Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetti satunnaismuuttuja () eli diskreetti stokastinen muuttuja on todennäköisyyslaskennassa äärellisen tai numeroituvasti äärettömän määrän arvoja saava satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttuja tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää "lukua", joka saadaan ilmiön alkeistapauksista mitallisen funktion kuvauksena. Se nähdään usein "vastakkaisena" jatkuvalle satunnaismuuttujalle, jonka arvot muodostavat reaalilukujen jatkumona ylinumeroituvasti äärettömän määrän arvoja. Äärellistä diskreettiä satunnaismuuttujaa kutsutaan yksinkertaiseksi.
Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreettinen tai jatkuva. Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreettinen) tai painona (jatkuva). Painot mieletään reaaliluvuiksi ja kahden kalan painot voivat olla kuinka lähellä toisiaan hyvänsä. Siksi jatkuvan satunnaismuuttujan arvot muodostavat realilukujen joukon, joka on hyvin "tiheä". Diskreettiset arvot, jotka ovat tässä lukumääriä, sijaitsevat kokonaislukujen tapaan lukusuoralla hyppäyksen päässä toisistaan. Lukujen väliin jää siten "raot" eikä arvojoukko ole "tiheä". Esimerkiksi ihmisen pituus on tällainen satunnaismuuttuja, mikäli pituudet pyöristetään senttimetrin tarkkuuteen. Siksi arvojoukkoa kutsutaan diskreetiksi (). Satunnaismuuttujan mittaamistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan. Satunnaismuuttujaa, jotka eivät ole pelkästään toista tyyppiä, kutsutaan sekatyyppiseksi.
Satunnaismuuttujan saamat lukuarvot muodostavat perusjoukon, jossa kaikki arvot eivät aina esiinny symmetrisesti yhtä yleisesti. Arvon yleisyys ilmaistaan todennäköisyydellä ja kaikkien arvojen todennäköisyydet muodostavat todennäköisyysjakauman. Jakauma määrittää satunnaismuuttujan täysin, joten satunnaisumuuttujat luokitellaankin jakaumiensa perusteella.
Matemaattiset määritelmät.
Satunnaismuuttuja formula_1 on mitallisen funktion kuvaus formula_2, missä määrittelyjoukko formula_3 on todennäköisyysilmiön alkeistapauksien formula_4 muodostana perusjoukko formula_3 eli "otosavaruus", ja arvojoukkona ovat reaaliluvut. Perusjoukko sisältää kaikki satunnaisilmiön mahdolliset alkeistapaukset, mikä merkitään joukko-opissa formula_6 Silloin alkeistapaukset ovat satunnaismuuttujan argumenttina, mikä on tapana merkitä formula_7. Todennäköisyyslaskennassa argumentit jätetään aina pois.
Samoin kuin klassisessa todennäköisyyslaskennassakin, alkeistapauksien yhdisteet muodostavat perusjoukon osajoukkoja, joita kutsutaan tapahtumiksi. Tapahtuma formula_8 on siis joukko-opillinen käsite formula_9 Myös satunnaismuuttujille määritellään tapahtuma formula_10 samalla idealla eli formula_11 eli lyhyemmin kirjoitettuna formula_12, kun on huomioitu satunnaismuuttujan määrittelemä kuvaus formula_7. Kun todennäköisyyslaskennassa määritellään todennäköisyydet kaikille perusjoukon formula_3 alkeistapauksien joukoille, jotka kuuluvat perusjoukon osajoukkojen sigma-algebraan (formula_15-algebra) formula_16. Vain osajoukot formula_17 ovat tapahtumia. Tästä muodostuukin satunnaismuuttujan määritelmä: formula_1 on satunnaismuuttuja, jos formula_19 on tapaus (eli formula_20) kaikilla Borel-joukoilla formula_21 Kun satunnaismuuttuja määritellään näin, täyttää se mittateoreettiset kriteerit. On varsin helppo osoittaa tapauskohtaisestikin, että äärellinen eli yksinkertainen satunnaismuuttuja voidaan saada toteuttamaan mittateoreettiset kriteerit aina.
Satunnaismuuttujan määrittelevä funktio tulee olla mitallinen funktio. Nimitys juontuu siitä, että käänteiskuvalle formula_22 voidaan liittää tietty mitta eli tässä tapauksessa todennäköisyys.
Diskreetin satunnaismuuttujan ominaisuuksia.
Todennäköisyysfunktio.
Yksinkertaisen eli äärellisen diskreetin satunnaismuuttujan perusjoukko käsittää formula_23 alkeistapausta formula_24, joista kukin esiintyy todennäköisyydellä formula_25 Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyyttä kutsutaan pistetodennäköisyydeksi. Sille on yleisesti käytössä merkinnät
formula_26 
missä formula_27.
Satunnaismuuttujan arvot ja todennäköisyysfunktion arvot muodostavat yhdessä satunnaismuuttujan jakauman. Diskreetin luonteensa vuoksi nämä arvot voidaan luetella taulukossa, mutta joissakin jakaumissa todennäköisyysfunktiolle on määritelty kompakti lauseke.
Todennäköisyyksien summa tulee aina olla yksi:
formula_28 
Kertymäfunktio.
Todennäköisyyslaskennassa halutaan usein laskea todennäköisyyksiä tapahtumille, jotka ovat muotoa formula_29, formula_30 tai formula_31 Näiden kaikkien todennäköisyydet voidaan esittää pelkästään todennäköisyyksien formula_32 avulla. Diskreetin satunnaisfunktion kertymäfunktio eli jakaumafunktio määritetään
formula_33 
Todennäköisyysfunktion arvot eli pistetodennäköisyydet voidaan laskea kahden kertymäfunktion arvon avulla
formula_34
Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktiolla formula_35 on seuraavia omainaisuuksia:
Tunnuslukuja.
Äärellisen ja diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo merkitään ja määritellään
formula_41 
Äärettömän ja diskreetin satunnaismuuttujan odotosarvo ei välttämättä ole äärellisenä olemassa. Yleensä ääretön summa lukuja kasvaa yli kaikkien rajojen, koska silloin pienetkin termit kasvavat äärettömän suureksi summaksi. Siksi odotusarvo on olemassa vain, kun se suppenee itseisesti eli
formula_42
Odostusarvoa kutsutaan satunnaismuuttujan ensimmäiseksi momentiksi. Muut momentit ovat
formula_43 (toinen momentti)
formula_44 (kolmas momentti) jne.
Näissäkin ääretön summa on olemassa, jos se suppenee itseisesti. Satunnaismuuttujan varianssi merkitään ja määritellään
formula_45 missä formula_46 
ja sama erilaisilla summakaavoilla
formula_47 
missä itseinen suppeneminen on äärettömien summien lisäehtona. Satunnaismuuttujan keskihajonta on varianssin neliöjuuri
formula_48 
Diskreetin satunnaismuuttujan jakauma.
Tunnettuja diskreettien satunnaismuuttujien jakaumia on lukuisia. Niissä käsitellään useimmiten lukumääriä ja niiden esiintymisen todennäköisyyksiä. Alla on muutama yleisesti tunnettuja esimerkkejä satunnaismuuttujista, jotka kuvaavat lukumääriä.