円柱座標変換
\left[ \left(\operatorname{grad}f \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right]\cdot \left( \mathbf{N_{\zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)=\left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,\zeta )        (6-2-3)
が成り立つ。従って「ベクトル場の円柱座標表示」と同様にして、上の等式が示せる。
ラプラシアンについても、r ≠ 0 をみたす任意の(r , θ, ζ) に対して以下の等式が成立する。
\left( \Delta f \right)\left( \Phi (r,\theta ,\zeta ) \right)=
\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left( r\left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right) \right)(r,\theta,\zeta)
+\frac{1}{r}^{2}\left( \frac{\partial }^{2(f\circ \Phi )}{\partial \theta }^{2} \right)(r,\theta,\zeta)
+\left( \frac{\partial }^{2(f\circ \Phi )}{\partial \xi }^{2} \right)(r,\theta,\zeta)         (6-2-3)
X を、x -y -z 空間で定義されたベクトル場とするとき、発散 div の円柱座標系表示として以下の等式が成立する。
(\operatorname{div}X)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))
= \frac{1}{r}\left( \frac{\partial (r\cdot X}_{r)}{\partial r} \right)(r,\theta ,\zeta )+\frac{1}{r}\left( \frac{\partial X}_{\theta }{\partial \theta } \right)(r,\theta ,\zeta )+\left( \frac{\partial X}_{z}{\partial z} \right)(r,\theta ,\zeta )
回転 rot の円柱座標系表示については、次の等式が成立する。
(\operatorname{rot}X)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))
= \left((\operatorname{rot}X)}_{r}     }(r,\theta ,z) \right)\mathbf{N_{r}     }(r,\theta ,\zeta )
+ \left((\operatorname{rot}X)}_{\theta(r,\theta ,z) \right)\mathbf{N_{\theta(r,\theta ,\zeta )
+ \left((\operatorname{rot}X)}_{\theta(r,\theta ,z) \right)\mathbf{N_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )
(\operatorname{rot}X)}_{r(r,\theta ,z)=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial X}_{\zeta }{\partial r} \right)(r,\theta ,z)-\left( \frac{\partial X}_{\theta }{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,z)
(\operatorname{rot}X)}_{\theta (r,\theta ,z)=\left( \frac{\partial X}_{r}{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,z)-\left( \frac{\partial X}_{\zeta }{\partial r} \right)(r,\theta ,z)
(\operatorname{rot}X)}_{\zeta (r,\theta ,z)=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial (rX}_{r)}{\partial r} \right)(r,\theta ,z)-\frac{1}{r}\left( \frac{\partial X}_{r}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z)
である。
x -y -z 空間における運動を表す曲線
c(t)=\left(
\begin{array}{l}
x(t)\\
y(t)\\
z(t)\\
\end{array}
\right)       (8-1-1)
が、r -θ-ζ空間に値を取る曲線
\gamma(t)=\left(
\begin{array}{l}
r(t)\\
\theta(t)\\
z(t)\\
\end{array}
\right)       (8-1-2)
と、円柱座標変換&Phi:を用いて、
c(t)=\Phi(\gamma(t))       (8-1-3)
と表せるとき、γ(t ) を「曲線c (t ) の円柱座標表示」、あるいは「運動c (t ) の円柱座標表示」と呼ぶ。
式(8-1-3)は、
\left\{
\begin{array}{l}
x=r\cos\theta\\
y=r\sin\theta\\
z=z\\
\end{array}
\right.       (8-1-4)
の両辺を時刻t に関する関数と考えること、つまり、
\left\{
\begin{array}{l}
x(r(t),\theta(t),z(t))=r(t)\cos\theta(t)\\
y(r(t),\theta(t),z(t))=r(t)\sin\theta(t)\\
z(r(t),\theta(t),z(t))=z(t) \\
\end{array}
\right.       (8-1-5)
と考えることと同じである。
x -y -z 空間における運動を表す曲線c (t ) の速度ベクトルv(t ):
v(t)=\left(\frac{dc}{dt}\right)(t)       (8-2-1)
について以下が成立する。
\left(
\begin{array}{l}
{v}_{x}(t)\\
{v}_{y}(t)\\
{v}_{z}(t)\\
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{l}
(dx/dt)(t)\\
(dy/dt)(t)\\
(dz/dt)(t)\\
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta(t)-r(t)\cdot((d\theta /dt)(t))\cdot\sin\theta(t)\\
\sin\theta(t)-r(t)\cdot((d\theta /dt)(t))\cdot\cos\theta(t)\\
(dz/dt)(t)\\
\end{array}
\right)      (8-2-2)
但しvx , vy , vz は、それぞれv(t ) のx 成分、y 成分、z 成分を意味する。
また、
\left\{
\begin{array}{l}
{v}_{r}(t)=v(t)\cdot{\textbf{N}_{r}(c(t))\\
{v}_{\theta}(t)=v(t)\cdot{\textbf{N}_{\theta}(c(t))\\
{v}_{z}(t)=v(t)\cdot{\textbf{N}_{z}(c(t))\\
\end{array}
\right.      (8-2-3)
のように定義すると、
\mathbf{v}(t)=v}_{r(t)\mathbf{N_{r}(c(t))+v}_{\theta (t)\mathbf{N_{\theta }(c(t))+c}_{z(t)\mathbf{N_{z}(t)      (8-2-4)
である。また、以下が成立する。
\left\{
\begin{array}{l}
{v}_{r}(t)=(dr/dt)(t)\\
{v}_{\theta}(t)=r(t)\cdot((d\theta /dt)(t))\\
{v}_{z}(t)=(dz/dt)(t)\\
\end{array}
\right.     (8-2-4)
同様に曲線c (t ) の加速度ベクトルa(t ) :
\textbf{a}(t)=
\left(
\begin{array}{l}
\frac{d\textbf{v}{dt}
\end{array}
\right)(t)    (8-3-1)
については以下が成立する。
\mathbf{a}(t)=a}_{r(t)\mathbf{N_{r}(c(t))+a}_{\theta (t)\mathbf{N_{\theta }(c(t))+a}_{z(t)\mathbf{N_{z}(c(t))    (8-3-2)
但しax , ay , az は、それぞれ a(t ) のx 成分、y 成分、z 成分を意味する。また、
\left\{
\begin{array}{l}
{a}_{r}(t)=a(t)\cdot{\textbf{N}_{r}(c(t))\\
{a}_{\theta}(t)=a(t)\cdot{\textbf{N}_{\theta}(c(t))\\
{a}_{z}(t)=a(t)\cdot{\textbf{N}_{z}(c(t))\\
\end{array}
\right.    (8-3-2)
である。
さらに、以下が成立する。
\left\{ \begin{array}{l}
a}_{r(t)=[((d}^{2r/dt}^{2)(t))-((d\theta /dt)(t))}^{2]  \\
a}_{\theta (t)=[2((dr/dt)(t))(((d\theta /dt)(t)))+(r(t))((d}^{2\theta /dt}^{2)(t))]  \\
a}_{z(t)=(d}^{2z/dt}^{2)(t)  \\
\end{array}\right.    (8-3-4)