Neliöjuuri

Neliöjuuri on matematiikkaan, sekä aritmetiikkaan että algebraan, liittyvä laskutoimitus. Luvun formula_1 neliöjuuri formula_2 on se ei-negatiivinen luku, joka itsellään kerrottuna on formula_1. Esimerkiksi kokonaisluvun formula_4  formula_5 neliöjuuri on formula_6. 
Sana "neliöjuuri" viittaa "neliöyhtälön juureen". Yllä esitetty ongelma voidaan algebrassa pukea yhtälöksi formula_7,  jonka ratkaisu on  formula_8. Tällainen yhtälö on perinteisesti ratkaistu neliöjuuren avulla, vaikka ennen muinoin ei negatiivisia lukuja annettukaan tulokseksi. 
Neliöjuuri määritellään aritmetiikassa yhtälön sijasta ensin mainitulla tavalla:
formula_9
eli (vasemmalta oikealle) "formula_10  on  formula_11:n neliöjuuri, mikäli  formula_11  on  formula_13  ja  formula_10  on ei-negatiivinen".
Kokonaisluvun neliöjuuri.
Luonnolliset eli positiiviset kokonaisluvut.
Luku on neliöluku, jos se voidaan esittää kokonaisluvun neliönä. Neliölukujen neliöjuuret ovat luonnollisia lukuja. Esimerkiksi formula_15 on formula_16:n neliöluku ja siten 
formula_17, koska sekä  formula_18  että  formula_19.
Vaatimus, että neliöjuuren tulos on positiivinen eli formula_20, tulee aina muistaa ja siihen voi myös määritelmän takia vedota.
Muiden luonnollisten lukujen, jotka eivät olleet neliölukuja, neliöjuuret ovat irrationaalisia. Siten alkulukujen neliöjuuret ovat irrationaalilukuja, samoin erilaisten alkulukujen tulojen neliöjuuret muodostavat irrationaaliluvut. Lopulliseksi rationaalisuusehdoksi voidaan muotoilla: "Jos luonnollinen luku voidaan jakaa tekijöihin niin, että kaikki tekijät ovat neliölukuja, on luvun neliöjuuri luonnollinen luku".
Edellinen päättely johtuu seuraavasta tulon neliöjuuren laskulaista:
formula_21,  koska sekä  formula_22  että  formula_23.
Siksi  formula_24  on tekijän  formula_25  takia irrationaalinen.
Nolla.
Nollan neliöjuuri on nolla, koska
formula_26  sekä  formula_27.
Negatiiviset kokonaisluvut.
Negatiivisilla kokonaisluvuilla neliöjuuri ei ole määritelty reaalilukujen joukossa. Jos merkitään yksinkertaisesti 
 formula_28,
missä formula_29 on imaginääriyksikkö, voidaan negatiivisen luvun arvo laskea "tulon neliöjuuren" avulla
formula_30.
Neliöjuuret 20 ensimmäiselle luonnolliselle luvulle.
\sqrt{\frac{|z| - a}{2}})&lt;/math&gt;,
kun formula_31 eli "z" ei ole reaaliluku.
Esimerkiksi imaginaariyksikön "i" neliöjuuren arvoiksi saadaan:
formula_32
Tavallisesti määritellään lisäksi, että kompleksiluvun neliöjuurella tarkoitetaan näistä nimenomaan sitä, jonka reaaliosa on positiivinen.
Napakoordinaateissa.
Yksinkertaisemmin kompleksiluvun neliöjuuri saadaan kuitenkin muuntamalla se napakoordinaatiston esitysmuotoon kaavalla
formula_33
ja soveltaa tähän de Moivren kaavaa
formula_34 ,
missä k = 0 ja 1. Kompleksilukujen neliöjuuria on siten kaksi yhtä aikaa eli  formula_35   ja   formula_36. 
Jos kompleksilukua merkitään potenssimuodossa
formula_37
saadaan neliöjuureksi
formula_38
Sovelluksia.
Neliö ja kolmio.
Neliön lävistäjän ja sivun pituuksien suhde on formula_39. Jos neliön sivut ovat formula_40, on lävistäjä suoraan formula_39. Kuution, jonka sivut ovat 1, avaruuslävistäjä on formula_42. 
Neliön pinta-alan formula_43 avulla saadaan neliön sivun formula_44 pituudeksi formula_45. 
Pythagoraan lauseen mukaan jos suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat "a" ja "b", sen hypotenuusan pituus on formula_46. 
