Ominaisarvo, ominaisvektori ja ominaisavaruus

Ominaisarvo, ominaisvektori ja ominaisavaruus ovat alun perin lineaarialgebran piirissä kehitettyjä toisiinsa verrattavia käsitteitä. Olkoon "A" annettu vektoriavaruuden "V" lineaarikuvaus. "A":n "ominaisvektori" on vektori "v", jonka suunta ei muutu kuvauksessa "A". Kerrointa, jolla kuvavektori kutistuu tai kasvaa tässä kuvauksessa, sanotaan vektorin "ominaisarvoksi". Usein kuvaus voidaan luonnehtia kokonaan ominaisarvojensa ja ominaisvektoreidensa avulla. "Ominaisavaruus" on joukko ominaisvektoreita joilla on sama ominaisarvo. 
Matriisin ominaisarvojen summaa kutsutaan matriisin "jäljeksi" (trace). Ominaisarvojen tulo vastaa matriisin "determinanttia".
Nämä käsitteet ovat merkittävässä roolissa useilla puhtaan ja sovelletun matematiikan osa-alueilla, kuten lineaarialgebrassa, funktionaalianalyysissä ja jopa useissa epälineaarisissa tilanteissa.
Määritelmät.
Avaruuden muunnokset, kuten translaatio, rotaatio, peilaus ja homotetia, tai näiden yhdisteet, voidaan havainnollistaa graafisesti näyttämällä miten ne muuntavat vektoreita. Vektorit voidaan havainnollistaa koordinaatistossa nuolin, jotka osoittavat yhdestä pisteestä toiseen.
Esimerkiksi kolmiulotteisen avaruuden rotaatio on vektori, joka sijaitsee sillä rotaatioakselilla, minkä suhteen rotaatio suoritetaan. Vastaava ominaisarvo on yksi ja vastaava ominaisavaruus sisältää kaikki vektorit jotka ovat yhdensuuntaisia tämän akselin kanssa. Tässä yksiulotteisessa avaruudessa avaruuden geometrinen kertaluku on yksi. Vastaavasti spektri koostuu vain yhdestä reaaliluvusta.
Esimerkkejä.
Kun Maa pyörähtää akselinsa ympäri, muuttuu myös Maan keskipisteestä alkavan vektorin suunta, mikäli vektori ei osoita samaan suuntaan kuin pyörähdysakseli tai ole nollavektori. Tarkastellaan Maan pyörähtämistä tunnin välein. Nyt huomataan, että ainoastaan Maan napoihin osoittavat vektorit pysyvät koko ajan paikoillaan, joten vain ne ovat muunnoksen ominaisvektorit. Lisäksi vektorin pituus pysyy koko ajan muuttumattomana, joten sen ainoa ominaisarvo on 1.
Toinen fysikaalinen esimerkki saadaan kun janan yksi piste kiinnitetään ja jana venytetään pituudeltaan kaksinkertaiseksi. Tämän muunnoksen ominaisarvo on 2. Jokainen vektori kiinnitetystä pisteestä janan mielivaltaiseen pisteeseen on ominaisvektori ja ominaisavaruus on näiden vektorien muodostama joukko.
Ominaisarvoyhtälö.
Ominaisarvoyhtälö on matriisin ominaisarvoista muodostettu polynomiyhtälö. Sen ratkaisuna saadaan matriisin ominaisvektorit, jotka ovat käyttökelpoisia monissa sovelluksissa.
Olkoon v"λ" formula_1:n ominaisvektori ja "λ" sitä vastaava ominaisarvo. Tällöin ominaisarvoyhtälö on määritelmän mukaan
formula_2,
missä formula_3 on vektori, joka saadaan kun muunnosta formula_1 sovelletaan vektoriin v"λ".
