Theorem: Besicovitch.exist_finset_disjoint_balls_large_measure
File: Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean

tactic: rcases le_or_lt (μ s) 0 with (hμs | hμs)
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: cases isEmpty_or_nonempty α
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: have Npos : N ≠ 0 := by
  rintro rfl
  inhabit α
  exact not_isEmpty_of_nonempty _ hN
state_before: case inr.inr
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: obtain ⟨o, so, omeas, μo⟩ : ∃ o : Set α, s ⊆ o ∧ MeasurableSet o ∧ μ o = μ s :=
  exists_measurable_superset μ s
state_before: case inr.inr
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: let a : BallPackage s α :=
  { c := fun x => x
    r := fun x => r x
    rpos := fun x => rpos x x.2
    r_bound := 1
    r_le := fun x => rle x x.2 }
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: rcases exist_disjoint_covering_families hτ hN a with ⟨u, hu, hu'⟩
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: have u_count : ∀ i, (u i).Countable := by
  intro i
  refine' (hu i).countable_of_nonempty_interior fun j _ => _
  have : (ball (j : α) (r j)).Nonempty := nonempty_ball.2 (a.rpos _)
  exact this.mono ball_subset_interior_closedBall
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: let v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : s) (_ : x ∈ u i), closedBall x (r x)
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: have A : s = ⋃ i : Fin N, s ∩ v i := by
  refine' Subset.antisymm _ (iUnion_subset fun i => inter_subset_left _ _)
  intro x hx
  obtain ⟨i, y, hxy, h'⟩ :
      ∃ (i : Fin N) (i_1 : ↥s), i_1 ∈ u i ∧ x ∈ ball (↑i_1) (r ↑i_1) := by
    have : x ∈ range a.c := by simpa only [Subtype.range_coe_subtype, setOf_mem_eq]
    simpa only [mem_iUnion, bex_def] using hu' this
  refine' mem_iUnion.2 ⟨i, ⟨hx, _⟩⟩
  simp only [exists_prop, mem_iUnion, SetCoe.exists, exists_and_right, Subtype.coe_mk]
  exact ⟨y, ⟨y.2, by simpa only [Subtype.coe_eta]⟩, ball_subset_closedBall h'⟩
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: obtain ⟨i, -, hi⟩ : ∃ (i : Fin N), i ∈ Finset.univ ∧ μ s / N ≤ μ (s ∩ v i) := by
  apply ENNReal.exists_le_of_sum_le _ S
  exact ⟨⟨0, bot_lt_iff_ne_bot.2 Npos⟩, Finset.mem_univ _⟩
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: replace hi : μ s / (N + 1) < μ (s ∩ v i)
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: obtain ⟨w, hw⟩ :
  ∃ w : Finset (u i), μ s / (N + 1) <
    ∑ x : u i in w, μ (o ∩ closedBall (x : α) (r (x : α))) := by
  have C : HasSum (fun x : u i => μ (o ∩ closedBall x (r x))) (μ (o ∩ v i)) := by
    rw [B]; exact ENNReal.summable.hasSum
  have : μ s / (N + 1) < μ (o ∩ v i) := hi.trans_le (measure_mono (inter_subset_inter_left _ so))
  exact ((tendsto_order.1 C).1 _ this).exists
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: refine' ⟨Finset.image (fun x : u i => x) w, _, _, _⟩
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: have : μ s = 0 := le_bot_iff.1 hμs
state_before: case inl
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : ↑↑μ s ≤ 0
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: refine' ⟨∅, by simp only [Finset.coe_empty, empty_subset], _, _⟩
state_before: case inl
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : ↑↑μ s ≤ 0
this : ↑↑μ s = 0
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: simp only [Finset.coe_empty, empty_subset]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : ↑↑μ s ≤ 0
this : ↑↑μ s = 0
⊢ ↑∅ ⊆ s

