Theorem: MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc_mono
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: rw [← sub_nonneg, ← setToSimpleFunc_sub T h_add hgi hfi]
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.381967
F : Type ?u.381970
F' : Type ?u.381973
G : Type ?u.381976
𝕜 : Type ?u.381979
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable ↑f
hgi : Integrable ↑g
hfg : f ≤ g
⊢ setToSimpleFunc T f ≤ setToSimpleFunc T g

tactic: refine' setToSimpleFunc_nonneg' T hT_nonneg _ _ (hgi.sub hfi)
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.381967
F : Type ?u.381970
F' : Type ?u.381973
G : Type ?u.381976
𝕜 : Type ?u.381979
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable ↑f
hgi : Integrable ↑g
hfg : f ≤ g
⊢ 0 ≤ setToSimpleFunc T (g - f)

tactic: intro x
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.381967
F : Type ?u.381970
F' : Type ?u.381973
G : Type ?u.381976
𝕜 : Type ?u.381979
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable ↑f
hgi : Integrable ↑g
hfg : f ≤ g
⊢ 0 ≤ g - f

tactic: simp only [coe_sub, sub_nonneg, coe_zero, Pi.zero_apply, Pi.sub_apply]
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.381967
F : Type ?u.381970
F' : Type ?u.381973
G : Type ?u.381976
𝕜 : Type ?u.381979
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable ↑f
hgi : Integrable ↑g
hfg : f ≤ g
x : α
⊢ ↑0 x ≤ ↑(g - f) x

tactic: exact hfg x
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.381967
F : Type ?u.381970
F' : Type ?u.381973
G : Type ?u.381976
𝕜 : Type ?u.381979
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable ↑f
hgi : Integrable ↑g
hfg : f ≤ g
x : α
⊢ ↑f x ≤ ↑g x