Varianssi

Varianssi on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan hajonnan mitta. Varianssi kuvaa sitä, kuinka paljon satunnaismuuttujan arvot keskimäärin vaihtelevat odotusarvosta tai populaation keskiarvosta. Varianssissa yksittäisen mittauksen poikkeamat keskiarvosta tai odotusarvosta korotetaan toiseen potenssiin (neliöön). Varianssi saadaan ottamalla keskiarvo näistä neliöön korotetuista eroista. Kun arvot keskittyvät odotusarvon ympärille tiiviisti, on varianssin arvo pieni, ja kun arvot ovat hajallaan odotusarvon ympärillä, on sen arvo suuri. Reaaliarvoisen satunnaismuuttujan varianssi on sen toinen keskusmomentti. Varianssin yksikkö on satunnaismuuttujan yksikkö korotettuna toiseen potenssiin. Varianssin neliöjuurta sanotaan keskihajonnaksi, jonka yksikkö on sama kuin satunnaismuuttujalla.
Määritelmä ja merkinnät.
Matemaattisesti varianssi formula_1 määritellään reaaliarvoisen satunnaismuuttujan formula_2 odotusarvon formula_3 avulla
formula_4 
missä formula_5 on satunnaismuuttujan odotusarvo. Varianssin arvo on ääretön, ellei odotusarvo formula_6 ole äärellisenä olemassa. Varianssi voidaan merkitä myös
formula_7 
Varianssin avulla voidaan esittää myös keskihajonta eli standardipoikkeama formula_8 
Diskreetti satunnaismuuttuja.
Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi lasketaan 
formula_9 
missä formula_10 on jakauman pistetodennäköisyysfunktio.
Jatkuva satunnaismuuttuja.
Jatkuvan satunnaismuuttujaparin varianssi on taas 
formula_11 
missä formula_10 on jakauman tiheysfunktio.
Ominaisuuksia.
Rinnakkaiskaavan johtaminen.
Varianssin lauseketta voidaan kehittää edelleen käyttämällä hyväksi odotusarvon ominaisuuksia:
formula_13
Ensimmäistä muotoa kutsutaan toiseksi keskusmomentiksi ja viimeisessä muodossa käytetään toista ja ensimmäistä origomomenttia.
Varianssin laskemiseksi on käytössä myös tekijämomentin sisältävä muoto:
formula_14 
Ominaisuuksia.
Varianssin arvo on aina epänegatiivinen. Kun varianssi on nolla, ei arvoissa esiinny vaihtelua ja satunnaismuuttuja antaa vain samoja arvoja. Siten
formula_15 
Varianssi on kovarianssi kahden identtisen satunnaismuuttujan välillä
formula_16 (kovarianssi)
Päättelysääntöjä summista.
Jokaisen satunnaismuuttujan arvoon lisätty vakio ei vaikuta varianssin arvoon eli
formula_17 
mutta arvojen kertominen vakiolla kasvattavat formula_18 tai vähentävät formula_19 varianssia
formula_20 
Kahden satunnaismuuttujan lineaarikombinaatiossa varianssiin vaikuttaa myös satunnaismuuttujien kovarianssi
formula_21 
mikä merkitään yleisemmässä tapauksessa
formula_22 
Nämä arvot voidaan käsitellä hallitummin kovarianssimatriisissa. Tämä ominaisuus vaikuttaa myös satunnaismuuttujien summan varianssiin
formula_23 
Kovarianssia ei tarvitse huomioida, mikäli satunnaismuuttujat ovat korreloimattomia formula_24 jolloin
formula_25
Riippumattomat satunnaismuuttujat ovat aina korreloimattomia. Korreloimattomilla satunnaismuuttujilla välimerkki ei vaikuta varianssin arvoon
formula_26 
Päättelysääntöjä tuloista.
Kahden satunnaismuuttujan tulon varianssi voidaan määrittää odotusarvon ominaisuuksien avulla
formula_27
Populaatio- ja otosvarianssi.
Varianssi lasketaan äärelliselle populaatiolle formula_28 seuraavasti
formula_29 
missä formula_30 on populaation keskiarvo. Tätä kutsutaan toisinaan otosvarianssiksi, mutta termin käyttö on vaihtelevaa. Kun formula_28 on otos laajemmasta populaatiosta, formula_32 on varianssin tarkentuva mutta harhainen estimaatti. Harhaton estimaatti on
formula_33 
jota yleensä kutsutaan otosvarianssiksi. Suurten otosten tapauksessa ei ole käytännössä merkitystä kumpaa estimaattoria käytetään. Molempien keskihajonta saadaan ottamalla varianssista neliöjuuri.