Fourier-muunnos

Fourier-muunnos (myös "Fourier’n muunnos") on matematiikassa käytetty jatkuva integraalimuunnos. Muunnosta käytetään erityisesti analyysissä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa ja signaalinkäsittelyssä erilaisiin taajuusanalyysiä vaativiin sovelluksiin. Muunnos perustuu teoreemaan, jonka mukaan mikä tahansa riittävän säännöllinen jatkuva funktio voidaan esittää sinimuotoisten funktioiden integraalina. Fourier-muunnoksella voidaan laskea näiden sinimuotoisten komponenttien amplitudi ja vaihe.
Määritelmä.
Funktion formula_1 Fourier-muunnos formula_2 määritellään 
formula_3,
missä formula_4 on kulmataajuus. Muoto formula_5 liittyy trigonometrisiin funktioihin siten, että kompleksieksponentin määritelmä on formula_6.
Fourier-muunnokselle on olemassa käänteismuunnos, joka määritelmän mukaiselle funktiolle on 
formula_7.
Funktion formula_1 Fourier-muunnoksesta voidaan käyttää myös vaihtoehtoista merkintätapaa formula_9. Tätä merkintää käytetään esimerkiksi differentiaalianalyysissä, jolloin halutaan selventää Fourier-muunnoksen käyttäminen jonkin muun integraalimuunnoksen sijasta. Kirjallisuudessa esiintyy usein myös eri tavoin normalisoituja variaatioita muunnoksesta. Fourier-muunnettu funktio voidaan ajatella alkuperäisen funktion esityksenä taajuustasossa. Fourier-muunnetun funktion taajuuskomponenttia formula_4 vastaava amplitudi on
formula_11
ja vaihe
formula_12.
Amplitudispektri antaa vaihespektriä enemmän tietoa, nähdään kaikki taajuuskomponentit ja niitä vastaavat määrät.
Fourier-muunnoksen ominaisuuksia.
Olkoon formula_1, formula_14 ja formula_15 integroituvia funktioita ja näitä vastaavat Fourier-muunnokset formula_16, formula_17 ja formula_18. Fourier-muunnoksella on seuraavat ominaisuudet .
 Kaikille kompleksiluvuille "a" ja "b" pätee, että jos formula_19, niin formula_20.
 Kaikille reaaliluvuille formula_21 pätee, että jos "h"("x") = "ƒ"("x" − "x"0), niin formula_22.
 Kaikille reaaliluvuille formula_23 pätee, että jos formula_24, niin formula_25.
 Jos formula_26, niin formula_27.
 Kaikille nollasta eroaville reaaliluvuille formula_28 pätee, että jos formula_29, niin formula_30. Kun formula_31, niin ominaisuus palautuu "aikatason käännöksi".
 Jos formula_32, niin formula_33.
 Jos formula_34, niin formula_35.
 Fourier-muunnoksen ominaisfunktioita ovat Hermiten funktiot. Toisin sanoen näiden funktioiden Fourier-muunnos on funktio itse, ominaisarvolla kerrottuna.
Diskreetti Fourier-muunnos.
Diskreetti Fourier-muunnos eli DFT on Fourier-muunnoksen diskreettiaikainen yleistys. Siinä signaali ajatellaan jaksolliseksi, jolloin se voidaan esittää äärellisenä Fourier'n sarjana ja integraali korvautuu summalausekkeella:
formula_36
missä formula_37 on formula_38:n pituinen reaali- tai kompleksiarvoinen sarja.
Vastaava käänteismuunnos on
formula_39.
FFT.
FFT () eli nopea Fourier-muunnos tarkoittaa tehokasta algoritmia diskreetin Fourier-muunnoksen ja sen käänteismuunnoksen laskemiseksi. Yleisin FFT on Cooleyn–Tukeyn algoritmi, jonka tunsi jo C.F Gauss vuonna 1805 ja käytti sitä Pallas- ja Juno-asteroidien ratojen laskentaan. Työ ei ollut kovin tunnettu. Erilaisia rajoitettuja versioita kehitettiin 1800-luvulla ja 1900-luvun alkupuolella. Nykyisen maineensa FFT saavutti vuonna 1965, jolloin Cooley IBM:stä ja Tukey Princetonista osoittivat työssään algoritmin soveltuvuuden tietokoneohjelmointiin.
Jos diskreetti Fourier-muunnos lasketaan suoraan DFT:n määritelmästä, tarvittavien laskentaoperaatioiden määrä on verrannollinen näytepisteiden määrän neliöön formula_40. Sen sijaan FFT-algoritmien aikavaativuusluokka on formula_41. FFT:n nopeusero verrattuna suoraan diskreetin muunnoksen määritelmästä laskemiseen muuttuu hyvin merkittäväksi, kun näytepisteiden määrä on suuri. Käytännön sovelluksissa diskreetti Fourier-muunnos lasketaankin lähes aina numeerisesti FFT:n avulla.
Käytännön sovelluksia.
FFT:tä käytetään hyväksi tekniikan ja fysiikan sovelluksissa, jotka perustuvat ilmiöiden jaksollisuuden tai spektrin mittaamiseen. Tärkeitä FFT:n sovelluksia ovat esimerkiksi spektrianalyysi ja OFDM tietoliikennetekniikassa sekä kuvan rekonstruktio magneettikuvauksessa. 
MP3-äänenpakkausmenetelmässä äänen spektri, eli äänisignaalin taajuustasoesitys, lasketaan käyttäen FFT:tä (muunnettu DCT) ja spektri pakataan (häviöllisesti) jättämällä pois spektrikomponentit, joiden energia on pieni. Spektriksi hajottamisesta on se etu, että eri taajuisille äänille voidaan käyttää eri tarkkuutta. Ihmisen kuulo erottaa tietyt taajuudet tarkemmin, jolloin ne voidaan pakata vähemmällä häviöllä. Purku tapahtuu käänteismuuntamalla eli syntetisoimalla spektri takaisin aikatasoon.
Terästeollisuudessa voidaan, tutkimalla valssatun nauhan paksuusprofiilia FFT:llä, löytää epäkeskeisesti hiotut valssit tai kuluneet laakerit. Laakereiden kunnon seurantajärjestelmät perustuvat usein FFT:hen.
Fourier-muunnoksen ominaisuutta modulaatio aikatasossa käytetään siirtämään signaalia taajuustasossa. Radiotekniikassa lähetettävä tai vastaanotettu signaali siirretään halutulle taajuusalueelle moduloimalla signaalia sekoitusasteessa paikallisoskillaattorin signaalilla. Myös moduloimalla esimerkiksi yksittäistä sinimuotoista signaalia aikatasossa, sen värähtelytaajuutta voidaan kasvattaa tai pienentää. Tätä ominaisuutta käytetään hyväksi äänenkäsittelyssä yksittäisen äänen sävelkorkeuden korjaamiseksi. Modulointitekniikalla tuotettu sävelkorkeuden korjaus ei nopeuta tai hidasta ääniraitaa kuten alkuperäisen ääniraidan suora skaalaaminen. Toisaalta, jos se kohdistetaan samalla kertaa useampaan eritaajuiseen signaaliin, niiden taajuussuhteet muuttuvat.