Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (5. elokuuta 1802 Finnøy, Norja – 6. huhtikuuta 1829 Froland, Norja) oli norjalainen matemaatikko. Hän todisti, ettei viidennen eikä sitä korkeamman asteen yhtälöitä voida ratkaista yleismuotoisina algebrallisesti (juurenottojen avulla). Hän keksi ja todisti niin sanotun Abelin yhteenlaskuväittämän. Elliptisten funktioiden teoria on melkein kokonaan hänen rakentamansa.
Saatuaan alkuopetuksensa Kristianian katedraalikoulussa Abel tuli vuonna 1821 ylioppilaaksi.Hän pääsi sittemmin vuosina 1825–1827 ulkomaanmatkalla tutustumaan aikansa tunnetuimpiin matemaatikkoihin. Vähän ennen kuolemaansa hänestä tuli Kristianian yliopiston dosentti. Hän oli elänyt lapsuutensa puutteessa, mutta ehti lyhyen elämänsä aikana kirjoittaa teoksia, joilla usealla matematiikan alalla on ollut perustava merkitys. Hän todisti, ettei viidennen asteen yhtälöä yleensä voida ratkaista juurenottojen avulla. Toinen tärkeä väittämä, jonka hän on lausunut ja todistanut, on niin sanottu Abelin yhteenlaskuväittämä, joka koskee algebrallisten funktioiden integraaleja ja josta sittemmin on kehittynyt Abelin integraalien teoria. Elliptisten funktioiden teoriaa voi pitää lähes kokonaan hänen luomanaan. Hän kuoli vähän vaille 27-vuotiaana 6. huhtikuuta 1829.
Abelin isä oli pappi Søren Georg Abel ja äiti kauppalaivurin tytär Anne Marie Simonsen. Isä sai papinviran Gjerstadin kylästä oman isänsä seuraajana. Niels Henrikin lapsuusvuodet osuivat keskelle vakavaa sodanuhkaa Napoleonin sotien aikoihin. Tanskaan kuulunutta Norjaa uhkasivat mereltä brittiläinen laivasto ja maalta Ruotsin armeija. Meriyhteyksien puute aiheutti maassa vakavan nälän­hädän. Pastori Abel torjui nälkää seurakunnassaan neuvomalla ihmisiä syömään aiemmin tabuna pidettyä hevosenlihaa. 
Vuonna 1814 suurvallat selvittelivät Euroopan tilannetta Napoleonin tappion jälkeen. Samaan aikaan Norjassa pidettiin Eidsvollin kansalliskokous, jossa maa sai oman perustus­lain ja parlamentin. Kuninkaan paikalle tuli kuitenkin erilaisten poliittisten operaatioiden jälkeen Ruotsin kuningas Kaarle XIV (Norjan kuninkaana Kaarle II), ja Norja yhdistyi personaaliunionilla Ruotsiin. Näillä valtiollisilla asioilla oli vaikutusta myös matemaatikko Abelin elämänvaiheisiin: ilman valtiollista itsenäisyyttä Norja oli ikään kuin jokin syrjäinen takamaa, ja sieltä kotoisin oleva tieteilijä tahtoi jäädä tiedemaailmassa sivuraiteelle, olipa hän miten pystyvä tahansa.
Pois kotoa ja matematiikkaan.
Abelin isä opetti poikaansa 13-vuotiaaksi asti, mutta vuonna 1815 hän kirjautui sisään katedraalikouluun Christianiassa (nyk. Oslo). Kotoalähtöä joudutti vanhempien avioliiton rakoileminen alkoholin ja muidenkin ongelmien johdosta. Katedraalikoulu oli tuolloin huonossa tilanteessa, kun vastikään perustettu Christianian yliopisto oli vienyt sieltä parhaat opettajat. 
Varsinkin matematiikan opettaja oli sadisti, joka hakkasi oppilaita mustelmille. Abel oli taipuvainen masennukseen, ja hänen arvosanansa heikkenivät jatkuvasti. Vuonna 1817 matematiikan opettaja kuitenkin erotettiin pahoinpitelysyytteiden perusteella, ja tilalle palkattiin vain seitsemän vuotta Abelia vanhempi Bernt Michael Holmboe. Abelin matemaattiset kyvyt pääsivät esille vasta Holmboen innostavassa ja pätevässä opetuksessa. Opettaja saattoikin vuonna 1819 julistaa oppilaastaan: "Hämmästyttävä matemaattinen nero!", kun tämä oli perusopetuksen lisäksi ehtinyt omin päin perehtyä suurten matemaatikoiden kuten Eulerin, Laplacen, Gaussin ja Lagrangen töihin.
Viimeisenä kouluvuotenaan Abel tarttui nuorukaisen ennakkoluulottomuudella suureen ongelmaan, jonka parissa maailman kuuluisimmat matemaatikot olivat painiskelleet satoja vuosia. Hän jopa väitti ratkaisseensa viidennen asteen yhtälön. Norjasta ei löytynyt ketään, joka olisi pystynyt arvioimaan Abelin laskelmia, ja työ lähetettiin Tanskaan Pohjolan johtavalle matemaatikolle Ferdinand Degenille. Käytännöllisenä miehenä tämä keksi antaa joitakin konkreettisia esimerkkejä Abelin ratkaistavaksi. Yrittäessään ratkaista niitä Abel huomasi harmikseen ratkaisunsa virheelliseksi. Tässä yhteydessä Degen oli kuitenkin tullut vakuuttuneeksi Abelin suuresta lahjakkuudesta.
Lapsuudenperheen hajoaminen.
Samaan aikaan kun Abelin matemaattiset kyvyt tulivat esille, hänen vuonna 1817 parlamenttiin valittu isänsä joutui eräästä lausumastaan tilille ja julkisen vihan kohteeksi. Häväisty pastori palasi Gjerstadiin, jossa hän menetti terveytensä juopottelun kautta. Hän kuoli 1820 ja äiti Anne Marie sai pienen leskeneläkkeen itsensä ja lastensa elättämiseen.
Kolme yliopiston professoria alkoi tukea Abelin opiskelua. Hänen onnistui vuonna 1821 kirjoittautua opiskelijaksi Christianian yliopistoon. Vuonna 1824 hän sai stipendin opiskeluunsa. Siihen mennessä Abel oli julkaissut yhden artikkelin sikäläisen professorin Christopher Hansteenin perustamassa aikakauskirjassa.
Opintomatka Tanskaan.
Professorit Hansteen ja Rasmussen pyrkivät etsimään tukea lahjakkaalle nuorukaiselle. Kun vetoomus Akatemian kollegiollekaan ei tuottanut tulosta, Rasmussen lahjoitti Abelin matka-apurahaksi omista varoistaan sata taaleria, joilla hän pääsi matkustamaan Kööpenhaminaan kesällä 1823. Siellä hän tapasi Degenin ja muita tanskalaisia matemaatikoita. Enonsa kutsuilla Kööpenhaminassa Abel kohtasi myös tulevan kihlattunsa Christine Kempin.
Viidennen asteen yhtälön ratkaisu.
Viidennen asteen yhtälö vaivasi Abelin mieltä myös hänen palattuaan Kööpenhaminasta, vaikka Degen jo aiemmin oli ehdottanut hänelle hedelmällisempiä tutkimusalueita kuin yhtälöt, esimerkiksi elliptisiä integraaleja. Abel kääntyi ajatukseen, ettei kaikille viidennen asteen yhtälöille ehkä löydykään kaavamuotoista ratkaisua. Abel ei tuntenut asiaa koskenutta Paolo Ruffinin aiempaa työtä, jossa kuitenkin oli kohtalokas virhe. Virhettä ei ollut onnistuttu korjaamaan, joten ongelma oli edelleen avoin.
Abel lähti liikkeelle vastaoletuksesta eli siitä, että kaikille viidennen asteen yhtälöille tosiaan olisi olemassa kaava, joka sisältää vain neljä peruslaskutoimitusta ja juuren­oton. Siitä hän päätyi lopulta ristiriitaan tämän vastaoletuksen kanssa. Näin matemaatikkoja satoja vuosia vaivannut ongelma oli saanut ratkaisun (katso Abelin-Ruffinin lause). Huomattakoon siis, että Abel ei suinkaan todistanut, että viidennen asteen yhtälöä ei ylipäänsä koskaan voida ratkaista peruslaskutoimitusten avulla, vaan sen, että on olemassa sellaisiakin viidennen asteen yhtälöitä, joihin eivät nämä peruslaskutoimitukset riitä.
