Satunnaismuuttujien riippuvuus

Satunnaismuuttujien riippuvuus eli stokastinen riippuvuus on todennäköisyyslaskennassa nimitys ilmiölle, jossa kahden satunnaismuuttujan saamat arvot ovat joko osittain tai kokonaan verrannollisia tai muuten riippuvaisia toistaan. Yleisessä tapauksessa toisistaan riippuvia satunnaismuuttujia voi olla useita. Satunnaismuuttujien riippuvuus voi olla seurausta niiden yhteisistä taustamekanismeista, joka vaikuttaa satunnaismuuttujien saamiin arvoihin. Näiden mekanismien yhteisvaikutus on siten "osittainen" eli "stokastinen riippuvuus". Jos kaksi satunnaismuuttujaa ovat "riippumattomia", ei niiden arvoihin vaikuta mitään yhteisiä mekanismeja. Jos kaksi satunnaismuuttujaa ovat täysin riippuvia toisistaan, määrää toisen satunnaismuuttujan arvo täysin toisen satunnaismuuttujan arvon, ja päinvastoin. Tätä riippuvuutta kutsutaan "funktionaaliseksi riippuvuudeksi". Satunnaismuuttujien riippuvuus on ilmiönä sukua tapahtumien riippuvuudelle.
Satunnaismuuttujien välisen riippuvuuden mallintaminen vaatii niiden yhteisjakauman tarkastelua. Tällöin yhteisjakaumasta erotetaan eri satunnaismuuttujien suhteen ehdolliset reunajakaumat. Reunajakaumien avulla voidaan riippuvuuden laatua ja määrää mallintaa.
Tapahtumien riippumattomuus.
Kahden tapahtuman riippumattomuus tarkoittaa sitä, ettei tapahtumien todennäköisyydet riipu toisistaan. Merkitään tapahtumia formula_1 ja formula_2 ja lasketaan tapahtuman "tapahtuu A, kun tapahtuu myös B" ehdollinen todennäköisyys (merkitään formula_3). Vertailun vuoksi, lasketaan myös tapahtuman formula_1 todennäköisyys. Tapahtumat ovat toistaan riippumattomia, mikäli ehdollinen todennäköisyys ja kokonaistodennäköisyys ovat samat. Tapahtumalla formula_2 ei ole silloin vaikutusta tapahtuman formula_1 todennäköisyyteen. Yhtäsuuruudet tulisivat olla samat kummallakin tavalla ajateltuna eli
formula_7 ja formula_8
Mikäli edelliset todennäköisyydet eivät ole yhtäsuuret, ovat tapahtumat riippuvia toistaan.
Kun tapahtumat ovat riippumattomia toisistaan, voidaan tapahtuma "molemmat tapahtuu" (eli formula_9) laskea
formula_10 ("riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö")
Useamman riippumattoman tapahtuman todennäköisyys lasketaan vastaavasti
formula_11 
Riippumattomuuden testaamiseen löytyy työläs keino. Jos halutaan varmistaa, ovatko kolme tapahtumaa riippumattomia keskenään, tulee testit tehdä pareittain ja kaikki kolme yhdessä. Seuraavat yhdistelmät tulisi tällöin toteutua:
formula_12
formula_13
formula_14
formula_15
Riippumattomuus toteutuu vastavasti useammalle tapahtumalle.
Satunnaismuuttujien riippuvuus.
Riippumattomuus.
Satunnaismuuttujat formula_16 ja formula_17 ovat riippumattomia, jos yhden satunnaismuuttujan saama arvo ei vaikuta toiseen (muihin) satunnaismuuttujan arvoihin ollenkaan ja näin on myös toisen (muiden) satunnaismuuttujan suhteen. Satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, mikäli kaikilla tapahtumien formula_18 ja formula_19 yhdistelmillä satunnaismuuttujien väliset ehdolliset todennäköisyydet ovat samat kuin todennäköisyydet "a priori". Silloin 
formula_20 ja formula_21
Tällöin diskreettien satunnaismuuttujien kaikki yksittäiset tapahtumat tulisivat olla riippumattomia keskenään eli pistetodennäköisyyksillä 
formula_22 
eli käyttäen pistetodennäköisyysfunktion merkintöjä
formula_23
tai vaihtoehtoisesti diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien kaikki tapahtumat tulisivat olla vastaavasti riippumattomia keskenään
formula_24
eli kertymäfunktiolla esitettynä
formula_25 
Tämä on kunkin yksittäisen satunnaismuuttujan jakauman ja niiden yhteisjakauman välinen yhtäsuuruusehto.
Jatkuvien satunnaismuuttujien tapaukessa sama pätee niiden tiheysfunktioille
 formula_26 
ja niiden kertymäfunktiolle diskreetin tapauksen tapaan.
Jos satunnaismuuttujia on kolme, tutkitaan näiden riippumattomuuksia samaan tapaan kuin kolmen tapahtuman riippumattomuuksia. Tällöin tutkitaan riippumattomuus pareittain ja lopuksi kolmistaan. Kun kaikissa neljässä tapauksessa satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, ovat "kaikki" satunnaismuuttujat keskenään riippumattomia. Jos tutkitaan formula_27 satunnaismuuttujan riippumattomuutta, käydään läpi kaikki mahdolliset kombinaatiot. Niitä on formula_28 kappaletta.
Funktionaalinen riippuvuus.
Funktionaalinen riippuvuus viittaa täydelliseen riippuvuuteen, jossa kahden satunnaismuuttujan tapauksessa toisen arvon tunteminen mahdollistaa toisen arvon laskemisen. Tämä voidaan ilmaista yhtälöllä formula_29. Lineaarinen riippuvuus voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationa formula_30.
Useamman satunnaismuuttujan tapauksessa yksi satunnaismuuttuja määräytyy täysin, kun muiden arvot saadaan ensin käyttöön. Riippuvuuden laatu voi vaihdella suuresti. Yleisin käytetty riippuvuus on lineaarinen, jossa lineaarikombinaatio
formula_31 
liittää satunnaismuuttujien arvot toisiinsa. Tämän yleistys on mikä tahansa funktionaalinen riippuvuus
formula_32 
Stokastinen riippuvuus.
Satunnaismuuttujan riippuvuus voi olla osittaista siinä mielessä, ettei se ole täysin riippumatonta mutta ei myöskään täysin funktionaalisen riippuvaista. Tälle kiinnostavalle välimuodolle voidaan antaa nimeksi stokastinen riippuvuus, jossa sana stokastinen korostaa satunnaisuuden läsnäoloa.
Riippuvuuden määrä.
Kahden satunnaismuuttujan riippuvuutta voidaan mitata käyttämällä kovarianssia ja korrelaatiota. 
Kovarianssi.
Kahden satunnaismuuttujan formula_16 ja formula_17 riippuvuutta voidaan mitata laskemalla niiden välinen kovarianssi formula_35 Kovarianssin ja riippuvuuden välistä suhdetta voidaan valaista tutkimalla satunnaismuuttujan arvojen poikkeamista sen odotusarvosta. Satunnaismuuttujan formula_16 ja sen odotusarvon formula_37 erotus eli poikkeama on formula_38 Poikkeama saa tasapuolisesti sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Poikkeamien summasta tulee keskimäärin nolla, joten poikkeamien odotusarvo yleisesti aina nolla. 
Kun kummankin satunnaismuuttujan poikkeamat kerrotaan keskenään formula_39, on tulos riippumattomassa tapauksessa nolla. Mikäli satunnaismuuttujat riippuvat toisistaan, voi riippuvuus olla positiivista tai negatiivista. Riippuvuus on positiivista, kun sekä formula_16 että formula_17 poikkeavat positiiviseen suuntaan yhdessä ja molemmat negatiiviseen suuntaan yhdessä. Poikkeamien tulo on tällöin aina positiivinen, koska tulontekijät ovat samanmerkkisiä. Jos formula_16 poikkeaa positiiviseen suuntaan, kun formula_17 poikkeaa negatiiviseen suuntaan, on poikkeamien tulo negatiivinen. Sama tulos saadaan, kun ne poikkeavat päinvastaisiin suuntiin.
Yleistäen voidaan sanoa, että kun formula_44, ovat satunnaismuuttuja riippuvia. Riippumattomuudelle sen sijaan ei riitä, että formula_45 sillä tunnetaan tapauksia, jossa funktionaalinen riippuvuus aiheuttaa kovarianssille nolla-arvon. Kovarianssin arvon suuruus ei kerro, onko riippuvuus suurta vai pientä, sillä kovarianssin arvo riippuu myös satunnaismuuttujien varianssista. Riippuvuuden mittamiseen käytetäänkin korrelaatiota.
Korrelaatio.
Kovarianssin formula_46 arvosta voidaan päätellä luotettavasti vain riippuvuuden suunta. Riippuvuuden määrä selviää, kun kovarianssin arvosta puhdistetaan kummankin satunnaismuuttujan keskihajonnan vaikutus. Keskihajonta formula_47 on arvoltaan varianssin formula_48 neliöjuuri eli formula_49. Korrelaation formula_50 arvo lasketaan
formula_51
Korrelaation arvot vaihtelevat nyt suljetulla välillä formula_52 eikä niillä ole mittayksikköä. Kun formula_53 on riippuvuus lineaarista, kun formula_54 voi riippuvuuden todeta olevan stokastista. Arvosta nolla ei taaskaan voi vetää johtopäätöksiä siitä, että satunnaismuuttujat ovat riippumattomia. Sen vaihtoehdon mahdollisuutta voi tarkistaa käyttäen ehdollista todennäköisyyslaskentaa.