Algebrallinen luku

Algebrallinen luku tarkoittaa sellaista reaali- tai kompleksilukua formula_1, joka on kokonaislukukertoimisen polynomin formula_2 nollakohta eli toteuttaa yhtälön formula_3. Polynomin
formula_4
aste tulee olla positiivinen, jolloin vähintään yksi kertoimista formula_5 poikkeaa nollasta. Jos vain formula_6 poikkeaa nollasta, on kyseessä vakiofunktio, joka ei täytä edellä mainittua ehtoa. Yleensä algebrallinen luku on kompleksinen, mutta tietyillä ehdoilla se voi olla myös reaalinen, rationaalinen tai kokonainen.
Polynomia, jonka korkeimman asteen termin kerroin on formula_7 ja muut kertoimet ovat kokonaislukuja, kutsutaan pääpolynomiksi. Pääpolynomin nollakohtaa kutsutaan algebralliseksi kokonaisluvuksi tai kokonaiseksi algebralliseksi luvuksi.
Määritelmästä seuraa algebran peruslauseen mukaisesti, että polynomin nollakohdan formula_8 avulla voidaan päätellä sen yhden tekijän olevan binomi formula_9. Algebralliseen lukuun voidaan liittää useita polynomeja, joissa on tämä tekijä. Sitä polynomia, jonka aste on matalin, kutsutaan minimaalipolynomiksi. Minimaalipolynomin aste on samalla algebrallisen luvun aste.
Voidaan todistaa, että algebrallisen luvun minimaalipolynomi on yksikäsitteinen ja että minimaalipolynomi on aina tekijänä muissa luvun polynomeissa. Lisäksi minimipolynomi on aina jaoton. Samaan polynomiin liittyvät algebralliset luvut ovat toistensa konjugaatteja.
Johdanto.
Merkintä.
Algebrallisten lukujen joukkoa merkitään joskus formula_10 tai formula_11. Niitä kompleksilukuja, jotka eivät ole algebrallisia lukuja eli formula_12, kutsutaan transkendenttiluvuiksi.
Algebrallinen yhtälö.
Algebrallisen yhtälön juuret ovat "algebrallisia lukuja". Algebrallinen yhtälö muodostetaan laskettaessa polynomin nollakohtia 
formula_13 
eli 
formula_14
missä formula_15 Joskus yhtälön ensimmäisen termin kerroin formula_16 jaetaan molemmista puolista pois, jolloin saadaan "pääpolynomin yhtälö"
formula_17
ja jonka kertoimet ovat rationaalilukuja formula_18
Koska yhtälön molemmat puolet voi kertoa luvulla formula_19, voidaan algebrallisen yhtälön kertoimiksi sallia myös rationaaliluvut.
Esimerkkejä algebrallisista yhtälöistä ja -luvuista.
Luvun voi todeta algebralliseksi, jos keksii sille rationaalilukukertoimisen polynomiyhtälön, jonka juuri luku on. Luvun asteen voi päätellä retusoimalla polynomin tekijöitä. Seuraavassa on joitakin esimerkkejä lukuisasta soveltamiskentästä.
Ensimmäisen asteen luvut.
Jos polynomi formula_20 kerroin formula_21, saadaan pääpolynomi. Tämän polynomin algebralliset luvut ovat kokonaislukuja, joiden aste on 1. Tällöin voidaan merkitä formula_22. Kaikki rationaaliluvut ovat algebrallisia lukuja, jotka toteuttavat 1. asteen polynomiyhtälön 
formula_23 
Tästä nähdään, että formula_24.
Toisen asteen luvut.
Erilaisia esimerkkejä:
formula_30
joka on polynomin formula_31 nollakohta.
Algebrallisten lukujen yleisiä ominaisuuksia.
Algebralliset luvut.
Voidaan myös todistaa, että kompleksiluku formula_44 on toisen asteen algebrallinen luku, jos luvut formula_1 ja formula_46 ovat algebrallisia. Silloin on myös liittoluku formula_47 algebrallinen.
Tiheys.
Algebrallisten lukujen joukko on tiheä, jolloin kahden mielivaltaisen algebrallisen luvun välistä löytyy aina kolmas algebrallinen luku riippumatta kuinka lähellä ensin mainitut kaksi lukua olivat.
Algebrallisten lukujen mahtavuus.
Algebrallisten luvut ovat numeroituvasti ääretön joukko, jonka mahtavuus on siis formula_48 . Transkendenttisten lukujen mahtavuus on kuitenkin ylinumeroituvasti ääretön.