ヒルベルト空間
\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v = \int_\Omega gv
を満たすような関数 u を求めることからなる。これは、u およびその弱偏導関数がともに境界上で消えている Ω 上の自乗可積分関数となるような関数 u からなるヒルベルト空間 H1(Ω) の言葉で書き直すことができて、問題はこの空間 H1(Ω) の任意の元 v に対して
a(u,v) = b(v)
を満たすような u を空間 H1(Ω) の中で求めることに帰着される。ただし、a および b はそれぞれ
a(u,v) = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v,\quad b(v)= \int_\Omega gv
で与えられる連続な双線型形式および連続な線型汎関数である。ポアソン方程式は楕円型だから、ポアンカレの不等式から双線型形式 a が強圧的関数であることが従う。故に、ラックス・ミルグラムの定理は、この方程式の解の存在と一意性を保証する。
多くの楕円型偏微分方程式に対して同様のやり方でヒルベルト空間による定式化ができるので、それ故にラックス・ミルグラムの定理はそれらの解析における基本的な道具となる。同様の方法は抛物型偏微分方程式やある種の双曲型偏微分方程式に対しても、適当な修正を施せば通用する。
エルゴード理論の分野では、カオス力学系の長期的振る舞いを研究する。エルゴード理論が有効な原型的な場合というのは、熱力学における系である。この系の微視的な状態は(微粒子の間の個々の衝突の集まりとしては理解できないという意味で)極めて複雑であるにも拘らず、十分長期間にわたるその平均的振る舞いは素直であり、熱力学の法則が主張するのはこのような平均的挙動である。特に、熱力学の第0法則は「十分長い時間スケールを経れば平衡状態にある熱力学系の、その機能的に独立な測度は、温度の形でのその全エネルギーのみである」などと定式化できる。
エルゴート力学系は、(ハミルトニアンで測られる)エネルギーを除けば、相空間上の機能的に独立な保存量を持たないような系である。詳しく述べれば、エネルギー E を固定して、ΩE をエネルギーが E となる状態すべてからなる相空間の部分集合(エネルギー面)とし、Tt で相空間上の発展演算子を表せば、力学系がエルゴードとなるのは、ΩE 上の定数でない連続関数で、ΩE の任意の w と任意の時間 t において
f(T_tw) = f(w)
を満たすものがない場合に限る。リウヴィルの定理によれば、エネルギー面上の測度 μ で時間並進不変なものが存在する。結果として時間並進は、エネルギー面 ΩE 上の自乗可積分関数に内積を
\langle f,g\rangle_{L^2(\Omega_E,\mu)} = \int_E f\bar{g}\,d\mu
で入れたヒルベルト空間 L2(ΩE,μ) のユニタリ変換になる。
フォンノイマンの平均エルゴード定理の主張は次のようなものである。
Ut がヒルベルト空間 H 上のユニタリ作用素からなる(強連続)一径数半群で、P を Ut の同時不動点全体の成す集合{x∈H | Utx = x for all t > 0} の上への直交射影とすると
Px = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^TU_tx\,dt
が成り立つ。
エルゴード系では、時間発展の固定集合は定数関数のみから成るので、先のエルゴード定理から任意の f ∈ L2(ΩE,μ) に対し
\underset{T\to\infty}{L^2\!\text{-}\!\lim{} \frac{1}{T}\int_0^T f(T_tw)\,dt = \int_{\Omega_E} f(y)\,d\mu(y)
となることが従う。つまり、観測可能な f の長期平均は、そのエネルギー面に亘ってとった期待値に等しい。
フーリエ解析の基本目的の一つは、関数を付随するフーリエ級数、即ち与えられた基底関数族の(必ずしも有限とは限らない)線型結合に分解することである。区間 [0, 1] 上の関数 f に付随する古典フーリエ級数とは
\sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{2\pi in\theta}\quad (a_n := \int_0^1f(\theta)e^{-2\pi in\theta}\,d\theta)
なる形の級数である。
