テータ関数
テータ関数(テータかんすう、theta function)は、
\vartheta(z, \tau) := \sum^{\infty}_{n=-\infty}e^{\pi i n^{2} \tau + 2 \pi i n z}.
で定義される関数のことである。それ以外にも、指標付きのテータ関数 \vartheta_{ab}(z,\tau)、ヤコビのテータ関数、楕円テータ関数 \vartheta_{i}(z, \tau) と呼ばれる一連のテータ関数が存在する。
指標付きのテータ関数や楕円テータ関数は、その定義にいくつかの流儀があり、同じ記号を使いながら違ったものを指していることがあるので注意が必要である。
これらの関数は、z の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、τ の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。
テータ関数は次のように定義される関数のことを指す。
\vartheta(z, \tau) := \sum^{\infty}_{n=-\infty}e^{\pi i n^{2} \tau + 2 \pi i n z}.
テータ関数を z の関数と見た場合、周期 1 の周期関数である。
\vartheta(z + 1, \tau) = \vartheta(z, \tau).
一般には以下の等式を満たす。
\vartheta(z + m \tau + n, \tau) = e^{- \pi i m^{2} \tau - 2 \pi i m z} \vartheta(z, \tau).
ヤコビのテータ関数は狭義の意味では次の関数のことを指す。
\begin{align}
\Theta(u)
&:= \left(\frac{2 k' K}{\pi}\right)^{1/2}\exp\left(\int^{u}_0 \mathrm{d}t~ Z(t)\right),\\
\Theta_{1}(u)
&:= \Theta(u + K).
\end{align}
ただし、k':=\sqrt{1 - k^{2}\,} は補母数、K = K(k) は
第1種完全楕円積分、Z(u) はヤコビのツェータ関数
\begin{align}
Z(u) &:=  \mathcal{E}(u) - \frac{E(k) u}{K(k)},\\
\mathcal{E}(u) &:= \int^{u}_{0} \mathrm{d}t\, \mathrm{dn}^{2} t
= \int^{\mathrm{sn} u}_{0} \mathrm{d}t \sqrt{\frac{1 - k^{2} t^{2}{1 - t^{2}}
= \int^{\mathrm{am} u}_{0} \mathrm{d}\theta \sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} \theta},
\end{align}
\mathcal{E}(u) はヤコビのイプシロン関数、
E(k) は第2種完全楕円積分、
\mathrm{sn}\, u = \mathrm{sn}(u , k), dn\, u = dn(u, k) は
ヤコビの楕円関数、\mathrm{am}\, u = \mathrm{am} (u, k) は振幅関数である。
また、ヤコビのエータ関数
\begin{align}
H(u) &:= -i \exp\left((2 u + i K') \pi i /(4 K)\right) \Theta(u + i K'),
\quad i := \sqrt{-1\,},\\
H_{1}(u) &:= H(u + K),
\end{align}
を含めて、\Theta(u), \Theta_{1}(u), H(u), H_{1}(u) のことをヤコビのテータ関数と呼ぶこともある。ただし、K' := K(k') である。ヤコビのテータ関数は、後述の楕円テータ関数と以下の関係で結ばれている。
\begin{align}
\Theta(u) &= \vartheta_{0}(u/(2 \omega_{1})),\quad \Theta_{1}(u) = \vartheta_{3}(u / (2 \omega_1)),\\
H(u) &= \vartheta_{1}(u/(2 \omega_{1}),\quad H_{1}(u) = \vartheta_{2}(u/(2 \omega_{1})),
\end{align}
ただし、\omega_{1} は、楕円関数の基本周期の半分で、\tau = \omega_{3}/ \omega_{1} である(2 \omega_{1}, 2 \omega_{3} が楕円関数の基本周期に相当する)。
物理の教科書では後述の \vartheta_{i}(z, \tau) をヤコビのテータ関数と呼んでいるが、やや不正確な言い方である。
以下のように定義された、添え字を 2 つ持つテータ関数のことを指標付きのテータ関数と呼ぶ。
\vartheta_{a,b}(z, \tau) :=\sum^\infty_{n=-\infty} e^{\pi i (n + a)^{2} \tau + 2 \pi i(n + a)(z + b)},\quad a,b \in \mathbb{R}.
なお、指標付きのテータ関数の定義には 2 つの流儀があって統一的に用いられていないため、文献を読むときには注意しなければならない
。
この記事で使われているのは、 で使われているのと同じ定義である。
楕円テータ関数(だえんテータかんすう、elliptic theta function)は、以下のように定義された関数である。
ただし、\mathrm{Im}\,\tau > 0, q := e^{\pi i \tau} である。
\begin{align}
\vartheta_{1}(v, \tau)
&:= - \vartheta_{11}(v, \tau)
= - \sum_{n=-\infty}^{\infty}
e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^{2} + 2 \pi i \left(n + \frac{1}{2}\right)
\left(v + \frac{1}{2}\right)}\\
&=2\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n} q^ \vartheta_{10}(v, \tau)
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^2 + 2 \pi i \left(n + \frac{1}{2}\right)v}\\
&= 2 \sum_{n=0}^{\infty} q^ \vartheta_{00}(v, \tau)
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i \pi \tau n^{2} + 2 \pi i n v}\\
&= 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} q^{n^{2 \cos 2 n \pi v,\\
\vartheta_{4}(v,\tau)
&:= \vartheta_{01}(v, \tau)
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i \tau n^{2} + 2 \pi i n \left(v + \frac{1}{2}\right)}\\
&=1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} q^{n^{2 \cos 2 n \pi v,\\
\end{align}
楕円テータ関数にも定義に 2 つの流儀があり、注意が必要である。
フルヴィッツ・クーランの「楕円関数論」の定義では添え字が 1 から 4 ではなく、
0 から 3 である。
その場合は \vartheta_{1}(v , \tau), \vartheta_{2}(v, \tau), \vartheta_{3}(v, \tau) の定義は変わらず、
\vartheta_{0}(v, \tau) := \vartheta_{4}(v, \tau) で定義される。
文脈から v あるいは τ が明らかな場合は \vartheta_i(v) あるいは \vartheta_i(\tau) と書き、更に\vartheta_i=\vartheta_i(0,\tau) と書く。Mathematica では、\pi v のことを v と書いている。
テータ関数は擬二重周期を持つ。
\begin{align}\vartheta_1(v+1;\tau)
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})\\
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+{\pi}i\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})\\
&=-\vartheta_1(v;\tau)\\
\end{align}
\vartheta_2(v+1;\tau)=-\vartheta_2(v;\tau)
\vartheta_3(v+1;\tau)=\vartheta_3(v;\tau)
\vartheta_4(v+1;\tau)=\vartheta_4(v;\tau)
\begin{align}\vartheta_1(v+\tau;\tau)
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})\tau\\
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\pi}i{\tau}\left(n+1+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+1+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}i(v+\frac{1}{2})\\
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}i(v+\frac{1}{2})\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}iv\\
&=-e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}\vartheta_1(v;\tau)
\end{align}
\vartheta_2(v+\tau;\tau)=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}\vartheta_2(v;\tau)
\vartheta_3(v+\tau;\tau)=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}\vartheta_3(v;\tau)
\vartheta_4(v+\tau;\tau)=-e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}\vartheta_4(v;\tau)
ヤコビの三重積の公式により、
\begin{align}
\vartheta_1(v;\tau)
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\pi}i{\tau}\left(n+1/2\right)^2}e^{2{\pi}i(n+1/2)(v+1/2)\\
&=-ie^-ie^\pi}i{\tau}/4}e^1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\taue^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\taue^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=2e^1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\taue^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=2e^1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau\right)\left(1-2e^{2m{\pi}i{\tau}\cos{2{\pi}v}+e^{4m{\pi}i{\tau}\right)}\\
\end{align}
\begin{align}
\vartheta_2(v;\tau)
&=2e^1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=2e^1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau\right)\left(1+2e^{2m{\pi}i{\tau}\cos{2{\pi}v}+e^{4m{\pi}i{\tau}\right)}\\
\end{align}
\begin{align}
\vartheta_3(v;\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}\right)\left(1+2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}\right)}\\
\end{align}
\begin{align}
\vartheta_4(v;\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}\right)\left(1-2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}\right)}\\
\end{align}
|e^{2m{\pi}i{\tau}|<1であるから\vartheta_3(v;\tau)の零点は
\begin{align}
\cos{2{\pi}v}&=-\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}}{2}\\
\cos{2{\pi}v}&=\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+{\pi}i}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}-{\pi}i}{2}\\
2{\pi}v&=\left((2m-1){\pi}{\tau}+{\pi}\right)\pm2{\pi}n\\
v&=\frac{2n'+1}{2}+\frac{2m'+1}{2}\tau
\end{align}
である。他の関数の零点も同様にして求められる。
\begin{align}
&\vartheta_1(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=n+m\tau\\
&\vartheta_2(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=\frac{2n+1}{2}+m\tau\\
&\vartheta_3(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=\frac{2n+1}{2}+\frac{2m+1}{2}\tau\\
&\vartheta_4(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=n+\frac{2m+1}{2}\tau\\
