Heikko topologia

Heikko topologia on matematiikassa nimitys tietyille indusoiduille topologioille, usein topologisissa vektoriavaruuksissa tai lineaaristen operaattoreiden avaruuksissa, esimerkiksi Hilbertin avaruudessa.
Termiä käytetään yleisimmin topologisen vektoriavaruuden (kuten normivektoriavaruuden) topologiasta, jonka on indusoinut sen jatkuva duaaliavaruus.
Topologisen vektoriavaruuden osajoukkoja voidaan kutsua heikosti suljetuiksi (vastaavasti heikosti kompakteiksi jne.), jos ne ovat suljettuja (vastaavasti kompakteja jne.) heikossa topologiassa. Samoin funktioita kutsutaan joskus heikosti jatkuviksi (vastaavasti heikosti differentioituviksi, heikosti analyyttisiksi jne.), jos ne ovat jatkuvia (vastaavasti differentioituvia, analyyttisiä jne.) heikon topologian suhteen.
Historia.
1900-luvun alkupuolelta lähtien David Hilbert ja Marcel Riesz käyttivät heikkoa suppenemista laajasti. Funktionaalianalyysin varhaiset pioneerit eivät pitäneet suppenemista normin suhteen tärkeämpänä kuin suppenemista heikon topologian suhtaan vaan usein päinvastoin. Vuonna 1929 Banach esitteli heikon suppenemisen normiavaruuksille ja myös analogisen heikko*-suppenemisen.
Heikko topologia on englanniksi "weak topology", ranskaksi ' ja saksaksi '.
Duaalin indusoima heikko topologia.
Jatkuva duaaliavaruus.
Topologisen vektoriavaruuden formula_1 (jatkuva) duaaliavaruus on formula_2. Sen alkiot ovat kaikki jatkuvat lineaariset funktiot formula_3, missä formula_4 on se (skalaari)kunta jonka yli avaruus formula_1 on määritelty (yleensä formula_6 tai formula_7).
Myös formula_2 on vektoriavaruus saman kunnan yli. Sen alkioiden summa ja skalaaritulo määritellään pisteittäin. Esimerkiksi vektorien formula_9 summa formula_10 määritellään näin: formula_11 kaikilla formula_12.
Duaalin ja primaalin heikot topologiat.
Avaruuden formula_1 "heikko topologia" tarkoittaa yleensä sen (jatkuvan) duaalin formula_2
indusoimaa topologiaa indusoimaa topologiaa eli se on (pienin eli) karkein topologia,
jonka suhteen jokainen formula_15 on jatkuva.
Jos esimerkiksi formula_1 on Banach-avaruus, sen heikko topologia on yleensä heikompi kuin sen normitopologia (joskin ne ovat samat jos dimformula_17).
Joskus kuitenkin heikolla topologialla tarkoitetaan jonkin muun lineaaristen funktionaalien joukon (esimerkiksi algebrallisen duaalin eli kaikkien lineaaristen funktionaalien) indusoimaa topologiaa. Tällainen voidaan määritellä mille vektoriavaruudelle tahansa (kunhan kerroinkunta on formula_18, formula_19 tai muu topologinen kunta). 
Tämän täsmentämiseksi voidaan käyttää termiä heikko topologia joukon "F" suhteen, missä "F" on kyseisen topologian indusoinut lineaaristen funktionaalien joukko.
Vastaavasti joskus duaaliavaruudessa formula_2 käytetään heikko-*-topologiaa eli avaruuden formula_1 siihen indusoimaa topologiaa. (Avaruuden formula_2 heikko topologiahan tarkoittaa avaruuden formula_23 indusoimaa topologiaa.)
Heikot ja vahvat topologiat.
Olkoon formula_24 topologinen kunta eli kunta, jonka topologia on sellainen, että yhteen-, kerto- ja jakolaskut ovat jatkuvia. Useimmissa sovelluksissa formula_24 on joko kompleksilukujen kunta tai reaalilukujen kunta sen tavanomaisella topologialla.
Heikko topologia parituksen suhteen.
Sekä heikko topologia että heikko* topologia ovat erikoistapauksia yleisemmästä paritusten rakenteesta, jota nyt kuvailemme. Tämän yleisemmän rakenteen etuna on, että mikä tahansa sille todistettu määritelmä tai tulos pätee "sekä" heikkoon topologiaan että heikkoon* topologiaan, mikä tekee tarpeettomaksi monien määritelmien, lauseiden ja todistusten tarpeen. Tämä on myös syy siihen, miksi heikko*-topologiaa kutsutaan usein myös "heikoksi topologiaksi"; koska se on vain esimerkki heikosta topologiasta tämän yleisemmän rakenteen yhteydessä.
Olkoon formula_26 paritus eli olkoot formula_27 ja formula_28 ovat vektoriavaruuksia jonkin topologisen kunnan formula_24 yli ja formula_30 on bilineaarikuvaus.
Merkintä. Kullakin formula_31, kuvaus formula_32 tarkoittaa kuvausta formula_33. Vastaavasti formula_34.
Määritelmä. Joukon formula_28 avaruuteen formula_27 indusoima "heikko topologia" tarkoittaa (pienintä eli) heikointa avaruuden formula_27 topologiaa, jolla jokainen formula_38 on jatkuva. Sitä merkitään formula_39 tai formula_40.
Määritelmä. Joukon formula_27 avaruuteen formula_28 indusoima "heikko topologia" tarkoittaa (pienintä eli) heikointa avaruuden formula_28 topologiaa, jolla jokainen formula_44 on jatkuva. Sitä merkitään formula_45 tai formula_46.
Jos kunnassa formula_24 on itseisarvo, nämä heikot topologiat ovat seminormien indusoimia (esimerkiksi seminormien formula_48). Tällöin heikot topologiat ovat lokaalisti konvekseja.