数学史
ボエティウスは、算術、幾何学、天文学、音楽を示す用語『四学科』を作り、カリキュラムに数学を加えた。彼は、ニコマコスNicomachusの『算術入門』の意訳で、またギリシア文献に由来する『算術教程(De institutione arithmetica)』、エウクレイデスのユークリッド原論の抄録集を著した。彼の著作は、実用的というよりむしろ理論的であり、ギリシアとイスラムの数学文献の回復まで、数学研究の基礎であった。
12世紀に、ヨーロッパの学者はアラビア語科学文献を求めてスペインとシチリア島に旅行した。これにはチェスターのロバートによりラテン語に翻訳されたフワーリズミーの『ヒサーブ・アル=ジャブル・ワル=ムカーバラ』、バースのアデラード、カリンツィアのヘルマンHerman of Carinthia、クレモナのジェラルドにより様々な版が翻訳されたエウクレイデスのユークリッド原論の完全な書が含まれる。
これらの新しい文献は数学の復活をもたらした。レオナルド・フィボナッチは1202年著・1254年改訂の『算盤の書』Liber Abaciを著し、エラトステネスの時代から1,000年以上を経て、ヨーロッパの最初の重要な数学をもたらした。この数学書はヨーロッパにインド・アラビア数字を導入し、他の多くの数学問題が議論された。14世紀には、幅広い問題を研究するための新たな数学の観念の発展が見られた。数学の発展に貢献した重要な分野は、軌跡の動きの分析に関するものであった。
トーマス・ブラッドワーディンThomas Bradwardineは、力(F)が抵抗(R)に対して幾何学的比例で増加するように、速度(V)が算術的比率で増加することを主張した。ブラッドワーディンはこれを特定の例の一連で示し、対数はまだ発想されていなかったが、彼の結論を時代錯誤的に次のように表すことができる:V = log F。ブラッドワーディンの解析はアル=キンディーとヴィラノバのアーノルドArnaldus de Villa Novaの数学的手法を複合薬の種類を異なる物理的問題に定量化するために移しかえた例である。
14世紀のオックスフォード大学マートン・カレッジの1人、ヘイツベリーのウィリアムは、微分法と極限の概念を欠きながら、ある瞬間の速度を『もし……与えられた瞬間に動く速度が同じ度合いで均一に動くならば、[物体が]描くであろう軌道により』測定することを提案した。
ヘイツベリーらは、均一に動作を加速する物体が移動する距離(現代では積分法で解決できる)を数学的に測定し、『均一に[速度の]増分を加速または減速する物体が、与えられた時間で移動する[距離]は、平均の[速度の]度合いで同じ時間の間継続して動作するものと完全に等しい』と述べた。
パリ大学のニコル・オレームとイタリア人のカサーリのジョバンニはそれぞれ、この関係を図示し、一定の加速を描く線の下の領域が、総移動距離を示すことを主張した。後にエウクレイデスの『原論』の数学的解説書で、オレームはより詳細な全体的分析を行い、物体は各々の継続した増分の時間で奇数として増加する特性の増分を得ることを論証した。エウクレイデスは(一定量以下のすべての)奇数の和は平方数になることを証明したため、物体の増分で得る特性の総計は時間の二乗で増加する。
ルネサンス初期のヨーロッパでは、数学はまだローマ数字を使用した扱いにくい記法に制限され、記号を使用せずに単語で関係を説明していた:プラス記号、等号、未知数を示す x は使われなかった。
16世紀末までに、特にレギオモンタヌス(1436年-1476年)とフランソワ・ビエト(1540年-1603年)の貢献により、数学は現在使用される記法と相違の少ないインド・アラビア数字を使用して記述されるようになった。
16世紀のヨーロッパの数学者は、今日知られているように、他の世界に先例の無い進歩を始めた。その最初は三次関数の一般解法であり、一般に1510年頃のシピオーネ・デル・フェッロの功績とされているが、最初の出版はニュルンベルクのヨハネス・ペトレイアスによるジェロラモ・カルダーノの『偉大なる術』であり、これにはカルダーノの弟子ルドヴィコ・フェラーリによる四次方程式の一般解法も含まれていた。
この時点から、数学の発展は迅速となり、同時代の自然科学における進歩に貢献した。この進歩は印刷の発展に大いに支援された。最初に出版された数学の本は1472年のゲオルク・プールバッハの『惑星の新理論』であり、商業算術の本である1478年の『トレヴィーゾ算術書』が続き、最初の数学書であるエウクレイデスのユークリッド原論は1482年にラトドルトにより出版された。
航行の要求と広範囲に及ぶ正確な地図の必要性の増加を動機とし、三角法が数学の主要な部門となった。ピティスクスBartholomaeus Pitiscusがこの語を、1595年に出版した『三角法』(Trigonometria) で最初に使用した。レギオモンタヌスの正弦および余弦の表は1533年に出版された。
17世紀には、ヨーロッパ全体で数学的および科学的概念の空前の爆発的発展が見られた。書簡によって、あるいはこのころ確立された印刷技術によって新しいアイデアは迅速に広まり、他の学者からの批判や拡張の試みなど数学者間の交流によって学問の進展が盛んになった。17世紀のヨーロッパ数学会における数学者間の交流においてマラン・メルセンヌを中心とした定期的な集まりと書簡の交流は大きな役割を果たしている。
イタリア人のガリレオ・ガリレイは、オランダからの輸入をもとにした望遠鏡を使用して、木星の衛星が軌道を描くことを観測した。ティコ・ブラーエは、惑星の天空中における位置を記述する膨大な量の数値データを収集した。彼の助手であるドイツ人のヨハネス・ケプラーはこのデータで研究を始めたが、スコットランドのジョン・ネイピアは、ケプラーの計算を助けようとする試みもあって、歴史上最初に自然対数の研究を行った。ケプラーは惑星運動の数学的規則をケプラーの法則として定式化することに成功した。
フランス人の数学者ピエール・ド・フェルマーと哲学者でもあるルネ・デカルトによって解析幾何学が開発され、惑星の軌道を直交座標系において描きとらえることができるようになった。多くの数学者によるそれまでの研究に立脚し、イングランドのアイザック・ニュートンはケプラーの法則を説明する物理法則を発見し、現在の微分積分学として知られる概念を寄せ集めた。これとは独立に、ドイツではゴットフリート・ライプニッツが微分積分学および現在でも使用される微分積分の記法のほとんどを発明した。この時代に科学と数学は国境を越えた営みとなり、すぐに全世界に広まった。
天文学の研究への数学の応用に加え、フェルマーとブレーズ・パスカルの交流により、応用数学が新たな領域に拡大を始めた。パスカルとフェルマーはギャンブルのゲームに関する議論で、確率論と対応する組合せ数学の研究の土台を築いた。パスカルは、成功の確率がわずかであっても報酬の期待値が無限であるような確率論的設定の存在を根拠に、人生を宗教に捧げることの正当性を論証しようと試みた。ある意味で、これは18世紀から19世紀における功利主義の発展の前兆であったともいえる。
17世紀のヨーロッパの大学の教授は哲学者が主であり、数学者たちの多くは王立協会などの君主たちによって設立されたアカデミーに関係していた。
上で見たように、自然数 1、2、3、… に関する知識は現存するどんな文書よりも古い石板に残されている。メソポタミア、エジプト、インド、中国など最古の文明は、算術を知っていた。
現代数学の様々な数体系の発展について可能な考察として、古い数で行われた演算に関する質問に答えるために新しい数が研究・調査されてきた、というものが挙げられる。有史以前にすでに「3を掛けられ、答えが1になる数は?」という問いにこたえるものとして、分数が用いられた。また、インドと中国、はるか遅くにドイツで、「大きな数を小さな数から引いたときの答えは?」という問いの答として負の数が開発された。ほかに挙げられる自然な質問は:「2の平方根はどんな種類の数か?」 ギリシア人はそれが分数でないことを知っており、この質問は連分数の理論の発展に動機を与えたともいえる。しかし、よりよい回答はジョン・ネイピア(1550年-1617年)が開発し、後にシモン・ステヴィンSimon Stevinが完成した小数の発明でもたらされた。小数、および極限の観念を予期した概念を使用して、ネイピアは新しい定数を研究し、これをレオンハルト・オイラー(1707年-1783年)はネイピア数 e と命名した。
17世紀に創始された微分積分学はオイラーをはじめとする18世紀の数学者たちによってさらに発展させられた。オイラーによって書かれた3冊の解析学の教科書やダランベールとオイラーの間で議論された波動方程式の考察によって、17世紀の幾何学的な変分についての微分積分学の体系はより抽象的な、1変数ないし多変数の関数によって与えられる解析的な対象の研究へと変貌していった。
18世紀の確率論はヤコブ・ベルヌーイ、ド・モアブル、トーマス・ベイズ、ピエール=シモン・ラプラスらの手によって、解析学の成果を取り込み発展させられた。この時代の成果に蓋然的確実性(ベルヌーイ)、確率評価精度の理論(ド・モアブル)、統計的推定(ベイズ、ラプラス)などがある。
19世紀の間に、数学は更に抽象的になった。19世紀は最高の数学者の一人と数えられるカール・フリードリヒ・ガウス(1777年-1855年)の時代でもある。自然科学への多数の貢献を別にしても、純粋数学において彼は複素解析学、幾何学、および級数の収束について革新的な業績を残した。彼は代数学の基本定理と平方剰余の相互法則に、最初の満足できる証明を与えた。
19世紀にはユークリッド幾何学の平行線公理が成立しないような非ユークリッド幾何学の2つの形式が発見された。ロシア人数学者のニコライ・ロバチェフスキーと彼のライバルであるハンガリー人数学者のボーヤイ・ヤーノシュは、独立に平行線の一意性が成立しないような双曲幾何学を発見した。この幾何学においては三角形の内角の和は180度未満である。楕円幾何学は19世紀後期に、ドイツ人数学者のベルンハルト・リーマンによって開発されたが、ここでは平行線は存在せず、この幾何学では三角形の内角の和は180度を超過する。リーマンはまた、3つの形式の幾何学を統一して膨大に普遍化するリーマン幾何学を開発し、曲線と表面の概念を普遍化した多様体の概念を定義した。
19世紀はまた、新たな抽象代数学の始まりの時代でもあった。ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって非可換代数の概念が発展させられたし、一方でイギリスの数学者ジョージ・ブールによってブール論理が開発された。ブール論理は0と1の二つの数からなる体系であり、今日の計算機科学において重要な応用を持っている。
数学における新たな傾向に加えて、過去の数学、特に微分積分学について、オーギュスタン=ルイ・コーシーとカール・ワイエルシュトラス、ベルンハルト・リーマンらによってより強固な基礎理論が与えられた。
また、数学の限界が初めて探求された。ノルウェー人のニールス・アーベルとフランス人のエヴァリスト・ガロアは、五次以上の代数方程式には一般的な代数的解法が無いことを証明した。他の19世紀の数学者はこの証明を応用して、定規とコンパスのみで任意の角度を三等分できないこと、与えられた立方体の2倍の体積を持つ立方体を構成できないこと、与えられた円の面積と等しい正方形を構成することができないことを証明した。古代ギリシャ時代以来の多くの数学者によるこれらの問題を解こうとする試みはついえることになった。
アーベルとガロアによる様々な多項式解法の研究は、群論および抽象代数学の関連分野の更なる発展の土台を築いた。20世紀の物理学者と科学者は、群論を対称性を研究する理想的な枠組みとみなした。
19世紀の終わりに向かって、ゲオルク・カントールは集合論を確立し、異なる数学分野での共通言語をあたえた。無限集合の導入は数学基礎論における論争を引き起こした。
19世紀には最初の数学の学会の設立が見られた。1865年にロンドン数学会、1872年にフランス数学会、1884年にパレルモ数学会、1883年にエディンバラ数学会、1888年にアメリカ数学会が設立された。前世紀の数学者たちがアカデミーに属していたのとは異なり、19世紀の数学者たちはおもにエコール・ポリテクニークなどの高等教育機関に属して活動するようになった。また、この時代の数学的な成果はクレレによって創刊された Journal für die reine und angewandte Mathematik をはじめとする学術誌において発表されるようになった。
20世紀以前は、世界中のいかなるときも、創造的な数学者はほんのわずかであった。ほとんどの場合、数学者はネイピアのように富裕層に属していたか、またはガウスのように裕福な支援者を持っていた。フーリエのように大学教授で生計を得るものはほとんどおらず、地位を得ることができなかったニールス・ヘンリック・アーベルは、栄養不良と結核により貧困の下26歳で世を去った。20世紀になって、数学者という職業が社会の中で占める位置は前より遥かに大きなものとなった。毎年、何百もの新しい数学博士号が与えられ、教職と産業の両方で仕事があった。数学の発展は幾何級数的に増加した。あまりにも多くの新たな開発があり、最も意味深いいくつかに言及し概観する。
