外積代数
によって明示的に与えられる。体積要素に加えて、ベクトル空間 V が V と V∗ を同一視する内積を備えているならば、得られる同型
\textstyle * \colon \bigwedge^k(V) \to \bigwedge^{n-k}(V)
はホッジ双対、あるいは一般にはホッジ ∗-作用素と呼ばれる。∗-作用素とそれ自身の合成写像 ⋀k(V) → ⋀k(V) は常に恒等写像のスカラー倍である。ほとんどの応用においては、体積形式はそれが V のある正規直交基底の楔積であるという意味で内積と両立する。この場合は
\textstyle * \circ *\colon \bigwedge^k(V) \to \bigwedge^k(V) = (-1)^{k(n-k) + q}I
になっている。ここで I は恒等写像で、内積は計量符号数 (p , q) (プラスが p 個、マイナスが q 個)を持つ。
V , W をベクトル空間の対とし、f: V → W を線型写像とする。このとき普遍構成により、次数付き代数の準同型
\textstyle \bigwedge(f)\colon \bigwedge(V)\to \bigwedge(W)
であって、その ⋀1(V)  V への制限が
\textstyle\bigwedge(f)|_{V} = f
を満たすようなものが唯一つ存在する。特に ⋀(f) は斉次次数 (homogeneous degree) を保つ。⋀(f) の k-次成分は分解可能元の上では
\textstyle \bigwedge(f)(x_1\wedge\cdots\wedge x_k) = f(x_1)\wedge\cdots\wedge f(x_k)
で与えられる。
\textstyle \bigwedge^k(f) = \bigwedge(f)_{\bigwedge^k(V)}\colon\bigwedge^k(V) \to \bigwedge^k(W)
とすると、変換 ⋀k(f) の V と W の基底に関する成分は f の k × k 小行列式の作る行列である。特に、V  W で V が有限 n-次元のとき、⋀n(f) は 1 次元ベクトル空間 ⋀n(V ) をそれ自身に移すから、これはスカラーで与えられ、それはちょうど f の行列式の値である。
0\to U\to V\to W\to 0
に対し、
\textstyle 0\to \bigwedge^1(U)\wedge\bigwedge(V) \to \bigwedge(V)\to \bigwedge(W)\to 0
は次数付き線型空間の完全列である。もちろん
\textstyle 0\to \bigwedge(U)\to\bigwedge(V)
も完全である。
\textstyle \bigwedge(V\oplus W)= \bigwedge(V)\otimes\bigwedge(W)
である。これは次数付き同型、つまり
\textstyle \bigwedge^k(V\oplus W)= \bigoplus_{p+q=k} \bigwedge^p(V)\otimes\bigwedge^q(W)
になっている。もう少し一般に
0\to U\to V\to W\to 0
がベクトル空間の短完全列ならば ⋀k(V) はフィルター付け
\textstyle 0 = F^0 \subseteq F^1 \subseteq \dotsb \subseteq F^k \subseteq F^{k+1} = \bigwedge^k(V)
で、その商が
\textstyle F^{p+1}/F^p = \bigwedge^{k-p}(U) \otimes \bigwedge^p(W)
なるものを持つ。特に、U が 1 次元ならば
\textstyle 0\to U \otimes \bigwedge^{k-1}(W)\to \bigwedge^k(V)\to \bigwedge^k(W)\to 0
は完全であり、W が 1 次元ならば
\textstyle 0\to \bigwedge^k(U)\to \bigwedge^k(V)\to \bigwedge^{k-1}(U) \otimes W\to 0
が完全である。
K を標数 0 の体とするとき、ベクトル空間 V の外積代数はテンソル空間 T(V) の交代テンソル全体の成す部分空間と自然に同一視される。外積代数が T(V) の x ⊗ x で生成されるイデアルによる商多元環として定義されたことを思い出そう。
Tr(V) を次数 r の斉次テンソル全体の成すベクトル空間とすれば、Tr(V) は分解可能テンソル
v_1\otimes\cdots\otimes v_r,\quad (v_i\in V)
で生成される。分解可能テンソルの交代化作用素 (antisymmetrization) あるいは歪対称化作用素 (skew-symmetrization) は
\operatorname{Alt}(v_1\otimes\cdots\otimes v_r) = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} \sgn(\sigma) v_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma(r)}
で与えられる。ここに和は文字 1, …, r の置換全体の成す対称群を亘る。これを線型性と斉次性を使ってテンソル空間 T(V) 全体まで拡張したものも同じく "Alt" で表す。Alt の像 Alt(T(V)) を交代テンソル代数 (alternating tensor algebra) と呼び、A(V) で表す。これは T(V) の部分線型空間で、T(V) から次数付きベクトル空間の構造が遺伝する。これにより結合的な次数付き乗法が
t\operatorname{\widehat{\otimes}s = \operatorname{Alt}(t\otimes s)
によって誘導される。しかしこれはテンソル積とは異なる乗法であって、Alt の核がちょうど両側イデアル I に一致して(K は標数 0 だと仮定している)、自然な同型
\textstyle A(V)\cong \bigwedge(V)
が存在する。
V が有限 n-次元であるとし、その基底 e1, …, en が与えられているとする。交代テンソル t ∈ Ar(V) ⊂ Tr(V) は添字表記を用いて
t = t^{i_1i_2\ldots i_r}\, \boldsymbol{e}_{i_1}\otimes \boldsymbol{e}_{i_2}\otimes\cdots\otimes \boldsymbol{e}_{i_r}
と書ける。ここで ti1…ir はその添字に関して完全反対称である。
階数がそれぞれ r および p である交代テンソル t および s の楔積は
t\operatorname{\widehat{\otimes}s = \frac{1}{(r+p)!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{r+p}\sgn(\sigma)t^{i_{\sigma(1)}\ldots i_{\sigma(r)}s^{i_{\sigma(r+1)}\ldots i_{\sigma(r+p)} \boldsymbol{e}_{i_1}\otimes \boldsymbol{e}_{i_2}\otimes\cdots\otimes \boldsymbol{e}_{i_{r+p}
で与えられる。このテンソルの成分はちょうどテンソル積 s ⊗ t の成分の交代部分になっており、添字に角括弧をつけて
(t\operatorname{\widehat{\otimes}s)^{i_1\dots i_{r+p} = t^{[i_1\dots i_r}s^{i_{r+1}\dots i_{r+p}]}
と表す。
内部積も添字記法で書くことができる。
t = t^{i_0i_1\dots i_{r-1}
を階数 r の反対称テンソルとすると、α ∈ V∗ に対して iα t は階数 r − 1 の交代テンソルで
(i_\alpha t)^{i_1\dots i_{r-1}=r\sum_{j=0}^n\alpha_j t^{ji_1\dots i_{r-1}
によって与えられる。n は V の次元である。
分解可能 k-ベクトルは幾何学的に解釈することができる。2-ベクトル u ∧ v は u, v で張られる、u と v を辺に持つ向き付けられた平行四辺形の面積で与えられる数の「重み」を持つ平面を表す。同様にして 3-ベクトル u ∧ v ∧ w は、u, v, w を辺とする平行六面体の体積で重み付けられた 3 次元空間を表す。
⋀k(V) の分解可能 k-ベクトルは V の重み付き k-次元部分空間に対応する。特に V の k-次元部分空間のグラスマン多様体 Grk(V) は自然に射影空間 P(⋀k(V)) のある代数多様体と同一視される。これをプリュッカー埋め込みという。
外積代数の微分幾何における特筆すべき応用は、微分形式の定義に用いられることである。可微分多様体上の点における微分形式は、その点の接空間における重線型交代形式であり、k-次微分形式は接空間の k-次外冪からの線型汎函数である。結論として、重線型形式の楔積は自然に微分形式の楔積を定める。微分形式は微分幾何のさまざまな部分で大きな役割を担う。
特に、外微分は多様体上の微分形式に外積代数に微分環の構造を与える。外微分は多様体間の滑らかな写像に沿っての引き戻しと可換であり、それゆえに自然な微分作用素である。外微分を備えた微分形式の外積代数は、そのコホモロジーが台となる多様体のド・ラームコホモロジーと呼ばれる微分複体を成し、可微分多様体の代数的位相幾何学の根幹を成している。
表現論において、外積代数はベクトル空間の圏における二つの基本シューア函手のうちの一つで、もう一方は対称代数である。これらの構成はともに一般線型群の既約表現を生み出すのに用いられる。
外積代数は、フェルミオンと超対称性に関する物理理論において基本的な役割を演じる、超代数の原型的な例である。物理学的な議論はグラスマン数を見よ。ほかのいくつかの関連する概念の物理学への応用は超空間や超群を参照。
外積代数は1844年、『拡大の理論』(Ausdehnungslehre) の包括的な言葉の下にヘルマン・グラスマンによって初めて導入された。これはもっと一般に量の拡大の代数的(あるいは公理的)な理論について言及しており、また早い時期における現代的なベクトル空間の概念のさきがけの一つとなっている。アデマール・ジャン・クロード・バール・デ・サン=ブナンもまた同様の exterior calculus の概念を著しており、それがグラスマンに先駆けて成されたものと主張した。
外積代数それ自身は、アーサー・ケイリーとジェームス・ジョセフ・シルベスターの重ベクトルの理論の形式的側面を捉えたいくつかの規約あるいは公理から組み立てられたもので、それゆえに幾何学的な言葉での形式的な理由付けの面を抜きにすれば、命題計算のような「計算」(calculus) の類である。
特にこの新たな発展は、それまで座標の観点からのみ説明されてきた性質である次元の概念の「公理的な」特徴づけを可能にした。
このベクトルと重ベクトルに関する新しい理論の重要性は19世紀半ばまでには失われ、1888年にジュゼッペ・ペアノによって詳しく調べられるまで顧みられることは無かった。ペアノの仕事にも幾分不明瞭な部分が残されていたが、世紀が変わる頃には、微分形式の計算にグラスマンのアイデアを応用したフランス高等師範学校のメンバー(有名どころはアンリ・ポアンカレ、エリ・カルタン、ジャン・ガストン・ダルブーら)によって主題の統一をみた。
そのしばらく後にアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドはペアノとグラスマンのアイデアをもとにして普遍代数を導入する。これは確固たる論理的基礎の上に代数系の公理的な概念を与えることで、20世紀の抽象代数学の発展を可能にした。