位相空間
数学における位相空間(いそうくうかん、topological space)とは、集合Xに位相(topology)と呼ばれる構造を付け加えたもので、この構造はX上に収束性の概念を定義するのに必要十分なものである。
位相空間の諸性質を研究する数学の分野を位相空間論と呼ぶ。
位相空間は、前述のように集合に「位相」という構造を付け加えたもので、この構造により、例えば以下の概念が定義可能となる
部分集合の内部、外部、境界
開集合、閉集合、閉包
実はこれらの概念はいわば「同値」で、これらの概念のうちいずれか一つを定式化すれば、残りの概念はそこから定義できる事が知られている。したがって集合上の位相構造は、これらのうちいずれか1つを定式化する事により定義できる。そこで学部レベルの多くの教科書では、数学的に扱いやすい開集合の概念をもとに位相構造を定義するものが多い。
といった概念も位相構造を用いて定義できる。
上述した概念はいずれも元々距離空間のような幾何学的な対象に対して定義されたものだが、距離が定義されていなくても位相構造さえ定義できれば定式化できる。これにより、位相空間の概念は、幾何学はもちろん解析学や代数学でも応用されており、位相空間論はこうした数学の諸分野の研究の基礎を与える。位相空間の概念の利点の一つは、解析学や代数学などの研究対象に幾何学的な直観を与えることにある。
このような観点からみたとき、位相空間論の目標の一つは、ユークリッド空間など幾何学の対象に対して成り立つ諸性質を解析学などにも一般化することにある。従って学部レベルで学ぶ位相空間論の性質の多くは、ユークリッド空間などの幾何学的な対象では自明に成り立つ(例えば各種分離公理や可算公理)。
位相空間論ではこうした幾何学的な性質をいかに一般の空間へと拡張するかが問われるので、位相空間の概念自身は非常に弱く、かつ抽象的に定義される。しかしその分個別の用途では必要な性質が満たされないこともあり、例えば位相空間上では収束の一意性は保証されない。そこで必要に応じて、位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものが研究対象になることも多い。前述した収束の一意性は、位相空間に「ハウスドルフ性」という性質を加えると成立する。学部レベルの位相空間論の目標の一つは、こうしたプラスアルファの性質の代表的なものを学ぶ事にある。
位相空間となる代表的な空間としては、ユークリッド空間をはじめとした距離空間がある。距離空間は必ず位相空間になるが、逆は必ずしも正しくない。すなわち、距離構造は位相的構造よりも遥かに多くの情報を持った強い概念であり、距離空間としては異なっても位相空間としては同一の空間になることもある。
例えばp≧1を固定して実数空間\mathbb{R}^n上にℓp距離
d_p(x,y)=\sqrt[p]{(x_1-y_1)^p+\cdots (x_n-y_n)^p}
を入れた距離空間(\mathbb{R}^n,d_p)を考えてみると、ε-N論法やε-δ論法による極限の議論で用いるε-近傍はpに依存して異なるにもかかわらず、収束の有無や収束先の点はpによらず一致する。
より一般に、ユークリッド空間をゴム膜のように連続変形したものは、元のユークリッド空間とは距離空間としては異なるが、位相空間としては同一であり、収束するか否かという性質も互いに保たれて不変である。
以上のように、連続性や収束性といった概念を考えたり、連続変形を対象とした研究を行ったりするときには、距離空間の概念は柔軟性に欠けるところがあり、位相空間というより弱い概念を考える積極的動機の一つとなる。
他にも例えば多様体を定義する際には複数の距離空間(ユークリッド空間の開集合)を連続写像で「張り合わせる」(商空間)が、張り合わせに際して元の空間の距離構造を壊してしまうので、元の空間を距離空間とみなすより、位相空間とみなす方が自然である。
位相空間にはいくつかの同値な定義があるが、本項ではまず、開集合を使った定義を述べる。
位相空間を定式化する為に必要となる「開集合」という概念は、直観的には位相空間の「縁を含まない」、「開いた」部分集合である。
ただし上ではわかりやすさを優先して「縁を含まない」、「開いた」という言葉を使ったが、これらの言葉を厳密に定義しようとすると位相空間の概念が必要になるので、これらを使って開集合を定義するのは循環論法になってしまう。また、ここでいう「縁」(=境界)は通常の直観と乖離している場合もあり、例えば実数直線上の有理数の集合の境界は実数全体である。
そこで位相空間の定義では、「縁を含まない」とか「開いた」といった概念に頼ることなく、非常に抽象的な方法で開集合の概念を定式化する。
