ゲーデルの不完全性定理
この数学の基礎に関する「不安の時代」には … 果たして数学は正しく無矛盾なのか,そもそも定理や証明とは何なのかといった哲学的な問題に対して,伝統的な哲学的手法によってではなく,数学的手法を用いて答えようとする形式主義の試みの中から数学基礎論と呼ばれる数学の一分野が生まれた.
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数学の世界全体の無矛盾性を「有限の立場」で証明して数学を危機から救おうとしたヒルベルト・プログラムが、実現不可能であることをゲーデルの不完全性定理が明らかにした。ヒルベルト・プログラムは破綻した一方で、公理的集合論が整備されて「無矛盾」と見なされたこと、「算術の世界の無矛盾性」が証明されたことなどによって「不安の時代」は終わり、数学基礎論が哲学から決別した。数学基礎論上で不完全性定理は、哲学的なものとしてでなく、数学的な応用可能性として重視されるようになった。またこの定理は、電子技術を伴うコンピュータ科学(計算機科学)の重要な基本定理でもある
宴のあと
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数学の危機が真面目に論じられていた「不安の時代19世紀末~20世紀初頭」は意外に簡単に終わった.現在,数学の基礎を本気で心配している数学者はまずいない. … 「不安の時代」が通り過ぎた後,数学基礎論は哲学と袂を分かち,独自の数学的な問題意識や価値観を見出した.数学基礎論の専門家は「哲学的な動機のもとで数学基礎論を語る時代は終わった」と考えるようになり … 数字基礎論は普通の数学に生まれ変わった.
不完全性定理についても数学基礎論の専門家の間では,哲学的な意義よりも様々な数学的応用可能性のほうが大切であると考えられるようになった.
電子技術の爆発的な発展と共に成長した計算機の基礎理論においても不完全性定理は重要な基本定理の一つであるが,そこでも不完全性定理は定理の主張そのものよりも,定理の証明の中で提案され用いられた様々な考え万や,不完全性定理から導かれる事実のほうが遥かに重要であると考えられているであろう.
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前掲書によると、20世紀初めは数学者と哲学者は共に数学の基礎について論じていたが、「今では数学者と哲学者は極めて疎遠である」。数学についての哲学的議論を、数学者は「最近の数学を無視した色褪せた100年前の論争の焼き直し」と見なしている。不完全性定理を含む数学分野(数学基礎論)を数学者が「哲学のようなもの」と呼ぶ場合、それは「哲学のような深い立派なもの」ではなく「哲学のようなツマラナイコト」を意味していると言う
数学と哲学
20世紀初頭の数学の基礎に関する「不安の時代」には,数学者と哲学者は共に数学の基礎について論じていた.
それが今では数学者と哲学者は極めて疎遠である.数学者,特に数学基礎論の専門家は哲学者による数学の基礎についての議論を最近の数学を無視した色褪せた100年前の論争の焼き直しに過ぎないと感じ,哲学者は最近の数学としての数学基礎論の進展を重箱の隅をつつくような技術的で瑣末な話題だと考えている. …
数学基礎論が哲学との繋がりを失ったことを知らない数学者は今でも数学基礎論のことを「哲学のようなもの」と考えている. … この,数学基礎論が「哲学のようなもの」であるという考えは,「哲学のような深い立派なもの」ではなく,「哲学のようなツマラナイコト」という意味であるため,このような考えを「他愛ない無邪気なもの」とは見過ごせない数学基礎論の専門家は,数学基礎論が哲学ではなく数学であることの説得を,何度となく試みてきた.
