Theorem: ae_eq_const_or_norm_average_lt_of_norm_le_const
File: Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean

tactic: cases' le_or_lt C 0 with hC0 hC0
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

tactic: by_cases hfi : Integrable f μ
state_before: case inr
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

tactic: swap
state_before: case pos
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

case neg
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : ¬Integrable f
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

tactic: cases' (le_top : μ univ ≤ ∞).eq_or_lt with hμt hμt
state_before: case pos
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

tactic: haveI : IsFiniteMeasure μ := ⟨hμt⟩
state_before: case pos.inr
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
hμt : ↑↑μ univ < ⊤
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

tactic: replace h_le : ∀ᵐ x ∂μ, f x ∈ closedBall (0 : E) C
state_before: case pos.inr
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
hμt : ↑↑μ univ < ⊤
this : IsFiniteMeasure μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

tactic: simpa only [interior_closedBall _ hC0.ne', mem_ball_zero_iff] using
  (strictConvex_closedBall ℝ (0 : E) C).ae_eq_const_or_average_mem_interior isClosed_ball h_le
    hfi
state_before: case pos.inr
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
hμt : ↑↑μ univ < ⊤
this : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closedBall 0 C
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

tactic: have : f =ᵐ[μ] 0 := h_le.mono fun x hx => norm_le_zero_iff.1 (hx.trans hC0)
state_before: case inl
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : C ≤ 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

tactic: simp only [average_congr this, Pi.zero_apply, average_zero]
state_before: case inl
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : C ≤ 0
this : f =ᶠ[ae μ] 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

tactic: exact Or.inl this
state_before: case inl
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : C ≤ 0
this : f =ᶠ[ae μ] 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α 0 ∨ ‖0‖ < C

tactic: simp [average_eq, integral_undef hfi, hC0, ENNReal.toReal_pos_iff]
state_before: case neg
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : ¬Integrable f
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

tactic: simp [average_eq, hμt, hC0]
state_before: case pos.inl
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
hμt : ↑↑μ univ = ⊤
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

tactic: simpa only [mem_closedBall_zero_iff]
state_before: case h_le
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.2443666
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
hμt : ↑↑μ univ < ⊤
this : IsFiniteMeasure μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closedBall 0 C