Diffraktio

Diffraktio on ilmiö, jossa aallon muoto muuttuu, kun sen kulkuun on vaikuttanut jokin kappale, esimerkiksi rako tai kide. Aalto "taipuu". Vaikka etenevä aalto muuttaa muotoaan aina kohdatessaan tiellään esteen, vaikutukset ovat selvimpiä esteen koon ja aallonpituuden ollessa samaa luokkaa.
Aalto voi olla mekaaninen kuten ääniaalto tai aalto veden pinnalla, hiukkanen kuten elektroni tai fotoneista koostuvaa sähkömagneettista säteilyä kuten radioaalto, infrapunasäteily, näkyvä valo tai röntgensäteily.
Yhden tai useamman aukon tai esteen diffraktoima aalto "hajoaa". Hajonneet osat voivat vahvistaa tai heikentää toisiaan paikoitellen: tätä kutsutaan "interferenssiksi", joka on diffraktioon usein läheisesti liittyvä ilmiö. Vahvistavaa vaikutusta saatetaan kutsua konstruktiiviseksi tai rakentavaksi. Heikentävää vaikutusta kutsutaan destruktiiviseksi tai hajottavaksi. Jos aalloilla on sama vaihe-ero, ne etenevät samaan suuntaan, niillä on sama aaltomuoto ja niillä on sama taajuus, eivätkä nämä ominaisuudet muutu, niitä kutsutaan "koherenteiksi". Vain koherentit aallot voivat muodostaa interferenssikuvion, jota kutsutaan myös "diffraktiokuvioksi". Kuvion voimakkaimpia kohtia kutsutaan usein "maksimeiksi" ja heikoimpia kohtia "minimeiksi".
Diffraktio on ilmeistä esimerkiksi vedellä, mutta tätä tapahtuu myös valolla. Parhaiten se on kenties havaittavissa jos koherentilla ja siten yksivärisellä eli vain yhtä aallonpituutta lähettävällä eli monokromaattisella valonlähteellä, kuten laserilla valaistaan levyä, jossa on kaksi hyvin lähellä toisiaan olevaa ja kyllin kapeaa vierekkäistä rakoa. Tällöin muodostuu kyllin kaukana levyn takana olevaan "varjostimeen" useita rivissä ja toisistaan tasaisin välimatkoin olevia valoviiruja tai -täpliä sisältävä interferenssikuvio. Varjostimeen ei siis muodostu kahta viirua/täplää toisin kuin joku saattaisi olettaa vaikka valon havaitaan etenevän arkielämässä sädemäisen suoraan kuin se koostuisi vain hiukkasmaisen luonteen omaavista osasista. Tämänkaltainen interferenssikuvion aikaansaava koe tunnetaan muun muassa Youngin kaksoisrakokokeena tai kaksoisrakokokeena. Valo siis diffraktoi ja interferoi itsensä kanssa, eli sillä on aaltomaista luonnetta.
Diffraktio ja interferenssi.
Diffraktiota tapahtuu myös aineella eli materialla, jolla on lepomassa toisin kuin massattomilla fotoneilla: interferenssikuvio on saatu kokeellisesti aikaan muun muassa elektroneilla yksittäisillä atomeilla ja jopa 810 atomin molekyyleillä, joiden massa oli yli 10 000 daltonia. Kaikella aineella on siis aaltomaista luonnetta ja siten myös aallonpituus, joka voidaan laskea de Broglien yhtälöllä. Siksi myös aine voi muodostaa interferenssikuvioita.
Hiukkaset diffraktiossa.
Hiukkasten, kuten elektronien ja neutronien, diffraktion katsotaan todistavan kvanttimekaniikan paikkansapitävyydestä. Hiukkasia voidaan siis kuvata todennäköisyysaalloilla, mikä on osoitus aineen aalto- ja hiukkasluonteesta.
Hiukkasten diffraktiota aineesta voidaan käyttää tutkimaan ainetta esimerkiksi elektronidiffraktion ja neutronidiffraktion avulla. Röntgendiffraktiomenetelmää käytetään yleisesti kiteisten aineiden kuten mineraalien tunnistamiseen, jolloin hyödynnetään Braggin lakia.
Matemaattiset mallit.
