Theorem: FractionalIdeal.map_coeIdeal
File: Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal.lean

tactic: ext x
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_2
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type ?u.551521
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
⊢ map g ↑I = ↑I

tactic: simp only [mem_coeIdeal]
state_before: case a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_2
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type ?u.551521
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
x : P'
⊢ x ∈ map g ↑I ↔ x ∈ ↑I

tactic: constructor
state_before: case a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_2
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type ?u.551521
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
x : P'
⊢ x ∈ map g ↑I ↔ ∃ x', x' ∈ I ∧ ↑(algebraMap R P') x' = x

tactic: rintro ⟨_, ⟨y, hy, rfl⟩, rfl⟩
state_before: case a.mp
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_2
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type ?u.551521
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
x : P'
⊢ x ∈ map g ↑I → ∃ x', x' ∈ I ∧ ↑(algebraMap R P') x' = x

tactic: exact ⟨y, hy, (g.commutes y).symm⟩
state_before: case a.mp.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_2
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type ?u.551521
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
y : R
hy : y ∈ ↑I
⊢ ∃ x', x' ∈ I ∧ ↑(algebraMap R P') x' = ↑(AlgHom.toLinearMap g) (↑(Algebra.linearMap R P) y)

tactic: rintro ⟨y, hy, rfl⟩
state_before: case a.mpr
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_2
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type ?u.551521
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
x : P'
⊢ (∃ x', x' ∈ I ∧ ↑(algebraMap R P') x' = x) → x ∈ map g ↑I

tactic: exact ⟨_, ⟨y, hy, rfl⟩, g.commutes y⟩
state_before: case a.mpr.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_2
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type ?u.551521
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
y : R
hy : y ∈ I
⊢ ↑(algebraMap R P') y ∈ map g ↑I