Helioksen karjan lukumäärä

Helioksen karjan lukumäärä eli "Härkäongelma" (, tai "Problema Archimedis") on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen aritmeettinen runo, joka pyytää lukijaa selvittämään Helioksen karjan lukumäärän annettujen ehtojen perusteella.
Ongelmaa ei kyetty ratkaisemaan pitkään aikaan, osin siksi, että sen ratkaisu edellytti erittäin suurten lukujen käsittelyä. Tämä on tehnyt siitä yhden historian tunnetuimmista ja suuritöisimmistä matematiikan haasteista antiikin ajoilta. Yleisen ratkaisun ongelmaan löysi August Amthor vuonna 1880. Pienin mahdollinen ratkaisu, joka täyttää kaikki annetut ehdot, on noin formula_1 nautaa.
Historia.
Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. "Helioksen karjan lukumäärä" laitetaan yleensä Arkhimedeen nimiin, mutta ei ole täysin varmaa, että hän on sen kirjoittaja. Runo on sen alussa olevan omisteen mukaan ”Ongelma, jonka Arkhimedes kehitti epigrammimuodossa ja lähetti kirjeessä Eratosthenes Kyreneläiselle ilmoittaen siitä siten niille, jotka pohtivat näitä asioita Aleksandriassa”. Teos tunnettiin alun perin tämän otsakkeen ensimmäisen sanan mukaan yksinkertaisesti nimellä "Problēma" (), ”Ongelma”. Myöhemmin se sai nimen "Bo(e)ikon problēma" (), kirjaimellisesti ”Nautaongelma” tai ”Karjaongelma”.
Runon löysi saksalainen kirjailija ja klassillinen filologi Gotthold Ephraim Lessing, joka nimitettiin vuonna 1769 Wolfenbütteliin Herzog Augustin kirjaston eli Bibliotheca Augustan kirjastonhoitajaksi. Kirjastossa oli paljon kreikan- ja latinankielisiä käsikirjoituksia, ja "Helioksen karjan lukumäärä" löytyi niiden joukosta. Lessing julkaisi vuonna 1773 kommentaareilla varustetut käännökset eräistä kirjaston käsikirjoituksista, mukaan lukien "Helioksen karjan lukumäärä". Myöhemmin runon teksti on löydetty myös kahdesta muusta käsikirjoituksesta.
Runo on suomennettu osana kokoelmaa "Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia" (2025).
Sisältö.
Runo on kirjoitettu epigrammimuodossa ja käsittää omisteen lisäksi 44 säettä. Aiheeltaan runo viittaa kreikkalaisesta mytologiasta ja erityisesti Homeroksen "Odysseiasta" tunnettuun auringonjumala Helioksen karjaan, joka laidunsi Thrinakian saarella.
Ongelma.
Arkhimedes asettaa ongelman seuraavasti: Helioksen karja oli jaettu neljään laumaan väreittäin: valkoiset, mustat, keltaiset ja laikukkaat. Jokaisessa laumassa oli sekä härkiä että lehmiä, ja eläinten lukumäärät noudattivat tiettyjä matemaattisia suhteita. Valkoisten härkien määrä oli yhtä suuri kuin puolet ja kolmasosa mustista häristä lisättynä keltaisten härkien määrällä. Mustia härkiä oli neljäsosa ja viidesosa laikukkaiden härkien määrästä lisättynä keltaisten härkien määrällä. Laikukkaiden härkien lukumäärä oli kuudesosa ja seitsemäsosa valkoisista häristä lisättynä jälleen keltaisten härkien määrällä.
Lehmien määrät oli määritelty seuraavasti: valkoisia lehmiä oli kolmasosa ja neljäsosa mustien nautojen (eli sekä härkien että lehmien) kokonaismäärästä. Mustien lehmien määrä oli taas neljäsosa ja viidesosa laikukkaiden nautojen kokonaismäärästä. Laikukkaiden lehmien määrä oli yhtä suuri kuin viidesosa ja kuudesosa keltaisten nautojen kokonaismäärästä. Lopuksi, keltaisia lehmiä oli kuudesosa ja seitsemäsosa valkoisten nautojen kokonaismäärästä.
Arkhimedes lisäsi ongelmaan vielä kaksi lisäehtoa, jotka tekevät siitä huomattavasti vaikeamman. Ensimmäinen ehto vaatii, että valkoisten ja mustien härkien yhteenlaskettu määrä muodostaa neliöluvun: eläimet voidaan siis asettaa neliömuodostelmaan, jossa rivejä ja sarakkeita on yhtä monta. Toinen ehto määrää, että laikukkaiden ja keltaisten härkien yhteenlaskettu määrä on kolmioluku — luku, joka voidaan esittää tasasivuisen kolmion muotoisena pistemääränä.
Skholion.
Runon käsikirjoitusten lopussa on "skholion" eli skolia, joka on peräisin tekstin joltakin kopioitsija-kommentaattorilta. Se sisältää ongelman ratkaisuehdotuksen, joka on kuitenkin virheellinen ja saatu nautojen lukumäärä selvästi liian pieni.
Ratkaisu.
Ongelma johtaa diofanttiseen yhtälöryhmään, jonka ratkaiseminen vaatii Pellin yhtälön tuntemista. Ensimmäisen osan ratkaisu on mahdollinen yksinkertaisin suhtein, mutta toisen osan lisäehdot tekevät siitä eksponentiaalisesti vaikeamman.
Ensimmäinen osa.
Pienin ratkaisu.
Ensimmäinen osa ongelmasta on helposti ratkaistavissa muodostamalla yhtälöryhmä. Jos valkoisten, mustien, laikukkaiden ja keltaisten härkien lukumäärät merkitään kirjaimilla formula_2 ja formula_3, ja valkoisten, mustien, laikukkaiden ja keltaisten lehmien lukumäärät kirjaimilla formula_4 ja formula_5, ongelma on yksinkertaisesti löytää ratkaisu seuraavaan:
formula_6
Kyseessä on seitsemän yhtälön ryhmä, jossa on kahdeksan tuntematonta. Näin se on alimäärätty ja sillä on äärettömän monta ratkaisua. Pienimmät positiiviset kokonaisluvut, jotka täyttävät kaikki seitsemän yhtälöä, ovat:
formula_7
mikä tekee karjan kokonaismääräksi
formula_8
nautaa. Muut ratkaisut ovat näiden kokonaislukukertoja. Huomionarvoista on, että kun otetaan alkuluku formula_9, niin ensimmäiset neljä lukua ovat tämän formula_10:n monikertoja, ja sekä formula_10 että formula_12 esiintyvät toistuvasti myöhemmin.
Yleinen ratkaisu.
Kun kolme ensimmäistä yhtälöä muotoillaan sopivasti ja murtoluvut poistetaan, saadaan seuraava yhtälöryhmä:
Kolme yhtälöä neljällä tuntemattomalla formula_2 ja formula_3 muodostavat normaalisti alimäärätyn järjestelmän, jolla on äärettömän monta ratkaisua. Yksi tuntemattomista voidaan valita vapaasti. Oletetaan tässä, että tuntematon formula_3 on tunnettu, jolloin saadaan seuraavat ratkaisut:
Koska lukujen formula_16 ja formula_17 täytyy olla kokonaislukuja (onhan kyse nautojen lukumäärästä), myös formula_18 täytyy olla kokonaisluku. Siis formula_3 täytyy olla luvun formula_20 monikerta. Olkoon siis formula_21, missä formula_22. Tällöin saadaan:
Kun otetaan tarkasteluun myös neljä muuta yhtälöä, poistetaan murtoluvut ja muotoillaan sopivasti, saadaan seuraava yhtälöryhmä:
Jos nyt sijoitetaan ensimmäisestä yhtälöryhmästä saadut arvot formula_23, saadaan:
Koska formula_24 voidaan valita vapaasti, kyseessä on yksikäsitteisesti ratkaistava yhtälöryhmä neljällä yhtälöllä ja neljällä tuntemattomalla formula_4 ja formula_5. Saadaan seuraavat ratkaisut:
Koska myös lukujen formula_4 ja formula_5 täytyy olla kokonaislukuja, täytyy formula_29 olla kokonaisluku. Siis formula_24 täytyy olla luvun formula_31 monikerta. Olkoon siis formula_32, missä formula_33. Tällöin saadaan seuraavat ratkaisut:
Näin ollen Arkhimedeen karjaongelman ensimmäinen ja helpompi osa (ilman kahta lisäehtoa) saa seuraavan yleisen ratkaisun (missä formula_33 voidaan valita vapaasti):
formula_35
Koko karjan kokonaismäärä on siis
formula_36
Toinen osa.
Ongelman toinen osa toteaa, että formula_37 on neliöluku ja formula_38 on kolmioluku.
Pienin ratkaisu.
Se, että formula_39 tulee olla neliöluku, voidaan ilmaista
formula_40
Kun tähän yhtälöön sijoitetaan välitulokset formula_41 ja formula_42, saadaan
formula_43
joka on alkutekijöihin hajotettuna sama kuin
formula_44
Jotta vasen puoli olisi täydellinen neliö, täytyy päteä
formula_45
missä formula_46 on kokonaisluku.
Seuraavaksi se, että formula_47 tulee olla kolmioluku, voidaan ilmaista:
formula_48
Kun määritellään, että formula_49, eli formula_50, voidaan tämä kirjoittaa myös muodossa
formula_51
tai
formula_52
Koska formula_53 on kokonaisluku, on formula_54 selvästi pariton.
Kun summaan formula_47 sijoitetaan välitulokset formula_56 ja formula_57, ja koska formula_58, saadaan:
formula_59
Kun tämä sijoitetaan yllä saatuun yhtälöön, saadaan formula_54:n ja formula_61:n välinen yhteys:
formula_62
Koska formula_63, muodostuu seuraava Pellin yhtälö:
formula_64
Kun huomioidaan hajotelma formula_65, voidaan muodostaa helpommin ratkaistava Pellin yhtälö:
formula_66
Tällä Pellin yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua, koska formula_67 ei ole neliöluku.
Se ratkaistaan käyttämällä formula_68:n jatkuvan murtoluvun kehitelmää, jonka jakso on pituudeltaan 92 ja kokonaispituus 93. Se kuuluu:
formula_69
Yllä olevan Pellin yhtälön formula_70 pienin ratkaisu on:
formula_71
Tästä saadaan:
formula_72
eli se ei ole kokonaisluku. Näin ollen tämä pienin ratkaisu ei vielä ole etsimämme härkäongelman ratkaisu. Etsitty formula_61 täytyy olla sellaisen pienimmän mahdollisen formula_74:n tekijä, jolla formula_75 on tekijänä.
Kun pienin ­ratkaisu formula_76 on saatu, voidaan käyttää seuraavia Pellin yhtälön iterointikaavoja, jotta saadaan kaikki myöhemmät ratkaisut:
formula_77
Ensimmäisellä iteraatiolla saadaan:
formula_78
Tämä formula_79 ei myöskään ole jaollinen luvulla formula_75.
Seuraavallakaan iteraatiolla
formula_81
ei saada haluttua jaollisuutta: formula_82 ei ole jaollinen luvulla formula_75.
Vasta iteraation jälkeen saadaan seuraava haluttu pienin ratkaisu:
formula_84
Tästä saadaan:
formula_85
Nyt voidaan myös laskea
formula_86
ja sijoittaa se aiempiin lausekkeisiin formula_87 ja formula_5:
formula_89
Koko karjan yhteenlaskettu määrä on siis
formula_90
Toisella tavalla ilmaistuna, nautojen lukumäärä on
formula_91 (välissä kolmen numeron ryhmää) formula_92
Valkoiset härät, joita on formula_93 kappaletta, ja mustat härät, joita on formula_94 kappaletta, voidaan järjestää neliön muotoon siten, että jokaisella neliön sivulla seisoo formula_95 härkää.
Laikukkaat härät, joita on formula_17 kappaletta, ja keltaiset härät, joita on formula_3 kappaletta, voidaan järjestää kolmion muotoon siten, että jokaisella kolmion sivulla seisoo formula_98 härkää.
Yleinen ratkaisu (Lenstra).
Ongelman toisen osan yleisratkaisun löysi ensimmäisenä A. Amthor vuonna 1880. Seuraavan version ratkaisusta esitti H. W. Lenstra, ja se perustuu Pellin yhtälöön: edellä annetun ensimmäisen osan ratkaisu tulee kertoa kertoimella
formula_99
missä formula_100 on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku, ja
formula_101
Pienimmän mahdollisen karjan, joka täyttää sekä ongelman ensimmäisen että toisen osan ehdot, koko saadaan, kun formula_102, ja se on sama kuin edellä laskettu pienin ratkaisu.
Nykyaikaiset tietokoneet pystyvät helposti tulostamaan ratkaisun kaikki numerot. Tämä tehtiin ensimmäisen kerran Waterloon yliopistossa vuonna 1965 Hugh C. Williamsin, R. A. Germanin ja Charles Robert Zarnken toimesta. He käyttivät yhdistelmää IBM 7040 ja IBM 1620 -tietokoneista.