フーリエ変換
さらに言えば、ディラックのデルタ函数は函数ではないが有限ボレル測度であり、そのフーリエ変換は定数函数となる(特殊値は用いるフーリエ変換の形に依存する)。
フーリエ変換はシュワルツ函数全体の成す空間(シュワルツ空間)をそれ自身に移す同相写像を与える。これにより、緩増加超函数のフーリエ変換を定義することができる。これには上述の絶対可積分函数が全て含まれ、それに加えて緩増加超函数のフーリエ変換がふたたび緩増加超函数となるという利点がある。
超函数のフーリエ変換を定義するいくつかの動機は、以下のふたつの事実に由来する。ひとつめは、ƒ と g が絶対可積分函数でそのフーリエ変換をそれぞれ f, g とするとき、フーリエ変換は乗法公式
\int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(x)g(x)\,dx=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\hat{g}(x)\,dx
に従うこと。ふたつめは、任意の絶対可積分函数 ƒ は、任意のシュワルツ函数 φ に対して
T_f(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x)\,dx
を満たすという条件によって超函数 Tƒ を定めることである。これらの事実により、与えられた超函数 T に対してそのフーリエ変換を、任意のシュワルツ函数 φ に対して
\hat{T}(\varphi)=T(\hat{\varphi})
なる関係式によって定義する。これは Tf = Tf^ から従う。
超函数は微分可能であり、緩増加超函数のフーリエ変換と微分および畳み込みとはやはり上述の意味で両立する。
フーリエ変換を任意の局所コンパクトアーベル群に対して一般化することができる。局所コンパクトアーベル群とは、抽象アーベル群であると同時に局所コンパクトなハウスドルフ空間であって、なおかつその位相に関して群演算が連続となるものである。G が局所コンパクトアーベル群ならば、G はハール測度と呼ばれる平行移動不変な測度 μ を持つ。また、局所コンパクトアーベル群 G に対して、その位相を指標全体の成す集合 G へ移行することができて、G 自身も局所コンパクトアーベル群の構造を持つ。L1(G) に属する函数 f に対して、そのフーリエ変換を
\hat{f}(\xi)=\int_G \xi(x)f(x)\,d\mu\qquad\left(\forall\ \xi\in\hat G\right)
によって定義することができる。
この一般化を概周期函数に適用した理論や、準周期函数に適用した理論が知られている。
フーリエ変換および近い関係にあるラプラス変換は微分方程式の解法において広く用いられる。f(x) を可微分函数で、そのフーリエ変換を f(ξ) とすると、導函数のフーリエ変換が 2πiξf(ξ) で与えられるという意味でフーリエ変換と微分作用素は両立する。このことを用いて微分方程式を代数方程式に変換することができる。ただし、この手法は定義域が実数全体である場合にしか適用できないことに注意が必要である。これを拡張して、定義域が Rn であるような多変数函数に関する偏微分方程式を代数方程式に書き換えることもできる。
フーリエ変換を可能な限り最も一般な定義域上で考えることが望ましいことも多々ある。フーリエ変換を積分として定義すれば、定義域は絶対可積分函数全体の成す空間に自然に制限されてしまうが、不幸にして絶対可積分函数のフーリエ変換として得られる函数の簡単な特徴づけは知られていない。フーリエ変換の定義域の拡張は上述のようにいくつかの方法を用いて行うことができる。以下いくつか、フーリエ変換の定義されるより広範な定義域と領域について詳細を述べる。
シュワルツ函数全体の成す空間(シュワルツ空間)はフーリエ変換の下で閉じている。シュワルツ函数は急減少函数であって、フーリエ変換の関連する函数すべてを含んでいるわけではない。より詳細は  を参照せよ。
ルベーグ絶対可積分函数全体の成す空間 L1 はフーリエ変換によって、無限遠で 0 に収束する連続函数全体の成す空間 C0 へ写される。
自乗絶対可積分函数全体の成す空間 L2 はフーリエ変換のもとで閉じている。しかしここでのフーリエ変換はもはや積分によって定義されるものではない。
空間 Lp は空間 Lq へ写る。ここに、 1/p + 1/q = 1 であり、 1 ≤ p ≤ 2 とする(ハウスドルフ・ヤング不等式)。
緩増加超函数全体の成す集合はフーリエ変換の下で閉じている。緩増加超函数は函数の一般化ともなっている。この一般化ではディラックの櫛型函数のようなもののフーリエ変換も定義することができる。
フーリエ変換の記法として f(ξ) 以外によく用いられるものに
F(\xi),\quad \mathcal{F}(f)(\xi),\quad (\mathcal{F}f)(\xi),\quad \mathcal{F}(f(t))
などがある。あるいはもっと他の記号を使うことも在りうる。たとえば、(f(x) と F(ξ) のように)もとの函数を表している文字の対応する大文字を用いてそのフーリエ変換を表すことは自然科学や工学においてとくによく用いられる記法である。
複素函数 f(ξ) は、極座標に関してこれを表示することにより、振幅
A(\xi) = |\hat{f}(\xi)|,
\varphi (\xi) = \arg(\hat{f}(\xi))
と呼ばれるふたつの実函数 A(ξ) および φ(ξ) を用いて
\hat{f}(\xi)=A(\xi)e^{i\varphi(\xi)}
なる形に解釈することができる。
このとき逆変換は ƒ(x) の周波数成分すべての再結合として
f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} A(\xi)\, e^{ i(2\pi \xi x +\varphi (\xi))}\,d\nu
と書くことができる。各成分は振幅が A(ξ) で(x = 0 における)初期位相角が φ(ξ) であるような e2πixξ のかたちの複素正弦曲線である。
フーリエ変換は函数空間の間の写像として考えることもできる。この写像はここでは \mathcal{F} で表し、函数 f のフーリエ変換には \mathcal{F}(f) が用いられる。この写像 \mathcal{F} は函数空間上の線型変換とみることができ、それによって \mathcal{F}(f) と書く代わりに、ベクトル(ここでは函数 f)の線型変換を表す線型代数学の標準的な記法で \mathcal{F}f と書くこともできる。函数にフーリエ変換を施した結果は再び函数となるから、この新たな函数の ξ における値というものには意味があり、それを \mathcal{F}(f)(\xi) あるいは (\mathcal{F} f)(\xi) などと表す。前者の場合には \mathcal{F} はまず f に施されて、その後に得られた函数の ξ における値が評価されるものと暗黙に理解されているということに注意しなければならない。
数学や多くの応用科学において、函数 f それ自身と函数 f の変数 x における値 f(x) とを峻別しなければならないことがしばしばある。このことが意味するのは、たとえば\mathcal{F}(f(x)) のような記法は、形式的には f の x における「値」のフーリエ変換と解釈できてしまうということである。このような不具合にもかかわらず、特定の函数あるいは特定の変数の函数を頻繁に変換しなければならないような場合には、このような記法はよく用いられる。たとえば
\mathcal{F}( \mathrm{rect}(x) ) = \mathrm{sinc}(\xi)
は矩形函数のフーリエ変換が sinc-函数であることを表すために用いられることがあり、またたとえば
\mathcal{F}(f(x+x_{0})) = \mathcal{F}(f(x)) e^{2\pi i \xi x_{0}
はフーリエ変換のシフト性を表すのに用いられることがある。最後の例は、変換される函数 f をx0 のではなく x の函数であるという前提のもとでのみ正しいということに注意を要する。
フーリエ変換の定義として慣習的によく用いられるものが3個ある。しばしば、フーリエ変換を毎秒ラジアンを単位とする角周波数 ω = 2πξ を用いて表す。ξ = ω/(2π) と置き換えれば、上述の定義式はこの規約の下
\hat{f}(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx
と書くことができ、また同じくこの規約の下で逆変換は
f(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\omega)e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega
となる。本項における定義とは異なり、この規約によって定義されるフーリエ変換はもはや L2(Rn) 上の変換としてユニタリではなく、フーリエ変換と逆変換との間の対称性も失われている。
他によく用いられる流儀は (2π)n の因子をフーリエ変換とその逆変換の間で均等に分割するもので、
\hat{f}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx,
f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\omega) e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega
という定義が導かれる。この規約のもとでは、フーリエ変換はふたたび L2(Rn) 上のユニタリ変換となり、また フーリエ変換と逆変換の間の対称性も回復することができる。
これら三種類の定義はどれも、順変換逆変換ともに複素指数函数的な積分核を結びつけることによって形成されている。順変換と逆変換で肩に付く符合は反対でなければならないが、どちらがどちらの符号を持つべきであるかという選択は、やはり定義の仕方によるということになる。
以下にフーリエ変換の閉じた表示に関する表を掲げる(フーリエ変換はよく用いられる三種類を挙げてある)。函数 ƒ(x) , g(x), h(x) に対して、それらのフーリエ変換をそれぞれ f, g, h で表す。
以下の表におけるフーリエ変換は  あるいは  の付録に見つけることができる。
以下の表におけるフーリエ変換は ,  あるいは  の付録に見つけることができる。
\,
| \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \xi^2}
| \sqrt{\frac{2}{\pi} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}
| \frac{2a}{a^2 + \nu^2}
|a>0である
|-
| 208
| \frac{J_n (x)}{x} \,
| \frac{2 i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi \xi)\,
\cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}  \operatorname{rect}( \pi \xi )
| \sqrt{\frac{2}{\pi} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,
\cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \operatorname{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)
| \frac{2 i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\nu)\,
\cdot \ \sqrt{1 - \nu^2} \operatorname{rect} \left( \frac{\nu}{2} \right)
|関数Jn (x)は、n次の第1種ベッセル関数である。関数Un (x)は第2種チェビシェフ多項式である。下記315と316を参照
|-
| 209
|\operatorname{sech}(a x) \,
|\frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{ a} \xi \right)
|\frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right)
|\frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \nu \right)
|双曲線正割は自分自身をフーリエ変換したものである
〕
以下の表におけるフーリエ変換は  あるいは  の付録に見つけることができる。
〔 class="wikitable"
! !! もとの函数 !! ユニタリ・周波に関するフーリエ変換 !! ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換 !! 非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換 !! 備考
|-
|
|align="center"| f(x)\,
|align="center"| \hat{f}(\xi)=
\int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi ix\xi}\,dx
|align="center"| \hat{f}(\omega)=
\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx
|align="center"| \hat{f}(\nu)=
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\nu x}\, dx
|
|-
| 301
|1
|\delta(\xi)\,
|\sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)
|2\pi\delta(\nu)\,
|δ(ξ) はディラックのデルタ関数
|-
| 302
|\delta(x)\,
|1
|\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,
|1
|301の双対
|-
| 303
|e^{i a x}\,
|\delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)
|\sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)
|2 \pi\delta(\nu - a)\,
|103と301より導かれる。
|-
| 304
|\cos (a x)\,
|\frac{\displaystyle \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2}
|\sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,
|\pi\left(\delta(\nu-a)+\delta(\nu+a)\right)
|101、303とオイラーの公式:\displaystyle\cos(a x) = (e^{i a x} + e^{-i a x})/2.より導かれる。
|-
| 305
|\sin( ax)\,
|i\cdot\frac{\displaystyle\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)}{2}
|i\sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega+a)-\delta(\omega-a)}{2}
|i\pi\left(\delta(\nu+a)-\delta(\nu-a)\right)
|101、303と \displaystyle\sin(a x) = (e^{i a x} - e^{-i a x})/(2i). より導かれる。
|-
| 306
|\cos ( a x^2 ) \,
| \sqrt{\frac{\pi}{a} \cos \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)
| \frac{1}{\sqrt{2 a} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)
| \sqrt{\frac{\pi}{a} \cos \left( \frac{\nu^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)
|
|-
| 307
|\sin ( a x^2 ) \,
| - \sqrt{\frac{\pi}{a}  \sin \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)
| \frac{-1}{\sqrt{2 a} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)
|-\sqrt{\frac{\pi}{a}\sin \left( \frac{\nu^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)
|
|-
| 308
|x^n\,
|\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (\xi)\,
|i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,
|2\pi i^n\delta^{(n)} (\nu)\,
|n は自然数、 δ(n )(ξ) はディラックのデルタ関数のn 階微分。107と301より導かれる。さらに101と組み合わせることで、任意の多項式を変換できる。
|-
| 309
|\frac{1}{x}\,
|-i\pi\sgn(\xi)\,
|-i\sqrt{\frac{\pi}{2}\sgn(\omega)
|-i\pi\sgn(\nu)\,
|sgn(ξ) は符号関数。1/x は超関数ではないことに注意。シュワルツ関数に対してテストするときにコーシーの主値を使用する必要がある。この規則はヒルベルト変換を研究するとき有用である。
|-
| 310
|\frac{1}{x^n}
|-i\pi \frac{(-2\pi i\xi)^{n-1}{(n-1)!} \sgn(\xi)
|-i\sqrt{\frac{\pi}{2}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}{(n-1)!}\sgn(\omega)
|-i\pi \frac{(-i\nu)^{n-1}{(n-1)!}\sgn(\nu)
|309の一般化
|-
| 311
| \frac{1}{\sqrt〔x|} \,
| \frac{1}{\sqrt〔\xi|}
| \frac{1}{\sqrt