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オイラーの等式
オイラーの等式(オイラーのとうしき、Euler's identity)とは、ネイピア数 e、虚数単位 i、円周率 π の間に成り立つ等式のことである:
e:ネイピア数(自然対数の底)
i:虚数単位(自乗すると −1 となる数)
π:円周率(円の直径に対する周の比率)
である。
式の名はレオンハルト・オイラーに因る。
オイラーの等式は、その数学的な美によって特筆すべきものと多くの人に認識されている。
この等式は次の5つの基本的な数学定数を含んでいる。
π:円周率。三角比、ユークリッド幾何学、微分積分学で頻出。およそ 3.14159 である。
e: ネイピア数。自然対数の底でもあり、微分積分学で広く出現。およそ 2.71828 である。
i:虚数単位。複素数における虚数単位であり、積分などの多くの演算においてより深い洞察に導く。
かつ、それらが次の3つの基本的な算術演算によって簡潔に結び付けられている。
幾何学、解析学、代数学の分野でそれぞれ独立に定義された三つの定数 (π, e, i) がこのような簡単な等式で関連付いている。なお、一般的に解析学では方程式は片側(概ね右辺)に「0」を置く形で記される。
数学誌のThe Mathematical Intelligencer の読者調査によると、この等式は「数学における最も美しい定理」 (The most beautiful theorem in mathematics) に選出されている。また、2004年に実施された Physics World 誌での読者調査ではマクスウェルの方程式と並び、「史上最も偉大な等式」(Greatest equation ever) に選出されている。
ポール・ネイヒン(ニューハンプシャー大学 名誉教授)の著書「オイラー博士の偉大な式」(Dr. Euler's Fabulous Formula) [2006] では、この等式のために400ページも充てている。本著書ではこの等式を「数学的な美の絶対的基準」(The gold standard for mathematical beauty) としている。
コンスタンス・レイド は、オイラーの等式を「全ての数学分野において最も有名な式」(The most famous formula in all mathematics) であると主張した。
カール・フリードリヒ・ガウスは「この式を見せられた学生がすぐにその意味を理解できなければ、その学生は第一級の数学者には決してなれない」(If this formula was not immediately apparent to a student on being told it, the student would never be a first-class mathematician.) と指摘している。
この等式がベンジャミン・パース (19世紀の数学者、ハーバード大学教授) の講義で紹介されたあと、「全く逆説的なことだ、我々はそれを理解できないし、それがどんな意義を持っているかも分からない。だが我々はそれを証明したし、それゆえにそれが間違いのない真実であると知っている」(It is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don't know what it means, but we have proved it, and therefore we know it must be the truth.) と付け加えた。
スタンフォード大学の数学の教授、キース・デブリン は「愛の本質そのものをとらえるシェークスピアのソネットのように、あるいは、単なる表面でなくはるかに深い内面から人間の形の美しさを引き出す絵画のように、オイラーの等式は存在の遥かな深遠にまで到達している」(Like a Shakespearean sonnet that captures the very essence of love, or a painting that brings out the beauty of the human form that is far more than just skin deep, Euler's equation reaches down into the very depths of existence.) と記している。
Bob Palaisが2001年に公開したエッセイ "π is wrong!" の中では、円周率πの代わりに、「τ=2π」なる数τ、すなわち円の周の半径に対する比率を用いれば、この式はe^{i \tau} = 1 という、よりシンプルな表現になると述べられている。
この等式は複素関数論における、任意の実数 \varphi に対して成り立つオイラーの公式
e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi
の特別な場合である。ここで三角関数 sin と cos の引数 \varphi の表示は弧度法である。両辺に \varphi = \pi を代入すると、
\cos \pi = -1
\sin \pi = 0
e^{i \pi} = -1
e^{i \pi} +1 = 0
を得る。
オイラーの等式は、1の冪根に関する次の等式の特別な場合と見なせる。
\textstyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} e^{i\cdot \frac{2 \pi}{n}k} = 0
一般的なこの式は、2 以上の整数 n に対して、1 の n 乗根の総和は 0 であることを意味している。n  2 とするとオイラーの等式を得る。
本項の主題は「オイラーの等式」と呼ばれるが、これがオイラーに帰属するべきものであるかは明らかでない。オイラーは e を cos と sin と関連付ける式を記したが、より簡潔な「オイラーの等式」の導出過程を示す記録は残っていない。
オイラーの等式は1748年に出版された彼の解析学の記念碑的研究に現れるということが主張されてきた。しかし、特にこの概念がオイラーに帰属できるものであるかどうかは、彼がそれを表示しなかったため、疑われてもいる(オイラーはIntroductio に「オイラーの公式」と呼ばれるもの、複素数の世界で e をコサインとサインの言葉に結び付けるもの、について書き、イギリスの数学者ロジャー・コーツもこの公式について知っている)。
帰納的集合
指示関数が帰納的関数となるような集合を帰納的集合(きのうてきしゅうごう)という。
端的に言えば、決定可能な集合であり、チャーチのテーゼを認めるならば、計算可能な集合である。
たとえば、素数の集合は、帰納的集合である。一方で停止性問題(実行すると停止するプログラムと入力の組の集合)は帰納的でない。
2011年
3月11日 - トーホウジャッカル、競走馬
3月14日 - トーセンスターダム、競走馬
4月4日 - のび太が無断で注文した「ミニドラ」が、のび太の悪筆のせいでこの日の野比家に届いてしまう。(『ミニドラSOS!!』)
不明 - ニューヨークをはじめとする北アメリカ大陸東部一帯を大地震が直撃し、大規模な地盤沈下が発生。それから1週間後には南北アメリカ大陸が沈没する。その後は中国大陸、ユーラシア大陸、アフリカ大陸、オーストラリア大陸といった日本列島以外のほとんどの陸地が沈没してしまい、生き残った各国首脳を含む多くの難民が世界中から日本へ殺到する。(『日本以外全部沈没』)
2月20日 - 五色田功・五色田美都子がトジテンドによって誘拐される。(『機界戦隊ゼンカイジャー』)
4月22日 - リバー・ソングが歴史の固定ポイントであるドクター殺害を阻止したため時空間が崩壊、この日が永遠に続き歴史上のすべての事象が同時進行することとなる。(『ドクター・フー』シリーズ6)
12月25日 - 「クリスマス警官射殺事件」発生。同月30日には同じ犯人により誘拐事件発生。警視庁が警察庁警備局の指揮、監督のもと事件の捜査にあたる。(『相棒』season10元日スペシャル)
不明 - ジャック・ハークネスが不死身でなくなる。一方でジャック以外の全人類が不死身になり、地球は大混乱に陥る。(『秘密情報部トーチウッド』シリーズ4)
不明 - ロンドン地下に潜伏していたサイバーマンがサイバーキングを新たに作り、地上の征服を目論む。(『ドクター・フー』シリーズ6)
11月30日 - 天才子役である星川リリィ(本名: 豪正雄)が、精神的ショックによる心臓麻痺のため死去(死因は過労死)。享年12。(『ゾンビランドサガ』)
デストロン破壊大帝ガルバトロンが地球の氷山でサイバトロンヘッドマスターに敗北する。(『トランスフォーマー ザ☆ヘッドマスターズ』)
3月 - 大震災によりM県S市杜王町の海岸から内陸へ数百mの地点で『壁の目』が出現。『壁の目』付近の地中から出てきた身元不明の少年を広瀬康穂が発見し「東方定助」と命名する。(『ジョジョの奇妙な冒険 Part8 ジョジョリオン』)
11月 - 空条徐倫、空条承太郎を誘き寄せるプッチ神父の策略により、「州立グリーン・ドルフィン・ストリート重警備刑務所」(略称「G.D.st刑務所」、通称「水族館」)に収監される。(『ジョジョの奇妙な冒険第6部ストーンオーシャン)』)
2月 - 東スラブ共和国の内戦が終結。米露合同の暫定政府が樹立。(『バイオハザード ダムネーション』)
3月 - 海上都市「セントラルアイランド」にて大地震が発生。地震発生から3日後、セントラルアイランドは完全に水没。(『絶体絶命都市3 -壊れゆく街と彼女の歌-』)
6月 - アメリカで行われたショーのカンファレンスでアッソルートのコンセプトカー「プロメッサ」が登場。復活がアナウンスされ、半年後に市販バージョン、レースバージョンが開発される。(『リッジレーサー』)
不明 - 香港の投資会社 ジーファが自動車会社としてのジーファを創設する。(『リッジレーサー』)
不明 - 米日露合同の「火星有人探査計画」が行われ、ジョナサン・イングラムら5名の宇宙飛行士が人類初の火星着陸を成功させる。(『ポリスノーツ』)
4月 - 4月2日、北朝鮮から侵入してきた「高麗遠征軍」を名乗る武装コマンド部隊が福岡市一帯を占領、日本からの独立を宣言する。しかし4月11日、何者かの破壊工作によって遠征軍は全滅し、その目論見は失敗に終わる。(『半島を出よ』)
8月30日 - アドルフ・ヒトラーがベルリン市内の空き地で復活する。(『帰ってきたヒトラー』)
\/11月 - ズッコケ三人組たちのかつての恩師である宅和源太郎が脳溢血のため死去。享年88。(『ズッコケ中年三人組Age46』)
不明 - アゼルバイジャン共和国の認知科学者イムラン・イスマイロフらの実験により、被験者全員が超能力を獲得。その後、超能力者の数が世界の総人口の0.3%にまで増加。(『新世界より』)
不明 - 北部合衆国のアマチュア天文家アレン・チャンドリスが、自作した電波望遠鏡でカシオペア座方面から放たれた地球外知性体からのものと思われる信号を傍受する。(『アースライズ』)
2050年代
2050年代(にせんごじゅうねんだい)は、西暦(グレゴリオ暦)2050年から2059年までの10年間を指す十年紀。この項目では、国際的な視点に基づいた2050年代について記載する。
国際連合大学「環境と人間の安全保障研究所」によると、地球温暖化の影響により世界的に洪水の被害が深刻化し、2050年には2004年の2倍に当たる約20億人が大洪水の危険にさらされる。
国立環境研究所などのチームは、南極上空でオゾン層の回復が進み、このころにはオゾンホールができなくなると予測している。
少子・高齢化によりASEAN諸国にも高齢社会が到来。
第29回FIFAワールドカップが開催予定。日本サッカー協会はこの大会を日本で開催し、さらに日本代表が優勝することを目標としている(JFA2005年宣言)。一方、ロボカップの目標として、この年に発達した人工知能を持つ人型ロボットチームがワールドカップ優勝チームに勝つことが提示されている。
この頃には世界人口が97億人を超えている一方で、年間の人口増加は750〜1500万人の規模と予測され、しだいに増加幅は縮小していく(国連の中位予測)。
インドの人口は16億6800万人に達する。
ロシアの人口が1億人を切る。ただし、2010年国連中位予測では1億2611.8万人であり、同予測における日本の予測人口(1億854.9万人)より1800万人程度多い。
欧州連合 (EU) はこの年までに温室効果ガス排出量の実質ゼロ(脱炭素社会)を目指している。また、日本も同目標を掲げることを菅義偉前首相が2020年10月の所信表明演説で宣言した。
第40回夏季オリンピック。
日本でテレビ本放送開始から100年。
東西教会の分裂から1000年。
第38回参議院議員通常選挙。
第41回夏季オリンピック。
国鉄清算事業団による償還スキーム破綻にともない、1998年に政府一般会計に繰り入れられ国民負担となった日本国有鉄道の政府保証付長期債務(総額24兆2000億円)の償還が終了する。
2001年に宇宙へ向けて送信された「ティーンエイジ・メッセージ」がふたご座37番星に到達。
国連の世界人口推計2022年版では、この頃に地球の総人口が100億人に達すると予測している(中位推計)。
国連の世界人口推計2019年版では、この頃に日本の人口が1億人を下回ると予測している(中位推計)。
2050年 - 1983年からウラシマ・エフェクトで少年(ウラシマ・リュウ)がタイムスリップ。(アニメ『未来警察ウラシマン』)
2050年 - 西暦2300年の未来から、エルダー星人が地球に侵攻。(アニメ『宇宙大帝ゴッドシグマ』)
2050年頃 - 異星人「ウエスター」の無敵艦隊が、アルニラム付近から太陽系方面へ向けて出発する。(小説『アグレッサー・シックス』)
2050年頃 - 銀河系の非機械的知性を調査・矯正すべく、銀河系外に存在する惑星から約100万年前に旅立った機械知性の「十字軍」が、わし座方面から地球近辺に到達する見込み。(小説『十字軍 (小説)』)
2052年 - ゴドム人が地球に侵攻、占領。(アニメ『宇宙空母ブルーノア』)
2054年 - 映画『ルネッサンス』の舞台。
2054年 - 劇場版アニメ『交響詩篇エウレカセブン ポケットが虹でいっぱい』の舞台。
2054年 - 世界主要都市で核爆発が発生。(水木楊の小説『2055年までの人類史』)
2055年頃 - 「アルタイル航宙」開始。2015年に地球を攻撃した結晶状生命体「クリスタロイド」の母星が存在するとみられるアルタイル系を攻撃すべく、旗艦「セレステ」以下6隻の航宙艦が遠征の途につく。(小説『キャッチワールド』)
2056年 - 初音島の「一年中枯れない桜」が普通の桜になる。(ゲーム『D.C.II 〜ダ・カーポII〜』)
2057年 - 映画『サンシャイン 2057』の舞台。
2059年 - アニメ『マクロスF』の舞台。
ドイツ連邦
ドイツ連邦(ドイツれんぽう)またはドイツ同盟(ドイツどうめい、Deutscher Bund)は、旧神聖ローマ帝国を構成していたドイツの35の領邦と4つの帝国自由都市との連合体である。1815年のウィーン議定書に基づいてオーストリア帝国を盟主として発足し、1866年の普墺戦争でのプロイセン王国の勝利をもって解消された。
ドイツ連邦はあくまでも複数の主権国家の連合体、つまり国家連合(Staatenbund)であり、連邦国家(Bundesstaat)でない。そのため、「ドイツ連合」や「ドイツ国家連合」などとも訳される(下記「訳語」の項目を参照)。
ドイツ連邦はライン同盟の解体を受け、ウィーン会議を経て1815年6月8日のドイツ連邦規約に基づいて成立した。規約第17条では帝国郵便を営んできたトゥルン・ウント・タクシス家の事業存続権が保証された。
オーストリア帝国(連邦議会議長)、プロイセン王国、4つの帝国自由都市(リューベック、フランクフルト、ブレーメン、ハンブルク)など39の領邦が同盟を構成した。なお、旧神聖ローマ帝国の領域を範囲としたため、オーストリアおよびプロイセンの領土は連邦の内と外にまたがっていた。
それまで神聖ローマ皇帝が司ってきたドイツ全体に関わる懸案の審議と議決を目的に、フランクフルトに連邦議会 (ドイツ連邦)(Bundestag des Deutschen Bundes あるいは Bundesversammlung)が常設された。軍隊、警察、関税は構成国の主権に属した。連邦議会の議員は諸邦の普通選挙で選ばれた官吏、大学教員等の市民階級の代表が務めた。プロイセンのビスマルクもその一人であった。
1848年の三月革命によって存続を危ぶまれたが、1849年に復活した。しかし、1866年の普墺戦争に勝利したプロイセンはドイツ連邦を解消、翌1867年プロイセンは北ドイツ連邦を成立させ、ドイツ統一の主導権を握り、後のドイツ帝国の母体とした。
LUX ルクセンブルク大公国
ザクセン=ゴータ公国及びザクセン=コーブルク公国は、1825年に以下の3か国に再編された。
メクレンブルク=シュトレーリッツ大公国
上記の3か国は1863年に下国に再編された。
ロイス侯国(弟系)(ロイス=ローベンシュタイン、ロイス=シュライツ、ロイス=エベルスドルフ)
Deutscher Bund はアメリカ合衆国のような連邦国家ではなく、国家の緩やかな連合体(国家連合)であるため、「ドイツ連邦」という訳語は問題があるとする考えもある。連邦国家でないものを「ドイツ連邦」と称するのは本来的にミスリーディングであり、「ドイツ同盟」と訳すほうが望ましいとする。また、訳語に用いられるほかの例としては、「ドイツ連合」や「ドイツ国家連合」などがある。
2038年
干支:戊午(つちのえ うま)
日本(月日は一致)
大韓民国(月日は一致)
中華民国(月日は一致)
朝鮮民主主義人民共和国(月日は一致)
仏滅紀元:2580年閏9月10日 - 2581年10月6日
イスラム暦:1459年11月24日 - 1460年12月4日
ユダヤ暦:5798年4月24日 - 5799年4月4日
Unix Time:2145916800 - 2177452799
32ビット符号付整数 (signed int) によるシステムの場合、時刻が正しく扱えなくなる2038年問題が発生する。
修正ユリウス日(MJD):65424 - 65788
リリウス日(LD):166265 - 166629
1月5日 - カリブ海、大西洋、アフリカで日食が観測される。
1月19日 - 2038年問題。日本時間12時14分7秒(UTC3時14分7秒)を過ぎるとプログラムが誤作動を起こす可能性がある。
12月26日 - オーストラリア、ニュージーランドで皆既日食が観測される。
2036年から始まったぎょしゃ座ε星の変光が終了すると予測されている。
1月20日 - エースコック創業90周年。
2月23日 - 新名神高速道路の亀山JCT-草津田上ICの開業から30年。
3月5日 - 立正佼成会創立100周年。
3月13日 - 青函トンネル開通、青函連絡船の運航終了から50年。
3月17日 - 東京ドームオープニングセレモニーから50周年。
4月10日 - 瀬戸大橋開通から50周年。
7月3日 - フォルクスワーゲン・タイプ1発表・生産開始から100周年。
11月9日〜10日 - 水晶の夜から100年。
モーニング娘。メジャーデビュー40周年。
第28回冬季オリンピックが行われる。
第26回FIFAワールドカップが行われる。
「イキトス事件」発生。ペルー・イキトスに存在する研究所が学生ら暴徒の襲撃を受ける。その中で、物理学者アレックス・ラスティグらによって発電目的で造られていた「安定したミニ・ブラックホール」が、送電線を切断された際に磁場ケージから落下し、地下数千キロメートルの地殻内まで潜ってしまう。(小説『ガイア —母なる地球—』)
