Liike-energia

Liike-energia eli kineettinen energia on kappaleen liikkeeseen varastoitunutta energiaa. Kappaletta kiihdytettäessä sen kiihdyttämiseen käytetty energia varastoituu kappaleen liike-energiaksi. Klassisen fysiikan mukaan nopeudella "v" liikkuvan pyörimättömän kappaleen liike-energia on
formula_1
missä "m" on kappaleen massa. 
Yhtälön johtaminen.
Tarkastellaan kappaleen liikettä paikallaan olevassa tai vakio­nopeudella liikkuvassa koordi­naatis­tossa, jonka suhteen kappale on aluksi levossa (ts. kappaleen nopeus koordi­naatis­tossa on aluksi 0). Kun kappaleeseen vaikuttava voima "F" saa tässä koordi­naatis­tossa kappaleen liikkumaan matkan "s", voiman tekemä työ W varastoituu kappaleen liike-energiaksi "E"k kaavan
formula_6
mukaisesti, jossa viimeisessä vaiheessa integraali on saatu osittais­integroimalla
formula_7
Suhteellisuusteorian mukaan tämä kuitenkin on vain hyvä likiarvo, jota voidaan käyttää, kun kappaleen nopeus on paljon pienempi kuin valonnopeus.
Käsitteen historia.
Liike-energiaa vastaavan käsitteen, joka on verrannollinen kappaleen massan "m" ja nopeuden "v" neliön tuloon "mv"2, ottivat klassisessa mekaniikassa ensimmäisenä käyttöön Gottfried Leibniz ja Johann Bernoulli, jotka nimittivät tätä suuretta "eläväksi voimaksi" (). Willem 's Gravesande osoitti sen merkityksen kokeellisesti vuonna 1722. Pudottamalla painoja eri korkeuksilta savi­kerrokseen hän huomasi, että sen kuopan syvyys, jonka ne saveen muodostivat, oli verrannollinen niiden nopeuteen törmäys­hetkellä. Émilie du Châtelet tunnisti asian merkityksen ja esitti sille selityksen.
Termit "liike-energia" ja "työ" niiden nykyisessä tieteellisessä merkityksessä tulivat käyttöön 1800-luvun puolimaissa. Jo aikaisemmin, vuonna 1829, Gaspard-Gustave Coriolis oli julkaissut tutkielman "Du Clcul de l'Effet des Machines," joka käsitteli liike-energiaa matemaatti­selta kannalta. William Thomson, myöhemmin lordi Kelvin, otti käyttöön noin vuosina 1849–1851 termin "kineettinen energia" (). Maquorn Rankine, joka vuonna 1853 otti käyttöön termin "potentiaalienergia" nimitti kuitenkin liike-energiaa vastaavasti "aktuaaliseksi energiaksi,", koska termit "aktuaalinen" ja "potentiaalinen" tunnettiin toistensa vastakohtina jo Aristoteleen filosofiassa, minkä lisäksi Rankine piti niitä tähän yhteyteen hyvin soveltuvina.
Yleiskatsaus.
Energia esiintyy monissa muodoissa, joita ovat esimerkiksi kemiallinen energia, lämpöenergia, sähkömagneettinen säteily, gravitaatio­energia, sähköenergia, kimmoenergia, ydinenergia ja lepoenergia. Nämä voidaan jakaa kahteen pääluokkaan: potentiaalienergiaan ja liike-energiaan. Liike-energia on kappaleen liikkeeseen liittyvää energiaa. Se voi siirtyä kappaleesta toiseen tai muuttua muiksi energian muodoiksi.
Liike-energia voidaan parhaiten ymmärtää esimerkkien avulla, jotka osoittavat, miten muita energian muotoja voidaan muuttaa liike-energiaksi ja päinvastoin. Esimerkiksi pyöräilijä käyttää ravinnosta saamaansa kemiallista energiaa polkupyörän kiihdyttämiseksi haluttuun nopeuteen. Kun tietty nopeus on saavutettu, sen ylläpitäminen tasaisella maalla ei enää edellytä lisää työtä enempää kuin kitkan ja ilmanvastuksen voittamiseksi on tarpeen. Kemiallinen energia on täten muuttunut polku­pyörän ja pyöräilijän liike-energiaksi, ei kuitenkaan täydellisesti, sillä osa energiasta on muuttunut lämmöksi.
Polkupyörän ja pyöräilijän liike-energia voi myös muuttua muiksi energian muodoiksi. Esimerkiksi matkan varrella saattaa olla ylämäki, joka on juuri sen korkuinen, että pyöräilijä juuri ja juuri pääsee polkematta, vauhdilla, sen huipulle, jossa polkupyörä tällöin pysähtyy. Liike-energia on tällöin muuttunut gravitaatio­potentiaali­energiaksi, mutta se muuttuu takaisin liike-energiaksi, jos hän jatkaa matkaansa laskeutumalla huipulta alamäkeä pitkin, jolloin hänen vauhtinsa kiihtyy. Koska jonkin verran energiaa on kitkan vuoksi menetetty, hän ei kuitenkaan saa takaisin alku­peräistä nopeuttaan polkematta lisää. Energia ei kuitenkaan häviä, se vain muuttuu toiseen muotoon. Jos polkupyörän johonkin pyörään on kiinnitetty dynamo, se muuttaa osan liike-energiasta sähköenergiaksi. Tällöin polkupyörä saa yhtä suurella voimalla poljettaessa pienemmän nopeuden kuin se saisi ilman dynamoa. Jos taas pyöräilijä painaa jarrua, hänen nopeutensa pienenee ja liike-energiaa muuttuu kitkan vaikutuksesta lämmöksi.
Kuten kaikki nopeudesta riippuvat fysikaaliset suureet, kappaleen liike-energiakin riippuu kappaleen ja havaitsijan suhteellisesta nopeudesta ja siten havaitsijan koordinaatistosta. Näin ollen kappaleen liike-energia ei ole Galilei-invariantti.
Avaruusaluksen laukaisuun käytetään polttoaineesta saatavaa kemiallista energiaa, joka muuttuu liike-energiaksi niin, että alus saa tietyn ratanopeuden. Jos alus kiertää Maata täydellisen ympyrän muotoista rataa pitkin, sen liike-energia pysyy vakiona, koska Maan lähi­avaruudessa ei juuri ole vastustavia voimia. Jos alus kuitenkin laskeutuu jälleen Maan pinnalle, osa tästä liike-energiasta muuttuu lämmöksi. Jos sen rata sen sijaan on elliptinen tai hyperbolinen, aluksen liike- ja potentiaali­energia muuttuvat jatkuvasti toisikseen. Liike-energia on suurimmillaan ja potentiaali­energia pienimmillään aluksen ollessa ratansa lähimpänä maata sijaitsevassa kohdassa, kun taas potentiaali­energia on suurimmillaan ja liike-energia pienimmillään sen ollessa ratansa kauimpana maasta olevassa kohdassa. Mikäli liikettä vastustavia voimia ei ole eikä polttoainetta enää käytetä, aluksen potentiaali- ja liike-energian summa pysyy kuitenkin vakiona.
Liike-energia voi siirtyä kappaleesta toiseen. Esimerkiksi biljardissa pelaaja työntää kepillä valkoista palloa ("kiveä"), jolloin se saa tietyn suuren liike-energian, mutta sen törmätessä johonkin toiseen palloon sen nopeus pienenee huomattavasti; tällöin sen liike-energia siirtyy tähän toiseen palloon, joka lähtee liikkeeseen. Biljardissa pallojen väliset törmäykset ovat käytännössä kimmoisia törmäyksiä, joissa pallojen yhteenlaskettu liike-energia säilyy. Sen sijaan kimmottomissa törmäyksissä liike-energia muuttuu muiksi energian muodoiksi kuten lämmöksi, ääneksi ja kappaleiden sisäiseksi sidosenergiaksi; viimeksi mainittu ilmenee törmäävien kappaleiden muodon­muutoksena tai särkymisenä.
Liike-energiaa voidaan varastoida vauhtipyörään. Tämä osoittaa, että kappaleissa on liike-energiaa, paitsi niiden ollessa etenemis­liikkeessä, myös niiden pyöriessä.
Liike-energialle voidaan esittää useitakin matemaattisia lausekkeita. Ihmisen joka­päiväiseen kokemus­maailmaan voidaan soveltaa Newtonin mekaniikkaa, ja sen mukaan jäykän kappaleen etenemis­liikkeen liike-energia on ½mv², missä "m" on kappaleen massa ja "v" sen nopeus. Jos kuitenkin kappaleen nopeus on lähellä valon­nopeutta, suhteellisuus­teoreettiset ilmiöt tulevat merkitseviksi ja on käytettävä suhteellisuus­teorian mukaista kaavaa. Atomin suuruus­luokkaa olevien tai vielä pienempien hiukkasten tapauksessa kvantti­mekaaniset ilmiöt ovat merkittäviä, ja onkin käytettävä kvantti­mekaanista mallia.
Newtonilainen liike-energia.
Jäykän kappaleen liike-energia.
Klassisen mekaniikan mukaan massapisteen, toisin sanoen läpimitaltaan niin pienen kappaleen, että sen voidaan ajatella kokonaan olevan yhdessä pisteessä, samoin kuin pyörimättömän jäykän kappaleen liike-energia riippuu sen massasta ja nopeudesta. Tällaisen kappaleen liike-energia on puolet sen massan ja nopeuden neliön tulosta. Tämä voidaan esittää kaavana:
formula_8
missä formula_9 on kappaleen massa ja formula_10 sen vauhti eli nopeuden itseisarvo. SI-järjestelmässä massan yksikkö on kilogramma ja nopeuden metri sekunnissa, mistä seuraa, että liike-energian yksikkö on 1 kgm2/s2 eli joule.
Esimerkiksi kappaleella, jonka massa on 80 kg ja nopeus 18 m/s, liike-energia on
formula_11
Kun ihminen heittää pallon, hän tekee työtä antaakseen sille tietyn nopeuden sen lähtiessä hänen kädestään. Liikkuva pallo voi sen jälkeen törmätä johonkin ja työntää sitä tehden näin työtä siihen kappaleeseen, johon se osuu. Kappaleen liike-energia on yhtä suuri kuin se työ, joka tarvitaan sen saattamisesta lepotilasta sen kulloiseenkin nopeuteen, ja samalla yhtä suuri kuin se työ, jonka kappale voi tehdä palatessaan lepotilaan: nettovoima × kappaleen voiman vaikuttaessa kulkema matka = liike-energia, toisin sanoen
formula_12
Koska kappaleen liike-energia kasvaa verrannollisena sen nopeuden neliöön, liike-energia nelin­kertaistuu kappaleen nopeuden kaksin­kertaistuessa. Tästä seuraa, että jos auto kulkee toiseen autoon nähden kaksin­kertaisella nopeudella, edellisellä on jälkimmäiseen verrattuna nelinkertainen jarrutusmatka, mikäli molempien massat ovat yhtä suuret ja niitä jarrutetaan yhtä suurella voimalla. Tästä nelin­kertaistumisesta johtuu myös, että kappaleen kiihdyttäminen levosta tiettyyn nopeuteen edellyttää neljä kertaa niin suuren työn kuin sen kiihdyttäminen puoleen tästä nopeudesta.
Kappaleen liike-energian ja liikemäärän välillä on yhteys
formula_13
missä:
Edellä esitetty liike-energian lauseke pätee massapisteelle sekä jäykän kappaleen "etenemisliikkeen" liike-energialle sen ollessa tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä. Tällöin on siis
formula_16
missä:
Kohteen liike-energia riippuu siitä vertailujärjestelmästä, jossa se on mitattu. Eristetyn systeemin, toisin sanoen systeemin, joka ei luovuta eikä vastaanota energiaa muualta, kokonaisenergia pysyy kuitenkin ajan kuluessa vakiona siinä vertailu­järjestelmässä, jossa se on mitattu. Esimerkiksi avaruus­aluksen poltto­aineesta saatava, liike-energiaksi muuttuva kemiallinen energia jakautuu eri tavoin aluksen ja pakokaasujen kesken riippuen valitusta vertailu­järjestelmästä. Tätä sanotaan Oberthin ilmiöksi. Systeemin kokonais­energia, johon sisältyvät sekä aluksen että pakokaasujen liike-energiat, polttoaineen kemiallinen liike-energia, lämpö ja muut energian muodot, pysyy kuitenkin ajan kuluessa vakiona riippumatta käytetystä vertailu­järjestelmästä. Eri havaitsijat, jotka liikkuvat toistensa suhteen ja jotka siten ovat eri vertailu­järjestelmissä, saavat tälle säilyvälle kokonais­energialle kuitenkin eri suuren arvon.
