Clausiuksen teoreema

Clausiuksen teoreema tai Clausiuksen epäyhtälö ilmaisee termodynaamisen järjestelmän vapaaehtoisen muutoksen suunnan ja eristetyn järjestelmän tasapainotilan. Clausiuksen teoreemaa käytetään muodostettaessa termodynaamisen tasapainon määritykseen keskeisesti kuuluvat tilafunktiot, Helmholtzin vapaaenergia ja Gibbsin vapaaenergia.
Entropia ja eristetty järjestelmä.
Tarkasteltaessa entropian osuutta vapaaehtoisessa eli irreversiibelissä muutoksessa, on valittu eristetty järjestelmä siinä olevan energian pitämiseksi vakiona. Tällöin vapaaehtoisen muutoksen järjestelmässä aiheuttaa entropian kasvu, formula_1. Entropian kasvu aiheutuu järjestelmästä itsestään. Entropia kasvaa vapaaehtoisessa muutoksessa kunnes järjestelmä saavuttaa tasapainotilan, jolloin entropia on suurimmillaan. Tämä entropiaperiaate osoittaa luonnollisen muutoksen suunnan. Tasapainotilassa eristetylle järjestelmälle formula_2, joka pätee myös mille tahansa reversiibelille (palautuvalle) muutokselle jos järjestelmä säilyy tasapainotilassa muutoksen ajan. Tiivistettynä
(1)formula_3
(2)formula_4
Entropia vapaaehtoisessa muutoksessa yleensä.
Tarkasteltaessa järjestelmää, jossa lämpöenergian, formula_5, on mahdollista virrata järjestelmästä tai järjestelmään, on vapaaehtoisessa muutoksessa formula_6 ilmaistava kahdella osalla: 1) järjestelmän mistä tahansa vapaaehtoisesta, irreversiibelistä muutoksesta aiheutunut (sisäinen) entropia ( formula_7 ), joka on aina suurempi kuin nolla ja 2) lämpöenergian vaihdosta järjestelmän ja sen ympäristön välillä aiheutunut (ulkoinen) entropia ( formula_8 ), joka voi olla nolla tai nollaa suurempi tai nollaa pienempi. Näistä jälkimmäinen on sama kuin formula_9. Reversiibelille muutokselle formula_10 ja irreversiibelille muutokselle formula_11. Kaikille muutoksille voidaan kirjoittaa:
(3)formula_12
Reversiibelille muutokselle formula_10 ja formula_14, joten formula_15. Irreversiibelille eli vapaaehtoiselle muutokselle formula_16 ja formula_17, joten formula_18. Molemmat tapaukset yhdistetty saadaan
(4)formula_19tai
(5)formula_20
Tässä yhtäläisyysmerkki tarkoittaa reversiibeliä muutosta ja suurempi kuin -merkki irreversiibeliä muutosta. Yhtälö (5), jonka Rudolf Clausius oivalsi, on Clausiuksen teoreema tai Clausiuksen epäyhtälö ja se on termodynamiikan toinen pääsääntö (II laki). Yhtälö (4) toisen pääsäännön matemaattisena ilmaisuna ei tarkoita, että järjestelmän entropia ei voi pienentyä, vaan se tarkoittaa, että järjestelmän entropian pienenemisen määrän on oltava vähempi kuin entropian lisäyksen määrä järjestelmän ympäristössä. Esimerkiksi kun kemiallinen yhdiste kiteytyy vapaaehtoisesti, sen entropian väheneminen järjestäytyneen rakenteen muodostumisen seurauksena on pienempää kuin kiteytymislämmön aiheuttama entropian kasvu ympäristössä. Entropia-käsite on keskeinen termodynamiikassa. Seuraavassa havainnollistetaan tämän tilasuureen merkittävyyttä käytännössä: Veden kiteytyessä 263,15 K:ssa ja vakiopaineessa, on tämän kemiallisen tapahtuman faasimuutos 
(6)&lt;chem&gt;\qquad H_2O (l)\,=\,H_2O (s)&lt;/chem&gt;
Faasimuutokseen liittyvät entropian muutokset ovat:
1. alijäähtynyt vesi lämpiää hyvin hitaasti, so. reversiibelisti formula_21 263,15 K:stä formula_22 273,15 K:iin
(6a)formula_23
2. faasimuutos neste jääksi hyvin hitaasti 273,15 K:ssä
(6b)formula_24
Huomattakoon, että jäätyessään veden entropia pienenee vaikka itse tapahtuma on irreversiibeli.
3. jään lämpötila pudotetaan hyvin hitaasti 263,15 K:iin
(6c)formula_25
Joten yhtälön (6) faasimuutokselle entropian muutos on
(7)formula_26
Kokonaisentropian muutokselle pitää tarkastella myös järjestelmän ja sen ympäristön välista entropian muutosta, formula_27, koska reaktio yhtälössä (6) tapahtuu irreversiibelisti. Tätä varten laitetaan tarkasteltavana oleva vesi osaksi hyvin suurta säiliötä, jonka lämpötila on 263,15 K. Tällöin veden jäätyminen tuottaa lämpöenergiaa, joka absorboituu muuhun osaan säiliötä. Tämä tapahtuma ei aiheuta käytännössä lämpötilamuutosta säiliössä. Säiliön entropian muutos on laskettavissa entalpian muutoksesta:
(8)formula_28
Yhtälössä (8) entalpian muutos on veden kiteytyminen 263,15 K:ssä. Se on negatiivinen, koska formula_29. Kokonaisentropia on suurentunut:
(9)formula_30
Entropian mittaus.
Entropian tarkka arvo on laskettavissa:
 a) Termodynamiikan kolmannen lain avulla
 b) Gibbsin funktion avulla: formula_31
 c) Kennon standardielektropotentiaalin avulla Nernstin yhtälöstä: formula_32
 d) Isotermisestä olomuodon muutoksesta: formula_33
 e) Molekulaarinen jakaumafunktioita käyttäen spektroskooppisesta tiedosta
 f) Reaktiokinetiikan avulla määritetystä reaktion entropian muutoksesta, formula_34