Valon diffraktiolle on useita erilaisia matemaattisia malleja, jotka voidaan jakaa kahteen päätyyppiin, vektorimalleihin ja skalaarimalleihin.
Skalaarimallit perustuvat Huygensin periaatteelle, Rayleighin-Sommerfeldin teorialle, Kirchhoffin yhtälöihin ja mallille, josta voisi käyttää suomeksi nimitystä tasoaaltojen kulmaspektri. Tunnetut Fresnelin ja Fraunhoferin yksinkertaistukset eli approksimaatiot on johdettu Kirchhoffin mallista.
Vektorimalleja on myös useita, muun muassa Strattonin ja Chun malli, pintojen yhdenarvoisuusperiaatteelle perustuva malli sekä Jacksonin malli. Vektorimalleja pidetään skalaarisia tarkempina.
Usein interferenssikuvioiden matemaattista tarkastelua yksinkertaistetaan, siten että varjostimen (tai muun havaintotason) oletetaan olevan niin kaukana rakolevystä (tai muusta diffraktoivasta kappaleesta), että siihen tulevien säteiden voidaan olettaa olevan rinnakkaisia eli aallot ovat yhtenä rintamana eteneviä tasoaaltoja. Tällä olettamuksella mallinnettua diffraktiota kutsutaan "Fraunhoferin diffraktioksi", josta muodostuvia interferenssikuvioita kutsutaan "Fraunhoferin interferenssikuvioiksi". Käytännössä Fraunhoferin kuvio saadaan aikaan hajottavan eli koveran linssin avulla, joka ohjaa aallot lähellään olevaan varjostimeen likimain rinnakkaisesti.
Jos varjostin on lähellä rakolevyä, tulevat säteet varjostimelle ei-rinnakkaisesti eli aallot ovat pallomaisia. Tällä olettamuksella mallinnettua diffraktiota kutsutaan "Fresnelin diffraktioksi", josta muodostuvia interferenssikuvioita kutsutaan "Fresnelin interferenssikuvioiksi". Fresnelin kuvioita on kuitenkin hankalampaa tarkastella matemaattisesti, joten usein yksinkertaisessa tarkastelussa käytetään Fraunhoferin malleja. Fresnelin diffraktio lähenee Fraunhoferin diffraktiota, kun lähdettä ja havaintotasoa viedään kauemmas diffraktoivasta kappaleesta. Fresnelin diffraktio kuvaa diffraktiota kokonaisvaltaisesti ja Fraunhoferin diffraktio on approksimaatio edellisestä.
Kaikilla malleilla on heikkoutensa ja vahvuutensa, ja niitä voidaan soveltaa itse kullekin sopiviin ongelmiin. Mallin valintaan vaikuttaa se, mitä tiedetään annetusta ongelmasta.
Rakojen ja rakosysteemin leveyden huomioon ottava tarkka lauseke useamman raon diffraktiolle voidaan johtaa Fourier'n muunnosta käyttämällä Huygensin periaattetta. Useamman kuin kahden raon kokeessa nähdään, että intensiteettimaksimit tulevat tarkkarajaisemmiksi, kun rakoja on enemmän. Tämä johtuu siitä, että diffraktiomaksimien leveys on kääntäen verrannollinen koko rakosysteemin leveyteen. Diffraktiomaksimien verhokäyrän leveys on kääntäen verrannollinen rakojen leveyteen.
Kahden raon interferenssikuvio.
Selkein kaksoisraon interferenssikuvio muodostuu käytettäessä vain yhden aallonpituuden omaavia hiukkasia, muita kappaleita tai sähkömagneettista säteilyä eli monokromaattista säteilyä. Monokromaattinen näkyvä valo on vain yhden väristä.
Fraunhoferin diffraktiossa kohtisuoraan rakolevylle tuleville aalloille kuvion maksimien kulmat eli esimerkiksi valolla kulmat, joihin muodostuvat kirkkaimmat kohdat, saadaan yhtälöllä
formula_1
θm on kertaluvun m osoittama kulma radiaaneina (arvo välillä 0–2π), jossa tapahtuu suurin rakentava interferenssi.
m on maksimin osoittava yksikötön kertaluku, joka on kokonaisluku nollasta ylöspäin (m = 0, 1, 2...). Minimit (valolla tummimmat kohdat) saataisiin arvoilla 0.5, 1.5, 2.5... eli (m + 0.5) sijoitetaan yhtälöön m tilalle.
