フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論
1929年、フォン・ノイマンは NBG につながる公理を含む論文を発表した。フォン・ノイマンの懸念この論文はサイズ制限公理の無矛盾性に対する懸念がきっかけだった。この公理をフォン・ノイマンは「たくさん、実際には多すぎる」と述べている。また、分出公理と置換公理は整列可能定理を含意するほか、濃度が V より小さいどのクラスも集合であることをも含意する。フォン・ノイマンは後者について、カントール集合論を越えたと考え、以下のように結論づけた:「ゆえに(公理の)無矛盾性は、それが問題にならないかだけではなく、必須となるカントールのフレームワークを越えない集合論の公理化となるかを議論しなければならない。」
フォン・ノイマンは無矛盾性の調査を1929年の公理系を導入することで始めた。この公理系はサイズ制限公理以外は1925年の公理系すべてを含む。彼は、サイズ制限公理は、そこから得られる 2 つの結果である、置換公理と選択公理に置き換えた。フォン・ノイマンの選択公理は以下の通り:「どの関係 R も、 R と同じ領域の関数からなる部分クラスを持つ。」
S をフォン・ノイマンの1929年の公理系とする。フォン・ノイマンは公理系 S + Regularity (S と正則性公理からなる)を導入し、自身の1925年の公理系が S と相対的に無矛盾であることを示した。また、以下を証明した:
S が無矛盾であれば、 S + Regularity は無矛盾である。
S + Regularity はサイズ制限公理を含意する。Since これは1925年の公理系のうち S + Regularity にない唯一のものであるため、 S + Regularity は自身の1925年の公理系の公理すべてを含意する。
これらの結果は以下の内容を含意する: S が無矛盾であれば、フォン・ノイマンの1925年の公理系は無矛盾である。証明: S が無矛盾であれば、 S + Regularity は無矛盾である(結果 1)。背理法を用いて、1925年の公理系が矛盾である、つまり1925年の公理系が矛盾を含意すると仮定する。 S + Regularity は1925年の公理系を含意する(結果 2)ので、 S + Regularity も矛盾を含意する。しかし、これは S + Regularity の無矛盾性に反する。したがって、 S が無矛盾であれば、フォン・ノイマンの1925年の公理系も無矛盾である。
S は彼の1929年の公理系であるので、フォン・ノイマンの1925年の公理系は(カントール集合論に近い)1929年のものと相対的に無矛盾である。カントール集合論と1929年の公理系の大きな違いは、クラスとフォン・ノイマンの選択公理である。公理系 S + Regularity はベルナイスとゲーデルによって修正され、NBG と等価な公理系となっていった。
1929年、パウル・ベルナイスはフォン・ノイマンの新しい公理系を、クラスと集合を原始概念とすることで修正し始めた。ベルナイスは自身の仕事を 1937年から1954年にかけて、一連の論文として発表した。 ベルナイスは以下のように述べている:
ベルナイスは集合とクラスを2-ソート論理で扱い、2 つの原始的帰属概念を導入した:一つは集合の関係で、もう一つはクラスの関係である。これらの原始概念によって、ベルナイスはフォン・ノイマンの1929年の公理系を簡略化した。ベルナイスはまた、その公理系に正則性公理を導入した。
1931年、ベルナイスは自身の集合論に関してクルト・ゲーデルに手紙を送った。ゲーデルはベルナイスの理論を、集合をすべてクラスで置き換え、1ソートで1つの原始概念(帰属関係)からなる理論に簡略化した。ゲーデルはまた、ベルナイスの公理のいくつかを弱め、フォン・ノイマンの選択公理を大域選択公理と等価なものに置き換えた。 \{(x, y): x \ne \empty \land y \in x\} とする。フォン・ノイマンの公理より、 Dom(G) = Dom(R) なる関数 G \subseteq R が存在する。すべての空でない集合 x に対して G(x) \in x であるので、関数 G は大域選択関数である。 大域選択公理がフォン・ノイマンの公理を含意することの証明:G を大域選択関数として、R を関係とする。x \in Dom(R) に対して、 \alpha(x) = \text{least}\,\{\alpha: \exists y[(x, y) \in R \cap V_\alpha]\} とする。ここで V_\alpha はすべての\alpha未満の階数を持つ集合の集合である。z_x = \{y: (x, y) \in R \cap V_{\alpha(x)}\}とする。すると、 F = \{(x, G(z_x)): x \in Dom(R)\} はフォン・ノイマンの公理を満たす。なぜならば F \subseteq R でありかつ Dom(F) = Dom(R) であるからである。 ゲーデルは、1940年の大域選択と一般連続体仮説の相対的無矛盾性に関するモノグラフの中で、自身の公理系を使った。
ゲーデルが自身のモノグラフの中で NBG を用いた理由はいくつか考えられる:ゲーデルは1938年の自身の相対非矛盾性定理において、フォン・ノイマンの1929年の公理を用ったほか、「T をプリンキピア・マテマティカのシステムとすると関連する定理が成り立つ」と述べた。 ゲーデルの1939年の証明のスケッチはツェルメロ集合論およびZFに対するものであった。複数の形式体系における定理の証明はゲーデル馴染みのないものであった。例えば、彼はプリンキピア・マテマティカのシステムに対して不完全性定理を証明したが、「広い形式体系で成り立つ ... 」と述べている。
ゲーデルは数学的理由を与えた—NBGの大域選択公理から、より強い無矛盾な定理が導かれる:「この強い形式の(選択)公理は、他の公理に対して無矛盾であれば、当然弱い形式についての無矛盾性を含意する。」
ケネス・キューネンはゲーデルが議論を避けた理由を以下のように考えている:「L (構成可能集合)に関する組み合わせ論的アプローチもたくさんある、例えば ... (1940年のモノローグの中でゲーデルは)論理学者以外に説明することを試みていた。 ... このアプローチは L を扱う際に、論理の痕跡を残さないというメリットがある。」
チャールズ・パーソンズ (Charles Prsons) はゲーデルの選択に哲学的理由を考えた:「この(「集合の特徴」が集合論の原始概念であるという)見方は、ゲーデルの(モノグラフのように)クラス変数をフレームワークとする理論の選択に反映されているかもしれない。」
ゲーデルの成果と詳細な説明により、その後20年間にわたって NBG が発展した。 1963年、ゲーデルの作り上げたNBGの無矛盾性証明を援用して、ポール・コーエンはZFの独立性を証明した。 その後、 ZFC が NBG よりも一般的になった。これにはいくつかの要因があり、その一つは NBG において強制法を扱うには追加の仕事が必要だったためである。 これに関するコーエンの1966年の強制法の発表では、ZFが用いられた。コーエンはZFを用いてゲーデルの相対非矛盾性定理の証明も与えた。 他の要因としては、NBG が ZFC の保存拡大であることが証明されたからである。この保存拡大定理は1960年代にポール・コーエン、ソール・クリプキ、ロバート・ソロヴェイによって独立に証明された。コーエンの1966年の著書において、この定理について言及し、証明に強制法が必要であると述べている。この定理はロナルド・ジェンセンとウルリッヒ・フェルナー(Ulrich Felgner)によっても独立に証明され、1971年に発表されている。
NBG は論理的に ZFC と等価ではない。なぜなら、NBG の言葉は表現的であるからである。NBG ではクラスに関して表現できる一方、ZFC ではできない。しかし集合に関しては、 NBG も ZFC で同じ内容の表現を含意する。したがって、NBG は ZFC の保存拡大である。 NBG は ZFC が含意しない定理を含意するが、 NBG は保存拡大であるため、これらの定理は真のクラスに関するものでなければならない。例えば、大域選択公理は 真のクラス V は整列可能であり、どの真のクラスも V と一対一対応することを含意するが、これは NBG の定理である。どちらの結論も、どの真のクラスもすべての順序数のクラスと一対一対応できるという結論から導かれる。この証明の概要は を参照。
保存拡大の帰結の一つは、 ZFC と NBG が無矛盾性同値であることである。 この証明には爆発原理(矛盾からは、何でも証明可能である)を用いる。 ZFC か NBG のいずれかが無矛盾でないと仮定する。すると無矛盾でない理論は集合に関する、矛盾 する表現 ∅ = ∅ かつ ∅ ≠ ∅ を含意する。保存拡大の特性から、もう一方の理論もこれらの表現を含意する。したがって、こちらも無矛盾ではない。ゆえに、 NBG はより表現的であるものの、 ZFC と無矛盾性同値なのである。この結果とフォン・ノイマンの1929年の相対的無矛盾性の証明を合わせると、彼の1925年の公理系にサイズ制限公理を加えたものが ZFC と無矛盾性同値であることが含意される。ZFCはカントール集合論のフレームワークに含まれるため、この事実は完全にこの強力な公理の相対的無矛盾性に関するフォン・ノイマンの懸念を払拭するものである。
NBG は ZFC の保存拡大であるものの、定理は NBG のほうが ZFC より短くエレガントに証明可能である(逆もしかり)。この側面について知られている結果の調査結果は  を参照。
モース=ケリー集合論は、量化子の範囲がクラスである論理式を含む理解の公理型を有する。MK は NBG の無矛盾性を証明できるため、 NBG より強力な理論である一方、ゲーデルの第二不完全定理から NBG は NBG自身の無矛盾性を証明できない。
NBG に関する存在論的な議論や哲学的な問題、特に ZFC と MK との比較については、の Appendix C を参照。
ZFC、NBG、MKは累積階層(cumulative hierarchichy) Vα および 構成可能階層 Lα の言葉で表現可能なモデルを持つ。 V は到達不能基数 κ を含み、 X が X ⊆ Vκ であると仮定して、 Def(X) は X のパラメータによる定義可能集合のクラスを表すとする。記号として "(X,\in)" は領域 X と関係 \in のモデルを表し、 "\models" は満足関係(Structure_(mathematical_logic)#Satisfaction_relation)を表すものとする:\operatorname{Def}(X) := \Bigl\{ \{ x \mid x \in X \text{ and } (X,\in) \models \phi(x,y_1,\ldots,y_n) \}: \phi \text{ is a first-order formula and } y_{1},\ldots,y_{n} \in X \Bigr\}.このとき:
(Vκ, ∈) と (Lκ, ∈) は ZFC のモデルである。
(Vκ, Vκ+1, ∈) は MK のモデルであり、ここで Vκ はモデルの集合からなり、 Vκ+1 はモデルのクラスからなる。 MK のモデルは NBG のモデルであるため、このモデルも NBG のモデルである。
(Vκ, Def(Vκ), ∈) は、NBG の大域選択公理を ZFC の選択公理に置き換えた、メンデルソン版の NBG のモデルである。 (Vκ, ∈) は ZFC のモデルであるため、ZFC 公理はこのモデル内で真である。特に、ZFC の選択公理が成り立つが、 NBG の大域選択公理は成り立たないかもしれない。イーストンはZFCの選択公理が成り立つが大域選択公理が成り立たないサイズ制限公理を構成した。 存在を主張するクラスは1次の定義で定義できることから、NBG のクラス存在公理はこのモデル内で真である。例えば、 E が以下のように定義されるため、帰属公理が成り立つ: E = \{x \in V_\kappa: (V_\kappa,\in) \models \exists u  \ \exists v [x = (u, v) \land u \in v]\}.
(Lκ, Lκ+, ∈) (κ+ は κ の後続基数)は NBG のモデルである。累積階層 Vκ において、 Vκ の部分集合は Vκ+1 に含まれる。構成可能階層 Lκ の部分集合の生成され方は Vκより遅いが、これは Lκ の部分集合が Lκ+1 ではなく Lκ+ に含まれるからである。 NBG のクラス存在公理は (Lκ, Lκ+, ∈) の中で真である。例えば、 E が以下のように定義されるため、帰属公理が成り立つ: E = \{x \in L_\kappa: (L_\kappa,\in) \models \exists u  \ \exists v [x = (u, v) \land u \in v]\}.ゆえに、 E ∈ 𝒫(Lκ) である。一般連続体仮説が L の中で真というゲーデルの証明において、ゲーデルは 𝒫(Lκ) ⊆ Lκ+ であることを証明した。 したがって、 E ∈ Lκ+ であり、ゆえに (Lκ, Lκ+, ∈) の中で帰属公理は真である。同様に、ほかのクラス存在公理も真である。(順序数のクラスを構成可能集合に移す)ゲーデルの関数を κ 未満の順序数に制限することによって Lκ が整列可能であるため、大域選択公理は真である。したがって、 (Lκ, Lκ+, ∈) は NBG のモデルである。
NBG の存在によって「大きな対象」をパラドックスのおそれなしに議論することができる。例えば、圏論の進展において、「大きい圏」は対象と射が真のクラスをなす圏として定義される。一方、「小さな圏」は対象と射が集合の元になる圏である。このように、NBG で大きな圏を扱えるため、「すべての集合の圏」や「すべての小さい圏の圏」をパラドックスのおそれなしに議論できる。
しかし、NBG は「すべての圏の圏」を扱えない。大きな圏は「すべての圏の圏」の元となりえて、かつ NBG は真のクラスが何かの元になることを許容していないためである。このような「圏」を形式的に議論するための存在論的な拡張は、クラスの集まりであるコングロマリット(conglomerate)である。すると「すべての圏の圏」はコングロマリットの対象(すべての圏のコングロマリット)によって定義でき、その射は A と B を対象としたときに A から B へのすべての射のコングロマリットとして定義できる。 圏論において、クラスと集合が存在論に含まれるのが十分かどうかについては、  を参照せよ。