Theorem: HasDerivAt.lhopital_zero_atBot
File: Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean

tactic: rw [eventually_iff_exists_mem] at *
state_before: a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l

tactic: rcases hff' with ⟨s₁, hs₁, hff'⟩
state_before: a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∃ v, v ∈ atBot ∧ ∀ (y : ℝ), y ∈ v → HasDerivAt f (f' y) y
hgg' : ∃ v, v ∈ atBot ∧ ∀ (y : ℝ), y ∈ v → HasDerivAt g (g' y) y
hg' : ∃ v, v ∈ atBot ∧ ∀ (y : ℝ), y ∈ v → g' y ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l

tactic: rcases hgg' with ⟨s₂, hs₂, hgg'⟩
state_before: case intro.intro
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hgg' : ∃ v, v ∈ atBot ∧ ∀ (y : ℝ), y ∈ v → HasDerivAt g (g' y) y
hg' : ∃ v, v ∈ atBot ∧ ∀ (y : ℝ), y ∈ v → g' y ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₁ → HasDerivAt f (f' y) y
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l

tactic: rcases hg' with ⟨s₃, hs₃, hg'⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hg' : ∃ v, v ∈ atBot ∧ ∀ (y : ℝ), y ∈ v → g' y ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₁ → HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₂ → HasDerivAt g (g' y) y
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l

tactic: let s := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₁ → HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₂ → HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₃ → g' y ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l

tactic: have hs : s ∈ atBot := inter_mem (inter_mem hs₁ hs₂) hs₃
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₁ → HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₂ → HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₃ → g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l

tactic: rw [mem_atBot_sets] at hs
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₁ → HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₂ → HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₃ → g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : s ∈ atBot
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l

tactic: rcases hs with ⟨l, hl⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₁ → HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₂ → HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₃ → g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : ∃ a, ∀ (b : ℝ), b ≤ a → b ∈ s
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l

tactic: have hl' : Iio l ⊆ s := fun x hx => hl x (le_of_lt hx)
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b : ℝ
hab : a < b
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₁ → HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₂ → HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₃ → g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hl : ∀ (b : ℝ), b ≤ l → b ∈ s
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l✝

tactic: refine' lhopital_zero_atBot_on_Iio _ _ (fun x hx => hg' x <| (hl' hx).2) hfbot hgbot hdiv <;>
  intro x hx <;> apply_assumption <;> first | exact (hl' hx).1.1| exact (hl' hx).1.2
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b : ℝ
hab : a < b
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₁ → HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₂ → HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₃ → g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hl : ∀ (b : ℝ), b ≤ l → b ∈ s
hl' : Iio l ⊆ s
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l✝

tactic: exact (hl' hx).1.1
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.a
a b : ℝ
hab : a < b
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₁ → HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₂ → HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₃ → g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hl : ∀ (b : ℝ), b ≤ l → b ∈ s
hl' : Iio l ⊆ s
x : ℝ
hx : x ∈ Iio l
⊢ x ∈ s₂

tactic: exact (hl' hx).1.2
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.a
a b : ℝ
hab : a < b
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₁ → HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₂ → HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ (y : ℝ), y ∈ s₃ → g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hl : ∀ (b : ℝ), b ≤ l → b ∈ s
hl' : Iio l ⊆ s
x : ℝ
hx : x ∈ Iio l
⊢ x ∈ s₂