Elinaika-analyysi

Elinaika-analyysi on tilastotieteen osa-alue, joka tarkastelee havaintoyksikköjen siirtymistä tilasta toiseen ajan kuluessa. Se on saanut nimensä biologian sovelluksista, joissa mallinnetaan elinajan pituutta ja kuoleman hetkeä. Tekniikassa käytetään termiä reliabilitettianalyysi, jossa tyypillinen sovellus on koneen kestävyyden tutkiminen. Taloustieteessä taas käytetään termiä duraatioanalyysi. 
Havaintoyksikön kuolemaa tai hajoamista kutsutaan elinaika-analyysissa tapahtumaksi. Analyysin tavoitteena on selvittää, mitkä tekijät aikaistavat tapahtumaa, mikä populaation osa selviää yli tietyn ajanhetken tai mikä on tapahtuman riski populaatiossa ajan funktiona. 
Elinaika-analyysin käsitteitä.
Elinaika-analyysissa keskeisenä kiinnostuksen kohteena on tapahtuman todennäköisyys ajan funktiona. Tämän vuoksi elinaikamallit keskittyvät tyypillisesti tarkasteltavan tapahtuman riskin tarkasteluun. Lähestymistapa poikkeaa tavanomaisista tilastollisista malleista, joissa mallitetaan ehdollista odotusarvoa. 
Merkitään tapahtumaan liittyvän todennäköisyysjakauman tiheysfunktiota formula_1. 
Elinajan kertymäfunktio "F" kertoo todennäköisyyden, että tapahtuma on tapauhtunut hetkeen "t" mennessä.
formula_2
Välttöfunktio "S" kuvaa todennäköisyyttä selvitä yli ajanhetken "t". 
formula_3
Tiheysfunktion ja välttöfunktion avulla voidaan laskea vaarafunktio, joka on tapahtuman hetkellinen todennäköisyys hetkellä "t", ehdolla että tapahtumaa ei ole sattunut ennen hetkeä "t".
formula_4
Edelleen voidaan määritellä kumulatiivinen vaarafunktio.
formula_5
Kaikki ylläolevat funktiot voidaan johtaa elinajalle "t", kunhan ainakin yksi funktioista tunnetaan.
Havaintojen sensurointi.
Elinaika-aineistoon liittyy osana sensurointi. Sensuroinnilla tarkoitetaan tilannetta, jossa tapahtuma on sattunut, mutta sattumisaikaa ei tiedetä tarkasti ("vasemmalta sensurointi" ja "välisensurointi"), tai tapahtumaa ei havaita jollekin havaintoyksikölle ("oikealta sensurointi").
"Vasemmalta sensuroinnilla" tarkoitetaan tilannetta, jossa tapahtumasta tiedetään vain, että se on tapahtunut ennen tiettyä ajanhetkeä "t".
"Välisensuroinnilla" tarkoitetaan tilannetta, jossa tapahtuman tiedetään tapahtuneen kahden aikapisteen formula_6 ja formula_7 välillä, mutta tarkkaa ajankohtaa ei tiedetä.
"Oikealta sensuroinnissa" tiedetään että havaintoyksikön elinaika ylittää havainnoinnin loppumisajankohdan "t". 
Oikealta sensurointi voidaan jakaa vielä alaluokkiin.
"Tyypin 1 sensuroinnissa" kullekin havaintoyksikölle on määrätty ennalta aika T, johon mennessä tapahtuneista tapahtumista tiedetään tapahtumisaika. Tyypillinen esimerkki tyypin 1 sensuroinnista on kliininen koe, jossa potilaita seurataan ennalta määritetty aika, vaikkakin kaikilla potilailla tapahtumaa ei ole kokeen loppumiseen mennessä ollut.
