Isogonaalinen konjugaatti

Isogonaalinen konjugaatti formula_1 on tason piste kolmiossa olevalle pisteelle formula_2, joka voidaan muodostaa peilaamalla kolmion kulmanjakajat kulmissa olevien kulmanpuolittajien suhteen. Silloin peilatut janat leikkaavat toisensa isogonaalisessa pisteessä formula_1. Peilattuja janoja voidaan kutsua isogonaalisiksi janoiksi. Pisteelle on käytössä myös merkinnät formula_4 ja formula_5.
Sijainti kolmiossa.
Trilineaariset koordinaatit.
Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit 
formula_6, 
ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit 
formula_7.
Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin. Toisaalta myös 
formula_8, 
jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden formula_9 ja formula_10 olevan toistensa isogonaalisia pisteitä.
Barysentriset koordinaatit.
Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on
formula_6
ja isogonaaliset koordinaatit ovat 
formula_12,
missä formula_13 ovat kolmion sivujen pituuksia.
Esimerkkejä.
Seuraavat esimerkit "merkillisistä pisteistä" ovat toistensa "isogonaalisia konjugaatteeja":
Todistus.
Todistetaan isogonaalisen konjugaatin formula_10 olemassaolo jokaiselle kolmion sisäpisteelle formula_9, joka on kolmen kulmanjakajan AA', BB' ja CC' leikkauspisteessä. Isogonaaliset janat merkitään AA", BB" ja CC". Lausekkeet seuraavat oheisen kuvan merkintöjä, jossa suunnattujen janojen positiivinen suunta on vastapäivään eli A → B → C → A. Koska formula_9 on janojen leikkauspiste, seuraa Cevan lauseesta 
formula_33
Janat sinilausekkeiksi.
Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta formula_34 kirjoittaa "Cevan lauseen" ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina)
formula_35
ja kolmiosta formula_36 ensimmäisen osamäärän nimittäjä
formula_37
Koska kulmat formula_38 ja formula_39 ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli formula_40, saadaan "Cevan lauseen" ensimmäisestä osamäärästä
formula_41
Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin "Cevan lauseen" osamäärää 
formula_42
ja
formula_43
ja sijoitetaan tulokset "Cevan lauseeseen" ja supistetaan
formula_44 
eli 
formula_45
Sinilausekkeet isogonaalisiksi janoiksi.
Jotta janat AA", BB" ja CC" leikkaisivat "isogonaalisessa pisteessä" formula_10, tulisi "Cevan lauseen" ehdot toteutua
formula_47
Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. "Sinilauseesta" seuraa 
formula_48
ja
formula_49
Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa
formula_50
Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi formula_51 ja formula_52 jolloin
formula_53
Kun tätä verrataan "Cevan lauseen " yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat (formula_54 ja formula_55 sekä formula_56 ja formula_57 ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti:
formula_58
ja
formula_59
formula_60
formula_61
Sijoitus Cevan yhtälöön.
Tämän käänteisluku on vaadittu "Cevan lauseen" ehto kollineaarisuudelle ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle:
formula_62