Theorem: LieModule.isTrivial_iff_max_triv_eq_top
File: Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean

tactic: constructor
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
⊢ IsTrivial L M ↔ maxTrivSubmodule R L M = ⊤

tactic: rintro ⟨h⟩
state_before: case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
⊢ IsTrivial L M → maxTrivSubmodule R L M = ⊤

tactic: ext
state_before: case mp.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
h : ∀ (x : L) (m : M), ⁅x, m⁆ = 0
⊢ maxTrivSubmodule R L M = ⊤

tactic: simp only [mem_maxTrivSubmodule, h, forall_const, LieSubmodule.mem_top]
state_before: case mp.mk.h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
h : ∀ (x : L) (m : M), ⁅x, m⁆ = 0
m✝ : M
⊢ m✝ ∈ maxTrivSubmodule R L M ↔ m✝ ∈ ⊤

tactic: intro h
state_before: case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
⊢ maxTrivSubmodule R L M = ⊤ → IsTrivial L M

tactic: constructor
state_before: case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
h : maxTrivSubmodule R L M = ⊤
⊢ IsTrivial L M

tactic: intro x m
state_before: case mpr.trivial
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
h : maxTrivSubmodule R L M = ⊤
⊢ ∀ (x : L) (m : M), ⁅x, m⁆ = 0

tactic: revert x
state_before: case mpr.trivial
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
h : maxTrivSubmodule R L M = ⊤
x : L
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ = 0

tactic: rw [← mem_maxTrivSubmodule R L M, h]
state_before: case mpr.trivial
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
h : maxTrivSubmodule R L M = ⊤
m : M
⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0

tactic: exact LieSubmodule.mem_top m
state_before: case mpr.trivial
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
h : maxTrivSubmodule R L M = ⊤
m : M
⊢ m ∈ ⊤