Theorem: ContinuousMultilinearMap.norm_constOfIsEmpty
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear.lean

tactic: apply le_antisymm
state_before: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁸ : Fintype ι
inst✝¹⁷ : Fintype ι'
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁹ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type ?u.622672
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : IsEmpty ι
x : G
⊢ ‖constOfIsEmpty 𝕜 E x‖ = ‖x‖

tactic: refine' op_norm_le_bound _ (norm_nonneg _) fun x => _
state_before: case a
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁸ : Fintype ι
inst✝¹⁷ : Fintype ι'
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁹ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type ?u.622672
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : IsEmpty ι
x : G
⊢ ‖constOfIsEmpty 𝕜 E x‖ ≤ ‖x‖

tactic: rw [Fintype.prod_empty, mul_one, constOfIsEmpty_apply]
state_before: case a
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁸ : Fintype ι
inst✝¹⁷ : Fintype ι'
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁹ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type ?u.622672
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : IsEmpty ι
x✝ : G
x : (i : ι) → E i
⊢ ‖↑(constOfIsEmpty 𝕜 E x✝) x‖ ≤ ‖x✝‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖

tactic: simpa using (constOfIsEmpty 𝕜 E x).le_op_norm 0
state_before: case a
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁸ : Fintype ι
inst✝¹⁷ : Fintype ι'
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁹ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type ?u.622672
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : IsEmpty ι
x : G
⊢ ‖x‖ ≤ ‖constOfIsEmpty 𝕜 E x‖