半減期
半減期(はんげんき、half-life)とは、ある放射性同位体が、放射性崩壊によってその内の半分が別の核種に変化するまでにかかる時間を言う素粒子物理学においては、半減期ではなく平均寿命を用いることが一般的である。平均寿命は自然対数の底の逆数、すなわち約0.368...にまで減少する時間のことであり、半減期の\frac{1}{ln(2)} \simeq 1.443倍に相当する。。
放射能を持つ元素(放射性同位体原子番号が同じで質量数の異なる元素を同位体(isotope、アイソトープ)という。さらに、放射線を放出して原子核が放射性崩壊する性質(放射能)をもつ同位元素は放射性同位体(radioisotope、ラジオアイソトープ)と呼ばれる。)の原子核はいずれ放射性崩壊をして他の元素に変化していくが、その崩壊は一定時間の間に一定の確率で起こる。はじめの原子数が N 個であるとき、その半分 N/2 個が放射性崩壊するまでの時間をその放射性同位体の半減期 (half-life) と呼ぶ。または、ある放射性同位体の放射能 (activity) を A とするとき、それが時間経過によって半分 A/2 になるまでの時間を言う(同値性については後述)崩壊する量は放射性物質の量に比例する。例えば10万ベクレルの放射性物質があった場合には、半減期が経過すれば5万ベクレル減少するが、100 Bqの放射性物質であれば、半減期が経過しても50 Bqしか減らない。
半減期が経過するごとに、初期量の1/2,1/4,1/8・・・と指数関数的に放射性物質が減少していく。ただし、半減期は統計的な量であり、個々の原子の崩壊を予測することはできない。原子数がゼロに近づけば、大数の法則が成立せず確率ゆらぎも大きくなるため半減期による計算の精度も落ちる(上の図のシミュレーションも参考)。ただ、実用上放射性物質がほとんどなくなるまでの時間は、検出下限値に減少する時間として、計算が可能である。。
半減期は放射性同位体(核種)の安定度を示す値でもあり、半減期が長ければ安定であり、逆に半減期が短ければ短いほど不安定な核種ということになる中性子、中間子などの素粒子も、放射性核種と同じように一定の半減期でより安定な素粒子に変わっていく。。
放射性同位体の放射性崩壊は自然に発生するもので、放射性同位体ごとに定まる確率(崩壊定数)のみによって左右されるものである放射性崩壊は指数過程によって記述されるため無記憶過程であり、崩壊していく速度は物質の出入りがゼロであれば一定である。。すなわち、崩壊までの期間はその物質の置かれている古典物理学的・化学的環境(熱・電磁場・化学反応など)には一切依存しないこれは理論的には、原子核の結合エネルギーが数千万eVと原子の結合エネルギーに比して極めて大きいため、原子核外部の物理現象では内部変化が起こらないためである。。もともと原子力は放射性物質の半減期を短くすれば、放射性物質の崩壊エネルギーをより短期間に取り出せるだろうということで半減期を短くする研究が行われたが古典物理学的な手法によるものはことごとく失敗した例えばラザフォードはラジウムに対して、
2500度、1000気圧の環境に置く
絶対零度近くの極低温、超高温の環境に置く
などの古典物理学的実験を行ったが、ラジウムの半減期は一切変化しなかった。ただし、これは崩壊の速度を変化させることが原理的に絶対不可能という意味ではない。これらの作用が原子核の放射性崩壊に影響を及ぼしていないという結論が重要である。。
人工的に原子核の崩壊を起こすには加速器などを用いなくてはならない。また、人工的に原子核の崩壊を起こして、半減期よりも早く放射性核子を減らす手法としては核変換技術と呼ばれる技術が研究されている。
なお、一つの放射性核種を対象として、その放射性核種がいつ崩壊するかを決定論的に予想することも出来ないこの一つ一つの崩壊する時間間隔の確率は指数分布に従い、単位時間あたりの崩壊はポアソン分布になる。これはガイガーカウンターなどを用いて放射線を計測すると、単位時間あたり計測値がポアソン分布になり、放射線を計測すると音が鳴る機種であれば、その音の間隔が指数分布となる所以である。また指数分布の無記憶性により、ガイガーカウンターである期間放射線を計測しなくても、それから時間tが経過するまでに計数する期待値は変わらない。このように確率現象である放射性物質の崩壊であっても、十分大きな量の放射性同位体や素粒子などが崩壊する際に、いわゆる大数の法則として定式化されたものが半減期である。。
ある特定の放射性同位体の個数、放射能の時間変化は以下のように計算される。統計学的には、核崩壊する確率は指数分布を用いて表すことができる。ただし、以下は一次反応のみであり、娘核種も放射能を持ち時間変化により親・娘量核種の総放射能を求めるといった場合を考慮していない。その場合は連立微分方程式を立てて解かねばならない。なお、これらの半減期の長さによって任意の時間が経過したときの放射能の強さは放射平衡によって論じられる。
