十二進法
十二進法(じゅうにしんほう)とは、12 を底(てい)とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。時間の表記として世界中で一般的に使用されている。
物流で主に使われる数量のダース、グロス
暦が12か月周期であることは諸説あるが、数え方は十二進数である。(太陰暦を参照)
十二進記数法とは、十二を底とする位取り記数法である。十二進法での位取りでは、通常は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B の計十二個の数字を用い、十を A , 十一を B , 十二を 10 , 十三を 11 と表記する。なお、8 と B が紛らわしいことを理由に、"Ten"と"Eleven"の頭文字を取って、十を T 、十一を E と表記する例もある。
本節では慣用に従い、通常のアラビア数字を十進記数法で表記し、十二進記数法の表記を括弧および下付の 12 で表す。また、必要に応じて、十進記数法の表記も括弧及び下付の 10 で表す。十二進記数法で表された数を十二進数と呼ぶ。十二進法の位取りでは、左に一桁動くと十二倍になり、右に一桁動くと十二分の一になる。言い換えると、整数第二位は「十二の位」、整数第三位は「百四十四の位」である。
(12)12 という表記において、左の「1」は十二を意味し、右の「2」は二を意味し、合わせて「十四」を意味する。
数列の進み方も、上記の表のように、十進数の 14 が十二進数では 12 となり、二桁の最後も BB となる。十二進法は「4×3=10」となるので、数列は4の倍数や3の倍数が進みやすいという傾向を持っている。従って、3で割り切れる六進法(2×3=10)や十八進法(2×9=10)や三十進法(2×15=10)、4で割り切れる二十進法(4×5=10)との親和性が強い傾向が見られる(→矩形数)。2と3で割り切れる点は六進法や十八進法と同じであるが、「4×奇素数」で桁上がりする構造は二十進法と同じである。
また、十八進法とは4と9の立場が逆転する。十八進法では一桁で9分割が可能となるが、4ずつは一の位が「4→8→C→G→2→6→A→E→0→4」の9個循環になる。十二進法では一桁で4分割が可能となるが、9ずつは一の位が「9→6→3→0→9」の4個循環になる。
5以降の素数は、一の位が 1, 5, 7, B のいずれか、すなわち 3 と 9 を除く奇数になる。例えば:
十進法の13 → 十二進法では11
十進法の17 → 十二進法では15
十進法の79 → 十二進法では67
十進法の107 → 十二進法では8B
十進法の126 → 十二進法ではA6
となる。
;倍数の法則
3の倍数は末尾が0、3、6、9のいずれか。
4の倍数は末尾が0、4、8のいずれか。
6の倍数は末尾が0か6のいずれか。
Bの倍数は数字和がBとなる数。
十二進表記の整数は、以下の数値になる。
(30)10 = (26)12 (2×121 + 6)
(45)10 = (39)12 (3×121 + 9)
(60)10 = (50)12 (5×121)
(90)10 = (76) (7×121 + 6)
(100)10 = (84)12 (8×121 + 4)
(135)10 = (B3)12 (11×121 + 3)
(144)10 = (100)12 (1×122)
(216)10 = (160)12 (1×122 + 6×121) = (1000)6
(256)10 = (194)12 (1×122 + 9×121 + 4) = (100)16
(270)10 = (1A6)12 (1×122 + 10×121 + 6)
(360)10 = (260)12 (2×122 +6×121)
(400)10 = (294)12 (2×122 + 9×121 + 4) = (100)20
(720)10 = (500)12 (5×122)
(810)10 = (576)12 (5×122 + 7×121 + 6)
(1600)10 = (B14)12 (11×122 + 1×121 + 4)
(1728)10 = (1000)12 (1×123)
(2000)10 = (11A8)12 (1×123 + 1×122 + 10×121 + 8)
(2112)10 = (1280)12 (1×123 + 2×122 + 8×121)
(3077)10 = (1945)12 (1×123 + 9×122 + 4×121 + 5)
(4096)10 = (2454)12 (2×123 + 4×122 + 5×121 + 4) = (1000)16
