Reuna (topologia)

Topologiassa ja yleisemminkin matematiikassa topologisen avaruuden "X" osajoukon reuna on niiden pisteiden joukko, joita voidaan lähestyä sekä "S":n sisä- että ulkopuolelle. Täsmällisemmin sanottuna se on niiden pisteiden joukko, jotka kuuluvat "S":n sulkeumaan, mutta eivät ole "S":n sisäpisteitä. "S":n reunalla olevia pisteitä sanotaan "S":n reunapisteiksi.
Reunaoperaatiolla tarkoitetaan annetun joukon reunan määrittämistä. Joukon "S" reunalle käytetään merkintöjä bd("S"), fr("S") ja ∂"S".
Jotkut oppikirjojen laatijat, esimerkiksi Willard, käyttävät "reunan" () sijasta nimitystä "raja" () erotukseksi algebrallisessa topologiassa ja monistojen teoriassa käytetyistä reunan käsitteistä. Toisinaan termillä "raja" () kuitenkin tarkoitetaan pelkästään niiden rajapisteiden joukkoa, jotka eivät kuulu varsinaiseen joukkoon, toisin sanoen "S" \ "S".
Joukon "S":n reunan yhtenäistä komponenttia sanotaan "S":n reunakomponentiksi.
Jos joukko koostuu vain erillisistä pisteistä, sillä on vain reuna eikä lainkaan sisäpisteitä.
Yleisiä määritelmiä.
Topologisen avaruuden "X" osajoukon "S" reuna voidaan määritellä useilla keskenään yhtäpitävillä tavoilla:
Esimerkkejä.
Tarkastellaan reaalilukujen joukkoa formula_2 varustettuna tavanomaisella topologialla, jonka kannan muodostavat avoimet välit. Todetaan:
Kaksi jälkimmäistä esimerkkiä osoittavat, että sellaisen tiheän joukon reuna, jolla ei ole sisäpisteitä, on sen sulkeuma.
Kun Rationaalilukujen joukko formula_5 varustetaan tavanomaisella topologialla eli kun sitä käsitellään formula_2:n aliavaruutena, joukon formula_7 reuna, kun "a" on irrationaaliluku, on tyhjä joukko.
Joukon reuna on topologinen käsite, ja mitkä pisteet kuuluvat tietyn joukon reunaan, riippuu käytetystä topologiasta. Esimerkiksi jos käytetään tason formula_8 tavanomaista topologiaa, suljetun kiekon Ω = {("x","y") | "x"2 + "y"2 ≤ 1} reuna on sitä ympäröivä ympyrän kehä: ∂Ω = {("x","y") | "x"2 + "y"2 = 1}. Jos kiekko sen sijaan käsitetään kolmiulotteisen avaruuden formula_9 osajoukoksi, toisin sanoen joukoksi {("x","y",0) | "x"2 + "y"2 ≤ 1}, kiekon reuna käsittää koko kiekon: ∂Ω = Ω. Jos kiekkoa käsitellään omana topologisena avaruutenaan, formula_8:n aliavaruutena, sen reuna on tyhjä.
Ominaisuuksia.
Niinpä:
 Käsitteellinen Venn-diagrammi, joka osoittaa formula_11:n osajoukkoon "S" liittyvien pisteiden suhteet.&lt;br&gt; A on S:n kasautumispisteiden joukko ja&lt;br&gt; B on S:n reunapisteiden joukko.&lt;br&gt; Vihreä alue formula_12 on "S":n sisäpisteiden joukko, ja&lt;br&gt; keltainen alue on formula_13 "S":n erillisten pisteiden joukko.&lt;br&gt; Mustat alueet ovat aina tyhjiä joukkoja.&lt;br&gt;Jokainen S:n piste on joko sen sisäpiste tai reunapiste. Samoin jokainen S:n piste on joko sen kasautumispiste tai erillinen piste. Jokainen S:n reunapiste on joko sen kasautumispiste tai erillinen piste. Erilliset pisteet ovat aina reunapisteitä. (Joukkojen sijainti tässä käsitteellisessä kaaviossa ei vastaa erilaisten pisteiden sijaintia toisiinsa nähden, jos "S" on esimerkiksi tason formula_8 osajoukko.)
Reunan reuna.
Jokaiselle joukolle pätee "S", ∂"S" ⊇ ∂∂"S". Yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos "S":n reunalla ei ole sisäpisteitä, kuten on laita esimerkiksi, jos "S" on joko avoin tai suljettu. Koska joukon reuna on suljettu, ∂∂"S" = ∂∂∂"S" kaikilla joukoilla "S". Reunaoperaattori siis toteuttaa eräänlaisen heikon muodon idempotenssista.
Käsiteltäessä monistojen tai simpleksien ja niiden simplisiaalisten kompleksien reunoja voidaan todeta, että niiden reunan reuna on aina tyhjä joukko. Itse asiassa singulaarisen homologian teoria perustuu ratkaisevasti juuri tähän seikkaan. Tämän näennäinen ristiriita selittyy sillä, että tässä artikkelissa käsitelty topologinen reuna poikkeaa käsitteenä jonkin verran moniston tai simplisiaalisen kompleksin reunasta. Esimerkiksi jos avointa kiekkoa käsitellään monistona, sen reuna on tyhjä, mutta jos sitä käsitellään topologisena avaruutena, sen reuna on sitä kiertävä ympyrän kehä.