Funktion toispuoleinen raja-arvo

Funktion toispuoleinen raja-arvo on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä, jossa käsitellään jatkuvien yhden muuttujan funktioiden raja-arvolaskentaa. Erotukseksi funktion raja-arvon yläkäsitteestä, "funktion toispuoleisella raja-arvoilla" tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun luvun lähiympäristössä sen "toisella puolella" eli lukusuoralla, joko luvun vasemmalla- tai oikealla puolella, pelkästään. Jos toispuoleinen raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio "suppenee" (muutoin "hajaantuu") toispuoleisesti kyseisessä kohdassa. Useamman muuttujan funktioilla toispuoleisen raja-arvon sijasta käytetään sen laajennusta, suunnattua raja-arvoa, missä lähestymissuunnat voidaan valita suuntavektorin vastakkaisista suunnista.
Johdanto.
Toispuoleista raja-arvoa voidaan käyttää funktion määrittelyalueen reunapisteessä, missä lähestymistä voi toteuttaa vain alueen sisäpuolelta. Yhden muuttujan funktion suljettu tai avoin määrittelyväli on tällainen esimerkki. Toispuoleisia raja-arvoja voidaan käyttää myös paloittain määriteltyjen funktioiden palojen määrittelyvälien reunoilla tai rajapisteessä.
Funktioiden jatkuvuustarkastelussa funktion arvoa verrataan sen vasemman- ja oikeanpuoleisen raja-arvoihin. Funktio on jatkuva, jos molemmat toispuoleiset raja-arvot ovat keskenään samat ja yhtäsuuret kuin funktion arvo sen kasautumispisteessä. Myös funktion derivoituvuuden tutkiminen voidaan suorittaa kahdella toispuoleisella raja-arvolla, missä haetaan erotusosamäärän arvoja eri suunnissa.
Usean muuttujan funktioiden sekä suunnattujen derivaattojen tutkiminen annetussa vektorisuunnassa formula_1 tapahtuu toispuoleisten raja-arvojen avulla.
Määritelmä.
Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä epsilon-delta-tekniikka. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä luvuille epsilon (formula_2) ja delta (formula_3) välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.
Funktion formula_4 realilukuarvoinen määrittelyjoukko on formula_5 niin, että formula_6 on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku "p", eli formula_7 (luku "p" voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo "L" kohdassa "p", jos kaikilla luvuilla formula_8 on aina olemassa luku formula_9 siten, että 
formula_10 
Siis, valittiinpa positiivinen luku formula_2 kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku formula_3 siten, että kaikilla korkeintaan formula_3:n etäisyydellä olevilla luvuilla formula_14 ovat funktion formula_15 arvot korkeintaan formula_2:n etäisyydellä raja-arvosta "L". Toistamalla formula_2:n pienentämisen, tulisi myös formula_3 pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun formula_3:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun formula_2.
Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen "x" ja "p" erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, "x" lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.
Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään niin, että koska luvut "x" ovat lukua "p" suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua "p" oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo formula_21. Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja
formula_22
Raja-arvon "L" yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä.
Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa lukua "p" lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut "x" ovat aina lukua "p" pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot
formula_23 
Esimerkkejä käytöstä.
Raja-arvo välin reunapisteessä.
Kun funktion raja-arvoa tarkastellaan suljetun välin tai -alueen reunapisteissä, tarvitaan toispuoleista raja-arvoa. Välin sisäpisteissä voidaan lähestyä tarkastelupistettä kummaltakin puolelta, mutta reunapisteissä lähestyminen on mahdollista vain eräistä suunnista. Avoimen välin tai -alueen raja-arvot reunassa ovat samasta syystä ongelmallisia.
Raja-arvon olemassaolo.
Välin tai alueen sisäpisteiden raja-arvo tulisi määritelmän mukaan olla aina sama lähestyttiimpä tarkastelupistettä mistä suunnasta hyvänsä. Raja-arvo on siten olemassa vain, kun kaikki mahdolliset toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja samat.
Jatkuvuus.
Funktion jatkuvuus tarkastelupisteessä on määritelty niin, että funktion arvo on sama kuin välin molemmat toispuoleiset raja-arvot tai alueen kaikki toispuoleiset raja-arvot.
Toispuoleiset derivaatat.
Funktion toispuoleiset derivaatat määritellään funktion erotusosamäärän toispuoleisilla raja-arvoilla. Jotta funktion derivaatta olisi olemassa, tulee kaikki toispuoleiset raja-arvot olla samoja.