Theorem: HasFDerivWithinAt.lim
File: Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean

tactic: have : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x := h
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (↑f' v))

tactic: have : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x :=
  this.comp_tendsto tendsto_arg
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this : (fun y => f y - f x - ↑f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (↑f' v))

tactic: have : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (d n)) =o[l] d := by simpa only [add_sub_cancel']
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝ : (fun y => f y - f x - ↑f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (↑f' v))

tactic: have : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n :=
  (isBigO_refl c l).smul_isLittleO this
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝¹ : (fun y => f y - f x - ↑f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝ : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) =o[l] d
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (↑f' v))

tactic: have : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun _ => (1 : ℝ) :=
  this.trans_isBigO (cdlim.isBigO_one ℝ)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝² : (fun y => f y - f x - ↑f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝ : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) =o[l] d
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (↑f' v))

tactic: have L1 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) l (𝓝 0) :=
  (isLittleO_one_iff ℝ).1 this
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝³ : (fun y => f y - f x - ↑f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) =o[l] d
this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun x => 1
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (↑f' v))

tactic: have L2 : Tendsto (fun n => f' (c n • d n)) l (𝓝 (f' v)) :=
  Tendsto.comp f'.cont.continuousAt cdlim
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝³ : (fun y => f y - f x - ↑f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) =o[l] d
this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun x => 1
L1 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (↑f' v))

tactic: have L3 :
  Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n)) + f' (c n • d n)) l (𝓝 (0 + f' v)) :=
  L1.add L2
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝³ : (fun y => f y - f x - ↑f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) =o[l] d
this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun x => 1
L1 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) l (𝓝 0)
L2 : Tendsto (fun n => ↑f' (c n • d n)) l (𝓝 (↑f' v))
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (↑f' v))

tactic: have :
  (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n)) + f' (c n • d n)) = fun n =>
    c n • (f (x + d n) - f x) := by
  ext n
  simp [smul_add, smul_sub]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝³ : (fun y => f y - f x - ↑f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) =o[l] d
this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun x => 1
L1 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) l (𝓝 0)
L2 : Tendsto (fun n => ↑f' (c n • d n)) l (𝓝 (↑f' v))
L3 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) + ↑f' (c n • d n)) l (𝓝 (0 + ↑f' v))
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (↑f' v))

tactic: rwa [this, zero_add] at L3
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝⁴ : (fun y => f y - f x - ↑f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝³ : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) =o[l] d
this✝¹ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun x => 1
L1 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) l (𝓝 0)
L2 : Tendsto (fun n => ↑f' (c n • d n)) l (𝓝 (↑f' v))
L3 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) + ↑f' (c n • d n)) l (𝓝 (0 + ↑f' v))
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) + ↑f' (c n • d n)) = fun n => c n • (f (x + d n) - f x)
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (↑f' v))

tactic: conv in 𝓝[s] x => rw [← add_zero x]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
⊢ Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)

tactic: rw [nhdsWithin, tendsto_inf]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
⊢ Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] (x + 0))

tactic: constructor
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
⊢ Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝 (x + 0)) ∧ Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓟 s)

tactic: apply tendsto_const_nhds.add (tangentConeAt.lim_zero l clim cdlim)
state_before: case left
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
⊢ Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝 (x + 0))

tactic: rwa [tendsto_principal]
state_before: case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
⊢ Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓟 s)

tactic: simpa only [add_sub_cancel']
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝ : (fun y => f y - f x - ↑f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
⊢ (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) =o[l] d

tactic: ext n
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝³ : (fun y => f y - f x - ↑f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) =o[l] d
this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun x => 1
L1 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) l (𝓝 0)
L2 : Tendsto (fun n => ↑f' (c n • d n)) l (𝓝 (↑f' v))
L3 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) + ↑f' (c n • d n)) l (𝓝 (0 + ↑f' v))
⊢ (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) + ↑f' (c n • d n)) = fun n => c n • (f (x + d n) - f x)

tactic: simp [smul_add, smul_sub]
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.44820
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.44915
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝³ : (fun y => f y - f x - ↑f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) =o[l] d
this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) =o[l] fun x => 1
L1 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n))) l (𝓝 0)
L2 : Tendsto (fun n => ↑f' (c n • d n)) l (𝓝 (↑f' v))
L3 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) + ↑f' (c n • d n)) l (𝓝 (0 + ↑f' v))
n : α
⊢ c n • (f (x + d n) - f x - ↑f' (d n)) + ↑f' (c n • d n) = c n • (f (x + d n) - f x)