放射性同位体の時間経過にともなう原子数の変化は微分方程式として記述することができる。放射性同位体の種類によって固有の崩壊定数を持つが、いま原子数の時間的変化をもとめたい放射性同位体の崩壊定数を λ とする。なお、t=0 のときのその放射性同位体の原子数を N0 とする。
時刻 t における原子数を N(t) は微分方程式
\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N(t)
に従う。この解は初期条件 N(0) = N0 から、
N(t) = N_0 e^{-\lambda t}
となる。これが、崩壊定数 λ をもつ放射性同位体の時間経過にともなう原子数の変化を表す式である。
崩壊定数 λ から半減期を求める計算式を導出する。
いま、崩壊定数 λ を持つ放射性同位体の半減期を t1/2 とする。t=0 のときその放射性同位体は前節同様 N(0) = N0 個あるとし、半減期 t1/2 の定義から、
N(t_{1/2}) = N_0 / 2
が成り立つ。N(t_{1/2}) = N_0 \exp(-\lambda t_{1/2}) から、
t_{1/2} = \ln (2) / \lambda \approx 0.693 / \lambda
である半減期 t1/2 は t1/2 = ln(2)/λ で計算することができるが、同様に n 分の 1 になる期間 t1/n は
t1/n = ln(n)/λ
で計算することができる。放射能の数値の桁が一桁小さくなる期間を算出するにあたって
t1/10 = ln(10)/λ
は重要である。例えばプルトニウム239の場合24000×3.3≒80000と約8万年でようやく一桁減少するということである。二桁減少するまでの期間は8万年の二倍の16万年、三桁であれば24万年と暗算で何桁減るのに何年かかるということが簡単に求めることができる。
なお、t1/10 半減期から算出できる。半減期 t1/2 は ln(2) であることから ln(10) = a×ln(2) となる係数 a は
a = ln(10)/ln(2) ≒ 2.3/0.693 ≒ 3.3
と半減期を約3.3倍すれば10分の1になる時間 t1/10 の近似値が得られることがわかる。
。
放射崩壊において半減期と崩壊定数は核種に固有な値をとるので、半減期または崩壊定数の測定・推定値から核種を推定できる。また、物質の流出入が閉じた系(化石、火成岩など)では放射能の減衰度合いと半減期から逆算して年代測定に用いられる。
ある放射性同位体が単位時間あたりに崩壊する個数をその放射性同位体の放射能 (activity) と呼ぶ。放射能の単位はベクレル(記号:Bq)である。放射能を A(t)  は以下のように定義される。
A(t) = \left| \frac{dN}{dt} \right|
前節のように原子数の時間変化の式を考慮すれば、
A(t) = \lambda N(t) = \lambda N(0) \mathrm{e}^{-\lambda t}
と表すこともできる。式からわかるように、放射能は放射性同位体の原子数に比例する。このことから、半減期を放射能が半減するまでにかかる時間と定義しても同値であることがわかる。
崩壊定数が不明な放射性同位体が存在すれば、単純に放射能の減衰を測定し、その結果から半分になる時間を計算すれば半減期(さらには崩壊定数)を求めることができる。なお、半減期を基に 1/2 だけではなく 1/4、1/8 になる時間も算出できる。
元素にもよるが、放射性物質を体内に取り込んだ場合、時間が経つにつれ放射性物質は代謝によって体外に排出されてゆく。そこで、体内にある放射性物質の量が代謝により半分にまで減少するときの時間を生物学的半減期 (biological half-life) と言う。
生物学的半減期は物理学的半減期とはメカニズムとして全く別のものであるため、代謝によって放射性同位体が排出されるとともに放射性同位体の放射性崩壊を起こすことによっても体内の放射性物質の量は減少してゆく。この生物学的代謝と放射性崩壊による減少を合算して、実際に体内の放射性物質の量が半分になるまでの時間を実効半減期 (effective half-life) と呼ぶ。実効半減期 Te は、その逆数が生物学的半減期 Tb の逆数と物理的半減期 Tp の逆数との和となることから求める。
つまり、実効半減期 Te、物理学的半減期 Tp及び生物学的半減期 Tb は、