λ on aallonpituus metreinä.
d on rakojen välinen etäisyys metreinä. Raot oletetaan infinitesimaalisen kapeiksi.
Jos tiedetään millä etäisyydellä L varjostin on metreinä, johon maksimi muodostuu, voidaan sen korkeus y-akselilla ym metreinä laskea trigonometrisesti pitämällä L-arvoa viereisenä kateettina, θm kulmana tämän ja hypotenuusan välillä, ja ym tuntemattomana vastakkaisena kateettina (katso suorakulmainen kolmio). Akseli on varjostimen myötäinen ja sen nollakohta on rakolevyltä kohtisuoraan katsottaessa rakojen keskellä. Korkeus lasketaan yhtälöllä
formula_2
Kulmat esimerkiksi valolla ovat kuitenkin niin pieniä, että voidaan olettaa että tan θm ≈ θm, jolloin θm kerrotaan suoraan etäisyydellä L. Maksimin korkeuden ym ilmoittava yhtälö muuntuu siten muotoon
formula_3
Minimi saadaan yllä olevalla yhtälöllä käyttämällä arvoa (m + 0.5) arvon m tilalla.
Esimerkkejä.
Missä kohtaa varjostinta on aallonpituuden 700 nm punaisen valon nollannen kertaluvun valokuvio, jos varjostin on 10 m:n päässä ja raot ovat 1 cm etäisyydellä toisistaan?
formula_4
Punainen valokuvio muodostuu siis keskelle varjostinta katsottaessa rakojen kohdalta kohtisuoraan varjostimelle.
Entä missä kulmassa ja kohtaa on seuraava valokuvio samoissa oloissa?
formula_5
formula_6
Punaisen valokuvion kirkkain kohta on erittäin pienessä kulmassa (noin 4*10-5 asteessa) keskimmäisestä valokuviosta. Siten sen korkeus voidaan laskea suoraan ilman tangenttifunktiota. Valokuvioita on kaksi: toisen korkeus on 7 µm ja toisen -7 µm.
Yhden raon interferenssikuvio.
Interferenssikuvio muodostuu koherenteille hiukkasille, muille kappaleille ja sähkömagneettiselle säteilylle, kuten näkyvälle valolle, myös yhdellä raolla. Syy miksi näin käy, voidaan ajatella helpoimmin klassisen fysiikan Huygensin periaatteen kautta, jossa raon jokaiseen kohtaan muodostuu pallomaisesti etenevä pallolähde aivan kuin rakoja olisi lähekkäin useita. Nämä pallolähteet interferoivat keskenään. Huygensin periaate ei kuitenkaan selitä ilmiötä.
Fraunhoferin diffraktiossa kohtisuoraan rakolevylle tuleville aalloille minimi eli esimerkiksi valolla tummin kohta muodostuu varjostimelle seuraavan yhtälön mukaisesti
formula_7
yp on minimin korkeus metreinä varjostimella (sen myötäisellä y-akselilla).
p on minimin osoittava yksikötön kertaluku, joka on kokonaisluku yhdestä ylöspäin (p = 1, 2, 3...). Maksimit (valolla kirkkaimmat kohdat) saataisiin arvoilla 1.5, 2.5, 3.5... eli (p + 0.5) sijoitetaan yhtälöön p tilalle.
λ on aallonpituus metreinä.
L on varjostimen etäisyys metreinä rakolevystä.
a on rakolevyn raon leveys metreinä.
Ensimmäisen kertaluvun p arvot (eli kun p = 1) mukaiset minimit määräävät varjostimelle muodostuvan interferenssikuvion keskimmäisen kuvion leveyden. Koska tarkastellaan leveyttä, tulee yhtälö kuitenkin kertoa kahdella, jolloin leveys w saadaan metreinä seuraavan yhtälön mukaisesti
formula_8
Usean raon interferenssikuvio.
Useita rakoja sisältävää rakolevyä, jossa raot ovat säännöllisin välimatkoin toisistaan, kutsutaan hilaksi.