地球から58,550光年離れた銀河系外星雲内から放たれたディジタル信号が捕らえられ、翻訳の結果、知能を持つ生物が猛毒を持つ微生物に襲われ、自動的に発信される形で助けを求めたものだと判明する。この信号の観測は2040年まで続く。(小説『未来からの遺書』)
8月15日 - デトロイト市内のアパートメントで家庭用アンドロイドが自らの所有者一家の父親を殺害し、そのまま娘の少女を人質に屋上に立てこもる事件が発生。厳戒態勢の中、最新鋭の捜査補佐アンドロイドである型番RK800ことコナーが交渉人として派遣される。以降、感情を持つようになったアンドロイド(変異体)が各地で現れるようになる。(ビデオゲーム『デトロイト ビカム ヒューマン』)
バーコード
バーコード(barcode)は、縞模様状の線の太さによって数値や文字を表す識別子の一種である。仕組みとしては、数字・文字・記号などの情報を一定の規則に従い、一次元のコードに変換している。これを主に店頭などで使われているレジスターや、流通過程で使用されている各種の管理用情報端末などの機械が、読み取りやすいデジタル情報として入出力できるようにしている。
バーコードは横方向にのみ意味があり、表すデータも数列や文字列でどちらも一次元だが、ドットを縦横に配列し多くの情報を表す、二次元コードも普及してきた。代表的なものにデンソーウェーブのQRコードがある。
なお、バーコードをラベルに印刷するプリンターを「バーコードラベルプリンター」といい、バーコードを読み取るスキャナを「バーコードリーダー」又は「バーコードスキャナ」という。
一般的な商品で使われるものは、日本がJANコード、ヨーロッパがEAN、北米がUPCである。
物流用途ではITFコード、CODE39、CODE128、NW-7などが使われている。また郵便事業ではカスタマバーコードなどが使われる。
ほとんどのバーコードスキャナは、これらのいずれか、複数の規格に対応している。
統一商品コードは国番号(フラグ)2または3桁、メーカーの番号(メーカーコード)5桁または7桁、品物の番号(アイテムコード)5桁または3桁、間違い防止の番号(チェックデジット)1桁で出来ていて、全ての商品に異なった番号を付けることになっている。
日本が1978年に国際EAN協会に加盟した際、国番号として49を割り当てられたが、1992年に国際EAN協会から新たに45が付与され、現在では2つの国コードを持っている。
日本で使われているJANコードには、標準タイプ(13桁)と短縮タイプ(8桁)の2種類が存在する。さらに、標準タイプには、最初の7桁がJANメーカーコードとなっているものと、9桁(国番号2桁+メーカーコード7桁)がJANメーカーコードとなっているものに分けられる。2001年1月以降に申請した事業者には、原則として9桁のメーカーコードが付番貸与されている。9桁メーカーコード1つで、999アイテムまで付番することができる。
JANコードを登録申請するときは、全国の商工会議所、商工会や財団法人流通システム開発センターで販売されている「JAN企業(メーカー)コード利用の手引き」を入手した上で、その巻末の登録申請書を使用して申請を行う。約10日 - 2週間後にJANメーカーコードが付番貸与される。
インストアコードとは、商店や団体などが任意に付番できるコードのことであり、ポイントカードなどの会員証や生鮮食品などに利用される。当然、その商店などでしか通用せず、他店では別の意味を持つ。UPCでは2,4、EAN/JANでは02,04(UPC互換),20〜29で始まるコードが利用できる。UPCの2(日本ではJANコードとして02)で始まるコードは価格をデータベースから参照せずにコード内に持っているNON-PLU(non-price lookup)であり、特に計量商品などに利用される。4(04)で始まるコードは10桁が、20〜29で始まるコードは2の次からの11桁が任意に利用できる。20〜29は店独自の会員カードの会員番号などで利用されている。
1949年、ドレクセル大学の大学院生であった、バーナード・シルバーとノーマン・ジョセフ・ウッドランドがバーコードを発明し1952年10月7日に特許を取得。
1967年、アメリカの食品チェーン店が、レジスターの行列を解消させる方策として実用化。
1973年、1971年にIBMが発表したDelta Distance Codeをベースに、米国フードチェーン協会などが統一的なコード表記UPC(Universal Products Code)を設定した。
1978年に EANに加盟した日本は、EANの統一商品コードを採用することになった。
バーコードの一部に対してデザインを施した「デザインバーコード」といわれるものがある。
頭髪の薄い男性が、残存する頭髪を長めにして頭髪のまばらな部位(頭頂部が多い)を覆い隠す髪型が、バーコードに似ていることから、俗にこのヘアスタイルを指して「バーコード」「バーコードヘア」もしくは「バーコード頭」、「スダレ頭」とも呼ばれる。特に日本でバーコードが普及した1980年代に、当時内閣総理大臣を務めていた中曽根康弘を揶揄して呼ぶことが多かった。漫画などでは中高年男性を表す特徴の一つとして銀縁眼鏡などとともに使用されることが多い。2004年のイグノーベル賞工学賞はバーコード頭を発明した米フロリダ州オーランドのフランク・スミスとドナルド・スミスの親子に贈られた。バーコード頭は英語では"Comb-over"という。
EAN・JANコードやUPC等主なバーコードの左右と中央に位置する2本の線、レフトガードバー、ライトガードバー、センターバーを「6」のキャラクタであると解釈し、これが新約聖書のヨハネの黙示録に記述されている獣の数字666であるとする説がある。この説は、疑似科学を扱うトンデモ本のほか、1990年代に講談社『週刊少年マガジン』の『MMR マガジンミステリー調査班』で取り上げられている。
EANコード
EANコード(イアンコード、European Article Number)は、商品識別コードおよびバーコード規格の一種である。日本の規格は「JANコード」(Japanese Article Number) と称し、日本で最も普及している商品識別コードである。
EANコードから生成されたバーコードシンボルは、市販される多くの商品にソースマーキングとして印刷または貼付され、POSシステム、在庫管理、サプライチェーン・マネジメントの受発注システムなどで価格や商品名を検索するためのキーとして使われる。EANコードの前に1桁あるいは拡張型として0で始まる3桁の物流識別用の数字を付加したものは、集合包装用コード、あるいはバーコードシンボルの体系をそのまま呼称としてITFコードと呼ばれ、チェックディジット部は元のEANコードと異なる。
EANコードは単なる「コード」であるため単体では利用されず、商品名や価格などの情報を蓄積したデータベースシステムに連動し、検索キー入力作業を機械化する目的で使用される(EANコードは商品を識別する番号として使われ、商品番号、商品名、価格などの情報は別の台帳で管理される。EANコードの商品コードと商品番号は一致していることが多いが必須ではない。)。
JANコードは、欧州で規格化された「EANコード(イアンコード)」や、これより先に米国で規格化されて主に北米で使用される「UPCコード」などと互換性がある。「JIS B 9550 共通商品コード用バーコードシンボル」として1978年に標準化され、1987年にX(情報処理)部門が新設されてJIS X 0501となった。
UPCコードを参考に規格化したEANコードをベースとしており、UPCコードに上位互換している。
JAN/EANは13桁または8桁で構成され、日本のPOSシステムは多くがUPCを利用可能だが、UPCは12桁または8桁で構成され、UPCのみに対応する北米のPOSシステムはJAN/EANを利用できない。8桁コードもUPCとJAN/EANは互換性がない。対象国を限定しない商品はUPC単記あるいはUPCとEAN併記している。
UPCは2005年からEAN/JANと同じコード体系へ移行し、国コードの10 - 13を米国とカナダに割り当てる。
※UPCの体系変更に伴い、従来“10"と“11"を使用していた雑誌バーコードは、2004年6月1日発売分の雑誌から、“491"で始まる13桁にアドオンコード5桁を追加した合計18桁で構成するJANコード体系に沿った仕様へ変更した。
日本は、国コード“49"または“45"の13桁標準タイプまたは8桁短縮タイプを使用している。13桁は
国コード(2桁)
メーカコード(5桁)
商品コード(5桁)
チェックディジット(1桁)
国コード(2桁)
メーカコード(7桁)
商品コード(3桁)
チェックディジット(1桁)
で構成する。
国コード(2桁)
メーカコード(4桁)
商品コード(1桁)
チェックディジット(1桁)
で構成する。
日本のメーカコードや商品コードなどの情報は「一般財団法人流通システム開発センター」が一元管理している。
生鮮食品や会員証など販売店がバーコードラベルを作成して貼付するインストアマーキングは、先頭の国コードにUPC互換の“02"“04"、または“20" - “29"を使用する。先頭が02のコードは、データベースの売価を参照しないNON-PLU (non-price lookup) で、計量商品などで使用する。
国コード(2桁)02 ※UPCでは1桁で2
商品コード(5桁)
価格チェックディジット(1桁)
価格(4桁)
チェックディジット(1桁)
EANコード(JANコード)は、13桁または8桁の数字のみで構成する。これを幅の異なるスペースとバーで表現し、商品にマーキングする。バーコードは「白い隙間と黒棒」と表現されることが多いが、投射光に対する反射率の差異が規定を充たせば、色調に規定はない。
多くはバーコード下部に数字が記載され、バーコードスキャナで読取できない場合にコードを目視する。OCRBフォントが多い。
バーとスペースを構成する一定幅の単位要素を「モジュール」と呼び、各モジュールは白または黒の情報をもつ(即ちモジュールはバーあるいはスペースの最小幅であり、ここでいう白または黒の情報はそれぞれ最小幅のスペースとバーを指す)。このモジュールを複数並べて、いろいろな幅のバーやスペースを表現する。EANコードは、バーおよびスペースの幅が4種類ある「4値コード」で、1キャラクタ(1桁)は7モジュールで、2つのバーと2つのスペースで構成される。
1キャラクタ分の7モジュールを順に「白黒黒黒黒白黒」とした場合は、「幅が1のスペース」「幅が4のバー」「幅が1のスペース」「幅が1のバー」となる。これで1キャラクタとなり、このようにして作成したキャラクタを連続して配置する。さらに左右にマージンとガードバー、中央にセンターバーを配置し、合計113モジュールで13桁のEANコード「標準バーコード」となる。
※左マージン(11)+左ガードバー(3)+データキャラクタ6桁(42)+センターバー(5)+データキャラクタ5桁(35)+チェックディジット1桁(7)+右ガードバー(3)+右マージン(7)=113モジュール
8桁で構成される「短縮コード」の場合は、左右のマージンが7モジュールに短縮されることと、データキャラクタが4+3桁になる点が異なるだけで他は同様となり、全体では81モジュールで構成される。
※左マージン(7)+左ガードバー(3)+データキャラクタ4桁(28)+センターバー(5)+データキャラクタ3桁(21)+チェックディジット1桁(7)+右ガードバー(3)+右マージン(7)=81モジュール
二進化十進表現
二進化十進数 (BCD、Binary-coded decimal ) とは、コンピュータにおける数値の表現方式の一つで、十進法の1桁を、0から9までを表す二進法の4桁で表したものである。「二進化十進符号」などとも呼ばれる。3増し符号など同じ目的の他の方式や、より一般的に、十進3桁を10ビットで表現するDensely packed decimalなども含めることもある。
一般に二進法の4桁(ニブル)は、0から15までの整数を表すことができる。二進化十進法ではこのうちの最初の10個を有効な数値として扱う。
例えば、127 という整数値は、 0001、0010、0111 という3つのBCDで表される。
二進化十進数には、ゾーン形式とパック形式があり、用途に応じて使い分けられる。
符号部を持たないパック形式では、ファイルなどの中の二進化十進数値を十六進法で表示すると十進と同じように表示される。例えば、十六進で「1234」と表示されるデータは、整数値 1234 のことである。また、機種や文字コードに依存するものの、一般にゾーン形式では8ビット文字表示すると十進と同じように表示される。ただし、符号部を持つ場合も多く、上記の表示が必ずしもわかりやすいとは言えないこともある。
