Theorem: MeasureTheory.Measure.pairwise_aedisjoint_of_aedisjoint_forall_ne_one
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean

tactic: intro g₁ g₂ hg
state_before: α✝ : Type ?u.529346
β : Type ?u.529349
γ : Type ?u.529352
δ : Type ?u.529355
ι : Type ?u.529358
R : Type ?u.529361
R' : Type ?u.529364
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving ((fun x x_1 => x • x_1) g)
⊢ Pairwise (AEDisjoint μ on fun g => g • s)

tactic: let g := g₂⁻¹ * g₁
state_before: α✝ : Type ?u.529346
β : Type ?u.529349
γ : Type ?u.529352
δ : Type ?u.529355
ι : Type ?u.529358
R : Type ?u.529361
R' : Type ?u.529364
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving ((fun x x_1 => x • x_1) g)
g₁ g₂ : G
hg : g₁ ≠ g₂
⊢ (AEDisjoint μ on fun g => g • s) g₁ g₂

tactic: replace hg : g ≠ 1
state_before: α✝ : Type ?u.529346
β : Type ?u.529349
γ : Type ?u.529352
δ : Type ?u.529355
ι : Type ?u.529358
R : Type ?u.529361
R' : Type ?u.529364
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving ((fun x x_1 => x • x_1) g)
g₁ g₂ : G
hg : g₁ ≠ g₂
g : G := g₂⁻¹ * g₁
⊢ (AEDisjoint μ on fun g => g • s) g₁ g₂

tactic: change μ (g₁ • s ∩ g₂ • s) = 0
state_before: α✝ : Type ?u.529346
β : Type ?u.529349
γ : Type ?u.529352
δ : Type ?u.529355
ι : Type ?u.529358
R : Type ?u.529361
R' : Type ?u.529364
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving ((fun x x_1 => x • x_1) g)
g₁ g₂ : G
g : G := g₂⁻¹ * g₁
hg : g ≠ 1
this : (fun x x_1 => x • x_1) g₂⁻¹ ⁻¹' (g • s ∩ s) = g₁ • s ∩ g₂ • s
⊢ (AEDisjoint μ on fun g => g • s) g₁ g₂

tactic: exact this ▸ (h_qmp g₂⁻¹).preimage_null (h_ae_disjoint g hg)
state_before: α✝ : Type ?u.529346
β : Type ?u.529349
γ : Type ?u.529352
δ : Type ?u.529355
ι : Type ?u.529358
R : Type ?u.529361
R' : Type ?u.529364
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving ((fun x x_1 => x • x_1) g)
g₁ g₂ : G
g : G := g₂⁻¹ * g₁
hg : g ≠ 1
this : (fun x x_1 => x • x_1) g₂⁻¹ ⁻¹' (g • s ∩ s) = g₁ • s ∩ g₂ • s
⊢ ↑↑μ (g₁ • s ∩ g₂ • s) = 0

tactic: rw [Ne.def, inv_mul_eq_one]
state_before: case hg
α✝ : Type ?u.529346
β : Type ?u.529349
γ : Type ?u.529352
δ : Type ?u.529355
ι : Type ?u.529358
R : Type ?u.529361
R' : Type ?u.529364
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving ((fun x x_1 => x • x_1) g)
g₁ g₂ : G
hg : g₁ ≠ g₂
g : G := g₂⁻¹ * g₁
⊢ g ≠ 1

tactic: exact hg.symm
state_before: case hg
α✝ : Type ?u.529346
β : Type ?u.529349
γ : Type ?u.529352
δ : Type ?u.529355
ι : Type ?u.529358
R : Type ?u.529361
R' : Type ?u.529364
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving ((fun x x_1 => x • x_1) g)
g₁ g₂ : G
hg : g₁ ≠ g₂
g : G := g₂⁻¹ * g₁
⊢ ¬g₂ = g₁

tactic: rw [preimage_eq_iff_eq_image (MulAction.bijective g₂⁻¹), image_smul, smul_set_inter, smul_smul,
  smul_smul, inv_mul_self, one_smul]
state_before: α✝ : Type ?u.529346
β : Type ?u.529349
γ : Type ?u.529352
δ : Type ?u.529355
ι : Type ?u.529358
R : Type ?u.529361
R' : Type ?u.529364
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving ((fun x x_1 => x • x_1) g)
g₁ g₂ : G
g : G := g₂⁻¹ * g₁
hg : g ≠ 1
⊢ (fun x x_1 => x • x_1) g₂⁻¹ ⁻¹' (g • s ∩ s) = g₁ • s ∩ g₂ • s