静磁場
静磁場(せいじば、static magnetic field)とは、時間的に変動しない磁場のことである
。
本記事では、静磁気学(Magnetostatics)の視点から、静磁場について述べる。
本節では、真空中に定常な(つまり時刻tに依存しない)電流密度が作り出す磁束密度について、一般に成り立つ事柄について述べる。ただし、時間的な変動の影響はもちろんのこと、これ以外にも、電場や強制電荷、分極電荷の影響は排除されているものとする。
本記事では、専ら体積電流密度を中心に扱い、線電流近似については、例えば
等に委ねることとする。
真空中に定常な(つまり時刻tに依存しない)電流密度
\boldsymbol{i}(\mathbf{r})が与えられた
とする。このとき、\boldsymbol{i}(\mathbf{r})
は、以下の磁気ベクトルポテンシャル
\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}(\mathbf{r})を空間内に作り出す。
\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}(\mathbf{r})
=\frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}
\left(\frac{\boldsymbol{i}(\mathbf{s})}
\right)
\ d^{3}\mathbf{s}
(1-1)
となる。
\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}=\operatorname{rot}[\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}]を考え併せると、
\boldsymbol{i}(\mathbf{r})が直接的に作り出す磁束密度\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}は、
\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}(\mathbf{r})
=\frac{\mu_{0}{4 \pi }
\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}
\left(\frac{
\boldsymbol{i}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})
}^{3\right]
+{\mu}_{0}\delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})\mathbf{M}(\mathbf{s}){d}^{3}\mathbf{s}
(2-2-7)
と書けることが判る。従って、
\mathbf{B}_{M}(\mathbf{r})
=\frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\operatorname{grad}_{\mathbf{r}\left[\frac{\langle\mathbf{M}(\mathbf{s})|(\mathbf{r}-\mathbf{s})\rangle}\mathbf{r}-\mathbf{s}〕^{3\right]\ {d}^{3}{s}
+\mu_{0}\mathbf{M}(\mathbf{r})  (2-2-8)
を得る。
今、新たな場\mathbf{H}_{M}を、
\mathbf{H}_{M}(\mathbf{r})
=\frac{1}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\operatorname{grad}_{\mathbf{r}\left[\frac{\langle\mathbf{M}(\mathbf{s})|(\mathbf{r}-\mathbf{s})\rangle}\mathbf{r}-\mathbf{s}〕^{3\right]\ {d}^{3}{s}
(2-2-9)
、
\mathbf{B}_{M}(\mathbf{r})={\mu}_{0}(\mathbf{H}_{M}(\mathbf{r})+\mathbf{M}(\mathbf{r}))  (2-2-10)
が得られる。
さて、以上の議論から「物質の磁化Mが既知である場合に限れば、その磁化Mが作り出す磁束密度BMを計算する術が得られた」
ことになる。然しながら、物質の磁化Mが既知でない場合には、上述の関係式のみからは、BMもMも、判らない。上述の関係式は、
一つの拘束条件を与えているに過ぎないのである。(だが、極めて重要な関係式ではある)。
例えば、磁化Miniを帯びた鉄心が空間におかれていたとき、外部からの磁束密度\mathbf{B}_{\text{ext}(\mathbf{r})
が与えられたとき、鉄心の磁化は、元々の磁化Miniと、外部からの磁束密度\mathbf{B}_{\text{ext}(\mathbf{r})
の影響で、元々の磁化Miniとは異なる新たな磁化Mconを得ることになる。仮に、このMcon
が判れば、全系の磁束密度が計算できるのだが、
(難所)元々磁化Miniを帯びている物質に、外部から磁束密度\mathbf{B}_{\text{ext}(\mathbf{r})を印加したとき、最終的に、物質がどのようなMconを得るか?
