Theorem: Convex.centerMass_mem
File: Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean

tactic: induction' t using Finset.induction with i t hi ht
state_before: R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
⊢ (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s

tactic: intro h₀ hpos hmem
state_before: case insert
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
⊢ (∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1) →
    0 < ∑ i in insert i t, w i → (∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s) → centerMass (insert i t) w z ∈ s

tactic: have zi : z i ∈ s := hmem _ (mem_insert_self _ _)
state_before: case insert
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < ∑ i in insert i t, w i
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
⊢ centerMass (insert i t) w z ∈ s

tactic: have hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j := fun j hj => h₀ j <| mem_insert_of_mem hj
state_before: case insert
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < ∑ i in insert i t, w i
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
⊢ centerMass (insert i t) w z ∈ s

tactic: rw [sum_insert hi] at hpos
state_before: case insert
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < ∑ i in insert i t, w i
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
⊢ centerMass (insert i t) w z ∈ s

tactic: by_cases hsum_t : (∑ j in t, w j) = 0
state_before: case insert
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x in t, w x
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
⊢ centerMass (insert i t) w z ∈ s

tactic: simp [lt_irrefl]
state_before: case empty
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
⊢ (∀ (i : ι), i ∈ ∅ → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in ∅, w i → (∀ (i : ι), i ∈ ∅ → z i ∈ s) → centerMass ∅ w z ∈ s

tactic: have ws : ∀ j ∈ t, w j = 0 := (sum_eq_zero_iff_of_nonneg hs₀).1 hsum_t
state_before: case pos
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x in t, w x
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j in t, w j = 0
⊢ centerMass (insert i t) w z ∈ s

tactic: have wz : (∑ j in t, w j • z j) = 0 := sum_eq_zero fun i hi => by simp [ws i hi]
state_before: case pos
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x in t, w x
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j in t, w j = 0
ws : ∀ (j : ι), j ∈ t → w j = 0
⊢ centerMass (insert i t) w z ∈ s

tactic: simp only [centerMass, sum_insert hi, wz, hsum_t, add_zero]
state_before: case pos
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x in t, w x
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j in t, w j = 0
ws : ∀ (j : ι), j ∈ t → w j = 0
wz : ∑ j in t, w j • z j = 0
⊢ centerMass (insert i t) w z ∈ s

tactic: simp only [hsum_t, add_zero] at hpos
state_before: case pos
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x in t, w x
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j in t, w j = 0
ws : ∀ (j : ι), j ∈ t → w j = 0
wz : ∑ j in t, w j • z j = 0
⊢ (w i)⁻¹ • w i • z i ∈ s

tactic: rw [← mul_smul, inv_mul_cancel (ne_of_gt hpos), one_smul]
state_before: case pos
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j in t, w j = 0
ws : ∀ (j : ι), j ∈ t → w j = 0
wz : ∑ j in t, w j • z j = 0
hpos : 0 < w i
⊢ (w i)⁻¹ • w i • z i ∈ s

tactic: exact zi
state_before: case pos
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j in t, w j = 0
ws : ∀ (j : ι), j ∈ t → w j = 0
wz : ∑ j in t, w j • z j = 0
hpos : 0 < w i
⊢ z i ∈ s

tactic: simp [ws i hi]
state_before: R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝¹ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i✝ : ι
t : Finset ι
hi✝ : ¬i✝ ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i : ι), i ∈ insert i✝ t → 0 ≤ w i
hpos : 0 < w i✝ + ∑ x in t, w x
hmem : ∀ (i : ι), i ∈ insert i✝ t → z i ∈ s
zi : z i✝ ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j in t, w j = 0
ws : ∀ (j : ι), j ∈ t → w j = 0
i : ι
hi : i ∈ t
⊢ w i • z i = 0

tactic: rw [Finset.centerMass_insert _ _ _ hi hsum_t]
state_before: case neg
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x in t, w x
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j in t, w j = 0
⊢ centerMass (insert i t) w z ∈ s

tactic: refine' convex_iff_div.1 hs zi (ht hs₀ _ _) _ (sum_nonneg hs₀) hpos
state_before: case neg
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x in t, w x
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j in t, w j = 0
⊢ (w i / (w i + ∑ j in t, w j)) • z i + ((∑ j in t, w j) / (w i + ∑ j in t, w j)) • centerMass t (fun j => w j) z ∈ s

tactic: exact lt_of_le_of_ne (sum_nonneg hs₀) (Ne.symm hsum_t)
state_before: case neg.refine'_1
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x in t, w x
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j in t, w j = 0
⊢ 0 < ∑ i in t, w i

tactic: intro j hj
state_before: case neg.refine'_2
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x in t, w x
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j in t, w j = 0
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s

tactic: exact hmem j (mem_insert_of_mem hj)
state_before: case neg.refine'_2
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j✝ : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x in t, w x
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j in t, w j = 0
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ z j ∈ s

tactic: exact h₀ _ (mem_insert_self _ _)
state_before: case neg.refine'_3
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.81064
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.81070
α : Type ?u.81073
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : ¬i ∈ t
ht : (∀ (i : ι), i ∈ t → 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i in t, w i → (∀ (i : ι), i ∈ t → z i ∈ s) → centerMass t w z ∈ s
h₀ : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x in t, w x
hmem : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ (j : ι), j ∈ t → 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j in t, w j = 0
⊢ 0 ≤ w i