Todennäköisyysfunktio

Todennäköisyysfunktio on todennäköisyyslaskennassa yleisnimitys funktiolle, jonka avulla voidaan määrittää satunnaismuuttujalle sen eri arvoille tai arvojoukoille niiden yleisyyttä vastaavat todennäköisyydet. Todennäköisyyksien määrittämiseen käytetään menetelmiä, jotka tyydyttävät todennäköisyysmitan vaatimuksia. Sellaisia ovat klassisen todennäköisyyden, geometrisen todennäköisyyden, tilastollisen todennäköisyyden tai joidenkin muiden pätevien tapojen menetelmät.
Diskreetillä satunnaismuuttujalla todennäköisyysfunktiota kutsutaan pistetodennäköisyysfunktioksi tai vain pistetodennäköisyydeksi. Siinä kullakin yksittäinen satunnaismuuttujan arvolla eli alkeistapauksella on todennäköisyys nollan ja ykkösen välillä (merkitään formula_1).
Jatkuvalla satunnaismuuttujalla tiheysfunktiota saatetaan kutsua todennäköisyysfunktioksi, vaikka tiheysfunktion arvot eivät ole suoraan todennäköisyyksiä. Kukin tapahtuma on lukuväli, jonka todennäköisyys määräytyy tiheysfunktion määrätyllä integraalilla laskettavasta arvosta. Toisinaan todennäköisyysfunktioksi kutsutaan kertymäfunktiota, koska se arvot ovat todennäköisyyksiä. Yleisempää on käyttää näistä kahdesta todennäköisyysjakauman nimitystä. Nimityksien vakiintumattomuuden vuoksi jatkuvien satunnaisilmiöiden yhteydessä käytetäänkin mieluummin tiheys- ja kertymäfunktioiden käsitteitä todennäköisyysfunktion sijasta. Todennäköisyysfunktioksi voidaan määrittää jokin muu funktio, joka laskee todennäköisyydet toisen funktion avulla.
Diskreetillä ja jatkuvalla satunnaismuuttujalla nämä todennäköisyysfunktion määritelmät ovat varsin erilaiset. Muilla satunnaismuuttujilla, jotka ovat esimerkiksi näiden perustyyppien sekoituksia, todennäköisyysfunktiolla on kummankin funktion ominaisuuksia.
Esimerkkejä muodostamistavoista.
Kun otetaan käsittelyyn uusi satunnaisilmiö, tulee ensimmäiseksi määritellä ilmiön perusjoukko eli mitä ulostuloja tai arvoja se tuottaa. Seuraavaksi yritetään arvioida tai laskea kunkin ulostulon tai arvon esiintymisen yleisyyttä eli todennäköisyyttä. Jatkuvassa tapauksessa tuloksena on tiheysfunktio ja diskreetissä tapauksessa pistetodennäköisyysfunktio. Sitä taulukkoa tai lauseketta, joka esittää kullekin tapaukselle sen todennäköisyyttä, kutsutaan todennäköisyysfunktioksi. Jatkuvalle tapaukselle tiheysfunktion määrittäminen on vaikeampaa kuin diskreetille tapaukselle.
Klassinen todennäköisyys.
Nopanheiton tapauksessa on varsin helppo muodostaa todennäköisyysfunktio käyttäen todennäköisyyden klassista lähestymistapaa. Symmetrisessä nopassa on kuusi samanlaista tahkoa, jotka jäävät heitettäessä yhtä yleisesti näkyviin, ja niiden esiintymistodennäköisyydet ovat siten yhtä suuret. Näin voidaan esittää täsmällinen arvo todennäköisyyden suuruudesta, joka on tässä tapauksessa formula_2. Merkitsemällä kullekin nopan ulostulon silmälukujen arvo satunnaismuuttujan formula_3 arvoksi formula_4, voidaan todennäköisyysfunktio formula_5 määrittää ja kirjoittaa
formula_6
Todennäköisyyksien yhtäsuuruuden takia todennäköisyysjakaumaa kutsutaan symmetriseksi. Todennäköisyysfunktio on diskreetin luonteensa vuoksi pistetodennäköisyysfunktio.
Tilastollinen todennäköisyys.
