Odotusarvo

Odotusarvo on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaisilmiön tuottamien lukujen odotettavissa oleva arvo. Numeerisia lukuarvoja tuottavia satunnaisilmiöitä kutsutaan satunnaismuuttujiksi. Satunnaismuuttujan tuottamat luvut ja niiden todennäköisyydet muodostavat yhdessä todennäköisyysjakauman. Odotusarvo on todennäköisyysjakauman ensimmäinen tunnusluku eli momentti.
Keskiarvo ja odotusarvo samaistetaan usein toisiinsa, vaikka odotusarvo on todennäköisyyslaskennan käsite ja keskiarvo lukuihin liittyvä tilastotieteen käsite. Odotusarvo saadaan laskemalla keskiarvo äärettömän monesta, yhden satunnaismuuttujan tuottamasta luvusta. Se voidaan myös tulkita keskiarvoksi äärettömän monesta äärellisen kokoisesta otoskeskiarvosta. Odotusarvolla on sama yksikkö kuin satunnaismuuttujalla.
Määritelmä ja merkinnät.
Odotusarvo voidaan merkitä eri tavoilla formula_1 
Matemaattisesti odotusarvo formula_2 määritellään diskreeteille ja jatkuville satunnaismuuttujille erikseen.
Diskreetti satunnaismuuttuja.
Diskreetin satunnaismuuttujan formula_3 saamien kaikkien arvojen joukkoa kutsutaan todennäköisyyslaskennassa perusjoukoksi ja se merkitään formula_4 Kunkin arvon esiintymistodennäköisyyttä merkitään vastaavasti formula_5 Näitä todennäköisyyksiä kutsutaan usein "pistetodennäköisyyksiksi" ja niitä saatetaan merkitä myös
formula_6 
jossa funktioita formula_7 ja formula_8 kutsutaan pistetodennäköisyysfunktioiksi.
Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo määritellään nyt (eri merkintätapoja käyttäen)
formula_9 
Esimerkkinä nopanheitto.
Pisteluvun odotusarvo kuusitahoiselle nopalle, jonka kaikkien pistelukujen todennäköisyys on yhtä suuri, on
formula_10.
Noppapelissä pelaaja voi odottaa etenevänsä pelilaudalla noin 3,5 askelta kierrosta kohti.
Jatkuva satunnaismuuttuja.
Jatkuvan satunnaismuuttujan formula_3 saamien reaalilukuarvojen joukko muodostaa vähintään yhden yhtenäisen lukuvälin formula_12, joka on reaalilukujen osajoukko. Luvut formula_12 muodostavat satunnaismuuttujan perusjoukon formula_14 ja se voidaan merkitä formula_15. Reaalilukuja ei voida luetella, joten yksittäiseen lukuun liittyvää todennäköisyyttäkään ei voida esittää luettelemalla. Sen sijaan jokaisen välin formula_12 luvulle voidaan liittää lukuarvo käyttämällä funktiota. Tätä funktiota kutsutaan todennäköisyyslaskennassa tiheysfunktioksi. Tiheysfunktion arvot eivät ole suoraan todennäköisyyksiä, mutta sen avulla voidaan eri tapahtumille laskea ne.
Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on formula_17 ja tämän avulla määritellään satunnaismuuttujan odotusarvo 
formula_18. 
Yleisempi jatkuva määritelmä.
Määritellään satunnaismuuttujan formula_19 odotusarvo integraalina yli satunnaismuuttujan perusjoukon formula_14 todennäköisyysmitan formula_21 suhteen
formula_22. 
Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan formula_3 kertymäfunktion formula_24 suhteen Lebesgue–Stieltjes-integraalilla 
formula_25. 
Satunnaismuuttujan funktion odotusarvo.
Jos formula_26 on mitallinen funktio, voidaan laskea sillekin odotusarvo formula_27 Jos formula_3 on diskreetti satunnaismuuttuja, on odotusarvo
formula_29 
ja jos se on jatkuva, saadaan odotusarvoksi
formula_30 
Tällä ajattelulla on mahdollista määrittää esimerkiksi origomomentteja formula_31 formula_32 tai keskusmomentteja formula_33
Ehdollinen odotusarvo.
Satunnaismuuttujan formula_3 ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla formula_35 on formula_36-mitallinen satunnaismuuttuja formula_37, jolle yhtälö
formula_38
pätee kaikilla formula_39. Satunnaismuuttujan formula_3 ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja formula_41 on formula_42, missä formula_43 tarkoittaa satunnaismuuttujan formula_41 virittämää sigma-algebraa.
On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla formula_39 on formula_46, missä formula_47 on reaaliluku.
Ominaisuuksia.
"Todennäköisyysmassalla" tarkoitetaan todennäköisyyslaskennassa pistetodennäköisyysfunktion pylväikköä tai tiheysfunktion kuvaajan alle jäävää aluetta. Odotusarvo on sellainen satunnaismuuttujan arvo, joka vastaa tämän alueen painopistettä. Symmetrisen jakauman keskikohta on myös jakauman odotusarvo.
Satunnaismuuttujan formula_3, jonka ulostuloina on vain vakion formula_49 arvoja, odotusarvo on
formula_50 
Tästä seuraa myös, että formula_51 
Odotusarvon olemassaolo.
Todennäköisyysjakaumalla ei välttämättä ole olemassa odotusarvoa, jos jakauma ei toteuta niin sanottua itseistä satunnaismuuttujan odotusarvoa (itseisarvo)
formula_52
tai jatkuvassa tapauksessa
formula_53 
Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos sen odotusarvo on äärellinen eli formula_54. Jos se ei ole integroituva, on se vielä kvasi-integroituva, jos formula_55 tai formula_56.
Summat ja lineaarikombinaatiot.
Seuraaville satunnaismuuttujille formula_57 ja formula_58 sekä reaaliluvuille formula_59 ja formula_60 voidaan johtaa seuraavia tuloksia.
Odotusarvo on lineaarinen operaattori, jolloin suorien summien odotusarvo on
formula_61 
ja lineaarikombinaatioiden odotusarvo on
formula_62 
Tällöin useamman satunnaismuuttujan tapauksissa on myös
formula_63 
ja
formula_64 
Luvun lisääminen satunnaismuuttujien arvoihin vaikuttaa myös sen odotusarvoon
formula_65
Satunnaismuuttujan ensimmäinen keskusmomentti on aina nolla, koska
formula_66
jos formula_67
Tulot.
Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvo on kahden satunnaismuuttujan tapauksessa
formula_68
ja usean satunnaismuuttujan tapauksessa
formula_69 
Riippuvassa tapauksessa
formula_70
Lisäksi jos formula_71, niin formula_72, ja yleisemmin jos formula_73, niin formula_74.
Ehdolliselle odotusarvolle pätee niin sanottu iteroidun odotusarvon laki
formula_75
Populaatio- ja otoskeskiarvo.
Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Otoskeskiarvolla tarkoitetaan suppean otoksen keskiarvoa suuremmasta populaatiosta. Sen avulla on mahdollista selvittää odotusarvon suuruus likimääräisesti, mutta kuitenkin "edullisesti". Keskiarvoa on tällöin pidettävä odotusarvon estimaattorina.
Kun lasketaan otoskeskiarvojen odotusarvoa, saadaan edellisten päättelysääntöjen avulla
formula_76
Tämä tarkoittaa sitä, että keskiarvon lausekkeella saadaan keskimäärin odotusarvon tuloksia eli estimaattori on harhaton.
Keskiarvolla on toinen ominaisuus, joka liittyy estimointiin. Kun keskiarvon laskemiseksi kasvataetaan otoksen lukumäärää (otoksen ulostulot ovat riippumattomia toisistaan), käy keskiarvon varianssin
formula_77
Keskiarvo on tarkentuva odotusarvon estimaattori, koska varianssi pienenee kun otoksen lukumäärä formula_78 kasvaa.
Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on sen odotusarvo ja keskiarvo on siten odotusarvon harhaton ja tarkentuva estimaattori.