Theorem: Finset.induction_on_union
File: Mathlib/Data/Finset/Basic.lean

tactic: intro a b
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.167923
γ : Type ?u.167926
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
⊢ ∀ (a b : Finset α), P a b

tactic: refine' Finset.induction_on b empty_right fun x s _xs hi => symm _
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.167923
γ : Type ?u.167926
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
⊢ P a b

tactic: rw [Finset.insert_eq]
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.167923
γ : Type ?u.167926
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : ¬x ∈ s
hi : P a s
⊢ P (insert x s) a

tactic: apply union_of _ (symm hi)
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.167923
γ : Type ?u.167926
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : ¬x ∈ s
hi : P a s
⊢ P ({x} ∪ s) a

tactic: refine' Finset.induction_on a empty_right fun a t _ta hi => symm _
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.167923
γ : Type ?u.167926
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : ¬x ∈ s
hi : P a s
⊢ P {x} a

tactic: rw [Finset.insert_eq]
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.167923
γ : Type ?u.167926
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝¹ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a✝ b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : ¬x ∈ s
hi✝ : P a✝ s
a : α
t : Finset α
_ta : ¬a ∈ t
hi : P {x} t
⊢ P (insert a t) {x}

tactic: exact union_of singletons (symm hi)
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.167923
γ : Type ?u.167926
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝¹ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a✝ b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : ¬x ∈ s
hi✝ : P a✝ s
a : α
t : Finset α
_ta : ¬a ∈ t
hi : P {x} t
⊢ P ({a} ∪ t) {x}