Pinta-alavektori

Pinta-alavektori tai suunnattu pinta-ala on rajoitetulle tasopinnalle määriteltävä vektorisuure, jonka suunta on pintaa vastaan kohtisuorassa ja jonka suuruus on pinnan pinta-ala. Jos tasopinnan pinta-ala on formula_1 ja sillä on yksikkönormaali (pintaa vastaan kohtisuora yksikkövektori) formula_2, niin sen pinta-alavektori on
formula_3.
Suunnistuvan pinnan pinta-alavektori.
Suunnistuvan pinnan yksikkönormaalit.
Pinta-alavektori voidaan määritellä myös muille kuin tasomaisille pinnoille. Jos pinta formula_4 on sileä, sille voidaan määrittää jokaisessa pisteessä kaksi yksikkönormaalia, formula_5 ja formula_6, jotka ovat toistensa vastavektorit (formula_7). Pinta on suunnistettu, kun yksikkönormaaliksi valitaan toinen näistä vektorikentistä formula_8 tai formula_9. Tällöin pinnalle kiinnittyy myös positiivinen kiertosuunta: jos pinnan reunakäyrää pitkin kulkemalla pinta on koko ajan vasemmalla puolella, on kyseinen puoli pinnan positiivinen puoli.
Jos formula_10on avoin joukko ja pinnalla formula_11 on parametriesitys formula_12 jokaisessa pisteessä formula_13, niin pinnan yksikkönormaalit ovat
formula_14.
Mikäli pinta formula_11 voidaan esittää funktion formula_16 kuvaajan avulla, ovat yksikkönormaalit
formula_17.
Etumerkki formula_18 vastaa suunnistetun pinnan positiivisen puolen yksikkönormaalia.
Myös paloittain sileät rajoitetut pinnat voidaan suunnistaa edellä esitettyjen yksikkönormaalien avulla. Tällöin pinnan formula_11 pitää olla muotoa
formula_20,
missä joukot formula_21 ovat keskenään pistevieraita ja formula_22 sisältyy äärellisen monen sileän Jordanin käyrän yhdisteeseen. Pinta formula_11 on tällöin suunnistuva, jos jokaisen osan formula_24 reuna on paloittain sileä umpinainen Jordanin käyrä. Tällöin pinta formula_11 on suunnistettu, jos osat formula_24 suunnistetaan siten, että kahden eri osan positiiviset kiertosuunnat ovat vastakkaiset niiden yhteisellä reunakäyrällä.
Möbiuksen nauha on hyvä esimerkki pinnasta, joka ei ole suunnistuva, koska sillä on vain yksi puoli.
Pintaelementtivektori.
Jos formula_10 on avoin joukko ja formula_4 on suunnistuva pinta, joka voidaan esittää parametrien formula_29 ja formula_30 avulla formula_31, niin pinnalle formula_11 voidaan määritellä jokaisessa sen pisteessä differentiaalinen pintaelementtivektori
formula_33,
missä formula_34 tai formula_35 riippuen pinnan suunnistuksessa tehdystä valinnasta. formula_36 on pinnan differentiaalinen pinta-ala-alkio.
Mikäli pinta formula_11 voidaan esittää implisiittisesti funktion formula_38 kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa
formula_39,
missä formula_40 on vektorin formula_41 formula_42-komponentti. Ts. formula_43. Etumerkki formula_44 valitaan siten, että pinnan formula_11 suunnistus on haluttu. Esimerkiksi jos formula_46 ja pinnan positiivisen puolen halutaan olevan positiivisen formula_42-akselin suuntaan, valitaan etumerkki formula_18.
Mikäli pinta formula_11 voidaan esittää funktion formula_16 kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa
formula_51,
missä etumerkki formula_44 valitaan kuten edellä.
Esimerkkejä.
Suorakulmion muotoisen tasopinnan pinta-alavektori.
Suorakulmio makaa formula_53-tasossa siten, että sitä rajoittavat suorat formula_54, formula_55, formula_56 ja formula_57 (formula_58). Suorakulmio on taso, jota kuvaa funktio formula_59. Näin ollen sen yksikkönormaalit ovat
formula_60.
Jos valitaan pinnan positiiviseksi puoleksi positiivisen formula_42-akselin puoli, on suunnistetun pinnan yksikkönormaali formula_62. Pinta-alavektori on tällöin
formula_63.
Pinta-alavektori ristitulon avulla.
Tarkastellaan formula_64:n vektoreita formula_65 ja formula_66. Mikäli nämä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (eli ei-yhdensuuntaisia), ne virittävät suunnikkaan, jonka sivujen pituudet ovat formula_67 ja formula_68. Vektorien välillä on mitattavissa kulma formula_69. Suunnikkas on pinta, jolla on parametriesitys formula_70, missä formula_71 ja formula_72. Suunnikkaan yksikkönormaalit ovat tällöin
formula_73.
Vektorien formula_74 ja formula_75 virittämän suunnikkaan pinta-ala on
formula_76.
Positiivisen puolen valinnasta riippuen suunnikkaan pinta-alavektori on tällöin
formula_77.
Toisaalta ristitulon määritelmän mukaan formula_78, joten
formula_79.
Suunnistus määrää lopulta yksikkönormaalin suunnan, mutta valitsemalla ristitulovektorin suunta positiiviseksi puoleksi saadaan
formula_80.
Pallopinnan pintaelementtivektori.
formula_81-säteisen, origokeskisen pallon pintaa kuvaa karteesisissa koordinaateissa yhtälö formula_82. Muodostetaan pallopinta formula_11 siten, että se koostuu kahdesta puolikkaasta, avoimesta puolipallon pinnasta formula_84 (yläpuoli, jossa formula_85) ja formula_86(alapuoli, jossa formula_87) sekä näitä yhdistävästä formula_81-säteisestä ympyrärenkaasta formula_22. Tällöin formula_90 ja se on paloittain sileänä pintana suunnistuva. Kiinnitetään pinnan positiivinen puoli pallon ulkopuolelle.
Geometrian kannalta on hyödyllistä parametrisoida pinta käyttäen pallokoordinaattikuvausta
formula_91
missä formula_92 ja formula_93.
Pinnan formula_94 parametriesitys on
formula_95.
Pintaelementtivektori on tällöin
formula_96
Koska formula_97, niin vektori formula_98 kelpaa yksikkönormaaliksi. Valitsemalla positiivinen etumerkki saadaan pinnan ulkopuolelle osoittava yksikkönormaali. Merkitään formula_99. Siis pallopinnan formula_11 pintaelementtivektori jokaisessa pinnan pisteessä on
formula_101