ベクトル空間
線型写像 f : V → W の核 ker(f) は W の零ベクトル 0 へ写されるベクトル v からなる。核および像 im(f)  (f(v), v ∈ V) はともにそれぞれ V および W の部分空間である。核と像の存在は(固定した体 F)上のベクトル空間の圏がアーベル圏(つまり、数学的対象とそれらの間の構造を保つ写像の集まり、即ち圏、であってアーベル群の圏と非常によく似た振る舞いをするもの)を成すことの要件の一部である。これにより、第一同型定理(線型代数学的な言い方をすれば階数退化次数定理)
や第二、第三の同型定理が群論における相当の定理と同様な仕方できちんと定式化と証明をすることができる。
重要な例は、適当に固定した行列 A に対する線型写像 x ↦ Ax の核である。この写像の核は Ax  0 を満たすベクトル x 全体の成す部分空間であり、これは A に属する斉次線型方程式系の解空間に他ならない。この考え方は線型微分方程式
a_0 f + a_1 \frac{d f}{d x} + a_2 \frac{d^2 f}{d x^2} + \cdots + a_n \frac{d^n f}{d x^n} = 0
(各係数 ai も x の函数)に対しても拡張できる。対応する線型写像
f \mapsto D(f) = \sum_{i=0}^n a_i \frac{d^i f}{d x^i}
は函数 f の導函数が(例えば f(x)2 のような項が現れないという意味で)線型に現れている。微分は線型である(即ち nowrap begin(f + g)'  f + gnowrap end および定数 c について nowrap begin(cf)'  cfnowrap end が成り立つ)から、上記作用素の値も線型である(線型微分作用素と言う)。特に、この微分方程式 nowrap beginD(f)  0nowrap end の解の全体は(R または C 上の)ベクトル空間となる。
I で添字付けられたベクトル空間の族 Vi(i ∈ I) の直積 ∏i∈I Vi とは、I の各添字 i に対して Vi の元 vi を指定してできる順序組 (vii ∈ I 全体の成す集合に、加法とスカラー乗法を成分ごとの演算によって定める。
この構成の変種として、直和 ⊕i ∈ I Vi(あるいは余積 ∐i ∈ I Vi)は先の順序組において有限個の例外を除く全ての成分が零ベクトルであるようなものだけを許して得られるものである。添字集合 I が有限ならばこの二つの構成は一致するが、そうでないならば違うものを与える。
同じ体 F 上の二つのベクトル空間 V と W のテンソル積 (tensor product ) V ⊗F W あるいは単に V ⊗ W は、線型写像を多変数にするような概念の拡張を扱う多重線型代数における中心的な概念のひとつである。写像 g : V × W → X が双線型写像であるとは、g が両変数 v, w の何れについても線型であることを言う。これはつまり、w を固定したとき写像 v ↦ g(v, w) が線型であり、かつ v を固定した時も同様であることを意味する。
テンソル積は以下のような意味で、双線型写像を普遍的に受け入れる特別のベクトル空間である。それはテンソルと呼ばれる記号の(形式的な)有限和
の全体からなる線型空間で、これらの元は a をスカラーとして
なる規則で縛られている。
これらの規則は、順序対 (v, w) を v ⊗ w へ写す V × W から V ⊗ W への写像 f が双線型となることを保証するものである。テンソル積の普遍性とは
任意のベクトル空間 X と任意の双線型写像 g : V × W → X が与えられたとき、写像 u : V ⊗ W → X が一意的に存在して、上記の写像 f との合成 u ∘ f が nowrap beging : u(v ⊗ w)  g(v, w)nowrap end に等しくなるようにすることができる
というものである。テンソル積の普遍性は対象を、その対象からの、あるいはその対象への写像によって間接的に定義するという(進んだ抽象代数学ではよく用いられる)手法の一例である。
線型代数学の観点からは、任意のベクトル空間が(同型を除いて)その次元によって特徴づけられるという意味で、ベクトル空間については完全に分かっている。しかしベクトル空間というものは「本質的に」、函数列が別の函数に収束するか否かという(解析学では重要な)問題について取り扱う枠組みを提供していないし、同様に加法演算が有限項の和のみを許す線型代数学では無限級数を扱うのには適当でない。従って、函数解析学ではベクトル空間に更なる構造を考える必要が求められる。ほとんど同様に、付加的な情報を持つベクトル空間が有効に働く部分を抽象的に見つけだすことで、公理的取扱いからベクトル空間の持つ代数学的に本質的な特徴を浮き彫りにすることができるFebruary 2009。
付加構造の一つの例は、順序関係 ≤ で、これによりベクトルの比較が行えるようになる。例えば、実 n-次元空間 Rn は、ベクトルを成分ごとに比較することで順序づけることができる。また、ルベーグ積分は函数を二つの正値函数の差
f = f^+ - f^-
として(f+ は f の正部分で f− は負部分)表すことができることに依拠しているから、順序線型空間(例えばリース空間)はルベーグ積分において基本的である。
ベクトルの「測度」は、ベクトルの長さを測るノルムや、ベクトルの間の角を測る内積を決めることによって与えられる。ここではノルムおよび内積をそれぞれ !v! および ⟨v, w⟩ のように表す。内積の情報はベクトルの長さを定められることも含んでいて、付随するノルムが
|\mathbf{v}| := \sqrt {\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}
で与えられる。これらの情報が与えられたベクトル空間はそれぞれ、ノルム空間および内積空間と呼ばれる。
数ベクトル空間 Fn は標準内積
\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n
を備えている。これは R2 においてよくある二つのベクトル x, y の成す角 θ の概念を余弦定理
\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = |\mathbf{x}|\,|\mathbf{y}|\,\cos(\theta)
によって反映するものである。これにより、x · y  0 を満たす二つのベクトル x, y は互いに直交すると言われる。この標準内積の重要な変形版として、ミンコフスキー空間 R4  R3,1 はローレンツ積
\lang \mathbf{x}\mid \mathbf{y} \rang = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 - x_4 y_4
を備える。標準内積との大きな違いは、ローレンツ積が正定値でないこと、つまり ⟨x!x⟩ は負の値を取り得る(例えば x  (0,0,0,1) のとき)ことである。(三つの空間的な座標とは異なり、時間に対応する)第四の座標を考えることは特殊相対論の数学的取扱いにおいて有効である。
収束性の問題は、ベクトル空間 V に両立する位相(近さを記述することを可能にする構造)を入れることによって扱われる。。 ここでいう「両立」とは、加法とスカラー乗法がともに連続写像となるという意味で、大雑把に言えば、x, y ∈ V と a ∈ F が限られた範囲の中にあれば、x + y と ax も限られた範囲に留まるということである。スカラーについてこの議論がきちんと意味を持つようにするためには、この文脈において体 F にも位相が定められていなければならない。よく用いられるのが実数体や複素数体である。
このような位相線型空間ではベクトル項級数を考えることができて、V の元からなる列 (fi)i ∈ N の無限和
\sum_{i=0}^{\infty} f_i
とは、対応する有限部分和の極限を表すものである。例えば fi が、ある(実または複素)函数空間に属する函数であるとすると、この場合の級数は函数項級数と呼ばれる。函数項級数の収束の様態は、函数空間に課された位相に依存する。そのような様態の中でも各点収束と一様収束の二つは特に際立った例である。
ある種の無限級数の極限の存在を保証する方法の一つは、考える空間を任意のコーシー列が収束するようなものに限って考えることである。そのようなベクトル空間は完備であるという。大まかに言えば、ベクトル空間が完備というのは必要な極限をすべて含むということである。例えば単位区間 [0,1] 上の多項式函数全体の成すベクトル空間に一様収束位相を入れたものは完備でない。これは [0,1] 上の任意の連続函数が、多項式函数列で一様に近似することができるというヴァイアシュトラスの近似定理による。対照的に、区間 [0,1] 上の連続函数全体の成す空間に同じ位相を入れたものは完備になる。ノルムからは、ベクトル列 vn が v に収束する必要十分条件を
\lim_{n\to \infty} |\mathbf v_n - \mathbf v| = 0
