Tikapuuparadoksi

Tikapuuparadoksi (eli seiväs ladossa -paradoksi tai lipputankoparadoksi) on suppeaan suhteellisuus­teoriaan liittyvä ajatuskoe. Siinä oletetaan, että vaaka­suoraan asentoon, maan pinnan suuntaisesti asetettuja tikapuita kuljetetaan vaaka­suorasti suhteellisuus­teoreetti­sella nopeudella, toisin sanoen nopeudella, joka on siinä määrin lähellä valon­nopeutta, että pituuskontraktio eli Lorentz-kontraktio on havaittavissa. Tikapuiden tai muun pitkän­omaisen esineen (esimerkiksi seipään tai lipputangon) oletetaan kulkevan etu- ja takaoven kautta sellaisen autotallin tai ladon läpi, jonka pituus on pienempi kuin tikapuiden lepopituus, niin että jos tikapuut eivät olisi liikkeessä, ne eivät mahtuisi sisään. Maan suhteen levossa olevan havaitsijan kannalta näyttää kuitenkin pituuskontraktion vuoksi siltä, että kulkiessaan autotallin läpi tikapuut mahtuvat sinne kokonaisuudessaan ja ovat hetken aikaa kokonaan sisällä. Sen sijaan tikkaiden mukana liikkuvan havaitsijan näkökulmasta tikkaat eivät kutistu kokoon, kun taas autotalli tulee pituuskontraktion vuoksi entistäkin lyhemmäksi, joten tikapuut eivät mahdu kokonaisuudessaan sisään. Tästä näyttää seuraavan, että eri havaitsijoiden kannalta sinänsä yhtä todelliset tilanteet ovat ristiriidassa keskenään.
Tämä näennäinen paradoksi seuraa siitä, että virheellisesti oletetaan absoluuttinen samanaikaisuus. Tikapuiden sanotaan mahtuvan autotalliin, jos niiden molemmat päät voivat saman­aikaisesti olla autotallin sisällä. Paradoksi ratkeaa, kun otetaan huomioon, että suhteellisuusteorian mukaan tapahtumien saman­aikaisuus on suhteellinen, minkä vuoksi myös vastaus kysymykseen siitä, ovatko tikkaiden molemmat päät saman­aikaisesti autotallista, riippuu havaitsijan liike­tilasta ja sen mukaisesti käytetystä koordinaatistosta.
Paradoksi.
Yksinkertaisimmassa muodossaan paradoksissa oletetaan autotalli, jonka etu- ja takaovet ovat molemmat avoimia, ja tikapuut, jotka ollessaan levossa autotallin suhteen ovat liian pitkät mahtuakseen sisään. Oletetaan, että tikapuita kuljetetaan suurella vaakasuoralla nopeudella levossa olevan autotallin läpi. Tikkaiden suuren nopeuden vuoksi niihin vaikuttaa suhteellisuus­teoreettinen pituuskontraktio, ja ne tulevat merkittävästi lyhyemmiksi. Sen vuoksi tikapuut ovat autotallin läpi kulkiessaan hetkellisesti kokonaisuudessaan sisällä. Olisi periaatteessa mahdollista sulkea samanaikaisesti molemmat ovet sen toteamiseksi, että tikkaat ovat sisällä.
Tähän saakka kaikki on selvää. Paradoksi seuraa tilanteen symmetrisyydestä. Oletetaan, että tikkaiden mukana liikkuu toinen havaitsija, jonka nopeus autotallin lepokoordinaatistossa on sama kuin tikkaiden. Suhteellisuus­peri­aatten mukaisesti samat fysiikan lait kuitenkin pätevät myös tämän havaitsijan lepo­koordinaatiosta. Hänen näkö­kulmastaan tikkaat ovat levossa ja autotalli liikkuu suurella nopeudella. Siitä kuitenkin seuraa, että tikkaiden sijasta lyheneekin autotalli, joka on aivan liian pieni, jotta tikkaat mahtuisivat sisään, eikä molempia ovia voida sulkea samanaikaisesti tikkaiden ollessa sisällä. Tämä näennäinen ristiriita tunnetaan tikapuu­paradoksina.
Ratkaisu.
Paradoksin ratkaisee samanaikaisuuden suhteellisuus: kaksi tapahtumaa, jotka yhden, esimerkiksi autotallissa olevan havaitsijan kannalta ovat samanaikaisia, eivät välttämättä ole samanaikaisia toisen, esimerkiksi tikapuiden mukana liikkuvan havaitsijan kannalta. Kun sanotaan, että tikapuut "mahtuvat" sisään autotalliin, tarkoitetaan täsmällisemmin sanottuna sitä, että jonakin tiettynä hetkenä tikapuiden alku- ja loppupää ovat molemmat samanaikaisesti sisällä autotallissa, toisin sanoen tikapuut ovat jollakin hetkellä kokonaisuudessaan sisällä autotallissa. Koska samanaikaisuus on suhteellista, toisen havaitsijan vertailujärjestelmässä sellaista hetkeä ei välttämättä ole. Autotallin vertailujärjestelmässä eli sen lepokoordinaatistossa tikkaiden molemmat päät olivat samanaikaisesti sisällä autotallissa, sillä ne mahtuivat sisään, mutta tikapuiden vertailujärjestelmässä nämä tapahtumat eivät olleet samanaikaisia eivätkä tikkaat millään hetkellä olleet kokonaisuudessaan sisällä.
Asiaa voidaan selventää olettamalla, että autotallin vertailujärjestelmässä sen molemmat ovet suljetaan hetkeksi samanaikaisesti tikkaiden ollessa sisällä. Tarkastellaan samoja tapahtumia tikapuiden vertailujärjestelmässä. Ensin tikapuiden alkupää lähestyy autotallin poistumisovea. Ovi sulkeutuu ja avautuu jälleen, niin että tikapuut pääsevät ulos. Vasta myöhemmin tikapuiden loppupää kulkee autotallin etuovesta sisään, minkä jälkeen tämä ovi suljetaan ja jälleen avataan. Todetaan, että samanaikaisuus on suhteellista. Tikapuiden vertailujärjestelmässä molemmat ovet eivät sulkeutuneet samanaikaisesti eikä tikkaiden tarvitse mahtua sisään autotalliin.
Tilannetta voidaan vielä havainnollistaa alla olevalla Minkowskin diagrammilla. Diagrammi esittää autotallin vertailujärjestelmää. Pystysuora vaaleansininen suorakulmio osoittaa autotallin aika-avaruudessa ja vaaleanpunainen suunnikas tikkaita aika-avaruudessa. Kaavion x- ja t-akselit ovat paikka- ja aika-akselit autotallin, x′ ja t′ taas tikkaiden vertailujärjestelmässä.
Autotallin vertailujärjestelmässä tikapuita millä tahansa hetkellä esittää vaaleanpunaisen suunnikkaan läpi kulkeva vaakasuora, x-akselin suuntainen jana. Yksi sellainen on kaavioon sinisellä merkitty jana AB, joka on kokonaan vaaleansinisen, autotallia kuvaavan suorakulmion sisällä ja esittää tikapuita hetkellä, jolloin ne ovat kokonaan sisällä autotallissa. Tikkaiden vertailujärjestelmässä sitä vastoin samanaikaisia ovat ne tapahtumat, joiden vastinpisteet ovat samalla x'-akselin suuntaisella janalla. Tikapuita millä tahansa hetkellä esittää näin ollen x'-akselin suuntainen, punaisen suunnikkaan läpi kulkeva jana, kaaviossa esimerkiksi jana AC. Nähdään, etteivät mikään tällainen jana mahdu kokonaisuudessaan vaaleansinisen suorakulmion sisään, toisin sanoen tikapuut eivät millään hetkellä ole kokonaisuudessaan autotallin sisällä.
Tikkaiden sulkeminen autotalliin.
Hieman monimutkaisempi versio paradoksista saadaan, jos tikapuut suljetaan sisään autotalliin niiden ollessa kokonaan sisällä. Tämä voidaan saada aikaan esimerkiksi niin, että poistumisovea ei sen sulkemisen jälkeen avata uudelleen. Autotallin vertailujärjestelmässä voidaan olettaa, ettei poistumisovi ole liikkeessä, ja niinpä kun tikapuut osuvat siihen, sanotaan, että ne yhtäkkisesti pysähtyvät. Wolfgang Rindler kuvaili tilannetta sauvalla, joka kiihtyy samanaikaisesti. Sillä hetkellä myös se ovi, josta tikkaat tulivat sisään, on kiinni, joten tikkaat jäävät sisään autotalliin. Koska niiden suhteellinen nopeus on nyt nolla, ne eivät enää ole pituuskontraktoituneet ja ovat nyt pidemmät kuin autotalli; niinpä niiden tulisi taipua, katketa tai räjähtää.
Tässäkin tapauksessa ongelmia aiheuttaa tilanteen tarkasteleminen tikapuiden vertailujärjestelmässä. Omassa vertailujärjestelmässään tikapuut ovat aina pidempiä kuin autotalli. Kuinka ovet siis voidaan sulkea niin, että tikapuut jäävät sisään?
Tässä on huomattava yksi suhteellisuusteorialle ominainen yleinen piirre. Tarkastelemalla tilannetta autotallin kannalta olemme päätelleet että tikapuut on mahdollista sulkea sisään. Tämän täytyy kuitenkin olla totta kaikissa vertailujärjestelmissä – ei voi olla niin, että ne jäävät sisään yhdessä vertailujärjestelmässä, mutta eivät toisessa. Näin ollen myös tikkaiden vertailujärjestelmässä on oltava selitys sille, että ne voidaan sulkea sisään autotalliin; tämä selitys on vain löydettävä.
Ratkaisu on, että vaikka tikkaiden kaikkien osien nopeus autotallin vertailujärjestelmässä pienenee nollaan samanaikaisesti, mutta samanaikaisuuden suhteellisuuden vuoksi tikkaiden eri osien hidastumiset eivät niiden omassa vertailujärjestelmässä ole samanaikaisia. Itse asiassa tikkaiden eri osien liike hidastuu eri aikaan, toinen toisensa jälkeen hidastuvat toinen toistensa jälkeen, ensin niiden etupään ja viimeiseksi niiden takapään liike hetkellä, jolloin se on jo autotallissa.
Tikapuuparadoksi liittyy pituuskontraktioon vastaavalla tavalla kuin kaksosparadoksi aikadilataatioon, joka pituuskontraktion tavoin sekin on Lorentzin muunnoksen ilmenemismuoto. Kaksosparadoksissa oletetaan, että toinen kaksosveljistä lähtee Maasta, liikkuu avaruudessa suurella nopeudella ja palaa Maahan veljeään nuorempana. Samaan tapaan kuin tikapuuparadoksissa tikapuut ja autotalli liikkuvat toistensa suhteen, on kaksosparadoksissakin kysymys siitä, että molemmat veljekset liikkuvat toistensa suhteen, jolloin suhteellisuusperiaatteen mukaisesti molempien voisi olettaa olevan samanarvoisessa asemassa. Kummassakaan tapauksessa eri vertailujärjestelmät eivät kuitenkaan ole yhtäläisessä asemassa, sillä vain toinen osapuoli (tikapuuparadoksissa tikapuut, kaksosparadoksissa avaruusmatkaaja) joutuu kiihtyvään liikkeeseen, joka rikkoo tilanteen symmetrian. (Ellei avaruusmatkaaja missään vaiheessa joutuisi kiihtyvään liikkeeseen, hän liikkuisi aina vain suoraan poispäin Maasta eikä koskaan palaisi.) 
Tikapuuparadoksi ja voiman välittyminen.
Tarkastellaan, mitä tapahtuu, jos autotallin takaovi, josta tikapuut tulevat ulos, on pysyvästi suljettu eikä sitä missään vaiheessa avata. Oletetaan, että ovi on niin luja, ettei se hajoa tikkaiden törmätessä siihen, joten tikkaiden on pysähdyttävä. Kuten edellä esitetyssä tapauksessa, autotallin vertailujärjestelmässä on nytkin hetki, jolloin tikapuut ovat kokonaan sisällä, toisin sanoen niiden loppupää on kulkenut etuoven ohi, ennen kuin se törmää takaseinään ja pysähtyy. Tikapuiden vertailujärjestelmässä tikkaat ovat kuitenkin liian pitkät mahtuakseen autotalliin, joten törmäyksen hetkellä tikkaiden loppupää ei ole vielä kulkenut etuoven ohi. Tämä näyttää paradoksilta. Kysymys on, kulkeeko tikkaiden loppupää etuoven ohi vai eikö.
