Topologinen vektoriavaruus

Topologinen vektoriavaruus (eli TVS tai tvs) on sellainen vektoriavaruus, joka on myös topologinen avaruus ja jossa vektoriavaruuden laskutoimitukset (vektorien yhteenlasku ja skalaarikertolasku) ovat jatkuvia funktioita. Tällaista topologiaa kutsutaan vektoritopologiaksi. Jotkut kirjoittajat vaativat myös, että avaruus on Hausdorff-avaruus (vaikka tässä artikkelissa ei vaadita sitä). 
TVS-avaruuksia ovat myös Banachin avaruudet, Hilbertin avaruudet ja Sobolevin avaruudet.
Monet topologiset vektoriavaruudet ovat funktioiden avaruuksia tai topologisiin vektoriavaruuksiin vaikuttavien lineaaristen operaattorien avaruuksia. Topologia määritellään usein siten, että se kuvaa tiettyä käsitystä funktiojonojen suppenemisesta .
Tässä artikkelissa topologisen vektoriavaruuden skalaarikentän oletetaan olevan joko kompleksiluvut formula_1 vai reaaliluvut formula_2 ellei toisin ole selvästi mainittu.
Motivaatio.
Normiavaruudet.
Jokainen normiavaruus on TVS: normi indusoi metriikan ja metriikka indusoi topologian. Jokainen normiavaruus on topologinen vektoriavaruus, koska vektorioperaatiot ovat jatkuvia:
Siten kaikki Banach-avaruudet ja Hilbert-avaruudet ovat topologisia vektoriavaruuksia.
Ei-normiavaruudet.
On olemassa topologisia vektoriavaruuksia, joiden topologiaa ei indusoi normi, mutta jotka ovat silti tärkeitä analyysissä. Esimerkkejä tällaisista avaruuksista ovat holomorfisten funktioiden avaruudet avoimessa joukossa, äärettömästi derivoituvien funktioiden avaruudet, Schwartzin avaruudet sekä testifunktioiden ja niillä määriteltyjen distribuutioiden avaruudet. Nämä kaikki ovat esimerkkejä Montel-avaruuksista. Ääretönulotteinen Montel-avaruus ei ole koskaan normittuva. Tietyn topologisen vektoriavaruuden normin olemassaoloa kuvaa Kolmogorovin normittuvuuskriteeri .
Määritelmä.
Topologinen vektoriavaruus ( TVS ) formula_9 on vektoriavaruus topologisen kentän yli formula_7 (useimmiten reaali- tai kompleksiluvut standarditopologioineen), jolla on sellainen topologia, että vektorien yhteenlasku formula_3 ja skalaarikertolasku formula_5 ovat jatkuvia funktioita (joissa näiden funktioiden aloilla on tulotopologiat). Tällaista topologiaa kutsutaan formula_13:n vektoritopologiaksi.
Hausdorff-oletus
Monet kirjoittajat (esimerkiksi Walter Rudin), mutta eivät tämä sivu, vaativat topologiaa kohdassa formula_9 olevan T1 ; tästä seuraa, että avaruus on Hausdorffin ja jopa Tychonoff-avaruus. 
Kategoria ja morfismit.
Topologisten vektoriavaruuksien luokkaa tietyllä topologisella (kerroin)kunnalla formula_7 merkitään yleensä formula_16 tai formula_17 Objektit ovat topologisia vektoriavaruuksia formula_7:n yli ja morfismit ovat jatkuvia lineaarikuvauksia objektista toiseen.
Monet tutkituista TVS-skeemojen ominaisuuksista, kuten paikallinen konveksius, metrisoituvuus, täydellisyys ja normittuvuus, ovat invariantteja TVS-isomorfismien suhteen.
Ominaisuuksia.
Yksi vektoritopologioiden käytetyimmistä ominaisuuksista on, että jokainen vektoritopologia on "translaatioinvariantti:"
 kaikille formula_19 kuvaus formula_20, joka määritellään formula_21, on homeomorfismi, mutta jos formula_22, niin se ei ole lineaarinen eikä siten TVS-isomorfismi.
Skalaarikertolasku nollasta poikkeavalla skalaarilla on TVS-isomorfismi. Tämä tarkoittaa, että jos formula_23, niin lineaarikuvaus formula_20, joka määritellään formula_25, on homeomorfismi. Käyttämällä formula_26 tuottaa negaatiokartan formula_20 määritelty formula_28 mikä on näin ollen lineaarinen homeomorfismi ja siten TVS-isomorfismi.
Jos formula_29 ja formula_30 niin formula_31; jos lisäksi formula_32, niin formula_33 on pisteen formula_34 ympäristö (vastaavasti, avoin ympäristö, suljettu ympäristö) jos ja vain jos "S" on origon ympäristö (vastaavasti, avoin ympäristö, suljettu ympäristö).
Määritelmiä osajoukoille.
Vektoriavaruuden formula_9 osajoukon formula_36 sanotaan olevan
Jokainen origon ympäristö on absorboiva joukko ja sisältää avoimen balansoidun origon ympäristön. Siksi jokaisella topologisella vektoriavaruudella on lokaali kanta, joka koostuu absorboivista ja balansoiduista joukoista. Origolla on jopa (origon) ympäristökanta, joka koostuu suljetuista balansoiduista joukoista. Jos avaruus on lokaalisti konveksi, sillä on myös ympäristökanta, joka koostuu origon suljetuista konvekseista balansoiduista ympäristöistä.
Rajoitetut osajoukot
Topologisen vektoriavaruuden formula_9 osajoukko formula_36 on rajoitettu, jos jokaiselle origon ympäristölle formula_50 on olemassa formula_51 niin että formula_52.
Jokainen täysin rajoitettu joukko on rajoitettu. Jos formula_53 on TVS:n vektorialiavaruus formula_8 sitten osajoukko formula_53 on rajoitettu avaruudessa formula_53 jos ja vain jos se on rajoitettu avaruudessa formula_13
Metristyvyys.
Birkhoffin–Kakutanin lause:
Jos formula_58 on TVS, seuraavat neljä ehtoa ovat ekvivalentteja:
Duaaliavaruus.
Jokaisella topologisella vektoriavaruudella on jatkuva duaaliavaruus eli kaikkien jatkuvien lineaaristen funktionaalien joukko formula_64. Topologisella vektoriavaruudella on epätriviaali jatkuva duaaliavaruus, jos ja vain jos sillä on aito konveksi origon ympäristö.
Huomautukset.