Todennäköisyys

Todennäköisyys on ilmiön tapahtumisen yleisyyden mitta, jonka arvo voidaan ilmaista kvalitatiivisesti tai kvantitatiivisesti. Todennäköisyys kvantifioidaan reaaliluvuksi väliltä 0 ja 1, vaikka joskus todennäköisyys ilmaistaan myös prosentteina. Todennäköisyys on 0 (0 %), kun tapahtuma ei satu koskaan, ja 1 (100 %), kun se tapahtuu aina. Mikäli todennäköisyys on näiden arvojen väliltä, sen tapahtuminen on epävarmaa. Mitä suurempi on todennäköisyyden arvo, sen varmemmin se tapahtuu. Jos tapahtuminen ja ei-tapahtuminen ovat yhtä varmoja, niin tapahtumisen todennäköisyys on 0,5 eli 50 %. 0,9 puolestaan tarkoittaa, että se tapahtuu keskimäärin yhdeksän kertaa kymmenestä. Esimerkiksi todennäköisyys saada klaava heittämällä yhtä kolikkoa yhden kerran on 0,5.
Todennäköisyyden yksikäsitteisestä määritelmästä on ollut vaikeaa päästä yksimielisyyteen. Koska todennäköisyys on ihmisen luoma omakohtainen käsite, ei sille löydy luonnontieteellistä tai filosofista perustetta. Todennäköisyyden tulisi kuitenkin vastata arjen kokemusta tapahtuman yleisyydestä. Ensimmäinen käytetty eksakti määritelmä on klassinen todennäköisyyden määritelmä, jolla voitiin arvioida uhkapelien todennäköisyyksiä riittävän hyvin. Määritelmä oli kuitenkin liian yksinkertainen arjen muiden tapahtumien kuvaamiseen, sillä se oletti alkeistapauksien todennäköisyyksien olevan yhtä suuret. Puutetta korjaamaan esitettiin tilastollinen todennäköisyystulkinta, joka oli käyttökelpoisempi tilastollisten tapahtumien todennäköisyyden määrittämisessä. Se myös salli alkeistapauksille erisuuruiset todennäköisyydet ja oli siten klassisen määritelmän laajennus. Tämän rinnalla esitettiin myös toinen todennäköisyyden määritelmä. Subjektiivisessa eli bayesiläisessä todennäköisyyden määrittelyssä voidaan todennäköisyyden ajatella kuvaavan tiedon epävarmuutta.
Näitä kaikkia vaivasivat puutteet, jotka jättivät todennäköisyyden perimmäisen määritelmän auki eivätkä ne kyenneet kertomaan, mitä todennäköisyys viime kädessä on. Lopulta neuvostoliittolainen Andrei Kolmogorov vuonna 1933 ilmestyneessä teoksessaan "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" () kiteytti todennäköisyyslaskennan perusteet matemaattisen tarkasti. Kolmogorovin luomassa aksiomaattisessa järjestelmässä yhdistettiin joukko-oppi, todennäköisyyslaskenta ja mittateoria. Edelleenkään todennäköisyydelle ei annettu ”perimmäistä selitystä”, mutta nyt sen matemaattiset ongelmat saatiin ratkaistua. Nykyaikainen todennäköisyyslaskenta perustuu Kolmogorovin luomalle perustalle. Matemaattisempi ja kattavampi todennäköisyyslaskennan käsittely löytyy artikkelista todennäköisyysteoria.
Todennäköisyyslaskentaa hyödynnetään monilla tieteenaloilla, kuten esimerkiksi matematiikassa, luonnontieteissä, tietotekniikassa, tilastotieteessä ja filosofiassa. Sitä tarvitaan myös monessa muussa toiminnassa, esimerkiksi talouselämässä ja uhkapeleissä.
Matemaattiset reunaehdot.
Satunnaisilmiön perimmäisiä rakenteita tai toimintoja ei tarvitse tuntea, vaan todennäköisyyslaskennassa kiinnitetään huomiota vain sen tuottamiin tuloksiin. Satunnaisilmiön sattumanvaraisesti syntyviä tai vaihtuvia tuloksia kutsutaan alkeistapauksiksi tai satunnaismuuttujien arvoiksi. Kaikki alkeistapauksien tai satunnaismuuttujan arvot tulee tuntea ja näiden arvojen esiintymisen yleisyys tulee voida mitata ja sitten esittää niiden todennäköisyys lukuarvoina. Vasta tämän jälkeen voidaan suorittaa todennäköisyyteen perustuvia arvioita satunnaisilmiön toiminnasta. Tapahtuman formula_1 todennäköisyyttä merkitään usein formula_2, formula_3, formula_4 tai formula_5.
Kaikkien alkeistapauksien tai satunnaismuuttujan arvojen kokoelmaa kutsutaan perusjoukoksi tai otosavaruudeksi tai tapahtuma-avaruudeksi. Perusjoukko sisältää kaikki ne alkeistapaukset tai satunnaismuuttujan arvot, joita voi sattua, eikä muita tapauksia tai arvoja tule esiintymään. Tähän varmuuteen perustuvat todennäköisyyslaskennan reunaehdot. Tapahtuma on sellaisten perusjoukon alkeistapauksien tai satunnaismuuttujan arvojen kokoelma, joka muodostaa osan perusjoukosta. Tapahtuma on siten perusjoukon osajoukko, ja ne tapaukset, jotka eivät kuulu tapahtumaan, ovat osa vastatapahtumaa eli komplementtitapahtumaa, joka on myös perusjoukon osajoukko. Tapahtuman formula_1 ja vastatapahtuman formula_7 osajoukot sisältävät eri tapaukset ja toisaalta yhdessä ne muodostavat koko perusjoukon eli formula_8. Terveen järjen mukaisesti tulee olla niin, että jos tapahtuman todennäköisyys on formula_3 ja vastatapahtuman todennäköisyys on formula_10, tulee näiden summaksi formula_11. Tapaus kuuluu siten tarkasteltavaan tapahtumaan tai sen vastatapahtumaan.
