Theorem: Filter.EventuallyEq.iterated_fderiv_within'
File: Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean

tactic: induction' n with n ihn
state_before: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
ht : t ⊆ s
n : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f₁ t =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f t

tactic: exact h.mono fun y hy => FunLike.ext _ _ fun _ => hy
state_before: case zero
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
ht : t ⊆ s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 Nat.zero f₁ t =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 Nat.zero f t

tactic: have : fderivWithin 𝕜 _ t =ᶠ[𝓝[s] x] fderivWithin 𝕜 _ t := ihn.fderiv_within' ht
state_before: case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
ht : t ⊆ s
n : ℕ
ihn : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f₁ t =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f t
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 (Nat.succ n) f₁ t =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 (Nat.succ n) f t

tactic: apply this.mono
state_before: case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
ht : t ⊆ s
n : ℕ
ihn : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f₁ t =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f t
this : fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f₁ t) t =ᶠ[𝓝[s] x] fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f t) t
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 (Nat.succ n) f₁ t =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 (Nat.succ n) f t

tactic: intro y hy
state_before: case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
ht : t ⊆ s
n : ℕ
ihn : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f₁ t =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f t
this : fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f₁ t) t =ᶠ[𝓝[s] x] fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f t) t
⊢ ∀ (x : E),
    fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f₁ t) t x = fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f t) t x →
      iteratedFDerivWithin 𝕜 (Nat.succ n) f₁ t x = iteratedFDerivWithin 𝕜 (Nat.succ n) f t x