Theorem: PadicInt.nthHomSeq_one
File: Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean

tactic: intro ε hε
state_before: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
⊢ nthHomSeq f_compat 1 ≈ 1

tactic: change _ < _ at hε
state_before: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ (j : ℕ), j ≥ i → padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε

tactic: use 1
state_before: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ i, ∀ (j : ℕ), j ≥ i → padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε

tactic: intro j hj
state_before: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
⊢ ∀ (j : ℕ), j ≥ 1 → padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε

tactic: haveI : Fact (1 < p ^ j) := ⟨Nat.one_lt_pow _ _ (by linarith) hp_prime.1.one_lt⟩
state_before: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1
⊢ padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε

tactic: suffices ((1 : ZMod (p ^ j)) : ℚ) = 1 by simp [nthHomSeq, nthHom, this, hε]
state_before: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1
this : Fact (1 < p ^ j)
⊢ padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε

tactic: rw [ZMod.cast_eq_val, ZMod.val_one, Nat.cast_one]
state_before: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1
this : Fact (1 < p ^ j)
⊢ ↑1 = 1

tactic: linarith
state_before: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1
⊢ 0 < j

tactic: simp [nthHomSeq, nthHom, this, hε]
state_before: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1
this✝ : Fact (1 < p ^ j)
this : ↑1 = 1
⊢ padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε