Kulmanpuolittaja

Kulmanpuolittaja on geometriassa suora tai sen osa, joka jakaa kulman kahteen yhtä suureen osaan. Tämä voidaan ilmaista myös kulman suuruudella niin, että jaettava kulma on kaksi kertaa sen puolikas.
Kulmassa.
Jokaisella kulmalla on vain yksi kulmanpuolittaja. Kulmanpuolittaja on suora, puolisuora tai jana, jonka pisteet ovat yhtä kaukana kulman molemmista kyljistä. Kulmaan voidaan piirtää ympyrä, jonka säde on tuo etäisyys, ja joka sivuaa molempia kulman kylkiä. Ympyrän keskipiste sijaitsee kulman puolittajalla.
Kulmanpuolittajan konstruktio.
Jos käytettävissä on vain viivain ja harppi, voidaan kulmanpuolittaja piirtää geometrisella konstruktiolla seuraavasti. Merkitään kulman molemmille kyljille pisteet kohtiin, jotka ovat yhtä kaukana kulman kärjestä. Nämä pisteet löydetään harpilla vetämällä ympyränkaaren, joka ulottuu kummankin kyljen yli. Lyhennetään harpin sädettä ja piirretään kummastakin pisteestä kulman sisälle uudet kaaret, jotka leikaavat toisensa kahdessa pisteessä. Näiden pisteiden kautta kulkeva suora kulkee myös kärjen kautta ja puolittaa samalla kulman.
Kolmiossa.
Kolmiossa kulmanpuolittaja on suora, joka kulkee kolmion kärjen kautta ja jakaa kolmion kulman kahteen yhtäsuureen kulmaan. Kulmanpuolittajaksi kutsutaan myös sitä janaa, joka jää kulmanpuolittajasta kolmion sisään. Janan päätepistettä kolmion sivulla kutsutaan kantapisteeksi.
Kulmanpuolittajien leikkauspiste.
Kolmiolla on kolme kulmanpuolittajaa. Ne leikkaavat toisensa pisteessä, joka on samalla kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste, joka on yksi kolmion merkillisistä pisteistä. Sen trilineaariset koordinaatit ovat 1 : 1 : 1.
Sisään piirretyn ympyrän säde on 
formula_1 
missä formula_2 on kolmion piirin pituuden puolikas eli puolipiiri
formula_3 
Ympyrä sivuaa kolmion sivuja, jolloin sivuamispisteisiin koskettavat ympyrän säteet ovat sivuihin nähden kohtisuorassa.
Kolmion ala on formula_4 missä r on sisään ympyrän säde ja s piirin pituuden puolikas.
Jos kolmion kaksi kulmanpuolittajaa ovat yhtäpitkät, on kolmio tasakylkinen kolmio.
Jos verrataan kahden eri kolmion kolmea kulmanpuolittajaa keskenään ja todetaan niiden olevan vastinpareittain yhtäpitkät, ovat itse kolmiotkin yhtenevät. Ne yhtyvät, koska kolmiot ovat tasasivuiset kolmiot.
Kulmanpuolittajan lause.
Kolmion sisäkulman puolittajasuora jakaa vastakkaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Lause koskee myös kolmion ulkokulman puolittajaa. Merkitään kolmion ABC (kuva 4) puolitettavaa kulmaa kirjaimella A ja vastaisen sivun kantpistettä D, voidaan kulmanpuolittajan lause kirjoittaa verrannoksi
formula_5
Merkitsemällä kolmion sivut formula_6, formula_7 ja formula_8 sekä sivun c osat formula_9 ja formula_10 (eli formula_11), voidaan osien pituudet laskea 
formula_12 
ja
formula_13
Lauseen seuraus on, että jos kolmio on tasakylkinen kolmio siten, että viereiset sivut eli kyljet ovat yhtäpitkät eli formula_14, jakaa kulmanpuolittaja vastaisen sivun eli kannan yhtäpitkiin osiin.
Kulmanpuolittajan pituus d on
formula_15
missä s on kolmion piirin pituuden puolikas. Etäisyys kärjestä sisään piirretyn ympyrän keskipisteeseen on kulmanpuolittajan pituus vähennettynä ympyrän säde eli formula_16.
Kulmanpuolittaja vektoreilla.
Merkitään vektoreilla formula_17 ja formula_18 ja formula_19 ja vastakkaisen sivun osat formula_20 ja formula_21 ovat formula_22
formula_23
ja 
formula_24
Sivunpuolittajan vektoriesitys on silloin 
formula_25
eli 
formula_26
Kulmanpuolittaja analyyttisessa geometriassa.
Merkitään kolmion kärkien koordinaatit formula_27 ja formula_28 ja formula_29 Silloin kolmion kulmanpuolittajan kantapisteen formula_30 koordinaatit ovat 
formula_31
ja
formula_32