Keskeinen raja-arvolause

Keskeinen raja-arvolause on toden­näköisyys­laskennan tulos, jonka mukaan keskiarvo riittävän suuresta määrästä toisistaan riippumattomia satunnais­muuttujia, joista kullakin on hyvin määritelty odotusarvo ja varianssi, on tietyin edellytyksin likipitäen normaalisti jakautunut riippumatta kunkin satunnaismuuttujan omasta jakaumasta.
Lausetta voi havainnollistaa muodostamalla suuren määrän havaintoja käsittävä otos, jossa kukin havainto on generoitu satunnaisesti muista havaintokerroista riippumatta. Tämän jälkeen lasketaan otoksen eli havaintojen keskiarvo. Jos tämä toistetaan monta kertaa, keskeisen raja-arvo­lauseen mukaan niiden keskiarvo jakautuu toden­näköisesti sitä tarkemmin normaali­jakauman eli niin sanotun kellokäyrän mukaisesti. Esimerkiksi jos kolikkoa heitetään erittäin monta kertaa, toden­näköisyys saada kruuna tietyllä määrällä kertoja noudattaa normaali­jakaumaa, jonka odotusarvo on puolet heittojen lukumäärästä.
Keskeisestä raja-arvo­lauseesta on monia muunnelmia. Sen kauimmin tunnettu muoto edellyttää, että satunnais­muuttujat, joiden keskiarvoa tarkastellaan, ovat samoin jakautuneet. Satunnais­muuttujien keskiarvo kuitenkin suppenee kohti normaali­jakaumaa tietyin edellytyksin useissa sellaisissakin tapauksissa, joissa ne eivät ole samoin jakautuneet eivätkä edes toisistaan riippumattomat.
Yleisimmässä mielessä "keskeiset raja-arvolauseet" ovat koko joukko toden­näköisyys­laskennan raja-arvo­lauseita. Ne kaikki ilmaisevat eri tavoin, että monen riippumattoman ja identtisesti jakautuneen tai tietyin edellytyksin myös tavalla tai toisella toisistaan riippuvankin satunnais­muuttujan summalla on taipumus noudattaa jakaumaa, joka kuuluu pieneen joukkoon "attraktorijakaumaa". Kun riippumattomien ja identtisten jakautuneiden satunnais­muuttujien varianssi on äärellinen, tämä attraktori­jakauma on normaali­jakauma. Sitä vastoin jos muodostetaan sellaisten satunnais­muuttujien summa, joilla on potenssi­lain mukainen, funktion |"x"|-α-1 mukaisesti (0 &lt; α &lt; 2) pienenevä "häntä" ja joiden varianssi näin ollen on ääretön, se suppenee kohti alfa-vakaata jakaumaa, jonka vakausparametri muuttujien lukumäärän kasvaessa on α
Tilastotieteessä keskeisellä raja-arvolauseella on perustava merkitys käsiteltäessä suuria otoksia jostakin aineistosta. Sen sijaan pieniä otoksia käsiteltäessä se ei ole yhtä käyttö­kelpoinen.
Keskeisiä raja-arvolauseita riippumattomille jonoille.
Klassinen keskeinen raja-arvolause.
Olkoon {"X"1, ..., "Xn"} "n" alkion satunnais­otos, toisin sanoen
jono riippumattomia ja identtisesti jakautuneita satunnais­muuttujia,
joilla kaikilla on sama odotusarvo on μ ja sama äärellinen varianssi σ2. Tarkastellaan
näiden satunnaismuuttujien otoskeskiarvoa
formula_1.
