Theorem: Rat.mul_num_den'
File: Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean

tactic: let s := q.num * r.num /. (q.den * r.den : ℤ)
state_before: q r : ℚ
⊢ (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den

tactic: have hs : (q.den * r.den : ℤ) ≠ 0 := Int.coe_nat_ne_zero_iff_pos.mpr (mul_pos q.pos r.pos)
state_before: q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
⊢ (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den

tactic: obtain ⟨c, ⟨c_mul_num, c_mul_den⟩⟩ :=
  exists_eq_mul_div_num_and_eq_mul_div_den (q.num * r.num) hs
state_before: q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
⊢ (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den

tactic: rw [c_mul_num, mul_assoc, mul_comm]
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den

tactic: nth_rw 1 [c_mul_den]
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ ↑q.den * ↑r.den * (q * r).num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den

tactic: repeat' rw [Int.mul_assoc]
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num =
    c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den

tactic: apply mul_eq_mul_left_iff.2
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ c * (↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num) =
    c * ((↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den)

tactic: rw [or_iff_not_imp_right]
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num =
      (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den ∨
    c = 0

tactic: intro
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ ¬c = 0 →
    ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num =
      (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den

tactic: have h : _ = s :=
  @mul_def' q.num q.den r.num r.den (Int.coe_nat_ne_zero_iff_pos.mpr q.pos)
    (Int.coe_nat_ne_zero_iff_pos.mpr r.pos)
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
⊢ ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num =
    (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den

tactic: rw [num_den, num_den] at h
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q.num /. ↑q.den * (r.num /. ↑r.den) = s
⊢ ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num =
    (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den

tactic: rw [h]
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q * r = s
⊢ ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num =
    (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den

tactic: rw [mul_comm]
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q * r = s
⊢ ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * s.num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑s.den

tactic: apply Rat.eq_iff_mul_eq_mul.mp
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q * r = s
⊢ s.num * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑s.den

tactic: rw [← divInt_eq_div]
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q * r = s
⊢ s = ↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)

tactic: rw [Int.mul_assoc]
state_before: case intro.intro
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ c * (↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num) =
    c * ((↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den)