鋸歯状波関数に対するフーリエ級数の最初の数項を足し上げた例を図に示す。鋸歯状波関数の波長を λ とすると、(基本波、つまり n = 1 を除いて)それよりも短い波長 λ/n(n は整数)をもつ正弦波が基底関数である。全ての基底関数が鋸歯状波の折れるところで交わり(結点)を持つが、基本波を除く全ての基底関数はそれ以外にも結点を持つ。鋸歯の周りでの基底関数の部分和の振動はギブズ現象と呼ばれるものである。
古典フーリエ級数論の特徴的な問題の一つに「関数 f のフーリエ級数がもとの関数に収束する(ことが仮にあったとする)ならば、それはどのような意味においての収束であるか」を問う問題がある。これに対して、ヒルベルト空間を用いた方法で答えを与えることができる。関数族 en(θ) := e2πinθ はヒルベルト空間 L2([0, 1]) の正規直交基底を成すから、それ故に任意の自乗可積分関数 f が
f(\theta) = \sum_n a_n e_n(\theta),\quad (a_n := \langle f,e_n\rangle)
なる級数の形で表せて、さらにこの級数は L2([0, 1]) の元として収束する(即ち、L2-収束、自乗平均収束)。
この問題を抽象的な観点からも見ることができる。任意のヒルベルト空間は正規直交基底を持ち、ヒルベルト空間の各元はそれら基底に属する元の定数倍の和として一意的に表すことができるが、この展開に現れる各基底元の係数のことをその元の抽象フーリエ係数と呼ぶことがある。このような抽象化は、L2([0,1]) などの空間で別の基底関数系を用いることがより自然であるようなときに、特に有用である。関数を三角関数系に分解することは不適当だが、例えば直交多項式系やウェーブレットおよび高次元において球面調和関数へ展開することが適当であるような状況はたくさんある。
例えば、en を L2[0,1] の任意の正規直交基底関数系とすると、与えられた L2[0,1] の関数は有限線型結合
f(x) \approx f_n (x) = a_1 e_1 (x) + a_2 e_2(x) + \cdots + a_n e_n (x)
で近似することができる。右辺の係数 {aj} は、差の大きさ ‖ƒ − ƒn‖2 をできるだけ小さくするように定める。幾何学的には、最適近似は {ej} の線型結合全体の成す部分空間の上への ƒ の直交射影であり、
a_j = \int_0^1 \overline{e_j(x)}f (x) \, dx
によって計算することができる。これが ‖ƒ − ƒn‖2 を最小化することはベッセルの不等式とパーセヴァルの公式からの帰結である。
種々の物理学的問題においては、関数を物理的に意味を持つ微分作用素(典型的なものはラプラス作用素)の固有関数系に分解することができ、微分作用素のスペクトルに関連して、関数のスペクトル研究の基礎を成している。物理学への具体的な応用として太鼓の形を聴く問題が挙げられる。これは「太鼓の皮が引き起こす基本振動モードを与えたとき、太鼓自身の形が推定できるか」というものである。この問題の数学的定式化は、平面上のラプラス作用素のディリクレ固有値に関わるものになる(これはヴァイオリンの弦の基本振動モードを表す整数の直接の対応物である)。
スペクトル論も関数のフーリエ変換のある種の側面を下支えしている。フーリエ解析ではコンパクト集合上定義された関数を(ヴァイオリンの弦や太鼓の皮の振動に対応する)ラプラス変換の離散スペクトルに分解するのに対して、関数のフーリエ変換はユークリド空間の全域で定義された関数をラプラス作用素の連続スペクトルに関する成分に分解する。フーリエ変換があるヒルベルト空間(「時間領域」)から別なヒルベルト空間(「周波数領域」)への等距変換であることを主張するプランシュレルの定理として、フーリエ変換は幾何学的な意味を持つ。このフーリエ変換の等距性は、例えば非可換調和解析に現れる球関数に対するプランシュレルの定理などが示すとおり、抽象的な調和解析では繰り返し登場する主題である。
ディラックとフォンノイマンによって発展した量子力学の数学的に厳密な定式化は、量子力学系の取りうる状態(より正確には純粋状態)が、状態空間と呼ばれる可分な複素ヒルベルト空間に属する単位ベクトル(状態ベクトルという)によって(位相因子と呼ばれるノルム 1 の複素数の違いを除いて)表現される。つまり、取りうる状態はあるヒルベルト空間の射影化(ふつうは複素射影空間と呼ばれる)の元である。このヒルベルト空間が実際にどのようなものになるかは系に依存する。例えば、一つの非相対論的スピン 0 粒子の位置と運動量の状態は自乗可積分関数全体の成す空間であり、いっぽう一つの陽子のスピンの状態はスピノルの成す二次元複素ヒルベルト空間の長さ 1 の元である。各可観測量は状態空間上に作用する自己随伴線型作用素として表現され、可観測量の固有状態はその作用素の固有ベクトルに、固有ベクトルに対応する固有値は固有状態にある可観測量の値にそれぞれ対応する。
量子状態の時間発展はシュレーディンガー方程式によって記述され、そこに現れるハミルトニアン(全エネルギーに対応する作用素)は時間発展を生み出す。
二つの状態ベクトルの間の内積は確率振幅として知られる複素数になる。量子力学系の理想的な測定の間で、系が与えられた初期状態から特定の固有状態に崩壊する確率は、初期状態から終期状態の間の確率振幅の絶対値の平方によって与えられる。測定の結果として可能なのは、作用素の固有値であり(これは自己随伴作用素のとり方を説明する)、全ての固有値は実数でなければならない。与えられた状態の可観測量の確率分布は対応する作用素のスペクトル分解を計算すれば求められる。
一般の系では、状態は典型的には純粋ではないが、密度行列(ヒルベルト空間上のトレース 1 の自己随伴作用素)で与えられる純粋状態の統計的混合(あるいは混合状態)として表される。さらに、一般の量子力学系では、単独の測定の効果は系のほかの部分に影響を及ぼしうるが、それは測度が正の作用素値測度で取り替えたものとして記述される。従って、一般論として状態と可観測量の両方の構造は、純粋状態の理想化したものより相当に複雑である。
ハイゼンベルクの不確定性原理は、ある種の可観測量に対応する作用素が互いに可換でなく、特定の形の交換子を与えるという主張として表される。
ヒルベルト空間 H の二つのベクトル u, v が直交するのは、⟨u, v⟩ = 0 のときである。このとき u ⊥ v と書く。更に一般に、H の部分集合 S に対して u ⊥ S と書けば、これは u が S の各元と直交することを意味する。
u と v とが直交するとき、等式
\|u + v\|^2 = \langle u + v, u + v \rangle = \langle u, u \rangle + 2 \, \mathrm{Re} \langle u, v \rangle + \langle v, v \rangle= \|u\|^2 + \|v\|^2
が成り立つ。これは個数 n に関する帰納法で拡張することができて、任意の互いに直交する n 本のベクトルの族
u1, …, un に対して
\|u_1 + \cdots + u_n\|^2 = \|u_1\|^2 + \cdots + \|u_n\|^2
が成り立つ。三平方の定理の主張は任意の内積空間で有効であるにも拘らず、この等式を級数(無限和)に対して拡張するには完備性を課さねばならない。互いに直交するベクトルからなる級数 ∑ uk が H において収束するための必要十分条件は、各項のノルムの平方からなる級数が収束し、かつ
\left\|\sum_{k=0}^\infty u_k \right\|^2 = \sum_{k=0}^\infty \|u_k\|^2
が満たされることである。更に言えば、互いに直交するベクトルからなる級数の和は、それらのベクトルの和をとる順番に依らずに定まる。
定義から、任意のヒルベルト空間はバナッハ空間であり、さらに中線定理
\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2(\|u\|^2+\|v\|^2)
も成立する。逆に中線定理が成り立つような任意のバナッハ空間はヒルベルト空間になり、その内積は極化恒等式によってノルムから一意的に定まる。実ヒルベルト空間における極化恒等式は
\langle u,v\rangle = \frac{1}{4}(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2)
であり、複素ヒルベルト空間の場合は
\langle u,v\rangle = \frac{1}{4}(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2+i\|u+iv\|^2-i\|u-iv\|^2)
で与えられる。中線定理は、任意のヒルベルト空間が一様凸バナッハ空間となることを示している。
ヒルベルト空間 H の空でない閉凸部分集合を C とし、H の点 x をとると、x との距離を最小化する C の元 y がただ一つ存在する。
{}^{\exists!}y \in C,\quad \|x - y\| = \mathrm{dist}(x, C) = \min \{ \|x - z\| : z \in C \}.
