Theorem: Asymptotics.IsBigOWith.right_le_sub_of_lt_1
File: Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean

tactic: simp only [mem_setOf_eq] at hx⊢
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.662338
E : Type ?u.662341
F : Type ?u.662344
G : Type ?u.662347
E' : Type u_2
F' : Type ?u.662353
G' : Type ?u.662356
E'' : Type ?u.662359
F'' : Type ?u.662362
G'' : Type ?u.662365
R : Type ?u.662368
R' : Type ?u.662371
𝕜 : Type ?u.662374
𝕜' : Type ?u.662377
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
x : α
hx : x ∈ {x | (fun x => ‖f₁ x‖ ≤ c * ‖f₂ x‖) x}
⊢ x ∈ {x | (fun x => ‖f₂ x‖ ≤ 1 / (1 - c) * ‖f₂ x - f₁ x‖) x}

tactic: rw [mul_comm, one_div, ← div_eq_mul_inv, _root_.le_div_iff, mul_sub, mul_one, mul_comm]
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.662338
E : Type ?u.662341
F : Type ?u.662344
G : Type ?u.662347
E' : Type u_2
F' : Type ?u.662353
G' : Type ?u.662356
E'' : Type ?u.662359
F'' : Type ?u.662362
G'' : Type ?u.662365
R : Type ?u.662368
R' : Type ?u.662371
𝕜 : Type ?u.662374
𝕜' : Type ?u.662377
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
x : α
hx : ‖f₁ x‖ ≤ c * ‖f₂ x‖
⊢ ‖f₂ x‖ ≤ 1 / (1 - c) * ‖f₂ x - f₁ x‖

tactic: exact le_trans (sub_le_sub_left hx _) (norm_sub_norm_le _ _)
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.662338
E : Type ?u.662341
F : Type ?u.662344
G : Type ?u.662347
E' : Type u_2
F' : Type ?u.662353
G' : Type ?u.662356
E'' : Type ?u.662359
F'' : Type ?u.662362
G'' : Type ?u.662365
R : Type ?u.662368
R' : Type ?u.662371
𝕜 : Type ?u.662374
𝕜' : Type ?u.662377
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
x : α
hx : ‖f₁ x‖ ≤ c * ‖f₂ x‖
⊢ ‖f₂ x‖ - c * ‖f₂ x‖ ≤ ‖f₂ x - f₁ x‖

tactic: exact sub_pos.2 hc
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.662338
E : Type ?u.662341
F : Type ?u.662344
G : Type ?u.662347
E' : Type u_2
F' : Type ?u.662353
G' : Type ?u.662356
E'' : Type ?u.662359
F'' : Type ?u.662362
G'' : Type ?u.662365
R : Type ?u.662368
R' : Type ?u.662371
𝕜 : Type ?u.662374
𝕜' : Type ?u.662377
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
x : α
hx : ‖f₁ x‖ ≤ c * ‖f₂ x‖
⊢ 0 < 1 - c