Algebrallinen funktio

Algebrallinen funktio on matematiikassa sellainen funktio formula_1, joka voidaan määritellä yhtälöllä, jossa jokin muuttujista "x" ja "y" riippuva polynomi on asetettu nollaksi.. Toisin sanoen funktio voidaan esittää jonkin "x":stä ja "y":stä riippuvan polynomiyhtälön "p"("x","y") = 0 ratkaisuna. 
Monet algebralliset funktiot voidaan esittää algebrallisena lausekkeina, jotka voidaan muodostaa muuttujasta ja äärellisestä määrästä vakioita pelkästään algebrallisten operaatioiden, toisin sanoen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskun sekä juurenoton avulla. Sellaisia funktioita ovat esimerkiksi: 
Abelin–Ruffinin lause osoittaa kuitenkin, että on olemassa myös algebrallisia funktioita, joita ei voida tällä tavoin muodostaa. Sellainen on esimerkiksi Bringin radikaali, joka on lausekkeen
 formula_5.
määrittelemä implisiittifunktio. 
Täsmällisemmin ilmaistuna yhden muuttujan ("x"') "n":nnen asteen algebrallinen funktio on funktio formula_6 joka on jatkuva määrittelyjoukossaan ja joka toteuttaa polynomiyhtälön
 formula_7
missä kertoimet formula_8 ovat "x":n polynomifunktioita, joissa kertoimet ovat kokonaislukuja. Voidaan osoittaa, että sama funktioluokka saadaan, jos kertoimiksi formula_9 hyväksytään mitkä tahansa algebralliset luvut. Jos kertoimina esiintyy transkendenttilukuja, funktio ei yleensä ole algebrallinen, mutta sen sanotaan olevan algebrallinen näiden kertoimien virittämän kunnan suhde.
Kun algebrallisen funktion argumentti on rationaaliluku tai mikä tahansa algebrallinen luku, funktion arvo on aina algebrallinen luku. Toisinaan tarkastellaan kertoimia formula_10, jotka ovat jonkin renkaan "R" polynomeja, ja niitä sanotaan "R":n algebrallisiksi funktioiksi.
Funktioita, jotka eivät ole algebrallisia, sanotaan transkendenttifunktioiksi. Sellaisia ovat esimerkiksi eksponenttifunktio formula_11, trigonometriset funktiot kuten formula_12 ja formula_13, logaritmifunktio formula_14 ja gammafunktio formula_15. Transkendenttistenkin funktioiden yhdistetty funktio saattaa olla algebrallinen: esimerkiksi formula_16.
Koska "n":nnen asteen polynomiyhtälöllä on enintään "n" ratkaisua (ja tasan "n" ratkaisua, jos kyseessä on algebrallisesti suljettu kunta, esimerkiksi kompleksilukujen kunta), polynomiyhtälö ei implisiittisesti määrittele vain yhtä funktiota, vaan enintään "n" funktiota, joita toisinaan sanotaan funktion "haaroiksi". Tarkastellaan esimerkkinä yksikköympyrää:
formula_17
Tässä kutakin välillä -1 &lt; x &lt; 1 olevaa "x":n arvoa kohti on kaksi "y":n arvoa, jotka ovat toistensa vastalukuja. Niinpä yhtälö määrittelee kaksi haaraa:
formula_18
Vastaavasti "m" muuttujan algebrallinen funktio määritellään funktiona
formula_19
joka on "m" + 1 muuttujan polynomiyhtälön
formula_20
ratkaisu.
Yleensä edellytetään, että "p":n on oltava jaoton polynomi. Siinä tapauksessa algebrallisen funktion olemassaolon takaa implisiittifunktiolause.
Muodollisesti "m" muuttujan algebrallinen funktio kunnassa "K" on rationaalilukujen kunnan algebrallisen sulkeuman "K"("x"1, ..., "x""m") alkio.
Yhden muuttujan algebralliset funktiot.