これは、C を平行移動した凸集合 D := C − x にノルムが最小となる点が存在するとも言い換えられる。このことは、任意の最小化列 (dn) ⊂ D が(中線定理により)コーシー列となること、従って(完備性により)D 内の点に収束するが、それがノルム最小であることを示すことで証明できる。もっと一般に、一様凸バナッハ空間でこのことは成り立つ。
この結果を H の閉部分空間 F に適用するとき、y ∈ F が x に最近接することは
y \in F, \quad x - y \perp F
によって特徴付けることができる。この点 y というのは x の F の上への直交射影に他ならない。このとき、写像 PF: x ↦ y は線型である(後述)。この結果は、最小自乗法の基礎を成すもので、応用数学、特に数値解析において有意である。
特に F が全体空間 H 自身とは一致しないとき、F に直交する非零ベクトル v が取れる(F に属さない x をとって、v := x − y と置けばよい)。これを応用して、閉部分集合 F が H の部分集合 S によって生成されるかを見るのに有効な判定法が得られる。即ち、
H の部分集合 S が生成する部分空間が H で稠密となるのは、S に直交するベクトル v ∈ H が零ベクトル 0 のみであるとき(かつそのときに限る)である。
ヒルベルト空間 H の連続的双対空間 H∗ とは、H からその係数体への連続な線型写像全体の成す空間のことをいう。この空間には
\|\varphi\| = \sup_{\|x\|=1,\atop x\in H} |\varphi(x)|
で定義される自然なノルムが入る。このノルムは中線定理を満足するので、この双対空間もまた内積空間になる。またこれは完備であり、従ってそれ自身ヒルベルト空間を定める。
リースの表現定理は、この双対空間の簡便な記述を与えてくれる。即ち、H の各元 u に対して、
\varphi_u(x) = \langle x,u\rangle
で定まる H∗ の元 φu がただ一つ存在し、写像 u ↦ φu は H から H∗ への反線型写像になる。リースの表現定理はこの写像が反線型同型であるというのである。故に、双対空間 H∗ の各元 φ に対し H の元 uφ がただ一つ存在して、H の任意の元 x について
\langle x, u_\varphi\rangle = \varphi(x)
を満たす。双対空間 H∗ 上に定まるこの内積は
\langle \varphi, \psi \rangle = \langle u_\psi, u_\varphi \rangle
を満たす。右辺で順番が逆になっているのは uφ の反線型性から φ の線型性を回復するためである。実係数の場合は、H からその双対空間への反線型同型は実際には線型同型になるから、実ヒルベルト空間はその双対空間と自然に同型になる。
表現ベクトル uφ を得るには以下のようにする。φ ≠ 0 のとき、核 F = ker φ は H の閉部分空間であって、H には一致しないから、F に直交する非零ベクトル v が存在する。ベクトル u を v の適当なスカラー倍 λv として、φ(v) = ⟨v, u⟩ が
u = \langle v, v \rangle^{-1} \, \overline{\varphi (v)} \, v
を満たすようにする。この対応関係 φ ↔ u は物理学ではお馴染みのブラ・ケット記法で大いに活用されている。物理学ではふつうは内積 ⟨x | y⟩ の右側の項に関して線型なので、
\langle x\mid y \rangle := \langle y, x \rangle
とすると、この ⟨x | y⟩ は、ブラベクトルと呼ばれる線型汎関数 ⟨x| がケットベクトルと呼ばれるベクトル |y⟩ に作用したものと見ることができる。
リースの表現定理は内積の存在に関して基本的であるばかりでなく、双対空間の完備性に関しても基本的である。事実、定理からは任意の内積空間の位相的双対がもとの空間の完備化と同一視できることが導かれる。リースの表現定理から直ちに導かれる結果としては他にも、ヒルベルト空間 H の回帰性、即ち H からその二重双対空間への自然な写像が同型となることも挙げられる。
ヒルベルト空間 H において、点列 {xn} がベクトル x ∈ H に弱収束するとは、任意の v ∈ H に対し
\lim_n \langle x_n, v \rangle = \langle x, v \rangle
をみたすことをいう。
例えば、任意の正規直交列 {ƒn} は 0 に弱収束することが、ベッセルの不等式から従う。任意の弱収束列 {xn} は一様有界性原理により有界である。
逆に、ヒルベルト空間における任意の有界列は弱収束する部分列を含む(アラオグルの定理) 。この結果は、Rd 上の連続関数に対してボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理を用いるのと同じやり方で、連続凸関数に対する最小値定理の証明に用いられる。これにはいくらか異なった述べ方があるが、以下のような形が簡便であろう
ƒ: H → R が凸関数で、‖x‖ → ∞ のとき ƒ(x) → +∞ を満たすとき、ƒ は H の適当な点 x0 ∈ H で最小値を持つ。
