Kategoriateoria

Kategoriateoria on matematiikan osa-alue, joka tutkii matemaattisia rakenteita keskittymällä objektien välisiin suhteisiin ja yhteyksiin. Kategoriateorian peruskäsite on kategoria, jonka voidaan ajatella olevan tietty matemaattinen konteksti, jossa käsillä olevan matemaattisen teorian diskurssi tapahtuu. Kategorioita tavataan lähes kaikilla matematiikan osa-alueilla, joten kategoriateoreettisia käsitteitä ja tuloksia voidaan käyttää matemaattisten teorioiden jäsentelyyn ja tutkimiseen. Kategorioita voidaan kuitenkin tutkia myös itsenäisinä olioina, ilman suoraa yhteyttä muihin matematiikan osa-alueisiin.
Kategoriateorian keskiössä ovat niin sanotut "universaaliominaisuudet": oliot määritellään suhteessa "kaikkiin" tietyn kontekstin (eli kategorian) olioiden suhteen. Tällä tavoin määritellyt oliot eivät siis ole olemassa itsenäisesti, vaan oleellisella tavalla riippuvat ja sisältävät informaatiota siitä kontekstista tai teoriasta, johon kuuluvat. Tärkeä kategoriateoreettinen tulos on Yonedan lemma, joka karkeasti ottaen sanoo, että kaikki kategorian objektit määräytyvät yksikäsitteisesti universaaliominaisuuksiensa kautta.
Kategoriateoria syntyi puhtaan matematiikan osa-alueena homologisen algebran tarpeisiin, minkä jälkeen sitä on sovellettu ja kehitetty matematiikan sisällä muun muassa algebrallisen topologian, algebran ja matemaattisen logiikan yhteydessä. Tämän lisäksi kategoriateoriaa on sovellettu matematiikan ulkopuolella muun muassa tietojenkäsittelytieteessä, fysiikassa, teoreettisessa biologiassa, systeemiteoriassa ja kieliteknologiassa.
Historia ja motivaatio.
Saunders Mac Lane ja Samuel Eilenberg määrittelivät funktorit ja luonnolliset isomorfismit ryhmäteorian kontekstissa artikkelissaan vuodelta 1942. Heidän tarkoituksensa oli homologisessa algebrassa usein esiintyneiden "luonnollisten isomorfismien" systematisointi ja täsmällinen määrittely. Näiden määrittelemistä varten tarvittiin funktorin määritelmä, mikä puolestaan johti heidät esittelemään esimerkkejä luonnollisista muunnoksista muilta matematiikan osa-alueilta heidän seuraavassa artikkelissaan vuodelta 1945. Tässä artikkelissa myös määriteltiin kategoria ensimmäisen kerran.
Kategoriat.
Kategoria on kategoriateorian perusyksikkö, joka koostuu "objekteista" sekä näiden välisistä "morfismeista". Morfismit voidaan ajatella prosesseina, joilla on lähtöpiste tietyssä oliossa (morfismin "lähtöobjekti") sekä päätepiste jossakin toisessa oliossa (morfismin "maaliobjekti"). Morfismien ja objektien määritelmä on kuitenkin täysin formaali eikä edellytä tällaista intuitiota. Kategorian mille tahansa objektille on olemassa "identiteettimorfismi", ja mitkä tahansa kaksi peräkkäistä morfismia voidaan yhdistää "yhdisteeksi". Lisäksi pätevät identiteettilaki ja liitäntälaki: minkä tahansa morfismin yhdiste identiteettimorfismin kanssa on sama kuin kyseinen morfismi, ja yhdisteen järjestyksellä ei ole väliä (katso kategorian täsmällinen määritelmä).
Yleisiä periaatteita.
Kommutatiiviset kaaviot.
Kategoriateorian tunnusomaisin merkintä ja samalla tärkeä todistustekniikka on "kommutatiivinen kaavio". Tässä kontekstissa kaavioita (kommutatiivisia tai ei) käytetään yleensä epämuodollisesti, mutta mikä tahansa kaavio voitaisiin periaatteessa esittää muodollisesti kaavion määritelmän avulla.
"Kaavio" koostuu objekteista, joita merkitään pistein tai kirjaimin, esimerkiksi formula_1 ja formula_2, ja näiden välisistä morfismeista, joita merkitään nuolin, esimerkiksi formula_3 ja formula_4. Kaavio on "kommutatiivinen", jos kaikki kaavion morfismit kaavion minkä tahansa kahden objektin välillä (mukaan lukien yhdisteet) ovat yhtä suuria. Toisin sanoen kommutatiivisessa kaaviossa ei ole väliä, mitä "reittiä" (eli morfismien yhdisteitä) yhdestä objektista päädytään toiseen. Yllä olevassa esimerkissä kommutatiivisuus tarkoittaisi, että formula_5.
Universaaliominaisuudet ja yksikäsitteisyys isomorfismia vaille.
Koska kategoriateoria keskittyy objektien (ja morfismien) keskinäisiin suhteisiin, tietty objekti tai morfismi määritellään yleensä suhteessa muihin kategorian objekteihin tai morfismeihin. Tällöin puhutaan objektin tai morfismin "universaaliominaisuudesta". Universaaliominaisuuden kautta määriteltyä objektia tai morfismia kutsutaan vastaavasti "universaaliobjektiksi" tai "universaalimorfismiksi".
Esimerkiksi alkuobjekti määritellään universaaliominaisuuden kautta: objekti formula_6 on alkuobjekti mikäli "mille tahansa objektille" formula_7 on olemassa täsmälleen yksi morfismi formula_8.
Objekteille (ja morfismeille), jotka on määritelty universaaliominaisuuden kautta, on tyypillistä yksikäsitteisyys, mikäli isomorfisten objektien katsotaan olevan "yhtä suuria" tai "samoja". Täsmällisesti, määritellään objektien "yksikäsitteisyys isomorfismia vaille" ominaisuuden formula_9 suhteen seuraavasti: mikäli sekä objektilla formula_6 että objektilla formula_7 on ominaisuus formula_9, niin on olemassa isomorfismi formula_6:sta formula_7:hen (eli siis myös isomorfismi formula_7:stä formula_6:hen). Tätä tiukempi käsite on "yksikäsitteisyys yksikäsitteistä isomorfismia vaille", joka määritellään muuten samalla tavalla kuin yksikäsitteisyys isomorfismia vaille, mutta objektien välinen isomorfismi on lisäksi yksikäsitteinen.
Esimerkiksi alkuobjekti, mikäli se on olemassa, on yksikäsitteistä isomorfismia vaille yksikäsitteinen.
Vastakkainen kategoria ja duaalisuus.
Olkoon formula_17 kategoria. Tällöin sen "vastakkainen kategoria" formula_18 määritellään siten että formula_19, ja jokaiselle objektiparille formula_20 olkoon formula_21. Selvästi formula_22.
Tärkeä kategoriateoreettinen käsite on "duaalisuus": mitä tahansa lausetta tai käsitettä, joka pätee tai on määritelty jossakin kategoriassa, vastaa lause tai käsite vastakkaisessa kategoriassa, jota kutsutaan "duaalilauseeksi" tai "-käsitteeksi". Esimerkiksi yllä mainituista käsitteistä alku- ja loppuobjekti sekä mono- ja epimorfismi ovat toistensa duaalikäsitteitä. Täsmällisesti, erään kategorian objekti on alkuobjekti jos ja vain jos se on loppuobjekti vastakkaisessa kategoriassa, ja morfismi on monomorfismi jos ja vain jos se on epimorfismi vastakkaisessa kategoriassa.
Tietyn käsitteen duaalikäsitteen nimi muodostetaan usein, muttei kuitenkaan aina, lisäämällä kyseisen käsitteen nimen eteen "ko"-etuliite.
Funktorit.
Myös kategoriat muodostavat kategorian, jonka morfismeina ovat funktorit.
Olkoot formula_17 ja formula_24 kategorioita. "Funktori" formula_25 kategoriasta formula_17 kategoriaan formula_24 koostuu seuraavista kuvauksista:
jotka lisäksi toteuttavat seuraavat ehdot:
Erityisiä funktoreita.
Olkoon formula_25 funktori. Määritellään jokaiselle objektiparille formula_41 kuvaus formula_42 siten että formula_43. Funktori formula_44 on
Luonnolliset muunnokset.
Kahden kategorian väliset funktorit voidaan niin ikään järjestää kategoriaksi. Morfismeiksi tarvitaan tällöin luonnolliset muunnokset. Itse asiassa Eilenbergin ja Mac Lanen alkuperäinen motivaatio oli algebrallisessa topologiassa käytettyjen "luonnollisten" kuvausten täsmällinen määritelmä, jota varten he määrittelivät sekä kategoriat että funktorit.
