Theorem: ContinuousLinearMap.smul_compLp
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

tactic: ext1
state_before: α : Type u_5
E : Type u_4
F : Type u_2
G : Type ?u.5700489
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : { x // x ∈ Lp E p }
⊢ compLp (c • L) f = c • compLp L f

tactic: refine' (coeFn_compLp' (c • L) f).trans _
state_before: case h
α : Type u_5
E : Type u_4
F : Type u_2
G : Type ?u.5700489
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : { x // x ∈ Lp E p }
⊢ ↑↑(compLp (c • L) f) =ᵐ[μ] ↑↑(c • compLp L f)

tactic: refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
state_before: case h
α : Type u_5
E : Type u_4
F : Type u_2
G : Type ?u.5700489
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : { x // x ∈ Lp E p }
⊢ (fun a => ↑(c • L) (↑↑f a)) =ᵐ[μ] ↑↑(c • compLp L f)

tactic: refine' (L.coeFn_compLp' f).mono fun x hx => _
state_before: case h
α : Type u_5
E : Type u_4
F : Type u_2
G : Type ?u.5700489
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : { x // x ∈ Lp E p }
⊢ (fun a => ↑(c • L) (↑↑f a)) =ᵐ[μ] c • ↑↑(compLp L f)

tactic: rw [Pi.smul_apply, hx]
state_before: case h
α : Type u_5
E : Type u_4
F : Type u_2
G : Type ?u.5700489
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : { x // x ∈ Lp E p }
x : α
hx : ↑↑(compLp L f) x = (fun a => ↑L (↑↑f a)) x
⊢ (fun a => ↑(c • L) (↑↑f a)) x = (c • ↑↑(compLp L f)) x

tactic: rfl
state_before: case h
α : Type u_5
E : Type u_4
F : Type u_2
G : Type ?u.5700489
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : MeasureTheory.Measure α
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : { x // x ∈ Lp E p }
x : α
hx : ↑↑(compLp L f) x = (fun a => ↑L (↑↑f a)) x
⊢ (fun a => ↑(c • L) (↑↑f a)) x = c • (fun a => ↑L (↑↑f a)) x