簡単な利用法としては、電子回路上で、0 - 9を表示可能なBCD対応の数字表示素子1つに対してBCDの4桁を4本の入力信号として直接入力する、等の使われ方がある。二進法で扱う場合と違い、表示素子に入力する前の変換が要らずデータバス上の信号をそのまま利用できるというメリットがある。
二進法で計算を行う多くのコンピュータでは、二進化十進表現を使用する機能(または、計算結果を補正するための機能)を備えている。
本来、コンピュータでは二進法で演算するのがコンピュータ資源(レジスタ、メモリ、計算量)の有効利用になる。それでも二進化十進数が有効な場合があるのは、二進法と十進法との変換を回避することに「社会的な価値」があるからである。つまり二進化十進数は純粋なコンピュータの問題ではなく、十進法社会という現実からの要請による。
「社会的な価値」の具体例として、小数の丸め処理が挙げられる。0.1 のような値は十進法では有限桁で表記可能だが、二進法では無限桁の循環小数となる。このため、一般的な二進法の浮動小数点数演算では 0.1 の表現に丸め誤差があるので、それを繰り返し足し込むと誤差の影響が無視できなくなることがある。例えば以下の Java プログラムを実行すると、double 型を使って 0.1 を 10,000 回加えた結果は 1,000.0 ではなく 1,000.0000000001588 となることがわかる。
このような問題を避けるため、処理対象の値が十進の場合は、コンピュータ内の処理も二進化十進数で実装されることが少なくない。通貨を扱う事務アプリケーションなどが、しばしばこのケースに該当する。
なお、10.0 / 3.0 を計算する時には全く何も変わらない同様の問題を十進でも抱えている。このようなケースでは、二進化十進数でも正確に表す事はできない。
デ=ジュレ標準による標準化の要請が根強く存在していることもあって、浮動小数点表現の標準であるIEEE 754に2008年の改訂で十進浮動小数点が追加された。これには、より効率の良い Densely packed decimal(DPD)方式が採用された。
気圧
気圧(きあつ、air pressure)とは、気体の圧力のことである。単に「気圧」という場合は、大気圧(たいきあつ、atmospheric pressure、大気の圧力)のことを指す場合が多い。
気圧は計量単位でもある。日本の計量法では、圧力の法定の単位として定められている(後述)。
気体の圧力は、温度や体積の影響を受ける。例えば、気体を一定の体積のまま(容器に閉じ込めた状態に相当する)加熱すると、気圧は温度とほぼ比例して上昇する。このような、気圧と体積、温度についての関係は、ボイルの法則、シャルルの法則、ボイル=シャルルの法則などにより示されている。
気体の圧力は、混合気体の場合、構成している気体のそれぞれの圧力(分圧)の合計となる。
空気も物質であるため、質量があり、地球の重力を受ける。これに対して圧縮応力があり、さらに、重力とこれがつりあうことで大気が力学的に平衡に近い状態にある。地球をおおっている大気の層によって、海面では、面積1cm2あたり約1kgf(水銀柱で約76cm、水の場合約10mに相当)の圧力がかかる。これを大気圧または単に気圧という。高所ほど、その上方にある空気柱の高さが低くなるので、気圧は低くなる。海面での大気圧を 1 とする圧力の単位としても用いられる。
海上の水蒸気蒸発によって、上昇気流が発生する箇所の空気の密度がやや下がり、気圧がやや低くなることがあるなど、同じ海抜高度でも、少しずつ気圧は異なり、気圧の高低は常に変化する。この気圧の山や谷を高気圧、低気圧と呼ぶ。気圧の差が生じると、高気圧の空気が低気圧の領域に流れ込む。これが風のおもな成因になっている。
気圧の測定には気圧計やラジオゾンデを用いる(気象業務法第1条の2、気象業務法第1条の3も参照)。
気象情報では、気圧の単位は、かつてはCGS単位系のミリバール (mb)、トル (Torr) または水銀柱ミリメートル (mmHg) が使われていたが、現在は国際単位系 (SI) のヘクトパスカル (hPa) が使用されている。
大気圧は高度や緯度によっても変化する。標準大気圧(1気圧)は海面上で 1013.25 hPa とされるが、大気圧は上方の空気の重みを示す圧力であるから、高所へいくほど低下する。高度上昇と気圧低下の比率は、低高度では概ね 10 m の上昇に対して 1.2hPa であり、計算上富士山頂で約0.7気圧、高度5,500 m で約0.5気圧、エベレストの頂上では約0.3気圧になる。ただし、高度により(気圧により)空気の密度が異なるため、高度上昇に対する気圧低下の比率は一定ではない。高度が上がるに従い、高度上昇と気圧低下の比は緩やかなものとなる。このような高度による気圧の変化を利用した高度計も作られている。
また、大気が太陽光などの熱により、局所的に加熱される場合、体積が増して密度が低下する。膨張した軽い空気は周囲の重い空気により押し上げられるため、上昇気流を生む。逆に大気が冷却されると、体積が減少、密度が増して沈降し下降気流を生む。
緯度により、大気および地表が太陽から受ける熱のエネルギー密度は異なる。赤道周辺が、年間を通じて大気が暖められ高温であるのと比較し、極地周辺は、常に低温である。このような緯度による大気の温度差により、赤道直下や極地では特有の上昇流、下降流が生じ、それぞれ熱帯収束帯や極高圧帯を形成する。気圧差によって、高気圧地域から低気圧地域に向けて風が吹き、貿易風や偏西風、極東風となる。これらは、ハドレー循環(熱帯収束帯と亜熱帯高圧帯間)、フェレル循環(亜熱帯高圧帯と高緯度低圧帯間)、極循環(高緯度低圧帯と極高圧帯間)と呼ばれる。このような大気の大規模な循環を、大気循環と呼ぶ。また、海洋と陸地とを比較すると、海水の熱容量の大きさから、海洋は陸地より温度変化が少ない。よって、太陽光が強い状況では、陸地が海洋より高温になることが多く、陸地に低気圧、海洋に高気圧の配置となり、海洋から陸地に向け風が吹く。陸地が冷却される状況では、この逆である。これにより、海陸風やモンスーンが発生する。
ストローで飲み物を飲む。
真空ポンプで水をくみ上げる。
吸盤がくっつく。
総入れ歯が安定する。
布団圧縮袋。
風船。
空気銃および空気砲。
スクーバダイビングなどの後で高所に行くと減圧症になる危険がある。
その他、数々の日常事象や生命現象は、大気の圧力のもとで適応、利用されている。
上述のように、海面での大気圧は圧力(特に気圧や水圧)の単位としても用いられる。海面での大気圧を「1 気圧」とする。
単位としての「気圧」の元々の定義は「海面での大気圧」であるが、大気圧は場所や気象条件によって異なる。そこで、海面での大気圧の標準の値として標準大気圧を定め、この値を1気圧と定義した。
標準大気圧は、1954年の第10回国際度量衡総会 (CGPM) において、正確に 101 325 パスカル (Pa) と定められた。これは、元々は760 水銀柱ミリメートル (mmHg) をパスカルに換算し、小数点以下の端数を切り捨てたものである。
現在では、気圧は、国際単位系 (SI) においては定義されていない非SI単位である。しかし日本の計量法においては、法定の計量単位として定義されている。計量法における定義は、1954年CGPMにおけるものと同一の、101 325 パスカルである。
気圧の単位記号は、大気を意味する atmosphere に由来する atm である。
水銀柱ミリメートルとトルは、計量法体系において、全く同一の定義となっていて、どちらも正確に 101 325 Pa である。これは標準大気圧の760という意味である。約 133.322 Pa に当たる。
また、1 気圧 は 1 バール に数値が近い(1atm = 正確に1.01325 バール)が 1.325%の差がある。
生化学
代謝による生体内物質の移動や変化の追跡にはトレーサー物質が利用される。古くから放射性あるいは非放射性同位体を組み込んだ生体内物質が広く利用された。しかし同位体置換した生体内物質を用意することは困難をともない、放射性トレーサーの場合はラジオアイソトープセンターなど専用実験施設が必要な為、今日では抗体染色やELISA法など同位体を使用しないトレーサーが広く利用されている。また、微量機器分析技術の進展によりMALDI法などの質量分析でクロマトグラフィ・スポット(ピーク)から直接、標的物質の同定も可能である。
イオンチャネルの研究においては、生体膜にガラスの毛細管を押し当てることで、管内にイオンチャネルを閉じ籠めて生化学実験を行うパッチクランプの実験技術によって上記のように生体成分を分離せずに実験を行う技法も開発された。
1990年代以降には特定の無機イオンに反応して蛍光を発する標識色素やルシフェラーゼ遺伝子を応用した形質導入によって、細胞外から蛍光顕微鏡で発光現象を追跡することで間接的に生化学反応をトレースすることも可能になってきている。
宇宙生物学 - 宇宙における生命の起源、初期進化、分布、未来を研究する学問分野
Biochemistry - アメリカ化学会が発行する生化学分野の学術誌
Biological Chemistry (雑誌) - 生物化学に特化した査読制の科学雑誌
生物物理学 - 生物現象を理解するために物理学で用いられてきたアプローチや手法を応用した学際的な科学研究の分野
化学生態学 - 生物間の相互作用に関わる化学物質について研究する学問
計算論的生物モデル -  生体系のコンピューターモデリングを目的とするシステム生物学や数理生物学の課題領域
バイオプラスチック - 再生可能なバイオマス資源から生産されるプラスチック材料
EC番号 (酵素番号) - 酵素が触媒する化学反応に基づく、酵素の数値的な分類体系
代わりの生化学 Hypothetical types of biochemistry - 科学的な可能性は合意されていても、存在が証明されていない生化学の形態
国際生化学・分子生物学連合 - 生化学および分子生物学に関わる国際的な非政府組織
メタボローム - 生体試料中に含まれる小分子化学物質の完全な集合
メタボロミクス - 細胞の代謝物プロファイルに対する系統的研究
分子生物学 - 生体分子の合成、修飾、機構、相互作用など、細胞活動の分子基盤に対する生物学の一分野
分子医学 - 疾患の根本的な分子的・遺伝的エラーを特定し修正する分子的介入を開発する医学の一分野
植物化学 - 植物に由来する化学物質である植物化学物質を研究する学問
タンパク質分解 - タンパク質がより小さなポリペプチドやアミノ酸に分解されること
小分子 - 低分子量(900ダルトン未満)の有機化合物
構造生物学 - 生物の構造をあらゆるレベルの組織で分析することを扱う学問分野
クエン酸回路 - 糖、脂質、タンパク質に由来するアセチルCoAを酸化して貯蔵エネルギーを放出する一連の化学反応
単射
数学において、単射あるいは単写(たんしゃ、injective function, injection)とは、その値域に属する元はすべてその定義域の元の像として唯一通りに表されるような写像のことをいう。
集合 A を定義域、集合 B を値域とする写像 f: A → B が条件
(\forall a_1, a_2 \in A)\;\big[a_1 \neq a_2 \implies f(a_1) \neq f(a_2)\big]
を満たすとき、 f を単射 (injection) とよぶ。あるいは f は(写像として)単射である (injective) という。対偶をとれば、f が単射である条件は
(\forall a_1, a_2 \in A)\;\big[f(a_1)=f(a_2) \implies  a_1=a_2\big]
とも表せる。与えられた写像が単射であることを示したり,単射かどうかを議論するときは後者の表現の方が使いやすい.
前者の表現は「違うものは違うところへ写る」,後者の表現は「同じところにくるものは最初から同じ」を意味しており,言っていることはどちらも同じである.
正の実数 x に対して、その自乗 x2 を対応させる写像 f: R+ → R は単射である。ただし、正の実数全体のなす集合を R+ と表した。実際、x, y > 0 で x2 = y2 ならば、x = y となる。
ところがひとたびこれの定義域を実数の全体 R に拡張すると、これは単射でなくなる。実際、x, y ∈ R で x2 = y2 ならば、y = ±x となるから、像 x2 はちょうど二つの元 ±x の像となっている(ただし 0 は 0 だけの像である)。
集合 A とその部分集合 B が与えられるとき、B の元 b (これはもちろん A の元でもあるので)を A の元としての b 自身に対応させることで、B を A に包含させる写像、包含写像(ほうがんしゃぞう、inclusion)
B \hookrightarrow A;\ b \mapsto b
が定まる。これは単射を与え、標準単射あるいは自然な単射 (canonical injection) とも呼ばれる。
集合 X からその冪集合 \mathcal{P}(X) への写像を x \mapsto \{x\} と定義すると,この写像は単射となる.この写像は任意の集合の濃度はその冪集合の濃度を超えないことを証明するときに現れる.
代数系つまり代数的構造をもつ二つの集合 A, B の間の準同型 f の像 f(A) は B の部分系となる。もし、f: A → B が単射ならば、終域の制限によって得られる写像 f: A → f(A) は全単射となるから、その逆写像が定まる。これがやはり準同型であるなら、これは A が B の部分系と同型となることを意味する。この同型を同一視することによって A がもともと B の部分系であるかのように扱うとき、埋め込み (embedding) と呼ぶ。群・環などの準同型は全単射ならば同型であるから、単射準同型を与えることと埋め込みを考えることとは等価である。もっと一般の数学的構造とそれらの間の準同型・射を考えるときには逆写像の準同型性を気にする必要がある。例えば位相空間の間の全単射連続写像は同相写像とは限らない(逆写像が連続とは限らない)。
A から B への埋め込みは一般には一つに定まるとは限らない。例えば、A がはじめから B の部分系であるとき、包含写像はひとつの埋め込みを与えるが、それ以外の写像によって A が B に埋め込まれることもある。
単射の制限は単射である。単射の拡張は単射であるとは限らない。
二つの単射の合成は単射である。
二つの写像の合成 f \circ g が単射であれば、g は単射である(右図参照)。
写像 f : A → B に対し  r \circ f = \operatorname{id}_A  を満たす写像 r : B → A (引き込み、レトラクション)が存在するならば f は単射である。
写像 f が単射であることは次の普遍性
f \circ g = f \circ h を満たす任意の射 g, h: Z → X に対し、g = h である
によって特徴付けられる。圏論においてはこの普遍性によって単射 (monomorphism) を定義する。
X, Y を集合、f: X → Y を写像とするとき、次は同値である:
(1) f は単射である。
(2) X の任意の部分集合 A に対し、f^{-1}[f[A]=A が成り立つ。
ここで f[\bullet],\ f^{-1}[\bullet] はそれぞれ像, 逆像である.
境界条件
境界条件(きょうかいじょうけん、boundary condition)とは、境界値問題に課される拘束条件のこと。特に数学・物理学の用語としてよく用いられる。
境界条件は、境界値問題において興味のある解の探索領域とそれ以外の領域とを分けるために設定される。境界上では、境界内部で成り立つ方程式だけでは解の形を決定することができないので、補助的な条件を設定することで解を定める必要がある。この境界条件は多くの場合、対象とする境界値問題より一般的に成り立つであろう解の性質によって決定される。それは例えば境界上での解の値であったり、解の連続性や滑らかさであったりする。
時間的な境界条件の一つとして初期条件がある。時間発展を記述する方程式について、初期条件は応用上特別な意味を持つため、一般の境界条件とは分けて言及されることが多い。
境界
境界(きょうかい、きょうがい、けいかい)とは、事物や領域などを分ける境目のこと。分野や用法により様々な用例がある。
位相空間における境界については境界 (位相空間論)を参照。
微分方程式の分野には境界値問題と呼ばれるものがあり、境界で境界条件が課される。
インタフェースと呼ぶ。ハードウェアインタフェース(ハードウェア同士の接続境界、接続機器の形状・仕様)、ソフトウェアインタフェース(ソフトウェア同士の境界)、ユーザインタフェース(計算機と人の境界、ウェブユーザインタフェース、グラフィカルユーザインタフェース、を含む)などがある。
異なる物質が接する境界は表面や界面と呼ばれ、表面科学や界面化学で扱われる。
流体力学においては、固体表面の近傍には境界層と呼ばれる領域ができる。
国と国の境界を国境(こっきょう、くにざかい)という。また、国土と国土の間の地理的な境界だけでなく、さまざまな行為について国家主権の適用される範囲の境界も国境と呼称されることがある。
このほか、行政単位の単位名称に応じて、県境(けんきょう、けんざかい)・州境(しゅうきょう、しゅうざかい)などの呼称がなされている。
個人の境界線、境界性パーソナリティ障害、境界例などの用例がある。
仏教用語としては、以下の用例がある。
果報として各自が受ける境遇。
六境。認知作用・思考作用を起す「眼・耳・鼻・舌・身・意」の六根の対象。六塵とも呼ぶ。
土地の地番を区切る公法上の線のこと。「経界」「筆界」とも呼ばれ、以下の用例や関連する内容がある。
全単射
数学において、全単射(ぜんたんしゃ)あるいは双射(そうしゃ)(bijective function, bijection) とは、写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。例としては、群論で扱われる置換が挙げられる。
全単射であることを1対1上への写像[上への1対1写像] (one-to-one onto mapping)あるいは1対1対応 (one-to-one correspondence) ともいうが、紛らわしいのでここでは使用しない。
写像 f が全単射のとき、f は可逆であるともいう。
写像 f: A → B に対し、2つの条件
全射性: f(A) = B
単射性: 任意の A の元 a1, a2 について、f(a1) = f(a2) ならば a1 = a2
がともに成り立つとき、写像 f は全単射 (bijective) であるという。この用語はブルバキによる。
f: A → B が全単射であることは、
\forall\ b \in B,\,\exists\ !\ a \in A \text{ s.t. } b=f(a)
が成り立つことと等価である。実際、全射と単射の定義を合わせれば、全射の定義における存在記号 \exists を唯一存在記号 \exists\ ! に置き換えればよいことがすぐに分かる。
f: R → (0, ∞); f(x) := ex は全単射である。
f: (0, ∞) → R; f(x) := log x は全単射である。
f: (−pi/2, pi/2) → R; f(x) := tan x は全単射である。
冪集合 \mathcal{P}(\mathbb{N}) から R への全単射が存在する.
N, Z, Q, P の間の全単射が存在する.ここで P は素数の全体である.
R, C の間の全単射が存在する.また,a < b に対する閉区間 [a, b], 半開区間 (a, b], [a, b), 開区間 (a, b) や無限区間と R の間の全単射が存在する.
全単射は逆写像を持つ。実際、f: A → B が全単射であれば、B の任意の元 b に対し、f の全射性から f(a) = b となる a が存在するが、f の単射性からこのような a は b に対してただ一つしかないので、写像 g: B → A; f(a) mapsto a が作れる。逆に、逆写像を持つ写像は全単射に限るので、写像が全単射であることと逆写像を持つことは同値である。言い換えると、f: A → B が全単射であることと、g: B → A が存在して g\circ f=\mathrm{id}_A かつ f\circ g=\mathrm{id}_B となることは同値である。
2つの写像 f: A → B, g: B → C の合成写像 g \circ f \colon A \to C  が全単射ならば f は単射で、g は全射である。
2つの全単射が合成できるならば、その合成写像も全単射である。
集合 X 上の全単射全体の成す集合を SX とすると、SX は写像の合成に関して群を成す。これを X 上の置換群あるいは対称群と呼ぶ。
集合全体のつくるクラス(類)において、「2つの集合の間に全単射が存在する」 という関係は同値関係を定める。この同値関係により集合全体の成すクラスを類別して濃度の概念が定義される。すなわち、集合間で全単射が定義可能な場合、それらの集合は基数が等しい。
X, Y が同数の元を持つ有限集合の場合、写像 f: X → Y について、以下は同値である:
f は全単射である。
f は全射である。
f は単射である。