Vuo

Vuo on fysiikassa ja vektorianalyysissä käsite, jolla ilmaistaan vektorikentän (esimerkiksi sähkökenttä tai gravitaatiokenttä) kulkeutumista tietyn (avaruus-)pinnan läpi. Yksinkertaistetusti vektorikentän vuo tietyn pinnan läpi voidaan käsittää pinnan läpäisevien kuvitteellisten kenttäviivojen lukumääränä. Koska vektorikentän voimakkuutta voidaan graafisesti kuvata kenttäviivojen tiheydellä, on tämä yksinkertaistus jokseenkin toimiva. Vuo kuitenkin riippuu vektorikentän lisäksi myös pinnan alasta, muodosta ja suunnasta.
Suureena vuota merkitään formula_1:llä (kreikkalainen iso Fii). Tarvittaessa sen yhteyteen voidaan laittaa alaindeksi viittaamaan tarkasteltavaan vektorikenttään tai muuhun siihen liittyvään käsitteeseen. Esimerkiksi sähkökentän vuota voidaan merkitä formula_2:llä englannin kielen sanaan "electric" viitaten. Vuo on skalaarisuure. 
Vuolla ei ole yhtä mittayksikköä, sillä se riippuu tarkasteltavan vektorikentän yksiköstä. Dimensioanalyyttisesti tarkasteltuna vuon dimensio on formula_3, missä formula_4 on vuohon liittyvän vektorikentän dimensio ja formula_5 on neliömetri. 
Vuon idea ja perusmääritelmä.
Ilmavirta silmukan läpi.
Vuon käsitettä voidaan havainnollistaa esimerkiksi tuulettimen ja oheisessa kuvassa näkyvän suorakulmion muotoisen silmukan avulla. Silmukka asetetaan tuulettimen eteen, jolloin ilma virtaa silmukan läpi vauhdilla formula_6. Vuo on tässä tapauksessa silmukan läpi kulkevan ilman tilavuus aikayksikössä (ks. tilavuusvirta). Jos silmukka on kohtisuorassa ilmavirtaa vastaan, on vuo suurimmillaan. Jos taas silmukka on ilmavirran suuntainen, ei ilmaa kulkeudu sen läpi yhtään. Tällöin vuo on nolla. Jos taas silmukka ripustetaan tuulettimen eteen siten, että se ilmavirta läpäisee sen kulmassa formula_7, niin silmukan läpäisevän ilman tilavuus yhden sekunnin aikana on
formula_8,
missä 
formula_9 on ilman vauhti (oletetaan vakioksi silmukan kohdalla),
formula_10 on silmukan pinta-ala ja
formula_11 on silmukkaa vastaan kohtisuoran nopeuskomponentin suuruus (vauhti).
Merkinnällä formula_12 tarkoitetaan tässä vektorin formula_13 normia eli pituutta (eli suuruutta).
Vakiovektorikentän vuo.
Korvataan nyt havainnollistuksessa käytetty ilmavirran nopeus yleisellä vektorikentällä formula_14 ja silmukka tasopinnalla, jonka pinta-ala on formula_10. Oletetaan myös vielä, että vektorikenttä on vakio, eli kaikissa määrittelyavaruutensa pisteissä yhtä suuri ja samansuuntainen. Vaikka vektorit eivät voi "virrata" havainnollistuksessa käytetyn ilmavirran tapaan, voidaan samaa ideaa vuosta käyttää myös vektorikentille.
Tasolle voidaan määritellä pinta-alavektori käyttäen tason yksikkönormaali(-vektoria), joka on kaikkialla kohtisuorassa tasoa vastaan oleva, tasosta ulospäin osoittava yksikkövektori. Pinta-alavektori on sellainen vektori, joka on samansuuntainen tason yksikkönormaalin kanssa ja sen pituus on yhtä suuri kuin tason pinta-ala:
formula_16.
Koska tasolla on aina kaksi puolta, on jokaisella tasolla myös kaksi vastakkaissuuntaista yksikkönormaalia. Ts. jos formula_17 ja formula_18 ovat tason eri puolten yksikkönormaalit, niin formula_19. Mikäli yksikkönormaalin suuntaa ei ole erikseen määritelty, on yhdentekevää, kumpaa suuntaa käyttää. On kuitenkin pidettävä huolta, että esimerkiksi laskettaessa eri kenttien voita saman tason läpi yksikkönormaali pidetään aina samana. Jos yksikkönormaalin suunta vaihdetaan vastakkaiseksi, vuo muuttuu vastaluvukseen, mutta sen itseisarvo ei muutu (todistus kappaleen lopussa). 
