Klassiset Lien ryhmät

Matematiikassa klassiset Lien ryhmät ovat neljä ääretöntä perhettä Lien ryhmiä, jotka liittyvät läheisesti euklidisen avaruuden symmetrioihin. Näiden äärelliset analogiset ryhmät ovat klassisia Lien tyyppisiä ryhmiä. Klassisen ryhmän käsitteen esitteli Hermann Weyl vuoden 1939 monografiansa otsikossa "The Classical Groups").
Toisinaan klassisia ryhmiä tarkastellaan kompakteista ryhmistä rajoitetussa asetuksessa. Tästä seuraa se, että niiden esitysteoria ja algebrallinen topologia on helpommin käsiteltävissä. Tämä ei kuitenkaan sisällä yleisen lineaarisen ryhmän tapausta.
Suhde bilineaarisiin muotoihin.
Yleinen piirre klassisilla Lien ryhmillä on se, että niistä jokainen samantapainen bilineaarisen muodon tai seskvilineaarisen muodon kanssa. Nämä neljä tyyppiä klassisia Lien ryhmiä on varustettu Dynkini kaaviolla. Perheet on esitelty seuraavasti:
Joissakin tapauksissa on luonnollista pudottaa pois ehto determinantti on yksi ja tarkastella unitaarisia ja epäyhtenäisiä ortogonaalisia ryhmiä. Taulukossa on lueteltu niin sanotut ryhmien yhtenäiset kompaktit reaalimuodot; ne liittyvät läheisesti kompleksisiin analogisiin ja useisiin ei-kompakteihin muotoihin, esimerkiksi yhdessä kompaktien ortogonaalisten ryhmien kanssa tarkastellaan epämääräistä ortogonaalista ryhmää. Lien algebrat, jotka vastaavat näitä ryhmiä, ovat nimeltään "klassiset Lien algebrat". Kaikki klassiset Lien algebrat sopivat yhteen ääretönulotteisen Lien algebran, kuten Moyalin algebran, kanssa.
Kun klassista ryhmää "G" tarkastellaan ryhmän GL("n") aliryhmänä määritelmänsä perusteella, jonka mukaan se on vektoriavaruuden automorfismien ryhmä joka säilyttää joitain involuutioita saadaan "G":n esitys, jota kutsutaan standardiksi esitykseksi.
Klassiset ryhmät yleisten kuntien tai renkaitten suhteen.
Klassiset ryhmät, joita tarkastellaan laajemmin algebrassa, ovat kiinnostava esimerkki matriisiryhmistä. Kun matriisinryhmän kertoimien muodostama rengas on reaali- ja kompleksilukujen muodostama kunta, nämä ryhmät ovat klassisia Lien ryhmiä.
Kun klassisia ryhmiä tarkastellaan äärellisen kunnan suhteen, on klassiset ryhmät Lien tyyppisiä ryhmiä. Näillä ryhmillä on suuri merkitys äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelussa. Tarkastelemalla ryhmäteoriaa nähdään, että monilla lineaarisilla ryhmillä on "erityinen" aliryhmä, joka koostuu usein determinanttia yksi olevista alkioista
(ortogonaalisille karakteristikaa kaksi oleville ryhmille se sisältää alkiot, joiden Dicksonin inveriantti on nolla, ja useimpiin näistä on liittynyt "projektiiviset" tekijät, jotka ovat ryhmän keskustan tekijöitä.
Sana "yleinen" ryhmän edessä tarkoittaa yleensä, että ryhmää voidaan kertoa jonkuntyyppisellä vakiolla toisin kuin jättää se kiinteäksi. Alaindeksi "n" tarkoittaa yleensä sen modulin dimensiota, missä ryhmä toimii. Varoitus: tämä merkintä kalskahtaa hieman jos "n":ää käytetään Dynkinin kaavioiden yhteydessä, koska merkintätapa voi myös tarkoittaa rankkia.
Yleiset ja erityiset lineaariset ryhmät.
Yleinen lineaarinen ryhmä "GL""n"("R") on kaikkien "R""n":n "R"-lineaaristen automorfismien muodostama ryhmä.
Tämän aliryhmänä saadaan erityinen lineaarinen ryhmä "SL""n"("R") ja tekijäryhmäksi saadaan projektiivinen yleinen lineaarinen ryhmä
"PGL""n"("R") = "GL""n"("R")/"Z"("GL""n"("R")) ja projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä 
"PSL""n"("R") = "SL""n"("R")/"Z"("SL""n"("R")). Projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä
"PSL""n"("R") reaalilukujen kunnan suhteen on yksinkertainen kun "n" ≥ 2, lukuun ottamatta tapauksia "n" = 2
ja kun kunnan kertaluku on kaksi tai kolme.
Unitaariset ryhmät.
Unitaarinen ryhmä "U""n"("R") on ryhmä joka säilyttää modulin seskvilineaarisen muodon. Näillä on 
aliryhmämä erityinen unitaarinen ryhmä "SU""n"("R") ja niiden tekijänä saadaan projektiivinen unitaarinen ryhmä
"PU""n"("R") = "U""n"("R")/"Z"("U""n"("R")) ja projektiivinen erityinen unitaarinen ryhmä 
"PSU""n"("R") = "SU""n"("R")/"Z"("SU""n"("R"))
Symplektiset ryhmät.
Symplektinen ryhmä "Sp"2"n"("R") säilyttää modulin vinosymmetrisen muodon. Sillä on tekijänä projektiviinen symplektinen ryhmä "PSp"2"n"("R"). Yleinen symplektinen ryhmä "GSp"2"n"("R") sisältää modulien automorfismit, joissa vinosymmetrinen muoto on kerrottu jollain kääntyvällä skalaarilla. Projektiivinen symplektinen ryhmä "PSp"2"n"("R") äärellisen kunnan "R" suhteen on yksinkertainen kun "n" ≥ 1, lukuun ottamatta tapauksia, missä "n" = 1 ja kunnan kertaluku on 2 tai 3.
Ortogonaaliset ryhmät.
Ortogonaalinen ryhmä "O""n"("R") säilyttää modulin ei-degeneroidun kvadraattisen muodon. Tämän aliryhmä on erityinen ortogonaalinen ryhmä "SO""n"("R") ja tekijöinä projektiivinen ortogonaalinen ryhmä "PO""n"("R") ja projektiivinen erityinen ortogonaalinen ryhmä "PSO""n"("R") (Kun karakteristika on kaksi, on determinantti aina yksi, joten ortogonaalinen ryhmä määritellään usein niiden alkioiden muodostamana ryhmänä, joiden Dicksonin invariantti on yksi.)
On olemassa nimetön ryhmä, jota merkitään usein Ω"n"("R"). Se koostuu ortogonaalisen ryhmän alkioista, joiden spinor normi on yksi ja vastaavan ali- ja tekijäryhmät ovat "S"Ω"n"("R"), "P"Ω"n"("R"), "PS"Ω"n"("R"). (Positiivisesti definiitille neliömudoille reaalilukujen suhteen ryhmä Ω on sama kuin ortogonaalinen ryhmä, mutta yleisessä tapauksessa se on pienempi. On olemassa myös ryhmän Ω"n"("R") kaksoispeite, jota kutsutaan pin-ryhmäksi, "Pin""n"("R"), ja sen aliryhmä on spin-ryhmä "Spin""n"("R"). Yleinen ortogonaalinen ryhmä "GO""n"("R") sisältää automorfismit, jotka saadaan ottamalla moduli, joka saadaan kertomalla neliömuoto jollain kääntyvällä skalaarilla.
Vastakohta poikkeuksellisiin Lien ryhmiin.
Vastakohtana klassisiin Lien ryhmiin ovat poikkeukselliset Lien ryhmät "G"2, "F"4, "E"6, "E"7, "E"8, jotka ovat vähemmän tunnettuja. Nämä löydettiin noin vuonna 1890 kun Wilhelm Killing ja Élie Cartan luokitteli yksinkertaiset Lien algebrat kompleksilukujen suhteen.