三十五角形
三十五角形(さんじゅうごかくけい、さんじゅうごかっけい、triacontapentagon)は、多角形の一つで、35本の辺と35個の頂点を持つ図形である。内角の和は5940°、対角線の本数は560本である。
正三十五角形においては、中心角と外角は10.285…°で、内角は169.714…°となる。一辺の長さが a の正三十五角形の面積 S は
S = \frac{35}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{35} \simeq 97.22046 a^2
\cos (2\pi/35)を平方根と立方根で表すことが可能である。
\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{35} =& \cos \left(\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{7}\right) \\
=& \cos \frac{\pi}{5}\cos \frac{\pi}{7}+\sin \frac{\pi}{5}\sin \frac{\pi}{7}\\
=& \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}+1\right) \cdot \cos \frac{\pi}{7}+\frac{1}{4}\left(\sqrt{10-2\sqrt{5}\right)\cdot \sin \frac{\pi}{7}\\
=& \frac{\sqrt{5}+1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3\left(20+2\sqrt[3]{28-84i\sqrt{3}+2\sqrt[3]{28+84i\sqrt{3}\right)}{12}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}{4}\cdot \frac{\sqrt{3\left(28-2\sqrt[3]{28-84i\sqrt{3}-2\sqrt[3]{28+84i\sqrt{3}\right)}{12}
\end{align}
\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{35}+2\cos\frac{32\pi}{35}+2\cos\frac{22\pi}{35}=\frac14 \left( 1+\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)} \right) = x_1 \\
2\cos\frac{4\pi}{35}+2\cos\frac{6\pi}{35}+2\cos\frac{26\pi}{35}=\frac14 \left( 1-\sqrt{5}+\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)} \right) = x_2 \\
2\cos\frac{8\pi}{35}+2\cos\frac{12\pi}{35}+2\cos\frac{18\pi}{35}=\frac14 \left( 1+\sqrt{5}+\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)} \right) = x_3 \\
2\cos\frac{16\pi}{35}+2\cos\frac{24\pi}{35}+2\cos\frac{34\pi}{35}=\frac14 \left( 1-\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)} \right) = x_4 \\
\end{align}
さらに、以下のような関係式が得られる。
\begin{align}
\left( 2\cos\frac{2\pi}{35} + \omega \cdot 2\cos\frac{32\pi}{35} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{22\pi}{35} \right)^3=& 3x_1+x_2+6x_3+12\cos\frac{2\pi}{5}+ 3\omega(2x_1+x_4+6\cos\frac{4\pi}{5})+3\omega^2 (2x_1+x_2+x_3) \\
=& \tfrac+ 3\omega\left(-3-5\sqrt{5}-2\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}-\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}\right)+3\omega^2 \left(4+2\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}+\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)} \right) }{4} \\
=& \tfrac-3\sqrt{3}\left(7+7\sqrt{5}+\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}+2\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}\right)i}{8} \\
\left( 2\cos\frac{2\pi}{35} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{32\pi}{35} + \omega \cdot 2\cos\frac{22\pi}{35} \right)^3=& 3x_1+x_2+6x_3+12\cos\frac{2\pi}{5}+ 3\omega^2(2x_1+x_4+6\cos\frac{4\pi}{5})+3\omega (2x_1+x_2+x_3) \\
=& \tfrac+ 3\omega^2 \left(-3-5\sqrt{5}-2\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}-\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}\right)+3\omega \left(4+2\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}+\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)} \right) }{4}\\
=& \tfrac+3\sqrt{3}\left(7+7\sqrt{5}+\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}+2\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}\right)i}{8} \\
\end{align}
\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{35} + \omega \cdot 2\cos\frac{32\pi}{35} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{22\pi}{35}=&\sqrt[3]{\tfrac-3\sqrt{3}\left(7+7\sqrt{5}+\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}+2\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}\right)i}{8} \\
2\cos\frac{2\pi}{35} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{32\pi}{35} + \omega \cdot 2\cos\frac{22\pi}{35}=&\sqrt[3]{\tfrac+3\sqrt{3}\left(7+7\sqrt{5}+\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}+2\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}\right)i}{8} \\
\end{align}
\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{35}=& \frac{1}{6} \left(\tfrac{ 1+\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)} }{4}+\sqrt[3]{\tfrac-3\sqrt{3}\left(7+7\sqrt{5}+\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}+2\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}\right)i}{8}+\sqrt[3]{\tfrac+3\sqrt{3}\left(7+7\sqrt{5}+\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}+2\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}\right)i}{8} \right) \\
\end{align}
正三十五角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正三十五角形は折紙により作図可能である。