Neutraalialkio

Joukon formula_1 alkio formula_2 on neutraalialkio eli identiteetti jonkin joukossa määritellyn binäärioperaation formula_3 suhteen, jos formula_4 ja formula_5 kaikilla formula_6. Neutraalialkio ei siis "muuta" toista alkiota tässä operaatiossa. Neutraalialkio on yksikäsitteinen (jos se on olemassa).
Esimerkiksi reaalilukujen (samoin kokonaislukujen ja rationaalilukujen) yhteenlaskun neutraalialkio on "0" ja kertolaskun "1". Tietynkokoisten neliömatriisien matriisikertolaskun neutraalialkio on identiteettimatriisi. Jos "S" on parillisten lukujen joukko, sillä ei ole neutraalialkiota kertolaskun suhteen (ei edes oikeaa eikä vasenta).
Vasen neutraalialkio toteuttaa ehdon formula_4 ja oikea neutraalialkio ehdon formula_5 kaikilla formula_6. Jos binäärioperaatiolle on olemassa sekä vasen että oikea neutraalialkio, ne ovat yksikäsitteisiä ja samat (siis kaksipuolinen neutraalialkio eli neutraalialkio).
Kertolaskun neutraalialkiota kutsutaan joskus ykkösalkioksi ja yhteenlaskun neutraalialkiota nolla-alkioksi. 
"Yksikkö" saattaa tarkoittaa mitä tahansa kääntyvää alkiota (kertolaskun suhteen).
Kirjain formula_2 tulee saksankielisestä sanasta "Einheit".
Formaalinen määritelmä ja nimityksiä.
Olkoon operaatio formula_3 joukossa formula_1 määritelty binäärioperaatio (eli formula_13).
Joukon formula_1 alkio formula_2 on "vasemmanpuoleinen neutraalialkio", jos formula_4 kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla formula_17. Samoin, jos formula_5 kaikilla joukkoon formula_1 kuuluvilla alkioilla formula_17, on formula_2 "oikeanpuoleinen neutraalialkio". 
Jos formula_2 on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen neutraalialkio eli formula_23 kaikilla formula_6, sitä kutsutaan "neutraalialkioksi". Tällöin pari formula_25 on monoidi, jos lisäksi formula_3 on assosiatiivinen.
Esimerkkejä.
Neutraalialkioita voi olla useitakin ellei peräti äärettömän monta. Määritelkäämme vallan erikoinen laskutoimitus formula_27 seuraavasti: formula_28 missä formula_29 Tällöin mikä tahansa reaaliluku, esimerkiksi luku 2, on oikeanpuoleinen neutraalialkio, koska määritelmän mukaan formula_30 Sen sijaan vasenmmanpuoleista neutraalialkiota ei ole. Määrittelemällä formula_31 on tilanne päinvastainen. 
Joskus neutraalialkioita ei ole olemassa. Jos lukujoukko koostuu luonnollisista luvuista formula_32, ei ole olemassa neutraalialkiota tavallisella kertolaskulla (koska luku 1 puuttuu). Samoin käy parille formula_33, kun laskutoimitus määritellään formula_34
Määriteltäköön reaaliluvuille laskutoimitus formula_35, jossa formula_36 Luku yksi on tämän laskutoimituksen vasemman- ja oikeanpuoleinen neutraalialkio, sillä formula_37 ja formula_38 
Vaikka "e" olisi joukon "S" operaation * neutraalialkio, voi olla olemassa "S":n osajoukko "T", johon "e" ei kuulu ja joka on silti suljettu operaation * suhteen neutraalialkionaan jokin toinen alkio "f". Itse asiassa "S" ja "T" voivat olla jopa ykkösellisiä renkaita samoilla operaatioilla.
Muita esimerkkejä.
Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että ("S",×):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos joukossa on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja onkin oikeastaan olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä "v":llä ja oikeaa "o":lla. Tällöin "v" = "v" × "o" = "o". Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti.
Neutraalialkio ja käänteisalkio.
Luvun formula_17 käänteisalkio formula_40 ovat lukuja, jotka muodostavat laskutoimituksessa neutraalialkion formula_2 eli formula_42. Jos parilla formula_25 on vain yksi neutraalialkio, on jokaisella muulla luvulla yksikäsitteinen käänteisalkio.