Logaritminen spiraali

Logaritminen spiraali eli tasakulmainen spiraali on itsesimilaarinen spiraalimainen käyrä, joka esiintyy usein luonnossa. Sen kuvasi ensimmäisenä Descartes, ja sen ominaisuuksia tutki myöhemmin tarkemmin Jakob Bernoulli, joka antoi sille nimen "Spira mirabilis" ’ihmeellinen spiraali’.
Käyrän yhtälö.
Napakoordinaatistossa (formula_1) logaritmisen spiraalin yhtälö on
formula_2
tai
formula_3
missä "e" on Neperin luku, ja "a" ja "b" ovat vakiona pysyviä positiivisia reaalilukuja.
Karteesisessa koordinaatistossa käyrä voidaan esittää parametrimuodossa:
formula_4
formula_5
missä formula_6 ja formula_7 ovat reaalisia vakioita.
Logaritmisella spiraalilla on se huomattava ominaisuus, että sen jokaisessa pisteessä käyrän tangentin muodostaa yhtä suuren kulman spiraalin keskuksesta eli "navasta" alkavan puolisuoran kanssa. Tämän vakiokulman "f" ja käyrän yhtälössä esiintyvän vakion "b" välillä on yhteys:
formula_8 eli
formula_9
Differentiaaligeometrian käsittein tämä yhteys voidaan ilmaista seuraavasti:
formula_10
missä "r" ja formula_11 ovat käyrän mielivaltaisen pisteen napakoordinaatit.
Lausekkeen formula_12 derivaatta on verrannollinen parametriin formula_7. Toisin sanoen se ilmoittaa, kuinka "tiheästi" ja kumpaan suuntaan spiraali kiertyy. Rajatapauksessa, kun formula_14 (formula_15), spiraalista tulee formula_6-säteinen ympyrä. Toisaalta kun formula_7:n annetaan kasvaa rajattomasti ("f" -&gt; 0), spiraali lähestyy puolisuoraa. Kulman "f" komplementtikulmaa sanotaan spiraalin "kaltevuus­kulmaksi" ().
"Spira mirabilis" ja Jacob Bernoulli.
Logaritmisesta spiraalista käytetään myös latinalaista nimeä "Spira mirabilis", "ihmeellinen spiraali". Vaikka muut matemaatikot olivat tutkineet sitä jo aikaisemmin, tämän nimen käyrälle antoi Jacob Bernoulli, koska häntä kiehtoivat sen ainutlaatuiset matemaattiset ominaisuudet: jokaisella kierroksella keskuksen ympäri spiraalin koko kasvaa, mutta sen muoto pysyy samana. Tätä ominaisuutta sanotaan itse­similaari­suu­deksi. Mahdollisesti juuri tämän ainut­laatuisen ominaisuutensa vuoksi "spira mirabilis" esiintyy monessa yhteydessä elollisessa luonnossa, esimerkiksi nautilus-helmiveneiden kuorissa ja auringonkukan mykerössä. Jacob Bernoulli ilmoitti toivomuksenaan, että hänen hautakiveensä kaiverrettaisiin logaritminen spiraali ja lause "Eadem mutata resurgo" ("Nousen jälleen muuttuneena ja silti ennallani"), mutta väärin­käsityksen vuoksi siihen kaiverrettiinkin Arkhimedeen spiraali.
Ominaisuudet.
Logaritminen spiraali eroaa Arkhimedeen spiraalista siinä, että käyrän ja sen keskuksesta lähtevän puolisuoran leikkauspisteiden väliset etäisyydet kasvavat keskuksesta etäännyttäessä geometrisen sarjan mukaan, kun taas Arkhimedeen spiraalissa tämä etäisyys on vakio. Jos sitä skaalataan origo skaalauskeskuksena tekijällä formula_18, missä "b" on kokonaisluku, se kuvautuu itselleen; jos skaalaustekijä on jokin muu, saadaan sama käyrä, joka saataisiin myös kiertämällä sitä origon ympäri jonkin kulman verran. Logaritminen spiraali on myös yhtenevä involuuttansa, evoluuttansa ja keskuksensa suhteen muodostetun pedaalikäyränsä kanssa.
Lähtemällä pisteestä formula_19 ja etenemällä spiraalia pitkin sisäänpäin sen keskus voidaan kiertää rajattoman monta kertaa ilman, että sitä koskaan saavutaan. Kuitenkin tämän käyrän osan pituus on äärellinen, tai tarkemmin sanottuna sen pituuden raja-arvo, kun formula_20, on äärellinen. Tämän totesi ensimmäisenä Evangelista Torricelli jo ennen kuin differentiaali- ja integraalilaskenta keksittiin. Tarkemmin sanottuna spiraalin tämän osan pituus on formula_21, missä formula_22 on pisteen formula_23 etäisyys origosta suoraa pitkin mitattuna.
Kompleksitasossa eksponenttifunktio kuvaa kaikki suorat, jotka eivät ole reaali- eivätkä imaginaariakselin suuntaisia, logaritmisille spiraaleille, joiden keskus on origossa. Kääntäen jokainen tällainen logaritminen spiraali saadaan jonkin suoran kuvaksi eksponentti­funktiolla. Kuvana saatavan spiraalin kaltevuus­kulma on alku­peräisen suoran ja imaginaari­akselin välinen kulma.
Funktio formula_24, missä formula_25 on kompleksiluku, jonka imaginaariosa ei ole nolla, kuvaa kompleksi­tason reali­akselin logaritmiselle spiraalille.
Kultainen spiraali on logaritminen spiraali, jonka pisteiden etäisyys kasvaa kultaisen leikkauksen suhteessa kierrettäessä origon ympäri 90 astetta. Sen kaltevuus­kulma on noin 13,03239 astetta. Sitä voidaan approksimoida "Fibonaccin spiraalilla", joka muodostuu sarjasta ympyrän kehän neljänneksiä, joiden säteet ovat verrannollisia Fibonaccin lukujonon lukuihin.
Logaritminen spiraali luonnossa.
Useissa luonnon­ilmiöissä esiintyy käyriä, jotka ovat ainakin liki­pitäen logaritmisen spiraalin muotoisia. Esimerkiksi muuttohaukka lähestyy saalistaan logaritmista spiraalia myöten. Se näkee tarkimmin suuntaan, joka muodostaa tietyn suuruisen kulman sen lento­suuntaan nähden; kun se pitää lentosuuntansa ja saaliin suunnan välisen kulman vakinaisesti tämän suuntaisena, lentoreitiksi muodostuu logaritminen spiraali, jonka kaltevuus­kulma on kyseisen kulman suuruinen.
Hyönteiset lähestyvät usein keino­tekoisia valon­lähdeitä logaritmisen spiraalin muotoista reittiä pitkin. Luonnossa ne suunnistautuvat siten, että lentosuunnan ja valonlähteen suunnan välinen kulma pysyy vakiona. Luonnossahan yleensä ainoa valon lähde on aurinko tai yöllä lentävien lajien tapauksessa kuu. Molemmat ovat niin kaukana, että hyönteisen lentäessä suoraan valonlähteen suunnan ja hyönteisen lentosuunnan välinen kulma pysyy käytännössä vakiona. Kun keino­tekoiset valon­lähteet kuitenkin ovat paljon lähempänä, ne voivat harhauttaa hyönteisen kiertämään niitä spiraalimaista reittiä myöten.
Lähellä logaritmista spiraalia ovat muodoltaan myös: