Theorem: intervalIntegral.measure_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae'
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean

tactic: have A := hf.integral_sub_linear_isLittleO_ae hfm hl (hu.Ioc hv)
state_before: ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.242824
E : Type u_1
F : Type ?u.242830
A : Type ?u.242833
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
⊢ (fun t => (∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ

tactic: have B := hf.integral_sub_linear_isLittleO_ae hfm hl (hv.Ioc hu)
state_before: ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.242824
E : Type u_1
F : Type ?u.242830
A✝ : Type ?u.242833
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
⊢ (fun t => (∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ

tactic: simp_rw [integral_const', sub_smul]
state_before: ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.242824
E : Type u_1
F : Type ?u.242830
A✝ : Type ?u.242833
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
⊢ (fun t => (∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ

tactic: refine ((A.trans_le fun t ↦ ?_).sub (B.trans_le fun t ↦ ?_)).congr_left fun t ↦ ?_
state_before: ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.242824
E : Type u_1
F : Type ?u.242830
A✝ : Type ?u.242833
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
⊢ (fun t =>
      (∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ) -
        (ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c)) =o[lt]
    fun t => ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • 1 - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • 1

tactic: cases le_total (u t) (v t) <;> simp [*]
state_before: case refine_1
ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.242824
E : Type u_1
F : Type ?u.242830
A✝ : Type ?u.242833
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
⊢ ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t)))‖ ≤
    ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • 1 - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • 1‖

tactic: cases le_total (u t) (v t) <;> simp [*]
state_before: case refine_2
ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.242824
E : Type u_1
F : Type ?u.242830
A✝ : Type ?u.242833
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
⊢ ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t)))‖ ≤
    ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • 1 - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • 1‖

tactic: simp_rw [intervalIntegral, sub_smul]
state_before: case refine_3
ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.242824
E : Type u_1
F : Type ?u.242830
A✝ : Type ?u.242833
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
⊢ (∫ (x : ℝ) in Ioc (u t) (v t), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c -
      ((∫ (x : ℝ) in Ioc (v t) (u t), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c) =
    (∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ) -
      (ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c)

tactic: abel
state_before: case refine_3
ι : Type u_2
𝕜 : Type ?u.242824
E : Type u_1
F : Type ?u.242830
A✝ : Type ?u.242833
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => (∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
⊢ (∫ (x : ℝ) in Ioc (u t) (v t), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c -
      ((∫ (x : ℝ) in Ioc (v t) (u t), f x ∂μ) - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c) =
    ((∫ (x : ℝ) in Ioc (u t) (v t), f x ∂μ) - ∫ (x : ℝ) in Ioc (v t) (u t), f x ∂μ) -
      (ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c)