Theorem: ContinuousLinearMap.strongTopology.t2Space
File: Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean

tactic: letI : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
state_before: 𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_2
E' : Type ?u.49322
F : Type u_1
F' : Type ?u.49328
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E'
inst✝⁹ : Module ℝ E'
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module ℝ F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace E'
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : T2Space F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
⊢ T2Space (E →SL[σ] F)

tactic: haveI : UniformAddGroup F := comm_topologicalAddGroup_is_uniform
state_before: 𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_2
E' : Type ?u.49322
F : Type u_1
F' : Type ?u.49328
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E'
inst✝⁹ : Module ℝ E'
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module ℝ F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace E'
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : T2Space F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
⊢ T2Space (E →SL[σ] F)

tactic: letI : TopologicalSpace (E →SL[σ] F) := strongTopology σ F 𝔖
state_before: 𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_2
E' : Type ?u.49322
F : Type u_1
F' : Type ?u.49328
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E'
inst✝⁹ : Module ℝ E'
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module ℝ F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace E'
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : T2Space F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
⊢ T2Space (E →SL[σ] F)

tactic: haveI : T2Space (E →ᵤ[𝔖] F) := UniformOnFun.t2Space_of_covering h𝔖
state_before: 𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_2
E' : Type ?u.49322
F : Type u_1
F' : Type ?u.49328
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E'
inst✝⁹ : Module ℝ E'
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module ℝ F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace E'
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : T2Space F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
this✝¹ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this✝ : UniformAddGroup F
this : TopologicalSpace (E →SL[σ] F) := strongTopology σ F 𝔖
⊢ T2Space (E →SL[σ] F)

tactic: exact (strongTopology.embedding_coeFn σ F 𝔖).t2Space
state_before: 𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_2
E' : Type ?u.49322
F : Type u_1
F' : Type ?u.49328
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E'
inst✝⁹ : Module ℝ E'
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module ℝ F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace E'
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : T2Space F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
this✝² : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this✝¹ : UniformAddGroup F
this✝ : TopologicalSpace (E →SL[σ] F) := strongTopology σ F 𝔖
this : T2Space (E →ᵤ[𝔖] F)
⊢ T2Space (E →SL[σ] F)