Funktion differentiaali

Differentiaali on matematiikassa reaaliarvoisen funktion eräs sen muutosnopeutta määrittelevän lausekkeen tai mitan nimitys. Differenssi, joka tarkoittaa funktion todellista muutosta, jaetaan muutoksen lineaariseen osaan, eli "differentiaaliin", ja "korjaustermiin". Differentiaalin käsite on keskeisessä osassa differentiaalilaskennassa ja esimerkiksi derivaatan määritelmässä.
Johdanto.
Historia.
Differentiaalit esitteli ensimmäisenä Gottfried Wilhelm Leibniz, jonka heuristinen ja intuitiivinen ajatus oli esittää dy äärimmäisen pienenä suureen y muutoksena. Muutos dy oli pienempi kuin mikään reaaliluku, mutta ei kuitenkaan aivan nolla. Tällaisia lukuja on kutsuttu infinitesimaaleiksi ja niiden käytön perinne juontaa Euroopassa Kreikan antiikkiin. Yhdessä muuttujan x muutoksen dx kanssa voitiin nyt esitellä muutosnopeus dy/dx, joka kutsutaan Leibnizin merkinnäksi derivaatalle. Vaikka luvut dy ja dx olisivatkin äärimmäisen pieniä lukuja, ei osamäärä dy/dx sitä välttämättä ole.
Koska infinitesimaalien käyttöä kritisoitiin voimakkaasti 1700- ja 1800-luvuilla, julkaisi Augustin-Louis Cauchy uuden differentiaalin määritelmän, joka ei enää käyttänyt infinitesimaalin käsitteitä määrittelyn perusteinaan. Sen sijaan se määriteltiin derivaatan avulla, joka taas määriteltiin raja-arvon avulla. Tästä alkoi kehitys, joka tarkensi analyysin käsitteiden perusteita tehden tästä matematiikan haarasta laajemmin hyväksytyn.
Infinitesimaaleista ei kuitenkaan päästy eroon. Monilla fysiikan ja tekniikan aloilla sitä käytetään rinnakkain raja-arvoon perustuvan matematiikan rinnalla. Haluttomuus luopua infinitesimaaleista johtunee niillä laskemisen vaivattomuudesta.
Merkitys.
Yhden muuttujan tapauksessa (viereinen kuvaaja) tarkastelupisteeseen piirretty tangentti erottaa differenssistä formula_1 (kuviossa RQ) differentiaalin formula_2 (RS), joka jää kuviossa tangentin alle. Differentiaali on siten funktion muutoksessa sen lineaarinen komponentti ja se kuvaa melko tarkasti funktion muutosta tarkastelupisteen lähellä. Differenssi, joka on funktion todellinen muutos, on melkein saman suuruinen kuin differentiaali. Korvaamalla differenssi differentiaalilla tehdään pieni virhe. Raja-arvotilanteessa, kun väli formula_3 lyhenee melkein nollaksi, pienenee virhe hyvin pieneksi, joten tarkastelupisteessä differentiaalia voisi käyttää erotusosamäärän lausekkeessa (derivaatan määrittämiseksi) yhtä hyvin kuin differenssiäkin. Monesti funktion kulkua tarkastelupisteessä kuvataankin tangenttisuoralla, jonka derivaatta on sama kuin funktion käyrällä. Differentiaalit liittyvätkin muutostarkasteluihin, joissa funktion käyrä tai pinta korvataan tangentin suuntaisilla vektoreilla. Funktion differenssit lasketaan silloin likiarvoilla 
formula_4
Differenssi.
Funktion muuttumista voidaan tutkia laskemalla sen arvoja eri muuttujan "x" arvoilla. Kun funktion formula_5 arvo lasketaan arvolla formula_6, saadaan formula_7 Siirrytään sopivan matkan formula_8 etäisyydelle ja lasketaan uusi funktion arvo formula_9 Funktion arvojen differenssi formula_10 ( eli erotus) pisteessä formula_6 on 
formula_12
Usein tämä merkitään myös 
formula_13
Differentiaali ja korjaustermi.
Merkitään virhefunktiota formula_14 ja havaitaan, että se riippuu muuttujan arvosta "x" ja siirtymästä "h". Silloin erotusosamäärän ja derivaatan erotus tarkoittaa virhettä, joka tehdään, kun erotusosamäärän arvolla korvataan derivaatan tarkkaa arvoa. Virhe lasketaan siten 
formula_15
Voidaan osoittaa, että jos korjaustermi pienenee olemattomaksi
formula_16
on funktio derivoituva kyseisessä pisteessä "x".
Kertomalla edellinen yhtälö luvulla "h", saadaan 
formula_17
Sama yhtälö voidaan merkitä myös
formula_18
eli
formula_19
Yhtälön vasenta puolta kutsutaan "differenssiksi" formula_20 ja oikealla puolella ovat differentiaali formula_21, joka merkitään joskus formula_22, ja "korjaustermi" formula_23 Merkinnällä formula_22 viitataan funktion arvojen (vanhanaikaiseen) infinitesimaaliseen muutokseen.
Merkintöjä.
Kun käytetään suureita formula_25 ja formula_26 ja suure formula_26 riippuu suureesta formula_25, voidaan "differentiaali" merkitä 
formula_29
tai
formula_30
kun ollaan hyvin lähellä tarkastelupistettä eli formula_31
Jos tunnetaan formula_26:n lauseke formula_33, voidaan merkitä myös 
formula_34
Yleisesti voidaan myös merkitä funktiolle formula_35 sen differentiaalia
formula_36
Likiarvoista.
Funktion lisäys eli differenssi on määritelty
formula_37
joka voidaan esittää myös differentiaalin avulla
formula_38
missä formula_39 kun formula_40
Funktion lisäystä voidaan siksi approksimoida differentiaalin avulla hyvinkin tarkasti, kun "h" on riittävän pieni. Silloin on rajallemenon loppuvaiheessa jo
formula_41
Usean muuttujan funktiot.
Usean muuttujan funktio, joka saa reaalilukuarvoja, on skalaarikenttä formula_42. Funktio "f" on differentioituva tarkastelupisteessä formula_43, jos sillä on olemassa siinä pisteessä, ja pisteen lähiympäristössä, kaikkien muuttujiensa osittaisderivaatat. Silloin funktiolla on olemassa myös gradientti ja funktiolle voidaan kirjoittaa differentiaalikehitelmä
formula_44
missä formula_45 ja kertolasku on vektorien pistetulo. Kehitelmässä lauseke
formula_46
on funktion differentiaali "df". Merkintä formula_47 (lue "nabla f") tarkoittaa funktion gradienttia pisteessä formula_48. Gradientti ilmaisee funktion suunnatun derivaatan suurimman arvon ja suunnan. Kun gradientti kerrotaan suunnalla formula_49, saadaan tarkastelupisteen suunnatun derivaatan arvo suunnassa formula_49.