Theorem: tendsto_set_integral_pow_smul_of_unique_maximum_of_isCompact_of_integrableOn
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean

tactic: have : x₀ ∈ s := by rw [← hs.isClosed.closure_eq]; exact closure_mono interior_subset h₀
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.778835
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))

tactic: apply
  tendsto_set_integral_pow_smul_of_unique_maximum_of_isCompact_of_measure_nhdsWithin_pos hs _ hc
    h'c hnc hnc₀ this hmg hcg
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.778835
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))

tactic: intro u u_open x₀_u
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.778835
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s
⊢ ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < ↑↑μ (u ∩ s)

tactic: calc
  0 < μ (u ∩ interior s) :=
    (u_open.inter isOpen_interior).measure_pos μ (_root_.mem_closure_iff.1 h₀ u u_open x₀_u)
  _ ≤ μ (u ∩ s) := measure_mono (inter_subset_inter_right _ interior_subset)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.778835
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀_u : x₀ ∈ u
⊢ 0 < ↑↑μ (u ∩ s)

tactic: rw [← hs.isClosed.closure_eq]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.778835
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ x₀ ∈ s

tactic: exact closure_mono interior_subset h₀
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type ?u.778835
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsOpenPosMeasure μ
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ (y : α), y ∈ s → y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ x₀ ∈ closure s