Theorem: MeasureTheory.integral_mono_measure
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

tactic: have hfi' : Integrable f μ := hfi.mono_measure hle
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.1233993
F : Type ?u.1233996
𝕜 : Type ?u.1233999
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1236690
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᵐ[ν] f
hfi : Integrable f
⊢ (∫ (a : α), f a ∂μ) ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν

tactic: have hf' : 0 ≤ᵐ[μ] f := hle.absolutelyContinuous hf
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.1233993
F : Type ?u.1233996
𝕜 : Type ?u.1233999
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1236690
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᵐ[ν] f
hfi : Integrable f
hfi' : Integrable f
⊢ (∫ (a : α), f a ∂μ) ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν

tactic: rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae hf' hfi'.1, integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae hf hfi.1,
  ENNReal.toReal_le_toReal]
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.1233993
F : Type ?u.1233996
𝕜 : Type ?u.1233999
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1236690
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᵐ[ν] f
hfi : Integrable f
hfi' : Integrable f
hf' : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ (∫ (a : α), f a ∂μ) ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν

tactic: exacts [lintegral_mono' hle le_rfl, ((hasFiniteIntegral_iff_ofReal hf').1 hfi'.2).ne,
  ((hasFiniteIntegral_iff_ofReal hf).1 hfi.2).ne]
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.1233993
F : Type ?u.1233996
𝕜 : Type ?u.1233999
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1236690
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᵐ[ν] f
hfi : Integrable f
hfi' : Integrable f
hf' : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ) ≤ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂ν

case ha
α : Type u_1
E : Type ?u.1233993
F : Type ?u.1233996
𝕜 : Type ?u.1233999
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1236690
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᵐ[ν] f
hfi : Integrable f
hfi' : Integrable f
hf' : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ) ≠ ⊤

case hb
α : Type u_1
E : Type ?u.1233993
F : Type ?u.1233996
𝕜 : Type ?u.1233999
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1236690
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᵐ[ν] f
hfi : Integrable f
hfi' : Integrable f
hf' : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂ν) ≠ ⊤