Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_clm_apply_const
File: Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff.lean

tactic: let g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G c
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.4383144
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => ↑(f y) c) s x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖

tactic: have h := g.norm_compContinuousMultilinearMap_le (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.4383144
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := ↑(ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => ↑(f y) c) s x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖

tactic: rw [← g.iteratedFDerivWithin_comp_left hf hs hx hn] at h
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.4383144
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := ↑(ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h :
  ‖ContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap g (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x)‖ ≤
    ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => ↑(f y) c) s x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖

tactic: refine' h.trans (mul_le_mul_of_nonneg_right _ (norm_nonneg _))
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.4383144
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := ↑(ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (↑g ∘ f) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => ↑(f y) c) s x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖

tactic: refine' g.op_norm_le_bound (norm_nonneg _) fun f => _
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.4383144
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := ↑(ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (↑g ∘ f) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
⊢ ‖g‖ ≤ ‖c‖

tactic: rw [ContinuousLinearMap.apply_apply, mul_comm]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.4383144
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f✝ : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f✝ s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := ↑(ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (↑g ∘ f✝) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f✝ s x‖
f : F →L[𝕜] G
⊢ ‖↑g f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖

tactic: exact f.le_op_norm c
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.4383144
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f✝ : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f✝ s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := ↑(ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (↑g ∘ f✝) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f✝ s x‖
f : F →L[𝕜] G
⊢ ‖↑f c‖ ≤ ‖f‖ * ‖c‖