Resultantti

Resultantti on voima, joka yksinään vaikuttaisi kappaleen liiketilaan samoin kuin kaksi tai useampi siihen vaikuttavaa voimaa yhdessä.
Kappaleen siirto­liikkeeseen vaikuttavien voimien resultantti saadaan laskemalla siihen vaikuttavat voimat yhteen vektorilaskennan sääntöjen mukaisesti. Tällainen voima vaikuttaisi kappaleen etenemis­liikkeeseen samoin kuin eri voimat yhdessä vaikuttavat. Sen sijaan kappaleen pyörimis­liikkeeseen vaikuttavien voimien resultanttia määritettäessä on otettava huomioon, että voimat saattavat vaikuttaa kappaleen eri kohdissa. Tietyissä tapauksissa niiden yhteis­vaikutus on sama, jonka yksi voima, resultantti, saisi aikaan vaikuttaessaan jossakin tietyssä pisteessä. Kaikissa tapauksissa voimien yhteis­vaikutusta ei kuitenkaan voida kuvata tällaisella resultantti­voimalla.
Jos voimat vaikuttavat pistemäiseen massaan tai kappaleeseen, jonka läpimitta on niin pieni, että sitä voidaan käytännössä pitää piste­mäisenä, ne voivat ainoastaan muuttaa sen nopeutta. Tässä tapauksessa voimien resultantti on aina sama kuin niiden vektori­summa, koska pyörimisliikettä ei esiinny.
Jos kappaleen läpimitta ei ole merkityksettömän pieni, voimat voivat muuttaa, paitsi kappaleen liike­tilaa, myös sen muotoa, esimerkiksi venyttää tai litistää sitä. Jos kyseessä kuitenkin on jäykkä kappale, jonka eri osien väliset etäisyydet ja näin ollen sen muoto eivät muutu, kappaleeseen vaikuttavat voimat voivat muuttaa sen kappaleen etenemis­liikkeen nopeutta eli sen massakeskipisteen nopeutta taikka sen pyörimis­liikkeen kulma­nopeutta.
Voimien yhteenlasku.
Voima on vektorisuure, mikä merkitsee, että sillä on suuruus ja suunta, ja sille käytetään yleensä merkintää formula_1. Graafisesti sitä kuvataan suunnatulla janalla: voiman suunta vastaa janan suuntaa, ja sen suuruus on suoraan verrannollinen janan pituuteen; on vain päätettävä, kuinka monta newtonia vastaa yhtä sentti­metriä.
Vaikka vektori­­laskenta kehitettiin varsinaisesti vasta 1700- ja 1800-luvulla, on väitetty, että suunnikassääntö voimien yhteen­­laskemiseksi tunnettiin jo antiikin Kreikassa, ja joka tapauksessa sitä käyttivät Galilei ja Newton. Piirretään annetusta pisteestä alkamaan kaksi suunnattua janaa, jotka kuvaavat kappaleeseen vaikuttavia voimia, ja täydennetään kuvio suunnikkaaksi. Tällöin suunnikkaan lävistäjä kuvaa voimien vektorisummaa. Tämä on helppo käsittää intuitiivisesti: jos kokonaisvoiman formula_1 on kuvattava kahden voiman yhteistä vaikutusta kappaleeseen, sen suunnan on oltava lähempänä suuremman voiman suuntaa formula_3 , ja mikäli voimien suunnat ovat lähellä toisiaan, summavoiman on myös oltava suurempi kuin kumpikaan niistä erikseen. Että suunnikas­sääntö pitää tarkoin paikkansa, on sitä paitsi helposti osoitettavissa kokeellisesti. Resultantti voidaan likimääräisesti mitata diagrammista tai laskea tarkemmin trigonometrian avulla.
Paitsi suunnikas­säännöllä, voidaan sama tulos saada yksin­kertaisemmin myös siten, että toinen voimia kuvaavista janoista vain siirretään alkamaan toisen päästä kuten kuvassa oikealla kuten oikeanpuoleisessa kuvassa. Tällöin vektorien summaa vastaa jana, joka johtaa ensimmäisen janan alku­pisteestä jälkimmäisen loppu­pisteeseen. Kaavioiden ala­reunassa olevat kuvat vastaavat tapausta, jolloin voimat ovat saman- tai vastakkais­suuntaisia: saman­suuntaisten voimien suuruudet yksin­kertaisesti lasketaan yhteen, vastakkais­suuntaisista voimista taas suuremmasta vähennetään pienempi.