suurten lukujen lain mukaan otoskeskiarvo suppenee stokastisesti ja melkein varmasti kohti odotusarvoa "μ", kun "n" kasvaa rajatta. Klassinen keskeinen raja-arvolause kuvaa stokastisten fluktuaatioiden suuruutta ja niiden jakauman muotoa tämä raja-arvon μ molemmin puolin suppenemisen aikana. Tarkemmin sanottuna se sanoo, että kun "n" kasvaa, otoskeskiarvon "Sn ja sen raja-arvon μ erotuksen jakauma, kun se kerrotaan tekijällä formula_2, toisin sanoen tulon formula_3 jakauma) lähestyy normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on 0 ja varianssi σ2. Tarpeeksi suurella "n":n arvolla "Sn:n jakauma on lähellä normaali­jakaumaa, jonka keskiarvo on μ ja varianssi σ2/"n". Tuloksen merkitys perustuu siihen, että lausekkeen formula_3 jakauma lähestyy normaali­jakaumaa riippumatta siitä, millainen jakauma alku­peräisillä satunnais­muuttujilla "Xi" itsellään on. Täsmällisessä muodossa lause voidaan esittää seuraavasti: 
Lindebergin–Lévyn keskeinen raja-arvolause. Olkoon {"X"1, "X"2, ...} 
jono riippumattomia ja identtisesti jakautuneita satunnais­muuttujia,
joiden odotusarvo on E["Xi"] = "µ" ja varianssi Var["Xi"] = σ2 &lt; ∞. Tällöin kun "n" kasvaa rajatta, satunnais­muuttujat formula_3 konvergoivat jakaumaltaan kohti normaalijakaumaa "N"(0, σ2):
formula_6
Tapauksessa "s" &gt; 0, jakauma­konvergenssi merkitsee, että lausekkeen formula_3 jakauman kertymäfunktio suppenee pisteittäisesti kohti normaali­jakauman N (0, σ2 kertymä­funktiota jokaisella reaali­luvulla "z",
formula_8
missä F("x") on normaali­jakauman kertymä­funktion arvo pisteessä "x". Suppeneminen on myös tasaista pisteessä "z" siinä mielessä, että
formula_9
missä sup tarkoittaa joukon pienintä ylärajaa eli supremumia.
Ljapunovin keskeinen raja-arvolause.
Tämä lause on saanut nimensä venäläisen matemaatikko Aleksandr Ljapunovin mukaan. Tämä keskeisen raja-arvo­lauseen muunnelma edellyttää, että satunnais­muuttujien "Xi" on oltava riippumattomat, mutta ei välttämättä identtisesti jakautuneet. Lause edellyttää myös, että satunnais­muuttujilla |"Xi"| on oltava asteiden (2 + δ) momentit ja että näiden momenttien kasvu on rajoitettu jäljempänä selitetyllä Ljapunovin ehdon mukaisella tavalla.
Ljapunovin keskeinen raja-arvolause.
 Olkoon {"X"1, "X"2, ...} jono riippumattomia satunnais­muuttujia, joista jokaisen
odotusarvo on µ"i" ja varianssi σi2. Määritellään
formula_10
Jos jollakin arvolla δ &gt; 0, pätee "Ljapunovin ehto"
 formula_11
niin summa ("Xi" - µ"i")/"sn" konvergoi jakaumaltaan kohti standardia
normaalijakaumaa, kun "n" kasvaa rajatta:
 formula_12
Käytännössä on tavallisesti helpointa tarkistaa, päteekö Ljapunovin ehto arvolla δ = 1. Jos satunnais­muuttujien jono toteuttaa Ljapunovin ehdon, se toteuttaa myös Lindebergin ehdon. Kääntäen ei kuitenkaan Lindebergin ehdosta seuraa Ljapunovin ehto.
Lindebergin–Fellerin lause.
Suomalainen matemaatikko Jarl Waldemar Lindeberg osoitti vuonna 1920, että keskeisen raja-arvolauseen
edellytyksenä ollut Ljapunovin ehto voidaan korvata heikommalla "Lindebergin ehdolla". Myöhemmin William Feller osoitti, että Lindebergin ehto on myös välttämätön ehto sille, että summa konvergoi jakaumaltaan kohti normaalijakaumaa. Täten kysymyksen siitä, millä ehdoilla keskeinen raja-arvolause pätee, voidaan katsoa saaneen tyhjentävän ratkaisun.
Olkoon {"X"1, "X"2, ...} jono riippumattomia satunnais­muuttujia, joista jokaisen
odotusarvo on µ"i" ja varianssi σi2. Oletetaan lisäksi, että
formula_13, missä formula_14.
Tällöin summa ("Xi" - µ"i")/"sn" konvergoi jakaumaltaan kohti standardia
normaalijakaumaa, kun "n" kasvaa rajatta, jos ja vain jos seuraava "Lindebergin ehto" pätee:
formula_15 kaikilla ε &gt; 0.
Moniulotteinen keskeinen raja-arvolause.
Todistukset, joissa käytetään karakteristisia funktioita, voidaan yleistää tapauksiin, joissa kukin muuttuja "X""i" on satunnaisvektori avaruudessa formula_16, jonka vektori­arvoinen odotus­arvo on µ = E("Xi") ja vektorin komponenteista muodostettu kovarianssimatriisi "S", ja nämä satunnaisvektorit ovat riippumattomat ja identtisesti jakautuneet. Näiden vektorien summaus on suoritettava komponenteittain. Moniulotteinen keskeinen raja-arvolause sanoo, että skaalattuina nämä summat suppenevat kohti moniulotteista normaalijakaumaa.
Olkoon
formula_17
"k"-vektori. Lihavointi merkinnässä X"i" osoittaa, että kyseessä on satunnaisvektori, ei yksiulotteinen satunnaismuuttuja. Tällöin satunnaisvektorien summa on
formula_18
ja keskiarvo 
formula_19
ja sen vuoksi
formula_20.
Moniulotteinen keskeinen raja-arvolause osoittaa, että
formula_21
missä kovarianssimatriisi S on 
formula_22
Yleistetty lause.
Keskeinen raja-arvolause sanoo, että riippumattoman ja identtisesti jakautuneiden satunnaismuuttujien summa, kun niillä on äärellinen varianssi, lähestyy suurella todennäköisyydellä normaalijakaumaa, kun muuttujien lukumäärä kasvaa. Gnedenko ja Kolmogorov keksivät lauseelle
yleistyksen, joka koskee sellaisiakin satunnaismuuttujia, joiden jakaumat ääripäissään pienenevät potenssilain
mukaan kuten |"x"|-a-1, missä 0 &lt; a &lt; 2, ja joiden varianssi tämän vuoksi on ääretön; tällainen on
esimerkiksi Pareton jakauma. Tällaisissakin tapauksissa satunnaismuuttujien summa suppenee kohti jotakin
vakaata jakaumaa formula_23, kun yhteenlaskettavien lukumäärä kasvaa. Jos a &gt; 2, tämä summa suppenee kohti vakaata jakaumaa, jonka vakausparametri on arvoltaan 2, toisin sanoen Gaussin jakaumaa.
Huomautuksia.
Klassisen keskeisen raja-arvolauseen todistus.
Keskeisen raja-arvolauseen klassinen voidaan todistaa melko helposti karakterististen funktioiden avulla. Todistus on samantapainen kuin heikon suurten lukujen lain. Taylorin lauseen mukaan jokaisen sellaisen satunnaismuuttujan "Y" karakteristinen funktio, jonka odotusarvo on nolla ja varianssi var("Y") = 1), on
formula_24
missä "o" on jokin "t":n funktio, joka suppenee kohti nollaa nopeammin kuin "t"2".
Olettamalla, että "Yi" on ("Xi" - µ)/s eli "Xi":n standardoitu arvo on helppo huomata, että havaintojen "X"1, "X"2, ..., "X""n" standardoitu keskiarvo on 
formula_25
Karakterististen funktioiden perusominaisuuksien nojalla summan karakteristinen funktio on:
formula_26
niin että kun eksponenttifunktio voidaan esittää raja-arvona
formula_27, 
"Z""n":n karakteristinen funktio on
formula_28
Mutta tämä on sama kuin standardin normaalijakauman "N"(0, 1), karakteristinen funktio, ja keskeinen raja-arvolause seuraa Lévyn jatkuvuuslauseesta, joka takaa, että karakterististen funktioiden suppenemisesta seuraa
jakaumien konvergenssi.
Suppeneminen kohti raja-arvoa.
Keskeinen raja-arvolause antaa vain asymptoottisen jakauman. Äärelliselle äärelliselle määrälle havaintoja se antaa järkevän likiarvon vain lähellä normaalijakauman huippua; tarvitaan erittäin suuri määrä havaintoja, jotta tulos pätisi myös jakauman kummassakin ääripäässä.
Jos kolmas keskeinen momentti E(("X"1 - μ)3) on olemassa ja se on äärellinen, mainittu suppeneminen on tasaista ja suppenemisvauhti on vähintään luokkaa 1/"n"1/2 (katso Berryn-Esseenin lause). Steinin metodia voidaan käyttää, paitsi keskeisen raja-arvolauseen todistamiseen, myös suppenemisvauhdin arvioimiseen valitulla mitta-asteikolla.
Suppeneminen normaali­jakaumaa kohti on mono­tonista siinä mielessä, että "Z""n":n entropia kasvaa mono­tonisesti kohti normaali­jakauman entropiaa.
Keskeinen raja-arvolause pätee erityisesti myös riippumattomien ja identtisesti jakautuneiden diskreettien satunnais­muuttujien keskiarvolle. Diskreettien satunnais­muuttujien summa on yhä diskreetti satunnais­muuttuja, joten tässä on kysymyksessä jono diskreettejä satunnais­muuttujia, joiden kertymäfunktio suppenee kohti jatkuvan jakauman, nimittäin normaalijakauman kertymäfunktiota. Tämä merkitsee, että jos "n" riippumattoman identtisen satunnais­muuttujan toteutuneista summista laaditaan histogrammi ja piirretään käyrä, joka yhdistää histo­grammin muodostavien suorakulmioiden ylä­reunojen kesk­ipisteet, tämä käyrä muistuttaa muodoltaan Gaussin käyrää sitä tarkemmin, mitä suurempi luku "n" on. Tätä tulosta sanotaan de Moivren–Laplacen lauseeksi. Esimerkiksi jos lasketaan sellaisten satunnais­muuttujien summa, joista kullakin on vain kaksi mahdollista arvoa, tämä summa noudattaa binomijakaumaa, joka lähestyy muodoltaan normaali­jakaumaa sitä enemmän, mitä enemmän näitä yhteen­laskettuja satunnais­muuttujia on.
Keskeinen raja-arvolause ja suurten lukujen laki.
Keskeisen raja-arvolauseen tavoin myös suurten lukujen laki on osittainen ratkaisu yleiseen ongelmaan: Mitä
riippumattomien ja identtisesti jakautuneiden satunnais­muuttujien summalle "S""n" tai niiden
keskiarvolle lopulta tapahtuu kun satunnais­muuttujien lukumäärä "n" kasvaa rajatta? 
Matemaattisessa analyysissä asymptoottiset sarjat kuuluvat käytetyimpiin työkaluihin senlaatuisten kysymysten käsittelyssä. Oletetaan, että "f"("n"):llä on asymptoottinen kehitelmä:
 formula_29
Jakamalla molemmat puolet f1("n"):llä ja ottamalla raja-arvo saadaan "a"1, kehitelmän korkeimman asteen termin kerroin, joka osoittaa, kuinka nopeasti "f"("n"):n johtava termi muuttuu.
 formula_30
Epämuodollisesti voidaan sanoa, että ""f"("n") kasvaa likiptäen samassa tahdissa kuin "a"1 f1("n")". Jos "f"("n"):n ja sen likiarvon erotus jaetaan kehitelmän seuraavalla termillä saadaan "f"("n"):lle tarkempi arvio:
 formula_31
Tässä voidaan sanoa, että funktion ja sen likiarvon erotus kasvaa likipitäen saman verran kuin "a"2 f2("n"). Ajatuksena on, että kun funktio jaetaan sopivilla normalisointi­funktioilla ja tutkitaan, miten näin saadulle funktiolle käy "n":n kasvaessa voidaan päätellä paljon myös siitä, miten alkuperäiselle funktiolle silloin tapahtuu
Kutakuinkin samaan tapaan voidaan tarkastella myös riippumattomien ja identtisesti jakautuneiden satunnais­muuttujien "X"1, ..., "Xn" summaa "Sn". Jos jokaisella "Xi" on äärellinen odotusarvo μ suurten lukujen lain mukaan niiden keskiarvo lähestyy tätä odotusarvoa eli "Sn"/"n" → µ. Jos lisäksi jokaisella "Xi" on äärellinen varianssi σ2, niin keskeisen raja-arvolauseen mukaan
 formula_32
missä ξ noudattaa normaali­jakaumaa N(0, σ2). Tästä saadaan kahden ensimmäisen vakion arvot epämuodollisessa kehitelmässä
 formula_33
Tapauksessa, jossa satunnais­muuttujilla "X""i" ei ole äärellistä keskiarvoa tai varianssia, niiden
summalle voidaan silti sopivasti muuntamalla ja uudelleen skaalaamalla saada suppeneva lauseke:
formula_34
tai vähemmän muodollisesti
 formula_35
Tällä tavoin saatuja jakaumia Ξ sanotaan "vakaiksi jakaumiksi". Normaali­jakauma selvästikin on vakaa, mutta on olemassa muitakin vakaita jakaumia, esimerkiksi Cauchyn jakauma, jolla ei ole odotusarvoa eikä varianssia ja jota sen vuoksi ei sen enempää keskeinen raja-arvolause enempää kuin suurten lukujen lakikaan koske.
