Nopeuspotentiaali

Nopeuspotentiaali on virtaavan fluidin nopeutta kuvaava potentiaalifunktio. Nopeuspotentiaalin avulla voidaan ratkaista fluidin virtausnopeuden vektorikomponentit, mutta toisaalta se myös yksinkertaistaa joitain virtausmekaniikan ongelmia.
Jos kolmiulotteinen vektorikenttä formula_1 on pyörteetön, ts.
formula_2,
niin on olemassa skalaarifunktio formula_3 siten, että
formula_4.
Funktiota formula_5 kutsutaan nopeuspotentiaalifunktioksi. Merkintä formula_6 tarkoittaa osittaisdifferentiaalioperaattoria ("nabla").
Nopeuspotentiaali virtausmekaniikassa.
Virtauksen nopeusvektorikenttä.
Pyörteettömän virtauksen nopeuspotentiaalin formula_5 tunteminen antaa oitis nopeusvektorin komponentit. Koska
formula_8,
missä formula_9, formula_10 ja formula_11 ovat karteesisen koordinaatiston kantavektorit, niin virtausnopeuden komponentit ovat:
formula_12.
Nopeuspotentiaalifunktion formula_5 ekvipotentiaaleja (virtausalueessa määritellyt käyrät, joille formula_14) sanotaan virtauksen potentiaaliviivoiksi. Todellisuudessa kolmiulotteisen virtauksen ekvipotentiaalit ovat avaruuden pintoja, mutta kaksiulotteisessa virtauksessa ekvipotentiaalit ovat viivoja.
Bernoullin yhtälö ajasta riippuvalle potentiaalivirtaukselle.
Nopeuspotentiaalin käyttäminen yksinkertaistaa virtausta kuvaavia yhtälöitä, sillä nopeusvektorin kolmen komponentin, formula_15, formula_16 ja formula_17, sijaan tarvitaan vain yksi muuttuja. Esimerkkinä johdetaan yhtälö, joka kuvaa ajallisesti muuttuvaa, pyörteetöntä, kitkatonta ja kokoonpuristumatonta virtausta. Tällaista virtausta kuvaa nk. Eulerin yhtälö (jota ei pidä sekoittaa Eulerin kaavaan):
formula_18,
missä
formula_19 on fluidin tiheys,
formula_20 on fluidin nopeus,
formula_21 on putoamiskiihtyvyys ja
formula_22 on paine.
Aikaderivaatta Eulerin yhtälössä voidaan korvata materiaaliderivaatalla:
formula_23
Lisäksi käytetään tietoa, että
formula_24,
missä formula_25 on virtauksen vauhti (nopeuden euklidinen normi). Pyörteettömyydestä johtuen formula_26. Tällöin Eulerin yhtälö muuttuu muotoon
formula_27.
Kirjoitetaan nopeus (ja vauhti) nopeuspotentiaalin avulla: formula_28 ja formula_29. Oletetaan vielä, että tarkastelukoordinaatisto on valittu siten, että painovoima osoittaa alaspäin, eli formula_30. Tällöin
formula_31.
Toisin sanoen:
formula_32.
Tämä yhtälö on nk. ajasta riippuva Bernoullin yhtälö pyörteettömälle virtaukselle (jota ei pidä sekoittaa ajasta riippumattomaan Bernoullin lakiin).
Eräitä nopeuspotentiaaleja.
Esitetään esimerkkeinä joitain yksinkertaisia virtaustilanteita ja niiden nopeuspotentiaalit. Yksinkertaisuuden vuoksi käytetään vain kaksiulotteisia virtauksia, jolloin nopeusvektori on aina muotoa formula_33.
Tasainen, yksiulotteinen virtaus.
Tarkastellaan virtausta, jossa fluidi liikkuu tasaisella nopeudella positiivisen formula_34-akselin suuntaan. Virtauksen nopeus on tällöin kaikkialla
formula_35,missä formula_36 on vakio (virtauksen vauhti). Nopeuspotentiaalin osittaisderivaatat ovat tällöin:
formula_37
Tämä 1. kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöpari ratkeaa melko helposti:
formula_38,
missä formula_39 on vakio. Tärkeintä on havaita, että nopeuspotentiaali ei riipu millään tavoin formula_40:stä. Potentiaaliviivojen yhtälö saadaan asettamalla formula_41, josta seuraa, että formula_42. Virtauksen potentiaaliviivoja ovat siis kaikki formula_40-akselin suuntaiset suorat.
Pistemäinen lähde tai nielu origossa.
Olkoon koordinaatiston origossa pistemäinen lähde, josta "pulppuavan" fluidin tilavuusvirta on formula_44 (Seuraavat päätelmät pätevät myös, jos formula_45. Tällöin kyseessä on lähteen sijaan nielu). Olkoon lähteen virtaus puhtaasti säteittäistä, eli jokainen virtaviiva osoittaa lähteestä suoraan poispäin. Jos tarkastellaan origon ympärillä virtausaluetta, jonka paksuus formula_46-suunnassa on formula_47, niin tilavuusvirta jokaisen origokeskisen, formula_48-säteisen ympyrän läpi on:
formula_49,
missä formula_50 on virtauksen säteittäinen vauhti. Tilavuusvirta on vakio säteestä riippumatta, sillä kokoonpuristumattoman fluidin kokonaistilavuus ei voi muuttua sen liikkuessa kauemmas lähteestä (tai nielusta). Ts. fluidia ei voi syntyä tai kadota muualla kuin lähteessä tai nielussa. Näin ollen fluidin vauhti kaikkialla formula_51-tasossa on:
formula_52.
Viimeistään tässä vaiheessa kannattaa siirtyä osittain napakoordinaatteihin, sillä kaikki ilmiöt tähän mennessä ovat puhtaasti säteittäisiä. Näin ollen lähteen (tai nielun) virtauksen nopeus on (karteesisissa koordinaateissa ja napakoordinaateissa):
formula_53
missä formula_54 on napakoordinaatiston säteittäinen kantavektori. Tästä saadaan virtauksen nopeuspotentiaalin osittaisderivaatat (kun formula_55):
formula_56
Ylemmän osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:formula_57
missä formula_58 on mikä tahansa vain muuttujasta formula_40 riippuva derivoituva funktio. Vastaavasti alemman osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:
formula_60
missä formula_61 on mikä tahansa vain muuttujasta formula_34 riippuva derivoituva funktio. Koska kummankin yhtälön ratkaisujen tulee toteutua yhtäaikaa, on ainoa mahdollisuus, että
formula_63.
Siispä nopeuspotentiaali on:
formula_64
Asetetaan formula_14, josta seuraa välttämättä, että formula_66 (tai karteesisissa koordinaateissa formula_67). Virtauksen potentiaaliviivoja ovat siis kaikki origokeskeiset ympyrät.
Vorteksi.
Vorteksi on virtaus, jossa fluidi kiertää origoa (tai muuta kiinteää pistettä) ympyränmuotoisella radalla. Napakoordinaateissa vorteksin virtauksen nopeus on:
formula_68,
missä formula_69 ja formula_70 kuvaa virtauksen vauhtia vorteksin keskeltä mitatun etäisyyden funktiona. Valitsemalla formula_71, missä formula_72, saadaan virtaus, jota kutsutaan "vapaaksi vorteksiksi":
formula_73
Vaikka vorteksi on helppo mieltää pyörteelliseksi virtaukseksi, ei vapaa vorteksi kuitenkaan sitä ole. On melko yksinkertaista osoittaa, että vapaalle vorteksille pätee formula_26 (kun formula_55), joten nopeuspotentiaali on olemassa. Tällöin:
formula_76
Ylemmän osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:
formula_77missä formula_58 on mikä tahansa vain muuttujasta formula_40 riippuva derivoituva funktio. Alemman osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:
formula_80
missä formula_61 on mikä tahansa vain muuttujasta formula_34 riippuva derivoituva funktio. Kummankin yhtälön tulee toteutua yhtä aikaa, mikä on mahdollista esimerkiksi, jos
formula_83.
Siispä nopeuspotentiaali on:
formula_84
Asetetaan formula_14, josta seuraa välttämättä, että formula_86 (tai karteesisissa koordinaateissa formula_87). Virtauksen potentiaaliviivoja ovat siis kaikki origon kautta kulkevat suorat.