Holomorfinen funktio

Matematiikassa holomorfiset funktiot ovat kompleksianalyysin keskeinen tutkimuskohde. Holomorfinen funktio on yhden tai useamman muuttujan kompleksiarvoinen funktio, joka on kompleksisesti derivoituva jokaisen määrittelyjoukkonsa pisteen ympäristössä. 
Käsitettä analyyttinen funktio käytetään usein synonyyminä käsitteelle “holomorfinen funktio” 
, vaikka sanaa "analyyttinen" käytetään myös laajemmassa merkityksessä: se voi olla mikä tahansa funktio (reaalinen, kompleksinen tai vielä yleisempi tapaus), joka voidaan kehittää Taylorin sarjaksi jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä. Holomorfinen funktio on siis kompleksiarvoinen analyyttinen funktio.
Holomorfista funktiota, jonka määrittelyjoukko on koko kompleksitaso, kutsutaan kokonaiseksi funktioksi. Ilmaus "holomorfinen pisteessä "z"0" ei tarkoita vain derivoituvuutta pisteessä "z"0, vaan myös jossakin kompleksitasossa sijaitsevassa pisteen "z"0 ympäristössä.
Määritelmä.
Jos funktio "ƒ" on kompleksiarvoinen yhden (kompleksi)muuttujan funktio, sen derivaatta määrittelyjoukon pisteessä "z"0 määritellään raja-arvona
formula_1
Tämä on sama kuin derivaatan määritelmä reaalifunktioille, paitsi että kaikki muuttujan ja funktion arvot ovat kompleksilukuja. Erityisesti on huomattava, että raja-arvoa laskettaessa kompleksiluku "z" lähestyy kompleksilukua "z"0, ja raja-arvon on oltava sama riippumatta siitä, mistä kompleksitason suunnasta lukua "z"0 lähestytään. Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan, että "ƒ" on derivoituva pisteessä "z"0. Kompleksifunktion ja reaalifunktion derivaatoilla on useita yhteisiä ominaisuuksia: molemmat ovat lineaarisia, ja kummassakin tapauksessa tulon ja osamäärän derivointisäännöt sekä ketjusääntö vastaavat toisiaan.
Jos "ƒ" on kompleksisesti derivoituva "jokaisessa" alueen  "U" pisteessä "z"0 , sanotaan, että "ƒ" on "holomorfinen alueessa U". Jos "ƒ" puolestaan on holomorfinen jossakin pisteen  ympäristössä "z"0, sen sanotaan olevan holomorfinen pisteessä "z"0. Funktion "ƒ" sanotaan olevan holomorfinen ei-avoimessa joukossa "A", jos se on holomorfinen "A":n sisältävässä avoimessa joukossa.
Reaalisen ja kompleksisen derivoituvuuden välinen suhde voidaan esittää seuraavasti: Jos kompleksifunktio  = on holomorfinen, funktioilla "u" ja "v" on ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat "x":n ja "y":n suhteen. Nämä osittaisderivaatat toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt:
formula_2
Vaikka osittaisderivaatat toteuttaisivat Cauchyn-Riemannin yhtälöt, funktio ei automaattisesti ole holomorfinen, vaan tarvitaan lisätietoa joko funktion tai osittaisderivaattojen jatkuvuudesta. Yksinkertaisimmillaan voidaan osoittaa, että jos funktioilla "u" ja "v" on "jatkuvat" ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat, jotka toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt, "ƒ" on holomorfinen. Tyydyttävämpi lause, joka on vaikeampi todistaa, on Looman–Menchoffin lause: jos funktio "ƒ" on jatkuva ja funktioilla "u" ja "v" on ensimmäisen kertaluvun jatkuvat osittaisderivaatat, jotka toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt, "ƒ" on holomorfinen.
Terminologiaa.
Sanan "holomorfinen" ottivat käyttöön kaksi Cauchyn oppilasta, Briot (1817–1882) ja Bouquet (1819–1895). Sanan juuret ovat kreikan kielen sanoissa ὅλος ("holos"), joka tarkoittaa "kokonainen" ja μορφή ("morphē"), joka tarkoittaa "muoto".
Ominaisuuksia.
Koska kompleksifunktion derivointi on lineaarinen operaatio, ja funktioiden tulo ja osamäärä derivoidaan ja ketjusääntöä käytetään samoin kuin reaalifunktioiden tapauksessa, holomorfisten funktioiden summat, tulot ja yhdistetyt funktiot ovat holomorfisia, ja kahden holomorfisen funktion osamäärä on holomorfinen muualla paitsi nimittäjän nollakohdissa.
Cauchyn lauseen mukaan holomorfisen funktion polkuintegraali yhdesti yhtenäisessä alueessa suljetun polun yli on nolla. Sen käänteislause on Moreran lause: Jos jatkuvan funktion integraali yli suljetun polun on nolla, funktio on holomorfinen.
Holomorfisten funktioiden integraaleja voidaan laskea Cauchyn integraalikaavan avulla. Sen perusteella voidaan laskea avoimessa kiekossa määritellyn holomorfisen funktion arvot alueen sisäpisteissä, jos arvot alueen reunalla tunnetaan.
Integraalikaavaa voidaan soveltaa myös funktion derivaatalle, jolloin sitä voidaan kutsua Cauchyn derivointisäännöksi 
formula_3
Sääntö pätee mille tahansa suljetulle käyrälle, joka kierretään kertaalleen positiiviseen kiertosuuntaan pisteen formula_4 ympäri.
Kaava voidaan myös yleistää "n":nen kertaluvun derivaatalle. Jos siis holomorfisella funktiolla on ensimmäisen kertaluvun derivaatta, sillä on kaikkien kertalukujen derivaatat, siis
formula_5
Esimerkkejä.
Kaikki kompleksikertoimiset polynomifunktiot ovat holomorfisia kompleksilukujen joukossa, samoin 
sini, kosini ja eksponenttifunktio.
(Kompleksilukujen joukossa trigonometristen funktioiden ja eksponenttifunktion välillä on Eulerin kaavan mukainen yhteys.
Cauchy–Riemannin yhtälöiden seurauksena reaaliarvoisen holomorfisen funktion on oltava vakio. Siten mm."z":n reaaliosa ja imaginaariosa eivät ole holomorfisia. Toinen tyyppiesimerkki ei-holomorfisesta funktiosta on kompleksikonjugaatti.