Tason normaalivektoria käyttämällä vektori formula_14 voidaan jakaa tason suuntaiseen komponenttiin formula_21 ja tasoa vastaan kohtisuoraan komponenttiin formula_22 (ts. formula_23). Näistä kahdesta komponentista ainoastaan formula_22 läpäisee tason, joten vain sen pituus vaikuttaa vuohon. Vastaavasti, kuten ilmavirran tapauksessa, vektorikentän formula_14 vuo tason läpi (merkitään formula_26) on: 
formula_27, 
missä 
formula_28, 
formula_7 on formula_30:n ja formula_14:n välinen kulma sekä 
formula_32. 
Tästä määritelmästä huomataan, että vuo voidaan laskea myös pistetulon avulla: 
formula_33. 
Lisäksi huomataan, että käyttämällä tason toisen puolen yksikkönormaalia formula_34, vuo muuttuu vastaluvukseen: 
formula_35. 
Muuttuvan vektorikentän vuo.
Edellä määriteltiin vuo tapauksessa, jossa vektorikenttä on kaikkialla yhtä suuri ja samansuuntainen sekä tarkasteltavana pintana käytettiin tasoa. Tämä on kuitenkin vain erikoistapaus, sillä vektorikenttä voi muuttua avaruuden eri pisteissä ja pinta voi olla kaareva tai jopa suljettu.
Vuo tasopinnan läpi.
Olkoon nyt formula_14 vektorikenttä, joka riippuu avaruuden pisteestä. Käytetään tarkasteltavana pintana vielä tasoa, jonka pinta-ala on formula_10. Jaetaan tämä taso pieniin palasiin, joista jokaisen pinta-ala on formula_38. Jokaisen pienen palan pinta-alavektori formula_39 on tasoa vastaan kohtisuorassa, kuten perusmääritelmässäkin. Oheisessa kuvassa on esitetty kaksi tällaista palaa, järjestysluvuiltaan formula_40 ja formula_41. Tarkastellaan palaa formula_40, jonka kohdalla vektorikenttä saa arvon formula_43. Tämän palasen läpäisevä pieni vuo on perusmääritelmään nojaten
formula_44.
Vuo muiden palasten kohdalla saadaan vastaavasti. Kokonaisvuo tason läpi saadaan laskemalla yhteen kaikki pienet vuot koko tason alueelta:
formula_45.
Vuon laskeminen tällä tavoin saattaa kariutua pinta-alaan formula_38. formula_14 kun ei välttämättä ole vakio minkään äärellisen kokoisen pinnan kohdalla. Jos formula_14 on integroituva, niin ongelma ratkeaa viemällä palojen pinta-alat infinitesimaalisen pieniksi (formula_49), niiden lukumäärän lähestyessä ääretöntä. Tällöin summa voidaan korvata integraalilla:
formula_50. 
Kaksinkertainen integraalimerkki painottaa sitä, että tässä integroidaan (vektori-)funktiota kaksiulotteisen pinnan yli. Joissain teksteissä (esim. ) saatetaan käyttää tavanomaista yksinkertaista integraalimerkkiä.
Integraalimääritelmästä päästään kääntäen takaisin perusmääritelmään. Jos formula_14 on vakio koko tason alueella, niin integroinnin laskusääntöjen nojalla:
formula_52
Integraali formula_53 saattaa olla monimutkaisuudessaan harhaanjohtava merkintä, mutta lopulta se tarkoittaa vain infinitesimaalisten pinta-alojen summaa koko tason yli, eli tason kokonaispinta-alaa.
Vuo kaarevan pinnan läpi.
Vektorikentän formula_14 vuo kaarevan pinnan läpi ei eroa tasopinnan tapauksesta. Merkitään pintaa nyt lyhennyssyistä formula_55:llä. Tehdään, kuten tason tapauksessa, ja jaetaan pinta useaan pieneen palaseen, joiden pinta-ala on formula_38. Jokaisen pienen palan pinta-alavektori formula_39 on pintaa vastaan kohtisuorassa "jokaisessa pisteessä". Ainoa ero tason tilanteeseen on nyt se, etteivät pinta-alavektorit formula_39 ole enää samansuuntaisia kaikkialla pinnalla. Edelleen palan formula_40 läpäisevä pieni vuo on formula_60 ja kokonaisvuo näiden pienten voitten summa. Jos formula_14 on integroituva, niin kokonaisvuo pinnan formula_55 läpi saadaan tutulla integraalilla:
formula_63. 
