Tetraedrinen symmetria

Tetraedrinen symmetria on sellaisen kolmiulotteisen kappaleen symmetria, joka säännöllisen tetraedrin tavoin voidaan kuvata itselleen isometrisesti 24 tavalla, joista 12 on orientaation säilyttäviä.
Tetraedrisesti symmetrisen kappaleen symmetriaoperaatioiden ryhmä on "S"4, sama kuin neljän alkion permutaatioryhmä, sillä jokaista tetraedrin kärkipisteiden permutaatiota vastaa yksi tetraedrin isometrinen eli yhtenevyyskuvaus itselleen. Tetraedrin orientaation säilyttävien symmetriaoperaatioiden ryhmä on sen alternoiva aliryhmä A4.
Ominaisuuksia.
Kiraalinen ja täysi (eli akiraalinen symmetria) sekä pyritoedrinen symmetria ovat diskreetin pistejoukon mahdollisia symmetrioita ja samalla myös eräitä pallopinnan symmetrioita. Ne kuuluvat myös kuutiollisen kidejärjestelmän kristallografisiin pisteryhmiin.
Stereografisessa projektiossa tetrakis-heksaedrin särmät muodostavat tasopinnalle kuusi ympyrää (tai jonkin keskipisteen kautta säteittäisesti kulkevia suoria). Jokainen näistä kuudesta ympyrästä vastaa jotakin tetraedrisesti symmetrisen kappaleen symmetria-akselia. Näiden ympyrät leikkaavat toisensa kertaluvun 2 tai 3 pyörähdyspisteissä.
Kiraalinen tetraedrinen symmetria.
Kiraaliselle eli rotationaaliselle' tetraedriselle symmetrialle käytetään merkintöjä T, 332, [3,3]+, tai 23. Sen kertaluku on 12. Siinä on samat kolme toisiinsa nähden kohtisuoraa kaksinkertaista rotaatioakselia samoin kuin kiraalisessa diedrisessä symmetriassa "D"2 or 222 sekä lisäksi neljä kolminkertaista akselia, jotka ovat keskittyneet näiden kohtisuorien akseleiden väliin. Kiraalisen tetraedrisen symmetrian symmetriaryhmä on isomorfinen neljän alkion alternoivan ryhmän "A"4 kanssa. Itse asiassa se on sama kuin neljän kolminkertaisen akselin parillisten permutaatioiden ryhmä: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).
T:n konjugaatioluokat ovat:
Nämä 180°:n rotaatiot yhdessä identtisen kuvauksen kanssa muodostavat tyyppiä Dih2 olevan normaalin aliryhmän jota vastaava tekijäryhmä on tyyppiä Z3. Viimeksi mainitun kolme alkiota ovat identtinen kuvaus sekä rotaatiot myötäpäivään ja vastapäivään, jotka vastaavat kolmen kohtisuoran kaksinkertaisen akselin sellaisia permutaatioita, joissa orientaatio säilyy.
A4 on pienin ryhmä, joka osoittaa, että Lagrangen lauseen käänteislause ei aina päde: jos on annettu äärellinen ryhmä "G" ja |"G"|:n jakaja "d", "G":llä ei välttämättä ole sellaista aliryhmää, jonka kertaluku on "d": ryhmällä ei ole aliryhmää kertaluvulla 6. Vaikka tämä on abstraktin ryhmän yleinen ominaisuus, kiraalisen tetraedrin symmetrian isometriaryhmän tapauksesessa asia on selvä: kiraalisuutensa vuoksi aliryhmän olisi oltava joko C6 tai D3, mutta kumpikaan ei käy.
Akiraalinen tetraedrinen symmetria.
Akiraaliselle eli täydelle' tetraedriselle symmetrialle käytetään merkintöjä Td, *332, [3,3], tai 24. Sen kertaluku on 24. Siinä on samat kolme toisiinsa nähden kohtisuoraa kaksinkertaista rotaatioakselia samoin kuin kiraalisessa symmetriassa T, sekä lisäksi kuusi symmetriatasoa, joista jokaiseen sisältyy kaksi kolminkertaista symmetria-akselia. Kaksinkertaiset symmetria-akselit ovat nyt S4- eli ()-axes. Abstraktina ryhmänä Td on isomorfinen O:n kanssa: molemmat vastaavat neljän alkion symmetriaryhmää S4. Td on T:n ja sen joukon unioni, joka saadaan yhdistämällä :n jokaiseen alkioon inversio. 
Td:n konjugaatioluokat ovat:
Pyritoedrinen symmetria.
Pyritoedrisen symmetrian Th, 3*2, [4,3+] tai m kertaluku on 24. Tällä ryhmällä on samat rotaatioakselit kuin T:llä sekä symmetriatasot kohtisuorista suunnista kahden läpi. Kolminkertaiset akselit ovat nyt diedrisen symmetrian S6 ()-akselit, ja niillä on keskeinen inversiosymmetria. Th on isomofrinen :n kanssa: jokainen Th:n alkio on joko T:n alkio tai jokin niistä yhdistettynä inversion kanssa. Näiden kahden normaalin aliryhmän lisäksi on myös normaali aliryhmä D2h, joka on samalla suorakulmaisen särmiön symmetriaryhmä, tyyppiä . Se on edellä mainitun normaalin aliryhmän T ja pisteen suhteen suoritetun peilauksen C"i" suora tulo. Tekijäryhmä on sama kuin edellä: tyyppiä Z3. Viimeksi mainitun kolme alkiota ovat identtinen kuvaus sekä rotaatiot myötäpäivään ja vastapäivään, mitkä vastaavat kahden kohtisuoran kaksinkertaisen akselin orientaation säilyttäviä permutaatioita.
Pyritoedrinen symmetria on sellaisen kuution symmetria, jonka jokaiselle tahkolle on piirretty jana, joka jakaa sen kahteen suorakulmioon siten, että toisiaan koskettavilla tahkoilla näillä janoilla ei ole yhteisiä päätepisteitä kuution särmillä. Nämä symmetriat vastaavat kappaleen avaruuslävistäjien parillisia permutaatioita sekä kuvauksia, jotka muodostetaan yhdistämällä nämä ja inversio. Samalla se on pyritoedrin symmetria, toisin sanoen kappaleen, joka muistuttaa edellä mainittua kuutiota, mutta jossa jokainen suorakulmio on korvattu viisikulmiolla, jossa on yksi symmetria-akseli, neljä yhtä pitkää sivua ja yksi eripituinen sivu (joka vastaa kuution tahkot kahtia jakavia janoja); toisin sanoen kuution tahkot kapenevat näiden jakolinjojen lähellä. Tämä on säyden ikosaedrisen symmetrian aliryhmä myös isometrisena, ei vain abstraktina ryhmänä, ja siinä on mukan neljä ikosaedrisen symmetrian 10 kolminkertaisesta akselista.
Th:n konjugaattiluokkiin kuuluvat T:n konjugaattiluokat ja niiden inversiot, seuraavat 24 kuvausta:
Kappaleita, joilla on kiraalinen tetraedrinen symmetria.
Oheisen kuvan väritys esittää, miten ikosaedri voidaan käsittää "pullistetuksi tetraedriksi". Näin väritettynä kappaleella on kiraalinen symmetria.