Theorem: CategoryTheory.Presieve.isSheaf_coverage
File: Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coverage.lean

tactic: constructor
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
⊢ IsSheaf (toGrothendieck C K) P ↔ ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R

tactic: intro H X R hR
state_before: case mp
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
⊢ IsSheaf (toGrothendieck C K) P → ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R

tactic: rw [Presieve.isSheafFor_iff_generate]
state_before: case mp
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : IsSheaf (toGrothendieck C K) P
X : C
R : Presieve X
hR : R ∈ covering K X
⊢ IsSheafFor P R

tactic: apply H _ <| saturate.of _ _ hR
state_before: case mp
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : IsSheaf (toGrothendieck C K) P
X : C
R : Presieve X
hR : R ∈ covering K X
⊢ IsSheafFor P (Sieve.generate R).arrows

tactic: intro H X S hS
state_before: case mpr
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
⊢ (∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R) → IsSheaf (toGrothendieck C K) P

tactic: suffices ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSheafFor P (S.pullback f).arrows by
  simpa using this (f := 𝟙 _)
state_before: case mpr
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ GrothendieckTopology.sieves (toGrothendieck C K) X
⊢ IsSheafFor P S.arrows

tactic: simpa using this (f := 𝟙 _)
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ GrothendieckTopology.sieves (toGrothendieck C K) X
this : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
⊢ IsSheafFor P S.arrows

tactic: intro Y f
state_before: case mpr.of
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
S : Presieve X
hS : S ∈ covering K X
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSheafFor P (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows

tactic: obtain ⟨T, hT1, hT2⟩ := K.pullback f S hS
state_before: case mpr.of
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
S : Presieve X
hS : S ∈ covering K X
Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ IsSheafFor P (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows

tactic: apply Presieve.isSheafFor_of_factorsThru (S := T)
state_before: case mpr.of.intro.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
S : Presieve X
hS : S ∈ covering K X
Y : C
f : Y ⟶ X
T : Presieve Y
hT1 : T ∈ covering K Y
hT2 : FactorsThruAlong T S f
⊢ IsSheafFor P (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows

tactic: intro Z g hg
state_before: case mpr.of.intro.intro.H
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
S : Presieve X
hS : S ∈ covering K X
Y : C
f : Y ⟶ X
T : Presieve Y
hT1 : T ∈ covering K Y
hT2 : FactorsThruAlong T S f
⊢ FactorsThru T (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows

tactic: obtain ⟨W, i, e, h1, h2⟩ := hT2 hg
state_before: case mpr.of.intro.intro.H
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
S : Presieve X
hS : S ∈ covering K X
Y : C
f : Y ⟶ X
T : Presieve Y
hT1 : T ∈ covering K Y
hT2 : FactorsThruAlong T S f
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : T g
⊢ ∃ W i e, (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows e ∧ i ≫ e = g

tactic: exact ⟨Z, 𝟙 _, g, ⟨W, i, e, h1, h2⟩, by simp⟩
state_before: case mpr.of.intro.intro.H.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
S : Presieve X
hS : S ∈ covering K X
Y : C
f : Y ⟶ X
T : Presieve Y
hT1 : T ∈ covering K Y
hT2 : FactorsThruAlong T S f
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : T g
W : C
i : Z ⟶ W
e : W ⟶ X
h1 : S e
h2 : i ≫ e = g ≫ f
⊢ ∃ W i e, (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows e ∧ i ≫ e = g

tactic: simp
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
S : Presieve X
hS : S ∈ covering K X
Y : C
f : Y ⟶ X
T : Presieve Y
hT1 : T ∈ covering K Y
hT2 : FactorsThruAlong T S f
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : T g
W : C
i : Z ⟶ W
e : W ⟶ X
h1 : S e
h2 : i ≫ e = g ≫ f
⊢ 𝟙 Z ≫ g = g

tactic: apply H
state_before: case mpr.of.intro.intro.hS
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
S : Presieve X
hS : S ∈ covering K X
Y : C
f : Y ⟶ X
T : Presieve Y
hT1 : T ∈ covering K Y
hT2 : FactorsThruAlong T S f
⊢ IsSheafFor P T

tactic: assumption
state_before: case mpr.of.intro.intro.hS.a
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
S : Presieve X
hS : S ∈ covering K X
Y : C
f : Y ⟶ X
T : Presieve Y
hT1 : T ∈ covering K Y
hT2 : FactorsThruAlong T S f
⊢ T ∈ covering K Y