Johdanto ja yleiskatsaus.
Algebrallisten yhtälöiden epämuodollinen määritelmä tarjoaa vihjeitä sellaisten ominaisuuksista. Intuitiivisen ymmärryksen saamiseksi voidaan algebralliset funktiot käsittää funktioiksi, jotka voidaan muodostaa tavanomaisilla algebrallisilla toimituksilla: yhteen-, kerto- ja jakolaskuilla sekä juurenotoilla. Tämä on kuitenkin yksinkertaisuus, sillä Galois’n teorian peruslauseesta seuraa, ettei kaikkia algebrallisia funktioita voida esittää juurilausekkeina.
Ensinnäkin voidaan todeta, että jokainen polynomifunktio formula_21 on algebrallinen funktio, sillä se on yksinkertaisesti yhtälön
formula_22
ratkaisu "y".
Myös jokainen rationaalifunktioformula_23 on yhtälön
formula_24
ratkaisuna algebrallinen.
Jokaisen polynomin "n":s juuri eli muotoa formula_25 oleva funktio on myös algebrallinen, sllä se on yhtälön
formula_26
ratkaisu.
Hieman yllättävämpää on, että jokaisen algebrallisen funktion käänteisfunktio on myös algebrallinen. Sillä jos oletetaan, että "y" on yhtälön
formula_27
ratkaisu jokaisella "x":n arvolla, on "x" myös tämän yhtälön ratkaisu jokaisella "y":n arvolla. Itse asiassa vaihtamalla "x":n ja "y":n merkitykset keskenään ja yhdistämällä termejä saadaan
formula_28
Nyt kirjoittamalla "x" "y":n funktiona saadaan alkuperäisen funktion käänteisfunktio, joka on myös algebrallinen funktio.
Kaikilla funktioilla ei kuitenkaan ole käänteisfunktiota. Esimerkiksi funktio "y" = "x"2 ei ole bijektio, vaan se saa argumentin arvoilla "x" ja -"x" aina saman arvon. Jos tästä yhtälöstä ratkaistaan "x", saadaan kaksiarvoinen lauseke formula_29. Sen molemmat haarat, formula_30 ja formula_31 ovat kuitenkin algebrallisia funktioita, mutta reaalilukujen joukossa formula_32 ne on määritelty vain, kun formula_33.
Kompleksilukujen merkitys.
Algebran näkökulmasta kompleksiluvut liittyvät täysin luonnollisella tavalla algebrallisten funktioiden teoriaan. Ensinnäkin algebran peruslauseen mukaan kompleksiluvut ovat algebrallisesti suljettu kunta. Siitä seuraa, että jos "y":n sallitaan olla myös kompleksiluku, niin polynomirelaatiolla "p"("y", "x") = 0 on varmasti vähintään yksi ratkaisu jokaisessa pisteessä "x", ja yleensä niin monta ratkaisua kuin "p":n asteluku "y":n suhteen osoittaa. Tämän vuoksi algebrallisten funktioiden määrittelyalueesta johtuvat ongelmat minimoituvat.
Lisäksi siinäkin tapauksessa, että ollaan kiinnostuneita vain reaalisista algebrallisista funktioista, eräissä tapauksissa ei ole keinoa esittää funktiota yhteen-, kerto- ja jakolaskun sekä juurenoton avulla ilman, että joudutaan tekemisiin myös kompleksilukujen kanssa. Tarkastellaan esimerkiksi algebrallista funktiota, jonka määrittelee yhtälö
formula_34
Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla saadaan
formula_35
Kun formula_36, kaavassa esiintyvä neliöjuuri on reaalinen ja kuutiojuurikin näin ollen hyvin määritelty ja saadaan vain yksi reaalinen ratkaisu. Sitä vastoin alueella formula_37 tämä neliöjuuri ei ole reaalinen, ja niinpä sen arvoksi on valittava jompikumpi kahdesta imaginaariluvusta, jotka ovat toistensa vastalukuja. Niinpä kuutiojuuri on valittava kolmen ei-reaalisen luvun joukosta. Jos sama valinta tehdään kaavan kummassakin termissä, nämä kolme kuutiojuuren valintaa antavat tulokseksi oheisessa kuvassa esiintyvät kolme haaraa.
Voidaan todistaa, ettei tätä funktiota voida mitenkään esittää lausekkeella, jossa esiintyy vain reaalilukujen juuria, vaikka nämä funktiot ovatkin reaalisia tässä kaaviossa näkyvällä alueella.
Merkittävämmällä teoreettisella tasolla kompleksilukujen käyttö antaa mahdollisuuden käyttää kompleksianalyysin vahvoja tekniikoita algebrallisten funktioiden tutkimiseen. Erityisesti argumenttiperiaatteen avulla voidaan osoittaa, että jokainen algebrallinen funktio on samalla analyyttinen funktio ainakin moniarvoisen funktion merkityksessä.
Olkoon "p"("x", "y") kompleksimuuttujien "x" ja "y" kompleksiarvoinen funktio. Oletetaan, että 
"x"0 ∈ C on sellainen, että "y":n polynomilla "p"("x"0, "y") on "n" erillistä nollakohtaa. Osoitamme, että algebrallinen funktio on analyyttinen jossakin "x"0 ympäristössä. Vallitaan joukko "n" toisiaan leikkaamatonta kiekkoa Δ"i", joista jokainen sisältää yhden näistä nollakohdista. Silloin argumenttiperiaatteen mukaan
formula_38
Jatkuvuuden nojalla tämä pätee myös kaikille arvoille "x" jossakin 
"x"0:n ympäristössä. Erityisesti "p"("x", "y"):llä on vain yksi nollakohta kiekossa Δ"i", mikä seuraa residylauseesta:
formula_39
mikä on analyyttinen funktio.
Monodromia.
Edellä esitetyssä analyyttisyyden todistuksessa johdettiin lauseke "n" erillisen funktioelementin "f""i"("x") järjestelmälle, edellyttäen, että "x" ei ole "p"("x", "y"):n kriittinen piste. "Kriittinen piste" on piste, jossa erillisten nollakohtien lukumäärä on pienempi kuin "p":n aste, ja näin tapahtuu vain siellä, missä "p":n korkea-asteisin termi ja diskriminantti saavat arvon nolla. Näin sellaisia pisteitä
"c"1, ..., "c""m"
on vain äärellinen määrä.
Funktioelementtien "f""i" tarkempaa tutkimusta kriittisten pisteiden lähellä voidaan käyttää osoittamaan, että monodrominen peite haarautuu kriittisten pisteiden sekä mahdollisesti myös kompleksitason äärettömyyspisteen ympärillä. Niinpä "f""i":n holomorfisella laajennuksella on vähintään algebralliset navat ja tavalline algebrallinen haarautuma kriittisten pisteiden ympärillä.
On huomattava, että kriittisten pisteiden ympärillä pätee
formula_40,
sillä pisteet "f""i" ovat määritelmän mukaan "p":n erilliset nollakohdat. Monodromiaryhmän muodostavat näiden tekijöiden permutaatiot, ja näin ollen ne muodostavat "p":n Galois’n ryhmän "monodromisen esityksen".
Historia.
Algebrallisten funktioiden keskeisimmät ideat tunsi ainakin jo René Descartes. Ensimmäinen järjestelmällinen esitys niistä lienee Edward Waringin teoksessa "An essay on the Principles of Human Knowledge", jossa hän kirjoitti:
"Olkoon ordinaattaa kuvaava suure abskissan "x" algebrallinen funktio, joka on muodostettu tavanomaisilla jakolaskuilla ja juurenotoilla. Kehitetään se nousevaksi tai laskevaksi päättymättömäksi sarjaksi "x":n ulottuvuuksien mukaan ja muodostetaan sitten jokaisen saadun termin integraali."