二端子対回路
二端子対回路(にたんしついかいろ、two-terminal pair network, two ports、四端子回路とも)は、入力端子対と出力端子対の2組の端子からなる電気回路またはデバイス。 例えばトランジスタ、フィルタ回路などがある。2端子対回路の分析は1920年代にドイツ人の数学者Franz Breisigによって研究が始められた。
二端子対回路は、入力と出力の電圧と電流の関係を調べるため、入力と出力の間にある回路を分離し、特有のパラメータで示すことが基本となる。このパラメータが決まると、入力と出力の間にある回路の細部を考える必要が無くなり、一つの特殊な特性を持った暗箱(ブラックボックス)にでき、回路の分析を単純化できる。暗箱に独立した出力端子がなければどんな回路もパラメータで表せ、二端子対回路に変形できる。
二端子対回路で入力と出力の電圧と電流の関係を示すパラメータの種類として、従来より「Zパラメータ」、「Yパラメータ」、「hパラメータ」、「gパラメータ」、「Fパラメータ(Two-port network#ABCD-parameters)」が用いられてきた。
これらのパラメータは行列で表現する。
{V_1} 入力電圧
{V_2} 出力電圧
{I_1} 入力電流
{I_2} 出力電流
近年では高周波を扱うことのできる、「Sパラメータ」や「Tパラメータ」なども二端子対回路の一種であるが、これらはいずれも電力の関係を示している。
インピーダンス行列、Z行列とも。
{V_1 \choose V_2} = \begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{pmatrix}{I_1 \choose I_2}
Z_{11}・Z_{12}・Z_{21}・Z_{22}の各インピーダンスパラメータは以下のとおり。
Z_{11} = {V_1 \over I_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad Z_{12} = {V_1 \over I_2 } \bigg|_{I_1 = 0}
Z_{21} = {V_2 \over I_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad Z_{22} = {V_2 \over I_2 } \bigg|_{I_1 = 0}
アドミタンス行列、Y行列とも。
{I_1 \choose I_2} = \begin{pmatrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{pmatrix}{V_1 \choose V_2}
Y_{11}・Y_{12}・Y_{21}・Y_{22}の各アドミタンスパラメータは以下のとおり。
Y_{11} = {I_1 \over V_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad Y_{12} = {I_1 \over V_2 } \bigg|_{V_1 = 0}
Y_{21} = {I_2 \over V_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad Y_{22} = {I_2 \over V_2 } \bigg|_{V_1 = 0}
ハイブリッド行列、h行列とも。
{V_1 \choose I_2} = \begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{pmatrix}{I_1 \choose V_2}
h_{11}・h_{12}・h_{21}・h_{22}の各ハイブリッドパラメータは以下のとおり。
h_{11} = {V_1 \over I_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad h_{12} = {V_1 \over V_2 } \bigg|_{I_1 = 0}
h_{21} = {I_2 \over I_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad h_{22} = {I_2 \over V_2 } \bigg|_{I_1 = 0}
hパラメータの逆行列で定義される。
{I_1 \choose V_2} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}{V_1 \choose I_2}
g_{11}・g_{12}・g_{21}・g_{22}各パラメータは以下のとおり。
g_{11} = {I_1 \over V_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad g_{12} = {I_1 \over I_2 } \bigg|_{V_1 = 0}
g_{21} = {V_2 \over V_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad g_{22} = {V_2 \over I_2 } \bigg|_{V_1 = 0}
伝送行列、F行列、基本行列(Fundamental matrix)とも。
縦続接続する際に都合がよくなる。
{V_1 \choose I_1} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}{V_2 \choose I_2}
ここで、I_2は上の図とは逆の向きを正にとる。
A・B・C・Dの各四端子定数は以下のとおり。
A = {V_1 \over V_2 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad B = {V_1 \over I_2 } \bigg|_{V_2 = 0}
C = {I_1 \over V_2 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad D = {I_1 \over I_2 } \bigg|_{V_2 = 0}
2つの異なる二端子対回路を縦続(cascade)に接続することを「縦続接続」と呼ぶ。Fパラメータを用いると都合がよい。
ここで、2つの異なる二端子対回路を以下のFパラメータとする。
{V_1 \choose I_1} = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 \\ C_1 & D_1 \end{pmatrix}{V_2 \choose I_2}
{V_2 \choose I_2} = \begin{pmatrix} A_2 & B_2 \\ C_2 & D_2 \end{pmatrix}{V_3 \choose I_3}
このとき、V_1I_1とV_3I_3には以下の関係が成り立つ。
{V_1 \choose I_1} = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 \\ C_1 & D_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_2 & B_2 \\ C_2 & D_2 \end{pmatrix} {V_3 \choose I_3}
よって縦続接続したときの回路全体のFパラメータは以下となる。
\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 \\ C_1 & D_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_2 & B_2 \\ C_2 & D_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1A_2+B_1C_2 & A_1B_2+B_1D_2 \\ C_1A_2+D_1C_2 & C_1B_2+D_1D_2 \end{pmatrix}
2つの異なる二端子対回路を直列に接続することを「直列接続」と呼ぶ。Zパラメータを用いると都合がよい。
ここで、2つの異なる二端子対回路を以下のZパラメータとする。
{V_1' \choose V_2'} = \begin{pmatrix} Z_{11}' & Z_{12}' \\ Z_{21}' & Z_{22}' \end{pmatrix}{I_1' \choose I_2'}
{V_1 \choose V_2} = \begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{pmatrix}{I_1 \choose I_2}
このとき、V_1V_2とI_1I_2は、V_1=V_1'+V_1、V_2=V_2'+V_2、I_1=I_1'+I_1、I_2=I_2'+I_2の関係があるので、以下の関係が成り立つ。
{V_1 \choose V_2} = {V_1' \choose V_2'} + {V_1 \choose V_2} = \begin{pmatrix} Z_{11}' + Z_{11} & Z_{12}' + Z_{12} \\ Z_{21}' + Z_{21} & Z_{22}' + Z_{22} \end{pmatrix} {I_1 \choose I_2}
よって直列接続したときの回路全体のZパラメータは以下となる。
\begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Z_{11}' + Z_{11} & Z_{12}' + Z_{12} \\ Z_{21}' + Z_{21} & Z_{22}' + Z_{22} \end{pmatrix}
2つの異なる二端子対回路を並列に接続することを「並列接続」と呼ぶ。Yパラメータを用いると都合がよい。
ここで、2つの異なる二端子対回路を以下のYパラメータとする
{I_1' \choose I_2'} = \begin{pmatrix} Y_{11}' & Y_{12}' \\ Y_{21}' & Y_{22}' \end{pmatrix}{V_1' \choose V_2'}
{I_1 \choose I_2} = \begin{pmatrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{pmatrix}{V_1 \choose V_2}
このとき、I_1I_2とV_1V_2は、I_1=I_1'+I_1、I_2=I_2'+I_2、V_1=V_1'+V_1、V_2=V_2'+V_2の関係があるので、以下の関係が成り立つ。
{I_1 \choose I_2} = {I_1' \choose I_2'} + {I_1 \choose I_2} = \begin{pmatrix} Y_{11}' + Y_{11} & Y_{12}' + Y_{12} \\ Y_{21}' + Y_{21} & Y_{22}' + Y_{22} \end{pmatrix} {V_1 \choose V_2}
よって並列接続したときの回路全体のYパラメータは以下となる。
\begin{pmatrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Y_{11}' + Y_{11} & Y_{12}' + Y_{12} \\ Y_{21}' + Y_{21} & Y_{22}' + Y_{22} \end{pmatrix}