円柱座標変換
円柱座標変換(えんちゅうざひょうへんかん)とは、3次元ユークリッド空間 (数ベクトル空間)の、非線形な座標変換の一つである。円柱座標変換の逆写像のことを、円柱座標系という。円柱座標系は、極座標系の一種である。
円柱座標変換は、電子レンズなど、軸対称な系の計算によく用いられる。
円柱座標変換Φとは、
\left( \begin{matrix}
x  \\
y  \\
z  \\
\end{matrix} \right)=\Phi (r,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix}
r\cos \theta   \\
r\sin \theta   \\
\zeta   \\
\end{matrix} \right)  (1-1-1)
で表される、r -θ-ζ空間からx -y -z 空間への多変数ベクトル値関数のことである。式(1-1-1)で定義されたΦに相似変換、場合によっては正則なアフィン変換を施したものも、円柱座標変換ということがあるので、特に混乱が生じる場合には(1-1-1)で定義されたΦを標準的な円柱座標変換ということにする。
数学的には、r -θ-ζ空間、x -y -z 空間は、共に3次元実数ベクトル空間(\mathbb{R}^{3})である。r -θ-ζ空間においては、第一軸方向をr 方向(r 軸)、第二軸方向をθ方向(θ軸)、第三軸方向をζ方向(ζ軸)とする。x -y -z 空間においても同様に、第一軸方向をx 方向(x 軸)、第二軸方向をy 方向(y 軸)、第三軸をz 方向(z軸)とする。この三軸によって定まる座標系を、「x -y -z 空間の標準座標系」(O-xyz 系)という。
式(1-1-1)の円柱座標変換Φ はr -θ-ζ空間のすべての点において、矛盾なく定義がされている。例えば、
\Phi (-3,2\pi ,7)=\left( \begin{matrix}
-3 \\
0  \\
\end{matrix} \right)  (1-3-1)
のように、どのような (r, θ, ζ) に対しても、ただ一つの行き先を定めることができる。
しかし、本記事では特段の断りがない限り、Φ の定義域は式(1-3-2) に定める領域 V に制限されているものとする。V は、r -θ-ζ の部分集合であり、閉集合である(開集合ではない)。
V=\left\{ \left. \begin{pmatrix}
r \\
\theta \\
\zeta
\end{pmatrix} \left| \ \begin{array}{l}
0\le r \\
0\le \theta \le 2\pi \\
-\infty <\zeta <\infty
\end{array} \right. \right\} \right.  (1-3-2)
つまり、Φ に代入されるものは、
\left\{ \begin{array}{l}
0\le r \\
0\le \theta \le 2\pi \\
-\infty < \zeta <\infty
\end{array} \right.  (1-3-3)
のすべての条件を満たす点全てに限って考えることにする。
Φ の定義域を式(1-3-2) の V に制限してもよい理由は、全射性が保たれていることによる。
x -y -z 空間に、標準座標系(O-xyz 系;「r -θ-ζ空間、x -y -z 空間の正体」の項参照)が定められているとする。このとき、円柱座標系P とは、
\left( \begin{matrix}
r  \\
\theta  \\
\zeta  \\
\end{matrix} \right)=
P (x,y ,z)=\left( \begin{matrix}
\sqrt{x}^{2+y}^{2}  \\
\theta (x,y,z)  \\
z  \\
\end{matrix} \right)  (1-4-1)
で表される、x -y -z からr -θ-ζ空間への多変数ベクトル値関数のことである。但し、θ(x , y , z) は、以下の定義式(1-4-2)で与えられるスカラー値関数である。θ(x , y , z) の定義域はx -y -z 空間の原点以外である。その他の成分は、x -y -z 空間全域で定義されている。従って、円柱座標系P の定義域は、x -y -z 空間の原点以外である。
\theta (x,y,z)=\left\{ \begin{matrix}
\tan }^{-1(y/x) & (x>0,y>0)  \\
\frac{\pi}{2} & (x=0,y>0)  \\
\pi+\tan }^{-1(y/x) & (x<0)  \\
\frac{3\pi}{2} & (x=0,y<0)  \\
2\pi+\tan }^{-1(y/x) & (x=0,y<0)  \\
\end{matrix} \right.  (1-4-2)
円柱座標系は、以下の手順で、幾何学的に理解することもできる。
任意の点Pからxy平面に下した垂線の足をQとする。
線分OQの長さをrとする。
線分QPの長さをζとする。
x軸と線分OQのなす角度をθとする。
また、円柱座標系と円柱座標変換は、相互に逆変換となっている。
円柱座標変換の偏導関数は、
\frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta,\zeta)=\left( \begin{matrix}
\cos\theta  \\
\sin\theta  \\
0  \\
\end{matrix} \right)  (2-1-1)
\frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix}
-r\sin (\theta )  \\
r\cos (\theta )  \\
0  \\
\end{matrix} \right)  (2-1-2)
\frac{\partial \Phi }{\partial \zeta}(r,\theta,\zeta)=\left( \begin{matrix}
0  \\
0  \\
1  \\
\end{matrix} \right)  (2-1-3)
である。これらの定義域は、r -θ-ζ空間全域である。
従って、円柱座標変換の点 (r , θ, ζ) におけるヤコビ行列J Φ(r , θ, ζ) およびヤコビアン det(J Φ(r , θ, ζ)) は以下のようになる。ヤコビ行列、ヤコビアン共に定義域はr -θ-ζ空間全域である。
J}{\Phi (r,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix}
\cos \theta  & -r\sin \theta  & 0  \\
\sin \theta  & r\cos \theta  & 0  \\
0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)  (2-1-4)
\det (J}{\Phi (r,\theta ,\zeta ))=\left|\begin{matrix}
\cos \theta  & -r\sin \theta  & 0  \\
\sin \theta  & r\cos \theta  & 0  \\
0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right|=r  (2-1-5)
従って、円座標のときと同じく、特異点(ヤコビアンが 0 となる点)は、r = 0 となる点全て、つまり (0, θ, ζ) の形であらわされる点全てである。これらの点は全てx -y -z 空間上ではz 軸に移る。
標準的な円柱座標変換Φに対し、Nr , Nθ , Nζ を以下のように定義し、それぞれr 法線、θ法線、ζ法線と呼ぶ。これらの定義域は、r -θ-ζ空間全域である。
\mathbf{N_{r}(r,\theta ,\zeta )=\frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right) \right\〕=\left( \begin{matrix}
\cos\theta   \\
\sin\theta   \\
0  \\
\end{matrix} \right)  (2-2-1)
\mathbf{N_{\theta }(r,\theta ,\zeta )=\frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right) \right\〕=\left( \begin{matrix}
-\sin\theta   \\
\cos\theta   \\
0  \\
\end{matrix} \right)  (2-2-2)
\mathbf{N_{z}(r,\theta,\zeta)=\frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta,\zeta) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta,\zeta) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta,\zeta) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta,\zeta) \right) \right\〕=\left( \begin{matrix}
0  \\
0  \\
1  \\
\end{matrix} \right)  (2-2-3)
ここで、“×"はベクトル積を意味する。これらの幾何学的な意味は、後述するが、幾何学的な意味でも、これらは法線になっている。
この節では、後述の説明のために記号を定義する。
M を、x-y-z空間で半径r0 、高さz0のふたと底のある、中身のつまった円柱(以降「ソリッド円柱」と呼ぶ)とする。式で書くと
M=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
x  \\
y  \\
z  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
x}^{2+y}^{2\le   \\
0\le z\le z}_{0  \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.  (3-1-1)
である。さらに、「ソリッド円柱」に該当するもの全ては、このM に相似変換を加えれば集合として実現できるので、以下は、M のみについて考える。
次に、このM を、円柱座標変換Φとr -θ-ζ空間内の直方体(六面体)L を用いてパラメータ付け(パラメトライズ)することを考える。r -θ-ζ空間内の直方体L を
L=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
r  \\
\theta   \\
\zeta   \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
0\le r\le   \\
0\le \theta \le 2\pi   \\
0\le \zeta \le z}_{0  \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.  (3-1-2)
と定義する。L の3辺の長さはそれぞれ、r0 , θ0 , 2πである。M は、L のΦによる像集合である。すなわち
M=\Phi(L)  (3-1-3)
である。上式の等号は、集合として等しいことを意味する。
式(3-1-1)のソリッド円柱M の表面を\partial Mと書き、円柱表面、円筒面、M の表面、あるいはM の境界面と呼ぶ。表面∂M は、以下のΔ1 , Δ2 , Δ3 に分割することができる。
\Delta }_{1=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
x  \\
y  \\
z  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
x}^{2+y}^{2\le   \\
z=0  \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.  (3-2-1)
\Delta }_{2=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
x  \\
y  \\
z  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
x}^{2+y}^{2=  \\
0\le z\le z}_{0  \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.  (3-2-2)
\Delta }_{3=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
x  \\
y  \\
z  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
x}^{2+y}^{2\le   \\
z=z}_{0  \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.  (3-2-3)