で定めることによって、空間に位相が入る。バナッハ空間およびヒルベルト空間は、それぞれノルムおよび内積から定まる位相に関して完備な位相空間である。函数解析学で重要になるそれらの研究は、有限次元位相線型空間上のノルムはどれも同じ収束性の概念を定めるから、無限次元ベクトル空間に焦点があてられる。図は R2 上の 1 ノルムと ∞ ノルムとの同値性を示すものである。単位「球体」は互いに他に囲まれているから、列が 1 ノルムに関して 0 に収束することと、その列が ∞ ノルムに関して収束することとが同値になる。しかし無限次元空間の場合には、一般には互いに同値でないような位相が存在しおり、そのことが位相線型空間の研究を、付加構造を持たない純代数的なベクトル空間の理論よりも豊かなものとしているのである。
概念的な観点では、位相線型空間に関する全ての概念は位相とうまく合うものでなければならない。例えば、位相線型空間の間の線型写像(あるいは線型汎函数)V → W は連続であるものと仮定される。特に、(位相的)双対空間 V∗ は連続汎函数 V → R (or C) からなるものとする。基礎を成すハーン・バナッハの定理は、適当な位相線型空間を連続汎函数によって部分空間に分けることに関係するものである。
バナフの導入したバナッハ空間とは、完備ノルム空間のことである。一つの例として、ℓ p (1 ≤ p ≤ ∞) は、実数を成分とする無限次元ベクトル x  (x1, x2, ...) であって、p < ∞ に対して
|\mathbf x|_p := \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{1/p}
または p  ∞ に対して
|\mathbf x|_\infty := \text{sup}_i |x_i|
で定義される p-ノルムが有限となるようなもの全体の成すベクトル空間である。無限次元空間 ℓ p の位相は、異なる p に対しては同値でない。例えばベクトルの列 xn  (2−n, 2−n, ..., 2−n, 0, 0, ...), つまり各項が最初の 2n-個の成分が 2−n で残りはすべて 0 となるような無限次元ベクトルとなるようなベクトル列は p  ∞ のときは零ベクトルに収束するが、p  1 のときはそうならない。式にすれば
|x_n|_\infty = \sup (2^{-n}, 0) = 2^{-n} \to 0
|x_n|_1 = \sum_{i=1}^{2^n} 2^{-n} = 2^n \cdot 2^{-n} = 1
である。
実数列よりも一般の函数 f : Ω → R は、上記の和のところをルベーグ積分に置き換えた
|f|_p := \left(\int_\Omega |f(x)|^p \, dx \right)^{1/p}
をノルムとして備えている。与えられた領域 Ω(例えば区間)上の !f!p < ∞ を満足する可積分函数の空間に、このノルムを入れたものはルベーグ空間 Lp(Ω) と呼ばれる。ルベーグ空間は何れも完備になる(が、もし上記の積分をリーマン積分としたならば、空間は完備にならない。これがルベーグ積分論を考えることの正当性の一つとして挙げられる理由の一つである)。具体的に書けば、任意の可積分函数列 f1, f2, ... で nowrap begin!fn!p < ∞nowrap end となるものが、条件
\lim_{k,\ n \to \infty}\int_\Omega |{f}_k (x)-{f}_n (x)|^p \, dx = 0
を満足するならば、適当な函数 f(x) でベクトル空間 Lp(Ω) に属するものが存在して
\lim_{k \to \infty}\int_\Omega |{f} (x)-{f}_k (x)|^p \, dx = 0
を満たすようにすることができる。
函数自体だけでなくその導函数にも有界性条件を課すことでソボレフ空間の概念が導かれる。
完備な内積空間はヒルベルトに因んでヒルベルト空間 (Hilbert space) と呼ばれる。自乗可積分函数の空間 L2(Ω) に
\langle f, g \rangle = \int_\Omega f(x) \overline{g(x)}\,dx
で定義される内積(ただし g(x) は g(x) の複素共軛とする)を入れたものは主要なヒルベルト空間の例である。
定義によりヒルベルト空間における任意のコーシー列は極限を持つから、逆に与えられた極限函数を近似するという適当な性質を持つ函数列 fn を求めることが重要になる。初期の解析学では、テイラー近似の形で可微分函数 f の多項式列による近似が確立された。ストーン=ヴァイアシュトラスの定理 により、[a, b] 上の任意の連続函数は適当な多項式列によりいくらでも近く近似できる。三角函数を用いた同様の近似法は一般にフーリエ展開と呼ばれ、工学において広く応用される(後述)。より一般に、またより概念的に言えば、これらの定理は「基本函数族」とは何であるかということを端的に記述するものになっている。あるいは抽象ヒルベルト空間においてどのような基本ベクトル族が、ヒルベルト空間 H を位相的に生成するに十分であるかをいうものである。ここで、位相的に生成する(あるいは単に生成する)とは、それらの位相的線型包と呼ばれる、線型包の閉包(即ち、有限線型結合およびその極限)が、全体空間に一致することである。 そのような函数の集合は H の基底(あるいはヒルベルト基底)と呼ばれ、基底の濃度はヒルベルト空間 H の次元と呼ばれる。これらの定理は適当な基底函数族が近似の目的で十分性を示すことのみならず、シュミットの直交化法を用いて互いに直交するベクトルの族からなる基底が得られることも意味している。そのような直交基底は、有限次元ユークリッド空間における座標軸をヒルベルト空間に対して一般化したものと考えることができる。
様々な微分方程式に対して、その解をヒルベルト空間の言葉で解釈することができる。例えば物理学や工学におけるかなり多くの分野でそのような方程式が導かれ、特定の物理的性質を持つ解が(しばしば直交する)基底函数族としてよく扱われる。物理学からの例として、量子力学における時間依存シュレーディンガー方程式は、その解が波動函数と呼ばれる偏微分方程式として、物理的性質の時間的な変化を記述する。。エネルギーやモーメントのような物理的性質に対する明確な値は、ある種の線型微分作用素の固有値とそれに属する固有状態と呼ばれる波動函数に対応する。スペクトル定理は、函数に作用する線型コンパクト作用素を、それらの固有値と固有函数を用いて分解することを述べるものである。
一般のベクトル空間は、ベクトルの間の乗法を持たない。二つのベクトルの乗法を定める双線型写像を付加的に備えたベクトル空間は、体上の多元環と言う。主な多元環は、何らかの幾何学的な対象の上の函数の空間から生じる。体に値をとる函数は、点ごとの乗法を持ち、それら函数の全体が多元環を成すのである。例えば、ストーン=ヴァイアシュトラスの定理(上述)は、バナッハ空間にも多元環にもなっているバナッハ環において成立する。
可換多元環は一変数または多変数の多項式環を使ってたくさん作れる。可換多元環の乗法は可換かつ結合的である。これらの環およびその剰余環は、それが代数幾何的対象上の函数の環となることから、代数幾何学の基礎を成している。
別の重要な例はリー環である。リー環の乗法(x, y の積を [x, y] と書く)は可換でも結合的でもないが、そうなることは制約条件
反対称性: [x, y]  −[y, x]
ヤコビの等式: {nowrap|[x, [y, z] + [y, [z, x] + [z, [x, y]  0}
によって制限されている。リー環の例には、n-次正方行列全体の成すベクトル空間に、行列の交換子 nowrap begin[x, y]  xy − yxnowrap end を積としたものや、R3 に交叉積を入れたものなどが含まれる。
テンソル代数 T(V) は任意のベクトル空間に積を導入して多元環を得るための形式的な方法である。T(V) はベクトル空間としては、単純テンソルあるいは分解可能型テンソルと呼ばれる記号
\mathbf{v}_1 \otimes \mathbf{v}_2 \otimes \dots \otimes \mathbf{v}_n
によって生成される(ただし、次数 n は任意に動かすものとする)。乗法は二つのベクトル空間に対してテンソル積を定義するときとほとんど同じで、基底元についてはそれらの記号をテンソル積 ⊗ で結合することで与え、一般には加法に対する分配律を以って基底元に対する積を延長する。スカラー倍の積は ⊗ と可換であるものとする。こうして得られる T(V) においては、一般に v1 ⊗ v2 と v2 ⊗ v1 との間には何の関係も成立しない。この二つの元を強制的に等しいものと定めると対称代数 S(V) が、あるいは強制的に nowrap beginv1 ⊗ v2  − v2 ⊗ v1nowrap end と置けば外積代数 ∧(V) がそれぞれ得られる。
基礎とする体 F を明示したい場合には、F-多元環あるいは F-代数という言葉がよく用いられる。
