Hyperbolinen kulma

Hyperbolinen kulma on matematiikassa hyper­bolisen sektorin suuruutta mittaava suure. Hyper­bolinen kulma liittyy hyperbeliin hieman samaan tapaan kuin tavan­omainen kulma ympyrään.
Hyperbolinen kulma määritellään niin, että se on yhtä suuri kuin hyperbeliin "xy"=1 liittyvän vastaavan sektorin pinta-ala. Tämä hyperbeli on suora­kulmainen, ja sen iso­akselin puolikas on formula_1. Tämä vastaa ana­logisesti sitä, että ympyrässä, jonka säde on formula_1, on sektorin pinta-ala luku­arvoltaan sama kuin sektoria vastaava keskus­kulma.
Hyperbelille formula_3 on olemassa parametriesitys:
missä cosh ja sinh tarkoittavat hyper­bolisia funktiota. Näissä lausekkeissa esiintyvää parametria "t" sanotaan origosta pisteisiin (1, 0) ja ("x", "y") johtavien janojen väliseksi hyperboliseksi kulmaksi.
Määritelmä.
Tarkastellaan suorakulmaista hyperbeliä formula_6 eli pisteiden formula_7 uraa, ja kiinnitetään huomiota erityisesti hyperbelin siihen osaan, jossa formula_8.
Määritellään ensin:
Tällöin voidaan todeta:
Lopuksi hyperbolisen kulman määritelmää voidaan laajentaa hyperbelin kaikkiin osiin. Olkoot formula_14 sellaisia positiivisia reaalilukuja, että formula_15 ja formula_16, jolloin formula_17 ja formula_18 ovat hyperbelin formula_19 pisteitä ja määrittävät sille tietyn välin. Silloin kuvaus formula_20, joka venyttää tai kutistaa kuviota "x"- tai "y"-akselin suunnassa, kuvaa kulman formula_21 "perusasemassa" olevalle kulmalle formula_22. Gregoire de Saint-Vincent todisti aikoinaan, että näiden kulmien määrittelemien hyperbolisten sektorien pinta-alat ovat yhtä suuret, ja tätä pinta-alaa sanotaan vastaavan hyperbolisen kulman suuruudeksi. Se on yhtä suuri kuin formula_23.
Tämä hyperbolinen kulma ei kuitenkaan ole sama kuin origosta pisteisiin (1, 0) ja ("x", "y") = formula_24 piirrettyjen janojen välinen tavanomaisella tavalla mitattu eli "sirkulaarinen" kulma. Sen sijaan jos tämä hyperbolinen kulma on "t", on näiden janojen välinen tavanomaisesti mitattu kulma (radiaaneina) formula_25, ja kääntäen, jos tavanomaisesti mitattu kulma on formula_26, on näiden janojen välinen hyperbolinen kulma formula_27.
Hyperbolinen ja sirkulaarinen kulma.
Yksikköympyrään formula_28 liittyy ympyräsektori, jonka pinta-ala on puolet vastaavan keskuskulman suuruudesta radiaaneina. Vastaavasti hyperbeliin formula_29 liittyy hyperbolinen sektori, jonka pinta-ala on puolet hyperbolisesta kulmasta.
Projektiivisessa geometriassa ympyrän ja hyperbelin välille löytyy yhteys, sillä molemmat ovat kartioleikkauksia. Jos jommastakummasta valitaan yksi piste, muut pisteet vastaavat kulmia. Tieteellisesti keskeinen kulmien yhteenlaskua vastaamaan asetetaan seuraavalla tavalla määritelty pisteiden yhteenlasku:
Sirkulaarisia kulmia luonnehtii geometrisesti se seikka, että jos yksikköympyrään piirretään pisteestä "P"0 = (1,0) alkavat jänteet "P"0"P"1 ja "P"0"P"2, joita vastaavat keskuskulmat ovat "L"1 ja "L"2, näiden summa "L"1 + "L"2 on erään sellaisen jänteen "P0Q" keskuskulma, jota vastaava jana "P0Q" on yhdensuuntainen janan "P"1"P"2 kanssa.
