Epämääräinen muoto

Epämääräinen muoto on matemaattinen merkintä, jolle ei voida määrittää lukuarvoa. Voidaan myös sanoa, että "lauseke ei ole määritelty".
Esimerkiksi jakolaskun 0/0 tulos ei ole määritelty, koska jakolaskun määritelmän mukaan se voisi olla mikä luku tahansa - onhan mikä tahansa luku nollalla kerrottuna nolla. Nollalla jakaminen on myös intuitiivisesti outo tapahtuma. Potenssilaskennassa merkintä formula_1 ei ole määritelty, sillä eri tavoilla laskemalla siitä voidaan saada joko 1 tai 0. Matematiikassa jokaiselle lausekkeelle tulee voida osoittaa tulokseksi vain yksi lukuarvo.
Epämääräisiä muotoja ovat seuraavat seitsemän:
formula_2
Eräissä ohjelmointikielissä epämääräisiä muotoja vastaa "arvo" NaN.
Epämääräiset muodot ja raja-arvot.
Epämääräiset muodot liittyvät läheisesti funktioiden ja lukujonojen raja-arvojen määrittämiseen. Jos tunnetaan kahden funktion tai lukujonon raja-arvot, useimmissa tapauksissa niistä voidaan päätellä myös niistä jollakin laskutoimituksella yhdistämällä saadun lausekkeen raja-arvo. Esimerkiksi jos 
 formula_3 ja formula_4, 
on 
 formula_5 ja formula_6, 
olivatpa "f" ja "g" mitkä tahansa funktiot, joilla on nämä raja-arvot.
Jos raja-arvoksi tällä tavoin saatava lauseke kuitenkin on jokin epämääräinen muoto, ei lausekkeen raja-arvoa voida suoraan päätellä alkuperäisten funktioiden tai lukujonojen raja-arvoista. Näin käy esimerkiksi seuraavassa tapauksessa:
Esimerkkejä funktioista.
Tarkastellaan seuraavia raja-arvoja: formula_7 et formula_8. 
Tässä esimerkissä molemmilla lausekkeilla, formula_15 ja formula_16, on sama raja-arvo formula_17, kun formula_18, mutta niiden osamäärillä on eri raja-arvot. Jos taas määritellään formula_19 ja formula_20, missä "A" on mielivaltainen positiivinen vakio, on kummankin funktion raja-arvo formula_21, kun formula_22, mutta osamäärien raja-arvot ovat
formula_23 ja
formula_24,
olipa A mikä positiivinen luku tahansa.
Nämä esimerkit osoittavat, ettei kahden funktion suhteen raja-arvoa voida määrittää pelkästään sen tiedon perusteella, että molempien funktioiden raja-arvo on formula_21. Tämän vuoksi lauseketta formula_26 sanotaan epämääräiseksi muodoksi.
Esimerkki lukujonoista.
Olkoot formula_27 ja formula_28 kaksi lukujonoa, jotka on määritelty kaikille luonnollisille luville formula_29 siten, että formula_30 ja formula_31. Täten on siis formula_32 ja formula_33.
Ensinnäkin kaikilla luonnollisilla luvuilla formula_29 on formula_35. Koska formula_36 ja formula_37, saadaan raja-arvojen tuloksi formula_38.
Toiseksi kaikilla luonnollisilla luvuilla formula_29 on formula_40. Koska formula_36 ja formula_42, saadaan raja-arvojen tuloksiformula_43.
Niinpä vaikka molempien lukujonojen raja-arvo on formula_17, näillä erotuksilla on eri raja-arvot. Ei siis voida esittää yleistä sääntöä, josta saataisiin minkä tahansa kahden lukujonon erotuksen raja-arvot, kun molempien lukujonojen raja-arvo on formula_21. Tämän vuoksi myös lauseke formula_46 kuuluu epämääräisiin muotoihin.
Epämääräiset muodot.
Seuraavissa lausekkeissa oletetaan, että formula_47 kuuluu laajennettuun reaalilukujoukkoon formula_48. Epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:
Yksinkertaisimpia tapauksia ovat identtiset funktiot formula_19 ja formula_50. Tällöin epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:
Sovelluksia.
Neperin luku ja eksponenttifunktio.
Epämääräinen muoto formula_51 liittyy läheisesti Neperin lukuun ja eksponenttifunktion formula_52. Neperin luku "e" määritellään seuraavasti:
 formula_53, 
ja voidaan osoittaa, että eksponenttifunktiolle formula_52 pätee:
 formula_55
Jos määritellään lukujonot formula_56 ja formula_57, saadaan
 formula_58, ja tietenkin
 formula_59, 
ja kuitenkin formula_60 voi "x":n arvosta riippuen saada kaikki positiiviset reaalilukuarvot.
Funktion derivaatta.
Epämääräinen muoto 0/0 on erityisen huomattava, koska se liittyy läheisesti derivaatan määritelmään. Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona:
formula_61.
Tässä lausekkeessa sekä osoittajan että nimittäjän raja-arvot, kun formula_62, ovat selvästi nollia. Kuitenkin tämä raja-arvo eli funktion derivaatta voi funktiosta ja "x":n arvosta riippuen saada minkä tahansa reaalilukuarvon.