Bootstrap (tilastotiede)

Bootstrap () on tilastotieteessä menetelmä tai algoritmi, jolla voidaan arvioida tunnusluvun tai parametrin otantajakaumaa. Bootstrapilla voidaan johtaa arvio tunnusluvun tarkkuudelle tilanteissa, joissa se on analyyttisesti hankalaa tai mahdotonta. Bootstrap soveltuu varianssin, harhan, luottamusvälin ja P-arvon määräämiseen.
Historia.
Ensimmäinen artikkeli bootstrapista on Bradley Efronin kirjoittama "Bootstrap Methods: Another Look at the Jackknife" vuodelta 1979. Bootstrap on kehittynyt aiemman menetelmän Jackknife pohjalta. Myöhemmin bootstrapista on kehitetty myös bayesiläinen versio.
Bootstrap-algoritmi.
Bootstrap-otos.
Olkoon hankittu aineisto formula_1 kokoa "n". Bootstrap-otos formula_2 on aineistosta simuloitu otos havaintoja, yhteensä "n" kappaletta. Bootstrap-otoksen koko on siis sama kuin aineiston havaintojen lukumäärä. Bootstrap-otosta formula_3 (merkataan tähdellä yläindeksissä) ei tule sekoittaa aineistoon formula_4. Bootstrap-otoksen havainnot on arvottu käyttäen otantamenetelmänä yksinkertaista satunnaisotantaa takaisinpalauttaen. Tällöin aineistossa vain kerran esiintyvät lukuarvot voivat esiintyä lukuisia kertoja boostrap-otoksessa. Bootstrap-otoksia tehdään algoritmilla tyypillisesti lukuisia (yleensä satoja), joten merkitään tehtyjen boostrap-otosten lukumäärä formula_5:llä.
Algoritmi.
Toistetaan askeleita 1 ja 2:
Esimerkkejä tilanteista, joissa bootstrapia voidaan soveltaa.
Teoreettinen esimerkki.
Merkitään havaintoja formula_6 ja havainnoista laskettua keskivirheen tunnuslukua formula_7.
Tehdään B kappaletta bootstrap-otoksia formula_8, jokaisen bootstrap-otoksen koko on "n". Lasketaan bootstrap-otoksista keskivirhe empiirisellä kaavalla formula_9, joten saadaan formula_5 kappaletta toistoja keskivirheestä formula_11.
Ideaalinen bootstrap-estimaattori on asymptoottinen, sillä se määritellään
formula_12
mikä tarkoittaa, että B:n bootstrap-otoksen keskivirhe-estimaatti lähestyy populaatiokeskivirhettä, kun bootstrap-otosten määrä menee kohti ääretöntä. Tässä tapauksessa ”populaatio” on havainnot formula_13 ja populaation jakauma määrittyy empiirisen kertymäfunktion kautta. Tätä kutsutaan myös parametrittomaksi bootstrapiksi.
Käytännönläheinen esimerkki.
Toteutetaan bootstrap käyttäen R-ohjelmistoa. Aineistona on R:ssä vapaasti saatavilla oleva 'faithful'. R-ohjelmakoodi on seuraava:
data(faithful)
eruptions &lt;- faithful$eruptions
n &lt;- 10000
mean.boot &lt;- NULL
sd.boot &lt;- NULL
for(i in 1:n) {
 #bootstrap-otos (satunnaisotos takaisinpalauttaen)
 s.int &lt;- sample.int(length(eruptions), replace = TRUE)
 #lasketaan tunnusluvut keskiarvo (mean) ja keskihajonta (sd)
 mean.boot[i] &lt;- mean(eruptions[s.int])
 sd.boot[i] &lt;- sd(eruptions[s.int])
n.obs &lt;- length(eruptions)
se.mean.boot &lt;- sd.boot/sqrt(n.obs)
Keskivirheen estimointi bootstrapilla.
Keskivirheen estimointi bootstrapin avulla on luontevaa. Edellä olevassa Käytännönläheisessä esimerkissä lasketaan bootstrap-estimaatit keskiarvolle ja keskihajonnalle sekä lopussa keskivirhe. Koska keskivirhe on keskiarvon keskihajonta, niin sille voidaan laskea piste-estimaatti suoraan laskemalla keskiarvon bootstrap-toistoista keskihajonta. Keskivirheelle saadaan bootstrap-toistot käyttämällä keskivirheen kaavaa formula_14, missä "SE" on keskivirhe, "s" on keskihajonta ja "n" on aineiston havaintojen lukumäärä (eri kuin bootstrap-otosten lkm).
Hypoteesien testaaminen bootstrapilla.
Bootstrapilla voidaan testata hypoteeseja tunnusluvulle formula_15. Lasketaan bootstrap-toistot formula_16 ko. tunnusluvulle. Jos halutaan testata poikkeaako tunnusluku nollasta, niin voidaan laskea empiirisesti todennäköisyys, että tunnusluku poikkeaa vähintään yhtä paljon bootstrap-toistojen avulla. Siis formula_17
Bootstrap-menetelmiä.
