Theorem: tendsto_set_integral_pow_smul_of_unique_maximum_of_isCompact_of_measure_nhdsWithin_pos
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean

tactic: let φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ x in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))

tactic: have hnφ : ∀ n, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x := by
  intro n x hx
  apply mul_nonneg (inv_nonneg.2 _) (pow_nonneg (hnc x hx) _)
  exact set_integral_nonneg hs.measurableSet fun x hx => pow_nonneg (hnc x hx) _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))

tactic: have I : ∀ n, IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ := fun n =>
  ContinuousOn.integrableOn_compact hs (hc.pow n)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))

tactic: have J : ∀ n, 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x : α => c x ^ n := by
  intro n
  filter_upwards [ae_restrict_mem hs.measurableSet] with x hx
  exact pow_nonneg (hnc x hx) n
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))

tactic: have P : ∀ n, (0 : ℝ) < ∫ x in s, c x ^ n ∂μ := by
  intro n
  refine' (set_integral_pos_iff_support_of_nonneg_ae (J n) (I n)).2 _
  obtain ⟨u, u_open, x₀_u, hu⟩ : ∃ u : Set α, IsOpen u ∧ x₀ ∈ u ∧ u ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi 0 :=
    _root_.continuousOn_iff.1 hc x₀ h₀ (Ioi (0 : ℝ)) isOpen_Ioi hnc₀
  apply (hμ u u_open x₀_u).trans_le
  exact measure_mono fun x hx => ⟨ne_of_gt (pow_pos (a := c x) (hu hx) _), hx.2⟩
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))

tactic: have hiφ : ∀ n, (∫ x in s, φ n x ∂μ) = 1 := fun n => by
  rw [integral_mul_left, inv_mul_cancel (P n).ne']
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))

tactic: have : Tendsto (fun i : ℕ => ∫ x : α in s, φ i x • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀)) :=
  tendsto_set_integral_peak_smul_of_integrableOn_of_continuousWithinAt hs.measurableSet
    hs.measure_lt_top.ne (eventually_of_forall hnφ) A (eventually_of_forall hiφ) hmg hcg
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
A : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))

tactic: convert this
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
A : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
this : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))

tactic: simp_rw [← smul_smul, integral_smul]
state_before: case h.e'_3.h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
A : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
this : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
x✝ : ℕ
⊢ ((∫ (x : α) in s, c x ^ x✝ ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ x✝ • g x ∂μ) = ∫ (x : α) in s, φ x✝ x • g x ∂μ

tactic: intro n x hx
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
⊢ ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x

tactic: apply mul_nonneg (inv_nonneg.2 _) (pow_nonneg (hnc x hx) _)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ 0 ≤ φ n x

tactic: exact set_integral_nonneg hs.measurableSet fun x hx => pow_nonneg (hnc x hx) _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ

tactic: intro n
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n

tactic: filter_upwards [ae_restrict_mem hs.measurableSet] with x hx
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
n : ℕ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n

tactic: exact pow_nonneg (hnc x hx) n
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ OfNat.ofNat 0 x ≤ c x ^ n

tactic: intro n
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ

tactic: refine' (set_integral_pos_iff_support_of_nonneg_ae (J n) (I n)).2 _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
n : ℕ
⊢ 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ

tactic: obtain ⟨u, u_open, x₀_u, hu⟩ : ∃ u : Set α, IsOpen u ∧ x₀ ∈ u ∧ u ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi 0 :=
  _root_.continuousOn_iff.1 hc x₀ h₀ (Ioi (0 : ℝ)) isOpen_Ioi hnc₀
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
n : ℕ
⊢ 0 < ↑↑μ ((Function.support fun x => c x ^ n) ∩ s)

tactic: apply (hμ u u_open x₀_u).trans_le
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
n : ℕ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀_u : x₀ ∈ u
hu : u ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi 0
⊢ 0 < ↑↑μ ((Function.support fun x => c x ^ n) ∩ s)

