Theorem: norm_image_of_norm_zero
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm.lean

tactic: refine' le_antisymm (le_of_forall_pos_le_add fun ε hε => _) (norm_nonneg (f x))
state_before: 𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
𝕜₃ : Type ?u.1293
E : Type u_4
Eₗ : Type ?u.1299
F : Type u_5
Fₗ : Type ?u.1305
G : Type ?u.1308
Gₗ : Type ?u.1311
𝓕 : Type u_1
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ↑f
x : E
hx : ‖x‖ = 0
⊢ ‖↑f x‖ = 0

tactic: rcases NormedAddCommGroup.tendsto_nhds_nhds.1 (hf.tendsto 0) ε hε with ⟨δ, δ_pos, hδ⟩
state_before: 𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
𝕜₃ : Type ?u.1293
E : Type u_4
Eₗ : Type ?u.1299
F : Type u_5
Fₗ : Type ?u.1305
G : Type ?u.1308
Gₗ : Type ?u.1311
𝓕 : Type u_1
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ↑f
x : E
hx : ‖x‖ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ‖↑f x‖ ≤ 0 + ε

tactic: replace hδ := hδ x
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
𝕜₃ : Type ?u.1293
E : Type u_4
Eₗ : Type ?u.1299
F : Type u_5
Fₗ : Type ?u.1305
G : Type ?u.1308
Gₗ : Type ?u.1311
𝓕 : Type u_1
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ↑f
x : E
hx : ‖x‖ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ∀ (x' : E), ‖x' - 0‖ < δ → ‖↑f x' - ↑f 0‖ < ε
⊢ ‖↑f x‖ ≤ 0 + ε

tactic: rw [sub_zero, hx] at hδ
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
𝕜₃ : Type ?u.1293
E : Type u_4
Eₗ : Type ?u.1299
F : Type u_5
Fₗ : Type ?u.1305
G : Type ?u.1308
Gₗ : Type ?u.1311
𝓕 : Type u_1
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ↑f
x : E
hx : ‖x‖ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ‖x - 0‖ < δ → ‖↑f x - ↑f 0‖ < ε
⊢ ‖↑f x‖ ≤ 0 + ε

tactic: replace hδ := le_of_lt (hδ δ_pos)
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
𝕜₃ : Type ?u.1293
E : Type u_4
Eₗ : Type ?u.1299
F : Type u_5
Fₗ : Type ?u.1305
G : Type ?u.1308
Gₗ : Type ?u.1311
𝓕 : Type u_1
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ↑f
x : E
hx : ‖x‖ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : 0 < δ → ‖↑f x - ↑f 0‖ < ε
⊢ ‖↑f x‖ ≤ 0 + ε

tactic: rw [map_zero, sub_zero] at hδ
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
𝕜₃ : Type ?u.1293
E : Type u_4
Eₗ : Type ?u.1299
F : Type u_5
Fₗ : Type ?u.1305
G : Type ?u.1308
Gₗ : Type ?u.1311
𝓕 : Type u_1
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ↑f
x : E
hx : ‖x‖ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ‖↑f x - ↑f 0‖ ≤ ε
⊢ ‖↑f x‖ ≤ 0 + ε

tactic: rwa [zero_add]
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
𝕜₃ : Type ?u.1293
E : Type u_4
Eₗ : Type ?u.1299
F : Type u_5
Fₗ : Type ?u.1305
G : Type ?u.1308
Gₗ : Type ?u.1311
𝓕 : Type u_1
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ↑f
x : E
hx : ‖x‖ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ‖↑f x‖ ≤ ε
⊢ ‖↑f x‖ ≤ 0 + ε