Lineaarikuvaus

Matematiikassa ja erityisesti lineaarialgebrassa sanotaan funktion formula_1 olevan lineaarikuvaus, jos se toteuttaa ehdot
jotka voidaan yhdistää yhdeksi riittäväksi ehdoksi 
formula_4,
kun formula_5, formula_6, formula_7 ovat vektoriavaruuksia ja formula_8 on kerroinkunta. Tällöin sanotaan myös, että funktio formula_9 on "lineaarinen". Määritelmän ehdosta 1 seuraa välttämättä, että formula_10. Vektoriavaruudet voivat olla myös kompleksisia.
Lineaarikuvauksen derivaatta on vakio. Tästä seuraa:
formula_11
Lineaarikuvausta merkitään usein isolla L-kirjaimella ja laittamalla sulkuihin vektoriavaruus, jonka alajoukko kyseinen lineaarikuvaus on. Esimerkiksi formula_12, jolloin vektoriavaruus on V.
Lineaarikuvaukset ja matriisit.
Jokainen (äärellisulottuvuinen) lineaarikuvaus formula_13 voidaan esittää formula_14 kokoisena matriisina. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtöavaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvausavaruuden vektorien ulottuvuus. Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi. Vektori kuvataan kuvausavaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla. Esimerkiksi kierto, peilaus ja skaalaus koordinaatistossa ovat lineaarikuvauksia.
Esimerkki lineaarikuvauksesta.
Tarkastellaan kuvausta formula_15. Nyt
eli kuvaus "f" toteuttaa ehdot 1 ja 2 ja on siis lineaarikuvaus. Sen sijaan kuvaus formula_18 antaa tulokseksi
Huomataan, että lineaarikuvauksen ehdot eivät toteudu kuvaukselle "g", eikä se siis ole lineaarinen, vaikka kuvaukset "f" ja "g" ovat hyvin samanlaiset.
Huomataan myös helposti, että ainakin reaalisissa tapauksissa, joissa funktio on kuvaus formula_21 ehdosta 2 seuraa ehto 1. Jos oletetaan ehdon 2 pätevän ja formula_22 (kaikki luvut formula_23 voidaan esittää näin, jos oletetaan, että formula_24 poikkeaa nollasta), saadaan
formula_25
Jos x = 0, niin ehto 1 seuraa yksinkertaisesti
formula_26
Tässä hyödynnettiin ehdosta 2 johdettua tietoa, että nolla-alkio kuvautuu nolla-alkioksi. formula_27.
Lineaarikuvauksen nolla- ja kuva-avaruus.
Lineaarikuvaus formula_28 määrää määrittelyjoukkoonsa nolla-avaruuden eli ytimen
formula_29. 
Jos alkiot formula_30 kuvautuvat kuva-avaruuden nolla-alkioksi, niiden mielivaltainen kombinaatio kuvautuu myös nolla-alkioksi lineaarisuuden aksioomien vuoksi:
formula_31. 
Kyseessä on siis eräs määrittelyjoukon aliavaruus. Kyseessä on algebran ydin-käsitteen erikoistapaus. Samaan tapaan muodostuu kuvauksen kuva-avaruus 
formula_32, jollakin formula_33. 
Kyseessä on taaskin avaruus, koska kahden kuvan mielivaltaiselle kombinaatiolle löytyy ainakin yksi alkukuva, joka on siis vektoriavaruuden formula_34 alkio, jolloin kombinaatio on kuva-avaruuden alkio. Tämä on erikoistapaus kuvaryhmästä. Lineaarikuvauksen ytimen ja kuva-avaruuden dimensioiden välille voidaan osoittaa tärkeä tulos, joka tunnetaan dimensiolauseena:
formula_35 
Toisin sanoen ytimen ja kuva-avaruuden dimensioiden summa on aina yhtä suuri kuin sen vektoriavaruuden dimensio, josta lineaarikuvaus on määritelty.
Lineaariset funktiot, jotka eivät ole lineaarikuvauksia.
Joskus, erityisesti oppikirjoissa käsitteellä lineaarinen funktio tarkoitetaan muotoa formula_36 olevaa yhden reaalimuuttujan reaaliarvoista funktiota, jossa formula_37. Nimitys johtuu siitä, että tällaisen funktion kuvaaja on aina suora eli funktion arvot muuttuvat lineaarisesti. Näin määriteltynä lineaarinen funktio ei ole lineaarikuvaus (vaan affiinikuvaus), paitsi siinä erikoistapauksessa, että formula_38.