Theorem: DenseInducing.extend_unique_at
File: Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean

tactic: refine' di.extend_eq_of_tendsto fun s hs => mem_map.2 _
state_before: α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_1
δ : Type ?u.8623
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) = f x
hg : ContinuousAt g b
⊢ extend di f b = g b

tactic: suffices : ∀ᶠ x : α in comap i (𝓝 b), g (i x) ∈ s
state_before: α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_1
δ : Type ?u.8623
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) = f x
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)
⊢ f ⁻¹' s ∈ comap i (𝓝 b)

tactic: exact hf.mp (this.mono fun x hgx hfx => hfx ▸ hgx)
state_before: α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_1
δ : Type ?u.8623
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) = f x
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)
this : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) ∈ s
⊢ f ⁻¹' s ∈ comap i (𝓝 b)

case this
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_1
δ : Type ?u.8623
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) = f x
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) ∈ s

tactic: clear hf f
state_before: case this
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_1
δ : Type ?u.8623
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) = f x
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) ∈ s

tactic: refine' eventually_comap.2 ((hg.eventually hs).mono _)
state_before: case this
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_1
δ : Type ?u.8623
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
g : β → γ
di : DenseInducing i
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) ∈ s

tactic: rintro _ hxs x rfl
state_before: case this
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_1
δ : Type ?u.8623
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
g : β → γ
di : DenseInducing i
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)
⊢ ∀ (x : β), s (g x) → ∀ (a : α), i a = x → g (i a) ∈ s

tactic: exact hxs
state_before: case this
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_1
δ : Type ?u.8623
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
g : β → γ
di : DenseInducing i
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)
x : α
hxs : s (g (i x))
⊢ g (i x) ∈ s