ゲーデルの不完全性定理
ゲーデルの不完全性定理(ゲーデルのふかんぜんせいていり、Gödel's incompleteness theorems、Gödelscher Unvollständigkeitssatz)または不完全性定理とは、数学基礎論とコンピュータ科学(計算機科学)の重要な基本定理。(数学基礎論は数理論理学や超数学とほぼ同義な分野で、コンピュータ科学と密接に関連している。) 不完全性定理は厳密には「数学」そのものについての定理ではなく、「形式化された数学」についての定理である原文:数学の基礎をめぐる論争の実質的な勝者が形式主義である … .不完全性定理は数学そのものについての定理ではなく,「形式化された数学」に関する定理であり,形式主義的な数学観についての定理である.。クルト・ゲーデルが1931年の論文で証明した定理であり、有限の立場(形式主義)では自然数論の無矛盾性の証明が成立しないことを示す。なお、少し拡張された有限の立場では、自然数論の無矛盾性の証明が成立する(ゲンツェンの無矛盾性証明)原文:ゲーデルの不完全性定理は有限の立場(形式主義)で数学の無矛盾性を証明することはできないことを示した.ゲンツェン(Gentzen)は,有限の立場より緩い制限のもとで自然数論の無矛盾性を証明した.。
数学基礎論研究者の菊池誠によると不完全性定理は、20世紀初め以降に哲学から決別した数学基礎論の中で現れたゲーデルの不完全性定理#数学と哲学の分離。コンピュータ科学者・数理論理学者のトルケル・フランセーンおよび数学者・数理論理学者の田中一之によると、不完全性定理が示した不完全性とは、数学用語の意味での「特定の形式体系Pにおいて決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」とは無関係である。不完全性定理を踏まえても、数学の形式体系の公理は真であり無矛盾であるしフランセーン 2011, p. 145.『これらの体系の公理が真であり、そして無矛盾であるという絶対確実な知識をもっていると主張しても、ゲーデルの定理のどこにも相反しないのである』、数学の完全性も成立し続けている。しかし“不完全性定理は数学や理論の「不完全性」を証明した"といった誤解や、“数学には「不完全」な部分があると証明済みであり、数学以外の分野に「不完全」な部分があってもおかしくない"といった誤解が一般社会・哲学・宗教・神学等によって広まり、誤用されているゲーデルの不完全性定理#誤用例。不完全性定理が成立しない体系
数学の「無矛盾性」を証明することを目指したヒルベルト・プログラムに関して「不完全性定理がヒルベルトのプログラムを破壊した」という類の哲学的発言はよくあるが、これは実際の不完全性定理やゲーデルの見解とは異なる、とフランセーン達は解説している。正確には、ゲーデルはヒルベルトと同様の見解を持っており、彼が不完全性定理を証明して示したのは、ヒルベルトの目的(「無矛盾性証明」)を実現するためには手段(ヒルベルト・プログラム)を拡張する必要がある、ということだった。これについて日本数学会編集の『岩波数学辞典』では「彼ゲーデルの結果はヒルベルトの企図を直接否定するものではなく,実際この定理の発見後に無矛盾性証明のための様々な方法論が開発されている」と記されている。
ゲーデルの不完全性定理は、ゲーデルが1931年の論文で証明した次の内容である。
『数学原理(プリンキピア・マセマティカ)』の体系や公理的集合論の中には、証明も反証もできない自然数論の命題が存在する。
また、これらの体系に公理を追加しても公理が有限個であれば、前述の命題の存在を解消できない。
より正確には、不完全性定理は第一と第二に分かれている。
なお「有限の立場」とは、数学の形式主義における「記号の有限的な操作のみから構成される」立場を指す。
注意
形式的体系 S と S' に対して(言語を適当に拡張した)S' が S を含むとは、S の論理式全体の集合Fml(S)から S' の論理式全体の集合Fml(S')への次のような写像T:Fml(S)→Fml(S')が存在するときを言う:φ∈Fml(S)がS で証明できるときT(φ)は S' で証明できる。このTはしばしば「翻訳」と呼ばれる。この意味でペアノ算術PAはツェルメロ=フレンケル集合論ZFCに含まれる。
「初等的な自然数論」について、ゲーデル自身はペアノの公理と原始帰納法による関数の定義を前提に自然数論の体系を構築した 。この体系は、加法・乗法・べき乗・階乗・順序関係などを帰納的に定義する十分な表現力を持っている。それぞれの定理の前提条件は、ロビンソン算術を含む半決定可能な理論(第一)、\mathbf{I}\Sigma_1を含む半決定可能な理論(第二)に置き換えても証明することができる。
