Alueellistettujen muuttujien teoria

Alueellistettujen muuttujien teoria () esittää erään lähestymistavan käsitellä avaruudellisesti levittäytyvää tietoa ja suorittaa kerättyjen näytteiden perusteella estimointia tila-avaruudessa. Alueellistettujen muuttujien teoriaa sovellettiin ensimmäiseksi kaivosteollisuudessa malmioiden keskipitoisuuksien mallinnukseen, jota tarvittiin louhinnan ja tuotannon suunnittelussa. Menetelmä, jonka nimeksi on jäänyt geostatistiikka, sopii kuitenkin monenlaiseen maantieteellisen ja geologisen tiedon käsittelyyn. Menetelmää on käytetty malminarviointiin, sademäärien arviointiin, maaperän vedenläpäisevyyden tai maaperän kemiallisten pitoisuuksien arviointiin, kasvipeitteen, eläin- ja ihmispopulaatioiden ominaisuuksiin.
Perusteet.
Alueellistettu muuttuja () on lukuarvolla ilmaistava suure, joka on paikkaan sidottu ja ympäristönsä synnyttämä. Sellainen voi olla kalliossa olevan mineraalin pitoisuus, sillä sen arvot vaihtelevat eri alueilla ja se sai nykyisen pitoisuutensa kuumassa magmassa tapahtuneessa syntyprosessissa ympäristönsä mineraalien sekoittuessa toisiinsa lähialueella. Alueellistumisessa on oleellista juuri kohteen arvon riippuvuus ympäristönsä pisteiden arvoista. Riippuvuus heikkenee etäisyyden kasvaessa ja on lopulta nolla. Alueellistettujen muuttujien teoria pyrkii hyödyntämään tällaisten suureiden riippuvuuvaikutusta laskennassa.
Alueellistettu muuttuja voi olla esimerkiksi tutkimusalueen korkeuden eli z-koordinaatin arvo tietyssä paikassa. Maaston korkeudet ovat alueellistuneita, koska maaston epätasaisuudet syntyvät eroosion erilaisten prosessien kautta. Rapautunut kiinteä aines liikkuu roudan työntämänä, kulkeutuu sadeveden mukana, lentää tuulessa, muokkaantuu eläinten kaivamisesta ja kasvien juurten työntäminä eri suuntiin. Lopulta maa-aines on asettunut satunnaisesti, mutta silti ennustettavasti tuntemiimme pinnanmuotoihin. Yksittäisen pisteen korkeus riippuu prosessissa ympäröivien muinaisten kohteiden korkeuseroista, mutta on itsekin ollut vaikuttamassa ympäristönsä pisteissä oleviin korkeusarvoihin. Näin on helppo nähdä, että alueellistunut muuttujia voi esiintyä yksi-, kaksi- tai kolmeulotteisissa ympäristöissä. Syntyprosessit vaikuttavat eri kohdissa oleviin arvoihin niin, että kohteiden välillä on selvä riippuvuus. Riippuvuuden avulla voidaan arvojen vaihtelun rakenteet selvittää ja hyödyntää tietoa esimerkiksi estimoinnissa.
Määritelmä: konvoluution avulla.
Määritellään painofunktio formula_1, joka on määritelty origon ympäristössä. Usein ajatellaan, että painofunktio on symmetrinen origon suhteen ja että formula_2 missä suunnassa origosta katsoen hyvänsä. Painofunktion avulla määritellään funktion arvo kohdassa formula_3
formula_4
Painofunktion formula_5, joka on origon suhteen symmetrinen funktio, peilaus origon suhteen on funktio formula_6. Sen avulla voidaan kirjoittaa integraali uudelleen konvoluutiota käyttämällä
formula_7
Tätä funktion formula_8 painotettua keskiarvoa formula_9 kutsutaan matematiikassa "alueellistetuksi funktioksi" ja tilastomenetelmissä "alueellistetuksi muuttujaksi".
Esimerkki konvoluutiosta: näytteen keskipitoisuus.
Otetaan funktiosta näyte "N", jonka muoto tunnetaan. Merkitään indikaattorilla formula_10 kaikki näytteen pisteet: formula_11, kun formula_12 ja formula_13, kun formula_14. Silloin tilavuuden suuruus lasketaan
formula_15
Valitaan painofunktioksi 
formula_16
ja kirjoitetaan konvoluution avulla näytteen keskipitoisuus kohdassa formula_3
formula_18
mikä on integraalimerkinnällä
formula_19
Tämä on näytteen sisällä olevan suureen keskipitoisuus, joka on eräs suureen aluellistettu muuttuja. Suure (keskipitoisuus) ja muuttujan käsite ovat eri asioita. Tilastollisesti suureen varianssi ja muuttujan varianssit poikkeavat toisistaan ja ovat erilaisia tilastollisia satunnaismuuttujia.