Skaalaus­tekijä "bn" saattaa olla verrannollinen lausekkeeseen "n"c, missä usein "c" = 1/2, mutta se voidaan myös kertoa jollakin "n":n hitaasti vaihtelevalla funktiolla.
Toistettujen logaritmien laki tarkentaa, mitä tapahtuu suurten lukujen lain ja keskeisen raja-arvolauseen "välissä". Erityisesti se osoittaa, että normalisointi­funktion formula_36 avulla, joka suuruudeltaan on suurten lukujen laissa esiintyvän lukumäärän "n" ja keskeisessä raja-arvolauseessa esiintyvän neliöjuuren formula_2 välissä, saadaan "n":n kasvaessa ei-triviaaleja tuloksia.
Vaihtoehtoisia muotoiluja.
Tiheysfunktiot.
Kahden tai useamman riippumattoman muuttujan summan tiheysfunktio on näiden muuttujien tiheyksien konvoluutio, jos niillä on tiheys­funktiot. Niinä keskeinen raja-arvolauseen voidaan tulkita koskevan näiden tiheysfunktioiden ominaisuuksia konvoluutiossa: tiheys­funktio­joukon konvoluutio lähestyy normaalijakaumaa, kun tiheys­funktioiden lukumäärä kasvaa rajatta. Tällaiset tiheys­funktioiden suppenemista koskevat, niin sanotut "lokaalit keskeiset raja-arvolauseet" kuitenkin pätevät vain tietyin edellytyksin, jotka ovat ankarammat kuin keskeisen raja-arvolauseen edellä esitetyissä versiossa.
Karakteristiset funktiot.
Koska konvoluution karakteristinen funktio on siinä mukana olevien tiheysfunktioiden karakterististen funktioiden tulo, keskeisestä raja-arvolauseesta on olemassa myös niitä koskeva muoto: tiheysfunktiojoukon karakterististen funktioiden tulo lähestyy normaalijakauman karakteristista funktiota, kun tiheysfunktioiden lukumäärä kasvaa rajatta, edellä mainituilla edellytyksillä. Tämän tarkentamiseksi on karakterististen funktioiden argumentteja on kuitenkin muunnettava sopivalla skaalaustekijällä.
Vastaava tulos voidaan esittää myös Fourier-muunnoksille, sillä karakteristinen funktio on
oleellisesti Fourier-muunnos.
Lauseen laajennuksia.
Positiivisten satunnaismuuttujien tulo.
Lukujen tulon logaritmi on tulon tekijöiden logaritmien summa. Sen vuoksi sellaisten satunnais­muuttujien tulo, joista kukin lähestyy normaalijakaumaa mutta voi saada vain positiivisia arvoja, lähestyy log-normaalijakaumaa. Monet fysikaaliset suureet (erityisesti massa tai pituus, jotka eivät voi olla negatiivisia), ovat monien satunnaisten tekijöiden tuloja, jolloin nämä suureet monissa tilanteissa noudattavat log-normaalijakaumaa.
Sen sijaan että satunnaismuuttujien summaa koskeva keskeinen raja-arvolause edellyttää äärellistä varianssia, vastaava lause niiden tulolle edellyttää, että tiheysfunktioiden neliöt ovat integroituvia.
Klassisen viitekehyksen ulkopuolella.
Asymptoottinen normaalisuus, toisin sanoen suppeneminen sopivien muunnosten ja uudelleenskaalausten jälkeen kohti normaalijakaumaa, on ilmiö, joka esiintyy monessa muussakin kuin edellä käsitellyissä tilanteissa, toisin sanoen satunnaismuuttujien tai -vektoreiden summan tapauksessa. Tilanteita, joissa vastaava ilmiö esiintyy, on aikaa myöten paljastunut jatkuvasti lisää, eikä niitä kaikkia toistaiseksi voida käsitellä yhtenäiseltä pohjalta.
Lakunaariset trigonometriset sarjat.
Salemin–Zygmundin lause. Olkoon "U" satunnaismuuttuja
joka on jakautunut tasaisesti välille (0, 2p), ja "Xk" = "rk" cos("nkU" + "ak"), missä
 formula_38
Silloin
 formula_39
konvergoi jakaumaltaan kohti normaalijaumaa "N"(0, 1/2).
Gaussin polytoopit.
