Theorem: ContDiffWithinAt.hasFDerivWithinAt_nhds
File: Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff.lean

tactic: have hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀) := by
  refine' nhdsWithin_mono _ _ (nhdsWithin_prod self_mem_nhdsWithin hgt)
  simp_rw [image_subset_iff, mk_preimage_prod, preimage_id', subset_inter_iff, subset_insert,
    true_and_iff, subset_preimage_image]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
⊢ ∃ v,
    v ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀ ∧
      v ⊆ insert x₀ s ∧
        ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (f x) (f' x) t (g x)) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun x => f' x) s x₀

tactic: obtain ⟨v, hv, hvs, f', hvf', hf'⟩ := contDiffWithinAt_succ_iff_hasFDerivWithinAt'.mp hf
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
⊢ ∃ v,
    v ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀ ∧
      v ⊆ insert x₀ s ∧
        ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (f x) (f' x) t (g x)) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun x => f' x) s x₀

tactic: refine'
  ⟨(fun z => (z, g z)) ⁻¹' v ∩ insert x₀ s, _, inter_subset_right _ _, fun z =>
    (f' (z, g z)).comp (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E F), _, _⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ (x : E × F), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
⊢ ∃ v,
    v ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀ ∧
      v ⊆ insert x₀ s ∧
        ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (f x) (f' x) t (g x)) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun x => f' x) s x₀

tactic: refine' nhdsWithin_mono _ _ (nhdsWithin_prod self_mem_nhdsWithin hgt)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
⊢ insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)

tactic: simp_rw [image_subset_iff, mk_preimage_prod, preimage_id', subset_inter_iff, subset_insert,
  true_and_iff, subset_preimage_image]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
⊢ (fun x => (x, g x)) '' s ⊆ insert x₀ s ×ˢ (g '' s)

tactic: refine' inter_mem _ self_mem_nhdsWithin
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ (x : E × F), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
⊢ (fun z => (z, g z)) ⁻¹' v ∩ insert x₀ s ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀

tactic: have := mem_of_mem_nhdsWithin (mem_insert _ _) hv
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ (x : E × F), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
⊢ (fun z => (z, g z)) ⁻¹' v ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀

tactic: refine' mem_nhdsWithin_insert.mpr ⟨this, _⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ (x : E × F), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
this : (x₀, g x₀) ∈ v
⊢ (fun z => (z, g z)) ⁻¹' v ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀

tactic: refine' (continuousWithinAt_id.prod hg.continuousWithinAt).preimage_mem_nhdsWithin' _
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ (x : E × F), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
this : (x₀, g x₀) ∈ v
⊢ (fun z => (z, g z)) ⁻¹' v ∈ 𝓝[s] x₀

tactic: rw [← nhdsWithin_le_iff] at hst hv ⊢
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ (x : E × F), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
this : (x₀, g x₀) ∈ v
⊢ v ∈ 𝓝[(fun x => (id x, g x)) '' s] (id x₀, g x₀)

tactic: refine' (hst.trans <| nhdsWithin_mono _ <| subset_insert _ _).trans hv
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀) ≤ 𝓝[insert x₀ s ×ˢ t] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀) ≤ 𝓝[v] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ (x : E × F), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
this : (x₀, g x₀) ∈ v
⊢ 𝓝[(fun x => (id x, g x)) '' s] (id x₀, g x₀) ≤ 𝓝[v] (id x₀, g x₀)

tactic: intro z hz
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ (x : E × F), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
⊢ ∀ (x : E),
    x ∈ (fun z => (z, g z)) ⁻¹' v ∩ insert x₀ s →
      HasFDerivWithinAt (f x) ((fun z => ContinuousLinearMap.comp (f' (z, g z)) (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E F)) x) t
        (g x)

tactic: have := hvf' (z, g z) hz.1
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ (x : E × F), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
z : E
hz : z ∈ (fun z => (z, g z)) ⁻¹' v ∩ insert x₀ s
⊢ HasFDerivWithinAt (f z) ((fun z => ContinuousLinearMap.comp (f' (z, g z)) (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E F)) z) t (g z)

tactic: refine' this.comp _ (hasFDerivAt_prod_mk_right _ _).hasFDerivWithinAt _
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ (x : E × F), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
z : E
hz : z ∈ (fun z => (z, g z)) ⁻¹' v ∩ insert x₀ s
this : HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' (z, g z)) (insert x₀ s ×ˢ t) (z, g z)
⊢ HasFDerivWithinAt (f z) ((fun z => ContinuousLinearMap.comp (f' (z, g z)) (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E F)) z) t (g z)

tactic: exact mapsTo'.mpr (image_prod_mk_subset_prod_right hz.2)
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ (x : E × F), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
z : E
hz : z ∈ (fun z => (z, g z)) ⁻¹' v ∩ insert x₀ s
this : HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' (z, g z)) (insert x₀ s ×ˢ t) (z, g z)
⊢ MapsTo (Prod.mk z) t (insert x₀ s ×ˢ t)

tactic: exact (hf'.continuousLinearMap_comp <| (ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F (E × F) G).flip
  (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E F)).comp_of_mem x₀ (contDiffWithinAt_id.prod hg) hst
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1017591
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ (x : E × F), x ∈ v → HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun x => (fun z => ContinuousLinearMap.comp (f' (z, g z)) (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E F)) x)
    s x₀