Nuoli (kategoriateoria)

Nuoli on kategoriateorian peruskäsite, joka kuvaa kahden pisteen välistä suunnattua yhteyttä. Nuolet ilmaisevat, miten kategorian pisteet ovat suhteessa toisiinsa, ja ne ovat kategoriateorian rakenteen keskeisin osa.
Kategoriateoriassa ei tutkita pisteiden sisäistä rakennetta, vaan niiden välisiä suhteita, joita nuolet edustavat. Näin ollen nuolet voidaan ymmärtää abstrakteina yhteyksinä, jotka voivat tarkoittaa esimerkiksi kuvauksia joukkojen välillä, ryhmähomomorfismeja, topologisia kuvauksia tai muita rakenteita säilyttäviä kuvauksia.
Nuolista käytetään myös nimityksiä muunnos, kuvaus tai morfismi riippuen asiayhteydestä.
Kansantajuinen selitys.
Kategoriateorian lähtökohtana on ajatus, että olioita voidaan ymmärtää niiden välisten suhteiden kautta. Nuolet kuvaavat juuri näitä suhteita. Ne kertovat, miten yksi piste voidaan yhdistää toiseen — ei niinkään sitä, mitä nuo pisteet ovat sisältäpäin. Tämä lähestymistapa kääntää perinteisen ajattelun toisin päin: sen sijaan, että ensin määriteltäisiin rakenteet ja sitten tutkittaisiin niiden välisiä yhteyksiä, kategoriateoria aloittaa näistä yhteyksistä.
Nuolilla on aina täsmälleen yksi alkupiste ja täsmälleen yksi loppupiste, mikä on niiden ainoa piirtämisvaiheen rajoite. Nuoli voi kulkea joko yhdestä pisteestä toiseen pisteeseen tai se voi muodostaa "silmukan" eli alkaa ja loppua samaan pisteeseen. Yhdestä pisteestä voi lähteä monta nuolta yhteen tai useampaan pisteeseen ja vastaavasti siihen voi päättyä monesta eri pisteestä tulevia nuolia. Jokainen nuoli on suunnattu ja yksisuuntainen, mutta kahden pisteen välillä voi kulkea useita nuolia kumpaankin suuntaan. Tämä joustavuus tekee nuolista yleisen työkalun monenlaisten matemaattisten rakenteiden kuvaamiseen.
Nuolet voidaan myös liittää toisiinsa, jos niiden päät sopivat yhteen: jos nuoli formula_1 kulkee pisteestä formula_2 pisteeseen formula_3 ja toinen nuoli formula_4 pisteestä formula_3 pisteeseen formula_6, voidaan muodostaa liitos formula_7, joka kulkee pisteestä formula_2 pisteeseen formula_6. Tätä liitosta voi verrata kuvausten yhdistämiseen, ja se on yksi kategorian perusominaisuuksista.
Kullekin pisteelle kuuluu myös "identiteettinuoli" formula_10, joka toimii ”neutraali­elementtinä”: se ei muuta mitään, mutta takaa, että liitokset toimivat johdonmukaisesti.
Niinpä jos nuoli formula_1 alkaa pisteestä formula_2 ja päättyy pisteeseen formula_3, pätee
formula_14 ja formula_15.
Määritelmä.
Kategoria formula_16 koostuu luokasta pisteitä formula_17 ja luokasta pisteiden välisiä nuolia formula_18, jotka täyttävät seuraavat ehdot:
Esimerkkejä.
Eri kategorioissa nuolet saavat erilaisia tulkintoja:
Nuolet ja liitokset.
Nuolten liittäminen on kategoriateorian perusoperaatio. Jos kategorian pisteet ja nuolet esitetään kaaviona
formula_32,
niin liitoksen tuloksena saadaan nuoli formula_33.
Liitoksen on aina säilytettävä kategorian rakenne: se ei saa muuttaa pisteiden välisiä suhteita eikä identiteettinuolia.
Identiteettinuoli.
Jokaisella pisteellä on oma identiteettinuolensa formula_10, joka toimii "tyhjänä muunnoksena". Se ei muuta mitään, mutta takaa, että liitokset käyttäytyvät säännönmukaisesti:
formula_14 ja formula_15.
Vaihdannaiset kaaviot.
Kategorian kaavio on vaihdannainen, jos kaikki pisteiden väliset polut johtavat samaan tulokseen. Tämä ilmaisee, että eri reittejä pitkin liitetyt nuolet antavat saman lopputuloksen.
Merkitys kategoriateoriassa.
Nuoli on kategoriateorian perusyksikkö, jonka varaan koko rakenne rakentuu.
Kategorian määritelmä, ylinuolet, luonnolliset muunnokset, rajat ja Yonedan apulause perustuvat kaikki nuolten ominaisuuksiin ja niiden liitoksiin. Ilman nuolen käsitettä ei ole kategoriaa.