tactic: exact measure_mono fun x hx => ⟨ne_of_gt (pow_pos (a := c x) (hu hx) _), hx.2⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
n : ℕ
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀_u : x₀ ∈ u
hu : u ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi 0
⊢ ↑↑μ (u ∩ s) ≤ ↑↑μ ((Function.support fun x => c x ^ n) ∩ s)

tactic: rw [integral_mul_left, inv_mul_cancel (P n).ne']
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
n : ℕ
⊢ (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1

tactic: intro u u_open x₀u
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
⊢ ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)

tactic: obtain ⟨t', tt', t'x₀⟩ : ∃ t', t < t' ∧ t' < c x₀ := exists_between tx₀
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)

tactic: have t'_pos : 0 < t' := t_pos.trans_lt tt'
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)

tactic: obtain ⟨v, v_open, x₀_v, hv⟩ : ∃ v : Set α, IsOpen v ∧ x₀ ∈ v ∧ v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t' :=
  _root_.continuousOn_iff.1 hc x₀ h₀ (Ioi t') isOpen_Ioi t'x₀
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)

tactic: have N :
  Tendsto (fun n => (μ (v ∩ s)).toReal⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop
    (𝓝 ((μ (v ∩ s)).toReal⁻¹ * 0)) := by
  apply Tendsto.mul tendsto_const_nhds _
  apply tendsto_pow_atTop_nhds_0_of_lt_1 (div_nonneg t_pos t'_pos.le)
  exact (div_lt_one t'_pos).2 tt'
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)

tactic: rw [MulZeroClass.mul_zero] at N
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
N : Tendsto (fun n => (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 ((ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * 0))
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)

tactic: refine' tendstoUniformlyOn_iff.2 fun ε εpos => _
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
N : Tendsto (fun n => (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 0)
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)

tactic: filter_upwards [(tendsto_order.1 N).2 ε εpos] with n hn x hx
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
N : Tendsto (fun n => (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (x : α), x ∈ s \ u → dist (OfNat.ofNat 0 x) (φ n x) < ε

tactic: simp only [Pi.zero_apply, dist_zero_left, Real.norm_of_nonneg (hnφ n x hx.1)]
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
N : Tendsto (fun n => (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
n : ℕ
hn : (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n < ε
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ dist (OfNat.ofNat 0 x) ((∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n) < ε

tactic: exact (M n x hx).trans_lt hn
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
N : Tendsto (fun n => (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
n : ℕ
hn : (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n < ε
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n < ε

tactic: rcases eq_empty_or_nonempty (s \ u) with (h | h)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
⊢ ∃ t, 0 ≤ t ∧ t < c x₀ ∧ ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t

tactic: obtain ⟨x, hx, h'x⟩ : ∃ x ∈ s \ u, ∀ y ∈ s \ u, c y ≤ c x :=
  IsCompact.exists_isMaxOn (hs.diff u_open) h (hc.mono (diff_subset _ _))
state_before: case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
h : Set.Nonempty (s \ u)
⊢ ∃ t, 0 ≤ t ∧ t < c x₀ ∧ ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t

tactic: refine' ⟨c x, hnc x hx.1, h'c x hx.1 _, h'x⟩
state_before: case inr.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
h : Set.Nonempty (s \ u)
x : α
hx : x ∈ s \ u
h'x : ∀ (y : α), y ∈ s \ u → c y ≤ c x
⊢ ∃ t, 0 ≤ t ∧ t < c x₀ ∧ ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t

tactic: rintro rfl
state_before: case inr.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
h : Set.Nonempty (s \ u)
x : α
hx : x ∈ s \ u
h'x : ∀ (y : α), y ∈ s \ u → c y ≤ c x
⊢ x ≠ x₀

tactic: exact hx.2 x₀u
state_before: case inr.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hmg : IntegrableOn g s
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
h : Set.Nonempty (s \ u)
x : α
hx : x ∈ s \ u
h'x : ∀ (y : α), y ∈ s \ u → c y ≤ c x
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x → c y < c x
hnc₀ : 0 < c x
h₀ : x ∈ s
hcg : ContinuousWithinAt g s x
x₀u : x ∈ u
⊢ False