この事実(とその種々の一般化)は変分法における直接法の基礎を成している。有界閉凸関数に対する最小値の存在は、もう少し抽象的な、ヒルベルト空間 H 内の有界閉凸部分集合が H の回帰性により弱コンパクトになるという事実からも直接的に得られる。弱収束部分列の存在性は、エーベルライン・スムリアンの定理の特別の場合である。
バナッハ空間が一般に持つ性質はヒルベルト空間においても成立する。開写像定理の主張は「バナッハ空間からバナッハ空間への連続かつ全射な線型写像は、開集合を開集合に写すという意味で開写像である」ことをいい、その系としての有界逆写像定理は「バナッハ空間からバナッハ空間への連続全単射な線型写像は(逆写像も連続であるような連続線型写像の意味で)同型である」ことを主張する。ヒルベルト空間版のこの定理の証明は、一般のバナッハ空間でやるよりも随分と簡単になる。開写像定理は閉グラフ定理と同値である。後者は「バナッハ空間からバナッハ空間への線型写像が連続となるための必要十分条件がそのグラフが閉集合となることである」ことを主張するものである。ヒルベルト空間の場合には、これが非有界作用素の研究において基本になる(閉作用素参照)。
(幾何学的な)ハーン・バナッハの定理は、閉凸集合をその外にある任意の点からヒルベルト空間の超平面によって分割できることを示すものである。これは最適近似性から直ちに得られる。即ち、y が閉凸集合 F の元で x に最近接するものとすると、線分 xy に垂直で、その中点を通る平面が求める分割超平面である。
ヒルベルト空間 H1 から別のヒルベルト空間 H2 への連続線型作用素 A: H1 → H2 は有界集合を有界集合へ写すという意味で「有界」である。逆に、有界な線型作用素は連続になる。二つの有界線型作用素の和および合成は、ふたたび有界かつ線型であり、このような有界線型作用素全体の成す空間には、作用素ノルムと呼ばれるノルム
\lVert A \rVert = \sup\{\,\lVert Ax \rVert : \lVert x \rVert \leq 1\}
が定義される。また、H2 の元 y に対して、x ∈ H1 を ⟨Ax, y⟩ へ写す写像は線型かつ連続である。リースの表現定理によれば、有界線型作用素は必ず H1 の適当なベクトル A∗y に対する
\langle x, A^* y \rangle = \langle Ax, y \rangle
の形で表現可能である。この定義から、もう一つの有界線型作用素(A の随伴作用素)A∗: H2 → H1 が定まる。このとき、A∗∗ = A であることが確かめられる。
H 上の有界線型作用素全体の成す集合 B(H) に、作用素の加法と合成および作用素ノルムと随伴作用素を考えたものは、作用素環の一種である C∗-環を成す。
B(H) の元 A は A∗ = A を満たすとき自己随伴作用素もしくはエルミート作用素と呼ばれる。エルミート作用素 A が ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 を任意の x で満たすとき、A は非負であるといい、A ≥ 0; で表す。さらに等号成立が x = 0 のときに限るならば A は正であるという。また、
A − B ≥ 0 ならば A ≥ B
なるものと定義すれば、自己随伴作用素全体の成す集合に半順序 ≥ が導入できる。作用素 A が適当な B に対して A = B∗B なる形に書けるならば、A は非負であり、さらに B が可逆のとき A は正になる。また、非負作用素 A に対して
A = B^2=B^*B
を満たす非負平方根 B が一意に定まるという意味で逆が成り立つ。これは、スペクトル論によって精緻化することができ、自己随伴作用素を「実」作用素と看做すことが有効であると分かる。B(H) の元 A が A∗A = A A∗ を満たすとき、A は正規であるという。正規作用素は、自己随伴作用素と自己随伴作用素の虚数倍の和
A = \frac{A+A^*}{2} + i\frac{(A-A^*)}{2i}
に分解され、各項は互いに可換になる。正規作用素をその実部と虚部とに分けて考えることも有用である。
B(H) の元 U が可逆かつその逆作用素が U∗ で与えられるとき、U はユニタリであるという。この条件は「U が全射かつ H の各元 x, y に対して ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩ を満たすこと」とも言い換えられる。H 上のユニタリ作用素の全体は、合成に関して H の等距変換群と呼ばれる群を成す。
B(H) の元がコンパクトであるとは、それが有界集合を相対コンパクト集合へ写すときに言う。同じことだが、有界作用素 T について、任意の有界列 {xk} に対して列 {Txk} が収束部分列を持つとき T はコンパクトである。多くの積分作用素はコンパクトであり、事実ヒルベルト=シュミット作用素として知られるコンパクト作用素のクラスが積分方程式論において特に重要な働きをする。フレドホルム作用素は恒等変換の定数倍の分だけコンパクト作用素とは違うけれども、核と余核が有限であるような作用素としても特徴付けられる。フレドホルム作用素の指数 (index) は
\operatorname{index}\, T = \dim\ker T - \dim\operatorname{coker}\, T.
で定義される。この指数はホモトピー不変量であり、アティヤ・シンガーの指数定理を通じて微分幾何学で深い役割を果たす。
ヒルベルト空間においては非有界作用素もある程度きれいに扱うことができ、量子力学にも重要な応用を持つ。ヒルベルト空間 H 上の非有界作用素 T は、その定義域 D(T) が H の線型部分空間であるような線型作用素であるものとして定義される。定義域が H の稠密な部分集合となることもよくあり、そのような作用素 T は密定義作用素と呼ばれる。
密定義非有界作用素の随伴は、本質的に有界作用素の場合と同じ方法で定義される。自己随伴非有界作用素は量子力学の数学的基礎において可観測量の役割を持つ。ヒルベルト空間 H = L2(R) 上の自己随伴非有界作用素の例としては、
微分作用素の適当な拡張  (A f)(x) = i \frac{d}{dx} f(x), ただし、i は虚数単位、f は台がコンパクトな可微分関数。
x による掛け算作用素  (B f) (x) = x f(x).
などが挙げられる。これらはそれぞれ、運動量と位置の可観測量に対応する。この A も B も H の全域で定義されてはいないことに注意すべきである。A の場合は微分が存在しないものがあること、B の場合は x が掛けられた関数が自乗可積分とは限らないことがその理由である。何れの場合にも、引数にとり得る関数全体の成す集合は H の稠密な部分集合になる。
二つのヒルベルト空間 H1 および H2 を足し併せて、(直交)直和と呼ばれる別のヒルベルト空間 H1 ⊕ H2 を作ることができる。この空間は(x1, x2) (xi ∈ Hi, i = 1,2) なる順序対の全体からなる集合を台に持ち、その上の内積を
\langle (x_1,x_2), (y_1,y_2)\rangle_{H_1\oplus H_2} := \langle x_1,y_1\rangle_{H_1} + \langle x_2,y_2\rangle_{H_2}.
で定めたものになっている。より一般に、i ∈ I を添字とするヒルベルト空間の族 Hi に対して、その(外部)直和 \textstyle\bigoplus_{i\in I}H_i が、Hi のデカルト積の元 \textstyle x=(x_i\in H_i\mid i\in I) \in \prod_{i\in I}H_i で条件 \textstyle\sum_{i\in I} \|x_i\|^2 < \infty を満たすもの全体から成る集合を台とし、内積を
\langle x, y\rangle = \sum_{i\in I} \langle x_i, y_i\rangle_{H_i}
で定めることによって定義される。このとき、各空間 Hi は直和空間の中へ閉部分空間として埋め込まれる。もっと言えば、埋め込まれた各 Hi はどの二つも互いに直交する。逆に、一つのヒルベルト空間において閉部分空間の族 Vi (i ∈ I) で各空間がどの二つも互いに直交しているようなものが与えられているとき、それら全ての和集合が全体空間 H の中で稠密になるならば、H は本質的に Vi たちの直和に同型である。この場合、H は Vi たちの内部直和であると言われる。(内部でも外部でも)直和には、i-番目の直和因子 Hi の上への直交射影 Ei の族が伴う。これらの直交射影はどれも有界・自己随伴かつ冪等な作用素であって、直交性条件
E_iE_j = 0\quad (i\ne j)
が成り立つ。