Theorem: MeasureTheory.L1.setToL1_smul_left'
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: suffices setToL1 hT' = c • setToL1 hT by rw [this, ContinuousLinearMap.smul_apply]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1139564
G : Type ?u.1139567
𝕜 : Type ?u.1139570
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT') f = c • ↑(setToL1 hT) f

tactic: refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ hT') _ _ _ _ _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1139564
G : Type ?u.1139567
𝕜 : Type ?u.1139570
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 hT' = c • setToL1 hT

tactic: ext1 f
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1139564
G : Type ?u.1139567
𝕜 : Type ?u.1139570
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT'

tactic: simp only [ContinuousLinearMap.coe_comp', Function.comp_apply, ContinuousLinearMap.smul_comp,
  Pi.smul_apply, ContinuousLinearMap.coe_smul']
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1139564
G : Type ?u.1139567
𝕜 : Type ?u.1139570
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f

tactic: suffices c • setToL1 hT f = setToL1SCLM α E μ hT' f by rw [← this]; congr
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1139564
G : Type ?u.1139567
𝕜 : Type ?u.1139570
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f

tactic: rw [setToL1_eq_setToL1SCLM, setToL1SCLM_smul_left' c hT hT' h_smul]
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1139564
G : Type ?u.1139567
𝕜 : Type ?u.1139570
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ c • ↑(setToL1 hT) ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f

tactic: rw [this, ContinuousLinearMap.smul_apply]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1139564
G : Type ?u.1139567
𝕜 : Type ?u.1139570
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT' = c • setToL1 hT
⊢ ↑(setToL1 hT') f = c • ↑(setToL1 hT) f

tactic: rw [← this]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1139564
G : Type ?u.1139567
𝕜 : Type ?u.1139570
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : c • ↑(setToL1 hT) ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f

tactic: congr
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1139564
G : Type ?u.1139567
𝕜 : Type ?u.1139570
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : c • ↑(setToL1 hT) ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ)) f = c • ↑(setToL1 hT) ↑f