Theorem: image_smul_setₛₗ
File: Mathlib/Algebra/Module/LinearMap.lean

tactic: apply Set.Subset.antisymm
state_before: R : Type u_2
R₁ : Type ?u.144905
R₂ : Type ?u.144908
R₃ : Type ?u.144911
k : Type ?u.144914
S : Type u_3
S₃ : Type ?u.144920
T : Type ?u.144923
M : Type u_4
M₁ : Type ?u.144929
M₂ : Type ?u.144932
M₃ : Type u_5
N₁ : Type ?u.144938
N₂ : Type ?u.144941
N₃ : Type ?u.144944
ι : Type ?u.144947
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module S M₃
σ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f g : M →ₛₗ[σ] M₃
F : Type u_1
h : F
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
c : R
s : Set M
⊢ ↑h '' (c • s) = ↑σ c • ↑h '' s

tactic: rintro x ⟨y, ⟨z, zs, rfl⟩, rfl⟩
state_before: case h₁
R : Type u_2
R₁ : Type ?u.144905
R₂ : Type ?u.144908
R₃ : Type ?u.144911
k : Type ?u.144914
S : Type u_3
S₃ : Type ?u.144920
T : Type ?u.144923
M : Type u_4
M₁ : Type ?u.144929
M₂ : Type ?u.144932
M₃ : Type u_5
N₁ : Type ?u.144938
N₂ : Type ?u.144941
N₃ : Type ?u.144944
ι : Type ?u.144947
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module S M₃
σ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f g : M →ₛₗ[σ] M₃
F : Type u_1
h : F
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
c : R
s : Set M
⊢ ↑h '' (c • s) ⊆ ↑σ c • ↑h '' s

tactic: exact ⟨h z, Set.mem_image_of_mem _ zs, (map_smulₛₗ _ _ _).symm⟩
state_before: case h₁.intro.intro.intro.intro
R : Type u_2
R₁ : Type ?u.144905
R₂ : Type ?u.144908
R₃ : Type ?u.144911
k : Type ?u.144914
S : Type u_3
S₃ : Type ?u.144920
T : Type ?u.144923
M : Type u_4
M₁ : Type ?u.144929
M₂ : Type ?u.144932
M₃ : Type u_5
N₁ : Type ?u.144938
N₂ : Type ?u.144941
N₃ : Type ?u.144944
ι : Type ?u.144947
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module S M₃
σ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f g : M →ₛₗ[σ] M₃
F : Type u_1
h : F
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
c : R
s : Set M
z : M
zs : z ∈ s
⊢ ↑h ((fun x => c • x) z) ∈ ↑σ c • ↑h '' s

tactic: rintro x ⟨y, ⟨z, hz, rfl⟩, rfl⟩
state_before: case h₂
R : Type u_2
R₁ : Type ?u.144905
R₂ : Type ?u.144908
R₃ : Type ?u.144911
k : Type ?u.144914
S : Type u_3
S₃ : Type ?u.144920
T : Type ?u.144923
M : Type u_4
M₁ : Type ?u.144929
M₂ : Type ?u.144932
M₃ : Type u_5
N₁ : Type ?u.144938
N₂ : Type ?u.144941
N₃ : Type ?u.144944
ι : Type ?u.144947
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module S M₃
σ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f g : M →ₛₗ[σ] M₃
F : Type u_1
h : F
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
c : R
s : Set M
⊢ ↑σ c • ↑h '' s ⊆ ↑h '' (c • s)

tactic: exact (Set.mem_image _ _ _).2 ⟨c • z, Set.smul_mem_smul_set hz, map_smulₛₗ _ _ _⟩
state_before: case h₂.intro.intro.intro.intro
R : Type u_2
R₁ : Type ?u.144905
R₂ : Type ?u.144908
R₃ : Type ?u.144911
k : Type ?u.144914
S : Type u_3
S₃ : Type ?u.144920
T : Type ?u.144923
M : Type u_4
M₁ : Type ?u.144929
M₂ : Type ?u.144932
M₃ : Type u_5
N₁ : Type ?u.144938
N₂ : Type ?u.144941
N₃ : Type ?u.144944
ι : Type ?u.144947
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module S M₃
σ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f g : M →ₛₗ[σ] M₃
F : Type u_1
h : F
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
c : R
s : Set M
z : M
hz : z ∈ s
⊢ (fun x => ↑σ c • x) (↑h z) ∈ ↑h '' (c • s)