Theorem: MeasureTheory.memℒp_indicator_const
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

tactic: rw [memℒp_indicator_iff_restrict hs]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.667132
G : Type ?u.667135
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs✝ : MeasurableSet s
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ Memℒp (Set.indicator s fun x => c) p

tactic: by_cases hp_zero : p = 0
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.667132
G : Type ?u.667135
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs✝ : MeasurableSet s
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ Memℒp (fun x => c) p

tactic: by_cases hp_top : p = ∞
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.667132
G : Type ?u.667135
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs✝ : MeasurableSet s
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ ↑↑μ s ≠ ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ Memℒp (fun x => c) p

tactic: rw [memℒp_const_iff hp_zero hp_top, Measure.restrict_apply_univ]
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.667132
G : Type ?u.667135
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs✝ : MeasurableSet s
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ ↑↑μ s ≠ ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ Memℒp (fun x => c) p

tactic: cases hμsc with
| inl hμsc => exact Or.inl hμsc
| inr hμsc => exact Or.inr hμsc.lt_top
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.667132
G : Type ?u.667135
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs✝ : MeasurableSet s
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ ↑↑μ s ≠ ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ c = 0 ∨ ↑↑μ s < ⊤

tactic: rw [hp_zero]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.667132
G : Type ?u.667135
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs✝ : MeasurableSet s
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ ↑↑μ s ≠ ⊤
hp_zero : p = 0
⊢ Memℒp (fun x => c) p

tactic: exact memℒp_zero_iff_aestronglyMeasurable.mpr aestronglyMeasurable_const
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.667132
G : Type ?u.667135
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs✝ : MeasurableSet s
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ ↑↑μ s ≠ ⊤
hp_zero : p = 0
⊢ Memℒp (fun x => c) 0

tactic: rw [hp_top]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.667132
G : Type ?u.667135
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs✝ : MeasurableSet s
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ ↑↑μ s ≠ ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : p = ⊤
⊢ Memℒp (fun x => c) p

tactic: exact
  memℒp_top_of_bound aestronglyMeasurable_const ‖c‖ (eventually_of_forall fun _ => le_rfl)
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.667132
G : Type ?u.667135
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs✝ : MeasurableSet s
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ ↑↑μ s ≠ ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : p = ⊤
⊢ Memℒp (fun x => c) ⊤

tactic: exact Or.inl hμsc
state_before: case neg.inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.667132
G : Type ?u.667135
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs✝ : MeasurableSet s
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
hμsc : c = 0
⊢ c = 0 ∨ ↑↑μ s < ⊤

tactic: exact Or.inr hμsc.lt_top
state_before: case neg.inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.667132
G : Type ?u.667135
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs✝ : MeasurableSet s
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
hμsc : ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ c = 0 ∨ ↑↑μ s < ⊤