Theorem: TFAE_mem_nhdsWithin_Ioi
File: Mathlib/Topology/Order/Basic.lean

tactic: tfae_have 1 ↔ 2
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
⊢ TFAE
    [s ∈ 𝓝[Ioi a] a, s ∈ 𝓝[Ioc a b] a, s ∈ 𝓝[Ioo a b] a, ∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s, ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s]

tactic: tfae_have 1 ↔ 3
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
⊢ TFAE
    [s ∈ 𝓝[Ioi a] a, s ∈ 𝓝[Ioc a b] a, s ∈ 𝓝[Ioo a b] a, ∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s, ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s]

tactic: tfae_have 4 → 5
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
⊢ TFAE
    [s ∈ 𝓝[Ioi a] a, s ∈ 𝓝[Ioc a b] a, s ∈ 𝓝[Ioo a b] a, ∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s, ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s]

tactic: tfae_have 5 → 1
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
tfae_4_to_5 : (∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s) → ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s
⊢ TFAE
    [s ∈ 𝓝[Ioi a] a, s ∈ 𝓝[Ioc a b] a, s ∈ 𝓝[Ioo a b] a, ∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s, ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s]

tactic: tfae_have 1 → 4
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
tfae_4_to_5 : (∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s) → ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s
tfae_5_to_1 : (∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s) → s ∈ 𝓝[Ioi a] a
⊢ TFAE
    [s ∈ 𝓝[Ioi a] a, s ∈ 𝓝[Ioc a b] a, s ∈ 𝓝[Ioo a b] a, ∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s, ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s]

tactic: tfae_finish
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
tfae_4_to_5 : (∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s) → ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s
tfae_5_to_1 : (∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s) → s ∈ 𝓝[Ioi a] a
tfae_1_to_4 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a → ∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s
⊢ TFAE
    [s ∈ 𝓝[Ioi a] a, s ∈ 𝓝[Ioc a b] a, s ∈ 𝓝[Ioo a b] a, ∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s, ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s]

tactic: rw [nhdsWithin_Ioc_eq_nhdsWithin_Ioi hab]
state_before: case tfae_1_iff_2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a

tactic: rw [nhdsWithin_Ioo_eq_nhdsWithin_Ioi hab]
state_before: case tfae_1_iff_3
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
⊢ s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a

tactic: exact fun ⟨u, umem, hu⟩ => ⟨u, umem.1, hu⟩
state_before: case tfae_4_to_5
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
⊢ (∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s) → ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s

tactic: rintro ⟨u, hau, hu⟩
state_before: case tfae_5_to_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
tfae_4_to_5 : (∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s) → ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s
⊢ (∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s) → s ∈ 𝓝[Ioi a] a

tactic: exact mem_of_superset (Ioo_mem_nhdsWithin_Ioi ⟨le_refl a, hau⟩) hu
state_before: case tfae_5_to_1.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
tfae_4_to_5 : (∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s) → ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s
u : α
hau : u ∈ Ioi a
hu : Ioo a u ⊆ s
⊢ s ∈ 𝓝[Ioi a] a

tactic: intro h
state_before: case tfae_1_to_4
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
tfae_4_to_5 : (∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s) → ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s
tfae_5_to_1 : (∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s) → s ∈ 𝓝[Ioi a] a
⊢ s ∈ 𝓝[Ioi a] a → ∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s

tactic: rcases mem_nhdsWithin_iff_exists_mem_nhds_inter.1 h with ⟨v, va, hv⟩
state_before: case tfae_1_to_4
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
tfae_4_to_5 : (∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s) → ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s
tfae_5_to_1 : (∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s) → s ∈ 𝓝[Ioi a] a
h : s ∈ 𝓝[Ioi a] a
⊢ ∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s

tactic: rcases exists_Ico_subset_of_mem_nhds' va hab with ⟨u, au, hu⟩
state_before: case tfae_1_to_4.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
tfae_4_to_5 : (∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s) → ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s
tfae_5_to_1 : (∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s) → s ∈ 𝓝[Ioi a] a
h : s ∈ 𝓝[Ioi a] a
v : Set α
va : v ∈ 𝓝 a
hv : v ∩ Ioi a ⊆ s
⊢ ∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s

tactic: refine' ⟨u, au, fun x hx => _⟩
state_before: case tfae_1_to_4.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
tfae_4_to_5 : (∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s) → ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s
tfae_5_to_1 : (∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s) → s ∈ 𝓝[Ioi a] a
h : s ∈ 𝓝[Ioi a] a
v : Set α
va : v ∈ 𝓝 a
hv : v ∩ Ioi a ⊆ s
u : α
au : u ∈ Ioc a b
hu : Ico a u ⊆ v
⊢ ∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s

tactic: refine' hv ⟨hu ⟨le_of_lt hx.1, hx.2⟩, _⟩
state_before: case tfae_1_to_4.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
tfae_4_to_5 : (∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s) → ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s
tfae_5_to_1 : (∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s) → s ∈ 𝓝[Ioi a] a
h : s ∈ 𝓝[Ioi a] a
v : Set α
va : v ∈ 𝓝 a
hv : v ∩ Ioi a ⊆ s
u : α
au : u ∈ Ioc a b
hu : Ico a u ⊆ v
x : α
hx : x ∈ Ioo a u
⊢ x ∈ s

tactic: exact hx.1
state_before: case tfae_1_to_4.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[Ioi a] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
tfae_4_to_5 : (∃ u, u ∈ Ioc a b ∧ Ioo a u ⊆ s) → ∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s
tfae_5_to_1 : (∃ u, u ∈ Ioi a ∧ Ioo a u ⊆ s) → s ∈ 𝓝[Ioi a] a
h : s ∈ 𝓝[Ioi a] a
v : Set α
va : v ∈ 𝓝 a
hv : v ∩ Ioi a ⊆ s
u : α
au : u ∈ Ioc a b
hu : Ico a u ⊆ v
x : α
hx : x ∈ Ioo a u
⊢ x ∈ Ioi a