Evolventti

Annetun käyrän evolventti eli involuutta on annetun käyrän tangenttien kohtisuora leikkaaja, toisin sanoen käyrä, jonka evoluutta eli kaarevuuskeskipisteiden muodostama ura on alkuperäinen käyrä. Annetun käyrän evolventti voidaan muodostaa siten, että ajatellaan käyrälle asetetuksi venymätön lanka, jota puretaan pingottamalla sitä joka hetki käyrän tangentin suuntaan. Langan toinen pää piirtää tällöin alkuperäisen käyrän evolventin. 
Annetulla käyrällä on vain yksi evoluutta, mutta äärettömän monta evolventtia. Saman käyrän evolventit ovat toistensa rinnakkaiskäyriä, toisin sanoen niiden välinen etäisyys on kaikkialla sama.
Evolventin yleistyksinä voidaan pitää vierintäkäyriä. Käyrän evolventit ovat sille suoran avulla muodostettuja vierintäkäyriä.
Parametroidun käyrän evolventti.
Olkoon formula_1 sellaisen säännöllisen tasokäyrän parametriesitys, jonka kaarevuus ei ole missään nolla, ja "a" jokin luku välillä formula_2. Silloin käyrän erään evolventin parametriesitys on 
formula_3
Tämä voidaan todistaa seuraavasti:
Evolventin muodostamiseen käytetty lanka muodostuu kahdesta osasta, joista toinen on käyrän formula_4 kaari, toinen sen tangentti. Kun sitä kierretään auki tai kokoon, tangentin pituus kasvaa saman verran kuin kaaren pituus pienenee tai päinvastoin. Käyrän väiä formula_5 vastaavan osuuden pituus on 
formula_6 
missä "a" on alkupiste, josta kaaren pituus mitataan. Sitä langan osuutta, joka kulkee käyrän tangenttia pitkin, vastaa vektori 
formula_7
Langan päätepistettä (formula_8 vastaava vektori saadaan vektorien yhteenlaskun avulla:
formula_3
m.o.t.
Jos integraaliin formula_10 lisätään mielivaltainen vakio formula_11, saadaan samalle käyrälle toinen evolventti, joka vastaa sellaista lankaa, joka on vakion formula_11 verran alkuperäistä pitempi. 
Jos vektori formula_4 esitetään muodossa formula_14, saadaan: 
formula_15
Evolventin ominaisuuksia.
Säännöllisen käyrän ominaisuuksia tutkittaessa on edullista käyttää parametrina sen kaaren pituutta "s". Tällöin edellä oleviin yhtälöihin saadaan seuraavat yksinkertaistukset:
formula_16 ja formula_17, missä formula_18 on käyrän kaarevuus formula_19 sitä vastaan kohtisuora yksikkövektori. Evolventille saadaan lausekkeet
formula_20 ja
formula_21
Voidaan todeta, että pisteessä formula_22 evolventti ei ole "säännöllinen", sillä formula_23.
Siitä, että formula_24, seuraa:
Alkuperäisen käyrän evolventit ja tangentit muodostavat suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän Näin ollen evolventit voidaan muodostaa graafisesti. Piirretään ensin käyrän tangentit. Tällöin käyrän mielivaltainen evolventti voidaan konstruoida siten, että se on kohtisuorassa jokaista tangenttia vastaan.
Kärjet.
Evolventeilla on kahdenlaisia kärkipisteitä. Ensimmäisen tyypin muodostavat pisteet, joissa evolventti koskettaa alkuperäistä käyrää. Sellaiset kärkipisteet ovat kertalukua 3/2. Toisen ryhmän muodostavat pisteet, jotka vastaavat alkuperäisen käyrän käännepisteitä. Ne ovat kertaluvun 5/2 kärkipisteitä.
Tämä voidaan nähdä muodostamalla kuvaus formula_30, jonka määrittelee yhtälö 
formula_31
missä formula_32 on kaaren pituuden mukainen käyrän parametriesitys ja formula_33 käyrän kaltevuuskulma pisteessäformula_32. Tämä kuvaus kuvaa tason jollekin kolmiulotteisessa avaruudessa olevalle pinnalle. Esimerkiksi se kuvaa ympyrän yksivaippaiselle hyperboloidille. 
Tässä kuvauksessa evolventit saadaan kolmivaiheisessa prosessissa: ensin kuvataan suora formula_35 tasoon formula_36, joka sitten kuvataan avaruudessa formula_37 olevalle pinnalle, joka sitten projisoidaan takaisin tasoon formula_36 poistamalla "x"-akseli: 
formula_39
missä formula_40 on mikä tahansa reaalinen vakio.
Koska kuvauksella formula_41 on derivaatta jokaisessa pisteessä formula_42 eikä sen derivaatta missään ole nolla, evolventilla voi olla kärkipiste vain siellä, missä formula_41:n derivaatta on pystysuora (z-akselin suuntainen), ja se on mahdollista vain siellä, missä edellä mainitulla, avaruudessa formula_37 olevalla pinnalla on pystysuora tangenttitaso. Tällä pinnalla taas on pystysuora tangenttitaso vain siellä, missä pinta koskettaa käyrää tai missä käyrällä on käännepiste.
Kertaluvun 3/2 kärkipisteet.
Tarkastellaan esimerkkinä aluksi ympyrän evolventtia, jonka yhtälö on
formula_45then set formula_46, 
ja laajennetaan sitä pienellä määrällä formula_47, jolloin saadaanformula_48
jolloin saadaan kertalukua 3/2 oleva käyrä formula_49, puolikuutiollinen paraabeli.
Kertaluvun 5/2 kärkipisteet.
