Yhteisjakauma

Yhteisjakauma on todennäköisyyslaskennassa usean satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Yhteisjakaumaa voidaan kutsua myös "moniulotteiseksi todennäköisyysjakaumaksi". Monet yhteisjakauman ominaisuudet perityvät yhden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta, mutta satunnaismuuttujien keskinäiset riippuvuudet vaikuttavat sen ominaisuuksiin oleellisesti. Moniulotteisten todennäköisyysjakaumiin liittyviä käsitteitä ovat reunajakaumat, ehdolliset jakaumat ja näiden tunnusluvut, kuten esimerkiksi kovarianssi ja korrelaatio.
Yhden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat kuvaavat useimpia satunnaisilmiöitä vain rajoitetusti, sillä satunnaisilmiöihin liittyy tavallisesti useita satunnaisia tekijöitä ja satunnaismuuttujien väliset riippuvuudet ovat silloin mielenkiinnon kohteina. Näitä on selvintä tarkastella yhteisjakauman avulla. Yhteisjakauman perusominaisuuksia voi tutkia jo kahden satunnaismuuttujan yhteisjakamalla.
Kaksiulotteinen yhteisjakauma.
Kahdesta satunnaismuuttujasta formula_1 ja formula_2 muodostetaan järjestetty pari formula_3 määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (myös satunnaisvektori ). Satunnaismuuttujat voivat olla esimerkiksi diskreettejä, jatkuvia tai näiden tyyppien sekamuotoinen yhdistelmä. Järjestetty pari voi lisäksi olla näiden tyyppien yhdistelmä. Yksinkertaisuuden vuoksi tässä ei esitetä sekamuotoisien satunnaismuuttujien merkintöjä, vaan ne ovat joko diskreettisia tai jatkuvia satunnaismuuttujien pareja.
Todennäköisyysfunktio.
Todennäköisyysfunktio, joka on joko diskreettien satunnaismuuttujien pistetodennäköisyysfunktio tai jatkuvien satunnaismuuttujien tiheysfunktio, on kummassakin tapauksessa reaalilukufunktio
formula_4
jolla on seuraavat alla esitetyt ominaisuudet.
formula_5 kaikille formula_6
formula_7 
formula_8
formula_5 kaikille formula_6
formula_11 
formula_12
Tapahtuma.
Diskreetissä tapauksessa tapahtuma on sellainen järjestetty pari formula_13, jonka pistetodennäköisyysfunktion arvo ei ole nolla
formula_14 
Jatkuvassa tapauksessa tapahtuma koostuu sellaista alueista formula_15, joissa tiheysfunktio, ja sen seurauksena myös todennäköisyysfunktio, ei ole koko ajan nolla
formula_16 
Kertymäfunktio.
Kertymäfunktio voidaan muodostaa monilla eri tavoilla. Yleisin tapa on luoda tapahtumia, johon kerätään kaikkien satunnaismuuttujien arvot tiettyyn ylärajaan asti. Kaksiulotteisessa jakaumassa se tarkoittaa tapahtumaa
formula_17
Kaksiulotteista kertymäfunktiota voidaan merkitä
formula_18
ja sillä tarkoitetaan diskreetissä tilanteessa
formula_19 
ja jatkuvassa tilanteessa
formula_20 
Jatkuvassa tapauksessa, mikäli kertymäfunktio on derivoituva, saadaan osittaisderivoimalla kummankin satunnaismuuttujan suhteen
formula_21 
Derivaattafunktio on yhteisjakauman tiheysfunktio.
Reunajakaumat.
Yhteisjakauman ulottuvuuksia voidaan rajoittaa kiinnittämällä yksi tai useampia satunnaismuuttujia vakioiksi, ja laskemalla syntyvän alempiulotteisen jakauman todennäköisyys tai kertymäfunktiot. Näitä jakaumia kutsutaan yleisellä nimellä reunajakauma, joka on peräisin kahden satunnaismuuttujan jakauman ominaisuudesta.
