Theorem: ContinuousLinearMap.adjointAux_norm
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean

tactic: refine' le_antisymm _ _
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.301007
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ ‖↑adjointAux A‖ = ‖A‖

tactic: refine' ContinuousLinearMap.op_norm_le_bound _ (norm_nonneg _) fun x => _
state_before: case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.301007
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ ‖↑adjointAux A‖ ≤ ‖A‖

tactic: rw [adjointAux_apply, LinearIsometryEquiv.norm_map]
state_before: case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.301007
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : F
⊢ ‖↑(↑adjointAux A) x‖ ≤ ‖A‖ * ‖x‖

tactic: exact toSesqForm_apply_norm_le
state_before: case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.301007
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : F
⊢ ‖↑(↑toSesqForm A) x‖ ≤ ‖A‖ * ‖x‖

tactic: nth_rw 1 [← adjointAux_adjointAux A]
state_before: case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.301007
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ ‖A‖ ≤ ‖↑adjointAux A‖

tactic: refine' ContinuousLinearMap.op_norm_le_bound _ (norm_nonneg _) fun x => _
state_before: case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.301007
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ ‖↑adjointAux (↑adjointAux A)‖ ≤ ‖↑adjointAux A‖

tactic: rw [adjointAux_apply, LinearIsometryEquiv.norm_map]
state_before: case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.301007
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ ‖↑(↑adjointAux (↑adjointAux A)) x‖ ≤ ‖↑adjointAux A‖ * ‖x‖

tactic: exact toSesqForm_apply_norm_le
state_before: case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.301007
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ ‖↑(↑toSesqForm (↑adjointAux A)) x‖ ≤ ‖↑adjointAux A‖ * ‖x‖