Theorem: MeasureTheory.L1.setToL1_congr_left
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: suffices setToL1 hT = setToL1 hT' by rw [this]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1047174
G : Type ?u.1047177
𝕜 : Type ?u.1047180
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT) f = ↑(setToL1 hT') f

tactic: refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ hT) _ _ _ _ _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1047174
G : Type ?u.1047177
𝕜 : Type ?u.1047180
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 hT = setToL1 hT'

tactic: ext1 f
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1047174
G : Type ?u.1047177
𝕜 : Type ?u.1047180
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT

tactic: suffices setToL1 hT' f = setToL1SCLM α E μ hT f by rw [← this]; rfl
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1047174
G : Type ?u.1047177
𝕜 : Type ?u.1047180
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f

tactic: rw [setToL1_eq_setToL1SCLM]
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1047174
G : Type ?u.1047177
𝕜 : Type ?u.1047180
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f

tactic: exact setToL1SCLM_congr_left hT' hT h.symm f
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1047174
G : Type ?u.1047177
𝕜 : Type ?u.1047180
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f

tactic: rw [this]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1047174
G : Type ?u.1047177
𝕜 : Type ?u.1047180
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT = setToL1 hT'
⊢ ↑(setToL1 hT) f = ↑(setToL1 hT') f

tactic: rw [← this]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1047174
G : Type ?u.1047177
𝕜 : Type ?u.1047180
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f

tactic: rfl
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1047174
G : Type ?u.1047177
𝕜 : Type ?u.1047180
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1 hT') ↑f