Säännöllinen monikulmio

Säännöllinen monikulmio on geometriassa konveksi monikulmio, joka on samalla sekä syklinen monikulmio että tangentiaalinen monikulmio, ja jolla erityisesti kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat yhtä suuria. Säännöllinen monikulmio on siis tasasivuinen ja tasakulmainen. Säännöllisestä muodosta johtuen sillä on olemassa useita symmetria-akseleita ja keskipiste. Säännöllisten monikulmioiden avulla etsittiin antiikin aikana piille likiarvoja.
Säännöllisiä monikulmioita ovat esimerkiksi seuraavat monikulmiot:
Nimityksiä.
Monikulmioita nimitetään lukusanan avulla esimerkiksi viisikulmioksi. Yleistäen, jos monikulmiossa on n kulmaa, sitä voidaan kutsua n-kulmioksi. Tällaisella säännöllisellä monikulmiolla on siten n kulmaa, kärkeä ja sivua. Kaikki kulmat ovat määritelmän mukaan saman suuruisia, joten monikulmio on tasakulmainen, ja kaikki sivut ovat saman pituisia, joten se on myös tasasivuinen.
Säännöllinen monikulmio voidaan ajatella säännölliseksi sykliseksi monikulmioksi, jonka kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä säännöllisin välein. Ympyrää kutsutaan "monikulmion ympäri piirretyksi ympyräksi" eli lyhyemmin ulkoympyräksi. Ulkoympyrän keskipiste on samalla monikulmion "symmetriapiste", jota voidaan kutsua myös monikulmion keskipisteeksi. Monikulmion kärjet sijaitsevat ison säteen R etäisyydellä keskipisteestä ja säteillä voidaan jakaa monikulmio tasakylkisiin kolmioihin, joita on yhtä monta kuin sivujakin. Kolmioita nimitetään keskuskolmioiksi. Keskipisteen ja sivun välistä etäisyyttä kutsutaan apoteemaksi eli "sisään piirretyn monikulmion sivun etäisyydeksi".
Säännöllinen monikulmio voidaan myös ajatella säännölliseksi tangentiaaliseksi monikulmioksi, jonka sivut sivuavat tangentteina monikulmion sisälle piirrettyä ympyrää. Tätä ympyrää voidaan kutsua "monikulmion sisälle piirretyksi ympyräksi" eli lyhyemmin sisäympyräksi. Sisäympyrän sädettä r kutsutaan pieneksi säteeksi ja sen arvo on sama kuin edellä mainitulla "apoteemalla".
Ominaisuuksia.
Säännölliset monikulmiot perivät kaikki yleisen monikulmion ominaisuudet. Niillä on säännöllisyydestä johtuen paljon erityisiä ominaisuuksia:
Seuraavissa kaavojen suureet tarkoittavat: s on sivun pituus, a on apoteema, p on piiri, A on ala, n on kulmien lukumäärä, formula_1 on sisäkulman suuruus.
Sivunpituus.
Sivun pituus voidaan määrittää trigonometristen funktioiden avulla.
Sivun pituus lasketaan: formula_5
Tietyillä kulmilla sivun pituus voidaan määrittää tarkastikin:
Sisä- ja ulkoympyrän säde.
Kummallekin ympyrälle on omat trigonometriset kaavansa:
Koska trigonometriset funktiot antavat tarkkoja arvoja tietyillä kulmilla, voidaan säde ilmoittaa tarkastikin:
Pinta-ala.
Pinta-ala voidaan ilmaista monella eri tavalla. Yksinkertainen geometrinen tapa on kertoa puolipiiri apoteemalla
 formula_19 
Toisaalta se voidaan laskea trigonometriseti: 
formula_20.
Koska trigonometriset funktiot antavat tarkkoja arvoja tietyillä kulmilla, voidaan pinta-ala ilmoittaa tarkastikin:
Konstruktiot.
Geometriassa on antiikin ajoista lähtien yritetty konstruoida säännöllisiä monikulmioita pelkästään harppia ja viivainta käyttämällä. Jo se kysymys, onko se ylipäätään mahdollista, on ollut vaikea kysymys vastattavaksi. Saksalainen Carl Gauss todisti, että sellaiset säännölliset n-kulmiot ovat konstruoitavissa, jossa formula_25 (jossa formula_26), tai formula_27 (jossa formula_28 on alkuluku). Ensimmäisen säännön mukaan konstruoitavia n-kulmioita ovat 4-, 8-, 16-, 32-, ... ja niin edelleen. Toisen säännön mukaan näiden lisäksi voidaan konstruoida vielä 3-, 6-, 12-, 24-, ... sekä 5-, 10-, 20-, 40-, ... sekä 17-, 34-, 68-, ... sekä 257- ja 65537-kulmioita ja niin edelleen.
Historiaa: Piin määritys.
Antiikin suureen ajattelijaan Arkhimedeeseen on liitetty piin arvon laskeminen. Hän piirsi ympyrän ympärille ja sisäpuolelle "n"-kulmiot, joiden piirien pituudet hän laski. Ulkopuolen piirin pituus oli luonnollisesti pitempi kuin ympyrän kehä, ja sisäpuolisen "n"-kulmion piiri sitä pienempi. Piin likiarvoksi saatiin tällä menetelmällä piin ylä- ja alarajan keskiarvo. Kun kulmien lukumäärää "n" suurennettiin puolittamalla edellisen kuvion kulmia, tarkentui piin likiarvo. Piin määrittämiseksi on keskitty lukuisia muitakin menetelmiä, joten tällä menetelmällä on enää lähinnä historiallinen arvo.
formula_29: Kulmaluku
formula_30: Sivua vastaava keskuskulma
formula_31: Sivunpituus
formula_32: Ulkoympyrän säde
formula_33: Sisäympyrän säde 
formula_34: Sisäkulma
formula_35: Pinta-ala