Theorem: MeasureTheory.SimpleFunc.norm_setToSimpleFunc_le_sum_mul_norm_of_integrable
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: refine' Finset.sum_le_sum fun b hb => _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.411774
F' : Type u_3
G : Type ?u.411780
𝕜 : Type ?u.411783
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, ‖T (↑f ⁻¹' {x})‖ * ‖x‖ ≤
    ∑ x in SimpleFunc.range f, C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖

tactic: obtain rfl | hb := eq_or_ne b 0
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.411774
F' : Type u_3
G : Type ?u.411780
𝕜 : Type ?u.411783
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
b : E
hb : b ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {b})) * ‖b‖

tactic: gcongr
state_before: case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.411774
F' : Type u_3
G : Type ?u.411780
𝕜 : Type ?u.411783
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
b : E
hb✝ : b ∈ SimpleFunc.range f
hb : b ≠ 0
⊢ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {b})) * ‖b‖

tactic: exact hT_norm _ (SimpleFunc.measurableSet_fiber _ _) <|
  SimpleFunc.measure_preimage_lt_top_of_integrable _ hf hb
state_before: case inr.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.411774
F' : Type u_3
G : Type ?u.411780
𝕜 : Type ?u.411783
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
b : E
hb✝ : b ∈ SimpleFunc.range f
hb : b ≠ 0
⊢ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {b}))

tactic: simp
state_before: case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.411774
F' : Type u_3
G : Type ?u.411780
𝕜 : Type ?u.411783
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hb : 0 ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ‖T (↑f ⁻¹' {0})‖ * ‖0‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {0})) * ‖0‖

tactic: simp_rw [mul_sum, ← mul_assoc]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.411774
F' : Type u_3
G : Type ?u.411780
𝕜 : Type ?u.411783
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖ ≤
    C * ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖

tactic: rfl
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.411774
F' : Type u_3
G : Type ?u.411780
𝕜 : Type ?u.411783
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖ ≤
    ∑ x in SimpleFunc.range f, C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