位相空間
定理が、yλに収束するとし、さらに有向点族(y_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}がzに収束するものとする。
(Γλ)λ∈Λの直積を\Gamma=\underset{\lambda\in\Lambda}{\times}\Gamma_{\lambda}とし、有向点族(w_{\lambda,\xi})_{(\lambda,\xi)\in\Lambda\times\Gamma}=(x_{\lambda,\xi_{\lambda})_{(\lambda,\xi)\in\Lambda\times\Gamma}を考える(ただし\xi=(\xi_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\in\Gamma=\underset{\lambda\in\Lambda}{\times}\Gamma_{\lambda}と定める)。
このとき(w_{\lambda,\xi})_{(\lambda,\xi)\in\Lambda\times\Gamma}はzに収束する。
|note=二重極限の定理(Theorem on Iterated limit)二重極限の定理}
最後に有向点族による極限概念によって位相が特徴づけられる事を見る:
定理)_{\gamma\in\Gamma}で(x_{\lambda_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}のいかなる部分有向点族もyに\mathcal{C}-収束しないものが存在する。
二重極限の定理で「収束」を「\mathcal{C}-収束」に置き換えたものを満たす。
このときX上の位相構造\mathcal{O}で(X,\mathcal{O})における有向点族の収束が\mathcal{C}-収束に一致するものが唯一存在する。\mathcal{O}における閉包作用素は具体的には以下のように書ける:
\bar{A}=\Bigg\{y\in X ~\Bigg|~ \exists (x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\subset A~:~(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}はyに\mathcal{C}-収束する\Bigg\}
|note=極限による位相の特徴づけ}
本節では位相空間(X,\mathcal{O}_X)から別の位相空間(Y,\mathcal{O}_Y)に向かって定義された関数f: X → Yの連続性の概念を定義する。後述するように位相空間における連続性の概念は、距離空間における連続性の定義で「点列」を「有向点族」に置き換える事で定義可能であるが、近傍や開集合といった、位相空間の概念を使った別定義も可能であり、両者の定義は同値となる。
なお、紛れがなければ、fが2つの位相空間の間の写像である事を強調して、「f: X → Y」ではなく
f~:~(X,\mathcal{O}_X)\to(Y,\mathcal{O}_Y)
という表記を用いる事もある。
位相空間X上で定義された関数fの点x∈Xにおける連続性を以下のように定義する。
定義・定理
我々はXにハウスドルフ性を仮定していないので、以上の定理で有向点族の収束の一意性が保証されていない事に注意されたい。
(⇒)背理法で示す。N\in \mathcal{N}_{f(x)}でf^{-1}(N)\notin \mathcal{N}_xとなるものがあったとすると、近傍の定義よりxを含む任意の開集合Uに対し、U\setminus f^{-1}(N)の点xUが存在する。xの開近傍系を\mathcal{V}_xとすると、収束の定義より有向点族(x_U)_{U\in \mathcal{V}_x}はxに収束する。よって仮定より(f(x_U))_{U\in \mathcal{V}_x}はf(x)に収束する。
Nはf(x)の近傍であったので、あるf(x)の開近傍Vが存在し、V⊂Nである。(f(x_U))_{U\in \mathcal{V}_x}はf(x)に収束するので、xU⊂Vを満たすxUが存在する。
しかしxUの取り方よりx_U\notin f^{-1}(N)であったので、f(x_U)\notin Nであり、よって特にf(x_U)\notin Vであるのでこれは矛盾である。
(\Leftarrow)有向点族(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}がxに収束するとする。
N\in\mathcal{N}_{f(x)}を任意に取ると、仮定よりf-1(N)はxの近傍であるので、有向点族(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}がxに収束するから、あるλ0∈Λが存在し、\lambda\ge \lambda_0を満たす任意のλ∈Λに対し、xλ∈f-1(N)であり、よってf(xλ)∈Nである。これは有向点族(f(x_{\lambda}))_{\lambda\in\Lambda}がf(x)に収束する事を意味する。
関数f~:~(X,\mathcal{O}_X)\to(Y,\mathcal{O}_Y)が定義域上の任意の点x∈Xで連続であるとき、fは定義域の全点で連続、あるいは単に連続であるという。fの連続性は以下のようにも特徴づける事ができる。
これまで説明してきたように、連続性と収束性は、位相空間で定義可能な代表的な性質である。しかしこれらを強めた概念である一様連続性と一様収束性は、位相のみをベースにして定義する事はできない。
これらの概念は、距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念である一様空間で定義可能である。
位相同型性は、位相空間のクラスにおける同値関係であることを簡単に確認できる。
位相空間論や、その応用分野である位相幾何学では、「位相同型で不変」(位相不変性)な性質(位相的性質)を探ったり、そうした性質により、空間を分類する。
位相不変な性質の中には位相不変量と呼ばれる、位相空間の性質によって決まる「量」がある。
χが「位相不変量」であるとは、以下の性質を満たすことを言う
X と Y が位相同型⇒χ(X )=χ(Y )
これの対偶をとると、
χ(X )≠χ(Y )⇒ X と Y が位相同型でない
したがって位相不変量に着目することで、二つの空間を位相的に分類することができる。
簡単な位相不変量として、位相空間の「連結成分数」がある。本項では、連結成分数の厳密な定義は割愛するが、直観的にはその名の通り、「繋がっている部分の数」である。以下のX では連結成分数が1なのに対し、Y では連結成分数が2である。従ってX と Y は位相同型ではない。
X = [0,1]
Y = [0,1]∪[2,3]
(ただし、ここで[a,b]とは実数のユークリッド距離による位相の、部分位相をもつ閉区間である)
位相不変量は、位相空間論の応用分野である位相幾何学で主要な役割を果たし、特にホモロジー群やホモトピー群のような代数的な不変量は代数的位相幾何学の研究対象である。
\mathcal{O}_1が\mathcal{O}_2よりも粗い必要十分条件は、恒等写像
\operatorname{id}~:~ (X,\mathcal{O}_2)\to(X,\mathcal{O}_1),\ \ x\mapsto x
が連続な事である。したがって\mathcal{O}_1で収束する有向点族は\mathcal{O}_2でも収束するが、逆は必ずしも成立しない。
本節ではXのべき集合\mathfrak{P}(X)の任意の部分集合\mathcal{S}から作る方法を述べる。
定義・定理が存在する。この\mathcal{O}_{\mathcal{S}を、\mathcal{S}を含む最弱の位相(weakest topology)といい、\mathcal{S}は\mathcal{O}_{\mathcal{S}を生成する(generate)という。
また位相空間(X,\mathcal{O})において、\mathcal{S}\subset\mathfrak{P}(X)が\mathcal{O}を生成するとき、\mathcal{S}を\mathcal{O}の準開基(じゅんかいき, open subbase)という。
|note=位相の生成、準開基}
以上で我々は、準開基の抽象的な定義を与えたが、準開基の概念をより具体的な形で与えることもできる。そのための準備として、まず準開基の関連概念である開基について述べる。
定義B
|note=開基}
開基の概念を用いると準開基を具体的に書き表す事ができ、\mathcal{S} が (X,\mathcal{O})の準開基である必要十分条件は、\mathcal{S} の元の有限個の共通部分の全体の集合
\mathcal{B}=\left\{\bigcap_{i=1}^n S_i\,\bigg|\,n\in\mathbb{N},\,S_i\in \mathcal{S}\right\}
が、\mathcal{O}の開基をなすことである。
\mathcal{O}の開集合は開基の和集合で書き表せるので、以上の事から\mathcal{O}の開集合は準開基の有限積集合の(有限または無限)和集合として書き表せる。
開基の概念は、基本近傍系の概念と以下のような関係がある:
Xが距離空間の場合はxのε-近傍B_{\varepsilon}(x)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon\}がxの基本近傍系をなしていたので、\{B_{\varepsilon}(x)\mid x\in X, \varepsilon >0\}は開基をなす。
最後に、開基の概念で位相空間を特徴づける方法を述べる:
弱い/強いを位相の間の順序関係とみなすと、X上の位相の集合
\{\mathcal{O}\mid(X,\mathcal{O})は位相空間\}
は順序集合になる。
この順序集合は完備束であり、
\sup_{\lambda\in\Lambda}(\mathcal{O}_{\lambda})=(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\mathcal{O}_{\lambda}が生成する位相)
\inf_{\lambda\in\Lambda}(\mathcal{O}_{\lambda})=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\mathcal{O}_{\lambda}
である。最も弱い位相は密着位相、最も強い位相は離散位相である。
すでにある位相空間を加工して、別の位相空間を作る方法を述べる。
位相空間を加工する上で基本となるのは、「逆像位相」と「像位相」の概念、おそびそれらの拡張概念である「始位相」と「終位相」である。
逆像位相と像位相、始位相と終位相は互いに双対の関係にあり、写像の向きを逆にすることでもう片方の概念を定式化できる。なお始位相と終位相はそれぞれ圏論におけるリフト (圏論)、リフト (圏論)の例のになっている。
まず始位相の概念を以下のように定義する:
始位相の特殊な場合として、以下のものが重要である。以下でXは集合である。
これらはより具体的に書き表す事が可能である:定理
上述の定理の直積位相の箇所に関して、Λが有限集合のときは、「有限個のλを除いて…」という条件がいらなくなるので簡単であるが、Λが無限集合のときは注意が必要である。例えば\mathbb{R}_1,\mathbb{R}_2,\ldotsを\mathbb{R}の(可算)無限個のコピーとし、U_1,U_2,\ldotsをU=(0,1)の無限個のコピーとするとき、直積
\prod_{i\in\mathbb{N}U_i
\prod_{i\in\mathbb{N}\mathbb{R}_i
の開集合ではない。実際、前述の「有限個を除いて…」という条件を満たしておらず、条件をみたすものの和集合としても書けないからである。これに対し直積空間には\prod_{i\in\mathbb{N}U_iをも開集合とする位相も定義可能である:
箱型積位相は直積位相より強い(弱くない)位相である。
まず始位相と双対的に終位相を定義する:
終位相の特殊な場合として下記のものを定義できる。これらは逆像位相、部分位相、始位相、直積位相と双対的に定義したものである。以下でXは集合である:
これらはより具体的に書き表す事が可能である:定理
位相空間の定義それ自身は可能な限り一般的に定義されているため、個々の応用では位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものを考えることが多い。
本節では、そうしたプラスアルファの性質のうち代表的なものを紹介する。
分離公理とは、位相空間 X 上の2つの対象(点や閉集合)を開集合により「分離」(separate)する事を示す一連の公理、もしくはそこから派生した公理である。
代表的な分離公理としてハウスドルフの分離公理があり、これは以下のような公理であり、前述のようにこれは有向点族の収束の一意性と同値である。
X 上の相異なる2点 x、y に対し、x、y の開近傍 U、V があり、U\cap V=\emptysetである。
ハウスドルフの分離公理は、直観的には点 x と y が開近傍という位相的な性質を利用して「区別」(separate) できる事を意味している。すなわちX の位相は点の区別が可能なほど細かい事をこの公理は要請している。
他にも下記のような分離公理がある:
連結性とは、直観的には位相空間が「ひとつながりである」
という性質である。閉区間 [0,1] は連結性をもつ(連結である)が、二つの交わらない閉区間を合併した [0,1] \cup [2, 3] という位相空間は連結ではない。
位相空間X上の点列や有向点族の極限にはX内で「収束」するか「振動」するかあるいはXの「外」に「発散」するかがありえるが、コンパクトとは直観的には有向点族が発散する事がない事を意味する。
有向点族は「収束」するか「振動」するかのいずれかであるのだから、任意の有向点族には収束する部分列が取れるはずであり、厳密にはこの事実を持ってコンパクト性を定義する。
なお、学部レベルの多くの教科書にはここで書かれたものとは全く違う(が実は同値な)定義が採用されているが、それについては後述する。
定義)_{\gamma\in\Gamma}とx∈Xが存在し、(x_{\lambda_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}はx∈Xに収束する
|note=コンパクト性}
上記の定義は、\mathbf{R}^n上の有界閉集合に関するボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分を有向点族に自然に拡張したものである:
事実、\mathbf{R}^nの部分集合Xがコンパクトである必要十分条件は、Xが有界閉集合である事が知られている。よってコンパクトは、「Xの外に発散する有向点族がない」という重要な事実を「有界」という距離空間に固有な概念を使う事なく定式化したものだと言える。
またコンパクトな空間な「Xの外に発散する有向点族がない」という意味において、閉集合よりもさらに「閉じた」空間だと言え、実際ハウスドルフ空間においてはコンパクトな部分集合は必ず閉集合になる事が知られている。こうした事情から、コンパクトな空間には「閉」という接頭辞をつけて呼ぶ事があり、例えばコンパクトな多様体は「閉多様体」と呼ばれる。
次にコンパクトの概念を全く違う角度から特徴づける。この特徴付けの基盤となるのは\mathbf{R}^nの有界閉集合に対するハイネ・ボレルの被覆定理である。そこでまず、この定理の記述に必要な概念を定義する。
定義O =X
が成立するとき、\mathcal{S}はXを被覆するといい、特に\mathcal{S}の元が全て開集合であるとき、\mathcal{S}をXの開被覆(open cover)という。
|note=開被覆}
ハイネ・ボレルの被覆定理は、\mathbf{R}^nの有界閉集合上では開被覆が「ハイネ・ボレル性」という性質を満たすという趣旨の定理であるが、実はこのハイネ・ボレル性はコンパクト性と同値になる事が知られている。そこで以下、ハイネ・ボレル性を定義し、それがコンパクト性と同値になる事を定理として記述する。なお、学部レベルの多くの教科書ではハイネ・ボレル性の方をコンパクトの定義として採用しているものが多い。
上述の\mathcal{T}の事を\mathcal{S}の有限部分被覆という。
すでに述べたように\mathbf{R}^nの部分集合では有界閉集合である事とコンパクトである事は同値なので、もともとのハイネ・ボレルの定理は上述の定理から従う。
ハイネ・ボレル性を定理の証明などでXの各点xの近傍O_x上で局所的に示されている性質をX全体に広げる際に用いられる。この場合、ハイネ・ボレル性でいう開被覆\mathcal{S}は\mathcal{S}=\{O_x \mid x\in X\}であり、ハイネ・ボレル性はこの無限個の開集合からなる開被覆から有限部分被覆\mathcal{T}を抽出して、無限に伴う証明の困難さを回避する事を可能にする。
具体的には例えば「\mathbf{R}^nの有界閉集合X上で定義された実数値連続関数fは一様連続である」という定理は、ハイネ・ボレル性を利用して以下のように証明する。まずfの連続性により、任意にε>0を固定するとき、Xの各点xの、あるδx-近傍がf(B_{\delta_x}(x))\subset B_{\varepsilon}(x)を満たす。
この\delta_xはxに依存しているが、どのxに対してもf(B_{\delta}(x))\subset B_{\varepsilon}(x)を満たすくらい小さなδをxに依存しないよう取れれば一様連続性が言える。そのようなδを見つける単純な方法は\delta=\inf_{x\in X}\delta_xとする事だが、xの取りうる範囲が無限にあるので、この方法だとδは0になってしまうかもしれない。
そこでハイネ・ボレル性を使って開被覆\mathcal{S}=\{B_{\delta_x}(x)|x\in X\}の有限部分被覆\mathcal{T}=\{B_{\delta_{x_i}(x_i)|i=1,\ldots,n\}を選び、\delta=\min_{i}\delta_{x_i}とすればδ>0であり、どのxに対してもf(B_{\delta}(x))\subset B_{\varepsilon}(x)なので一様連続性が言える。
位相空間X において可算公理は、X の位相的な対象(近傍系、開集合)が可算なものから生成されることを意味し、可算公理が成立する空間では、非可算特有の難しさを回避できる場合がある。
可分もこれと類似したモチベーションのもと定義される。
以下が成立する:
第二可算公理を満たす⇒ 第一可算公理を満たし、かつ可分
距離空間⇒ 第一可算公理を満たす
しかし距離空間は第二可算公理を満たすとは限らない。
距離空間においては第二可算公理を満たす事と可分な事は同値である。
有限次元のユークリッド空間(あるいはより一般に多様体)は第二可算公理を満たす。(距離化可能なので可分でもある)。
一方、ユークリッド空間の「無限次元版」であるヒルベルト空間は距離空間であるが第二可算公理を満たすとは限らない。
しかし通常は第二可算公理を満たすヒルベルト空間のみを考えることが多く、そのようなヒルベルト空間は全て同型で、しかもそのようなヒルベルト空間にはベクトル空間としての可算基底が存在する事が知られている。
距離空間は自然に位相空間になるが、では逆に位相空間がどのような条件を満たせば距離空間になるであろうか。
すなわち、位相空間 (X,\mathcal{O})が距離化可能であるとは、X 上の距離 d が(少なくとも一つ)存在し、d がX 上に定める位相が\mathcal{O}と一致する事を言う。
学部レベルの教科書には距離化可能性の十分条件であるウリゾーンの距離化可能定理が載っていることが多いが、現在は距離化可能性の必要十分条件である長田=スミルノフの距離化定理やビングの距離化定理が知られている。
(X,\mathcal{O}_X)、(Y,\mathcal{O}_Y) を位相空間、 C(X,Y) を (X,\mathcal{O}_X) から (Y,\mathcal{O}_Y) への連続写像全体とする。このとき K \subset X , O\subset Yに対し、W(K,O) を
W(K,O)=\{f\in C(X,Y) \mid f(K) \subset O\}
とより定義する。
このとき {W(K, O) : K は X のコンパクト部分集合、O\in \mathcal{O}_Y} を準開基とする位相を C(X,Y) のコンパクト開位相(compact-open topology)という。
連続体(れんぞくたい、continuum)とは、空でないコンパクト連結距離空間、あるいはより一般にコンパクト連結ハウスドルフ空間のことを言う。
ユークリッド空間上の閉曲面は連続体となるが、連続体論ではこのような「常識的な」空間に留まらず幅広く連続体一般を研究する。
具体的にはヒルベルト空間の無限次元部分集合であるにもかかわらずコンパクトな ヒルベルト立方体
\prod_{n\in\mathbb{N}[0,1/n]、
フラクタル図形のシェルピンスキーのカーペット、ホモトピー群は自明となるが可縮空間ではないワルシャワの円などが研究対象となる。
学部レベルの位相空間論で登場する概念の多くは、曲面のような「常識的な」空間における性質を抽象したものである。
しかし完全不連結性はこうした範疇から外れた性質で、位相空間 X 上の連結部分集合は空集合、全体集合、および一点集合に限られる事を意味する。
完全不連結な空間の例としては有理数の集合\mathbb{Q}がある。
しかし完全不連結な空間は\mathbb{Q}のように距離空間として完備ではないものに限らない。
カントール集合(に実数体から誘導される距離をいれたもの)は、完備距離空間でありながら完全不連結な空間の例となっている。
実はカントール集合はこのような空間の典型例の一つであり、以下の性質を満たす空間(カントール空間)は必ずカントール集合と位相同型になることが知られている(ブラウワーの定理):
位相空間X がベール空間であるとは、X 上の稠密開集合の可算個の共通部分が必ず稠密になることを言う。
完備疑距離空間の開集合はベール空間になる(ベールの第一範疇定理)。
また局所コンパクトハウスドルフ空間もベール空間になる(ベールの第二範疇定理)。
ベールの範疇定理は関数解析学において、開写像定理や閉グラフ定理を証明するのに用いられる。
(X,\mathcal{O}) を位相空間とする。このとき有限個の開集合 U_1\cdots U_n に対し、集合族 \langle U_1\cdots U_n\rangle を
\langle U_1\cdots U_n\rangle :=\{A\in\mathfrak{F} : A\cap U_i\neq\varnothing (i=1\cdots n), A\subseteq \bigcup_{i=1}^n U_i\}
と定義する(ただし \mathfrak{F} は X の閉集合全体)。このとき \{\langle U_1\cdots U_n\rangle\ : U_i\in\mathcal{O}(i=0\cdots n)\} を開基とする \mathfrak{F} 上の位相をヴィートリス位相(Vietoris topology)と呼び、ヴィートリス位相の入った \mathfrak{F} 及びその部分空間を冪空間(powerspace)または超空間(hyperspace)という。
集合論的位相空間論とは、位相空間上の性質がZFCと独立かどうかを主題する分野である。
位相ゲームとは、2人のプレイヤーにより位相空間上で行われるゲームで、プレイヤー達が自分の手番のとき、何らかの位相的な対象(開集合や閉集合など)を指定する事でゲームが進んでいく。
位相空間上の様々な性質、例えばベールの性質が位相ゲームのゲーム理論的な性質と関連する(バナッハ・マズール・ゲーム)。他にも完備性、収束性、分離公理といったものもゲーム理論的な性質と関連する。
代数的な演算が定義された位相空間X は、その演算の作用がX 上連続になるとき、演算と位相は両立するという。
そのような例として代表的なものには位相群、位相環および位相体、位相線型空間などがある。
スペクトル空間: 位相空間がスペクトル的となるための必要十分条件は、それが何らかの環の素スペクトルとなっていることである。
標準順序: 位相空間の特殊化前順序または標準前順序は、x \leq y \Leftrightarrow \operatorname{Cl} (\{x\}) \subseteq \operatorname{Cl}(\{y\}) で定義される。
集合論の創始者ゲオルク・カントールはユークリッド空間の開集合や閉集合などについても研究したが、これが位相空間の研究のはじまりである。カントールの行ったような位相空間の古典的な研究は、点集合論と呼ばれる。その後、モーリス・フレシェはユークリッド空間から離れて距離空間において極限の概念を考察し、さらにその後フェーリクス・ハウスドルフ、カジミェシュ・クラトフスキらによって、次第に現代のような一般の位相空間の形に整えられていった。
Kindle版:ASIN : B06XGRCCJ3
翻訳版:和書
Armstrong, M. A.; Basic Topology, Springer; 1st edition (May 1, 1997). ISBN 0-387-90839-0.
Bredon, Glen E., Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (October 17, 1997). ISBN 0-387-97926-3.
Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).221789308
Čech, Eduard; Point Sets, Academic Press (1969). 10256
ウィリアム・フルトン, Algebraic Topology, (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (September 5, 1997). ISBN 0-387-94327-7.
Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
ジェームス・マンクリズ; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
Runde, Volker; A Taste of Topology (Universitext), Springer; 1st edition (July 6, 2005). ISBN 0-387-25790-X.
リン・スティーン and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.