Theorem: ContinuousMultilinearMap.norm_mkPiAlgebra_of_empty
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear.lean

tactic: apply le_antisymm
state_before: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : IsEmpty ι
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = ‖1‖

tactic: have := fun f => @op_norm_le_bound 𝕜 ι (fun _ => A) A _ _ _ _ _ _ f _ (norm_nonneg (1 : A))
state_before: case a
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : IsEmpty ι
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ ≤ ‖1‖

tactic: refine' this _ _
state_before: case a
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : IsEmpty ι
this : ∀ (f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => A) A), (∀ (m : ι → A), ‖↑f m‖ ≤ ‖1‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) → ‖f‖ ≤ ‖1‖
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ ≤ ‖1‖

tactic: simp
state_before: case a
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : IsEmpty ι
this : ∀ (f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => A) A), (∀ (m : ι → A), ‖↑f m‖ ≤ ‖1‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) → ‖f‖ ≤ ‖1‖
⊢ ∀ (m : ι → A), ‖↑(ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A) m‖ ≤ ‖1‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: convert ratio_le_op_norm (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A) fun _ => (1 : A)
state_before: case a
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : IsEmpty ι
⊢ ‖1‖ ≤ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖

tactic: simp [eq_empty_of_isEmpty (univ : Finset ι)]
state_before: case h.e'_3
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : IsEmpty ι
⊢ ‖1‖ = ‖↑(ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A) fun x => 1‖ / ∏ i : ι, ‖1‖