Integraalifunktio

Funktion "f" integraalifunktio on funktio "F", jonka derivaatta on "f". Integraalifunktiota kutsutaan myös nimillä kantafunktio, määräämätön integraali, primitiivi sekä antiderivaatta, ja sille käytetään merkintää
formula_1.
Integraalifunktion määrittämistä eli derivoinnin käänteistoimitusta kutsutaan integroinniksi. Integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen, vaan siihen voi lisätä vakion, ja näin saadaan toinen saman funktion integraalifunktio.
Integraalifunktioiden ratkaisemiseksi voidaan käyttää erilaisia integroimissääntöjä, kuten muuttujanvaihtoa ja osittaisintegrointia. Integraalifunktioita on myös taulukoitu runsaasti, ja symbolisen matematiikan ohjelmistot kykenevät ratkaisemaan monia integraaleja. Toisin kuin derivointiin, integrointiin ei ole yleispätevää menetelmää, eikä kaikille funktioille edes ole olemassa alkeisfunktioiden avulla esitettävissä olevaa integraalifunktiota.
Funktion määrätty integraali pisteestä "a" pisteeseen "b" saadaan analyysin peruslauseen perusteella integraalifunktioiden erotuksena
formula_2.
Epäjatkuville funktioille ei välttämättä ole olemassa integraalifunktiota, joka olisi määritelty koko integroimisvälillä, joten aina analyysin peruslausetta ei voi käyttää integraalin määräämiseen.
Ensimmäinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksi.
Olkoon formula_3 Riemann-integroituva. Funktio formula_4 on funktion formula_5 eräs integraalifunktio, mikäli on olemassa formula_6 siten, että
formula_7
Lisäksi myös funktio formula_8 on funktion formula_5 integraalifunktio, mikäli formula_10 jollain formula_11.
Toinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksi (primitiivin määritelmä).
Olkoon formula_3. Mikäli on olemassa derivoituva funktio formula_13 siten, että formula_14, niin formula_4 on funktion formula_5 primitiivi eli antiderivaatta (tai integraalifunktio).
Alempi määritelmä vaatii, että integraalifunktio on derivoituva, ylempi määritelmä taas ei. Primitiiviltä eli antiderivaatalta vaaditaan siis aina derivoituvuusominaisuus, mutta ylemmän määritelmän mukaiselta integraalifunktiolta ei välttämättä. Määritelmät ovat kuitenkin jatkuville funktiolle samat. Alempi määritelmä on käsitteelliseltä kannalta ongelmallinen: kaikilla integroituvilla funktioilla ei sen mukaan ole integraalifunktiota.
Integraalifunktiot eroavat toisistaan vakiolla.
Integraalifunktio on summattavaa vakiota lukuun ottamatta yksikäsitteinen. Toisin sanoen, jos formula_4 on funktion formula_5 jokin integraalifunktio, niin kaikki sen integraalifunktiot ovat muotoa formula_19, missä integroimisvakio formula_11 on mielivaltainen. Integraalifunktiolle käytetään merkintää
formula_21,
missä integroimisvakiota ei ole kiinnitetty. Tätä merkintätapaa kutsutaan funktion formula_5 määräämättömäksi integraaliksi. Merkintätapa tarkoittaa joko sitä, että formula_4 on formula_5:n antiderivaatta, tai että formula_4 on formula_5:n integraalifunktio. Jatkuville funktiolle nämä ovat sama asia.
Integraalifunktioiden määrittäminen.
Integraalifunktioiden määrittämistä kutsutaan integroinniksi. Integrointi on derivoinnin käänteistoimenpide, jolla on tärkeä sovellus määrätyn Riemannin integraalin arvon laskemisessa.
Kaikkien alkeisfunktioiden integraalifunktioita ei voi esittää alkeisfunktioiden avulla. Tunnettuja esimerkkejä ovat:
formula_27
Määräämätön integraali on lineaarinen, eli jos funktioilla formula_5 ja formula_29 on integraalifunktiot ja formula_30, niin
formula_31.
Tässä kaavassa on oletettu, että yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella integroimisvakiot on sopivasti valittu.
Integraalifunktion yhteys määrättyyn integraaliin.
Analyysin toisesta peruslauseesta seuraa, että jos funktio formula_32 on jatkuva, voidaan kirjoittaa (tulos tunnetaan Newtonin-Leibnizin kaavana)
formula_33
Integroimiskaavoja.
Alla olevissa kaavoissa formula_5 ja formula_29 ovat formula_36:stä riippuvia Riemann-integroituvia funktioita, formula_37 reaaliluku ja formula_38 positiivinen reaaliluku. "Integroimisvakiota ei ole merkitty näkyviin".
formula_39
formula_40
formula_41
formula_42
formula_43
formula_44
formula_45
formula_46
formula_47
formula_48
formula_49
formula_50
formula_51
formula_52
formula_53
formula_54
formula_55