Reaaliluku

Reaaliluvut voidaan kuvailla havainnollisesti eri tavoin: yksi tapa on sanoa, että niihin luetaan sekä rationaaliluvut (kuten 2 tai 2/3) että irrationaaliluvut (kuten formula_1 tai neliöjuuri 2). Toinen tapa on taas havainnollistaa reaalilukuja lukusuoran pisteinä. Matematiikassa tarvitaan kuitenkin täsmällistä määritelmää, joten määrittely käydään läpi tässä artikkelissa seuraavaksi.
Reaalilukujen havainnollinen määritelmä.
"Reaalilukujen" joukko formula_2 koostuu rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista. Rationaaliluvuksi kutsutaan lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättyvä tai päättymätön jaksollinen, ja irrationaaliluvuksi lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Esimerkiksi formula_3 ja formula_4 ovat rationaalilukuja, ja 0,1010010001... ja formula_5 ja formula_6 ovat irrationaalilukuja. Reaaliluvut ja suoran pisteet vastaavat täysin toisiaan.
Vaikka tämä määritelmä kelpaa koulumatematiikkaan, se ei ole täsmällinen, koska nyt herää kysymys, mitä "luku" ja "desimaalikehitelmä" tarkoittavat. Siksi reaaliluvut määritellään nykymatematiikassa aivan toisesta lähtökohdasta.
Reaalilukujen aksiomaattinen määritelmä.
Tarkastellaan abstraktia joukkoa formula_2, jossa on määritelty abstrakti yhteenlasku formula_8, abstrakti kertolasku formula_9 (missä piste jätetään usein kirjoittamatta) ja abstrakti järjestysrelaatio formula_10. Algebrallinen struktuuri formula_11 on "täydellinen järjestetty kunta" eli "reaalilukujen kunta", jos sillä on seuraavassa mainitut "algebralliset ominaisuudet", "järjestysominaisuudet" ja "täydellisyysominaisuus".
(A1) Yhteenlaskun vaihdantalaki: Kaikilla formula_12 on formula_13.
(A2) Yhteenlaskun liitäntälaki: Kaikilla formula_14 on formula_15.
(A3) Nollan olemassaolo: On olemassa sellainen reaaliluku formula_16, että kaikilla formula_17 on formula_18.
(A4) Vastaluvun olemassaolo: Jokaista reaalilukua formula_17 kohti on olemassa sellainen reaaliluku formula_20, että formula_21. Merkitään formula_22.
(A5) Kertolaskun vaihdantalaki: Kaikilla formula_12 on formula_24.
(A6) Kertolaskun liitäntälaki: Kaikilla formula_14 on formula_26.
(A7) Ykkösen olemassaolo: On olemassa sellainen reaaliluku formula_27, että kaikilla formula_17 on formula_29.
(A8) Käänteisluvun olemassaolo: Jos formula_17 ja formula_31, niin on olemassa sellainen formula_20, että formula_33. Merkitään formula_34.
(A9) Osittelulaki: Kaikilla formula_14 on formula_36.
(J1) Refleksiivisyys: Kaikilla formula_17 on formula_38.
(J2) Antisymmetrisyys: Olkoon formula_12. Jos formula_40 ja formula_41, niin formula_42.
(J3) Transitiivisuus: Olkoon formula_14. Jos formula_40 ja formula_45, niin formula_46.
(J4) Vertailullisuus: Kaikilla formula_12 on formula_40 tai formula_41.
(J5) Järjestyksen säilyminen yhteenlaskussa: Olkoon formula_14. Jos formula_40, niin formula_52.
(J6) Ei-negatiivisuuden säilyminen kertolaskussa: Olkoon formula_12. Jos formula_54 ja formula_55, niin formula_56.
Reaalilukujen täydellisyysominaisuus.
Jos algebrallisella struktuurilla on ominaisuudet (A1)–(A9), niin kyseessä on kunta. Jos sillä on lisäksi ominaisuudet (J1)–(J6), niin se on järjestetty kunta. Paitsi reaaliluvut myös rationaaliluvut muodostavat järjestetyn kunnan. Tarvitaan siis vielä sellainen ominaisuus, joka on reaalilukujen joukolla formula_2 mutta ei ole rationaalilukujen joukolla formula_58. 
Joukon formula_2 epätyhjä osajoukko formula_60 on "ylhäältä rajoitettu", jos on olemassa sellainen reaaliluku formula_61, että kaikilla formula_62 on formula_63. Tällöin formula_61 on joukon formula_60 "yläraja".
(T) Täydellisyys: Joukon formula_2 jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla osajoukolla on pienin yläraja. (Toisin sanoen, jokaisen tällaisen osajoukon ylärajojen joukossa on pienin luku.)
Joukolla formula_58 ei ole täydellisyysominaisuutta. Esimerkiksi niiden rationaalilukujen joukko, joiden neliö on lukua 2 pienempi, on epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu, mutta sillä ei ole (rationaalista) pienintä ylärajaa.
Reaalilukujen konstruointi rationaaliluvuista.
Kun rationaalilukujen joukko formula_58 oletetaan tunnetuksi, reaalilukujen joukko formula_2 voidaan konstruoida käyttämällä Dedekindin leikkauksia tai Cauchyn jonoja. Edellinen tapa tarkoittaa havainnollisesti, että reaaliluku määritellään sen kaikkien rationaalisten alalikiarvojen joukkona. Jälkimmäinen tarkoittaa havainnollisesti, että reaaliluku määritellään kaikkina mahdollisina sitä kohti suppenevina rationaalilukujonoina. 
Siis, kun formula_58 oletetaan tunnetuksi, reaalilukujen aksioomajärjestelmälle (A1)–(A9), (J1)–(J6), (T) voidaan muodostaa "malli", joten reaaliluvut "ovat olemassa". Voidaan todistaa, että kaikki tämän aksioomajärjestelmän mallit ovat keskenään "isomorfisia", mikä havainnollisesti tarkoittaa, että niiden matemaattinen rakenne on täysin sama ja ne eroavat toisistaan vain merkintöjen osalta.
Reaalilukujen joukon ylinumeroituvuus.
Cantorin diagonaalimenetelmällä voidaan osoittaa, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva.