Binomilause

Alkeisalgebrassa binomilause kuvaa binomin potenssin algebrallisen kehittämisen. Lauseen mukaan on mahdollista kehittää (x + y)n summaksi, jossa termit ovat muotoa axbyc, siten että eksponentit b ja c ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja b + c = n. Lisäksi jokaisen termin kerroin a on tietty positiivinen kokonaisluku, joka riippuu n:stä ja b:stä. Kun eksponentti on 0, on "x" tai "y" jätetty pois kehitelmästä. Esimerkiksi:
formula_1
formula_2
formula_3
formula_4
formula_5
Kerroin a termissä xbyc tunnetaan binomikertoimena formula_6 tai formula_7 (näillä kahdella on sama arvo). Nämä kertoimet voidaan laskea kaavasta
formula_8
missä "b!" tarkoittaa luvun "b" kertomaa.
Binomikertoimet voidaan myös järjestää Pascalin kolmioksi. Samat luvut esiintyvät myös kombinatoriikassa, jossa formula_6 osoittaa, kuinka monta b-alkioista osajoukkoa "n" alkion joukolla on.
Historiaa.
Binomikaava ja kolmion muotoon järjestetyt binomikertoimet liitetään usein vain Blaise Pascaliin, joka kuvaili ne 1600-luvulla, mutta jo monet häntä edeltävät matemaatikot tiesivät ne. 300-luvulla eaa. kreikkalainen matemaatikko Eukleides Aleksandrialainen mainitsi erikoistapauksen binomilauseesta (a+b) eksponentille 2 kuten myös 200-luvun eaa. intialainen matemaatikko Pingala korkeammille kertaluvuille. Tuttu binomilause ja niin kutsuttu Pascalin kolmio olivat tunnettuja 900-luvulla intialaiselle matemaatikolle Halayudhalle ja persialaiselle matemaatikolle Al-Karajille, ja 1200-luvun kiinalaiselle matemaatikolle Yang Huille, jotka kaikki saivat samoja tuloksia.
Al-Karaji antoi myös matemaattisen todistuksen sekä binomilauseesta että Pascalin kolmiosta käyttäen matemaattista induktiota.
Lauseen väite.
Lauseen mukaan on mahdollista kehittää mikä tahansa potenssi ("x" + "y"):n summaksi, joka on muotoa
formula_10
missä jokainen formula_11 on tietty positiivinen kokonaisluku, joka tunnetaan binomikertoimena. Tämä kaava liittyy myös binomikaavaan tai binomikuvaukseen. Käytettäessä summamerkintää se voidaan kirjoittaa
formula_12
Viimeinen lauseke seuraa edellisestä ja on symmetrinen "x" :n ja "y" :n ensimmäisen lausekkeen kanssa, ja verrattaessa kertoimiin huomataan, että binomikertoimien jono kaavassa on myös symmetrinen.
Esimerkkejä.
Tavallisin esimerkki binomilauseesta on "x" + "y":n neliö:
formula_13
Binomikertoimet 1, 2, 1 tässä lausekkeessa vastaavat Pascalin kolmion kolmatta riviä. Korkeampien potenssien kertoimet "x" + "y":lle vastaavat kolmion seuraavia rivejä :
formula_14
Huomaa, että 
Todistuksia.
Kombinatorinen todistus.
Esimerkki.
"xy"2n kerroin
formula_17
on formula_18 koska on kolme kolmen kirjaimen pituista "x","y" jonoa, joissa on tarkalleen kaksi "y"'tä, nimittäin,
formula_19
vastaten kolmea kaksialkioista osajoukkoa joukosta { 1, 2, 3 }, nimittäin,
formula_20
missä jokaisessa osajoukossa eritellään "y"n paikka vastaavassa jonossa.
Yleinen tapaus.
Kun kehitetään auki ("x" + "y")"n" niin se tuottaa 2"n" tulojen summaa, jotka ovat muotoa "e"1"e"2 ... "e""n" missä jokainen "e""i" on "x" tai "y". Kun järjestellään termejä uudelleen, niin huomataan, että jokainen tulo on muotoa "x""n"−"k""y""k" "k":n arvoilla 0:sta "n":ään. Kun "k" tunnetaan, saadaan seuraavista kaikista lauseista sama arvo:
Tämä todistaa binomilauseen.
Binomisarja.
Jos eksponentti "n" ei ole positiivinen kokonaisluku eikä nolla, ei lauseketta formula_22 voida kehittää polynomiksi. Yleistetyn binomilauseen mukaan sille on kuitenkin olemassa sarjakehitelmä:
formula_23, 
missä yleensä pätee kuitenkin vain, formula_24 (ja eräissä tapauksissa silloinkin, kun formula_25), jolloin sarja suppenee. Tässä kertoimille formula_26 käytetään myös merkintää formula_27. Tätä sarjaa sanotaan binomisarjaksi.
Erikoistapauksessa, kun "n" on positiivinen kokonaisluku, sarjan kertoimet "n"+1:nnestä lähtien ovat kaikki nollia, jolloin tuloksena saadaan algebran binomilause.