tactic: simp only [this, Finset.not_mem_empty, diff_empty, iUnion_false, iUnion_empty,
  nonpos_iff_eq_zero, MulZeroClass.mul_zero]
state_before: case inl.refine'_1
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : ↑↑μ s ≤ 0
this : ↑↑μ s = 0
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ ∅), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s

tactic: simp only [Finset.coe_empty, pairwiseDisjoint_empty]
state_before: case inl.refine'_2
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : ↑↑μ s ≤ 0
this : ↑↑μ s = 0
⊢ PairwiseDisjoint ↑∅ fun x => closedBall x (r x)

tactic: simp only [eq_empty_of_isEmpty s, measure_empty] at hμs
state_before: case inr.inl
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : IsEmpty α
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: exact (lt_irrefl _ hμs).elim
state_before: case inr.inl
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
h✝ : IsEmpty α
hμs : 0 < 0
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧
        PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)

tactic: rintro rfl
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
⊢ N ≠ 0

tactic: inhabit α
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α 0 τ)
⊢ False

tactic: exact not_isEmpty_of_nonempty _ hN
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α 0 τ)
inhabited_h : Inhabited α
⊢ False

tactic: intro i
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
⊢ ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)

tactic: refine' (hu i).countable_of_nonempty_interior fun j _ => _
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
i : Fin N
⊢ Set.Countable (u i)

tactic: have : (ball (j : α) (r j)).Nonempty := nonempty_ball.2 (a.rpos _)
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
i : Fin N
j : ↑s
x✝ : j ∈ u i
⊢ Set.Nonempty (interior (closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)))

tactic: exact this.mono ball_subset_interior_closedBall
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
i : Fin N
j : ↑s
x✝ : j ∈ u i
this : Set.Nonempty (ball (↑j) (r ↑j))
⊢ Set.Nonempty (interior (closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)))

tactic: refine' Subset.antisymm _ (iUnion_subset fun i => inter_subset_left _ _)
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
⊢ s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i

tactic: intro x hx
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
⊢ s ⊆ ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i

tactic: obtain ⟨i, y, hxy, h'⟩ :
    ∃ (i : Fin N) (i_1 : ↥s), i_1 ∈ u i ∧ x ∈ ball (↑i_1) (r ↑i_1) := by
  have : x ∈ range a.c := by simpa only [Subtype.range_coe_subtype, setOf_mem_eq]
  simpa only [mem_iUnion, bex_def] using hu' this
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
x : α
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i

tactic: refine' mem_iUnion.2 ⟨i, ⟨hx, _⟩⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
x : α
hx : x ∈ s
i : Fin N
y : ↑s
hxy : y ∈ u i
h' : x ∈ ball (?m.204066 i y) (r ↑y)
⊢ x ∈ ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i

tactic: simp only [exists_prop, mem_iUnion, SetCoe.exists, exists_and_right, Subtype.coe_mk]
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
x : α
hx : x ∈ s
i : Fin N
y : ↑s
hxy : y ∈ u i
h' : x ∈ ball (↑y) (r ↑y)
⊢ x ∈ v i

tactic: exact ⟨y, ⟨y.2, by simpa only [Subtype.coe_eta]⟩, ball_subset_closedBall h'⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
x : α
hx : x ∈ s
i : Fin N
y : ↑s
hxy : y ∈ u i
h' : x ∈ ball (↑y) (r ↑y)
⊢ ∃ x_1, (∃ x, { val := x_1, property := (_ : x_1 ∈ s) } ∈ u i) ∧ x ∈ closedBall x_1 (r x_1)

tactic: have : x ∈ range a.c := by simpa only [Subtype.range_coe_subtype, setOf_mem_eq]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ∃ i i_1, i_1 ∈ u i ∧ x ∈ ball (↑i_1) (r ↑i_1)