Kaarevaan pintaan liittyy joitain ominaisuuksia, joita tason tapauksessa ei välttämättä ole. Pintaelementtivektorin formula_64 ja formula_14:n välinen kulma pinnan formula_55 eri pisteissä on ratkaisevassa asemassa vuon kannalta. Tarkastellaan tilanteita, joissa vektorikenttä on kaikkialla pinnan tangenttitason suuntainen tai pintaa vastaan kohtisuorassa (ks. kuva alla). Ensimmäisessä tilanteessa formula_67 kaikkialla pinnalla formula_55, joten pistetulon ominaisuuksien nojalla formula_69. Tällöin kokonaisvuokin on nolla. Toisessa tilanteessa formula_70 (voidaan olettaa, että formula_71) kaikkialla pinnalla formula_55, joten pistetulon ominaisuuksien nojalla formula_73. Jos formula_14:n pituus on lisäksi vakio kaikkialla pinnalla formula_55, niin kokonaisvuo on:
formula_76,
missä formula_10 on pinnan formula_55 pinta-ala. 
Huom! Jos pinnan formula_55 yksikkönormaali onkin määritelty pinnan toiselle puolelle, niin formula_80 ja formula_81.
Vuo suljetun pinnan läpi.
Vektorikenttä voi läpäistä myös suljetun pinnan, kuten laatikon, sylinterin, pallon tai muun mielivaltaisen muotoisen pinnan. Koska mikä tahansa pinta voidaan konstruoida kaarevista pinnoista ja/tai tasoista, ei vuon laskeminen suljetun pinnan läpi eroa mitenkään edellisistä tapauksista. Ainoastaan merkinnät muuttuvat hieman. Jos formula_14 on integroituva vektorikenttä ja formula_55 on suljettu pinta, niin formula_14:n vuota pinnan formula_55 läpi merkitään lisäämällä integraalimerkkiin pieni ovaali: 
formula_86 
Integraalimerkkiin lisätty ovaali korostaa vain sitä, että integrointi suoritetaan suljetun pinnan yli. Laskuteknisesti integraali on vain tavanomainen vuointegraali. 
Suljetun pinnan yksikkönormaalin formula_30 suunta on huomionarvoinen seikka. Toisin kuin avoimella pinnalla, suljetulle pinnalle voidaan yksiselitteisesti osoittaa sisä- ja ulkopuoli. Jos yksikkönormaali osoittaa pinnan formula_55 sisäpuolelle, sitä sanotaan sisäyksikkönormaaliksi ja jos yksikkönormaali osoittaa pinnan formula_55 ulkopuolelle, sitä sanotaan ulkoyksikkönormaaliksi. Käytännön sovelluksissa on mielekkäämpää käyttää pinnalle ulkoyksikkönormaalia, sillä siten voidaan saada tietoa suljetun pinnan sisäisestä vektorikentästä "kurkistamatta" itse pinnan sisään. Kuten ei-suljetun pinnan tapauksessa, yksikkönormaalin vaihtaminen ulkoa sisälle tai toisin päin muuttaa vuon vastaluvukseen. Ts. formula_90. 
Vuon tiheys.
Jos vektorikentän vuo tietyn pinnan läpi tiedetään, voidaan tietyissä erikoistapauksissa ratkaista pinnan kohtisuorasti läpäisevä vektorikentän komponentti. Olkoon formula_14 tuntematon, integroituva vektorikenttä, formula_55 pinta, jonka ala on formula_10 ja formula_26 vektorikentän vuo pinnan läpi. Määritellään suure
formula_95
vektorikentän formula_14 vuon tiheydeksi (joskus myös yhteenkirjoitettuna vuontiheys). Yksinkertaistetusti vektorikentän vuon tiheys voidaan käsittää tietyn pinnan läpäisevien vektorikentän kenttäviivojen lukumääränä pinta-alayksikköä kohti.
