Pascalin kolmio

Pascalin kolmio on matematiikassa binomikertoimista kolmion muotoon koottu järjestelmä. 
Pascalin kolmio on saanut nimensä ranskalaisen matemaatikon Blaise Pascalin mukaan. Pascal itse ei keksinyt Pascalin kolmion käsitettä, sillä jo muinaiset persialaiset, kiinalaiset, intialaiset ja italialaiset tunsivat sen. Kuitenkin vasta Pascal havaitsi sen käyttökelpoisuuden moninaisissa matemaattisissa ongelmissa.
Pascalin kolmio voidaan muodostaa siten, että ylhäältä alaspäin edettäessä jokainen uuden rivin luku on sen yläpuolella vasemmalla ja oikealla puolella olevien lukujen summa. Jokainen reunalla oleva luku on 1. Alla Pascalin kolmion rivit nollasta kymmeneen:
 1
 1 1
 1 2 1
 1 3 3 1
 1 4 6 4 1
 1 5 10 10 5 1
 1 6 15 20 15 6 1
 1 7 21 35 35 21 7 1
 1 8 28 56 70 56 28 8 1
 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Kertoimien yhteenlaskusäännön voi täydentää sijoittamalla tyhjille paikoille ykkösten vasemmalle ja oikealle puolelle nollia. 
Merkitys.
Binomilause.
Binomilauseen mukaan binomin positiivinen kokonaislukupotenssi (a+b)n voidaan kehittää polynomiksi, jonka kertoimet, kun termit järjestetään a:n alenevien potenssien mukaan, saadaan Pascalin kolmion "n+1":nneltä riviltä eli siltä riviltä, jonka toinen luku on "n". Esimerkiksi lausekkeen formula_1 kertoimet ovat 1, 4, 6, 4 ja 1 eli 
formula_2
Näitä Pascalin kolmiosta saatavia kertoimia sanotaan binomikertoimiksi. Niille käytetään merkintää 
formula_3
joka tarkoittaa termin formula_4 kerrointa, kun ("a"+"b")n kehitetään polynomiksi. Tämä luku esiintyy Pascalin kolmion "n"+1:nnellä rivillä "k"+1:ntenä. Esimerkiksi kolmion 5. rivillä ovat luvut:
formula_5 ja formula_6.
Yleensäkin on aina
formula_7 ja
formula_8.
Binomikertoimet voidaan laskea myös kertomien avulla kaavalla
formula_9.
Pascalin kolmio voidaan muodostaa edellä kuvatulla tavalla, koska "Pascalin säännön" mukaan kaikilla arvoilla "n"&gt;1, 0&lt;"k"&lt;"n" pätee:
formula_10.
Kombinatoriikka ja todennäköisyyslaskenta.
Pascalin kolmiolla on tärkeä merkitys myös kombinatoriikassa ja sen sovelluksena todennäköisyyslaskennassa. Minkä tahansa "n"-alkioisen joukon sellaisten osajoukkojen lukumäärä, jossa on "k" alkiota, saadaan Pascalin kolmion "n+1":nnen rivin "k+1":nnestä kohdasta. Esimerkiksi neli­alkioisella joukolla on 1 sellainen joukko, jossa ei ole yhtään alkiota (tyhjä joukko), 4 yksi­alkiosta, 6 kaksi­alkioista ja 4 kolmi­­alkioista osaj­oukkoa sekä 1 neli­alkoinen osa­joukko eli alku­peräinen joukko itse.
Binomikertoimiin perustuu myös binomijakauma.
Historia.
Pascalin kolmio on saanut nimensä Blaise Pascalin mukaan. Itse kolmio oli kuitenkin tunnettu jo kauan ennen Pascalin aikaa. Intiassa sitä oli sovellettu kombinatoriikkaan, ja antiikin Kreikassa sen luvut olivat tulleet esiin kuviolukuja tutkittaessa. Nykyisen nimensä kolmio sai, koska teoksessaan "Traité du triangle arithmétique" (1654, julkaistu 1665) Pascal esitti sen luvuille monia aikaisemmin tuntemattomia sovelluksia.
Myöhempien kommentaarien perusteella on päätelty, että binomikertoimet ja niiden laskemiseen käytetyn yhteenlaskukaavan (formula_11) tunsi jo viimeistään toisella vuosisadalla ennen ajanlaskumme alkua intialainen Pingala, joka käytti niistä nimitystä "Meru-praastara", Merun portaikko". Pingalan teoksista on säilynyt vain katkelmia, mutta noin vuonna 505 sitä kommentoinut Varahamihira kuvasi yhteenlaskukaavan selvästi, ja yksityis­kohtaisemman kuvauksen samasta säännöstä antoi Halayudha noin vuonna 975. Halayudha myös selvensi, mitä hämärät maininnat "Merun portaikosta" tarkoittavat, ja häneltä on peräisin myös varhaisin kuvaus, jossa binomi­kertoimet on järjestetty taulukoksi kolmion muotoon. Noin vuonna 850 jainalainen matemaatikko Mahāvīra esitti binomi­kertoimille toisen­laisen laskukaavan käyttäen kertolaskua yhtäpitävästi nykyisen kaavan formula_12 kanssa. Vuonna 1068 matemaatikko Bhattotpala esitti ensimmäisten kuudentoista rivin neljä ensimmistä saraketta. Hän oli tiettävästi myös ensimmäinen, joka samassa yhteydessä esitti sekä yhteen- että kerto­lasku­menetelmät näiden lukujen laskemiseksi.
Suunnilleen samoihin aikoihin persialainen matemaatikko Al-Karaji (953–1029) kirjoitti nyttemmin kadonneen kirjan, joka myös sisälsi kuvauksen Pascalin kolmiosta. Myöhemmin sen esitti persialainen myös runoilijana ja tähtitieteilijänä tunnettu Omar Khayyám (1048–1131), jonka mukaan kolmio Iranissa tunnetaankin nimellä "Khayyamin kolmio". Hänen aikanaan tunnettiin jo monia kolmioon liittyviä lauseita, muun muassa binomilause. Khayyam käytti luvun "n":nnen juuren määrittämiseen menetelmää, joka perustuu binomikehitelmään ja näin ollen binomi­kertoimiin.
Myös Kiinassa Pascalin kolmion tunsi jo Jia Xian (1010–1070). Myöhemmin sitä tutki Yang Hui (1238–1298), jonka mukaan se yhä tunnetaan Kiinassa nimellä Yang Huin kolmio ()
Euroopassa binomikertoimet laski Gersonides 1300-luvulla käyttämällä niiden laskemiseen kertolaskukaavaa. Kolmion muotoon järjestettynä ne julkaisi Euroopassa ensimmäisenä Petrus Apianus (1495–1552) liikelaskuja käsittelevän kirjansa kannessa vuonna 1527. Michael Stifel julkaisi osan kolmiosta, toiselta sarakkeelta keskimmäiselle, vuonna 1544 kuvaillen sitä kuviolukujen taulukkona. Italiassa Pascalin kolmio tunnetaan "Tartaglian kolmiona" algebran tutkija Niccolò Fontana Tartaglian (1500–1577) mukaan, joka julkaisi kolmion kuusi ensimmäistä riviä vuonna 1556. Myös 
Gerolamo Cardano julkaisi kolmion ja sekä yhteen- että kertolaskumenetelmät sen muodostamiseksi vuonna 1570.
Pascalin teos "Traité du triangle arithmétique" ("Tutkielma aritmeettisesta kolmiosta") julkaistiin vuonna 1655. Siinä Pascal kokosi yhteen joukon kolmiota koskevia tuloksia ja käytti niitä toden­näköisyys­laskennan probleemojen ratkaisemiseen. Pascalin nimen kolmiolle antoivat ensimmäisinä vuonna 1708 Pierre Raymond de Montmort, joka nimitti sitä "herra Pascalin kombinaatiotauluksi" (), ja vuonna 1730 Abraham de Moivre, joka nimitti sitä "Pascalin aritmeettiseksi kolmioksi" ().
Laajennus ja negatiiviset eksponentit.
Kun "n" on negatiivinen, ei lauseketta formula_13 voida kehittää polynomiksi. Sen sijaan tällaisellekin funktiolle on olemassa sarjakehitelmä, binomisarja:
formula_14,
mikä kuitenkin pätee vain, kun formula_15, sillä vain tässä tapauksessa sarja suppenee.
Myös tässä sarjassa oleville kertoimille formula_16, joissa "n" on negatiivinen, käytetään toisinaan merkintää formula_3.
Pascalin kolmio voidaan laajentaa puolitasoksi siten, että siihen sisältyvät myös nämä binomisarjojen formula_18 kertoimet. Tämä tehdään seuraavasti:
&lt;li&gt;Alkuperäisen kolmion jokaisen rivin loppuun lisätään nollia. Tämä vastaa sitä, että esimerkiksi lausekkeen formula_19 loppuun voidaan sen arvon muuttumatta lisätä formula_20 ja niin edelleen. Sääntö, jonka mukaan kolmion jokainen luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa, pätee selvästi myös tällä alueella, onhan 0+0=0 ja 1+0=1. Taulukko voidaan nyt kirjoittaa seuraavaan muotoon:
Pascalin kolmion tavanomaisesta asettelusta poiketen tässä kaikki rivit alkavat yllä olevassa taulukossa samalta sarakkeelta. Sen jälkeen taulukon vasemmanpuoleista saraketta jatketaan ylöspäin lisäämällä jokaisen uuden rivin alkuun luku 1:
Silloinkin kun "n" on negatiivinen, pätee:
formula_21
mikä voidaan kirjoittaa myös muotoon:
formula_22
Uusille riveille sijoitettavat luvut lasketaan tätä lauseketta käyttäen, rivit alhaalta ylöspäin ja kukin rivi vasemmasta laidasta alkaen. Taulukosta tulee seuraavanlainen:
Tällöin todetaan erityisesti, että alkuperäisen kolmion yläpuolelle lisätyillä riveillä toisena, alussa olevan ykkösen jäljessä, ovat negatiiviset kokonaisluvut. Sillä rivillä, jolla toisena on luku -n, on "k":ntena aina luku
formula_23.
Kullakin näin lisätyllä rivillä on joka toinen luku positiivinen, joka toinen negatiivinen.