Monisto

Matematiikassa monisto on topologinen avaruus, joka näyttää lokaalisti euklidiselta avaruudelta formula_1. Esimerkiksi käyrät ovat yksiulotteisia eli 1-monistoja, pinnat kaksiulotteisia eli 2-monistoja. Yksinkertaisia esimerkkejä monistoista ovat formula_1, yksikköpallo formula_3 ja erinäiset sileät pinnat. 
Monistot ovat kenties yksinkertaisimpia ja parhaiten tunnettuja käsitteitä geometriassa ja topologiassa. Niiden lokaali topologia on triviaali, mikä tekee niiden tutkimisesta yksinkertaisempaa. Toisaalta niiden globaali geometria voi olla hyvinkin monimutkainen. Fysiikassa ja matematiikassa monet luonnolliset objektit, kuten symmetriaryhmät ja aika-avaruus, mallinetaan monistoilla. Differentiaaligeometriassa monistoon liitetään differentioituva struktuuri, ja niin sitä voidaan tutkia analyysin menetelmin.
Historia.
Moniston käsite sai alkunsa käyrien ja pintojen teoriasta, kun matemaattisia määritelmiä täsmennettiin. Vanhoja geometrian lähteitä tarkasteltaessa on siis otettava huomioon, että esimerkiksi käsitteitä joukko-oppi, funktio, jatkuvuus ja topologia joko ei tunnettu tai ne oli määritelty epätäsmällisesti. Esimerkiksi Riemann, Gauss ja Poincaré määrittelivät monistot yhtälö­ryhmien ratkaisuina, jotka nykyisen terminologian mukaan ovat "alimonistoja". Tämä näkyy vanhoissa differentiaaligeometrian kirjoissa (esim. ). Klassiset monistot olivat usein polynomisten yhtälöiden ratkaisuja ja niin ollen niin kutsuttuja algebrallisia varistoja, joita tutkitaan algebrallisessa geometriassa. Vanhin lähde, jossa monisto on määritelty kutakuinkin nykyiseen tapaan, on Whiteheadin ja Veblenin kirjasta vuodelta 1936 . Myöhemmin Whitney osoitti, että monet aikaisemmat määritelmät olivat ekvivalentteja Whiteheadin ja Veblenin määritelmän kanssa. Historian aikana syntyneistä epätäsmällisyyksistä seurasi, että useita vanhoja lauseita on jouduttu todistamaan uudelleen ja tarkentamaan niissä esiintyviä oletuksia.
Määritelmä.
Riippuen siitä paljonko struktuuria monistolta oletetaan, saadaan eri luokkia monistoista, joilla kullakin on oma teoriansa.
Topologinen monisto.
Sanomme, että topologinen avaruus on topologinen n-monisto, jos
Lokaali homeomorfisuus avaruuden formula_1 kanssa tarkoittaa sitä, että jokaisella n-moniston pisteellä on jokin ympäristö, joka on homeomorfinen avaruuden formula_1 kanssa. Koska itse avaruus formula_1 on homeomorfinen minkä tahansa avaruuden formula_1 avoimen pallon kanssa, voidaan ehto 3. korvata yhtäpitävällä ehdolla: avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden formula_1 avoimen pallon kanssa.
Toinen ekvivalentti tapa määritellä topologinen monisto juontaa Whiteheadilta ja Vebleniltä . Oletetaan että formula_10 on joukko. Määritellään joukon formula_10 topologisen moniston struktuuriksi laskennallinen joukko formula_12:n alijoukkoja formula_13, missä formula_14, ja bijektiivisiä kuvauksia formula_15, jotka toteuttavat seuraavat kolme aksioomaa. 
Sanomme, että funktiot formula_23 ovat koordinaatti­funktioita, ja että joukot formula_13 muodostavat kartaston. Kuvauksia formula_25 sanomme koordinaattimuunnoksiksi. Kuvaukset formula_23 indusoivat formula_10:lle topologian, joka on numeroituva Hausdorffin avaruus . Kokonaislukua formula_28 edellisessä määritelmässä kutsutaan moniston ulottuvuudeksi, ja se on yksinkertaisin topologinen invariantti monistolle.
