Satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttuja eli stokastinen muuttuja on todennäköisyyslaskennan peruskäsite, joka tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää "lukua". Jos tunnetaan satunnaismuuttujan taustalla olevan satunnaisilmiön perusjoukko, on satunnaismuuttuja funktio, joka liittää jokaiseen perusjoukon alkeistapaukseen formula_1 reaaliluvun. Funktion formula_2 tulee kuitenkin olla mitallinen funktio. Yleensä satunnaismuuttujan merkinnästä jätetään argumentti formula_1 merkitsemättä eli kirjoitetaan formula_4.
Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreetti tai jatkuva. Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta, ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreetti) tai painona (jatkuva). Satunnaismuuttujan laskemistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan. Satunnaismuuttujat, jotka eivät ole pelkästään toista tyyppiä, kutsutaan sekatyyppisiksi.
Sana satunnaismuuttuja lyhennetään joskus s.m.. Yleisin tapa merkitä satunnaismuuttujaa on käyttää suuria aakkosia (esimerkiksi formula_5). Toisinaan näkee myös alleviivattuja pieniä kirjaimia (esimerkiksi formula_6) tai lihavoituja pieniä kirjaimia (kuten x). Kun viitataan satunnaismuuttujan arvoon, merkitään se esimerkiksi formula_7.
Esimerkkejä satunnaismuuttujista.
Diskreetit satunnaismuuttujat.
Alkeistapaukset voidaan koodata satunnaismuuttujiksi käyttämällä yksinkertaisia funktioita. Lantinheitossa perusjoukko on formula_8, ja siitä voidaan luoda satunnaismuuttuja formula_5 määrittelemällä esimerkiksi:
formula_10
Toisessa esimerkissä kahden nopan heitossa tulokseksi halutaan molemman nopan silmälukujen summa. Silloin perusjoukon alkeistapaukset muodostuvat noppien silmälukupareista formula_11 joista muodostetaan satunnaismuuttuja formula_12: formula_13 Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin formula_14 Nämä esimerkit olivat "yksinkertaisia satunnaismuuttujia", koska perusjoukko oli kooltaan äärellinen.
Seuraava satunnaismuuttuja muodostuu tapauksista, joita voi olla numeroituvasti ääretön määrä. Heitetään kolikkoa, kunnes saadaan ensimmäisen kerran kruuna. Jos kruuna saadaan heti, merkitään satunnaismuuttujan formula_15 arvoksi nolla. Jos saadaan aluksi klaava ja sitten kruuna, merkitään satunnaismuuttujan arvoksi yksi. Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin formula_16
Jatkuvat satunnaismuuttujat.
Esimerkiksi tikanheitto voidaan tulkita jatkuvaksi satunnaisilmiöksi, sillä jokainen osuma seinään ja tauluun voidaan tulkita x-koordinaatiston pisteeksi formula_17. Tason pisteitä on nyt ylinumeroituvasti ääretön määrä, ja samoin on myös satunnaismuuttujan arvoja. Jos määritellään satunnaismuuttuja formula_18 siten, että formula_19 kun origo on napakympissä, saadaan Borel-joukko niistä formula_20-säteisistä ympyrälevyistä, missä formula_21 Satunnaismuuttuja saa silloin arvot formula_22 
Satunnaismuuttuja saa yleensä arvot suljetulta väliltä formula_23, puoliavoimelta väleiltä formula_24 tai formula_25 taikka avoimelta väliltä formula_26, missä rajat ovat äärellisiä tai äärettömiä.
Matemaattinen määritelmä.
Satunnaismuuttuja formula_5 on mitallinen funktio formula_28, missä määrittelyjoukko formula_29 on todennäköisyyslaskennassa käytettävä perusjoukko, ja funktion arvojoukkona ovat reaaliluvut. Jos siis alkeistapaus formula_1 oletetaan valituksi, on satunnaismuuttujan arvo formula_2 yksikäsitteisesti määritelty, joten siinä mielessä se ei ole "satunnainen" eikä "muuttuja". Kuvauksen arvojoukko (eli kuva) voi olla reaalilukujen osajoukko formula_32. Satunnaismuuttujan kuvaus yksittäisillä alkeistapauksen tai tapahtuman arvoilla on silloin formula_33 Alkeistapaus tai tapahtuma voidaan ilmaista tämän käänteiskuvauksena formula_34
Funktio tulee olla mittallinen eli formula_35-mitallinen kuvaus. Tämä tarkoittaa sitä, että jokaisen perusjoukon osajoukko kuuluu sigma-algebraan formula_35. Vain silloin formula_37 on varmasti tapahtuma eli formula_38, joka kuuluu aina Borel-joukkoon.
Satunnaismuuttujaa on määritelty myös siten, että se on mitallinen funktio todennäköisyysavaruudesta formula_39 mitta-avaruuteen formula_40 
Todennäköisyysjakauma.
