Lokaalisti yhtenäinen avaruus

Lokaalisti yhtenäinen avaruus on matematiikassa topologinen avaruus, jonka jokaisella pisteellä on pelkästään avoimista ja yhtenäisistä joukoista koostuva ympäristökanta.
Taustaa.
Topologian koko historian ajan yhtenäisyys ja kompaktius ovat olleet tutkituimmat topologiset ominaisuudet. Itse asiassa suurelta osin juuri näiden ominaisuuksien tutkiminen aluksi euklidisen avaruuden osajoukoilla ja sen oivaltaminen, etteivät ne riipu nimenomaisesta euklidisesta metriikasta, teki aikoinaan selväksi topologisen ominaisuuden ja siten myös topologisen avaruuden käsitteet. Sen sijaan, että euklidisen avaruuden kompaktien osajoukkojen rakenne ymmärrettiin varsin pian Heinen–Borelin lauseen perusteella, formula_1:n osajoukkojen yhtenäisyys (kun "n" &gt; 1) osoittautui paljon vaikeammaksi kysymykseksi. Esimerkiksi vaikka jokainen kompakti Hausdorffin avaruus on myös lokaalisti kompakti, yhtenäinen avaruus tai edes euklidisen avaruuden yhtenäinen osajoukko ei välttämättä ole lokaalisti yhtenäinen, kuten jäljempänä osoitetaan.
Niinpä topologit tutkivat 1900-luvun alkupuolella ahkerasti lokaalia yhtenäisyyttä ja muita samantapaisia topologisia käsitteitä ja sitä, mitä näistä ominaisuuksista seuraa. Jäljempänä tässä artikkelissa käsitellään esimerkiksi "heikon lokaalin yhtenäisyyden" ja lokaalin yhtenäisyyden keskenäistä suhdetta.
1900-luvun loppupuolella tutkimus keskittyi entistä enemmän monistojen tutkimukseen. Ne ovat lokaalisti homeomorfisia euklidisen avaruuden kanssa, ja niiden lokaalit ominaisuudet tunnetaan hyvin, mutta niillä on monimutkaisia globaaleja oinaisuuksia. Tämä merkitsee, että vaikka monistojen pistejoukkotopologia on jokseenkin yksinkertaista, sillä käsitteen useimpien määritelmien mukaan monistot ovat metristyviä, niiden algebrallinen topologia on huomattavasti monimutkaisempaa. Tästä nykyaikaisesta näkökulmasta lokaali polkuyhtenäisyys on osoittautunut tärkeämmäksi käsitteeksi: esimerkiksi jotta avaruudella olisi universaalinen peite, sen on oltava yhtenäinen ja lokaalisti polkuyhtenäinen.
Avaruus on lokaalisti yhtenäinen, jos ja vain jos sen jokaisella avoimen joukon "U" yhtenäiset komponentit relatiivitopologiassa ovat avoimia. Siitä seuraa esimerkiksi, että jatkuva kuvaus lokaalisti yhtenäisestä avvaruudesta täysin epäyhtenäiseen avaruuteen voi olla vain vakiokuvaus. Itse asiassa komponenttien avoimuus on niin luonnollista, että on erityisesti palautettava mieliin, ettei se päde kaikissa topologisissa avaruuksissa: esimerkiksi Cantorin joukko on täysin epäyhtenäinen, mutta ei diskreetti avaruus.
Määritelmiä ja esimerkkejä.
Olkoon "X" topologinen avaruus ja "x" piste avaruudessa "X".
Sanotaan, että "X" on lokaalisti yhtenäinen pisteessä "x", jos jokaista avointa joukkoa "V" kohti, johon "x" kuuluu, on olemassa yhtenäinen avoin joukko "U" siten, että formula_2. Avaruus "X" on lokaalisti yhtenäinen, jos se on lokaalisti yhtenäinen kaikissa pisteissä.
Lokaali yhtenäisyys ei ole sama asia kuin yhtenäisyys: avaruus voi olla yhtenäinen olematta lokaalisti yhtenäinen tai myös lokaalisti yhtenäinen olematta yhtenäinen. Molemmista tapauksista annetaan jäljempänä esimerkki.
Sanotaan, että "X" on heikosti lokaalisti yhtenäinen pisteessä "x" (eli yhtenäinen "im kleinen" pisteessä "x"), jos jokaista avointa joukkoa "V" kohti, johon piste "x" kuuluu, on olemassa sellainen "V":n yhtenäinen osajoukko "N", että "x" on "X":n sisäpiste. Yhtäpitävä vaihtoehtoinen määritelmä kuuluu: jokainen avoin joukko "V", joho piste "x" kuuluu, sisältää "x":n sellaisen avoimen ympäristön "Y", ett' mitä tahansa kahta "U":n pistettä kohti voidaan valita jokin "V":n yhtenäinen osajoukko, johon molemmat pisteet kuuluvat. Avaruutta "X" sanotaan heikosti lokaalisti yhtenäiseksi, jos se on heikosti lokaalisti yhtenäinen jokaisessa pisteessään.
