Kulmakiihtyvyys

Kulmakiihtyvyys (tunnus formula_1) on suure, joka kuvaa ympyrä- tai pyörimisliikkeessä olevan kappaleen kulmanopeuden muutosta tietyssä ajassa. Kulmakiihtyvyys voidaan määritellä kulmanopeuden aikaderivaattana yhtälöllä
formula_2 
missä formula_3 on kulmanopeus ja formula_4 on aika.
Kulmakiihtyvyyden yksikkö on 
formula_5.
Kahdessa ulottuvuudessa kulmakiihtyvyys on kulmanopeuden tavoin pseudoskalaari. Sen etumerkki katsotaan positiiviseksi, jos vastapäivään kiertävän liikkeen kulmanopeus kasvaa tai myötäpäivään kiertävän pienenee, ja negatiiviseksi, jos myötäpäivään kiertävän liikkeen kulmanopeus kasvaa tai vastapäivään kiertävän pienenee.
Jos kulmanopeus on positiivinen, niin negatiivinen kulmakiihtyvyys tarkoittaa pyörimisliikkeen hidastumista. Tällöin suuri positiivinen kulmakiihtyvyys vastaa nopeaa kulmanopeuden kasvua. 
Tasaisesti kiihtyvän pyörimisliikkeen kulmanopeuden riippuvuutta ajasta esittää suora
formula_6, missä formula_7 on alkukulmanopeus ja formula_1 on pyörimisliikkeen kulmakiihtyvyys.
Kulmakiihtyvyys on kiertokulman formula_9 toinen derivaatta ajan suhteen.
Kulmakiihtyvyyttä vastaava suure suoraviivaisessa liikkeessä on kiihtyvyys.
Jäykän kappaleen kulmakiihtyvyyden aiheuttaa aina siihen kohdistuvan ulkoisen voiman momentti. Näin ei kuitenkaan välttämättä ole laita ei-jäykkien kappaleiden tapauksessa. Esimerkiksi taitoluistelija saa pyörimisnopeutensa kasvamaan ja siten saamaan kulmakiihtyvyyttä vain siirtämällä käsivartensa ja säärensä lähemmäksi toisiaan, mikä ei edellytä mitään "ulkoista" momenttia.
Massapisteen rataliikkeen kulmakiihtyvyys.
Hiukkanen kahdessa ulottuvuudessa.
Kahdessa ulottuvuudessa ratakulmakiihtyvyys ilmaisee, kuinka nopeasti kappaleen kaksiulotteinen ratakulmanopeus annetun pisteen, origon suhteen muuttuu ajan kuluessa. Kappaleen hetkellinen kulmanopeus "ω" kullakin hetkellä on 
 formula_10
missä formula_11 on etäisyys keskuksesta ja formula_12 kappaleen hetkellisen nopeuden sen paikkavektoriin nähden kohtisuora komponentti, joka tavallisesti katsotaan positiiviseksi vastapäivään ja negatiiviseksi myötäpäivään kiertävälle liikkeelle.
Näin ollen kappaleen hetkellinen kulmakiihtyvyys "α" on
 formula_13
Soveltamalla yhtälön oikeaan puoleen tulon derivoimissääntöä saadaan:
 formula_14
Siinä erikoistapauksessa, että kappale on ympyräliikkeessä origon ympäri, formula_15 on sama kuin sen ympyrän tangentin suuntainen kiihtyvyys formula_16, ja formula_17 häviää, koska sen etäisyys origosta pysyy vakiona, ja näin ollen yhtälö yksinkertaistuu muotoon.
 formula_18
Kahdessa ulottuvuudessa kulmakiihtyvyys on siis luku, jonka etumerkki ilmaisee kiertosuuunnan mutta jolla itsellään ei ole tiettyä suuntaa. Tavanomaisesti kulmakiihtyvyys katsotaan positiiviseksi, jos kulmanopeus kasvaa vastapäivään tai pienenee myötäpäivään kiertävässä liikkeessä, ja negatiiviseksi, jos kulmanopeus kasvaa myötäpäivään tai pienenee vastapäivään kiertävässä liikkeessä. Näin ollen kulmakiihtyvyys on on luonteeltaan pseudoskalaari , numeerinen suure, jonka etumerkki muuttuu peilikuvassa päinvastaiseksi.
Kappale kolmessa ulottuvuudessa.
