Theorem: Ideal.subset_union_prime
File: Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean

tactic: have aux := fun h => (bex_def.2 <| this h)
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
I : Ideal R
this : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i
⊢ (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) ↔ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i

tactic: simp_rw [exists_prop] at aux
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
I : Ideal R
this : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i
aux : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ x x_1, I ≤ f x
⊢ (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) ↔ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i

tactic: refine ⟨aux, fun ⟨i, his, hi⟩ ↦ Set.Subset.trans hi ?_⟩
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
I : Ideal R
this aux : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ x, x ∈ s ∧ I ≤ f x
⊢ (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) ↔ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i

tactic: apply Set.subset_biUnion_of_mem (show i ∈ (↑s : Set ι) from his)
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
I : Ideal R
this aux : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ x, x ∈ s ∧ I ≤ f x
x✝ : ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i
i : ι
his : i ∈ s
hi : I ≤ f i
⊢ ↑(f i) ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)

tactic: by_cases has : a ∈ s
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
I : Ideal R
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)
⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i

tactic: obtain ⟨t, hat, rfl⟩ : ∃ t, a ∉ t ∧ insert a t = s :=
  ⟨s.erase a, Finset.not_mem_erase a s, Finset.insert_erase has⟩
state_before: case pos
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
I : Ideal R
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)
has : a ∈ s
⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i

tactic: by_cases hbt : b ∈ t
state_before: case pos.intro.intro
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hat : ¬a ∈ t
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)
has : a ∈ insert a t
⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i

tactic: obtain ⟨u, hbu, rfl⟩ : ∃ u, b ∉ u ∧ insert b u = t :=
  ⟨t.erase b, Finset.not_mem_erase b t, Finset.insert_erase hbt⟩
state_before: case pos
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hat : ¬a ∈ t
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)
has : a ∈ insert a t
hbt : b ∈ t
⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i

tactic: have hp' : ∀ i ∈ u, IsPrime (f i) := by
  intro i hiu
  refine' hp i (Finset.mem_insert_of_mem (Finset.mem_insert_of_mem hiu)) _ _ <;>
      rintro rfl <;>
    solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]
state_before: case pos.intro.intro
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
u : Finset ι
hbu : ¬b ∈ u
hat : ¬a ∈ insert b u
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a (insert b u))), ↑(f i)
has : a ∈ insert a (insert b u)
hbt : b ∈ insert b u
⊢ ∃ i, i ∈ insert a (insert b u) ∧ I ≤ f i

tactic: rw [Finset.coe_insert, Finset.coe_insert, Set.biUnion_insert, Set.biUnion_insert, ←
  Set.union_assoc, subset_union_prime' hp'] at h
state_before: case pos.intro.intro
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
u : Finset ι
hbu : ¬b ∈ u
hat : ¬a ∈ insert b u
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a (insert b u))), ↑(f i)
has : a ∈ insert a (insert b u)
hbt : b ∈ insert b u
hp' : ∀ (i : ι), i ∈ u → IsPrime (f i)
⊢ ∃ i, i ∈ insert a (insert b u) ∧ I ≤ f i

tactic: rwa [Finset.exists_mem_insert, Finset.exists_mem_insert]
state_before: case pos.intro.intro
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
u : Finset ι
hbu : ¬b ∈ u
hat : ¬a ∈ insert b u
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i, i ∈ u ∧ I ≤ f i
has : a ∈ insert a (insert b u)
hbt : b ∈ insert b u
hp' : ∀ (i : ι), i ∈ u → IsPrime (f i)
⊢ ∃ i, i ∈ insert a (insert b u) ∧ I ≤ f i

tactic: intro i hiu
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
u : Finset ι
hbu : ¬b ∈ u
hat : ¬a ∈ insert b u
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a (insert b u))), ↑(f i)
has : a ∈ insert a (insert b u)
hbt : b ∈ insert b u
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ u → IsPrime (f i)

tactic: refine' hp i (Finset.mem_insert_of_mem (Finset.mem_insert_of_mem hiu)) _ _ <;>
    rintro rfl <;>
  solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
u : Finset ι
hbu : ¬b ∈ u
hat : ¬a ∈ insert b u
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a (insert b u))), ↑(f i)
has : a ∈ insert a (insert b u)
hbt : b ∈ insert b u
i : ι
hiu : i ∈ u
⊢ IsPrime (f i)

tactic: have hp' : ∀ j ∈ t, IsPrime (f j) := by
  intro j hj
  refine' hp j (Finset.mem_insert_of_mem hj) _ _ <;> rintro rfl <;>
    solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]
state_before: case neg
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hat : ¬a ∈ t
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)
has : a ∈ insert a t
hbt : ¬b ∈ t
⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i

tactic: rw [Finset.coe_insert, Set.biUnion_insert, ← Set.union_self (f a : Set R),
  subset_union_prime' hp', ← or_assoc, or_self_iff] at h
state_before: case neg
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hat : ¬a ∈ t
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)
has : a ∈ insert a t
hbt : ¬b ∈ t
hp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)
⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i

tactic: rwa [Finset.exists_mem_insert]
state_before: case neg
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hat : ¬a ∈ t
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : I ≤ f a ∨ ∃ i, i ∈ t ∧ I ≤ f i
has : a ∈ insert a t
hbt : ¬b ∈ t
hp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)
⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i

tactic: intro j hj
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hat : ¬a ∈ t
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)
has : a ∈ insert a t
hbt : ¬b ∈ t
⊢ ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)

tactic: refine' hp j (Finset.mem_insert_of_mem hj) _ _ <;> rintro rfl <;>
  solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hat : ¬a ∈ t
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)
has : a ∈ insert a t
hbt : ¬b ∈ t
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ IsPrime (f j)

tactic: by_cases hbs : b ∈ s
state_before: case neg
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
I : Ideal R
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)
has : ¬a ∈ s
⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i

tactic: cases' s.eq_empty_or_nonempty with hse hsne
state_before: case neg
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
I : Ideal R
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)
has : ¬a ∈ s
hbs : ¬b ∈ s
⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i

tactic: obtain ⟨t, hbt, rfl⟩ : ∃ t, b ∉ t ∧ insert b t = s :=
  ⟨s.erase b, Finset.not_mem_erase b s, Finset.insert_erase hbs⟩
state_before: case pos
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
I : Ideal R
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)
has : ¬a ∈ s
hbs : b ∈ s
⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i

tactic: have hp' : ∀ j ∈ t, IsPrime (f j) := by
  intro j hj
  refine' hp j (Finset.mem_insert_of_mem hj) _ _ <;> rintro rfl <;>
    solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]
state_before: case pos.intro.intro
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hbt : ¬b ∈ t
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert b t)), ↑(f i)
has : ¬a ∈ insert b t
hbs : b ∈ insert b t
⊢ ∃ i, i ∈ insert b t ∧ I ≤ f i

tactic: rw [Finset.coe_insert, Set.biUnion_insert, ← Set.union_self (f b : Set R),
  subset_union_prime' hp', ← or_assoc, or_self_iff] at h
state_before: case pos.intro.intro
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hbt : ¬b ∈ t
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert b t)), ↑(f i)
has : ¬a ∈ insert b t
hbs : b ∈ insert b t
hp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)
⊢ ∃ i, i ∈ insert b t ∧ I ≤ f i

tactic: rwa [Finset.exists_mem_insert]
state_before: case pos.intro.intro
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hbt : ¬b ∈ t
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : I ≤ f b ∨ ∃ i, i ∈ t ∧ I ≤ f i
has : ¬a ∈ insert b t
hbs : b ∈ insert b t
hp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)
⊢ ∃ i, i ∈ insert b t ∧ I ≤ f i

tactic: intro j hj
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hbt : ¬b ∈ t
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert b t)), ↑(f i)
has : ¬a ∈ insert b t
hbs : b ∈ insert b t
⊢ ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)

tactic: refine' hp j (Finset.mem_insert_of_mem hj) _ _ <;> rintro rfl <;>
  solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hbt : ¬b ∈ t
hp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert b t)), ↑(f i)
has : ¬a ∈ insert b t
hbs : b ∈ insert b t
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ IsPrime (f j)

tactic: subst hse
state_before: case neg.inl
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
I : Ideal R
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)
has : ¬a ∈ s
hbs : ¬b ∈ s
hse : s = ∅
⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i

tactic: rw [Finset.coe_empty, Set.biUnion_empty, Set.subset_empty_iff] at h
state_before: case neg.inl
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
hp : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑∅), ↑(f i)
has : ¬a ∈ ∅
hbs : ¬b ∈ ∅
⊢ ∃ i, i ∈ ∅ ∧ I ≤ f i

tactic: have : (I : Set R) ≠ ∅ := Set.Nonempty.ne_empty (Set.nonempty_of_mem I.zero_mem)
state_before: case neg.inl
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
hp : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I = ∅
has : ¬a ∈ ∅
hbs : ¬b ∈ ∅
⊢ ∃ i, i ∈ ∅ ∧ I ≤ f i

tactic: exact absurd h this
state_before: case neg.inl
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
hp : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
h : ↑I = ∅
has : ¬a ∈ ∅
hbs : ¬b ∈ ∅
this : ↑I ≠ ∅
⊢ ∃ i, i ∈ ∅ ∧ I ≤ f i

tactic: cases' hsne.bex with i his
state_before: case neg.inr
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
I : Ideal R
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)
has : ¬a ∈ s
hbs : ¬b ∈ s
hsne : Finset.Nonempty s
⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i

tactic: obtain ⟨t, _, rfl⟩ : ∃ t, i ∉ t ∧ insert i t = s :=
  ⟨s.erase i, Finset.not_mem_erase i s, Finset.insert_erase his⟩
state_before: case neg.inr.intro
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)
I : Ideal R
h : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)
has : ¬a ∈ s
hbs : ¬b ∈ s
hsne : Finset.Nonempty s
i : ι
his : i ∈ s
⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i

tactic: have hp' : ∀ j ∈ t, IsPrime (f j) := by
  intro j hj
  refine' hp j (Finset.mem_insert_of_mem hj) _ _ <;> rintro rfl <;>
    solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]
state_before: case neg.inr.intro.intro.intro
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : ¬i ∈ t
hp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ ↑(insert i t)), ↑(f i_1)
has : ¬a ∈ insert i t
hbs : ¬b ∈ insert i t
hsne : Finset.Nonempty (insert i t)
his : i ∈ insert i t
⊢ ∃ i_1, i_1 ∈ insert i t ∧ I ≤ f i_1

tactic: rw [Finset.coe_insert, Set.biUnion_insert, ← Set.union_self (f i : Set R),
  subset_union_prime' hp', ← or_assoc, or_self_iff] at h
state_before: case neg.inr.intro.intro.intro
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : ¬i ∈ t
hp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ ↑(insert i t)), ↑(f i_1)
has : ¬a ∈ insert i t
hbs : ¬b ∈ insert i t
hsne : Finset.Nonempty (insert i t)
his : i ∈ insert i t
hp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)
⊢ ∃ i_1, i_1 ∈ insert i t ∧ I ≤ f i_1

tactic: rwa [Finset.exists_mem_insert]
state_before: case neg.inr.intro.intro.intro
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : ¬i ∈ t
hp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)
h : I ≤ f i ∨ ∃ i, i ∈ t ∧ I ≤ f i
has : ¬a ∈ insert i t
hbs : ¬b ∈ insert i t
hsne : Finset.Nonempty (insert i t)
his : i ∈ insert i t
hp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)
⊢ ∃ i_1, i_1 ∈ insert i t ∧ I ≤ f i_1

tactic: intro j hj
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : ¬i ∈ t
hp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ ↑(insert i t)), ↑(f i_1)
has : ¬a ∈ insert i t
hbs : ¬b ∈ insert i t
hsne : Finset.Nonempty (insert i t)
his : i ∈ insert i t
⊢ ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)

tactic: refine' hp j (Finset.mem_insert_of_mem hj) _ _ <;> rintro rfl <;>
  solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]
state_before: R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : ¬i ∈ t
hp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)
h : ↑I ⊆ ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ ↑(insert i t)), ↑(f i_1)
has : ¬a ∈ insert i t
hbs : ¬b ∈ insert i t
hsne : Finset.Nonempty (insert i t)
his : i ∈ insert i t
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ IsPrime (f j)