Spatiaalinen autokorrelaatio

Spatiaalinen autokorrelaatio on tilastotieteessä ja todennäköisyyslaskennassa stokastisissa prosesseissa eräs autokorrelaation muoto. Kun prosessin satunnaismuuttujat indeksoidaan avaruuden pisteillä, saadaan satunnaiskenttä, jossa satunnaismuuttujat ovat sidoksissa toisiinsa geometrisesti. Satunnaiskentät ovat siis spatiaalisia stokastisia prosesseja. Satunnaiskentässä satunnaismuuttujien väliset riippuvuudet vaikuttavat merkittävästi niiden yhteisjakaumaan ja siksi riippuvuusfunktiot näyttelevät stokastisten prosessien teoriassa merkittävää osaa. Autokorrelaation tärkein käyttömuoto on hyödyntää tietoa riippuvuudesta kentän tietojen estimoinnissa tai arvojen interpoloinnissa.
Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus.
Maantieteellisissä ilmiöissä mitattavan suureen arvoissa ilmenee usein suurta samankaltaisuutta läheltä toisiaan otetuissa näytteissä ja vähän samankaltaisuutta kaukana toisistaan otetuissa näytteissä. Maantieteilijän Waldo Toblerin ensimmäinen maantieteellinen sääntö sanoo vapaasti suomennettuna, että ”Kaikki riippuu aina kaikesta muusta, mutta lähellä toisiaan olevat riippuvat enemmän kuin kaukana toisistaan olevat”. Niissä ilmiöissä, joita voidaan luontevasti kuvailla suureilla, voidaan riippuvuutta lähestyä matemaattisesti.
Nimenä autokorrelaatio viittaa korreloimiseen itsensä kanssa. Sillä viitataan kentällä mitatun suureen näytteisiin, joiden arvot korreloivat näytteiden välisten etäisyyksien ollessa pienet. Kun tapahtuma tulkitaan todennäköisyyslaskennan välineillä, muuttuu tutkimuskenttä satunnaiskentäksi ja näytteet satunnaismuuttujiksi, joilla on paikkakoordinaatit ja todennäköisyysjakaumiensa tuottamat arvot. Autokorrelaatio tarkoittaa silloin satunnaiskenttän tai stokastisen prosessin sisällä olevien satunnaismuuttujien välisen riippuvuuden astetta. Aikasarjoissa, jotka ovat temporaalisia stokastisia prosesseja, riippuvuus on tavallisesti voimakasta ajallisesti lähekkäisissä satunnaismuuttujissa. Spatiaalinen riippuvuus on tavallisesti voimakasta maantieteellisesti tai avaruudellisesti lähekkäisissä satunnaismuuttujissa.
Riippuvuutta ilmaistaan riippuvuusfunktioilla, joiden muuttujina ovat spatiaallisten pisteiden väliset etäisyydet ja suunnat (etäisyysvektorit formula_1). Korrelogrammi formula_2 ilmaisee korrelaation määrää etäisyysvektorin suhteen, kovarianssifunktio formula_3 kovarianssin suuruutta ja variogrammi formula_4 erotuksen varianssin suuruutta pisteiden välillä.
Autokorrelaation testaaminen.
Vahvassa autokorrelaatiossa näytepisteiden tai sattunnaismuuttujien sijaintien ja näytteiden tai satunnaismuuttujien arvojen välillä on riippuvuussuhde. On yleistä, että esimerkiksi lähellä toisiaan olevissa pisteissä on samansuuruiset arvot. Satunnaisuus heikentää riippuvuuden määrää ja vaikeuttaa riippuvuuden havaitsemista. Onkin olemassa erilaisia testejä sille sisältääkö stokastinen prosessi autokorrelaatiota. Satunnaiskentän autokorrelaatiossa lasketaan eri etäisyyksillä sijaitseville satunnaismuuttujapareille erotukset, kovarianssien tai variogrammien arvot.
Mantel-testi autokorrelaatiolle.
Testissä verrataan avaruudellisesti jakautuneen näyteotoksen etäisyyksiä formula_5 näytteiden arvojen erotuksiin formula_6. Jos etäisyys-erotus-pareilla formula_7 on korkea Pearsonin korrelaatiokerroin, sisältää aineisto autokorrelaatiota. Korrelaatiokerrointa verrataan usein sekoitetun aineiston tuottamaan Pearsonin korrelaatiokertoimeen. Siinä arvot formula_8 irrotetaan etäisyyksistään ja sekoitetaan sattumanvaraisesti. Näyteaineiston ja sekoitettujen aineistojen korrelaatiokerroimien eron tulee olla keskimäärin suuri, jotta autokorrelaatio olisi merkittävä. Erotuksen voi korvata erotuksen neliön puolikkaalla formula_9, joka on variogrammin estimointilauseke.
Moranin I testi autokorrelaatiolle.
Moranin I-testi muistuttaa korrelaatiokertoimen laskemista. Se lasketaan etäisyysluokittain annetun etäisyyden formula_10 lähiympäristössä siten, että painokerroin formula_11 on yksi, kun näyte kuuluu luokkaan, ja nolla, kun se ei kuulu luokkaan. Lopuksi osoittaja jaetaan painokertoimien summalla formula_12 ja näytteiden varianssilla. Funktion laskukaava on 
formula_13
Testi antaa tuloksia väliltä formula_14. Tulokset ovat positiivisia, kun riippuvuus on positiivista eli lähellä toisiaan olevien näytteiden suureen arvot ovat yleensä yhdessä suuria tai yhdessä pieniä. Tulokset ovat negatiivisia, kun riippuvuus on käänteistä eli lähellä toisiaan olevat arvot ovat yleensä erisuuruisia. Toinen näytteistä antaa korkeita arvoja, kun lähellä oleva toinen näyte antaa matalia arvoja. Jos tulos on nolla tai lähellä sitä, ei riippuvuutta eli autokorrelaatiota esiinny.
Muita testejä.
Muitakin testejä on käytössä. Sellaisia ovat esimerkiksi Ripley'n K-testi ja Geary'n c-testi.
Ilmiöitä.
Spatiaalisen autokorrelaation aiheuttavia luonnon- tai yhteiskunnan ilmiöitä on monenlaisia. Alla olevassa luettelossa on tyypillisiä esimerkkejä: