Theorem: intervalIntegral.intervalIntegral_pos_of_pos_on
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean

tactic: have hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b := fun x hx =>
  ⟨mem_support.mpr (hpos x hx).ne', Ioo_subset_Ioc_self hx⟩
state_before: ι : Type ?u.19806489
𝕜 : Type ?u.19806492
E : Type ?u.19806495
F : Type ?u.19806498
A : Type ?u.19806501
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 < f x
hab : a < b
⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x

tactic: have h₀ : 0 ≤ᵐ[volume.restrict (uIoc a b)] f := by
  rw [EventuallyLE, uIoc_of_le hab.le]
  refine' ae_restrict_of_ae_eq_of_ae_restrict Ioo_ae_eq_Ioc _
  exact (ae_restrict_iff' measurableSet_Ioo).mpr (ae_of_all _ fun x hx => (hpos x hx).le)
state_before: ι : Type ?u.19806489
𝕜 : Type ?u.19806492
E : Type ?u.19806495
F : Type ?u.19806498
A : Type ?u.19806501
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 < f x
hab : a < b
hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b
⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x

tactic: rw [integral_pos_iff_support_of_nonneg_ae' h₀ hfi]
state_before: ι : Type ?u.19806489
𝕜 : Type ?u.19806492
E : Type ?u.19806495
F : Type ?u.19806498
A : Type ?u.19806501
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 < f x
hab : a < b
hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b
h₀ : 0 ≤ᵐ[Measure.restrict volume (Ι a b)] f
⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x

tactic: exact ⟨hab, ((Measure.measure_Ioo_pos _).mpr hab).trans_le (measure_mono hsupp)⟩
state_before: ι : Type ?u.19806489
𝕜 : Type ?u.19806492
E : Type ?u.19806495
F : Type ?u.19806498
A : Type ?u.19806501
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 < f x
hab : a < b
hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b
h₀ : 0 ≤ᵐ[Measure.restrict volume (Ι a b)] f
⊢ a < b ∧ 0 < ↑↑volume (support f ∩ Ioc a b)

tactic: rw [EventuallyLE, uIoc_of_le hab.le]
state_before: ι : Type ?u.19806489
𝕜 : Type ?u.19806492
E : Type ?u.19806495
F : Type ?u.19806498
A : Type ?u.19806501
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 < f x
hab : a < b
hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b
⊢ 0 ≤ᵐ[Measure.restrict volume (Ι a b)] f

tactic: refine' ae_restrict_of_ae_eq_of_ae_restrict Ioo_ae_eq_Ioc _
state_before: ι : Type ?u.19806489
𝕜 : Type ?u.19806492
E : Type ?u.19806495
F : Type ?u.19806498
A : Type ?u.19806501
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 < f x
hab : a < b
hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioc a b), OfNat.ofNat 0 x ≤ f x

tactic: exact (ae_restrict_iff' measurableSet_Ioo).mpr (ae_of_all _ fun x hx => (hpos x hx).le)
state_before: ι : Type ?u.19806489
𝕜 : Type ?u.19806492
E : Type ?u.19806495
F : Type ?u.19806498
A : Type ?u.19806501
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 < f x
hab : a < b
hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioo a b), OfNat.ofNat 0 x ≤ f x