Hyperbolinen geometria

Hyperbolinen geometria käsittelee kaksiulotteista, negatiivisesti kaarevaa pintaa. Pinta muistuttaa muodoltaan hieman satulaa, ja joskus puhutaankin tässä yhteydessä satulapinnasta. Toinen esimerkkipinta on torvi. Monien ominaisuuksien puolesta hyperbolisen geometrian "vastakohtana" voidaan pitää pallo- eli elliptistä geometriaa, jolloin euklidinen geometria on näiden kahden väliin jäävä rajatapaus. 
Hyperbolinen geometria eroaa monin tavoin perinteisestä euklidisesta geometriasta, joka käsittelee ääretöntä tasaista tasoa. Hyperbolisella pinnalla kolmion kulmien summa on aina vähemmän kuin 180 astetta, ja suoralle voidaan yksittäisen pisteen läpi piirtää ääretön määrä sille yhdensuuntaisia suoria.
Hyperbolisen pinnan voi yleistää myös kahta useampaan ulottuvuuteen.
Yhdensuuntaiset suorat.
Koska hyperbolisessa geometriassa voidaan suoran ulkopuolisen pisteen kautta piirtää useampi kyseisen suoran kanssa yhdensuuntainen suora, ei euklidisen geometrian paralleeliaksiooma ole voimassa. Tästä seuraa, että monet euklidisen geometrian lauseet yhdensuuntaisille suorille eivät päde hyperbolisessa geometriassa. Esimerkiksi vaikka kaksi suoraa olisivat molemmat yhdensuuntaisia saman kolmannen suoran kanssa, ne eivät välttämättä ole yhdensuuntaiset. Lisäksi annetusta suorasta vakioetäisyydellä olevat pisteet eivät hyperbolisessa geometriassa muodosta suoraa.
Euklidisessa geometriassa kaikki yhdensuuntaisten suorien väliset etäisyysjanat formula_1 ovat kohtisuorassa eli suoran ja etäisyysjanan välinen kulma on 90°. Hyberbolisessa geometriassa kulmien suuruus vaihtelee.
Kolmiot.
Jos suorakulmaisessa kolmiossa "a" ja "b" ovat kateetteja ja "c" hypotenuusa, niin hyperbolisessa geometriassa pätee yhtälö:
 formula_2
missä funktio "cosh" on hyperbolinen funktio, jonka vastine trigonometriassa on "cos"-funktio. Kaikilla trigonometrisillä funktioilla on vastaavat funktiot hyperbolisessa geometriassa. 
Euklidisen geometrian tuloksille on olemassa vastineet hyperbolisessa geometriassa. Olkoon hyperbolisen kolmion sivut "a", "b" ja "c" ja niitä vastaavat kulmat "A", "B" ja "C". Silloin on voimassa
Sinilause:
formula_3
sekä Kosinilause:
 formula_4
tai 
 formula_5
Erikoistapauksessa kun "C" on suorakulma, niin kosinilauseesta seuraavat yhtälöt:
 formula_6
 formula_7
 formula_8
Euklidisella tasolla kolmion kulmien summa on aina 180° ( radiaaneissa formula_9), mutta hyperbolisessa kolmioissa kulmien summa on aina alle 180°. Hyperbolisessa geometriassa ideaalikolmioksi kutsutaan kolmiota, jonka kulmien summa on 0°.
Ympyrät, levyt ja pallot.
Hyperbolisessa geometriassa ympyrän piiri on suurempi kuin formula_10, missä formula_11 on kyseisen ympyrän säde. 
Olkoon formula_12, missä formula_13 on pinnan Gaussin kaarevuus. Tällöin ympyrän piiri saadaan kaavasta:
formula_14
Suljetun kiekon pinta-ala on taas:
formula_15
Pallon pinta-ala:
formula_16
Suljetun kuulan tilavuus:
formula_16
"(n-1)"-ulotteinen pallon mitta:
formula_18
missä
formula_19
ja formula_20 on gammafunktio.
Suljetun "n"-ulotteisen kuulan mitta:
formula_21
Historia.
Kahdentuhannen vuoden ajan monet matemaatikot, kuten Proklos, Ibn al-Haitham, Omar Khaijam, Nasir al-Din Tusi, Witelo, Gersonides, Alfons, ja myöhemmin Saccheri, John Wallis, Lambert ja Legendre yrittivät todistaa paralleeliaksioomaa. Koska heidän yrityksensä epäonnistuivat, alkoivat matemaatikot tutkia tilannetta, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Aluksi Gauss, Bolyai ja Lobatševski kehittivät epäeuklidisen geometrian aksiomaattisesti, ilman analyyttisiä malleja. Perusteet hyperbolisen geometrian analyyttiselle tulkinnalle loivat Euler, Monge ja Gauss, ja vuonna 1837 Lobatševski ehdotti negatiivisesti kaarevaa pintaa malliksi hyperboliselle geometrialle.
Filosofinen merkitys.
Hyperbolisen geometrian keksimisellä oli huomattavia filosofisia vaikutuksia. Aikaisemmin monet filosofit, muun muassa Hobbes ja Spinoza, olivat pitäneet euklidista geometriaa ehdottoman varmana ja samalla välttämättömänä totuutena, joka ei voisikaan olla toisin. Niinpä Spinoza kirjoitti "Etiikka"-teoksensa Eukleideen antaman esikuvan mukaisesti yrittäen todistaa kaikki väittämänsä "geometrisella menetelmällä" muutamien määritelmien ja aksioomien avulla. Myös Hobbes piti geometriaa ainoana toistaiseksi luotuna varsinaisena tieteenä. Jo ennen heitä oli Tuomas Akvinolainen suorastaan väittänyt, ettei edes Jumala voi esimerkiksi tehdä kolmion kulmien summaa muuksi kuin kaksi suoraa kulmaa. Tosin Hume ei pitänyt geometriaa yhtä varmana kuin aritmetiikkaa ja algebraa, koska hänen mukaansa emme voi olla varmoja sen aksioomien totuudesta.
Kant päätyi teoksessaan "Puhtaan järjen kritiikki" siihen käsitykseen, että avaruus, euklidisen geometrian mukaisena, ovat välttämättömiä mielteitä ja ettemme voi kuvitellakaan, ettei niitä olisi, ja että tämän vuoksi euklidinen geometria, vaikka onkin synteettinen, on kuitenkin "a priori" ja soveltuu välttämättömästi kaikkiin havaitsemiimme ilmiöhin. Kuitenkaan hänen mukaansa ei ole mitään pätevää syytä olettaa, että se soveltuisi myös tosiolevaiseen, olioihin sinänsä.
On väitetty, että Gauss ei pitkään aikaan julkaissut ajatuksiaan hyperbolisesta geometriasta, koska hän pelkäsi "boiotialaisten kapinaa". Ajoittain hän epäili itsekin, olivatko hänen ajatuksensa lainkaan terveellä pohjalla. Vähitellen, erityisesti Bolýain, Lobatševskin ja Riemannin ansiosta hänen ajatuksensa tulivat kuitenkin hyväksytyiksi, ja niillä oli suuri vaikutus käsityksiin matemaattisesta varmuudesta, analyyttiseen filosofiaan ja logiikkaan. Voitiin osoittaa, että hyperbolinen geometria on sisäisesti yhtä ristiriidaton kuin euklidinenkin, ja lisäksi on vielä muitakin täysin ristiriidattomia mahdollisuuksia. Näin ollen kysymys todellisen fysikaalisen avaruuden geometrian luonteesta jäi fysiikan ratkaistavaksi.
Esimerkiksi Bertrand Russell päätyi käsitykseen, että "geometria" on yhteisnimitys kahdelle täysin erilaiselle tutkimuskohteelle. Toisaalta on deduktiivinen geometria, joka päättelee loogisten päättelysääntöjen mukaan, mitä annetuista aksioomeista seuraa, kysymättä ovatko nämä aksioomat sinänsä "tosia". Siinä eivät geometrian oppikirjoissa käytetyt kuviotkaan ole välttämättömiä, joskin niitä voidaan käyttää asian havainnollistamiseksi. Toisaalta on geometria fysiikan osana, esimerkiksi yleisessä suhteellisuusteoriassa. Sellaisena se on mittauksiin perustuva empiirinen tiede. Toisin kuin Kant väitti, näistä edellinen on siis "a priori" mutta ei synteettinen, kun taas jälkimmäinen on synteettinen mutta ei "a priori".
Hyperbolisen geometrian malleja.
David Hilbert todisti vuonna 1901, että hyperbolista tasoa ei voida isometrisesti upottaa kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen formula_22, toisin sanoen avaruudessa avaruudessa formula_22 ei ole sellaista pintaa, jolle hyperbolinen taso kokonaisuudessaan voitaisiin isometrisesti kuvata. On kuitenkin olemassa pseudopalloiksi sanottuja pintoja, joilla on vakio negatiivinen Gaussin kaarevuus ja jotka sen vuoksi ovat "lokaalisti" isometrisia hyperbolisen tason kanssa. Tunnetuin sellainen on traktroidi, joka syntyy traktrix-nimisen käyrän pyörähtäessä asymptoottinsa ympäri.
Koko hyperboliselle tasolle voidaan kuitenkin muodostaa malleja määrittelemällä jollekin euklidisen tason osalle tavanomaisesta poikkeava metriikka. Tällaisia malleja ovat Kleinin malli, Poincarén kiekkomalli, Poincarén puolitasomalli ja hyperboloidimalli, joista kolme ensimmäistä ovat Beltramin kehittämiä, eivätkä Kleinin ja Poincarén, joiden mukaan mallit on nimetty.