Toisin sanoen ainoa ero lokaalin yhtenäisyyden ja heikon lokaalin yhtenäisyyden välillä on se, että lokaali yhtenäisyys edellyttää, että pisteellä "x" on "avoimista" joukoista koostuva ympäristökanta, kun taas heikko lokaali yhtenäisyys edellyttää vain, että pisteellä "x" on "yhtenäisistä" joukoista koostuva ympäristökanta.
Jokainen avaruus, joka on lokaalisti yhtenäinen pisteessä "x", on tässä pisteessä selvästi myös heikosti lokaalisti yhtenäinen. Kääntäen ei välttämättä ole, mistä jäljempänä annetaan esimerkki. Toisaalta on yhtä selvää, että lokaalisti yhtenäinen avaruus on heikosti lokaalisti yhtenäinen, mutta ei välttämättä kääntäen: avaruus, joka on kaikissa pisteissään heikosti lokaalisti yhtenäinen, ei välttämättä ole kaikissa pisteissään lokaalisti yhtenäinen. Tämä todistetaan jäljempänä.
Sanotaan, että "x" on lokaalisti polkuyhtenäinen pisteessä "x", jos jokaista avointa joukkoa "V" kohti, johon piste "x" kuuluu, on olemassa polkuyhtenäinen avoin joukko "U" siten, että formula_2. Avaruus "X" on lokaalisti polkuyhtenäinen, jos se on lokaalisti polkuyhtenäinen jokaisessa pisteessään.
Koska jokainen polkuyhtenäinen avaruus on myös yhtenäinen, jokainen polkuyhtenäinen avaruus on myös lokaalisti yhtenäinen. Jäljempänä esimerkki 6 osoittaa, että lokaalisti yhtenäinen avaruus ei kuitenkaan ole välttämättä lokaalisti polkuyhtenäinen.
Ensimmäisiä esimerkkejä.
Jäljempänä tässä artikkelissa esitetään lisää esimerkkejä.
Komponentit ja polkukomponentit.
Seuraava tulos seuraa lähes suoraan määritelmistä, mutta on osoittautunut sangen hyödylliseksi:
Lemma: Olkoon "X" avaruus ja formula_11 kokoelma "X":n osajoukkoja. Oletetaan, että formula_12 ei ole tyhjä joukko. Silloin jos jokainen formula_13 on yhtenäinen (tai vastaavasti polkuyhtenäinen), myös niiden unioni formula_14 on yhtenäinen (tai vastaavasti polkuyhtenäinen).
Tarkastellaan kahta relaatiota topologisessa avaruudessa "X". Kun pisteet formula_15 on annettu, määritellään:
formula_16, jos on olemassa "X":n yhtenäinen osajoukko, johon sekä "x" että "y" kuuluvat, ja
formula_17, jos on olemassa "X":n polkuyhtenäinen osajoukko, johon sekä "x" että "y" kuuluvat.
Selvästi molemmat relaatiot ovat refleksiivisiä ja symmetrisiä. Lisäksi jos "x" ja "y" kuuluvat samaan yhtenäiseen (tai vastaavasti polkuyhtenäiseen) osajoukkoon "A" sekä "y" ja "z" samaan yhtenäiseen (tai vastaavasti polkuyhtenäiseen) osajoukkoon "B", edellä olevasta lemmasta seuraa, että formula_18 on yhtenäinen (tai vastaavasti polkuyhtenäinen) osajoukko, johon pisteet "x", "y" ja "z" kuuluvat. Tästä seuraa, että kumpikin edellä mainituista relaatioista on ekvivalenssirelaatio, joka määrittelee "X":n jaon ekvivalenssiluokkiin. Seuraavassa käsitellään kumpaakin tapaa jakaa "X" luokkiin.
Kun "x" on jokin "X":n piste, joukkoa formula_19 , johon kuuluvat ne pisteet "y", joille pätee formula_20, sanotaan "x":n yhtenäiseksi komponentiksi. Edellä esitetystä lemmasta seuraa, että formula_19 on ainoa maksimaalinen "X":n yhtenäinen osajoukko, johon "x" kuuluu. Koska formula_19:n sulkeuma on myös yhtenäinen osajoukko, johon "x" kuuluu, tästä seuraa, että joukko formula_19 on suljettu.
Jos "X":llä on vain äärellinen määrä yhtenäisiä komponentteja, jokainen komponentti on suljettujen joukkojen äärellisen yhdisteen komplementti ja näin ollen avoin. Yleisemmässä tapauksessa yhtenäisten komponenttien ei tarvitse välttämättä olla avoimia, sillä on olemassa myös täysin epäyhtenäisiä avaruuksia (joissa formula_24 kaikilla pisteillä "x"), esimerkiksi Cantorin joukko. Lokaalisti yhtenäisen avaruuden yhtenäiset komponentit kuitenkin ovat aina sekä avoimia että suljettuja. Kääntäen jos "X":n jokaisen avoimen osajoukon "U" yhtenäiset komponentit ovat avoimia, niin "X":llä on yhtenäisistä joukoista muodostuva kanta, ja näin ollen "X" on lokaalisti yntenäinen.
Samaan tapaan niiden avaruuden "X" pisteiden "y" joukkoa formula_25, joille pätee formula_26, missä "x" on annettu avaruuden "X" piste, sanotaan "x":n "polkukomponentiksi". Kuten edellä, formula_25 on samalla kaikkien "X":n kaikkien sellaisten polkuyhtenäisten osajoukkojen yhdiste, joihin piste "x" kuuluu, joten edellä olevan lemman mukaan se itse on polkuyhtenäinen. Koska polkuyhtenäiset joukot ovat yhtenäiset, todetaan, että formula_28 kaikilla pisteillä formula_29
Polkuyhtenäisen joukon sulkeuma ei kuitenkaan välttämättä ole polkuyhtenäinen. Esimerkiksi topologin sinikäyrä on sen avoimen osajoukon "U" sulkeuma, johon kuuluvat kaikki pisteet "(x,y)", missä "x &gt; 0", ja kun "U" on homeomorfinen reaaliakselin avoimen välin kanssa, se on polkuyhtenäinen. Lisäksi topologin sinikäyrän "C" polkukomponentit ovat "U", joka on avoin mutta ei suljettu, ja formula_30, joka on suljettu mutta ei avoin.
Avaruus on lokaalisti polkuyhtenäinen, jos ja vain jos sen kaikkien avoinen joukkojen "U" polkukomponentit ovat avoimia. Siksi lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden polkukomponentit muodostavat "X":n jaotuksen erillisiin avoimiin joukkoihin. Tästä seuraa, että lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden avoin yhtenäinen osajoukko on aina polkuyhtenäinen. Lisäksi jos avaruus on lokaalisti polkuyhtenäinen, se on myös lokaalisti yhtenäinen, niin että kaikilla "X":n pisteillä "x" on formula_19 yhtenäinen ja lokaalisti polkuyhtenäinen ja täten myös polkuyhtenäinen, toisin sanoen formula_32. Lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden tapauksessa sen komponentit ja polkukomponentit ovat siis samoja.
Kvasikomponentit.
Olkoon "X" topologinen avaruus. Määritellään "X":ssä kolmas relaatio:
formula_42, jos ja vain jos ei olemassa "X":n separaatioa sellaisiksi avoimiksi joukoiksi "A" ja "B", että formula_43 ja formula_44. Tämä on "X":n ekvivalenssirelaatio, ja ekvivalenssiluokkaa formula_45, johon "x" kuuluu, sanotaan "x":n "kvasikomponentiksi".
formula_45 on samalla kaikkien niiden "X":n osajoukkojen leikkaus, jotka ovat sekä avoimia että suljettuja. Näin ollen formula_45 on suljettu, mutta ei välttämättä avoin.
Selvästikin formula_48 kaikilla formula_29 Yleensäkin pisteen "x" polkukomponenteille, komponenteille ja kvasikomponenteille pätee.
formula_50
Jos "X" on lokaalisti yhtenäinen, formula_19 on kuten edelläkin sekä avoin että suljettu ja sisältää pisteen "x", joten formula_52 ja näin ollen formula_53. Koska lokaalista polkuyhtenäisyydestä seuraa lokaali yhtenäinen, tästä seuraa, että kaikille lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden pisteille "x" pätee:
formula_54
Lisää lokaalista yhtenäisyydestä ja heikosta lokaalista yhtenäisyydestä.
Lause 
Jos "X" on heikosti lokaalisti yhtenäinen avaruus, se on lokaalisti yhtenäinen.
Todistus
Riittää osoittaa, että avoimien joukkojen komponentit ovat avoimia. Olkoon "U" avoin "X":ssä ja "C" yksi "U":n komponenteista. Olkoon "x" komponenttiin "C" kuuluva piste. Silloin "x" kuuluu myös joukkoon "U", ja niinpä on olemassa "X":n yhtenäinen aliavaruus "A", johon "U" sisältyy ja johon sisältyy myös jokin "x":n ympäristö "V". Koska "A" on yhtenäinen ja siihen kuuluu piste "x", "a":n on oltava "C":n osajoukko, sillä "C" on se komponentti, johon "a" kuuluu. Niinpä myös "x":n ympäristö "V" on "C":n osajoukko. Koska "x" oli mielivaltainen, olemme osoittaneet, että jokaisella "C":n pisteellä "x" on ympäristö "V", joka sisältyy komponenttiin "C". Tämä osoittaa, että "C" on avoin joukko "U":ssa. Niinpä "x" on lokaalisti yhtenäinen.
Esimerkkinä avaruudesta, joka on heikosti lokaalisti yhtenäinen tietyissä pisteissä, joissa se ei ole lokaalisti yhtenäinen, voidaan mainita eräs laskeva luuta-avaruuksien ääretön yhdiste.