Integrointi moniulotteisessa avaruudessa

Integrointi moniulotteisessa avaruudessa tarkoittaa kahden tai useamman muuttujan reaaliarvoisten funktioiden määrätyn integraalin selvittämistä. Moniulotteisen avaruuden määrättyjä integraaleja kutsutaan moninkertaisiksi integraaleiksi, ja niiden määrittäminen perustuu yhden muuttujan määrättyjen integraalien määrittämiseen toistuvasti.
Kaksiulotteisen avaruuden formula_1 osajoukoissa määriteltyjen funktioiden formula_2 integraaleja kutsutaan "kaksinkertaisiksi integraaleiksi" ja kolmiulotteisen avaruuden formula_3 osajoukoissa määriteltyjen funktioiden formula_4 integraaleja vastaavasti "kolminkertaisiksi integraaleiksi". Yksinkertaisin moniulotteisessa avaruudessa integroinnin sovellus on kolmiulotteisen alueen tilavuuden määrittäminen kaksinkertaisen integraalin avulla.
Merkintätavoista.
Tavanomaista, välillä formula_5 määritellyn, yhden muuttujan funktion määrättyä integraalia merkitään yleisesti:
formula_6.
Moniulotteisten avaruuksien integraaleissa merkinnät ovat samankaltaisia. Toisaalta eri lähteissä moninkertaisia integraaleja merkitään eri tavoin. Kahden muuttujan funktion formula_2 integraalia yli tason formula_8 (merkinnästä formula_1 ks. karteesinen tulo) merkitään kaksinkertaisella integraalimerkillä:
formula_10.
Vastaavasti kolmen muuttujan funktion formula_4 integraalia yli avaruuden formula_12 merkitään kolminkertaisella integraalimerkillä:
formula_13.
Useamman kuin kolmen muuttujan funktion integraaleille toistuvia integraalimerkkejä ei enää tilan säästämisen vuoksi käytetä (vrt. moninkertaisten derivaattojen merkintä). Sen sijaan avaruudessa formula_14, missä formula_15, formula_16, määritellyn funktion formula_17 integraalissa käytetään eri lyhennysmerkintöjä:
formula_18,
formula_19.
Joskus kaksin-, kolmin- tai useammankertaista integraalia merkitään myös yksinkertaisella integraalimerkillä (jolloin integraalissa esiintyvän avaruuden ulottuvuus on selvitettävä kontekstista):
formula_20,formula_21 tai formula_22, 
missä kahdessa viimeisessä käytetään merkintää formula_23. Kummallakin merkintätavalla on omat hyvät ja huonot puolensa, ja kumpaankin käytetään yleisesti.
Määritelmä.
Kaksinkertaisen integraalin määritelmä esitetään (yksinkertaisuutensa ja helpommin hahmotettavuutensa takia) siten, kuin se on esitetty lähteessä . Useamman muuttujan funktioiden integrointi määritellään yleisemmin, kuten se on tehty lähteessä . Nämä kaksi määritelmää eivät ole ristiriidassa keskenään.
Kaksinkertainen integraali.
Olkoon formula_8 suljettu suorakulmio, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja formula_25 rajoitettu kuvaus. Jos formula_26:hen kuuluvat kaikki pisteet formula_27 siten, että formula_28 ja formula_29, niin formula_26:hen voidaan määritellä ositus formula_31 siten, että
formula_32
Ositus formula_31 koostuu formula_34:stä suorakulmiosta formula_35, missä formula_36 ja formula_37, jotka edelleen koostuvat pisteistä formula_27, missä formula_39 ja formula_40. Suorakulmion formula_35 pinta-ala on
formula_42
ja sen lävistäjän pituus on Pythagoraan lauseen nojalla
formula_43.
Määritellään osituksen formula_31 suurimman suorakulmion lävistäjän pituus osituksen normiksi:
formula_45.
