Derivaatta

Derivaatta tarkoittaa matematiikassa reaaliarvoja saavan funktion herkkyyttä muutokselle yhden sen riippumattoman muuttujan suhteen. Derivaatta on matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Se johdetaan funktion tietyn välin "keskimääräisestä muutosnopeudesta", jonka arvosta määritetään raja-arvon avulla "muutosnopeus yhdessä kohtaa". Sanaa "derivaatta" käytetään suomessa sekä funktion derivaatan arvon että sen derivaattafunktion synonyyminä.
Jos rajoitutaan yhden muuttujan funktioihin, voidaan muutosnopeuden keskiarvoa kuvata funktion kuvaajan keskimääräiseksi jyrkkyydeksi. Sitä havainnollistetaan esimerkiksi Suomen lukioiden matematiikan oppimäärissä kuvaajan sekantilla (keskimääräinen muutosnopeus), jonka kulmakerroin on kyseisellä välillä funktion jyrkkyyksien likiarvo. Mitä pienempi on sekantin rajaama väli, sitä paremmin sen jyrkkyys vastaa funktion kuvaajan jyrkkyyksiä kyseisellä välillä. Lopulta, kun väliä pienennetään raja-arvon avulla pisteeksi, saadaan derivaatta (muutosnopeus yhdessä kohdassa). Sitä havainnollistetaan yleensä tangentilla, jonka kulmakerroin on derivaatan arvon suuruinen.
Yhden muuttujan derivaatta voidaan yleistää usean muuttujan funktioille, jossa sitä kutsutaan funktion differentiaaliksi, mutta termiä differentiaali voidaan käyttää myös yhden muuttujan funktioille. Differentiaali on funktion kokonaismuutoksen lineaarinen osa, joka esitetään usean muuttujan funktioiden tapauksessa Jacobin matriisin avulla.
Yhden reaalimuuttujan funktiot.
Määritelmä kahden kohdan avulla.
Yhden reaalimuuttujan funktion formula_1 derivaatan formula_2 formaalinen määritelmä käyttää aina hyväkseen sen muutosnopeuden raja-arvoa. Seuraavassa funktion muutosnopeutta ilmaistaan sen erotusosamäärällä käyttäen valitun välin päätepisteitä formula_3 ja formula_4
formula_5
Merkinnällä formula_6 tarkoitetaan suureen formula_7 "arvojen muutosta" tai erotusta formula_8. Välin formula_9 jälkimmäistä päätepistettä formula_4 siirretään lähemmäksi välin ensimmäistä päätepistettä formula_3. Tämä merkitään raja-arvon arvolla
formula_12 
Tällöin voidaan sanoa (jos raja-arvo on olemassa), että funktiolla formula_1 on derivaatan arvo kohdassa formula_3, joka merkitään tavallisesti formula_15. 
Määritelmä välin pituuden avulla.
Toisessa yleisessä määritelmässä erotusosamäärä muodostetaan pisteiden formula_3 ja formula_17 avulla, missä luku formula_18 on pisteiden välinen etäisyys. Sijoittamalla tämä erotusosamäärään saadaan
formula_19
Nyt väliä formula_20 voidaan raja-arvossa pienentää pienentämällä lukua formula_21, jolloin saadaan (mikäli raja-arvo on olemassa) derivaatan arvo pisteessä formula_3
formula_23 
Funktion kulun tarkastelu.
Derivaattafunktion avulla saadaan selville sellaiset kohdat, joissa alkuperäinen funktio mahdollisesti muuttaa kulkusuuntaansa. Näissä kohdissa derivaattafunktion arvo on nolla (eli funktion kulmakerroin on 0). Derivaattafunktion merkki - ja funktion kulkusuunta - voi vaihtua vain derivaatan nollakohdassa. Mikäli tällaisia kohtia ei ole, on funktio "aidosti kasvava" tai "aidosti vähenevä".
Esimerkiksi kolmannen asteen funktio formula_24 derivoituu sääntöjen mukaisesti muotoon formula_25. Laskemalla derivaattafunktion nollakohdat, jotka ovat formula_26 ja formula_27 saadaan selville kohdat joissa alkuperäinen funktio todennäköisesti vaihtaa kulkusuuntaansa. Lasketaan derivaatan arvo kunkin nollakohdan kummallakin puolella, esimerkiksi pisteissä -2, 0 ja 2. Jos saatu arvo on negatiivinen, on funktion kuvaaja laskeva, jos positiivinen, on funktion kuvaaja nouseva.
