Theorem: HasFPowerSeriesOnBall.tendstoLocallyUniformlyOn'
File: Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean

tactic: have A : ContinuousOn (fun y : E => y - x) (EMetric.ball (x : E) r) :=
  (continuous_id.sub continuous_const).continuousOn
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1014853
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n (y - x)) f atTop (EMetric.ball x r)

tactic: convert hf.tendstoLocallyUniformlyOn.comp (fun y : E => y - x) _ A using 1
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1014853
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
A : ContinuousOn (fun y => y - x) (EMetric.ball x r)
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n (y - x)) f atTop (EMetric.ball x r)

tactic: ext z
state_before: case h.e'_7
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1014853
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
A : ContinuousOn (fun y => y - x) (EMetric.ball x r)
⊢ f = (fun y => f (x + y)) ∘ fun y => y - x

tactic: simp
state_before: case h.e'_7.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1014853
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
A : ContinuousOn (fun y => y - x) (EMetric.ball x r)
z : E
⊢ f z = ((fun y => f (x + y)) ∘ fun y => y - x) z

tactic: intro z
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1014853
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
A : ContinuousOn (fun y => y - x) (EMetric.ball x r)
⊢ MapsTo (fun y => y - x) (EMetric.ball x r) (EMetric.ball 0 r)

tactic: simp [edist_eq_coe_nnnorm, edist_eq_coe_nnnorm_sub]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1014853
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
A : ContinuousOn (fun y => y - x) (EMetric.ball x r)
z : E
⊢ z ∈ EMetric.ball x r → (fun y => y - x) z ∈ EMetric.ball 0 r