Kaarevuussäde

Kaarevuussäde ("R") on differentiaaligeometriassa kaarevuuden käänteisarvo. Käyrän kaarevuussäde sen kussakin pisteessä on sen ympyrän säde, joka tämän pisteen läheisyydessä tarkimmin yhtyy käyrään. Tämän ympyrän keskipistettä sanotaan käyrän kaarevuuskeskipisteeksi. Pinnan kaarevuussäde on sen ympyrän säde, joka parhaiten vastaa pinnan normaalileikkausta tai sellaisten yhdistelmää.
Määritelmiä.
Avaruuskäyrän kaarevuussäde on sen kaarevuusvektorin pituus.
Tasokäyrän kaarevuussäde "R" on lausekkeen
 formula_1
itseisarvo, missä "s" on kaaren pituus mitattuna jostakin käyrältä valitusta kiinteästä pisteestä, formula_2 tangenttikulma ja formula_3 käyrän kaarevuus.
Kaavoja.
Kahdessa ulottuvuudessa.
Jos käyrä on annettu karteesisessa koordinaatistossa muodossa formula_4, toisin sanoen jos se on jonkin funktion kuvaaja, ja jos lisäksi tällä funktiolla on ainakin ensimmäisen ja toisen kertaluvun derivaatat, käyrän kaarevuussäde on 
formula_5
missä formula_6 formula_7 ja formula_8 tarkoittaa "z":n itseisarvoa.
Jos käyrä on annettu parametrimuodossa funktiolla "x"("t") ja "y"("t"), sen kaarevuussäde on
formula_9
missäe formula_10 formula_11 formula_12 ja formula_13
Heuristisesti tämä voidaan tulkita seuraavasti:
formula_14
missä
formula_15
"n" ulottuvuudessa.
Jos formula_16 on parametroitu käyrä avaruudessa formula_17, käyrän kaarevuussäde, formula_18, käyrän kussakin pisteessä saadaan kaavasta
formula_19
Siinä erikoistapauksessa, että "f"("t") on funktio formula_20, sen kuvaajan formula_21 kaarevuussäde on 
formula_22
Kaavan johto.
Olkoon formula_23 kuten edellä ja kiinnitetään "t" Tehtävänä on etsiä sellaisen parametroidun ympyrän säde, jonka nollas, ensimmäinen ja toinen derivaatta saavat saman arvon parametrin arvolla "t". Selvästikään säde ei riipu paikasta formula_24, ainoastaan sen ensimmäisestä ja toisesta derivaatasta formula_25 ja formula_26. Jos parametrin "t" tulkitaan tarkoittavan aikaa ja pisteen kuvitellaan liikkuvan käyrää pitkin, näistä edellinen vastaa sen nopeutta ja jälkimmäinen kiihtyvyyttä. On vain kolme skalaaria, jotka voidaan pistetuloina muodostaa kahdesta Kahdesta vektorista, v ja w, nimittäin formula_27, formula_28 ja formula_29. Niinpä kaarevuussäteen on oltava kolmen skalaarin, formula_30, formula_31 ja formula_32 funktio.
Yleinen yhtälö parametroidulle ympyrälle avaruudessa formula_17 on
formula_34
missä formula_35 on ympyrän keskipiste, joka kuitenkin on merkityksetön, sillä se häviää derivoitaessa, ja formula_36 ovat kaksi toisiinsa nähden kohtisuoraa vektoria, joiden kummankin pituus on formula_37, toisin sanoen formula_38, formula_39 ja formula_40 on mielivaltainen "t":ssä kahteen kertaan derivoituva funktio.
Ilmenee, että "g":n merkitykselliset derivaatat ovat
formula_41
Jos nämä "g":n derivaatat asetetaan yhtä suuriksi kuin formula_23:n derivaatat "t":ssä, saadaan:
formula_43
Näissä kolmessa yhtälössä on kolme tuntematonta, formula_37, formula_45 ja formula_46. Ne voidaan ratkaista formula_37:n avulla, jolloin kaarevuussäteelle saadaan kaava
formula_48
tai jos luettavuuden parantamiseksi parametri "t" jätetään pois:
formula_49
Esimerkkejä.
Puoliympyrät ja ympyrät.
Ylemmässä puolitasossa "a"-säteisen puoliympyrälle, jolla formula_50, saadaan:
formula_51
Alemmassa puolitasossa "a" olevalle puoliympyrälle saadaan
formula_52
Ympyrän kaarevuussäde on sama kuin sen säde.
Ellipsi.
Tarkastellaan ellipsiä, jonka isoakselin pituus on 2"a" ja pikkuakselin 2"b". Ellipsin kaarevuussäde saa suurimman arvonsa, formula_53 sen ja pikkuakselin leikkauspisteessä, pienimmän arvonsa, formula_54 taas ellipsin ja sen isoakselin leikkauspisteissä. Näitä pisteitä sanotaan ellipsin kärjiksi. 
Kun ellipsi esitetään parametrimuodossa, formula_55, missä 2"a" ja 2"b" ovat sen iso- ja pikkuakselien pituudet, sen kaarevuus kussakin pisteessä on
formula_56.
Jos parametrina käytetään tangenttikulmaa 
formula_57,
saadaan ellipsin kaarevuussäteelle kussakin pisteessä lauseke
formula_58
missä "e" on ellipsin eksentrisyys, 
formula_59
Sovelluksia.
Puolijohderakenteiden jännitys.
Puolijohderakenteissa esiintyvä jännitys, joka voi saada ohuet kalvot jopa höyrystymään, johtuu yleensä valmistuksen aikaisesta lämpölaajenemisesta. Lämpölaajenemista ja siitä aiheutuvaa jännitystä esiintyy, koska kalvot yleensä asennetaan paikoilleen huoneenlämpöä korkeammassa lämpötilassa. Sen jäähtyessä huoneenlämpöön syntyy lämpöjännitys, koska kalvomateriaalilla ja sillä materiaalilla (alusrakenteella), johon se kiinnitetään, on eri suuri lämpölaajenemiskerroin.
Sisäinen jännitys aiheutuu mikrorakenteesta, joka syntyy kalvossa, kun sen atomit sitoutuvat alusrakenteen atomeihin. Lisäksi syntyy vetojännistystä, jonka aiheuttavat kalvon atomirakenteessa olevat aukot, sillä atomien väliset sidosvoimat vaikuttavat tällaisten pienten aukkojenkin yli.
Puolijohdekalvon jännitys saa aikaan nurjahduksia. Jännittyneen rakenteen kaarevuussäteen ja rakenteen jännityksen välillä on yhteys, jota kuvaa eräs Stoneyn kaavan muunnelma. Jännittyneen rakenteen tarkka muoto ja myös sen kaarevuussäde voidaan mitata optisilla skannausmenetelmillä. Nykyaikaiset skannauslaitteet voivat mitata alusrakenteen epätasaisuudet hyvin tasaisesti ja samalla myös sen epätasaisten kohtien kaarevuussäteet 0,1 prosentin tarkkuudella, kun kaarevuussäde on 90 metriä tai enemmänkin.