三十七角形
三十七角形(さんじゅうしちかくけい、さんじゅうななかっけい、triacontaheptagon)は、多角形の一つで、37本の辺と37個の頂点を持つ図形である。内角の和は6300°、対角線の本数は629本である。
正三十七角形においては、中心角と外角は9.729…°で、内角は170.27…°となる。一辺の長さが a の正三十七角形の面積 S は
S = \frac{37}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{37} \simeq 108.67963 a^2
\cos (2\pi/37)を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式→三次方程式(2つ)→二次方程式と解く必要がある。
以下には、中間結果(三次方程式を1回解いた際の関係式)を示す。
\begin{align}
\lambda_1=&2\cos\frac{2\pi}{37}+2\cos\frac{12\pi}{37}+2\cos\frac{16\pi}{37}+2\cos\frac{20\pi}{37}+2\cos\frac{22\pi}{37}+2\cos\frac{28\pi}{37} =-\frac13+\frac{\sqrt{37}3 \sqrt[3]{\frac {-11+3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}  \omega^2+\frac{\sqrt{37}3 \sqrt[3]{\frac {-11-3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}  \omega \\
\lambda_2=&2\cos\frac{4\pi}{37}+2\cos\frac{18\pi}{37}+2\cos\frac{24\pi}{37}+2\cos\frac{30\pi}{37}+2\cos\frac{32\pi}{37}+2\cos\frac{34\pi}{37} =-\frac13+\frac{\sqrt{37}3 \sqrt[3]{\frac {-11+3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}} \omega+\frac{\sqrt{37}3 \sqrt[3]{\frac {-11-3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}} \omega^2 \\
\lambda_3=&2\cos\frac{6\pi}{37}+2\cos\frac{8\pi}{37}+2\cos\frac{10\pi}{37}+2\cos\frac{14\pi}{37}+2\cos\frac{26\pi}{37}+2\cos\frac{36\pi}{37} =-\frac13+\frac{\sqrt{37}3 \sqrt[3]{\frac {-11+3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}+\frac{\sqrt{37}3 \sqrt[3]{\frac {-11-3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}} \\
\end{align}
各式を3つの組に分ける。\cos\frac{k\pi}{37}と\cos\frac{2^9k\pi}{37} \left (= \cos\frac{-6k\pi}{37} \right)
\begin{align}
\lambda_1=& \left( 2\cos\frac{2\pi}{37}+2\cos\frac{12\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{20\pi}{37}+2\cos\frac{28\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{16\pi}{37}+2\cos\frac{22\pi}{37} \right)
=u_1+u_2+u_3 \\
\lambda_2=& \left( 2\cos\frac{4\pi}{37}+2\cos\frac{24\pi}{37} \right)  + \left( 2\cos\frac{30\pi}{37}+2\cos\frac{32\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{18\pi}{37}+2\cos\frac{34\pi}{37} \right)=v_1+v_2+v_3 \\
\lambda_3=& \left( 2\cos\frac{10\pi}{37}+2\cos\frac{14\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{6\pi}{37}+2\cos\frac{36\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{8\pi}{37}+2\cos\frac{26\pi}{37} \right)  =w_1+w_2+w_3 \\
\end{align}
和積公式で変形する。また、\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta  の関係を使って変形する。
\begin{align}
\lambda_1=& \left( 2\cos\frac{30\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{32\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{4\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{24\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{18\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{34\pi}{37} \right) =u_1+u_2+u_3 \\
\lambda_2=& \left( 2\cos\frac{10\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{14\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{6\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{36\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{8\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{26\pi}{37} \right) =v_1+v_2+v_3 \\
\lambda_3=& \left( 2\cos\frac{2\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{12\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{16\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{22\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{20\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{28\pi}{37} \right) =w_1+w_2+w_3 \\
\end{align}
\cos\frac{2\pi}{37}=\frac{u_1+\sqrt{u_1^2-4w_1}{4}
ここで、u_1, w_1は以下の三次方程式の解である。
u^3-\lambda_1u^2+(\lambda_2-1)u+(\lambda_1-2)=0
w^3-\lambda_3w^2+(\lambda_1-1)w+(\lambda_3-2)=0
三角関数、逆三角関数を用いた解は
u_1= \frac{\lambda_1}{3} + \frac{2\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2}{3} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos \frac{111-4\lambda_1-9\lambda_2}{62\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2} \right)
w_1= \frac{\lambda_3}{3} + \frac{2\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1}{3} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos \frac{111-4\lambda_3-9\lambda_1}{62\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1} \right)
平方根、立方根で表すと
\begin{align}
u_1= \frac{\lambda_1}{3} + \frac{2\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2}{3} \sqrt[3]{ \frac{111-4\lambda_1-9\lambda_2}{62\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2} + i\frac{\sqrt{27(1092-253\lambda_1-205\lambda_2)}{62\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2} } \\
+ \frac{2\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2}{3} \sqrt[3]{ \frac{111-4\lambda_1-9\lambda_2}{62\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2} - i\frac{\sqrt{27(1092-253\lambda_1-205\lambda_2)}{62\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2} }
\end{align}
\begin{align}
w_1= \frac{\lambda_3}{3} + \frac{2\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1}{3} \sqrt[3]{ \frac{111-4\lambda_3-9\lambda_1}{62\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1} + i\frac{\sqrt{27(1092-253\lambda_3-205\lambda_1)}{62\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1} } \\
+ \frac{2\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1}{3} \sqrt[3]{ \frac{111-4\lambda_3-9\lambda_1}{62\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1} - i\frac{\sqrt{27(1092-253\lambda_3-205\lambda_1)}{62\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1} }
\end{align}
正三十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正三十七角形は折紙により作図可能である。