Topologinen aliavaruus

Topologinen aliavaruus on topologinen avaruuden osajoukko varustettuna alkuperäisen avaruuden topologian indusoimalla topologialla. Aliavaruuden topologiaa sanotaan myös "indusoiduksi topologiaksi" eli "relatiivitopologiaksi".
Määritelmä.
Olkoon formula_1 topologinen avaruus ja "S" jokin "X":n osajoukko. Olkoon formula_2 inkluusio, toisin sanoen sellainen kuvaus, että formula_3 kaikilla formula_4. Tällöin formula_5:n indusoima topologia joukossa "S" on formula_6, toisin sanoen tässä topologiassa avoimia joukkoja ovat "X":n avointen joukkojen ja "S":n leikkaukset. Tätä inkluusion indusoimaa topologiaa sanotaan "S":n relatiivitopologiaksi jonka "S" perii "X":stä, ja joukkoa "S" tällä relatiivitopologialla varustettuna "X":n aliavaruudeksi.
Vaihtoehtoisesti osajoukon formula_7 relatiivitopologia voidaan määritellä karkeimmaksi topologiaksi, jolla inkluusiokuvaus formula_2 on jatkuva.
Yleisemmin voidaan olettaa, että formula_5 on mikä tahansa kuvaus joukosta formula_10 topologiseen avaruuteen formula_11. Tällöin "S" :n indusoitu topologia määritellään karkeimpana topologiana, jossa formula_5 on jatkuva. Avoimia joukkoja tässä topologiassa ovat kaikki muotoa formula_13 olevat joukot, joissa formula_14 on formula_11:n avoin osajoukko. Tällöin, mikäli kuvaus formula_5 on injektio, formula_10 on homeomorfinen formula_11:ssä olevan kuvajoukkonsa kanssa, kun tämä joukko on varustettu indusoidulla topologialla. Tällaista kuvausta formula_5 sanotaan topologiseksi upotukseksi.
formula_10:n aliavaruutta sanotaan avoimeksi aliavaruudeksi, jos injektio formula_5 on avoin kuvaus, toisin sanoen jos jokaisen formula_10:n avoimen joukon kuva tässä kuvauksessa on formula_11:n avoin joukko. Vastaavasti sitä sanotaan suljetuksi aliavaruudeksi, jos formula_5 on suljettu kuvaus.
Huomautuksia merkinnöistä.
Merkinnöissä ei joukon ja topologisen avaruuden välillä aina tehdä selvää eroa, mikä saattaa aiheuttaa sekaannusta, kun määritelmiin ensimmäisen kerran tutustutaan. NIinpä jos formula_10 on formula_11:n osajoukko ja formula_1 topologinen avaruus, saatetaan merkintöjä formula_10 ja formula_11 käyttää sekä joukoista formula_10 ja formula_11 käsitettyinä formula_11:n osajoukoiksi, että myös avaruuksista formula_33 ja formula_34 topologisina avaruuksina edellä kuvatulla tavalla. Niinpä jos esimerkiksi sanotaan, että "formula_10 on formula_11:n avoin aliavaruus", tarkoitetaan itse asiassa, että formula_33 on formula_34:n avoin aliavaruus, toisin sanoen
 (i) formula_39, eli "S" on avoin joukko topologisessa avaruudessa formula_40, ja
 (ii) formula_10 on varustettu relatiivitopologialla.
Esimerkkejä.
Seuraavassa formula_42 tarkoittaa reaalilukujen joukkoa tavanomaisella topologiallaan.
Ominaisuuksia.
Relatiivitopologialla on seuraava tyypillinen ominaisuus. Olkoon formula_54 avaruuden formula_11 aliavaruus ja olkoon formula_56 inkluusiokuvaus. Silloin jokaiselle topologiselle avaruudelle kuvaus formula_57: formula_58 on jatkuva, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus formula_59 on jatkuva. 
Tämä ominaisuus on "karakteristinen" siinä mielessä, että sitä voitaisiin käyttää vaihtoehtoisena määritelmänä relatiivitopologialle formula_54:ssa.
Relatiivitopologialla on myös seuraavat ominaisuudet. Seuraavassa oletetaan, että formula_10 on formula_11:n aliavaruus.
Topologisten ominaisuuksien säilyminen.
Jos siitä, että topologisella avaruudella on jokin topologinen ominaisuus, seuraa, että sama ominaisuus on myös sen kaikilla aliavaruuksilla, ominaisuutta sanotaan "perinnölliseksi". Jos ominaisuus on vain suljetuilla osajoukoilla, sitä sanotaan "'heikosti perinnölliseksi".