Pythagoraan lause

Pythagoraan lause on matemaattinen teoreema, yksi kaikkein tunnetuimmista. Lause kuuluu: "Suorakulmaisen kolmion kateetit sivuina piirrettyjen neliöiden alojen summa on yhtä suuri kuin hypotenuusa sivuna piirretyn neliön ala". 
Lauseen avulla voidaan siis laskea suorakulmaisen kolmion tuntemattoman sivun pituus, jos muiden sivujen pituudet tunnetaan. Se on käytännön sovellusten kannalta tärkeimpiä matematiikan yksittäisiä tuloksia, mm. siksi, että se mahdollistaa suorakulmaisen koordinaatiston pisteiden etäisyyden määrittämisen pisteiden koordinaattien avulla. Lause on nimetty kreikkalaisen matemaatikon Pythagoraan mukaan. Lauseen sisältö on kuitenkin tunnettu jo mesopotamialaisessa laskennossa noin 2000 eaa., ja vuoteen 1650 eaa. ajoitetun Rhindin papyruksen perusteella voidaan päätellä sen olleen tunnettu myös Egyptissä. 
Pythagoraan lauseen sisältö voidaan ilmaista yhtälönä formula_1, jossa formula_2 ja formula_3 ovat suoran kulman muodostavien sivujen eli kateettien pituudet ja formula_4 pisimmän sivun eli hypotenuusan pituus.
Yhtälöstä voidaan ratkaista
formula_5,     formula_6   ja  formula_7.
Pythagoraan lause on erikoistapaus kosinilauseesta. Kosinilausetta kutsutaan usein myös laajennetuksi Pythagoraan lauseeksi.
Lauseen todistaminen.
Pythagoraan lauseelle on olemassa satoja todistuksia. On myös perustettu järjestö, joka kerää todistuksia kyseiselle lauseelle. Seuraavassa eräs tapa todistaa lause paikkansapitäväksi:
Todistus: Olkoon suorakulmaisen kolmion hypotenuusa formula_4 ja kateetit formula_2 sekä formula_3. Osoitetaan, että hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin kateettien neliöiden summa.
Piirretään neliö formula_11, jonka yhden sivun pituus on suorakulmaisen kateettien summa eli formula_12. Valitaan neliön sivuilta pisteet formula_13, formula_14, formula_15 ja formula_16 niin, että formula_17. Silloin formula_18, ja suorakulmaiset kolmiot formula_19, formula_20, formula_21 ja formula_22 ovat yhteneviä. Siis formula_23. Edelleen formula_24 ja formula_25. Koska kolmio formula_19 on suorakulmainen, formula_27. Siis formula_28. Samalla tavalla nähdään, että nelikulmion formula_29 muutkin kolme kulmaa ovat suoria kulmia. Nelikulmio formula_29 on siis neliö, ja sen ala on formula_31. 
Jokaisen neljän yhtenevän suorakulmaisen kolmion ala on formula_32. Neliön formula_11 ala on 
formula_34. Toisaalta neliön formula_11 ala on formula_36. Siis formula_37.
Yksinkertaisin todistus. Luultavasti yksinkertaisin Pythagoraan lauseen todistus nojautuu tietoon, jonka mukaan yhdenmuotoisten monikulmioiden alojen suhde on sama kuin niiden minkä tahansa vastinsivujen neliöiden suhde. Jos suorakulmaiseen kolmioon formula_38, missä formula_39, piirretään korkeusjana formula_40, niin kolmiot formula_38, formula_42 ja formula_43 ovat yhdenmuotoisia suorakulmaisia kolmioita. Niissä formula_44, formula_45 ja formula_46 ovat vastinsivuja. Kolmioiden alat ovat formula_47, formula_48 ja formula_49, missä formula_50 on jokin verrannollisuuskerroin. Koska kolmioista ensimmäisen ala on sama kuin kahden jälkimmäisen alojen summa, on 
formula_51.
Kun formula_50 supistetaan pois, saadaan Pythagoraan lause.
Vielä eräs tapa Pythagoraan lauseen todistamiseksi on esitetty ohessa animaationa.
Pythagoraan lauseen käänteislause.
Pythagoraan lauseelle käänteinen väittämä on myös voimassa: jos kolmion kahden lyhemmän sivun neliöiden summa on yhtä kuin pisimmän sivun neliö, on kolmio suorakulmainen. Esimerkiksi formula_53, joten on olemassa suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5 yksikköä pitkät. Tätä tietoa on arveltu egyptiläisten pyramidien rakentajien käyttäneen suoran kulman määrittämiseen: lenkiksi liitetty pitkä solmunaru, jossa oli yhteensä 12 solmua tasavälein, vedettiin kolmioksi, jossa oli kolmen, neljän ja viiden solmuvälin sivut, ja näin saatiin aikaan suora kulma.
Pythagoraan lauseen käänteislause on helppo todistaa epäsuorasti Pythagoraan lauseeseen nojautumalla.