Theorem: Asymptotics.isBigO_const_smul_left
File: Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean

tactic: have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := mt norm_eq_zero.mp hc
state_before: α : Type u_2
β : Type ?u.546930
E : Type ?u.546933
F : Type u_4
G : Type ?u.546939
E' : Type u_3
F' : Type ?u.546945
G' : Type ?u.546948
E'' : Type ?u.546951
F'' : Type ?u.546954
G'' : Type ?u.546957
R : Type ?u.546960
R' : Type ?u.546963
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type ?u.546969
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (fun x => c • f' x) =O[l] g ↔ f' =O[l] g

tactic: rw [← isBigO_norm_left]
state_before: α : Type u_2
β : Type ?u.546930
E : Type ?u.546933
F : Type u_4
G : Type ?u.546939
E' : Type u_3
F' : Type ?u.546945
G' : Type ?u.546948
E'' : Type ?u.546951
F'' : Type ?u.546954
G'' : Type ?u.546957
R : Type ?u.546960
R' : Type ?u.546963
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type ?u.546969
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x => c • f' x) =O[l] g ↔ f' =O[l] g

tactic: simp only [norm_smul]
state_before: α : Type u_2
β : Type ?u.546930
E : Type ?u.546933
F : Type u_4
G : Type ?u.546939
E' : Type u_3
F' : Type ?u.546945
G' : Type ?u.546948
E'' : Type ?u.546951
F'' : Type ?u.546954
G'' : Type ?u.546957
R : Type ?u.546960
R' : Type ?u.546963
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type ?u.546969
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x => ‖c • f' x‖) =O[l] g ↔ f' =O[l] g

tactic: rw [isBigO_const_mul_left_iff cne0, isBigO_norm_left]
state_before: α : Type u_2
β : Type ?u.546930
E : Type ?u.546933
F : Type u_4
G : Type ?u.546939
E' : Type u_3
F' : Type ?u.546945
G' : Type ?u.546948
E'' : Type ?u.546951
F'' : Type ?u.546954
G'' : Type ?u.546957
R : Type ?u.546960
R' : Type ?u.546963
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type ?u.546969
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x => ‖c‖ * ‖f' x‖) =O[l] g ↔ f' =O[l] g