三十九角形
三十九角形(さんじゅうきゅうかくけい、さんじゅうきゅうかっけい、triacontaenneagon)は、多角形の一つで、39本の辺と39個の頂点を持つ図形である。内角の和は6660°、対角線の本数は702本である。
正三十九角形においては、中心角と外角は9.23…°で、内角は170.769…°となる。一辺の長さが a の正三十九角形の面積 S は
S = \frac{39}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{39} \simeq 120.77542 a^2
\cos (2\pi/39)を平方根と立方根で表すと
\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{39} =&\cos\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{8\pi}{13} \right) \\
=& \cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{8\pi}{13}+\sin\frac{2\pi}{3}\sin\frac{8\pi}{13} \\
=& -\frac{1}{2}\cos\frac{8\pi}{13}+\frac{\sqrt3}{2}\sin\frac{8\pi}{13} \\
=& -\frac{1}{2}\cos\frac{8\pi}{13}+\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{\frac{1+\cos\frac{16\pi}{13}{2} \\
=& -\frac{1}{24} \cdot \left( 12\cos\frac{8\pi}{13} \right) + \frac{\sqrt3}{24}\sqrt{72+72\cos\frac{10\pi}{13}\\
=& -\frac{1}{24} \left( \sqrt{13}-1+\omega\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}+12i\sqrt{39}+\omega^2\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}-12i\sqrt{39} \right) \\
& + \frac{\sqrt3}{24}\sqrt{72+6 \cdot (12\cos\frac{10\pi}{13})} \\
=& -\frac{1}{24} \left( \sqrt{13}-1+\omega\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}+12i\sqrt{39}+\omega^2\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}-12i\sqrt{39} \right) \\
& + \frac{\sqrt3}{24}\sqrt{72+6 \left( -\sqrt{13}-1+\omega^2\sqrt[3]{104+20\sqrt{13}+12i\sqrt{39}+\omega\sqrt[3]{104+20\sqrt{13}-12i\sqrt{39} \right)}
\end{align}
\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{39} =&\cos\frac{2\pi}{3 \cdot 13} \\
=& \frac {1}{2} \cdot \left( \sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{13}+i\cdot\sin\frac{2\pi}{13} + \sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{13}-i\cdot\sin\frac{2\pi}{13} \right)\\
=& \frac {1}{2} \cdot \sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{13}+i\cdot\sin\frac{2\pi}{13} + \frac {1}{2} \cdot \sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{13}-i\cdot\sin\frac{2\pi}{13} \\
=& \frac {1}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{12}(\sqrt{13}-1+\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}-12i\sqrt{39}+\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}+12i\sqrt{39})+i\cdot\sin\frac{2\pi}{13} \\
&+ \frac {1}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{12}(\sqrt{13}-1+\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}-12i\sqrt{39}+\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}+12i\sqrt{39})-i\cdot\sin\frac{2\pi}{13}
\end{align}
\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{39}+2\cos\frac{32\pi}{39}+2\cos\frac{34\pi}{39}=\frac14 \left( 1-\sqrt{13}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right) = x_1 \\
2\cos\frac{4\pi}{39}+2\cos\frac{14\pi}{39}+2\cos\frac{10\pi}{39}=\frac14 \left( 1+\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)} \right) = x_2 \\
2\cos\frac{8\pi}{39}+2\cos\frac{28\pi}{39}+2\cos\frac{20\pi}{39}=\frac14 \left( 1-\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right) = x_3 \\
2\cos\frac{16\pi}{39}+2\cos\frac{22\pi}{39}+2\cos\frac{38\pi}{39}=\frac14 \left( 1+\sqrt{13}-\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)} \right) = x_4 \\
\end{align}
さらに、以下のような関係式が得られる。
\begin{align}
\left( 2\cos\frac{2\pi}{39} + \omega \cdot 2\cos\frac{32\pi}{39} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{34\pi}{39} \right)^3=& 3x_1+2\cos\frac{2\pi}{13}+2\cos\frac{8\pi}{13}+2\cos\frac{6\pi}{13}+6(x_2+2)+ 3\omega \left( 2x_1+x_3+2\cos\frac{4\pi}{13}+2\cos\frac{10\pi}{13}+2\cos\frac{12\pi}{13} \right)+3\omega^2 \left( 2x_1+x_4+2\cos\frac{4\pi}{13}+2\cos\frac{10\pi}{13}+2\cos\frac{12\pi}{13} \right) \\
=& 3x_1+\frac{-1+\sqrt{13}{2}+6(x_2+2)+ 3\omega \left( 2x_1+x_3+\frac{-1-\sqrt{13}{2} \right)+3\omega^2 \left( 2x_1+x_4+\frac{-1-\sqrt{13}{2} \right) \\
=& \tfrac{104+34\sqrt{13}+3\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+3\sqrt{3}\left( -2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8} \\
\left( 2\cos\frac{2\pi}{39} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{32\pi}{39} + \omega \cdot 2\cos\frac{34\pi}{39} \right)^3=& 3x_1+2\cos\frac{2\pi}{13}+2\cos\frac{8\pi}{13}+2\cos\frac{6\pi}{13}+6(x_2+2)+ 3\omega^2 \left( 2x_1+x_3+2\cos\frac{4\pi}{13}+2\cos\frac{10\pi}{13}+2\cos\frac{12\pi}{13} \right)+3\omega \left( 2x_1+x_4+2\cos\frac{4\pi}{13}+2\cos\frac{10\pi}{13}+2\cos\frac{12\pi}{13} \right) \\
=& 3x_1+\frac{-1+\sqrt{13}{2}+6(x_2+2)+ 3\omega^2 \left( 2x_1+x_3+\frac{-1-\sqrt{13}{2} \right)+3\omega \left( 2x_1+x_4+\frac{-1-\sqrt{13}{2} \right) \\
=& \tfrac{104+34\sqrt{13}+3\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-3\sqrt{3}\left( -2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8} \\
\end{align}
\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{39} + \omega \cdot 2\cos\frac{32\pi}{39} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{34\pi}{39}=&\sqrt[3]{\tfrac{104+34\sqrt{13}+3\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+3\sqrt{3}\left( -2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8} \\
2\cos\frac{2\pi}{39} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{32\pi}{39} + \omega \cdot 2\cos\frac{34\pi}{39}=&\sqrt[3]{\tfrac{104+34\sqrt{13}+3\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-3\sqrt{3}\left( -2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8} \\
\end{align}
\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{39}=& \frac16 \left(\tfrac{1-\sqrt{13}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}{4}+\sqrt[3]{\tfrac{104+34\sqrt{13}+3\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+3\sqrt{3}\left( -2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8}+\sqrt[3]{\tfrac{104+34\sqrt{13}+3\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-3\sqrt{3}\left( -2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8} \right) \\
\end{align}
正三十九角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正三十九角形は折紙により作図可能である。