tactic: simpa only [mem_iUnion, bex_def] using hu' this
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
x : α
hx : x ∈ s
this : x ∈ range a.c
⊢ ∃ i i_1, i_1 ∈ u i ∧ x ∈ ball (↑i_1) (r ↑i_1)

tactic: simpa only [Subtype.range_coe_subtype, setOf_mem_eq]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
x : α
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ range a.c

tactic: simpa only [Subtype.coe_eta]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
x : α
hx : x ∈ s
i : Fin N
y : ↑s
hxy : y ∈ u i
h' : x ∈ ball (↑y) (r ↑y)
⊢ { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ s) } ∈ u i

tactic: simp only [Finset.card_fin, Finset.sum_const, nsmul_eq_mul]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
⊢ ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N = ↑↑μ s

tactic: rw [ENNReal.mul_div_cancel']
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
⊢ ↑N * (↑↑μ s / ↑N) = ↑↑μ s

tactic: simp only [Npos, Ne.def, Nat.cast_eq_zero, not_false_iff]
state_before: case h0
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
⊢ ↑N ≠ 0

tactic: exact ENNReal.nat_ne_top _
state_before: case hI
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
⊢ ↑N ≠ ⊤

tactic: conv_lhs => rw [A]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
⊢ ↑↑μ s ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)

tactic: apply measure_iUnion_fintype_le
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
⊢ ↑↑μ (⋃ (i : Fin N), s ∩ v i) ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)

tactic: apply ENNReal.exists_le_of_sum_le _ S
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
⊢ ∃ i, i ∈ Finset.univ ∧ ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)

tactic: exact ⟨⟨0, bot_lt_iff_ne_bot.2 Npos⟩, Finset.mem_univ _⟩
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
⊢ Finset.Nonempty Finset.univ

tactic: apply lt_of_lt_of_le _ hi
state_before: case hi
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)
⊢ ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)

tactic: apply (ENNReal.mul_lt_mul_left hμs.ne' (measure_lt_top μ s).ne).2
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)
⊢ ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ s / ↑N

tactic: rw [ENNReal.inv_lt_inv]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)
⊢ (↑N + 1)⁻¹ < (↑N)⁻¹

tactic: conv_lhs => rw [← add_zero (N : ℝ≥0∞)]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)
⊢ ↑N < ↑N + 1

tactic: exact ENNReal.add_lt_add_left (ENNReal.nat_ne_top N) zero_lt_one
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)
⊢ ↑N + 0 < ↑N + 1

tactic: have : o ∩ v i = ⋃ (x : s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall x (r x) := by simp only [inter_iUnion]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
⊢ ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))

tactic: rw [this, measure_biUnion (u_count i)]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
this : o ∩ v i = ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)
⊢ ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))

tactic: simp only [inter_iUnion]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
⊢ o ∩ v i = ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)

tactic: exact (hu i).mono fun k => inter_subset_right _ _
state_before: case hd
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
this : o ∩ v i = ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)
⊢ PairwiseDisjoint (u i) fun x => o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)

tactic: exact fun b _ => omeas.inter measurableSet_closedBall
state_before: case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
this : o ∩ v i = ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)
⊢ ∀ (b : ↑s), b ∈ u i → MeasurableSet (o ∩ closedBall (↑b) (r ↑b))

tactic: have C : HasSum (fun x : u i => μ (o ∩ closedBall x (r x))) (μ (o ∩ v i)) := by
  rw [B]; exact ENNReal.summable.hasSum
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ∃ w, ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))

tactic: have : μ s / (N + 1) < μ (o ∩ v i) := hi.trans_le (measure_mono (inter_subset_inter_left _ so))
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
C : HasSum (fun x => ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) (↑↑μ (o ∩ v i))
⊢ ∃ w, ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))

tactic: exact ((tendsto_order.1 C).1 _ this).exists
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
C : HasSum (fun x => ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) (↑↑μ (o ∩ v i))
this : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (o ∩ v i)
⊢ ∃ w, ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))