(5022)10 = (2AA6)12 (2×123 + 10×122 + 10×121 + 6)
(5832)10 = (3460)12 (3×123 + 4×122 + 6×121) = (1000)18
(6561)10 = (3969)12 (3×123 + 9×122 + 6×121 + 9) = (10000)9
(10368)10 = (6000)12 (6×123)
(20736)10 = (10000)12 (1×124)
(46656)10 = (23000)12 (2×124 + 3×123) = (1000000)6
十進法の 2000 - 60 = 1940 → 十二進法では 11A8 - 50 = 1158
十進法の 45 × 16 = 720 → 十二進法では 39 × 14 = 500
十進法の 212 = 4096 → 十二進法では 210 = 2454
六進法の 13000 + 132 = 13132 → 十二進法では 1160 + 48 = 11A8 (十進法では 1944 + 56 = 2000)
六進法の 400 ÷ 3 = 120 → 十二進法では 100 ÷ 3 = 40 (十進法では 144 ÷ 3 = 48)
十八進法の 249 + 49 = 290 → 十二進法では 509 + 69 = 576 (十進法では 729 + 81 = 810)
二十進法の 55C × 9 = 27A8 → 十二進法では 1280 × 9 = B000 (十進法では 2112 × 9 = 19008)
十二進法→十進法
十二進法の 50 ÷ 2 = 26 → 十進法では 60 ÷ 2 = 30
十二進法の 700 ÷ 7 = 100 → 十進法では 1008 ÷ 7 = 144
十二進法の 1000 ÷ 4 = 300 → 十進法では 1728 ÷ 4 = 432
十二進法→六進法
十二進法の 194 × 69 = 10000 → 六進法では 1104 × 213 = 240000
十二進法の 1000 ÷ 54 = 23 → 六進法では 12000 ÷ 144 = 43
以下の表に、十二進数で表記した十二の累乗数と、それを六進数(底が二の三倍)、十進数(底が二の五倍)、二十進数(底が四の五倍)に換算した数値を掲載する。万や億との対比を判り易くするため、桁は四つごとに区切る。
十二進数は「3の倍数」かつ「4の倍数」進数であるが、桁上がりの速さは、「3の倍数」の六進数よりは「4の倍数」の二十進数に近い。3乗への桁上がりでは、六進数とは8倍の差 {1000(12) = 12000(6) = 1728(10)} だが、二十進数とは5倍の差 {5000(12) = 11C0(20) = 8640(10)} になる。4乗への桁上がりでも、六進数とは24(6)倍=16(10)倍の差 {10000(12) = 240000(6) = 20736(10)} 、十進数とは2倍の差 {10000(12) = 20736(10)} 、二十進数とは8倍の差 {80000(12) = 10EE8(20) = 165888(10)} 、十八進数とも5倍の差 {50900(12) = 10000(18) = 104976(10)} である。
また、十二の累乗数と二十の累乗数を対比すると、十二の六乗と二十の五乗が最も接近する {両者とも(300万)10前後。10A3A28(12) = 100000(20) = 3200000(10)} 。十二の累乗数と十八の累乗数も同じく、十二の六乗と十八の五乗が最も接近する {両者とも(200万)10前後。771600(12) = 100000(18) = 1889568(10)} 。
他のN進数を十二進数に変換するには、整数部分はそのまま十二進数に変換し、小数部分は十二の累乗数を他のN進数に変換した数値を掛ける。
六進数→十二進数
(例)六進数 1.225245314(2の平方根)
小数の分母:1000000000(6) → 144000000(6)(十二進換算値:3460000(12) → 1000000(12)、十進換算値:10077696 → 2985984)
225245314 × 0.144000000 = 42302030.544 → 42302031(6)
42302031(6) = 4B7917(12)(十進換算値は1236835)
よって、1.225245314(6) ≒ 1.4B7917(12) となる。
十進数→十二進数
(例)十進数 42.195(フルマラソンのキロ数)
整数:42(10) = 36(12)
小数の分母:1000(10) → 144(10)(十二進換算値:6B4(12) → 100(12))
195 × 0.144 = 28.08 → 28(10)
28(10) = 24(12)
よって、42.195(10) ≒ 36.24(12) となる。
十六進数→十二進数
(例)十六進数 73.93(倍率、細分値)
整数:73(16) = 97(12)(十進換算値は115)
小数の分母:100(16) → 5100(16)(十二進換算値:194(12) → 10000(12)、十進換算値:256 → 20736)
93 × 51 = 2E83 → 2E83(16)
2E83(16) = 6A83(12)(十進換算値は11907)
よって、73.93(16) = 97.6A83(12) となる。
二十進数→十二進数
(例)二十進数 56.B38(倍率、細分値)
整数:56(20) = 8A(12)(十進換算値は106)
小数の分母:1000(20) → 468(20)(十二進換算値:4768(12) → 1000(12)、十進換算値:8000 → 1728)
B38 × 0.468 = 285.1F4 → 285(20)
285(20) = 685(12)(十進換算値は965)
よって、56.B38(20) ≒ 8A.685(12) となる。
桁が一つ動く度に数が十二倍変わるため、小数第一位は「十二分の一の位」、小数第二位は「百四十四分の一の位」となる。従って、十二進法では:
(0.1)12 =  1/12 (1×12-1)
(0.5)12 = 5/12 (5×12-1)
(0.A)12 = 10/12 (10×12-1)
(0.01)12 = 1/144 (1×12-2)
(0.03)12 = 3/144 (3×12-2)
(0.14)12 = 16/144 (1×12-1 + 4×12-2)
(0.75)12 = 89/144 (7×12-1 + 5×12-2)
(0.76)12 = 90/144 (7×12-1 + 6×12-2)
(0.001)12 = 1/1728 (1×12-3)
を、それぞれ意味する。十二と五は互いに素なので、5 や 75は約分できず、既約分数になる。
十二進法は、10 の素因数分解が「10 = 22×3」になり、2の冪指数が2つになる。従って、冪指数が一対一の関係になる六進法(10 = 2×3)や十進法(10 = 2×5)とは様々な面で異なる。十二進法と似たような現象は、二十進法(10 = 22×5)や十八進法(10 = 2×32)でも発生する。
十二進法では十二倍ごとに桁を変えるので、小数では「y年m箇月」の計算が容易になる。
7.6 + 1A.6 = 26
この十二進数の数式を十進数で解釈すれば、「7年6箇月 + 22年6箇月 = 30年」と見ることができる。桁を一つ繰り上げると、76(12)箇月=90(10)箇月、1A6(12)箇月=270(10)箇月、260(12)箇月=360(10)箇月となり、数字と月数が一致する。
1200.B - 4.6 = 11B8.5
この数式を十進数で換算すると、「2016と11 - 4と6 = 2012と5」となる。これを別の言い方をすると、「2016年11月の4年6箇月前は、2012年5月」ということがすぐに判る。
これを十進数でやると、帯分数にせざるを得ず、小数化すると循環小数になって正確な値を出しにくい。上記の十二進数の数式も、十進数では「2016.91666… - 4.5 = 2012.41666…」になってしまう。
3×5、すなわち十進分数の 15、六進分数の 23 に当たる小数は、十進数では3.75(10)、六進数では3.43(6)に対して、十二進数では3.9(12)となり小数点以下が一桁になる。これは、十進数や六進数では2の冪指数が1つ(すなわち底が単偶数)なのに対して、十二進数では2の冪指数が2つ含まれているからである。
これらの小数を分解すると、十進数では 3 + 75 (= 3) と 3 + 9 (= 3) が 15 で同値となる。六進数でも、3 + 43 (= 3) と 3 + 13(= 3) が 23 で同値となる。
前述の 3.9(12)を一桁下げた 0.39(12)は、十進数では 0.3125(10)、六進数で 0.1513(6) になる。
これは、素因数分解の上既約分数にすると 5 の小数だが、十進数の場合 5×0.0625(分子が54)で0.3125、
六進数の場合 5×0.0213(分子が34)で0.1513になるのに対して、十二進数の場合 5×0.09(分子が32)で0.39になる。
このように、十進数の場合「2の4乗には5の4乗」、六進数の場合「2の4乗には3の4乗」であるのに対して、十二進数では「2の4乗には3の2乗」となり、2の冪指数が偶数の場合は分子となる3の冪指数は1/2になる。
0.39 × 6 = 1.A6
この十二進数の数式は、十進数では 0.3125×6 = 1.875、六進数では0.1513×10 = 1.513となるが、小数部分を既約分数にすると 7 になる。7 すなわち 7の小数も、十進数では7×0.125 = 0.875で「7×53」、六進数では11×0.043 = 0.513で「7×33」の数が現れるのに対して、十二進数では7×0.16 = 0.A6 となる。つまり、2の冪指数が奇数の時、逆数の分子は6の倍数になる。
この十二進数0.A6(12)を分数化すると、十進数では 126 = 7、六進数でも 330 = 11 となり、数値が一致する。
3.9 × 6 = 1A.6
前記の小数を一桁上げた数式で、十進数では 3.75×6 = 22.5、六進数では 3.43×10 = 34.3となるが、小数部分を既約分数にすると 1 になる。
これをy年m箇月の計算に当て嵌めることも可能で、十進数で換算すると「3年9箇月の6倍は22年6箇月」とも言える。
十二進法は奇数の因数に3が含まれているので、除数が3の冪数であれば割り切れる数になる。但し、十二進法は10の素因数分解が22×3なので、3の冪数による除算は、小数点を消した値が「2の偶数乗を掛けた値」になる。例えば、除数が33の場合、逆数の分子は23×2=26になる(→詳細はこちらも参照すること)。冪指数が小さい場合でも、六進法の場合 1/3は0.2、1/9 (1/136) は0.04(分子が22)に対して、十二進法では 1/3は0.4(分子が22)、1/9は0.14(分子が24)になる。
57.6÷9
十進数の 57.6÷9、十二進数の57.6 ÷ 9 の商は、以下の通りとなる。
十進法: 57.6 ÷ 9 = 6.4
十二進法: 57.6 ÷ 9 = 7.6
桁を一つ繰り上げて小数点を消すと、576(10) は 64×9 だが、576(12) は 810(10)、つまり十進数換算値が 90×9 である。576(12)を十進数で分解すると、5×122 + 7×121 + 6 = 720 + 84 + 6 = 810 となる。
更に、十進法の 576÷9 = 64 も、十二進法では 400÷9 = 54 となる。
十進法:576 ÷ 9 = 64
十二進法:400 ÷ 9 = 54
576(10) を十進数で分解すると、十進法では 5×102 + 7×101 + 6 = 500 + 70 + 6 で 576 となるが、十二進法では 4×122 で 400(12)となる。50(12) は 60(10) なので、4 を加えた 54(12) も 64(10) に等しい。別の言い方をすると、「五百七十六個の九分割は六十四個」は「四グロスを九人で分けて、五ダース四個」になるのに対して、「五グロス七ダース六個の九分割は七ダース六個」は「八百十個の九分割は九十個」になるとも言える。このように、十二進法では、「400個」の物品を3人や9人でぴったり分けることができる。
1.75(12) は 7 ではない
十二進法:175 ÷ 100 = 1.75
十進法:233 ÷ 144 = 1.6180555…
六進法:1025 ÷ 400 = 1.3413
十二進法の1.75(12) 列びに (175)12は、十進分数では 7 ではなく、233 すなわち黄金比の概数になる。
23 ÷ 33(十進分数 8)
六進法:12 ÷ 43 = 0.144
十二進法:8 ÷ 23 = 0.368
「十分の三」は、十進法が0.3(10)、六進法が0.1444…(6)に対して、十二進法では0.37249…(12)になる。「十分の三」の近似値である「二十七分の八」は、六進法が0.144(6)に対して、十二進法では0.368(12)で分子・分母が六進法の八倍になる。十二進分数 368 の六進数換算値は 2212 = 12×144 になる。
82 ÷ 92(= 26 ÷ 34、十進分数 64)
六進法:144 ÷ 213 = 0.4424
十二進法:54 ÷ 69 = 0.9594
六進数は「2の4乗には3の4乗」「3の4乗には2の4乗」という一対一の関係なので、3-4も0.0024(6)で分子が24 となり、210÷34 では分子に現れる数は 210+4 = 214、すなわち 144×0.0024 = 0.4424(6)となる。
しかし、十二進数では「2の4乗には3の2乗」とは逆に「3の4乗には2の8乗」の関係になり、26÷34 で分子に現れる数は 2A の 714(12)(すなわち 4424(6) = 1024(10))ではなく、26+8 = (212)12 で 9594(12)(すなわち 203504(6) = 16384(10))となる。3-4も0.0194(12)で分子が28となり、26÷34 も 54×0.0194 = 0.9594(12)となる。
0.9594(12)を六進数で分解すると、0.9594(12) = 203504 = (16384)10、0.4424(6)は 4424 = (1024)10となり、双方の差は203504 ÷ 4424 = 24倍 となる。
2 ÷ 36(十進分数 2)
六進法:2 ÷ 3213 = 0.000332
十二進法:2 ÷ 509 = 0.0048A8
「1年に1回」を概数にすると 2 の分数になるが、六進法と十二進法の両方とも、3-6(七百二十九分割)は小数点以下六桁になる。分数に換算すると、六進法の場合 0.000332(6) = (332)6 = (128)10になるが、十二進法の場合 0.0048A8(12) = (101532 = 144×332)6 = (8192)10になる。
六進法の3-6は分子が26=144(6)=64(10)、分母が23000(12)=1000000(6)=46656(10)に対して;十二進法で3-6をすると、分子は26×2=2454(12)=30544(6)=4096(10)、分母は1000000(12)=144000000(6)=2985984(10)で分子・分母が六進法の六十四倍になる。
十進法の 100(10) や 1000(10) など十の冪数、二十進法の 100(20)(=400(10))や 1000(20)(=8000(10))など二十の冪数、十六進法の 100(16)(=256(10))など二の冪数進法による冪数は、3や9で割り切れないが、十二進法では割り切れる(六進法も同様)。十進法の 100(10) は十二進法では 84(12)、十六進法の 100(16) は十二進法では 194(12) となる(→他の商は後述)。
十進法:100 ÷ 3 = 33.3333… センチメートル
十二進法:(84)12 ÷ 3 = (29.4)12 センチメートル
1/3 リットル
十進法:1000 ÷ 3 = 333.3333… ミリリットル
十二進法:(6B4)12 ÷ 3 = (239.4)12 ミリリットル
1/9 キロメートル
十進法:1000 ÷ 9 = 111.1111… メートル
十二進法:(6B4)12 ÷ 9 = (93.14)12 メートル
28 ÷ 3 (十進換算:256 ÷ 3)
十六進法:(100)16 ÷ 3 = 55.5555…
十二進法:(194)12 ÷ 3 = 71.4
1/3バク(※「バク」はマヤ数詞で四百。十進換算:400 ÷ 3)
二十進法:(100)20 ÷ 3 = 6D.6D6D…
十二進法:(294)12 ÷ 3 = B1.4
5を除数とする演算を割り切る条件は、被除数の約数に5が含まれることが条件になる。
(32×7) ÷ 33(十進法の場合 63 ÷ 27)
十二進法:53 ÷ 23 = 2.4
十六進法:3F ÷ 1B = 1.5555…
二十進法:33 ÷ 17 = 2.6D6D…
(32×7) ÷ (2×3×5)(十進法の場合 63 ÷ 30)
十二進法:53 ÷ 26 = 2.124972497…
十六進法:3F ÷ 1E = 2.1999…
二十進法:33 ÷ 1A = 2.2
十二進法で循環節が長くなる例として、5-2(1)が20(10)桁、7-2(1)が42(10)桁が挙げられる。逆に、十進法では22(10)桁、二十進法では55(10)桁、六進法や十八進法でも110(10)桁になるB-2(1)は、十二進法では僅B(12)桁=11(10)桁になる。
(211 ÷ A2)12  { (213÷102)10}
六進法:101532 ÷ 244 = 213.53041…
十進法:8192 ÷ 100 = 81.92
十二進法:48A8 ÷ 84 = 69.B0591 5343A 0B62A 68781…
十八進法:1752 ÷ 5A = 49.GA17…
二十進法:109C ÷ 50 = 41.I8
(102 ÷ B2)12 { (122÷112)10}
十進法:144 ÷ 121 = 1.19008 26446 28099 17355 37…
十二進法:100 ÷ A1 = 1.23456789B01…
