Theorem: MeasureTheory.L1.norm_of_fun_eq_integral_norm
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

tactic: rw [L1.norm_eq_integral_norm]
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1133985
F : Type ?u.1133988
𝕜 : Type ?u.1133991
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1136682
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f
⊢ ‖Integrable.toL1 f hf‖ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ

tactic: refine' integral_congr_ae _
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1133985
F : Type ?u.1133988
𝕜 : Type ?u.1133991
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1136682
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f
⊢ (∫ (a : α), ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖ ∂μ) = ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ

tactic: apply hf.coeFn_toL1.mono
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1133985
F : Type ?u.1133988
𝕜 : Type ?u.1133991
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1136682
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f
⊢ (fun a => ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖) =ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖

tactic: intro a ha
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1133985
F : Type ?u.1133988
𝕜 : Type ?u.1133991
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1136682
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f
⊢ ∀ (x : α), ↑↑(Integrable.toL1 f hf) x = f x → (fun a => ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖) x = (fun a => ‖f a‖) x

tactic: simp_rw [ha]
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1133985
F : Type ?u.1133988
𝕜 : Type ?u.1133991
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1136682
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f
a : α
ha : ↑↑(Integrable.toL1 f hf) a = f a
⊢ (fun a => ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖) a = (fun a => ‖f a‖) a