ケイリー・ハミルトンの定理
B:= P^{-1}AP = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & &* & \\
& \lambda_2 & & & \\
& &\lambda_3 & & \\
& & &\ddots & \\
& & & &\lambda_n
\end{pmatrix}
\begin{align} p_A (A)
&= (A- \lambda_1 I) \cdots (A- \lambda_n I) \\
&= (PBP^{-1}- \lambda_1 I) \cdots (PBP^{-1}- \lambda_n I) \\
&= P\{(B- \lambda_1 I) \cdots (B- \lambda_n I)\}P^{-1} \ \cdots \ (1) \\
\end{align}
ここで p_B (B)=(B- \lambda_1 I) \cdots (B- \lambda_n I) を計算する。
C_k :=B- \lambda_k I\ (k=1,2, \cdots ,n) とおく。Ck は上三角行列で、(k, k) 成分は 0 である。
C_1 C_2 を計算すると、
\left(\begin{array}{c|c|cc}
0 &* &\cdots &* \\\hline
&* &\cdots &* \\\hline
&  &\ddots &\vdots \\
&  &       &*
\end{array}\right) \left(\begin{array}{c|c|cc}
&* &\cdots &* \\\hline
&0 &\cdots &* \\\hline
&  &\ddots &\vdots \\
&  &       &*
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c|cc}
0 &0 &\cdots &* \\\hline
&0 &\cdots &* \\\hline
&  &\ddots &\vdots \\
&  &       &*
\end{array}\right)
故に、第2列までは成分が全て 0 になる。同様にして、帰納的に、C_k を掛けると、第k列までの成分は全て 0 になる。これを n番目まで繰り返すことにより
C_1 \cdots C_n =O
故に (1) は
P(C_1 \cdots C_n)P^{-1}=O(証明終)
単因子論を用いると、簡単に導出できる。ただし、単因子標準形の存在・一意性の証明にはかなりの工程を要する。
文献に掲載されている方法による。
xI − A の単因子標準形は、\deg \det(xI-A)=n より、
P(x)(xI-A)Q(x)=\begin{pmatrix}
e_1(x) & & \\
&\ddots & \\
& &e_n(x) \\
\end{pmatrix}
の形となる。ここで、ek(x) はモニック多項式、ek−1(x) ! ek(x)(つまり ek(x) は ek−1(x) で割り切れる)である。
単因子論で知られている結果として、最後の単因子 en(x) は A の最小多項式 φA(x) に等しい。
\begin{align}
p_A(x) &=\det(xI-A) \\
&=\det P(x)^{-1} \sdot (e_1(x) \cdots e_{n-1}(x) \phi_A(x)) \sdot \det Q(x)^{-1}
\end{align}
故に固有多項式 pA(x) は最小多項式 φA(x) で割り切れると分かる。故に p(A)  O(証明終)
A の固有多項式を定義する行列 tIn − A は多項式行列である。多項式全体は可換環をなすから、この行列の余因子行列
B(t):=\operatorname{adj}(tI_n-A)
が存在して、基本関係式により
が成り立つ。
この B(t) もまた t を変数とする多項式行列であるから、各 i に対して行列の各成分から ti の項だけを取り出してまとめたものを係数行列 Bi として、
と書き直すことができる(B(t) の定義の仕方から、tn−1 より高次の冪は現れないことに注意)。これは、多項式行列を、「行列を係数とする多項式」(定数成分行列の線型結合)で表す便法である(それを強調するために ti は係数として左側に書いている)。
さて等式 1 を積の双線型性により展開すれば
\begin{align}
p(t)I_n &= tB(t) - AB(t) \\
&=\textstyle\sum\limits_{i=0}^{n-1} t^{i+1} B_i- \sum\limits_{i=0}^{n-1} t^i AB_i \\
&=t^n B_{n-1} + \textstyle\sum\limits_{i=1}^{n-1} t^i(B_{i-1} - AB_i) - AB_0 \\
&=: t^n I_n + t^{n-1}c_{n-1}I_n + \cdots + tc_1 I_n + c_0 I_n
\end{align}
の形に書ける(これは t を変数とする2つの多項式行列の間の等式である)。この等式が成り立つのは、各 i について、ti を係数とする定数成分行列がそれぞれ等しくなるときである。このような係数比較 により、
\begin{align}
&B_{n-1} = I_n, \\
&B_{i-1} - AB_i = c_i I_n \qquad (i=1, \cdots, n-1),\\
&-A B_0 = c_0 I_n
\end{align}
を得る。これにそれぞれ(比較に用いた ti に応じて)Ai を掛けて足し合わせた
\begin{align}
p(A) &= A^n +c_{n-1}A^{n-1} +\cdots +c_1A +c_0I_n \\
&= A^n B_{n-1} + \textstyle\sum\limits_{i=1}^{n-1} \left( A^i B_{i-1} - A^{i+1}B_i \right) - AB_0
\end{align}
は畳み込み和として全ての項が打ち消しあうから、p(A) = O となる。(証明終)
まず、前節の証明に現れる式によって示唆される「行列係数の多項式」という概念について正当化しておく。これには非可換環係数の多項式というある意味普通ではないものを考えることになるので、入念に注意を払う必要が出てくる。通常の多項式で正当化されることが、今の定では適用できないということが多々起こる"佐武"。
著しい点として、通常の可換環係数の多項式に対する算術は、多項式を多項式函数と同一視して函数としての(点ごとの)演算を雛形とすることができるが、非可換環係数ではそれは可能ではない(実は、非可換環上での場合には、乗法のもとで閉じる多項式函数の明らかな概念は存在しない)。それゆえ、行列係数の変数 t に関する多項式を考えるときには、変数 t は係数環の任意の値を取りうる「未知数」と考えてはいけなくて、いくつかの決まったルールに従う形式的な記号としての「不定元」として扱うべきである。特に t に特定の値を代入しようというのは危険である"佐武"。
(f+g)(x) = \sum_i \left (f_i+g_i \right )x^i = \sum_i f_i x^i + \sum_i g_i x^i = f(x) + g(x)
適当な環 R(例えば実数体 R や複素数体 C)に成分を持つ n次正方行列環を M(n, R) と書き、その一つの元として行列 A をとる。t に関する多項式を係数として持つ行列、例えば tIn − A やその余因子行列(の転置行列)B なとは M(n, R[t]) の元である。t の同じ次数の冪を含む項をまとめることにより、M(n, R[t]) に属する行列を t を変数とする行列係数の「多項式」の形に書き表すことができる。行列係数の多項式全体の成す集合を M(n, R)[t] と書けば、M(n, R)[t] と M(n, R[t]) との間に一対一対応が存在するから、それにより対応する算術演算を定義することができる。特に乗法は
\left( \sum M_i t^i \right) \left( \sum N_j t^j \right) =\sum_{i,j} (M_i N_j) t^{i+j}
で与えられる。これは明らかに非可換な乗法である(特に右辺の係数における積の順番は、左辺の対応する因子の現れる順番を反映するようにしなければならない)"佐武"。
この設定で、等式 (t I_n - A)B = p(t) I_n は M(n, R)[t] の元の間の乗法を含む式と見なすことができる。この時点で、単に t が行列 A に等しいとおく誘惑にかられそうになる(そうすれば左辺は零行列で右辺は p(A) になるから)が、これは係数が可換でないときには許されない操作である"佐武"。それでも非可換環 M 上で「右評価写像」evA: M[t] → M は定義できる(これは各 ti を A の冪 Ai で置き換えるが、この冪は常に対応する係数の右から掛けるものと約束するものである)。ただしこれは環準同型にならない(積の右評価写像の値は右評価写像の積とは一般には異なる)から、行列係数多項式の乗法が t を係数環に属する未知数と見ての乗法を雛形としたものでないことが確認できる(積 Mti⋅Ntj = (MN)ti+j は変数 t は常に N と可換と仮定することで定義できるが、これは t を行列 A で置き換えるときには常には期待できない。ただし、手近な特定の状況を想定する場合にはこの問題をうまく回避できることもある(たとえば、上記の右評価写像は行列 A が係数環の中心に属している場合には(どの多項式でもすべての係数と A は可換になるから)環準同型になる)。
ケイリー・ハミルトンの定理の証明では M を行列環全体と考えるならば A は必ずしも中心に属するわけではないけれども、M としてより小さい環(証明に現れるすべての多項式の係数すべてを含んでいるようなもの)に取り換えて、その中の元すべてが A と可換になるようにするという手段をとることはできる。明らかに、A と可換な行列全体として与えられる部分環(すなわち A の中心化環)Z はそのような部分環の候補になる(定義により、A は Z の中心元である)。この中心化環が In および A を含んでいることは明らかだが、tIn − A の余因子行列の転置 (adjugate matrix) B に現れる ti の係数 Bi を含むことも示せる。実際、余因子行列の転置の基本関係として
B(t I_n - A) = (tI_n - A)B
が成り立つが、これに B = i 0 Bi⋅ti を代入して整理すれば
\sum_{i=0}^m B_i A t^i = \sum_{i=0}^m A B_i t^i
が残る。各 i に対して係数比較を行うことにより、所期の式 ABi = BiA が得られる。
このように実際に evA が環準同型となる適切な設定の下が求められたからには、定理の証明は
\begin{align}
\operatorname{ev}_A\bigl(p(t)I_n\bigr) &= \operatorname{ev}_A((tI_n-A)B) \\
p(A)&= \operatorname{ev}_A(tI_n - A)\cdot \operatorname{ev}_A(B) \\
p(A) &= (AI_n-A) \cdot \operatorname{ev}_A(B) = O\cdot\operatorname{ev}_A(B)=O
\end{align} として完成する。
余因子行列の証明において、B の係数 Bi は随伴行列の基本関係式の右辺だけに基づいて決定することができる。実は導かれた最初の n 本の式は、多項式 p(t)In をモニック多項式 Int − A で除した商 B を決定するものと解釈することができ、また最後の式はその除した剰余が零であるという事実を表すと解釈できる。この割り算は行列係数多項式の環において行われる。実際、非可換環係数の場合においてさえも、モニック多項式 P によるユークリッド除法(余り付き除算)は定義され、通常(可換環上)と同様に次数に関する条件を満たす商と剰余が常に一意的に取り出される(ここで P がどちら側因子であるかは決まっていることが前提である。今の場合は左因子である)。
注: ここでの主張において重要な点である「商と剰余が一意であること」を見るには、二通りの表示 PQ + r = PQ′ + r′ があったとしてそれを P(Q − Q′) = r′ − r の形に書けば十分である。実際、P はモニック(最高次係数 1)であるから P(Q − Q′) の次数は Q = Q′ でなければ P の次数より小さくはならない。
しかしここで用いた被除数 p(t)In も除数 Int − A もともに部分環 (R[A])[t] に属している(ここで R[A] は A の生成する行列環 M(n, R) の部分環、すなわち A のすべての冪によって R 上線型に張られる集合である)。したがって、実は上記の割り算は可換多項式環の中で実行できるものであり、もちろんこの小さい環においても同じ商 B と剰余 0 が与えられる。このことから特に B が実は (R[A])[t] に属すことが分かる。このように可換環部分環の中で考えれば、等式 p(t)In = (tIn − A)B において t を A とおくことは有効、すなわち評価写像
\operatorname{ev}_A\colon (R[A])[t]\to R[A]
は環準同型となり第二の証明と同じく所期の p(A)=0\cdot\operatorname{ev}_A(B)=0 を与える。
定理を証明することに加えて、上記の論法では B の係数 Bi は A に関する多項式であることまで分かる(これに対して、第二の証明からはそれらは A の中心化環 Z に入ることしか分からない。一般に Z は R[A] より大きな部分環であり、可換とも限らない)。特に定数項 B0 = adj(−A) が R[A] に入る。A は勝手な正方行列でよかったのだから、これにより adj(A) が常に A の多項式に書ける(係数は A ごとに変わる)ことが保証される。
実は最初の証明で求めた等式により順番に B_{n-1}, \cdots, B_1, B_0 を A の多項式として表すことができ、任意の n次正方行列に対して有効な恒等式
\operatorname{adj}(-A)=\sum_{i=1}^n c_iA^{i-1}
が導かれる。ここに、ci は A の固有多項式 p(t) = tn + cn−1tn−1 + … + c1t + c0 のものである。
注: この恒等式はケイリー・ハミルトンの定理の主張を含意するものである。実際、adj(−A) を右辺に移項してから A を(左から、あるいは右から)掛け、基本関係式 (adj) から分かる:
-A\cdot \operatorname{adj}(-A)=\operatorname{adj}(-A)\cdot (-A)=\det(-A)I_n=c_0I_n を入れれば所期の式である。
上で述べた通り、定理の主張における行列 p(A) は、先に行列式を評価してからその後で行列 A を変数 t に代入して得るものであり、行列式を計算する前に行列 tIn − A に代入を行うことは意味をなさない。にも拘らず、p(A) をある特定の行列式の値として直截に得ることのできる解釈を与えることは可能である。
ただしこれには、環上の行列 A とはその成分 aij のことともそれらの全体としての A そのものとも解釈できるというような、やや面倒な状況を設定する必要がある。すなわち、環 R 上の n次正方行列全体の成す環 M(n, R) の中で、成分 aij はスカラー行列 aijIn として実現されるし、A それ自体も入っている。しかし行列を成分とする行列は、ここでの意図でない区分行列との混同を引き起こしかねない(区分行列と考えると行列式の概念が正しく与えられない行列式は行列の成分たちの積和であることを思い出そう。したがって、R 上の行列を成分に持つ行列の行列式はそれ自体が R 上の一つの行列である(係数環 R の元ではない)。つまり、区分行列の各ブロックをそれ自体一つの行列と見て、区分行列を行列の行列と考えるなら、その行列式はブロックたちの積和の形をしていなければならない。その一方、R上の区分行列の成分は(ブロックではなくその中の)係数環 R の元自体であり、したがって区分行列の行列式はそれ自身もまた R の元であって、両者の概念は一般には一致しない。)。状況をよりはっきりさせるため、基底 e1, …, en を持つ n次元ベクトル空間(係数環 R が体でないときは n階 R-自由加群)V 上の自己準同型 φ を行列 A と区別をつけて、全自己準同型環 V 上の行列を考えることにする。そうすると、各 φ ∈ End(V) は行列の成分になれるし、その一方で行列 A とは各 (i, j)成分がスカラー aij倍するという自己準同型になっているような M(n, End(V)) の元を指すものとできる(同様に単位行列 In も M(n, End(V)) の元と解釈される)。
ただし、End(V) は可換環ではないから、M(n, End(V)) の全体で定義される行列式は存在せず、End(V) の可換部分環上の行列に限った場合にだけ行列式が定義できることには注意しなければならない。今、問題の行列 φIn − A の成分はすべて、φ と恒等変換で R 上生成される可換部分環 R[φ] に属しているから、行列式をとる写像 det: M(n, R[φ]) → R[φ] は定義されて、det(φIn − A) を A の固有多項式を φ において評価した値とすることができる(このことは A と φ との間に成り立つ関係とは無関係に成り立つ)。
この設定で、ケイリー・ハミルトンの定理の主張は p(φ) が零写像となることである。この設定での定理の証明を以下に示す(これは(中山の補題と関連した)より一般の形で  にあるものである):
この証明を検討すれば、固有多項式をとる行列 A は、多項式に代入する値としての φ と同一である必要がないことが分かる。すなわち V 上の自己準同型 φ は、最初に与えた等式 φ(ei) = j aji⋅ej を、何らかの元の列 e1, …, en に対して満足すればよい(これらの元の生成する空間を改めて V と書けば上記の証明を追うことができる)。この元の列には基底のような独立性は仮定しないでよいから、生成される空間の次元は n よりも小さくなり得るし、係数環が体でないときは自由加群でない場合も出てくる。
そうして R を生成系 e1, …, en を持つ任意の可換環とし、R の自己準同型 φ の上記生成系に関する表現行列が A = (aij), すなわち
\varphi(e_j)=\sum a_{ij} e_i \qquad(j =1, \cdots, n)
を満たすものとする設定の下でのケイリー・ハミルトンの定理:pφ(φ) = 0 が満足されることが正当化できる。
このように一般化された状況におけるこの定理は可換環論および代数幾何学において重要な中山の補題の源流である。