線形多自由度系の振動
で与えられる。ωd,r を減衰固有角振動数と呼ぶ。以上のように、線形1自由度系の減衰振動の考え方が固有モードごとの振動にも当てはまる。正規座標へ変換を行い、モード減衰比と固有角振動数を用いて運動方程式を表すと、下記のように表現できる。
:
ζr < 1 であれば、qr の一般解は積分定数を ar と br として、
:
となる。物理座標 x へ逆変換すれば、比例粘性減衰系の自由振動の一般解は下記のようになる。
:_{r} e^{-\zeta_{r} \omega_{r} t}(a_r \cos \omega_{d,r} t + b_r \sin \omega_{d,r} t)
|4.19}
任意の励振力を受ける減衰の無い系の運動方程式は以下のように表される。
: + \boldsymbol{K  x} = \boldsymbol{f}
|5.1}
例えば、励振力が角振動数 Ω の余弦関数で与えられるとすれば、
: + \boldsymbol{K  x} = \boldsymbol{f_a} \cos \mathit{\Omega} t
|5.2}
となる。ここで、fa は、以下のような各自由度に対する励振力の振幅値の縦ベクトルである。
\boldsymbol{f_a} =
\begin{pmatrix}
f_{a,1} \\
f_{a,2} \\
\vdots \\
f_{a,n}
\end{pmatrix}
式5.2に対して特解を x = u cosΩt と仮定し、式5.2に代入すれば
:
となるので、u および x は、
:
:
となる。ここで "−1" は逆行列を意味する。したがって、逆行列 (M − Ω2K)−1 を計算すれば式5.5から x の値が分かる。しかし、この逆行列を解析的に解くことは困難で、数値計算を行うにしても自由度の数が増えると膨大な計算量になる。もし励振力の角振動数 Ω を変えると、そのたびに逆行列を計算する必要がある。そのため、実際に x の解を求めるために行われるのは、下記のようなモード解析による手法である。
解を得るために、x を複素数に拡張し、励振力 f を複素指数関数 fae jΩt の形で与えるとする。この場合、計算して解が得られた後に実部あるいは虚部を取ることで、実際の解が得られる。運動方程式5.1の右辺を 0 としたときのモード行列 U が、事前に求められているとする。モード座標への変換式3.21を運動方程式5.1へ適用して、左から U⊤ を掛け、式3.14と式3.15の対角化を適用する。すると、励振力を受ける不減衰系の運動方程式は
:
という独立・非連成の n 個の運動方程式に帰着する。ただし、右辺の Fr は次のような値である。
:
式5.6は線形1自由度系と同じなので、強制振動を表す特解は、
:
となる。式3.21を使ってモード座標を物理座標へ逆変換し、固有角振動数を使って整理すれば強制振動の解は次のようになる。
:
式5.9から分かることは、励振力の角振動数 Ω が系の固有角振動数 ω1, ω2, …, ωn のどれかに近いとき、係数の極限が 0 となってその振動成分が極めて大きくなり、共振が起こるという点である。Ω が固有角振動数のいずれかに一致するとき、x の振幅は無限大に発散する。
系が比例粘性減衰系であれば、励振力を受ける場合でもモード座標変換によって独立した1自由度系に分解でき、大自由度の問題も扱いが容易になる。一般の運動方程式2.1に、レイリー減衰の式4.8およびモード座標への変換式3.21を代入する。左から転置した質量正規固有モードの正規モード行列 Ū⊤ を掛けて対角化する。さらに、2ζrωr = α + βωr2 という関係を用いれば、運動方程式は下記のような独立・非連成の n 個の方程式に帰着する。
:_1^\top \boldsymbol{f} \\
\ddot{q}_2 + 2 \zeta_2 \omega_2 \dot{q}_2 + \omega_2^2 q_2 = \boldsymbol{\overline{u}_2^\top \boldsymbol{f} \\
\vdots \\
\ddot{q}_n + 2 \zeta_n \omega_n \dot{q}_n + \omega_n^2 q_n = \boldsymbol{\overline{u}_n^\top \boldsymbol{f} \\
\end{cases}
|5.10}
励振力 f が fa cosΩt で与えられるとする。線形1自由度系と同様の解法によって、正規座標 qr の強制振動の解が下記のように求まる。
