Theorem: LinearPMap.neg_graph
File: Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean

tactic: ext x
state_before: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
⊢ graph (-f) = Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)

tactic: cases' x with x_fst x_snd
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E × F
⊢ x ∈ graph (-f) ↔ x ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)

tactic: constructor <;> intro h
state_before: case h.mk
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f) ↔
    (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)

tactic: rw [Submodule.mem_map] at h
state_before: case h.mk.mpr
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
h : (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)

tactic: rcases h with ⟨x', hx', h⟩
state_before: case h.mk.mpr
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
h : ∃ y, y ∈ graph f ∧ ↑(LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)

tactic: cases x'
state_before: case h.mk.mpr.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
x' : E × F
hx' : x' ∈ graph f
h : ↑(LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) x' = (x_fst, x_snd)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)

tactic: simp only [LinearMap.prodMap_apply, LinearMap.id_coe, id.def, LinearMap.neg_apply,
  Prod.mk.inj_iff] at h
state_before: case h.mk.mpr.intro.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ graph f
h : ↑(LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (fst✝, snd✝) = (x_fst, x_snd)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)

tactic: rw [mem_graph_iff] at hx'⊢
state_before: case h.mk.mpr.intro.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ graph f
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)

tactic: rcases hx' with ⟨y, hy, hx'⟩
state_before: case h.mk.mpr.intro.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).fst ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).snd
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).snd

tactic: use y
state_before: case h.mk.mpr.intro.intro.mk.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
y : { x // x ∈ f.domain }
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).fst
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).snd
⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).snd

tactic: rw [← h.1, ← h.2]
state_before: case h.mk.mpr.intro.intro.mk.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
y : { x // x ∈ f.domain }
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).fst
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).snd
⊢ ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).snd

tactic: simp [hy, hx']
state_before: case h.mk.mpr.intro.intro.mk.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
y : { x // x ∈ f.domain }
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).fst
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).snd
⊢ ↑y = (fst✝, -snd✝).fst ∧ ↑(-f) y = (fst✝, -snd✝).snd

tactic: rw [mem_graph_iff] at h
state_before: case h.mk.mp
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
h : (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)

tactic: rcases h with ⟨y, hy, h⟩
state_before: case h.mk.mp
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
h : ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).snd
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)

tactic: rw [LinearPMap.neg_apply] at h
state_before: case h.mk.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
y : { x // x ∈ (-f).domain }
hy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst
h : ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).snd
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)

tactic: rw [Submodule.mem_map]
state_before: case h.mk.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
y : { x // x ∈ (-f).domain }
hy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst
h : -↑f y = (x_fst, x_snd).snd
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)

tactic: simp only [mem_graph_iff, LinearMap.prodMap_apply, LinearMap.id_coe, id.def,
  LinearMap.neg_apply, Prod.mk.inj_iff, Prod.exists, exists_exists_and_eq_and]
state_before: case h.mk.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
y : { x // x ∈ (-f).domain }
hy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst
h : -↑f y = (x_fst, x_snd).snd
⊢ ∃ y, y ∈ graph f ∧ ↑(LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)

tactic: use x_fst, y
state_before: case h.mk.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
y : { x // x ∈ (-f).domain }
hy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst
h : -↑f y = (x_fst, x_snd).snd
⊢ ∃ a a_1, ↑a_1 = a ∧ a = x_fst ∧ -↑f a_1 = x_snd

tactic: simp [hy, h]
state_before: case h.mk.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type ?u.538144
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type ?u.538660
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
y : { x // x ∈ (-f).domain }
hy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst
h : -↑f y = (x_fst, x_snd).snd
⊢ ↑y = x_fst ∧ x_fst = x_fst ∧ -↑f y = x_snd