位相空間を定式化するのに必要なのは、どれが開集合であるのかを弁別するために開集合全体の集合\mathcal{O}を指定する事と、\mathcal{O}が定められた性質を満たすことだけである。
位相空間の厳密な定義は下記のとおりである。thumb定義
上述の定義に登場する3つの条件の意味するところは下記のとおりである:
空集合と全体集合は開集合である。
2つの開集合の共通部分は開集合である。(よって有限個の開集合の共通部分は開集合となるが、無限個の共通部分は開集合とは限らない)
任意の個数(有限でも無限でもよい)の開集合の和集合は開集合である。
本節では、これらの性質を天下り的に与えるにとどめ、後の章で距離空間で具体的な位相に関し、この定義について論ずる。
開集合系\mathcal{O}を一つ定める事で、集合 X が位相空間になるので、\mathcal{O}をX 上の位相(構造)と呼ぶ。
紛れがなければ開集合系\mathcal{O}を省略し、X の事を位相空間 と呼ぶ。
また位相空間X の元を点と呼ぶ。
なお、集合算に関する空積および空和はそれぞれ全体集合と空集合になるので、\mathcal{O}\neq \emptysetを仮定しておけば、上述の定義における条件1を課さなくてもよい。
開集合のX における補集合の事を閉集合と呼び、閉集合全体の集合
\mathcal{F}=\{F\subset X\mid F^c\in\mathcal{O}\}
の事を位相空間X の閉集合系と呼ぶ。
開集合が直観的には「縁を含まない」、「開いた」集合だったのに対し、閉集合は直観的には「縁を含んだ」、「閉じた」集合である。
本項ではこれまで、開集合系を使って位相空間を定義し、開集合の補集合として閉集合を定義したが、閉集合系\mathcal{F}を使って下記のように位相空間を定義する事もできる。この場合、開集合は閉集合の補集合として定義する。
閉集合系による位相空間の定義における3つの条件は、開集合系による位相空間の定義における3つの条件にド・モルガンの法則を適用することにより得られる。
なお、X の開集合でも閉集合でもあるような部分集合は X の開かつ閉集合と呼ばれる(定義から明らかに \emptyset および X は必ず開かつ閉である)。X には、開でも閉でもないような部分集合が存在しうる。
すでに述べたように位相空間の概念を定義する主な動機の一つは、距離空間上で定義される諸概念をより一般の空間でも定義する事である。この意味において距離空間は最も基本的な位相空間の例であるので、本節では距離構造が位相構造を定める事を見る:
定理・定義
xのε-近傍の事を、ε-球(ε-ball)、ε-開球(ε-open ball)、あるいは単に開球(open ball)ともいう。
上記のように定義した\mathcal{O}_dが位相の定義を満たす事を示すために、まず開集合を別の形で書き換える:
\bigcup_{x\in O}B_{\varepsilon_x}(x)
と書ける。
(2⇒3):自明
(3⇒2):O=\bigcup_{x_{\lambda}\in \Lambda}B_{\varepsilon_\lambda}(x_{\lambda})と書ければ、任意のx ∈ Oに対し、x\in O \iff \exists x_{\lambda}\in \Lambda ~:~x\in B_{\varepsilon_\lambda}(x_{\lambda})  なので、\delta_x := \varepsilon_{\lambda} - d(x,x_{\lambda})とすれば、\delta_x > 0であり、B_{\delta_x}(x) \subset B_{\varepsilon_\lambda}(x_{\lambda}) \subset \bigcup_{x_{\lambda}\in \Lambda}B_{\varepsilon_\lambda}(x_{\lambda}) =O である。x ∈ OIの任意性から、Oは\mathcal{O}_dの開集合である。
上述の命題の条件3から特に次の系が従う:系
上述の命題より、\mathcal{O}_dが位相の定義を満たす事が従う:
\bigcup_{x\in O_1}B_{\varepsilon_x}(x)、O_2=\bigcup_{x\in O_2}B_{\delta_x}(x)を開集合とするとき、O_1\cap O_2=\bigcup_{x\in O_1\cap O_2}B_{\min\{\varepsilon_x,\delta_x\(x)も開球の和集合でかけるので開集合である。
|drop=yes|title=証明(\mathcal{O}_dが位相の定義を満たす事)}
なお、位相空間の定義より開集合の(有限または無限個の)和集合は開集合であり、開集合の有限個の共通部分も開集合であるが、開集合の無限個の共通部分は開集合になるとは限らない。実際、任意の自然数n > 0に対し、1/n-球B_{1/n}(x)は定義より開集合であるが、
\bigcap_{n\in\mathbb{N}B_{1/n}(x)=\{x\}
は開集合ではない。
上述のように集合X 上の距離構造に1つの位相構造が対応するが、この対応関係は一般には「単射」ではなく、異なる距離構造が同一の位相構造を定める事も多い。実際、次の命題が成立する:
なお、上記の命題における「連続」の概念は距離空間における連続の事であるが、本稿では後で位相空間上の連続性を定義し、位相空間としての連続性の概念と距離空間としての連続性の概念が一致する事を見る。
上述の命題は、距離空間を連続変形しても位相構造が変わらない事を意味する。したがって連続変形に対して不変な性質を研究する位相幾何学にとって基礎的である。
本節では(実または複素)ベクトル空間における距離と位相の関係を述べる。本節の内容はベクトル空間が有限次元の場合は幾何学、無限次元の場合は解析学に応用がある。
ベクトル空間では、ノルムの概念を定義する事ができ、ベクトル空間上の距離としてはノルムから定まるものを考える事が多い。本節ではまずノルムの定義を振り返り、ノルムから定まる距離を定義し、その距離から定まる位相の性質を見る。
まずノルムとは何かを簡単に説明する:
\mathbb{R}^n上の代表的なノルムとして、p≧1に対するℓpノルム
\|v\|_p=(|v_1|^p+\cdots+|v_n|^p)^{1/p}
が知られている。ここでv(v1,...,vn)である。
V上にノルム・が1つ与えられると、
d(x,y)=\|x-y\|
により、V上の距離が定まる。
このようにノルムから距離が定まり、距離から位相が定まるが、ノルムが「同値」であるとそこから定まる位相が同一になる事が知られている:
定義・定理
Vが有限次元の場合は次の事実が知られている:
この事実から、有限次元ベクトル空間の場合は、ノルムのとり方によらず同一の位相構造が定まる事がわかる。この位相を有限次元ベクトル空間上の自然な位相、通常の位相等と呼ぶ。
一方解析学で頻繁に使われる、無限次元のベクトル空間の場合は、同一のベクトル空間上に複数の同値でないノルムが存在し、それらのノルムがそれぞれ異なる位相構造を定める事になる。例えば[0,1]区間から\mathbf{R}への連続写像全体の集合
C([0,1],\mathbf{R})=\{f~:~[0,1]\to \mathbf{R}, 連続\}
を写像の和と定数倍に関してベクトル空間とみなすと、各p\ge 1対し、Lpノルム
\|f\|_{p}=\sqrt[p]{\int_{[0,1]}|f(x)|^{p}\mathrm{d}x}
やL∞ノルム(一様ノルムとも)
\|f\|_{\infty}=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|
が定義できるが、これらはpが異なれば異なる位相を定め、実際Lpノルムでは収束するのに別のLqノルムでは収束しない例を作る事ができる。
C^{\infty}([0,1],\mathbf{R})=\{f~:~[0,1]\to \mathbf{R}, 無限回微分可能\}
にはLpノルムの一般化であるソボレフノルム
\|f\|_{k,p}=\sqrt[p]{\sum_{\ell=0}^k\int_{[0,1]}|f^{(\ell)}(x)|^{p}\mathrm{d}x}
\|f\|_{k,\infty}=\max_{\ell<k}\sup_{x\in[0,1]}|f^{(\ell)}(x)|
も定義可能であるが、これらもk、pが異なれば異なる位相を定める。なお、\|\cdot\|_{k,\infty}の定める位相をCk-位相と呼び、この位相は位相幾何学で図形の連続変形を扱う際重要な役割を果たす。
定義・定理
密着位相と離散位相はいわば「両極端」の人工的な位相構造に過ぎないが、これらの位相構造は、位相に関する命題の反例として用いられる事がある。またこれらの位相構造は、任意の集合上に位相構造を定義できる事を意味している。
離散位相はX上に離散距離
d(x,y)=
\begin{cases}
0 & x= y\\
1 & \text{otherwise}
\end{cases}
をいれたときに距離から定まる位相と一致する。
Xが1元集合、有限集合、可算集合の場合は明らかに密着位相、補有限位相、補可算位相はいずれも離散位相に一致する。
