Theorem: Sbtw.sOppSide_of_not_mem_of_mem
File: Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean

tactic: refine' ⟨h.wbtw.wOppSide₁₃ hy, hx, fun hz => hx _⟩
state_before: R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type ?u.356013
P : Type u_3
P' : Type ?u.356019
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
hx : ¬x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ SOppSide s x z

tactic: rcases h with ⟨⟨t, ⟨ht0, ht1⟩, rfl⟩, hyx, hyz⟩
state_before: R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type ?u.356013
P : Type u_3
P' : Type ?u.356019
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
hx : ¬x ∈ s
hy : y ∈ s
hz : z ∈ s
⊢ x ∈ s

tactic: rw [lineMap_apply] at hy
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type ?u.356013
P : Type u_3
P' : Type ?u.356019
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : ¬x ∈ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : ↑(lineMap x z) t ∈ s
hyx : ↑(lineMap x z) t ≠ x
hyz : ↑(lineMap x z) t ≠ z
⊢ x ∈ s

tactic: have ht : t ≠ 1 := by
  rintro rfl
  simp [lineMap_apply] at hyz
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type ?u.356013
P : Type u_3
P' : Type ?u.356019
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : ¬x ∈ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : ↑(lineMap x z) t ≠ x
hyz : ↑(lineMap x z) t ≠ z
⊢ x ∈ s

tactic: have hy' := vsub_mem_direction hy hz
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type ?u.356013
P : Type u_3
P' : Type ?u.356019
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : ¬x ∈ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : ↑(lineMap x z) t ≠ x
hyz : ↑(lineMap x z) t ≠ z
ht : t ≠ 1
⊢ x ∈ s

tactic: rw [vadd_vsub_assoc, ← neg_vsub_eq_vsub_rev z, ← neg_one_smul R (z -ᵥ x), ← add_smul,
  ← sub_eq_add_neg, s.direction.smul_mem_iff (sub_ne_zero_of_ne ht)] at hy'
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type ?u.356013
P : Type u_3
P' : Type ?u.356019
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : ¬x ∈ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : ↑(lineMap x z) t ≠ x
hyz : ↑(lineMap x z) t ≠ z
ht : t ≠ 1
hy' : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x -ᵥ z ∈ direction s
⊢ x ∈ s

tactic: rwa [vadd_mem_iff_mem_of_mem_direction (Submodule.smul_mem _ _ hy')] at hy
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type ?u.356013
P : Type u_3
P' : Type ?u.356019
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : ¬x ∈ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : ↑(lineMap x z) t ≠ x
hyz : ↑(lineMap x z) t ≠ z
ht : t ≠ 1
hy' : z -ᵥ x ∈ direction s
⊢ x ∈ s

tactic: rintro rfl
state_before: R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type ?u.356013
P : Type u_3
P' : Type ?u.356019
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : ¬x ∈ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : ↑(lineMap x z) t ≠ x
hyz : ↑(lineMap x z) t ≠ z
⊢ t ≠ 1

tactic: simp [lineMap_apply] at hyz
state_before: R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type ?u.356013
P : Type u_3
P' : Type ?u.356019
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : ¬x ∈ s
hz : z ∈ s
ht0 : 0 ≤ 1
ht1 : 1 ≤ 1
hy : 1 • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : ↑(lineMap x z) 1 ≠ x
hyz : ↑(lineMap x z) 1 ≠ z
⊢ False