が、実のところは難しい。そこで、一般には。B-H曲線等の実測結果と、上記の拘束条件を考え合わせ、数値計算によって磁束密度や磁化が計算されるのである。但し、線形物質に関して言えば、上の難所は比較的簡単である。このような特殊な物質に関する問題については、次章で述べることにする。
空間内の領域\Omegaに物質が置かれ、前記物質が、定常な(つまり時刻tに依存しない)磁化\mathbf{M}(\mathbf{r})を帯びているとする。
先に定義した、(磁化による)磁場
\mathbf{H}_{M}(\mathbf{r})
=\frac{1}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\operatorname{grad}_{\mathbf{r}\left[
\frac{\langle\mathbf{M}(\mathbf{s})|(\mathbf{r}-\mathbf{s})\rangle}\mathbf{r}-\mathbf{s}〕^{3
\right]
\ {d}^{3}{s}
(2-3-1)
の原因が、磁荷であると考えた場合に、それは、どのようなものであるのかを検討しよう。
ベクトル解析の公式より、
\begin{align}
\operatorname{div}_{s}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})} \right]
&= \left\langle
\operatorname{grad}_{\mathbf{s}
\left[
\frac{1}
\right]
\left|\right.
\mathbf{M}(\mathbf{s})
\right\rangle+
\frac{
\operatorname{div}_{\mathbf{s}[\mathbf{M}]}
\\
&= \left\langle
\frac{\mathbf{r}-\mathbf{s}^{3+
\frac{
\operatorname{div}_{\mathbf{s}[\mathbf{M}]}
\qquad \text{(2-3-2)}
\end{align}
従って、
\frac{\langle\mathbf{M}(\mathbf{s})|(\mathbf{r}-\mathbf{s})\rangle}\mathbf{r}-\mathbf{s}〕^{3
=\operatorname{div}_{s}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})} \right]
- \frac{
\operatorname{div}_{\mathbf{s}[\mathbf{M}]}
(2-3-3)
今、スカラー値関数{\phi}_{M}を、
{\phi}_{M}(\mathbf{r}):=
-{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\frac{\langle\mathbf{M}(\mathbf{s})|(\mathbf{r}-\mathbf{s})\rangle}\mathbf{r}-\mathbf{s}〕^{3
\ {d}^{3}\Omega
(2-3-4)
と定める(磁化が定める磁位、あるいは、磁化が定めるスカラーポテンシャルと言う)と、
{\phi}_{M}(\mathbf{r})=
-{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\operatorname{div}_{s}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})} \right]
\ {d}^{3}\Omega
+{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\frac{
\operatorname{div}_{\mathbf{s}[\mathbf{M}]}
\ {d}^{3}\Omega
(2-3-5)
右辺第一項に、ガウスの発散定理を適用すると、
{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\operatorname{div}_{s}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})} \right]
\ {d}^{3}\Omega
={\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}
\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})}
\ {d}^{2}(\partial\Omega)
(2-3-6)
さらに、ベクトル解析の公式を適用すると、
{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}
\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})}
\ {d}^{2}(\partial\Omega)
=
{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}
\frac{\langle\mathbf{M}(\mathbf{s})|\mathbf{n}_{\partial\Omega}\rangle}
\ |{d}^{2}(\partial\Omega)|
(2-3-7)
従って、
{\phi}_{M}(\mathbf{r})=
-{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\operatorname{div}_{s}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})} \right]
\ {d}^{3}\Omega\ +
{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}
