Kaarevuus

Matematiikassa kaarevuudella tarkoitetaan useita toisiinsa läheisesti liittyviä geometrisia käsitteitä. Intuitiivisesti kaarevuus merkitsee sitä, minkä verran käyrä poikkeaa suorasta tai pinta tasosta.
Käyrien osalta tyyppiesimerkkinä voidaan pitää ympyrää, jonka kaarevuus on sen säteen käänteisarvo. Ympyrän voidaan sanoa kaareutuvan sitä enemmän, mitä pienempi sen säde on, ja sen mukaisesti pienen ympyrän kaarevuus on suurempi. Differentioituvan käyrän kaarevuus "tietyssä pisteessä" on sama kuin sen ympyrän kaarevuus, joka tämän pisteen ympäristössä on lähimpänä ympyrää. Suoran viivan kaarevuus on nolla. Toisin kuin tangentti, joka on vektorisuure, käyrän kaarevuus pisteessä on tyypillisesti skalaarisuure, jonka voidaan ilmaista yhdellä reaaliluvulla. 
Euklidiseen avaruuteen upotettujen pintojen (ja yleisemmin moniulotteisten monistojen) tapauksessa kaarevuuden käsite on monimutkaisempi ja riippuu suunnan valinnasta pinnalla tai monistolla. Tämä johtaa "maksimikaarevuuden", "minimikaarevuuden" ja "keskikaarevuuden" käsitteisiin.
Kaksi- tai useampiulotteisten Riemannin monistojen kaarevuus voidaan määritellä "sisäisesti", riippumatta laajemmasta euklidisesta avaruudesta, jossa monisto mahdollisesti sijaitsee. Kaarevuus voidaan määritellä monistoon piirrettyjen käyrien avulla ja se voidaan ilmaista lineaarialgebraa käyttäen Riemannin kaarevuustensorin avulla.
Historia.
Teoksessaan "Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum" 1300-luvun filosofi ja matemaatikko Nicole Oresme otti käyttöön kaarevuuden käsitteen mittana poikkeamalle suoruudesta. Jo hänen mukaansa ympyrän kaarevuus oli kääntäen verrannollinen sen säteeseen, ja hän yritti laajentaa käsitettä muille käyrille jatkuvasti muuttuvana suureena.
Differentioituvan käyrän kaarevuus määriteltiin alun perin kaarevuusympyrän eli "oskuloivan ympyrän" avulla, toisin sanoen ympyrän, joka annetun pisteen läheisyydessä pysytteli lähimpänä annettua käyrää. Tähän perustuen Augustin-Louis Cauchy osoitti, että käyrän kaarevuuskeskipiste on käyrän kahden äärettömän lähellä toisiaan olevan normaalin leikkauspiste.
Tasokäyrän kaarevuus.
Tasokäyrän kaarevuus annetussa pisteessä voidaan määritellä ainakin kahdella tavalla, jotka kuitenkin ovat keskenään yhtäpitäviä. Se voidaan määritellä joko sen ympyrän säteen käänteisarvona, joka pisteen läheisyydessä tarkimmin yhtyy annettuun käyrään, tai vaihtoehtoisesti käyrän (tai sen tangentin suunnan muuttumisnopeutena suhteessa käyrän kaaren pituuteen.
Kaarevuuden määritteleminen kaarevuusympyrän avulla lienee intuitiivisesti havainnollisempaa kuin sen määritteleminen käyrän suunnan muutosnopeuden avulla. Jälkimmäisen määritelmän avulla on kuitenkin helpompi johtaa kaavat, joilla käyrän kaarevuus voidaan laskea. Tämän vuoksi jälkimmäistä käytetään tavallisimmin kaarevuuden määritelmänä, jota käytetään myös kinematiikassa.
Ympyrän kaarevuus on kaikkialla sama kuin sen säteen käänteisarvo. Suoran kaarevuus taas on nolla.
Määritelmä kaarevuusympyrän avulla.
Historiallisesti differentioituvan käyrän kaarevuus määriteltiin kaarevuusympyrän eli "oskuloivan ympyrän" avulla, toisin sanoen ympyrän, joka parhaiten approksimoi käyrää annetun pisteen läheisyydessä. Täsmällisemmin ilmaistuna, jos käyrältä valitaan piste "P", käyrän jokainen muu piste "Q" määrittää ympyrän (tai toisinaan suoran), joka kulkee "Q":n kautta ja joka sivuaa käyrää pisteessä "P". Oskuloiva ympyrä, jos sellainen on olemassa, on tällöin raja-arvo, jota tämä ympyrä lähestyy, kun "Q" lähestyy "P":tä. Tällöin käyrän kaarevuuskeskipisteellä ja kaarevuussäteellä pisteessä "P" tarkoitetaan tämän kaarevuusympyrän keskipistettä ja sädettä. Käyrän "kaarevuus" taas on sen kaarevuusssäteen käänteisarvo. Toisin sanoen 
 formula_1
missä "R" on käyrän kaarevuussäde
Käyrän tiettyyn pisteeseen liittyvän kaarevuusympyrän keskipistettä sanotaan sen kaarevuuskeskipisteeksi. Käyrän eri pisteisiin liittyvät kaarevuuskeskipisteet muodostavat käyrän evoluutan.
Kaarevuusympyrään liittyvän määritelmän avulla on kuitenkin hankala johtaa lausekkeita eri käyrien kaarevuudelle. Sen vuoksi kaarevuudelle on esitetty muita määritelmiä, jotka kuitenkin ovat edellisen kanssa yhtäpitäviä.
Määritelmä suunnan muutosnopeuden ja kaaren pituuden avulla.
Käyrän kaarevuuden annetussa pisteessä voidaan sanoa kuvaavan sitä, minkä verran käyrän suunta muuttuu liikuttaessa sitä pitkin pieni matka. Kaarevuuden mittana käytetään tällöin käyrän tangentin suunnan muuttumisnopeutta verrattuna kaaren pituuteen. Käyrän kaarevuus on siis sitä suurempi, mitä nopeammin sen (tai sen tangentin) suunta muuttuu käyrää pitkin kuljettaessa. 
Jokainen differentioituva käyrä voidaan parametroida sen kaarenpituuden avulla. Tasokäyrän tapauksessa tämä merkitsee, että on olemassa parametrointi formula_2, missä "x" ja "y" ovat reaaliarvoisia differentioituvia funktioita, joiden derivaatat toteuttavat yhtälön
formula_3
Tämä merkitsee, että tangenttivektorin
formula_4
normi on 1 eli se on yksikkötangenttivektori.
Jos käyrä on kahdesti differentioituva eli funktioilla formula_5 ja formula_6 on toisen kertaluvun derivaatat, myös funktiolla formula_7 on derivaatta. Tämä vektori on käyrään nähden kohtisuorassa, sen normi on käyrän kaarevuus formula_8 ja sen suunta on kohti käyrän kaarevuuskeskipistettä. Toisin sanoen
formula_9
Koska lisäksi (edellyttäen että formula_10) käyrän kaarevuussäde on
formula_11
ja käyrän kaarevuuskeskipiste sijaitsee sen normaalilla, kaarevuuskeskipiste on piste
formula_12 
Yksinkertaisemmin voidaan käyrän kaarevuus määritellä suhteen formula_13 raja-arvona, missä formula_14 merkitsee käyrälle pisteeseen formula_15 ja lähellä sitä olevaan pisteeseen formula_16 piirrettyjen tangenttien välistä kulmaa formula_17 käyrän pisteiden "P" ja "Q" välisen kaaren pituutta.. Tämä raja-arvo on samalla käyrän suuntakulman formula_18 derivaatta kaaren pituuden "s" suhteen. Parametri "s" tarkoittaa siis kaaren pituutta annetusta alkupisteestä laskettuna, mutta sen voidaan tulkita tarkoittavan myös aikaa, mikäli kuvitellaan pisteen liikkuvan käyrää pitkin tasaisella ratanopeudella. Derivaatta formula_19 on vektori, joka on kohtisuorassa käyrään nähden ja jonka pituus on sama kuin käyrän kaarevuus.
Koska käyrän kaarevuus on sen kaarevuussäteen käänteisarvo, SI-standardin mukaan sen yksikkö on käänteismetri (1/m). Koska se voidaan edellä esitetyllä tavalla määritellä kulman avulla, voidaan yksikkö esittää myös muodossa radiaani metriä kohti (rad/m). Sen ohella voidaan yksikkönä käyttää myös astetta metriä kohti. 
Käyrän kaarevuuden määritelmä ja sen eri luonnehdinnat ovat mielekkäitä vain, jos käyrällä on jatkuvasti muuttuva tangentti, mikä taas edellyttää, että käyrä on pisteen "P" läheisyydessä jatkuvasti differentioituva. Lisäksi on oletettava, että käyrän on kahteen pisteessä "P" kahteen kertaan differentioituva, jotta määritelmän edellyttämät raja-arvot olisivat olemassa ja funktio formula_7 derivoituva.
Jos käyrän kaarevuus on nolla, kaarevuuskeskipistettä ei ole missään tasolla formula_21, mutta usein sanotaan sen olevan "äärettömyydessä".
Jos formula_22 on yksikkönormaalivektori, joka saadaan formula_7 kiertämällä sitä vastapäivään kulman formula_24 verran, on 
formula_25
missä formula_26. Reaalilukua formula_27 sanotaan "suunnatuksi kaarevuudeksi" tai "etumerkilliseksi kaarevuudeksi". Se riippuu sekä tason orientoinnista eli siitä, kumpi kiertosuunta katsotaan vastapäiväiseksi (tai kummalta puolelta sitä katsotaan), että parametroinnin mukaisesta käyrän suunnasta. Itse asiassa muuttujanvaihto "s" → -"s" johtaa toiseen kaarenpituuden avulla määriteltyyn parametrointiin ja muuttaa formula_27:n etumerkin.
Yleisen parametroinnin avulla.
Olkoon formula_29 jonkin tasokäyrän aito kahdesti differentioituva parametriesitys. Tässä "aito" merkitsee sitä, että derivaatta formula_30 on määritelty ja differentioituva kaikkialla parametroinnin määrittelyjoukossa eli kaikilla arvoilla "t", joita vastaa jokin käyrän piste, eikä se missään saa arvokseen nollavektoria.
Nämä ehdot täyttävien parametrointien tapauksessa käyrän etumerkillinen kaarevuus on 
formula_31
missä "x ja "y tarkoittavat "x":n ja "y":n derivaattoja "t":n suhteen. Käyrän kaarevuus formula_32 on tällöin
formula_33
Tämä voidaan esittää koodinaateista riippumattomalla tavalla seuraavasti:
formula_34
Nämä kaavat voidaan kohtaa kaarenpituuteen liittyvän parametroinnin muodostamasta erikois­tapauksesta seuraavasti. Edellä olevista parametrointi­ehdoista seuraa, että kaaren pituus "s" on parametrin "t" differentioituva monotoninen funktio ja kääntäen "t" on "s":n monotoninen funktio. Jos lisäksi tarvittaessa vaihdetaan "s" -"s":ään, voidaan olettaa, että nämä funktiot ovat kasvavia, jolloin niiden derivaatta on positiivinen. Edellä käytettyjen merkintöjen avulla ja ketjusääntöä soveltaen saadaan
formula_35
ja näin ollen ottamalla yhtälön molemmista puolista normi:
formula_36
missä heittomerkki (') tarkoittaa differentiointia "t":n suhteen.
