Theorem: MeasureTheory.Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

tactic: have A : (∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^  p.toReal) ∂μ) = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
  apply lintegral_congr
  intro x
  rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm,
    ← ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ toReal_nonneg]
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
⊢ snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹)

tactic: simp only [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp1 hp2, one_div]
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ
⊢ snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹)

tactic: rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae]
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ =
    ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹)

tactic: rotate_left
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ =
    ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹)

case hf
α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p

case hfm
α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) μ

tactic: rw [A, ← ofReal_rpow_of_nonneg toReal_nonneg (inv_nonneg.2 toReal_nonneg), ofReal_toReal]
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ =
    ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹)

tactic: apply lintegral_congr
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ

tactic: intro x
state_before: case h
α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
⊢ ∀ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) = ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p)

tactic: rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm,
  ← ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ toReal_nonneg]
state_before: case h
α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
x : α
⊢ ENNReal.ofReal (‖f x‖ ^ ENNReal.toReal p) = ↑(‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p)

tactic: exact eventually_of_forall fun x => Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _
state_before: case hf
α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p

tactic: exact (hf.aestronglyMeasurable.norm.aemeasurable.pow_const _).aestronglyMeasurable
state_before: case hfm
α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) μ

tactic: simp_rw [← ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ toReal_nonneg]
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ =
    (∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹

tactic: simp_rw [← ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ toReal_nonneg]
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) ≠ ⊤

tactic: exact (lintegral_rpow_nnnorm_lt_top_of_snorm_lt_top hp1 hp2 hf.2).ne
state_before: α : Type u_2
E : Type ?u.1137869
F : Type ?u.1137872
𝕜 : Type ?u.1137875
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1140566
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ≠ ⊤