tactic: intro Z g _
state_before: case mpr.of.intro.intro.h
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
S : Presieve X
hS : S ∈ covering K X
Y : C
f : Y ⟶ X
T : Presieve Y
hT1 : T ∈ covering K Y
hT2 : FactorsThruAlong T S f
⊢ ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f_1 : Y_1 ⟶ Y⦄,
    (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows f_1 → ∃ R, IsSeparatedFor P R ∧ FactorsThruAlong R T f_1

tactic: obtain ⟨R, hR1, hR2⟩ := K.pullback g _ hT1
state_before: case mpr.of.intro.intro.h
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
S : Presieve X
hS : S ∈ covering K X
Y : C
f : Y ⟶ X
T : Presieve Y
hT1 : T ∈ covering K Y
hT2 : FactorsThruAlong T S f
Z : C
g : Z ⟶ Y
a✝ : (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows g
⊢ ∃ R, IsSeparatedFor P R ∧ FactorsThruAlong R T g

tactic: refine ⟨R, (H _ hR1).isSeparatedFor, hR2⟩
state_before: case mpr.of.intro.intro.h.intro.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
S : Presieve X
hS : S ∈ covering K X
Y : C
f : Y ⟶ X
T : Presieve Y
hT1 : T ∈ covering K Y
hT2 : FactorsThruAlong T S f
Z : C
g : Z ⟶ Y
a✝ : (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows g
R : Presieve Z
hR1 : R ∈ covering K Z
hR2 : FactorsThruAlong R T g
⊢ ∃ R, IsSeparatedFor P R ∧ FactorsThruAlong R T g

tactic: intros
state_before: case mpr.top
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X : C
S : Sieve X
X✝ : C
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X✝), IsSheafFor P (Sieve.pullback f ⊤).arrows

tactic: simpa using Presieve.isSheafFor_top_sieve _
state_before: case mpr.top
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X : C
S : Sieve X
X✝ Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
⊢ IsSheafFor P (Sieve.pullback f✝ ⊤).arrows

tactic: intro Y f
state_before: case mpr.transitive
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSheafFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSheafFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows

tactic: simp only [← Presieve.isSeparatedFor_and_exists_isAmalgamation_iff_isSheafFor] at *
state_before: case mpr.transitive
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ {X : C} (R : Presieve X), R ∈ covering K X → IsSheafFor P R
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSheafFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSheafFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows

tactic: choose H1 H1' using H1
state_before: case mpr.transitive
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows ∧
      ∀ (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y),
        IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows ∧
          ∀ (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
            FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
⊢ IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows ∧
    ∀ (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows),
      FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t

tactic: choose H2 H2' using H2
state_before: case mpr.transitive
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y),
        IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows ∧
          ∀ (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
            FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
⊢ IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows ∧
    ∀ (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows),
      FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t

tactic: refine ⟨?_, fun x hx => ?_⟩
state_before: case mpr.transitive
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
⊢ IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows ∧
    ∀ (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows),
      FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t

tactic: let y : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y),
  ((S.pullback (g ≫ f)).pullback (𝟙 _)).arrows.FamilyOfElements P :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (by simpa using hgg)
state_before: case mpr.transitive.refine_2
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
⊢ ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t

tactic: have hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), (y g).Compatible := by
  intro Z g Y₁ Y₂ ZZ g₁ g₂ f₁ f₂ h₁ h₂ h
  rw [hx]
  rw [reassoc_of% h]
state_before: case mpr.transitive.refine_2
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
⊢ ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t

tactic: choose z hz using fun ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : R.pullback f g) =>
  H2' hg (𝟙 _) (y g) (hy g)
state_before: case mpr.transitive.refine_2
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
⊢ ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t

tactic: let q : (R.pullback f).arrows.FamilyOfElements P := fun Z g hg => z hg
state_before: case mpr.transitive.refine_2
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
⊢ ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t

tactic: obtain ⟨t, ht⟩ := H1' f q hq
state_before: case mpr.transitive.refine_2
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
⊢ ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t

tactic: refine ⟨t, fun Z g hg => ?_⟩
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
⊢ ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t

tactic: refine (H1 (g ≫ f)).ext (fun ZZ gg hgg => ?_)
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
⊢ P.map g.op t = x g hg

tactic: rw [← types_comp_apply _ (P.map gg.op), ← P.map_comp, ← op_comp, ht]
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
⊢ P.map gg.op (P.map g.op t) = P.map gg.op (x g hg)

tactic: swap
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
⊢ q (gg ≫ g) ?mpr.transitive.refine_2.intro.h = P.map gg.op (x g hg)

case mpr.transitive.refine_2.intro.h
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
⊢ (Sieve.pullback f R).arrows (gg ≫ g)

tactic: simpa using hgg
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro.h
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
⊢ (Sieve.pullback f R).arrows (gg ≫ g)

case mpr.transitive.refine_2.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
⊢ q (gg ≫ g) ?mpr.transitive.refine_2.intro.h = P.map gg.op (x g hg)

tactic: refine (H2 hgg (𝟙 _)).ext (fun ZZZ ggg hggg => ?_)
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
⊢ q (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f R).arrows (gg ≫ g)) = P.map gg.op (x g hg)

tactic: rw [← types_comp_apply _ (P.map ggg.op), ← P.map_comp, ← op_comp, hz]
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
ZZZ : C
ggg : ZZZ ⟶ ZZ
hggg : (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback (gg ≫ g ≫ f) S)).arrows ggg
⊢ P.map ggg.op (q (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f R).arrows (gg ≫ g))) = P.map ggg.op (P.map gg.op (x g hg))

tactic: swap
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
ZZZ : C
ggg : ZZZ ⟶ ZZ
hggg : (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback (gg ≫ g ≫ f) S)).arrows ggg
⊢ y (gg ≫ g) ggg ?mpr.transitive.refine_2.intro.h = P.map (ggg ≫ gg).op (x g hg)

case mpr.transitive.refine_2.intro.h
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
ZZZ : C
ggg : ZZZ ⟶ ZZ
hggg : (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback (gg ≫ g ≫ f) S)).arrows ggg
⊢ (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback ((gg ≫ g) ≫ f) S)).arrows ggg

tactic: simpa using hggg
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro.h
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
ZZZ : C
ggg : ZZZ ⟶ ZZ
hggg : (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback (gg ≫ g ≫ f) S)).arrows ggg
⊢ (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback ((gg ≫ g) ≫ f) S)).arrows ggg

case mpr.transitive.refine_2.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
ZZZ : C
ggg : ZZZ ⟶ ZZ
hggg : (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback (gg ≫ g ≫ f) S)).arrows ggg
⊢ y (gg ≫ g) ggg ?mpr.transitive.refine_2.intro.h = P.map (ggg ≫ gg).op (x g hg)

tactic: refine (H2 hgg ggg).ext (fun ZZZZ gggg _ => ?_)
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
ZZZ : C
ggg : ZZZ ⟶ ZZ
hggg : (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback (gg ≫ g ≫ f) S)).arrows ggg
⊢ y (gg ≫ g) ggg (_ : (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback ((gg ≫ g) ≫ f) S)).arrows ggg) =
    P.map (ggg ≫ gg).op (x g hg)

tactic: rw [← types_comp_apply _ (P.map gggg.op), ← P.map_comp, ← op_comp]
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
ZZZ : C
ggg : ZZZ ⟶ ZZ
hggg : (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback (gg ≫ g ≫ f) S)).arrows ggg
ZZZZ : C
gggg : ZZZZ ⟶ ZZZ
x✝ : (Sieve.pullback ggg (Sieve.pullback (gg ≫ g ≫ f) S)).arrows gggg
⊢ P.map gggg.op (y (gg ≫ g) ggg (_ : (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback ((gg ≫ g) ≫ f) S)).arrows ggg)) =
    P.map gggg.op (P.map (ggg ≫ gg).op (x g hg))

tactic: apply hx
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
ZZZ : C
ggg : ZZZ ⟶ ZZ
hggg : (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback (gg ≫ g ≫ f) S)).arrows ggg
ZZZZ : C
gggg : ZZZZ ⟶ ZZZ
x✝ : (Sieve.pullback ggg (Sieve.pullback (gg ≫ g ≫ f) S)).arrows gggg
⊢ P.map gggg.op (y (gg ≫ g) ggg (_ : (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback ((gg ≫ g) ≫ f) S)).arrows ggg)) =
    P.map (gggg ≫ ggg ≫ gg).op (x g hg)

tactic: simp
state_before: case mpr.transitive.refine_2.intro.a
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
hq : FamilyOfElements.Compatible q
t : P.obj Y.op
ht : FamilyOfElements.IsAmalgamation q t
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (g ≫ f) R).arrows gg
ZZZ : C
ggg : ZZZ ⟶ ZZ
hggg : (Sieve.pullback (𝟙 ZZ) (Sieve.pullback (gg ≫ g ≫ f) S)).arrows ggg
ZZZZ : C
gggg : ZZZZ ⟶ ZZZ
x✝ : (Sieve.pullback ggg (Sieve.pullback (gg ≫ g ≫ f) S)).arrows gggg
⊢ gggg ≫ ggg ≫ gg ≫ g = (gggg ≫ ggg ≫ gg) ≫ g

tactic: intro x t₁ t₂ h₁ h₂
state_before: case mpr.transitive.refine_1
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
⊢ IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows

tactic: refine (H1 f).ext (fun Z g hg => ?_)
state_before: case mpr.transitive.refine_1
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
t₁ t₂ : P.obj Y.op
h₁ : FamilyOfElements.IsAmalgamation x t₁
h₂ : FamilyOfElements.IsAmalgamation x t₂
⊢ t₁ = t₂

tactic: refine (H2 hg (𝟙 _)).ext (fun ZZ gg hgg => ?_)
state_before: case mpr.transitive.refine_1
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
t₁ t₂ : P.obj Y.op
h₁ : FamilyOfElements.IsAmalgamation x t₁
h₂ : FamilyOfElements.IsAmalgamation x t₂
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f R).arrows g
⊢ P.map g.op t₁ = P.map g.op t₂

tactic: simp only [Sieve.pullback_id, Sieve.pullback_apply] at hgg
state_before: case mpr.transitive.refine_1
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
t₁ t₂ : P.obj Y.op
h₁ : FamilyOfElements.IsAmalgamation x t₁
h₂ : FamilyOfElements.IsAmalgamation x t₂
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f R).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows gg
⊢ P.map gg.op (P.map g.op t₁) = P.map gg.op (P.map g.op t₂)

tactic: simp only [← types_comp_apply]
state_before: case mpr.transitive.refine_1
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
t₁ t₂ : P.obj Y.op
h₁ : FamilyOfElements.IsAmalgamation x t₁
h₂ : FamilyOfElements.IsAmalgamation x t₂
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f R).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : S.arrows (gg ≫ g ≫ f)
⊢ P.map gg.op (P.map g.op t₁) = P.map gg.op (P.map g.op t₂)

tactic: rw [← P.map_comp, ← op_comp, h₁, h₂]
state_before: case mpr.transitive.refine_1
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
t₁ t₂ : P.obj Y.op
h₁ : FamilyOfElements.IsAmalgamation x t₁
h₂ : FamilyOfElements.IsAmalgamation x t₂
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f R).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : S.arrows (gg ≫ g ≫ f)
⊢ (P.map g.op ≫ P.map gg.op) t₁ = (P.map g.op ≫ P.map gg.op) t₂

tactic: simpa only [Sieve.pullback_apply, Category.assoc] using hgg
state_before: case mpr.transitive.refine_1.h
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
t₁ t₂ : P.obj Y.op
h₁ : FamilyOfElements.IsAmalgamation x t₁
h₂ : FamilyOfElements.IsAmalgamation x t₂
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f R).arrows g
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : S.arrows (gg ≫ g ≫ f)
⊢ (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g)

tactic: simpa using hgg
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
Z : C
g : Z ⟶ Y
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows gg
⊢ (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g)

tactic: intro Z g Y₁ Y₂ ZZ g₁ g₂ f₁ f₂ h₁ h₂ h
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
⊢ ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)

tactic: rw [hx]
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
Z : C
g : Z ⟶ Y
Y₁ Y₂ ZZ : C
g₁ : ZZ ⟶ Y₁
g₂ : ZZ ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Z
f₂ : Y₂ ⟶ Z
h₁ : (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows f₁
h₂ : (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows f₂
h : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ P.map g₁.op (y g f₁ h₁) = P.map g₂.op (y g f₂ h₂)

tactic: rw [reassoc_of% h]
state_before: case a
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
Z : C
g : Z ⟶ Y
Y₁ Y₂ ZZ : C
g₁ : ZZ ⟶ Y₁
g₂ : ZZ ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Z
f₂ : Y₂ ⟶ Z
h₁ : (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows f₁
h₂ : (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows f₂
h : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ g₁ ≫ f₁ ≫ g = g₂ ≫ f₂ ≫ g

tactic: intro Y₁ Y₂ Z g₁ g₂ f₁ f₂ h₁ h₂ h
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
⊢ FamilyOfElements.Compatible q

tactic: apply (H2 h₁ g₁).ext
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Y
f₂ : Y₂ ⟶ Y
h₁ : (Sieve.pullback f R).arrows f₁
h₂ : (Sieve.pullback f R).arrows f₂
h : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ P.map g₁.op (q f₁ h₁) = P.map g₂.op (q f₂ h₂)

tactic: intro ZZ gg hgg
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Y
f₂ : Y₂ ⟶ Y
h₁ : (Sieve.pullback f R).arrows f₁
h₂ : (Sieve.pullback f R).arrows f₂
h : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f_1 : Y_1 ⟶ Z⦄,
    (Sieve.pullback g₁ (Sieve.pullback (f₁ ≫ f) S)).arrows f_1 →
      P.map f_1.op (P.map g₁.op (q f₁ h₁)) = P.map f_1.op (P.map g₂.op (q f₂ h₂))

tactic: simp only [← types_comp_apply]
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Y
f₂ : Y₂ ⟶ Y
h₁ : (Sieve.pullback f R).arrows f₁
h₂ : (Sieve.pullback f R).arrows f₂
h : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback g₁ (Sieve.pullback (f₁ ≫ f) S)).arrows gg
⊢ P.map gg.op (P.map g₁.op (q f₁ h₁)) = P.map gg.op (P.map g₂.op (q f₂ h₂))

tactic: rw [← P.map_comp, ← P.map_comp, ← op_comp, ← op_comp, hz, hz]
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Y
f₂ : Y₂ ⟶ Y
h₁ : (Sieve.pullback f R).arrows f₁
h₂ : (Sieve.pullback f R).arrows f₂
h : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback g₁ (Sieve.pullback (f₁ ≫ f) S)).arrows gg
⊢ (P.map g₁.op ≫ P.map gg.op) (z h₁) = (P.map g₂.op ≫ P.map gg.op) (z h₂)

tactic: dsimp
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Y
f₂ : Y₂ ⟶ Y
h₁ : (Sieve.pullback f R).arrows f₁
h₂ : (Sieve.pullback f R).arrows f₂
h : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback g₁ (Sieve.pullback (f₁ ≫ f) S)).arrows gg
⊢ y f₁ (gg ≫ g₁) ?h = y f₂ (gg ≫ g₂) ?h

tactic: congr 1
state_before: C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Y
f₂ : Y₂ ⟶ Y
h₁ : (Sieve.pullback f R).arrows f₁
h₂ : (Sieve.pullback f R).arrows f₂
h : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback g₁ (Sieve.pullback (f₁ ≫ f) S)).arrows gg
⊢ x ((gg ≫ g₁) ≫ f₁) (_ : S.arrows (((gg ≫ g₁) ≫ f₁) ≫ f)) = x ((gg ≫ g₂) ≫ f₂) (_ : S.arrows (((gg ≫ g₂) ≫ f₂) ≫ f))

tactic: simp only [Category.assoc, h]
state_before: case e_f
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Y
f₂ : Y₂ ⟶ Y
h₁ : (Sieve.pullback f R).arrows f₁
h₂ : (Sieve.pullback f R).arrows f₂
h : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback g₁ (Sieve.pullback (f₁ ≫ f) S)).arrows gg
⊢ (gg ≫ g₁) ≫ f₁ = (gg ≫ g₂) ≫ f₂

tactic: simpa [reassoc_of% h] using hgg
state_before: case h
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Y
f₂ : Y₂ ⟶ Y
h₁ : (Sieve.pullback f R).arrows f₁
h₂ : (Sieve.pullback f R).arrows f₂
h : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback g₁ (Sieve.pullback (f₁ ≫ f) S)).arrows gg
⊢ (Sieve.pullback (𝟙 Y₂) (Sieve.pullback (f₂ ≫ f) S)).arrows (gg ≫ g₂)

tactic: simpa using hgg
state_before: case h
C : Type u_1
inst✝ : Category C
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
a✝¹ : saturate K X R
a✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → saturate K Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X : C} (R : Presieve X),
    R ∈ covering K X →
      IsSeparatedFor P R ∧
        ∀ (x : FamilyOfElements P R), FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        FamilyOfElements.Compatible x → ∃ t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
x : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
y : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ Y) → FamilyOfElements P (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows :=
  fun Z g ZZ gg hgg => x (gg ≫ g) (_ : (Sieve.pullback f S).arrows (gg ≫ g))
hy : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), FamilyOfElements.Compatible (y g)
z : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (Sieve.pullback f R).arrows g → P.obj Z.op
hz : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), FamilyOfElements.IsAmalgamation (y g) (z hg)
q : FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows := fun Z g hg => z hg
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Y
f₂ : Y₂ ⟶ Y
h₁ : (Sieve.pullback f R).arrows f₁
h₂ : (Sieve.pullback f R).arrows f₂
h : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
ZZ : C
gg : ZZ ⟶ Z
hgg : (Sieve.pullback g₁ (Sieve.pullback (f₁ ≫ f) S)).arrows gg
⊢ (Sieve.pullback (𝟙 Y₁) (Sieve.pullback (f₁ ≫ f) S)).arrows (gg ≫ g₁)