リーマン予想
リーマンのゼータ関数を、形式的には似ているがはるかに一般的な大域的 L-関数に置き換えることによって、リーマン予想を一般化することができる。このより広い設定において、大域的 L-関数の非自明な零点の実部が 1 であると期待される。リーマンのゼータ関数のみに対する古典的なリーマン予想よりもむしろ、これらの一般化されたリーマン予想が、数学におけるリーマン予想の真の重要性の理由である。
一般化されたリーマン予想 (generalized Riemann hypothesis) は、リーマン予想を全てのディリクレの L-関数へ拡張したものである。とくにこの予想は、ジーゲルの零点(1 と 1 の間にある L 関数の零点)が存在しないという予想を含んでいる。
拡張されたリーマン予想 (extended Riemann hypothesis) は、リーマン予想を代数体の全てのデデキントゼータ関数へと拡張したものである。有理数体のアーベル拡大に対する拡張されたリーマン予想は、一般化されたリーマン予想と同値である。リーマン予想は代数体のヘッケ指標の L-関数へ拡張することもできる。
大リーマン予想 (grand Riemann hypothesis) は、全ての保型形式のゼータ関数(例えばヘッケ固有形式のメリン変換)へ拡張したものである。
リーマン予想を証明したと発表した数学者もいるが、正しい解答として受け入れられたものは2019年9月現在存在しない。 はいくつかの正しくない解答をリストしており、より多くの正しくない解答は頻繁に発表されている。
例えば2004年には、ルイ・ド・ブランジュが証明に成功したと発表したが後に否定された。2018年には、マイケル・アティヤが微細構造定数の導出の副産物としてリーマン予想を証明したと発表したが、多くの専門家は懐疑的に見ている。この論文は王立協会が発行する科学誌に投稿され、専門家らにより検証が進められていたものの、発表から数ヶ月を経て著者は死去、論文は撤回となった。
ヒルベルトとポリヤはリーマン予想を導出する1つの方法は自己共役作用素を見つけることであると提案した。その存在から ζ(s) の零点の実部に関する例の主張が、実固有値に主張を適用すると従うのである。このアイデアのいくつかの根拠は、零点がある作用素の固有値に対応するリーマンゼータ関数のいくつかの類似から来る:有限体上の多様体のゼータ関数の零点はエタールコホモロジー群上のフロベニウス元の固有値に対応し、セルバーグゼータ関数の零点はリーマン面のラプラス作用素の固有値であり、p 進ゼータ関数の零点はイデール類群へのガロワ作用の固有ベクトルに対応する。
は、リーマンゼータ関数の零点の分布はガウスのユニタリアンサンブルから来るランダム行列の固有値といくつかの統計学的性質を共有していることを示した。これはヒルベルト–ポリヤ予想にいくらかの根拠を与える。
1999年、マイケル・ベリーとジョナサン・キーティングは古典ハミルトニアン H = xp のある未知の量子化 \hat H が存在して、以下を満たすと予想した。
\zeta \left(\frac{1}{2}+i\hat H\right) = 0,
あるいはさらに強く、リーマンの零点が作用素 \frac{1}{2} + i \hat H のスペクトルと一致する。これは正準量子化と対照的である。標準量子化はハイゼンベルクの不確定性原理 [x,p]=\frac{1}{2} を導き、量子調和振動子のスペクトルとして自然数が得られる。重要な点は、ハミルトニアンは量子化がヒルベルト–ポリヤプログラムの実現であるように自己共役作用素であるべきことである。この量子力学の問題との関連で、ベリーとコンヌは以下を提案した。ハミルトニアンのポテンシャルの逆は関数
N(s)= \frac{1}{\pi}\operatorname{Arg}\xi\left(\frac{1}{2}+i\sqrt s\right)
の半微分と関連があり、ベリー–コンヌのアプローチでは
V^{-1}(x) = \sqrt{4\pi} \frac{d^{\frac{1}{2}N(x)}{dx^{\frac{1}{2}}
. これは次のようなハミルトニアンを生み出す。固有値がリーマンの零点の虚部の平方であり、またこのハミルトニアン作用素の汎関数行列式はリーマンのクシー関数である。実はリーマンのクシー関数はコンヌらによって証明されたように汎関数行列式(アダマール積)
\det\left(H+\frac{1}{4}+s(s-1)\right)
の定数倍であり、このアプローチでは
\frac{\xi(s)}{\xi(0)}=\frac{\det\left(H+s(s-1)+\frac{1}{4}\right)}{\det\left(H+\frac{1}{4}\right)}.
有限体上のリーマン予想との類似は、零点と対応する固有ベクトルを含むヒルベルト空間は整数のスペクトル Spec(Z) のある種の1次コホモロジー群かもしれないと示唆する。 はそのようなコホモロジー論を見つける試みのいくつかを記述した 。
はラプラス作用素の下でリーマンゼータ関数の零点に対応する固有値をもつ上半平面上の不変関数の自然な空間を構成した。そして、この空間上の適切な正定値内積の存在を示すというありそうもないイベントにおいてリーマン予想が従うことを注意した。 は関連した例を議論した。奇妙なバグによってコンピュータープログラムが同じラプラス作用素の固有値としてリーマンゼータ関数の零点をリストするのである。
はリーマンゼータ関数に関連した適切な物理模型を構成する試みのいくつかをサーベイした。
リー・ヤンの定理は、統計力学におけるある分割関数の零点がすべて実部 0 の「臨界線」上に乗っていると述べており、これはリーマン予想との関係についての推測をもたらした 。
は次のことを示した。関数
\sum_{n=1}^N n^{-s}
が s の実部が 1 よりも大きいときに零点をもたないならば、
T(x) = \sum_{n\le x}\frac{\lambda(n)}{n}\ge 0\text{ for } x > 0
となる。ここで λ(n) はリュービル関数で、n が r 個の素因子をもつとき (−1)r によって与えられる。彼はこのことからリーマン予想が真であることが導かれると示した。しかしながら、 は T(x) は無限個の x で負であること示し(また密接に関連したポリア予想も反証し)、 は最小のそのような x は 72 であることを示した。 は数値計算によって、上の有限ディリクレ級数が N = 19 のときに実部が 1 よりも大きい零点をもつことを示した。トゥランはまた、いくぶん弱い仮定、すなわち上の有限ディリクレ級数で大きい N に対して実部が 1+N  -+ε よりも大きい零点が存在しないことが、リーマン予想を導くことを示したが、 はすべての十分大きい N に対してこれらの級数は実部が 1 + log (log N) よりも大きい零点をもつことを示した。したがって、トゥランの結果はvacuous truth、リーマン予想の証明のためには使えない。
はリーマン予想と非可換幾何学の間の関係を記述し、アデール類空間へのイデール類群の作用に対するセルバーグ跡公式の適切な類似があればリーマン予想が従うことを示した。これらのアイデアのいくつかは  に詳細に述べられている。
はリーマン予想がある整関数のヒルベルト空間上の正性条件から従うことを示した。しかしながら、 は必要な正性条件が満たされないことを示した。この障害にもかかわらず、ド・ブランジュは同じ方針でリーマン予想を証明しようと取り組み続けたが、他の数学者から広く受け入れられていない 。
リーマン予想はゼータ関数の零点が準結晶をなすことを意味する、つまり discrete support をもつ distribution でありそのフーリエ変換も discrete support をもつ。 は1次元の準結晶を分類する、あるいは少なくとも研究することによって、リーマン予想を証明しようとすることを提案した。
幾何次元 1、例えば代数体、から、幾何次元 2、例えば数体上の楕円曲線の regular model, に行った時、モデルの数論的ゼータ函数に対する一般リーマン予想の2次元部分はゼータ関数の極を扱う。次元1ではテイト論文におけるゼータ積分の研究はリーマン予想に関して新しい重要な情報を導かなかった。これに対し、次元 2 ではテイト論文の2次元の一般化に関するイヴァン・フェセンコの研究はゼータ関数に密接に関係するゼータ積分の積分表現を含む。次元 1 では可能ではなかったこの新しい状況において、ゼータ関数の極はゼータ積分と付随するアデール群を通して研究することができる。ゼータ積分に伴う boundary function の四次導関数の正性に関する  の関連した予想は一般リーマン予想の極部分を本質的に含む。 はある技術的仮定と合わせて後者がフェセンコの予想を導くことを示した。
有限体上のリーマン予想のドリーニュの証明は、もとのゼータ関数の零点の実部を制限するために、零点と極がもとのゼータ関数の零点と極の和に対応する、積多様体のゼータ関数を用いた。アナロジーによって、 は零点と極がリーマンゼータ関数の零点と極の和に対応する多重ゼータ関数を導入した。級数を収束させるため彼はすべて非負の虚部をもつ零点や極の和に制限した。今のところ、多重ゼータ関数の零点と極について知られている制限はリーマンゼータ関数の零点に対して有用な評価を与えるほど強くない。
関数等式を偏角の原理と合わせて考えれば虚部が 0 と T の間にあるゼータ関数の零点の個数は s = 1 + iT に対して次で与えられる:
N(T) = \frac{1}{\pi} \mathop{\mathrm{Arg}(\xi(s))
=\frac{1}{\pi} \operatorname{Arg} \left( \Gamma \left(\frac{s}{2} \right)
\pi^{-\frac{s}{2} \zeta(s) \frac{s(s-1)}{2} \right).
ここに偏角は、偏角 0 の ∞ + iT から出発し、直線 Im s T に沿って連続的に変化させることで定義される。これは大きいがよく分かっている項
\frac{1}{\pi} \operatorname{Arg} \left(\Gamma \left(\frac{s}{2} \right)\pi^{-\frac{s}{2} \frac{s(s-1)}{2}\right)
= \frac{T}{2\pi} \log \frac{T}{2\pi} - \frac{T}{2\pi} + \frac{7}{8} + O\left(\frac{1}{T}\right)
S(T) = \frac{1}{\pi} \operatorname{Arg} \left( \zeta \left( \frac{1}{2} + iT \right) \right)
= O(\log T)
の和である。なので虚部が T の近くの零点の密度は約 log T であり、関数 S はこれとの小さな差を記述する。関数 S(t) はゼータ関数の各零点において 1 飛び、t ≥ 8 に対しては零点の間で導関数がおよそ −log t で単調に減少する。
と  は、ゼータ関数に関連したある関数のモーメントを考えることによって、臨界線上には零点が無限個存在することを証明した。 は、少なくとも(小さい)正の割合の零点は臨界帯上にあることを証明した。 は、ゼータ関数の零点をゼータ関数の導関数の零点と関連付けることで、それを 1 に改善し、 はさらに 2 に改善した。
リーマン予想に関する数学の論文は、それが真であるかどうか注意深く明言しない傾向にある。 や  のように、意見を述べる人の大半は、リーマン予想は正しいと予想(あるいは少なくとも期待)している。これについて深刻に疑問を呈することを表明する人は少なく、その中には  や  がいる。Ivić は懐疑的に考えている理由を並べている。また Littlewood は、誤りであると信じており、正しいという何らの証拠がない、正しいことを示す想像できる理由も全く存在しない、ときっぱり述べている。サーベイの論文 (, , ) の共通認識としては、リーマン予想が正しいという証拠は、強いが圧倒的ではないので、おそらく正しいであろうが、これを疑問視するのも妥当であるとしている。