Jatkuva funktio

Jatkuvuus on funktioon liittyvä topologinen peruskäsite. Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Tällaisen funktion kuvaaja on silloin yhtenäinen eikä katkea missään kohdassa. On kuitenkin tapauksia, jossa funktio on jatkuva vaikka kuvaajan ulkonäkö on poikkeava. Jatkuvuuden tarkempi määrittäminen vaatiikin matemaattisempia käsitteitä. Funktion jatkuvuus voidaan määritellä usealla eri tavalla, riippuen siitä miten yleisellä tasolla funktioita halutaan tarkastella. 
Yhden reaalimuuttujan tapaus.
Niin sanottu εδ-määritelmä.
Intuitiivisesti funktion formula_1 jatkuvuus tietyssä pisteessä formula_2 tarkoittaa sitä, että formula_3 on "lähellä" arvoa formula_4 aina, kun piste formula_5 on lähellä pistettä formula_6. Tähän intuitioon perustuu nk. jatkuvuuden formula_7-määritelmä (kreikk. "epsilon" ja "delta"), joka on seuraava:
Olkoon formula_8 väli, formula_9 ja formula_10. Funktio formula_11 on jatkuva pisteessä formula_6, jos "kaikilla" formula_13 "on olemassa" formula_14 siten, että
formula_15,
kun formula_16 ja formula_17.
formula_18
Luku formula_14 riippuu tapauskohtaisesti joko formula_20:sta, formula_11:stä, formula_6:sta tai kaikista näistä. Luku formula_13 ei saa riippua funktiosta tai pisteestä, sillä määritelmän ehdon tulee täyttyä "kaikilla" formula_13 (siis erityisesti hyvin pienillä formula_20:n arvoilla). Käytännössä formula_7-määritelmä tarkoittaa sitä, että formula_20:n pienuudesta huolimatta jatkuvan funktion formula_11 kuvaaja jää aina suorien formula_29 ja formula_30 väliin pisteen formula_6 lähellä.
Jatkuvuus toispuoleisten raja-arvojen avulla.
Funktio formula_32 on jatkuva pisteessä formula_33, jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä formula_33, on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä:
formula_35.
Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia. Funktion jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Toisin sanoen derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva.
formula_36 formula_37 
formula_38 formula_39.
formula_40, joten funktio on jatkuva pisteessä a. formula_41
Olkoon formula_42 ja formula_43. 
Tällöin formula_44 siten, että formula_45, kun formula_46. 
formula_47 formula_48, kun formula_46. 
formula_50 formula_51 formula_52 formula_53, kun formula_46 ja kun formula_55. 
Valitaan formula_56. 
Siis formula_57, kun formula_58. 
formula_59, joten formula_60 on jatkuva formula_61:ssa. formula_41
Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
Jatkuvia funktioita voidaan konstruoida muista jatkuvista funktioista yhteenlaskun, kertolaskun ja tietyissä tapauksissa jakolaskun avulla. Jos formula_8 on väli, formula_9 sekä formula_10 ja formula_66 jatkuvia funktioita pisteessä formula_6, niin:
Jatkuvuus metrisissä avaruuksissa.
Olkoot formula_89 ja formula_90 metrisiä avaruuksia. Funktio formula_91
on jatkuva pisteessä formula_92 (metriikoiden formula_93 ja formula_94 suhteen), jos jokaista positiivilukua formula_95 kohti on olemassa positiiviluku formula_96 siten, että formula_97 aina kun formula_98. Muodollisesti ilmaistuna funktio formula_60 on jatkuva pisteessä formula_100, jos
formula_101
Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa joukon formula_102 pisteessä. Kun tarkastellaan joukkoja formula_102 ja formula_104 topologisina avaruuksina, joissa topologiat ovat metriikoiden formula_93 ja formula_94 indusoimia, niin yllä esitetyt määritelmät yhtyvät. 
Jatkuvuus topologisissa avaruuksissa.
Funktio formula_107, missä formula_108 ja formula_109 ovat topologisia avaruuksia, on jatkuva pisteessä formula_110, jos ja vain jos jokaista pisteen formula_111 ympäristöä formula_112 kohti on olemassa pisteen formula_61 ympäristö formula_114 siten, että formula_115. Funktio formula_116 on jatkuva funktio, jos se on jatkuva jokaisessa avaruuden formula_108 pisteessä. Yhtäpitävästi, funktio formula_116 on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen formula_109 avoimen joukon formula_112 alkukuva formula_121 on avoin avaruudessa formula_102.