Käänteisen etäisyyden menetelmä

Käänteisen etäisyyden menetelmät () ovat yksinkertaisia monimuuttujaisia interpolaatiomenetelmiä, joilla lasketaan näytteiden arvojen avulla annetussa pisteessä formula_1 sijaitsevan suureen formula_2 arvo. Näytteet sijaitsevat yksi- tai monidimensioisissa pisteissä formula_3, joiden etäisyydet formula_4 kohdasta formula_5 voidaan määrittää. Etäisyys voi olla joko euklidinen etäisyys tai jokin muu etäisyysfunktion arvo, joka noudattaa metriikan perusteita. Kunkin arvioitavan kohdan arvo saadaan laskemalla kullekin näytteelle painokertoimet formula_6, joiden avulla muodostetaan näytteiden arvoista formula_7 painotettu aritmeettinen keskiarvo
formula_8
Tätä muotoa kutsutaan englanninkielisessä kirjallisuudessa usein Shepardin menetelmäksi. Se on eräs vanhimmista spatiaalisista interpolointimenetelmistä.
Painokertoiminen määritys.
Etäisyyden laskeminen.
Näytteen formula_9 ja arvioitavan kohteen formula_5 välinen etäisyys
formula_4
lasketaan normaalisti niin, että metriikkana on euklidinen etäisyys. Kun interpolointi suoritetaan yksiulotteisena (x-akselia pitkin), saadaan etäisyydeksi x-koordinaattien erotuksen itseisarvo eli välimatka
formula_12
Kun interpolointi suoritetaan tasolla eli kaksiulotteisena, käytetään pisteiden koordinaateille formula_13 ja formula_14 Pythagoraan lauseen tulosta
formula_15
Kolmiulotteisessa tapauksessa voidaan pisteet merkitä formula_16 ja formula_17 ja etäisyys laskea vastaavasti
formula_18
Käänteisen etäisyyden potenssit.
Koska käytännössä ei yleensä merkitä etäisyyden käänteislukuja suoraan painokertoimiksi formula_6, merkitään niitä vielä formula_20. Usein etäisyyden käänteisluvut korotetaan potenssiin formula_21
formula_22 
mikä korostaa lähellä olevien näytteiden painoarvoa kaukana olevien kustannuksella. Mitä lyhyempi on näytteistä mitattujen arvojen riippuvuus toisistaan, sen korkeampi on valittu potenssi.
Painokertoimien normitus.
Painokertoimille asetetaan yleensä ehto, että niiden summa tulee olla yksi
formula_23
Näin halutaan varmistaa, että interpolointi tuottaa arvoja, joilla on sama odotusarvo formula_24 kuin näytteiden keskiarvo on eli
formula_25
formula_26
Kukin käänteisen etäisyyden potenssi tulee siksi jakaa näiden kaikkien summalla
formula_27
jolloin painokertoimiksi saadaan lausekkeet
formula_28 
joiden summa on yksi.
Interpolointi näytteessä.
Menetelmä ei toimi, jos yritetään laskea kohteen painokertoimia näytteen kanssa samassa pisteessä. Etäisyys näytteen formula_7 ja kohteen formula_2 välillä on silloin nolla eikä nollalle ole määritelty käänteislukua. Algoritmiin lisätään siksi ehto, että kun kohteen etäisyys näytteestä formula_7 on nolla (tai hyvin lähellä nollaa), kirjataan näytteen painoksi formula_32 ja muille näytteille painoiksi formula_33 Näin menetelmä antaa näytteen formula_34 kohdalla suoraan näytteen formula_7 arvon ja menetelmästä tulee interpolointimenetelmä.
Interpolaation ominaisuuksia.
Koska menetelmässä huomioidaan vain näytteiden etäisyydet kohteestaan eikä näytteiden keskinäisiä etäisyyksiä, voi menetelmä painottaa suurestikin esimerkiksi kolmea läheistä näytettä. Näiden (todennäköisesti) lähes yhtäsuuret arvot saavat silloin kolminkertaisen painoarvon. Ongelma kierretään yleensä korvaamalla mainitut kolme näytettä yhdellä uudella näytteellä, jolle lasketaan arvoksi kolmen näytteen keskiarvo.
Kun käänteisen etäisyyden potenssin eksponentti kasvaa, kasvaa lähimmän näytteen painokerroin muiden näytteiden painokertoimien kustannuksella. Kunkin näytteen lähelle syntyy silloin leveä alue, jossa interpolaation antama tulos on lähes sama kuin näytteelläkin. Tämän ilmiön välttämiseksi eksponentin arvo tulee pitää matalana. Eksponentti formula_36 tuottaa tyydyttävät interpoloinnit.
Menetelmä on eksakti interpolointimenetelmä, sillä näytteen kohdalla se antaa aina arvoksi näytteen arvon. Näytteiden väleissä interpolaatiokäyrä taipuu kohti näytteiden keskiarvoa (viereinen kuva). Menetelmästä ei ole suurtakaan iloa, jos näytteiden välit ovat liian suuret, sillä samaan tulokseen pääsee keskiarvoa laskemalla.