Theorem: CategoryTheory.NormalMonoCategory.epi_of_zero_cokernel
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/NormalMono/Equalizers.lean

tactic: simp
state_before: C : Type ?u.76906
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ f ≫ 0 = 0

tactic: obtain ⟨W, w, hw, hl⟩ := normalMonoOfMono (equalizer.ι u v)
state_before: C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0))
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
⊢ u = v

tactic: obtain ⟨m, hm⟩ := equalizer.lift' f huv
state_before: case mk
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0))
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
⊢ u = v

tactic: have hwf : f ≫ w = 0 := by rw [← hm, Category.assoc, hw, comp_zero]
state_before: case mk.mk
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0))
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
m : X ⟶ equalizer u v
hm : m ≫ equalizer.ι u v = f
⊢ u = v

tactic: obtain ⟨n, hn⟩ := CokernelCofork.IsColimit.desc' l _ hwf
state_before: case mk.mk
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0))
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
m : X ⟶ equalizer u v
hm : m ≫ equalizer.ι u v = f
hwf : f ≫ w = 0
⊢ u = v

tactic: rw [Cofork.π_ofπ, zero_comp] at hn
state_before: case mk.mk.mk
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0))
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
m : X ⟶ equalizer u v
hm : m ≫ equalizer.ι u v = f
hwf : f ≫ w = 0
n : (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0)).pt ⟶ W
hn : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0)) ≫ n = w
⊢ u = v

tactic: have : IsIso (equalizer.ι u v) := by apply isIso_limit_cone_parallelPair_of_eq hn.symm hl
state_before: case mk.mk.mk
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0))
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
m : X ⟶ equalizer u v
hm : m ≫ equalizer.ι u v = f
hwf : f ≫ w = 0
n : (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0)).pt ⟶ W
hn : 0 = w
⊢ u = v

tactic: apply (cancel_epi (equalizer.ι u v)).1
state_before: case mk.mk.mk
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0))
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
m : X ⟶ equalizer u v
hm : m ≫ equalizer.ι u v = f
hwf : f ≫ w = 0
n : (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0)).pt ⟶ W
hn : 0 = w
this : IsIso (equalizer.ι u v)
⊢ u = v

tactic: exact equalizer.condition _ _
state_before: case mk.mk.mk
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0))
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
m : X ⟶ equalizer u v
hm : m ≫ equalizer.ι u v = f
hwf : f ≫ w = 0
n : (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0)).pt ⟶ W
hn : 0 = w
this : IsIso (equalizer.ι u v)
⊢ equalizer.ι u v ≫ u = equalizer.ι u v ≫ v

tactic: rw [← hm, Category.assoc, hw, comp_zero]
state_before: C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0))
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
m : X ⟶ equalizer u v
hm : m ≫ equalizer.ι u v = f
⊢ f ≫ w = 0

tactic: apply isIso_limit_cone_parallelPair_of_eq hn.symm hl
state_before: C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0))
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
m : X ⟶ equalizer u v
hm : m ≫ equalizer.ι u v = f
hwf : f ≫ w = 0
n : (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0)).pt ⟶ W
hn : 0 = w
⊢ IsIso (equalizer.ι u v)