Theorem: Asymptotics.div_isBoundedUnder_of_isBigO
File: Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean

tactic: obtain ⟨c, h₀, hc⟩ := h.exists_nonneg
state_before: α✝ : Type ?u.635937
β : Type ?u.635940
E : Type ?u.635943
F : Type ?u.635946
G : Type ?u.635949
E' : Type ?u.635952
F' : Type ?u.635955
G' : Type ?u.635958
E'' : Type ?u.635961
F'' : Type ?u.635964
G'' : Type ?u.635967
R : Type ?u.635970
R' : Type ?u.635973
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.635979
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =O[l] g
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x / g x‖

tactic: refine' ⟨c, eventually_map.2 (hc.bound.mono fun x hx => _)⟩
state_before: case intro.intro
α✝ : Type ?u.635937
β : Type ?u.635940
E : Type ?u.635943
F : Type ?u.635946
G : Type ?u.635949
E' : Type ?u.635952
F' : Type ?u.635955
G' : Type ?u.635958
E'' : Type ?u.635961
F'' : Type ?u.635964
G'' : Type ?u.635967
R : Type ?u.635970
R' : Type ?u.635973
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.635979
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =O[l] g
c : ℝ
h₀ : 0 ≤ c
hc : IsBigOWith c l f g
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x / g x‖

tactic: rw [norm_div]
state_before: case intro.intro
α✝ : Type ?u.635937
β : Type ?u.635940
E : Type ?u.635943
F : Type ?u.635946
G : Type ?u.635949
E' : Type ?u.635952
F' : Type ?u.635955
G' : Type ?u.635958
E'' : Type ?u.635961
F'' : Type ?u.635964
G'' : Type ?u.635967
R : Type ?u.635970
R' : Type ?u.635973
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.635979
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =O[l] g
c : ℝ
h₀ : 0 ≤ c
hc : IsBigOWith c l f g
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ‖f x / g x‖ c

tactic: exact div_le_of_nonneg_of_le_mul (norm_nonneg _) h₀ hx
state_before: case intro.intro
α✝ : Type ?u.635937
β : Type ?u.635940
E : Type ?u.635943
F : Type ?u.635946
G : Type ?u.635949
E' : Type ?u.635952
F' : Type ?u.635955
G' : Type ?u.635958
E'' : Type ?u.635961
F'' : Type ?u.635964
G'' : Type ?u.635967
R : Type ?u.635970
R' : Type ?u.635973
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.635979
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =O[l] g
c : ℝ
h₀ : 0 ≤ c
hc : IsBigOWith c l f g
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (‖f x‖ / ‖g x‖) c