Tällaisen systeemin liike-energia siis riippuu käytetystä vertailu­järjestelmästä. Pienin se on liikemääräkeskipisteen vertailujärjestelmässä, ja systeemin yhteenlaskettu liikemäärä on systeemin liikemääräkeskipisteen suhteen nolla.
Johto.
Ilman vektoreita ja integraaleja.
Voiman F tekemä työ, kun kappaleen voiman suunnassa kulkema matka on "s" ja voima pysyy vakiona, on 
formula_19
Newtonin toisen lain mukaan
formula_20 
missä "m" on kappale ja "a" sen saama kiihtyvyys, ja 
formula_21
Tästä saadaan, että ajassa "t" kappale saa nopeuden formula_22, ja tehty työ on 
formula_23
Vektorien ja integraalien avulla.
Edellä esitetty pätee, jos voima "F" pysyy vakiona. Muussa tapauksessa kappaleeseen tehty työ on laskettava integraali­laskennan avulla.
Kiihtyvään kappaleseen infinitesimaalisella aikavälillä "dt" tehty työ saadaan siihen vaikuttavan voiman F ja sen tässä ajassa kulkeman infinitesimaalisen matkan "d"x pistetulona:
formula_24
Tässä on sovellettu yhteyttä p = "m" v ja Newtonin toista lakia. Tämä pätee, kun kappaleen saama nopeus ei ole niin suuri, että suhteellisuusteorian tulokset on otettava huomioon.
Soveltamalla tulon derivoimissääntöä todetaan, että:
formula_25
Niinpä jos oletetaan, että kappaleen massa pysyy vakiona eli "dm" = 0, saadaan:
formula_26
Koska tämä on kokonais­differentiaali, joka riippuu vain lopputilasta, ei välivaiheista, joiden kautta siihen päädytään, tämä voidaan integroida, jolloin tulosta sanotaan liike-energiaksi. Olettamalla, että kappale oli levossa hetkellä "t"=0, tämä integroidaan hetkestä 0 hetkeen "t," koska työ, jonka voima tekee kiihdyttäessään kappaleen levosta nopeuteen "v" on yhtä suuri kuin päinvastaiseen tarvittava työ:
formula_27
Tämä yhtälö ilmoittaa, että kappaleen liike-energia ("E"k) on yhtä suuri kuin sen nopeuden (v) ja sen liikemäärän (p) infinitesimaalisen muutoksen pistetulon integraali. Se edellyttää, että alku­tilanteessa kappaleen liike-energia oli nolla eli se oli levossa.
Pyörivät kappaleet.
Jos jäykkä kappale Q pyörii massakeskipisteensä kautta kulkevan akselin ympäri, sillä on pyörimis­liikkeeseen liittyvä liike-energia (formula_28), joka on yksin­kertaisesti sen liikkuvien osien liike-energioiden summa ja näin ollen:
formula_29
missä
Tämä yhtälö pätee, kun kappaleen hitausmomentti on laskettu sen massa­keski­pisteen kautta kulkevan akselin suhteen ja kappale pyörii tämän akselin ympäri. On olemassa myös yleisempiä kaavoja, jotka soveltuvat myös erikoisen muotonsa vuoksi horjuvassa pyörimis­liikkeessä oleville kappaleille.
Systeemien liike-energia.
Usean kappaleen muodostamalla systeemillä voi olla sisäistä liike-energiaa, koska sen muodostavat kappaleet ovat liikkeessä toistensa suhteen. Esimerkiksi aurinkokunnassa planeetat ja planetoidit kiertävät Aurinkoa. Kaasusäiliössä molekyylit liikkuvat kaikkiin suuntiin. Systeemin liike-energia on siihen kuuluvien kappaleiden liike-energioiden summa.