Jos formula_14:n pinnan formula_55 kohtisuorasti läpäisevä komponentti on suuruudeltaan formula_99, niin formula_14:n vuon tiheys on:
formula_101
Lisäksi, jos formula_99 on vakio kaikkialla pinnalla formula_55, niin
formula_104
Tässä erikoistapauksessa vuon tiheys on siis yksinkertaisesti pinnan kohtisuorasti läpäisevän komponentin pituus. Vuon tiheydestä puhuttaessa on kuitenkin oltava varovainen, sillä vuon tiheys on myös vektorisuure. Edellä määritelty vuon tiheys on skalaari (koska vuo on skalaari), mutta vuon tiheydelle voidaan asettaa myös suunta. Esimerkiksi magneettivuon tiheys formula_105 on vektorisuure, jonka avulla voidaan määritellä silmukan läpäisevä magneettivuo:
formula_106. 
Esimerkkejä.
Esimerkki 1.
Laske vektorikentän formula_107 vuo pinnan formula_55, läpi, kun formula_55 on pinta formula_110rajoitettuna kolmiulotteisen karteesisen koordinaatiston ensimmäiseen kahdeksasosaan (formula_111, formula_112 ja formula_113).
Ratkaisu:
Funktio formula_114 kuvaa alaspäin aukeavaa pyörähdysparaboloidia, jonka pyörähdysakseli on formula_115-akseli. Koska formula_116 on sileä funktio, on sen pintaelementtivektori:
formula_117.
Etumerkki formula_118 viittaa siihen, että yksikkönormaaleja on kaksi vastakkaissuuntaista. Jos nyt valitaan pinnan formula_55 yksikkönormaali siten, että se osoittaa pinnasta positiivisen formula_115-akselin puoleiseen suuntaan, niin:
formula_121
Pinnan formula_55 projektio formula_123-tasolle on neljännesympyrä formula_124, formula_111 ja formula_112 (ympyrän kehän saa sijoittamalla formula_127 yhtälöön formula_110). Integrointirajoiksi saadaan tällöin esimerkiksi formula_129 ja formula_130. Vektorikentän formula_14 vuo pinnan formula_55 läpi on tällöin:
formula_133
Huom! Jos oltaisiin valittu pinnan yksikkönormaali toisin päin, olisi vastaus formula_134.
Huom! Napakoordinaatteja käyttämällä integrointi olisi sujunut helpommin, mutta esimerkin oli tarkoitus olla hivenen abstrakti.
Esimerkki 2.
Laske vektorikentän formula_135 vuo "ulos" sylinterin formula_136, formula_137 pinnasta. formula_138 ja formula_139 ovat vakioita.
Ratkaisu:
Pinta formula_55 on nyt sylinteri, jonka säde on formula_141, korkeus formula_142 ja keskiakseli formula_115-akseli. Tämän vuoksi tehtävä on helpointa ratkaista sylinterikoordinaateilla. Osoittautuu, että sylinterikoordinaattimuunnoksen jälkeen vektorikenttä on formula_144. Jaetaan pinta formula_55 kolmeen eri pintaan:
Vuo voidaan laskea jakamalla vuointegraali paloihin normaalien integrointisääntöjen mukaisesti.
Kansi:
formula_157
Pohja:
formula_158
Vaippa:
formula_159
Vektorikentän formula_14 vuo pinnan formula_55 läpi on tällöin:
formula_162
Esimerkki 3.
"Pääartikkeli: Gaussin laki sähkökentille"
Laske vektorikentän
formula_163,
missä formula_164 ja formula_165 ovat vakioita ja formula_166 on pallokoordinaatiston radiaalinen kantavektori, vuo formula_167-säteisen, origokeskisen pallopinnan formula_55 läpi (sisältä ulos).
Ratkaisu:
Tehtävä on helpointa ratkaista pallokoordinaateissa. Pinnan formula_55 ulkoyksikkönormaali on tällöin aina formula_166. Ratkaistaan vuo:
formula_171
Sijoittamalla formula_172 päädytään Gaussin lakiin, joka kertoo suljetun pinnan sisällä olevan sähkövarauksen formula_165 aiheuttaman sähkökentän vuon suljetun pinnan läpi tyhjiössä. Tässä formula_174 tarkoittaa sähkökentän voimakkuutta ja formula_175 tyhjiön permittiivisyyttä.