0 (luku)

Nolla ilmaisee lukumäärää ”ei yhtään”. Nollaa alettiin käyttää suhteellisen myöhään ja tapa on peräisin intialaisilta. Nollaa ei ole perinteisesti pidetty luonnollisena lukuna ja vasta 1800-luvun lukuteoreetikot alkoivat keskustella sen asemasta. Kyseessä on heidänkin mukaansa lähinnä määrittelykysymys.
Vaikka nolla ilmaisee määrän ”ei mitään”, on sen mukaanotto "paikkamerkinnässä" vaikuttanut merkittävästi laskutoimitusten sujuvuuteen. Monet laskutoimituksien algoritmit vaativat nolla-merkin käyttöä lukuesityksessä toimiakseen ilman poikkeussääntöjä. Laskuja on voitu tehdä kirjoittamalla paperille välitulokset muistiin ja viemällä laskut loppuun ilman apuvälineitä. Laskemisesta on näin tullut suurten ihmisjoukkojen opittavissa oleva taito.
Nolla desimaalijärjestelmässä.
Luvun desimaaliesityksen paikkamerkinnässä nolla ilmaisee puuttuvaa kymmenpotenssikerrointa. Esimerkiksi luvussa 4206 nollalla on merkitty kymmenien lukumäärää. Luku muodostetaan siten, että lasketaan yhteen 4 tuhatta, 2 sataa ja 6. Kymmeniä ei luvun muodostamiseen tarvita, joten niiden lukumäärää merkitään nollalla.
Monissa muinaisissa paikkamerkintää käyttävissä lukujärjestelmissä ei nollaa aina käytetty. Muun muassa babylonialaiset luvut kirjoitettiin jättämällä tyhjä paikka puuttuvalle kertoimelle.
Nollan aritmetiikka.
Luonnollisen luvun määritelmässä ei oteta nollaa aina mukaan, mutta joskus näin tehdään. Nolla on suurin ei-positiivinen luku ja pienin ei-negatiivinen luku. Nolla itse ei ole positiivinen eikä negatiivinen.
Nolla on parillinen luku. Nolla on myös ainoa luku, joka on sekä reaaliluku että imaginaariluku, koska formula_1.
Yhteenlaskussa toinen operandi voi olla nolla. Nolla ei vaikuta summaan, joka saa toisen operandin arvon. Nollaa kutsutaankin yhteenlaskussa neutraalialkioksi.
formula_2
Vähennyslaskussa nolla liittyy vastaluvun käsitteeseen.
formula_3
Kun kertolaskussa toinen operandi on nolla, saadaan tuloksi nolla.
formula_4
Jakolaskussa nolla voi olla vain osoittajana.
formula_5
Jos nolla asetetaan nimittäjäksi, on tulos määrittelemätön. Potenssimerkinnässä sallitaan kaksi nollan käyttötapaa.
formula_6
Jos molemmat ovat nollia, on tulos määrittelemätön. Nollan kertoma eli
formula_7
määritelmän mukaan.
Nollalla jakaminen.
Nollalla ei voi jakaa, koska on mahdotonta määritellä reaalilukujen jakolaskua siten, että nollalla jakaminen olisi mahdollista ja että tutut jakolaskun laskusäännöt olisivat yhä voimassa. Asiaa havainnollistetaan joskus esittämällä nollalla jakamisen absurdeja seurauksia. Esimerkkinä ”osoitetaan” seuraavassa, että formula_8.
Olkoot formula_9 ja formula_10 sama luku, siis formula_11. Siirtämällä molemmat termit yhtälön samalle puolelle saadaan formula_12. Jaetaan yhtälö nyt puolittain luvulla formula_13. Vasemmalle puolelle jää luku 1, sillä luku jaettuna itsellään on 1. Oikealle puolelle jää 0, sillä nolla jaettuna millä tahansa nollasta eroavalla luvulla on 0. Järjenvastaisen tuloksen syynä on luvulla formula_13 jakaminen. Koska jakava luku formula_13 on kuitenkin nolla, saadaan virheellisesti ”todistettua”, että 1 olisi yhtä kuin 0.
Historia.
Varhaisimmissa lukujärjestelmissä ei ollut nollan merkkiä. Luvut ilmaistiin sanallisesti, ja ne vastasivat kysymyksiin, kuten ”kuinka monta halkoa olemme kasanneet”. Nollaa vastaava ilmaisu olisi ”ei yhtään”.
