Theorem: algebraicIndependent_bounded_of_finset_algebraicIndependent_bounded
File: Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean

tactic: intro s li
state_before: ι : Type ?u.505754
ι' : Type ?u.505757
R : Type u_2
K : Type ?u.505763
A : Type u_1
A' : Type ?u.505769
A'' : Type ?u.505772
V : Type u
V' : Type ?u.505777
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → Finset.card s ≤ n
⊢ ∀ (s : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → Cardinal.mk ↑s ≤ ↑n

tactic: apply Cardinal.card_le_of
state_before: ι : Type ?u.505754
ι' : Type ?u.505757
R : Type u_2
K : Type ?u.505763
A : Type u_1
A' : Type ?u.505769
A'' : Type ?u.505772
V : Type u
V' : Type ?u.505777
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → Finset.card s ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
⊢ Cardinal.mk ↑s ≤ ↑n

tactic: intro t
state_before: case H
ι : Type ?u.505754
ι' : Type ?u.505757
R : Type u_2
K : Type ?u.505763
A : Type u_1
A' : Type ?u.505769
A'' : Type ?u.505772
V : Type u
V' : Type ?u.505777
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → Finset.card s ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
⊢ ∀ (s_1 : Finset ↑s), Finset.card s_1 ≤ n

tactic: rw [← Finset.card_map (Embedding.subtype s)]
state_before: case H
ι : Type ?u.505754
ι' : Type ?u.505757
R : Type u_2
K : Type ?u.505763
A : Type u_1
A' : Type ?u.505769
A'' : Type ?u.505772
V : Type u
V' : Type ?u.505777
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → Finset.card s ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ Finset.card t ≤ n

tactic: apply H
state_before: case H
ι : Type ?u.505754
ι' : Type ?u.505757
R : Type u_2
K : Type ?u.505763
A : Type u_1
A' : Type ?u.505769
A'' : Type ?u.505772
V : Type u
V' : Type ?u.505777
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → Finset.card s ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ Finset.card (Finset.map (Embedding.subtype s) t) ≤ n

tactic: apply algebraicIndependent_finset_map_embedding_subtype _ li
state_before: case H.a
ι : Type ?u.505754
ι' : Type ?u.505757
R : Type u_2
K : Type ?u.505763
A : Type u_1
A' : Type ?u.505769
A'' : Type ?u.505772
V : Type u
V' : Type ?u.505777
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → Finset.card s ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ AlgebraicIndependent R fun i => ↑i