Tasasivuisen kolmion korkeus on sen sivun pituus kerrottuna luvulla formula_47, ja sen pinta-ala on sen sivun neliö kerrottuna luvulla formula_48. 
Muuta.
Kahden luvun formula_11  ja  formula_10 geometrinen keskiarvo eli keskiverto on formula_51 . Se toteuttaa verrannon formula_52. 
Kahden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöjuurien erotus on sitä pienempi, mitä suuremmista luvuista on kysymys. Eli kun esim. kolmea peräkkäistä lukua merkitään formula_53:
 formula_54.
Historiaa.
Neliöjuuri tunnettiin laskuoperaationa muinaisissa sivilisaatioissa, joissa käytiin kauppaa ja rakennettiin runsaasti. Tällaisia seutuja olivat Kaksoisvirran maan niin sanotut babylonialaiset valtakunnat, jossa opetettiin neliöjuuren laskemista ainakin 2000 eaa. – 600 eaa. Näiden nuolenpääkirjoitusta sisältäneitä savitauluja opittiin lukemaan vasta 1930-luvulla. Eräässä savitaulusta vuodelta 1800 eaa. – 1600 eaa., joka on Yalen yliopiston kokoelman taulu numero 7289, on merkitty formula_55:n likiarvoksi 1;24,51,10 (seksagesimaalijärjestelmä) eli 1,414222 (desimaalijärjestelmä). Tämä arvo poikkeaa tarkasta arvosta 0,000 008. Babylonialainen algoritmi neliöjuuren ratkaisemiseksi oli varsin moderni, ja se on selostettu alempana. Edellä mainittu tulos on saatu alkuarvauksella 1;30, jolla on sitten iteroitu kahdesti. 
Kaksoivirran maan naapurikansoja idässä ja pohjoisessa olivat persialaiset, elamilaiset ja induslaiset. Vaikka he kaikki oppivat kirjoittamaan hyvin varhain, ei kahdelta ensin mainitulta ole jäänyt vanhoja matematiikkaa esittelevia kirjoituksia. Induskulttuuri ilmeisesti säilyttivät babylonialaisten matematiikan taitoja, mutta vasta 500-luvulta jaa. on säilynyt tekstejä. Vaikka vaikutteita oli haettu Välimereltä, ja annettukin sinne, on intialaisten matematiikassa ollut omaperäisiä piirteitä. Aryabhata kirjoitti tehtäväkokoelmia, joissa hän tarjosi matemaattisia pähkinöitä ja esitteli laskualgoritmeja runollisesti esitettynä monelta eri alalta. Näiden joukossa olivat tavat laskea neliöjuuri ja kuutiojuuri eri kokonaisluvuille. 
Ennen Kaksoisvirtain maan kansojen savitaulujen tulkintaa oletettiin vasta antiikin kreikkalaisten keksineen neliöjuuren laskemiseen käytettävän algoritmin. Kunnia neliöjuuren laskemiseen keksimisestä on annettu Heronille (100 jaa.) tai Arkhytaalle (428–365 eaa.). Vaikka kreikkalaisten muistiinpanoissa viitattiin muinaiseen Egyptiin matematiikan keksimisen kehtona, eivät egyptiläiset tunteneet löydettyjen papyruksien valossa Pythagoraan lausetta eivätkä liioin neliöjuurten laskualgoritmia. 
Arabit valloittivat laajat alueet Lähi-idässä 600-luvulta lähtien ja perustivat valtakuntia, jotka 800-luvulta lähtien alkoivat julkaista islamilaista kirjallisuutta. Kalifit hankkivat käsiinsä helleenien ja hellenistien käsikirjoituksia ja antoivat kääntää niitä arabiaksi. 800-luvulta alkaen islamilaisessa maailmassa alkoi lähinnä persialaisten tutkijoiden voimin matematiikan tutkimus, joka vei sen johtoon koko maailmassa 1400-luvulle asti. Myös Euroopassa kuuluisaksi tullut Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi kirjoitti 800-luvulla useita teoksia. Näissä hän esitteli intialaiset numerot, hellenistien unohtuneet geometrian taidot ja tietenkin juuren käyttö algebran laskuissa. 
Myös kiinalainen matematiikka on hyvin vanhaa. Sitä esitellään 300–200 eaa. kirjoitetuissa kahdessa opuksessa, joiden sisältöä on säilynyt nykypäiviin asti. Toisessa, nimeltään "Tšiu-tšang suan-su" eli "Yhdeksän matematiikan taitoja käsittelevää lukua", on nykyihmisellekin tuttuja neliö- ja kuutiojuuren laskusääntöjä. Siinä merkittiin juuret desimaalijärjestelmän avulla kaavojen  formula_56  ja  formula_57  mukaisesti, jotta laskut olisivat helpompia suorittaa. 
Neliöjuuren symbolia formula_58 käytettiin ensimmäisen kerran 1525 Christoph Rudolff'in kirjassa "Coss". Se on oletettavasti muotoutunut pienestä r-kirjaimesta. Latinan sana "radix" tarkoittaa juurta.
Miten lasketaan neliöjuuren arvo?
Neliöjuurelle voi saada likiarvoja erilaisten kaavojen ja algoritmien avulla.
Iteraatio.
Esimerkiksi muinaiset babylonialaiset käyttivät seuraavaa algoritmia laskiessaan formula_59:
Lasketaan tämän avulla likiarvo neliöjuuri kahdelle, formula_39:
Jatketaan loputtomiin. Neljän askeleen jälkeen saatiin likiarvo 1,41421, missä on viisi oikeaa desimaalia.
Tämä algoritmi voidaan kirjoittaa myös lukujonomuodossa:
formula_61
Määritelty lukujono (an) lähestyy arvoa formula_39, kun n lähestyy ääretöntä.
Haarukointi.
Haarukoinnilla tarkoitetaan välien puolittamista siten, että haluttu arvo on aina jommassakummassa puolikkaassa. Haetaan esimerkkinä taas likiarvo luvulle formula_39.
kaksi väliä: [a2,c2] = [1,25 ; 1,375], [c2,b2] =[1,375 ; 1,5]. Koska (1,375)2 ≈ 1,89 &lt; 2, formula_39 ∈ [1,375 ; 1,5].
Kaavalla arvioiminen.
Neliöjuurta voi arvioida algebrallisella kaavalla.
Tiedetään, että (a+ (b/2a))2 = a2 + b + (b2/4a2). Kun a &gt;0 ja b&gt;0 ja c = a2 + b, saadaan luvun c neliöjuurelle arvion formula_68.
Kaava (1) √(a2 + b) ≈ a + (b/2a)
Esimerkiksi: √7 = √(22+3) ≈ 2 + 3/(2*2) = 11/4 = 2,75.
Toinen kaava (2) √(a2 - b) ≈ a - (b/2a).
Toistamalla tätä menettelyä ja valitsemalla kaava (1) (jos saatu juuri on liian pieni) ja kaava (2) (jos liian suuri) saadaan parempia ja parempia rationaalisia likiarvoja neliöjuuren arvolle.
Esimerkin jatkoa:
Koska (2,75)2 &gt; (2,7)2 = 7,29 &gt; 7, valitsemme kaava (2).
√7 = √((11/4)2 - (9/16)) ≈ (11/4) - (9/16) / (22/4) = 233/88 ≈ 2,648.
Ja niin edelleen.
(laskin) formula_69 ≈ formula_70...
"Juurikulmassa".
Neliöjuuren ja muiden juurten voi laskea tuttua jakolaskualgoritmia muistuttavalla tavalla. "Juurikulma" perustuu tutulle identititeetille:
formula_71.
Algoritmin etuna on se, että jokaisen askeleen jälkeen saadaan oikea desimaali ja sitä myötä täsmällinen rationaalinen likiarvo.
"Juurikulman" perustana oleva algoritmi voidaan selittää seuraavasti:
Oletetaan, että halutaan laskea arvon neliöjuuri 144:stä eli formula_72.
Tiedetään, että 100 ≤ 144, joten formula_73.
Käytetään nyt kaavaa (1) ja sijoitetaan siihen a = 10, b = r:
formula_74
formula_75
formula_76
formula_77
Nyt kysymys: mikä on suurin luonnollinen luku r, joka toteuttaa ehdon formula_77?
Selvästi r = 2.
Tässä tapauksessa "jako" menee tasan, eli formula_79 ja siten siis formula_80 ja formula_81
Sama lasku "juurikulmassa" tapahtuu seuraavasti:
Jaetaan ensin juurrettava luku kahden numeron osiin desimaalipilkusta alkaen:
144 = 1 44 ja sovelletaan yllä kuvattua algoritmia.
 1 2
 |1 44
 -1 (=12) 
 0 44
 -44 (=2*(20+2))
 0
Toinen esimerkki formula_69:
Jaetaan taas juurrettava kahden numeron osiin:
7 = 7, 00 00 00 00 00 
 2, 6 4 5 7
 |7, 00 00 00 00
 -4 (= 22) 2
 3 00 2
 -2 76 (= 6 * (2 * 20 + 6) = 6 * 46) 46
 24 00 6
 -20 96 (= 4 * ((400 + 2 * 60) + 4) = 4 * 524) 524
 3 04 00 4
 -2 64 25 (= 5 * ((5200 + 2 * 40) + 5) = 5 * 5285) 5285
 39 75 00 5
 -37 03 49 (= 7 * (((52800 + 2 * 50) + 7) = 7 * 52907) 52907
 2 71 51 7
 52914_
Saadaan likiarvo formula_69 ≈ 2,6457. Huomaa oikeimpana kulkeva lukusarja!
Neliölukujen avulla.
Lukuja 1, 4, 9, 16, 25... sanotaan neliöluvuiksi. Neliöluvut ovat niin sanottuja kuviolukuja.
Neliölukujen avulla saadaan mielenkiintoinen tapa laskea neliöjuuria. Se perustuu siihen, että jokainen neliöluku on peräkkäisten parittomien lukujen summa. Tämä nähdään esimerkiksi algebrallisesti:
formula_84.
Selvemmin mainittu yhteys nähdään esimerkiksi alla olevasta kuviosta:
 1 * 4 ** = * * = 1 + 3 9 *** = * * * = 1 + 3 + 5
 *** ***
 16 **** = * * * * = 1 + 3 + 5 + 7
 **** *** *
Ja niin edelleen.
Sama toimii toiseenkin suuntaan: vähentämällä luvusta parittomia lukuja saadaan luvun neliöjuuri tai sen likiarvo.
Esimerkki formula_85:
Luvuilla:
(1) 25 - 1 = 24
(2) 24 - 3 = 21
(3) 21 - 5 = 16
(4) 16 - 7 = 9
(5) 9 - 9 = 0
Viisi vähennyslaskua:
formula_86
Kuvioilla:
 (0) ***** (1) **** (2) *** (3) ** (4) * (5) 
 ***** ***** ***** ** * 
 ***** ***** ***** ***** ***** 
Yllä olevassa esimerkissä vähennys meni tasan, ja saatiin tarkka arvo. Samalla algoritmilla voidaan kuitenkin laskea myös likiarvoja juurelle.
Esimerkki formula_87:
(1) 2 - 1 = 1
Vähennys loppuu tähän, koska 1 - 3 on negatiivinen: formula_39 ≈ 1.
Lisätään vähennysjäännöksen (1) perään kaksi nollaa (100) (vertaa "juurikulma").
Lasketaan viimeisen vähennetyn (1) ja ensimmäisen ei-vähennetyn (3) aritmeettinen keskiarvo: (1+3)/2=2.
Kerrotaan keskiarvo 10:llä (20).
Jatketaan vähennystä seuraavasta parittomasta (21)
(1) 100 - 21 = 79
(2) 79 - 23 = 56
(3) 56 - 25 = 31
(4) 31 - 27 = 4
Vähennys loppuu tähän, koska 4 - 27 on negatiivinen: formula_39 ≈ 1,4
Tehdään kuten edellä: 4 → 400, 10*((27+29)/2) + 1 = 281
(1) 400 - 281 = 119
Vähennys loppuu tähän, koska 119 - 283 on negatiivinen: formula_39 ≈ 1,41
Tehdään kuten edellä: 119 → 11900, 10*((281+283)/2) + 1 = 2821
(1) 11900 - 2821 = 9079
(2) 9079 - 2823 = 6256
(3) 6256 - 2825 = 3431
(4) 3431 - 2827 = 604
Vähennys loppuu tähän, koska 604 - 2829 on negatiivinen: formula_39 ≈ 1,414
Tehdään kuten edellä: 604 → 60400, 10*((2827+2829)/2) + 1 = 28281
(1) 60400 - 28281 = 32119
(2) 32119 - 28283 = 3836
Vähennys loppuu tähän, koska 3836 - 28285 on negatiivinen: formula_39 ≈ 1,4142...
Neliöjuuren määritelmän muuttuminen 2000-luvulla.
Vielä 1900-luvulla neliöjuuri määriteltiin oppikirjoissa yleisesti kaksihaaraisena, eli nykyisen määritelmän epänegatiivisuusehto puuttui. Tällöin positiiivista arvoa kutsutaan neliöjuuren pää- ja negatiivista sivuhaaraksi. Nykyisen määritelmän etu on, että yksihaaraisena neliöjuuri täyttää klassisen funktion määritelmän.