Theorem: ContinuousLinearMap.op_norm_lsmul
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm.lean

tactic: refine' ContinuousLinearMap.op_norm_eq_of_bounds zero_le_one (fun x => _) fun N _ h => _
state_before: 𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.3751114
𝕜₃ : Type ?u.3751117
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.3751123
F : Type ?u.3751126
Fₗ : Type ?u.3751129
G : Type ?u.3751132
Gₗ : Type ?u.3751135
𝓕 : Type ?u.3751138
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3752022
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3752028
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ ‖lsmul 𝕜 𝕜'‖ = 1

tactic: obtain ⟨y, hy⟩ := exists_ne (0 : E)
state_before: case refine'_2
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.3751114
𝕜₃ : Type ?u.3751117
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.3751123
F : Type ?u.3751126
Fₗ : Type ?u.3751129
G : Type ?u.3751132
Gₗ : Type ?u.3751135
𝓕 : Type ?u.3751138
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3752022
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3752028
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
⊢ 1 ≤ N

tactic: have := le_of_op_norm_le _ (h 1) y
state_before: case refine'_2.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.3751114
𝕜₃ : Type ?u.3751117
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.3751123
F : Type ?u.3751126
Fₗ : Type ?u.3751129
G : Type ?u.3751132
Gₗ : Type ?u.3751135
𝓕 : Type ?u.3751138
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3752022
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3752028
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
y : E
hy : y ≠ 0
⊢ 1 ≤ N

tactic: simp_rw [lsmul_apply, one_smul, norm_one, mul_one] at this
state_before: case refine'_2.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.3751114
𝕜₃ : Type ?u.3751117
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.3751123
F : Type ?u.3751126
Fₗ : Type ?u.3751129
G : Type ?u.3751132
Gₗ : Type ?u.3751135
𝓕 : Type ?u.3751138
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3752022
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3752028
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
y : E
hy : y ≠ 0
this : ‖↑(↑(lsmul 𝕜 𝕜') 1) y‖ ≤ N * ‖1‖ * ‖y‖
⊢ 1 ≤ N

tactic: refine' le_of_mul_le_mul_right _ (norm_pos_iff.mpr hy)
state_before: case refine'_2.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.3751114
𝕜₃ : Type ?u.3751117
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.3751123
F : Type ?u.3751126
Fₗ : Type ?u.3751129
G : Type ?u.3751132
Gₗ : Type ?u.3751135
𝓕 : Type ?u.3751138
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3752022
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3752028
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
y : E
hy : y ≠ 0
this : ‖y‖ ≤ N * ‖y‖
⊢ 1 ≤ N

tactic: simp_rw [one_mul, this]
state_before: case refine'_2.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.3751114
𝕜₃ : Type ?u.3751117
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.3751123
F : Type ?u.3751126
Fₗ : Type ?u.3751129
G : Type ?u.3751132
Gₗ : Type ?u.3751135
𝓕 : Type ?u.3751138
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3752022
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3752028
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
y : E
hy : y ≠ 0
this : ‖y‖ ≤ N * ‖y‖
⊢ 1 * ‖y‖ ≤ N * ‖y‖

tactic: rw [one_mul]
state_before: case refine'_1
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.3751114
𝕜₃ : Type ?u.3751117
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.3751123
F : Type ?u.3751126
Fₗ : Type ?u.3751129
G : Type ?u.3751132
Gₗ : Type ?u.3751135
𝓕 : Type ?u.3751138
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3752022
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3752028
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
x : 𝕜'
⊢ ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ 1 * ‖x‖

tactic: apply op_norm_lsmul_apply_le
state_before: case refine'_1
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.3751114
𝕜₃ : Type ?u.3751117
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.3751123
F : Type ?u.3751126
Fₗ : Type ?u.3751129
G : Type ?u.3751132
Gₗ : Type ?u.3751135
𝓕 : Type ?u.3751138
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3752022
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3752028
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
x : 𝕜'
⊢ ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ ‖x‖