Olkoon formula_1 lineaarikuvaus. Tarkastellaan tämän vektoriavaruuden kantaa. Tällöin formula_1 ja v"λ" voidaan esittää matriisien avulla tämän kannan suhteen. Matriisiesityksen mukaan on tällöin voimassa
formula_7,
missä kertolaskuna on matriisien kertolasku. Tämä on yhtäpitävää "n" lineaarisen yhtälön kanssa, missä "n" on kannan vektoreiden lukumäärä. Tässä yhtälössä sekä ominaisarvo "λ", että "v":n "n" komponenttia ovat tuntemattomia.
Ominaisfunktio.
Toisinaan on kuitenkin mahdotonta kirjoittaa ominaisarvoyhtälö matriisimuotoon. Tämä tilanne on esimerkiksi silloin, kun vektoriavaruus on ääretönulotteinen. Muunnoksesta formula_1 ja avaruudesta, mihin muunnosta sovelletaan, riippuen voidaan ominaisarvoyhtälö esittää differentiaaliyhtälönä. Jos formula_1 on differentiaalioperaattori, kutsutaan ominaisvektoreita yleensä differentiaalioperaattorin "ominaisfunktioiksi". Esimerkiksi derivointi on lineaarinen muunnos, joten sen avulla voidaan muodostaa differentiaalioperaattori.
Tarkastellaan derivointia ajan formula_10 suhteen. Nyt sen ominaisfunktiot toteuttavat ominaisyhtälön
formula_11,
missä "λ" on funktion ominaisarvo. Tällainen ajan funktio on vakio jos "λ=0", kasvava jos "λ" on positiivinen ja vähenevä jos "λ" on negatiivinen. Esimerkiksi kanien ideaalipopulaatiomalleissa jäniskanta lisääntyy sitä voimakkaammin, mitä enemmän jäniksiä on, joten tässä tapauksessa parametri "λ" on positiivinen.
Ominaisarvoyhtälön ratkaisu on "N=eλt", eli funktio on differentiaalioperaattorin "d/dt" ominaisfunktio ominaisarvonaan "λ". Jos "λ" on negatiivinen, ratkaisua kutsutaan eksponentiaalisesti väheneväksi, muutoin eksponentiaalisesti kasvavaksi. "λ":n arvo voi olla mikä tahansa kompleksiluku. Operaattorin "d/dt" spektri on siten koko kompleksitaso. Tässä esimerkissä vektoriavaruus, missä operaattori "d/dt" toimii, on derivoituvien yksimuuttujisten funktioiden avaruus. Tämän avaruuden dimensio on ääretön, sillä ei ole mahdollista ilmaista kaikkia derivoituvia funktioita äärellisen monen kannan funktion lineaarisena yhdisteenä. Kuitenkin annettua ominaisarvoa "λ" vastaa yksiulotteinen ominaisavaruus. Se on kaikkien funktioiden "N=N0eλt", missä "N0" on mielivaltainen vakio, muodostama joukko. Alkuarvo saadaan sijoittamalla yhtälöön "t=0".
Spektrilause.
Spektrilauseessa kuvastuu ominaisarvojen ja -vektoreiden käyttökelpoisuus karakterisoida lineaarinen muunnos yksikäsitteisesti. Yksinkertaisimmassa muodossaan spektrilause sanoo, että tietyillä ehdoilla vektorin lineaarinen muunnos voidaan esittää lineaarikombinaationa ominaisvektoreista, joiden kertoimet saadaan kertomalla vektorin ominaisarvot skalaarilla ja ottamalla tästä tuloksesta pistetulo sen vektorin kanssa, johon lineaarista muunnosta sovelletaan. Matemaattisesti tämä voidaan kirjoittaa muodossa
formula_12,
missä formula_13 ja formula_14 tarkoittavat formula_1:n ominaisvektoreita ja -arvoja. Yksinkertaisimmat tapaukset, jossa lause on voimassa, on tapaus missä lineaarinen muunnos on annettu reaaliluvun ja symmetrisen matriisin avulla tai kompleksiluvun ja hermiittisen matriisin avulla.
Jos määritellään muunnoksen "n":s potenssi suorittamalla muunnosta "n" kertaa peräkkäin, saadaan määriteltyä muunnoksen polynomit. Yleisempi versio lauseesta on, että jokainen formula_1:n polynomi on muotoa
formula_17
Lause voidaan yleistää myös muille funktioille kuin polynomeille, kuten esimerkiksi analyyttisille funktioille ja Borelin funktioille.
Matriisin ominaisarvojen ja -vektoreiden laskeminen.
Oletetaan, että haluamme laskea annetun matriisin ominaisarvot. Nämä voidaan laskea karakteristisen polynomin avulla jos matriisi on pieni. Suurilla matriiseilla polynomin juurten tarkkojen arvojen laskenta on usein mahdotonta, jolloin on käytettävä numeerisia menetelmiä. Tämä siksi, että ominaisarvoyhtälö on tällöin korkeampaa kuin neljättä astetta ja Abelin-Ruffinin lauseen mukaan tällaiselle polynomiyhtälölle ei ole olemassa yleistä ratkaisukaavaa.
Symbolinen laskenta.
Karakteristinen polynomi on tärkeä työkalu neliömatriisin ominaisarvojen selvittämisessä. "λ" on annetun neliömatriisin "A" ominaisarvo vain jos lineaarisella yhtälöryhmällä ("A" – "λI") "v" = 0 ("I" on yksikkömatriisi) on nollavektorista poikkeava ratkaisu "v", jota kutsutaan "A":n ominaisvektoriksi. Koska yhtälöllä on olemassa nollasta eroava ratkaisu "v" vain jos matriisin determinantti on nolla, saadaan ominaisarvot yhtälöstä
formula_18.
Yhtälö "p"("λ") = det("A" – "λI") on polynomiaalinen "λ":n suhteen, sillä determinantit ovat määritelmän mukaan summia tuloista.
Tämä on "A":n karakteristinen polynomi; matriisin ominaisarvot ovat sen karakteristisen polynomin nollakohtia.
Matriisin "A" kaikki ominaisarvot saadaan ratkaisemalla yhtälö formula_19. Jos "A" on "n"×"n"-matriisi, on formula_20 "n":ttä astetta ja "A":lla voi olla siten korkeintaan "n" ominaisarvoa.
Toisaalta, algebran peruslauseen mukaan tällä yhtälöllä on täsmälleen "n" juurta, kun juurien kertaluvut otetaan huomioon. Kaikilla paritonasteisilla reaalipolynomeilla on reaalijuuri, joten "n"×"n"-matriiseilla on aina vähintään yksi ominaisvektori kun "n" on pariton. Funktioteorian perusteista seuraa myös, että reaalimatriisin epäreaaliset ominaisarvot esiintyvät toistensa konjugaattipareina.
Kun ominaisarvot λ tiedetään, ominaisvektorit saadaan ratkaisemalla yhtälö
formula_21.
Esimerkki neliömatriisista, jolla ei ole reaalisia ominaisarvoja, on 90 asteen kierto myötäpäivään:
formula_22,
jonka karakteristinen polynomi on formula_23. Tämän polynomin nollakohdat ovat toistensa kompleksikonjugaatit "i" ja -"i". Siten reaalisia ominaisvektoreita ei ole.
Numeerinen laskenta.
Käytännössä suurten matriisien ominaisarvoja ei lasketa karakteristisen polynomin avulla. Polynomin laskeminen itsessään on työlästä ja polynomin juuren tarkkaa arvoa ei ole aina mahdollista selvittää. Juurten approksimointiin on kehitetty tehokkaita numeerisia algoritmeja, mutta pienetkin numeeriset virheet voivat kasaantua, jolloin matriisin oikeat ominaisvektorit voivat olla todellisuudessa hyvinkin erilaisia numeerisiin tuloksiin verrattuna. Siten ominaisarvoja lasketaankin käytännössä iteratiivisillä menetelmillä. Yksinkertaisin menetelmä on ns. potenssimenetelmä: valitaan satunnaisesti vektori "v" ja lasketaan yksikkövektorit
 formula_24, formula_25, formula_26, ...
