数学の哲学
この説明によれば、数学だけに特有の形而上学的または認識論的な問題は存在しない。残された問題は、非数学的物理学についての一般的な問題と、フィクション一般についての問題だけなのである。フィールドのアプローチは非常に影響力があったが、今日では広く拒絶されている。これは、一つには、フィールドの還元を行うために二階の論理の強い断片(strong fragments)が必要とされるからであり、また彼の保守的な理論の言明は抽象的なモデルや演繹に対して量化を必要とするように思えるからである。他の異議としては、量子論や周期表のようないくつかの科学の成果を、数学なしでどのように得ることができるのかはっきりしない、というものがある。もし、ある元素を他の元素と区別するものが電子や中性子、陽子の数に他ならないならば、どのようにして数の概念なしに元素を区別すればよいのだろうか?
身体化理論(Embodied mind theories)によれば、数学的思考は我々の物理的世界に存する認知器官の自然な派生物である。例えば、数という抽象的な概念は、離散的な対象を数えるという経験に源を持つ。数学は普遍的ではないし、いかなる本当の意味でも人間の脳の中以外には存在するわけではない、とする。数学は、人間によって発見されたのではなく、人間によって構築されたのである。
したがって、この観点においては、物理的宇宙はまた数学の究極的な基礎と見なされる。それは、脳の進化を導き、脳がどのような問題について調査する価値を見出すのかを決定した。しかし、人間の心には殊さら実在性を要求する傾向も、数学をもとにして作り出された実在性への特別な接近法も持ってはいない。オイラーの等式のような構成物が真であるとすれば、それらは人間の心と認識の写像として真なのである。
したがって、身体化理論は、数学の有効性を、数学は脳によってこの宇宙で有効であるようにと構築されたからであると説明する。
この視点による有名な論述は、ジョージ・レイコフとラファエル・ヌニェス (数学者)(Rafael E. Núñez)の『数学の認知科学』Where Mathematics Comes Fromである。加えて、数学者キース・デヴリン(Keith Devlin)も、著書『数学的本能』The Math Instinctにおいて、似たようなコンセプトを検討した。この視点から喚起されたさらなる哲学的なアイデアについては、数学の認知科学(cognitive science of mathematics)を参照のこと。
社会構築主義や社会的実在論の理論では、数学をなによりまず社会的構築物として見る。つまり、文化によって変化や変更が行われる生産物と見る。自然科学の他の部門と同じく、数学もまたひとつの経験的試みであり、その成果は絶えず検証され、場合によっては放棄されるかもしれないとされる。とはいえ、経験主義的には検証とは「現実」とある種の比較を行うことであるのに対して、社会構築主義が強調するのは、社会集団における研究上の流行や研究に資金供給する社会の必要に応じて数学研究の方針が決定されるこということである。ただし、こうした外部的な力によってある種の数学研究が変えられてしまうということがあるにせよ、数学的な伝統、方法、問題、意味や価値といった数学者たちが文化適応しているさまざまな内的制約もまた、数学という歴史的に決定された学問分野を保持していく上で、強力に働いている。
以上の考え方は、現場の数学者たちが従来感じてきた、数学とはいずれにせよ純粋ないし客観的なものであるという信念とは相容れない。しかし、社会構築主義の立場からすれば、数学の基礎には実際にはかなり不確実なものがある。数学的実践 (mathematical practice) が変化すると、かつての数学の地位に疑問が投げかけられ、現在の数学者たちの共同体によって要求ないし要望される水準に変更される。解析学の発達がライプニッツやニュートンの微積分法の再検討から生まれたとき、こういう変化が起こったと言える。社会構築主義の立場からは、さらに、完成された数学が大きすぎる地位を与えられていることが多いのに対して、まだしっかりとした証明をされていないいわゆるフォーク数学 (folk mathematics) の方は、公理的証明や数学的実践におけるピア・レビューに重きを置きすぎているせいで、十分に評価されない。しかしそれでは、厳密に証明された成果が強調されすぎていると言っているだけに思えるかもしれない。残りはすべて混乱して不確実だ、というわけである。
数学が社会的なものであるということが最も明白なのは、数学のサブカルチャーに当たる分野である。主要な発見がある数学部門で行われ、他の数学部門にも関連しているということがありうる。それでも、数学者たちの間に社会的繋がりがなければ、関係は発見されないままになる。社会構築主義の立場からは、それぞれの部門はそれぞれ認識共同体 (epistemic community) を形成しており、コミュニケーションをしたり数学の様々な分野を横断する統一理論 (unifying theories) を研究しようと考えたりするのは大変難しいと言える。社会構築主義の立場からは「数学をする」というプロセスは現実に意味を作りだすことなのである。他方、社会実在論の立場からは、人間の抽象化能力や人間の認知バイアスや数学者たちの集団的知性の不足によって、数学的対象という実在世界の理解が妨げられているとされる。社会構築主義では、数学の基礎の探求は失敗せざるを得ないし、無駄かつ無意味であるとして拒絶されることもある。社会科学者によっては、人種差別やエスノセントリズムの影響を受けているとする説もある。これらの考え方の中にはポストモダニズムに近いものもある。
