Theorem: Asymptotics.isBigOWith_of_eq_mul
File: Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean

tactic: simp only [IsBigOWith_def]
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.620541
E : Type ?u.620544
F : Type ?u.620547
G : Type ?u.620550
E' : Type ?u.620553
F' : Type ?u.620556
G' : Type ?u.620559
E'' : Type ?u.620562
F'' : Type ?u.620565
G'' : Type ?u.620568
R : Type ?u.620571
R' : Type ?u.620574
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.620580
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v φ : α → 𝕜
hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c
h : u =ᶠ[l] φ * v
⊢ IsBigOWith c l u v

tactic: refine' h.symm.rw (fun x a => ‖a‖ ≤ c * ‖v x‖) (hφ.mono fun x hx => _)
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.620541
E : Type ?u.620544
F : Type ?u.620547
G : Type ?u.620550
E' : Type ?u.620553
F' : Type ?u.620556
G' : Type ?u.620559
E'' : Type ?u.620562
F'' : Type ?u.620565
G'' : Type ?u.620568
R : Type ?u.620571
R' : Type ?u.620574
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.620580
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v φ : α → 𝕜
hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c
h : u =ᶠ[l] φ * v
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖u x‖ ≤ c * ‖v x‖

tactic: simp only [norm_mul, Pi.mul_apply]
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.620541
E : Type ?u.620544
F : Type ?u.620547
G : Type ?u.620550
E' : Type ?u.620553
F' : Type ?u.620556
G' : Type ?u.620559
E'' : Type ?u.620562
F'' : Type ?u.620565
G'' : Type ?u.620568
R : Type ?u.620571
R' : Type ?u.620574
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.620580
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v φ : α → 𝕜
hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c
h : u =ᶠ[l] φ * v
x : α
hx : ‖φ x‖ ≤ c
⊢ (fun x a => ‖a‖ ≤ c * ‖v x‖) x ((φ * v) x)

tactic: gcongr
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.620541
E : Type ?u.620544
F : Type ?u.620547
G : Type ?u.620550
E' : Type ?u.620553
F' : Type ?u.620556
G' : Type ?u.620559
E'' : Type ?u.620562
F'' : Type ?u.620565
G'' : Type ?u.620568
R : Type ?u.620571
R' : Type ?u.620574
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.620580
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v φ : α → 𝕜
hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c
h : u =ᶠ[l] φ * v
x : α
hx : ‖φ x‖ ≤ c
⊢ ‖φ x‖ * ‖v x‖ ≤ c * ‖v x‖