Theorem: TopologicalGroup.of_nhds_one
File: Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean

tactic: refine' TopologicalGroup.of_nhds_one' hmul hinv hleft fun x₀ => _
state_before: α : Type u
β : Type v
G✝ : Type w
H : Type x
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
⊢ TopologicalGroup G

tactic: replace hconj : ∀ x₀ : G, map (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) = 𝓝 1
state_before: α : Type u
β : Type v
G✝ : Type w
H : Type x
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
x₀ : G
⊢ 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)

tactic: rw [← hconj x₀]
state_before: α : Type u
β : Type v
G✝ : Type w
H : Type x
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
x₀ : G
hconj : ∀ (x₀ : G), map (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) = 𝓝 1
⊢ 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)

tactic: exact fun x₀ =>
  map_eq_of_inverse (fun x => x₀⁻¹ * x * x₀⁻¹⁻¹) (by ext; simp [mul_assoc]) (hconj _) (hconj _)
state_before: case hconj
α : Type u
β : Type v
G✝ : Type w
H : Type x
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
x₀ : G
⊢ ∀ (x₀ : G), map (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) = 𝓝 1

tactic: ext
state_before: α : Type u
β : Type v
G✝ : Type w
H : Type x
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
x₀✝ x₀ : G
⊢ ((fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) ∘ fun x => x₀⁻¹ * x * x₀⁻¹⁻¹) = id

tactic: simp [mul_assoc]
state_before: case h
α : Type u
β : Type v
G✝ : Type w
H : Type x
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
x₀✝ x₀ x✝ : G
⊢ ((fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) ∘ fun x => x₀⁻¹ * x * x₀⁻¹⁻¹) x✝ = id x✝