:_{r}^\top \boldsymbol{f_a} }{ \omega_r^2 \sqrt{ \left \{ 1 - \left ( \dfrac{ \mathit{\Omega} }{ \omega_r } \right ) ^2 \right \}^2 + \left \{ 2 \zeta_r \dfrac{ \mathit{\Omega} }{ \omega_r } \right \} ^2 } } \cos (\mathit{\Omega} t - \phi_r )
|5.11}
:
解を複素数で表現した場合は、
:_{r}^\top \boldsymbol{f_a} }{ \omega_r^2  \left \{ 1 - \left ( \dfrac{ \omega_r }{ \mathit{\Omega} } \right ) ^2 + j 2 \zeta_r \dfrac{ \omega_r }{ \mathit{\Omega} } \right \} } e^{j \mathit{\Omega} t}
|5.13}
となり、物理座標の解は
:{ \omega_r^2  \left \{ 1 - \left ( \dfrac{ \mathit{\Omega} }{ \omega_r } \right ) ^2 + j 2 \zeta_r \dfrac{ \mathit{\Omega} }{ \omega_r } \right \} } e^{j \mathit{\Omega} t}
|5.14}
となる。Ω/ωr は強制振動比などと呼ばれる。通常の固有モードの場合は次式となる。
:{ K_r  \left \{ 1 - \left ( \dfrac{ \mathit{\Omega} }{ \omega_r } \right ) ^2 + j 2 \zeta_r \dfrac{ \mathit{\Omega} }{ \omega_r } \right \} } e^{j \mathit{\Omega} t}
|5.15}
強制振動の特解から、周波数応答関数あるいは伝達関数が求められる。周波数応答関数は、振動系への入力が調和振動の形で与えられるときの、出力と入力の振幅比および位相差を周波数の関数として表す。比例減衰系において、角振動数 Ω の調和外力が q 番目の自由度のみに加わるとする。このときの p 番目の自由度の振動応答は
:
と表される。この場合の周波数応答関数 G(Ω) は[変位]/[力]の単位を持ち、コンプライアンスとも呼ばれる。q 番目加振・p 番目応答の周波数応答関数と p 番目加振・q 番目応答の周波数応答関数は、相反定理によって互いに等しく、Gpq(Ω) = Gqp(Ω) の関係である。不減衰系の場合は、周波数応答関数は次式となる。
:
これらの周波数応答関数によって、系の周波数特性が把握できる。線形多自由度系の場合は、固有角振動数と固有モードを求めれば、調和外力による強制振動に対する周波数特性も同時に理解することができる。横軸に振動数や強制振動比を取り、縦軸に調和外力に対する振幅比や位相差を図示したものを応答曲線や共振曲線と呼ぶ。縦軸をデシベルにして図示したものは特にボード線図と呼ばれる。系の振動特性を振動実験から同定する実験モード解析では、実験値に上記の周波数応答関数でカーブフィッティングして系の各種パラメータを推定する。
上述のように、励振力の振動数が系の固有角振動数に一致すると、振動は極大化する。一方、多自由度系では共振して振幅が発散する現象だけでなく、励振力が特定の角振動数のときに周波数応答関数が極小になる現象もある。このような現象を反共振と呼ぶ。ただし、共振が系全体で起こるのに対して、反共振は一組の加振点・応答点ごとにしか起こらない。周波数応答関数の絶対値を縦軸にした応答曲線上では、共振点は曲線の鋭い山のように現れ、反共振は曲線の鋭い谷のように現れる。反共振は、代表的な制振器である動吸振器の原理として活用される。振動を抑えたい対象にばね・ダンパを介して付加質量を取り付けることによって振動を抑制でき、地震や強風に対する建築構造物の防振や回転機械の防振などに使われる。
刺激係数は、地震のように構造物の基礎が揺れている場合に、その励振が各モードに対してどのぐらい強く寄与するのかを表す。構造物を多質点系でモデル化して、基礎の変位を y として、各質点の基礎からの相対変位を x とする。各質点は ẍi + ÿ の加速度を受けるため、運動方程式は
: + \boldsymbol{C \dot{x} + \boldsymbol{K  x} = - \boldsymbol{M 1} \ddot{y}
|5.18}
となる。ここで 1 は成分が全て 1 の縦ベクトルである。式5.18において、C をレイリー減衰で表し、さらに x をモード座標に置き換え、左から転置したモード行列を掛けて整理すれば、下記のような各モード座標についての式になる。
:
さらに、上式の ÿ の係数を次のように変形する。
:
この βr を r 次の刺激係数と呼び、r 次モードの運動方程式は次のようになる。
:
つまり、βr は励振加速度が各モードに対してどのぐらい寄与しているか、あるいは各モードは基礎励振に対してどのぐらい影響を受けやすいかを表している。さらに、r 次の刺激係数と固有モードの積を r 次の刺激関数と呼び、刺激関数の総和は次のように 1 に等しい。
:
すなわち、対称の振動系に 1 という外力ベクトルが加わったときに各モードが受ける度合いを、刺激関数は表している。
多自由度系では、質点または剛体から成る系を想定し、剛性、減衰、慣性などの振動特性も局所的に集中して系内で点在しているというモデルを考えていた。一方で、実際の物体は、物体自体が変形する。実際の物体は連続体としての性質を有しており、質量、剛性などは連続的に系内に分布しているモデルとなる。実際の問題では、多自由度系に近似して取り扱っても十分な場合も多いが、振動時の機械・構造物の各部の変形や応力といったものを知るには連続体として取り扱う必要ある。
連続体の振動の運動方程式は時間と空間に関する偏微分方程式で記述され、厳密解が得られることは限られる。実際の複雑な形状の構造物で連続体の振動を扱うには、実用的には有限要素法という手法が用いられる。有限要素法では、対象の連続体を小さな有限要素に分割し、連続体を多自由度系に置き換えて解を計算する。有限要素法においても、線形多自由度系の理論にもとづくモード解析手法が強力な効果を発揮し、振動解析が精度良くかつ容易にできるようになる。
有限要素法による振動解析では、立てられた振動数方程式の数値計算を行い、まず固有振動数と固有モードを得る。次いで、固有モードの直交性を利用して周波数応答関数を得て、応答解析を行う。もし、定式化された運動方程式が1万自由度だとしたら、解くべき方程式は1万元の2次連立微分方程式となり、コンピュータを用いても計算に長時間を要する。しかし、モード解析手法を用いれば、1自由度系の解を1万回解いて、重ね合わせるだけで解が得られる。さらに、対象が大規模自由度になったとしても、自由度の分だけ現れるモードを全て計算する必要性もない。実用的に興味のある外力振動数を含む次数までモードの重ね合わせでも、十分な精度の振動応答解析が可能となる。上記の1万自由度の例えで言えば、1自由度系の解を1万回解く必要もなく、もっと少ない回数の計算で事足りるようになる。これらの長所によって、モード解析手法は有限要素法による振動解析で絶大な威力を発揮し、数十万規模の自由度を扱うような有限要素法計算であっても、モード解析手法の適用によって特段の支障なく計算が可能となる。
質量行列 M(式2.2)、減衰行列 C(式2.3)、あるいは剛性行列 K (式2.4)が正定値の条件を満たさない場合、すなわち実対称行列ではなく、非対称行列であるとき、その系では不安定振動が起こることがある。このような条件では、式4.6で表される特性方程式の固有値 λ に、実部が正の固有値が含まれることがありえる。固有値に実部を正とする複素数が含まれるとき、時間とともに振幅が大きくなっていく振動が起こる。このようなメカニズムは、自励振動が起こりえる系で平衡点から振動が成長するか否かを考察する上で基礎となる。自励振動は1自由度系でも起きる現象だが、係数行列が非対称であることによって引きこされる種類の自励振動は、多自由度系特有のものである。
例として、次のような2自由度不減衰系を考える。
:
ただし、k12 ≠ k21 で、剛性行列は非対称行列である。さらに、k12 と k21 のどちらかが正でどちらかが負であるような異符号の関係にあるとき、固有値は
:
という形の複素数となる。λr とλi は
:
:
で与えられ、ここで、ωtr = k11/m1 + k22/m2, ωdiff = k11/m1 − k22/m2, ωsk = (k12/m1)(k21/m2) である。λr は発散率と呼ばれ、自励振動の強さを表す。
このような係数行列の非対称性によって起きる自励振動の事例は機械振動の中で多く見られ、クーロン摩擦による摩擦振動や滑り軸受で起こるオイルホイップなどがある。