Theorem: QuadraticForm.nonneg_prod_iff
File: Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean

tactic: simp_rw [Prod.forall, prod_apply]
state_before: ι : Type ?u.43590
R✝ : Type ?u.43593
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N₁ : Type ?u.43602
N₂ : Type ?u.43605
Mᵢ : ι → Type ?u.43610
Nᵢ : ι → Type ?u.43615
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_1
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (∀ (x : M₁ × M₂), 0 ≤ ↑(prod Q₁ Q₂) x) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x

tactic: constructor
state_before: ι : Type ?u.43590
R✝ : Type ?u.43593
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N₁ : Type ?u.43602
N₂ : Type ?u.43605
Mᵢ : ι → Type ?u.43610
Nᵢ : ι → Type ?u.43615
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_1
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x

tactic: intro h
state_before: case mp
ι : Type ?u.43590
R✝ : Type ?u.43593
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N₁ : Type ?u.43602
N₂ : Type ?u.43605
Mᵢ : ι → Type ?u.43610
Nᵢ : ι → Type ?u.43615
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_1
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b) → (∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x

tactic: constructor
state_before: case mp
ι : Type ?u.43590
R✝ : Type ?u.43593
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N₁ : Type ?u.43602
N₂ : Type ?u.43605
Mᵢ : ι → Type ?u.43610
Nᵢ : ι → Type ?u.43615
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_1
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b
⊢ (∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x

tactic: intro x
state_before: case mp.left
ι : Type ?u.43590
R✝ : Type ?u.43593
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N₁ : Type ?u.43602
N₂ : Type ?u.43605
Mᵢ : ι → Type ?u.43610
Nᵢ : ι → Type ?u.43615
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_1
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b
⊢ ∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x

tactic: simpa only [add_zero, map_zero] using h x 0
state_before: case mp.left
ι : Type ?u.43590
R✝ : Type ?u.43593
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N₁ : Type ?u.43602
N₂ : Type ?u.43605
Mᵢ : ι → Type ?u.43610
Nᵢ : ι → Type ?u.43615
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_1
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b
x : M₁
⊢ 0 ≤ ↑Q₁ x

tactic: intro x
state_before: case mp.right
ι : Type ?u.43590
R✝ : Type ?u.43593
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N₁ : Type ?u.43602
N₂ : Type ?u.43605
Mᵢ : ι → Type ?u.43610
Nᵢ : ι → Type ?u.43615
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_1
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b
⊢ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x

tactic: simpa only [zero_add, map_zero] using h 0 x
state_before: case mp.right
ι : Type ?u.43590
R✝ : Type ?u.43593
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N₁ : Type ?u.43602
N₂ : Type ?u.43605
Mᵢ : ι → Type ?u.43610
Nᵢ : ι → Type ?u.43615
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_1
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b
x : M₂
⊢ 0 ≤ ↑Q₂ x

tactic: rintro ⟨h₁, h₂⟩ x₁ x₂
state_before: case mpr
ι : Type ?u.43590
R✝ : Type ?u.43593
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N₁ : Type ?u.43602
N₂ : Type ?u.43605
Mᵢ : ι → Type ?u.43610
Nᵢ : ι → Type ?u.43615
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_1
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x) → ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b

tactic: exact add_nonneg (h₁ x₁) (h₂ x₂)
state_before: case mpr.intro
ι : Type ?u.43590
R✝ : Type ?u.43593
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N₁ : Type ?u.43602
N₂ : Type ?u.43605
Mᵢ : ι → Type ?u.43610
Nᵢ : ι → Type ?u.43615
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_1
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h₁ : ∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x
h₂ : ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ 0 ≤ ↑Q₁ x₁ + ↑Q₂ x₂