Theorem: MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc_mono_left'
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: refine' sum_le_sum fun i _ => _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.333910
F' : Type ?u.333913
G : Type ?u.333916
𝕜 : Type ?u.333919
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type ?u.334219
G'' : Type u_3
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ setToSimpleFunc T f ≤ setToSimpleFunc T' f

tactic: by_cases h0 : i = 0
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.333910
F' : Type ?u.333913
G : Type ?u.333916
𝕜 : Type ?u.333919
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type ?u.334219
G'' : Type u_3
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
i : E
x✝ : i ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {i})) i ≤ ↑(T' (↑f ⁻¹' {i})) i

tactic: simp [h0]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.333910
F' : Type ?u.333913
G : Type ?u.333916
𝕜 : Type ?u.333919
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type ?u.334219
G'' : Type u_3
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
i : E
x✝ : i ∈ SimpleFunc.range f
h0 : i = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {i})) i ≤ ↑(T' (↑f ⁻¹' {i})) i

tactic: exact hTT' _ (measurableSet_fiber _ _) (measure_preimage_lt_top_of_integrable _ hf h0) i
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.333910
F' : Type ?u.333913
G : Type ?u.333916
𝕜 : Type ?u.333919
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type ?u.334219
G'' : Type u_3
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
i : E
x✝ : i ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬i = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {i})) i ≤ ↑(T' (↑f ⁻¹' {i})) i