ロジスティック写像
Δt が十分小さければ、式 (5-8) は元の式 (5-6) の有効な近似として働き、Δt → 0では元の式の解と一致する。一方で、Δt が大きいと、元の式の解から外れていく。また、式 (5-10) の関係から、Δt を大きくすることはパラメータ a を大きくすることに相当する。よって、Δt を大きくするほど、元の方程式との誤差を単に大きくするだけでなく解にカオス的振る舞いを生み出すことになる。
以上のように、生物の個体群動態論上では、ロジスティック写像は離散型増殖過程のモデルの一つである。ただし、生物の個体数のモデルとしてのロジスティック写像は、物理学の法則などとは異なり、直接的な実験結果や普遍的に成立する原理から導かれたものではない。導出過程の考え方にある程度の合理性はあるが、基本的には頭の中で考えられた「モデル」に留まる。ロジスティック写像を著名にしたメイも、論じているモデルが個体数の増減を正確に表現していると主張していたわけではない。生物個体群ダイナミクスの研究上も、歴史的に多用されてきたのは微分方程式による連続時間モデルであり、それら連続時間モデルの適用によって生物個体群ダイナミクスの理解を深めてきた。密度効果を考慮した離散時間個体群モデルとしても、個体数が負にならないリッカーモデルの方がより現実的と言える。
一般的に言えることとして、数理モデルは個体群ダイナミクスに関する重要な定性的情報を提供してくれることもあるが、実験的な裏付けがないのであれば、数理モデルから出てくる結果をあまり真剣に受け止めるべきではない。数理モデルの結論が生物学的研究結果から外れることがあっても、なおも数理モデルによる研究が有意義なのは、有用な対照となりうるからである。モデルの構成過程や設定、あるいはモデルが前提としていた生物学的な知見や仮説を見直すことにより、生物学的論点を提示できる可能性がある。生物個体数モデルとしてのロジスティック写像は単純過ぎて現実的ではないが、ロジスティック写像が示す結果は、環境からの不規則的な影響などに無関係に、個体群それ自体に内在するダイナミクスによって個体数の多様な変動が起こる可能性を示唆している。
1変数のロジスティック写像は、系としての自由度あるいは次元は 1 である。一方で実際の自然界では、時間的に乱れるだけでなく、多数の空間自由度を持ち空間的にも乱れるような多自由度のカオスが多いと考えられる。あるいは、カオス的運動を行う振動子の同期現象も研究対象である。こういったものを調べるために、差分方程式(写像)を多数結合させる結合写像の手法がある。結合写像モデル研究の題材として、ロジスティック写像がしばしば採用される。その理由には、ロジスティック写像自体はすでにカオスの典型的モデルとしてよく調べられており、その蓄積があることが挙げられる。
結合写像モデルでの具体的な結合のさせ方には、様々な手法が存在する。全部で N 個の写像が結合し、i 番目の写像の時刻 n における状態が xn(i) で表されるとする。大域結合写像と呼ばれる手法では、xn+1(i) を次のように定式化する。
結合振動子の研究の流れでは、次のように変数の差分で振動子2つ x と y を結合させた最も簡単な次のモデルなどが挙げられる。
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これらの式中の f (x) が、結合写像モデルに組み込む具体的な写像であり、ロジスティック写像が用いられる場合はここに適用される。
式 (6-1) および (6-2) 中の ε や D は結合係数などと呼ばれる、写像同士の結合の強さを意味するパラメータである。他方で、ロジスティック写像を結合写像モデルに組み込む場合、ロジスティック写像のパラメータ a はモデルの非線形性の強さを意味する。a の値と ε または D の値を変化させることで、ロジスティック写像の結合写像系では様々な現象が現れる。例えばモデル (6-2) では、D をある値 Dc  以上に大きくすると、x と y は同期しながらカオス振動を行う。Dc 未満でも常にバラバラのカオス振動が起こるだけでない。D がある範囲のときは、a  4 であるにも関わらず x と y は2周期振動を起こす。a  3.8 では、同期状態と非同期状態が交互に起こり続けるような振る舞いも見られる。
大自由度の大域結合写像 (6-1) にロジスティック写像を適用した研究では、カオス的遍歴と呼ばれる現象も見つかっている。これはいくつかのクラスターでまとまって振動する秩序的な状態から乱れた状態になり、また別のクラスター状態になり、再度乱れた状態になり…、という振る舞いを繰り返す現象で、相空間上でアトラクタの残骸と言われるような領域を軌道が経巡ることで起こると考えられている。
コンピューターシミュレーションや情報セキュリティ分野では、計算機で擬似乱数を作成することが重要な技術の一つで、擬似乱数を作る手法の一つとしてカオスの活用が考えられる。カオスからの擬似乱数生成器で十分な性能を持つものはまだ実現されていないが、これまでにいくつかの手法が提案されてきた。ロジスティック写像についても、これまでにカオスに基づく擬似乱数生成器の可能性が複数の研究者たちによって調べられてきている。
ロジスティック写像の擬似乱数生成には、パラメータ a  4 がよく利用されている。歴史的にも、後述の通り、電子計算機の誕生から間もない1947年にスタニスワフ・ウラムとジョン・フォン・ノイマンも a  4 のロジスティック写像を使った擬似乱数生成器の可能性を指摘している。しかし、ロジスティック写像 fa4 の点の分布は、式 (3-17) で示されるような分布になっており、出てくる数値が 0 と 1 の近くに偏る。そのため、偏りのない一様乱数を得るためには何らかの処理が必要となる。その方法としては、
得られた数値をテント写像 (4-8) との関係を用いて一様分布に変換する方法
得られた数値を上述のコイン投げの比喩のように閾値を使って 0 か 1 に変換し、これを繰り返して一様乱数のビット列を得る方法
などがある。また、ロジスティック写像で得られる数列の xn とxn+1 には強い相関があり、擬似乱数の数列としては問題となる。これを解消する方法の一つは、写像1回適用ごとの数列 x0, x1, x2, … を作るのではなく、適当な τ > 1 回反復ごとに数列 x0, xτ, x2τ, … を作る必要がある。例えば、1番の方法に対しては τ > 10 または τ > 13 で、2番の方法に対しては τ > 16 で良好な擬似乱数が得られるといわれる。
コンピュータを用いてデジタルにカオスを計算する一般的問題として、コンピュータでは有限計算精度で計算するため、カオス本来の真に非周期な数列を原理的に得ることができず代わりに有限の周期列が出力されるという問題点がある。原理的に非周期列が得られない場合であっても、擬似乱数生成のためにはできるだけ長い周期の数列が望ましい。しかし、単精度浮動小数点数計算でロジスティック写像 fa4 が実際に出力する数列の周期性を調べた結果によると、割り当てられたビット数から可能な最大周期に比べて実際に出力される数列の周期はとても小さくなることが報告されており、この観点からメルセンヌ・ツイスタのような既存の擬似乱数生成器に比べてロジスティック写像による擬似乱数生成は劣ると指摘されている。また、ロジスティック写像 fa4 では、計算途中で数値が不動点 0 に落ち入り、そのまま一定値になるおそれもある。一方で、ロジスティック写像では、開区間 0, 1 の中で常に値を取るので、浮動小数点だけでなく固定小数点でも問題無く計算でき、固定小数点計算の利点を享受できる。固定小数点であれば、同じビット数で比較して浮動小数点よりも長い周期の数列になることや意図しない 0 への収束が無くせることが指摘されている。
複素解析関数で定義された力学系も興味を持たれる対象である。その例が、次の2次関数で定義される力学系である。
ただし、ここでのパラメータ c と変数 z は複素数である。この写像は、ロジスティック写像 (1-2) と基本的には同じものと言える。上記でも述べたとおり、写像 (6-3) は、線形関数によってロジスティック写像 (1-2) と位相共役な関係にある。
パラメータ c を固定し、初期値 z0 を変えながら写像 (6-3) の反復の行く末を計算したとき、n → ∞ でも zn が無限大へ発散しないような z0 の集まりを充填ジュリア集合という。さらに、充填ジュリア集合の境界をジュリア集合という。また、初期値を z0  0 に固定し、パラメータ c を変えながら写像 (6-3) の反復を計算したとき、 z が無限大へ発散しないような c の集まりをマンデルブロー集合という。写像 (6-3) のジュリア集合やマンデルブロー集合から、「神秘的に見える」「怪奇を極めている」などと形容されるフラクタル図形が生成される。
特にマンデルブロー集合では、図形の各円板はある周期の漸近安定な周期軌道の領域に相当する。ロジスティック写像の軌道図とマンデルブロー集合の図形を並べると、ロジスティック写像軌道図の漸近安定な不動点、周期倍化分岐、周期3の窓などがマンデルブロー集合図形と実軸上で対応していることが分かる。
ロジスティック写像を生物の各世代の個体数を表すモデルと解釈すると、次の世代の個体数が現在の世代の個体数だけでなく、その1つ前の世代の個体数も現在の世代に影響する場合も考えられる。そのような例が
という差分方程式で、1つ前の世代の個体数 xn−1 がマイナスの密度効果として式に取り込まれている。xn+1  yn とおけば、式 (6-4) は次のような2変数差分方程式に置き換えられる。
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この力学系は準周期アトラクタの分岐の研究などに用いられ、遅延ロジスティック写像やディレイドロジスティックマップ(delayed logistic map)と呼ばれる。遅延ロジスティック写像では a  2 でネイマルク・サッカー分岐が起き、漸近安定な不動点が不安定になり、その不安定な不動点の周りに漸近安定な不変曲線ができる。
写像の反復が力学系と関連する意味を持つ以前の時代、数学者のガストン・ジュリアとピエール・ファトゥが複素関数の反復について研究していた。ジュリアとファトゥの研究は解析関数を中心とした広範なものだったが、とくに式 (6-3) でも示した以下の複素2次関数の振る舞いが1920年代に彼らによって研究された。
ジュリアとファトゥもジュリア集合の中にカオス的振る舞いを理解していたが、当時はコンピュータ・グラフィックスなども無かったこともあって、彼らに続く人物が現れず研究は止まってしまった。その後1970年代後半まで複素力学系の研究は下火が続き、複素平面上の写像が示す豊かな力学系的振る舞いが着目されるのはベノワ・マンデルブロなどの登場を待つことになる。
1947年、数学者のスタニスワフ・ウラムとジョン・フォン・ノイマンは “On combination of stochastic and deterministic processes"(参考訳:確率論的過程と決定論的過程の結合に関して)と題した短いレポートで、
という2次関数の反復合成によって疑似乱数を生成できることを指摘している。この式は、現在的な視点では a  4 のロジスティック写像に相当する。この当時、「カオス」という言葉もまだ使われていないが、ウラムとフォン・ノイマンは非線形関数による複雑な数列の生成にすでに注目していたといえる。また、ウラムとフォン・ノイマンのレポートでは、写像 (7-2) とテント写像が位相共役の関係にあることや、この写像の数列の分布関数が式 (3-17)  で与えられることも明らかにした。
その後、任意のパラメータ a を備えた形式の2次写像についても、詳細な調査がいくつかあった。1958年から1963年にかけて、フィンランドの数学者ペッカ・ミュルバーク は、λ をパラメータとする
という形式の2次写像の分岐現象を調べた。この一連の研究は力学系として本質的なもので、ミュルバークは、この写像の周期倍加分岐カスケードを調査して集積点 λ  1.401155189… の存在も示している。他には、1964年のソビエトのオレクサンドル・シャルコフスキー、1969年のフランスのイーゴリ・グモウスキーとクリスチャン・ミラ 、1973年のニコラス・メトロポリスらの仕事などが、ロジスティック写像のような単純な1変数差分方程式の異常な振る舞いを明らかにしている。
その後1970年初頭に、数理生物学者のロバート・メイが、生態学の問題に取り組む過程で式 (1-2) のモデルに出会う。メイはロジスティック方程式の離散時間化から式 (1-2) すなわちロジスティック写像を導入した。ロジスティック写像の振る舞いを数理的に解析し、メイは1973年や1974年にその成果を発表した。ロジスティック写像の数値実験が行われ、パラメータ a による振る舞いの変化が調べられた。1976年には、"Simple mathematical models with very complicated dynamics"(参考訳:極めて複雑な振る舞いを有する単純な数理モデル)と題した論文を Nature から発表した。
1976年の論文はレビュー論文で、ロジスティック写像を題材にしながら、単純な非線形関数でも周期倍化分岐カスケードやカオスのような非常に複雑な振る舞いが起こることについて強調し、注意を促す内容であった。特にこの論文は、メイの数理生物学者としての地位、研究結果の明快さ、そして何よりも単純な放物線の式が驚くべき複雑な振る舞いを生み出すという衝撃的な内容によって、大きな反響を巻き起こして科学界へと受け入れられた。このようなメイの研究を経て、ロジスティック写像は多くの研究者をカオス研究へ惹きつけ、カオス研究の流れを改めて再スタートさせたと評されるほど著名な数理モデルとなった。
メイは、ティェンイェン・リーとジェームズ・ヨークが論文 "Period three implies chaos"(参考訳:3周期はカオスを意味する)で使った「カオス」という表現を積極的に用い、この論文にも注目を集めた。異論もあるが、このリーとヨークの論文は「カオス」という語を数学用語として最初に使ったと考えられており、同論文によって決定論的な無秩序的振る舞いを指す用語「カオス」が生まれたとされる。リーとヨークは、1973年に同論文を一旦完成させたが、アメリカン・マスマティカル・マンスリー に投稿したところ研究色が強過ぎるので分かりやすく大幅に書き直すように告げられ、掲載を却下された。その後、論文は書き直されることなく放っておかれていた。しかし、翌1974年にリーとヨークが居たメリーランド大学にメイが特別招待講義にやってきて、ロジスティック写像の話をした。当時、メイは、ロジスティック写像のカオス領域で何が起きているのかまだ理解できていなかったが、リーとヨークもまた、ロジスティック写像の周期倍化カスケードについて知らなかった。メイの話に興奮したリーとヨークは、講義後にメイを捕まえて2人が得た結果の話をし、メイもその結果に驚いた。すぐにリーとヨークは却下された論文を書き直して、再提出された論文は1975年に出版された。
また1975年頃、数理物理学者のミッチェル・ファイゲンバウムは、ロジスティック写像の周期倍化カスケードに注目すると、分岐値が等比級数的に収束するスケーリングの法則に気づき、今ではファイゲンバウム定数と呼ばれる定数の存在を数値実験から発見した。メイもジョージ・オスターとともにそのスケーリング則に気づいていたが、深く追うことまではできなかった。ファイゲンバウムは、式 (4-1) で示した正弦写像でも同じ定数が現れることを発見し、このスケーリング則にはロジスティック写像だけに留まらない普遍性があることを知った。1980年には、この結果に対する厳密な証明がピエール・コレ、ジャン=ピエール・エックマン、オスカー・ランフォードらによって与えられた。ファイゲンバウムとほぼ同時期あるいはその後、物理学者たちによって実現象に同じ周期倍化カスケードとファイゲンバウム定数が発見され、あくまでも数学的現象と見られていたカオスは物理学方面にも大きな衝撃を与えることとなる。
ただし、カオス流行以前の研究成果が軽視され、それらの研究成果の多くまでもがロジスティック写像などを用いた再発見者の功績扱いされる風潮への批判もある。メイ自身も先行研究があったことを尊重した上で、自身の功績は「2次写像の奇怪な数学的挙動を独立に最初に発見」したのではなく、自分は「科学におけるその広範な意味づけを最後に強調した研究者たち」の一人であると位置付けている。数学者のロバート・デバニーは、自著でロジスティック写像の解説に入る前に次のように語っている。