Theorem: exists_norm_eq_iInf_of_complete_convex
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean

tactic: let δ := ⨅ w : K, ‖u - w‖
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: letI : Nonempty K := ne.to_subtype
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: have zero_le_δ : 0 ≤ δ := le_ciInf fun _ => norm_nonneg _
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: have δ_le : ∀ w : K, δ ≤ ‖u - w‖ := ciInf_le ⟨0, Set.forall_range_iff.2 fun _ => norm_nonneg _⟩
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: have δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖ := fun w hw => δ_le ⟨w, hw⟩
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: have exists_seq : ∃ w : ℕ → K, ∀ n, ‖u - w n‖ < δ + 1 / (n + 1) := by
  have hδ : ∀ n : ℕ, δ < δ + 1 / (n + 1) := fun n =>
    lt_add_of_le_of_pos le_rfl Nat.one_div_pos_of_nat
  have h := fun n => exists_lt_of_ciInf_lt (hδ n)
  let w : ℕ → K := fun n => Classical.choose (h n)
  exact ⟨w, fun n => Classical.choose_spec (h n)⟩
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: rcases exists_seq with ⟨w, hw⟩
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
exists_seq : ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: have norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - w n‖) atTop (nhds δ) := by
  have h : Tendsto (fun _ : ℕ => δ) atTop (nhds δ) := tendsto_const_nhds
  have h' : Tendsto (fun n : ℕ => δ + 1 / (n + 1)) atTop (nhds δ) := by
    convert h.add tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat
    simp only [add_zero]
  exact tendsto_of_tendsto_of_tendsto_of_le_of_le h h' (fun x => δ_le _) fun x => le_of_lt (hw _)
state_before: case intro
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: rcases cauchySeq_tendsto_of_isComplete h₁ (fun n => Subtype.mem _) seq_is_cauchy with
  ⟨v, hv, w_tendsto⟩
state_before: case intro
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: use v
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)
⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: use hv
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)
⊢ v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: have h_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖ :=
  Continuous.comp continuous_norm (Continuous.sub continuous_const continuous_id)
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: have : Tendsto (fun n => ‖u - w n‖) atTop (nhds ‖u - v‖)
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)
h_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: convert Tendsto.comp h_cont.continuousAt w_tendsto
state_before: case this
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)
h_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖
⊢ Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖)

case intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)
h_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖
this : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖)
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: exact tendsto_nhds_unique this norm_tendsto
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)
h_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖
this : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖)
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖

tactic: have hδ : ∀ n : ℕ, δ < δ + 1 / (n + 1) := fun n =>
  lt_add_of_le_of_pos le_rfl Nat.one_div_pos_of_nat
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
⊢ ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)

tactic: have h := fun n => exists_lt_of_ciInf_lt (hδ n)
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
hδ : ∀ (n : ℕ), δ < δ + 1 / (↑n + 1)
⊢ ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)

tactic: let w : ℕ → K := fun n => Classical.choose (h n)
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
hδ : ∀ (n : ℕ), δ < δ + 1 / (↑n + 1)
h : ∀ (n : ℕ), ∃ i, ‖u - ↑i‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
⊢ ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)

tactic: exact ⟨w, fun n => Classical.choose_spec (h n)⟩
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
hδ : ∀ (n : ℕ), δ < δ + 1 / (↑n + 1)
h : ∀ (n : ℕ), ∃ i, ‖u - ↑i‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
w : ℕ → ↑K := fun n => Classical.choose (_ : ∃ i, ‖u - ↑i‖ < δ + 1 / (↑n + 1))
⊢ ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)

tactic: have h : Tendsto (fun _ : ℕ => δ) atTop (nhds δ) := tendsto_const_nhds
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
⊢ Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)

tactic: have h' : Tendsto (fun n : ℕ => δ + 1 / (n + 1)) atTop (nhds δ) := by
  convert h.add tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat
  simp only [add_zero]
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
h : Tendsto (fun x => δ) atTop (𝓝 δ)
⊢ Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)

tactic: exact tendsto_of_tendsto_of_tendsto_of_le_of_le h h' (fun x => δ_le _) fun x => le_of_lt (hw _)
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
h : Tendsto (fun x => δ) atTop (𝓝 δ)
h' : Tendsto (fun n => δ + 1 / (↑n + 1)) atTop (𝓝 δ)
⊢ Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)

tactic: convert h.add tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
h : Tendsto (fun x => δ) atTop (𝓝 δ)
⊢ Tendsto (fun n => δ + 1 / (↑n + 1)) atTop (𝓝 δ)

tactic: simp only [add_zero]
state_before: case h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
h : Tendsto (fun x => δ) atTop (𝓝 δ)
⊢ δ = δ + 0

