Beta-jakauma

 | kurtosis = formula_1
 | entropy = formula_2
 | mgf = formula_3
 | char = formula_4 (katso hypergeometrinen funktio)
 | pgf = 
 | fisher = formula_5
Beta-jakauma eli formula_6jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.
Jos satunnaismuuttuja formula_7 on Beta-jakautunut parametreillä formula_8 ja formula_9, merkitään se yleensä
formula_10 formula_11 formula_12 
Todennäköisyysjakauma.
Satunnaismuuttujalla formula_7, joka on Beta-jakautunut ja jolla perusjoukko on formula_14[0,1], on kaksi positiivista parametria formula_8 ja formula_9. Niiden avulla Beta-jakauman tiheysfunktio määritellään
formula_17 
missä niin sanottu "beta-funktio" on
formula_18 
jossa formula_19 taas on gammafunktio. Beta-funktion tarkoituksena on "normalisoida" beta-jakauma niin, että sen tiheysfunktion määrätty integraali koko reaalialueen yli on tasan yksi.
Toisinaan joskus parametrien arvoista vähennetään yksi (formula_20 ja formula_21), jotta tiheysfunktion ja momenttifunktion kaavat yksinkertaistuisivat hieman.
Beta-jakauman tiheysfunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia:
Beta-jakauman kertymäfunktion lauseketta ei ole mahdollista kirjoittaa eksplisiittiseen muotoon, koska sen tiheysfunktion integraalifunktiota ei voi kirjoittaa lausekkeeksi alkeisfunktioiden avulla. Ne onkin tapana esittää vain numeerisessa muodossa aivan kuten toimitaan normaalijakaumassakin.
Tunnusluvut ja momentit.
Momenttifunktio.
Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä
formula_43
Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Origomomenttien yleinen muoto on
formula_44 
ja koska gammafunktiolla on formula_45, siitä saadaan ensimmäiset momentit
formula_46
ja
formula_47
Keskusmomenttien yleinen muoto on
formula_48
missä formula_49 on hypergeometrinen funktio.
Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan
formula_50
 formula_51
formula_52 
Tunnuslukuja.
Jakauman odotusarvo saadaan "ensimmäisestä origomomentista"
formula_53 
Sen varianssi on taas suoraan "toinen keskusmomentti"
formula_54 
Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla
formula_55 
Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.
Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla
formula_56 
Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.
Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun formula_24 ja formula_58
formula_59
Jos formula_60 tai formula_61 voi moodi sijaita välin päätepisteessä. Kun formula_62 on jakauma tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi.
Esimerkkejä.
Tarkastellaan toistokoetta, jonka yksittäisen kolikonheiton arvoksi voi tulla vain "kruuna" tai "klaava" todennäköisyyksillä formula_63 ja formula_64. Heittojen kokonaismäärän ollessa formula_65, noudattaa saatujen kruunujen yhteismäärät formula_7 binomijakaumaa formula_67. Jos halutaan selvittää "kruunan" todennäköisyyttä formula_63, kun saadaan formula_69 "kruunaa", on se Beta-jakautunut formula_70.
Edellinen ongelma on perinteisesti ratkaistu käyttäen normaalijakaumaa, mutta Beta-jakauma antaa silloin oikean tuloksen, kun se määritellään
formula_71
Normaalijakauma antaa harhaisen tuloksen, mikäli toistojen lukumäärä formula_72 on pieni ja suhde formula_73 on lähellä arvoa 0 tai 1.
Beta-jakaumaa tulisi käyttää normaalijakauman sijasta approksimoitaessa binomijakaumaa epäsymmetrisissä tiheysjakauman tilanteissa. Esimerkiksi epäsymmetrisessä ja kahta arvoa antavassa satunnaistapauhtumassa kannattaa käyttää diskreetin binomijakauman approksimoimiseksi jatkuvaa Beetta-jakaumaa. Yleensä binomijakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, mutta se ei toimi kunnolla, kun toista arvoa esiintyy tuntuvasti enemmän kuin toista.
Beta-jakaumaa voidaan käyttää arvioitaessa tasajakaumien formula_74 arvoja. Arvotaan "n" satunnaismuuttujalle formula_75 arvot formula_76 formula_77 formula_78 formula_79. Arvot lajitellaan suuruusjärjestykseen, jolloin arvo merkitään uudella tavalla formula_80 kun se on järjestyksessä "i":nnes. (eli formula_81 &lt; formula_82 &lt; ... &lt; formula_83). Silloin arvo formula_84 kun formula_85.
Muut jakaumat.
Beta-jakaumasta saadaan tasajakauma, mikäli parametrit ovat molemmat yksi
formula_86