Theorem: Asymptotics.isLittleO_iff_nat_mul_le_aux
File: Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean

tactic: constructor
state_before: α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
⊢ f =o[l] g ↔ ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

tactic: rintro H (_ | n)
state_before: case mp
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
⊢ f =o[l] g → ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

tactic: refine' (H.def one_pos).mono fun x h₀' => _
state_before: case mp.zero
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : f =o[l] g
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ↑Nat.zero * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

tactic: rw [Nat.cast_zero, MulZeroClass.zero_mul]
state_before: case mp.zero
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : f =o[l] g
x : α
h₀' : ‖f x‖ ≤ 1 * ‖g x‖
⊢ ↑Nat.zero * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

tactic: refine' h₀.elim (fun hf => (hf x).trans _) fun hg => hg x
state_before: case mp.zero
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : f =o[l] g
x : α
h₀' : ‖f x‖ ≤ 1 * ‖g x‖
⊢ 0 ≤ ‖g x‖

tactic: rwa [one_mul] at h₀'
state_before: case mp.zero
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : f =o[l] g
x : α
h₀' : ‖f x‖ ≤ 1 * ‖g x‖
hf : ∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

tactic: have : (0 : ℝ) < n.succ := Nat.cast_pos.2 n.succ_pos
state_before: case mp.succ
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : f =o[l] g
n : ℕ
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ↑(Nat.succ n) * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

tactic: exact (isBigOWith_inv this).1 (H.def' <| inv_pos.2 this)
state_before: case mp.succ
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : f =o[l] g
n : ℕ
this : 0 < ↑(Nat.succ n)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ↑(Nat.succ n) * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

tactic: refine' fun H => isLittleO_iff.2 fun ε ε0 => _
state_before: case mpr
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
⊢ (∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖) → f =o[l] g

tactic: rcases exists_nat_gt ε⁻¹ with ⟨n, hn⟩
state_before: case mpr
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ε * ‖g x‖

tactic: have hn₀ : (0 : ℝ) < n := (inv_pos.2 ε0).trans hn
state_before: case mpr.intro
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
n : ℕ
hn : ε⁻¹ < ↑n
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ε * ‖g x‖

tactic: refine' ((isBigOWith_inv hn₀).2 (H n)).bound.mono fun x hfg => _
state_before: case mpr.intro
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
n : ℕ
hn : ε⁻¹ < ↑n
hn₀ : 0 < ↑n
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ε * ‖g x‖

tactic: refine' hfg.trans (mul_le_mul_of_nonneg_right (inv_le_of_inv_le ε0 hn.le) _)
state_before: case mpr.intro
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
n : ℕ
hn : ε⁻¹ < ↑n
hn₀ : 0 < ↑n
x : α
hfg : ‖f x‖ ≤ (↑n)⁻¹ * ‖g x‖
⊢ ‖f x‖ ≤ ε * ‖g x‖

tactic: refine' h₀.elim (fun hf => nonneg_of_mul_nonneg_right ((hf x).trans hfg) _) fun h => h x
state_before: case mpr.intro
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
n : ℕ
hn : ε⁻¹ < ↑n
hn₀ : 0 < ↑n
x : α
hfg : ‖f x‖ ≤ (↑n)⁻¹ * ‖g x‖
⊢ 0 ≤ ‖g x‖

tactic: exact inv_pos.2 hn₀
state_before: case mpr.intro
α : Type u_3
β : Type ?u.46730
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.46739
E' : Type ?u.46742
F' : Type ?u.46745
G' : Type ?u.46748
E'' : Type ?u.46751
F'' : Type ?u.46754
G'' : Type ?u.46757
R : Type ?u.46760
R' : Type ?u.46763
𝕜 : Type ?u.46766
𝕜' : Type ?u.46769
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
n : ℕ
hn : ε⁻¹ < ↑n
hn₀ : 0 < ↑n
x : α
hfg : ‖f x‖ ≤ (↑n)⁻¹ * ‖g x‖
hf : ∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖
⊢ 0 < (↑n)⁻¹