五十七角形
2022年6月5日 (日) 12:43 (UTC)
五十七角形(ごじゅうしちかくけい、ごじゅうしちかっけい、pentacontaheptagon)は、多角形の一つで、57本の辺と57個の頂点を持つ図形である。内角の和は9900°、対角線の本数は1539本である。
正五十七角形においては、中心角と外角は6.315…°で、内角は173.684…°となる。一辺の長さが a の正五十七角形の面積 S は
S = \frac{57}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{57} \simeq 258.28535 a^2
\begin{align}
& x_1 = 2\cos\frac{2\pi}{57}+2\cos\frac{14\pi}{57}+2\cos\frac{16\pi}{57} \\
& x_2 = 2\cos\frac{10\pi}{57}+2\cos\frac{44\pi}{57}+2\cos\frac{34\pi}{57} \\
& x_3 = 2\cos\frac{50\pi}{57}+2\cos\frac{8\pi}{57}+2\cos\frac{56\pi}{57} \\
& x_4 = 2\cos\frac{22\pi}{57}+2\cos\frac{40\pi}{57}+2\cos\frac{52\pi}{57} \\
& x_5 = 2\cos\frac{4\pi}{57}+2\cos\frac{28\pi}{57}+2\cos\frac{32\pi}{57} \\
& x_6 = 2\cos\frac{20\pi}{57}+2\cos\frac{26\pi}{57}+2\cos\frac{46\pi}{57} \\
\end{align}
以下の関係がある。
\begin{align}
& x_1+x_3+x_5=\frac{1+\sqrt{57}{2} =\alpha \\
& x_2+x_4+x_6=\frac{1-\sqrt{57}{2} =\beta \\
\end{align}
さらに、以下のような関係式が得られる。
\begin{align}
\left( x_1 + \omega \cdot x_3 + \omega^2 \cdot x_5 \right)^3=& \frac{-11+3\sqrt{57}{2}+ 3\omega \left( \frac{-29-3\sqrt{57}{2} \right)+3\omega^2 \left( \frac{47+7\sqrt{57}{2} \right) \\
=& \frac{-38-3\sqrt{57}-3\sqrt{3}(38+5\sqrt{57})i}{2} \\
\left( x_1 + \omega^2 \cdot x_3 + \omega \cdot x_5 \right)^3=& \frac{-11+3\sqrt{57}{2}+ 3\omega^2 \left( \frac{-29-3\sqrt{57}{2} \right)+3\omega \left( \frac{47+7\sqrt{57}{2} \right) \\
=& \frac{-38-3\sqrt{57}+3\sqrt{3}(38+5\sqrt{57})i}{2} \\
\left( x_2 + \omega \cdot x_4 + \omega^2 \cdot x_6 \right)^3=& \frac{-11-3\sqrt{57}{2}+ 3\omega \left( \frac{-29+3\sqrt{57}{2} \right)+3\omega^2 \left( \frac{47-7\sqrt{57}{2} \right) \\
=& \frac{-38+3\sqrt{57}-3\sqrt{3}(38-5\sqrt{57})i}{2} \\
\left( x_2 + \omega^2 \cdot x_4 + \omega \cdot x_6 \right)^3=& \frac{-11-3\sqrt{57}{2}+ 3\omega^2 \left( \frac{-29+3\sqrt{57}{2} \right)+3\omega \left( \frac{47-7\sqrt{57}{2} \right) \\
=& \frac{-38+3\sqrt{57}+3\sqrt{3}(38-5\sqrt{57})i}{2} \\
\end{align}
\begin{align}
x_1 + \omega \cdot x_3 + \omega^2 \cdot x_5 =& \sqrt[3]{\frac{-38-3\sqrt{57}-3\sqrt{3}(38+5\sqrt{57})i}{2} \\
x_1 + \omega^2 \cdot x_3 + \omega \cdot x_5 =& \sqrt[3]{\frac{-38-3\sqrt{57}+3\sqrt{3}(38+5\sqrt{57})i}{2} \\
x_2 + \omega \cdot x_4 + \omega^2 \cdot x_6 =& \sqrt[3]{\frac{-38+3\sqrt{57}-3\sqrt{3}(38-5\sqrt{57})i}{2} \\
x_2 + \omega^2 \cdot x_4 + \omega \cdot x_6 =& \sqrt[3]{\frac{-38+3\sqrt{57}+3\sqrt{3}(38-5\sqrt{57})i}{2} \\
\end{align}
さらに、以下のような関係式が得られる。
\begin{align}
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{57} + \omega \cdot 2\cos\frac{14\pi}{57} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{16\pi}{57} \right)^3 \\
& = 3x_1+2\cos\frac{2\pi}{19}+2\cos\frac{16\pi}{19}+2\cos\frac{14\pi}{19}+6(x_5+2)+ 3\omega \left( 2x_1+x_2+2\cos\frac{4\pi}{19}+2\cos\frac{6\pi}{19}+2\cos\frac{10\pi}{19} \right)+3\omega^2 \left( 2x_1+x_6+2\cos\frac{4\pi}{19}+2\cos\frac{6\pi}{19}+2\cos\frac{10\pi}{19} \right) \\
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{57} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{14\pi}{57} + \omega \cdot 2\cos\frac{16\pi}{57} \right)^3 \\
& = 3x_1+2\cos\frac{2\pi}{19}+2\cos\frac{16\pi}{19}+2\cos\frac{14\pi}{19}+6(x_5+2)+ 3\omega^2 \left( 2x_1+x_2+2\cos\frac{4\pi}{19}+2\cos\frac{6\pi}{19}+2\cos\frac{10\pi}{19} \right)+3\omega \left( 2x_1+x_6+2\cos\frac{4\pi}{19}+2\cos\frac{6\pi}{19}+2\cos\frac{10\pi}{19} \right) \\
\end{align}
両辺の立方根を取り、正十九角形の結果等を代入することより\cos (2\pi/57)を求めることができる。
正五十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正五十七角形は折紙により作図可能である。