Theorem: MonCat.FilteredColimits.colimitMulAux_eq_of_rel_left
File: Mathlib/Algebra/Category/Mon/FilteredColimits.lean

tactic: cases' x with j₁ x
state_before: J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
x x' y : (j : J) × ↑(F.obj j)
hxx' : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget MonCat) x x'
⊢ colimitMulAux F x y = colimitMulAux F x' y

tactic: cases' y with j₂ y
state_before: case mk
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
x' y : (j : J) × ↑(F.obj j)
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
hxx' : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget MonCat) { fst := j₁, snd := x } x'
⊢ colimitMulAux F { fst := j₁, snd := x } y = colimitMulAux F x' y

tactic: cases' x' with j₃ x'
state_before: case mk.mk
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
x' : (j : J) × ↑(F.obj j)
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
hxx' : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget MonCat) { fst := j₁, snd := x } x'
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
⊢ colimitMulAux F { fst := j₁, snd := x } { fst := j₂, snd := y } = colimitMulAux F x' { fst := j₂, snd := y }

tactic: obtain ⟨l, f, g, hfg⟩ := hxx'
state_before: case mk.mk.mk
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
hxx' : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget MonCat) { fst := j₁, snd := x } { fst := j₃, snd := x' }
⊢ colimitMulAux F { fst := j₁, snd := x } { fst := j₂, snd := y } =
    colimitMulAux F { fst := j₃, snd := x' } { fst := j₂, snd := y }

tactic: simp at hfg
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : { fst := j₁, snd := x }.fst ⟶ l
g : { fst := j₃, snd := x' }.fst ⟶ l
hfg : (F ⋙ forget MonCat).map f { fst := j₁, snd := x }.snd = (F ⋙ forget MonCat).map g { fst := j₃, snd := x' }.snd
⊢ colimitMulAux F { fst := j₁, snd := x } { fst := j₂, snd := y } =
    colimitMulAux F { fst := j₃, snd := x' } { fst := j₂, snd := y }

tactic: obtain ⟨s, α, β, γ, h₁, h₂, h₃⟩ :=
  IsFiltered.tulip (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂) (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂)
    (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂) (IsFiltered.leftToMax j₃ j₂) f g
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : { fst := j₁, snd := x }.fst ⟶ l
g : { fst := j₃, snd := x' }.fst ⟶ l
hfg : ↑(F.map f) x = ↑(F.map g) x'
⊢ colimitMulAux F { fst := j₁, snd := x } { fst := j₂, snd := y } =
    colimitMulAux F { fst := j₃, snd := x' } { fst := j₂, snd := y }

tactic: apply M.mk_eq
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : { fst := j₁, snd := x }.fst ⟶ l
g : { fst := j₃, snd := x' }.fst ⟶ l
hfg : ↑(F.map f) x = ↑(F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ colimitMulAux F { fst := j₁, snd := x } { fst := j₂, snd := y } =
    colimitMulAux F { fst := j₃, snd := x' } { fst := j₂, snd := y }

tactic: use s, α, γ
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : { fst := j₁, snd := x }.fst ⟶ l
g : { fst := j₃, snd := x' }.fst ⟶ l
hfg : ↑(F.map f) x = ↑(F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ ∃ k f g,
    ↑(F.map f)
        { fst := IsFiltered.max { fst := j₁, snd := x }.fst { fst := j₂, snd := y }.fst,
            snd :=
              ↑(F.map (IsFiltered.leftToMax { fst := j₁, snd := x }.fst { fst := j₂, snd := y }.fst))
                  { fst := j₁, snd := x }.snd *
                ↑(F.map (IsFiltered.rightToMax { fst := j₁, snd := x }.fst { fst := j₂, snd := y }.fst))
                  { fst := j₂, snd := y }.snd }.snd =
      ↑(F.map g)
        { fst := IsFiltered.max { fst := j₃, snd := x' }.fst { fst := j₂, snd := y }.fst,
            snd :=
              ↑(F.map (IsFiltered.leftToMax { fst := j₃, snd := x' }.fst { fst := j₂, snd := y }.fst))
                  { fst := j₃, snd := x' }.snd *
                ↑(F.map (IsFiltered.rightToMax { fst := j₃, snd := x' }.fst { fst := j₂, snd := y }.fst))
                  { fst := j₂, snd := y }.snd }.snd

