十二進法
m/4 となる奇数(3と9)は、4の倍数を掛けると、一の位が0になる。1/4となる3の段は一の位が3→6→9→0→3で循環し、3/4となる9の段は一の位が9→6→3→0→9で循環する。
4の倍数(4と8)は、3の倍数を掛けると、一の位が0になる。1/3となる4の段は一の位が4→8→0→4で循環し、2/3となる8の段は一の位が8→4→0→8で循環する。
他の段は、3の倍数を掛けると、一の位が3, 6, 9, 0のどれかになる。
他の段は、4の倍数を掛けると、一の位が4, 8, 0のどれかになる。
末尾となるB(十一)の段は、一の位と十二の位の和がBになる。
10-2となるA(十)の段は、一の位は2ずつ減る。一の位はA→8→6→4→2→0の順に変化する。
5の段は、偶数を掛けると、一の位の数は2ずつ減る。そして、4の倍数を掛けると、一の位は8→4→0の順に変化する。
7の段は、偶数を掛けると、十二の位は一の位の数の半分になる(例:(12)12=(14)10)。そして、4の倍数を掛けると、一の位は4→8→0の順に変化する。
十二進命数法とは、12 を底とする命数法である。
自然言語で十二進命数法の数詞を持つものは少ない。ナイジェリアのジャンジ語 (Janji)、ビリ・ニラグ語 (Gbiri-Niragu)、グワンダラ語ニンビア方言 (Nimbia)、ピティ語 (Piti) などが十二進命数法のグループを作り、またネパールのチェパン語 (Chepang) も十二進命数法を用いている。
以下にグワンダラ語ニンビア方言の数詞を示す。
ゲルマン語派の数詞は、十二以下と十三以降とで構成が異なる。以下に英語、ドイツ語、スウェーデン語の数詞を示す。
十一と十二の数詞の語源はそれぞれ 1 余り、2 余りを意味する *ainlif, *twalif であり、十三以降の数詞は十進法に基づく数詞だが、十二以下と十三以降で構成が異なるのを十二進法の影響とする説がある。
英語の hundred など、現在「百」「十二進数84」を意味する語は、中世までは「百二十」「十二進数A0」を意味することがあった(Long hundred を参照)。ロジバンは十, 十一, 十二に個別の数詞があり、十二進法に対応している(実際には十六進法にまで対応する)。
現在、十二進法はもっぱら単位系で使われている。数は十進記数法で 9, 10, 11 と表し、12 や 144 に至ると桁ではなく単位を繰り上げる。すなわち、記数法と単位が一致していない。
単位の十二進法は、言語の数詞とは無関係に発生したと考えられる。1 年がほぼ 12 か月であること(360 ÷ 30 = 12。満月と新月の回数がほぼ 12 回)に因むとされる。メソポタミア文明ではこれが 1 年を 12 か月とする暦法となり、12 は 30 と同様に主に時間を示す際の基数となった。1 日 24 時間の 24 は 12 の 2 倍であり、六十進法の 60 は 12 と 30 の最小公倍数である。黄道十二宮はこれに基づく。中国の十二支も黄道十二宮と同じように、循環する十二進法である。
また、 12 は 4×3 であり、1 とその数以外の約数が 2, 3, 4, 6 の 計 4 個と多く、4 までの全てで割り切れる点も、十二進法の単位が用いられる一因となった。十進法の 10 は、1 とその数以外の約数が、2 と 5 の 計 2 個しかない。六進法の 6 は、1 とその数以外の約数が 2 と 3 の計 2 個で便利であるが、4 分割ができず、4 分割は 2 倍 の 12 か、平方数の 36 まで待たねばならない。
例えば、通貨を3単位×4の十二進法にすると、1728 (= 123) の貨幣を 12 (= 121) と 36 (= 121×3、122÷4) と 144 (= 122) と 432 (= 122×3、123÷4) の四種類の貨幣に分けて、「432の貨幣が2枚」で二分割(1728÷2 = 864)したり、「432の貨幣が1枚 + 144の貨幣が1枚」で三分割(1728÷3 = 576)したり、「432の貨幣が1枚」で四分割(1728÷4 = 432)したり、「144の貨幣が1枚 + 36の貨幣が2枚」で八分割(1728÷8=216)したり、「144の貨幣が1枚 + 36の貨幣が1枚 + 12の貨幣が1枚」で九分割(1728÷9=192)したりすることが可能になる。後述のペンス通貨やアス通貨が、このような三分割と四分割を考慮した単位に該当する。
日本では、12 ヶ月を 1 年というのに対して、144 ヶ月 (= 12 年) を 1 回りという。