ベクトル空間の多様体に対する応用は様々な状況で生じてくる。つまり多様体上で定義され、ある体に値をとる函数を考えれば、そこにはベクトル空間が生じるのである。そのようなベクトル空間を考えれば、解析学や幾何学における問題を取り扱う枠組みが提供される。またそういったベクトル空間はフーリエ変換などにおいても利用される。ここで挙げた例は網羅的なものではなく、例えば最適化など、ほかにももっと多くの応用が存在する。ゲーム理論のミニマックス法は全てのプレイヤーが最適な試行を行うことができるならば一意的なペイが得られることを述べるもので、これはベクトル空間法を用いて証明できる。表現論は、よく分かっている線型代数学およびベクトル空間に関する内容を、群論など他の領域に実り豊かに引き写すものである。
シュヴァルツ超函数 (distribution) は、各「試験」函数(典型的には、コンパクト台を持つ無限回微分可能函数)に数を連続的な仕方で割り当てる線型写像をいう。即ち、シュヴァルツ超函数の空間は、試験函数の空間の(連続的)双対である。後者の空間には、試験函数 f それ自体のみならずその高階導函数までを考慮するような位相が入っている。シュヴァルツ超函数の典型的な例はある領域 Ω 上で試験函数 f を積分する作用素
I(f) = \int_\Omega f(x)\,dx
である。Ω が一点集合 (p) のとき、これは試験函数 f に点 p における値を割り当てるディラック超函数 δ を定める(δ(f)  f(p))。
シュヴァルツ超函数は微分方程式を解くための強力な道具である。微分は線型であるといったような、解析学の標準的な概念は、自然にシュヴァルツ超函数の空間へ延長することができるから、従って問題の方程式をシュヴァルツ超函数の空間へ引き写すことができて、しかもシュヴァルツ超函数の空間はもとの函数空間よりも大きいから、方程式を解くためにより柔軟な方法が利用できる(例えば、グリーン函数法)。
また、基本解は真の函数でなくシュヴァルツ超函数解(弱解)となるのがふつうであり、弱解から所期の境界条件を満たす方程式の真の解を求めるには、見つかった弱解が実際に真の函数となることを確かめればよく、証明できた場合にはそれがもとの方程式の真の解である(例えばリースの表現定理の帰結であるラックス・ミルグラムの定理が利用できる)。
周期函数をフーリエ級数を成す三角函数の和に分解することは物理学や工学においてよく用いられる手法である。台となるベクトル空間は、ふつうはヒルベルト空間 L2(0, 2π) であり、函数族 sin mx および cos mx (m は整数) が正規直交基底を与える。L2-函数 f のフーリエ展開は
\frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty}[a_m\cos(mx)+b_m\sin(mx)]
である。係数 am, bm は f のフーリエ係数と呼ばれ、公式
a_m = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(t)\cos(mt)dt,\quad b_m = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(t)\sin(mt)dt
で求められる。
物理学の言葉で言えば、函数は正弦波の重ね合せとして表され、その係数は函数の周波数スペクトルについての情報を与えるということになる。複素型のフーリエ級数も広く用いられる。
上記の具体的な公式は、より一般のポントリャーギン双対と呼ばれる双対性からの帰結である。加法群 R にこの双対性を適用すれば古典的なフーリエ変換が得られる。また物理学では逆格子に応用される。これは有限次元実線型空間に付加的なデータとして原子や結晶の位置を符号化した束を与えたものを基礎の群として双対性を適用したものである。
フーリエ級数は偏微分方程式の境界値問題を解くのにも利用される。1822年にフーリエが初めてこの方法を熱方程式を解くために用いた。フーリエ級数の離散版は標本化において、函数値が等間隔に並んだ有限個の点でしかわかっていないところで用いられる。この場合、フーリエ級数は有限項で、その値は全ての点で標本値に等しい。また、係数全体の成す集合は、与えられた標本列の離散フーリエ変換 (DFT : Discrete Fourier Transformation) と呼ばれる。この DFT は(レーダーや音声符号化やなどに応用を持つ)デジタル信号処理の重要な道具の一つである。画像フォーマットJPEGは、近しい関係にある離散余弦変換の応用である。
高速フーリエ変換は離散フーリエ変換を高速に計算するアルゴリズムである。これはフーリエ係数の計算だけでなく、畳み込み定理を用いて、二つの有限列の畳み込みを計算するのにも利用できる。また、デジタルフィルタや、巨大な整数や多項式の高速な掛け算アルゴリズム(シェーンハーゲ・シュトラッセンのアルゴリズム)にも応用できる。
曲面のある点における接平面は、自然に接点を原点と同一視したベクトル空間になる。接平面は接点における曲面の最適線型近似あるいは線型化である。三次元ユークリッド空間の場合でさえ、接平面の基底を指定する自然な方法は点綴的には存在せず、またそれゆえに接平面は、実数ベクトル空間というよりはむしろ抽象ベクトル空間として考えられる。接空間はより高次元の可微分多様体への一般化である。
リーマン多様体はその接空間が適当な内積を備えた多様体である。そこから得られるリーマン曲率テンソルは、それ一つでその多様体の全ての曲率を表すことができるもので、一般相対論では例えば時空の質量とエネルギー定数を記述するアインシュタイン曲率テンソルなどに応用がある。リー群の接空間は自然にリー環の構造を持ち、コンパクトリー群の分類に用いることができる。
ベクトル束は位相空間 X によって連続的に径数付けられたベクトル空間の族である。より明確に言えば、X 上のベクトル束とは、位相空間 E であって、連続写像
\pi : E \to X
を持ち、X の各点 x においてファイバー V  π−1(x) がベクトル空間を成すようなものを言う。dim V  1 ならば線束という。任意のベクトル空間 V に対し、射影 X × V → X は直積 X × V を「自明な」ベクトル束にする。X 上のベクトル束は、局所的にはある(固定された)ベクトル空間 V と X との直積でなければならない。つまり、X の各点 x に対して x の適当な近傍 U を選んで、π の π−1(U) への制限が自明束 U × V → U に同型となるようにすることができる。これらの局所自明性にもかかわらず、ベクトル束は巨視的には(台となる位相空間 X の形に依存して)「捻じれ」ているのである。つまり、ベクトル束は自明束 X × V (と大域的に同型)である必要はない。例えば、メビウスの帯は(円周を実数直線上の半開区間と同一視することによって)円周 S1 上の線束と見做すことができるが、しかしこれは円筒 S1 × R とは異なる。後者は向き付け可能だが、前者はそうではない。
ある種のベクトル束の性質は、台となる位相空間についての情報を提供する。例えば、接空間の集まりからなる接束は可微分多様体の点によって径数付けられる。
円周 S1 の接束は、S1 上に大域的な非零ベクトル場が存在するから、大域的に S1 × R に同型である。対照的に、毛玉の定理により、二次元球面 S2 上の接ベクトル場で至る所消えていない者は存在しない。K-理論は同じ位相空間上の全てのベクトル束の同型類について研究するものである。深い位相的かつ幾何学的な観察に加えて、この理論には実有限次元多元体の分類(そのようなものは R, C のほかは四元数体 H と八元数体 O しかない)というような純代数学的な帰結も存在する(フルヴィッツの定理を参照)。
可微分多様多の余接束は、多様体の各点において接空間の双対である余接空間が対応するベクトル束である。余接束の切断は微分一次形式 (1-form) と呼ばれる。
ベクトル空間が体に対するものであるように、加群 (modules) の概念は環に対するものである。これはベクトル空間の公理において体 F とするところを環 R で置き換えることで得られる。加群の理論はベクトル空間のそれと比べて(環の元に必ずしも乗法逆元が存在しないことで)より複雑なものになっている。例えば加群は、Z-加群(つまりアーベル群)としての Z/2Z のように、必ずしも基底を持たない。基底を持つような加群(ベクトル空間もそう)は自由加群と呼ばれる。にも拘わらずベクトル空間は、係数環が体であるような加群として簡単に定義することができて、その元をベクトルと呼ぶ。可換環の代数幾何学的解釈は、それらのスペクトルを通じて、ベクトル束の代数的な対応物である局所自由加群の概念などを展開することを可能にする。
大雑把に言うと、アフィン空間 (affine space ) というのはベクトル空間からその原点をわからなくしたものである。より正確には、アフィン空間とは自由かつ推移的なベクトル空間の作用を備えた集合を言う。特にベクトル空間は、写像
V \times V \to V,\, (\mathbf{v}, \mathbf{a}) \mapsto \mathbf{a} + \mathbf{v}