Additiivinen merkintä

Additiivinen merkintä tarkoittaa sellaisia luvun esitystapoja, joissa luvun arvo ilmaistaan ryhmällä merkkejä, joiden arvot lasketaan yhteen. Vain osa luvuista ilmaistaan lukumerkillä ja muut luvut muodostetaan näiden summan avulla. Nykyään käytetään additiivisia merkintöjä harvoin ja niillä onkin lähinnä historiallista merkitystä. Näiden tilalle on tullut intialaisarabialaiset numerot, paikkamerkintä ja desimaalijärjestelmä.
Muinaisilla kansoilla on ollut runsaasti lukujen merkintätapoja, joiden perusidea on ollut additiivinen, mutta jossa on sovellettu muitakin merkitsemisperiaatteita. Esimerkiksi kiinalaisilla oli additiivisen numeromerkintä, jota laajennettiin moninkertaistavilla luvuilla. Babylonialaisilla oli käytössään additiivisesti merkityillä pienillä luvuilla laajennettu paikkamerkintä.
Idea on varsin yksinkertainen. Vanha tukkimiehen kirjanpito on selvä esimerkki, jossa ykköstä sisältävää lukujärjestelmää sovelletaan additiivisesti. Kun kirjoitetaan luku viisi, merkitään vain 5 kappaletta ykkösiä eli /////. Jos lukumerkistöön kuuluu vaikka luvut / eli yksi ja X eli kolme, tulkitaan //XXX luvuksi 1 + 1 + 3 + 3 + 3 eli luvuksi yksitoista. Lukua esittävät merkit muutetaan luvuiksi, joiden summa on merkitty luku.
Esimerkkejä.
Varhainen egyptiläinen lukumerkintä.
Egyptiläisissä hieroglyfeissä, joita hakattiin kiveen jo 3200 eaa., oli heti käytössä additiivinen desimaalijärjestelmä. Eri lukumerkit, jotka saatiin moninkertaistavalla tavalla luvun 10 potensseina, aseteltiin vallitsevan kirjoitustavan mukaisesti ryhmäksi. Seuraavia merkkejä käytettiin luvuissa.
Esimerkiksi luku 2324 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 kirjoitettaisiin hieroglyfeillä muodossa M12-M12-V1-V1-V1-V20-V20-Z1-Z1-Z1-Z1
Egyptissä käytettiin myöhemmin hieroglyfien kanssa kahta rinnakkaista hieraattista- ja demoottista merkistöä. Myös näissä oli käytössä additiivinen desimaalijärjestelmä.
Nuolenpääkirjoitus.
Babylonialaiset omaksuivat nuolenpääkirjoituksen ja sen numerojärjestelmän sumerilaisilta noin 2200 eaa.. Nuolenpääkirjoituksessa, jossa merkit tehtiin ruo'on kärjellä tuoreeseen saveen, esiintyi lukuja merkitseviä merkintöjä. Ne muodostettiin käyttäen vain kahta merkkiä: pieni ja iso kiilamerkki. Pieni kiila (luku yksi) painettiin kosteaan saveen pystyasentoon ja isokiila (kymmenen) poikittain. Luvut 1–9 merkittiin pienillä kiiloilla kolmen kiilan riveinä. Luku yhdeksän oli siten kolme kolmen kiilan riviä. Luku 13 merkittiin 10 + 1 + 1 + 1 eli ensin yksi isokiila ja sen perään kolme pientä kiilaa yhteen riviin. Luku 35 = 10 + 10 + 10 + 1 (× 3) + 1 (× 2) eli kolme isokiilaa riviin ja näiden jälkeen viisi pientä kiilaa kolmen ja kahden kiilan päällekkäisissä riveissä.
Vaikka babylonialaisilla oli additiivinen merkintä, jatkettiin lukujen muodostamista nyt paikkamerkinnällä. Luku 125 = 120 + 5 merkittiin kahdella pienellä kiilalla ja niiden jälkeen 5 pikkukiilalla. Ensimmäiset kaksi kiilaa tarkoittivat 60:ien lukumäärää eli 2 × 60 = 120 ja seuraavat 5 kiilaa 5 × 1. Suuret luvut esitettiin seksagesimaalisella paikkamerkinnällä, jossa numeromerkit muodostettiin additiivisesti.
Roomalaiset numerot.
