Todennäköisyydet generoiva funktio

Todennäköisyydet generoiva funktio (lyhennetään joskus "tgf") on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta määritelty funktio, jonka avulla voidaan laskea jakauman todennäköisyyksiä ja tekijämomentteja.
Todennäköisyydet generoiva funktio voidaan määritellä sekä diskreeteille- että jatkuville satunnaismuuttujille. Se on kuitenkin käytännöllisempi diskreeteille satunnaismuuttujille, jonka tuloksia esitellään tässä.
Määritelmä.
Todennäköisyydet generoiva funktio on odotusarvo 
formula_1 
Diskreetti satunnaismuuttuja.
Diskreetille satunnaismuuttujalle generoiva funktio on potenssisarja
formula_2
jonka eri asteisten potenssien kertoimet ovat pistetodennäköisyysfunktion arvoja eri satunnaismuuttujan formula_3 arvoille formula_4. Muuttuja formula_5 on usein reaaliluku, mutta se voi olla myös kompleksiluku, sillä kaikki tarvittavat matemaattiset ominaisuudet periytyvät myös sille. Laittamalla muuttujan formula_5 arvoksi nolla, voidaan funktion derivaatoista poimia esille todennäköisyydet ja arvolla yksi, laskea niistä erilaisia summia.
Potenssisarja suppenee yleisesti reaaliluvuilla vain, jos formula_7. Siten arvo formula_8 on sallittu arvo. Sen sijaan arvo formula_9 ei välttämättä käy, sillä sarja ei silloin suppene yleisessä tapauksessa. Potenssisarjalla saattaa kuitenkin olla olemassa sarjan raja-arvo, kun ykköstä lähestytään vasemmalta päin. Jos näin on, niin raja-arvoa voidaan ilmaista miinus-merkillä
formula_10
Todennäköisyyslaskennassa alueen voi laajentaa formula_11, sillä summassa olevien todennäköisyyksien summa on aina yksi. Monissa teksteissä formula_12 merkitään siksi formula_13. Merkintää sovelletaan tässä myös derivaatoille.
Jatkuva satunnaismuuttuja.
Jatkuvalle satunnaismuuttujalle generoiva funktio määritetään
formula_14 
Ominaisuuksia.
Funktion arvo: G(0).
Yleisessä tapauksessa, missä formula_15, saadaan
formula_16 
Erityistapauksessa, jossa formula_17 ja niiden todennäköisyydet vastaavasti formula_18, tulee generoivasta funktiosta
formula_19 
josta saadaan
formula_20 
kunhan formula_21 
Funktion arvo: G(1-).
Yleisessä tapauksessa, missä formula_15, saadaan
formula_23
sillä satunnaismuuttujan kaikkien arvojen todennäköisyyksien summa on aina yksi.
Riippumattomat satunnaismuuttujat.
Jos muodostetaan uusi satunnaismuuttuja formula_24 kahdesta riippumattomasta satunnaismuuttujasta formula_25 ja formula_26 merkitsemällä formula_27, voidaan uusi generoiva funktio muodostaa vanhojen avulla
formula_28 
Momentit generoiva funktio.
Satunnaismuuttujan momentit generoiva funktio on odotusarvo
formula_29 
Momenttifunktio voidaan kirjoittaa todennäköisyydet generoivan funktion avulla
formula_30 
Tekijämomentit.
Sarjan derivointi suoritetaan jokaiselle sarjan termille yksittäin seuraavasti: 
formula_31
formula_32
formula_33
Ensimmäisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa
formula_34
ja sen arvo ykkösessä antaa
formula_35 
eli tuloksena on satunnaismuuttujan odotusarvo. Toisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa
formula_36
ja sen arvo ykkösessä on
formula_37
formula_38
eli satunnaismuuttujan toinen tekijämomentti. Odotusarvo voidaan tulkita siten ensimmäiseksi tekijämomentiksi.
Yleisesti, kun on otettu r:s derivaatta, saadaan 
formula_39 
eli r:s tekijämomentti.
Todennäköisyysarvot.
Erityistapauksessa, jossa formula_40 ja niiden todennäköisyydet vastaavasti formula_41, saadaan derivaatoista määritetty pistetodennäköisyydet formula_42. Generoiva funktio on nyt
formula_43 
ja sen ensimmäinen derivaatta on
formula_44
Sijoittamalla siihen formula_8 saadaan
formula_46
kun tilanteessa "formula_47" huomataan formula_48 Toinen derivaatta antaa
formula_49
ja sijoittamalla taas formula_8 saadaan
formula_51
Pienellä päättelyllä saadaan todennäköisyydet laskettua
formula_52 
Tästä lausekkeesta voidaan ymmärtää funktion nimi: "todennäköisyydet generoiva funktio".
Esimerkki: noppa.
Noppapeleissä käytetään arpakuutiota, jolla arvotaan kuusi lukua 1−6 ja jonka eri lukujen todennäköisyydet ovat yhtä todennäköisiä (eli noppa antaa luvun formula_53 todennäköisyydellä formula_54. Muodostetaan todennäköisyydet generoiva funktio
formula_55
jolla on ominaisuus
formula_56
eli todennäköisyyksien summa on yksi.
Koska todennäköisyydet ovat samat ja muualla nolla, on sarja itse asiassa summa:
formula_57
formula_58
Tekijämomentit ja varianssi.
Derivaatta kohdassa yksi on
formula_59 
ja
formula_60
formula_61 (odotusarvo)
Toinen derivaatta kohdassa yksi on
formula_62 
ja
formula_63 (ensimmäinen tekijämomentti)
Huomaa, miten saadaan varianssi näistä kahdesta tuloksesta
formula_64