Theorem: MeasureTheory.Lp_toLp_restrict_smul
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean

tactic: ext1
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.322244
E : Type ?u.322247
F : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
c : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp F p }
s : Set α
⊢ Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p) = c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)

tactic: refine' (ae_restrict_of_ae (Lp.coeFn_smul c f)).mp _
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type ?u.322244
E : Type ?u.322247
F : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
c : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp F p }
s : Set α
⊢ ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) =ᵐ[Measure.restrict μ s] ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p))

tactic: refine' (Memℒp.coeFn_toLp ((Lp.memℒp f).restrict s)).mp _
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type ?u.322244
E : Type ?u.322247
F : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
c : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp F p }
s : Set α
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s,
    ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x →
      ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x

tactic: refine' (Memℒp.coeFn_toLp ((Lp.memℒp (c • f)).restrict s)).mp _
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type ?u.322244
E : Type ?u.322247
F : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
c : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp F p }
s : Set α
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s,
    ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x = ↑↑f x →
      ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x →
        ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x

tactic: refine'
  (Lp.coeFn_smul c (Memℒp.toLp f ((Lp.memℒp f).restrict s))).mono fun x hx1 hx2 hx3 hx4 => _
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type ?u.322244
E : Type ?u.322247
F : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
c : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp F p }
s : Set α
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s,
    ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) x = ↑↑(c • f) x →
      ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x = ↑↑f x →
        ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x →
          ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x

tactic: rw [hx2, hx1, Pi.smul_apply, hx3, hx4, Pi.smul_apply]
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type ?u.322244
E : Type ?u.322247
F : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
c : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp F p }
s : Set α
x : α
hx1 : ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x = (c • ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p))) x
hx2 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) x = ↑↑(c • f) x
hx3 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x = ↑↑f x
hx4 : ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x
⊢ ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x