Theorem: StructureGroupoid.LocalInvariantProp.liftPropOn_of_locally_liftPropOn
File: Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean

tactic: intro x hx
state_before: H : Type u_2
M : Type u_1
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type ?u.38312
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), x ∈ s → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (s ∩ u)
⊢ LiftPropOn P g s

tactic: rcases h x hx with ⟨u, u_open, xu, hu⟩
state_before: H : Type u_2
M : Type u_1
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type ?u.38312
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), x ∈ s → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (s ∩ u)
x : M
hx : x ∈ s
⊢ LiftPropWithinAt P g s x

tactic: have := hu x ⟨hx, xu⟩
state_before: case intro.intro.intro
H : Type u_2
M : Type u_1
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type ?u.38312
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), x ∈ s → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (s ∩ u)
x : M
hx : x ∈ s
u : Set M
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : LiftPropOn P g (s ∩ u)
⊢ LiftPropWithinAt P g s x

tactic: rwa [hG.liftPropWithinAt_inter] at this
state_before: case intro.intro.intro
H : Type u_2
M : Type u_1
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type ?u.38312
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), x ∈ s → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (s ∩ u)
x : M
hx : x ∈ s
u : Set M
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : LiftPropOn P g (s ∩ u)
this : LiftPropWithinAt P g (s ∩ u) x
⊢ LiftPropWithinAt P g s x

tactic: exact IsOpen.mem_nhds u_open xu
state_before: case intro.intro.intro
H : Type u_2
M : Type u_1
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type ?u.38312
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), x ∈ s → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (s ∩ u)
x : M
hx : x ∈ s
u : Set M
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : LiftPropOn P g (s ∩ u)
this : LiftPropWithinAt P g (s ∩ u) x
⊢ u ∈ 𝓝 x