円分体
円分体 (えんぶんたい、cyclotomic field) は、有理数体に、1 の m(>2) 乗根 \textstyle \zeta(\ne\pm 1) を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。
以下において、特に断らない限り、\zeta_n = e^{2\pi i/n} とする。
3 以上の整数 m に対して、円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) の拡大次数 \textstyle  [\mathbb{Q}(\zeta_m):\mathbb{Q}] は、\textstyle \varphi(m) である。但し、\textstyle \varphi(n) はオイラー関数である。
任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
3 以上の整数 m に対して、\textstyle  m = p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r} (\textstyle  p_1,\ldots,\ p_r は、相異なる素数、\textstyle  e_1,\ldots,e_r\geqq 1) と素因数分解すると、
\mathbb{Q}(\zeta_m) は、\mathbb{Q}(\zeta_{p_1^{e_1}),\ldots,\ \mathbb{Q}(\zeta_{p_r^{e_r}) の合成体であり、
\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}\cong (\mathbb{Z}/p_1^{e_1}\mathbb{Z})^{\times}\times\cdots\times (\mathbb{Z}/p_r^{e_r}\mathbb{Z})^{\times}
が成立する。また、円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) で分岐する有理素数有理整数である素数のこと。は、\textstyle  p_1,\ldots,\ p_r に限る。
\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m)\cap\mathbb{R} = \mathbb{Q}(\zeta_m + 1/\zeta_m) である。この\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m + 1/\zeta_m) を、最大実部分体または実円分体という。
一意分解整域となる円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) \textstyle (m\not\equiv 2 \pmod{4})4k+2 としたとき、\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m)=\mathbb{Q}(\zeta_{2k+1}) であるので、\textstyle  m\not\equiv 2 \pmod{4} としてよい。は、m が 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 の場合だけである。
特に、23 以上の素数 p に対しては、円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p) は一意分解整域でない。
類数が 2 である円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) \textstyle (m\not\equiv 2 \pmod{4}) は、m = 39, 56 だけである。
円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) に含まれる代数的整数の集合は、\textstyle \mathbb{Z}[\zeta_m] である。
m を 3 以上の整数として、円分体を \textstyle  K = \mathbb{Q}(\zeta_m) とする。
(1) m が素数のとき
K の判別式は、(-1)^{(m-1)/2}m^{m-2} である。
(2) m = p^h (p は素数、h は 2 以上の整数)のとき
K の判別式は、\textstyle \varepsilon p^{p^{h-1}(h(p-1)-1)} である。但し、
\varepsilon = \begin{cases}-1 & (p=h=2,\mbox{ or }p\equiv 3 \pmod 4), \\ +1 & (p = 2, \, h\geqq 3,\mbox{ or }p\equiv 1 \pmod 4). \end{cases}
(3) \textstyle  m = p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r} (\textstyle  r\geqq 2,\ p_1,\ldots,\ p_r は相異なる素数、\textstyle  e_1,\ldots,e_r\geqq 1) であるときには
円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_{p_i^{e_i}) の判別式を D_i とすると、
K の判別式は、
\prod_{i=1}^r D_i^{\varphi(m)/\varphi(p_i^{e_i})}
である。
クロネッカー=ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)
K が有理数体上のアーベル拡大体のとき、ある整数 \textstyle  m\geqq 3 が存在して、
K\sub\mathbb{Q}(\zeta_m) となる。
例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー=ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。
クロネッカー=ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。
素数 p に対して、
x^p + y^p = z^p
の左辺を、\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p) 上で分解すると、
(x + y)(x + \zeta_p y)\cdots (x + \zeta_p^{p-1} y) = z^p
となる。
ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、p=23 のとき、それが成立しないことを示した。
そのため、p=23 (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。
クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。
クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。
素数 p は、円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p) の類数を割り切らない。
正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。
クンマーの補題
素数 p が正則素数であれば、円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p) の単数 ε を、\textstyle \varepsilon\equiv a\ (\operatorname{mod}\ (1-\zeta_p)^p) となる有理整数 a が存在するようにとると、 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p) の単数 \textstyle \varepsilon_0 が存在して、\textstyle \varepsilon = \varepsilon_0^p と表される。
正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。
ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示したこの証明は、ガウスによる4番目の証明である。(1805年8月30日に証明)。さらに、\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_3),\ \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_4) 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。
高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。
以下において、p を奇素数とする。
円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) の類数を h(m)、最大実部分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m+1/\zeta_m) の類数を h_2(m) とすると、
h(m) = h_1(m)h_2(m) (h_1(m) は有理整数)と表すことができる。
このとき、h_1(m) を第1因子または相対類数、h_2(m) を第2因子または実類数という。
第1因子については、以下の様な性質がある。
素数 p に対して、p が h(p) を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。
つまり、第1因子が p で割り切れないならば、p は正則素数である。
この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。
素数 p に対して、p が第1因子を割り切る必要十分条件は、p^2 が、\textstyle \sum_{j=1}^{p-1}j^{2k} を割り切る様な整数 k \textstyle  (1\leqq k\leqq (p-3)/2) が存在することである。
h_1(p) が奇数であるならば、h_2(p) は奇数である。
クンマーは、第1因子の増大度に対して、\textstyle \lim_{p\to\infty}h_1(p)/\gamma(p) = 1 と予想した。
但し、\textstyle \gamma(p) = p^{(p+3)/4}/(2^{(p-3)/2}\pi^{(p-1)/2}) 。 \gamma(p)\prod_{\chi\in S}L(1,\chi) が成立するので、ディリクレのL関数の積が 1 に収束することと同値である。
この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。
\lim_{p\to\infty}\frac{\log(h_1(p)/\gamma(p))}{\log p} = 0 。
第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。
q を素数とし、n>1 とする。p = (2qm)^2+1 が素数であるならば、h_2(p)>2 である。
ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、p は h_2(p) を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明である。
円分体の類数を求めるには、h(m)=h_1(m)h_2(m) より、第1因子と第2因子を求めればよい。実際は、円分体に対して、直接類数公式で求めるのが普通である。
h_1(m) = \frac{\delta}{(2m)^{\frac{1}{2}\varphi(m)-1}\prod_{\chi\in S}\sum_{n=1}^{m-1}\chi(n)n 。
ここで、
\delta = \begin{cases} 1 & (m\not\equiv 0 \pmod 4), \\ \frac{1}{2} & (m\equiv 0 \pmod 4), \end{cases}
S は、\chi(-1) = -1 を満たす、法 m に関する指標の集合とする。
特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。
h_1(p) = \frac{1}{(2p)^{(p-3)/2}\left|\prod_{\chi\in S}\sum_{k=1}^{p-1}\chi(k)k\right| 。
m が素数のとき、以下の様な式がある。
h_1(p) = \frac{1}{(2p)^{(p-3)/2}|G(\eta)G(\eta^2)\cdots G(\eta^{p-2})|
ここで、η は、1 の原始 p-1 乗根とし、\textstyle  G(X) = \sum_{j=0}^{p-2}g_jX^j 。
但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、\textstyle  j=0,1,\ldots,p-2 に対して、\textstyle  1\leqq g_j\leqq p-1 は、\textstyle  g^j\equiv g_j\ (\operatorname{mod}\ p) を満たす正整数とする。
p の倍数ではない整数 r に対して、\textstyle  1\leqq R(r)\leqq p-1 を、\textstyle  r\equiv R(r)\ (\operatorname{mod}\ p) を満たすようにとる。
また、\textstyle  1\leqq r'\leqq p-1 を、\textstyle  rr'\equiv 1\ (\operatorname{mod}\ p) を満たすようにとる。
M_p = (R(rs'))_{r,s=1,2,\ldots,(p-1)/2} マイレ(Maillet)の行列という。とおくと、
h_1(p) = \frac{1}{p^{(p-3)/2}|\det M_p| である。
h_2(m) = \frac{2^{\frac{1}{2}\varphi(m)-1}{R}\prod_{\chi\in T}\sum_{n=1}^{[\frac{m-1}{2}]}\chi(n)\log|1-\zeta_m^n| 。
ここで、R は、\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) の単数基準、T は、\chi(-1) = 1 を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。
特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。
h_2(p) = \frac{2^{(p-3)/2}{R}\prod_{k=1}^{(p-3)/2}\left|\sum_{j=0}^{(p-3)/2}\eta^{2k^j}\log|1-\zeta_p^{g^j}|\right| 。
ここで、η は、1 の原始 p-1 乗根、g は、法 p に対する原始根とする。
m が素数のとき、以下の様な式がある。
\textstyle  k=2,3,\ldots,(p-1)/2 に対して、\delta_k = \sqrt{\textstyle \frac{(1-\zeta_p^k)(1-\zeta_p^{-k})}{(1-\zeta)(1-\zeta^{-1})} 各 δk は、\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p) の正の実数である単数であり、クンマー単数または円単数と呼ばれる。 とおく。
g を法 p に関する原始根とし、\delta=\delta_g とおく。
また、σ を、\textstyle \sigma(\zeta_p) = \zeta_p^g を満たす、\textstyle \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}) の生成元とする。
M = (\log\sigma^{i+j}(\delta))_{i,j=0,1,\ldots,(p-5)/2}
とおくと、
h_2(p) = \frac{2^{(p-3)/2}{R}|\det M| 。
但し、R は、\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p)の単数基準とする。