Kertymäfunktio

Kertymäfunktio eli jakaumafunktio (, cdf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä reaaliarvoisen satunnaismuuttujan todennäköisyyden jakautumista kuvaava funktio. Kertymäfunktion formula_1 arvot ovat todennäköisyyksiä tapahtumissa, jossa satunnaismuuttuja formula_2 saa reuna-arvon formula_3 tai sitä pienempiä arvoja eli formula_4. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kertymäfunktio määritellään tiheysfunktion määrätyn integraalin avulla ja diskreetillä satunnaismuuttujalla pistetodennäköisyyksien summana. Kertymäfunktio on aina oikealta jatkuva, vaikka tiheysfunktio tai pistetodennäköisyysfunktio olisi epäjatkuva. 
Määritelmä.
Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään
formula_5 
missä formula_6 on pistetodennäköisyysfunktion arvo ylärajaa formula_3 pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.
Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään määrättynä integraalina ylärajan formula_3 suhteen
formula_9 
missä formula_10 on satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Tiheysfunktiota havainnollistetaan ajattelemalla sen arvoja "todennäköisyysmassan" korkeutena, missä suuri arvo merkitsee yleistä satunnaismuuttujan arvoa. Kertymäfunktion tapauksessa voidaan edelleen ajatella, että sen arvo tarkoittaisi "todennäköisyysmassan" kokonaismäärää formula_11 kohdassa formula_12 ja sitä pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.
Jos tiheysfunktio on jatkuva, saadaan se myös derivoimalla kertymäfunktio muuttujan suhteen
formula_13 
Merkintöjä.
Jos halutaan korostaa kertymäfunktion satunnaismuuttujaa, merkitään satunnaismuuttuja usein alaindeksiksi formula_14 ja formula_15 Toisinaan merkitään kertymäfunktio kreikkalaisella aakkosella formula_16 (lue: "fii"), jos tiheysfunktio on ollut formula_17 (pieni kirjain).
Esimerkkejä.
Diskreetti satunnaismuuttuja.
Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktiolla saa 10 nollasta eroavaa arvoa
formula_18
kun formula_19 jotka ovat yhtä suuret eli formula_20 Kertymäfunktio saadaan arvoa "x" pienempien kohtien todennäköisyyksien summasta eli
formula_21 
Tämän porrasfunktion arvot ovat oikealta jatkuvia ja sen kuvaaja on esitetty alla.
Jatkuva satunnaismuuttuja.
Tasaisen jakauman tiheysfunktio välillä [a,b] on 
formula_22 
ja sen kertymäfunktioksi saadaan
formula_23 
Sen kuvaaja on alla.
Ominaisuuksia.
Funktiona.
Kertymäfunktio on kuvaus reaaliluvuilta välille formula_24, eli
formula_25 
Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on jatkuva funktio. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on oikealta jatkuva porrasfunktio. Jatkuvuudesta seuraa ominaisuus
formula_26
Koska kertymäfunktion arvot ovat tapahtumien todennäköisyyksiä, saa se vain arvoja väliltä
formula_27 
Kertymäfunktio on lisäksi monotoninen funktio, joka on ei-vähenevä eli 
formula_28 kun on formula_29. 
Tämän vuoksi kertymäfunktio kasvaa lopulta täyteen arvoonsa, kun ylärajaa kasvatetaan riittävästi
formula_30 
Kertymäfunktio alkaa nollasta jostakin arvosta "a" lähtien. Jos satunnaismuuttuja arvoalue on äärettömän laaja, voidaan tämä ilmaista
formula_31 
Todennäköisyyksinä.
Edellä esitelty määritelmä on eräs tapa ilmaista tapahtuma, jossa todennäköisyys lasketaan käyttämällä satunnaismuuttujan ylärajana formula_3 eli
formula_33
Voidaan osoittaa, että sillä voidaan laskea kaikki sellaiset todennäköisyydet, jossa tapahtumat ovat välejä. Esimerkiksi, koska mielivaltaiselle satunnaismuuttujan arvolle formula_12 pätee
formula_35 
voidaan "vastatapahtuman todennäköisyys" laskea
formula_36 
Toisaalta, koska mielivaltaisille satunnaismuuttujan arvoille formula_12 ja formula_38 pätee
formula_39 todennäköisyys" laskea
&lt;math&gt;P(a\le X \le b)=P(X\le b)-P(X 
Jos kertymäfunktio olisi määritelty toisella tavalla, olisi siihenkin voitu johtaa kaikkien muidenkin välien todennäköisyydet.