Riemannin pinta

Matematiikassa Riemannin pinta, nimetty matemaatikko Bernhard Riemannin mukaan, on 1-ulotteinen kompleksimonisto (eli 2-ulotteinen monisto). Riemannin pintojen voidaan ajatella olevan "epämuodostuneita" versioita kompleksitasosta: paikallisesti, jokaisen pisteen ympäristössä, ne näyttävät kompleksitasolta, mutta globaali topologia voi olla hyvinkin erilainen.
Riemannin pinnat ovat kätevä tapa tutkia useita moniarvoisia funktioita, sillä sopivalla Riemannin pinnalla tällaisesta funktiosta voidaan tehdä yksikäsitteinen. Esimerkkejä kyseisistä funktioista ovat neliöjuuri ja logaritmi.
Mille tahansa kompleksitasossa tai sen avoimelle osajoukolle määritellylle analyyttiselle funktiolle f (moniarvoinen tai yksikäsitteinen) on olemassa Riemannin pinnalla määritelty analyyttinen ja yksikäsitteinen funktio g, siten että g vastaa funktiota f tietyin rajoituksin. 
Riemannin pinnat ovat siis hyödyllisiä analyyttisten funktioiden tutkimiseen.
Määritelmä.
Riemannin pinta voidaan määritellä usealla ekvivalentilla tavalla. Tässä muutama:
Esimerkkejä.
Riemannin pinnan konstruktio neliöjuurifunktiolle.
Tämä konstruktio ei ole matemaattisesti kovin eksakti, mutta valottaa ehkä ajatusta Riemannin pintojen takana.
Funktio formula_3 ei ole yksikäsitteinen, vaan se saa jokaisessa pisteessä formula_4 kaksi eri arvoa. Nimittäin jokainen kompleksiluku z voidaan ilmoittaa muodossa formula_5, tällöin
formula_6.
Siispä kun z kulkee yhden kierroksen (r-säteistä ympyrää pitkin) niin formula_7 kulkee vain puolikierrosta.
Neliöjuurifunktiolla on siis kaksi haaraa. Tästä ongelmasta päästään eroon rajoittamalla argumentti esimerkiksi välille formula_8. Jatkuvuudessa kuitenkin ongelma säilyy. Riemannin ajatus oli ottaa niin monta kopioita kompleksitasosta, kuin funktiolla on haaroja. Eli tässä tapauksessa kaksi. Nämä kopiot asetetaan päällekkäin ja leikataan tasot haaroja pitkin (neliöjuuren tapauksessa negatiivista tai positiivista reaaliakselia pitkin). Leikataan siis molemmista tasoista negatiivista reaaliakselia pitkin.
Nyt liimataan ylemmän kompleksitason toisen neljänneksen leikkausreuna alemman kompleksitason kolmannen neljänneksen leikkausreunaan. Liimataan vielä ylemmän kompleksitason kolmannen neljänneksen leikkausreuna alemman tason toisen neljänneksen leikkausreunaan (kuvassa keltaiset reunat liimataan yhteen ja punaiset reunat liimataan yhteen). 
Näin on saatu aikaan pinta, joka itse asiassa on Riemannin pinta. Tällä Riemannin pinnalla voidaan määritellä uusi neliöjuurifunktio, joka on yksikäsitteinen - nyt voidaan nimittäin erottaa ne pisteet toisistaan, joissa neliöjuurifunktio sai kaksi eri arvoa. Eli funktio saakin kaksi eri arvoa kahdessa eri pisteessä. Tämä johtuu siitä, että täyden kierroksen kulkeminen uudella pinnalla vaatii molempien kompleksitasojen kierrosten läpikäymistä. Pisteet voidaan siis erottaa kierrosluvun perusteella (ensimmäinen kierros ja toinen kierros). Mielivaltainen luku formula_4 löytyy molemmilta kompleksitasoilta samasta kohtaa, mutta tässä konstruktiossa ne ovat eri pisteet (sillä ne ovat "eri kerroksessa"). Tarkempi tarkastelu osoittaisi, että neliöjuurifunktio on myös analyyttinen ja siis myös jatkuva tällä Riemannin pinnalla.
Riemannin pintojen luokittelu.
Riemannin pinnat voidaan luokitella kolmeen eri luokkaan: hyperbolisiin, parabolisiin ja elliptisiin Riemannin pintoihin. Geometrisesti nämä vastaavat negatiivista kaarevuutta, nolla kaarevuutta ja positiivista kaarevuutta.
Elliptiset Riemannin pinnat.
Määritelmän mukaan, pinta "X", jonka vakio kaarevuus on +1, on elliptinen. Riemannin pallo C ∪ {∞} on ainoa esimerkki.
Paraboliset Riemannin pinnat.
Määritelmän mukaan nämä ovat ne pinnat "X", joiden vakio kaarevuus on 0. 
Tällöin on kolme mahdollisuutta "X":lle. Se voi olla kompleksitaso, punkteerattu kompleksitaso tai torus
Hyperboliset Riemannin pinnat.
Riemannin pinnat joiden kaarevuus on −1 kutsutaan "hyperbolisiksi". Tämä luokka on isoin näistä kolmesta.