Painopiste (geometria)

Geometrisellä painopisteellä tarkoitetaan tasokuvion tai avaruuskappaleen tasapainokohtaa, jossa se olisi fysikaalisena esineenä tasapainossa fysikaalisen painopisteensä suhteen. Luonnollisten kappaleiden painopisteiden määritykseen käytetään kokeellisia menetelmiä, kuten esimerkiksi "painopistevaakaa", mutta yksinkertaisten ja säännöllisten kuvioiden painopisteen etsimiseen käytetään geometrian keinoja. Perusajatus on, että geometriset kuviot ovat ideaaleja ja muistuttavat todellisia materiaaliltaan homogeenisia kappaleita.
Tasainen painovoima vaikuttaa painopisteeseen kuin sen koko massa olisi keskittynyt siihen, mistä syystä sitä kutsutaan myös massakeskipisteeksi. Mikäli painovoimakenttä vaihtelee kappaleen kohdalla, voi painopiste sijaita eri kohdassa kuin massakeskipiste.
Levymäisen kappaleen painopiste voidaan määrittää ripustamalla se jostakin kohtaan lankaan, jolloin painopiste sijaitsee langan jatkeella. Jos langan asento piirretään levylle ja ripustetaan levy toisesta kohtaa langalla, saadaan langan ja viivan leikkauspisteestä selville levyn painopiste. Kolmiulotteisen kappaleen painopiste löydetään kolmen leikkaavan tason leikkauspisteessä.
Fysikaalinen ja matemaattinen perusta.
Painopisteen koordinaatit määritetään mekaniikassa tasapainoyhtälöillä. Niissä huomioidaan kappaleen geometrian lisäksi myös aineen tiheysvaihtelut. Geometrisissä menetelmissä oletetaan kappaleen olevan homogeeninen eli että sen tiheys ei vaihtele kappaleen eri osissa. Silloin painopisteen paikka riippuu vain kappaleen geometriasta.
Tasoalue tai avaruuskappale.
Geometrisessa tarkastelussa voidaan olettaa, että kappale on tiheydeltään homogeeninen (formula_1). Silloin kappaleen "atomien" massa ja niiden tilavuus ovat verrannolliset, jolloin riittää tarkastella pelkästään pinta-aloja tai tilavuuksia. Kappaleen formula_2 kokonaismassan formula_3 arvo voidaan korvata pinta-alan formula_4 arvolla
formula_5 
tai tilavuuden formula_6 arvolla
formula_7
Itse painopiste formula_8 lasketaan tilan paikkavektoreilla formula_9 fysikaalisen periaatteen mukaisesti
formula_10 
Jos kappaleen tiheys on sama joka pisteessä, ovat massat formula_11 kaikki samansuuruiset ja niiden vaikutukset kumoutuvat, jolloin tulos riippuu vain geometriasta.
formula_12 
Lauseke voidaan myös esittää muodossa 
formula_13
missä integraalit otetaan koko tason formula_14 tai avaruuden formula_15 yli ja missä "g" on tasoalueen tai kappaleen karakteristinen funktio, jonka arvo on 1 alueen tai kappaleen sisällä ja 0 sen ulkopuolella. Tämän lauseen nimittäjä on sama kuin tasoalueen pinta-ala tai kappaleen tilavuus. 
Jos integroitavia pisteitä on vähän, voidaan samat laskut suorittaa summillakin. Tasokuvion painopiste on silloin kaikkien kuvion pisteiden aritmeettinen keskiarvo koordinaatin suhteen. Tämä lasketaan karteesisessa koordinaatistossa x-koordinaattien keskiarvona, y-koordinaattien keskiarvona ja z-koordinaattien keskiarvona, eli
formula_16
ja
formula_17
ja
formula_18 
Pistemäisten massojen joukko.
