Erotusosamäärä

Erotusosamäärä on matematiikassa funktion muutosnopeutta kuvaava mitta. Koulumatematiikassa käytetään usein termejä "käyrän jyrkkyys" tai "funktion kasvunopeus", jotka liitetään kuitenkin derivaatan käsitteeseen. Derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo.
Erotusosamäärä voidaan tulkita kasvunopeuden tai jyrkkyyden likiarvoksi. Monissa talousmallien ja fysikaalisten mittausten pohjana on kuitenkin suureiden erotusosamäärä, jolloin se approksimoi funktion tai suureen keskimääräistä muutosnopeutta. Numeerisessa analyysissa erotusosamäärällä lasketaan derivaatan likiarvoja.
Määritelmä ja tulkinta.
Funktio formula_1 on määritelty välillä formula_2. Tällöin voidaan määrittää suhde
formula_3,
jota kutsutaan funktion formula_1 erotusosamääräksi tällä välillä.
Kun funktion arvon muutosta formula_5 suhteutetaan vaikutusalueen pituuteen formula_6, kutsutaan osamäärää funktion "keskimääräiseksi kasvunopeudeksi" kyseisellä välillä. Erotusosamäärä voidaan esittää myös "delta"-merkintänä
formula_7,
koska formula_8 merkitään usein myös formula_9.
Erotusosamäärän geometrinen tulkinta on funktion kuvaajan kahden pisteen kautta piirretty sekantin eli pisteiden formula_10 ja formula_11 kautta piirretyn suoran kulmakerroin.
Raja-arvo.
Kun erotusosamäärän nimittäjä pienenee, tarkoittaa se geometrisesti sekantin pisteiden lähentymistä. Lähellä olevat sekantin pisteet pakottavat sekanttisuoran kulkemaan lähes käyrän suuntaisesti. Kun toiseen pisteeseen asetetaan suora, joka on käyrän tangentti, saadaan vertailusuora sekantille. Voidaan ajatella, että kun sekanttipisteet siirtyvät hyvin lähelle toisiaan, on sekanttisuora ja tangentti lähes yhdensuuntaiset. Tangentin ja sekantin kulmakertoimet ovat tällöin lähes samat. Kun pisteet siirtyvät mielivaltaisen lähelle toisiaan, tulevat suorien kulmakertoimet samaksi.
Tämä raja-arvo voidaan määritellä:
formula_12
Raja-arvo on funktion derivaatan arvo kohdassa formula_13, kun pisteen 1 kohta formula_14 lähestyy pisteen 0 kohtaa formula_13. Raja-arvolla on sama merkitys kuin sekantillakin on eli jyrkkyys.
Edellisen raja-arvon voi merkitä vaihtoehtoisesti
formula_16.
Esimerkkejä potenssifunktioilla.
Seuraavassa eräiden potenssifunktioiden erotusosamäärät sievennettyinä ja niiden raja-arvot.
Rinnakkaisia määritelmiä.
Numeerisen analyysin menetelmissä erotusosamäärällä on keskeinen sija derivaatan approksimoinnissa. Tätä varten erotusosamäärästä on kehitetty useita erilaisia muunnoksia.
Oikeanpuoleinen erotusosamäärä.
Oikeanpuoleinen erotusosamäärä on yllä esitetyn määritelmän tarkennettu nimitys. Siinä tarkastellaan pisteen kohdan formula_17 oikealle puolelle tehdyn hypyn formula_18 vaikutusta funktion arvoihin. Se voidaan merkitä myös seuraavasti:
formula_19
Numeerisessa matematiikassa oikeanpuoleista menetelmää käytetään funktioilla, jotka kasvavat maltillisemmin oikealla.
Vasemmanpuoleinen erotusosamäärä.
Vasemmanpuoleisessa erotusosamäärässä hyppy formula_18 tehdään vasemmalle eli formula_17:n arvosta vähennetään formula_18. Se merkitään seuraavasti:
formula_23
Numeerisessa matematiikassa vasemmanpuoleista menetelmää käytetään funktioilla, jotka kasvavat maltillisemmin vasemmalla.
Keskusdifferenssi.
Kun vasemman- ja oikeanpuoleisesta erotusosamäärästä otetaan keskiarvo, saadaan:
 formula_24
 formula_25
 formula_26
Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää puolet pienempää formula_18, jolloin keskusdifferenssiksi tulee
formula_28
Joissakin tapauksissa vasemman- ja oikeammanpuoleiset erotusosamäärät eivät suppene riittävän nopeasti, mutta keskusdifferenssi sen sijaan suppenee kohti derivaattaa nopeasti. Vaikka sillä derivaatan laskeminen on kierrosta kohden nopeampi, riittää vähäisempi iterointi ja tulos saadaan sitä kautta pienemmällä laskutyöllä.
Fysiikan suureita erotusosamääränä.
Fysiikassa on useita suureita, joita voidaan määrittää erotusosamäärän raja-arvona. Käytännön laskuissa riittää usein keskimääräinen muutosnopeus, jolla tarkoitetaan luonnontieteissä juuri erotusosamäärää.
Erotusosamäärä ajan suhteen.
Fysiikassa mekaniikassa käytetään erotusosamäärää liikkeen muutoksia laskettaessa.
formula_29
formula_30
Liikemäärän muutokseen käytettävä voima saadaan erotusosamääränä.
formula_31
Teho määritellään työn erotusosamääränä.
formula_32
Kondensaattorin sähkövarauksen purkautumisnopeus tarkoittaa sähkövirtaa.
formula_33
Erotusosamäärä matkan suhteen.
Kohteeseen tehty työ matkan suhteen määrittää käytetyn voiman.
formula_34