Theorem: MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc_congr
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: refine' setToSimpleFunc_congr' T h_add hf ((integrable_congr h).mp hf) _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.200693
G : Type ?u.200696
𝕜 : Type ?u.200699
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h : ↑f =ᵐ[μ] ↑g
⊢ setToSimpleFunc T f = setToSimpleFunc T g

tactic: refine' fun x y hxy => h_zero _ ((measurableSet_fiber f x).inter (measurableSet_fiber g y)) _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.200693
G : Type ?u.200696
𝕜 : Type ?u.200699
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h : ↑f =ᵐ[μ] ↑g
⊢ ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0

tactic: rw [EventuallyEq, ae_iff] at h
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.200693
G : Type ?u.200696
𝕜 : Type ?u.200699
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h : ↑f =ᵐ[μ] ↑g
x y : E
hxy : x ≠ y
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0

tactic: refine' measure_mono_null (fun z => _) h
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.200693
G : Type ?u.200696
𝕜 : Type ?u.200699
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h : ↑↑μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0

tactic: simp_rw [Set.mem_inter_iff, Set.mem_setOf_eq, Set.mem_preimage, Set.mem_singleton_iff]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.200693
G : Type ?u.200696
𝕜 : Type ?u.200699
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h : ↑↑μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α
⊢ z ∈ ↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y} → z ∈ {a | ¬↑f a = ↑g a}

tactic: intro h
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.200693
G : Type ?u.200696
𝕜 : Type ?u.200699
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h : ↑↑μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α
⊢ ↑f z = x ∧ ↑g z = y → ¬↑f z = ↑g z

tactic: rwa [h.1, h.2]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.200693
G : Type ?u.200696
𝕜 : Type ?u.200699
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h✝ : ↑↑μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α
h : ↑f z = x ∧ ↑g z = y
⊢ ¬↑f z = ↑g z