Projektiivinen geometria

Projektiivinen geo­metria on geometrian ala, joka tutkii ominaisuuksia, jotka säilyvät keskeisprojektioissa tasolta tasolle. Projektiivisessa geo­metriassa pisteiden oletetaan sijaitsevan projek­tiivisessa avaruudessa, jossa voidaan intui­tiivisesti ajatella olevan "enemmän" pisteitä kuin yhtä moni­ulotteisessa euklidisessa avaruudessa, ja näiden "yli­määräisten" pisteiden eli ideaalipisteiden voidaan ajatella olevan äärettömän kaukana. Projek­tiivisessa geo­metriassa sallitaan myös sellaiset geo­metriset muunnokset, joissa nämä ideaali­pisteet kuvautuvat tavan­omaisen avaruuden pisteille tai päin­vastoin.
Projek­tiivisen geo­metrian yhtenä virikkeenä on ollut perspektiivioppi. Perspek­tiivisesti sellaisetkin suorat, jotka todellisuudessa ovat yhden­suuntaisia, esimerkiksi rata­kiskot, näyttävät kaukana kohtaavan toisensa. Tämän vuoksi niiden voidaan ajatella leikkaavan toisensa "äärettömän kaukana". projek­tiivisessa geo­metriassa tavan­omaiseen avaruuteen lisätäänkin kutakin yhden­suuntaisten suorien ekvivalenssiluokkaa kohti yksi "äärettömän kaukainen" piste. Kun tasoon lisätään tällaiset äärettömän kaukaiset pisteet, saadaan projektiivinen taso, ja vastaavasti kun kolmi­ulotteiseen avaruuteen lisätään tällaiset pisteet, saadaan kolmi­ulotteinen projektiivinen avaruus.
Projek­tiivisessa geo­metriassa merki­tyk­selli­siä ovat vain sellaiset ominaisuudet, jotka säilyvät projek­tiivisissa muunnoksissa. Esimerkiksi kulmilla ei projek­tiivisessa geo­metriassa ole merkitystä, koska ne eivät tällaisissa muunnoksissa säily, mikä perspektiivi­piirustuksessa hyvin käy ilmi.
Ala sai alkunsa 1600-luvulla Girard Desarguesin tutkimuksista, mutta se jäi syrjään geo­metrisen tutkimuksen valta­virrasta 1800-luvun alkuun asti, jolloin Jean-Victor Poncelet julkaisi järjes­telmälli­sen esityksen projek­tiivisesta geo­metriasta.
Tämän jälkeen projek­tiivista geo­metriaa alettiin tutkia niin vilkkaasti, että siitä tuli aika­kauden geometrian tärkein tutkimusalue. Tällöin kehitettiin myös kompleksisen projek­tiivisen avaruuden teoria, jossa koordinaatit ovat kompleksilukuja. Projek­tiiviseen geo­metriaan perustuivat myös monet muut samoihin aikoihin kehitetyt abstraktin matematiikan haarat kuten invarianttiteoria, italialainen algebrallisen geo­metrian koulukunta, Felix Kleinin Erlangenin ohjelma, joka johti klassisten Lien ryhmien teoriaan, sekä äärellinen geometria. 
Projek­tiivinen geo­metria itsekin jakaantuu nykyisin moniin tutkimus­aloihin, joista esi­merkkeinä voidaan mainita "projek­tiivinen algeb­rallinen geo­metria" eli projek­tiivisten varistojen tutkimus sekä "projek­tiivinen differentiaaligeometria" eli projek­tiivisten muunnosten differenti­aalisten invarianttien tutkimus.
Yleiskuvaus.
Projek­tiivinen geo­metria on geo­metrian ei-metrinen muoto, mikä tarkoittaa, että se ei perustu etäisyyden käsitteeseen. Kahdessa ulottuvuudessa se alkaa opilla tietyn­laisista pisteiden ja suorien muodostamista kuvioista. Kun Desargues ja muut kehittivät perspektiivioppia matemaattisesti selvittäessään projek­tiivisen geo­metrian, he osoittivat, että näinkin pienellä määrällä käsitteillä saatiin geo­metrisesti mielen­kiintoisia tuloksia. Useampi­ulotteisissa avaruuksissa käsitellään hypertasoja, jotka aina kohtaavat, ja muita lineaarisia ali­avaruuksia, joille on ominaista duaalisuusperiaate. Yksin­kertai­simmassa muodossaan duaalisuus ilmenee projek­tiivisella tasolla, jossa lauseet "kaksi eri pistettä määrittävät yksi­käsitteisesti suoran" (nimittäin molempien kautta kulkevan suoran) ja "kaksi eri suoraa määrittävät yksi­käsitteisesti pisteen" (nimittäin niiden leikkaus­pisteen) osoittautuvat rakenteeltaan saman­laisiksi. Projek­tiivinen geo­metria voidaan myös käsittää opiksi sellaisista geo­metrisista kon­strukti­oista, jotka voidaan suorittaa pelkän viivoittimen avulla. Koska harpin käyttöä ei sallita, eivät projek­tiiviseen geo­metriaan kuulu ympyrät, kulmat, etäisyyksien mittaus, suorien yhdensuuntaisuus eikä pisteen sijainti kahden muun pisteen välissä. Osoittautui, että teoreemat, jotka pätevät projek­tiivisessa geo­metriassa, ovat yksin­kertaisia lauseita. Esimerkiksi kaikki erilaiset kartio­leikkaukset ovat ekvi­valentteja kompleksisessa projek­tiivisessa geo­metriassa, ja jotkut ympyröitä koskevat teoreemat voidaan käsittää näiden yleisten teoreemojen erikois­tapauksiksi.
1800-luvun alussa muun muassa Jean-Victor Poncelet'n ja Lazare Carnot'n tutkimukset tekivät projek­tiivisesta geo­metriasta itsenäisen matematiikan haaran. Sen perusteita tarkensi Karl von Staudt, ja 1800-luvun lopulla italialaiset Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa ja Gino Fano kehittivät ne täydelliseen muotoon. Affiinisen ja euklidisen geo­metrian tavoin myös projek­tiivinen geo­metria voidaan muotoilla Felix Kleinin Erlangenin ohjelman avulla: projek­tiivista geo­metriaa luonnehtivat projek­tiivisen ryhmän muunnosten invariantit.
Projek­tiivisen geo­metrian perusteet tulivat ymmärretyiksi, kun alalta oli runsaan tutkimuksen avulla saatu johdetuksi erittäin monia teoreemoja. Perustavia invariantteja projek­tiivisessa geo­metriassa ovat insidenssistruktuuri ja kaksoissuhde. Projek­tiivista geo­metriaa voidaan mallintaa affiinisella tasolla (tai affiinisella avaruudella), johon lisätään "äärettömyydessä" oleva suora (tai hypertaso) ja käsittelmällä tätä suoraa (tai hypertasoa) "tavallisten" suorien (tai tasojen) tavoin. Homo­geeniset koordinaatit tarjoavat algerallisen mallin, jolla projek­tiivista geo­metriaa voidaan tutkia analyyttisen geo­metrian tapaan.
 Toisaalta aksioomien tutkimus paljasti, että on olemassa ei-desarguesilaisia tasoja, jotka ovat esimerkkejä siitä, että kahdessa ulottuvuudessa insidenssi­aksioomat voidaan muotoilla sellaistenkin struktuurien avulla, joita ei voida johtaa homogeenisesta koordinaatti­järjestelmästä. 
Projek­tiivinen geo­metria ja järjestetty geometria ovat perustavalla tavalla yksin­kertaisimpia, sillä niissä on pienin määrä aksioomia, ja kumpaakin voidaan käyttää affiinin ja euklidisen geo­metrian perustana. projek­tiivinen geo­metria ei ole "järjestetty", ja näin ollen se muodostaa oman perustansa geo­metrialle.
Historia.
Ensimmäiset luonteeltaan projek­tiiviset geo­metriset ominaisuudet löysi 200-luvulla Pappos Aleksandrialainen. Filippo Brunelleschi (1404–1472) aloitti perspektiivin geo­metrian tutkimisen vuonna 1425.
 Johannes Kepler (1571–1630) ja Girard Desargues (1591–1661) kehittivät toisistaan riippumatta keskeisen "äärettömyydessä olevan pisteen" käsitteen. Desargues kehitti perspektiivi­piirustukseen vaihto­ehtoisen menetelmän yleistämällä pakopisteiden käsittelyä siten, että ne voivat olla myös äärettömän kaukana. Hän teki euklidisesta geo­metriasta, jossa yhden­suuntaiset suorat todella ovat yhden­suuntaisia, erikois­tapauksen kaikenkattavasta geo­metrisesta järjestelmästä. Desargues tutki myös kartio­leikkauksia, ja hänen tällä alaltaan tekemiin tutkimuksiin kiinnitti huomiota 16-vuotias Blaise Pascal, joka niiden avulla onnistui muotoilemaan Pascalin lauseen. Gaspard Mongen tutkimukset 1700- ja 1800-lukujen vaihteessa olivat projek­tiivisen geo­metrian myöhemmän kehityksen kannalta tärkeitä. Desarguesin saavutuksia ei juuri tunnettu, ennen kuin Michel Chasles sai vuonna 1845 hankituksi hänen tutkielmistaan käsin tehdyn jäljennöksen. Sillä välin Jean-Victor Poncelet oli laatinut vuonna 1822 julkaistun projek­tiivisen geo­metrian perus­teoksen. Poncelet erotti kohteiden projek­tiiviset ominaisuudet omaksi luokakseen ja selvitti, miten metriset ja projek­tiiviset ominaisuudet liittyivät toisiinsa. Kun vähän myöhemmin keksittiin epä­euklidiset geo­metriat, osoittautui, että nekin voitiin mallintaa projek­tiivisen geo­metrian avulla, esimerkiksi hyper­boliselle avaruudelle voitiin muodostaa Kleinin malli.
Tämä 1800-luvun varhainen projek­tiivinen geo­metria oli tärkeä askel ana­lyytti­sestä geo­metriasta kohti algeb­rallista geo­metriaa. Homo­geenisilla koordi­naateilla käsiteltynä projek­tiivinen geo­metria näyttää koordi­naattien käytön laajennukselta tai tekniseltä parannukselta, jolla geo­metriset probleemat voidaan palauttaa algebraan ja jossa erikoistapausten lukumäärää saadaan vähennetyksi. Toisen asteen pintojen yksityiskohtainen tutkimus ja Julius Plückerin "viivageo­metria" ovat esi­merkkejä monista yleisempien geo­metristen käsitteiden tutkimuksesta.
Poncelet'n, Steinerin ja muiden suorittaman työn tarkoituksena ei ollut laajentaa analyyttista geometriaa. He olettivat käyttämiensä menetelmien olevan "synteettisiä"; itse asiassa projektiivinen avaruus sellaisena kuin se nykyisin käsitettiin kohdettiin aksiomaattisesti. Sen vuoksi projektiivisen geometrian varhaisten tulosten uudelleenmuotoilu siten, että ne vastaavat nykyisiä tarkkuuden vaatimuksia, voi olla jokseenkin vaikeaa. Jo projektiivisen tason tapauksessa aksiomaattinen lähestymistapa voi johtaa malleihin, joita ei voida esittää lineaarialgebran avulla.
