Hyperbolinen sektori

Hyperbolinen sektori on karteesisen tason formula_1 alue, jota rajoittavat origosta pisteisiin ("a", 1/"a") ja ""b", 1/"b") piirretyt janat sekä hyperbeli "xy" = 1 tai muu sen kanssa yhdenmuotoinen hyperbeli, jonka asymptootit leikkaavat toisensa kohtisuorasti origossa (esimerkiksi yksikköhyperbeli formula_2. Hyperbolisen sanotaan olevan "perusasemassaan", kun sitä rajoittavat hyperbeli "xy"=1 ja kun "a"=1 ja "b" &gt; 1.
Hyperbolisiin sektoreihin perustuvat hyperboliset funktiot.
Pinta-ala.
Perusasemassa olevan hyperbolisen sektorin pinta-ala on "b":n luonnollinen logaritmi ln "b".
Tämä voidaan todistaa integroimalla funktio 1/"x" välin [1, "b"] yli, lisäämällä integraaliin kolmion {(0,0), (1,0, (1,1)} pinta-ala ja vähentämällä kolmion {(0,0, ("b",0), "b",1/"b")} pinta-ala.
Perusasemassa oleva hyperbolinen sektori vastaa origoon asetettua hyperbolista kulmaa, jonka suuruus määritellään vastaavan hyperbolisen sektorin pinta-alana.
Hyperbolinen kolmio.
Perusasemassa olevaa hyperboliseen sektoriin liittyy "hyperbolinen kolmio". Se on suorakulmainen kolmio, jonka yksi kärki on origossa, toinen kateetti suoralla "y" = "x" ja kolmas kärki hyperbelillä 
formula_3
jolloin sen hypotenuusa on orgiosta hyperbelillä olevaan pisteeseen ("x","y") johtava jana. Tämän kolmion kanta eli suoralla "y"="x" olevan kateetin pituus on 
formula_4
ja sen korkeus
formula_5 
missä "u" on kolmioon liittyvä hyperbolinen kulma.
Trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välistä analogiaa käsitteli Augustus De Morgan teoksessaan "Trigonometry and Double Algebra" vuodelta 1849. William Burnside käytti hyperbolisia kolmioita projisoidessaan hyperbelillä "xy" olevan pisteen päädiagonaalille artikkelissaan "Note on the addition theorem for hyperbolic functions".
Hyperbolinen logaritmi.
Tunnetusti funktiolla f("x") = "x""p" on algebrallinen integraalifunktio 
formula_6,
paitsi tapauksessa "p" = -1, joka vastaa hyperbelin rajoittaman alueen neliöimistä. Paraabelin rajoittaman alueen pinta-alan osasi määrittää jo Arkhimedes 200-luvulla eKr. tutkielmassaan "Paraabelin neliöimisestä" (), mutta hyperbelin rajoittamien alueiden pinta-alan onnistui määrittämään vasta Gregoire de Saint-Vincent vuonna 1647 keksittyään uuden funktion, luonnollisen logaritmin, jota hän nimitti "hyperboliseksi logaritmiksi", koska siihen päädyttiin määritettäessä hyperbelin alle jäävän alueen pinta-ala.
Ennen kuin Leonhard Euler vuonna 1748 julkaisi tutkielmansa "Johdatus äärettömän analyysiin" (), luonnollinen logaritmi tunnettiin lähinnä vain hyperbolisen sektorin pinta-alaan liittyvänä funktiona. Euler muutti tilanteen ottamalla käyttöön sen tyyppiset transkendenttiset funktiot kuin 10x. Euler määritteli Neperin luvun "e" siksi "b":n arvoksi, jolla x-akselin, suorien "y"=1 ja "y"="b" sekä hyperberlin "y"=1/"x" välisen alueen pinta-ala on 1. Tämän jälkeen luonnollinen logaritmi voitiin tunnistaa transkendenttisen funktion "e""x" käänteisfunktioksi.
Yhteys hyperboliseen geometriaan.
Kun Felix Klein vuonna 1928 kirjoitti epäeuklidista geometriaa käsittelevän teoksensa, hän muodosti aiheelle perustan viittamaalla projektiiviseen geometriaan. Muodostaakseen suoralle hyperbolisen mitan hän huomautti, että hyperbolisen sektorin pinta-ala tarjosi sille havainnollisen mallin.
Hyperbolisia sektoreita voidaan piirtää myös liittyen hyperbeliin formula_7. Näiden hyperbolisten sektoreiden pinta-alojen avulla on eräissä geometrian oppikirjoissa määritelty "hyperbolinen etäisyys".