スペクトル系列
スペクトル系列(スペクトルけいれつ、Spectral sequence)とは、ホモロジー代数学や代数的位相幾何学で用いられる、ホモロジー群を逐次近似により計算する方法のことである。スペクトル系列は完全系列の一般化であり、ジャン・ルレイによって初めて用いられたときから、特に代数的位相幾何学、代数幾何学、ホモロジー代数学といった分野において重要な計算ツールとなっている。
ジャン・ルレイは代数的位相幾何学の研究の過程で層の概念を導入し、そして層係数コホモロジーを計算する問題に向き合うことになった。層係数コホモロジーを計算するために、ルレイは現在ルレイ・スペクトル系列と呼ばれている計算手法を編み出した。これは、層のコホモロジー群と、その層の順像(押し出しとも呼ばれる)のコホモロジー群とを、無限回の計算過程を通じて関係付けるものである。ルレイは、順像のコホモロジー群は自然に鎖複体となることに気づき、したがってコホモロジーのコホモロジーを取れることに気付いた。これは元の層のコホモロジーにはなっていないが、ある意味ではそれに一歩近づいたものになっている。そして、コホモロジーのコホモロジーがまた鎖複体になるので、これのコホモロジーをまた取ることができ、この計算をずっと繰り返すことができる。この計算ステップを無限回繰り返した後の極限が、元の層のコホモロジー群と本質的に同じものとなっている。
ルレイの計算手法が幅広い状況に適用できることはすぐに明らかとなった。ファイブレーションのような幾何学的な状況や、導来関手が関係する代数学的な状況で、複数の(コ)ホモロジー群を婉曲的にではあるが関係付けてくれるスペクトル系列が数多く発見された。導来圏の導入によりその理論的な重要性は減ったが、今でもスペクトル系列はもっとも有効な計算ツールであり続けている。たとえスペクトル系列に計算不可能な項が多く含まれている状況であったとしても、スペクトル系列は有効に使うことのできる計算ツールである。
その反面、スペクトル系列は膨大な情報を持っているがゆえに会得や使用に困難が伴う。スペクトル系列が持っている情報は、3次元の格子状にアーベル群もしくは環上の加群を配置したものとなっていることが多い。最も取り扱いが簡単なスペクトル系列は、最終的には潰れる(collapse)、つまり列を進めてみてもそれ以上なんの情報も得られなくなるものである。このような場合でなくとも、種々のトリックを用いてスペクトル系列から有用な情報を引き出せることが多い。
環上の加群のようなアーベル圏を一つ固定する。コホモロジー的なスペクトル系列とは、一つの非負整数 r_0 と、全ての整数 r\ge r_0 に対して定義されている次の3つのものの集まりである:
シート (紙1枚のイメージ)、ページ、もしくは項と呼ばれる対象 E_r
境界写像、もしくは微分と呼ばれる、自己準同型 d_r\colon E_r \to E_r であって d_r \circ d_r = 0 を満たすもの
E_{r+1} と、E_r の d_r についてのホモロジー H(E_r) との間の同型写像
通常、E_{r+1} と H(E_r) との間の同型写像への記号の割り当ては省略され、これらの間の関係は等式で表される。E_{r+1} を E_r の 導来(derived)対象 と呼ぶこともあるJune 2015。
最も簡単な例は鎖複体 C• である。鎖複体のなすアーベル圏の対象である C• は微分 d を備えている。r0 = 0 と置き、E0 を C• とする。スペクトル系列を構成するためには E1 は複体 H(C•) としなけらればならず、i 番目の位置にあるものは C• の i 番目のホモロジー群となる。この新しい複体における唯一の自然な微分は零写像のみなので、d1 = 0 と置く。E_2 は E_1 と等しいものとして取らねばならず、ここでもやはり唯一の自然な微分は零写像のみである。後続のシートでも微分を零写像として取る。以上から、項が
E0 = C•
Er = H(C•) (全ての r ≥ 1)
であるスペクトル系列を得られた。非自明な微分は0番目のシートにしか無いので、このスペクトル系列の項は1番目のシートで安定する。そのため、あとのステップには何の有益な情報も含まれていない。通常は、後のシートから有益な情報を得るためには、E_r における追加的な構造が必要になる。
今の次数のない簡単な例では r0 に重要性は無かったが、実際には、ほとんどのスペクトル系列は環 R 上の2重次数つきの加群(や環の層上の2重次数つきの加群の層)の圏から生じる。このような場合は、シート1枚は2重次数つき加群であり、したがって2重次数1つにつき項が1つあり、シートはその直和に分解する。シートの各項の境界写像の直和として、シートの境界写像が定義される。その次数は r に応じて慣習的に固定されている。ホモロジー的なスペクトル系列の場合は、項は E^r_{p,q} と書かれ、微分の 2重次数(bidegree)は (− r,r − 1) である。コホモロジー的なスペクトル系列の場合は、項は E^{p,q}_r と書かれ、微分の 2重次数 は (r, 1 − r) である。(この2重次数の選び方は現実に自然に生じるものに即したものになっている。後段の2重複体についての例を参照のこと。)スペクトル系列によって、最初のシートの境界写像は r = 0、 r = 1、もしくは r = 2 に対応する次数を持つ。例えば、後で説明するフィルターつき複体のスペクトル系列では r0 = 0、グロタンディーク・スペクトル系列の場合は r0 = 2 である。r0 は 0, 1, 2のいずれかであることが多い。
スペクトル系列の射 E → E'  とは、定義により、写像 fr : Er → E'r の集まりであって、微分及び E 及び E'  の r 番目と (r+1) 番目のシートのコホモロジーの間に与えられた同型写像と整合的であるものである。
Er をスペクトル系列で、例えば r = 1 から始まるものとする。このとき、部分対象の列
0 = B_0 \subset B_1 \subset B_{2} \subset \dots \subset B_r \subset \dots \subset Z_r \subset \dots \subset Z_2 \subset Z_1 \subset Z_0 = E_1
が存在し、E_r \simeq Z_{r-1}/B_{r-1} が成り立つ。実際、Z_0 = E_1, B_0 = 0 と定義し、Z_r, B_r を E_r \overset{d_r}\to E_r の核と像が Z_r/B_{r-1}, B_r/B_{r-1} となるように再帰的に定めればよい。
次に Z_{\infty} = \cap_r Z_r, B_{\infty} = \cup_r B_r と置き、
E_{\infty} = Z_{\infty}/B_{\infty}
と置く。これは極限項と呼ばれている。(もちろん、圏によってはそのような E_{\infty} は存在しないこともあるが、例えば加群の圏ではそのような極限は存在するし、また現実のスペクトル系列は退化することが多く、その場合には先程の列で有限個の包含関係しか起こらないので、通常このことは問題とならない。)
2重次数つきのスペクトル系列は膨大な量の把握すべきデータを持つが、これを視覚的に捉えるために広く使われている表示方法がある。r、p、q を2重次数つきスペクトル系列の3つの添字とする。r ごとに、方眼紙が1枚あると想像しよう。このシートの上で、p は水平方向、q は垂直方向の位置を表しているとしよう。そして、各マス目に対象 E_r^{p,q} が置いてあると考えるのである。
n = p + q と置いて、これをスペクトル系列のもう一つの別の自然な添字とすることもよく行われる。n は各シートにおいて北西から南東に対角的に走る。ホモロジー的な場合には、微分は2重次数 (−r, r − 1) を持つので、n は1減る。コホモロジー的な場合には n は1増える。r が0の場合は、微分は下もしくは上に1マス先にいる対象へ向かい、鎖複体の微分と同様になっている。r が1の場合は、微分は左もしくは右に1マス先にいる対象に向かう。r が2の場合は、微分はチェスのナイトが移動する位置にいる対象へ向かう。より大きな r の場合は、微分は一般化されたナイトが移動する位置にいる対象へ向かう。
スペクトル系列を初めて学習するときには、簡単な具体例で実際に計算を行ってみることが理解の助けになる。収束についてのより理論的で厳密な議論は後の節で行うが、この節については、スペクトル系列が増加フィルトレーション F を持つ H に収束するとは、 E^{\infty}_{p, q} = F_p H_{p+q}/F_{p-1} H_{p+q} が成り立つことと定義する。以下では、いかにそのフィルトレーションと E^2 項を完全系列の形で関係付けることができるか、例示する。応用上の多くの完全系列(たとえばギシン列)がこのような形であらわれる。
E^r_{p, q} をホモロジー的なスペクトル系列で、0, 1以外の p に対しては E^2_{p, q} = 0 であるものとする。視覚的には、このスペクトル系列の E^2 ページは
\begin{matrix}
& \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\
\cdots & 0 & E^2_{0,2} & E^2_{1,2} & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & E^2_{0,1} & E^2_{1,1} & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & E^2_{0,0} & E^2_{1,0} & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & E^2_{0,-1} & E^2_{1,-1} & 0 & \cdots \\
& \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &
\end{matrix}
となっている。この2番目のページの微分の次数は (-2, 1) なので、微分は
d^2_{p,q}:E^2_{p,q} \to E^2_{p-2,q+1}
という形をしていて、
d^2_{0,q}:E^2_{0,q} \to 0, d^2_{1,q}:E^2_{1,q} \to 0
なので、微分は全て零写像となっている。したがって、E^{\infty} = E^2 が成り立ち、このスペクトル系列は"退化"している。さて、このスペクトル系列が H_* に収束し、そのフィルトレーションが
0 = F_{-1} H_n \subset F_0 H_n \subset \dots \subset F_n H_n = H_n
で与えられていて、E^{\infty}_{p, q} = F_p H_{p+q}/F_{p-1} H_{p+q} が成り立っていたとする。このとき、 F_0 H_n = E^2_{0, n}, F_1 H_n / F_0 H_n = E^2_{1, n -1}, F_2 H_n / F_1 H_n = 0, F_3 H_n / F_2 H_n = 0 などが成り立つ。これから、完全系列
0 \to E^2_{0, n} \to H_n \to E^2_{1, n - 1} \to 0
が得られる。次に、スペクトル系列 E^r_{p, q} で2番目のページで q = 0, 1 の2行以外ゼロであるものを考える。このスペクトル系列は2番目のページで退化するとは限らないが、3番目のページでは微分の次数が (-3, 2) なのでそのページで退化する。分母がゼロであることに注意すると、E^3_{p, 0} = \operatorname{ker} (d: E^2_{p, 0} \to E^2_{p - 2, 1}) が分かる。同様に、E^3_{p, 1} = \operatorname{coker}(d: E^2_{p+2, 0} \to E^2_{p, 1}) が分かる。したがって、
0 \to E^{\infty}_{p, 0} \to E^2_{p, 0} \overset{d}\to E^2_{p-2, 1} \to E^{\infty}_{p-2, 1} \to 0
が成り立つ。先程の例と同様に、スペクトル系列がフィルトレーション F を持つ H に収束したとする。F_{p-2} H_{p} / F_{p-3} H_{p} = E^{\infty}_{p-2, 2} = 0, F_{p-3} H_p / F_{p-4} H_p = 0 などが成り立つので、0 \to E^{\infty}_{p - 1, 1} \to H_p \to E^{\infty}_{p, 0} \to 0 が成り立つ。これらを全てあわせると、完全系列
\cdots \to H_{p+1} \to E^2_{p + 1, 0} \overset{d}\to E^2_{p - 1, 1} \to H_p \to E^2_{p, 0} \overset{d}\to E^2_{p - 2, 1} \to H_{p-1} \to \dots
が得られる。
前節での計算は簡単に一般化できる。n を2以上の整数とし、球面上のファイブレーション
F \overset{i}\to E \overset{p}\to S^n
を考える。このとき、セール・スペクトル系列
E^2_{p, q} = H_p(S^n; H_q(F)) \Rightarrow H_{p+q}(E)
がある。つまり、あるフィルトレーション F_\bullet があって、E^{\infty}_{p, q} = F_p H_{p+q}(E)/F_{p-1} H_{p+q}(E) となっている。H_p(S^n) がゼロではないのは p が0もしくは n の場合だけで、その場合は Z に等しいから、E^2_{p, q} は p = 0,n のところだけからなる2つの直線になっている。したがって E^2 ページは
