Juurifunktio

Juurifunktio on muuttujan formula_1 matemaattinen funktio, joka on potenssifunktion erikoistapaus. Se voidaan esittää yleistettynä 
formula_2
missä formula_3 on potenssi ja yksikkömurtoluku formula_4 sen eksponentti. Eksponentissa luku formula_5 kutsutaan myös juuren asteeksi. Yleensä juurifunktiot rajoitetaan asteisiin n = 2, 3, 4, ..., vaikka myös aste n = 1 sopisi ominaisuuksiensa puolesta juurifunktioksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä
formula_6
Juurifunktion ominaisuuksia.
Juurifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli formula_7 laskettavuuden parantamiseksi. Jos juuren aste formula_5 on parillinen, on määrittelyjoukko rajoitettu formula_7, mutta parittomalla asteella käyvät kaikki reaaliluvut. Tästä seuraa kuitenkin eräs yllättävä ongelma kompleksiluvuilla. Esimerkiksi negatiivisten lukujen kuutiojuuren arvon määrityksenä voisi käyttää potenssilaskennan päättelyä, jolla formula_10 On kuitenkin olemassa kolme kompleksilukua, joiden kolmas potenssi on formula_11 formula_12. Jos juurilausekkeen arvoksi kelpuutetaan myös kompleksiluvut, valitaan näistä oletusarvoisesti se, jonka napakulman itseisarvo on pienin ja jos kahden kompleksiluvun napakulmien itseisarvot ovat samat, valitaan näistä positiivinen vaihtoehto. Lukujen formula_13 napakulmat ovat formula_14 vastaavasti ja siksi lausekkeen formula_15 arvoksi valitaan formula_16.
Parillisuus ja parittomuus.
Juurifunktioille, joiden aste on parillinen luku, ei ole mielekästä määrittää parillisuutta ja parittomuutta, koska jo määrittelyjoukko käsittää vain positiiviset reaaliluvut. Sen sijaan parittomilla juurifunktioilla formula_17 formula_18 formula_19 määrittelyjoukkona on kaikki reaaliluvut. Parittomat juurifunktiot ovat parittomia funktioita.
Monotonisuus.
Kaikki juurifunktiot ovat aidosti monotonisia ja vieläpä aidosti kasvavia funktioita.
Käänteisfunktiot.
Juurifunktioiden käänteisfunktiot ovat potenssifunktioita, joiden eksponentit ovat luonnollisia lukuja formula_20. Neliöjuurifunktion formula_21 käänteisfunktio formula_22 on toisen asteen potenssifunktio eli kvadraattinen funktio formula_23 Kuutiojuurifunktion formula_24 käänteisfunktio on formula_25
Yleistäen voidaan todeta, että käänteisfunktiot ovat parillisilla asteilla formula_26
formula_27
ja parittomilla asteilla formula_28
formula_29
Derivointi ja integrointi.
Yleinen potenssien derivaatta, kun formula_30 lasketaan
formula_31 
Kun juurifunktion aste on formula_5, tulee derivaataksi
formula_33 
tai vaihtoehtoisesti
formula_34 
Neliöjuuren derivaatta on siten
formula_35 
ja kuutiojuuren derivaatta
formula_36 
ja neljäsjuuren derivaatta
formula_37 
n-asteisen juurifunktion yleinen integraalifunktio saadaan
formula_38 
eli 
formula_39 
Silloin neliöjuuren integraali on 
 formula_40 
ja kuutiojuuren integraali
 formula_41 
Kompleksiluvut.
Juurifunktioiden määrittelyjoukko voidaan laajentaa koskemaan kompleksilukuja formula_42. De Moivre'n teoreemassa, jossa kompleksiluvun formula_43 reaalilukuinen potenssi formula_44 esitetään polaarisessa muodossa
formula_45 
voidaan vaihtaa potenssi yksikkömurtoluvuksi formula_46
formula_47
kun formula_48 
Neliöjuuri.
Neliöjuurelle formula_49 saadaan kaksi arvoa, kun formula_50 ja formula_51
Ensimmäinen juuri on arvoltaan formula_52
ja toinen formula_53
eli formula_54
Esimerkki neliöjuurella.
Jos lasketaan kompleksiluvun formula_55 neliöjuuri, muutetaan se ensin polaarimuotoon. Modulus on formula_56 ja napakulma formula_57 eli formula_58 Siten formula_59 Neliöjuureksi saadaan sitten kaksi arvoa 
formula_60
formula_61
Kuutiojuuri.
Kuutiojuuri antaa kolme arvoa, kun formula_62
formula_63
Neljäsjuuri.
Neljäs antaa neljä arvoa, kun formula_64
formula_65