Ryhmäteoria

Ryhmäteoria on matematiikan osa-alue, joka keskittyy tutkimaan ryhmiä. Sillä on useita sovelluksia fysiikassa ja kemiassa.
Monet kuvaukset säilyttävät joitakin struktuurin ominaisuuksia. Niinpä ryhmäteoriassa automorfismiryhmä on tärkeä käsite. Automorfismien muodostamaa ryhmää kutsutaan symmetriaryhmäksi. 
Galois’n teoria tutkii polynomien ratkeavuutta ryhmäteorian keinoin. Sen avulla voidaan polynomien ratkeavuus palauttaa ryhmän ratkeavuuteen. Tätä ryhmien ratkeavuutta on helpompi käsitellä kuin yhtälöiden ratkeavuutta.
Abelin ryhmä on eräs ryhmäteorian perustyökalu, ja se on perustana myös monimutkaisemmille algebrallisille rakenteille, kuten renkaille, kunnille ja moduleille. 
Historia.
Ryhmäteorian kehityshistoriassa on kolme tutkimushaaraa:
Tarkastellaan seuraavaksi näitä kolmea tutkimushaaraa erikseen.
Ryhmien pääluokat.
Permutaatioryhmät.
Permutaatioita esiintyy lähes joka puolella matematiikassa sekä käytännön elämässä. Juuri tämän vuoksi ryhmäteoriassa alettiin ensimmäisenä tutkia permutaatioryhmiä. Hyvänä käytännön esimerkkinä permutaatioista toimii Rubikin kuution siirrot.
Matemaattisesti määriteltynä permutaatio tarkoittaa bijektiota joukolta itselleen. Permutaatio sanana merkitsee muutosta tai vaihtoa eli jonkin joukon sisäistä muutosta, jolloin alkiot kuitenkin säilyvät ennallaan. Uusi avaamaton korttipakka on aluksi tietyssä järjestyksessä. Nyt, jos järjestystä muutetaan esimerkiksi siten, että ruutuässän tilalle laitetaankin pataässä, voidaan kuvitella ruutuässän kuvautuvan pataässäksi.
Permutaatiota voidaan tarkastella monesta eri näkökulmasta. Kun korttipakan järjestystä muutetaan tietyllä operaatiolla, voidaan sen kuvitella olevan eräänlainen permutaatio. Toisaalta permutaatio voi myös tarkoittaa saavutettua lopputulosta, johon korttipakka järjestämisoperaation jälkeen muotoutuu. Jos jonkin joukon alkiot kuvitellaan numeerisesti tiettyyn järjestykseen, voi permutaatio tarkoittaa myös järjestysnumeroiden muuttumista.
Matriisiryhmät.
Seuraava tärkeä ryhmien pääluokka on matriisiryhmät (lineaariset ryhmät), joka nimensä mukaisesti koostuu formula_1 -matriiseista. Kyseisten ryhmien operaatiot tapahtuvat siis n -dimensioisessa vektoriavaruudessa. Tämän vuoksi matriisiryhmät voidaan käsitteellisesti samaistaa permutaatioryhmiin.
Translaatioryhmät.
Translaatioryhmät ovat suljettuja rakenteensa suhteen. Jos esimerkiksi ryhmään formula_2 tehdään translaatiot eli siirrot tai muutokset formula_3 ja formula_4, on ensin suoritettava operaatio formula_3 ja sitten vasta operaatio formula_4.
Käsitteellisesti translaatioryhmä voidaan samaistaa symmetriseen ryhmään. Translaatioryhmät koostuvat siis niistä kaikista translaatioista, jotka säilyttävät ryhmän yksinkertaisen rakenteen.
Abstraktit ryhmät.
Ryhmäteoria kehittyi aluksi konkreettisimmista edellä mainituista ryhmäluokista. Ryhmäoperaatioita käsiteltiin siis luvuilla, permutaatioilla ja matriiseilla. Abstrakti ryhmä käsitteenä kuuluu moderniin eli abstraktiin algebraan.
Ryhmä formula_2 koostuu esimerkiksi alkioista formula_8. Jos ryhmä formula_2 on suljettu binäärioperaation * suhteen, niin voimassa ovat seuraavat neljä ehtoa:
Abstrakti ryhmä voidaan esittää vektoriavaruuksien lineaarimuunnoksina. Tätä tapaa kutsutaan ryhmän esitykseksi.
Topologiset ryhmät.
Topologinen ryhmä formula_22 koostuu topologisesta avaruudesta, jossa ryhmällä ovat voimassa seuraavat operaatiot:
Nämä edellä mainitut operaatiot muodostavat jatkuvat funktiot.