Coxeterin diagrammi

 
Coxeterin diagrammi, Coxeterin–Dynkinin diagrammi eli Coxeterin graafi on geometriassa graafi, jolla kuvataan monitahokkaan tai muun polytoopin symmetriaa. Coxeterin diagrammi esittää, millä tavoin monitahokas tai muu polytooppi voidaan ajatella muodostettavaksi lähtemällä yhdestä sen kärkipisteistä, jolloin sen muut kärkipisteet saadaan tämän pisteen peilikuvina yhdestä tai useammasta peilistä tai heijastavasta hypertasosta. Oleellisesti samalla tavalla saadaan kaleidoskoopissa syntymään erilaisia symmetrisiä kuvioita. Jokainen graafin solmu esittää tällaista ajateltua peiliä, ja haaraan liittyvä luku vastaa peilien välistä diedrikulmaa. Jos haaraan ei ole merkitty lukua, tämän oletetaan olevan 3.
Graafina diagrammi esittää Coxeterin ryhmää. Sen jokainen solmu esittää peiliä ja jokainen haara kahden peilin välistä diedrikulmaa.
Coxeterin diagrammeja muistuttavat läheisesti myös Dynkinin diagrammit, jotka eroavat Coxeterin diagrammeista kahdessa suhteessa: ensinnäkin haarat, joihin on merkitty luku "4" tai suurempi ovat suunnattuja, kun taas Coxeterin diagrammit ovat suuntaamattomia, toiseksi Dynkin diagrammien on toteutettava se kristallografinen lisäehto, että niissä saa esiintyä vain merkinnöillä 2, 3, 4 tai 6 varustettuja haaroja. Dynkinin diaggammit vastaavat juurisysteemejä ja samalla puoliyksinkertaisia Lien algebroja, joiden luokitteluun niitä myös käytetään.
Kuvailu.
Diagrammilla voidaan esittää myös polytoopit lisäämällä renkaita solmujen ympärille. Rengas tarkoittaa, että kyseessä on "aktiivinen" peili, jota käytetään konstruoitaessa polytooppi heijastusten avulla. Jotta diagrammi esittäisi polytooppia, siinä on oltava vähintään yksi aktiivinen solmu.
Renkaat osoittavat samalla, onko generoiva piste peilissä vai sen ulkopuolella. Peili on "aktiivinen" eli muodostaa heijastuksen vain, jos pisteet ovat peilin ulkopuolella, joten rengas ilmaisee, että generoiva piste on peilin ulkopuolella ja siitä muodostuu heijastus.
Graafin viivat eli kaaret merkitään kokonaisluvuilla "n", jotka tarkoittavat diedrikulmaa 180/"n". Jos kaareen ei ole merkitty lukua, sen oletetaan olevan 3. Jos "n"=2, kulma on 90 astetta eivätkä peilit vaikuta toisiinsa, ja kaari voidaan jättää huomioon ottamatta. Kahta yhdensuuntaista peiliä voidaan merkitä symbolilla ∞ (ääretön).
Periaatteessa "n" peiliä voidaan esittää täydellisellä graafilla, jossa on mukana kaikki "n"·("n"-1)/2 kaarta. Käytännössä mielenkiintoisissa peilien konfiguraatioissa osa peileistä on toisiinsa nähden kohtisuorassa, jolloin niitä vastaavat kaaret voidaan jättää pois kuviosta.
Polytoopit ja laatoitukset voidaan muodostaa käyttämällä näitä peilejä ja yhtä ainoaa generoivaa pistettä, josta tulee yksi polytoopin tai laatoituksen kärkipisteistä. Muut kärkipisteet saadaan tämän peilikuvina yhden tai useamman peilin kautta. Polytoopin särmät ovat jonkin pisteen ja sen peilikuvan toisiinsa yhdistäviä janoja. Tahkot voidaan muodostaa saatujen särmien muodostamina renkaina ja niin edelleen.
Esimerkkejä.
Yleensäkin kaikki sellaisten säännöllisten "n"-polytooppien, joita esittää Schläflin symboli {p,q,r...}, perusalueet voidaan esittää "n" peilun joukolla ja ne liittää Coxeterin-Dynkinin fiagrammiin jono solmuja ja kaaria, joita voidaan merkitä kirjaimilla p,q,r...
Äärelliset Coxeterin ryhmät.
Kuperien uniformisten poytooppien joukon määrittelevät Coxeterin ryhmät.
Huomutuksia:
 Samoille ryhmille käytetään kolmea erilaista merkintää: yhden muodostavat kirjain ja luku, toisen joukko lukuja ja aaltosulkumerkkejä ja kolmannen Coxeterin diagrammi.
(Huomautus: vaihtoehtoiset nimet kuten yksinkertaiset Lien ryhmät on annettu.
Äärettömät Coxeterin ryhmät.
Myös uniformisten kuperien laatoitusten perheet voidaan määritellä Coxeterin ryhmillä.
Huomautuksia: