Theorem: MeasureTheory.Lp.cauchy_complete_ℒp
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

tactic: obtain ⟨f_lim, h_f_lim_meas, h_lim⟩ :
  ∃ (f_lim : α → E) (_ : StronglyMeasurable f_lim),
    ∀ᵐ x ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (nhds (f_lim x))
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8227274
G : Type ?u.8227277
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm (f n - f m) p μ < B N
⊢ ∃ f_lim, Memℒp f_lim p ∧ Tendsto (fun n => snorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)

tactic: exact
  exists_stronglyMeasurable_limit_of_tendsto_ae (fun n => (hf n).1)
    (ae_tendsto_of_cauchy_snorm (fun n => (hf n).1) hp hB h_cau)
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8227274
G : Type ?u.8227277
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm (f n - f m) p μ < B N
⊢ ∃ f_lim x, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

case intro.intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8227274
G : Type ?u.8227277
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm (f n - f m) p μ < B N
f_lim : α → E
h_f_lim_meas : StronglyMeasurable f_lim
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ ∃ f_lim, Memℒp f_lim p ∧ Tendsto (fun n => snorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)

tactic: have h_tendsto' : atTop.Tendsto (fun n => snorm (f n - f_lim) p μ) (𝓝 0) :=
  cauchy_tendsto_of_tendsto (fun m => (hf m).1) f_lim hB h_cau h_lim
state_before: case intro.intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8227274
G : Type ?u.8227277
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm (f n - f m) p μ < B N
f_lim : α → E
h_f_lim_meas : StronglyMeasurable f_lim
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ ∃ f_lim, Memℒp f_lim p ∧ Tendsto (fun n => snorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)

tactic: have h_ℒp_lim : Memℒp f_lim p μ :=
  memℒp_of_cauchy_tendsto hp hf f_lim h_f_lim_meas.aestronglyMeasurable h_tendsto'
state_before: case intro.intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8227274
G : Type ?u.8227277
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm (f n - f m) p μ < B N
f_lim : α → E
h_f_lim_meas : StronglyMeasurable f_lim
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
h_tendsto' : Tendsto (fun n => snorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ f_lim, Memℒp f_lim p ∧ Tendsto (fun n => snorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)

tactic: exact ⟨f_lim, h_ℒp_lim, h_tendsto'⟩
state_before: case intro.intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8227274
G : Type ?u.8227277
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm (f n - f m) p μ < B N
f_lim : α → E
h_f_lim_meas : StronglyMeasurable f_lim
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
h_tendsto' : Tendsto (fun n => snorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
h_ℒp_lim : Memℒp f_lim p
⊢ ∃ f_lim, Memℒp f_lim p ∧ Tendsto (fun n => snorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)