Skalaaripotentiaali

Skalaaripotentiaali on vektorianalyysiin liittyvä käsite. Matemaattisessa fysiikassa se kuvaa kappaleen potentiaalienergiaa tilanteessa, jossa tämä riippuu ainoastaan kappaleen sijainnista, ei tiestä, jota pitkin se on kulkenut paikasta toiseen. Skalaaripotentiaali on kolmiulotteisessa avaruudessa määritelty skalaarikenttä, toisin sanoen skalaarisuure, jolla ei ole määrättyä suuntaa ja joka riippuu vain paikasta. Tunnettu esimerkki tästä on gravitaatioon liittyvä kappaleen potentiaalienergia.
Skalaaripotentiaali on keskeinen käsite vektorianalyysissä ja fysiikassa. Usein sitä sanotaan lyhyesti potentiaaliksi, jos ei ole sekaanuksen vaaraa vektoripotentiaalin kanssa. Skalaaripotentiaali on esimerkki skalaarikentästä. Jos on annettu vektorikenttä formula_1, sen skalaaripotentiaali formula_2 määritellään fysiikassa siten, että 
formula_3
missä &lt;math\mabla P&lt;/math&gt; on formula_2:n gradientti. Skalaaripotentiaali on siis vektorikentän gradientin vastaluku. Matematiikassa potentiaali määritellään kuitenkin toisinaan funktioksi, jonka gradientti on annettu vektorikenttä sellaisenaan Tästä "P":n määritelmästä seuraa, että vektorikentän "F":n suunta on kaikkialla se, mihin kuljettaessa "P" pienenee nopeimmin, ja sen itseisarvo on sama kuin "P":n muutosnopeus pituusyksikköä kohti tässä suunnassa.
Vektorikentällä F on skalaaripotentiaali, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat, keskenään yhtäpitävät ehdot:
Näistä ehdoista ensimmäinen esittää "gradientin peruslausetta", ja se pätee jokaiselle vektorikentälle, joka on jonkin differentioituvan yksiarvoisen skalaarikentän "P" gradientti. Toinen ehto merkitsee, että F voidaan esittää jonkin skalaarifunktion gradienttina. Kolmas ehto tarkoittaa, että funktion F roottori on nolla. Vektorikenttää, joka täyttää nämä ehdot, sanotaan pyörteettömäksi. 
Skalaaripotentiaalilla on tärkeä merkitys monilla fysiikan ja insinööritieteiden aloilla. Gravitaatiopotentiaali on yksikkömassaan kohdistuvan gravitaatiovoiman, toisin sanoen gravitaatiokentän aiheuttaman kiihtyvyyden skalaaripotentiaali, ja samalla se on yksikkömassan potentiaalienergia tässä kentässä. Elektrostatiikassa sähköinen potentiaali on sähkökentän voimakkuuteen liittyvä skalaaripotentiaali ja samalla elektrostaattinen potentiaali yksikkövarausta kohti. Fluididynamiikassa pyörteettömillä lamellaarisella kentällä on skalaaripotentiaali vain siinä erikoistapauksessa, jossa se on Laplacen kenttä. Potentiaalilla on keskeinen osa Lagrangen ja Hamiltonin esittämissä klassisen mekaniikan muotoiluissa. Lisäksi skalaaripotentiaalilla on perustava merkitys kvanttimekaniikassa.
Kaikilla vektorikentillä ei ole skalaaripotentiaalia. Kenttiä, joilla sellainen on, sanotaan "konservatiivisiksi", sillä ne liittyvät läheisesti fysikaaliseen konservatiivisen voiman käsitteeseen. Esimerkiksi gravitaatio ja sähköstaattinen voima ovat konservatiivisia, kun taas /kitka ja magneettiset voimat eivät ole. Helmholtzin dekompositiolauseen mukaan kuitenkin kaikki vektorikentät voidaan esittää pyörteettömän ja lähteettömän kentän summana. Elektrodynamiikassa sähkömagneettinen skalaari- ja vektoripotentiaali yhdessä muodostavat niin sanotun sähkömagneettisen nelipotentiaalin.
Integroituvuusehdot.
Jos "F" on konservatiivinen, toisin sanoen pyörteetön vektorikenttä ja sen komponenteilla on jatkuvat osittaisderivaatat, F:n potentiaali pisteessä "r" voidaan määritellä viivaintegraalina:
formula_8
missä "C" on parametrisoitu polku pisteestä "r"0 pisteeseen "r".
 formula_9
Se seikka, että polun "C" viivaintegraali riippuu vain sen päätepisteistä "r"0 ja "r", on oleellisesti sama asia kuin konservatiivisen vektorikentän "polkuriippumattomuus". Viivaintegraalien peruslauseesta eli gradienttilauseesta seuraa, että jos "V" määritellään tällä tavoin, on formula_10, jolloin "V" on konservatiivisen vektorikentän F:n skalaaripotentiaali. Vektorikenttä ei kuitenkaan määrittele skalaaripotentiaalia yksikäsitteisesti, sillä funktion gradientti pysyy ennallaan, jos funktioon lisätään mielivaltainen vakio. Toisin sanoen jos "V" on F:n skalaaripotentiaali, myös jokainen muotoa "V" + 'C" oleva funktio, missä "C" on vakio, on F:n skalaaripotentiaali. Jos "V" on määritelty viivaintegraalin avulla, tämä liittyy siihen, että nollapiste r0 voidaan vapaasti valita.
Korkeus gravitaatiopotentiaalina.
Esimerkkinä fysikaalisesta skalaaripotentiaalista voidaan tarkastella gravitaatiokenttää, joka Maan pinnan läheisyydessä on likipitäen vakio. Siellä kappaleen potentiaalienergia on 
formula_11,
missä "h" on kappaleen korkeus maan pinnasta. Tämä merkitsee, että kappaleen potentiaalienergia on suoraan verrannollinen sen korkeusasemaan. Mäkisessä maastossakin kappaleen potentiaalienergian "U" gradientin vastavektori F osoittaa suoraan alaspäin, painovoiman suuntaan. Mäen pinnalla oleva pallo ei kuitenkaan liiku suoraan alaspäin, sillä mäen antama tukivoima kumoaa painovoimasta pinnan normaalin suuntaisen komponentin. Näin ollen liikettä saa aikaan vain painovoiman mäen pinnan suuntainen komponentti:
formula_12
missä formula_13 on mäen kaltevuuskulma, ja F"S":n gravitaatioon nähden kohtisuora komponentti on 
formula_14
Tämä voiman vaakasuora komponentti F"P" on suurin, kun formula_13 on 45 astetta.
Paine nosteen potentiaalina.
Fluidimekaniikan mukaan gravitaatiokentässä olevaan fluidiin, toisin sanoen nesteeseen tai kaasuun vaikuttaa sen kussakin pisteessä noste, joka kumoaa siihen vaikuttavan gravitaatiovoiman. Tämä noste on yhtä suuri kuin painen gradientin vastaluku:
formula_16
Koska noste vaikuttaa ylöspäin, päinvastaiseen suuntaan kuin gravitaatio, paine fluidin sisällä kasvaa alaspäin mentäessä. Paine veden alla on suoraan verrannollinen veden pinnasta mitattuun syvyyteen. Veden pinnan suuntaisilla tasoilla paine on vakio.
Jos nesteessä on pystysuora pyörre, jonka akseli on kohtisuorassa nesteen pintaan vastaan, pyörteessä ja sen ympärillä paine on pienempi kuin muualla. Nesteen pinta pyörteen sisällä on alempana kuin muualla, ja samoin kaikissa tasapainepinnoissa on pyörteen pinnan kohdalla kuoppa, mutta ne ovat silti nesteen pinnan suuntaisia. Tämä ilmiö on suurin pyörteen sisällä ja pienenee sen ulkopuolella nopeasti etäännyttäessä pyörteestä.
Noste, jonka fluidi aiheuttaa siihen upotettuun kiinteään kappaleeseen, voidaan laskea integroimalla paineen gradientin vastaluku kappaleen pinnan yli:
formula_17
Skalaaripotentiaali euklidisessa avaruudessa.
Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa formula_18 pyörteettömän vektorikentän E skalaaripotentiaali voidaan esittää myös muodossa
formula_19
missä "dV"(r') on infinitesimaalinen tilavuusalkio pisteen r' suhteen. Niinpä
formula_20
Tämä pätee, kun E on jatkuva ja lähestyy asymptoottisesti nollaa, kun formula_21 lähestyy ääretöntä ja pienenee nopeammin kuin formula_22, ja kun samoin myös E lähestyy äärettömyydessä nollaa ja pienenee nopeammin kuin formula_23
Tämä voidaan ilmaista myös Newtonin potentiaalin
formula_24
avulla. Tämä on Laplacen yhtälön perusratkaisu, mikä merkitsee, että formula_25 on Diracin deltafunktion käänteisarvo:
formula_26
Niinpä skalaarifunktio on sama kuin E:n ja formula_25:n konvoluution divergenssi:
formula_28
Itse asiassa pyörteettömän vektorikentän konvoluutio rotationaalisesti invariantin potentiaalin kanssa on myös pyörteetön. Pyörteettömälle vektorikentälle G voidaan osoittaa, että 
formula_29
Niinpä
formula_30
kuten vaadittiin.
Yleisemmin kaava
formula_31
pätee jokaisessa "n"-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa, kun "n" &gt; 2 ja Newtonin potentiaalin antaa lauseke
formula_32
missä &lt;m&lt;th&gt;\omega_n&lt;/math&gt; on "n"-ulotteisen yksikköpallon tilavuus. Tämä todistetaan aivan samoin kuin kolmiulotteisessakin tapauksessa. Vaihtoehtoisesti voidaan osittaisintegroinnin tai tarkemmin sanottuna konvoluution ominaisuuksien avulla osoittaa, että 
formula_33