Käyrän kaarevuus on derivaatan formula_37 normi. Edellä olevan kaavan ja ketjusäännön avulla tämä derivaatta voidaan ilmaista pelkästään γ′:n ja formula_38″:n avulla eliminoimalla kaarenpituusparametri "s", jolloin saadaan edellä esitetyt kaarevuuden kaavat.
Funktion kuvaaja.
Funktion kuvaaja formula_39 on parametroidun käyrän erikoistapaus, joka voidaan esittää muodossa
formula_40
Koska "x":n ensimmäinen ja toinen derivaatta ovat 1 ja 0, edellä esitetyt kaavat yksinkertaistuvat muotoon
formula_41
kaarevuudelle ja
formula_42
etumerkilliselle kaarevuudelle.
Yleisessä tapauksessa käyrän kaarevuuden etumerkki on tavallaan mielivaltainen ja riippuu käyrän orientaatiosta. Funktion kuvaajalle on kuitenkin olemassa "x":n kasvavien arvojen määrittämä luonnollinen orientaatio. Sen vuoksi kaarevuuden etumerkillä on suuri merkitys.
Etumerkillisen kaarevuuden etumerkki on sama kuin "f":n toisen derivaatan etumerkki. Jos se on positiivinen, käyrä on alaspäin kupera, ja jos se on negatiivinen, käyrä on ylöspäin kupera. Jos se on nolla, kyseessä on joko käännepiste tai undulaatiopiste.
Kun kuvaajan kulmakerroin eli funktion derivaatta on itseisarvoltaan pieni, käyrän etumerkillinen kaarevuus on likipitäen yhtä suuri kuin funktion toinen derivaatta. Toisin sanoen iso O -merkintää käyttäen saadaan
formula_43
Fysiikassa ja insinöörialoilla käyrän kaarevuutta approksimoidaan usein funktion toisella derivaatalla. Näin tehdään esimerkiksi palkkiteoriassa sekä johdettaessa jännitetyn langan aaltofunktio, kuten myös muissa sovelluksissa, joissa kulmakerroin on pieni. Tämä tekee usein mahdolliseksi käsitellä epälineaarista järjestelmää likipitäen lineaarisen kaltaisena.
Napakoordinaatistossa.
Jos käyrä on määritelty napakoordinaatistossa ja sen kunkin pisteen etäisyys "r" origosta on ilmoitettu kiertokulman θ funktiona, käyrän kaarevuus on
formula_44
missä heittomerkki (') tarkoittaa derivaattaa θn suhteen.
Tämä seuraa yleisen parametroinnin kaavasta käyttämällä parametrointia
formula_45
Implisiittinen käyrä.
Jos käyrä on määritelty implisiittisellä yhtälöllä formula_46 ja sen osittaisderivaatoille käytetään merkintöjä formula_47, formula_48, formula_49, formula_50 ja formula_51, sen kaarevuuden osoittaa lauseke
formula_52
Etumerkillinen kaarevuus ei ole määritelty, sillä se riippuu käyrän orientaatiosta, jota implisiittinen yhtälö ei määritä. On huomattava, että jos "F" vaihdetaan -"F":ään, yhtälön formula_53 määrittelemä käyrä ei muutu, mutta nimittäjän etumerkki muuttuisi, jos itseisarvomerkit jätettäisiin pois edellä olevasta yhtälöstä.
Jos jossakin käyrän pisteessä on formula_54, tämä piste on käyrän erikoispiste, mikä yleensä merkitsee, ettei käyrä ole tässä pisteessä differentioituva eikä näin ollen sen kaarevuuskaan ole määritelty. Useimmiten kyseessä on joko piste, jossa käyrä leikkaa itsensä, tai piste, jossa käyrällä on terävä kärki.
Edellä oleva kaarevuuden lauseke voidaan johtaa funktion kuvaajan kaarevuuden lausekkeesta implisiittifunktiolauseen avulla ottamalla lisäksi huomioon, että sellaisella käyrällä pätee
formula_55
Esimerkkejä.
Seuraavissa esimerkkitapauksissa on helppo osoittaa, että edellä esitetyt toisistaan poikkeavat määritelmät johtavat samaan tulokseen.
Ympyrä.
Tavallinen parametrointi "r"-säteiselle ympyrälle on formula_56. Kaarevuuden kaavasta saadaan tällöin
formula_57
Kuten odotettavissa oli, ympyrän kaarevuussäde on sama kuin sen säde ja kaarevuuskeskipiste sama kuin ympyrän keskipiste.
Ympyrä on siitä harvinainen käyrä, että sen parametrointi kaaren pituuden avulla on helppo laskea, ja se on
formula_58
Tämä on kaarenpituuden mukainen parametrointi, sillä lausekkeen
formula_59
normi on 1. Tästä parametroinnista saadaan kaarevuudelle sama arvo kuin edellä, sillä näin saatu kaarevuuden lauseke poikkeaa edellä esitetystä vain siinä, että sekä osoittaja että nimittäjä tulevat jaetuiksi formula_60:lla.
Sama ympyrä voidaan määritellä myös implisiittisellä yhtälöllä formula_53, kun formula_62. Tässä tapauksessa kaarevuuden kaava antaa tulokseksi
formula_63
Paraabeli.
Tarkastellaan paraabelia formula_64.
Paraabeli on funktion kuvaaja, ja tämän funktion derivaatta on formula_65 ja toinen derivaatta formula_66. Niinpä käyrän etumerkillinen kaarevuus on 
formula_67
Sen etumerkki on sama kuin "a":n kaikilla "x":n arvoilla. Tämä merkitsee, että jos "a" &gt; 0, käyrä on kaikkialla alaspäin kupera, mutta jos "a" &lt; 0, se on kaikkialla ylöspäin kupera. Jos "a" = 0, saadun "käyrän" kaarevuus on kaikkialla nolla, sillä tässä erikoistapauksessa käyrän kuvaajaksi saadaan paraabelin sijasta suora formula_68.
Paraabelin (etumerkitön) kaarevuus saa suurimman arvonsa pisteessä formula_69. Tämä piste on sama kuin paraabelin huippu, ja siinä funktion derivaatta saa arvon nolla.
Tarkastellaan parametrointia formula_70. Tällöin "x":n ensimmäinen derivaatta on 1 ja toinen derivaatta 0. Jos nämä arvot sijoitetaan yleisen parametroinnin lausekkeeseen, saadaan aivan sama tulos kuin edellä, vain sillä erolla, että "x" on korvattu "t":llä. 
Sama paraabeli voidaan määritellä myös implisiittisellä yhtälöllä formula_71, missä formula_72. Koska formula_73 ja formula_74, saadaan käyrän etumerkittömälle kaarevuudelle aivan sama arvo kuin edellä. Tässä tapauksessa etumerkillinen kaarevuus on kuitenkin merkityksetön, sillä sama paraabeli voidaan yhtä hyvin määritellä myös implisiittisellä yhtälöllä formula_75, jolloin kuitenkin kaarevuus saa päinvastaisen etumerkin.
Frenet'n–Serret'n kaavat tasokäyrille.
Kaarevuuden lauseke kaaren pituuden mukaan parametroituna on oleellisesti sama kuin ensimmäinen Frenet'n–Serret'n kaava
formula_76
missä heittomerkit tarkoittavat derivaattoja kaarenpituuden "s" suhteen ja formula_22 on formula_7':n suuntainen normaaliyksikkövektori.
Koska tasokäyrien torsio on nolla, toisesta Frenet'n–Serret'n kaavasta saadaan yhteys
formula_79
Käyrä voidaan parametroida minkä tahansa mielivaltaisen parametrin "t" avulla, mutta tällöin on kaarevuuden laskemiseksi tunnettava derivaatat "t":n suhteen. Koska ne saadaan kertomalla derivaatat "s":n suhteen derivaatalla formula_80, saadaan millä tahansa aidolla parametroinnilla
formula_81
Kaarevuuskampa.
Käyrän kaarevuus sen jokaisessa pisteessä voidaan esittää graafisesti "kaarevuuskamman" () avulla. Jos formula_82 on parametroitu käyrä, sen kamman määrittelee parametroitu käyrä
formula_83
missä formula_32 ja formula_85 ovat käyrän kaarevuus- ja normaalivektori ja formula_86 skaalaustekijä, joka on valittava niin, että se tukee graafista esitystä.
Fysikaalinen merkitys.
Jos hiukkanen liikkuu käyrää pitkin tasaisella ratanopeudella, sen ratakiihtyvyys on nolla. Sen sijaan sillä on keskeis­kiihtyvyyttä, mikä merkitsee, että sen liikkeen suunta muuttuu koko ajan. Tällöin hiukkasen ratanopeuden "v", keskeis­kiihtyvyyden formula_87 ja ratakäyrän kaarevuuden formula_32 välillä on yhteys
formula_89.
Avaruuskäyrien kaarevuus.
Kuten tasokäyrien tapauksessa, myös kolmi- tai useampiulotteisessa avaruudessa olevan säännöllisen avaruuskäyrän kaarevuus voidaan sitä pitkin yksikkönopeudella etenevän hiukkasen normaalikiihtyvyytenä. Niinpä jos formula_90 on käyrän "C" kaaren pituuden mukainen parametrointi, yksikkötangenttivektorin formula_7 määrittelee lauseke
formula_92
ja käyrän kaarevuus on kiihtyvyyden itseisarvo:
formula_93
Kiihtyvyyden suunnan osoittaa normaaliyksikkövektori formula_22, joka määritellään lausekkeella
formula_95
Taso, johon sisältyvät vektorit formula_7 ja formula_22 on käyrän formula_90 oskuloiva taso. Käyrän kaarevuudella on seuraava geometrinen tulkinta.
Oskuloivassa tasossa on ympyrä, joka sivuaa käyrää formula_90 ja jonka Taylorin sarja toiseen termiinsä saakka sivuamispisteessä on sama kuin käyrällä formula_90. Tämä on käyrän oskuloiva ympyrä. Ympyrän formula_101 sädettä sanotaan käyrän kaarevuussäteeksi, ja käyrän kaarevuus on nytkin sen kaarevuussäteen käänteisarvo:
formula_102
Näin määriteltyä avaruuskäyrän kaarevuutta sanotaan joskus sen "ensimmäiseksi kaarevuudeksi" eli "fleksioksi". Kolmessa ulottuvuudessa käyrän kolmannen kertaluvun käyttäytymistä kuvaa myös kaarevuuteen läheisesti liittyvä torsion käsite, jota joskus sanotaan myös käyrän "toiseksi kaarevuudeksi".. Käyrän torsio osoittaa, kuinka nopeasti käyrän sivunormaali kääntyy suhteessa kaaren pituuden lisäykseen. Käyrän kaarevuuden ja torsion välisen yhteyden osoittavat kolmessa ulottuvuudessa Frenet'n–Serret'n kaavat, useammassa ulottuvuudessa niiden yleistykset.
Yleisiä lausekkeita.
Kolmessa ulottuvuudessa parametrin avulla määritellyn avaruuskäyrän formula_103 kaarevuus on
formula_104
missä heittomerkit tarkoittavat derivointia parametrin "t" suhteen. Tämä voidaan ilmaista koordinaatistosta riippumatta kaavan
formula_105
avulla
missä × tarkoittaa vektorien ristituloa. Seuraava lauseke pätee käyrien kaarevuudelle kaikille euklidisille avaruuksille formula_106 riippumatta ulottuvuuksien lukumäärästä "N":
formula_107
Kaarevuus kaaren ja jänteen pituuksien avulla.
Olkoot "P" ja "Q" kaksi pistettä käyrällä "C". Käytetään käyrän "C" pisteiden "P" ja "Q" välisen osuuden eri kaaren pituudelle merkintää formula_108 ja samojen pisteiden välisen janan pituudelle merkintää formula_109. Tällöin käyrän "C" kaarevuuden pisteessä "P" osoittaa raja-arvo
formula_110,
kun piste "Q" lähestyy pistettä "P" kulkien käyrää "C" pitkin. Tässä kaavassa voidaan nimittäjänä yhtä hyvin käyttää myös lauseketta formula_111. Kaava pätee kaikissa ulottuvuuksissa. Lisäksi jos raja-arvoa tarkastellaan erikseen lähestyttäessä pistettä formula_15 kummaltakin puolella, tämä kaarevuuden määritelmä saattaa osoittaa, onko "P" käyrän erikoispiste. Kaava voidaan todistaa oskuloivan ympyrän avulla. 
Pintojen kaarevuus.
[[Pinnan (geometria)|Pitojen9] kaarevuutta määriteltäessä on otettava huomioon, että pinta ei samassakaan pisteessä välttämättä kaareudu yhtä paljon kaikissa suunnissa. Esimerkiksi [[lieriö]] ei kaareudu lainkaan akselinsa suunnassa, mutta kyllä siihen nähden kohtisuorassa suunnassa. Pinnalle piirrettyjen käyrien kaarevuuden avulla voidaan pinnalle määritellä useitakin toisistaan poikkeavia kaarevuussuureita.
Käyrät pinnalla.
Kolmiulotteiseen [[euklidinen avaruus|euklidiseen avaruuteen]] upotetulle pinnalle piirretylle käyrälle voidaan määritellä useita kaarevuuksia, jotka sitoo toisiinsa pinnan [[normaalivektori|yksikkö­normaali­vektori]]n suunta. Tällaisia ovat:
Sileällä pinnalla jokaisella käyrällä, jolla ei ole erikoispisteitä, on tangenttivektori "T", joka sisältyy pinnan [[tangenttitaso]]on. Tällöin
Oletetaan, että käyrä on parametroitu kaaren pituuden mukaan, ja olkoon formula_116, jolloin formula_117 on [[ortonormaali kanta]], jota sanotaan [[Darboux’n kehys|Darboux’n kehykseksi]]. Edellä määriteltyjen suureiden välillä vallitsee yhteys:
formula_118
Pääkaarevuudet.
[[Tiedosto:Minimal surface curvature planes-en.svg|thumb|300px|right|[[Satulapinta]] ja sen pääkaarevuuksien suuntaiset normaalitasot]]
Kaikilla pinnan käyrillä, joilla tietyssä pisteessä on yhteinen tangenttivektori, on sama normaali­kaarevuus, joka on sama kuin sen käyrän kaarevuus, joka saadaan leikkaamalla pinta tasolla, johon "T" ja "u" sisältyvät. Kun kaikki mahdolliset tangentti­vektorit otetaan huomioon, suurinta ja pienintä arvoa, jotka jonkin käyrän normaali­kaarevuus voi annetussa pisteessä saada, sanotaan "pääkaarevuuksiksi" formula_119 ja formula_120, ja vastaavien tangentti­vektorien suuntia sanotaan "päänormaali­suunniksi".
Normaalileikkaukset.
Pinnan kaarevuus voidaan määrittää sen [[normaalileikkaus|normaalileikkausten]] avulla samaan tapaan kuin edellä esitetyn mukaan pinnalla olevien käyrien kaarevuus. Näin voidaan määrittää esimerkiksi Maan kaarevuussäde.
Tasoittuvat pinnat.
Jotkut kaarevat pinnat, esimerkiksi [[lieriö]] ja [[kartio]] (jälkimmäisen huippupistettä lukuun ottamatta), voidaan levittää tasoksi ilman, että niiden sisäiset mittasuhteet muuttuvat millään tavalla. Tällaiset pinnat voidaan myös saada aikaan taivuttelemalla esimerkiksi tasaista paperiarkkia, kutenkaan repimättä sitä. Sellaisia sanotaan [[tasoittuva pinta|tasoittuviksi pinnoiksi]] Tasoittuvien pintojen [[Gaussin kaarevuus]] on nolla.
Gaussin kaarevuus.
Käyrillä on vain ulkoista (ekstrinsistä) mutta ei sisäistä (intrinsistä) kaarevuutta, toisin sanoen niiden kaarevuus ilmenee vain suhteessa tasoon tai avaruuteen, jossa ne sijaitsevat. Sitä vastoin pinnoilla voi olla myös sisäistä kaarevuutta, joka on puhtaasti pinnan sisäinen ominaisuus ja riippumaton siitä laajemmasta avaruudesta, johon pinta on upotettu. [[Carl Friedrich Gauss]]in mukaan nimetty [[Gaussin kaarevuus]] eli "kokonaiskaarevuus" on pääkaarevuuksien tulo, formula_121. Sen dimensio on pituus-2, ja se on on positiivinen [[pallo]]pinnalle, negatiivinen yksivaippaisille [[hyperboloidi|hyperboloideille]] ja nolla tasoille sekä myös [[lieriö]]ille. Gaussin kaarevuus osoittaa, onko pinta lokaalisesti kupera (jolloin se on positiivinen) vai satulamainen (jolloin se on negatiivinen).
Gaussin kaarevuus on pinnan "sisäinen" (intrinsinen) ominaisuus, mikä merkitsee, että se voidaan määrittää tarkastelemalla vain pintaa itseään, mittaamalla siinä olevien pisteiden välisiä etäisyyksiä ja kulmia, ottamatta lainkaan huomioon laajempaa (kolmiulotteista) avaruutta, johon pinta sisältyy. Täten voidaan kuvitella, että pinnalla elävät muurahaiset voisivat määrittää pinnan kaarevuuden. Esimerkiksi jos pallopinnalla elävät muurahaiset kykenisivät mittaamaan kolmion kulmien summan, ne voisivat todeta, että se on suurempi kuin 180 astetta, mikä osoittaa, että pinnalla on positiivinen kaarevuus. Sitä vastoin [[lieriö]]n pinnalla elävät muurahaiset eivät voisi todeta tällaista poikkeamaa [[euklidinen geometria|euklidisesta geometriasta]]; erityisesti muurahainen ei voisi havaita, että lieriön pinnalla on tasosta poikkeava kaarevuus. Lieriön kuten muidenkin [[tasoittuva pinta|tasoittuvien pintojen]] kaarevuus onkin puhtaasti ulkoista kaarevuutta.
Muodollisesti Gaussin kaarevuus riippuu vain pinnan [[Riemannin monisto|Riemannin metriikasta]]. Tämä on Gaussin kuuluisa "[[theorema egregium]]", jonka hän päätyi tarkastellessaan matemaattiselta kannalta maantieteellisiä mittauksia ja karttojen laatimista.
Gaussin kaarevuuden intrinsinen määritelmä pisteessä "P" voidaan esittää seuraavasti: Kuvitellaan että muurahainen on kiinnitetty pisteeseen "P" lyhyellä langalla, jonka pituus on "r". Oletetaan lisäksi, että se kiertää täyden kierroksen pisteen "P" ympäri langan ollessa koko ajan jännitettynä suurimpaan pituuteensa, ja samalla se mittaa tämän kierroksen pituuden formula_122. Jos pinta on tasoittuva, kierroksen pituus on formula_123. Kaarevalla pinnalla kierroksen pituus poikkeaa tästä eli "C"("r"):n lauseke on toinen, ja pinnan Gaussin kaarevuus "K" pisteessä "P" voidaan laskea [[Bertrandin-Diguet'n-Puiseux'n lause]]en avulla:
formula_124
Gaussin kaarevuuden [[integraali]] koko pinnan yli liittyy läheisesti pinnan [[Eulerin karakteristika]]an, minkä osoittaa [[Gaussin-Bonnet'n lause]].
Gaussin kaarevuus pysyy muuttumattomana, jos pintaa taivutetaan venyttämättä Erityisen huomattava merkitys on sellaisilla pinnoilla, joiden Gaussin kaarevuus on pinnan jokaisessa kohdassa sama. Vain sellaisia pintoja pitkin voidaan suorittaa liikkeitä, joissa kuvio siirretään pintaa pitkin paikasta toiseen muuttamatta siinä olevien viivojen pituuksia tai kulmien suuruuksia. Tällaisia pintoja ovat esimerkiksi taso ja muut tasoittuvat pinnat sekä myös [[pallo]] ja [[pseudopallo]].
Koska Gaussin kaarevuus voidaan määritellä tarkastelemalla pelkästään pintaa itseään, pintaa ei välttämättä tarvitse ajatella upotetuksi useampi­ulotteiseen avaruuteen, jotta se voisi olla kaareva. Tällainen intrinsisesti kaareva kaksi­ulotteinen pinta on yksinkertainen esimerkki [[Riemannin monisto]]sta.
Keskikaarevuus.
Keskikaarevuus on "ulkoinen" (ekstrinsinen) kaarevuuden mitta, ja se on yhtä suuri kuin puolet pääkaarevuuksien summasta, formula_125. Sen dimensio on pituuden dimension käänteisarvo. Keskuskaarevuus liittyy läheisesti pinnan [[pinta-ala]]n ensimmäiseen poikkeamaan. Erityisesti [[minimaalinen pinta|minimaalisten pintojen]] kuten kahden toisiaan koskettavan [[saippuakupla]]n välisen rajapinnan keskikaarevuus on nolla, kun taas erillisen saippuakuplan keskikaarevuus on nollasta poikkeava vakio. Toisin kuin Gaussin kaarevuus, pinnan keskikaarevuus on ekstrinsinen (ulkoinen) ominaisuus ja riippuu siitä laajemmasta avaruudesta, johon pinta on upotettu. Esimerkiksi [[lieriö]] ja taso ovat lokaalisti [[isometria|isomertisia]], mutta tason keskikaarevuus on nolla, kun taas lierillä se on nollasta poikkeava.
Esimerkkejä.
[[Lieriö]]n normaalikaarevuus se akselin suunnassa on nolla, sillä tässä suunnassa pinta ei kaareudu. Siihen nähden kohtisuorassa suunnassa sen sijaan lieriön kaarevuussäde on sama kuin sen pohjaympyrän säde "r", joten sen kaarevuus on 1/"r". Näin ollen lieriön pääkaarevuudet ovat formula_126 ja formula_127, sillä nämä ovat suurin ja pienin arvo, jonka sen normaalikaarevuus missään suunnassa saa. Tästä seuraa, että lieriön keskikaarevuus on formula_128, mutta sen Gaussin kaarevuus on formula_129, kuten edellä jo mainittiin.
[[Pallo (geometria)|pallopinnan]] normaalikaarevuus sen jokaisessa pisteessä on kaikissa suunnissa pallon säteen ("r") käänteisarvo, "1/r". Tämä arvo on myös pallopinnan molemmilla pääkaarevuuksilla ja myös keskikaarevuudella. Sen sijaan pallopinnan Gaussin kaarevuus on formula_130.
[[Taso]]n normaalikaarevuus on sen jokaisessa pisteessä nolla. Näin ollen myös sen keskikaarevuus ja Gaussin kaarevuus ovat nollia.
Toinen perusmuoto.
Pinnan sisäinen ja ulkoinen kaarevuus voidaan yhdistää toiseksi perusmuodoksi. Toinen perusmuoto on pintaa sen jossakin pisteessä sivuavalla tangenttitasolla määritelty [[neliömuoto]], jonka arvo pinnan tangenttivektorilla X on käyrän kiihtyvyyden normaalikomponentti X:ää sivuavalla pinnalla. Toisin sanoen se on X:ää sivuavan käyrän normaalikaarevuus. Kaavana:
formula_131
missä "N" on pinnan yksikkönormaali. Jos tangenttivektorina X on yksikkötangenttivektori, käytetään kaarevuuden suurinta ja pienintä arvoa formula_119 ja formula_120, jotka esiintyvät perussunnissa u1 ja u2. Niinpä [[pääakselilause]]en mukaan
formula_134
Näin ollen toinen perusmuoto ilmaisee sekä pinnan sisäisen että ulkoisen kaarevuuden.
Avaruuden kaarevuus.
Samoin kuin taso, myös kolmi- tai useampi­ulotteinen avaruus voi olla sisäisesti kaareutuva. Kaarevuus on "sisäistä" (intrinsistä) siinä mielessä, että se on ominaisuus, joka on määritelty avaruuden jokaisessa pisteessä, eikä sitä näin ollen ole määritelty suhteessa mihinkään laajempaan avaruuteen, johon kaareutuvan avaruuden mahdollisesti oletetaan sisältyvät. Monessa tapauksessa kaareutuvan avaruuden kyllä voidaan ajatella jonkin laajemman useampi­ulotteisen avaruuden osajoukoksi, mutta näin ei välttämättä tarvitse olla, missä tapauksessa kaarevuus voidaan määritellä vain sisäisesti.
Sen jälkeen kun kaarevuudelle oli keksitty sisäinen (intrinsinen) määritelmä, joka läheisesti liittyy [[epäeuklidinen geometria|epä­euklidiseen geometriaan]], monet matemaatikot ja tiedemiehet esittivät kysymyksen, olisiko myös todellinen fysikaalinen avaruus mahdollisesti kaareva. [[Euklidinen geometria|Euklidisen geometrian]] oli kuitenkin jo todettu kuvaavan todellisuutta niin hyvin, että mikäli avaruus on kaareva, sen kaarevuus­säteen olisi oltava tähti­tieteellisen suuri. [[Yleinen suhteellisuusteoria|Yleisessä suhteellisuus­teoriassa]], joka kuvaa [[gravitaatio]]ta ja [[kosmologia]]a, ajatusta on yleistetty käsitykseen [[aika-avaruus|aika-avaruuden]] kaareutumisesta; teorian mukaan aika-avaruus on [[pseudoriemannilainen monisto]]. Kun aikakoordinaatti on määritelty, tiettyä ajanhetkeä vastaava kolmi­ulotteinen avaruus on yleensä kaareutuva Riemannin monisto, mutta koska aikakoordinaatti voidaan valita monin tavoin, fysikaalisesti merkitsevä on nimenomaan taustalla oleva aika-avaruuden kaarevuus.
Mielivaltainen kaareutuva avaruus on hyvin monimutkainen kuvailtavaksi. Jos avaruus kuitenkin lokaalisti [[isotropia|isotrooppinen]] ja [[homogeeninen avaruus|homogeeninen]], sen kaarevuus voidaan ilmaista yhdellä Gaussin kaarevuudella samoin kuin pintojenkin. Matemaattisesti nämä ovat hyvin rajoittavia ehtoja, mutta vastaavat järkeviä fysikaalisia oletuksia: kaikki pisteet ja kaikki suunnat ovat täysin toistensa kaltaisia. Positiivinen kaarevuus vastaa kaarevuus­säteen käänteis­arvon neliötä, mistä esimerkkejä ovat pallo ja [[hyperpallo]]. Sen sijaan esimerkiksi [[hyperbolinen geometria|hyper­bolisen geometrian]] kuvaaman avaruuden kaarevuus on negatiivinen. Avaruutta tai aika-avaruutta, jonka kaarevuus on nolla, sanotaan "laakeaksi". Esimerkiksi [[euklidinen avaruus]] on laakea, ja [[Minkowskin avaruus]] on laakea aika-avaruus. Mutta laakeita avaruuksia ja aika-avaruuksia on muitakin. Niinpä myös [[lieriö]]n pinnalle ja [[torus|torukselle]] voidaan määritellä laakea [[metrinen avaruus|metriikka]], mutta [[topologia|topologisesti]] ne eivät ole tason kaltaisia. Kaarevalla avaruudella voi olla vielä muunkinlaisia topologioita. Kysymys [[maailmankaikkeuden muoto|maailman­kaikkeuden muodosta]] koskee sitä, mikä niistä vastaa fyysistä todellisuutta.
Yleistyksiä.
[[Tiedosto:Parallel Transport.svg|thumb|Vektorin siirto käyrää pitkin reittiä A → N → B → A antaa tulokseksi toisen vektorin. Pinnan "holonomia" on mitta sille, missä määrin tämä poikkeaa alkuperäisestä vektorista. Kaareutumattomassa avaruudessa kulma α on nolla, kaareutuvassa nollasta suurempi kuin nolla. Mitä suurempi on avaruuden kaarevuus, sitä suurempi on kulma α.]]
Matemaattinen "kaarevuuden" käsite voidaan määritellä myös paljon yleisemmissä yhteyksissä. Monet näistä yleistyksistä perustuvat kaarevuuden eri näkökohtiin sellaisina kuin ne ymmärretään alemmissa ulottuvuuksissa.
Muuan tällainen yleistys on [[kinematiikka|kinemaattinen]]. Käyrän kaarevuus voidaan luonnollisesti ymmärtää kinemaattisesti suureeksi, joka kuvaa sitä voimaa, jonka käyrää pitkin kulkeva havaitsija kokee. Anaglogisesti kaarevuus korkeammissa ulottuvuuksissa voidaan käsittää eräänlaiseksi [[vuorovesivoima]]ksi, mikä onkin yksi tapa ajatella [[sektionaalinen kaarevuus|sektionaalista kaarevuutta]]. Tämä kaarevuuden yleistys riippuu siitä, kuinka lähelle toisiaan tai kauas toisistaan koehiukkaset päätyvät, kun niiden annetaan liikkua vapaasti avaruudessa. Tähän liittyy [[Jacobin kenttä|Jacobin kentän]] käsite.
Toiseen laaja-alainen kaarevuuden käsitteen yleistykseen päädytään tutkimalla [[yhdensuuntaissiirto]]a pinnalla. Esimerkiksi jos vektoria siirretään silmukan ympäri jollakin pinnalla siten, että koko ajan pysyy samansuuntaisena, sen lopullinen asema ei välttämättä ole sama kuin alkuperäinen. Tätä ilmiötä sanotaan [[holonomia]]ksi. Monet kaarevuuden käsitteen yleistykset sisältävät abstraktissa muodossa tämän ajatuksen kaarevuudesta holonomian mittana. Tähän läheisesti liittyvä kaarevuuden käsite sisältyy fysikaaliseen [[mittakenttäteoria]]an, jossa kaarevuus kuvaa kenttää ja kentän [[vektoripotentiaali]] on suure, joka yleensä riippuu reitistä: se voi muuttua, jos havaitsija kiertää silmukan ympäri. 
Kaarevuuden yleistyksiä ovat myös [[skalaarikaarevuus]] ja [[Riccin kaarevuus]]. Kaarevalla pinnalla kuten pallopinnalla kiekon pinta-ala ei ole yhtä suuri kuin tasopinnalla olevan kiekon, jonka säde on sama. Skalaarikaarevuus mittaa tietyissä rajoissa tämä poikkeamaa. Kaarevalla pinnalla ja tasolla olevien kiekkojen sektoreiden pinta-alan mittana on Riccin kaarevuus. Sekä skalaari- että Riccin kaarevuus voidaan määritellä vastaavalla tavalla myös kolmessa tai useammassa ulottuvuudessa. Niillä on erityisen suuri merkitys [[yleinen suhteellisuusteoria|yleisessä suhteellisuusteoriassa]], jossa molemmat esiintyvät [[Einsteinin kenttäyhtälöt|Einsteinin kenttäyhtälöissä]] sillä puolella, joka kuvaa aika-avaruuden geometriaa (yhtälöiden toinen puoli kuvaa aineen ja energian läsnäoloa). Näihin yleistyksiin perustuu esimerkiksi se käsitys, että kaarevuus voi olla [[metriikka (matematiikka)|metriikan]] ominaisuus.
Toinen kaarevuuden yleistys liittyy siihen, missä määrin jokin kaareutuva avaruus muistuttaa toista avaruutta, jonka kaarevuus on vakio. Tämä vertailu suoritetaan usein avaruuksiin piirrettyjen kolmioiden avulla. Kolmion käsite on merkityksellinen kaikissa [[metrinen avaruus|metrisissä avaruuksissa]], ja tähän perustuen voidaan muodostaa [[CAT(k)-avaruus|CAT(k)-avaruuksia]].
Lähteet.
Viitteet.
[[Luokka:Geometria]]
[[Luokka:Suureet]]