Kertoma

Positiivisen kokonaisluvun formula_1 kertoma on luvun formula_1 ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo, ja se merkitään formula_3. Esimerkiksi
formula_4
Kertoma kuvaa äärellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumäärää: esimerkiksi 4 ihmistä voivat olla jonossa 24 eri tavalla.
Kertoma voidaan yleistää luonnollisilta luvuilta kompleksilukuihin saakka, tavallisin yleistys on gammafunktio.
Merkinnän formula_3 esitti ranskalainen matemaatikko Christian Kramp vuonna 1808.
Kertomaa käytetään yleensä pitkien kertolaskujen esittämiseen. Esimerkiksi
formula_6 voidaan esittää muodossa formula_7
Kolmiolukuja voidaan pitää kertoman yhteenlaskullisena vastineena.
Määritelmä.
Luvun formula_1 kertoma määritellään seuraavasti: 
formula_9 kaikilla luonnollisilla luvuilla formula_10.
Esimerkiksi 
formula_11.
On lisäksi määritelty, että formula_12, koska tyhjä tulo on formula_13.
Luvun formula_1 kertomaa ei ole määritelty negatiivisille luvuille tai desimaaliluvuille, ainoastaan luonnollisille luvuille.
Stirlingin approksimaatio.
Stirlingin approksimaatiolla voidaan arvioida kokonaisluvun kertomaa. Tämän likimääräismenetelmän tarkkuus suurenee kun käsitellään suuria kokonaislukuja. Arvioinnin menetelmää pidetään yleisesti skottilaisen matematiikon James Stirlingin kehittämänä, joskin samoihin aikoihin myös ranskalainen matematiikko Abraham de Moivre oli tutkinut aihetta.
Tilastollisessa termodynamiikassa tarkastellaan hiukkasjoukkoa, jonka suuruus vastaa Avogadron vakiota. Entropiaa laskettaessa tarvitaan näin suuresta hiukkasjoukosta ottaa kertoma, jonka laskeminen ilman likimääräismenetelmää on työlästä.
Stirlingin approksimaation johtamiseksi tarkastellaan kertoman logaritmia kun formula_1 otetaan suurena lukuna:
formula_16
Euler-MacLaurin -yhtälöä käyttäen saadaan tarkempi approksimaatio:
formula_17
Tästä yhtälöstä kaksi ensimmäistä termiä ovat täysin riittäviä kertoman luonnollisen logaritmin approksimaation laskemiseksi käsiteltäessä hyvin suurta hiukkasjoukkoa. Oheisessa kuvassa on esitetty havainnollisuuden vuoksi yhtälön kahden ensimmäisen termin ja toisaalta kolmen ensimmäisen termin laskentatarkkuudella suhteellisen virheen pieneneminen tarkasteltavana olevan hiukkaslukumäärän kasvaessa. 
Kertoman logaritmiton Stirlingin approksimaatio on formula_18. Tämän lisäksi kaikilla luonnollisilla luvuilla formula_1 on voimassa arvio:
formula_20
Esimerkkejä approksimaation käytöstä:
Lukuteoria.
Kertomilla on monia sovellutuksia lukuteoriassa. Erityisesti formula_3 on jaollinen kaikilla lukua formula_1 pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. Siitä seuraa, että formula_23 on yhdistetty luku, jos
formula_24.
Vahvempi tulos on Wilsonin lause, jonka mukaan
formula_25,
jos formula_26 on alkuluku.
Ainoa kertoma, joka on myös alkuluku, on 2. On kuitenkin olemassa monia alkulukuja muotoa formula_27. Näitä alkulukuja kutsutaan kertoma-alkuluvuiksi.
Kertomafunktion arvo gammafunktion avulla.
Kertomafunktio voidaan ilmaista kokonaislukuargumenttisen gammafunktion formula_28 avulla:
formula_29.
Gammafunktion avulla kertoma voidaan määritellä myös muille kuin luonnollisille luvuille, mutta tällöin kertoman sijasta yleensä viitataan suoraan gammafunktioon.
Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulona.
Kertomafunktion arvo voidaan laskea kaavasta
formula_30,
missä luvut formula_26 ovat alkulukuja.
Ohjelmallinen toteutus.
Kertoma on laskettavissa JavaScriptillä rekursiolla seuraavalla funktiolla:
function kertoma(n) {
 if (n == 0) {
 return 1;
 } else if (n &gt; 0) {
 return n * kertoma(n-1);