Valitaan jokaisesta suorakulmiosta formula_35 mielivaltainen piste formula_47 ja muodostetaan niiden avulla kaksiulotteinen Riemannin summa:
formula_48.
Riemannin summan jokainen termi kuvaa sellaisen suorakulmaisen laatikon tilavuutta, jonka pohja on suorakulmio formula_35 ja korkeus on funktion formula_50 arvo pisteessä formula_47 (siis mikäli formula_52). Näin ollen positiivisille funktioille Riemannin summa approksimoi suorakulmion formula_26 ja funktion formula_50 kuvaajan väliin jäävän avaruuden tilavuutta. Kun laatikoiden lukumäärää kasvatetaan ja vastaavasti pinta-aloja formula_55 pienennetään (jolloin jaon normi formula_56 pienee), muuttuu approksimaatio yhä tarkemmaksi. Kaksinkertaisen integraalin määritelmä perustuukin siihen, että formula_57. Lopullinen määritelmä kuuluu:
Funktio formula_25 on integroituva suorakulmion formula_26 yli ja sillä on kaksinkertainen integraali
formula_60,
jos "kaikilla formula_61" on olemassa ("formula_62":sta riippuva) luku "formula_63" siten, että ehto
formula_64
pätee kaikille formula_26:n osituksille formula_31, joille formula_67 sekä kaikkien osajoukkojen formula_35 kaikissa pisteissä formula_47.
Merkintä formula_70 tarkoittaa differentiaalista pinta-alaelementtiä, joka on eräs esitystapa pinta-alan formula_71 raja-arvolle. Pinta-alaelementti voidaan kirjoittaa muodossa
formula_72,
mistä on erityistä hyötyä myöhemmin, kun integraaleja lasketaan iteroimalla.
Kolmin- tai useammankertainen integraali.
Olkoon formula_15, formula_74. Joukkoformula_75on avaruuden formula_76 kompakti väli (nk. hypersuorakulmio). Olkoon lisäksi formula_77 rajoitettu funktio. Jos formula_78, niin välin formula_79 jako formula_80 on: 
formula_81. 
Ts. väli formula_79 voidaan esittää formula_83:n eri osavälin (joista osa voi olla myös surkastunut pisteeksi) formula_84 unioinina. Jos jokaiselle formula_78 on olemassa välin formula_79 jako formula_80, niin joukon formula_88 jako on: 
formula_89. 
Jako formula_31 määrää formula_91 kappaletta kompakteja jakovälejä formula_92, jotka osittavat välin formula_88. Merkitään mielivaltaista joukon formula_88 pistettä formula_95 sekä kaikilla formula_96: 
formula_97 ja 
formula_98 
(ks. infimum ja supremum). Määritellään näiden avulla jakoon formula_31 liittyvä "alasumma" kaavalla 
formula_100 
ja vastaavasti jakoon formula_31 liittyvä "yläsumma" kaavalla 
formula_102. 
Joukolle formula_88 voidaan asettaa useita eri ala- ja yläsummia riippuen siitä, millä tavalla (ja kuinka monilla osaväleillä) jako formula_31 tehdään. Jos jakopisteitä lisätään, ei yläsumma kasva eikä alasumma pienene. Näin ollen, jos formula_31 on välin formula_88 jako, formula_107 on formula_31:n alajako (jako, joka sisältää (vähintään) kaikki jaon formula_31 jakopisteet) ja formula_110 on kummankin edellisen jaon alajako, niin: 
formula_111 
Tästä seuraa edelleen, että alasummien joukon supremum on korkeintaan yläsummien joukon infimum. Näin ollen, jos formula_31 on joukon formula_88 mielivaltainen jako, niin aina 
formula_114. 
Tällöin funktio formula_77 on (Riemann-)integroituva (joukossa formula_88 tai joukon formula_88 yli), jos 
formula_118. 
Tämä määritelmä yhtyy kaksinkertaisen integraalin määritelmään seuraavasti: Olkoon formula_119, formula_120 ja formula_77 on rajoitettu funktio. Tällöin funktio formula_50 on integroituva, jos ja vain, jos "kaikilla" "formula_61 "on olemassa välin formula_88 jako formula_31 siten, että 
formula_126. 
Integrointi yleisen joukon yli.
Yleisesti ottaen joukko, jonka yli integrointi suoritetaan, ei välttämättä ole suorakulmio (tai hypersuorakulmio). Tällöin integrointialuetta voidaan yksinkertaistaa laajentamalla sitä siten, että uusi integrointialue on sellainen (hyper-)suorakulmio, joka sisältää alkuperäisen integrointialueen sekä määrittelemällä integroitava funktio paloittain. Oletetaan nyt, että formula_119 on hypersuorakulmio. Olkoon lisäksi integrointialue formula_128 ja funktio formula_129 rajoitettu. Määritellään funktio formula_130 siten, että:
formula_131 
Jos formula_132 on integroituva yli formula_88:n, niin myös funktio formula_50 on integroituva yli formula_135:n ja: 
formula_136.
Integraalin arvo ei riipu joukon formula_88 valinnasta, kunhan formula_128. 
Moninkertaisten integraalien ominaisuuksia.
Olkoon seuraavassa formula_15, formula_14, formula_141, funktiot formula_50 ja formula_143 integroituvia funktioita joukossa formula_135 sekä formula_145 ja formula_146 vakioita. Seuraavat ominaisuudet pätevät moniulotteisille integraaleille:
Integrointimenetelmiä.
Symmetrioiden käyttö.
Kaksin- ja kolminkertaisia integraaleja voidaan käyttää erityisesti pinta-alojen ja tilavuuksien määrittämiseen. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää myös toisin päin: jos tiedetään integrointialueen pinta-ala tai tilavuus, voidaan integrointia helpottaa tai jopa jättää kokonaan pois. Vastaavasti voidaan käyttää integroitavan funktion symmetriaominaisuuksia, kuten parillisuutta ja parittomuutta.
Esimerkki 1.
Olkoon integrointialue formula_8 suorakulmio formula_168, formula_169. Tällöin
formula_170
Esimerkki 2.
Määritetään integraalin formula_171 arvo. Ensimmäiseksi havaitaan, että integrointialue on formula_172-tason origokeskinen yksikkökiekko (symmetrinen origon suhteen). Integraali voidaan jakaa kolmeksi eri integraaliksi:
formula_173
Koska integrointialue on origon suhteen symmetrinen ja funktio formula_174 on pariton funktio, niin kuvaajan ja formula_172-tason väliin jäävä tilavuus on yhtä suuri alueissa formula_176 ja formula_177. Parittomuudesta johtuen nämä tilavuudet kumoavat toisensa, jolloin formula_178. Vastaavasti, funktio formula_179 on myös pariton, joten formula_180. Näin ollen
formula_181
Iterointi.
Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Sanotaan, että integrointialue formula_8 on
Oletetaan esimerkiksi, että integrointialue formula_26 on säännöllinen formula_183-suunnassa ja sitä rajoittavat suorat formula_184 ja formula_185 sekä käyrät formula_197 ja formula_198 siten, että formula_199 kaikilla formula_28. Funktion formula_201 kuvaajan ja formula_172-tason väliin jäävä avaruus voidaan "viipaloida" formula_203-tason suuntaisilla tasoilla (joissa siis formula_204) pitkin formula_188-akselia. Tällaisen tason pinta-ala saadaan yksiulotteisella määrätyllä integraalilla:
formula_206.
Tällöin kaksinertainen integraali formula_207 saadaan summaamalla differentiaalisen paksujen viipaleiden (pinta-ala formula_208 ja paksuus formula_209) tilavuudet suorien formula_184 ja formula_185 välillä:
formula_212.
Samaa integraalia voidaan merkitä myös:
formula_213 tai
formula_214.
Näin päästään kaksinkertaisten integraalien määrittämiseen iteroimalla:
Jos formula_215 on rajoitettu ja säännöllinen formula_183-suunnassa (formula_217, formula_218) sekä formula_219 on jatkuva funktio, niin
formula_220.
Jos formula_215 on rajoitettu ja säännöllinen formula_188-suunnassa (formula_223, formula_224) sekä formula_219 on jatkuva funktio, niin
formula_226.
Esimerkki 3.
formula_8 on neliö, jonka määrittelevät rajat formula_228 ja formula_229. Määritetään neliön formula_26 ja tason formula_231 väliin jäävän avaruuden tilavuus. Integrointialue formula_26 on säännöllinen sekä formula_188- että formula_183-suunnissa, joten iterointi voidaan suorittaa kummassa järjestyksessä tahansa.
Esimerkki 3a:.
Integroidaan ensin formula_188- ja sitten formula_183-suunnassa. Integroitaessa formula_188-suunnassa muuttujaa formula_183 kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön formula_26 rajoittaman kappaleen tilavuus on:
formula_240
Esimerkki 3b:.
Integroidaan ensin formula_183- ja sitten formula_188-suunnassa. Integroitaessa formula_183-suunnassa muuttujaa formula_188 kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön formula_26 rajoittaman kappaleen tilavuus on:
formula_246
Esimerkki 4.
Ratkaistaan itegraali formula_247, missä aluetta formula_8 rajaavat suorat formula_249 ja formula_250 sekä käyrä formula_251 (tai formula_252). Alue formula_26 on säännöllinen sekä formula_188- että formula_183-suunnissa. Koska funktiolle formula_256, formula_257 ei voi kirjoittaa antiderivaattaa, täytyy iterointi suorittaa siten, että ensin integroidaan formula_188-suunnassa:
formula_259
Esimerkki 5.
Olkoon formula_260 suorakulmainen laatikko siten, että formula_261, formula_262 ja formula_263, missä formula_264, formula_265 ja formula_266 ovat positiivisia vakioita. Ratkaistaan integraali formula_267. Avaruus formula_135 "viipaloidaan" nyt (esimerkiksi) formula_172-tason suuntaisilla tasoilla, jolloin ensimmäisenä integroidaan muuttujan formula_270 suhteen. Nämä "viipaleet" ovat suorakulmioita, joten integrointi niiden yli voidaan myös suorittaa iteroimalla kummassa järjestyksessä tahansa:
formula_271
Muuttujanvaihto.
Kuten yksiulotteisessa tapauksessa, myös moniulotteisen integraalin selvittämistä voidaan tuntuvasti helpottaa muuttujan­vaihdolla. Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Joskus integraalin tai integrointialueen kannalta on luontevampaa käyttää karteesisten koordinaattien formula_188 ja formula_183 sijaan muita koordinaattijärjestelmiä. Oletetaan, että muuttujat formula_188 ja formula_183 voidaan esittää kahden muun muuttujan, formula_276 ja formula_277, funktioina:
formula_278
Tätä funktioparia sanotaan koordinaatistomuunnokseksi formula_279-tason osajoukolta formula_26 formula_172-tason osajoukolle formula_282. Muunnoksen täytyy olla injektio, jotta integrointi muuttujanvaihdolla onnistuisi. Tällöin on olemassa käänteismuunnos
formula_283
joukolta formula_282 joukolle formula_26. Jos funktioilla formula_286 ja formula_287 on olemassa jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ja Jacobin determinantti
formula_288
pisteessä formula_289, niin myös käänteismuunnos on injektio pisteen formula_289 ympäristössä. Myös käänteismuunnoksella on olemassa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat ja nollasta eroava Jacobin determinantti, jolloin
formula_291
Koordinaatistomuunnoksessa joukolta formula_282 (formula_172-tasolta) joukolle formula_26 (formula_279-tasolle) integroitava funktio formula_296, formula_2 muuntuu funktioksi formula_298,
formula_299.
