Theorem: convexHull_eq
File: Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean

tactic: refine' Subset.antisymm (convexHull_min _ _) _
state_before: R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι : Type ?u.208489
ι' : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
⊢ ↑(convexHull R).toOrderHom s = {x | ∃ ι t w z x_1 x_2 x_3, centerMass t w z = x}

tactic: intro x hx
state_before: case refine'_1
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι : Type ?u.208489
ι' : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
⊢ s ⊆ {x | ∃ ι t w z x_1 x_2 x_3, centerMass t w z = x}

tactic: use PUnit, {PUnit.unit}, fun _ => 1, fun _ => x, fun _ _ => zero_le_one, Finset.sum_singleton,
  fun _ _ => hx
state_before: case refine'_1
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι : Type ?u.208489
ι' : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ {x | ∃ ι t w z x_1 x_2 x_3, centerMass t w z = x}

tactic: simp only [Finset.centerMass, Finset.sum_singleton, inv_one, one_smul]
state_before: case refine'_1
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι : Type ?u.208489
ι' : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ s
⊢ (centerMass {PUnit.unit} (fun x => 1) fun x_1 => x) = x

tactic: rintro x ⟨ι, sx, wx, zx, hwx₀, hwx₁, hzx, rfl⟩ y ⟨ι', sy, wy, zy, hwy₀, hwy₁, hzy, rfl⟩ a b ha
  hb hab
state_before: case refine'_2
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι : Type ?u.208489
ι' : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
⊢ Convex R {x | ∃ ι t w z x_1 x_2 x_3, centerMass t w z = x}

tactic: rw [Finset.centerMass_segment' _ _ _ _ _ _ hwx₁ hwy₁ _ _ hab]
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι✝ : Type ?u.208489
ι'✝ : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
s : Set E
ι : Type u'
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ (i : ι), i ∈ sx → 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i in sx, wx i = 1
hzx : ∀ (i : ι), i ∈ sx → zx i ∈ s
ι' : Type u'
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i in sy, wy i = 1
hzy : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • centerMass sx wx zx + b • centerMass sy wy zy ∈ {x | ∃ ι t w z x_1 x_2 x_3, centerMass t w z = x}

tactic: refine' ⟨_, _, _, _, _, _, _, rfl⟩
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι✝ : Type ?u.208489
ι'✝ : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
s : Set E
ι : Type u'
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ (i : ι), i ∈ sx → 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i in sx, wx i = 1
hzx : ∀ (i : ι), i ∈ sx → zx i ∈ s
ι' : Type u'
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i in sy, wy i = 1
hzy : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ centerMass (disjSum sx sy) (Sum.elim (fun i => a * wx i) fun j => b * wy j) (Sum.elim zx zy) ∈
    {x | ∃ ι t w z x_1 x_2 x_3, centerMass t w z = x}

tactic: rintro i hi
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι✝ : Type ?u.208489
ι'✝ : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
s : Set E
ι : Type u'
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ (i : ι), i ∈ sx → 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i in sx, wx i = 1
hzx : ∀ (i : ι), i ∈ sx → zx i ∈ s
ι' : Type u'
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i in sy, wy i = 1
hzy : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∀ (i : ι ⊕ ι'), i ∈ disjSum sx sy → 0 ≤ Sum.elim (fun i => a * wx i) (fun j => b * wy j) i

tactic: rw [Finset.mem_disjSum] at hi
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι✝ : Type ?u.208489
ι'✝ : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i✝ j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
s : Set E
ι : Type u'
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ (i : ι), i ∈ sx → 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i in sx, wx i = 1
hzx : ∀ (i : ι), i ∈ sx → zx i ∈ s
ι' : Type u'
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i in sy, wy i = 1
hzy : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
i : ι ⊕ ι'
hi : i ∈ disjSum sx sy
⊢ 0 ≤ Sum.elim (fun i => a * wx i) (fun j => b * wy j) i

tactic: rcases hi with (⟨j, hj, rfl⟩ | ⟨j, hj, rfl⟩) <;> simp only [Sum.elim_inl, Sum.elim_inr] <;>
  apply_rules [mul_nonneg, hwx₀, hwy₀]
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι✝ : Type ?u.208489
ι'✝ : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i✝ j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
s : Set E
ι : Type u'
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ (i : ι), i ∈ sx → 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i in sx, wx i = 1
hzx : ∀ (i : ι), i ∈ sx → zx i ∈ s
ι' : Type u'
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i in sy, wy i = 1
hzy : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
i : ι ⊕ ι'
hi : (∃ a, a ∈ sx ∧ Sum.inl a = i) ∨ ∃ b, b ∈ sy ∧ Sum.inr b = i
⊢ 0 ≤ Sum.elim (fun i => a * wx i) (fun j => b * wy j) i

tactic: simp [Finset.sum_sum_elim, Finset.mul_sum.symm, *]
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι✝ : Type ?u.208489
ι'✝ : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
s : Set E
ι : Type u'
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ (i : ι), i ∈ sx → 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i in sx, wx i = 1
hzx : ∀ (i : ι), i ∈ sx → zx i ∈ s
ι' : Type u'
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i in sy, wy i = 1
hzy : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∑ i in disjSum sx sy, Sum.elim (fun i => a * wx i) (fun j => b * wy j) i = 1

tactic: intro i hi
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι✝ : Type ?u.208489
ι'✝ : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
s : Set E
ι : Type u'
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ (i : ι), i ∈ sx → 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i in sx, wx i = 1
hzx : ∀ (i : ι), i ∈ sx → zx i ∈ s
ι' : Type u'
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i in sy, wy i = 1
hzy : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∀ (i : ι ⊕ ι'), i ∈ disjSum sx sy → Sum.elim zx zy i ∈ s

tactic: rw [Finset.mem_disjSum] at hi
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι✝ : Type ?u.208489
ι'✝ : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i✝ j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
s : Set E
ι : Type u'
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ (i : ι), i ∈ sx → 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i in sx, wx i = 1
hzx : ∀ (i : ι), i ∈ sx → zx i ∈ s
ι' : Type u'
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i in sy, wy i = 1
hzy : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
i : ι ⊕ ι'
hi : i ∈ disjSum sx sy
⊢ Sum.elim zx zy i ∈ s

tactic: rcases hi with (⟨j, hj, rfl⟩ | ⟨j, hj, rfl⟩) <;> apply_rules [hzx, hzy]
state_before: case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι✝ : Type ?u.208489
ι'✝ : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i✝ j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
s : Set E
ι : Type u'
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ (i : ι), i ∈ sx → 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i in sx, wx i = 1
hzx : ∀ (i : ι), i ∈ sx → zx i ∈ s
ι' : Type u'
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i in sy, wy i = 1
hzy : ∀ (i : ι'), i ∈ sy → zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
i : ι ⊕ ι'
hi : (∃ a, a ∈ sx ∧ Sum.inl a = i) ∨ ∃ b, b ∈ sy ∧ Sum.inr b = i
⊢ Sum.elim zx zy i ∈ s

tactic: rintro _ ⟨ι, t, w, z, hw₀, hw₁, hz, rfl⟩
state_before: case refine'_3
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι : Type ?u.208489
ι' : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
⊢ {x | ∃ ι t w z x_1 x_2 x_3, centerMass t w z = x} ⊆ ↑(convexHull R).toOrderHom s

tactic: exact t.centerMass_mem_convexHull hw₀ (hw₁.symm ▸ zero_lt_one) hz
state_before: case refine'_3.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.208486
ι✝ : Type ?u.208489
ι' : Type ?u.208492
α : Type ?u.208495
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t✝ : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z✝ : ι✝ → E
s : Set E
ι : Type u'
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i in t, w i = 1
hz : ∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s
⊢ centerMass t w z ∈ ↑(convexHull R).toOrderHom s