Dualiteetti (matematiikka)

Dualiteetti muuntaa matematiikassa käsitteet, lauseet tai matemaattiset rakenteet toisiksi käsitteiksi, lauseiksi tai rakenteiksi yksi-yhteen, involuutio-operaation avulla. Tämä merkitsee, että jos A:n duaali on B, niin B:n duaali on A.. Tällaisilla involuutioilla on joskus kiintopiste (tai useita) eli objekti A, jonka duaali on A.
Olion duaalia ajatellaan joskus olion peilikuvana (abstraktissa merkityksessä). Duaalisia käsitteitä on myös verrattu saman kolikon kahteen puoleen.
Kategoriateorian näkökulmasta dualiteettia voidaan pitää myös funktorina, ainakin vektoriavaruuksien maailmassa.
Johdantoesimerkkejä.
Osajoukon komplementti.
Yksinkertainen dualiteetti syntyy tarkastelemalla kiinteän joukon S osajoukkoja. Minkä tahansa osajoukon A ⊂ S komplementti formula_1 koostuu kaikista niistä S:n alkioista, jotka eivät sisälly joukkoon A. Se on jälleen S:n osajoukko. Komplementin ottamisella on seuraavat ominaisuudet:
Tämä dualiteetti ilmenee topologiassa dualiteettina jonkin kiinteän topologisen avaruuden X avoimen ja suljetun osajoukon välillä: joukon X osajoukko U on suljettu, jos ja vain jos sen komplementti X :ssä on avoin. Tästä johtuen monet lauseet suljetuista joukoista ovat duaalisia avoimista joukoista tehtyjen lauseiden kanssa. Esimerkiksi mikä tahansa avointen joukkojen yhdiste on avoin, joten duaalisesti mikä tahansa suljettujen joukkojen leikkaus on suljettu. Joukon sisäjoukko on sen sisältämä suurin avoin joukko, ja joukon sulkeuma on pienin sen sisältävä suljettu joukko. Dualiteetin vuoksi minkä tahansa joukon U sisäjoukon komplementti on yhtä suuri kuin joukon U komplementin sulkeuma.
Tunnetun esimerkin dualiteetista muodostavat projektiivisen tason pisteet ja suorat. Dualiteettiperiaatteen mukaa jokaista projektiivisen geometrian lausetta vastaa duaalilause, jossa sanat piste ja suora on vaihdettu keskenään ja tehty tarvittavat kieliopilliset muutokset. Esimerkiksi lauseet "kahden pisteen kautta kulkee vain yksi suora" ja "kaksi suoraa leikkaa toisensa vain yhdessä pisteessä" ovat toistensa duaalilauseita.
Duaaliavaruus.
Algebrallinen duaali.
Vektoriavaruuden formula_6 (algebrallinen) duaaliavaruus on formula_7. Sen alkiot ovat kaikki lineaariset funktionaalit formula_8, missä formula_9 on se (skalaari)kunta jonka yli avaruus formula_6 on määritelty (esim. formula_11 tai formula_12). 
Myös formula_7 on vektoriavaruus saman kunnan yli. Sen alkioiden summa ja skalaaritulo määritellään pisteittäin. Esimerkiksi vektorien formula_14 summa formula_15 määritellään näin: formula_16 kaikilla formula_17.
Topologinen duaali eli jatkuva duaali.
Usein duaaliavaruudella tarkoitetaan kuitenkin topologista duaalia eli jatkuvaa duaalia formula_18.
Se tarkoittaa niitä algebrallisen duaalin alkioita, jotka ovat jatkuvia. Se on siis jatkuvien lineaaristen funktioiden joukko (vektoriavaruus). Merkintöjä formula_18 ja formula_7 voidaan käyttää kummasta tahansa eri teksteissä.
Topologinen duaali on tietysti määritelty vain silloin, kun formula_6 ja formula_9 ovat topologisia avaruuksia, koska muuten jatkuvuutta ei ole määritelty.
Duaalin ja primaalin heikot topologiat.
Joskus vektoriavaruudessa käytetään heikkoa topologiaa eli (jommankumman) duaalin indusoimaa topologiaa. Tämä on heikoin topologia, jossa kaikki kyseisen duaalin alkiot ovat jatkuvia. Tällöinkin pitää siis tietää, kummasta duaalista puhutaan.
Vastaavasti joskus duaaliavaruudessa käytetään heikko-*-topologiaa eli avaruuden formula_6 siihen indusoimaa topologiaa.
Ominaisuuksia.
Jotkin avaruudesta formula_24 tutut ominaisuudet pätevät kaikille vektoriavaruuksille. Esimerkiksi:
Duaalin duaali (eli biduaali) formula_25 on myös vektoriavaruus. Primaalin alkio formula_26 on tapana samaistaa biduaalin alkioon formula_27, joka määritellään formula_28 kaikilla formula_29. Tämä samaistuskuvaus formula_30 on lineaarinen ja injektiivinen eli (vektori)isomorfismi omalle kuvalleen formula_31. Jos "V" on Hilbertin avaruus (esimerkiksi formula_32) ja duaalilla tarkoitetaan jatkuvaa duaalia, se kuva on koko formula_25.
Lineaarikuvaus formula_34 määrittää toisen lineaarikuvauksen formula_35
kaavalla formula_36 jokaiselle duaalin formula_37 alkiolle formula_38.
Siis kun formula_39, selvästikin formula_40.
Jos formula_38 ja "L" ovat jatkuvia, selvästi myös formula_42 on jatkuva.