Theorem: Ring.DirectLimit.of_injective
File: Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean

tactic: suffices ∀ x, of G (fun i j h => f' i j h) i x = 0 → x = 0 by
  intro x y hxy
  rw [← sub_eq_zero]
  apply this
  rw [(of G _ i).map_sub, hxy, sub_self]
state_before: R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ↑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ↑(f' i j hij)
i : ι
⊢ Function.Injective ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i)

tactic: intro x hx
state_before: R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ↑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ↑(f' i j hij)
i : ι
⊢ ∀ (x : G i), ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) x = 0 → x = 0

tactic: rcases of.zero_exact hx with ⟨j, hij, hfx⟩
state_before: R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ↑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ↑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) x = 0
⊢ x = 0

tactic: apply hf i j hij
state_before: case intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ↑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ↑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) x = 0
j : ι
hij : i ≤ j
hfx : ↑(f' i j hij) x = 0
⊢ x = 0

tactic: rw [hfx, (f' i j hij).map_zero]
state_before: case intro.intro.a
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ↑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ↑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) x = 0
j : ι
hij : i ≤ j
hfx : ↑(f' i j hij) x = 0
⊢ ↑(f' i j hij) x = ↑(f' i j hij) 0

tactic: intro x y hxy
state_before: R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ↑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ↑(f' i j hij)
i : ι
this : ∀ (x : G i), ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) x = 0 → x = 0
⊢ Function.Injective ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i)

tactic: rw [← sub_eq_zero]
state_before: R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ↑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ↑(f' i j hij)
i : ι
this : ∀ (x : G i), ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) x = 0 → x = 0
x y : G i
hxy : ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) x = ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) y
⊢ x = y

tactic: apply this
state_before: R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ↑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ↑(f' i j hij)
i : ι
this : ∀ (x : G i), ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) x = 0 → x = 0
x y : G i
hxy : ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) x = ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) y
⊢ x - y = 0

tactic: rw [(of G _ i).map_sub, hxy, sub_self]
state_before: case a
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ↑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ↑(f' i j hij)
i : ι
this : ∀ (x : G i), ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) x = 0 → x = 0
x y : G i
hxy : ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) x = ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) y
⊢ ↑(of G (fun i j h => ↑(f' i j h)) i) (x - y) = 0