Olkoot formula_61 funktoreita. "Luonnollinen muunnos" formula_62 koostuu formula_24:n morfismista formula_64 jokaiselle formula_17:n objektille formula_52, siten että jokaiselle formula_17:n morfismille formula_68 pätee formula_69. Toisin sanottuna jokaiselle morfismille formula_68 kaavio
on kommutatiivinen.
Luonnollisesta muunnoksesta käytetään myös suomenkielistä nimeä "luonnollinen transformaatio" ("engl. natural transformation").
Yksittäistä morfismia formula_64, joka on osa luonnollista muunnosta, kutsutaan formula_72:n "komponentiksi", tai täsmällisemmin "formula_52-komponentiksi".
Luonnollista muunnosta, jonka jokainen komponentti on isomorfismi, kutsutaan "luonnolliseksi isomorfismiksi". Luonnolliset isomorfismit ovat isomorfismeja kategoriassa, jonka muodostavat kahden kategorian väliset funktorit sekä näiden väliset luonnolliset muunnokset.
Kategorioiden ekvivalenssi.
Koska (pienet) kategoriat ja funktorit muodostavat (suuren) kategorian, isomorfismin määritelmä pätee myös funktoreille. Kategorioiden isomorfisuus yhtenevyyden mittana on kuitenkin useissa tilanteissa liian tiukka, sillä se sivuuttaa sen faktan, että kategorioiden kategoriassa jokainen objekti omaa kategorian rakenteen. "Oikeampi", tai ainakin käytännällisempi, yhtenevyyden mitta onkin kategorioiden ekvivalenssi, joka muistuttaa muodoltaan topologisten avaruuksien homotopiaekvivalenssia.
Olkoot formula_17 ja formula_24 kategorioita. Tällöin "kategorioiden formula_76 ja formula_24 ekvivalenssi" koostuu seuraavista:
Rajat ja korajat.
Kaaviot ja kartiot.
Olkoon formula_82 pieni kategoria. Tällöin funktoria formula_83 kutsutaan "formula_82:n muotoiseksi kaavioksi kategoriassa formula_17". Kategoriaa formula_82 kutsutaan kaavion "indeksikategoriaksi".
Kaavion formula_87 "kartio" on luonnollinen muunnos formula_88. Objektia formula_89 kutsutaan kartion "kärjeksi" ja luonnollisen muunnoksen komponentteja formula_90 kartion "särmiksi". Yksityiskohtaisesti kartio koostuu siis objektista formula_91 ja kokoelmasta morfismeja formula_92 jokaiseen objektin formula_93 kuvaan, siten että jokaiselle formula_82:n morfismille formula_68 kaavio
on kommutatiivinen.
Merkitään formula_96 kartiota, jonka kärki on formula_89 ja luonnollinen muunnos formula_98. Määritellään "kartiomorfismi" kartiosta formula_96 kartioon formula_100 morfismina formula_101 siten että formula_102, jossa formula_103 on vakio luonnollinen muunnos, jonka jokainen komponentti on formula_104. Yksityiskohtaisesti ehto, jonka formula_104:n pitää toteuttaa ollakseen kartiomorfismi formula_106 on: jokaiselle objektille formula_93 pätee formula_108. Jokaisen kaavion formula_44 kartiot ja kartiomorfismit muodostavat kategorian, jota merkitään formula_110 ja jota kutsutaan "kaavion formula_44 kartiokategoriaksi".
Rajat.
Raja voidaan määritellä hyvin lyhyesti kartiokategorian avulla: kaavion formula_83 "raja" on kategorian formula_110 loppuobjekti. Huomataan, että kaikilla kaavioilla ei välttämättä ole rajaa, sillä kartiokategoriassa ei välttämättä ole loppuobjektia. Tästä määritelmästä seuraa, että raja on yksikäsitteistä isomorfismia vaille yksikäsitteinen.
Koska yllä annettu rajan määritelmä on hyvin tiivis, rajan käsitteen merkitys ei välttämättä avaudu siitä. Näin ollen annetaan seuraavaksi yksityiskohtaisempi, mutta yhtäpitävä määritelmä. Olkoon formula_83 kaavio. Tällöin formula_44:n raja koostuu objektista formula_116 sekä kokoelmasta morfismeja formula_117 jokaiselle objektille formula_93 siten että formula_119 muodostavat kartion (eli jokaiselle formula_82:n morfismille formula_68 alla olevan kaavion sisempi kolmio on kommutatiivinen), ja kartio formula_119 on lisäksi universaali tämän ominaisuuden suhteen: mikäli formula_89 on formula_17:n objekti ja formula_92 on morfismi jokaiselle objektille formula_93 siten että formula_96 on kartio (eli jokaiselle formula_82:n morfismille formula_68 alla olevan kaavion ulompi kolmio on kommutatiivinen), niin tällöin on olemassa yksikäsitteinen morfismi formula_130 siten että jokaiselle objektille formula_93 pätee formula_132, eli toisin sanottuna kaavio
on kommutatiivinen.
Kokartiot ja korajat.
Kaavion formula_87 "kokartio" on kaavion formula_134 kartio, eli luonnollinen muunnos formula_135. Samoin kuin kartiolle, objektia formula_136 kutsutaan kokartion "kärjeksi" ja komponentteja formula_137 "särmiksi", ja kokartiota merkitään formula_96. "Kokartiomorfismi" kokartiosta formula_96 kokartioon formula_100 on morfismi formula_101 siten että formula_142. Merkitään kaavion formula_44 kokartioiden ja kokartiomorfismien kategoriaa formula_144. Tällöin kaavion formula_44 "koraja" on kategorian formula_144 alkuobjekti, mikäli se on olemassa.
Yksityiskohtaisesti, kaavion formula_87 koraja on kokartio formula_119 siten että mille tahansa kokartiolle formula_96 on olemassa yksikäsitteinen morfismi formula_150, joka jokaiselle formula_82:n morfismille formula_68 tekee kaaviosta
kommutatiivisen.
Esimerkkejä.
Esimerkkejä rajoista:
Esimerkkejä korajoista:
Täydellisyys ja kotäydellisyys.
Kategorian formula_17 sanotaan omaavan formula_82:n muotoiset (ko)rajat mikäli millä tahansa formula_82:n muotoisella kaaviolla on (ko)raja formula_17:ssä. Kategoria on "(ko)täydellinen" mikäli se omaa formula_82:n muotoiset (ko)rajat jokaiselle indeksikategorialle formula_82. Kategoria on "äärellisesti (ko)täydellinen" mikäli se omaa formula_82:n muotoiset (ko)rajat jokaiselle äärelliselle indeksikategorialle formula_82.
Hom-funktorit ja Yonedan lemma.
Esilyhteet.
Kategorian formula_17 "esilyhde" on funktori formula_162. Esilyhteet ja niiden väliset luonnolliset muunnokset muodostavat kategorian, jota merkitään formula_163. Mikäli formula_17 on jonkin topologisen avaruuden avointen joukkojen osittaisjärjestys, niin tämä esilyhteen määritelmä vastaa algebrallisen topologian joukkojen esilyhteen määritelmää.
Hom-funktorit.
Olkoon formula_17 lokaalisti pieni kategoria ja olkoon formula_166. Määritellään esilyhde formula_167 seuraavasti: jos formula_52 ja formula_169 ovat formula_17:n objekteja ja formula_68 morfismi, niin
 formula_172 ja formula_173,
jossa formula_174 on funktio formula_175.
Esilyhdettä formula_176 kutsutaan formula_6:n (kontravariantiksi) "hom-funktoriksi".
Yonedan upotus.
Sillä hom-funktori formula_176 on määritelty mille tahansa lokaalisti pienen kategorian formula_17 objektille formula_6, tämä määrittää kuvauksen
 formula_181.
Laajennetaan kyseinen kuvaus funktoriksi
 formula_182
määrittelemällä jokaiselle morfismille formula_183 luonnollinen muunnos formula_184, jonka formula_52-komponentti on funktio formula_186, joka kuvaa formula_187.
Funktoria formula_188 kutsutaan formula_17:n "Yonedan upotukseksi". Termin upotus käyttö on perusteltua, sillä yksi Yonedan lemman (ks. alla) seurauksista on Yonedan upotuksen täysi uskollisuus. Näin ollen mikä tahansa lokaalisti pieni kategoria voidaan upottaa sen esilyhteiden kategoriaan; toisin sanottuna on olemassa esilyhteiden kategorian alakategoria, joka on isomorfinen sen kanssa.
Yonedan lemma.
Hom-funktoreiden erityistä asemaa esilyhteiden kategoriassa kuvastaa Yonedan lemma.
Lause. Olkoon formula_17 lokaalisti pieni kategoria. Tällöin on olemassa isomorfismi
 formula_191,
joka on luonnollinen sekä objektin formula_166 että esilyhteen formula_193 suhteen.
Korollaari. Yonedan upotus on täysi ja uskollinen.
Korollaari. Olkoon formula_17 lokaalisti pieni kategoria. Tällöin kaikille objekteille formula_41 pätee:
 formula_196 jos ja vain jos formula_197.
Liittofunktorit.
Määritelmä morfismijoukkojen isomorfismin kautta.
Olkoot formula_17 ja formula_24 lokaalisti pieniä kategorioita, ja formula_200 vastakkaisiin suuntiin osoittavien funktoreiden pari. Tällöin sanotaan, että formula_44 on funktorin formula_202 "vasen liittofunktori" (ja vastaavasti formula_202 on formula_44:n "oikea liittofunktori") mikäli on olemassa luonnollinen isomorfismi formula_205. Isomorfismin luonnollisuus voidaan ilmaista eksplisiittisemmin seuraavasti. Merkitään sekä isomorfismia että sen käänteismorfismia viivalla, eli:
 formula_206 ja formula_207 siten että formula_208 ja formula_209.
Tällöin luonnollisuusehto on yhtäpitävä seuraavan ehdon kanssa: kaikille formula_17:n morfismeille formula_211 sekä formula_24:n morfismeille formula_213 pätee
 formula_214 ja formula_215.
Yllä määriteltyä tilannetta merkitään formula_216.
Määritelmä yksikön ja koyksikön kautta.
Oletetaan, että on olemassa luonnollinen muunnos formula_80 sekä luonnollinen muunnos formula_81. Tällöin formula_219 on "liitto" mikäli molemmat kaaviot
kommutoivat.
Lause. formula_219 on liitto jos ja vain jos formula_44 on formula_202:n vasen liittofunktori. Tällöin liitto määrää morfismijoukkojen isomorfismin yksikäsitteisesti, ja käänteisesti, morfismijoukkojen isomorfismi määrää yksikön ja koyksikön yksikäsitteisesti.
 formula_232 jos ja vain jos formula_233.
 Osittaisjärjestyksen morfismien liitto tunnetaan nimellä "Galois'n vastaavuus" (tai "yhteys").
Sovelluksia.
Matematiikan ulkopuolella kategoriateoriaa on hyödynnetty eniten teoreettisen tietojenkäsittelytieteen alalla. Esimerkiksi Haskell-ohjelmointikielen voidaan ajatella melkein muodostavan kategorian. Laajemmin ottaen, tarpeeksi abstraktilla tasolla mikä tahansa funktionaalinen ohjelmointikieli voidaan ajatella kategoriana.
Sovellukset pyrkivät usein teorioiden yhdenmukaistamiseen, yksinkertaistamiseen sekä oleellisimpien aspektien esille tuomiseen. Tavoitteena saattaa olla myös informaation, tiedon ja käytänteiden siirron helpottaminen eri alojen välillä. Esimerkiksi samoja matemaattisia rakenteita hyödyntäviä kategoriateoreettisia malleja on kehitetty sekä kvanttilaskennan että luonnollisen kielen käsittelyn tarpeisiin.
Monissa sovelluksissa lähtökohtana on "monoidaalinen kategoria", eli kategoria formula_17, jolle on olemassa funktori formula_235, joka toteuttaa tietyt ehdot. Siinä missä tavallinen kategoria sallii prosessien (morfismien) peräkkäisen yhdistämisen, monoidaalinen kategoria sallii tämän lisäksi prosessien yhdistämisen suuremmaksi kokonaisuudeksi, siten että prosesseilla voi olla vaihteleva määrä syöttöjä (lähtöobjekteja) ja tulosteita ("engl. output") (maalibjekteja). Esimerkiksi kvanttiteoriasta sekä kemiallisia reaktioita mallintavista Petri-verkoista on kehitetty matemaattisia malleja, jotka hyödyntävät monoidaalisia kategorioita.
Biologi Robert Rosen on ehdottanut, että kategoriateorian metodit soveltuvat relaatiobiologian tarpeisiin. Osittain Rosenin ajatuksiin perustuen, kategoriateoriaan nojaavaa mallia on ehdotettu biologisten organismien hierarkkisen järjestyksen hahmottamiseen.