいくつかpunctureされた対角の近傍の中で滑らか。
するとフィンスラー関数 F: TM → [0, ∞] を
F(x, v) := \lim_{t \to 0+} \frac{d(\gamma(0), \gamma(t))}{t}
で定義できる。ここで γ は M の任意の曲線で γ(0)  x かつ γ′(0)  v を満たす。このように得られたフィンスラー関数 F は M の接空間で非対称な(通常は非ミンコフスキー)ノルムに制限される。もともとの準距離から誘導されたintrinsicな計量 dL: M×M → [0, ∞] は
d_L(x, y) := \inf\left\{\ \left.\int_0^1 F\left(\gamma(t), \dot\gamma(t)\right) \, dt \ \right| \ \gamma\in C^1([0, 1], M) \ , \ \gamma(0) = x \ , \ \gamma(1) = y \ \right\}
で復元でき、実際、任意のフィンスラー関数 F: TM → [0, ∞) からこの式によって M 上のintrinsicな準計量 dL を定義できる。
F の均一性により、M 上の微分可能な曲線 γ: [a, b] → M の長さ
L[\gamma] := \int_a^b F\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\mathrm{d}t
は、正方向の再パラメーター化の下で不変である。等速曲線 γ は、もしその十分に短いセグメント γ![c,d] が γ(c) から γ(d) までの長さを最小化するなら、フィンスラー多様体の測地線である。同様に、もしエネルギー汎関数
E[\gamma] := \frac{1}{2}\int_a^b F^2\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\mathrm{d}t
が固定端点 γ(a)  x, γ(b)  y をもつ微分可能な曲線 γ 上でその汎関数微分が消えるという意味で定常なら、γ は測地線である。
エネルギー汎関数 E[γ] のオイラー・ラグランジュ方程式は TM の局所座標系 (x1, ..., xn, v1, ..., vn) で
g_{ik}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big)\ddot\gamma^i(t) + \left(
\frac{\partial g_{ik}{\partial x^j}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big) -
\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}{\partial x^k}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big)
\right) \dot\gamma^i(t)\dot\gamma^j(t) = 0
である。ここで k  1, ..., n、また gij は次で定義される基本テンソルの座標表現である:
g_{ij}(x,v) := g_v\left(\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_x, \left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right|_x\right).
v ∈ TxM に関して F2(x, v) に強い凸性を仮定すると、行列 gij(x, v) は正則であり、その逆行列は gij(x, v) と表される。すると γ: [a, b] → M が (M, F) の測地線である必要十分条件は、接曲線 γ′: [a, b] → TM∖{0} が TM∖{0} 上で次式によって局所的に定義された滑らかなベクトル場 H の積分曲線であることである:
\left.H\right|_{(x, v)} := \left.v^i\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_{(x,v)}\!\! - \left.2G^i(x, v)\frac{\partial}{\partial v^i}\right|_{(x,v)},
ここで局所スプレー係数 Gi は次式で与えられる:
G^i(x, v) := \frac{1}{4}g^{ij}(x, v)\left(2\frac{\partial g_{jk}{\partial x^\ell}(x, v) - \frac{\partial g_{k\ell}{\partial x^j}(x, v)\right)v^k v^\ell.
TM∖{0} 上のベクトル場 H は JH  V および [V, H]  H を満たす。ここで J, V は TM∖{0} の正準準同型および正準ベクトル場である。したがって定義より H は M 上のスプレー (数学)である。スプレー H は垂直投影を介してファイバー束 TM∖{0} → M に非線形接続を定義する。
v: T(\mathrm{T}M \setminus \{0\}) \to T(\mathrm{T}M \setminus \{0\});\quad v := \frac{1}{2}\big(I + \mathcal{L}_H J\big).
リーマン多様体の場合と同様、Ehresmann曲率と非線形共変微分に関して、一般的なスプレー構造 (M, H) に対するヤコビ方程式のバージョン
D_{\dot\gamma}D_{\dot\gamma}X(t) + R_{\dot\gamma}\left(\dot\gamma(t), X(t)\right) = 0
が存在する。
Hopf-Rinowの定理により、(M, F) 上には長さを最小化する曲線が (少なくとも十分に近い近傍で) 常に存在する。 長さを最小化する曲線は正の値で再パラメータ化して測地線にすることが常にでき、どの測地線も E[γ] に対してオイラー・ラグランジュ方程式を満たさなければならない。F2 の強い凸性を仮定すると、積分曲線の一意性により、任意の (x, v) ∈ TM∖0 に対して γ(0)  x および γ′(0)  v を満たす最大の測地線 γ が一意に存在する。
F2 が強い凸性をもつなら、測地線 γ: [0, b] → M は、γ に沿って γ(0) に共役する最初の点 γ(s) まで、近くの曲線間で長さを最小化し、リーマン多様体の場合のように、t > s の場合、γの近くにγ(0) から γ(t) までのより短い曲線が常に存在する。