"Tyypin 2 sensuroinnissa" valitaan ennalta havaintojen määrä r ja koetta jatketaan kunnes tapahtuma on havaittu r osallistujalla (tyypillisesti r &lt; osallistujien määrä n). Tällainen järjestely on yleinen esimerkiksi määriteltäessä jonkin koneen toiminta-aikaa ennen häiriötä, jolloin saadaan arvio ajasta, jossa r/n osa koneista särkyy.
Eräs yleistys tyypin 1 sensuroinnista on tilanne, jossa tutkimuksen havainnoinnin alkamis- ja päättymisaika on päätetty etukäteen ja jossa havainnointiyksiköiden seuraamisajankohdan aloitus vaihtelee. Tätä saatetaan kutsua myös "tyypin 3 sensuroinniksi."
Elinaikafunktioiden estimointi.
Parametrittomat menetelmät.
Yksi välttöfunktion formula_8 estimointiin käytetyistä menetelmistä on "Kaplar-Meier -estimaattori".
Olkoon kokeessa havaitut elinajat järjestyksessä formula_9, ja formula_10 tapahtumien määrä hetkellä formula_11 ja formula_12 juuri ennen hetkeä formula_11 mukana olevien havaintoyksiköiden määrä.
Tällöin "Kaplar-Meier estimaattori" välttöfunktiolle on muotoa
formula_14
missä formula_15 on 0, kun elinaika on havaittu tarkasti ja 1 kun havainto on sensuroitu.
Varianssi estimaattorille on
formula_16
Kumulatiivista vaarafunktiota formula_17 voidaan estimoida "Nelson-Aalen estimaattorilla"
formula_18.
Varianssi estimaattorille on
formula_19.
Parametriset menetelmät.
Paramaetrisissa menetelmissä voidaan olettaa elinajan t noudattavan jotain elinajalle käytettävää jakaumaa. Tällöin uskottavuusfunktio jakauman parametreille formula_20 voidaan kirjoittaa muodossa
formula_21
missä formula_22 on 0, kun elinaika on havaittu tarkasti ja 1 kun sensuroitu ja formula_23 välttöfunktion arvo pisteessä "t" ehdolla parametrin arvot. Joukko "O" on oikealta sensuroidut havainnot,
"V" on vasemmalta sensuroidut ja "I" on välisensuroidut. Tällöin kyseiseen sensuroituun havaintoon liittyvä termi uskottavuusfunktiossa kertoo todennäköisyyden, että havainto on kyseisellä välillä ehdolla parametrin arvot. Suurimman uskottavuuden estimaatit saadaan ratkaistua tavalliseen tapaan. 
Elinajan "t" voidaan ajatella olevan myös jokin muunnos kovariaateista "x", toisin sanoen
formula_24, missä "h" on jokin aidosti kasvava funktio, "x"' on elinaikaan "t" liittyvät selittäjät ja β selittäjiin liittyvät regressiokertoimet. Tällöin voidaan arvoida selittäjien vaikutusta elinaikaan uskottavuuspäättelyn keinoin.
"Nopeutetun elämän mallissa" selittäjän vaihtelun kuvitellaan muuttavan ajan nopeutta, ts
formula_25
missä formula_26 on tunnettu vaarafunktio.
"Suhteellisen vaaran mallissa" vaaran voimakkuus riippuu selittäjistä ts.
formula_27
Vaaran voimakkuuden suhde formula_28 havaintoyksiköille "i" ja "j" on 
sama kuin selittäjivien muuttujien muunnosten suhde formula_29.
Semiparametrinen menetelmä - Coxin suhteellisen vaaran malli.
"Coxin suhteellisen vaaran malli" perustuu edellä mainittuun suhteellisen vaaran malliin.
Suhteellisen vaaran mallia kutsutaan semiparametriseksi, sillä se sisältää mielivaltaisen, parametrittoman
vaarafunktion formula_26, sekä selittävistä muuttujista riippuvan parametrisen osan
formula_31.
Mallissa maksimoitavana on uskottavuusfunktio 
formula_32
missä formula_33.