Pallogeometria

Pallogeometria on kaksi­ulotteisen pallo­pinnan geometria. Tässä yhteydessä "pallolla" tai "pallopinnalla" tarkoitetaan nimenomaan kaksi­ulotteista pintaa, joskin matematiikassa sana "pallo" voi muissa yhteyksissä tarkoittaa myös sen rajoittamaa kappaletta (kuulaa) tai myös sekä pallopinnan että kuulan useampi­ulotteista vastinetta.
Pallogeometriaa on kauan tutkittu navigointiin liittyvien ja tähti­tieteellisten sovellustensa vuoksi. Euklidisen tasogeometrian kanssa sillä on monia yhtäläisyyksiä, mutta myös merkittäviä eroja. Pallogeometria käsitetään usein osaksi avaruusgeometriaa eli kolmi­ulotteista euklidista geometria, jolloin pallopintaa tarkastellaan kolmi­ulotteisen avaruuden osajoukkona. Sitä voidaan kuitenkin tarkastella myös sisäisin, "intrisisin" menetelmin, jolloin käsitellään vain pintaa itseään viittamatta lainkaan laajempaan avaruuteen, jossa pinta sijaitsee.
Koska pallopinta eroaa geometrisesti tasosta, (intrinsisella) pallogeometrialla on monia epäeuklidisen geometrian piirteitä, ja sellaisena sitä toisinaan pidetäänkin. Pallogeometria ei kuitenkaan ole käsitteen täydessä merkityksessä epä­euklidista geometriaa, sillä se ei riitä ratkaisemaan, onko paralleeliaksiooma looginen seuraus muista Eukleideen tasogeometrian aksioomista. Tähän kysymykseen toi vastauksen vasta hyperbolinen geometria.
Yleiskatsaus.
Tasogeometrian peruskäsitteet ovat piste ja suora. Pallo­geometriassa vastaavat peruskäsitteet ovat piste ja isoympyrä. Kaksi pallo­pinnan isoympyrää leikkaa toisensa kahdessa pisteessä, jotka ovat toistensa antipodeja, ja tässä suhteessa pallo­geometria poikkeaa (yksin­kertaisesta) elliptisestä geometriata.
Kun pallopinta käsitetään kolmi­ulotteisen avaruuden osajoukoksi, isoympyrät ovat pallopinnan ja sen keskipisteen kautta kulkevien tasojen leikkauksia. Intrinsisesti tarkasteltuna isoympyrä on geodeettinen viiva, lyhin tie kahden pisteen välillä edellyttäen, että ne ovat tarpeeksi lähellä toisiinsa. Intrinsisessä aksiomaattisessa lähestymis­tavassa, joka on analoginen Eukleideen tasogeometriassa käytetylle, isoympyrä on pisteen tavoin peruskäsite, jota ei määritellä, mutta sen ja pisteen tärkeimmät ominaisuudet ja yhteydet ilmaistaan aksioomella, joista niiden muut ominaisuudet seuraavat.
Isoymyröillä on pallo­geometriassa monessa suhteessa vastaava looginen merkitys kuin suorilla euklidisessa geometriassa, esimerkiksi pallokolmioiden sivuina. Tämä ei ole pelkkä analogia: pallo- ja tasogeometriaa ja useita muitakin voidaan käsitellä erikois­tapauksina samasta yleisemmästä, etäisyyksien mittaamiseen perustuvista geometrisista struktuureista, joissa "suorat" määritellään lyhimpinä polkuina (geodeettisina viivoina). Monet pisteitä ja "suoria" koskevat lauseet pätevät yhtä lailla kaikissa tällaisissa geometrioissa, edellyttäen että ne on määritelty tähän tapaan, ja teoria voidaan suoraan yleistää korkeampiin ulottuvuuksiin. Koska pallo­geometria kuitenkin on sekä sovellustensa vuoksi että ja pedagogisista syistä sidoksissa avaruus­geometriaan ja koska näissä yleistyksissä eivät kaikki pallopintaa koskevat tulokset päde, pallogeometriassa ei yleensä käytetä termiä "suora" mistään pinnalla itsellään olevasta viivasta. Historialli­sesti­kin se on kehittynyt osana avaruus­geometriaa, ja siinä käytetään apuna myös ympäröivän kolmiulotteisen (euklidisen) avaruuden pisteitä, suoria ja tasoja.
Pallogeometriassa käsiteltävät kulmat ovat isoympyröiden välisiä kulmia. Kun pallopintaa tarkastellaan kolmiulotteisessa avaruudessa sijaitsevana, tämä kulma on yhtä suuri kuin niiden tasojen välisenä kulma, joiden leikkauksia pallopinnan kanssa nämä isoympyrät ovat. Isoympyröiden ja kulmien muodostamia pallokolmioita käsittelee pallotrigonometria, joka eroaa tavallisesta trigonometriasta monin tavoin: esimerkiksi pallokolmion kulmien summa on aina suurempi kuin 180 astetta.
Yhteys muihin samankaltaisiin geometrioihin.
Pallogeometria on läheistä sukua elliptiselle geometrialle.
Eräs huomattava pallogeometriaa muistuttava geometria on projektiivisen tason geometria. Se saadaan samastamalla keskenään toistensa antipodissa olevat pisteet, toisin sanoen ne pallopinnan pisteet, jotka ovat yhtä kaukana pallon keskipisteestä sen vastakkaisilla puolilla. Lokaalisesti projektiivisella tasolla on kaikki pallopinnan ominaisuudet, mutta sen globaalit ominaisuudet ovat erilaiset. Erityisesti projektiivinen taso on orientoitumaton, yksipuolinen, ja toisin kuin pallopintaa, sellaista ei voi muodostaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa ilman, että se leikkaa itsensä.
Pallogemetrian käsitteitä voidaan soveltaa myös pyörähdysellipsoidiin, joskin eräitä kaavoja on hieman muutettava.
Pallogeometria voidaan elliptisen geometrian tavoin yleistää myös useampaan ulottuvuuteen.
Historia.
Antiikin Kreikka.
Varhaisin nykyaikaan säilynyt pallogeometriaa käsittelevä teos on Autolykos Pitanelaisen 300-luvulla eKr. kirjoittama "Pyörivästä pallosta" , "Peri kinoumenes sphairas").
Pallotrigonometriaa tutkivat muutamat antiikin kreikkalaiset matemaatikot ja tähtitieteilijät kuten Theodosius Bithynialainen, joka kirjoitti pallo­geometriaa käsittelevän teoksen "Sphaerics" ja Menelaos Aleksandrialainen, joka kirjoitti pallotrigonometriaa käsittelevän kirjan "Sphaerica" ja tunnetaan myös Menelaoksen lauseen keksijänä.
Islamilainen maailma.
Islamilaisen matemaatikko Al-Jayyanin kirjoittamaa "Pallon tuntemattomien kaarten kirjaa" pidetään ensimmäisenä pallotrigonometriaa systemaattisesti käsittelevänä teoksena. Kirjassa on suorakulmaisia kolmiota koskevia kaavoja, yleinen sinilause sekä pallokolmion ratkaisu napakolmion avulla.
Regiomontanuksen noin vuonna 1463 kirjoittama "Kolmioista" on ensimmäinen eurooppalainen puhtaasti trigonometrinen teos. Noin sata vuotta myöhemmin Gerolamo Cardano kuitenkin totesi, että suurin osa sen pallo­trigonometriaa käsittelevästä aineistosta oli lainattu 1100-luvulla eläneen andalusialaisen Jabir ibn Aflahin teoksista.
Eulerin tutkielmat.
Leonhard Euler julkaisi useita merkittäviä pallogeometriaa käsitteleviä tutkielmia:
Ominaisuuksia.
Pallogeometrialla on seuraavat ominaisuudet:
Pisteet, jotka eivät ole toistensa antipodeja, voidaan yhdistää toisiinsa kahdella isoympyrän kaarella, jotka yhdessä muodostavat isoympyrän. Näin ollen kolme pistettä, jotka eivät ole samalla isoympyrällä, eivät yksikäsitteisesti määrittele kolmiota. Jos kuitenkin tarkastellaan vain kolmioita, joiden sivut ovat isoympyröiden "pienempiä" kaaria, toisin sanoen kaaria, joiden pituus on vähemmän kuin puolet isoympyrän kehästä, niillä voidaan todeta olevan seuraavat ominaisuudet: 
Pallogeometria ja Eukleideen postulaatit.
Mikäli sanaa "suora" käytetään tarkoittamaan pallon isoympyrää ja sanaa "jana" isoympyrän kaaresta, pallogeometria toteuttaa kaksi Eukleideen viidestä postulaatista, nimittäin toisen ("jana voidaan jatkaa jatkuvasti kokonaiseksi suoraksi") ja neljännen ("kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuria"). Sen sijaan kolme muuta postulaattia eivät päde. Vastoin ensimmäistä postulaattia kahden pisteen välillä ei aina ole yksikäsitteistä lyhintä reittiä (antipodipisteet kuten pohjois- ja etelänapa ovat vastaesimerkkejä). Vastoin kolmatta postulaattia ei pallopinnalle voida ympyrää, jonka säde on tiettyä rajaa suurempi. Ja vastoin viidettä eli paralleeliaksioomaa ei "suoran" ulkopuolella olevan pisteen kautta kulje yhtään sellaista "suoraa", joka ei leikkaisi edellistä jossakin pisteessä.
Paralleeliaksiooma on yhtäpitävä muun muassa sen lauseen kanssa, että on olemassa kolmio, jonka kulmien summa on 180°. Koska pallogeometriassa paralleeliaksiooma ei ole voimassa, ei pallopinnalla ole tämän ehdon toteuttavaa kolmiota. Sen sijaan pallokolmion kulmien summa on , missä "f" on kolmion sisään jäävän alueen pinta-alan suhde koko pallon pinta-alaan. Kaikilla "f":n positiivisilla arvoilla tämä on suurempi kuin 180°.
Käytännön sovelluksia.
Pallogeometrialle on paljon käytännön sovelluksia, sillä esimerkiksi Maapallolla liikutaan pallopinnalla, ja juuri merenkulun tarpeet ovatkin hyötyneet pallogeometrian tutkimuksesta.