Kolmion ratkaiseminen

Kolmion ratkaiseminen () on trigonometrinen tehtävä, jossa on laskettava kolmion sivujen pituudet ja niiden väliset kulmat, kun osa niistä tunnetaan. Kolmio voi olla tavallinen tasopinnalla oleva tasokolmio tai pallopinnalla oleva pallokolmio. Kolmion ratkaisemisella on käytännön sovelluksia kuten geodesiassa, tähtitieteessä, rakennustekniikassa ja navigoinnissa.
Tasokolmion ratkaiseminen.
Kolmiota luonnehtii kuusi suuretta: kolmen sivun pituudet "a", "b" ja "c" sekä niiden väliset kolme kulmaa, α, β ja γ. Kolmioiden yhtenevyyttä koskevista tuloksista seuraa, että jos näistä tunnetaan kolme, jotka eivät kaikki ole kulmia, voidaan seuraavissa tapauksissa kolme muutakin yksikäsitteisesti laskea:
Myös siinä tapauksessa, että tunnetaan kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma (SSK, "sivu-sivu-kulma"), voidaan muut kulmat ja kolmas sivu yksikäsitteisesti laskea, mikäli tunnetun kulman vastainen sivu on pidempi kuin tunnettu saman kulman viereinen sivu. Mikäli tunnetun kulman vastainen sivu on lyhempi kuin viereinen sivu, mahdollisuuksia on kaksi.
Jos vain kolmion kulmat tunnetaan, ei sivujen pituuksia voida laskea, ainoastaan niiden suhteet. Kaikissa keskenään yhdenmuotosisissa kolmioissa ovat nimittäin kulmat yhtä suuret, vaikka kolmiot voivat olla minkä kokoisia tahansa.
Trigonometriset lauseet.
Kolmioiden ratkaiseminen perustuu trigonometrian sini- ja kosinilauseeseen. Sinilauseen mukaan kolmion sivut suhtautuvat toisiinsa kuten niiden vastakkaisten kulmien sinit, toisin sanoen:
formula_1
Kosinilauseen mukaan kolmion kolmas sivu voidaan laskea kahden muun sivun ja niiden välisen kulman avulla seuraavasti:
formula_2
sekä vastaavasti:
formula_3
formula_4
Joskus käyttökelpoisia ovat myös tangenttilause
formula_5
sekä kotangenttilause ja Mollweiden kaava.
Kolme sivua tunnettu (SSS).
Oletetaan, että kolmion sivut tunnetaan ja ne ovat "a", "b" ja "c". Lisäksi on oletettava, ettei yksikään näistä ole suurempi kuin kahden muun summa kolmioepäyhtälö). Kolmion kulmat voidaan tällöin laskea kosinilauseen avulla seuraavasti:
formula_7
Kun kaksi kulmaa (α ja β) on laskettu, voidaan kolmas laskea myös yksinkertaisemmin seuraavasti:
formula_8,
koska kolmion kulmien summa on aina 180°.
Heronin kaavan avulla voidaan kolmion pinta-alakin laskea, kun sen sivujen pituudet tunnetaan. Se on
formula_9, jossa formula_10 on puolet kolmion piiristä.
Kaksi sivua ja niiden välinen kulma tunnettu (SKS).
Oletetaan, että kolmion kaksi sivua ovat "a" ja "b" ja niiden välinen kulma γ. Kolmas sivu voidaan tällöin laskea kosinilauseen avulla:
formula_11
Tämän jälkeen voidaan kosinilauseen avulla laskea kolmion toinenkin kulma:
formula_12
ja edelleen kolmas kulma:
formula_13.
Kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu tunnettu (KSK).
Oletetaan, että kolmiosta tunnetaan kaksi kulmaa, α ja β, ja niiden välinen sivu "c". Kolmion kolmas kulma on tällöin:
formula_8.
Kaksi tuntematonta sivua voidaan laskea sinilauseen avulla.
formula_15
Kaksi kulmaa ja toisen vastainen sivu tunnettu (SKK).
