行列の階数
線型代数学における行列の階数(かいすう、rank; ランク)は、行列の最も基本的な特性数 (characteristic) の一つで、その行列が表す線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示すものである。行列の階数を定義する方法は同値なものがいくつもある。
例えば、行列 A の階数 rank(A)(あるいは rk(A) または丸括弧を落として rank A)は、A の列空間(列ベクトルの張るベクトル空間)の次元に等しく、また A の行空間の次元とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。
行列の階数の概念はジェームス・ジョセフ・シルベスターが考えた。
任意の与えられた行列 A に対して以下は何れも互いに同値である
A の列ベクトルの線型独立なものの最大個数(A の列空間の次元)
A の行ベクトルの線型独立なものの最大個数(A の行空間の次元)
A に基本変形を施して階段行列 B を得たとする。このときの B の零ベクトルでない行(または列)の個数(階段の段数とも表現される)
表現行列 A の線型写像の像空間の次元。詳しくは#線型写像の階数を見られたし。
A の 0 でないような小行列式の最大サイズ
A の特異値の数
文献により、上記の条件の何れかを以って行列 A の階数は定義される。
いま A の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、線型代数学における基本的な結果の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に A の階数と呼ぶことができる。これについて、 はベクトルの線型結合の基本性質に基づく四文証明を与えた(これは任意の体上で有効である)。また、は実数体上の行列に対して有効な、直交性を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書  に出ている。
A を m × n 行列とする。また、 f を表現行列 A の線型写像とする。
m × n 行列の階数は非負整数で、m, n の何れも超えない。すなわち rank(A) ≤ min(m, n) が成り立つ。特に rank(A) = min(m, n) のとき、A は最大階数(full rank; フルランク; 充足階数、完全階数)を持つとかフルランク行列などといい、さもなくばA は階数落ち (rank deficient; 階数不足) であるという。
A が零行列のときかつその時に限り rank(A) = 0.
f が単射となるための必要十分条件は、rank(A) = n(これを A は列充足階数を持つという)となることである。
f が全射となるための必要十分条件は、rank(A) = m となる(A が行充足階数を持つ)ことである。
A が正方行列(つまり m = n)のとき、A が正則であるための必要十分条件は、rank(A) = n(A が充足階数)となることである。
B を任意の n × k 行列として rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) が成り立つ。
B が行充足階数 n × k 行列ならば rank(AB) = rank(A) が成り立つ。
C が列充足階数 l × m 行列ならば rank(CA) = rank(A) が成り立つ。
rank(A) = r となるための必要十分条件は、m × m 正則行列 X と n × n 正則行列 Y が存在して XAY =\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} が成立することである。ただし Ir は r × r 単位行列である。右辺の行列は A の階数標準形と呼ばれる。
rank(A) = rank(A⊤)( A⊤ は転置行列)
階数・退化次数の定理が成立
シルベスターの階数不等式: m × n 行列 A と n × k 行列 B に対し
\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B)
が成り立つ。証明: 階数–退化次数定理を不等式 \dim\ker(AB) \le \dim\ker(A) + \dim\ker(B) に適用すればよい
フロベニウスの不等式: 行列の積 A, ABC, BC がいずれも定義されるとき、
\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC)
が成り立つ。証明: 写像 C\colon \ker(ABC) / \ker(BC) \to \ker(AB) / \ker(B) は矛盾なく定義されて、単射である。したがって退化次数に対する不等式が得られるが、それを階数–退化次数定理で階数に関するものへ読み替えればよい。あるいは別法として、任意の部分線型空間 M に対し dim(AM) ≤ dim(M) が成り立つから、これを BC の像の B の像における(直交)補空間の定める部分空間(次元は rank(B) − rank(BC))を M として適用する。その A による像は次元 rank(AB) – rank(ABC) である。
劣加法性: A, B は同じ型の行列として \operatorname{rank}(A+ B) \le \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) が成り立つ。この帰結として、階数 k の行列は階数 1 の行列 k 個の和に書くことができ、また k 個より少ない階数 1-行列の和には書けない。
A が実数体上の行列であるとき、A の階数は対応するグラム行列の階数に等しい。すなわち、実行列 A に対し \operatorname{rank}(A^{\top}A) = \operatorname{rank}(AA^{\top}) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^{\top}) が成り立つ。これは各々の核空間が等しいことを見れば示される。グラム行列の核は A⊤Ax = 0 となるベクトル x からなる。このときさらに 0 = x⊤A⊤Ax = Ax2 も成り立つ。
A が複素数体上の行列であるとき、A の複素共軛行列を A, 共軛転置行列を A* と書けば、
\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\overline{A}) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A^*) = \operatorname{rank}(A^*A) = \operatorname{rank}(AA^*)
が成り立つ。
例えば、行列
M =
\begin{bmatrix}
4 & 2 & 1 \\
5 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
\end{bmatrix}
は、基本変形を行うことによって
M \iff
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
と書けるから、M の階数は rank M = 2 である。実際、[第 2 行] = [第 1 行] + [第 3 行] であるから、2 行目の行ベクトルは線型独立でない。ここで、1 行目と 3行目は明らかに線型独立であるから、rank M = 2 である。
浮動小数点を用いたコンピューター上の数値計算においては、この基本変形を用いたりLU分解を用いることで階数を求める方法は、精度が落ちることもあり用いられない。替わりに、特異値分解(SVD)やQR分解を用いて求められる。
V, W をベクトル空間とし、線型写像 f: V → W が与えられたとき、f の像  f(V) の次元を線型写像 f の階数と呼び、rk f や rank f などで表す。V や W は一般に無限次元であっても、像の次元 dim f(V) が有限であれば線型写像の階数の概念は意味を持つ。とくに階数有限なる線型写像にはトレースが定義できて、古典群の表現論などで重要な役割を果たす。
V や W が有限次元ならば、行列表現によって f は表現行列 Af の共軛類が対応する。このとき、線型写像の階数と行列の階数との間には rank f = rank Af という関係が成り立つが、行列の階数が正則行列を掛けることに関して不変であることから、この等式の成立は表現行列 Af のとり方に依らない。
ベクトル空間 V, W に対して V が n 次元とすれば、線型写像 f: V → W の階数は  n  以下である。実際に、rank f = n となるとき、線型写像 f は非退化(ひたいか、non-degenerate, full rank)であるという。そうでないときには、像 f(V) は f で 0 へ写される元の分だけ「つぶれている」と考えられ、線型写像 f の核
\ker f := \{ v \in V \mid f(v)=0\}
の次元 dim ker f を f の退化次数と呼ぶ。f の退化次数を nl f や null f などで表すことがある。次の公式
\dim V = \operatorname{rank} f + \operatorname{null}\, f.
が成立し、階数と退化次数の関係式あるいは簡単に階数・退化次数公式などと呼ばれる。