Jatkuva satunnaismuuttuja

Jatkuva satunnaismuuttuja eli jatkuva stokastinen muuttuja on todennäköisyyslaskennassa satunnaismuuttuja, jolla on vain ei-negatiivisia arvoja saava tiheysfunktio. Satunnaismuuttuja tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää "lukua", joka saadaan ilmiön alkeistapauksista mitallisen funktion kuvauksena. Tyypillisesti jatkuva satunnaismuuttuja voi saada tietyn reaalilukuvälin arvot ja joskus aivan kaikki realiluvut. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio eli kertymäfunktio on jatkuva.
Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreettinen, jatkuva tai näiden yhdistelmä. Diskreetti satunnaismuuttuja saa vain erillisiä arvoja (nopanheitto), kun taas jatkuva voi saada arvoja hyvinkin läheltä toisiaan (reaaliluvut). Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreettinen) tai painona (jatkuva). Painot mieletään reaaliluvuiksi ja kahden kalan painot voivat olla kuinka lähellä toisiaan hyvänsä. Siksi jatkuvan satunnaismuuttujan arvot muodostavat realilukujen joukon, joka on hyvin "tiheä". Diskreettiset arvot, jotka ovat tässä lukumääriä, sijaitsevat kokonaislukujen tapaan lukusuoralla hyppäyksen päässä toisistaan. Lukujen väliin jää siten "raot" eikä arvojoukko ole "tiheä". Esimerkiksi ihmisen pituus on tällainen satunnaismuuttuja, mikäli pituudet pyöristetään senttimetrin tarkkuuteen. Pyöristämättömät luvut olisivat jatkuvan satunnaismuuttujan arvoja. Siis satunnaismuuttujan mittaamistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan.
Satunnaismuuttujan saamat kaikki lukuarvot muodostavat perusjoukon (myös" otosjoukko, otosavaruus"), jossa kaikki arvot eivät aina esiinny symmetrisesti yhtä yleisesti. Arvon yleisyys ilmaistaan todennäköisyydellä ja kaikkien arvojen todennäköisyydet muodostavat todennäköisyysjakauman. Jakauma määrittää satunnaismuuttujan täysin, joten satunnaisumuuttujat luokitellaankin jakaumiensa perusteella. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma voidaan kuvata todennäköisyysfunktiolla eli tiheysfunktiolla tai jakauma- eli kertymäfunktioilla.
Matemaattiset määritelmät.
Satunnaismuuttuja formula_1 on mitallisen funktion kuvaus formula_2, missä määrittelyjoukko formula_3 on todennäköisyysilmiön alkeistapauksien formula_4 muodostana perusjoukko formula_3 eli "otosavaruus", ja arvojoukkona ovat reaaliluvut. Perusjoukko sisältää kaikki satunnaisilmiön mahdolliset alkeistapaukset, mikä merkitään joukko-opissa formula_6 Silloin alkeistapaukset ovat satunnaismuuttujan argumenttina, mikä on tapana merkitä formula_7. Todennäköisyyslaskennassa argumentit jätetään aina pois.
Samoin kuin klassisessa todennäköisyyslaskennassakin, alkeistapauksien yhdisteet muodostavat perusjoukon osajoukkoja, joita kutsutaan tapahtumiksi. Tapahtuma formula_8 on siis joukko-opillinen käsite formula_9 Myös satunnaismuuttujille määritellään tapahtuma formula_10 samalla idealla eli formula_11 eli lyhyemmin kirjoitettuna formula_12, kun on huomioitu satunnaismuuttujan määrittelemä kuvaus formula_7. Kun todennäköisyyslaskennassa määritellään todennäköisyydet kaikille perusjoukon formula_3 alkeistapauksien joukoille, jotka kuuluvat perusjoukon osajoukkojen sigma-algebraan (formula_15-algebra) formula_16. Vain osajoukot formula_17 ovat tapahtumia. Tästä muodostuukin satunnaismuuttujan määritelmä: formula_1 on satunnaismuuttuja, jos formula_19 on tapaus (eli formula_20) kaikilla Borel-joukoilla formula_21 Kun satunnaismuuttuja määritellään näin, täyttää se mittateoreettiset kriteerit. On varsin helppo osoittaa tapauskohtaisestikin, että äärellinen eli yksinkertainen satunnaismuuttuja voidaan saada toteuttamaan mittateoreettiset kriteerit aina.
Yksinkertaisille diskreeteille satunnaismuuttujille edelliset ehdot on helppo täyttää. Jatkuvan satunnaismuuttujan tilanteessa olisi muutoin määritettävä ylinumeroituvan suuruinen määrä todennäköisyyksiä, mutta Borel-joukoilla määrittely jää numeroituvan suuruiseksi. Satunnaismuuttujan määrittelevä funktio tulee olla mitallinen funktio. Nimitys juontuu siitä, että käänteiskuvalle formula_22 voidaan liittää tietty mitta eli tässä tapauksessa todennäköisyys.
Jatkuvan satunnaismuuttujan ominaisuuksia.
Todennäköisyysfunktio.
Jatkuvan satunnaismuuttujan mahdollisia arvoja on ylinumeroituvasti ääretön määrä. Niiden todennäköisyyksiä ei voi luetella, vaan ne on lausuttava lausekkeen muodossa. Jatkuvien satunnaismuuttujien todennäköisyysfunktio on nimeltään tiheysfunktio, joka merkitään yleensä formula_23 tai formula_24 ("lue" "fii"). Siinä tapauksessa, että satunnaismuuttujan saamat arvot muodostavat reaalilukujen osajoukokon (perusjoukko), saa tiheysfunktio vain näillä arvoilla positiivisia arvoja ja perusjoukon ulkopuolisilla arvoilla nolla. Jos perusjoukko on koko reaalulukujoukko, saa se siellä vain positiivisia arvoja. Tiheysfunktio ei voi saada missään negatiivisia arvoja. Esimerkki tällaisesta tiheysfunktiosta on normaalijakaumalla.
Tiheysfunktion arvot eivät ole todennäköisyyksiä. Jatkuvan satunnaismuuttujan arvot ovat reaalilukuja, joita on ylinumeroituvasti ääretön lukumäärä. Usein tulkitaankin, että yksittäisen arvon esiintymistodennäköisyys on "nolla". Tässä on kuitenkin ristiriita käytännön kanssa, sillä satunnaismuuttuja antaa tulokseksi joitakin arvoja. Ainakaan näiden arvojen todennäköisyys ei voi olla "tasan nolla", sillä silloinhan niitä ei esiintyisi. Koska yksittäiset satunnaismuuttujan arvot ovat selvästi mahdollisia, mutta kuitenkin äärimmäisen epätodennäköisiä, voi niiden todennäköisyyttä pitää "melkein nollana". Todennäköisyyksiä lasketaankin vain tapahtumille, jotka muodostavat lukusuoralla välejä formula_25. Todennäköisyys, että seuraava satunnaismuuttujan arvo on jokin välin sisältävistä luvuista, lasketaan määrättyllä integraalilla 
formula_26
Huomaa, että edellisen selostuksen nojalla voidaan pitää seuraavia yhtäsuurina:
formula_27
sillä avoimelta väliltä puuttuva päätepisteen lisäys todennäköisyyteen on vain "nolla". Tämän ymmärtää helposti siitä määrätyn integraalin ominaisuudesta, että
formula_28
Integraalin sisältävä määritelmä on käytännöllinen myös sen vuoksi, että se sallii tiheysfunktiolle joitakin yksittäisiä, eli äärellisen määrän, epäjatkuvuuskohtia ilman, että integraalin laskemisessa tulisi ongelmia.
Jos epäoleelliset integraalit ovat olemassa, voidaan laskea myös
formula_29
Todennäköisyys, että seuraava satunnaismuuttujan arvo on jokin perusjoukon luvuista, on luonnollisesti yksi (tapahtuu aina). Välin rajat voidaan merkitä äärettömän kauaksi toisistaan, vaikka perusjoukko voikin olla rajoitettu. Tällöin 
formula_30
Kertymäfunktio.
Edellisen kaltaiset tapahtumat ovat käytännön tehtävissä usein muotoa formula_31 tai formula_32 tai formula_33 (näissä käytetään myös formula_34), jossa rajat a ja b ovat äärellisiä tai äärettömiä. Nämä kaikki voidaan aina ilmaista yhdellä samalla lausekkeella formula_35, jota kutsutaan kertymäfunktioksi: 
formula_36 
koska formula_37 
formula_38 
Edelliset lausekkeet voidaan silloin kirjoittaa
formula_39 
ja
formula_40 
Kertymäfunktion lauseke helpottaakin todennäköisyyksien laskemista suuresti, kun laskijan ei tarvitse osata integroida tiheysfunktion lauseketta. Siinä tapauksessa, ettei kertymäfunktion lauseketta tunneta (kuten normaalijakaumassa), sen arvot esitetään likiarvoina taulukkomuodossa.
Jatkuvalla satunnaismuuttujalla kertymäfunktio on aina jatkuva. Kertymäfunktion derivaatasta saadaan tiheysfunktio, kunhan kertymäfunktio vain on derivoituva:
formula_41
Koska derivaattana tiheysfunktio on aina ei-negatiivinen tai positiivinen, on kertymäfunktio aina kasvava eli monotoninen funktio. Sen arvoalue rajoittuu kuitenkin välille
formula_42 
Arvo nolla saavutetaan rajoittuneen perusjoukon vasemmassa osassa, mutta yleisessä tapauksessa sen saavutetaan "miinus äärettömässä" eli 
formula_43
Arvo yksi saavutetaan, kun koko perusjoukko on mukana eli
formula_44
Tunnusluvut.
Tiheysfunktion jakaumasta lasketaan usein samoja tunnuslukuja kuin histogrammistakin. Moodi tarkoittaa jakauman yleisintä arvoa eli sitä arvoa, jonka tiheysfunktion arvo on suurin. Mediaani sijaitsee jakauman puolivälissä kohdassa, jossa vasemmanpuolen ja oikeanpuolen arvoja esiintyy satunnaismuuttujalla yhtä paljon. Mediaani voidaan lukea kuuluvaksi kvanttiileihin, jotka jakavat satunnaismuuttujan arvojen ulostulot eri suuruisiin luokkiin. Odotusarvo eli keskiarvo sijaitsee usein eri kohdassa kuin mediaani. Odotusarvo on eräs tunnetuimpia momentteja.
Tiheysfunktion formula_23 momentit määritellään (äärettömän leveä perusjoukko)
formula_46.
Riippuen formula_47:n valinnasta saadaan joko tavallisia tai keskeisiä momentteja. Tavalliset momentit muodostetaan satunnaismuuttujan potensseilla:
formula_48.
Keskeiset momentit muodostetaan satunnaismuuttujan ja odotusarvon (merk. formula_49) erotuksen potensseilla:
formula_50.
Jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma.
Erityisiä ja usein tarvittavia jatkuvien satunnaismuuttujien jakaumia on lukuisia. Alla on näistä muutamia esimerkkejä.