Makroskooppinen kappale on levossa massa­keski­pisteensä vertailu­järjestelmän suhteen. Sillä voi kuitenkin olla myös monenlaista sisäistä energiaa, joka atomi- ja molekyyli­tasolla tarkasteltuna on sen molekyylien etenemis-, pyörimis- ja värähdys­liikkeen, siinä olevien elektronien kierto­liikeeseen ja spiniin sekä ydinspiniin liittyvää liike-energiaa. Kuten suhteellisuusteoria osoittaa, kaikki nämäkin vaikuttavat kappaleen massaan. Makro­skooppisten kappaleiden liikkeitä tarkasteltaessa liike-energialla kuitenkin yleensä tarkoitetaan vain koko kappaleen, ei sen atomaaristen osasten liike-energiaa. Kuitenkin myös kaikki kappaleen sisäisen energian muodot vaikuttavat kappaleen massaan, hitauteen ja kokonais­energiaan.
Fluididynamiikka.
Fluididynamiikassa kokoon­puristumattoman fluidikentän liike-energiaa tilavuus­yksikköä kohti kussakin pisteessä sanotaan fluidin dynaamiseksi paineeksi tässä pisteessä.
Jaetaan fluidin liike-energia
formula_8
yksikkötilavuudella "V," jolloin saadaan
formula_33
missä formula_34 on dynaaminen paine ja ρ kokoon­puristumattoman fluidin tiheys.
Riippuvuus vertailujärjestelmästä.
Nopeuden tavoin yhden kappaleen liike-energiakin on suhteellinen eli riippuu käytettävästä vertailu­järjestelmästä. Toisin sanoen se ei ole invariantti suure, jolle kaikki havaitsijat liiketilastaan riippumatta saisivat saman arvon. Valitsemalla sopiva inertiaalijärjestelmä se voi saada minkä tahansa ei-negatiivisen arvon. Esimerkiksi havaitsijan ohi kulkevalla luodilla on liike-energiaa havaitsijan vertailu­järjestelmässä. Mutta samalla nopeudella ja samaan suuntaan luodin kanssa liikkuvan havaitsijan suhteen luodin nopeus ja näin ollen myös sen liike-energia on nolla.
Sitä vastoin ei useamman kappaleen muodostaman systeemin liike-energiaa voida saada nollaksi, paitsi jos kaikki kappaleet liikkuvat samalla nopeudella samaan suuntaan. Muussa tapauksessa systeemin kokonaisliike-energialla on nollasta poikkava minimiarvonsa, sillä ei voida valita sellaista vertailu­järjestelmää, jonka suhteen kaikki kappaleet olisivat levossa. 
Kussakin inertiaalijärjestelmässä systeemin kokonaisliike-energia saadaan laskemalla yhteen kaikkien siihen kuuluvien kappaleiden liike-energiat massakeski­pisteen vertailu­järjestelmässä sekä se liike-energia, joka koko systeemillä olisi valitussa järjestelmässä, jos sen kaikki massa olisi keskitetty sen massa­keski­pisteeseen.
Tämä voidaan osoittaa seuraavasti: Merkitään "k":lla valittua vertailu­järjestelmää ja "i":llä massa­keski­pisteen vertailu­järjestelmää (toisin sanoen vertailu­järjestemää, jossa systeemin massa­keski­piste on levossa), ja olkoon formula_35 vertailujärjestelmän "i" nopeus järjestelmän "k" suhteen. Koska
formula_36
on
formula_37
Liike-energiaksi massa­keskipisteen vertailu­järjestelmässä "i" saadaan formula_38. Kun kuitenkin formula_39 eli systeemin kokonais­liike­määrä on tässä vertailu­järjestelmässä sen määritelmän mukaan nolla ja kun systeemin kokonais­massa on formula_40, saadaan:
formula_41
Niinpä systeemin liike-energia saa pienimmän arvonsa vertailu­järjestelmässä, jossa systeemin massa­keski­pisteen nopeus on nolla. Jokaisessa muussa vertailujärjestelmässä systeemin liike-energia on sen verran suurempi kuin olisi sellaisen kappaleen liike-energia, jonka massa on systeemin kokonais­massa ja nopeus sama kuin systeemin massa­keski­pisteen nopeus. Systeemin liike-energia sen massa­keski­pisteen suhteen on invariantti suure.
Pyörimisliike systeemeissä.
Toisinaan on kätevää jakaa kappaleen kokonaisliike-energia kahteen komponenttiin: kappaleen massakeskipisteen etenemisliikkeen liike-energiaan ja massakeskipisteen ympäri tapahtuvan pyörimisliikkeen liike-energiaan (pyörimisenergiaan):
formula_42
missä:
Esimerkiksi tennispallon liike-energia sen lentäessä on sen pyörimiseen ja etenemiseen liittyvien liike-energioiden summa.
Relativistinen liike-energia.
Jos kappaleen nopeus on suuruusluokaltaan lähellä valonnopeutta, sen liike-energian laskemiseksi on käytettävä suhteellisuusteoreettista eli relativistista mekaniikkaa. Suhteellisuusteorian mukaan kappaleen kokonaisenergian ilmoittaa yhtälö:
formula_43 
Kappaleen liikemäärän ja liike-energian välillä taas on yhteys
formula_44
missä "p" on kappaleen liikemäärä.
Tässä käytetään lineaariselle liikemäärälle relativistista lauseketta: formula_45, missä formula_46.
Tässä formula_9 on kappaleen (invariantti) lepomassa, formula_10 sen nopeus ja "c" valon nopeus tyhjiössä.
Kappaleen liike-energia saadaan vähentämällä tästä sen lepoenergia eli sen lepomassaa yhtälön E=mc² mukaisesti vastaava energia:
formula_49
&lt;br&gt;Pienillä nopeuksilla tässä kaavassa esiintyvälle neliöjuurelle voidaan käyttää likiarvoa formula_50, jolloin tulokseksi saadaan newtonilainen liike-energia.
Johto.
Liikemäärälle on lauseke formula_51, missä formula_46.
Kun se osittaisintegroidaan, saadaan
formula_53
Koska formula_54,
formula_55
formula_56 on määräämättömän integraalin integroimisvakio.
Yhtälö voidaan sieventää muotoon
formula_57
formula_56 saadaan toteamalla, että kun formula_59 ja formula_60, mistä seuraa, että
formula_61
jolloin saadaan kaava
formula_62
Tämä kaava osoittaa, että kappaleen kiihdyttämiseksi levosta tiettyyn nopeuteen tarvittava energia kasvaa rajatta, kun tämä nopeus lähestyy valonnopeutta. Niinpä on mahdotonta kiihdyttää kappale tätä rajaa suurempiin nopeuksiin.
Tästä laskelmasta saadaan sivutuloksena myös massan ja energian ekvivalenssi: kappaleen olleessa levossa sen energiasisältö on 
formula_63
Pienillä nopeuksilla ("v" ≪ "c") klassinen liike-energia on hyvä likiarvo relativistiselle liike-energialle. Tämä voidaan todeta binomiapproksimaatiolla taikka ottamalla käänteis­arvon neliö­juuren Taylorin sarjasta sen kaksi ensimmäistä termiä:
formula_64
Niinpä pienillä nopeuksilla kappaleen kokonais­energia formula_65 on likipitäen yhtä suuri kuin sen lepomassaa vastaavan energian ja sen Newtonin mekaniikan mukaisen liike-energian summa.
Kun kappaleen nopeus on paljon valonnopeutta pienempi, kuten on laita jokapäiväisissä tapahtumissa maan päällä, tämän Taylorin sarjan muut kuin kaksi ensimmäistä termiä ovat mitättömän pieniä. Sarjan seuraava termi on
formula_66
Esimerkiksi kun kappaleen nopeus on 10 kilometriä sekunnissa, tämä sarjan kolmas termi on vain 0,0417 J/kg, kun taas sen Newtonin fysiikan mukainen liike-energia on 50 MJ/kg. Vielä nopeudella 100 km/s tämä kolmas termi on vain 417 J/kg, kun taas kappaleen newtonilainen liike-energia on 5 GJ/kg. Laskennallisesti voidaan johtaa tulos, jonka mukaan klassisen mekaniikan mukainen arvo eroaa relativistisesta noin prosentin, kun formula_67.
