Osittaisintegrointi

Osittaisintegrointi on matematiikassa menetelmä, jolla useissa tapauksissa voidaan integroida kahden tai useamman funktion tulona muodostettu funktio yhden funktion derivaatan ja toisen integraalifunktion eli anti­derivaatan avulla. Sen avulla voidaan usein muuntaa funktioiden tulon integraali muotoon, jossa se on helpommin määritettävissä. Osittais­integrointi­sääntö seuraa suoraan funktioiden tulon derivoimis­säännöstä.
sovelluksena integraalilaskentaan.
Jos formula_1 ja formula_2, kun taas formula_3 ja formula_4, osoittaisintegrointisäännön mukaan on
formula_5
Tämä voidaan lyhemmin ilmaista muodossa
formula_6
Osittais­integroinnin avulla voidaan useissa tapauksissa määrittää sekä annetun funktion integraalifunktio että sen Riemannin integraali jonkin annetun välin yli. Säännöstä on myös yleisempiä muotoiluja, joiden avulla voidaan määrittää myös Riemann-Stieltjes- ja Lebesgue-Stieltjes-integraaleja. Säännön analoginen vastine sarjoille tunnetaan osittais­summauksena.
Osittais­integroinnin keksi Brook Taylor, joka julkaisi säännön ensimmäisen kerran vuonna 1715. 
Lause.
Kahden funktion tulo.
Osittais­integroinnin perustana oleva lause voidaan todistaa seuraavasti. Kun "u"("x") ja "v"("x") ovat jatkuvasti differenti­oituvia funktioita, tulon derivoimis­säännön mukaan on:
formula_7
Kun yhtälön molemmat puolet integroidaan "x":n suhteen:
formula_8
ja kun otetaan huomioon, että rajoiltaan määrittämätön integrointi on derivoinnin käänteis­toimitus, saadaan:
formula_9
missä integroimisvakiota ei ole kirjoitettu näkyviin. Tästä saadaan seuraava "osittais­integroinnin" kaava:
formula_10
mikä differentiaalien avulla voidaan kirjoittaa myös muotoon formula_11
formula_12
Tämän on ymmärrettävä sellaisten funktioiden yhtä­suuruudeksi, joista kumpaankin on lisätty määrittämätön vakio. Laskemalla kummallekin puolelle kahden arvon, "x" = "a" ja "x" = "b", erotus ja soveltamalla analyysin peruslausetta saadaan määrättyä integraalia koskeva versio:
formula_13
Alkuperäinen integraali ∫ "uv"′ "dx" sisältää derivaatan "v"′. Lauseen soveltamiseksi on löydettävä "v"':n integraalifunktio (antiderivaatta ja laskettava tuloksena saatu integraali ∫ "vu"′ "dx".
Pätevyys vähemmän sileille funktiolle.
Osittais­integrointi ei välttämättä edellytä, että funktiot "u" ja "v" ovat jatkuvasti differoituvia. Riittää, että "u" on absoluuttisesti jatkuva ja "v":llä merkitty funktio Lebesgue-integroituva, ei välttämättä edes jatkuva. (Jos "v":llä on epä­jatkuvuus­kohta, sen integraalifunktio "v" ei voi kyseisessä pisteessä olla derivoituva.)
Jos integroimisväli ei ole kompakti, "u":n ei tarvitse välttämättä olla absoluuttisesti jatkuva eikä "v":n Lebesgue-integroituva kyseisellä välillä. Tämän osoittavat seuraavat esimerkit, joissa "u" ja "v" ovat jatkuvia ja jatkuvasti differentioituvia. Esimerkiksi jos 
formula_14
"u" ei ole absoluuttisesti jatkuva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta
formula_15
mikäli formula_16:n katsotaan tarkoittavan lausekkeen formula_17 raja-arvoa, kun formula_18 ja kunhan molemmat oikealla puolella olevat termit ovat äärellisiä. Tämä pätee vain, jos valitaan formula_19 Samoin jos
formula_20
"v"′ ei ole Lebesgue-integroituva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta
formula_15
samoilla edellytyksillä.
