コリオリの力
コリオリの力(コリオリのちから、force de Coriolis)とは、回転座標系上で移動した際に移動方向と垂直な方向に移動速度に比例した大きさで受ける慣性力(見かけ上の力)の一種であり、コリオリ力、転向力(てんこうりょく)ともいう。1835年にフランスの科学者ガスパール=ギュスターヴ・コリオリが導いた。
回転座標系における慣性力には、他に、角速度変化に伴うオイラー力と回転の中心から外に向かって働く遠心力がある。
コリオリの力を例を使って解説する。慣性系で静止している質点を、等速で回転する座標系から観測する場合を考える。この際、その質点は等速円運動をしている。回転座標系では、見かけの力である遠心力が円運動の中心から離れる方向に働くことが知られている。また、等速円運動では質点の加速度の向きは、常に円の中心向きである。ところが回転座標系でニュートンの運動方程式が成り立つと仮定すると、みかけの力の遠心力を考えただけではこの加速度を得ることができない。回転座標系で等速円運動を続けるためには、物体に中心向きの見かけの力が働いている必要がある。この物体の運動方向を変える力がコリオリの力である。
コリオリの力を実感するには、フィギュアスケーターのように回転しながら、重り(500 g程度でよい)を持った手を「前にならえ」の要領で前に突き出したり胸元にしまったりを繰り返すと分かりやすい。左回りに回転している場合、腕を前方に突き出す時には重りが右方向に引っ張られるように感じ、腕を胸元にしまうときには左方向に吸い込まれるように感じる。この、重りの進行方向からみて右にずれる方向に働いている見かけ上の力が、コリオリの力である。
コリオリの力を工学的に利用した装置として、角速度を測るジャイロ(角速度計)や流量計などがある。
地球は東向きに自転している。そのため、低緯度の地点から高緯度の地点に向かって運動している物体には東向き、逆に高緯度の地点から低緯度の地点に向かって運動している物体には西向きの力が働く。北半球では右向き、南半球では左向きの力が働くとも言える。例としては、以下のものがある。
上空で気圧の差があれば気圧の高いほうから低いほうに向かって空気塊を動かそうとする力が働く。この力を気圧傾度力という。等圧線が平行かつ気圧傾度力が一定ならば空気塊は等圧線に対して直角に気圧の高いほうから低いほうへ加速される。北半球ではその進行方向右向きコリオリの力が働く。コリオリの力は速度に比例して大きくなるため空気塊は右に曲がりながら速度を上げ最終的には気圧傾度力とコリオリの力は正反対の向きにつりあう。すると空気塊は加速されない向きも変えない安定した風になる。この風を地衡風という。
台風が北半球で反時計回りの渦を巻くのは、風が低気圧中心に向かって進む際にコリオリの力を受け、進行方向に対し中心から右にずれた地点に到達するためである。
北極点上空から日本上空へ向かおうとする人工衛星は直進するが、地球は自転しているため、地上にいる観測者には、衛星がアジア大陸方面へ逸れていくように見える。
大気だけでなく、海流の運動もコリオリの力の影響を受けている(エクマン輸送)。
北半球で真北に撃った砲弾が、標的よりもわずかに東(右)にずれることは昔から知られていることである。このように、大砲やロケット、1000\mathrm{m}近い長距離での狙撃などの軌道計算はコリオリの力を考慮した補正が必要である。
ここからは地球の自転によるコリオリの力の大きさを数学的に記述する。地球の角速度を\omega とすると、緯度\phiにおける地平面内の南北方向の方向ベクトルの角速度は、\omega \sin \phi
となるため、地球の自転によるコリオリの力の大きさは物体の速さをvとして
|\boldsymbol{F}_C|=mvf,\quad f=2\omega \sin \phi
で表される。fはコリオリ因子と呼ばれる。
コリオリの力が与える影響を考える一例として、コリオリの力を一番強く受ける極点において時速100\mathrm{km}のボールをピッチャープレートとホームベースの距離18.4\mathrm{m}の間で投げたとする。地球の角速度\omegaは\omega=7.29\times 10^{-5}\mathrm{rad/s}であるから、コリオリの力による加速度の大きさは
a' = 2\omega v' =4.03\times 10^{-3}\mathrm{m/s^2}
である。通過するのにかかる時間tはt=0.661\mathrm{s}であるから等加速度運動とみなすとずれの距離xは
x= {1 \over 2}a't^2\fallingdotseq 0.88\mathrm{mm}
つまり1\mathrm{mm}にも満たない。また極点より緯度の小さい地域ではコリオリの力の影響はさらに小さくなる。日常生活の中で地球の回転によって生じるコリオリの力は非常に小さなものなのである。
同じく極点において、今度は秒速1000\mathrm{m}の砲弾を距離10\mathrm{km}先まで飛ばすときのコリオリの力による影響を考える。先ほどと同様に考えると、コリオリの力による加速度の大きさは
a' = 2\omega v' =1.46\times 10^{-1}\mathrm{m/s^2}
であり、通過するのにかかる時間tはt=10.0\mathrm{s}であるから等加速度運動とみなすとずれの距離xは
x= {1 \over 2}a't^2\fallingdotseq 7.3\mathrm{m}
したがって7\mathrm{m}ものずれが生じる。このように大規模な運動(運動速度が大きくて、運動する時間も長い)では地球の回転によって生じるコリオリの力は大きな影響を及ぼすのである。
慣性系O-xyに対して原点のまわりを一定の角速度\boldsymbol{\omega}で回転する座標系O-x'y'で質点Pに力\boldsymbol{F}が働く場合を考える。
あるベクトル\boldsymbol{q}の成分が
\boldsymbol{q}=\begin{bmatrix}q_{x}\\ q_{y} \end{bmatrix}
\boldsymbol{q'}=\begin{bmatrix} q'_{x} \\ q'_{y} \end{bmatrix}
と表されるとき図1,2より\boldsymbol{q}は\boldsymbol{q'}を原点Oのまわりに\omega tだけ回転したものになるので
\boldsymbol{q}=\boldsymbol{R}(\omega t)\boldsymbol{q'}
と表される。
\boldsymbol{R}(\theta )=\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}
と定義する。すると質点Pの位置ベクトル\boldsymbol{r}と回転座標系でみたベクトル\boldsymbol{r'}の関係は
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{R}(\omega t)\boldsymbol{r'}
と表される。
両辺を時刻tで微分して
\begin{align}
\boldsymbol{v}
&= \frac{d\boldsymbol{r}{dt} \\
&= \frac{d\boldsymbol{R}(\omega t)}{dt}\boldsymbol{r'} + \boldsymbol{R}(\omega t) \frac{d\boldsymbol{r'}{dt} \\
&= \omega \boldsymbol{R} (\omega t + \pi/2) \boldsymbol{r'} + \boldsymbol{R}(\omega t) \boldsymbol{v'}
\end{align}
さらにtで微分して
\begin{align}
\boldsymbol{a}
&= \frac{d^2\boldsymbol{r}{dt^2}\\
&= \omega \frac{d\boldsymbol{R}(\omega t+\pi/2)}{dt} \boldsymbol{r'} +
\omega\boldsymbol{R}(\omega t + \pi/2) \frac{d\boldsymbol{r'}{dt}
+ \frac{d\boldsymbol{R}(\omega t)}{dt} \boldsymbol{v'} + \boldsymbol{R}(\omega t) \frac{d\boldsymbol{v'}{dt}\\
&= \omega^2\boldsymbol{R}(\omega t + \pi) \boldsymbol{r'} + 2 \omega \boldsymbol{R}(\omega t + \pi/2) \boldsymbol{v'} + \boldsymbol{R}(\omega t) \boldsymbol{a'} \\
&= -\omega^2 \boldsymbol{R}(\omega t) \boldsymbol{r'} + 2 \omega \boldsymbol{R}(\omega t + \pi/2) \boldsymbol{v'} + \boldsymbol{R}(\omega t) \boldsymbol{a'}
\end{align}
……(1)
\frac{d\boldsymbol{R}(\omega t)}{dt}
= \frac{d(\omega t)}{dt} \frac{d\boldsymbol{R}(\omega t)}{d(\omega t)}
=\omega \boldsymbol{R}(\omega t + \pi/2)
ここでは \boldsymbol{R}(\omega t+\pi )=-\boldsymbol{R}(\omega t) を用いた。
ベクトル\boldsymbol{F}と回転座標系でみたベクトル\boldsymbol{F'}の関係は
\boldsymbol{F}=\boldsymbol{R}(\omega t)\boldsymbol{F'} ……(2)
と表される。
運動方程式\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}に(1)と(2)を代入して
\boldsymbol{R}(\omega t) \boldsymbol{F'} = -m\omega ^2 \boldsymbol{R}(\omega t) \boldsymbol{r'} + 2m \omega \boldsymbol{R}(\omega t + \pi/2) \boldsymbol{v'} + \boldsymbol{R}(\omega t) m\boldsymbol{a'}
両辺に\boldsymbol{R}(-\omega t)をかけて
\boldsymbol{F'} = -m\omega^2 \boldsymbol{r'} + 2m\omega \boldsymbol{R}(\pi/2) \boldsymbol{v'} + m\boldsymbol{a'}
m\boldsymbol{a'} = \boldsymbol{F'} + m\omega^2\boldsymbol{r'} - 2m\omega \boldsymbol{R}(\pi/2) \boldsymbol{v'}
すなわち回転座標系から物体を見た場合実際の力\boldsymbol{F}のほかにm\omega^2\boldsymbol{r'}と2m\omega \boldsymbol{R}(\pi/2)\boldsymbol{v'}の力が働いているように見える。
この2m\omega \boldsymbol{R}(\pi/2)\boldsymbol{v'}は、見かけの力でコリオリの力という。コリオリの力は速度v'の方向と回転軸の方向\omegaの両方に垂直である。
m\omega^2\boldsymbol{r'}は、質点を回転軸に垂直に引き離そうとする見かけの力で遠心力という。
以下では、地球の公転は無視し、地球は半径Rの球形とする。
静止座標系として、地球の中心を原点とし、地軸の北極方向をz軸、赤道面をxy平面とする座標系を考える。
次に、地球表面の点で、地球の自転とともに動くを観測点Pを考える。
P=R\begin{bmatrix}\cos\alpha \cos(\omega t+\delta)\\ \cos\alpha \sin(\omega t+\delta) \\ \sin\alpha \end{bmatrix}
ただし、Rは地球の半径、\alphaは観測点Pの緯度、\omegaは地球の自転の角速度\omega =2\pi /(24 \times 60 \times 60 ~ \mathrm{s})、tは時刻、\deltaは時刻t=0におけるPの位置を表すパラメータだが、以下コリオリの力に関係ないので\delta=0とする。
回転座標系として、Pを原点とし、次の3つの単位ベクトルで張られる座標系を考える。
この座標系で、時刻tにおける質点Xの位置が、f_1成分a_1(t)、f_2成分a_2(t)、f_3成分a_3(t)で表記されたとする。(以下tは省略する。)
\begin{align}
X &= a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+P \\
&= a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+R\sin\alpha f_1+R\cos\alpha f_3
\end{align}
である。
以下時間での微分を'で表す。
f_1'=\begin{bmatrix}\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}=0
f_2'=\begin{bmatrix}\ -\omega\cos\omega t\\ -\omega\sin\omega t\\0\end{bmatrix}=-\omega f_3
f_3'=\begin{bmatrix}\ -\omega\sin\omega t\\ \omega\cos\omega t\\0\end{bmatrix}=\omega f_2
\begin{align}
X' &= a_1'f_1+a_2'f_2+a_3'f_3+a_1f_1'+a_2f_2'+a_3f_3'+P' \\
X &= a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+2a_1'f_1'+2a_2'f_2'+2a_3'f_3'+a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+P
\end{align}
静止系では運動方程式が成り立つため、質点Xの質量をm、掛かる力をFとすると、
F=mX=ma_1f_1+ma_2f_2+ma_3f_3+2ma_1'f_1'+2ma_2'f_2'+2ma_3'f_3'+ma_1f_1+ma_2f_2+ma_3f_3+mP
m(a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3)=F-2m(a_1'f_1'+a_2'f_2'+a_3'f_3')-m(a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+P)
ここで、
a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3
は、この回転座標系での加速度であり、
-2m(a_1'f_1'+a_2'f_2'+a_3'f_3')-m(a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+P)
が、この座標系での「みかけの力」即ち慣性力になる。
f_1'=0
f_2'=-\omega f_3
f_3'=\omega f_2
を使えば、
-2m(a_1'f_1'+a_2'f_2'+a_3'f_3')=2m\omega(a_2'f_3-a_3'f_2)
この部分は、広義のコリオリの力に対応する部分であり、
f_2方向の速度a_2'に対しf_3方向に「みかけの力」2m\omega a_2'が働き、
f_3方向の速度a_3'に対し-f_2方向に「みかけの力」2m\omega a_3'が働く
ことを示している。
これは、f_2とf_3で張られた平面(観測点Pを通り地軸に直交する平面)での2次元のコリオリの力に一致する。
なお、
\begin{align}
-m(a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+P)
&= m(-a_1f_1-a_2f_2-a_3f_3-R\sin\alpha f_1-R\cos\alpha f_3)\\
&= m\omega(+a_2f_3'-a_3f_2'-R\cos\alpha f_2')\\
&= m\omega^2(a_2f_2+a_3f_3+R\cos\alpha f_3)\\
\end{align}
は、
質点Xから地軸に下ろした垂線の足から、質点Xまでの方向ベクトルがa_2f_2+a_3f_3+R\cos\alpha f_3であることを考えれば、質点Xにかかる「みかけの力」遠心力である。
次に、上記の回転座標系では、北極星の方向、天頂から真南へ角度\alphaだけ傾けた方向を座標軸とするので不便だから、別の座標系を考える。
Pを原点とし、次の3つの単位ベクトルe_1、e_2、e_3で張られる座標系とする。
基底変換は行列で表すと、
\begin{bmatrix}\ e_1 & e_2 & e_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ f_1 & f_2 & f_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\ \cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\ f_1 & f_2 & f_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ e_1 & e_2 & e_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\ \cos\alpha & 0 & -\sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\ f_1 & f_2 & f_3\end{bmatrix}座標系の座標
\begin{bmatrix}\ a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix}
が、
\begin{bmatrix}\ e_1 & e_2 & e_3\end{bmatrix}座標系の座標
\begin{bmatrix}\ b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix}
と同じ点を表すには、
\begin{align}
\begin{bmatrix}\ e_1 & e_2 & e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix}
&= \begin{bmatrix}\ f_1 & f_2 & f_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\ \cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix}\\
&= \begin{bmatrix}\ f_1 & f_2 & f_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix}\\
\end{align}
\begin{bmatrix}\ \cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix}
でなければならない。
\alphaは時間には依存しないため、
\begin{bmatrix}\ \cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ b_1' \\ b_2' \\ b_3'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ a_1' \\ a_2' \\ a_3'\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\ \cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix}
運動方程式を書き換えれば、
m(a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3)=F-2m(a_1'f_1'+a_2'f_2'+a_3'f_3')-m(a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+P)
について、
\begin{align}
m(a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3)
&= m\begin{bmatrix}\ f_1 & f_2 & f_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix}\\
&= m\begin{bmatrix}\ f_1 & f_2 & f_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\ \cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix}\\
&= m\begin{bmatrix}\ e_1 & e_2 & e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix}\\
&= m(b_1e_1+b_2e_2+b_3e_3)
\end{align}
上記は加速度の項である。
\begin{align}
-2m(a_1'f_1'+a_2'f_2'+a_3'f_3')
&= 2m\omega(a_2'f_3-a_3'f_2)\\
&= 2m\omega\begin{bmatrix}\ f_1 & f_2 & f_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\ a_1'\\ a_2'\\ a_3'\end{bmatrix}\\
&= 2m\omega\begin{bmatrix}\ e_1 & e_2 & e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ \cos\alpha & 0 & -\sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ \cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ b_1' \\ b_2' \\ b_3'\end{bmatrix}\\
&= 2m\omega\begin{bmatrix}\ e_1 & e_2 & e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ 0 & -\sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & 0 & -\cos\alpha \\ 0 & \cos\alpha & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\ b_1' \\ b_2' \\ b_3'\end{bmatrix}\\
&= 2m\omega(b_1'\sin\alpha e_2-b_2'\sin\alpha e_1+b_2'\cos\alpha e_3-b_3'\cos\alpha e_2)
\end{align}
上記は広義のコリオリの力の項である。
\begin{align}
-m(a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+P)
&= m\omega^2(a_2f_2+a_3f_3+R\cos\alpha f_3)\\
&= m\omega^2\left\{b_2e_2+(b_1\sin\alpha+b_3\cos\alpha+R\cos\alpha)(\sin\alpha e_1+\cos\alpha e_3)\right\}
\end{align}
上記は遠心力の項である。
ここで、広義のコリオリの力の項を見ると、
e_1方向(北方向)の速度b_1'に対し、e_2方向(東方向)に「みかけの力」2m\omega b_1'\sin\alphaが働く
e_2方向(東方向)の速度b_2'に対し、-e_1方向(南方向)に「みかけの力」2m\omega b_2'\sin\alphaが働き、e_3方向(天頂方向)に「みかけの力」2m\omega b_2'\cos\alphaが働く
e_3方向(天頂方向)の速度b_3'に対し、-e_2方向(西方向)に「みかけの力」2m\omega b_3'\cos\alphaが働く
ことが分かる。
このうち、天頂方向の速度と力を捨象した、
e_1方向(北方向)の速度b_1'に対し、e_2方向(東方向)に「みかけの力」2m\omega b_1'\sin\alphaが働く
e_2方向(東方向)の速度b_2'に対し、-e_1方向(南方向)に「みかけの力」2m\omega b_2'\sin\alphaが働く
と言える。これがコリオリの力である。接平面内であれば、どの方向の速度ベクトルでも北方向と東方向の速度ベクトルの合成で作れるため、「2m\omega\sin\alpha×速度」だけの接平面内の「みかけの力」がかかることが分かる。
3次元の場合のコリオリの力をまとめると、次の3段階で導出されていることが分かる。
観測点Pでの地球の接平面T内の速度ベクトルを、観測点Pを通り地軸と直交する平面(赤道面と平行な平面)Lに射影する。
平面L内で2次元のコリオリの力を求める。
得られた平面L内のコリオリの力を接平面Tに射影し、接平面T内のコリオリの力を求める。
ここで、接平面T内の東向き(自転方向の向き)の大きさvの速度ベクトルについて考えれば、それを平面Lに射影しても変わらずに大きさvであり、平面L内のコリオリの力は、大きさ2m\omega v、方向は東と直交し地軸から遠ざかる方向であり、それを接平面Tに射影すると、コリオリの力(の接平面T内の成分)は、大きさ2m\omega v\sin\alpha、方向は南となる。
接平面T内の北向きの大きさvの速度ベクトルについて考えれば、それを平面Lに射影すると大きさはv\sin\alphaとなり、平面L内のコリオリの力は、大きさ2m\omega v\sin\alpha、方向は東であり、それを接平面Tに射影すると、コリオリの力は変わらず、大きさ2m\omega v\sin\alpha、方向は東となる。
接平面T内の大きさvの任意の方向の速度ベクトルは、東方向と北方向の速度ベクトルの一次結合で表せるため、その接平面T内のコリオリの力は、大きさ2m\omega v\sin\alpha、方向は北極側から見て速度ベクトルの方向から90度時計回りに回転した方向となることが分かる。