ロジスティック写像
a∞ < a ≤ 4 の中に存在する安定周期点の領域は周期窓あるいは単に窓と呼ばれる。カオス領域を軌道図で見ると、非周期的軌道の領域は無数の点でできた雲のような見た目を示し、その雲に囲まれて点在する空白部分が窓である。
各窓では、a∞  3.56994… よりも前で起きた周期倍化分岐のカスケードが再び起きる。ただし、それらの周期は前のような 2k の安定周期軌道ではなく、3×2k や 5×2k のような新しい安定周期軌道が生成される。最初は p 周期で、そこから周期倍化カスケードが起こる窓は周期 p の窓などと呼ばれる。例えば、周期3の窓は 3.8284 < a < 3.8415 辺りの領域に存在しており、この領域内では 3, 6, 12, 24, …, 3×2k, … という風に周期が倍化していく。
窓の領域では、カオスは消えておらず背後に存在している。しかし、このカオスは不安定であるため、安定な周期軌道のみが観測される。窓の領域では、軌道が初期値から安定周期軌道に吸引されるまでに、この潜在的なカオスが現れる。このようなカオスを過渡カオスと呼ぶ。このようにカオスが潜在的に存在している点において、窓は a∞ より前で現れた周期軌道とは異なる。
窓の数は、a∞ < a < 4 の範囲に無限個ある。それらの窓の周期は様々で、3 以上の全ての自然数に対応する周期の窓が存在する。しかし、各周期の窓がそれぞれ1回ずつ発生するわけではない。p の値が大きいほどその周期の窓は多く繰り返し発生する。周期3の窓は1回きりで、例えば周期13の窓は315 回発生する。その周期3の窓で3周期軌道が生じるとシャルコフスキー順序が完成し、全ての周期の軌道がそれで一通り出現し終える。
p が素数の場合に限定すると、周期 p の窓の個数は
という式で計算できる。この式は p を素数に限定して導出されたものだが、実際のところ、素数でない p の安定 p 周期点の数についても良い精度で計算できる。
窓の幅(窓が始まる a と窓が終わる a の差)は、周期3の窓が最も広く、周期が大きいほど幅は狭まっていく。例えば、周期13の窓の幅は 3.13 × 10−6 程度である。概算によると、a∞, 4 の内のおよそ 10% が窓の領域で、残りがカオス軌道が支配する領域となっている。
a を増やしていくときに起こるカオスから窓への変化は、接線分岐と呼ばれる分岐によって引き起こされる。これは、写像の曲線が y  x の対角線に分岐の瞬間にちょうど接し、さらにパラメータを変化させると曲線と直線が交わって2つの不動点を持つようになる分岐である。周期 p の窓であれば、反復写像 f p(x) が接線分岐を起こすことによって安定な p 周期軌道が生まれる。周期3の窓の接線分岐については正確な分岐点の値が知られており、この分岐点 a の値を a3 とすると、a3  1 + 8  3.828427… である。この分岐の概要は、f 3(x) のグラフ(縦軸 xn+3・横軸 xn のグラフ)を考察することで理解できる。
この分岐点 a3 よりもわずかに小さい a  3.8282 のときの xn 振る舞いを見てみると、不規則変化に加えて、ほぼ3周期で周期的変化する振る舞いも存在しており、これらが交互に発生する様子が確認される。このような周期的振る舞い部分はラミナーと呼ばれ、不規則振る舞い部分はバーストと呼ばれる。バーストとラミナーの時間帯の長さに規則性は無く、不規則に変化する。しかし、より a3 に近い a  3.828327 という値で振る舞いを観察すると、a  3.8282 のときよりラミナーの平均的な時間長さが長くなり、バーストの平均的な時間長さが短くなる。さらに a を大きくしていくとラミナーの長さがどんどん大きくなっていき、a3 に至ったところで完全な3周期に変わる。
