Ympyrä

Ympyrä on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (ympyrän "keskipisteestä") on yhtä suuri kuin ympyrän säde "r". Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan "jänteeksi". "Halkaisija" on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale sen keskipisteen kautta kulkevan suoran ympäri on pallo.
Ympyrän voidaan ajatella olevan erikoistapaus ellipsistä, joka on ympyrän ohella yksi kartioleikkauskuvio.
Ympyräksi kutsutaan usein myös ympyrän kehän sisään jäävää tason osaa eli ympyräkiekon aluetta, joka koostuu pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on pienempi tai yhtä suuri kuin säde. Muun muassa metristen avaruuksien topologiassa ja kompleksianalyysissä alueesta käytetään nykyisin yleensä termiä kiekko.
Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, pii, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella formula_1.
Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala.
Ympyrän kehän (piirin) pituus formula_2 saadaan kaavasta:
formula_3, jossa formula_4 on ympyrän säde ja formula_1on vakio pii noin 3,14.
Voidaan myös ilmaista säde formula_4 ja halkaisijan formula_7 avulla, eli formula_8:
formula_9
Ympyrän sisään jääneen alueen pinta-ala formula_10 saadaan kaavasta: 
formula_11, missä formula_4 on ympyrän säde tai vastaavasti: 
formula_13, jossa formula_7 on ympyrän halkaisija.
Jos ympyrän kehän pituus formula_2 tunnetaan, voidaan pinta-ala formula_10 laskea kaavasta:
formula_17
Jos ympyrän halkaisija formula_7 ja kehän pituus formula_2 tunnetaan, voidaan
pinta-ala laskea (ilman lukua formula_20) kaavasta:
formula_21
Jos tarkastellaan vakiomittaisia sulkeutuvia käyriä, 
on ympyrä sellainen käyrän muoto, 
joka sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen pinta-alan.
Matemaattisesti tämä isoperimetrisen epäyhtälön nimellä kulkeva tulos voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon formula_2 sulkeutuvan, jatkuvan ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän eli Jordanin käyrän pituus ja formula_10 sen
rajaaman äärellisen tasoalueen pinta-ala. Tällöin
formula_24 
missä yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun kyseessä on ympyrä.
Ympyrän kaari, sektori ja segmentti.
Ympyrän kaari tarkoittaa ympyrän kehän osaa. Esim. sektori tai segmentti jakaa ympyrän kehän kahteen kaareen.
Ympyrän kaaren pituus saadaan jakamalla kaaren rajaavan keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän kehän pituuden kaavalla formula_3.
Ympyrän sektori tarkoittaa ympyrän kahden säteen ja niiden ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.
Ympyrän sektorin pinta-ala saadaan jakamalla sektorin rajaavien säteiden muodostaman keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän pinta-alan kaavalla formula_11.
Ympyrän segmentti tarkoittaa ympyrän jänteen ja sen ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.
Ympyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessa.
Keskipisteen ja säteen avulla.
Olkoon piste (x0,y0) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x0,y0) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan
formula_27
Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan
formula_28
Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto
formula_29
Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:
formula_30 , jossa a, b, c ja r ovat reaalilukuja:
 formula_31 
Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö
formula_32
joka on parametrimuodossa:
formula_33
Napakoordinaattiesitys origokeskiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio
Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.
Kolmen pisteen avulla.
Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään formula_34 formula_35 ja formula_36, voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla
formula_37 
joka on evaluoituna
formula_38 
missä
formula_39
"x:n" kerroin formula_40 saadaan matriisista
formula_41
jättämällä formula_42 termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti formula_43:n suhteen) determinantista
formula_44
ja
formula_45
ja vakiotermi "c"
formula_46
Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa
formula_47 
missä keskipisteen koordinaatit ovat
formula_48
ja
formula_49
sekä säde
formula_50 
Ympyrän kulmia.
Ympyrän kehäkulmaksi kutsutaan sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärkipiste on ympyrän kehällä ja jonka molempien kylkien osana on jänne tai jonka toisen kyljen osana on jänne ja toinen kylki on tangentilla. Keskuskulma taas tarkoittaa sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Tangenttikulma tarkoittaa kulmaa, joiden kyljet ovat tangenteilla.
Neljä ympyrää.
Piirrettäessä neljä samanlaista ympyrää sivuamaan toisia siten, että ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, on ympyröiden väliin jäävän alueen (merkitty harmaalla) pinta-ala
 formula_51,
missä r on kunkin ympyrän säde.
Seitsemän ympyrää.
Ympyrän ympärille voidaan piirtää tiiviiksi ryhmäksi kuusi muuta samanlaista ympyrää siten, että kukin lisätty ympyrä sivuaa kahta muuta ja keskusympyrää.
Mikäli ympäröivien ympyröiden säde on kaksi kertaa niin suuri kuin keskusympyrän säde r, ympäröivien ympyröiden määräksi tulee viisi. Jos ympäröivien ympyröiden säde on r/2, niitä mahtuu kuvioon kymmenen.
Ympyrä ja neliö.
Mikäli ympyrällä ja neliöllä on viisi yhteistä pistettä kuvan osoittamalla tavalla, niin ympyrän säteen ja neliön sivun suhde on 5/8.
Ympyrä ja paraabeli.
Sellaisten pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista, on paraabeli. Kuvioita on kaksi, ja niitä kuvaavat yhtälöt
formula_52