Hyperbelillä on vastaava ominaisuus. Jos määritellään, että "P"0 = (1, 1), "P"1 = ("x"1, 1/"x"1/ ja "P"2 = ("x"1, 1/"x"1/), yhdensuuntaisuusehto edellyttää, että "Q" on piste ("x"1"x"2, 1/"x"11/"x"2)}}. Tämän vuoksi on mielekästä määritellä origosta pisteeseen (1,1) ja mielivaltaiseen hyperbelillä olevaan pisteeseen ("x", "y") välinen "hyperbolinen kulma" tämän pisteen "x"-arvon logaritmisena funktiona./
Euklidisen geometrian mukaan liikuttaessa tasaisella nopeudella siten, että liikkeen suunta on aina kohtisuorassa origosta kulloinkin sijaintipisteeseen piirrettyyn säteeseen nähden, muodostuu liikerata ympyräksi. Sen sijaan pseudoeuklidisesssa avaruudessa vastaavalla tavalla liikuttaessa muodostuu ratakäyräksi hyperbeli. In Euclidean space, the multiple of a given angle traces equal distances around a circle while it traces exponential distances upon the hyperbolic line.
Sekä sirkulaarinen että hyperbolinen kulma ovat esimerkkejä invarianteista mitoista. Ympyrän kaaret, joita vastaa tietyn suuruinen keskuskulma, määrittelevät mitan eräille ympyrän kehällä muodostetuille mitallisille joukoille, eikä tämä mitta muutu ympyrän kääntyessä tai kiertyessä. Hyperbelilla tätä kääntymistä vastaa "puristava kuvaus", ja hyperbolisen kulman suuruus pysyy ennallaan, kun tasoa "puristetaan" kuvauksella
("x", "y") ↦ ("rx", "y" / "r"), missä "r" &gt; 0 .
Yhteys Minkowskin viiva-alkioon.
Hyperbolisen kulman ja suhteellisuus­teoreettisen Minkowski-avaruuden metriikan välillä on mielen­kiintoinen yhteys. Samaan tapaan kuin kaksiulotteisessa euklidisessa geometriassa viiva-alkion pituus on 
formula_30
vastaava pituus Minkowski-avaruudessa on
formula_31
Käsitellään kaksiulotteisella euklidisella tasolla käyrää
formula_32,
missä parametri formula_33 on reaaliluku, joka saa kaikki arvot formula_34:n ja formula_35:n väliltä (formula_36
Yhtälö formula_28 määrittelee yksikköympyrän, jolla on myös yksiparametrinen esitys formula_38 ja formula_39. Rajaoittumalla väliin formula_40 saadaan kaaren pituudeksi formula_41. Jos suoritetaan muutoin sama toimenpide mutta korvataan euklidinen janaelementti Minkowskin janaelementillä, 
formula_42
ja määritellään yksikköhyperbeliksi yhtälön formula_43 kuvaaja, jolla on myös parametriesitys formula_44 ja formula_45 sekä rajoittutaan tarkastelemaan väliä formula_46 (hyperbolista kulmaa), todetaan, että formula_47. Toisin sanoen tämä osoittaa juuri sen, että samoin kuin (sirkulaarinen) kulma voidaan määritellä yksikköympyrän kaaren pituutena euklidisessa metriikassa, voidaan hyperbolinen kulma määritellä yksikköhyperbelin kaaren Minkowskin metriikan mukaisena pituutena.
Historia.
Hyperbelin neliöimisellä tarkoitetaan hyperbolisen sektorin pinta-alan määrittämistä. Voidaan osoittaa, että se on yhtä suuri kuin hyperbelin ja sen asymptootin välisen vastaavan alueen pinta-ala. Sen onnistui ensimmäisenä määrittämään Gregoire de Saint-Vincent vuonna 1647 teoksessaan "Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni". Kuten eräs historioitsija myöhemmin asian ilmaisi, Saint-Vincent neliöi hyperbelin ja sen asymptoottien välisen alueen ja totesi, että tämän alueen pinta-ala kasvoi aritmeettisen sarjan mukaan samalla kun abskissa kasvoi geometrisen sarjan mukaan.
A. A. de Sarasa määritteli luonnollisen logaritmin hyperbelin avulla. Tämän määritelmän mukaan luvun "a" luonnollinen eli "hyperbolinen logaritmi" on hyperberlin formula_48, x-akselin sekä suorien "x"=1 ja "x"="a" välisen alueen pinta-ala. Tämä funktio, joka on tunnetuimpia esimerkkejä transkendenttisesta funktiosta, voidaan kuitenkin yhtäpitävästi määritellä toisinkin, nimittäin eksponenttifunktion formula_49 käänteisfunktiona. Hyperbolisella kulmalla on kuitenkin keskeinen merkitys, kun Saint-Vincentin lauseen pohjalta on kehitetty puristuskuvausten teoria.
Ympyrän trigonometrian yleisti hyperbelille Augustus De Morgan vuonna 1849 laatimassaan oppikirjassa "Trigonometry and Double Algebra". Vuonna 1878 W. K. Clifford parametrisoi hyperbolisen kulman avulla yksikköhyperbelin kuvaillen sitä kvasiharmonisena liikkeenä. 
Vuonna 1894 Alexander Macfarlane julkaisi teoksessaan "Papers on Space Analysis" tutkielman "The Imaginary of Algebra", jossa hän generoi hyperbolisten kulmien avulla hyperboliset versorit. Seuraavana vuonna Bulletin of the American Mathematical Society julkaisi Mellen W. Haskelin tutkielman hyperbolisista funktioista.
Vuonna 1914 laatimassaan suhteellisuusteorian oppikirjassa Ludwik Silberstein käytti rapiditeetin käsittettä ja osoittin sen yhteyden hyperbolisen avaruuden kolmioihin. Rapiditeetti määriteltiin hyperbolisena kulmana formula_50, toisin sanoen kappaleen nopeuden ja valon­nopeuden suhteen hyperbolisena tangenttina. Hän kirjoitti:
"On syytä huomauttaa, että rapiditeetin arvo 1 vastaa jo huimaa nopeutta, noin kolmea neljäsosaa valonnopeudesta; tarkemmin sanottuna "v" = 0,7616"c", kun"a"=1."
"Niinpä rapiditeetti "a"=1 merkitsee nopeutta 0,76 "c", mikä on hieman suurempi kuin valon nopeus vedessä."
Silberstein käytti myös Nikolai Lobatševskin esittämää parallelismikulman käsitettä Π("a"), jolla saatiin formula_51.
Hyperbolinen kulma imaginaarisena kulmana.
Hyperbolinen kulma esitetään usein ikään kuin se olisi imaginaariluku. Jos "x" on mikä tahansa reaaliluku, pätee trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä yhteys
formula_52,
joten hyperboliset funktiot cosh ja sinh voidaan esittää sirkulaaristen, trigonometristen funktioiden avulla. Nämä yhteydet eivät kuitenkaan suoranaisesti ilmene ympyrässä tai rotaatiossa, mitenkään, vaan ne on paremmin ymmärrettävissä päättymättömien sarjojen käsittein. Erityisesti eksponenttifunktiota (formula_53 ) esittävä sarja muodostuu parillisista ja parittomista termeistä, joista edelliset muodostavat hyperbolisen kosinifunktion (formula_54), jälkimmäiset hyperbolisen sinifunktion (formula_55). Kosinia vastaava päättymätön sarja voidaan muodostaa funktion cosh sarjasta korvaamalla sen joka toinen termi vasta­luvullaan eli muuttamalla se vuorottelevaksi, ja vastaavalla tavalla saadaan sinifunktion sarja funktion sinh sarjasta. Tämä voidaan tehdä kertomalla sarjan jokainen termi vuorottelutekijällä (−1)"n". Edellä olevat funktioiden väliset yhteydet saadaan korvaamalla tämä vuorottelutekijä imaginaari­yksiköllä "i", jolloin saadaan palautetuksi eksponentti­funktion sarjan molemmat osasarjat. Kuitenkin holomorfisten funktioiden teoriassa hyperbolisia sini- ja kosinifunktioita käsitellään kompleksisina sini- ja kosinifunktioina.