Toisen kertaluvun derivaatta

Differentiaali- ja integraalilaskennassa funktion ƒ 
derivaattafunktion derivaattaa sanotaan funktion ƒ 
toisen kertaluvun derivaataksi. Myös nimitys toinen derivaatta on 
yleisesti käytössä. Funktion toisen kertaluvun derivaatalla 
voidaan muun muassa tutkia funktion kuvaajan kaarevuutta ja sen derivaatan nollakohtien luonnetta. Toisen kertaluvun derivaatan 
fysikaalisista sovelluksista voidaan mainita esimerkiksi kappaleen kiihtyvyyden määrittäminen. Kappaleen nopeus on sen paikan 
derivaatta ajan suhteen. Kiihtyvyys on kappaleen nopeuden derivaatta 
ajan suhteen. Siten kiihtyvyys on paikan toisen kertaluvun derivaatta ajan 
suhteen. Funktion korkeamman kertaluvun derivaattojen tuntemista 
hyödynnetään myös monissa funktion approksimaatio-menetelmissä, 
kuten esimerkiksi Taylorin sarjassa.
Merkinnät.
Funktion formula_1 toisen kertaluvun derivaatta merkitään 
yleensä formula_2, jossa
formula_3
Muita käytettyjä merkintöjä ovat:
formula_4
Esimerkki.
Olkoon
formula_5
Funktion ƒ derivaatta on funktio
formula_6
Funktion ƒ toisen kertaluvun derivaatta on funktion ƒ′ 
derivaatta
formula_7
Suhde kuvaajaan.
Kaarevuus.
Funktion ƒ toisen kertaluvun derivaatta mittaa sen kuvaajan kaarevuutta. 
Funktio, jonka toisen kertaluvun derivaatta on positiivinen, on kupera alaspäin eli 
jokainen sen käyrälle piirretty tangentti on, sivuamispistettä lukuun ottamatta, käyrän 
alapuolella. Vastaavasti, funktio, jonka toisen kertaluvun derivaatta on negatiivinen, 
on kupera ylöspäin eli jokainen sen käyrälle piirretty tangentti on käyrän 
yläpuolella.
Käännepiste.
Pistettä, jossa funktion toisen kertaluvun derivaatan merkki vaihtuu, kutsutaan käänne­pisteeksi. Käännepisteessä funktion kuvaajan kaarevuussuunta vaihtuu. 
Jos funktion toisen kertaluvun derivaatta on jatkuva käännepisteessä, sen on oltava 
0. Toisen kertaluvun derivaatan nollakohta ei kuitenkaan ole riittävä ehto 
käännepisteelle.
Toisen kertaluvun derivaatan testi.
Funktion toisen kertaluvun derivaatan testillä voidaan tietyissä olosuhteissa 
selvittää funktion derivaatan nollakohdan luonne. 
Olkoon formula_8. Jos
Raja-arvo.
Jos funktiolla formula_10 on pisteessä formula_11 olemassa toisen 
kertaluvun derivaatta, se voidaan esittää raja-arvona:
formula_20
Approksimointi.
Funktion approksimointiin voidaan käyttää erilaisia esimerkiksi korkeampia 
derivaattoja käyttäviä polynomeja taikka potenssi­sarjoja. Eräät esimerkit tällaisista ovat Taylorin polynomi ja Taylorin sarja.
Funktion toisen asteen Taylorin polynomi pisteessä formula_11 on:
formula_22
Maclaurinin polynomi on Taylorin polynomin erikoistapaus, jossa kehityskeskus on 
origo:
formula_23
Taylorin sarja on yksinkertaistettu versio potenssisarjasta. Taylorin sarjalla 
funktiolle saadaan seuraava sarjakehitelmä:
formula_24
Edellisessä ! tarkoittaa kertomaa ja formula_25 funktion 
formula_10 n:ttä derivaattaa. Maclaurinin sarja on Taylorin sarjan 
erikoistapaus, jossa kehityskeskus on origo.
Kiihtyvyys.
Tarkastellaan objektia, joka liikkuu suoralla (esimerkiksi x-akselilla). 
Sen paikka formula_27 saadaan ajan funktiosta 
formula_28. Keski­nopeudeksi formula_29 aikavälillä 
formula_30 saadaan 
formula_31
Nopeus formula_32 ajanhetkellä formula_33 on tämän keskinopeuden 
raja-arvo, kun formula_34. Siten
formula_35 
Nopeus ajanhetkellä formula_33 on siis paikan derivaatta ajan suhteen. 
Tämän derivaatan arvo voi olla luonnollisesti myös nolla tai negatiivinen, joten 
nopeus kertoo myös liikesuunnan.
Derivoimalla edelleen nopeus ajan suhteen saadaan objektin kiihtyvyys ajanhetkellä 
formula_37
formula_38
Kiihtyvyys on siis paikan toisen kertaluvun derivaatta ajan suhteen.