Käänteishila

Käänteishila on kiinteän olomuodon fysiikassa ja kristallografiassa käytetty matemaattinen konstruktio, joka saadaan toisen hilan, useimmiten Bravais'n hilan Fourier’n-muunnoksena. Tavallisimmin alkuperäisen hilan eli "suoran hilan" hilapisteet tarkoittavat atomien sijaintia jonkin kiinteän aineen kidehilassa. 
Sen sijaan että suora hila on todellisessa avaruudessa ja vastaa sitä, mikä yleensä ymmärretään fysikaaliseksi hilaksi, käänteishila on abstraktimpi konstruktio, jonka voidaan ajatella sijaitsevan "käänteis­avaruudessa", toisin sanoen avaruudessa, jossa pituus­yksiköt ovat tavan­omaisten pituus­yksiköiden käänteis­arvoja kuten m-1 tai cm-1. Käänteis­avaruutta sanotaan myös "k"-avaruudeksi, koska tavallisimmissa sovelluksissa sen pisteet tarkoittavat kidehilassa esiintyvien aalto­liikkeiden aaltovektorin arvoja, ja aaltovektorille käytetään fysiikan yhtälöissä tunnusta k. Paikan ja liikemäärän välillä vallitsevan Pontrjaginin dualiteetin vuoksi käänteis­hilaa sanotaan myös "liike­määrä­avaruudeksi". Jos jonkin hilan käänteis­hilalle muodostetaan vastaavalla tavalla edelleen käänteis­hila, saadaan jälleen alku­peräinen suora hila, sillä suora ja käänteis­hila ovat toistensa Fourier’n muunnoksia.
Käänteis­hilalla on perustava merkitys jaksollisten rakenteiden analyyttisessä tutkimuksessa, varsinkin diffraktioteoriassa. Lauen ehtojen vuoksi neutroni- ja röntgendiffaktiossa kiteeseen saapuvan ja diffraktioituneen neutronin tai röntgen­säteen aalto­vektorien erotus vastaa jotakin käänteis­hilan hilapistettä. Kiteen diffraktio­kuvan avulla voidaan myös määrittää käänteishilan vektorit. Tästä voidaan edelleen päätellä, miten kiteen atomit sijaitsevat toisiinsa nähden.
Käänteishilan Wigner–Seitzin koppia sanotaan Brillouinin vyöhykkeeksi. 
Matemaattinen kuvaus.
Tarkastellaan kaksiulotteista Bravais'n hilaa
formula_1, missä formula_2.
Mikä tahansa suure, esimerkiksi elektronien tiheys atomihilassa voidaan esittää jaksollisena funktiona, jolle pätee
formula_3
Jaksollisuutensa vuoksi formula_4 voidaan esittää Fourier’n sarjana
formula_5
Koska formula_6 millä tahansa kokonaisluvuilla formula_7, jälkimmäinen yhtälö pätee erikoistapauksessa formula_8
formula_9
on oltava formula_10, mikä merkitsee, että
formula_11, missä formula_12.
Matemaattisesti käänteishila voidaan esittää niiden vektorien formula_13 joukkona, jotka toteuttavat tämän yhtälön kaikilla hilapisteitä vastaavilla paikkavektorin R arvoilla.
Tämä käänteishila itsekin on Bravais'n hila, ja käänteishilan käänteishila on alkuperäinen suora hila, mikä osoittaa vastaavien vektori­avaruuksien välillä vallitsevan Pontrjaginin dualiteetin.
Äärettömälle kaksi­ulotteiselle hilalle, jonka määrittelevät sen alkeis­kopin särmiä vastaavat vektorit formula_14, voidaan käänteishila määritellä muodostamalla sen kaksi kanta­vektoria seuraavien yhtälöiden avulla:
formula_15
missä
formula_16
Tässä formula_17 tarkoittaa 90 asteen rotaatiomatriisia.
Vastaavasti äärettömälle kolmi­ulotteiselle hilalle, jonka määrittelevät sen alkeiskopin särmiä vastaavat alkeis­vektorit formula_18, voidaan käänteis­hila määritellä muodostamalla sen kolme kanta­vektoria seuraavien yhtälöiden avulla:
formula_19
missä
formula_20
Huomataan, että tässä nimittäjänä on näiden vektorien skalaarikolmitulo. Käyttämällä käänteisavaruuden alkeisvektoreille sarakevektoriesitystä voidaan nämä yhtälöt kirjoittaa myös muodostamalla käänteismatriisi, jolloin saadaan:
formula_21
Tämä menetelmä perustuu käänteishilan määritelmään ja voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa. Tätä kaavaa, jossa esiintyy vektorien ristitulo, käytetään yleisesti kristallografiassa.
Edellä olevaa käänteisavaruuden määritelmää sanotaan "fyysikon määritelmäksi" ja siinä esiintyvä kerroin formula_22 seuraa luonnollisesti jaksollisten funktioiden ominaisuuksista. Vaihto­ehtoinen "kristallo­grafin määritelmä", saadaan määrittelemällä käänteis­hilaksi
formula_23 
jolloin käänteishilavektoreiksi saadaan 
formula_24
ja samoin vastaavasti molemmille muille vektoreille. Kristallo­grafin määritelmällä on se etu, että 
formula_25 on suoraan formula_26:n käänteis­arvo formula_27:n suunnassa, eikä tekijää formula_22 ole mukana. Tämä yksin­kertaistaa eräitä lasku­toimituksia, ja sen avulla käänteis­hila saadaan avaruudellisen taajuuden yksiköissä. Voidaan pitää makuasiana, kumpaa käänteis­hilan määritelmää käytetään, kunhan vain niitä ei sekoiteta keskenään.
Jokainen käänteis­hilan piste formula_29 vastaa jotakin suoran hilan hilatasojen formula_29 joukkoa. Käänteis­hilan vektorin suunta on sama kuin tämän hilatason normaalin suunta. Käänteis­hilan vektorin suuruus taas on yhtä suuri kuin näiden suoran hilan hilatasojen välisen etäisyyden käänteis­arvo.
Jos suora hila määritellään avaruuden pistejoukoksi, jonka muodostavat hilapisteet, voidaan todeta, että kristallografin määritelmää käytettäessä käänteishilan muodostavat ne käänteisavaruuden pisteet, joiden paikkavektorin pistetulo minkä tahansa suoran hilan pisteen paikkavektorin kanssa on kokonaisluku.
Eräiden kidehilojen käänteiskilat.
Yksinkertainen kuutiollinen hila.
Yksinkertaisen kuutiollisen Bravais'n hilan, jonka kuutiollisen alkeis­kopin särmän pituus on formula_31, käänteishila on yksin­kertainen kuutiollinen hila, jonka kuutiollisen alkeiskopin särmän pituus on formula_32 (tai kristallo­grafin määritelmän mukaan formula_33). Kuutiollista hilaa sanotaan itse­duaaliseksi, koska sen käänteis­hilalla on samat symmetria­ominaisuudet kuin suoralla hilalla.
Pintakeskeinen kuutiollinen hila.
Pintakeskeisen kuutiollisen hilan eli FCC-hilan käänteis­hila on tilakeskeinen kuutiollinen eli BCC-hila.
Tarkastellaan FCC-hilan yksikkö­koppia. Valitaan hilasta alkeiskoppi, toisin sanoen yksikkökoppi, jossa on yksi hilapiste. Valitaan edelleen yksi tämän alkeiskopin kärjistä origoksi. Suoran hilan kantavektorit ovat edellä sanotun mukaiset. Esitetyn kaavan avulla voidaan laskea käänteis­hilan kanta­vektorit. Nämä FCC-hilan käänteis­hilan vektorit vastaavat BCC-hilan kanta­vektoreita. Huomattava on, että suoran BCC-hilan ja FCC-hilan käänteis­hilan kanta­vektorit ovat saman­suuntaisia mutta eivät saman­pituisia.
Tilakeskeinen kuutiollinen hila.
Tilakeskeisen kuutiollisen hilan eli BCC-hilan käänteishila on pintakeskeinen kuutiollinen eli FCC-hila.
Voidaan helposti todistaa, että vain niitä Bravais'n hiloja, joilla formula_26:n, formula_35:n ja formula_36:n väliset kulmat ovat 90 astetta, toisin sanoen kuutiollista, tetragonista ja ortorombista hilaa vastaavien käänteishilojen kantavektorit formula_37 ovat yhdensuuntaisia suoran hilan vektorien kanssa.
Yksinkertainen heksagonaalinen hila.
Yksinkertaiselle heksagonaaliselle Bravais'n hilalle, jonka hilavakiot ovat c ja a, saadaan käänteishilaksi heksagonaalinen hila, jonka hilavakiot ovat formula_38 ja formula_39. Niiden suunnat poikkeavat suoran hilan hilavektorien suunnista 30 astetta. Yksinkertaista heksagonaalista hilaa sanotaan sen vuoksi itse­duaaliseksi, koska sen käänteis­hilalla on samat symmetria­ominaisuudet kuin suoralla hilalla.
Käänteishilan käänteishila.
Että käänteishilan käänteishila on sama kuin alkuperäinen suora hila, voidaan todistaa seuraavasti.
Bravais'n hilan määritelmästä seuraa, että siihen kuuluvien vektorien summa ja erotus kuuluvat myös hilaan. Niinpä riittää todeta, että jos
formula_40
ja
formula_41
summa ja erotus formula_42 toteuttavat saman yhtälön.
formula_43
Tämä osoittaa, että käänteishilakin on sulkettu vektorien yhteen- ja vähennyslaskun suhteen, toisin sanoen kahden käänteishilaan kuuluvan vektorin summa ja erotus kuuluvat siihen myös. Lisäksi tiedetään, että käänteishilan vektori G voidaan esittää kantavektorien lineaarikombinaationa.
formula_44
Edellä esitetystä formula_25:n määritelmästä seuraa, että 
formula_46
missä formula_47 on Kroneckerin delta. Olkoon R suoran hilan vektori, joka voidaan esittää suoran hilan kantavektorien lineaarikombinaationa.
formula_48
Tästä voidaan todeta, että:
formula_49
Käänteishilan määritelmästä todetaan, että formula_50:n on toteutettava identtisesti seuraava yhtälö:
formula_51
Jotta tämä pätee, on tulon formula_52 oltava formula_53 kertaa jokin kokonaisluku. Tämä toteutuu, koska formula_54 and formula_55. Näin ollen käänteishilakin on Bravais'n hila.
Jos edelleen vektorit formula_50 muodostavat käänteishilan, on selvää, että jokainen vektori formula_57, joka toteuttaa yhtälön
formula_58,
on känteishilan hilavektori. formula_50:n määritelmästä, kun formula_57 on suoran hilan vektori formula_17, seuraa vastaava yhteys
formula_62.
Tästä voidaan päätellä, että käänteishilan käänteishila on alkuperäinen suora hila.
Fysikaalinen merkitys.
Käänteishila on kiinteän olomuodon fysiikan keskeisimpiä käsitteitä. Sen ja siihen liittyvien Brillouinin vyöhykkeiden merkitys kiinteiden aineiden teoriassa on niin keskeinen, että niitä on verrattu Maxwellin yhtälöihin, sillä niistä voidaan johtaa suuri osa koko teoriasta, samoin kuin koko sähkömagnetismin teoria voidaan johtaa Maxwellin yhtälöistä.
Röntgensäteilyn diffraktio.
Kiderakennetta tutkitaan tavallisimmin sellaisen röntgensäteilyn avulla, jonka aallonpituuson samaa suuruusluokkaa kuin kiteen atomien välinen etäisyys. Saadusta diffraktiokuviosta voidaan päätellä hilan muoto ja siten kiteen rakenne.
Käytetään kiteeseen saapuvan säteilyn aaltovektorille merkintää formula_63, annettuun suuntaan diffusioituneen säteilyn aaltovektorille merkintää formula_64 ja niiden erotuksena saatavalle diffuusiovektorille merkintää formula_65. Tällöin Blochin teoreemasta seuraa, että diffraktio esiintyy, kun formula_66 on jokin käänteishilan pisteistä.
Hilavärähtelyt ja Brillouinin vyöhyke.
Käänteishilan yksikkökoppia eli Wigner–Seitzin koppia sanotaan Brillouinin vyöhykkeeksi.
Tutkittaessa kidehilassa esiintyviä kimmoaaltoja voidaan yleensä rajoittua käsittelemään aaltoja, joiden aaltovektori sisältyy ensimmäiseen Brillouinin vyöhykkeeseen, sillä aallot, joiden aaltovektori on tämän ulkopuolella, voidaan käsittää ekvivalenteiksi jonkin Brillouinin vyöhykkeessä olevan aallon kanssa. Tämä on ehkä helpoimmin ymmärrettävissä tarkasteltaessa yksiulotteista atomiketjua.
Olkoon ketjussa atomien välimatka vakio "r". Sen suoran hilan pisteitä ovat tällöin suoran pisteet "nr", missä "n" on mielivaltainen kokonaisluku. Ketjun käänteishilan muodostavat "k"-avaruuden pisteet formula_67 Näin ollen sen ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen muodostaa väli formula_68
Tarkastellaan kahta tällaisessa ketjussa etenevää aaltoa, joiden aaltovektorit ovat formula_69 ja formula_70 ja joilla on sama amplitudi A. Tällöin näistä ensimmäinen on ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä, jälkimmäinen sen ulkopuolella. Näiden aaltojen aallonpituudet ovat formula_71 ja formula_72 Olkoon "m" mielivaltainen kokonaisluku, jolloin "mr" on jokin ketjuun kuuluva hilapiste, toisin sanoen jonkin atomin sijaintipaikka. 
Jos kiteessä etenee aalto, jonka aaltovektori on formula_69 ja jos sen vaihekulma origossa jollakin hetkellä on formula_74, pisteessä "mr" olevan atomin poikkeama tasapainopisteestä samalla hetkellä on formula_75. Jos aallon aaltovektori onkin formula_76, saman atomin poikkeama tasapainopisteestä samalla hetkellä onkin formula_77 = formula_78 Tämä on kuitenkin sama kuin ensimmäisenkin aallon tapauksessa, koska "n" on kokonaisluku ja sinifunktio saa saman arvon, kun sen argumenttiin lisätään formula_53 kerrottuna millä tahansa kokonaisluvulla. Nämä aallot ovat siis aina samassa vaiheessa jokaisen hilapisteen eli atomin kohdalla, eikä sillä, missä vaiheessa ne ovat hilapisteiden välissä, ole fysikaalista merkitystä. Jälkimmäinen aalto on siis ekvivalentti edellisen kanssa, jonka aaltovektori on ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä.
Mielivaltainen atomikokoelma.
Mielivaltaisellekin atomikokoelmalle voidaan määritellä käänteishila. Tähän voidaan päätyä muun muassa käsittelemällä hajaantuneita aaltoja, jotka syntyvt sellaisessa Fraunhoferin diffraktiossa, joka saadaan rajatapauksena suurilla etäisyyksillä summattaessa kaikista atomeista sironneet aallot Huygensin periaatteen mukaisesti.. Alla olevassa yhtälössä tätä summaa merkitään kompleksiamplitudilla F, koska sekin on suorassa avaruudessa olevan efektiivisen sirontapotentiaalin Fourier’n muunnos:
formula_80
Tässä g = q/(2π) on sirontavektori q kristallografin yksiköissä, N atomien lukumäärä, fj[g] atomaarinen sirontatekijä "j" atomille, kun sirontavektori on 'g", kun taas rj on atomin "k" paikkavektori. On huomattava, että Fourier’n muunnoksen vaihe riippuu koordinaatiston origon valinnasta.
Siinä erikoistapauksessa, että kyseessä on ääretön jaksollinen kide, "M" yksikkökopista sironnut amplitudi (kuten edellä) osoittautuu nollasta poikkeavaksi vain formula_29:n kokonaislukuarvoilla, missä
formula_82
kun atomien lukumäärä "j" yksikkökopissa on välillä 1 &lt;= "j" &lt;= "m" ja yksikkökopin fraktionaaliset hilaindeksit ovat vastaavasti {uj, vj, wj}. Todellisuudessa kide tietysti on äärellisen kokoinen, minkä vuoksi yhtälöön on tehtävä tämän seikan edellyttämät muutokset.
Olipa atomien muodostama ruudukko äärellinen tai ääretön, voidaan kuvitella myös "intensiteettikäänteishila" I[g], jonka yhdistää amplitudihilaan F tavanomainen relaatio I = F*F, missä F* on F:n kompleksikonjugaatti. Mielivaltaiselle atomikokoelmalle intensiteettikäänteishilaksi saadaan: 
formula_83
Tässä rjk on atomien j ja k paikkavektorien erotus. Tällä voidaan myös ennustaa, mitä seuraa nanokrystalliitin muodosta, äkillisestä säteen suunnan muutoksesta tai havaiituista diffraktiopiikeistä siinäkin tapauksessa, että rakennelma jossakin suunnassa olisi vain yhden atomin paksuinen. Toisaalta käänteishilaa käyttävät sirontalaskelmat yleensä koskevat hetkellistä tasoaaltoa. Niinpä vaikka käänteishilan avulla voidaankin tarkastella kinemaattisen sironnan vaikutuksia, on otettava huomioon myös säteen levenemisen ja useamman sironnan vaikutukset.
Duaalihilan yleistys.
Abstraktin "duaalihilan" käsitteestä on matematiikassa kaksi versiota, jotka molemmat voidaan liittää äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa "V" olevaan hilaan "L".
Ensimmäinen versio on suora yleistys käänteishilan konstruktiolle, ja siinä käytetään Fourier-analyysia. Se voidaan esittää yksinkertaisesti Pontrjaginin dualiteetin termein. Ryhmän "V" "duaaliryhmä" "V"^ on sekin vektoriavaruus, ja osoittautuu, että sen suljettu aliryhmä "L"^, joka on "L":n duaali, on hila "V"^:ssä. Siksi "L"^ on luonnollinen ehdokas "duaalihilaksi" toisessa vektoriavaruudessa, jolla on sama ulottuvuus.
Toisen näkökulman antavat "V":n neliömuodot "Q". Jos "V" ei ole degeneroitunut, ne mahdollistavat "V":n ja sen duaaliavaruuden "V"* samastaminen. "V"*:n ja "V" välinen yhteys ei ole yksiselitteinen, vaan riippuu "V":n Haarin mitan eli tilavuusalkion valinnasta. Jos kuitenkin on tehty jokin samastus, joka on jotakin skalaaria vaille hyvin määritelty, "Q":n mukanaolo tekee mahdollisesti puhua "L":n duaalihilasta, vaikka pysytään avaruudessa "V".
Matematiikassa annetun hilan "L" "duaalihila" lokaalisti kompaktissa topologisessa Abelin ryhmässä "G" on "G":n duaaliryhmän aliryhmä "L"∗, johon kuuluvat kaikki jatkuvat funktiot, jotka jokaisessa "L":n pisteessä saavat arvon 1.
Diskreetissä matematiikassa hila määritellään valitsemalla "n"-ulotteisesta avaruudesta formula_84 "n" lineaarisesti riippumatonta vektoria. Hila on tällöin lokaalisti diskreetti pistejoukko, jonka muodostavat kaikki näiden vektorien lineaarikombinaatiot. Tämän hilan "duaalihila" on tällöin niiden avaruuden formula_84 pisteiden joukko, joiden sisätulo jokaisen alkuperäisen hilan pisteen kanssa on kokonaisluku. Tästä seuraa, että duaalihilan duaalihila on sama kuin alkuperäinen hila.
Jos lisäksi matriisin B sarakkeet tarkoittavat hilan määritteleviä lineaarisesti riippumattomia vektoreita, matriisin 
formula_86
sarakkeina ovat ne vektorit, jotka määrittelevät sen duaalihilan.
Käänteisavaruus.
Käänteisavaruus eli "k-avaruus" on avaruus, jossa avaruudellisten funktioiden Fourier-muunnokset esitetään, samaan tapaan kuin ajasta riippuvien funktioiden Fourier-muunnokset voidaan esittää taajuustasossa. Fourier-muunnos merkitsee siirtymistä "todellisesta avaruudesta" käänteisavaruuteen tai päinvastoin. Käänteisavaruudella on suuri merkitys aaltomekaniikassa. Tasoaalto voidaan nimittäin kirjoittaa värähtelyterminä formula_87, aaltovektorin formula_69 ja kulmataajuuden formula_89 avulla, joten se on sekä aaltovektorin (formula_69) että paikan (formula_91) funktio, kun taas sen "spektroskooppinen osuus" on vain kulmataajuuden (formula_89) ja ajan (formula_93) funktio. Tasoaallon avaruudellisen värähtelyn vaihe on muotoa formula_94, ja niinpä aallon ollessa tietyssä vaiheessa avaruudellisen osan termit formula_69 ja formula_91 ovat kääntäen verrannollisia: formula_97 ja formula_98.
Käänteisavaruuden käsite soveltuu myös kuvan rekonstruktioon magneettikuvauksessa.
Käänteishila on käänteisavaruuden jaksollinen pistejoukko, eli hila, johon kuuluvat ne pisteet formula_63, jotka muodostavat jaksollisen avaruushilan Fourier’n muunnoksen. Brillouinin vyöhyke on tämän avaruuden alue, joka käsittää ne yksikäsitteiset k-vektorit, jotka esittävät jaksollisessa rakenteessa mahdollisia klassisia tai kvanttiaaltoja.