等価回路
このとき、各要素に発生する電圧は、
であり、モータの発電係数を K_e (Vs/rad)、回転速度を \omega (rad/s)とすれば、
で表される。なお、定常動作時は、回路電流 I_a は直流安定電流となるので、巻線インダクタンス L_a による電圧降下はゼロになり無視できる。
機械振動系、音響系を電気回路として表す方法は、アーサー・エドウィン・ケネリーによって考案され、この手法は各分野に拡がった。
電気回路素子と機械系、音響系、熱系、磁気系では、以下のようにパラメータが対応している。ただし、表中に示すとおり物理単位は対応しないので、異なる系を直接的に連結させることはできない。なお、本項では表記の混同を避けるため、電気系の電圧を v、運動の速度を u とする。
これらの対応関係を用いて、電気回路的動作解析・設計手法を各系に取り込むことができる。
摩擦による抵抗や粘性のある流体中を速度 u で動かすために必要な力 f は、機械抵抗成分を R_m とすれば、
で表される(図.20 (a-1)(a-2))。
電気回路では、電流を i、電圧を v、抵抗を R とすれば、
で表される(図.20 (b-1)(b-2))。
これらの式の対応から、機械抵抗 R_m と抵抗 R、力 f と電圧 v、速度 u と電流 i がそれぞれ対応していると考えることができ、図.20 (a-1)の状態を右図(c)に示す電気回路に変換することが可能になる。
質量 M_m の物体に力 f を加え、変位 x が生じたとき、速度を u とすれば、
で表される(図.21 (a-1)(a-2))。
電気回路では、インダクタンス L に電圧 v を印加したとき、電流を i とすれば、
で表される(図.21 (b-1)(b-2))。
これらの式の対応から、質量 M_m とインダクタンス L、力 f と電圧 v、速度 u と電流 i がそれぞれ対応していると考えることができ、図21. (a-1)の状態を図.21 (c)に示す電気回路に変換することが可能になる。
ばねの一端を固定し、他端に力 f を加えたとき、ばねのコンプライアンスを C_m、変位 x は、
で表される。速度 v は、
となるので、力 f は、
である(図.22 (a-1)(a-2))。
電気回路では、静電容量 C に電圧 v を印加したとき、電荷を q、電流を i とすれば、
であり、q=\int {idt} であるから、電圧 v は、
で表される(図.22 (b-1)(b-2))。
これらの式の対応から、コンプライアンス C_m と静電容量 C、力 f と電圧 v、速度 u と電流 i、変位 x と電荷 q がそれぞれ対応していると考えることができ、図.22 (a-1)の状態を図.22 (c)に示す電気回路に変換することが可能になる。
回転体を摩擦抵抗や粘性のある流体中を角速度 \omega で動かすために必要な回転力(トルク) \tau は、回転機械抵抗成分を R_\theta とすれば、
で表される(図.23 (a-1)(a-2))。
電気回路では、電流を i、電圧を v、抵抗を R とすれば、
で表される(図.23 (b-1)(b-2))。
これらの式の対応から、回転機械抵抗 R_\theta と抵抗 R、トルク \tau と電圧 v、角速度 \omega と電流 i がそれぞれ対応していると考えることができ、図.23 (a-1)の状態を図.23 (c)に示す電気回路に変換することが可能になる。
慣性モーメント I を持つ回転体の軸の周りに回転力(トルク) \tau を与え、角速度 \omega が変化したとき、
で表される(図.24 (a-1)(a-2))。
電気回路では、インダクタンス L に電圧 v を印加したとき、電流を i とすれば、
で表される(図.24 (b-1)(b-2))。
これらの式の対応から、慣性モーメント I とインダクタンス L、トルク \tau と電圧 v、角速度 \omega と電流 i がそれぞれ対応していると考えることができ、図.24 (a-1)の状態を図.24 (c)に示す電気回路に変換することが可能になる。
ばねの一端を固定し、他端に回転力(トルク) \tau を加えたとき、ばねの回転コンプライアンスを C_\theta、ねじれ角 \theta は、
で表される。角速度 \omega は、
となるので、トルク \tau は、
となる(図.25 (a-1)(a-2))。
電気回路では、静電容量 C に電圧 v を印加したとき、電荷を q、電流を i とすれば、
であり、q=\int {idt} であるから、電圧 v は、
で表される(図.25 (b-1)(b-2))。
