Suunnattu derivaatta

Suunnattu derivaatta on matematiikassa usean muuttujan funktion derivaatta annetun vektorin suunnassa ja annetussa kohdassa. Muutosnopeuden suuruus voidaan parhaiten arvioida derivaatan avulla, joka määritellään niin, että tarkastelun suunta tulee huomioiduksi. Usean muuttujan funktion arvojen muutosnopeus muuttuu siirryttäessä eri suuntiin. Siksi erotukseksi yhden muuttujan funktioista, joilla on jokaisessa kohdassa yksi derivaatan arvo, usean muuttujan suunnatulla derivaatalla on jokaisessa pisteessä ääretön määrä derivaatan arvoja, jotka riippuvat tarkastelusuunnasta. Suunnatulla derivaatalla on sovelluksia enimmäkseen tieteen ja tekniikan aloilla.
Yhden muuttujan reaalifunktiolla suunnattua derivaattaa vastaa "toispuoleinen derivaatta", joka voidaan ottaa vasemmalta tai oikealta puolelta tarkastelupistettä.
Johdanto.
Esimerkki.
Yksinkertaisin usean muuttujan funktio on kahden muuttujan funktio formula_1 Funktion muuttujia on tapana esittää joko koordinaattipareina tai kaksipaikkaisina vektoreina, joita kutsutaan pisteiksi. Funktion määrittelyjoukko on usein osajoukko formula_2-koordinaatiston pisteistä. Funktion arvot lasketaan jokaiselle koordinaatiston pisteelle formula_3 erikseen ja kuvataan usein lisäämällä koordinaatistoon formula_4-ulottuvuus funktion arvoja varten. Silloin funktion käyttäytymistä voidaan esittää yhtälön formula_5 avulla.
Esimerkkinä käytetään funktiota formula_6 joka on aina positiivinen lukuun ottamatta yhtä nollakohtaa origossa formula_7. Valitaan piste formula_8, joka sijaitsee oheisen kuvaajan määrittelyalueen nurkkauksessa taka-vasemmalla, ja jossa funktio saa arvokseen formula_9 Kuvaajasta päätellään, että funktiota esittävä pinta muistuttaa pullistunutta pussia, joka on sekä formula_10- että formula_11-akselin suhteen symmetrinen. Koska molemmat symmetriat ovat yhtä aikaa voimassa, on kuvaaja samalla formula_4-akselin suhteen symmetrinen ja muodostaa pyörähdyskappaleen pinnan. Pisteen formula_8 kohdalla on pinnan formula_4-koordinaatti formula_15 Piirtämällä yhtälön formula_16 kuvaaja formula_2-koordinaatistoon, muodostuu siihen ympyrä, jonka säde on formula_18 ja keskipisteenä origo. Koska tämän käyrän pisteissä formula_3 funktio saa aina saman arvon formula_20, kutsutaan sitä tasa-arvokäyräksi. Tasa-arvokäyrillä saa funktion arvoista tarkan kuvan, jos käyrät nimikoidaan niiden arviolla.
Funktion arvojen muutosnopeus näkyy formula_21-koordinaatistossa pinnan jyrkkyytenä. Jyrkkyys vaihtelee kuitenkin eri suunnissa. Jos vertaa funktion arvoja tasa-arvokäyrän suunnassa, on funktion arvon muutos nolla. Suurin muutosnopeus on origosta poispäin olevissa suunnissa (gradientti) ja pienin (negatiivinen) origoon päin olevissa suunnissa. Juuri tässä mielessä suunnattu derivaatta on tarpeellinen käsite, kun funktion muutosherkkyyttä eli derivaattaa määritellään eri suunnissa.
Käytännöllinen keino määrittää suunnattu derivaatta on laskea ensin gradientti. Gradientti on vektori, jonka arvo eli pituus on funktion suurin muutosnopeus kyseisessä pisteessä. Vektori myös osoittaa siihen suuntaan, missä muutosnopeus on suurimmillaan. Piirretään samaan pisteeseen suora, joka kulkee samaan suuntaan kuin suunnattu derivaatta tullaan määrittämään. Gradientin projektio tälle suoralle antaa sunnatun derivaatan arvon projektivektorin pituutena. Se voidaan laskea ottamalla gradientin arvosta kosini suoran ja gradientin välisestä kulmasta.
Esimerkkifunktion gradienttivektori lasketaan osittaisderivaatan avulla 
formula_22
jolloin vektorin arvoksi tulee formula_23 Valitaan derivaatan suunnaksi yksikkövektori formula_24, jolloin suunnatun derivaatan formula_25 arvoksi saadaan vektorien pistetulon avulla formula_26
eli 
 formula_27
Merkintöjä.
Suunnattu derivaatta merkitään monella eri tavalla. Pisteessä formula_28 ja suunnassa formula_29 määritetty funktion formula_30 suunnattu derivaatta voidaan merkitä seuraavilla tavoilla:
formula_31
missä merkityt kertolaskut ovat vektorien pistetuloja.
Määritelmä.
Usean muuttujan funktion formula_32 määrittelyjoukko voidaan ajatella koostuvan usean muuttujan pisteistä tai vektoreista formula_33 , jolloin merkitään formula_34 (lihavoidut suureet ovat pisteitä ja vektoreita). Kun halutaan laskea funktion arvoja pisteessä formula_35, joka sijaitsee pisteestä formula_36 lähtevän yksikkövektorin formula_37 suunnassa, kirjoitetaan formula_38 missä formula_39. Funktion arvojen muutosnopeus pisteen formula_40 ympäristössä ja suunnassa formula_41 muodostetaan erotusosamäärän avulla, jonka raja-arvona saadaan haluttu derivaatta
formula_42 
Yhteys gradienttiin.
Funktion gradientti formula_43 (lue "nabla f") on vektori, joka osoittaa kussakin pisteessä formula_44 siihen suuntaan, missä funktion suunnattu derivaatta formula_45 saa suurimman arvonsa. Silloin suunnatun derivaatan arvo on yhtä suuri kuin gradientin itseisarvo eli formula_46. Suunnattu derivaatta voidaan laskea yksikkövektorin ja gradientin vektorien pistetulon avulla 
formula_47
missä formula_48 on yksikkövektorin ja gradientin välinen kulma. Gradienttia käyttämällä saadaan helpoin tapa määrittää suunnatun derivaatan arvo.
Gradientti lasketaan ottamalla funktiosta osittaisderivaatat kunkin muuttujan suhteen erikseen ja järjestämällä tulokset muuttujien mukaiseen järjestykseen vektoriksi 
formula_49 
Ominaisuuksia.
Suunnatun derivaatan ominaisuuksia, kun derivaatta on otettu suunnassa formula_50:
Funktioiden summa: 
formula_51
Vakiovektorin sääntö: 
formula_52
Funktioiden tulon sääntö: 
formula_53
Ketjusääntö: Jos "g" on differentioituva pisteessä p and "h" on differentioituva pisteessä "g"(p), silloin
formula_54
Toispuoleiset suunnatut derivaatat.
Toispuoleiset derivaatat funktiolle formula_55 suunnassa formula_56, missä formula_57, voidaan määritellä 
formula_58
formula_59
Suunnattu derivaatta suunnassa formula_60 on olemassa, kun toispuoleiset suunnatut derivaatat formula_61 ja formula_62 ovat samanarvoiset. Tällöin pätee 
formula_63