Malmiarvioinnissa näytteen koko tulee huomioida analyysissä. Jos kaivoksen malmion louhinnassa tuotannossa käytetään 6×6×12 m³ kokoisia lohkoja mutta näytteet ovat vain 0,05×0,05×2 m³ kokoisia, ovat näiden malmipitoisuuksien jakaumat erilaiset. Vaikka keskipitoisuuksien keskiarvot olisivatkin eri kokoisilla lohkoilla ja näytteillä samat, vaihtelevat pienempien näytteiden keskipitoisuudet enemmän kuin suurten lohkojen keskipitoisuudet. Varianssien erilaisuus on geostatistiikassa ongelma, joka on voitettavissa alueellistettujen muuttujien menetelmillä.
Esimerkki konvoluutiosta: radioaktiivisuuden määrä.
Kun yhden yksikön suuruinen massa radioaktiivista ainetta sijoitetaan origoon, leviää siitä ympäristöön säteilyä. Yhden yksikön suuruisen massan aktiivisuus on "A" ja siitä etäisyydellä "d" säteilyn aktiivisuus on enää formula_20 kun formula_21 on säteilyn absorptio väliaineessa. Väliaineessa kohdassa formula_22 olevan radioaktiivisen aineen määrä ilmaistaan lausekkeella formula_23 ja siitä leviää säteilyä kohtaan formula_3 lausekkeen
formula_25
ilmaiseman määrän verran. Silloin radioaktiivisuuden kokonaismäärä kohdassa formula_3 on
formula_27
Viimeinen lauseke on konvoluutio formula_28 missä origon suhteen symmetrinen painofunktio on formula_29. Aktiivisuuden määrä on tämän tulkinnan mukaan alueellistettu muuttuja.
Tilastollinen lähestymistapa.
Matemaattisesti ajateltuna alueellistettu muuttuja on kohdassa formula_22 olevan tutkittavan suureen arvo, joka on paikan funktio formula_31. Funktio on käytännön kokemusten mukaisesti varsin epäsäännöllinen. Sen arvot vaihtelevat sattumanvaraisesti, mutta mikäli siitä voidaan erottaa rakenteellisia piirteitä, voidaan sitä analysoida tiettyyn rajaan asti tilastollisesti. Alueellistettujen muuttujien teoriassa kiinnitetään huomiota muuttujan kahteen ominaispiirteeseen: satunnaiseen käyttäytymiseen ja rakenteelliseen vaihteluun. Muuttujasta yritetään selvittää mahdollisimman paljon rakenteellisen piirteen ominaisuuksia ja ilmaista ne matemaattisessa muodossa. Sitten yritetään löytää muuttujan arvojen riippuvuuksia autokorrelaation muodossa ja erottaa siitä puhdas satunnainen elementti (kohina). Lopuksi valitaan estimointiin liittyviä menetelmiä, joissa rakenteellisten piirteiden tuntemus ja korrelaation määrä voidaan hyödyntää tilastollisesti hyväksyttävällä tavalla.
Tutkittavan alueen voidaan ajatella olevan spatiaalisen ja stokastisen prosessin satunnaiskenttä. Alueellistetut muuttujat olisivat silloin satunnaiskentässä hetkellä "nyt" olevien arvojen realisaatio. Satunnaiskentän formula_32 eri pisteiden satunnaismuuttujat riippuvat toisistaan ja niiden realisaatiosta voidaan mitata riippuvuuden suuruus estimoimalla satunnaiskentän kovarianssin suuruudet. Yhden realisaation käyttäminen edellyttää kuitenkin, että satunnaiskenttä on jossakin määrin stationäärinen laajalta alueelta niin, että riippuvuudet saadaan selville tutkimalla kerättyjä näytteitä tilastollisesti.
Valittu suure tulee voida määrittää pienistä ja suurista näytteistä niiden keskiarvoina. Esimerkiksi malmiarvioinnissa keskiarvo tarkoittaa näytteen keskipitoisuutta. Näytteiden koko ja muoto vaikuttavat siten näytteiden arvoihin ja arvojen varianssiin. Näytteiden välimatkat ja suunnat vaikuttavat tulee suunnitella näytteiden arvojen välisen riippuvuuden selvittämiseksi. Autokorrelaation vaikutusmatka ja suuntaus määrää näytetiheyden eri tarkastelusuunnissa. Alueellistettujen muuttujien teoriassa on menetelmä huomioida näytteiden koon ja estimoitavien lohkojen kokoero.