Theorem: contDiffAt_map_inverse
File: Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff.lean

tactic: nontriviality E
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2688665
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
⊢ ContDiffAt 𝕜 n inverse ↑e

tactic: let O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => f.comp (e.symm : F →L[𝕜] E)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2688665
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
✝ : Nontrivial E
⊢ ContDiffAt 𝕜 n inverse ↑e

tactic: let O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => (e.symm : F →L[𝕜] E).comp f
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2688665
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
✝ : Nontrivial E
O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp f ↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)
⊢ ContDiffAt 𝕜 n inverse ↑e

tactic: have : ContinuousLinearMap.inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂ := funext (to_ring_inverse e)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2688665
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
✝ : Nontrivial E
O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp f ↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)
O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)) f
⊢ ContDiffAt 𝕜 n inverse ↑e

tactic: rw [this]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2688665
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
✝ : Nontrivial E
O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp f ↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)
O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)) f
this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂
⊢ ContDiffAt 𝕜 n inverse ↑e

tactic: have h₁ : ContDiff 𝕜 n O₁ := contDiff_id.clm_comp contDiff_const
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2688665
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
✝ : Nontrivial E
O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp f ↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)
O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)) f
this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂) ↑e

tactic: have h₂ : ContDiff 𝕜 n O₂ := contDiff_const.clm_comp contDiff_id
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2688665
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
✝ : Nontrivial E
O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp f ↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)
O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)) f
this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂
h₁ : ContDiff 𝕜 n O₁
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂) ↑e

tactic: refine' h₁.contDiffAt.comp _ (ContDiffAt.comp _ _ h₂.contDiffAt)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2688665
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
✝ : Nontrivial E
O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp f ↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)
O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)) f
this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂
h₁ : ContDiff 𝕜 n O₁
h₂ : ContDiff 𝕜 n O₂
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂) ↑e

tactic: convert contDiffAt_ring_inverse 𝕜 (1 : (E →L[𝕜] E)ˣ)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2688665
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
✝ : Nontrivial E
O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp f ↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)
O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)) f
this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂
h₁ : ContDiff 𝕜 n O₁
h₂ : ContDiff 𝕜 n O₂
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Ring.inverse (O₂ ↑e)

tactic: simp [one_def]
state_before: case h.e'_11
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2688665
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
✝ : Nontrivial E
O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp f ↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)
O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => ContinuousLinearMap.comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)) f
this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂
h₁ : ContDiff 𝕜 n O₁
h₂ : ContDiff 𝕜 n O₂
⊢ O₂ ↑e = ↑1