四元数
(a + bi)1 + (c + di)j
と表される。ここで j2 = −1 および ij = −ji であるものと定めると、分配律により二つのベクトルの掛け算が定義できる。いま、積 ij を k とおくと、通常の四元数の乗法規則と同じになるので、従って上記の複素ベクトルは四元数
に対応するものである。C2 の元を順序対として、四元数を四つ組としてそれぞれ書けば、この対応は
(a+bi,\ c+di) \leftrightarrow (a,b,c,d)
となる。
−1 の平方根は、複素数の範囲では ±i であるが、H では −1 の平方根は無数に存在する。x2 = −1 の四元数解は三次元空間内の単位球面を成すのである。これを見るのに q = a + bi + cj + dk を四元数とし、その平方が −1 に等しいものと仮定する。a, b, c, d が満たすべき条件は
a^2 - b^2 - c^2 - d^2 = -1,
2ab = 0,
2ac = 0,
2ad = 0
である。後の3つの方程式より a = 0 または b = c = d = 0 であるが、後者は残りの方程式から a2 = −1 となり、a は実数であるから不可能である。故に a = 0 ⋀ b2 + c2 + d2 = 1 となる。即ち、平方が −1 になる四元数は、ノルムが 1 の純虚四元数であることが分かる。定義により、このような四元数全体の成す集合は2次単位球面である。
故に、負の実四元数は無数の平方根を持つことも分かるが、それ以外の四元数の平方根はただ二つ(0 についてはただ一つ)である。
H における −1 の平方根のこのような同定はハミルトンが与えているが、他の文献では触れられないことがよくある。1971年にサム・パーリスは −1 の平方根の成す球面について、米国数学教師評議会出版の「代数学における歴史的話題」(Historical Topics in Algebra p.39) において3ページを割いて触れている。より近くでは、イアン・ポーティアスの本「クリフォード代数と古典群」(Clifford Algebras and the Classical Groups Cambridge, 1995, proposition 8.13, p.60) にこの球面についての記述があり、また  のp.40には「任意の虚数単位を i, それに直交する虚数単位の一つを j, それらの積を k」("any imaginary unit may be called i, and perpendicular one j, and their product k") として、この球面についての別な言明がある。
−1 の平方根のどの二つをとっても、四元数の中で複素数の相異なる複製を作ることができる。 q2 = −1 とすれば、そのような複製は写像
a + b\sqrt{-1} \mapsto a + bq
によって決定される。抽象代数学の言葉でいえば、それぞれが C から H への単射環準同型(埋め込み)である。q と −q に対応する埋め込みの像は集合としては同じになる。
任意の実でない四元数は C に同型な H の部分空間上にあることを見よう。四元数 q をスカラー部とベクトル部の和として
q = q_s + \vec{q}_v
とし、さらにベクトル部をノルムとベルソルの積に分解(極分解)して、
q = q_s + \lVert \vec{q}_v \rVert \cdot \mathbf{U} \vec{q}_v
と書く(これは qs + qUq とは異なることに注意)。q のベクトル部のベルソル Uqv は純虚な単位四元数ゆえ、その平方は −1 である。従ってこれから、写像
a + b\sqrt{-1} \mapsto a + b \mathbf{U} \vec{q}_v
によって複素数の複製が得られるが、この写像の下で q は複素数 qs + qvi の像になる。
以上から、H は実数直線を共通の交わりとして持つ無数の複素数平面の合併であることが分かる。ただし、この合併は −1 の平方根の成す球面全体を(球面の対蹠点が同じ平面に対応することを踏まえた上で)わたって取ったものである。
各四元数が H のどの部分複素数平面に含まれるかという関係性は、可換部分環族の言葉を使っても同定し書き表すことができる。具体的に言えば、二つの四元数 p と q が可換 (pq = qp) となるのはそれらが H の同じ部分複素数平面上にあるときに限られるだから、四元数全体の成す環の可換部分環を全て求めたければ、そこに複素数平面の合併として H の prófile が生じる。この可換部分環を求める方法は、分解型四元数全体や実二次正方行列全体の性質を知るのにも利用できる。
複素変数の函数同様に、四元変数の函数から有効な物理モデルが得られることが示唆される。例えば、マクスウェルによるもともとの電磁場の記述には四元変数函数が用いられていた。
q=a+bi+cj+dk=a+\mathbf{v}
に対して、指数函数は
\exp (q) = \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \displaystyle\frac{q^n}{n!} =e^a \left( \cos \|\mathbf{v} \| + \frac{\mathbf{v}{\| \mathbf{v} \〕 \sin \|\mathbf{v} \| \right)
と計算され、その逆函数として対数函数は
\ln (q) = \ln \|q\| + \frac{\mathbf{v}{\|\mathbf{v}\〕 \cos^{-1} \frac{a}{\|q\〕
として与えられる。
これを用いて、四元数の極分解を
q=\| q\| e^{\hat{n}\theta}
の形に書くことができる。ここで角 θ および単位ベクトル \hat{n} は
a=\| q\| \cos \theta
\mathbf{v} =\hat{n} \| \mathbf{v} \| =\hat{n} \| q\| \sin \theta
で定まるものである。任意の単位四元数は極形式として
e^{\hat{n}\theta}
と表される。
q^\alpha =\|q\|^\alpha e^{\hat{n}\alpha\theta}
で与えられる。
「共軛(きょうやく)」あるいは「共軛変換」という言葉は、上で述べた意味以外にも、適当な非零元 r によって元 a を rar-1 へ写す変換(内部自己同型)の意味にも使われる。この変換の意味で与えられた元に共軛な元の全体は、実部が等しく、かつベクトル部のノルムも等しい(従って、共軛四元数はこの変換の意味でも共軛元である)。
故に、非零四元数全体の成す乗法群は、純虚四元数全体の成す R3 の複製の上に共軛変換によって作用する。このとき、実部が 〖cos〗⁡θ である単位四元数による共軛変換は、虚部方向を回転の軸とする回転角 2θ の回転になる。四元数を用いる優位性としては、
(オイラー角などの場合と比べて)非特異な表現である。
行列を用いるよりも簡潔に記述できて演算のスピードも速くできる。
単位四元数の対で、4次元空間の回転を表せる。
などが挙げられる。
単位四元数(ベルソル)の全体は三次元球面 S3 を成し、また乗法に関して群を成し、3次特殊直交群(行列式が 1 の 3次直交行列全体)〖SO〗⁡(3,R) の二重被覆群というリー群になる(これは上記の対応において各回転に対応する単位四元数がちょうど「2つ」あることによる)。
(S3 自体には標準的な群構造はないが)ベルソルの成す部分群の像は点群であり、逆に点群の逆像はベルソル全体の成す部分群となる。有限点群の逆像は、それぞれの点群の名前に二項 (binary) を付けて呼ぶ。例えば二十面体群の逆像は二項二十面体群である。
ベルソル全体の成す群は、2次特殊ユニタリ群 〖SU〗⁡(2) に同型である。
a, b, c, d が何れも整数となるかまたは何れも分母が2の既約分数である有理数となる四元数 a + bi + cj + dk 全体の成す集合を A とする。集合 A は環(実は整域)であり、また束であって、フルヴィッツ整数環と呼ばれる。この環は 24 個の単位四元数を持ち、それらは正24胞体(シュレーフリ記号で {3,4,3})の頂点になっている。
F を標数が 2 でない体とし、a, b を F の元とする。(1, i, j, ij) を基底とし、i2 = a, j2 = b, ij = −ji(従って (ij)2 = −ab)を満たす F 上の四次元単位的結合多元環が定義できる。これらは四元数環と呼ばれ、a, b の選び方に依り F 上の 2次正方行列に同型であるか、さもなくば F 上の多元体を成す。
幾何学的計算に対する四元数の有用性は、四元数体をクリフォード代数 Cℓ3,0⁡(R) の偶部分 Cℓ+3,0⁡(R) と同一視することによって、他の次元にも一般化することができる。これは基本基底元 σ1, σ2, σ3 から構成される結合的多重ベクトル環で、基底元は
{\sigma_1}^2 = {\sigma_2}^2 = {\sigma_3}^2 = 1,
\sigma_i \sigma_j = - \sigma_j \sigma_i \qquad (j \neq i)
なる積の規則に従う。これらの基本基底元が三次元空間のベクトルを表すものとすれば、ベクトル r の単位ベクトル w に直交する平面に関する鏡映 (reflection) が
r' = - wrw
で表され、二つの鏡映の合成はそれぞれの鏡映に対する平面同士のなす角の二倍の回転角をもつ回転を与えることから、
r = \sigma_2 \sigma_1 \, r \, \sigma_1 \sigma_2
は σ1 と σ2 とを含む平面における 180° 回転が対応する。これは四元数の対応する公式
r = -\mathbf{k}r\mathbf{k}
とよく似ているが、実はこの二つは同一視できる。それには
\mathbf{k} = \sigma_2 \sigma_1, \mathbf{i} = \sigma_3 \sigma_2, \mathbf{j} = \sigma_1 \sigma_3
と同一視して、かつこれがハミルトンの関係式
\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} = -1
を保つことを確認すればよい。この描像において、四元数はベクトルではなく二重ベクトル (bivector) に対応する(これは一次元的な「向き」ではなくて、特定の二次元平面に付随する向きと大きさを持った量である)。また、複素数との関係もより明らかになる。つまり、二次元ではそれぞれ σ1 と σ2 の方向を持つ二つのベクトルに対して、ただ一つの基底二重ベクトル元 σ1σ2 が存在するから、虚数単位は一つだけしかないが、ベクトルの方向が三つある三次元では、三つの二重ベクトル基底 σ1σ2, σ2σ3, σ3σ1 が存在して、三つの虚数単位を持つ。
この理由付けはさらに拡張することができて、クリフォード代数 Cℓ4,0⁡(R) においては、基本となるベクトルが相異なる四つの方向を持つから、従って平面を張る線型独立な組は六種類であり、二重ベクトル基底元は六つ存在する。このような空間において、回転子 (rotor) と呼ばれるそのような四元数の拡張を用いた回転は、斉次座標系を用いた応用において非常に有効である。しかし、三次元の場合に限っては、基底二重ベクトルの数と基底ベクトルの数が一致し、各二重ベクトルを擬ベクトルと同一視することができる。
ドルストらはこの広い設定において四元数の占める優位性を以下のように同定した:
回転子は幾何代数において自然であり何の不思議もないし、それが含む二重鏡映の情報を容易に理解できる。
幾何代数において、回転子とそれが作用する対象は同じ空間に属する。これにより表現を変える必要がなくなり、かつ新しいデータ構造や(四元数に関する線型代数学を要求する)方法を考える必要もなくなる。
回転子はベクトル元や他の四元数だけでなく、直線や平面、円、半直線など、この代数の任意の元に普遍的に適用可能である。
ユークリッド幾何の共形モデルにおいて、回転子はこの代数の一つの元で回転、平行移動、拡大縮小を行ることができて、任意の元に普遍的に作用する。特にこれは、四元数の場合はその軸が原点を通るものに限られるのに対して、回転子は任意の軸の周りでの回転を表現できることを意味する。
回転子の示す変換は、特に直接的に解釈することができる。
クリフォード代数のさらに詳細な幾何学的描像は幾何代数の項を参照せよ。
四元数体 H は「本質的に」唯一の(非自明な)中心的単純環である。これは実数体上の任意の中心的単純環は R または H の何れかにブラウアー同値(森田同値)であるという意味である。明確に述べれば、R のブラウアー群は、R および H をそれぞれの代表元とする二つの同値類からなる。ここで、ブラウアー群というのは中心的単純環全体の成す集合を、一方の中心的単純環が他方の中心的単純環の上の全行列環となるという同値関係で割って得られるものであった。アルティン・ウェダーバーンの定理(のウェダーバーンの部分)によって、任意の中心的単純環は何らかの斜体上の行列環となるから、従って四元数体が実数体上で唯一の非自明な多元体であることが分かる。
中心的単純環(体上の環であって、それ自身が体同様に非自明な両側イデアルを持たないという意味で単純環であり、かつその中心が基礎体に一致するもの)は、体の拡大の非可換版の類似物であり、一般の環の拡大よりも限定的である。四元数体が実数体上の(同値を除いて)唯一の非自明な中心的単純環であるという事実は、複素数体が実数体上の唯一の非自明な拡大体であることに比肩する。