物の数を表すダース (12)、グロス (144 = 122)、グレートグロス (1728 = 123)、スモールグロス (120 = 12×10) という単位があり、西洋で用いられる。1971年2月15日まで、イギリスポンドは、1 ポンドは 240 ペンスであり、12 ペンスが 1 シリング、20 シリングが 1 ポンドであった。
この他にも、ヤード・ポンド法は十二進法が主流であり、長さの 1 フィート = 12 インチ = 144 ライン = 1728 ポイントである。同じく、1 トロイポンド = 12 トロイオンス = 144 スカラプル = 1728 シードである。プラモデルの縮尺に 1/144 (= 12-2) が多いのも、12 フィートすなわち 144 インチを逆数にしたサイズが由来である。
また、ローマ帝国の数詞や単位は十進法が通例であったが、アス (as) 通貨は異例で十二進法を想定した単位を設定した。アス通貨の下部単位として、1/2 アスのセミス (semis)、1/3 アスのトリエンス (triens)、2/3 アスのベス (bes)、1/4 アスのクォドランス (quadrans)、3/4 アスのドドランス (dodrans)、1/6 アスのセクスタンス (sextans)、1/12 アスのウンシア (uncia)、5/12 アスのクインクンクス (quincunx) が使用されており、中でも semis は「半」を意味する接頭辞 "semi-" の語源にもなっている。しかし、1/144 アス (= 1/12 ウンシア) や 12 アス (= 144 ウンシア) の単位は設定されず、1/24 アスのセミウンシア (semiuncia) と 2 アス (= 24 ウンシア)のドゥポンディウス (dupondius) のみであった。
十二進法で百分率や千分率と同じ冪数分率を作ると、「百四十四分率」「千七百二十八分率」「二万七百三十六分率」となる。ここで問題になる点は、3-p つまり「三分割をp回」した際の小数の分子・分母の大きさである。1/9=3-2は六進法と十二進法の両方とも小数第二位となり、六進法は「三十六分率」、十二進法は「百四十四分率」でほぼ互角となる。百四十四分率は(1/16)10=2-4まで収容できるが、3-3以後が大きく変わり、十二進法では(1/27)10=3-3の小数が千七百二十八分率となり、(1/81)10=3-4の小数が二万七百三十六分率まで膨れる。
一方で、六進法は2-pと3-pの冪指数が同じなので、1728(10)=12000(6)=1000(12)の1/8である「二百十六分率」 {216(10)=1000(6)=160(12)} で1/8と(1/27)10の両方が収容可能で、1000(12)の6/8である「千二百九十六分率」 {1296(10)=10000(6)=900(12)} で(1/16)10と(1/81)10の両方(つまり2と3の両方で四回分割)まで収容可能となり、いずれも1000(12)に満たない。別の言い方をすると、六進法は「四分割は36(10)まで待たねばならない」が「八分割と二十七分割は216(10)まで待てばよい」のに対して、十二進法は「二十七分割は1728(10)まで待たねばならない」。
(m/27)10の小数は、六進法では 12(6)=8=23の倍数だが、十二進法では 54(12)=64(10)=26の倍数になる。そして、(m/81)10の小数は、六進法では 24(6)=16(10)の倍数だが、十二進法では 194(12)=256(10)の倍数まで膨れてしまう。
このため、除数が「指数が大きい3の冪数」となる割り算では、十二進法は開きが大きくなりやすい。例として、被除数を 28 = 194(12) = 1104(6) = 256(10) とする。
28 ÷ 3
十二進法:194 ÷ 3 = 71.4 → 十進帯分数で「85と4/12」=「85と1/3」
六進法:1104 ÷ 3 = 221.2 → 十進帯分数で「85と2/6」=「85と1/3」
28 ÷ 32
十二進法:194 ÷ 9 = 24.54 → 十進帯分数で「28と64/144」=「28と4/9」
六進法:1104 ÷ 13 = 44.24 → 十進帯分数で「28と16/36」=「28と4/9」
28 ÷ 33
十二進法:194 ÷ 23 = 9.594 → 十進帯分数で「9と832/1728」=「9と13/27」
六進法:1104 ÷ 43 = 13.252 → 十進帯分数で「9と104/216」=「9と13/27」
28 ÷ 34
十二進法:194 ÷ 69 = 3.1B14 → 十進帯分数で「3と3328/20736」=「3と13/81」
六進法:1104 ÷ 213 = 3.0544 → 十進帯分数で「3と208/1296」=「3と13/81」
十二進法:194 ÷ 69 = 3.1B14 → 十進帯分数で「3と3328/20736」=「3と13/81」