Tämä jono suppenee lähes aina kohti itseisarvoltaan suurinta ominaisarvoa vastaavaa ominaisvektoria. Tämä algoritmi on helppo toteuttaa, mutta ei ole aina käytännöllinen. Kuitenkin suositut numeeriset lineaarialgebran algoritmit, kuten QR-algoritmi, perustuu tähän.
Algebrallinen kertaluku.
Matriisin "A" ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku on λ:n kertaluku "A":n karakteristisen polynomin nollakohtana. Tosin sanoen jos λ on eräs polynomin juuri, sen kertaluku on karakteristisen polynomin tekijöihinjaossa esiintyvän termien ("x" − "λ") lukumäärä. "n"×"n"-matriisilla on "n" ominaisarvoa algebrallinen kertaluku huomioon ottaen, koska "n"×"n"-matriisien karakteristinen polynomi on "n":ttä astetta. Ominaisarvoa kutsutaan yksinkertaiseksi jos sen algebrallinen kertaluku on 1.
Matriisilaskennan oppikirjoissa saattaa törmätä seuraavanlaiseen lauseeseen:
"Matriisin "A" ominaisarvot ovat 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 1."
Tämä tarkoittaa sitä, että ominaisarvon 4 algebrallinen kertaluku on 2, ominaisarvon 3 kertaluku on 3, kahden kertaluku on kaksi ja yhden yksi. Tämäntyyppinen kirjoitusasu on käytössä, sillä algebrallinen kertaluku on oleellinen käsite monissa matriisilaskennan tulosten todistuksissa.
Algebrallinen kertaluku voidaan myös ajatella dimensiona. Se voidaan ajatella "yleistettynä ominaisavaruutena", joka on matriisin (λI − "A")k nolla-avaruus kaikilla riittävän suurilla k. Se on siis "yleistettyjen ominaisvektoreiden" avaruus, missä yleistetty ominaisvektori on mikä tahansa vektori, joka kuvautuu nollaksi jos vektori kerrotaan matriisilla λI − "A" riittävän monta kertaa. Ominaisvektori on yleistetty ominaisvektori, joten jokainen ominaisavaruus sisältyy vastaavaan yleistettyyn ominaisvektoriin. Tämän ominaisuuden perusteella voidaan todistaa, että ominaisarvon geometrinen kertaluku on aina korkeintaan yhtä suuri kuin algebrallinen kertaluku. Tätä ei tule sekoittaa yleistettyyn ominaisarvo-ongelmaan.
Esimerkki: Olkoon
formula_27
"A":lla on vain yksi ominaisarvo, nimittäin λ = 1. "A":n karakteristinen polynomi on formula_28, joten ominaisarvon algebrallinen kertaluku on 2. Toisaalta vastaava ominaisavaruus on pelkästään yksikkövektorin formula_29 virittämä, joten geometriseksi kertaluvuksi saadaan 1.
Hajotuslause.
Hajotuslause on erikoistapaus spektrilauseesta tietyille matriiseille. Tämä lause esitetään usein koordinaatistomuunnosten avulla. Jos "U" on kääntyvä matriisi, se voidaan tulkita koordinaatiston muunnoksena. Tässä uudessa koordinaatistossa vektoria formula_30 merkitään formula_31. Nämä vektorit saadaan soveltamalla koordinaatiston muunnosta vektoriin "v", formula_32. Tästä koordinaatistosta päästään takaisin alkuperäiseen koordinaatistoon muunnoksen formula_33 avulla. Soveltamalla muunnoksia formula_32, formula_35 ja formula_36 identiteettiin formula_37, saadaan formula_38, missä formula_39. Tämä on "A":n esitys uudessa kannassa. "U":n sarakkeista voidaan tällöin lukea uudet kantavektorit. Hajotuslauseesta seuraa, että jos "U":sta voidaan valita "n" lineaarisesti riippumatonta "A":n ominaisvektoria, niin tällöin matriisi formula_39 on diagonaalinen eli lävistäjämatriisi ja sen lävistäjäalkiot ovat "A":n ominaisarvot. Tällöin "A":ta sanotaan diagonalisoituvaksi matriisiksi. Esimerkki ei-diagonalisoituvasta matriisista on kohdassa algebrallinen kertaluku esiintyvä matriisi "A".
On olemassa useita hajotuslauseen yleistyksiä, joita voidaan käyttää, jos matriisi ei ole diagonalisoituva. Eri hajotelmat toimivat eri tapauksissa.
Muita lauseita.
Spektri on invariantti yhtenevyysmuunnosten suhteen: matriiseilla "A" ja "P"−1"AP" on samat ominaisarvot kaikilla matriiseilla "A" ja kaikilla kääntyvillä matriiseilla "P". Spektri on niin ikään invariantti transpoosin suhteen: matriiseilla "A" ja "A"T on samat ominaisarvot.
Matriisi on kääntyvä jos ja vain jos sillä ei ole ominaisarvonaan nollaa.
Matriisi on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisarvojen algebralliset ja geometriset kertaluvut vastaavat toisiaan. Erityisesti "n"×"n"-matriisi, jolla on "n" eri ominaisarvoa, on diagonalisoituva.
Vektoriavaruus, missä matriisi toimii, on aina suora summa yleistetyistä ominaisavaruuksista (eli on näiden avaruuksien virittämä), jotka ovat lineaarisesti riippumattomat. Tämä pätee kaikille tavallisille ominaisavaruuksille vain jos ne yhtyvät yleistetyssä ominaisavaruudessa, toisin sanoen vain jos matriisi on diagonalisoituva.
Spektristä voidaan saada lisätietoa jos matriisi on erityistä muotoa
Yleisesti matriisin jälki, toisin sanoen päädiagonaalin alkioiden summa, on yhtä suuri kuin matriisin ominaisarvojen summa ja matriisin determinantti on matriisin ominaisarvojen tulo. Tulossa on otettava huomioon ominaisarvojen kertaluvut.
Olkoon "A" "m"×"n" matriisi, jolle "m" ≤ "n" ja B "n"×"m" matriisi. Tällöin "BA":n ominaisarvot ovat samat kuin "AB":n. Muut "n" − "m" ominaisarvoa ovat nollia.
Konjugaattinen ominaisvektori.
Konjugaattinen ominaisvektori on vektori, jonka arvo muunnoksen jälkeen on skalaari kertaa vektorin konjugaatti. Tässä skalaaria kutsutaan lineaarikuvauksen konjugaattiseksi ominaisarvoksi. Konjugaattiset ominaisvektorit ja -arvot antavat oleellisesti saman tiedon kuin tavalliset ominaisvektorit ja -arvot, mutta ne esiintyvät toisissa koordinaatiston muunnoksissa kuin tavalliset ominaisvektorit ja -arvot. Vastaava konjugaattinen ominaisarvoyhtälö on
 formula_45
Esimerkiksi koherentissa sähkömagneettisessa hajaantumisteoriassa lineaarinen muunnos "A" esittää hajaantunutta säteilyä, ja ominaisvektorit esittää sähkömagneettisen aallon polaarisaatiotiloja. Myös esimerkiksi optiikassa koordinaatisto on valittu siten, että syntyvä ominaisarvoyhtälö on tavallista muotoa, kun taas tutkat muodostavat tietokoneelle ominaisarvoyhtälöitä, jotka ovat konjugaattista muotoa.
Yleistetty ominaisarvoyhtälö.
Yleistetty ominaisarvoyhtälö on muotoa
 formula_46,
missä "A" ja "B" ovat matriiseja. Yleistetyt ominaisarvot saadaan ratkaisemalla yhtälö
formula_47
missä formula_48 on reaali- tai kompleksiluku.