\end{align}
v  0 のときのテータ関数の値をテータ定数(theta constant)あるいはテータ零値(Thetanullwerte)という。これは定数といいながら実は τ の関数である。
\begin{align}
\vartheta_2=\vartheta_2(0;\tau)
&=2e^1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}\right)^2}\\
\end{align}
\begin{align}
\vartheta_3=\vartheta_3(0;\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}\right)^2}\\
\end{align}
\begin{align}
\vartheta_4=\vartheta_4(0;\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}\right)^2}\\
\end{align}
\vartheta_1=\vartheta_1(0;\tau)=0であるから、代わりに導関数を用いる。
\begin{align}
\vartheta_1'&=\left[\frac{d}{dv}\vartheta_1(v;\tau)\right]_{v=0}\\
&=2e^1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau\right)^3}+2e^1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=2{\pi}e^1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau\right)^3}\\
\end{align}
c=\pi\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4/\vartheta_1'とすると
\begin{align}c
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}\right)^2\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}\right)^2\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}\right)^2}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}\right)^2\left(1-e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}\right)^2}\\
\end{align}
となるが、オイラーの分割恒等式により、
\prod_{m-1}^{\infty}\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}\right)=\prod_{m-1}^{\infty}\left(1-e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}\right)^{-1}
であるから c  1 であり、故に \vartheta_1'=\pi\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4 である。
テータ関数の間で次の恒等式が成立する。
\vartheta_3\left(v+\frac{1}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{in}(v+1/2)}=\vartheta_4(v,\tau)
\vartheta_2\left(v+\frac{1}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}(n+1/2)^2+2\pi{i(n+1/2)}(v+1/2)}=-\vartheta_1(v,\tau)
\vartheta_3\left(v+\frac{\tau}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{in}(v+\tau/2)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}(n+1/2)^2-\pi{i\tau}/4+2\pi{i(n+1/2)v}-\pi{iv}=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{-\pi{iv}\vartheta_2(v,\tau)
\vartheta_1\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\pm\vartheta_2(v;\tau)
\vartheta_2\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\mp\vartheta_1(v;\tau)
\vartheta_3\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\vartheta_4(v;\tau)
\vartheta_4\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\vartheta_3(v;\tau)
\vartheta_1\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=\pm{i}e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_4(v;\tau)
\vartheta_2\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_3(v;\tau)
\vartheta_3\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_2(v;\tau)
\vartheta_4\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=\pm{i}e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_1(v;\tau)
次の恒等式はヤコビの虚数変換式という。
\begin{align}
\vartheta_{1} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= i e^{-i \pi /4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_1 \left(v, \tau\right),\\
\vartheta_{2} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= e^{-i \pi /4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_{4} \left(v, \tau \right),\\
\vartheta_{3} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= e^{-i \pi / 4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_{3} \left(v, \tau \right),\\
\vartheta_{4} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= e^{-i \pi /4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_{2} \left(v, \tau \right).
\end{align}
他に τ を変換するものとして
\vartheta_3\left(v,\tau+1\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}(\tau+1)n^2+2\pi{i}nv}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}=\vartheta_4(v,\tau)
\begin{align}\vartheta_3\left(v,\tau\right)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n)^2}+2\pi{i}(2n)v}+\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n+1)^2}+2\pi{i}(2n+1)v}\qquad({n}\mapsto{2n,2n+1})\\
&=\vartheta_3\left(2v,4\tau\right)+\vartheta_2\left(2v,4\tau\right)
\end{align}
\begin{align}\vartheta_4\left(v,\tau\right)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n)^2}+2\pi{i}(2n)v}-\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n+1)^2}+2\pi{i}(2n+1)v}\qquad({n}\mapsto{2n,2n+1})\\
&=\vartheta_3\left(2v,4\tau\right)-\vartheta_2\left(2v,4\tau\right)
\end{align}
\begin{align}\vartheta_3\left(0,\tau\right)^2
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{m^2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{n^2}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(m^2+n^2)}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((m+n)^2+(m-n)^2\right)/2}\\