Rengas (matematiikka)

Rengas on keskeinen algebrassa käytetty matemaattinen käsite. Se on käsitteen kunta yleistys. Rengas sisältää kaksi laskutoimitusta: yhteen- ja kertolaskun. Yhteenlaskun suhteen se on Abelin ryhmä. Kertolaskun suhteen ryhmällä on olemassa neutraalialkio "1" ja voimassa assosiatiivi- ja distributiivilait (vrt. monoidi). 
Pseudorengas määritellään kuten rengas mutta vaatimatta neutraalialkion olemassaoloa. Jotkin harvat teokset määrittelevät renkaiksi myös pseudorenkaat, tämä artikkeli ei.
Kuntia ovat ne renkaat, joissa kertolaskukin on kommutatiivinen (vaihdannainen, formula_1), joka alkiolla formula_2 on käänteisalkio formula_3 (jolla formula_4) ja formula_5 (eli nollarengasta formula_6 ei määritellä kunnaksi, vaikka sekin on nuo muut ehdot täyttävä rengas).
Esimerkkejä.
Kunnat, kuten rationaaliluvut ℚ, reaaliluvut ℝ ja kompleksiluvut ℂ, ovat kommutatiivisia renkaita. Seuraavassa on esimerkkejä renkaista, jotka eivät ole kuntia.
Kokonaislukujen joukko formula_7 on kommutatiivinen rengas (muttei kunta, koska vain ykkösellä on käänteisalkio joukossa formula_7).
Neliömatriisien joukko (matriisitulolla) on rengas muttei kommutatiivinen, jos matriisissa on enemmän kuin yksi rivi. Tämä on totta silloinkin, jos ei puhuta reaalilukujen matriiseista vaan jonkin muun renkaan formula_9 alkioiden muodostamista matriiseista (paitsi jos renkaassa formula_9 on pelkkä nolla-alkio, jolloin neliömatriisien joukko formula_11 on kommutatiivinen).
Jos formula_9 on kommutatiivinen rengas (esimerkiksi reaalilukujen joukko formula_13), niin kaikkien formula_9-kertoimisten yhden muuttujan polynomien joukko
 formula_15
on kommutatiivinen rengas, samoin jopa formula_16 eri muuttujan polynomien joukko. Vain vakioilla on käänteisalkio renkaassa formula_9, koska polynomin formula_18 asteluku on vähintään polynomin formula_19 asteluku, kun formula_20, eli se ei voi olla neutraalialkion formula_21 asteluku "0", jos formula_19:n asteluku on positiviinen.
Kokonaisluvut modulo 4.
Joukko formula_23 (sitä voi ajatella joukkona formula_24 siten, että laskujen tuloksista otetaan jakojäännös formula_25:llä) varustettuna alla mainituilla operaatioilla on kommuntatiivinen rengas:
Luku formula_36 on kertolaskun neutraalialkio (koska formula_37 kaikilla formula_38) ja luvun formula_39 käänteisalkio formula_40 on formula_39 (koska formula_42), mutta luvulla formula_43 ei ole käänteisalkiota, koska kerrottaessa sitä jollain luvulla tuloksena on aina formula_43 tai formula_45, ei formula_36. Tämä rengas ei siis ole kunta.
Määritelmä.
Ryhmä formula_9 on rengas binääristen operaatioiden formula_48 ja formula_49 suhteen (merkitään formula_50) kun se toteuttaa seuraavat ehdot:
Toisin sanoen
Jos formula_49 on kommutatiivinen, formula_9 on "kommutatiivinen rengas".
Rengas on siis monoidia ja ryhmää monimutkaisempi rakenne jo siinä mielessä, että se yhdistää kaksi operaatiota. Näin rengas eroaa olennaisesti suorasta tulosta.
Kannattaa huomata, etteivät edellä merkityt formula_48, formula_49, formula_21 ja formula_71 eivät tarkoita lukujen yhteen- tai kertolaskua, tai lukuja 1 tai 0, vaan joukossa käytettäviä operaattoreita ja joukon alkioita. Tosin "lukurenkaista" puhuttaessa nämä ovat usein yhteneviä.
Kuten muillekin algebrallisille struktuureille, renkaiden välille voidaan määritellä rakenteen säilyttävä kuvaus eli homomorfismi. 
Esimerkkejä:
Kääntyvät alkiot ja nollanjakajat.
Renkaan formula_9 alkio formula_73 on kääntyvä eli säännöllinen, jos on olemassa sellainen ryhmän formula_74:n alkio formula_75, että formula_76; silloin tätä alkiota u kutsutaan yleisesti yksiköksi. formula_9:n kääntyvien alkioiden joukosta, eli yksikköryhmästä, käytetään merkintää formula_78. formula_79 on ryhmä, mikä todistetaan seuraavasti:
Nollasta poikkeavaa alkiota formula_88 sanotaan nollanjakajaksi, jos on nollasta poikkeava formula_89, jolle formula_90. Tällöin tietysti myös formula_3 on nollanjakaja. Kommutatiivista rengasta, jossa ei ole nollanjakajia, sanotaan kokonaisalueeksi.
Renkaan alkioista kääntyvät alkiot käyttäytyvät yleensä kaikkein säännöllisimmin, kun taas nollanjakajat vaikeuttavat tarkastelua. Erityisesti supistamissääntö formula_92 on voimassa vain, jos formula_93 ei ole nollanjakaja. Tästä seuraa muun muassa se, että astetta "n" olevalla polynomilla, jonka kertoimet ovat formula_9:n alkioita, voi olla enemmän kuin "n" juurta, jos ryhmässä formula_9 on nollanjakajia.
Voidaan todistaa, että jos formula_96, niin formula_97 eli renkaassa ei ole muita alkioita kuin formula_71. Yleensä (ei aina) kunnat määritellään niin, että tämä "nollarengas" ei ole kunta.