Kaksiulotteisen yhteisjakauman reunajakaumia on kaksi, joiden todennäköisyysfunktioiden muodostaminen esitetään tässä. Niiden pistetodennäköisyysfunktiot muodostetaan diskreetissä tapauksessa 
formula_22 (satunnaismuuttujan formula_1 suhteen)
formula_24 (satunnaismuuttujan formula_2 suhteen)
ja tiheysfunktiot jatkuvassa tapauksessa vastaavasti
formula_26 
formula_27 
Edellisillä reunajakaumilla on myös kertymäfunktiot formula_28 ja formula_28, ja näiden tunnusluvut, kuten esimerkiksi odotusarvot formula_30 ja formula_31 ja varianssit formula_32 ja formula_33, voidaan muodostaa reunajakaumista luonnollisella tavalla. Muut momentit saadaan esimerkiksi momenttifunktioista, jos ne ovat olemassa.
Tunnusluvut.
Momentit.
Yhteisjakaumalle ja sen kummallekin reunajakuamalle voidaan määrittää momentit. Yhden satunnaismuuttujan jakaumille, kuten joskus reunajakaumille, origomomentit määritellään formula_34, keskusmomentit määritellään formula_35 ja tekijämomentit formula_36 Kahden satunnaismuuttujan yhteisjakaumille vastaavat jakaumat ovat formula_37 ja formula_38 Näiden määrittäminen yhteisjakaumalle voidaan suorittaa myös momenttifunktioilla ja generoivilla funktioilla.
Odotusarvo.
Kaksiulotteisen yhteisjakauman odotusarvo määritellään aina annetun reaalilukuarvoisen satunnaismuuttujan tai funktion avulla. Ellei eri satunnaismuuttujia voida muuttaa lausekkeeksi, ei odotusarvo ole määritelty. Eräs tapa kiertää tuo ongelma on laskea reunajakaumien odotusarvot formula_39 ja formula_40 ja muodostaa niistä järjestetty pari formula_41, joka määrää satunnaismuuttujien yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen arvot.
Ennalta annetun reaaliarvoisen funktion formula_42 odotusarvo määritellään 
formula_43
kun on kyseessä diskreetit satunnaismuuttujat, ja
formula_44
kun kyseessä on jatkuvat satunnaismuuttujat.
Eräiden funktioiden, kuten esimerkiksi formula_45, avulla voidaan laskea satunnaismuuttujien summan odotusarvo, jolloin summien ja integraalien ominaisuuksista johtuen voidaan aina kirjoittaa
formula_46
ja jos satunnaismuuttujat ovat riippumattomat, saadaan
formula_47 
Varianssit, kovarianssi ja korrelaatio.
Samasta syystä kuin odotusarvon tapauksessa, yhteisjakauman varianssi ei ole suoraan määritelty. Se voidaan laskea vain satunnaismuuttujista muodostetulle funktiolle ja sitten kummankin reunajakauman osalta erikseen. Sen sijaan kovarianssi formula_48 on määritelty niin, että se voidaan laskea kahdesta satunnaismuuttujasta seuraavasti 
formula_49 (diskreettit satunnaismuuttujat)
formula_50 (jatkuvat satunnaismuuttujat)
Varianssit lasketaan toisesta satunnaismuuttujasta (esimerkissä jatkuva s.m.)
formula_51
missä formula_52 on yhteisjakauman reunajakauma muuttujan formula_1 suhteen.
Riippumattomat satunnaismuuttujat.
Kaksi satunnaismuuttujaa formula_1 ja formula_2 ovat riippumattomat (merkitään joskus formula_56), jos kummankin satunnaismuuttujan tapahtumat formula_57 ja formula_58 ovat riippumattomia toisistaan. Silloin pätee tulo
formula_59
Asialla on joitakin seurauksia. Kun satunnaismuuttujat ovat riippumattomat, niin silloin voidaan kirjoittaa:
*formula_60 (pistetodennäköisyysfunktiot ja tiheysfunktiot)
*formula_61 (kertymäfunktiot)
*formula_62 (momenttifunktiot)
*formula_63 (todennäköisyydet generoivat funktiot)
formula_64
formula_64
Moniulotteiset yhteisjakaumat.
Edellä käsitelty kaksimuuttujainen eli kaksiulotteinen yhteisjakauma on jo moniulotteinen yhteisjakauma. Muodostettaessa moniulotteisia jakaumia jatketaan kaksiulotteisen jakauman periaatetta kaikissa suhteessa lisäämällä siihen puuttuvat muuttujat ja huomioimalla eri tilanteissa syntyvien vaihtoehtojen kasvava lukumäärä.