それ以外の場合、すなわちXが2元以上ある集合、無限集合、非可算集合の場合は、密着位相、補有限位相、補可算位相はX上のいかなる距離から定まる位相とも一致しない。
P = \{2, 3, 5, 7, \ldots\} を素数の集合とする。各整数n\in\mathbb{Z}に対し、
V(n)=\{p\in P \mid nはpの倍数\}
と定義し、V(n)全体の集合を閉集合系とするP上の位相をP上のザリスキー位相という。
ザリスキー位相はP上のいかなる距離から定まる位相とも一致しないことが知られており、距離から定まらない位相でなおかつ数学の重要な研究対象となっているものの代表例である。
ザリスキー位相の概念は一般の可換環Rの素イデアル全体の集合に対しても定義する事ができる事が知られている。
一方、これとは全く異なる角度からザリスキー位相を定義する事ができる。Kを複素数体(もしくはより一般に代数的閉体)とし、Knを考える。そしてK上の多項式の任意の集合Sに対し、
V(S)=\{x\in K^n \mid \forall f\in S~:~f(x)=0\}
と定義し、V(S)全体の集合を閉集合系とする位相をKn上のザリスキー位相という。
以上で述べた2種類のザリスキー位相は一見全く異なるように見えるが、実は同種の概念を別の角度から見たものである事が知られている。これら2つが同種である事は代数幾何学の最も基本的な定理の一つとなっている。
数学で使われる多くの位相空間は、距離空間(から定まる位相空間)のような既知の位相空間を加工して作られている。
例えば既知の2つの位相空間の和集合や積集合に対して、位相を定めてこれらを位相空間とみなしたり、位相空間上で同値関係を考えてその同値関係による商集合に対して位相を定めて位相空間とみなしたりする。
こうした加工の結果として得られる位相空間の例として、非常に重要なものの一つが多様体である。多様体とは、直観的にはn次元曲面のことであるが、これは\mathbb{R}^nの部分集合を何枚も張り合わせる事で実現されている。
既知の位相空間の和集合、積集合、商集合といったものにどのような位相を定めるべきかに関しては一般的な導出方法が知られており、これについては「#位相空間の導出」の節で説明する。
位相空間Xの部分集合Aに対し、Aの「内部」、「外部」、「境界」の概念を定義できる:
なお、境界を表す記号「\partial A」は多様体の縁(ふち, boundary)を表す記号としても使われるが、両者は似て非なる概念なので注意が必要である。
さらに閉包を次のように定義する:
定理・定義
定義から明らかに次が成立する:
よって内部と閉包は双対的な関係にあり、内部に関する性質にド・モルガンの法則を適用する事で閉包の性質を導く事ができる。
定義より明らかに次が成立する。
Xが距離空間であれば、上では「x ∈ Oを満たすある開集合O ⊂ X」、「x ∈ Oを満たす任意の開集合O ⊂ X」となっているところを、「xのあるε-近傍B_{\varepsilon}(x)」「xの任意のε-近傍B_{\varepsilon}(x)」に変えてもよい。これについては基本近傍系について記述する際、より詳しく述べる。
さらに次が成立する。
内部および閉包は以下のようにも特徴づけられる事が知られている:
内部の概念は以下を満たす:
\bar{A}=((A^c)^{\circ})^cである事を用いて、以上で述べた内部に関する結果をド・モルガンの法則により閉包の結果に翻訳できる:
定理=\overline{A}
\overline{A\cup B} =\overline{A}\cup\overline{B}
\overline{\emptyset}=\emptyset
|note=クラトウスキイの公理系クラトウスキイの公理系}
(X,\mathcal{O})を位相空間とするとき、
写像A\subset X \mapsto A^{\circ}を内核作用素という。
写像A\subset X \mapsto \bar{A}を閉包作用素という。
本項ではこれまで、開集合系を使って位相空間を定義し、これをベースに内核作用素を定義したが、逆に上述の性質を満たす内核作用素の概念を使って位相空間を定義し、これを使って開集合と定義する事も可能である。すなわち以下が成立する:
\bar{A}=((A^c)^{\circ})^cである事を用いて、以上の結果を閉包作用素の結果に翻訳できる:
定義より明らかに次が成立する。
これは言い換えるとX の任意の点の任意の近傍が、A と交わることを意味する。
