Iwasawan teoria

Lukuteoriassa Iwasawan teoria on objektien aritmeettisten ominaisuuksien tutkimista lukukuntien kuntalaajennusten jonojen suhteen. Se alkoi kuin ideaaliluokkaryhmien Galois'n modulien teorian avulla, jonka tutkimisen käynnisti Kenkichi Iwasawa vuonna 1959 osana syklotomisten kuntien teoriaa. 1970-luvun alussa Barry Mazur tutki Iwasawan teorian yleistyksiä Abelin varistoihin. 1990-luvun alussa Ralph Greenberg on tutkinut Iwasawan teoriaa motiiveihin.
Formuloiminen.
Iwasawa tutki niin sanottuja formula_1-laajennuksia. Nämä ovat lukukuntien formula_2 äärettömiä laajennuksia, joiden Galois'n ryhmä formula_3 on isomorfinen p-aditisten lukujen additiivisen ryhmän kanssa jollakin alkuluvulla "p". Jokainen formula_3:n suljettu aliryhmä on muotoa formula_5, joten Galois'n teorian mukaan formula_6-laajennus formula_7 on sama asia kuin kuntalaajennusten muodostama torni formula_8, missä formula_9. Iwasawa tutki klassisia Galois'n moduleja kuntien formula_10 suhteen, missä hän tutki modulien rakennetta kunnan formula_11 suhteen.
Yleisemmin Iwasawan teoria tutkii Galois'n modulien rakennetta yli sellaisten laajennusten suhteen, joiden Galois'n ryhmä on p-aditinen Lien ryhmä.
Esimerkki.
Olkoon "p" alkuluku ja olkoon "K" = Q(μ"p") kunta, jonka virittää Q:n suhteen "p":s ykkösenjuuri. Iwasawa tutki seuraavaa lukukuntien laajennusten jonoa:
formula_12
missä formula_13 on kunta, joka on saatu liittämällä formula_14:hon "pn+1" ykkösen juurta ja formula_15. Siitä, että formula_16 seuraa, äärettömän Galois'n teorian avulla, että formula_17 on isomorfinen formula_6:n kanssa. Saadakseen mielenkiintoisen Galois'n modulin Iwasawa tutki formula_13:n ideaaliluokkaryhmää, ja otti sen "p"-torsio-osan formula_20. On olemassa mielenkiintoisia normikuvauksia formula_21 aina kun formula_22, ja näistä saadaan tietoa ottamalla käänteinen systeemi. Jos asetetaan formula_23, ei ole vaikeaa nähdä käänteisen raja-arvon konstruktion avulla, että formula_24 on moduli formula_1:n suhteen. Itse asiassa formula_24 on moduli Iwasawan algebran formula_27 suhteen. Tämä on 2-ulotteinen, säännöllinen lokaali rengas, joten voidaan kuvailla moduleja sen suhteen. Tästä kuvauksesta on mahdollista saada tietoa formula_14:n luokkaryhmän "p"-osasta.
Tämän motivaatio on se, että "p"-torsio osa formula_14:n ideaaliluokkaryhmästä on jo tunnistetu Kummerin tekemänä, ja tämä oli pääasiallinen este hänen keksimälleen yritykselle todistaa Fermat'n suuri lause.
Yhteydet p-aditiseen analyysiin.
1950-luvun alusta merkittävä teoria on kehitetty. Pääyhteys modulien teorian ja p-aditisten L-funktioiden välille kehitti 1960-luvulla Kubota ja Leopold. Leopold aloitti Bernoullin luvuista ja käytti interpolaatiota määritellessään p-aditiset analogiset käsitteet Dirichlet'n L-funktioille. Tuli selväksi, että teorialla oli edellytyksiä yleistää vuosisadan vanhoja tuloksia säännöllisistä alkuluvuista.
Iwasawa formuloi Iwasawan teorian pääotaksuman otaksumalla, että kaksi metodia jotka määrittelevät p-aditiset L-funktiot (moduliteoreettinen ja interpolaation avulla) vastaisivat toisiaan kunhan ovat hyvin määriteltyjä. Tämän todistivat Mazur ja Wiles rationaaliluvuille vuonna 1984 ja Wiles todisti saman totaalisille reaalilukukunnille vuonna 1990. Näitä todistuksiaan käytti hyväkseen Ken Ribet kun hän todisti käänteisen tuloksen Herbrandin lauselle, niin sanotun Herbrandin–Ribetin lauseen.
Karl Rubin löysi paljon alkeellisemman todistuksen Mazurin–Wilesin lauseelle käyttämällä hyväksi Kolyvaginin Eulerin systeemejä, jotka on selitetty Langin ja Washingtonin kirjoissa, ja joista on myöhemmin todistettu muita yleistyksiä pääotaksumasta imaginaarisille neliöllisille kunnille.
Yleistyksiä.
Äärettömän tornin Galois'n ryhmä, alkukuntaa ja aritmeettistä modulia voidaan vaihdella. Kussakin tapauksessa saadaan "pääotaksuma", joka kytkee yhtee tornit ja "p"-aditiset L-funktiot.
Vuonna 2002 Chris Skinner ja Eric Urban väittivät löytäneensä pääotaksuma todistuksen takauksessa GL(2). Vuonna 2010 he julkaisivat artikkelin vertaisarvioitavaksi.