帰納的公理化可能な理論が自然数論を含むならば、当該理論における証明可能性が原始帰納的述語として表現できる。この証明可能性述語を用いて、「Gは証明できない」と同値となる証明不能命題G(ゲーデル文)が構成できる。ゲーデル文を構成するためには自然数論の式を自然数に変換するゲーデル数および自己言及で用いられる対角化の技法(を形式化したもの)が必要である。後者は対角化補題と呼ばれる。
自然数を変数とする述語「xは…である」の対角化は、上記の述語のxに「xは…である」自身のゲーデル数を代入した命題である。その意味は
「「xは…である」は…である」
となる。ゲーデル文Gは
「「xで表される述語の対角化は証明できない」で表される述語の対角化は証明できない」
と表される。「xで表される述語の対角化は証明できない」の対角化は、G自身と同値になる。
さて、ゲーデル文Gが証明可能であれば、Σ1完全性により命題「Gは証明できる」もまた証明可能である。一方Gは命題「Gは証明できない」と同値であることが証明可能であるので、両者から矛盾が導かれる。つまり
「Gは証明できる」ならば「矛盾が証明できる」 … (A)
したがって、対偶を取れば
「矛盾が証明できない」ならば「Gは証明できない」 … (B)
となる。
また、￢Gが証明可能であれば、Gの性質から命題「Gは証明できる」も証明可能である。この際、もしGそのものが証明不能だとすると、ω矛盾ということになる。ω無矛盾であればGも証明可能である。しかしGが証明可能であれば「Gは証明できない」も証明可能であるので、やはり両者から矛盾が導かれる。したがってω無矛盾であれば￢Gも証明できないのである。よってω無矛盾であれば、Gも￢Gも証明できない(第一不完全性定理)。
なお、証明可能性の代わりに真理性を用いれば、パラドックスが導かれることから、帰納的公理化された自然数論(以下、自然数論)における真理性は自然数論の中では算術的述語として表現できない、と示される(タルスキの定理)。
「自然数論において矛盾を証明できない」…(C)
と表す。このとき、自然数論による自然数論の無矛盾性証明とは、(C)が自然数論で証明できるということである。
(C)が自然数論で証明できれば、第一不完全定理での議論中の(B)より
「Gは証明できない」
と証明できる。しかし、
「Gは証明できない」
とはGと同値であるから、Gも証明されることとなり、そこから第一不完全性定理での議論中の(A)により、矛盾が証明される。
したがって自然数論が無矛盾、すなわち自然数論で矛盾が証明されないならば、そのこと自体も自然数論では証明できない(第二不完全性定理)。
ゲーデルの定理は「帰納的公理化可能な自然数論を含む無矛盾理論」に対して示されているが、ここでは簡単の為、帰納的公理化可能な自然数論のみを扱う。一般の場合も同様。
概要でも説明したように、ゲーデル数というテクニックを使って間接的に自己言及を可能とし、ゲーデル文を構成する。コンピュータでは全てのデータを一意な数値で表しており、特に文字列や論理式そして論理式の列も数値で表す。このように、論理式を数値で表す行為を論理式のゲーデル数化といい、命題Pに対応する数値をPのゲーデル数という歴史的には論理式のゲーデル数化の概念が先に生まれ、後にコンピュータがデータを数値で表すようになった。なお、ゲーデル自身は、素因数分解の一意性を利用して論理式のゲーデル数化を実現している。。
ゲーデル数化により、論理式に関する様々な性質を論理式として表すことができる。たとえば、
Axiom(x): xは公理のゲーデル数である。
MP(x,y,z): xをゲーデル数に持つ論理式とyをゲーデル数に持つ論理式からモーダスポネンスによりzをゲーデル数に持つ論理式が導ける。
といった論理式を作ることができる。ここで、AxiomやMPの引数が論理式自身ではなく自然数であることが重要である。前述のように自然数論は「命題に言及する命題」を取り扱うことはできないが、「命題のゲーデル数に言及する命題」なら取り扱うことができる。
Axiom(x)やMP(x,y,z)などを組み合わせれば、
Proof(y,z) : zをゲーデル数に持つ論理式をPとするとき、yをゲーデル数に持つ論理式の列が論理式Pの証明になっている。
という論理式も作ることができる。
さらにProofを「\exists」と組み合わせることで、
Provable(z) : 「\exists y : Proof(y,z)」である。すなわち、zをゲーデル数に持つ論理式をPとするとき論理式Pは証明可能である。