Myöhemmin projektiivisen geometrian kehitykseen vaikuttivat huomattavasti muun muassa Clebschin, Riemannin ja Max Noetherin algebrallisia käyriä koskeneet tutkimukset sekä invarianttiteoria. Vuosisadan lopulla italialainen algebrallisen geometrian koulukunta, johon kuuluivat Federigo Enriques, Corrado Segre ja Francesco Severi, kehitti alaa edelleen niin, että tarvittiin syvällisempiä menetelmiä.
Aivan 1800-luvun lopulla projektiivisen geometrian yksityis­kohtainen tutkimus alkoi jo hiipua, mutta alan kirjallisuus oli jo hyvin laaja. Varsinkin Schubert suoritti vielä merkittävää tutkimusta enumeratiivisen geometrian alalla, jonka nykyisin katsotaan ennakoineen Chernin luokkien teoriaa ja algebralliseen topologiaan kuuluvaa Grasmannin monistojen teoriaa.
Paul Dirac tutki projektiivista geometriaa ja käytti sitä kehittämiensä kvantti­mekaanisten käsitteiden pohjana, joskin hän julkaisi tuloksensa aina algebrallisessa muodossa.
Tarkempi kuvaus.
Projektiivinen geometria on vähemmän rajoittavaa kuin euklidinen tai affiini geometria. Se on oleellisesti ei-metristä geometriaa, jonka tulokset eivät riipu mistään metrisestä struktuurista. Projektiivisissa muunnoksissa insidenssistruktuuri ja projektiivinen harmoninen konjugaatti säilyvät. Sen yksiulotteisena perustana on pisteiden muodostama projektiivinen jono. Projektiivisessa geometriassa yksi perspektiivin perusperiaatteista muotoillaan näin: yhdensuuntaiset suorat leikkaavat toisensa äärettömyydessä, ja sen vuoksi ne piirretään niin tietyllä tavalla. Oleellisesti projektiivinen geometria voidaan käsittää euklidisen geo­metrian laajennukseksi, jossa jokaista keskenään yhden­suuntaisten suorien luokkaa kohti on lisätty yksi ylimääräinen "piste" ja jossa tason suoria tällä tavoin vastaavien pisteiden muodostamaa "horisonttia" käsitellään "suorana". Täten yhden­suuntaiset suorat leikkaavat toisensa jossakin horisontti­suoran pisteessä.
Idealisoituja suuntia sanotaan äärettömyydessä oleviksi pisteiksi, kun taas eri tasoja vastaavia horisontteja sanotaan äärettömyydessä oleviksi suoriksi. Kaikki tällaiset suorat taas sijaitsevat äärettömyydessä olevalla tasolla. Äärettömyys on kuitenkin metrinen käsite, joten puhtaasti projek­tiivinen geo­metria ei sulje pois mitään pisteitä – äärettömyydessä olevia käsitellään samalla tavoin kuin muitakin pisteitä.
Koska euklidinen geometria sisältyy projek­tiiviseen geo­metriaan mutta projek­tiivisella geo­metrialla on yksinkertaisempi perusta, euklidisen geometrian yleisiin tuloksiin voidaan päästä läpi­näkyvämmällä tavalla, kun taas eräitä euklidisessa geometriassa erillisiä mutta toisiaan muistuttavia teoreemoja voidaan projektiivisessa geometriassa käsitellä yhdessä. Esimerkiksi yhden­suuntaisia ja eri­suuntaisia suoria ei tarvitse käsitellä eri tapauksina – valitaan vain sopiva projektiivinen taso ideaali­tasoksi ja sijoitetaan se "äärettömyyteen" käyttämällä homogeenisia koordinaatteja.
Muita perustavan tärkeitä ominaisuuksia ovat Desarguesin lause ja Pappoksen kuusikulmiolause. Kolmi- tai useampiulotteisessa projektiivisessa avaruudessa on konstruktio, jolla Desarguesin lause voidaan todistaa. Mutta kahdessa ulottuvuudessa se on erikseen oletettava postulaattina.
