Parilliset ja parittomat funktiot

Matematiikassa parilliset ja parittomat funktiot ovat funktioita, jotka toteuttavat tietyt symmetrian ehdot. Ne ovat tärkeitä monilla matemaattisen analyysin aloilla, erityisesti potenssisarjojen ja Fourier'n sarjojen teoriassa. Parilliset ja parittomat funktiot ovat saaneet nimensä potenssifunktioiden eksponentin parillisuuden perusteella: potenssifunktio "f"("x") = "x""n" on parillinen, jos "n" on parillinen, ja pariton, jos "n" on pariton. Useimmat funktiot eivät ole parillisia tai parittomia.
Parilliset funktiot.
Olkoon formula_1 funktio, joka saa reaalilukuarvoja. Silloin formula_1 on parillinen, jos funktio saa saman arvon luvulla formula_3 ja sen vastaluvulla formula_4:
formula_5
Tämän vuoksi parillisen funktion kuvaaja on peilikuva-symmetrinen "y"-akselin suhteen eli yhtä kaukana y-akselista olevissa kohdissa funktio saa saman arvon.
Esimerkkejä.
Potenssifunktiot, joilla on parillinen aste, ovat parillisia funktioita. Näitä ovat muun muassa formula_6 (kun formula_7) , formula_8 jne. Jos esimerkiksi formula_9, voi tämän perustella kertolaskun ominaisuuksilla:
formula_10.
Erikoisfunktioissa on joitakin parillisia funktioita. Jos merkitään itseisarvofunktiota formula_11, voi parillisuuden perustella itseisarvon määritelmän avulla:
formula_12.
Trigonometriassa kosinin arvo on yksikköympyrän määritelmän mukaan sama sekä positiivisella että negatiivisella kulmalla. Tällöin voidaan merkitä: 
formula_13.
Muita parillisia funktioita ovat muun muassa hyperbolinen kosini formula_14 ja vakiofunktio.
Parittomat funktiot.
Olkoon formula_1 reaalinen funktio. Silloin formula_1 on pariton, jos seuraava yhtälö pätee kaikille funktion formula_1 määrittelyjoukon alkioille formula_3:
formula_19
tai
formula_20
Geometrisesti parittoman funktion kuvaaja on piste-symmetrinen origon suhteen eli yhtä kaukana origosta olevissa pisteissä funktio saa arvoikseen vastaluvut. 
Esimerkkejä.
Potenssifunktiot, joilla on pariton aste, ovat parittomia funktioita. Näitä ovat muun muassa formula_21 jne. Jos esimerkiksi formula_22, voi tämän perustella kertolaskun ominaisuuksilla:
formula_23.
Trigonometriassa sinin arvot ovat yksikköympyrän määritelmän mukaan vastaluvut positiivisella ja negatiivisella kulmalla. Tällöin voidaan merkitä: 
formula_24.
Muita parittomia funktioita ovat muun muassa etumerkkifunktio, tangentti formula_25, hyperbolinen sini formula_26 ja virhefunktio formula_27.
Ominaisuuksia.
Parillinen tai pariton funktio ei ole välttämättä derivoituva tai jatkuva. Parillinen funktio ei ole monotoninen paitsi vakiofunktio. Ainoa funktio, joka on sekä parillinen että pariton, on vakiofunktio, joka antaa aina arvoksi 0. (Siis formula_28 kaikilla formula_3.) Pariton funktio sitä vastoin voi olla monotoninen.
Säilyminen peruslaskutoimituksissa.
Funktioiden summa on parillinen, jos molemmat funktiot ovat parillisia. Summa on pariton, jos funktiot ovat vastaavasti parittomia. Jos summassa on sekä parillinen että pariton funktio, ei tuloksesta voida tehdä päätelmiä. Tästä on poikkeuksena summa nollafunktion kanssa, jolloin funktion parillisuus tai parittomuus säilyy.
Funktio kertominen vakiolla "säilyttää" funktion parillisuuden tai parittomuuden. Sillä ei ole lopputulokseen vaikutusta, onko vakio parillinen tai pariton "luku".
Funktioiden tulo on parillinen, jos tekijäfunktiot ovat molemmat parillisia tai parittomia. Tulo on pariton, jos tekijäfunktioista toinen on parillinen ja toinen pariton. Osamäärän tulos määräytyy vastaavasti.
Funktion pakottaminen parilliseksi tai parittomaksi.
Jatkuvasta funktiosta formula_1 voidaan muodostaa uusi funktio formula_31, joka on parillinen: 
formula_32.
Esimerkiksi formula_33 ei ole parillinen tai pariton funktio, mutta
formula_34
on parillinen.
Jatkuvasta funktiosta formula_1 voidaan muodostaa uusi funktio formula_36, joka on pariton: 
formula_37.
Esimerkiksi formula_33 ja siitä tulee nyt
formula_39,
joka on pariton.
Edellisten parillisen formula_31 ja parittoman formula_36 funktion summa on alkuperäinen funktio formula_1:
 formula_43.
Edellinen esimerkki antaa
 formula_44,
kuten luvattiin.
Yhdistetyn funktion osana.
Kahden funktion formula_1 ja formula_31 yhdistetty funktio formula_47 voi olla parillinen, pariton tai ei kumpaakaan. Jos yhdistettävät funktiot ovat molemmat parillisia, on yhdistetty funktio myös parillinen. Parittomilla funktioilla tulos on pariton. Parillisen ja parittoman funktion yhdistetty funktio on parillinen. Parillinen funktio dominoi tulosta niin voimakkaasti, että jopa parillisen ja minkä tahansa jatkuvan funktion yhdistetty funktio on parillinen.
Derivaatta.
Parillisen funktion derivaatta on pariton ja parittoman funktion derivaatta on parillinen. Polynomeilla tämä havaitaan asteluvun muutoksena, kun parillinen aste alenee parittomaksi ja pariton aste alenee parilliseksi.
Integraali.
Jatkuvan parittoman funktion määrätty integraali välillä, jossa integraalirajat formula_48 ja formula_49 sijaitsevat, on nolla:
formula_50.
Jatkuvan parillisen funktion määrätty integraali välillä, jossa integraalirajat formula_48 ja formula_49 sijaitsevat, on arvoltaan kaksinkertainen arvoon, joka saadaan integroimalla yli välin 0:sta "a":han:
formula_53.