連続の方程式
連続の方程式(れんぞくのほうていしき、equation of continuity、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う)は物理学で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。
保存則と密接に関わっている。
狭義には、流体力学における質量保存則
{\partial \rho \over {\partial t + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0
(ρは密度、v は流れの速度、t は時間である。∇はナブラを参照。)}
あるいは、この式を非圧縮性流体に適用した
を指す。
広義には、スカラー物理量 q についての保存則
(ρ:q の密度、j:q の流束)
あるいは、更に一般化して、q の輸送方程式(一般の保存則)
\sigma
(σ:q の湧き出し密度)
を指すこともある。
広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という。q をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。
q についての連続の式は、
領域 Ω における q の単位時間あたりの増加量 {\mathrm{d}M\over\mathrm{d}t} と 境界 ∂Ω における q の単位時間あたりの流出量(流量) J との和は、 領域Ωにおける q の単位時間あたりの湧き出し量 S に等しい。
{\mathrm{d}M\over\mathrm{d}t} + J = S
と表現できる。
ここで q は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、q の密度 ρ、q の流束 j 、q の湧き出し密度 σ を導入すると、
\begin{align}
M &= \int_\Omega \rho \,\mathrm{d}V\\
J &= \oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\
S &= \int_\Omega \sigma \mathrm{d}V
\end{align}
と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す q の流量であることを表している。
{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}\int_\Omega \rho \,\mathrm{d}V
+ \oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}
= \int_\Omega \sigma \mathrm{d}V
となる。
ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると
\int_\Omega \left\{
{\partial\rho\over\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} - \sigma
\right\}\mathrm{d}V
= 0
となるので、微分形
{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = \sigma
が得られる。
特に、湧き出しがないときの連続の式
{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0
を保存形、あるいは、q の保存則の微分形と呼ぶ。
速度が v で表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 v での物質の移動であるので、流束は
\boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}
となる。
{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right) = 0
となる。
速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける。
0= {\mathrm{d}\over\mathrm{d}t} \int_{\Omega(t)}  \rho\, dV
= \int_{\Omega(t)} \left(
{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v}
\right) dV
ここで、{D \over Dt} は実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。
これより、
{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} = 0
が成立する。
この式は、実質微分の定義
{D \over Dt}\equiv{\partial \over \partial t}+\boldsymbol{v}\cdot\nabla
\nabla\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right)
=\rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v}
+ \boldsymbol{v}\cdot\nabla \rho
を使って、
{\partial \rho \over {\partial t} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0
と等価であることがわかる。
{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} = 0
に対して、非圧縮性流体の性質(密度が一定であること)を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である。つまり、\frac{D \rho}{D t} = 0 となるので、ρ≠ 0 であることから、
\nabla\cdot\boldsymbol{v}
= 0
を得る。この式を非圧縮性条件ともいう。
この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。
電磁気学における連続の式とは電荷の保存則の微分形である。ρ を電荷密度、j を電流密度とすれば、連続の式は
{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0
となる。
マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式
\nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j}
に変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式
\nabla \times \boldsymbol{H} = {\partial \boldsymbol{D} \over \partial t} + \boldsymbol{j}
において、両辺に発散 ∇· を作用させると、左辺はゼロとなるので、
\nabla \cdot {\partial \boldsymbol{D} \over \partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0
となり、ガウスの式
\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho
を代入することで連続の式が得られる。
電荷の保存則を表す連続の式は四元電流を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 Jμ (μ= 0, 1, 2, 3) を
J^\mu = \left(c \rho, \boldsymbol{j} \right)
と表す。ここで c は光速である。微分演算子
\partial_\mu = \left(\frac{1}{c} {\partial \over \partial t} , \nabla \right)
を定義すると、連続の式は
\partial_\mu J^\mu = 0
と表現できる。ただし、添字におけるアインシュタインの規約を採用した。
量子力学における連続の式は確率の保存則を表す。
Ψ(r , t ) を規格化された波動関数とする。確率密度 ρ、確率流束 j を
\begin{align}
\rho &= \Psi^{*} \Psi\\
\boldsymbol{j} &= \frac{\hbar}{2m\mathrm{i} \left [
\Psi^{*}  \nabla \Psi  - \Psi      \nabla \Psi^{*}
\right ]
\end{align}
と定義すると、シュレディンガー方程式
\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} =  -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + U\Psi
を用いて、確率に対する連続の式
{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0
が得られる。
\begin{align}
\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi    }{\partial t} &= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + U\Psi,\\
-\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi^{*}{\partial t} &= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi^{*} + U\Psi^{*}
\end{align}
それぞれに Ψ* , Ψ をそれぞれ掛けて2式の差を取ると
\mathrm{i}\hbar \Psi^{*}\frac{\partial \Psi    }{\partial t}
+\mathrm{i}\hbar \Psi    \frac{\partial \Psi^{*}{\partial t}
=
-\frac{\hbar^2}{2m}\Psi^{*}\nabla^2 \Psi
+\frac{\hbar^2}{2m}\Psi    \nabla^2 \Psi^{*}
\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \left(\Psi^{*}\Psi \right)}{\partial t}
=
-\frac{\hbar^2}{2m}
\nabla \cdot \left(
\Psi^{*}\nabla \Psi - \Psi    \nabla \Psi^{*}
\right)
となり、連続の式
{\partial\rho \over \partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0
ただし、
\begin{align}
\rho &= \Psi^{*} \Psi\\
\boldsymbol{j} &= \frac{\hbar}{2m\mathrm{i} \left [
\Psi^{*} \nabla \Psi
- \Psi     \nabla \Psi^{*}
\right ]
\end{align}
が得られる。
ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える。このとき、経験則であるフィックの法則(フィックの第一法則)により流束は
\boldsymbol{j}= -\kappa \nabla \rho
と密度の勾配で与えられる。係数 κ は拡散係数と呼ばれ、次元 \mathrm{L}^2\ \mathrm{T}^{-1} をもつ。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式
{\partial \rho \over \partial t} = \kappa \nabla^2 \rho
が得られる。