Noetherin teoreema

Noetherin (ensimmäinen) teoreema sanoo, että jokaiseen fysikaalisen systeemin aktion differentioituvaan symmetriaan liittyy jokin sitä vastaava säilymislaki. Teoreeman todisti saksalainen matemaatikko Emmy Noether vuonna 1915, ja se julkaistiin vuonna 1918. Fysikaalisen systeemin aktio on jonkin sellaisen Langrangen funktion aikaintegraali, jonka avulla systeemin käyttäytyminen voidaan määrittää vähimmän vaikutuksen peri­aatteen avulla. Tällainen Lagrangen funktio itsessään voi olla jonkin Lagrangen tiheysfunktion integraali jonkin avaruuden alueen yli.
Noetherin teoreemasta on tullut perustava työväline nykyisessä teoreettisessa fysiikassa ja 
variaatiolaskennassa. Se on Lagrangen mekaniikan (vuodelta 1788) ja Hamiltonin mekaniikan (vuodelta 1833) liikevakioiden muotoilun yleistys, eikä se päde systeemeille, joita ei voida mallintaa pelkästään Lagrangen funktiolla, toisin sanoen systeemeillä, joihin liittyy Rayleighin dissipaatiofunktio. Erityisesti häviöllisiin systeemeihin, joilla on jatkuvia symmetrioita, ei välttämättä liity vastaavaa säilymis­lakia.
Esimerkkejä ja tausta.
Noetherin teoreeman merkityksen selventämiseksi voidaan esimerkkinä mainita, että jos fysikaalinen systeemi käyttäytyy samalla tavalla riippumatta siitä, miten päin se on suunnattu avaruudessa, sen Lagrangen funktio on rotaatio­symmetrinen. Tästä symmetriasta seuraa Noetherin teoreeman mukaan, että systeemin liikelait ovat sellaiset, että liikemäärämomentti säilyy. Fysikaalisen systeemin itsessään ei tarvitse olla symmetrinen: epä­säännöllisenkin muotoisen asteroidin liike­määrä­momentti säilyy sen liikkuessa avaruudessa, vaikka se kappaleena ei ole symmetrinen — symmetrisiä ovat sen liikelait, ei itse kappale.
Toisena esimerkkinä voidaan mainita, että jos fysikaalisen prosessin tulokset ovat samat riippumatta sen paikasta ja ajasta, tapahtuipa se esimerkiksi Aasiassa tiistaina tai Amerikassa perjantaina, sen Lagrangen funktio on symmetrinen avaruudessa ja ajassa tapahtuvien siirtojen eli translaatioiden suhteen. Noetherin teoreeman mukaan näistä symmetrioista seuraavat vastaavasti liikemäärän säilymislaki ja energian säilymislaki.
Noetherin teoreema on merkittävä sekä sen näkemyksen vuoksi, jonka se antaa säilymislakeihin, että myös käytännöllisenä laskuvälineenä. Se tekee tutkijoille mahdolliseksi määrittää fysikaaliseen systeemiin liittyvät säilyvät suureet (invariantit) sen havaituista symmetrioista. Toisaalta se tekee myös mahdolliseksi käsitellä kokonaisia hypoteettisten Lagrangen funktioiden luokkaa annettujen invarianttien avulla fysikaalisen systeemin kuvaamiseksi. Kuvitellaan esimerkiksi, että löydettäisiin uusi kenttä, jossa jokin suure "X" säilyy. Noetherin teoreeman avulla voidaan määrittää, minkä tyyppisissä Lagrangen funktioissa "X" säilyy jatkuvassa symmetrisessä muunnoksessa, minkä niiden soveltuvuus voidaan arvioida muiden kriteerien perusteella.
Noetherin teoreemasta on olemassa monia versoita, joiden yleisyyden aste vaihtelee. Alkuperäinen versio koski vain
tavallisia differentiaaliyhtälöitä (hiukkasia), ei osittaisdifferentiaaliyhtälöitä (kenttiä). Alkuperäisissä versioissa oletetaan myös, että Lagrangen funktio riippuu vain ensimmäisestä derivaatasta, kun taas myöhemmissä versioissa teoreema on yleistetty sellaisiinkin Lagrangen funktioihin, jotka riippuvat "n":nnestä derivaatasta. Teoreemalle on olemassa luonnollisia kvantti­teoreettisia vastineita, jotka ilmaisee Ward-Takahashin identiteetti. On olemassa myös Noetherin teoreeman yleistyksiä super­avaruuteen.
Teoreeman epämuodollinen ilmaisu.
Jättäen tekniset hienoudet sivuun Noetherin teoreema voidaan ilmaista epämuodollisesti.
Teoreeman täsmällisempi, kenttiin perustuva versio kuuluu:
Tässä sana "symmetria" viittaa täsmällisemmin sanottuna sen muodon kovarianssiin, jonka fysikaalinen laki saa tietyt tekniset kriteerit täyttävien muunnosten muodostamassa yksiulotteisessa Lien ryhmässä. Fysikaalisten suureiden säilymislait ilmaistaan tavallisesti jatkuvina yhtälöinä.
Teoreeman muodollisessa todistuksessa invarianssi­ehtoja käytetään lausekkeen muodostamiseksi virtaukselle, joka liittyy säilyvään fysikaaliseen suureeseen. Viime aikoina, suunnilleen vuodesta 1980 lähtien on tullut tavaksi nimittää säilyvää suuretta "Noetherin varaukseksi" ja sitä kuljettavaa virtausta "Noetherin virraksi". Noetherin virta määritellään solenoidiseksi vektorikentäksi, jonka divergenssi on 0.
Gravitaation tapauksessa Felix Klein on ilmaissut Noetherin teoreeman aktiolle "I" invarianttien avulla seuraavasti:
Historiallinen tausta.
Fysikaaliset säilymis­lait sanovat, että systeemin kehityksen matemaattisessa kuvauksessa jokin suure "X" pysyy vakiona ajan kuluessa eli se on invariantti. Matemaattisesti "X":n muutos­nopeus eli sen derivaatta ajan suhteen on nolla:
formula_1
Sellaisten suureiden sanotaan säilyvän. Niitä sanotaan usein liikevakioiksi, vaikka ne eivät välttämättä liity liikkeeseen vaan voivat muullakin tavoin kuvata systeemin kehitystä ajan kuluessa. Esimerkiksi jos jonkin systeemin energia säilyy, sen energia on koko ajan yhtä suuri, mikä asettaa rajoituksia systeemin liikkeelle, ja tätä voidaan käyttää hyväksi systeemin kehitystä ennustettaessa. Sen lisäksi, millaisen näkemyksen tällaiset liike­vakiot antavat systeemin luonteesta, ne ovat hyödyllisiä laskennallisia apu­välineitä; esi­merkiksi liki­määräinen ratkaisu voidaan korjata löytämällä lähin tila, joka toteuttaa asiaan kuuluvat säilymislait.
Ensimmäiset tunnetut liikevakiot olivat liikemäärä ja energia, joita ehdottivat sellaisiksi 1600-luvulla törmäyskokeiden perusteella René Descartes ja Gottfried Leibniz ja joiden säilymisen ovat myöhemmät tutkijat vahvistaneet. Isaac Newton oli ensimmäinen, joka esitti liikemäärän säilymislain nykyisessä muodossa ja osoitti, että se on seuraus Newtonin kolmannesta laista eli voiman ja vasta­voiman laista. Yleisen suhteellisuus­teorian mukaan liikemäärän, energian ja liike­määrä­momentin säilymis­lait pitävät tarkkaan ottaen paikkansa vain, jos ne ilmaistaan jännitys-energia-tensorin (gravitaatioon liittymätön jännitys ja energia) sekä jännitys-energia-liikemäärä-pseudotensorin (gravitaatioon liittyvä jännitys-energia) avulla. Sen, että gravitaatioon liittymätön liike­määrä ja energia säilyvät vapaasti putoavassa vertailu­järjestelmässä, ilmaisee se seikka, että jännitys-energia-tensorin kovariantti divergenssi on nolla. Taivaan­mekaniikassa tärkeisiin säilyviin suureisiin kuuluu myös Laplacen-Rungen-Lenzin vektori.
Fyysikot kehittivät 1700-luvun lopulla ja 1800-luvun alussa järjestelmällisempiä keinoja invarianttien löytämiseksi. Suurta edistys­askelta merkitsi vuonna 1788 kehitetty Lagrangen mekaniikka, joka liittyy vähimmän vaikutuksen peri­aatteseen. Tässä lähestymis­tavassa systeemin tilaa voidaan kuvata millä tahansa yleisetyillä koordinaateilla "q": liikelakeja ei tällöin tarvitse välttämättä esittää karteesi­silla koordi­naateilla, kuten Newtonin mekaniikassa oli tapana. Aktio eli "vaikutus" määritellään Lagrangen funktion "L" integraalina ajan suhteen
formula_2
missä pilkku q:n yläpuolella merkitsee koordinaattien q muutosnopeutta ajan suhteen.
formula_3
Hamiltonin periaate ilmoittaa, että systeemin todellinen liikerata q("t") on sellainen, että radan infinitesimaaliset muutokset eivät aiheuta muutosta aktioon "I", ainakaan ensimmäisessä kerta­luvussa. Tämä periaate seuraa Eulerin-Lagrangen yhtälöistä, 
formula_4
Jos siis yksi koordinaateista, esimerkiksi "qk", ei esiinny Lagrangen funktiossa, yhtälön oikea puoli on nolla ja vasemman puolen on oltava
formula_5 
missä liikemäärä
formula_6 
säilyy koko liikkeen ajan.
Jos siis koordinaatti "qk voidaan pitää merki­tyksettö­mänä ja se puuttuu Lagrangen funktiosta, viimeksi mainittuun ei vaikuta "qk":n muutokset. Lagrangen funktio on tällöin invariantti ja sillä sanotaan olevan fysikaalinen symmetria sellaisissa muutoksissa. Noetherin teoreema sai alkunsa tämän ajatuksen yleistyksenä.
Vaihtoehtoisia menetelmiä säilyvien suureiden löytämiseksi kehitti 1800-luvulla varsinkin William Rowan Hamilton. Hän kehitti esimerkiksi kanonisten muunnosten teorian, joka teki mahdolliseksi muuttaa koordinaatistoa siten, että jokin koordinaatti hävisi Lagrangen funktiosta, mistä edellisen mukaan seuraa kanonisen liikemäärän säilyminen. Toinen, mahdollisesti tehokkain tapa säilyvien suureiden löytämiseksi perustuu Hamiltonin-Jacobin-yhtälöön.
Matemaattinen muotoilu.
Yksinkertaisin muoto häiriöiden avulla.
Noetherin teoreema on perusidealtaan edellä kuvatun mitättömän pienten koordinaattien poisjättämisen yleistys.
Oletetaan, että edellä määritelty aktio "I" on invariantti aikamuuttujan pienissä häiriöissä (käyristymisissä" ja 
yleistetyt koordinaatit q fysiikassa yleisesti käytetyillä merkintätavoilla,
formula_7
formula_8
missä häiriöt "dt" and "d"q ovat molemmat pieniä mutta muuttuvia. Yleisemmin oletetaan, että aktiolla on vaikkapa "N" sellaista symmetria­muunnosta, toisin sanoen muunnosta, jotka jättävät aktion ennalleen, ja käytetään niille indeksiä "r" = 1, 2, 3, …, "N". 
Tällöin häiriöiden yhteis­vaikutus voidaan kirjoittaa kaikkien eri­tyyppisten häiriöiden lineaarisena summana,
formula_9
formula_10
missä e"r" ovat infinitesimaalisia parametrisia kertoimia, joista 
Yhden­suuntais­siirtojen tapauksessa Q"r" on pituuden yksiköissä ilmaistava vakio, rotaatioiden tapauksessa lineaarinen, q:n komponenttien avulla ilmaistava lauseke, ja parametrit muodostavat kulman.
Näiden määritelmien avulla Noether osoitti, että nämä "N" suuretta
formula_11
säilyvät eli ovat liikevakioita. Niiden dimensiot ovat [energia]·[aika] + [liikemäärä]·[pituus] = [aktio]].
Esimerkkejä.
Esimerkkinä käsitellään Lagrangen funktiota, joka ei riipu ajasta, toisin sanoen se on invariantti (symmetrinen) muunnoksissa "t" → "t" + d"t", kun koordinaatit q eivät muutu. Tässä tapauksessa "N" = 1, "T" = 1 and Q = 0; vastaava säilyvä suure on kokonaisenergia "H"
formula_12
Tarkastellaan Lagrangen funktiota, joka ei riipu (edellä mainitulla tavalla merkityksettömästä) koordinaatista "q""k"; toisin sanoen se in invariantti (symmetrinen) muunnoksissa "q""k" → "q""k" + "dq""k". Tässä tapauksessa "N" = 1, "T" = 0, and "Q""k" = 1; säilyvä suure on vastaava liikemäärä "p""k"
formula_13
Erityisessä ja yleisessä suhteellisuus­teoriassa nämä näennäisesti erilliset säilymis­lait ovat saman lain, jännitys-energia-tensorin säilymis­lain, eri ilmenemis­muotoja,
 Tämä laki johdetaan jäljempänä. 
Liikemäärämonentin L = r × p säilymislaki on analoginen liike­määrän säilymis­laille. Oletetaan, että systeemin Lagrangen funktio on symmetrinen rotaatioiden suhteen, toisin sanoen se ei riipu fysikaalisen systeemin absoluuttisesta suuntautumisesta avaruudessa. Oletetaan, että Lagrangen funktio ei muutu akselin pienissä "n" kulman δθ suuruisissa rotaatioissa. Tällaisissa rotaatioissa karteesiset koordinaatit muuntuvat yhtälön
formula_14
mukaisesti. Koska aika ei tässä muutu, on "T"=0. Pidetään kulmaa δθ parametrina "ε" ja karteesisia koordinaatteja r yleistettyinä koordinaatteina q; tällöin vastaavat muuttujat Q saadaan lausekkeella 
formula_15
Tällöin Noetherin teoreeman mukaan seuraava suure säilyy:
formula_16
Toisin sanoen liikemäärämomentin L akselin n suuntainen komponentti säilyy.
Jos n on mieli­valtainen, eli systeemiin eivät vaikuta mitkään rotaatiot, L:n kaikki komponentit säilyvät, eli lyhyesti sanottuna liikemäärämomentti säilyy.
Kenttäteoreettinen versio.
Vaikka edellä esitetty versio teoreemasta on sellaise­naan­kin käyttö­kelpoinen, se on vain erikois­tapaus Noetherin vuonna 1915 johtamasta yleisemmästä versiosta. Seuraavassa esitetään Noetherin teoreeman versio, joka koskee jatkuvia kenttiä neli­ulotteisessa aika-avaruudessa. Koska modernissa fysiikassa kenttä­teoreettiset probleemat ovat yleisempiä kuin mekaaniset, tämä kenttä­teoreettinen versio on Noetherin teoreeman yleisemmin käytetty versio.
Oletetaan joukko differentioituvia kenttiä "φ", jotka on määritelty kaikkialla avaruudessa ja ajassa. Esimerkiksi lämpötilaa "T"(x, "t") voidaan pitää sellaisena kenttänä, sillä se on luku, jolla on tietty arvo jokaisessa paikassa jokaisena aikana. Vähimmän vaikutuksen periaatetta voidaan soveltaa sellaisiin kenttiin, mutta aktio on nyt integraali avaruuden ja ajan yli:
formula_17
Oletetaan, että aktio on riippumaton tietynlaisista avaruus-aika-koordinaattien "x"µ muunnoksista ja kentistä "φ"
formula_18
formula_19
missä muunnokset voidaan indeksoida: "r" = 1, 2, 3, …, "N"
formula_20
formula_21
Tällaisilla systeemeillä on Noetherin teorian mukaan "N" säilyvää virran­tiheys­suuretta
formula_22
Näissä tapauksissa säilymis­lait voidaan ilmaista neli­ulotteisessa muodossa
formula_23
joka ilmaisee, että säilyvän suureen määrä pallo­pinnan sisä­puolella ei voi muuttua, ellei sitä virtaa vastaava määrä pallo­pinnan sisä­puolelta ulos tai päin­vastoin. Esimerkiksi sähkövaraus säilyy; varaus­määrä pallo­pinnan sisä­puolella ei voi muuttua, ellei varausta virtaa sieltä ulos tai sinne sisään. 
Asian havainnol­lista­miseksi oletetaan kenttien muodostama fysikaalinen systeemi, joka edellä mainitussa mielessä käyttäytyy samoin siirrettäessä sitä ajassa ja paikassa, toisin sanoen formula_24 on vakio kolmannen argumenttinsa suhteen. Siinä tapauksessa "N" = 4, virran­tiheys­suureita on yksi kutakin paikka­koordinaattia ja aikaa kohti. Koska vain sijainnit ajassa ja paikassa voivat vääristyä, eivät kentät, muuttujat Ψ ovat kaikki nollia ja 
"X"µν on yhtä kuin Kroneckerin delta δµν, missä µ:tä on käytetty
r:n sijasta indeksinä. Siinä tapauksessa Noetherin teoreema vastaa jännitys-energia-tensorin 
"T"µν säilymislakia:
formula_25
Sähkö­varauksen säilyminen sitä vastoin voidaan johtaa olettamalla, että "X"µν=0 ja "Ψ" on lineaarinen kentissä "f" itsessään. Kvantti­mekaniikassa todennäköisyysamplitudi Ψ(x) sille, että hiukkanen löydetään pisteestä x, on kompleksinen kenttä "φ", koska se liittää avaruuden ja ajan jokaiseen pisteeseen kompleksi­luvun. Toden­näköisyys­amplitudia sinänsä ei voida fysikaalisesti mitata, ainoastaan toden­näköisyys "p" = |Ψ|2 voidaan todeta mittaus­sarjan perusteella, Sen vuoksi systeemi on invariantti sellaisten kentän Ψ ja sen kompleksikonjugaattikentän Ψ* muunnosten suhteen, joissa lausekkeen |Ψ|2 arvo ei muutu, kuten kompleksisessa rotaatiossa
formula_26.
Raja­tapauksessa, kun vaihe θ tulee infini­tesi­maalisen pieneksi, δθ, sitä voidaan pitää parametrina "ε", kun taas "Ψ" on sama kuin vastaavasti "iψ" and -"iψ"*. Erityisenä esi­merkkinä voidaan mainita Kleinin-Gordonin yhtälö, suhteellisuus­teorian mukaisesti korjattu versio Schrödingerin yhtälöstä spinittömille hiukkasille, missä Lagrangen funktion tiheys on 
formula_27
Tässä tapauksessa Noetherin teoreemasta seuraa, että säilyvä virta (∂·"j" = 0) on yhtä kuin
formula_28.
Kun tämä kerrotaan kyseisen hiukkaslajin varauksena, saadaan tämän hiukkas­tyypin aikaansaama sähköinen virrantiheys. Tähän "riippumattomuuteen mitta­kentästä" kiinnitti ensimmäisenä huomiota Hermann Weyl, ja se on yksi fysiikan 
mitta­kenttä­symmetrioiden proto­tyypeistä.
Teoreeman johtaminen.
Yksi riippumaton muuttuja.
Tarkastellaan yksinkertaista tapausta, systeemiä, jossa on vain yksi riippumaton muuttuja, aika. Oleteteaan, että riippuvat muuttujat q ovat sellaisia, että aktio integraalina
formula_29
on invariantti lyhyissä infinitesimaalisissa riippuvien muuttujien vaihteluissa. Toisin sanoen ne toteuttavat Eulerin-Lagrangen liikeyhtälöt
formula_30
Oletetaan lisäksi, että integraali on invariantti jossakin jatkuvassa symmetriassa. Matemaattisesti sellaista symmetriaa kuvaa jokin virtaus φ, joka vaikuttaa muuttujiin seuraavasti:
formula_31
formula_32
missä ε on reaalinen muuttuja, joka ilmaisee virtauksen määrän, ja "T" reaalinen vakio, joka voi olla myös nolla ja joka ilmaisee, minkä verran virtaus vaikuttaa aikaan.
formula_33
Aktiointegraali muuntuu muotoon
formula_34,
mitä voidaan pitää ε:n funktiona. Laskemalla derivaatta, kun ε = 0 ja käyttämällä symmetriaa saadaan 
formula_35
On huomattava, että Eulerin-Lagrangen yhtälöistä seuraa
formula_36
Sijoittamalla tämä edellisiin yhtälöihin saadaan
formula_37
Käyttämällä jälleen Eulerin-Lagrangen yhtälöitä saadaan
formula_38
Sijoittamalla tämä edellisiin yhtälöihin saadaan
formula_39
Tästä voidaan nähdä, että 
formula_40
on liikevakio, siis säilyvä suure. Koska φ [q, 0] = q, saadaan formula_41, ja näin ollen säilyvä suure yksinkertaistuu muotoon
formula_42
Jotteivät kaavat tulisi liian monimutkaisiksi, tässä johdossa on oletettu, ettei virta muutu ajan kuluessa. Samaan tulokseen päästään kuitenkin myös yleisemmässä tapauksessa.
Kenttäteoreettinen johto.
Noetherin teoreema voidaan johtaa myös tensorikentille φA missä indeksin "A" eri arvot tarkoittavat eri tensorikenttien eri komponentteja. Nämä kenttäsuureet ovat neliulotteisessa avaruudessa määriteltyjä funktioita, ja avaruuden pisteitä merkitään koordinaateilla "x"µ, missä indeksin µ arvo µ=0 merkitsee aikaa ja arvot µ=1,2,3 kolmea tilaulottuvuutta. Nämä neljä koordinaattia ovat riippumattomat muuttujat ja kenttien arvot kussakin aika-avaruuden pisteessä ovat niistä riippuvia muuttujia. Infinitesimaalisissa muunnoksissa koordinaattien muunnokset voidaan kirjoittaa muodossa
formula_43
kun taas kenttäsuureiden muunnokset ilmaistaan muodossa 
formula_44
Tämän määritelmän mukaan δφ"A" riippuu kahdesta tekijästä: kentille itsessään ominaisista sisäisistä muutoksista ja koordinaattien muutoksista, sillä muunnettu kenttä α"A" riippuu muunnetuista koordinaateista ξµ. Sisäisten muutosten eristämiseksi kentän vaihtelu yksittäisessä pisteessä "x"µ voidaan määritellä seuraavasti:
formula_45
Jos koordinaatteja muutetaan, muuttuu samalla myös sen aika-avaruuden alueen raja, jonka yli Lagrangen funktio integroidaan; alkuperäistä ja muunnettua versiota merkitään Ω ja Ω’.
Noetherin teoreema alkaa oletuksesta, että tietty koordinaattien ja kenttämuuttujien muunnos ei muuta aktiota, joka määritellään Lagrangen funktion tiheyden integraalina tietyn aika-avaruuden alueen yli. Matemaattisesti tämä oletus voidaan kirjoittaa seuraavasti:
formula_46
missä muuttujien jälkeen yläpuolelle kirjoitetut pilkut tarkoittavat osittaisderivaattoja niiden
koordinaattien suhteen, jotka seuraavat pilkun jälkeen, toisin sanoen
formula_47
Koska ξ on pelkkä integroimisvakio ja koska rajan Ω muutos oletettiin infinitesimaaliseksi, nämä kaksi integraalia voidaan yhdistää divergenssilauseen neliulotteisen version mukaisesti seuraavaan muotoon:
formula_48
Lagrangen funktioiden erotus voidaan kirjoittaa ensimmäisessä kertaluvuissa infinitesimaalisilla muutoksilla:
formula_49
Koska nämä muutokset kuitenkin on määritelty samassa edellä selityssä pisteessä, muutokset ja derivoinnit voidaan suorittaa myös päinvastaisessa järjestyksessä; ne kommutoivat:
formula_50
Käyttämällä Eulerin-Lagrangen kenttäyhtälöä
formula_51
Lagrangen funktioiden erotus voidaan kirjoittaa yksinkertaisesti muotoon
formula_52
Näin ollen aktion muutokseksi saadaan 
formula_53
Koska tämä pätee missä tahansa alueessa Ω, integrandin on oltava nolla
formula_54.
Mille tahansa symmetriamuunnosten yhdistelmälle tästä aiheutuva häiriö voidaan kirjoittaa muodossa
formula_55
formula_56
missä formula_57 on funktion φ"A" Lien derivaatta suunnassa "X"µ. Kun φ"A" on skalaari tai formula_58, 
formula_59
Näistä yhtälöistä seuraa, että kentän muutos yhdessä pisteessä on 
formula_60
Differentioimalla tämä divergenssi ε:n suhteen pisteessä ε=0 ja muuttamalla etumerkki saadaan säilymislaki
formula_61
missä säilyvä virta on 
formula_62
Esimerkkejä.
Esimerkki 1: Energian säilyminen.
Käsitellään erikoistapauksena Newtonin fysiikan mukaista hiukkastan jonka massa on "m" ja paikkakoordinaatit "x" ja joka liikkuu potentiaalin "V" vaikutuksesta, jonka koordinatisoi aika "t". Aktio "S" on:
 formula_63
Ensimmäinen hakasuluissa oleva termi on liike-energia, jälkimmäinen potentiaalienergia. Käsitellään ajan muunnosten generaattoria "Q" = ∂/∂"t". Toisin sanoen formula_64. On huomattava, että "x" riippuu eksplisiittisesti ajasta, kun taas "V" ei riipu; näin ollen: 
formula_65
ja voidaan asettaa 
formula_66
Silloin 
 formula_67.
Yhtälön oikea puoli tarkoittaa energiaa, ja Noetherin teoreeman mukaan formula_68, toisin sanoen energian säilymisen periaate seuraa invarianssista ajallisten siirtymien suhteen.
Yleisemmin, jos Lagrangen funktio ei eksplisiittisesti riipu ajasta, suure
formula_69,
jota sanotaan Hamiltonin funktioksi, säilyy.
Esimerkki 2: Liikemäärän keskuksen säilyminen.
Käsitellään edelleen yksiulotteista aikaa ja olkoon
 formula_70
toisin sanoen on "N" Newtonin fysiikan mukaista hiukkasta systeemissä, jonka potentiaali riippuu vain pareittain hiukkasten suhteellisesta liikkeestä.
Käsitellään formula_71:lle määriteltyä Galilein muunnosten generaattoria, toisin sanoen vertailu­järjestelmän muutosta. Toisin sanoen
formula_72
On huomattava, että
formula_73
Tämä on muotoa formula_74, joten voidaan asettaa 
formula_75.
Täten
formula_76
formula_77
formula_78
missä formula_79 on kokonaisliikemäärä, "M" kokonaismassa formula_80 massakeskipiste. Noetherin teoreeman mukaan
formula_81
Sovelluksia.
Soveltamalla Noetherin teoreemaa fyysikot saavat tehokkaita näkemyksiä mihin tahansa fysiikan yleiseen teoriaan pelkästään analysoimalla erilaisia muunnoksia, joissa lait pysyvät muodoltaan invariantteina. Niinpä esimerkiksi:
Noetherin teoreeman kvantti­kenttä­teoreettinen vastine, Wardin-Takahashin identiteetti, johtaa vielä muihin säilymis­lakeihin. Esimerkiksi sähkövarauksen säilyminen seuraa invarianssista varauksellisten hiukkasten kompleksisten kenttien vaihekulman ja siihen liittyvien sähköisen potentiaalin ja vektori­potentiaalin mittojen suhteen.
Noetherin varausta on käytetty myös laskettaessa stationaaristen mustien aukkojen entropiaa.