Tämä määritelmä yleistyy moniin muihin struktuureihin. Keskeistä on jatkuvien kuvausten formula_29 kokoelma, jossa formula_30 ovat avoimia. Jatkuvia kuvauksia voi yhdistää, jos niiden arvo- ja määrittelyjoukot ovat yhteensopivia. Näin saadaan n.k. semiryhmä. Ks. esimerkiksi . Koordinaattifunktiot ja kartastot eivät kuitenkaan ole yksikäsitteisiä; samalle monistolle voi antaa eri kokoelman kordinaattifunktioita. Jokainen kartasto indusoi topologian, ja jos kaksi kartastoa indusoi saman topologian, molemmat struktuurit ovat ekvivalentteja. Topologisia monistoja voidaan kutsua ekvivalentteiksi, jos ne ovat homeomorfisia topologisina avaruuksina.
Sileä ja differentioituva monisto.
Sanomme, että formula_10 on sileä monisto, jos sille on valittu kartasto formula_32 (ks. yllä), joille oletamme, että
Sanomme, että monisto on luokassa formula_34 tai formula_35, jos koordinaattimuunnokset kuuluvat kyseiseen luokkaan funktioina. Ensimmäisessä tapauksessa voimme myös sanoa, että monisto on k-kertaa derivoituva. 
Vaikka topologisille monistoille kartaston valinta ei aiheuttanut ongelmia, niin sileille ja differentioituville monistoille on asia toisin. Näin ollen, vaikkei niin usein eksplisiittisesti tehdä, on pidettävä mielessä että kullekin monistolle on valittu jokin kartasto. Määritelläksemme ekvivalentit sileät monistot tarvitsemme sileän kuvauksen käsitteen. Olkoon formula_36 sileitä monistoja, joille olemme valinneet kartastot formula_32 ja formula_38, vastaavasti. Määrittelemme, että jatkuva kuvaus formula_39 on sileä (tai esim. formula_34), jos 
Vastaavasti määrittelemme formula_34-kuvaukset ja kaikki muut vastaavat funktioluokat. Jos kuvaus formula_44 on bijektiivinen ja sen käänteiskuvaus formula_45 on myös sileä, niin sanomme että monistot ovat diffeomorfisia (eli tietyssä mielessä ekvivalentteja).
Mielenkiintoinen kysymys on, että voiko samalla topologisella monistolla olla eri sileitä kartastoja, jotka eivät ole keskenään diffeomorfisia. Vastaus on kyllä, minkä osoitti matemaattisen yhteisön suureksi yllätykseksi . Milnor konstruoi sileän moniston, joka on homeomorfinen 7-ulotteisen pallon kanssa, mutta joka ei ole diffeomorfinen sen kanssa. Myöhemmin on löydetty suuri määrä muita esimerkkejä. Tällaista tulosta ei pystytty edes kuvittelemaan ennen täsmällistä moniston määritelmää. Maininnan arvoista on, että tätä ongelmaa ei esiinny yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa, jolloin topologiselle monistolle voi antaa vain yhden sileän struktuurin, diffeomorfismia vaille. Tämä on seurausta uniformisaatioteoreemasta .
Riemannin pinta ja kompleksiset monistot.
Kuten edellä, sanomme, että sileä monisto formula_10 on kompleksinen monisto, jos sen ulottuvuus on parillinen (formula_47) ja lisäksi kartastot toteuttavat seuraavat ehdot:
Kokonaislukua formula_51 sanotaan moniston kompleksiseksi ulottuvuudeksi. Jos kompleksinen ulottuvuus on yksi, eli reaalinen ulottuvuus on kaksi, niin monistoa kutsutaan Riemannin pinnaksi.
Affiini varisto.
Algebrallisessa geometriassa on samanlainen määritelmä kuin yllä, missä koordinaattimuunnokset ovat rationaalisia kuvauksia ja koordinaattijoukko formula_1 korvataan jollakin varistolla formula_53. Tällöin ei käytetä yllä esitetyn kaltaista topologiaa, vaan nk. Zariskin topologiaa . 
Sileän moniston struktuureita.
Tässä osiossa tarkastelemme sileälle monistolle määriteltyjä struktuureita, joita tutkitaan syvällisemmin Riemannin geometriassa. Oletamme tässä aina, että formula_10 on sileä monisto jollain sileällä kartastolla. Tarvitsemme ensin tangenttiavaruuden käsitteen.
Tangenttiavaruus.
Olkoon formula_58 mielivaltainen piste. On olemassa jokin kartta formula_59, jolle formula_60. Lokaalisti tälle pisteelle määrittelemme tangenttivektorit formula_61. Kun tarkastelemme koordinaatteja formula_62, niin formula_63 "vastaa" suuntavektoria formula_63 jonka kanta on pisteessä formula_65. Voimme myös ajatella sitä suoran formula_66, missä formula_67, nopeusvektorina. Ongelma tosin on, että monistoilla kaiken pitäisi olla määritelty invariantisti. Mitä siis, jos ottaisimme toiset koordinaatit formula_68 samalle pisteelle. Tällöin sanomme, että vektorit formula_69 ja formula_63 ovat ekvivalentteja, jos
formula_71.
Tässä oikeanpuoleinen derivaatta on funktion formula_72 derivaatta lineaarisena kuvauksena. Näin kullekin moniston pisteelle on yksi ja vain yksi tangenttiavaruus, jota merkitään formula_73, joka on isomorfinen formula_1:n kanssa. Edellisestä määritelmästä on mahdollista määritellä sileä tangenttimonisto, joka sisältää kaikki tangenttiavaruudet formula_73 yhteen, ja sitä merkitään formula_76 . Tangenttiavaruus on esimerkki vektorikimpusta. Moniston karttakuvaukset indusoivat karttakuvaukset seuraavasti. Olkoon formula_77 kartasto monistolla formula_10. Sitten määrittele
formula_79
ja translaatiokuvaukset formula_80 on annettu koordinaateissa kaavalla
formula_81
Nyt jos määrittelemme topologisen avaruuden formula_82, missä samaistamme pisteet, jotka vastaavat toisiaan jollain translaatiokuvauksella. Tällöin inkluusiot formula_83 ovat karttakuvauksia, ja lukija voi tarkistaa vektorikimpun aksioomat.
Riemannin monisto.
Sileä monisto on Riemannin monisto, jos voimme määritellä sileän bilineaarisen positiivisesti definiitin tensorikentän, eli jokaisessa pisteessä on määritelty kuvaus 
formula_84,
joka toteuttaa seuraavat ehdot.
Riemannin monistoille voidaan määritellä etäisyysfunktio, ja siten niistä tulee metrisiä avaruuksia. Jos pudotamme oletuksen, että metriikka formula_85 on positiivisesti definiitti saamme semi-definiitit riemannin monistot. Näistä tärkeimmät ovat Lorenzin monistoja, jotka mallintavat yleisen suhteellisuusteorian aika-avaruutta, ja siten koko universumia. Tällöin metriikkaan liittyvä kaarevuus kuvaa painovoimaa Einsteinin yhtälöitten kautta.
Symplektinen monisto.
Symplektinen monisto on Riemannin monisto, jolle voidaan määritellä sileä kuvaus
formula_92,
joka toteuttaa seuraavat ehdot.
Tärkein esimerkki symplektisestä monistosta on mielivaltaisen sileän moniston tangenttiavaruus formula_76. Tämä on keskeisessä roolissa, kun ratkaistaan epälineaarisia ensimmäisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöitä nk. karakteristika-menetelmällä. Symplektiset monistot ovat keskeisessä asemassa Hamiltonisessa mekaniikassa. 
Melkein kompleksinen monisto.
Melkein kompleksinen monisto on sileä monisto, jolle voidaan määritellä sileä kuvaus 
formula_101,
joka toteuttaa seuraavat oletukset.
Jokainen kompleksinen monisto on melkein kompleksinen, mutta ei toisinpäin. Melkein kompleksit monistot ovat luonnollisia objekteja, jotka yleistävät kompleksista geometriaa. Lisäksi tensorin formula_106 avulla voidaan ilmaista analyyttiset ja anti-analyyttiset vektorikentät ja funktiot.