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コンピュータ科学者・数理論理学者・哲学博士(Ph.D. in Philosophy)のトルケル・フランセーンによれば、不完全性定理のインパクトと重要性について、しばしば大げさな主張が繰り返されてきたフランセーンはストックホルム大学で哲学を専攻し、1987年に「Ph.D.(哲学)」を取得。ルレオ工科大学でのフランセーンのページによると、「(哲学における)自分の博士論文 “my PhD thesis (in philosophy)"」は世界各国の大学図書館で閲覧できる。。たとえば
数学ばかりでなく、科学全体も一新した
数学だけではなく、哲学、言語学、計算機科学と宇宙論にまで革命を起こした
という言があるが、これらは乱暴な誇張とされる。不完全性定理が一番大きな衝撃を与えたと思われる数学においてさえ、「革命」らしきものは何も起きていない。
この定理は、数理論理学(数学の比較的小さな領域)で常に使われているが、普通の数学者の仕事にはほとんど何の役にも立っていない(そもそも計算機科学は、不完全性定理の証明後に、アラン・チューリング主導で成立した。不完全性定理が計算機科学に革命を発生させたと述べるのは、時系列が誤っている)。
ゲーデルの完全性定理と不完全性定理は、革命的出来事ではなく時代の流れの産物だった。ゲーデル以外の誰かがこれらの定理を発見するのは時間の問題だったとされており、ゲーデル自身もそう見ていた。
数学上の「無矛盾性」と不完全性定理について、フランセーンは以下の通り解説している。
「ゲーデルの定理のどこを見ても、“数学で使われているどんな形式体系も、その無矛盾性にはまったく疑いがない"という立場と矛盾してはいない。実際、これらの体系の公理が真であり、そして無矛盾であるという絶対確実な知識をもっていると主張しても、ゲーデルの定理のどこにも相反しないのである。」
フランセーンは『ゲーデルの定理:利用と誤用の不完全ガイド』において、ゲーデルの定理が広範に誤用されていることについて論じている。
数学者・数理論理学者の田中一之によれば、ゲーデルの名や定理は「知的会話」に頻出している。フランセーンが述べたように、インターネットのどんなニュースグループでも、遅かれ早かれ誰かがゲーデルの定理を持ち出す。そういった一般的な引用における間違いを正すことが、フランセーンの著書の目的となっている。
1931年にゲーデルが示したのは、「特定の形式体系Pにおいて決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」についての定理ではない。
フランセーンによれば、ゲーデルの不完全性定理と結び付けられるテーマはロジック、数学、計算、哲学、物理学、進化論、政治、宗教、無神論、神学、文学、詩歌、写真、建築、音楽、ヒップホップ、デートなど多岐にわたる。形式論理学のような専門領域の外では、不完全性定理についての言及の多くが、哲学的であり「ひどい誤解や自由連想に基いている」ため、馬鹿げているとさえ言える。たとえば、
などが見られる。ゲーデルの理論の誤解は、一般的な人々の間でも起こっている。たとえば
などである。
田中によれば、ゲーデル自身が不完全性定理について明言しているのは、1963年8月28日の次の文言である。
ゲーデルは慎重を重ねて言葉を選んでいるため、この表現を安易に変えようとすると、不具合を生じる。実際、この定理のいずれかの条件が落とされることで、多数の誤解が生じている(特に「有限的算術を含む」という条件が落とされていることが多い)。「ある程度の有限的算術を含む」という条件を、「十分大きな」「十分複雑な」「十分表現力のある」などといった曖昧な条件に置き換えることは誤りだが、一般向けの解説などには横行している(実際には、大きな理論で完全なものもあれば、小さな理論で不完全なものもある)。さらに見落とされやすい点は、不完全性定理の前提および結論部に「算術の条件」があることである。
要するに不完全性定理は、「算術を含む体系がその算術部分で不完全である」という主張であり、その算術の外側が完全か不完全かについては、この定理は何も語っていない。
