Hippokrateen puolikuut

Hippokrateen puolikuut eli Alhazenin puolikuut ovat kuunsirpin muotoiset alueet, jotka jäävät suora­kulmaisen kolmion hypotenuusa halkaisijana piirretyn puoliympyrän ulkopuolelle mutta sisältyvät jompikumpi kateetti halkaisijana piirrettyyn puoliympyrään, kun tällaisen kolmion jokainen sivu halkaisijana piirretään ympyrä. Näiden alueiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin suora­kulmaisen kolmion pinta-ala.
Tämä voidaan todistaa seuraavasti: Ensinnäkin käänteisestä Thaleen lauseesta seuraa, että hypotenuusa halkaisijana piirretty ympyrä todella kulkee suoran kulman kärjen kautta. 
Merkitään kateettien pituuksia "a":lla ja "b":llä, ja hypotenuusan pituutta "c":llä. Suora­kulmaisen kolmion pinta-ala on tällöin formula_1, ja koska kateettien puolikkaiden pituudet ovat formula_2 ja formula_3, ovat nämä puolikkaat säteinä (eli kateetit halkaisijana) piirrettyjen puoli­ympyröiden pinta-alat formula_4 ja formula_4. Alue, jonka muodostavat nämä puoliympyrät ja kolmio yhdessä, on siis pinta-alaltaan formula_6. Hippo­krateen puoli­kuiden pinta-ala saadaan vähentämällä tästä hypotenuusalle piiretyn puoli­ympyrän pinta-ala, joka on formula_7. Koska Pythagoraan lauseen mukaan formula_8, seuraa tästä, että näiden puolikuiden yhteen­laskettu pinta-ala on formula_9, siis yhtä suuri kuin kolmion pinta-ala. 
Siinä erikois­tapauksessa, että kyseessä on tasa­kylkinen suora­kulmainen kolmio, molemmat kuun­sirpin muotoiset alueet ovat yhtenevät ja niin ollen pinta-alaltaan yhtä suuret. Suoran kulman puolittaja jakaa tällaisen kolmion kahteen keskenään yhtenevään kolmioon, jotka myös ovat tasa­kylkisiä suora­kulmaisia kolmioita: alkuperäisen kolmion kateetit ovat näiden kolmioiden hypo­tenuusoina ja alku­peräisen kolmion hypo­tenuusan puolikkaat niiden toisina kateetteina. Tästä seuraa, että tällaisen kolmion hypo­tenuusalle (oheisessa kuvassa AB) piirretystä ympyrästä se osa, joka jää toinen kateetti (AO) säteenä piirretyn ympyrän ulko­puolelle, on yhtä suuri kuin suora­kulmaisen kolmion. 
Historia.
Hippokrateen puolikuut ovat saaneet nimensä kreikkalaisen matemaatikko Hippo­krates Khioslaisen (n. 470–410 eKr.) mukaan, joka todisti edellä esitetyn, niiden pinta-alaa koskevan tuloksen. Todistus liittyi hänen yritykseensä ratkaista kysymys ympyrän neliöimisestä, toisin sanoen siitä, onko harpin ja viivoittimen avulla mahdollista piirtää neliö, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin annetun ympyrän. Tämä Hippokrateen puolikuu oli ensimmäinen kaarevien käyrien rajoittama alue, joka voitiin täten neliöidä. Tulos herätti toivoa siitä, että harpin ja viivoittimen avulla voitaisiin vastaavasti neliöidä myös ympyrä. Siinä ei kuitenkaan onnistuttu, mutta vasta vuonna 1882 Ferdinand von Lindemann osoitti, että tehtävä on mahdoton ratkaista, koska pii (π) on transkendenttinen luku.
Ympyrän pinta-alan lauseketta formula_10 ei Hippokrateen aikana vielä tunnettu. Myöhemmin Eudoksos todisti kehittämällään ekshaustiomenetelmällä, että ympyrän pinta-ala on suoraan verrannollinen sen säteen neliöön. Eudoksos kuitenkin syntyi vasta muutamia vuosia Hippokrateen kuoeman jälkeen. Hippokrateen teokset eivät ole säilyneet, mutta puolikuut ja niitä koskeva lause mainitaan Eudemoksen teoksessa, jossa mainittua verrannolli­suutta käytetään puolikuita koskevan tuloksen todistamiseen. Tästä onkin päätelty, että jo Hippokrateeen on täytynyt kehittää jonkinlainen versio ekshaustio­menetelmästä.
Hippokrateen puolikuut ja niiden pinta-alaa koskevan tuloksen mainitsi myöhemmin eräässä teoksesaan arabialainen matemaatikko Abu al-Hasan ibn al-Haitham (965–1040), joka länsimaissa tunnetaan myös nimellä "Alhazen". Hänen mukaansa niitä nimitetäänkin toisinaan myös "Alhazenin puolikuiksi.".