Edellä selostettu ominaisuus, jossa tapahtuma ja sen vastatapahtuma sisältävät eri alkeistapaukset, on nimeltään "toistensa poissulkevuus" tai "erillisyys". Yleisesti sanotaan, että saman perusjoukon kaksi tapahtumaa formula_1 ja formula_13 ovat erillisiä tapahtumia, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkeistapausta. Jos nämä tapahtumat yhdistetään suuremmaksi joukoksi, tulisi niiden yhdistelmä olla edellisiä yleisempi. Yleensä vaaditaankin erillisissä tapahtumissa, että todennäköisyydet on voitava laskea suoraan yhteen. Tätä kutsutaan todennäköisyyden additiiviseksi ominaisuudeksi. Sen avulla voidaan perustella myös tapahtuman ja sen vastatapahtuman tulos 1.
Matemaattisesti on huomattu välttämättömäksi olettaa "todennäköisyyden jatkuvuus". Se on vaikein ”terveen järjen vaatimuksista” ymmärtää, mutta se onkin matemaatikkojen asettama lisävaatimus. Tarkastellaan kahta tapahtumaa, josta formula_1 on tapahtuman formula_13 osajoukko. Tapahtuma formula_1 sisältää kaikki alkeistapaukset, jotka ovat myös tapahtumassa formula_13. Tapahtumassa formula_13 on näiden tapauksien lisäksi vielä muitakin eli tapahtuma formula_13 on suurempi tapahtuma kuin formula_1. Joukko-opillisesti tämä merkitään formula_21. Arkipäivän järjen mukaan tapahtuman formula_13 todennäköisyys tulisi olla suurempi kuin tapahtuman formula_13 eli formula_24. Todennäköisyyden jatkuvuus tarkoittaa sitä, että kaikille tapahtumille, jotka jotka ovat toistensa osajoukkoja seuraavasti 
formula_25
tulisi todennäköisyyksien kasvaa
formula_26
Vaikka tapahtumajoukkoa laajennettaisiin loputtomasti, tulisi sen laajinta yhdistettä kutsua myös tapahtumaksi ja sille tulisi voida laskea todennäköisyyden arvo. Siis
formula_27
jonka todennäköisyys on 
formula_28
Samaa ominaisuutta on vaadittu myös osajoukoille, jossa tapahtumien sisältämiä tapauksia karsitaan 
formula_29 
jolloin todennäköisyydet pienenevät ja lopullinen todennäköisyys olisi
formula_28
Näillä ajatuksilla voidaan perustella suurten lukujen lait, jotka vaadittiin tilastollisessa todennäköisyyden tulkinnassa.
Edellä esitellyt todennäköisyyksien ominaisuudet ovat kuitenkin niin väljät, etteivät niillä voida määritä todennäköisyysmittaa tiukasti. Todennäköisyyden määrittelyyn jää runsaasti valinnanvaraa ja sille onkin käytössä erilaisia määritelmiä. Niiden matematiikka kuitenkin seuraa edellisiä yleisiä reunaehtoja.
Todennäköisyyslaskennan perusperiaatteita.
Todennäköisyyslaskennassa tapahtuman formula_1 todennäköisyys on jokin reaaliluku 0:n ja 1:n väliltä eli
formula_32 
Tapahtuman formula_1 vastatapahtuman eli komplementtitapahtuman formula_7 todennäköisyys on
formula_35 
koska tapahtumalle ja vastatapahtumalle tulee päteä formula_11. Esimerkiksi todennäköisyys sille, ettei yhden nopan heitossa saada kuutosta, on ”1 − todennäköisyys saada kuutonen” eli formula_37.
Jos kaksi tapahtumaa formula_1 ja formula_13 ovat erillisiä tapahtumia, niin todennäköisyys sille, että joko tapahtuma formula_1 tai tapahtuma formula_13 sattuu (myös molemmat voivat sattua) on
formula_42 
Esimerkiksi todennäköisyys heittää yhdellä nopalla silmäluvun yksi tai kaksi on formula_43.
Jos tapahtumat eivät ole erillisiä, niin silloin tapahtumista jätetään yhteiset tapaukset kerran pois ja todennäköisyyden arvosta ne vähennetään kerran pois:
formula_44.
Jos kaksi tapahtumaa formula_1 ja formula_13 ovat riippumattomia tapahtumia, niin todennäköisyys sille, että sekä tapahtuma formula_1 että tapahtuma formula_13 sattuvat on
formula_49 
Esimerkiksi, jos kahta kolikkoa heitetään, niin todennäköisyys sille, että molemmat ovat kruunia, on formula_50.
Jos tapahtumat eivät ole riippumattomia, saadaan todennäköisyys
formula_51 
missä merkintä formula_52 tarkoittaa "ehdollista todennäköisyyttä".
Tapahtuman formula_13 "ehdollinen todennäköisyys", on todennäköisyys tapahtumalle formula_13 sillä ehdolla, että tapahtuma formula_1 tapahtuu varmasti.
Ehdollinen todennäköisyys merkitään formula_52, joka luetaan: ”tapahtuman formula_13 todennäköisyys ehdolla formula_1” ja se määritellään 
formula_59 
Jos tapahtuman formula_1 todennäköisyys on 0, eli formula_61, niin formula_62 ei ole määritelty, sillä nollalla ei saa jakaa.
Lisää todennäköisyyslaskennasta on artikkelissa todennäköisyysteoria.