Theorem: Matrix.charpoly_monic
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean

tactic: nontriviality R
state_before: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
⊢ Monic (charpoly M)

tactic: by_cases h : Fintype.card n = 0
state_before: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
⊢ Monic (charpoly M)

tactic: have mon : (∏ i : n, (X - C (M i i))).Monic := by
  apply monic_prod_of_monic univ fun i : n => X - C (M i i)
  simp [monic_X_sub_C]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
⊢ Monic (charpoly M)

tactic: rw [← sub_add_cancel (∏ i : n, (X - C (M i i))) M.charpoly] at mon
state_before: case neg
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : Monic (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)))
⊢ Monic (charpoly M)

tactic: rw [Monic] at *
state_before: case neg
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : Monic (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M + charpoly M)
⊢ Monic (charpoly M)

tactic: rwa [leadingCoeff_add_of_degree_lt] at mon
state_before: case neg
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : leadingCoeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M + charpoly M) = 1
⊢ leadingCoeff (charpoly M) = 1

tactic: rw [charpoly_degree_eq_dim]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : leadingCoeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M + charpoly M) = 1
⊢ degree (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M) < degree (charpoly M)

tactic: rw [← neg_sub]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : leadingCoeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M + charpoly M) = 1
⊢ degree (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M) < ↑(Fintype.card n)

tactic: rw [degree_neg]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : leadingCoeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M + charpoly M) = 1
⊢ degree (-(charpoly M - ∏ i : n, (X - ↑C (M i i)))) < ↑(Fintype.card n)

tactic: apply lt_trans (charpoly_sub_diagonal_degree_lt M)
state_before: case neg
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : leadingCoeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M + charpoly M) = 1
⊢ degree (charpoly M - ∏ i : n, (X - ↑C (M i i))) < ↑(Fintype.card n)

tactic: rw [Nat.cast_withBot, Nat.cast_withBot]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : leadingCoeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M + charpoly M) = 1
⊢ ↑(Fintype.card n - 1) < ↑(Fintype.card n)

tactic: rw [WithBot.coe_lt_coe]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : leadingCoeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M + charpoly M) = 1
⊢ ↑(Fintype.card n - 1) < ↑(Fintype.card n)

tactic: rw [← Nat.pred_eq_sub_one]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : leadingCoeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M + charpoly M) = 1
⊢ Fintype.card n - 1 < Fintype.card n

tactic: apply Nat.pred_lt
state_before: case neg
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : leadingCoeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M + charpoly M) = 1
⊢ Nat.pred (Fintype.card n) < Fintype.card n

tactic: apply h
state_before: case neg.a
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : leadingCoeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)) - charpoly M + charpoly M) = 1
⊢ Fintype.card n ≠ 0

tactic: rw [charpoly, det_of_card_zero h]
state_before: case pos
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : Fintype.card n = 0
⊢ Monic (charpoly M)

tactic: apply monic_one
state_before: case pos
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : Fintype.card n = 0
⊢ Monic 1

tactic: apply monic_prod_of_monic univ fun i : n => X - C (M i i)
state_before: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
⊢ Monic (∏ i : n, (X - ↑C (M i i)))

tactic: simp [monic_X_sub_C]
state_before: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
⊢ ∀ (i : n), i ∈ univ → Monic (X - ↑C (M i i))