ローレンツ群
\sigma_2 = \left[ \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix} \right], \; \;
\sigma_3 = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right]
ここでの目的のためには、別の生成子がより便利である。下表その六つの生成子の一覧を挙げる。表の見方は、
最初の行は(リーマン球面から立体射影した後の)ユークリッド平面上の実ベクトル場としてのメビウス群の作用の下のフローの生成子を示す。
二行目は対応するメビウス変換の1パラメータ部分群を示す。
三行目は対応する(上の1パラメータ部分群を準同型写像でうつした)ローレンツ変換の1パラメータ部分群を示す。
四行目は対応するミンコフスキー時空上の実ベクトル場としてのローレンツ群の作用の下のフローの生成子を示す。
これらの生成子は次からなることに注意されたい。
二つの放物型(ヌル回転)
一つの双曲型(∂z 方向のブースト)
三つの楕円型(x,y,z 軸まわりの回転)
この表の一列を検証してみよう。始めに、
\sigma_2 = \left[ \begin{matrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{matrix} \right]
を指数関数に入れて次を得る。
\exp \left( \frac{ i \theta}{2} \, \sigma_2 \right) =
\left[ \begin{matrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{matrix} \right]
この SL(2, C) の要素は(楕円型)メビウス変換の1パラメータ部分群の表現である。
\xi \mapsto \frac{ \cos(\theta/2) \, \xi - \sin(\theta/2) }{ \sin(\theta/2) \, \xi + \cos(\theta/2) }
さらに次を得る。
\left . \frac{d\xi}{d\theta} \right|_{\theta=0} = -\frac{1+\xi^2}{2}
対応する C 上のベクトル場(立体射影の下の S2 の像と考えることができる)は
-\frac{1+\xi^2}{2} \, \partial_\xi
\xi = u + i v と書くことにすると、これは R2 上のベクトル場となる。
-\frac{1+u^2-v^2}{2} \, \partial_u - u v \, \partial_v
SL(2, C) の要素に戻り、作用  X \mapsto P X P^*  を書き出して項を集めると、スピノル写像の像は次の SO+(1, 3) の要素であることがわかる。
\left[ \begin{matrix} 1 & 0             & 0 & 0            \\
0 & \cos(\theta)  & 0 & \sin(\theta) \\
0 & 0             & 1 & 0            \\
0 & -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{matrix} \right]
θ で微分して θ=0 を代入すると、対応する R4 上のベクトル場が得られる。
z \partial_x - x \partial_z
これは明らかに y 軸まわりの反時計回り回転である。
ローレンツ群のリー代数の部分代数はを共役による違いを除いて列挙することができる。そこから、制限ローレンツ群の閉じた部分群を共役の違いを除いて列挙することができる。(詳細についてはを参照のこと。) その結果は上の表に挙げた生成系により容易に表現できる。
その一次元部分代数はもちろんローレンツ群の四つの共役類に次のように対応する。
X_1 により放物型1パラメータ部分代数 SO(0, 1) が生成される。
X_3 によりブーストの1パラメータ部分代数 SO(1, 1) が生成される。
X_4 により回転の1パラメータ部分代数 SO(2) が生成される。
X_3 + a X_4 (a \neq 0 は任意) により斜航型変換の1パラメータ部分代数が生成される。
(厳密に言うと、最後の生成子は a が違えば違う類に対応するため、無限の類に対応する。)二次元部分代数については、
X_1, X_2 により放物型全体のアーベル部分代数が生成される。
X_1, X_3 により、アフィン群 A(1) に同型な非アーベル部分代数が生成される。
X_3, X_4 により、不動点対を共有するブースト、回転、斜航型変換からなるアーベル部分代数が生成される。
三次元部分代数については、
X_1,X_2,X_3 により、「ユークリッド相似群」Hom(2) のリー代数と同型な、ビアンキ V 型部分代数が生成される。
X_1,X_2,X_4 により、ユークリッド群 E(2) と同型な、ビアンキ VII_0 型部分代数が生成される。
X_2,X_2,X_3 + a X_4 (ただし a \neq 0)により、ビアンキ VII_a 型部分代数が生成される。
X_1,X_3,X_5 により、双曲平面上の等長変換群であるリー代数 SL(2, R) と同型な、ビアンキ VIII 型部分代数が生成される。
X_4,X_5,X_6 により、 回転群のリー代数 SO(3) と同型な、ビアンキ  IX 型部分代数が生成される。
(ここで、ビアンキ分類とはイタリア人数学者ルイージ・ビアンキによる三次元リー代数の分類である。) 四次元部分代数はすべて次に共役である。
X_1,X_2,X_3,X_4 により、ユークリッド相似変換 群 Sim(2) のリー代数に同型な部分代数が生成される。
これら部分代数は格子を形成し(図を参照)、各部分代数は制限リー群の閉部分群のべき乗により生成される。これらから、クラインの四元群の要素を乗することにより、ローレンツ群の全ての部分群が、共役による違いを除いて、構成できる。
連結リー群の常として、制限ローレンツ群の閉じた部分群の剰余空間、すなわち等質空間は、非常に数学的に興味深い。いくつか簡潔な説明を加えると、
群 Sim(2) は「ヌルライン」、すなわちリーマン球面上の点の であり、等質空間 SO+(1, 3)/Sim(2) は球面 S2 上の共形幾何を表現するクライン幾何である。
ユークリッド群 SE(2) (の単位元成分)はヌルベクトルの安定化部分群である。よって、等質空間  SO+(1, 3)/SE(2) は質量のない粒子の運動量空間である。幾何学的にはこのクライン幾何はミンコフスキー時空上の光円錐の「縮退した」幾何を表現している。
回転群 SO(3) は時間的ベクトルの安定化部分群である。よって、SO+(1, 3)/SO(3) は質量のある粒子の運動量空間である。幾何学的には、この空間は三次元双曲空間 H3 にほかならない。
前節では、スピノル写像と呼ばれる準同型写像 SL(2, C) → SO+(1, 3) を構築した。SL(2, C) は単連結であるから、これは制限ローレンツ群 SO+(1, 3) の被覆群である。 制限により、準同型写像 SU(2) → SO(3) が得られる。ここで、特殊ユニタリ群 SU(2) は単位ノルム四元数の成す群と同型であるから、これもまた単連結であり、回転群 SO(3) の被覆群である。これらの被覆写像はそれぞれ、被覆群のちょうど二つの要素が商群の各要素に対応するという意味で二重写像である。制限ローレンツ群と回転群とは二重連結であるということが多い。これは、各群の基本群が二要素巡回群 Z2 と同型であることを意味する。
(量子力学への応用においては、特殊線形群 SL(2, C) のことがローレンツ群とよばれていることもある。)
二重被覆はスピン群の特徴である。実際、二重被覆
に加えて次の二重被覆も存在する。
これらスピノル二重被覆はクリフォード代数と密接に関連している。
の左辺と右辺の群はそれぞれ次の二重被覆の左辺と右辺の群の変位レトラクトである。
ここで、等質空間 SO+(1, 3)/SO(3) は三次元双曲空間 H3 と位相同型であるから、制限ローレンツ群はファイバー SO(3) および底 H3 を持つ主ファイバー束であることが示されたことになる。 後者は R3 と位相同型であるから、SO(3) が三次元実射影空間 RP3 と同型であるのに対して、制限ローレンツ群は RP3 と R3 の積に「局所的に」同型であるといえる。この底空間は可縮であるから、これは大域位相同型に拡張可能である。
ローレンツ群の概念は任意の次元の時空に対して自然に一般化することができる。数学的には、n+1-次元ミンコフスキー時空のローレンツ群は Rn+1 上の線形変換のうち、次の二次形式を普遍に保つ変換の成す O(n, 1)(もしくは O(1, n))である。
(x_1,x_2,\ldots ,x_n,x_{n+1})\mapsto x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2-x_{n+1}^2
四次元ローレンツ群  (n = 3) の性質の多くが直ちに任意の n へ拡張できる。たとえば、ローレンツ群 O(n, 1) は四つの連結成分を持ち、n+1-次元ミンコフスキー時空上に (n−1)-次元天球上の共形変換として作用する。単位元成分 SO+(n, 1) は n-次元双曲空間 Hn 上の SO(n)-束である。
n = 1 や n = 2 の低次元のものは、物理的な n = 3 の場合の「トイモデル」としてしばしば有用である。対して、より高次元のものは弦理論などの隠された次元の存在を仮定する物理理論においてもちいられる。ローレンツ群 O(n, 1) は等質空間 O(n, 1)/O(n−1, 1) として実現される n-次元ド・ジッター空間 dSn の等長群でもある。特に、O(4, 1) は宇宙モデルのひとつド・ジッター宇宙 dS4 の等長群である。