七十八角形
七十八角形(ななじゅうはちかくけい、ななじゅうはちかっけい、heptacontaoctagon)は、多角形の一つで、78本の辺と78個の頂点を持つ図形である。内角の和は13680°、対角線の本数は2925本である。
正七十八角形においては、中心角と外角は4.615…°で、内角は175.384…°となる。一辺の長さが a の正七十八角形の面積 S は
S = \frac{78}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{78} \simeq 483.88751 a^2
\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{78}+2\cos\frac{46\pi}{78}+2\cos\frac{34\pi}{78}=\frac14 \left( -1-\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)} \right) = x_1 \\
2\cos\frac{22\pi}{78}+2\cos\frac{38\pi}{78}+2\cos\frac{62\pi}{78}=\frac14 \left( -1+\sqrt{13}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right) = x_2 \\
2\cos\frac{70\pi}{78}+2\cos\frac{50\pi}{78}+2\cos\frac{58\pi}{78}=\frac14 \left( -1-\sqrt{13}-\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)} \right) = x_3 \\
2\cos\frac{10\pi}{78}+2\cos\frac{74\pi}{78}+2\cos\frac{14\pi}{78}=\frac14 \left( -1+\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right) = x_4 \\
\end{align}
さらに、以下のような関係式が得られる。
\begin{align}
\left( 2\cos\frac{2\pi}{78} + \omega \cdot 2\cos\frac{46\pi}{78} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{34\pi}{78} \right)^3=& 3x_1+2\cos\frac{2\pi}{26}+2\cos\frac{6\pi}{26}+2\cos\frac{18\pi}{26}+6(x_4-2)+ 3\omega \left( 2x_1+x_3+2\cos\frac{14\pi}{26}+2\cos\frac{10\pi}{26}+2\cos\frac{22\pi}{26} \right)+3\omega^2 \left( 2x_1+x_2+2\cos\frac{14\pi}{26}+2\cos\frac{10\pi}{26}+2\cos\frac{22\pi}{26} \right) \\
=& 3x_1+\frac{1+\sqrt{13}{2}+6(x_2-2)+ 3\omega \left( 2x_1+x_3+\frac{1-\sqrt{13}{2} \right)+3\omega^2 \left( 2x_1+x_2+\frac{1-\sqrt{13}{2} \right) \\
=& \tfrac{-104+34\sqrt{13}-3\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}-3\sqrt{3}\left( 2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8} \\
\left( 2\cos\frac{2\pi}{78} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{46\pi}{78} + \omega \cdot 2\cos\frac{34\pi}{78} \right)^3=& 3x_1+2\cos\frac{2\pi}{26}+2\cos\frac{6\pi}{26}+2\cos\frac{18\pi}{26}+6(x_4-2)+ 3\omega^2 \left( 2x_1+x_3+2\cos\frac{14\pi}{26}+2\cos\frac{10\pi}{26}+2\cos\frac{22\pi}{26} \right)+3\omega \left( 2x_1+x_4+2\cos\frac{14\pi}{26}+2\cos\frac{10\pi}{26}+2\cos\frac{22\pi}{26} \right) \\
=& 3x_1+\frac{1+\sqrt{13}{2}+6(x_2-2)+ 3\omega^2 \left( 2x_1+x_3+\frac{1-\sqrt{13}{2} \right)+3\omega \left( 2x_1+x_2+\frac{1-\sqrt{13}{2} \right) \\
=& \tfrac{-104+34\sqrt{13}-3\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+3\sqrt{3}\left( 2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8} \\
\end{align}
\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{78} + \omega \cdot 2\cos\frac{46\pi}{78} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{34\pi}{78}=&\sqrt[3]{\tfrac{-104+34\sqrt{13}-3\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}-3\sqrt{3}\left( 2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8} \\
2\cos\frac{2\pi}{78} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{46\pi}{78} + \omega \cdot 2\cos\frac{34\pi}{78}=&\sqrt[3]{\tfrac{-104+34\sqrt{13}-3\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+3\sqrt{3}\left( 2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8} \\
\end{align}
\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{78}=& \frac16 \left(\tfrac{-1-\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}{4}+\sqrt[3]{\tfrac{-104+34\sqrt{13}-3\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}-3\sqrt{3}\left( 2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8}+\sqrt[3]{\tfrac{-104+34\sqrt{13}-3\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+3\sqrt{3}\left( 2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8} \right)\\
\end{align}
正七十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正七十八角形は折紙により作図可能である。