Theorem: ApproximatesLinearOn.open_image
File: Mathlib/Analysis/Calculus/Inverse.lean

tactic: cases' hc with hE hc
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.303710
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.303813
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
hs : IsOpen s
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
⊢ IsOpen (f '' s)

tactic: simp only [isOpen_iff_mem_nhds, nhds_basis_closedBall.mem_iff, ball_image_iff] at hs ⊢
state_before: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.303710
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.303813
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
hs : IsOpen s
hc : c < f'symm.nnnorm⁻¹
⊢ IsOpen (f '' s)

tactic: intro x hx
state_before: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.303710
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.303813
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
hc : c < f'symm.nnnorm⁻¹
hs : ∀ (a : E), a ∈ s → ∃ i, 0 < i ∧ closedBall a i ⊆ s
⊢ ∀ (x : E), x ∈ s → ∃ i, 0 < i ∧ closedBall (f x) i ⊆ f '' s

tactic: rcases hs x hx with ⟨ε, ε0, hε⟩
state_before: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.303710
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.303813
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
hc : c < f'symm.nnnorm⁻¹
hs : ∀ (a : E), a ∈ s → ∃ i, 0 < i ∧ closedBall a i ⊆ s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ closedBall (f x) i ⊆ f '' s

tactic: refine' ⟨(f'symm.nnnorm⁻¹ - c) * ε, mul_pos (sub_pos.2 hc) ε0, _⟩
state_before: case inr.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.303710
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.303813
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
hc : c < f'symm.nnnorm⁻¹
hs : ∀ (a : E), a ∈ s → ∃ i, 0 < i ∧ closedBall a i ⊆ s
x : E
hx : x ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ s
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ closedBall (f x) i ⊆ f '' s

tactic: exact (hf.surjOn_closedBall_of_nonlinearRightInverse f'symm (le_of_lt ε0) hε).mono hε Subset.rfl
state_before: case inr.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.303710
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.303813
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
hc : c < f'symm.nnnorm⁻¹
hs : ∀ (a : E), a ∈ s → ∃ i, 0 < i ∧ closedBall a i ⊆ s
x : E
hx : x ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ s
⊢ closedBall (f x) ((↑f'symm.nnnorm⁻¹ - ↑c) * ε) ⊆ f '' s

tactic: skip
state_before: case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.303710
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.303813
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
hs : IsOpen s
hE : Subsingleton F
⊢ IsOpen (f '' s)

tactic: apply isOpen_discrete
state_before: case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.303710
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.303813
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
hs : IsOpen s
hE : Subsingleton F
⊢ IsOpen (f '' s)