Osoittautuu, että Jacobin determinantin itseisarvo on eri koordinaatistoissa esitettyjen differentiaalisten pinta-alaelementtien suhde:
formula_300 
Tällöin kaksinkertainen integraali voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla (eli koordinaatistomuunnoksella): 
Olkoon formula_301 ja formula_302 injektioita formula_279-tason osajoukolta formula_26 formula_172-tason osajoukolle formula_282. Olkoon funktioilla formula_286 ja formula_287 olemassa joukossa formula_26 jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien formula_276 ja formula_277 suhteen. Jos funktio formula_2 on integroituva formula_282:ssä ja jos formula_314, niin: 
formula_315 
Kolminkertaisen integraalin ratkaiseminen muuttujanvaihdolla käy vastaavalla tavalla:
Olkoon formula_316, formula_317 ja formula_318 injektioita formula_319-avaruuden osajoukolta formula_26 formula_321-avaruuden osajoukolle formula_282. Olkoon funktioilla formula_323, formula_324 ja formula_325 olemassa joukossa formula_26 jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien formula_276, formula_277 ja formula_329 suhteen. Jos funktio formula_4 on integroituva formula_282:ssä ja jos formula_332, niin: 
formula_333
Tässä Jacobin determinatti on:
formula_334
Muuttujanvaihto yleistyy "n":lle muuttujalle:
Olkoon formula_335kuvaus avoimelta joukolta formula_336 avoimelle joukolle formula_337 siten, että Jacobin determinantti
formula_338.
Olkoon formula_339 rajoitettu formula_340:n osajoukko ja funktio formula_341 integroituva kuvajoukossa formula_342. Tällöin funktio
formula_343
on integroituva formula_339:ssä ja
formula_345.
Esimerkki 6.
Eräs käytännöllinen koordinaatistomuunnos kahdessa ulottuvuudessa on vaihtaa karteesiset koordinaatit napakoordinaateiksi:
formula_346
missä formula_347 ja formula_348 (radiaaneina). Tämän koordinaatistomuunnoksen Jacobin determinantti on
formula_349.
Koordinaatistomuunnos on siis injektio kaikkialla paitsi origossa.
Ratkaistaan integraali formula_350, missä integrointialue formula_282 on formula_188-akselin ja suoran formula_353 väliin jäävä osa ympyrärenkaasta formula_354
Karteesisissa koordinaateissa integrointialue on osa origokeskistä ympyrärengasta, jonka sisäsäde on formula_355 ja ulkosäde formula_356 ja jota raoittavat suorat formula_357 ja formula_358. Napakoordinaateissa nämä rajat ovat vastaavasti formula_359 ja formula_360. Integraali on tällöin:
formula_361
missä käytettiin tietoa formula_362.
Esimerkki 7.
Määritetään ellipsoidin formula_363 tilavuus, kun formula_363:n määrittelee yhtälö
formula_365,
missä formula_355, formula_367 ja formula_368 ovat vakioita. Käytetään muuttujanvaihtoa
formula_369
jolloin ellipsoidi formula_363 kuvautuu yksikköpalloksi formula_371, jossa
formula_372.
Jacobin determinantti tälle koordinaatistomuunnokselle on:
formula_373
Tällöin ellipsoidin formula_363 tilavuus on (ks. ellipsoidin tilavuus ja pallon tilavuus):
formula_375
Tässä esimerkissä sovellettiin sekä symmetrioiden käyttöä, että muuttujanvaihtoa.
Käytännön sovelluksia.
formula_379
formula_381,
missä formula_382 on kappaleen tiheys pisteessä formula_383.
formula_389
formula_393
missä formula_394 on kappaleen kokonaismassa. Vektorimuodossa kappaleen massakeskipisteen paikkavektori formula_395 on
formula_396,
missä formula_397.
formula_401,
missä formula_402 on differentiaalisen massaelementin formula_403 etäisyys pyörimisakselista formula_400.
formula_408.