このように、ラミナーという秩序的な運動とバーストという乱れた運動が間欠的に繰り返し起こる現象は、間欠性や間欠性カオスと呼ばれる。パラメータ a を逆に a3 から小さくする方向で考えてみると、これはカオスの発生の一種となっている。パラメータが窓から離れる方向へ動くほど、バーストが支配的になっていき、最終的には完全なカオス状態となる。これも前述の周期倍分岐ルートと同じくカオスに至る一般的な道筋の一種で、このような接線分岐による間欠カオスの発生を特徴とした道筋は間欠性ルートと呼ばれる。
間欠性の発生メカニズムもまた、写像のグラフから理解することができる。a が a3 よりもわずかに小さいとき、f 3(x) のグラフと対角線の間にはとても小さい隙間が存在する。この隙間はチャネルと呼ばれ、狭いチャネルを軌道が通過するために多数の写像の反復が起こる。このチャネルを通り過ぎる過程では xn と xn+3 はとても近い値になり、実質的にほとんど3周期軌道のように変数が変化する。これがラミナーに相当する。軌道はやがてこの細いチャネルを抜けるが、写像の大域的な構造の結果、ふたたびチャネルに戻って来る。チャネルを離れている間はカオス的な乱れた動きをする。これがバーストに相当する。
カオス領域の全体に目を移すと、カオスであっても窓であっても、軌道図の縦軸の最大値と最小値(アトラクタの上限値と下限値)はある範囲内に限られている。式 (2-1) が示すようにロジスティック写像の最大値は a/4 で与えられ、これがアトラクタの上限値となる。アトラクタの下限値は、a/4 が写る点 f (a/4) で与えられる。結局、軌道図で xn が動く最大値と最小値は、パラメータ a に依存して
と与えられる。最終的には、a  4 で軌道は 0, 1 全体に及ぶ。
軌道図を観察すると、点の分布に特徴的な濃淡が見られる。点が濃い部分は、変数がその周辺の値を取る頻度が大きいことを意味しており、点が薄い部分は、変数がその周辺の値を取る頻度が小さいことを意味している。このような点が訪れる頻度の差異は、ロジスティック写像のグラフの形に起因して生まれる。グラフの最頂部 a/4 近辺が高頻度で軌道を呼び込み、そこから写された先の f (a/4) 近辺も高頻度になり、そこから写された先の f 2(a/4) 近辺も高頻度になり…、という具合に頻度の分布が生まれる。写像によって生まれる点の密度分布は不変測度や分布関数と呼ばれる量で特徴づけられ、アトラクタの不変測度は初期値に関わらず再現性がある。
軌道図カオス領域の初めの辺り、 a が最初の2周期倍化カスケードの集積点 a∞  3.56994… を少し超えた辺りを見てみると、軌道がいくつかの区間に分かれていることが観察できる。このように分かれた小領域はバンドと呼ばれる。バンドが複数ある場合、軌道は規則的に順番に各バンドを巡り、なおかつ各バンド内での取る値は不規則的となるような振る舞いを示す。このようなカオス軌道はバンドカオスや周期的カオスと呼ばれ、k 個のバンドから成るカオスは k バンドカオスなどと呼ばれる。2バンドカオスであれば、およそ 3.590 < a < 3.675 の範囲内に存在している。
2バンドカオスの左端 a  3.590 からさらに値を小さくしていくと、周期倍加分岐のときと同じようにバンドの数が2倍ずつ増えていく。p−1 バンドカオスが分裂して p バンドカオスになる分岐点、あるいは p バンドカオスが融合して p−1 バンドカオスになる分岐点を ep (ただし p  1, 2, 4, …, 2k, …)で表すとする。すると、周期倍加分岐と同じように p → ∞ で ep はある値に集積する。この集積点 e∞ でバンドの数は無限となり、e∞ の値は a∞ の値と一致する。
