Theorem: MonoidHom.noncommPiCoprod_mrange
File: Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean

tactic: apply le_antisymm
state_before: M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
⊢ mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm) = ⨆ (i : ι), mrange (ϕ i)

tactic: rintro x ⟨f, rfl⟩
state_before: case a
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
⊢ mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm) ≤ ⨆ (i : ι), mrange (ϕ i)

tactic: refine Submonoid.noncommProd_mem _ _ _ (fun _ _ _ _ h => hcomm h _ _) (fun i _ => ?_)
state_before: case a.intro
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g f : (i : ι) → N i
⊢ ↑(noncommPiCoprod ϕ hcomm) f ∈ ⨆ (i : ι), mrange (ϕ i)

tactic: apply Submonoid.mem_sSup_of_mem
state_before: case a.intro
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g f : (i : ι) → N i
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ↑(ϕ i) (f i) ∈ ⨆ (i : ι), mrange (ϕ i)

tactic: simp
state_before: case a.intro.a
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g f : (i : ι) → N i
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ↑(ϕ i) (f i) ∈ (fun i => mrange (ϕ i)) i

tactic: use i
state_before: case a.intro.hs
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g f : (i : ι) → N i
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ?a.intro.s✝ ∈ Set.range fun i => mrange (ϕ i)

tactic: refine' iSup_le _
state_before: case a
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
⊢ (⨆ (i : ι), mrange (ϕ i)) ≤ mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm)

tactic: rintro i x ⟨y, rfl⟩
state_before: case a
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
⊢ ∀ (i : ι), mrange (ϕ i) ≤ mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm)

tactic: refine' ⟨Pi.mulSingle i y, noncommPiCoprod_mulSingle _ _ _⟩
state_before: case a.intro
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
i : ι
y : N i
⊢ ↑(ϕ i) y ∈ mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm)