調和級数
数学における調和級数(ちょうわきゅうすう、harmonic series)とは発散無限級数
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots
のことをいう。名称の「調和」(harmonics) というのは音楽や和声学における倍音の概念に由来するもので、振動する弦の倍音の波長がその弦の基本波長の 1/2, 1/3, 1/4, ... となっていることによる。調和級数の各項は前後の項の調和平均になっており、また調和平均という用語もやはり音楽に由来するものである。
史実として、調和級数が発散することの最初の証明は14世紀のニコル・オレームによるものだが、これには誤りがあった。後に正しい証明がなされるのは17世紀、ピエトロ・メンゴリ、ヨハン・ベルヌーイ、ヤコブ・ベルヌーイらによってである。
歴史的には、調和数列は建築学の観点からの需要があった。特にバロック時代には、平面図や立面図での均衡をとるために、あるいは教会や宮殿の内装と外装の構造的詳細の調和関係を確立するために用いられた。
調和級数は、その項の極限が 0 になるにもかかわらず発散するという意味で、初学者にとっては直観的ではない級数である。つまり、0 に収束する数列の無限和が必ずしも有限値に収束するとは限らないことが示される。調和級数が発散することに起因するいくつかの逆理や直観に反する結果が知られている。
例えば、「ゴムひもの上の芋虫」(“worm on the rubber band") と呼ばれる逆理がある。内容は「1メートルの(無限に伸びることができる)ゴムひもがある。ひもの一端からもう一方の端に向かって芋虫が毎分1センチの速さでひもの上を這うものとする。ゴムひもは1分ごとに(正確には芋虫が1センチ這った直後に)一様に長さが1メートル引き伸ばされる。すなわち、1分後に芋虫は始点から1センチ這っただけだが、実際は(ゴムひもが引き伸ばされたため)始点から2センチの位置にいることになる。2分後にはそこからさらに1センチしか這っていないにもかかわらず、実際は始点から4.5センチの位置にいる。このようなプロセスを繰り返すとき、芋虫はひもの端まで到達できるだろうか」というものである。答えは、直観に反して「到達できる」である。出発点とT 分後に芋虫がいる位置との距離を LT センチメートルとすると、LT は
L_T = \frac{T+1}{T}\bigl( L_{T-1} + 1 \bigr),  (ただしL_0=0とする)
という漸化式で表される。これを解くと、
L_T = (T+1) \sum_{n=1}^T \frac{1}{n}
となる。一方、T 分後のゴムひもの長さは 100(T +1) センチメートルだから、芋虫が端点に到着できるのは、
(T+1) \sum_{n=1}^T \frac{1}{n} \geq  100(T+1)
となるとき、すなわち
\frac{1}{100}\sum_{n=1}^T \frac{1}{n} \geq  1
となるときである。この級数は T を大きくすればいくらでも大きくすることができるから、十分大きな T に対して上の式は成り立つ。すなわち芋虫は端まで到達できることになる。ただし、そのようなことになるためには n の値を極めて大きくする必要がある。具体的には、後述の積分判定法のところで見るように、左辺の Σ の和は ln (T +1) よりわずかに大きな値をとるので、およそ e100 ≒ 1043.429... 分でやっと端に到達できることになる。
別な例として「まったく同じドミノの集まりが与えられたとき、それをテーブルの縁に積み上げることができるのは明らかだが、それではテーブルのへりを(どの程度)張り出すように積めるか」というものが挙げられる。この直観的でない結果というのは、「ドミノが十分あれば、いくらでも好きなだけ張り出させることができる」である。
調和級数は正の無限大 +∞ に発散する。この事実を証明する方法はよく知られたものがいくつか存在する。
調和級数の発散性を示す方法の一つは別の発散級数と比較することである。調和級数の各項は、以下の第二の級数の対応する項よりも大きいかさもなくば一致するので、調和級数の和の値は第二の級数よりも大きい。
\begin{align}
& 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{9} +\right. \cdots \\[12pt]
> {}& 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{16} +\right. \cdots\\[12pt]
= {}& 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots = \infty.
\end{align}
しかし、第二の級数の値は無限大であるから比較判定法により、調和級数の和も同様に無限大となる。もっとはっきり述べれば、上記の証明において比較
\sum_{n=1}^{\,2^k\!}\frac{1}{n} > 1 + \frac{k}{2}
が任意の正の整数 k に対して成立する。この証明はニコル・オレームによるもので、中世の数学の極みである。現在では、この方法が教科書的な証明の標準的なものとして教えられている。コーシーの判定法はこの方法を一般化したものになっている。
調和級数の発散をある広義積分との比較によって示すこともできる。これには、調和級数の各項に対応する面積をもつ可算無限個の長方形の集まりを考える。n 番目の項に対応する長方形は、横幅 1、高さ 1/n を持つものとする。これらの長方形の面積の合計は調和級数
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots
の値に一致する。一方、曲線 y = 1/x を考え、x∈ [1, ∞) の部分の下にある面積は広義積分
\int_1^\infty\frac{dx}{x} = \infty
である。この面積は先ほどの長方形たちによって完全に覆われるから、長方形の面積の合計も同様に無限大となる。もっといえば、
\sum_{n=1}^k \frac{1}{n} > \int_1^{k+1} \frac{dx}{x} = \ln(k+1)
が示されたということになる。このような手法を一般に積分判定法という。
調和級数の発散は非常に遅く、たとえば最初の 1043 個の項の和は 100 よりも小さい。これは部分和が対数的増加であることによる。特に
\sum_{n=1}^k\frac{1}{n} = \ln k + \gamma + \varepsilon_k
が成り立つ。ここで γ はオイラー・マスケローニ定数で εk は k → ∞ の極限で 0 に近づく。この結果はレオンハルト・オイラーによる。
発散する調和級数の第 n 部分和
H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}
は第 n 調和数 と呼ばれる。これは以下の性質を持つ。
n 番目の調和数 Hn と ln n との差は、オイラー・マスケローニ定数 γ に収束する。
相異なる番号の調和数同士の差は決して整数にはならない。
n = 1 を除いてどの調和数も整数でない。
\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots
は交代調和級数 (alternating harmonic series) として知られる。この級数の収束性はライプニッツの収束判定法からわかる。とくにこの級数の和は 2 の自然対数に等しい。つまり
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots = \ln 2
が成り立つ。この式は自然対数関数のテイラー級数であるメルカトル級数の特別な場合である。
逆正接関数のテイラー級数から、関連する級数
\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}
が導かれる。これはライプニッツの π の公式として知られる。
一般調和級数 (general harmonic series) は a, b を実数とし、a ≠ 0 なるものとして
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{an+b}
という形に表される級数である。比較判定法により、任意の一般調和級数が発散することが示せる。
調和級数の一般化で p-級数 (p-series) と呼ばれるものは、正の実数 p を用いて
の形に表される。p = 1 のときの p-級数は通常の調和級数であり、発散する。積分判定法やコーシーの判定法を用いれば、p-級数は p > 1 のときに必ず収束することがわかる(このときの p-級数は、優調和級数 (over-harmonic series) とも呼ばれる)。逆に、p ≤ 1 のときは発散する。p > 1 のとき、p-級数の和の値はリーマンゼータ関数の p における値 ζ (p) に等しい。
実数値凸関数 φ で
\limsup_{u\to 0^{+}\frac{\varphi(\frac{u}{2})}{\varphi(u)}< \frac{1}{2}
を満たすものに対し、級数
は必ず収束する。
アルバータ大学のバイロン・シュムランド (Byron Schmuland) は確率調和級数 (random harmonic series)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}{n}
の性質について研究した。分子の sn は ±1 の値をそれぞれ 1/2 の等確率でとる独立同分布確率変数列である。この確率変数の和がほとんど確実に収束することは、コルモゴロフの三級数定理などを利用して示せる。
シュムランドは、その極限がいくつかの興味深い性質を持った確率変数となることを示した。特に、その確率変数の確率密度関数 ±2 における値は
0.124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 764…
で、これは 1/8(=0.125) よりも 10−42 ほど小さい。シュムランドの論文には、この確率が 1/8 に近いが一致するわけではないことの説明が示されている。この確率の厳密な値は
\frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \cos (2x) \prod_{n=1}^{\infty} \cos \Bigl(\frac{x}{n}\Bigr) dx
で与えられる。
劣化調和級数 (depleted harmonic series) は、調和級数の項のうち、分母の十進表示の各位の数のどこかに 9 が現れるものを全て排除することで得られる級数である。劣化調和級数は収束して、その値は 22.92067... となる。実は、十進表示列からどの特定の数字列を取り除いたとしても、そうして得られる級数は収束する。