Nagelin piste

Nagelin piste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu "Kimberlingin pisteiden luetteloon" tunnuksella formula_1. Kolmion sivut jatketaan suorilla ja suorien väliin piirretään niin suuret ympyrät, että ne sivuavat kukin kaikkia suoria kerran. Tällaisia ympyröitä on neljä, kun mukaan lasketaan kolmion sisään piirretty ympyrä. Muut, kolmion ulkoiset ympyrät, sivuavat kolmiota pisteissä, jotka otetaan ceviaanien kantapisteiksi. Ceviaanien yhteinen leikkauspiste on nimeltään "Nagelin piste". Piste on nimetty Christian Heinrich von Nagelin (1803–1882) mukaan.
Toinen määritelmä Nagelin pisteelle ei hyödynnä ympyröitä. Mitataan kärjestä A paikka vastaisella sivulla, joka on puolimatkassa kolmion ympäri, eli mitataan kolmion puolipiirin päätepisteen paikka, jota kutsutaan kantapisteeksi. Kustakin kärjestä merkitään muut kantapisteet samalla tavalla. Kärkien ja kantapisteiden väliset janat leikkaavat toisensa Nagelin pisteessä. Tämäkin menetelmä on todistettu alla.
Sijainti kolmiossa.
Nagelin piste sijaitsee aina kolmion sisällä. Tämän näkee siitä, että ceviaani kulkee kolmion kärjen ja kolmion sivun sivuamispisteen välillä. Kaikkien tällaisten janojen leikkauspiste jää siksi kolmion sisään.
Tasasivuisen kolmion sivusuorat asettuvat symmetrisesti sivuavien ympyröiden ympärille, jolloin sivun tangenttipiste jää keskelle kolmion sivulle. Koska ceviaani on tällöin keskijana, leikkaavat ne toisensa painopisteessä.
Tasakylkisen kolmion kylkien sivuamispisteet asettuvat symmetrian vuoksi samalle korkeudelle. Kun kannan sivuamispiste tulee keskelle kantaa, jää Nagelin piste kolmion symmertiajakajalle eli korkeusjanalle.
Trilineaariset koordinaatit.
Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat 
formula_2.
Barysentriset koordinaatit.
Pisteen barysentriset koordinaatit ovat 
formula_3 
Todistus.
Todistetaan, että kolmion formula_4 mainitut ceviaanit leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä. Tekstissä seurataan viereisen kuvan merkintöjä. Kolmion sivujen jatkeet, eli sivusuorat, ovat ympyrän tangentteja, jossa esimerkiksi sivun formula_5 tangenttipiste on formula_6 ja sivun formula_7 tangenttipiste on formula_8. Nyt janojen formula_9 ja formula_10 pituudet ovat samat, koska ne ovat saman pisteen kautta kulkevat yhteisen ympyrän tangentteja. Merkitsemällä janan pituutta pystyviivoilla, saadaan formula_11.
Merkitään kärjen formula_12 vastaisen sivun formula_13 tangenttipistettä formula_14 ja tarkastellaan janojen pituuksia ensin kärken formula_12 kannalta. Kärjen formula_12 vasemman sivulla kärjessä formula_17 risteää kaksi sivusuoraa, jotka voidaan myös tulkita yhteisen ympyrän tangenteiksi. Silloin on formula_18 (1). Vastaava tilanne on pisteessä formula_19, jossa formula_20 (2). Kun jana formula_9 kirjoitetaan pisteen formula_17 avulla murtoviivana formula_23 ja formula_10 vastaavasti formula_25, voidaan edellisestä ((1) ja (2)) johtuen kirjoittaa formula_26 ja formula_27.
Edellinen havainto tulkitaan seuraavasti. Kärjestä formula_12 on vastaiselle sivulle pisteeseen formula_14 yhtä pitkä matka kuljettiinpa kärjen formula_19 tai formula_17 kautta. Matka on puolet kolmion piiriin pituudesta. Samanlainen tarkastelu tuottaa vastaavan tuloksen kärkien formula_19 ja formula_17 osalta, jolloin pisteet formula_34 ja formula_35 ovat puolen piirin matkan päässä vastinkärjistään. Tämän vuoksi voidaan merkitä yhtäpitkiksi janat formula_36 ja formula_37.
Edelleen, kun esimerkiksi suoran formula_7 janat formula_10 eli formula_25 ja formula_41 eli formula_42 sisältävät yhteisen osan formula_7, ovat myös päät formula_44 ja formula_45 yhtäpitkät. Soveltamalla ideaa kaikille sivuille, voidaan kirjoittaa 
Cevan lausetta mukaellen
formula_52
Cevan lauseen mukaan janat formula_53, formula_54 ja formula_55 ovat konkurrentit.