Alkeistapaus

Alkeistapaus () eli tapaus eli ulostulo () on todennäköisyyslaskennan peruskäsite, joka tarkoittaa satunnaisilmiön tuottamaa tulosta (joskus ei-numeerinen). Esimerkiksi nopanheitossa tiettyä asentoa kutsutaan alkeistapaukseksi. Nopan asennolla on nimi, joka määräytyy ylimmän tahkon "silmien" lukumäärän mukaan, ja se annetaan nopanheiton tulokseksi. Yleisemmin määriteltynä alkeistapaus tarkoittaa minkä tahansa satunnaisilmiön tulosta, joita syntyy aina vain yksi kerrallaan ja jonka arvo ymmärretään aina vain yhdellä tavalla (yksikäsitteisyys). Satunnaisilmiö tuottaa erilaisia alkeistapauksia, joista muodostuvaa joukkoa kutsutaan perusjoukoksi (merkitään usein isolla kirjaimella formula_1, joka lausutaan "oomega"). Perusjoukkoa kutsutaan myös nimillä "otosjoukko", "otosavaruus" tai "tapahtuma-avaruus". Perusjoukko sisältää siis alkeistapausten kaikki mahdolliset arvot. Alkeistapauksiin viitataan usein pienellä "oomegalla" eli formula_2.
Todennäköisyyslaskennassa nimitykset vaihtelevat sen mukaan, onko kyseessä tilastollinen, todennäköisyys- vai matemaattinen tarkastelu. Koska satunnaisilmiön matemaattinen suora käsittely voi olla mahdotonta, jää sille käytettäväksi vain tapausten tilastollinen tai todennäköisyyslaskennallinen analysointi. Tämä ajatus muodostaa todennäköisyyslaskennan perustan.
Esimerkkejä tapauksista.
Diskreetit alkeistapaukset.
Esimerkiksi kolikonheitossa alkeistapauksina voi esiintyä "kruuna" tai "klaava". Vaikka kolikko voi asettua vaikkapa reunallensa, ei tätä asentoa hyväksytä tapaukseksi, vaan kolikon heitto suoritetaan uudelleen. Perusjoukko sisältää siten vain kaksi alkeistapausta eliformula_3
Esimerkiksi tavallisen kuusisivuisen nopan eli arpakuution heitossa kaikki mahdolliset alkeistapaukset ovat formula_4 jos silmäluvut muutetaan ensin luvuiksi. Kortinnostossa korttipakasta, jossa on 52 pelikorttia, jokainen kortti edustaa omaa alkeistapausta. Kortit on merkitty samanaikaisesti kahdella tavalla (maa ja numero), jotka yhdessä muodostavat kortinnostossa alkeistapauksen arvon. Rulettipöydän alkeistapaus taas on tunnus (väri ja numero) siinä lokerossa, johon pallo asettuu.
Kahden kolikon heitossa alkeistapauksiksi ei valita kolikoiden tuloksia erikseen vaan ne yhdistetään pariksi. Koska kumpikin kolikko saa kaksi arvoa, on perusjoukossa formula_5 alkeistapausta, jotka ovat lueteltuina formula_6 Kahden nopan alkeistapaukset saadaan vastaavalla tavalla: formula_7 Alkeistapauksia on tässä tapauksessa yhteensä formula_8. Vaihtoehtojen lukumäärä kasvaa esimerkiksi kortinpeluussa, jossa pelaajien kädessä on aina viisi korttia.
Koska tapausten arvot ovat erillisiä arvoja, kuten kokonaislukuja, kutsutaan niitä diskreeteiksi eli erillisiksi. Diskreettien tapausten perusjoukko voi olla kooltaan äärellinen tai numeroituvasti ääretön.
Jatkuvat alkeistapaukset.
Esimerkiksi ihmisen paino on jatkuva-arvoinen muuttuja, sillä se saa äärettömän määrän arvoja mahdollisten pienimmän ja suurimman arvon välillä. Mahdollisia alkeistapauksia on siis ääretön määrä. Käytännössä vastaavissa tilanteissa alkeistapaukset muutetaan kuitenkin usein diskreeteiksi mittaustarkkuuden rajallisuudesta johtuen. Esimerkiksi ihmisen paino ilmoitetaan usein sadan gramman tai yhden kilogramman tarkkuudella sen sijaan, että ilmoitettaisiin se äärettömän tarkasti. Tällöin kyseessä on siis diskreetti alkeiatapausten joukko.
Muita jatkuvia tapauksia voisivat olla esimerkiksi tikan osumakohta seinällä, malmin pitoisuus kallion tietyssä kohdassa ja ihmisen älykkyysosamäärä. Koska jatkuvat tapaukset voidaan kuvata reaaliluvuilla, on perusjoukon koko ylinumeroituvasti ääretön.
Tapauksien joukot: Tapahtumat.
Yksittäisillä alkeistapauksilla saattaa olla mitätön merkitys, jos niitä on paljon tai ääretön määrä. Käytännön elämän ongelmia voidaan tutkia paremmin monien alkeistapausten muodostamilla joukoilla eli luokilla. Tällaisia joukkoja ovat esimerkiksi ikäluokat, painoluokat tai ylioppilasarvosanat. Todennäköisyyslaskennassa tapausten joukkoja on kutsuttu tapahtumiksi ().
Tapahtumaa, joka sisältää vain yhden tapauksen, kutsutaan alkeistapaukseksi. Jos tapahtuma sisältää kaikki satunnaisilmiön tapaukset, kutsutaan sitä perusjoukoksi. Yksittäinen tapaus voi kuulua useaan eri tapahtumaan. Joukko-opin merkintöjä käyttäen alkeistapaus formula_2 kuuluu tapahtumaan formula_10 merkitään formula_11 
Äärellisen perusjoukon tapauksessa, joka siis sisältää äärellisen määrän tapauksia, jokainen perusjoukon osajoukko muodostaa tapauksen. Joukko-opissa perusjoukon potenssijoukon jokainen alkio on siten tapahtuma. Tämä periaate toimii, vaikka joukko olisi numeroituvasti ääretön. Lähestystapa ei toimi automaattisesti kaikilla ylinumeroituvien perusjoukkojen kohdalla. Kun satunnaisilmiöstä muodostetaan todennäköisyysavaruus, on usein välttämätöntä karsia osa tapahtumista.
Satunnaismuuttuja.
Joskus arvontavälineen tai satunnaisilmiön antama satunnainen tulos halutaan muuttaa numeeriseksi arvoksi. Silloin jokaiselle alkeistapaus liitetään yksikäsitteisellä tavalla lukuarvo käyttämällä funktion kuvausta. Funktion tulos voi olla kokonaisluku tai reaaliluku ja sen arvoalue diskreettis- tai jatkuva-arvoinen tulos. Myös alkeistapauksista muodostettavat tapahtumat voidaan kuvata satunnaismuuttujiksi funktion määrittelyn tai -lausekkeen avulla.
Todennäköisyys.
Alkeistapaukseen liittyvä todennäköisyys.
Satunnaisilmiön alkeistapaus voi esiintyä todennäköisyydellä (merkitään usein formula_12 tai formula_13), joka on nollan ja ykkösen väliltä (rajat mukaan luettuina) eli formula_14. Äärellisessä ja diskreettisessä tilanteessa, jossa perusjoukon koko on äärellinen, perusjoukon kullekin alkeistapaukselle liitetään todennäköisyyden arvo. Diskreetin alkeistapauksen todennäköisyyttä kutsutaan pistetodennäköisyydeksi. Kaikkiin alkeistapauksiin liittyvää todennäköisyystaulukkoa kutsutaan todennäköisyysjakaumaksi.
Jatkuvassa tapauksessa kunkin alkeistapauksen todennäköisyys on aina nolla, sillä alkeistapauksia on ylinumeroituva määrä. Todennäköisyyksiä voidaan siinä tapauksessa liittää vain tapahtumille. Todennäköisyyslaskennan mittateoreettisessä todennäköisyysavaruudessa kaikkien tapahtumien todennäköisyyksiä ei tarvitse tuntea. Riittää, kun tietää perusjoukon potenssijoukon formula_15-algebran (lue "sigma-algebra") muodastavan osajoukon todennäköisyydet siten.
Symmetrian periaate.
Tiettyissä satunnaisilmiöissä voidaan olettaa, että perusjoukon alkeistapaukset esiintyisivät yhtä usein. Tapaukset ovat silloin symmetrisiä ja niihin liitettävät todennäköisyydet ovat keskenään yhtä suuret. Näin menetellään esimerkiksi kolikonheitossa, noppapeleissä ja muiden satunnaisuuteen perustuvien pelien kohdalla. Arpomisvälineet valmistetaan geometrisesti ja fysikaalisesti niin symmetrisiksi, että todennäköisyydet ovat muutaman desimaalin tarkkuudella samat. Näin saadaan diskreettisessä tilanteessa tasainen jakauma. Klassisessa todennäköisyyslaskennassa teorian perustana onkin symmetriset alkeistapaukset.