四十一角形
四十一角形(よんじゅういちかくけい、よんじゅういちかっけい、tetracontahenagon)は、多角形の一つで、41本の辺と41個の頂点を持つ図形である。内角の和は7020°、対角線の本数は779本である。
正四十一角形においては、中心角と外角は8.78…°で、内角は171.219…°となる。一辺の長さが a の正四十一角形の面積 S は
S = \frac{41}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{41} \simeq 133.50783 a^2
\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{41}+2\cos\frac{18\pi}{41}+2\cos\frac{6\pi}{41}+2\cos\frac{28\pi}{41}=x_1 \\
& 2\cos\frac{4\pi}{41}+2\cos\frac{36\pi}{41}+2\cos\frac{12\pi}{41}+2\cos\frac{26\pi}{41}=x_2 \\
& 2\cos\frac{8\pi}{41}+2\cos\frac{10\pi}{41}+2\cos\frac{24\pi}{41}+2\cos\frac{30\pi}{41}=x_3 \\
& 2\cos\frac{16\pi}{41}+2\cos\frac{20\pi}{41}+2\cos\frac{22\pi}{41}+2\cos\frac{34\pi}{41}=x_4 \\
& 2\cos\frac{32\pi}{41}+2\cos\frac{40\pi}{41}+2\cos\frac{14\pi}{41}+2\cos\frac{38\pi}{41}=x_5 \\
\end{align}
\begin{align}
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{41}+2\cos\frac{18\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{6\pi}{41}+2\cos\frac{28\pi}{41} \right)=x_1 \\
& \left( 2\cos\frac{4\pi}{41}+2\cos\frac{36\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{12\pi}{41}+2\cos\frac{26\pi}{41} \right)=x_2 \\
& \left( 2\cos\frac{8\pi}{41}+2\cos\frac{10\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{24\pi}{41}+2\cos\frac{30\pi}{41} \right)=x_3 \\
& \left( 2\cos\frac{16\pi}{41}+2\cos\frac{20\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{22\pi}{41}+2\cos\frac{34\pi}{41} \right)=x_4 \\
& \left( 2\cos\frac{32\pi}{41}+2\cos\frac{40\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{14\pi}{41}+2\cos\frac{38\pi}{41} \right)=x_5 \\
\end{align}
\begin{align}
& \left( 2\cos\frac{8\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{10\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{24\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{30\pi}{41} \right)=x_1 \\
& \left( 2\cos\frac{16\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{20\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{22\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{34\pi}{41} \right)=x_2 \\
& \left( 2\cos\frac{32\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{40\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{14\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{38\pi}{41} \right)=x_3 \\
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{18\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{6\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{28\pi}{41} \right)=x_4 \\
& \left( 2\cos\frac{4\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{36\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{12\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{26\pi}{41} \right)=x_5 \\
\end{align}
\begin{align}
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{41}+2\cos\frac{18\pi}{41} \right) \cdot \left( 2\cos\frac{6\pi}{41}+2\cos\frac{28\pi}{41} \right)=x_2 + x_3 \\
& \left( 2\cos\frac{4\pi}{41}+2\cos\frac{36\pi}{41} \right) \cdot \left( 2\cos\frac{12\pi}{41}+2\cos\frac{26\pi}{41} \right)=x_3 + x_4  \\
& \left( 2\cos\frac{8\pi}{41}+2\cos\frac{10\pi}{41} \right) \cdot \left( 2\cos\frac{24\pi}{41}+2\cos\frac{30\pi}{41} \right)=x_4 + x_5 \\
& \left( 2\cos\frac{16\pi}{41}+2\cos\frac{20\pi}{41} \right) \cdot \left( 2\cos\frac{22\pi}{41}+2\cos\frac{34\pi}{41} \right)=x_5 + x_1 \\
& \left( 2\cos\frac{32\pi}{41}+2\cos\frac{40\pi}{41} \right) \cdot \left( 2\cos\frac{14\pi}{41}+2\cos\frac{38\pi}{41} \right)=x_1 + x_2 \\
\end{align}
\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{41}+2\cos\frac{18\pi}{41}= \frac{x_1+\sqrt{x_1^2-4(x_2+x_3)}{2} \\
& 2\cos\frac{16\pi}{41}+2\cos\frac{20\pi}{41}= 2\cos\frac{2\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{18\pi}{41} = \frac{x_4+\sqrt{x_4^2-4(x_5+x_1)}{2} \\
\end{align}
\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{41} = \frac{\frac{x_1+\sqrt{x_1^2-4(x_2+x_3)}{2} + \sqrt{\left(\frac{x_1+\sqrt{x_1^2-4(x_2+x_3)}{2}  \right)^2-4\left(\frac{x_4+\sqrt{x_4^2-4(x_5+x_1)}{2} \right)}{2} \\
& \cos\frac{2\pi}{41} = \frac{1}{8} \left( {x_1+\sqrt{x_1^2-4(x_2+x_3)} + \sqrt{\left({x_1+\sqrt{x_1^2-4(x_2+x_3)}  \right)^2-8\left({x_4+\sqrt{x_4^2-4(x_5+x_1)} \right)} \right) \\
& \cos\frac{2\pi}{41} = \frac{1}{8} \left( {x_1+\sqrt{8-x_2-2x_3+2x_4} + \sqrt{\left({x_1+\sqrt{8-x_2-2x_3+2x_4}  \right)^2-8\left({x_4+\sqrt{8-x_5-2x_1+2x_2} \right)} \right) \\
& \cos\frac{2\pi}{41} = \frac{1}{8} \left( {x_1+\sqrt{8-x_2-2x_3+2x_4} + \sqrt{ 16+2x_2+4x_4+ {2x_1\cdot\sqrt{8-x_2-2x_3+2x_4} -8\left({x_4+\sqrt{8-x_5-2x_1+2x_2} \right)} \right) \\
& \cos\frac{2\pi}{41} = \frac{1}{8} \left( {x_1+\sqrt{8-x_2-2x_3+2x_4} + \sqrt{ 16+2x_2-4x_4+ {2\sqrt{46-6x_1+14x_2+5x_3+12x_4} -8\sqrt{9-x_1+3x_2+x_3+x_4} \right) \\
\end{align}
ここで、x_1,x_2,x_3,x_4,x_5は以下の五次方程式の解である。
x^5+x^4-16x^3+5x^2+21x-9=0
z^{5}=1の複素数解を \sigma,\sigma^2,\sigma^3,\sigma^4 として\lambda_k=x_1+\sigma^k x_2+\sigma^{2k} x_3+\sigma^{3k} x_4+\sigma^{4k} x_5と定義すると
\begin{align}
& x_1= \frac{-1+\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4}{5} \,\\
& x_2= \frac{-1+\lambda_1\sigma^4+\lambda_2\sigma^3+\lambda_3\sigma^2+\lambda_4\sigma}{5} \,\\
& x_3= \frac{-1+\lambda_1\sigma^3+\lambda_2\sigma+\lambda_3\sigma^4+\lambda_4\sigma^2}{5} \,\\
& x_4= \frac{-1+\lambda_1\sigma^2+\lambda_2\sigma^4+\lambda_3\sigma+\lambda_4\sigma^3}{5} \,\\
& x_5= \frac{-1+\lambda_1\sigma+\lambda_2\sigma^2+\lambda_3\sigma^3+\lambda_4\sigma^4}{5} \,\\
\end{align}
ここで \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 は、\lambda_k^5を計算することにより\sigmaの多項式となる。
\begin{align}
& \lambda_1=\sqrt[5]{41(289+95\sigma+75\sigma^3+5\sigma^4)} \,\\
& \lambda_2=\sqrt[5]{41(289+95\sigma^2+75\sigma+5\sigma^3)} \,\\
& \lambda_3=\sqrt[5]{41(289+95\sigma^3+75\sigma^4+5\sigma^2)} \,\\
& \lambda_4=\sqrt[5]{41(289+95\sigma^4+75\sigma^2+5\sigma)} \,\\
\end{align}
正四十一角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正四十一角形は折紙により作図が不可能な図形である。