Spinori

Spinori on matematiikassa ja fysiikassa esiintyvä eräiden kompleksisten vektoriavaruuksien elementti. Ryhmäteoreettisesti ajateltuna spinori on spin-ryhmän pienimmän esityksen vektori.
Koska spin-ryhmä Spin(1,3) on Lorentz-muunnosten ryhmän SO(1,3) peite, on spinoreilla erittäin tärkeä osuus relativistisen kvanttimekaniikan formulaatiossa.
Spinorin käsite.
Ranskalainen matemaatikko Élie Cartan löysi spinorit vuonna 1913. Myöhemmin spinorit otettiin käyttöön erityisesti kvanttimekaniikassa kuvaamaan hiukkasen sisäistä pyörimismäärää, spiniä. Paul Ehrenfest otti käyttöön nimityksen "spinori" kvanttifysiikassa.
Spinorin käsitettä voidaan lähestyä kahdella tavalla.
Ensimmäinen lähestymistapa on ryhmäteoreettinen. Lähtökohtaisesti tiedetään, että ortogonaaliryhmän Lie-algebralla on olemassa esityksiä, joita ei voida muodostaa tavallisen tensorilaskennan keinoin. Näitä esityksiä kutsutaan "spin-esityksiksi" ja niiden elementtejä "spinoreiksi". Tässä katsantokannassa spinori kuuluu kiertojen ryhmän peitteen esitykseen, tai yleisemmin, yleistetyn erikoisen ortogonaaliryhmän esitykseen avaruuksissa, joiden metrinen signatuuri on . Nämä peitteet ovat Lien ryhmiä ja niitä kutsutaan spin-ryhmiksi .
Toinen lähestymistapa on geometrinen. Spinori voidaan muodostaa ensin eksplisiittisesti, jonka jälkeen Lien ryhmien vaikutusta siihen voidaan tutkia. Tämän lähestymistavan etuna on se, että spinorin käsite on hyvin konkreettinen alusta pitäen. Tällainen lähestyminen voi kuitenkin olla epäkäytännöllinen tarkasteltaessa spinorien monimutkaisia ominaisuuksia, kuten Fierzin identiteettejä.
Diracin spinori.
Diracin spinori on yleisimmin fysiikassa esiintyvä spinori. Se on nimetty Paul Diracin mukaan. Diracin spinori on kompleksisen Cliffordin algebran (johon spin-ryhmä Spin(p, q) voidaan upottaa) fundamentaalin esityksen elementti. Diracin yhtälön mukaan spinorit ovat välttämättömiä relativistisen elektronin kvanttitilojen kuvauksessa. Vapaan Diracin yhtälön
formula_1
toteuttavaa tasoaaltoratkaisua
formula_2
kutsutaan "Diracin spinoriksi". Diracin spinori on bispinori.
Edellä (yksiköissä formula_3)
formula_4 on relativistinen spin-1/2 kenttä,
formula_5 on Diracin spinori, jonka aaltovektori on formula_6
formula_7,
formula_8 on nelivektori, joka kuvaa tasoaallon aaltovektoria, ja jossa formula_9 on mielivaltainen,
formula_10 ovat nelikoordinaatit annetussa inertiaalijärjestelmässä.
Positiivisen energian ratkaisu Diracin yhtälölle voidaan kirjoittaa muotoon
formula_11
jossa
formula_12 on mielivaltainen 2-spinori,
formula_13 ovat Paulin matriisit ja
formula_14 on positiivinen neliöjuuri, formula_15.
Weylin spinori.
Weylin spinori on pienin "kompleksinen" ryhmän esitys. Se on samanaikaisesti myös pienin kompleksinen aliagebran esitys. 
Siinä missä Diracin spinori sisältää hiukkasen molemmat helisiteetit, Weylin spinori kuvaa ainoastaan yhtä helisiteettiä.
Diracin bispinori voidaankin esittää kahden vastakkaista helisiteettiä kuvaavan 2-komponenttisen Weylin avulla:
formula_16
Weylin spinorit muodostavat Lorentzin ryhmän "redusoitumattoman" esityksen.
Weylin spinori nimetty saksalaisen fyysikon ja matemaatikon Hermann Weylin mukaan.
Majorana-spinori.
Majorana-spinori on pienin "reaalinen" ryhmän esitys. Majorana-spinori toteuttaa Majoranan yhtälön ja kuvaa hiukkasta, joka on oma antihiukkasensa. Majorana-spinori on nimetty italialaisen fyysikon Ettore Majoranan mukaan.