Theorem: intervalIntegral.measure_integral_sub_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean

tactic: haveI := FTCFilter.meas_gen la
state_before: ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
⊢ (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ) -
        ((∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖

tactic: haveI := FTCFilter.meas_gen lb
state_before: ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this : IsMeasurablyGenerated la'
⊢ (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ) -
        ((∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖

tactic: refine'
  ((measure_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae hmeas_a ha_lim hua hva).neg_left.add_add
        (measure_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae hmeas_b hb_lim hub hvb)).congr'
    _ EventuallyEq.rfl
state_before: ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
⊢ (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ) -
        ((∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖

tactic: have A : ∀ᶠ t in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t) :=
  ha_lim.eventually_intervalIntegrable_ae hmeas_a (FTCFilter.finite_at_inner la) hua hva
state_before: ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
⊢ (fun x =>
      -((∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        ((∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ((∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ) -
      ((∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)

tactic: have A' : ∀ᶠ t in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t) :=
  ha_lim.eventually_intervalIntegrable_ae hmeas_a (FTCFilter.finite_at_inner la)
    (tendsto_const_pure.mono_right FTCFilter.pure_le) hua
state_before: ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A✝ : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
⊢ (fun x =>
      -((∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        ((∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ((∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ) -
      ((∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)

tactic: have B : ∀ᶠ t in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t) :=
  hb_lim.eventually_intervalIntegrable_ae hmeas_b (FTCFilter.finite_at_inner lb) hub hvb
state_before: ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A✝ : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
⊢ (fun x =>
      -((∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        ((∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ((∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ) -
      ((∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)

tactic: have B' : ∀ᶠ t in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t) :=
  hb_lim.eventually_intervalIntegrable_ae hmeas_b (FTCFilter.finite_at_inner lb)
    (tendsto_const_pure.mono_right FTCFilter.pure_le) hub
state_before: ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A✝ : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
⊢ (fun x =>
      -((∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        ((∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ((∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ) -
      ((∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)

tactic: filter_upwards [A, A', B, B'] with _ ua_va a_ua ub_vb b_ub
state_before: ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A✝ : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
⊢ (fun x =>
      -((∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        ((∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ((∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ) -
      ((∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)

tactic: rw [← integral_interval_sub_interval_comm']
state_before: case h
ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A✝ : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ -((∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ) +
      ((∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) =
    ((∫ (x : ℝ) in va a✝..vb a✝, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..ub a✝, f x ∂μ) -
      ((∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ)

tactic: exacts [ub_vb, ua_va, b_ub.symm.trans <| hab.symm.trans a_ua]
state_before: case h.hab
ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A✝ : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x) μ (ub a✝) (vb a✝)

case h.hcd
ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A✝ : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x) μ (ua a✝) (va a✝)

case h.hac
ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A✝ : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x) μ (ub a✝) (ua a✝)

tactic: dsimp only
state_before: case h
ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A✝ : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ -((∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ) +
      ((∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) =
    ((∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ) -
      ((∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ)

tactic: abel
state_before: case h
ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1227499
E : Type u_1
F : Type ?u.1227505
A✝ : Type ?u.1227508
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ -((∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ) +
      ((∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) =
    ((∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ) -
      ((∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ)