Äärellinen kunta

Äärellinen kunta tarkoittaa matematiikassa kuntaa, jonka alkioiden lukumäärä on äärellinen. Äärellisiä kuntia kutsutaan myös Galois'n kunniksi ranskalaismatemaatikko Évariste Galois'n mukaan.
Äärellisen kunnan kertaluvulla tarkoitetaan kunnan alkioiden lukumäärää.
Kertalukua formula_1 olevaa kuntaa merkitään formula_2 tai
formula_3.
Matemaattisesti voidaan osoittaa, että äärellisen kunnan kertaluku on aina
jonkin alkuluvun potenssi. Siis formula_4, missä formula_5 on
jokin alkuluku ja formula_6 jokin nollaa suurempi luonnollinen luku.
Toisaalta voidaan osoittaa, että on olemassa jokaista alkuluvun potenssia kertaluvultaan vastaava kunta, ja että samaa kertalukua olevat kunnat ovat isomorfisia eli olennaisesti samoja. Siis on olemassa esimerkiksi formula_7-alkioinen kunta, ja täsmälleen yksi tuollainen kunta.
Edellä olevaa alkulukua formula_5 kutsutaan kunnan formula_3 "karakteristikaksi".
Yksinkertaisin esimerkki äärellisestä kunnasta on binäärikunta formula_10.
Tämä kunta voidaan muodostaa tarkastelemalla kokonaislukujen joukon formula_11 jäännösluokkarengasta modulo 2 tai määrittelemällä logiikassa totuusarvojen '0' (epätosi) ja '1' (tosi) joukossa operaatiot AND (kertolasku) ja XOR (yhteenlasku).
Kunnan formula_12 määrittelevät yhteen- ja kertolaskutaulut:
Alkulukukertalukua formula_13 on yleisemminkin helppo muodostaa tarkastelemalla jäännösluokkarengasta formula_14. Alkeislukuteorian avulla on 
helppo osoittaa, että formula_14 muodostaa kunnan.
Kertalukua formula_4, missä formula_6 on suurempi kuin formula_18,
muodostaminen on jo hiukan vaikeampaa. Tällaisten kuntien muodostamiseen käytetään yleisesti polynomialgebraa. Matemaattisesti voidaan osoittaa, että kaikki yhtä monta alkiota sisältävät äärelliset kunnat ovat keskenään rakenneyhtäläisiä eli isomorfisia. Polynomialgebran avulla voidaan siis muodostaa kaikki mahdolliset äärelliset kunnat.
Kertalukua formula_4 olevan kunnan muodostamiseksi on ensin löydettävä astetta formula_6 oleva jaoton polynomi polynomirenkaasta formula_21.
Muodostetaan esimerkiksi kertalukua formula_22 oleva äärellinen kunta. Kunnan karakteristika formula_23, joten etsitään astetta formula_24 oleva jaoton polynomi polynomirenkaasta formula_25. Valitaan formula_26.
Merkitsemällä polynomeja lyhyemmin luettelemalla vain niiden kertoimet (esim. 110 vastaa polynomia formula_27) saamme näin muodostuvat
yhteen- ja kertolaskutaulukot muotoon:
Matemaattisesti voidaan osoittaa, että äärellisen kunnan kertolaskuryhmä eli multiplikatiivinen ryhmä on aina syklinen. Toisin sanoen on aina olemassa sellainen nollasta eroava alkio formula_28, jonka eksponentit formula_29, formula_30 ovat erisuuret ja kattavat koko multiplikatiivisen ryhmän. Jokainen multiplikatiivisen ryhmän alkio saadaan potenssiinkorotuksella tästä ns. primitiivisestä alkiosta formula_28.
Potenssiinkorotus on tehokkaasti laskettavissa. Päinvastainen operaatio, eksponentin laskeminen
annetulle multiplikatiivisen ryhmän alkiolle, on huomattavasti hankalampi operaatio. Tätä ongelmaa kutsutaan diskreetin logaritmin ongelmaksi äärellisessä kunnassa.
Jos kunnan alkioiden lukumäärä on formula_32, niin sen automorfismien muodostama ryhmä on niin ikään syklinen ja kertalukua n. Tämän ryhmän virittäjä on Frobeniuksen automorfismi formula_33