Theorem: Besicovitch.exists_disjoint_closedBall_covering_ae_of_finiteMeasure_aux
File: Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean

tactic: rcases HasBesicovitchCovering.no_satelliteConfig (α := α) with ⟨N, τ, hτ, hN⟩
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
⊢ ∃ t,
    Set.Countable t ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧
        (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd) = 0 ∧
            PairwiseDisjoint t fun p => closedBall p.fst p.snd

tactic: let P : Finset (α × ℝ) → Prop := fun t =>
  ((t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧
    (∀ p : α × ℝ, p ∈ t → p.1 ∈ s) ∧ ∀ p : α × ℝ, p ∈ t → p.2 ∈ f p.1
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
⊢ ∃ t,
    Set.Countable t ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧
        (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd) = 0 ∧
            PairwiseDisjoint t fun p => closedBall p.fst p.snd

tactic: choose! F hF using this
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
this :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      ∃ u,
        t ⊆ u ∧
          P u ∧
            ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u), closedBall p.fst p.snd) ≤
              ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
⊢ ∃ t,
    Set.Countable t ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧
        (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd) = 0 ∧
            PairwiseDisjoint t fun p => closedBall p.fst p.snd

tactic: let u n := (F^[n]) ∅
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
⊢ ∃ t,
    Set.Countable t ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧
        (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd) = 0 ∧
            PairwiseDisjoint t fun p => closedBall p.fst p.snd

tactic: have u_succ : ∀ n : ℕ, u n.succ = F (u n) := fun n => by
  simp only [Function.comp_apply, Function.iterate_succ']
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
⊢ ∃ t,
    Set.Countable t ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧
        (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd) = 0 ∧
            PairwiseDisjoint t fun p => closedBall p.fst p.snd

tactic: refine' ⟨⋃ n, u n, countable_iUnion fun n => (u n).countable_toSet, _, _, _, _⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ ∃ t,
    Set.Countable t ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧
        (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd) = 0 ∧
            PairwiseDisjoint t fun p => closedBall p.fst p.snd

tactic: intro t ht
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
⊢ ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      ∃ u,
        t ⊆ u ∧
          P u ∧
            ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u), closedBall p.fst p.snd) ≤
              ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)

tactic: set B := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.1 p.2 with hB
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
⊢ ∃ u,
    t ⊆ u ∧
      P u ∧
        ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u), closedBall p.fst p.snd) ≤
          ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)

tactic: have B_closed : IsClosed B :=
  isClosed_biUnion (Finset.finite_toSet _) fun i _ => isClosed_ball
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
⊢ ∃ u, t ⊆ u ∧ P u ∧ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u), closedBall p.fst p.snd) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ B)

tactic: set s' := s \ B
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
⊢ ∃ u, t ⊆ u ∧ P u ∧ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u), closedBall p.fst p.snd) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ B)

tactic: choose! r hr using this
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
this : ∀ (x : α), x ∈ s' → ∃ r, r ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x r)
⊢ ∃ u, t ⊆ u ∧ P u ∧ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u), closedBall p.fst p.snd) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'

tactic: obtain ⟨v, vs', hμv, hv⟩ :
  ∃ v : Finset α,
    ↑v ⊆ s' ∧
      μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ N / (N + 1) * μ s' ∧
        (v : Set α).PairwiseDisjoint fun x : α => closedBall x (r x) :=
  haveI rI : ∀ x ∈ s', r x ∈ Ioo (0 : ℝ) 1 := fun x hx => (hr x hx).1.2
  exist_finset_disjoint_balls_large_measure μ hτ hN s' r (fun x hx => (rI x hx).1) fun x hx =>
    (rI x hx).2.le
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
⊢ ∃ u, t ⊆ u ∧ P u ∧ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u), closedBall p.fst p.snd) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'

tactic: refine' ⟨t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v, Finset.subset_union_left _ _, ⟨_, _, _⟩, _⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ?m.366630 v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
⊢ ∃ u, t ⊆ u ∧ P u ∧ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u), closedBall p.fst p.snd) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'

tactic: intro x hx
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
⊢ ∀ (x : α), x ∈ s' → ∃ r, r ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x r)

tactic: have xs : x ∈ s := ((mem_diff x).1 hx).1
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
x : α
hx : x ∈ s'
⊢ ∃ r, r ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x r)

tactic: rcases eq_empty_or_nonempty B with (hB | hB)
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
x : α
hx : x ∈ s'
xs : x ∈ s
⊢ ∃ r, r ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x r)