Desarguesin lauseen ja muiden aksioomien avulla voidaan aritmetiikan perus­lasku­toimitukset määritellä geometrisesti. Näin määritellyt lasku­toimitukset toteuttavat kunnan aksioomat, kuitenkin siten, että kertolaskun vaihdannaisuus edellyttää Pappoksen lausetta. Täten minkä tahansa suoran pisteiden ja annetun kunnan F alkioiden välillä on bijektiivinen vastaavuus, kuitenkin siten, että kuntaan F on lisättävä yli­määräinen alkio ∞ siten, että 
 r∞ = ∞, −∞ = ∞, r+∞ = ∞, r/0 = ∞, r/∞ = 0, ∞−r = r−∞ = ∞. 
Lausekkeille 0/0, ∞/∞, ∞+∞, ∞−∞, 0∞ ja ∞0 ei kuitenkaan voida määritellä mitään arvoa.
Projektiivinen geometria sisältää myös täydellisen kartioleikkausten teorian, joka tosin oli voitu täysin kehittää myös euklidisen geometrian pohjalta. Selviä etuja saadaan kuitenkin sillä, että hyperbelin ja ellipsin voidaan ajatella eroavan toisistaan vain siten, että hyperbeli leikkaa äärettömyydessä olevien ideaali­pisteiden muodostaman suoran, ellipsi ei, kun taas paraabeli eroaa näistä molemmista vain siten, että tämä suora on sen tangentti. Jos homogeenisten koordinaattien sallitaan olla myös kompleksilukuja, voidaan lisäksi kaikki ympyrät käsittää "kartio­leikkauksiksi, jotka kulkevat kahden äärettömyydessä olevan pisteen kautta". Koska koordinaatit eivät ole "synteettisiä", ne korvataan kiinnittämällä yksi suora ja kaksi sillä olevaa pistettä ja ottamalla tarkastelun perustaksi kyseisten pisteiden kautta kulkevien kartio­leikkausten muodostama "lineaarinen systeemi". Tämä lähestymis­tapa kiinnosti suuresti lahjakkaita geometrikkoja, ja ala tutkittiin perin pohjin. Esimerkkinä tämän lähestymis­tavan käytöstä voidaan mainta H. F. Bakerin moniosainen teos.
Projektiivisia geo­metrioita on useita, ja ne voidaan jakaa diskreetteihin ja jatkuviin. Diskreetti geometria käsittää äärellisen tai äärettömän joukon erillisiä pisteitä, kun taas jatkuva geo­metria käsittää äärettömän joukon pisteitä ilman aukkoja niiden välissä.
Ainoa nolla­ulotteinen projektiivinen geometria käsittää vain yhden pisteen. Yksiulotteinen projektiivinen geometria käsittää vain yhden suoran, jossa on vähintään kolme pistettä. Aritmeettisten lasku­toimitusten geometrista konstruktiota ei kummassakaan näistä tapauksista voida suorittaa. Kahdessa ulottuvuudessa on rikas rakenne, mikä johtuu siitä, ettei Desarguesin lause ole voimassa.
Muun muassa Greenbergin (1999) mukaan yksin­kertaisin kaksi­ulotteinen projek­tiivinen geo­metria on Fanon taso, jossa on kaikkiaan seitsemän suoraa ja seitsemän pistettä, joista kolme jokaisella suoralla siten, että seuraavat pisteet sijaitsevat keskenään samalla suoralla:
missä pisteiden homogeeniset koordinaatit ovat A = (0,0,1), B = (0,1,1), C = (0,1,0), D = (1,0,1), E = (1,0,0), F = (1,1,1), G = (1,1,0), tai affiiniset koordinaatit A = (0,0), B = (0,1), C =(∞), D = (1,0), E = (0), F = (1,1) ja G = (1). 
Äärettömyydessä olevien pisteiden (tässä esimerkissä C, E ja G) affiinit koordinaatit Desarguesin lauseen toteuttavalla tasolla voidaan määritellä monella muullakin tavalla.
Standardimerkintä äärelliselle projektiiviselle geometrialle on PG("a", "b"), missä:
 "a" on projektiivinen (tai geometrinen) ulottuvuus, ja
 "b" on pisteiden lukumäärä suoralla vähennettynä yhdellä, geometrian "aste".
Niinpä edellä käsitelty geometria, jossa on seitsemän pistettä, merkitään pG(2,2).
Termillä "projektiivinen geometria" tarkoitetaan toisinaan alan perustana olevaa yleistä abstraktia geometriaa, toisinaan tiettyä, erityistä huomiota osakseen saavaa geometriaa, esimerkiksi taso­geometriaa, jota tutkitaan homogeenisten koordinaattien avulla ja johon euklidinen geometria voidaan upottaa, minkä vuoksi projek­tiivista tasoa kutsutaankin myös "laajennetuksi euklidiseksi tasoksi".
Kaikille projektiivisille geometrioille yhteinen perustava ominaisuus on se elliptinen insidenssiominaisuus, että projektiivisella tasolla mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaa toisensa yhdessä ja vain yhdessä pisteessä. Sellaisetkin suorat, joita euklidisessa geometriassa käsitetään yhdensuuntaisiksi, leikkaavat toisensa eräässä pisteessä, "ideaalipisteessä", jonka voidaan ajatella olevan äärettömän kaukana. Kaikki tällaiset ideaali­pisteet muodostavat "äärettömän kaukaisen" suoran, mutta projek­tiivisessa geometriassa se käsitetään aivan samanlaiseksi kuin kaikki muutkin suorat eikä ole millään tavalla erikois­asemassa. Myöhemmässä Erlangenin ohjelmassa geometriset muunnokset muodostavat ryhmän, ja tällaisilla muunnoksilla mikä tahansa suora voidaan siirtää tämän "äärettömän kaukaisen" suoran paikalle.
Jos on annettu suora "l" ja piste "P", joka ei ole suoralla "l", tämä elliptinen geometria poikkeaa euklidisesta ja hyper­bolisesta geo­metriasta seuraavasti:
Tämä elliptinen yhden­suuntais­ominaisuus johtaa projektiivisen "dualiteetin" periaatteeseen, joka ehkä kaikkien projektiivisten geo­metrioiden tärkein yhteinen piirre.
Dualiteetti.
Vuonna 1825 Joseph Gergonne havaitsi, että projektiivisessa taso­geo­metriassa pätee sille luonteen­omainen duaalisuusperiaate: jokaisesta projek­tiivisen taso­geometrian teoreemasta tai määritelmästä voidaan muokata toinen teoreema tai toisen käsitteen määritelmä vaihtamalla keskenään sanat "suora" ja "taso" sekä niistä johdetut käsitteet.
Täsmällisemmin sanottuna jokaisella projektiivisen tasogeometrian käsitteellä ja teoreemalla on "duaalinen" vastineensa eli toinen käsite tai teoreema siten, että jos jokainen teoreemassa tai määritelmässä esiintyvä tällainen käsite korvataan duaalisella vastineellaan, saadaan toinen teoreema tai toisen käsitteen määritelmä. Toistensa duaalisia vastineita eli lyhemmin "duaaleja" ovat seuraavat perustavat käsitteet:
Myös näiden avulla määritellyillä monimutkaisemmilla käsitteillä on duaaliset vastineensa. Esimerkiksi lauseet "kaksi pistettä määrittää yksi­käsitteisesti suoran" (nimittäin molempien pisteiden kautta kulkean suoran) ja "kaksi suoraa määrittää yksi­käsitteisesti pisteen" (nimittäin suorien leikkaus­pisteen) ovat toistensa duaalisia vastineita. Näistä jälkimmäinen ei tosin euklidisessa geometriassa aina päde, sillä suorat voivat olla myös yhden­suuntaisia, mutta projektiivisessa geometriassa sekin pätee, joskin tämä yhteinen piste voi olla myös äärettömyydessä oleva ideaalipiste.
Vastaavanlainen duaalisuus pätee myös kolmessa ulottuvuudessa, mutta tällöin pisteen duaalinen vastine on taso, relaation "piste sisältyy tasoon" duaalinen vastine on "taso sisältää pisteen". Sen sijaan suora on kolmessa ulottuvuudessa itsensä duaali. Täten esimerkiksi lauseet "kahden pisteen kautta kulkee yksi suora" ja "kahden tason leikkaus on yksi suora" ovat toistensa duaalisia vastineita. Yleisemminkin jokaisessa N-ulotteisessa projektiivisessa avaruudessa pätee duaalisuus ulottuvuuksien R ja N-R-1 välillä, kun R on kokonaisluku välillä 0–N. Tapauksessa N=2 tämä antaa yleisimmin tunnetun duaalisuuden, pisteiden ja suorien välisen. Duaalisuus­periaatteen keksi Gergonnesta riippumatta myös Jean-Victor Poncelet.
Toistensa duaalisesti vastaavien teoreemojen todistuksetkin ovat täysin analogisia ja voidaan muuntaa toisikseen vain korvaamalla niissä esiintyvät käsitteet duaalisilla vastineillaan. Projektiivisen geometrian oppikirjoissa onkin tullut tavaksi jakaa sivut pysty­viivalla kahteen sarakkeeseen, jolloin vierekkäisissä sarakkeissa esitellään toisiaan duaalisesti vastaavat käsitteet tai teoreemat. Tämä tapa on peräisin Poncelet'lta.
Koska euklidinen taso voidaan käsittää projektiivisen tason osajoukoksi, tätä duaalisuusperiaatetta voidaan tietyin edellytyksin soveltaa sellaisiinkin kuvioihin, joihin projektiivisen tason "äärettömän kaukaiset" ideaalipisteet eivät sisälly. Esimerkiksi Brianchonin lause on Pascalin lauseen duaalinen vastine ja keksittiinkin juuri duaalisuusperiaatteen avulla.
Projektiivisen geometrian aksioomat.
Jokainen geometria voidaan johtaa asianmukaisesta joukosta aksioomeja. Projektiivisille geometrioille tyypillinen on "elliptinen paralleeliaksiooma": "mitkä tahansa kaksi tasoa leikkaavat toisensa yhdellä suoralla", tai tasolla: "mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä". Toisin sanoen projektiivisessa geometriassa ei ole yhdensuuntaisia suoria tai yhdensuuntaisia tasoja. Projektiiviselle geometrialle on esitetty monia vaihtoehtoisia aksioomajärjestelmiä.
Whiteheadin aksioomat.
Nämä aksioomat muotoili Alfred North Whitehead teoksessaan "The Axioms of Projective Geometry". Oletetaan että on kahdenlaisia olioita, pisteitä ja suoria, ja niiden välillä yksi "insidenssirelaatio": piste on suoralla. Kolme aksioomaa ovat:
Ehto, että jokaisella suoralla on vähintään kolme pistettä, asetetaan joidenkin surkastuneiden tapausten poissulkemiseksi. Jokainen avaruuden, joka toteuttaa nämä kolme aksioomaa, joko sisältää vain yhden suoran tai on projektiivinen avaruus jossakin ulottuvuudessa jonkin jakorenkaan suhteen tai on ei-desarguesilainen taso.
Näihin voidaan lisätä muita aksioomia, jotka rajoittavat koordinaattirenkaan ulottuvuutta. Esimerkiksi Coxeterin teoksessa "Projektiivinen geometria" viitataan Veblenin teokseen, jossa esiintyvät nämä kolme aksioomaa, mutta niihin lisätään vielä viisi aksioomaa, jotka kiinnittävät avaruuden kolmiulotteiseksi ja määrittävät koordinaatti­renkaan kommutatiiviseksi kunnaksi, joka karakteristika ei ole 2.
Kolmipaikkaiseen relaatioon perustuvat aksioomat.
Projektiivinen geometria voidaan aksiomatisoida myös lähtemällä kolmipaikkaisesta relaatiosta [ABC], joka tarkoittaa, että pisteet A, B ja C (eivät välttämättä erillisiä) ovat samalla suoralla. Tämän relaation oletetaan toteuttavan seuraavat aksioomat:
Kun on annettu kaksi eri pistettä, A ja B, suora AB määritellään niiden pisteiden C uraksi, joille [ABC]. Aksioomista C0 ja C1 seuraa myös edellä mainittu Whiteheadin aksiooma G2, samoin C2:sta G1 ja C3:sta G3. 
Suoran käsite yleistyy tasoiksi ja useampiulotteisiksi aliavaruuksiksi. Aliavaruus, AB…XY, voidaan tässä määritellä rekursiivisesti aliavaruuden AB…X avulla, joka sisältää kaikkien suorien YZ pisteet, kun Z on välillä AB…X. Samalla suoralla oleminen yleistyy täten "riippumattomuuden" käsitteeksi. Pistejoukko {A, B, …, Z}, [AB…Z] on riippumaton, jos {A, B, …, Z} on pienin osajoukko, joka virittää aliavaruuden AB…Z. Kolme pistettä ovat riippumattomia, jos ne eivät ole samalla suoralla. Samaan tapaan voidaan määritellä, että neljä pistettä ovat samalla tasolla, jos ne eivät ole riippumattomia.
Projektiivisiin aksioomeihin voidaan liittää uusia aksioomeja, jotka rajoittavat avaruuden ominaisuuksia. Tietyillä lisäehdoilla voidaan määrittää, mikä vähintään on avaruuden ulottuvuus. Avaruus on:
ainakin kaksi suoraa tai suora ja piste, joka ei ole kyseisellä suoralla)
Samaan tapaan voidaan ulottuvuuksien suurin määrä päätellä siitä, mitä lisäehtoja se toteuttaa. Niinpä projektiivinen avaruus on
ja niin edelleen. Aksioomasta C3 seuraa yleinen teoreema, jonka mukaan kaikki samassa tasossa olevat suorat leikkaavat, mikä idea onkin ollut koko projek­tiivisen geometrian perus­lähtö­kohta. Niinpä edellä oleva ehto M3 voidaan esittää myös muodossa, että projektiivinen avaruus on enintään 2-ulotteinen, jos siinä kaikki suorat leikkaavat toisensa.
Yleensä oletetaan, että projektiiviset avaruudet ovat vähintään kaksiulotteisia. Toisinaan kun tarkastellaan nimenomaan projektiivisia tasoja, lisäaksioomaksi otetaan jokin ehdon (M3) muotoilu. Esimerkiksi Eves valitsi aksioomiksi edellä esitetyt C1, C2, L3 ja M3. Aksiooma C3 seuraa tällöin suoraan ehdosta M3 eikä sitä tarvitse erikseen olettaa.
Projektiivisen tason aksioomat.
Insidenssigeometriaa käsitellään useimmiten
 siten, että Fanon taso (PG(2, 2) on pienin äärellinen projektiivinen taso. Projektiivisen tason aksioomat, joista tämä voidaan johtaa, ovat tällöin seuraavat:
Coxterin teoksessa "Introduction to Geometry" käytetään Bachmannin kehittämää rajoittavampaa projektiivisen tason määritelmää käyttämällä viittä aksioomaa, joihin kuuluu myös Pappoksen kuusi­kulmio­lause. Täten tulevat suljetuiksi pois ei-Desarguesilaiset tasot samoin kuin projektiiviset tasot, joiden karakteristika on 2 eli ne, jotka eivät toteuta Fanon aksioomaa. Tämän suppeamman joukon tasot muistuttavat enemmän reaalista projektiivista tasoa.