これらの式の対応から、回転コンプライアンス C_\theta と静電容量 C、トルク \tau と電圧 v、角速度 \omega と電流 i、回転角 \theta と電荷 q がそれぞれ対応していると考えることができ、図.25 (a-1)の状態を図.25 (c)に示す電気回路に変換することが可能になる。
媒質が流動する通路中に、動きを妨げるように繊維を詰めたり隙間を設けたりすると粘性のために媒質の動きは妨げられる。
媒質を体積速度 U で運動させるために必要な圧力を \delta p とすると、下式が成り立つ。
ここで、R_A を音響抵抗とよぶ(図.26 (a-1)(a-2))。
電気回路では、電流を i、電圧を v、抵抗を R とすれば、
で表される(図.26 (b-1)(b-2))。
これらの式の対応から、音響抵抗 R_A と抵抗 R、圧力 \delta p と電圧 v、体積速度 U と電流 i がそれぞれ対応していると考えることができ、図.26 (a-1)の状態を図.26 (c)に示す電気回路に変換することが可能になる。
寸法が波長に比べて小さく、両端が開放され、その空間内の媒質が体積一定のまま動く状態にあるとき、一方の断面面積 S に単位面積あたりに圧力 \delta p を加えるとき、媒質の質量を m、全体の速度を u とすれば、断面に加わる力は \delta p S となるので、
断面 S を横切る体積速度を U とすれば U=uS なので、上式を変形すると、
ここで、イナータンス M_A を M_A=\frac{m}{S^2} と定義すれば、
で表される(図.27 (a-1)(a-2))。
電気回路では、インダクタンス L に電圧 v を印加したとき、電流を i とすれば、
で表される(図.27 (b-1)(b-2))。
これらの式の対応から、イナータンス M_A とインダクタンス L、圧力 \delta p と電圧 v、体積速度 U と電流 i がそれぞれ対応していると考えることができ、図.27 (a-1)の状態を図.27 (c)に示す電気回路に変換することが可能になる。
音響コンプライアンス(音響容量)
波長より寸法が小さい容積 W_0 の空洞の口に、圧力 \delta p を加えたとき、中の媒質が圧縮されて容積が \delta W だけ減少したとする。空洞内の媒質の静止圧を p_0、静止密度を \rho_0、媒質の定圧比熱と定積比熱との比を \gamma、音速を c として、断熱変化であるとすれば、以下の近似式が成り立つ。
この式を変形すれば、
ここで、音響コンプライアンス(音響容量)を C_A=\frac{W_0}{c^2 \rho_0} と定義すれば、
となる。口部分を通過する媒質の体積速度 U は、
である。したがって、圧力 \delta p は、
となる(図.28 (a-1)(a-2))。
電気回路では、静電容量 C に電圧 v を印加したとき、電荷を q、電流を i とすれば、
であり、q=\int {idt} であるから、電圧 v は、
で表される(図.28 (b-1)(b-2))。
これらの式の対応から、音響コンプライアンス C_A と静電容量 C、圧力 \delta p と電圧 v、体積速度 U と電流 i、容積 \delta W と電荷 q がそれぞれ対応していると考えることができ、図.28 (a-1)の状態を図.28 (c)に示す電気回路に変換することが可能になる。
伝熱工学における等価回路の適用は、熱流量 Q と電流 I、熱抵抗 R_{th} と電気抵抗 R、熱容量 C_{th} と静電容量 C を対応させることができる。
2点の温度が T_1 と T_2 (T_1 > T_2) であり、その間の熱流量が Q であるとき、熱抵抗 R_{th} は、
で定義される。熱抵抗は熱伝達率の逆数であり、熱の伝わりにくさを表す。
これは、電気回路における2点の電位 V_1、V_2 間 (V1 > V_2)に流れる電流 I と電気抵抗 R の関係、
に対応している(図.29)。
伝熱において、定常状態では熱抵抗のみを考慮すれば良いが、発熱源の発熱量が変化するなどの過渡的な状態では対象となる物質の熱容量によって温度に時間的な変化が生じる。
熱容量 C_{th} は、熱量 \Delta Q を与えたときに上昇する温度を \Delta T とすれば、
である。
これは、電気回路における静電容量 C と、電荷 q、電位差 V の関係
と同形式である。ここで、電荷 q と熱量 \Delta Q が対応し、それぞれを時間積分したものが、電流 i、熱流量 Q に対応する。
熱回路網とは、温度、熱源、熱抵抗、熱容量の関係を回路図としてモデル化したものである。電気回路の場合と同様の計算で解くことが出来る。
