Funktion raja-arvo

Funktion raja-arvo on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä. Erotukseksi raja-arvon yläkäsitteestä, "funktion raja-arvoilla" tarkoitetaan jatkuvien funktioiden raja-arvolaskentaa, missä tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun muuttujan arvon lähiympäristössä. Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio "suppenee" (muutoin "hajaantuu") kyseisessä kohdassa. Funktion raja-arvoa tarvitaan esimerkiksi funktion jatkuvuuden toteamiseksi, funktion derivaatan laskemisessa ja monissa analyysin ja differentiaalilaskennan tarkasteluissa. Funktion raja-arvo eroaa lukujonon raja-arvosta siinä, että funktion raja-arvossa seurataan funktion arvoja, kun muuttujan arvot lähestyvät tutkittavaa kohtaa lukujonon raja-arvon tapaan. Raja-arvoteoria kehitettiin nykymuotoonsa 1800-luvulla.
Merkintätapoja.
Raja-arvo on latinaksi "limes", mistä juontuu eräs sen matemaattisista merkinnöistä
formula_1
joka luetaan "funktion f arvolla x raja-arvo on luku L, kun x lähestyy lukua p".
Sen toinen merkintätapa on
formula_2
joka luetaan edelliseen tapaan.
Määritelmiä.
Intuitiivinen määritelmä.
Intuitiivinen määritelmä ei ole riittävän eksakti matematiikan käyttöön, mutta sen avulla voi helpommin ymmärtää funktion raja-arvon käsitettä. Jos funktion arvoa "f(p)" ei voi, taikka saa laskea tietyllä luvulla "p", voi funktion arvon likiarvoja laskea käyttämällä muita (luvun "p" viereisiä) lukuja "x". Mitä pienempi on lukujen "p" ja "x" välinen ero (erotus), sitä paremmin funktion arvo "f(x)" vastaisi kuviteltua funktion arvoa "f(p)" (jos sen arvon voisi/saisi laskea). Tämän huomaa siitäkin, että mitä vähemmän luvut "x" poikkeavat luvusta "p", sitä vähemmän funktion arvot poikkeavat toisistaan. Voidaan ajatella, että funktion arvot olisivat likiarvoja raja-arvolle "L", ja että likiarvot tarkentuisivat lukujen "x" arvojen lähestyessä luvun "p" arvoa.
Toinen intuitiivinen tapa on keksiä lukujono formula_3, joka lähestyisi lukua "p" lukujonon raja-arvon mielessä. Tämän lukujonon arvoilla formula_4 laskettaisiin funktion arvoja, jolloin saataisiin funktioiden arvojen lukujono formula_5. Funktion arvojen lukujono lähestyisi raja-arvoa L lukujonon raja-arvon mielessä.
Määritelmä toispuolisten raja-arvojen avulla.
Kun raja-arvojen määrittäminen on helppoa, ja näin onkin koulumatematiikassa, voidaan raja-arvon olemassaolo todeta toispuoleisten raja-arvojen avulla (katso jäljempänä). Kun
formula_6
missä "L" on äärellinen luku, ensimmäinen raja-arvo on "oikeanpuoleinen raja-arvo" ja toinen "vasemmanpuoleinen raja-arvo", on raja-arvo olemassa ja sen arvo on "L" eli
formula_7 
Raja-arvon numeerinen määrittäminen.
Taulukossa on laskemia funktion formula_8 arvoista, kun muuttuja lähestyy ensin nollaa oikealta (yläpuolella) ja sitten vasemmalta (alapuolella). Likiarvoista voidaan todeta, että todennäköinen raja-arvo on luku 1,joka jää kummankin lukujonon väliin.
Raja-arvon likiarvon voi löytää kokeilemalla. Esimerkiksi funktio formula_8 on määritelty kaikkialla muualla reaalilukualueella paitsi nollassa (formula_10) Jos aloitetaan laskemalla lukujonoon funktion arvoja formula_11 niin, että formula_12 Huomataan, että tulokset muodostavat kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 (vertaa viereinen taulukko). Tämä vastaa toispuoleista raja-arvoa, kun nollaa lähestytään oikealta eli
formula_13
Kun funktion arvoja lasketaan luvuilla, jotka saadaan, kun nollaa lähestytään vasemmalta puolelta, saadaan formula_14. Nämä muodostavat myös kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 eli
formula_15. 
Koska kummankin lukujonon raja-arvo vaikuttaa olevan yksi, voidaan sitä pitää perusteltuna ehdokkaana. Lopullisen varmuuden siitä saadaan vasta epsilon-delta-tekniikalla (katso seuraava luku). Vertaa myös sinin sarjakehitelmästä saatavaan tulokseen.