Vastaavia esimerkkejä, joissa "u" ja "v" eivt ole jatkuvasti differentoituvia, voidaan myös helposti muodostaa.
Lisäksi jos funktio formula_22 on rajoitettu välillä formula_23 ja formula_24 differentioituva välillä formula_23, on 
 formula_26
missä formula_27 tarkoittaa etumerkillä varustettua mittaa, joka vastaa rajoitetusti vaihtelevaa funktiota formula_28, ja funktiot formula_29 ovat formula_30
n laajennuksia koko formula_31:ään, joista edellinen on rajoitetusti vaihteleva ja jälkimmäinen differentioituva.
Useamman funktion tulo.
Kolmen funktion, "u"("x"), "v"("x"), "w"("x"), tulolle saadaan vastaava tulos:
formula_32
Yleisemin "n" funktion tulolle pätee:
formula_33
mistä saadaan
formula_34
Havainnollistus.
Tarkastellaan parametrimuodossa esitettyä käyrä ("x", "y") = ("f"("t"), "g"("t")). Edellyttäen, että käyrä on lokaalisti injektio ja integroituva voidaan määritellä:
formula_35
formula_36
Oheisessa kaaviossa sinisellä merkityn alueen pinta-ala on
formula_37
ja punaisella merkityn
formula_38
Näiden summa "A"1 + "A"2 on yhtä kuin suuremman ja pienemmän suorakulmion pinta-alojen erotus, formula_39, toisin sanoen:
formula_40
Eli parametrin "t" avulla sanottuna:
formula_41
Käyttämällä määräämättömiä integraaleja tämä voidaan kirjoittaa muotoon
formula_42
tai siirtämällä termejä yhtälön toiselle puolelle edelleen muotoon
formula_43
Osoittaisintegrointi voidaan siis käsittää keinoksi, jolla sinisen alueen pinta-ala voidaan laskea suorakulmioiden ja punaisen alueen pinta-alojen avulla.
Tämä havainnollistus selittää myös sen, että osittais­integroinnilla voidaan usein määrittää käänteisfunktion "f"−1("x") integraali, kun funktion "f"("x") integraali tunnetaan. Itse asiassa funktiot "x"("y") ja "y"("x") ovat toistensa käänteis­funktioita, ja integraali ∫ "x" "dy" voidaan laskea kuten edellä, jos integraali ∫ "y" "dx" tunnetaan. Erityisesti tämä selittää osittais­integroinnin käytön logaritmifunktion ja arkusfunktioiden integroimiseksi. Jos formula_44 on differentioituva injektiivinen funktio jollakin välillä, osittais­integroinnilla voidaankin johtaa kaava funktion formula_45 integraalille formula_44:n integraalin avulla. 
Sovelluksia.
Integraalifunktion löytäminen.
Annetun funktion integraalifunktion määrittämiseksi osittais­integrointi on pikemminkin heuristinen kuin puhtaasti mekaaninen menetelmä. Kun integroitava funktio on annettu, on etsittävä kaksi sellaista funktiota, "u"("x") ja "v"("x"), joiden tulo annettu funktio on, että osittais­integroinnin kaavassa jäljellä jäävä integroitava funktio on helpommin integroitavissa kuin alkuperäinen funktio. Aina sellaisia funktioita ei kuitenkaan ole helppo löytää. Jos sellaiset on löydettävissä, voidaan käyttää seuraavaa kaavaa:
formula_47
Yhtälön oikealla puolella "u" on differentioitu ja "v" integroitu; niinpä on joko valittava funktio "u" niin, että se yksin­kertaistuu differentoitaessa, tai funktio "v" niin, että se yksin­kertaistuu integroitaessa. Yksin­kertaisena esimerkkinä voidaan käyttää funktiota 
formula_48
Koska ln("x"):n derivaatta on formula_49, funktioksi "u" valitaan ln("x"), ja koska formula_50:n integraalifunktio on formula_51, differentiaaliksi "dv" valitaan formula_50. Näin saadaan:
formula_53
Funktion formula_50 integraalifunktio saadaan potenssin integrointi­säännön avulla ja se on formula_51
Vaihtoehtoisesti "u" ja "v" voidaan valita siten, että tulo "u"′ (∫"v" "dx") yksinkertaistuu termien kumoutuessa. Esimerkiksi jos on laskettava integraali
formula_56,
voidaan valita "u"("x") = ln(|sin("x")|) ja "v"("x") = sec2x. Silloin "u":n differentiaaliksi saadaan ketjusäännön avulla 1/ tan "x", ja "v":n integraalifunktio on tan "x", joten kaavasta saadaan:
formula_57
Integroitava yksinkertaistuu vakioksi 1, joten sen integraalifunktio on "x". Yksinkertaistavan kombinaation löytäminen edellyttää usein kokeiluja.
