Theorem: gauge_smul_of_nonneg
File: Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean

tactic: obtain rfl | ha' := ha.eq_or_lt
state_before: 𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
⊢ gauge s (a • x) = a • gauge s x

tactic: rw [gauge_def', gauge_def', ← Real.sInf_smul_of_nonneg ha]
state_before: case inr
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
⊢ gauge s (a • x) = a • gauge s x

tactic: congr 1
state_before: case inr
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s} = sInf (a • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s})

tactic: ext r
state_before: case inr.e_a
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
⊢ {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s} = a • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s}

tactic: simp_rw [Set.mem_smul_set, Set.mem_sep_iff]
state_before: case inr.e_a.h
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
⊢ r ∈ {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s} ↔ r ∈ a • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s}

tactic: constructor
state_before: case inr.e_a.h
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
⊢ r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s ↔ ∃ y, (y ∈ Ioi 0 ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a • y = r

tactic: rw [zero_smul, gauge_zero, zero_smul]
state_before: case inl
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
x : E
ha : 0 ≤ 0
⊢ gauge s (0 • x) = 0 • gauge s x

tactic: rintro ⟨hr, hx⟩
state_before: case inr.e_a.h.mp
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
⊢ r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s → ∃ y, (y ∈ Ioi 0 ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a • y = r

tactic: simp_rw [mem_Ioi] at hr⊢
state_before: case inr.e_a.h.mp.intro
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
hx : r⁻¹ • a • x ∈ s
⊢ ∃ y, (y ∈ Ioi 0 ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a • y = r

tactic: rw [← mem_smul_set_iff_inv_smul_mem₀ hr.ne'] at hx
state_before: case inr.e_a.h.mp.intro
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hx : r⁻¹ • a • x ∈ s
hr : 0 < r
⊢ ∃ y, (0 < y ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a • y = r

tactic: have := smul_pos (inv_pos.2 ha') hr
state_before: case inr.e_a.h.mp.intro
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hx : a • x ∈ r • s
hr : 0 < r
⊢ ∃ y, (0 < y ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a • y = r

tactic: refine' ⟨a⁻¹ • r, ⟨this, _⟩, smul_inv_smul₀ ha'.ne' _⟩
state_before: case inr.e_a.h.mp.intro
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hx : a • x ∈ r • s
hr : 0 < r
this : 0 < a⁻¹ • r
⊢ ∃ y, (0 < y ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a • y = r

tactic: rwa [← mem_smul_set_iff_inv_smul_mem₀ this.ne', smul_assoc,
  mem_smul_set_iff_inv_smul_mem₀ (inv_ne_zero ha'.ne'), inv_inv]
state_before: case inr.e_a.h.mp.intro
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hx : a • x ∈ r • s
hr : 0 < r
this : 0 < a⁻¹ • r
⊢ (a⁻¹ • r)⁻¹ • x ∈ s

tactic: rintro ⟨r, ⟨hr, hx⟩, rfl⟩
state_before: case inr.e_a.h.mpr
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
⊢ (∃ y, (y ∈ Ioi 0 ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a • y = r) → r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s

tactic: rw [mem_Ioi] at hr⊢
state_before: case inr.e_a.h.mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
hx : r⁻¹ • x ∈ s
⊢ a • r ∈ Ioi 0 ∧ (a • r)⁻¹ • a • x ∈ s

tactic: rw [← mem_smul_set_iff_inv_smul_mem₀ hr.ne'] at hx
state_before: case inr.e_a.h.mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hr : 0 < r
hx : r⁻¹ • x ∈ s
⊢ 0 < a • r ∧ (a • r)⁻¹ • a • x ∈ s

tactic: have := smul_pos ha' hr
state_before: case inr.e_a.h.mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hr : 0 < r
hx : x ∈ r • s
⊢ 0 < a • r ∧ (a • r)⁻¹ • a • x ∈ s

tactic: refine' ⟨this, _⟩
state_before: case inr.e_a.h.mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hr : 0 < r
hx : x ∈ r • s
this : 0 < a • r
⊢ 0 < a • r ∧ (a • r)⁻¹ • a • x ∈ s

tactic: rw [← mem_smul_set_iff_inv_smul_mem₀ this.ne', smul_assoc]
state_before: case inr.e_a.h.mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hr : 0 < r
hx : x ∈ r • s
this : 0 < a • r
⊢ (a • r)⁻¹ • a • x ∈ s

tactic: exact smul_mem_smul_set hx
state_before: case inr.e_a.h.mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.102151
E : Type u_2
F : Type ?u.102157
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
a✝ : ℝ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hr : 0 < r
hx : x ∈ r • s
this : 0 < a • r
⊢ a • x ∈ a • r • s