a∞ より前に現れた周期倍化分岐カスケードの分岐点についても、同じように、p 安定周期軌道が分岐して p+1 安定周期軌道になる分岐点を ap(ただし p  1, 2, 4, …, 2k, …)で表すとする。このとき、a2 から e2 までの軌道図に着目すると、a1 から e1 までの全体軌道図の縮小版が a2 から e2 までの軌道図の中に2つ存在している。同様に、a4 から e4 までの軌道図に着目すると、a1 から e1 までの全体軌道図の縮小版が a4 から e4 までの軌道図の中に4つ存在している。以下同様に ap から ep までの軌道図には全体軌道図の縮小版が p 個存在しており、ロジスティック写像の分岐構造は無限の自己相似階層を備えている。
分岐構造の自己相似階層は、窓の中にも存在する。窓の中の周期倍化分岐カスケードは、2k 周期分岐のカスケードと同じ筋道をたどる。つまり、窓の中で無限回の周期倍化分岐が起き、それを過ぎると振る舞いはまたカオスとなる。例えば周期3の窓では、a3∞ ≈ 3.8495 で安定な周期軌道のカスケードが終わる。a3∞ ≈ 3.8495 を過ぎると、振る舞いは3の倍数のバンドカオスになる。a が a3∞ から増えるにつれて、このバンドカオスも2個ずつ融合していき、窓が終わる最後にはバンドの数は3つになる。このような窓の中にあるバンドの中にも、無数の窓がまたさらに存在している。結局、窓の中には  1 ≤ a ≤ 4 の軌道図全体の縮小版が含まれているような恰好となり、窓の中にも分岐の自己相似階層構造が存在している。
窓が終わると、広範囲のカオスに戻る。周期3の窓であれば、a ≈ 3.857 で最後の3バンドカオスが大きな範囲の1バンドカオスへ変わって窓が終わる。しかし、この変化は非連続的で、3バンドのカオスアトラクタは突然大きさを変化させ、1バンドへ変わる。このようにアトラクタの大きさが非連続的に変わる現象は、クライシスと呼ばれる。窓の終わりで起きるような種類のクライシスは、特に内部クライシスとも呼ばれる。窓の終わりでクライシスが起きるとき、安定な周期軌道が軌道図上では見えない不安定周期点とちょうど接触する。これによって周期軌道が逃げ出せる出口が生まれ、内部クライシスが発生する。内部クライシス直後には、ある時間帯では広域のカオスとして振る舞うが、ある時間帯では元のバンドカオス的振る舞いも起こし、窓の始まりと同じような一種の間欠性が現れる。
パラメータが a  4 に達すると、振る舞いは 0, 1 全域を経巡るカオスとなる。このとき、リアプノフ指数 λ は最大となり、もっともカオスが強い状態といえる。a  4 におけるロジスティック写像の λ は正確な値を求ることができ、その値は λ  log 2 である。カオスの厳密な数学的定義はまだ統一されていないが、よく知られているカオスの定義の一つに対して a  4 のロジスティック写像は 0, 1 上でカオス的ここでいう写像がカオス的であるとは、次のようなデバニーの定義による。相空間上の不変部分集合 Λ をそれ自身へ写す写像 f : Λ → Λ が以下の条件を満たすとき、 Λ 上で f はカオス的であるという。
f は初期値に鋭敏に依存する。すなわち、ある δ > 0 が存在し、全ての x ∈ Λ とその近傍 N(x) ⊂ Λ の全てにおいて f k(x) − f k(y) > δ を満たす y ∈ N と k > 0 が存在する。
f は位相的推移的である。すなわち、空ではない全ての部分開集合 U, V ⊂ Λ に対し、f k(U) ∩ V ≠ ∅ を満たす k > 0 が存在する。
f の周期点が Λ 上に稠密に存在する。すなわち、周期点の全体から成る集合 P の閉包 P は P  Λ を満たす。
であることが証明できる。
点の密度の分布関数 ρ (x) も、a  4 のときは次のような正確な関数で与えることができる。
ここで ρ (x) は、写像を反復したときの点 xn の全点数に対し、点 xn が微小区間 x, x+dx に入る点数の割合が、ρ (x)dx で与えられるという意味を持つ。a  4 のロジスティック写像の頻度分布は、0, 1 の両サイド近辺で密度が高く、x  0.5 で最も密度が低い形をしている。
a  4 のとき、カオス軌道とは別に、あらゆる周期の周期軌道も存在している。自然数 n に対して、fa4n(x) のグラフは 2n−1 個の山と 2n−1 − 1 個の谷が存在する曲線となり、しかもそれら全ての山と谷は 0 と 1 に接する状態になる。したがって、対角線とグラフの交点の数は 2n 個あり、f n(x) の不動点は 2n 個存在する。この 2n 個の不動点には n 周期点も必ず含まれているので、fa4 n(x) では任意のn 周期軌道が存在する。このように、a  4 のとき 0, 1 上には周期点が無限に存在しているが、それら周期点は全て不安定である。また、区間 0, 1 という非可算無限の集合に対してそれら周期点の数は可算無限であり、ほとんど全ての初期値から始まる軌道は周期軌道とはならずに非周期軌道となる。
カオスの重要性の一つに、決定論的性質と確率論的性質の二重性がある。力学系は決定論的な過程だが、変数が取る範囲を適当に粗視化すると確率的な過程と区別ができなくなる。a  4 のロジスティック写像の場合であれば、あらゆるコイン投げの結果をロジスティック写像の軌道で記述できる。このことを詳述すると次のとおりである。
1 の確率で表裏が出るコイン投げを想定し、何回もコイン投げを続ける。表が出たときを 0、裏が出たときを 1 とすれば、表裏表表裏…という結果は 01001… といったような記号列になる。一方で、ロジスティック写像の軌道 x0, x1, x2,… について、x  0.5 以下のものは 0 に x  0.5 を超えるものは 1 に変換し、軌道を 0 と 1 から成る記号列に置き換える。例えば、初期値 x0  0.2 とすれば、 x1  0.64, x2  0.9216, x3  0.28901, … となるので、軌道は 0110… という記号列になる。前者のコイン投げによる記号列を SC とし、後者のロジスティック写像による記号列を SL とする。記号列 SC には、ランダムなコイン投げで記号を決めていったのであらゆるパターンの数列があり得る。よって、ロジスティック写像による記号列 SL がどんなものだったとしても、SC の中に同一のものが存在する。そして、「実に驚くべきこと」として、この逆が成立する。つまり、どのような SC の記号列であっても、初期値を適切に選びさえすればロジスティック写像の軌道 SL によって実現できる。すなわち、任意の SC に対し、SC  SL となる x0 が 0, 1 中にただ1点存在する。
パラメータ a が 4 を超えると、ロジスティック写像のグラフの頂点 a/4 は 1 を超える。グラフが 1 を突き抜けている範囲から、軌道は 0, 1 を抜け出せるようになる。その結果、0, 1 のほとんどの全ての点から出発する軌道はどこかの時点で 0, 1 を抜け出し、最終的にマイナス無限大へ発散してしまう。
この a  4 で起こる分岐もクライシスの一種で、とくに境界クライシスと呼ばれる。この場合の境界クライシスでは、0, 1 にあったアトラクタが不安定化・崩壊し、なおかつ外側にアトラクタも存在しないため、軌道が無限遠へと発散してしまう。
一方で、a > 4 の条件下でも 0, 1 の中に留まり続ける軌道がある。分かりやすい例は 0, 1 内の不動点や周期点で、これらは 0, 1 の中に留まり続ける。しかし、0, 1 の中に留まり続ける軌道には、不動点や周期点以外の軌道も存在している。
f (x) > 1 を満たす x の区間を A0 とする。上記の通り、変数 xn が A0 に一旦入ると、マイナス無限大へ発散する。写像を1回適用すると A0 へ写る x も 0, 1 の中に存在している。この x の区間は2つに分かれており、それらをまとめて A1 とする。同じように、写像を1回適用すると A1 へ写る区間も4つ存在し、それらを A2 とする。以下同じように、n 回反復で A0 にたどり着く区間 An が 2n 個存在する。 したがって、次のように 0, 1 から An を無限回取り除いた区間 Λ が、I の中に留まり続ける軌道の集まりである。
