Theorem: Set.PairwiseDisjoint.biUnion
File: Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean

tactic: rintro a ha b hb hab
state_before: α : Type u_3
β : Type ?u.1482
γ : Type ?u.1485
ι : Type u_2
ι' : Type u_1
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : PairwiseDisjoint s fun i' => ⨆ (i : ι) (_ : i ∈ g i'), f i
hg : ∀ (i : ι'), i ∈ s → PairwiseDisjoint (g i) f
⊢ PairwiseDisjoint (⋃ (i : ι') (_ : i ∈ s), g i) f

tactic: simp_rw [Set.mem_iUnion] at ha hb
state_before: α : Type u_3
β : Type ?u.1482
γ : Type ?u.1485
ι : Type u_2
ι' : Type u_1
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : PairwiseDisjoint s fun i' => ⨆ (i : ι) (_ : i ∈ g i'), f i
hg : ∀ (i : ι'), i ∈ s → PairwiseDisjoint (g i) f
a : ι
ha : a ∈ ⋃ (i : ι') (_ : i ∈ s), g i
b : ι
hb : b ∈ ⋃ (i : ι') (_ : i ∈ s), g i
hab : a ≠ b
⊢ (Disjoint on f) a b

tactic: obtain ⟨c, hc, ha⟩ := ha
state_before: α : Type u_3
β : Type ?u.1482
γ : Type ?u.1485
ι : Type u_2
ι' : Type u_1
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : PairwiseDisjoint s fun i' => ⨆ (i : ι) (_ : i ∈ g i'), f i
hg : ∀ (i : ι'), i ∈ s → PairwiseDisjoint (g i) f
a b : ι
hab : a ≠ b
ha : ∃ i i_1, a ∈ g i
hb : ∃ i i_1, b ∈ g i
⊢ (Disjoint on f) a b

tactic: obtain ⟨d, hd, hb⟩ := hb
state_before: case intro.intro
α : Type u_3
β : Type ?u.1482
γ : Type ?u.1485
ι : Type u_2
ι' : Type u_1
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : PairwiseDisjoint s fun i' => ⨆ (i : ι) (_ : i ∈ g i'), f i
hg : ∀ (i : ι'), i ∈ s → PairwiseDisjoint (g i) f
a b : ι
hab : a ≠ b
hb : ∃ i i_1, b ∈ g i
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
⊢ (Disjoint on f) a b

tactic: obtain hcd | hcd := eq_or_ne (g c) (g d)
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_3
β : Type ?u.1482
γ : Type ?u.1485
ι : Type u_2
ι' : Type u_1
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : PairwiseDisjoint s fun i' => ⨆ (i : ι) (_ : i ∈ g i'), f i
hg : ∀ (i : ι'), i ∈ s → PairwiseDisjoint (g i) f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d
⊢ (Disjoint on f) a b

tactic: exact hg d hd (hcd.subst ha) hb hab
state_before: case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_3
β : Type ?u.1482
γ : Type ?u.1485
ι : Type u_2
ι' : Type u_1
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : PairwiseDisjoint s fun i' => ⨆ (i : ι) (_ : i ∈ g i'), f i
hg : ∀ (i : ι'), i ∈ s → PairwiseDisjoint (g i) f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d
hcd : g c = g d
⊢ (Disjoint on f) a b

tactic: exact (hs hc hd <| ne_of_apply_ne _ hcd).mono
  (le_iSup₂ (f := fun i (_ : i ∈ g c) => f i) a ha)
  (le_iSup₂ (f := fun i (_ : i ∈ g d) => f i) b hb)
state_before: case intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_3
β : Type ?u.1482
γ : Type ?u.1485
ι : Type u_2
ι' : Type u_1
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : PairwiseDisjoint s fun i' => ⨆ (i : ι) (_ : i ∈ g i'), f i
hg : ∀ (i : ι'), i ∈ s → PairwiseDisjoint (g i) f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d
hcd : g c ≠ g d
⊢ (Disjoint on f) a b