ProvableARG(z,x) : 「\exists y : Proof(y,z,x)」である。すなわち、zをゲーデル数に持つ論理式をQとするとき、Q中の変数に自然数xを代入した論理式Q(x)は証明可能である。
という論理式も作ることができる(上ではPは引数を持たず、Qの引数は1つである)。
論理式\lnot ProvableARG(x,x)のゲーデル数をmとすると、xにmを代入した論理式\lnot ProvableARG(m,m)がゲーデル文となる(対角化)。
ゲーデル文\lnot ProvableARG(m,m)のゲーデル数をnpmmとする。
否定命題\lnot ProvableARG(m,m)が証明可能とすると、Provable(npmm)は真である。このとき\Sigma_1完全性よりProvable(npmm)は証明可能である。
一方\lnot ProvableARG(m,m)は
「mをゲーデル数に持つ論理式にmを代入したものは証明不能」
という意味である。
mをゲーデル数に持つ論理式にmを代入したものはnpmmであるから
\lnot ProvableARG(m,m) \Leftrightarrow \lnot Provable(npmm)
が証明可能である。したがって、
\lnot Provable(npmm)
は証明可能である。
したがってProvable(npmm)および\lnot Provable(npmm)が証明され、これは矛盾である「ProvableARG(m,m)」が証明可能。一方我々は「\lnot ProvableARG(x,x)」が証明可能な事を仮定していたので、これは矛盾である。が、これは自然数論が無矛盾であるという仮定に反する。
肯定命題ProvableARG(m,m)が証明可能だとすると、
ProvableARG(m,m) \Leftrightarrow Provable(npmm)
Provable(npmm)
が証明可能である。
このときω無矛盾性を前提すると、npmmをゲーデル数とする論理式\lnot ProvableARG(m,m)が証明可能である。ω無矛盾とは\exists yP(y)が証明できれば、P(u)を満たす自然数uが実際に存在することを指す。定義より「ProvableARG(m,m)」は「\exists y : Proof(y,m,m)」であった。ω無矛盾性より、「Proof(u,m,m)」を満たす自然数uが実際に存在し、uをゲーデル数に持つ論理式の列が\not ProvableARG(m,m)の証明系列になる。
それ故、矛盾が証明されるが、これは自然数論が無矛盾であるという仮定に反する。
矛盾を「\bot」で表し、「\bot」のゲーデル数をbとする。すると、「自然数論の体系内で自然数論の無矛盾性を証明できる」という言説を
自然数論の体系内で「\lnot Provable(b)」を証明できる
の意味に解することができる。
\lnot Provable(b)
が自然数論の体系内で証明可能であると仮定する。
第一不完全性定理のところで示したように、\lnot ProvableARG(m,m)が証明できれば矛盾が証明できる。この議論を自然数論の体系内で行うことで、
Provable(npmm) \Rightarrow Provable(b)
が自然数論の体系内で証明可能なことがわかる。故に対偶を取ることで
\lnot Provable(b) \Rightarrow \lnot Provable(npmm)
が自然数論の体系内で証明可能なことがわかる。したがって、仮定および\lnot ProvableARG(m,m) \Leftrightarrow \lnot Provable(npmm)から
\lnot ProvableARG(m,m)
が自然数論の体系内で証明可能なことがわかる。第一不完全性定理の所で示したように、\lnot ProvableARG(m,m)が証明可能だと、矛盾が証明される。したがって矛盾が証明されないならば、\lnot Provable(b)は証明されない。
数学と計算機科学(コンピュータ科学)において、「決定不能」という言葉には二つの異なった意味がある。一つ目は証明論の文脈でゲーデルの定理に関連して使われる意味であり、特定の形式的体系の下で或る命題を証明も反証もできないことを言う。二つ目は計算可能性理論に関連した用法であり、命題ではなく決定問題に適用される。決定問題とは入力に対して答が真か偽のいずれかになるような問題である。ある問題を全ての入力に対して正しく解答するようなアルゴリズムが存在しないとき(すなわち特性関数が計算可能関数でないとき)、そうした問題は決定不能であると言う。
