Theorem: MvPolynomial.eval₂_congr
File: Mathlib/Data/MvPolynomial/Basic.lean

tactic: apply Finset.sum_congr rfl
state_before: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
⊢ eval₂ f g₁ p = eval₂ f g₂ p

tactic: intro C hc
state_before: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
⊢ ∀ (x : σ →₀ ℕ),
    x ∈ p.support →
      (fun s a => ↑f a * Finsupp.prod s fun n e => g₁ n ^ e) x (↑p x) =
        (fun s a => ↑f a * Finsupp.prod s fun n e => g₂ n ^ e) x (↑p x)

tactic: dsimp
state_before: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
C : σ →₀ ℕ
hc : C ∈ p.support
⊢ (fun s a => ↑f a * Finsupp.prod s fun n e => g₁ n ^ e) C (↑p C) =
    (fun s a => ↑f a * Finsupp.prod s fun n e => g₂ n ^ e) C (↑p C)

tactic: congr 1
state_before: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
C : σ →₀ ℕ
hc : C ∈ p.support
⊢ (↑f (↑p C) * Finsupp.prod C fun n e => g₁ n ^ e) = ↑f (↑p C) * Finsupp.prod C fun n e => g₂ n ^ e

tactic: apply Finset.prod_congr rfl
state_before: case e_a
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
C : σ →₀ ℕ
hc : C ∈ p.support
⊢ (Finsupp.prod C fun n e => g₁ n ^ e) = Finsupp.prod C fun n e => g₂ n ^ e

tactic: intro i hi
state_before: case e_a
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
C : σ →₀ ℕ
hc : C ∈ p.support
⊢ ∀ (x : σ), x ∈ C.support → (fun n e => g₁ n ^ e) x (↑C x) = (fun n e => g₂ n ^ e) x (↑C x)

tactic: dsimp
state_before: case e_a
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
C : σ →₀ ℕ
hc : C ∈ p.support
i : σ
hi : i ∈ C.support
⊢ (fun n e => g₁ n ^ e) i (↑C i) = (fun n e => g₂ n ^ e) i (↑C i)

tactic: congr 1
state_before: case e_a
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
C : σ →₀ ℕ
hc : C ∈ p.support
i : σ
hi : i ∈ C.support
⊢ g₁ i ^ ↑C i = g₂ i ^ ↑C i

tactic: apply h hi
state_before: case e_a.e_a
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
C : σ →₀ ℕ
hc : C ∈ p.support
i : σ
hi : i ∈ C.support
⊢ g₁ i = g₂ i

tactic: rwa [Finsupp.mem_support_iff] at hc
state_before: case e_a.e_a
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
C : σ →₀ ℕ
hc : C ∈ p.support
i : σ
hi : i ∈ C.support
⊢ coeff C p ≠ 0