Theorem: Besicovitch.exists_goodδ
File: Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean

tactic: by_contra' h
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ ∃ δ,
    0 < δ ∧
      δ < 1 ∧
        ∀ (s : Finset E),
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) →
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) → Finset.card s ≤ multiplicity E

tactic: set N := multiplicity E + 1 with hN
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
⊢ False

tactic: choose! F hF using this
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
this : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖
⊢ False

tactic: rcases this with ⟨f, hf, h'f⟩
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
this : ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
⊢ False

tactic: have finj : Function.Injective f := by
  intro i j hij
  by_contra h
  have : 1 ≤ ‖f i - f j‖ := h'f i j h
  simp only [hij, norm_zero, sub_self] at this
  exact lt_irrefl _ (this.trans_lt zero_lt_one)
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
⊢ False

tactic: let s := Finset.image f Finset.univ
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
⊢ False

tactic: have s_card : s.card = N := by rw [Finset.card_image_of_injective _ finj]; exact Finset.card_fin N
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
⊢ False

tactic: have hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2 := by
  simp only [hf, forall_apply_eq_imp_iff', forall_const, forall_exists_index, Finset.mem_univ,
    Finset.mem_image, true_and]
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : Finset.card s = N
⊢ False

tactic: have h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖ := by
  simp only [forall_apply_eq_imp_iff', forall_exists_index, Finset.mem_univ, Finset.mem_image,
    Ne.def, exists_true_left, forall_apply_eq_imp_iff', forall_true_left, true_and]
  intro i j hij
  have : i ≠ j := fun h => by rw [h] at hij ; exact hij rfl
  exact h'f i j this
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : Finset.card s = N
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
⊢ False

tactic: have : s.card ≤ multiplicity E := card_le_multiplicity hs h's
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : Finset.card s = N
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ False

tactic: rw [s_card, hN] at this
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : Finset.card s = N
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : Finset.card s ≤ multiplicity E
⊢ False

tactic: exact lt_irrefl _ ((Nat.lt_succ_self (multiplicity E)).trans_le this)
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : Finset.card s = N
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : multiplicity E + 1 ≤ multiplicity E
⊢ False

tactic: intro δ hδ
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
⊢ ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖

tactic: rcases lt_or_le δ 1 with (hδ' | hδ')
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
⊢ ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖

tactic: rcases h δ hδ hδ' with ⟨s, hs, h's, s_card⟩
state_before: case inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
⊢ ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖

tactic: obtain ⟨f, f_inj, hfs⟩ : ∃ f : Fin N → E, Function.Injective f ∧ range f ⊆ ↑s := by
  have : Fintype.card (Fin N) ≤ s.card := by simp only [Fintype.card_fin]; exact s_card
  rcases Function.Embedding.exists_of_card_le_finset this with ⟨f, hf⟩
  exact ⟨f, f.injective, hf⟩
state_before: case inl.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < Finset.card s
⊢ ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖

tactic: simp only [range_subset_iff, Finset.mem_coe] at hfs
state_before: case inl.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < Finset.card s
f : Fin N → E
f_inj : Function.Injective f
hfs : range f ⊆ ↑s
⊢ ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖

tactic: refine' ⟨f, fun i => hs _ (hfs i), fun i j hij => h's _ (hfs i) _ (hfs j) (f_inj.ne hij)⟩
state_before: case inl.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < Finset.card s
f : Fin N → E
f_inj : Function.Injective f
hfs : ∀ (y : Fin (multiplicity E + 1)), f y ∈ s
⊢ ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖

tactic: have : Fintype.card (Fin N) ≤ s.card := by simp only [Fintype.card_fin]; exact s_card
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < Finset.card s
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ range f ⊆ ↑s

tactic: rcases Function.Embedding.exists_of_card_le_finset this with ⟨f, hf⟩
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < Finset.card s
this : Fintype.card (Fin N) ≤ Finset.card s
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ range f ⊆ ↑s

tactic: exact ⟨f, f.injective, hf⟩
state_before: case intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < Finset.card s
this : Fintype.card (Fin N) ≤ Finset.card s
f : Fin N ↪ E
hf : range ↑f ⊆ ↑s
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ range f ⊆ ↑s

tactic: simp only [Fintype.card_fin]
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < Finset.card s
⊢ Fintype.card (Fin N) ≤ Finset.card s

tactic: exact s_card
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < Finset.card s
⊢ multiplicity E + 1 ≤ Finset.card s

tactic: exact
  ⟨fun _ => 0, fun i => by simp; norm_num, fun i j _ => by
    simpa only [norm_zero, sub_nonpos, sub_self]⟩
state_before: case inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : 1 ≤ δ
⊢ ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖

tactic: simp
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : 1 ≤ δ
i : Fin N
⊢ ‖(fun x => 0) i‖ ≤ 2

tactic: norm_num
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : 1 ≤ δ
i : Fin N
⊢ 0 ≤ 2

tactic: simpa only [norm_zero, sub_nonpos, sub_self]
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : 1 ≤ δ
i j : Fin N
x✝ : i ≠ j
⊢ 1 - δ ≤ ‖(fun x => 0) i - (fun x => 0) j‖

tactic: obtain ⟨u, _, zero_lt_u, hu⟩ :
  ∃ u : ℕ → ℝ,
    (∀ m n : ℕ, m < n → u n < u m) ∧ (∀ n : ℕ, 0 < u n) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 0) :=
  exists_seq_strictAnti_tendsto (0 : ℝ)
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
⊢ ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖

tactic: have A : ∀ n, F (u n) ∈ closedBall (0 : Fin N → E) 2 := by
  intro n
  simp only [pi_norm_le_iff_of_nonneg zero_le_two, mem_closedBall, dist_zero_right,
    (hF (u n) (zero_lt_u n)).left, forall_const]
state_before: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖

tactic: obtain ⟨f, fmem, φ, φ_mono, hf⟩ :
  ∃ f ∈ closedBall (0 : Fin N → E) 2,
    ∃ φ : ℕ → ℕ, StrictMono φ ∧ Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f) :=
  IsCompact.tendsto_subseq (isCompact_closedBall _ _) A
state_before: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
⊢ ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖

tactic: refine' ⟨f, fun i => _, fun i j hij => _⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
f : Fin N → E
fmem : f ∈ closedBall 0 2
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
⊢ ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖

tactic: intro n
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2

tactic: simp only [pi_norm_le_iff_of_nonneg zero_le_two, mem_closedBall, dist_zero_right,
  (hF (u n) (zero_lt_u n)).left, forall_const]
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ F (u n) ∈ closedBall 0 2

tactic: simp only [pi_norm_le_iff_of_nonneg zero_le_two, mem_closedBall, dist_zero_right] at fmem
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
f : Fin N → E
fmem : f ∈ closedBall 0 2
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i : Fin N
⊢ ‖f i‖ ≤ 2

tactic: exact fmem i
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
f : Fin N → E
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i : Fin N
fmem : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
⊢ ‖f i‖ ≤ 2

tactic: have A : Tendsto (fun n => ‖F (u (φ n)) i - F (u (φ n)) j‖) atTop (𝓝 ‖f i - f j‖) :=
  ((hf.apply i).sub (hf.apply j)).norm
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
f : Fin N → E
fmem : f ∈ closedBall 0 2
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i j : Fin N
hij : i ≠ j
⊢ 1 ≤ ‖f i - f j‖

tactic: have B : Tendsto (fun n => 1 - u (φ n)) atTop (𝓝 (1 - 0)) :=
  tendsto_const_nhds.sub (hu.comp φ_mono.tendsto_atTop)
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A✝ : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
f : Fin N → E
fmem : f ∈ closedBall 0 2
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i j : Fin N
hij : i ≠ j
A : Tendsto (fun n => ‖F (u (φ n)) i - F (u (φ n)) j‖) atTop (𝓝 ‖f i - f j‖)
⊢ 1 ≤ ‖f i - f j‖