Relativistinen yhteys liike-energian ja liikemäärän välillä on
formula_68
Tämäkin voidaan kehittää Taylorin sarjaksi, jonka ensimmäinen termi on yhtäpitävästi Newtonin mekaniikan kanssa:
formula_69
Tämä osoittaa, ettei energian ja liike-energian lausekkeita tarvitse erityisesti olettaa, vaan ne seuraavat suoraan suhteellisuusteorian perusteista sekä massan ja energian ekvivalenssista.
Yleinen suhteellisuusteoria.
Yleisessä suhteellisuusteoriassa oletetaan, että 
formula_70
missä 
formula_71
on hiukkasen nelinopeus ja 
formula_72
sen itseisaika. Näistä saadaan myös yleisen suhteellisuus­teorian mukainen lauseke hiukkasen liike-energialle.
Jos hiukkasella on liikemäärä
formula_73
sen kulkiessa havaitsijan ohi nelinopeudella "u"obs, sen havaittu, paikallisessa inertiaali­järjestelmässä mitattu kokonais­energia on
formula_74
ja liike-energia saadaan vähentämällä tästä sen liike-energia:
formula_75
Tarkastellaan tapausta, jossa metriikka on diagonaalinen ja avaruudellisesti isotrooppinen ("g""tt", "g""ss", "g""ss", "g""ss"). Koska
formula_76
missä "v"α on tavanomainen nopeus mitattuna tässä koordinaatti­järjestelmässä, saadaan
formula_77
Ratkaisemalla tästä "u"t saadaan
formula_78
Niinpä levossa olevan havaitsijan suhteen ("v" = 0)
formula_79
ja niinpä liike-energiaksi saadaan
formula_80
Jättämällä tästä lepoenergia pois saadaan edelleen
formula_81
Tämä lauseke yksinkertaistuu suppean suhteellisuus­teorian mukaiseksi suoraviivaisen avaruuden metriikassa, jossa
formula_82
Yleisen suhteellisuusteorian Newtonin fysiikan mukaisessa approksimaatiossa
formula_83
missä Φ on newtonilainen gravitaatiopotentiaali. Tämä merkitsee, että lähellä suuri­massaisia kappaleita kellot käyvät hitaammin ja mittatangot lyhenevät.
Liike-energia kvanttimekaniikassa.
Kvanttimekaniikassa liike-energian kaltaisia havaittavia suureita kuvataan operaattoreilla. Hiukkaselle, jonka massa on "m", liike-energiaoperaattoria vastaa yksi termi Hamiltonin operaattorissa, ja se määritellään perustavamman liikemäärä­operaattorin formula_84 avulla. Epärelativistisen kvantti­mekaniikan tapauksessa liike-energia­operaattori voidaan kirjoittaa muotoon
formula_85
Voidaan todeta, että tämä saadaan liike-energian ja liike-energian välillä klassisen fysiikan mukaan vallitsevasta yhteydestä
formula_86
korvaamalla formula_14 operaattorilla formula_84.
Schrödingerin kuvassa formula_84 saa muodon formula_90, missä derivaatta muodostetaan paikkakoordinaattien suhteen, ja näin ollen
formula_91
Elektronin liike-energian odotusarvo formula_92 "N" elektronin systeemissä, jota kuvaa aaltofunktio formula_93 on yhden elektronin operaattorien odotusarvojen summa:
formula_94
missä formula_95 on elektronin massa ja formula_96 "i":nnen elektronin koordinaatteihin kohdistuva Laplacen operaattori ja tämä summataan kaikkien elektronien yli.
Kvanttimekaniikan tiheys­funktionaali­teoreettisessa muotoilussa on tunnettava vain elektronin tiheys, toisin sanoen muodollisesti ei tarvitse tuntea aaltofunktiota. Jos elektronin tiheys on formula_97, täsmällinen "N" elektronin liike-energia­funktionaali on tuntematon; kuitenkin yhden elektronin systeemin tapauksessa liike-energia voidaan kirjoittaa muotoon
formula_98
missä formula_99 tunnetaan von Weizsäckerin liike-energia­funktionaalina.