ロジスティック写像
ロジスティック写像(ロジスティックしゃぞう、logistic map)とは、xn+1  axn(1 − xn) という2次関数の差分方程式(漸化式)で定められた離散力学系である。ロジスティックマップや離散型ロジスティック方程式(discrete logistic equation)とも呼ばれる。単純な2次関数の式でありながら、驚くような複雑な振る舞いを生み出すことで知られる。
ロジスティック写像の a はパラメータと呼ばれる定数、x が変数で、適当に a の値を決め、最初の x0 を決めて計算すると、x0, x1, x2, … という数列が得られる。この数列を力学系分野では軌道と呼び、軌道は a にどのような値を与えるかによって変化する。パラメータ a を変化させると、ロジスティック写像の軌道は、一つの値へ落ち着いたり、いくつかの値を周期的に繰り返したり、カオスと呼ばれる非周期的変動を示したりと様々に変化する。
ロジスティック写像を生物の個体数を表すモデルとして見る立場からは、変数 xn は1世代目、2世代目…というように世代ごとに表した個体数を意味しており、ロジスティック写像とは現在の個体数 xn から次の世代の個体数 xn+1 を計算する式である。生物個体数モデルとしてのロジスティック写像は、ある生物の個体数がある環境中に生息し、さらにその環境と外部との間で個体の移出入がないような状況を想定しており、xn は正確には個体数そのものではなく、その環境中に存在できる最大個体数に対する割合を意味する。微分方程式で個体数をモデリングするロジスティック方程式の離散化からもロジスティック写像は導出でき、「ロジスティック写像」という名もそのことに由来する。
2次関数の力学系としての研究は20世紀初頭からあったが、1970年代、特に数理生物学者ロバート・メイの研究によってロジスティック写像は広く知られるようになった。メイ以外にも、スタニスワフ・ウラムとジョン・フォン・ノイマン、ペッカ・ミュルバーク、オレクサンドル・シャルコフスキー、ニコラス・メトロポリスら、ミッチェル・ファイゲンバウムなどがロジスティック写像の振る舞い解明に関わる仕事を成している。
単純に言えば、ロジスティック写像とは次のような2次関数である。
式中の a は定数を意味し、パラメータと呼ばれる。a 以外には、μ や r や λ をパラメータの記号に使うこともある。
式 (1-1) に対して、まず定数 a の具体的な数値を決める。さらに変数 x の値を適当に決め、式から y の値を計算する。そして、得られた y の値を新しい x の値とみなして式に代入し、新しい y の値を計算する。このような計算を繰り返すことが、ロジスティック写像を使って行うことである。例として、a を 2、最初の x を 0.01 としたときの繰り返し計算を5回目まで行うと、以下の表のようになる。
ロジスティック写像自体は中学校で習うような何の変哲もない2次関数であり、計算自体も中学生でも可能である。繰り返しの計算も電卓ででき、コンピュータの表計算ソフトを使えばより簡単にできる。
ロジスティック写像は、漸化式あるいは差分方程式の形式で次のようにも書き表される。
x0 の値を決めると、この差分方程式にしたがい、その後の変数の値 x1, x2, x3,… が順次に計算できる。このような数列を作る差分方程式を、力学系(ダイナミカルシステム)とも呼ぶ。力学系とは、時間とともに状態が変化する系(システム)のことで、とりわけ現在の状態が決まればその後の状態も一意的に決まる系を指す。差分方程式 (1-2) のような形式で定義される力学系はとくに離散力学系と呼ばれる。
力学系的な視点では、変数 xn の下付き添え字 n を時刻や時間と呼ぶ。数列の最初の値 x0 は初期値と呼ばれる。変数の時間変化の様子を、明確な専門用語ではないが振る舞いと呼ぶ。と言っても、時刻 n は物理的な時間を本当に意味しているわけではなく、何かしらの現象の進行を表している便宜的なラベルのようなものである。
後で詳述するように、ロジスティック写像は生き物の個体数の変化を考える式として世に広まった側面を持つ。この場合、xn は、ある世代における生き物の個体数を、生息環境で可能な最大生息個体数で割った値を意味している。差分方程式 (1-2) によって、n 世代目の個体数から n+1 世代目の個体数が計算できるというのが、生物個体数モデルとしてのロジスティック写像の意味である。個体数が増えていくと、個体数の増加速度は下がってくるだろうから、この効果をロジスティック写像では (1 − xn) という項で取り入れている。例えば、ある世代で個体数が最大生息個体数に近くて xn  0.9999 だとすれば 項 (1 − xn) は 0 にとても近い数値になるので、次の世代の個体数 xn+1 は急激に減ることになる。
「ロジスティック写像」の名の中に出てくる写像とは、ある集合の要素をまたある集合の要素に対応させる規則を指す用語である。関数に似たようなものだが、関数を数以外の集合も扱うような場合も含めてより一般化したのが写像といえる。写像という視点からは、ロジスティック写像は実数の1点を実数の1点へ対応させる規則だといえる。ただし、「関数」と「写像」に数学全体で共有されている厳密な呼び分けは存在しておらず、実際のところ、どちらの言葉を使うかは各分野の習慣に依るところが大きい。力学系分野では、式 (1-2) のような差分方程式を写像として捉え、写像という語で呼ぶことが多い。
ロジスティック写像を写像の形で表現すると、
のように記される。写像がパラメータ a に依存していることを明確にするために、
のように、写像の記号にパラメータ記号の添え字を付けて表すこともある。式 (1-3) や式 (1-4) のような写像としての表現は、式 (1-2) のような差分方程式の表現と実質的に同等だが、時刻 n を一々書き表さなくてもよい利便性もあってしばしば使われる。
離散力学系の数列 x0, x1, x2,… は、写像 f を繰り返し適用して生み出されるという見方もできる。初期値を x0 とすると、
:
というように、数列は x0 に写像を繰り返し適用して作られるものとしても書ける。このように写像を繰り返し適用する操作を写像の反復などと呼ぶ。簡単に表記するために、写像の反復を
:
というように書く。f n (x0) で、x0 に対する f の n 回反復を意味している。そして、差分方程式から生み出される
という列、あるいは写像の反復から生み出される
という列を、力学系では軌道と呼ぶ。力学系という分野の関心は、与えられた力学系の軌道の振る舞いを研究することにある。
入力と結果が単純な比例関係で結ばれているようなシステムを線形といい、比例関係で表すことができないようなシステムを非線形という。ロジスティック写像は、考えられる限りでもっとも単純な非線形関数である2次関数で定義される。しかし、その非常に簡単な式とは裏腹に、ロジスティック写像は非常に複雑な振る舞いを生み出す。2次関数の繰り返し計算という設定が現代的な数学の主題の一つであり、豊饒な数学理論を引き起こす。ロジスティック写像には「思いもよらぬ奥深い内容」「力学系で起こる数多くの最も重要な現象」、そして「信じられないような複雑な振舞い」が含まれている。後述するようにロジスティック写像ではカオスという現象が現れ、カオス入門の好適な題材でもある。
前述のように、ロジスティック写像には生物の個体数の変動を考えるモデルとしての側面がある。このとき、ロジスティック写像の変数 x は生物の個体数を最大生息数で割った値であったから、x が取り得る数値は 0 ≤ x ≤ 1 の間に限られる。そういった事情もあり、ロジスティック写像の変数の範囲を区間 0, 1 に限って、その振る舞いが議論されることが多い。
変数を常に 0 ≤ x ≤ 1 に限定しようとすると、必然的にパラメータ a が取れる範囲は 0 から 4 まで (0 ≤ a ≤ 4) に限定される。なぜならば、xn が 0, 1 の範囲内にあれば、xn+1 の最大値は a となっている。したがって、a > 4 では xn+1 の値が 1 を超える可能性が出て来てしまう。一方、a が負のときは、x が負の値を取るようになってしまう。
写像のグラフを利用することで、その振る舞いの多くを知ることもできる。ロジスティック写像 xn+1  ax(1 − xn) のグラフとは、横軸を xn(あるいは x)とし、縦軸を xn+1(あるいは f (x))として、平面上に xn と xn+1 の関係を示した曲線である。ロジスティック写像のグラフは、a  0 の場合を除き、
を頂点とする放物線の形をしている。a を変化させると頂点は上下に動き、放物線は形を変える。また、ロジスティック写像の放物線は横軸(xn+1  0 の直線)と2点で交わる。(xn, xn+1)  (0, 0) と (xn, xn+1)  (1, 0) がその2つの交点で、これらの交点の位置は a の値に影響されず一定である。
写像のグラフは、とくにロジスティック写像のような1変数の写像のグラフは、その写像の振る舞いを理解するための鍵である。グラフの効能の一つは、不動点と呼ばれる点の図示である。写像のグラフに重ねるように y  x の直線(45°の直線)を引く。この45°直線とグラフが交わる点があれば、その点が不動点である。式で書くと、不動点とは
を満たしている点であり、写像を適用しても変化しない点を意味する。不動点を xf と表記することにする。ロジスティック写像の場合に式 (2-2) を満たす不動点は、ax(1 − x)  x を解いて、
の2点である(a  0 の場合を除く)。不動点の概念は離散力学系において最も重要となる。
1変数写像に対して使えるもう一つのグラフを利用した技術が、クモの巣図法と呼ばれる手法である。横軸上に初期値 x0 を決めた後に、そこから f (x) の曲線まで縦向きに直線を引く。f (x) の曲線にぶつかったところから y  x の45°直線まで横向きに直線を引き、45°直線にぶつかったところから f (x) の曲線まで縦向きに直線を引く。これを繰り返すことで、平面上にクモの巣状ないし階段状の図ができる。実はこの作図は図示的に軌道の計算を行ってることに等しく、作成されたクモの巣状の図は x0 から出発する軌道を表している。この図法によって、軌道の全体的な振る舞いを一目で見ることができる。
上述のように、ロジスティック写像自体は何の変哲もない2次関数であり、軌道の計算自体も中学生でも可能である。力学系的に重要な問題は、パラーメータ a を変化させると軌道の振る舞いがどう変わるのかにある。a の数値によって、ロジスティック写像の軌道の振る舞いは単純にも複雑にも変わる。以下、a を増やしていったときに、ロジスティック写像の振る舞いがどのように変化していくかを順に説明する。
まず、パラメータが a  0 のときは、初期値 x0 がどんな値であろうが、x1  0 となる。つまり、a  0 におけるロジスティック写像の軌道は、初期値以降の値が全て 0 となるような軌道で、この場合あまり調べる中身はない。
次に、パラメータが 0 < a < 1 の範囲にあるとき、初期値 x0 が 0 から 1 までのどんな数値であったとしても、xn は単調に減少していく。つまり、n → ∞ の極限で xn は 0 へ収束する。この収束先の xn  0 という点は、式 (2-3) で示した不動点 xf 1 である。このように周りの軌道が収束するタイプの不動点は、漸近安定、安定、あるいは吸引的と呼ばれる。逆に時間 n の増加と共に xf の近くの軌道が xf から離れていくならば、その不動点 xf は不安定や反発的と呼ばれる。
不動点が漸近安定かどうかを知るには、写像 f の微分を求めるという一般的で簡単な方法がある。f (x) の微分 df (x) を f ′(x) と表すとする。 この微分が不動点 xf で
という条件を満たせば、xf は漸近安定である。ここで、〇 は 〇 の絶対値を意味する。
写像のグラフでこのことを見ると、グラフの曲線上の点 xf における接線の傾きが −1 から 1 の間にあれば、xf は安定で、その周囲の軌道は xf へ引き寄せられるということである。ロジスティック写像の微分は、
なので、x  0 かつ 0 < a < 1 では 0 < f ′(0) < 1 であるから、不動点 xf 1  0 は式 (3-1) を満たしている。
ただし、式 (3-1) による判別法は、xf からどのぐらいの範囲にある軌道が xf へ引き寄せられるかは分からない。あくまでも、xf のある近傍内の x が収束することを保証しているだけである。今の場合、0 へ収束する初期値の領域は 0, 1 全域であるが、これを明確に知るには別の考察を要する。
不動点が不安定かどうかの判別方法は、同じように写像の微分から分かる。ある不動点 xf が
を満たすとき、xf は不安定である。パラメータが 0 < a < 1 の範囲にあるときには、もう一方の不動点 xf 2  1 − 1 は負の値であるため 0, 1 の範囲には現れないが、不安定な不動点として存在している。
パラメータがちょうど a  1 のとき、ロジスティック写像の軌道はこれまでと同様に 0 へ収束する。ただし、収束する速さが、a  1 ではゆっくりになる。a  1 における不動点 0 は漸近安定ではあるが、式 (3-1) を満たしていない。実のところ、式 (3-1) による判別法は写像を不動点近傍で1次近似することによって成り立っている。a  1 ではこの近似が成り立たなくなり、安定・不安定は写像の2次(2乗)の項によって決まるようになる。
a  1 の状態をグラフで見ると、x  0 でグラフの曲線が45°対角線にちょうど接した状態になっている。このとき、0 < a < 1 の範囲では負の範囲に存在していた不動点 xf 2  1 − 1 の値は、xf 2  0 となっている。つまり、a が増えるにつれて xf 2 の値は 0 へと近づいていき、ちょうど a  1 で、xf 2 は xf 1  0 と衝突する。この衝突によってトランスクリティカル分岐という現象が起こる。
分岐とは力学系の振る舞いが定性的に変わる現象を指す用語で、この場合のトランスクリティカル分岐では、不動点同士で安定性の交替が起きる。つまり、a が 1 未満では xf 1 は安定、xf 2 は不安定であたったが、a が 1 を超えると xf 1 は不安定、xf 2 は安定になる。分岐が起きるときのパラメータの値は分岐点と呼ばれる。ここでは、a  1 が分岐点である。
分岐の結果、ロジスティック写像の軌道は xf 1  0 ではなく、xf 2  1 − 1 へ収束するようになる。詳しく言えば、パラメータ 1 < a ≤ 2 であれば、0 と 1 を除く区間 0, 1 上の値から出発する軌道は、単調増加あるいは単調減少しながら xf 2 に収束する。収束の仕方の違いは、初期値がどの範囲にあるかに依る。0 < x0 < 1 − 1 では単調増加で収束し、1 − 1 < x0 < 1 では単調減少で収束し、1 < x0 < 1 では最初の1ステップを除いて単調増加で収束する。
また、分岐によって不動点 xf 1  0 は不安定化するが、a > 1 以降も不動点として存在し続ける。この不安定不動点 xf 1 にたどり着く初期値が、xf 1 自身以外に存在しないわけではない。それが x0  1 で、a の値にかかわらずロジスティック写像は f (1)  0 を満たすので、x0  1 に写像を1回適用すると xf 1  0 に写る。この x  1 のように、有限回の写像の反復で不動点に直接行き着くような点は最終的不動点などと呼ばれる。
パラメータが 2 < a < 3 のときは、初期値 0 と 1 を除いて、1 < a ≤ 2 のときと同様に不動点 xf 2  1 − 1 に収束する。ただし、この場合は単調に収束するわけではない。変数が xf 2 にある程度近づくと、変数は xf 2 よりも大きくなったり小さくなったりを繰り返し、xf 2 の周りで振動しながら収束していくような軌道を示す。
軌道の不動点周りでの振動は、次のような範囲を行き来する。このパラメータ範囲では、xf 2 は区間 1, 1 内に存在する。写像を一回適用すると xf 2 に写る値を xf 2 と表記するとする。すなわち、f (xf 2)  xf 2
という関係である。変数が区間 xf 2, xf 2 に入ったとき、軌道の不動点周りでの振動が起こり出す。xf 2, xf 2 は xf 2, a へ写され、 xf 2, a は  1, xf 2 の中へ写され、…といった具合に振動する。
一般的に、分岐の様子を理解するのには分岐図が役に立つ。この図は不動点(または後述の周期点)x をパラメータ a の関数として表したグラフで、横軸に a の値を取り、縦軸に x の値を取って図示する。 安定な不動点と不安定な不動点を区別するために、前者の曲線は実線で示し、後者の曲線は点線で示したりする。ロジスティック写像の分岐図を書くと、不動点 xf 1  0 を表す直線と不動点 xf 2  1 − 1 を表す曲線が a  1 で交わり、安定性が入れ替わる様子がわかる。
パラメータがちょうど a  3 のときも、軌道は不動点 xf 2  1 − 1 に収束する。しかし、2 < a < 3 のときよりも変数が収束する速さは遅い。a  3 では、微分係数 f ′(xf 2) は −1 に達し、式 (3-1) を満たさなくなっている。a が 3 を過ぎると、f ′(xf 2) < −1 となり、xf 2 は不安定な不動点になる。すなわち、a  3 でまた分岐が起こる。
a  3 では、周期倍化分岐と呼ばれる種類の分岐が起こる。a > 3 からは、軌道は1点に収束しなくなり、十分に時間 n が進んだ後でも大きい値と小さい値を交互に取り続けるような振る舞いに変わる。例えば a  3.3 であれば、変数は 0.4794… と 0.8236… という2つの値を交互に取り続ける。
このように同じ値を周期的に巡り続ける軌道を周期軌道と呼ぶ。今の場合、n → ∞ における変数の最終的な振る舞いは2周期の周期軌道である。周期軌道を構成する一つ一つの値(点)を周期点と呼ぶ。a  3.3 の例で言えば、0.4794… と 0.8236… がそれぞれ周期点である。ある x が周期点だとすると、2周期点の場合は x に写像を2回適用すると元に戻るので、
という関係が成り立つ。この式にロジスティック写像の式 (1-4) を適用すると、
という4次方程式が得られる。この方程式の解が周期点である。実は不動点 xf 1  0 と不動点 xf 2  1 − 1 もまた、式 (3-4) を満たす。したがって、式 (3-5) の解の内、2つの解は xf 1 と xf 2 に相当し、残り2つの解が2周期点である。2周期点をそれぞれ x(2)f 1, x(2)f 2 と表すとする。式 (3-5) を解くことで、x(2)f 1, x(2)f 2 を次のように得られる。
不動点の安定性と同じようなことが、周期点についても言える。つまり、周囲の軌道を引き付ける周期点は漸近安定な周期点と呼ばれ、周囲の軌道が離れていく周期点は不安定な周期点と呼ばれる。周期点の安定性判別も、不動点と同じように可能である。一般的な場合を想定して、写像を k 回反復させた f k(x) について考える。この微分 df k(x) を (f k)′(x) と表すとする。ある k-周期点 x(k)f が
を満たせば、x(k)f は漸近安定である。不安定についても不動点と同じように
を満たせば、x(k)f は不安定である。
以上の周期点の安定性の議論も、不動点と同じようにグラフ描写によって理解しやすくなる。この図では、横軸 xn に対して縦軸を xn+2 とし、xn+2 と xn の関係を表す曲線を描く。この曲線と45°直線の交点は式 (3-4) を満たす点であるから、交点は不動点と2周期点を表している。ロジスティック写像の f 2(x) のグラフを描くと、不動点 xf 2 での接線の傾きは a  3 を境に 1 を超えて不安定化するのが観察できる。同時に新たな2つの交点が現れ、これらが周期点 x(2)f 1 と x(2)f 2 である。
2周期点の微分係数をロジスティック写像について実際に計算すると、
となる。これを式 (3-7) に当てはめると、パラメータ a が、
を満たすときに2周期点が漸近安定であることがわかる。この範囲は 3 < a < 1 + 6 となり、つまり a が 1 + 6  3.44949… を超えると、2周期点は漸近安定ではなくなり、また振る舞いが変わる。
0, 1 内のほぼ全ての初期値が2周期点に引き寄せられるが、 xf 1  0 と xf 2  1 − 1 も 0, 1 内に不安定な不動点として残り続けている。これら不安定不動点は、以後 a を増やし続けても 0, 1 内にずっと残り続ける。そのため、初期値がちょうど xf 1 または xf 2 であるときは、軌道は2周期点には引き寄せられない。さらに、初期値が xf 1 に対する最終的不動点である場合と、xf 2 に対する最終的不動点である場合も、軌道は2周期点には引き寄せられない。このような最終的不動点である点は 0, 1 の中に無限に存在する。しかし、このような点の数は、0, 1 という実数の集合と比較すれば無視できるほど小さい。
パラメータ a が 1 + 6  3.44949… を超えると、それまで安定だった2周期点が不安定になり、安定な4周期点が新たに生まれ、軌道は4周期の振動に引き寄せられるようになる。つまり、a  3.44949… でまた周期倍化分岐が起こる。4周期点における x の値も
を満たすので、この式を解けば4周期点の x の値を求めることができる。ただし、式 (3-11) は16次方程式であり、不動点と2周期点の4つの解をくくり出したとしても12次方程式である。そのため、もはやこれを解いて、2周期点と同じように4周期点の値を表す a の陽関数を得ることはできない。
さらに a が大きくなると、安定な4周期点はまた周期倍化分岐を起こし、安定な8周期点が生まれる。以降、a が増えるにつれて、16周期、32周期、64周期、…と周期倍化分岐が無限に起こり続け、最終的には無限周期すなわち永遠に元の値に戻ることがない軌道となる。この周期倍化分岐の無限の系列はカスケードと呼ばれる。この周期倍化分岐は無限に起こるが、一方で、周期倍化分岐が発生する a の間隔は等比数列的に減少していく。そのため、パラメータ a がある有限の値に達するまでに、周期倍化分岐の無限回の発生が起きる。a  3 で起きた1周期から2周期への分岐を1番目の周期倍化分岐として数えるとする。すると、この周期倍化分岐のカスケードの中では、k 番目の分岐点で安定な 2k 周期点が発生する。k 番目の分岐点 a を ak と表すとする。このとき、k → ∞ で ak は次のような値に収束することが知られている。
さらに、ak の減少の割合の極限は次式で示すような定数値となることが知られている。
この δ の値は、数理物理学者のミッチェル・ファイゲンバウムにより発見されたことからファイゲンバウム定数と呼ばれる。a∞ はファイゲンバウム点と呼ばれる。周期倍化カスケードの過程では、f m と f 2m は適当なスケール変換によって局所的に全く一致する性質を持つ。この自己相似性を利用した繰り込みと呼ばれる手法により、ファイゲンバウム定数は求められる。以上のようなロジスティック写像が周期倍化カスケードの過程で見せる性質は、後述のように、より広いクラスの写像でも普遍的に現れる。
あるパラメータに対して軌道が落ち着く最終的な振る舞いを一望するには、近似的な分岐図である軌道図が有用である。この図では、分岐図と同じように横軸にパラメータ a を取り、縦軸に変数 x を取る。コンピュータなどを使い、パラメータを決めて、例えば500回反復計算を行う。そして、計算結果の最初の100回を無視して残りの400回の結果のみを図示する。これによって、初期の過渡的な振る舞いは無視でき、軌道の漸近的な挙動が残る。例えば、ある a に対して1点プロットされるときは、それは不動点であり、ある a に対して m 点プロットされるときは、それは m 周期軌道に相当する。ロジスティック写像に対して軌道図を書くと、安定な周期軌道を表す枝が分裂していく様子が見て取れ、これが周期倍化分岐のカスケードを表している。
パラメータがちょうど周期倍化カスケードの集積点 a  a∞ であるとき、変数 xn は永遠に閉じることのない非周期軌道へ引き付けられる。言い換えると、a∞ では無限周期の周期点が存在している。この非周期軌道はファイゲンバウム・アトラクタや臨界2∞アトラクタと呼ばれる。アトラクタとは、周りの軌道を引き付けるような性質をもった領域を指す用語で、引き込まれて最終的に続く軌道のことである。これまで述べてきた吸引的な不動点や周期点もアトラクタの仲間である。
ファイゲンバウム・アトラクタの構造は、カントール集合というフラクタル図形と同じ構造になっている。ファイゲンバウム・アトラクタを構成する点は、無限個でなおかつその濃度は実数と等しい。一方で、構成する点のどの2つを選んでも、その間に不安定な周期点が必ず存在し、点の分布は連続ではない。また、ファイゲンバウム・アトラクタのフラクタル次元は、ハウスドルフ次元あるいは容量次元でおよそ 0.54 であることが知られている。
パラメータ a が a∞  3.56994… を超えると、ロジスティック写像はカオスと呼ばれる振る舞いを示す。カオスとは、大雑把に言えば、ロジスティック写像を表す差分方程式のように確率的な曖昧さがなく次の状態が完全に一意に決まるにもかかわらず起こる複雑で不規則な振る舞いのことである。ロジスティック写像の a > a∞ の範囲はカオス領域と呼ばれる。
カオスが持つ本質の一つが、バタフライ効果という言葉で象徴される予測不可能性である。これは、カオスによって初期の状態のわずかな違いが後の状態に巨大な差をもたらすという性質に起因する。離散力学系で言えば、2つの初期値 x0 と x0 がどれだけ近い値だとしても、時間 n がある程度進めば、それぞれの行先 xn と xn は著しく離れてしまう。例えば a  3.95 を使い、x0  0.1 と x0  0.1000000001 というきわめて近い2つの初期値でそれぞれの軌道を計算すると、その差は、反復29回を過ぎたころから図上ではっきりわかるほど巨視的な違いに成長する。
以上のような初期値鋭敏性と呼ばれるカオスの性質は、リアプノフ指数によって定量的に表される。1次元写像の場合、リアプノフ指数 λ は次のように計算できる。
ここで、log は自然対数を意味する。この λ は2つの軌道の距離(xn と xn の距離)が指数関数的にどのぐらいの速さで離れていくか意味する指標で、λ の値が正ならば初期値鋭敏性を持つ系であること意味し、零または負ならば初期値鋭敏性のないことを意味する。実際にロジスティック写像の λ を数値的に計算すると、a < a∞ の範囲では λ は零または負の値の範囲に留まっており、a > a∞ の範囲から λ が正の値も取るようになることが確認できる。
パラメータが a∞ を超えてからも、振る舞いのパラメータ a への依存の仕方は単純ではない。a > a∞ のカオス領域には、多くの精巧な数学的構造が潜んでいる。この領域では、ずっとカオスが続くというわけではなく、安定な周期軌道も再び現れる。a∞ < a ≤ 4 での振る舞いは、大きく分けると以下の2種類に分かれる。
安定な周期点。この場合、リアプノフ指数は負を示す。
非周期的軌道。この場合、リアプノフ指数は正を示す。