Mekaniikassa voidaan johtaa momentin käsitteen avulla pistemäisten kappaleiden yhteiselle painopisteelle paikan lauseke. Samaa kaavaa voidaan käyttää integraalin sijasta, jos jakaa kappaleen mosaiikiksi, joiden keskipisteet ja massat sijoitetaan kaavaan. Tuloksena saadaan painopisteen likimääräinen paikka.
Mikäli eripainoisia pisteitä on paljon formula_19, voidaan painopiste laskea yleisesti näiden painotettuna keskiarvona:
formula_20 
Jos massat formula_21 ovat kaikki samanpainoisia, saadaan painopisteeksi
formula_22 
Viimeinen lauseke voidaan tulkita pisteiden koordinaattien keskiarvoksi.
Eräitä painopisteen paikan päättelysääntöjä.
Arkhimedeen lemma.
Jo Arkhimedes (287−212 eaa.) muotoili käytännöllisen geometrisen tavan löytää painopiste:
"Jos kappale jaetaan kahteen pienempään osaan, sijaitsee kappaleen alkuperäinen painopiste janalla, joka yhdistää pienempien osien painopisteet."
Jos merkitään painopisteet ja massat formula_23 ja formula_21, voidaan tämä lemma voidaan pukea eksaktiksi lausekkeeksi, jossa painopisteen paikkakin on määritelty
formula_25 
L-muotoisen levymäisen kuvion painopiste voidaan löytää Arkhimedeen lemman avulla, kun jaetaan kuvio kahdelle eri tavalla kahdeksi suorakulmioksi. Suorakulmion keskipisteet ovat painopisteet, joiden välisellä janalla kuvion painopiste on. Erilainen jako suorakulmioihin muuttaa painopisteiden paikkoja, joten toinen jana risteää ensimmäistä janaa. Koska kuvion painopiste sijaitsee kummallakin janalla samanaikaisesti, on sen paikka oltava janojen leikkauspisteessä.
Symmetrian ja siirron vaikutus painopisteeseen.
Seuraavat päättelysäännöt on merkitty tunnuksilla, jotta niihin voidaan jälkeenpäin viitata:
 (S1) Jos tasokuviolla on symmetriapiste, sijaitsee painopiste symmetriapisteessä eli keskipisteessä. Tällaisia kuvioita ovat esimerkiksi ympyrä, neliö ja muut säännölliset monikulmiot.
 (S2) Jos tasokuviolla on symmetria-akseli, sijaitsee painopiste jossakin symmetria-akselin pisteessä. Jo kahden symmetria-akselin olemassaolo kiinnittää painopisteen paikan. Tällaisia ovat esimerkiksi tasakylkiset kolmiot, suorakulmiot, suunnikkaat, tasakylkiset puolisuunnikkaat, sektorit, ellipsit ja katkaistut paraabelit.
 (S3) Jos tasokuvio siirretään annetulla vektorilla uuteen paikkaan, siirtyy painopiste samalla vektorilla osoitettavaan paikkaan.
 (S4) Jos tasokuvio kierretään annetun kiertopisteen ympäri annetun kiertokulman verran, siirtyy myös painopiste samalla tavalla osoitettuun paikkaan.
Pistejoukon painopiste.
Kahden erimassaisen pisteen painopiste.
Aristoteles (384−322 eaa.) totesi, aikalaistensa tavoin, että tangon ja sen päissä olevat painot saadaan tasapainoon sijoittamalla tukipiste kohtaan, jonka etäisyydet painoihin ovat kääntäen verrannolliset käytettyihin massoihin. Nykymerkinnöin etäisyydet massojen formula_26 ja formula_27 kolmiulotteiset paikat ovat formula_28 ja formula_29, jolloin antiikin sääntö väittää etäisyydet tukipisteeseen eli painopisteeseen ovat formula_30. Tukipiste sijaitsee formula_28:stä katsoen
formula_32
formula_33
formula_34
eli
formula_35
Tämä laskusääntö on sama kuin kahden erillään sijaitsevan fysikaalinen massapisteen yhteinen painopiste.
