Hiekanlaskija

Hiekanlaskija (, ) on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen matemaattinen teos. Sen tarkoituksena on osoittaa, että on mahdollista matemaattisesti ilmaista ja laskea jopa sellaisten käsittämättömän suurten asioiden lukumäärä kuin maailmankaikkeuteen mahtuvien hiekanjyvien määrä.
Arkhimedes käytti laskelmissaan Aristarkhos Samoslaisen aurinkokeskistä maailmankuvaa, jonka mukaan Maa kiertää Aurinkoa ja tähdet ovat hyvin kaukana. Hän esittelee oman menetelmänsä Auringon näennäisen halkaisijan ja silmän pupillin koon määrittämiseksi. Näiden pohjalta hän olettaa, että maailmankaikkeuden halkaisija on enintään 100 biljoonaa stadionia, ja että halkaisijaltaan yhden daktyloksen kokoiseen palloon mahtuu enintään 640 miljoonaa hiekanjyvää. Ottaen stadionin pyöristetysti enintään myriadiksi () eli kymmeneksituhanneksi daktylokseksi, hän osoittaa, että maailmankaikkeuteen mahtuu enintään 1063 hiekanjyvää.
Tavallinen kreikkalainen lukujärjestelmä ei riittänyt kuvaamaan näin suuria lukuja. Arkhimedes loi teoksessaan uuden tavan nimetä ja esittää tällaisia lukuja. Hän käytti lähtökohtana myriadia eli kymmentätuhatta ja määritteli ”ensimmäisen asteen” luvuiksi kaikki luvut aina 108 saakka (myriadi myriadia). Seuraavat asteet oli määritelty siten, että jokainen uusi aste kattoi kymmenentuhatta kertaa edellisen suurimman luvun. Näin hän eteni siihen saakka, että pystyi ilmaisemaan lukuja aina 1063:een saakka ja vielä tätä paljon pidemmälle.
Historia.
Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teoksensa "Hiekanlaskija" hän osoitti Syrakusan tyrannin Hieron II:n vanhimmalle pojalle Gelonille. Johan Ludvig Heiberg luki "Hiekanlaskijan" Arkhimedeen myöhäisiin teoksiin, Wilbur Knorr puolestaan varhaisiin. Teos on ainoa Arkhimedeelta säilynyt kirjoitus, joka käsittelee tähtitiedettä.
Teoksen innoitti joidenkin esittämä näkemys, jonka mukaan Sisilian rantojen hiekan määrä olisi joko ääretön tai ainakin suurempi kuin mikään sille osoitettavissa oleva luku. Arkhimedes pyrki todistamaan, että on mahdollista määrittää luku, joka on jopa suurempi kuin kaikkien niiden hiekanjyvien määrä, jotka täyttäisivät kiintotähtien sfäärin. Antiikin kreikkalaisen aritmetiikan kömpelön ja epätäydellisen lukumerkinnän aiheuttamat vaikeudet Arkhimedes onnistuu kiertämään keinolla, joka on periaatteeltaan yhtenevä nykyisten logaritmien kanssa. Tämä on yksi vaikuttavimpia osoituksia suuren matemaatikon neroudesta.
Koska antiikin kommentaattorit eivät juuri puuttuneet "Hiekanlaskijaan", sen teksti on säilynyt nykyaikaan alkuperäisessä doorilaisessa murteessa, jolla Arkhimedes — kuten maanmiehensä Theokritos — kirjoitti. Teos on suomennettu osana kokoelmaa "Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia" (2025).
Sisältö.
"Hiekanlaskija" on Gelonille osoitetun kirjeen muotoon kirjoitettu lyhyt tutkielma, joka jakautuu neljään lukuun. Teoksen alussa Arkhimedes toteaa, että monet uskovat hiekanjyvien lukumäärän olevan ääretön tai liian suuri laskettavaksi. Hän pyrkii osoittamaan, että tämä ei pidä paikkaansa, ja että matemaattisia menetelmiä käyttäen voidaan ilmaista ja käsitellä hyvin suuria lukuja:
Maailmankaikkeuden koon arviointi.
Tämän jälkeen Arkhimedes arvioi luvuissa 1–2 ylärajan maailmankaikkeuden koolle. Tätä varten hän käytti Aristarkhos Samoslaisen aurinkokeskistä mallia. Aristarkhoksen alkuperäinen teos on kadonnut, mutta tämä Arkhimedeen kirjoitus on yksi harvoista säilyneistä viittauksista hänen teoriaansa, jonka mukaan Aurinko pysyy paikallaan ja Maa kiertää Aurinkoa. Arkhimedeen omin sanoin:
Arkhimedeen mukaan Aristarkhos ei ilmoittanut, kuinka kaukana tähdet olivat Maasta. Siksi Arkhimedeen oli tehtävä seuraavat oletukset:
formula_1
Maan radan sisäänsä sulkemaa palloa Arkhimedes kutsuu nimityksellä ”se, mitä me sanomme maailmaksi” (), mikä viittaa yleiseen kielenkäyttöön maakeskisessä maailmankuvassa. Tämä ”maailma” on tärkeää erottaa aurinkokeskisen mallin laajemmasta ”maailmankaikkeudesta” () eli kiintotähtien sfäärin sisäänsä sulkemasta pallosta.
Maailmankaikkeuden koon ylärajan saavuttamiseksi Arkhimedes teki seuraavat oletukset mittasuhteista:
Näillä perusteilla Arkhimedes päätteli, että:
Suurten lukujen nimeäminen.