Vaikeus seuraa pääasiassa oletuksesta, että tikkaat ovat jäykkä kappale, toisin sanoen se ei muuta muotoaan. Arkielämässä tikkaat vaikuttavatkin jäykiltä. Mutta kappale voisi olla täysin jäykkä vain, jos voima välittyisi sen läpi äärettömän nopeasti. Toisin sanoen jos kappaleen toista päätä työnnetään, sen toisen pään olisi reagoitava samalla hetkellä, muussa tapauksessa kappaleen muoto muuttuu. Tämä on vastoin suppeaa suhteellisuusteoriaa, jonka mukaan informaatio ei voi edetä valoa nopeammin. Tällä seikalla ei yleensä ole havaittavia seurauksia arkielämässä, mutta tikapuuparadoksin ratkaisun kannalta tämä on oleellinen asia. Suppean suhteellisuusteorian mukaan ei siis voi olla olemassa täysin jäykkiä kappaleita.
Sillä hetkellä kun tikapuiden alkupää törmää takaseinään, niiden loppupää ei vielä "tiedä" niin tapahtuneen, ja näin ollen se jatkaa liikettään tasaisella nopeudella suoraan eteenpäin. Tämä ilmenee tikkaiden puristumisena kokoon. Sekä autotallin että tikkaiden vertailu­järjestelmässä tikkaiden loppupää jatkaa liikettään törmäyksen aikana ainakin siihen hetkeen saakka, jolloin törmäys­tapahtuman valokartio saavuttaa tikkaiden loppupään, toisin sanoen hetkeen, jolloin törmäyksestä valon­nopeudella lähtenyt signaali saavuttaisi tikkaiden loppupään. Sillä hetkellä tikkaat ovat itse asiassa alku­peräistä kontraktoitunutta pituuttaan lyhempiä, joten niiden loppupää mahtuu vielä auto­talliin. Molemmissa vertailu­järjestelmissä suoritetut laskut vahvistavat tämän.
Tämä teoreettinen tarkastelu ei kuitenkaan riitä selvittämään, mitä tikkaille tapahtuu sen jälkeen, kun voima on saavuttanut niiden loppupään (vihreän alueen oheisessa diagrammissa). Tikkaiden materiaalista riippuen ne toden­näköisesti murskautuvat, mutta jos ne olisivat tarpeeksi kimmoiset ja sitkeät, periaatteessa ne voisivat taipua ja sen jälkeen jopa laajeta takaisin alkuperäiseen pituuteensa. Tarpeeksi suurilla nopeuksilla mikä tahansa todellinen materiaali kuitenkin räjähtäisi tällaisessa törmäyksessä suurella voimalla plasmaksi.
Kuoppaan putoava ihminen.
Erään muunnetun version tikapuuparadoksista esitti ja ratkaisi Wolfgang Rindler. Hän tarkasteli ajatuskokeessaan nopeasti kävelevää ihmistä, jonka hän paradoksia kuvaillessaan korvasi sauvalla ja joka äkillisesti putosi syvään kuoppaan. Oletettiin, että kuopan vertailu­järjestelmässä sauva oli kokonaan kuopassa ennen kuin sen kiihtyvä liike alas­päin alkoi saman­aikaisesti sauvan jokaisessa kohdassa.
Kuopan vertailu­järjestelmässä sauva kokee pituus­kontraktion ja mahtuu kuoppaan. Sauvan vertailu­järjestelmässä kontraktion kuitenkin kokee kuoppa, ei sauva, minkä vuoksi sauva vaikuttaa liian lyhyeltä mahtuakseen koko pituudeltaan kuoppaan.
Sauvan alas­päin suuntautuva kiihtyvyys on sen joka kohdassa saman­aikainen kuopan vertailu­järjestelmässä. Sauvan vertailu­järjestelmässä näin ei kuitenkaan ole laita, vaan pystysuoran kiihtyvyyden saan ensin sen etupää, jota esittää oheisen kaavion alin kerros. Ajan kuluessa yhä suurempi osa sauvasta saa alaspäin suuntautuvan kiihtyvyyden, kunnes lopulta koko sauva on kiihtyvässä liikkeessä. Tämä kuitenkin seuraa, että sauvan vertailu­järjestelmässä sauva myös taipuu. Koska näin tapahtuu sauvan vertailu­järjestelmässä, kyseessä on todellinen fysikaalinen muutos, joka aiheuttaa jännityksiä sauvan sisällä.
Putoavaa sauvaakaan ei siis voida pitää täysin jäykkänä kappaleena. Jotta tämä taipuminen olisi havaittavissa, sekä sauvan pituuden että kuopan syvyyden on kuitenkin oltava niin suuret, että putoamiseen kuluva aika on mitattavissa.
Tanko- ja rengasparadoksi.
Sauva- ja kuoppaparadoksia muistuttaa myös Rafael Ferraron vuonna 2007 esittämä tangon ja renkaan ongelma, joka kuitenkin on oleellisesti yksinkertaisempi. Edellä esitettyä sauva- ja kuoppaparadoksia mutkistaa se seikka, että tilanteen kuvaamiseen on käytettävä myös ei-inertiaalisia koordinaatistoja, koska tilanteeseen liittyy eri suuntaisia liikkeitä: ensin ihminen kävelee vaakasuoraan ja sitten putoaa pysty­suoraan, jota paitsi toisessa vertailu­järjestelmässä ihminen tai vastaava sauva myös kaareutuu, kun taas toisessa se pysyy suorana. Tämä herättää helposti kysymyksen sauvan sitkeydestä, joka on omiaan hämärtämään "paradoksin" todellisen luonteen. Tanko- ja rengas­paradoksiin ei tällaisia mutkistavia lisäpiirteitä liity. Siinä oletetaan, että tanko, jonka pituus on hieman suurempip kuin renkaan läpimitta, on liikkeessä ylä­oikealle, kun taas rengas on levossa vaaka­suorassa tasossa. Jos tangon liike on sellainen, että jollakin hetkellä sen keski­piste on renkaan keski­pisteessä, tanko on Lorentz-kontraktoitunut liikkeensä eteenpäin suuntautuvan komponenttinsa vuoksi ja se mahtuu kulkemaan renkaan läpi. Paradoksi ilmenee, kun tilannetta tarkastellaan tangon lepo­koordi­naatis­tossa. Siinä rengas on liikkeessä ala­vasemmalle ja on Lorentz-kontraktoitunut vaaka­suorassa suunnassa, kun taas tanko ei ole lainkaan kontraktoitunut. Kuinka tanko siis pääsee renkaan läpi?
Tässäkin tapauksessa paradoksin ratkaisu liittyy saman­aikaisuuden suhteelli­suuteen. Fysikaalisen kappaleen pituus määritellään kahden "saman­aikaisen" tapahtuman etäisyytenä, jotka tapahtuvat sen kummassakin päässä, ja koska saman­aikaisuus on suhteellista, on samoin tämän pituuden laita. Tämä pituuden vaihtelevuus on juuri Lorentz-kontraktio. Samoin fysikaalinen kulma määritellään kolmen "samanaikaisen" tapahtuman välisenä kulmana, ja sekin on samalla tavalla suhteellinen suure. Tässä esitetyssä paradoksissa sauva on renkaan tason suuntainen renkaan, mutta ei sauvan lepo­koordinaatistossa. Kontraktoitumaton sauva pääsee kulkemaan Lorentz-kontraktoituneen renkaan sisä­puolitse, koska sauvan lepo­koordi­naatistossa rengas on siinä määrin vinossa asennossa sauvaan nähden, että sauva mahtuu kulkemaan sen sisä­puolitse.
Matemaatisin termein Lorentz-muunnos voidaan esittää avaruudellisen kiertymisen ja "puhtaan" Lorentz-muunnoksen tulona, joista jälkimmäinen ei sisällä avaruudellista kiertymistä. Sauva- ja rengas­paradoksin matemaattinen ratkaisu perustuu siihen, että kahden puhtaan Lorentz-muunnoksen (vaaka­suoran ja pysty­suoran) tulo ei välttämättä ole puhdas (tässä tapauksessa viistoa liikettä vastaava) Lorentz-kontraktio, vaan se voi sisältää avaruudellisen kiertymis­komponentin.