静磁場
F[A+δA]は、以下の被積分関数を、全空間でsについて積分したものである。
\frac{1}{2}
<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{A}(\mathbf{s})+\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])
\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{A}(\mathbf{s})+\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])>
\ -
<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \mathbf{A}(\mathbf{s})+\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})>
(3-5-3)
一方、F[A]は、以下の被積分関数を、全空間でsについて積分したものである。
\frac{1}{2}
<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])
\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])>
\ -
<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \mathbf{A}(\mathbf{s})>
(3-5-4)
したがって、δFは、以下の(3-5-5)を、全空間でsについて積分したものである。
<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])
\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])>+
\frac{1}{2}<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])
\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])>
\ -
<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \delta\mathbf{A}(\mathbf{s})>
(3-5-5)
式(3-5-5)から、二次の微小項を無視すると、Fの第"一"変分
\delta F[A]={\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}
<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])
\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])>
\ -
<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \delta\mathbf{A}(\mathbf{s})>
\ {d}^{3}\mathbf{s}
(3-5-6)
を得る。
式(3-5-6) に、ベクトル解析の公式を適用する。
\operatorname{div}[\mathbf{X}\times\mathbf{Y}]
=<\ \mathbf{Y}\ |\ \operatorname{rot}[\mathbf{X}]\ >-
<\ \mathbf{X}\ |\ \operatorname{rot}[\mathbf{Y}]\ >
(3-5-7)
\begin{align}
\mathbf{X} &:= {\nu}(\mathbf{s})\operatorname{rot}[\mathbf{A}(\mathbf{s})] & \text{(3-5-8)} \\
\mathbf{Y} &:= \delta\mathbf{A} & \text{(3-5-9)}
\end{align}
を代入すると、
\begin{align}
\delta F[\mathbf{A}] &=
{\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}
-\operatorname{div}_{\mathbf{s}[({\nu}(\mathbf{s})
\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{A}]
)\times\delta\mathbf{A}]
\ {d}^{3}\mathbf{s} \\
&+
{\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}
<(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[({\nu}(\mathbf{s}))
\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{A}(\mathbf{s})]\ ]
- \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})
\
|\
\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})
>
\ {d}^{3}\mathbf{s}
\qquad \text{(3-5-10)}
\end{align}
式(3-5-10)の第一項については、式(3-4-6)と、「真空中ではdiv[H]=0であること」を考え併せると、
結局物質Ω内の効果しか寄与しないことが判る。さらにガウスの発散定理を考慮すると、式(3-5-10)の第一項は、
{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}
-\operatorname{div}_{\mathbf{s}[({\nu}(\mathbf{s})
\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{A}]
)\times\delta\mathbf{A}\ ]
\ {d}^{3}\mathbf{s}
=
-{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}
({\nu}(\mathbf{s})
\operatorname{rot}_{\mathbf{s}[\mathbf{A}]
)\times\delta\mathbf{A}
\ {d}^{2}(\partial\Omega)
(3-5-11)
となる。従って、式(3-5-10)の第一項が、任意の摂動δAに対して0になるためには、ノイマン条件即ち、
(\operatorname{rot}[\mathbf{A}])\times{n}_{\partial\Omega}\ =\ 0  (3-5-12)
が満たされればよい。さらに、式(3-5-10)の第二項が、任意の摂動δAに対して0になるためには、
\operatorname{rot}[{\nu}\operatorname{rot}[\mathbf{A}]
- \boldsymbol{i}_{fc}=0
(3-5-12)
であればよい。これは、「ベクトルポテンシャルによる静磁場の方程式」(静磁場の支配方程式)に(式(3-3-10))他ならない。以上から、ノイマン条件下での、静磁場の支配方程式の解は、汎関数Fの停留関数となること判る。
静磁場の解析には、静磁場の解析には、やや高度なベクトル解析の知識
(例えば 藤本参照)
が要求される。同じ式変形が何度も繰り返されるのを避ける目的から、
一般的な知識は既知とする立場から、本記事の内容理解に必要と思われる事柄に限り、簡単に説明する。
が要求される。同じ式変形が何度も繰り返されるのを避ける目的から、
一般的な知識は既知とする立場から、本記事の内容理解に必要と思われる事柄に限り、簡単に説明する。
ベクトル場に代数演算を施したものに、微分作用素を作用させた場合に成り立つ公式について、本記事で用い、かつ、あまり本に載っていないものについて、簡潔にまとめる。
F=(f1,f2,f3)をベクトル場とする。このとき、
\left\langle\ \mathbf{F}\ |\ \nabla \ \right\rangle :=
{f}_{1}{\partial \over \partial {x}_{1}  +  {f}_{2}{\partial \over \partial {x}_{2} + {f}_{3}{\partial \over \partial {x}_{3}
と定義する。ここで、∇は、
\nabla := \mathbf{\hat{x} {\partial \over \partial x}  + \mathbf{\hat{y} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z} {\partial \over \partial z}
を意味する。<F|∇>のことを、"F・∇"と書くこともある。
Gを、ベクトル場としたとき、<F|∇>をGに作用させると、
\left\langle\ \mathbf{F}\ |\ \nabla \ \right\rangle \mathbf{G}=
{f}_{1}{\partial{g}_{1} \over \partial {x}_{1}  +
{f}_{2}{\partial{g}_{2} \over \partial {x}_{2} +
{f}_{3}{\partial{g}_{3} \over \partial {x}_{3}
=(J[\mathbf{G}])\cdot\mathbf{F}
が成り立つ。ここで、J[\mathbf{G}]は、Gのヤコビ行列(ヤコビアンではない)を意味する。
F,Gを、ベクトル場、fを、スカラー値関数とする。このとき、以下が成り立つ。
\operatorname{rot}[f\mathbf{F}]=
\operatorname{grad}[f]\times\mathbf{F}+f\cdot \operatorname{rot}[\mathbf{F}]
\operatorname{rot}[\mathbf{F}\times\mathbf{G}]=
\left\langle\ \mathbf{G}\ |\ \nabla \ \right\rangle \mathbf{F}
-\left\langle\ \mathbf{F}\ |\ \nabla \ \right\rangle \mathbf{G}
+\mathbf{F}\operatorname{div}[\mathbf{G}]
-\mathbf{G}\operatorname{div}[\mathbf{F}]
F,Gを、ベクトル場、fを、スカラー値関数とする。このとき、
\operatorname{div}
\left[
f\mathbf{F}
\right]
=\left\langle
\mathbf{F}|\operatorname{grad}[f]
\right\rangle+
f\operatorname{div}[\mathbf{F}]
一般のn変数関数(関数はベクトル値関数であってよい)fの定義域をΩとしたとき、
f(\mathbf{r})={\int}_{\mathbf{s}\in \Omega} f(\mathbf{s}){\delta}^{n}(\mathbf{r}-\mathbf{s})\ {d}^{n}s\ =f*{\delta}^{n}
であることが知られている。ここで、上式の"*"は、合成積(乗算ではない)である。また、δnは、n変数のδ関数である。
原点(r=0)を除いて、
\operatorname{div}_{\mathbf{r}\left[\frac{\mathbf{r}\right]=\frac{3}^{5=0
であり、原点(r=0)を中心とする、球体BLに対し、ガウスの発散定理を用いると、
{\int}_{\mathbf{r}\in BL} \operatorname{div}_{\mathbf{r}\left[\frac{\mathbf{r}\right]\ d^{3}r =4\pi
となるので、結局、
\operatorname{div}_{\mathbf{r}\left[\frac{\mathbf{r}\right]=4\pi\delta(\mathbf{r})
であることが判る。(ここで、δは、3変数のδ関数である。
以上の議論を平行移動させると、
\operatorname{div}_{\mathbf{r}\left[\frac{\mathbf{r}-\mathbf{s}\right]=4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})
であることが判る。
\begin{align}
\frac{\partial }{\partial \mathbf{s}_{i}
\left[\frac{1}\right]
&=
\frac{\partial }{\partial {s}_{i}
\left[\frac{1}(({r}_{i}-{s}_{i})^{2}+\text{const.})}^{1/2\right] \\
&=
\frac{\partial }{\partial {s}_{i}
\left[{(({r}_{i}-{s}_{i})^{2}+\text{const.})}^{-(1/2)}\right]
\end{align}
ここでは、様々なベクトル場の面積分についてまとめる。
「絶対値による面積分」「外積面積分」という用語は一般的な用語ではないが、他に
適切な表現がないため、この場限りでそのような言い方をする。
本記事内での定義は、それぞれ以下の通り。
Iを\mathbb{R}^{2}の閉長方形、
\varphi:I\to \mathbb{R}^{3}は、
Iの近傍で、殆ど至る所区分的に滑らかかつ、非退化であり、かつ、Iの内部で単射なベクトル値関数、
S:=\varphi[I]を、\mathbb{R}^{3}内の曲面片とする。
また、Xを、Sの近傍で定義された、区分的に滑らかなベクトル場とする。このとき、
定義は、以下の通りである。
{\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \ {d}^{2}S
={\int}_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}
\langle \mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\ |
\ \left(
\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}
\times
\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}
\right)
\rangle
\ d{u}_{1}d{u}_{2}
上式の右辺は、({u}_{1},{u}_{2})についてのスカラー値関数
\langle \mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\ |
\ \left(
\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}
\times
\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}
\right)
\rangle
を、区間I上で重積分したものを意味する。今、Sの単位法線ベクトル{\mathbf{n}_{S}を、
{\mathbf{n}_{S}:=
\frac{1}{
\left|
\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}
\times
\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}
\right|
}
\left(
\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}
\times
\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}
\right)
と定めると、
{\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \ {d}^{2}S
={\int}_{({u}_{1},{u}_{2})\in I} \langle \mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ {\mathbf{n}_{S} \rangle
\left|
\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}
\times
\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}
\right|
\ d{u}_{1}d{u}_{2}
である。
定義は、以下の通りである。
{\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \ |{d}^{2}S|
={\int}_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}
\mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\
\left|\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1} \times \frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}\right|
\ d{u}_{1}d{u}_{2}
本記事では、絶対値による面積分の場合は、\ |{d}^{2}S|のように、面素に絶対値記号をつけることにする。
右辺は、({u}_{1},{u}_{2})についてのベクトル値関数
\mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\
\left|\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1} \times \frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}\right|
を、成分ごとに区間I上で重積分したものを意味する。即ち、絶対値による面積分は「関数の面積分を各成分ごとにやる」というのと同じ意味である。
定義は、以下の通りである。
{\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \times {d}^{2}S
={\int}_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}
\left(
\mathbf{X}(
\varphi(
{u}_{1},{u}_{2})
)\right)\times
\left(
\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1} \times \frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}
\right)\
d{u}_{1}d{u}_{2}
本記事では、外積面積分の場合は、\times\ {d}^{2}Sのように、面素にの前に、×をつけることにする。
右辺は、({u}_{1},{u}_{2})についてのベクトル値関数
\mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\times
\left(\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1} \times \frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}\right)
を、成分ごとに区間I上で重積分したものを意味する。即ち、(2)との関係でいえば、
{\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \times {d}^{2}S
={\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \times \mathbf{n}_{S}|{d}^{2}S|
となる。