Hajaantuva sarja

Hajaantuva sarja määritellään matematiikassa äärettömänä, ei-suppenevana sarjana. Tämä tarkoittaa, ettei äärettömien lukujonojen sarjojen osasummilla ole raja-arvoa.
Sarja voi supeta vain, jos sen yksittäiset jäsenet lähestyvät nollaa. Toisin sanoen kaikki sarjat, joiden yksittäiset jäsenet eivät lähesty nollaa, hajaantuvat. Kuitenkaan eivät kaikki sellaisetkaan sarjat, joiden termit lähestyvät nollaa, suppene. Yksinkertaisin vastaesimerkki on harmoninen sarja. 
formula_1
Nicole Oresme todisti harmonisen sarjan hajaantumisen jo keskiajalla. 
Joissakin erityistapauksista sarjoille löytyy valmiiksi ratkaistu raja-arvo. Esimerkiksi Cesàron summa yhdistää Grandin hajaantuvan sarjan
formula_2
lukuarvoon ½ . Cesàron summaa käytetään sarjojen jatkuvuutta arvioidessa. 
Hajaantuvien sarjojen summien teoreemat.
Summa- eli summausmenetelmää voidaan kutsua säännölliseksi, mikäli se on yhtenevä suppenevan sarjan ehtojen kanssa. Säännöllistä summamenetelmää voidaan kutsua Abelin teoreemaksi. Alfred Tauberin kehittämiä Tauberin teoreemaa pidetään yleisesti matemaattisesti mielenkiintoisempina, mutta se soveltuu paremmin suppenevien sarjojen tutkimiseen. 
Mikäli suppenevien sarjojen summafunktio on lineaarinen, voidaan Hahn-Banachin teoreeman perusteella menetelmää käyttää yleisesti kaikkien sarjojen vastaavien osasummien laskemiseen. Lineaarisuuden todistamien käytännön laskuissa vaatii kuitenkin harrastuneisuutta. 
Hajaantuvien sarjojen matemaattinen analyysi perustuu Abelin, Cesàron ja and Borelin summien käyttöön. Hajaantuvien sarjojen summamenetelmällä on yhteys numeeriseen sekvenssin ekstrapolointiin, kvanttimekaniikassa käytettäviin paikkariippumattomaan kartoitukseen sekä Fourier-analyysissä käytettävään Banachin algebraan. 
Summamenetelmien ominaisuuksista.
Summamenetelmät keskittyvät yleensä sarjan osasummaan sekvenssiin. Mikäli tämä sekvenssi ei suppene, voidaan sekvenssiä laajentaa ja tämän uuden alueen keskiarvoa voidaan usein käyttää sarjan summan arvioimiseen raja-arvon sijasta. Eli voidaan tutkia sekvenssiä s, ja Mikäli kyseessä on suppeneva alue, se lähestyy raja-arvoa a. 
Summamenetelmä (A) voidaan nähdä sekvenssien osasummien ja niiden arvojen funktiona. Vastaavasti sarjojen summamenetelmässä kyseiset lukuarvot liittyvät vastaaviin sarjoihin. Seuraavien ehtojen täyttyessä raja-arvojen ja summien arviointi onnistuu:
Esimerkiksi Borelin summassa kolmas ehto ei ole lähtöoletuksena. 
Kahden eri summausmenetelmän A ja B toivottava ominaisuus on jatkuvuus. A ja B ovat jatkuvia, mikäli jokaisella tutkitulla sekvenssillä s molempien arvot ovat samat eli A(s) = B(s). Summausmenetelmien vahvuuksia voidaan vertailla: Vahvempana pidetään sitä, joka soveltuu useamman sarjan summien laskemiseen. 
Vaikka summamenetelmä olisi epäsäännöllinen ja epälineaarisia, se voi silti olla vahva ja omata käytännön sovellutuksia. Tällaisista esimerkki on Padén approksimointi.
Aksiomaattiset menetelmät.
Monia hajaantuvia sarjoja voidaan summata ottamalla aksioomiksi säännöllisyys, lineaarisuus ja vakaus. Esimerkkinä geometrisen sarjan arviointi (aina, kun ), 
formula_3
kun "r" on yhtä suurempi reaaliluku osasummat kasvavat rajatta ja keskiarvomenetelmät lähenevät ääretöntä. 
Nörlundin keskiarvo.
Olkoon "pn" positiivisterminen lukujono, joka alkaa "p"0:sta. Oletetaan myös, että
formula_4
Käyttämällä painotettua keskiarvoa saamme muokattua lukujonon 
formula_5
jossa ("n":n lähestyessä ääretöntä) tn raja-arvoa kutsutaan Nörlundin keskiarvoksi, N"p"("s").
Nörlundin keskiarvo on säännöllinen, lineaarinen ja vakaa. Huomioitavaa on, että kaksi satunnaisesti valittua Nörlundin keskiarvoa ovat yhtäpitäviä. Merkittävimpiä Nörlundin keskiarvoista ovat Cesàron summat. Kun lukujono "pk" määritellään
formula_6
on Cesàron summan määritelmä Cesàron summat ovat Nörlundin keskiarvoja, mikäli . Säännöllisistä, lineaarisista, vakiosta sekä yhtäpitävistä summista C0 on tavallinen yhteenlasku ja C1 taas Cesàron summakaava. Cesàron summista on mainittava, että mikäli , niin C"h" on C"k" vahvempi.
Abelin keskiarvo.
Olkoon λ = {λ"0", λ"1", λ"2", ...} kohti ääretöntä kasvava lukujono ja. osassummat muodostavat jonon "s". Oletetaan, että
formula_7
suppenee kaikilla reaaliluvuilla x. Abelin keskiarvo määritellään tällöin
formula_8
Tällaiset sarjat tunnetaan yleisemmin Dirichlet'n sarjoina, joita sovelletaan fysiikassa.
Abelin keskiarvot ovat säännöllisiä, lineaarisia ja vakioita, mutta eivät aina yhtäpitäviä eri λ:n arvoilla. Niistä osaa voidaan hyödyntää yhteenlaskumenetelmissä.
Abelin summa.
Abelin yhteenlaskukaava saadaan, kun , λn = n. Kaava on
formula_9
missä "z" = exp(−"x"). X:n lähestyessä nollaa positiivilta puolelta f(x) raja-arvo lähestyy potenssisarjan ƒ("z") raja-arvoa, kun z lähestyy yhtä positiivisten reaalilukujen kautta. Tällöin Abelin summa A(s) määritellään 
formula_10
Abelin summa on säännöllinen, lineaarinen, stabiili sekä yhtäpitävä Cesàron yhteenlaskukaavan kanssa. Abelin kaavasta tekee käyttökelpoisemman se, että : voidaan myöhemmin määritellä halutuksi.
Lindelöfin summa.
Jos , niin alaindeksien lähtiessä yhdestä saadaan
formula_11
Silloin "L"("s"), Lindelöfin summa (Volkov 2001), on ƒ("x"):n raja-arvo, kun "x" lähestyy nollaa. Lindelöfin summa soveltuu potenssisarjojen summan laskemiseen kompleksianalyysin alaan kuuluvassa Mittag-Lefflerin tähdessä.