1900年に、ダフィット・ヒルベルトは国際数学者会議においてヒルベルトの23の問題を提示した。この問題は、数学の多くの領域にまたがり、20世紀の数学の多くに対する関心の的となった。今日、10の問題が解決され、7つが部分的に解決され、2つが未解決である。残る4つについては定式化が曖昧なため解決か未解決かを述べることは不可能である。
1910年代、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン(1887年-1920年)は、3,000を超える定理を開発した。これには高度合成数の固有性、整数分割とその漸化解析、擬テータ関数Ramanujan theta functionが含まれる。彼はまた、ガンマ関数、モジュラー形式、 発散級数、超幾何級数、および素数定理の大きな進展と発見を行った。
1930年代以降、フランスの数学者たちによって結成された「ブルバキ」グループは、ニコラ・ブルバキという偽名の下に一連の教科書を出版し、集合論に基づいて様々な数学の分野を統一的に記述しようと試みた。彼らの広範な分野に渡る著作のスタイルは、数学教育のあり方にも影響を与え、論争の的となった 。
1931年に、クルト・ゲーデルは、数理論理学における形式的体系の限界を述べる2つのゲーデルの不完全性定理を発表した。これによってダフィット・ヒルベルトが夢みた、基礎論に基づく全ての数学体系の矛盾のない記述を求める試みは死亡宣告を受けることになった。また、ゲーデルとポール・コーエンによって、連続体仮説がツェルメロ・フレンケルの公理系Zermelo–Fraenkel set theoryからは証明も反証もできないことが示された。
過去の有名な予想のうちいくつかは、20世紀になって開発されたより強力な技法によって解決されることになった。ヴォルフガング・ハーケンとケネス・アッペルは、1976年にコンピュータを使用して四色定理を証明した。 アンドリュー・ワイルズは数年にわたる独力の研究で、1995年にフェルマーの最終定理を証明した。また、20世紀になって数学の共同研究はかつてない規模で行われるようになった。有限単純群の分類Classification of finite simple groupsの理論は1955年から1983年の間に発行された、約100人の執筆による500余りの雑誌記事からなるが、その総体は何万ページにもわたる。
数理論理学、位相幾何学、カオス理論、ゲーム理論のような全く新しい数学の分野が、数学的手法で回答できる質問の種類を変化させた。20世紀の終わりまでに、数学は芸術の域にさえ達した。フラクタル幾何は、それまで見たことのないような美しいフラクタルアートを与える。
21世紀初期、多くの教育者が新たな貧困層の数学的・科学的無教養に関する心配を述べている。一方で、数学、科学、工学、および科学技術が相互に知識、情報を作り上げ、古代哲学者が夢にも見なかった繁栄がもたらされている。
2003年に、グリゴリー・ペレルマンがミレニアム懸賞問題の一つであるポアンカレ予想を証明した。
2007年3月中旬に、北米と欧州中の研究者チームがコンピュータネットワークを使用して、E8E₈(248次元の例外型単純リー環)の指標表を決定した。この E8 の理解がどのように応用できるかはまだ正確に知られていないが、この発見は現代数学のチームワークと計算機科学双方の大きな業績である。
2009年 、 ゴ・バオ・チャウにより、ラングランズ・プログラムの基本補題に数学的証明が与えられた。
2013年、テレンス・タオが素数が極端に偏ることなく分布することに関する素数の新定理発見。
2019年、ルイス・モーデルが提唱した「3つの立法数を足し引きすることにより、1~100の数をすべてつくれるか」という問題で、最後まで残っていた42が世界中のコンピュータ50万台をつなぐグリッド・コンピューティングで発見された。
2019年 、 ルイス・モーデルが提唱した「3つの立法数を足し引きすることにより、1~100の数をすべてつくれるか」という問題で、最後まで残っていた42が世界中のコンピュータ50万台をつなぐグリッド・コンピューティングで発見される。
2019年12月、テレンス・タオが「コラッツの問題」について偏微分方程式を用いて、「ほとんどすべての正の整数において正しい」とする論文を発表した。
数学において観られる多くの傾向がある、最も注目されるのは、次のことである:分野が永続的に巨大化し、コンピューターが永続的に大いに重要に、そして強力になる、生命情報科学への数学の応用は急速に拡大している、そしてコンピューターによって促進された、科学と産業での生まれたデータの量は、爆発的に拡大している2013年4月。