Riemannin hypoteesi

Riemannin hypoteesi on Bernhard Riemannin vuonna 1859 esittämä hypoteesi Riemannin zeeta-funktion nollakohtien esiintymisestä.
Hypoteesi on yksi tärkeimmistä avoimista ongelmista matematiikassa. Vuonna 1900 David Hilbert nimesi sen numero kahdeksaksi kuuluisalle listalleen 23:sta tärkeimmästä ratkaisemattomasta ongelmasta. Hilbert sanoi, että jos hän heräisi tuhat vuotta kestäneen unen jälkeen, hän kysyisi ensimmäisenä, onko Riemannin hypoteesi todistettu. Clay Mathematics Institute on luvannut hypoteesin todistamisesta miljoonan Yhdysvaltain dollarin palkinnon.
Hypoteesi on kytköksissä alkulukujen ominaisuuksiin. Riemannin hypoteesi ja sitä vastaavat väittämät ovat erittäin tehokkaita lukuteorian työkaluja. Suuri joukko lukuteorian keskeisistä tuloksista onkin todistettu sillä oletuksella, että Riemannin hypoteesi pitää paikkansa. Lukuteoreettisten artikkelien yhteydessä onkin lähes lentäväksi lauseeksi muodostunut teksti "Under the assumption of Riemann hypothesis..." eli suomeksi "Olettaen Riemannin hypoteesin...".
Hypoteesin väite.
Olkoon formula_1 kompleksiluku, jossa formula_2 ja formula_3 ovat reaalilukuja.
Tällöin Riemannin zeeta-funktion
formula_4 
kaikki aidosti kompleksiset nollakohdat ovat hypoteesin mukaan kompleksitason suoralla
formula_5.
Vaikkakin yllä oleva määritelmä Riemannin zeeta-funktiolle pätee vain kun s:n reaaliosa on suurempi kuin 1, on funktio analyyttisen jatkamisen kautta määritelty kaikille kompleksiluvuille s ≠ 1. Voidaan todistaa, että analyyttinen jatke on uniikki, koska Riemannin zeeta-funktio on meromorfinen funktio. Niinpä analyyttisen jatkeen saamia arvoja voidaan kutsua yksinkertaisesti Riemannin zeeta-funktion arvoiksi. Riemannin hypoteesille on esitetty lukuisia yhtäpitäviä väittämiä. Luonnollisesti yhtään näistäkään ei ole onnistuttu todistamaan.
Zeeta-funktion nollakohtien sijainti.
Riemannin zeeta-funktio saa arvon nolla kaikilla negatiivisilla parillisilla kokonaislukuarvoilla­ kuten –2, –4, –6 jne. Näitä sanotaan sen "triviaaleiksi nollakohdiksi". Näin ollen hypoteesin mukaan funktion kaikkien ei-triviaalien nollakohtien reaaliosa on . On todistettu, että kaikki ei-triviaalit nollakohdat sijaitsevat niin sanotulla "kriittisellä kaistalla", jolla s:n reaaliosa on välillä formula_6. Riemannin hypoteesin todistaminen siis vaatisi tämän kaistaleen kaventamisen yhdeksi ainoaksi suoraksi, eli "kriittiseksi suoraksi".
Tietokoneita apuna käyttäen on Riemannin zeeta-funktiolle laskettu miljardeja nollakohtia. Kaikkien näiden on havaittu toteuttavan Riemannin hypoteesin. Vaikka hypoteesia ei ole onnistuttu todistamaan, sen paikkansapitävyyden puolesta puhuu siis erittäin vahva "numeerinen todistusaineisto". 
Yhteys alkulukuihin.
Leonhard Euler löysi vuonna 1737 yhteyden Riemannin zeeta-funktion ja alkulukujen välillä.
formula_7
Tässä kaavassa vasen puoli on Riemannin zeeta-funktio ja oikea puoli on ääretön tulo, jossa formula_8 käy läpi kaikki alkuluvut:
formula_9
Tämä kaava linkittää Riemannin zeeta-funktion alkulukuihin, ja sitä myötä valtavaan määrään lukuteorian ongelmia. Riemannin zeeta-funktio liittyy esimerkiksi kysymykseen siitä, montako jotakin lukua N pienempää alkulukua on olemassa. Riemannin hypoteesin paikkansapitävyys antaisi paljon nykyistä tiukemmat virherajat alkulukufunktion antamalle arviolle lukua N pienempien alkulukujen määrästä.