Mikäli funktion kulkua tarkasteltaisiin suljetulla välillä formula_28, huomattaisiin, että funktio saisi "suurimman ja pienimmän arvonsa" kyseisissä derivaatan nollakohdissa. Nämä kohdat formula_26 ja formula_27 ovat funktion paikallisia maksimi- ja minimikohtia. Funktiolla ei kuitenkaan ole suurinta tai pienintä arvoa, kun tarkasteluvälinä on koko reaaliakseli, koska sen arvojoukko on negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen.
Derivaatan olemassaolo.
Derivaatta on olemassa pisteessä formula_3, mikäli erotusosamäärän raja-arvo on äärellinen ja se voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Käyttämällä hyväksi toispuoleisen derivaatan käsitteitä, voidaan derivaatan olemassaolo ilmaista niin, että sekä vasemmanpuoleisen että oikeanpuoleisen derivaatan tulee olla olemassa ja niiden arvojen tulisi olla yhtä suuret.
Vaikeasti käyttäytyvillä funktioilla ei riitä erotusosamäärän raja-arvon intuitiivinen sievennys, vaan tarvitaan täsmällisempi "matemaattinen määritelmä". Sellainen on esimerkiksi
formula_32.
Toisin sanoen kaikille ehdotetuille luvuille formula_33 löytyy siitä riippuva luku formula_34 siten, että erotusosamäärän arvot ovat alle formula_35:in päässä raja-arvosta eli derivaatan arvosta, kun muuttujan arvot ovat alle formula_36:n päässä lähestyttävästä arvosta. Mikäli aina lukua formula_35 pienennettäessä, löytyy edellistä pienempi formula_36, voidaan pitää osoitettuna, että raja-arvo tulee löytymään.
Yhden muuttujan derivaattafunktio.
Derivaattafunktio tarkoittaa sellaista lauseketta, jolla voi laskea funktion derivaatan arvon kyseisessä kohdassa ilman raja-arvon määritystä. Tällaisen funktion määrittämistä kutsutaan "derivoimiseksi". Derivointifunktiota kutsutaan yleisesti myös "derivaataksi". Derivaattafunktion määrittelyjoukko voi olla sama kuin funktion määrittelyjoukko, mutta toisinaan se on suppeampi väli.
Määritetään funktion formula_1 derivaattafunktio missä funktion määrittelyjoukon pisteessä formula_4 hyvänsä. Niissä pisteissä, missä raja-arvo on määritelty, saadaan derivaattafunktioksi formula_2 (käytetään toista määritelmää)
formula_42 
Tämän derivaattafunktion määrittelyjoukko saadaan, kun raja-arvon kannalta määrittelemättömät kohdat jätetään funktion määrittelyjoukosta pois.
Esimerkiksi funktion formula_43 derivaattafunktio määritetään seuraavasti. Merkitään lausekkeet erotusosamäärään ja määritetään raja-arvo:
formula_44
Lausekkeella formula_45 voi helposti laskea funktion formula_43 derivaatan arvoja ilman, että raja-arvoa tarvitsee enää määrittää.
Tilanteita, jossa derivaatan arvoa ei voi funktion määrittelyalueelta määrittää, liittyvät esimerkiksi funktion liian suureen jyrkkyyteen. Silloin funktion kuvaajalle piirretty tangentti on pystysuora, jolle ei ole määritelty kulmakerrointa. Jos derivaatta voidaan määrittä kaikissa muissa funktion määrittelyjoukon kohdissa, muodostuu tästä derivaattafunktion määrittelyjoukko. Laajin väli, missä derivaatta on mielekästä määrittää, on funktion oma määrittelyjoukko.
Derivaatta-operaattori ja muita merkintätapoja.
Operaattoria, jolla funktion derivoinnin aikomus ilmaistaan, merkitään derivaatta-operaattorilla. Suomenkin lukiokoulutuksessa on yleisesti käytössä iso D-kirjain. Edellisen esimerkin derivointia merkitään sillä
formula_47 
Toinen yleinen merkintä "pilkku"-merkintä, jossa funktion derivaattafunktiota merkitään
formula_48
Tässä Leonhard Eulerin ja Louis Langrangen mukaan nimetyssä nk. Euler-Lagrange-merkintätavassa oletetaan, että lukija tuntee muuttujan, jonka suhteen derivointi suoritetaan. Tämän vuoksi sitä käytetään pääasiassa yhden muuttujan derivoinnissa, ja sekin on siten yleinen esimerkiksi suomalaisessa koulumatematiikassa. Mikäli muuttujana on aika (merkitään "t"), kuten fysiikassa on yleistä, käytetään "piste"-merkintää
formula_49 
Useamman muuttujan funktioissa voidaan suorittaa derivointi yhdelle muuttujalle, joka tulee ilmoittaa lukijalle alaindeksinä tai uudella merkinnällä
formula_50
Merkinnät formula_51 ja formula_52 tarkoittavat suureiden formula_53 ja formula_54 differenssejä ja nimittäjästä formula_52 voidaan päätellä, minkä muuttujan suhteen derivointi suoritetaan.