Eksakti määritelmä.
Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä epsilon-delta-tekniikka. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä lukujen epsilon (formula_16) ja delta (formula_17) välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.
Funktion formula_18 realilukuarvoinen määrittelyjoukko on formula_19 niin, että formula_20 on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku "p", eli formula_21 (luku "p" voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo "L" kohdassa "p", jos kaikilla luvuilla formula_22 on aina olemassa luku formula_23 siten, että 
formula_24 
Siis, valittiinpa positiivinen luku formula_16 kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku formula_17 siten, että kaikilla korkeintaan formula_17:n etäisyydellä olevilla luvuilla formula_28 ovat funktion formula_29 arvot korkeintaan formula_16:n etäisyydellä raja-arvosta "L". Toistamalla formula_16:n pienentämisen, tulisi myös formula_17 pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun formula_17:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun formula_16.
Esimerkki epsilon-delta-tekniikasta.
Funktiolla formula_35 on toki olemassa arvo luvulla formula_36, joka on formula_37. Eksaktilla määritelmällä voidaan nyt osoittaa, että luku 9 on funktion raja-arvo "L", kun luvut "x" lähestyvät lukua "p = 3". Siis osoitetaan, että (lähde:)
formula_38
Valitaan ensin funktion arvon ja raja-arvon "L = 9" erotuksen suuruuden ylärajaksi formula_16 siten, että
formula_40
missä formula_22. Tutkitaan sitten, kuinka läheltä arvoa "p = 3" tulee "x" valita, että ollaan korkeintaan formula_16:in etäisyydellä raja-arvosta. Erään muistikaavan avulla saadaan tästä
formula_43
ja kun "x" on riittävän lähellä arvoa "p = 3", on 
formula_44
ja
formula_45
Nyt huomataan että formula_16 ja formula_17 riippuvat toisitaan. Siis
formula_48
kunhan
formula_49
jolloin valitaan formula_50.
Viimeisestä valinnasta huomataan, että kun formula_16:ia pienennetään, pienenee myös formula_17. Erityisesti, valitsemalla "x" luvun 3 läheltä, saadaan se funktiolle arvoa 9 läheltä olevan likiarvon, ja tätä likiarvoa voidaan parantaa rajattomasti valitsemalla "x" riittävän läheltä lukua 3. Tätä kutsutaan suppenemiseksi ja suppenemisen tulosta raja-arvoksi.
Toispuolinen raja-arvo.
Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen "x" ja "p" erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, "x" lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.
Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään niin, että koska luvut "x" ovat lukua "p" suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua "p" oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo formula_53. Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja
formula_54
Raja-arvon "L" yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä. Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa lukua "p" lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut "x" ovat aina lukua "p" pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot
formula_55
Epäoleellinen raja-arvo.
Funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan funktion arvojen tutkimista, kun muuttujan arvo joko kasvaa tai vähenee rajatta. Kyse ei ole enää funktion käyttäytymisestä yhden pisteen lähiympäristössä, vaan epäoleellista raja-arvoa käytetään tutkittaessa funktion käyttäytymistä origosta katsottuna "kaukaisilla" arvoilla ja hyvin pitkillä väleillä.
Kun muuttujan arvo kasvaa rajatta, merkitään se
formula_56
jolloin funktion lauseke lasketaan yhä suuremmilla ja suuremmilla arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy plus ääretöntä"). Kun muuttuja vähenee rajatta, merkitään se
formula_57
jolloin lauseke lasketaan yhä pienemmillä (negatiivisilla) arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy miinus ääretöntä"). Jos raja-arvo tällöin suppenee, merkitään sen arvoa "L" luvulla. Tällöin sanotaan, että "funktiolla on positiivisessa / negatiivisessa äärettömyydessä raja-arvo L". Jos raja-arvo hajaantuu, merkitään raja-arvon tulos
formula_58
jos tulos kasvaa rajatta ja 
formula_59
jos tulos vähenee rajatta.
Funktion epäoleellinen raja-arvo, josta tässä otetaan esimerkkinä
formula_56
määritellään eksaktisti epsilon-tekniikalla
formula_61
eli funktion arvo formula_29 on formula_16:n etäisyydellä raja-arvosta "L", kun muuttuja "x" on ylittänyt rajan formula_64. Intuitiivisesta voidaan ajatella, että funktion arvot osuvat riittävän lähelle raja-arvoa "L", kunhan muuttuja "x" kasvatetaan tarpeeksi suureksi.
Raja-arvon määritelmä funktioteoriassa.
Funktioteoriassa käsitellään funktioita, joiden muuttujat ovat kompleksilukuja (muodossa formula_65) ja joiden arvoksikin saadaan kompleksilukuja. Koska kahden kompleksiluvun suuruusjärjestys ei ole määritelty samalla tavalla kuin reaaliluvuilla, käytetään niiden vertailuun itseisarvon sijaan toista metriikkaa ja jota kutsutaan kompleksiluvun moduuliksi. Luvun "z" moduuli lasketaan formula_66 Moduuli merkitään samoilla pystyviivoilla kuin itseisarvo, jolloin kahden kompleksiluvun välinen ero (etäisyys kompleksitasolla) merkitään luonnollisella tavalla formula_67
Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia formula_65, ja tietyssä alueessa "G" (sisältää luvun formula_69) määriteltyä kompleksifunktiota formula_70, pystytään joskus määrittämään funktion formula_71 raja-arvo
formula_72
Kompleksilukujen luonteeseen kuuluu, että alue "G" voi olla pisteen formula_69 ympäröimä epämääräinen kaksiulotteinen alue, mutta yleensä pitäydytään ympyrän muotoiseen alueeseen. Luku "z" voi lähestyä alueen sisällä olevaa lukua formula_69 mistä suunnasta hyvänsä. Siksi etäisyys lukuun formula_69 määritelläänkin kompleksilukujen erotuksen modulina
formula_76
Tällä itseisarvon laajennuksella voidaan funktioteoriassa esittää funktion raja-arvo vastaavilla merkinnöillä kuin reaalilukufunktioiden raja-arvot. Kun muistetaan kompleksilukujen moduulin laskutapa, saadaan raja-arvon eksakti määritelmä seuraavasti. Funktiolla on raja-arvona kompleksiluku "L" kohdassa formula_69, jos kaikilla luvuilla formula_22 on aina olemassa luku formula_23 siten, että 
formula_80
Käyttö differentiaali- ja integraalilaskennassa.
Funktion jatkuvuuden toteaminen.
Raja-arvolla on keskeinen osa funktion jatkuvuuden toteamisessa. Funktio on jatkuva pisteessä "p", mikäli sen toispuoleiset raja-arvot vasemmalta ja oikealta ovat keskenään samat kuin funktion formula_81 arvo:
formula_82
Funktio on jatkuva välinsä päätepisteessä, mikäli toispuoleinen raja-arvo on sama kuin funktion arvo päätepisteessä. Funktio on jatkauva välissä, mikäli se on jatkuva kaikissa välin pisteissä, ja koko määrittelyjoukossa, mikäli se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä.
Derivaatan määritelmä.
Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona tutkittavassa pisteessä formula_83. Se voidaan merkitä raja-arvolausekkeena 
formula_84
Raja-arvojen laskusääntöjä.
Jos funktioilla formula_29 ja formula_86 on olemassa raja-arvot (formula_87), niin silloin on voimassa seuraavat säännöt:
formula_88
formula_89
formula_90
formula_91
formula_92
formula_93
Näillä säännöillä voi määrittää lausekkeiden raja-arvon, kunhan funktioiden raja-arvot tunnetaan ensin.
Yhdistetyillä funktioilla 
formula_94
Historia.
Differentiaali- ja integraalilaskenta kehittyi asteittain nykyisekseen 1600-luvulta alkaen. Raja-arvon modernin tulkinnan esitti vuonna 1817 Bernard Bolzano, joka esitteli tuolloin epsilon-delta-tekniikan jatkuvien funktioiden toteamiseksi. Tätä voidaan pitää reaaliarvoisten funktioiden riittävän tarkkana raja-arvon määritelmänä. Augustin Louis Cauchy käsittely julkaisussaan "Cours d'analyse" (vuonna 1821) raja-arvoja ja antoi siinä modernin määritelmän raja-arvolle. Vasta Karl Weierstrass esitti raja-arvojen epsilon-delta-tekniikan siinä muodossa kuin se nykyään tunnetaan. Myös limes-merkintä on hänen ehdotuksensa. Bolzanon työ jäi melko tuntemattomaksi ja Cauchy esitti raja-arvon määritelmänsä lähinnä verbaalisena selostuksena. Siksi Weierstrassin merintätavat korostuvat raja-arvon keksimisen historiassa. Silti, G. H. Hardyn käyttämä tapa sijoittaa nuoli lim-sanan alle on nykyään yleisin merkintätapa.