Kahden massan painopisteen määrittelyssä voidaan hyödyntää geometrisia ominaisuuksia (katso kuva). Kolmiossa kulmanpuolittajan jakaa kolmion vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Täydentämällä massoja pitelevään tankoon kolmion puuttuvat kaksi sivua siten, että sivujen pituudet ovat käänteisessä suhteessa massoihin, löydetään painopiste kulmanpuolittajan avulla.
Kahden samamassaisen pisteen painopiste saadaan merkitsemällä formula_36 ja kun massat supistetaan pois jää lausekkeeksi
formula_37
Kolmen samamassaisen pisteen painopiste.
Kolme pistettä sijaitsevat aina samalla tasolla muodostaen kolmion kärkipisteet (tai kollineaarisina janan). Kolmen pisteen painopiste voidaan päätellä käyttäen myöhemmin kuvattua Archimedeen lemmaa. Kahden samamassaisen pisteen painopiste sijaitsee pisteiden keskipisteessä. Keskipisteen ja kolmannen pisteen painopiste sijaitsee niitä yhdistävällä janalla formula_38. Valitsemalla kaksi pistettä ja yhdistämällä niiden painopiste kolmannen pisteen kanssa janalla formula_39, leikkaavat janat formula_38 ja formula_39 pisteessä formula_8. Myös kolmas tällä tavalla muodostettu jana formula_43 leikkaa kaksi muuta samassa pisteessä formula_8. Janat ovat "kolmion" keskijanoja ja ne leikkaavat toisensa kolmion painopisteessä, joka on eräs kolmion merkillinen piste. Siis kolmiolevyn ja kolmion kärkien massan painopisteet ovat samassa paikassa.
Usean samamassaisen pisteen painopiste.
Äärellisen pistejoukon painopisteen koordinaatit esitetään määritelmän mukaisesti kunkin samanpainoisen pisteen koordinaattien aritmeettisena keskiarvona. Kun pisteitä on formula_45 "kappaletta" formula_46, kun formula_47, on painopisteen formula_48 paikka
formula_49 
Painopiste formula_50 minimoi sen ja pistejoukon pisteiden välisten (euklidisen) etäisyyksien neliöiden summan.
Painopisteen etsiminen vektorisumman avulla.
Pistejoukon painopisteen etsimiseen voidaan käyttää vektorimatematiikkaa. Arvataan ensin painopisteen likimääräinen paikka formula_8 ja piirretään siitä vektorit ympäröiviin pisteisiin. Lasketaan vektorien vektorisumma ja jos se on nolla, on painopiste oikealla paikalla formula_52. Ellei se ole vielä nolla, siirretään piste formula_8 uuteen paikkaan ja tarkistetaan vektorisumma. Näin jatketaan kunnes painopiste saavutetaan riittävällä tarkkuudella.
Janojen painopiste.
Janan painopiste.
Janan "AB" pisteet voidaan esittää päätepisteiden formula_54 ja formula_55 avulla muodossa
formula_56, kun formula_57
Integroimalla janan pisteet formula_58:n suhteen, saadaan
formula_59
Viimeinen lauseke tarkoittaa janan päätepisteiden koordinaattien keskiarvoa. Geometrisesti ajatellen janan painopiste G löytyy janan keskipisteessä.
Kahden janan painopiste.
Yhdistetään kaksi yhtäpitkää janaa toisiinsa toisesta päätepisteestään. Riippumatta janojen välisestä kulmasta, janat muodostavat symmetrisen kuvion. Painopiste sijaitsee tällä symmetria-akselilla. Toisaalta, Arkhimedeen lemmasta seuraa uusi jana, jossa janojen painopisteinä olevat keskipisteet yhdistetään toisiinsa. Yhdysjana ja symmetria-akseli leikkaavat kuvion painopisteessä.
Kahden eripitkän janan kuviolla ei ole symmetria-akselia. Janojen keskipisteet voidaan kuitenkin yhdistää janalla. Painopiste sijaitsee yhdysjanalla. Jakamalla pitempi jana lyhyemmän janan kanssa yhtäpitkään osaan ja loppupätkään, voidaan painopiste löytää. Katkaistulla kuviolla on nyt symmetria-akseli ja sen painopiste löydetään edellisen esimerkin mukaisesti. Koska loppupätkä on jana, on sen painopiste pätkän keskipisteessä. Yhdistämällä keskipiste ja symmetrisen kuvion painopiste janalla, leikkaa jana yhdysjanan kuvion painopisteessä.
Kolmioksi yhdistettyjen kolmen janan painopiste.
Yhdistetään kolme janaa kolmion muotoon, jolloin koko kuvion massa sijaitsee vain kolmion reunassa. Tällaisen kehikon painopiste sijaitsee kolmion Spiekerin pisteessä. Spiekerin piste on eräs kolmion merkillinen piste.
Tasokuviot.
Kolmio.
Kolmion painopiste löytyy helposti piirtämällä kolmion kulmista vastaisille sivuille keskijanat. Kolmion painopiste löytyy keskijanojen eli mediaanien leikkauspisteestä.
Kun tunnetaan kolmion kärkien A, B ja C koordinaatit, voidaan painopiste formula_60 laskea keskiarvon avulla
formula_61.
Painopisteen barysentriset koordinaatit ovat formula_62
Nelikulmio.
Neliöllä, jonka sivun pituus on formula_38, on neljä symmetria-akselia, jotka leikkaavat neliön keskipisteessä. Keskipiste onkin neliön painopiste (ed. symmetriasääntö S1), jonka koordinaatit ovat neliö vasemmasta kulmasta lukien formula_64. Keskipisteen löytää piirtämällä viivaimella neliölle molemmat lävistäjät, joiden leikkauspisteessä se on.
Suorakulmiolla, jonka leveys on formula_38 ja korkeus formula_39, on kaksi symmetria-akselia, joten sen painopiste sijaitsee niiden leikkauspisteessä eli keskipisteessä (symmetriasääntö S1). Painopiste koordinaatit ovat vasemmasta kulmasta lukien formula_67. Keskipisteen löytää piirtämällä viivaimella suorakulmiolle molemmat lävistäjät, joiden leikkauspisteessä se on.
Suunnikkaan painopiste on molempien lävistäjien puolessa välissä sijaitsevassa leikkauspisteessä. Jos vaakasivun pituus on formula_38 ja toisen sivun pituus formula_39 ja joiden välinen terävä kulma on formula_70, ovat painopisteen koordinaatit formula_71 
Puolisuunnikkaassa on kaksi yhdensuuntaista sivua formula_38 ja formula_39 ehdolla formula_74, joiden korkeusero on formula_75. Mikäli kyljet ovat yhtä pitkät, puhutaan tasakylkisestä puolisuunnikkaasta. Tasakylkisellä puolisuunnikkaalla on vain yksi symmetria-akseli, joka yhdistää yhdesuuntaisten sivujen keskipisteet. Painopiste sijaitsee tällä akselilla kohdassa formula_76 Yleisessä puolisuunnikkaassa painopiste sijaitsee pisteessä formula_77 missä sivut formula_43 ja formula_79 ovat puolisuunnikkaan kyljet. Lävistäjien leikkauspiste tulee liian ylös ollakseen painopisteessä.
Konveksissa nelikulmiossa lävistäjät leikkaavat toisensa nelikulmion sisällä.Sen painopiste voidaan löytää jakamalla se kolmioiksi kahdella tavalla. Ensimmäisen jaon kolmioiden painopisteet yhdistetään janalla, jolla leikataan toisen jaon vastaavalla janalla. Arkhimedeen lemman mukaan, painopiste sijaitsee leikkauskohdassa.