Lebesguen mitta

Lebesguen mitta on reaalilukujen joukon mitta, jota kutsutaan havainnollisuutensa vuoksi myös luonnolliseksi mitaksi. Sen integraali eli Lebesguen integraali on Riemannin integraalin laajennus.
Lebesguen mitalla on useita luonnolliselta tuntuvia ominaisuuksia. Se yhtenee geometrian pituus-, pinta-ala- ja tilavuuskäsitteiden kanssa sikäli, että esimerkiksi reaalilukuvälin formula_1 Lebesguen mitta on formula_2, -neliön formula_3 mitta on formula_4 ja -kuution formula_5 mitta on formula_6. Se on siirto- ja kiertoinvariantti, minkä voi tulkita graafisesti niin, ettei joukon asennolla tai sijainnilla ole vaikutusta sen mittaan. 
Lebesguen mitta on määritelty kaikille helposti kuviteltaville joukoille. Valinta-aksiooman avulla voidaan kuitenkin todistaa, että on olemassa sellaisiakin formula_7:n osajoukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia. Kaikki sellaiset ovat kuitenkin luonteeltaan hyvin monimutkaisia ja abstrakteja.
Lebesguen mitan määrittely.
Lebesguen mitta määritellään Lebesguen ulkomitan kautta, joka on mitta, joka on määritelty mielivaltaisille formula_8-ulotteisille reaalilukujen joukoille. Alustavasti on kuitenkin tehtävä joitakin määritelmiä.
"Yksiulotteinen avoin väli" on perinteiseen tapaan väli 
&lt;math&gt;(a,b) = \{ x \in \mathbb{R} \, | \, a&lt;x.
"formula_8-ulotteinen avoin väli" on yksiulotteisten avoimien välien karteesinen tulo
formula_10.
Kiinnitetään geometriselle mitalle symboli formula_11. Jos formula_12 on formula_8-ulotteinen väli, niin sen geometrinen mitta on
formula_14.
Lebesguen ulkomitta.
Jos formula_8 on luonnollinen luku, joukko 
formula_16, niin joukon formula_17 Lebesguen ulkomitta on
formula_18.
formula_19 on kuvaus formula_20.
Yleensä samaistetaan symbolit formula_19 ja formula_22, jos dimensio on yhteydestä selvä.
Lebesgue-mitalliset joukot.
Joukko formula_23 on Lebesgue-mitallinen, jos
formula_24 kaikilla joukoilla formula_16.
Tämä on niin kutsuttu Carathéodoryn ehto.
formula_8-ulotteisten Lebesgue-mitallisten joukkojen joukkoa merkitään symbolilla formula_27. Voidaan sanoa, että kaikki helposti kuviteltavat joukot ovat Lebesgue-mitallisia. formula_27 on sigma-algebra.
Lebesgue-mitallisia joukkoja:
Kaikki Lebesgue-mitalliset joukot eivät kuitenkaan ole Borel-joukkoja.
Lebesguen mitta.
Jos joukko formula_23 on Lebesgue-mitallinen, niin sen Lebesguen mitta on 
formula_33. formula_34 on siis kuvaus formula_35.
Jos dimensio on yhteydestä selvä, merkitään formula_36.
Lebesgue-mitalliset funktiot.
Jos formula_16, niin funktio formula_38 on "Lebesgue-mitallinen", jos formula_39 on Lebesgue-mitallinen joukko kaikilla avoimilla joukoilla formula_40.
Jos formula_41, niin funktio formula_42 on "Lebesgue-mitallinen", jos formula_39 on Lebesgue-mitallinen joukko kaikilla avoimilla joukoilla formula_44 sekä formula_45 ja formula_46 ovat Lebesgue-mitallisia joukkoja.
Lebesgue-mitallisia funktioita:
Lebesguen mitan ominaisuuksia.
Jos formula_31 on formula_8-ulotteinen avoin väli, niin formula_72. Lebesguen mitta on siis geometrisen mitan laajennus siinä mielessä, että kaikilla niillä joukoilla, joilla geometrinen mitta on määritelty, on myös Lebesguen mitta ja se on sama kuin geometrinen mitta. Lebesguen mitta on samoin myös Jordanin mitan laajennus.
Jos formula_73 on jono pareittain erillisiä Lebesgue-mitallisia joukkoja, niin
formula_74.
Jos formula_31 on numeroituva joukko, niin formula_76.
Lebesguen mitta formula_34 on täydellinen mitallisella kentällä formula_78.
Lebesguen integraali.
Lebesguen integraali on mittaintegraali Lebesguen mitan suhteen. Kun määritellään 
formula_79 ja formula_80
Lebesgue-mitalliselle funktiolle formula_81, ja edes toinen integraaleista formula_82 tai formula_83 on äärellinen, voidaan Lebesguen integraali yli mitallisen joukon "E" määritellä 
formula_84. 
Mikäli 
formula_85,
sanotaan, että funktio on Lebesgue-integroituva yli joukon "E", ja merkitään esimerkiksi formula_86. Lebesguen integraali on Riemannin integraalin aito laajennus: Mikäli Riemannin integraali funktiolle on olemassa, Lebesguen integraali antaa saman tuloksen. Lisäksi monille funktioille, jotka eivät ole Riemann-integroituvia, Lebesguen integraali antaa vaivatta modernin analyysin kannalta "oikean" tuloksen. Sanallinen kuvaus Lebesguen integraalin määritelmästä ja ominaisuuksista löytyy täältä.