Theorem: OrthonormalBasis.reindex_apply
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean

tactic: classical
  dsimp [reindex]
  rw [coe_ofRepr]
  dsimp
  rw [← b.repr_symm_single, LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft_symm,
    EuclideanSpace.piLpCongrLeft_single]
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_4
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type ?u.1230339
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type ?u.1230357
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type ?u.1230377
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ ↑(reindex b e) i' = ↑b (↑e.symm i')

tactic: dsimp [reindex]
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_4
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type ?u.1230339
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type ?u.1230357
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type ?u.1230377
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ ↑(reindex b e) i' = ↑b (↑e.symm i')

tactic: rw [coe_ofRepr]
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_4
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type ?u.1230339
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type ?u.1230357
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type ?u.1230377
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ ↑{ repr := LinearIsometryEquiv.trans b.repr (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft 2 𝕜 𝕜 e) } i' = ↑b (↑e.symm i')

tactic: dsimp
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_4
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type ?u.1230339
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type ?u.1230357
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type ?u.1230377
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ (fun i =>
        ↑(LinearIsometryEquiv.symm (LinearIsometryEquiv.trans b.repr (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft 2 𝕜 𝕜 e)))
          (EuclideanSpace.single i 1))
      i' =
    ↑b (↑e.symm i')

tactic: rw [← b.repr_symm_single, LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft_symm,
  EuclideanSpace.piLpCongrLeft_single]
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_4
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type ?u.1230339
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type ?u.1230357
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type ?u.1230377
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ ↑(LinearIsometryEquiv.symm b.repr)
      (↑(LinearIsometryEquiv.symm (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft 2 𝕜 𝕜 e)) (EuclideanSpace.single i' 1)) =
    ↑b (↑e.symm i')