Kanta (topologia)

Topologisen avaruuden kanta on sellainen kokoelma avoimia joukkoja, että avaruuden jokainen avoin joukko, tyhjää joukkoa lukuun ottamatta, voidaan muodostaa niiden yhdisteenä. Kannoilla on suuri merkitys topologiassa, koska monet topologiat on helpoiten määriteltävissä kantojensa avulla, jotka "generoivat" ne.
Määritelmä ja perusominaisuuksia.
Olkoon "X" mielivaltainen joukko ja "B" kokoelma sen osajoukkoja. Tällöin "B" on jonkin "X":n topologian kanta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot:
Jos "X":n osajoukkojen kokoelma "B" ei toteuta molempia ehtoja, se ei ole minkään "X":n topologian kanta. Se on kuitenkin alikanta, samoin kuin jokainen kokoelma "X":n osajoukkoa. Kääntäen jos "B" toteuttaa molemmat ehdot 1 ja 2, on olemassa yksikäsitteinen "X":n topologia, jonka kanta "B" on; sitä sanotaan "B":n "generoimaksi" topologiaksi. Tämä onkin hyvin yleinen tapa määritellä avaruuksien topologiat. Välttämätön, mutta ei riittävä ehto sille, että "B" generoi "X":lle jonkin topologiaan, on että "B" on suljettu leikkausten suhteen eli kahden siihen kuuluvan joukon leikkauskin aina kuuluu siihen tai on tyhjä; silloin nimittäin joukko "B"3 = "I" voidaan muodostaa edellä selitetyllä tavalla.
Esimerkiksi reaalilukujen joukossa kaikkien avointen välien joukko on reaalilukujen topologian kanta, koska kahden avoimen välin leikkaus on aina joko avoin väli tai tyhjä joukko. Itse asiassa juuri tämä kanta generoikin reaalilukujen joukon eli lukusuoran tavanomaisen topologian.
Topologisen avaruuden kanta ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen. Monet kannat, erisuuretkin, saattavat generoida saman topologian. Esimerkiksi sellaisten avointen välien joukko, joiden molemmat päätepisteet ovat rationaalilukuja, on myös reaalilukujoukon tavanomaisen topologian kanta, samoin kuin toisaalta sellaistenkin avointen välien joukko, joiden molemmat päätepisteet ovat irrationaalilukuja, mutta nämä kaksi joukkoa ovat täysin erillisiä ja molemmat sisältyvät kaikkien avointen välien joukkoon. Toisin kuin vektoriavaruuden kanta lineaarialgebrassa, topologisen avaruuden kanta ei välttämättä ole maksimaalinen; itse asiassa ainoa maksimaalinen kanta on avaruuden topologia (eli kaikkien avointen joukkojen kokoelma) itse. Mikä tahansa annetun kannan generoimaan topologiaan kuuluva avoin joukko voidaan lisätä kantaan, jolloin tuloksena on kanta, joka generoi saman topologian. Pienintä mahtavuutta, joka topologisen avaruuden jollakin kannalla on, sanotaan tämän avaruuden "painoksi".
Esimerkkinä avointen joukkojen kokoelmasta, joka ei ole kanta, voidaan mainita kaikkien muotoa (−∞, "a") tai ("a", ∞) olevien toispuolisesti äärettömien välien joukko "S", kun "a" on reaaliluku. Tämä joukko "S" ei ole minkään formula_2:n topologian kanta. Tämän todistamiseksi oletetaan, että se olisi. Siitä seuraisi, että esimerkiksi välit (−∞, 1) ja (0, ∞) kuuluisivat "S":n generoimaan topologiaan, kuuluvathan ne sen kantaankin, ja silloin niiden myös niiden leikkauksen eli välin (0,1) pitäisi kuulua siihen. Mutta tätä väliä (0,1) selvästikään ei voida muodostaa "S":ään kuuluvien joukkojen yhdisteenä. Edellä esitetyn kriteerin jälkimmäinen ehto ei täyty, sillä jos tältä väliltä valitaan piste "x", ei ole sellaista väliin (0,1) sisältyvää joukkoa, joka kuuluisi kokoelmaan "S".
Suljettujen joukkojen kanta.
Avaruuden topologia voidaan kuvata, paitsi avoimen, yhtä hyvin myös sen suljettujen joukkojen avulla. Niinpä voidaankin määritellä kantaa vastaava käsite myös topologisen avaruuden suljetuille joukoille. Jos on annettu topologinen avaruus "X", suljettujen joukkojen kokoelma "F" on suljettujen joukkojen kanta, jos ja vain jos jokaista suljettua joukkoa "A" ja jokaista "A":han kuulumatonta pistettä "x" kohti on olemassa "F":ään kuuluva suljettu joukko "A", johon "x" ei sisälly.
On helppo todeta, että "F" on "X":n suljettujen joukkojen kanta, jos ja vain jos "F":ään kuuluvien joukkojen kompementit muodostavat "X":n avointen joukkojen kannan.
Olkoon "F" avaruuden "X" suljettujen joukkojen kanta. Silloin pätee:
Jokainen "X":n osajoukkojen kokoelma, joka toteuttaa nämä ehdot, on jonkin "X":n topologian suljettujen joukkojen kanta. Suljettuja joukkoja tässä kannassa ovat kokoelmaan "F" kuuluvien joukkojen leikkaukset sekä "X" itse.
Joissakin tapauksissa on mukavampaa käyttää suljettujen kuin avointen joukkojen kantaa. Esimerkiksi avaruus on täydellisesti säännöllinen, jos ja vain jos nollajoukot muodostavat suljettujen joukkojen kannan. Jokaisessa topologisessa avaruudessa "X" nollajoukot muodostavat "X":n erään topologian suljettujen joukkojen kannan. Tämä topologia on hienoin niistä "X":n täydellisesti säännöllisistä topologioista, jotka ovat karkeampia kuin "X":n alkuperäinen topologia. Samaan tapaan A"n":n Zariskin topologia määritellään valitsemalla polynomifunktioiden nollajoukot suljettujen joukkojen kannaksi.
Paino ja karakteeri.
Olkoon "X" topologinen avaruus. Käsitteet paino ja karakteeri määritellään seuraavasti:
formula_4.
Tässä verkosto on joukkoperhe formula_5, jolle pätee, että jokaista pistettä "x" ja jokaista "x":n avointa ympäristöä kohti on olemassa sellainen perheeseen formula_6 kuuluva joukko "B", että "x" ∈ "B" ⊆ "U".
Laskemalla karakteeri ja paino voidaan selvittää, minkä tyyppisiä kantoja ja ympäristökantoja topologisessa avaruudessa on. Niitä koskevat seuraavat tulokset:
Viimeinen näistä tuloksista seuraa siitä, että "X" on kompakti Hausdorff-avaruus, on formula_16, sillä kompaktit metriset avaruudet ovat aina N2-avaruuksia, jota paitsi kompakti Hausdorff-avaruus on metristyvä, jos ja vain jos se on N2-avaruus.
Avointen joukkojen kasvavat ketjut.
Käyttäen edellä esitettyjä merkintöjä oletetaan, että "w"("X") ≤ "κ" on jokin ääretön kardinaaliluku. Silloin ei ole olemassa aidosti kasvavaa avointen joukkojen jonoa (eikä vastaavasti aidosti pienenevää suljettujen joukkojen jonoa), jonka pituus olisi ≥ "κ"+.
Tämä voidaan osoittaa (käyttämättä valinta-aksioomaa) seuraavasti. Olkoon
formula_17
avointen joukkojen kanta. Jos oletetaan, että
formula_18
olisi aidosti kasvava avointen joukkojen jono, siitä seuraisi, että
formula_19
Kun
formula_20
voidaan tätä kantaa käyttää sellaisen joukon "Uγ" löytämiseen, että "x" kuuluu joukkoon "Uγ" ⊆ "Vα". Tällä tavoin voidaan hyvin määritellä kuvaus "f", joka kuvaa jokaisen "α":n pienimmälle kardinaaliluvulle "γ":lle, jolle "Uγ" ⊆ "Vα" ja joka toteuttaa ehdon
formula_21.
Kuvaus on injektio, sillä muutoin olisi "α" &lt; "β", kun "f"("α") = "f"("β") = "γ", mistä edelleen seuraisi, että "Uγ" ⊆ "Vα", mutta toisaalta
formula_22
mikä on ristiriita. Mutta kuvauksen injektiivisyydestä seuraisi edelleen, että "κ"+ ≤ "κ", mikä on myös ristiriitaista. Näin ollen edellä mainitun kaltaista aidosti kasvavaa avointen joukkojen jonoa ei voi olla olemassa. mot.