L’Hôpitalin sääntö

L’Hôpitalin sääntö (joskus muodossa l’Hospitalin) on 1600-luvun lopulla kehitetty, ranskalaisen matemaatikon Guillaume de l’Hôpitalin mukaan nimetty matemaattinen menetelmä, jossa epämääräistä muotoa olevia raja-arvoja laskettaessa käytetään apuna derivaattaa. L’Hôpital julkaisi säännön vuonna 1696 kirjassaan "Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes". L’Hôpitalin säännön on itse asiassa kehittänyt l’Hôpitalin opettaja, sveitsiläinen matemaatikko Johann Bernoulli. L’Hôpital ja Bernoulli kirjoittivat sopimuksen, jonka mukaan l’Hôpital sai korvausta vastaan käyttää Bernoullin matemaattisia tuloksia vapaasti omissa nimissään. Ylioppilastutkintolautakunta ei lähtökohtaisesti salli menetelmän käyttöä suomalaisessa ylioppilaskokeessa, jollei sitä ole koesuorituksessa perustellen johdettu.
Olkoot funktiot formula_1 ja formula_2 derivoituvia (ja täten myös jatkuvia) välillä formula_3, missä formula_4 on avoin väli, joka sisältää pisteen formula_5, mikäli formula_5 ei ole formula_7 eikä formula_8. Siis formula_5 voi olla tässä muotoa formula_10 tai formula_8 (epäoleelliset raja-arvot), jossa formula_12 ja formula_13 tarkoittavat funktion toispuoleisia raja-arvoja pisteessä formula_14. Oletetaan lisäksi, että
formula_15 tai
formula_16 ja
formula_17 on olemassa (äärellisenä tai äärettömänä) ja 
formula_18 kaikille formula_19.
Nyt l’Hôpitalin säännön mukaan seuraava on tosi: näiden funktioiden osamäärän raja-arvo formula_20 kohdassa formula_5 on sama kuin funktioiden derivaattojen osamäärän raja-arvo samassa kohdassa. Matemaattisin merkinnöin ilmaistuna saamme jälkimmäisestä lauseesta
formula_22
Sääntöä voidaan soveltaa useita kertoja peräkkäin, mutta säännön soveltamisen ehdot on tarkastettava tällöin joka sovelluskerralla uudelleen. Sääntö muun muassa helpottaa raja-arvojen laskemista, kun funktioiden derivaattojen raja-arvot on helpompi laskea kuin itse funktioiden, etenkin kun derivaattojen arvot pisteessä formula_23 poikkeavat nollasta. Sääntö voidaan laajentaa myös koskemaan toispuoleisia sekä äärettömiä raja-arvoja. 
l’Hôpitalin säännön todistus.
Todistetaan l’Hôpitalin sääntö differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla.
Määritellään formula_25, jolloin funktiot formula_1 ja formula_2 ovat jatkuvia pisteessä formula_5. Valitaan nyt piste formula_29 niin läheltä pistettä formula_5, että funktiot formula_1 ja formula_2 toteuttavat differentiaalilaskennan väliarvolauseen oletukset välillä formula_33 (tai formula_34, jos formula_35
missä formula_36 (tai formula_37, jos formula_38 jossain pisteen formula_5 ympäristössä (formula_40). 
Differentiaalilaskennan väliarvolauseen mukaan
formula_41
kun formula_42 on tarpeeksi pieni.
Kun nyt formula_43, niin myös formula_44, joten väite seuraa yllä olevasta yhtälöstä.
Sama on voimassa myös toispuoleisten raja-arvojen tapauksessa.
Merkitään formula_46, jolloin todistus menee vastaavasti kuin tapauksessa 1.
Tällöin 
formula_47
Todistus tapauksessa formula_48.
Olkoot funktiot formula_1 ja formula_2 derivoituvia välillä formula_51, formula_48 ja formula_53. Täten jollakin formula_54 pätee formula_55 ja formula_56, kun formula_57. Koska formula_58, niin formula_59 on aidosti kasvava, kun formula_57. 
Olkoon formula_61. On olemassa formula_62 siten, että 
formula_63
Koska formula_64 on aidosti kasvava, kun formula_65, niin formula_66, kun formula_67. Cauchyn yleisen väliarvolauseen nojalla
formula_68
Täten 
formula_69 formula_70 formula_71 formula_72
Kun formula_73 on kiinnitetty, niin 
formula_74 formula_75 
ja
formula_76 formula_77
Täten on olemassa formula_78 siten, että 
formula_79 formula_80
On myös olemassa formula_81 siten, että 
formula_82 formula_83
Tällöin 
formula_84
eli
formula_85
Siis formula_86. formula_87
Esimerkkejä l’Hôpitalin säännön käytöstä.
Käytetään merkintää == osoittamaan l’Hôpitalin säännön soveltamista esimerkeissä.
formula_90
Vaikka tämä raja-arvo onkin oiva esimerkki lauseen käytöstä, se sisältää kehäpäätelmän. Tätä tulosta käytetään sinifunktion derivoimissäännön johdossa, joten l’Hôpitalin sääntö ei ole todistusvoimainen kyseisen raja-arvon kohdalla. Lauseen käytön kuvaamisessa se on kuitenkin klassinen esimerkki.
formula_92
formula_94
formula_95
Tämä on väärin, sillä formula_96 ei ole epämääräistä muotoa, joten siihen ei voi soveltaa l’Hôpitalin sääntöä.
Oikea tapa:
formula_97
formula_98
Tämän tilanteen voi välttää sijoittamalla formula_99, missä formula_100, kun formula_101. Nyt raja-arvon laskeminen on helppoa:
formula_102
formula_103
Parempi tapa on sieventää lauseketta. Nyt ei tarvitse käyttää l’Hôpitalin sääntöä ja saadaan helposti:
formula_104