行列
以下のような計算は定義されないため実行してはならない。
\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} g & h \\ i & j \\ k & l \end{bmatrix} = \cdots
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{bmatrix}^{-1} = \cdots
正方行列ではない行列の行列式正方行列でない行列に対して行列式を考える理論も存在する。これは C. E. Cullis により導入された。
\det \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix} = \cdots
\begin{align}
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \lambda \, \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \\
\end{align}
\operatorname{tr} \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix} = \cdots
行列を2つあるいは3つの行列の積に因数分解するには以下の方法が知られている。
LU分解 - 正方行列Aを下三角行列と上三角行列の積に分解。 A = LU
コレスキー分解 - 正値対称行列(またはエルミート行列)Aを下三角行列と上三角行列の積に分解。 A = U*U
QR分解 - (m,n)行列を直交行列(またはユニタリ行列)Qと上三角行列Rに分解 A = QR
固有値分解 -
特異値分解 - (m,n)行列を直交行列(またはユニタリ行列)U,Vと対角行列Dに分解 A = UDV*
正規行列 - ユニタリ対角化可能な行列のクラス
行列とその乗法は、これを一次変換(つまり線型写像)と関連付けるとき、その本質的な特徴が浮き彫りになる。
m × n 行列 A から線型写像 Rn → Rm が各ベクトル x ∈ Rn を行列としての積 Ax ∈ Rm へ写すものとして定まる。逆に、各線型写像 f: Rn → Rm を生じる m × n 行列 A は一意的に決まる。陽に書けば、A の (i, j)-成分は、f(ej) の第 i-成分である。ただし ej = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) は第 j-成分だけが 1 で他が全部 0 の単位ベクトルである。
このとき、行列 A は線型写像 f を表現すると言い、A を f の変換行列または表現行列と呼ぶ。
例えば 2 × 2 行列
A = \begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}
は、単位正方形を (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), (c, d) を頂点とする平行四辺形に写すものと見做すことができる。この平行四辺形は、単位正方形の頂点を成す四つの(列)ベクトル (0), (1), (1), (0) の各々に A を掛けることによって得られる。
この行列と線型写像との間の一対一対応のもとで、行列の乗法は写像の合成に対応する: 上記の A と f に加えて、k × m 行列 B が別の線型写像 g: Rm → Rk を表現するものならば、合成 g ∘ f は行列の積 BA で表現される。実際、
である。最後の等号は行列の積の結合性による。
行列の一般化の方向性はいくつか異なるものが存在する。抽象代数学では行列の成分をもっと一般の(可換とは限らない)体や環としたものを用いるし、線型代数学は線型写像の概念を機軸に行列の性質を体系化したものである。また行や列の数を無限に増やした行列というものを考えることもできる。他の拡張としてテンソルは、(行列が矩形状あるいは二次元の数の配列と見ることができるのに対して)数の配列を高次化したものと見ることもできるし、ベクトルの双対や数列として実現することもできるものである。適当な制約条件を満足する行列の集まりは、行列群あるいは線型代数群などと呼ばれる群を成す。
しばしば実または複素成分の行列に焦点を当てることもあるmore_general_entriesが、それ以外にももっと一般の種類の成分を持った行列を考えることができる。一般化の最初の段階として任意の体(すなわち四則演算が自由にできる集合、例えば R, C 以外に有理数体 Q や有限体 Fqなど)を成分として考える。例えば符号理論では有限体上の行列を利用する。どの体で考えるとしても、固有値は多項式の根として考えることができて、それは行列の係数体の拡大体の中に存在する。たとえば、実行列の場合は固有値は複素数である。ある行列の成分をより大きな体の元と解釈しなおすことはできる(例えば実行列を全ての成分が実数であるような複素行列とみることができる)から、そのような十分大きな体の中で任意の正方行列についてその固有値全てから成る集合を考えることができる。あるいは最初から、複素数体 C のような代数閉体に成分を持つような行列のみを考えるものとすることもできる。
もっと一般に、抽象代数学では環に成分を持つ行列というものが甚だ有用である。環は除法演算を持たない点において体よりも一般の概念である。この場合も、行列の加法と乗法はそのまままったく同じ物を使うことができる。R 上の n-次正方行列全体の成す集合 M(n, R) は全行列環と呼ばれる環であり、左 R-加群 Rn の自己準同型環に同型である。環 R が可換環、すなわちその乗法が可換律を満たすならば、全行列環 M(n, R) は(n = 1 でない限り)非可換な R 上の単位的結合多元環となる。可換環 R 上の正方行列の行列式はライプニッツの公式を用いて定義することができて、可換環 R 上の正方行列が可逆であることの必要十分条件をその行列式が R の可逆元であることと述べることができる(これは零元でない任意の元が可逆元であった体の場合の一般化になっている)。超環上の行列は超行列と呼ばれる。
行列の成分が必ずしもすべて同じ環に属するというわけではない(し、すべてが全く別の環に成分を持つというわけでもない)。一つの特別な、しかしよく用いられる場合として、成分自体が行列となっているような行列と見なすこともできる区分行列が挙げられる。その成分は二次元的な行列である必要はないし、また通常の環の元である必要もないが、その大きさに関しては適当な両立条件を満足するものでなければならない。
線型写像 Rn → Rm は既に述べたように m × n 行列と等価である。一般に有限次元ベクトル空間の間の線型写像 f: V → W は(V の次元を n, W の次元を m として) V の基底 v1, …, vn と W の基底 w1, …, wm を選べば
f(\mathbf{v}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j} \mathbf{w}_i\quad(j=1,\ldots,n)
を満たす行列 A = (aij) によって記述することができる。言い換えれば、
A の第 j-列は基底ベクトル vj の像を W の基底 {wi} に関して表したものになっている。従ってこのような関係は行列 A の成分から一意的に定まる。注意すべきは線型写像を表す行列は基底の取り方に依存することである。基底の取り方を変えれば別な行列が生じるが、それはもとの行列と同値になる。既に述べた具体的な概念の多くはこの方法を通して解釈しなおすことができる。例えば転置行列 A⊤ は A の定める線型写像の転置写像を、双対基底に関して記述するものである。。
より一般に、m × n 行列全体の成す集合は、勝手な単位的環 R に対して自由加群 Rm および Rn の間の R-線型写像を表すのに利用することができる。n = m のとき、そのような写像の合成を定義することができて、n-次正方行列全体の成す全行列環が、Rn の自己準同型環を表現するものとして生じる。
群というのは集合と二項演算(つまり、任意の二つの対象を結合して第三の対象を作る操作)からなる数学的構造で、適当な条件を満たすものである。行列をその元とし、行列の積を群演算とするような群は、行列群または線型代数群と呼ばれる普通はさらに一般線型群の閉集合となることも要求する。。群の任意の元は可逆であるから、最も一般の行列群は与えられたサイズの可逆行列全体の成す群 GLn であり、一般線型群と呼ばれる。
行列の性質のうちで積と反転に関して保たれるものを用いると、さらに別の行列群を定義することもできる。例えば、与えられたサイズの行列式が 1 であるような行列の全体は、同じサイズの一般線型群に含まれる部分群となり、特殊線型群 SLn と呼ばれる。また、条件
M⊤M = I
で定まる直交行列の全体は直交群 O(n) を成す。「直交」の名は、対応する Rn の線型変換が、M を掛ける操作で二つのベクトルの内積を変えない
(Mv) · (Mw) = v · w
という意味で角を保つことに由来する。
任意の有限群は何らかの行列群同型である。なんとなれば対称群の正則表現を考えればよい。故に、表現論の意味で、一般の群を比較的よくわかっている行列群を用いて調べることができる。
行または列の数を無限にした行列と呼べるようなものも考えることができるが、そのようなものを陽なかたちに書き記すことはできないので、行を添字付ける集合と列を添字付ける集合を用意して(添字集合は必ずしも自然数から成るものでなくてよい)、それらの各元に対して行列の成分が矛盾無く定義されるという方法で扱うことになる。このとき、和・差、スカラー倍、転置といった基本演算については問題なく定義されるが、行列の乗法に関してはその成分が無限和として与えられることになり、これは(適当な制約条件を抜きにしては)一般には定義されない。
R を任意の単位的環とすれば、右 R-加群としての \textstyle M=\bigoplus_{i\in I}R の自己準同型環は、I × I で添字付けられ、各列の非零成分の数が有限個であるような列有限行列の環 CFMI(R) に同型である。これと対応するものとして、左 R-加群としての M の自己準同型環を考えれば、同様に各行の非零成分の数が有限な行有限行列の環 RFMI(R) が得られる。
