Theorem: Seminorm.continuous_of_continuous_comp
File: Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean

tactic: refine' continuous_of_continuousAt_zero f _
state_before: 𝕜 : Type ?u.514785
𝕜₂ : Type ?u.514788
𝕝 : Type u_5
𝕝₂ : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_2
G : Type ?u.514803
ι : Type ?u.514806
ι' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : AddCommGroup E
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕝
inst✝¹³ : Module 𝕝 E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁹ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁸ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁵ : Nonempty ι
inst✝⁴ : Nonempty ι'
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous ↑(comp (q i) f)
⊢ Continuous ↑f

tactic: simp_rw [ContinuousAt, f.map_zero, q.withSeminorms_iff_nhds_eq_iInf.mp hq, Filter.tendsto_iInf,
  Filter.tendsto_comap_iff]
state_before: 𝕜 : Type ?u.514785
𝕜₂ : Type ?u.514788
𝕝 : Type u_5
𝕝₂ : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_2
G : Type ?u.514803
ι : Type ?u.514806
ι' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : AddCommGroup E
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕝
inst✝¹³ : Module 𝕝 E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁹ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁸ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁵ : Nonempty ι
inst✝⁴ : Nonempty ι'
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous ↑(comp (q i) f)
⊢ ContinuousAt (↑f) 0

tactic: intro i
state_before: 𝕜 : Type ?u.514785
𝕜₂ : Type ?u.514788
𝕝 : Type u_5
𝕝₂ : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_2
G : Type ?u.514803
ι : Type ?u.514806
ι' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : AddCommGroup E
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕝
inst✝¹³ : Module 𝕝 E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁹ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁸ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁵ : Nonempty ι
inst✝⁴ : Nonempty ι'
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous ↑(comp (q i) f)
⊢ ∀ (i : ι'), Filter.Tendsto (↑(q i) ∘ ↑f) (𝓝 0) (𝓝 0)

tactic: convert (hf i).continuousAt.tendsto
state_before: 𝕜 : Type ?u.514785
𝕜₂ : Type ?u.514788
𝕝 : Type u_5
𝕝₂ : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_2
G : Type ?u.514803
ι : Type ?u.514806
ι' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : AddCommGroup E
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕝
inst✝¹³ : Module 𝕝 E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁹ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁸ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁵ : Nonempty ι
inst✝⁴ : Nonempty ι'
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous ↑(comp (q i) f)
i : ι'
⊢ Filter.Tendsto (↑(q i) ∘ ↑f) (𝓝 0) (𝓝 0)

tactic: exact (map_zero _).symm
state_before: case h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type ?u.514785
𝕜₂ : Type ?u.514788
𝕝 : Type u_5
𝕝₂ : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_2
G : Type ?u.514803
ι : Type ?u.514806
ι' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : AddCommGroup E
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕝
inst✝¹³ : Module 𝕝 E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁹ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁸ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁵ : Nonempty ι
inst✝⁴ : Nonempty ι'
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous ↑(comp (q i) f)
i : ι'
⊢ 0 = ↑(comp (q i) f) 0