Jos kolmion kaksi kulmaa ja niistä toisen vastainen sivu tunnetaan, muut kulmat ja sivut voidaan laskea samoin kuin edellä, kun kulmien välinen sivu tunnetaan. Ensin lasketaan kolmion kolmas kulma käyttäen sitä tietoa, että kolmion kulmien summa on vakio (180°), minkä jälkeen muut kaksi sivua lasketaan sinilauseen avulla kuten edellä.
Kaksi sivua ja toisen vastainen kulma tunnettu (SSK).
Jos kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma on annettu, ei kolmiota kaikissa tapauksissa voida muodostaa. Toisinaan taas nämä ehdot toteuttavia kolmioita on kaksi erilaista. Ratkaisu on yksikäsitteinen vain, jos annetun kulman viereinen annettu sivu on lyhempi kuin toinen annettu sivu.
Oletetaan, että sivut "b" ja "c" ja kulma β on annettu. Sinilauseen nojalla kulmalle γ saadaan lauseke:
formula_16
Seuraavassa käytetään edellisen yhtälön oikealle puolelle suhteelle formula_17 merkintää "D". Tällöin on neljä erilaista tapausta: 
Kun kulma γ on näin saatu, kolmas kulma voidaan laskea: :formula_8. Kolmas sivu "a" voidaan laskea joko sinilauseella:
formula_23
tai kosinilauseella:
formula_24
Pallokolmion ratkaiseminen.
Tasokolmion tavoin myös pallokolmiota luonnehtii kolme sivua ja kolme kulmaa. Kun näistä yhteensä kuudesta suureesta tunnetaan kolme, voidaan kolme muutakin ratkaista. Pallokolmion sivut "a", "b" ja "c" ovat pallon isoympyröiden kaaria, ja niiden pituuksien sijasta käytetään yleensä niitä vastaavia keskuskulmia, jotka ilmoitetaan kulmayksiköissä. Yksikköpallolla tämä keskuskulma radiaaneina on yhtä suuri kuin kaaren pituus. Muun suuruisilla palloilla taas tämä keskuskulma radiaaneina on yhtä suuri kuin kaaren pituus jaettuna pallon säteellä.
Pallogeometria poikkeaa monessa suhteessa tason euklidisesta geometriasta, joten pallokolmioiden ratkaisemisessa on noudatettava eri sääntöjä. Esimerkiksi pallokulmion kulmien summa α + β + γ on aina suurempi kuin 180° ja riippuu kolmion koosta. Lisäksi erikokoiset kolmiot eivät voi olla yhdenmuotoisia, ja näin ollen pallokolmion sivut voidaan yksikäsitteisesti määrittää, jos tunnetaan kolmion kaikki kulmat. Tasotrigonometrian sini- ja kosinilauseilla on kuitenkin läheiset vastineet myös pallotrigonometriassa: sinilause
formula_25,
sekä ensimmäinen ja toinen kosinilause
formula_26
missä "A", "B" ja "C" ovat pallokolmion kulmat ja "a", "b" ja "c" sen (kulmamitoissa ilmaistut) sivut.
Muita usein käyttökelpoisia lauseita ovat puolen sivun kaava ja Napierin verrannot:
formula_27
Jäljempänä esitettävissä yhtälöissä "a", "b" ja "c" tarkoittavat siis kaaria vastaavia keskuskulmia kulmayksiköissä. Jos ne halutaan ilmaista pituusyksiköissä, on "a", "b" ja "c" kaikkialla korvattava lausekkeilla "a"/"R", "b"/"R" ja "c"/"R", missä kulmat on mitattu radiaaneina ja "R" on pallon säde. Edellä esitetyt tasokolmioita koskevat lausekkeet saadaan tällöin raja-arvoina, kun "R" kasvaa rajatta eli lähestyy ääretöntä.
Pallokolmion kolme sivua tunnettu (SSS).
Oletetaan, että kolmion sivut "a", "b" ja "c" tunnetaan kulmayksiköissä. Kolmion kulmat voidaan laskea pallotrigonometrian kosinilauseen avulla:
formula_28
Pallokolmion kaksi sivua ja niden välinen kulma tunnettu (SKS).