Teoreema: Olkoot "A"1, ..., "A""n" riippumattomia satunnaisesti valittuja pisteitä tasossa formula_40, joista jokainen noudattaa kaksi­ulotteista standardi­normaali­jakaumaa. Olkoon "K""n" näiden pisteiden kupera peite ja ""Xn" alueen "K""n" pinta-ala. Silloin
 formula_41
suppenee jakaumana kohti normaali­jakaumaa "N"(0, 1), kun "n" kasvaa rajatta.
Sama pätee kaikissa ulottuvuuksissa (2, 3, ...).
Kuperaa polytooppia "K""n" sanotaan Gaussin satunnais­polytoopiksi.
Vastaava tulos pätee Gaussin polytooppien kärkien, särmien ja sivutahkojenkin lukumäärälle.
Alijonot.
Lause. Olkoot satunnaismuuttujat "X"1, "X"2, … ∈ "L"2(O) sellaisia, että "Xn" → 0 heikosti joukossa "L"2(O) ja "Xn"2 → 1 heikosti joukossa "L"1(O). Silloin on olemassa sellaiset kokonaisluvut "n"1 &lt; "n"2 &lt; …, että formula_42 suppenee kohti jakaumaa "N"(0, 1), kun "k" kasvaa rajatta.
Satunnaiskulku kidehilassa.
Keskeisestä raja-arvolauseesta on olemassa myös versio, joka koskee yksinkertaista satunnaiskulkua kidehilassa. Kidehilan oletetaan olevan ääretön Abelin verkko, joka peittää äärellisen verkon. Tätä tulosta on käytetty kiteiden rakenteiden kuvaamiseen.
Sovelluksia ja esimerkkejä.
Yksinkertainen esimerkki.
Yksinkertainen esimerkki keskeisestä raja-arvolauseesta saadaan heittämällä suurta määrää samanlaisia, "painottamattomia" noppia. Saatujen silmälukujen summa tai vaihtoehtoisesti keskiarvo noudattaa tällöin likimain normaali­jakaumaa. Koska reaalimaailman suureet ovat usein monien havaitsematta jääneiden satunnais­ilmiöiden painotettuja keskiarvoja, keskeinen raja-arvolause osaltaan myös selittää, miksi normaalijakauma esiintyy mitä erilaisimmissa ilmiöissä. Siihen perustuu myös normaali­jakauman käyttö likiarvona suuria otoksia koskevia kontrolloiduissa tilastollisissa kontrolloiduissa kokeissa. 
Sovellettavuudesta yleisesti.
Julkaistussa kirjallisuudessa on suuri joukko käyttökelpoisia ja mielen­kiintoisia esimerkkejä keskeisen raja-arvolauseen sovelluksista. Esimerkkeinä voidaan mainita seuraavat: 
Keskeistä raja-arvolauseesta seuraa, että mielivaltaisten riippumattomien satunnai­smuuttujien summa noudattaa 
likimain normaalijakaumaa, mikäli niitä yhteenlaskettavia muuttujia on hyvin paljon ja mikäli jokaisen yksityisen
muuttujan vaihtelu on pieni verrattuna summan vaihteluun.
Täten keskeinen raja-arvolause myös selittää "kellokäyrän" (Gaussin käyrän) yleisen esiintymisen
reaali­maailman aineistoon sovelletuissa tietynlaisen tapauksen esiintyvyyden arvioinneissa. Sen kaltaisissa tapauksissa kuin esimerkiksi elektronisessa hälyssä, tutkintojen arvosanoissa ja monissa muissa voidaan yksittäistä mitattua arvoa usein pitää painotettuna keskiarvona suuresta määrästä pieniä ilmiöitä. Keskeisen raja-arvolauseen yleistysten avulla todetaan, että tämä usein, joskaan ei kaikissa tapauksissa, tuottaa lopullisen jakauman, joka on likipitäen normaali.
Regressioanalyysi.
Regressioanalyysi ja varsinkin tavallinen pienimpien neliösummien menetelmä osoittavat, että jos jokin
muuttuja ei ole riippumaton, se yleensä riippuu jonkin funktion mukaisesti yhdestä tai useammasta riippu­mattomasta muuttujasta, joihin lisäksi liittyy korjaustermi. Useat regressioon perustuvat tilastolliset päätelmät edellyttävät, että korjaustermi on normaalisti jakautunut. Tämä oletus voidaan perustella olettamalla, että korjaustermi itse asiassa on hyvin monien riippumattomien korjaustermien summa; vaikka yksittäiset korjaustermit sinänsä eivät olisikaan normaalisti jakauteet, keskeisen raja-arvolauseen perusteella niiden summaa voidaan kuitenkin approksimoida normaalijakaumalla. 
Historia.
Käsityksen normaalijakauman luonteesta eräänlaisena monen tekijän yhteisvaikutusta kuvaavana rajajakaumana esitti eräissä erikoistapauksissa jo Abraham de Moivre vuonna 1733. Keksintö oli tuolloin pitkälti aikaansa edellä, ja se lähes unohdettiin, kunnes kuuluisa ranskalainen matemaatikko Pierre-Simon Laplace palasi asiaan vuonna 1812 julkaistussa teoksessa "Théorie analytique des probabilités". Laplace kuitenkin onnistui todistamaan lauseen vain binomijakauman tapauksessa. Mutta myöskään Laplacen keksintö ei hänen omana aikanaan saanut paljonkaan huomiota. Vasta 1800-luvun lopulla keskeisen raja-arvolauseen merkitys alettiin yleisesti ymmärtää, ja vuonna 1901 venäläinen matemaatikko Aleksandr Ljapunov määritteli sen yleisin käsittein ja todisti täsmällisesti, miten se matemaattisesti toimii. Nykyisin keskeinen raja-arvolause yhdessä suurten lukujen lain kanssa muodostaa perustan koko matemaattiselle tilastotieteelle.
Francis Galton kuvaili keskeisen raja-arvolauseen merkitystä seuraavasti:
Termin "keskeinen raja-arvolause" () otti ensimmäisenä käyttöön George Pólya vuonna 1920 erään tutkielmansa nimessä. Pólya nimitti lausetta "keskeiseksi" sen suuren merkityksen vuoksi, joka sillä todennäköisyysteoriassa on. Le Camin mukaan todennäköisyyslaskennan ranskalainen koulukunta kuitenkin tulkitsee sanan "keskeinen" viittaavan siihen, että lause kuvaa jakauman keskikohdan, ei sen ääripäiden käyttäytymistä. Pólyan vuonna 1920 julkaiseman tutkielman yhteenvedossa sanotaan:
Gaussin todennäköisyystiheyden 1 = e-x² esiintyminen toistokokeissa ja mittausvirheissä, jotka saadaan yhteistuloksena hyvin monista ja hyvin pienistä virhelähteistä, sekä diffuusioprosesseissa ja niin edelleen voidaan tunnetusti selittää samalla raja-arvolauseella, jolla on keskeinen osa toden­näköisyys­laskennassa. Tämän raja-arvolauseen keksijäksi pitää nimetä Laplace; luultavaa on, että sen täsmällisen todistuksen esitti ensimmäisenä Tšebyšov, ja terävin löydettävissä oleva muoto, jonka tunnen, on eräässä Ljapunovin artikkelissa. [...]
Yleisimmässä muodossaan lauseen todisti suomalainen matemaatikko Lindeberg vuonna 1922. Saman tuloksen todisti myöhemmin Lindebergin todistuksesta tietämättä myös Alan Turing vuonna 1934. Vasta lähetettyään tutkielmansa Cambridgen yliopistoon tarkastettavaksi hän sai tietää, että se oli jo aiemmin todistettu, minkä vuoksi Turingin tutkielmaa ei koskaan julkaistu.
Eräs Andreas Haldin laatima artikkeli matemaattisen tilasto­tieteen historiasta sisältää myös perusteellisen esityksen keskeisen raja-arvolauseen historiasta. Siinä kerrotaan yksityiskohtaisesti Laplacen sekä myös Cauchyn, Besselin ja Poissonin keksinnöistä. Hans Fischer on laatinut asiasta kaksi historiallista esityistä, joista ensimmäinen kuvaa kehitystä Laplacesta Cauchyyn, jälkimmäinen von Misesin, Pólyan, Lindebergin, Lévyn ja Cramérin tutkimuksia 1920-luvulla. Le Cam on kuvaillut kehitystä vuoden 1935 aikoihin. Bernstein on myös laatinut lauseen historiasta esityksen, joka keskittyy Pafnuty Tšebyšovin ja hänen oppilaidensa Andrei Markovin ja Aleksandr Ljapunovin töihin, jotka johtivat keskeisen raja-arvolauseen ensimmäiseen yleisillä ehdoilla päteviin todistuksiin.