Theorem: MeasureTheory.Measure.eventually_nonempty_inter_smul_of_density_one
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean

tactic: obtain ⟨t', t'_meas, t't, t'pos, t'top⟩ : ∃ t', MeasurableSet t' ∧ t' ⊆ t ∧ 0 < μ t' ∧ μ t' < ⊤ :=
  exists_subset_measure_lt_top ht h't.bot_lt
state_before: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : IsAddHaarMeasure μ
F : Type ?u.2304193
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : ↑↑μ t ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • t))

tactic: filter_upwards [(tendsto_order.1
        (tendsto_add_haar_inter_smul_one_of_density_one μ s x h t' t'_meas t'pos.ne' t'top.ne)).1
    0 zero_lt_one]
state_before: case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : IsAddHaarMeasure μ
F : Type ?u.2304193
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : ↑↑μ t ≠ 0
t' : Set E
t'_meas : MeasurableSet t'
t't : t' ⊆ t
t'pos : 0 < ↑↑μ t'
t'top : ↑↑μ t' < ⊤
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • t))

tactic: intro r hr
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : IsAddHaarMeasure μ
F : Type ?u.2304193
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : ↑↑μ t ≠ 0
t' : Set E
t'_meas : MeasurableSet t'
t't : t' ⊆ t
t'pos : 0 < ↑↑μ t'
t'top : ↑↑μ t' < ⊤
⊢ ∀ (a : ℝ), 0 < ↑↑μ (s ∩ ({x} + a • t')) / ↑↑μ ({x} + a • t') → Set.Nonempty (s ∩ ({x} + a • t))

tactic: have : μ (s ∩ ({x} + r • t')) ≠ 0 := fun h' => by
  simp only [ENNReal.not_lt_zero, ENNReal.zero_div, h'] at hr
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : IsAddHaarMeasure μ
F : Type ?u.2304193
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : ↑↑μ t ≠ 0
t' : Set E
t'_meas : MeasurableSet t'
t't : t' ⊆ t
t'pos : 0 < ↑↑μ t'
t'top : ↑↑μ t' < ⊤
r : ℝ
hr : 0 < ↑↑μ (s ∩ ({x} + r • t')) / ↑↑μ ({x} + r • t')
⊢ Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • t))

tactic: have : (s ∩ ({x} + r • t')).Nonempty := nonempty_of_measure_ne_zero this
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : IsAddHaarMeasure μ
F : Type ?u.2304193
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : ↑↑μ t ≠ 0
t' : Set E
t'_meas : MeasurableSet t'
t't : t' ⊆ t
t'pos : 0 < ↑↑μ t'
t'top : ↑↑μ t' < ⊤
r : ℝ
hr : 0 < ↑↑μ (s ∩ ({x} + r • t')) / ↑↑μ ({x} + r • t')
this : ↑↑μ (s ∩ ({x} + r • t')) ≠ 0
⊢ Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • t))

tactic: apply this.mono (inter_subset_inter Subset.rfl _)
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : IsAddHaarMeasure μ
F : Type ?u.2304193
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : ↑↑μ t ≠ 0
t' : Set E
t'_meas : MeasurableSet t'
t't : t' ⊆ t
t'pos : 0 < ↑↑μ t'
t'top : ↑↑μ t' < ⊤
r : ℝ
hr : 0 < ↑↑μ (s ∩ ({x} + r • t')) / ↑↑μ ({x} + r • t')
this✝ : ↑↑μ (s ∩ ({x} + r • t')) ≠ 0
this : Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • t'))
⊢ Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • t))

tactic: exact add_subset_add Subset.rfl (smul_set_mono t't)
state_before: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : IsAddHaarMeasure μ
F : Type ?u.2304193
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : ↑↑μ t ≠ 0
t' : Set E
t'_meas : MeasurableSet t'
t't : t' ⊆ t
t'pos : 0 < ↑↑μ t'
t'top : ↑↑μ t' < ⊤
r : ℝ
hr : 0 < ↑↑μ (s ∩ ({x} + r • t')) / ↑↑μ ({x} + r • t')
this✝ : ↑↑μ (s ∩ ({x} + r • t')) ≠ 0
this : Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • t'))
⊢ {x} + r • t' ⊆ {x} + r • t

tactic: simp only [ENNReal.not_lt_zero, ENNReal.zero_div, h'] at hr
state_before: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : IsAddHaarMeasure μ
F : Type ?u.2304193
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : ↑↑μ t ≠ 0
t' : Set E
t'_meas : MeasurableSet t'
t't : t' ⊆ t
t'pos : 0 < ↑↑μ t'
t'top : ↑↑μ t' < ⊤
r : ℝ
hr : 0 < ↑↑μ (s ∩ ({x} + r • t')) / ↑↑μ ({x} + r • t')
h' : ↑↑μ (s ∩ ({x} + r • t')) = 0
⊢ False