Theorem: CategoryTheory.Subobject.finset_inf_arrow_factors
File: Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean

tactic: revert i m
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
s : Finset I
P : I → Subobject B
i : I
m : i ∈ s
⊢ Factors (P i) (arrow (Finset.inf s P))

tactic: induction' s using Finset.induction_on with _ _ _ ih
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
s : Finset I
P : I → Subobject B
⊢ ∀ (i : I), i ∈ s → Factors (P i) (arrow (Finset.inf s P))

tactic: . rintro _ ⟨⟩
state_before: case empty
C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
P : I → Subobject B
⊢ ∀ (i : I), i ∈ ∅ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf ∅ P))

case insert
C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
P : I → Subobject B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : ¬a✝¹ ∈ s✝
ih : ∀ (i : I), i ∈ s✝ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf s✝ P))
⊢ ∀ (i : I), i ∈ insert a✝¹ s✝ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf (insert a✝¹ s✝) P))

tactic: rintro _ ⟨⟩
state_before: case empty
C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
P : I → Subobject B
⊢ ∀ (i : I), i ∈ ∅ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf ∅ P))

tactic: intro _ m
state_before: case insert
C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
P : I → Subobject B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : ¬a✝¹ ∈ s✝
ih : ∀ (i : I), i ∈ s✝ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf s✝ P))
⊢ ∀ (i : I), i ∈ insert a✝¹ s✝ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf (insert a✝¹ s✝) P))

tactic: rw [Finset.inf_insert]
state_before: case insert
C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
P : I → Subobject B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : ¬a✝¹ ∈ s✝
ih : ∀ (i : I), i ∈ s✝ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf s✝ P))
i✝ : I
m : i✝ ∈ insert a✝¹ s✝
⊢ Factors (P i✝) (arrow (Finset.inf (insert a✝¹ s✝) P))

tactic: simp only [Finset.mem_insert] at m
state_before: case insert
C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
P : I → Subobject B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : ¬a✝¹ ∈ s✝
ih : ∀ (i : I), i ∈ s✝ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf s✝ P))
i✝ : I
m : i✝ ∈ insert a✝¹ s✝
⊢ Factors (P i✝) (arrow (P a✝¹ ⊓ Finset.inf s✝ P))

tactic: rcases m with (rfl | m)
state_before: case insert
C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
P : I → Subobject B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : ¬a✝¹ ∈ s✝
ih : ∀ (i : I), i ∈ s✝ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf s✝ P))
i✝ : I
m : i✝ = a✝¹ ∨ i✝ ∈ s✝
⊢ Factors (P i✝) (arrow (P a✝¹ ⊓ Finset.inf s✝ P))

tactic: rw [← factorThru_arrow _ _ (inf_arrow_factors_left _ _)]
state_before: case insert.inl
C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
P : I → Subobject B
s✝ : Finset I
ih : ∀ (i : I), i ∈ s✝ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf s✝ P))
i✝ : I
a✝ : ¬i✝ ∈ s✝
⊢ Factors (P i✝) (arrow (P i✝ ⊓ Finset.inf s✝ P))

tactic: exact factors_comp_arrow _
state_before: case insert.inl
C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
P : I → Subobject B
s✝ : Finset I
ih : ∀ (i : I), i ∈ s✝ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf s✝ P))
i✝ : I
a✝ : ¬i✝ ∈ s✝
⊢ Factors (P i✝)
    (factorThru (P i✝) (arrow (P i✝ ⊓ Finset.inf s✝ P)) (_ : Factors (P i✝) (arrow (P i✝ ⊓ Finset.inf s✝ P))) ≫
      arrow (P i✝))

tactic: rw [← factorThru_arrow _ _ (inf_arrow_factors_right _ _)]
state_before: case insert.inr
C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
P : I → Subobject B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : ¬a✝¹ ∈ s✝
ih : ∀ (i : I), i ∈ s✝ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf s✝ P))
i✝ : I
m : i✝ ∈ s✝
⊢ Factors (P i✝) (arrow (P a✝¹ ⊓ Finset.inf s✝ P))

tactic: apply factors_of_factors_right
state_before: case insert.inr
C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
P : I → Subobject B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : ¬a✝¹ ∈ s✝
ih : ∀ (i : I), i ∈ s✝ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf s✝ P))
i✝ : I
m : i✝ ∈ s✝
⊢ Factors (P i✝)
    (factorThru (Finset.inf s✝ P) (arrow (P a✝¹ ⊓ Finset.inf s✝ P))
        (_ : Factors (Finset.inf s✝ P) (arrow (P a✝¹ ⊓ Finset.inf s✝ P))) ≫
      arrow (Finset.inf s✝ P))

tactic: exact ih _ m
state_before: case insert.inr.h
C : Type u₁
inst✝² : Category C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
inst✝ : HasPullbacks C
I : Type u_1
B : C
P : I → Subobject B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : ¬a✝¹ ∈ s✝
ih : ∀ (i : I), i ∈ s✝ → Factors (P i) (arrow (Finset.inf s✝ P))
i✝ : I
m : i✝ ∈ s✝
⊢ Factors (P i✝) (arrow (Finset.inf s✝ P))