Funktion epäoleellinen raja-arvo

Funktion epäoleellinen raja-arvo on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä. Erotukseksi funktion raja-arvon yläkäsitteestä, "funktion epäoleellisella raja-arvolla" tarkoitetaan jatkuvien funktioiden raja-arvolaskentaa, jossa tutkitaan funktion käyttäytymistä kaukana origosta. Usein sanotaan, että "tutkitaan funktion käyttäytymistä äärettömässä tai miinus äärettömässä". Jos epäoleellinen raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio "suppenee" (muutoin "hajaantuu").
Johdanto.
Rationaalilausekkeen epäoleelliset raja-arvot.
Yksinkertaisin rationaalifunktio on 
formula_1
joka on määritelty kaikilla reaalilukuarvoilla nollaa lukuun ottamatta (sillä nollalla ei voi jakaa). Koordinaatistossa näkyy vain osa funktion kuvaajasta, koska sen käyrä katoaa kuviosta sen ylä- ja alapuolelle sekä molemmille sivuille. Epäoleellisella raja-arvolla voidaan selvittää, minne käyrä muualla piirtyy. Tähän tarvitaan neljä epäoleellista raja-arvoa.
Origon oikealla puolella funktio saa positiivisia arvoja. Kuvaajan käyrän perusteella funktio on vähenevä, sillä funktion arvot pienenevät muuttujan x arvojen kasvaessa. Ne eivät kuitenkaan muutu negatiivisiksi, vaan pysyvät positiivisina lähestyen nollaa. Nolla-arvoa ei kuitenkaan saavuteta tietyssä pisteessä, mutta valitsemalla yhä suurempia ja suurempia muuttujan "x" arvoja päästään niin lähelle nollaa kuin vain halutaan. Tässä mielessä voidaan sanoa, että kun muuttujaa "x" kasvatetaan yli kaikkien rajojen, "suppenee" funktion raja-arvoksi nolla. Tämä on eräs tapa kuvailla epäoleellinen raja-arvo. Silloin voidaan sanoa, että "äärettömässä funktio suppenee tai tulee nollaksi". Vastaavalla tavalla voidaan todeta, että myös vasemmalla puolella lukusuoraa voidaan käydä samanlainen prosessi. Silloin funktion negatiiviset arvot lähestyvät epäoleellisesti nollaa, kun muuttuja "x" pienenee alle kaikkien rajojen. Silloin voidaan sanoa, että "miinus äärettömässä funktiosta tulee nolla".
Epäoleelliseksi tarkasteluksi voidaan joskus katsoa myös raja-arvoa määrittelyalueen puuttuvassa pisteessä. Edellistä funktiota ei voi laskea nollassa, koska se aiheuttaisi nollalla jakamisen. Kun raja-arvoa lasketaan lähestymällä nollaa oikealta eli positiivisilla arvoilla, kasvaa funktion arvot yli kaikkien rajojen eli raja-arvo hajaantuu plus äärettömäksi. Vastaavasti, kun nollaa lähestytään negatiiviselta puolelta, hajaantuu raja-arvo miinus äärettömäksi.
Yksinkertainen polynomi on potenssifunktio
formula_2
joka on määritelty kaikilla reaalilukuarvoilla, ja sen kuvaajasta näkyy koordinaatistossa vain osa. Osoittautuu, että mitä suuremmilla muuttujan "x" arvoilla funktion arvoja lasketaan, sitä suuremmaksi funktion arvot kasvavat. Samoin, mitä pienemmillä muuttujan arvoilla funktion arvoja lasketaan, sitä pienemmiksi ne tulevat. Kummassakin tapauksessa funktion arvot "hajaantuvat". Ensin mainitussa tilanteessa sanotaan myös, että "funktion arvo on ääretön, kun muuttuja x on ääretön" taikka "äärettömässä funktio tulee äärettömäksi". Toisessa tilanteessa "funktio on miinus ääretön, kun x on miinus ääretön" taikka "miinus äärettömässä funktiosta tulee miinus ääretön".
Suppeneminen ja hajaantuminen.
Funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan funktion arvojen tutkimista, kun muuttujan arvo joko kasvaa tai vähenee rajatta. Tällöin sanotaan, että muuttuja on "plus ääretön" tai "miinus ääretön". Kyseessä ei ole enää funktion käyttäytymisestä yhden pisteen lähiympäristössä, vaan sitä käytetään tutkittaessa funktion käyttäytymistä origosta katsottuna "kaukaisilla" arvoilla ja hyvin pitkillä väleillä. Tarkastelutapa poikkeaa siten tavallisesta funktion raja-arvosta.
Kun muuttujan arvo kasvaa rajatta ja funktion arvot suppenevat, se merkitään
formula_3
Funktion lauseke lasketaan tällöin yhä suuremmilla ja suuremmilla arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy plus ääretöntä"). Kun muuttuja vähenee rajatta ja funktion arvot suppenevat, se merkitään
formula_4
Funktion lauseke lasketaan yhä pienemmillä (negatiivisilla) arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy miinus ääretöntä"). Tällöin sanotaan, että "funktiolla on positiivisessa / negatiivisessa äärettömyydessä raja-arvo L".
Kun funktion arvot lähestyvät edellä kerrotulla tavalla lukua "L", voidaan kuvaajaan piirtää vaakasuora formula_5. Tätä suoraa kutsutaan funktion kuvaajan asymptootiksi.
Jos funktion arvot hajaantuvat eikä raja-arvoa ole olemassa, se merkitään esimerkiksi
formula_6
jos tulos kasvaa rajatta ja 
formula_7
jos tulos vähenee rajatta.
Funktion arvot hajaantuvat, jos funktion arvot eivät ole rajoitettuja. Jos vähenevä funktio ei ole rajoitettu alhaalta, tulee funktion epäoleelliseksi raja-arvoksi miinus ääretön. Ellei kasvava funktio ole rajoitettu ylhäältä, tulee funktion raja-arvoksi ääretön.
Hajaantuvan funktion kulkua voi "ohjata" vino asymptoottisuora tai -käyrä. Asymptootin selvittäminen mallintaa funktion kuvaajan kulkua selvemmin.
Määritelmä.
Funktion epäoleellinen raja-arvo, josta tässä otetaan esimerkkinä
formula_8
määritellään eksaktisti epsilon-M-tekniikalla
formula_9
eli funktion arvo formula_10 on formula_11:n etäisyydellä raja-arvosta "L", kun muuttuja "x" on ylittänyt rajan formula_12. Intuitiivisesta voidaan ajatella, että funktion arvot osuvat riittävän lähelle raja-arvoa "L", kunhan muuttuja "x" kasvatetaan tarpeeksi suureksi.
Esimerkki suppenemisesta ja hajaantumisesta.
Funktion formula_13 epäoleellinen suppeneminen kohti arvoa nolla voidaan osoittaa seuraavasti. Kun formula_14, on aina formula_15. Valittiinpa luku formula_16 kuinka pieneksi tahansa, löytyy lopulta aina sellainen muuttujan "x" raja formula_17, että
formula_18
missä formula_19. Näin ollen funktio formula_20 suppenee nollaksi, kun "x" kasvaa rajatta.
Funktion formula_21 epäoleellinen hajaantuminen äärettömyydessä voidaan osoittaa seuraavasti. Kun formula_14, on aina formula_23, joten valittiinpa luku formula_24 miten suureksi tahansa, on formula_25 heti, kun formula_26. Siten funktio formula_21 hajaantuu äärettömäksi, kun muuttuja "x" kasvaa yli kaikkien rajojen.
Epäoleelliseen raja-arvoon liittyviä sääntöjä.
Esimerkki.
Esimerkiksi polynomin formula_28 käyttäytyminen äärettömyyksissä voidaan päätellä yksittäisten potenssien käyttäytymisestä. Kun lasketaan 
formula_29
ja huomioidaan, että formula_30, formula_31, formula_32 ja formula_33,
saadaan
formula_34
Polynomi hajaantuu siten kohti formula_35.
Äärettömän laskusääntöjä epäoleellisessa raja-arvossa.
Seuraavat merkinnät tarkoittavat raja-arvojen tuloksia. Jos funktion arvot hajaantuvat kohti plus ääretöntä, merkitään sen tulosta formula_36, jos ne hajaantuvat kohti miinus ääretöntä, niin se merkitään formula_37. Mikäli funktio suppenee kohti reaalilukua, merkitään se positiivisena formula_38 ja negatiivisena formula_39. Tilanteissa, jossa raja-arvon merkillä ei ole väliä, se merkitään formula_40. Aluksi on lueteltu tapauksia, jossa lopputulos voidaan päätellä.
Seuraavien laskutoimitusten tulosta ei pystytä suoralta kädeltä määrittämään:
formula_41