Liukuluku

Liukuluku on tietokoneissa käytetty reaalilukujen likimääräinen sisäinen esitysmuoto. Liukulukumuoto on kompromissi tarvittavien bittien lukumäärän, luvun esitystarkkuuden ja peitettävän lukualueen välillä.
Liukulukulaskenta.
Liukulukuun kuuluu neljä osaa: etumerkki (formula_1), mantissa (formula_2), kantaluku (formula_3) ja eksponentti (formula_4). Etumerkki kertoo, onko luku negatiivinen vai positiivinen. Mantissa kuvaa luvun merkitseviä numeroita. Kantaluku ja eksponentti määrittävät luvun suuruusluokan. Tällöin liukuluvun arvoksi formula_5 saadaan:
formula_6
Esitys ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen lukunelikolle formula_7 ellei lukualueita rajata tarkasti. Yksikäsitteisyys voidaan saavuttaa sopimalla tietty kantaluku formula_3, ja sen jälkeen vaatimalla, että formula_9 ja formula_10. Tietokoneissa pätee yleensä formula_11, jolloin formula_12 ja formula_13.
Liukulukulaskenta voidaan aina toteuttaa ohjelmallisesti mutta monet suorittimet pystyvät suoraan liukulukulaskentaan matematiikkasuorittimella. Käyttäjälle tämä näkyy vain nopeuserona, ei tulosten erona. Matematiikkasuoritin on ollut erillinen apusuoritin varsinaisen suorittimen rinnalla, mutta se on nykyään integroitu varsinaisen suorittimen kanssa samalle piirisirulle. 
Esimerkiksi IBM PC -yhteensopivissa käytetty vuonna 1989 julkaistu Intel i486 integroi matemaattisuorittimen samalle piisirulle.
Johdatteleva esimerkki.
Oletetaan kantaluvun olevan 10, mantissan kolminumeroinen ja eksponentissa olevan etumerkin ja yhden numeron.
Tällöin suurin esitettävissä oleva luku on formula_14. Alempana selitettävistä normaaleista luvuista pienin nollaa suurempi on formula_15, pienin epänormaali luku formula_16. Tarkkuus riippuu suuruusluokasta: välillä 1–10 luvut esitetään tuhannesosan tarkkuudella, välillä 10–100 sadasosan tarkkuudella ja niin edelleen.
Kullekin luvulle on kolme eri esitystapaa: esimerkiksi formula_17 voidaan esittää formula_18, formula_19 tai formula_20. Esitystavoista ensimmäinen on tarkin, ja tätä esitystapaa kutsutaan normaaliksi; siis normaalin luvun mantissa on aina vähintään formula_21 ja enintään formula_22.
Normaalit luvut muodostavat näin nollaa kohti tihentyvän parven, jossa kuitenkin nollan ympärillä on aukko: Pienin positiivinen luku on tuhat kertaa suurempi kuin sen erotus toiseksi pienimpään positiiviseen lukuun. Epänormaalit luvut täyttävät tämän aukon: tarkkuus pienenee, mutta laskenta ei "romahda" äkillisesti nollaan. 
IEEE 754 -liukulukustandardi.
IEEE 754 on yleisin tietokoneissa käytetty liukulukustandardi. Se olettaa kantaluvuksi formula_11. Etumerkki ilmoitetaan yhdellä bitillä. formula_24 tarkoittaa positiivista lukua, ja formula_25 tarkoittaa negatiivista. Mantissa ja eksponentti ovat etumerkittömiä bittijonoja. Standardi määrittelee liukulukumuodot:
Laajennettua kaksoistarkkuutta kutsutaan joskus 80-bittiseksi muodoksi, mutta laitetoteutukset eivät tyypillisesti käytä piilotettua bittiä ja se voidaan merkitä 79-bittiseksi.
Vuonna 2008 julkaistu päivitetty versio standardista lisäsi kaksi uutta liukulukumuotoa: 16-bittinen "puolitarkkuus" eli binary16, ja nelinkertaisen tarkkuuden 128-bittinen binary128. Standardia päivitettiin uudelleen vuonna 2019, jolloin vuoden 2008 versio korvattiin. Vuoden 2019 versiossa lisättiin määrittely poikkeustilanteiden käsittelyä varten uusilla operaatioilla, jotka palauttavat kaksi tulosta: "pään" ja "hännän".
IEEE 754 standardin lisäksi on IEEE 854 -standardi, joka ei määrittele miten liukuluvut koodataan biteiksi, mutta se sallii sekä kymmen- että kaksikantaiset muodot.
Normalisoidut luvut.
Kun formula_34, luku on normalisoitu. Tällöin
yksikäsitteisyys saavutetaan sopimalla formula_35 ja formula_36. Tällöin liukuluvun arvoksi formula_5 saadaan:
formula_38
Lukua nolla ei voi esittää suoraan johtuen formula_39 määritelmästä, koska ylin bitti säädetään kiinteästi ykköseksi. Standardin mukaan luku on nolla kun formula_40. Tämän seurauksena luvun nolla esitys tietokoneen muistissa on kaikki bitit nollina, mikä nopeuttaa liukulukumuuttujien alustamista eräissä tietokonejärjestelmissä.
Normalisoidussa muodossa mantissan ensimmäinen luku on aina 1b, joten se jätetään pois ja siten saadaan käyttöön yksi numero enemmän tarkkuutta. Täten formula_41 
Koska yksi eksponentin arvo on varattu nollalle, ei eksponentteja voi esittää suoraan, vaan eksponentti on IEEE-liukuluvuissa tallennettu muodossa jota kutsutaan nimillä "offset binary" tai "biased exponent". Tämä formula_42, missä formula_43 riippuu käytetystä tarkkuudesta. Perustarkkuudelle formula_44 ja kaksoistarkkuudella formula_45. Eksponentti voi täten esittää suuremman määrän positiivisia arvoja kuin negatiivisia arvoja.
Ei-normalisoidut arvot.
Kun formula_46 ja formula_47, luku ei ole normalisoitu. Tällöin formula_48 ja formula_49, missä formula_43 riippuu käytetystä tarkkuudesta. Perustarkkuudelle formula_51 ja kaksoistarkkuudella formula_52.
Äärettömät: positiivinen ja negatiivinen.
IEEE-745 määrittelee myös positiivisen ja negatiivisen äärettömän. Käsitteellisesti ne eivät vastaa niinkään matemaattista äärettömyyttä vaan mitä tahansa lukua, joka ylittää tai alittaa esitettävissä olevien lukujen alueen. Äärettömilläkin voidaan osittain laskea, esimerkiksi mikä tahansa positiivinen normaali luku jaettuna positiivisella äärettömällä antaa tulokseksi positiivisen nollan.
Nollat: positiivinen ja negatiivinen.
Analogisesti äärettömien kanssa nollia on kaksi, positiivinen ja negatiivinen. Ne kuvaavat paitsi matemaattisen tarkkaa nollaa, myös lukuja joiden suuruus alittaa ei-normalisoitujen lukujenkin esitettävissä olevat arvot.
Epäluku ("Not-a-Number", NaN).
Lopuksi standardi määrittelee tuloksen laskutoimitukselle, jolle ei ole mielekästä vastausta edes äärettömien tai nollien avulla esitettynä. Esimerkiksi positiivisen ja negatiivisen äärettömän summa on tällainen: taustalla on ajatus, jonka mukaan emme tiedä kumpi ääretön on suurempi, joten mikään vastaus ei kelpaa. Jokaisen luvun jokainen laskutoimitus epäluvun kanssa tuottaa epäluvun: esimerkiksi epäluku kertaa nolla "ei" ole nolla vaan epäluku.
Epälukujen ja osittain myös äärettömien ja nollien avulla pitkä laskenta voidaan tehdä loppuun ja vasta lopuksi tutkia miltä osin saatiin mielekkäitä tuloksia ja milloin esimerkiksi jokin laskukaava ei toiminut.
Laskutaulukot.
Seuraavassa "S" kuvaa suurta lukua, joka on lähes lukualueen ylärajalla, luku 3 on esimerkki tavallisesta luvusta, äärettömät on merkitty +inf ja −inf, nollat +0 ja −0, ja epäluku on NaN.
Esimerkki.
Luvun formula_53 esitys perustarkkuudella tarkoittaa lukua, jossa formula_54 ja formula_55, eli heksadesimaalijonona: 3f80 0000. Sama luku kaksoistarkkuudella saa esitysmuodon: 3ff0 0000 0000 0000. Luvun formula_56 esitysmuoto perus- ja kaksoistarkkuudella on bf80 0000 ja bff0 0000 0000 0000.
Muut liukulukumuodot.
"binary16" on ("puolitarkkuus", ) on "binary32" muodosta typistetty 16-bittinen muoto, joka on suunnattu muun muassa vähävirtaisissa laitteissa käytettäväksi. 16-bittistä muotoa käytetään myös "syvävärikuvien" () tallentamiseen OpenEXR-muodossa.
On myös julkaistu erilaisia epästandardeja liukulukumuotoja kuten Nvidian TensorFloat-32.
16-bitin puolitarkkuutta käytetään esimerkiksi neuroverkkojen koulutuksessa.
Epätarkkuuksia ja ongelmia.
Kuten murtoluvut voidaan esittää päättyvinä kymmenkantaisina desimaalilukuina vain jos nimittäjä on kymmenen potenssi, voidaan luku esittää tarkasti liukulukuna vain, jos vastaavan murtolukuesityksen nimittäjä on kahden potenssi.
Siten esimerkiksi desimaalilukua 0,1 ei voi esittää tarkasti liukulukuna.
Esimerkiksi JavaScriptin vertailu codice_1 on epätosi, koska sitä evaluoitaessa luvut on pyöristetty kolme kertaa ja summalausekkeen tulos on eri kuin luvun 0,3 muunnos liukuluvuksi.
JavaScriptissa, jossa kaikki luvut tallennetaan kaksoistarkkuuden 64-bittisinä IEEE-liukulukuina, suurin turvallisesti esitettävä kokonaisluku on 9007199254740992 (Number.MAX_SAFE_INTEGER+1). Esimerkiksi vertailu codice_2 palauttaa toden, vaikka on matemaattisesti epätosi.
On huomattava että tietokoneiden käsittelemät liukuluvut on optimoitu teknis-tieteellisen laskennan tarkoituksiin. IEEE754-standardin suunnittelija William Kahan valitsi 53 bitin tarkkuuden liukuluvuille, jotta tieteellisessä laskennassa vältettäisiin vaativa virheanalyysin tarve. Standardin mukaiset liukuluvut eivät sovellu lainkaan finanssimatematiikan käyttöön, sillä useimpia yksinkertaisiakaan desimaalilukuja ei voi tarkasti ilmoittaa liukulukuina, mikä johtaa pyöristysvirheisiin. Lisäksi suurissa summissa arvoalue voi loppua kesken. Tätä varten on kehitetty ns. desimaaliset liukuluvut. Näiden käsittely tietokoneen laitteistolla sisältyy vain muutamiin mainframe-koneisiin, kuten IBM z-Series, joten laskenta tapahtuu yleensä ohjelmallisesti. Finanssimatematiikan luonteen vuoksi tämän hitaus ei yleensä ole ongelma.