tactic: rw [B]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ HasSum (fun x => ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) (↑↑μ (o ∩ v i))

tactic: exact ENNReal.summable.hasSum
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ HasSum (fun x => ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) (∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)))

tactic: simp only [image_subset_iff, Finset.coe_image]
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w) ⊆ s

tactic: intro y _
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ↑w ⊆ (fun x => ↑↑x) ⁻¹' s

tactic: simp only [Subtype.coe_prop, mem_preimage]
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
y : ↑(u i)
a✝ : y ∈ ↑w
⊢ y ∈ (fun x => ↑↑x) ⁻¹' s

tactic: suffices H : μ (o \ ⋃ x ∈ w, closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ N / (N + 1) * μ s
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ Finset.image (fun x => ↑↑x) w), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s

tactic: rw [← diff_inter_self_eq_diff,
  measure_diff_le_iff_le_add _ (inter_subset_right _ _) (measure_lt_top μ _).ne]
state_before: case H
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ↑↑μ (o \ ⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s

tactic: swap
state_before: case H
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ↑↑μ o ≤ ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o) + ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s

α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ MeasurableSet ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)

tactic: rw [Finset.set_biUnion_finset_image]
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
H : ↑↑μ (o \ ⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ Finset.image (fun x => ↑↑x) w), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s

tactic: exact le_trans (measure_mono (diff_subset_diff so (Subset.refl _))) H
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
H : ↑↑μ (o \ ⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s
⊢ ↑↑μ (s \ ⋃ (y : ↑(u i)) (_ : y ∈ w), closedBall (↑↑y) (r ↑↑y)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s

tactic: apply MeasurableSet.inter _ omeas
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ MeasurableSet ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)

tactic: haveI : Encodable (u i) := (u_count i).toEncodable
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ MeasurableSet (⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))

tactic: exact MeasurableSet.iUnion fun b => MeasurableSet.iUnion fun _ => measurableSet_closedBall
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
this : Encodable ↑(u i)
⊢ MeasurableSet (⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))

tactic: rw [μo, ← add_mul, ENNReal.div_add_div_same, add_comm, ENNReal.div_self, one_mul] <;> simp
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ↑↑μ o = 1 / (↑N + 1) * ↑↑μ s + ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s

tactic: refine' add_le_add _ le_rfl
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ 1 / (↑N + 1) * ↑↑μ s + ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ≤
    ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o) + ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s

tactic: rw [div_eq_mul_inv, one_mul, mul_comm, ← div_eq_mul_inv]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ 1 / (↑N + 1) * ↑↑μ s ≤ ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)

tactic: apply hw.le.trans (le_of_eq _)
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ↑↑μ s / (↑N + 1) ≤ ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)

tactic: rw [← Finset.set_biUnion_coe, inter_comm _ o, inter_iUnion₂, Finset.set_biUnion_coe,
  measure_biUnion_finset]
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) = ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)

tactic: have : (w : Set (u i)).PairwiseDisjoint
    fun b : u i => closedBall (b : α) (r (b : α)) := by
  intro k _ l _ hkl; exact hu i k.2 l.2 (Subtype.val_injective.ne hkl)
state_before: case hd
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ PairwiseDisjoint ↑w fun x => o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)

tactic: exact this.mono fun k => inter_subset_right _ _
state_before: case hd
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
this : PairwiseDisjoint ↑w fun b => closedBall (↑↑b) (r ↑↑b)
⊢ PairwiseDisjoint ↑w fun x => o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)

tactic: intro k _ l _ hkl
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ PairwiseDisjoint ↑w fun b => closedBall (↑↑b) (r ↑↑b)

tactic: exact hu i k.2 l.2 (Subtype.val_injective.ne hkl)
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
k : ↑(u i)
a✝¹ : k ∈ ↑w
l : ↑(u i)
a✝ : l ∈ ↑w
hkl : k ≠ l
⊢ (Disjoint on fun b => closedBall (↑↑b) (r ↑↑b)) k l

