Theorem: MeasureTheory.L1.setToL1_add_left
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: suffices setToL1 (hT.add hT') = setToL1 hT + setToL1 hT' by
  rw [this, ContinuousLinearMap.add_apply]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1072971
G : Type ?u.1072974
𝕜 : Type ?u.1072977
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f = ↑(setToL1 hT) f + ↑(setToL1 hT') f

tactic: refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ (hT.add hT')) _ _ _ _ _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1072971
G : Type ?u.1072974
𝕜 : Type ?u.1072977
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')) = setToL1 hT + setToL1 hT'

tactic: ext1 f
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1072971
G : Type ?u.1072974
𝕜 : Type ?u.1072977
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ) =
    setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))

tactic: simp only [ContinuousLinearMap.add_comp, ContinuousLinearMap.coe_comp', Function.comp_apply,
  ContinuousLinearMap.add_apply]
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1072971
G : Type ?u.1072974
𝕜 : Type ?u.1072977
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f =
    ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f

tactic: suffices setToL1 hT f + setToL1 hT' f = setToL1SCLM α E μ (hT.add hT') f by
  rw [← this]; rfl
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1072971
G : Type ?u.1072974
𝕜 : Type ?u.1072977
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f =
    ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f

tactic: rw [setToL1_eq_setToL1SCLM, setToL1_eq_setToL1SCLM, setToL1SCLM_add_left hT hT']
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1072971
G : Type ?u.1072974
𝕜 : Type ?u.1072977
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f

tactic: rw [this, ContinuousLinearMap.add_apply]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1072971
G : Type ?u.1072974
𝕜 : Type ?u.1072977
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')) = setToL1 hT + setToL1 hT'
⊢ ↑(setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f = ↑(setToL1 hT) f + ↑(setToL1 hT') f

tactic: rw [← this]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1072971
G : Type ?u.1072974
𝕜 : Type ?u.1072977
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f =
    ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f

tactic: rfl
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1072971
G : Type ?u.1072974
𝕜 : Type ?u.1072977
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f