常用対数
常用対数(じょうようたいすう、common logarithm)あるいはブリッグスの対数(Briggsian logarithm)は 10 を底とする対数のことである。
任意の正の数 x に対し、x = 10a により定められる実数 a を、10 を底 (base) とする x の常用対数 (common logarithm) といい、記号 log10 x で表す。つまり、
となる。このとき、x を真数 (antilogarithm) という(用語などの詳細
は、おおもとの対数の項を参照されたい)。
数学者ヘンリー・ブリッグスが、ネイピアの対数を発案したジョン・ネイピアと議論をして、この定義のような改良を提案し常用対数表を作成したことによりブリッグスの対数とも呼ばれる。
例えば、log10 100 = 2, log10 1000 = 3, log10 2 ≒ 0.3010, log10 3 ≒ 0.4771 である。ある常用対数(例えば log10 200 ≒ 2.3010)の整数部分 (2) をその常用対数の指標または標数 (characteristic)、小数部分 (0.301) を仮数 (mantissa) と言う。
マグニチュード、水素イオン指数、デシベルのように、科学的な調査における測定値の対数的な性質を調べる場合に用いられている事が多い。
ほとんどの場合に常用対数しか使わず、誤解の無い分野や文献では、底である 10 はしばしば省略を受け、単に log x と書かれる。ISO 80000-2はlg xという記法を推奨している(その他の底に関する略記に関しては、対数の項を参照)。
常用対数の値は、その真数の十進法表示の桁数の目安になる。実際、x が自然数のとき、x の桁数は、log x の整数部分 ⌊log x⌋ に 1 を足した数に等しい(⌊ ⌋ は床関数)。すなわち、n − 1 ≦ log x  < n(n は自然数)の時、x は n 桁の自然数であると断定できる。また、0 < x < 1 の実数のとき、x の小数首位(小数点以下に最初に現れる、0 でない桁)は、−⌊log x⌋ で与えられる。
底の変換公式 loga x logb a = logb x を用いれば、常用対数の値は同じ真数に対する自然対数の log10 e ≒ 0.43 倍となることがわかる。
常用対数のもっとも身近な例のひとつが、化学で使われる水素イオン指数である。これは次のように定義されている。
\mathrm{pH} =-\log_{10} \frac{[\mathrm{H}^+]}{\mathrm{mol/L}.
任意の正の数 x は、x = a × 10s (1 ≦ a < 10, s は整数)の形で表せる。したがって、任意の真数 x に対する常用対数 log10 x の値を知りたいときには、log10 x = s + log10 a より、真数が 1 以上 10 未満のときの値から算出することができる。
下記の常用対数表は、左の列に真数の小数第1位までが、上の行に真数の小数第2位が書かれている。例えば、log10 1.23 の値は、1.2 の行と 3 の列を読むことより、約 0.0899 とわかる。
<pre>
数   0     1     2     3     4     5     6     7     8     9
1.0 .0000 .0043 .0086 .0128 .0170 .0212 .0253 .0294 .0334 .0374
1.1 .0414 .0453 .0492 .0531 .0569 .0607 .0645 .0682 .0719 .0755
1.2 .0792 .0828 .0864 .0899 .0934 .0969 .1004 .1038 .1072 .1106
1.3 .1139 .1173 .1206 .1239 .1271 .1303 .1335 .1367 .1399 .1430
1.4 .1461 .1492 .1523 .1553 .1584 .1614 .1644 .1673 .1703 .1732
1.5 .1761 .1790 .1818 .1847 .1875 .1903 .1931 .1959 .1987 .2014
1.6 .2041 .2068 .2095 .2122 .2148 .2175 .2201 .2227 .2253 .2279
1.7 .2304 .2330 .2355 .2380 .2405 .2430 .2455 .2480 .2504 .2529
1.8 .2553 .2577 .2601 .2625 .2648 .2672 .2695 .2718 .2742 .2765
1.9 .2788 .2810 .2833 .2856 .2878 .2900 .2923 .2945 .2967 .2989
2.0 .3010 .3032 .3054 .3075 .3096 .3118 .3139 .3160 .3181 .3201
2.1 .3222 .3243 .3263 .3284 .3304 .3324 .3345 .3365 .3385 .3404
2.2 .3424 .3444 .3464 .3483 .3502 .3522 .3541 .3560 .3579 .3598
2.3 .3617 .3636 .3655 .3674 .3692 .3711 .3729 .3747 .3766 .3784
2.4 .3802 .3820 .3838 .3856 .3874 .3892 .3909 .3927 .3945 .3962
2.5 .3979 .3997 .4014 .4031 .4048 .4065 .4082 .4099 .4116 .4133
2.6 .4150 .4166 .4183 .4200 .4216 .4232 .4249 .4265 .4281 .4298
2.7 .4314 .4330 .4346 .4362 .4378 .4393 .4409 .4425 .4440 .4456
2.8 .4472 .4487 .4502 .4518 .4533 .4548 .4564 .4579 .4594 .4609
2.9 .4624 .4639 .4654 .4669 .4683 .4698 .4713 .4728 .4742 .4757
3.0 .4771 .4786 .4800 .4814 .4829 .4843 .4857 .4871 .4886 .4900
3.1 .4914 .4928 .4942 .4955 .4969 .4983 .4997 .5011 .5024 .5038
3.2 .5051 .5065 .5079 .5092 .5105 .5119 .5132 .5145 .5159 .5172
3.3 .5185 .5198 .5211 .5224 .5237 .5250 .5263 .5276 .5289 .5302
3.4 .5315 .5328 .5340 .5353 .5366 .5378 .5391 .5403 .5416 .5428
3.5 .5441 .5453 .5465 .5478 .5490 .5502 .5514 .5527 .5539 .5551
3.6 .5563 .5575 .5587 .5599 .5611 .5623 .5635 .5647 .5658 .5670
3.7 .5682 .5694 .5705 .5717 .5729 .5740 .5752 .5763 .5775 .5786
3.8 .5798 .5809 .5821 .5832 .5843 .5855 .5866 .5877 .5888 .5899
3.9 .5911 .5922 .5933 .5944 .5955 .5966 .5977 .5988 .5999 .6010
4.0 .6021 .6031 .6042 .6053 .6064 .6075 .6085 .6096 .6107 .6117
4.1 .6128 .6138 .6149 .6160 .6170 .6180 .6191 .6201 .6212 .6222
4.2 .6232 .6243 .6253 .6263 .6274 .6284 .6294 .6304 .6314 .6325
4.3 .6335 .6345 .6355 .6365 .6375 .6385 .6395 .6405 .6415 .6425
4.4 .6435 .6444 .6454 .6464 .6474 .6484 .6493 .6503 .6513 .6522
4.5 .6532 .6542 .6551 .6561 .6571 .6580 .6590 .6599 .6609 .6618
4.6 .6628 .6637 .6646 .6656 .6665 .6675 .6684 .6693 .6702 .6712
4.7 .6721 .6730 .6739 .6749 .6758 .6767 .6776 .6785 .6794 .6803
4.8 .6812 .6821 .6830 .6839 .6848 .6857 .6866 .6875 .6884 .6893
4.9 .6902 .6911 .6920 .6928 .6937 .6946 .6955 .6964 .6972 .6981
5.0 .6990 .6998 .7007 .7016 .7024 .7033 .7042 .7050 .7059 .7067
5.1 .7076 .7084 .7093 .7101 .7110 .7118 .7126 .7135 .7143 .7152
5.2 .7160 .7168 .7177 .7185 .7193 .7202 .7210 .7218 .7226 .7235
5.3 .7243 .7251 .7259 .7267 .7275 .7284 .7292 .7300 .7308 .7316
5.4 .7324 .7332 .7340 .7348 .7356 .7364 .7372 .7380 .7388 .7396
5.5 .7404 .7412 .7419 .7427 .7435 .7443 .7451 .7459 .7466 .7474
5.6 .7482 .7490 .7497 .7505 .7513 .7520 .7528 .7536 .7543 .7551
5.7 .7559 .7566 .7574 .7582 .7589 .7597 .7604 .7612 .7619 .7627
5.8 .7634 .7642 .7649 .7657 .7664 .7672 .7679 .7686 .7694 .7701
5.9 .7709 .7716 .7723 .7731 .7738 .7745 .7752 .7760 .7767 .7774
6.0 .7782 .7789 .7796 .7803 .7810 .7818 .7825 .7832 .7839 .7846
6.1 .7853 .7860 .7868 .7875 .7882 .7889 .7896 .7903 .7910 .7917
6.2 .7924 .7931 .7938 .7945 .7952 .7959 .7966 .7973 .7980 .7987
6.3 .7993 .8000 .8007 .8014 .8021 .8028 .8035 .8041 .8048 .8055
6.4 .8062 .8069 .8075 .8082 .8089 .8096 .8102 .8109 .8116 .8122
6.5 .8129 .8136 .8142 .8149 .8156 .8162 .8169 .8176 .8182 .8189
6.6 .8195 .8202 .8209 .8215 .8222 .8228 .8235 .8241 .8248 .8254
6.7 .8261 .8267 .8274 .8280 .8287 .8293 .8299 .8306 .8312 .8319
6.8 .8325 .8331 .8338 .8344 .8351 .8357 .8363 .8370 .8376 .8382
6.9 .8388 .8395 .8401 .8407 .8414 .8420 .8426 .8432 .8439 .8445
7.0 .8451 .8457 .8463 .8470 .8476 .8482 .8488 .8494 .8500 .8506
7.1 .8513 .8519 .8525 .8531 .8537 .8543 .8549 .8555 .8561 .8567
7.2 .8573 .8579 .8585 .8591 .8597 .8603 .8609 .8615 .8621 .8627
7.3 .8633 .8639 .8645 .8651 .8657 .8663 .8669 .8675 .8681 .8686
7.4 .8692 .8698 .8704 .8710 .8716 .8722 .8727 .8733 .8739 .8745
7.5 .8751 .8756 .8762 .8768 .8774 .8779 .8785 .8791 .8797 .8802
7.6 .8808 .8814 .8820 .8825 .8831 .8837 .8842 .8848 .8854 .8859
7.7 .8865 .8871 .8876 .8882 .8887 .8893 .8899 .8904 .8910 .8915
7.8 .8921 .8927 .8932 .8938 .8943 .8949 .8954 .8960 .8965 .8971
7.9 .8976 .8982 .8987 .8993 .8998 .9004 .9009 .9015 .9020 .9025
8.0 .9031 .9036 .9042 .9047 .9053 .9058 .9063 .9069 .9074 .9079
8.1 .9085 .9090 .9096 .9101 .9106 .9112 .9117 .9122 .9128 .9133
8.2 .9138 .9143 .9149 .9154 .9159 .9165 .9170 .9175 .9180 .9186
8.3 .9191 .9196 .9201 .9206 .9212 .9217 .9222 .9227 .9232 .9238
8.4 .9243 .9248 .9253 .9258 .9263 .9269 .9274 .9279 .9284 .9289
8.5 .9294 .9299 .9304 .9309 .9315 .9320 .9325 .9330 .9335 .9340
8.6 .9345 .9350 .9355 .9360 .9365 .9370 .9375 .9380 .9385 .9390
8.7 .9395 .9400 .9405 .9410 .9415 .9420 .9425 .9430 .9435 .9440
8.8 .9445 .9450 .9455 .9460 .9465 .9469 .9474 .9479 .9484 .9489
8.9 .9494 .9499 .9504 .9509 .9513 .9518 .9523 .9528 .9533 .9538
9.0 .9542 .9547 .9552 .9557 .9562 .9566 .9571 .9576 .9581 .9586
9.1 .9590 .9595 .9600 .9605 .9609 .9614 .9619 .9624 .9628 .9633
9.2 .9638 .9643 .9647 .9652 .9657 .9661 .9666 .9671 .9675 .9680
9.3 .9685 .9689 .9694 .9699 .9703 .9708 .9713 .9717 .9722 .9727
9.4 .9731 .9736 .9741 .9745 .9750 .9754 .9759 .9763 .9768 .9773
9.5 .9777 .9782 .9786 .9791 .9795 .9800 .9805 .9809 .9814 .9818
9.6 .9823 .9827 .9832 .9836 .9841 .9845 .9850 .9854 .9859 .9863
9.7 .9868 .9872 .9877 .9881 .9886 .9890 .9894 .9899 .9903 .9908
9.8 .9912 .9917 .9921 .9926 .9930 .9934 .9939 .9943 .9948 .9952
9.9 .9956 .9961 .9965 .9969 .9974 .9978 .9983 .9987 .9991 .9996
</pre>
常用対数を利用して、非常に大きい数や非常に小さい数の位を求めることができる。例えば、x が自然数の場合、x の桁数を n (n = ⌊log10 x⌋ + 1) とすると、x の最高位の数字 a (a = 1~9) は
で与えられる。それを知るには、
を用いればよい。これを用いて、例えば log10 5 = 1 − log10 2 などにより、1桁 (1~9) の常用対数の概数が求まる。
10 の冪およびその逆数(…, 0.01, 0.1, 1, 10, 100, …)でない有理数の常用対数は無理数である(無理数の中でも超越数に分類される)。したがって、常用対数表に現れる数値は log10 1.00 = 0.0000 以外すべて無理数であり、たとえば上記の表は小数第5位で四捨五入されている。