Differenssimenetelmä

Differenssimenetelmät ovat matematiikassa käytettyjä menetelmiä, joilla haetaan likimääräistä ratkaisua differentiaaliyhtälöille käyttäen derivaattaa approksimoivia differenssiyhtälöitä.
Intuitiivinen lähestyminen.
Differenssimenetelmillä saadaan likimääräinen ratkaisu differentiaaliyhtälöille korvaamalla derivaatan lausekkeet likimäärin vastaavilla erotusosamäärän lausekkeilla. Määritelmän mukaan funktion ensimmäinen derivaatta on
formula_1
Luonnollinen valinta derivaatan likimääräiseksi laskemiseksi on siten
formula_2
käyttäen jotakin pientä arvoa "h":lle. Tätä lauseketta kutsutaan ensimmäisen derivaatan eteneväksi differenssiapproksimaatioksi. Korvaamalla derivaatan lausekkeet differentiaaliyhtälöissä edellisen kaltaisilla kaavoilla voidaan differentiaaliyhtälöille löytää likimääräiset ratkaisut ilman differentiaali- ja integraalilaskentaa.
Differenssiyhtälöiden johtaminen Taylorin polynomin avulla.
Mikäli funktio jonka derivaattaa ollaan approksimoimassa on hyvin käyttäytyvä, niin Taylorin lauseen mukaan
formula_3
missä "n"! on "n":n kertoma ja "R""n"("a + h") on jäännöstermi, jolla merkitään "n":nnen asteen Taylorin polynomin ja alkuperäisen funktion erotusta. Edelleen, jos käytetään esimerkkinä funktion "f" ensimmäistä derivaattaa, niin Taylorin lauseen mukaan
formula_4
joka voidaan saattaa muotoon
formula_5
niin, että formula_6:n ollessa riittävän pieni
formula_7
Menetelmän tarkkuus ja kertaluku.
Menetelmän virhe määritellään likiratkaisun ja tarkan analyyttisen ratkaisun erotukseksi. Virhelähteitä on kaksi: pyöristysvirhe, joka syntyy tietokoneen pyöristäessä desimaalilukuja sekä diskretointivirhe, joka johtuu siitä, että differenssiyhtälön ratkaisu eroaa tarkasta ratkaisusta, vaikka laskutoimitukset suoritettaisiin täydellisen tarkasti ilman pyöristyksiä.
Ensimmäinen asia käytettäessä differenssimenetelmää ongelman ratkaisemiseksi on ongelman määrittelyalueen diskretointi. Useimmiten määrittelyalue jaetaan tasaväliseksi hilaksi (katso yllä oleva kuva). Tämä tarkoittaa sitä, että differenssimenetelmä tuottaa joukon diskreettejä numeerisia ratkaisuja derivaatalle. Useimmiten ratkaisussa on käytetty aika-askelta.
Menetelmän aiheuttamalle paikalliselle diskretointivirheelle voidaan johtaa yleinen lauseke. Paikallista diskretointivirhettä merkitään tyypillisesti isolla o-kirjaimella ja sillä tarkoitetaan virhettä, kun menetelmää on sovellettu yhden kerran. Se on siis erotus formula_8, kun formula_9 viittaa tarkkaan arvoon ja formula_10 numeerisesti laskettuun likiarvoon. Taylorin polynomin jäännöstermi on käytännöllinen tutkittaessa diskretointivirhettä. Diskretointivirheen määräävin termi voidaan löytää käyttämällä Lagrangen muotoa Taylorin polynomin jäännöstermille, joka on
formula_11, missä formula_12,
Jos käytetään taas etenevää differenssiapproksimaatiota ensimmäiselle derivaatalle ja tiedetään, että formula_13, niin
formula_14
josta saadaan edelleen
formula_15
ja kun edelleen huomataan, että yhtälön vasen puoli on differenssimenetelmän approksimaatio ja oikea puoli on tarkka arvo lisättynä jäännöstermillä, niin nähdään selvästi, että jäännöstermi on paikallinen diskretointivirhe. 
Lopulta saadaan tässä esimerkissä:
formula_16
Saatu lauseke ymmärretään niin, että paikallinen diskretointivirhe on verrannollinen askeleen kokoon.
Esimerkki: Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö.
