Esikanta (topologia)

Topologisen avaruuden formula_1 topologian formula_2 esikanta eli alikanta on joukko formula_3, joka virittää joukon formula_2. Tämä tarkoittaa, että formula_2 on pienin topologia, joka sisältää joukon formula_6
(Suomessa käytetyssä Väisälän määritelmässä vaaditaan lisäksi, että formula_7).
Jokainen kanta on alikanta.
Eräs määritelmä.
Olkoon formula_8 joukko ja formula_2 sen topologia. Topologian formula_2 esikanta määritellään osajoukoksi formula_3, joka täyttää jonkin seuraavista (keskenään ekvivalenteista) ehdoista:
Kannan määritelmähän on, että sen alkioiden yhdisteet ovat samat kuin avoimet joukot.
Kun formula_31 on kokoelma joukon formula_8 osajoukkoja, on olemassa tasan yksi topologia, jonka esikanta on formula_31. Se on kaikkien niiden joukon formula_8 topologioiden leikkaus, joiden osajoukko formula_31 on. Yleisesti ottaen päinvastainen ei kuitenkaan pidä paikkaansa, eli tietylle topologialle ei aina ole olemassa yksikäsitteistä esikantaa (vaan monta). 
Jussi Väisälän määritelmä.
Jussi Väisälän (ym.) määritelmässä vaaditaan edellisen lisäksi, että formula_7.
Tämä määritelmä on Suomessa yleisin ja paikoin muuallakin muttei ole ekvivalentti yllä esitetyn määritelmän kanssa.
Väisälän määritelmä on ekvivalenttia seuraavan kanssa:
Joukon formula_6 alkioiden äärellisten leikkausten kokoelma on topologian formula_2 kanta. (Näin on jos ja vain jos jokainen avoin joukko on joidenkin joukon formula_6 alkioiden äärellisten leikkausten yhdiste. Tämä pätee jos ja vain jos jokaiselle formula_40 ja jokaiselle formula_27 on olemassa jokin formula_28 ja joukot formula_29 siten, että formula_30.)
Jos formula_6 on topologian formula_2 esikanta, sanomme, että formula_6 virittää topologian formula_2. Sanan "virittää" merkityskin siis riippuu siitä, kumpaa esikannan määritelmää käytetään. 
Useimmissa sovelluksissa onneksi formula_7. Tällaisille formula_6 em. määritelmät ovat tietysti ekvivalentteja.
Esimerkkejä.
Minkä tahansa joukon formula_51 virittämä topologi on triviaali topologia formula_52
Jos formula_2 on topologia joukossa formula_8 ja formula_55 on topologian formula_2 kanta, niin formula_55 virittää topologian formula_58 Siis jokainen topologian kanta on myös sen esikanta.
Tavallinen topologia reaalilukujen joukossa formula_59 omaa esikannan, joka koostuu kaikista niistä avoimista väleistä, jotka ovat muotoa formula_60 tai formula_61 missä formula_62 ja formula_63 ovat reaalilukuja. Niiden leikkaukset formula_64 , missä formula_65, muodostavat sen topologian kannan. Pienempi saman topologian alikanta muodostetaan esimerkiksi ottamalla aliperhe, jossa formula_62 ja formula_63 ovat rationaalisia.
Kaikista väleistä muotoa formula_60 koostuva esikanta ei viritä tavanomaista topologiaa. Tuloksena oleva topologia ei täytä T1-aksioomaa, koska jos formula_69, niin jokainen avoin joukko, joka sisältää luvun formula_63 sisältää myös luvun formula_62.
Funktioperheen formula_72 joukkoon formula_8 indusoima topologia on karkein topologia, joka tekee jokaisen formula_74 jatkuvaksi. Se tarkoittaa topologiaa, jonka esikannan muodostavat joukot formula_75 missä formula_76 käy läpi kaikki joukon formula_77 ja formula_78 kaikki indeksiperheen formula_79 alkiot.