無限次元行列を線型写像を記述するのに用いるならば、次に述べるような理由から、その各列ベクトルが有限個の例外を除いて全ての成分が 0 となるものとならなければ無用である。A が適当な基底に関して線型写像 f: V → W を表現するものとすると、それは定義により、空間の任意のベクトルを基底ベクトルの(有限)線型結合として一意に表すことによって与えられるのであるから、従って(列)ベクトル v の成分 vi で非零となるものは有限個に限られる。また、A の各列は V の各基底ベクトルの f による像を W の基底に関して表したものとなっているから、これが意味を持つのはこれらの列ベクトルの非零成分が有限個である場合に限る。しかし一方で、A の行に関しては何の制約もない。事実、v の非零成分が有限個であるならば、積 Av はその各成分が見かけ上無限和の形で与えられるとしても、実際にはそれは非零の項が有限個しかないから、間違いなく決定することができる。さらに言えば、これは A の実質的に有限個の列の線型結合を成すことになり、また各列の非零成分は有限個だから結果として得られる和も非零成分が有限個になる。(通常は、行と列が同じ集合で添字付けられるような)与えられた型の二つの行列の積は矛盾無く定義できて、もとと同じ型を持ち、線型写像の合成に対応することも確認できる。
R がノルム環ならば、行または列に関する有限性条件を緩めることができる。すなわち、有限和の代わりに、そのノルムに関する絶対収束級数を考えればよい。例えば、列和が絶対収束列となるような行列の全体は環を成す。もちろん同様に、行和が絶対収束列となるような行列の全体も環を成す。
この文脈では、収束して連続的な問題を生じ、適当な制約条件を満たすような無限次行列はヒルベルト空間上の作用素を記述するものとして利用することができる。しかし、このようなやり方は行列としての陽な観点は曖昧になりがち"Not much of matrix theory carries over to infinite-dimensional spaces, and what does is not so useful, but it sometimes helps." であり、むしろその代わりに関数解析学の抽象的でより強力な手法が利用できる。
空行列は行または列(あるいはその両方)の数が 0 であるような行列をいう"Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero", "A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix", 。零ベクトル空間を含めて写像を考える場合に、空行列は役に立つ。例えば、A が 3 × 0 行列で B が 0 × 3 行列ならば、積 AB は三次元空間 V からそれ自身への空写像に対応する 3 × 3 零行列である。空行列を表す記号というのは特に定まってはいないが、多くの数式処理システムでは空行列を作成したり空行列に関する計算をしたりすることができる。0 × 0 行列の行列式は 1 と定義される。これは行列式に関するライプニッツの公式(置換に関する和として表す公式)が空積となり、それは通常 1 であることによる。またこのことは、任意の有限次元空間における恒等変換(に対応する行列)の行列式が 1 であるという事実とも整合する。
行列は数学と科学における数多くの場面で応用される。そのうちのいくつかは単に行列における数字の組を簡潔に表現するために利用させる。例えば、ゲーム理論や経済学における利得行列は2人のプレイヤーの利得を符号化する。
複素数は2×2の実行列で
a + ib \leftrightarrow \begin{bmatrix}
a & -b  \\
b & a \end{bmatrix}
のように表現することで複素数と行列における和と積をそれぞれ対応させることが可能となる。例えば2×2の回転行列は絶対値が1である複素数の乗算を表す。これと同じような解釈は一般に四元数やクリフォード代数においても可能である。
運動学やロボット工学の分野では、2次元または3次元空間における物体の位置や姿勢(回転角)を表現するのに行列が用いられ、ベクトルおよびクォータニオン(四元数)とともに姿勢制御に応用されている。任意のオイラー角は回転行列の積で表現できる。また、同次座標系での座標変換を導入するために、2次元ベクトルを座標変換する際は同次座標を追加した3次元ベクトルと3×3行列の積が、3次元ベクトルを座標変換する際は同次座標を追加した4次元ベクトルと4×4行列の積が使用される。コンピュータグラフィックスでも、アフィン変換を使って2次元平面上の図形を平行移動・回転・拡大縮小・せん断変形したり、ポリゴンメッシュや自由曲面を使って仮想空間上に物体を表現する際、物体を構成する頂点集合の位置や姿勢を表したり、カメラの画角を表現したり、3次元空間上のモデルを正規化デバイス座標系や2次元のスクリーン座標系に投影したりするのに行列が使われている。
ヒル暗号のような初期の暗号技術においても行列は用いられる。しかし、行列の線型性によって、このような暗号はかなり簡単に突破されてしまう。
多項式環における行列は制御理論を学ぶ際に重要となる。
有限グラフの隣接行列はグラフ理論における基本的な概念である。これは枝によって繋がれたグラフの頂点を表す。また、距離行列は頂点間の距離に関する情報を含む。このような概念はハイパーリンクによって繋がれたウェブサイトや道路で繋がれた都市といった場面で応用することができる。このようなことからネットワーク理論においても行列は用いられることとなる。
微分可能関数ƒ: Rn → Rのヘッセ行列はƒの二階導関数によって
H(f) = \left [\frac {\partial^2f}{\partial x_i \, \partial x_j} \right ]
のようになる。これは関数の局所的な状態に関する情報を符号化したものである。