Theorem: MeasureTheory.Egorov.tendstoUniformlyOn_diff_iUnionNotConvergentSeq
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean

tactic: rw [Metric.tendstoUniformlyOn_iff]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ TendstoUniformlyOn f g atTop (s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg)

tactic: intro δ hδ
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ ∀ (ε_1 : ℝ),
    ε_1 > 0 →
      ∀ᶠ (n : ι) in atTop, ∀ (x : α), x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg → dist (g x) (f n x) < ε_1

tactic: obtain ⟨N, hN⟩ := exists_nat_one_div_lt hδ
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in atTop, ∀ (x : α), x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg → dist (g x) (f n x) < δ

tactic: rw [eventually_atTop]
state_before: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in atTop, ∀ (x : α), x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg → dist (g x) (f n x) < δ

tactic: refine' ⟨Egorov.notConvergentSeqLtIndex (half_pos hε) hf hg hsm hs hfg N, fun n hn x hx => _⟩
state_before: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
⊢ ∃ a, ∀ (b : ι), b ≥ a → ∀ (x : α), x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg → dist (g x) (f b x) < δ

tactic: simp only [Set.mem_diff, Egorov.iUnionNotConvergentSeq, not_exists, Set.mem_iUnion,
  Set.mem_inter_iff, not_and, exists_and_left] at hx
state_before: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLtIndex (_ : 0 < ε / 2) hf hg hsm hs hfg N
x : α
hx : x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg
⊢ dist (g x) (f n x) < δ

tactic: obtain ⟨hxs, hx⟩ := hx
state_before: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLtIndex (_ : 0 < ε / 2) hf hg hsm hs hfg N
x : α
hx :
  x ∈ s ∧
    (x ∈ s →
      ∀ (x_1 : ℕ),
        ¬x ∈ notConvergentSeq (fun n => f n) g x_1 (notConvergentSeqLtIndex (_ : 0 < ε / 2) hf hg hsm hs hfg x_1))
⊢ dist (g x) (f n x) < δ

tactic: specialize hx hxs N
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLtIndex (_ : 0 < ε / 2) hf hg hsm hs hfg N
x : α
hxs : x ∈ s
hx :
  x ∈ s →
    ∀ (x_1 : ℕ),
      ¬x ∈ notConvergentSeq (fun n => f n) g x_1 (notConvergentSeqLtIndex (_ : 0 < ε / 2) hf hg hsm hs hfg x_1)
⊢ dist (g x) (f n x) < δ

tactic: rw [Egorov.mem_notConvergentSeq_iff] at hx
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLtIndex (_ : 0 < ε / 2) hf hg hsm hs hfg N
x : α
hxs : x ∈ s
hx : ¬x ∈ notConvergentSeq (fun n => f n) g N (notConvergentSeqLtIndex (_ : 0 < ε / 2) hf hg hsm hs hfg N)
⊢ dist (g x) (f n x) < δ

tactic: push_neg  at hx
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLtIndex (_ : 0 < ε / 2) hf hg hsm hs hfg N
x : α
hxs : x ∈ s
hx : ¬∃ k x_1, 1 / (↑N + 1) < dist (f k x) (g x)
⊢ dist (g x) (f n x) < δ

tactic: rw [dist_comm]
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLtIndex (_ : 0 < ε / 2) hf hg hsm hs hfg N
x : α
hxs : x ∈ s
hx : ∀ (k : ι), notConvergentSeqLtIndex (_ : 0 < ε / 2) hf hg hsm hs hfg N ≤ k → dist (f k x) (g x) ≤ 1 / (↑N + 1)
⊢ dist (g x) (f n x) < δ

tactic: exact lt_of_le_of_lt (hx n hn) hN
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLtIndex (_ : 0 < ε / 2) hf hg hsm hs hfg N
x : α
hxs : x ∈ s
hx : ∀ (k : ι), notConvergentSeqLtIndex (_ : 0 < ε / 2) hf hg hsm hs hfg N ≤ k → dist (f k x) (g x) ≤ 1 / (↑N + 1)
⊢ dist (f n x) (g x) < δ