Sijoitusmenetelmä

Sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto on integraalilaskennassa usein käytetty, yhdistetyn funktion derivoimissääntöön eli ketjusääntöön perustuva menetelmä annetun funktion integroimiseksi. Sijoitusmenetelmää käytettäessä ikään kuin sovelletaan ketjusääntöä takaperoisesti.
Yhden muuttujan vaihto.
Johdanto.
Annetun funktion integraalifunktion määrittäminen ei aina ole yksinkertainen tehtävä. Aina integraalifunktiota ei edes voi esittää alkeisfunktioiden avulla. Joidenkin funktioiden, esimerkiksi polynomien, eksponenttifunktion sekä sinin ja kosinin integraalifunktiot saadaan kuitenkin yksinkertaisesti soveltamalla derivoimissääntöjä takaperin.
Monissa tapauksissa integrointia voidaan tehostaa sopivilla apukeinoilla. Tärkeimpiä tällaisia apukeinoja ovat sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto sekä osittaisintegrointi.
Oletetaan, että funktio "f" on määritelty välillä Δ ja että F on jokin sen integraalifunktio, toisin sanoen
 formula_1.
Muuttujan vaihto voidaan suorittaa ottamalla käyttöön apufunktio formula_2, joka täyttää seuraavat ehdot:
Jos nämä ehdot täyttyvät, integraalissa
formula_4
voidaan ottaa käyttöön uusi muuttuja sijoituksella "x" = "x"("u"), missä funktio "u" -&gt; "x"("u") täyttää edellä olevat ehdot. Tällöin "f"("x") on korvattava lausekkeella "f"("x"("t")) ja "dx" lausekkeella "x"'("t")"dt").
Kun integrointi on suoritettu, on integraalifunktiota määritettäessä palautettava muuttuja "x" sijoittamalla "u" = "u"("x").
Uusi muuttuja "u" on valittava niin, että saatu funktio on helpommin integroitavissa kuin alkuperäinen funktio.
Kun sijoituksen avulla määritetään määrätty integraali, on myös integroimisrajat muutettava niin, että integroimisvälin ala- ja ylärajoiksi määritetään ne "u":n arvot, jotka "u" saa alkuperäisen, "x":n avulla määritellyn integroimisvälin ala- ja ylärajalla.
Määrätty integraali.
Olkoon formula_5 differentioituva funktio, jolla on jatkuva derivaatta, kun formula_6 on jokin väli. Oletetaan lisäksi, että formula_7 on jatkuva funktio. Silloin on 
formula_8
Käytettäessä lausekkeen formula_9 derivaatalle Leibnizin merkintää saadaan:
formula_10
Käyttämällä heuristisesti infinitesimaaleja saadaan yhtälö
formula_11, 
mistä näyttää seuraavan edellä oleva muunnoskaava. Täsmällisesti se voidaan todistaa tulkitsemalla se differentiaalimuotoja koskevaksi lauseeksi. Integrointia sijoitusmenetelmällä voidaankin käyttää perusteluna Leibnizin käyttöön ottamille derivaatan ja integraalin merkintätavoille.
Tämän lauseen avulla integraali voidaan usein muuttaa toiseksi integraaliksi, joka on helpommin laskettavissa. Kaava voidaankin lukea vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle integraalin yksinkertaistamiseksi. Kun se luetaan vasemmalta oikealle, sitä sanotaan toisinaan "u"-sijoitukseksi tai "w"-sijoitukseksi. Silloin uusi muuttuja määritellään alkuperäisen muuttujan funktiona, joka esiintyy funktiossa, joka saadaan kertomalla yhdistetty funktio sisäfunktion derivaatalla. Oikealta vasemmalle kaavaa luetaan lähinnä korvattaessa alkuperäinen muuttuja jollakin uuden muuttujan trigonometrisella funktiolla ja alkuperäinen differentiaali trigonometrisen funktion differentiaalilla.
Todistus.
Sijoitusmenettelyn perustana oleva lause voidaan johtaa analyysin peruslauseesta seuraavasti. Olkoot formula_12 ja formula_13 kaksi funktiota, joista formula_12 on jatkuva välillä formula_15 ja formula_13 integroituva suljetulla välillä formula_17. Silloin myös funktio formula_18 on integroituva välillä [a, b]. Niinpä integraalit 
formula_19
ja
formula_20
ovat molemmat olemassa, ja on vain osoitettava, että ne ovat yhtä suuret.
Koska formula_12 on jatkuva, sillä on integraalifunktio formula_22. Yhdistetty funktio formula_23 on silloin määritelty. Koska formula_13 on differentioituva, yhdistmällä ketjusääntö ja integraalifunktion määritelmä saadaan 
formula_25
Soveltamalla analyysin peruslausetta kahdesti saadaan:
formula_26
mikä on juuri sijoitus- eli muuttujanvaihtosääntö.
Esimerkkejä.
Esimerkki 1:.
Tarkastellaan integraalia
formula_27
Tehdään sijoitus formula_28, jolloin formula_29, mikä merkitsee, että formula_30. Niinpä,
formula_31
Koska alaraja formula_32 korvattiin alarajalla formula_33 ja yläraja formula_34 ylärajalla formula_35, muunnosta takaisin muuttujan formula_36 sisältäväksi lausekkeeksi ei tarvita.
Vaihtoehtoisesti voidaan ensin käsitellä määräämätöntä integraalia eli integraalifunktiota niin pitkälle kuin mahdollista ja ottaa reunaehdot huomioon vasta sen jälkeen. Tämä on käytännöllistä varsinkin, jos suoritettavia muuttujanvaihdoksia on useita.
Esimerkki 2:.
Integraalille
formula_37
on käytettävä edellisen menetelmän muunnelmaa. Sijoitus formula_38, josta seuraa formula_39, on käyttökelpoinen, koska formula_40. Saadaan siis
formula_41
Tuloksena saatu integraali voidaan laskea joko osittaisintegroinnilla tai soveltamalla kaksinkertaisen kulman trigonometrisia funktioita koskevaa yhteyttä formula_42 ja tekemällä toinenkin muuttujanvaihto. Voidaan myös huomata, että integroitava funktio on yksikköympyrän ylempi oikeanpuoleinen neljännes, ja niinpä tämän funktion integraali välillä [0, 1] merkitsee geometrisesti yksikkökiekon neljänneksen pinta-alaa, joka on formula_43.
Integraalifunktio.
Sijoitusmenetelmällä voidaan määrittään annetun funktion integraalifunktio eli antiderivaatta. Ensin valitaan muuttujaksi "u" jokin "x":n funktio, minkä jälkeen johdetaan differentiaalille "du" lauseke "dx":n avulla ja päinvastoin sekä suoritetaan muuttujanvaihto. Jos muodostetun "u":n funktion integraalifunktio on määritettävissä, sellaiseksi saadaan toinen "u":n funktio, joka lopuksi ilmaistaan jälleen "x':n funktiona.
Edellä esimerkissä 1 käsitellylle funktiolle voidaan muuttujanvaihdolla määrittää integraalifunktio seuraavasti:
formula_44
missä formula_45 on mielivaltainen integroimisvakio.
Tässä tapauksessa ei ole integroimisrajoja, jotka olisi muunnettava, mutta viimeinen vaihe, jossa alkuperäinen muuttujanvaihto formula_28 suoritetaan käänteiseen suuntaan, on välttämätön. Kun määrätty integraali lasketaan sijoitusmenetelmällä, onkin ensin muodostettava integraalifunktio ja sitten muutettava integroimisrajat sen mukaisiksi. Sen sijaan pelkästään integraalifunktiota määritettäessä ei integroimisrajojen käsittelyä tarvita.
Tangenttifunktio voidaan myös integroida sijoitusmenetelmällä esittämällä se sinin ja kosinin avulla:
formula_47
Suoritetaan sijoitus formula_48, jolloin saadaan formula_49 ja edelleen
formula_50
Muuttujanvaihto useamman muuttujan funktioille.
Muuttujanvaihtoa voidaan käyttää myös integroitaessa useamman muuttujan funktioita. Silloin korvausfunktion formula_51 on oltava injektio ja jatkuvasti differentioituva, ja differentiaalit muuntuvat muotoon 
formula_52
missä formula_53 tarkoittaa funktion formula_54 osoittaisderivaattojen Jacobin matriisin determinanttia pisteessä formula_55. Tämä kaava ilmaisee sen seikan, että matriisin determinantin itseisarvo on yhtä suuri kuin sen sarakkeiden ja rivien määrittämän parallelotoopin tilavuus. 
Täsmällisemmin muuttujanvaihtokaavan ilmaisee seuraava lause:
Lause. Olkoon formula_56 avoin joukko ja formula_57 injektiivinen differentioituva funktio, jolla on jatkuvat osittaisderivaatat ja jonka Jacobin determinantti ei ole nolla missään "U":n pisteessä. Silloin jokaiselle reaaliarvoiselle, kompaktissa joukossa määritellylle funktiolle "f", jonka määrittelyjoukko sisältyy formula_58:hun, pätee:
formula_59
Lauseen ehtoja voidaan heikentää eri tavoin. Esimerkiksi vaatimus, että formula_54:n on oltava jatkuvasti differentoituva, voidaan korvata heikommalla ehdolla, että formula_54 on differentoituva ja että sillä on jatkuva käänteisfunktio. Käänteisfunktiolause takaa, että tämä ehto pätee aina, jos formula_54 on jatkuvasti differentioituva. Sardin lauseetta soveltamalla voidaan myös poistaa vaatimus, että formula_63:n determinantti ei saa olla nolla.
Lebesgue-mitallisille funktioille lause voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Lause. Olkoon formula_56 mitallinen joukko ja formula_57 injektiivinen funktio, ja oletetaan lisäksi, että jokaista pistettä formula_66 kohti on olemassa sellainen formula_67, että formula_68, kun formula_69. (Tässä o(||y-x||) on Landaun symboli).
Silloin formula_70 on mitallinen, jokaiselle reaaliarvoiselle funktiolle "f", joka on määritelty alueessa formula_70, pätee:
formula_72
siinä mielessä, että jos jompikumpi integraali on olemassa, vaikka olisi ääretönkin, toinenkin on olemassa ja molemmat ovat arvoltaan yhtä suuret.
Toinen hyvin yleinen versio mittateoriassa on seuraava:
Lause. Olkoon "X" lokaalisti kompakti Hausdorff-avaruus, jossa on määritelty äärellinen Radonin mitta μ, ja olkoon "Y" sigma-kompakti Hausdorff-avaruus, jossa on määritelty sigma-äärellinen Radonin mitta ρ. Olkoon formula_73 jatkuva ja itseisesti jatkuva funktio, toisin sanoen formula_74 aina, kun formula_75. Silloin on olemassa sellainen Borel-mitallinen funktio formula_76, että jokaiselle Lebesgue-intergroituvaa funktiota formula_77 vastaava yhdistetty funktio ("f" ∘ "φ") ⋅ "w" on Lebesgue-integroituva alueessa "X" ja 
formula_78
Lisäksi on olemassa sellainen joukossa "Y" määritelty Borel-mitallinen funktio "g", että
formula_79.
Geometrisessa mittateoriassa integrointia sijoitus­menetelmällä käytetään Lipschitz-funktioille. Jos Lipschitz-funktio on injektiivinen ja sen käänteisfunktio on myös Lipschitz-funktio, Rademacherin lauseen mukaan funktio on differentoituva melkein kaikkialla. Erityisesti tällaisen funktion Jacobin determinantti formula_80 on melkein kaikkialla hyvin määritelty. Tällaisia funktiota koskee seuraava lause:
Lause Olkoon formula_81 avoin joukko ja formula_57 Lipschitz-funktio, jonka käänteisfunktio on myös Lipschitz-funktio. Olkoon lisäksi formula_83 mitallinen. Silloin 
formula_84
siinä mielessä, että jos jompikumpi integraaleista on olemassa (tai se on ääretön), silloin toinenkin on olemassa ja molemmat integraalit ovat yhtä suuret.
Tämän lauseen esitti konjektuurina ensimmäisenä Euler vuonna 1769 kehittäessään kaksin­kertaisen integraalin käsitteen. Vaikka sen yleisti kolmin­kertaiselle integraalille Lagrange vuonna 1773 ja yleisesti "n" muuttujalle Mihail Ostrogradski vuonna 1836 ja vaikka sitä sovelsivat Legendre, Laplace ja Gauss, sen onnistui täsmällisesti todistamaan vasta Élie Cartan 1890-luvulla.
Sovellus todennäköisyyslaskentaan.
Muuttujanvaihdon avulla voidaan ratkaista seuraava toden­näköisyys­laskennassa tärkeä kysymys: Jos formula_85 on satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio formula_86 tunnetaan, ja formula_87 sen avulla määritelty toinen satunnaismuuttuja, mikä on formula_88:n tiheysfunktio?
Vastauksen saamiseksi kannattaa ensin asettaa kysymys hieman toisin: millä todennäköisyydellä formula_88 saa arvon, joka kuuluu tiettyyn osajoukkoon formula_90. Käytetään tälle todennäköisyydelle merkintä formula_91. Jos formula_88:n tiheysfunktio tunnetaan ja se on formula_93, todennäköisyys on tietysti
formula_94.
Yleensä tätä tiheysfunktiota formula_93 ei kuitenkaan tunneta, vaan se juuri on määritettävä. Tehtävä voidaan ratkaista tarkastelemalla muuttujaa formula_85. Muuttujan formula_88 arvo kuuluu joukkoon formula_90, jos ja vain jos formula_85 kuuluu joukkoon formula_100. Niinpä
formula_101
Vaihtamalla muuttuja formula_36 muuttujaan formula_103 saadaan:
formula_104
Yhdistämällä tämä ja ensimmäinen yhtälö saadaan
formula_105
ja niinpä
formula_106
Mikäli formula_85 ja formula_88 voidaan esittää useamman keskenään riippumattoman satunnaismuuttujan avulla, toisin sanoen jos formula_109 ja formula_110, formula_93 saadaan suorittamalla muuttujanvaihto useammalle muuttujalle. Tulos on
formula_112