Theorem: ProbabilityTheory.indepSets_piiUnionInter_of_disjoint
File: Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean

tactic: rintro t1 t2 ⟨p1, hp1, f1, ht1_m, ht1_eq⟩ ⟨p2, hp2, f2, ht2_m, ht2_eq⟩
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
⊢ IndepSets (piiUnionInter s S) (piiUnionInter s T)

tactic: let g i := ite (i ∈ p1) (f1 i) Set.univ ∩ ite (i ∈ p2) (f2 i) Set.univ
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
⊢ ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ↑↑μ t1 * ↑↑μ t2

tactic: simp_rw [h_P_inter, h_μg, Finset.prod_mul_distrib,
  Finset.prod_ite_mem (p1 ∪ p2) p1 fun x => μ (f1 x), Finset.union_inter_cancel_left,
  Finset.prod_ite_mem (p1 ∪ p2) p2 fun x => μ (f2 x), Finset.union_inter_cancel_right, ht1_eq, ←
  h_indep p1 ht1_m, ht2_eq, ← h_indep p2 ht2_m]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
h_P_inter : ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ∏ n in p1 ∪ p2, ↑↑μ (g n)
h_μg : ∀ (n : ι), ↑↑μ (g n) = (if n ∈ p1 then ↑↑μ (f1 n) else 1) * if n ∈ p2 then ↑↑μ (f2 n) else 1
⊢ ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ↑↑μ t1 * ↑↑μ t2

tactic: have h_p1_inter_p2 :
  ((⋂ x ∈ p1, f1 x) ∩ ⋂ x ∈ p2, f2 x) =
    ⋂ i ∈ p1 ∪ p2, ite (i ∈ p1) (f1 i) Set.univ ∩ ite (i ∈ p2) (f2 i) Set.univ := by
  ext1 x
  simp only [Set.mem_ite_univ_right, Set.mem_inter_iff, Set.mem_iInter, Finset.mem_union]
  exact
    ⟨fun h i _ => ⟨h.1 i, h.2 i⟩, fun h =>
      ⟨fun i hi => (h i (Or.inl hi)).1 hi, fun i hi => (h i (Or.inr hi)).2 hi⟩⟩
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
hgm : ∀ (i : ι), i ∈ p1 ∪ p2 → g i ∈ s i
⊢ ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ∏ n in p1 ∪ p2, ↑↑μ (g n)

tactic: rw [ht1_eq, ht2_eq, h_p1_inter_p2, ← h_indep _ hgm]
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
hgm : ∀ (i : ι), i ∈ p1 ∪ p2 → g i ∈ s i
h_p1_inter_p2 :
  ((⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x) ∩ ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x) =
    ⋂ (i : ι) (_ : i ∈ p1 ∪ p2), (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
⊢ ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ∏ n in p1 ∪ p2, ↑↑μ (g n)

tactic: intro i hi_mem_union
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ p1 ∪ p2 → g i ∈ s i

tactic: rw [Finset.mem_union] at hi_mem_union
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
i : ι
hi_mem_union : i ∈ p1 ∪ p2
⊢ g i ∈ s i

tactic: cases' hi_mem_union with hi1 hi2
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
i : ι
hi_mem_union : i ∈ p1 ∨ i ∈ p2
⊢ g i ∈ s i

tactic: have hi2 : i ∉ p2 := fun hip2 => Set.disjoint_left.mp hST (hp1 hi1) (hp2 hip2)
state_before: case inl
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
i : ι
hi1 : i ∈ p1
⊢ g i ∈ s i

tactic: simp_rw [if_pos hi1, if_neg hi2, Set.inter_univ]
state_before: case inl
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
i : ι
hi1 : i ∈ p1
hi2 : ¬i ∈ p2
⊢ g i ∈ s i

tactic: exact ht1_m i hi1
state_before: case inl
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
i : ι
hi1 : i ∈ p1
hi2 : ¬i ∈ p2
⊢ f1 i ∈ s i

tactic: have hi1 : i ∉ p1 := fun hip1 => Set.disjoint_right.mp hST (hp2 hi2) (hp1 hip1)
state_before: case inr
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
i : ι
hi2 : i ∈ p2
⊢ g i ∈ s i

tactic: simp_rw [if_neg hi1, if_pos hi2, Set.univ_inter]
state_before: case inr
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
i : ι
hi2 : i ∈ p2
hi1 : ¬i ∈ p1
⊢ g i ∈ s i

tactic: exact ht2_m i hi2
state_before: case inr
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
i : ι
hi2 : i ∈ p2
hi1 : ¬i ∈ p1
⊢ f2 i ∈ s i

tactic: ext1 x
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
hgm : ∀ (i : ι), i ∈ p1 ∪ p2 → g i ∈ s i
⊢ ((⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x) ∩ ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x) =
    ⋂ (i : ι) (_ : i ∈ p1 ∪ p2), (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ

tactic: simp only [Set.mem_ite_univ_right, Set.mem_inter_iff, Set.mem_iInter, Finset.mem_union]
state_before: case h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
hgm : ∀ (i : ι), i ∈ p1 ∪ p2 → g i ∈ s i
x : Ω
⊢ (x ∈ (⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x) ∩ ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x) ↔
    x ∈ ⋂ (i : ι) (_ : i ∈ p1 ∪ p2), (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ

tactic: exact
  ⟨fun h i _ => ⟨h.1 i, h.2 i⟩, fun h =>
    ⟨fun i hi => (h i (Or.inl hi)).1 hi, fun i hi => (h i (Or.inr hi)).2 hi⟩⟩
state_before: case h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
hgm : ∀ (i : ι), i ∈ p1 ∪ p2 → g i ∈ s i
x : Ω
⊢ ((∀ (i : ι), i ∈ p1 → x ∈ f1 i) ∧ ∀ (i : ι), i ∈ p2 → x ∈ f2 i) ↔
    ∀ (i : ι), i ∈ p1 ∨ i ∈ p2 → (i ∈ p1 → x ∈ f1 i) ∧ (i ∈ p2 → x ∈ f2 i)

tactic: intro n
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
h_P_inter : ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ∏ n in p1 ∪ p2, ↑↑μ (g n)
⊢ ∀ (n : ι), ↑↑μ (g n) = (if n ∈ p1 then ↑↑μ (f1 n) else 1) * if n ∈ p2 then ↑↑μ (f2 n) else 1

tactic: dsimp only
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
h_P_inter : ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ∏ n in p1 ∪ p2, ↑↑μ (g n)
n : ι
⊢ ↑↑μ (g n) = (if n ∈ p1 then ↑↑μ (f1 n) else 1) * if n ∈ p2 then ↑↑μ (f2 n) else 1

tactic: split_ifs with h1 h2
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
h_P_inter : ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ∏ n in p1 ∪ p2, ↑↑μ (g n)
n : ι
⊢ ↑↑μ ((if n ∈ p1 then f1 n else Set.univ) ∩ if n ∈ p2 then f2 n else Set.univ) =
    (if n ∈ p1 then ↑↑μ (f1 n) else 1) * if n ∈ p2 then ↑↑μ (f2 n) else 1

tactic: all_goals simp only [measure_univ, one_mul, mul_one, Set.inter_univ, Set.univ_inter]
state_before: case inl.inr
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
h_P_inter : ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ∏ n in p1 ∪ p2, ↑↑μ (g n)
n : ι
h1 : n ∈ p1
h2 : ¬n ∈ p2
⊢ ↑↑μ (f1 n ∩ Set.univ) = ↑↑μ (f1 n) * 1

case inr.inl
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
h_P_inter : ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ∏ n in p1 ∪ p2, ↑↑μ (g n)
n : ι
h1 : ¬n ∈ p1
h✝ : n ∈ p2
⊢ ↑↑μ (Set.univ ∩ f2 n) = 1 * ↑↑μ (f2 n)

case inr.inr
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
h_P_inter : ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ∏ n in p1 ∪ p2, ↑↑μ (g n)
n : ι
h1 : ¬n ∈ p1
h✝ : ¬n ∈ p2
⊢ ↑↑μ (Set.univ ∩ Set.univ) = 1 * 1

tactic: exact absurd rfl (Set.disjoint_iff_forall_ne.mp hST (hp1 h1) (hp2 h2))
state_before: case inl.inl
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
h_P_inter : ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ∏ n in p1 ∪ p2, ↑↑μ (g n)
n : ι
h1 : n ∈ p1
h2 : n ∈ p2
⊢ ↑↑μ (f1 n ∩ f2 n) = ↑↑μ (f1 n) * ↑↑μ (f2 n)

tactic: simp only [measure_univ, one_mul, mul_one, Set.inter_univ, Set.univ_inter]
state_before: case inr.inr
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ (x : ι), x ∈ p1 → f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p1), f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ (x : ι), x ∈ p2 → f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ (x : ι) (_ : x ∈ p2), f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else Set.univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else Set.univ
h_P_inter : ↑↑μ (t1 ∩ t2) = ∏ n in p1 ∪ p2, ↑↑μ (g n)
n : ι
h1 : ¬n ∈ p1
h✝ : ¬n ∈ p2
⊢ ↑↑μ (Set.univ ∩ Set.univ) = 1 * 1