積分法
特に、これらの定理は f が [a, b] 上で連続である限り成立する。不連続関数や多変数関数への一般化は必ずしも正しくないが、一定の条件下では様々存在し、例えばストークスの定理などはそのようなものとして理解することができる。
第一基本定理: f を閉区間 [a, b] 上で定義された実数値可積分関数、F を [a, b] 上の各点 x に対して
F(x) = \int_a^x f(t)\,dt
で定義される関数とすると、F は [a, b] 上連続である。さらに f が [a, b] 上の点 x で連続ならば F は x において可微分で、F′ = f(x) が成立する。
第二基本定理: f を閉区間 [a, b] 上で定義される実数値可積分関数で、F が [a, b] の各点 x で F′(x) = f(x) となる関数(つまり、f の原始関数)とすると、
\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)
が成立する。
無限区間における積分(無限積分)、無限大に発散する点を含む区間における積分(異常積分、improper integral)など。極限により定まる。
\begin{align}
\int_{a}^{\infty} f(x) dx & := \lim_{r \to \infty} \int_{a}^{r} f(x)dx,\\
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx & := \lim_{s \to -\infty\atop r \to \infty} \int_{s}^{r} f(x)dx,\\
\int_{0}^{1} {dx \over x^2} & :=
\lim_{\varepsilon \to +0} \int_{\varepsilon}^{1} {dx \over x^2}.
\end{align}
これらの極限値が有限値に定まるとき、広義リーマン積分可能であるという。一方、広義リーマン積分可能でなくとも極限のとりかたを限定するとき極限値が有限確定に存在することがある。たとえば
\int_{-1}^{1} {1 \over x} =
\lim_{\varepsilon_1 \to -0}  \int_{-1}^{\varepsilon_1} {dx \over x} +
\lim_{\varepsilon_2 \to +0} \int_{\varepsilon_2}^{1} {dx \over x}
はいわゆる −∞ + ∞ の形の不定形であり、ε1, ε2 の 0 への近づきかたにより値が異なるため、広義リーマン積分可能でない。しかしながら ε1 = −ε2 という特殊な場合には
\mbox{p.v.}\int_{-1}^{1} {1 \over x} =
\lim_{\varepsilon \to +0}
\left(
\int_{-1}^{-\varepsilon} {dx \over x} + \int_{\varepsilon}^{1} {dx \over x}
\right)
= 0
となる。このように上下から同等の速さで特異点に近づける極限で現れる値をコーシーの主値という。
区間以外の積分領域を考えることもできる。一般に写像 f の集合 E 上でとった積分を
\int_E f(x) \, dx
で表す。このとき、x として必ずしも実数でないほかの適当な量、例えば R3 のベクトルなどである場合を考えることができる。フビニの定理によれば、そのような積分が逐次積分(累次積分)として書けることが示される。すなわち、重積分は座標ごとに順番に積分して計算することができる。
一変数の正値関数の積分が関数のグラフと x-軸との間の領域の面積を表すのと同様に、二変数の正値関数 f(x, y) の二重積分は関数の定義する曲面 z = f(x, y) と関数の定義域を含む平面との間の領域の体積を表す(同じ体積はこの領域を表す三次元の定数関数 F(x, y, z = f(x, y)) = 1 の三重積分としても求められる)。同じことはさらに変数の数を増やしても成立し、積分は高次元の超体積を表すことになるが、三次元より高次元の場合は視覚化は困難である。
例えば、辺長が 4 × 6 × 5 の直方体の体積は以下の二通りの方法で求めることができる。
直方体の底面である xy-平面上の領域 D 上で定数関数 f(x, y) = 5 の二重積分
\iint_D 5\,dx\,dy
は所期の直方体の体積を与える。例えば、直方体の底面矩形が x, y の不等式 2 ≤ x ≤ 6, 3 ≤ y ≤ 9 で与えられているならば、上の二重積分は
\int\limits_3^9\!\!\int\limits_2^6 5\,dx\,dy
のことと読み替えることができる。このあと、積分を x と y のいづれから先に計算すべきなのかであるが、この例では内側の積分、つまり x に対応する区間で x に関する積分を先に行う。内側の積分を F(b) − F(a) を計算する方法などで求めた後は、得られた結果を残りの変数に関して再び積分すれば、底面と上面に挟まれた領域(つまり所期の直方体)の体積が求められる。
直方体自身の上で取った定数関数 1 の三重積分
\iiint\limits_\text{cuboid} 1 \, dx\, dy\, dz
としても所期の体積が計算できる。
積分の概念はもっと一般の積分領域にも拡張することができる。例えば曲線や曲面を積分領域とする積分は、それぞれ線積分や面積分と呼ばれる。これらはベクトル場を扱うような物理学に応用を持つ。
線積分は曲線に沿って評価された関数の積分である。線積分にも様々なものがあり、特に閉曲線に関する線積分を周回積分などとも呼ぶ。
積分の対象となる関数はスカラー場であるかもしれないし、ベクトル場であるかもしれない。線積分の値というのは、曲線上の各点における場の値に曲線上の適当なスカラー関数(普通は弧長、あるいはベクトル場に対しては曲線における接ベクトルとの内積)を重みとして掛けたものの和である。この重み付けこそが、線積分と通常の区間上で定義される積分とを区別するものである。物理学における簡単な公式の多くは、線積分を用いることで自然に連続的な類似対応物に書き換えることができる。例えば、力学における仕事が力 F と移動距離 s との積(ベクトル量としての点乗積)
W=\mathbf{F\cdot s}
に等しいという事実から、電場や重力場のようなベクトル場 F 内の曲線に沿って動く物体に対して、その物体が場によって及ぼされる仕事の総計が、s から s + ds まで移動する間に受ける仕事を足し合わせると考えることにより、線積分
W=\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}
で求められる。
面積分は空間内の曲面の上で定義される定積分で、線積分の二次元的な類似物である。積分される関数はやはりスカラー場かもしれないしベクトル場かもしれない。面積分の値というのは、曲面上の各点における場の値の総和であり、曲面を面素に分割することによって得られるリーマン和の極限として構成される。
面積分の応用例としては、曲面 S 上のベクトル場 v(つまり、S の各点 x に対して v(x) がベクトル)が与えられているとき、S を通過する流体で x における流体の速度が v(x) で与えられる状況を考えればよい。流束は単位時間当たりに S を通過する流体の量として定義される。流束を求めるためには、各点で v と単位法ベクトルとの点乗積をとる必要があり、その結果得られたスカラー場を曲面上で積分した
\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf {S}
が流束の値を与える(S は S の適当な向きの単位法ベクトル場)。この例における流体の流束は、水や空気の流束あるいは電束や磁束といった物理的なものを想定することができる。このように面積分は物理学、特に電磁気学の古典論に応用を持つ。
微分形式は多変数解析や微分幾何学およびテンソル論などの分野で用いられる数学的概念である。現代的な意味での微分形式は、その全体が外微分と楔積に関して(エリ・カルタンの導入した意味での)外積代数を成すものとして理解される。
Rn の開集合 Ω 上で定義される 0-形式(0-次微分形式)とは単に(ここでは)Ω 上の滑らかな関数 f のことである。Rn の m-次元の部分空間 S 上での f の積分を
\int_S f\,dx^1 \cdots dx^m
のように書く(上付きの数字は単に添字であって、冪指数の意味ではない)。微分形式の文脈では、dx1 から dxn までを、リーマン和のように積分についている符牒ではなく、それ自体を形式的な対象として扱う。すなわち、これらはそれぞれ余ベクトル(1-形式、双対ベクトル)として捉えられ、「密度」を測るものと考えることができる(したがって一般の意味で積分することができる)。dx1, …,dxn は基本 1-形式と呼ばれる。
微分形式に対する楔積 "∧" は双線型な「乗法」で、基本 1-形式に対する交代性
dx^a \wedge dx^a = 0
を満足するものである。線型性と結合性を用いれば、この交代性から dxb ∧ dxa = −dxa ∧ dxb が出ることに注意せよ。これはまた、楔積を取った結果が向きを持つことを保証するものでもある。
二つの基本 1-形式の楔積として得られる微分形式を基本 2-形式と呼び、同様に dxa ∧ dxb ∧ dxc なる形で書ける微分形式を基本 3-形式と定める。以下同様に基本形式を定めるが、一般に k-形式(k-次微分形式)とは基本 k-形式に滑らかな関数 f による重み付けを行った重み付き和をいう。すなわち、k-形式の全体は、基本 k-形式を基底ベクトルとするベクトル空間を成し、その係数体として 0-形式の全体がとれる。k-形式同士の楔積は、基本 k-形式の楔積を線型に拡張したものとして自然に定義できる。Rn 上で、互いに線型独立な余ベクトルは高々 n-個しか取れないから、従って k > n のとき k-形式は常に 0 に等しいことが交代性から従う。
微分形式の演算には、楔積に加えて、外微分作用素 d もある。これは k-形式を (k+1)-形式へ写す作用素で、Rn 上の k-形式 ω = f dxα への d の作用は、
d\omega = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx^i \wedge dx^{\alpha}
で与えられる(α は k-次の多重指数)。一般の k-形式へはこれを線型に拡張する。
これをもう少し一般にしたやり方で、自然に座標を用いない多様体上の積分ができるようになり、また微分積分学の基本定理の自然な一般化として(広義の)ストークスの定理と呼ばれる定理が得られる。ストークスの定理は、一般の k-形式 ω に対して
\int_{\Omega} d\omega = \int_{\partial\Omega} \omega
が成り立つことを主張するものである。ただし ∂Ω は ω の積分領域 Ω の境界である。ω が 0-形式で Ω が実数直線内の閉区間である場合が微分積分学の基本定理にあたる。また、ω が 1-形式で Ω が平面上の二次元の領域であるときがグリーンの定理であり、同様に 2-形式あるいは 3-形式とホッジ双対を考えて(狭義の)ストークスの定理あるいは発散定理を得ることができる。このように微分形式は、積分を統一的に扱ための強力な方法を与えるものであることが分かる。
しばしば積分の離散版として総和(和分)を捉える事が行われる。たとえば無限個の数の相加平均を積分として「解釈」して定式化することができるし、ルベーグ積分の文脈では数え上げ測度に関する積分として実際に総和が現れる。