Q二項定理
数学において、q二項定理(q-binomial theorem)は二項定理のq-類似である。超幾何級数 _1F_0の和は通常の二項定理
_1F_0(a;z)=F(a,b,b;z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{(1)_n}z^n=(1-z)^{-a}\qquad(|z|<1)
で与えられる。これに倣い、q超幾何級数_1\phi_0の和を与える公式
_1\phi_0\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}\qquad(|q|<1,|z|<1)
をq二項定理と呼ぶ。ただし、(a)_nはポッホハマー記号、(a;q)_nはqポッホハマー記号である。
右辺を\ f(a,z;q)として関数方程式を導く。
\begin{align}(1-z)f(a,z;q)
&=(1-z)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\\
&=\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\right)-z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\\
&=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n-z\frac{(a;q)_{n-1}{(q;q)_{n-1}z^{n-1}\right)\\
&=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_{n-1}{(q;q)_n}\left((1-aq^{n-1})z^n-(1-q^n)z^n\right)\\
&=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_{n-1}{(q;q)_n}\left((1-aq^{n-1})q^nz^n-a(1-q^n)q^{n-1}z^n\right)\\
&=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(qz)^n-az\frac{(a;q)_{n-1}{(q;q)_{n-1}(qz)^{n-1}\right)\\
&=\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(qz)^n\right)-az\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(qz)^n\\
&=(1-az)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(qz)^n\\
&=(1-az)f(a,qz;q)
\end{align}
これにより、左辺を得る。
\begin{align}f(a,z;q)
&=\frac{1-az}{1-z}f(a,qz;q)\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{(1-az)_n}{(1-z)_n}f(a,q^nz;q)\\
&=\frac{(1-az)_\infty}{(1-z)_\infty}f(a,0;q)\\
&=\frac{(1-az)_\infty}{(1-z)_\infty}\\
\end{align}
左辺を\ g(a,z;q)として関数方程式を導く。
\begin{align}(1-z)g(a,z;q)
&=(1-z)\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-azq^n}{1-zq^n}\\
&=(1-z)\frac{1-az}{1-z}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1-azq^n}{1-zq^n}\\
&=(1-az)\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-aqzq^n}{1-qzq^n}\\
&=(1-az)g(a,qz;q)\\
\end{align}
g(a,z;q)をテイラー級数に展開してz^nの係数を比較すると
\begin{align}
&g(a,qz;q)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\\
&(1-z)\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n=(1-az)\sum_{n=0}^{\infty}c_n(qz)^n\\
&1+\sum_{n=1}^{\infty}(c_n-c_{n-1})z^n=1+\sum_{n=1}^{\infty}(c_n-ac_{n1})(qz)^n\\
&c_n-c_{n-1}=c_nq^n-ac_{n-1}q^{n-1}\\
&c_n=\frac{1-aq^{n-1}{1-q^n}c_{n-1}\\
\end{align}
となり、c_0=1であるから
c_n=\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}
となる。これにより、右辺を得る。
g(a,z;q)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n
コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である。
\sum_{n=0}^{N}y^nq^{n(n+1)/2}\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}_q=\prod_{k=1}^{N}\left(1+yq^k\right)\qquad(|q|<1)
ただし、
\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}_q
はq二項係数である。q二項定理にa=q^{-N},z=-q^{N+1}yを代入すると
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^{-N};q)_n}{(q;q)_n}(-q^{N+1}y)^n=\frac{(-qy;q)_\infty}{(-q^{N+1}y;q)_\infty}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{1+yq^{1+k}{1+yq^{N+1+k}
となるが、左辺はn>Nで(q^{-N};q)_n=0となり、右辺はk{\ge}Nの分子がk-Nの分母を打ち消す。従って、
\sum_{n=0}^{N}\frac{(q^{-N};q)_n}{(q;q)_n}(-q^{N+1}y)^n=\prod_{k=0}^{N-1}\frac{1+yq^{1+k}{1+yq^{N+1+k}=\prod_{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)
である。左辺はqポッホハマー記号の変換式(aq^{-n+1};q)_n=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\left(a^{-1};q\right)_nにより、
\begin{align}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^{-N};q)_n}{(q;q)_n}(-q^{N+1}y)^n
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^{-N+n-1}q^{-n+1};q)_n}{(q;q)_n}(-1)^nq^{n(N+1)}y^n\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-q^{-N+n-1})^nq^{-n(n-1)/2}(q^{N-n+1};q)_n}{(q;q)_n}(-1)^nq^{n(N+1)}y^n\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{-n(N+1)}q^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_n}{(q;q)_n}(-1)^nq^{n(N+1)}y^n\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^nq^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_n}{(q;q)_n}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^nq^{n(n+1)/2}(q;q)_N}{(q;q)_{N-n}(q;q)_n}\\
&=\sum_{n=0}^{N}y^nq^{n(n+1)/2}\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}_q\\
\end{align}
となる。