Solmuteoria

Solmuteoria on matematiikan ala, joka keskittyy solmujen tutkimukseen. Klassinen solmuteoria pyrkii vastaamaan kysymykseen: jos on annettu kaksi solmua, mistä voimme päätellä, ovatko ne sama solmu vai eri solmuja. Tästä erikoistapauksena kysymys "onko annettu solmu avautuva?" Jos kaksi solmua sattuvat olemaan sama, niin sen osoittamiseen riittää saattaa ne samaan muotoon ja todeta, että ne tosiaan ovat samat. Jos taas solmut ovat eri solmuja, sen osoittamiseksi, että ne ovat eri solmuja tarvitaan invariantteja. Matemaattinen solmuteoria etsii näitä invariantteja.
On vaikea sanoa mihin matematiikan alaan solmuteoria kuuluu. Luonnollisin lähestymistapa on ajatella solmuteorian kuuluvan algebralliseen topologiaan. Solmuteoriaa voi kuitenkin tehdä myös kombinatorisesti tutkimalla solmukaavioita esimerkiksi tasoverkkoina.
Solmuteorian historia.
Matemaattinen solmujen tutkimus sai ilmeisesti alkunsa 1800-luvulla, kun Karl Friedrich Gauss kiinnostui kytköksistä (link) ja määritteli tavan laskea kietoutumisluvun (linking number) integraalin avulla. Gaussin oppilas J. B. Listing jatkoi solmujen tutkimista. Vähän myöhemmin kiinnostus solmuteoriaa kohtaan kasvoi, kun Lordi Kelvin esitti teorian, että atomit ovat oikeastaan solmuja. Silloin vallitsi eetteriteoria, jonka mukaan maailmankaikkeus on täynnä eetteriä, joka toimii valoaaltojen kantajana. Kelvinin mukaan materia oli vain solmussa olevia eetteripyörteitä. Tämä sai huomiota ja nosti solmuteorian luonnollisesti mielenkiinnon kohteeksi. Aika nopeasti kuitenkin osoittautui, että eetteriä ei olekaan (Michelsonin ja Morleyn koe osoitti valon nopeuden riippumattomuuden koordinaatistosta, mikä on ristiriidassa eetterihypoteesin kanssa), ja fyysikoiden kiinnostus solmuteoriaa kohti laantui. Matemaatikoiden kiinnostus kuitenkin pysyi. Algebrallisen topologian isät Henri Poincaré, Max Dehn, J. W. Alexander ja Kurt Reidemeister tutkivat solmuja, ja pitkään heidän teoriansa olivat ainoat työkalut solmuteoriassa. 1970-luvulla solmuteoria pääsi taas vauhtiin, kun Vaughan Jones keksi Jonesin polynomin. Se avasi monia portteja solmuteoreetikoille. Jones sai työstään Fieldsin mitalin. Viime vuosikymmenillä solmuteorialla on alkanut olla uusia sovelluksia biologiassa ja kemiassa. Bakteerien DNA-molekyylit ovat usein syklimäisiä eli sulkeutuvat itseensä, jolloin ne voivat olla solmussa. Myös pienet molekyylit voivat olla solmussa, ja jos solmu on kiraalinen, niin molekyylin pelikuvalla voi olla erilaisia kemiallisia ominaisuuksia alkuperäiseen solmuun nähden.
Matemaattinen määritelmä.
Solmu.
Riippumatta siitä tarkastellaanko solmua topologisesti vai kombinatorisesti, täytyy se määritellä topologisesti. Olkoon formula_1 yksikköympyrä. Solmu on upotus formula_2. Tätä määritelmää voi luonnollisesti yleistää ja on tutkittu formula_3-ulotteisen moniston formula_4 avaruuteen formula_5. Klassinen solmuteoria kuitenkin keskittyy mataliin ulottuvuuksiin ja kesyihin solmuihin. Kesy solmu on sileä tai paloittain lineaarinen upotus formula_2. Ideana se, että solmun jokaisella pisteellä on ympäristö, jossa solmu on avautuva. Jos ei vaadita upotukselta mitään muuta, niin solmulla saattaa olla niin kutsuttuja villejä pisteitä.
Solmujen ekvivalenssi.
Topologisesti solmujen ekvivalenssi pitäisi määritellä siten, että tilanne vastaisi jollain tavalla narun venyttämistä ja kuljettamista avaruudessa itseään leikkaamatta. Tästä syntyy määritelmä
Solmujen ympäristöisotopia.
Solmut f ja g formula_2 ovat ympäristöisotooppisia, jos on olemassa kuvaus formula_8 (formula_9) siten, että
Kuvaus F siis vie avaruuden R³ vaiheiden kautta homeomorfisesti itselleen niin, että se samalla vie toisen solmun toiselle. 
Se on identtisen kuvauksen ja sellaisen kuvauksen välinen isotopia, joka vie toisen solmun toiselle.
Solmujen ekvivalenssi.
Vaikka tämä määritelmä ei ole ihan yhtä intuitiivinen (vaikka vähemmän tekninen), se on solmujen "virallinen" ekvivalenssi, joskin se antaa saman lopputuloksen kuin ylläoleva (katso lause alla).