tactic: rw [cauchySeq_iff_le_tendsto_0]
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
⊢ CauchySeq fun n => ↑(w n)

tactic: let b := fun n : ℕ => 8 * δ * (1 / (n + 1)) + 4 * (1 / (n + 1)) * (1 / (n + 1))
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)

tactic: use fun n => sqrt (b n)
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)

tactic: constructor
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ (∀ (n : ℕ), 0 ≤ (fun n => sqrt (b n)) n) ∧
    (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N) ∧
      Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: intro n
state_before: case left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ (fun n => sqrt (b n)) n

case right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N) ∧
    Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: exact sqrt_nonneg _
state_before: case left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
n : ℕ
⊢ 0 ≤ (fun n => sqrt (b n)) n

case right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N) ∧
    Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: constructor
state_before: case right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N) ∧
    Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: intro p q N hp hq
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: let wp := (w p : F)
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: let wq := (w q : F)
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: let a := u - wq
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: let b := u - wp
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: let half := 1 / (2 : ℝ)
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: let div := 1 / ((N : ℝ) + 1)
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: have :
  4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) :=
  calc
    4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
        2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ :=
      by ring
    _ =
        absR (2 : ℝ) * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (absR (2 : ℝ) * ‖u - half • (wq + wp)‖) +
          ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ := by
      rw [_root_.abs_of_nonneg]
      exact zero_le_two
    _ =
        ‖(2 : ℝ) • (u - half • (wq + wp))‖ * ‖(2 : ℝ) • (u - half • (wq + wp))‖ +
          ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ :=
      by simp [norm_smul]
    _ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖ := by
      rw [smul_sub, smul_smul, mul_one_div_cancel (_root_.two_ne_zero : (2 : ℝ) ≠ 0), ←
        one_add_one_eq_two, add_smul]
      simp only [one_smul]
      have eq₁ : wp - wq = a - b := (sub_sub_sub_cancel_left _ _ _).symm
      have eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b
      show u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)
      abel
      rw [eq₁, eq₂]
    _ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) := parallelogram_law_with_norm ℝ _ _
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: have eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖ := by
  rw [smul_add]
  apply δ_le'
  apply h₂
  repeat' exact Subtype.mem _
  repeat' exact le_of_lt one_half_pos
  exact add_halves 1
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: have eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ := by
  simp_rw [mul_assoc]
  gcongr
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: have eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div :=
    le_trans (le_of_lt <| hw q) (add_le_add_left (Nat.one_div_le_one_div hq) _)
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: have eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div :=
    le_trans (le_of_lt <| hw p) (add_le_add_left (Nat.one_div_le_one_div hp) _)
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: rw [dist_eq_norm]
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: apply nonneg_le_nonneg_of_sq_le_sq
state_before: case right.left
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: rw [mul_self_sqrt]
state_before: case right.left.h
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N * (fun n => sqrt (b✝ n)) N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: calc
  ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
      2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ := by
    simp [← this]
  _ ≤ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ := by gcongr
  _ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ := by gcongr
  _ = 8 * δ * div + 4 * div * div := by ring
state_before: case right.left.h
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ ≤ b✝ N

case right.left.h
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ 0 ≤ b✝ N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: positivity
state_before: case right.left.h
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ 0 ≤ b✝ N

case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: apply Tendsto.comp (f := b) (g := sqrt)
state_before: case right.right
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)

tactic: have eq₁ : Tendsto (fun n : ℕ => 8 * δ * (1 / (n + 1))) atTop (nhds (0 : ℝ)) := by
  convert(@tendsto_const_nhds _ _ _ (8 * δ) _).mul tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat
  simp only [MulZeroClass.mul_zero]
state_before: case right.right.hf
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto b atTop (𝓝 0)

tactic: have : Tendsto (fun n : ℕ => (4 : ℝ) * (1 / (n + 1))) atTop (nhds (0 : ℝ)) := by
  convert(@tendsto_const_nhds _ _ _ (4 : ℝ) _).mul tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat
  simp only [MulZeroClass.mul_zero]
state_before: case right.right.hf
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
eq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto b atTop (𝓝 0)

tactic: have eq₂ :
    Tendsto (fun n : ℕ => (4 : ℝ) * (1 / (n + 1)) * (1 / (n + 1))) atTop (nhds (0 : ℝ)) := by
  convert this.mul tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat
  simp only [MulZeroClass.mul_zero]
state_before: case right.right.hf
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
eq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
this : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto b atTop (𝓝 0)

tactic: convert eq₁.add eq₂
state_before: case right.right.hf
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
eq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
this : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
eq₂ : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto b atTop (𝓝 0)

