Theorem: HasStrictFDerivAt.map_nhds_eq_of_surj
File: Mathlib/Analysis/Calculus/Inverse.lean

tactic: let f'symm := f'.nonlinearRightInverseOfSurjective h
state_before: 𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.515211
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.515314
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
⊢ map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)

tactic: set c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2 with hc
state_before: 𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.515211
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.515314
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f' := ContinuousLinearMap.nonlinearRightInverseOfSurjective f' h
⊢ map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)

tactic: have f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm := f'.nonlinearRightInverseOfSurjective_nnnorm_pos h
state_before: 𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.515211
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.515314
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f' := ContinuousLinearMap.nonlinearRightInverseOfSurjective f' h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
⊢ map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)

tactic: have cpos : 0 < c := by simp [hc, half_pos, inv_pos, f'symm_pos]
state_before: 𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.515211
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.515314
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f' := ContinuousLinearMap.nonlinearRightInverseOfSurjective f' h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm
⊢ map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)

tactic: obtain ⟨s, s_nhds, hs⟩ : ∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f f' s c :=
  hf.approximates_deriv_on_nhds (Or.inr cpos)
state_before: 𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.515211
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.515314
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f' := ContinuousLinearMap.nonlinearRightInverseOfSurjective f' h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm
cpos : 0 < c
⊢ map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)

tactic: apply hs.map_nhds_eq f'symm s_nhds (Or.inr (NNReal.half_lt_self _))
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.515211
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.515314
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f' := ContinuousLinearMap.nonlinearRightInverseOfSurjective f' h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm
cpos : 0 < c
s : Set E
s_nhds : s ∈ 𝓝 a
hs : ApproximatesLinearOn f f' s c
⊢ map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)

tactic: simp [ne_of_gt f'symm_pos]
state_before: 𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.515211
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.515314
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f' := ContinuousLinearMap.nonlinearRightInverseOfSurjective f' h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm
cpos : 0 < c
s : Set E
s_nhds : s ∈ 𝓝 a
hs : ApproximatesLinearOn f f' s c
⊢ f'symm.nnnorm⁻¹ ≠ 0

tactic: simp [hc, half_pos, inv_pos, f'symm_pos]
state_before: 𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.515211
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.515314
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f' := ContinuousLinearMap.nonlinearRightInverseOfSurjective f' h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm
⊢ 0 < c