Derivaatan arvo jossakin kohdassa formula_56 merkitään vastaavasti formula_57, formula_58, formula_59 tai formula_60
Moninkertaiset derivaatat.
Kun funktion formula_53:n derivaattafunktio on myös derivoituva, voidaan funktiota formula_53 kutsutaan "kahdesti derivoituvaksi". Kahdesti derivoitu funktio eli "toinen derivaatta" määritetään
formula_63 
ja merkitään formula_64, formula_65 tai formula_66. Derivaattafunktioiden derivaattoja tarvitaan monissa sovelluksissa. Silloin voidaan yleistää, että jos formula_53:n formula_68:s derivaattafunktio on derivoituva, niin funktio on "formula_69 kertaa derivoituva", ja sen "formula_69:ttä derivaattaa" merkitään formula_71, formula_72 tai formula_73.
Jos funktion (formula_69:s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan (formula_69 kertaa) jatkuvasti derivoituva. Mikäli funktion formula_69:s derivaattafunktio on olemassa ja jatkuva, sanotaan, että funktio on formula_77-funktio. Jos funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva ja sen jokainen derivaattafunktio on jatkuva, niin funktion sanotaan olevan formula_78-funktio.
Eräiden alkeisfunktioiden derivointia.
Seuraavassa luettelossa on eräiden alkeisfunktioiden derivaattojen muistikaavoja. Siinä ei oteta kantaa funktion ja derivaatan määrittelyjoukkoihin.
Potenssin derivaatta.
Siinä tapauksessa, että eksponentti "n" on positiivinen kokonaisluku tai nolla, potenssin "x""n" derivaattafunktio voidaan määrittää derivaatan määritelmän mukaan
formula_79
jolloin potenssifunktiolle saadaan
formula_80
Koska
formula_81,
missä formula_82 vastaa kunkin termin binomikerrointa (erityisesti formula_83 ja formula_84), voidaan erotusosamäärä kirjoittaa
formula_85
formula_86
formula_87
formula_88 
Tämän todistuksen ja summaussäännön perusteella voidaan helposti todistaa polynomifunktion formula_89 derivaatta.
Edellä sääntö formula_90 on todistettu siinä tapauksessa, että eksponentti "a" on positiivinen kokonaisluku. Voidaan kuitenkin osoittaa, että sama tulos pätee, olipa "a" mikä reaaliluku tahansa.
Ensinnäkin jos eksponentti "k" = "-n" on negatiivinen kokonaisluku, on määritelmän mukaan
formula_91.
Osamäärän derivoimissääntö yksinkertaistuu tässä tapauksessa muotoon
formula_92
Näin voidaan todeta, että sääntö formula_93 pätee myös eksponentin negatiivisilla kokonaislukuarvoilla.
Eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaattojen lausekkeista
formula_94 ja formula_95
sekä yhdistetyn funktion derivoimissäännöstä seuraa edelleen, että olipa "a" mikä reaaliluku tahansa, on aina
formula_96.
Yleisiä derivointisääntöjä.
Mikäli funktio on alkeisfunktioiden yhdistelmä, kuten niiden summa, erotus, tulo, osamäärä tai yhdistelmä, voidaan niitä derivoida seuraavien sääntöjen puitteissa.
Vakiofunktion formula_97 derivointi voidaan suorittaa määritelmän kautta seuraavasti:
formula_98
Yhden kompleksimuuttujan funktiot.
Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia formula_99, ja tietyssä alueessa "G" (sisältää luvun formula_100) määriteltyä kompleksifunktiota formula_101, pystytään joskus määrittämään funktion formula_102 derivaatta.
Holomorfinen funktio.
Derivaatta on olemassa, mikäli formula_102 toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt ja sen osittaisderivaatat ovat pisteen formula_100 ympäristössä "G" jatkuvat. Tällaisia kompleksifunktioita kutsutaan holomorfisiksi funktioiksi. Silloin raja-arvo
formula_105 
voidaan määrittää yksikäsitteisesti.
Derivaatan olemassaolon toteaminen.
Esimerkiksi toisen asteen kompleksifunktio voidaan kirjoittaa auki
formula_106
Derivaatan olemassaolo voidaan todeta muodostamalla funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat 
formula_107
formula_108
formula_109 ja
formula_110
Koska saadut osittaisderivaatat ovat polynomeina jatkuvia ja ne toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt
formula_111
ja
formula_112
on funktio formula_113 derivoituva.
Kompleksifunktioiden derivointikaavat.
Kompleksisten alkeisfunktioiden derivointisäännöt ja yleiset derivointisäännöt säilyvät samanlaisina kuin reaalimuuttujaisilla alkeisfunktioilla.
Usean muuttujan funktiot.
Yhden muuttujan funktion derivointi voidaan yleistää vektoriarvoisen muuttujan vektoriarvoiseen funktion derivaattaan. Vektorilla voidaan esittää useamman muuttujan funktion määrittelyjoukkoa. Funktion kuvaus on tällöin formula_114. Vektoreissa voidaan käyttää myös kompleksimuuttujia. Derivaatta määritellään tällaisilla funktioilla luonnollisella tavalla.
Osittaisderivaatta.
Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä osittaisderivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhden muuttujansa suhteen. Osittaisderivoitaessa yhtä muuttujaa, muita muuttujia kohdellaan kuin vakioita. Sitä käytetään, kun halutaan tietää yhden muuttujan muutoksen vaikutus funktion arvoihin.
Suunnattu derivaatta.
Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä suunnattu derivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhdessä pisteessä halutussa suunnassa. Kussakin määrittelyjoukon pisteessä voidaan funktiolle määrittää suunnattu derivaatta äärettömän moneen eri suuntaan. Erisuuntaiset derivaatat ovat arvoltaan usein erisuuruisia. Ne voidaan laskea kätevästi käyttäen gradienttia. Sunnatulla derivaatalle voidaan määrittää myös toispuoleinen derivaatta.
Sovelluksia.
Derivointi on hyödyllinen matemaattinen apuneuvo myös teknisissä tieteissä. Seuraavassa yksinkertainen esimerkki derivaatan käytöstä fysiikassa. Oletetaan, että halutaan selvittää vaikkapa putoamiskiihtyvyys formula_115, kun mitataan putoavan pallon putoama matka formula_116 ajan formula_117 funktiona. Tiedetään, että matka voidaan ilmaista
formula_118
ja nopeus formula_119 on matkan derivaatta ajan suhteen
formula_120
mistä edelleen putoamiskiihtyvyys formula_115 on nopeuden derivaatta ajan suhteen. Toisin sanoen siis matkan toinen derivaatta:
formula_122
Kun mitattu etäisyys derivoidaan ajan suhteen numeerisesti, saadaan putoamiskiihtyvyys. Ajan suhteen derivoitaessa saatetaan joskus myös käyttää derivaatan merkkinä pistettä derivoitavan suureen päällä formula_123 ja formula_124.
Historia.
Aluksi tutkittiin suureiden muuttumista kun muuttujien arvoa muutettiin. Suureen muutosnopeuden arvo riippui käytettävästä muuttujan arvon muutossuuruudesta ja se saatiin sitä paremmaksi, mitä pienempi oli muuttujan muutosväli. Käyttöön otettiin infinitesimaalin käsite. Se vastasi ”pienintä mahdollista muutosta” suureen arvossa. Derivaatta määritettiin siksi funktion arvon muutosnopeudeksi, kun muuttuja muuttui vain infinitesimaalisen vähän. Infinitesimaalit on 1900-luvulta asti korvattu raja-arvon käsitteellä, jossa muutosnopeuden keskiarvo on annetulla välillä korvattu erotusosamäärällä. Kun annettua väliä pienennetään rajatta, saadaan derivaatan arvo erotusosamäärän raja-arvona. 1960-luvulta alkaen Abraham Robinson ja Jerome Keisler kuitenkin todistivat, että myös infinitesimaaleihin pohjaava differentiaalilaskenta voidaan määritellä tarkasti.
Derivaatan käsitteen esittivät ensimmäisenä Isaac Newton ja Gottfried Leibniz 1600-luvulla. Sanan derivaatta ("johdos") otti käyttöön Joseph-Louis Lagrange 1700-luvun lopulla.