Oktaedrinen symmetria

Oktaedrinen symmetria on sellaisen kolmiulotteisen kappaleen symmetria, joka säännöllisen oktaedrin tavoin voidaan kuvata itselleen isometrisesti 48 tavalla, joista 24 on orientaation säilyttäviä. Oktaedrin ohella myös kuutiolla on oktaedrinen symmetria, sillä se on oktaedrin duaalikappale.
Oktaedrisesti symmetrisen kappaleen orientaation säilyttävien symmetriaoperaatioiden ryhmä on "S"4, sama kuin neljän alkion permutaatioryhmä, sillä oktaedrin vastakkaiset sivut muodostavat neljä paria ja jokaista tällaista symmetriaoperaatiota vastaa yksi näiden parien permutaatio.
Ominaisuuksia.
Diskreeteistä pistesymmetrioista sekä myös pallopinnan symmetrioista kiraalinen ja täysi (eli akiraalinen) oktaedrinen symmetria 
Kiraalisella ja täydellä (eli akiraalisella) oktaedrisella symmetrialla on suurin symmetriaryhmä kaikista sellaista diskreetin pistejoukon symmetrioista ja samalla myös pallopinnan symmetrioista jotka ovat yhteensopivia siirtosymmetrian kanssa. Ne kuuluvat kuutiollisen kidejärjestelmän kristallografisiin pisteryhmiin.
Täysi oktaedrinen ryhmä on kolmiulotteinen hyperoktaedraalinen ryhmä. Sellaisena se on samalla yhteenpunottu tulo (wreath product) formula_1,&lt;br&gt;, ja sen alkiot voidaan luonnollisella tavalla määritellä pareina formula_2, missä formula_3 ja formula_4.&lt;br&gt;Lisäksi se on samalla suora summa formula_5, ja sen tetraedrisen aliryhmän "Td" alkiot voidaan yksinkertaisesti samastaa lukujen formula_6 kanssa ja niiden inversiot esittää luvuilla formula_7.
Niinpä esimerkiksi identtinen kuvaus formula_8 voidaan esittää muodossa formula_9 ja inversio formula_10 muodossa formula_11.&lt;br&gt; Alkiota formula_12 esittää luku formula_13 ja alkiota formula_14 merkintä formula_15.
Rotaation ja peilauksen yhdistettyä kuvausta sanotaan "rotorefleksioksi".
Kiraalinen oktaedrinen symmetria.
O, 432 eli [4,3]+, kertaluokkaa 24, on kiraalinen oktaedrinen symmetria eli rotationaalinen oktaedrinen symmetria. Tämä ryhmä on muutoinen tetraedrisen symmetrian "T" kaltainen, mutta C2-akselit ovat nyt C4-akseleita ja lisäksi on kuusi C2-akselia, jotka kulkevat kuution särmien keskipisteiden kautta. "Td" ja "O" ovat isomorfisia abstrakteja ryhmiä: molemmat vastaavat ryhmää "S"4, neljän kohteen symmetriaryhmää. "Td" on "T":n ja sen joukon unioni, joka saadaan yhdistämällä jokainen "O" \ "T":n alkio inversiolla. "O" on kuution ja säännöllisen oktaedrin rotaatioryhmä.
Täysi oktaedrinen symmetria.
Täyden eli akiraalisen oktaedrisen symmetrian symmetriaryhmälle käytetään merkintöjä Oh, *432, [4,3] tai m3m, ja se on kertalukua 48. Sillä on samat rotaatioakselit kuin "O":lla, mutta lisäksi symmetriatasot, niiden joukossa sekä "T""d":n että "T""h":n kanssa. Tämä ryhmä on isomorfinen "S"4."C"2:n kanssa, ja se on kuution ja oktaedrin symmetriaryhmä. Se on hyperoktaedrinen ryhmä, kun "n"=3.
Symmetria-akseleista kolme on kohtisuorassa toisiaan vastaan, ja ne voidaan valita koordinaattiakseleiksi.. Tällöin "O""h":n erään perusalueen määrittää epäyhtälöryhmä 0 &lt; "x" &lt; "y" &lt; "z". Kappaleen, jolla on tämä symmetria, määrittää se osa kappaleesta, joka on tässä perusalueessa, esimerkiksi kuution määrittää yhtälö "z" = 1 ja oktaedrin yhtälö "x" + "y" + "z" = 1 (tai vastaavat epäyhtälöt, jolloin saadaan koko kappale eikä vain sen rajapintaa.) Yhtälö "ax" + "by" + "cz" + 1 määrittää 48-sivuisen monitahokkaan, disdyakis-dodekaedrin.
Tahkot voidaan yhdistää laajemmiksi tahkoiksi yhtälöillä "a" + "b" = 0 (kuutio) ja a = b = c (oktaedri).
Täyden oktaedrisen symmetrian 9 symmetria-akselia voidaan jakaa kahteen aliryhmään, joista toisessa niitä on kolme, toisessa kuusi. Ne vastaavat kahta ortogonaalista alisymmetriaa: diedristä symmetriaa D2h ja tetraedrista symmetriaa T4. 
Rotaatiomatriisit.
Oktaedrisen symmetrian rotaatiomatriisit voidaan muodostaa lähtemällä kaikkien 3x3-permutaatiomatriisien joukosta. Tällaisia matriiseja on kolme, ja niistä kussakin luku 1 esiintyy kolme kertaa. Varustetaan nämä ykköset joko etumerkillä + tai -. Tällä tavoin saadaan kaikkiaan 48 matriisia, jotka yhdessä muodostavat täyden oktaedrisen ryhmän. Niistä 24:lla on determinantin arvona +1 ja toisilla 24:llä -1. Näistä edelliset ovat kiraalisen oktaedrisen ryhmän rotaatiomatriiseja, jälkimmäiset 24 taas vastaavat peilauksia ja inversioita.
Oktaedrinen symmetria saadaan myös lähtemällä kolmesta generaattorimatriisista, jotka kuvaavat peilauksia ja vastaavat kolmea peiliä Coxeterin-Dynkinin diagrammissa. Näiden heijastusten tuloina saadaan kolme rotationaalista generaattoria.
Kuution isometriat.
Kuutiolla on 48 isometriaa eli symmetria-alkiota, joiden muodostama symmetriaryhmä "O""h" on isomorfinen ryhmän "S"4 × "C"2 kanssa. Ne voidaan luokitella seuraavasti:
Kaikki edellä mainitut (yhteensä 24 kpl) voidaan konkreettisesti toteuttaa kääntämällä kuutio toiseen asentoon. Lisäksi kuutiolla on vielä toiset 24 inversiota, jotka saadaan yhdistämällä jokin edellisistä inversion eli kuution keskipisteen suhteen suoritettavan peilauksen kanssa (jossa piste x kuvautuu pisteeseen −x; toiset 24 isometriaa). On huomattava, että 180°:n rotaatio akselin ympäri yhdistettynä inversion kanssa johtaa samaan tulokseen kuin peilaus tätä akselia vastaan kohtisuoran tason suhteen. Inversion sekä avaruuslävistäjän ympäri suoritetun 120°:n rotaation yhdistetty kuvaus taas on sama kuin sama kuin avaruuslävistäjän ympäri suoritettu 60°:n rotaatio yhdistettynä kohtisuoran tason suhteen suoritetun peilauksen kanssa. Tällainen rotaatio sinänsä ei kuvaa kuutiota itselleen, vaan peilaustason ja kuution leikkauspintana saadaan säännöllinen kuusikulmio.
Kuution isometriat voidaan yksilöidä useilla eri tavoilla:
Jos kuution tahkot on väritetty eri värein tai jos sen tahkoille on tehty erilaisia merkintöjä, kuten nopassa, kuution symmetriaryhmä on jokin "O"h":n aliryhmä.
Esimerkiksi:
Kuution symmetriaryhmällä on suurempiakin aliryhmiä, mutta pelkästään värittämällä kuution tahkot eri väreillä ei voida saada kappaleita, joiden symmetriaryhmiä ne ovat. Sen sijaan piirtämällä tahkoille erilaisia kuvioita voidaan saada kappaleita, joiden symmetriaryhmiä nekin ovat.
Esimerkiksi:
Kuution täysi symmetria, "Oh", [4,3], (*432), säilyy, jos ja vain jos kaikilla tahkoilla on sama kuvio siten, että niillä on täysi neliön symmetria, toisin sanoen diedrinen symmetria Dih4, [4], kertalukua 8.
Kuution täysi aitojen rotaatioiden muodostama symmetria, "O", [4,3]+, (432), säilyy vain, jos kaikilla tahkoilla on sama kuvio, jolla on nelinkertainen rotaatiosymmetria C4, [4]+.