Differentiaaliyhtälö

Differentiaaliyhtälöllä tarkoitetaan matematiikassa yhtälöä, jossa esiintyy tuntematon yhden tai useamman muuttujan funktio sekä sen derivaattoja. Differentiaaliyhtälöillä on runsaasti käyttöä mitä erilaisimmissa käytännön sovelluksissa, erityisesti fysikaalisten ilmiöiden mallintamisessa, mutta sovelluskenttä jatkuu lääkeaineen poistumisesta jyrsijäkantojen vaihteluun.
Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen ei ole olemassa mitään yleispätevää menetelmää, vaan ratkaiseminen tapahtuu yleensä tunnistamalla yhtälö tietyn muotoiseksi ja käyttämällä tämän nimenomaisen yhtälötyypin ratkaisumenetelmää. Mikäli yhtälön analyyttinen ratkaiseminen ei ole mahdollista, on tyydyttävä numeeriseen ratkaisuun.
formula_1
formula_2
formula_3
Differentiaaliyhtälöihin liittyviä nimityksiä.
on epälineaarinen.
Ratkaisu ja sen olemassaolo.
Tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaoloa koskee Picardin–Lindelöfin lause, joka takaa ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden tiettyjen reunaehtojen vallitessa. Differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio formula_7, joka alkuperäiseen yhtälöön sijoitettaessa toteuttaa sen. Ratkaisua ei kuitenkaan ole aina mahdollista kirjoittaa tällaiseen "eksplisiittiseen muotoon" vaan joskus saatetaan joutua tyytymään myös "implisiittiseen ratkaisuun", joka on muotoa formula_8. 
Mitään yleistä keinoa differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi ei ole, ja analyyttisen ratkaisun löytyminen ylipäänsä on taattua ainoastaan lineaarisille differentiaaliyhtälöille. Myös eräille epälineaarisille yhtälöille tunnetaan analyyttinen ratkaisu, mutta sen löytyminen ei siis yleensä ole taattua. On olemassa suuri joukko erikseen nimettyjä differentiaaliyhtälöitä, joiden analyyttiseen ratkaisuun johtava menetelmä tunnetaan. Näitä tapauksia on lueteltu artikkelin lopussa. Differentiaaliyhtälöille on myös tyypillistä, että ratkaisumenetelmän tuottaman "yleisen ratkaisun" lisäksi on olemassa myös "erikoisratkaisu", jota ei usein ole mahdollista löytää kuin päättelemällä tai huomaamalla.
Differentiaaliyhtälön ratkaisu ei yleisessä tapauksessa ole yksikäsitteinen, vaan ratkaisuun jää "aina" yhtälön kertaluvun osoittama määrä vakioita, joita ei ole mahdollista määrätä ilman lisätietoja kuvattavasta systeemistä. Kaikkien näiden ratkaisujen muodostamaa joukkoa kutsutaan yhtälön "ratkaisuparveksi". Yksikäsitteisen ratkaisun löytämiseen tarvittavia lisätietoja ovat tyypillisesti alkuarvot (esimerkiksi tiedetään että formula_9), joita on kaikkien tuntemattomien vakioiden määräämiseksi tunnettava yhtälön kertaluvun osoittama määrä. Jos alkuarvot tunnetaan, yhtälön ratkaisussa puhutaan "alkuarvotehtävästä".
Mikäli yhtälön ratkaisemiseen ei ole olemassa valmista ”kaavaa”, analyyttistä ratkaisua voidaan hakea olettamalla ratkaisulle jokin sarjakehitelmä (yleensä potenssisarja) ja sijoittamalla se tarvittavine derivaattoineen yhtälöön. Näin on mahdollista löytää sarjakehitelmän kertoimet. Mikäli yhtälön ratkaisu on alkuarvotehtävä, ratkaisussa voidaan yrittää käyttää integraalimuunnoksia. Useimmat yhtälöt on kuitenkin ratkaistava lopulta numeerisesti tietokoneella, koska analyyttistä ratkaisua ei ole olemassa.
Differentiaaliyhtälöiden erikoistapauksia.
Koska differentiaaliyhtälön ratkaiseminen yleensä edellyttää yhtälön tyypin tunnistamista, huomattavan monet differentiaaliyhtälöt, joiden ratkaisumenetelmä tunnetaan, on nimetty erikseen.
formula_10
Ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä.
Tätä johtamista kutsutaan yhtälön separoinniksi. Nyt yhtälön kumpikin puoli voidaan integroida tavallisesti, toinen muuttujan "x" ja toinen muuttujan "y" suhteen.
formula_11
formula_12
formula_13,
missä funktioilla formula_14 ja formula_15 on yhteys formula_16.
formula_17.
formula_18,
jonka erikoistapauksina saadaan monet muut 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt.
formula_19
Toisen kertaluvun yhtälöitä.
tai epähomogeeninen
formula_20.
Tässä formula_21 ja formula_22 ovat reaalilukuja.
formula_23
formula_24.
Tämän yhtälön ratkaisut ovat Besselin funktioita.
formula_25
ja sen ratkaisut ovat modifioituja Besselin funktioita.
formula_26
ratkaisut ovat hypergeometrisia funktioita, joiden erikoistapauksina monet muut funktiot saadaan.
formula_27
ratkaisut muodostavat erään ortogonaalisten polynomien joukon. Muita vastaavia yhtälöitä ovat
formula_28
formula_29
formula_30