Brocardin pisteet

Brocardin pisteet liittyvät geometriassa kolmioihin. On osoitettu, että jokaisessa kolmiossa voidaan piirtää kolmion kärjistä ceviaanit, jotka leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä ja samalla erkanevat samankätisestä sivusta saman suuruisen Brocardin kulman formula_1 verran. Kulman formula_1 suuruus riippuu kolmion kulmista. Jos ceviaanit erkanevat kulman oikeasta vai vasemmasta kyljestä, kutsutaan leikkauspisteitä vastaavasti Ensimmäiseksi- (merkitään formula_3) tai Toiseksi Brocardin pisteeksi (merkitään formula_4). Brocardin pisteet ovat kolmion sisäpisteitä, mutta ne eivät kuulu kolmion merkillisiin pisteisiin niin sanotun symmetrian puutteen vuoksi.. Pisteet on nimetty ranskalaisen matemaatikon Henri Brocardin (1845−1922) mukaan.
Kolmion "ABC" sivut merkitään "a", "b" ja "c". On olemassa täsmälleen yksi piste formula_3, jolle janat formula_6, formula_7 ja formula_8 muodostavat saman kulman formula_1, sivujen "c", "a" ja "b" kanssa, eli
formula_10 
Ceviaanin ja kolmion sivun välinen kulma voidaan valita kahdella tavalla. Kun käytetään ceviaanin ja kulman oikean kyljen välistä kulmaa (katso animaatiota), saadaan leikkauspisteeksi ensimmäinen Brocardin piste ja kun käytetään kulmassa vasenta kylkeä saadaan toinen Brocardin piste. Ne ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteja.
Brocardin kulma.
Brocardin kulma ensimmäiselle- ja toiselle Brocardin pisteelle ovat aina samat. Kulman suuruus riippuu kolmion muodosta, mutta se on sellainen, että Brocardin pisteet ovat kolmion sisäpiste.
Jos kolmion kulmat ovat formula_11 ja formula_12, saadaan Brocardin kulmaksi formula_1
formula_14 
tai jos kolmion sivut ovat formula_15 ja formula_16 sekä kolmion pinta-ala formula_17, saadaan
formula_18 
Ensimmäinen Brocardin piste.
Ensimmäinen Brocardin piste (merkitään usein formula_3, joskus myös formula_20 tai formula_21) muodostuu ceviaaneista, joiden Brocardin kulma mitataan kolmion kulman oikeasta kyljestä. Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat 
formula_22.
Toinen Brocardin piste.
Toisen Brocardin pisteen (merkitään formula_4, joskus myös formula_24 tai formula_25) kulma mitataan kolmion kulmien oikeasta kyljestä. Toisen pisteen trilineaariset koordinaatit ovat
formula_26.
Brocardin keskipiste.
Brocardin keskipiste (merkitään joskus formula_27) sijaitsee "ensimmäisen-" ja "toisen Brocardin pisteen" yhdistävän janan keskipisteessä. Toisin kuin kaksi ensimmäistä Brocardin pistettä, Brocardin keskipiste on kolmion merkillinen piste ja tunnetaan Kimberlingin merkinnällä formula_28.
Keskipisteen trilineaariset koordinaatit ovat 
formula_29
missä formula_1 on Brocardin kulma. Pisteen barysentriset koordinaatit ovat
formula_31 
Konstruktio ympyröillä.
Brocardin piste sijaitsee sellaisessa kolmion sisäpisteessä, että sen pisteen ja kolmion sivujen päätepisteiden kautta kulkevat ympyrät sivuavat kukin aina yhtä sivua tangenttiaalisesti. Kehäkulmalauseella voidaan osoittaa, että kaarta vastaan oleva kehäkulma on yhtä suuri kuin kaaren päätepisteessä olevan tangentin ja kaaren jänteen välinen kulma. Piirtämiseen tarvitaan suora kulma ja harppi.
Ensimmäisen Brocardin pisteen konstruointi aloitetaan valitsemalla kolmion sivu, johon piirretään kaksi normaalia. Sivun vasempaan päätepisteeseen on määritelty Brocardin kulma, joten piirrettävän ympyrän tangentiaalinen piste sijaitsee sivun oikeassa päätepisteeseessä. Siihen piirretään normaali, joka on kohtisuorassa viereiseen sivuun nähden. Sivulle piirretään myös keskinormaali, joka leikaa ensimmäistä normaalia. Harpilla piirretään ympyrä, joka kulkee sivun päätepisteiden kautta. Muille sivuille muodostetaan omat ympyrät samalla tavalla. Ympyrät leikkaavat yhteisessä pisteessä, joka on ensimmäinen Brocardin piste.
Toinen Brocardin toinen piste sijaitsee kolmen ympyrän leikkauspisteessä, joka muodostetaan peilikuvamaisesti. Ympyrät sivuavat tangentiaalisesti viereistä sivua nyt sivun vasemmassa päätepisteessä, koska Brocardin kulma on sivun toisessa päässä.
Brocardin ympyrä.
Brocardin ympyrän (), joka tunnetaan myös "seitsemän pisteen ympyränä" (), halkaisijan muodostaa jana formula_32, jonka päätepisteitä ovat ulkoympyrän keskipiste formula_33 ja symmediaaninen piste formula_34.
Halkaisijan keskipiste on samalla Brocardin ympyrän keskipiste (Kimberlingin merkillinen piste formula_35). Ympyrän säde voidaan laskea usealla tavalla. Kun merkitään kolmion sivut ja kolmion ympäröivän ympyrän säde sekä Brocardin kulma kirjaimilla formula_36 ja formula_1, saadaan säteelle lausekkeet
formula_38 
Ympyrän kehällä olevia pisteitä ovat ainakin
Brocardin kolmiot.
Ensimmäinen Brocardin kolmio.
Ensimmäinen Brocardin kolmio syntyy Brocardin ympyrään siten, että ceviaanit, jotka kulkevat ensimmäisen Brocardin pisteen kautta, leikkaavat ympyrän kolmessa pisteessä. Ceviaanit, jotka kulkevat toisen Brocardin pisteen kautta, leikkaavat saman ympyrän samoissa pisteissä. Kolmio syntyy, kun nämä kolme pistettä yhdistetään janoilla, ja se on käänteisesti yhdenmuotoinen referenssikolmion kanssa. Käänteisesti yhdenmuotoiset monikulmioiden kulmat ovat samat, mutta esiintyvät käänteisessä järjestyksessä.
Kun referenssikolmion kärjistä piirtää sitä ympäröivälle ympyrälle suorat, jotka ovat ensimmäisen Brocardin kolmion sivujen suuntaisia, leikkaavat ne ympyrän kehällä yhteisessä pisteessä. Pistettä kutsutaan Steinerin pisteeksi ja se on eräs kolmion merkillinen piste (Kimberlingin merkinnöin formula_47).
Koska Brocardin kolmio on yhdenmuotoinen referenssikolmionsa kanssa, voidaan sivujen pituudet ja pinta-ala laskea ketoimen formula_48 avulla:
 formula_49 
 formula_50 ja 
 formula_51
sekä 
formula_52
missä
formula_53 
Referenssikolmion painopiste (Kimberlingin merkinnöin formula_54) on yhteinen Brocardin kolmion painopisteen kanssa ja symmediaaninen piste on Brocardin kolmion Steinerin piste.
Toinen Brocardin kolmio.
Toinen Brocardin kolmio syntyy kuuden ympyrän kaarista, jotka kulkevat sivun päätepisteiden ja toisen Brocardin pisteen kautta. Samasta kolmion kärjestä erkanevat ja eri Brocardin pisteen kautta kulkevat ympyrät leikkaavat toisensa yhdessä toisen Brocardin kolmion kärjessä. Toinen tapa konstruoida tämä kolmio on piirtää ceviaanit symmediaaniseen pisteeseen, jolloin ceviaanien ja Brocardin ympyrän leikkauspisteet muodostavat toisen Brocardin kolmion kärjet. Tämä kolmio ei ole yhdenmuotoinen referenssikolmion kanssa. Sen keskinormaalien leikkauspiste formula_55 on referenssikolmion Brocardin ympyrän keskipiste formula_35.
Jos referenssikolmiolle piirtää ulkoympyrän ja jatkaa symmediaaniselle pisteelle formula_34 piirrettyjä ceviaaneja ulkoympyrälle saakka, sijaitsevat toisen Brocardin kolmion kärjet näiden jatkettujen ceviaanien keskipisteissä.
On olemassa myös kolmas- ja neljäs Brocardin kolmio.