Oletetaan, että pallokolmion kaksi sivua ovat kulmayksiköissä "a" ja "b" ja että niiden välinen kulma on γ. Sivu "c" saadaan nytkin pallotrigonometrian kosinilauseen avulla:
formula_29
Kulmat α ja β voidaan laskea kuten edellä taikka Napierin verrantojen avulla seuraavasti:
formula_30
Tätä tulosta sovelletaan navigoinnissa maapallon isoympyrää pitkin tai määritettäessä kahden maapallolla olevan paikkakunnan kautta kulkeva isoympyrä, kun paikkakuntien leveys- ja pituusasteen tunnetaan. Tällöin on käytettävä kaavoja, jotka eivät ole alttiina suurille pyöristysvirheille. Seuraavat vektorialgebran avulla johdetut kaavat ovat käyttökelpoisia:
formula_31
joissa lausekkeiden osoittajan ja nimittäjän etumerkeistä päätellään, mihin tason neljännekseen arkustangentti kuuluu.
Pallokolmion kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma tunnettu (SSK).
Tämä tehtävä ei kaikissa tapauksissa ole ratkaistavissa, ja ratkaisu on varmasti yksikäsitteinen vain, jos tunnetun kulman viereinen sivu on lyhyempi kuin toinen tunnettu sivu.
Oletetaan, että tunnetaan sivut "b" ja "c" ja sivun "b" vastainen kulma β. Ratkaisu on olemassa, jos seuraava ehto pätee:
formula_32
Kulma γ saadaan tällöin pallokolmioiden sinilauseen avulla:
formula_33
Jos "b" &lt; "c", ratkaisuja on kaksi, samoin kuin tasokolmioidenkin tapauksessa, nimittäin γ ja 180° - γ.
Sivu "a" ja sen vastainen kulma α saadaan Napierin verrantojen avulla:
formula_34
Pallokolmion kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu tunnettu (KSK).
Oletetaan, että kolmiosta tunnetaan kaksi sivua, α ja β ja niiden välinen sivu "c". Lasketaan ensin kolmion kolmas kulma γ pallokolmioiden kosinilauseen avulla:
formula_35
Kaksi tuntematonta sivua saadaan lasketuiksi joko tämän lasketun kulman γ ja pallokolmioiden kosinilauseen avulla:
formula_36
tai Napierin epäyhtälöillä:
formula_37
Pallokolmion kaksi kulmaa ja toisen kulman vastainen sivu tunnettu (SKK).
Oletetaan, että pallokolmiosta tunnetaan kulmat α ja β sekä kulman α vastainen sivu "a". Sivu "b" saadaan tällöin lasketuksi pallokolmioiden sinilauseen avulla:
formula_38
Jos kulma α on terävä ja α &gt; β, tehtävällä on toinekin ratkaisu:
formula_39
Muut sivut ja kulma γ saadaan Napierin verrantojen avulla:
formula_40
Pallokolmion kolme kulmaa tunnettu (KKK).
Toisin kuin tasokolmioilla, pallokolmion sivujen pituudet voidaan yksikäsitteisesti ratkaista myös siinä tapauksessa, että tunnetaan vain kaikki kolme kulmaa, α, β ja γ. Sivut saadaan pallokolmioiden kosinilauseen avulla:
formula_41
Suorakulmaisten pallokolmioiden ratkaiseminen.
Edellä esitetyt algoritmit yksinkertaistuvat huomattavati, jos jokin pallokolmion kulmista, esimerkiksi kulma γ, on [[suora kulma|suora]. Sellainen kolmio voidaan ratkaista, kun suoran kulman lisäksi tunnetaan kaksi muuta elementtiä (sivua tai kulmaa); muut kolme voidaan tällöin ratkaista joko [[Napierin viisikulmio]]n tai seuraavien relaatioiden avulla:
formula_42 (pallokolmioiden sinilauseen mukaan)
formula_43
formula_44 (pallokolmioden kosinilauseen mukaan)
formula_45
formula_46 (pallokolmioiden kosinilauseen mukaan)
formula_47
Sovelluksia.
Kolmiomittaus.
[[Tiedosto:distance by triangulation.svg|thumb|right|320px|Etäisyyden määritys kolmiomittauksen avulla]]
Jos halutaan määrittää kaukana näkyvän laivan etäisyys rannasta ("d"), valitaan rannalta kaksi pistettä, joiden etäisyys eli kolmiomittauksen "perusviiva", "l", tunnetaan. Olkoot α ja β perusviivan ja laivaan osoittavien suuntien väliset kulmat.
Kun laiva näkyy, sen etäisyys ei ole niin suuri, että maan pallonmuotoisuus olisi otettava huomioon. Näin ollen voidaan käyttää tasokolmioiden KSK-tapauksen tulosta. Laivan etäisyys rannasta on perusviivan päätepisteiden ja laivan muodostaman kolmion korkeusjanan pituus:
formula_48
Jos maan pallonmuotoisuus kuitenkin on otettava huomioon, on ensin laskettava etäisyys jommastakummasta pisteestä (α tai β) laivaan. Pisteestä α laskettu etäisyys on edellä KSK-tapaukselle johdetun lausekkeen mukaan
formula_49.
Kun tämä sijoitetaan tapauksessa SKK saatuun lausekkeesen ja käytetään suorakulmaista osakulmiota, johon sisältyvät kulma α ja sivt "b" ja "d", saadaan:
formula_50
Tasokolmiolle edellä kohdettu lauseke on itse asiassa sama kuin [[Taylorin sarja]]n ensimmäinen termi, kun pallokolmiole kohdettu lauseke esitetään ℓ:n potenssien sarjana.
Tätä menetelmää käytetään [[kabotaasi]]ssa. Kulmat α ja β määritetään tarkkailemalla tuttuja maamerkkejä laivasta käsin.
[[File:mountain height by triangulation.svg|thumb|right|320px|Vuoren korkeuden määritys]]
Toisena esimerkkinä voidaan tarkastella vuoren tai korkean rakennuksen korkeuden määritystä. Valitaan maan pinnalta kaksi pistettä, joista katsottuna vuoren tai rakennuksen huipun korkeuskulmat ovat α ja β, ja olkoon "ℓ" näiden pisteiden etäisyys toisistaan. Samoista KSK-tapauksen kaavoista saadaan korkeudeksi: 
 h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha} \ell.
&lt;/math&gt;
Kahden maapallolla olevan paikan välinen etäisyys.
[[File:distance on earth.png|224px|right]]
Jos kahden maapallolla olevan paikkakunnan [[maantieteellinen pituus ja leveys]] ovat
Kahden maapallolla olevan paikkaku
To calculate the distance between two points on the globe,
paikkakunta A: leveys λ"A", pituus "L"A, ja
paikkakunta B: leveys λ{"b", pituus "L""B", 
niiden välinen etäisyys maapallon [[isoympyrä]]ä pitkin mitattuna voidaan laskea muodostamalla maapallolle pallokolmio, jonka kärkinä "A" ja "B" ovat paikkakunnat A ja B sekä kolmantena kärkipisteenä "C" [[pohjoisnapa]]. 
Tällöin pallokulmion kaksi sivua ovat:
formula_51
Kolmiosta tunnetaan siis kaksi sivua ja niiden välinen kulma, joka on sama kuin paikkakuntien A ja B maantietellisten pituuksien erotus |"L""B" - "L""A"|.
Edellä olevan SKS-tuloksen mukaan paikkakuntien A ja B etäisyys on siis:
formula_52, 
missä "R" on Maan säde (noin 6366 km).
Muita sovelluksia.
Pallokolmioiden ratkaisemisen muihin sovelluksiin kuuluu myös [[muslimi]]en kohti [[Mekka]]a osoittavan rukokussuunnan eli [[qiblan määrittäminen]]. Tehtävä voidaan ratkaista muodostamalla pallokolmio, yksi kärki (A) on pohjoisnavalla, toinen (B) Mekassa ja kolmas (C) sillä paikkakunnalla, josta käsin suunta on määritettävä. Tällöin kulma γ, jonka kärki on pisteessä C, osoittaa, minkä verran tämä suunta poikkeaa pohjoissuunnasta.
Aiheesta muualla.
[[Luokka:Trigonometria]]