Theorem: MeasureTheory.tendsto_setToFun_of_L1
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: classical
  let f_lp := hfi.toL1 f
  let F_lp i := if hFi : Integrable (fs i) μ then hFi.toL1 (fs i) else 0
  have tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) := by
    rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp']
    simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, Pi.sub_apply]
    refine' (tendsto_congr' _).mp hfs
    filter_upwards [hfsi]with i hi
    refine' lintegral_congr_ae _
    filter_upwards [hi.coeFn_toL1, hfi.coeFn_toL1] with x hxi hxf
    simp_rw [dif_pos hi, hxi, hxf]
  suffices Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) by
    refine' (tendsto_congr' _).mp this
    filter_upwards [hfsi] with i hi
    suffices h_ae_eq : F_lp i =ᵐ[μ] fs i; exact setToFun_congr_ae hT h_ae_eq
    simp_rw [dif_pos hi]
    exact hi.coeFn_toL1
  rw [setToFun_congr_ae hT hfi.coeFn_toL1.symm]
  exact ((continuous_setToFun hT).tendsto f_lp).comp tendsto_L1
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))

tactic: let f_lp := hfi.toL1 f
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))

tactic: let F_lp i := if hFi : Integrable (fs i) μ then hFi.toL1 (fs i) else 0
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))

tactic: have tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) := by
  rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp']
  simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, Pi.sub_apply]
  refine' (tendsto_congr' _).mp hfs
  filter_upwards [hfsi]with i hi
  refine' lintegral_congr_ae _
  filter_upwards [hi.coeFn_toL1, hfi.coeFn_toL1] with x hxi hxf
  simp_rw [dif_pos hi, hxi, hxf]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))

tactic: suffices Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) by
  refine' (tendsto_congr' _).mp this
  filter_upwards [hfsi] with i hi
  suffices h_ae_eq : F_lp i =ᵐ[μ] fs i; exact setToFun_congr_ae hT h_ae_eq
  simp_rw [dif_pos hi]
  exact hi.coeFn_toL1
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))

tactic: rw [setToFun_congr_ae hT hfi.coeFn_toL1.symm]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))

tactic: exact ((continuous_setToFun hT).tendsto f_lp).comp tendsto_L1
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT ↑↑(Integrable.toL1 f hfi)))

tactic: rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp']
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)

tactic: simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, Pi.sub_apply]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑↑(F_lp n) - ↑↑f_lp) 1 μ) l (𝓝 0)

tactic: refine' (tendsto_congr' _).mp hfs
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ Tendsto
    (fun n =>
      ∫⁻ (x : α),
        ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs n) then Integrable.toL1 (fs n) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊ ∂μ)
    l (𝓝 0)

tactic: filter_upwards [hfsi]with i hi
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) =ᶠ[l] fun n =>
    ∫⁻ (x : α),
      ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs n) then Integrable.toL1 (fs n) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊ ∂μ

tactic: refine' lintegral_congr_ae _
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
i : ι
hi : Integrable (fs i)
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) =
    ∫⁻ (x : α),
      ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊ ∂μ

tactic: filter_upwards [hi.coeFn_toL1, hfi.coeFn_toL1] with x hxi hxf
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
i : ι
hi : Integrable (fs i)
⊢ (fun x => ↑‖fs i x - f x‖₊) =ᵐ[μ] fun x =>
    ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊

tactic: simp_rw [dif_pos hi, hxi, hxf]
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
i : ι
hi : Integrable (fs i)
x : α
hxi : ↑↑(Integrable.toL1 (fs i) hi) x = fs i x
hxf : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x = f x
⊢ ↑‖fs i x - f x‖₊ =
    ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊

tactic: refine' (tendsto_congr' _).mp this
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))

tactic: filter_upwards [hfsi] with i hi
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
⊢ (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) =ᶠ[l] fun i => setToFun μ T hT (fs i)

tactic: suffices h_ae_eq : F_lp i =ᵐ[μ] fs i
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i)
⊢ setToFun μ T hT ↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) = setToFun μ T hT (fs i)

tactic: exact setToFun_congr_ae hT h_ae_eq
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i)
h_ae_eq : ↑↑(F_lp i) =ᵐ[μ] fs i
⊢ setToFun μ T hT ↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) = setToFun μ T hT (fs i)

case h_ae_eq
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i)
⊢ ↑↑(F_lp i) =ᵐ[μ] fs i

tactic: simp_rw [dif_pos hi]
state_before: case h_ae_eq
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i)
⊢ ↑↑(F_lp i) =ᵐ[μ] fs i

tactic: exact hi.coeFn_toL1
state_before: case h_ae_eq
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1563494
G : Type ?u.1563497
𝕜 : Type ?u.1563500
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_4
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i)
⊢ ↑↑(Integrable.toL1 (fs i) hi) =ᵐ[μ] fs i