十二進法では 0.1(12) が「十二分の一」になるため、0.3(12) は 1/4 になり、0.4(12) は 1/3 になり、0.6(12) は 1/2 になり、0.A(12)(十進法で10/12)は 5/6 になる。その他、m/d として分数化できる一桁小数として、0.8(12)は 2/3 となり、0.9(12)は 3/4 となる。
従って、ある数値に 0.4(12) を掛けると 1/3 になり、0.9(12) を掛けると 3/4 になる。位取りに応用すると、Nの8倍は、Nの十二倍を 2/3 にした数値になる。このように、一桁小数で三分割と四分割が可能になる(ただし、五分割はできない)。他のN進法との連関では、1/3 である 0.4(12) は六進法の 0.2(6) や十八進法の 0.6(18)と同値になり、1/4 である 0.3(12) は二十進法の 0.5(20) と同値になる。
8倍と0.8
十二を掛ける:(76)12 × (10)12 = (760)12(十進法:90の 12倍 は1080。六進法:230 × 20 = 5000)
8を掛ける: (76)12 × (8)12 = (500)12(十進法:90の 8倍 は720。六進法:230 × 12 = 3200)
0.8を掛ける:(760)12 × (0.8)12 = (500)12(十進法:1080の 2/3 は720。六進法:5000 × 0.4 = 3200)
除算:(76)12 ÷ (3)12 = (26)12(十進法:90 ÷ 3 = 30。六進法:230 ÷ 3 = 50)
一桁小数を掛ける:(76)12 × (0.4)12 = (26)12(十進法:90の 1/3 は30。六進法:230 ×0.2 = 50)
一桁小数を掛ける:(76)12 × (0.8)12 = (50)12(十進法:90の 2/3 は60。六進法:230 ×0.4 = 140)
除算:(760)12 ÷ (4)12 = (1A6)12(十進法:1080 ÷ 4 = 270。二十進法:2E0 ÷ 4 = DA)
一桁小数を掛ける:(760)12 × (0.3)12 = (1A6)12(十進法:1080の 1/4 は270。二十進法:2E0 × 0.5 = DA)
一桁小数を掛ける:(760)12 × (0.9)12 = (576)12(十進法:1080の 3/4 は810。二十進法:2E0 × 0.F = 20A)
以下の表に、十二進法の小数と、それに相当する分数や商を掲載する。割り切れない小数の循環部分は下線で表す。十二は三と四では割り切れるが五では割り切れないため、五で割った際に循環小数になって割り切れない例が多数発生する。五が対応できなくても四と三が対応できることから、十二進法は「小から大へ」の分割法を採っているのが特徴である。
可分性が最も上がる例は、「5の倍数」が被除数になるパターンである。このパターンでは、7の倍数とB(十一)の倍数を除いてほぼ割り切れる。「3で割り切れるが、2と5と9では割り切れない数」が被除数になるパターンでは、16(12)=18(10)までの3の倍数のうち、割り切れない数は13(12)=15(10)だけとなる。
また、六進法は「10 - 1」が5になり、1/5の小数が0.1111…となって1111(6)=259(10)(=(37×7)(10))の倍数となって循環し、5-2 = (m/41)6 = (m/25)10の小数は 0.01235… となって1235(6)=311(10)の倍数五桁が循環する。これに対して、十二進法は「10 - 1」がB(十進法の11)で5の倍数ではないので、1/5の循環小数は 0.2497…で四桁になり、これに最も近い37(10)の倍数は 2494(12)(=31104(6)=4144(10)=(37×7×16)(10)となる。
そして、5-2 = (m/21)12の小数は、循環節が「05915 343A0 B62A6 8781B」の二十桁と長く、先頭五桁が05915となるが、これは十進法に直すと9953 (= 311×32 + 1)(10))となる。十二進法における5-nの循環節は 4×5n-1 となり、5-1が四桁、5-2が二十桁、5-3が百桁になる。逆に、六進法では 5-2 = 0.01235…で五桁、十八進法でも5-2 = 0.0CH5…で四桁となる。
ここでは、(10)10を A 、(11)10を B と表記する。
十二進法は「3×4=10」となる「奇数の四倍」進法なので、六進法(3×2=10)や十進法(5×2=10)といった「冪指数が一対一」のN進法とは異なる要素を持っている。十二進法の乗算を覚える要領として、以下の点が挙げられる。次の「奇数の四倍」進法となる二十進法(5×4=10)や、底が「九の二倍」となる十八進法(9×2=10)は、この応用編となる。
半数は6の段。