Topologinen avaruus

Topologiset avaruudet ovat yksinkertaisimpia matemaattisia rakenteita, joissa voidaan määritellä sellaisia käsitteitä kuin avoimuus, jatkuvuus, homeomorfisuus ja yhtenäisyys.
Määritelmä.
Topologinen avaruus on järjestetty pari formula_1, missä formula_2 on joukko ja formula_3 on sellainen sen osajoukkojen kokoelma (ns. topologia), jonka jäseniä ovat
ts. formula_3 toteuttaa topologiset aksioomat
Käytännössä yleensä tutkitaan äärettömiä topologioita. Äärellinen topologia voi olla helpommin ymmärrettävä esimerkki joistakin topologian peruskäsitteistä, mutta toiset käsitteet ovat mielekkäitä vain äärettömissä joukoissa. Äärettömään joukkoonkin voidaan määrittää topologia, jossa on äärellinen määrä alkioita (esimerkiksi koko formula_9, tyhjä joukko ja vain luvun 1 sisältävä joukko muodostavat topologian reaalilukujen joukolle), mutta käytännön merkitystä niillä ei juuri ole.
Topologian ei tarvitse sisältää alkioidensa mielivaltaisia leikkauksia, ainoastaan äärelliset. Esimerkki: Määritellään joukon N kofiniittinen topologia: siihen kuuluu tyhjä joukko ja jokainen joukko, jonka komplementti on äärellinen. Joukko formula_10 on selvästi äärellinen, jolloin sen komplementtijoukko formula_11 kuuluu mainittuun topologiaan. Kaikkien näiden joukkojen leikkaus puolestaan on joukko formula_12, joka on äärellinen, eikä siis kuulu mainittuun topologiaan.
Topologiseen avaruuteen liittyviä käsitteitä.
Osa käsitteistä pohjautuu reaaliluvuille määriteltyyn topologiaan, johon kuuluvat avoimet välit ja niiden yhdistelmät. Esimerkiksi formula_13 ja formula_14 ovat avoimia välejä, niiden komplementti formula_15 suljettu väli.
Topologisen avaruuden alkioita sanotaan yleensä pisteiksi.
Kokoelmaan formula_3 kuuluvia joukkoja sanotaan topologisen avaruuden "avoimiksi joukoiksi". Joukot, joiden komplementti X:ssä on avoin, ovat "suljettuja joukkoja". Termit ovat epäintuitiivisia: joukko voi olla avoin, suljettu, ei kumpaakaan tai molempia. Esimerkiksi edellä mainitussa reaalilukujen tavallisessa topologiassa joukko formula_17 ei ole avoin eikä suljettu. Jokaisessa topologisessa avaruudessa ainakin koko joukko formula_2 ja tyhjä joukko ovat sekä avoimia että suljettuja.
Jos joukon pisteitä ei voi jakaa kahteen erilliseen avoimeen joukkoon, joukkoa sanotaan "yhtenäiseksi". Jos näin on kaikkien pisteiden suhteen, koko avaruus on yhtenäinen.
Jos topologisen avaruuden mitä tahansa kahta eri pistettä formula_19 ja formula_20 kohti on olemassa sellaiset avoimet joukot formula_21 ja formula_22, että
 formula_23 ja formula_24
ts. pisteille formula_19 ja formula_20 löytyy aina erilliset ympäristöt, sanotaan avaruutta Hausdorffin avaruudeksi.
Kantapisteavaruus on topologinen avaruus, jossa yksi piste, "kantapiste", on asetettu erikoisasemaan.
Erotteluaksioomat.
Avaruus on formula_27, jos jokaiselle pisteparille formula_28 löytyy avoin joukko, johon joko formula_29 kuuluu mutta formula_30 ei, tai toisinpäin.
Avaruus on formula_31, jos jokaiselle pisteparille formula_28 löytyy sekä avoin joukko, johon formula_29 kuuluu mutta formula_30 ei, että avoin joukko johon formula_30 kuuluu mutta formula_29 ei. Nämä avoimet joukot saavat sisältää yhteisiä pisteitä.
Avaruus on formula_37 eli Hausdorffin avaruus, jos jokaiselle pisteparille formula_28 löytyy sekä avoin joukko, johon formula_29 kuuluu mutta formula_30 ei, että avoin joukko johon formula_30 kuuluu mutta formula_29 ei, ja näillä avoimilla joukoilla ei ole yhteisiä pisteitä.
Luonnollisten lukujen topologia, joka sisältää tyhjän joukon ja koko joukon lisäksi vain parilliset ja parittomat luvut avoimina joukkoina, ei ole formula_27. Luonnollisten lukujen alkusegmenttitopologia, jossa avoimia ovat joukot formula_44 kaikilla termin formula_45 arvoilla on formula_27 mutta ei formula_31. Luonnollisten lukujen kofiniittinen topologia on formula_31 mutta ei formula_37. Tyyppiesimerkki formula_37-topologiasta on reaalilukujen tavallinen topologia, jossa avoimia ovat avoimet välit ja niiden unionit.
Esimerkkejä.
Mistä tahansa joukosta formula_2 voidaan muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan formula_3 kuuluviksi ainoastaan joukko formula_2 ja tyhjä joukko. Tällainen topologinen avaruus ei ole Hausdorffin avaruus, paitsi jos joukkoon formula_2 kuuluu vain yksi piste. Tällaista topologiaa sanotaan "minitopologiaksi".
Mistä tahansa joukosta formula_2 voidaan myös muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan formula_3 kuuluviksi formula_2:n kaikki osajoukot. Tällöin kyseessä on niin sanottu "diskreettitopologia", ja muodostettu avaruus on Hausdorffin avaruus.
Jokaisesta metrisestä avaruudesta voidaan muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan formula_3 kuuluviksi eli avoimiksi joukoiksi sellaiset formula_2:n osajoukot, joiden jokaisella pisteellä on tähän osajoukkoon sisältyvä ympäristö. Tällaiset topologiset avaruudet ovat aina Hausdorffin avaruuksia.
Sovellusten kannalta tärkeimpiä metrisiä avaruuksia ovat joukot formula_60 (eriulotteiset euklidiset avaruudet) ja niiden osajoukot, joissa topologia on edellä sanotulla tavalla määritelty euklidisen metriikan avulla. Tästä yleistys on Hilbertin avaruus, joka on (mahdollisesti ääretönulotteinen) täydellinen sisätuloavaruus.