Bohrin atomimalli

Bohrin atomimalli on ensimmäinen semikvanttimekanistinen fysikaalinen atomimalli, joka kuvaa atomin pieneksi positiivisesti varautuneeksi ytimeksi, jota elektronit kiertävät eritasoisilla radoilla, kuten planeetat kiertävät Aurinkoa ja kuut planeettoja. Vaikka Bohrin malli osoittautui myöhemmin puutteelliseksi, onnistui se kuitenkin selittämään paljon ilmiöitä. Malli on myös verrattain yksinkertainen, minkä takia Bohrin atomimallia opetetaan vielä nykyäänkin yleisesti yläkouluissa sekä lukioissa.
Taustaa.
1900-luvun alkupuolella Ernest Rutherford havaitsi pommittamalla ohutta kultakalvoa heliumytimillä (eli alfahiukkasilla), että atomit koostuivat pienestä ja tiiviistä positiivisesti varautuneesta ytimestä, jota ympäröivät negatiivisesti varautuneet elektronit. Useimmat alfahiukkaset läpäisivät kalvon vaivattomasti, johtaen tulkintaan atomista, joka on enimmäkseen tyhjää tilaa. Kuitenkin jotkut alfahiukkaset taittuivat takaisin kalvosta hyvinkin suurilla kulmilla; kokeen datan perusteella atomiydin olisi korkeintaan formula_1 m. Rutherfordin omin sanoin: "It was quite the most remarkable event that has ever happened to me in my life. It was almost as if you fire a fifteen-inch shell at a piece of tissue paper and it came back and hit you". Oli kuitenkin epäselvää, mikseivät negatiiviset elektronit pudonneet positiiviseen ytimeen.
Lisäksi atomien absorptio- ja emissiospektreistä oli jo kauan aikaisemmin huomattu, että jokaisella alkuaineella on sille ominainen karakteristinen spektri eli ne lähettävät valoa vain tietyillä aallonpituuksilla. Esimerkiksi natriumlanka lähettää vain tietyillä spesifisillä aallonpituuksilla valoa, kun atomeille annetaan energiaa esimerkiksi sähköpurkauksen avulla. Klassinen fysiikka ei pystynyt selittämään ilmiötä, mikä ei kuitenkaan ollut estänyt käyttämästä sitä hyväksi alkuaineiden tunnistamisessa.
Bohrin postulaatit.
Niels Bohr ehdotti atomimallia, jossa elektronit kiertävät ellipsiradoilla kompaktia ydintä. Malli siis pitää elektroneita täysinä hiukkasina, vaikka nykyään tiedämme, että elektronit noudattavat aaltohiukkasdualismia. Atomeista yksinkertaisin on vetyatomi, joka koostuu protonista ja sitä kiertävästä elektronista. Koska ydin on positiivisesti ja elektroni negatiivisesti varautunut, vetävät ne toisiaan puoleensa Coulombin voiman ansiosta, samalla tavalla kuin Aurinko vetää Maata (ja Maa Aurinkoa) puoleensa painovoiman vaikutuksesta. Ensimmäinen ongelma tällä mallilla on, että jos elektroni kiertää ydintä kiertoradalla, pitäisi sen lähettää sähkömagneettista säteilyä, koska se on kiihtyvässä liikkeessä ja kiihtyvät varaukset lähettävät sähkömagneettista säteilyä. Tämän säteilyn taajuuden pitäisi olla sama kuin sen kiertoajan käänteisarvo. Siitä kuitenkin seuraisi, että elektroni menettäisi energiaa ja tämän vuoksi sen kiertosäde pieneneisi, kunnes se olisi ytimessä noin formula_2 sekunnin kuluttua. Bohrin atomimalli (1913) kuitenkin onnistui ratkaisemaan tämän ongelman tekemällä lisäoletuksia, postulaatteja, jotka kuitenkin merkitsivät selvää poikkeamista klassisesta fysiikasta.
Bohrin postulaatit:
Postulaattien seuraukset.
Koska Bohrin malli toimii täydellisesti vain vetyatomille, seuraavassa on implisiittisesti kyse vetyatomista. Jos kyseessä on jonkin muun alkuaineen yksielektroninen ioni, on kaavoissa e2 korvattava lausekkeella Ze2, missä Z on alkuaineen järjestysluku ja Ze ytimen varaus.