\frac{\langle\mathbf{M}(\mathbf{s})|\mathbf{n}_{\partial\Omega}\rangle}
\ |{d}^{2}(\partial\Omega)|
(2-3-8)
ここで、\partial\Omegaは、領域\Omegaの境界面を意味する。
また、\mathbf{n}_{\partial\Omega}は、\partial\Omegaの法線ベクトルを意味する。
今、体積磁荷密度と、表面磁荷密度を、
{\rho}_{M}:=-\operatorname{div}_{\mathbf{r}[\mathbf{M}] (体積磁荷密度)  (2-3-10)
{\sigma}_{M}:=<\mathbf{M}\ |\ \mathbf{n}_{\partial\Omega}> (表面磁荷密度)  (2-3-11)
により定めると、
{\phi}_{M}(\mathbf{r})=
{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\frac{d}^{2}(\partial\Omega)_{M}(\mathbf{r})=-\operatorname{grad}_{\mathbf{r}[{\phi}_{M}(\mathbf{r})]  (2-3-13)
であるため、
{\mathbf{H}_{M}(\mathbf{r})=
{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\operatorname{grad}_{\mathbf{r}
\left[
\frac
\left[
\frac{
{-\sigma}_{M}(\mathbf{s})
}
\right]
\ |{d}^{2}(\partial\Omega)|
(2-3-14)
である。
時間的に定常な磁化が作り出す磁気ベクトルポテンシャルを、別の側面から考察してみることにしよう。ここでは、「磁束密度の原因は、電流に帰される」という思想に従い、
だとすれば、「磁化と等価な効果を発揮する電流」がどのようなものかを検討することにする。
前記\mathbf{A}_{M}(\mathbf{r})に、
ベクトル解析の公式を適用すると、
\begin{align}
\mathbf{A}_{M}(\mathbf{r})
&= \frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\left(\frac{(\mathbf{M}(\mathbf{s}))\times (\mathbf{r}-\mathbf{s})}
\right)
\ {d}^{3}\mathbf{s} \\
&= \frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\left(\frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{M}(\mathbf{s})]}
\right)
\ {d}^{3}\mathbf{s}
+ \frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}
\left(
\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})\times \mathbf{n}_{\partial\Omega}
\right)
\ |{d}^{2}(\partial\Omega)|
\qquad \text{(2-4-1)}
\end{align}
となることが判る。ここで、\operatorname{rot}_{\mathbf{s}
は、変数\mathbf{s}についての回転微分を意味する。\partial\Omegaは、領域\Omegaの境界を意味する。
上式の右辺第二項の積分において、「\partial\Omegaの面素の絶対値」を意味し
所謂普通の面積分ではない(この「面積分」は、「ベクトル場からベクトルを作る」特殊なもの)ので注意が必要である。
この積分において、\mathbf{n}_{\partial\Omega}は、\partial\Omega
の法線ベクトルを意味する。
実際、スカラー倍の回転微分の公式より、
\begin{align}
\operatorname{rot}_{\mathbf{s}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})} \right]
&= \left(\operatorname{grad}_{\mathbf{s}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})} \right]\right)\times\mathbf{M}(\mathbf{s})
+ \frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}\left[ \mathbf{M}(\mathbf{s})\right]} \\
&= \frac{(\mathbf{r}-\mathbf{s})\times \mathbf{M}(\mathbf{s})}\mathbf{r}-\mathbf{s}〕^{3
+\frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}\left[ \mathbf{M}(\mathbf{s})\right]}
\qquad \text{(2-4-2)}
\end{align}
従って、
\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})\times (\mathbf{r}-\mathbf{s}) }\mathbf{r}-\mathbf{s}〕^{3
=\frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}\left[ \mathbf{M}(\mathbf{s})\right]}
-\operatorname{rot}_{\mathbf{s}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})} \right]
