Binomisarja

Binomisarja on funktion formula_1 Taylorin sarja, kun formula_2 on mielivaltainen kompleksi- tai erikoistapauksessa reaaliluku. Se voidaan esittää muodossa
formula_3
jolloin binomisarja on yhtälön (1) oikealla puolella oleva potenssisarja. Yhtälö pätee, kun tämä sarja suppenee. Sen kertoimet voidaan esittää yleistettyinä binomikertoimina:
formula_4
Erikoistapauksia.
Jos "α" on ei-negatiivinen kokonaisluku "n", sarjan ("n" + 2):s ja kaikki sen jälkeiset termit ovat nollia, sillä ne ovat tuloja, joissa yksi tekijä on "n"−"n" = =0. Tässä tapauksessa sarjassa on siis vain äärellinen määrä yhteen­laskettavia, ja tuloksena saadaan algebran binomilause.
Seuraava tulos pätee kaikille kompleksi­luvuille "β", mutta se on erityisen hyödyllinen, kun yhtälössä (1) esiintyvä eksponentti on negatiivinen kokonaisluku:
formula_5
Tämän todistamiseksi on yhtälössä (1) tehtävä korvaus "x" = −"z" in (1) ja sovellettava binomikertoimille johdettua tulosta
formula_6
Suppeneminen.
Suppenemisehdot.
Suppeneeko sarja (1), riippuu kompleksilukujen formula_7 ja formula_8 arvoista. Tarkemmin sanottuna:
Toisin sanoen jos formula_7, sarjan suppenemissäde on 1. Suppenemis­kiekon formula_10 kehällä tilanteesta voidaan esittää seuraava yhteenveto:
Todistuksessa käytettyjä tuloksia.
Kaikille kompleksiluvuille  α: pätee:
formula_16
formula_17
formula_18
Jos formula_7 on ei-negatiivinen kokonaisluku, lausekkeen kertoimet ovat nollia, kun formula_20 on suurempi kuin formula_7. Muussa tapauksessa kertoimille pätee käyttö­kelpoinen asymp­toottinen yhteys, joka Landaun symbolilla voidaan merkitä:e
formula_22
Tämä on oleellisesti yhtäpitävä Eulerin gammafunktion määritelmän kanssa:
formula_23,
josta binomikertoimelle saadaan välittömästi karkea arvio:
formula_24
missä "m" ja "M" ovat joitakin kokonaislukuja.
Kaavan (2) avulla on helppo todistaa induktiivisesti, että
formula_25
Todistus.
Yhtälöiden (i) ja (v) todistamiseksi sovelletaan osamäärätestiä ja käytetään edellä esitettyä kaavaa osoittamaan, että kun formula_7 ei ole ei-negatiivinen kokonais­luku, kompleksi­tasossa sen kiekon säde, jossa sarja suppenee, on tasan  1. Kohta (ii) seuraa yhtälöstä (5) vertaamalla p-sarjaan
formula_27
missä formula_28. Kohdan (iii) todistamiseksi käytetään ensin kaavaa (3), josta saadaan
formula_29
minkä jälkeen käytetään tulosta (ii) ja jälleen kaavaa (5) sen todistamiseksi, että yhtälön oikealla puolella oleva sadja suppenee, kun oletetaan, että formula_30. Toisaalta sarja ei suppene, jos formula_31 ja formula_32, mikä sekin seuraa kaavasta (5). Vaihtoehtoisesti voidaan todeta, että kaikilla arvoilla formula_33 pätee: formula_34. Niinpä kaavasta (6) seuraa, että kaikilla arvoilla formula_20 on formula_36. Kohta (iii) on näin todistettu. Kohdan (iv) todistamiseksi käytetään yllä olevaa identiteettiä (7) ja sijoittamalla siihen formula_37 ja formula_7:n paikalle formula_39 in place of formula_7. Kaavan (4) avulla saadaan tällöin:
formula_41 
kun formula_42. Tulos (iv) seuraa nyt sarjan formula_43 asymptootti­sesta käyttäytymisestä. (Tarkemmin sanottunaformula_44 selvästikin suppenee kohti arvoa formula_45, jos formula_46, ja hajaantuu kohti arvoa formula_47 jos formula_48. Jos formula_49, niin formula_50 suppenee, jos ja vain jos sarja formula_51 suppenee formula_52, mikä selvästikin pätee, jos formula_53, mutta ei jos formula_54. Jälkimmäisessä tapauksessa lukujono on tiheä formula_52, koska formula_56 hajaantuu ja formula_57 suppenee kohti nollaa).
Binomisarjan summaus.
Binomisarjan summaus voidaan suorittaa seuraavasti. Differentioimalla binomi­sarja termeittäin suppenemis­kiekossa |"x"| &lt; 1 ja käyttämällä kaavaa (1) todetaan, että sarjan summa on analyyttinen funktio, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön (1 + "x")"u"'("x") = "αu"("x") alkuarvolla "u"(0) = 1. Ainoa tällainen funktio on "u"("x") = (1 + "x")"α", joka siis on binomi­sarjan summa ainakin arvoilla |"x"| &lt; 1. Yhtä­suuruus pätee myös, kun |"x"| = 1, mikäli sarja suppenee, mikä seuraa Abelin lauseesta ja funktion (1 + "x")"α" jatkuvuudesta.
Historia.
Ensimmäiset tulokset, jotka koskevat binomisarjan suppenemista, kun eksponentti ei ole ei-negatiivinen kokonaisluku, esitti Isaac Newton tutkitessaan eräiden käyrien alle jääneiden alueiden pinta-aloja. Newtonin tuloksiin perustuen John Wallis käsitteli muotoa "y" = (1 − "x"2)"m" olevia lausekkeita, missä "m" on murtoluku. Nykyisellä terminologialla ilmaistuna hänen tuloksensa osoittaa, että funktiolla −"x"2)"k" on sarjakehitelmä, jonka kertoimet "c""k" saadaan kertomalla edellinen kerroin luvulla formula_58, samoin kuin kokonais­luku­eksponenttienkin tapauksessa, ja täten hän sai muodostetuksi näille kertoimille im­pli­siit­ti­sen lausekkeen. Seuraaville erikois­tapauksille hän johti myös eks­pli­siit­ti­set lausekkeet:
formula_59
formula_60
formula_61
Binomisarjaa koskevaa tulosta sanotaan sen vuoksi joskus "Newtonin binomilauseeksi". Newton ei kuitenkaan esittänyt todistusta, mutta hän totesi sen pätevän useissa käsittelemissään erikoistapauksissa. Myöhemmn Niels Henrik Abel käsitteli asiaa eräässä muistiossaan ja kiinnitti erityistä huomiota siihen, milloin sarja suppenee.