Reunajakauma

Reunajakauma on todennäköisyyslaskennassa usean satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta muodostettu rajoitettu jakauma, jossa varioi vain yksi satunnaismuuttuja, tai osa satunnaismuuttujista, ja samalla huomioidaan muiden satunnaismuuttujien yhteisvaikutus todennäköisyyteen. Reunajakaumat ovat erityisen hyödyllisiä kaksiulotteisissa yhteisjakaumissa, jossa reunajakaumiin jää jäljelle vain toinen satunnaismuuttuja. Niillä yritetään pääasiassa helpottaa yhteisjakauman toiminnan ymmärtämistä, mikä toimii hyvin riippumattomien satunnaismuuttujien tapauksessa.
Kaksiulotteisen yhteisjakauman reunajakaumat.
Todennäköisyysfunktioilla.
Kaksiulotteinen yhteisjakauma muodostuu kahdesta satunnaismuuttujasta formula_1 ja formula_2, jotka muodostavat järjestetyn parin formula_3 Diskreetin yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion arvo annetuilla arvoilla formula_4 merkitään 
formula_5 
ja jatkuvalla yhteisjakauman tiheysfunktiolla
formula_6
olevalla reaaliarvoisella lausekkeella.
Reunajakaumia on kaksi, koska yksi satunnaismuuttuja voidaan "jättää pois" kahdella eri tavalla. Diskreetillä satunnaismuuttujaparilla reunajakaumat muodostetaan ensimmäisen satunnaismuuttujan formula_1 suhteen
formula_8 
tai toisen satunnaismuuttujan formula_2 suhteen
formula_10 
Jatkuvilla satunnaismuuttujaparilla muodostetaan vastaavasti
formula_11 
tai
formula_12 
Kertymäfunktioilla.
Kaksiulotteinen yhteisjakauman formula_13 kertymäfunktiot muodostetaan todennäköisyysfunktioista summan tai määrätyn integraalin avulla. Tässä esitetään ylhäältä rajoitettujen kertymäfunktioiden muodostustavat. Diskreetin satunnaismuuttujaparin yhteisjakauman kertymäfunktio arvojen formula_4 alla merkitään ja lasketaan
formula_15 
ja vastaavasti jatkuvan satunnaismuuttujaparin yhteisjakauman kertymäfunktio merkitään ja lasketaan
formula_16 
Näistä muodostetut reunajakaumien kertymäfunktiot ovat diskreettisillä satunnaismuuttujilla vastaavasti
formula_17 
sekä
formula_18 
ja jatkuvilla satunnaismuuttujilla
formula_19 
sekä
formula_20 
Esimerkki kahdella satunnaismuuttujalla.
Kaksi diskreettiä satunnaismuuttujaa muodostavat yhteisjakauman formula_6. Satunnaismuuttujalla formula_1 on vain neljä arvoa formula_23 joita ei mainita tässä. Vastaavasti satunnaismuuttujalla formula_2 on myös neljä arvoa formula_25 Jokaista arvoparia formula_26 vastaa pistetodennäköisyys formula_27 jollainen on esimerkiksi formula_28 Kaikki todennäköisyydet on esitetty oheisessa taulukossa.
Yhteisjakaumalla formula_6 on kaksi reunajakaumaa formula_30 ja formula_31. Reunajakaumat muodostetaan laskemalla kullekin satunnaismuuttujan arvoille yhteistodennäköisyydet. Esimerkiksi formula_32 lasketaan
formula_33
ja se on sijoitettu taulukkoon satunnaismuuttujan formula_1 reunajakauman omalle riville alareunaan. Oikeassa pystysarakkeessa sijaitsevat satunnaismuuttujan formula_2 reunajakauman todennäköisyydet.
Moniulotteiset reunajakaumat.
Kolmiulotteiset yhteisjakaumien todennäköisyysfunktiot satunnaismuuttujille formula_1, formula_2 ja formula_38 ovat muotoa formula_39 ja kertymäfunktioille formula_40 Näiden reunajakaumia voidaan muodostaa "jättämällä pois" kaksi satunnaismuuttujaa laskemalla niiden vaikutukset todennäköisyyksiin mukaan jäljelle jäävän satunnaismuuttujan vaihteluihin. Silloin saadaan kolme reunajakaumaa: formula_30, formula_31 ja formula_43
Näiden lisäksi voidaan muodostaa vielä kolme reunajakaumaa "jättämällä pois" vain yksi satunnaismuuttuja. Näin muodostettujen reunajakaumien todennäköisyysfunktiot olisivat formula_6, formula_45 ja formula_46
Kun todennäköisyysjakaumien ulottuvuudet kasvavat, lisääntyvät myös eri mahdollisten reunajakaumien lukumäärät.