Tämä tutkimus julkaistiin vuonna 1824 säästösyistä niin tiiviissä muodossa (vain kuusi sivua), että siitä oli vaikeata saada selvää. Siten yksi matematiikan historian mestariteoksista ei saanut juurikaan huomiota.
Julkaisutoimintaa Berliinissä.
Vuonna 1824 Abelille myönnettiin vaatimaton matka-apuraha ulkomailla, mutta rahaa ei varattu lainkaan elämiseen, kun hän palaisi takaisin Norjaan. Tämä puute osoittautui myöhemmin suorastaan jonkinlaiseksi ansaksi.
Lyhyen Kööpenhaminan-vierailun jälkeen Abel jatkoi Berliiniin, vaikka alun perin hänen piti mennä suoraan Pariisiin. Berliinissä hän tapasi matematiikasta innostuneen vaikutusvaltaisen insinööri August Leopold Crellen. Crelle oli perustamassa matematiikkaan keskittynyttä aikakauskirjaa nimeltä "Journal für die reine und angewandte Mathematik" (monissa yhteyksissä lyhyesti vain "Crellen aikakauskirja"). Sen ensimmäisessä numerossa oli peräti kuusi Abelin kirjoittamaa artikkelia. Siinä ilmestyi nyt seikkaperäisempi ja yksityiskohtaisempi versio aiemmasta artikkelista, jossa osoitettiin, että viidennen asteen yhtälöille ei ole yleistä ratkaisukaavaa.
Abelin talous oli varsin heikoilla koko ajan, varsinkin kun hän joutui vielä avustamaan sisaruksiaan vähistä varoistaan. Vakavan pettymyksen hän koki myös, kun Christianian yliopiston vapautuneeseen professuuriin nimitettiinkin Holmboe, vaikka hän olisi ollut selvästi pätevämpi. Abel säilytti kuitenkin ystävyytensä Holmboeen.
Tässä tilanteessa Abel joutui myös kertomaan kihlatulleen Christinelle, lempinimeltä Crelly, että heidän avioliittosuunnitelmiaan on muutettava. 
Vaikeuksista huolimatta Berliinin aika oli Abelille tuottoisa. Hän laati merkittäviä artikkeleita, jotka käsittelivät integraalilaskentaa, joidenkin päättymättömien sarjojen summien ominaisuuksia sekä funktioita jotka myöhemmin nimettiin hänen mukaansa Abelin funktioiksi. 
Tärkeä henkireikä nuorelle matemaatikolle oli teatteri, joka oli ollut hänen intohimonsa jo Norjassa. Matematiikan tutkijoiden juhlat Berliinissä saattoivat olla myös joskus varsin äänekkäitä, ja toisinaan ne häiritsivät samassa talossa asunutta filosofi Hegeliä.
Ranskan matemaattisen kulttuurin karuutta.
Kesällä 1826 Abel matkusti vihdoin Pariisiin, joka oli ollut alun perinkin hänen matkansa päämaali. Ensimmäisten Pariisin kuukausiensa aikana hän työskenteli kuumeisesti Abelin teoreeman (nimi annettu myöhemmin) parissa. Se käsitteli laajaa transsendentaalisiksi nimettyjen funktioiden luokkaa. Aiheesta syntyi pitkä, merkittävä artikkeli. Suurin odotuksin Abel jätti sen julkaistavaksi Ranskan tiedeakatemialle. Hän uskoi, että suuret ranskalaiset matemaatikot varmasti ymmärtävät artikkelin arvon.
Pariisissakin teatteri oli suuri viihteen ja ilon lähde nuorelle matemaatikolle. Mutta aika kului, eikä artikkelista kuulunut mitään. Tutkimuksen arvioijiksi määrätyt Cauchy ja Legendre olivat maineestaan huolimatta tehtävään sopimattomia. Legendre ei jaksanut paneutua artikkeliin, ja Cauchy oli hukannut sen johonkin paperipinon pohjalle.
Berliiniin tutkimaan elliptisiä funktioita.
Pariisissa Abelin sekä terveys että varsinkin talous alkoi uhkaavasti heiketä, ja joulukuussa 1826 hän matkusti takaisin Berliiniin. Berliinissä hän sairastui pahemmin. Crelle auttoi Abelia taloudellisesti ja myös Holmboe Norjasta lainasi rahaa. Sairaudesta huolimatta Abel kirjoitti siellä laajan ja tärkeän tutkielman elliptisistä funktioista.
Crelle suositteli Abelille jäämistä Berliiniin. Hän uskoi pystyvänsä järjestämään tälle siellä viran. Keväällä 1827 Abel koti-ikävän pakottamana palasi Christianiaan, kuitenkin ilman tietoa toimeentulosta kotimaassa.
Toimeentulohuolia Norjassa.
Pienen lainanluonteisen stipendin turvin ja yksityistunteja antamalla Abel selvisi jotenkin eteenpäin. Morsiamensa Crelly meni kotiopettajaksi Smithin perheeseen, jolla oli rautaruukki Frolandissa Etelä-Norjassa. 
Syksyllä 1827 ilmestyi kaksikin artikkelia elliptisistä funktioista. Yksi oli Abelin Berliinissä kirjoittaman artikkelin ensimmäinen osa, ja toinen oli saksalaisen Jacob Jacobin artikkeli, jossa oli joitakin Abelin artikkeliin läheisesti liittyviä tuloksia. Koska aihe tuntui olevan muidenkin tutkimuksen kohteena, Abel kiirehti artikkelinsa toisen osan julkaisemista ja teki siihen muutoksia joista näkyi, miten Jacobin tulokset saadaan hänen tuloksistaan.
Vasta nyt alettiin Abelin suuruus matemaatikkona huomata Euroopassa. Tieto tämän vaikeasta taloudellisesta tilanteesta huolestutti myös monia. Se kirvoitti mm. neljän Ranskan tiedeakatemian matemaatikkojäsenen vetoomuksen Ruotsin ja Norjan silloiselle kuninkaalle asiassa. Kuningas Kaarle XIV ei kuitenkaan asiaan puuttunut.
Vuoden 1828 puolella Abel sai professori Hansteenin sijaisuuden ja vihdoinkin säännöllisiä tuloja. Samalla kuitenkin finanssiministeri vaati hänen aiemman stipendinsä perimistä takaisin palkasta nyt, kun hänellä kerrankin oli tuloja. Yliopisto ei sitä kuitenkaan tehnyt, mutta silti aiempien vuosien taloudellisten rasitusten johdosta Abel eli edelleen äärimmäisessä köyhyydessä.
Kuolema.
Kesällä 1828 Abel viipyi ja viihtyi Frolandissa morsiamensa Crellyn ja Smithin perheen luona. Vuoden lopulla Abelin terveys alkoi lopullisesti heiketä. Hän kuoli keväällä 16. huhtikuuta 1829 tuberkuloosiin Frolandissa vierellään morsiamensa Crelly ja Smithien tytär. Huhtikuun alussa 1829 Crelle oli hankkinut Abelille viran Berliinistä, mutta kirje saapui vasta kaksi päivää Abelin kuoleman jälkeen. 
Lahjakkaan matemaatikon, josta Legendre sanoi "quelle tête celle du jeune Norvégien!" ("millainen pää nuorella norjalaisella onkaan"), varhainen kuolema katkaisi nerokkaan ja lupaavan uran. Hänen työnsä, jotka muodostavat suuren osan joidenkin vuosien "Crellen aikakauskirjasta", toimitti myöhemmin kokonaisuudessaan Holmboe ja julkaisi Norjan hallitus vuonna 1839. Ludwig Sylow ja Sophus Lie julkaisivat vuonna 1881 täydellisemmän painoksen.
Kunnianosoituksia.
Köyhän matemaatikon kunniaksi perustettiin vuonna 2002 Abelin palkinto, joka on tieteenalan rahakkain palkinto. 
Oslossa on Niels Henrik Abelille omistettu patsas, Abelmonumentet.
Abelin kunniaksi painettiin Norjassa neljä postimerkkiä 6. huhtikuuta 1929, kun matemaatikon kuolemasta oli kulunut tasan sata vuotta. Vuonna 2002 Abelin syntymän 200-vuotispäivää ennen julkaistiin neljä muistopostimerkkiä.
Norwegian Air Shuttle on maalauttanut Abelin kuvan yhden Boeing 737-800 -koneensa pyrstöön. Abelin kuva on ollut myös Boeing 737-300 -koneessa (LN-KKV), joka on poistunut Norwegianin laivastosta.