Luonnollinen muunnos

Luonnollinen muunnos on kategoriateorian käsite, joka kuvaa tapaa muuntaa kategorioiden välisiä ylinuolia toisikseen säilyttäen rakenteiden yhteensopivuuden. Luonnollinen muunnos kertoo, miten yhden ylinuolen kuva voidaan siirtää toisen ylinuolen kuvaksi siten, että kaikki kaaviot säilyvät vaihdannaisina.
Luonnollisesta muunnoksesta käytetään myös suomenkielistä nimeä "luonnollinen transformaatio" ("engl. natural transformation").
Kansantajuinen selitys.
Luonnollinen muunnos muuttaa kategorioiden välisiä ylinuolia toisikseen. Sen avulla voidaan vertailla eri tavoin määriteltyjä ylinuolia, jotka kuvaavat saman kategorian pisteet ja nuolet toiseen kategoriaan.
Ensimmäinen vaihe luonnollisen muunnoksen ymmärtämisessä on ylinuolet. Alla olevassa kuvassa kategoriat formula_1 ja formula_2 on yhdistetty kahdella ylinuolella formula_3 ja formula_4. Nämä ylinuolet kuvaavat lähtökategorian pisteet ja nuolet maalikategorian sisälle:
Kuvasta poiketen ylinuolten ei tarvitse kuvata jokaista lähtökategorian pistettä eri pisteiksi maalikategoriassa — osa tai kaikki voivat osua samoihin pisteisiin. Myöskään eri ylinuolten kuvat eivät välttämättä ole erillisiä, vaan ne voivat olla osittain tai täysin päällekkäisiä.
Toisessa vaiheessa ylinuolten formula_3 ja formula_4 kuvapisteiden välille lisätään nuolia, joita kutsutaan "komponenteiksi". Täsmällisemmin sanottuna jokaista lähtökategorian pistettä formula_14 kohden, lisätään yksi komponentti formula_15. Komponentit on esitetty alla olevassa kuvassa katkoviivoilla.
Nyt kuvaan muodostuu tämän näköisiä kaavioita:
Luonnollisen muunnoksen olennainen vaatimus on, että kaikki kuvaan muodostuvat kaaviot ovat vaihdannaisia. Tämä tarkoittaa, että kun siirrytään pisteestä formula_6 pisteeseen formula_17 joko ylä- tai alareittiä pitkin, päädytään samaan lopputulokseen:
Toisin sanoen luonnollinen muunnos säilyttää ylinuolten rakenteen yhteensopivuuden. Se kertoo, miten yksi ylinuoli voidaan muuntaa toiseksi ilman, että kategorioiden sisäiset yhteydet rikkoutuvat. Näin luonnollinen muunnos toimii ”ylinuolten välisenä nuolena”.
Määritelmä.
Olkoot formula_1 ja formula_2 kategorioita ja formula_20 niiden välisiä ylinuolia.
Luokkaa maalikategorian nuolia formula_21 kutsutaan luonnolliseksi muunnokseksi, kun jokaiselle lähtökategorian nuolelle formula_22 seuraava kaavio on vaihdannainen kategorian formula_2 sisällä:
Tämä tarkoittaa, että formula_24 kaikilla nuolilla formula_25.
Luonnollista muunnosta merkitään formula_26 tai täsmällisemmin formula_27.
Yksittäistä nuolta formula_28, joka on osa luonnollista muunnosta, kutsutaan formula_29:n "komponentiksi", tai täsmällisemmin "formula_30-komponentiksi".
Luonnollisten muunnosten liitokset.
Luonnollisia muunnoksia voidaan yhdistää kahdella erilaisella liitoksella: pystysuuntaisella liitoksella ja vaakasuuntaisella liitoksella. Ne ovat saaneet nimensä tavanomaisimmasta esitystavasta.
Pystyliitos.
Olkoot formula_1 ja formula_2 kategorioita sekä formula_33 niiden välisiä ylinuolia. Luonnollisten muunnosten formula_26 ja formula_35 "pystysuuntainen liitos" eli "pystyliitos" formula_36 määritellään luokaksi maalikategorian nuolia formula_37, joille
formula_38
missä formula_39 ja formula_40 ovat luonnollisten muunnosten formula_29 ja formula_42 nuolten luokat vastaavasti. Määritelmä on esitetty alla olevassa kuvassa.
Näin saadaan uusi luonnollinen muunnos formula_36.
Luonnollinen samaistus.
Kaksi ylinuolta formula_20 "samaistuvat luonnollisesti", jos on olemassa luonnollinen muunnos formula_26 ja sille käänteismuunnos formula_46, joille pätee
formula_47 ja formula_48.
Merkitys kategoriateoriassa.
Luonnolliset muunnokset mahdollistavat ylinuolten välisten yhteyksien tutkimisen, mikä johtaa Yonedan apulauseeseen ja useisiin muihin kategoriateorian keskeisiin tuloksiin. Ne muodostavat yhdessä ylinuolten kanssa uuden kategorian, jota kutsutaan "ylinuolten kategoriaksi". Näin luonnolliset muunnokset ovat keskeinen silta kategorioiden ja niiden ylinuolien välillä.