可算な稠密部分集合をもつ位相空間は可分であるといい、例えば\mathbb{R}においては\mathbb{Q}が可算な稠密部分集合なので、\mathbb{R}は可分である。
本節では近傍の定義を述べ、その基本的な性質を述べる。近傍はすでに述べたように位相空間における収束の概念を定義するのに用いられるが、それ以外にもある点xの周りの局所的な性質を記述する際に広く使われている。
近傍の定義は以下のとおりである:
定義近傍系のことを近傍フィルター(英: neighborhood filter)ともいう。
点xの近傍Nはx ∈ O ⊂ Nを満たし、距離空間における開集合OはB_{\varepsilon}(x)\subset Oを満たす。したがって以下のように基本近傍系の概念を定義すると、距離空間においては\{B_{\varepsilon}(x)\mid \varepsilon>0\}が基本近傍系になっている事がわかる。また一般の位相空間でも開近傍全体の集合が基本近傍系になる事がわかる。
近傍概念は収束などxの局所的な振る舞いを記述する際に用いられるので、多くの場合全ての近傍を考える代わりに、基本近傍系のみを考えれば十分である。例えば次が成立する:
距離空間においては点xのε-近傍全体が基本近傍系をなすので、上記の定理より、距離空間においては内点、外点といった概念はε-近傍を用いて定義可能である。教科書によっては、このε-近傍を用いた定義を距離空間における内点、外点等の定義として採用しているものもある。
近傍系は以下の性質を満たす:
ハウスドルフの公理系を満たす近傍系は位相を特徴づける:
本節の目標は、位相空間上での収束概念を定義し、収束概念によってこれまで述べてきた様々な概念を捉え直す事にある。
位相空間における収束概念は、距離空間における点列の収束概念を適切に修正する事により得られる:
定義がXの点xに収束するとは以下が成立する事を言う:
\forall \varepsilon>0 \exists n_0\in\mathbb{N} \forall n>n_0 ~:~x_n\in B_{\varepsilon}(x)
ここで、B_{\varepsilon}(x)=\{y\in X |d(y,x)<\varepsilon\}である。
|note=距離空間における点列の収束}
位相空間における収束を定義するにあたり、上述の距離空間における収束の定義に2つの変更を行う:
ε-近傍B_{\varepsilon}(x)の代わりに一般の近傍を用いる。
点列の概念を一般化した有向点族の概念を導入し、有向点族の収束を定義する。
1番目の変更を行うのは、位相空間には距離の概念がないので、そもそもε-近傍を定義できないからである。一方2番目の変更を行うのは、点列の収束概念だけでは位相空間の諸概念を定式化するのに不十分だからである。たとえば距離空間の場合には連続性の概念は
\lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(\lim_{n\to \infty}x_n)
が収束する任意の点列に対して成り立つ事により定式化できるが、一般の位相空間の場合は「任意の点列」ではなく「任意の有向点族」に対してこれと類似の性質が成り立つ事により連続性を定義する必要がある。
なぜなら点列の場合は添字集合が可算なので、点列の概念で連続性を捉え切るには位相空間の方にも何らかの可算性を要求する必要があり(列型空間を参照)、一般の位相空間の連続性の概念を適切に定義するには点列の概念では不足だからである。
なお、位相空間上ではフィルターの収束という、もう一つの収束概念を定式化できる事が知られているものの、収束する有向点族と収束するフィルターとにはある種の対応関係がある事が知られている。詳細は有向点族#フィルターとの関係を参照。
すでに述べたように位相空間では点列の概念を一般化した有向点族の概念を定義した上でその収束を定義する。本節では有向点族の定義を与える。その為にまず有向集合の概念を定義する
なお、有向集合の二項関係「≤ 」は、反射律と推移律を満たすのものの反対称律は満たす必要がないので、前順序ではあるものの順序の定義は満たしていない。
具体的にはXに値を取る点列(x_n)_{n\in\mathbb{N}や、実数を定義域に持つX値関数fから定義される族(f(x))_{x\in\mathbb{R}が\mathbb{N}や\mathbb{R}上に自然な順序を入れた場合に有向点族になるので、これらの収束概念は有向点族の収束概念により定式化できる。
しかしより重要なのは、以下に述べる開近傍系を添字集合に取る有向点族である
x_U\in U