高名な物理学者でさえ、間違いを冒すことがある。フリーマン・ダイソンとスティーヴン・ホーキングの論説は、万物理論の可能性を否定するのにゲーデルの定理を持ち出した。しかし仮に物理理論に不完全性定理が適用できたとしても、不完全性はその算術部分に見つかるだけで、その理論が完全か不完全かは別の問題である。
ゲーデルは「合理的な神学」の可能性を信じてはいたが、特定の宗教組織に所属することはなく、不完全性定理から哲学的・神学的解釈を引き出そうと試みることもしなかった。しかし一方で哲学や神学は、ゲーデルや不完全性定理を自分たちへ結びつけようとしてきた。
アラン・ソーカルとジャン・ブリクモンは、脱近代主義(ポストモダニズム)に対する論評『「知」の欺瞞』の中で、「ゲーデルの定理こそ汲めども尽きぬ知的濫用の泉である」と述べ、レジス・ドブレ、ミシェル・セールらの文章を批判している。また、哲学者によるゲーデル関係の本が、フランセーンの本と同じ頃に書店販売されていたが、哲学者の本は専門誌によって酷評された。その本は全体として読みやすく一般読者からの評判は高かったが、ゲーデルの証明の核(不動点定理)について、根本的な勘違いをしたまま説明していた。同様の間違いは他の入門書などにもあり、田中は
と述べている。哲学者または宗教家が、
といった考えを表明することは珍しくない。しかし、不完全性定理とは「算術の公理系PAや公理的集合論ZFCのような形式体系を扱う数学の定理」であり、哲学や宗教はこの点を踏まえていない。要するに不完全性定理とは、数学内の「形式体系」(フォーマルシステム)についての定理である。確かに、思想・哲学・神学・信仰・聖書・法律・裁判等を「形式」や「体系」や「形式体系」と呼ぶ人も存在するが、それらは数学内の一分野「形式体系」ではない。数学内の「形式体系」を研究し応用できる範囲は、数学や計算機(コンピュータ)である。
嘘つきのパラドックス(「ウソつきの逆理」)には、「この文は偽である」といった代表的表明があるが、このパラドックスも、不完全性定理が誤用されている一例として挙げられている。定理を非数学的に「応用」した文章や嘘つき文は、以下のような長い(あるいは果てしない)議論を呼び起こしている。
このような誤用や議論は、人々の心に謎や「愉快な混乱」を発生させているかもしれないし、「哲学的に重要性をもっている」かもしれないが、不完全性定理とは関係が無い。そもそも数学上では、「真偽」や「証明」といった用語が既に明確に定義されており、不完全性定理もそれらの数学用語に従っている。
フランセーンによれば、次のような講釈さえ存在する。
実際には不完全性定理は、「形式体系の無矛盾性と完全性についての定理」である。確かに「矛盾」「無矛盾」「完全」「不完全」「体系(システム)」という語は、専門用語でない言語とも結びつきがあるが、およそこのような結びつきは不完全性定理と関係が無い。
神学にも不完全性定理は持ち込まれ濫用されており、たとえば『キリスト教と数学の書誌学』(1983年)がある。
ダニエル・グレーブスは次の通り「考察」をしている。
ナジャムディン・モハメッドも、神学的に「応用」している。
あなたが世界をどのように(論理的規則で)記述しても、あなたに真か偽か判定できない「何ものか」がつねにあるであろうことが指摘されている。 … これは、ゲーデルの不完全性定理の基本である。
もし私たちが論理や推論だけに頼るなら、互いに矛盾しているが論理的に自己無矛盾な推論・論理システムが多数生じ、完全な混乱状態で終わることもありうる。どっちが正しいか? すべての事柄は、何がよいか悪いかのように現在の心理的な傾向に依存するものなのか? こういう場合には「正しさ」は意味をもたず、まさにこのことが不可知論的無神論の立場を招きうるのだ。
これらの考察と、「ポストモダン的状況」(脱近代的状況)という考え方には類似性がある。そうした理屈では、不完全性は無数の様々な無矛盾理論を導き、どこで「真理」が手に入るかは誰も知らない(したがって、理性だけで正しい道を歩むことはできず、信仰が進むべき道となる)。
しかし実際の数学では、そのような枝分かれは無く、「決定不能性の海」の中でもがくようなことも無いため、そのような「混乱」は神学的幻想に過ぎないとされている。