不完全性定理は、自然数論が一つ目の意味で決定不能であることを主張している。一方、述語論理の論理式が充足可能か否かを判定する充足可能性問題は決定問題にあたるが、不完全性定理によって、二番目の意味で決定不能である。つまり、述語論理の論理式が充足不能であれば、その論理式から矛盾を導く証明を見つけることができるが、充足可能であるときにその旨、回答を返すアルゴリズムは存在し得ない。
ゲーデルとポール・コーエンの仕事を合わせて、決定不能命題の確かな実例が得られた。連続体仮説はZFC(集合論における標準的な公理系)の下では証明も否定の証明もできない。また、選択公理もZF(ZFCに含まれる公理から選択公理を除いたもの)では証明も否定の証明もできない。これらの結果は不完全性定理を必要としない。1940年、ゲーデルはこれらの命題が何れも ZF または ZFC 集合論では否定を証明できないことを証明した。1960年代、コーエンはこれらがいずれも ZF から証明できず、また連続体仮説が ZFC から証明できないことを証明した。
マチャセビッチによるヒルベルトの第10問題の解決により、決定不能な命題の例が得られる。そのような例はディオファントス方程式の外側に存在量化子を幾つか並べた形として得られる。すなわち不完全性定理の前提条件を満たす形式的体系において、解の存在が証明も反証もできないようなディオファントス方程式が存在する。
1973年、群論におけるホワイトヘッドの問題が標準的な集合論では決定不能であることが示された。
1977年、パリスとハーリントンは、ラムゼーの定理の一種であるパリス=ハーリントンの定理が、一階算術の公理体系であるペアノ算術の下では決定不能だが、より大きな二階算術の体系では証明できることを証明した。カービーとパリスは後にグッドスタインの定理(自然数の数列に関する命題であり、パリス・ハーリントンの原理よりもいくらか易しい)がペアノ算術では決定不能であることを示した。
計算機科学で応用される Kruskal の木定理はペアノ算術では決定不能だが集合論では証明できる。実際、Kruskalの木定理(またはその有限版)は、可述主義訳注:自己言及的でないこと。と呼ばれる数学的哲学に基づいて構築されたもっと強い体系の下でも決定不能である。これに関連し、更に一般的な graph minors 定理(2003年)は計算複雑性理論に影響する。
グレゴリー・チャイティンはアルゴリズム情報理論における決定不能命題を発見し、その状況下で新たな不完全性定理を得た。チャイティンの定理によると、十分な算術を表現可能ないかなる理論においても、どのような数であっても c よりも大きなコルモゴロフ複雑性を有することがその理論上では証明できないような、上限 c が存在する。ゲーデルの定理が嘘つきのパラドックスと関係しているのに対し、チャイティンの結果はベリーのパラドックスに関係している。
第1不完全性定理はロビンソン算術を含んでいれば十分である。またω無矛盾性の仮定は単なる無矛盾性の仮定に弱められる(後述)。第2不完全性定理はロビンソン算術にΣ1論理式に対する数学的帰納法の公理図式を追加した体系(I\Sigma_1)を含んでいれば十分である。ペアノ算術はこれを含むから、ペアノ算術を含む理論は第2不完全性定理の適用範囲である。
ゲーデルの定理は無矛盾な理論についてのみ適用できる。一階論理では、ex falso quodlibet (en) により、矛盾した理論 T はその言語上の如何なる式であれ証明できてしまい、その中には「T は無矛盾である」と主張する式も含まれる。
ゲーデルの定理が成り立つのは、あくまで定理が必要としている仮定を満足するような形式的体系に限られる。全ての公理系がこれらの仮定を満たす訳ではなく、中には自然数論の標準モデルを部分構造として持つようなモデルを持っていてもなお仮定を満たさないような公理系もある。例えば、ユークリッド幾何学の一階公理化理論、実閉体の理論、乗算が全域で可能なことを証明できないような算術理論、これらは何れもゲーデルの定理に必要な仮定を満たさない。要点は、これらの公理系では自然数の集合を定義することや自然数の基本的な性質を証明することができないことにある。三つ目の例に関して Dan E. Willard は第二不完全性定理に必要な仮定を満たさないような様々な弱い算術理論を調べた(例えば Willard 2001)。
ゲーデルの定理は実効的に生成された(即ち帰納的可算な)理論についてのみ適用できる。自然数に関する真である文を全て公理とするような理論を考えれば、この理論は無矛盾かつ完全であり、かつペアノ算術を含んでいる。これはゲーデルの定理と矛盾しない。何故ならこの理論は帰納的可算ではないからである訳注:この場合の「帰納的可算」とは、すべての定理のゲーデル数を枚挙する計算可能関数が存在する(実効的に枚挙可能)ことを意味する。クレイグのトリックによれば、このことは定理集合が帰納的な公理系から生成される(演繹閉包である)ことと同値である。。
第二不完全性定理が示すのは、ある公理系の無矛盾性はその公理系自身では証明できないということであって、他の無矛盾な公理系からも証明できないとは言っていない。例えば、ペアノ算術の無矛盾性はZFCから証明できるし、算術の理論にε0までの超限帰納法を加えて得られたゲンツェンによる無矛盾性の証明もある。
不完全性定理が成立しない例としてはユークリッド幾何学、プレスバーガー算術、実閉体と代数的閉体の理論におけるタルスキの定理などがある。
不完全性定理は「『帰納的公理化可能な自然数論を含む理論が、無矛盾(ω無矛盾)であれば』~」という形の定理である。したがって、帰納的公理化可能であっても自然数論を含まない公理系や、帰納的公理化可能でない理論が完全であっても、不完全性定理とは矛盾しない。
真の算術やペアノ算術の無矛盾完全拡大などは無矛盾かつ完全であるが、帰納的公理化可能でない。とくに真の算術は算術的に定義不能である。この結果はタルスキの真理定義不可能性として知られる。
プレスバーガー算術は帰納的公理化可能、無矛盾かつ完全である。プレスバーガー算術は加法しか含まない公理系であり、ゲーデル数によるコード化のテクニックを扱えない。そのため、不完全性定理は適用できない。また、実閉体の理論やユークリッド幾何学も帰納的公理化可能、無矛盾かつ完全であり、(直観に反して)算術を含まないため、不完全性定理は適用できない。したがって実閉体の理論は(計算可能性の意味で)決定可能である。もっと精密にいうと実閉体の理論では量化記号消去が可能である。この事実は数式処理系の実装などに応用されている。
なお、群や環の公理などは、「帰納的公理化可能だが自然数論を含まない無矛盾な公理系」であり、不完全性定理は適用できないが、不完全である。例えば、可換群と非可換群がともに存在することから、健全性定理より、群の公理からは積の可換性は証明も反証もできない。
フランセーンによれば、数学者ダヴィット・ヒルベルトは「数学に“イグノラビムス(ignorabimus, 永遠に知られないこと)"はない」と述べた。数学上に不可知は無く、全ての問題は最終的に解決されるというヒルベルトのこの見方は、「ノン・イグノラビムス」として知られている。ゲーデルの不完全性定理は、「決してこのヒルベルトの楽天的な見方を否定するものではない」とされている。何故なら、不完全性定理によって否定されたものとは単に、「ノン・イグノラビムス」へ到達する手段の一つとしてヒルベルトが提案したもの ―― すなわち、「すべての数学の問題が解けるような単一の形式体系」 ―― であり、「ノン・イグノラビムス」自体は否定されていないからである。
実際ゲーデル自身は以下のような、「ノン・イグノラビムス」的なヒルベルト流の見解を持っていた。
「あらゆる算術の問題をその中で解決する単一の形式体系を定めることは不可能であっても、
新しい公理や推論規則による数学の拡張が限りなく続いていくなかで、どんな算術の問題もいずれどこかで決定されるという可能性は排除されていない。」
こうした見解に基づき、ゲーデルは現代数学を拡張する手段として「巨大基数公理」を提案した。哲学等において「不完全性定理がヒルベルトのプログラムを破壊した」という類の発言がよくあるが、これは実際の不完全性定理やゲーデルの見解とは異なる。正確に言えば、ヒルベルトの目的(数学の「無矛盾性証明」)を実現するには手段(ヒルベルト・プログラム)を拡張する必要がある、ということをゲーデルが不完全性定理を通して示したのだった。
菊池誠の『不完全性定理』によるとヒルベルトは、「ゲーデルの結果により証明論が実行不可能となったという見解は間違いであり,それは有限の立場の拡張が必要であることが判明しただけだ」と述べている。ゲーデルも不完全性定理の論文の中で、この定理とヒルベルト・プログラムとの関係を取り上げて、不完全性定理は「Hilbertヒルベルトの形式主義的な視点とまったく矛盾しない」、と注意を書いている。
日本数学会が編集した『岩波 数学辞典』第4版では、不完全性定理について次の通り記述されている。
