Ordinaali

Ordinaali eli ordinaaliluku on joukko-opissa käytetty luonnollisen luvun käsitteen yleistys, jolla kuvataan tapoja sijoittaa johonkin kokoelmaan kuuluvat kohteet peräkkäiseen järjestykseen, yksi toisensa jälkeen. Jokainen äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa järjestykseen yksinkertaisesti laskemalla ne: tällöin jokainen kohde saa järjestys­luvukseen jonkin kokonaisluvun. Käytännössä ordinaaliluvut voidaan ajatella vaikkapa numerolapuiksi, joiden avulla kohteet voidaan asettaa määrättyyn järjestykseen. 
Äärellisten kokoelmien tapauksessa ordinaali­luvut vastaavat täysin luonnollisia lukuja eli positiivisia kokonaislukuja. Sen sijaan äärettömille kokoelmille on olemassa useampiakin "järjestyksen" käsitteitä. Sitä niistä, joka lähinnä voidaan katsoa yleistykseksi äärellisen joukon järjestyksestä "yksi toisensa jälkeen", sanotaan hyvin­järjestykseksi. Hyvin­järjestyksen voidaan ajatella merkitsevän sitä, että kohteet merkitään nimi- tai numerolapuilla "yksi toisensa jälkeen", mutta sallitaan, että jotkin nimilaput tulevat vasta äärettömän monen edeltäjän jälkeen. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon formula_1 jälkeen voidaan jonon loppuun lisätä symboli ω, joka on pienin ääretön ordinaali. Näin joukko formula_2 jatkuu ylös äärettömään. Jotkin ordinaalit ovat jonkin edeltäjänsä välitön seuraaja, "seuraajaordinaali"', kuten on laita luonnollisten lukujen formula_3, mutta toiset ordinaalit kuten formula_4 eivät ole minkään toisen ordinaalin välittömiä seuraajia, ja sellaisia sanotaan "rajaordinaaleiksi".
Ordinaalit on erotettava kardinaali­luvuista, joiden avulla voidaan ilmoittaa, kuinka monta kohdetta jossakin kokoelmassa on. Äärellisten lukujen tapauksessa kardinaali- ja ordinaali­luvut vastaavat kääntäen yksi­käsitteisesti toisiaan; esimerkiksi ordinaali­luvusta voidaan siirtyä vastaavaan kardinaali­lukuun laskemalla nimilaput. Sitä vastoin kaksi tai useampikin eri ääretöntä ordinaalia voi vastata samaa kardinaalia (katso Hilbertin hotelli). Muiden lukujen tapaan ordinaalejakin voidaan laskea yhteen, kertoa tai korottaa potenssiin, mutta äärettömien ordinaalien tapauksessa yhteen- ja kertolasku eivät ole kommutatiivisia.
Ordinaalit otti käyttöön Georg Cantor vuonna 1883 käsitelläkseen äärettömiä jonoja ja luokitellakseen johdetut joukot, jotka hän oli vuonna 1872 ottanut käyttöön tutkiessaan trigono­metristen sarjojen yksi­käsitteisyyttä.
Ordinaalit luonnollisten lukujen laajennuksena.
Luonnollisia lukuja, joihin tässä yhteydessä luetaan myös nolla, voidaan käyttää kahteen tarkoitukseen: niillä voidaan ilmaista joukon suuruus, tai niillä voidaan ilmaista kohteen "sijainti", kun ne on asetettu peräkkäis­järjestykseen. Tavan­omaisessa kielessä luonnollisia lukuja vastaavat edellisessä tapauksessa kardinaali- eli perus­lukusanat (yksi, kaksi, kolme jne.), jälkimmäisessä tapauksessa ordinaali- eli järjestys­lukusanat (ensimmäinen, toinen, kolmas jne.) Matematiikassa näillä ei kuitenkaan äärellisten lukujen tapauksessa ole oleellista eroa, sillä jokaista äärellistä kardinaali­lukua vastaa yksi äärellinen ordinaali­luku ja päinvastoin. Näin ollen kaikki tavat, joilla tietty äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa peräkkäiseen järjestykseen, ovat keskenään isomorfisia. Äärettömien joukkojen tapauksessa asia on kuitenkin toisin; joukon "suuruutta" ja alkion paikkaa jonossa on kuvattava eri käsittein, joista ensinmainittu johtaa äärettömiin kardinaalilukuihin, jälkimmäinen ordinaaleihin. Näin on tehtävä, koska äärettömänkin joukon "suuruus", mahtavuus eli kardinaliteetti, on yksi­käsitteisesti määritettävissä, mutta on useita keskenään ei-isomorfisia tapoja hyvin­järjestää sen alkiot, kuten jälkempänä tarkemmin kuvataan.
Kardinaaliluvun käsite liittyy joukkoon, jolla ei tarvitse olettaa olevan mitään erityistä matemaattista struktuuria. Sen sijaan ordinaalit liittyvät niin läheisesti niin sanottuihin hyvin­järjestettyihin joukkoihin, että joidenkuiden matemaatikkojen mielestä ordinaalin ja hyvin­järjestyksen käsitteillä ei tarvitse tehdä mitään eroa. Hyvin­järjestetty joukko on täydellisesti järjestetty joukko, eli joukko, jonka kahdesta eri alkiosta jompikumpi on aina pienempi kuin toinen, ja jossa lisäksi ei ole ääretöntä "laskevaa" sarjaa (joskin äärettömiä nousevia sarjoja voi olla); yhtä­pitävästi voidaan sanoa että sen jokaisella ei-tyhjällä osa­joukolla on pienin alkio. Ordinaaleilla voidaan merkitä minkä tahansa hyvin­järjestetyn joukon alkioita (pienin niistä saa tunnukseksi luvun 0, toiseksi pienin luvun 1, seuraava luvun 2 ja niin edelleen), ja niillä voidaan mitata joukon "pituus", joksi saadaan pienin ordinaali, jolla ei ole merkitty mitään joukon alkiota. Tätä "pituutta" sanotaan joukon "järjestys­tyypiksi".
Jokaisen ordinaalin määrittelee sitä edeltävien ordinaalien joukko; itse asiassa ordinaalit määritellään nykyisin useimmiten "samastamalla" kukin ordinaali sitä edeltävien ordinaalien joukon kanssa. Esimerkiksi ordinaali 42 on sitä pienempien ordinaalien joukon järjestys­tyyppi; tähän joukkoon kuuluvat ordinaalit 0:sta eli pienimmästä ordinaalista ordinaaliin 41 saakka, joka on 42:n välitön edeltäjä, ja se voidaan samastaa joukon formula_5 kanssa. Kääntäen jokainen ordinaalien joukko formula_6, joka on "alaspäin suljettu" (eli jolle pätee, että jos jokin ordinaali α kuuluu joukkoon formula_7 ja jos toinen ordinaali formula_8, niin myös formula_9 kuuluu joukkoon formula_7), on itse ordinaali tai voidaan samastaa jonkin ordinaalin kanssa.
On myös äärettömiä ordinaaleja. Pienin ääretön ordinaali on formula_4, joka on luonnollisten lukujen (äärellisten ordinaalien) järjestystyyppi. Se voidaan edellä mainitulla samastaa luonnollisten lukujen "joukon" kanssa, sillä luonnollisten joukko on hyvin järjestetty, kuten jokainen ordinaalien joukko, ja koska se on alaspäin suljettu, se voidaan samastaa siihen liittyvän ordinaalin kanssa, mikä on täsmälleen se tapa, jolla formula_4 on määritelty.
Ehkä selvempi intuitiivinen käsitys ordinaaleista saadaan tutkimalla joitakin ensimmäisiä niistä. Kuten edellä todettiin, ne alkavat luonnollisista luvuista formula_13. "Kaikkien" luonnollisten lukujen jälkeen tulee ensimmäinen ääretön ordinaali formula_4, sen jälkeen formula_15, formula_16, formula_17 ja niin edelleen. (Miten äärettömien ordinaalien yhteen­lasku määritellään, kerrotaan jäljempänä osiossa ordinaalien lasku­toimitukset ; tässä vaiheessa on syytä ajatella formula_15, formula_16, formula_17 ja niin edelleen vain ordinaalien nimiksi.) Kaikkien tällaisten jälkeen tulee formula_21 (eli formula_22), formula_23, formula_24 ja niin edelleen, kaikkien tällaisten jälkeen formula_25 ja vastaavalla tavalla myöhemmin formula_26. Kaikkien tällä tavoin muodostettujen ordinaalien joukolla (formula_27 olevaa ordinaalia, missä formula_28 ja formula_29 ovat luonnollisia lukuja) täytyy itselläänkin olla siihen liittyvä ordinaali, ja se on formula_30. Edelleen saadaan vastaavalla tavalla formula_31, formula_32 ja niin edelleen, sekä lopulta formula_33, formula_34 ja paljon myöhemmin vihdoin formula_35, joka voidaan esittää raja-arvona muodossa 
formula_36 
Kaikki nämä ovat vielä suhteellisen pieniä, numeroituvien joukkojen ordinaalilukuja. Tätä voidaan jatkaa äärettömän kauas; itse asiassa "äärettömän kauas" onkin juuri se, mihin ordinaalit soveltuvat: joka kerta kun ordinaaleja lueteltaessa sanotaan "ja niin edelleen", tämä sanonta määrittelee suuremman ordinaalin. Pienin ylinumeroituva ordinaali on kaikkien numeroituvien ordinaalien joukko, jolle käytetään merkintää formula_37.
Määritelmiä.
Hyvinjärjestetyt joukot.
Hyvin­järjestetyssä joukossa jokaisella ei-tyhjällä osajoukolla on pienin alkio. Valinta-aksiooman mukaan tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että joukko on täydellisesti järjestetty ja että siinä ei ole ääretöntä laskevaa jonoa, mikä on ehkä helpommin hahmotettavissa. hyvin­järjestyksen käytännössä tärkein merkitys on siinä, että se mahdollistaa transfinittisen induktion: jos siitä, että jokin ominaisuus on jonkin alkion kaikilla edeltäjillä, seuraa, että se on myös kyseisellä alkiolla, silloin tämä ominaisuus on koko joukon kaikilla alkioilla, edellyttäen, että joukko on hyvin­järjestetty. Tällä on merkitystä myös tieto­tekniikassa: jos jokin laskenta­menetelmä voidaan hyvin­järjestää siten, että jokaista askelta seuraa "alempi" askel, laskenta ei jatku loppumattomiin.
Kahta hyvin­järjestettyä joukkoa formula_38 ja formula_39 sanotaan "järjestys­isomorfisiksi", jos jokaista joukon formula_38 alkiota vastaamaan voidaan asettaa jokin joukon formula_39 alkio siten, että jos joukon formula_38 alkio formula_43 on pienempi kuin joukon formula_38 alkio formula_45, on myös alkiota formula_43 vastaava alkio joukossa formula_39 pienempi kuin alkiota formula_45 vastaava alkio joukossa formula_39 ja päinvastoin. Tällaista eri joukkojen alkioiden vastaavuutta sanotaan järjestysisomorfismiksi. Järjestys­isomorfiset joukot ovat järjestyksen kannalta saman­laisia, ja niistä voidaankin sanoa, että niiden alkiot on vain "nimetty eri tavoin.". Joukkojen järjestys­isomorfisuus on selvästikin ekvivalenssirelaatio. Mikäli kahden hyvin­järjestetyn joukon välillä on järjestys­isomorfismi, sellaisia on vain yksi: tämä seikka osaltaan oikeuttaakin pitämään näitä joukkoja oleellisesti samoina ja etsiä isomorfismi­tyypille (luokalle) "kanonista" edustajaa. Ordinaalit ovatkin juuri sellaisia isomorfismi­tyyppien "kanonisia" edustajia, ja niitä voidaankin käyttää jokaisen hyvin­järjestetyn joukon merkitsemis­tapoina.
Muodollisesti jos osittainen järjestys formula_50 on määritelty joukossa formula_7 ja osittainen järjestys formula_52 joukossa formula_53, osittain järjestetyt joukot formula_54 ja formula_55 ovat järjestys­isomorfismia, jos niiden välillä on olemassa bijektio formula_56, joka säilyttää järjestyksen eli formula_57, jos ja vain jos formula_58. Jokainen "hyvin­järjestetty" joukko formula_59 on järjestys­isomorfinen niiden ordinaalien joukon kanssa, jotka ovat pienempi kuin se ordinaaliluku, joka ilmaisee joukon formula_59 järjestystyypin. 
Alkujaan ordinaalit käsitettiin hyvin­järjestettyjen joukkojen isomorfia­luokiksi, toisin sanoen järjestys­isomorfisuutta merkitsevän ekvivalenssirelaatioon liittyviksi ekvivalenssi­luokiksi. Tähän liittyy kuitenkin se tekninen ongelma, että tämä ekvivalenssi­luokka on liian laaja, jotta sitä voitaisiin käsitellä joukkona joukko-opin tavan­omaisessa Zermelon–Frankelin aksioomiin perustuvassa muotoilussa. Tämä vaikeus on kuitenkin voitettavissa. Ordinaaleja voidaan sanoa joukkojen "järjestys­tyypeiksi".
Ordinaalin määritelmä ekvivalenssiluokkana.
Ordinaaliluvun alku­peräisessä määritelmässä, joka löytyy esimerkiksi teoksesta "Principia Mathematica", hyvin­järjestetyn joukon järjestys­tyyppi määritellään kaikkien niiden hyvin­järjestysten joukkona, jotka ovat tämän kanssa järjestys­isomorfisia; toisin sanoen ordinaaliluvut ovat hyvin­järjestettyjen joukkojen muodostamia ekvivalenssi­luokkia. Tämä määritelmä joudutaan kuitenkin hylkäämään Zermelon–Fraenkelin esittämässä ja sitä muistuttavissa joukko-opin aksiomatisoinneissa, koska nämä ekvivalenssi­luokat ovat liian laajoja ollakseen joukkoja. Määritelmää kuitenkin voidaan kuitenkin yhä käyttää tyyppiteoriassa sekä Quinen aksiomaattisessa joukko-opissa (New Foundation) ja sitä muistuttavissa muotoiluissa (joissa se myös tarjoaa sangen yllättävän vaihtoehtoisen ratkaisun suurinta ordinaalia koskevalle Buralin–Fortin paradoksille).
Von Neumannin ordinaalien määritelmä.
Sen sijaan että ordinaalit määriteltäisiin hyvin­järjestettyjen joukkojen "ekvivalenssi­luokkina", ne määritellään nykyisin yleisimmin tiettyinä hyvin­järjestettyinä joukkoina, jotka (kanonisesti) edustavat kutakin luokkaa. Niinpä jokainen ordinaaliluku on hyvin­järjestetty joukko, ja jokainen hyvin­järjestetty joukko on järjestysisomorfinen yhden ja vain yhden ordinaaliluvun kanssa.
Standardi, John von Neumannin esittämä määritelmä kuuluu: "jokainen ordinaali on kaikkien sitä pienempien ordinaalien hyvin­järjestetty joukko". Matemaattisin merkinnöin, formula_61. Muodollisesti:
Joukko formula_7 on ordinaali, jos ja vain jos formula_7 on aidosti hyvin­järjestetty joukon jäsenyyden suhteen ja jokainen joukon formula_7 alkio on myös joukon formula_7 osajoukko.
Myös luonnolliset luvut ovat tämän määritelmän muokaan ordinaaleja. Esimerkiksi luku 2 kuuluu joukkoon formula_66 ja 2 on joukko formula_67, joten se on myös joukon formula_68 osajoukko.
Transfiniittisella induktiolla voidaan osoittaa, että jokainen hyvin­järjestetty joukko on järjestysisomorfinen täsmälleen yhden tällaisen ordinaalin kanssa, toisin sanoen niiden välillä on järjestyksen säilyttävä bijektiivinen kuvaus.
Jokaisen ordinaalin kaikki alkiotkin ovat ordinaaleja. Jos formula_7 ja formula_70 ovat kaksi ordinaalia, niin formula_7 on ordinaalin formula_70 alkio, jos ja vain jos formula_7 on joukon formula_70 aito osajoukko. Lisäksi jos ne ovat kaksi eri ordinaalia, aina joko formula_7 on ordinaalin formula_70 alkio tai formula_70 ordinaalin formula_7 alkio. Lisäksi jokainen ordinaalien joukko on hyvin­järjestetty. Tämä yleistää sen tosiasian, että jokainen luonnollisten lukujen joukon osajoukko on hyvin­järjestetty.
Tästä seuraa, että jokainen ordinaali formula_7 on joukko, jonka alkiona ovat kaikki ordinaalia formula_7 pienemmät ordinaalit ja vain ne. Esimerkiksi jokaisella ordinaalien joukolla on pienin yläraja eli supremum, joka on se ordinaali, joka saadaan muodostamalla joukon kaikkien ordinaalien unioni. Unioniaksiooman nojalla tämä unioni on olemassa riippumatta siitä, kuinka suuri joukko on kyseessä.
Kaikkien ordinaalien luokka ei ole joukko. Jos se olisi joukko, voitaisiin osoittaa, että se on ordinaali ja näin ollen itsensä jäsen, mikä kuitenkin on ristiriidassa sen kanssa, että jäsenyys on "aidosti" järjestetty. Tämä on Buralin–Fortin paradoksi. Kaikkien ordinaalien luokalle käytetään vaihdellen merkintöjä "Ord", "ON" tai "∞".
Ordinaali on äärellinen, jos ja vain jos sen käänteinen järjestys on myös hyvin­järjestetty, ja näin on asian laita, jos ja vain jos sen jokaisella osajoukolla on suurin alkio.
Vaihtoehtoisia määritelmiä.
Nykyisin on esitetty muitakin muotoiluja ordinaalin määritelmäksi. Esimerkiksi jos oletetaan säännöllisyysaksiooma, seuraavat ehdot joukolle "x" ovat yhtäpitävät:
Näitä määritelmiä ei voida käyttää ei-hyvinperustetuissa joukko-opeissa. Joukkoteorioissa, joissa on urelementteja, on lisäksi varmistettava, ettei määritelmä salli urelementtien esiintymistä ordinaaleissa.
Transfiniittinen jono.
Jos α on rajaordinaali ja "X" joukko, kuvausta α:sta "X":ään voidaan sanoa myös α:lla indeksoiduksi "X":n alkioiden jonoksi. Tämä käsite, "transfiniittinen jono" eli "ordinaali-indeksoitu jono" on jonon käsitteen yleistys. Tavallinen jono vastaa tapausta, jossa α = ω.
Transfiniittinen induktio.
Transfiniittsen induktion periaate pätee jokaisessa hyvin­järjestetyssä joukossa, mutta se liittyy ennen kaikkea ordinaaleihin. Sen mukaan
Jos siitä, että jokin ominaisuus pätee kaikkien niiden ordinaalien joukossa, jotka ovat pienempiä kuin annettu ordinaali α, seuraa, että tämä ominaisuus on myös ordinaalilla α, tämä ominaisuus on kaikilla ordinaaleilla.
Tosin sanoen, jos lause "P"(α) on tosi aina, kun "P"(β) on tosi kaikilla β&lt;α, silloin "P"(α) on tosi "kaikilla" ordinaaleilla "all" α. Tai käytännöllisemmin: sen todistamiseksi, että ominaisuus "P" on kaikilla ordinaaleilla α, riittää, että sen jo tiedetään olevan kaikilla β&lt;α.
Transfiniittinen rekursio.
Transfinittisella induktiolla voidaan, paitsi todistaa teoreemoja, myös määritellä käsitteitä. Sellaista määritelmää sanotaan tavallisesti transinittiseksi rekursioksi. Todistus, että näin saatu käsite on hyvin määritelty, perustuu trans­finiittiseen induktioon. Olkoon jokin "F" ordinaaleille määriteltävä luokkafunktio. Ideana on, että määriteltäessä "F"(α) mille tahansa ordinaalille α voidaan jo olettaa, että "F"(β) on jo määritelty kaikille ordinaaleille , ja täten "F"(α):lle voidaan esittää lauseke funktion arvojen "F"(β) avulla. Tästä seuraa trans­finiittisellä induktiolla, että on yksi ja vain yksi funktio, joka toteuttaa rekursio­kaavan kaikilla ordinaaleilla α:aan saakka ja se mukaan luettuna.
Esimerkkinä voidaan tarkastella funktiota "F", joka määritellään siten, että "F"(α) on pienin ordinaali, joka ei kuulu joukkoon }, toisin sanoen joukko, johon kuuluvat kaikki arvot "F"(β), kun . Määritelmässä oletetaan, että "F"(β):n tekee tunnetuksi juuri tämä prosessi "F":n määrittelemiseksi vaiheittain. Tämä saattaa vaikuttaa kehämääritelmältä, mutta juuri tämän transfiniittinen rekursio sallii. Itse asiassa "F"(0) on sekin hyvin määritelty, koska ei ole sellaista ordinaalia, että , ja joukko } on tyhjä. Näin ollen "F"(0) on 0, kaikkein pienin ordinaali. Nyt kun "F"(0) on tunnettu, voidaan todeta, että "F"(1) on pienin ordinaali, joka ei kuulu joukkoon {"F"(0)} = {0}, ja niin edelleen. Tämä esimerkki tosin on melko triviaali, sillä juuri trans­finiittisen induktion avulla osoittautuu, että "F"(α) = α kaikilla ordinaaleilla α.
Seuraaja ja rajaordinaali.
Jokaisella ordinaalilla nollaa lukuun ottamatta on pienin alkio, nolla. Sillä voi olla myös suurin alkio, mutta ei välttämättä ole. Esimerkiksi ordinaalin 42 suurin alkion 41 ja ordinaalin ω+6 suurin alkio ω+5. Toisaalta ω:lla ei ole suurinta alkiota, sillä ei ole suurinta luonnollista lukua. Jos ordinaalin suurin alkio on α, se on α:ta seuraava alkio, ja sitä sanotaan "seuraajaordinaaliksi" ja merkintään α+1. Kun ordinaalit määritellään von Neumannin mukaisesti, α:n seuraaja on formula_81, sillä sen alkioita ovat α:n alkiot sekä α itse.
Ordinaalia, joka ei ole nolla ja joka "ei" ole seuraajaordinaali, sanotaan "rajaordinaaliksi". Nimitys perustuu siihen, että rajaordinaali todella on topologisessa mielessä, järjestystopologian kannalta, kaikkien sitä pienempien ordinaalien raja-arvo.
Kun formula_82 on ordinaali-indeksoitu jono, jonka indeksoi raja-arvo γ ja jono on "nouseva", toisin sanoen formula_83 whenever formula_84, sen raja-arvo määritellään joukon formula_85 pienimpänä ylärajana, toisin sanoen pienimpänä ordinaalilla, joka on suurempi kuin mikään sen jonoista. Sellainen on aina olemassa. Tässä mielessä raja­ordinaali on itsensä indeksoima kaikkien sitä pienempien ordinaalien raja-arvo. Toisin sanoen se on sitä pienempien ordinaalien joukon supremum.
Toinen tapa määritellä rajaordinaali on sanoa, että α on rajaordinaali, jos ja vain jos
on olemassa α:aa pienempi ordinaali, ja aina kun ζ on α:ta pienempi ordinaali, on olemassa sellainen ordinaali ξ, että ζ &lt; ξ &lt; α.
Niinpä esimerkiksi jonossa 
0, 1, 2, ... , ω, ω+1
ω on rajaordinaali, koska jokaista sitä pienempää ordinaalia, tässä tapauksessa siis jokaista luonnollista lukua kohti on olemassa toinen ordinaali, joka on sitä suurempi mutta yhä pienempi kuin ω.
Näin ollen rajaordinaali on joko nolla, jonkin (vain yhden) toisen ordinaalin seuraaja tai rajaordinaali. Tämä erottelu on tärkeä, koska monet transfiniittisen induktion avulla muotoillut määritelmät perustuvat siihen. Usein kun funktio "F" määritellään transfiniittisella induktiolla kaikille ordinaaleille, määriellään ensin "F"(0) ja "F"(α+1) olettaen, että "F"(α) on tunnettu, minkä jälkeen rajaordinaaleille δ määritellään "F"(δ) niin, että se on "F"(β):n raja-arvo kaikilla β&lt;δ (joko edellä esitetyn ordinaalien raja-arvon mielessä tai jollakin toisella raja-arvo­käsitteellä, jos "F":n arvot eivät ole ordinaaleja). Tällaisissa määritelmissä mielen­kiintoisin vaihe on funktion määritteleminen seuraajalle, ei raja­ordinaaleille. Sellaisia funktioita, varsinkin jos "F" ei ole pienenevä ja sen arvot ovat ordinaaleja, sanotaan jatkuviksi. Ordinaalien yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korotus ovat jatkuvia toisen argumenttinsa funktioina.
Ordinaaliluokkien indeksointi.
Jokainen hyvin­järjestetty joukko on järjestys­isomorfinen yhden ja vain yhden ordinaalin formula_86 kanssa. Toisin sanoen sen alkiot voidaan indeksoida niillä ordinaaleilla, jotka ovat pienempiä kuin formula_86. Tämä koskee erityisesti myös jokaista ordinaalien joukkoa: mikä tahansa ordinaalien joukko voidaan indeksoida ordinaaleilla, jotka ovat pienempiä kuin jokin formula_86. Hieman muunnetussa muodossa sama pätee myös ordinaalien "luokille" toisin sanoen sellaisille kokoelmille ordinaaleja, jotka ovat tietyssä mielessä liian laajoja ollakseen joukkoja: jokainen ordinaalien luokka voidaan indeksoida ordinaaleilla (ja jos luokka on rajoittamaton kaikkien ordinaalien luokassa, tällä tavoin muodostuu luokkabijektio kaikkien ordinaalien luokan kanssa.) Niinpä voidaan puhua luokan formula_89:nnestä alkiosta (kun sovitaan, että pienin niistä on 0:s, seuraava 1:nen jne). Muodollisesti se määritellään trans­finiittisella induktiolla: luokan formula_89:s alkio määritellään pienimmäksi alkioksi, joka on suurempi kuin formula_9:s alkio kaikilla formula_92 (tämä luonnollisesti edellyttää, että asia on jo määritelty kaikilla arvoilla formula_92).
Tätä voitaisiin soveltaa esimerkiksi rajaordinaalien luokkaan: formula_89:s ordinaali, joka on joko rajaorbitaali tai nolla, on formula_95. Samaan tapaan voidaan käsitellä "additiivisesti jakautumattomia ordinaaleja" eli sellaisia nollasta poikkeavia ordinaaleja, jotka eivät ole kahden itseään aidosti pienemmän ordinaalien summia: formula_89:nnen additiivisesti jakautumattoman ordinaalin indeksi on formula_97. Ordinaali­luokkien indeksointi­tekniikka on usein hyödyllinen käsiteltäessä kiinteitä pisteitä: esimerkiksi formula_89:nnelle ordinaalille formula_86, jolle formula_100, käytetään merkintää formula_101. Näitä sanotaan "epsilonluvuiksi".
Suljetut rajoittamattomat joukot ja luokat.
Ordinaalien luokkaa formula_102 sanotaan rajoittamattomaksi eli kofinaaliseksi, jos jokaista ordinaalia formula_86 kohti on olemassa sellainen "C":hen kuuluva ordinaali formula_9, että formula_105. Tällöin luokan on oltava aito luokka, sillä se ei voi olla joukko. Luokkaa sanotaan suljetuksi, jos luokkaan kuuluvien ordinaalien jonon raja-arvo on luokka itse, tai yhtäpitävästi, jos indeksoiva luokkafunktio formula_106 on jatkuva siinä mielessä, että kun formula_107 on rajaordinaali, formula_108 eli luokan formula_107:s ordinaali on funktion arvojen formula_110 raja-arvo, kun formula_111. Tämä merkitsee myös samaa kuin että luokka on topologisessa mielessä suljettu, kun topologana käytetään järjestystopologiaa. Jotta vältettäisiin puhumasta topologiasta aitojen luokkien tapauksessa, asia voidaan yhtäpitävästi ilmaista myös niin, että luokan ja minkä tahansa ordinaalin leikkaus on suljettu tämän ordinaalin järjestys­topologiassa.
Erityisen tärkeitä ovat ne ordinaalien luokkia, jotka ovat sekä suljettuja että rajoittamattomia ja joita toisinaan sanotaan "klubeisi". Esimerkiksi kaikkien raja­ordinaalien luokka on suljettu ja rajoittamaton, sillä jokaista ordinaalia kohti on aina olemassa sitä suurempi raja­ordinaali ja raja­ordinaalien raja-arvo on aina rajaordinaali. Myös addiitiivisesti jakautumattomien ordinaalien luokka on suljettu ja rajoittamaton, samoin formula_112 -ordinaalien luokka ja kaikkien kardinaalien luokka, sitä vastoin kofinaalisten kardinaalien joukko on rajoittamaton, mutta ei suljettu, kun taas jokainen äärellinen ordinaalien joukko on suljettu mutta ei rajoitettu.
Luokka on "stationaarinen", jos sen leikkaus minkä tahansa suljetun rajoittamattoman luokan kanssa on ei-tyhjä. Kaikki luokat, jotka sisältävät osaluokkanaan jonkin suljetun rajoitetun luokan, ovat stationaarisia ja kaikki stationaariset luokat ovat rajoittamattomia, mutta on myös stationaarisia luokkia, jotka eivät ole suljettuja tai joilla ei ole suljettua rajoittamatonta osaluokkaa; sellainen on esimerkiksi kaikkien sellaisten raja­ordinaalien luokka, joilla on numeroituva kofinaalisuus. Koska kahden suljetun rajoittamattoman luokan leikkaus on suljettu ja rajoittamaton, statio­naarisen luokan ja suljetun rajoittamattoman luokan leikkaus on stationaarinen. Kahden statio­naarisen luokan leikkaus voi kuitenkin olla myös tyhjä; näin on laita esimerkiksi, kun muodostetaan leikkaus kaikkien niiden ordinaalien luokasta, joiden kofinaalisuus on ω, sekä kaikkien niiden ordinaalien luokasta, joiden kofinaalisuus on ylinumeroituva.
Sen sijaan että nämä määritelmät muotoiltaisiin ordinaalien (aidoille) luokille, ne voidaan muotoilla myös niiden ordinaalien luokille, jotka ovat pienempiä kuin jokin annettu ordinaali formula_86. Rajaordinaalin formula_86 osajoukkoa sanotaan rajoitta­matto­maksi (eli kofinaaliseksi) joukossa formula_86, jos jokainen formula_86:aa pienempi ordinaali on pienempi kuin jokin kyseisen joukon ordinaali. Yleisemmin minkä tahansa ordinaalin formula_86 osajoukkoja voidaan sanoa kofinaaliseksi formula_86:ssa, jos jokainen ordinaali, joa on pienempi kuin formula_86, on pienempi "tai yhtä suuri kuin" jokin tähän joukkoon kuuluva ordinaali. Osajoukkoa sanotaan suljetuksi formula_86:ssa , jos se on suljettu formula_86:n järjestys­topologiassa, toisin sanoen jos joukkoon kuuluvien ordinaalien raja-arvo joko sisältyy tähän joukkoon tai on formula_86 itse.
Ordinaalien laskutoimitukset.
Ordinaaleilla on kolme yleistä laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korotus. Jokainen niistä voidaan määritellä oleellisesti kahdella tavalla: joko konstruoimalla eksplisiittisesti määritelty hyvin­järjestetty joukko, joka esittää tätä laskutoimitusta, tai transfinittisella rekursiolla. 