社会構築主義への寄与はイムレ・ラカトシュやトマス・ティモチコ (Thomas Tymoczko) によって行われてきたが、両者を社会構築主義者と呼んでよいかは異論もある。もっと最近ではポール・エルネストが社会構築主義的な数学の哲学を明白に定式化している。ポール・エルデシュの仕事が全体として社会構築主義を進歩させたと考える者もいる(ただし本人は社会構築主義を否定している)。エルデシュ数などを通じて、「数学が社会的活動である」ということの研究へと人々を促したという点で、エルデシュの広範な寄与は唯一無二のものだからである。ルーベン・ハーシュもまた社会的な数学観を奨励し、それを「人文主義的」(humanistic) アプローチと呼んだ。これはアルヴィン・ホワイトのアプローチに似ているが、細部は異なる。ハーシュと共著を記したフィリップ・J・デイヴィスもまた社会構築主義的な数学観に賛同していることを表明している。
社会構築主義アプローチへの批判は、それが些事にばかり執着し、数学が人間の営みであるという当たり前の説を基礎にしているということである。厳密でない推測や実験や考察をしてからでなければ厳密な証明はできないという指摘は正しいが、それは自明のことであって、誰も否定しようとはしない。だとすれば、そんな仕方で、陳腐な真実に基づいて数学の哲学を特徴づけるのは筋違いというものである。カール・ワイエルシュトラスのような数学者たちが諸定理を一から証明しようとしたとき、ライプニッツやニュートンの微積分法が再検討された。そこには一切特別なことも興味深いこともない。それはもっと一般的な、厳密でないものの考え方のトレンドと合致しているからであり、こうした考え方が後になって厳密化される。数学研究の対象と、数学研究の対象の研究とを明確に区別すべきである。おそらく前者は大幅に変化しない。後者は絶えず変動している。社会理論が論じるのは後者であり、プラトニズム等が論じるのは前者である。
しかし、社会構築主義的な立場の支持者からはこういう批判は門前払いされている。なぜならそうした批判は、数学の対象そのものが社会的構築物であることに気づいていないからである。社会構築主義によれば、こうした対象はなによりまず、人間の文化の領域に存在する記号学的な対象なのであり、(ウィトゲンシュタイン的に言えば)物理的形態を与えられた記号を用いて個体内に(心的な)構築物を生じさせるという社会的実践によって維持される。社会構築主義が考察しているのは、人間の文化の領域がプラトニズムの王国やその他の物理世界を超えた天国的な存在領域に物化されるということなのであり、それは長らく慣習的に続いてきたカテゴリー錯誤なのである。
1960年代から1990年代になると、数学がなぜ役に立つのかということに対して基礎付けや正しい解答を探そうとする考え方が本当は違うのではないか、と考える運動が、数学における真理が何を意味するのかをめぐる精密な議論や証明のような数学者に特有の営みに焦点を当てることに代わって成長した。出発点となったのは、物理学者のユージン・ウィグナーの名高い1960年の論文「自然科学における数学の不合理な有効性」The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciencesであった。ウィグナーはこの論文において、数学と物理学の幸福な合致は、大変よく調和しているが、不合理であり説明しがたいと思われると述べている。
生得理論や認知言語学といった学派はこうした疑義に対する返答であるが、提起された議論をこれらの学派に限定することは難しい。
同様の事柄のうち、実際には既存の学派に直接反対しているわけではないが、既存学派が焦点にしている考え方に疑義を唱えているのが、数学における準経験論の観念である。この観念は、数学の基礎付けが存在するという証明は決してできないであろうという20世紀後半に次第に一般的になっていた確信から生まれた。これは数学におけるポストモダニズムと呼ばれることもあるが、この用語は論者によって濫用されていたり中傷の的になっていることは否めない。準経験論によれば、数学者は研究を行う際に、定理の証明だけではなく仮説の検証も行っている。数学的論証は、前提から結論に至る真理を伝えることもできるし、結論から前提に至る虚偽を伝えることもある。イムレ・ラカトシュはカール・ポパーの科学哲学に示唆を受けて、準経験論を発展させた。
イムレ・ラカトシュの数学の哲学は、一種の社会構築主義と見られることもあるが、本人はそれを意図していたわけではなかった。
こうした方法はつねにフォーク数学の一部であった。フォーク数学によって偉大な計算・測定の作業が行われることがある。実際、文化によっては証明とはこうした方法のことである場合もある。
かつてヒラリー・パトナムは、数学的実在論の立場にたつなら、どんな理論でも準経験論的方法を含まざるをえないと述べたことがある。パトナムによれば、はじめて数学をしてみた宇宙人は、まず準経験論的方法に頼るのであって、できれば厳密で公理的な証明は差し控えたいと思うのではないか、そして、それでもなお数学を行っていることになるのではないか、と想像している。ことによると、彼らが計算を誤る危険はほんの少し大きいかもしれないが。この点の詳細な論証はThomas Tymockzo (ed), New Directions in the Philosophy of Mathematics. An Anthology, 1998に掲載されたパトナムの論文"What Is Mathematical Truth?"を参照。
数学的記号法や数学的文化をよく理解して、旧来の形而上学的観念を上記の学派の特殊な形而上学的観念と結びつけることができるまでになる哲学者は多くない。ややもすればこのことは数学者と哲学者の断絶を生んでしまう。この断絶ゆえに、数学者たちの中には信用に値しない哲学をいつまでも公言し続ける者もいる。そうした方が、おのれの仕事を活性化してくれる世界観があるはずだと信じる彼ら数学者たちの不断の信念に適うからであろう。
社会理論や準経験論、中でも生得理論は、現場の数学者の営みが包含している特有の認識の仕方にもっと目を向けようと試みたのであったが、実際のところ、この認識論を日常的な人間の知覚や日々行われる知識習得と関連づけるまでは行かなかった。
20世紀の言語哲学の革新は、数学がしばしば言われるように科学の「言語」であるかどうかという問題への関心を新たにさせた。数学者や物理学者の多くは(また多くの哲学者も)「数学は言語である」という言明を正しいものと認めているが、言語学者は、この種の言明の意味を検討しなければならないと考えている。例えば、言語学が用いる道具は数学の記号体系全般には適用されない。すなわち数学は他の言語とは著しく異なる仕方で研究される。たとえ数学が言語であるとしても、それは自然言語とは異なるタイプの言語である。実際、数学という言語は明確かつ特定の意味を担わなくてはいけないから、言語学者が研究する自然言語よりも遥かに窮屈である。しかしながら、フレーゲとタルスキが数学的言語の研究のために案出した方法が、タルスキの学生であったリチャード・モンタギューや形式意味論の分野で研究している他の言語学者たちによって大幅に発展し、数学的言語と自然言語との違いは見かけほど大きくないかもしれないということを明らかにしている。
多くの現場の数学者は、自分が課題とするテーマに対してある種の美的感覚を感じるがゆえに、そのテーマに惹き付けられている。哲学は哲学者に任せ、数学者は数学に帰ろうという意見を時折聞くが、それはおそらく、数学の美がそこにあるからなのである。
H・E・ハントリーは著書『黄金比』で、他人によって数学上の定理が証明されるのを読んだり理解したりしたいという感情は、芸術の傑作を鑑賞したいという気持ちに通じると述べている。証明を読む読者は、その証明を行った元々の著者と同じように理解できたとき、著者に負けない爽快さを感じる。ハントリーによればそれは、芸術の鑑賞者が、その作品を描いた画家や造形した彫刻家と同様の爽快さを感じるのと同じようなものなのである。実際、数学や科学の著作を文学に対するような仕方で研究することができる。
フィリップ・J・デイヴィスとルーベン・ハーシュは、数学的美の感覚は現場の数学者たちにとって普遍的なものであると述べている。例えば、数学者たちが√2が無理数であることを証明する仕方には2種類ある。第1のやり方はエウクレイデス(ユークリッド)によって始められた伝統的な証明法で、背理法を用いる。第2のやり方は算術の基本定理に関連するもっと直接的な証明法であるが、デイヴィスとハーシュによれば、これが問題の核心を衝くものである。つまり、第1の証明法より第2の証明法の方が問題の本質に近いがゆえに、数学者たちは後者の方を美的関心をそそられる。
ポール・エルデシュの有名な例では、最もエレガントないし最も美的な数学的証明が掲載された一冊の「本」があると仮定されている。結果として「最もエレガント」な証明が一つであるかどうかは、意見が分かれる。グレゴリー・チャイティンはこの考えに反対している。
数学者の美的感覚やエレガントさの感覚はどう見ても曖昧模糊としているという批判が哲学者たちによって何度も行われてきた。とはいえ、数学の哲学者も同様に、2つの証明がどちらも論理的に正しい場合、どちらかが他方より望ましいと言える理由は何かを探し求めてきた。
数学に関する美学のもう一つの側面は、非倫理的とか不穏当とされる目的のために数学を使うことができるということに対する数学者の見解である。この見解を説明したものの中で最も有名なのは、G・H・ハーディの著書『一数学者の弁明』に見出される。ハーディによれば、純粋数学は戦争その他の目的のために用いることができないがゆえに、応用数学よりも美的に優れている。
哲学の数学とは、数学の一分野で、数学的方法を用いて哲学的問題にアプローチしようとするものである。
例えば功利主義では、様々な状況のもとで行うべき最善の行動が何かを明らかにするために、快楽と苦痛という名の計測単位を用いて、いろいろな複雑な公式を作ったりする。