「ゲーデルも書いているように,有限の立場は特定の演繹体系として規定されるものではないから,彼の結果はヒルベルトの企図を直接否定するものではなく,実際この定理の発見後に無矛盾性証明のための様々な方法論が開発されている.」
述語論理式を自然数論の体系内に構成し、証明を形式的に進めるために、ゲーデルはゲーデル数化という操作を導入した。自由変数、論理式、証明図などを自然数でコード化し証明可能、反証可能などの概念を数論的関数として表現する。このように、論理式や証明を数学的に表現して数学内に埋め込む上記の手法は、数学そのものを分析する「超数学(メタ数学)」を、分析すべき数学の中に写像する技法の先駆けであり、その後数学基礎論や理論計算機科学でよく用いられるようになる。
第一不完全性定理の拡張として、証明の定義に、命題の証明より小さな、否定命題の証明が存在しないという性質を追加した上で、前提のω無矛盾性を無矛盾性に弱めた定理がジョン・バークリー・ロッサー (1936年) によって示された。この事実はω矛盾した算術理論を考える場合などにおいて重要となる。なお算術を内包する真である体系(自然数の標準モデルで真である公理に基づく体系)はω無矛盾なので、第1不完全性定理は原型のままでも適用できる。今日ではこちらの無矛盾性のみを仮定する強い定理もゲーデルの不完全性定理と呼ばれるが、単にロッサーの定理、ゲーデル・ロッサーの定理などと呼ばれることもある。
第二不完全性定理に関しては、ゲーデルによる証明の定義に代えて、ロッサーによる上記の証明の定義を用いれば、体系自身の無矛盾性が証明できることが、クライゼル (1960) によって指摘されている。2つの証明の定義の同値性は体系内では証明できないため、第2不完全性定理とは矛盾しない。
レオン・ヘンキンは、対角化により「Hは証明できる」と同値となる命題H(ヘンキン文)を構成し、その証明可能性に関する問題を1952年に提起した。この問題は3年後の1955年に、マーティン・レープによって解かれた。彼は、「Hの証明が存在すればHである」が証明可能であれば、Hもまた証明可能であることを示した(レープの定理)。Hに矛盾を代入すれば、レープの定理から第二不完全性定理が示せる。
不完全性定理は他の論理構造と同じく抽象代数による簡易な表現が可能である。リンデンバウム代数を次のように定義する。
理論 T のリンデンバウム代数 T_L は,文に順序構造を入れたものである。
順序は、もし理論 T で A \Rightarrow B を証明できるならば A \ge B と定義される。
A と B の順序が等しいなら、A と B を同一視する。
T で無条件に証明可能な文 A は,この順序で最小元となり、T で \lnot A を証明できるとき、A はこの順序の最大元となる。よって最大元でも最小元でもないものは独立命題のみ。つまり不完全であるためにはリンデンバウム代数の位数は3以上であることが要請される。一方 B を,一階述語論理のリンデンバウム代数とすると、どんな理論のリンデンバウム代数 L についても,あるイデアル I \subseteq B が存在して、L=B/I と表される。よって T が生成するイデアル (T) が T が生み出す定理全体となる。このとき、理論 T のリンデンバウム代数は、剰余代数 B/(T) である。ここでロビンソン算術に対応する B の部分集合を Q とする。このとき、ゲーデルの第一不完全性定理は次のようにして表現される。
(Q) を含む再帰的可算素イデアル p \subset B は存在しない。
他に、ザリスキ位相や素スペクトルによる表現が知られている。
理学博士・数学基礎論研究者である菊池誠の『不完全性定理』によれば、数学史上で「数学の正しさと無矛盾性に対する確信が揺らいだことがかつて一度だけあった」。19世紀末~20世紀初めには、数学の中でいくつも逆理が発見され、数学の基礎についての「不安の時代」が発生した。そうして数学の無矛盾性や「そもそも定理や証明とは何なのか」といった哲学的な問いに対し、伝統的な哲学の手法ではなく数学の手法(形式主義)で答える試みがなされ、そこから数学の一分野「数学基礎論」が生まれた
数学基礎論と不完全性定理
…
数学の正しさには一分の隙もなく,数学では矛盾する二つの結論が導かれることは決して無いと昔から信じられている. … そもそも「信じられている」という言葉を使うことは不適切であり,不謹慎でさえあるかも知れない.
この数学の正しさと無矛盾性に対する確信が揺らいだことがかつて一度だけあった. … 19世紀末から20世紀初めにかけて数学の中で次々と逆理が発見された.正しさは数学の絶対的な規範であり,たとえ一ヵ所にでも亀裂が入れば数学の世界全体は粉々に砕けてしまう.  …