Theorem: LocalHomeomorph.isLocalStructomorphWithinAt_iff'
File: Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean

tactic: rw [f.isLocalStructomorphWithinAt_iff hx]
state_before: H : Type u_1
M : Type ?u.70247
H' : Type ?u.70250
M' : Type ?u.70253
X : Type ?u.70256
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x ↔
    x ∈ s → ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source

tactic: refine' imp_congr_right fun _ ↦ exists_congr fun e ↦ and_congr_right fun _ ↦ _
state_before: H : Type u_1
M : Type ?u.70247
H' : Type ?u.70250
M' : Type ?u.70253
X : Type ?u.70256
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ (x ∈ s → ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source) ↔
    x ∈ s → ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source

tactic: refine' and_congr_right fun h2e ↦ _
state_before: H : Type u_1
M : Type ?u.70247
H' : Type ?u.70250
M' : Type ?u.70253
X : Type ?u.70256
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝² : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
⊢ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source ↔
    e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source

tactic: rw [inter_eq_right_iff_subset.mpr (h2e.trans hs)]
state_before: H : Type u_1
M : Type ?u.70247
H' : Type ?u.70250
M' : Type ?u.70253
X : Type ?u.70256
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝² : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
h2e : e.source ⊆ f.source
⊢ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source ↔ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source