Fermin–Diracin statistiikka

Fermin–Diracin statistiikka on statistisessa fysiikassa jakaumalaki, joka kuvaa identtisten, heikosti vuorovaikuttavien fermionien energiajakaumaa termodynaamisessa tasapainotilassa. Fermionit ovat alkeishiukkasia, jotka noudattavat Paulin kieltosääntöä ja joita tämän vuoksi voi olla vain yksi samalla yksihiukkastilalla toisin kuin bosoneja, joita tämä rajoitus ei koske. Fermioneja ovat esimerkiksi protonit, neutronit ja elektronit.
Paulin kieltosäännön esitti Wolfgang Pauli vuonna 1925. Sen perusteella Enrico Fermi ja Paul Dirac johtivat seuraavana vuonna toisistaan riippumatta Fermin–Diracin jakaumalain.
Eri statistiikkojen vertailua.
Statistisessa fysiikassa käytetään kolmea erilaista jakaumaa, jotka ovat:
Maxwellin–Bolzmannin statistiikkaa sovelletaan molekyyleihin klassisessa termodynamiikassa. Kvanttiteoria on kuitenkin osoittanut, ettei se sovellu minkään alkeishiukkasen energiajakauman kuvaamiseen muutoin kuin tietyissä tapauksissa likimääräisesti.
Bosen–Einsteinin statistiikka soveltuu bosoneille kuten fotoneille ja mesoneille. Fermin–Diracin statistiikka soveltuu fermioneille kuten elektroneille ja protoneille, joita Paulin kieltosäännön mukaan ei voi olla useampi kuin yksi samassa kvanttitilassa.
Sekä Maxwellin-Boltzmannin että Bosen-Einsteinin statistiikassa oletetaan, että jokaisessa energiatilassa voi olla rajoittamaton määrä hiukkasia. Bosen-Einsteinin statistiikassa oletetaan kuitenkin, toisin kuin klassisessa Maxwellin-Boltzmannin statistiikassa, ettei hiukkasia periaatteessakaan voida yksilöidä, minkä vuoksi jakaumalakia johdettaessa symmetriset alkeistapaukset muodostetaan eri tavoin. Sitä vastoin Fermin-Diracin statistiikassa otetaan huomioon, että kullakin kvanttitilalla voi samanaikaisesti olla enintään yksi hiukkanen.
Jakaumalaki.
Kun sekä hiukkasten että energiatilojen lukumäärä ovat suuria lukuja, hiukkasten todennäköinen lukumäärä energiatilassa "i" on Fermin–Diracin statistiikassa:
formula_1
missä formula_2 ja:
"ni"  on tilassa "i" olevien hiukkasten lukumäärä
"gi"  on tilan "i" degeneraatio 
 "εi"  on tilan "i" energia
μ on kemiallinen potentiaali
"k" on Boltzmannin vakio
"T" on absoluuttinen lämpötila
Energiatilan degeneraatiolla tarkoitetaan niiden kvanttitilojen lukumäärää, joissa hiukkasella on tietty määrä energiaa. Paulin kieltosäännöstä seuraa, että tämä on samalla suurin määrä hiukkasia, joilla voi samanaikaisesti olla tietty määrä energiaa.
Jos formula_3 on paljon pienempi kuin formula_4, tämä voidaan pyöristää muotoon
formula_5,
mikä on sama kuin Maxwellin–Boltzmannin jakaumalaki.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
Fermin–Diracin jakaumalain johtaminen.
Oletetaan, että on olemassa joukko energiatasoja, jotka on merkitty indeksinumeroilla
formula_6. Kunkin energiatilan energia on formula_7, ja siinä on 
formula_8 hiukkasta. Oletetaan edelleen, että kukin tila jakautuu vielä 
formula_9
erilliseen alatasoon, joista jokaisella on yhtä suuri energia mutta jotka jollakin muulla tavalla eroavat toisistaan. Näillä eri alatasoilla olevilla hiukkasilla voi esimerkiksi olla eri suuri liikemäärä mutta sama määrä energiaa. Tasoon formula_6 liittyvien tilojen lukumäärää 
formula_9 sanotaan tämän energiatason "degeneraatioksi". Kullakin tällaisella alatasolla voi olla vain yksi hiukkanen.
Olkoon formula_12 niiden tapojen lukumäärä, joilla formula_13 hiukkasta voidaan sijoittaa näille yhteensä 
formula_14 energiatason alatasolle. Kun hiukkasia voi olla vain yksi kullakin alatasolla, tällaisia tapoja on yhtä monta kuin "g"-alkioisella joukolla in "n"-alkoisia osajoukkoja eli
formula_15
Niinpä niiden tapojen lukumäärä, joilla hiukkaset voivat jakautua eri energiatasojen kesken, saadaan kertomalla eri energiatasoja vastaavat lukumäärät keskenään:
formula_16
kun oletetaan, että formula_17. 
Systeemi on termodynaamisessa tasapainotilassa, kun "W":llä on suurin mahdollinen arvo. Tämä vastaa jakaumaa, jonka todennäköisyys on suurin. Jos oletetaan, että hiukkasten kokonaismäärä ja yhteenlaskettu energia tunnetaan, suureet
formula_18 ja formula_19 saavat maksiminsa samalla 
formula_20:n arvolla, joista se on matemaattisesti helpompi johtaa jälkimmäiselle. Voidaan rajoittua ratkaisuihin, jotka saadaan Lagrangen kertoimien avulla:
formula_21
Jos oletetaan, että formula_22 on hyvin suuri luku, voidaan kertomalle laskea likiarvo Stirlingin kaavalla: 
formula_23,
jolloin saadaan
formula_24
Tämän maksimi saadaan ottamalla siitä derivaatta formula_8:n suhteen ja etsimällä derivaatalle nollakohta. Tällöin saadaan Fermin–Diracin statistiikan mukainen lukumäärä: 
formula_26
Termodynamiikan avulla voidaan osoittaa, että tässä kaavassa esiintyvät parametrit formula_27 ja formula_28 vastaavat systeemiin liittyviä fysikaalisia suureita seuraavasti:
formula_29 ja &lt;br&gt;
formula_30, 
missä formula_31 on Boltzmannin vakio, formula_32 absoluuttinen lämpötila ja formula_33 systeemin kemiallinen potentiaali. Näin ollen kaava voidaan lopulta kirjoittaa muotoon 
formula_34