tactic: rcases hf x xs 1 zero_lt_one with ⟨r, hr, h'r⟩
state_before: case inl
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB✝ : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
x : α
hx : x ∈ s'
xs : x ∈ s
hB : B = ∅
⊢ ∃ r, r ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x r)

tactic: exact ⟨r, ⟨hr, h'r⟩, by simp only [hB, empty_disjoint]⟩
state_before: case inl.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB✝ : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
x : α
hx : x ∈ s'
xs : x ∈ s
hB : B = ∅
r : ℝ
hr : r ∈ f x
h'r : r ∈ Ioo 0 1
⊢ ∃ r, r ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x r)

tactic: simp only [hB, empty_disjoint]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB✝ : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
x : α
hx : x ∈ s'
xs : x ∈ s
hB : B = ∅
r : ℝ
hr : r ∈ f x
h'r : r ∈ Ioo 0 1
⊢ Disjoint B (closedBall x r)

tactic: let r := infDist x B
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB✝ : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
x : α
hx : x ∈ s'
xs : x ∈ s
hB : Set.Nonempty B
⊢ ∃ r, r ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x r)

tactic: have : 0 < min r 1 :=
  lt_min ((B_closed.not_mem_iff_infDist_pos hB).1 ((mem_diff x).1 hx).2) zero_lt_one
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB✝ : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
x : α
hx : x ∈ s'
xs : x ∈ s
hB : Set.Nonempty B
r : ℝ := infDist x B
⊢ ∃ r, r ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x r)

tactic: rcases hf x xs _ this with ⟨r, hr, h'r⟩
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB✝ : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
x : α
hx : x ∈ s'
xs : x ∈ s
hB : Set.Nonempty B
r : ℝ := infDist x B
this : 0 < min r 1
⊢ ∃ r, r ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x r)

tactic: refine' ⟨r, ⟨hr, ⟨h'r.1, h'r.2.trans_le (min_le_right _ _)⟩⟩, _⟩
state_before: case inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB✝ : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
x : α
hx : x ∈ s'
xs : x ∈ s
hB : Set.Nonempty B
r✝ : ℝ := infDist x B
this : 0 < min r✝ 1
r : ℝ
hr : r ∈ f x
h'r : r ∈ Ioo 0 (min r✝ 1)
⊢ ∃ r, r ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x r)

tactic: rw [disjoint_comm]
state_before: case inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB✝ : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
x : α
hx : x ∈ s'
xs : x ∈ s
hB : Set.Nonempty B
r✝ : ℝ := infDist x B
this : 0 < min r✝ 1
r : ℝ
hr : r ∈ f x
h'r : r ∈ Ioo 0 (min r✝ 1)
⊢ Disjoint B (closedBall x r)

tactic: exact disjoint_closedBall_of_lt_infDist (h'r.2.trans_le (min_le_left _ _))
state_before: case inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB✝ : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
x : α
hx : x ∈ s'
xs : x ∈ s
hB : Set.Nonempty B
r✝ : ℝ := infDist x B
this : 0 < min r✝ 1
r : ℝ
hr : r ∈ f x
h'r : r ∈ Ioo 0 (min r✝ 1)
⊢ Disjoint (closedBall x r) B

tactic: simp only [Finset.coe_union, pairwiseDisjoint_union, ht.1, true_and_iff, Finset.coe_image]
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
⊢ PairwiseDisjoint ↑(t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v) fun p => closedBall p.fst p.snd

tactic: constructor
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
⊢ (PairwiseDisjoint ((fun x => (x, r x)) '' ↑v) fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
    ∀ ⦃i : α × ℝ⦄,
      i ∈ ↑t →
        ∀ ⦃j : α × ℝ⦄,
          j ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v → i ≠ j → Disjoint (closedBall i.fst i.snd) (closedBall j.fst j.snd)

tactic: intro p hp q hq hpq
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1.left
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
⊢ PairwiseDisjoint ((fun x => (x, r x)) '' ↑v) fun p => closedBall p.fst p.snd

tactic: rcases(mem_image _ _ _).1 hp with ⟨p', p'v, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1.left
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
q : α × ℝ
hq : q ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
hpq : p ≠ q
⊢ (Disjoint on fun p => closedBall p.fst p.snd) p q

tactic: rcases(mem_image _ _ _).1 hq with ⟨q', q'v, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1.left.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
q : α × ℝ
hq : q ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
p' : α
p'v : p' ∈ ↑v
hp : (p', r p') ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
hpq : (p', r p') ≠ q
⊢ (Disjoint on fun p => closedBall p.fst p.snd) (p', r p') q

