Theorem: ContinuousLinearMap.strongTopology.hasBasis_nhds_zero_of_basis
File: Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean

tactic: letI : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
state_before: 𝕜₁ : Type u_4
𝕜₂ : Type u_5
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹² : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
E' : Type ?u.74932
F : Type u_1
F' : Type ?u.74938
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : AddCommGroup E'
inst✝⁸ : Module ℝ E'
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module ℝ F'
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace E'
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_2
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) p b
⊢ Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun Si => Si.fst ∈ 𝔖 ∧ p Si.snd) fun Si => {f | ∀ (x : E), x ∈ Si.fst → ↑f x ∈ b Si.snd}

tactic: haveI : UniformAddGroup F := comm_topologicalAddGroup_is_uniform
state_before: 𝕜₁ : Type u_4
𝕜₂ : Type u_5
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹² : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
E' : Type ?u.74932
F : Type u_1
F' : Type ?u.74938
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : AddCommGroup E'
inst✝⁸ : Module ℝ E'
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module ℝ F'
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace E'
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_2
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) p b
this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
⊢ Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun Si => Si.fst ∈ 𝔖 ∧ p Si.snd) fun Si => {f | ∀ (x : E), x ∈ Si.fst → ↑f x ∈ b Si.snd}

tactic: letI : TopologicalSpace (E →SL[σ] F) := strongTopology σ F 𝔖
state_before: 𝕜₁ : Type u_4
𝕜₂ : Type u_5
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹² : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
E' : Type ?u.74932
F : Type u_1
F' : Type ?u.74938
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : AddCommGroup E'
inst✝⁸ : Module ℝ E'
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module ℝ F'
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace E'
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_2
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) p b
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
⊢ Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun Si => Si.fst ∈ 𝔖 ∧ p Si.snd) fun Si => {f | ∀ (x : E), x ∈ Si.fst → ↑f x ∈ b Si.snd}

tactic: rw [(strongTopology.embedding_coeFn σ F 𝔖).toInducing.nhds_eq_comap]
state_before: 𝕜₁ : Type u_4
𝕜₂ : Type u_5
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹² : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
E' : Type ?u.74932
F : Type u_1
F' : Type ?u.74938
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : AddCommGroup E'
inst✝⁸ : Module ℝ E'
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module ℝ F'
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace E'
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_2
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) p b
this✝¹ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this✝ : UniformAddGroup F
this : TopologicalSpace (E →SL[σ] F) := strongTopology σ F 𝔖
⊢ Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun Si => Si.fst ∈ 𝔖 ∧ p Si.snd) fun Si => {f | ∀ (x : E), x ∈ Si.fst → ↑f x ∈ b Si.snd}

tactic: exact (UniformOnFun.hasBasis_nhds_zero_of_basis 𝔖 h𝔖₁ h𝔖₂ h).comap FunLike.coe
state_before: 𝕜₁ : Type u_4
𝕜₂ : Type u_5
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹² : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
E' : Type ?u.74932
F : Type u_1
F' : Type ?u.74938
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : AddCommGroup E'
inst✝⁸ : Module ℝ E'
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module ℝ F'
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace E'
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_2
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) p b
this✝¹ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this✝ : UniformAddGroup F
this : TopologicalSpace (E →SL[σ] F) := strongTopology σ F 𝔖
⊢ Filter.HasBasis (Filter.comap (↑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ FunLike.coe) (𝓝 ((↑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ FunLike.coe) 0)))
    (fun Si => Si.fst ∈ 𝔖 ∧ p Si.snd) fun Si => {f | ∀ (x : E), x ∈ Si.fst → ↑f x ∈ b Si.snd}