Theorem: FDerivMeasurableAux.differentiable_set_subset_d
File: Mathlib/Analysis/Calculus/FDerivMeasurable.lean

tactic: intro x hx
state_before: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
⊢ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K} ⊆ D f K

tactic: rw [D, mem_iInter]
state_before: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
⊢ x ∈ D f K

tactic: intro e
state_before: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
⊢ ∀ (i : ℕ), x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ i)

tactic: have : (0 : ℝ) < (1 / 2) ^ e := pow_pos (by norm_num) _
state_before: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
⊢ x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)

tactic: rcases mem_a_of_differentiable this hx.1 with ⟨R, R_pos, hR⟩
state_before: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
⊢ x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)

tactic: obtain ⟨n, hn⟩ : ∃ n : ℕ, (1 / 2) ^ n < R :=
  exists_pow_lt_of_lt_one R_pos (by norm_num : (1 : ℝ) / 2 < 1)
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ((1 / 2) ^ e)
⊢ x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)

tactic: simp only [mem_iUnion, mem_iInter, B, mem_inter_iff]
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
⊢ x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)

tactic: norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
⊢ 0 < 1 / 2

tactic: norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ((1 / 2) ^ e)
⊢ 1 / 2 < 1

tactic: refine' hR _ ⟨pow_pos (by norm_num) _, lt_of_le_of_lt _ hn⟩
state_before: case intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)

tactic: exact pow_le_pow_of_le_one (by norm_num) (by norm_num) (by assumption)
state_before: case intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ (1 / 2) ^ q ≤ (1 / 2) ^ n

tactic: norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ 0 < 1 / 2

tactic: norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ 0 ≤ 1 / 2

tactic: norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ 1 / 2 ≤ 1

tactic: assumption
state_before: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ n ≤ q