Heinen–Borelin lause

Heinen–Borelin lause on metristen avaruuksien topologiaan liittyvä perustulos, joka on tärkeä mm. reaalianalyysissä. Se on nimetty Eduard Heinen ja Émile Borelin mukaan. 
Yksinkertaisimmassa muodossaan lause sanoo, että jos reaalilukujen joukossa jollekin suljetulle välille voidaan muodostaa avoimista väleistä koostuva peite, sillä on äärellinen osapeite.
Lause voidaan yleistää myös useampiulotteisiin euklidisiin avaruuksiin formula_1. Jos "S" on jokin formula_1:n osajoukko, seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:
Lause voidaan edelleen yleistää koskemaan kaikkia metrisiä avaruuksia. Ylimmässä muodossaan lause sanoo:
Todistus avaruudessa R"n".
Kompakti joukko on suljettu.
Olkoon "S" kompakti joukko joka ei ole suljettu. Tällöin on olemassa kasautumispiste "a", joka ei kuulu joukkoon "S". Valitaan peite formula_3, missä jokainen "B"x on pisteen "x" ympäristö, joka on erillinen jostakin pisteen "a" ympäristöstä. Olkoon "C"1 jokin tämän peitteen äärellinen osapeite. Kuitenkin nyt löytyy jokaista formula_4 kohti pisteen "a" ympäristö formula_5, joka ei leikkaa joukkoa "B"x. Näiden ympäristöjen leikkaus formula_6 sisältää pisteen formula_7, mutta formula_8. Siis formula_9 ei ole joukon "S" peite. Tämä on ristiriita ja täten väite on tosi.
Kompakti joukko on rajoitettu.
Valitaan kompaktille joukolle "S" peite formula_10. Tällöin on olemassa äärellinen peite formula_11. Joukon "S" halkaisijaa voidaan arvioida ylöspäin seuraavasti:
formula_12.
Siis "S" on rajoitettu.
Kompaktin joukon suljettu osajoukko on kompakti.
Olkoon "S" kompaktin joukon "T" suljettu osajoukko, jonka komplementti "U" on avoin ja "C" joukon "S" avoin peite. Tällöin peite formula_13 on joukon "T" avoin peite. Kompaktiuden nojalla löytyy joukon "T" peite "C"2, joka on peitteen "C"2 osapeite. Peite formula_14 on peitteen "C" avoin, äärellinen osapeite.
Suljettu ja rajoitettu joukko on kompakti.
Olkoon "S" rajoitettu ja suljettu osajoukko avaruudessa R"n". Nyt "S" on osajoukko jossakin joukosta
 formula_15
Yllä todetun nojalla riittää osoittaa, että "T"0 on kompakti.
Oletetaan, että "T"0 ei ole kompakti. Tällöin on olemassa avoin peite "C", jolla ei ole äärellistä osapeitettä. Jakamalla jokainen sivu kahtia saadaan 2"n" pienempää n- laatikkoa, joista vähintään yhdellä ei ole äärellistä peitteen "C" osapeitettä. Kutsutaan yhtä tällaisista joukoista nimellä "T"1. Vastaavasti laatikon "T"1 sivut voidaan halkaista, mistä saadaan 2"n" pienempää n-laatikkoa, joista yhdellä ei ole äärellistä peitteen "C" osapeitettä. Annetaan tälle joukolle nimi "T"1. Tällä tavalla jatkamalla saadaan jono suljettuja n-laatikoita, joista jokainen sisältyy jonon aikaisempiin jäseniin.
formula_16
Tässä joukon "T""k" sivun pituus lähestyy lukua 0, kun "k" kasvaa rajatta.
Poimitaan joukosta "T"k alkio "x"k kaikilla "k". Tämä jono on Cauchy-jono, joten sillä on raja-arvo "p". 
"p" ∈ "T"k kaikilla "k", koska "T"k on suljettu ja sisältää koko jonon lukuun ottamatta sen ensimmäisiä alkioita.
Koska "C" peittää joukon "T"0, se sisältää avoimen joukon "U", jolle pätee "p" ∈ "U" ∈ "C". Koska "U" on avoin, jokin "p"-keskeinen kuula . Nyt voidaan valita "k" siten että . Tällöin kuitenkin joukolla "T""k" on peitteen "C" äärellinen osapeite formula_17, mikä on ristiriita.
Siten "T" on kompakti, mistä seuraa, että "S" on kompakti, MOT.
Vaihtoehtoinen todistus hoitaisi ensin yksiulotteisen avaruuden jollain toisella menetelmällä. Sitten yleiselle "S" voisi päätellä, että sen jokaisella jonolla olisi osajono, jonka ensimmäiset koordinaatit suppenevat, sillä osajono, jonka toiset koordinaatit suppenevat, jne. Siis "S" olisi jonokompakti, joten "S" olisi kompakti.