tactic: rw [sub_zero] at B
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A✝ : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
f : Fin N → E
fmem : f ∈ closedBall 0 2
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i j : Fin N
hij : i ≠ j
A : Tendsto (fun n => ‖F (u (φ n)) i - F (u (φ n)) j‖) atTop (𝓝 ‖f i - f j‖)
B : Tendsto (fun n => 1 - u (φ n)) atTop (𝓝 (1 - 0))
⊢ 1 ≤ ‖f i - f j‖

tactic: exact le_of_tendsto_of_tendsto' B A fun n => (hF (u (φ n)) (zero_lt_u _)).2 i j hij
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A✝ : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
f : Fin N → E
fmem : f ∈ closedBall 0 2
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i j : Fin N
hij : i ≠ j
A : Tendsto (fun n => ‖F (u (φ n)) i - F (u (φ n)) j‖) atTop (𝓝 ‖f i - f j‖)
B : Tendsto (fun n => 1 - u (φ n)) atTop (𝓝 1)
⊢ 1 ≤ ‖f i - f j‖

tactic: intro i j hij
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
⊢ Function.Injective f

tactic: by_contra h
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
⊢ i = j

tactic: have : 1 ≤ ‖f i - f j‖ := h'f i j h
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h✝ :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
h : ¬i = j
⊢ False

tactic: simp only [hij, norm_zero, sub_self] at this
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h✝ :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
h : ¬i = j
this : 1 ≤ ‖f i - f j‖
⊢ False

tactic: exact lt_irrefl _ (this.trans_lt zero_lt_one)
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h✝ :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
h : ¬i = j
this : 1 ≤ 0
⊢ False

tactic: rw [Finset.card_image_of_injective _ finj]
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
⊢ Finset.card s = N

tactic: exact Finset.card_fin N
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
⊢ Finset.card Finset.univ = N

tactic: simp only [hf, forall_apply_eq_imp_iff', forall_const, forall_exists_index, Finset.mem_univ,
  Finset.mem_image, true_and]
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : Finset.card s = N
⊢ ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2

tactic: simp only [forall_apply_eq_imp_iff', forall_exists_index, Finset.mem_univ, Finset.mem_image,
  Ne.def, exists_true_left, forall_apply_eq_imp_iff', forall_true_left, true_and]
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : Finset.card s = N
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
⊢ ∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖

tactic: intro i j hij
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : Finset.card s = N
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
⊢ ∀ (a a_1 : Fin (multiplicity E + 1)), ¬f a = f a_1 → 1 ≤ ‖f a - f a_1‖

tactic: have : i ≠ j := fun h => by rw [h] at hij ; exact hij rfl
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : Finset.card s = N
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin (multiplicity E + 1)
hij : ¬f i = f j
⊢ 1 ≤ ‖f i - f j‖

tactic: exact h'f i j this
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : Finset.card s = N
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin (multiplicity E + 1)
hij : ¬f i = f j
this : i ≠ j
⊢ 1 ≤ ‖f i - f j‖

tactic: rw [h] at hij
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h✝ :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : Finset.card s = N
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin (multiplicity E + 1)
hij : ¬f i = f j
h : i = j
⊢ False

tactic: exact hij rfl
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h✝ :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ →
      δ < 1 →
        ∃ s,
          (∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2) ∧
            (∀ (c : E), c ∈ s → ∀ (d : E), d ∈ s → c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < Finset.card s
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : ∀ (i j : Fin N), i ≠ j → 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : Finset.card s = N
hs : ∀ (c : E), c ∈ s → ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin (multiplicity E + 1)
hij : ¬f j = f j
h : i = j
⊢ False