Theorem: LieModule.nilpotentOfNilpotentQuotient
File: Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean

tactic: obtain ⟨k, hk⟩ := h₂
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N✝ N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
h₂ : IsNilpotent R L (M ⧸ N)
⊢ IsNilpotent R L M

tactic: use k + 1
state_before: case mk.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
⊢ IsNilpotent R L M

tactic: simp only [lowerCentralSeries_succ]
state_before: case mk.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
⊢ lowerCentralSeries R L M (k + 1) = ⊥

tactic: suffices lowerCentralSeries R L M k ≤ N by
  replace this := LieSubmodule.mono_lie_right _ _ ⊤ (le_trans this h₁)
  rwa [ideal_oper_maxTrivSubmodule_eq_bot, le_bot_iff] at this
state_before: case mk.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
⊢ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆ = ⊥

tactic: rw [← LieSubmodule.Quotient.map_mk'_eq_bot_le, ← le_bot_iff, ← hk]
state_before: case mk.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
⊢ lowerCentralSeries R L M k ≤ N

tactic: exact map_lowerCentralSeries_le k (LieSubmodule.Quotient.mk' N)
state_before: case mk.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
⊢ LieSubmodule.map (LieSubmodule.Quotient.mk' N) (lowerCentralSeries R L M k) ≤ lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k

tactic: replace this := LieSubmodule.mono_lie_right _ _ ⊤ (le_trans this h₁)
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
this : lowerCentralSeries R L M k ≤ N
⊢ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆ = ⊥

tactic: rwa [ideal_oper_maxTrivSubmodule_eq_bot, le_bot_iff] at this
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
this : ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆ ≤ ⁅⊤, maxTrivSubmodule R L M⁆
⊢ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆ = ⊥