Kolmitulo

Kolmitulo on geometriassa, algebrassa ja useissa fysikaalisissa sovelluksissa yhteisnimi kahdelle kolmen vektorin väliselle laskutoimitukselle kolmiulotteisessa avaruudessa. "Skalaarikolmitulossa" tuloksi saadaan skalaari, "vektorikolmitulossa" sen sijaan uusi kolmiulotteisen avaruuden vektori.
Skalaarikolmitulo.
Kolmen vektorin skalaarikolmitulo määritellään vektoreista yhden pistetulona molempien muiden ristitulon kanssa:
formula_1.
Voidaan osoittaa, että mille tahansa kolmiulotteisen avaruuden vektoreille "a", "b" ja "c" pätee:
formula_2,
joten yhtä hyvin skalaaritulo voitaisiin määritellä myös tulona
formula_3.
Geometrinen tulkinta.
Geometrisesti kolmen samasta pisteestä alkavan vektorin skalaarikolmitulon 
formula_4
itseisarvo on sama kuin näiden vektorien määrittämän suuntaissärmiön tilavuus.
formula_5
Ominaisuuksia.
formula_11
Tämä ilmaisee vektorimuodossa sen seikan, että kahden 3×3-matriisin determinanttien tulo on sama kuin niiden matriisitulon determinantti. Erikoistapauksena skalaarikolmitulon neliö on Gramin determinantti.
formula_12,
ja sen arvot ovat aina välillä [−1, 1].
Skalaarikolmitulo pseudoskalaarina.
Vaikka skalaarikolmitulon itseisarvo osoittaa vektorien muodostaman suuntaissärmiön tilavuuden, se itsessään on etumerkillinen luku, ja sen etumerkki riippuu avaruuden orientaatiosta ja näin ollen se muuttuu vasta­luvukseen, jos orientaatio käännetään, esimerkiksi pariteetti­muunnoksessa tai peilauksessa tason suhteen. Näin ollen skalaari­kolmi­tulo on itse asiassa pseudoskalaari.
Tämä liittyy siihen, että myös vektorien ristitulo vaihtuu vastavektorikseen pariteetti­muunnoksessa ja näin ollen se on itse asiassa pseudovektori. Kahden tavallisen (polaarisen) vektorin pistetulo on skalaari, mutta tällaisen vektorin ja pseudovektorin pistetulo on pseudoskalaari, ja näin ollen myös (polaaristen) vektorien skalaaritulo on pseudoskalaari.
Tavallisen vektorin ja pseudovektorin ristitulo on kuitenkin tavallinen (polaarinen) vektori. Näin ollen jos yksi skalaari­kolmi­tulossa mukana olevista vektoreista on pseudovektori, kolmitulo on normaali skalaari, ei pseudoskalaari.
Jos T on avaruuden aito rotaatio, on
formula_13,
mutta jos T on epäaito rotaatio, on
formula_14
Skalaarikolmitulo skalaaritiheytenä.
Tarkkaan ottaen skalaari ei koordinaattien muunnoksessa muutu lainkaan. Jos esimerkiksi vektorit kerrotaan vakiolla 2, tämä vakio on sama, käytettiinpä suorakulmaisia tai pallo­koordinaatteja. Jos kuitenkin jokainen vektori muunnetaan matriisilla, niiden skalaari­kolmi­tulo tulee kerrotuksi tämän matriisin determinantilla, ja ellei muunnos ole rotaatio, tämä voi saada minkä tahansa reaalilukuarvon. Tämän vuoksi kolmitulo on tarkkaan ottaen katsottava skalaari­tiheydeksi.
Skalaarikolmitulo ulkoisena tulona.
Ulkoisessa algebrassa ja geometrisessa algebrassa kahden vektorin "ulkoinen tulo" on bivektori, kun taas kolmen vektorin ulkoinen tulo on trivektori. Bivektori on suunnattu tasoalkio ja trivektori suunnattu tilavuusalkio samassa mielessä kuin vektori on suunnattu jana.
Kolmen vektorin a, b ja c, ulkoinen tulo
formula_15
on trivektori, jonka itseisarvoltaan on yhtä suuri kuin näiden vektorien skalaarikolmitulo, toisin sanoen
formula_16,
ja se on samalla skalaarikolmitulon Hodgen duaali. Koska ulkoinen tulo on liitännäinen, sulkumerkit voidaan tästä lausekkeesta jättää pois eikä ole merkitystä sillä, kumpi ulkoisista tuloista, vai , lasketaan ensin, joskin vektorien keskinäinen järjestys on merkityksellinen. Geometrisesti trivektori a ∧ b ∧ c vastaa vektorien a, b ja c määrittämää suuntaissärmiötä, kun taas bivektorit a ∧ b}}, ja vastaavat niitä suunnikkaita, jotka ovat tämän särmiön sivuina.
Skalaarikolmitulo fysiikassa.
Fysiikassa skalaarikolmitulo esiintyy muun muassa seuraavissa yhteyksissä:
formula_17,
 missä n on akselin suuntainen yksikkövektori, r voiman vaikutuspisteen paikkavektori akselilla olevan pisteen suhteen F vaikuttava voima.
formula_18, 
 missä v on liikkuvan johtimen nopeus, dl johdinalkion pituus ja B magneettikentän magneettivuon tiheys.
Vektorikolmitulo.
Kolmen vektorin vektorikolmitulo määritellään niistä yhden ristitulona molempien muiden ristitulon kanssa&lt;/ref name=LL /&gt;. Samoille vektoreille "a", b" ja "c" voidaan määritellä kaksi vektorikolmituloa, 
formula_19 ja
formula_20, 
ja koska vektorien ristitulo ei ole liitännäinen, nämä ovat yleensä eri vektoreita. Näistä edellinen on kohtisuorassa vektoriin "a" nähden ja vektorien b ja c määrittämässä tasossa, jälkimmäinen taas vektorien a ja b määrittämässä tasossa ja kohtisuorassa vektoria c vastaan.
Vektorikolmitulolle pätee "kolmitulon kehityskaava"
formula_21,
joka tunnetaan myös "Lagrangen kaavana", joskin samaa nimeä käytetään useista muistakin kaavoista. Joseph Louis Lagrange ei tosin käyttänyt vektorien algebrallisena tulona määriteltyä ristituloa, mutta hän käytti niiden komponenttien avulla yhtäpitävällä tavalla määriteltyä lauseketta ja muodosti niiden avulla vastaavan yhtälön.
Vaihtoehtoisesti kehityskaava voidaan esittää myös muodossa formula_22
mihin liittyy muistisääntö: "BAC − CAB", englannin kielessä ikään kuin “back of the cab”, "rattaiden takapää".
Koska vektorien ristitulo muuttuu vastavektorikseen, kun sen tekijät vaihdetaan keskenään, tämä kaava voidaan kirjoittaa myös muodossa
formula_23
Lagrangen kaavasta seuraa edelleen, että vektorikolmitulolle pätee:
formula_24
mikä on ristitulon Jacobin identiteetti. Niin ikään pätee:
formula_25
Nämä kaavat ovat hyvin käyttökelpoisia fysiikassa, jossa niillä voidaan yksinkertaistaa vektoreilla suoritettavia laskutoimituksia.
Muodollisesti aivan vektoritulon kehityskaavan kaltainen sääntö pätee vektorianalyysissa myös, kun vektorikolmitulon kaksi ensimmäistä vektoria korvataan nablaoperaattorilla:
formula_26
Koska formula_27 merkitsee skalaarifunktion gradienttia, formula_28 vektorifunktion divergenssiä ja formula_29 sen roottoria, voidaan tämä kirjoittaa myös muotoon:
formula_30.
Kehityskaavan todistus.
Vektoritulon kehityskaava eli Lagrangen kaava voidaan todistaa seuraavasti:
Ristitulon formula_31 formula_32-akselin suuntainen komponentti saadaan seuraavasti:
formula_33
Vastaavasti sen formula_34- ja formula_35-akselien suuntaiset komponentit ovat:
formula_36
Yhdistämällä nämä komponentit saadaan:
formula_37
Vektorikolmitulo fysiikassa.
Fysiikassa vektorikolmitulo esiintyy muun muassa pyörivässä koordinaatistossa olevaan kappaleeseen kohdistuvan sentrifugaalivoiman lausekkeessa:
formula_38,
missä ω on koordinaatiston kulmanopeus ja "r" kappaleen etäisyys pyörimisliikkeen keskipisteestä.
Edellä esitettyä kehityskaavan nablaoperaattoria koskevaa muotoa käytetään johdettaessa Maxwellin yhtälöistä sähkömagneettisten aaltojen aaltoyhtälö.
Tulkintoja.
Tensorilaskenta.
Tensorilaskennassa vektorien kolmitulot voidaan esittää Levi-Civita-symbolin avulla:
formula_39
and
formula_40
jotka viittaavat tuloksena saadun vektorin math&gt;i&lt;/math&gt;:nteen komponenttiin. Tätä voidaan yksinkertaistaa suorittamalla Levi-Civita-symbolille kontraktio, formula_41
missä formula_42 on Kroneckerin delta (formula_43, kun formula_44 and formula_45 kun formula_46) ja formula_47 yleistetty Kroneckerin delta. Tämä identiteetti voidaan päätellä siitä, että indeksi formula_48 summautuu niin, että jäljelle jäävät vain formula_49 ja formula_50. Ensimmäisessä termissä asetetaan formula_51 ja näin ollen formula_52. Vastaavasti toisessa termissä asetetaan formula_53 ja näin ollen formula_54.
Palaamalla vektorikolmituloon saadaan
formula_55
Vectorianalyysi.
Tarkastellaan vektorikentän formula_56 vuo­pinta­integraalia parametri­muodossa määritellyn pinnan formula_57 yli:
formula_58. 
Tämän pinnan yksikkönormaalivektori on 
formula_59, 
mistä seuraa, että formula_60 on skalaarikolmitulo.