Theorem: UniformOnFun.continuousSMul_induced_of_image_bounded
File: Mathlib/Topology/Algebra/UniformConvergence.lean

tactic: have : TopologicalAddGroup H := by
  rw [hφ.induced]
  exact topologicalAddGroup_induced φ
state_before: 𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H

tactic: have : (𝓝 0 : Filter H).HasBasis _ _ := by
  rw [hφ.induced, nhds_induced, map_zero]
  exact (UniformOnFun.hasBasis_nhds_zero 𝔖 h𝔖₁ h𝔖₂).comap φ
state_before: 𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this : TopologicalAddGroup H
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H

tactic: refine' ContinuousSMul.of_basis_zero this _ _ _
state_before: 𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H

tactic: rw [hφ.induced]
state_before: 𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
⊢ TopologicalAddGroup H

tactic: exact topologicalAddGroup_induced φ
state_before: 𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
⊢ TopologicalAddGroup H

tactic: rw [hφ.induced, nhds_induced, map_zero]
state_before: 𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this : TopologicalAddGroup H
⊢ HasBasis (𝓝 0) ?m.90502 ?m.90503

tactic: exact (UniformOnFun.hasBasis_nhds_zero 𝔖 h𝔖₁ h𝔖₂).comap φ
state_before: 𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this : TopologicalAddGroup H
⊢ HasBasis (comap (↑φ) (𝓝 0)) ?m.90502 ?m.90503

𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this : TopologicalAddGroup H
⊢ Sort ?u.90492

𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this : TopologicalAddGroup H
⊢ ?m.90501 → Prop

𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this : TopologicalAddGroup H
⊢ ?m.90501 → Set H

𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this : TopologicalAddGroup H
⊢ Sort ?u.90492

𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this : TopologicalAddGroup H
⊢ ?m.90501 → Prop

𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this : TopologicalAddGroup H
⊢ ?m.90501 → Set H

𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this : TopologicalAddGroup H
⊢ Sort ?u.90492

𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this : TopologicalAddGroup H
⊢ ?m.90501 → Prop

𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this : TopologicalAddGroup H
⊢ ?m.90501 → Set H

tactic: rintro ⟨S, V⟩ ⟨hS, hV⟩
state_before: case refine'_1
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
⊢ ∀ {i : Set α × Set E},
    i.fst ∈ 𝔖 ∧ i.snd ∈ 𝓝 0 →
      ∃ V,
        V ∈ 𝓝 0 ∧
          ∃ j x, V • ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ j.fst → f x ∈ j.snd} ⊆ ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}

tactic: have : Tendsto (fun kx : 𝕜 × E => kx.1 • kx.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 <| (0 : 𝕜) • (0 : E)) :=
  continuous_smul.tendsto (0 : 𝕜 × E)
state_before: case refine'_1.mk.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ V_1,
    V_1 ∈ 𝓝 0 ∧
      ∃ j x,
        V_1 • ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ j.fst → f x ∈ j.snd} ⊆
          ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd}

tactic: rw [zero_smul, nhds_prod_eq] at this
state_before: case refine'_1.mk.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝¹ : TopologicalAddGroup H
this✝ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
this : Tendsto (fun kx => kx.fst • kx.snd) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 (0 • 0))
⊢ ∃ V_1,
    V_1 ∈ 𝓝 0 ∧
      ∃ j x,
        V_1 • ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ j.fst → f x ∈ j.snd} ⊆
          ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd}

tactic: have := this hV
state_before: case refine'_1.mk.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝¹ : TopologicalAddGroup H
this✝ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
this : Tendsto (fun kx => kx.fst • kx.snd) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ ∃ V_1,
    V_1 ∈ 𝓝 0 ∧
      ∃ j x,
        V_1 • ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ j.fst → f x ∈ j.snd} ⊆
          ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd}

tactic: rw [mem_map, mem_prod_iff] at this
state_before: case refine'_1.mk.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝² : TopologicalAddGroup H
this✝¹ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
this✝ : Tendsto (fun kx => kx.fst • kx.snd) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
this : (S, V).snd ∈ map (fun kx => kx.fst • kx.snd) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0)
⊢ ∃ V_1,
    V_1 ∈ 𝓝 0 ∧
      ∃ j x,
        V_1 • ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ j.fst → f x ∈ j.snd} ⊆
          ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd}

tactic: rcases this with ⟨U, hU, W, hW, hUW⟩
state_before: case refine'_1.mk.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝² : TopologicalAddGroup H
this✝¹ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
this✝ : Tendsto (fun kx => kx.fst • kx.snd) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
this : ∃ t₁, t₁ ∈ 𝓝 0 ∧ ∃ t₂, t₂ ∈ 𝓝 0 ∧ t₁ ×ˢ t₂ ⊆ (fun kx => kx.fst • kx.snd) ⁻¹' (S, V).snd
⊢ ∃ V_1,
    V_1 ∈ 𝓝 0 ∧
      ∃ j x,
        V_1 • ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ j.fst → f x ∈ j.snd} ⊆
          ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd}

tactic: refine' ⟨U, hU, ⟨S, W⟩, ⟨hS, hW⟩, _⟩
state_before: case refine'_1.mk.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝¹ : TopologicalAddGroup H
this✝ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
this : Tendsto (fun kx => kx.fst • kx.snd) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 0
W : Set E
hW : W ∈ 𝓝 0
hUW : U ×ˢ W ⊆ (fun kx => kx.fst • kx.snd) ⁻¹' (S, V).snd
⊢ ∃ V_1,
    V_1 ∈ 𝓝 0 ∧
      ∃ j x,
        V_1 • ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ j.fst → f x ∈ j.snd} ⊆
          ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd}

tactic: rw [Set.smul_subset_iff]
state_before: case refine'_1.mk.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝¹ : TopologicalAddGroup H
this✝ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
this : Tendsto (fun kx => kx.fst • kx.snd) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 0
W : Set E
hW : W ∈ 𝓝 0
hUW : U ×ˢ W ⊆ (fun kx => kx.fst • kx.snd) ⁻¹' (S, V).snd
⊢ U • ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, W).fst → f x ∈ (S, W).snd} ⊆
    ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd}

tactic: intro a ha u hu x hx
state_before: case refine'_1.mk.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝¹ : TopologicalAddGroup H
this✝ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
this : Tendsto (fun kx => kx.fst • kx.snd) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 0
W : Set E
hW : W ∈ 𝓝 0
hUW : U ×ˢ W ⊆ (fun kx => kx.fst • kx.snd) ⁻¹' (S, V).snd
⊢ ∀ (a : 𝕜),
    a ∈ U →
      ∀ (b : H),
        b ∈ ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, W).fst → f x ∈ (S, W).snd} →
          a • b ∈ ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd}

tactic: rw [SMulHomClass.map_smul]
state_before: case refine'_1.mk.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝¹ : TopologicalAddGroup H
this✝ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
this : Tendsto (fun kx => kx.fst • kx.snd) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 0
W : Set E
hW : W ∈ 𝓝 0
hUW : U ×ˢ W ⊆ (fun kx => kx.fst • kx.snd) ⁻¹' (S, V).snd
a : 𝕜
ha : a ∈ U
u : H
hu : u ∈ ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, W).fst → f x ∈ (S, W).snd}
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
⊢ ↑φ (a • u) x ∈ (S, V).snd

tactic: exact hUW (⟨ha, hu x hx⟩ : (a, φ u x) ∈ U ×ˢ W)
state_before: case refine'_1.mk.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝¹ : TopologicalAddGroup H
this✝ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
this : Tendsto (fun kx => kx.fst • kx.snd) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 0
W : Set E
hW : W ∈ 𝓝 0
hUW : U ×ˢ W ⊆ (fun kx => kx.fst • kx.snd) ⁻¹' (S, V).snd
a : 𝕜
ha : a ∈ U
u : H
hu : u ∈ ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, W).fst → f x ∈ (S, W).snd}
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
⊢ (a • ↑φ u) x ∈ (S, V).snd

tactic: rintro a ⟨S, V⟩ ⟨hS, hV⟩
state_before: case refine'_2
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
⊢ ∀ (x₀ : 𝕜) {i : Set α × Set E},
    i.fst ∈ 𝔖 ∧ i.snd ∈ 𝓝 0 →
      ∃ j x,
        ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ j.fst → f x ∈ j.snd} ⊆
          (fun x => x₀ • x) ⁻¹' (↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd})

tactic: have : Tendsto (fun x : E => a • x) (𝓝 0) (𝓝 <| a • (0 : E)) := tendsto_id.const_smul a
state_before: case refine'_2.mk.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
a : 𝕜
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ j x,
    ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ j.fst → f x ∈ j.snd} ⊆
      (fun x => a • x) ⁻¹' (↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd})

tactic: rw [smul_zero] at this
state_before: case refine'_2.mk.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝¹ : TopologicalAddGroup H
this✝ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
a : 𝕜
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
this : Tendsto (fun x => a • x) (𝓝 0) (𝓝 (a • 0))
⊢ ∃ j x,
    ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ j.fst → f x ∈ j.snd} ⊆
      (fun x => a • x) ⁻¹' (↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd})

tactic: rw [SMulHomClass.map_smul]
state_before: case refine'_2.mk.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝¹ : TopologicalAddGroup H
this✝ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
a : 𝕜
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
this : Tendsto (fun x => a • x) (𝓝 0) (𝓝 0)
f : H
hf : f ∈ ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, (fun x => a • x) ⁻¹' V).fst → f x ∈ (S, (fun x => a • x) ⁻¹' V).snd}
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
⊢ ↑φ ((fun x => a • x) f) x ∈ (S, V).snd

tactic: exact hf x hx
state_before: case refine'_2.mk.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝¹ : TopologicalAddGroup H
this✝ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
a : 𝕜
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
this : Tendsto (fun x => a • x) (𝓝 0) (𝓝 0)
f : H
hf : f ∈ ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, (fun x => a • x) ⁻¹' V).fst → f x ∈ (S, (fun x => a • x) ⁻¹' V).snd}
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
⊢ (a • ↑φ f) x ∈ (S, V).snd

tactic: rintro u ⟨S, V⟩ ⟨hS, hV⟩
state_before: case refine'_3
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
⊢ ∀ (m₀ : H) {i : Set α × Set E},
    i.fst ∈ 𝔖 ∧ i.snd ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}

tactic: rcases h u S hS hV with ⟨r, hrpos, hr⟩
state_before: case refine'_3.mk.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • u ∈ ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd}

tactic: rw [Metric.eventually_nhds_iff_ball]
state_before: case refine'_3.mk.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • u ∈ ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd}

tactic: refine' ⟨r⁻¹, inv_pos.mpr hrpos, fun a ha x hx => _⟩
state_before: case refine'_3.mk.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
⊢ ∃ ε, ε > 0 ∧ ∀ (y : 𝕜), y ∈ Metric.ball 0 ε → y • u ∈ ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ (S, V).fst → f x ∈ (S, V).snd}

tactic: by_cases ha0 : a = 0
state_before: case refine'_3.mk.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
a : 𝕜
ha : a ∈ Metric.ball 0 r⁻¹
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
⊢ ↑φ (a • u) x ∈ (S, V).snd

tactic: rw [ha0]
state_before: case pos
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
a : 𝕜
ha : a ∈ Metric.ball 0 r⁻¹
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
ha0 : a = 0
⊢ ↑φ (a • u) x ∈ (S, V).snd

tactic: simpa using mem_of_mem_nhds hV
state_before: case pos
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
a : 𝕜
ha : a ∈ Metric.ball 0 r⁻¹
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
ha0 : a = 0
⊢ ↑φ (0 • u) x ∈ (S, V).snd

tactic: rw [mem_ball_zero_iff] at ha
state_before: case neg
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
a : 𝕜
ha : a ∈ Metric.ball 0 r⁻¹
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
ha0 : ¬a = 0
⊢ ↑φ (a • u) x ∈ (S, V).snd

tactic: rw [SMulHomClass.map_smul, Pi.smul_apply]
state_before: case neg
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r⁻¹
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
ha0 : ¬a = 0
⊢ ↑φ (a • u) x ∈ (S, V).snd

tactic: have : φ u x ∈ a⁻¹ • V := by
  have ha0 : 0 < ‖a‖ := norm_pos_iff.mpr ha0
  refine' (hr a⁻¹ _) (Set.mem_image_of_mem (φ u) hx)
  rw [norm_inv, le_inv hrpos ha0]
  exact ha.le
state_before: case neg
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r⁻¹
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
ha0 : ¬a = 0
⊢ a • ↑φ u x ∈ (S, V).snd

tactic: rwa [Set.mem_inv_smul_set_iff₀ ha0] at this
state_before: case neg
𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝¹ : TopologicalAddGroup H
this✝ : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r⁻¹
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
ha0 : ¬a = 0
this : ↑φ u x ∈ a⁻¹ • V
⊢ a • ↑φ u x ∈ (S, V).snd

tactic: have ha0 : 0 < ‖a‖ := norm_pos_iff.mpr ha0
state_before: 𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r⁻¹
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
ha0 : ¬a = 0
⊢ ↑φ u x ∈ a⁻¹ • V

tactic: refine' (hr a⁻¹ _) (Set.mem_image_of_mem (φ u) hx)
state_before: 𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r⁻¹
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
ha0✝ : ¬a = 0
ha0 : 0 < ‖a‖
⊢ ↑φ u x ∈ a⁻¹ • V

tactic: rw [norm_inv, le_inv hrpos ha0]
state_before: 𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r⁻¹
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
ha0✝ : ¬a = 0
ha0 : 0 < ‖a‖
⊢ r ≤ ‖a⁻¹‖

tactic: exact ha.le
state_before: 𝕜 : Type u_5
α : Type u_1
E : Type u_3
H : Type u_2
hom : Type u_4
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : UniformSpace E
inst✝² : UniformAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α →ᵤ[𝔖] E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
φ : hom
hφ : Inducing ↑φ
h : ∀ (u : H) (s : Set α), s ∈ 𝔖 → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (↑φ u '' s)
this✝ : TopologicalAddGroup H
this : HasBasis (𝓝 0) (fun SV => SV.fst ∈ 𝔖 ∧ SV.snd ∈ 𝓝 0) fun i => ↑φ ⁻¹' {f | ∀ (x : α), x ∈ i.fst → f x ∈ i.snd}
u : H
S : Set α
V : Set E
hS : (S, V).fst ∈ 𝔖
hV : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hrpos : 0 < r
hr : ∀ (a : 𝕜), r ≤ ‖a‖ → ↑φ u '' S ⊆ a • (S, V).snd
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r⁻¹
x : α
hx : x ∈ (S, V).fst
ha0✝ : ¬a = 0
ha0 : 0 < ‖a‖
⊢ ‖a‖ ≤ r⁻¹