Kaaosteoria

Kaaosteoria on matematiikkaa ja fysiikkaa yhdistävä tutkimusala, joka käsittelee tiettyjen ei-lineaaristen dynaamisten järjestelmien käyttäytymistä, jotka ilmenevät kaoottisina ja ovat äärimmäisen herkkiä pienillekin muutoksille alkuolosuhteissa (perhosvaikutus). Esimerkkejä sellaisista järjestelmistä tavataan ilmakehän dynamiikasta, aurinkokunnasta, laattatektoniikassa, pyörteisissä nesteissä, taloudessa, populaation kasvussa ja lääketieteessä.
Kaaosteorian mukaan todellisuus tulee ymmärtää dynaamiseksi, monimuotoiseksi ja ennustamattomaksi. Systeemin kaoottisuudelle on ominaista, että systeemin lopputulosta ei voida ennustaa systeemin alkutilasta. Olennaista kaaoksessa on säännöllisyyden puuttuminen siinä mielessä kuin se ilmenee klassisessa luonnontieteessä: jaksoittaisina liikeratoina ja alkuehdoista riittävällä tarkkuudella ennustettavina lopputuloksina. 
Matemaattinen kaaos on täysin deterministinen, ennalta määrätty. Yleisessä kielenkäytössä kaaos ja kaaosteoria sekoitetaan usein täyteen "kaaokseen" tai "epäjärjestykseen", satunnaisuuteen, joka on epälainalaisen järjestelmän tulos. 
Matemaattisesti kaoottinen järjestelmä voisi olla täysin ennustettavissa, jos alkuarvot ja prosessi tunnettaisiin täysin tarkkaan. Käytännössä alkuarvo- ja laskentatarkkuus rajoittaa
ennustushorisonttia ja lyhyessä ajassa järjestelmä tulee täysin ennustamattomaksi.
Esimerkki 1.
Esimerkiksi yksinkertainen rekursioyhtälö
formula_1
on deterministinen, mutta myös kaoottinen ja alkuarvoherkkä. Lähtöarvot ja tulos
kuuluvat väliin [0,4]. (Epästabiileina kiintopisteinä ovat 0 ja 3).
Jos "x0":sta lähdetään ja lasketaan, niin tavallinen laskin tulostaa
roskaa jo 30–40:n iteraation jälkeen, tietokoneohjelmalla 20:n desimaalinkin
tarkkuudella jo 55:n iteraation jälkeen. Lähtöarvossa oleva virhe keskimäärin 
kaksinkertaistuu jokaista iteraatiota kohti.
"Taulukko 1." Iteraatioita kolmella hiukan toisistaan poikkeavalla alkuarvolla.
 a b c c-a = virhe
 x0= 0,5 0,501 0,500001 1E-6
 x1 1,75 1,752999 1,750003 3E-6
 x2 3,9375 3,938990506 3,9375015 1,5E-6
 x3 0,24609375 0,240315818 0,246087938 -5,8E-6
 x4 0,923812866 0,903511578 0,923792477 -20E-6
 x5 2,841821253 2,797713141 2,841777368 -44E-6
 x6 3,291336978 3,363653744 3,291410864 73E-6
 x7 2,33244881 2,140448465 2,332257981 -190E-6
 x8 3,889477789 3,980274229 3,889604634 127E-6
 x9 0,429873685 0,07851398 0,429394328 -479E-6
 x10 1,534703356 0,307891473 1,533197823 -1505E-6
 x11 3,783499033 1,136768734 3,782095727 -1403E-6
 x12 0,8191312 .. 0,824134818 5004E-6
 x13 2,605548876 2,617341075 11792E-6
 x14 3,633310558 3,618889998 -14421E-6
 x15 1,33229662 1,379195176 46899E-6
 x16 3,554172197 3,61460137 0,06
 x17 1,584548783 1,393062416 -0,191
 x18 3,827400287 3,631626769 -0,196
 x19 0,660608193 1,337794087 0,677
 x20 2,206029587 3,561483329 1,355
Nähdään, että kuuden numeron tarkkuudella ei päästä 20 askelta pitemmälle.
Itse asiassa laskettaessa esimerkiksi arvoa "x100" se vastaa sitä, että laskettaisiin 101-terminen 2100:n asteen jättimäinen polynomi, jonka arvot (ja reaalijuuret) sijoittuvat välille 0..4, kun argumenttina on kyseiselle välille sijoittuva luku.
Esimerkki 2.
Tarkastellaan yhtälöä
formula_2
Tämä on parametrin "C" ansiosta edellistä yleisempi tapaus.
Jos parametri "C" on suurempi kuin −1,402, niin raja-arvoa lähestyttäessä huomataan 2,4,8,16... jakson haarautumisia eli bifurkaatioita, joiden haarautumiskohtien suhde lähenee tunnettua Feigenbaumin vakiota 4,6692016091...
Jos "C" on rajaa "C∞" = −1,402... pienempi, niin tulos on täysin kaoottinen kuten esimerkissä 1.
Silti molempien esimerkkien yhtälöt ovat deterministisiä: jokainen "xn":n arvo on matemaattisesti katsoen täysin määrätty millä tahansa alkuarvolla "x0".