Bosen–Einsteinin statistiikka

Bosen–Einsteinin statistiikka (BE-statistiikka) on statistisessa fysiikassa jakaumalaki, joka osoittaa samanlaatuisten bosonien energiatilojen jakauman termodynaamisessa tasapainotilassa. Bosonit ovat alkeishiukkasia, jotka toisin kuin fermionit eivät noudata Paulin kieltosääntöä ja joita näin ollen voi olla rajoittamaton määrä samassa energiatilassa. Sellaisia ovat esimerkiksi fotonit ja erilaiset mesonit.
Bosen–Einsteinin jakauman johti ensimmäisenä fotoneille Satyendra Nath Bose vuonna 1920, ja sen yleisti atomeille Albert Einstein vuonna 1924.
Eri statistiikkojen vertailua.
Statistisessa fysiikassa käytetään kolmea erilaista jakaumaa:
Maxwellin–Bolzmannin statistiikkaa sovelletaan molekyyleihin klassisessa termodynamiikassa. Kvanttiteoria on kuitenkin osoittanut, ettei se sovellu minkään alkeishiukkasen energiajakauman kuvaamiseen muutoin kuin tietyissä tapauksissa likimääräisesti.
Bosen–Einsteinin statistiikka soveltuu bosoneille kuten fotoneille ja mesoneille. Fermin–Diracin statistiikka soveltuu fermioneille kuten elektroneille ja protoneille, joita Paulin kieltosäännön mukaan ei voi olla useampi kuin yksi samassa kvanttitilassa.
Kaikkia kolmea statistiikkaa voidaan vertauksellisesti kuvailla olettamalla, että tietty määrä ("p") palloja on sijoitettava tiettyyn määrään ("n") laatikkoja. Pallot vastaavat tällöin hiukkasia, laatikot energiatiloja.
Fermin–Diracin statistiikassa oletetaan tällöin, että kuhunkin laatikkoon mahtuu vain yksi pallo, kun taas kummassakin muussa statistiikassa laatikoiden vetoisuus on rajoittamaton. Maxwellin–Bolzmannin statistiikkaa johdettaessa kuitenkin oletetaan, että ainakin periaatteessa pallot voidaan yksilöidä, kun taas Bosen–Einsteinin statistikassa tämä oletetaan periaatteessakin mahdottomaksi, minkä vuoksi jakaumia johdettaessa symmetriset alkeistapaukset muodostetaan eri tavalla. Jos laatikoiden välisiä kuviteltuja rajaseiniä merkitään pystyviivoilla (|), niin Maxwellin–Boltzmannin jakaumassa kutakin alkeistapausta esittää tapa, jolla tietty määrä eri kirjaimia voidaan sijoittaa näiden viivojen väliin. Tällaisia tapoja on kaikkiaan formula_1. Sitä vastoin Bosen–Einsteinin jakaumassa kutakin alkeistapausta esittää merkkijono, jossa on "n-1" pystyviivaa ja "p" ympyrää. Voidaan osoittaa, että tällaisten tapojen lukumäärä on formula_2.
Yksinkertainen esimerkki.
Oletetaan, että kolme palloa on sijoitettava kolmeen laatikkoon. Maxwellin–Boltzmannin statistiikassa näitä palloja voidaan kuvata kirjaimilla "a", "b" ja "c", jolloin mahdolliset 33 = 27 erilaista tapaa ovat seuraavat:
 |abc| | | |bc |a | | |bc | |a |
 |ab |c | | |b |ac | | |b |c |a |
 |ab | |c | |b |a |c | |b | |ac |
 |ac |b | | |c |ab | | |c |b |a |
 |ac | |b | |c |a |b | |c | |ab |
 |a |bc | | | |abc| | | |bc |a |
 |a |b |c | | |ab |c | | |b |ac |
 |a |c |b | | |ac |b | | |c |ab |
 |a | |bc | | |a |bc | | | |abc|
Sitä vastoin Bosen–Einsteinin statistiikassa on olemassa vain seuraavat 10 tapaa:
 |ooo| | | |o | |oo |
 |oo |o | | | |ooo| |
 |oo | |o | | |oo |o |
 |o |oo | | | |o |oo |
 |o |o |o | | | |ooo|
Huomataan, että edellisessä tapauksessa todennäköisyys sille, että kaikki pallot ovat samassa laatikossa, on 3/27 = 1/9 = 0,111, jälkimmäisessä sen sijaan 3/10 = 0,3 siis merkittävästi suurempi. Toisaalta todennäköisyys, että kaikki pallot ovat eri laatikoissa, on edellisessä tapauksessa 6/27 = 2/9 = 0,222, jälkimmäisessä taas 1/10 = 0,1, siis edellistä pienempi.
Yleensäkin hiukkaset ovat Bosen–Einsteinin statistiikassa suuremmalla todennäköisyydellä samassa energiatilassa kuin ne olisivat Maxwellin–Bolzmannin jakauman mukaan. Täten näyttää siltä kuin samanlaatuiset bosonit vetäisivät toisiaan puoleensa, päinvastoin kuin fermionit. Todellista vetovoimaa niiden välillä ei kuitenkaan ole, vaan tämä ero perustuu kvanttimekaanisten aaltofunktioiden ominaisuuksiin. Ero näiden statistiikkojen välillä käy kuitenkin merkityksettömäksi silloin, kun mahdollisten energiatilojen lukumäärä on hyvin suuri verrattuna hiukkasten lukumäärään, jolloin energian kvantittumista ei tarvitse ottaa huomioon.
Hyvin matalissa lämpötiloissa on kuitenkin molekyyleillekin sovellettava joko Fermin–Diracin tai Bosen–Einsteinin statistiikkaa riippuen molekyylin spinistä. Tästä syystä joidenkin aineiden kaikki molekyylit sijoittuvat matalissa lämpötiloissa alimmille energiatiloille muodostaen Bosen–Einsteinin kondensaatin.
Jakaumalaki.
Kun sekä hiukkasten että energiatilojen lukumäärä ovat suuria lukuja, hiukkasten todennäköinen lukumäärä energiatilassa "i" on Bosen–Einsteinin statistiikassa:
formula_3
missä formula_4 ja:
"ni"  on tilassa "i" olevien hiukkasten lukumäärä
"gi"  on tilan "i" degeneraatio
 "εi"  on tilan "i" energia
μ on kemiallinen potentiaali
"k" on Boltzmannin vakio
"T" on absoluuttinen lämpötila
Jos formula_5 on paljon pienempi kuin formula_6, tämä voidaan pyöristää muotoon
formula_7,
mikä on sama kuin Maxwellin–Boltzmannin jakaumalaki.
Historia.
Max Planck esitti jo vuonna 1900 lain, joka osoittaa mustan kappaleen lähettämän sähkömagneettisen säteilyn taajuusjakauman lämpötilan funktiona. Tämän jakauman teoreettinen selitys osoittautui kuitenkin hankalaksi, ja jo samana vuonna Planck esitti, että kappale voi lähettää säteilyenergiaa vain tietyn kokoisina määrinä kerrallaan, kvantteina. Myöhemmin Albert Einstein kehitti teoriaa edelleen ja esitti, että säteilyn voidaan olettaa koostuvan hiukkasmaisista fotoneista. Vielä tämän jälkeenkään ei jakaumalain teoreettinen johto ollut tyydyttävä, mihin Dhakan yliopiston professori Satyendra Nath Bose kiinnitti huomiota 1920-luvun alussa. Hän osoitti kuitenkin, että tämä jakaumalaki voidaan johtaa, kun oletetaan, ettei hiukkasia voida yksilöidä ja että niille ei ole olemassa lukumäärän säilymislakia. Tällöin Planckin laki saadaan suoraan sovellettaessa Bosen jakaumalakia fotoneille.
Bosella oli kuitenkin vaikeuksia saada tutkimuksensa julkaistuksi. Vasta kun hän lähetti asiaa koskeneen kirjeen Einsteinille, tämä ymmärsi sen merkittävyyden, ja tutkimus julkaistiin.
Bosen–Einsteinin jakaumalain johto.
Oletetaan, että on olemassa joukko energiatasoja, jotka on merkitty indeksinumeroilla
formula_8. Kunkin energiatilan energia on formula_9, ja siinä on 
formula_10 hiukkasta. Oletetaan edelleen, että kukin tila jakautuu vielä 
formula_11
erilliseen alatasoon, joista jokaisella on yhtä suuri energia, mutta jotka jollakin muulla tavalla eroavat toisistaan. Näillä eri alatasoilla olevilla hiukkasilla voi esimerkiksi olla eri suuri liikemäärä mutta sama määrä energiaa. Tasoon formula_8 liittyvien tilojen lukumäärää 
formula_11 sanotaan tämän energiatason "degeneraatioksi". Kullakin tällaisella alatasollakin voi olla kuinka monta hiukkasta tahansa.
Olkoon formula_14 niiden tapojen lukumäärä, joilla formula_15 hiukkasta voidaan sijoittaa näille yhteensä 
formula_16 energiatason alatasolle. Kun hiukkasia ei voida yksilöidä, on vain yksi tapa sijoittaa formula_15 hiukkasta yhdelle alatasolle, minkä vuoksi 
formula_18. (Tässä kohdin jakauman johto eroaa Maxwellin-Bolzmannin jakaumasta). Voidaan helposti nähdä, että tällöin on formula_19 tapaa jakaa formula_15 kahden alatason kesken, minkä vuoksi voidaan kirjoittaa:
formula_21
Samaan tapaan jatkamalla voidaan osoittaa, että niiden tapojen lukumäärä, joilla 
formula_15 hiukkasta voidaan jakaa kolmen alatason kesken, on
formula_23
ja edelleen
formula_24
Tämä seuraa binomikertoimia koskevasta kaavasta:
formula_25
Kun jatketaan samoin, saadaan edelleen
formula_14
formula_27
Niinpä niiden tapojen lukumäärä, joilla hiukkaset voivat jakautua eri energiatasojen kesken, saadaan kertomalla eri energiatasoja vastaavat lukumäärät keskenään:
formula_28
kun oletetaan, että formula_29.
Systeemi on termodynaamisessa tasapainotilassa, kun "W":llä on suurin mahdollinen arvo. Tämä vastaa jakaumaa, jonka todennäköisyys on suurin. Jos oletetaan, että hiukkasten kokonaismäärä ja yhteenlaskettu energia tunnetaan, suureet
formula_30 ja formula_31 saavat maksiminsa samalla 
formula_32:n arvolla, joista se on matemaattisesti helpompi johtaa jälkimmäiselle. Voidaan rajoittua ratkaisuihin, jotka saadaan Lagrangen kertoimien avulla:
formula_33
Jos oletetaan, että formula_34 on hyvin suuri luku, voidaan kertomalle laskea likiarvo Stirlingin kaavalla:
formula_35,
jolloin saadaan
formula_36
Tämän maksimi saadaan ottamalla siitä derivaatta formula_10:n suhteen ja etsimällä derivaatalle nollakohta. Tällöin saadaan Bosen–Einsteinin statistiikan mukainen lukumäärä:
formula_38
Termodynamiikan avulla voidaan osoittaa, että tässä kaavassa esiintyvät parametrit formula_39 ja formula_40 vastaavat systeemiin liittyviä fysikaalisia suureita seuraavasti:
formula_41 ja &lt;br&gt;
formula_42,
missä formula_43 on Boltzmannin vakio, formula_44 absoluuttinen lämpötila ja formula_45 systeemin kemiallinen potentiaali. Näin ollen kaava voidaan lopulta kirjoittaa muotoon
formula_46