Momenttifunktio

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio eli momenttiemäfunktio on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty funktio, joka on yleinen menetelmä laskea jakauman tunnuslukuja eli momentteja. Diskreetin jakauman momenttifunktio muodostetaan pistetodennäköisyysfunktion ja jatkuvan jakauman momenttifunktio tiheysfunktion avulla. Jakauma voidaan karakterisoida kätevästi käyttäen pelkästään momenttifunktiota.
Momenttifunktiolla voidaan laskea jakauman momentit yksinkertaisella tavalla, sen avulla ratkeavat tietyt laskennalliset ja kombinatoriset ongelmat, sillä voidaan käsitellä yksinkertaisesti riippumattomien satunnaismuuttujien summia, helpottavat leveiden jakaumien todennäköisyyksien laskemista, yhdistää todennäköisyyslaskennan kompleksilukulaskentaan, helpottaa suurten lukujen lain soveltamista ja Markovin ketjujen analysointia.
Määritelmä.
Jos formula_1 on diskreetti satunnaismuuttuja, formula_2 satunnaismuuttujan perusjoukko ja formula_3 sen pistetodennäköisyysfunktio. Silloin reaalimuuttujan formula_4 funktio
formula_5 
on satunnaismuuttujan formula_1 momenttifunktio kunhan odotusarvo
formula_7
on olemassa avoimella välillä formula_8 (formula_9). Luku formula_10 määräytyy siten, että momenttifunktio on äärellisenä olemassa kaikilla välin arvoilla. Momenttifunktio on siten funktion kuvaus
formula_11 
Jatkuvan satunnaismuuttujan momenttifunktio määritellään vastaavalla tavalla 
formula_12
Momenttifunktion määrittämiseksi määrätyn integraalin eksponenttifunktio voidaan avata Taylorin sarjaksi, jolloin saadaan jatkuvassa tapauksessa lausekkeet 
formula_13
formula_14
missä formula_15 formula_16 formula_17... ovat momentteja (katso alla).
Esimerkkejä.
Diskreetti satunnaismuuttuja.
Satunnaismuuttuja formula_18 saa vain kolme arvoa formula_19 todennäköisyyksillä formula_20 vastaavasti. Silloin formula_18:n jakauman momenttifunktio on
formula_22
kaikille formula_23 
Jatkuva satunnaismuuttuja.
Jos satunnaismuuttuja formula_24 on tasaisesti jakautunut välille [0,1], on sen tiheysfunktio tällä välillä formula_25 Silloin momenttifunktio lasketaan
formula_26 
Ominaisuuksia.
Momenttifunktiolla on joitakin ominaisuuksia, joita voidaan käyttää hyödyksi yhden tai useamman satunnaismuuttujan jakaumissa. Merkitään satunnaismuuttujien formula_1 ja formula_18 momenttifunktioita formula_29 ja formula_30.
Todennäköisyydet generoiva funktio formula_43 liittyy momenttifunktioihin seuraavasti:
formula_44 
Momentteja.
Satunnaismuuttujien jakaumien tunnuslukujen joukossa on erilaisia momentteja. Yleensä halutaan käyttää "tavallisia momentteja" formula_45 eli "origomomentteja" sekä ja "keskusmomentteja" formula_46 missä formula_47 Satunnaismuuttujalle voidaan muodostaa myös "tekijämomentteja", jotka määritellään formula_48 
Momenttifunktio liittyy momentteihin siten, että momenttifunktion r. kertaluvun derivaattojen arvot kohdassa nolla antavat satunnaismuuttujan formula_1 r. origomomentit: formula_50 Origomomentit saadaan seuraavasti (eksponenttifunktion sarjamuodostelman merkinnöillä):
Kaksiulotteinen yhteisjakauma.
Origomomentit generoiva funktio.
Diskreetit satunnaismuuttujat formula_1 ja formula_18 muodostavat yhteisjakauman todennäköisyysfunktiolla formula_61 Yhteisjakauman momenttifunktio on myös kaksiarvoinen funktio
formula_62 
Jatkuvilla satunnaismuuttujilla momenttifunktio kirjoitetaan
formula_63 
Kun formula_64 saadaan satunnaismuuttujan formula_18 momenttifunktio
formula_66 
ja arvolla formula_67 saadaan satunnaismuuttujan formula_1 momenttifunktio formula_69
Momenttifunktiosta muodostetaan tarvittavat origomomentit derivoimalla se vaihtelevilla tavoilla. Seuraavat osittaisderivaatat ovat hyödyllisiä:
formula_70
formula_71
formula_72
formula_73
Keskusmomentit generoivat funktiot.
Yhden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan formula_74 ja niitä generoiva funktio vastaavasti
formula_75
Näistä toinen derivaatta
formula_76
on varianssi.
Kahden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan formula_77 ja niitä generoiva funktio vastaavasti
formula_78
Näistä toinen osittaisderivaatta
formula_79
on kovarianssi.