Vektori

Vektori on matematiikassa, fysiikassa ja tekniikassa geometrinen malli, jota käytetään kuvaamaan suureita, joilla on sekä suuruus että suunta. Vektoria kuvataan janalla, jonka toisessa päässä, vektorin kärjessä, on suunnan osoittava nuoli.
Tarkemman matemaattisen määritelmän mukaan vektori on matematiikassa vektoriavaruuden alkio. Tyypillisesti vektori on "n":n muun alkion (usein reaali- tai kompleksilukujen) järjestetty joukko. Alkioiden lukumäärä "n" ilmaisee myös vektorin ulottuvuuden. Tällainen vektori on matriisin erikoistapaus eli matriisi, jonka leveys on yksi.
Laajemmassa merkityksessä vektorin ei kuitenkaan tarvitse olla järjestetty lukujoukko eikä muukaan järjestetty joukko, vaan vektoreita voivat olla mitkä tahansa oliot, joiden välillä summa ja skalaarilla kertominen on määritelty. Tämä vektorien yleiskäyttöisyys on tehnyt lineaarialgebrasta tehokkaan matemaattisen työkalun.
Vektorit voidaan merkitä lihavoiduilla kirjaimilla, esimerkiksi formula_1 tai merkitsemällä vektorisuureen tunnuksen yläpuolelle oikealle osoittava nuoli, esimerkiksi formula_2.
Vektorit geometriassa ja fysiikassa.
Geometriassa ja fysiikassa vektoreita käytetään kuvaamaan suureita, joihin suuruuden lisäksi liittyy määrätty suunta. Tasogeometriassa käytetyt vektorit voidaan esittää kahden, kolmiulotteisessa avaruusgeometriassa ja useimmissa fysikaalisissa sovelluksissa käytetyt vektorit kolmen, reaaliluvun järjestettyinä joukkoina, joiden alkiot ovat reaalilukuja. Geometrisesti vektoreita voidaan kuvata janoilla, joiden toiseen päähän on tapana merkitä nuolenkärki. Tällöin kuitenkin kaikki suunnatut janat, jotka ovat yhtä pitkiä ja samansuuntaisia, katsotaan ekvivalenteiksi, toisin sanoen ne esittävät samaa vektoria. Lukujonona tällaisissa vektoreissa on vain kolme tai tasogeometriassa kaksi lukua, joista ensimmäinen vastaa tämän janan projektiota x-akselin suunnassa, toinen y-akselin suunnassa ja kolmas z-akselin suunnassa. Erikoistapauksena on nollavektori, jossa kaikki nämä luvut ovat nollia. Sen suunta on määräämätön (mielivaltainen) ja pituus 0. 
Geometriassa vektorilla voidaan kuvata annetun pisteen sijaintia suhteessa toiseen pisteeseen. Pisteen paikkavektori kuvaa sen sijainnin suhteessa koordinaatiston origoon, ja sen alkioina ovat pisteen koordinaattien arvot. Fysiikassa esimerkiksi nopeus on vektorisuure, ja sen itseisarvo, vauhti, on skalaari. Fysiikan eri aloilla tärkeitä vektorisuureita ovat myös kiihtyvyys ja voima sekä sähkö- ja magneettikenttien voimakkuudet.
Tyypillinen vektori "l." pystyvektori.
Mikäli vektori on järjestetty joukko, se voidaan esittää muodossa: 
formula_3
jossa kaikki alkiot formula_4 kuuluvat johonkin joukkoon. Joskus tilan säästämiseksi vektorit kirjoitetaan vaakavektoreina muodossa formula_5 tai tulkitaan matriisin transpoosiksi formula_6.
Yleisiä laskutoimituksia.
Yleisiä vektoriavaruudelle määriteltyjä laskutoimituksia ovat vektoreiden formula_7 summa:
formula_8
sekä kerroinkunnan alkiolla kertominen formula_9:
formula_10
Näiden lisäksi usein vektoriavaruuksissa määritellään normi, joka on vektorin pituuden yleistys
formula_11.
Tällöin vektoreiden sanotaan muodostavan normiavaruuden.
Vektoreille voidaan myös määritellä pistetulo, joka ilmaisee vektoreiden samansuuntaisten komponenttien tulon. Pistetulo merkitään muodossa
formula_12,
missä formula_13 on vektoreiden välinen kulma.
Pistetuloa voidaan merkitä symbolilla
formula_14,
sillä pistetulo on erikoistapaus sisätulosta ja pistetulolla täydennettyä vektoriavaruutta kutsutaankin sisätuloavaruudeksi.
Perusavaruuksien vektorit.
Jos kaikki "n"-ulotteisen vektorin 
formula_15
alkiot formula_16 ovat reaalilukuja ts. formula_17, niin a on reaaliarvoinen vektori, merkitään formula_18.
Vastaavasti jos kaikki alkiot ovat kompleksilukuja, on vektori kompleksiarvoinen vektori, eli formula_19
Jos vektori kuuluu avaruuteen formula_20 voidaan se piirtää myös koordinaatistoon. Jos vektori piirretään alkamaan origosta (paikkavektori), sen kärkipiste osoittaa komponenttien lukuarvojen mukaista koordinaatiston pistettä. Eli esim. vektorin
formula_21
kärki on pisteessä (7, -5). Vastaava suhde löytyy myös avaruuden formula_22 vektoreilla kolmiulotteiseen koordinaatistoon. Usein nämä vektorit rinnastetaankin koordinaatiston pisteisiin. Kyseessä on kuitenkin tarkkaan ottaen eri asia.
Reaaliavaruuden laskutoimituksia.
Reaaliavaruudessa formula_23 laskutoimituksille on käytössä seuraavat määritelmät. 
Yhteen- ja vähennyslasku.
Kaksi reaaliavaruuden vektoria lasketaan yhteen laskemalla niiden vastaavat alkiot yhteen:
formula_24
Vastaavasti vektorista vähennetään toinen vektori vähentämällä ensimmäisen vektorin kustakin alkiosta jälkimmäisen vektorin vastaava alkio:
formula_25
Samoin kuin reaalilukujen, myös vektorien yhteenlasku noudataa vaihdanta- ja liitäntälakia, toisin sanoen vektoreillekin pätee:
formula_26
ja
formula_27.
Tason tai kolmiulotteisen avaruuden vektorien yhteenlaskulla on yksinkertainen geometrinen tulkinta. Piirretään samasta pisteestä alkamaan vektoreita "a" ja "b" vastaavat suuntajanat sekä suunnikas, jonka kahtena sivuna ne ovat. Tällöin vektorien summa vastaa samasta pisteestä lähtevää suunnikkaan lävistäjää.
Vektorin kertominen luvulla.
Vektori kerrotaan reaaliluvulla eli skalaarilla kertomalla sen jokainen alkio kyseisellä skalaarilla.
formula_28
Jos kerroin a on positiivinen, tuloksena saatavaa vektoria esittävä jana on samansuuntainen alkuperäisen kanssa, mutta sen pituus on alkuperäiseen verrattuna "a"-kertainen. Jos "a" on negatiivinen, saatu vektori on alkuperäiseen nähden vastakkaissuuntainen, ja vastaavan janan pituus on "-a"-kertainen.
Pituus eli normi.
Vektorin x pituus formula_29 eli normi määritellään vektorin alkioiden (formula_30) neliöiden summan neliöjuurena lausekkeella
formula_31.
Yksikkövektorit.
Jos vektorin pituus on 1, sitä sanotaan yksikkövektoriksi.
Erityisen tärkeitä ovat koordinaattiakselien suuntaiset yksikkövektorit. Tavallisesti käytetään tasossa formula_20 ja kolmiulotteisessa avaruudessa formula_22 x-akselin suuntaiselle yksikkövektorille merkintää formula_34 ja y-akselin suuntaiselle merkintää formula_35, kolmiulotteisessa avaruudessa lisäksi z-akselin suuntaiselle merkintää formula_36. Tällöin tason vektori
formula_37
voidaan kirjoittaa myös muotoon formula_38
ja vastaavasti kolmiulotteisen avaruuden vektori
formula_39
muotoon formula_40
Skalaaritulo eli pistetulo.
Pistetulo on kahden vektorin välinen erikoistapaus sisätulosta. Se yleistyy suoraan formula_41-ulotteisen avaruuden vektoreille. 
formula_42, kun formula_43, missä formula_13 on vektoreiden x ja y välinen kulma.
Vektoreille x = ai + bj + ck ja y = di + ej + fk pistetulo voidaan laskea myös kaavalla "vektoreiden x ja y pistetulo" = ad + be + cf.
Pistetulo noudattaa vaihdanta- ja osittelulakia, toisin sanoen jos "a", "b" ja "c" ovat vektoreita, pätee:
formula_45
ja
formula_46.
Liitäntälaki sen sijaan ei ole mielekäs, koska pistetulo on skalaari eikä sen ja vektorin välinen pistetulo ole määritelty. 
Pistetulon sovellutuksia.
Jos voima vaikuttaa liikkeen suuntaan, työ ("W") voidaan laskea pelkkänä voiman ("F") ja matkan ("s") tulona:
 formula_47
Jos voima on eri suuntainen kuin liike, työ pitää laskea voimavektorin ja liikevektorin pistetulona:
 formula_48
Vektoritulo eli ristitulo.
Ristitulo on esimerkki ulkoisesta tulosta. Se on määritelty ainoastaan formula_22:n ja formula_50:n vektoreille
formula_51
missä e on vektoreita x ja y (siis näiden määrittelemää tasoa) vastaan kohtisuora yksikkövektori (eli vektori, jonka normi formula_52) ja vektorit x, y ja e muodostavat oikeakätisen koordinaatiston, toisin sanoen ristitulovektorin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti.
Määritelmästä seuraa, että ristitulo ei noudata vaihdantalakia, vaan sen etumerkki vaihtuu, jos sen tekijät vaihdetaan keskenään:
formula_53.
Karteesisessa koordinaatistossa x,y ja z akselien suuntaisilla yksikkövektoreilla formula_54 määriteltyjen vektoreiden formula_55 ja formula_56 ristitulo voidaan laskea determinantin avulla:
formula_57
formula_58
formula_59
Erityisesti koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektorien ristitulot ovat:
formula_60, formula_61
formula_62, formula_63
formula_64, formula_65
formula_66
Mikäli vektorit ovat yhdensuuntaiset, on niiden ristitulo nolla.
Perusfysiikassa ristitulo esiintyy esim. voiman momentin kaavassa.
Skalaarikolmitulo.
Kolmelle vektorille a = "(a1, a2, a3)", b = "(b1, b2, b3)" ja c = "(c1, c2, c3)" määritellään "skalaarikolmitulo" eli lyhemmin "kolmitulo" "V" seuraavasti:
formula_67
Skalaarikolmitulon itseisarvo on sama kuin vektorien a, b ja c muodostaman suuntaissärmiön tilavuus, ja se voidaan laskea myös seuraavasti:
formula_68.
Vektorikolmitulo.
Kolmelle vektorille a = "(a1, a2, a3)", b = "(b1, b2, b3)" ja c = "(c1, c2, c3)" määritellään "vektorikolmitulot" seuraavasti:
formula_69 tai
formula_70) tai
Koska ristitulo ei ole liitännäinen, nämä ovat yleensä kaksi eri vektoria. Näistä edellinen on kohtisuorassa vektoriin "a" nähden ja vektorien b ja c määrittämässä tasossa, jälkimmäinen taas vektorien a ja b määrittämässä tasossa ja kohtisuorassa vektoria c vastaan.
Esimerkki.
Esimerkki selkokielellä tasogeometrian näkökulmasta.
Liikutaan XY-koordinaatistossa. Lähdetään liikkeelle origosta (0,0), kuljetaan ensin "kaksi ylös ("vektori "formula_71) ja sitten kaksi oikealle" (vektori formula_72), jolloinka päädytään pisteeseen (2,2).
Vektorien muutosta ilmaistaan muuttujilla "i" ja "j", jossa "i" ilmoittaa x-akselin suuntaista liikkumista, ja "j" y-akselin suuntaista liikkumista. 
Lasketaan muutokset: formula_73 . Yhteenlaskulla saadaan: formula_74, poistamalla kirjaimet saadaan loppupiste (2,2).