Theorem: Qpf.has_good_supp_iff
File: Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean

tactic: constructor
state_before: F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
⊢ (∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u) ↔
    ∃ a f,
      abs { fst := a, snd := f } = x ∧
        ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ

tactic: rintro ⟨a, f, xeq, h⟩ p
state_before: case mpr
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
⊢ (∃ a f,
      abs { fst := a, snd := f } = x ∧
        ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ) →
    ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u

tactic: rw [liftp_iff]
state_before: case mpr.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u

tactic: constructor
state_before: case mpr.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ (∃ a f, x = abs { fst := a, snd := f } ∧ ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), p (f i)) ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u

tactic: intro h'
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ (∀ (u : α), u ∈ supp x → p u) → ∃ a f, x = abs { fst := a, snd := f } ∧ ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), p (f i)

tactic: refine' ⟨a, f, xeq.symm, _⟩
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
⊢ ∃ a f, x = abs { fst := a, snd := f } ∧ ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), p (f i)

tactic: intro i
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
⊢ ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), p (f i)

tactic: apply h'
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
i : PFunctor.B (P F) a
⊢ p (f i)

tactic: rw [mem_supp]
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr.a
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
i : PFunctor.B (P F) a
⊢ f i ∈ supp x

tactic: intro a' f' xeq'
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr.a
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
i : PFunctor.B (P F) a
⊢ ∀ (a : (P F).A) (f_1 : PFunctor.B (P F) a → α), abs { fst := a, snd := f_1 } = x → f i ∈ f_1 '' univ

tactic: apply h a' f' xeq'
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr.a
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
i : PFunctor.B (P F) a
a' : (P F).A
f' : PFunctor.B (P F) a' → α
xeq' : abs { fst := a', snd := f' } = x
⊢ f i ∈ f' '' univ

tactic: apply mem_image_of_mem _ (mem_univ _)
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr.a.a
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
i : PFunctor.B (P F) a
a' : (P F).A
f' : PFunctor.B (P F) a' → α
xeq' : abs { fst := a', snd := f' } = x
⊢ f i ∈ f '' univ

tactic: intro h
state_before: case mp
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
⊢ (∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u) →
    ∃ a f,
      abs { fst := a, snd := f } = x ∧
        ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ

tactic: have : Liftp (supp x) x := by rw [h]; intro u; exact id
state_before: case mp
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
⊢ ∃ a f,
    abs { fst := a, snd := f } = x ∧
      ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ

tactic: rw [liftp_iff] at this
state_before: case mp
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
this : Liftp (supp x) x
⊢ ∃ a f,
    abs { fst := a, snd := f } = x ∧
      ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ

tactic: rcases this with ⟨a, f, xeq, h'⟩
state_before: case mp
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
this✝ : Liftp (supp x) x
this : ∃ a f, x = abs { fst := a, snd := f } ∧ ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), supp x (f i)
⊢ ∃ a f,
    abs { fst := a, snd := f } = x ∧
      ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ

tactic: refine' ⟨a, f, xeq.symm, _⟩
state_before: case mp.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
this : Liftp (supp x) x
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f }
h' : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), supp x (f i)
⊢ ∃ a f,
    abs { fst := a, snd := f } = x ∧
      ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ

tactic: intro a' f' h''
state_before: case mp.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
this : Liftp (supp x) x
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f }
h' : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), supp x (f i)
⊢ ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ

tactic: rintro u ⟨i, _, hfi⟩
state_before: case mp.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
this : Liftp (supp x) x
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f }
h' : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), supp x (f i)
a' : (P F).A
f' : PFunctor.B (P F) a' → α
h'' : abs { fst := a', snd := f' } = x
⊢ f '' univ ⊆ f' '' univ

tactic: have : u ∈ supp x := by rw [← hfi]; apply h'
state_before: case mp.intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
this : Liftp (supp x) x
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f }
h' : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), supp x (f i)
a' : (P F).A
f' : PFunctor.B (P F) a' → α
h'' : abs { fst := a', snd := f' } = x
u : α
i : PFunctor.B (P F) a
left✝ : i ∈ univ
hfi : f i = u
⊢ u ∈ f' '' univ

tactic: exact (mem_supp x u).mp this _ _ h''
state_before: case mp.intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
this✝ : Liftp (supp x) x
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f }
h' : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), supp x (f i)
a' : (P F).A
f' : PFunctor.B (P F) a' → α
h'' : abs { fst := a', snd := f' } = x
u : α
i : PFunctor.B (P F) a
left✝ : i ∈ univ
hfi : f i = u
this : u ∈ supp x
⊢ u ∈ f' '' univ

tactic: rw [h]
state_before: F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
⊢ Liftp (supp x) x

tactic: intro u
state_before: F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
⊢ ∀ (u : α), u ∈ supp x → supp x u

tactic: exact id
state_before: F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
u : α
⊢ u ∈ supp x → supp x u

tactic: rw [← hfi]
state_before: F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
this : Liftp (supp x) x
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f }
h' : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), supp x (f i)
a' : (P F).A
f' : PFunctor.B (P F) a' → α
h'' : abs { fst := a', snd := f' } = x
u : α
i : PFunctor.B (P F) a
left✝ : i ∈ univ
hfi : f i = u
⊢ u ∈ supp x

tactic: apply h'
state_before: F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
h : ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u
this : Liftp (supp x) x
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f }
h' : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), supp x (f i)
a' : (P F).A
f' : PFunctor.B (P F) a' → α
h'' : abs { fst := a', snd := f' } = x
u : α
i : PFunctor.B (P F) a
left✝ : i ∈ univ
hfi : f i = u
⊢ f i ∈ supp x

tactic: rintro ⟨a', f', xeq', h'⟩ u usuppx
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mp
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ (∃ a f, x = abs { fst := a, snd := f } ∧ ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), p (f i)) → ∀ (u : α), u ∈ supp x → p u

tactic: rcases (mem_supp x u).mp usuppx a' f' xeq'.symm with ⟨i, _, f'ieq⟩
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mp.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
a' : (P F).A
f' : PFunctor.B (P F) a' → α
xeq' : x = abs { fst := a', snd := f' }
h' : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a'), p (f' i)
u : α
usuppx : u ∈ supp x
⊢ p u

tactic: rw [← f'ieq]
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mp.intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
a' : (P F).A
f' : PFunctor.B (P F) a' → α
xeq' : x = abs { fst := a', snd := f' }
h' : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a'), p (f' i)
u : α
usuppx : u ∈ supp x
i : PFunctor.B (P F) a'
left✝ : i ∈ univ
f'ieq : f' i = u
⊢ p u

tactic: apply h'
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mp.intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : abs { fst := a, snd := f } = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : PFunctor.B (P F) a' → α), abs { fst := a', snd := f' } = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
a' : (P F).A
f' : PFunctor.B (P F) a' → α
xeq' : x = abs { fst := a', snd := f' }
h' : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a'), p (f' i)
u : α
usuppx : u ∈ supp x
i : PFunctor.B (P F) a'
left✝ : i ∈ univ
f'ieq : f' i = u
⊢ p (f' i)