特殊相対性理論
運動する観測者 A があり、A とは別の観測者 B が慣性運動し、A 側の座標系 (ct, x, y, z) にて B の位置が、
と書けるとき、
\mathrm{d}s^2=(c\mathrm{d}t)^2-\mathrm{d}x^2-\mathrm{d}y^2-\mathrm{d}z^2
というローレンツ変換について不変な量 s をとり、A側の固有時刻を τ  s / c とする。
c^2\left(\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}\right)^2=\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2=c^2-\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2-\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2-\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)^2=c^2-v^2
である。右辺はローレンツ因子 γ の逆数である。これを観測者 A の世界線 C に沿って積分すると
により、A 側の固有時間 T が得られる。ここで v(t) は時刻 t における A と B の相対速度である。
v < c ゆえ、積分内は常に1未満であり、慣性系B側の時間 T′ との関係は次式となる:
これはすなわち、ある慣性系でみたときの時間は固有時間よりも長い事を意味する。
特に観測者 A も慣性運動しているときは、相対速度 v は常に一定であり、次式となる:
観測者 A、B が慣性運動しており、さらに質点 C が運動しているとする(慣性運動とは限らない)。
観測者 A の座標系を (ct, x, y, z) とし、観測者 B の座標系を (ct′, x′, y′, z′) とし、A から見た B の相対速度の大きさを V とし、
\gamma=1/\sqrt{1-(V/c)^2}
をローレンツ因子とする。
必要ならミンコフスキー空間の原点を取り替えることで C は原点を通っているとしてよく、さらに C の運動方向は y軸、z軸と直交しているとし、y'軸、z'軸がy軸、z軸と一致しているとしても一般性を失わない。
観測者 A、B から見た C の速度をそれぞれ (vx,vy,vz)、(v′x,v′y,v′z) とするとき、B の座標系から A の座標系への速度変換則は、ローレンツ変換のL4式より以下のようになる:
\begin{align}(v'_x,v'_y,v'_z) &= \frac{c(\mathrm{d}x', \mathrm{d}y', \mathrm{d}z')}{c\mathrm{d}t'}\\
&= \frac{c(\gamma(\mathrm{d}x-v\mathrm{d}t), \mathrm{d}y, \mathrm{d}z)}{\gamma(c\mathrm{d}t+(v/c)\mathrm{d}x)}\\
&= \frac{(v_x-V, v_y/\gamma, v_z/\gamma)}{1+ Vv_x/c^2}.\end{align}
本節では、質点の速度が光速を越えない限り、特殊相対性理論においても因果律が成り立つことを示す。以下、特に断りがない限り、質点、観測者の双方とも光速度以下であるものとする。
x, y をミンコフスキー空間上の2つの世界点とする。y − x が未来の光円錐の内部にあるとき、x は y の因果的過去 (causally precede) といい、x < y と書く。同様に y − x が未来の光円錐の内部もしくは未来の光円錐上にあるとき、x は y の年代的過去 (chronologically precede) といい、x ≦ y と書く。
因果的過去は以下のように特長づけられる:
よって特に以下が成立する:
従って「≦」は数学的な(半)順序の公理を満たす。
以下の事実は、質点の速度が光速を越えない限り座標系の取り替えで因果律が破綻しない事を意味している:
実際、どのような慣性座標系を選んでも、その時間軸 e0 は未来の光円錐内または未来の光円錐上にあるので、x ≦ y であれば、x から y までに流れる時間 η(y - x, e0) は正である。
一方、x ≦ y でも y ≦ x でもないとき、すなわち y − x が空間的なときはこのような関係は成り立たない。y − x が空間的なとき、以下の3種類の慣性座標系が存在する:
y が x より後に起こる
y と x が同時に起こる
x が y より先に起こる
すなわち空間的な関係にある2点 x、y の時間的な順序関係は慣性系に依存してしまう。これはニュートン力学的な直観に反するが、x と y には因果関係がないので、どちらが先に起ころうとも因果律が破綻することはない。
今、ここに一組の双子がおり、二人は慣性運動しながら次第に離れているとする。このとき兄から見ると、弟の時計は遅れてみえ、逆に弟から見ると兄の時計は遅れてみえる事が特殊相対性理論から帰結される。
これは一見奇妙に見えるため、時計のパラドックスと呼ばれることもあるが、実は特に矛盾している訳ではない。なぜなら慣性運動している二人は二度と出会うことがないので、もう一度再会してどちらの時計が遅れているのかを確認するすべはないからである。
では次の状況はどうだろうか。やはり一組の双子がいて、弟は慣性運動している。一方、兄はロケットに乗って遠方まで行き、その後ロケットで弟のもとに帰ってきたとする。前述のように弟からみれば兄の時計は遅れるはずで、兄の時計からみれば弟の時計は遅れるはずなので、ふたりが再会したときに矛盾が生じるはずである。
結論からいえば、特殊相対性理論から示されるのは、ロケットに乗った兄より慣性運動していた弟の方が再会時に時計が進んでいるという事である。すなわち再会時に兄が弟よりも若い。
なぜならミンコフスキー空間上で、兄がロケットで飛び立ったときの世界点を x とし、兄が再び弟に再会したときの世界点を y とすると、x と y を結ぶ世界線のうち最も固有時間が長くなるのは慣性運動する世界線であることをすでに示したからである。従って慣性運動していた弟はロケットに乗った兄より多くの固有時間を費やした事になるのである。
では逆に弟のほうが兄より若くなったとする主張のどこが間違っていたのかというと、我々が時間の縮みの公式を導いたとき、慣性系である事を仮定していたのであるが、兄の座標系はロケットが行きと帰りで向きを変える際加速度運動しているので慣性系ではない。従って兄の座標系に対して単純に時間の縮みの公式を適応したのが間違いだったのである。
今、長さ l のハシゴ と奥行き L < l のガレージがあるとし、ハシゴは高速でガレージに近づいてきたとする。ガレージが静止して見える慣性系から見ると、ハシゴがローレンツ収縮するので、ハシゴはガレージに入ってしまう。一方、ハシゴが静止して見える慣性系からみると、逆にガレージの方がローレンツ収縮してしまうので、ハシゴはガレージに入らないはずである。正しいのはどちらであろうか。
結論からいうと、どちらも正しく、ガレージの系から見た場合は、ハシゴはガレージに入るように見え、ハシゴの系から見るとハシゴはガレージに入らないように見える。すなわち、ハシゴの前端と後端に関する事象を区別して述べれば、ガレージの静止系ではハシゴの後端がガレージに入りきった後、ハシゴの前端がガレージの裏の壁にぶつかるのに対し、ハシゴの静止系ではハシゴがガレージに入り切らず、ハシゴの後端がガレージに入る前にハシゴの前端がガレージの裏壁にぶつかる。ハシゴの前端がガレージの裏壁にぶつかる事象とハシゴの後端がガレージに入りきる事象には因果関係がないので、どちらが先に起こるのかは慣性系によって変化するのである。
先に進む前に、特殊相対性理論で頻繁に用いられるテンソル代数の知識について述べる。
特殊相対性理論では、
\sum_\mu a^\mu b_\mu
のように上つきと下つきで同じ添え字(この場合は μ)が使われているときは、Σ 記号を省略し、
a^\mu b_\mu
と書き表す慣用的な記法が用いられることが多い。この記法をアインシュタインの縮約記法という。
この縮約記法は行列の積や3項以上の場合にも同様に用いられ、例えば
\sum_{\kappa,\tau} a^\mu{}_\kappa b^\kappa{}_\tau c^\tau{}_\nu
a^\mu{}_\kappa b^\kappa{}_\tau c^\tau{}_\nu
と略す。
一方、たとえ2箇所の添え字が共通していても、
\sum_\mu a_\mu b_\mu 、 \sum_\nu c^\nu d^\nu
のように添え字が両方下つき、もしくは両方上つきの場合は Σ を省略しない。
(V, η) を4次元ミンコフスキー空間とし、e0, e1, e2, e3 を (V, η) 上の(正規直交とは限らない)基底とする。このとき、以下の性質を満たす V の基底 e0, e1, e2, e3 が一意に存在する事が知られており、この基底を e0, e1, e2, e3 の双対基底という:
任意の μ, ν  0, ..., 3 に対し、\eta(\vec{e}^\mu,\vec{e}_\nu)=\delta^\mu{}_{\nu}.
ここで \delta^\mu{}_{\nu} はクロネッカーのデルタである。
正規直交基底の場合は双対基底は非常に簡単に書くことができる:
(\vec{e}^0,\vec{e}^1,\vec{e}^2,\vec{e}^3)=(\vec{e}_0,-\vec{e}_1,-\vec{e}_2,-\vec{e}_3).
上でも分かるように、双対基底は元の基底と空間方向の向きが反対である。
本項では正規直交の場合にしか双対基底の概念を用いないが、一般相対性理論を定式化する際には一般の基底に対する相対基底が必要となる為、以下基底は正規直交とは限らない場合について述べる。
双対基底はミンコフスキー計量の成分表示を使って具体的に求めることができる。
\eta_{\mu\nu} = \eta(\vec{e}_\mu, \vec{e}_\nu)
とするとき、(ημν)μν の逆行列を ((η1)μν)μν とすれば、
\vec{e}^\mu=(\eta^{-1})^{\mu\xi}\vec{e}_\xi
である。実際、
\eta(\vec{e}^\mu,\vec{e}_\nu)=(\eta^{-1})^{\mu\xi}\eta(\vec{e}_\xi ,\vec{e}_\nu)= (\eta^{-1})^{\mu\xi} \eta_{\xi\nu}=\delta^\mu{}_\nu
である。
双対基底の定義から、次が成立する:
以下の議論では、「通常の」基底 e0, e1, e2, e3 を一組固定し、e0, e1, e2, e3 をその双対基底とする。しかし上の定理でもわかるように、どちらの基底を「通常の」基底とみなし、どちらを双対基底とみなすのかは任意である。本項では、空間方向が右手系のものを通常の基底とみなし、左手系のものをその双対基底とみなすことにする。
V の元 a を基底 e0, e1, e2, e3 で表す場合、a の各成分の添え字を
\vec{a}= a^\mu\vec{e}_\mu
のように上つきに書く(アインシュタインの縮約で表記)。一方、a を e0, e1, e2, e3 の双対基底 e0, e1, e2, e3 を用いて表す場合、a の各成分の添え字を
\vec{a}= a_\mu\vec{e}^\mu
のように下つきに書く。明らかに
a^\mu=\eta(\vec{a},\vec{e}^\mu),\quad
a_\mu=\eta(\vec{a},\vec{e}_\mu)
である。また正規直交基底の場合は明らかに
(a^0,a^1,a^2,a^3)=(a_0,-a_1,-a_2,-a_3)
が成立する。
V の2つの元 a、b のミンコフスキー内積をとるとき、一方を基底 e0, e1, e2, e3 で表し、他方をその双対基底で表すと、
\eta\left(\sum_\mu a^\mu\vec{e}_\mu, \sum_\nu b_\nu\vec{e}^\nu\right)=a^0b_0+a^1b_1+a^2b_2 +a^3b_3=a^\mu b_\mu
と通常の内積のように書け、ミンコフスキー内積特有の符号の煩わしさから解放されるので便利である。
基底を一つ指定したとき、aμ は添え字 μ に対し反変、aμ は添え字 μ に対し共変であるという。これらの名称は、基底を取り替えた際の成分の変化に由来する。すなわち、ミンコフスキー空間上にもう1組の基底 (e′0, e′1, e′2, e′3) を用意し、基底の間の座標変換が成分表示で
と書けていたとすると4元ベクトル a の反変成分 a = a′νe′ν  aμeμ は、
という関係になるので、ダッシュつきの座標系にうつるとき、基底とは反対に Λμν の逆行列で結ばれる。それゆえ、「反対の変化」、すなわち反変と呼ばれる。
一方、基底の変更に対する共変成分の変化を見るため、双対基底が基底の変更でどのような影響を受けるか調べる。
とすると、
\delta^\mu{}_\nu=\eta(\vec{e}'^\mu,\vec{e}'_\nu)=\Gamma^\mu{}_\xi\Lambda^\kappa{}_\nu\eta(\vec{e}^\xi,\vec{e}_\kappa) =\Gamma^\mu{}_\xi\Lambda^\kappa{}_\nu\delta^\xi{}_\kappa= \Gamma^\mu{}_\xi\Lambda^\xi{}_\nu
すなわち、Γμν は Λμν の逆行列 (Λ1)μν であるので、双対基底は
という変換規則に従うことがわかる。よって4元ベクトル a の共変成分 a  a′νe′ν  aμeμ は、
という関係になるので、ダッシュつきの座標系にうつるとき、基底と共通の行列 Λμν で結ばれる。それゆえ、「共通の変化」、すなわち共変と呼ばれる。
本節ではテンソルに関する基本的な知識を紹介する。ただし本節での解説はミンコフスキー空間 V 上に限定したものであるので、一般の空間で成り立つとは限らない。
n を自然数とする。写像 T\colon V^n\to \mathbb{R} が以下の性質(多重線形性)を満たすとき、T をn次のテンソルという:
V の任意の4元ベクトル aμν と任意の実数 kμν に対し、
\begin{align}&T(\sum_{\nu_1}k^{1}_{\nu_1}\vec{a}_{\nu_1}^{1},\ldots,\sum_{\nu_n}k^{n}_{\nu_n}\vec{a}_{\nu_n}^{n})\\&=\sum_{\nu_1,\ldots,\nu_n}k^{1}_{\nu_1}\cdots k^{n}_{\nu_n}T(\vec{a}_{\nu_1}^{1},\ldots,\vec{a}_{\nu_n}^{n}).\end{align}
特殊相対性理論で重要なのは主に2次のテンソルであるので、以下2次のテンソルに話を限定するが、一般の場合も同様である。なお、2次のテンソルは数学で二次形式と呼ばれるものと同一である。
2次のテンソル T に対し、
T(\vec{a},\vec{b})= T(\vec{b},\vec{a})
が全ての4元ベクトル a、b に対して成り立つとき、T を対称テンソルという。また
T(\vec{a},\vec{b})= -T(\vec{b},\vec{a})
が全ての4元ベクトル a、b に対して成り立つとき、T を反対称テンソルという。
T をミンコフスキー空間上の2次のテンソルとし、e0, e1, e2, e3 をミンコフスキー空間の基底とし、e0, e1, e2, e3 をその双対基底とする。このとき、上述の基底や相対基底を使って T を4通りに成分表示する事が可能である:
\begin{align}
T_{\mu\nu}&=T(\vec{e}_{\mu},\vec{e}_{\nu}),\\
T^{\mu}{}_{\nu}&=T(\vec{e}^{\mu},\vec{e}_{\nu}),\\
T_{\mu}{}^{\nu}&=T(\vec{e}_{\mu},\vec{e}^{\nu}),\\
T^{\mu\nu}&=T(\vec{e}^{\mu},\vec{e}^{\nu}).
\end{align}
4元ベクトル a, b を
\vec{a}=a^\mu\vec{e}_\mu=a_\mu\vec{e}^\mu
\vec{b}=b^\nu\vec{e}_\nu=b_\nu\vec{e}^\nu
と成分表示する(アインシュタインの縮約で表記)と、
が成立する。
上述の4通りの成分表示において、T は上付きの添え字に対し反変、下付きの添え字に対し共変であるという。
4元ベクトルの場合と同様、基底を別のものに取り替えたとき T の各成分は、反変の添え字に関しては基底変換行列の逆行列が、共変の添え字に関しては基底変換行列そのものが作用する。例えば
なので、ダッシュつきの基底に関する成分 T′μν は
T'^{\mu}{}_{\nu}=T(\vec{e}'^{\mu},\vec{e}'_{\nu})= T(\vec{e}^{\xi},\vec{e}_{\kappa}) (\Lambda^{-1})_\xi{}^\mu\Lambda ^\kappa{}_{\nu} = T^{\xi}{}_{\kappa}(\Lambda^{-1})_\xi{}^\mu\Lambda ^\kappa{}_{\nu}
と、上付きの添え字には反変、下付の添え字には共変に変化する。
ミンコフスキー計量 η も二次の対称テンソルであるので、上述のように成分表示できる。
基底が正規直交であれば、ミンコフスキー計量の成分表示は非常に簡単になり、
(\eta_{\mu\nu})_{\mu\nu}=(\eta^{\mu\nu})_{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc}1&&&\\&-1&&\\&&-1&\\&&&-1\end{array}\right),
(\eta_{\mu}{}^{\nu})_{\mu\nu} =(\eta ^{\mu}{}_{\nu})_{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc}1&&&\\&1&&\\&&1&\\&&&1\end{array}\right).