Fraunhoferin diffraktiossa kohtisuoraan säännölliseen hilaan tuleville koherenteille aalloille kuvion maksimin kulma eli esimerkiksi valolla kulma, johon muodostuu kirkkain kohta, saadaan yhtälöllä
formula_9
d on rakojen välinen etäisyys toisistaan metreinä. Raot oletetaan infinitesimaalisen kapeiksi ja niitä oletetaan olevan äärettömästi, eli hilakin on äärettömän leveä, jolloin ainoastaan hilojen väliset etäisyydet vaikuttavat yhtälöön, mutta niiden todelliset lukumäärät eivät.
θm on kertaluvun m osoittama kulma asteina, radiaaneina tai muina kulmayksikköinä, jossa tapahtuu suurin rakentava interferenssi.
m on maksimin osoittava yksikötön kertaluku, joka on kokonaisluku nollasta ylöspäin (m = 0, 1, 2...). Minimit (valolla tummimmat kohdat) saataisiin arvoilla 0.5, 1.5, 2.5... eli (m + 0.5) sijoitetaan yhtälöön m tilalle.
λ on aallonpituus metreinä.
Hilan aikaansaamien maksimien korkeus varjostimella saadaan yhtälöllä
formula_10
ym on maksimin korkeus metreinä varjostimella (sen myötäisellä y-akselilla).
L on varjostimen etäisyys metreinä hilasta.
Yllä olevat yhtälöt eivät kerro että raon interferenssikuvioissa maksimit rajautuvat pienemmille alueille ja niiden väliset etäisyydet kasvavat, mitä enemmän rakoja on jos niiden väliset etäisyydet etäisyydet eivät muutu. Tämä johtuu siitä, että yhtälöissä rakoja oletetaan olevan äärettömästi ja siten hilankin oletetaan olevan äärettömän leveä.
Myös maksimien intensiteetti kasvaa rakojen määrän kasvaessa.
Useaa aallonpituutta sisältävän valon kuten valkoisen valon kulkiessa hilan kautta, sen aallonpituudet diffraktoituvat eri kulmiin eli valo hajoaa spektrikseen. Hilassa ei välttämättä tarvitse olla rakoja diffraktion havaitsemiseksi. Heijastavapintaisissa hiloissa, joissa on säännöllisin välimatkoin pieniä samasuuntaisia uria, on siksi havaittavissa useita pinnan tarkastelukulman mukana muuttuvia värejä eli irisointia. Esimerkkejä ovat DVD-levyt ja riikinkukon sulat.
Esimerkkejä.
Hilassa on 5 000 rakoa per cm ja sitä valaistaan 500 nm laserilla. Missä kulmassa ja korkeudella varjostimella ensimmäisen kertaluvun maksimit ovat jos varjostin on 4 m:n päässä hilasta?
Rakojen etäisyys on 1 cm / 5000 = 0.0002 cm eli 2*10-6 m joten
formula_11
Kulma saadaan arkussinifunktiolla
formula_12
Korkeus on siten nollannen kertaluvun maksimista
formula_13
Pyöreän reiän interferenssikuvio.
Jos rako on pyöreä, eikä viirumainen, kohtisuoraan reikälevylle tuleville koherenteille aalloille ensimmäisen minimin kulma saadaan Fraunhoferin diffraktion mukaisella yhtälöllä
formula_14
θ1 on ensimmäisen kertaluvun kulma radiaaneina, jossa tapahtuu suurin hajottava interferenssi.
λ on aallonpituus metreinä.
D on pyöreän aukon halkaisija metreinä.
Arvo 1.22 on ensimmäisen lajin besselin funktioista ja piin likiarvosta matemaattisesti johdettu ja sekin on oikeasti pyöristetty arvo. Tarkempi arvo on 1.21966989... ().Keskimmäisen interferenssikuvion maksimi"alueen" eli esimerkiksi valolla keskimmäisen kirkkaan alueen likimääräinen halkaisija on
formula_15
w on keskimmäisen interferenssikuvion maksimialueen likimääräinen halkaisija metreinä.
L on varjostimen etäisyys metreinä rakolevystä.
Yhtälön kerroin 2.44 on 1.22 kerrottuna kahdella koska tarkastellaan leveyttä. Käytettäessä yhtälössä arvoa 1.22 saataisiin vain maksimialueen säde.
Vaikutus optisten laitteiden erotuskykyyn.
Linssivirheiden kuten palloaberraation ja väriaberraation ohella myös diffraktio rajoittaa esimerkiksi kaukoputkien ja erityisesti erilaisten mikroskooppien erotuskykyä eli resoluutiota, jolla tarkoitetaan niiden kykyä erottaa toisistaan tarkasteltavia kohteita. Maapallon pinnalla olevia tähtitieteellisiä kaukoputkia rajoittavat tosin merkittävästi myös maan ilmakehän aiheuttamat häiriöt, joka voidaan korjata viemällä kaukoputki ulos ilmakehästä vaikkapa satelliittiin (esimerkiksi Hubble-avaruusteleskooppi). Ilmakehän häiriöt voidaan poistaa käytännössä kokonaan käyttämällä radioteleskooppia.
Aberraatiovirheet voidaan teoriassa poistaa linssistä kokonaan, mutta diffraktio rajoittaa tällaisen kuvitteellisen virheettömän linssin erotuskykyä fysiikan lakien tasolla. Virheetöntä linssiä kutsutaan siksi "diffraktiorajoitetuksi linssiksi", sillä diffraktion vaikutusta ei voida poistaa edes teoriassa.
Diffraktio linssissä johtuu siitä, että esimerkiksi valon saapuessa linssiin, toimii linssi kuin pyöreä reikä rakolevyssä. Linssi on siis valolle eräänlainen este, jolloin diffraktiota tapahtuu väistämättä. Tämän vuoksi diffraktiorajoitetulla kaukoputkella katsottaessa erittäin kaukaiset ja siten hyvin pieneltä näyttävät tähdet näyttävät häränsilmämäisiltä interferenssikuvioilta pyöreiden pallojen sijaan. Erittäin pienet kohteet mikroskoopilla katsottaessa näyttävät myös samankaltaisilta. Minkä kokoisia nämä tähtien, mikroskooppisten kappaleiden tai muiden kohteiden interferenssikuviot ovat, riippuu niistä diffraktiorajoitetulle linssille tulevan sähkömagneettisen säteilyn aallonpituudesta, mutta myös linssistä seuraavan yhtälön mukaisesti
formula_16
wmin on pienimmän pyöreän kohteen likimääräinen halkaisija metreinä.
λ on aallonpituus metreinä.
f on linssin polttoväli metreinä.
D on pyöreän linssin halkaisija metreinä.
Vastaavasti linssin kautta voidaan lähettää sähkömagneettista säteilyä johonkin pisteeseen. Yllä oleva kaava kertoo, minkä kokoiseen pyöreään alueeseen säteily voidaan tarkasti kohdentaa diffraktiorajoitetulla linssillä. Tällä on merkitystä esimerkiksi prosessorien valmistuksessa, joka tehdään optisella litografialla. Litografiassa käytetään muottina toimivaa valokuvamaskia, johon on "piirretty" tummin ja läpinäkyvin aluein prosessoriin tehtävät komponentit. Valokuvamaski toimii sähkömagneettista säteilyä (yleensä käytetään UV-säteilyä) kohdentavana linssinä, joka kohdentaa nämä kuviot puolijohdemateriaalista tehtyyn erittäin sileään levyyn paljon maskia pienemmälle alueelle. Materiaali on käsitelty aineella, joka syövyttää eli etsaa säteilyä saaneita alueita, mutta varjoalueet jäävät syöpymättä. Hallitulla etsauksella saadaan puolijohteeseen tehtyä mikroskooppisen pienet kolmiulotteiset johdinkuviot. Prosessorien tehostamiseksi suhteessa niiden kokoon (katso Mooren laki), täytyy litografian valokuvamaskilla kohdentaa säteilyä yhä pienempiin kohteisiin. Säteilyn aallonpituus kuitenkin rajoittaa yllä olevan kaavan mukaisesti maskilla saatavien johteiden kokoa ja siten prosessorien laskentatehoa. Prosessorien tehoa rajoittavat tosin monet muutkin käytännön ja teoreettiset tekijät.
Suhteessa linssin keskiöön, on linssillä tarkasteltavien kohteiden välillä jokin kulma. Kohteiden välisen kulman pienentyessä kylliksi, sulautuvat kohteiden interferenssikuviot toisiinsa, jolloin ei enää voida nähdä onko kohteita yksi vai kaksi. Jos diffraktiota ei olisi, voitaisiin kuvaa teoriassa aina vain suurentaa toisin linssein. Tällöin pienimmätkin ja läheisimmätkin kohteetkin erottuisivat toisistaan kunhan niiden välinen kulma ei olisi nolla, jolloin kohteet olisivat perättäin suhteessa linssiin tai samassa pisteessä.
Pienin likimääräinen kulma, jossa olevat kohteet diffraktiorajoitetulla linssillä voidaan erottaa toisistaan, saadaan yhtälöllä
formula_17
θmin on pienin linssillä erottuvien kohteiden välinen kulma radiaaneina suhteessa linssin keskiöön.
Jos kohteiden välinen kulma α on α &gt; θmin tai α = θmin, voidaan kohteiden sanoa erottuvan toisistaan. Jos α &lt; θmin, eivät kohteet erotu toisistaan, sillä niiden interferenssikuviot ovat sulautuneet yhteen. Näitä erotuskyvyn sääntöjä eli kriteereitä kutsutaan "Rayleighin kriteereiksi" (eng. "Rayleigh criterion"), sillä ne kehitti Lordi Rayleigh. Muita erotuskyvyn sääntöjäkin tosin on.
Esimerkiksi erittäin hyvinkin valmistettujen tavallisten valomikroskooppien erotuskyky on rajoittunutta näkyvän valon aallonpituuden vuoksi yllä olevien kaavojen mukaisesti. Liian pienet ja lähekkäiset kohteet näkyvät mikroskoopilla "puuroutuneina", eli toisiinsa sotkeutuneina interferenssikuvioina.
Interferenssikuvio valkoisella valolla.
Interferenssikuvio muodostuu koherentille ja kaikkia näkyvän valon aallonpituuksia yhtäläisesti sisältävälle eli puhtaan valkoiselle valolle päällekkäisesti. Keskimmäinen kuvio esimerkiksi yhdellä tai kahdella raolla on valkoinen eli se sisältää kaikkia aallonpituuksia, koska kaikki aallonpituudet muodostavat päällekkäisesti kuvion keskelle tässä artikkelissa esiteltyjen yhtälöiden mukaisesti. Seuraavan kertaluvun kuviot muodostavat sateenkaaren värisen kuvion (spektrin), jossa sininen väri on lähempänä keskimmäistä valkoista valokuviota kuin muut saman kertaluvun värit. Tämä johtuu siitä, että sinisen valon kuviot ovat yllä esiteltyjen yhtälöiden mukaisesti lähempänä toisiaan kuin esimerkiksi punaisen valon.
Diffraktio aineella.
Myös aineella eli materialla on aallonpituus, joka voidaan laskea de Broglien yhtälöllä. Siksi interferenssikuvioita muodostuu aineella sähkömagneettisen säteilyn lisäksi, mutta aineen interferenssikuvioita on usein hankalampi saada aikaan.
Esimerkkejä.
Elektronisäteen elektronien liike-energia 1 elektronivolttia (eV). Säteellä osoitetaan kaksoisrakolevyyn. Missä kohtaa elektronien havaitsinta on ensimmäisen kertaluvun maksimi, jos havaitsin on 10 m:n päässä ja raot ovat etäisyydellä 1 cm toisistaan?
1 eV tiedetään olevan noin 1.6*10-19 j, joka on elektronin liike-energia KE, ja elektronin massan olevan 9.11*10-31 kg. Liikemäärä p (massa kertaa nopeus eli mv) lasketaan muuttamalla kineettisen energian kaava KE = 0.5 mv2 seuraavaan muotoon
formula_18
Klassisen mekaniikan liike-energian kaavaa voidaan käyttää ja suhteellisuusteorian vaikutukset voidaan jättää huomiotta paitsi yksinkertaistuksen vuoksi, myös siksi että elektronien nopeus on p/m ≈ 600 000 m/s, eli vain noin 20 % valonnopeudesta. De Broglien yhtälöllä käyttäen Planckin vakiota h ja edellisen yhtälön p tarkkaa arvoa elektronien aallonpituudeksi saadaan
formula_19
Käyttäen edellisen λ tarkkaa arvoa kaksoisrakolevyn kaavalla saadaan keskimmäisestä maksimista seuraavan maksimin korkeus
formula_20
Maksimeita on kaksi, yksi kohdassa 1.2 µm, ja toinen kohdassa –1.2 µm.