Tasakylkinen puolisuunnikas

Tasakylkinen puolisuunnikas on geometriassa nelikulmainen monikulmio, jossa on kaksi yhdensuuntaista sivua ja kaksi muuta erisuuntaista sivua (eli kylkeä), jotka ovat saman pituiset. Kahden sivun yhdensuuntaisuudesta johtuen kuvio luokitellaan puolisuunnikkaaksi, mutta tasakylkisyytensä vuoksi se on siitä erikoistapaus. Kuvio on symmetrinen, ja se esiintyy tämän takia monissa arjen tilanteissa.
Tasakylkinen puolisuunnikas kuuluu yksinkertaisiin ja konveksisiin nelikulmioihin. Sen ympäri voidaan piirtää ympyrä niin, että kehä kulkee kaikkien kärkien kautta. Sen sisäpuolelle ei välttämättä pysty piirtämään ympyrää niin, että se sivuaisi sen kaikkia sivuja sisäpuolelta. Tämän vuoksi se on ainoastaan syklinen.
Nimityksiä.
Tasakylkinen puolisuunnikas on kuin katkaistu tasakylkinen kolmio, jossa kolmion kärki on leikattu kannan suuntaisella vedolla pois. Puolisuunnikkaalla on "kyljet", jotka ovat yhtä pitkät. Samoin "kantakulmat" ovat tasakylkisyydestä johtuen yhtä suuret. Puolisuunnikkaan yhdensuuntaiset sivut ovat sen "kantoja" ja kantojen välistä etäisyyttä kutsutaan "korkeudeksi". Kylkien keskipisteiden välinen jana on "mediaani", kuten on myös kantojen keskipisteiden välinen jana.
Erityispiirteitä.
Puolisuunnikas on tasakylkinen puolisuunnikas jos ja vain jos
Tasakylkinen puolisuunnikas on symmetrinen kantojen keskipisteiden kautta kulkevan akselin suhteen. Silloin
Ominaisuuksia.
Osa kaavoista on puolisuunnikkaan tai syklisen nelikulmion kaavoista johdettuja sijoittamalla yleisempään kaavaan sen suureiden (pilkulla merkityt) tilalle tasasivuisen puolisuunnikkaan suureet ( eli formula_1)
Kulmat.
Konveksin nelikulmion (kulmien lukumäärä n = 4) sisäkulmien summa on
formula_2 
Merkitään aluksi kulma formula_3A = α ja muut kulmat aakkosittain vastaavalla tavalla. Koska tasakylkinen puolisuunnikas on syklinen, on vastakkaisten kulmien summa eli α + γ = β + δ = 180°. Symmetrisyydestä seuraa, että yhdensuuntaisten sivujen kantakulmat ovat samat eli α = β ja γ = δ. Yhdensuuntaisuudesta seuraa vielä sekin, että sivun ulkokulma on yhtä suuri kuin vastaisen sivun kantakulma.
Tämän vuoksi kulmion kulmat merkitään vastedes vain kulmilla α (sivun a kantakulmat) ja β (sivun b kantakulmat). Lävistäjät jakavat nämä kulmat kahteen osaan, jotka eivät ole yhtä suuria. Kulmat α jakaantuvat kulmiin α1 ja α2 eli α = α1 + α2. Samoin tekevät kulmat β = β1 + β2.
Koska kulmio on syklinen, voidaan kehäkulmalauseella karsia eri suuruisten kulmien lukumäärää edelleen. Kärjessä A oleva kulma α1 on kehäkulma jänteelle BC. Samalle jänteelle BC on myös kehäkulmana kulma β2, joten näiden on oltava saman suuruisia eli α1 = β2 (kuviossa "Figure 1" on ne jo korvattu).
Koska kulmio on syklinen, voidaan sisäkulman suuruus laskea
formula_4
formula_5 
missä s on alempana esiteltävä "puolipiiri".
Sivut.
Tasakylkisyydestä seuraa, että yhdensuuntaisten sivujen a ja b väliin jäävät yleensä erisuuntaiset kyljet, jotka ovat nyt yhtä pitkät c. Jos kyljet ovat yhdensuuntaiset, muuttuu kuvio suunnikkaaksi. Samoin käy, jos yhdensuuntaiset sivut a ja b ovat yhtä pitkät.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan piiri p lasketaan
formula_6
Kylkien c sijasta tunnetaankin korkeus, voidaan piirin pituus esittää
formula_7 
missä α on kantakulma.
Piiristä saadaan puolipiiri s puolittamalla se
formula_8
Lävistäjät.
Yksinkertaisessa nelikulmiossa on aina formula_9 lävistäjää, jotka ovat AC ja BD. Lävistäjät ovat symmetrian johdosta yhtä pitkät ja tässä pituutta on merkitty kirjaimella d. Lävistäjät leikkaavat pisteessä L, joka sijaitsee symmetria-akselilla.
Lävistäjien väliin syntyy kaksi kolmiota: formula_10 ja formula_11. Kolmiossa ABL ovat molemmat kantakulmat samat sekä sen huippukulma ristikulmana sama kuin vastinkolmiossa CDL. Kolmiot ovat siten yhdenmuotoiset ja sivujen pituudet suhtautuvat kuten kannatkin eli "a : b". Leikkauspiste jakaa myös lävistäjät osiin p ja q siten, että "a : b = p : q". Piste L jakaa myös korkeusjanan "h" osiin samassa suhteessa.
Lävistäjän pituuden voi laskea Pythagoraan lauseella, kun hypotenuusana on lävistäjä d, kateettina korkeus h ja toisena kateettina lävistäjän alle jäävä osa pitemmästä kannasta. Tämä osa lasketaan
formula_12
jolloin lävistäjäksi saadaan
formula_13
eli
formula_14 
Koska tasakylkinen puolisuunnikas on syklinen, voidaan lävistäjä määrittää myös syklisen nelikulmion tapaan
formula_15 
Muita mittoja.
Kulmion korkeus voidaan laskea Pythagoraan lauseella
formula_16 
Mediaanin, jolla tarkoitetaan tässä kylkien keskipisteet yhdistävää janaa, pituus on
formula_17 
eli janojen a ja b keskiarvo.
Pinta-alan yleisesti tunnettu lauseke on
formula_18 
Pinta-ala voidaan laskea myös
formula_19 
mikä tunnetaan Brahmaguptan kaavana.
Ulkoympyrä.
Tasakylkinen puolisuunnikas on syklinen ja sen ympäröivän ympyrän säde on
formula_20
formula_21 
missa formula_22 on pinta-ala ja formula_23 on lävistäjä.
Konstruointi.
Eräs tapa konstruoida tasakylkinen puolisuunnikas on piirtää ensin kanta. Kantakulman piirtämisen jälkeen se kopioidaan samansuuruisena janan toiseen päähän. Kantakulmien määräämiä kylkiä jatketaan ja katkaistaan samasta kohtaa. Katkaisukohdat yhdistetään toisella kantaviivalla, joka on yhdensuuntainen. On olemassa monia muitakin tapoja piirtää tasakylkinen puolisuunnikas.