Vektorien yhteen­laskulla saatu voima on sellainen, joka yksinään vaikuttaessaan antaisi kappaleelle saman kiihtyvyyden, jonka se saa kaikkien huomioon otettujen voimien vaikuttaessa siihen. Jos voimat vaikuttavat kappaleen eri kohdissa, voimat yhdessä vaikuttavat kappaleen massakeskipisteen liikkeeseen samoin kuin niiden vektori­summan suuruinen voima vaikuttaisi. Ne voivat kuitenkin vaikuttaa myös kappaleen pyörimis­liikkeeseen, jolloin niiden vaikutus­pisteet on myös otettava huomioon.
Voimien vaikutus etenemis- ja pyörimisliikkeeseen.
Vaikutuspiste.
Kun voima vaikuttaa pieneen hiukkaseen, sen voidaan olettaa vaikuttavan vain yhdessä pisteessä, sillä hiukkasen tilavuus on merkityksettömän pieni. Hiukkanen on siis voiman vaikutus­piste. Silloin, kun voima vaikuttaa suurikokoiseen kappaleeseen, sen vaikutukset kappaleen pyörimis­liikkeeseen riippuvat siitä, mihin kohtaan kappaleessa voima vaikuttaa. Voimien yhteis­vaikutus voidaan määrittää seuraavilla tavoilla:
Joka tapauksessa jäykän kappaleen liiketilan analysointi on aloitettava olettamalla voimien vaikuttavan vain tietyissä pisteissä. Graafisesti kappaleeseen vaikuttavaa voimaa voidaan kuvata janalla, joka alkaa tästä vaikutuspisteestä.
Jäykkä kappale.
Oikealla kuvatussa esimerkissä jäykkään kappaleeseen vaikuttaa vain yksi voima formula_4 pisteessä H. Kappaleen massa on formula_5, ja sen massakeskipiste on C. Tällöin voima antaa kappaleelle, tarkemmin sanottuna sen massakeskipisteelle, kiihtyvyyden
formula_6,
mutta lisäksi kappale saa kulmakiihtyvyyden
formula_7
Jälkimmäisessä yhtälössä formula_8 on voiman momentti, kun taas formula_9 on kappaleen hitausmomentti. Voiman formula_4 momentti on vektorisuure, joka on määritettävä jonkin annetun pisteen suhteen seuraavasti:
formula_11,
tai sen suuruus voidaan määrittää myös seuraavasti:
formula_12.
Tässä vektori formula_13 on voiman vaikutuspisteen paikkavektori, kun origona on se piste, jonka suhteen momentti määritetään, usein (myös tässä esi­merkissä) kappaleen massakeskipiste. Oheisessa kuviossa tämä paikkavektori on piirretty kappaleen keskipisteestä voiman vaikutuspisteeseen. Jana formula_14 taas on voiman vaikutus­suoran etäisyys massa­keski­pisteessä. (Jos kyseessä olisi vipu, tämä vastaisi vipu­varren pituutta.) Kuten kuviosta voidaan päätellä, voiman momentti ei muutu, jos sen vaikutus­pistettä siirretään sen "vaikutussuoraa" eli vaikutus­pisteen kautta kulkevaa voiman suuntaista suoraa pitkin, joka oheisessa kuviossa on merkitty mustalla katko­viivalla. Täsmällisemmin tämä voidaan osoittaa vektorien ristitulon ominaisuuksien vaulla, ja se osoittaa, että voiman vaikutus kappaleen pyörimis­liikkeeseen riippuu vain sen vaikutus­suoran sijainnista, ei siitä, missä vaikutus­suoran pisteessä voima vaikuttaa.
Momentti­vektori on kohti­suorassa voiman ja vektorin formula_13 määräämää tasoa vastaan, ja tässä esimerkissä se osoittaa kohti katsojaa. Myös kulma­kiihtyvyys­vektorin suunta on sama. Oikean käden säännön mukaisesti tällaisen vektorin suunta kohti katsojaa vastaa kierto­liikettä vastapäivään, suunta poispäin katsojasta taas kierto­liikettä myötäpäivään.
Kappaleen hitausmomentti formula_9 on laskettava akselin suhteen, joka kulkee sen massa­keski­pisteen kautta ja on momentin suuntainen. Jos kappale on tasa­paksu homo­geeninen levy, kuten kuvion esimerkissä, sen hitaus­momentti on formula_17 . Jos sen massa on 0,5 kg ja säde 0,8 m, hitaus­momentti on siis 0,16 kgm2. Jos siihen vaikuttava voima on 2 N ja vaikutus­suoran etäisyys massa­keski­pisteestä (vipu­varsi) 0,6 m, on voiman momentti 1,2 Nm. Se antaa kappaleelle kulma­kiihtyvyyden formula_18 ja sen massa­keski­pisteelle lineaarisen kiihtyvyyden a = F/m = 4 m/s2.
Resultanttivoima.
Resultantti­voima on voima, jolla kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat voidaan ajatella korvattaviksi. Kun se voidaan määrittää, se tehdään seuraavien kahden vaiheen kautta:
formula_19
missä formula_20 on se kokonaisvoima, josta saadaan resultanttivoima, kun sille löydetään oikea vaikutus­piste ja sen paikka­vektori formula_21. Tässä kappaleeseen vaikuttavia eri voimia on merkitty formula_22 ja niiden vaikutus­pisteitä formula_23 . Kaikki momentit lasketaan saman, mieli­valtaisesti valitun pisteen suhteen.
Kaikissa tapauksissa tästä yhtälöstä ei voi ratkaista paikka­vektoria formula_21. Sellaisissa tapauksissa ei resultantti­voimaa voida määrittää, toisin sanoen ei voi olla sellaista yhteen pisteeseen vaikuttaavaa sellaista voimaa, joka yksinään vaikuttaisi kappaleen liike­tilaan samoin kuin siihen vaikuttavat eri voimat. Silloinkaan kun formula_21 voidaan laskea, se ei ole yksi­käsitteinen, sillä voiman vaikutuspistettä voidaan vapaasti siirtää sen vaikutussuoraa pitkin.
Oheisista kaavioista käy ilmi, miten resultantti­voiman vaikutussuora voidaan graafisesti määrittää, kun kaikkien voimien vaikutussuorat ovat samassa tasossa.
Erikoistapauksia.
Vaikutuspiste kappaleen ulkopuolella.
Vaikutussuorien leikkaus­pisteenä määritetty resultantti­voiman vaikutuspiste saattaa olla myös kappaleen ulkopuolella. Tällaisissa tapauksissa se voidaan usein ajatella siirrettäväksi vaikutus­suoraansa pitkin kappaleen sisä­puolelle. Toisinaan tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, sillä vaikutussuora ei kulje kappaleen läpi. Näin saattaa tapahtua esi­merkiksi, jos kappale on renkaan muotoinen ja vaikutus­suora kulkee sen keskellä olevan reiän kautta. Tällaisissa tapauksissa ei voima­systeemiä voida korvata yhdellä voimalla.
Yhdensuuntaiset voimat ja voimapari.
Kun voimat ovat yhden­suuntaisia, voidaan valita jokin niitä vastaan kohti­suora taso, johon vaikutus­pisteet sijoitetaan. Jos voimia on vain kaksi, "F1" ja "F2", voidaan koordinaatisto valita niin, että nämä molemmat ovat x-akselilla, pisteissä "x1" ja "x2". Tällöin voimien resultantin vaikutus­piste on
formula_31
Tämä lauseke pätee myös, jos voimat ovat vastakkais­suuntaisia. Tällöin on kuitenkin jompi­kumpi voimista ajateltava negatiiviseksi. Jos vastakkais­suuntaiset voimat kuitenkin ovat itseis­arvoltaan yhtä suuria, ei näin voida menetellä, koska lausekkeen nimittäjä saa arvon nolla. Tällöin on kyseessä voimapari, jolle ei voida määrittää resultanttia.
Resultanttia ei aina ole.
Jos voimien vaikutus­­suorat eivät leikkaa toisiaan eivätkä ole yhden­­suuntaisia, toisin sanoen ne eivät ole samassa tasossa, voimien yhteis­vaikutusta ei myöskään yleensä voida ollenkaan kuvata yhdellä resultantantti­voimalla.
Vaikka resultantti­voimaa ei kaikissa tapauksissa voida määrittää, jäykkään kappaleeseen vaikuttavat voimat voidaan aina ajatella korvattavaksi yhdellä voimalla sekä yhdellä "puhtaalla" momentilla. Tällöin tämä voima saadaan vektorien yhteen­laskuna, mutta momentin laskemiseksi tämä summa­voima on sijoitettava tietylle vaikutussuoralle. Tämä vaikutus­suora voidaan valita mieli­valtaisesti, mutta "puhdas" momentti riippuu sen vaikutuksesta. Jos on mahdollista valita sellainen vaikutus­suora, että tästä aiheutuva ylimääräinen momentti tulee nollaksi, voimat voidaan ajatella korvattavaksi resultantti­voimalla, joka saadaan voima­­vektorien summana.
Käytäntö.
Vaikka resultantti­voimaa ei voida määrittää läheskään kaikille voima­systeemeille, se on käsitteellisesti merkittävä ja myös monissa käytännön sovelluksissa käyttö­kelpoinen käsite. Kun voimat voidaan korvata yhdellä resultantti­voimalla, kuten on laita monissa tasomaisissa systeemeissä, tämä yksin­kertaistaa suuresti käytännön laskuja. Toisaalta resultantin käsite on osoitus siitä, että voimien yhteis­vaikutusta ei aina voida kuvata yksin­kertaisesti laskemalla ne vektoreina yhteen, sillä ne eivät välttämättä vaikuta samassa pisteessä.