ヒルベルト空間
ヒルベルト空間 H 上の自己随伴コンパクト作用素に対するスペクトル論によれば、H は或る作用素の固有空間の直交直和に分解され、またその作用素はその固有空間への射影の直和として明示的に表される。ヒルベルト空間の直和は、(素粒子を変数にもつ系のフォック空間など)量子力学においても用いられ、そこでは直和の各成分たるヒルベルト空間と量子力学系の余剰自由度とが対応する。表現論におけるピーター・ワイルの定理によれば、ヒルベルト空間上で定義されるコンパクト群のユニタリ表現は必ず有限次元表現の直和に分解されることが保証される。
二つのヒルベルト空間 H1, H2 に対し、それらの(代数的な)テンソル積の上に、次のように内積を定めることができる。まず(生成元である)単純テンソルに対して
\langle x_1 \otimes x_2, \, y_1 \otimes y_2 \rangle := \langle x_1, y_1 \rangle \, \langle x_2, y_2 \rangle
と定め、これを半双線型 (Sesquilinearly) に  H_1 \otimes H_2 全体で定義される内積に拡張する。H1 と H2 とのヒルベルトテンソル積 H_1\hat}\otimes{H_2 とは、いま定義した内積に付随する距離位相に関して H1 ⊗ H2 を完備化して得られるものをいう。
ヒルベルト空間 L2([0, 1]) を使って例を考えよう。L2([0, 1]) の二つのコピーのヒルベルトテンソル積は、正方形 [0, 1]2 上の自乗可積分関数の空間 L2([0, 1]2) に等距かつ線型に同型である。この同型で単純テンソル f1 ⊗ f2 は
(s, t) \mapsto f_1(s)\, f_2(t)
なる正方形上の関数に写される。
この例は以下のような意味で典型的である。即ち、各単純テンソル積 x1 ⊗ x2 には(連続的)双対 H1∗ から H2 への 1-階作用素
x^* \in H_1^* \to x^*(x_1) \, x_2
が対応し、この単純テンソル上定義された写像を拡張して、H1 ⊗ H2 と H1∗ から H2 への有限階作用素全体の成す空間とを同一視する線型同型が得られる。これを拡張して、ヒルベルトテンソル積 H_1\hat}\otimes{H_2 は H1∗ から H2 へのヒルベルト=シュミット作用素全体の成すヒルベルト空間 HS(H1∗, H2) に等距線型同型になることがわかる。
線型代数学で言うような正規直交基底の概念を、ヒルベルト空間に対するものへ一般化することができる。ヒルベルト空間 H における正規直交基底とは、H の元からなる族 ekk ∈ B で、条件
直交性: B のどの相異なる二元についても、対応する H の元は互いに直交する(⟨ek, ej⟩ = 0 for all k, j in B with k ≠ j)。
正規性: 族 ek (k ∈ B) の各元のノルムは 1 である(‖ek‖ = 1 for all k in B)。
完全性: 族 ek (k ∈ B) の張る部分空間は H において稠密である。
を満足するものを言う。
上記基底の条件の最初の二つを満たすようなベクトルの集合は正規直交系と呼ばれる(B が可算のときは、正規直交列とも呼ぶ)。正規直交系は常に一次独立系である。ヒルベルト空間のベクトルの成す正規直交系については、その完全性条件を次のように言い換えることもできる。
全ての k ∈ B に対して ⟨v, ek⟩ = 0 を満たす v ∈ H が存在するならば、必ず v = 0 である。
このことは「稠密な部分集合に対して直交するようなベクトルは零ベクトルに限る」という事実と関係がある。実際、S を任意の正規直交系とし、ベクトル v が S に直交するものとすると、v は S の張る部分空間の閉包とも直交するが、S が完全であるならばそのような閉包は全空間に他ならない。
正規直交基底の例としては、
集合 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} はドット積に関して R3 の正規直交基底になる。
指数関数列 {ƒn : n ∈ Z} (ƒn(x) = exp(2πinx)) は L2([0, 1]) の正規直交基底になる。
等を挙げることができる。
無限次元の場合には、正規直交基底は線型代数学でいう意味での基底にはならない(これを区別する意味で後者をハメル基底とも呼ぶ)。基底ベクトルの張る部分空間が全空間において稠密であるということから、空間の各ベクトルが基底ベクトルの無限線型和として書けることが従う。また直交性からはそのような和としての表示の一意性が従う。
自乗総和可能な複素数列の空間 ℓ2 とは、各項が複素数の無限数列
(c_1, c_2, c_3, \dots)
で、条件
|c_1|^2 + |c_2|^2 + |c_3|^2 + \cdots < \infty
を満たすもの全体からなる集合(に、項ごとの和、スカラー倍、標準内積を入れたもの)である。この空間には標準的な正規直交基底
\begin{align}
e_1 &= (1,0,0,\dots)\\
e_2 &= (0,1,0,\dots)\\
& \quad  \vdots
\end{align}
が存在する。より一般に、任意の集合 B に対して、B 上の自乗総和可能数列の成す空間 ℓ2(B) が
\ell^2(B) =\left\{ x\colon B \to \mathbb{C}\ \left|\quad \sum_{b \in B} |x(b)|^2 < \infty \right. \right\}
で定義される。ただし B 上の総和というのを、ここでは
\sum_{b \in B} |x(b)|^2 = \sup\sum_{n=1}^N |x(b_n)|^2
で定める(上限は B の有限部分空間すべてに亘って取る)。このようにすると、この和が有限であるところの ℓ2(B) の各元は、可算個の例外を除いた全ての項が 0 になることがわかる。ℓ2(B) の任意の元 x, y に対して、
\langle x, y \rangle = \sum_{b \in B} x(b)\overline{y(b)}
と内積を定めれば、この空間は実際にヒルベルト空間となる。右辺の和は、0 でない項が高々可算個しかないから意味を持ち、またコーシー・シュヴァルツの不等式によって無条件収束であることがわかる。
ℓ2(B) の正規直交基底の一つは、
e_b(b') = \begin{cases}
1&\text{if } b=b'\\
0&\text{otherwise.}
\end{cases}
で与えられる B で添字付けられた族によって与えられる。
H の有限正規直交系 ƒ1, …, ƒn と H の任意のベクトル x に対して
y = \sum_{j=1}^n \langle x, f_j \rangle f_j
と置くと、各 k = 1, …, n に対して ⟨x, ƒk⟩ = ⟨y, ƒk⟩ が成り立つ。故に x − y は各ƒk に直交し、従って x − y は y に直交する。三平方の定理を二度使い
\|x\|^2 = \|x - y\|^2 + \|y\|^2 \ge \|y\|^2 = \sum_{j=1}^n|\langle x, f_j \rangle|^2
が得られる。さらに {ƒi} (i ∈ I) を H の任意の正規直交系とするとき、I の任意の有限部分集合 J に対して先ほどの不等式を適用すれば、(非負実数の任意濃度の族の和の定義に従って)ベッセルの不等式
\sum_{i \in I}|\langle x, f_i \rangle|^2 \le \|x\|^2, \quad x \in H
が得られる。
幾何学的には、ベッセルの不等式が言っているのは、x の fi たちが生成する部分空間の上への直交射影のノルムは x のノルムを超えないということである。二次元の場合で言えば、これは正三角形の足の長さは斜辺の長さを越えないということになる。
ベッセルの不等式はからは、より強力なパーシヴァルの等式が得られる。これはベッセルの不等式の不等号を等号に取り替えたものになっている。{ek}k ∈ B が H の正規直交基底ならば、H の各元 x は
x = \sum_{k \in B} \langle x, e_k \rangle e_k
という形に書くことができる。ベッセルの不等式によって B が非可算の場合にも、このような表示が意味を持ち、可算個の例外を除く各項が 0 に等しいことが保証される。このような和を x のフーリエ展開と呼び、個々の係数 ⟨x,ek⟩ を x のフーリエ係数と呼ぶ。このとき、パーセヴァルの等式は
\|x\|^2 = \sum_{k\in B}|\langle x, e_k\rangle|^2
と書ける。逆に、正規直交系 {ek} が任意の x においてパーセヴァルの等式を満足するならば、{ek} は正規直交基底になる。
ツォルンの補題の帰結として、「任意の」ヒルベルト空間が少なくとも一つの正規直交基底を持つことが分かる。さらに、一つの空間ではどの二つの正規直交基底も必ず同じ濃度を持つことが示されるので、その濃度をしてその空間のヒルベルト次元と呼ぶ 例えば、B 上の自乗総和可能数列の空間 ℓ2(B) は B で添字づけられる正規直交基底を持つから、そのヒルベルト次元は B の濃度(これは有限な整数かもしれないし、可算あるいは非可算の基数であるかもしれない)である。
パーセヴァルの等式の帰結として、{ek}k ∈ B が H の正規直交基底ならば、Φ(x) := (⟨x, ek⟩)k∈B で定まる写像 Φ: H → ℓ2(B) はヒルベルト空間の等距同型、即ち、全単射な線型写像であって、H の各元 x, y に対して
\langle \Phi(x), \Phi(y) \rangle_{\ell^2(B)} = \langle x, y \rangle_H
を満たすことがわかる。B の濃度は H のヒルベルト次元に等しい。従って、任意のヒルベルト空間は、適当な集合 B に対する数列空間 ℓ2(B) に等距同型である。
ヒルベルト空間が可分であるための必要十分条件は、それが可算な正規直交基底を持つことである。従って、任意の無限次元可分ヒルベルト空間は ℓ2 に等距同型になる。
かつてはヒルベルト空間の定義の中に可分であることを含めることが多かった。物理学に現れる殆どの空間は可分であったことや、どの無限次元可分ヒルベルト空間も全て互いに同型であったことから、任意の無限次元可分ヒルベルト空間に言及するときは「唯一の (the) ヒルベルト空間」とかあるいは単に「ヒルベルト空間」と呼ぶこともしばしばであった。場の量子論においてさえ、殆どのヒルベルト空間は事実可分であり、ワイトマンの公理系として明記された。しかし、場の量子論において非可分なヒルベルト空間も重要であるというような反論が時には為された。これは大まかには理論における系が無限個の自由度を持ちうることと(1 より大きい次元を持つ空間の)無限個のテンソル積はどれも非可分であることが理由である。例えばボソン場は自然に、その因子が空間の各点において調和振動子で表現されるようなテンソル積の元と考えることができる。この観点からは、ボソンの空間は非可分であると見るのが自然であるが、しかし全テンソル積の小さな可分部分空間にしか(その上で可観測量が定義できる)物理的に意味のある場が含まれていない。もう一つの非可分ヒルベルト空間モデルは、空間の非有界領域に存在する無限個の素粒子の状態である。この空間の正規直交基底は素粒子の密度を表すある連続なパラメータによって添字付けられる。これは非可算となりうるから、基底は可算ではない。
S をヒルベルト空間 H の部分集合として、S に直交するベクトル全体の成す集合
S^\perp = \left\{ x \in H : \langle x, s \rangle = 0\ \forall s \in S \right\}
を考える。S⊥ は H の閉部分空間である(これは内積の連続性と線型性用いて容易に示せる)から、それ自身ヒルベルト空間になる。V が H の閉部分空間のとき、V⊥ は V の直交補空間と呼ばれる。事実、H の各元 x は x = v + w (v ∈ V, w ∈ V⊥) なる形に一意的に表すことができる。従って、H は V と V⊥ との内部直和になっている。
この x を v へ写す線型作用素 PV: H → H を V の上への直交射影と呼ぶ。H の閉部分空間全体の成す集合と有界自己随伴作用素 P で P2 = P を満たすもの全体の成す集合との間に自然な一対一対応が存在する。
定理: 直交射影 PV は H のノルム ≤ 1 なる自己随伴作用素で条件 P2 = PV を満足する。さらに任意の自己随伴線型作用素  E で E2 = E を満たすものは、E の値域を V として PV の形に表される。また H の各元 x に対して、PV(x) は距離 ‖x − v‖ を最小にする V の唯一の元 v になる。
このことから、V の元による x の最適近似であるという PV(x) の幾何学的解釈が得られる。
二つの射影 PU, PV が互いに直交するとは、PUPV = 0 が成り立つときにいう。これは  U, V が H の部分空間として直交することと同値である。二つの射影 PU, PV の和が再び射影となるのは U と V とが互いに直交するときに限られる。このとき PU + PV = PU+V が成り立つ。合成 PUPV は一般には射影にならない。事実、合成が射影となる必要十分条件は二つの射影が可換となることであり、その場合 PUPV = PU∩V が成り立つ。
直交射影 PV の終域をヒルベルト空間 V へ制限することにより、射影 π: H → V が生じる。これは包含写像 i: V → H に対して
\langle i x, y\rangle_H = \langle x, \pi y\rangle_V\quad (x\in V,y\in H)
を満たすという意味での随伴になっている。零でない閉部分空間の上への射影 P の作用素ノルムは
\|P\| = \sup_{x\in H,\atop x\neq 0} \frac{ \|Px\| }{ \|x\| }=1
に等しい。従って、ヒルベルト空間の任意の閉部分空間 V は、ノルム 1 で P2 = P を満たす適当な作用素 P の像になっている。この適当な射影作用素がとれるという性質はヒルベルト空間を特徴付ける性質である。即ち、
2 より大きな次元のバナッハ空間が(等距的に)ヒルベルト空間となるための必要十分条件は、任意の部分空間 V に対し、その像が V となるようなノルム 1 の作用素 PV で PV = PV を満たすものが存在することである。
この結果はヒルベルト空間の距離構造を特徴付けるものだが、位相線型空間としてのヒルベルト空間の構造は補空間の存在の言葉で特徴付けられる。即ち、
バナッハ空間 X が何らかのヒルベルト空間に位相線型同型(同相かつ線型同型)であるための必要十分条件は、その任意の閉部分空間 V に対し、閉部分空間 W で X が内部直和 V ⊕ W に一致するようなものが存在することである。
直交補空間については、いくつかのより初等的な事実が成立する。「U ⊂ V ならば V⊥ ⊆ U⊥ で、等号成立は V が U の閉包に含まれるとき、かつそのときに限る」という意味で、直交補空間をとる操作は単調写像である。これはハーン・バナッハの定理の特別の場合である。部分空間の閉包は直交補空間の言葉で完全に特徴付けることができる。即ち、V が H の部分空間ならば、V の閉包はV⊥⊥ に一致する。従って、直交補空間をとる操作は、ヒルベルト空間の部分空間全体の成す半順序集合上のガロワ対応になっている。一般に、部分空間の合併の直交補空間は直交補空間の交わりに一致する。即ち
\Big(\sum_i V_i\Big)^\perp = \bigcap_i V_i^\perp
が成り立つ。さらに Vi が閉ならば
\overline{\sum_i V_i^\perp} = \Big(\bigcap_i V_i\Big)^\perp
を得る。
ヒルベルト空間における自己随伴作用素のスペクトル論も広く研究が成されている。これには、実係数の場合の対称行列や複素係数の場合の自己随伴行列の研究と大まかな類似がある。同様の意味で、自己随伴作用素を適当な直交射影作用素の和(実際には積分)として表す「対角化」もできる。
作用素 T のスペクトル σ(T) とは、T − λ が連続な逆作用素を持たないような複素数 λ 全体の成す集合のことである。T が有界ならば、そのスペクトルは必ずガウス平面内のコンパクト集合で、円板 (|z| ≤ ‖T‖) の内側に入る。T が自己随伴ならばそのスペクトルは実であり、事実として区間 [m,M] に含まれる。ただし、
m=\inf_{\|x\|=1}\langle Tx, x\rangle,\quad M=\sup_{\|x\|=1}\langle Tx, x\rangle
とする。さらに言えば m と M はともに実際にはスペクトルに含まれる。
作用素 T の固有空間は
H_\lambda = \ker(T-\lambda)
で与えられる。有限次元の行列の場合と異なり、T のスペクトルの元は必ずしも固有値にはなるとは限らず、線型作用素 T − λ が逆を持たないときだけである(これは全射ではないから)。作用素のスペクトルの元は一般に「スペクトル値」と呼ばれる。スペクトル値は固有値とは限らないので、スペクトル分解は有限次元の場合よりは扱いが難しいことが多い。
しかし、自己随伴作用素 T のスペクトル論は、さらにコンパクト作用素であるという仮定を加えれば特に簡単な形にすることができる。自己随伴コンパクト作用素のスペクトル論の主張は
自己随伴コンパクト作用素 T は高々可算個のスペクトル値しか持たない。T のスペクトルがガウス平面において集積点を持つ可能性は 0 以外にはない。T の固有空間は H の直交直和H=\bigoplus_{\lambda\in\sigma(T)}H_\lambdaに分解する。さらに固有空間 Hλ の上への直交射影を Eλ と書けばT = \sum_{\lambda\in\sigma(T)} \lambda E_\lambdaと表せる。ただし和は B(H) のノルムに関して収束する。
多くの積分作用素、特にヒルベルト=シュミット作用素から生じるものはコンパクトであり、この定理は積分方程式論において基本的な役割を果たす。
自己随伴作用素に対する一般のスペクトル論には、無限和というよりもある種の作用素値リーマン・スティルチェス積分が関係してくる。T に伴う「スペクトル族」には、各実数 λ に対して作用素 (T − λ)+ の零空間の上への射影 Eλ が対応している。ただし + は
A^+ = \frac{1}{2}(\sqrt{A^2}+A)
で定義される自己随伴作用素の正部分を表す。作用素 Eλ は自己随伴作用素の間に定義される半順序に関して単調増大である。固有値はちょうど跳躍不連続点に対応しており、
T = \int_\mathbb{R} \lambda\, dE_\lambda
なるスペクトル論が得られる。右辺の積分はリーマン・スティルチェス積分として理解され、B(H) のノルムに関して収束する。特に、通常のスカラー値積分表現
\langle Tx, y\rangle = \int_{\mathbb{R} \lambda\,d\langle E_\lambda x,y\rangle
が得られる。正規作用素に対してもある程度似たようなスペクトル分解が成立するが、この場合実数でない複素数がスペクトルに含まれるから、作用素値スティルチェス測度 dEλ は 1 の分解で置き換えられなければならない。
スペクトル法の主な応用はスペクトル写像定理で、これにより、積分
f(T) = \int_{\sigma(T)} f(\lambda)\,dE_\lambda
を作って、自己随伴作用素 T に T のスペクトル上で定義される連続な複素関数を施すことができるようになる。このような連続汎函数計算は特に擬微分作用素への応用を持つ。
「非有界」な自己随伴作用素のスペクトル論は、有界作用素に対するものと比べてさほど難しいわけではない。非有界作用素のスペクトルは有界作用素に対するのと全く同じやり方で定義される。つまり、λ がスペクトル値となるのはレゾルベント作用素
R_\lambda = (T-\lambda)^{-1}
が連続作用素として定義されないときである。T の随伴性から、やはりスペクトルが実であることが保証される。従って、非有界作用素に特有な議論の本質の部分は、λ が実でないようなレゾルベント Rλ を見るところにある。このレゾルベントは有界正規作用素で、これをスペクトル表現したものを使って T 自身のスペクトル表現が得られる。同様の方法論で、例えばラプラス作用素のスペクトルも調べられる。作用素を直接扱うよりも、それに付随するリースポテンシャルやベッセルポテンシャルのようなレゾルベントを見るのである。
非有界自己随伴作用素の場合に成立するスペクトル定理は以下のようなものである。
ヒルベルト空間 H 上稠密に定義された自己随伴作用素 T が与えられたとき、R のボレル集合族上で定義された 1 の分解 E が一意に対応して
\langle Tx, y\rangle = \int_\mathbb{R} \lambda\,dE_{x,y}(\lambda)\quad(x\in D(T),y\in H)
を満たす。スペクトル測度 E は T のスペクトル上に集中する。
非有界正規作用素に対するスペクトル定理も存在する。
中村英樹:「ヒルベルト空間論&作用素論」、現代数学社、ISBN 978-4-7687-0529-2 (2020)。