Joskus osittais­integrointi on käyttökelpoinen menetelmä, vaikka integraalille formula_58 ei voitaisikaan esittää yksinkertaista lauseketta. Esimerkiksi numeerisessa analyysissä tulo formula_59 sellaisenaan on usein riittävän hyvä likiarvo integraalille formula_60, mikäli integraali formula_58 on siihen verrattuna itseisarvoltaan niin pieni, että se voidaan jättää huomioon ottamatta.
Polynomit ja trigonometriset funktiot.
Integraalin
formula_62
laskemiseksi valitaan
formula_63
formula_64
jolloin:
formula_65
missä "C" on integroimisvakio.
Kun integroitavassa funktiossa esiintyy "x":n korkeampia potensseja, kuten lausekkeissa
formula_66
integraali voidaan laskea suorittamalla osittais­integrointi useampaan kertaan, jolloin joka kerta "x":n eksponentti pienenee yhdellä.
Eksponentti- ja trigonometriset funktiot.
Usein käytetty esimerkki integraalista, joka voidaan laskea osittais­integroinnilla, on
formula_67
Tässä osittais­integrointia sovelletaan kahdesti. Ensin valitaan
formula_68
formula_69
jolloin integraali saadaan muotoon:
formula_70
Jäljellä olevan integraalin laskemiseksi käytetään jälleen osittais­integrointia valitsemalla
formula_71
formula_72
Saadaan:
formula_73
Yhdistämällä nämä saadaan:
formula_74
Sama integraali esiintyy tämän yhtälön molemmilla puolilla. Integraali voidaan yksinkertaisesti lisätä molemmille puolille, jolloin saadaan
formula_75
ja siitä edelleen
formula_76
missä "C" (ja "C"′ = "C"/2) on jälleen integroimisvakio.
Vastaavalla menettelyllä voidaan määrittää sekantin kuution integraali.
Funktiot kerrottuna yhdellä.
Kaksi muuta hyvin tunnettua esimerkkiä ovat tapauksia, joissa osittais­integrointia sovelletaan funktioon ilmaistuna itsensä ja vakion 1 tulona. Tämä on mahdollista, jos funktion derivaatta tunnetaan ja jos myös tämän derivaatan ja "x":n tulon integraali tunnetaan.
Ensimmäinen esimerkki on ∫ ln("x") d"x". Kirjoitetaan tämä muotoon:
formula_77
Valitaan:
formula_78
formula_79
jolloin saadaan:
formula_80
missä "C" on integroimisvakio.
Toinen esimerkki on arkustangentti, arctan("x"):
formula_81
Kirjoitetaan tämä muotoon
formula_82
Nyt valitaan:
formula_83
formula_79
jolloin käyttämällä sekä sijoitus­menetelmää että luonnollisen logaritmin integraaliehtoa saadaan:
formula_85.
LIATE-sääntö.
Sille, miten osittais­integroinnissa käytettävät funktiot "u" ja "v" on valittava, on esitetty nyrkkisääntö, jonka mukaan "u" on se funktio, joka on ensimmäisenä seuraavassa luettelossa:
L – logaritmifunktiot: formula_86 jne.