単純な例として、2点の温度(T_1 - T_2)間に異なる2種の熱抵抗 R_{th1}、R_{th2} の物質があることを想定する。このとき、2点間に対して直列に層をなしている場合は各熱抵抗を加算したものが合成熱抵抗となり、R_{th}=R_{th1}+R_{th2} となる(図.30 (a))。また、2点間に対して並列に層をなしている場合は、\frac{1}{R_{th}=\frac{1}{R_{th1}+\frac{1}{R_{th2} となる(図.30 (b))。したがって、R_{th}=\frac{R_{th1}R_{th2}{R_{th1}+R_{th2} である。
いずれも、電気回路における抵抗の直列接続、並列接続の場合と同様に計算できる。
熱容量が無視できない過渡状態では、熱抵抗と熱容量を回路として用い、過渡熱インピーダンスと呼ぶ。過渡熱インピーダンスのモデルとしては、ラダー型のCauerモデル(図.31 (a))、チェーン型のFosterモデル(図.31 (b))がある。ただし、熱抵抗、熱容量のいずれも材質や形状などが理想状態からずれることが多く、モデリングの合わせ込みが必要となる"注釈"。
例えば、電磁石のように鉄芯にコイルを巻いて電流を流すことで磁束を発生させることを考えたとき、磁束の通る磁路を磁気回路という(図.32 (a))。
磁束 \phi を発生させる力を起磁力 \mathcal{F} とよび、コイルの巻数 N とコイルに流す電流 i から
となる。また、磁路の平均長を \mathit{l}、断面積を S とし、透磁率を \mu としたとき、磁気抵抗(リラクタンス) \mathcal{R} は、
である。磁束 \phi は起磁力 \mathcal{F} に比例し、磁気抵抗 \mathcal{R} に反比例するので、これらのの関係は、
となり、図.32 (b)のような回路に置き換えることができる。また、この式は、電気回路における電流 i、電圧 E、電気抵抗 R との関係(オームの法則)
と同形式(図.32 (c))であり\begin{cases}\phi \Leftrightarrow i\\
\mathcal{F} \Leftrightarrow E\\
\mathcal{R} \Leftrightarrow R\end{cases}
という対応になるので、磁気回路におけるオームの法則とも呼ばれる。
また、磁気回路におけるオームの法則と同様に、磁気回路におけるキルヒホッフの法則も成立する。
ただし、電気回路の場合は電気抵抗は線形素子として扱えるが、磁気回路の場合は透磁率が磁束の大きさによって変化するため非線形となるので注意を要する。
生体のインピーダンスを測定ないしは推定することにより、心循環系、呼吸系、体組成などの状態を推定したり診断情報として利用することが行われる。
体組織の解析や生体運動の解析を行う上で、人体を抵抗成分や静電容量成分などから構成される生体インピーダンスとして解析する手法がある。
簡単な例では、生体組織が細胞と細胞外液から構成され、細胞が細胞膜と細胞内液から構成されることから、細胞膜が持つ静電容量成分、細胞内液・細胞外液が持つ抵抗成分の回路網として表すことができる(図.33 (a)、(b))。この等価回路を用いて体組成計における体脂肪率等の計測が行われる。
なお、図.33 の2つの等価回路では、それぞれの素子の抵抗値、静電容量を適切に設定することで特性は一致する。
循環器医学におけるウィンドケッセルモデルは、心臓の拍動による動脈血の血圧波形を説明するために導入されたモデルである。大動脈を収縮する槽、末梢血管を一定の流路抵抗を持つとみなすことを基本としている。
最も簡単なモデルでは、動脈のコンプライアンスと末梢血管の抵抗を模擬し、2要素モデルとよばれる(図.35 (a))。心臓の拍動圧を P、血液の流量を Q とする。
2要素モデルに大動脈の流路抵抗 Z_c を加味したモデルを、3要素モデルという(図.35 (b))。
さらに、血流の慣性力 L を加味すると、4要素モデルになる(図.35 (c))。
アラン・ロイド・ホジキンとアンドリュー・フィールディング・ハクスリーは、イカの巨大軸索神経の活動電位伝搬の研究により、神経繊維膜の電気的等価回路(ホジキン-ハクスリー・モデル)を提唱した。これは、神経の活動電位伝搬はナトリウムイオンとカリウムイオンが担っていることを明らかにしたものであるこの研究により、二人は1963年度のノーベル生理学・医学賞を受賞している。
図.36 において、神経繊維膜の膜電位(E)と膜の外部から内部へ流れる電流(I)との関係は、膜の間に存在するイオンの平衡電位(ナトリウムイオン(E_{Na})、カリウムイオン(E_K)、その他塩化物等イオン(E_L))とそれぞれのイオンチャネルの抵抗(R_{Na}、R_K、R_L)、膜間の静電容量(C_M)で決まる。ここで、抵抗成分R_{Na}、R_Kは可変抵抗で表され、膜電位はこれらチャネル抵抗の変化によることで説明ができる
。