連続体力学
連続体力学(れんぞくたいりきがく、Continuum mechanics)とは、物理的対象を連続体という空間的広がりを持った物体として理想化してその力学的挙動を解析する物理学の一分野である。
連続体力学では対象である連続体を巨視的に捉え、分子構造のような内部の微視的な構造が無視できるなめらかなものであり、力を加えることで変形するものとみなす。
主な連続体として弾性体と流体がある。
直観的には弾性体とは圧力を取り除くと元の状態に復帰する固体であり、流体は気体、液体、プラズマを記述するものである。
連続体力学は物体を空間上の一点に近似して扱う質点の力学とは区別され、物体の変形を許容しない剛体の力学とも区別される。剛体は、変形しにくさを表す量である弾性係数が無限大である(すなわち一切変形しない)連続体であるとみなすこともできる。
連続体の力学は材料力学、水力学、土質力学といった応用力学、およびそれらの応用分野である材料工学、化学工学、機械工学、航空宇宙工学などで用いられる。
連続体を数学的に記述する方法として二つの表示が知られている。
第一の表示は、視点を空間上の各点に固定して連続体を記述する方法で、時刻 t に空間上の点 x における物理量 Q を
Q =F(\boldsymbol{x},t)
として記述する方法である。この表示は連続体の空間表示(spatial description)、あるいはオイラー表示(オイラー記述、Eulerian description)と呼ばれる。空間表示では連続体の各部分に付随する物理量は場として記述される。
第二の表示は、連続体上の各部分を時間的に追跡する方法で、時刻 t = 0 に初期位置 x = X0 にあった連続体の部分が時刻 t において移動している位置を x = X(t) として、この部分に付随する物理量 Q を
Q =F_\text{m}(t; \boldsymbol{X}_0) =F(\boldsymbol{X}(t),t)
により記述する方法である。この表示は連続体の物質表示(material description)、あるいはラグランジュ表示(ラグランジュ表記、Lagrangian description)と呼ばれる。物質表示では連続体の各部分に付随する物理量は時刻 t の関数として記述される。各部分の初期位置 X0 は補助変数である。特に物質表示において速度は
\boldsymbol{v} =\boldsymbol{v}_\text{m}(t; \boldsymbol{X}_0) =\boldsymbol{v}(\boldsymbol{X}(t), t) =\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}{\mathrm{d}t}
を満たす。
連続体を記述する二つの表示と対応して、二種類の時間微分が定義される。
\frac{\partial Q}{\partial t} =\frac{\partial F}{\partial t}
で定義される。空間表示では物理量が場として記述されるため、対応する時間微分は偏微分である。この微分はオイラー微分(Eularian derivative)、と呼ばれる。
一方、物質表示と対応する時間微分は
\frac{\mathrm{D}Q}{\mathrm{D}t} =\frac{\mathrm{d}F_\mathrm{m}{\mathrm{d}t}
で定義される。物質表示では物理量は時間の関数として記述されるため、対応する時間微分は常微分である。この微分は物質微分(material derivative)、物質時間微分(material time derivative)、流れに乗って移動するときの微分、実質微分、 ラグランジュ微分(Lagrangian derivative)などと呼ばれる。
\frac{\mathrm{d}F_\text{m}{\mathrm{d}t}
=\left[ \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}{\mathrm{d}t}\cdot \operatorname{grad} F
+\frac{\partial F}{\partial t} \right]_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}(t)}
=\left[ \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)\cdot \operatorname{grad} F
+\frac{\partial F}{\partial t} \right]_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}(t)}
となる。ここで右辺の括弧の中はオイラー表示で表されているので、オイラー表示におけるラグランジュ微分は
:
(\boldsymbol{n})\mathrm{d}S
と表記したとき、積分内のp'x(n)を連続体に働く応力という。
応力p'x(n)は面の法線nに平行であるとは限らない。例えばゴムでできた柱が重力に負けて横に歪むのは重力に垂直な方向に応力が生じている為である。
応力のうち法線方向の成分を法線応力、法線と垂直な成分を接線応力という。法線応力が法線と同じ方向の時の法線応力を張力、反対方向の時の法線応力を圧力という。
応力を具体的に書き表すため、連続体内に一点xを取り、微小な四面体を図のように定義する(本文と図の記号の違いに注意)と、xの周りの面積力の総和は
K_S=\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{n})\mathrm{d}S-\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{e}_1)\mathrm{d}S_1 -\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{e}_2)\mathrm{d}S_2 -\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{e}_3)\mathrm{d}S_3  =( \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{n})-\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{e}_1) \cdot \boldsymbol{e}_1 -\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{e}_2) \cdot \boldsymbol{e}_2 -\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{e}_3) \cdot \boldsymbol{e}_3 )\mathrm{d}S
となる。
四面体に働く体積力をKVとすると、力の釣り合いから
K_S+K_V=0
であるが、四面体の大きさを小さくしていくと、面積力KSが四面体の一辺の長さの2乗に比例して小さくなっていくのに対し、体積力 KVはそれより速く一辺の長さの3乗に比例して小さくなっていくので、KS/dSは0でなければならない。よって
\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{n})=\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{e}_1) \cdot \boldsymbol{e}_1 +\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{e}_2) \cdot \boldsymbol{e}_2 +\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{e}_3) \cdot \boldsymbol{e}_3
が成立する。
\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}(\boldsymbol{e}_j)のei方向成分をσxijとすれば、
:
(\boldsymbol{n})=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sigma_{\boldsymbol{x}{}_{11}& \sigma_{\boldsymbol{x}{}_{21} & \sigma_{\boldsymbol{x}{}_{31} \\
\sigma_{\boldsymbol{x}{}_{21}& \sigma_{\boldsymbol{x}{}_{22} & \sigma_{\boldsymbol{x}{}_{23}\\
\sigma_{\boldsymbol{x}{}_{13}& \sigma_{\boldsymbol{x}{}_{23} & \sigma_{\boldsymbol{x}{}_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
n_1\\
n_2\\
\end{pmatrix}
B2}
が成立する。ここでniはnの ei方向成分である。
行列 (σxij)i,jを連続体の応力テンソルという。
連続体が変形し、最初点xにあった粒子がt秒後にφt(x)に移動したとする。このとき
\boldsymbol{r}= \boldsymbol{r}(\boldsymbol{x},t):=\phi_t(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{x}
をこの変形の変位ベクトルと呼び、ヤコビ行列
:
をこの変形の変形テンソル(deformation tensor)と呼ぶ 。
:
とわけ、対称部分にあたる(Eij)i,jを歪みテンソル(strain tensor)という。
歪みテンソルの対角成分Eiiを伸縮歪み(elongation-contraction)、反対角成分をずれ歪み(shear strain)といい、伸縮歪みの総和
\sum_iE_{ii}=\nabla\cdot \boldsymbol{r}
を体積歪み(volume dilatation)という。
一方、反対称部分である(Fij)i,jは定義より明らかに
F_{ij}=-F_{ji}、F_{ii}=0
である。
\Omega=(\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3):=(2F_{23},2F_{31},2F_{12})
と定義すると、
\Omega=\nabla\times\boldsymbol{r}
である。 Ωをこの変形の回転もしくは回転ベクトルという。
これらのテンソルは、変形を開始した時刻t0における位置xと現在の時刻tの関数であるので時間微分した量を計算できる:
:
が成立する。ここで\boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3)は速度ベクトルである。
{\partial v_i\over\partial x_j} を変形速度テンソル(deformation rate tensor)、 {1\over 2} \left({\partial v_i\over\partial x_j}+ {\partial v_j\over\partial x_i}\right) を歪み速度テンソル(stain rate tensor)、 \nabla\times \boldsymbol{v}を渦度(vorticity)という。
さらに歪み速度テンソルの対角成分を伸縮歪み速度(elongation-contraction rate)、非対角成分をずれ歪み速度(shear stain rate)という。
連続体の挙動は基礎方程式と呼ばれる微分方程式で記述される。
基礎方程式は全ての連続体が満たす保存則と研究対象である物質固有の構成式からなる。
本節では連続体が満たす保存則を紹介する。
連続体を空間表記したとき、時刻tにおける空間上の点xでの連続体の密度をρρ(x,t)とする。
空間内の領域Vを考え、 Vの境界∂V上の微小な面dSとその法線ベクトルnに対し、微小時間ΔtにdSからVの外へ流出する粒子の総質量は\rho\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\Delta t\mathrm{d}Sであるので、空間内の領域Vの質量のΔt秒間での増加量は
質量保存の法則より、
\int_V {\partial \rho \over {\partial t}\Delta t \mathrm{d}V=-\int_{\partial V} \rho\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\Delta t\mathrm{d}S= -\int_V \nabla \cdot( \rho\boldsymbol{v}) \Delta t \mathrm{d}V
である。ここで第二の等号はガウスの発散定理より従う。Vの任意性により、連続体は以下の連続の方程式を満たさねばならないことが結論づけられる:
:
+ \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0
}
B1式より、物質微分を使えば連続の方程式は
:
+ \rho\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0
C1}
とも書ける。
Vを連続体上の(時間変化しない)任意の領域とするとき、運動量保存の法則から以下が成立する:
(単位時間にVに働く力積の総和)
= (単位時間にVに流出する運動量の総和)
+ (単位時間にVに働く体積力による力積)
+ (単位時間にVの境界に働く面積力による力積)
上の式を具体的に書き下すことで、連続体の運動方程式を導出できる。
連続体の点xにおける時刻tでの密度をρρ(x,t)とし、速度ベクトルをvv(x,t)とするとき、
(単位時間にVに働く力積の総和) ={\mathrm{d}\over \mathrm{d}t}\int_V \rho \boldsymbol{v}\mathrm{d}V= \int_V {\partial(\rho \boldsymbol{v})\over\partial t}\mathrm{d}V,
であり、
(単位時間にVに流出する運動量の総和) = ∫∂V(微小面積dSを通って流入した粒子の総質量)・(dSの法線方向の粒子の速さ)dS =\int_{\partial V}(\rho\boldsymbol{v})\cdot (\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n})\mathrm{d}S = \int_{\partial V} {}^t(\rho v_1 \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}, \rho v_2 \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n},
\rho v_3 \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}) \mathrm{d}S  = \int_{V} {}^t(\nabla\cdot(\rho v_1 \boldsymbol{v}), \nabla\cdot(\rho v_2 \boldsymbol{v}), \nabla\cdot(\rho v_3 \boldsymbol{v})) \mathrm{d}V
である。最後の等式はガウスの発散定理による。ここでv(v1,v2,v3)である。
体積力をK(K1,K2,K3)とすると、
(単位時間にVに働く体積力による力積) = \int_V \rho \boldsymbol{K} \mathrm{d}V
であり、さらに\boldsymbol{\sigma}_i=(\sigma_{i,1}, \sigma_{i,2}, \sigma_{i,3})とすると、
(単位時間にVの境界に働く面積力による力積) = \int_{\partial V}\sum_{i,j}\sigma_{i,j}n_j\boldsymbol{e}_j \mathrm{d} S    =\int_{\partial V}{}^t(\boldsymbol{\sigma}_1\cdot\boldsymbol{n},\boldsymbol{\sigma}_2\cdot\boldsymbol{n},\boldsymbol{\sigma}_3\cdot\boldsymbol{n})\mathrm{d} S  = \int_{V}{}^t(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_1,\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_2,\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_3)\mathrm{d} V
である。最後の等式は再びガウスの発散定理による。
Vの任意性より、最終的に連続体の運動方程式は以下のようになる:
i1, 2, 3に対し、  {\partial(\rho v_i)\over\partial t} = \nabla\cdot(\rho v_i \boldsymbol{v}) +  \rho K_i + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_i
なお、テンソル ε(εij)ijに対し
\overrightarrow{\operatorname{div}\varepsilon=(\sum_j{\partial \varepsilon_{ij}\over \partial x_j})_i
と定義すると、上の方程式は
{\partial(\rho \boldsymbol{v})\over\partial t} = \overrightarrow{\operatorname{div}(\rho \boldsymbol{v}\otimes \boldsymbol{v}) +  \rho \boldsymbol{K} + \overrightarrow{\operatorname{div} \sigma
と書くこともできる。
上の運動方程式と連続の方程式C1を用いる事で、運動方程式の物質微分による以下の表現を得ることができる:
:
\sigma
C2}
角運動量が保存する場合、弾性体の各点xで応力テンソルは対称性
:
を満たす。