"Todennäköisyysjakauma", usein yksinkertaisesti vain "jakauma", määrittelee satunnaismuuttujien arvojen esiintymistodennäköisyydet ja samalla sen käyttäytymisen oleellisimman piirteen. Satunnaismuuttujat luokitellaankin niiden todennäköisyysjakaumiensa mukaisesti eri tyyppeihin. Jakauma voidaan määritellä kahdella eri tavalla: todennäköisyys- eli tiheysfunktiolla tai kertymä- eli jakaumafunktiolla. Eri tavat ovat hyödyllisiä eri tilanteissa, mutta kummastakin funktiosta voidaan johtaa kaikki satunnaismuuttujan ominaisuudet. Jakaumien rakenteet eroavat toisistaan myös sen mukaan, onko satunnaismuuttuja diskreetti vai jatkuva.
Todennäköisyysfunktiot.
Todennäköisyysfunktiot ovat diskreetillä ja jatkuvalla satunnaismuuttujilla varsin erilaiset.
Diskreetit satunnaismuuttujat.
Diskreettien satunnaismuuttujien jakauma on luettelo, jossa jokaiseen satunnaismuuttujan arvoon formula_41 liitetään todennäköisyyden arvo formula_42. Usein käytetty merkintätapa on 
formula_43 
Diskreettien satunnaismuuttujien todennäköisyyksiä kutsutaan myös pistetodennäköisyyksiksi.
Esimerkiksi kahden nopan heitossa, jossa satunnaismuuttujana on noppien silmälukujen summa, saadaan satunnaismuuttujan arvojen perusjoukoksi formula_44 Kuten oheisesta kuvaajasta voi nähdä, noudattavat seuraavat pistetodennäköisyydet sen todennäköisyysjakaumaa: formula_45 ja formula_46
Todennäköisyysjakauman todennäköisyyksien summa 
formula_47 
tulee aina olla yksi.
Jatkuvat satunnaismuuttujat.
Jatkuvien satunnaismuuttujien todennäköisyysfunktio on tiheysfunktio formula_48 (joskus formula_49), joka saa satunnaismuuttujan arvoalueella vain positiivisia arvoja. Muualla sen arvo on nolla. Se ei siis voi saada missään negatiivisia arvoja.
Tiheysfunktion arvot eivät ole todennäköisyyksiä. Jatkuvan satunnaismuuttujan arvot ovat reaalilukuja, joita on yleensä ylinumeroituvasti ääretön lukumäärä. Usein tulkitaankin, että yksittäisen alkeistapauksen satunnaismuuttujan arvon esiintymistodennäköisyys on nolla. Tässä on kuitenkin ristiriita käytännön kanssa. Satunnaismuuttuja antaa tulokseksi joitakin arvoja, joten todennäköisyys voi olla nolla, vaikka tapahtuma olisi teoreettisesti mahdollinen.
Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyyksiä lasketaan vain tapahtumille, jotka ovat satunnaismuuttujan arvojen lukuvälejä formula_23. Jos formula_51 , tapahtuman lukuvälissä on ylinumeroituvasti ääretön määrä alkeistapauksia, joiden yhteenlaskettu todennäköisyys on äärellinen. Tällä lukuvälillä formula_23 määritetty tiheysfunktion määrätty integraali onkin todennäköisyyttä merkitsevä numeerinen arvo:
formula_53
Koko tiheysfunktion yli otettu määrätty integraali on aina arvoltaan yksi, eli
formula_54
koska sille välille jäävät kaikki alkeistapaukset.
Kertymäfunktiot.
Kertymäfunktio eli jakaumafunktio formula_55 määritellään siten, ettei määrättyä integrointia enää tarvita todennäköisyyksiä laskettaessa. On olemassa useita erilaisia kertymäfunktion määrittelytapoja. Yleisin on kuitenkin määrittää todennäköisyys tapahtumalle, joka sisältää kaikki alkeistapaukset vasemmalta päin päätearvoon formula_56 asti. Sekä diskreeteille että jatkuville satunnaismuuttujille tämä tarkoittaa 
formula_57
Todennäköisyys tapahtumalle formula_23 on silloin laskettavissa ilman määrättyä integrointia
formula_59
Kertymäfunktiot ovat kasvavia funktioita, jotka saavat vain arvot 
formula_60.
Diskreeteillä satunnaismuuttujilla kertymäfunktiot ovat porrasfunktioita, jotka kasvavat joka "portaalla". Jatkuvien satunnaismuuttujien kertymäfunktiot ovat nimensä mukaisesti jatkuvia, ja niissä diskreettien satunnaismuuttujien kertymäfunktioille ominaista porrasrakennetta ei esiinny. Jos kertymäfunktio on derivoituva, saadaan sen derivaatasta tiheysfunktio
formula_61
Tunnusluvut eli momentit.
Satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumat riippuvat yleensä vain muutamista parametreista, joilla on usein jokin käytännön merkitys. Esimerkiksi monissa jakaumissa tulee tietää vain sen "keskiarvo". Tämä parametri tunnetaan matematiikassa odotusarvona (merkitään formula_62), jotka toisinaan kutsutaan ensimmäiseksi momentiksi. Muita parametrejä voivat olla esimerkiksi varianssi (merkitään formula_63, toinen momentti) tai vinous (kolmas momentti). Jakauman tarvitsemia parametreja on muitakin, mutta ne vaihtelevat jakaumittain.