(2-4-3)
従って、
\mathbf{A}_{M}(\mathbf{r})
=\frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}\left[ \mathbf{M}(\mathbf{s})\right]}\ {d}^{3}\mathbf{s}\
-\frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\operatorname{rot}_{\mathbf{s}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})} \right]
\ {d}^{3}\mathbf{s}\
(2-4-4)
を得る。さらに、上式の右辺第二項の積分にベクトル解析の公式を適用すると、
-\frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\operatorname{rot}_{\mathbf{s}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})} \right]
\ {d}^{3}\mathbf{s}\
=\frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}
\left(\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})} \right)
\times {d}^{2}\mathbf{s}\
(2-4-5)
を得る。さらに、右辺にベクトル解析の公式を適用すると、
\frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}
\left(\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})} \right) \times {d}^{2}\mathbf{s}\
=
\frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}
\left(
\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})\times \mathbf{n}_{\partial\Omega}
\right)
\ |{d}^{2}(\partial\Omega)|\
(2-4-6)
が得られる。以上から示すべき式が証明された。
今、\boldsymbol{i}_{M}(\mathbf{r}),\ {\mathbf{K}_{M}を、
\boldsymbol{i}_{M}(\mathbf{r}) :=
\operatorname{rot}[\mathbf{M}(\mathbf{r})]
(体積磁化電流密度)  (2-4-7)
{\mathbf{K}_{M}(\mathbf{r}) :=
\mathbf{M}(\mathbf{r})\times \mathbf{n}_{\partial\Omega}(\mathbf{r}) (表面磁化電流密度)  (2-4-8)
と置くと、結局、
\mathbf{A}_{M}(\mathbf{r})
=\frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
\left(\frac{\boldsymbol{i}_{M}(\mathbf{s})}
\right)
\ {d}^{3}\mathbf{s}
+\ \frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}
\left(
\frac{\mathbf{K}_{M}(\mathbf{s})}
\right)\ |{d}^{2}(\partial\Omega)|\
(2-4-9)
となる。
両辺の回転微分を取ると、
\mathbf{B}_{M}(\mathbf{r})
=\frac{\mu_{0}{4 \pi }
\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}
\left(\frac{
\boldsymbol{i}_{M}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})
}〔\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3
\mathbf{s}\ +\
\frac{\mu_{0}{4\pi}
{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}
\left(\frac{\mathbf{K}_{M}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})}^{3
\right]
\right]
\ {d}^{3}{s}\ =0
(3-2-6)
が判る。従って、磁化に起因する磁場\mathbf{H}_{M}(\mathbf{r})は、
\operatorname{rot}[\mathbf{H}_{M}(\mathbf{r})]=0 (3-2-7)
を満たす。
式(3-2-7)と式(1-5)より、式(3-2-4)が示された。
透磁率なる概念を、新たに導入する。
即ち、3次正方行列に値を取る行列値関数{\mu}(\mathbf{r})(透磁率)を用いて、
\mathbf{B}_{\text{tot}(\mathbf{r})={\mu}(\mathbf{r})\mathbf{H}_{\text{tot}(\mathbf{r}) (3-3-1)
と書けるものとする。この透磁率は、磁化の概念の"すり替え"に過ぎない概念である。
尚、通常は、透磁率は、スカラー値関数と考えてよい場合が多いのだが、その場合は、
「対角成分が全部同じ値で、それ以外の成分が0の行列値関数と、スカラー値関数が同一視できる」ことを思い起こせばいい。
さらに、式(3-3-1) で見たような、透磁率(透磁率テンソル)を用いて、
\mathbf{B}_{\text{tot}(\mathbf{r})={\mu}(\mathbf{r})\mathbf{H}_{\text{tot}(\mathbf{r})   (3-3-2)
と書き表せ、かつ、μが全点で正則行列(逆行列を持つ)とする。(そう考えても、"あまり"一般性を失わない)逆に言えば、
\mathbf{H}_{\text{tot}(\mathbf{r})={\nu}(\mathbf{r})\mathbf{B}_{\text{tot}(\mathbf{r})   (3-3-3)
である。ここで、
ν:=μ-1  (3-3-4)
は、各点でμの逆行列を与えるような行列値関数である。即ち、
μ(s) ν(s)=μ(s) μ-1(s)=E3   (3-3-5)
を充たすような行列値関数である。(ここでE3は3次の単位行列)である。
これまでの議論では、電流素片や磁気双極子モーメントが作り出した磁束密度/磁場について論じてきたが、
式(3-1-2),式(3-2-4)より、このようにして作られた全系の磁場が、磁束保存の式と、アンペールの法則を
充たすことが判った。
ここからは、逆に、磁束保存の式(3-3-6)と、アンペールの法則(3-3-7)、即ち、
\operatorname{div}[\mathbf{B}_{fc}]=0   (3-3-6a)
\operatorname{div}[\mathbf{B}_{M}]=0   (3-3-6b)
\operatorname{div}[\mathbf{B}_{\text{tot}]=0   (3-3-6c)
\operatorname{rot}[\mathbf{H}_{\text{tot}]=\boldsymbol{i}_{fc}    (3-3-7)
を出発点とし、全系の磁気ベクトルポテンシャル\mathbf{A}_{\text{tot}が充たす微分方程式を導出する。
まず、磁束保存の式  (3-3-6c)は、強制電流に起因する成分 (3-3-6a)、磁化に起因する成分 (3-3-6b)
それぞれについて成り立つため、(ポアンカレの補助定理より)それぞれがベクトルポテンシャルを持ち、
\operatorname{rot}[\mathbf{A}_{fc}]=\mathbf{B}_{fc}   (3-3-8a)
\operatorname{rot}[\mathbf{A}_{M}]=\mathbf{B}_{M}   (3-3-8b)
をみたすようなベクトル場\mathbf{A}_{fc}と、\mathbf{A}_{M}が存在する。
このようなベクトル場\mathbf{A}_{fc}と、\mathbf{A}_{M}は、ゲージ不定性を除き一意に定まるが、
本記事では、強制電流に起因する成分\mathbf{A}_{fc}は、式(1-1)のものを採用し、
と、磁化に起因する成分\mathbf{A}_{M}式(2-1-5)を採用することにする。
全系のベクトルポテンシャルを、
\mathbf{A}_{\text{tot}:=\mathbf{A}_{M}+\mathbf{A}_{fc}   (3-3-9)
と定めると、
\operatorname{rot}[\mathbf{A}_{\text{tot}]=\mathbf{B}_{\text{tot}   (3-3-8c)
が成り立つ。これは、(3-3-6c)の、磁束保存の式をベクトルポテンシャルを用いて書いたものに他ならない。
さらに、式(3-3-8c)に、式 (3-3-2)と、アンペールの法則(3-3-7)を考え併せると、
\operatorname{rot}[{\nu}\operatorname{rot}[\mathbf{A}]
- \boldsymbol{i}_{fc}=0
(3-3-10)
が得られ、未知のベクトル場BやHが消え、未知のベクトル場はAのみとなる。これを
「ベクトルポテンシャルによる静磁場の方程式」(静磁場の支配方程式)という。
物質の境界において、式(3-3-6a)、式 (3-3-7)に、ガウスの発散定理や、ケルビンストークスの定理を適用すると、
磁場および磁束密度の境界条件が得られる。
前節の前提条件において、
全系の磁気ベクトルポテンシャル\mathbf{A}_{\text{tot}は、以下の汎関数Fの停留関数となることが判る。
\begin{align}
F[\mathbf{A}] &:= {\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}
\frac{1}{2}
<\ \mathbf{H}(\mathbf{s})
\ |\ \mathbf{B}(\mathbf{s})>
-
<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \mathbf{A}_{\text{tot}(\mathbf{s})>
\ d\mathbf{s} \\
&= {\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}\frac{1}{2}
<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])
\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])>
-
<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \mathbf{A}(\mathbf{s})>
\ d\mathbf{s}
\qquad \text{(3-5-1)}
\end{align}
次元解析をすると、式(3-5-1)は、エネルギーの次元を持つことが判るが、実際に、式(3-5-1)は、全系のエネルギーとなっている。
ここで、<\ |\ >は、内積を表す。νの定義は、式(3-3-4)に記載のとおりである。
式(3-5-1)が、本当に、「磁気ベクトルポテンシャルの停留汎関数」ことを検証しよう。
Aに対し、微小な摂動δA
を与えた際の第一変分δF、即ち、
δF=F[A+δA]-F[A]    (3-5-2)
を求める。