Algebrallinen rakenne

Algebrassa algebrallisella rakenteella tarkoitetaan joukkoa tai joukkoja, jossa on määritelty yksi tai useampi "laskutoimitus"; tässä laskutoimitus on mikä tahansa sääntö, joka tuottaa annetuista joukon alkioista tuloksen. Joukko voi olla esimerkiksi merkkijonot ja laskutoimitus niiden yhdistäminen.
Algebrallinen rakenne voidaan nähdä uutena abstraktion tasona. Esimerkiksi yhteen- ja kertolasku ovat vaihdannaisia ja nollan lisääminen ja ykkösellä kertominen ovat selvästi samankaltaisia asioita. Nämä ominaisuudet voidaan kuvata abstraktina laskutoimituksena formula_1, jolla pätee formula_2 ja on olemassa sellainen formula_3 että formula_4.
Johdatteleva esimerkki.
Käytämme esimerkkinä permutaatioita. Kolmen alkion jono voidaan (uudelleen)järjestää
eli permutoida kuudella eri tavalla: on kolme tapaa vaihtaa keskenään kaksi alkiota, voidaan
kiertää jonoa eteen- tai taaksepäin, ja kuudes tapa on olla tekemättä mitään.
Permutaatioita voidaan yhdistää. Jos ensin tehdään permutaatio "vaihda 1. ja 2. alkio" ja
sitten "kierros eteenpäin", päädytään tulokseen "vaihda 1. ja 3. alkio". Merkitsemme tämän näin:
formula_5
Vertaamme sitten kokonaislukujen yhteenlaskua ja permutaatioiden yhdistämistä.
Nämä ovat selvästi erilaisia, koska esimerkiksi permutaatioita on äärellinen
määrä, kokonaislukuja äärettömästi. Yhteisiä piirteitä löytyy.
Edellä olevat neljä ominaisuutta määrittelevät algebrallisen rakenteen nimeltä ryhmä.
Tutkimme vielä malliksi miten aidosti kasvavat, kaikilla reaaliluvuilla määritellyt ja kaikki reaaliarvot saavat funktiot ovat ryhmä, kun laskutoimitukseksi otetaan funktioiden yhdistäminen.
Ryhmiä voidaan muodostaa paljon muitakin. Esimerkiksi kääntyvät formula_8 -matriisit ovat ryhmä, kun laskutoimitukseksi otetaan matriisitulo.
Abstraktin algebran ideana on johtaa lauseita pelkästään näin määritellyistä
ominaisuuksista.
Voidaan esimerkiksi todistaa, että ryhmässä on määriteltävissä käänteislaskutoimitukset,
toisella tavalla sanoen yhtälöille on yksikäsitteinen ratkaisu. Kokonaislukujen
yhteenlaskun suhteen se on tietysti vähennyslasku: yhtälöillä formula_9
ja formula_10 on kokonaislukuratkaisu, ja yhtälön ratkaisua kutsutaan
vähennyslaskuksi. Vastaavasti jos formula_11 ja formula_12 ovat
permutaatioita, on yhtälöille formula_13 ja formula_14
olemassa yksikäsitteiset (mutta ei yleensä samat) ratkaisut.
Kaikilla ryhmillä pätee myös supistussääntö: jos formula_15 on ryhmän laskutoimitus,
niin yhtälöt formula_16 ja formula_17
supistuvat muotoon formula_18.
Algebralliset rakenteet yleistyksenä.
Jotkut algebralliset rakenteet voi nähdä yleistyksenä tutuista rakenteista. Esimerkiksi rengas yleistää kokonaislukujen joukon, yhteenlaskun ja kertolaskun muodostaman rakenteen.
Tällainen yleistys on aina luonteeltaan varsin abstrakti. Esimerkiksi tason 2-ulotteiset vektorit ja tilan 3-ulotteiset vektorit on helppo yleistää 4-, 5- jne. ulotteisiksi vektoreiksi. Abstrakti yleistys on vektoriavaruus, jossa on kaksi joukkoa, kaksi laskutoimitusta ja tietyt rajoitukset näille laskutoimituksille. Tavallisissa tasovektoreissa toinen joukko on tason pisteiksi ajateltavat vektorit ja toinen reaaliluvut, laskutoimitukset ovat vektorien summa ja vektorin ja reaaliluvun tulo.
Rakenteiden luokittelusta.
Osa rakenteista voidaan nähdä luokkien hierarkiana, jossa jokainen lisäehto laskutoimituksille määrittää aliluokan. Näin saadaan esimerkiksi hierarkia magma ⊃ kvasiryhmä ⊃ luuppi ⊃ ryhmä.
Voidaan luoda periaatteessa mielivaltaisen monta rakennetta esittämällä laskutoimitukselle tai -toimituksille mielivaltaisia ehtoja. Nimi on annettu yleensä enemmän käytetyille rakenteille. Esimerkiksi joukolle, jossa on liitännäinen laskutoimitus, on nimi puoliryhmä, joukolle jossa on vaihdannainen laskutoimitus ei ole erityistä nimeä.
Alirakenne, isomorfismi ja homomorfismi.
Algebrallisen rakenteen laskutoimituksen tai -toimitusten suhteen suljettu osajoukko on alirakenne. Esimerkiksi parilliset kokonaisluvut ja yhteenlasku ovat aliryhmä kaikkien kokonaislukujen ja yhteenlaskun ryhmästä, koska parillisten lukujen summa on aina parillinen. Vastaava pätee yleisesti millä tahansa luvulla jaollisiin lukuihin. Vektoriavaruuksista yksinkertaisin esimerkki on tavallisen kolmiulotteisen avaruuden kaksiulotteiset tasot.
Jos kaksi rakennetta ovat abstraktisti täysin samanlaiset, niitä kutsutaan isomorfisiksi. Tyyppiesimerkkinä tästä käytetään kahta ryhmää, joista toinen on reaaliluvut ja yhteenlasku, toinen positiiviset reaaliluvut ja kertolasku. Eksponenttifunktio liittää ryhmät toisiinsa: jos vaihdetaan jokainen luku formula_19 luvuksi formula_20 ja yhteenlasku kertolaskuksi, näyttää tulos muodoltaan samanlaiselta taulukolta. Ääriesimerkki isomorfismista on äärelliset kunnat: jokainen määrätyn kokoinen äärellinen kunta on täsmälleen samanlainen, vaikka se voidaankin muodollisesti esittää eri merkintätavoin.
Isomorfismin heikompi muoto on homomorfismi. Isomorfismi on aina bijektio, homomorfismi kuvaa mahdollisesti useampia alkioita samaksi. Homomorfismissa rakenteen sisältä löytyy joukko, joka vastaa toisen rakenteen alkioita mahdollisesti tietyllä tavalla ryhmiteltynä.
Esimerkkejä algebrallisista rakenteista.
Yksi joukko, kaksi laskutoimitusta.
Esimerkiksi luonnolliset luvut muodostavat monoidin, jossa laskutoimituksena on yhteenlasku. Kokonaisluvut muodostavat yhteenlaskun suhteen ryhmän ja samalla renkaan ja kokonaisalueen, jossa laskutoimituksina ovat yhteen- ja kertolasku. Rationaaliluvut muodostavat kunnan, joka on laajemman reaalilukujen kunnan alikunta. Mutta algebrallisten rakenteiden alkiot eivät välttämättä ole lukuja, vaan esimerkiksi ryhmän alkiot voivat olla myös jossakin joukossa määriteltyjä, tietyt ehdot täyttäviä kuvauksia, jolloin laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen.