Mittaintegraali

Mittaintegraali on matemaattisessa analyysissa eräs integraali. Mittaintegraalin tavoitteena on luoda mitta-avaruuteen eräänlainen lineaarinen kuvaus, joka liittää jokaiseen mitalliseen funktioon jonkin luvun väliltä formula_1. Tämä integraalityyppi on alun perin matemaatikko Henri Lebesguen kehittämä. Tunnettu Lebesguen integraali on mittaintegraali, jonka mittana on Lebesguen mitta.
Määritelmä.
Olkoon formula_2 mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta.
Kuvaus formula_3 on "yksinkertainen", jos
formula_4,
missä formula_5; formula_6 ja joukot formula_7 ovat perusjoukon formula_8 ositus ja formula_9 on indikaattorifunktio.
Yksinkertaisen funktion formula_10 "integraali" on
formula_11.
Olkoon formula_12 kuvaus, joka on formula_13-mitallinen. Kuvauksen formula_10 integraali on
formula_15.
Tätä esitysmuotoa kutsutaan mittaintegraaliksi. Yleensä mitta formula_13 on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa
formula_17.
Kuvauksen formula_10 "integraali yli joukon formula_19" on
formula_20.
Kuvaus formula_21 on integroituva, jos pätee ehto
formula_22.
formula_10 on "integroituva yli joukon formula_19", jos pätee
formula_25.
formula_10 on kvasi-integroituva, jos se ei ole integroituva, mutta pätee
formula_27 tai formula_28.
Perusominaisuuksia.
Oletetaan, joukko formula_19, formula_10 ja formula_31 ovat formula_32-mitallisia kuvauksia formula_33 ja integroituvia yli joukon formula_34.
Viimeinen ominaisuus voidaan tulkita niin, että funktion arvot nollajoukolla eivät vaikuta sen integraalin arvoon.
Jos lisäksi formula_50, formula_34 ja formula_52 ovat erillisiä sekä formula_53 on formula_13-mitallisia kuvaus formula_55 ja integroituva yli joukon formula_56, niin
formula_57.
Integroituvien funktioiden avaruudet Lp ja L∞.
Olkoon formula_2 mitta-avaruus, formula_13 täydellinen mitta ja luku formula_60. Merkitään eksponentilla formula_61 integroituvien funktioiden joukkoa symbolilla
formula_62.
Äärellisen oleellisen supremumin funktioiden joukkoa merkitään symbolilla
formula_63.
formula_10 on siis integroituva jos ja vain jos formula_65. Sanotaan, että formula_10 on "neliöintegroituva", jos formula_67.
Ominaisuuksia:
Epäyhtälöitä integraalille.
Hölderin epäyhtälö.
Jos formula_73 ja formula_74 siten, että
formula_75,
sekä formula_76 ja formula_77, niin Hölderin epäyhtälö on
formula_78.
Jos formula_79 ja formula_80, niin epäyhtälö pätee muodossa
formula_81.
Lukuja formula_61 ja formula_83 kutsutaan toistensa Hölderin konjugaateiksi tai konjugoiduiksi eksponenteiksi.
Minkowskin epäyhtälö.
Jos formula_84, niin
formula_85. Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle formula_68-funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus formula_68 on vakaa yhteenlaskun suhteen.
Fatoun lemma.
Olkoon joukko formula_19 ja formula_89 jono formula_32-mitallisia kuvauksia formula_91. Tällöin
formula_92
ja
formula_93.
Konvergenssilauseet.
Olkoon joukko formula_19 ja formula_89 jono formula_13-mitallisia kuvauksia formula_97 siten, että jonon raja-arvo
formula_98
on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että
formula_99.
Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Monotonisen konvergenssin lause.
Jos pätee formula_100, niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Dominoidun konvergenssin lause.
Jos on olemassa integroituva kuvaus formula_101 siten, että formula_102 kaikilla formula_103 melkein kaikkialla joukolla formula_34, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi.
Rajoitetun konvergenssin lause.
Jos formula_105 ja formula_106 kaikilla formula_107, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Integraalimitta.
Jokaiseen mitta-avaruuden formula_108 mitalliseen kuvaukseen formula_12 voidaan liittää mittaintegraali formula_110 yli jokaisen joukon formula_111. Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus formula_112 formula_111 on itse asiassa mitta "X":ssä. Tämä ns. integraalimitta on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia.
Daniellin integraali.
Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. "Daniellin integraali", jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi "Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich – Prentice-Hall 1966").
Katso myös.
Usein esiintyviä integraaleja: