Kovarianssifunktio

Kovarianssifunktio on todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastiikassa ja tilastotieteessä käytettävä riippuvuuden määrän ilmaisemiseen käytettävä mitta. Stokastisissa prosesseissa, jotka muistuttavat esimerkiksi aikasarjoja, käytetään autokorrelaatiota prosessin sisäisen riippuvuuden mittaamiseksi. Satunnaiskentissä, jotka muodostetaan moniston formula_1 avulla, satunnaismuuttujien välillä olevan riippuvuuden määrää mitataan spatiaalisen autokorrelaation avulla. Riippuvuutta ilmaisevan kovarianssifunktion rinnalla käytetään myös korrelogrammia ja variogrammia.
Määritelmä.
Kovarianssin määritelmä.
Kahden satunnaismuuttujan formula_2 ja formula_3 välinen riippuvuus määritellään kovarianssin avulla. Kovarianssi merkitään ja määritellään
formula_4
Lausekkeet voidaan kertoa auki
formula_5
Koska odotusarvo formula_6 on lineaarinen operaattori ja jos sen arvot merkitään formula_7 ja formula_8, saadaan
formula_9
formula_10
Satunnaiskentän kovarianssi.
Satunnaiskenttien kohdassa formula_11 olevat tai indeksillä formula_11 merkityt satunnaismuuttujat voidaan esittää merkinnällä
formula_13 
Silloin merkinnät formula_14 ja formula_15 tarkoittavat eri pisteissä formula_11 ja formula_17 olevia satunnaismuuttujia. Näiden välinen riippuvuus on ollut tapana merkitä
formula_18
Käytännön sovelluksissa, jollainen on esimerkiksi geostatistiikka, satunnaiskenttiä formula_14 ovat esimerkiksi maaston alueita (formula_20) tai maanalaisia tilavuuksia (formula_21). Tutkittavaa ilmiötä vastaavan matemaattisen satunnaiskentän stationäärisyys voi olla niin vahvaa, että kovarianssi riippuu pelkästään joko pisteiden välisestä etäisyydestä tai etäisyyden suuntavektorista. Tällaisissa tapauksissa kovarianssin arvot ovat esimerkiksi etäisyyden ja suunnan funktioita formula_22 tai pelkästään etäisyyden funktioita formula_23. Tämän tyyppisiä kovariansseja kutsutaan kovarianssifunktioiksi ja niitä merkitään formula_24:n sijasta tavallisesti formula_25.
Ominaisuuksia.
Peruspiirteet.
Jos satunnaismuuttujan varianssin arvo merkitään formula_26, niin satunnaismuuttujan kovarianssi itsensä kanssa on formula_27 (varianssin määritelmän mukaan). Satunnaiskentissä, jossa satunnaismuuttujien riippuvuus heikkenee etäisyyden kasvaessa, on yleensä suurin riippuvuus lähekkäin sijaitsevilla satunnaismuuttujilla. Kovarianassifunktiossa tämä tapahtuu etäisyysarvoilla nolla eli formula_28 jolloin kovarianssi saa varianssin arvon eli formula_29
Monesti halutaan, vaikka kokeellisesti eli tilastollisesti määritellyt kovarianssien arvot ovat tietyillä etäisyyksillä negatiivisia, kovarianssifunktion olevan positiividefiniitti eli formula_30 Mikäli negatiivisia riippuvuuksia löytyy, tarkoittaa se, että toisen satunnaismuuttujan arvot vähenisi kun toisen kasvaisi, ja päinvastoin. Tämä on luonnonsovelluksissa harvinaista, mutta taloussovelluksissa yleisempää.
Satunnaiskentissä riippuvuus yleensä heikkenee etäisyyden kasvaessa. Jos riippuvuuden heikkeneminen ja etäisyyden kasvaminen on koko ajan samansuuntaista, on kovarianssi etäisyyden suhteen vähenevä funktio. Kovarianssifunktion maksimi eli varianssi saavutetaan silloin origossa formula_31.
Stationäärisyysoletuksien vaikutuksia.
Satunnaiskentän vahva stationäärisyys takaa kaikille satunnaismuuttujille saman jakauman, samat momentit ja satunnaismuuttujien moniulotteiset jakaumat ovat invariantit paikan valinnalle. Nämä ehdot takaavat myös kovarianssifunktiolle saman arvon samalla etäisyydellä olevalle satunnaismuuttujaparille. Jos niiden toinen momentti on lisäksi äärellinen, on niillä äärellinen odotusarvo, joka on vakio, ja kovarianssifunktion arvo riippuu vain erotusvektorista. Tällaisia ideaalisia satunnaiskenttiä ei luonnosta kuitenkaan löydy.
Satunnaiskentän heikko stationäärisyys ei takaa samaa moniulotteista jakaumaa, joka on invariantti paikan valinnalle. Satunnaiskentän kaikilla satunnaismuuttujilla on kuitenkin äärellinen odotusarvo formula_32 ja toinen momentti formula_33 Kovarianssifunktio riippu vain etäisyysvektorista. Muita satunnaiskentän ominaisuuksia ei taata. Niiden seurauksena satunnaiskentän varianssi on vakio formula_34 ja korrelogrammi on rajoitettuna olemassa
formula_35 
Kovarianssifunktio on näiden lisäksi etäisyysvektorin suhteen symmetrinen eli formula_36 ja sen arvot ovat formula_37 Kaikki edellä kerrotut vahvan ja heikon stationäärisyyden ominaisuudet ovat voimassa Gaussisella satunnaiskentällä.
Heikkokin stationäärisyys on käytännän kannalta erittäin vahva oletus ja tulee harvoin täytyttyä. Siksi on kehitetty sovelluksia varten sellainen stationäärisyysehto, jossa odotusarvo voi vaihdella ja toinen momentti voi olla ääretön.
Satunnaiskentän sisäinen stationäärisyys on määritelty niin, ettei kovarianssia voi käyttää, sillä se muuttuu negatiiviseksi. Kovarianssifunktion sijasta käytetään näissä tapauksissa variogrammia.
Kovarianssin estimaattori.
Yleensä kovarianssifunktio määritetään tutkimuskentältä formula_38 määritetyistä näytteistä formula_39. Aluksi tulee kovarianssifunktion määrittelyssä huomioida sekä etäisyys että suunta, joista muodostetaan omat luokat ja joiden kovarianssit lasketaan luokittain. Jos kovarianssi on kuitenkin samanlainen eri suunnissa, voidaan eri suuntien etäisyydet yhdistää samaan etäisyysluokkaan. Kullekin etäisyysluokalle formula_40lasketaan sitten kovarianssien arvot
formula_41
Kun kaikki etäisyysluokat formula_40 on määritetty, sovitetaan niihin kovarianssifunktion lauseke niin, että käyrä kulkee mahdollisimman lähellä kaikkia estimoituja etäisyysluokkien kovarianssiarvoja. Tätä käyrää kutsutaan kokeelliseksi eli empiiriseksi kovarianssifunktioksi.