Theorem: CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.Compatible.sieveExtend
File: Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafOfTypes.lean

tactic: intro _ _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ comm
state_before: C : Type u₁
inst✝ : Category C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
x : FamilyOfElements P R
hx : Compatible x
⊢ Compatible (FamilyOfElements.sieveExtend x)

tactic: iterate 2 erw [← FunctorToTypes.map_comp_apply]; rw [← op_comp]
state_before: C : Type u₁
inst✝ : Category C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
x : FamilyOfElements P R
hx : Compatible x
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map g₁✝.op (FamilyOfElements.sieveExtend x f₁✝ h₁) = P.map g₂✝.op (FamilyOfElements.sieveExtend x f₂✝ h₂)

tactic: apply hx
state_before: C : Type u₁
inst✝ : Category C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
x : FamilyOfElements P R
hx : Compatible x
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map (g₁✝ ≫ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₁✝)).op
      (x (Exists.choose (_ : ∃ g, R g ∧ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₁✝) ≫ g = f₁✝))
        (_ : R (Exists.choose (_ : ∃ g, R g ∧ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₁✝) ≫ g = f₁✝)))) =
    P.map (g₂✝ ≫ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₂✝)).op
      (x (Exists.choose (_ : ∃ g, R g ∧ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₂✝) ≫ g = f₂✝))
        (_ : R (Exists.choose (_ : ∃ g, R g ∧ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₂✝) ≫ g = f₂✝))))

tactic: simp [comm, h₁.choose_spec.choose_spec.choose_spec.2, h₂.choose_spec.choose_spec.choose_spec.2]
state_before: case a
C : Type u₁
inst✝ : Category C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
x : FamilyOfElements P R
hx : Compatible x
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ (g₁✝ ≫ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₁✝)) ≫
      Exists.choose (_ : ∃ g, R g ∧ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₁✝) ≫ g = f₁✝) =
    (g₂✝ ≫ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₂✝)) ≫
      Exists.choose (_ : ∃ g, R g ∧ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₂✝) ≫ g = f₂✝)

tactic: erw [← FunctorToTypes.map_comp_apply]
state_before: C : Type u₁
inst✝ : Category C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
x : FamilyOfElements P R
hx : Compatible x
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map (g₁✝ ≫ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₁✝)).op
      (x (Exists.choose (_ : ∃ g, R g ∧ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₁✝) ≫ g = f₁✝))
        (_ : R (Exists.choose (_ : ∃ g, R g ∧ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₁✝) ≫ g = f₁✝)))) =
    P.map g₂✝.op (FamilyOfElements.sieveExtend x f₂✝ h₂)

tactic: rw [← op_comp]
state_before: C : Type u₁
inst✝ : Category C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
x : FamilyOfElements P R
hx : Compatible x
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map (g₁✝ ≫ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₁✝)).op
      (x (Exists.choose (_ : ∃ g, R g ∧ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₁✝) ≫ g = f₁✝))
        (_ : R (Exists.choose (_ : ∃ g, R g ∧ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₁✝) ≫ g = f₁✝)))) =
    P.map ((Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₂✝)).op ≫ g₂✝.op)
      (x (Exists.choose (_ : ∃ g, R g ∧ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₂✝) ≫ g = f₂✝))
        (_ : R (Exists.choose (_ : ∃ g, R g ∧ Exists.choose (_ : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f₂✝) ≫ g = f₂✝))))