Osittaisderivaatta

Osittaisderivaatta on matematiikassa usean muuttujan funktion derivaatta yhden muuttujansa suhteen annetulla muuttujan arvolla. Osittaisderivaatalla voidaan tutkia, mikä vaikutus yhden muuttujan muutoksella on funktion arvoon varioitavan muuttujan arvon ympäristössä. Sillä on sovelluksia tieteen, tekniikan ja talousteorian aloilla.
Johdanto.
Merkitseminen.
Yksinkertaisuuden vuoksi merkitään usean muuttujan funktiota formula_1, jolloin muuttujan "x" suhteen otettua osittaisderivaatta merkitään esimerkiksi
formula_2 
Osittaisderivoinnin symboli on formula_3 ja se esiintyy ensimmäisen kerran vuonna 1770 Nicolas de Condorcet'n kirjoituksissa, missä hän käytti osittaisderivaattaa. Nykymuodossaan olevia osittaisderivaatan merkintöjä käytti ensimmäisenä Adrien-Marie Legendre vuonna 1786. Hän hylkäsi ne myöhemmin, mutta Carl Gustav Jacob Jacobi otti sen uudelleen käyttöönsä vuonna 1841.
Esimerkki.
Funktion formula_4 kuvaajaa (x,y,z)- koordinaatistossa (kuva vieressä) esittää yhtälö 
formula_5
Kuvaaja esittää kaksiulotteista pintaa kolmiulotteisessa tilassa ja pinnan jokaiseen pisteeseen voidaan asettaa tangenttisuoria äärettömän moneen suuntaan. Tangentit osoittavat pinnan jyrkkyyden eri suunnissa. Kun määritetään pinnan jyrkkyys x-akselin suunnassa, käytetään siihen tangenttia, joka on yhdensuuntainen xz-tason kanssa. Pinnan jyrkkyys x-akselin suunnassa saadaan selville osittaisderivaatalla muuttujan x suhteen
 formula_6
Jyrkkyys riippuu luonnollisesti vielä paikasta (x,y). Valitaan xy-tason pisteeksi (1,1) ja lasketaan osittaisderivaatta siinä kohdassa
 formula_7
Tangentti sivuaa pintaa formula_8 pisteessä, jossa z-koordinaatti on
formula_9
eli koordinaattipisteessä (1,1,3). Näin on saatu viereisten kuvaajien mukainen tulos.
Määritelmä.
Merkitään usean muuttujan arvoja vektoreilla formula_10. Kun myös formula_11, on funktio formula_12 reaaliarvoinen usean muuttujan funktio. Tavallisen reaalifunktion derivaatan tapaan osittaisderivaatta on määritelty erotusosamäärän raja-arvona muuttujan formula_13 suhteen, kun muut muuttujat kohdellaan derivoinnin ajan vakioina.
Olkoon formula_14 pisteen formula_15 ympäristössä (avoin joukko), jossa funktio formula_16 on määritelty (ehkä lukunottamatta pisteessä formula_15). Funktion formula_18 osittaisderivaatta muuttujan formula_13 suhteen pisteessä formula_20 on määritelty seuraavasti erotusosamäärään raja-arvon avulla:
formula_21 
Raja-arvo määritetään tämän jälkeen normaalisti funktion raja-arvona. Osittaisderivaattaa, joka on saatu vain kerran derivoimalla, kutsutaan myös "ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaataksi".
Osittaisderivaattafunktiot.
Osittaisderivaattafunktio on usean muuttujan funktiolauseke, jolla voi laskea funktion osittaisderivaatan arvon halutussa pisteessä. Osittaisderivaattafunktio on vastaava käsite kuin derivaattafunktio, mutta siinä derivoidaan lauseke vain yhden muuttujan suhteen muiden muuttujien jäädessä vakion asemaan.
Esimerkki.
Geometriassa ympyräpohjaisen kartion tilavuus "V" riippuu sen korkeudesta "h" ja pohjan säteestä "r" seuraavasti:
formula_22
Se voidaan tulkita kahden muuttujan funktioksi formula_23, jonka osittaisderivaattafunktio muuttujan "r" suhteen on
formula_24.
Tämä kuvaa kartion tilavuuden muutosta pohjan säteen muuttuessa ja korkeuden pysyessä vakiona.
Osittaisderivaattafunktio, kun derivoidaan muuttujan "h":n suhteen on 
formula_25
joka puolestaan kuvaa kartion tilavuuden muutosta korkeuden muuttuessa ja pohjan säteen pysyessä vakiona.
Useamman kertaluvun osittaisderivaatat.
Kertaluvulla ilmaistaan osittaisderivointien lukumäärää. Kolmannen kertaluvun osittaisderivaatta saadaan osittaisderivoimalla funktio yhden muuttujan suhteen ja tämä derivaatta osittaisderivoidaan jonkun muuttujan suhteen ja tämä toiseen kertaan osittaisderivoitu lauseke osittaisderivoidaan kolmannen kerran yhden muuttujansa suhteen. Valitut muuttujat eivät vaikuta kertalukuun.
Toisen kertaluvun osittaisderivaatat.
"Toisen kertaluvun osittaisderivaatta" voidaan määritellä luonnollisella tavalla derivoimalla useamman muuttujan funktio kahdesti joko saman muuttujan suhteen tai kahden eri muuttujan suhteen. Seuraavassa on muutama esimerkki derivoinnin järjestämiseksi ja osittaisderivaattojen merkitsemisistä. Jos usean muuttujan funktiota merkitään formula_26 (eli formula_27), niin siitä voidaan muodostaa seuraavanlaiset toisen kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien "x" ja "y" suhteen:
formula_28
formula_29
formula_30
formula_31
Merkinnät formula_32 tarkoittavat, että ensin funktio derivoidaan muuttujan "x" suhteen ja derivoitu funktio derivoidaan sitten muuttujan "y" suhteen. Useimmiten osittaisderivaatat formula_33 ovat identtiset, mutta esimerkiksi epäjatkuvuudet voivat rikkoa symmetrisyyden.
Yleinen merkintätapa.
Kun derivoidaan useasti ja eri muuttujien suhteen, syntyy erilaisia osittaisderivaattoja. Esimerkiksi
formula_34
on viidennen kertaluvun osittaisderivaatta. Jos derivointijärjestyksellä ei ole tällä kertaa merkitystä, voidaan esitys yksinkertaistaa
formula_35