Poissonin suhde

Poissonin suhde, Poissonin vakio eli Poissonin luku (formula_1) on materiaalin ominaisuuksia kuvaava suure, joka kuvaa sitä, minkä verran materiaalista tehty kappale sitä puristettaessa levenee tai venytettäessä kapenee poikittaisessa suunnassa. Poissonin suhde on kappaleen poikittaisen ja pitkittäisen venymän suhteen vastaluku.
Poissonin suhde on saanut nimensä ranskalaisen matemaatikko ja fyysikko Siméon Denis Poissonin mukaan. Koska se on eri suunnissa tapahtuvien venymien suhde, se on dimensioton suure.
Merkitys.
Kun kappaletta, esimerkiksi sauvaa venytetään, se samalla yleensä ohenee poikittaisessa suunnassa. Erityisen helposti tämä on havaittavissa kuminauhasta sen suuren venyvyyden vuoksi. Vastaavasti jos kappaletta puristetaan kokoon, se yleensä laajenee poikittaisessa suunnassa. Tämä sanotaan Poissonin ilmiöksi, ja Poissonin suhde on materiaalin tätä ominaisuutta kuvaava suure.
Kokeellisesti voidaan osoittaa, että kun kappaleen venymä tai puristuma on tarpeeksi pieni, sen poikittaisessa ja pitkittäisessä suunnassa tapahtuvan läpimitan muutos pysyy likipitäen vakiona. Koska kappale yleensä ohenee sitä venytettäessä ja paksunee puristettaessa, tämä suhde on yleensä negatiivinen. Sen vastalukua, joka on yleensä positiivinen, sanotaan materiaalin Poissonin suhteeksi.
Jokaisen vakaan isotrooppisen, lineaariseti kimmoisen materiaalin Poissonin suhde on arvojen -1,0 ja +0,5 välillä, koska tämä suhde sitoo yhteen Youngin moduulin, liukukertoimen ja puristuskertoimen, jotka kaikki ovat aina positiivisia. Useimpien aineiden Poissonin vakio on 0:n ja 0,5:n välillä. Jos se on tasan 0,5, aine on kokoonpuristumatonta eli sen tilavuus ei muutu puristettaessa. Tällaisia aineita ovat esimerkiksi kumi ja parafiini. 
Useimmilla teräksillä ja jäykillä polymeereillä luku on lähellä arvoa 0,3, kuitenkin edellyttäen että myötörajaa ei ole ylitetty. Myötörajan yläpuolella, missä muodonmuutokset ovat palautumattomia, Poissonin suhde sen sijaan lähestyy arvoa 0,5. Kumin Poissonin luku on lähellä arvoa 0,5. Korkilla luku on lähellä nollaa, mikä merkitsee, ettei se puristettaessa juuri laajene poikittaisessa suunnassa. 
Joissakin harvoissa tapauksissa materiaali päin vastoin kutistuu kokoon myös poikittaisessa suunnassa sitä puristettaessa taikka laajenee myös poikittaisessa suunnassa sitä venytettäessä. Tällaisissa tapauksissa Poissonin suhde on arvoltaan negatiivinen. Sellaisia materiaaleja ovat esimerkiksi jotkut vaahtomuovi, origamiset kalvot ja eräät grafiitin muodot. 
Anisotrooppisilla materiaaleilla Poissonin suhde ei ole kaikissa suunnissa yhtä suuri ja esimerkiksi hiilinanoputkilla, laskostetuilla lehtimäisillä materiaaleilla ja hunajakennojen aukseettisilla metamateriaaleilla se saattaa joissakin suunnissa jopa ylittää arvon 0,5.
Jos oletetaan, että materiaalia venytetään tai puristetaan aksiaalisessa suunnassa eli alla olevan kaavion "x"-akselin suunnassa, saadaan:
formula_2
missä
formula_1 on Poissonin suhde,
formula_4 on poikittainen venymä (kappaletta aksiaalisesti venytettäessä negatiivinen, puristettaessa positiivinen) ja
formula_5 on aksiaalinen venymä (positiivinen venytettäessä, negatiivinen puristettaessa).
Pituuden muutos.
Oletetaan, että kuutiota venytetään "x"-suunnassa, kuten oheisessa kuvassa. Sen pituuden muutokselle "x"-suunnassa käytetään merkintää formula_6, kun taas kutistumille "y"- ja "x"-suunnissa käytetään merkintää formula_7. Tällöin infinitesimaaliset kulmittaiset jännitykset ovat
formula_8
Jos Poissonin suhe pysyy muodonmuutoksen aikana vakiona, integroimalla nämä lausekkeet saadaan Poissonin suhteenn määritelmän mukaan:
formula_9
Kun nämä ratkaistaan ja varustetaan eksponenteilla, pituuden muutosten formula_6 ja formula_7 välille saadaan yhteys:
formula_12
Kun pituuden muutokset formula_6 ja formula_7 ovat hyvin pieniä, saadaan ensimmäisenä likiarvona:
formula_15
Tilavuuden muutos.
