Theorem: Pell.xy_modEq_yn
File: Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean

tactic: constructor <;> simp <;> exact Nat.ModEq.refl _
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ xn a1 (n * 0) ≡ xn a1 n ^ 0 [MOD yn a1 n ^ 2] ∧ yn a1 (n * 0) ≡ 0 * xn a1 n ^ (0 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]

tactic: let ⟨hx, hy⟩ := xy_modEq_yn n k
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
⊢ xn a1 (n * (k + 1)) ≡ xn a1 n ^ (k + 1) [MOD yn a1 n ^ 2] ∧
    yn a1 (n * (k + 1)) ≡ (k + 1) * xn a1 n ^ (k + 1 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]

tactic: have L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡
    xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2] :=
  (hx.mul_right _).add <|
    modEq_zero_iff_dvd.2 <| by
      rw [_root_.pow_succ']
      exact
        mul_dvd_mul_right
          (dvd_mul_of_dvd_right
            (modEq_zero_iff_dvd.1 <|
              (hy.of_dvd <| by simp [_root_.pow_succ']).trans <|
                modEq_zero_iff_dvd.2 <| by simp)
            _) _
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ xn a1 (n * (k + 1)) ≡ xn a1 n ^ (k + 1) [MOD yn a1 n ^ 2] ∧
    yn a1 (n * (k + 1)) ≡ (k + 1) * xn a1 n ^ (k + 1 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]

tactic: have R : xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡
    xn a1 n ^ k * yn a1 n + k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3] :=
  ModEq.add
      (by
        rw [_root_.pow_succ']
        exact hx.mul_right' _) <| by
    have : k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n * xn a1 n = k * xn a1 n ^ k * yn a1 n := by
      cases' k with k <;> simp [_root_.pow_succ']; ring_nf
    rw [← this]
    exact hy.mul_right _
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
⊢ xn a1 (n * (k + 1)) ≡ xn a1 n ^ (k + 1) [MOD yn a1 n ^ 2] ∧
    yn a1 (n * (k + 1)) ≡ (k + 1) * xn a1 n ^ (k + 1 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]

tactic: rw [add_tsub_cancel_right, Nat.mul_succ, xn_add, yn_add, pow_succ' (xn _ n), Nat.succ_mul,
  add_comm (k * xn _ n ^ k) (xn _ n ^ k), right_distrib]
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
R :
  xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n + k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD
    yn a1 n ^ 3]
⊢ xn a1 (n * (k + 1)) ≡ xn a1 n ^ (k + 1) [MOD yn a1 n ^ 2] ∧
    yn a1 (n * (k + 1)) ≡ (k + 1) * xn a1 n ^ (k + 1 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]

tactic: exact ⟨L, R⟩
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
R :
  xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n + k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD
    yn a1 n ^ 3]
⊢ xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n [MOD yn a1 n ^ 2] ∧
    xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n + k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD
      yn a1 n ^ 3]

tactic: rw [_root_.pow_succ']
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ yn a1 n ^ 2 ∣ Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n

tactic: exact
  mul_dvd_mul_right
    (dvd_mul_of_dvd_right
      (modEq_zero_iff_dvd.1 <|
        (hy.of_dvd <| by simp [_root_.pow_succ']).trans <|
          modEq_zero_iff_dvd.2 <| by simp)
      _) _
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ yn a1 n ^ 1 * yn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n

tactic: simp [_root_.pow_succ']
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ yn a1 n ^ 1 ∣ yn a1 n ^ 3

tactic: simp
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ yn a1 n ^ 1 ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n

tactic: rw [_root_.pow_succ']
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
⊢ xn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]

tactic: exact hx.mul_right' _
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
⊢ xn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 2 * yn a1 n]

tactic: have : k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n * xn a1 n = k * xn a1 n ^ k * yn a1 n := by
  cases' k with k <;> simp [_root_.pow_succ']; ring_nf
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
⊢ yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]

tactic: rw [← this]
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
this : k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n * xn a1 n = k * xn a1 n ^ k * yn a1 n
⊢ yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]

tactic: exact hy.mul_right _
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
this : k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n * xn a1 n = k * xn a1 n ^ k * yn a1 n
⊢ yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n * xn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]

tactic: cases' k with k <;> simp [_root_.pow_succ']
state_before: a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
⊢ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n * xn a1 n = k * xn a1 n ^ k * yn a1 n

tactic: ring_nf
state_before: case succ
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * succ k) ≡ xn a1 n ^ succ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * succ k) ≡ succ k * xn a1 n ^ (succ k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L :
  xn a1 (n * succ k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * succ k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ succ k * xn a1 n + 0 [MOD
    yn a1 n ^ 2]
⊢ succ k * xn a1 n ^ k * yn a1 n * xn a1 n = succ k * (xn a1 n ^ k * xn a1 n) * yn a1 n