tactic: intro b _
state_before: case hm
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ∀ (b : ↑(u i)), b ∈ w → MeasurableSet (o ∩ closedBall (↑↑b) (r ↑↑b))

tactic: apply omeas.inter measurableSet_closedBall
state_before: case hm
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
b : ↑(u i)
a✝ : b ∈ w
⊢ MeasurableSet (o ∩ closedBall (↑↑b) (r ↑↑b))

tactic: intro k hk l hl hkl
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ PairwiseDisjoint ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w) fun x => closedBall x (r x)

tactic: obtain ⟨k', _, rfl⟩ : ∃ k' : u i, k' ∈ w ∧ ↑k' = k := by
  simpa only [mem_image, Finset.mem_coe, Finset.coe_image] using hk
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
k : α
hk : k ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
l : α
hl : l ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
hkl : k ≠ l
⊢ (Disjoint on fun x => closedBall x (r x)) k l

tactic: obtain ⟨l', _, rfl⟩ : ∃ l' : u i, l' ∈ w ∧ ↑l' = l := by
  simpa only [mem_image, Finset.mem_coe, Finset.coe_image] using hl
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
l : α
hl : l ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
k' : ↑(u i)
left✝ : k' ∈ w
hk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
hkl : ↑↑k' ≠ l
⊢ (Disjoint on fun x => closedBall x (r x)) (↑↑k') l

tactic: have k'nel' : (k' : s) ≠ l' := by intro h; rw [h] at hkl ; exact hkl rfl
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
k' : ↑(u i)
left✝¹ : k' ∈ w
hk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
l' : ↑(u i)
left✝ : l' ∈ w
hl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
hkl : ↑↑k' ≠ ↑↑l'
⊢ (Disjoint on fun x => closedBall x (r x)) ↑↑k' ↑↑l'

tactic: exact hu i k'.2 l'.2 k'nel'
state_before: case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
k' : ↑(u i)
left✝¹ : k' ∈ w
hk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
l' : ↑(u i)
left✝ : l' ∈ w
hl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
hkl : ↑↑k' ≠ ↑↑l'
k'nel' : ↑k' ≠ ↑l'
⊢ (Disjoint on fun x => closedBall x (r x)) ↑↑k' ↑↑l'

tactic: simpa only [mem_image, Finset.mem_coe, Finset.coe_image] using hk
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
k : α
hk : k ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
l : α
hl : l ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
hkl : k ≠ l
⊢ ∃ k', k' ∈ w ∧ ↑↑k' = k

tactic: simpa only [mem_image, Finset.mem_coe, Finset.coe_image] using hl
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
l : α
hl : l ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
k' : ↑(u i)
left✝ : k' ∈ w
hk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
hkl : ↑↑k' ≠ l
⊢ ∃ l', l' ∈ w ∧ ↑↑l' = l

tactic: intro h
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
k' : ↑(u i)
left✝¹ : k' ∈ w
hk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
l' : ↑(u i)
left✝ : l' ∈ w
hl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
hkl : ↑↑k' ≠ ↑↑l'
⊢ ↑k' ≠ ↑l'

tactic: rw [h] at hkl
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
k' : ↑(u i)
left✝¹ : k' ∈ w
hk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
l' : ↑(u i)
left✝ : l' ∈ w
hl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
hkl : ↑↑k' ≠ ↑↑l'
h : ↑k' = ↑l'
⊢ False

tactic: exact hkl rfl
state_before: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x
rle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1
hμs : 0 < ↑↑μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : ↑↑μ o = ↑↑μ s
a : BallPackage (↑s) α :=
  { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,
    r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)
u_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)
B : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
k' : ↑(u i)
left✝¹ : k' ∈ w
hk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
l' : ↑(u i)
left✝ : l' ∈ w
hl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)
hkl : ↑↑l' ≠ ↑↑l'
h : ↑k' = ↑l'
⊢ False