Tarkastellaan esimerkkinä ensimmäisen kertaluvun lineaarista differentiaaliyhtälöä
formula_17
Ratkaistaessa tätä yhtälöä Eulerin menetelmällä, käytetään hyväksi erotusosamäärän lauseketta
formula_18
jolla saadaan likimääräinen esitys differentiaaliyhtälölle sijoittamalla ensin yllä oleva u'(x):n lauseke differentiaaliyhtälöön ja muokkaamalla tulosta hiukan algebrallisesti, jolloin saadaan
formula_19
Viimeisin yhtälö on differenssiyhtälö, jonka ratkaisu antaa likimääräisen ratkaisun differentiaaliyhtälölle.
Esimerkki: Lämmönjohtumisyhtälö.
Tarkastellaan yksiulotteista lämmönjohtumisyhtälöä homogeenisilla Dirichletin reunaehdoilla
formula_20
formula_21 (reunaehto)
formula_22 (alkuehto)
Yksi tapa ratkaista tämä yhtälö numeerisesti on approksimoida derivaattoja differenssilausekkeilla. Jaetaan määrittelyalue paikan suhteen käyttäen hilapisteitä formula_23 ja ajassa käyttäen hilapisteitä 
formula_24. Oletetaan, että jako on tasavälinen sekä paikassa että ajassa niin, että jakoväli paikan suhteen on "h" ja ajan suhteen "k". Pisteet
formula_25
esittävät likimääräistä numeerista ratkaisua formula_26:lle.
Eksplisiittinen menetelmä.
Käyttämällä etenevää differenssiapproksimaatiota ajan hetkellä formula_27 ja toisen kertaluvun keskeisdifferenssiä paikassa formula_28, saadaan yhtälö
formula_29
Tämä on eksplisiittinen menetelmä yksiulotteisen lämmönjohtumisyhtälön ratkaisemiseksi.
formula_30:n arvot saadaan muista arvoista seuraavasti:
formula_31
missä formula_32
Jos siis tunnetaan arvot ajan hetkellä "n", voidaan vastaavat arvot hetkellä "n"+1 laskea käyttäen yllä olevaa yhtälöä. Arvot kohdissa formula_33 ja formula_34 täytyy korvata reunaehdoilla, jotka tässä esimerkissä ovat molemmat nollia.
Tämä eksplisiittinen menetelmä on numeerisesti vakaa ja konvergoi, kun formula_35. Virhe on verrannollinen aika-askeleeseen ja paikka-askeleen neliöön:
formula_36
Implisiittinen menetelmä.
Kun käytetään takenevaa differenssiapproksimaatiota ajanhetkellä formula_37 ja toisen kertaluvun keskeisdifferenssiä paikkaderivaatalle kohdassa formula_28, niin saadaan yhtälö
formula_39
Tämä on implisiittinen menetelmä yksiulotteisen lämmönjohtumisyhtälön ratkaisemiseksi.
Termit formula_40 saadaan ratkaisemalla lineaarinen yhtälöryhmä:
formula_41
Tämä menetelmä on aina numeerisesti stabiili ja konvergoi, mutta menetelmä on yleensä laskennallisesti raskaampi kuin eksplisiittinen menetelmä, koska jokaisella aika-askeleella on ratkaistava yhtälöryhmä. Virheet ovat verrannollisia aika-askeleeseen ja paikka-askeleen neliöön.
Crank-Nicolsonin menetelmä.
Jos käytetään keskeisdifferenssiä ajanhetkellä formula_42 ja toisen kertaluvun keskeisdifferenssiä paikkaderivaatalle kohdassa formula_28, niin saadaan yhtälö:
formula_44
Tämä kaava tunnetaan Crank-Nicolson menetelmänä.
Arvot formula_30 saadaan ratkaisemalla lineaarinen yhtälöryhmä:
formula_46
Tämäkin menettely on aina numeerisesti stabiili ja konvergoi, mutta menettely on yleensä laskennallisesti raskaampi kuin eksplisiittinen menetelmä, koska jokaisella aika-askeleella on ratkaistava yhtälöryhmä. Virheet ovat verrannollisia aika-askeleen neliöön ja paikka-askeleen neljänteen potenssiin:
formula_47
Reunoilla virhe on kuitenkin usein O("h"2) eikä O("h"4).
Yleensä Crank-Nicolson menetelmä on tarkin pienillä aika-askelilla. Eksplisiittinen menetelmä on epätarkin ja se voi olla epävakaa, mutta se on myös helpoin toteuttaa ja on laskennallisesti kevyin. Implisiittinen menetelmä toimii menetelmistä parhaiten, kun aika-askel on suuri.