Arkhimedeen lause

Reaalilukuja koskevan Arkhimedeen lauseen mukaan jokaista reaalilukua "r" kohtaan löydetään positiivinen kokonaisluku "k" siten, että
formula_1.
Todistus.
Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla formula_2 ja jotain sen ylärajaa symbolilla formula_3, ja määritellään formula_4. Koska joukko formula_2 on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman nojalla pienin yläraja eli supremum, formula_6. Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon formula_2 alkio formula_8 siten että formula_9. Tällöin formula_8 on joukon formula_2 maksimi. Mikäli formula_8 ei olisi maksimi, niin olisi olemassa kokonaisluku formula_13 siten, että formula_14. Tämä on ristiriita, koska formula_15 kaikilla formula_16. Täten siis formula_8 on joukon formula_2 maksimi. 
Mikäli formula_19, niin 1 on (triviaalisti) haluttu luku formula_20. Oletetaan siis, että formula_21. Olkoon nyt joukko formula_22, jolloin formula_23 on ylhäältä rajoitettu. Edellä todistetun lauseen nojalla joukolla formula_23 on maksimi. Merkitään formula_25 ja valitaan formula_26. Nyt formula_20 ei voi kuulua formula_23:ään, joten formula_29. 
Arkhimedeen lauseen korollaari: jokaista positiivista reaalilukua formula_30 kohtaan on olemassa luonnollinen luku formula_31 siten, että formula_32.
Todistus.
Olkoon formula_33 reaaliluku. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku formula_31 siten, että formula_35, mikä on yhtäpitävää epäyhtälön formula_32 kanssa.
Seurauslauseita.
Kahden erisuuren reaaliluvun formula_37 välissä on aina rationaaliluku formula_38 ja irrationaaliluku formula_39 ja molempia vieläpä äärettömän monta eli formula_40. 
Todistus.
Merkitään formula_41. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku formula_31 siten, että formula_43. Joukolla formula_44 on olemassa minimiarvo. Merkitään formula_45. Nyt formula_46 ei kuulu joukkoon formula_2 ja pätee formula_48, joka on yhtäpitävää epäyhtälön formula_49 kanssa. Pätee myös formula_50, joten formula_51. Täten formula_52 ja formula_53 on etsitty rationaaliluku. 
Osoitetaan, että tällaisia rationaalilukuja on olemassa äärettömän monta. Todistetaan induktiolla, että löydetään halutunlaisia lukuja mikä tahansa lukumäärä formula_54. 
Alkuaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku formula_55 siten, että formula_56. 
Induktio-oletus: lukuja, jotka täyttävät ehdon formula_57, jossa formula_58, on olemassa formula_59 määrä. Tosin sanoen pätee formula_60.
Induktioaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku formula_61 siten, että formula_62. 
Täten haluttuja lukuja löydetään formula_63 määrä valittiinpa tämä luku miten suureksi tahansa, sillä nyt pätee formula_64.
Etsitään seuraavaksi lukujen formula_65 ja formula_66 välistä irrationaaliluku: 
Tämä voidaan tehdä monella tavalla. Esimerkiksi edellä todistetun lauseen nojalla löydetään rationaaliluvut formula_67 ja formula_68 siten, että formula_69. Merkitään formula_70 eli formula_71. Nyt ilmiselvästi pätee formula_72 ja formula_73 on irrationaaliluku. Yllä olevan kaltaisella induktiolla osoitetaan, että halutunlaisia irrationaalilukuja on olemassa ääretön määrä.