Toisen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomi eli kvadraattinen funktio on matematiikassa polynomifunktio, jonka asteluku on 2. Se on yleinen yhden muuttujan funktio, joka voidaan esittää muodossa
formula_1
missä a, b ja c ovat "reaalilukukertoimia". Funktion kuvaajan muoto on paraabeli. Kvadraattisia funktioita voidaan määritellä myös moniulotteisessa avaruudessa, jolloin sen ominaisuudet muuttuvat. Kvadraattisia funktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla. 
Funktion kuvaaja.
Huippu, symmetria-akseli ja kyljet.
Kaikki toisen asteen polynomifunktion kuvaajat ovat paraabeleja. Paraabelilla on aina "huippu", joka sijaitsee "symmetria-akselilla". Huipusta lähtien kuvaajan vasenta ja oikeaa puoliskoa kutsutaan paraabelin "kyljeksi". Paraabelin kuvaaja on symmetria-akselin suhteen oma peilikuvansa eli vasen ja oikea kylki sijaitsevat yhtä kaukana akselista. Kyljet kaartuvat akseliin päin, mutta etääntyvät akselista kuitenkin loputtomasti. Tämä tarkoittaa sitä, että funktio on määritelty kaikille reaaliluvuille.
Paraabelin huippu sijaitsee kohdassa formula_2. Funktio saa tässä kohtaa formula_3 arvon formula_4. Se on funktion ääriarvona joko sen maksimikohta, kun a &lt; 0, tai sen minimikohta, kun a &gt; 0.
Symmetria-akselin analyyttinen yhtälö on formula_5, joka on pystysuora.
Parametrien vaikutukset funktion kuvaajaan.
Parametri a määrää funktion kuvaajan "terävyyden" ja "aukeamissuunnan". Kun kerroin "a" on positiivien reaaliluku, aukeaa paraabeli ylöspäin. Kun "a" on negatiivinen, aukeaa se alaspäin. On huomattava, ettei "a" voi olla 0, koska funktio ei silloin ole toista astetta.
Parametri b vaikuttaa paraabelin sijaintiin koordinaatistossa sekä sivu- että pystysuunnassa, mutta ei vaikuta paraabelin terävyyteen tai muulla tavalla sen muotoon. Eri "b":n arvoilla paraabelin toinen kylki kulkee origon kautta ja huippu sijaitsee koordinaatistossa käyrällä formula_6.
Kun parametri c eli vakiotermi kasvaa, sijoittuu paraabelin kuvaaja koordinaatistossa ylemmäksi. Vakion "c" pienentyessä vajoaa kuvaaja alaspäin.
Erikoistapaukset.
Toisen asteen polynomifunktiolla formula_7 on kolme erikoistapausta riippuen sen parametrien arvoista. 
*Kun a ≠ 0 ja b = 0 ja c = 0, saadaan formula_8. Tätä kutsutaan toisen asteen potenssifunktioksi. Tämän funktion kuvaaja kulkee origon kautta. Jos a = 1, on kuvaaja paraabeli formula_9.
*Kun a ≠ 0 ja b = 0 ja c ≠ 0, saadaan formula_10. Tämän funktion kuvaaja kulkee symmetrisesti siten, että y-akseli jakaa kuvaajan kahteen peilikuvamaiseen puoliskoon.
*Kun a ≠ 0 ja b ≠ 0 ja c = 0, saadaan formula_11. Tämän funktion kuvaaja kulkee aina origon kautta, mutta ei ole sijoittunut minkään akselin suhteen symmetrisesti.
Funktion yleisiä ominaisuuksia.
Nollakohdat.
Toisen asteen polynomifunktion nollakohdat saadaan toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisuista. Ne voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä tai soveltamalla "toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa".
Funktion lausekkeen esitystapoja.
Toisen asteen polynomifunktion lauseke voidaan esittää kolmessa eri muodossa.
Parillinen funktio.
Toisen asteen polynomifunktio on parillinen funktio, kun kerroin b = 0 eli formula_10. Silloin funktio saa saman arvon vastalukujensa "s" ja "-s" kohdissa eli formula_18, koska formula_19.
Monotonisuus.
Toisen asteen funktio ei ole monotoninen määrittelyjoukossaan. Sen sijaan, jos määrittelyjoukosta valitaan väli, johon ei sisälly funktion kuvaajan huipun kohta formula_3, on funktio tällä välillä monotoninen.
Käänteisfunktio.
Toisen asteen funktiolla ei ole käänteisfunktiota, koska se ei ole monotoninen. Jos funktion määrittelyjoukkoa rajoittaa sellaiselle välille, jossa funktio on monotoninen, voidaan käänteisfunktion lauseke muodostaa.
Yksinkertaisimman toisen asteen potenssifunktion formula_21 käänteisfunktio on neliöjuurifunktio. Jos valitaan väli positiivisista reaalilukujen joukosta, saadaan käänteisfunktioksi formula_22. Jos valitaan väli negatiivisista luvuista, tulee käänteisfunktioksi formula_23. Muutkin kvadraattisen funktion käänteisfunktiot sisältävät neliöjuurifunktion.
Derivaatta ja integraali.
Toisen asteen polynomifunktion derivaattafunktio on formula_24. Derivaattafunktion nollakohta on aina samassa kohtaa kuvaajan huipun kanssa. Funktion toinen derivaatta on formula_25 ja kolmas derivaatta formula_26.
Sen integraalifunktio on formula_27, missä C on integraalivakio.
Funktion määrätty integraali
formula_28
voidaan laskea myös Simpsonin säännöllä tarkasti:
formula_29
Kvadraattinen muoto usean muuttujan tapauksissa.
Kahden muuttujan kvadraattinen funktio.
Kun funktio on määritelty formula_30
formula_31,
on kyseessä kahden muuttujan toisen asteen polynomifunktio. Tämän tapaisia funktioita käytetään kenttäteoriassa ja niiden kuvaajat ovat kaarevia pintoja kolmiulotteisessa avaruudessa eli tilassa. Asettamalla funktio formula_32 nollaksi, saadaan pinnan ja vaakatason formula_33 leikkauskuvio, joita kutsutaan toisen asteen käyriksi. Toinen yleinen nimitys näille on kartioleikkaus.