Kolmessa ulottuvuudessa ratakulmakiihtyvyys ilmaisee, kuinka nopeasti kolmiulotteinen ratakulmanopeus muuttuu ajan kuluessa. Kappaleen hetkellinen kulmanopeus formula_19 kullakin hetkellä "t" on vektori
 formula_20
missä formula_21 on kappaleen paikkavektori, formula_11 sen etäisyys origosta ja formula_23 sen nopeusvektori.
Näin ollen kappaleen hetkellinen kulmakiihtyvyys formula_24 määritellään seuraavasti:
 formula_25
Soveltamalla yhtälön oikeaan puoleen ristitulon ja osamäärän derivoimissääntöjä saadaan:t
 formula_26
Koska formula_27 on sama kuin formula_28, jälkimmäinen termi voidaan kirjoittaa yös muotoon formula_29. Mikäli kappaleen etäisyys origosta formula_11 pysyy vakiona, kuten on laita esimerkiksi ympyräliikkeessä mutta myös muunlaisessa pallon pinnalla tapahtuvasaa liikkeessä, tämän lausekkeen jälkimmäinen termi häviää ja yhtälö yksinkertaistuu muotoon
 formula_31
Tästä saadaan sädettä vastaan kohtisuoralle kiihtyvyydelle tässä erikoistapauksessa lauseke:
 formula_32
Toisin kuin kahdessa ulottuvuudessa, kolmessa ulottuvuudessa nollasta poikkeava kulmakiihtyvyys ei välttämättä edellytä, että myös kulmanopeuden itseisarvo formula_33 muuttuu ajan kuluessa. Jos kappaleen paikka "kiertyy" avaruudessa siten, ettei se pysy samassa tasossa, sen kumanopeuden formula_34 "suunnan" muutokset saavat aikaan nollasta poikkeavan kulmakiihtyvyyden. Tämä ei ole mahdollista, jos kappale pysyy jatkuvasti samassa tasossa, sillä tällöin kulmanopeuden suunta ei muutu vaan se on koko ajan kohtisuorassa tähän tasoon nähden.
Kulmakiihtyvyysvektori on oikeammin sanottuna pseudovektori. Sen samoin kuin kulmanopeusvektorinkin suunta on määritelty oikean käden säännön mukaisesti: jos kiertoliike tapahtuu nyrkkiin puristetun oikean käden sormien suuntaisesti, sen ojennettu peukalo osoittaa kulmanopeusvektorin suunnan. Pseudovektoreilla on kolme komponenttia, jotka rotaatiossa muuttuvat samaan tapaan kuin pisteen karteesiset koordinaatit, mutta peilikuvassa ne käyttäytyvät toisin.
Kulmakiihtyvyys ja momentti.
Pistemäiseen kappaleeseen kohdistuva "momentti" määritellään pseudovektorina
 formula_35
missä formula_36 on kappaleeseen vaikuttava nettovoima
Momentti on voiman analoginen vastine liikkeessä: se aiheuttaa muutoksen systeemin pyörimisliikkeeseen, samaan tapaan kuin voima aiheuttaa muutoksen sen siirtoliikkeeseen. Kuten kappaleeseen vaikuttavan voiman ja sen saaman kiihtyvyyden välillä on yhteys formula_37, on myös kappaleeseen kohdistuvan momentin ja sen saaman kulmakiihtyvyyden välillä vastaava yhteys, joskin monimutkaisempi.
Jos ensinnäkin yhtälössä formula_38 voima korvataan momentilla, saadaan
 formula_39
Edellisestä kappaleesta saadaan
 formula_40
missä formula_41 on kappaleen ratakulmakiihtyvyys ja formula_34 sen ratakulmanopeus. Näin ollen
 formula_43
Siinä erikoistapauksessa, että kappaleen etäisyys formula_11 origosta pysyy vakiona (eli (formula_45), yhtälön jälkimmäinen termi häviää ja yhtälö yksinkertaistuu muotoon
 formula_46
mikä voidaan tulkita pyörimisliikettä koskevaksi analogiaksi yhtälölle formula_38, missä suureella formula_48 eli kappaleen hitausmomentilla on vastaava merkitys kuin massalla formula_49 etenemisliikkeessä. Tämä yhtälö ei kuitenkaan päde kaikilla mahdollisilla liikeradoilla, vaan ainoastaan sellaisilla, joissa kappale pysyy koko ajan saman origokeskeisen pallon pinnalla.
Lähteet.