Theorem: IsPrimitiveRoot.isPrimitiveRoot_iff'
File: Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean

tactic: constructor
state_before: M : Type ?u.3462472
N : Type ?u.3462475
G : Type ?u.3462478
R : Type u_1
S : Type ?u.3462484
F : Type ?u.3462487
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ ξ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ IsPrimitiveRoot ξ ↑k ↔ ∃ i, i < ↑k ∧ Nat.coprime i ↑k ∧ ζ ^ i = ξ

tactic: intro hξ
state_before: case mp
M : Type ?u.3462472
N : Type ?u.3462475
G : Type ?u.3462478
R : Type u_1
S : Type ?u.3462484
F : Type ?u.3462487
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ ξ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ IsPrimitiveRoot ξ ↑k → ∃ i, i < ↑k ∧ Nat.coprime i ↑k ∧ ζ ^ i = ξ

tactic: obtain ⟨i, hik, rfl⟩ := h.eq_pow_of_mem_rootsOfUnity hξ.pow_eq_one
state_before: case mp
M : Type ?u.3462472
N : Type ?u.3462475
G : Type ?u.3462478
R : Type u_1
S : Type ?u.3462484
F : Type ?u.3462487
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ ξ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
hξ : IsPrimitiveRoot ξ ↑k
⊢ ∃ i, i < ↑k ∧ Nat.coprime i ↑k ∧ ζ ^ i = ξ

tactic: rw [h.pow_iff_coprime k.pos] at hξ
state_before: case mp.intro.intro
M : Type ?u.3462472
N : Type ?u.3462475
G : Type ?u.3462478
R : Type u_1
S : Type ?u.3462484
F : Type ?u.3462487
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
i : ℕ
hik : i < ↑k
hξ : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) ↑k
⊢ ∃ i_1, i_1 < ↑k ∧ Nat.coprime i_1 ↑k ∧ ζ ^ i_1 = ζ ^ i

tactic: exact ⟨i, hik, hξ, rfl⟩
state_before: case mp.intro.intro
M : Type ?u.3462472
N : Type ?u.3462475
G : Type ?u.3462478
R : Type u_1
S : Type ?u.3462484
F : Type ?u.3462487
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
i : ℕ
hik : i < ↑k
hξ : Nat.coprime i ↑k
⊢ ∃ i_1, i_1 < ↑k ∧ Nat.coprime i_1 ↑k ∧ ζ ^ i_1 = ζ ^ i

tactic: rintro ⟨i, -, hi, rfl⟩
state_before: case mpr
M : Type ?u.3462472
N : Type ?u.3462475
G : Type ?u.3462478
R : Type u_1
S : Type ?u.3462484
F : Type ?u.3462487
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ ξ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ (∃ i, i < ↑k ∧ Nat.coprime i ↑k ∧ ζ ^ i = ξ) → IsPrimitiveRoot ξ ↑k

tactic: exact h.pow_of_coprime i hi
state_before: case mpr.intro.intro.intro
M : Type ?u.3462472
N : Type ?u.3462475
G : Type ?u.3462478
R : Type u_1
S : Type ?u.3462484
F : Type ?u.3462487
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
i : ℕ
hi : Nat.coprime i ↑k
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) ↑k