Eukleides

Eukleides Aleksandrialainen (, n. 300 eaa.) oli antiikin kreikkalainen matemaatikko, joka kirjoitti muun muassa antiikin geometrian kokonaisesityksen "Alkeet" ("Stoikheia", latinaksi "Elementa"). Teoksessaan hän esittelee euklidisen geometrian (nimetty hänen mukaansa) viisi aksioomaa ja geometristen väittämien todistuksia. Hänen ansiokseen luetaan nimenomaisesti kreikkalaisen tietämyksen kerääminen yksiin kansiin, sillä hänen omia löytöjään on kirjassa vain vähän.
"Alkeet" on yksi matematiikan historian tärkeimmistä teoksista. Se säilyi geometrian oppikirjana pitkälle 1800-luvulle saakka. Geometrian ohella kirjassa käsitellään myös lukuteoriaa. Siinä esitellään muun muassa niin sanottu Eukleideen algoritmi, jolla voidaan selvittää kahden luvun suurin yhteinen tekijä. Erityisen kuuluisia ovat myös Eukleideen todistukset sille, että alkulukuja on äärettömän monta ja että luvun 2 neliöjuuri on irrationaaliluku. Näitä lukuteorian alaan kuuluvia todistuksia käytetään yhä elegantin ja oivaltavan todistuksen malliesimerkkeinä. Näissä Eukleides käyttää vastaoletusta apunaan.
Matematiikan ohella Eukleides tutki fysiikkaa, lähinnä optiikkaa, ja tähtitiedettä. Häneltä on peräisin ensimmäinen kreikkalainen (geometrisen) optiikan alan teos ("Optiikka") ja matemaattisen tähtitieteen teos "Fenomena", jossa hän soveltaa pallogeometriaa tähtitieteeseen. Optiikkansa hän aksiomatisoi samaan tapaan kuin geometrian. Hän muun muassa oletti valon kulkevan suoraviivaisesti.
Eukleideen elämästä tiedetään äärimmäisen vähän ja säilyneetkin tiedot ovat epätarkkoja. Tärkeimpiin lähteisiin kuuluvat Prokloksen ja Pappoksen maininnat hänestä.
Elämä.
Eukleideesta on säilynyt äärimmäisen niukasti elämäkertatietoa. Osasyynä on se, ettei Eukleides kirjannut teoksiinsa esipuheita, joihin muilla kreikkalaisilla oli tapana sisällyttää tietoa itsestään. Prokloksen tietojen mukaan hän eli Ptolemaios I:n hallintokaudella ja Platonin oppilaiden jälkeen, kuitenkin ennen Arkhimedeen syntymää. Sydänkeskiajalla eläneen arabioppineen al-Qiftin mukaan Eukleideen isoisä oli Zenarkhos ja Eukleides oli Naukrateen poika. Samaten hän kertoo Eukleideen syntyneen Tyroksessa ja asettuneen Damaskokseen. Tuotantonsa perusteella voidaan olettaa hänen opiskelleen nuoruudessaan Ateenassa Platonin Akatemiassa. Akatemia oli ainoa paikka Välimeren seudulla, jossa oli edes periaatteessa mahdollista päästä käsiksi siihen matemaattiseen tietoon, jonka Eukleides oli saanut. On arveltu Eukleideen olleen kreikkalaisista filosofian koulukunnista platonilainen. Sotien aiheuttama poliittinen sekasorto kaupungissa teki tieteeseen syventymisen mahdottomaksi. Työrauhaa Eukleides lähti hakemaan antiikin Aleksandriasta.
Eukleideen elämään Aleksandriassa liittyy muutamia anekdootteja. Hän eli aikaa, jolloin Aleksanteri Suuri oli kuollut ja hänen valloittamansa laaja valtakunta hajotettiin osiin. Egyptin oli saanut Ptolemaios-hallitsijasuvun ensimmäinen edustaja Ptolemaios I Soter. Kuninkaan kerrotaan kysyneen Eukleideelta, olisiko mitään nopeampaa keinoa oppia geometriaa kuin tämän laatima teos "Alkeet". Eukleides vastasi kuninkaalle, ettei geometriaan ole olemassa kuningastietä. Stobaioksen mukaan eräs Eukleideen oppilaista kysyi häneltä opittuaan ensimmäisen geometrian lauseen: ”Mitä minä näistä hyödyn?” Eukleides ei pitänyt oppilaansa näkemyksestä tuomita sivistys sen perusteella, kuinka se häntä rahallisesti hyödyttää. Hän käski paikalle orjansa ja sanoi hänelle: ”Anna hänelle [oppilaalle] yksi oboli [kolikko], hänellä kun näyttää olevan tarve rikastua oppimallaan.” Tarinat kirjattiin tekstiksi vasta 800 vuotta myöhemmin, joten niillä ei välttämättä ole todellisuuspohjaa, mutta kenties kertovat Eukleideen luonteesta.
Eukleideen arvellaan toimineen vuoden 300 eaa. aikoihin perustetussa Museionissa, jonka osana oli kuulu Aleksandrian kirjasto. Mitään suoraa todistetta tästä ei ole olemassa, mutta ottaen huomioon Eukleideen oppineisuuden olisi outoa ellei hän olisi ollut missään tekemisissä kaupungin intellektuaalisessa keskuksessa. Huomioiden myös hänen matematiikan ulkopuoliset tuotoksensa (tähtitiede, musiikki ja fysiikka) tarvitsi Eukleides mittausvälineitä ja apulaisia tutkimuksiinsa, joita hän saattoi saada Museionissa. Töissään hän ei kuitenkaan valota asiaa lainkaan.
