Kompleksiluku

Kompleksilukujen joukko formula_1 on reaalilukujen joukon luonnollinen laajennus.
Kompleksiluku "z" on muotoa
formula_2
jossa "x" ja "y" ovat reaalilukuja ja "i" on "imaginaariyksikkö", jolle pätee formula_3. Lukua "x" kutsutaan kompleksiluvun "reaaliosaksi" (Re("z")) ja lukua "y" vastaavasti sen "imaginaariosaksi" (Im("z")).
Reaalilukujen joukko on kompleksilukujen osajoukko, joka saadaan asettamalla kompleksiluvun imaginaariosa nollaksi: formula_4. Jos formula_5, kompleksilukua kutsutaan "puhtaasti imaginaariseksi".
Jokaiselle ℂ-kertoimiselle polynomille voidaan algebran peruslauseen mukaan löytää sen astetta vastaava määrä nollakohtia eli juuria, jotka tosin eivät ole välttämättä keskenään erisuuria. Alun perin kompleksiluvut kehitettiinkin osin tarpeesta saada entistä suurempi osa polynomiyhtälöistä ratkeaviksi. Esimerkiksi yhtälöllä formula_6 ei ole reaalisia juuria, sillä formula_7 on positiivinen kaikilla reaalisilla formula_8:n arvoilla. Kompleksilukujen joukosta sille sen sijaan löytyy ratkaisut formula_9 ja formula_10.
Kompleksilukuja hyödynnetään usein muun muassa sähkötekniikassa, vaihtosähköön liittyvässä analyysissä, sillä signaalit sisältävät kaksi muuttuvaa suuretta, amplitudin sekä vaiheen, ja kompleksiaritmetiikan avulla jännitteet ja virrat voidaan esittää yhdellä kompleksiluvulla. Sähkötekniikassa kompleksiluvun imaginaariyksikkö merkitään kirjaimella "j".
Historia.
Kompleksilukujen historia alkaa kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisukaavojen keksimisestä. Italialainen matemaatikko Girolamo Cardano esitteli nämä kaavat vuonna 1545 julkaisemassaan "Ars Magnassa". Cardano ei keksinyt ratkaisukaavoja itse, vaan sai kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan Niccolo Tartaglialta, jolle Cardano oli vakuuttanut ettei paljasta tämän salaisuutta, sillä tämä aikoi julkaista ratkaisun itse. Tartaglia katkeroitukin Cardanolle pahan kerran tämän petettyä lupauksensa. Tartagliakaan ei tosin ollut ratkaisukaavan alkuperäinen keksijä, vaan sen keksi ilmeisesti ensimmäisenä Scipione dal Ferro. Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavan taas keksi Cardanon apulainen Ludovico Ferrari.
Kolmannen asteen yhtälöä ratkaistaessa ratkaisukaavan avulla päädytään väistämättä neliöjuuren ottamiseen negatiivisista luvuista, jos yhtälöllä on kolme nollasta poikkeavaa reaalijuurta. Tätä tapausta kutsutaan "casus irreducibilikseksi" , eli "redusoimattomaksi tapaukseksi", sillä ratkaisua ei voi tässä tapauksessa löytää ilman jonkinlaista käsitystä kompleksisten lukujen laskusäännöistä. Cardano laskee "Ars Magnassa" formaalisti tulon formula_11 ja saa oikean tuloksen 40, huolimatta siitä että hän kieltää negatiivisten lukujen neliöjuurten olemassaolon. On muistettava että Cardanon aikaan negatiivisiakaan lukuja ei aina hyväksytty, Cardano itse kutsui niitä nimellä "numeri ficti". René Descartes ei hyväksynyt kompleksisia lukuja ja pilkkasi niitä kutsumalla niitä "imaginaarisiksi" vuonna 1637 julkaistussa "La Géométriessaan".
Leonhard Euler julkaisi vuonna 1748 kirjassaan "Introductio" nykyään Eulerin lauseena tunnetun tärkeän identiteetin, jonka erityistapaus on formula_12. Euler myös otti käyttöön merkinnän formula_13 kuvaamaan lukua formula_14. Aikaisemmin samalla vuosisadalla ranskalainen matemaatikko Abraham de Moivre oli keksinyt toisen tärkeän kompleksilukuihin liittyvän kaavan, de Moivren kaavan, vaikka ei sitä nykyään tunnetussa muodossa esittänytkään.
Laskutoimitukset.
Kompleksilukuja voi laskea yhteen, vähentää toisistaan tai kertoa keskenään soveltamalla liitäntä-, vaihdanta- ja osittelulakeja, sekä yhtälöä formula_15:
formula_16
formula_17
formula_18
kaikilla reaaliluvuilla "x,x',y,y"'
Kompleksilukujen jakolasku lasketaan jakajan "liittoluvun" eli "konjugaatin" avulla. Kompleksiluvun formula_19 liittoluku on formula_20. Määritellään kompleksiluvun "moduuli" eli "itseisarvo" formula_21. Kun kompleksiluku kerrotaan liittoluvullaan, saadaan luvun itseisarvon neliö, joka on reaaliluku:
formula_22
Kompleksilukujen jakolasku sieventyy laventamalla jakajan liittoluvulla kompleksilukujen kertolaskuksi:
formula_23
Liittolukua merkitään myös formula_24:lla.
Kompleksiset potenssit ja juuret.
Kompleksilukujen potenssit voidaan laskea käyttäen De Moivren kaavaa. Tällöin saadaan, että kompleksiluvun formula_25 formula_26:s potenssi on formula_27, missä formula_28 tarkoittaa kompleksiluvun formula_25 moduulia. Kompleksilukun formula_25 formula_31:s juuri saadaan seuraavasti: merkitään formula_32. Tällöin formula_33. Tällöin formula_31:s juuri on formula_35, missä formula_28 tarkoittaa kompleksiluvun formula_25 moduulia.
Kompleksiluvun neliöjuuri.
Jokaista kompleksilukua "z" = "a + bi" (paitsi lukua 0) kohti on olemassa kaksi sellaista kompleksilukua, joiden neliö on "z". Koska
formula_38,
voidaan nämä johtaa ratkaisemalla toisen asteen yhtälöpari:
formula_39
formula_40.
Ratkaisuiksi saadaan:
formula_41
ja
formula_42
Koska formula_40, on "x":llä ja "y":llä sama etumerkki, jos "b" on positiivinen, muussa tapauksessa niillä on vastakkaiset etumerkit. Koska toisaalta kompleksiluvun "z" = "a" + "bi" itseisarvo on formula_44, todetaan, että yhtälön formula_45 toteuttavat kompleksiluvut ovat:
formula_46,
kun formula_47 eli "z" ei ole reaaliluku.
Tavallisesti määritellään lisäksi, että kompleksiluvun neliöjuurella tarkoitetaan näistä nimenomaan sitä, jonka reaaliosa on positiivinen.
Jos kompleksiluku on esitetty muodossa
formula_48,
missä "r" ja formula_49 ovat reaalilukuja, saadaan sen neliöjuurelle yksinkertaisempi lauseke:
formula_50.
Geometrinen tulkinta.
Koska kompleksiluku on järjestetty reaalilukupari, se voidaan esittää kaksiulotteisen koordinaatiston pisteenä tai paikkavektorina. Argandin kaaviossa kompleksilukua formula_51 kuvaa tason piste formula_52 ja paikkavektori OP. Koordinaatiston toinen akseli ilmaisee kompleksiluvun reaalikomponentin ja toinen imaginaarikomponentin. Kompleksilukujen ja vektorien yhteenlaskut vastaavat toisiaan. Tasoa, jonka pisteet on määritelty vastaamaan kompleksilukuja, sanotaan "kompleksitasoksi".
Kompleksiluku voidaan esittää napakoordinaatiston avulla muodossa formula_53, jossa formula_28 on kompleksiluvun itseisarvo formula_55, ja formula_56 on formula_25:n "argumentti", eli positiivisen reaaliakselin ja vektorin OP välinen suunnattu kulma. Napakoordinaattimuodossa kompleksilukujen kerto- ja jakolaskut saadaan havainnolliseen muotoon:
formula_58
formula_59
Kompleksilukujen kertolasku voidaan siis jakaa kahteen vaiheeseen: itseisarvojen kertomiseen keskenään, eli paikkavektorin pituuden muutokseen, ja argumenttien yhteenlaskuun, eli vektorin kiertoon. Jakolaskun suhteen voidaan menetellä vastaavalla tavalla sillä erotuksella, että itseisarvojen kertolaskua vastaa jakolasku ja argumenttien yhteenlaskua vähennyslasku.
Kompleksilukujen kertolasku voidaan tulkita geometrisesti myös seuraavasti: Kun kompleksiluku kerrotaan reaaliluvulla, sen paikkavektorin pituus kerrotaan tällä reaaliluvulla, mutta sen suunta pysyy ennallaan tai vaihtuu päinvastaiseksi, jos kerroin on negatiivinen. Kun kompleksiluku kerrotaan imaginaariyksiköllä i, sen paikkavektorin suuntaa kierretään 90 astetta vastapäivään, mutta sen pituus pysyy ennallaan. Kertominen muulla kompleksiluvulla voidaan yhdistää näistä sekä vektorien yhteenlaskusta.
Analyyttiset funktiot.
Kompleksilukujen joukossa määriteltyjä analyyttisia funktiota tutkii funktioteoria eli kompleksianalyysi. Funktioiden määrittelyjoukkona käytetään usein laajennettua kompleksitasoa, jossa kompleksitasoon on lisätty yksi piste, äärettömyyspiste.