Pisteen potenssi

Pisteen potenssi on tasogeometriassa ympyrään ja sen sekantin tai jänteen pisteeseen liittyvä suure, joka kuvaa pisteen sijaintia suhteessa ympyrään ympyrän keskipisteeseen. Pisteestä piirretään ympyrää sivuava tai sen kehän kahdesti leikkaava suora. Pisteestä kummallekin kehäpisteelle mitataan janojen pituudet, joiden tulo voidaan todistaa olevan vakio valitun sekantin suunnasta riippumatta.
Piste formula_1 voi sijaita ympyrän suhteen missä vain. Kun piste sijaitsee ympyrän sisällä, jakaa se ympyrän sekantin kahteen osaan. Kun se sijaitsee ympyrän ulkopuolella, erottaa ympyrän kehä pisteen kautta kulkevasta suorasta mainitun sekantin. Pisteen potenssin lauseketta varten merkitään pistettä kirjaimella formula_1 ja sekantin kehäpisteitä formula_3 ja formula_4. Pisteen formula_1 potenssi formula_6 lasketaan 
formula_7 
Pisteen potenssin arvo on positiivinen formula_8, kun piste sijaitsee ympyrän ulkopuolella. Jos se sijaitsee ympyrän kehällä, on pisteen potenssi formula_9. Kun piste on ympyrän sisällä, on formula_10 eli negatiivinen. Janat ovat silloin suunnattuja janoja ja niiden pituus voi olla myös negatiivinen. Jos pisteen potenssit lasketaan positiivisilla janan pituuksilla, saadaan pisteen potensiksi aina formula_11.
Pisteen potenssin lause.
Pisteen potenssi on kullekin pisteelle aina sama riippumatta sekantin suunnasta. Tämä johtuu kehäkulmalauseesta. Jos merkitään kaksi linjaa, joiden pisteet ovat P, B ja A sekä P, D ja C, saadaan molempien linjojen pisteen potenssiksi sama arvo 
formula_12 
Tämä todistetaan yhdistämällä kehäpisteet janoilla DA ja BC. Kulmat ovat kaarta BD vastaisina kehäkulmina yhtäsuuret. Silloin kolmiot ovat yhdenmuotoiset:
formula_13, ja vastinsivuille pitävät paikkansa verrannot
formula_14
mistä lause seuraa.
Sama pätee myös ympyrän sisäpuolisille pisteelle ja kehäpisteelle.
Joskus pisteen potenssi määritetään positiiviseksi tästä huolimatta ja sillä ei tehdä eroa, onko piste ympyrän sisä- vai ulkopuolella.
Lauseen korollaarit.
Edellä selostettu tilanne syntyy, kun piste formula_1 sijaitsee ympyrän ulkopuolella. Janat, joita vertailtiin, olivat osia sekanteista. Lauseen tätä korollaaria eli lauseen seurausta voisi siksi kutsua sekantti-sekantti-lauseeksi (todistus ). Kun piste sijaitsee ympyrän sisällä, ovat janat ympyrän jänteitä ja lauseen korollaaria voisi kutsua jänne-jänne-lauseeksi (todistus ). Viimeisin tapaus syntyy, jos ympyrän ulkopuolelta toinen janoista on sekantti ja toinen tangentti, jolloin tätä korollaaria voisi kutsua sekantti-tangentti-lauseeksi. Kukin korollaari on todistettavissa vain hieman eri tavalla.
Viimeiseksi mainitussa tilanteessa tangentilla on vain yksi leikkauspiste kahden sijasta. Tangentti on selvästi rajatapaus sekantista, joka on siirtynyt lähelle kehän "äärilaitaa". Mitä lähemmäksi sekantin leikkauspisteet tulevat toisiaan, sen lähemmäksi ne tulevat tangentin sivuamispistettä. Voidaan ajatella, että sekantin kaksi pistettä olisivat "sulautuneet" toisiinsa tangenttipisteeksi formula_16. Pisteen potenssi voidaan silloin kirjoittaa
formula_17
missä formula_16 on tangentin sivuamispiste. Tämän perusteella voidaan ajatella, että formula_19 on sekanttien formula_20 ja formula_21 keskiverto eli geometrinen keskiarvo. Tämä vastaa pisteen potenssin neliöjuurta (todistus ).
Pisteen potenssi funktiona.
Antiikin Kreikassa ei pisteen potenssia tutkittu, sillä silloin funktiokäsitettä ei ollut vielä olemassa. Tuolloin ei myöskään käsitelty tarkemmin suunnattuja janoja, vaikka niitä käytettiin satunnaisesti hyväksi. Kun pisteen potenssia alettiin hyödyntää 1800-luvun geometriassa, otettiin sille käyttöön uusi funktiopohjainen määritelmä.
Merkitään pisteen formula_1 etäisyyttä ympyrän keskipisteeseen formula_23 kirjaimella formula_24 ja ympyrän sädettä kirjaimella formula_25. Kuten sekantti-tangentti-korollaarin lauseessa on, pisteen potenssi voi olla myös formula_26. Ympyrällä säde ja tangentti muodostavat aina suoran kulman, jolloin kuvassa formula_27 on suorakulmainen kolmio. Nyt pisteen potenssiksi saadaan Pythagoraan lauseen mukaisesti
formula_28
Pisteen potenssi on siten formula_24:n funktio. 
Koska formula_25 on vakio ja etäisyys formula_31, voi pisteen potenssi saada arvoja formula_32 Pisteen potenssi on eräänlainen mitta pisteen etäisyydelle ympyrän keskipisteestä.
Jos sijoitetaan r-säteinen ympyrä xy-koordinaatiston origoon, voidaan pisteen potenssi formula_33 kirjoittaa 
formula_34
Kuvaajan muodostama pinta on paraboloidi.
Historiaa.
Pisteen potenssin idea tunnettiin jo Antiikin Kreikassa. Se sisältyi Eukleideen oppikirjaan Alkeet, jossa sitä käytettiin janojen ja ympyröiden käsittelyssä. Kirjassa III, lause 35, esitetään todisteet lauseen pätevyydestä.
Kun 1800-luvulla geometriaa tutkittiin ahkerasti, esitti vuonna 1826 sveitsiläinen Jakob Steiner useita pisteen potenssiin liittyviä teoreemoja. Itse nimityskin, , on häneltä peräisin.