Perusryhmä

Perusryhmä on algebrallisen topologian käsite, jonka avulla topologisia avaruuksia voidaan tutkia ryhmäteoreettisesti.
Kansantajuinen selitys.
Perusryhmän avulla voidaan vertailla topologisia avaruuksia. Tavallisista vektoriavaruuksista poiketen topologiset avaruudet voivat olla kaareutuneita, epäyhtenäisiä tai niissä voi olla reikiä.
Käytännössä avaruudesta valitaan piste, jonka ympärille muodostetaan silmukoita. Silmukoita voi havainnollistaa venyvien köysien avulla. Jos kaksi silmukkaa voidaan venyttää toisikseen, niin niitä pidetään tässä tapauksessa samanlaisina. Perusryhmä on erilaisten silmukoiden ryhmä. Esimerkiksi silmukkaa, joka kulkee avaruudessa olevan reiän ympäri ei voida venyttää sellaiseksi silmukaksi, joka ei kulje reiän ympäri. Siksi reiättömän avaruuden perusryhmä on aina eri kuin reiällisen avaruuden perusryhmä.
Määritelmä.
Perusryhmän tavallisin määritelmä pohjautuu vahvasti homotopian käsitteelle. Sen avulla voidaan täsmällisesti ilmaista, miten kaksi silmukkaa voidaan muuttaa toisikseen.
Polkuhomotopia ja silmukkajoukko.
Jatkossa formula_1 tarkoittaa yksikköväliä.
"Homotopian määritelmä:" Topologisien avaruuksien formula_2 ja formula_3 väliset jatkuvat kuvaukset formula_4 ovat "homotooppiset", jos on olemassa jatkuva kuvaus
formula_5
jolle formula_6 ja formula_7. Homotopiaa merkitään formula_8.
"Suhteellisen homotopian määritelmä:" Kuvaukset formula_4 ovat homotooppiset joukon formula_10 suhteen, jos on olemassa homotopia formula_8, jonka rajoittumalle on voimassa formula_12 kaikilla formula_13. Tätä merkitään formula_14.
"Polkuhomotopian määritelmä:" Polut formula_15 ovat polkuhomotooppiset, jos on olemassa homotopia formula_16 polkujen päätepisteiden formula_17 ja formula_18 suhteen eli formula_19. Tätä merkitään formula_20.
"Silmukkajoukon määritelmä:" Polkua formula_21, jonka alku- ja loppupisteet ovat samat, eli jolle pätee formula_22, kutsutaan "silmukaksi" ja kantapisteavaruuden formula_23 joukkoa
formula_24
kutsutaan "silmukkajoukoksi".
Perusryhmä.
Koska polkuhomotopia on ekvivalenssirelaatio, niin perusryhmä voidaan määritellä yksikäsitteisesti tekijäjoukon avulla.
"Perusryhmän määritelmä:" Olkoon formula_25 silmukkajoukko. Siitä muodostettua tekijäjoukkoa
formula_26
jossa formula_27 on polkuhomotopian määräämä ekvivalenssirelaatio, kutsutaan nimellä "perusryhmä" eli "ensimmäinen homotopiaryhmä".
Eräiden avaruuksien perusryhmiä.
Ympyrä.
Ympyrän perusryhmä koostuu silmukoiden luokista. Luokat määräytyvät kierrettyjen kierrosten lukumäärän ja suunnan perusteella.
Voidaan osoittaa, että ympyrän perusryhmä on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän kanssa, jonka laskutoimituksena on yhteenlasku. Tällöin vaikkapa kolmesti vastapäivään menevän silmukan ja viidesti myötäpäivään menevän silmukan yhdiste vastaa yhteenlaskua formula_28 eli tulos on kaksi kierrosta myötäpäivään kulkeva silmukka.
Pallo.
Pallon pinnan perusryhmä on triviaali ryhmä, koska sen jokainen silmukka voidaan kutistaa pisteeksi. Eräs todistus käyttää Seifertin – van Kampenin lausetta pallonpuolikkaisiin, jotka voidaan aidosti typistää pisteiksi.
Torus.
Toruksen perusryhmä on isomorfinen kokonaislukuparien ryhmän suhteen, jonka laskutoimituksena on yhteenlasku. Yleisessä tapauksessa n-ulotteisen toruksen perusryhmä vastaa n-paikkaisten kokonaislukupisteiden ryhmää yhteenlaskulla.