を満たす有向点族(x_U)_{U\in\mathcal{V}_a} を考えれば、Uが小さくなればなるほどx_U\in Uがaに「近づく」ので、この有向点族が収束概念を考える際に重要な役割を果たす事が了解されるであろう。
また開近傍系は開集合の集まりなので、この有向点族(x_U)_{U\in\mathcal{V}_a} は、これまで開集合の概念を通して定義してきた位相空間の概念と有向点族の収束性の概念との、いわば架け橋として機能し、開集合の概念から収束を定式化したり、逆に収束の概念から開集合を逆に定式化したりする際に役に立つ。
なお上では開近傍系を添字集合とする有向点族について記したが、(開とは限らない)近傍系を添字集合とする有向点族も同様に定義できる。
先に進む前に部分有向点族の概念を定義する。この概念は収束概念を定義する上では使わないが、収束概念を使って位相空間上の他の概念を定式化する際に用いる。
上の定義でhが単射である事を要求してない事に注意されたい。これはもしh に単射性を要求すると病的な例(Tychonoff plank)のせいでいくつかの当然と思われる定理が成り立たなくなってしまうからである。
これが原因で、点列(x_n)_{n\in\mathbb{N}を有向点族とみなした場合の部分有向点族は点列になっていない場合もあり得る。実際、(x_{h(\gamma)})_{\gamma\in\Gamma}を(x_n)_{n\in\mathbb{N}の部分有向点族とすると、h が単射でない事から同じx nが部分有向点族に複数回(場合によっては非可算無限回)登場するかもしれないし、Γも全順序ではないかもしれない。
なお本項に載せた部分有向点族の定義は(Kelly 1975)による。書籍によってはこれとは異なる定義を採用している場合もあるが、こうした別定義とも何らかの意味で同値である事が示されている。
以上の準備のもと、有向点族の収束の概念を定義する。
\mathcal{B}_xをxの基本近傍系とするとき、以上の定義における「xの任意の近傍U」を「\mathcal{B}_xの任意の元U」に変えたとしても定義としては同値になる。
よって特に、距離空間から定義される位相空間の場合は、「xの任意のεｰ近傍」としてもよい。従って点列の収束に関しては位相空間におけら収束と本章の冒頭にあげた距離空間における収束の定義は一致する。
一般の位相空間において有向点族の収束の一意性は必ずしも成立しないものの、収束の一意性が保証される必要十分条件は下記のように記述できる事が知られている:
定理・定義
なお、ハウスドルフ性は数ある「分離公理」の一つであり、「T2-空間」という名称も「T1-空間」や「T3-空間」といった他の分離公理と区別するための名称である。詳細は本項の分離公理の説明や分離公理の項目を参照されたい。
有向点族の収束概念を用いると、閉包の概念を収束によって捉え直す事ができるようになる:
上の定理の閉集合に関する部分は以下のように非常に簡単に示せる。他のものの証明も同様である:
(⇒)a\in \bar{A}である事は以下と同値である:
a の任意の近傍U に対し、U\cap A\neq \emptyset ...(1)
これはU ∩ A に少なくとも一つ元が存在する事を意味するので、そのような元をx U とすると x_U\in U\cap A \subset Aである事から(x_U)_{U\in \mathcal{V}_a} はA 上にある。しかも前節で述べたように (x_U)_{U\in \mathcal{V}_a}は有向点族でありしかもa に収束する。
(\Leftarrow)逆にa に収束するA 上の有向点族(xλ)λ∈Λがあったとすれば、収束性の定義からa の任意の近傍U 内に有向点族の点xλが存在する。しかも仮定からxλ ∈ A でもあったので、これは(1)が成立する事を意味し、したがってa\in \bar{A}である。
距離空間では、点列の収束概念を用いて閉包や閉集合を同様にして特徴づけができる事が知られており、上記の2つの定理はこの特徴づけを一般の位相空間に拡張したものである。しかし一般の位相空間の場合、上記2定理で述べられているように、距離空間と違い「点列」ではなく「有向点族」で特徴づける必要がある。
なぜなら点列の添字が全順序な可算集合であるという制約が原因で、一般の位相空間の性質を記述するには不足であり、点列の概念で閉集合や開集合を特徴づけるには位相空間の方にも可算性に関する条件を満たす必要があるからである。詳細は列型空間を参照されたい。
次に有向点族の二重極限に関する定理を紹介する。後述するように、この定理は有向点族の極限で位相を特徴づける際に役立つ。定理を記述するため、まず有向集合の直積に有向集合構造が入る事を見る:
命題・定義