Theorem: HasFPowerSeriesOnBall.coeff_zero
File: Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean

tactic: have v_eq : v = fun i => 0 := Subsingleton.elim _ _
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.575209
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
⊢ ↑(pf 0) v = f x

tactic: have zero_mem : (0 : E) ∈ EMetric.ball (0 : E) r := by simp [hf.r_pos]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.575209
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
⊢ ↑(pf 0) v = f x

tactic: have : ∀ (i) (_ : i ≠ 0), (pf i fun j => 0) = 0 := by
  intro i hi
  have : 0 < i := pos_iff_ne_zero.2 hi
  exact ContinuousMultilinearMap.map_coord_zero _ (⟨0, this⟩ : Fin i) rfl
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.575209
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ ↑(pf 0) v = f x

tactic: have A := (hf.hasSum zero_mem).unique (hasSum_single _ this)
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.575209
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r
this : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → (↑(pf i) fun j => 0) = 0
⊢ ↑(pf 0) v = f x

tactic: simpa [v_eq] using A.symm
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.575209
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r
this : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → (↑(pf i) fun j => 0) = 0
A : f (x + 0) = ↑(pf 0) fun x => 0
⊢ ↑(pf 0) v = f x

tactic: simp [hf.r_pos]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.575209
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
⊢ 0 ∈ EMetric.ball 0 r

tactic: intro i hi
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.575209
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → (↑(pf i) fun j => 0) = 0

tactic: have : 0 < i := pos_iff_ne_zero.2 hi
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.575209
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r
i : ℕ
hi : i ≠ 0
⊢ (↑(pf i) fun j => 0) = 0

tactic: exact ContinuousMultilinearMap.map_coord_zero _ (⟨0, this⟩ : Fin i) rfl
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.575209
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r
i : ℕ
hi : i ≠ 0
this : 0 < i
⊢ (↑(pf i) fun j => 0) = 0