tactic: simp only [add_zero]
state_before: case h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
eq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
this : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
eq₂ : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
⊢ 0 = 0 + 0

tactic: ring
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
⊢ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖

tactic: rw [_root_.abs_of_nonneg]
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
⊢ 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    absR 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (absR 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖

tactic: exact zero_le_two
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
⊢ 0 ≤ 2

tactic: simp [norm_smul]
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
⊢ absR 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (absR 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    ‖2 • (u - half • (wq + wp))‖ * ‖2 • (u - half • (wq + wp))‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖

tactic: rw [smul_sub, smul_smul, mul_one_div_cancel (_root_.two_ne_zero : (2 : ℝ) ≠ 0), ←
  one_add_one_eq_two, add_smul]
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
⊢ ‖2 • (u - half • (wq + wp))‖ * ‖2 • (u - half • (wq + wp))‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖

tactic: simp only [one_smul]
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
⊢ ‖1 • u + 1 • u - 1 • (wq + wp)‖ * ‖1 • u + 1 • u - 1 • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖

tactic: have eq₁ : wp - wq = a - b := (sub_sub_sub_cancel_left _ _ _).symm
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =
    ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +
      ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖

tactic: have eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
eq₁ : wp - wq = a - b
⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =
    ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +
      ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖

tactic: show u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)
state_before: case eq₂
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
eq₁ : wp - wq = a - b
⊢ u + u - (wq + wp) = a + b

𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
eq₁ : wp - wq = a - b
eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b
⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =
    ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +
      ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖

tactic: abel
state_before: case eq₂
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
eq₁ : wp - wq = a - b
⊢ u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)

𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
eq₁ : wp - wq = a - b
eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b
⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =
    ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +
      ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖

tactic: rw [eq₁, eq₂]
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
eq₁ : wp - wq = a - b
eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b
⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =
    ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +
      ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖

tactic: rw [smul_add]
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖

tactic: apply δ_le'
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ δ ≤ ‖u - (half • wq + half • wp)‖

tactic: apply h₂
state_before: case a
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ half • wq + half • wp ∈ K

tactic: repeat' exact Subtype.mem _
state_before: case a.a
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ wq ∈ K

case a.a
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ wp ∈ K

case a.a
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ 0 ≤ half

case a.a
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ 0 ≤ half

case a.a
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ half + half = 1

tactic: repeat' exact le_of_lt one_half_pos
state_before: case a.a
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ 0 ≤ half

case a.a
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ 0 ≤ half

case a.a
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ half + half = 1

tactic: exact add_halves 1
state_before: case a.a
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ half + half = 1

tactic: exact Subtype.mem _
state_before: case a.a
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ half + half = 1

tactic: exact le_of_lt one_half_pos
state_before: case a.a
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ half + half = 1

tactic: simp_rw [mul_assoc]
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
⊢ 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖

tactic: gcongr
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
⊢ 4 * ((⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖) * ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖) ≤
    4 * (‖u - (1 / 2) • (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u - (1 / 2) • (↑(w q) + ↑(w p))‖)

tactic: exact sqrt_nonneg _
state_before: case right.left.hb
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ 0 ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N

tactic: simp [← this]
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖

tactic: gcongr
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ ≤
    2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ

tactic: gcongr
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ

tactic: ring
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ↑(w p)
wq : F := ↑(w q)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / (↑N + 1)
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ = 8 * δ * div + 4 * div * div

tactic: have : Tendsto sqrt (nhds 0) (nhds (sqrt 0)) := continuous_sqrt.continuousAt
state_before: case right.right.hg
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto sqrt ?m.157009 (𝓝 0)

tactic: convert this
state_before: case right.right.hg
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
this : Tendsto sqrt (𝓝 0) (𝓝 (sqrt 0))
⊢ Tendsto sqrt ?m.157009 (𝓝 0)

tactic: exact sqrt_zero.symm
state_before: case h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
this : Tendsto sqrt (𝓝 0) (𝓝 (sqrt 0))
⊢ 0 = sqrt 0

tactic: convert(@tendsto_const_nhds _ _ _ (8 * δ) _).mul tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)

tactic: simp only [MulZeroClass.mul_zero]
state_before: case h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ 0 = 8 * δ * 0

tactic: convert(@tendsto_const_nhds _ _ _ (4 : ℝ) _).mul tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
eq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)

tactic: simp only [MulZeroClass.mul_zero]
state_before: case h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
eq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
⊢ 0 = 4 * 0

tactic: convert this.mul tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat
state_before: 𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
eq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
this : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)

tactic: simp only [MulZeroClass.mul_zero]
state_before: case h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type ?u.9703
E : Type ?u.9706
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : Set.Nonempty K
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
eq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
this : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)
⊢ 0 = 0 * 0