Theorem: BilinForm.comp_inj
File: Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm.lean

tactic: constructor <;> intro h
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : Semiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type ?u.523287
M₁ : Type ?u.523290
inst✝¹³ : Ring R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type ?u.523899
M₂ : Type ?u.523902
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.524089
M₃ : Type ?u.524092
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.524680
K : Type ?u.524683
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
B₂✝ : BilinForm R₂ M₂
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B₁ B₂ : BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
hₗ : Function.Surjective ↑l
hᵣ : Function.Surjective ↑r
⊢ comp B₁ l r = comp B₂ l r ↔ B₁ = B₂

tactic: ext x
state_before: case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : Semiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type ?u.523287
M₁ : Type ?u.523290
inst✝¹³ : Ring R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type ?u.523899
M₂ : Type ?u.523902
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.524089
M₃ : Type ?u.524092
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.524680
K : Type ?u.524683
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
B₂✝ : BilinForm R₂ M₂
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B₁ B₂ : BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
hₗ : Function.Surjective ↑l
hᵣ : Function.Surjective ↑r
h : comp B₁ l r = comp B₂ l r
⊢ B₁ = B₂

tactic: intro y
state_before: case mp.H
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : Semiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type ?u.523287
M₁ : Type ?u.523290
inst✝¹³ : Ring R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type ?u.523899
M₂ : Type ?u.523902
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.524089
M₃ : Type ?u.524092
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.524680
K : Type ?u.524683
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
B₂✝ : BilinForm R₂ M₂
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B₁ B₂ : BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
hₗ : Function.Surjective ↑l
hᵣ : Function.Surjective ↑r
h : comp B₁ l r = comp B₂ l r
x : M'
⊢ ∀ (y : M'), bilin B₁ x y = bilin B₂ x y

tactic: cases' hₗ x with x' hx
state_before: case mp.H
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : Semiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type ?u.523287
M₁ : Type ?u.523290
inst✝¹³ : Ring R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type ?u.523899
M₂ : Type ?u.523902
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.524089
M₃ : Type ?u.524092
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.524680
K : Type ?u.524683
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
B₂✝ : BilinForm R₂ M₂
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B₁ B₂ : BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
hₗ : Function.Surjective ↑l
hᵣ : Function.Surjective ↑r
h : comp B₁ l r = comp B₂ l r
x y : M'
⊢ bilin B₁ x y = bilin B₂ x y

tactic: subst hx
state_before: case mp.H.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : Semiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type ?u.523287
M₁ : Type ?u.523290
inst✝¹³ : Ring R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type ?u.523899
M₂ : Type ?u.523902
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.524089
M₃ : Type ?u.524092
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.524680
K : Type ?u.524683
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
B₂✝ : BilinForm R₂ M₂
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B₁ B₂ : BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
hₗ : Function.Surjective ↑l
hᵣ : Function.Surjective ↑r
h : comp B₁ l r = comp B₂ l r
x y : M'
x' : M
hx : ↑l x' = x
⊢ bilin B₁ x y = bilin B₂ x y

tactic: cases' hᵣ y with y' hy
state_before: case mp.H.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : Semiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type ?u.523287
M₁ : Type ?u.523290
inst✝¹³ : Ring R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type ?u.523899
M₂ : Type ?u.523902
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.524089
M₃ : Type ?u.524092
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.524680
K : Type ?u.524683
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
B₂✝ : BilinForm R₂ M₂
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B₁ B₂ : BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
hₗ : Function.Surjective ↑l
hᵣ : Function.Surjective ↑r
h : comp B₁ l r = comp B₂ l r
y : M'
x' : M
⊢ bilin B₁ (↑l x') y = bilin B₂ (↑l x') y

tactic: subst hy
state_before: case mp.H.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : Semiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type ?u.523287
M₁ : Type ?u.523290
inst✝¹³ : Ring R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type ?u.523899
M₂ : Type ?u.523902
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.524089
M₃ : Type ?u.524092
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.524680
K : Type ?u.524683
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
B₂✝ : BilinForm R₂ M₂
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B₁ B₂ : BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
hₗ : Function.Surjective ↑l
hᵣ : Function.Surjective ↑r
h : comp B₁ l r = comp B₂ l r
y : M'
x' y' : M
hy : ↑r y' = y
⊢ bilin B₁ (↑l x') y = bilin B₂ (↑l x') y

tactic: rw [← comp_apply, ← comp_apply, h]
state_before: case mp.H.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : Semiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type ?u.523287
M₁ : Type ?u.523290
inst✝¹³ : Ring R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type ?u.523899
M₂ : Type ?u.523902
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.524089
M₃ : Type ?u.524092
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.524680
K : Type ?u.524683
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
B₂✝ : BilinForm R₂ M₂
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B₁ B₂ : BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
hₗ : Function.Surjective ↑l
hᵣ : Function.Surjective ↑r
h : comp B₁ l r = comp B₂ l r
x' y' : M
⊢ bilin B₁ (↑l x') (↑r y') = bilin B₂ (↑l x') (↑r y')

tactic: rw [h]
state_before: case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : Semiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type ?u.523287
M₁ : Type ?u.523290
inst✝¹³ : Ring R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type ?u.523899
M₂ : Type ?u.523902
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.524089
M₃ : Type ?u.524092
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.524680
K : Type ?u.524683
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
B₂✝ : BilinForm R₂ M₂
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B₁ B₂ : BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
hₗ : Function.Surjective ↑l
hᵣ : Function.Surjective ↑r
h : B₁ = B₂
⊢ comp B₁ l r = comp B₂ l r