tactic: dsimp
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : { fst := j₁, snd := x }.fst ⟶ l
g : { fst := j₃, snd := x' }.fst ⟶ l
hfg : ↑(F.map f) x = ↑(F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ ↑(F.map α)
      { fst := IsFiltered.max { fst := j₁, snd := x }.fst { fst := j₂, snd := y }.fst,
          snd :=
            ↑(F.map (IsFiltered.leftToMax { fst := j₁, snd := x }.fst { fst := j₂, snd := y }.fst))
                { fst := j₁, snd := x }.snd *
              ↑(F.map (IsFiltered.rightToMax { fst := j₁, snd := x }.fst { fst := j₂, snd := y }.fst))
                { fst := j₂, snd := y }.snd }.snd =
    ↑(F.map γ)
      { fst := IsFiltered.max { fst := j₃, snd := x' }.fst { fst := j₂, snd := y }.fst,
          snd :=
            ↑(F.map (IsFiltered.leftToMax { fst := j₃, snd := x' }.fst { fst := j₂, snd := y }.fst))
                { fst := j₃, snd := x' }.snd *
              ↑(F.map (IsFiltered.rightToMax { fst := j₃, snd := x' }.fst { fst := j₂, snd := y }.fst))
                { fst := j₂, snd := y }.snd }.snd

tactic: simp_rw [MonoidHom.map_mul]
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : { fst := j₁, snd := x }.fst ⟶ l
g : { fst := j₃, snd := x' }.fst ⟶ l
hfg : ↑(F.map f) x = ↑(F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ ↑(F.map α) (↑(F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂)) x * ↑(F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂)) y) =
    ↑(F.map γ) (↑(F.map (IsFiltered.leftToMax j₃ j₂)) x' * ↑(F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂)) y)

tactic: change (F.map _ ≫ F.map _) _ * (F.map _ ≫ F.map _) _ =
  (F.map _ ≫ F.map _) _ * (F.map _ ≫ F.map _) _
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : { fst := j₁, snd := x }.fst ⟶ l
g : { fst := j₃, snd := x' }.fst ⟶ l
hfg : ↑(F.map f) x = ↑(F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ ↑(F.map α) (↑(F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂)) x) * ↑(F.map α) (↑(F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂)) y) =
    ↑(F.map γ) (↑(F.map (IsFiltered.leftToMax j₃ j₂)) x') * ↑(F.map γ) (↑(F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂)) y)

tactic: simp_rw [← F.map_comp, h₁, h₂, h₃, F.map_comp]
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : { fst := j₁, snd := x }.fst ⟶ l
g : { fst := j₃, snd := x' }.fst ⟶ l
hfg : ↑(F.map f) x = ↑(F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ ↑(F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂) ≫ F.map α) x * ↑(F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂) ≫ F.map α) y =
    ↑(F.map (IsFiltered.leftToMax j₃ j₂) ≫ F.map γ) x' * ↑(F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂) ≫ F.map γ) y

tactic: congr 1
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : { fst := j₁, snd := x }.fst ⟶ l
g : { fst := j₃, snd := x' }.fst ⟶ l
hfg : ↑(F.map f) x = ↑(F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ ↑(F.map f ≫ F.map β) x * ↑(F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂) ≫ F.map γ) y =
    ↑(F.map g ≫ F.map β) x' * ↑(F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂) ≫ F.map γ) y

tactic: change F.map _ (F.map _ _) = F.map _ (F.map _ _)
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h.e_a
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : { fst := j₁, snd := x }.fst ⟶ l
g : { fst := j₃, snd := x' }.fst ⟶ l
hfg : ↑(F.map f) x = ↑(F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ ↑(F.map f ≫ F.map β) x = ↑(F.map g ≫ F.map β) x'

tactic: rw [hfg]
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h.e_a
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : { fst := j₁, snd := x }.fst ⟶ l
g : { fst := j₃, snd := x' }.fst ⟶ l
hfg : ↑(F.map f) x = ↑(F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ ↑(F.map β) (↑(F.map f) x) = ↑(F.map β) (↑(F.map g) x')