Paikkamerkintä

Paikkamerkintä eli positiojärjestelmä on tapa kirjoittaa luku niin, että sen arvo riippuu käytettävien numeromerkkien arvoista ja niiden keskinäisestä järjestyksestä. Paikkamerkintä seuraa lukujen esitystapojen evoluutiossa additiivista merkintää, jossa merkkejä vastaavat luvut lasketaan yhteen, ja moninkertaistavaa merkintää. Luvun kirjaamiseen tarvitaan paikkamerkinnällä usein vähemmän merkkejä kuin muilla tavoilla. Tämä korostuu suurien lukujen kanssa.
Lisäetuna on myös luvun suuruuden helpompi silmämääräinen arviointi sekä lukujen käyttö laskemisessa. Paikkamerkintä on perustana nykyaikaiselle 10-kantalukujärjestelmälle eli desimaalijärjestelmälle, jossa luvun kokonais- ja murto-osat esitetään saman merkinnän sisällä.
Vaihtelevat kantaluvut.
Monet mitattavat suureet, kuten aika, päiväys, kulma, hinta, pituus, pinta-ala ja tilavuus, esitetään käyttäen sekamerkintää eli sovellettua paikkamerkintää. Anglikaanisissa maissa ihmisen pituus ilmaistaan jalkoina ja tuumina. Esimerkiksi pituus 175 cm ilmoitetaan 5 jalkaa ja 10 tuumaa ("five and ten"). Yksi jalka on 12 tuumaa, jolloin 12 on pituusmerkinnän kantaluku, ja siten 175 cm on 5 • 12 + 10 = 70 tuumaa. Aikaa voidaan ilmaista kahdella eri tavalla 3791 s tai 1 h 3 min 11 s, jolloin jälkimmäinen merkintä voidaan tulkita paikkamerkinnäksi 1:3:11 (h:min:s). Toisaalta 7256 s = 2 h 56 s voidaan esittää paikkamerkintänä 2:0:56, missä puuttuva luku ilmaistaan nollalla. Yleisesti ottaen, kun sekamerkintää käytetään yhteenlaskuissa, joudutaan eri numeroille soveltamaan eri "kantalukuja".
Väli-Amerikassa Mayojen kulttuurin (400 eaa. – 900 jaa.) lukujärjestelmässä oli kantalukuina 18 ja 20. Merkinnän ensimmäistä paikkaa voitiin kasvattaa 20:een, mutta toista vain 18:aan. Lukujärjestelmä perustui siten kahteen kantalukuun. Tavan syntyyn saattoi vaikuttaa heidän käyttämä 20 päivän kuukausi, joita mahtui yhteen vuoteen 18.
Mayojen luku 3;17 tarkoitti lukua 3•20 + 17 = 77 ja luku 17;19 lukua 17•20 + 19 = 259. Lukua 17;20 ei käytetty, koska numeroa 20 ei käytetty paikkamerkkinä. Se muuntui siten muotoon 18;0, mutta hyvä laskija huomasi, että toinen paikka oli numeron 18 myötä täyttynyt. Se kasvatti siksi kolmannen paikan numeroa 1:ksi eli saatiin 1;0;0, mikä tarkoitti lukua 360 (joka oli samalla vuoden pituus päivinä). Kolminumeroinen luku 10;3;17 tarkoitti lukua 10•18•20 + 3•20 + 17 = 3677.
Zeckendorfin lukujärjestelmä on Zeckendorfin lauseeseen perustuva tapa esittää kokonaisluvut yksikäsitteisesti Fibonaccin lukujonon alkioiden summana siten, että lukujonon kukin alkio saa painon 1 tai 0. Luvun esitys koostuu siten binäärilukujen tapaan merkeistä '1' ja '0'. Se on yksikäsitteinen, kun summa koostetaan niin, että siinä ei käytetä kahta perättäistä alkiota, eli esityksessä ei koskaan ole kahta ykköstä peräkkäin. 
Yhteinen kantaluku.
Kaikissa luvun tai suureen esittämisessä alettiin Ranskan vallankumouksen jälkeen käyttämään samaa kantalukua kaikissa numeerisissa merkinnöissä. Pohjaksi otettiin desimaalijärjestelmä, jonka seurauksena myös kaikki mittayksikköjärjestelmät muutettiin 10-kantaisiksi. Esimerkiksi 1 litra tarkoitti 10 desilitraa ja 100 senttilitraa ja 1 000 millilitraa. Siten 1,234 litraa tarkoitti 1 litraa, 2 dl, 3 cl ja 4 ml. Mitattavan suureen sekamerkintä ja sitä vastaavan yhden yksikön desimaalinen paikkamerkintä olivat käytännössä sama asia. Tämän takia keskitasoinen laskija kykeni omaksumaan yhdellä oivalluksella varsin laajan asiakokonaisuuden.
Yleisin paikkamerkintää hyödyntävä lukumerkintä on tieteessä ja taloudessa käytettävä sekä kouluissa opetettava kantalukujärjestelmä, jossa kantaluku on 10. Tätä kutsutaan myös kymmenjärjestelmäksi tai desimaalijärjestelmäksi. Laskemisessa hyödyllisimmät paikkamerkinnät eroavat toisistaan vain kantaluvultaan. Joihinkin erityistilanteisiin sopivat muun muassa binäärijärjestelmä, oktaalijärjestelmä, heksadesimaalijärjestelmä ja seksagesimaalijärjestelmä.
Historia.
Lukujen kirjoittaminen merkeillä on ollut sidoksissa kirjoitustaidon keksimiseen. Sumerit alkoivat käyttää kuvakirjoitusta noin 3200 eaa., joka muuttui noin 3000 eaa. savitauluissa nuolenpääkirjoitukseksi. Numeromerkkejä kirjoitettiin jo 3500 eaa. alkaen ja erilaisia laskutauluja tehtiin yleisesti 3500–3200 eaa.
Additiivinen tapa.
Savitauluissa luvut koottiin määriä ilmaisevista merkeistä ryhmittelemällä niitä sopivalla tavalla. Noin 4 000 vuotta sitten oli käytössä tapa, jossa lukuja 1 ja 10 tarkoittavia merkkejä painettiin saveen tarvittava määrä. Luvut 1–9 merkittiin 1-merkkien painalluksina ja kymmenien määrää ilmaistiin 10-merkkien painalluksilla. Kymmenien ja ykkösten painalluksista voitiin yhteen laskemalla muodostaa luku. Tällä additiivisella merkinnällä voitiin merkitä luvut 1–59.
Useissa kulttuureissa lukujen kirjoittamiseen käytettiin monia erilaisia numeromerkkejä (jotka vastaavat esimerkiksi lukuja 1, 5, 10, 50, 100, jne.) ja niitä luettelemalla muodostettiin haluttu luku. Numeroiden kirjoittamisjärjestyksellä ei ollut merkitystä, koska luvun suuruuden määräsi vain niiden summa. Muinaisissa paikkamerkinnöissä käytettiin additiivisesti muodostettuja numeromerkkejä, mutta puhdas paikkamerkintä ei niitä sisällä, vaan käyttää kullekin numerolle erityistä merkkiä.
Varhaisin paikkamerkinnän esimuoto.
Ilmeisesti tähtitieteilijät ovat tehneet varhaisen paikkamerkinnän esimuodon savitauluihin seleukidien valtakunnassa Hammurabin aikana noin 2000 eaa. Siinä jatkettiin perinteistä additiivista tapaa kirjoittaa nuolenpääkirjoituksella luvut 1–59, mutta suurempia lukuja varten otettiin käyttöön paikkamerkintä. Usealla numeromerkillä ilmaistiin 60:n potenssien lukumääriä, joten merkintää kutsutaan 60- eli seksagesimaalijärjestelmäksi. Paikkamerkintä lyhensi lukumerkintöjä ja mahdollisti helpot yhteenlaskut. Tämä oli lukumerkinnässä valtava edistysaskel.
Nuolenpäälukujen numeroiden paikat ilmaisivat 60:n potensseja ja numerot ovat potenssien kertoimia. Jos ajatellaan luku luetun vasemmalta oikealle ja kirjoitetun arabialaisilla numeroilla, voidaan esittää helppo esimerkki. Merkinnässä 2;30;7 numero 7 merkitsee ykkösiä, luku 30 merkitsee 60:n moninkertaa ja numero 2 tuloksen 60² = 3600:n moninkertaa. Luku saadaan laskemalla monikertojen määrät yhteen
formula_1 
Nollaa ei aluksi tunnettu kirjoitusmerkkinä. Jos tiettyä monikertaa ei tarvittu, jätettiin paikalle tyhjä kohta ("välilyönti"). Numeroiden välistä puuttuva numero (eli nollaa tarkoittavaa merkkiä) alettiin merkitä omalla merkillä näkyviin vasta 200–300 eaa. samalla kun murtolukumerkinnät yleistyivät.
Babylonialaiset käyttivät myös murto-osia merkinnöissään. Luvun formula_2 käytettyä likiarvoa 1,414222 merkittiin seksagesimaaleilla 1;24,51,10, mutta savitauluissa ei koskaan eroteltu kokonais- ja muto-osan paikkaa. Se tuli todeta asiayhteyden perusteella. Babylonialaisten likiarvon virhe oli vain 0,000008.
Muita paikkamerkinnän esimuotojen käyttäjiä.
Muinaiset kiinalaiset käyttivät 10- eli desimaalijärjestelmää. Heillä oli käytössään ainakin kaksi erilaista additiivisia merkintätapaa. Sauvaluvut esittivät additiivisella tavalla luvut 1–9, joita voitiin kirjoittaa peräkkäin sauvojen asentoa muuttaen. Sauvanumeroiden asento ja paikka määrittivät luvun numeroiden paikan, joten merkintä oli melkein puhdas paikkamerkintä. Ensimmäinen paikkamerkintä tavataan kiinalaisesta kolikosta noin 600–500 eaa. Nolla liitettiin paikkamerkintään vasta 700 jaa., kun sen idea saatiin intialaisilta. Paikkamerkintä juurtui kiinalaisille hyvin varhain, koska he käyttivät laskutauluja.
Antiikin kreikkalaiset tutustuivat mesopotamialaisten eli babylonialaisten matematiikkaan ainakin 500 eaa. ja olivat sen jälkeen jatkuvassa vuorovaikutuksessa egyptiläisten, syyrialaisten, babylonialaisten ja intialaisten kanssa. Joonialainen lukumerkintä käytti kirjaimia formula_3 numeroille 1–9, formula_4 kymmenluvuille 10, 20..., 90 sekä formula_5 sataluvuille 100, 200... ja niin edelleen. Tuhatluvuille 1 000, 2 000..., 9 000 tulivat taas käyttöön kirjaimet formula_3. Jotta kirjainmerkintä tiedettiin luvuksi, sipaistiin sen eteen tai taakse pilkku.
Luku 8888 merkittiin formula_7. Merkintä oli additiivinen lukuun ottamatta kahta formula_8-merkkiä, joiden arvo riippui niiden paikasta. Isot luvut saatiin M-merkillä, joka kertoi seuranneen luvun 10 000:lla. Siten luku 88 880 000 merkittiin formula_9 ja luku 88 888 888 merkittiin formula_10. Kun myöhemmin sadat ja tuhannet merkittiin samoilla merkeillä kuin numerot 1–9 ja käyttöön otettiin intialaisten esimerkin mukaan nolla, päästiin puhtaan paikkamerkinnän käyttämiseen.
Joonialaiset murtoluvut seurasivat egyptiläisten kömpelöä yksikkömurtolukumerkintää, jossa osoittajana oli aina 1 ja nimittäjässä muu luku. Joonialainen merkintä käytti heittomerkkiä numeroesityksen yläkulmassa, jotta murtoluku erottuisi muista luvuista ja kirjoitetusta tekstistä ylipäätään. Tällainen merkintä oli formula_11, joka luettiin formula_12 tai formula_13 riippuen tilanteesta.
Arabit opiskelivat intialaista matematiikkaa ja alkoivat käyttää paikkamerkintää 600-800-luvuilla nimenomaan intialaisilla numeromerkeillä.
Intialaisten paikkamerkintä.
Intialaisten lukujen merkintätavat lienevät peräisin babylonialaisilta tai persialaisilta, mutta vaikutteita otettiin myös 300 eaa. alkaen myös kreikkalaisilta. Alkujaan käytettiin vain additiivista merkintää, mutta erityisesti "brahmi"-kirjoituksissa kymmenien ja satojen merkit karsittiin lopulta pois 595 jaa. mennessä, jolloin jäljelle jäivät vain numerot 1–9. Paikkamerkinnässä tarvittava nolla on havaittu jo 876 jaa. olevassa tekstissä.
Intialaiset kehittivät merkintää niin, ettei siihen jäänyt yhtään additiivisuusmerkinnän piirteitä. Jokaiselle luvulle 1–9 kirjoitettiin erilaisella merkillä ja nollaa merkittiin pisteellä tai ympyrällä. Nollan käyttöönotto teki luvun numeromerkinnästä yksikäsitteisen. Muut luvut muodostettiin samalla tavalla kuin me teemme nykyään käyttämässämme arabialais-intialaisessa merkinnässä.
Intialaiset kulttuurit kehittivät siten ensimmäisenä puhtaan "positiojärjestelmän", joka on tehokkain käytössä oleva paikkamerkintä. Se kehittyi mahdollisesti jo noin 500 jaa. alkaen ja levisi länteen Lähi-itään ja Eurooppaan. Nollan käyttö levisi myös itään Kiinaan ja Kauko-itään.
Intialainen järjestelmä arabikalifaatissa ja Euroopassa.
Rooman valtakunnan aikana olivat käytössä roomalaiset numerot ja sen additiivinen merkintätapa. Kun Länsi-Rooman valtakunta hajosi 400-luvulla kansainvaelluksiin ja kulkutauteihin, ja arabikalifaatti sulki Välimeren vanhat kauppareitit, Euroopassa alkoi niin sanottu "pimeä keskiaika". Sen varsinaisesti pimeä vaihe käsitti lähinnä vain vuodet 500–800. 
Islamilaisen sivilisaation maissa alkoi 800-luvulla matematiikan kukoistusaika aluksi abbasidikalifien tukemana Bagdadissa. Al-Khwarizmi (n. 800–840) oli persialainen matemaatikko, joka toimi Bagdadissa al-Mamunin kalifikaudella. Hän kirjoitti vuonna 825 teoksen "Algoritmi de numero Indorum," joka on säilynyt vain latinankielisenä käännöksenä. Kirjassa esiintyy ensimmäisen kerran arabialais-hindulainen paikkamerkkijärjestelmä. Teos käännettiin myöhemmin latinaksi ja siitä tuli Euroopassa hyvin suosittu. Toinen tutkija, al-Biruni (973–1048) esitteli intialaista matematiikkaa ja paikkamerkintää kirjassaan "Intia."
Varhaisin intialaista järjestelmää käyttänyt eurooppalainen käsikirjoitus on vuodelta 976 Espanjasta ("Codex Vigilanus)." 1200-luvun merkittävin eurooppalainen matemaatikko oli Fibonacci, joka idän matkoillaan oli tutustunut järjestelmään. Hän esitteli sitä kirjassaan "Liber Abaci vuonna 1202". Numeroiden leviäminen oli kuitenkin hidasta, ja ensimmäinen merkintää käyttävä ranskalainen käsikirjoitus on vasta vuodelta 1275. Syynä oli luultavasti laskutekniikka, jossa käytettiin sormia, helmitaulua ja vahalevyjä, ja joissa paperin toistaiseksi puuttuessa ei merkitty muistiin välituloksia vaan ainoastaan laskun lopputulos. Firenzen pankkiirien statuutissa "Arte di Cambio" (1299) jopa kiellettiin arabialaisten numeroiden käyttö. Vasta 1400-luvulla uusi merkintätapa yleistyi ja näin tapahtui sekä läntisessä Euroopassa että Bysantissa.