Wienin siirtymälaki

Wienin siirtymälaki on fysiikan laki, jonka mukaan mustan kappaleen säteilyn spektrin huippua vastaava aallonpituus formula_1 on kääntäen verrannollinen kappaleen lämpötilaan: 
formula_2
missä formula_3 on kappaleen lämpötila kelvineinä (K) ja formula_1 on spektrin huippua vastaava aallonpituus metreinä. Verrannollisuuskerroin "b" = 0,002898 m K on luonnonvakio, joka voidaan esittää myös muodossa 0,29 cm K.
Wienin siirtymälain johti teoreettisesti Wilhelm Wien vuonna 1894. Wien tarkasteli mustan kappaleen tilavuuden adiabaattista muutosta ja päätteli, että säteilyn spektraalisen energiatiheyden täytyy olla muotoa
formula_5
missä "f" on universaali, järjestelmän ominaisuuksista riippumaton funktio. Tämä tulos on Wienin siirtymälain vahva muoto. Heikko muoto on spektrihuipun aallonpituuden lämpötilariippuvuutta koskeva laki, joka voidaan johtaa vahvasta muodosta. Wienin siirtymälaki voidaan johtaa Planckin säteilylaista.
Siirtymälain pohjalta Wilhelm Wien esitti 1896, että mustan kappaleen säteily noudattaa Wienin säteilylakina tunnettua muotoa, joka voidaan nykyaikaisin merkinnöin kirjoittaa muodossa
formula_6
Tämä laki vastaa Planckin lain mukaista todellista jakaumaa korkeilla taajuuksilla.
Esimerkkejä.
Periaatteessa mitä kuumempi kappale on, sitä lyhyempi on aallonpituus, jolla se lähettää eniten säteilyä. Esimerkiksi Auringon pintalämpötila on 5780 K, jolloin huippu on noin 500 nm:n kohdalla. Tämä aallonpituus on lähellä näkyvän valon spektrin keskialuetta. Koska säteilyn spektri on huipun ympäristössä melko laakea, auringon säteilemän valon spektri on koko silmälle näkyvän valon alueella melko tasainen, ja auringon valo on siksi valkoista. (Valon kulkiessa ilmakehän läpi siitä kuitenkin siroaa pois sinistä valoa, minkä vuoksi suoraan auringosta tuleva valo on kellertävää ja ilmakehästä päivällä siroava auringon valo värjää taivaan siniseksi.) 
Hehkulampussa on hehkuva lanka, jonka lämpötila on Auringon pintalämpötilaa huomattavasti matalampi. Siksi hehkulampun säteilyssä on enemmän pitkäaaltoista punaista valoa kuin lyhytaaltoista sinistä valoa ja lampun valo vaikuttaa keltaiselta. Jos hehkulangan lämpötilaa edelleen lasketaan, säteilyn painopiste siirtyy yhä enemmän punaista kohti. Samoin käy hiilloksen hiipuessa.
Huoneenlämmössä olevan kappaleen lähettämä lämpösäteily on käytännöllisesti katsoen kokonaan näkymätöntä infrapunasäteilyä, jonka aallonpituus on suurempi kuin näkyvän valon. Mutta kun metallikappaletta tarpeeksi kuumennetaan esimerkiksi puhalluslampun avulla, se tulee ensin punahehkuiseksi, koska punainen vastaa näkyvän valon pitkäaaltoisinta osuutta. Kappaletta edelleen kuumennettaessa sen lähettämä valo muuttuu oranssinpunaiseksi, ja hyvin korkeissa lämpötiloissa kappale tulee valkohehkuiseksi, kun se alkaa lähettää kaikkia näkyvän valon taajuuksia. Mutta vaikka infrapunasäteily onkin näkymätöntä, jo ennen punahehkua sen voi aistia sen lämmittävän vaikutuksen vuoksi.
Kaikissa tähdissä aallonpituusjakauman huippu ei kuitenkaan ole näkyvän valon alueella. Esimerkiksi Orionin tähdistössä sijaitsevan kuuman superjättiläisen Rigenin säteilystä 60 % on ultraviolettia, kun taas samassa tähdistössä olevan viileän jättiläistähden Betelgeusen säteilystä 85 % on infrapunaista. Silti nämä molemmat lähettävät näkyvääkin valoa niin paljon, että ne kuuluvat taivaan kirkkaimpiin. Sinertävä Rigel ("T" = 12100 K) eroaa kuitenkin väriltään selvästi punaisesta Betelgeusesta ("T" ≈ 3300 K).
Vain harvat tähdet ovat yhtä kuumia kuin Rigel, mutta varsin monien tähtien lämpötila on samaa luokkaa kuin Betelgeusen ja siis selvästi alempi kuin Auringon. Värinsä ja siten lämpötilansa perusteella tähdet jaetaan spektriluokkiin.
Ihmisen ihon lämpötila on noin 310 K, joten sen lämpösäteilyn aallonpituus on noin 10 μm, kaukana näkyvän valon alueen ulkopuolella. Sen vuoksi ihmisten jäljittämiseen käytettyjen lämpökameroiden on oltava herkkiä tämän aallonpituusalueen infrapunasäteilylle.
Johto Planckin laista.
Wienin siirtymälaki voidaan johtaa Planckin laista, jonka avulla voidaan myös johtaa arvo Wienin laissa olevalle kertoimelle "b". Tavallisesti säteilytehon jakauma ilmaistaan aallonpituuden funktiona. Tällöin Planckin lain mukaan lämpötilassa "T" olevan mustan kappaleen lähettämä säteilyteho säteilevää pinta-ala-, avaruuskulma- ja aallonpituusyksikköä kohti aallonpituuden formula_7 kohdalla on 
formula_8,
missä "h" on Planckin vakio, "c" valonnopeus ja "k" Boltzmannin vakio.
Tämä saa suurimman arvonsa kohdassa, jossa tämän funktion derivaatta on nolla. Täten saadaan:
formula_9
mikä voidaan yksinkertaistaa muotoon
formula_10
Määrittelemällä
formula_11
tästä saadaan yhden muuttujan "x" yhtälö
formula_12
joka on yhtäpitävä yhtälön
formula_13
kanssa.
Yhtälön ratkaisu on 
formula_14
missä formula_15 on Lambertin "W"-funktion päähaara, ja sen arvoksi saadaan "x" = 4,965114231744276303... . Kun tästä ratkaistaan aallonppituus "λ" millimetreinä ja lämpötila ilmaistaan kelvineinä, saadaan:
formula_16 μmK/T.
Parameterisointi taajuuden mukaan.
Edellä säteilyn jakauma on parametroitu aallonpituuden mukaan. Yhtä hyvin se voidaan kuitenkin parametroida myös taajuuden mukaan. Tällöin Planckin laki on esitettävä muodossa, joka esittää säteilytehon taajuuden ν funktiona:
formula_17
Samaan tapaan kuin edellä tästä saadaan:
formula_18
ja lopulta
formula_19
Tämäkin voidaan samaan tapaan kuin edellä ratkaista Lambertin "W"-funktion avulla: Muuttujan "x" arvoksi saadaan
formula_20
eli "x" = 2.821439372122078893...
Kun tästä ratkaistaan taajuus ν, saadaan:
formula_21 THz/K.
Maksimikohdan riippuvuus parametroinnista.
On huomattava, että samassakin lämpötilassa säteilytehon maksimikohdalle saadaan kaksi eri tulosta riippuen siitä, parametroidaanko säteily taajuuden vai aallonpituuden mukaan.
Esimerkiksi lämpötilassa "T" = 6000 K saadaan aallonpituuden mukaan parametroitaessa maksimikohdaksi aallonpituus "λ" = 482.962 nm, jota vastaava taajuus (formula_22 on ν = 620,737 THz}}. Samassa lämpötilassa saadaan kuitenkin taajuuden mukaan parametrisoitaessa maksimikohdaksi aallonpituus 352,735 THz, jota vastaava aallonpituus on 849,907 nm.
Selitys tähän näennäiseen ristiriitaan on, että Planckin lain mukaiset funktiot ovat säteilyn "tiheysfunktioita", jotka on skaalattu niin, että tulokset saadaan radianssin yksikköinä. Nämä tiheysfunktiot voivat olla eri muotoisia eri parametrisoinneilla, mikä riippuu siitä, minkä verran kaavio mistäkin kohdasta venyy tai kutistuu siirryttäessä parametroinnista toiseen. Koska säteilyn taajuus ja aallonpituus ovat toisiinsa kääntäen verrannollisia, ei yhtä suurta aallonpituuden muutosta vastaa kaikilla aallonpituuksilla yhtä suuri taajuuden muutos. 
Kappaleen kokonaisradianssi on jakauman integraali kaikkien positiivisten arvojen yli, ja se on samassa lämpötilassa yhtä suuri kaikilla parametroinneilla. Lisäksi samassa lämpötilassa sellaisten fotonien lukumäärä, joiden aallonpituus on jollakin tietyllä välillä, on parametroinnista riippumaton. Tämä merkitsee, että aallonpituuden mukaan parametroidun jakauman integraali aallonpituuden arvosta "λ"1 arvoon "λ"2 on yhtä suuri kuin taajuuden mukaan parametroidun jakauman integraali taajuuden arvosta ν1 = c / "λ"1 arvoon ν2 = c / "λ"2. Jakauman "muoto" kuitenkin riippuu parametroinnista, ja kuten edellä olevat laskelmat osoittavat, myös jakauman huippukohta riippuu käytetystä parametroinnista.
Yhtälön formula_23 määrittämää implisiittifunktiota käyttämällä saadaan säteilyn jakauma, kun parametrina käytetään radianssia "suhteellista kaistanleveyttä kohti". (Tällaisen taajuuskaistan leveys on verrannollinen taajuuteen itseensä, ja tämä vastaa sitä, että taajuuden taajuuden ν tai aallonpituuden λ sijasta säteilyteho esitetäänkin jommankumman logaritmien formula_24 tai formula_25 funktiona. Tämä onkin mahdollisesti luonnollisin tapa esittää säteilyn jakauman maksimikohta. Jos näin menetellään, edellä esitettyjen laskujen muuttujaa "x" vastaava arvo on "x" = 3.920690394872886343...
Oleellista Wienin laissa kuitenkin on, että parametroitiinpa säteilyteho aallonpituuden, taajuuden tai minkä tahansa niistä riippuvan tekijän suhteen tahansa, säteilyn aallonpituuden mediaani on kääntäen verrannollinen lämpötilaan.