Roomalaisissa numeroissa luvut muodostetaan lukujen I (yksi), V (viisi), X (kymmenen), L (viisikymmentä), C (sata), D (viisi sataa) ja M (tuhat) avulla. Luvut 1–4 merkittiin aluksi I, II (eli I + I = 2), III ja IIII, mutta keskiajalla luku neljä merkittiin myös vähennyslaskuna IV (yksi pois viidestä). Luvut 6–9 merkittiin VI, VII, VIII ja VIIII, mutta yleisiä olivat keskiajalla myös IX (yhdeksän) ja IIX (kahdeksan). Suuremmat luvut aloitettiin kirjoittamaan isoista merkeistä. Esimerkiksi MDCI tarkoitti 1000 + 500 + 100 + 1 = 1601 ja MMCCIX tarkoitti 1000 + 1000 + 100 + 100 + 10 − 1 = 2209.
Roomalainen merkitsemistapa oli helppo oppia, mutta vaati hieman päässälaskutaitoa edes luvun suuruuden hahmottamiseksi. Yhteen ja vähennyslaskut olivat tällä merkinnällä vaikeahkoja suorittaa, mutta kertominen ja jakaminen onnistui vasta laskupöydän tai sormien avulla.
Kiinalaiset sauvanumerot.
Kiinassa on ollut käytössä useita lukujen merkitsemistapoja. Matematiikan pitkästä perinteestä johtuen ja kulttuurivaihdosta intialaisten kanssa näistä kehitettiin kehittynyt paikkajärjestelmään perustuvia desimaalijärjestelmiä. Sauvanumerot ovat laajalle levinnyt ja kansalaisten vieläkin käyttämä merkitsemistapa, jota käytettiin jo vanhimmassa kirjallisessa lähteessä 250 eaa..
Sen juuret ovat additiivisessa merkintätavassa, jossa lukua yksi merkitsevää merkkiä "sauva" toistetaan tarvittava määrä. Kun lukua viisi kuvataan viidellä sauvalla, jatketaan lukujen 6–9 osalta "poikittaisella sauvalla", joka myös tarkoittaa viittä. Luvussa 6 tämän alle vedetään vielä yksi sauva, jolla ilmaistaan 6 = 5 + 1.
Merkinnässä on ilmeisesti jäänne viisikantaisesta lukujärjestelmästä, jossa vaakapalkit tarkoittivat viiden lukumääriä. Sauvamerkintää on myöhemmin kehitetty paikkamerkinnäksi siten, että sauvamerkeistä tuli numeraaleja 1–9, joilla muodostettiin suurempia lukuja. Paikkamerkinnässä ykköset, sadat, kymmenet tuhannet, merkittiin pystyviivoilla, vastaavasti kymmenet, tuhannet, sadat tuhannet, ja niin edelleen, merkittiin vaakaviivoilla.
Mayaintiaanien lukumerkintä.
Espanjalaiset valloittajat tuhosivat järjestelmällisesti intiaanien kirjoittamia dokumentteja. Ainoastaan muutama kopio heidän kirjoituksistaan on säilynyt ja lisäksi kaikki kiveen hakatut tekstit. Mayojen teksteissä ja kalenterimerkinnöistä on löydetty melko kattava esitys heidän lukujen käytöstä. Heidän lukumerkintänsä perustui additiivisuuteen, missä luku yksi merkittiin pisteellä ja luku viisi merkittiin viivalla.
Merkinnöissä on ilmeisesti jäänteitä vanhasta viisilukujärjestelmästä lukuun 20 saakka, jonka jälkeen merkinnät noudattavat paikkamerkintää. Paikkamerkinnässä vuorottelivat 20- ja 18-järjestelmä eri paikoissa.
Muita additiivisia lukumerkintöjä.
Alkujaan matemaatikon ja historioitsijan Geneviève Guitelin laatima ja J. D. Barrowin päivittämässä luokittelussa mainittu additiivisiksi muutama muukin lukumerkintä. Atsteekit käyttivät 20-kantaista lukujärjestelmää, joka oli additiivinen. Kreikkalaiset käyttivät attikalaista lukumerkintää, joka roomalaisten numeroiden tavoin perustui lukuihin 1, 5, 10, 50, 100, 500... Myöhemmin he siirtyivät intialaisten vaikutuksesta toiseen additiiviseen merkintään, jossa luvuille 1–9 annettiin aakkosten ensimmäiset kirjaimet, luvuille 10, 20, ..., 90 aakkosten seuraavat kirjaimet ja sadoille vastaavasti loput kirjaimista. Luku merkittiin näitä lukuja hyväksi käyttäen ja alle tuhat olevia lukuja voitiin esittää kolmella merkillä. Heprealainen merkintä ja arabialainen "Abjad"-merkintä matkivat tätä järjestelmää, joskin niissä käytettiin omia aakkosia.