平方完成
平方完成(へいほうかんせい、completing the square)とは、二次式(二次関数)を式変形して a(x-h )^2 の形を作り、一次の項を見かけ上なくすことである。この式変形は全ての二次式に可能で、一意に決まる。
ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k \quad (a \neq 0)
x-h の h を除けば、つまり x-h=t と変換すれば
a t^2 +k
の形に帰着される。このことより、以下のことが導出できる:
二次方程式の解を求める(→二次方程式の解の公式)
微分積分学で、冪指数に一次の項を含むガウス積分の計算
また、平方完成の考え方を応用して解く手法も見られる(#類似の手法)。
二次式 ax^2 + bx + c \ (a \neq 0) において、一次の項「+ \; \! \; \! bx」があるのとないのでは、応用上の取り扱いが大きく異なる。
変数 x が x-h の形になる代わりに一次の項がなくなれば、h の違いだけで済むことができる。
ここでは、二次の係数(最高次係数)が 1 の場合とそうでない場合に分けてみる。
二次の係数(最高次係数)が 1 の場合
x^2 + bx + c
の一次の項「+ \; \! \; \! bx」をなくして x^2 を (x-h )^2 の形にする。
(x-h )^2 = x^2 -2hx + h^2
より、一次の係数を比較すると
b = -2h
h=-\frac{b}{2}
これにより、x2 + bx + c の平方完成は次の式になる:
x^2 + bx + c = \left( x+ \frac{b}{2} \right)^2 - \frac{b^2}{4} + c
二次の係数(最高次係数)が 1 でない場合
ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)
の一次の項「+ \; \! \; \! bx」をなくして x を x-h にする。
二次の係数が 1 の場合で得られた等式
x^2 + bx = \left( x+ \frac{b}{2} \right)^2 - \frac{b^2}{4}
を利用する。
\begin{align}
ax^2 + bx + c &= a \left( x^2 + \frac{b}{a} x \right)+c \\
&= a \left\{ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right\} +c \\
&= a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} +c \\
&= a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 -4ac}{4a}
\end{align}
つまり、一次以上の項を二次の係数 a で括ることにより、二次の係数が 1 の場合を利用している。
1変数の二次式の平方完成を踏まえて、一般の n 変数二次式に対しても、平方完成ができる。例えば二変数なら
a x^2 +bxy + cy^2 +dx+ey+f \quad (abc \neq 0)
である。これは二次形式
\begin{pmatrix}
x &y
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a            &\frac{b}{2} \\
\frac{b}{2} &c
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
x &y
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
d \\
\end{pmatrix} +f \quad (abc \neq 0)
の形で書ける。
一般の n 変数二次式は、A を対称行列として
{}^t x Ax + {}^t x b + c = {}^t (x-h) A(x-h) + k \quad \left( h = -\frac{1}{2} A^{-1}b, \quad k = c - \frac{1}{4} {}^t b A^{-1} b \right)
で書ける。
A が対称でないときは h と k の式が
h = -(A + {}^t A )^{-1} b, \quad k = c - {}^t h Ah = c - {}^t b \, (A + {}^t A )^{-1} A \, (A + {}^t A )^{-1} b
とやや一般になるが同じ式で書ける。
x^2 + bx = a
を平方完成により解くことを考える。この過程を、面積図で表すと次のようになる。
x2 は一辺が x の正方形の面積、bx は縦横が b, x の長方形の面積に等しい。面積 bx の長方形を2等分割して、長さ x の辺で正方形と貼り合わせる。すると、正方形の角が欠けた形になる。
欠けている角に一辺が b の正方形を補うと、全体が正方形になる。したがって、両辺に (b)2 を加えると、平方 (x + b)2 が完成する。
平方完成とは、u2 + 2uv の形の式に第三項 v2 を加えて完全平方式を作る操作である。u2 + v2 が先に与えられていても、中間項 2uv または −2uv を加えることにより完全平方式を得ることができる。
正の実数 x に対して、自身とその逆数の和は
\begin{align}
x + \frac{1}{x} &= \left(x - 2 + \frac{1}{x} \right) + 2 \\[5pt]
&= \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x} \right)^2 + 2
\end{align}
このように平方完成すると、正の数とその逆数の和は常に 2 以上であることが示される。
x^4 + 324
を因数分解することを考える。この式は (x^2)^2 + 18^2 と見ることができるから、中間項 2(x2)(18)  36x2 を考え、
\begin{align}
x^4 + 324 &= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2 \\
&= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 \\
&= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\
&= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)
\end{align}
と因数分解できる。
二次関数 y=ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) の xy-座標平面におけるグラフは、平方完成することによりその様子がよく分かる。
関数式 ax^2 + bx + c を平方完成して
y = a(x-h)^2 + k
これのグラフは、放物線 y = ax^2 を x軸方向に h、y軸方向に k 平行移動したものであると分かる。特に、頂点 (曲線)(停留点)があり、その座標は
(h, k)
であることが分かる。軸の方程式は
x=h
である。
a > 0 の場合、x  h で最小値 k をとる。
a < 0 の場合、x  h で最大値 k をとる。
\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}
の被積分関数に平方完成を適用すれば、より基本的な積分
\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| +C
\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} +C
に帰着できる(Cは積分定数)。
z を複素数とするとき、
|z|^2 - b^* z - bz^* + c
(b は複素数、c は実数)
(z*, b* はそれぞれ z, b の複素共役)
は常に実数である。このことは、複素数に対する恒等式 u2  uu* を用いて、式を以下のように変形すると分かる:
\begin{align}
|z|^2 - b^* z - bz^* + c &= zz^* - b^* z - bz^* + bb^* - bb^* + c \\
&= z( z^* - b^* ) - b(z^* - b^* ) - |b|^2 + c \\
&= (z-b)(z^* -b^* ) - |b|^2 + c \\
&= (z-b)(z-b)^* - |b|^2 + c \\
&= |z-b|^2 - |b|^2 + c
\end{align}
別の例として、a, b, x, y を実数とするとき、
ax^2 + by^2
は、a > 0, b > 0 のとき、複素数の絶対値の平方を用いて書くことができる。実際に、z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y と置けば
\begin{align}
|z|^2 &= z z^* \\
&= (\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y)(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y) \\
&= ax^2 + by^2
\end{align}
となる。
正方行列 M が冪等とは M2  M が成り立つことである。
M = \begin{pmatrix}
a & b \\
b & 1-a
\end{pmatrix}
は、a^2 + b^2 = a ならば冪等行列である。平方完成により
(a - \tfrac{1}{2})^2 + b^2 = \tfrac{1}{4}
M が実行列なら、これは ab-平面において中心 (1, 0)、半径 1 の円の方程式である。角度 θ を用いて書けば、
M = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 - \cos \theta &\sin\theta \\
\sin \theta     &1 + \cos \theta
\end{pmatrix}
と媒介変数表示できる。