tactic: refine' hv p'v q'v fun hp'q' => _
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1.left.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ ↑v
hp : (p', r p') ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
q' : α
q'v : q' ∈ ↑v
hq : (q', r q') ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
hpq : (p', r p') ≠ (q', r q')
⊢ (Disjoint on fun p => closedBall p.fst p.snd) (p', r p') (q', r q')

tactic: rw [hp'q'] at hpq
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1.left.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ ↑v
hp : (p', r p') ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
q' : α
q'v : q' ∈ ↑v
hq : (q', r q') ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
hpq : (p', r p') ≠ (q', r q')
hp'q' : p' = (q', r q').fst
⊢ False

tactic: exact hpq rfl
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1.left.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ ↑v
hp : (p', r p') ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
q' : α
q'v : q' ∈ ↑v
hq : (q', r q') ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
hpq : ((q', r q').fst, r (q', r q').fst) ≠ (q', r q')
hp'q' : p' = (q', r q').fst
⊢ False

tactic: intro p hp q hq hpq
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1.right
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
⊢ ∀ ⦃i : α × ℝ⦄,
    i ∈ ↑t →
      ∀ ⦃j : α × ℝ⦄, j ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v → i ≠ j → Disjoint (closedBall i.fst i.snd) (closedBall j.fst j.snd)

tactic: rcases(mem_image _ _ _).1 hq with ⟨q', q'v, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1.right
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ ↑t
q : α × ℝ
hq : q ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
hpq : p ≠ q
⊢ Disjoint (closedBall p.fst p.snd) (closedBall q.fst q.snd)

tactic: apply disjoint_of_subset_left _ (hr q' (vs' q'v)).2
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1.right.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ ↑t
q' : α
q'v : q' ∈ ↑v
hq : (q', r q') ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
hpq : p ≠ (q', r q')
⊢ Disjoint (closedBall p.fst p.snd) (closedBall (q', r q').fst (q', r q').snd)

tactic: rw [hB, ← Finset.set_biUnion_coe]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ ↑t
q' : α
q'v : q' ∈ ↑v
hq : (q', r q') ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
hpq : p ≠ (q', r q')
⊢ closedBall p.fst p.snd ⊆ B

tactic: exact subset_biUnion_of_mem (u := fun x : α × ℝ => closedBall x.1 x.2) hp
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ ↑t
q' : α
q'v : q' ∈ ↑v
hq : (q', r q') ∈ (fun x => (x, r x)) '' ↑v
hpq : p ≠ (q', r q')
⊢ closedBall p.fst p.snd ⊆ ⋃ (x : α × ℝ) (_ : x ∈ ↑t), closedBall x.fst x.snd

tactic: intro p hp
state_before: case intro.intro.intro.refine'_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
⊢ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v → p.fst ∈ s

tactic: rcases Finset.mem_union.1 hp with (h'p | h'p)
state_before: case intro.intro.intro.refine'_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v
⊢ p.fst ∈ s

tactic: exact ht.2.1 p h'p
state_before: case intro.intro.intro.refine'_2.inl
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v
h'p : p ∈ t
⊢ p.fst ∈ s

tactic: rcases Finset.mem_image.1 h'p with ⟨p', p'v, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.refine'_2.inr
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v
h'p : p ∈ Finset.image (fun x => (x, r x)) v
⊢ p.fst ∈ s

tactic: exact ((mem_diff _).1 (vs' (Finset.mem_coe.2 p'v))).1
state_before: case intro.intro.intro.refine'_2.inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ v
hp : (p', r p') ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v
h'p : (p', r p') ∈ Finset.image (fun x => (x, r x)) v
⊢ (p', r p').fst ∈ s

tactic: intro p hp
state_before: case intro.intro.intro.refine'_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
⊢ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v → p.snd ∈ f p.fst

tactic: rcases Finset.mem_union.1 hp with (h'p | h'p)
state_before: case intro.intro.intro.refine'_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v
⊢ p.snd ∈ f p.fst

tactic: exact ht.2.2 p h'p
state_before: case intro.intro.intro.refine'_3.inl
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v
h'p : p ∈ t
⊢ p.snd ∈ f p.fst

tactic: rcases Finset.mem_image.1 h'p with ⟨p', p'v, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.refine'_3.inr
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v
h'p : p ∈ Finset.image (fun x => (x, r x)) v
⊢ p.snd ∈ f p.fst

tactic: exact (hr p' (vs' p'v)).1.1
state_before: case intro.intro.intro.refine'_3.inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ v
hp : (p', r p') ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v
h'p : (p', r p') ∈ Finset.image (fun x => (x, r x)) v
⊢ (p', r p').snd ∈ f (p', r p').fst

tactic: convert hμv using 2
state_before: case intro.intro.intro.refine'_4
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v), closedBall p.fst p.snd) ≤
    ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'

tactic: rw [Finset.set_biUnion_union, ← diff_diff, Finset.set_biUnion_finset_image]
state_before: case h.e'_3.h.e'_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
hB : B = ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ (x : α), x ∈ s' → r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : ↑↑μ (s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s'
hv : PairwiseDisjoint ↑v fun x => closedBall x (r x)
⊢ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v), closedBall p.fst p.snd) =
    s' \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ v), closedBall x (r x)

tactic: simp only [Function.comp_apply, Function.iterate_succ']
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
n : ℕ
⊢ u (Nat.succ n) = F (u n)

tactic: intro n
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
⊢ ∀ (n : ℕ), P (u n)

tactic: induction' n with n IH
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
n : ℕ
⊢ P (u n)

tactic: simp only [Prod.forall, id.def, Function.iterate_zero, Nat.zero_eq]
state_before: case zero
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
⊢ P (u Nat.zero)

tactic: simp only [Finset.not_mem_empty, IsEmpty.forall_iff, Finset.coe_empty, forall₂_true_iff,
  and_self_iff, pairwiseDisjoint_empty]
state_before: case zero
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
⊢ (PairwiseDisjoint ↑∅ fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
    (∀ (a : α) (b : ℝ), (a, b) ∈ ∅ → a ∈ s) ∧ ∀ (a : α) (b : ℝ), (a, b) ∈ ∅ → b ∈ f a

tactic: rw [u_succ]
state_before: case succ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
n : ℕ
IH : P (u n)
⊢ P (u (Nat.succ n))

tactic: exact (hF (u n) IH).2.1
state_before: case succ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
n : ℕ
IH : P (u n)
⊢ P (F (u n))

tactic: intro p hp
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ ∀ (p : α × ℝ), (p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)) → p.fst ∈ s

tactic: rcases mem_iUnion.1 hp with ⟨n, hn⟩
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
p : α × ℝ
hp : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)
⊢ p.fst ∈ s

tactic: exact (Pu n).2.1 p (Finset.mem_coe.1 hn)
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
p : α × ℝ
hp : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)
n : ℕ
hn : p ∈ ↑(u n)
⊢ p.fst ∈ s

tactic: intro p hp
state_before: case intro.intro.intro.refine'_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ ∀ (p : α × ℝ), (p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)) → p.snd ∈ f p.fst

tactic: rcases mem_iUnion.1 hp with ⟨n, hn⟩
state_before: case intro.intro.intro.refine'_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
p : α × ℝ
hp : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)
⊢ p.snd ∈ f p.fst

tactic: exact (Pu n).2.2 p (Finset.mem_coe.1 hn)
state_before: case intro.intro.intro.refine'_2.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
p : α × ℝ
hp : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)
n : ℕ
hn : p ∈ ↑(u n)
⊢ p.snd ∈ f p.fst

tactic: have A :
  ∀ n,
    μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ n : ℕ, (u n : Set (α × ℝ))), closedBall p.fst p.snd) ≤
      μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) := by
  intro n
  apply measure_mono
  apply diff_subset_diff (Subset.refl _)
  exact biUnion_subset_biUnion_left (subset_iUnion (fun i => (u i : Set (α × ℝ))) n)
state_before: case intro.intro.intro.refine'_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) = 0

tactic: rw [MulZeroClass.zero_mul] at C
state_before: case intro.intro.intro.refine'_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
B : ∀ (n : ℕ), ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
C : Tendsto (fun n => (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s) atTop (𝓝 (0 * ↑↑μ s))
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) = 0

tactic: apply le_bot_iff.1
state_before: case intro.intro.intro.refine'_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
B : ∀ (n : ℕ), ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
C : Tendsto (fun n => (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s) atTop (𝓝 0)
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) = 0

tactic: exact le_of_tendsto_of_tendsto' tendsto_const_nhds C fun n => (A n).trans (B n)
state_before: case intro.intro.intro.refine'_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
B : ∀ (n : ℕ), ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
C : Tendsto (fun n => (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s) atTop (𝓝 0)
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤ ⊥

tactic: intro n
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)

tactic: apply measure_mono
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
n : ℕ
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)

tactic: apply diff_subset_diff (Subset.refl _)
state_before: case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
n : ℕ
⊢ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ⊆
    s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd

tactic: exact biUnion_subset_biUnion_left (subset_iUnion (fun i => (u i : Set (α × ℝ))) n)
state_before: case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
n : ℕ
⊢ (⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ⊆
    ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd

tactic: intro n
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
⊢ ∀ (n : ℕ), ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s

tactic: induction' n with n IH
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
n : ℕ
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s

tactic: calc
  μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n.succ), closedBall p.fst p.snd) ≤
      N / (N + 1) * μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) := by
    rw [u_succ]; exact (hF (u n) (Pu n)).2.2
  _ ≤ (N / (N + 1) : ℝ≥0∞) ^ n.succ * μ s := by
    rw [pow_succ, mul_assoc]; exact mul_le_mul_left' IH _
state_before: case succ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
n : ℕ
IH : ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u (Nat.succ n)), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ Nat.succ n * ↑↑μ s

tactic: simp only [le_refl, diff_empty, one_mul, iUnion_false, iUnion_empty, pow_zero, Nat.zero_eq,
  Function.iterate_zero, id.def, Finset.not_mem_empty]
state_before: case zero
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u Nat.zero), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ Nat.zero * ↑↑μ s

tactic: rw [u_succ]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
n : ℕ
IH : ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u (Nat.succ n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
    ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)

tactic: exact (hF (u n) (Pu n)).2.2
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
n : ℕ
IH : ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F (u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
    ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)

tactic: rw [pow_succ, mul_assoc]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
n : ℕ
IH : ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
⊢ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ Nat.succ n * ↑↑μ s

tactic: exact mul_le_mul_left' IH _
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
n : ℕ
IH : ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
⊢ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤
    ↑N / (↑N + 1) * ((↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s)

tactic: apply ENNReal.Tendsto.mul_const _ (Or.inr (measure_lt_top μ s).ne)
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
B : ∀ (n : ℕ), ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
⊢ Tendsto (fun n => (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s) atTop (𝓝 (0 * ↑↑μ s))

tactic: apply ENNReal.tendsto_pow_atTop_nhds_0_of_lt_1
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
B : ∀ (n : ℕ), ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
⊢ Tendsto (fun x => (↑N / (↑N + 1)) ^ x) atTop (𝓝 0)

tactic: rw [ENNReal.div_lt_iff, one_mul]
state_before: case hr
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
B : ∀ (n : ℕ), ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
⊢ ↑N / (↑N + 1) < 1

tactic: conv_lhs => rw [← add_zero (N : ℝ≥0∞)]
state_before: case hr
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
B : ∀ (n : ℕ), ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
⊢ ↑N < ↑N + 1

tactic: exact ENNReal.add_lt_add_left (ENNReal.nat_ne_top N) zero_lt_one
state_before: case hr
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
B : ∀ (n : ℕ), ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
⊢ ↑N + 0 < ↑N + 1

tactic: simp only [true_or_iff, add_eq_zero_iff, Ne.def, not_false_iff, one_ne_zero, and_false_iff]
state_before: case hr.h0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
B : ∀ (n : ℕ), ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
⊢ ↑N + 1 ≠ 0 ∨ ↑N ≠ 0

tactic: simp only [ENNReal.nat_ne_top, Ne.def, not_false_iff, or_true_iff]
state_before: case hr.ht
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ (n : ℕ), ↑(u n)), closedBall p.fst p.snd) ≤
      ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd)
B : ∀ (n : ℕ), ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * ↑↑μ s
⊢ ↑N + 1 ≠ ⊤ ∨ ↑N ≠ ⊤

tactic: refine' (pairwiseDisjoint_iUnion _).2 fun n => (Pu n).1
state_before: case intro.intro.intro.refine'_4
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ PairwiseDisjoint (⋃ (n : ℕ), ↑(u n)) fun p => closedBall p.fst p.snd

tactic: apply (monotone_nat_of_le_succ fun n => ?_).directed_le
state_before: case intro.intro.intro.refine'_4
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun n => ↑(u n)

tactic: rw [← Nat.succ_eq_add_one, u_succ]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
n : ℕ
⊢ ↑(u n) ≤ ↑(u (n + 1))

tactic: exact (hF (u n) (Pu n)).1
state_before: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t =>
    (PairwiseDisjoint ↑t fun p => closedBall p.fst p.snd) ∧
      (∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.fst ∈ s) ∧ ∀ (p : α × ℝ), p ∈ t → p.snd ∈ f p.fst
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ F t), closedBall p.fst p.snd) ≤
            ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.fst p.snd)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => (F^[n]) ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u (Nat.succ n) = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
n : ℕ
⊢ ↑(u n) ≤ ↑(F (u n))