Pallotrigonometria

Pallotrigonometria tarkoittaa kolmiomittausta pallon pintaa pitkin. Koska pallopinta eroaa kaarevuutensa vuoksi tasosta, myös pallotrigonometrialla on eroja koulusta tuttuun tason trigonometriaan verrattuna. Pallotrigonometrialla on perinteisesti ollut erityisen suuri merkitys tähtitieteessä sekä navigoinnissa.
Pallokolmio.
Pallotrigonometrian perusobjekti on pallokolmio. Pallokolmio muodostuu kolmen pallon keskipisteen kautta kulkevan tason ja pallon pinnan leikkauksena syntyvistä pallon isoympyrän kaarista. Pallokolmion kulmat ovat näiden tasojen väliset kulmat eli diedrikulmat. Koska isoympyrän kaarien suuruus ilmaistaan niitä vastaavien keskuskulmien suuruutena, pallokolmion sivut ja kulmat ilmoitetaan molemmat kulmamitoin. Pallotrigonometrian sovelluksissa käytetään lähes yksinomaan kulman mittayksikkönä astetta, mutta joissakin teoreettisissa tarkasteluissa on hyödyllisempää käyttää radiaaniyksikköä. 
Olkoon formula_1 pallon keskipiste. Pallokolmion formula_2 napakolmio on formula_3, missä formula_4 on tason formula_5 normaali ja formula_6 on se normaalin ja pallon leikkauspiste, josta tarkasteltuna kaari formula_7 kuljetaan positiiviseen kiertosuuntaan ja formula_8, formula_9 määritellään analogisesti. Napakolmion sivuille formula_10 pätee formula_11, formula_12 ja formula_13. Osoittautuu, että kolmion formula_3 napakolmio on formula_2. Siis formula_16, formula_17 ja formula_18.
Pallotrigonometrian kaavoja.
Pallokolmioiden tuntemattomien osien laskeminen tunnettujen osien avulla perustuu pallotrigonometrian sini- ja kosinilauseisiin. Jos pallokolmion kulmat ovat formula_19, formula_20 ja formula_21 (pallokolmion kulmia ja sen kärkiä on tapana merkitä samalla symbolilla) ja niiden vastaiset sivut formula_22, formula_23 ja formula_24, niin pallotrigonometrian sinilauseen ilmaisevat yhtälöt 
formula_25.
Pallotrigonometrian (ensimmäinen) kosinilause puolestaan sisältyy yhtälöön
formula_26
(ja siitä symbolien kiertovaihteluilla muodostettuihin yhtälöihin). 
Pallotrigonometrian toinen kosinilause puolestaan sisältyy yhtälöön 
formula_27
(ja siitä symbolien kiertovaihteluilla muodostettuihin yhtälöihin).
Pallotrigonometrian ensimmäisen kosinilauseen todistamiseksi oletetaan pallon säteeksi 1. Merkitään pallokolmion kärkipisteitä samoilla kirjaimilla kuin sen kulmia ja pallon keskipistettä formula_1:lla. Tason formula_29 normaalivektori on formula_30 ja tason formula_31 normaalivektori on formula_32. Kerrottavien vektorien pituus on 1, joten ristitulojen pituudet ovat formula_33 ja formula_34. Lisäksi formula_35, formula_36 ja formula_37. Normaalivektorien pistetulon avulla voidaan ilmaista tasojen formula_29 ja formula_31 välisen kulman kosini eli formula_40:
formula_41 Edellä käytettiin tietoa kertomisjärjestyksen vaihtamismahdollisuudesta skalaarikolmitulossa ja vektorikolmitulon laskukaavaa.
Pallotrigonometrian sinilause voidaan johtaa kosinilauseesta trigonometrian peruskaavojen avulla ja toinen kosinilause on ensimmäinen kosinilause sovellettuna formula_2:n napakolmioon formula_3.
Pallokolmion palloylijäämä.
Tasogeometrian kolmion kulmasummalause ei päde pallokolmioille. Pallokolmion kulmien summa on aina suurempi kuin formula_44. Tämän todistamiseksi tarkastellaan ensin pallokolmiota formula_45, missä formula_46 on pisteen formula_21 antipodipiste eli formula_21:stä piirretyn pallon halkaisijan toinen päätepiste. Tämän kolmion sivut ovat formula_49. Koska isoympyrän kaari formula_50 on pallon geodeettinen viiva eli lyhin tie pisteestä formula_19 pisteeseen formula_20, on formula_53 eli formula_54. Pallokolmion sivujen pituus on siis enintään formula_55. Kun tämä relaatio sovitetaan napakolmioon ja otetaan huomioon napakolmion sivujen ja alkuperäisen kolmion kulmien välinen yhteys, saadaan formula_56 eli formula_57. Pallokolmion ja tasokolmion kulmien summien erotusta formula_58 kutsutaan palloylijäämäksi tai pallokolmioylijäämäksi (engl. "spherical excess"). Jos pallokolmion kulmien formula_19, formula_20 ja formula_21 suuruudet on ilmoitettu radiaaneissa, palloylijäämä on
formula_62.
Pallokolmion pinta-ala formula_63 on suorassa yhteydessä sen palloylijäämään. Jos kulmayksikkönä käytetään radiaania, on
formula_64,
missä formula_65 on pallon säde. On nimittäin helppo nähdä, että pallokaksikulmiot, joiden kärjet ovat pallokolmion kärkiä ja sivut pallokolmion jatkeita, peittävät yhteensä puolipallon pinnan ja sen lisäksi kahdesti pallokolmion formula_2. Koska pallokaksikolmioiden alat ovat (jos kulmat ilmaistaan radiaaneina) formula_67, formula_68 ja formula_69 koko pallon pallon pinta-alasta eli formula_70, formula_71 ja formula_72, saadaan yhtälö formula_73, mistä formula_74.
Täten palloylijäämä ilmoittaa (steradiaaneissa) sen avaruuskulman, jossa pallokolmio näkyy pallon keskipisteestä katsottuna.
Isoympyräetäisyys.
Pallotrigonometrian ensimmäisen kosinilauseen avulla voidaan määrittää kahden maapallon pinnan pisteen formula_20 ja formula_21 lyhin etäisyys, kun pisteiden maantieteelliset koordinaatit tunnetaan. Muodostetaan pallokolmio, jonka yksi kärki (formula_19) on pohjoisnapa ja toiset kärjet formula_20 ja formula_21. Tällöin formula_23 (tai formula_24) on joko formula_82 pisteen leveyskoordinaatti (jos piste on pohjoisella pallonpuoliskolla) tai formula_83 pisteen leveyskoordinaatti (jos piste on eteläisellä pallonpuoliskolla). Kulma formula_19 on joko pisteiden formula_20 ja formula_21 pituuskoordinaattien erotus (jos pisteet ovat molemmat itäisellä tai molemmat läntisellä pallonpuoliskolla) tai pienempi luvuista pituuskoordinaattien summa ja formula_87 pituuskoordinaattien summa (jos toinen piste on läntisellä ja toinen itäisellä pallonpuoliskolla). Ensimmäinen kosinilause kertoo pisteitä formula_20 ja formula_21 yhdistävän ispoympyräkaaren kosinin; kun tästä määritetään kulma formula_22 ja otetaan huomioon maapallon ympärysmitta noin 40000 km, saadaan isoympyräkaaren formula_7 pituus formula_92 km.