Borel-joukko

Borel-joukot muodostavat matematiikassa laajan kokoelman joukkoja, joihin kuuluu mm. avoimet, suljetut, kompaktit, formula_1- ja formula_2-joukot. Borel-joukkoja käytetään paljon erityisesti mittateoriassa helpon lähestyttävyyden vuoksi. Esimerkiksi avaruudessa formula_3 Borel-joukot muodostavat hyvin laajan Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelman.
Määritelmä.
Olkoon formula_4 topologinen avaruus. Kutsumme kokoelmaa
formula_5
joukon formula_6 Borelin perheeksi. Tämän perheen alkioita kutsutaan Borel-joukoiksi. Borelin perhe on siis määritelmänsä mukaan suppein niistä joukon formula_6 sigma-algebroista, jotka sisältävät formula_6:n avoimet joukot eli topologian formula_9. Erityisesti Borelin perhe on formula_6:n topologian virittämä sigma-algebra formula_11. 
Esimerkkejä.
Reaalilukujen joukon formula_12 osajoukoista Borelin joukkoja ovat muun muassa:
Itse asiassa ei olekaan helppo muodostaa esimerkkiä formula_12:n osajoukosta, joka ei ole Borelin joukko. Kuitenkin Borelin joukot muodostavat vain pienen osan formula_12:n kaikista osajoukoista. Kaikkien Borelin joukkojen joukon mahtavuus nimittäin on sama kuin formula_12:n (kontinuumin mahtavuus), kun taas formula_12:n kaikkien osajoukkojen joukon mahtavuus on aidosti suurempi.
formula_12:n Borelin joukoilla on keskeinen merkitys muun muassa toden­näköisyys­laskennassa. Toden­näköisyys­kentissä, joiden perusjoukkona on formula_12, on todennäköisyys määriteltävissä vain niille formula_12:n osajoukoille, jotka ovat Borelin joukkoja.
Ominaisuuksia.
Voidaan osoittaa, että jokainen avaruuden formula_26 avoin joukko on Lebesgue-mitallinen. Tästä seuraa, että jokainen formula_26:n Borel-joukko on Lebesgue-mitallinen eli
formula_28
Nimittäin mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran formula_29 ja Borelin perhe formula_30 on saatu leikkaamalla kaikki ne sigma-algebrat, jotka sisältävät avoimet joukot.
Koska Borelin perhe on sigma-algebra, joka sisältää kaikki avoimet joukot, niin se sisältää myös kaikki suljetut joukot. Lisäksi sigma-algebran ominaisuuksista näemme, että Borelin perhe sisältää myös kaikki numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset avoimista ja suljetuista joukoista. Tästä seuraa, että leikkaamalla, yhdistämällä ja komplementoimalla saadaan lukemattomia erilaisia joukkoja. Siksi on itse asiassa vaikea konstruoida joukkoa, joka ei ole Borel. Ei-Borel-joukkoja on kuitenkin olemassa. Tällainen saadaan muun muassa seuraavalla esimerkillä, jonka vaiheiden perustelut löytyvät tarkemmin lähteestä: 
Olkoon formula_31 ja formula_32 (yleisiä) Cantorin joukkoja formula_12:ssä. Oletetaan, että esimerkiksi formula_31 positiivimittainen ja formula_32 on nollamittainen. Tällöin Lebesguen ulkomitan ominaisuuksista seuraa, että formula_32 sisältää ei-Lebesgue-mitallisen joukon formula_37. Koska Cantorin joukot ovat keskenään homeomorfisia, niin on olemassa homeomorfismi formula_38. Tästä seuraa, että joukko formula_39 ei itse asiassa ole Borel-joukko. Nimittäin jos se olisi Borel, niin olisi funktion "f" jatkuvuuden nojalla joukko formula_40 Borel (homeomorfismit ovat erityisesti jatkuvia, joten ne ovat Borel-kuvauksia). Toisaalta funktion "f" bijektiivisyyden nojalla formula_41, joten joukko "A" olisi tällöin Borel. Tämä on mahdotonta, sillä oletimme, että "A" ei ole Lebesgue-mitallinen joukko ja siis ei erityisesti Borel-joukkokaan. Toisaalta voidaan osoittaa, että se taasen on mm. Lebesgue-mitallinen, mikä osoittaa sen, että Borelin perhe formula_42 on aito osajoukko Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelmasta formula_43.
Borel-mitat ja Borel-ulkomitat.
Ulkomitan Borel-säännöllisyys tuo esille Borel-joukkojen kätevyyden mittateoriassa. On mahdollista, että esimerkiksi todistaessa jollekin patologiselle joukolle jotain sen mitan avulla voi olla suoraan vaikeaa, sillä mitta on vaikeasti laskettavissa, mutta käyttämällä sitä Borel-joukkoa, joka peittää tämän joukon ja on samanmittainen, niin tilanne voi helpottua huomattavasti. Esimerkiksi joukon mitallisuus voidaan Borel-säännöllisen ulkomitan tapauksessa todistaa pelkästään Borel-joukkoja hyväksikäyttäen.
Borel-ulkomitat voidaan karakterisoida toisella tavalla metrisissä avaruuksissa. Jos siis edellä mainittu topologia formula_9 metristyvä, ts. on olemassa jokin joukon formula_54 metriikka formula_55 siten, että formula_56, niin jokainen tämän topologian ulkomitta formula_47 on Borel jos ja vain jos ehdosta
formula_58
seuraa ominaisuus
formula_59
kaikilla formula_60.
Borel-funktiot.
Olkoon formula_4 topologinen avaruus ja joukko formula_50. Kutsumme funktiota formula_63 Borel-funktioksi jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon alkukuva kuvauksessa "f" on Borel-joukko. 
Tämä määritelmä voidaan myös lausua muodossa: joukko formula_64 on Borel-joukko ja joukko
formula_65
on Borel-joukko kaikilla formula_66. Borel-funktioita kutsutaan joskus kirjallisuudessa "Bairen funktioiksi".
Voidaan osoittaa, että jokainen jatkuva kuvaus on Borel-kuvaus. Lisäksi jokaisessa Borel-kuvauksessa jokaisen Borel-joukon alkukuva on Borel.
Lisäksi jos annettu topologia formula_9 on metristyvä, niin voidaan osoittaa, että jokainen tämän topologian Borel-funktio on mitallinen jokaisen Borel-mitan suhteen.