Lineaarinen funktio

Lineaarinen funktio on polynomifunktio, jonka asteluku on 1. Sen yleinen matemaattinen lauseke voidaan esittää muodossa
formula_1
missä a on kulmakerroin ja b vakio. Funktion nimessä "lineaarinen" viittaa kuvaajan muotoon, joka on suora. Lineaarisia funktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla. Niillä on polynomifunktioiden oheella merkittävä rooli matematiikan kouluopetuksessa eri maissa.
Lineaarifunktiolla voi esittää vaakasuoran viivan, jolloin kulmakerroin on nolla, mutta sillä ei voi esittää pystysuoraa viivaa, jolloin kulmakerroin ja vakio ovat määrittelemättömiä.
Erikoistapaukset.
Lineaarisella funktiolla on kolme erikoistapausta riippuen sen parametrien arvoista. 
*Kun a = 0, saadaan formula_2, koska formula_3. Tätä kutsutaan vakiofunktioksi ja se saa kaikilla x:n arvoilla saman vakioarvon b. Vakiofunktion erikoistapaus on "nollafunktio", jonka arvoksi tulee aina nolla (ei mitään). 
*Kun a ≠ 0 ja b = 0, saadaan formula_4, koska formula_5. Silloin funktion arvo f(x) ja muuttuja x ovat suoraan verrannolliset eli formula_6. Jos funktion kerroin a = 1, saadaan formula_7. Funktio on tällöin identiteettifunktio, jolla funktion f(x) arvo on sama kuin muuttujan x arvo.
Kun vakiotermi formula_8, niin lineaarinen funktio formula_9 on pariton funktio 
formula_10
Tapauksessa formula_11 funktio formula_12 on vakiofunktiona parillinen funktio.
Funktion yleisiä ominaisuuksia.
Monotonisuus.
Lineaarinen funktio on aidosti monotoninen. Funktio on aidosti kasvava, kun kulmakerroin formula_13 ja aidosti vähenevä, kun formula_14. 
Vakiofunktiolla formula_11 ja sen kuvaaja kulkee vaakasuoraan. Tällöin funktio on vain monotoninen. Se voidaan tulkita sekä kasvavaksi että väheneväksi funktioksi.
Käänteisfunktio.
Koska lineaarinen funktio on monotoninen, on sillä olemassa käänteisfunktio. Ainoa poikkeus säännöstä on vakiofunktio, jolla ei ole käänteisfunktiota. Funktion
formula_16
käänteisfunktio voidaan muodostaa 
formula_17
Derivaatta ja integraali.
Yleisen lineaarisen funktion derivaattafunktio on vakiofunktio
formula_18
ja integraalifunktio 
formula_19.
Välillä formula_20 lineaarisen funktion f(x) kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan A voi laskea puolisuunnikassäännöllä tarkasti ilman integrointia 
formula_21
Lineaarinen funktio mallinnuksessa.
Lineaarinen funktiota käytetään lineaarisessa mallinnuksessa, jolla approksimoidaan kohdefunktiota. Se on samalla yksi huonoimpia malleja, sillä se huomioi kohdefunktion ominaisuuksia minimaalisesti, mutta toisaalta se on nopea laskea. Siksi se on suosittu valinta tietokonesimulaatioissa. Funktion formula_22 parametrit a,b valitaan siten, että funktio kuvaa kohdefunktiota hyvin. Parametrien valintatapoja on erilaisia.
Korrelaatiosuora.
Kohdefunktion tunnettuja arvoja voi approksimoida lineaarisella funktiolla, jonka kertoimet a,b määritetään regressioanalyysillä käyttäen pienimmän neliösumman menetelmällä . Kohdefunktion arvojen ja lineaarisen funktion arvojen vastaavuutta voidaan mitata korrelaatiokertoimella. Jos korrelaatiokerroin on 1, on myös kohdefunktion arvot lineaarisesti riippuvia muuttujastaan x ja niiden kautta voidaan piirtää suora. Jos korrelaatiokerroin on alle 1, ei lineaarinen funktio kuvaa kohdefunktion arvoja tarkasti. 
Kohdefunktion lauseketta ei tarvitse tällä menetelmällä tuntea. Riittää, että tietää riittävästi (x,f(x))-pareja, joiden kulkua approksimoidaan tilastollisesti.
Lineaarinen interpolaatio.
Kohdefunktio voidaan korvata lineaarisella funktiolla, joka approksimoi sitä hyväksyttävällä virheellä. Yksinkertaiseen interpolointiin tarvitaan kaksi kohdefunktion arvoa kohdista a ja b, joiden avulla lasketaan arvoparit (a,f(a)) ja (b,f(b)). Arvoparien kautta sovitetaan suora, jonka kulku voidaan esittää lineaarisena funktiona g(x):
 formula_23
Lineaarinen funktio muodostamista kahden pisteen avulla kutsutaan myös Lagrangen interpolaatiopolynomi-menetelmäksi ja saatua suoraa saatetaan kutsua myös sekantiksi.
Moniosainen interpolointi suoritetaan siten, että kohdefunktion määrittelyalue jaetaan useaan osaväliin, joiden päätepisteissä määritetään kohdefunktion arvot. Sitten muodostetaan murtoviiva, joka kulkee päätepisteiden kautta ja ilmaistaan tämä paloittaisen funktiona.