Theorem: Convex.mem_Ioc
File: Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean

tactic: refine' ⟨fun hz => _, _⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type ?u.296186
F : Type ?u.296189
G : Type ?u.296192
ι : Type ?u.296195
π : ι → Type ?u.296200
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
h : x < y
⊢ z ∈ Ioc x y ↔ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 < b ∧ a + b = 1 ∧ a * x + b * y = z

tactic: obtain ⟨a, b, ha, hb, hab, rfl⟩ := (Convex.mem_Icc h.le).1 (Ioc_subset_Icc_self hz)
state_before: case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type ?u.296186
F : Type ?u.296189
G : Type ?u.296192
ι : Type ?u.296195
π : ι → Type ?u.296200
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
h : x < y
hz : z ∈ Ioc x y
⊢ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 < b ∧ a + b = 1 ∧ a * x + b * y = z

tactic: obtain rfl | hb' := hb.eq_or_lt
state_before: case refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type ?u.296186
F : Type ?u.296189
G : Type ?u.296192
ι : Type ?u.296195
π : ι → Type ?u.296200
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hz : a * x + b * y ∈ Ioc x y
⊢ ∃ a_1 b_1, 0 ≤ a_1 ∧ 0 < b_1 ∧ a_1 + b_1 = 1 ∧ a_1 * x + b_1 * y = a * x + b * y

tactic: rw [add_zero] at hab
state_before: case refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type ?u.296186
F : Type ?u.296189
G : Type ?u.296192
ι : Type ?u.296195
π : ι → Type ?u.296200
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
a : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ 0
hab : a + 0 = 1
hz : a * x + 0 * y ∈ Ioc x y
⊢ ∃ a_1 b, 0 ≤ a_1 ∧ 0 < b ∧ a_1 + b = 1 ∧ a_1 * x + b * y = a * x + 0 * y

tactic: rw [hab, one_mul, MulZeroClass.zero_mul, add_zero] at hz
state_before: case refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type ?u.296186
F : Type ?u.296189
G : Type ?u.296192
ι : Type ?u.296195
π : ι → Type ?u.296200
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
a : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ 0
hab : a = 1
hz : a * x + 0 * y ∈ Ioc x y
⊢ ∃ a_1 b, 0 ≤ a_1 ∧ 0 < b ∧ a_1 + b = 1 ∧ a_1 * x + b * y = a * x + 0 * y

tactic: exact (hz.1.ne rfl).elim
state_before: case refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type ?u.296186
F : Type ?u.296189
G : Type ?u.296192
ι : Type ?u.296195
π : ι → Type ?u.296200
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
a : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ 0
hab : a = 1
hz : x ∈ Ioc x y
⊢ ∃ a_1 b, 0 ≤ a_1 ∧ 0 < b ∧ a_1 + b = 1 ∧ a_1 * x + b * y = a * x + 0 * y

tactic: exact ⟨a, b, ha, hb', hab, rfl⟩
state_before: case refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type ?u.296186
F : Type ?u.296189
G : Type ?u.296192
ι : Type ?u.296195
π : ι → Type ?u.296200
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hz : a * x + b * y ∈ Ioc x y
hb' : 0 < b
⊢ ∃ a_1 b_1, 0 ≤ a_1 ∧ 0 < b_1 ∧ a_1 + b_1 = 1 ∧ a_1 * x + b_1 * y = a * x + b * y

tactic: rintro ⟨a, b, ha, hb, hab, rfl⟩
state_before: case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type ?u.296186
F : Type ?u.296189
G : Type ?u.296192
ι : Type ?u.296195
π : ι → Type ?u.296200
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
h : x < y
⊢ (∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 < b ∧ a + b = 1 ∧ a * x + b * y = z) → z ∈ Ioc x y

tactic: obtain rfl | ha' := ha.eq_or_lt
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type ?u.296186
F : Type ?u.296189
G : Type ?u.296192
ι : Type ?u.296195
π : ι → Type ?u.296200
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a * x + b * y ∈ Ioc x y

tactic: rw [zero_add] at hab
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type ?u.296186
F : Type ?u.296189
G : Type ?u.296192
ι : Type ?u.296195
π : ι → Type ?u.296200
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
b : 𝕜
hb : 0 < b
ha : 0 ≤ 0
hab : 0 + b = 1
⊢ 0 * x + b * y ∈ Ioc x y

tactic: rwa [hab, one_mul, MulZeroClass.zero_mul, zero_add, right_mem_Ioc]
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type ?u.296186
F : Type ?u.296189
G : Type ?u.296192
ι : Type ?u.296195
π : ι → Type ?u.296200
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
b : 𝕜
hb : 0 < b
ha : 0 ≤ 0
hab : b = 1
⊢ 0 * x + b * y ∈ Ioc x y

tactic: exact Ioo_subset_Ioc_self ((Convex.mem_Ioo h).2 ⟨a, b, ha', hb, hab, rfl⟩)
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type ?u.296186
F : Type ?u.296189
G : Type ?u.296192
ι : Type ?u.296195
π : ι → Type ?u.296200
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
ha' : 0 < a
⊢ a * x + b * y ∈ Ioc x y