Theorem: MeasureTheory.L1.setToL1_zero_left
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: suffices setToL1 hT = 0 by rw [this]; simp
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1008712
G : Type ?u.1008715
𝕜 : Type ?u.1008718
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT) f = 0

tactic: refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ hT) _ _ _ _ _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1008712
G : Type ?u.1008715
𝕜 : Type ?u.1008718
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 hT = 0

tactic: ext1 f
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1008712
G : Type ?u.1008715
𝕜 : Type ?u.1008718
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT

tactic: rw [setToL1SCLM_zero_left hT f, ContinuousLinearMap.zero_comp, ContinuousLinearMap.zero_apply]
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1008712
G : Type ?u.1008715
𝕜 : Type ?u.1008718
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f

tactic: rw [this]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1008712
G : Type ?u.1008715
𝕜 : Type ?u.1008718
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT = 0
⊢ ↑(setToL1 hT) f = 0

tactic: simp
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1008712
G : Type ?u.1008715
𝕜 : Type ?u.1008718
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT = 0
⊢ ↑0 f = 0