\frac{1}{T_{\mathrm{e}} = \frac{1}{T_{\mathrm{p}} + \frac{1}{T_{\mathrm{b}}
を満たすここで生物学的半減期が物理的半減期に比べて十分長い場合(ヨウ素131の場合物理的半減期8日に対して生物学的半減期が138日であるため、このケースになる)、体内で壊変によって壊れるほうが多いのでほとんど排出されずに体内で崩壊し、被曝の影響が大きくなる。一方で、逆に生物学的半減期に対して物理的半減期が長い場合(これは生物学的半減期が70日程度のセシウムのケースである)、体内で壊変するよりも体外に排出される割合のほうが多くなる。あくまでこれは1度限り摂取した場合であって、継続的に摂取した場合は、1日あたりの摂取量が同じであるとすれば摂取量と排出量が平衡に達する程度までは濃縮する危険性がある。
この度合いは生物学的半減期が長いほど影響が大きい。このことから生物学的半減期が長い核種は短い核種よりも1日あたりの排出量が少ないため、ほとんど体外に排出されずに体内にたまっていき、したがって前者とくらべ多く濃縮されるため、なるべく摂取を避ける事が望ましい。また排出を促す薬には、生物学的半減期を短くする効果があると解釈できる。。
崩壊定数 λ の放射性物質が、単位時間あたりにQずつ増える系を考えれば、微分方程式
で与えられる。
この解は、
である。
この式は単位時間あたりにQ摂取し(単位時間あたりの一定量増加)、壊変による減衰を無視し、生物学的半減期による減衰(崩壊定数は生物学的半減期のものを用いる)を考えれば一定量の放射性物質を毎日摂取し続けた場合の体内濃度が計算できることは明らかであろう。
放射性崩壊において、崩壊する元の核種を親核種 (parent nuclide) と呼び、崩壊によって生成された核種を娘核種 (daughter nuclide) と呼ぶ。核種が放射線を出さない安定した核種であるとは限らない。ウラニウム、プルトニウム、トリウムなどの核種は、崩壊しても安定同位体とはならず、崩壊系列を成す。
娘核種も放射能を持つとき、放射性物質の放射能の減衰は単純な時間的な指数関数的減少とは異なり、親核種と娘核種に関する連立微分方程式を立てなくてはならない。一般に、娘核種の半減期が親核種の半減期よりも長い場合、時間とともに親核種が崩壊してゆくため、娘核種のみが残ることになる。また逆に、娘核種の半減期が親核種よりも短い場合、放射性平衡 (radioactive equilibrium) と呼ばれる平衡状態が成立する。放射性平衡が成り立つときは単純な結果を得ることができる。
たとえば放射性物質Aが崩壊してB、Bも放射性物質であり、これが崩壊してCになりこれは安定核であったとすれば、それらの任意の時刻tにおける量は連立微分方程式
\begin{align}
\frac{dN_\mathrm{A}{dt} &= -\lambda_\mathrm{A} N_\mathrm{A} \\
\frac{dN_\mathrm{B}{dt} &= \lambda_\mathrm{A} N_\mathrm{A} - \lambda_\mathrm{B} N_\mathrm{B} \\
\frac{dN_\mathrm{C}{dt} &= \lambda_\mathrm{B} N_\mathrm{B} - \lambda_\mathrm{C} N_\mathrm{C}
\end{align}
によって表される。これを逐次崩壊という。容易に拡張されるように、プルトニウムなどの3つ以上の崩壊系列をなす核種ではn番目の放射能の量は
\frac{dN_{n}{dt}=\lambda_{n-1}{N_{n-1}-\lambda_{n}{N_{n}
で与えられることが推測できるが、ここではおもに三段階の崩壊の場合についてのみ述べる。ここでAのみがあった状態で初期条件 t = 0 を与えれば明らかに、Aの量がそのまま初期値であり、2番目以降はゼロであることは明らかである。Aの初期値をN0とおけばそれぞれの任意の時刻の放射能は
\begin{align}
N_\mathrm{A}(t) &= N_{0} e^{-\lambda_\mathrm{A}t} \\
N_\mathrm{B}(t) &= N_{0} \lambda_\mathrm{A} \frac{e^{-\lambda_\mathrm{A}t} - e^{-\lambda_\mathrm{B}t}{\lambda_\mathrm{B} - \lambda_\mathrm{A} \\
N_\mathrm{C}(t) &= N_{0} \lambda_\mathrm{A} \lambda_\mathrm{B} \left(