\begin{matrix}
& \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots  & \vdots & \vdots & \\
\cdots & 0 & E^2_{0,2} & 0 & \cdots & 0 & E^2_{n,2} & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & E^2_{0,1} & 0 & \cdots & 0  & E^2_{n,1} & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & E^2_{0,0} & 0 & \cdots & 0  & E^2_{n,0} & 0 & \cdots \\
\end{matrix}
という形をしている。さらに、p = 0,n に対して、普遍係数定理により
E^2_{p, q} = H_p(S^n;H_q(F)) = H_q(F)
であるから、E^2 ページは
\begin{matrix}
& \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots  & \vdots & \vdots & \\
\cdots & 0 & H_2(F) & 0 & \cdots & 0 & H_2(F) & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & H_1(F) & 0 & \cdots & 0  & H_1(F) & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & H_0(F) & 0 & \cdots & 0  & H_0(F) & 0 & \cdots \\
\end{matrix}
と書ける。ゼロではない微分は E^n ページの
d^n_{n,q}:E^n_{n,q} \to E^n_{0,q+n-1}
だけであり、これは
d^n_{n,q}:H_q(F) \to H_{q+n-1}(F)
であるから、このスペクトル系列は E^{n+1} = E^{\infty} で収束する。E^{n+1} を計算して、完全系列
0 \to E^{\infty}_{n, q-n} \to E^n_{n, q-n} \overset{d}\to E^n_{0, q-1} \to E^{\infty}_{0, q-1} \to 0.
を得る。これをホモロジー群で書き直すと
0 \to E^{\infty}_{n, q-n} \to H_{q-n}(F) \overset{d}\to H_{q-1}(F) \to E^{\infty}_{0, q-1} \to 0
となる。これに出てくる2つの E^\infty 項が何かを考える。H = H(E) と置くと、F_1 H_q/F_0 H_q = E^{\infty}_{1, q - 1} = 0 などが成り立っているので、E^{\infty}_{n, q-n} = F_n H_q / F_0 H_q がわかる。これから、F_n H_q = H_q であるから、
0 \to E^{\infty}_{0, q} \to H_q \to E^{\infty}_{n, q - n} \to 0
となる。これは完全系列
0 \to H_q(F) \to H_q(E) \to H_{q-n}(F)\to 0
である。以上の計算を全てまとめると、
\dots \to H_q(F) \overset{i_*}\to H_q(E) \to H_{q-n}(F) \overset{d}\to H_{q-1}(F) \overset{i_*}\to H_{q-1}(E) \to H_{q-n -1}(F) \to \dots
がわかった。(ギシン列 も同じ方法で得られる。)
今の例で行ったような計算は、コホモロジー的なスペクトル系列に対しても簡単に適用できる。E_r^{p, q} を第1象限スペクトル系列(定義は後の節参照)とし、減少フィルトレーション
0 = F^{n+1} H^n \subset F^n H^n \subset \dots \subset F^0 H^n = H^n
を持つ H に収束、つまり E_{\infty}^{p,q} = F^p H^{p+q}/F^{p+1} H^{p+q} が成り立っているとしよう。p か q が負であれば E_2^{p, q} はゼロであるので、
0 \to E^{0, 1}_{\infty} \to E^{0, 1}_2 \overset{d}\to E^{2, 0}_2 \to E^{2, 0}_{\infty} \to 0.
が成り立つ。同じ理由で E_{\infty}^{1, 0} = E_2^{1, 0} であり、また F^2 H^1 = 0 であるから、
0 \to E_2^{1, 0} \to H^1 \to E^{0, 1}_{\infty} \to 0
となる。F^3 H^2 = 0 であるから、E^{2, 0}_{\infty} \subset H^2 である。列をつなげて、いわゆる5項完全系列
0 \to E^{1, 0}_2 \to H^1 \to E^{0, 1}_2 \overset{d}\to E^{2, 0}_2 \to H^2
を得る。
E^r_{p, q} をスペクトル系列とする。もし全ての q < 0 に対して E^r_{p, q} = 0 ならば、r ≥ 2 に対して
E^{r+1}_{p, 0} = \operatorname{ker}(d: E^r_{p, 0} \to E^r_{p-r, r-1})
でなければならない(分母がゼロとなるので)。したがって、単射準同型の列
E^{r}_{p, 0} \to E^{r-1}_{p, 0} \to \dots \to E^3_{p, 0} \to E^2_{p, 0}
が存在する。これはエッジ写像(edge map)と呼ばれている。同様に、全ての p < 0 に対して E^r_{p, q} = 0 ならば、 全射準同形の列
E^2_{0, q} \to E^3_{0, q} \to \dots \to E^{r-1}_{0, q} \to E^r_{0, q}.
が存在する。これもエッジ写像と呼ばれている。
転入写像(transgression)とは、一部分だけで定義されている写像(より正確に言うと、加法的関係)
\tau: E^2_{p, 0} \to E^2_{0, p - 1}
で、合成 E^2_{p, 0} \to E^p_{p, 0} \overset{d}\to E^p_{0, p-1} \to E^2_{0, p - 1} によって定義されるものである。ここで、最初と最後の写像はエッジ写像の逆写像である。
コホモロジー的なスペクトル系列 E_r^{p, q} についても同様のことが成り立つ。全ての q < 0 に対して E_r^{p, q} = 0 ならば、全射準同形の列
E_{2}^{p, 0} \to E_{3}^{p, 0} \to \dots \to E_{r-1}^{p, 0} \to E_r^{p, 0}
が存在する。また、全ての p < 0 に対して E_r^{p, q} = 0 ならば、単射準同型の列
E_{r}^{0, q} \to E_{r-1}^{0, q} \to \dots \to E_{3}^{0, q} \to E_2^{0, q}
が存在する。d: E_q^{0, q-1} \to E_q^{q, 0} から誘導される転入写像
\tau: E_2^{0, q-1} \to E_2^{q, 0}
は必ずしも well-defined な写像ではない。
これらの写像の決定を基礎として、セール・スペクトル系列における多くの微分を計算できる。例えば、転入写像は微分
d_n:E_{n,0}^n \to E_{0,n-1}^n
をホモロジー的なスペクトル系列に対して決定し、これをファイブレーション F \to E \to B についてのセール・スペクトル系列に適用すると
d_n:H_n(B) \to H_{n-1}(F)
が得られる。
コホモロジー群にはカップ積により環の構造が入り、コホモロジー環となる。したがって、スペクトル系列を同様に環の構造つきで考えることは自然なことである。E^{p, q}_r をコホモロジー的なスペクトル系列とする。これが乗法構造を持つとは、(i) E_r が(2重次数つきの)次数付き微分代数であって、(ii) E_{r+1} での乗法は E_r での乗法からコホモロジーを通じて誘導されている
ことを言う。
典型的な例は、係数群が環 R であるときのファイブレーション F \to E \to B に対するコホモロジー的なセール・スペクトル系列である。これは E_{2} ページにおけるファイバーと底(空間)のカップ積から誘導された乗法構造を持つ。しかし、一般には極限の項 E_{\infty} は次数つき多元環として H(E; R) と同型にはならない。乗法構造はスペクトル系列における微分の計算に非常に役に立つ。
スペクトル系列は様々な方法で作ることができる。代数的位相幾何学では、おそらく完全対による方法が最も一般的なものである。代数幾何学では、スペクトル系列は双対鎖複体のフィルトレーションから作られることが多い。
スペクトル系列を作るための最も強力な方法は、ウィリアム・シューマッハー・マッセイによる完全対を使う方法である。完全対は特に代数的位相幾何学の分野でよく使われ、他の作り方が知られていないスペクトル系列が多く存在する。実際、全ての知られているスペクトル系列は完全対から作ることができるFebruary 2014。にも関わらず、(完全対は)抽象代数学ではあまり人気がなく、その分野ではほとんどのスペクトル系列はフィルターつき複体から得られている。完全対を定義するために、アーベル圏を1つとる。先程と同じく、応用上は大抵の場合環上の2重次数つき加群の圏である。完全対 とは、対象 A と C の対と、この対象間の3つの準同型: f : A → A, g : A → C and h : C → A であって、次の完全性の条件を満たすものを言う:
Image f = Kernel g
Image g = Kernel h
Image h = Kernel f
このデータを単に (A, C, f, g, h) と表す。完全対は三角形の絵で表現することが多い。A を補助的なデータとして使い、E0 項が C であるようなスペクトル系列を作ろう。
スペクトル系列の次のシートに行くために、導来対(derived couple)をまず作る。次の記号を準備する:
d = g o h
A = f(A)
C = Ker d / Im d
f = f|A、f の A への制限
h : C → A、h から誘導されるもの。h がこのような写像を誘導することは簡単に分かる。
g : A → C は次のように定義する。A の元 a に対して、A の元 b が存在して a は f(b) と書ける。g(a) を、C における g(b) の像として定義する。一般の状況では、g はアーベル圏に対する埋込み定理の一つを使って作られる。
定義からすぐに (A, C, f, g, h) が完全対となることが分かる。C をスペクトル系列の E1 項とする。この操作を繰り返して完全対の列 (A(n), C(n), f(n), g(n), h(n)) が得られ、C(n) を En 項とし、dn を g(n) o h(n) と置くことで、求めるスペクトル系列になる。
ファイブレーションの(コ)ホモロジーの計算に使われるセール・スペクトル系列
K理論などの超常コホモロジー論で(コ)ホモロジーの計算に使われるアティヤ・ヒルツェブルフ・スペクトル系列
スペクトル系列の極めて典型的な例はフィルトレーション_(抽象代数学)双対鎖複体から得られる。これは、双対鎖複体 C• であって、全ての整数 p に対して部分複体 FpC• が定義されており、境界写像はフィルトレーションと両立している、つまり d(FpCn) ⊆ FpCn+1 が成り立つものである。(現実の例では p は上か下かどちらか片方で有界であることが多い。)フィルトレーションは減少している、つまり FpC• ⊇ Fp+1C• と仮定する。双対鎖複体の項に対応する数字は n で表すことにする。あとではさらに、フィルトレーションはハウスドルフ(分離的とも言う)、つまり FpC• の全ての共通部分をとるとゼロであり、フィルトレーションは覆い尽くしている(exhaustive)、つまり FpC• の全ての和集合をとると鎖複体 C• 全体となることを仮定する。
フィルトレーションは0への近さを測るものとして便利である。p が大きくなるにつれて、FpC• はゼロに近づいていく。このフィルトレーションから、あとのシートに行けば行くほどコバウンダリとコサイクルが元の複体のコバウンダリとコサイクルに近づいていくスペクトル系列が作れる。このスペクトル系列は、フィルター次数 p と補充次数(complementary degree)q = n − p で2重に次数づけられたものである。(補充次数は全次数 n よりも便利な添字であることが多い。例えば、あとで説明する2重複体のスペクトル系列の場合にそうである。)
このスペクトル系列を手作業で作ってみよう。C• は単一の次数づけとフィルトレーションしか持たないので、まず2重次数つき対象を C• から作る。第2の次数を得るために、フィルトレーションに随伴する次数つき対象を次のようにとる。
Z_{-1}^{p,q} = Z_0^{p,q} = F^p C^{p+q}
B_0^{p,q} = 0
E_0^{p,q} = \frac{Z_0^{p,q}{B_0^{p,q} + Z_{-1}^{p+1,q-1} = \frac{F^p C^{p+q}{F^{p+1} C^{p+q}
E_0 = \bigoplus_{p,q\in\mathbf{Z} E_0^{p,q}