Theorem: MeasureTheory.integral_toReal
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

tactic: rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae _ hfm.ennreal_toReal.aestronglyMeasurable]
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.1083893
F : Type ?u.1083896
𝕜 : Type ?u.1083899
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1086590
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
⊢ (∫ (a : α), ENNReal.toReal (f a) ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), f a ∂μ)

tactic: rw [lintegral_congr_ae]
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.1083893
F : Type ?u.1083896
𝕜 : Type ?u.1083899
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1086590
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f a)) ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), f a ∂μ)

tactic: refine' hf.mp (eventually_of_forall _)
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.1083893
F : Type ?u.1083896
𝕜 : Type ?u.1083899
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1086590
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f a))) =ᵐ[μ] fun a => f a

tactic: intro x hx
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.1083893
F : Type ?u.1083896
𝕜 : Type ?u.1083899
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1086590
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
⊢ ∀ (x : α), f x < ⊤ → (fun a => ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f a))) x = (fun a => f a) x

tactic: rw [lt_top_iff_ne_top] at hx
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.1083893
F : Type ?u.1083896
𝕜 : Type ?u.1083899
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1086590
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
x : α
hx : f x < ⊤
⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f a))) x = (fun a => f a) x

tactic: simp [hx]
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.1083893
F : Type ?u.1083896
𝕜 : Type ?u.1083899
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1086590
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
x : α
hx : f x ≠ ⊤
⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f a))) x = (fun a => f a) x

tactic: exact eventually_of_forall fun x => ENNReal.toReal_nonneg
state_before: α : Type u_1
E : Type ?u.1083893
F : Type ?u.1083896
𝕜 : Type ?u.1083899
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1086590
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun x => ENNReal.toReal (f x)