六進法:1104 ÷ 50213 = 0.01223224 → 十進分数で「65536/1679616」「256/6561」「28/38」
2454(12) = 30544(6) = 4096(10) であり、31B14(12) = 1223224(6) = 65536(10) であり、38 = 3969(12) = 50213(6) = 6561(10) である。
小数点を消すと、六進法の場合 30544 ÷ 13252 = 2(十進換算:4096 ÷ 2048 = 2)で2倍の開きであるが、十二進法の場合 31B14 ÷ 9594 = 4(十進換算:65536 ÷ 16384 = 4)で4倍の開きになる。同じく、34で割った商を、3で割った商で割ると、六進法の場合 30544 ÷ 2212 = 12 で8倍の開き(経過した3の冪指数も、商となる2の冪指数も3で同じ)だが、十二進法の場合 31B14 ÷ 714 = 54 で 64(10)倍の開き(経過した3の冪指数は3だが、商となる2の冪指数が6)になってしまう。
以下の表に示す通り、商の小数点を消した数値も、十二進法では33(27(10)=23(12))で割ると被除数の26倍=64(10)倍=54(12)倍になり、36(729(10)=509(12))で割ると被除数の(210)12倍=4096(10)倍=2454(12)倍まで膨れてしまう。これに対して、六進法では36(729(10)=3213(6))で割ると被除数の26倍=64(10)倍=144(6)倍の数値になる。
このように、十二進法の小数は、「一桁で四分割」「二桁で八分割と九分割」ができる長所を持つ一方で、「3の冪指数が大きい割り算の分子・分母」が膨大になってしまうという短所も持っている。
十二進法の指数えは、同じ3で割り切れる六進法とは様相が異なる。十二進法の指数えは、親指が指標となり、各指の3つの指骨(末節骨 ・中節骨・基節骨)を小指から数える。片手を十二(10(12))までの数、もう片手を十二の倍数として、片手で十二まで数えて、もう一方の手に繰り上げて百四十四(100(12))まで数える
。(実際は十三進法を用いて百六十八まで数えられるが、一般的ではない)
SF作品でも、人類と異なる文明が十二進法を使っているとする設定はよく見られるものである。
H・G・ウェルズは『冬眠二百年』(When the Sleeper Wakes, 1899年)や『モダンユートピア』(A Modern Utopia, 1905年)で十二進法を使用し、12 = dozen, 144 (=122) = gross, 1728 (=123) = dozand, 20736 (=124) = myriad としている。
J・R・R・トールキンによる人工言語、エルフ語 (Elvish) の数詞は十二進法である(→クウェンヤ)。
英米では、十二進法を採用するよう主張する人々がいる。人間の手指の数に由来する、原始的で、2と5でしか割り切れない十進法ではなく、3でも4でも割り切れる十二進法の方が理に適っているとされるためである。これらの人々は、十二進法を表す語として、英語で通常使われる duodecimal を「十のおまけ」という言い方だとして嫌い、dozenal を使う。なお、dozenal に相当するスペイン語は、doce(十二)を形容詞化した docenal である。十と十一を意味する数字には A と B を用いず、十 を T または X 、十一 を E で、或いはその変形で表したり、十 を * で、十一を # で表したりする。これらの十二進法推進団体は、百分率(パーセント:記号は「%」)に代わって百四十四分率(パーグロス:記号は"per gross"を縮めた「p/g」)の使用を主張したり、周角の360度(十二進法で260度)から144度(十二進法で100度)への変更も主張している。
なお、十進法以外を採用しようという主張は、近年ではコンピュータの二進法との相性から八進法や十六進法についても主張されている。しかし、八進法や十六進法は「2の冪数」進法なので、2でしか割り切れない。つまり、1/3や1/5といった奇数分割ができない。また、「3の倍数」進法を採用しようという立場から、十二進法以外では六進法や三十進法についても主張されており、それぞれの長短も議論されている。「5の倍数」に囚われない指数えの方法として、十二進法での指の「関節」で数える方法、六進法での「もう片手は六の位」とする方法 が提案されている。
Unicode 8.0 では、十二進法のための10 ( = U+218A, 180度回転した2)と 11( = U+218B, 180度回転した3)の2つの数字が符号位置を与えられた。この2つの数字はアイザック・ピットマンの考案による。