Theorem: ContinuousLinearMap.sSup_unit_ball_eq_nnnorm
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm.lean

tactic: refine' csSup_eq_of_forall_le_of_forall_lt_exists_gt ((nonempty_ball.mpr zero_lt_one).image _) _
  fun ub hub => _
state_before: 𝕜✝ : Type ?u.812441
𝕜₂✝ : Type ?u.812444
𝕜₃ : Type ?u.812447
E✝ : Type ?u.812450
Eₗ : Type ?u.812453
F✝ : Type ?u.812456
Fₗ : Type ?u.812459
G : Type ?u.812462
Gₗ : Type ?u.812465
𝓕 : Type ?u.812468
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖↑f x‖₊) '' ball 0 1) = ‖f‖₊

tactic: rintro - ⟨x, hx, rfl⟩
state_before: case refine'_1
𝕜✝ : Type ?u.812441
𝕜₂✝ : Type ?u.812444
𝕜₃ : Type ?u.812447
E✝ : Type ?u.812450
Eₗ : Type ?u.812453
F✝ : Type ?u.812456
Fₗ : Type ?u.812459
G : Type ?u.812462
Gₗ : Type ?u.812465
𝓕 : Type ?u.812468
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ∀ (a : ℝ≥0), a ∈ (fun x => ‖↑f x‖₊) '' ball 0 1 → a ≤ ‖f‖₊

tactic: simpa only [mul_one] using f.le_op_norm_of_le (mem_ball_zero_iff.1 hx).le
state_before: case refine'_1.intro.intro
𝕜✝ : Type ?u.812441
𝕜₂✝ : Type ?u.812444
𝕜₃ : Type ?u.812447
E✝ : Type ?u.812450
Eₗ : Type ?u.812453
F✝ : Type ?u.812456
Fₗ : Type ?u.812459
G : Type ?u.812462
Gₗ : Type ?u.812465
𝓕 : Type ?u.812468
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E
hx : x ∈ ball 0 1
⊢ (fun x => ‖↑f x‖₊) x ≤ ‖f‖₊

tactic: obtain ⟨x, hx, hxf⟩ := f.exists_lt_apply_of_lt_op_nnnorm hub
state_before: case refine'_2
𝕜✝ : Type ?u.812441
𝕜₂✝ : Type ?u.812444
𝕜₃ : Type ?u.812447
E✝ : Type ?u.812450
Eₗ : Type ?u.812453
F✝ : Type ?u.812456
Fₗ : Type ?u.812459
G : Type ?u.812462
Gₗ : Type ?u.812465
𝓕 : Type ?u.812468
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ub : ℝ≥0
hub : ub < ‖f‖₊
⊢ ∃ a, a ∈ (fun x => ‖↑f x‖₊) '' ball 0 1 ∧ ub < a

tactic: exact ⟨_, ⟨x, mem_ball_zero_iff.2 hx, rfl⟩, hxf⟩
state_before: case refine'_2.intro.intro
𝕜✝ : Type ?u.812441
𝕜₂✝ : Type ?u.812444
𝕜₃ : Type ?u.812447
E✝ : Type ?u.812450
Eₗ : Type ?u.812453
F✝ : Type ?u.812456
Fₗ : Type ?u.812459
G : Type ?u.812462
Gₗ : Type ?u.812465
𝓕 : Type ?u.812468
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ub : ℝ≥0
hub : ub < ‖f‖₊
x : E
hx : ‖x‖₊ < 1
hxf : ub < ‖↑f x‖₊
⊢ ∃ a, a ∈ (fun x => ‖↑f x‖₊) '' ball 0 1 ∧ ub < a