Tapahtuma (todennäköisyys)

Tapahtuma () eli joskus vain tapaus on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, joka tarkoittaa sellaista satunnaisilmiön alkeistapauksien joukkoa, jolle voidaan määrittää todennäköisyys. Satunnaisilmiön kaikki alkeistapaukset muodostavat joukon, jota kutsutaan perusjoukoksi tai otosavaruudeksi. Tapahtuma on siten aina perusjoukon osajoukko.
Esimerkiksi kortinnostossa 52 pelikortin korttipakassa jokainen nostettu kortti on alkeistapaus. Alkeistapauksella tarkoitetaan satunnaisilmiön (kortin nosto pakasta) tulosta, joka on yksikäsitteisenä olemassa (jokainen kortti on eriarvoinen). Korttipakka on siis arvontaväline, jolla arvotaan tuloksia eli alkeistapauksia. Kaikki 52 korttia muodostavat perusjoukon. Alkeistapaukset voivat muodostaa erilaisia perusjoukkoa pienempiä joukkoja, kuten hertta-kortit tai ässät. Näitä joukkoja, jotka ovat perusjoukon osajoukkoja, kutsutaan todennäköisyyslaskennassa "tapahtumiksi".
Jos perusjoukko on ylinumeroituva, yleensä sen kaikille osajoukoille ei voida määrittää toden­näköisyyttä, koska ne eivät kaikki ole mitallisia. Tällaisissa tapauksissa tapahtumiksi sanotaan vain sellaisia perus­joukon osa­joukkoja, joille toden­näköisyys voidaan määrittää. Tällaiset joukot muodostavat perus­joukon sigma-algebran.
Esimerkkejä tapahtumista.
Diskreetit tapaukset.
Noppapeleissä arpakuution kaikki alkeistapaukset eli silmäluvut ovat perusjoukoksi kirjoitettuina formula_1 Pelin aikana voi esimerkiksi sattua tilanne, jossa pelin voittamiseksi tarvitaan vähintään nelonen. Silloin voittoon oikeuttavat alkeistapaukset muodostavat "tapahtuman" formula_2 Tapahtuma formula_3 on perusjoukon osajoukko, eli joukko-opin merkinnöillä formula_4 
Jatkuvat tapaukset.
Tikanheitossa tikan osumakohta voidaan ilmaista xy-koordinaatistossa koordinaattiparilla (x,y). Jos koordinaatiston origo sijaitsee tikkataulun napakympissä, voidaan osumakohdat tulkita alkeistapauksiksi. Kaikkien alkeistapauksien perusjoukko formula_5 sisältää koko xy-koordinaattitason kaikki pisteet eli formula_6 Tikkatalun osumat, jotka sijaitsevat viiden senttimetrin säteellä napakympistä muodostavat tapahtuman formula_3, joka voidaan määritellä formula_8 
Tapahtumien joukot.
Todennäköisyyslaskennan ajatukset on matematiikassa puettu joukko-opin käsitteisiin. Tapahtumat ja perusjoukko muodostuvat alkeistapauksista. Joukko-opin triviaali merkintä tälle olisi formula_9 Koska perusjoukko kattaa kaikki alkeistapaukset ja tapahtumissa on usein vähemmän alkeistapauksia, ovat tapahtumat perusjoukon osajoukkoja. Tämä merkitään yksinkertaisesti formula_4 
Jos tapahtuma on määritelty siten, ettei sitä toteuta mikään alkeistapaus, on tapahtuma tyhjä joukko eli formula_11 Esimerkki tyhjästä joukosta on tapahtuma "kuusisivuista noppaa heitettäessä saadaan silmäluku seitsemän".Toinen erikoinen tilanne syntyy siitä, että tapahtuman toteuttaa yksittäinen alkeistapaus. Tällöin tapahtuma on kyseinen alkeistapaus yksinään. Mikäli kaikki alkeistapaukset toteuttavat tapahtuman, on tapahtuma satunnaisilmiön perusjoukko eli formula_12
Vastatapahtuma.
Tapahtuman formula_3 osajoukko jakaa perusjoukon alkeistapaukset niihin, jotka kuuluvat tapahtumaan, ja niihin, jotka eivät kuulu tapahtumaan. Todennäköisyyslaskennassa puhutaankin vastatapahtumasta. Nämä joukot ovat toisilleen komplementit joukot. Joukon formula_3 komplementtijoukko formula_15 määritellään formula_16 Jos tapahtuma on tyhjä joukko, on sen vastatapahtuma perusjoukko, ja päinvastoin: formula_17 ja vastaavasti formula_18 Edellisessä esimerkissä diskreettisessä tilanteessa tapahtuma "vähintään nelonen" vastatapahtuma olisi "korkeintaan kolmonen" eli formula_19 Tapahtuma ja vastatapahtuma muodostavatkin yhdessä perusjoukon: formula_20 
Kaikki tapahtumat: potenssijoukko.
Perusjoukosta muodostettavien osajoukkojen eli tapahtumien kokonaismäärä voi olla suuri. Esimerkiksi kolikonheitossa perusjoukko on pieni: formula_21 Selvästikin tyhjä joukko, kruuna ja klaava muodostavat kolme erilaista osajoukkoa. Myös perusjoukko on itsensä osajoukko, joten kaikkien osajoukkojen joukko on tällöin: formula_22Joukossa on alkioina formula_23 osajoukkoa. Joukkoa, jossa on kaikki mahdolliset perusjoukosta muodostettavat tapahtumat, kutsutaan joukko-opissa potenssijoukoksi formula_24 Nopanheitossa, missä formula_25, on potenssijoukko formula_26 Niistä muodostuu yhteensä formula_27 osajoukkoa. Korttipakan 52 pelikortista voidaan muodostaa erikokoisia tapahtumia formula_28 kappaletta.
Joukko-opin merkinnöin formula_29 eli tapahtuma on potenssijoukon alkio jos ja vain jos se on tapahtuma.
Todennäköisyys.
Tapahtumaan liitettävä todennäköisyys.
Tapahtuma A tapahtuu, kun satunnaisilmiön tuottama tulos on sellainen alkeistapaus formula_30, joka kuuluu tapahtumaan eli formula_31. On järkevää olettaa, että mitä enemmän tapahtumaan formula_3 kuuluu erilaisia alkeistapauksia formula_30, sitä suurempi olisi tapahtuman todennäköisyys formula_34. Tästä seuraa pari järkevää reunaehtoa. Tyhjän tapahtuman, jossa mikään alkeistapaus ei toteuta sitä, todennäköisyys on oltava nolla. Todennäköisyys nolla tarkoittaa, ettei tapahtumaa satu koskaan. Jos tapahtuma sisältää kaikki alkeistapaukset eli on perusjoukko, tulisi se toteutua jokaisella kerralla eli aina. Sen todennäköisyys olisi siten yksi. Matemaattisilla merkinnöillä nämä tapahtumat voidaan kirjoittaa formula_35 ja formula_36 Todennäköisyyden arvo tulee siten pysyä arvoissa formula_37 
Symmetrian periaate.
Klassisessa todennäköisyyslaskennassa kukin alkeistapaus toteutuu yhtä yleisesti, jolloin alkeistapauksen todennäköisyys on perusjoukon koon n mukaan formula_38. Tapahtuman formula_3 todennäköisyys formula_34 saadaan vertaamalla tapahtumien sisältämien alkeistapauksien lukumäärää formula_41 perusjoukon kokoon formula_42:
formula_43