Käänteisluku

Käänteisluku liittyy käsitteenä matematiikassa kahden luvun kertolaskuun, jonka tulokseksi saadaan yksi:
formula_1. 
Tällöin sanotaan, että "molemmat luvut" formula_2 ja formula_3 ovat toistensa käänteislukuja. Käänteislukumerkintänä käytetään usein negatiivista eksponenttia 
formula_4.
Edellinen on koulumatematiikassakin esitetty määritelmä. Matematiikassa lukua yksi pidetään kertolaskuun liittyvänä rationaalilukujoukon neutraalialkiona eli 1-alkiona. Koska matematiikan neutraalialkion käsite on paljon laajempi, käytetään nimitystä 1-alkio vain luvuille ja sellaisille binäärioperaatioille, jotka ovat luonteeltaan multiplikatiivisia. 
Luonnolliset ja kokonaisluvut.
Koska käänteisluku voi olla rationaaliluku, ei termiä käytetä luonnollisten tai kokonaislukujen yhteydessä. Ainoat kokonaisluvut, joiden käänteisluku kuuluu kokonaislukuihin, ovat 1 ja -1. Kummassakin tapauksessa luvun käänteisluku on kyseinen luku itse.
Rationaaliluvut.
Jokaisella rationaaliluvulla, paitsi nollalla, on olemassa käänteisluku. Tämän voi todeta itse seuraavasti: Merkitään nollan käänteislukua kirjaimella formula_2. Silloin voidaan määritelmästä lähtien nopeasti päätellä, että
formula_6
ja koska nollalla ei voi jakaa, ei nollalle voi määrittää käänteislukua.
Samalla menettelyllä voidaan muodostaa jokaiselle nollasta eroavalle rationaaliluvulle käänteisluku. Jos merkitään yleisesti rationaalilukua kahden kokonaisluvun osamääränä eli "murtolukuna"
formula_7,
voidaan määrittää sille käänteisluku
formula_8.
"Käänteisluvun nimitys" liittynee rationaaliluvun murtolukuesityksen "kääntämiseen" käänteislukua muodostettaessa.
Esimerkiksi luvun formula_9 käänteisluku on formula_10.
Kokonaisluvun käänteisluku on sen yksikkömurtoluku. Esimerkiksi luvun formula_11 käänteisluku on formula_12 ja luvun formula_13 käänteisluku on formula_14 eli formula_15. Tästä huomataan, että rationaalukujen murtoesityksen merkkisäännöt säilyttävät käänteisluvun etumerkin samana.
Reaaliluvut.
Reaaliluvut saadaan täydentämällä rationaalilukujen joukkoa irrationaaliluvuilla. Jokaisella irrationaaliluvulla on käänteislukunsa, joten reaalilukujen joukko on samantapainen joukko käänteislukujen suhteen kuin rationaaliluvutkin.
Kymmenpotenssiluvuille, kuten 100:lle ja 10 000:lle, voi määrittää käänteisluvut desimaalimuodossa helposti. Sadan käänteisluku on 0,01 ja 10 000 se on 0,0001. Tämä siksi, että formula_16 ja sen käänteisluku saadaan 
formula_17.
Käänteisluvun numeerinen määritys.
Koska kymmenpotenssin kerroin muuttuu lukua käännettäessä, ei yleisen desimaaliluvun kääntäminen ole yksinkertainen laskutoimitus. Seuraavaa iteraatiota toistamalla voidaan käänteisluvun desimaaliesityksen likiarvo laskea käyttämällä pelkästään kerto- ja vähennyslaskua.
Iteraatio vaatii siemenluvun formula_18, joka voi olla mikä tahansa reaaliluku. Annetulla luvulla formula_18 aletaan iteroida riittävän monta kertaa lauseketta formula_20, missä formula_21 on käännettävä luku.
formula_22. 
Iteraatio tuottaa lukujonon, joka suppenee kohti käänteislukua formula_23:
formula_24
Kompleksiluvut.
Kompleksiluvut muodostettiin täydentämällä reaaliluvut imaginaariluvuilla. Kompleksiluvun formula_25, missä formula_2 ja formula_3 ovat reaalilukuja ja formula_28 on imaginaariyksikkö, käänteisluku on, kun formula_29 on sen liittoluku:
formula_30.
Jos kompleksiluku on esitetty polaarimuodossa Eulerin kaavan avulla 
 formula_31,
niin sen potenssi esityksen
 formula_32
käänteisluku on
 formula_33.
Jaksollisuus.
Mikäli kokonaisluvun käänteisarvoa laskettaessa jakolasku ei niin sanotusti mene tasan, on tuloksena jaksollinen desimaaliluku. Tätä voi havainnollistaa suorittamalla jakolaskun kynällä ja paperilla. Laskennan välituloksina saadut jakojäännökset ovat lähtökohtana olevaa kokonaislukua pienempiä, joten ennen pitkää päädytään jakojäännökseen, joka on jo esiintynyt, ja tästä kohdasta alkaa siten uusi jakso. Laskettaessa kokonaisluvun käänteisarvo laskimella voi laitteen näytössä olla liian vähän numeroita, jotta jaksollisuus tulisi esille. Tällöin laskenta voidaan suorittaa joko kynällä ja paperilla tai esimerkiksi seuraavan ohjeen mukaan. Esimerkiksi kokonaisluvun 17 käänteisarvo lasketaan seuraavasti, kunhan ensin on huomattu, että
 formula_34
Tuloksena saadaan
 formula_36 = 0,05882352941176470588...
Erityisiä ominaisuuksia.
Positiivisen reaaliluvun ja sen käänteisluvun summa on aina vähintään 2 eli
formula_37