Theorem: Ring.InClosure.recOn
File: Mathlib/Deprecated/Subring.lean

tactic: have h0 : C 0 := add_neg_self (1 : R) ▸ ha h1 hneg1
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
x : R
hx : x ∈ closure s
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
⊢ C x

tactic: rcases exists_list_of_mem_closure hx with ⟨L, HL, rfl⟩
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
x : R
hx : x ∈ closure s
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
⊢ C x

tactic: clear hx
state_before: case intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hx : List.sum (List.map List.prod L) ∈ closure s
⊢ C (List.sum (List.map List.prod L))

tactic: induction' L with hd tl ih
state_before: case intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
⊢ C (List.sum (List.map List.prod L))

tactic: rw [List.forall_mem_cons] at HL
state_before: case intro.intro.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL✝ : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ (l : List R), l ∈ tl → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.sum (List.map List.prod tl))
HL : ∀ (l : List R), l ∈ hd :: tl → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
⊢ C (List.sum (List.map List.prod (hd :: tl)))

tactic: suffices C (List.prod hd) by
  rw [List.map_cons, List.sum_cons]
  exact ha this (ih HL.2)
state_before: case intro.intro.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL✝ : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ (l : List R), l ∈ tl → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.sum (List.map List.prod tl))
HL : (∀ (x : R), x ∈ hd → x ∈ s ∨ x = -1) ∧ ∀ (x : List R), x ∈ tl → ∀ (x_1 : R), x_1 ∈ x → x_1 ∈ s ∨ x_1 = -1
⊢ C (List.sum (List.map List.prod (hd :: tl)))

tactic: replace HL := HL.1
state_before: case intro.intro.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL✝ : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ (l : List R), l ∈ tl → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.sum (List.map List.prod tl))
HL : (∀ (x : R), x ∈ hd → x ∈ s ∨ x = -1) ∧ ∀ (x : List R), x ∈ tl → ∀ (x_1 : R), x_1 ∈ x → x_1 ∈ s ∨ x_1 = -1
⊢ C (List.prod hd)

tactic: clear ih tl
state_before: case intro.intro.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL✝ : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ (l : List R), l ∈ tl → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.sum (List.map List.prod tl))
HL : ∀ (x : R), x ∈ hd → x ∈ s ∨ x = -1
⊢ C (List.prod hd)

tactic: induction' hd with hd tl ih
state_before: case intro.intro.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL✝ : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd : List R
HL : ∀ (x : R), x ∈ hd → x ∈ s ∨ x = -1
⊢ ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod hd = List.prod L ∨ List.prod hd = -List.prod L)

tactic: rw [List.forall_mem_cons] at HL
state_before: case intro.intro.cons.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL✝¹ : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ : List R
HL✝ : ∀ (x : R), x ∈ hd✝ → x ∈ s ∨ x = -1
hd : R
tl : List R
ih :
  (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1) →
    ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod tl = List.prod L ∨ List.prod tl = -List.prod L)
HL : ∀ (x : R), x ∈ hd :: tl → x ∈ s ∨ x = -1
⊢ ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod (hd :: tl) = List.prod L ∨ List.prod (hd :: tl) = -List.prod L)

tactic: rcases ih HL.2 with ⟨L, HL', HP | HP⟩ <;> cases' HL.1 with hhd hhd
state_before: case intro.intro.cons.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL✝¹ : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ : List R
HL✝ : ∀ (x : R), x ∈ hd✝ → x ∈ s ∨ x = -1
hd : R
tl : List R
ih :
  (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1) →
    ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod tl = List.prod L ∨ List.prod tl = -List.prod L)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1
⊢ ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod (hd :: tl) = List.prod L ∨ List.prod (hd :: tl) = -List.prod L)

tactic: exact h0
state_before: case intro.intro.nil
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL✝ : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
HL : ∀ (l : List R), l ∈ [] → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
⊢ C (List.sum (List.map List.prod []))

tactic: rw [List.map_cons, List.sum_cons]
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL✝ : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ (l : List R), l ∈ tl → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.sum (List.map List.prod tl))
HL : (∀ (x : R), x ∈ hd → x ∈ s ∨ x = -1) ∧ ∀ (x : List R), x ∈ tl → ∀ (x_1 : R), x_1 ∈ x → x_1 ∈ s ∨ x_1 = -1
this : C (List.prod hd)
⊢ C (List.sum (List.map List.prod (hd :: tl)))

tactic: exact ha this (ih HL.2)
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL✝ : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ (l : List R), l ∈ tl → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.sum (List.map List.prod tl))
HL : (∀ (x : R), x ∈ hd → x ∈ s ∨ x = -1) ∧ ∀ (x : List R), x ∈ tl → ∀ (x_1 : R), x_1 ∈ x → x_1 ∈ s ∨ x_1 = -1
this : C (List.prod hd)
⊢ C (List.prod hd + List.sum (List.map List.prod tl))

tactic: rcases this with ⟨L, HL', HP | HP⟩ <;> rw [HP] <;> clear HP HL
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL✝ : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd : List R
HL : ∀ (x : R), x ∈ hd → x ∈ s ∨ x = -1
this : ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod hd = List.prod L ∨ List.prod hd = -List.prod L)
⊢ C (List.prod hd)

tactic: induction' L with hd tl ih
state_before: case intro.intro.inl
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd L : List R
HL' : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
⊢ C (List.prod L)

tactic: rw [List.forall_mem_cons] at HL'
state_before: case intro.intro.inl.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ L : List R
HL'✝ : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
hd : R
tl : List R
ih : (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s) → C (List.prod tl)
HL' : ∀ (x : R), x ∈ hd :: tl → x ∈ s
⊢ C (List.prod (hd :: tl))

tactic: rw [List.prod_cons]
state_before: case intro.intro.inl.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ L : List R
HL'✝ : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
hd : R
tl : List R
ih : (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s) → C (List.prod tl)
HL' : hd ∈ s ∧ ∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s
⊢ C (List.prod (hd :: tl))

tactic: exact hs _ HL'.1 _ (ih HL'.2)
state_before: case intro.intro.inl.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ L : List R
HL'✝ : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
hd : R
tl : List R
ih : (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s) → C (List.prod tl)
HL' : hd ∈ s ∧ ∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s
⊢ C (hd * List.prod tl)

tactic: exact h1
state_before: case intro.intro.inl.nil
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd L : List R
HL'✝ : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
HL' : ∀ (x : R), x ∈ [] → x ∈ s
⊢ C (List.prod [])

tactic: induction' L with hd tl ih
state_before: case intro.intro.inr
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd L : List R
HL' : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
⊢ C (-List.prod L)

tactic: rw [List.prod_cons, neg_mul_eq_mul_neg]
state_before: case intro.intro.inr.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ L : List R
HL'✝ : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
hd : R
tl : List R
ih : (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s) → C (-List.prod tl)
HL' : ∀ (x : R), x ∈ hd :: tl → x ∈ s
⊢ C (-List.prod (hd :: tl))

tactic: rw [List.forall_mem_cons] at HL'
state_before: case intro.intro.inr.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ L : List R
HL'✝ : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
hd : R
tl : List R
ih : (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s) → C (-List.prod tl)
HL' : ∀ (x : R), x ∈ hd :: tl → x ∈ s
⊢ C (hd * -List.prod tl)

tactic: exact hs _ HL'.1 _ (ih HL'.2)
state_before: case intro.intro.inr.cons
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ L : List R
HL'✝ : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
hd : R
tl : List R
ih : (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s) → C (-List.prod tl)
HL' : hd ∈ s ∧ ∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s
⊢ C (hd * -List.prod tl)

tactic: exact hneg1
state_before: case intro.intro.inr.nil
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd L : List R
HL'✝ : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
HL' : ∀ (x : R), x ∈ [] → x ∈ s
⊢ C (-List.prod [])

tactic: exact ⟨[], List.forall_mem_nil _, Or.inl rfl⟩
state_before: case intro.intro.cons.nil
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL✝¹ : ∀ (l : List R), l ∈ L → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd : List R
HL✝ : ∀ (x : R), x ∈ hd → x ∈ s ∨ x = -1
HL : ∀ (x : R), x ∈ [] → x ∈ s ∨ x = -1
⊢ ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod [] = List.prod L ∨ List.prod [] = -List.prod L)

tactic: exact
  ⟨hd::L, List.forall_mem_cons.2 ⟨hhd, HL'⟩,
    Or.inl <| by rw [List.prod_cons, List.prod_cons, HP]⟩
state_before: case intro.intro.cons.cons.intro.intro.inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL✝¹ : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ : List R
HL✝ : ∀ (x : R), x ∈ hd✝ → x ∈ s ∨ x = -1
hd : R
tl : List R
ih :
  (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1) →
    ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod tl = List.prod L ∨ List.prod tl = -List.prod L)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
HP : List.prod tl = List.prod L
hhd : hd ∈ s
⊢ ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod (hd :: tl) = List.prod L ∨ List.prod (hd :: tl) = -List.prod L)

tactic: rw [List.prod_cons, List.prod_cons, HP]
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL✝¹ : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ : List R
HL✝ : ∀ (x : R), x ∈ hd✝ → x ∈ s ∨ x = -1
hd : R
tl : List R
ih :
  (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1) →
    ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod tl = List.prod L ∨ List.prod tl = -List.prod L)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
HP : List.prod tl = List.prod L
hhd : hd ∈ s
⊢ List.prod (hd :: tl) = List.prod (hd :: L)

tactic: exact ⟨L, HL', Or.inr <| by rw [List.prod_cons, hhd, neg_one_mul, HP]⟩
state_before: case intro.intro.cons.cons.intro.intro.inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL✝¹ : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ : List R
HL✝ : ∀ (x : R), x ∈ hd✝ → x ∈ s ∨ x = -1
hd : R
tl : List R
ih :
  (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1) →
    ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod tl = List.prod L ∨ List.prod tl = -List.prod L)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
HP : List.prod tl = List.prod L
hhd : hd = -1
⊢ ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod (hd :: tl) = List.prod L ∨ List.prod (hd :: tl) = -List.prod L)

tactic: rw [List.prod_cons, hhd, neg_one_mul, HP]
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL✝¹ : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ : List R
HL✝ : ∀ (x : R), x ∈ hd✝ → x ∈ s ∨ x = -1
hd : R
tl : List R
ih :
  (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1) →
    ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod tl = List.prod L ∨ List.prod tl = -List.prod L)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
HP : List.prod tl = List.prod L
hhd : hd = -1
⊢ List.prod (hd :: tl) = -List.prod L

tactic: exact
  ⟨hd::L, List.forall_mem_cons.2 ⟨hhd, HL'⟩,
    Or.inr <| by rw [List.prod_cons, List.prod_cons, HP, neg_mul_eq_mul_neg]⟩
state_before: case intro.intro.cons.cons.intro.intro.inr.inl
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL✝¹ : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ : List R
HL✝ : ∀ (x : R), x ∈ hd✝ → x ∈ s ∨ x = -1
hd : R
tl : List R
ih :
  (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1) →
    ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod tl = List.prod L ∨ List.prod tl = -List.prod L)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
HP : List.prod tl = -List.prod L
hhd : hd ∈ s
⊢ ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod (hd :: tl) = List.prod L ∨ List.prod (hd :: tl) = -List.prod L)

tactic: rw [List.prod_cons, List.prod_cons, HP, neg_mul_eq_mul_neg]
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL✝¹ : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ : List R
HL✝ : ∀ (x : R), x ∈ hd✝ → x ∈ s ∨ x = -1
hd : R
tl : List R
ih :
  (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1) →
    ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod tl = List.prod L ∨ List.prod tl = -List.prod L)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
HP : List.prod tl = -List.prod L
hhd : hd ∈ s
⊢ List.prod (hd :: tl) = -List.prod (hd :: L)

tactic: exact ⟨L, HL', Or.inl <| by rw [List.prod_cons, hhd, HP, neg_one_mul, neg_neg]⟩
state_before: case intro.intro.cons.cons.intro.intro.inr.inr
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL✝¹ : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ : List R
HL✝ : ∀ (x : R), x ∈ hd✝ → x ∈ s ∨ x = -1
hd : R
tl : List R
ih :
  (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1) →
    ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod tl = List.prod L ∨ List.prod tl = -List.prod L)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
HP : List.prod tl = -List.prod L
hhd : hd = -1
⊢ ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod (hd :: tl) = List.prod L ∨ List.prod (hd :: tl) = -List.prod L)

tactic: rw [List.prod_cons, hhd, HP, neg_one_mul, neg_neg]
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ (z : R), z ∈ s → ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L✝ : List (List R)
HL✝¹ : ∀ (l : List R), l ∈ L✝ → ∀ (x : R), x ∈ l → x ∈ s ∨ x = -1
hd✝ : List R
HL✝ : ∀ (x : R), x ∈ hd✝ → x ∈ s ∨ x = -1
hd : R
tl : List R
ih :
  (∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1) →
    ∃ L, (∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s) ∧ (List.prod tl = List.prod L ∨ List.prod tl = -List.prod L)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ (x : R), x ∈ tl → x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ (x : R), x ∈ L → x ∈ s
HP : List.prod tl = -List.prod L
hhd : hd = -1
⊢ List.prod (hd :: tl) = List.prod L