Theorem: Seminorm.continuousAt_zero'
File: Mathlib/Analysis/Seminorm.lean

tactic: refine' Metric.nhds_basis_closedBall.tendsto_right_iff.mpr _
state_before: R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ ContinuousAt (↑p) 0

tactic: intro ε hε
state_before: R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ↑p x ∈ Metric.closedBall (↑p 0) i

tactic: rw [map_zero]
state_before: R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ↑p x ∈ Metric.closedBall (↑p 0) ε

tactic: suffices p.closedBall 0 ε ∈ (𝓝 0 : Filter E) by
  rwa [Seminorm.closedBall_zero_eq_preimage_closedBall] at this
state_before: R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ↑p x ∈ Metric.closedBall 0 ε

tactic: rcases exists_norm_lt 𝕜 (div_pos hε hr) with ⟨k, hk0, hkε⟩
state_before: R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0

tactic: have hk0' := norm_pos_iff.mp hk0
state_before: case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
⊢ closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0

tactic: have := (set_smul_mem_nhds_zero_iff hk0').mpr hp
state_before: case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
⊢ closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0

tactic: refine' Filter.mem_of_superset this (smul_set_subset_iff.mpr fun x hx => _)
state_before: case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
this : k • closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0

tactic: rw [mem_closedBall_zero, map_smul_eq_mul, ← div_mul_cancel ε hr.ne.symm]
state_before: case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
this : k • closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ closedBall p 0 r
⊢ k • x ∈ closedBall p 0 ε

tactic: gcongr
state_before: case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
this : k • closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ closedBall p 0 r
⊢ ‖k‖ * ↑p x ≤ ε / r * r

tactic: exact p.mem_closedBall_zero.mp hx
state_before: case intro.intro.h₂
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
this : k • closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ closedBall p 0 r
⊢ ↑p x ≤ r

tactic: rwa [Seminorm.closedBall_zero_eq_preimage_closedBall] at this
state_before: R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ↑p x ∈ Metric.closedBall 0 ε