Theorem: Asymptotics.IsBigOWith.trans_isLittleO
File: Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean

tactic: simp only [IsLittleO_def] at *
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.88772
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
E' : Type ?u.88784
F' : Type ?u.88787
G' : Type ?u.88790
E'' : Type ?u.88793
F'' : Type ?u.88796
G'' : Type ?u.88799
R : Type ?u.88802
R' : Type ?u.88805
𝕜 : Type ?u.88808
𝕜' : Type ?u.88811
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : IsBigOWith c l f g
hgk : g =o[l] k
hc : 0 < c
⊢ f =o[l] k

tactic: intro c' c'pos
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.88772
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
E' : Type ?u.88784
F' : Type ?u.88787
G' : Type ?u.88790
E'' : Type ?u.88793
F'' : Type ?u.88796
G'' : Type ?u.88799
R : Type ?u.88802
R' : Type ?u.88805
𝕜 : Type ?u.88808
𝕜' : Type ?u.88811
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : IsBigOWith c l f g
hc : 0 < c
hgk : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l g k
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f k

tactic: have : 0 < c' / c := div_pos c'pos hc
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.88772
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
E' : Type ?u.88784
F' : Type ?u.88787
G' : Type ?u.88790
E'' : Type ?u.88793
F'' : Type ?u.88796
G'' : Type ?u.88799
R : Type ?u.88802
R' : Type ?u.88805
𝕜 : Type ?u.88808
𝕜' : Type ?u.88811
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : IsBigOWith c l f g
hc : 0 < c
hgk : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l g k
c' : ℝ
c'pos : 0 < c'
⊢ IsBigOWith c' l f k

tactic: exact (hfg.trans (hgk this) hc.le).congr_const (mul_div_cancel' _ hc.ne')
state_before: α : Type u_1
β : Type ?u.88772
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
E' : Type ?u.88784
F' : Type ?u.88787
G' : Type ?u.88790
E'' : Type ?u.88793
F'' : Type ?u.88796
G'' : Type ?u.88799
R : Type ?u.88802
R' : Type ?u.88805
𝕜 : Type ?u.88808
𝕜' : Type ?u.88811
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : IsBigOWith c l f g
hc : 0 < c
hgk : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l g k
c' : ℝ
c'pos : 0 < c'
this : 0 < c' / c
⊢ IsBigOWith c' l f k