Theorem: Algebra.FiniteType.iff_quotient_mvPolynomial''
File: Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean

tactic: constructor
state_before: R : Type u_1
A : Type u
B : Type ?u.54036
M : Type ?u.54039
N : Type ?u.54042
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ FiniteType R A ↔ ∃ n f, Surjective ↑f

tactic: rw [iff_quotient_mvPolynomial']
state_before: case mp
R : Type u_1
A : Type u
B : Type ?u.54036
M : Type ?u.54039
N : Type ?u.54042
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ FiniteType R A → ∃ n f, Surjective ↑f

tactic: rintro ⟨ι, hfintype, ⟨f, hsur⟩⟩
state_before: case mp
R : Type u_1
A : Type u
B : Type ?u.54036
M : Type ?u.54039
N : Type ?u.54042
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ (∃ ι x f, Surjective ↑f) → ∃ n f, Surjective ↑f

tactic: have equiv := MvPolynomial.renameEquiv R (Fintype.equivFin ι)
state_before: case mp.intro.intro.intro
R : Type u_1
A : Type u
B : Type ?u.54036
M : Type ?u.54039
N : Type ?u.54042
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
ι : Type u
hfintype : Fintype ι
f : MvPolynomial ι R →ₐ[R] A
hsur : Surjective ↑f
⊢ ∃ n f, Surjective ↑f

tactic: exact ⟨Fintype.card ι, AlgHom.comp f equiv.symm.toAlgHom, by simpa using hsur⟩
state_before: case mp.intro.intro.intro
R : Type u_1
A : Type u
B : Type ?u.54036
M : Type ?u.54039
N : Type ?u.54042
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
ι : Type u
hfintype : Fintype ι
f : MvPolynomial ι R →ₐ[R] A
hsur : Surjective ↑f
equiv : MvPolynomial ι R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (Fintype.card ι)) R
⊢ ∃ n f, Surjective ↑f

tactic: simpa using hsur
state_before: R : Type u_1
A : Type u
B : Type ?u.54036
M : Type ?u.54039
N : Type ?u.54042
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
ι : Type u
hfintype : Fintype ι
f : MvPolynomial ι R →ₐ[R] A
hsur : Surjective ↑f
equiv : MvPolynomial ι R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (Fintype.card ι)) R
⊢ Surjective ↑(AlgHom.comp f ↑(AlgEquiv.symm equiv))

tactic: rintro ⟨n, ⟨f, hsur⟩⟩
state_before: case mpr
R : Type u_1
A : Type u
B : Type ?u.54036
M : Type ?u.54039
N : Type ?u.54042
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ (∃ n f, Surjective ↑f) → FiniteType R A

tactic: exact FiniteType.of_surjective (FiniteType.mvPolynomial R (Fin n)) f hsur
state_before: case mpr.intro.intro
R : Type u_1
A : Type u
B : Type ?u.54036
M : Type ?u.54039
N : Type ?u.54042
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hsur : Surjective ↑f
⊢ FiniteType R A