Tarkastellaan esimerkkinä käyrää formula_50. Sen pisteiden formula_51 ja formula_52 välisen kaaren pituus on formula_53, ja sen pisteeseen formula_52 piirretyn tangentin ja x-akselin välinen kulma on formula_55. Niinpä käyrän evolventilla, joka alkaa pisteestä formula_51, on etäisyydellä formula_57 parametriesitys
formula_58
Jos nämä lausekkeet kehitetään viidennen asteen termeihin saakka, saadaan
formula_59
mikä esittää kertaluvun 5/2 kärkipistettä. Molemmat yhtälöt toteutuvat sellaisilla "x":n ja "y":n arvoilla, joille
formula_60 tai formula_61,
mitkä yhtälöt selvästi osoittavat kärjen muodon.
Asettamalla formula_62 saadaan origon kautta kulkeva evolventti. Se on siitä erikoinen, ettei sillä ole kärkipisteitä. Sarjakehitelmien avulla sille saadaan parametriesitys
formula_63tai formula_64
Esimerkkejä.
Ympyrän evolventti.
Origokeskeisellä "r"-säteisellä ympyrällä on parametriesitys formula_65, joka voidaan esittää myös vektorimuodossa:
formula_66.
Niinpä formula_67, ja kaaren pituus on formula_68. 
Edellä esitetyistä evolventin yleisistä yhtälöistä saadaan ympyrän evolventeille parametriesitys
formula_69.
Näissä formula_70 on mielivaltainen vakio, joka määrittää sen, mistä kohdasta ympyrällä evolventti alkaa. Oheiseen kuvioon on ympyrälle piirretty arvoja formula_71 (vihreä), formula_46 (punainen), formula_73 (violetti) ja formula_74 (vaaleansininen) vastaavat evolventit. 
Ympyrän evolventti ei ole sama kuin Arkhimedeen spiraali, vaikka muistuttaakin sitä ulkonäöltään huomattavasti. Suurella "t":n arvolla ympyrän evolventti kuitenkin lähestyy asymptoottisesti Arkhimedeen spiraalia.
Jokaisella evolventilla väliä formula_75 vastaavan kaaren pituus on
 formula_76
Puolikuutiollisen paraabelin evolventti.
Parametriyhtälö formula_77 esittää puolikuutiollista paraabelia. Derivaatasta formula_78 saadaan formula_79 ja formula_80. Siinä erikoistapauksessa, että lankaa pidennetään formula_81:n verran, laskut yksinkertaistuvat huomattavasti ja saadaan:
 formula_82
Eliminoimalla tästä "t" saadaan formula_83, mikä osoittaa, että tämä evolventti on paraabeli.
Muut evolventit ovat paraabelin rinnakkaiskäyriä. Ne eivät ole paraabeleja vaan kuudennen asteen käyriä.
Ketjuviivan evolventti.
Ketjuviivalla on parametriesitys formula_84. Sen tangenttivektori on formula_85, ja koska formula_86, sen pituus on formula_87. Niinpä kaaren pituus pisteestä (0,1) pisteeseen (t, \cosh t) on formula_88.
Niinpä pisteestä (0,1) alkavalla ketjuviivan evolventilla on parametriesitys
 formula_89
ja näin ollen se on traktrix.
Ketjuviivan muut evolventit eivät ole traktrixeja, vaan ne ovat traktrixin rinnakkaiskäyriä.
Sykloidin evolventit.
Parametriesitys formula_90 kuvaa sykloidia. Koska sen tangenttivektori on formula_91, saadaan tästä trigonometristen funktioiden muunnoskaavojen avulla:
formula_92 
ja
formula_93 
Näistä yhtälöistä saadaan evolventin parametriesitykseksi
 formula_94
 formula_95
joka esittää oheisessa kuviossa punaisella merkittyä sykloidia.
Sykloidin formula_96 muut evolventit ovat sykloidin rinnakkaiskäyriä, jotka eivät ole sykloideja.
Evoluutta ja evolventti.
Annetun käyrän evoluutta on sen kaarevuuskeskipisteiden ura. Evoluutan ja evolventin välillä vallitsee seuraava yhteys: käyrä on jokaisen evolventtinsa evoluutta.
Sovelluksia.
Hammaspyörien hampaat tehdään tavallisimmin poikkileikkaukseltaan ympyrän evoluutan muotoisiksi, joskin myös sykloidin muotoisia hammaspyöriä käytetään. Kahden sellaisen hammaspyörän systeemissä pyörien hampaat koskettavat toisiaan joka hetki vai yhdessä pisteessä, joka on voimien kunkin hetkisellä vaikutussuoralla. Pyörien toisiinsa kohdistamat voimat ovat myös tämän suoran suuntaisia ja hampaiden pintoihin nähden kohtisuorassa. Jos hampaat ovat muun muutoksia, pyörien suhteelliset nopeudet ja niiden väliset eivät pysy vakioina vaan vaihtelevat edestakaisin välillä pieneten, mistä aiheutuu tärinää, häiritsevää ääntä ja ylimääräistä kulumista.
Kaasujen puristukseen käytetyissä scroll-kompressoreissa paine tuotetaan kahdella kierukalla, jotka tehdään ympyrän evolventin muotoisiksi, joskin ne voivat olla myös Arkhimedeen spiraalin tai hybridikäyrän muotoisia. Scroll-kompressorit toimivat tasaisemmin, äänettömämmin ja luotettavamin kuin muun tyyppiset kompressorit.
HFIR-isotooppireaktoreissa (High Flux Isotope Reactor) polttoainelevyt tehdään ympyrän evolventin muotoisiksi, koska silloin levyjen väliset laudutuskanavat saadaan vakiolevyisiksi.