Δ1 , Δ2 , Δ3 をそれぞれ、下面、側面、上面という。
逆に言うと、Δ1 , Δ2 , Δ3 を貼り合わせたものが∂M である。集合演算を用いると、
\partial M= {\Delta}_{1}\cup{\Delta}_{2}\cup{\Delta}_{3}  (3-2-4)
のようになる。
次に、Δ1 , Δ2 , Δ3 を、円柱座標変換を利用してパラメトライズすることを考える。D1 , D2 , D3 を以下のように定める。
D}_{1=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
r  \\
\theta   \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
0\le r\le   \\
0\le \theta \le 2\pi   \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.  (3-2-5)
D}_{2=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
\theta \\
\zeta   \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
0\le \theta \le 2\pi   \\
0\le \zeta \le z}_{0  \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.  (3-2-6)
D}_{3=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
r  \\
\theta   \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
0\le r\le   \\
0\le \theta \le 2\pi   \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.  (3-2-7)
D1 , D2 , D3 は、それぞれr -θ平面、θ-ζ平面、r -θ平面の部分集合となっている。また、D1 とD3 は集合として全く等しいものである。
また、x -y -z 空間に値を取るベクトル値関数I1 , I2 , I3 を以下のように定義する。I1 , I2 , I3 の定義域は、本来的にはそれぞれr -θ平面、θ-ζ平面、r -θ平面であるが、ここでは、それぞれの定義域をD1 , D2 , D3 に制限して考えることにする。これらI1 , I2 , I3 を、それぞれΔ1 , Δ2 , Δ3 のパラメータと呼ぶ。
\left( \begin{matrix}
x  \\
y  \\
z  \\
\end{matrix} \right)=\mathbf{I_{1}(r,\theta )=\Phi (r,\theta ,0)=\left( \begin{matrix}
r\cos\theta   \\
r\sin\theta   \\
0  \\
\end{matrix} \right)  (3-2-8)
\left( \begin{matrix}
x  \\
y  \\
z  \\
\end{matrix} \right)=\mathbf{I_{2}(\theta ,\zeta )=\Phi (,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix}
\cos\theta   \\
\sin\theta   \\
\zeta   \\
\end{matrix} \right)  (3-2-9)
\left( \begin{matrix}
x  \\
y  \\
z  \\
\end{matrix} \right)=\mathbf{I_{3}(r,\theta )=\Phi (r,\theta ,z}_{0)=\left( \begin{matrix}
r\cos (-\theta )  \\
r\sin (-\theta )  \\
z}_{0  \\
\end{matrix} \right)  (3-2-10)
Δ1 , Δ2 , Δ3 は、それぞれD1 , D2 , D3 のI1 , I2 , I3 による像集合となっている:
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}
\Delta }_{1=\mathbf{I_{1}(D}_{1)\\
\Delta }_{2=\mathbf{I_{2}(D}_{2) \\
\Delta }_{3=\mathbf{I_{3}(D}_{3) \\
\end{array} \right.  (3-2-11)
ここで、“="は集合としての等号である。例えば、Δ1 = I1(D1) とは、Δ1 とI1 (D1) が集合として等しいことを意味している。
Δ1 , Δ2 , Δ3 それぞれの法線ベクトルを、NΔ1 , NΔ2 , NΔ3と書く:
\mathbf{N_{\Delta }_{1}(r,\theta )
= \frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,0) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,0) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,0) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,0) \right) \right\〕
= \mathbf{N_{\zeta }(r,\theta ,\zeta }_{0)
= \left( \begin{matrix}
0  \\
0  \\
1  \\
\end{matrix} \right)  (3-2-12)
\mathbf{N_{\Delta }_{2}(\theta ,\zeta )
= \frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }({r}_{0},\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }({r}_{0},\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right) \right\〕
= \mathbf{N_{r}(r,\theta ,\zeta )
= \left( \begin{matrix}
-\sin\theta   \\
\cos\theta   \\
0  \\
\end{matrix} \right)  (3-2-13)
\mathbf{N_{\Delta }_{3}(r,\theta )
= \frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta_{0}) \right)\times \left( -\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta } \right)(r,\theta ,\zeta_{0}) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta_{0}) \right)\times \left( -\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta } \right)(r,\theta ,\zeta_{0}) \right) \right\〕
= -\mathbf{N_{\zeta }(r,\theta ,\zeta_{0})
= \left( \begin{matrix}
0  \\
0  \\
-1  \\
\end{matrix} \right)  (3-2-14)
NΔ1 , NΔ2 , NΔ3 の定義域は、それぞれD1 , D2 , D3 である。ここで、Nθに平行なものがないことに注意されたい。
x -y -z 空間で定義されたベクトル場X をx -y -z 座標系について表示すると
\mathbf{X}(x,y,z)=\left(
\begin{array}{c}
{X}_{x}(x,y,z)\\
{X}_{y}(x,y,z)\\
{X}_{z}(x,y,z)\\
\end{array}
\right)  (4-1-1)
となる。これを円柱座標表示に変換することを考える。まず、スカラー値関数Xr (r , θ, ζ) , Xθ (r , θ, ζ) , Xζ (r , θ, ζ) を、
\left\{ \begin{matrix}
X}_{r=\mathbf{X}\cdot \mathbf{N_{r}  \\
X}_{\theta =\mathbf{X}\cdot \mathbf{N_{\theta }  \\
X}_{\zeta=\mathbf{X}\cdot \mathbf{N_{z}  \\
\end{matrix} \right. (4-1-2)
と定義する。正確に書くと
\left\{ \begin{matrix}
X_r     (r,\theta,\zeta) = \mathbf{X}\left(\Phi(r,\theta,\zeta)\right) \cdot {\mathbf{N}_r}     (r,\theta,\zeta) \\
X_\theta(r,\theta,\zeta) = \mathbf{X}\left(\Phi(r,\theta,\zeta)\right) \cdot {\mathbf{N}_\theta}(r,\theta,\zeta) \\
X_\zeta (r,\theta,\zeta) = \mathbf{X}\left(\Phi(r,\theta,\zeta)\right) \cdot {\mathbf{N}_\zeta} (r,\theta,\zeta)
\end{matrix} \right. (4-1-3)
である。ここで、・は内積を意味する。定義式(4-1-3)から明らかなように、これらの定義域はr -θ-ζ空間全域(r = 0 となる点を含む)である。
ここで以下が成立する。"\circ"は、合成関数の意味である。
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}
X}_{r=({X}_{x}\circ\Phi)\cos\theta + ({X}_{y}\circ\Phi)\sin \theta  \\
X}_{\theta =-({X}_{x}\circ\Phi)\sin\theta + ({X}_{y}\circ\Phi)\cos \theta  \\
X}_{\zeta=X}_{z}\circ\Phi} \\
\end{array} \right.   (4-1-4)
\left\{\begin{array}{*{35}{l
X}_{x\circ \Phi =X}_{r\cos\theta -X}_{\theta \sin \theta   \\
X}_{y\circ \Phi =X}_{r\sin\theta +X}_{\theta \cos \theta   \\
X}_{z\circ \Phi =X}_{\zeta   \\
\end{array} \right.   (4-1-5)
が分かる。
また、次の等式がr = 0 となる点を含むすべての (r , θ, ζ) に対して成立する。
\mathbf{X}(\Phi (r,\theta ,z))=(X}_{r \mathbf{N_{r})(r,\theta ,z)+(X}_{\theta  \mathbf{N_{\theta })(r,\theta ,z)+(X}_{z\mathbf{N_{z})(r,\theta ,z)   (4-1-6)
式(4-1-6)を、ベクトル場の円柱座標表示という。より正確な言い方をすると、「x -y -z 空間で定義されたベクトル場X の円柱座標表示」という。
ここではx -y -z 空間で定義されたスカラー値関数f の、式(3-1-1)の円柱M 内部での積分
{\int}_{M}f\ dxdydz  (5-1-1)
の計算方法を説明する。円柱M について
M=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
x  \\
y  \\
z  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
x}^{2+y}^{2\le   \\
0\le z\le z}_{0  \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
x  \\
y  \\
z  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
-r_0 \le x \le r_0 \\
-\sqrt{r_0^2-x^2} \le y \le \sqrt{r_0^2-x^2}\\
0 \le z \le z_0
\end{matrix} \right. \right\} \right.  (5-1-2)
が成立することに注意すると、f の積分は以下のように累次積分に帰着されることが分かる。
\int_{M}{f\ dxdydz}