Duaaliluku

Duaaliluvut ovat algebrassa alkujaan 1800-luvulla kehitetty hyperkompleksinen lukujärjestelmä. Ne ovat muotoa "a" + "bε" olevia lauksekkeita, joissa "a" ja "b" ovat reaalilukuja ja ε reaalilukuihin kuulumaton alkio, jolle määritellään formula_1, vaikka formula_2.
Duaalilukuja voidaan laskea yhteen ja vähentää komponenteittain:
 formula_3 ja
 formula_4,
ja kertoa keskenään seuraavasti:
 formula_5.
Näin ollen niitä voidaan käsitellä kuten ε:n polynomeja, kun lisäksi otetaan huomioon, että formula_1. Niiden jakolasku ei kuitenkaan kaikissa tapauksissa ole määritelty, kuten jäljempänä osoitetaan.
Samaan tapaan kuin kompleksiluvut, voidaan duaaliluvutkin asettaa vastaamaan tason pisteitä: duaalilukua "a" + "bε" vastaa piste ("a", "b"). Toisin kuin kompleksiluvut, duaaliluvut eivät kuitenkaan muodosta kuntaa, sillä osalla niistä ei ole käänteislukua. Sen sijaan nekin muodostavat kommutoivan renkaan. Duaalilukujen rengas on yksi yksinkertaisimmista renkaisista, joissa on nilpotentteja alkioita.
Historia.
Duaaliluvut otti ensimmäisenä käyttöön William Kingdon Clifford vuonna 1873 , ja tarkemmin niitä tutki 1900-luvun alussa saksalainen matemaatikko Eduard Study, joka määritteli niiden avulla duaalikulman mitaksi kahden sellaisen avaruudessa olevan keskinäiselle asennolle, jotka eivät ole samassa tasossa. Study määritteli duaalikulman lausekkeeksi formula_7, missä formula_8 on näiden suorien suuntien välinen kulma kolmiulotteisessa avaruudessa ja "d" niiden välinen etäisyys siinä kohdassa, jossa ne ovat lähimpänä toisiaan. Niiden "n"-ulotteisen vastineen, Grassmannin luvut, otti käyttöön Hermann Grassmann 1800-luvun lopulla.
Nykyinen määritelmä.
Nykyaikaisessa algebrassa duaalilukujen algebra määritellään usein reaalilukujen polynomirenkaan tekijärenkaaksi indeterminantin neliön virittämän pääideaalin suhteen, toisin sanoen:
formula_9
Laajemmassa mielessä mille tahansa renkaalle "R" voidaan vastaavalla tavalla määritellä siihen liittyvien duaalilukujen rengas:
formula_10.
Duaalilukujen rengas voidaan määritellä myös yksiulotteisen vektoriavaruuden ulkoiseksi algebraksi, jossa formula_11 on kanta-alkiona. 
Jakolasku.
Kahden duaaliluvun jakolasku on määritelty vain, kun jakajan reaaliosa ei ole nolla. Jakolasku on sikäli analoginen kompleksilukujen jakolaskulle, että jakaja kerrotaan konjugaatillaan ei-reaalisen osan eliminoimiseksi.
Näin ollen osamäärän
formula_12
laskemiseksi sekä jaettava että jakaja kerrotaan jakajan konjugaattiluvulla:
formula_13
joka on määritelty, kun "c" ei ole nolla.
Sen sijaan, jos "c" on nolla mutta "d" ei, yhtälöllä
formula_14 ei ole ratkaisua, jos "a" ei ole nolla. Sen sijaan jos "a"=0, yhtälön ratkaisuja ovat kaikki muotoa formula_15 olevat duaaliluvut, missä "y" on reaaliluku.
Näin ollen jakolaskua ei voida määritellä puhtaasti ei-reaalisille duaaliluvuille. Ne ovat selvästikin nollanjakajia ja muodostavat duaalilukujen renkaan ideaalin.
Matsiisiesitys.
Duaaliluku formula_16 voidaan esittää neliömatriisilla formula_17, sillä tätä muotoa olevien matriisien rengas on isomorfinen duaalilukujen renkaan kanssa. Matriisin formula_18 neliö on nimittäin nollamatriisi, samoin kuin sitä vastaavan duaaliluvun formula_11.
On muitakin tapoja esittää duaaliluvut neliömatriiseina. Ne saadaan asettamalla yksikkömatriisi vastaamaan duaalilukua formula_20 ja lukua formula_21 vastaamaan mikä tahansa nollamatriisista poikkeava matriisi, jonka neliö on nollamatriisi. Sellaisia ovat esimerkiksi kaikki muotoa
formula_22
olevat formula_23-matriisit, joissa formula_24
Differentiointi.
Duaalilukuja voidaan käyttää muun muassa automaattiseen differentiointiin. Jokainen reaalikertoiminen polynomi
formula_25
voidaan laajentaa duaalilukujen joukkoon seuraavasti:
formula_26
missä formula_27 on formula_28:n derivaatta.
Yleisemmin jokainen analyyttinen reaalifunktio voidaan Taylorin sarjansa avulla laajentaa duaalilukualueeseen: 
formula_29,
sillä kaikki termit, joissa formula_11 on korotettu toiseen tai sitä korkeampaan potenssiin, ovat formula_11:n määritelmän mukaan nollia.
Yhdistämällä näitä duaaliluvuille määriteltyjä funktioita ja tarkastelemalla formula_11:n kertoimia saadaan yhdistetyn funktion derivaatta automaattisesti lasketuksi.
Vastaavaa menetelmä voidaan käyttää "n" muuttujan polynomeille "n"-ulotteisen vektoriavaruuden ulkoisen algebran avulla.
Geometria.
Duaalilukujen "yksikköympyrän" muodostavat ne duaaliluvut, joille "a" = ±1, sillä ne toteuttavat yhtälön "zz"* = 1, missä "z" tarkoittaa "z":n konjugaattia:
 formula_33, kun formula_34. 
On kuitenkin huomattava, että 
 formula_35, 
minkä vuoksi "ε"-akselin eksponentiaalinen kuvaus käsittää vain puolet tästä "ympyrästä".
Olkoon formula_36. Jos "a" ≠ 0 ja formula_37, on formula_38 on duaaliluvun "z" polaarinen dekompositio ja kulmakerron "m" sen kulmaosa. Duaalilukujen tasossa "rotaation" käsite on yhtäpitävä pystysuoran transvektion kanssa, sillä
formula_39.
Yleistyksiä.
Duaalilukujen käsitettä voidaan yleistää seuraavasti: Mille tahansa kommutatiiviselle renkaalle voidaan määrittää "R":n duaalilukujen rengas polynomirenkaan "R"["X"] tekijärenkaana ideaalin formula_40 suhteen. Tällöin "X":n kuvan neliö on nolla ja vastaa edellä esitettyä alkiota ε.
Mielivaltainen sellaisten alkioiden moduuli, joiden neliö on nolla.
Duaaliluvuille voidaan esittää vielä yleisempi konstruktio. Jokaista kommutatiivista rengasta formula_41 ja moduulia formula_42 kohti on olemassa duaalilukujen renkaaksi kutsuttu rengas formula_43, jolla on seuraavanlaiset rakenteet:
Se on formula_41-moduuli formula_45, jossa kertolaskun määrittelee yhteys formula_46 for formula_47 and formula_48
Tavallisten duaalilukujen algebra on tämän erikoistapaus, jossa formula_49 ja formula_50.
Duaaliluvut ovat yksinkertainen esimerkki superavaruudesta. Ne muodostavat yhden alkion virittämä superlukujoukon. Superluvut ovat duaalilukujen yleistyksiä tapaukseen, jossa lukua formula_11 vastaavia, toisistaan lineaarisesti riippumattomia alkioita on useita ja jotka ovat keskenään antikommutatiivisia; niiden lukumäärä "n" voi olla jopa ääretön. Superavaruudet yleistävät superlukujen käsitettä siten, että ne mahdollistavat myös keskenään kommutoivat ulottuvuudet.
Projektiivinen suora.
Duaalilukuihin liittyvän projektiivisen suoran käsitteen kehittävät Grünvald ja Corrado Segre. Konstruktio on verrattavissa siihen, miten kompleksitaso suljetaan Riemannin palloksi.
Laajennettu kompleksitaso muodostetaan lisäämällä tasoon yksi äärettömän kaukaiseksi ajateltu piste. Kun tämä taso kuvataan stereografisella projektiolla pallon pinnalle, voidaan tämä lisätty piste asettaa vastaamaan näin saadun Riemannin pallon pohjoisnapaa. Samaan tapaan voidaan duaalilukujen tasoon lisätä äärettömän kaukainen suora, joka sulkee tason lieriöksi.
Olkoon "D" duaalilukujen "x" + "yε" rengas ja "U" sen osajoukko, jossa "x" ≠ 0. Olkoon "U" niiden "D":n alkioiden ryhmä, joilla on käänteisalkio, ja formula_52. Määritellään "B":ssä relaatio ~ seuraavasti: ("a", "b") ~ ("c", "d"), kun on olemassa sellainen formula_53, että "ua" = "c" ja "ib" = "d". Voidaan osoittaa, että tämä relaatio on ekvivalenssirelaatio. "D":n projektiivisen suoran pisteet voidaan käsittää tämä relaation ekvivalenssiluokiksi "B":ssä: formula_54. Niitä esittävät projektiiviset koordinaatit ["a", "b"].
Tarkastellaan upotusta ""D" → "P"("D"), missä "z":aa vastaa piste |"z" → ["z", 1]}}. Silloin pisteet [1, "n"], missä formula_55 kuuluvat joukkoon "P"("D") mutta eivät ole minkään pisteen kuvia tässä upotuksessa. "P"("D") kuvautuu lieriölle seuraavanlaisessa projektiossa: muodostetaan lieriö, joka sivuaa duaalilukujen tasoa suoralla formula_56. Tarkastellaan tasoja, jotka sisältävät lieriön vastakkaisella puolella olevan suoran. Tasot, jotka leikkaavat sekä duaalilukujen tason että lieriön tarjoavat vastaavuuden näiden pintojen pisteiden väille. Duaalilukujen tasoon nähden kohtisuora taso vastaa pisteitä formula_57, kun formula_58 duaalilukuihin liittyvällä projektiivisella suoralla. .
Fysikaalisia sovelluksia.
Klassisessa mekaniikassa suhteellista liikettä käsitellään Galilein muunnoksen avulla:
formula_59
toisin sanoen
formula_60
Tämä määrittää nopeudella "v" liikkuvan kappaleen lepokoordinaatiston. Jos yhdessä paikkaulottuvuudessa ja ajassa esiintyviä tapahtumia vastaamaan asetetaan duaaliluvut formula_61, sama muunnos saadaan kertomalla nämä luvulla formula_62.
Useissa fysikaalisissa sovelluksissa duaalilukujen käyttökelpoisuus seuraa fermioneja koskevasta Paulin kieltosäännöstä. Tällöin ε:in suuntaa sanotaan "fermioniseksi" suunnaksi ja niiden reaaliosan määrittämää suuntaa "bosoniseksi" suunnaksi. Fermioninen suunta saa tämä nimen siitä, että fermionit noudattavat Paulin kieltosääntöä: koordinaatteja keskenään vaihdettaessa niiden kvanttimekaanisen aaltofunktion etumerkki vaihtuu ja täten se häviä, jos molemmat koordinaatit saatetaan yhteen; tätä fysikaalista ideaa kuvaa algebrallinen yhteys formula_1.