Theorem: convexIndependent_iff_finset
File: Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean

tactic: refine' ⟨fun hc s x hx => hc s x _, fun h s x hx => _⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
p : ι → E
⊢ ConvexIndependent 𝕜 p ↔ ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s

tactic: have hp : Injective p := by
  rintro a b hab
  rw [← mem_singleton]
  refine' h {b} a _
  rw [hab, image_singleton, coe_singleton, convexHull_singleton]
  exact Set.mem_singleton _
state_before: case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom (p '' s)
⊢ x ∈ s

tactic: rw [convexHull_eq_union_convexHull_finite_subsets] at hx
state_before: case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom (p '' s)
hp : Injective p
⊢ x ∈ s

tactic: simp_rw [Set.mem_iUnion] at hx
state_before: case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ⋃ (t : Finset E) (_ : ↑t ⊆ p '' s), ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑t
hp : Injective p
⊢ x ∈ s

tactic: obtain ⟨t, ht, hx⟩ := hx
state_before: case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
hx : ∃ i i_1, p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑i
⊢ x ∈ s

tactic: rw [← hp.mem_set_image]
state_before: case refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑t
⊢ x ∈ s

tactic: refine' ht _
state_before: case refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑t
⊢ p x ∈ p '' s

tactic: suffices x ∈ t.preimage p (hp.injOn _) by rwa [mem_preimage, ← mem_coe] at this
state_before: case refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑t
⊢ p x ∈ ↑t

tactic: refine' h _ x _
state_before: case refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑t
⊢ x ∈ preimage t p (_ : Set.InjOn p (p ⁻¹' ↑t))

tactic: rwa [t.image_preimage p (hp.injOn _), filter_true_of_mem]
state_before: case refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑t
⊢ p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p (preimage t p (_ : Set.InjOn p (p ⁻¹' ↑t))))

tactic: rwa [Finset.coe_image] at hx
state_before: case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Finset ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s)
⊢ p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom (p '' ↑s)

tactic: rintro a b hab
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom (p '' s)
⊢ Injective p

tactic: rw [← mem_singleton]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom (p '' s)
a b : ι
hab : p a = p b
⊢ a = b

tactic: refine' h {b} a _
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom (p '' s)
a b : ι
hab : p a = p b
⊢ a ∈ {b}

tactic: rw [hab, image_singleton, coe_singleton, convexHull_singleton]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom (p '' s)
a b : ι
hab : p a = p b
⊢ p a ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p {b})

tactic: exact Set.mem_singleton _
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom (p '' s)
a b : ι
hab : p a = p b
⊢ p b ∈ {p b}

tactic: rwa [mem_preimage, ← mem_coe] at this
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑t
this : x ∈ preimage t p (_ : Set.InjOn p (p ⁻¹' ↑t))
⊢ p x ∈ ↑t

tactic: exact fun y hy => s.image_subset_range p (ht <| mem_coe.2 hy)
state_before: case refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜).toOrderHom ↑t
⊢ ∀ (x : E), x ∈ t → x ∈ Set.range p