Tangentiaalinen monikulmio

Tangentiaalinen monikulmio eli ympyrän ympäri piirretty monikulmio on geometriassa monikulmio, jonka kaikki sivut sivuavat monikulmion sisälle piirrettyä ympyrää. Ympyrää kutsutaan sen vuoksi "monikulmion sisälle piirretyksi ympyräksi" eli "sisäympyräksi" () ja sen keskipistettä "sisäympyrän keskipisteeksi". Sivuamisen vuoksi sivut ovat sisäympyrän tangentteja eli myös tangenttijanoja. Monikulmion sidonnaisuus ympyrään rajoittaa sen geometriaa ja yksinkertaistaa joitakin monikulmioille johdettuja laskukaavoja. Tunnetuimmat tangentiaaliset monikulmiot ovat säännölliset monikulmiot, joiden avulla etsittiin antiikin aikana piille likiarvoja.
Tangentiaaliset monikulmiot voivat olla yksinkertaisia, jolloin sivut eivät leikkaa toisiaan, tai muita, joissa sivut leikkaavat toisiaan. Itseään leikkaavia monikulmioita, jotka voivat olla myös tangentiaalisia, ovat esimerkiksi tähtimonikulmiot tai tähdet. Yksinkertaisista monikulmioista tulevat kyseeseen vain konveksit monikulmiot.
Erityispiirteet.
Tangentiaalinen monikulmio perii yleisen monikulmion kaikki ominaisuudet, mutta sisäympyrän sidonnaisuudesta seuraa joitakin erityispiirteitä:
Teoria tangenttijanoilla.
Tangentiaalinen n-kulmainen monikulmio voidaan ajatella syntyneet murtoviivasta, jossa on n-janaa. Kun murtoviiva "kiedotaan" kerran, kaksi tai useamman kerran tietyn säteisen ympyrän ympäri, voidaan murtoviivan ensimmäinen ja viimeinen päätepiste yhdistää toisiinsa. Tällainen monikulmio sivuaa sisälle jäänyttä sisäympyrää jokaisen janan osalta. Nämä sivuamiset ovat sännönmukaisia ja laskennollisesti hallittavia. Seuraavat laskelmat on esitetty n-kulmiolle, joka kiertää r-säteistä ympyrää k kierrosta. Tarkoitus on laskea, millä säteen arvoilla ja millä muilla ehdoilla monikulmio muodostuu.
Merkinnät.
Merkitään n-kulmion kärjet A1, A2, A3, ..., An ja sivuja a1 = A1A2, a2 = A2A3, ..., an = AnA1 (viimeinen: paluu alkuun). Sivulla ai oleva ympyrän sivuamispiste merkitään Ti. Sivuamispiste jakaa sivun kahteen tangentiaalijanaan ja esimerkiksi kärjestä A1 lähtevät janat merkitään t1 = A1Tn = A1T1. Ne ovat molemmat t1:n mittaisia, koska (kuvassa) nelikulmio A1T1OTn on symmetrinen janan A1O suhteen: kolmiot A1T1O ja OTnA1 ovat yhtenevät. Koska tilanne toistuu jokaisen kärjen Ai osalta, ovat kaikista kärjistä erkanevat molemmat tangenttijanat ti yhtä pitkät. Merkitään vielä kärjen Ai sisäkulmaa αi = 2 * βi, koska jana A1O on kulman αi kulmanpuolittaja, sekä monikulmion sivua AiAi+1 vastaavaa ympyrän keskuskulmaa φi.
Monikulmion ehdot.
Jotta ympyrän kiertävä murtoviiva muodostaisi n-kulmion, tilisi se täyttää seuraavat ehdot. Monikulmion sisäkulmat 
formula_1
eli
formula_2.
Ympyrän keskipisteestä lähtevät keskuskulmat
formula_3.
Jokaisesta monikulmion sivuun liittyvän kolmion AiAi+1O kulmat toteuttavat kolmion kulmien summan
formula_4.
Kiertämällä monikulmion piiri, saadaan kulmien summa laskettua
formula_5
eli
formula_6,
kuten yllä jo todettiinkin.
Ratkaisun muodostaminen.
Voidaan osoittaa, että jos on annettu (positiivisten) sivujen pituudet a1, a2, ..., an ja se, miten janat on jaettu tangenttijanoiksi (positiivisen pituiset) osiin t1, t2, ..., tn siten, että
formula_7,
missä niiden pituus riippuu kulmasta γ
formula_8, 
silloin on olemassa ainakin yksi n-kulmio, jonka sisälle jää ympyrä edellä kuvatulla tavalla. Niitä saattaa olla vielä enemmän eli k erilaisia, jolloin lukua k rajoittaa ehto
formula_9 
Niin sanotun n-kulmion "sisäympyrän säteet generoivan polynomin" muodostamiseksi tulee laskea tangentijanojen pituuksista sille kertoimet. Ne voidaan merkitä tunnuksilla Sjn ja laskea 
formula_10, näitä termejä formula_11 kappaletta,
formula_12, näitä termejä formula_13 kappaletta,
formula_14
formula_15
formula_16
formula_17
formula_18
formula_16
formula_20, näitä termejä formula_21 kappaletta,
formula_16
formula_23, näitä termejä formula_24 kappaletta.
formula_25, näitä termejä formula_26 kappaletta.
Muodostustapa näkyy tässä, mutta todellisuudessa näistä tarvitaan vain parittomat tapaukset eli formula_27, formula_28, formula_29, ..., formula_30.
Monikulmion säteen generoiva polynomi, kun lasketaan n-kulmiota, jolla n on pariton luku, on
formula_31 
ja kun lasketaan (n+1)-kulmiota, kun (n+1) on parillinen luku, on
formula_32,
missä eksponentti formula_33 määrää viimeisen termin etumerkin.
n-kulmioiden säteen generoivat polynomit.
Eräiden monikulmioiden säteet generoivat polynomit ovat 
Näiden säteiden positiiviset ratkaisut ovat ne tapaukset, joilla n-kulmiolla voi kiertää ympyrän muodostaen monikulmion. Ratkaisuja voi merkitä r1, r2, r3, ..., rm, missä ratkaisujen lukumäärä saadaan lausekkeesta 
formula_42
Esimerkkejä.
Kolmio.
Kolmiot ovat aina tangentiaalisia, koska jokaisen kolmion sisälle voidaan piirtää ympyrä. Kolmiossa sisäympyrän sivuamispisteet jakavat sivut kahteen eripituiseen tangenttijanaan. Tangenttijana, joka lähteen kärjestä A on pituudeltaan s - a, koska kärjen vastainen sivu on pituudeltaan a (s on puolipiiri). Muiden tangenttijanojen pituudet ovat vastaavan suuruisia.
Sisäympyrän säde on formula_43
Nelikulmio.
Tangentiaalisia nelikulmioita ovat vain osa nelikulmioista. Riittävä ehto tangentiaalisuudelle on, että nelikulmion vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolet sen piiristä (s on puolipiiri) eli
formula_44.
Tangentiaalisia nelikulmioita ovat esimerkiksi neliöt, neljäkkäät ja tasakylkiset puolisuunnikkaat.
Yleisen tangentiaalisen nelikulmion sisäympyrän säde on
formula_45 
formula_46 
missä p ja q ovat nelikulmion lävistäjiä.
Kuusikulmio.
Tangentiaalisen kuusikulmion kolme lävistäjää leikkaavat Brianchonin lauseen mukaan toisensa yhteisessä pisteessä.