Determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on skalaariarvoinen determinantti, joka kuvaa tiettyjä sitä vastaavan lineaarikuvauksen ominaisuuksia. Esimerkiksi formula_1 matriisin determinantin itseisarvo kertoo kuinka paljon tilavuus muuttuu lineaarikuvauksessa. Neliömatriisin formula_2 determinantti merkitään:
formula_3
Matriisin formula_2 alimatriisi formula_5 saadaan poistamalla matriisista formula_6:s vaakarivi ja formula_7:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia formula_8 sanotaan alkion formula_9 alideterminantiksi.
Määritelmä.
Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:
Matriisin formula_10 determinantti on
formula_11
jossa formula_12 on eräs formula_13:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja 
formula_14
Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3...,"n"}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.
Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi formula_15 determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:
formula_16
formula_20
formula_20
formula_22
formula_23
Laskusääntöjä.
Sarrus’n sääntö on eräs menetelmä ja muistisääntö 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi.
Determinantin laskeminen.
Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:
formula_24
jossa "A""ik" on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan "A":sta i:s rivi ja k:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.
Esimerkki:
formula_25
Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo formula_26 matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:
formula_27
,jossa vakio "c" määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja formula_28 ovat "A":sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus "c":hen näkyy alla:
"Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa."
Alkion komplementti.
määritellään alkion formula_32 komplementti eli kofaktori
formula_33.
Matriisin formula_34 adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään 
formula_35.
Determinantin käyttäminen.
Neliömatriisia formula_2 sanotaan kääntyväksi tai säännölliseksi, jos formula_37. Jos formula_38, matriisi on singulaarinen.
Säännölliselle matriisille formula_2 pätee
formula_40 ja formula_41.
Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.
Geometrisia tulkintoja.
Kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa determinantti vastaa lineaarikuvauksen geometrisia ominaisuuksia. Determinantin itseisarvo vastaa joko pinta-alan tai tilavuuden muutosta lineaarikuvauksessa. Determinantin positiivinen etumerkki tarkoittaa, että kätisyys ei muutu kuvauksessa, kun taas kätisyyden peilaavien kuvauksien determinantti on negatiivinen. Jos determinantti on formula_42, lineaarikuvaus litistää pienempään ulottuvuuteen, suoralle tai tasolle.
Lisäksi determinantti vastaa matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. Fysiikassa matriisin determinantti merkitsee momenttia.