Theorem: Qpf.liftr_iff
File: Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean

tactic: constructor
state_before: F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
⊢ Liftr r x y ↔
    ∃ a f₀ f₁,
      x = abs { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = abs { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r (f₀ i) (f₁ i)

tactic: rintro ⟨a, f₀, f₁, xeq, yeq, h⟩
state_before: case mpr
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
⊢ (∃ a f₀ f₁,
      x = abs { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = abs { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r (f₀ i) (f₁ i)) →
    Liftr r x y

tactic: use abs ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), h i⟩⟩
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = abs { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ Liftr r x y

tactic: constructor
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = abs { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).fst) <$> abs { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } =
      x ∧
    (fun t => (↑t).snd) <$>
        abs { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } =
      y

tactic: rw [yeq, ← abs_map]
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.right
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = abs { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).snd) <$> abs { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } =
    y

tactic: rfl
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.right
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = abs { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ abs
      ((fun t => (↑t).snd) <$>
        { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } }) =
    abs { fst := a, snd := f₁ }

tactic: rintro ⟨u, xeq, yeq⟩
state_before: case mp
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
⊢ Liftr r x y →
    ∃ a f₀ f₁,
      x = abs { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = abs { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r (f₀ i) (f₁ i)

tactic: cases' h : repr u with a f
state_before: case mp.intro.intro
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
u : F { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
⊢ ∃ a f₀ f₁,
    x = abs { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = abs { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r (f₀ i) (f₁ i)

tactic: use a, fun i => (f i).val.fst, fun i => (f i).val.snd
state_before: case mp.intro.intro.mk
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
u : F { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → { p // r p.fst p.snd }
h : repr u = { fst := a, snd := f }
⊢ ∃ a f₀ f₁,
    x = abs { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = abs { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r (f₀ i) (f₁ i)

tactic: constructor
state_before: case mp.intro.intro.mk
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
u : F { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → { p // r p.fst p.snd }
h : repr u = { fst := a, snd := f }
⊢ x = abs { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).fst } ∧
    y = abs { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).snd } ∧
      ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r ((fun i => (↑(f i)).fst) i) ((fun i => (↑(f i)).snd) i)

tactic: constructor
state_before: case mp.intro.intro.mk.right
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
u : F { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → { p // r p.fst p.snd }
h : repr u = { fst := a, snd := f }
⊢ y = abs { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).snd } ∧
    ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r ((fun i => (↑(f i)).fst) i) ((fun i => (↑(f i)).snd) i)

tactic: intro i
state_before: case mp.intro.intro.mk.right.right
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
u : F { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → { p // r p.fst p.snd }
h : repr u = { fst := a, snd := f }
⊢ ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r ((fun i => (↑(f i)).fst) i) ((fun i => (↑(f i)).snd) i)

tactic: exact (f i).property
state_before: case mp.intro.intro.mk.right.right
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
u : F { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → { p // r p.fst p.snd }
h : repr u = { fst := a, snd := f }
i : PFunctor.B (P F) a
⊢ r ((fun i => (↑(f i)).fst) i) ((fun i => (↑(f i)).snd) i)

tactic: rw [← xeq, ← abs_repr u, h, ← abs_map]
state_before: case mp.intro.intro.mk.left
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
u : F { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → { p // r p.fst p.snd }
h : repr u = { fst := a, snd := f }
⊢ x = abs { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).fst }

tactic: rfl
state_before: case mp.intro.intro.mk.left
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
u : F { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → { p // r p.fst p.snd }
h : repr u = { fst := a, snd := f }
⊢ abs ((fun t => (↑t).fst) <$> { fst := a, snd := f }) = abs { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).fst }

tactic: rw [← yeq, ← abs_repr u, h, ← abs_map]
state_before: case mp.intro.intro.mk.right.left
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
u : F { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → { p // r p.fst p.snd }
h : repr u = { fst := a, snd := f }
⊢ y = abs { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).snd }

tactic: rfl
state_before: case mp.intro.intro.mk.right.left
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
u : F { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : (P F).A
f : PFunctor.B (P F) a → { p // r p.fst p.snd }
h : repr u = { fst := a, snd := f }
⊢ abs ((fun t => (↑t).snd) <$> { fst := a, snd := f }) = abs { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).snd }

tactic: rw [xeq, ← abs_map]
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.left
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = abs { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).fst) <$> abs { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } =
    x

tactic: rfl
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.left
F : Type u → Type u
inst✝ : Functor F
q : Qpf F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : PFunctor.B (P F) a → α
xeq : x = abs { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = abs { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : PFunctor.B (P F) a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ abs
      ((fun t => (↑t).fst) <$>
        { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } }) =
    abs { fst := a, snd := f₀ }