Theorem: ContinuousLinearMap.tmp_closedBall_div_subset
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm.lean

tactic: intro f hf x hx
state_before: 𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type ?u.532921
E : Type u_1
Eₗ : Type ?u.532927
F : Type u_2
Fₗ : Type ?u.532933
G : Type ?u.532936
Gₗ : Type ?u.532939
𝓕 : Type ?u.532942
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ closedBall 0 (a / b) ⊆ {f | ∀ (x : E), x ∈ closedBall 0 b → ↑f x ∈ closedBall 0 a}

tactic: rw [mem_closedBall_zero_iff] at hf hx⊢
state_before: 𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type ?u.532921
E : Type u_1
Eₗ : Type ?u.532927
F : Type u_2
Fₗ : Type ?u.532933
G : Type ?u.532936
Gₗ : Type ?u.532939
𝓕 : Type ?u.532942
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
f : E →SL[σ₁₂] F
hf : f ∈ closedBall 0 (a / b)
x : E
hx : x ∈ closedBall 0 b
⊢ ↑f x ∈ closedBall 0 a

tactic: calc
  ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖ := le_op_norm _ _
  _ ≤ a / b * b := by gcongr
  _ = a := div_mul_cancel a hb.ne.symm
state_before: 𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type ?u.532921
E : Type u_1
Eₗ : Type ?u.532927
F : Type u_2
Fₗ : Type ?u.532933
G : Type ?u.532936
Gₗ : Type ?u.532939
𝓕 : Type ?u.532942
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
f : E →SL[σ₁₂] F
hf : ‖f‖ ≤ a / b
x : E
hx : ‖x‖ ≤ b
⊢ ‖↑f x‖ ≤ a

tactic: gcongr
state_before: 𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type ?u.532921
E : Type u_1
Eₗ : Type ?u.532927
F : Type u_2
Fₗ : Type ?u.532933
G : Type ?u.532936
Gₗ : Type ?u.532939
𝓕 : Type ?u.532942
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
f : E →SL[σ₁₂] F
hf : ‖f‖ ≤ a / b
x : E
hx : ‖x‖ ≤ b
⊢ ‖f‖ * ‖x‖ ≤ a / b * b