Theorem: Seminorm.finset_sup_le_sum
File: Mathlib/Analysis/Seminorm.lean

tactic: classical
  refine' Finset.sup_le_iff.mpr _
  intro i hi
  rw [Finset.sum_eq_sum_diff_singleton_add hi, le_add_iff_nonneg_left]
  exact bot_le
state_before: R : Type ?u.507526
R' : Type ?u.507529
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.507535
𝕜₃ : Type ?u.507538
𝕝 : Type ?u.507541
E : Type u_2
E₂ : Type ?u.507547
E₃ : Type ?u.507550
F : Type ?u.507553
G : Type ?u.507556
ι : Type u_3
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
⊢ Finset.sup s p ≤ ∑ i in s, p i

tactic: refine' Finset.sup_le_iff.mpr _
state_before: R : Type ?u.507526
R' : Type ?u.507529
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.507535
𝕜₃ : Type ?u.507538
𝕝 : Type ?u.507541
E : Type u_2
E₂ : Type ?u.507547
E₃ : Type ?u.507550
F : Type ?u.507553
G : Type ?u.507556
ι : Type u_3
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
⊢ Finset.sup s p ≤ ∑ i in s, p i

tactic: intro i hi
state_before: R : Type ?u.507526
R' : Type ?u.507529
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.507535
𝕜₃ : Type ?u.507538
𝕝 : Type ?u.507541
E : Type u_2
E₂ : Type ?u.507547
E₃ : Type ?u.507550
F : Type ?u.507553
G : Type ?u.507556
ι : Type u_3
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
⊢ ∀ (b : ι), b ∈ s → p b ≤ ∑ i in s, p i

tactic: rw [Finset.sum_eq_sum_diff_singleton_add hi, le_add_iff_nonneg_left]
state_before: R : Type ?u.507526
R' : Type ?u.507529
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.507535
𝕜₃ : Type ?u.507538
𝕝 : Type ?u.507541
E : Type u_2
E₂ : Type ?u.507547
E₃ : Type ?u.507550
F : Type ?u.507553
G : Type ?u.507556
ι : Type u_3
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ p i ≤ ∑ i in s, p i

tactic: exact bot_le
state_before: R : Type ?u.507526
R' : Type ?u.507529
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.507535
𝕜₃ : Type ?u.507538
𝕝 : Type ?u.507541
E : Type u_2
E₂ : Type ?u.507547
E₃ : Type ?u.507550
F : Type ?u.507553
G : Type ?u.507556
ι : Type u_3
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ 0 ≤ ∑ x in s \ {i}, p x