特殊相対性理論
光円錐上の点 x は η(x, x) という座標系と無関係な値の符号で特徴づけられるので、4元ベクトルが時間的か、空間的か、光的かは原点を起点するどの慣性座標系からみても不変である事がわかる。特に、光円錐は原点を起点するどの慣性座標系からみても同一である。
原点Oを通る観測者から見た慣性座標系を一つ固定すると、前述のようにその慣性座標系における二つの位置ベクトル間のミンコフスキー内積は
:
と書ける。このような座標系で、
\vec{e}_0:=\begin{pmatrix}
1\\0\\0\\0
\end{pmatrix}、\vec{e}_1:=\begin{pmatrix}
0\\1\\0\\0
\end{pmatrix}、\vec{e}_2:=\begin{pmatrix}
0\\0\\1\\0
\end{pmatrix}、\vec{e}_3:=\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\1
\end{pmatrix}
と定義すると、e0、e1、e2、e3 はあきらかにミンコフスキー空間の基底であり、しかも
:
を満たす。
ユークリッド空間の類似からM2式を満たす基底 e0、e1、e2、e3 を正規直交基底と呼ぶ事にすると、慣性座標系から正規直交基底が1つ定まった事になる。e0 をこの基底の時間成分といい、e1、e2、e3 をこの基底の空間成分という。
逆にM2式の意味で正規直交基底である e0、e1、e2、e3 を一つ任意に選び、この基底における座標の成分表示を (ct, x, y, z) と書くことにすると、ミンコフスキー内積がM1式を満たすことを簡単に確認できる。
以上の議論から、原点にいる観測者の慣性座標系と正規直交基底は1対1に対応する事がわかる。従って以下両者を同一視する。
ただし、正規直交基底の中には、e0 が過去の方向を向いていたり、e1、e2、e3 が左手系だったりするものもあるので、このようなものは以下除外して考えるものとする。
運動している質点がミンコフスキー空間内に描く軌跡を世界線と言う。今、世界線が原点を通る直線となる質点の運動があるとし、その直線の(4元)方向ベクトルを u とする(長さは問わない)。
この質点の運動を慣性座標系 e0、e1、e2、e3 にいる観測者 A が原点で眺めるとする。この慣性座標系における u の成分表示を (ct, x, y, z) とすると、3次元ベクトル (x/t, y/t, z/t) は A から見た質点の速度ベクトルであると解釈できる。
次に u の速度を光速と比較してみる。u の速度が光を下回る必要十分条件は、x2 + y2 + z2 / t < c となることであるので、これを書き換えると、(ct)2 − x2 − y2 − z2 > 0 となる。ミンコフスキー計量の定義より、この式は η(u, u) > 0 と慣性座標系によらない形で表現できる。従って、η(u, u) > 0 であれば、どの慣性系から見ても光速度を下回り、逆に η(u,u) < 0 であれば どの慣性系から見ても光速度を上回る。
前述のように η(u, u) の正負によって、u を時間的もしくは空間的と呼ぶので、まとめると以下が結論づけられる:
方向ベクトル u が時間的 ⇔ 質点はどの慣性系から見ても光速を下回る
方向ベクトル u が空間的 ⇔ 質点はどの慣性系から見ても光速を上回る
方向ベクトル u が光的 ⇔ 質点はどの慣性系から見ても光速と等しい
最後のものは光速度不変の原理からの直接の帰結でもある。
なお、上の議論では、質点の世界線が直線である事を仮定したが、そうでない場合も原点での接線を u として同様の議論をする事で同じ結論が得られる。
ローレンツ変換とは、ミンコフスキー空間 V 上の線形変換 φ : V → V でミンコフスキー計量を変えないもの、すなわち任意の4元ベクトル a、b に対し、
\eta(\varphi(\vec{a}),\varphi(\vec{b}))=\eta(\vec{a},\vec{b})
が成立するものの事である。
ユークリッド空間で内積を変えない線形変換は合同変換であるので、ローレンツ変換とは、ミンコフスキー空間における合同変換の対応物である。
ただし正規直交基底の場合と同様、ローレンツ変換にも
が存在するのでこのようなものは以下除外して考える。
なお、空間方向の向き、時間方向の向きの両方を保つローレンツ変換を正規ローレンツ変換という事があるが、本項では以下、特に断りがない限り、単にローレンツ変換と言ったならば正規ローレンツ変換を指すものとする。
ローレンツ変換 φ と4元ベクトル b を使って
の形に書ける線形変換をポアンカレ変換という。特殊相対性理論では、2人の観測者が原点で出会ったケースにおいてローレンツ変換に関して議論する事が多いが、これは出会った場所を原点に平行移動した上で議論しているという事なので、実質的にはポアンカレ変換に関する議論である事が多い。
4次元ミンコフスキー空間 (V, η) では、 次の定理が成立する事が知られている。
この定理はユークリッド空間における2つの正規直交基底が直交変換により写りあう事の類似である。
前述のように、正規直交基底は慣性座標系と対応している。よって上の定理は、以下を意味する:慣性座標系から別の慣性座標系への座標変換はローレンツ変換である。
ローレンツ変換の具体的な形を求める為、まずは基底をより解析がしやすいものに置き換える。
基底 e0, e1, e2, e3 の「空間部分」である e1, e2, e3 の張るミンコフスキー空間上の部分空間を E とし、同様に基底 e′0, e′1, e′2, e′3 の空間部分である e′1, e′2, e′3 の張るミンコフスキー空間上の部分空間を E′ とする。これらはそれぞれの慣性座標系における空間方向を表している。
e1, e2, e3 を E 内で回転した別の正規直交基底に取り替えても、e0, e1, e2, e3 と実質的に同じ慣性系を表しているとみなしてよい。そこで (e1, e2, e3), (e′1, e′2, e′3) をそれぞれ E 内、E′ 内で回転することで、ローレンツ変換 φ の行列表示 Λ を簡単な形で表すことを試みる。
としてよい。
これらの基底に対し、L1式を満たすローレンツ変換 φ の行列表現を Λ  (Λμν)μν とする。これはすなわち、
(\vec{e}'_0, \vec{e}'_1, \vec{e}'_2, \vec{e}'_3)= (\vec{e}_0, \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)\Lambda
を満たすという事であり、これら2つの基底における座標の成分表示をそれぞれ (ct, x, y, z)、(ct′, x′, y′, z′)とすると
が成立するという事でもある。
e′2  e2、e′3  e3 であったので、ローレンツ変換の行列表示は、
\Lambda=\left(\begin{array}{cc|cc}*&&&\\&&&\\\hline&&1&\\&&&1\end{array}\right)
という形であり、ローレンツ変換がミンコフスキー空間における「回転」であったことを利用すれば、上の行列の(*)の部分が、
\left(\begin{array}{cc}\cosh\zeta&-\sinh\zeta\\-\sinh\zeta&\cosh\zeta\end{array}\right)
という形であることがわかる。これを導く厳密な方法はいくつかあるが、簡便な方法としては虚数単位 i を用いて時間軸を τ  ict と置く事で通常のユークリッド空間の回転とみなせる(ウィック回転)という事実を使うものがある。
最終的に2つの基底における座標の成分表示の関係L2式は以下のように書ける事がわかる。
定理(ローレンツ変換の具体的な形)
この値 ζ は正規直交基底の取り方に依存せず、ローレンツ変換 φ の固有値のみによって決まることが知られており、ζ を φ のラピディティという。なお、ζ は
\zeta=\operatorname{arccosh}(\eta(\vec{e}_0,\vec{e}'_0))
と具体的に求めることもできる。
慣性座標系 (ct, x, y ,z) にいる観測者 A は、原点を通過した後、(ct, 0, 0, 0) という直線(世界線)にそって進んでいく。この様子を別の観測者 B の慣性座標系 (ct′, x′, y′, z′) で記述した式はL3式に (x, y, z)  (0, 0, 0) を代入した
\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ct\cosh\zeta\\-ct\sinh\zeta\\0\\0\end{pmatrix}
によって表現できる。この世界線の「傾き」
x'/t'=-c\tanh\zeta
は2人の観測者の相対速度と解釈できるので、観測者 A から見た観測者 B の相対速度を v とすると、
v=c\tanh\zeta
となる。よって、
\cosh\zeta=\frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2\zeta}=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2},
\sinh\zeta=\frac{\tanh\zeta}{\sqrt{1-\tanh^2\zeta}=\frac{(v/c)}{\sqrt{1-(v/c)^2}
である。そこでローレンツ因子 γ を
と定義すると、以下が導かれる:
我々はL4式やそれと同値なL3式を導くとき、空間方向の座標変換をおこなった。これは別の見方をすると、ローレンツ変換から空間方向の回転成分を取り除いたものがL3式やL4式であるということである。
L3式やL4式のように書けるローレンツ変換、すなわち空間方向に回転しないローレンツ変換の事をローレンツ・ブーストと呼ぶ。
ローレンツ変換の式L4式において、v/c ≈ 0 (0に近似) とすると、L4式は、
\left(\begin{array}{c}ct'\\x'\\y'\\z'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ct\\x-vt\\y\\z\end{array}\right)
となり、ガリレイ変換に一致する。すなわち、「ニュートン力学近似」とは、慣性座標系間の相対速度 v が光速 c と比べて十分小さい場合の理論であるということが言える。
このことからニュートン力学はガリレイ変換に不変であるというガリレイの相対性原理は、特殊相対性理論では以下の形で成立していると考えられる:
全ての物理法則はローレンツ変換に対して不変でなければならない。
本節では光速を超えずに移動する観測者 A の感じる時間の長さ(観測者の固有時間)s が、A の世界線の(ミンコフスキー計量で測った)「長さ」に一致することを示す。
固有時間について述べる前に、まず慣性系から見た時間についての公式を与える。
x を世界点とし、(e0, e1, e2, e3) を原点における慣性座標系とする。このとき、以下が成立する:
ただしここでいう「時間の長さ」は c 秒を1単位として数えた時間である。秒を単位とした時間の長さの場合は右辺を c で割る必要がある。
実際、(e0, e1, e2, e3) における成分表示を (ct, x, y, z) とすると、x の起こる時刻は x を時間軸方向へ射影したものに一致するが、x を時間軸方向へ射影した値は η(x,e0) である。
本節では以下を示す:時間的もしくは光的な4元ベクトル u に沿って原点から u の終点まで直線的に動く観測者の固有時間 s は u のミンコフスキー・ノルム \|\vec{u}\|=\sqrt{\eta(\vec{u},\vec{u})} に一致する。
なお、u が時間的もしくは光的な4元ベクトルであることから η(u, u) > 0 であるので、上式の平方根は意味を持つ。
ただしここでいう「時間の長さ」は c 秒を1単位として数えた時間である。秒を単位とした時間の長さは τ  s/c である。
上の事実を示すため、O から u に沿って移動する観測者を考えると、この観測者の慣性座標系は、e0  u / !!u!! を時間方向の単位(4元)ベクトルとする正規直交基底 (e0, e1, e2, e3) により表せる。この座標系に前述の公式を適用すれば、この座標系で観測者が原点から u の終点まで世界線を移動するのにかかる固有時間は
となり、最初の公式が示された。
上では観測者が原点を通る世界線に沿って移動する場合について述べたが、原点を通らない世界線に関しても、観測者が上を u から w まで直線的に動く間に !!u - w!! の固有時間が流れる事を同様の議論により証明できる。
本節では光速を超えずに移動する観測者 A の世界線 C が曲線である場合に対して A の固有時間を求める方法を述べる。
観測者 A の時空間上の位置 x が実数 r によってパラメトライズされて x  x(r) と書けているとすると、観測者が x(r0) から x(r0 + Δr) まで移動する間に、
\Delta s=\| \vec{x}(r_0+\Delta r)- \vec{x}(r_0) \|= \left\|\frac{\Delta\vec{x}{\Delta r}\right\| \Delta r
の固有時間が流れることになる。したがって観測者 A が C に沿って動いた際に流れる固有時間 s は以下のように求まる:
これはユークリッド空間において曲線の長さを求める弧長積分のミンコフスキー空間版であるので、上の公式は、観測者 A の固有時間が A の描く世界線 C の「長さ」に一致することを意味している。
次に上で示した式を慣性座標で表す。A とは別の観測者 B が慣性運動しており、B の慣性座標系 (ct, x, y, z) における A の位置 x(r) が
と書けていたとすると、以下が言える:
以上の議論では変数 r で世界線 C をパラメトライズしたが、物理学的に自然な値である秒を単位とした固有時 τ そのものを使って、x  x(τ) とパラメトライズするのが一般的である。このようにパラメトライズしたとき、質点 x の4元速度 u と4元加速度 a を以下のように定義する:
\vec{u}:=\frac{\mathrm{d}\vec{x}{\mathrm{d}\tau}、 \vec{a}:=\frac{\mathrm{d}^2\vec{x}{\mathrm{d}\tau^2}.
すなわち、x のミンコフスキー空間上の位置の変化率を固有時間 τ で測ったものが4元速度で、4元速度の変化率を τ で測ったものが4元加速度である。
4元速度のミンコフスキー・ノルムは
\frac{1}{c}\left\|\frac{\mathrm{d}\vec{x}{\mathrm{d}\tau}\right\| = \frac{\| \mathrm{d}\vec{x} \| }{ \mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}s} = 1
を満たす。このことから、4元速度は x の世界線の接線で長さが c であるものである事がわかる。この事実は、ユークリッド空間の曲線を弧長で微分したときの長さが1になることと対応している。長さが1でなく c なのは時間の単位が c 秒でなく1秒だからである。
以上の事から4元速度のミンコフスキー・ノルムの2乗が定数 c2 なので、これを微分する事で
である事がわかる。すなわち4元速度と4元加速度は「直交」している。
変分法を用いる事で、以下の事実を示せる:ミンコフスキー空間上の2つの世界点 x, y を結ぶ世界線(で光速度未満のもの)のうち、最も固有時間が長くなるのは、x と y を直線的に結ぶ世界線である。
x から y へと直線的に動く観測者は慣性系にいることになるので、これは慣性運動している場合が最も固有時間が長くなる事を意味する。
固有時間が世界線の「長さ」であった事に着目すると、上述した事実は、ユークリッド空間上の二点を結ぶ最短線が直線であることに対応している事がわかる。なお、ユークリッド空間では「最短」であったはずの直線がミンコフスキー空間上では「最大」に変わっているのは、ミンコフスキーノルムの2乗 (ct)2 − x2 − y2 − z2 の空間部分がユークリッドノルムの2乗 x2 + y2 + z2 とは符号が反対である事に起因する。
ニュートン力学では、3次元空間のガリレイ変換に対して不変になるように理論が構築されている。それに対し特殊相対性理論では、4次元時空間のローレンツ変換に対して不変になるように理論を構築する必要があるので、ニュートン力学の概念をそのまま用いることはできない。本節では、ニュートン力学の諸概念を「4次元化」し、それがローレンツ変換(と平行移動)に対して不変になることを示すことで特殊相対性理論における力学を構築する。
以下、記法を簡単にするため、4元ベクトルの成分を
などと書くことにする。
光速を超えないで運動する質点 x の世界線を x  x(τ) と秒を単位とした固有時 τ でパラメトライズする。このとき、質点 x の4元運動量を
\vec{p}:=m\frac{\mathrm{d}\vec{x}{\mathrm{d}\tau}
と定義する。ここで m は質点 x の慣性座標における質量(静止質量と呼ぶ)である。すなわち、4元運動量は、4元速度に静止質量を掛けたものである。
4元運動量の物理学的意味を見るため、慣性座標系 (x0, x1, x2, x3) を固定し、p をこの座標系に関して p  (p0, p1, p2, p3) と成分表示する。
i  1, 2, 3 に対し、4元運動量の定義より、
p^i=m\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}\tau}=\frac{m\mathrm{d}x^i/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau/\mathrm{d}t}=\frac{mv^i}{\sqrt{1-(v/c)^2}
である。ここで v  (v1, v2, v3) はこの慣性座標系における質点の速度ベクトルであり、v  !v!である。
v / c → 0 の極限において pi は mvi に漸近するので、4元運動量の空間部分 (p1, p2, p3) はニュートン力学の運動量 (mv1, mv2, mv3) をローレンツ変換で不変にしたものであるとみなす事ができる。
また、(p1, p2, p3) は質点の「見かけ上の重さ」が
M:=\frac{m}{\sqrt{1-(v/c)^2}
である場合の運動量とみなすこともできる。
4元運動量の時間成分 p0 に c を掛けたものをテイラー展開すると、
\begin{align}cp^0&=cm\frac{\mathrm{d}x^0}{\mathrm{d}\tau}=\frac{m\mathrm{d}x^0/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau/\mathrm{d}t}\\&=\frac{mc^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}=mc^2+\frac{mv^2}{2}+\cdots\end{align}
である。
第二項はニュートン力学における運動エネルギーであるので cp0 はエネルギーに相当していると考えられる。
もエネルギーを表していると解釈できる。この値は質点が例え慣性系に対して静止していて v  0 であっても持つエネルギーであることから、この値を質点の静止質量エネルギーと呼ぶ。
質量 m を持つこととエネルギー mc² を持つことは等価であり、質量欠損や核反応・対消滅に伴うエネルギー放出・吸収から確かめられている。
4元運動量のミンコフスキー・ノルムは
\left\|\frac{\mathrm{d}\vec{p}{\mathrm{d}\tau}\right\|=m\left\|\frac{\mathrm{d}\vec{x}{\mathrm{d}\tau}\right\|=m\frac{\| \mathrm{d}\vec{x} \〕{\mathrm{d}\tau}=m\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\tau}=mc
である。一方、慣性座標系を1つ固定して4元運動量を成分表示したとき、前に示したように、E  cp0 はエネルギーを表し、p  (p1, p2, p3) は運動量に対応していた。運動量の大きさを p  !p! とすると、E と p は以下の関係式を満たす:
(mc^2)^2=\|c\vec{p}\|^2=(cp^0)^2-|c\boldsymbol{p}|^2=E^2-(cp)^2.
左辺は慣性系によらないので、E2 − (cp)2 は慣性系によらず一定値 (mc2)2 になることを意味する。
p ≪ mc であれば上の式は
E=\sqrt{(mc^2)^2+(cp)^2}=mc^2+\frac{p^2}{2m}+\cdots
となり、静止質量エネルギー mc2 を無視すれば、p2 / 2m が質点の運動エネルギーに相当するというニュートン力学の式に対応していることがわかる。
光速で移動する有限のエネルギーを持った粒子を考える。この時、mγc² の γ が無限大に発散してしまうので、m  0 でなければならない。この逆も成立するため、質量を持たずに有限のエネルギーを持つ物質は常に光速で走り続けねばならず、また光速で移動するエネルギーを持つ物質はすべて質量が0であることが分かる。
特殊相対性理論以前の電磁気学において、J.J.トムソンやワルター・カウフマンによって電子の質量の速さ依存性が指摘されていた。それを説明する理論としてマックス・アブラハムは、電子の慣性質量の起源を全て電磁場に求めるという電磁質量概念Electromagnetic massを提唱したが、電子以外の物質の構成要素に対して一般化することができなかった。
一方、特殊相対性理論はその物質の質量の速さ依存性についての一般的な説明と慣性質量とエネルギーに関する普遍的な関係を与える。
すでに運動量の概念を4元ベクトル化したので、力の概念を4元ベクトル化した4元力 f が定義できれば、 ニュートンによる質点の運動方程式 f  dp / dt をローレンツ変換に不変にした特殊相対性理論の運動方程式
\vec{f}=m\frac{\mathrm{d}\vec{p}{\mathrm{d}t}
が定式化できる。
現在知られている4種類の力のうち、電磁気力、強い力、弱い力の3つは4元力として表現可能な事が知られている。このうち電磁気力を4元力として表現する方法は後の節で述べる。
一方、重力は特殊相対性理論の範囲で4元ベクトル化しようとしてもローレンツ変換に対して不変にならないためうまくいかない。重力を扱うには一般相対性理論が必要となる。
特殊相対性理論から導かれる帰結として、たとえば、主に以下の事項を挙げることができる。項目ごとの詳細は後述する。
ある観測者(A, Bとする)が有限の速度差をもって互いに運動(相対運動)するとき、一方の観測者Aから観測したもう一方の観測者Bの時計の時刻の遅れが生じる。このずれの大きさは相対運動の速さによる(#時間(時刻の隔たり)の伸び)。この観測のずれはまさに「相対的」であり、もう一方の観測者Bから観測者Aの持つ時計を観測しても遅れを認めることができる。観測者AとBは等価であり、双方が双方の時計に(自身の持つ時計と比べて)遅れが生じていると観測できる。(「観測者Aと観測者Bのどちらかの時計が誤りである」あるいは「観測者Aでも観測者Bでもない"絶対時間"を指す正しい時計が存在する」、といった考え方を特殊相対性理論は放棄している)
相対運動する物体どうしは、互いに相手からは縮んで見える(#ローレンツ収縮)。これも上記の考え方に類似であり、どちらかの観測者のモノサシが誤っていたり、"絶対空間"にある正しいモノサシは存在したりはしない。
エネルギーと質量は可換であり、観測者・観測対象の運動状態によって(座標変換によって)双方は相互に変換される。
速度の合成則は非線形接続である。たとえば、観測者に対して光速の0.6倍で動く宇宙船から、(宇宙船からみて)光速の0.6倍で物体を進行方向に射出しても、観測者から見た宇宙船からの射出部隊の速度は光速の1.2倍にはならない。(#速度の合成則)
運動する物体は高速になるほど加速しづらくなり、光速に到達することはない。
次の事柄は、特殊相対性理論の前提あるいは理論展開(#特殊相対性理論の基礎)するところそのものである。特殊相対論によって座標変換に関して対称な簡潔な数式系にまとめられることができたこと、さらに、後に実験事実として得た諸結果が特殊相対性理論によく整合したことから、物理の基本原理として、これらはより支持されるようになった(#特殊相対性理論の実験的検証)。
光の速度は観測者の移動の影響を受けず一定値である。
慣性系相互の座標変換において、物理法則を普遍に保つ変換則はローレンツ変換である。
マクスウェル方程式は修正する必要はない。
以下では話を簡単にするため時間1次元+空間1次元の計2次元の場合について述べる。
ある慣性系 (ct′, x′) において静止している剛体について、この慣性系 (ct′, x′) で測った剛体の長さをこの剛体の固有長さと呼ぶ。
今、固有長さ l の棒が慣性系 (ct′, x′) に対して静止しており、これを別の慣性系 (ct, x) から眺めたとする。話を簡単にするため、2つの慣性系の原点はいずれも棒の1つの端点 O に一致しているものとする。
棒は慣性系 (ct′, x′) に対して静止しているので、棒の他方の端点が描く世界線 C は (ct′, l) と t′ でパラメトライズできる。
慣性系 (ct, x) における現在 (0, x) と世界線 C との交わりはローレンツ変換により
\begin{pmatrix}ct'\\l\\\end{pmatrix} = \gamma\begin{pmatrix}c\cdot0+x\cdot(v/c)\\x-v\cdot0\\\end{pmatrix}
なので、棒の長さは
となる。ここで γ > 1 はローレンツ因子 1/1 − (v/c)2 である。
これにしたがうと、棒に対して長さ方向に運動している座標系からみると、棒の長さは 1/γ 倍に縮んだかのように見える。この現象を ローレンツ収縮もしくはフィッツジェラルド=ローレンツ収縮という。
地上で(地面に対して)静止している観測者からみて、高速で飛んでいるロケットは(地上に)停まっているときよりも短く見える(進行方向に収縮している)。
地上から上空へ向かうロケットを地上から観測したとき、ロケットの後端に設置した時計は、ロケットの先端に設置した時計よりずれが大きい。このとき、ロケットに乗る観測者からすれば、ロケットの速度での運動座標系において、ロケットの後端と先端の時計が刻む時刻は同時に見える。
なお、実際にはロケットが観測者にどのように見えるかという点については、特殊相対性理論による時刻・座標のずれに加えて、ロケット各部からの光の到達時刻を加味する必要がある(これを考慮に入れた場合、さらに歪んだ見え方となりうる)
ローレンツ収縮は、アインシュタインが特殊相対性理論を提案する以前に、ローレンツとフィッツジェラルドが独立に提案したものである。彼らの提案は、数式上は特殊相対性理論のそれと同一であるが、彼らの理論はエーテル仮説を前提としており、物体は「エーテルの風」を受けて3次元空間内で実際に縮むとするものであった。すなわち、あくまでも彼らは「エーテルが静止している絶対空間がある」という考えのもとに立っていた。
それに対して、特殊相対性理論では、ローレンツ収縮を4次元時空間の各観測者ごとの座標系において解釈したものであり、絶対空間や絶対時間の存在を前提としない。前述のように慣性系によって測っている場所が違う事が収縮の起こる原因である。