RLC-piiri

RLC-piiri (R, L ja C voivat olla nimessä myös eri järjestyksissä) on virtapiiri, jossa on vastus (R, resistanssi), käämi (L, induktanssi) ja kondensaattori (C, kapasitanssi). RLC-piireissä jännite ja sähkövirta riippuvat niiden taajuudesta. Tämän vuoksi niitä voidaan käyttää sähkötekniikassa ja elektroniikassa esimerkiksi värähtely- eli virityspiireissä ja suodattimissa.
RLC-piireihin liittyviä termejä.
Resonanssi.
RLC-piirit ovat pakotettuja harmonisia värähtelijöitä, eli niiden jännite ja sähkövirta värähtelevät samalla taajuudella kuin piiriin kytketyn sähkölähteen (esimerkiksi generaattori) taajuus. Kondensaattorin "vaihtovirtavastus", eli kapasitiivinen reaktanssi on kääntäen verrannollinen jännitteen tai virran muutoksen kulmataajuuteen formula_1
formula_2,
kun taas kelan vastaava suure, induktiivinen reaktanssi, on suoraan verrannollinen samaan kulmataajuuteen:
formula_3.
Näin ollen kondensaattori ja kela vastustavat vaihtovirran kulkua eri tavoilla eri kulmataajuuksilla: pienillä kulmataajuuksilla (jännite ja virta muuttuvat hitaasti) kondensaattori vastustaa virran kulkua paljon ja vastaavasti suurilla kulmataajuuksilla (jännite ja virta muuttuvat nopeasti) kela vastustaa virran kulkua paljon. Vastuksen resistanssi ei juurikaan riipu kulmataajuudesta, joten resistanssin vaikutus sähkövirran suuruuteen on taajuuden suhteen vakio. Piiristä riippuvalla tietyllä kulmataajuudella formula_4 piirin impedanssi siis saavuttaa maksimi- tai minimiarvonsa. Tätä kulmataajuutta vastaavaa taajuutta
formula_5
sanotaan ko. piirin resonanssitaajuudeksi. Sekä sarjaan- että rinnankytkettyjen RLC-piirien resonanssikulmataajuus on 
formula_6, 
missä
formula_7 on kelan induktanssi ja
formula_8 on kondensaattorin kapasitanssi.
Kaistanleveys.
Piirissä kuluva pätöteho riippuu sähkövirran suuruudesta, joka puolestaan riippuu sähkövirran taajuudesta. Piirin keskimääräinen pätöteho on
formula_9,
missä
formula_10 on vaihtojännitteen huippuarvo ja
formula_11 on piirin resistanssi.
Sarjaresonanssipiiri.
Sarjaresonanssipiirissä pätöteho on maksimissaan, kun piiri värähtelee resonanssissa. Resonanssitaajuudella formula_12, jolloin piirin pätöteho saavuttaa maksimiarvonsa. Tietyllä resonanssitaajuutta pienemmällä ja suuremmalla taajuudella piirin teho puolittuu resonanssitilanteesta. Ts. on olemassa kulmataajuusalue formula_13 siten, että
formula_14,
kun formula_15. Desibeliasteikolla tehon puolittuminen tarkoittaa sitä, että tehon muutos on −3 dB. Rajakulmataajuuksien erotusta sanotaan piirin kaistanleveydeksi:
formula_16.
Kaistanleveys voidaan laskea kulmataajuuksien sijaan myös taajuuksilla, sillä formula_17:
formula_18.
Toisinaan on tarpeen määritellä myös suhteellinen kaistanleveys, joka on kaistanleveyden ja resonanssitaajuuden tai -kulmataajuuden suhde:
formula_19 tai formula_20.
Hyvyysluku.
RLC-piirin hyvyysluku formula_21 kertoo piiriin varastoituneen energian ja yhden jakson aikana hyödyntämättömään muotoon (mm. lämmöksi) muuttuvan energian suhteesta. Hyvyysluku on piirin induktiivisen reaktanssin ja resistanssin suhde resonanssissa: 
formula_22. 
Hyvyysluku kertoo piirin käyttäytymisestä resonanssitaajuuden ympäristössä: mitä suurempi hyvyysluku on, sen kapeampi piirin taajuuskaista on. Kaistanleveyttä voidaan siis pienentää kasvattamalla piirin resistanssia. Pienillä taajuuksilla tämä on kuitenkin käytännössä mahdotonta, sillä rautasydämisenkin käämin induktanssi−resistanssi-suhde on luokkaa 0,05 |henryä per ohmi. Näin ollen käytännössä 
formula_23.
Hyvyysluku on piirin suhteellisen kaistanleveyden käänteisluku:
formula_24. 
Sarjaan kytketty RLC-piiri.
RLC-piiri voidaan toteuttaa esimerkiksi siten, että vastus, käämi ja kondensaattori on kytketty peräkkäin sarjaan. Tällöin Kirchhoffin virtalain mukaisesti kaikkien komponenttien läpi kulkee sama sähkövirta. Piirin aikariippuvuutta kuvaa tällöin differentiaaliyhtälö
formula_25,
missä
formula_26 on jännitteen hetkellinen arvo,
formula_27 on sähkövirran hetkellinen arvo ja
formula_28 on kondensaattorin hetkellinen sähkövaraus.
Tästä differentiaaliyhtälöstä voidaan ratkaista piirin hetkellinen sähkövirta ajan funktiona:
formula_29,
missä formula_10 on jännitteen huippuarvo ja
formula_31
on piirin sähkövirran ja jännitteen välinen vaihe-ero. Sarjaan kytketyn RLC-piirin impedanssi voidaan ilmoittaa joko kompleksilukuna
formula_32
tai itseisarvonsa avulla
formula_33.
Kun sähkövirran taajuus on sama kuin piirin resonanssitaajuus,
formula_34,
kutsutaan piiriä sarjaresonanssiksi. Resonanssissa käämin ja kondensaattorin jännitteet ovat yhtä suuret, mutta ne ovat vastakkaisissa vaiheissa, joten ne kumoavat toisensa. Näin ollen sarjaresonanssipiirin impedanssi koostuu puhtaasti resistanssista (formula_35) ja sähkövirta saavuttaa maksimiarvonsa:
formula_36.
Rinnan kytketty RLC-piiri.
Toinen verrattain yksinkertainen RLC-piiri on piiri, jossa vastus, käämi ja kondensaattori on kytketty vierekkäin eli rinnan (ks. kuva Kytkentä A) tai jossa pelkästään käämi ja kondensaattori ovat rinnan ja vastus näiden kanssa sarjassa (ks. kuva Kytkentä B). Resonanssitaajuudella näitä kumpaakin piiriä kutsutaan rinnakkaisresonanssiksi.
Vastus, käämi ja kondensaattori rinnan.
Kytkentää, jossa vastus, käämi ja kondensaattori ovat kaikki rinnan jännitelähteen kanssa, kutsutaan myös GLC-piiriksi, missä G tarkoittaa vastuksen konduktanssia
formula_37.
Rinnan kytketyn RLC-piirin impedanssille pätee
formula_38,
mutta sarjakytkennälle analogisten yhtälöiden saavuttamiseksi voidaan käyttää admittanssia ja konduktanssia:
formula_39.
Impedanssi itseisarvona on tällöin
formula_40.
Kun sähkövirran kulmataajuus on sama kuin piirin resonanssikulmataajuus
formula_6,
ovat käämin ja kondensaattorin läpi kulkevat sähkövirrat yhtä suuret, mutta vastakkaisissa vaiheissa. Tällöin rinnakkaisresonanssipiirin impedanssi koostuu puhtaasti resistanssista (formula_42) ja sähkövirta saavuttaa minimiarvonsa:
formula_43.
Käämi ja kondensaattori rinnan.
Kytkentä, jossa käämi ja kondensaattori ovat rinnan ja vastus näiden kanssa sarjassa jännitelähteen kanssa, on myös värähtelypiiri, jolla havaitaan resonanssi-ilmiö. Tämän kytkennän impedanssi on
formula_44.
Itseisarvona impedanssi on tällöin
formula_45.
Kun sähkövirran kulmataajuus on sama kuin piirin resonanssikulmataajuus
formula_6,
kasvaa impedanssi äärettömän suureksi (formula_47). Tällöin rinnakkaisresonanssipiirin sähkövirta saavuttaa minimiarvonsa, joka on nolla.
RLC-suodattimet.
Yleisesti RLC-piiriä sanotaan toisen kertaluvun suodattimeksi. 
Ohessa RLC-piiri kytkettynä erilaisiksi suodattimiksi
Kaistanpäästösuodatin.
Kaistanpäästösuodatin tai -suodin on elektroninen suodatin, jonka tehtävänä on päästää lävitseen tietyn taajuusalueen sähköiset signaalit ja heikentää tämän taajuusalueen ulkopuolisia signaaleja. Tämä voidaan toteuttaa esimerkiksi sarjaresonanssipiirillä, jonka komponentit valitaan siten, että piirin resonanssitaajuus on sama kuin haluttu suodatetun signaalin taajuus. Kun vaihtojännitteen taajuus sisääntulossa (in) on lähellä piirin resonanssitaajuutta, on piirin impedanssi pienimmillään. Muun taajuuden signaalit suodattuvat sitä tehokkaammin, mitä kauempana ne ovat resonanssitaajuudesta. Kaistanleveys on valittava siten, että päästettävä signaali mahtuu suodattimen taajuuskaistaan.
Kaistanestosuodin.
Kaistanestosuodatin tai -suodin on elektroninen suodatin, jonka tehtävänä on estää tietyn taajuusalueen sähköiset signaalit ja vahvistaa tämän taajuusalueen ulkopuolisia signaaleja. Tämä voidaan toteuttaa esimerkiksi rinnakkaisresonanssipiirillä, jonka komponentit valitaan siten, että piirin resonanssitaajuus on sama kuin haluttu estettävän signaalin taajuus. Kun vaihtojännitteen taajuus sisääntulossa (in) on lähellä piirin resonanssitaajuutta, on piirin impedanssi suurimmillaan. Muun taajuiset signaalit pääsevät läpi sitä tehokkaammin, mitä kauempana ne ovat resonanssitaajuudesta. Kaistanleveys on valittava siten, että estettävä signaali mahtuu suodattimen taajuuskaistaan.
Alipäästösuodin.
Alipäästösuodin vaimentaa signaalista rajataajuutta korkeammat taajuudet. Sen taajuusvaste kulmataajuuden funktiona on
formula_48,
mistä nähdään, että suodin on toista kertalukua. Piiri ei "resonanssitaajuudellakaan" korosta resonanssitaajuutta, jos "Q" &lt;= 1.