Theorem: contDiffAt_succ_iff_hasFDerivAt
File: Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean

tactic: rw [← contDiffWithinAt_univ, contDiffWithinAt_succ_iff_hasFDerivWithinAt]
state_before: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ ContDiffAt 𝕜 (↑(n + 1)) f x ↔
    ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x

tactic: simp only [nhdsWithin_univ, exists_prop, mem_univ, insert_eq_of_mem]
state_before: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ u,
      u ∈ 𝓝[insert x univ] x ∧
        ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) ↔
    ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x

tactic: constructor
state_before: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) ↔
    ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x

tactic: rintro ⟨u, H, f', h_fderiv, h_cont_diff⟩
state_before: case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) →
    ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x

tactic: rcases mem_nhds_iff.mp H with ⟨t, htu, ht, hxt⟩
state_before: case mp.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
⊢ ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x

tactic: refine' ⟨f', ⟨t, _⟩, h_cont_diff.contDiffAt H⟩
state_before: case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
⊢ ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x

tactic: refine' ⟨mem_nhds_iff.mpr ⟨t, Subset.rfl, ht, hxt⟩, _⟩
state_before: case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
⊢ t ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ t → HasFDerivAt f (f' x) x

tactic: intro y hyt
state_before: case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
⊢ ∀ (x : E), x ∈ t → HasFDerivAt f (f' x) x

tactic: refine' (h_fderiv y (htu hyt)).hasFDerivAt _
state_before: case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
y : E
hyt : y ∈ t
⊢ HasFDerivAt f (f' y) y

tactic: exact mem_nhds_iff.mpr ⟨t, htu, ht, hyt⟩
state_before: case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
y : E
hyt : y ∈ t
⊢ u ∈ 𝓝 y

tactic: rintro ⟨f', ⟨u, H, h_fderiv⟩, h_cont_diff⟩
state_before: case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x) →
    ∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x

tactic: refine' ⟨u, H, f', _, h_cont_diff.contDiffWithinAt⟩
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
f' : E → E →L[𝕜] F
h_cont_diff : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x

tactic: intro x hxu
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
f' : E → E →L[𝕜] F
h_cont_diff : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x
⊢ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x

tactic: exact (h_fderiv x hxu).hasFDerivWithinAt
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
f' : E → E →L[𝕜] F
h_cont_diff : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x✝
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x✝
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
hxu : x ∈ u
⊢ HasFDerivWithinAt f (f' x) u x