Theorem: MvQPF.liftP_iff
File: Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean

tactic: constructor
state_before: n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
⊢ LiftP p x ↔ ∃ a f, x = abs { fst := a, snd := f } ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : MvPFunctor.B (P F) a i), p (f i j)

tactic: rintro ⟨a, f, h₀, h₁⟩
state_before: case mpr
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
⊢ (∃ a f, x = abs { fst := a, snd := f } ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : MvPFunctor.B (P F) a i), p (f i j)) → LiftP p x

tactic: dsimp at *
state_before: case mpr.intro.intro.intro
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : MvPFunctor.B (P F) a ⟹ α
h₀ : x = abs { fst := a, snd := f }
h₁ : ∀ (i : Fin2 n) (j : MvPFunctor.B (P F) a i), p (f i j)
⊢ LiftP p x

tactic: use abs ⟨a, fun i j => ⟨f i j, h₁ i j⟩⟩
state_before: case mpr.intro.intro.intro
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : MvPFunctor.B (P F) a ⟹ α
h₀ : x = abs { fst := a, snd := f }
h₁ : ∀ (i : Fin2 n) (j : MvPFunctor.B (P F) a i), p (f i j)
⊢ LiftP p x

tactic: rw [← abs_map, h₀]
state_before: case mpr.intro.intro.intro
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : MvPFunctor.B (P F) a ⟹ α
h₀ : x = abs { fst := a, snd := f }
h₁ : ∀ (i : Fin2 n) (j : MvPFunctor.B (P F) a i), p (f i j)
⊢ (fun i => Subtype.val) <$$> abs { fst := a, snd := fun i j => { val := f i j, property := (_ : p (f i j)) } } = x

tactic: rfl
state_before: case mpr.intro.intro.intro
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : MvPFunctor.B (P F) a ⟹ α
h₀ : x = abs { fst := a, snd := f }
h₁ : ∀ (i : Fin2 n) (j : MvPFunctor.B (P F) a i), p (f i j)
⊢ abs ((fun i => Subtype.val) <$$> { fst := a, snd := fun i j => { val := f i j, property := (_ : p (f i j)) } }) =
    abs { fst := a, snd := f }

tactic: rintro ⟨y, hy⟩
state_before: case mp
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
⊢ LiftP p x → ∃ a f, x = abs { fst := a, snd := f } ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : MvPFunctor.B (P F) a i), p (f i j)

tactic: cases' h : repr y with a f
state_before: case mp.intro
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
y : F fun i => Subtype p
hy : (fun i => Subtype.val) <$$> y = x
⊢ ∃ a f, x = abs { fst := a, snd := f } ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : MvPFunctor.B (P F) a i), p (f i j)

tactic: use a, fun i j => (f i j).val
state_before: case mp.intro.mk
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
y : F fun i => Subtype p
hy : (fun i => Subtype.val) <$$> y = x
a : (P F).A
f : MvPFunctor.B (P F) a ⟹ fun i => Subtype p
h : repr y = { fst := a, snd := f }
⊢ ∃ a f, x = abs { fst := a, snd := f } ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : MvPFunctor.B (P F) a i), p (f i j)

tactic: constructor
state_before: case mp.intro.mk
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
y : F fun i => Subtype p
hy : (fun i => Subtype.val) <$$> y = x
a : (P F).A
f : MvPFunctor.B (P F) a ⟹ fun i => Subtype p
h : repr y = { fst := a, snd := f }
⊢ x = abs { fst := a, snd := fun i j => ↑(f i j) } ∧
    ∀ (i : Fin2 n) (j : MvPFunctor.B (P F) a i), p ((fun i j => ↑(f i j)) i j)

tactic: intro i j
state_before: case mp.intro.mk.right
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
y : F fun i => Subtype p
hy : (fun i => Subtype.val) <$$> y = x
a : (P F).A
f : MvPFunctor.B (P F) a ⟹ fun i => Subtype p
h : repr y = { fst := a, snd := f }
⊢ ∀ (i : Fin2 n) (j : MvPFunctor.B (P F) a i), p ((fun i j => ↑(f i j)) i j)

tactic: apply (f i j).property
state_before: case mp.intro.mk.right
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
y : F fun i => Subtype p
hy : (fun i => Subtype.val) <$$> y = x
a : (P F).A
f : MvPFunctor.B (P F) a ⟹ fun i => Subtype p
h : repr y = { fst := a, snd := f }
i : Fin2 n
j : MvPFunctor.B (P F) a i
⊢ p ((fun i j => ↑(f i j)) i j)

tactic: rw [← hy, ← abs_repr y, h, ← abs_map]
state_before: case mp.intro.mk.left
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
y : F fun i => Subtype p
hy : (fun i => Subtype.val) <$$> y = x
a : (P F).A
f : MvPFunctor.B (P F) a ⟹ fun i => Subtype p
h : repr y = { fst := a, snd := f }
⊢ x = abs { fst := a, snd := fun i j => ↑(f i j) }

tactic: rfl
state_before: case mp.intro.mk.left
n : ℕ
F : TypeVec n → Type u_1
inst✝ : MvFunctor F
q : MvQPF F
α : TypeVec n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
y : F fun i => Subtype p
hy : (fun i => Subtype.val) <$$> y = x
a : (P F).A
f : MvPFunctor.B (P F) a ⟹ fun i => Subtype p
h : repr y = { fst := a, snd := f }
⊢ abs ((fun i => Subtype.val) <$$> { fst := a, snd := f }) = abs { fst := a, snd := fun i j => ↑(f i j) }