Postulaatti 2 on koko mallin ydin. Siitä seuraa, että elektronin säde ja energia ovat kvantittuneet, eli ne voivat saada vain tiettyjä arvoja. Toisinaan näiden kvantittumiset ovat virheellisesti oletettu mallin postulaateiksi, vaikka todellisuudessa ne ovat vain seurausta postulaatista 2. Seuraavassa oletamme, että ydin on massaltaan suuri verrattuna elektroniin, jolloin kiertorata on ympyrä, jonka keskipiste on ytimessä.
Impulssimomentille formula_7 (1), missä formula_8 = elektronin kiertoradan säde tietylle n, m = elektronin massa sekä v = elektronin tangentiaalinen nopeus ja n = 1, 2, 3, ...
Coulombin voima toimii sentripetaalisena voimana, joten: formula_9 (2)
Eliminoimalla v (1):stä ja (2):sta saadaan: 
formula_10 (3),
eli säde formula_8 on kvantittunut. Määritellään vakio formula_12formula_13, joka tunnetaan Bohrin säteenä, jolloin formula_14 (4).
Elektronin energia ja spektrit.
Koska elektronin kokonaisenergialle formula_15 pätee: 
formula_16,
(2):sta eliminoimalla v saamme
formula_17.
Sijoittamalla tähän (3) saamme 
formula_18eV (5).
Kaava (5) ennustaa täydellisesti vedyn emissiospektrin. Sen mukaan vety­atomi voi lähettää vain sellaisia fotoneja, joiden energia vastaa kahden energia­tason erotusta. Koska fotonin energian "E" ja aallon­pituuden λ välillä on yhteys formula_19, ovat vedyn spektriviivojen aallonpituudet
formula_20,
missä formula_21 on vedyn Rydbergin vakio.
Bohrin postulaatti impulssimomentin kvantittumisesta (postulaatti 2 yllä) selittää myös, miksei kiihtyvässä liikkeessä oleva elektroni putoa ytimeen säteillen energiansa pois.
Elektronin liike.
Kaavasta (4) seuraa, että elektroni voi olla vain tietyillä säteillä. Mallin pohjalta voidaan teoreettisesti laskea myös elektronin nopeus ja kiertoaika, joskin kvanttimekaniikan myöhempi kehitys osoitti, ettei näillä suureilla ole oleellista merkitystä. Nopeudeksi saadaan:
 formula_22 , missä e on alkeisvaraus, ε0 on tyhjiön permittiivisyys, h on Planckin vakio ja n elektronin radan järjestysluku.
ja kiertoajaksi
formula_23.
Tasolla n = 1 elektronin nopeus on noin 2.187 x formula_24 m/s, joka on noin sadasosa valonnopeudesta. Näin ollen vetyatomilla ensimmäiseen approksimaatioon ei tarvitse tehdä suhteellisuusteoreettisia korjauksia. Toisin on laita raskaammilla alkuaineilla, joiden valenssikuori on n = 6.
Suuret kvanttiluvun arvot ja korrespondenssiperiaate.
Maxwellin teorian mukaan ympyrä­liikkeessä oleva varaus lähettää sähkö­magneettista säteilyä, jonka taajuus on sama kuin kierto­ajan käänteisarvo tai jokin tämän monikerta. Edellä saatiin vetyatomin elektronin Bohrin mallin mukaiselle kierto­ajalle lauseke
formula_25, 
missä "n" on radan kvanttiluku, "c" on valonnopeus ja "R" Rydbergin vakio. Tällöin sen pitäisi Maxwellin teorian mukaan lähettää säteilyä, jonka taajuus on
formula_26
Atomi ei kuitenkaan voi pysyä viritys­tilassa pitkiä aikoja, vaan virittyneen atomin elektroni siirtyy nopeasti sisemmälle radalle. Jos se siirtyy radalta, jonka kvanttiluku on "n", radalle, jonka kvanttiluku on "k" (&lt; "n"), atomi lähettää säteilyä, jonka kvantin energia on
formula_27
ja taajuus näin ollen Planckin lain mukaisesti
formula_28.
Jos kuitenkin kvanttiluku "n" on suuri ja "k" paljon pienempi kuin "n", toisin sanoen elektroni siirtyy kaukana ytimestä olevalta radalta, korkeasta viritystilasta, toiseen, vain hieman alempaan viritystilaan, tämä taajuus on likipitäen
formula_29.
Huomataan, että nämä taajuudet ovat samoja, joita tällaisella radalla kiertävän elektroni klassisen Maxwellin teoriankin mukaan lähettäisi. Tämä oli varhaisimpia tunnettuja esimerkkejä korrespondenssi­periaatteesta, jonka mukaan suurilla kvanttilukujen arvoilla kvanttifysiikan tulokset ovat yhtä­pitäviä klassisen fysiikan tulosten kanssa.
Bohrin atomimallin epäonnistuminen.
Huolimatta Bohrin atomimallin onnistumisista, on se loppujen lopuksi epätarkka.
Askel Bohrin atomimallista eteenpäin.
Bohrin malli tunnetaan joskus "puoliklassisena mallina", koska vaikka se sisältääkin joitakin ajatuksia kvanttimekaniikasta, se ei ole täydellinen kvanttimekaaninen kuvaus atomista. Bohr teki kvanttimekanistisen hypoteesin pyörimismäärän kvantittoitumisesta, muttei mennyt pidemmälle.
Vuonna 1922 Bohr itse täydensi atomimalliaan eräillä lisäoletuksilla osoittaen, kuinka atomin rakenteen avulla voitiin selittää myös ne jaksolliseen järjestelmään liittyvät säännönmukaisuudet, jotka Mendelejev oli jo puoli vuosisataa aikaisemmin havainnut eri alkuaineiden kemiallisissa ominaisuuksissa. Ennen vuotta 1922 oli jo todettu, että kunkin alkuaineen järjestysluku jaksollisessa järjestelmässä on sama kuin sen atomiytimen varaus alkeisvarausyksikköinä, ja näin ollen myös sama kuin sähköisesti neutraalissa atomissa olevien elektronien lukumäärä. Tämän vuoksi Bohr täydensi atomimalliaan olettamalla, että
Oletusta (2) voitiin myöhemmin tarkentaa niin, että sen pohjalta muotoiltiin Paulin kieltosääntö, kun taas oletus (3) vastaa sitä, mikä nykyisin tunnetaan oktettisääntönä. Tältä pohjalta voitiin selittää ionisidoksen muodostuminen. Gilbert Newton Lewis täydensi teoriaa myöhemmin selittämällä kovalenttisen sidoksen muodostumisen.
Täydelliseen atomin kuvaamiseen tarvitsee käyttää koko kvanttimekaniikan teoriaa, joka muotoutui useiden ihmisten työn tuloksena vuosia Bohrin mallin julkaisun jälkeen. Louis de Broglie esitti vuonna 1924 teorian, jonka mukaan elektronillakin on aaltoluonne, ja sille pätee sama liikemäärän (p) ja aallonpituuden (formula_30 välinen yhteys formula_31 kuin fotonillekin (h on Planckin vakio). Aaltoluvun (k) avulla yhtälö voidaan esittää myös muodossa formula_32formula_33. Sijoittamalla tämän kaavaan (1) saamme formula_34, eli formula_35, jonka voimme tulkita seisovaksi aaltoliikkeeksi. Elektronin pyörimismäärän ja samalla energian kvantittuminen selittyy siten, että sen kiertoradalle eli ympyrän kehälle on mahduttava tietty kokonaislukumäärä elektronin aallonpituuksia, jolloin elektroni itse asiassa on seisova aalto. Koska seisova aaltoliike ei välitä energiaa, ei elektroni niin ollen säteile sähkömagneettista säteilyä, ja atomi on vakaa.
Tämä teoria pitää elektroneja aaltoina, jotka luovat kolmiulotteisia seisovan aallon kuvioita atomissa. Aineaallot keksi Louis de Broglie, ja oletettiin, että Bohrin atomimallissa sallittujen (stationaaristen) ratojen kehät olivat aineaaltojen aallonpituuksien monikertoja, mikä tarkoittaa sitä, että elektronien stationaariset radat ovat sellaisia, joilla ne muodostavat seisovia aaltoja. Tämä malli toimi kuitenkin vain vetyatomille.
Seuraava ja ratkaiseva askel oli Schrödingerin yhtälö, jossa hiukkasen tilaa kuvataan todennäköisyysaaltona.