Keskiajalla Eukleides sekoitettiin häntä aiemmin eläneeseen Eukleides Megaralaiseen. Heidät sekoitettiin ajoittain myös jo antiikissa. Alkeet laitettiin pitkään Megaralaisen nimiin. Nimenä Eukleides oli antiikissa suhteellisen suosittu ja se merkitsee maineikasta tai hyvin tunnettua ("eu-" ”hyvä” + "kleos" ”maine”). Arabit kutsuivat Eukleidesta ”avaimeksi mittaamiseen”, jonka he äänsivät jotakuinkin ”Uklides” tai ”Ikludes”, josta englanninkieleen vakiintuneen nimen ”Euclid” katsotaan olevan peräisin.
Teokset.
Alkeet.
Eukleideen pääteos "Alkeet" on yksi länsimaisen sivistyksen kulmakiviä. Se kokoaa tuolloisen kreikkalaisen matematiikan perusteet, niin geometrian kuin aritmetiikan, yhtenäiseen aksiomaattis-deduktiiviseen kehykseen. "Alkeita" tai jokseenkin välittömästi sen pohjalta muokattuja oppikirjoja lukivat ainakin osittain kaikki opillista sivistystä saaneet 1900-luvulle asti. "Alkeet" alkaa luettelolla käytettävistä käsitteistä määritelmineen, sitten seuraa viisi aksioomaa ja viisi postulaattia,jotka sisältävät päättelysäännöt ja käsitteiden kesken oletettavat perusrelaatiot. Kaikki muu todistetaan nojautumalla näihin perusteisiin tai jo teoksessa todistettuihin asioihin.
Eukleideen "Alkeiden" viides postulaatti, joka tunnetaan paremmin nimellä paralleeliaksiooma, erottaa perinteisen euklidisen geometrian epäeuklidisesta geometriasta. Paralleeliaksiooman johtamista Eukleideen neljästä muusta postulaatista ja viidestä aksioomasta yritettiin vuosisatojen ajan, kunnes 1800-luvulla paralleeliaksiooma todistettiin muista riippumattomaksi ja epäeuklidiset geometriat mahdollisiksi.
Alun perin teos koostui 13 kirjasta. Myöhemmässä vaiheessa siihen liitettiin dodekaedrin ja ikosaedrin geometrisia tulkintoja käsittelevä 14. kirja ("Hypsikles", 100-luvulla eaa.) ja säännöllisiä avaruusgeometrisia kappaleita käsittelevä 15. kirja (600-luku tai myöhemmin). Ensimmäinen kirja alkaa geometrian perusobjektien määrittelyllä ja geometrian aksioomien esittelyllä, minkä jälkeen hän siirtyy kolmioon liittyvien lauseiden esittelyyn, suorien leikkaukseen ja suorakulmioiden geometriaan. Toinen kirja on omistettu suorakulmioille ja 4. ja 5. ympyröille, joiden leikkauksia hän oli jo käynyt lävitse kolmannessa kirjassa, ja jälkimmäisessä hän esittää matemaattisen verrannon teorian. Matemaatikot ovat kehuneet kilvan Eukleideen esittämän verrantoteorian tarkkuutta ja eleganttiutta. Seuraavaksi (6.) hän käsittelee yhdenmuotoisuutta ja sen teoriaa. Kirjat 7, 8 ja 9 ovat lukuteoreettisia esityksiä (Eukleideen algoritmi ja alkulukujen ääretön määrä) ja kymmenes kirja keskittyy irrationaalisiin lukuihin. Siinä hän esittelee tavan todistaa luvun formula_1 irrationaalisuuden eli ettei sitä voida esittää kahden luvun osamääränä. Loput kirjat laajentavat aiempien kirjojen sisällön ottaen huomioon kolmannen ulottuvuuden eli ne käsittelevät avaruusgeometriaa.
Muut teokset.
Keskiajalla antiikin teoksia käännettiin aktiivisesti kreikasta arabiaksi, myös Eukleideen teoksia käännettiin. Tästä huolimatta kaikki teokset eivät ole säästyneet. Eukleideen tuotannosta on säilynyt teos "Data", jonka käsittelemät kysymykset liittyvät siihen, mitä kuvioiden osista on mahdollista päätellä silloin, kun on olemassa tieto joidenkin muiden osien suuruudesta, ja "Kuvioiden jakamisesta", joka käsittelee mahdollisuuksia jakaa annettu kuvio tietyin pinta-aloja koskevin ehdoin määrätynlaisiksi osiksi. Jälkimmäinen teos on säilynyt vain arabiankielisenä käännöksenä. Myös perspektiiviä käsittelevä "Optiikka" (Optika) ja tähtitieteen alkeita esittelevä "Fenonema" ovat jossain määrin säilyneet. 300-luvulla eläneen Pappoksen kommentaarien perusteella on pyritty rekonstruoimaan "Porismit"-niminen teos ja 400-luvulla kirjoittanut Proklos mainitsee Euklideen kirjoittaneen teokset myös kartioleikkauksista (Konika) ja musiikista ("Katatomē kanonos", ’Sävelasteikon jako’ ja "Johdatus harmoniaan"). Näiden ohella Eukleideen tuotantoon tiedetään kuuluneen "Pseudaria" (”Harhapäätelmiä”), jonka tarkoituksena oli auttaa geometrian opiskelijoita välttämään yleisimpiä virheitä.
"Katoptrika" teoksessa Eukleides käsittelee peilejä ja valon heijastumista matematiikan kannalta. Erityisesti se käsittelee tasopeilien ja koveran peilin muodostamia kuvia. Teoksen kirjoittajaksi on ehdotettu myös Theon Aleksandrialaista.