のように書くことができる。
ミンコフスキー空間上の線形写像 f : V → V が与えられたとき、2次のテンソルを
と定義できる。
逆にミンコフスキー空間上の2次のテンソル T が任意に与えられたとき、T1式を満たす線形写像 f が一意に存在する事が知られている。従って2次のテンソルと線形写像を自然に同一視できる。
2次のテンソル T に対応する線形写像は基底 e0, e1, e2, e3 を用いると、下記のように具体的に書き表す事もできる:
a^\mu\vec{e}_\mu\mapsto T^\nu{}_\mu a^\mu\vec{e}_\nu.
ミンコフスキー空間上の各世界点 P にテンソル TP を割り振ったもの(すなわちミンコフスキー空間からテンソルの集合への写像 P ⤅ TP)をテンソル場という。
相対性理論でテンソル場は中核に位置する概念であり、電磁場を初めとして様々なものをテンソル場として表現する。
本節では、電磁気学の基本的な概念や方程式を特殊相対性理論に合致する形に書き換える。
以下、慣性系
(x^0,x^1,x^2,x^3),~x^0=ct
を1つ固定し、この慣性系において電磁気学を記述する。詳細は省くが、本節の記述は、他の慣性系で電磁気学を記述したものとローレンツ変換で移りあう事を確認できるので、特殊相対性理論に合致している。
なお、本項では国際単位系を用いる場合に対して記述したが、など電磁気の単位#CGSガウス単位系を用いている書籍における定義とは光速度 c のかかる位置が違うなどの差があるので注意が必要である。
電荷密度 ρ と電流密度 j  (jx, jy, jz) を使って、4元電流密度を、
(j^0,j^1,j^2,j^3):=(c\rho,j_x,j_y,j_z)
によって定義する。
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{j}=0
は、4元電流密度と4元勾配 (4–gradient) (∂0, ∂1, ∂2, ∂3) を用いて
\partial_\nu j^\nu=0
と表現できる。ここで ∂ν は ∂ / ∂xν の略記である。
真空の誘電率、透磁率をそれぞれ ε0, μ0 とすると、マクスウェル方程式により導かれる電磁波の速度 1 / μ0ε0 が真空中の光速度と一致する事が実験・観測により確かめられたので、光の正体は電磁波であると考えられるようになった。この事実から、
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}
である。
さらに電場 E  (Ex, Ey, Ez) と磁束密度 B  (Bx, By, Bz) を用いて電磁テンソルを
(F^{\alpha\beta})_{\alpha\beta}:=\begin{pmatrix}
0&-E_x/c&-E_y/c&-E_z/c\\
E_x/c&0&-B_z&B_y\\
E_y/c&B_z&0&-B_x\\
E_z/c&-B_y&B_x&0
\end{pmatrix}
により定義する。
電磁場を別の慣性系から見た場合、電場と磁束密度がそれぞれ E′  (E′x, E′y, E′z) と B′  (B′x, B′y, B′z) であったとし、これらから作った電磁テンソルを F′αβ とする。
F′αβ と Fαβ がローレンツ・ブーストL4式で移りあう為の必要十分条件は、
\begin{align}
(E'_x,B'_x)&=(E_x,B_x),\\
(E'_y,B'_y)&=\gamma(E_y- |\boldsymbol{v}| B_z,B_y+ |\boldsymbol{v}| E_z /c^2 ),\\
(E'_z,B'_z)&=\gamma(E_z+ |\boldsymbol{v}| B_y,B_z- |\boldsymbol{v}| E_y /c^2 ) \end{align}
が成立する事である事を簡単な計算で確認できる。ここで v は2つの慣性系の間の相対速度で、γ  1 / 1 − (!v!/c)2 はローレンツ因子である。
非相対論的極限 v / c ≈ 0 では γ ≈ 1 なので、上述の条件式は、古典電磁気学で知られている慣性系間の変換公式
:
に一致する。
よって電磁テンソルはローレンツ変換に対して共変であると結論づけられる。
特殊相対性理論以前のマックスウェル方程式の解釈には非対称性があった。例えば磁石を固定されたコイルに近づけた場合は電磁誘導により電流が流れると解釈されるが、逆にコイルを固定された磁石に近づけた場合はローレンツ力で電子が動かされることにより電流が流れると解釈された。今日的な視点から見れば、これら2つのケースは単なる慣性系の取り替えに過ぎないにも関わらず、両者の解釈が異なるのは不自然である。事実、流れる電流の量はどちらのケースであっても同一であり、磁石とコイルの相対速度だけで決まる。
このような非対称な解釈になったのは、当時は電場と磁束密度は完全に別概念であったことによる。E1式も、今日の目から見ると電場と磁束密度を電磁テンソルという同一のテンソルとしてまとめるべき事を示唆しているように見えるが、当時はE1式の第二項はあくまでも「仮想的な」電場や磁束密度の効果であるとみなされた。
上述したような理論の非対称性の解消に関心のあったアインシュタインは、特殊相対性理論によりこの非対称性を解消した。
すでに電磁テンソルがローレンツ変換に対して共変であることを示したので、マクスウェル方程式を電磁場テンソルで表せば、マクスウェル方程式もローレンツ変換に対して共変であることを示せる。
\begin{align}\nabla\cdot\boldsymbol{E}&=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\
\nabla\times\boldsymbol{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial\boldsymbol{E}{\partial t}&=\mu_0\boldsymbol{j}\end{align}
\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta}=\mu_0 j^{\beta}
と同一の形で表現でき、残りの2式
\begin{align}\nabla\cdot\boldsymbol{B}&=0\\
\frac{\partial\boldsymbol{B}{\partial t}+\nabla\times\boldsymbol{E}&=0\end{align}
\partial_\gamma F_{\alpha\beta}+\partial_\alpha F_{\beta\gamma}+\partial_\beta F_{\gamma\alpha}=0(α, β, γ は相異なる)
と同一の形で表現できる。なお、リッチ計算の記法を用いると、上の式は
\partial_{[\alpha}F_{\beta\gamma]}=0
とも表記できる。
マクスウェル方程式は微分形式と外微分を用いるとさらに簡潔に表現できる事が知られているが、微分形式に関する予備知識を必要とするので本節では述べない(マクスウェル方程式#微分形式による表現を参照)。
電磁場には必ず以下の条件をみたす組 φ, A(電磁ポテンシャル)が存在する事が知られている
:
{\partial t}
E2
|cellpadding= 6
}
本節では、電磁ポテンシャルの4元ベクトル版である4元ポテンシャル
を用いる事で、マクスウェル方程式を表現する。
1つの電磁場に対しE2式を満たす電磁ポテンシャルは一意ではない事が知られている。そこでローレンツ共変性を損ねない形で電磁ポテンシャルを制限するため、4元勾配を使った以下の条件(ローレンツ・ゲージ)を課す:
このとき、マクスウェル方程式は4元電流密度を用いて
という一本の式で書き表せる。ここで
\Box:=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{\partial^2}{\partial y^2}-\frac{\partial^2}{\partial z^2}
はダランベルシアンである。
今、電荷 q を持った質点があるとし、この質点の4元速度を u とし、u の反変成分を (u0, u1, u2, u3) とする。このとき、この質点が電磁場から受ける4元力を、電磁場テンソル Fαβ を用いて
によって定義すると、この4元力からできる質点の運動方程式は
\frac{\mathrm{d}p^{\alpha}{\mathrm{d}\tau}=qF^{\alpha\beta}u_{\beta}
である。ここで pβ は質点の4元運動量の β 成分で、τ は質点の固有時間である。
上の運動方程式は α  0, 1, 2, 3 に対して定義されているが、4元運動量と4元速度の空間成分(の共変表現)p  (p1, p2, p3), v  (u1, u2, u3) に着目すると、電磁場テンソルの定義より、運動方程式の空間成分は
左辺の空間成分 =\gamma\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}{\mathrm{d}t}
右辺の空間成分 =\gamma q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})
となることがわかる。ここで γ はローレンツ因子 1 / 1 − (!v!/c)2 である。