Theorem: LieSubmodule.map_bracket_eq
File: Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean

tactic: rw [← coe_toSubmodule_eq_iff, coeSubmodule_map, lieIdeal_oper_eq_linear_span,
  lieIdeal_oper_eq_linear_span, Submodule.map_span]
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ map f ⁅I, N⁆ = ⁅I, map f N⁆

tactic: congr
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ Submodule.span R (↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}) = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: ext m
state_before: case e_s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: constructor
state_before: case e_s.h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M₂
⊢ m ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ↔ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: rintro ⟨-, ⟨⟨x, ⟨n, hn⟩, rfl⟩, hm⟩⟩
state_before: case e_s.h.mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M₂
⊢ m ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: simp only [LieModuleHom.coe_toLinearMap, LieModuleHom.map_lie] at hm
state_before: case e_s.h.mp.intro.intro.intro.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M₂
x : { x // x ∈ I }
n : M
hn : n ∈ N
hm : ↑↑f ⁅↑x, ↑{ val := n, property := hn }⁆ = m
⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: exact ⟨x, ⟨f n, (mem_map (f n)).mpr ⟨n, hn, rfl⟩⟩, hm⟩
state_before: case e_s.h.mp.intro.intro.intro.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M₂
x : { x // x ∈ I }
n : M
hn : n ∈ N
hm : ⁅↑x, ↑f n⁆ = m
⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: rintro ⟨x, ⟨m₂, hm₂ : m₂ ∈ map f N⟩, rfl⟩
state_before: case e_s.h.mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M₂
⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: obtain ⟨n, hn, rfl⟩ := (mem_map m₂).mp hm₂
state_before: case e_s.h.mpr.intro.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
x : { x // x ∈ I }
m₂ : M₂
hm₂ : m₂ ∈ map f N
⊢ ⁅↑x, ↑{ val := m₂, property := hm₂ }⁆ ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: exact ⟨⁅x, n⁆, ⟨x, ⟨n, hn⟩, rfl⟩, by simp⟩
state_before: case e_s.h.mpr.intro.intro.mk.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
x : { x // x ∈ I }
n : M
hn : n ∈ N
hm₂ : ↑f n ∈ map f N
⊢ ⁅↑x, ↑{ val := ↑f n, property := hm₂ }⁆ ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: simp
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
x : { x // x ∈ I }
n : M
hn : n ∈ N
hm₂ : ↑f n ∈ map f N
⊢ ↑↑f ⁅x, n⁆ = ⁅↑x, ↑{ val := ↑f n, property := hm₂ }⁆