Ryhmä (algebra)

Ryhmä on tärkein yhden joukon ja yhden laskutoimituksen muodostama algebrallinen rakenne. Joukon on oltava laskutoimituksen suhteen suljettu siten, että laskutoimituksen tulos kuuluu samaan joukkoon, laskutoimitus on liitännäinen (mutta ei välttämättä vaihdannainen), laskutoimituksella on neutraalialkio ja jokaisella joukon alkiolla on käänteisalkio. Tyyppiesimerkki ryhmistä on kokonaisluvut ja yhteenlasku, jossa neutraalialkio on nolla ja käänteisalkio vastaluku.
Ryhmiä itsessään tutkiva matematiikan ala on ryhmäteoria. Toisaalta ryhmä on algebran peruskäsite, joka toimii "rakennuspalikkana" määriteltäessä sellaisia matematiikan rakenteita kuten rengas ja kunta.
Formaali määritelmä.
Ryhmä tarkoittaa epätyhjää joukkoa formula_1, jossa on määritelty binäärioperaatio formula_2 ja joka toteuttaa seuraavat ehdot:
Jos lisäksi on voimassa kaikilla alkioilla formula_15 siten, että formula_16,
sanotaan, että ryhmä on kommutatiivinen eli vaihdannainen. Kommutatiivista ryhmää kutsutaan nimellä "Abelin ryhmä".
Ryhmä merkitään joko formula_17 tai formula_18.
Suhde muihin rakenteisiin.
Monoidi on määritelmän ehdot 1-3 täyttävä rakenne, joten ryhmä voidaan määritellä monoidiksi, jossa jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Yhtäpitävästi ryhmä voitaisiin määritellä myös luupiksi, jonka laskutoimitus on liitännäinen.
Merkintöjä.
Ryhmäteoriassa käytetään myös seuraavia merkintöjä:
Ominaisuudet.
Kaikilla ryhmillä on muun muassa seuraavat ominaisuudet:
Todistuksen ideana on olettaa, että ryhmässä on kaksi neutraalialkiota, ja osoittaa, että nämä ovat samat. Olkoon siis ryhmässä neutraalialkion formula_19 lisäksi myös neutraalialkio formula_20. Tällöin pätee yhtälö formula_21, koska formula_19 on neutraalialkio määritelmän ehdon 3 nojalla. Samoin pätee yhtälö formula_23, koska formula_20 on neutraalialkio oletuksen nojalla. Siispä on formula_25 eli formula_26 eli neutraalialkiot ovat samat.
Todistuksen ideana on olettaa, että ryhmän alkiolla on kaksi käänteisalkiota, ja osoittaa, että nämä ovat samat. Olkoon siis formula_27 ryhmän alkio ja olkoon sillä käänteisalkion formula_28 lisäksi myös käänteisalkio formula_31. Tällöin määritelmän ehdon 4 mukaan formula_32. Operoidaan yhtälöön vasemmalta alkiolla formula_28, jolloin saadaan yhtälö formula_34 ja edelleen määritelmän ehdon 2 nojalla yhtälö (formula_35. Määritelmän ehdon 4 nojalla formula_36, jolloin saadaan yhtälö formula_37, joka supistuu määritelmän ehdon 3 nojalla muotoon formula_38. Alkion formula_27 käänteisalkiot ovat siis samat.
Näytetään, että "x" ja "y" ovat olemassa ja että ne ovat ryhmän alkioita. Ratkaistaan ensin alkiot "x" ja "y". Siispä on
"a" ∘ "x" = "b"
⇔ "a"⁻¹ ∘ ("a" ∘ "x") = "a"⁻¹ ∘ "b" (operoidaan puolittain vasemmalta alkiolla "a"⁻¹)
⇔ ("a"⁻¹ ∘ "a") ∘ "x" = "a"⁻¹ ∘ "b" (määritelmän ehdon 2 nojalla)
⇔ "e" ∘ "x" = "a"⁻¹ ∘ "b" (määritelmän ehdon 4 nojalla)
⇔ "x" = "a"⁻¹ ∘ "b" (määritelmän ehdon 3 nojalla)
ja
"y" ∘ "a" = "b"
⇔ ("y" ∘ "a") ∘ "a"⁻¹ = "b" ∘ "a"⁻¹ (operoidaan puolittain oikealta alkiolla "a"⁻¹)
⇔ "y" ∘ ("a" ∘ "a"⁻¹) = "b" ∘ "a"⁻¹ (määritelmän ehdon 2 nojalla)
⇔ "y" ∘ "e" = "b" ∘ "a"⁻¹ (määritelmän ehdon 4 nojalla)
⇔ "y" = "b" ∘ "a"⁻¹ (määritelmän ehdon 3 nojalla).
Näytetään, että "x" ja "y" ovat ryhmän alkioita. Alkio "x" = "a"⁻¹ ∘ "b" on ryhmän alkio, sillä "a" ja "b" ovat oletuksen nojalla ryhmän alkioita ja "a"⁻¹ on ryhmän alkio, koska se on alkion "a" käänteisalkio, joten kahdesta ryhmän alkiosta laskutoimituksella saatava alkio "a"⁻¹ ∘ "b" on ryhmän alkio. Vastaavalla päättelyllä myös "y" = "b" ∘ "a"⁻¹ on ryhmän alkio.
Näytetään, että "x" ja "y" ovat yksikäsitteisiä. Todistuksen ideana on olettaa, että yhtälöillä "a" ∘ "x" = "b" ja "y" ∘ "a" = "b" on kummallakin kaksi ratkaisua, ja johtaa tulos, että ratkaisut ovat samat. Olkoon siis myös ryhmän alkio "z", jolla pätee "a" ∘ "z" = "b". Koska on "a" ∘ "x" = "b", saadaan yhtälö
"a" ∘ "z" = "a" ∘ "x"
⇔ "a"⁻¹ ∘ ("a" ∘ "z") = "a"⁻¹ ∘ ("a" ∘ "x") (operoidaan puolittain vasemmalta alkiolla "a"⁻¹)
⇔ ("a"⁻¹ ∘ "a") ∘ "z" = ("a"⁻¹ ∘ "a") ∘ "x" (määritelmän ehdon 2 nojalla)
⇔ "e" ∘ "z" = "e" ∘ "x" (määritelmän ehdon 4 nojalla)
⇔ "z" = "x" (määritelmän ehdon 3 nojalla).
Alkiot "z" ja "x" ovat siis samat, joten yhtälön "a" ∘ "x" = "b" ratkaisu on yksikäsitteinen.
Vastaavalla tavalla näytetään, että myös yhtälön "y" ∘ "a" = "b" ratkaisu on yksikäsitteinen. Olkoon ryhmän alkio "z", jolla pätee "z" ∘ "a" = "b". Täten on
"z" ∘ "a" = "y" ∘ "a"
⇔ ("z" ∘ "a") ∘ "a"⁻¹ = ("y" ∘ "a") ∘ "a"⁻¹ (operoidaan puolittain oikealta alkiolla "a"⁻¹)
⇔ "z" ∘ ("a" ∘ "a"⁻¹) = "y" ∘ ("a" ∘ "a"⁻¹) (määritelmän ehdon 2 nojalla)
⇔ "z" ∘ "e" = "y" ∘ "e" (määritelmän ehdon 4 nojalla)
⇔ "z" = "y" (määritelmän ehdon 3 nojalla).
Alkiot "z" ja "y" ovat siis samat, joten yhtälön "y" ∘ "a" = "b" ratkaisu on yksikäsitteinen.
Osoitetaan, että yhtälöstä "a" ∘ "b" = "a" ∘ "c" seuraa "b" = "c". Operoidaan yhtälöön "a" ∘ "b" = "a" ∘ "c" puolittain vasemmalta alkiolla "a"⁻¹, jolloin saadaan yhtälö "a"⁻¹ ∘ ("a" ∘ "b") = "a"⁻¹ ∘ ("a" ∘ "c"). Tästä saadaan määritelmän ehdon 2 nojalla yhtälö ("a"⁻¹ ∘ "a") ∘ "b" = ("a"⁻¹ ∘ "a") ∘ "c". Koska määritelmän ehdon 4 nojalla "a"⁻¹ ∘ "a" = "e", yhtälö voidaan sieventää muotoon "e" ∘ "b" = "e" ∘ "c". Määritelmän ehdon 3 nojalla yhtälö sievenee edelleen muotoon "b" = "c".
Osoitetaan, että yhtälöstä "b" ∘ "a" = "c" ∘ "a" seuraa "b" = "c". Operoidaan yhtälöön "b" ∘ "a" = "c" ∘ "a" puolittain oikealta alkiolla "a"⁻¹, jolloin saadaan yhtälö ("b" ∘ "a") ∘ "a"⁻¹ = ("c" ∘ "a") ∘ "a"⁻¹. Tästä saadaan määritelmän ehdon 2 nojalla yhtälö "b" ∘ ("a" ∘ "a"⁻¹) = "c" ∘ ("a" ∘ "a"⁻¹). Koska määritelmän ehdon 4 nojalla "a"⁻¹ ∘ "a" = "e", yhtälö voidaan sieventää muotoon "b" ∘ "e" = "c" ∘ "e". Määritelmän ehdon 3 nojalla yhtälö sievenee edelleen muotoon "b" = "c".
Olkoon alkion "a" ∘ "b" käänteisalkio "x". Määritelmän ehdon 4 nojalla on ("a" ∘ "b") ∘ "x" = "e". Operoidaan yhtälöön puolittain vasemmalta alkiolla "a"⁻¹, jolloin saadaan yhtälö "a"⁻¹ ∘ (("a" ∘ "b") ∘ "x") = "a"⁻¹ ∘ "e", joka on määritelmän ehdon 2 nojalla ("a"⁻¹ ∘ ("a" ∘ "b")) ∘ "x" = "a"⁻¹ ∘ "e" ja edelleen (("a"⁻¹ ∘ "a") ∘ "b") ∘ "x" = "a"⁻¹ ∘ "e". Koska määritelmän ehdon 4 mukaan "a"⁻¹ ∘ "a" = "e", yhtälö sievenee muotoon ("e" ∘ "b") ∘ "x" = "a"⁻¹ ∘ "e". Määritelmän ehdon 3 nojalla yhtälö sievenee edelleen muotoon "b" ∘ "x" = "a"⁻¹. Operoidaan yhtälöön puolittain vasemmalta alkiolla "b"⁻¹, jolloin saadaan yhtälö "b"⁻¹ ∘ ("b" ∘ "x") = "b"⁻¹ ∘ "a"⁻¹, joka on määritelmän ehdon 2 nojalla ("b"⁻¹ ∘ "b") ∘ "x" = "b"⁻¹ ∘ "a"⁻¹. Koska määritelmän ehdon 3 nojalla on "b"⁻¹ ∘ "b" = "e", yhtälö sievenee muotoon "e" ∘ "x" = "b"⁻¹ ∘ "a"⁻¹. Määritelmän ehdon 3 nojalla yhtälö sievenee edelleen muotoon "x" = "b"⁻¹ ∘ "a"⁻¹. Alkion "a" ∘ "b" käänteisalkio on siis "b"⁻¹ ∘ "a"⁻¹.
Potenssi.
Ryhmän alkion potenssi määritellään kuten alkeisaritmetiikassa:
Potenssilla on seuraavat laskusäännöt (m ∈ ℕ, n ∈ ℕ, m ≥ 1, n ≥ 1):
Ryhmien peruskäsitteitä.
Ryhmille voidaan määritellä ensinnäkin totuusarvoisia ominaisuuksia ja nämä ominaisuudet voivat muodostaa hierarkioita. Voidaan tutkia esimerkiksi onko jokin ryhmä vaihdannainen tai onko se ratkeava. Jokainen vaihdannainen ryhmä on aina myös ratkeava, mutta kääntäen sama ei päde; siis vaihdannaiset ryhmät ovat ratkeavien ryhmien aliluokka.
Ryhmistä voidaan etsiä tietyt ehdot täyttäviä osajoukkoja. Näistä tärkein on aliryhmä: sellainen ryhmän osa, joka on itsessään ryhmä saman laskutoimituksen suhteen. Toinen esimerkki on ryhmän keskus, niiden alkioiden joukko, jotka ovat vaihdannaisia kaikkien alkioiden kanssa. Aliryhmiä voi ryhmällä olla useita, keskus on näistä yksi.
Uusia ryhmiä voidaan muodostaa esimerkiksi "jakamalla" ryhmä jollain normaalilla aliryhmällään, jolloin tulosta kutsutaan tekijäryhmäksi. Esimerkki tästä on 
"jakaa" kaikki kokonaisluvut kymmenellä jaollisilla luvuilla, jolloin tekijäryhmä on luvut 0-9 varustettuna yhteenlaskulla josta otetaan viimeinen numero.
Esimerkkejä.
Esimerkki 1. Joukko "G" = {1, -1, i, -i} varustettuna kompleksilukujen kertolaskulla on ryhmä.
Näytetään, että joukko "G" täyttää kaikki ryhmän määritelmän ehdot 1–4:
Ehto 1. Joukon kahden alkion tulo on joukon alkio, mikä nähdään seuraavasta kertolaskutaulusta:
Ehto 2. Kompleksilukujen kertolasku on liitännäinen.
Ehto 3. Kompleksilukujen kertolaskun neutraalialkio on 1, ja se kuuluu joukkoon "G". Siispä on 1 · 1 = 1, 1 · (-1) = -1, 1 · i = i ja 1 · (-i) = -i.
Ehto 4. Joukon alkioiden käänteisalkiot ovat 1⁻¹ = 1, (-1)⁻¹ = -1, i⁻¹ = -i ja (-i)⁻¹ = i, ja ne kuuluvat joukkoon "G".
Joukko "G" siis täyttää kaikki ryhmän määritelmän ehdot 1–4, joten "G" on ryhmä.
Esimerkki 2. Kokonaislukujen joukko on Abelin ryhmä binäärioperaattorin formula_44 suhteen (neutraalialkio on luku formula_45 ja käänteisalkio on kunkin luvun "vastaluku".) Kokonaisluvut eivät kuitenkaan muodosta ryhmää kertolaskun suhteen, sillä vastalukuehto ei toteudu.
Esimerkki 3. Imaginaarilukujen joukko muodostaa niin ikään ryhmän yhteenlaskun suhteen. Ryhmän muodostamiseen kertolaskun suhteen on useita esteitä: ryhmä ei ole suljettu, ykkösalkio ei kuulu ryhmään (se olisi formula_46, mutta formula_46 ei ole imaginaariluku).
Esimerkki 4. Reaalilukujen joukko ilman nollaa, formula_48 on ryhmä kertolaskun suhteen. Luku nolla täytyy jättää pois koska sillä ei ole käänteisalkiota kertolaskun suhteen. Ryhmän neutraalialkio on luku formula_46.
Esimerkki 5. Kompleksilukujen formula_50 joukko, eli kompleksitason yksikköympyrä muodostaa ryhmän kertolaskun suhteen. Ryhmän neutraalialkio on formula_51.
Esimerkki 6. Neliömatriisit, joiden determinantti on formula_46, muodostavat matriisikertolaskun suhteen ryhmän, joka ei ole kommutatiivinen.
Yleinen lineaariryhmä ja ryhmien esitysteoria.
Matriisiryhmät muodostuvat matriiseista ja ryhmäoperaationa toimii matriisitulo. "Yleinen lineaariryhmä" "GL"("n", R) on matriisiryhmä, joka muodostuu kääntyvistä "n×n" reaalisista matriiseista. Sen aliryhmiä nimitetään "matriisiryhmiksi" tai "lineaariryhmiksi" Tärkeä esimerkki matriisiryhmästä on "erityinen ortogonaaliryhmä" "SO"("N")". Se kuvaa rotaatioita "n"-ulotteisessa avaruudessa.
"Esitysteoria" on sekä ryhmäkäsitteen sovellus että tärkeä väline ryhmien luonteen ymmärtämiseksi. 
Lineaariesitykset ovat laaja ryhmien esityksen luokka. Lineaariesityksessä ryhmä vaikuttaa vektoriavaruuteen, kuten 3-dimensioiseen euklidiseen avaruuteen R3. Ryhmän "G" esitys "n"-dimensioisessa reaalisessa vektoriavaruudessa on ryhmähomomorfismi
"ρ": "G" → "GL"("n", R)
ryhmästä yleiseen lineaariryhmään. Ryhmän esitykset muuttavat abstraktin ryhmäoperaation matriisituloksi, jolloin myös ryhmätoimituksen eksplisiittinen lasku onnistuu.