Theorem: BoxIntegral.HasIntegral.of_le_Henstock_of_forall_isLittleO
File: Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean

tactic: decide
state_before: ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l ≤ Henstock
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ ↑B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : Set.Countable s
H₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    x ∈ ↑Box.Icc I ∩ s →
      ∀ (ε : ℝ),
        ε > 0 →
          ∃ δ,
            δ > 0 ∧
              ∀ (J : Box ι),
                J ≤ I →
                  ↑Box.Icc J ⊆ closedBall x δ →
                    x ∈ ↑Box.Icc J → (l.bDistortion = true → Box.distortion J ≤ c) → dist (↑(↑vol J) (f x)) (↑g J) ≤ ε
H₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    x ∈ ↑Box.Icc I \ s →
      ∀ (ε : ℝ),
        ε > 0 →
          ∃ δ,
            δ > 0 ∧
              ∀ (J : Box ι),
                J ≤ I →
                  ↑Box.Icc J ⊆ closedBall x δ →
                    x ∈ ↑Box.Icc J →
                      (l.bDistortion = true → Box.distortion J ≤ c) → dist (↑(↑vol J) (f x)) (↑g J) ≤ ε * ↑B J
⊢ ¬(↑equivProd Henstock).snd.fst = false

tactic: decide
state_before: ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l ≤ Henstock
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ ↑B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : Set.Countable s
H₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    x ∈ ↑Box.Icc I ∩ s →
      ∀ (ε : ℝ),
        ε > 0 →
          ∃ δ,
            δ > 0 ∧
              ∀ (J : Box ι),
                J ≤ I →
                  ↑Box.Icc J ⊆ closedBall x δ →
                    x ∈ ↑Box.Icc J → (l.bDistortion = true → Box.distortion J ≤ c) → dist (↑(↑vol J) (f x)) (↑g J) ≤ ε
H₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    x ∈ ↑Box.Icc I \ s →
      ∀ (ε : ℝ),
        ε > 0 →
          ∃ δ,
            δ > 0 ∧
              ∀ (J : Box ι),
                J ≤ I →
                  ↑Box.Icc J ⊆ closedBall x δ →
                    x ∈ ↑Box.Icc J →
                      (l.bDistortion = true → Box.distortion J ≤ c) → dist (↑(↑vol J) (f x)) (↑g J) ≤ ε * ↑B J
A : l.bHenstock = true
⊢ ¬(↑equivProd Henstock).fst = true

tactic: simpa only [A, true_imp_iff] using H₂
state_before: ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l ≤ Henstock
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ ↑B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : Set.Countable s
H₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    x ∈ ↑Box.Icc I ∩ s →
      ∀ (ε : ℝ),
        ε > 0 →
          ∃ δ,
            δ > 0 ∧
              ∀ (J : Box ι),
                J ≤ I →
                  ↑Box.Icc J ⊆ closedBall x δ →
                    x ∈ ↑Box.Icc J → (l.bDistortion = true → Box.distortion J ≤ c) → dist (↑(↑vol J) (f x)) (↑g J) ≤ ε
H₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    x ∈ ↑Box.Icc I \ s →
      ∀ (ε : ℝ),
        ε > 0 →
          ∃ δ,
            δ > 0 ∧
              ∀ (J : Box ι),
                J ≤ I →
                  ↑Box.Icc J ⊆ closedBall x δ →
                    x ∈ ↑Box.Icc J →
                      (l.bDistortion = true → Box.distortion J ≤ c) → dist (↑(↑vol J) (f x)) (↑g J) ≤ ε * ↑B J
A : l.bHenstock = true
⊢ ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    x ∈ ↑Box.Icc I \ s →
      ∀ (ε : ℝ),
        ε > 0 →
          ∃ δ,
            δ > 0 ∧
              ∀ (J : Box ι),
                J ≤ I →
                  ↑Box.Icc J ⊆ closedBall x δ →
                    (l.bHenstock = true → x ∈ ↑Box.Icc J) →
                      (l.bDistortion = true → Box.distortion J ≤ c) → dist (↑(↑vol J) (f x)) (↑g J) ≤ ε * ↑B J