Nollamerkin erityinen arvo paljastuu siitä, että ilman nollaa tarkoittavaa merkkiä laskemisessa ei voitu soveltaa paikkamerkintää, missä numerosymbolin lisäksi numeron sijainti suhteessa muihin osoitti sen arvoa. Esimerkiksi kantalukuun 10 perustuvassa järjestelmässä paikkamerkintä ”1234” tarkoittaa lukua, joka saadaan laskemalla formula_16. Toisin kuin paikkamerkintään perustuvilla symboleilla, roomalaisten käyttämillä lukujen kirjainsymboleilla voitiin tehdä vain päässälaskuja, jossa luvut ensin sanallistettiin. Vielä paikkamerkinnän käyttöönoton jälkeenkin jäi tavaksi esittää matemaattiset ratkaisut sanallisesti eikä numeraalisilla laskutoimituksilla. Näin teki vielä Al-Khwarizmi (n. 800–840), joka oli ensimmäinen islaminuskoinen paikkamerkkijärjestelmää esitellyt matemaatikko. Syynä saattoi olla se, että paperin sijaan käytettiin vielä pitkään pieniä vahatauluja, joihin merkittiin vain sormilla tai ulkomuistista tehtyjen laskutoimitusten lopputulos.
Carl Boyer kirjoittaa matematiikan historiassaan, että babylonialaiset keksivät lukujen paikkamerkinnän jo noin 4 000 vuotta sitten. Luku 2 ilmaistiin kahdella nuolisymbolilla ↑↑. Luku ↑↑ ↑↑ ↑↑ sisälsi kaksi tyhjää väliä, jotka erottivat lukujen paikkoja. Koska kantalukuna oli 60, oikealla oleva ryhmä tarkoitti kahta ykköstä, keskimmäinen ryhmä kantaluvun kaksinkertaista arvoa ja vasen ryhmä kantaluvun neliötä, mistä saadaan formula_17, mikä kymmenjärjestelmässä vastaa lukua 7322. Babylonialaisilla ei ollut selkeää tapaa merkitä tyhjää paikkaa eikä merkkiä nollalle. Aleksanteri Suuren valloitusretken aikoihin 300 eaa. keksittiin käyttää tyhjän merkkinä kahta vinokiilaa, mutta sillä merkittiin vain lukujen keskellä olevat nollat. Babylonialaisten paikkamerkintä ei siten ollut täydellistä.
Aristoteles tunsi nollan tai tyhjän käsitteen mutta ei pitänyt sitä tarpeellisena. Hänen mukaansa nolla ja ääretön olivat käsitteitä, jotka liittyivät lukuihin mutta eivät olleet lukuja. Aristoteleen mukaan ei voi olla nolla jotakin; nolla jostakin tarkoittaa, että ei ole mitään jostakin. Tällöin ei ole mitään. Aristoteles perusteli nollan hyödyttömyyttä myös sillä, että nollaan ei ikinä päädytä jakamalla. Tavaroita voi jakaa siten, että joku saa 1:n tai jopa murto-osia 1:stä, mutta ei nollaa.
Ptolemaios Aleksandrialaisen jännetaulukoissa 130 jaa. osana kuusikymmenlukujärjestelmää esiintyy myös nollan symboli. Muita lukuja merkittiin joonialaisilla kirjaimilla normaaliin tapaan. Ptolemaioksen nolla oli vaihtelevasti koristettu pieni ympyrä, jonka päälle oli vedetty pitkä viiva. Varhaisin kiistaton nollan merkintä on kuitenkin vuodelta 862 olevassa intialaisessa kaiverruksessa. Pidetään mahdollisena, että nolla syntyi kreikkalaisessa maailmassa, ehkä Aleksandriassa, ja siirtyi sieltä Intiaan.
Nykyisen Pakistanin alueelta Bakhshalin kylästä on löytynyt nollia sisältävä käsikirjoitus. Käsikirjoituksen vanhimmat osat ovat ajalta 224–383 jaa. Käsikirjoitus koostuu 70 tuohenpalasesta, joissa on sanskritinkielistä tekstiä ja matemaattisia kaavoja.
Nolla näyttää syntyneen riippumattomasti Jukatanin niemimaalla mayojen kulttuurissa ennen Kolumbusta. Kun kantalukuna käytettiin lukua viisi, luku 17 voitiin ilmaista kahdella pisteellä ja niiden alla olevilla kolmella viivalla. Tyhjää paikkaa merkittiin erilaisilla symboleilla.
Varhaisin viittaus intialaisiin numeroihin on syyrialaisen piispan Severus Seboktin huomautus vuonna 662, että intialaiset käyttivät yhdeksää numeromerkkiä. Kun nolla saatiin mukaan, sen merkiksi omaksuttiin hanhen munaa esittävä soikio. Intialaiset numerot sisälsivät kolmen periaatteen yhdistelmän: 1) kantalukuna oli kymmenen, 2) käytössä oli paikkamerkinnät ja 3) kutakin kymmentä lukua vastasi oma merkkinsä. Intiassa ja osassa Arabian niemimaata käytetään nollan symbolina keskitettyä pistettä ympyrän tai soikion sijaan.
Brahmagupta kirjoitti Keski-Intiassa vuoden 628 jaa. tienoilla kirjan Brahmasphuta Siddhāntan. Siinä hän luettelee joitakin nollaan ja negatiivisiin lukuihin liittyviä ominaisuuksia seuraavasti: ”Nollan ja negatiivisen luvun summa on negatiivinen. Nollan ja positiivisen luvun summa on positiivinen. Kahden nollan summa on nolla. Positiivisen ja negatiivisen luvun summa on lukujen erotus tai nolla, jos ne ovat yhtä suuret. Positiivisen tai negatiivisen luvun jakolaskun tulos, kun nolla on jakajana, on murtoluku, jossa nolla on jakaja. Nolla jaettuna positiivisella tai negatiivisella luvulla on nolla tai murtoluku, jossa osoittajana on nolla ja nimittäjänä on mainittu luku. Nolla jaettuna nollalla on nolla.” Viimeinen lause, jossa nolla jaetaan nollalla, ei vastaa nykykäsitystä laskun tuloksesta.
Nollan tulo Eurooppaan.
Kreikkalaiset tunsivat nollan käsitteen babylonialaisista numeroista, mutta he eivät pitäneet nollan käsitteestä filosofisena käsitteenä. Monet Zenonin paradokseista selittyvät sillä, että nollan käsite oli hämärä. Roomalaisiin numeroihin ei alun perin kuulunut nollaa numerona, mutta latinan kielestä löytyvät sanat "nullus" ("ei lainkaan"), "sine" ("ilman") ja "nihil" ("ei-mikään"), ja he tunsivat olemattomuuden juridisena, mutta eivät matemaattisena, käsitteenä.
Ensimmäinen länsimaalainen, joka tunnusti nollan luvuksi, on ollut Dionysius Exiguus vuonna 525. Hän käytti latinan kirjainta N (sanasta "nullus") nollan merkkinä pääsiäisen laskukaavassaan. Myös Beda Venerabilis käytti kirjainta N nollan merkkinä vuonna 725.
Nollan tulosta Eurooppaan tiedetään yhtä vähän kuin numeromerkkien alkuperästä. Ensimmäinen indoarabialaista lukujärjestelmää Euroopassa käsitellyt kirjoittaja oli luultavasti "Gerbert d’Aurillac" (940–1003). Hän opiskeli Espanjassa, missä hän tutustui luonnontieteisiin ja arabien matematiikkaan, mutta ei välttämättä nollaan. Myöhemmin hän toimi muun muassa Otto III:n hovissa ennen valintaansa Paavi Sylvester II:ksi vuonna 999. Intialais-arabialainen järjestelmä tuotiin Eurooppaan varmuudella 1200-luvulla useiden oppineiden toimesta. Yksi heistä oli Leonardo Pisalainen eli Fibonacci, joka kirjoitti vuonna 1202 kirjassaan "Liber abaci" arabialaisista numeroista ja paikkamerkinnästä. Hän mainitsee nollan arabialaisen nimen "zephirum", joista saatiin eurooppalaisiin kieliin nimet "cipher" ja "zero".
Eurooppalaisia nollaa mainitsevia tekstejä on vain muutamia ennen sen yleistä käyttöä laskemisessa. Vuodelta 1247 olevasta teoksesta löytyy sauvanumeroilla kirjoitettuna luku 1 405 536 siten, että nollana käytettiin soikeaa ympyrää. 1300-luvun Bysantissa käytettiin jo kymmenjärjestelmää ja sen numeroina yhdeksää ensimmäistä kreikkalaista kirjainta. Nollan virkaa hoiti ylösalaisin kirjoitettu h-merkki. Nicolas Chuquet esitteli vuonna 1484 julkaistussa Triparty’ssa arabialaiset numerot ja nollan sanoen sen olevan ”ei mitään” tai ”se ei tarkoita arvoa” tai ”numero, jolla ei ole arvoa”.
Suomen sana "nolla" pohjautuu latinan sanaan "nullus". Elias Lönnrot ehdotti vuonna 1839 suomen kielen nolla-sanaksi "tyhjykkää".