Neumannin ordinaalin määritelmään pohjautuen laskutoimitukset voidaan määritellä seuraavasti:
α + 0 = α
α + (β+1) = (α + β) + 1
formula_123, kun β on rajaordinaali
α · 0 = 0
α · (β+1) = α &amp;middot β + α
formula_124, kun β on rajaordinaali
α0 = 1
0β = 0, kun β on rajaordinaali ja &gt; 0
αβ+1 = αβ · α
formula_125, jos α &gt; 0 ja β on rajaordinaali.
Jokainen ordinaali voidaan esittää yksikäsitteisesti määritellyllä tavalla "Cantorin normaalimuodossa". Siinä jokainen ordinaali esitetään ω:n ordinaalisten potenssien äärellisenä summana. Sitä ei kuitenkaan voida käyttää ordinaalien yleisen mmerkintätavan perustana, sillä esimerkiksi ε0 olisi määriteltävä itsensä avulla: ε0 = ωε0 
Nämä eivät kuitenkaan noudata kaikkia luonnollisilla ja myös reaaliluvuilla päteviä laskulakeja. Niinpä seuraavat säännöt eivät päde ordinaalien laskutoimituksille:
Yhteenlaskun vaihdantalaki: α + β ei yleensä ole yhtä kuin β + α
Kertolaskun vaihdantalaki: α · β ei yleensä ole yhtä kuin β · α
Oikeanpuoleinen osittelulaki: esimerkiksi (ω+1) · 2 ei ole yhtä suuri kuin ω · 2 + 2
Tulon potenssisääntö: (ω·2)2 ei ole yhtä suuri kuin ω2 · 4.
Ordinaaleille voidaan määritellä myös niin sanotut "luonnolliset" aritmeettiset operaatiot. Nämä ovat vaihdannaisia, mutta eivät jatkuvia.
Nimbereiksi tulkittuina ordinaaleilla voidaan suorittaa myös nimberien aritmeettisia laskutoimituksia.
Ordinaalit ja kardinaalit.
Kardinaalien initiaaliset ordinaalit.
Jokaiseen ordinaaliin liittyy tietty kardinaaliluku, sen kardinaliteetti. Jos kahden ordinaalin välillä on bijektio (esimerkiksi ω=1+ω ja ω+1&gt;ω), niihin liittyy sama kardinaali. Jokaisella hyvin­järjestetyllä ordinaalilla, jolla on järjestys­tyyppinään jokin ordinaali, on sama kardinaliteetti kuin tällä ordinaalilla. Pienintä annettuun kardinaaliin liittyvää ordinaalia sanotaan tämän kardinaalin "initiaaliseksi ordinaaliksi". Jokainen äärellinen ordinaali eli luonnollinen luku on initiaalinen, eikä millään muulla ordinaalilla ole samaa kardinaliteettia. Mutta useimmat äärettömät ordinaalit eivät ole initaalisia, sillä moniin äärettömiin ordinaalehin liittyy sama kardinaliteetti. Valinta-aksiooma on yhtäpitävä sen kanssa, että jokainen joukko voidaan hyvin­järjestää, toisin sanoen jokaisella kardinaalilla on initiaalinen ordinaali. Teorioissa, joihin sisältyy valinta-aksiooma, jokaisen joukon kardinaaliluvulla on initiaalinen ordinaali. Kardinaalit voidaankin käsittää ordinaalien erikois­tapauksiksi samastamalla ne initiaalisten ordinaaliensa kanssa, sillä jokainen joukko on yhtä mahtava jonkin (Neumannin mukaan määritellyn) orbitaalin kanssa. Täten ordinaali on kardinaali, jos ja vain jos se ei ole yhtä mahtava minkään itseään pienemmän ordinaalin kanssa.
Yleensä α:nnelle äärettömälle ordinaalille käytetään merkintää formula_126. Sen kardinaliteettia merkitään formula_127. Esimerkiksi ω0:n eli ω:n kardinaliteetti on formula_128, joka on myös ω2:n ja ε0:n kardinaliteetti, sillä nämäkin ovat numeroituvia ordinaaleja. Niinpä jos valinta-aksiooma hyväksytään, ω voidaan samastaa formula_128, paitsi että merkintää formula_128 käytetään, kun on kysymys kardinaaleista ja merkintää ω, kun on kysymys ordinaaleista. (Eri merkintöjä käytetään, koska esimerkiksi formula_131 = formula_128 kardinaalina, mutta formula_133 ordinaalina). Samoin formula_37 on pienin ylinumeroituva ordinaali (sen osoittamiseksi, että sellainen on olemassa, voidaan tarkastella luonnollisten lukujen hyvinjärjestysten ekvivalenssiluokkia: jokainen sellainen määrittelee numeroituvan ordinaalin, ja formula_37 on tämän joukon järjestystyyppi), formula_136 on pienin ordinaali, jonka kardinaliteetti on suurempi kuin formula_137 ja niin edelleen, ja formula_138 on ordinaalien formula_139 raja-arvo, kun arvot "n" ovat luonnollisia lukuja (jokainen kardinaalien raja-arvo on kardinaali, ja niin ollen tämä raja-arvo on itse asiassa ensimmäinen kardinaali, joka on suurempi kuin formula_139).
Cantor käytti kardinaliteettia ordinaalien luokitteluun. Hän nimitti luonnollisia lukuja ensimmäiseksi lukuluokaksi, ordinaaleja, joiden kardinaliteetti on formula_128 eli numeroituvasti äärettömiä ordinaaleja toiseksi lukuluokaksi ja yleensä ordinaaleja, joiden kardinaliteetti on cardinality formula_142, "n":nneksi lukuluokaksi.
Kofinaalisuus.
Ordinaalin formula_86 kofinaalisuus on pienin ordinaali formula_107, joka on jonkin formula_86 "kofinaalisen" osajoukon järjestystyyppi. Joissakin teoksissa kofinaalisuuden käsite määritellään tai sitä käytetään vain rajaordinaaleille. Ordinaalien joukon tai minkä tahansa muun hyvinjärjestetyn joukon kofinaalisuus on tämän joukon järjestystyypin kofinaalisuus.
Niinpä jokaiselle rajaordinaalille formula_86 on olemassa formula_107-indeksoitu aidosti kasvava jono, jonka raja-arvo on formula_86. Esimerkiksi ω²:n kofinaalisuus on ω, koska jonon ω·"m" raja-arvo, missä "m":n arvoina ovat kaikki luonnolliset luvut, on ω, ja yleensäkin jokaisen numeroituvan rajaordinaalin kofinaalisuus on ω. Myös ylinumeroituvan rajaordinaalin kofinaalisuus voi olla ω, esimerkiksi ordinaalilla formula_149, mutta sellaisella voi olla myös ylinumeroituva kofinaalisuus. 
Ordinaalin 0 kofinaalisuus on 0, Jokaisen seuraajaordinaalin kofinaalisuus on 1. Jokaisen rajaordinaalin kofinaalisuus on vähintään formula_4.
Ordinaalia, jonka kofinaalisuus on yhtä suuri kuin ordinaali itse, sanotaan "säännölliseksi", ja kaikki sellaiset ovat initiaalisia ordinaaleja. Säännölisten ordinaalien raja-arvo on initiaalisten ordinaalien raja-arvo ja sellaisena aian initiaalinen, joskaan ei välttämättä eikä yleenä säännöllinen. Jos valinta-aksiooma hyväksytään, siitä seuraa, että formula_151 kaikilla α, ja edelleen että ordinaalit 0, 1, formula_4, formula_37 ja formula_136 ovat säännöllisiä, kun taas, 2, 3, formula_149 ja ωω·2 ovat esimerkkejä initiaalisista orbitaaleista, jotka eivät ole säännöllisiä.
Jokaisen ordinaalin "α" kofinaalisuus on säännöllinen ordinaali, toisin sanoen "α":n kofinaalisuuden kofinaalisuus on sama kuin "α":n kofinaalisuus. Toisin sanoen kofinaalisuusoperaatio on idempotentti.
Joitakin "suuria" numeroituvia ordinaaleja.
Esimerkkinä "hyvin suuresta" äärettömästä, mutta vielä numeroituvasta ordinaalista voidaan mainita ε0. Se on pienin ordinaali, joka toteuttaa yhtälön formula_156, ja samalla jonon 0, 1, formula_4, formula_158, formula_159 jne. raja-arvo. Monet ordinaalit voidaan määritellä samaan tapaan jonkin ordinaalifunktion kiintopisteinä. Niinpä formula_160:tta sellaista ordinaalia, jolle pätee formula_156, merkitään formula_162, ja samaan tapaan voitaisiin yrittää löytää formula_160:s sellainen ordinaali, jolle formula_164 ja niin edelleen. Tätä voitaisiin yrittää järjestelmällisesti, mutta miten tahasa ordinaalit määritellään ja konstruoidaankin, aina on olemassa ordinaali, joka on juuri kaikkien tällä tavoin konstruoitujen ordinaalien yläpuolella Ehkä tärkein ordinaali, joka tähän tapaan rajoittaa konstruointijärjestelmää, on Churchin–Kleenen ordinaali formula_165 (joka on numeroituva siitä huolimatta, että sen nimessä esiintyy formula_37). Se on pienin ordinaali, jota tietyssä mielessä ei mitenkään voi esittää laskettavissa olevana funktiona. Myös formula_165:n alapuolella voidaan kuitenkin määritellä huomattavan laajoja ordinaaleja, jotka mittaavat eräiden formaalisten systeemien "todistus­teoreettista vahvuutta"; niinpä esimerkiksi formula_168 mittaa Peanon aksioomeihin perustuvan aritmetiikan vahvutta. Voidaan myös määritellä ordinaaleja, jotka ovat suurempia kuin Churchin–Kleenen ordinaali ja joilla niilläkin on merkitystä useilla logiikan aloilla.
Topologia ja ordinaalit.
Jokainen ordinaaliluku voidaan muodostaa topologiseksi avaruudeksi varustamalla se järjestystopologialla. Tämä topologia on diskreetti, jos ja vain jos ordinaali on numeroituva kardinaali, toisin sanoen enintään ω. Joukon ω + 1 osajoukko on avoin järjestystopologiassa, jos ja vain jos se joko on kofiniittinen (eli sen komplementti on äärellinen joukko) tai ω ei sisälly siihen alkiona.
Ordinaalien alaspäin suljetut joukot.
Järjestetyn joukon "A" osajoukko "B" on "alaspäin suljettu", jos kaikki "A":n alkiot, jotka ovat pienempiä kuin jokin "B":n alkio, ovat myös "B":n alkioita. Jos jokin ordinaalien joukko on alaspäin rajoitettu, se on itse ordinaali, pienin kyseiseen joukkoon kuulumaton ordinaali.
Esimerkkejä: