Relativistinen dispersiorelaatio

Relativistinen dispersiorelaatio on yhtälö, joka antaa yhteyden massallisen hiukkasen relativistisen liike-energian, massan ja liikemäärän välille. Se voidaan kirjoittaa muotoon
formula_1 (1),
missä "E" on hiukkasen kokonaisenergia, formula_2 on sen massa (eli lepomassa), "p" on liikemäärä ja "c" on valonnopeus. Niiden kappaleiden osalta, joilla ei ole liikemäärää, yhtälö yksinkertaistuu massa-energiayhtälöksi formula_3, jossa kokonaisenergia on yhtä suuri kuin lepoenergia.
Diracin merimalli, jota käytettiin ennustamaan antimaterian olemassaolo, liittyy läheisesti energian ja liikemäärän väliseen yhteyteen.
Yhteys kaavaan formula_4.
Energian ja liikemäärän yhteys liittyy läheisesti massan ja energian väliseen tunnettuun yhteyteen (E=mc²) molemmissa tulkinnoissaan: formula_5 verannollistaa kokonaisenergian E, relativistiseen massaan m, kun taas formula_6 verrannollistaa lepoenergian formula_7 lepomassaan formula_8.
Toisin kuin kumpikaan näistä yhtälöistä, energia-liikemäärän yhtälö (1) verrannollistaa kokonaisenergian lepomassaan formula_9. Kaikki kolme yhtälöä pitävät paikkansa samanaikaisesti.
Erikoistapaukset.
Yleistetympi suhdemuoto yhtälöstä (1) pätee yleiseen suhteellisuusteoriaan .
Lepomassa on muuttumaton kaikille inertiaalikoordinaatistoille, ei vain inertiaalikehyksissä tasaisessa avaruudessa, vaan myös kiihdytetyissä kehyksissä, jotka kulkevat kaarevan aika-avaruuden läpi (katso alla). Hiukkasen E ja sen relativistinen liikemäärä p ovat kuitenkin kehyksestä riippuvaisia; kahden kehyksen välinen suhteellinen liike saa näissä kehyksissä olevat havaitsijat mittaamaan hiukkasen energian ja liikemäärän eri arvoina; yksi kehys mittaa E ja p, kun taas toinen kehys mittaa E ′ ja p ′, missä E ′ ≠ E ja p ′ ≠ p, ellei tarkkailijoiden välillä ole suhteellista liikettä, jolloin kukin tarkkailija mittaa saman energian ja momentin. Vaikka meillä on edelleen, tasaisessa avaruudessa:
 formula_14
Suuruudet E, p, E ', p ′ ovat kaikki yhteydessä toisiinsa Lorentz-muunnoksilla. Suhteen avulla voidaan sivuuttaa Lorentz-muunnokset, kun määritetään vain energian ja momenttien suuruudet tasaamalla eri kehysten suhteet. Jälleen tasaisella avaruudella tämä tarkoittaa:
 formula_15
Koska formula_8 ei muutu kehyksestä kehykseen, energian ja liikemäärän suhdetta käytetään relativistisessa mekaniikassa ja hiukkasfysiikan laskelmissa, koska energia ja liikemäärä annetaan hiukkasen lepokehyksessä (eli E ′ ja p ′ tarkkailijana, joka liikkuu hiukkasen kanssa päätyisi olevan) ja mitattu laboratorion kehyksessä (ns. E ja p kuten hiukkasten fyysikot laboratoriossa määrittelevät, eivätkä ne liiku hiukkasten mukana).
Relativistisessa kvanttimekaniikassa se on perusta relativististen aaltoyhtälöiden rakentamiselle, koska jos hiukkasia kuvaava relativistinen aaltoyhtälö on yhdenmukainen tämän yhtälön kanssa - se on yhdenmukainen relativistisen mekaniikan kanssa ja on Lorentzin invariantti . Relativistisessa kvanttikenttäteoriassa sitä voidaan soveltaa kaikkiin hiukkasiin ja kenttiin.
Yhtälön alkuperä ja johtaminen.
Energian ja liikemäärän välisen yhteyden esitti ensimmäisenä Paul Dirac vuonna 1928 muodossa formula_17, jossa V on potentiaalienergian määrä.
Yhtälö voidaan johtaa monin tavoin, joista kaksi yksinkertaisinta ovat:
Heuristinen lähestymistapa massiivisille hiukkasille.
Massiiviselle esineelle, joka liikkuu kolmella nopeudella u = ( u x, u y, u z ) suuruudella | u | = u laboratorion kehyksessä:
 formula_18
on laboratorion kehyksessä olevan liikkuvan kohteen kokonaisenergia,
 formula_19
on laboratorion kehyksessä olevan kohteen kolmiulotteinen relativistinen momentti suuruudella | p | = s . Relativistinen energia E ja liikemäärä p sisältävät Lorentz-tekijän, jonka määrittelee:
 formula_20
Jotkut kirjoittajat käyttävät relativistista massaa, jonka määrittelee:
 formula_21
vaikka lepomassalla formula_9 on perustavanlaatuisempi merkitys, ja sitä käytetään tässä artikkelissa ensisijaisesti relativistisen massan "m" yli.
Kolmiliikemäärän neliö antaa:
 formula_23
ratkaisemalla sitten formula_24 ja korvaamalla osaksi Lorentz tekijän saa sen vaihtoehtoisen muodon suhteen kolmiliikemäärän ja massan, pikemminkin kuin kolminopeuden:
 formula_25
Lisätään tämä Lorentz-tekijän muoto energiayhtälöön:
 formula_26
Uudelleen järjestelyn jälkeen saamme kaavan (1). Lorentz-tekijän eliminointi eliminoi myös hiukkasen implisiittisen nopeusriippuvuuden kohdassa sekä kaikki päätelmät massiivisen hiukkasen "relativistisesta massasta". Tämä lähestymistapa ei ole yleinen, koska massattomia hiukkasia ei oteta huomioon. Naiivisti asettamalla formula_27 tarkoitettaisiin, että E = 0 ja p = 0 eikä energian ja liikemäärän yhteyttä voida johtaa, mikä ei ole oikein.
Nelimomentin normi.
Erityinen suhteellisuusteoria.
Minkowskin avaruudessa energia (jaettuna c:llä ) ja liikemäärä ovat Minkowski -nelivektorin kaksi komponenttia, nimittäin nelimomenttinen;
 formula_28
(nämä ovat sopivia komponentteja).
Tämän vektorin Minkowskin sisäinen ⟨, ⟩ antaa itselleen tämän vektorin normin neliön, se on verrannollinen kappaleen lepomassan m neliöön:
 formula_29
Lorentzin muuttumaton määrä ja siten riippumaton viitekehyksestä . Käyttämällä Minkowskin metristä η metrisellä allekirjoituksella (− + + +) sisempi tuote on
 formula_30
ja
 formula_31
niin
 formula_32
Yleinen suhteellisuusteoria.
Yleisessä suhteellisuusteoriassa neliliikemäärä on nelivektori, joka on määritelty paikallisessa koordinaattikehyksessä, vaikka määritelmän mukaan sisäinen tulo on samanlainen kuin erityisrelatiivisuuden,
 formula_33
jossa Minkowskin metriikka η korvataan metrisellä tensorikentällä g :
 formula_34
ratkaistu Einstein-kenttäyhtälöistä . Sitten:
 formula_35
Indeksien yhteenlaskujen suorittaminen, jota seuraa keräämällä "aikamaiset", "avaruusaikaiset" ja "avaruuden kaltaiset" termit, antaa:
 formula_36
missä kerroin 2 syntyy, koska metriikka on symmetrinen tensori, ja käytetään latinalaisen indeksin i, j käytäntöä i ottaa avaruuden kaltaiset arvot 1, 2, 3. Koska metriikan jokaisella komponentilla on tilaa ja aikaa koskeva riippuvuus yleensä; tämä on huomattavasti monimutkaisempi kuin alussa mainittu kaava, katso lisätietoja metrisestä tensorista (yleinen suhteellisuusteoria) .
Energian, massan ja vauhdin yksiköt.
Luonnollisissa yksiköissä, joissa c = 1, energian ja liikemäärän yhtälö pienenee arvoon
 formula_37
Hiukkasfysiikassa energia annetaan tyypillisesti elektronivolttiyksiköinä (eV), liikemäärä yksikkönä eV · c −1 ja massa yksikkönä eV · c −2. Sähkömagnetismissa ja relativistisen muuttumattomuuden vuoksi on hyödyllistä, että sähkökenttä E ja magneettikenttä B ovat samassa yksikössä ( Gauss ) käyttäen yksiköiden cgs (Gauss) -järjestelmää, jossa energia annetaan erg- yksikköinä, massa grammoina (g) ja liikemäärä grammoina g · cm · s −1 .
Energia voidaan teoriassa ilmaista myös grammoina, vaikka käytännössä se vaatii suuren määrän energiaa vastaamaan tämän alueen massaa. Esimerkiksi ensimmäinen atomipommi vapautti noin yhden gramman lämpöä, ja suurimmat vetypommit ovat tuottaneet vähintään kilon lämpöä. vetypommien energiat annetaan yleensä kymmeninä kilotonneina ja megatonneina viitaten energiaan, joka vapautuu räjäyttämällä kyseinen määrä trinitrotolueenia (TNT).
Erikoistapaukset.
Momentin keskikehys (yksi hiukkanen).
Rungon lepokehyksessä vauhti on nolla, joten yhtälö yksinkertaistuu
 formula_38
missä formula_8 on kappaleen lepomassa.
Massattomat hiukkaset.
Jos kohde on massaton, kuten fotonin tapauksessa, yhtälö pienenee arvoon
 formula_40
Tämä on hyödyllinen supistus. Se voidaan kirjoittaa toisella tavalla de Broglie -suhteiden avulla :
 formula_41
jos aallonpituus λ tai aallonumero k annetaan.
Vastaavuuden periaate.