Parametrinen bootstrap.
Parametrinen bootstrap perustuu oletukseen aineiston jakaumasta. Se on siis sensitiivinen jakaumaoletukselle, eli jos oletus on väärä, ovat tuloksetkin vääriä. Se on kuitenkin parametritonta bootstrapia tehokkaampi menetelmä, kun jakaumaoletus on tosi.
Parametriton bootstrap.
Parametriton bootstrap ei perustu mallioletukseen, vaan käyttää empiiristä (aineistoon perustuvaa) jakaumaa. Teoreettisemmin parametrittomasta bootstrapista on kohdassa Teoreettinen esimerkki.
Jäännösten bootstrap.
Jäännösten bootstrap perustuu vahvasti olettamukseen, että käytettävä malli on oikea ja että mallin jäännökset ovat keskenään riippumattomia. Tällöin voidaan käyttää bootstrapia mallin jäännöksille. Menetelmä soveltuu erityisesti lineaariseen regressioon, koska siinä jäännökset ovat oletusten mukaan riippumattomia.
Algoritmi on seuraava:
Iteroimalla kohtia 3-5 päästään käsiksi mallin parametrien otantajakaumaan.
Bayes-boostrap.
Bayes-bootstrapilla on bootstrap Bayesiläisittäin. Kun tavallisessa bootstrapissa simuloidaan tunnusluvun otantajakaumaa, niin Bayes-bootstrapilla simuloidaan tunnusluvun posteriorijakaumaa.
Painojen laskeminen Bayes-bootstrapissa:
Bayes-bootstrapissa Bayes-bootstrap -otos saadaan samalla tapaa kuin tavallisessa bootstrapissa, mutta todennäköisyys saada havainto formula_24 bootstrap-otokseen on formula_25. Todennäköisyyspainot formula_26 arvotaan jokaisen Bayes-bootstrap -otoksen yhteydessä uudelleen.
Siloitettu bootstrap.
Siloitetussa bootstrapissa bootstrap-otos simuloidaan skaalatusta ydinestimaatista formula_27 eikä suoraan havainnoista.
formula_12 Skaalattu ydinestimaatti on saatu Gaussisella ydin­estimoinnilla skaalauksen jälkeen ja formula_29 on sellainen ydinestimaattorin ikkunanleveys, jolla saadaan yksimoodinen ydinestimaatti. Skaalauksella poistetaan se lisävaihtelu, jonka ydinestimointi aiheuttaa.
Bootstrap suhteessa muihin samantapaisiin menetelmiin.
Jackknife.
Jackknife eroa bootstrapista siten että jackknife-otoksia (vrt. bootstrap-otos) tehdään täsmälleen aineiston havaintojen lukumäärän verran ja kullakin otoksella jätetään vuorollaan kukin havainto pois jackknife-otoksesta. Tällöin saadaan havaintojen lukumäärän verran näytteitä, joista kustakin puuttuu yksi havainto. Kyseisistä näytteistä lasketaan mielenkiinnon kohteena oleva tunnusluku ja näin saadut tunnusluvut approksimoivat ko. tunnusluvun otantajakaumaa.
Ristiinvalidointi.
Riistinvalidoinnissa, jolla voidaan tutkia mallin sopivuutta aineistoon, on samankaltaisuuksia bootstrapin nähden. Ristiinvalidoinnissa valitaan osaotos aineistosta ja sovitetaan malli sillä. Jos osaotos on kokoa n-1 ja tehdään ilman takaisinpalautusta, niin kyseessä on jackknife.
voidaan käyttää bootstrapia tai sen kaltaista menetelmää. Tällöin malli on sovitettava jokaisella bootstrap-otoksella uudelleen.
Bootstrap stokastisessa simuloinnissa.
Tila-avaruusmallien estimointiin simuloimalla voidaan käyttää algoritmia hiukkassuodin (particle filter) joka on toiselta nimeltään bootstrap-suodin (bootstrap filter). Kyseisessä algoritmissa yksi iteroitavista askeleista on identtinen bootstrapin kanssa.
Bagging.
Bagging on estimaatin laskemista bootstrap-otoksen ylitse. Tämä on joskus järkevää ja tätä on sovellettu varsinkin päätöspuumalleissa. Päätöspuumallit ovat käytettyjä koneoppimisessa.
Puoliotokset.
Puoliotokset tai puolitetut otokset (half-sampling) on erityisesti otantamenetelmissä käytetty menetelmä, jolla voidaan arvioida tunnusluvun otantaepävarmuutta (otantajakaumaa). Menetelmä pohjaa nimensä mukaan otosten puolittamiseen vaihtelun laskemiseksi ja on idealtaan lähes identtinen bootstrapiin verrattuna.