Schrödingerin yhtälö

Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaniikassa käytetty aaltoyhtälö, joka osoittaa, millainen aaltofunktio hiukkaseen liittyy, kun sillä on tietyn suuruinen energia ja se on tietynlaisessa potentiaalissa. Schrödingerin yhtälöllä on olennaisen tärkeä osa kvanttimekaniikan teoriassa, jossa se vastaa merkitykseltään Newtonin toista lakia klassisessa mekaniikassa, sillä molemmat kuvaavat liikettä. Yhtälön kehitti itävaltalainen fyysikko Erwin Schrödinger vuonna 1926.
Yleinen Schrödingerin yhtälö.
Yleinen Schrödingerin yhtälö voidaan esittää muodossa
formula_1,
missä formula_2 on paikasta formula_3 ja ajasta formula_4 riippuva aaltofunktio, formula_5 redusoitu Planckin vakio, formula_6 hiukkasen massa, formula_7 sen paikasta riippuva potentiaalienergia ja formula_8 imaginaariyksikkö.
Hamiltonin operaattorin 
formula_9 
avulla Schrödingerin yhtälö voidaan kirjoittaa lyhemmin muotoon
formula_10.
Bra-ket-esitys.
Kvanttimekaniikan matemaattisessa formuloinnissa jokainen systeemi esitetään kompleksisessa Hilbertin avaruudessa siten, että jokaista systeemin hetkellistä tilaa vastaa yksikkövektori ko. avaruudessa. Tämä tilavektori esittää todennäköisyyksiä kaikille mahdollisille systeemiin liitettyjen mittausten tuloksille. Systeemin tilan muuttuessa ajan kuluessa tilavektori muuttuu vastaavasti ajan funktiona. Tämä ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö antaa tiedon tilavektorin muutostaajuuden suuruudesta.
Diracin kehittelemää bra-ket-merkintätapaa käyttäen hetkellinen tilavektori ajanhetkellä formula_11 merkitään ket-vektorilla formula_12, tällöin Schrödingerin yhtälö on muotoa
formula_13.
Schrödingerin yhtälön muuttujat.
Hamiltonin operaattori kuvaa systeemin kokonaisenergiaa. Kuten voima Newtonin toisessa laissa, Schrödingerin yhtälö ei anna sen tarkkaa muotoa, vaan se pitää muodostaa erikseen systeemin fysikaalisten ominaisuuksien perusteella.
Aaltofunktion formula_14 amplitudia sanotaan todennäköisyysamplitudiksi, koska sen neliö osoittaa todennäköisyyden sille, että hiukkanen on tietyllä alueella.
Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö.
Monissa tarkasteluissa oletetaan stationaarinen tila, mikä tarkoittaa, että systeemi on energian (Hamiltonin operaattorin) ominaistilassa. Koska Hamiltonin operaattori määrää systeemin aikakehityksen, ei stationaarisessa tilassa olevan hiukkasen aaltofunktio riipu ajasta. Myös kaikkien mitattavien suureiden odotusarvot ovat ajasta riippumattomia stationaarisessa tilassa.
Kolmiulotteisessa potentiaalissa hiukkasen ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö on muotoa
formula_15,
missä formula_16 on gradientin divergenssi ja formula_17 on systeemin potentiaalienergiaa vastaava operaattori. Yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa
formula_18.
Taustaa.
Schrödingerin yhtälöä ei voida johtaa klassisen fysiikan avulla, vaan se perustuu kokonaan kvanttiteoriaan. Kvanttiteoria sai alkunsa Max Planckin vuonna 1900 esittämästä ja Albert Einsteinin vuonna 1905 edelleen kehittämästä teoriasta, jonka mukaan sähkömagneettiset aallot syntyvät aina tietyn kokoisina "paketteina", kvantteina eli fotoneina, ja yhden fotonin energia riippuu aallon taajuudesta yhtälön
formula_19
mukaisesti. Täten säteilyllä on sekä aalto- että hiukkas­luonne. Vuonna 1924 Louis de Broglie esitti aine­aalto­hypoteesinsa, jonka mukaan myös ainehiukkasilla, esimerkiksi elektroneilla on aalto-ominaisuuksia. Niillekin pätee yllä mainittu yhtälö, ja lisäksi niiden aallonpituus riippuu liikemäärästä ("p") yhtälön
formula_20
mukaisesti. 
Jo klassisessa fysiikassa aaltoja voidaan kuvata yleisellä aaltoyhtälöllä
formula_21,
missä formula_14 on aallon muotoa esittävä aaltofunktio ja "v" aallon vaihenopeus eli sen taajuuden ja aallonpituuden tulo. 
Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö saadaan tästä de Broglien kaavojen avulla seuraavasti. Oletetaan, että hiukkasen massa on "m", nopeus "vh" ja kokonaisenergia "E". Tällöin sen liikemäärä on "p = mvh", jolloin siihen liittyvän aallon taajuus on edellä sanotun mukaan "f = E/h", aallonpituus formula_23 ja vaihenopeus näiden tulo "v = E / p". Hiukkasen liike-energia saadaan vähentämällä sen kokonaisenergiasta sen potentiaalienergia Ek = E – U. Koska hiukkasen liikemäärän ja liike-energian välillä vallitsee yhteys
formula_24,
saadaan sen liikemäärälle myös lauseke
formula_25,
ja koska vaihenopeus on "v = E / p = hf / p", saadaan sille lauseke
formula_26.
Aaltofunktio formula_14 on tyypillisesti muotoa
formula_28,
jolloin sen toinen derivaatta ajan suhteen on
formula_29.
Kun tämä sijoitetaan edellä esitettyyn yleiseen aaltoyhtälöön, saadaan
formula_30,
ja kun tähän edelleen sijoitetaan edellä saatu vaihenopeuden lauseke, saadaan
formula_31. 
Koska vakiolle h / 2 π käytetään vakiintuneesti merkintää formula_32, sen avulla sekä supistamalla tekijä "f2" pois voidaan edellä saatu yhtälö muuntaa muotoon
formula_33
ja edelleen yleisemmin käytettyyn muotoon
formula_15.
Klassisen fysiikan tuntemissa aalloissa funktio formula_14 vastaa sitä suuretta, jonka vaihteluista aaltoliike muodostuu, ja joka voi olla esimerkiksi pinnan korkeus vesiaalloissa, paine ääniaalloissa tai sähkökentän voimakkuus sähkömagneettisissa aalloissa. Alkujaan ei ollut selvää, mikä on tämän suureen merkitys hiukkasiin liittyvissä aalloissa, mutta myöhemmin kehitetyn todennäköisyys­tulkinnan mukaan tämän aaltofunktion amplitudin neliö osoittaa todennäköisyyden sille, että hiukkanen löytyy kustakin paikasta.
Esimerkkejä.
Vapaa hiukkanen.
Schrödingerin yhtälön yksinkertaisin tapaus on vapaa hiukkanen, jonka potentiaalifunktio on vakio ja jonka aaltofunktio lisäksi riippuu vain yhdestä paikkakoordinaatista, esimerkiksi formula_36:stä. Tällöin yhtälö yksinkertaistuu muotoon
formula_37,
Tämän differentiaaliyhtälön toteuttavat funktiot ovat:
formula_38
Nämä funktiot kuvaavat sellaista sinimuotoista aaltoa, jonka aaltovektori on 
formula_39 
ja aallonpituus 
formula_40
siis yhtäpitävästi de Broglien teorian kanssa.
Potentiaalilaatikko.
Potentiaalifunktio on määritelty nollaksi tietyllä välillä ja äärettömäksi tämän välin ulkopuolella, seinämät ovat ikään kuin pystysuoria. Klassisesti hiukkanen liikkuu kahden jäykän seinämän välissä.
Yksiulotteinen laatikko.
Kun hiukkanen, jonka massa on formula_6, liikkuu yksidimensionaalisen potentiaalin formula_42 alaisena, niin hiukkasen tilafunktio formula_43 toteuttaa yksidimensioisen Schrödingerin yhtälön:
formula_44
Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksaktisti vain muutamassa erikoistapauksessa.
Klassillinen esimerkki on hiukkanen laatikossa (). Energian ominaisarvot muodostavat spektrin:
formula_45   ,    formula_46   ,    formula_47   ,    formula_48    jne ...
missä formula_49 on perustilaenergia, energia, jota pienempää ei ole. Nollaenergia ei ole sallittu, koska kvanttihiukkanen ei ole levossa.
Kolmiulotteinen laatikko.
Vastaava kolmidimensioinen yhtälö on muotoa:
formula_50
Koska kyseessä on kolmiulotteinen tapaus, gradientti on formula_51.
Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksaktisti kolmidimensioisessa laatikossa, jossa hiukkasen liike on rajattu tietylle välille kaikkien koordinaattiakselien suunnissa. Jos välit ovat keskenään yhtäsuuria eli laatikko on kuutionmuotoinen, niin tällöin saadaan esimerkki degeneroituneista tiloista. Energian ominaisarvojen spektri on tällöin:
formula_52   ,    formula_53   ,    formula_47   ,    formula_55   ,    formula_56    jne ...
Perustilaenergia on formula_57 ja tämä tila on degeneroitumaton, mutta kolmea seuraavaa ominaisarvoa vastaavien tilojen degeneraatioaste on kolme, mikä tarkoittaa, että yhtä ominaisarvoa kohti on olemassa kolme kokonaisenergialtaan yhtäsuurta mutta eri tavalla jakautunutta tilaa. Ominaisarvoa formula_58 vastaava tila on degeneroitumaton ja ominaisarvoa formula_59 vastaavan tilan degeneraatioaste on kuusi.
Vetyatomi.
Schrödingerin yhtälön tärkeimmät sovellukset liittyvät atomin rakenteeseen. Yksinkertaisin atomi on vetyatomi, jossa on vain yksi elektroni. Elektroni on ytimen sähköisen veto­voiman aikaan­saamassa potentiaali­kuopassa. Sen potentiaali "U" ytimen ympärillä etäisyydellä "r" on jo klassisen sähkö­opin mukaan
formula_60
missä "e" on alkeisvaraus ja formula_61 sähkövakio.
Tämä potentiaalin lauseke pätee myös kvantti­fysiikassa. Näin ollen vety­atomin ainoan elektronin Schrödingerin yhtälö saadaan muotoon
formula_62
missä 
formula_63
on vety-ytimen eli protonin ja elektronin muodostaman systeemin redusoitu massa. Miinusmerkki potentiaalin lausekkeessa johtuu siitä, että protonilla ja elektronilla on vastakkais­merkkiset sähkö­varaukset. Redusoitua massaa käytetään tässä elektronin massan sijasta, koska protoni ja elektronin muodostaman systeemin voidaan olettaa pyörivän systeemin yhteisen painopisteen ympäri (tosin näiden hiukkasten suuren massa­eron vuoksi tämä redusoitu massa ei sanottavasti poikkea elektronin massasta). 
Vetyatomin aalto­funktio on elektronin sijainnin eli koordinaattien funktio, ja itse asiassa pallo­koordinaatteja käyttämällä se voidaan jakaa kolmeksi funktioksi, joista kukin riippuu vain yhdestä koordinaatista: 
formula_64
missä "R" on radiaalinen funktio ja formula_65 pallo­harmonisia funktioita, joiden aste on "ℓ" ja kertaluku "m". Yhtälön ratkaisut ovat:
formula_66
missä:
formula_69
Koska kvanttilukujen on oltava kokonais­lukuja, elektroni voi olla ytimen ympärillä vain tietyillä orbitaaleilla, jotka vastaavat kvantti­lukujen yhdistelmiä. Osoittautui, että pää­kvantti­luvun mukaan määräytyvien orbitaalien energiatasot ovat samoja, joihin jo aikaisemmin oli päädytty Bohrin atomimallin perusteella.
Ominaisarvoyhtälö.
Jokaista ajasta riippumatonta Hamiltonin operaattoria formula_70 kohti on olemassa kvanttitilojen formula_71 eli energian ominaistilojen joukko sekä reaalilukujen formula_72 eli energian ominaisarvojen joukko, jotka toteuttavat ominaisarvoyhtälön:
formula_73
Ominaistilan kokonaisenergia on definiitti ja sen arvo on Hamiltonin operaattorin ominaisarvo. Jokaista energian ominaisarvoa kohti voi olla olemassa (ei kuitenkaan välttämättä) useampia ns. degeneroituneita tiloja. Edellä esitettyä ominasarvoyhtälöä sanotaan ajasta riippumattomaksi Schrödingerin yhtälöksi. Hamiltonin operaattorin kaltaisilla itseadjungoituvilla operaattoreilla on ominaisuus, että niiden ominaisarvot ovat kaikissa tapauksissa reaalilukuja, mitä voidaan odottaakin, koska energia on fysikaalisesti havaittavissa oleva suure eli observaabeli.
Sijoittamalla ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö täydelliseen Schrödingerin yhtälöön, saadaan:
formula_74
Tämä yhtälö on helposti ratkaistavissa. Havaitaan, että energian ominaistiloja vastaavat tilavektorit vain kiertyvät kompleksitasossa norminsa säilyttäen
formula_75
Energian ominaistilat ovat käyttökelpoisia, koska niiden aikariippuvuus on yksinkertainen ja samoin ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö on käyttökelpoinen. Tarkasteluissa valitaan "hetkellinen" ominaistilojen joukko, jonka tilavektorit formula_76 muodostavat tila-avaruuden kannan. Tällöin mikä tahansa tilavektori formula_77 voidaan esittää energian ominaistilojen lineeaariyhdistelynä:
formula_78
Viimeisenä esitetty muoto edellyttää, että formula_77 on yksikkovektori. Sijoittamalla ensimmäinen muoto Schrödingerin yhtälöön muistaen, että kantavektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, saadaan:
formula_80
Tästä seuraa, että jos funktion formula_77 kehitelmä valitussa kannassa tunnetaan hetkellä formula_82, niin funktion arvo millä tahansa myöhemmällä ajanhetkellä lasketaan yksinkertaisesti lausekkeesta
formula_83
Schrödingerin aaltoyhtälö.
Kvanttisysteemin tila-avaruus voidaan virittää paikkavektorikannassa. Tällöin Schrödingerin yhtälö muotoillaan kätevimmin aaltofunktion osittaisdifferentiaaliyhtälöksi. Aaltofunktio on paikan ja ajan kompleksiarvoinen funktio. Yhtälön muotoa sanotaan Schrödingerin aaltoyhtälöksi.
Paikkavektorikannan alkioita sanotaan paikan ominaistiloiksi.