Theorem: Ideal.IsNilpotent.induction_on
File: Mathlib/RingTheory/QuotientNilpotent.lean

tactic: obtain ⟨n, hI : I ^ n = ⊥⟩ := hI
state_before: R : Type ?u.1313
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI : IsNilpotent I
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
⊢ P I

tactic: induction' n using Nat.strong_induction_on with n H generalizing S
state_before: case intro
R : Type ?u.1313
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI : I ^ n = ⊥
⊢ P I

tactic: by_cases hI' : I = ⊥
state_before: case intro.h
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI : I ^ n = ⊥
⊢ P I

tactic: cases' n with n
state_before: case neg
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI : I ^ n = ⊥
hI' : ¬I = ⊥
⊢ P I

tactic: cases' n with n
state_before: case neg.succ
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ), m < Nat.succ n → ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ n = ⊥
⊢ P I

tactic: apply h₂ (I ^ 2) _ (Ideal.pow_le_self two_ne_zero)
state_before: case neg.succ.succ
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ P I

tactic: subst hI'
state_before: case pos
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI : I ^ n = ⊥
hI' : I = ⊥
⊢ P I

tactic: apply h₁
state_before: case pos
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I ^ n✝ = ⊥
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
hI : ⊥ ^ n = ⊥
⊢ P ⊥

tactic: rw [← Ideal.zero_eq_bot, zero_pow]
state_before: case pos.a
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I ^ n✝ = ⊥
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
hI : ⊥ ^ n = ⊥
⊢ ⊥ ^ 2 = ⊥

tactic: exact zero_lt_two
state_before: case pos.a
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I ^ n✝ = ⊥
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
hI : ⊥ ^ n = ⊥
⊢ 0 < 2

tactic: rw [pow_zero, Ideal.one_eq_top] at hI
state_before: case neg.zero
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
H : ∀ (m : ℕ), m < Nat.zero → ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.zero = ⊥
⊢ P I

tactic: haveI := subsingleton_of_bot_eq_top hI.symm
state_before: case neg.zero
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
H : ∀ (m : ℕ), m < Nat.zero → ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : ⊤ = ⊥
⊢ P I

tactic: exact (hI' (Subsingleton.elim _ _)).elim
state_before: case neg.zero
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
H : ∀ (m : ℕ), m < Nat.zero → ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : ⊤ = ⊥
this : Subsingleton (Ideal S)
⊢ P I

tactic: rw [pow_one] at hI
state_before: case neg.succ.zero
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ Nat.zero → ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ Nat.zero = ⊥
⊢ P I

tactic: exact (hI' hI).elim
state_before: case neg.succ.zero
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ Nat.zero → ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I = ⊥
⊢ P I

tactic: apply H n.succ _ (I ^ 2)
state_before: case neg.succ.succ.a
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ P (I ^ 2)

tactic: rw [← pow_mul, eq_bot_iff, ← hI, Nat.succ_eq_add_one, Nat.succ_eq_add_one]
state_before: case neg.succ.succ.a
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ (I ^ 2) ^ Nat.succ n = ⊥

tactic: apply Ideal.pow_le_pow (by linarith)
state_before: case neg.succ.succ.a
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ I ^ (2 * (n + 1)) ≤ I ^ (n + 1 + 1)

tactic: linarith
state_before: R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ n + 1 + 1 ≤ 2 * (n + 1)

tactic: exact n.succ.lt_succ_self
state_before: R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ Nat.succ n < Nat.succ (Nat.succ n)

tactic: apply h₁
state_before: case neg.succ.succ.a
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ P (map (Quotient.mk (I ^ 2)) I)

tactic: rw [← Ideal.map_pow, Ideal.map_quotient_self]
state_before: case neg.succ.succ.a.a
R : Type ?u.1313
S✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_1⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_1⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_1} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ map (Quotient.mk (I ^ 2)) I ^ 2 = ⊥