Transkendenttifunktio

Transkendenttifunktio eli transkendenttinen funktio on matematiikassa analyyttinen funktio, joka ei ole algebrallinen. Toisin sanoen analyyttinen funktio "f" on transkendenttinen, jos se ei toteuta mitään muotoa toteuta mitään polynomiyhtälöä formula_1.
Transkendenttisiä funktiota ovat esimerkiksi eksponenttifunktio, logaritmi ja trigonometriset funktiot.
Määritelmä.
Muodollisen määritelmän mukaan yhden reaali- tai kompleski­muuttujan funktio "f"("z") on trans­kendenttinen, jos se on algebrallisesti riippumaton tästä muuttujasta (funktiota ei voi muuttaa äärelliseksi polynomiksi). Tämä määritelmä voidaan laajentaa useamman muuttujan funktioihin.
Historia.
Transkendenttisista funktioista tulivat trigonometriset funktiot ensimmäisinä tunnetuiksi. Vanhalla ajalla niitä käytettiin ennen kaikkea tähti­tieteessä. Hipparkhos (190–127 eKr.) laati mittauksiin perustuvan taulukon ympyrän erisuuria kaaria vastaavien jänteiden pituuksista eli itse asiassa taulukon funktion formula_2 arvoista. Taulukkoa tarkensi myöhemmin Ptolemaios Nykyisellä tavalla määritellyn sinifunktion arvot taulukoitiin Intiassa 400-luvulla. 1700-luvulla Jakob Bernoulli ja varsinkin Leonhard Euler tutkivat näitä funktioita tarkemmin, niin että ne voitiin määritellä puhtaasti matemaattisen [[analyysi (matematiikka)|analyysin keinoin geometriasta riippumatta.
Vuonna 1647 [[Grégoire de Saint-Vincent]] otti käyttöön uuden funktion, [[luonnollinen logaritmi|logaritmin]], jonka avulla voitiin määrittää [[hyperbeli]]n "xy" = 1, x-akselin ja kahden y-akselin suuntaisen suoran välisen alueen pinta-ala. Tämä tapahtui noin kaksituhatta vuotta sen jälkeen, kun [[Arkhimedes]] oli määrittänyt [[paraabeli]]n ja sitä leikkaavan suoran välisen alueen pinta-alan. Saint-Vincentin määrittelemällä funktiolla oli kuitenkin vain vähän muuta käyttöä, ennen kuin Euler vuonna 1748 otti käyttöön funktion, jossa vakio korotetaan muuttuvan [[eksponentti|eksponentin]] osoittamaan potenssiin. Kun täksi vakioksi valittiin [[Neperin luku]] "e", Saint-Vincentin määrittelemä logaritimifunktio osoittautui tämän [[ekxponenttifunktio]]n [[käänteisfunktio]]ksi. 
Eksponenttifunktiolle käytetään merkintää . Euler samasti sen [[päättymätön sarja|päättymättömän sarjan 
 kanssa, missä "k"! tarkoittaa "k":n [[kertoma]]a.
Jos tästä sarjasta otetaan huomioon joko vain parilliset tai vain parittomat termit, saadaan edellisessä tapauksessa [[hyperbolinen kosini]] cosh("x"), jälkimmäisessä tapauksessa [[hyperbolinen sini]] sinh("x"), joiden summa on formula_3.}} Nämä [[hyperboliset funktiot]] ovat myös transkendenttisia. Trigonometriset funktiot saadaan niistä kertomalla sarjan jokainen termi kertoimella (−1)"k", jolloin sarjasta tulee [[vuorotteleva sarja|vuorotteleva]]. Eulerista lähtien matemaatikot ovat käsittäneet sinin ja kosinin tällä tavoin, jolloin niiden transkendenttisuus kytkeytyy logaritmi- ja eksponentti­funktioon. Tätä kuvastaa erityisesti [[Eulerin kaava]] formula_4, jonka avulla eksponentti­funktio voidaan laajentaa [[kompleksiluku]]jen joukkoon.
Esimerkkejä.
Esimerkiksi seuraavat funktiot ovat transkendenttisia:
Jos näistä toisessa asetetaan formula_11:n arvoksi [[Neperin luku]] formula_12, todetaan, että formula_13 on transkendenttinen funktio. Samoin jos viidennessä yhtälössä asetetaan formula_11:n arvoksi formula_12, saadaan [[luonnollinen logaritmi]]funktio formula_16, joka on myös transkendenttinen.
Algebralliset ja transkendenttiset funktiot.
Tunnetuimmat transkendenttiset funktiot ovat [[logaritmi]], [[eksponenttifunktio]], [[trigonometrinen funktio|trigonometriset funktiot]], [[hyperbolinen funktio|hyperboliset funktiot]] ja näiden [[käänteisfunktio]]t. Näitä sanotaan trans­kendenttisiksi [[alkeisfunktio]]iksi.
Muita traskendenttifunktioita, joita ei lueta alkeis­funktioiden joukkoon, ovat [[gammafunktio]], [[elliptinen funktio|elliptiset funktiot]] ja [[zeta-funktio]]. [[Yleistetty hypergeometrinen funktio]] ja [[Besselin funktio]] ovat myös yleensä trans­kendenttisia, mutta joillakin parametrien arvoilla algebrallisia.
Funktio, joka ei ole transkendenttinen, on "'algebrallinen" Sellaisia ovat esimerkiksi [[rationaalifunktio]]t ja [[neliöjuuri]], mutta [[Abelin–Ruffinin lause]]esta seuraa, ettei kaikkia algebrallisia funktioitakaan voida esittää perus­lasku­toimitusten ja juuren­ottojen avulla muodostettuina lausekkeina.
Monien algebrallistenkin funktioiden [[integraalifunktio]] on trans­kendenttinen. Esimerkiksi funktion 1/x integraali­funktio on [[luonnollinen logaritmi]]funktio ln "x".
[[Differentiaalialgebra]] tutkii, miten integrointi usein johtaa funktioihin, jotka ovat algebrallisesti riippumattomia jostakin luokasta, esimerkiksi kun muuttujana käytetään trigono­metristen funktioiden polynomeja.
Transkendentaalisesti transkendenttiset funktiot.
Useimmat tunnetuimmat transkendentti­funktiot, myös matemaattisessa fysiikassa esiintyvät erikoisfunktiot, ovat [[algebrallinen differentiaaliyhtälö|algebrallisten differentiaali­yhtälöiden]] ratkaisuja. On kuitenkin myös funktioita, jotka eivät toteuta mitään sellaista yhtälöä. Sellaisia ovat esimerkiksi [[gammafunktio]] ja [[Riemannin zeeta-funktio]]. Niitä sanotaan "trans­kendentaalisesti trans­kendentaalisiksi" eli "[[hypertranskendenttinen funktio|hyper­trans­kendentti­siksi]]" funktioiksi.
Poikkeusjoukko.
Jos formula_17 on algebrallinen funktio ja formula_18 [[algebrallinen luku]], myös formula_19 on algebrallinen luku. Kääntäen ei kuitenkaan päde: algebrallista lukua formula_18 vastaava funktio formula_19 saattaa olla algebrallinen luku, vaikka funktio "f" olisikin trans­kendenttinen. On jopa olemassa "kokonaisia trans­kendenttisia funktiota" formula_17, joilla formula_19 on algebrallinen jokaisella algebrallisella luvulla formula_24 Jos "f" on trans­kendenttinen funktio, sanotaan niiden algebrallisten lukujen formula_18joukkoa, joita vastaava funktion arvo formula_19 on algebrallinen, sanotaan tämän funktion "poikkeus­joukoksi". Muodollisesti se määritellään seuraavasti:
formula_27
Monissa tapauksissa poikkeusjoukko on varsin pieni. Esimerkiksi [[Ferdinand von Lindemann]] todisti vuonna 1882, että [[eksponenttifunktio]]n formula_13 poikkeus­joukkoon kuuluu vain nolla eli formula_29. Koska erityisesti formula_30, seuraa tästä, että "iπ" ei ole algebrallinen luku. Koska "i" on algebrallinen, on "π" [[transkendenttiluku]].
Yleensä funktion poikkeusjoukon löytäminen on vaikea tehtävä, mutta jos se voidaan suorittaa, se voi usein johtaa trans­kendentti­lukujen teorian kannalta merkittäviin tuloksiin. Seuraavassa on muutamien muiden funktioiden tunnettuja poikkeus­joukkoja:
Vaikka poikkeus­joukon muodostaminen annetulle funktiolle ei ole helppoa, on kuitenkin todistettu, että [[algebrallinen luku|algebrallisten lukujen]] joukon "jokainen" osajoukko on jonkin trans­kendenttisen funktion poikkeus­joukko. Erityisesti myös algebrallisten lukujen joukko itse on jonkin funktion poikkeus­joukko, toisin sanoen on olemassa trans­kendenttinen funktio, jotka saavat arvokseen trans­kendentti­luvun vain, kun sen argumentti on trans­kendentti­luku. [[Alex Wilkie]] todisti myös, että on olemassa transkendenttisia funktioita, joita ei voi [[ensimmäinen asteen logiikka]]an perustuvilla todistuksilla sellaisiksi osoittaa, ja muodosti esimerkin sellaisesta [[analyyttinen funktio|analyyttisestä funktiosta]].
Dimensioanalyysi.
[[Dimensioanalyysi]]ssa transkendenttisilla funktioilla on merkittävä sija, sillä ne on määritelty vain, kun argumentti on dimensioton. (Monissa tapauksissa, esimerkiksi eri yhteyksissä käytettyjen [[logaritminen asteikko|logaritmisten asteikkojen]] määritelmissä, tällaisen funktion argumenttina esiintyvä suure saadaan dimensiottomaksi jakamalla se jollakin vakiolla, joka on samaa dimensiota kuin varsinainen suure itse.) Matemaattisessa lausekkeessa mahdollisesti esiintyvä dimensiovirhe voidaankin usein helposti todeta lausekkeessa esiintyvien transkendentti­funktioiden avulla. Esimerkiksi log(5 metres) ei ole mielekäs merkintä, toisin kuin tai myös log(3) metres. Jos tällaiseen lausekkeeseen sovelletaan logaritmien laskusääntöjä, saadaan log(5) + log(metres), mikä korostaa lausekkeen virheellisyyttä erityisen selvästi: ei-algebrallisen toimituksen kohdistaminen dimensioon ei ole mielekästä.
Katso myös.
[[Luokka:Analyyttiset funktiot]]