Materiaalin muodonmuutoksesta johtuva kuution tilavuuden muutos "ΔV"/"V" voidaan nyt laskea. Koska 
formula_16 ja formula_17, saadaan:
formula_18
Pituuden ja paksuuden muutosten formula_6 and formula_7 välille edellä johdetun yhteyden perusteella saadaan edelleen:
formula_21
ja hyvin pienillä formula_6:n ja formula_7:n arvoilla saadaan ensimmäisenä likiarvona:
formula_24.
Isotrooppisille materiaaleille voidaan käyttää Lamén relaatiota
formula_25
missä formula_26 on materiaalin puristuvuusmoduuli ja formula_27 sen Youngin moduuli.
Kaikilla isotrooppisilla aineilla Poissonin suhde on välillä formula_28. Teknisiin tarkoituksiin käytetyillä materiaaleilla se on tyypillisesti välillä formula_29.
Paksuus muutos.
Jos sauvaan, jonka pituus on "L" ja paksuus "d", venytetään sen suuruisella voimalla, että sen pituus kasvaa määrän "ΔL", sen paksuuden muutos saadaan lausekkeesta:
formula_30
missä
formula_31 on Youngin moduuli akselin formula_32 suunnassa,
formula_33 liukukerroin suunnassa formula_34 tasolla, joka on kohtisuorassa suuntaan formula_32 nähden
formula_36 on Poissonn suhde, joka vastaa puristumaa suunnassa formula_34, kun kappaletta venytetään suunnassa formula_32.
Ortotrooppisen materiaalin Poissonin suhde on eri suuri kussakin suunnassa (x, y ja z). Rasitus- ja venytystensorien symmetriasta seuraa kuitenkin, etteivät nämä yhtälössä esiintyvät kuusi suhdetta ole kaikki toisistaan riippumattomia. On vain yhdeksän toisistaan riippumatonta materiaalin ominaisuutta: kolme kimmomoduulia, kolme liukukerrointa ja kolme Poissonin suhdetta. Loput kolme Poissonin suhdetta saadaan yhteyksistä
formula_39
Näistä yhteyksistä nähdään, että jos formula_40 on formula_41. Poissonin suhteista suurin on tässä tapauksessa formula_42), pienin taas formula_43). Muille Poissonin suhteille voidaan esittää vastaavat yhteydet.
Poikittaisesti isotrooppiset materiaalit.
Poikittaisesti isotrooppisilla materiaaleilla on "isotropiataso", jossa niiden kimmoisuus­ominaisuudet ovat samat kaikkiin suuntiin. Jos oletetaan että tämä isotropia on formula_44-taso, Hooken laki saa muodon
formula_45
missä isotropiatasoa eli formula_44 -tasoa on käytetty vakioiden lukumäärän vähentämiseen, sillä formula_47.
Jännitys- ja venymä­tensorien symmetriasta seuraa:
formula_48
Näin jää jäljelle kuusi toisistaan riippumatonta vakiota: formula_49. Poikittaisen isotropian vuoksi on kuitenkin vielä vakioiden formula_50 ja formula_51 välillä rajoittava yhteys
formula_52
Niinpä tällaisten materiaalien kimmoisuus­ominaisuudet voidaan täysin kuvata viidellä suureella, joista kaksi on Poissonin suhteita. Oletetun symmetriatason suurempi Poissonin suhde on suurempi luvuista formula_42 ja formula_54. Muut suuremmat ja pienemmät Poissonin suhde ovat yhtä suuret.
Eri materiaalien Poissonin suhteita.
Negatiivinen Poissonin suhde ja aukseettiset materiaalit.
Muutamalla aukseettisiksi kutsutuilla materiaaleilla Poissonin suhde on negatiivinen. Kun niitä venytetään pitkittäisen akselin suunnassa, myös poikittaisessa suunnassa kappaleen läpimitta kasvaa. Tämä aiheutuu yleensä erikoisella tavalla suuntautuneista, saranoituneista molekyylien välisistä sidoksista. Näiden sidosten venyessä pitkittäisessä suunnassa "saranoiden" on ikään kuin auettava poikittaisessa suunanssa, mikä ilmenee poikittaisen läpimitan suurenemisena. Tämä voidaan saada aikaan myös strukturoidusti, mikä on avannut uusia mahdollisuuksia mekaanisten metamateriaalien suunnittelussa .