0, 1 から An を取り除いていく作業は上述のカントール集合の構成過程に似ており、実際に Λ はカントール集合(閉で完全不連結で0, 1 の完全部分集合)の形で 0, 1 の中に存在している。そしてさらに、Λ 上でロジスティック写像 fa>4 はカオス的である。
ロジスティック写像は生態学上のモデルとして研究された経緯もあり、パラメータ a が負の場合について論じられることは少ない。a を 0 から減少させていくと、−1 < a < 0 では xf  0 の安定不動点に漸近するが、a  −1 を超えたところから2周期点に分岐し、正のときと同じく周期倍化分岐を経てカオスへ至る。最終的には、a  −2 を下回るとプラス無限大へ発散するようになる。
パラメータ a が特定のロジスティック写像については、時刻 n と初期値 x0 を陽に含む厳密解が以下のように得られている。
a  4 のとき
a  2 のとき
a  −2 のとき
以上3つの厳密解を考察すると、いずれの解も
という形になっている。ここで、f は何かしらの適当な関数、f −1 はその逆関数を意味する。a  4 では f (x)  cos x、a  2 では f (x)  e x、a  −2 では f (x)  2 cos (1(π − 3 x)) である。ただし、任意の a について一般的にロジスティック写像の厳密解を表すことができるような、数学的に標準的な関数の f は存在しない。
ロジスティック写像で現れた上記の分岐のパターンは、ロジスティック写像に限定されない。ある条件を満たした写像で、この分岐パターンが共通して現れる。次の正弦関数を使った力学系はその一例である。
ここで、定義域は 0 ≤ b ≤ 1 かつ 0 ≤ x ≤ 1 とする。この正弦写像 (4-1) は、ロジスティック写像 (1-2) と定性的に同一の振る舞いを起こす。つまり、この写像でも、ロジスティック写像と同じようにパラメータ b の増加にともなって周期倍化ルートを経てカオスになり、さらにはカオス領域には窓が同じように存在している。
ロジスティック写像も正弦写像も区間 0, 1 を 0, 1 へ写す1次元写像で、単峰と呼ばれる次の性質を満たしている。
f (0)  f (1)  0 を満たす。
写像は可微分で、0, 1 中に f ′(c)  0 を満たす臨界点 c が唯一存在する。
一般的に、1パラメータ・1変数のある1次元写像が単峰で、頂点近辺を2次の多項式で近似できるような曲線であれば、具体的な写像の形に依存せずに、パラメータ範囲 3 ≤ a ≤ 3.56994… で見たような無限の周期倍化カスケードの分岐が起き、 さらに式 (3-13) で定義される比率 δ はファイゲンバウム定数 4.669… に一致する。
また、ロジスティック写像で現れた安定周期軌道の出現パターンにも普遍性がある。パラメータを c として、xn+1  cf(xn) で表される単峰な写像では、2つの不動点が不安定であるようなあるパラメータ区間で様々な周期の安定周期軌道が出現し続け、その出現パターン(ある周期の安定周期軌道の出現回数と出現順序)は共通であることが知られている。つまり、この種の写像であれば、写像の具体的な形によらずに安定周期軌道の系列は同じとなる。ロジスティック写像の場合は 3 < a < 4 がそのパラメータ区間であったが、正弦写像 (4-1) では 0.71… < b < 1 が共通する安定周期軌道の系列が起きるパラメータ区間である。この普遍性のある安定周期軌道の系列はU系列と呼ばれる。
加えて、ロジスティック写像は区間 0, 1 上でシュワルツ微分が常に負であるという性質を持つ。ある (C 3 級の)写像 f のシュワルツ微分とは、
で定義される関数である。実際にロジスティック写像のシュワルツ微分を計算すると
となり、a および x の値に依らずにシュワルツ微分は負となる。0, 1 を 0, 1 へ写す1次元写像が単峰で負のシュワルツ微分を持てば、存在する安定周期軌道は多くても1つであるといった性質が知られる。
記号 ∘ で写像の合成を表すとする。一般的に、位相空間 X, Y について、2つの写像 f : X → X と g : Y → Y が同相写像 h : X → Y によって
という関係を持つとき、f と g は位相共役であるという。位相共役という概念は、力学系の研究上で重要な役割を果たす。位相共役な f と g は本質的に同一な振る舞いを示し、f の振る舞いが周期的であれば g も周期的であり、f の振る舞いがカオス的であれば g もカオス的である。
特に同相写像 h が線形であれば、f と g は線形共役であるという。全ての2次関数は他の全ての2次関数と線形共役にある。したがって、
などは、任意のパラメータ a のロジスティック写像と線形共役である。式 (4-6) や式 (4-7) の形のものもロジスティック写像と呼ばれたりもする。特に式 (4-7) の形だと計算量が減るため、長時間を要する数値計算に向いている。
また、a  4 のロジスティック写像 fa4 は、次のテント写像 T (x) やベルヌーイシフト写像 B (x) と位相共役な関係にある。
:
:
ロジスティック写像 fa4 が厳密にカオス的であることの証明や、fa4 の厳密解 (3-19) の導出に、これらの位相共役の関係を利用できる。
あるいは、記号力学系の考え方を導入して、上記で導入したような 0 と 1 の列から成る記号列空間上に定義される次のようなシフト写像 σ を考えるとする。
ここで、si は 0 または 1 である。式 (3-18) で導入した集合 Λ 上で、ロジスティック写像 fa>4 はシフト写像と位相共役であるので、これを利用して Λ 上の fa>4 がカオス的であることを導ける。
ロジスティック写像は、イギリスの数理生物学者ロバート・メイの研究を発端にして、生物の個体数の変化を考える式として世に広まった。このような生物個体数としてのロジスティック写像では変数 xn は、ある環境中に生息する生き物の個体数(より専門的には個体群サイズ)を意味する。さらに、個体がその環境から出たり、外部の個体が環境に入ってきたりしない場合(あるいは移出入があっても実質的な影響がない場合)を想定しており、このような状況での個体数の増減を考える数理モデルが数理生物学上のロジスティック写像である。
生物の個体数の増殖を考える数理モデルには、差分方程式を使った離散的な時間のモデルと微分方程式を使った連続的な時間のモデルの2種類がある。例えば、卵を産むとすぐに死ぬような種類の昆虫では、その昆虫の個体数は、1世代目の個体数、2世代目個体数…というように各世代ごとに数えられる。このような例は、前者の離散時間モデルに適合する。一方で、各世代が連続的に重なり合っているような場合は、連続時間モデルと親和性がある。ロジスティック写像は、このような離散型あるいは世代分離型の個体群モデルに相当する。
ある環境中の単一種の生物の個体数を N で表すとする。もっとも単純な個体数の増殖の仕方として、個体数に対して常に一定の割合で増え続けるモデルが考えられる。そのような個体数増加モデルはマルサスモデルと呼ばれ、次のような形で表される。
ここで、Nn は n 世代目の個体数を意味しており、α は個体数の増殖率で正の定数である。しかし、モデル (5-1) では個体数が無尽蔵に増え続け、ほとんどの実現象に対して非現実的なモデルといえる。ある環境が養える個体数には限度があるので、個体数 Nn が増えていくと増殖率 α は低下していくのが自然に思われる。このように個体数密度の変化によって増殖率が変化することを密度効果と呼ぶ。密度効果をモデル (5-1) に反映した改良モデルとして、もっとも単純なものとして次のような差分方程式が考えられる。
ここで、a はその環境中で可能な最大増殖率を意味し、b は密度効果の影響の強さを意味している。モデル (5-2) は、増殖率が個体数に単純に比例して下がっていくと想定している。式 (5-2) の Nn を
と変数変換すると、以下のロジスティック写像が導出される。
生物の個体数として式 (5-2) あるいは式 (5-4) を扱う際には、Nn あるいは xn が負になると個体数としての意味を為さなくなる。そうならないために、初期値 x0 に対して 0 ≤ x0 ≤ 1 という条件が、パラメータ a に対して 0 ≤ a ≤ 4 という条件が要求される。
他には、想定している環境が養える最大の個体数 K を仮定し、これを使って
という形で密度効果を取り込んだ差分方程式を考え、xn  Nn/K と変数変換してロジスティック写像を導くこともある。この場合、変数 xn は、最大個体数 K に対する個体数 Nn の比率を意味している。
ロジスティック写像は、連続時間型の個体群モデルのロジスティック方程式の離散化からも導出できる。ロジスティック写像の名も、ロバート・メイがロジスティック方程式の離散化からロジスティック写像を導入したことに由来する。ロジスティック方程式とは、次のような生物個体数の時間変化を表す常微分方程式である。
ここで、N は生物個体数や個体数密度、t は連続的な時間、K と r がパラメータである。K は環境収容力、 r は内的自然増加率とも呼ばれ、通常は正の値を取る。この式の左辺 dN は時刻 t における個体群サイズの変化速度を意味している。
ロジスティック方程式 (5-6) は、ロジスティック写像 (5-4) と一見似ているが、解の振る舞いはロジスティック写像とは大きく異なる。初期値 N0 が正である限り、ロジスティック方程式の個体数 N は常に単調に K に収束するのみである。
このロジスティック方程式に、1階常微分方程式の数値解法の一つであるオイラー法による差分化近似を施すことによって、ロジスティック写像が導出できる r N \left( 1-\frac{N}{K} \right) ... (A)
の N は t の関数なので、それを明示して N(t) で表すとする。適当な時間刻み幅 Δt を導入し、Δt を使って dN(t) を以下のように近似する。
\frac{dN(t)}{dt}  \approx  \frac{N(t + \Delta t) - N(t)}{\Delta t}   ... (B)
式 (A) に式 (B) を代入すると次式が得られる。
\frac{N(t + \Delta t) - N(t)}{\Delta t} = r N(t) \left( 1-\frac{N(t)}{K} \right)    ... (C)
ここで t を Δt の倍数と見なし、t  nΔt で書き換えると、N(t)  N(nΔt) および N(t+Δt)  N(nΔt +Δt)  である。N(nΔt)  を Nn と表し、N(nΔt +Δt) を Nn+1 と表す。これらを式 (C) に反映させて整理すると、次式が得られる。
N_{n+1} = N_n \left[ (1+r \Delta t)-\frac{r \Delta t}{K} N_n \right]  ... (D)
さらに、次のような新たな変数 xn と、新たな定数 a を導入する。
x_n=\frac{r \Delta t}{K(1+r \Delta t)} N_n
a=1+r \Delta t
これらを式 (D) に代入すると、以下のロジスティック写像の式が得られる。
x_{n+1} = a x_n (1-x_n)
。オイラー法の差分化近似とは、適当な時間間隔(時間刻み幅)Δt を導入し、増殖率 dN を以下のように近似することである。
この近似の結果、次のロジスティック写像が導かれる。
ただし、この式の xn と a は、元のパラメータ、変数、時間刻み幅と次のような関係を持つ。