Theorem: MonoidHom.noncommPiCoprod_range
File: Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean

tactic: apply le_antisymm
state_before: G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f g : (i : ι) → H i
⊢ range (noncommPiCoprod ϕ hcomm) = ⨆ (i : ι), range (ϕ i)

tactic: rintro x ⟨f, rfl⟩
state_before: case a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f g : (i : ι) → H i
⊢ range (noncommPiCoprod ϕ hcomm) ≤ ⨆ (i : ι), range (ϕ i)

tactic: refine Subgroup.noncommProd_mem _ (fun _ _ _ _ h => hcomm _ _ h _ _) ?_
state_before: case a.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g f : (i : ι) → H i
⊢ ↑(noncommPiCoprod ϕ hcomm) f ∈ ⨆ (i : ι), range (ϕ i)

tactic: intro i _hi
state_before: case a.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g f : (i : ι) → H i
⊢ ∀ (c : ι), c ∈ Finset.univ → ↑(ϕ c) (f c) ∈ ⨆ (i : ι), range (ϕ i)

tactic: apply Subgroup.mem_sSup_of_mem
state_before: case a.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g f : (i : ι) → H i
i : ι
_hi : i ∈ Finset.univ
⊢ ↑(ϕ i) (f i) ∈ ⨆ (i : ι), range (ϕ i)

tactic: simp
state_before: case a.intro.a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g f : (i : ι) → H i
i : ι
_hi : i ∈ Finset.univ
⊢ ↑(ϕ i) (f i) ∈ (fun i => range (ϕ i)) i

tactic: use i
state_before: case a.intro.hs
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g f : (i : ι) → H i
i : ι
_hi : i ∈ Finset.univ
⊢ ?a.intro.s✝ ∈ Set.range fun i => range (ϕ i)

tactic: refine' iSup_le _
state_before: case a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f g : (i : ι) → H i
⊢ (⨆ (i : ι), range (ϕ i)) ≤ range (noncommPiCoprod ϕ hcomm)

tactic: rintro i x ⟨y, rfl⟩
state_before: case a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f g : (i : ι) → H i
⊢ ∀ (i : ι), range (ϕ i) ≤ range (noncommPiCoprod ϕ hcomm)

tactic: refine' ⟨Pi.mulSingle i y, noncommPiCoprod_mulSingle _ _ _⟩
state_before: case a.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f g : (i : ι) → H i
i : ι
y : H i
⊢ ↑(ϕ i) y ∈ range (noncommPiCoprod ϕ hcomm)