Täydennetty matriisi

Kun kahden annetun matriisin "A" ja "B" sarakkeet yhdistetään, saadaan Täydennetty matriisi
formula_1.
Yleensä täydennetty matriisi muodostetaan, kun halutaan suorittaa molemmille matriiseille samat alkeisrivitoimitukset esimerkiksi ratkaistaessa lineaarista yhtälöryhmää matriisimuodossa.
Vertaamaalla lineaariselle yhtälöryhmälle muodostetun täydennetyn matriisin astetta lineaarisen yhtälöryhmän kerroinmatriisin asteeseen saadaan Rouché–Capellin teoreeman mukaan selville yhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolo ja lukumäärä. 
Lineaarinen yhtälöryhmä.
Lineaariselle yhtälöryhmälle matriisimuodossa 
formula_2 
saadaan yhdistämällä kerroinmatriisi "A" ja ratkaisuvektori "B" täydennetty matriisi 
formula_1.
Tästä voidaan alkeisrivitoimituksin lähteä etsimään ( "A" | "B" ):n kanssa riviekvivalenttia porrasmatriisia ( "C" | "D" ), josta yhtälön ratkaisut on mahdollista selvittää. Tämä tunnetaan Gaussin eliminointimenetelmänä. Jatkamalla alkeisrivitoimituksia redusoituun porrasmuotoon, josta yhtälöryhmän ratkaisu on mahdollista lukea suoraan, käytetään Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmää.
Tarkastellaan esimerkiksi lineaarista yhtälöryhmää
formula_4
Yhtälöryhmän kerroinmatriisi "A" ja ratkaisuvektori "B" ovat
formula_5
Jolloin täydennetty matriisi on 
formula_6.
Tämän matriisin kanssa riviekivalentiksi redusoiduksi porrasmatriisiksi saadaan 
formula_7
jolloin yhtälön ratkaisu on ("x", "y", "z") = (4, 1, -2).
Käänteismatriisin etsiminen.
Kun neliömatriisille "C" etsitään käänteismatriisia voidaan yksikkömatriisin "I" kanssa muodostaa täydennetty matriisi
formula_8,
jota lähdetään alkeisrivitoimituksin muokkaamaan redusoiduksi porrasmatriisiksi 
formula_9.
Jos saadun redusoidun porrasmatriisin "D"="I", on matriisi "C" kääntyvä ja sen käänteismatriisi 
formula_10.
Etsitään esimerkiksi onko 2x2 matriisilla "C" käänteismatriisia
formula_11
Muodostetaan täydennetty matriisi ( "C" | "I" )
formula_12
Tästä saadaan alkeisrivitoimituksilla muokattua redusoitu porrasmatriisi
formula_13
Koska saadun matriisin vasen puoli on yksikkömatriisi todetaan käänteismatriisin olevan olemassa 
formula_14
Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolo ja lukumäärä.
Rouché–Capellin teoreeman mukaan lineaarisella yhtälöryhmällä on olemassa ratkaisuja jos ja vain jos yhtälöryhmän kerroinmatriisin aste on yhtäsuuri kuin täydennetyn matriisin aste. Ratkaisuja on yksi jos ja vain jos yhtälöryhmän tuntemattomien lukumäärä on yhtä suuri kuin täydennetyn ja kerroinmatriisin aste. Jos ratkaisuja on olemassa ja matriisien aste on pienempi kuin yhtälöryhmän muuttujien lukumäärä, ratkaisuja on äärettömän monta. 
Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää
"x" + "y" + 2"z" = 3
"x" + "y" + "z" = 1
2"x" + 2"y" + 2"z" = 2.
Yhtälöryhmän kerroinmatriisi on 
formula_15
jolloin yhtälöryhmän täydennetyksi matriisiksi saadaan
formula_16 
Koska molempien matriisien aste on 2, tiedetään yhtälöryhmällä olevan ratkaisuja. Koska yhtälöryhmän tuntemattomien määrä 3 &gt; 2, yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja.
Tarkastellaan seuraavaksi yhtälöryhmää
"x" + "y" + 2"z" = 3
"x" + "y" + "z" = 1
2"x" + 2"y" + 2"z" = 5.
Kerroinmatriisiksi saadaan
formula_15
ja täydennetty matriisi on
formula_18
Tällä kertaa kerroinmatriisin aste on 2, mutta täydennetyn matriisin 3, joten tällä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisuja.
Palataan tarkastelemaan ensimmäisen esimerkin lineaarista yhtälöryhmää
formula_4,
Kun tämän yhtälöryhmän kerroinmatriisin ja täydennetyn matriisin asteet lasketaan, huomataan molempien olevan 3, joka on myös yhtälön tuntemattomien lukumäärä. Rouché–Capellin teoreeman mukaan tällä yhtälöllä on olemassa yksi ratkaisu.