I – arkusfunktiot (): formula_87 jne.
A – algebralliset funktiot: formula_88 jne.
T – trigonometriset funktiot: formula_89 jne.
E – eksponenttifunktiot: formula_90 jne.
Differentiaali "dv" muodostetaan funktiosta "v", joka on jäljempänä listalla: niiden integraalifunktiot on helpommin muodostettavissa kuin edellä olevien funktioiden. Säännöstä käytetään joskus myös nimeä "DETAIL", missä "D" viittaa differentiaaliin "dv".
LIATE-säännön havainnollistamiseksi tarkastellaan integraalia
formula_91
LIATE-säännön mukaisesti valitaan "u" = "x", ja "dv" = cos("x") "dx", mistä saadaan "du" = "dx", ja "v" = sin("x"), jolloin integraali saa muodon
formula_92
joka on yhtä kuin
formula_93
Yleensä yritetään valita "u" ja "dv" siten, että "du" on yksinkertaisempi kuin "u" ja "dv" on helppo integroida. Jos sen sijaan "u"ksi valittaisiin cos("x") ja "dv":ksi "x dx", saataisiin integraali
formula_94
ja jos tähän edelleen sovelletaan toistuvasti osittais­integrointia, joudutaan selvästikin päättymättömään rekursioon eikä integraalia saada määritetyksi.
Vaikka LIATE on hyvä yleissääntö, siitä on poikkeuksia. Yleinen vaihtoehto on käyttää sen sijasta "ILATE"-sääntöä. Toisinaan polynomitermit on myös hajotettava ei-triviaaleilla tavoilla. Esimerkiksi integraalin 
formula_95
määrittämiseksi valitaan
formula_96
niin että 
formula_97.
Saadaan
formula_98
Tämä johtaa lopulta tulokseen
formula_99
Osittaisintegroinnin avulla todistettuja tuloksia.
Osittais­integrointi­sääntöä voidaan käyttää matemaattisessa analyysissä myös monien lauseiden todistamiseen.
Wallisin tulo.
John Wallis esitti formula_100:n arvon laskemiseksi päättymättömän tulon:
 formula_101.
Osittais­integroinnin avulla voidaan todistaa, että tämän tulon raja-arvo on formula_100.
Gammafunktio ja kertoma.
Gammafunktio on esimerkki erikoisfunktiosta, joka on määritelty formula_103:n epäoleellisen integraalin avulla. Osittais­integroinnilla voidaan osoittaa, että se on samalla kertoman yleistys:
formula_104
Koska
formula_105
kun formula_106 on luonnollinen luku, toisin sanoen formula_107, käyttämällä tätä kaavaa toistuvasti saadaan kertoma: formula_108
Käyttö harmonisessa analyysissä.
Osittais­integrointia käytetään usein harmonisessa analyysissä, varsinkin Fourier-analyysissä osoittamaan, että Riemannin–Lebesguen lemman mukaisesti nopeasti värähtelevät integraalit, joissa on tarpeeksi tasainen integrandi, pienenevät nopeasti nollaan. Tavallisin esimerkki tästä on osoittaa, että funktion Fourier-muunnoksen pieneneminen riippuu funktion sileydestä jäljempänä selitetyllä tavalla.
Derivaatan Fourier-muunnos.
Jos "f" on "k" kertaa jatkuvasti differentioituva funktio ja sen kaikki derivaatat "k":nteen saakka lähestyvät nollaa "x":n kasvaessa rajatta, sen Fourier-muunnos toteuttaa yhtälön
formula_109
missä "f"("k") on funktion "f" "k":s derivaatta. Tämä voidaan todistaa toteamalla, että 
formula_110
joten soveltamalla osittais­integrointia Fourier-muunnoksen derivaattaan saadaan
formula_111
Toistamalla tämä induktiivisesti saadaan tulos mille tahansa "k":n arvolle. Samaan tapaan voidaan löytää funktion derivaatan Laplace-muunnos.
Fourier-muunnoksen suppeneminen.
Edellä saatu tulos liittyy Fourier-muunnoksen suppenemiseen, sillä siitä seuraa, että jos "f" ja ovat integroituvia, niin
formula_112
Toisin sanoen jos "f" toteuttaa nämä ehdot, sen Fourier-muunnos lähestyy nollaa "ξ":n kasvaessa rajatta vähintään yhtä nopeasti kuin . Erityisesti jos , Fourier-muunnos on integroituva. 
Tämän todistamiseen käytetään seuraavaa epäyhtälöä, joka seuraa suoraan Fourier-muunnoksen määritelmästä:
formula_113
Soveltamalla samaa ideaa tämän osion alussa olevaan yhtälöön saadaan:
formula_114
Yhdistämällä nämä kaksi epäyhtälöä ja jakamalla saadaan tulos todistetuksi.
Käyttö operaattoriteoriassa.
Operaattoriteoriassa osittais­integrointia käytetään muun muassa sen osoittamiseen, että , missä ∆ on Laplacen operaattori, on positiivinen operaattori "L""p"-avaruudessa "L"2. Jos "f" on sileä ja kompaktisti kannatettu, saadaan osittais­integroinnilla
formula_115
Muita sovelluksia.
Osittais­integroinnilla voidaan myös määrittää reunaehdot Sturmin-Liouvillen teoriassa. Lisäksi sen avulla voidaan johtaa Eulerin-Lagrangen yhtälö variaatio­laskennassa.
Toistuva osittaisintegrointi.
Osittais­integroinnin kaavassa esiintyvän formula_116:n toisen derivaatan tarkastelu integraalisissa LHS:n yli viittaa siihen, että integrointi RHS:n yli voidaan suorittaa toistuvasti:
formula_117
Tämän toistuvan osittais­integroinnin käsitteen laajennus "n":nnen asteen derivaattoihin johtaa tulokseen
formula_118
Tämä on usein käyttökelpoista, kun formula_119:n peräkkäiset integraalit on helposti saatavissa, esimerkiksi kun kyseessä on eksponenttifunktio, sini tai kosini, kuten Laplacen tai Fourier'n muunnoksessa ja kun formula_120:n "n":s derivaatta häviää, esimerkiksi kun kyseessä on formula_121:nnen asteen polynomifunktio. Jälkimmäinen ehto rajoittaa sitä, kuinka moneen kertaan osoittaisintegrointi voidaan toistaa, sillä RHS-integraali häviää. 
Toistaessa tätä osittais­integrointia ilmenee yhteys integraalien 
formula_122 and formula_123 ja
formula_124
välillä. Tämä voidaan tulkita mielivaltaiseksi derivaattojen vaihdokseksi funktioiden formula_116 ja formula_120 välillä integrandissa, ja se on myös osoittautunut käyttökelpoiseksi.
Taulukoitu osittaisintegrointi.
Edellä olevan kaavan oleellinen sisältö voidaan ilmaista taulukon muodossa, ja menetelmää sanotaankin "taulukoiduksi (tabulaariseksi) integroinniksi". Se esiintyy myös elokuvassa "Älä anna periksi" ().
Tarkastellaan esimerkiksi integraalia
formula_127
ja valitaan formula_128
Listan alussa sarakkeessa A on funktio formula_129 ja sen eriasteiset derivaatat, 
formula_130 kunnes ne tulevat nollaksi. Sarakkeeseen B taas merkitään funktio formula_131 ja sen peräkkäiset integraalifunktiot formula_132, kunnes sarakkeessa B on yhtä monta riviä kuin A:ssakin. Saadaan seuraava taulukko:
Taulukon "i":nnellä rivillä sarakkeissa A ja B olevien lausekkeiden tulo yhdessä vastaavan etumerkin kanssa antaa ne integraalit, jotka saadaan toistettaessa osittais­integrointi "i" kertaa. Kun "i" = 0, saadaan alkuperäinen integraali. Täydellinen tulos saadaan, kun "i":s integraali lasketaan yhteen kaikkien niiden tulojen kanssa, jotka saadaan kertomalla ylempänä sarakkeella A "j":nnellä rivillä ja sarakkeella B "j+1":nnellä rivillä ((0 ≤ "j" &lt; "i") olevat lausekkeet keskenään (siis esimerkiksi sarakkeen A ensimmäisen rivin lauseke kerrotaan sarakkeen B toisen lausekkeen kanssa, sarakkeen A toisen rivin lauseke sarakkeen B kolmannen rivin lausekkeen kanssa jne.) ja varustamalla kukin niistä "j":nnen rivin etumerkillä. Tämä prosessi lopetetaan luonnollisesti, kun tulo, joka antaa integraalin, on nolla (tässä esimerkissä neljännellä rivillä). Lopputulos vuorottelevine etumerkkeineen on seuraava:
formula_133
Tästä saadaan:
formula_134
Toistettu osittais­integrointi osoittuu käyttökelpoiseksi myös, kun differentioitaessa funktiota formula_135 ja integroitaessa funktiota ja integroitaessa funktiota formula_132 niiden tuloksi saadaan alkuperäisen integrandin monikerta. Tässä tapauksessa toisto voidaan myös lopettaa tällä indeksin arvolla "i". Näin voi tapahtua varsinkin, kun kyseessä on eksponentti- tai trigonometriset funktiot. Tarkastellaan esimerkiksi integraalia
formula_137
Tässä tapauksessa sarakkeilla A ja B olevien termien tulot varustettuina indeksin arvoa formula_138 vastaavalla etumerkillä antaa tulokseksi alkuperäisen integrandin vastaluvun (vertaa rivejä "i"=0 ja "i"=2).
formula_139
Kun otetaan huomioon, että RHS:n integraalilla on oma integroimisvakionsa formula_140 ja siirtämällä abstrakti integraali yhtälön toiselle puolelle saadaan
formula_141
ja lopulta:
formula_142
missä "C" = "C"′/2.
Korkeammat ulottuvuudet.
Osittais­integrointi voidaan yleistää myös useamman muuttujan funktioihin soveltamalla analyysin peruslauseen sopivaa versiota sopivaan tulosääntöön. Monen muuttujan integraali­laskennassa on useita mahdollisia keinoja ilmaista funktio kahden funktion tulona, josta toinen on skalaariarvoinen funktio "u" ja toinen vektoriarvoinen funktio (vektorikenttä) "V".
Vektorianalyysissa divergenssin tulosäännön mukaan on:
formula_143
Olkoon formula_144 jokin formula_145:n avoin rajoitettu osajoukko, jolla on paloittain sileä reuna formula_144. Integoimalla formula_144:n yli standardin tilavuuskaavan formula_148 suhteen ja soveltamalla divergenssiteoreemaa saadaan:
formula_149
missä formula_150 on reunalla ulospäin osoittava kohtisuora yksikkövektori integroituna standardin Riemannin tilavuuden formula_151 suhteen. Uudelleenjärjestelemällä saadaan:
formula_152
eli toisin sanoenformula_153
Lauseen säännöllisyysvaatimuksia voidaan lieventää. Esimerkiksi riittää, että reuna formula_154 on Lipschitz-jatkuva ja funktiot "u" ja "v" kuuluvat Sobolevin avaruuteen "H"1(Ω).
Greenin ensimmäinen identiteetti.
Tarkastellaan jatkuvia vektorikenttiä formula_155 ja formula_156, missä formula_157 on formula_158:n "i":s standardi kantavektori. Sovelletaan osittais­integrointia jokaiseen lausekkeeseen, joka saadaan kertomalla vektorikenttä formula_159 jollakin kertoimista formula_160:
formula_161
Laskemalla nämä yhteen saadaan uusi osittais­integrointi­kaava:
formula_162
Tapaus formula_163, missä formula_164, tunnetaan ensimmäisenä Greenin identiteettinä:
formula_165