Monotoninen funktio

Monotoninen funktio on matematiikassa funktio, jonka arvot pelkästään kasvavat tai vähenevät määrittelyjoukossaan. 
Määritelmästä voidaan erottaa kaksi erillistä tapausta:
Kummatkin tapaukset sisältyvät yleiseen määritelmään "monotonisesta funktiosta". 
Funktio on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä:
Reaaliluvuilla aidosti monotoninen funktio on samalla bijektio määrittelyjoukolta arvojoukolleen. Se ei kuitenkaan välttämättä ole formula_9:n bijektio formula_9:lle, sillä esimerkiksi eksponenttifunktio ex on aidosti kasvava, mutta se ei saa millään reaalilukuarvolla negatiivisia arvoja.
Monotonisuuden tutkiminen.
Määritelmä antaa tyydyttävän perusteen selvittää tavallisen yksiarvoisen funktion monotonisuutta. Käytännössä on kuitenkin mahdotonta todistaa yksittäinen funktio monotoniseksi, koska silloin täytyisi osoittaa kaikille lukupareille formula_11 ja formula_12 määritelmä todeksi. Käytännössä määritelmää käytetään osoittamaan jokin funktion monotonisuus epätodeksi.
Käytännössä monotonisuus osoitetaan erotusosamäärän
formula_13
avulla. Jos formula_14 eli formula_15 kaikille lukupareille formula_11 ja formula_12, niin määritelmän mukaan aidosti kasvavalle funktiolle pätee silloin aina formula_18 eli myös formula_19. Muodostettu erotuksien osamäärä tulee positiiviseksi, jos molemmat erotukset ovat saman merkkiset. Funktio on tällöin aidosti kasvava. Jos erotuksien merkit ovat erit, tulee osamäärä negatiiviseksi ja funktio on aidosti vähenevä.
Erotusosamäärän testaaminen eri lukupareilla ei ole käytännöllistä, vaan erotusosamäärän lauseke muutetaan funktion formula_20 derivaattafunktioksi formula_21 toisen pisteen formula_12 suhteen 
formula_23
tai vaihtamalla merkintöjä niin, että esitetään derivaattafunktion lauseke kohdassa x
formula_24.
Derivaattafunktion formula_25 ominaisuuksia tutkimalla voidaan päätellä monotonisuuden laatua ja vaihtumista. Monotonisuuden voi jaotella derivaattafunktion ominaisuuksien mukaan koko tarkasteluvälillä seuraavasti:
Aito monotonisuus täsmällisesti määriteltynä: derivoituva funktio formula_30 on aidosti kasvava, kun formula_31 ja jos ei ole olemassa väliä, jolla formula_32. Esimerkiksi funktio formula_33 on aidosti kasvava, vaikka sen derivaattafunktio ei ole kaikkialla suurempi kuin 0. Kyseisen funktion derivaatta onkin 0 vain yksittäisessä pisteessä: formula_34. Ja formula_35, kun formula_36. Funktion derivaatta voi siis olla yksittäisissä pisteissä 0 ilman, että formula_30 menettää aidon monotonisuutensa. 
Vastaavasti (derivoituva) funktio on aidosti vähenevä, kun formula_38 ja jos ei ole olemassa väliä, jolla formula_32.
Esimerkkejä monotonisista funktioista.
Aidosti kasvavia alkeisfunktioita koko laajimmassa määrittelyjoukossaan ovat muun muassa muut eksponenttifunktiot (kantaluku &gt; 1), logaritmifunktio, parittomat potenssifunktiot, juurifunktiot, tangenttifunktio ja arcustangenttifunktio.
Aidosti väheneviä alkeisfunktioita ovat muun muassa muut laskevat lineaariset funktiot ja eksponenttifunktiot (0 &lt; kantaluku &lt; 1).
Eksponenttifunktio formula_40 on aidosti kasvava funktio koko reaalilukualueessa. Negatiivisilla x:n arvoilla funktion kasvuvauhti on pieni, mutta positiivisilla arvoilla se kasvaa nopeasti. Eksponenttifunktion derivaattafunktio on myös eksponenttifunktio formula_41, joka on positiivinen eli formula_42 kaikilla x:n arvoilla. Tämä täyttää monotonisuusehdon.
Toisen asteen potenssifunktio formula_43 ei ole monotoninen funktio. Kuvaajasta nähdään, että funktion arvot vähenevät negatiivisilla x:n arvoilla ja kasvavat positiivisilla x:n arvoilla. Jos määrittelyjoukkosta poistettaisiin kaikki negatiiviset luvut, olisi kuvaus 
formula_44
aidosti kasvava funktio. Negatiivisilla arvoilla kuvaus
formula_45
olisi aidosti vähenevä funktio.