Propositiologiikka

Propositiologiikka eli lauselogiikka on symbolisen logiikan alue, jossa tutkitaan propositiosymboleja ja loogisia konnektiiveja sisältävien formaalikielen lauseiden ominaisuuksia. Näistä ominaisuuksista keskeisimpiä ovat totuus ja lauseiden väliset päättelysuhteet. 
Propositiosymboleina käytetään formaalikielessä yleensä merkkejä formula_1, formula_2, formula_3 jne. Eri propositiosymbolien voidaan tulkita edustavan toisistaan riippumattomia asiantiloja. Loogisille konnektiiveille käytetään usein merkkejä kuten formula_4. Nämä vastaavat karkeasti ottaen luonnollisen kielen lausekonnektiiveja, esimerkiksi "ei", "ja" ja "tai".
Propositiologiikkaa kehittivät ensimmäisenä stoalaiset.
Propositiologiikan syntaksi.
Propositiologiikassa atomilauseita merkitään propositiosymboleilla formula_5. Lausemuuttujina käytetään suuria kirjaimia formula_6. Lausemuuttujat kuvaavat mielivaltaisia tai toistaiseksi määrittelemättömiä lauseita.
Propositiosymboleja voidaan määritellä seuraavaan tapaan:
Propositiosymboleista voidaan rakentaa monimutkaisempia ilmaisuja loogisten operaattoreiden eli "konnektiivien" avulla. Joskus osa konnektiiveista voidaan korvata määrittelemällä ne muutaman valitun konnektiivin avulla. Yleensä konnektiiveja esitellään seuraavat viisi, mutta on olemassa myös pari muuta konnektiivia: Shefferin viiva ja Peircen nuoli.
Seuraavassa rekursiivisessa määritelmässä määritellään kaikki propositiolauseet.
Määritelmä 1 Propositiolause
Esimerkki 2 Propositiolauseita
Määritelmän 1 perusteella propositiolauseet voidaan purkaa osatekijöikseen yksiselitteisellä tavalla (katso propositiologiikan rakennepuu). Tällöin edetään vastakkaiseen suuntaan. Jos
formula_11 on propositiolause, niin se on välttämättä muotoa
formula_29,
formula_30,
formula_31,
formula_32,
formula_33 tai
formula_34.
Muussa tapauksessa sitä ei ole muodostettu määritelmän mukaisesti. Tämä mahdollistaa matemaattisen induktion soveltamisen logiikkaa koskevissa todistuksissa.
Päättely propositiologiikassa.
Propositiologiikassa (kuten formaalissa logiikassa muutenkin) voidaan erottaa kaksi päätapaa tutkia päättelyä: "Päättelysäännöt" (syntaktinen näkökulma) ja "totuusarvon laskeminen" (semanttinen näkökulma). Päättelysäännöt sinänsä eivät takaa sitä, että päättely säilyttää totuuden. Tämän takaa vasta sellaisten päättelysääntöjen käyttäminen, joiden eheys (katso eheyslause alempana) on todistettu. Päättelysääntöjen sinänsä soveltaminen on ainoastaan uusien lauseiden johtamista jo oletetuista. Sen sijaan, jos tiettyjen päättelysääntöjen eheys on todistettu, voidaan päättelyn pätevyys todistaa jo pelkästään näihin päättelysääntöihin nojautuen. Eheydestä käytetään usein myös nimityksiä "validius" ja "korrektisuus".
Aksioomat ...
Päättelysäännöt ...
Pari esimerkkiä ...
Totuusjakauma ja propositiolauseen totuusarvo.
Määritelmä 3
Totuusjakauma formula_35 on kuvaus
formula_36, jossa
formula_37"tosi" ja
formula_38"epätosi".
Määritelmä 4 Propositiosymbolien totuusarvo
formula_39.
Symboli formula_35 esiintyy määritelmässä 4 kahdessa merkityksessä: totuusjakauman symbolina yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella ja propositiolauseen totuusarvon määrittäjänä oikealla puolella.
Nyt formula_41
Propositiologiikan konnektiivit ovat "totuusfunktionaalisia". Kutakin funktion määrittelyjoukon totuusarvoa, kaksipaikkaisten konnektiivien tapauksessa totuusarvoparia, vastaa arvojoukossa täsmälleen yksi totuusarvo. Selkeä tapa määritellä täsmällisesti konnektiivien merkitykset on "totuusarvotaulukko".
Määritelmä 6 Konnektiivien totuusarvotaulukot
Negaatio vastaa luonnollisen kielen sanaa "ei". Se määrittää lauseen vastakohdan. Lauseen A negaatio "ei A" on tosi jos (jos ja vain jos) lause A on epätosi.
Konjunktio vastaa luonnollisen kielen sanaa "ja". Lauseiden A ja B konjunktio "A ja B" on tosi vain, jos molemmat sen yhdistämät ilmaisut eli lauseet A ja B ovat tosia.
Luonnollisen kielen 'tai'-sana on kaksiselitteinen. Joskus sitä käytetään "inklusiivisesti", toisinaan taas "eksklusiivisesti". Inklusiivisen 'tai'-sanan sisältävä ilmaisu on tosi, jos toinen tai molemmat vaihtoehdoista ovat tosia. Nykykielessä tällöin käytetään joskus sanontaa ”ja/tai”. Eksklusiivinen 'tai'-ilmaisu on tosi, jos vain toinen ilmaisuista on tosi mutta eivät molemmat. Logiikassa tällaista tulkinnanvaraisuutta ei ole, koska konnektiivien merkitykset määritellään täsmällisesti. Yleisempää on käyttää inklusiivista disjunktiota. Eksklusiivinen disjunktio voidaan kuitenkin määritellä seuraavasti:
'formula_42'.
Implikaatiolla ilmaistaan totuuden "riittävää" tai "välttämätöntä" edellytystä. Lauseen
'formula_43' (luetaan: "jos A niin B") mukaan formula_11 on formula_14:n riittävä edellytys ja formula_14 formula_11:n välttämätön edellytys.
Ekvivalenssi on tosi jos sen yhdistämien ilmaisujen totuusarvot ovat samat.
Määritelmien 4 ja 6 perusteella voidaan laskea minkä tahansa propositiolauseen totuusarvo millä tahansa totuusjakaumalla.
Esimerkki 7
Lasketaan propositiolauseen formula_27 totuusarvo. Olkoon totuusjakauma formula_35 kuten esimerkissä 5.
Määritelmän 4 nojalla formula_50 ja formula_51. Määritelmän 6 toisen rivin ja kuudennen sarakkeen mukaan formula_52. Kolmannen rivin ja kuudennen sarakkeen mukaan
formula_53. Kolmannen rivin ja seitsemännen sarakkeen mukaan siis formula_54. Edelleen kolmannen sarakkeen mukaan formula_55.
Totuustaulua voidaan käyttää myös apuvälineenä propositiolauseen totuusarvon laskemiseksi. Seuraavassa esimerkissä Arvo-riville on merkitty kunkin elementin totuusarvo ja Laskujärjestys-riville järjestys, jossa ne on merkitty.
Esimerkki 8 Propositiolauseen totuusarvo totuustaululla
Propositiolauseen totuus riippuu (tietenkin sen rakenteen ohella) ainoastaan propositiosymbolien totuusarvoista. Koska jokaisella oikein muodostetulla propositiolauseella on yksiselitteinen rakennepuu, voidaan propositiolauseen totuusarvo yksiselitteisesti laskea sen sisältämien propositiosymbolien totuusarvojen perusteella, kuten esimerkeistä 7 ja 8 nähdään. Jos propositiosymbolin totuusarvo tiedetään, niin se voidaan korvata esityksessä totuusarvollaan. Myös propositiosymbolia kompleksisempi propositiolauseen osa voidaan korvata totuusarvollaan.
Tautologia ja looginen seuraus.
"Klassisessa" "propositiologiikassa" pätevät seuraavat lait:
Propositiologiikan täydellisyys- ja eheyslause.
Propositiologiikan täydellisyyslauseen mukaan jos lause formula_56 on tautologia, niin lauseella formula_56 on luonnollinen päättely.
Propositiologiikan eheyslauseen mukaan jos lauseella formula_56 on luonnollinen päättely oletuksista formula_59; niin jos totuusjakaumalla formula_60 pätee formula_61, niin formula_62.
Kun täydellisyyslause ja eheyslause yhdistettään, niin saadaan tuloksena seuraava lause: propositiolause formula_56 on tautologia jos ja vain jos propositiolauseella formula_56 on luonnollinen päättely. 
Eheyslauseesta siis seuraa, että jos formula_56:lla on luonnollinen päättely, niin lause formula_56 on tautologia. Todistetaan tämä eheyslauseen avulla. 
Todistus.
Väite: Jos lauseella formula_56 on luonnollinen päättely, niin lause formula_56 on tautologia. 
Tehdään vastaoletus: lauseella formula_56 on luonnollinen päättely mutta lause formula_56 ei ole tautologia. Tällöin on olemassa totuusjakauma formula_60 siten, että formula_72, joten formula_73. Koska 
formula_74
Edellä sovellettiin luonnolisen päättelyn tunnettuja sääntöjä konjunktion tuonti, negaation tuonti ja negaation eliminointi. 
Toisaalta eheyslauseen nojalla koska formula_75 ja formula_73, niin formula_62. Ollaan päädytty ristiriitaan, joten alkuperäinen väite pätee. 
Täten lause formula_56 on tautologia. formula_79
Konnektiivit ja loogiset portit.
Elektroniikassa tärkeimpiä loogisia konnektiiveja vastaavat tietyt loogiset portit seuraavasti: