Pii (vakio)

Pii eli π on matemaattinen vakio, ympyrän kehän suhde halkaisijaan euklidisessa geometriassa. Pii esiintyy monilla matematiikan ja fysiikan alueilla.
Vaihtoehtoisesti pii voidaan määritellä "r"-säteisen ympyrän pinta-alan suhteena "r"-sivuisen neliön pinta-alaan: formula_1. Joissain analyysin kirjoissa pii määritellään pienimmäksi positiiviseksi luvuksi formula_2, jolle formula_3.
Piin likiarvo katkaistuna 100 desimaalin jälkeen on 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.
Eukleideen Alkeet-teoksen luvussa XII todistetaan, että kahden ympyrän alan suhde on sama kuin niiden halkaisijoiden neliöiden suhde. Tästä seuraa, että ympyrän pinta-ala on vakio (= π / 4) kertaa sen halkaisijan neliö. Pii on irrationaaliluku eli luku, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Ferdinand Lindemann todisti vuonna 1882 piin olevan transsendenttiluku, eli luku, joka ei ole minkään rationaalilukukertoimisen polynomin nollakohta.
Joissakin maissa pii tunnetaan myös nimillä "Arkhimedeen vakio" ja (erityisesti saksankielisellä alueella) "Ludolphin luku" matemaatikkojen Arkhimedes ja Ludolph van Ceulen mukaan.
Piin vanhoja likiarvoja.
Koska pii on transsendenttiluku, sitä ei voi esittää päättyvänä lausekkeena peruslaskutoimituksia, potenssiinkorotusta ja juurenottoa käyttäen. Sitä on kuitenkin kauan arvioitu likimääräisesti. Vanhan testamentin Ensimmäisessä kuninkaiden kirjassa formula_4 on 3: ”Hiram valoi myös pyöreän altaan, jota kutsuttiin mereksi. Se oli reunasta reunaan kymmenen kyynärän levyinen, korkeutta sillä oli viisi kyynärää, ja vasta kolmenkymmenen kyynärän pituinen mittanuora ulottui sen ympäri”.
Ensimmäisiä säällisiä säilyneitä formula_4:n likiarvoja on egyptiläisen matemaatikko Ahmosen käyttämä. Se on säilynyt laskutehtävissä, jotka sisältyvät niin sanottuun Rhindin papyrukseen. Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa formula_4:n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Noin 2 000 vuotta ennen ajanlaskun alkua babylonialaiset otaksuivat, että formula_4 on joko 3 tai formula_8 (yksi desimaali oikein). Myös likiarvo formula_9 (kaksi des. oikein) on tiedetty pitkään.
Kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Arkhimedes todisti ympyrän sisään ja ympärille piirrettyjen monikulmioiden avulla, että ympyrän kehän ja halkaisijan suhde on lukujen formula_10 ja formula_11 välillä. Ptolemaios käytti formula_4:n arvoa formula_13 (kolme des. oikein). Kiinalainen Tsi Ch'ung-Chi löysi 400-luvulla formula_4:lle arvon formula_15 (kuusi des. oikein), jota parempi murtolukuarvio on vasta formula_16 (yhdeksän des. oikein). 
Luku formula_4 todistettiin irrationaaliluvuksi 1700-luvulla.
Piin laskeminen sarjakehitelmien avulla.
Piin voi esittää päättymättömänä sarjana. Eräs varhainen ja yksinkertainen tapa määritellä pii sarjana on Gottfried Leibnizin kehittämä Gregory–Leibniz-sarja:
formula_18
Tämä sarja suppenee kuitenkin liian hitaasti, jotta sitä kannattaisi käyttää piin likiarvojen laskemiseen. Siitä olisi laskettava vähintään 294 ensimmäistä termiä, jotta saataisiin edes kaksidesimaalinen likiarvo 3,14. Vuonna 1706 John Machin todisti kuitenkin seuraavan yhtälön:
formula_19
Koska arkustangentin Taylorin sarjakehitelmä on
formula_20
saatiin tästä piille nopeasti suppeneva ja käyttökelpoinen sarjakehitelmä:
formula_21
Machin itse laski tällä kaavalla piin 100 desimaalin tarkkuudella, ja myöhemminkin tätä sarjaa on paljon käytetty yhä tarkempien likiarvojen laskemiseen.
Alkulukujen 7, 11, 13, … avulla on johdettu tulokaava
formula_22
Edellistä pienemmistä alkuluvuista 2, 3, 5, … lähtien pätee myös tulokaava
formula_23
Vuorottelevista sarjoista voidaan mainita tulos
formula_24,
josta saadaan
formula_25
Muita äärettömiä sarjoja:
formula_26
formula_27
formula_28
formula_29
formula_30 
formula_31
formula_32
formula_33
formula_34
formula_35
formula_36
formula_37.
Muutama BBP-kaava:
 formula_38
Piin laskeminen tulokehitelmien avulla.
Wallisin tulo:
formula_39 
Viètan kaava:
formula_40.
Muita äärettömiä tuloja:
formula_41
formula_42
formula_43
formula_44
formula_45
formula_46
formula_47
formula_48
Piin approksimaatioita.
Piin avulla laskiessa voidaan lausekkeissa korvata se erityisellä lausekkeella. 
 formula_49
 formula_50
formula_51
formula_52
formula_53
formula_54
formula_55
 formula_56
formula_57
formula_58
formula_59
formula_60
formula_61
formula_62
missä
formula_63
ja
formula_64.
Piin desimaalien laskeminen.
Englantilainen amatöörimatemaatikko William Shanks (1812 – 1882) laski 20 vuoden ajan piin desimaaleja käsin ja ratkaisi luvun 707 desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1945 kuitenkin huomattiin, että laskun 528. desimaali oli laskettu virheellisesti.
Nykyään piin desimaaleja lasketaan tietokoneilla.
1900-luvulla pii tunnettiin jo yli miljardin desimaalin tarkkuudella, ja elokuussa 2021 siitä tiedettiin ensimmäiset 62,8 biljoonaa desimaalia. Vuoden 2024 keväällä piille laskettiin 105 biljoonaa eli 105 000 000 000 000 desimaalia.
1990-luvulla kehitettiin tapoja laskea piin heksadesimaaliesityksen numeroita, mistä tahansa kohdasta ilman, että aiempia numeroita tarvitsee tietää.
Muita esimerkkejä.
Kun kolikko heitetään satunnaisesti neliöruudukolle, jossa kunkin neliön sivun pituus on sama kuin kolikon halkaisija (eli kaksi kertaa säde r), niin todennäköisyys, että kolikko peittää neliöiden risteyskohdan kuvassa esitetyllä tavalla, on π/4. Toistamalla koe lukuisia kertoja saadaan piille kokeellinen likiarvo.
Avoimia kysymyksiä.
Vaikka piistä tiedetään paljon, on vielä useita avoimia kysymyksiä sen desimaaleihin liittyen: