Pyörähdyspinta

Pyörähdyspinta on euklidisessa avaruudessa oleva pinta, joka syntyy, kun jokin käyrä (pyörähdys­pinnan generatrix) pyörähtää jonkin suoran, "pyörähdys­akselin" ympäri.
Esimerkkejä.
Yksinkertaisimpia pyörähdyspintoja ovat lieriö- ja kartiopinnat, jotka saadaan, kun suora tai jana pyörähtää jonkin akselin ympäri. Tällöin tuloksena on lieriö, jos pyörähtävä suora tai jana on yhden­suuntainen akselin kanssa, muussa tapauksessa kartio. Kun ympyrä pyörähtää jonkin halkaisijansa ympäri, tuloksena on aina pallo­pinta, jossa alku­peräinen ympyrä on isoympyränä. Sen sijaan jos ympyrä pyörähtää sellaisen akselin ympäri, joka ei kulje ympyrän sisään jäävän alueen eli kiekon kautta, tuloksena on toruspinta, joka ei leikkaa itseään.
Ominaisuuksia.
Pyörähdspinnan ja sellaisen tason leikkauksia, johon sen akseli kuuluu, sanotaan "meri­dio­naali­siksi leikkauksiksi". Jokaista meri­dio­naa­lista leikkausta voidaan pitää pinnan genera­trixina leikkauksen ja akselin määrittämässä tasossa.
Pyörähdyspinnan ja sen akselia vastaan kohtisuorien tasojen leikkaukset ovat ympyröitä. Pyörähdyspinnan ja kahden tällaisen tason rajoittama kappale on pyörähdyskappale.
Jotkin hyperboloidit, laskettiinpa mukaan sen molemmat haarat tai vain toinen niistä, sekä jotkin elliptiset paraboloidit ovat pyörähdys­pintoja. Sellaisia ovat ne toisen asteen pinnat, joiden poikki­leikkaus akselia vastaan kohti­suorassa suunnassa on ympyrä.
Jos generatrix on jonkin funktion formula_1 kuvaaja ja tämä pyörähtää "x"-akselin ympäri, pyörähdys­pinnan käsittävät ne avaruuden pisteet "(x, y, z)", joiden etäisyys "x"-akselista on "f(x)" eli jotka toteuttavat yhtälön:
formula_2.
Pinta-ala.
Jos pyörähtävällä käyrällä on parametriesitys formula_3, missä "t" vaihtelee jollakin välillä formula_4 ja pyörähdys­akselina on "y"-akseli, pyörähdys­pinnan pinta-ala "Ay" voidaan laskea integraalilla 
formula_5
edellyttäen, että "x"("t") ei päätepisteiden "a" ja "b" välillä saa missään negatiivisia arvoja. Tämä lauseke seuraa Pappuksen sentroidilauseesta. Tässä esiintyvä lauseke
formula_6
seuraa Pythagoraan lauseesta ja esittää käyrän kaaren pienintä osuutta samoin kuin kaaren­pituuden kanssa. Lauseke formula_7 on sen matkan pituus, jonka tämä käyrän osa kulkee käyrän pyörähtäessä, kuten Pappuksen lause edellyttää.
Samaan tapaan jos pyörähdys­akselina on "x"-akseli eikä lauseke formula_8 saa missään negatiivisia arvoja, pyörähdys­pinnan ala on
formula_9
Jos käyrä voidaan esittää funktiolla formula_10, integraali yksinkertaistuu muotoon
formula_11
kun käyrä pyörähtää "x"-akselin ympäri, ja muotoon 
formula_12
kun se pyörähtää "y"-akselin ympäri ja "a" ≤ "y" ≤ "b". 
Esimerkiksi yksikköpallo saadaan, kun yksikköympyrä eli käyrä formula_13, missä "t" on välillä "[0,π]", pyörähtää x-akselin ympäri. Sen pinta-ala on siis
formula_14
Yleisemmin ympyrällä, jonka säde on "r", on parametri­esitys formula_15. Kun se pyörähtää "x"-akselin ympäri, syntyy pallopinta, jonka ala on 
formula_16
Minimaalinen pyörähdyspinta on kahden pisteen välisten käyrien määrittämistä pyörähdys­pinnoista se, jonka pinta-ala on pienin eli joka minimoi pinta-alan. Yksi variaatiolaskennan keskeisimmistä tehtävistä on löytää kahden pisteen välisistä käyristä se, joka tuottaa minimaalisen pyörähdyspinnan.
Ainoat minimaaliset pyörähdys­pinnat ovat taso ja katenoidi.
Funktion pyörähdys.
Minkä tahansa skalaari­funktion formula_1 kuvaajaa vastaava pyörähdys­pinta voidaan muodostaa asettamalla "u" funktion parametriksi ja samalla pyörähdys­akselin funktioksi ja pyöräyttämällä funktio akselin ympäri "v":n avulla valitsemalla kahdeksi muuksi funktioksi formula_18 ja formula_19 Esimerkiksi funktion formula_1 kuvaaja voidaan pyöräyttää "x"-akselin ympäri aloittamalla "xz"-tason ylä­puolelta ja para­metroimalla se 
formula_21
missä formula_22 ja formula_23.
Geodesia pyörähdyspinnalla.
Geodesian pyörähdyspinnalla määrittää Clairaut'n relaatio.
Toroidit.
Pyörähdys­pintaa, jonka rajoittamassa kappaleessa on reikä ja jonka pyörähdys­akseli ei leikkaa pintaa, sanotaan toroidiksi. Esimerkiksi kun suorakulmio pyörähtää sen jomman­kumman sivun suuntaisen, mutta kokonaan suora­kulmion ulko­puolella olevan akselin ympäri, syntyy ontto rengas, jonka poikki­leikkaus on suora­kulmainen. Jos pyörähtävä käyrä on ympyrä, syntyvää toroidia sanotaan torukseksi.
Sovelluksia.
Pyörähdys­pinnoilla on keskeinen merkitys monilla fysiikan ja insinööri­tieteiden aloilla. Kun kappaleita kuvataan digitaalisesti, pyörähdys­kappaleita voidaan usein käyttää pinta-alojen määrittämiseen tarvitsematta mitata kuvattavan kappaleen pituutta ja sädettä.