Theorem: MultilinearMap.exists_bound_of_continuous
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear.lean

tactic: cases isEmpty_or_nonempty ι
state_before: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖↑f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: obtain ⟨ε : ℝ, ε0 : 0 < ε, hε : ∀ m : ∀ i, E i, ‖m - 0‖ < ε → ‖f m - f 0‖ < 1⟩ :=
  NormedAddCommGroup.tendsto_nhds_nhds.1 (hf.tendsto 0) 1 zero_lt_one
state_before: case inr
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : Nonempty ι
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖↑f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: simp only [sub_zero, f.map_zero] at hε
state_before: case inr.intro.intro
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m - 0‖ < ε → ‖↑f m - ↑f 0‖ < 1
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖↑f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: rcases NormedField.exists_one_lt_norm 𝕜 with ⟨c, hc⟩
state_before: case inr.intro.intro
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖↑f m‖ < 1
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖↑f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: have : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι := pow_pos (div_pos (zero_lt_one.trans hc) ε0) _
state_before: case inr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖↑f m‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖↑f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: refine' ⟨_, this, _⟩
state_before: case inr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖↑f m‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖↑f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: refine' f.bound_of_shell (fun _ => ε0) (fun _ => hc) fun m hcm hm => _
state_before: case inr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖↑f m‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι
⊢ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖↑f m‖ ≤ (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι * ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: refine' (hε m ((pi_norm_lt_iff ε0).2 hm)).le.trans _
state_before: case inr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖↑f m‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι
m : (i : ι) → E i
hcm : ∀ (i : ι), ε / ‖c‖ ≤ ‖m i‖
hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε
⊢ ‖↑f m‖ ≤ (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι * ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: rw [← div_le_iff' this, one_div, ← inv_pow, inv_div, Fintype.card, ← prod_const]
state_before: case inr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖↑f m‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι
m : (i : ι) → E i
hcm : ∀ (i : ι), ε / ‖c‖ ≤ ‖m i‖
hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε
⊢ 1 ≤ (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι * ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: exact prod_le_prod (fun _ _ => div_nonneg ε0.le (norm_nonneg _)) fun i _ => hcm i
state_before: case inr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖↑f m‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι
m : (i : ι) → E i
hcm : ∀ (i : ι), ε / ‖c‖ ≤ ‖m i‖
hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε
⊢ ∏ _x : ι, ε / ‖c‖ ≤ ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: refine' ⟨‖f 0‖ + 1, add_pos_of_nonneg_of_pos (norm_nonneg _) zero_lt_one, fun m => _⟩
state_before: case inl
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : IsEmpty ι
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖↑f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: obtain rfl : m = 0
state_before: case inl
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : IsEmpty ι
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖↑f m‖ ≤ (‖↑f 0‖ + 1) * ∏ i : ι, ‖m i‖

tactic: exact funext (IsEmpty.elim ‹_›)
state_before: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : IsEmpty ι
m : (i : ι) → E i
⊢ m = 0

case inl
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : IsEmpty ι
⊢ ‖↑f 0‖ ≤ (‖↑f 0‖ + 1) * ∏ i : ι, ‖OfNat.ofNat 0 i‖

tactic: simp [univ_eq_empty, zero_le_one]
state_before: case inl
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ↑f
h✝ : IsEmpty ι
⊢ ‖↑f 0‖ ≤ (‖↑f 0‖ + 1) * ∏ i : ι, ‖OfNat.ofNat 0 i‖