Theorem: MeasureTheory.Lp.memℒp_of_cauchy_tendsto
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

tactic: refine' ⟨h_lim_meas, _⟩
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
⊢ Memℒp f_lim p

tactic: rw [ENNReal.tendsto_atTop_zero] at h_tendsto
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
⊢ snorm f_lim p μ < ⊤

tactic: cases' h_tendsto 1 zero_lt_one with N h_tendsto_1
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
⊢ snorm f_lim p μ < ⊤

tactic: specialize h_tendsto_1 N (le_refl N)
state_before: case intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ 1
⊢ snorm f_lim p μ < ⊤

tactic: have h_add : f_lim = f_lim - f N + f N := by abel
state_before: case intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : snorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
⊢ snorm f_lim p μ < ⊤

tactic: rw [h_add]
state_before: case intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : snorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
⊢ snorm f_lim p μ < ⊤

tactic: refine' lt_of_le_of_lt (snorm_add_le (h_lim_meas.sub (hf N).1) (hf N).1 hp) _
state_before: case intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : snorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
⊢ snorm (f_lim - f N + f N) p μ < ⊤

tactic: rw [ENNReal.add_lt_top]
state_before: case intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : snorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
⊢ snorm (f_lim - f N) p μ + snorm (f N) p μ < ⊤

tactic: constructor
state_before: case intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : snorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
⊢ snorm (f_lim - f N) p μ < ⊤ ∧ snorm (f N) p μ < ⊤

tactic: abel
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : snorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
⊢ f_lim = f_lim - f N + f N

tactic: refine' lt_of_le_of_lt _ ENNReal.one_lt_top
state_before: case intro.left
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : snorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
⊢ snorm (f_lim - f N) p μ < ⊤

tactic: have h_neg : f_lim - f N = -(f N - f_lim) := by simp
state_before: case intro.left
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : snorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
⊢ snorm (f_lim - f N) p μ ≤ 1

tactic: rwa [h_neg, snorm_neg]
state_before: case intro.left
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : snorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
h_neg : f_lim - f N = -(f N - f_lim)
⊢ snorm (f_lim - f N) p μ ≤ 1

tactic: simp
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : snorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
⊢ f_lim - f N = -(f N - f_lim)

tactic: exact (hf N).2
state_before: case intro.right
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8218613
G : Type ?u.8218616
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : snorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
⊢ snorm (f N) p μ < ⊤