Theorem: MeasureTheory.Lp.ae_tendsto_of_cauchy_snorm'
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

tactic: have h_summable : ∀ᵐ x ∂μ, Summable fun i : ℕ => f (i + 1) x - f i x := by
  have h1 :
    ∀ n, snorm' (fun x => ∑ i in Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' i, B i :=
    snorm'_sum_norm_sub_le_tsum_of_cauchy_snorm' hf hp1 h_cau
  have h2 :
    ∀ n,
      (∫⁻ a, (∑ i in Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p ∂μ) ≤
        (∑' i, B i) ^ p :=
    fun n => lintegral_rpow_sum_coe_nnnorm_sub_le_rpow_tsum hp1 n (h1 n)
  have h3 : (∫⁻ a, (∑' i, ‖f (i + 1) a - f i a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' i, B i :=
    lintegral_rpow_tsum_coe_nnnorm_sub_le_tsum hf hp1 h2
  have h4 : ∀ᵐ x ∂μ, (∑' i, ‖f (i + 1) x - f i x‖₊ : ℝ≥0∞) < ∞ :=
    tsum_nnnorm_sub_ae_lt_top hf hp1 hB h3
  exact
    h4.mono fun x hx =>
      summable_of_summable_nnnorm
        (ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable.mp (lt_top_iff_ne_top.mp hx))
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)

tactic: have h :
  ∀ᵐ x ∂μ, ∃ l : E,
    atTop.Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) (𝓝 l) := by
  refine' h_summable.mono fun x hx => _
  let hx_sum := hx.hasSum.tendsto_sum_nat
  exact ⟨∑' i, f (i + 1) x - f i x, hx_sum⟩
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)

tactic: refine' h.mono fun x hx => _
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)

tactic: cases' hx with l hx
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
hx : ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)

tactic: have h_rw_sum :
    (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x := by
  ext1 n
  change
    (∑ i : ℕ in Finset.range n, ((fun m => f m x) (i + 1) - (fun m => f m x) i)) = f n x - f 0 x
  rw [Finset.sum_range_sub (fun m => f m x)]
state_before: case intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)

tactic: rw [h_rw_sum] at hx
state_before: case intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)

tactic: have hf_rw : (fun n => f n x) = fun n => f n x - f 0 x + f 0 x := by
  ext1 n
  abel
state_before: case intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)

tactic: rw [hf_rw]
state_before: case intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
hf_rw : (fun n => f n x) = fun n => f n x - f 0 x + f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)

tactic: exact ⟨l + f 0 x, Tendsto.add_const _ hx⟩
state_before: case intro
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
hf_rw : (fun n => f n x) = fun n => f n x - f 0 x + f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x - f 0 x + f 0 x) atTop (𝓝 l)

tactic: have h1 :
  ∀ n, snorm' (fun x => ∑ i in Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' i, B i :=
  snorm'_sum_norm_sub_le_tsum_of_cauchy_snorm' hf hp1 h_cau
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x

tactic: have h2 :
  ∀ n,
    (∫⁻ a, (∑ i in Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p ∂μ) ≤
      (∑' i, B i) ^ p :=
  fun n => lintegral_rpow_sum_coe_nnnorm_sub_le_rpow_tsum hp1 n (h1 n)
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h1 : ∀ (n : ℕ), snorm' (fun x => ∑ i in Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x

tactic: have h3 : (∫⁻ a, (∑' i, ‖f (i + 1) a - f i a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' i, B i :=
  lintegral_rpow_tsum_coe_nnnorm_sub_le_tsum hf hp1 h2
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h1 : ∀ (n : ℕ), snorm' (fun x => ∑ i in Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
h2 : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (a : α), (∑ i in Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x

tactic: have h4 : ∀ᵐ x ∂μ, (∑' i, ‖f (i + 1) x - f i x‖₊ : ℝ≥0∞) < ∞ :=
  tsum_nnnorm_sub_ae_lt_top hf hp1 hB h3
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h1 : ∀ (n : ℕ), snorm' (fun x => ∑ i in Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
h2 : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (a : α), (∑ i in Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
h3 : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x

tactic: exact
  h4.mono fun x hx =>
    summable_of_summable_nnnorm
      (ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable.mp (lt_top_iff_ne_top.mp hx))
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h1 : ∀ (n : ℕ), snorm' (fun x => ∑ i in Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
h2 : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (a : α), (∑ i in Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
h3 : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
h4 : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) < ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x

tactic: refine' h_summable.mono fun x hx => _
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)

tactic: let hx_sum := hx.hasSum.tendsto_sum_nat
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
x : α
hx : Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)

tactic: exact ⟨∑' i, f (i + 1) x - f i x, hx_sum⟩
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
x : α
hx : Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
hx_sum : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 (∑' (b : ℕ), f (b + 1) x - f b x)) :=
  HasSum.tendsto_sum_nat (Summable.hasSum hx)
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)

tactic: ext1 n
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
⊢ (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x

tactic: change
  (∑ i : ℕ in Finset.range n, ((fun m => f m x) (i + 1) - (fun m => f m x) i)) = f n x - f 0 x
state_before: case h
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
n : ℕ
⊢ ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x) = f n x - f 0 x

tactic: rw [Finset.sum_range_sub (fun m => f m x)]
state_before: case h
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
n : ℕ
⊢ ∑ i in Finset.range n, ((fun m => f m x) (i + 1) - (fun m => f m x) i) = f n x - f 0 x

tactic: ext1 n
state_before: α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
⊢ (fun n => f n x) = fun n => f n x - f 0 x + f 0 x

tactic: abel
state_before: case h
α : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.8191047
G : Type ?u.8191050
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : (∑' (i : ℕ), B i) ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → snorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i in Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
n : ℕ
⊢ f n x = f n x - f 0 x + f 0 x