Fermat’n suuri lause

Fermat’n suuri lause, Fermat’n viimeinen teoreema tai lyhyesti Fermat’n lause on matemaatikko Pierre de Fermat’n 1600-luvulla esittämä lukuteoreettinen väite:
Väite pitää paikkansa, mutta tämän todisti vasta Andrew Wiles 1990-luvulla. Väite pysyi siis yli 300 vuotta todistamattomana. Lausetta kutsutaan "suureksi" erotukseksi Fermat’n pienestä lauseesta, joka käsittelee kokonaan eri asiaa.
Historiaa.
Fermat kirjoitti kuuluisan lauseensa vuonna 1637 Diofantoksen "Arithmetican" marginaaliin. Väittämän alapuolelle hän kirjoitti latinaksi: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet" (Olen keksinyt väittämälle ihmeellisen todistuksen, mutta marginaalissa ei riitä sille tilaa). Lause löytyi Fermat’n kuoltua vuonna 1665. Fermat’n oma kappale kirjasta on kuitenkin kadonnut.
Mahdollisesti Fermat tarkasteli potenssitaulukoita ns. nexus-lukujen eli perättäisten kokonaislukujen saman potenssin erotusten summana. Kun kokonaislukujen potenssit kirjoitetaan nexus-lukujen summana muotoon formula_1, on helppo huomata, että vain neliötaulukossa ("n"=2) nexus-lukujen ja niiden perättäissummien joukossa on neliöitä. Kuutiotaulukon ("n"=3) nexus-lukujen tai niiden perättäissummien joukossa ei koskaan ole kuutioita. Samoin kaikkien korkeampien potenssien taulukoissa nexus-lukujen ja nexus-summien joukossa ei koskaan esiinny kokonaislukujen vastaavia potensseja. Tämä on helppo osoittaa myös geometrisesti, koska kaikkien kokonaislukujen parillisten eksponenttien osoittamat potenssit ovat aina neliöitä ja parittomien eksponenttien osoittamat potenssit ovat aina neliöjonoja. Näiden sivut ovat myös samojen kantalukujen alempia potensseja, jotka voidaan kirjoittaa samoin edelläkuvattuun 1+nexussumman muotoon. Sen sijaan kahden kokonaisluvun saman potenssin erotuksesta tai summasta muodostetun ko. potenssia edustavan neliön tai neliöjonon sivujen pituutta tai pinta-alaa on mahdoton kirjoittaa minkään kokonaisluvun ko. potenssia edustavan 1+ nexussumman muotoon, koska ne jäävät aina kahden perättäisen kokonaisluvun ko. potenssin välille. Siten kahden kokonaisluvun saman potenssin erotus (eli etäisyys kyseisessä potenssitaulukossa) on aina nexus-luku tai perättäisten nexus-lukujen summa, joka ei voi olla minkään kokonaisluvun vastaava potenssi, jos "n" on kahta suurempi kokonaisluku. Tällainen havainto on "suuren lauseen" kanssa yhdenmukainen ja mahdollinen selitys sille, että "demonstraatio" ei mahtunut marginaaliin. Fermat ehkä perusti "demonstraationsa" ja "todistuksensa" kahden luvun summan symmetriaan: Summan muodostavat kaksi lukua ovat aina symmetrisesti summan puolikkaan molemmin puolin eli keskeltä taitetulla summajanalla samalla vaakaviivalla a--A--b. Tämä pitää paikkansa kokonaisluvuilla ja kokonaislukujen neliöillä, mutta ei enää kuutioilla ja korkeammilla potensseilla, joten nk. Pythagoraan lause formula_2 voi toteutua kokonaisluvuilla, jos "n"=2, mutta ei, jos "n"=3 tai suurempi kokonaisluku, kuten Fermat nk. suuressa lauseessa kirjoittaa.
Lauseen tekee merkittäväksi se, että se oli viimeinen todeksi osoitettu Fermat’n luoma teoreema. Suurimmassa osassa lauseistaan Fermat oli kirjoittanut marginaaliin viitteitä oman todistuksensa kulkuun. Näiden viitteiden avulla myöhempi todistaminen helpottui huomattavasti, mutta Fermat’n suuren lauseen kanssa oli aloitettava alusta.
Fermat’n suurta lausetta oli yritetty todistaa moneen kertaan aikaisemminkin. Useaan kertaan tunnetutkin matemaatikot ovat väittäneet pystyvänsä sen todistamaan, mutta aina todistuksessa on ollut virhe. Vain muutama vuosi ennen Wilesin todistusta väitti japanilainen matemaatikko Yoichi Miyaoka todistaneensa lauseen, mutta todistuksesta löytyi lopulta virhe. Osia Fermat’n suuresta lauseesta oli kuitenkin pystytty todistamaan. Esimerkiksi Euler oli todistanut Fermat’n suuren lauseen, kun potenssi formula_3 on formula_4 tai formula_5.
Myöhemmin Fermat’n suuren lauseen ratkaisemisesta luvattiin palkkio, jota useat matemaatikot ja sitäkin useammat maallikot tavoittelivat. Ajatus siitä, että Fermat oli itse väittänyt 1600-luvun osaamisellaan pystyvänsä lauseen todistamaan, antoi myös maallikolle rohkaisun. Tuon ajan matemaattisen tiedon omaksuminen ei ole mahdoton tehtävä.
Todistus pääpiirteissään.
Englantilainen Andrew Wiles todisti Fermat’n suuren lauseen vuonna 1995 työskenneltyään todistuksen parissa seitsemän vuotta. Toisin kuin Fermat kuuluisassa marginaalissaan kirjoitti, hän ei todennäköisesti ollut löytänyt virheetöntä todistusta: Wiles käytti todistuksessaan modernia matematiikkaa – erityisesti algebrallisessa geometriassa esiintyviä modulimuotoja ja elliptisiä käyriä – joka oli 1600-luvun matemaatikkojen tavoittamattomissa.
Wilesin todistus teoreemalle perustui monilta osin muiden matemaatikkojen pohjustukseen. Todistuksen kulku on pääpiirteissään seuraava: Fermat’n suuri lause on voimassa eksponenteilla formula_6 ja formula_7. On riittävää osoittaa, että lause on voimassa alkulukueksponenteilla formula_8. On myös riittävää olettaa, että formula_9, formula_10 ja formula_11 on parillinen. Tarkastellaan elliptistä käyrää formula_12, jonka määrittelee yhtälö formula_13. Nyt on voimassa lause: Jos formula_14 on puolivakaa elliptinen käyrä yli rationaalilukujen ja formula_15 on formula_14:n konduktori, on formula_14 modulimuoto ja tasoa formula_15. Tämän mukaan formula_19 on modulimuoto. Mutta tällöin formula_20:n formula_21-torsiopisteiden muodostama ryhmä olisi tasoa kaksi oleva modulimuoto. Kuitenkaan ei ole olemassa nollasta poikkeavaa modulimuotoa, jonka taso on yksi tai kaksi.
Todistukseen siis käytettiin monia vasta 1900-luvulla kehitettyjä matematiikan menetelmiä, eivätkä useimmat matemaatikot ja tiedehistorioitsijat enää usko, että Fermat'lla olisi ollut pitävää todistusta lauseelle kaikilla eksponenteilla formula_3.
Todistuksen tarina on lähes yhtä erikoinen kuin itse lause. Wiles työskenteli seitsemän vuotta yksinomaan itse vihjaamatta edistyksestään kenellekään. Vasta loppuvaiheessa Nick Katz Princetonin yliopistosta auttoi Wilesiä. Kun Wiles julkisti todistuksensa pitämällä kolme luentoa Cambridgen yliopistossa 21.–23. kesäkuuta 1993, hän hämmästytti yleisöä lukuisilla uusilla ideoilla ja konstruktioilla. Luennon jälkeen matemaatikot tutkivat todistusta tarkemmin ja löysivätkin päättelyssä olleen aukon. Wiles ja Richard Taylor miettivät noin vuoden yrittäessään korjata todistusta. Syyskuussa 1994 he saivat lopulta aukon paikatuksi käyttämällä hyväkseen niin sanottua Iwasawan teoriaa.
Fermat’n suuren lauseen tapaus "n" = 2.
Tässä osiossa esitetään matemaattinen todistus Fermat’n suurelle lauseelle tapauksessa formula_23 Todistuksessa tarvitaan seuraavia matemaattisia käsitteitä: suurin yhteinen tekijä (syt), jaollisuus ja kongruenssi. Huomaa yhteys Pythagoraan lauseeseen.
Olkoon
formula_24 ja formula_25
Tällöin yleinen ratkaisu yhtälölle
formula_26 
on
formula_27 formula_28 ja formula_29
missä formula_30 ja formula_31 ovat eri pariteettia olevia luonnollisia lukuja. Lisäksi formula_32 ja formula_33.
Edelleen jokaista tällaista paria formula_34 vastaa tarkalleen yksi kolmikko formula_35, joka toteuttaa ehdot (1) ja (2).
Todistus: Oletetaan, että yhtälö (2) pätee ehdoilla (1). Edellä nähtiin, että formula_36 on pariton, ja selvästi myös formula_37 on pariton ja formula_38.
Näin ollen formula_39 ja formula_40 ovat kokonaislukuja ja
formula_41.
Muutoin olisi olemassa formula_42 siten, että formula_43 ja formula_44,
jolloin formula_45 eli formula_46 ja formula_47, ja seuraisi ristiriita.
Yhtälön (2) nojalla
formula_48
ja molempien puolten alkulukuhajotelmia tarkastelemalla huomataan, että yhtälön oikeanpuoleisten tekijöiden on oltava neliöitä, koska niiden suurin yhteinen tekijä on 1. Täten
formula_49
joillekin
formula_50 formula_51 joille formula_52 ja formula_53
On myös voimassa kongruenssi
formula_54 (mod 2)
mistä nähdään, että alkiot formula_30 ja formula_31 ovat eri pariteettia. Kongruenssin formula_57 (mod 2) näkee todeksi sijoittamalla alkioiden formula_30 ja formula_31 tilalle luvut 0 ja 1 eri kombinaatioina.
Täten kaikki yhtälön (2) ratkaisut, jotka toteuttavat ehdot (1), ovat muotoa
formula_27 formula_28 ja formula_62
missä formula_30 ja formula_31 ovat eri pariteettia ja toteuttavat ehdot
formula_32 ja formula_66
Ratkaisu (6) nähdään todeksi yhtälöiden (4) ja (5) avulla.
Oletetaan toisaalta, että formula_30 ja formula_31 ovat eri pariteettia ja toteuttavat ehdot (7), ja että kaavat (3) ovat voimassa. Silloin
formula_69
missä
formula_70 formula_71 formula_72 ja formula_73
Edelleen, jos formula_74, niin
formula_75
Vähentämällä ja summaamalla edelliset toisistaan saadaan formula_76 ja formula_77.
Koska formula_32, niin formula_79 tai formula_80. Koska muuttuja formula_36 on pariton, on luvun formula_82 oltava formula_83. Näin ollen formula_84.
Täten jos ratkaisu formula_35 tunnetaan, niin sitä vastaavat yksikäsitteiset formula_30 ja formula_31, jotka saadaan yhtälöistä (5). Toisaalta jokaista ehdot (7) toteuttavaa eri pariteettista paria formula_34 vastaa yksikäsitteinen yhtälön (2) ratkaisu formula_35, joka saadaan yhtälöistä (3).
Tästä seuraa, että jokaista paria formula_34 vastaa tarkalleen yksi kolmikko formula_35.