Liittomatriisi

Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin liittomatriisi eli adjungoitu matriisi () on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alku­peräisen matriisin alkiot niiden ali­determi­nanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vasta­luvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi.
Liitto­matriisista käytetään myös nimitystä "adjungoitu matriisi" (), joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konju­gaattista trans­poosia.
Määritelmä.
Matriisin "A" liitto­matriisi on sen kofaktorimatriisin "C" transpoosi:
formula_1.
Yksityiskohtaisemmin: olkoon "R" kommutatiivinen rengas ja A "n"×"n" -matriisi, jonka alkiot kuuluvat "R":ään.
Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [aij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista "A" poistetaan "i":s rivi ja "j":s sarake. Matrisiissa "A" olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestys­numeroiden summa on pariton, korvataan vasta­luvuillaan. Täten saadaan alku­peräisen matriisin "A" kofaktori­matriisi. A:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktori­­matriisin trans­poosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).
Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin A ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alku­peräisen matriisin determinantin arvo det(A). Kun liitto­matriisin adj(A) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alku­peräisen matriisin A käänteismatriisi.
Esimerkkejä.
2 × 2 -matriisin liittomatriisi.
2 × 2 -matriisin
formula_2
liittomatriisi on 
formula_3.
Voidaan helposti todeta, että det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.
3 × 3 -matriisin liittomatriisi.
Käsitellään formula_4 -matriisia
formula_5
Muodostetaan ensin alideterminantit:
&lt;br&gt;
formula_6, 
formula_7, 
formula_8
&lt;br&gt;
formula_9, 
formula_10, 
formula_11
&lt;br&gt;
formula_12, 
formula_13, 
formula_14
&lt;br&gt;
Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi:
formula_15
Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin "A" liittomatriisiksi:
formula_16
missä
formula_17.
Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti:
formula_18
Ominaisuuksia.
Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:
formula_19
formula_20
formula_21
kaikille "n"×"n"-matriiseille A ja B. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(B)adj(A) = 
det(B)B-1 det(A)A-1 = det(AB)(AB)-1. 
Korvaamalla toisella rivillä B matriisilla Am - 1 ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville "m":
formula_22
Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:
formula_23
Lisäksi,
formula_24
formula_25
ja jos det(A) = 1, on det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A. 
Käänteismatriisi.
Laplacen kaavasta "n"×"n" -matriisin A determinantille seuraa:
formula_26
missä formula_27 on "n"×"n" -yksikkömatriisi. 
Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan "R" matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(A) on käänteisalkio renkaassa "R". Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.
Sillä jos A on kääntyvä matriisi, on
formula_28
ja yllä oleva yhtälö (*) osoittaa, että
formula_29
Karakteristinen polynomi.
Jos "p"("t") = det(A − "t" I) on A:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi
"q"("t") = ("p"(0) − "p"("t"))/"t", saadaan:
formula_30
missä luvut formula_31 ovat "p"("t"):n kertoimet,
formula_32
Jacobin kaava.
Liitto­matriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle:
formula_33