エネルギー・運動量テンソル
エネルギー・運動量テンソル(エネルギー・うんどうりょうテンソル、energy-momentum tensor、stress-energy tensor、stress-energy-momentum tensor)とは、質量密度、エネルギー密度、エネルギー流、運動量密度、応力を相対性理論に基づいた形式で記述した物理量である。
一般相対性理論において、アインシュタイン方程式の物質分布を示す項として登場し、重力を生じさせる源(source term)としての意味を持つ。
エネルギー・運動量テンソルは二階のテンソルであり、記号は T^{\mu\nu} で表されることが多い。アインシュタイン方程式で、真空の状況を考える時は、T^{\mu\nu}=0 とすればよい。
エネルギー・運動量テンソル T^{\mu\nu} は、定義から明らかに対称テンソルである。
以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号は(-,+,+,+)\,とする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。
T^{\mu\nu}{}_{;\mu}=0\,
とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。
エネルギー・運動量テンソルはネーターの定理により、時空の並進対称性のネーター・カレントとして定められる。
S[\phi]= \int \mathrm{d}^4x\, \mathcal{L}(\phi,\partial\phi)
と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。
従って、場は
\delta_\xi\phi(x) = \phi'(x)-\phi(x)=\phi(x-\xi)-\phi(x)
=-\xi^\mu\partial_\mu\phi(x)
と変換される。
エネルギー・運動量テンソルは
T^\nu_\mu := \frac{\partial\mathcal{L}{ \partial(\partial_\nu\phi)} \partial_\mu\phi - \delta^\nu_\mu \mathcal{L}
となる。この定義には任意性があり、h_\mu{}^{\nu\rho} = -h_\mu{}^{\rho\nu} により
T^\nu_\mu \to T^\nu_\mu +\partial_\rho h_\mu{}^{\nu\rho}
で置き換えることができる。この任意性によりエネルギー・運動量テンソルは対称テンソルとして定義される。
別の定義の仕方として、時空の計量による汎関数微分として定義する方法がある。この方法では対称であることが定義により明確となる。
一般相対性理論においては時空の計量 g が力学変数となる。作用汎関数が
\frac{1}{c} \int \mathcal{L}(g,\phi,\partial\phi) \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x
で書かれているとき、計量 g による作用の汎関数微分は
\frac{1}{c} \frac{\partial\mathcal{L{\partial g_{\mu\nu} \sqrt{-g}
+\frac{1}{c} \mathcal{L}\, \frac{\partial\sqrt{-g}{\partial g_{\mu\nu} \\
&=\frac{1}{c} \left[ \frac{\partial\mathcal{L}{\partial g_{\mu\nu}
+\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \mathcal{L} \right] \sqrt{-g} \\
&=\frac{1}{2c} T^{\mu\nu}(x)\sqrt{-g} \\
\end{aligned}
}
である。従って、エネルギー運動量テンソルは
2\frac{\partial\mathcal{L{\partial g_{\mu\nu} +g^{\mu\nu} \mathcal{L}
}
で与えられる。
時間-時間成分、即ち T^{00}\, は、エネルギー密度である。
時間-空間成分、即ち T^{0j}\, は、x^j\,の方向へのエネルギーの流れである。
空間-時間成分、即ち T^{i0}\, は、i-成分の運動量密度である。
空間成分、即ち T^{ij}\, は、x^j\,の方向への i-成分の運動量の流れである。
\frac{1}{2}\int \sum_i \left(
\frac{1}\frac{1}{2} \int \mathrm{d}^4x \int \sum_i \left(
\frac{1}\gamma_i}^2}g_{\mu\nu}(x)\, \dot{X}_i^\mu \dot{X}_i^\nu
-m_i^2c^2 \right) \delta^4(X_i -x)\, \gamma_i(\lambda)\, \mathrm{d}\lambda \\
\end{aligned}
であり、ここからエネルギー・運動量テンソルが
\frac{2c}{\sqrt{-g \frac{\delta S[g,X,\gamma]}{\delta g_{\mu\nu}(x)}
=\frac{c}{\sqrt{-g \int \sum_i \frac{1}{\gamma_i} \dot{X}_i^\mu \dot{X}_i^\nu
\delta^4(X_i -x)\, \mathrm{d}\lambda
と導かれる。補助変数 γi から導かれる拘束条件 \gamma =\frac{1}{m_i}\frac{\mathrm{d}\tau_i}{\mathrm{d}\lambda} を用いれば
\frac{1}{\sqrt{-g \sum_i m_ic \int u_i^\mu u_i^\nu \delta^4(X_i -x)\, \mathrm{d}\tau_i
}
となる。
物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり(応力テンソルが対角的であり)、粘性のない場合、完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。
T^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu + g^{\mu\nu}p\,
\rho, p\, は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、
g^{\mu\nu}, u^\mu\, は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル(共動座標系ならば、u^\mu=(1,0,0,0)\,、流体速度をv^i\, と観測する場合にはu^\mu=(1,v^i)\,)である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。
非相対論的な場合、g_{\mu\nu}\approx \eta_{\mu\nu}, \, |v^i| \ll 1, \, p\ll \rho\,となるから、行列形式で成分を書くと
T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}\rho &\rho v_x & \rho v_y &\rho v_z\\
\rho v_x&p+\rho v_x^2&\rho v_x v_y&\rho v_x v_z\\
\rho v_y&\rho v_x v_y&p+\rho v_y^2&\rho v_y v_z\\
\rho v_z&\rho v_x v_z&\rho v_y v_z&p+\rho v_z^2\end{pmatrix}
となる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソル
\pi^{ij} = \rho v^i v^j + p \delta^{ij}\,
と一致する。
電磁場を記述する系の力学変数は電磁ポテンシャル A であり、一般化速度に相当する力学変数の微分は電磁場強度 F である。時空の計量 g を露わに書いた電磁場のラグランジュ関数は
-\frac{c}{4Z_0} g^{\mu\nu} g^{\rho\sigma} F_{\mu\rho}F_{\nu\sigma}(x)
である。このラグランジュ関数から得られる電磁場のエネルギー・運動量テンソルは
\frac{c}{Z_0} \left[ F^{\mu\rho} F^\nu{}_\rho
-\frac{1}{4} g^{\mu\nu} F^{\rho\sigma} F_{\rho\sigma} \right]
となる。
T00 は電磁場のエネルギー密度、T0j はポインティング・ベクトル、Tij はマクスウェルの応力テンソルである。