Theorem: MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc_sub
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: rw [sub_eq_add_neg, setToSimpleFunc_add T h_add hf, setToSimpleFunc_neg T h_add hg,
  sub_eq_add_neg]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.288731
G : Type ?u.288734
𝕜 : Type ?u.288737
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
⊢ setToSimpleFunc T (f - g) = setToSimpleFunc T f - setToSimpleFunc T g

tactic: rw [integrable_iff] at hg ⊢
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.288731
G : Type ?u.288734
𝕜 : Type ?u.288737
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
⊢ Integrable ↑(-g)

tactic: intro x hx_ne
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.288731
G : Type ?u.288734
𝕜 : Type ?u.288737
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑(-g) ⁻¹' {y}) < ⊤

tactic: change μ (Neg.neg ∘ g ⁻¹' {x}) < ∞
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.288731
G : Type ?u.288734
𝕜 : Type ?u.288737
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤
x : E
hx_ne : x ≠ 0
⊢ ↑↑μ (↑(-g) ⁻¹' {x}) < ⊤

tactic: rw [preimage_comp, neg_preimage, Set.neg_singleton]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.288731
G : Type ?u.288734
𝕜 : Type ?u.288737
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤
x : E
hx_ne : x ≠ 0
⊢ ↑↑μ (Neg.neg ∘ ↑g ⁻¹' {x}) < ⊤

tactic: refine' hg (-x) _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.288731
G : Type ?u.288734
𝕜 : Type ?u.288737
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤
x : E
hx_ne : x ≠ 0
⊢ ↑↑μ (↑g ⁻¹' {-x}) < ⊤

tactic: simp [hx_ne]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.288731
G : Type ?u.288734
𝕜 : Type ?u.288737
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤
x : E
hx_ne : x ≠ 0
⊢ -x ≠ 0