Hiukkanen laatikossa

Hiukkanen laatikossa eli "hiukkanen äärettömän syvässä potentiaali­kuopassa" on kvantti­mekaniikassa käytetty malli hiukkaselle, joka voi vapaasti liikkua tietyllä alueella, jota rajoittavat läpi­pääsemättömät esteet. Tätä hypoteettista mallia käytetään varsinkin havainnollistamaan klassisen ja kvantti­fysiikan välislä eroja. Klassisen fysiikan mukaan esimerkiksi laatikkoon pudotettu pallo voi liikkua laatikon sisällä millä nopeudella tahansa, eikä laatikon sisällä ole sellaisia kohtia, joihin se päätyisi toden­näköisemmin kuin joihinkin toisiin. Jos kuitenkin laatikko on hyvin kapea, vain muutaman nanometrin levyinen, kvantti-ilmiöt tulevat merkitseviksi. Hiukkanen voi tällöin olla vain tietyillä positiivisilla energiatasoilla. Sen liike-energia ei voi myöskään olla nolla, joten se ei voi olla laatikon sisällä levossa. Energia­tasostaan riippuen se on myös tietyissä kohdissa suuremmalla toden­näköisyydellä kuin toisissa, ja on tiettyjä kohtia, "solmukohtia", joissa se ei voi olla.
Hiukkanen laatikossa on yksi niistä varsin harvoista kvanttimekaanisista probleemoista, joiden Schrödingerin yhtälö voidaan ratkaista analyyttisesti ilman approksimaatioita. Tämä merkitsee, että kappaleen havaittavat ominaisuudet kuten energia ja sijainti voidaan määrittää matemaattisesti sen massan ja laatikon leveyden perusteella. Yksin­­kertaisuutensa vuoksi tämän mallin avulla voidaan havainnollistaa kvantti-ilmiöitä ilman erityisen moni­­mutkaista matematiikkaa. Se onkin fysiikan oppi­kirjoissa yksi ensimmäisinä käsitellyistä kvantti­mekanisista probleemoista, ja sitä voidaan käyttää approksimaationa myös moni­mutkaisempiin kvantti­mekaanisiin systeemeihin.
Yksiulotteinen tapaus.
Yksinkertaisimmassa tapauksessa hiukkasen oletetaan olevan yksi­ulotteisessa laatikossa. Tällöin se voi liikkua vain eteen- tai taakse­päin suoraa viivaa pitkin kahden läpi­pääsemättömän esteen välisellä alueella. Nämä seinät voidaan käsittää alueiksi, joissa hiukkasen potentiaali on äärettömän suuri. Sen sijaan laatikon sisällä potentiaali on äärellinen vakio, joka tavallisimmin oletetaan nollaksi. Tämä merkitsee, että laatikon sisällä hiukkaseen ei vaikuta mikään voima ja se voi liikkua laatikon sisällä vapaasti. Sen sijaan hiukkasen törmätessä seiniin siihen kohdistuu äärettömän suuri voima, joka estää sitä poistumasta laatikosta. Tämän mallin mukaan hiukkasen potentiaali on 
formula_1
missä formula_2 on laatikon leveys ja formula_3 hiukkasen sijainti laatikon sisällä.
Aaltofunktiot.
Kvanttimekaniikassa hiukkasen käyttäytymistä kuvataan aaltofunktiolla, josta voidaan johtaa myös kaikki sen havaittavat ominaisuudet kuten sijainti, liikemäärä ja energia. Aaltofunktio formula_4 saadaan ratkaisemalla systeemin Schrödingerin yhtälö:
formula_5
missä formula_6 on redusoitu Planckin vakio, formula_7 hiukkasen massa, formula_8 imaginaariyksikkö ja formula_9 aika.
Laatikon sisällä hiukkaseen ei vaikuta mikään voima, minkä vuoksi tällä alueella hiukkasen aalto­funktio on muodoltaan saman­kaltainen kuin vapaalla hiukkasella:
formula_10
missä formula_11 ja formula_12 ovat mieli­valtaisia kompleksilukuja. Ajallisten ja paikallisten värähtelyjen taajuutta kuvaavat aaltoluku formula_13 ja kulmataajuus formula_14. Nämä molemmat liittyvät hiukkasen kokonaisenergiaan yhtälön 
formula_15­
mukaisesti, jota kutsutaan vapaan hiukkasen dispersiorelaatioksi.
Hiukkasen aaltofunktion amplitudin neliö kussakin pisteessä osoittaa todennäköisyyden olla kyseisessä kohdassa:
formula_16. 
Tämän aaltofunktion on siis oltava nolla laatikon ulkopuolella. Aaltofunktion on myös oltava jatkuva. Ainoat aalto­funktiot, jotka toteuttavat nämä ehdot, ovat muotoa
formula_17
missä formula_18 on positiivinen kokonaisluku. Aaltoluku voi saada vain tiettyjä arvoja, jotka saadaan yhtälöistä 
formula_19
missä formula_2 on laatikon leveys. Yksinkertaisimmat tapaukset, joissa formula_21 tai formula_22, jolloin aaltofunktion arvo on nolla kaikkialla, voidaan kuitenkin jättää huomiotta, sillä ne merkitsisivät, ettei hiukkasta ole missään. Samoin voidaan jättää huomiotta tapaukset, joissa formula_18 on negatiivinen, sillä tällöin saadut aaltofunktiot ovat muutoin samoja kuin positiivisillakin formula_18:n arvoilla, paitsi että aalto­funktion etumerkki on päin­vastainen, millä ei kuitenkaan ole fysikaalista merkitystä.
Vakio formula_11 voidaan määrittää normittamalla aalto­funktio siten, että toden­näköisyys sille, että hiukkanen on yli­päänsä jossakin, on 1. Tällöin saadaan:
formula_26
"A" voi siis olla mikä tahansa kompleksiluku, jonka itseisarvo on √(2/L). Kaikki tällaiset "A":n arvot kuvaavat kuitenkin samaa fysikaalista tilaa, joten yksinkertaisuuden vuoksi voidaan valita "A" = √(2/L).
Energiatasot.
Kutakin mahdollista aaltolukua vastaavat energiat ovat
formula_27.
Energia on verrannollinen kvanttiluvun formula_18 neliöön, minkä vuoksi korkeammat energiatasot ovat kauempana toisistaan kuin matalammat. Hiukkasen pienin mahdollinen eli nollapiste-energia on tasolla formula_29, jolloin se on 
formula_30
Hiukkasella on siis aina positiivinen energia. Tämä tulos eroaa selvästi klassisesta mekaniikasta, jonka mukaan hiukkasen liike-energia voi olla myös nolla, missä tapauksessa se on levossa laatikon pohjalla. Sama tulos seuraa myös Heisenbergin epä­tarkkuus­peri­aatteesta, jonka mukaan hiukkasen paikan ja liikemäärän epä­tarkkuuksien tulo on vähintään
formula_31
Voidaan osoittaa, että hiukkasen paikan epä­tarkkuus on verrannollinen laatikon leveyteen. Tämän vuoksi sen liikemäärän epä­tarkkuus on kääntäen verrannollinen laatikon leveyteen. Hiukkasen liike-energia on formula_32, ja niinpä sen pienin mahdollinen liike-energia laatikossa on kääntäen verrannollinen sen massaan ja laatikon leveyteen.
Hiukkasen paikka.
Klassisen fysiikan mukaan hiukkanen voi yhtä suurella todennäköisyydellä olla missä tahansa laatikon sisällä. Sen sijaan kvanttimekaniikan mukaan sen todennäköisyys olla tietyssä kohdassa saadaan sen aaltofunktiosta seuraavasti:
formula_33 
Tämä todennäköisyys riippuu hiukkasen energiatasosta ja voidaan ilmaista yhtälöllä
formula_34
Jos "n" on suurempi kuin yksi, laatikon sisällä on kohtia, joissa tämä toden­näköisyys on formula_35. Näitä sanotaan aalto­funktion solmu­kohdiksi, ja niistä hiukkasta ei voi löytää.
Kvanttimekaniikan mukaan hiukkasen keskimääräinen sijainti eli sijainnin odotusarvo on 
formula_36
Voidaan osoittaa, että tämä keskiarvo on hiukkasen energia­tilasta riippumatta aina formula_37, eli sitä vastaava kohta on laatikon keski­pisteessä.
Useampiulotteiset laatikot.
Jos hiukkanen on suljettu kaksi­ulotteiseen laatikkoon, se voi liikkua vapaasti alueella, jonka leveys formula_3-akselin suunnassa on formula_39 ja formula_40-akselin suunnassa formula_41. Samaan tapaan kuin yksi­ulotteisen­kin laatikon tapauksessa voidaan osoittaa, että hiukkasen aalto­funktiot ja mahdolliset energiat ovat
formula_42,
formula_43,
missä kaksiulotteinen aaltovektori on 
formula_44.
Kolmiulotteisessa laatikossa ratkaisut ovat 
formula_45,
formula_46,
missä kolmiulotteinen aaltovektori on 
formula_47.
Jos laatikon leveys kahteen tai useampaan suuntaan on sama (siis jos esimerkiksi formula_48), on olemassa useampia aalto­funktioita, joita vastaa yhtä suuri kokonais­energia. Esimerkiksi aaltofunktiota, jossa formula_49 ja formula_50, vastaa yhtä suuri energia kuin aaltofunktiota, jossa formula_51 ja formula_52. Tällaisia energiatasoja sanotaan "degeneroituneiksi", ja tapausta, jossa yhtä suurta energiaa vastaavia aaltofunktioita on kaksi, kahdesti degeneroituneeksi. Degeneraatio aiheutuu systeemin symmetriasta. Kun laatikon leveys kahdessa kohtisuorassa suunnassa on sama, systeemi on symmetrinen 90 asteen rotaation suhteen.
Sovelluksia.
Matemaattisen yksinkertaisuutensa vuoksi hiukkasta laatikossa voidaan käyttää likiarvona monimutkaisemmillekin systeemeille, esimerkiksi sellaisille, joissa elektroni tai muu varauksellinen hiukkanen on alueella, jossa sen sähköinen potentiaali on paljon alempi kuin tämän alueen ulkopuolella. Tällaiset systeemit ovat erityisen tärkeitä optoelektroniikassa, ja niitä käytetään muun muassa eräissä lasereissa ja infrapunasäteilyn mittaus­laitteissa.