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可換体
抽象代数学において可換体(かかんたい、corps commutatif)あるいは単に体(たい、field)とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、p 進数体、などがある。
任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。(ガロワ理論を含む)体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いた角の三等分問題や円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル・ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。
代数的構造として、すべての体は環であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は(ゼロ除算を除いて)除算ができるが、環は乗法逆元がなくてもよいということである。例えば、整数の全体は環をなすが、2x = 1 は整数において解を持たない。また、体における乗法演算は可換でなければならない。可換性を仮定しない除法の可能な環は可除環、斜体、あるいは体と呼ばれる。
環として、体は整域の特別なタイプとして分類でき、以下のようなクラスの包含の鎖がある。
体をアルファベットで表すときは、K (続いて L, M 等)を用いる慣例がある。これは体がドイツ語で "Körper" だからである。英語の "field" の頭文字をとって F が用いられることもある。F の次の文字 G は群と紛らわしいから、前の文字 E も用いられる。
体とは、以下の条件を満たす加法と乗法と呼ばれる 2 つの二項演算によって定まる代数的構造のことである。以下、台集合 K に加法 "+" と乗法 "×" が定められているとし、乗法の結果(積) a × b は ab と略記する。
K は加法に関してアーベル群である:
a, b, c を K の任意の元とするとき、結合法則 a + (b + c) = (a + b) + c が成り立つ。
a + 0K = 0K + a = a が K の元 a の取り方に依らずに満たされる零元と呼ばれる特別な元 0K が存在する。
a が K の元ならばそれに対して a + (−a) = (−a) + a = 0K を満たす、マイナス元と呼ばれる元 −a が常に存在する。
交換法則が成り立つ。つまり K のどんな元 a, b についても、 a + b = b + a となる。
K は乗法に関してモノイドであって、0 以外の元が可換群をなす:
a, b, c を K の任意の元とするとき、結合法則 a(bc) = (ab)c が成り立つ。
a1K = 1Ka = a が K の零元 0K でない元 a の取り方に依らずに満たされる単位元と呼ばれる特別な元 1K が存在する。
a が零元 0K でない K の元ならばそれに対して aa−1 = a−1a = 1K を満たす、逆元と呼ばれる元 a−1 が常に存在する。
交換法則が成り立つ。つまり K の任意の非零元 a, b に対し ab = ba が成り立つ。
乗法は加法に対して分配的である: a, b, c を K の任意の元とするとき、a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc が成り立つ。
また、この条件を満たす代数的構造を備えた代数系 (K, +, 0K, ×, 1K) あるいは省略して単に集合 K は「体を成す」という。零元のみからなる集合 {0} は 1 = 0 と見れば上記の条件を満たし、自明な体と呼ばれるが往々理論的な障害となるため通常は除外して考える。つまり、体の定義に通常は
1 ≠ 0, すなわち乗法は零元でない単位元を持つ。
なる条件を加える。
有理数の全体 Q は体である。
実数の全体 R や複素数の全体 C も体である。
{0, 1} に対し表のように演算を定義すると、これは二元体と呼ばれる体になり、F2 などと表す。一見つまらない例であるようだが、この体は符号理論などに応用を持っている。
より一般に、p を素数とするとき、集合 {0, 1, ..., p − 1} に演算を定義して体にすることができる。この体を有限体と呼び、Fp , Z/pZ または GF(p) などと書く。
体 k 上の有理関数の全体 k(x1, ..., xn) も体である。
体 k 上の形式的ローラン級数の全体 k((x1, ..., xn)) も体である。
代数的数の全体 Q や代数的な実数の全体 Q ∩ R も体である。
素数 p に対して p 進数の全体 Qp も体である。
定規とコンパスによって作図可能な複素数(作図可能数)の全体や実数(作図可能実数)の全体も体である。
体 K が与えられたとき、その乗法構造を忘れて加法に関するアーベル群とみたときの代数系 (K, +) を体 K の加法群と呼ぶ。加法群を K+ や Ga(K) と記す場合もある。また乗法構造のみに注目して、0 を除く K の元の全体 K* に乗法を与えて得られる代数系 (K*, ×) は群であり、乗法群と呼ばれる。K の乗法群をしばしば K× とも記し、Gm(K) と記されることもある。体 K の乗法群の任意の有限部分群は巡回群である。
体の元の濃度を位数といい、有限な位数を持つ体を有限体と呼び、そうでない体を無限体と呼ぶ。有限斜体は常に可換体である(ウェダバーンの小定理)。
n1 で単位元 1 を n 回足したものを表すとき、n1 = 0 となるような正の整数 n のうち最も小さなものをその体の標数という。ただし、そのような n が存在しないとき標数は 0 であると決める。体の標数は 0 または素数である。
体は 0 以外の元が全て可逆となる単位的環である。したがって、そのイデアルや部分環の概念を考えることができるが、体は自明でないイデアルを持たない(これを体は単純環であるという)。体の単位的環としての部分環がふたたび体をなすとき、部分体という。
体 K, L とその間の写像 f: K → L が与えられたとき、f が体の準同型であるとは、単位的環としての準同型であることをいう。つまり、体準同型 f は K の任意の元 a, b および、K, L それぞれの単位元 1K, 1L に対して
f(a + b) = f(a) + f(b)
f(ab) = f(a)f(b)
f(1_K) = 1_L
を全て満たす。また、その像 Im(f) = {f(x) | x ∈ K} は L の部分体となり、核 Ker(f) = {x ∈ K | f(x) = 0L} は K のイデアルとなるが、体が単純環であることと単位元が零元にうつることはないことから、体の準同型は必ず単射になる。したがって、体の準同型 f: K → L の像 Im(f) は K に体として同型である。これを中への同型とよび、さらに f が全射であるとき上への同型であるという。
算術
算術 (さんじゅつ、arithmetic) は、数の概念や数の演算を扱い、その性質や計算規則、あるいは計算法などの論理的手続きを明らかにしようとする学問分野である。
「算術」という日本語としては、文明開化前後の「数学」(mathematics) いわゆる西洋数学の本格的な輸入以前は、今日において和算と呼ばれているような、当時の「日本の数学」全般を指していた。なおこの意味では、英語 arithmetic とは必ずしも対応しない場合もある。
また、算術および "Arithmetic" の語は、数論を指し示す場合もある。
加法 (addition)、減法 (subtraction)、乗法 (multiplication)、除法 (division) の4つの演算を、四則(しそく)あるいは四則演算(Four arithmetic operations)と称する。
歴史的には四則演算を表す記号として、様々な記号が用いられたが、現在標準的に用いられる記号は以下である:
加法:+
減法:−
乗法:×
除法:÷
ただし、コンピュータにおけるプログラミング言語では専ら
減法にはマイナス記号 −(U+2212)ではなくハイフンマイナス -(U+002D)
乗法には*
除法には/
が用いられる。
このうち、加法と乗法は 0 を含む非負の整数の範囲で自由に行うことができるが、減法と除法には制約がある。非負整数の間の減法は、引く数が引かれる数より大きい場合を扱うことができない。また非負整数の除法は、適切な剰余を定義しない限り、割る数が割られる数の約数でない場合を扱うことができない。減法の場合は扱う数を負の数を含んだ整数全体に捉え直すことで制限を解消することができる。たとえば 1 − 2 は非負整数を与えないが、整数全体で演算を扱うなら、
と負の数を与えることができる。
除法については扱う数を有理数の範囲にすることで互いに素な整数の間でも演算を定義できる。たとえば −4 ÷ 3 は整数を与えないが、
のように有理数を与える(−4 のように表記された数を分数と呼ぶ)。従って、正負の有理数と 0 の数を扱うことで、自由な四則演算が可能になる。ただし、通常は除数を 0 とする除法は定義されない(ゼロ除算を参照)。
四則演算を特徴付ける性質には、交換法則・結合法則・分配法則などがあり、抽象代数学では四則演算が自由にできる集合のことを体という。有理数の全体、実数の全体、複素数の全体などは全て体である。
除法は乗法の逆の演算になっている; a × b  c かつ a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 ならば、a  c  c ÷ b, b  c  c ÷ a が成り立つ。a × b  1 となるような乗法の逆元 b を a の逆数といい、1 と表す。つまり、以下のように表せる。
従って除法は除数の逆数に関する乗法に置き換えられる。
減法は加法の逆の演算になっている; a + b  c ならば a  c − b, b  c − a であるから、乗法 × が加法 + に、除法 ÷ が減法 − に置き代わっただけで、乗法と除法の場合と全く同じことが起こっている。つまり、減法は加法の逆の演算である。ここから自然に、a + b  0 となるような加法の逆元 b を考えることに導かれる。a の逆元 b は −a と表される(これは a の反数と呼ばれる)。つまり次のような関係が常に成り立つ。
数 a が正ならば −a は負の数であり、a が負ならば −a は正の数となる。また、a が 0 なら −a もまた 0 となる。
従って正の数の減法は負の数の加法に、負の数の減法は正の数の加法に置き換えられる。
加法の逆元を与える演算子としての − と、2 数の間の減法を行う演算子としての − とでは、記号は同じだが行う操作と作用する項に違いがあるため、区別を要する場合には前者を単項のマイナス (unary minus operator)、後者を2項のマイナス (binary minus operator) と呼ぶ。
コンピュータの用語として、論理和や論理積など、ブール値やビットを扱う「論理演算」に対して、整数の加減乗除を扱う演算を「算術演算」と呼ぶ。
また、右シフト操作において、その操作で空くビットに、最上位ビットを複製して埋めるシフトを算術シフト、0 で埋めるシフトを論理シフトと言う。これは歴史的にそのように呼ばれているが、符号付き (signed) のシフトと、符号無し (unsigned) のシフト、と呼ぶのが理にかなっている(符号付数値表現#2の補数)。
代数的構造
数学において代数的構造(だいすうてきこうぞう、algebraic structure)とは、集合に定まっている算法(演算ともいう)や作用によって決まる構造のことである。代数的構造の概念は、数学全体を少数の概念のみを用いて見通しよく記述するためにブルバキによって導入された。
また、代数的構造を持つ集合は代数系(だいすうけい、algebraic system)であるといわれる。すなわち、代数系というのは、集合 A とそこでの算法(演算の規則)の族 R の組 (A, R) のことを指す。逆に、具体的なさまざまな代数系から、それらが共通してもつ原理的な性質を抽出して抽象化・公理化したものが、代数的構造と呼ばれるのである。
なお、分野(あるいは人)によっては代数系そのもの、あるいは代数系のもつ算法族のことを代数的構造とよぶこともあるようである。 後者は、代数系の代数構造とも呼ばれる。
現代では、代数学とは代数系を研究する学問のことであると捉えられている。
マグマ: 一つの二項演算の定義された集合。
擬群 (quasi-group): a × x = c であるような x が一意に決まるマグマ
Loop: 単位元 e を持つ擬群。したがって、任意の元が逆元を持つマグマとも言える。
半群: 結合法則を満たすマグマ
モノイド: 単位元を持つ半群
群: 任意の元が逆元を持つモノイド、もしくは結合法則を満たすLoop
アーベル群: 可換な群
環: 加法に関してアーベル群であり、乗法に関して半群(またはモノイド)であり、分配法則を満たす。
体: 0 でない元が乗法に関して群(またはアーベル群)をなす環
環上の加群: 環の作用するアーベル群
ベクトル空間: 体上の加群
算法や二項演算の項に記す通り、加群やベクトル空間などにいて環や体が与える外部的な作用も適当な方法で内部的な 1 項算法(単項算法)と捉えなおすことができるので、加群やベクトル空間やほかにも同様に作用域を持つ構造である多元環などが、群や環と同様のもの(多くの演算によって決まる構造)として統一的に論ずることもできる。
代数(多元環): 乗法の定義された加群やベクトル空間
結合代数: 乗法が結合法則を満たす代数
可換代数: 乗法が可換な結合代数
束: 二つの演算が定義されている集合で、演算が冪等で可換で結合的で簡約律(吸収律)を満たすもの。これは順序的構造から定義することもできる。
一般的な代数的構造は普遍代数という数学の分野で研究される。代数的構造はまた、ほかの構造に加えて定義されることもある。位相構造をもつ位相群、位相線型空間、リー群はそのような例である。
どの構造も、それぞれに固有の準同型(構造を保つ写像)の概念を持っている。このことを使って、それぞれの構造を満たすもの全体の圏を考えることができる。
代数系 (A, R) と (B, S) とは、それぞれの代数構造(算法族) R と S とが項数を込めて等しいか同一視できるとき、同類であるという(項数については算法の項参照)。
例えば群は、積だけを算法とする代数系とみなせば半群と同類であるが、各元にその逆元を対応させる写像も群の(単項の)算法に含めて考えると、半群とは同類ではない。
そして群をそのように半群と同類でない代数系として定義する方が、代数系の論としては正当で、理論上も便利なことがある(群論参照)。
また、環を加法と乗法を算法とする代数系とみなし、束を結びと交わりを算法とする代数系とみなせば、加法 x + y と結び x ∨ y 、乗法 x × y と交わり x ∧ y とを同一視することによって、この両者は同類の代数系となる。
しかし、環における加法・乗法と束における結び・交わりとは、異なる法則に従う。
例えば、環での加法・乗法は分配律 x × (y + z) = (x × y) + (x × z) に従うが、束での結び・交わりは必ずしも分配律 x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) には従わない。
また、束での交わり・結びは冪等律 x ∧ x = x, x ∨ x = x に従うが、環での加法・乗法は冪等律 x × x = x, x + x = x に必ずしも従わない。
そこで、同類の代数系をさらに「それらの算法がどういう法則に従うか」によって分類して種に分けて、それぞれの種に属す代数系をまとめて抽象化して論ずるのが普通である。
歴史的には、半群・群・環・多元環・体・束などはそうやって出来た抽象概念である。
代数系についての基本概念には以下の2つがある。
代数系の部分代数系(部分系): もとの代数系の部分集合で、もとの構造の制限を構造として伴うもの。
同種の代数系の間の準同型写像(準写): 定義域上の演算の後に写像した値と、写像した後に値域上の演算を行って得た値が一致する写像。
代数学の一分科である線型代数学に例をとれば、線型空間が研究対象とする代数系に当たり、線型部分空間が部分系に当たり、線型写像が代数系間の準写に当たる。
代数系についての副次的概念には、生成系・直積(直和)・商・拡大・普遍性・表現などがある。
実数すべてから成る集合とそこでの四則(加減乗除の算法、すなわち足し算・引き算・掛け算・割り算)との組は、典型的な代数系である。
この例では、足し算・引き算・掛け算は任意の二つの数の組について実行可能であるが、割り算は、0での割り算ができないという意味で局所的(あるいは非全域的)である。
代数系の算法には一般には、こういうような局所的(あるいは非全域的)算法も含まれる。
たとえば行列の足し算・掛け算も、あらゆるサイズの行列から成る集合での算法とみなせば、局所的である。
こういう局所的算法を含む代数系の理論は複雑であるので、数学の分野では避けられる傾向がある。たとえば行列の足し算・掛け算も、数学者の間でさえ、上記のような意味での局所的算法と捉えて説明されることは稀である。また、上記の実数と四則とから成る代数系は体の典型であるが、体の概念も環の概念も、局所的算法である除法を用いないで説明するのが通例である。
一方で、数理論理学では、研究対象として形式言語を代数系の一種と捉えるが、形式言語における算法は局所的のものが一般的である。たとえば、述語論理学における形式言語である述語言語(論理式と項とから成る)では、論理記号 ∧, ∨, ￢, ⇒, ∀x, ∃x は論理式に対してのみ実行可能な局所算法を表し、関数記号や述語記号は、項のみに対して実行可能な局所算法を表すと解される。
また、推論規則も局所的算法と解される。たとえば三段論法は、二つの論理式 A と A ⇒ B とから第三の論理式 B を導き出す推論規則であるが、これは、第二の論理式が A ⇒ B という特別な形のときだけ実行可能な局所算法と解される。
数学的構造
数学における構造(こうぞう、mathematical structure)とは、ブルバキによって全数学を統一的に少数の概念によって記述するために導入された概念である。集合に、あるいは圏の対象に構造を決めることで、その構造に対する準同型が構造を保つ写像として定義される。数学の扱う対象は、基本的には全て構造として表すことができる。
数学史において、現代的および革新的な新しい概念であるはずのものが、しかしその痕跡と言えるものが遡って古代においてすでに認められるというようなことはよくあることである。そのような事例として、17世紀にライプニッツとニュートンによって考え出された微分法および積分法は、素朴で未発達な形ではエウドクソスやアルキメデスが既に用いていた。このことは数学的構造の概念の発明にしてもそうであり、利用は最初の明示的な定式化に先行するのである。従って、数学史において構造の概念について定義して言及した最初のものを特定するのは容易であるが、そのような説明なしに用いた最初を特定するのは困難である。
合同算術において構造の概念はガウス Disquisitiones Arithmeticae (1801) の手法に実際に現れる。ガウスはユークリッド除法の剰余について、構造的な観点から研究を行った。これは群論の起源のひとつでもある。
ガロワ理論において、ガロワの対称性を用いた手法、ジョルダンの群論、クロネッカーの体論などの手法は本質的に構造的である。
線型代数学において構造の概念は二段階に現れる。ユークリッド幾何学における公理的手法は最終的に厳密な形で確立された(ヒルベルトの公理参照)。その後、ベクトル空間の定式化にはグラスマンやペアノが取り組み、最終的にバナッハとブルバキによって形となった。
多様体の構造の概念はベルンハルト・リーマンの手法において現れた。
集合論的な定義: 構造種 (species of structure) とは、以下の四つからなる:
主基集合 (principal base set) または台集合 (underlying set)
(何の構造も持たない) 単なる「はだか」の集合。複数あってもよいが基本的には一つ。
副基集合 (auxiliary base set)
(それ自身がすでに構造を持った) 補助的な集合。複数あってもよいし、無くてもよい。
代表的特性記述 (predicate)
「主基集合と副基集合から、直積とべき集合をとることを繰り返して得られる集合(階梯と呼ばれる)にある集合(構造と呼ばれる)が含まれる」ということを表す論理式。複数あってもよい。
構造が満たす論理式。ただし移行可能であるという条件が付く。この条件は、準同型などを定義する際に必要になる。
与えれられた基底(主および副基のすべて)から作られる、ある階梯の中の一つの集合 M を考えるとき、M の元に関する具体的な性質によって M の部分集合が定まるが、いくつか定められた性質に対するそのような部分集合たちの交わりを T とする。このとき、一つの元 τ ∈ T は与えられた基底集合に種 T の構造を定めるといい、τ ∈ T からの帰結として得られる任意の定理は種 T の構造の理論に属するという。
例えば、順序構造の主基集合とは、その元の対の間に順序関係の定義される(あるいはしようとする)集合をいう。位相構造ならば、位相を入れようとするあるいは入った集合である。ベクトル空間の主基集合はベクトルからなる集合であり、副基集合はある定まった体である。複素多様体は、多様体の点集合を主基集合とし、複素数体を副基集合に持つ。
同一の種 T に属する二つの構造 τ, υ ∈ T に対し、一方の構造 υ が T に公理を追加して与えられる部分集合 U に属するならば、U の構造 υ は T の構造 τ より豊か (richer) であるという(「強い」ともいう)。
例えば、全順序集合の構造は半順序集合の構造より豊かである。
同一の階梯の二つの部分集合をとり、そのそれぞれに属する種 T, T' が具体的に述べられた公理によって定義され、かつそれらの間の全単射 T ↔ T が具体的に表されているものとする。このとき、対応する構造 (T ∋) τ ↔ τ (∈ T) は、与えられた基底の上に同一の構造を定めるものと見なされ、種 T, T' のそれぞれを定義する公理系は互いに同等であるという。
例えば、位相構造が多くの同等な公理系により与えられ得ることを想起せよ。
一つの集合の上の或る構造を定義する公理系が,それが任意の集合に対して述べられるにもかかわらず,それらの公理を満足する二つの構造で,それぞれ二つの相異なる集合 E と F の上に定義されたものを考えると,その構造が(もし存在すれば)必ず同型になるということが公理から結論される(このことから,特に,E と F が対等であることが導かれる),ということもあり得る.このような場合,これらの公理を満足する構造の理論は一意的であるという;そうでない場合は,多意的である,といわれる.
例えば、実数は上の三つの構造"強さ"をすべて持っている。すなわち、実数は全順序集合であり、体であり、また距離空間である。
自然数の理論,実数の理論,古典的ユークリッド幾何学などは一意的な理論である;順序集合の理論,群論,位相空間の理論などは多意的な理論である.多意的な理論の研究こそ,現代数学を古典的な数学と区別しているもっとも顕著な特徴なのである.
例えば解析幾何学において座標を使った解法と 位置ベクトルを使った解法を比べてみると、後者のほうが同じ内容を表現するにも重複した記述を省略できる、しかし問題を解く手段であることには両者とも変りはない。構造の概念も表現や思考の節約に役立つ。
ガロア理論においては、単なる計算の洗練を超えた構造の概念により方程式論の難題であった5次方程式の解法のみならず幾何学の難問であった角の三等分問題や円積問題の解決にもつながった。
ブルバキの言う「数学者に豊かなインスピレーションを与える知識」とは異なった構造の類似において一方で成り立つ理論が他方でも成り立つのではないかという予想を構造の知見が容易にしていることを意味する。例えば、整数環と有限体上の1変数多項式環との間の構造の類似においてアンドレ・ヴェイユにより、リーマン予想に類似の問題が解かれた詳しくはヴェイユ予想を見よ。。リーマン予想に関してあえて大雑把にいえば、現在でもこの方向で研究が進められている。
しかし、或る構造の概念の適用が問題を解くにあたって見当違いのこともある。ポアンカレ予想はそれまで多くの研究者にとって役立つと思われていた位相幾何学で扱われる 位相多様体の概念によってでなく、より強い理論である―可微分多様体を扱う微分幾何学の範疇の問題として解かれた"強さ"。
一般的な枠組みから数学の記述を目指したにもかかわらず圏論を無視したこと。
基礎論に対する偏った扱い。
過度の抽象性が引き起こした教育的配慮のなさ。
冪集合
冪集合(べきしゅうごう、power set)とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪(べき)と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字として巾集合とも書かれる。
集合と呼ぶべき対象を公理的にかつ構成的に与える公理的集合論では、新たに作られた原体の冪集合もしくはそれに準ずる複数の冪集合が、それぞれの連続性に関わらず集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ(冪集合公理)としてしばしばし提示する。
集合 S の冪集合は、冪を表す power からとって、通常は
\mathfrak P(S),\ \mathcal P(S),\ \mathfrak{pow}(S),\ \mathrm{Power}(S),\ \Pi(S), ℙ(S), ℘(S), 2S
などのように記される。2S という表記は、一般に XY が Y から X への写像全体の集合を表すことによる(後述)。
集合 S が与えられたとき、S のすべての部分集合からなる集合
\mathfrak P(S) := \{A\colon\mbox{a set} \mid A \subseteq S\}
を S の冪集合と呼ぶ。例えば
\mathfrak P(\varnothing) = \{\varnothing\}
\mathfrak P(\{a\}) = \{\varnothing, \{a\}\}
\mathfrak P(\{x,y\}) = \{\varnothing, \{x\}, \{y\}, \{x,y\}\}
\mathfrak P(\{1,2,3\}) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}
などとなる。空集合の冪集合は空集合を唯一つの元として持つ一元集合であり、空集合とは別のものである。
A \in \mathfrak{P}(S)\iff A \subset S
である。
冪集合は包含関係を順序として順序集合になる。冪集合を底となる集合、包含関係を順序とする順序集合 (\mathcal P(S), \subset) (ここでの \subset は集合が一致する場合も含む)に順序同型な順序集合は単体様半順序集合 (simplex-like Poset) と呼ばれ、単体の一つの組合せ論的な特徴づけを与える(底となる \mathcal P(S) から空集合を抜いた順序集合を指すこともある)。また、冪集合 \mathcal P(S) に包含関係と逆の順序 \subset^{\mathrm{opp}
A \subset^{\mathrm{opp} B \iff A \supset B
を与えた順序集合 (\mathcal P(S), \subset^{\mathrm{opp}) は、もとの順序集合 (\mathcal P(S), \subset) に順序同型で、その対応は補集合をとる操作
(\mathcal P(S),\subset^{\mathrm{opp}) \ni A \ \stackrel{\simeq}{\longmapsto}\ A^c = S\smallsetminus A \in (\mathcal P(S),\subset)
によって与えられる。またこの対応で、集合の結びと交わりが互いに入れ替わる(双対性:ド・モルガンの法則)、対称差は不変(自己双対性)などを見て取ることができる。
順序集合 (\mathcal P(S), \subset) の部分集合である集合族
\mathfrak{M} \subset \mathcal P(S)
が与えられたとき、集合族の結びや交わりをとる操作
\sup(\mathfrak{M}) = \bigcup \mathfrak{M} = \bigcup_{m\in\mathfrak{M}m,
\quad \inf(\mathfrak{M}) = \bigcap \mathfrak{M} = \bigcap_{m\in\mathfrak{M}m
は、この集合族に対して包含関係による順序に関する上限と下限を与える。とくに、S の二つの部分集合 A, B について
A\vee B := \sup\{A,B\} = A\cup B
A\wedge B := \inf\{A,B\} = A\cap B
を考えることにより、組 (\mathcal P(S), \land, \lor) は完備束となる。完備束の条件は空で無い部分集合族に対する上限・下限の存在を要求するものであるが、冪集合の束では集合族 \mathfrak M \subset \mathcal P(S) が空集合であるときにも
\sup(\varnothing) = \varnothing,\quad \inf(\varnothing) = S
が冪集合 \mathcal P(S) の中に存在する。
冪集合に定義される様々な集合演算は、冪集合を代数系として取り扱う手段を与えてくれる。たとえば、集合の結び \cup や交わり \cap は交換可能で結合的な演算であるから、半群として冪集合を見ることができる。さらに、結びに関する中立元は空集合 \emptyset であり、全体集合 S が交わりに関する中立元となるので、(\mathcal P(S), \cup, \emptyset) や (\mathcal P(S), \cap, S) はモノイドである。また、対称差 \Delta を与えられた演算とする代数系 (\mathcal P(S), \Delta) は、空集合を単位元とし、補集合を逆元にもつ群になる。
結び \cup と交わり \cap は互いに他に対して分配的であるので、(\mathcal P(S), \cup, \cap) に環の構造を見て取ることができる。とくに冪集合 \mathcal P(S) を、集合の結び、交わり、補集合をとる操作および結び・交わりそれぞれに関する中立元を備えた代数系
(P(S), \cap, \cup, ^\mathrm{c}, \varnothing, S)
と考えたものはブール代数の例を与える。一方、事実として、任意の有限ブール代数は有限集合のべき集合が作るこのブール代数によって同型的に実現することができる。
S の部分集合 A とその指示関数 \chi_A を対応づけることにより、冪集合 2S と Map(S, {0, 1}) =: {0 ,1}S が一対一に対応する。これは、S の元 a が部分集合 A に属するとき 1、属さないとき 0 をラベル付けすることで部分集合 A が特定できるということに対応する。したがって特に A の濃度 card(A) が有限の値 n であるとき冪集合 2A の濃度 card(2A) は 2card(A) = 2n に等しい。一般に、有限集合 E から有限集合 F への写像の総数は card(F)card(E) となり、このことは E から F への写像全体のなす集合を FE と記す(無限集合の場合にも記号を流用する)ことの根拠の一つとなっている。そして、冪集合やその濃度の2の冪としての記法はこれの特別の場合にあたる。
冪集合の濃度は元の集合の濃度より常に大きい。有限集合のときにはこれは当たり前である。一般の場合は、カントールの対角線論法によって示される。
東京モノレール羽田空港線
これに対し東京モノレールは、進行する浜松町駅周辺の再開発に合わせてJR山手線や地下鉄大江戸線などとの乗り換えをよりスムーズにする他、2014年1月の毎日新聞インタビューで東京モノレール社長の中村弘之は、「将来的にはモノレールを東京駅まで延伸する夢」があり「24時間運行の可能性も見えてくる」と生き残りに向けた課題を述べている。
東京都心 - 羽田空港間の鉄道は1998年に京急が本格参入し、1日平均乗降客数はモノレールが約6万5,000人、京急が約8万2,000人と、京急が優勢となっている。ここにJR新線が実現すると三つ巴の激しい争奪戦が展開されることになる。
2015年3月14日の上野東京ライン開通では、宇都宮線・高崎線・常磐線が、東京モノレールの連絡駅である浜松町駅を通過して、京急の連絡駅である品川駅に乗り入れることから、羽田空港への鉄道アクセスについて、さらに京急が優位に立つことが見込まれている。さらに、2019年10月には京急が空港線の加算運賃を最大120円値下げし、普通運賃では京急と大差が付く形となった。一方、東京モノレールは定期運賃を引き下げることで、運行頻度と京急より安い定期運賃を武器に、空港関係者の通勤需要取り込みを図る戦略に出ている。
港区の出したに対し、一部の住民からモノレール浜松町 - 天王洲アイル間(田町駅・芝浦ふ頭駅からそれぞれ徒歩10分強)の埋め立て地(芝浦アイランド付近)への新駅設置要望が出ている。
羽田空港の国際線・国内線カウンターでは、国際線と国内線の乗り継ぎ客を対象に乗継乗車票を配布している。これを利用すると羽田空港第3ターミナル - 羽田空港第1ターミナル・羽田空港第2ターミナル間を無料で乗車できる(新整備場駅では下車不可)。
YRP野比駅
YRP野比駅(ワイアールピーのびえき)は、神奈川県横須賀市野比一丁目にある、京浜急行電鉄久里浜線の駅である。駅番号はKK68。関東地方の鉄道駅では唯一、駅名にアルファベットが使われている。
1963年(昭和38年)11月1日 - 久里浜線の終点・野比駅として開業。
1966年(昭和41年)3月27日 - 久里浜線が津久井浜駅まで延伸し、途中駅になる。
1998年(平成10年)4月1日 - 横須賀リサーチパーク開園によりその英語略を付したYRP野比駅に改称し、同時に新駅舎供用開始。
2019年(令和元年)
7月8日 - 京急グループ120周年記念事業の一環としてアニメ放送20周年を迎えるワンピースと京浜急行電鉄とのコラボが実施され、同年9月16日までの期間限定で当駅名看板が「Yアールフィ野比〜駅」に変わる。京急電鉄によると腕が伸びる主人公ルフィの特徴を駅名に反映させたとのこと。
相対式ホーム2面2線を有する地上駅だが、改札口付近は高架構造となっている。改札口は駅の南寄り、ホーム下に1箇所設置されている。単線区間に属し、列車交換が可能である。
2020年(令和2年)度の1日平均乗降人員は13,242人であり、京急線全72駅中40位。
近年の1日平均乗降人員と乗車人員の推移は下記の通り。
野比温泉(1989年開業、2022年12月25日閉館)
京浜急行バスにより運行されている。平日朝夕の基幹路線であるYRP方面に加え、大矢部・新岩戸団地方面や横須賀市民病院への路線が設定されており、列車と乗り継ぐ利用者も多い。発着する路線の詳細は京浜急行バス久里浜営業所を参照。
1番乗り場から3番乗り場までは駅側、4番乗り場は道路の反対側に設置されている。
「モーニング・ウィング号」(上りのみ)
「イブニング・ウィング号」(下りのみ)・快特・特急
京急久里浜駅 (KK67) - YRP野比駅 (KK68) - 京急長沢駅 (KK69)
零空間
数学、とくに関数解析学において、線型作用素 A:  V → W の零空間(ゼロくうかん、れいくうかん、null space)あるいは核空間(かくくうかん、kernel space)とは、
\text{Ker}(A):=\{\ \boldsymbol{x} \in V;\ A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\ \}
のことである。Ker(A) は N(A) や Nul(A) などとも書かれる。とくに Ker は零空間が線型写像としての A の核 (kernel) にあたることを意味するのであるが、零空間という語を用いる文脈においては、核ということばを熱核 (heat kernel) などの積分核に対して用いていることがほとんどであろうから注意されたい。
また、零空間という語をもちいる文脈においては、線型写像の像 (image) は値域 (range) と呼ばれ、線型作用素 A の値域は Ran(A) や R(A) と綴るのが通例のようである。
零空間は、ベクトル空間 V の部分空間である。さらに、 商空間 V/(Ker A) は、 A の像 R(A):=\{\ \boldsymbol{y} \in W;\ \exists\ \boldsymbol{x} \in V \text{ s.t. } \boldsymbol{y}=A\boldsymbol{x}\ \} に同型である; 特に次元について
\dim \text{Ker}(A)=\dim V-\dim R(A)
が成り立つ。
Ker A = {0} であることと、線型写像 A が単射であることとは同値である。
もし、V と W が有限次元であり、基底が選ばれているならば、A は行列 M として表すことができて、 零空間は、線型連立方程式 Mx = 0 を解くことで計算できる。零空間の次元は、行列 M の列の数から階数 rank M を引くことで与えられ、それはまた行列 M の退化次数 (nullity) でもある。
核 (代数学)
数学において、準同型の核(かく、kernel)とは、その準同型の単射からのずれの度合いを測る道具である。代数系における準同型の核が "自明" (trivial) であることとその準同型が単射であることとが同値となる。
考える構造により多少の差異はあるが、(圏論を使わない)集合と写像の言葉の範疇では概ね、基点 (base point) と呼ばれる特定の元を構造として持つ場合と持たない場合の二種に大別できる(ここでは、正確には基点のみからなる一元集合が圏論的な意味で零対象となるようなものを与える必要がある)。
A, B を同種の構造をもつ集合とし、f : A → B を構造を保つ準同型とする。このとき、準同型 f の核 Ker(f) は
\operatorname{Ker}f := \{(a_1,a_2) \in A \times A \mid f(a_1)=f(a_2)\}
で定義される A × A の部分集合である。したがって、Ker(f) は始域の集合 A における二項関係を定める。この関係は(構造と両立する)同値関係になる。核 Ker(f) が自明であるとは Ker(f) = Δ(A) なることをいう。ここで、Δ(A) は対角線集合 {(a, a) | a ∈ A} である。これは Ker(f) が定める A の二項関係は恒等関係 (equality) であるというのと同じことである。
(A, ∗A), (B, ∗B) を基点を持つ同種の構造をもつ集合とし、f : A → B, f(∗A) = ∗B を構造を保つ準同型とする。このとき、準同型 f の核 Ker(f) は終域 B の基点 ∗B の原像、つまり
\operatorname{Ker}f := \{ a \in A \mid f(a) = *_B \}
で定義される始域 A の部分集合である。Ker(f) は A の基点 ∗A を常に含むが、逆にKer(f) が唯一つの元 ∗A のみからなる集合 {∗A} に一致するとき、核 Ker(f) は自明であるという。
基点を持つ多くの代数系では、構造は等質性をもち、それゆえに、この第二の定義による核は、第一の定義における核の定める同値関係と同じ関係を定義する。特に、核が第二の定義の意味で自明であれば第一の定義の意味でも自明であり、核が自明な準同型は単射となる。
このような意味で、第二の定義は第一の定義の特別な場合である、あるいは逆に第二の定義の一般化として第一の定義があるということができる。これらの定義は核について、
第一の定義においては、それが同値関係を定めることと、
第二の定義においては、それが始域や終域におけると同様の構造をもつ集合であることが、
それぞれに扱いやすい特性を示している。
G, H を群とし、G, H の単位元をそれぞれ eG, eH とする。このとき、群を単位元を基点として持つ代数系とみなすことができて、群準同型 f: G → H に対して
\operatorname{Ker}f = \{g \in G \mid f(g) = e_H\}
となる。これは G の部分群、とくに正規部分群になることが確かめられる。
ここで、始域 G における関係を g1 ∼ g2 となるのは g1−1g2 ∈ Ker(f) となるとき、かつそのときに限るものと定義する。これは Ker(f) が G の部分群ゆえ同値関係を与える。このとき、g1−1g2 ∈ Ker(f) と f(g1)−1f(g2) = f(g1−1g2) = eH とが同値ゆえに g1 ∼ g2 となるのは f(g1) = f(g2) となるとき、かつそのときに限ると言い換えることができ、結局この関係は G × G の部分集合
K := \{(g_1,g_2) \in G \times G \mid f(g_1) = f(g_2)\}
の定める関係と同じものであることが確かめられる。また、Ker(f) = {eG} となる意味で自明であるならば、g1 ∼ g2 は g1 = g2 と同値であるから、集合 K が定める関係としても自明である。
R, S を環とする。環は零元を基点に持つ代数系であり、0R, 0S をそれぞれ R, S の零元とすれば、環準同型 f: R → S の核は
\operatorname{Ker}f := \{r \in R \mid f(r) = 0_S\}
となる。これは始域 R の部分環であり、さらに R のイデアルとなる。
環を加法についてみれば可換群であるから、群準同型について述べたことは加法についてはそのまま通用する。したがって、f: R → S の核 Ker(f) が Ker(f) = {0R} を満たすことと f は単射であることとは同値である。
同様に、M, N を R-加群とすれば、それぞれの零元 0M, 0N を基点として、R-加群の準同型(R-線型写像)f: M → N に対し、
\operatorname{Ker}f := \{m \in M \mid f(m)=0_N\}
が f の核となる。やはり Ker(f) は始域 M の 部分 R-加群である。ここでも核が自明なこととその準同型が単射であることとが同値となる。なお、体上の加群であるベクトル空間の核については零空間も参照されたい。
S, T を半群とし、f: S → T を半群の準同型とすると f の核は
\operatorname{Ker}f :=\{(s_1, s_2)\in S\times S\mid f(s_1)=f(s_2)\}
で与えられる。
準同型 h: S → T に対し、始域 S を核 Ker(h)(の定める同値関係)で割った集合 S/Ker(h) には自然に商構造が入る。これを Coim(h) と書いて、準同型 h の余像(よぞう、Coimage)と呼ぶ。
準同型 h: S → T の余像 Coim(h) は h の像 Im(h) = h(S) と同型であるという命題を準同型定理という。S, T が群、環、環上の加群などのときには確かに準同型定理が成り立つ。
対角行列
数学、特に線型代数学において、対角行列(たいかくぎょうれつ、diagonal matrix)とは、正方行列であって、その対角成分((i, i)-要素)以外が零であるような行列のことである。
\begin{bmatrix}
c_1 &&&0\\ & c_2 &&\\ && \ddots &\\ 0&&&c_n
\end{bmatrix}
この対角行列は、クロネッカーのデルタを用いて (ci δij) と表現できる。また、しばしば
diag(c1, c2, ..., cn)
のようにも書かれる。
単位行列やスカラー行列は対角行列の特殊例である。
対角行列の行列式は、各対角成分の総乗 Πci に等しい。対角行列の行列式は、対角成分が等しい上三角行列、下三角行列の行列式とも等しくなる。
対角行列の転置行列は同一である。そのため対角行列は対称行列でもある。
対角行列の逆行列は対角成分の逆数を並べた対角行列である。
\begin{bmatrix}
c_1 &&&0\\ & c_2 &&\\ && \ddots &\\ 0&&&c_n
\end{bmatrix}^{-1}
=
\begin{bmatrix}
c_1^{-1} &&&0\\ & c_2^{-1} &&\\ && \ddots &\\ 0&&&c_n^{-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 10 & 0 & 0\\
0 & 0 & -8 & 0\\
0 & 0 & 0 & 7
\end{bmatrix}
三重対角行列(さんじゅうたいかくぎょうれつ、tridiagonal matrix)とは、主対角線とその上下に隣接する対角線にだけ非零の成分を持つ行列であり、疎行列の一種である。
\begin{bmatrix}
{b_1} & {c_1} & {   } & {   } & { 0 } \\
{a_2} & {b_2} & {c_2} & {   } & {   } \\
{   } & {a_3} & {b_3} & \ddots & {   } \\
{   } & {   } & \ddots & \ddots & {c_{n-1}\\
{ 0 } & {   } & {   } & {a_n} & {b_n}\\
\end{bmatrix}
数値解析においてしばしば三重対角行列を含む方程式が現れる。このような方程式はトーマスアルゴリズムあるいは三重対角行列アルゴリズム (TDMA) と呼ばれる、計算量のオーダーがO (n) の解法を用いて解かれる。
与えられた行列を三重対角行列に変換する方法(三重対角化)には、ハウスホルダー変換やランチョス法が知られている。
直交行列
直交行列(ちょっこうぎょうれつ, orthogonal matrix)とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり n×n の行列 M の転置行列を MT と表すときに、 MTM  M MT  E を満たすような M のこと。ただし、 E は n 次の単位行列であり、 E 自身も直交行列である。
有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、実直交行列(成分が全て実数の直交行列)によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは(必ずしも有限次元でない)実計量ベクトル空間 V において内積を変えない(等長性をもつ)線形変換 f のことである。すなわち、
が成り立つ。ただし、(•, •) は内積を表す。
n 次正方行列 M の 転置行列 MT が Mの逆行列になっているとき、すなわち MT  M-1 を満たすとき、M は直交行列であるという。
直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 V の任意のベクトル v, w に対し、内積を (v, w)  vTw とする。v, w が行列 M により Mv, Mw に変換されたとき、内積は
(Mv, Mw) = (Mv)^T Mw = v^T M^T M w = v^T w = (v, w)
となるので、行列 M が直交行列であるのは計量ベクトル空間 V の内積を変えないとき、かつそのときに限る。
直交行列は正則行列であり、直交行列は積や逆について閉じている。n 次直交行列全体の集合を n 次直交群といい、O(n) と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、SO(n) と書く。
2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角 θ の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
反射行列 H は、単位ベクトル u を以下のように反転させる性質を持ち、ハウスホルダー変換に使用される。
Hu=-u
直交行列の行列式の値は ±1 である。実際、行列 A が直交行列なら行列式の性質から
\det (A) ^2 = \det (A)\det (A^\intercal) = \det (A A^\intercal) = \det (E) = 1
となる。逆は必ずしも真ではない。
ユニタリ行列である。従って対角化可能である。
n 次行列 A を n 個の列ベクトル(行ベクトル)v_1, v_2, ... , v_n を並べたものとみなしたとき、直交行列の定義 AAT=E は v_1, v_2, ... , v_n が正規直交基底になる条件と同値である。
n 次の直交行列 A 、n 次の列ベクトル x が与えられた時、ノルムを ‖•‖ で表せば、 ‖Ax‖ = ‖x‖ である。したがって A の対応する作用素ノルムは ‖ A ‖  1 である。
ISO 3166
ISO 3166は、国際標準化機構 (ISO) が国名およびそれに準ずる区域、都道府県や州といった地域のために割り振った地理情報の符号化である。3部構成。
ISO 3166-1は、1974年に初めて公表された国名コード(JISではJIS X 0304の国名コード)
ISO 3166-1 alpha-2は、ラテン文字2文字の国名コード
ISO 3166-1 alpha-3は、3文字の国名コード
ISO 3166-1 numericは、3桁の数字によって定義された国コード
ISO 3166-2は、都道府県や州といった、地域コード(JISではJIS X 0401の都道府県コードなどに対応)
ISO 3166-2:2000-06-21 Newsletter I-1
ISO 3166-2:2002-05-21 Newsletter I-2
ISO 3166-2:2002-08-20 Newsletter I-3
ISO 3166-2:2002-12-10 Newsletter I-4
ISO 3166-2:2003-09-05 Newsletter I-5
ISO 3166-2:2004-03-08 Newsletter I-6
ISO 3166-2:2005-09-13 Newsletter I-7
ISO 3166-2:2007-04-17 Newsletter I-8
ISO 3166-2:2007-11-28 Newsletter I-9
ISO 3166-2:2007-12-13 II
ISO 3166-2:2010-02-03 Newsletter II-1
ISO 3166-2:2010-06-30 Newsletter II-2
ISO 3166-2:2011-12-13 Newsletter II-3
ISO 3166-3は、現存しない国の名に対応したコード。1974年にISO 3166-1が公表されて以降、国・地域名の変更された地区については、現存しない国名・地域名に対応したコードが割り振られている。1999年に公表された。
正則行列
正則行列(せいそくぎょうれつ、regular matrix)、非特異行列(ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix)あるいは可逆行列(かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix)とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。この逆元を、元の正方行列の逆行列という。例えば、複素数体上の二次正方行列
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
が正則行列であるのは ad − bc ≠ 0 が成立するとき、かつ、そのときに限る。このとき逆行列は
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
で与えられる。
ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群は線形代数群あるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。
n 次単位行列を En や E で表す。
環の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して、
AB = E = BA
を満たす n 次正方行列 B が存在するとき、A は n 次正則行列、あるいは単に正則であるという。A が正則ならば上の性質を満たす B は一意に定まる。
これを A の逆行列(ぎゃくぎょうれつ、inverse matrix)と呼び、A−1 と表す。
次の複素数体の元を成分にもつ行列 A, B を考える。
A = \begin{bmatrix}
1 &0 \\
0 &2
\end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix}
1 &0 \\
0 &\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
このとき AB  E  BA を満たすので、A は正則行列で、B は A の逆行列である。
一方、B に注目すれば B も正則行列で、A は B の逆行列である。
また次の行列 N は逆行列をもたないので、正則ではない。
N = \begin{bmatrix}
0 &1 \\
0 &0
\end{bmatrix}
体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。
A は正則行列である
AB  E となる n 次正方行列 B が存在する
BA  E となる n 次正方行列 B が存在する
A の階数は n である
A は左基本変形のみによって単位行列に変形できる
A は右基本変形のみによって単位行列に変形できる
一次方程式 Ax  0 は自明な解しかもたない
A の行列式は 0 ではない
A の列ベクトルの族は線型独立である
A の行ベクトルの族は線型独立である
A の固有値は、どれも 0 でない
n 次正則行列 A、B について次が成り立つ。
n 次正方行列 N が冪零行列ならば I − N は正則で、逆行列は I + N + … + Nn − 1 である
A の転置 AT も正則行列で (AT)−1  (A−1)T(これを A−T と書くこともある)
A のエルミート共役 AH も正則行列で (AH)−1  (A−1)H(これを A−H と書くこともある)
行列の正則性は行列の基本変形を使って判定できる。
具体的な逆行列の計算には、基本変形を使って順に掃き出していく方法がよく使われる。
一方で、理論的には行列式を使ったクラメルの公式も重要である。
しかしこの方法は逆行列を数値計算するのには向かない。