Tekijäavaruus (topologia)

Topologiassa ja siihen liittyvillä matematiikan aloilla tekijäavaruus on, intuitiivisesti ilmaistuna tulos, joka saadaan samastamalla toisiinsa tai ”liimaamalla yhteen” jotkin annetut topologisen avaruuden pisteet. Toisiinsa samastettavat tai ”yhteen liimattavat” pisteet määritellään ekvivalenssirelaatiolla. Tavallisimmin tämä tehdään uuden topologisen avaruuden konstruoimiseksi jonkin ennestään tunnetun avulla. Tekijätopologia käsittää ne joukot, joiden alkukuva siinä kanonisessa projektiossa, jolla jokainen lähtöavaruuden alkio kuvataan sitä vastaavalle ekvivalenssiluokalle, on avoin joukko.
Määritelmä.
Olkoon formula_1 topologinen avaruus, ja olkoon "~" jokin ekvivalenssirelaatio avaruudessa formula_2. Tekijäavaruus formula_3 on formula_2:n alkioiden ekvivalenssiluokkien joukko:
formula_5
varustettuna topologialla, jossa avoimia joukkoja ovat ne ekvivalenssiluokkien joukot, joiden yhdisteet ovat avoimia joukkoja "X":ssä:
formula_6
Yhtäpitävästi voidaan määritellä avoimiksi ne joukot, joiden alkukuva surjektiivisessa kuvauksessa formula_7, joka liittää jokaiseen "X":n pisteeseen sitä vastaavan ekvivalenssiluokan, on avoin:
formula_8
Tekijäavaruuden avoimien joukkojen muodostama tekijätopologia on siis projektion formula_7 koindusoima topologia avaruudessa "X/~".
Samastuskuvaus.
Tekijäavaruuteen liittyy läheisesti myös samastuskuvauksen eli tekijäkuvauksen käsite. Sanotaan, että kuvaus formula_10 on "samastuskuvaus", jos se on surjektio ja jos "Y"n osajoukoista "U" ovat avoimia ne ja vain ne, joiden alkukuva on avoin. Yhtäpitävästi voidaan määritellä, että formula_11 on samastuskuvaus, jos se on surjektio ja jos se koindusoi maaliavaruuteen "Y" sen alkuperäisen topologian.
Jos formula_12 on ekvivalenssirelaatio joukossa formula_2, kanoninen kuvaus formula_14 on samastuskuvaus.
Pisteiden liimaaminen.
Tämän ekvivalenssirelaation määrittämän tekijäavaruuden muodostamista sanotaan pisteiden "x" ja "y" ”liimaamiseksi” yhteen. Yleensäkin tekijäavaruuden muodostamista voidaan havainnollistaa kuvittelemalla, että samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat pisteet ikään kuin ”liimataan” kiinni toisiinsa. Kuten jäljempänä mainitut esimerkit osoittavat, tämä voidaan monessa, joskaan ei kaikissa tapauksissa tehdä aivan konkreettisestikin.
Esimerkkejä.
Huomattakoon kuitenkin, että merkintä formula_36 voi tarkoittaa kahta eri asiaa. Jos formula_34 käsitetään edellä selitetyllä tavalla formula_39:n kuvausten muodostamaksi ryhmäksi, saadaan edellä kerrotulla tavalla ympyrä. Jos kuitenkin formula_34 käsitetään formula_39:n aliavaruudeksi, tekijäavaruudeksi saadaan numeroituvasti ääretön joukko silmukoita, jotka kohtaavat toisensa yhdessä pisteessä; kukin silmukka vastaa yhtä avointa väliä formula_42, missä "n" on kokonaisluku.
Ominaisuuksia.
Jokainen kompakti metristyvä avaruus voidaan esittää Cantorin joukon tekijäavaruutena.
Jokainen kompakti yhtenäinen n-monisto, kun n&gt;0, voidaan esittää minkä tahansa muun kompaktin yhtenäisen n-moniston tekijäavaruutena, ja kuvaus tekijäavaruudesta f:X/~-&gt;Y on jatkuva, jos ja vain jos f0q:X-&gt;Y on jatkuva.
Topologisen avaruuden "X" surjektio "q" toiselle topologiselle avaruudelle "Y" on samaistuskuvaus, jos sillä on seuraava ominaisuus: jos "Z" on mikä tahansa topologinen avaruus ja formula_43 mikä tahansa kuvaus, "f" on jatkuva, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus "f" ° "q" on jatkuva.
Tekijäavaruutta "X"/~ yhdessä samastuskuvauksen "q" : "X" -&gt; "X"/~ kanssa luonnehtii seuraava universaaliominaisuus: Jos "g" : "X" -&gt; "Z" on sellainen jatkuva kuvaus, että kaikilla samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvilla "X"n alkioilla on sama kuvapiste "Z":ssä, on olemassa yksi ja vain yksi sellainen jatkuva kuvaus "f" : "X"/~ -&gt; "Z", että "g" = "f" ° "q". Sanotaan, että "g" "laskeutuu tekijäavaruuteen".
Tekijäavaruuden "X"/~ jatkuvia kuvauksia ovat siis ne ja vain ne kuvaukset, jotka saadaan "X":ssä määritellyistä jatkuvista kuvauksista ja jotka ovat yhteensopivia ekvivalenssirelaation kanssa (siinä mielessä, että ekvivalenteilla alkioilla on sama kuva). Tutkittaessa tekijäavaruuksia tätä kriteeriä käytetään paljon.
Usein on selvitettävä, onko jokin surjektio "q" : "X" -&gt; "Y" samaistuskuvaus. Jos "q" on avoin tai suljettu kuvaus, se on samaistuskuvaus. Nämä ovat kuitenkin vain riittäviä, mutta eivät välttämättömiä ehtoja. On helppo muodostaa esimerkkejä samaistuskuvauksista, jotka eivät ole avoimia eivätkä suljettuja. Topologisten ryhmien tapauksessa samaistuskuvaukset ovat avoimia.
Suhde muihin topologisiin käsitteisiin.
Erotteluaksioomat.
Erotteluaksioomien suhteen tekijäavaruudet käyttäytyvät usein yllättävällä tavalla. Vaikka topologinen avaruus "X" toteuttaa yhden tai useamman erotteluaksiooman, tekijäavaruus "X"/~ ei niitä välttämättä noudata. Toisaalta tekijäavaruudella "X"/~ voi olla erotteluominaisuuksia, joita alkuperäisellä avaruudella "X" ei ole. Seuraavat tulokset ovat kuitenkin voimassa:
Yhtenäisyys.
Jos avaruus on yhtenäinen tai polkuyhtenäinen, samoin ovat sen kaikki tekijäavaruudet.
Yhdesti yhtenäisen tai kutistuvan avaruuden tekijäavaruus ei välttämättä ole yhdesti yhtenäinen eikä kutistuva.
Kompaktius.
Kompaktin avaruuden kaikki tekijäavaruudet ovat kompakteja. Sen sijaan lokaalisti kompaktin avaruuden tekijäavaruus ei välttämättä ole lokaalisti kompakti.
Ulottuvuus.
Tekijäavaruuden topologinen ulottuvuus voi olla suurempi tai pienempi kuin alkuperäisen avaruuden. Avaruuden täyttävät käyrät tarjoavat tästä esimerkkejä.