Harmoninen värähtelijä

Harmoninen värähtelijä on fysiikassa järjestelmä, jossa kappaleeseen vaikuttaa harmoninen voima. Harmonisessa värähtelijässä voiman suuruus on suoraan verrannollinen kappaleen etäisyyteen tasapainoasemasta:
formula_1
missä
Tällaista voimaa sanotaan harmoniseksi voimaksi. Harmoninen voima suuntautuu aina kohti tasapainoasemaa, sillä voimasta aiheutuva kiihtyvyys on jatkuvasti kohti tasapainoasemaa. Heiluri ja jousen päässä värähtelevä punnus ovat hyviä esimerkkejä harmonisesta värähtelijästä.
Jos F on ainoa systeemiin vaikuttava voima, kutsutaan systeemiä silloin vaimentumattomaksi tai ideaaliseksi harmoniseksi värähtelijäksi. Tällaisella värähtelijällä on vakioamplitudi ja –taajuus, joka ei riipu amplitudista. Värähtely on tällöin sinimuotoista.
Jos systeemiin vaikuttaa nopeuteen verrannollinen voima (kitkavoima), kutsutaan värähtelijää silloin vaimennetuksi harmoniseksi värähtelijäksi. Systeemillä on tällöin mahdollisuus käyttäytyä eri tavoin riippuen kitkakertoimen arvosta.
Jos systeemiin vaikuttaa ulkoinen ajasta riippuva voima (ns. pakkovoima), kutsutaan värähtelijää silloin pakotetuksi harmoniseksi värähtelijäksi. Pakkovoima tuo systeemiin uutta energiaa, joka voi estää vaimennetun harmonisen värähtelijän amplitudin pienenemisen ajan kuluessa. 
Vaimenematon harmoninen värähtelijä.
Vaimentumattomaan harmoniseen värähtelijään ei vaikuta kitka- eikä pakkovoimaa, jolloin systeemiin vaikuttava voima on muotoa:
formula_5
Newtonin 2. laki:
formula_6
Kiihtyvyys "a" on paikan "x" toinen aikaderivaatta
formula_7
Jos määritellään formula_8, voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon:
formula_9
jonka yleinen ratkaisu on
formula_10
Amplitudi "A" ja vaihe formula_11 määritetään alkuehdosta.
Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa:
formula_12
missä formula_11 on siirtynyt formula_14 verran.
Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa
formula_15
missä formula_16 and formula_17 ovat vakioita, jotka voidaan määrittää alkuehdosta.
Värähtelyn taajuudeksi saadaan:
formula_18
Värähtelyn nopeudeksi "v" ja kiihtyvyydeksi "a" saadaan
formula_19 ja
formula_20
Värähtelijän kineettinen energia on
formula_21
ja potentiaalienergia
formula_22
Värähtelijän potentiaalienergia on siis suoraan verrannollinen tasa­paino­pisteestä mitatun etäisyyden neliöön.
Värähtelijän potentiaali- ja kineettinen energia muuttuvat jatkuvasti toisikseen, mutta niiden summa on vakio:
formula_23
Pakotettu harmoninen värähtelijä.
Pakkovoima "Fd" on voima joka tuo systeemiin energiaa. Matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on, kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Kun kitkavoimaa eli vaimennusta ei oteta huomioon ja formula_24, on systeemin liikeyhtälö muotoa
formula_25
missä "F0" on pakkovoiman amplitudi ja formula_26 on pakkovoiman värähtelyn taajuus. Yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa
formula_27
kun siis formula_24. Jos tarkastellaan tapausta, jossa formula_29, ylimmän kaavan yksittäisratkaisuksi saadaan
formula_30
josta huomataan, että värähtely kasvaa ajan "t" kuluessa. Tämä on matemaattinen selitys resonanssi-ilmiölle. Jos formula_26 on hyvin lähellä arvoa formula_32, mutta ei aivan sama, saadaan ratkaisuksi
formula_33
Kun formula_34 on hyvin pieni eli pakkovoiman taajuus eroaa vain vähän värähtelijän ominaistaajuudesta, on jälkimmäisen sinifunktion jakso hyvin suuri. Tämä ilmenee huojumisena. Tätä muusikot käyttävät hyväksi virittäessään soittimiaan.
Vaimennettu harmoninen värähtelijä.
Käytännössä värähtelevään systeemiin vaikuttaa aina liikettä vastustavia kitkavoimia, joiden vaikutuksesta värähtely vaimenee ajan funktiona. Värähtelevän jousen asema noudattaa toisen kertaluvun lineaarista yhtälöä
formula_35
missä "c" on vaimennuskerroin. Yhtälöllä on kolme eri ratkaisua, riippuen vaimennuskertoimen "c" arvosta. Merkitään formula_36 ja formula_37.
Ylivaimennus.
Jos vaimennuskerroin on niin suuri, että formula_38, differentiaaliyhtälön ratkaisu on
formula_39
josta huomataan, että mitään heilahtelua ei tapahdu, sillä molemmat eksponentit ovat negatiivisia, koska "a, b &gt; 0" ja "b &lt; a". Tällöin molemmat termit lähestyvät nollaa, kun formula_40. Heilahtelun rata voi ylittää tasapainoaseman "x = 0" korkeintaan kerran.
Alivaimennus.
Jos vaimennuskerroin on niin pieni, että formula_41, differentiaaliyhtälön ratkaisu on 
formula_42
jolloin syntyy vaimeneva värähdysliike, joka lähenee koko ajan tasapainoasemaa "x = 0".
Kriittinen vaimennus.
Jos vaimennuskerroin on formula_43, differentiaaliyhtälön ratkaisu on
formula_44
Tämän värähtelyn muoto on hyvin samanlainen kuin ylivaimennetunkin. Mitään heilahtelua ei synny ja rata voi ylittää tasapainoaseman "x = 0" tasan kerran ja formula_45, kun formula_46.
Vaimennettu ja pakotettu harmoninen värähtelijä.
Jos halutaan estää vaimennetun värähtelijän amplitudin pieneneminen ajan kuluessa on systeemiin tuotava energiaa ulkoisella pakkovoimalla "Fd". Kuten aikaisemmin kerrottiin, matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Vaimennetun ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälö on 
formula_47
jonka ratkaisu muodostuu vaimennetun värähtelijän ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälöiden ratkaisujen summasta. Kuten aikaisemmin osoitettiin, vaimennetun värähtelijän liikeyhtälön ratkaisu riippuu alkuehdoista. Epähomogeenisen liikeyhtälön yksittäisratkaisu taas ei riipu alkuehdoista, jolloin ratkaisuksi saadaan 
formula_48
missä
formula_49
ja 
formula_50