tactic: exact
  ⟨0, le_rfl, hnc₀, by simp only [h, mem_empty_iff_false, IsEmpty.forall_iff, imp_true_iff]⟩
state_before: case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
h : s \ u = ∅
⊢ ∃ t, 0 ≤ t ∧ t < c x₀ ∧ ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t

tactic: simp only [h, mem_empty_iff_false, IsEmpty.forall_iff, imp_true_iff]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
h : s \ u = ∅
⊢ ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ 0

tactic: intro n x hx
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
⊢ ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n

tactic: simp_rw [← div_eq_inv_mul, div_pow, div_div]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
⊢ φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n

tactic: apply div_le_div (pow_nonneg t_pos n) _ _ B
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
⊢ (c x ^ n / ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ) ≤ t ^ n / (t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))

tactic: simp only [integral_const, Measure.restrict_apply, MeasurableSet.univ, univ_inter,
  Algebra.id.smul_eq_mul, mul_comm]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) = ∫ (x : α) in v ∩ s, t' ^ n ∂μ

tactic: apply set_integral_mono_on _ _ (v_open.measurableSet.inter hs.measurableSet) _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ (∫ (x : α) in v ∩ s, t' ^ n ∂μ) ≤ ∫ (y : α) in v ∩ s, c y ^ n ∂μ

tactic: apply integrableOn_const.2 (Or.inr _)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ IntegrableOn (fun a => t' ^ n) (v ∩ s)

tactic: exact lt_of_le_of_lt (measure_mono (inter_subset_right _ _)) hs.measure_lt_top
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ ↑↑μ (v ∩ s) < ⊤

tactic: exact (I n).mono (inter_subset_right _ _) le_rfl
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ IntegrableOn (fun a => c a ^ n) (v ∩ s)

tactic: intro x hx
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ ∀ (x : α), x ∈ v ∩ s → t' ^ n ≤ c x ^ n

tactic: exact pow_le_pow_of_le_left t'_pos.le (le_of_lt (hv hx)) _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x✝ : α
hx✝ : x✝ ∈ s \ u
x : α
hx : x ∈ v ∩ s
⊢ t' ^ n ≤ c x ^ n

tactic: exact pow_le_pow_of_le_left (hnc _ hx.1) (ht x hx) _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
⊢ c x ^ n ≤ t ^ n

tactic: apply mul_pos (pow_pos (t_pos.trans_lt tt') _) (ENNReal.toReal_pos (hμ v v_open x₀_v).ne' _)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
⊢ 0 < t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s))

tactic: have : μ (v ∩ s) ≤ μ s := measure_mono (inter_subset_right _ _)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
⊢ ↑↑μ (v ∩ s) ≠ ⊤

tactic: exact ne_of_lt (lt_of_le_of_lt this hs.measure_lt_top)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
this : ↑↑μ (v ∩ s) ≤ ↑↑μ s
⊢ ↑↑μ (v ∩ s) ≠ ⊤

tactic: apply Tendsto.mul tendsto_const_nhds _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
⊢ Tendsto (fun n => (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n) atTop (𝓝 ((ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * 0))

tactic: apply tendsto_pow_atTop_nhds_0_of_lt_1 (div_nonneg t_pos t'_pos.le)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
⊢ Tendsto (fun x => (t / t') ^ x) atTop (𝓝 0)

tactic: exact (div_lt_one t'_pos).2 tt'
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.628948
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s → 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (Measure.restrict μ s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) = 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ (x : α), x ∈ s \ u → c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
M : ∀ (n : ℕ) (x : α), x ∈ s \ u → φ n x ≤ (ENNReal.toReal (↑↑μ (v ∩ s)))⁻¹ * (t / t') ^ n
⊢ t / t' < 1