Theorem: Dense.exists_countable_dense_subset_no_bot_top
File: Mathlib/Topology/Order/Basic.lean

tactic: rcases hs.exists_countable_dense_subset with ⟨t, hts, htc, htd⟩
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
⊢ ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Countable t ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → ¬x ∈ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → ¬x ∈ t

tactic: refine' ⟨t \ ({ x | IsBot x } ∪ { x | IsTop x }), _, _, _, fun x hx => _, fun x hx => _⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : Set.Countable t
htd : Dense t
⊢ ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Countable t ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → ¬x ∈ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → ¬x ∈ t

tactic: exact (diff_subset _ _).trans hts
state_before: case intro.intro.intro.refine'_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : Set.Countable t
htd : Dense t
⊢ t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x}) ⊆ s

tactic: exact htc.mono (diff_subset _ _)
state_before: case intro.intro.intro.refine'_2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : Set.Countable t
htd : Dense t
⊢ Set.Countable (t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x}))

tactic: exact htd.diff_finite ((subsingleton_isBot α).finite.union (subsingleton_isTop α).finite)
state_before: case intro.intro.intro.refine'_3
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : Set.Countable t
htd : Dense t
⊢ Dense (t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x}))

tactic: simp [hx]
state_before: case intro.intro.intro.refine'_4
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : Set.Countable t
htd : Dense t
x : α
hx : IsBot x
⊢ ¬x ∈ t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})

tactic: simp [hx]
state_before: case intro.intro.intro.refine'_5
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : Set.Countable t
htd : Dense t
x : α
hx : IsTop x
⊢ ¬x ∈ t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})