アポロニウスの円
アポロニウスの円(アポロニウスのえん)は、2定点A・Bをとり、点PをAP:BPが一定となるように(但しAP≠BP)したときの点Pの軌跡である。ペルガのアポロニウスの名前を残すが、起源はより古いと思われる。例えば、既にアリストテレス『気象論』第三巻で虹の形状を論じるのに用いられている。
点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの軌跡のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、
AQ:QB=AP:PB
AR:RB=AP:PB
内角と外角の二等分線の関係の逆より、PQとPRはそれぞれ∠APBの内角と外角の二等分線である。
よって、∠QPR=90°
ゆえに、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円である。
m, n を互いに異なる正の実数とする。線分ABを m : n に内分する点を Q、外分する点をRとすると、
\overrightarrow{\mathrm{PQ} = \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}{n+m},\ \overrightarrow{\mathrm{PR} = \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}{n-m}.
このとき、
\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = m : n.
\Leftrightarrow n|\overrightarrow{\mathrm{PA}| = m|\overrightarrow{\mathrm{PB}|.
\Leftrightarrow n^2|\overrightarrow{\mathrm{PA}|^2 = m^2|\overrightarrow{\mathrm{PB}|^2.
\Leftrightarrow (n\overrightarrow{\mathrm{PA}+m\overrightarrow{\mathrm{PB})\cdot (n\overrightarrow{\mathrm{PA}-m\overrightarrow{\mathrm{PB})=0.
\Leftrightarrow \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}{n+m}\cdot \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}{n-m}=0.
\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{PQ} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR} =0.
\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{PQ} = \vec{0} \vee \overrightarrow{\mathrm{PR} =\vec{0} \vee \overrightarrow{\mathrm{PQ} \perp \overrightarrow{\mathrm{PR}.
\Leftrightarrow \mathrm{P}=\mathrm{Q} \vee \mathrm{P}=\mathrm{R} \vee \angle{\mathrm{QPR}=90^\circ.
したがって、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円になる。
線分QRの中点をOとすると、
\overrightarrow{\mathrm{OQ} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}, \ \overrightarrow{\mathrm{OR} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}.
したがって、
\overrightarrow{\mathrm{PQ}\cdot  \overrightarrow{\mathrm{PR} = 0.
\Leftrightarrow (\overrightarrow{\mathrm{PO}+\overrightarrow{\mathrm{OQ})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PO}+\overrightarrow{\mathrm{OR}) = 0.
\Leftrightarrow (\overrightarrow{\mathrm{PO}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PO}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}) = 0.
\Leftrightarrow |\overrightarrow{\mathrm{PO}|^2 = \left( \frac{1}{2}\right)^2|\overrightarrow{\mathrm{QR}|^2.
\Leftrightarrow \mathrm{PO} = \frac{1}{2}\mathrm{QR}.
これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径 \frac{1}{2}\mathrm{QR} の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。
線分QRの中点をOとすると、点Oはアポロニウスの円の中心となり、
\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{PO} &= \frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}+\overrightarrow{\mathrm{PR}}{2} \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}{n+m}+\frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}{n-m} \right) \\ &= \frac{(n-m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}+m\overrightarrow{\mathrm{PB})+(n+m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}-m\overrightarrow{\mathrm{PB})}{2(n+m)(n-m)} \\ &= \frac{2n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}-2m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}{2(n^2-m^2)} \\ &= \frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}-m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}{n^2-m^2}.\end{align}
すなわち、点Oは線分ABを m^2 : n^2 に外分する点になる。
アポロニウスの円の半径を r とする。ここで平方完成
\begin{align}\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR} &= \frac{\overrightarrow{\mathrm{PR}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}{2} \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}{n-m}-\frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}{n+m} \right) \\ &= \frac{(n+m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}-m\overrightarrow{\mathrm{PB})-(n-m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}+m\overrightarrow{\mathrm{PB})}{2(n+m)(n-m)} \\ &= \frac{2mn\overrightarrow{\mathrm{PA}-2mn\overrightarrow{\mathrm{PB}}{2(n^2-m^2)} \\ &= \frac{mn(\overrightarrow{\mathrm{PB}-\overrightarrow{\mathrm{PA})}{m^2-n^2} \\ &= \frac{mn}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{AB}.\end{align}
定義より、
\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AR} &= \overrightarrow{\mathrm{PR}-\overrightarrow{\mathrm{PA} \\ &= \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}{n-m}-\overrightarrow{\mathrm{PA} \\ &= \frac{m}{n-m}(\overrightarrow{\mathrm{PA}-\overrightarrow{\mathrm{PB}) \\ &= \frac{m}{m-n}\overrightarrow{\mathrm{AB}, \\ \overrightarrow{\mathrm{QB} &= \frac{n}{m+n}\overrightarrow{\mathrm{AB}, \\ \overrightarrow{\mathrm{AO} &= \overrightarrow{\mathrm{PO}-\overrightarrow{\mathrm{PA} \\ &= \frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}-m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}{n^2-m^2}-\overrightarrow{\mathrm{PA} \\ &= \frac{m^2}{n^2-m^2}(\overrightarrow{\mathrm{PA}-\overrightarrow{\mathrm{PB}) \\ &= \frac{m^2}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{AB}, \\ \overrightarrow{\mathrm{BO} &=
\overrightarrow{\mathrm{PO}-\overrightarrow{\mathrm{PB} \\ &= \frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}-m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}{n^2-m^2}-\overrightarrow{\mathrm{PB} \\ &= \frac{n^2}{n^2-m^2}(\overrightarrow{\mathrm{PA}-\overrightarrow{\mathrm{PB}) \\ &= \frac{n^2}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{AB}.\end{align}
したがって、
r = \left|\frac{mn}{m^2-n^2}\right|\cdot\mathrm{AB} = \frac{\mathrm{AR}\cdot \mathrm{QB}{\mathrm{AB} = \sqrt{\mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}.
アポロニウスの問題に対する解はアポロニウスの円とも呼ばれる。