Tutkimukset ovat osoittaneet, että eräillä puulajeilla ilmenee negatiivinen Poissonin suhde ainoastaan puristuskokeessa, jossa ne saadaan virumaan. Aluksi tällaisessa puristuskokeessa Poissonin suhde on positiivinen, mutta se pienenee vähitellen ja saavuttaa lopulta negatiivisen arvon. Näin ollen tämä osoittaa samalla, että puun Poissonin suhde muuttuu ajan myötä, vaikka siihen kohdistuva kuormitus pysyisi vakionakin, mikä osoittaa että sen mittasuhteet pitkittäisessä ja poikittaisessa suunnassa eivät muutu yhtä nopeasti.
Monien aineiden Poissonin suhde voidaan saada negatiiviseksi muuttamalla niiden mikroskooppista rakennetta sopivalla tavalla. Yksinkertaisessa tapauksessa aukseettisuus saadaan aikaan poistamalla osa materiaalista niin, että sen jäljelle jäävä osa muodostaa jaksollisen huokoisen rakennelman.. Hilarakenteisille materiaaleille voidaan saada vielä alempi Poissonin suhde, joka isotrooppisessa tapauksessa voi olla mielivaltaisen lähellä arvoa -1.
Nykyisin tunnetaan yli 300 kiteistä materiaalia, joilla voidaan saattaa aukseettiseen tilaan suuntaamalla kiteet sopivalla tavalla.. Sellaisia ovat esimerkiksi Li, Na, K, Cu ,Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn, Sr, Sb ja MoSformula_55.
Poissonin funktio.
Kun kappaleeseen kohdistuva jännitys on suuri, sen pituuden ja poikittaisen läpimitan (formula_56 ja formula_57) välistä yhteyttä ei enää voida tyydyttävästi kuvata vakioksi käsitetyllä Poissonin suhteella. Tällöin Poissonin suhteen sijasta käytetään Poissonin funktiota, jolle on esitetty useita vaihtoehtoisia määritelmiä. Jos poikittaiselle venymälle käytetään määritelmää formula_58 ja pitkittäiselle formula_59 ja poikittainen kutistuma on esitettävä pitkittäisen venymän funktiona (toisin sanoen formula_60), yleisimmin käytettyjä ovat Henckyn, Biot'n, Greenin ja Almansin funktiot:
formula_61
Poissonin ilmiön sovelluksia.
Poissonin ilmiöllä on suuri vaikutus muun muassa siihen, mitä tapahtuu, kun paineistettu neste tai kaasu virtaa putkessa. Kun paine on suuri, virtaava aine kohdistaa tasaisen voiman putken sisäpintaan ja saa putken laajenemaan leveyssuunnassa. Poissonin ilmiön vuoksi se samalla myös hieman kutistuu pituussuunnassa. Tällä pituuden muutoksella voi olla havaittava vaikutus putkien liitoskohtiin, varsinkin kun sen vaikutukset kertautuvat pitkän putken jokaisessa liitoskohdassa. Jos paine on riittävän suuri, liitokset saattavat irrota, jolloin putkeen syntyy vuoto.
Poissonin ilmiöllä on merkitystä myös rakennegeologiassa. Useimpien muiden materiaalien tavoin kallioperäkin altistuu jännityksen alaisina Poissonin ilmiölle. Geologisessa aikaskaalassa maankuoren jatkuva jatkuva eroosio tai sedimentaatio voi saada aikaan tai poistaa laajoja pystysuuntaisia jännityksiä kallioperän alemmissa kerroksissa. Ne voivat laajeta tai supistus pystysuunnassa niihin kohdistuvan rasituksen vaikutusesta, jolloin niiden muoto samalla muuttuu Poissonin ilmiön vaikutuskesta myös vaakasuorassa suunnassa. Tämän vaakasuoran venymisen tai kutistumisen myötä kallioperään voi syntyä saumakohtia.
Alun perin korkkia alettiin käyttää viinipullojen sulkemiseen sen muiden ominaisuuksien kuten kemiallisen kestävyytensä, läpäisemättömyytensä, taipuisuutensa ja joustavuutensa vuoksi. Myöhemmin se kuitenkin havaittiin sopivan tähän tarkoitukseen erityisen sopivaksi materiaaliksi myös sen vuoksi, koska sen Poissonin suhde on likipitäen nolla. Kun korkki työnnetään pullon suuhun, sen yläosa, joka ei ole vielä sisällä pullossa, ei laajene poikittaisessa suunnassa samalla kun sitä puristetaan pitkittäisessä eli pullon suun suunnassa. Voima, joka tarvitaan korkin työntämiseksi pulloon, kasvaa vain korkin ja pullon välisen kitkan vuoksi. Jos tulppa tehtäisiin esimerkiksi kumista, jonka Poissonin suhde on lähellä arvoa 1/2, tarvittaisiin lisäksi melkoisesti voimaa tulpan paksuuntuneen yläosan puristamiksi niin, että sekin mahtuu pulloon.