Kehäkulma

Kehäkulma on geometriassa ympyrään liittyvä kulma. Ympyrän kehältä valitaan kolme pistettä A, B ja P, joista P:stä piirretään jänteet PA ja PB. Jänteiden PA ja PB välistä kulmaa formula_1 nimitetään kehäkulmaksi. Koska kulman määrittäminen kahden pisteen avulla jättää kaksi vaihtoehtoista tulkintaa, sidotaan keskuskulma usein ympyrän kaareen tai sitä vastaavaan jänteeseen.
Kehäkulmalause.
Seuraavaa lausetta kutsutaan kehäkulmalauseeksi: Olkoon formula_2 annettu ympyrä ja olkoot formula_3 ja formula_4 kaksi formula_2:n pistettä siten että formula_3 ja formula_4 eivät ole formula_2:n halkaisijan päätepisteet. Jos formula_9 ja formula_10 ovat samalla puolella suoraa formula_11 olevia formula_2:n pisteitä, niin formula_13. Tämän tiedon välittömänä seurauksena, mikäli kahdella kehäkulmalla formula_14 ja formula_15 on yhteinen keskuskulma formula_16, ovat kehäkulmat suuruudeltaan puolet tästä ja siten yhtäsuuret eli formula_17. Kaikki saman kaaren kehäkulmat ovat siksi aina yhtä suuria, kuten alla olevassa kuvassa näytetään.
Kehäkulmalauseella on yksinkertaisuudestaan huolimatta merkittävä asema euklidisessa geometriassa, jossa sen ominaisuuksia käytetetään paljon todistamisessa. Esimerkiksi, kun kaksi ympyrän jännettä leikkaavat toisensa, voidaan kehäkulmalauseella osoittaa, että jänteiden osien tulo on vakio. Myös tunnettu tulos, jossa jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180°, saadaan kehäkulmalauseella pääteltyä helposti.
Viimeinen huomautus nähdään yllä olevasta kuvasta. Kaarta ADC vastaavat keskuskulma α ja kehäkulma β. Kaarta CBA vastaavat keskuskulma θ ja kehäkulma ψ. Koska θ = 360° − α, ovat kehäkulma puolet tästä eli ψ = 1/2·θ = 1/2·(360° − α) = 180° − α/2 = 180° − β. Täten vastakkaiset kulmat ovat suplementtikulmat eli ψ = 180° − β.
Kun kehäpiste lähestyy kaaren reunapistettä, jää toisen kehäkulman jänne lyhyeksi. Kehäkulman suuruus säilyy saman suuruisena lähestymisen loppuun saakka, mutta kun kehäpiste yhtyy kaaren reunapisteeseen, näkyy kehäkulman aukeama sen toisen kylkenä olevan jänteen ja ympyrän tangentin välissä. Tätä erikoistilannetta voi pitää kehäkulmalauseen laajennuksena (katso viereinen kuva).
Thaleen lause.
Kehäkulmalauseen erikoistapauksena saadaan Thaleen lause, kun keskuskulma on oikokulma eli 180°, niin kehäkulma on suora kulma eli 90°. Kehäkulmalauseen mukaisesti kaksi (eli kaikki) puoliympyrän kehäkulmaa ovat molemmat suoria.
Kehäkulmalauseen todistus.
Lause on ollut tapana todistaa Suomen koululaitoksen oppikirjoissa yhdessä erikoistapauksessa ja kahdessa yleisessä tapauksessa, jotka kattavat kaikki tapaukset ja tukevat toisiaan todistelussa.
Kehäkulman jänne ja sektorin säde ovat päällekkäin.
Tutkimalla kuviota huomataan, että
Kolmion formula_25 kulmien summa on formula_26, aivan kuten kehäkulmalause väittääkin. Tähän tulokseen vedotaan kahdessa alemmassa osassa.
Keskuskulma mahtuu kokonaan kehäkulman sisälle.
Piirretään kehäpisteestä V keskipisteen O kautta kulkeva halkaisija kehäpisteeseen E. Jana VE jakaa kaaren DC osiin DE ja EC. Huomataan, että
Keskuskulma formula_35 aivan kuten kehäkulmalause väittääkin.
Keskuskulma mahtuu vain osittain kehäkulman sisälle.
Piirretään kehäpisteestä V keskipisteen O kautta kulkeva halkaisija kehäpisteeseen E. Jana VE osuu kaaren DC viereen muodostaen kaaret ED ja EC. Huomataan, että
Keskuskulma formula_44 aivan kuten kehäkulmalause väittääkin.
Historia.
Eukleideen (noin 300 eaa.) kirjassa Alkeet käsitellään kehäkulmia 3. kirjassa väittämien 20, 21 ja 22 muodossa. Väittämät olivat "kehäkulma on puolet keskuskulmasta" , "samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat saman suuruiset" ja "vastakkaisten kaarien kehäkulmien summa on 180°" .
Thales (636–546 eaa.) esitti oman lauseensa paljon aikaisemmin, mutta se oli kehäkulmalauseen erikoistapaus. Hän on kuitenkin oppinut sen kauppamatkoillaan Babyloniassa. Tämänkin lauseen Eukleides liitti Alkeisiin 3. kirjaan väittämäksi 33.