楕円積分
以下の定積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の楕円積分(だえんせきぶん、elliptic integral)という。ただし、-1\leq k \leq 1である。
\begin{align}
F(x,k) &= \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)} \\
E(x,k) &= \int_0^x \sqrt{\frac{1-k^2 t^2}{1-t^2} ~ dt \\
\Pi(a;x,k) &= \int_0^x \frac{dt}{(1-at^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}
\end{align}
定数kを母数(modulus)、aを特性(characteristic)という。母数kの代わりにパラメーターm=k^2、或いはモジュラー角\alpha=\sin^{-1}kを用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性aを助変数(通常はparameterの訳語)と称することもあるので更に注意が必要である。
楕円の弧長など、三次式、或いは四次式の平方根の積分や五次以上の高次方程式は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。
最初に示したものはヤコービの標準形であるが、ヤコービの標準形において積分変数t=\sin{\theta}と置けば(置換積分)幾らか簡単なルジャンドルの標準形が得られる。
\begin{align}
F(\varphi,k) &= \int_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta} \\
E(\varphi,k) &= \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2\sin^2\theta} ~ d\theta \\
\Pi(a;\varphi,k) &= \int_0^\varphi \frac{d\theta}{(1-a\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}
\end{align}
k=0の場合は逆三角関数に、k=1の場合は逆双曲線関数になる。
\begin{align}
F(x,0) &= \int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}dt}=\int_0^{\sin^{-1}x}{\frac1{\sqrt{1-\sin^2\theta}}(\sin\theta)'d\theta = \sin^{-1}x \\
F(x,1) &= \int_0^x{\frac{1}{1-t^2}dt}=\int_0^{\tanh^{-1}x}{\frac1{1-\tanh^2\theta}(\tanh\theta)'d\theta=\tanh^{-1}x \\
E(x,0) &= \int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}dt}=F(x,0)=\sin^{-1}x \\
E(x,1) &= \int_0^x{dt}=x
\end{align}
\begin{align}
F(\varphi,0) &= E(\varphi,0)=\varphi \\
F(\varphi,1) &= \sin\varphi \\
E(\varphi,1) &= \operatorname{gd}^{-1}\varphi
\end{align}
ただし、\operatorname{gd}^{-1}\varphiは逆グーデルマン関数である。また特にa=k^2のとき、第三種楕円積分は第二種楕円積分で表すことができて、
\Pi(k^2;\varphi,k)=\frac{1}{1-k^2}\left\{E(\varphi,k)-\frac{k^2\sin2\varphi}{2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\right\}=\frac{1}{1-k^2}\left\{E(\varphi,k)+\frac{d^2}{d\varphi^2}E(\varphi,k)\right\}
となる。
第一種完全楕円積分は、ルジャンドルの標準形における第一種楕円積分の積分範囲を\theta=\pi/2までとしたものである。
K(k)=F\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta
k^2\sin^2\thetaのテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると
\begin{align}K(k)
&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{-\frac{1}{2}}d\theta\\
&=\int_0^{\pi/2}{\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}\right)}d\theta\\
&=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\
&=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}\\
&=\frac{\pi}{2}\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}\right)\\
&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}\\
\end{align}
となる。ただし、(-1)!!=1と定義する。
第二種完全楕円積分は、ルジャンドルの標準形における第二種楕円積分の積分範囲を\theta=\pi/2までとしたものである。
k^2\sin^2\thetaのテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると
\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{\frac{1}{2}d\theta\\
&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}\right)}d\theta\\
&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\
&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}\\
&=\frac{\pi}{2}\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}{2n-1}\right)\\
&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}{1-2n}\\
\end{align}}
となる。ただし、(-1)!!=1と定義する。
次の恒等式をルジャンドルの関係式という。
次の恒等式をランデン変換という。
次の恒等式をガウス変換という。
楕円x^2 + (y/c)^2 = 1の弧長は、
\int{ds}=\int{\sqrt{dx^2+dy^2=\int{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx\\
&=\int{\sqrt{1+\left(\mp\frac{cx}{\sqrt{1-x^2}\right)^2}dx\\
&=\int{\sqrt{\frac{1-x^2+c^2x^2}{1-x^2}}dx
\end{align}}
となる。離心率k=\sqrt{1-c^2}を用いれば、上式は、
となり、第二種楕円積分が現れる。
したがって、楕円の円周上でx座標が0の点からx座標がxの点までの弧長はL(x)=E(x,k)となる。
ここでk=0とすれば楕円は真円になり、弧長はL(x)=E(x,0)=\sin^{-1}{x}となる(ここでは\sinがx軸の方向になっていることに注意すること。)。