Potenssifunktio

Potenssifunktio on muuttujan formula_1 matemaattinen funktio, joka voidaan esittää yleistettynä 
formula_2
missä formula_3 on potenssi ja formula_4 sen eksponentti. Eksponentin arvoa kutsutaan myös potenssin asteeksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä
formula_5
Potenssifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli formula_6 sievennysongelmien välttämiseksi. Määrittelyjoukko määritetään siten aina tapauskohtaisesti.
Potenssifunktion arvon määrittäminen.
Eksponentti on luonnollinen luku.
Erään potenssifunktion määritelmän mukaan se on tulo äärellisestä lukumäärästä (formula_7 kpl) vakioita formula_8 ja muuttujaa formula_1:
formula_10
Tämän määritelmän mukaan potenssifunktio, jonka eksponenttina on luonnollinen luku, kuuluu alkeisfunktioihin, sillä se on muodostettu äärellisestä määrästä muuttujia ja vakioita niiden välisillä kertolaskuilla (alkeisoperaatio), ja se on samalla yleisen potenssifunktion erikoistapaus, joka merkitään usein 
formula_11
Tällainen potenssifunktio on samalla myös polynomifunktio, jossa on yksi termi. Useiden eriasteisten potenssien summa muodostaa monitermisen polynomifunktion. Eriasteisten potenssien sarjoja käytetään monissa potenssisarjoissa.
Erikoistapauksia.
Potenssifunktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla. Niillä on polynomifunktioiden oheella merkittävä rooli matematiikan kouluopetuksessa eri maissa. 
*Kun n = 0, saadaan formula_12, koska formula_13. Tätä kutsutaan vakiofunktioksi ja se saa kaikilla x:n arvoilla saman arvon a. Vakiofunktion erikoistapaus on "nollafunktio", jonka arvoksi tulee aina nolla (ei mitään).
*Kun n = 1, saadaan formula_14, koska formula_15. Tämä on lineaarisen polynomifunktion formula_16 erikoistapaus, kun formula_17. Silloin funktion arvo formula_18 ja muuttuja formula_19 ovat suoraan verrannolliset eli formula_20. Jos funktion kerroin formula_21, saadaan formula_22. Funktio on tällöin identiteettifunktio, jolla funktion formula_18 arvo on sama kuin muuttujan formula_19 arvo. 
*Kun n = 2, saadaan formula_25. Tämä on yksinkertaisin kvadraattinen funktio eli neliöllinen funktio eli toisen asteen polynomifunktio. Tunnettuja kvadraattisia funktioita ovat muun muassa geometriassa formula_26 (ympyrän pinta-ala) ja formula_27 (pallon pinta-ala).
*Kun n = 3, saadaan formula_28. Tämä on yksinkertaisin kuutiollinen funktio eli kolmannen asteen polynomifunktio.
Edelliset potenssifunktiot voidaan tulkita verrannollisuuden mukaan. Esimerkiksi, kun n = 2, voidaan sanoa, että funktion arvot ovat "suoraan verrannolliset" muuttujan "toiseen potenssiin" eli formula_29.
Eksponenttina kokonaisluku.
Eksponenttina voi olla myös negatiivinen kokonaisluku. Koska potenssilaskennassa on määritetty
formula_30
saadaan myös potenssifunktiolle vastaavasti
formula_31
Potenssifunktion määrittelyjoukossa on huomioitava nimittäjän rajoitus formula_32. Potenssifunktiolla, jonka asteluku on negatiivinen, on sen vuoksi määrittelyjoukko formula_33. 
Kun n = 1, saadaan niin sanottu käänteislukufunktio (tässä: formula_21) 
formula_35
Tällöin funktion arvot ovat muuttujan arvoon nähden kääntäen verrannolliset.
Eksponentti on rationaaliluku.
Jos eksponenttina on rationaaliluku, saadaan
formula_36
Jos eksponentti on luonnollisen luvun käänteisluku, joka on muotoa
formula_37
niin potenssifunktio tulkitaan juurifunktioksi:
formula_38
Juurifunktion määrittelyjoukko riippuu juuren asteluvusta. Jos juuren aste on parillinen, rajoitetaan muuttuja ei-negatiiviseksi eli formula_39. Jos aste on pariton, kuuluvat kaikki luvut määrittelyjoukkoon eli formula_40.
Juurifunktion astelukua voidaan nostaa korottamalla se vielä kokonaislukupotensiin m:
formula_41
Eksponenttina reaaliluku.
Kun eksponenttina on reaaliluku, määritellään yleisesti
formula_5. 
Kun eksponentina on rationaaluku, lasketaan potenssifunktion arvo edellä kuvatulla tavalla. Niitä reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja, kutsutaan irrationaaliluvuiksi. Kun eksponenttina on irrationaalinen luku, lasketaan potenssifunktion arvo raja-arvon avulla. Koska jokaista irrationaalilukua formula_43 kohden on olemassa rationaalilukujen jono formula_44 siten, että jono suppenee kohti irrationaalilukua formula_43:
formula_46
Potenssifunktion arvo kohdassa formula_47, kun formula_48 lasketaan silloin
formula_49
Yleistäen voidaan sanoa, että 
formula_50
Potenssifunktion yleisiä ominaisuuksia.
Kaikille potenssifunktioille yhteiset pisteet.
Kun potenssifunktioille piirretään kuvaajat xy-koordinaatistoon, merkitään funktion argumentin x arvot x-koordinaateiksi ja funktion arvot y-koordinaateiksi eli formula_51. Kahden potenssifunktion kuvaajat kulkevat saman pisteen kautta, kun niiden kuvaajilla on samalla x-koordinaatilla samat funktion arvot. Yhteiset pisteet voidaan määrittää yhtälöllä (s &gt; r):
formula_52
Joka tapauksessa kohdassa formula_53 on kaikilla potenssifunktioilla yhteinen piste formula_54, sillä
formula_55.
Yhteisiä pisteitä voi siis olla kaksi tai kolme riippuen potenssifunktioiden asteista. Jos eksponenttit ovat molemmat parillisia tai parittomia, saadaan kaksi kohtaa lisää, ja jos toinen on pariton ja toinen parillinen, saadaan vain yksi kohta lisää, missä on yhteinen piste:
formula_56.
Potenssifunktion derivointi ja integrointi.
Potenssifunktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvon avulla. Määritelmän tulokset potenssiosalle voidaan esittää helposti muistettavassa muodossa:
formula_57
Potenssifunktion tavallinen (Riemann-) integraali on siten
formula_58, kun formula_59
tai
formula_60, kun formula_61.