Ihmissikiöiden sukupuolen määräytymismekanismi on monimutkainen biologinen prosessi. Syntyneen lapsen terveyskorttiin merkitään lapsen sukupuoli, ja näistä koottujen tilastojen avulla voidaan laskea sukupuolten prosentuaaliset osuudet. On osoittautunut, että suomalaislasten poikien osuudeksi on vakiintunut 51,2 % ja tyttöjen 48,8 %. Luvut voidaan tulkita suoraan todennäköisyyksinä, jolloin todennäköisyysfunktion arvot ovat (tilastojen perusteella)
formula_7
ja
formula_8
Määrittelyjoukon arvojen ei tarvitse todennäköisyyslaskennassa olla aina lukuja, koska sanat ”poika” ja ”tyttö” ovat havainnollisempia. Tätäkin todennäköisyysfunktiota voidaan kutsua pistetodennäköisyysfunktioksi.
Geometrinen todennäköisyys.
Geometrisessä todennäköisyydessä tavoitteena on havainnollistaa satunnaismuuttujia esittämällä ne yksi- tai moniulotteisina kuvioina. Kuviossa jokainen piste vastaa yhtä alkeistapausta, ja jokaisen alkeistapauksen todennäköisyys on yhtä suuri. Esimerkiksi todennäköisyyttä, että onnenpyörää pyöritettäessä osoitin pysähtyy tiettyyn kohtaan onnenpyörästä, voidaan arvioida geometrisen todennäköisyyden avulla. Olkoon onnenpyörässä 60 sektoria, joihin on sijoitettu kokonaislukuarvot 1--60. Todennäköisyys, että osoitin pysähtyy minkä tahansa luvun kohdalle, on yhtä suuri (mikäli oletetaan, että sektorit ovat pinta-alaltaan yhtä suuret). Mittaustarkkuutta lisäämällä saadaan teoriassa äärettömän tarkkoja lukuja osoittimen sijainnista, mutta käytännössä mittaustarkkuuden rajallisuudesta johtuen on mahdollista saada vain äärellinen määrä arvoja. Pysähtymiskohta on siten satunnaismuuttuja, joka saa arvokseen pysähtymiskohdan mittaluvun, eli se saa reaalilukuarvoja väliltä formula_9 Nämä arvot ovat tasan jakautuneet, kuten geometrisessä todennäköisyydessä aina oletetaan.
Onnenpyörään voidaan merkitä erilaisia voittosektoreita, joihin osutaan niiden leveyteen eli kaaren pituuteen verrannollisella todennäköisyydellä. Todennäköisyysfunktion arvot lasketaankin kaaren pituuden formula_10 ja ympyrän kehän pituuden suhteista
formula_11
Jos kaarien määrä on äärellinen tai numeroituvasti ääretön lukumäärä, voidaan todennäköisyysfunktiota pitää pistetodennäköisyysfunktiona. Toisaalta, jos parametrit a ja b voidaan valita vapaasti reaalilukuina, tulee satunnaismuuttujaa kohdella jatkuvana tapauksena.
Tunnetun tiheysfunktion käyttäminen.
Edellisessä tapauksessa jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma oli tasan jakautunut, jolloin tiheysfunktio on vakiofunktio. Yleisemmässä tapauksessa näin ei ole, ja tiheysfunktion arvot riippuvat satunnaismuuttujan arvoista. Tapahtuma, joka voidaan esittää lukuvälinä formula_12 saa erilaisia todennäköisyyksiä riippuen välin sijainnista perusjoukossa. Todennäköisyys voidaan laskea tiheysfunktion formula_13 määrätyn integraalin avulla ja kertymäfunktion formula_14 erotuksen avulla
formula_15
Todennäköisyysfunktio on siten kuvaus
formula_16
missä formula_17 Selvästikin funktio on jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio, missä todennäköisyydet lasketaan erisuuruisille reaalilukuväleille.
Ominaisuudet.
Kukin todennäköisyysfunktion saama arvo on formula_18 Arvot vaihtelevat kuitenkin siten, että niiden summa on aina yksi:
formula_19 
Kaikki perusjoukon arvojen todennäköisyydet muodostavat yhdessä niin sanotun todennäköisyysjakauman. Vain diskreettien ilmiöiden ja satunnaismuuttujien jakaumat muodostuvat pistetodennäköisyyksistä.