Matriisi

Matriisi on matematiikassa suorakulmainen riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko, jonka alkiot ovat lukuja (usein reaali- tai kompleksilukuja) tai lausekkeita. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyyn ja ratkaisemiseen.
Määritelmä.
Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisia, jossa on "m" kappaletta rivejä ja "n" kappaletta sarakkeita kutsutaan "tyypin formula_1 matriisiksi" ja sitä merkitään seuraavalla tavalla:
formula_2
Rivillä "i" ja sarakkeessa "j" olevaa matriisin alkiota merkitään formula_3 tai formula_4. Lävistäjäalkio on alkio, jolla "i=j".
Tavallisia matriiseja.
"Yksikkömatriisi" formula_5 on mielivaltaisen kokoinen neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. formula_6 yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla formula_7. Tällöin pätee formula_8, kun formula_9, ja muuten formula_10.
formula_11
"Nollamatriisi" formula_12 on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.
"Neliömatriisilla" on yhtä monta riviä ja saraketta.
"Lävistäjämatriisi" (engl. "diagonal matrix") on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia. Matriisille formula_13 pätee että formula_14 kun formula_15:
formula_16
1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.
Matriisia, jossa on "m" vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja "n" saraketta, kyseessä on vaakavektori.
Transpoosi ja symmetrisyys.
Matriisin A "transpoosi" (merk. AT) saadaan, kun matriisin sarakkeet vaihdetaan riveiksi tai vastaavasti rivit vaihdetaan sarakkeiksi. Esimerkiksi:
jos formula_17, niin formula_18.
Matriisi on "symmetrinen" jos se on sama kuin transpoosinsa, eli formula_19.
Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa.
Skalaarilla kertominen.
Matriisi formula_20 kerrotaan skalaarilla formula_21 siten, että jokainen formula_22:n alkio kerrotaan skalaarilla c:
formula_23
Yhteenlasku.
Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisien tulee olla saman muotoisia, jotta yhteenlasku on mahdollista.
Matriisien formula_24 ja formula_25 summa on 
formula_26
Kertolasku.
Matriisien kertolaskussa tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakariveistä ja toisen matriisin sarakkeista muodostettujen vektoreiden pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa formula_27 ja B kokoa formula_28. Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa formula_1. Nyt matriisitulo on
formula_30,
missä kukin formula_31 on matriisin A "i":nnestä vaakarivistä muodostettu vektori, ja formula_32 on matriisin B "j":nnestä sarakkeesta muodostettu vektori. On tärkeää huomata, että matriisin A sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.
Esimerkki.
formula_33
formula_34
formula_35
Tärkeimmät laskusäännöt.
Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille formula_36, formula_37 ja formula_38, mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:
Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: formula_52
On huomattava, että "yleisesti" formula_53, so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.
Determinantti.
Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin formula_36 determinantti merkitään:
formula_55
Matriisin formula_22 alimatriisi formula_57 saadaan poistamalla matriisista formula_58:s vaakarivi ja formula_59:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia formula_60 sanotaan alkion formula_3 alideterminantiksi.
Determinantti merkitsee matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. 
Määritelmä.
Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:
Matriisin formula_62 determinantti on
formula_63
,jossa formula_64 on eräs formula_65:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja 
formula_66
Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3...,"n"}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla alkiot 2 ja 3 keskenään.
Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi formula_67 determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:
formula_68
formula_72
formula_73
formula_74
formula_75
Determinantin laskeminen.
Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:
formula_76
,jossa A"ij" on determinantti matriisista, joka saadaan, kun poistetaan A:sta "i":s rivi ja "j":s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.
Esimerkki:
formula_77
Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo formula_78 matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:
formula_79
,jossa vakio "c" määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja formula_80 ovat "A":sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus "c":hen näkyy alla:
"Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa."
Sarrus’n sääntö on eräs tapa 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi.
Alkion komplementti.
määritellään alkion formula_84 komplementti eli kofaktori
formula_85.
Matriisin formula_86 adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään 
formula_87.
Determinantin käyttäminen.
Neliömatriisia formula_22 sanotaan singulaariseksi, jos formula_89. Jos formula_90, matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).
Ei-singulaariselle matriisille formula_22 pätee
formula_92 ja formula_93.
Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.
Matriisit ja lineaarikuvaukset.
Jokaista äärellis­ulotteista lineaarikuvausta formula_94 vastaa tietty formula_1 kokoinen matriisi. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtö­avaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvaus­avaruuden vektorien ulottuvuus. Matriisin kukin sarake osoittaa sen kuvaus­avaruuden vektorin, joksi jokin lähtö­avaruuden kanta­vektoreista kuvautuu. Muut vektorit kuvataan kuvaus­avaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla.
Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos lineaari­kuvauksen matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi.
Lineaariset yhtälöryhmät.
Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on formula_96 ehtoa ja formula_97 tuntematonta muuttujaa, on muotoa:
formula_98
Sama voidaan esittää matriisilla formula_24 ja formula_97-pituisilla vektoreilla formula_101 ja formula_102 lyhyesti muodossa formula_103:
formula_104
Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.
Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys.
Neliömatriisi formula_13 on "säännöllinen" eli "kääntyvä" mikäli on olemassa matriisi formula_106 siten että formula_107 ja formula_108. Muussa tapauksessa matriisi formula_22 on "singulaarinen". Matriisia formula_110 kutsutaan matriisin formula_22 käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla formula_112. Säännölliset formula_6-matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat yhteen- ja kertolaskun suhteen renkaan, jota merkitään formula_114. Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.
Oletetaan, että lineaarisessa yhtälöryhmässä formula_115 on formula_97 ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis formula_22 on formula_6 neliömatriisi. Matriisin formula_13 säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli formula_22 on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori formula_102 mikä hyvänsä. Mikäli formula_22 on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin formula_102 arvosta.
Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on, että matriisi formula_22 on säännöllinen, jos ja vain jos formula_125.
Historia.
Englanninkielisen sanan "Matrix" tässä merkityksessä otti tiettävästi käyttöön matemaatikko James Joseph Sylvester vuonna 1850: 
Sana ( ’kohtu’ &lt; "mater" ’äiti’ ) viittaa siihen, että matriisista voi muodostaa erilaisia determinantteja ”kuin saman vanhemman kohdusta” (”as from the womb of a common parent”).