Solmut f ja g formula_17 (käytämme helppouden vuoksi formula_18) ovat ekvivalentteja, jos on olemassa suunnan säilyttävä homeomorfismi formula_19, joka vie toisen solmun toiselle: formula_20. Suunnansäilyttävä voidaan määritellä esimerkiksi niin, että se kuvaa homologiaryhmän formula_21 1-alkion 1-alkioksi. Toinen ja helpompi tapa on vaatia, että H on identtinen kuvaus pallon B(0,r) ulkopuolella. Nimittäin jos ajatellaan solmuja taas upotuksina avaruuteen formula_22, niiden kuvajoukot ovat kompakteja ja siten sisältyvät johonkin palloon B(0,r). Vaaditaan nyt, että H on tuon pallon ulkopuolella identtinen kuvaus. Silloin se on väistämättä suunnan säilyttävä. Myös mikä tahansa suunnan säilyttävä homeomorfismi voidaan muuttaa niin, että se on identtinen tarpeeksi kaukana.
P.L.-isotopia.
Eli paloittain lineaarinen (piecewise linear) isotopia. Tässä liikutaan pl-kategoriassa, eli kaikki ovat äärellisiä simpliittisiä komplekseja. Tällöin tarkastellaan tietenkin vain kesyjä solmuja (ks. yllä). Silloin solmut ovat murtoviivoja avaruudessa, joilla on jotkut päätepisteet formula_23. Sanotaan että nämä pisteet virittävät solmun.
Määritellään että p.l.-solmu formula_24 on saatu formula_25-muunnoksella p.l.-solmusta formula_26 jos formula_24:n virittävät formula_28$, formula_26:n virittävät formula_30 ja on olemassa formula_31, formula_32 tai formula_33 voi muuttaa numerointia sopivasti) siten että
Solmuun on siis lisätty yksi piste kahden pisteen formula_36 ja formula_37 välille ja muutettu solmun kulkua menemään sen pisteen kautta.
Jos solmuformula_24 on saatu solmusta formula_26 formula_25-muunnoksella, niin sanotaan, että solmu formula_26 on saatu solmusta formula_42-muunnoksella. Jos solmu on saatu toisesta jommallakummalla muunnoksella, niin sanotaan, että se on saatu yksinkertaisesti formula_43-muunnoksella. Sanotaan kombinatorisia solmuja toistensa kanssa p.l.-isotooppisiksi, jos toinen on saatu toisesta äärellisellä määrällä formula_43-muunnoksia, eli on olemassa solmut formula_45 siten että formula_46, formula_47 ja formula_48 on saatu formula_49:stä formula_43-muunnoksella.
Reidemeister-ekvivalenssi.
Kesystä solmusta voidaan aina piirtää solmukaavioita, joissa solmu on piirretty tasolle ja alimenokohdat ovat sopivasti merkitty.
Kurt Reidemeister todisti, että kolme Reidemeisterin liikettä ovat riittäviä ja välttämättömiä kahden ekvivalentin solmun
kaaviokuvien saamiseen toinen toisesta. Reidemeister liikkeet ovat esitetty seuraavissa kuvissa:
Ekvivalenssien ekvivalenssi.
Lauseen todistus on esimerkiksi kirjassa "Knots" (Burde &amp; Zieschang, 1985).
Lause: Yllä olevat neljä tapaa määritellä solmujen ekvivalenssi ovat kaikki yhtäpitäviä kesyille solmuille. 
Topologinen lähestymistapa.
Solmu on ympyrän homeomorfinen kuva, joten solmujen erotteleminen niiden sisäisen rakenteen kautta on topologisesti mieletöntä.
Sen sijaan solmun ympäröivän avaruuden muodolla on suuri rooli. Niinpä voidaan tutkia solmun komplementtia. Yksi tunnetuimmista
solmuinvarianteista on solmun komplementin perusryhmä. Tällaisia ryhmiä kutsutaankin solmuryhmiksi (knot group). Esimerkki tällä tavalla saadusta luokittelulauseesta on torussolmujen luokittelulause:
Epätriviaalisolmu, jonka komplementin perusryhmällä on epätriviaali keskus, on torussolmu.
Torussolmu on solmu, jonka saa menemään toruksen pinnalla, katso kuva.
Kombinatorinen lähestymistapa.
Solmuinvariantteja voi rakentaa myös pelkästään katsomalla solmukaavioita ja tietämättä mitään topologiasta. Se on solmuteorian hieno ja harvinainen ominaisuus topologian alana. 
Väritysinvariantti.
Olkoon meillä jokin solmukaavio, joka on piirretty niin, että viiva aina katkeaa, kun se menee toisen viivan alta. Tällöin kaaviomme koostuu viivoista, jokta alkavat jostan alimenokohdasta ja loppuvat sellaiseen. Jokaisessa risteyksessä täten kohtaa kolme viivaa. Väritetään nämä kolmella eri värillä. Kutsutaan saatua väritystä säännölliseksi, jos jokaisessa risteyksessä joko esiintyy kaikki kolme eri väriä tai vain yksi väri. Solmun eri säännöllisten värityksien määrä on invariantti: se pysyy muuttumattomana, vaikka kaaviota muokataan Reidemeisterin liikkeillä.
Polynomit.
Solmuihin voi myös liittää polynomeja. Ensimmäisen polynomin määritteli J. W. Alexander.