Kokonaisluku

Kokonaisluvut ovat arkipäiväiset luvut, joilla yleensä ilmoitetaan kohteiden lukumäärää. Määritelmä on sama kuin luonnollisilla luvuilla sillä erolla, että kokonaislukuihin luetaan positiivisten lukujen lisäksi myös luku nolla ja negatiiviset luvut. Kokonaislukujen negatiivisuudella on käyttöä lähinnä matematiikassa, vaikka negatiivisia reaalilukuja käytetään arjessa melko sujuvasti. Puhekielessä käytetään kokonaislukuja samassa merkityksessä kuin luonnollisia lukuja.
Kokonaislukuihin luetaan luvut formula_1
Yleisimmin käytetyt osajoukot.
Matematiikassa kokonaislukujen joukkoa merkitään kapiteelikirjaimella formula_2. Luonnollisten lukujen joukko on kokonaislukujen osajoukko. Näitä kutsutaan 
positiivisiksi kokonaisluvuiksi formula_3 
Näiden vastaluvut ovat 
negatiiviset kokonaisluvut formula_4 
Kun mukaan otetaan myös nolla, voidaan kokonaislukujen joukko esittää yhdisteenä 
formula_5
Koska lukuteoriassa käytetään kokonaislukujen osajoukkoja, on paikallaan esitellä niiden nimityksiä. Ne kiertävät pääsääntöisesti sen tosiasian, että nolla ei ole positiivinen tai negatiivinen luku. Positiivisuus ja negatiivisuus yhdessä luvun nolla kanssa voidaan joskus ilmaista esimerkiksi seuraavilla tavoilla:
 positiiviset kokonaisluvut: formula_6 
 epänegatiiviset kokonaisluvut: formula_7 
 negatiiviset kokonaisluvut: formula_8 
 epäpositiiviset kokonaisluvut: formula_9 
Johdanto.
Koska kokonaisluvut ovat joukko-opillinen laajennus luonnollisista luvuista, perivät kokonaisluvut suuren osan luonnollisten lukujen ominaisuuksista. Kokonaislukujen ominaisuudet onkin helppo ymmärtää, kun ensin tuntee luonnollisten lukujen ominaisuudet ja rajoitteet.
Menneisyydessä vähennyslaskussa syntyi helposti tilanne, jossa vastausta ei saatu normaalilla tavalla. Vaikka erotuksella selvitetään lukujen suuruuseroa, halutaan joskus laskea erotus "nurinpäin". Jos verrataan lausekkeiden formula_10 ja formula_11 tuloksia, tulee vain jälkimmäisestä tulokseksi neljä. Edellinen lauseke yrittää vähentää kolmosesta liikaa ja vähennyslasku "epäonnistuu". Näitä lausekkeita kutsuivat muinaiset laskijat "absurdeiksi".
Ne laskijat, jotka näkivät lausekkeen 3 − 7 hyödyllisyyden, sopivat vain, että erotuksen arvo on "neljä tappiota" tai "neljä velkaa". Tällaista tulosta kutsutaan "negatiiviseksi". Jos laskun tulos oli "neljä voittoa" tai "neljä tuottoa", kutsuttiin tulosta "positiiviseksi". Positiivisuus ja negatiivisuus olivat toisilleen "vastakkaisia" tuloksia. Postitiivisuutta merkittiin plus-merkillä (+) ja negatiivisuutta miinus-merkillä (−). Positiivisuus ilmaistaan usein luvulla ilman plus-merkkiä. Esimerkiksi laskutoimituksien "merkkisäännöillä" tarkoitetaan niitä päättelytapoja, joilla tuloksen positiivisuus tai negatiivisuus eli "tuloksen merkki" voidaan päätellä oikein. Negatiivisuus toimii edellä määritetyllä tavalla myös muilla luvuilla kuten esimerkiksi rationaaliluvuilla, reaaliluvuilla ja kompleksiluvuilla.
Lukujoukon ominaisuuksia.
Kun seuraavassa tekstissä puhutaan luvuista tarkoitetaan sillä lukujoukkoa tai kaikkia lukujoukon alkioita.
Lukujoukko laajennuksena.
Koska kokonaisluvut ovat laajennus luonnollisista luvuista, ovat luonnolliset luvut kokonaislukujen osajoukko. Silloin voidaan merkitä formula_12 tai formula_13, jos nolla sisällytetään luonnollisiin lukuihin.
Kun kokonaisluvut asetetaan lukusuoralle, nähdään helposti vastaavuus luonnollisiin lukuihin.
Luonnolliset luvut on täydennetty nollalla ja jokaisen luonnollisen luvun vastaluvulla, jolloin saadaan kokonaisluvut.
Itseisarvo.
Kokonaisluvun itseisarvon tulkinta voidaan johtaa reaaliluvuista. Reaaliluvun itseisarvon voidaan tulkita vastaavan lukusuoralla olevan luvun "etäisyyttä" nollasta. Tätä tulkintaa voidaan soveltaa kokonaisluvuille, vaikka ne eivät olekaan reaalilukuja. Kokonaisluvut ilmaisevat määrää, joten negatiivisen luvun itseisarvolla on sama määrä kuin positiivisen vastaluvun itseisarvollakin. Itseisarvon tulos ilmaistaan positiivisella luvulla eli luonnollisella luvulla.
Luvun itseisarvo merkitään pystyviivoilla |a|. Silloin itseisarvojen tulokset voidaan kirjoittaa esimerkiksi |-4| = |+4| = 4. Kaksi erisuuruista kokonaislukua ovat toistensa vastalukuja, jos niillä on sama itseisarvo. Huomaa, että nollalla ei ole muotoja −0 ja +0, vaan on olemassa vain yksi nolla. Nollan itseisarvo on nolla itse.
Yhteen- ja vähennyslaskun merkkisäännöt.
Ikiaikainen luonnollisten lukujen vähennyslasku voidaan esittää positiivisen ja negatiivisen kokonaisluvun summana. Vähentäjä muutetaan vastaluvukseen ja vähennyslaskun miinus-merkki vaihdetaan yhteenlaskun plus-merkiksi:
formula_14.
Muunos voidaan suorittaa myös toiseen suuntaan, jolloin hankalasti hahmottuvat vähennyslaskujen tulokset voidaan luontevasti laskea päässä luonnollisten lukujen yhteen- ja vähennyslaskusääntöjen avulla. Erimerkkisten lukujen vähennyslaskun muunnos yhteenlaskuksi 
formula_15
voidaan selittää samalla tavoin eli, että vähennyslaskun formula_16:n muutetaan vastaluvun formula_17 yhteenlaskuksi. Edellisistä kahdesta tapauksesta saadaan koulussa opetetut merkkisäännöt:
formula_18 ja
formula_19.
Kerto- ja jakolaskun merkkisäännöt.
Lukujen positiivisuus- ja negatiivisuus vaikuttavat tulon ja osamäärän laatuun. Jos laskutoimituksen molemmat luvut ovat saman merkkiset, saadaan positiivinen tulos. Jos luvut ovat eri merkkiset, saadaan negatiivinen tulos. Tämä voidaan merkitä luonnollisten lukujen formula_20 ja formula_17 avulla, missä negatiivisuus ilmaistaan miinus-merkillä:
formula_22
formula_23
formula_24
formula_25
Kahden luvun jakolaskun tulos saadaan vastaavalla tavalla.
Kokonaislukujen algebra.
Algebralla tarkoitetaan lukujen laskutoimitusten ominaisuuksia. Edellä todettiin, että vähennyslasku voidaan kokonaisluvuilla käsitellä aina vastalukujen yhteenlaskulla. Tämän vuoksi kokonaislukujen algebrassa käsitellään vain yhteenlaskusääntöjä. Kokonaislukujen kertolaskun tulos on aina kokonaisluku, mutta lukujen jakolaskun tulos ei aina ole kokonaisluku. Jakolaskun tulosten aukottomaan käsittelyyn tulee käyttää rationaalilukujen algebraa. Seuraavat laskutoimituksien ominaisuudet ovat voimassa kaikille kokonaisluvuille a, b ja c. Niissä käytetään vain yhteenlaskua ja kertolaskua:
Kokonaisluvuille on olemassa käänteisalkiot yhteislaskun suhteen, mutta ei kertolaskun suhteen. Yhteenlaskussa käänteisalkioita kutsutaan vastaluvuiksi ja sellainen voidaan osoittaa jokaiselle kokonaisluvulle. Positiivisen kokonaisluvun vasta-alkio on negatiivinen kokonaisluku, ja päinvastoin. Nollan vastaluku on nolla itse. Kertolaskussa käänteisalkioita eli käänteislukuja voidaan määrittää vasta rationaaliluvuille, tosin ykkösen käänteisluku on luku yksi itse. 
Kokonaislukujen joukko on laskutoimituksen suhteen suljettu, jos kahden luvun laskun tulos kuuluu kokonaislukuihin. Yhteenlaskun suhteen näin onkin, sillä kahden luvun formula_20 ja formula_17 summa formula_37 on aina joko positiivinen- tai negatiivinen kokonaisluku tai nolla ja summa kuuluu siten kokonaislukuihin. Sama ominaisuus on myös kertolaskulla. Tämän vuoksi lukujoukko on suljettu yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen. 
Edelleen, koska molemmat laskutoimitukset ovat assosiatiivisia eli toteuttavat liitännäislain, sanotaan, että kokonaisluvut ovat yhteenlaskun suhteen formula_38 ja kertolaskun suhteen formula_39 monoideja. Koska jokaisen luvun käänteisalkio, eli yhteenlaskussa vastaluku, kuuluu kokonaislukuihin, kutsutaan monoidia formula_38 myös ryhmäksi. Erityisesti se on vieläpä Abelin ryhmä, koska yhteenlasku on kommutatiivinen eli vaihdannainen. Kertolaskun suhteen kokonaisluvuilla ei ole yleisesti käänteisalkioita eli käänteislukuja, joten formula_39 ei muodosta ryhmää.
Mahtavuus.
Kokonaislukuja on ääretön määrä. Matematiikassa voidaan verrata kahta lukujoukkoa ja päätellä, kummassa on enemmän alkioita, vai onko niitä yhtä paljon. Georg Cantor osoitti vertailemalla kokonaislukuja luonnollisiin lukuihin niiden olevan yhtä mahtavia joukkoja. Hän aloitti vertailun järjestämällä ensin kokonaisluvut itseisarvoltaan kasvavaksi jonoksi: formula_42. Tämän jälkeen hän "numeroi" jokaisen kokonaisluvun luonnollisella luvulla eli kirjasi vastaavuudet: formula_43 Lopulta hän totesi, että jokaiselle kokonaisluvulle (etumerkistä huolimatta) voidaan osoittaa luonnollinen luku pariksi, joten molemmat lukujoukot ovat yhtä mahtavat. Tämä voidaan merkitä formula_44 ja sanoa, että kokonaisluvut ovat numeroituvasti ääretön joukko. 
Järjestetty joukko.
Koska kokonaisluvut edustavat lukumäärää, on se samalla tavalla järjestetty joukko kuin luonnolliset luvut, jossa järjestysrelaatiolla voidaan ilmaista luonnollisten lukujen kaksi tärkeintä ominaisuutta. Kun kahta lukua verrataan keskenään, saadaan aina joko formula_45 tai formula_46 tai formula_47. Tätä ominaisuutta kutsutaan trikotomiaksi. Jos tarkastellaan kolmea luonnollista lukua, joille pätee ensin formula_45 ja formula_49, niin silloin voidaan päätellä myös, että formula_50. Tätä ominaisuutta kutsutaan transitiivisuudeksi. Järjestysrelaation toiminnasta johtuu se, että kokonaisluvut, ja kaikki sen osajoukot, ovat hyvinjärjestetty lukujoukko.
Kokonaisluvuilla ei kuitenkaan ole pienintä lukua tai suurinta lukua, vaikka lukujen keskinäinen järjestys on hyvin järjestynyt. Tämä johtuu positiivisten lukujen äärettömästä lukumäärästä ja siitä, että negatiivisia lukuja on vastalukuina yhtä paljon. Koska suurinta positiivista kokonaislukua ei voi osoittaa, ei voi myös pienintä eli negatiivisinta lukuakaan osoittaa.
Historiaa.
Luonnollisia lukuja kutsuttiin ennen kokonaisluvuiksi, mutta negatiivisten lukujen lisääminen kokonaislukuihin motivoi nimeämään positiiviset kokonaisluvut luonnollisiksi luvuiksi. Negatiivisia lukuja alettiin käyttämään matematiikassa varsin myöhään. Nollan lisääminen luonnollisiin lukuihin aiheutti matemaatikoissa aluksi kiistoja, mutta kokonaisluvuissa nolla on ollut alusta lähtien.