Lp-avaruus

Matematiikassa Lp-avaruudet ovat funktioavaruuksia, jotka ovat p-normilla varustettujen äärellisulotteisten vektoriavaruuksien luonnollisia yleistyksiä. 
Lp-avaruuksia kutsutaan myös Lebesgue-avaruuksiksi Henri Lebesguen mukaan , joskin Bourbakin mukaan ne esitteli ensimmäisenä Riesz. 
Lp-avaruudet ovat tärkeitä Banach-avaruuksia funktionaalianalyysissä ja siten tärkeitä topologisia vektoriavaruuksia. Niillä on sovelluksia fysiikassa, tilastotieteessä, taloustieteessä, tekniikassa ja muilla aloilla.
Motivaatio.
Tässä osiossa määritellään reaaliset äärellisulotteiset Lp-avaruudet eli Lp-normit
reaaliselle vektoriavaruudelle R"n". Kahden vektorin summa avaruudessa R"n" määritellään
formula_1
ja skalaarilla (eli reaaliluvulla) formula_2 kertominen
formula_3
Vektorin "x" = ("x"1, "x"2, …, "x""n") pituus määritellään yleensä Euklidisella normilla
formula_4
mutta on monia erilaisia tapoja määritellä vektorin "x" pituus. Jos "p" on reaaliluku, "p" ≥ 1, niin vektorin "x" "L""p"-normi määritellään
formula_5.
Näin ollen "L"2 on tavallinen Euklidinen normi ja etäisyys "L"1 on koordinaattien erojen summa).
Tämä on tapana laajentaa arvolle "p" = ∞ määrittelemällä
formula_6,
mikä on sama kuin raja-arvo "L""p"-normista, kun "p" lähestyy ääretöntä.
Voidaan todistaa, että kaikilla arvoilla "p" ≥ 1 tämä määritelmä toteuttaa kaikki "pituusmitan" eli normin määritelmän ehdot.
Millä tahansa arvolla "p" ≥ 1 avaruus R"n" varustettuna "L""p"-normilla (eli "p"-normilla) on Banach-avaruus. 
Kun 0 &lt; "p" &lt; 1.
Avaruudessa R"n", kun "n" &gt; 1, kaava
formula_5
ei toteuta kolmioepäyhtälöä, joten se ei ole normi. Silti funktio
formula_8
määrittelee metriikan eli etäisyysmitan. Metrisesta avaruudesta (R"n", "d""p") käytetään merkintää ℓ"n""p". Tämä metriikka määrittelee saman topologian kuin tavallinenkin topologia; kyseinen avaruus on lokaalisti konveksi topologinen vektoriavaruus, vaikka sen yksikköpallo onkin konkaavi.
"ℓ""p"-avaruudet.
Tämä "p"-normi voidaan yleistää jonoille eli vektoreille, joilla on äärettömän monta koordinaattia (komponenttia). Näin syntyvästä avaruudesta käytetään nimitystä "ℓ""p". Tämän erikoistapauksia ovat:
Tämä "p"-normi määritellään
formula_9
Jos normi on ääretön, "x" ei kuulu avaruuteen "ℓ""p".
Vastaavasti ∞-normi määritellään
formula_10
Voidaan todistaa, että
formula_11,
jos oikea puoli on äärellinen tai vasen puoli on ääretön.
Kaikki nämä ℓ"p"-avaruudet ovat Banach-avaruuksia. 
Alla esitetään kaikkien yleisin tapaus, jossa vektorit "x" ovatkin funktioita "f" ja niillä voi olla miten paljon "koordinaatteja" tahansa, jopa ylinumeroituva määrä. Tällöin normin määritelmässä tietenkin korvataan summa integraalilla. Onhan summa vain Lebesguen integraalin erikoistapaus.
"Lp"-avaruudet.
Olkoon 1 ≤ "p" &lt; ∞ ja olkoon ("S", "Σ", "μ") mitta-avaruus. 
formula_12-avaruus (ei normiavaruus ja eri asia kuin "Lp"-avaruus)
on kaikkien niiden mitallisten funktioiden Sformula_13C (tai Sformula_13R) joukko, joiden itseisarvon "p":nnen potenssin integraali on äärellinen eli
formula_15
Tämä avaruus on vektoriavaruus operaatioilla
formula_16
kaikilla skalaareilla "λ".
Minkowskin epäyhtälö sanoo, että kolmioepäyhtälö pätee normille || . ||"p". Niinpä tämä avaruus formula_12 on seminormiavaruus. Siitä saadaan Banach-avaruus formula_18 samaistamalla toisiinsa ne funktiot, joiden erotuksen seminormi on nolla eli jotka eroavat toisistaan vain nollamitallisessa joukossa. Siis formula_18 on 
formula_20 
missä
formula_21 
Avaruus "L"∞("S", "μ") määritellään vastaavasti essential supremum -normilla
formula_22
Jälleen
formula_23 
jos "f" ∈ "L"∞("S", "μ") ∩ "L""q"("S", "μ") jollain "q" &lt; ∞.
Arvoilla 1 ≤ "p" ≤ ∞ avaruus "L""p"("S", "μ") on Banach-avaruus. "Rieszin-Fischerin lause" sanoo, että se on täydellinen.
Usein avaruuden nimi lyhennetään "L""p"("μ") tai "L""p". 
Kaikki yllä esitetty pätee myös yleisille Bochner-avaruuksille eli sellaisten funktioiden "L""p"-avaruuksille, joiden arvot eivät ole reaali- tai kompleksilukuja vaan jonkin tietyn Banach-avaruuden alkioita. Eräille muunarvoisillekin funktioille osa yllä esitetystä on yleistetty.
Erikoistapauksia.
Kuten ℓ2-avaruus, myös avaruus "L"2 on luokkansa ainoa Hilbert-avaruus (ja ainoa, jonka normi on yhteensopiva jonkin sisätulon kanssa). Kompleksiarvoisille funktioille "L"2-sisätulo määritellään
formula_24
Kompleksitapauksessa "L"∞ on kommutatiivinen C*-algebra. 
ℓ"p"-avaruudet (1 ≤ "p" ≤ ∞) ovat erikoistapaus "Lp"-avaruuksista, jossa joukko "S" on positiivisten kokonaislukujen joukko N ja mitta "μ" on lukumäärämitta. Yleisemminkin mille tahansa joukolle "S" avaruutta "L p" lukumäärämitalla merkitään ℓ"p"("S").
Mikä tahansa Hilbert-avaruus on lineaarisesti isomorfinen avaruuden ℓ2("V") kanssa, missä "V" on mainitun Hilbert-avaruuden Hilbert-kanta tai mikä tahansa sen kanssa yhtä mahtava joukko.