Theorem: UniformSpace.Completion.continuous_hatInv
File: Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean

tactic: haveI : T3Space (hat K) := Completion.t3Space K
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
⊢ ContinuousAt hatInv x

tactic: refine' denseInducing_coe.continuousAt_extend _
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this : T3Space (hat K)
⊢ ContinuousAt hatInv x

tactic: apply mem_of_superset (compl_singleton_mem_nhds h)
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this : T3Space (hat K)
⊢ ∀ᶠ (x : hat K) in 𝓝 x, ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)

tactic: intro y y_ne
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this : T3Space (hat K)
⊢ {0}ᶜ ⊆ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}

tactic: rw [mem_compl_singleton_iff] at y_ne
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ∈ {0}ᶜ
⊢ y ∈ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}

tactic: apply CompleteSpace.complete
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
⊢ y ∈ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}

tactic: have : (fun (x : K) => (↑x⁻¹: hat K)) =
    ((fun (y : K) => (↑y: hat K))∘(fun (x : K) => (x⁻¹ : K))) := by
  unfold Function.comp
  simp
state_before: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
⊢ Cauchy (map (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))

tactic: rw [this, ← Filter.map_map]
state_before: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this✝ : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (map (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))

tactic: apply Cauchy.map _ (Completion.uniformContinuous_coe K)
state_before: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this✝ : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (map (fun y => ↑K y) (map (fun x => x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))))

tactic: apply CompletableTopField.nice
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this✝ : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (map (fun x => x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))

tactic: unfold Function.comp
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
⊢ (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹

tactic: simp
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
⊢ (fun x => ↑K x⁻¹) = fun x => (fun y => ↑K y) ((fun x => x⁻¹) x)

tactic: haveI := denseInducing_coe.comap_nhds_neBot y
state_before: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this✝ : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))

tactic: apply cauchy_nhds.comap
state_before: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this✝¹ : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this✝ : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
this : NeBot (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))
⊢ Cauchy (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))

tactic: rw [Completion.comap_coe_eq_uniformity]
state_before: case a.hm
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this✝¹ : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this✝ : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
this : NeBot (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))
⊢ Filter.comap (fun p => (↑K p.fst, ↑K p.snd)) (uniformity (hat K)) ≤ uniformity K

tactic: have eq_bot : 𝓝 (0 : hat K) ⊓ 𝓝 y = ⊥ := by
  by_contra h
  exact y_ne (eq_of_nhds_neBot <| neBot_iff.mpr h).symm
state_before: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this✝ : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ 𝓝 0 ⊓ Filter.comap (↑K) (𝓝 y) = ⊥

tactic: erw [denseInducing_coe.nhds_eq_comap (0 : K), ← Filter.comap_inf, eq_bot]
state_before: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this✝ : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
eq_bot : 𝓝 0 ⊓ 𝓝 y = ⊥
⊢ 𝓝 0 ⊓ Filter.comap (↑K) (𝓝 y) = ⊥

tactic: exact comap_bot
state_before: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this✝ : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
eq_bot : 𝓝 0 ⊓ 𝓝 y = ⊥
⊢ Filter.comap ↑K ⊥ = ⊥

tactic: by_contra h
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
this✝ : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ 𝓝 0 ⊓ 𝓝 y = ⊥

tactic: exact y_ne (eq_of_nhds_neBot <| neBot_iff.mpr h).symm
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h✝ : x ≠ 0
this✝ : T3Space (hat K)
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
h : ¬𝓝 0 ⊓ 𝓝 y = ⊥
⊢ False