Seuraavaksi Arkhimedeen oli keksittävä järjestelmä suurten lukujen nimeämiseksi. Tämän hän esittää luvussa 3. Tuohon aikaan käytössä ollut tavallinen kreikkalainen lukujärjestelmä ulottui vain myriadiin eli saakka, ja käyttämällä itse sanaa ”myriadi” voitiin heti laajentaa nimistö kattamaan kaikki luvut aina myriadiin myriadiin (108) saakka. Arkhimedes kutsui lukuja 108:aan asti ”ensimmäisen asteen” luvuiksi ja nimesi luvun 108 ”toisen asteen yksiköksi”. Tämän yksikön kerrannaiset muodostivat toisen asteen, aina siihen saakka, kun päästiin lukuun myriadi myriadia kertaa myriadi myriadia, eli 108 · 108 = 1016. Tämä oli ”kolmannen asteen yksikkö”, jonka kerrannaiset olivat kolmannen asteen lukuja, ja niin edelleen. Arkhimedes jatkoi lukujen nimeämistä tällä tavoin aina siihen saakka, kunnes päästiin lukuun myriadi myriadia potenssiin myriadi myriadia, eli formula_2.
Tämän tehtyään Arkhimedes kutsui määrittelemiään asteita ”ensimmäisen periodin asteiksi”, ja viimeistä niistä, formula_2, ”toisen periodin yksiköksi”. Sen jälkeen hän muodosti toisen periodin asteet ottamalla tämän yksikön kerrannaisia samalla tavalla kuin ensimmäisessä periodissa. Jatkamalla tällä tavoin hän lopulta päätyi myriadi myriadin periodin asteisiin. Suurin luku, jonka Arkhimedes nimesi, oli tämän viimeisen periodin viimeinen luku, joka on:
formula_4
Toisin sanoen: ykkönen, jota seuraa biljoonaa (80 · 1015) nollaa.
Arkhimedeen järjestelmä muistuttaa kantaluvun 108 paikkamerkintäjärjestelmää, mikä on huomionarvoista, sillä antiikin kreikkalaiset käyttivät hyvin yksinkertaista kreikkalaisten numeroiden järjestelmää, jossa 27 kreikkalaisen aakkoston kirjainta edustivat ykkösiä (1–9), kymmeniä (10–90) ja satoja (100–900).
Samalla Arkhimedes keksi ja todisti eksponenttilain, formula_5, joka on välttämätön kymmenen potenssien käsittelemiseksi.
Maailmankaikkeuteen mahtuvien hiekanjyvien lukumäärän laskeminen.
Tämän jälkeen oli mahdollista laskea hiekanjyvien lukumäärä Aristarkhoksen maailmankaikkeudessa, mikä tapahtuu luvussa 4. Arkhimedes väittää, että neljäkymmentä unikon siementä vierekkäin asettuna vastaisi yhtä kreikkalaista daktylosta (sormenleveyttä), joka oli noin 19 mm (3/4 tuumaa) pitkä. Koska tilavuus kasvaa lineaarisen mitan kuutiona (”On näet osoitettu, että palloilla on kolminkertainen suhde toisiinsa niiden halkaisijoiden suhteessa”), pallo, jonka halkaisija on yksi daktylos, sisältäisi (nykyisellä lukujärjestelmällämme) 403 eli unikon siementä.
Tämän jälkeen Arkhimedes oletti, että jokainen unikon siemen voisi sisältää myriadin () hiekanjyvää. Nämä luvut keskenään kertomalla hän päätyi :een, eli palloon, jonka halkaisija on yksi daktylos, mahtuisi hypoteettisesti 640 miljoonaa hiekanjyvää.
Jatkossa helpottaakseen laskelmia Arkhimedes pyöristi 640 miljoonaa miljardiin, todeten vain, että ensimmäinen luku on pienempi kuin jälkimmäinen ja että näin ollen myöhemmin saadut hiekanjyvien määrät tulevat ylittämään todellisen lukumäärän. Arkhimedeen perimmäisenä tavoiteena teoksessaan olikin osoittaa, miten laskea aiemmin mahdottoman suurina pidetyillä luvuilla – ei niinkään tarkasti määrittää, montako hiekanjyvää maailmankaikkeuteen mahtuisi.
Kreikkalainen stadion oli 600 kreikkalaisen jalan pituinen, ja jokainen jalka oli 16 daktylosta pitkä, joten stadionissa oli daktylosta. Arkhimedes pyöristi tämän luvun jälleen :een, helpottaakseen laskelmia, huomauttaen jälleen, että tuloksena saatu hiekanjyvien määrä tulee ylittämään todellisen lukumäärän.
Luvun kuutio on biljoona (1012); ja kertomalla miljardi (hiekanjyvien määrä yhdessä daktylos-pallossa) biljoonalla (daktylos-pallojen määrä stadion-pallossa) saadaan 1021, eli hiekanjyvien määrä yhdessä stadion-pallossa.
Luvussa 1 Arkhimedes oli arvioinut, että Aristarkhoksen maailmankaikkeuden halkaisija oli 1014 stadionia, joten stadion-pallojen lukumäärä maailmankaikkeudessa olisi (1014)3 eli 1042. Kertomalla 1021 luvulla 1042 saadaan 1063, eli hiekanjyvien määrä Aristarkhoksen maailmankaikkeudessa.
Jos seurataan Arkhimedeen oletusta, jonka mukaan yhteen unikon siemeneen mahtuu hiekanjyvää; daktylos-palloon mahtuu unikon siementä; ja stadionin pituus on daktylosta; ja jos hyväksytään 19 mm daktyloksen leveydeksi, tällöin Arkhimedeen ajatteleman tyypillisen hiekanjyvän halkaisijaksi saadaan 18,3 μm (0,0183 mm) – mitä nykyisin kutsuttaisiin silttihiukkaseksi. Nykyisen määritelmän mukaan pienimmän hiekanjyvän halkaisija on 60 μm (0,06 mm).