Theorem: ContinuousLinearEquiv.arrowCongrₛₗ_continuous
File: Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean

tactic: apply continuous_of_continuousAt_zero
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_6
𝕜₄ : Type u_5
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_8
H : Type u_7
inst✝²⁸ : AddCommGroup E
inst✝²⁷ : AddCommGroup F
inst✝²⁶ : AddCommGroup G
inst✝²⁵ : AddCommGroup H
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²⁰ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝¹⁸ : Module 𝕜₃ G
inst✝¹⁷ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
inst✝¹² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝⁹ : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁵ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
⊢ Continuous (_root_.id ↑(arrowCongrₛₗ e₁₂ e₄₃))

tactic: show Filter.Tendsto _ _ _
state_before: case hf
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_6
𝕜₄ : Type u_5
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_8
H : Type u_7
inst✝²⁸ : AddCommGroup E
inst✝²⁷ : AddCommGroup F
inst✝²⁶ : AddCommGroup G
inst✝²⁵ : AddCommGroup H
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²⁰ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝¹⁸ : Module 𝕜₃ G
inst✝¹⁷ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
inst✝¹² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝⁹ : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁵ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
⊢ ContinuousAt (↑(arrowCongrₛₗ e₁₂ e₄₃)) 0

tactic: simp_rw [(arrowCongrₛₗ e₁₂ e₄₃).map_zero]
state_before: case hf
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_6
𝕜₄ : Type u_5
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_8
H : Type u_7
inst✝²⁸ : AddCommGroup E
inst✝²⁷ : AddCommGroup F
inst✝²⁶ : AddCommGroup G
inst✝²⁵ : AddCommGroup H
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²⁰ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝¹⁸ : Module 𝕜₃ G
inst✝¹⁷ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
inst✝¹² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝⁹ : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁵ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
⊢ Filter.Tendsto (↑(arrowCongrₛₗ e₁₂ e₄₃)) (𝓝 0) (𝓝 (↑(arrowCongrₛₗ e₁₂ e₄₃) 0))

tactic: rw [ContinuousLinearMap.hasBasis_nhds_zero.tendsto_iff ContinuousLinearMap.hasBasis_nhds_zero]
state_before: case hf
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_6
𝕜₄ : Type u_5
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_8
H : Type u_7
inst✝²⁸ : AddCommGroup E
inst✝²⁷ : AddCommGroup F
inst✝²⁶ : AddCommGroup G
inst✝²⁵ : AddCommGroup H
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²⁰ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝¹⁸ : Module 𝕜₃ G
inst✝¹⁷ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
inst✝¹² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝⁹ : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁵ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
⊢ Filter.Tendsto (↑(arrowCongrₛₗ e₁₂ e₄₃)) (𝓝 0) (𝓝 0)

tactic: rintro ⟨sF, sG⟩ ⟨h1 : Bornology.IsVonNBounded 𝕜₂ sF, h2 : sG ∈ nhds (0 : G)⟩
state_before: case hf
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_6
𝕜₄ : Type u_5
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_8
H : Type u_7
inst✝²⁸ : AddCommGroup E
inst✝²⁷ : AddCommGroup F
inst✝²⁶ : AddCommGroup G
inst✝²⁵ : AddCommGroup H
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²⁰ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝¹⁸ : Module 𝕜₃ G
inst✝¹⁷ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
inst✝¹² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝⁹ : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁵ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
⊢ ∀ (ib : Set F × Set G),
    Bornology.IsVonNBounded 𝕜₂ ib.fst ∧ ib.snd ∈ 𝓝 0 →
      ∃ ia,
        (Bornology.IsVonNBounded 𝕜 ia.fst ∧ ia.snd ∈ 𝓝 0) ∧
          ∀ (x : E →SL[σ₁₄] H),
            x ∈ {f | ∀ (x : E), x ∈ ia.fst → ↑f x ∈ ia.snd} →
              ↑(arrowCongrₛₗ e₁₂ e₄₃) x ∈ {f | ∀ (x : F), x ∈ ib.fst → ↑f x ∈ ib.snd}

tactic: dsimp
state_before: case hf.mk.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_6
𝕜₄ : Type u_5
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_8
H : Type u_7
inst✝²⁸ : AddCommGroup E
inst✝²⁷ : AddCommGroup F
inst✝²⁶ : AddCommGroup G
inst✝²⁵ : AddCommGroup H
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²⁰ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝¹⁸ : Module 𝕜₃ G
inst✝¹⁷ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
inst✝¹² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝⁹ : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁵ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
sF : Set F
sG : Set G
h1 : Bornology.IsVonNBounded 𝕜₂ sF
h2 : sG ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ ia,
    (Bornology.IsVonNBounded 𝕜 ia.fst ∧ ia.snd ∈ 𝓝 0) ∧
      ∀ (x : E →SL[σ₁₄] H),
        x ∈ {f | ∀ (x : E), x ∈ ia.fst → ↑f x ∈ ia.snd} →
          ↑(arrowCongrₛₗ e₁₂ e₄₃) x ∈ {f | ∀ (x : F), x ∈ (sF, sG).fst → ↑f x ∈ (sF, sG).snd}

tactic: refine' ⟨(e₁₂.symm '' sF, e₄₃ ⁻¹' sG), ⟨h1.image (e₁₂.symm : F →SL[σ₂₁] E), _⟩, fun _ h _ hx =>
  h _ (Set.mem_image_of_mem _ hx)⟩
state_before: case hf.mk.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_6
𝕜₄ : Type u_5
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_8
H : Type u_7
inst✝²⁸ : AddCommGroup E
inst✝²⁷ : AddCommGroup F
inst✝²⁶ : AddCommGroup G
inst✝²⁵ : AddCommGroup H
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²⁰ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝¹⁸ : Module 𝕜₃ G
inst✝¹⁷ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
inst✝¹² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝⁹ : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁵ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
sF : Set F
sG : Set G
h1 : Bornology.IsVonNBounded 𝕜₂ sF
h2 : sG ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ ia,
    (Bornology.IsVonNBounded 𝕜 ia.fst ∧ ia.snd ∈ 𝓝 0) ∧
      ∀ (x : E →SL[σ₁₄] H),
        (∀ (x_1 : E), x_1 ∈ ia.fst → ↑x x_1 ∈ ia.snd) →
          ∀ (x_1 : F), x_1 ∈ sF → ↑e₄₃ (↑x (↑(ContinuousLinearEquiv.symm e₁₂) x_1)) ∈ sG

tactic: apply e₄₃.continuous.continuousAt
state_before: case hf.mk.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_6
𝕜₄ : Type u_5
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_8
H : Type u_7
inst✝²⁸ : AddCommGroup E
inst✝²⁷ : AddCommGroup F
inst✝²⁶ : AddCommGroup G
inst✝²⁵ : AddCommGroup H
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²⁰ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝¹⁸ : Module 𝕜₃ G
inst✝¹⁷ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
inst✝¹² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝⁹ : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁵ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
sF : Set F
sG : Set G
h1 : Bornology.IsVonNBounded 𝕜₂ sF
h2 : sG ∈ 𝓝 0
⊢ (↑(ContinuousLinearEquiv.symm e₁₂) '' sF, ↑e₄₃ ⁻¹' sG).snd ∈ 𝓝 0

tactic: simpa using h2
state_before: case hf.mk.intro.a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_6
𝕜₄ : Type u_5
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_8
H : Type u_7
inst✝²⁸ : AddCommGroup E
inst✝²⁷ : AddCommGroup F
inst✝²⁶ : AddCommGroup G
inst✝²⁵ : AddCommGroup H
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²⁰ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝¹⁸ : Module 𝕜₃ G
inst✝¹⁷ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
inst✝¹² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝⁹ : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁵ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
sF : Set F
sG : Set G
h1 : Bornology.IsVonNBounded 𝕜₂ sF
h2 : sG ∈ 𝓝 0
⊢ sG ∈ 𝓝 (↑e₄₃ 0)