Vektoriavaruus

Vektoriavaruus eli lineaariavaruus on matemaattinen joukko, jolle on määritelty kaksi laskutoimitusta: alkioiden summa ja skalaarilla kertominen.
Vektoriavaruus on lineaarialgebran peruskäsite, jota käytetään paljon erityisesti matriisilaskennassa ja funktionaalianalyysissa. Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi.
Johdanto.
Esimerkiksi vektoriavaruuden formula_1 eli "x-y-tason" alkioita eli vektoreita ovat reaalilukukaksikot formula_2. Kahden tällaisen vektorin summa lasketaan koordinaateittain: formula_3. 
Skalaarilla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen tällaisen vektorin koordinaatti kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esim. formula_4. Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin. 
Vastaavat säännöt pätevät kaikissa formula_5-avaruuksissa, mutta on myös paljon monimutkaisempia ja jopa ääretönulotteisia vektoriavaruuksia, ja joidenkin vektoriavaruuksien skalaarikunta on jokin muu kuin reaalilukujen kunta formula_6.
Määritelmä.
Olkoon formula_7 kunta (ns. "kerroinkunta"), "V" joukko ja kuvaukset formula_8 ja formula_9. Määrittelemme, että kolmikko formula_10 on vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) jos ja vain jos kuvaukset "f" ja "g" toteuttavat ehdot
Vektoriavaruuden kuvausta "f" kutsutaan "vektoreiden yhteenlaskuksi" ja "g" "skalaarilla kertomiseksi". Ne ovat oletusten nojalla "binäärioperaatioita" joukossa "V". Yleisesti näille binäärioperaatioille käytetään lineaariavaruuksissa merkintöjä formula_34 kaikilla formula_35 ja formula_36 kaikilla formula_37 ja formula_18. Mikäli formula_39, kyseessä on reaalinen vektoriavaruus ja jos formula_40, niin kyseessä on kompleksinen vektoriavaruus.
Vektoriavaruus on erikoistapaus modulista. Toisin kuin moduleilla, jokaisella epätriviaalilla vektoriavaruudella on kanta, eli joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita, joiden lineaarikombinaationa jokainen avaruuden vektori voidaan ilmaista. Usein sovitaan, että tyhjä joukko on triviaalin vektoriavaruuden kanta. Vektoriavaruus on äärellisulotteinen, jos sillä on kanta, jossa on äärellinen määrä vektoreita. Muussa tapauksessa vektoriavaruus on ääretönulotteinen. Vektoriavaruuden kanta voidaan yleensä valita äärettömän monella eri tavalla, mutta valinnasta riippumatta äärellisulotteisen vektoriavaruuden kannassa on aina yhtä monta vektoria. Myös ääretönulotteisen vektoriavaruuden eri kannat ovat keskenään yhtä mahtavia. Kannan olemassaolo voidaan todistaa Zornin lemman avulla ja yhtämahtavuus ultrafiltterilemman avulla.
Esimerkkejä.
Kannattaa huomata, että vektoriavaruuden alkiot eivät välttämättä ole järjestettyjä lukujoukkoja, joiksi vektorit usein mielletään, kuten myöskään kerroinkunnan alkiot eivät välttämättä ole lukuja. Vektoriavaruuden alkioina voivat "tavallisten" vektorien sijaan olla yhtä hyvin matriisit tai jopa funktiot. Eräs vektoriavaruus, ns. triviaali vektoriavaruus, on vain nolla-alkiosta koostuva joukko {0}. Tärkeimpia vektoriavaruuksia matematiikassa ovat
Tosin riippuen tapauksesta on myös yleistä käyttää edellä olevissa esimerkeissä skalaarikuntana kompleksilukuja.
Vektorialiavaruus.
Vektoriavaruuden "(V,f,g)" osajoukkoa "A" kutsutaan aliavaruudeksi jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat ehdot:
Esimerkiksi vektoriavaruuden formula_1 aliavaruus on mikä tahansa origon kautta kulkeva suora. Lisäksi esimerkiksi jonoavaruuden formula_45 eräs aliavaruus on nollaan suppenevien jonojen joukko.
Sovelluksia.
Vektoriavaruuksiin voidaan liittää lisärakenteena esimerkiksi normi tai sisätulo. Näiden avulla voimme määritellä mm. topologisen struktuurin vektoriavaruuksiin. Topologisista vektoriavaruuksista enemmän artikkeleissa normiavaruus ja sisätuloavaruus.