Theorem: LieAlgebra.derivedSeries_of_derivedLength_succ
File: Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean

tactic: rw [abelian_iff_derived_succ_eq_bot]
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔
    IsLieAbelian { x // x ∈ ↑(derivedSeriesOfIdeal R L k I) } ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥

tactic: let s := { k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥ }
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I = ⊥ ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥

tactic: change sInf s = k + 1 ↔ k + 1 ∈ s ∧ k ∉ s
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I = ⊥ ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥

tactic: have hs : ∀ k₁ k₂ : ℕ, k₁ ≤ k₂ → k₁ ∈ s → k₂ ∈ s := by
  intro k₁ k₂ h₁₂ h₁
  suffices derivedSeriesOfIdeal R L k₂ I ≤ ⊥ by exact eq_bot_iff.mpr this
  change derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I = ⊥ at h₁ ; rw [← h₁]
  exact derivedSeriesOfIdeal_antitone I h₁₂
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
⊢ sInf s = k + 1 ↔ k + 1 ∈ s ∧ ¬k ∈ s

tactic: exact Nat.sInf_upward_closed_eq_succ_iff hs k
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
hs : ∀ (k₁ k₂ : ℕ), k₁ ≤ k₂ → k₁ ∈ s → k₂ ∈ s
⊢ sInf s = k + 1 ↔ k + 1 ∈ s ∧ ¬k ∈ s

tactic: intro k₁ k₂ h₁₂ h₁
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
⊢ ∀ (k₁ k₂ : ℕ), k₁ ≤ k₂ → k₁ ∈ s → k₂ ∈ s

tactic: suffices derivedSeriesOfIdeal R L k₂ I ≤ ⊥ by exact eq_bot_iff.mpr this
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k₁ k₂ : ℕ
h₁₂ : k₁ ≤ k₂
h₁ : k₁ ∈ s
⊢ k₂ ∈ s

tactic: change derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I = ⊥ at h₁
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k₁ k₂ : ℕ
h₁₂ : k₁ ≤ k₂
h₁ : k₁ ∈ s
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k₂ I ≤ ⊥

tactic: rw [← h₁]
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k₁ k₂ : ℕ
h₁₂ : k₁ ≤ k₂
h₁ : derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I = ⊥
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k₂ I ≤ ⊥

tactic: exact derivedSeriesOfIdeal_antitone I h₁₂
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k₁ k₂ : ℕ
h₁₂ : k₁ ≤ k₂
h₁ : derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I = ⊥
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k₂ I ≤ derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I

tactic: exact eq_bot_iff.mpr this
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k₁ k₂ : ℕ
h₁₂ : k₁ ≤ k₂
h₁ : k₁ ∈ s
this : derivedSeriesOfIdeal R L k₂ I ≤ ⊥
⊢ k₂ ∈ s