\frac{e^{-\lambda_\mathrm{A}t}{(\lambda_\mathrm{B} - \lambda_\mathrm{A}) (\lambda_\mathrm{C} - \lambda_\mathrm{A})}
- \frac{e^{-\lambda_\mathrm{B}t}{(\lambda_\mathrm{B} - \lambda_\mathrm{A}) (\lambda_\mathrm{C} - \lambda_\mathrm{B})}
+ \frac{e^{-\lambda_\mathrm{C}t}{(\lambda_\mathrm{A} - \lambda_\mathrm{C}) (\lambda_\mathrm{B} - \lambda_\mathrm{C})}
\right)
\end{align}
で与えられる。ここで、Aは単調減少であり、B、C等は最初は増加するものの平衡に達すると減少へと転ずる。AよりBの崩壊定数が大きい(λA < λB)とき、十分大きな時間 t が経過すれば
\exp({-\lambda_\mathrm{A}t}) \gg \exp({-\lambda_\mathrm{B}t})
すなわちBのほうが早く減少するため、N_\mathrm{B} / N_\mathrm{A} \ll 1として
N_\mathrm{B} \approx \frac{N_{0}\lambda_\mathrm{A}{\lambda_\mathrm{B}-\lambda_\mathrm{A}e^{-\lambda_\mathrm{A}t}
のように近似できるわけであるが、これこそが過度平衡である。さらに、Aの半減期が圧倒的に長く、λA ≪ λB といった状態では適当な時間が経過するならば
\lambda_\mathrm{A} N_\mathrm{A} = \lambda_\mathrm{B} N_\mathrm{B} = \lambda_\mathrm{C} N_\mathrm{C} = \dotsb
と崩壊率が等しくなる。存在比は上記式より
N_\mathrm{A}:N_\mathrm{B}:N_\mathrm{C}:\dotsb = 1/\lambda_\mathrm{A}:1/\lambda_\mathrm{B}:1/\lambda_\mathrm{C}:\dotsb = T_\mathrm{A}:T_\mathrm{B}:T_\mathrm{C}:\dotsb
がただちに得られる。これを永年平衡または永続平衡という。
ある放射性物質が一定の確率で、n個の別の核種(より正確には別の崩壊モードで崩壊することである)にそれぞれ崩壊する場合、全崩壊定数 λ(分岐を問わずに崩壊する確率)はi番目に崩壊する崩壊定数を λi とすれば、
\lambda=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\dotsb+\lambda_{n}
という関係が成り立つ。崩壊定数は半減期の逆数であるため
\frac{\ln(2)}{T_{1/2}=\lambda
という関係が成立する。つまり、同じ核種が異なる半減期 ti や崩壊モードで複数の娘核種・状態に壊変する現象では上記式に代入することによって
\frac{1}{T}=\ln(2)\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{t_{i}=\ln(2)\left(\frac{1}{t_{1}+\frac{1}{t_{2}+\dotsb+\frac{1}{t_{n}\right)
のような関係が得られる。ここで1/Tは全半減期である。これが崩壊定数の総和と同値であることは明らかであろう。また平均寿命については崩壊定数と逆数であるため、(どのような崩壊かを問わずに)崩壊する場合の平均寿命についてはその各々の平均寿命の逆数の総和が、前者について成立するということである。つまり
\frac{1}{\tau}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\tau_{i}=\frac{1}{\tau_{1}+\frac{1}{\tau_{2}+\dotsb+\frac{1}{\tau_{n}
であり、
\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\tau_{i}=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}
という関係が成立するという意味である。
これを仮に全崩壊定数と名付け、ここで全崩壊定数を λ とおいたとき、各々の事象 λ1、λ2、... に崩壊する確率はそれぞれ λ1/λ、λ2/λ、... によって与えられ、これを分岐比と呼ぶ。