Jos "B" on kääntyvä, voidaan alkuperäinen yhtälö kirjoittaa muodossa
 formula_49
joten yleistetty ominaisarvoyhtälö pelkistyy tavalliseksi ominaisarvoyhtälöksi. Useimmiten kuitenkin matriisin kääntäminen aiheuttaa numeerista virhettä, joten ylempää yleistettyä ominaisarvoyhtälöä on suositeltavaa käyttää sovelluksissa.
Jos "A" ja "B" ovat symmetrisiä reaalikertoimisia matriiseja, on "A":n ja "B":n ominaisarvot reaaliset. Tätä ei kuitenkaan havaita helposti jälkimmäisestä muodosta, sillä matriisi formula_50 ei ole välttämättä symmetrinen vaikka "A" ja "B" olisivat.
Alkiot renkaasta.
Tapauksesta, missä neliömatriisin "A" alkiot ovat jonkun renkaan alkioita, kutsutaan λa oikeaksi ominaisarvoksi jos on olemassa nollasta poikkeava sarakevektori "x" siten, että "Ax"=λ"x", tai vasemmaksi ominaisarvoksi jos on olemassa nollasta poikkeava rivivektori "y", jolle "yA"="y"λ.
Jos rengas on kommutatiivinen, vasemmat ja oikeat ominaisarvot yhtyvät, joten voidaan puhua pelkästään ominaisvektorista. Aina näin ei kuitenkaan ole, esimerkiksi jos kerroinrenkaana on kvaternioiden muodostama rengas.
Ääretönulotteiset avaruudet.
Jos vektoriavaruus on ääretönulotteinen, voi olla hyödyllistä määritellä käsite spektriarvo. Spektriarvot ovat joukko skalaareita λ jolle Greenin operaattori formula_51 ei ole määritelty.
Jos "λ" on formula_1:n ominaisarvo, on "λ" myös formula_1:n spektriarvo. Käänteinen ei päde, kaikki spektriarvot eivät ole ominaisarvoja. On jopa olemassa operaattoreita Hilbertin ja Banachin avaruuksissa, joilla ei ole ainuttakaan ominaisvektoria. Tämä voidaan nähdä seuraavasta esimerkistä. Hilbertin avaruuden formula_54 (avaruus, jonka muodostavat kaikki skalaarijonot formula_55 joille formula_56 suppenee) bilateraalisella siirrolla ei ole ominaisarvoja, mutta on spektriarvoja.
Funktionaalianalyysissä käsite "spektrin operaattori" määritellään joukoksi annetun spektrin spektriarvoja. Tätä käsitettä käytetään paljon sirontateoriassa.
Ääretönulotteisissa avaruuksissa operaattorin spektri voi olla "diskreetti" tai "jatkuva". Edellinen tapaus esiintyy, jos spektri on numeroituva joukko skalaareita, jälkimmäinen kun joukko on ylinumeroituva. Eksponentiaalinen kasvu tai hajoaminen tuottaa jatkuvan spektrin, kun taas esimerkiksi värähtelevä jousi diskreetin. Vetyatomin malleissa taas esiintyy molempia. Vetyatomin perustila vastaa diskreettiä spektriä, kun taas vedyn ionisoitumista kuvaava malli tuottaa jatkuvan spektrin.
Sovelluksia.
Esimerkki ominaisarvoyhtälöstä, missä muunnos formula_1 esitetään differentiaalioperaatioiden avulla, on ajasta riippumaton kvanttimekaniikan Schrödingerin yhtälö
formula_58
missä "H", Hamiltonin operaattori, on toisen kertaluvun differentiaalioperaattori ja formula_59, aaltofunktio, on yksi funktion ominaisfunktioista, jota vastaava ominaisarvo "E"" vastaa tilan energiaa.
Toisaalta tapaus, missä etsitään vain perustilan ratkaisua Schrödingerin yhtälölle, esiintyy usein kvanttikemiassa. Etsimme suuretta formula_59 neliöllisesti integroituvien funktioiden avaruudesta. Koska tämä avaruus on Hilbertin avaruus, jossa on hyvin määritelty skalaaritulo, voidaan muodostama niin sanottu perusjoukko, jossa formula_59 ja "H" voidaan esittää yksiulotteisena vektorina ja matriisina. Tällöin Schrödingerin yhtälö voidaan esittää matriisimuodossa.
Diracin bra-ket-merkintätapaa käytetään paljon tässä yhteydessä korostamaan eroa vektorin tai tilan formula_62 ja sen esityksen välillä. Tällöin Schrödingerin yhtälö kirjoitetaan muotoon
formula_63, ja suuretta formula_62 kutsutaan "H":n ominaistilaksi (toisinaan käytetään myös merkintää formula_65), joka nähdään muunnoksena pikemminkin kuin erityisenä differentiaalioperaattoreiden esityksenä. Yllä olevassa yhtälössä formula_66 ymmärretään vektorina, joka saadaan soveltamalla muunnosta "H" vektoriin formula_62.
Kvanttimekaniikassa, erityisesti atomi- ja molekyylifysiikassa, Hartree-Fock teoria atomisista ja molekulaarisista radoista voidaan määrittää Fock-operaattori ominaisvektorina. Vastaavat ominaisvektorit esittävät Koopmanin teorian ionisoitumispotentiaaleja. Tässä yhteydessä termiä ominaisvektori käytetään tavanomaista laajemmassa mielessä, koska Fockin operaattori riippuu eksplisiittisesti orbitaaleista ja niiden ominaisarvoista. Jos tätä halutaan korostaa, voidaan puhua "implisiittisestä ominaisarvoyhtälöstä". Tällaiset ominaisarvoyhtälöt ratkaistaan usein iteroimalla, tässä tapauksessa käytetty menetelmä on nimeltään itsekonsistentti kenttä -menetelmä. Kvanttikemiassa Hartree-Fock -yhtälöt esitetään usein ei-ortogonaalisena perusjoukkona. Tämä erityinen yleistetty ominaisarvoyhtälö on nimeltään Roothaanin yhtälö.
Kuvankäsittelyssä jonkun henkilön naamaa käsitellessä naama voidaan ajatella joukkona vektoreita, joiden komponentit kuvaavat kunkin pikselin kirkkautta. Tämän vektoriavaruuden dimensio on pikseleiden lukumäärä. Normalisoitujen kuvien muodostamaa kovarianssimatriisia kutsutaan ominaisnaamaksi. Näistä yhdistellä eri naamojen tunnuspiirteitä, jolloin esimerkiksi ominaisnaaman kuvan pakkaus on tehokasta. Menetelmää käytetään ihmisten tunnistamisessa.
Mekaniikassa jäykän kappaleen pääakseleiden muodostaman inertiatensorin ominaisvektoreista voidaan lukea kappaleen inertiamomentit. Inertiatensori mahdollistaa kappaleen koordinaattien laskemisen, kun kappale pyörii painopisteensä ympäri.
Kiinteän kappaleen mekaniikassa kuormitustensori on symmetrinen, joten se voidaan hajottaa diagonaalitensoriksi, jonka ominaisarvot voidaan lukea diagonaalilta ja jonka ominaisvektorit muodostavat tensorin kannan. Diagonaalisuuden perusteella tensorin kaikki komponentit ovat pääkomponentteja.
Verkkoteoriassa verkon ominaisarvot määritellään verkon vieruslistamatriisin "A" ominaisarvoiksi, tai nykyään yhä useammin verkon Laplacen matriisin formula_68, missä "T" on diagonaalimatriisi, joka sisältää verkon särmien asteet, ominaisarvoiksi. Verkon pääominaisarvoa käytetään arvioimaan kuinka yhtenäinen verkko on. Menetelmää käyttää esimerkiksi Googlen PageRank-algoritmi arvioimaan hakusanojen ja www-sivujen asiasisällön vastaavuutta.