Kriging-interpolointi

Kriging-interpolointi ( ) eli Pistekriging on ( ) on tilastotieteessä ja todennäköisyyslaskennassa ja erityisesti geostatistiikassa monimuuttujainen interpolointimenetelmä, jossa kriging-estimointimenetelmällä lasketaan pisteissä formula_1 sijaitsevien pistemäisten näytteiden formula_2 avulla kohdassa formula_3 sijaitsevan kohteen suureen arvo formula_4. Jos näytteiden otos säilyy samana, voidaan laskea interpolointikäyrä (yksiulotteinen tapaus) tai -pinta (kaksiulotteinen tapaus) formula_4 näytteiden lähiympäristössä. Kunkin arvioitavan kohdan arvo lasketaan määrittämällä ensin kaikille näytteille painokertoimet formula_6 ja muodostamalla sitten painokertoimilla ja näytteiden arvoilla formula_2 painotettu aritmeettinen keskiarvo
formula_8 
Pistekriging ei ole yksinkertainen menetelmä, koska painokertoimet lasketaan huomioimalla näytteiden keskinäiset riippuvuudet ja näytteiden ja kohteen väliset riippuvuudet. Riippuvuudet johtuvat estimoitavan suureen spatiaalisesta autokorrelaatiosta. Kun käytetään formula_9 näytteen otosta, joudutaan painokertoimia määritettäessä ratkaisemaan formula_10 yhtälön yhtälöryhmä.
Taustaa.
Menetelmä on johdettu geostatistiikassa käytettävästä krigingistä, jolla estimoidaan suureen arvoja halutuissa kohdissa ja jossa suureen arvot muuttuvat tilassa spatiaalisesti levittäytyvän ilmiön vaikutuksesta. Geostatistiikassa ajatellaan, että tila muodostuu satunnaiskentästä formula_11, jonka todennäköisyyslaskennallisia ominaisuuksia pyritään hyödyntämään tilastollisesti.
Geostatistiikassa käytettävä Kriging on johdettu sovelluksia silmällä pitäen. Siitä voidaan kuitenkin modifioida interpolointimenetelmä yksinkertaistamalla sen alkuoletuksia. Ensiksi, näytteet eli arvojen otos ajatellaan olevan interpoloitavan funktion arvoja yksittäisissä pisteissä. Toiseksi, interpoloinnissa lasketaan vain käyrän tai pinnan arvoja annetuissa pisteissä. Aito kriging-estimointimenetelmä yrittää estimoida alojen tai tilojen sisältämiä suureen kokonaisarvoja. Kolmanneksi, eri pisteiden välisiä riippuvuuksia ilmaistaan annetulla kovarianssifunktiolla, korrelogrammilla tai variogrammilla. Tässä laskut on esitetty kovarianssifunktiolla.
Merkinnät ja tavalliset reunaehdot.
Interpoloidaan funktiota, joka on määritelty avaruudessa formula_3, missä dimensio voi olla esimerkiksi formula_13 eli taso tai formula_14 eli tila. Merkitään interpoloitavaa funktiota formula_4 kohdassa formula_16, siihen tarvittavia näytteitä formula_2 paikoissa formula_18 ja kovarianssifunktion arvot merkitään formula_19, kun pisteiden välinen etäisyys on halutulla metriikalla formula_20, tai merkitään formula_21, kun formula_22.
Interpolointimenetelmän tulee käyttäytyä näytteiden välisessä tilassa niin, että kaikki estimoidut arvot ovat odotusarvoltaan samat kuin on koko näyteavaruuden odotusarvo. Tässä esityksessä oletetaan satunnaiskentän odotusarvon formula_23 olevan vakio, mutta silti sen tarkka arvo olisi tuntematon. Yhtälöihin liitettävä harhattomuusehto eli normitus
formula_24
saadaan siitä, että virheen odotusarvo pitäisi olla nolla:
formula_25
formula_26
formula_27
formula_28
formula_29
Kovarianssifunktio on oltava positiividefiniitti eli
formula_30 
Se on tasan nolla, kun riippuvuus näytteiden nälillä on olematon eli ne ovat tilastollisesti riippumattomia. Tällöin etäisyys formula_31 on ylittänyt riippuvuuden etäisyyden raja-arvon. Kovarianssi tulee saada suurimman arvonsa, kun etäisyys formula_32. Yleensä vaaditaan, että kovarianssi saa näyteavaruuden tilastollisen varianssin
formula_33 
Kovarianssi on yleensä monotonisesti laskeva käyrä.
Arviovarianssin minimointi.
Geostatistiikassa Kriging-estimointi syntyy tilanteessa, jossa on voitu arvioida eri painokertoimien valinnan aiheuttaman virheen varianssi eli arviovarianssi formula_34. Optimoimalla painokertoimia, voidaan virheen varianssia pienentää. Kriging-interpoloinnissa arvo lasketaan sellaisilla painokertoimilla, joilla virheen varianssi on pienimmillään. Tätä varianssin minimiarvoa kutsutaan Krigingvarianssiksi formula_35. Se on yleensä pienempi kuin näyteavaruuden tilastollinen varianssi formula_36.
Interpoloinnin suorittaminen.
Seuraavassa selostetaan, miten kokonaisen alueen kaikki pisteet interpoloidaan, kun aina käytetään samoja näytteitä. Jos näytteet vaihdetaan välillä, tulee interpolointi aloittaa alusta uudelleen.
Interpoloinnin valmistelut.
Koska laskut ovat mutkikkaat ja usein käytetään useita näytteitä, voidaan laskut suorittaa vektori- ja matriisilaskutoimituksin. Aluksi lasketaan näytteiden formula_18 ja interpoloitavan kohteen formula_16 väliset riippuvuudet ja kootaan niistä kovarianssivektori, joka on pystyvektori
formula_39
Kootaan painokertoimet formula_6 samalla tavalla vektoriksi
formula_41
Sitten määritetään kaikkien näytteiden väliset riippuvuudet ja kootaan ne kovarianssimatriisiin (neliömatriisi)
formula_42
koska formula_43
Nyt lisätään normitusta eli harhattomuusehtoa varten matriisiin alimmaiseksi riviksi ja oikeanpuoleisemmaksi sarakkeeksi ykköset ja nolla matriisin kulmaan. Nämä ovat nyt
formula_44
Geostatistiikan teorian mukaan paras estimaatti saadaan sellaisilla painokertoimien formula_6 arvoilla, jotka saadaan yhtälöryhmän eli matriisiyhtälön
formula_46
ratkaisuna. Lagrangen parametri formula_47 tarvitaan mukana, jotta yhtälöiden rivit ja sarakkeet menisivät tasan. Matriisiyhtälö voidaan myös kirjoittaa vektorien ja matriisin nimillä
formula_48 
jolloin ratkaisu saadaan kääntämällä matriisi formula_49
formula_50 
Matriisin kääntäminen voidaan tehdä Gaussin eliminointimenetelmällä.
Ensimmäisen pisteen interpolointi.
Saatu painokerroinvektori sisältää tarvittavat painokertoimet, joilla voi laske interpolaatiolle arvon
formula_8 
Viimeinen lauseke voidaan merkitä ja laskea vektorilaskennalla, kun näytteistä muodostetaan lyhyt pystyvektori
formula_52
ja sitten vektorit kerrotaan keskenään
formula_53
Seuraavien pisteiden interpolointi.
Seuraavan pisteen formula_16 interpolointi, kun käytetään samoja näytteitä formula_2 kuin aikaisemmin, aloitetaan päivittämällä kovarianssivektori
formula_56
Koska interpoloitava piste formula_16 vaihtui, muuttuvat näytteiden formula_18 ja pisteen formula_16 väliset riippuvuudet, joten ne lasketaan aina uudelleen. Toisaalta, koska näytteet ovat samat, ei niiden väliset riippuvuudet ole vaihtuneet ja nyt voidaan hyödyntää valmiiksi käännettyä matriisia formula_60 painokertoimien formula_61 laskemisessa. Uudet painokertoimet lasketaan
formula_62
ja ne sijoitetaan lausekkeeseen
formula_63
joka antaa uuden interpolaation. Tätä jatketaan kunnes halutaan vaihtaa uudet näytteet, jolloin aloitetaan valmistelemalla uusi matriisi formula_49.
Krigingvarianssi.
Interpoloinnin krigingvarianssi pisteessä formula_16 lasketaan teorian mukaan
formula_66 
missä ratkaisun mukaan on formula_67, joten varianssi voidaan kirjoittaa
formula_68
niillä painokertoimilla, joilla varianssi minimoituu.
Pistekrigingin ominaisuuksia.
Pistekriging on eksakti interpolaatiomenetelmä, sillä näytteiden kohdissa formula_18 se antaa interpolaattoriksi näytteen arvon formula_70 krigingvarianssilla formula_71 Menetelmä on toisaalta tasoittava interpolaatio, koska interpoloinnin tuloksien formula_4 pisteessä formula_73 varianssit ovat näytepopulaation varianssi.
Kun tarkastellaan Kriging-interpoloinnin tuottaman käyrän tai pinnan ominaisuuksia, periytyvät sen jatkuvuus- ja derivoituvuusominaisuudet käytettävän kovarianssifunktion vastaavista ominaisuuksista.