Massallisten hiukkasten suhteen kirjoittaminen uudelleen:
 formula_42
ja laajenee potenssisarjan jonka binomisen lause (tai Taylorin sarja ):
 formula_43
siinä raja-arvossa, että u ≪ c, meillä on γ ( u ) ≈ 1, joten liikemäärällä on klassinen muoto p ≈ m 0 u, sitten ensimmäiseen järjestykseen ( p / m 0 c ) 2&lt;/br&gt; (ts. säilytä termi ( p / m 0 c ) 2 n&lt;/br&gt; n = 1 ja laiminlyödä kaikki ehdot n ≥ 2) olemme
 formula_44
jossa toinen termi on klassinen kineettinen energia, ja ensimmäinen on hiukkasen lepomassa . Tämä likiarvo ei päde massattomiin hiukkasiin, koska laajentuminen vaati momentin jakamista massalla. Klassisessa mekaniikassa ei muuten ole massattomia hiukkasia.
 formula_45
missä formula_46 on koko järjestelmän muuttumaton massa eikä ole yhtä suuri kuin hiukkasten lepomassojen summa, elleivät kaikki hiukkaset ole levossa (ks. massa erityissuhteellisuusteollisuudessa ). Korvaaminen ja uudelleenjärjestäminen antaa ( 1 ): n yleistämisen;
Monihiukkasjärjestelmät.
Neljän momentin lisääminen.
Kun on paljon hiukkasia, joilla on relativistinen momentti p n ja energia En, missä n = 1, 2, ... (hiukkasten kokonaismäärään saakka) yksinkertaisesti merkitsee hiukkaset tietyssä kehyksessä mitattuna, neljä tämän kehyksen momentti voidaan lisätä;
 formula_47
ja ota sitten normi; saadaan suhde monille hiukkasjärjestelmille:
 formula_48
missä M 0 on koko järjestelmän muuttumaton massa eikä ole yhtä suuri kuin hiukkasten lepomassojen summa, elleivät kaikki hiukkaset ole levossa (ks. massa erityissuhteellisuusteollisuudessa ). Korvaaminen ja uudelleenjärjestäminen antaa ( 1 ): n yleistämisen;formula_49
Yhtälön energiat ja momentit ovat kaikki kehyksestä riippuvaisia, kun taas formula_50formula_46 on kehyksestä riippumaton.
Momentin keskikehys.
Momentin keskikehyksessä (COM-kehys) meillä on määritelmän mukaan:
 formula_52
( 2 ): n mukaan implisiittinen massa on myös momentin (COM) massa-energian keskipiste, lukuun ottamatta formula_53 -kerrointa:
 formula_54
ja tämä pätee "kaikkiin" kehyksiin, koska M 0 on kehyksistä riippumaton. formula_55 -energiat ovat COM-kehyksessä, "eivät" laboratorion kehyksessä.
Lepomassat ja muuttumaton massa.
Joko hiukkasten energiat tai momentit, mitattuna jossakin kehyksessä, voidaan eliminoida käyttämällä kunkin hiukkasen energiamomenttisuhdetta:
 formula_56
sallien formula_50 : n ilmaisemisen energioina ja lepomassaina tai momentina ja lepomassaina. Tiettyyn kehykseen summien neliöt voidaan kirjoittaa uudelleen neliöiden (ja tuotteiden) summina:
 formula_58
 formula_59
joten summat korvaamalla voimme esittää niiden lepomassat mn ( 2 ):
 formula_60
Energiat voidaan poistaa seuraavasti:
 formula_61
samoin momentti voidaan eliminoida:
 formula_62
missä formula_63 on momenttivektorien formula_64 ja formula_65 välinen kulma.
Uudelleenjärjestettynä:
 formula_66
Koska järjestelmän muuttumaton massa ja kunkin hiukkasen lepomassat ovat kehyksestä riippumattomia, myös oikeanpuolinen on invariantti (vaikka kaikki energiat ja momentit mitataan tietyssä kehyksessä).
Aineen aaltoja.
Käyttämällä de Broglie-suhteita energiaan ja liikemäärään aineen aaltoihin ,
 formula_67
missä ω on kulmataajuus ja k on aallonvektori suuruudella | k | = k, yhtä suuri kuin aaltoluku, energian ja liikemäärän suhde voidaan ilmaista aaltomäärinä:
 formula_68
ja siistiminen jakamalla formula_69 :lla koko yhtälö
 formula_70
Tämä voidaan johtaa myös neliaaltovektorin suuruudesta
 formula_71
samalla tavalla kuin yllä oleva neljän momentti.
Koska pienennetty Planckin vakio ħ ja valon nopeus c molemmat näkyvät ja sekoittavat tämän yhtälön, luonnolliset yksiköt ovat erityisen hyödyllisiä. Normalisoimalla ne siten, että ħ = c = 1, meillä on:
 formula_72
Takyoni ja eksoottiset aineet.
Bradyonin nopeus suhteellisen energian ja liikemäärän suhteen kanssa
 formula_73
ei voi koskaan ylittää arvoa c . Päinvastoin, se on aina suurempi kuin c tachyonille, jonka energian ja liikemäärän yhtälö on 
 formula_74
Sitä vastoin hypoteettisella eksoottisella aineella on negatiivinen massa ja energian ja liikemäärän yhtälö on
 formula_75