Theorem: ae_eq_const_or_norm_integral_lt_of_norm_le_const
File: Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean

tactic: cases' eq_or_ne μ 0 with h₀ h₀
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2569720
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑μ univ) * C

tactic: have hμ : 0 < (μ univ).toReal := by
  simp [ENNReal.toReal_pos_iff, pos_iff_ne_zero, h₀, measure_lt_top]
state_before: case inr
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2569720
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑μ univ) * C

tactic: refine' (ae_eq_const_or_norm_average_lt_of_norm_le_const h_le).imp_right fun H => _
state_before: case inr
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2569720
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
hμ : 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ univ)
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑μ univ) * C

tactic: rwa [average_eq, norm_smul, norm_inv, Real.norm_eq_abs, abs_of_pos hμ, ← div_eq_inv_mul,
  div_lt_iff' hμ] at H
state_before: case inr
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2569720
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
hμ : 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ univ)
H : ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
⊢ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑μ univ) * C

tactic: left
state_before: case inl
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2569720
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑μ univ) * C

tactic: simp [h₀, EventuallyEq]
state_before: case inl.h
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2569720
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ)

tactic: simp [ENNReal.toReal_pos_iff, pos_iff_ne_zero, h₀, measure_lt_top]
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2569720
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
⊢ 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ univ)