Kokonaisalue

Rengasta formula_1 kutsutaan kokonaisalueeksi (), jos formula_1 on kommutatiivinen, formula_3, ja formula_1:ssä ei ole nollanjakajia.
Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä jäännösluokkarenkaat formula_5, missä "m" on alkuluku. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden perusesimerkkinä. Muun muassa "n"-asteisella polynomilla on korkeintaan "n" juurta kokonaisalueen ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki formula_6.
Tästä artikkelista poiketen joskus harvoin sallitaan myös ei-kommutatiiviset kokonaisalueet ja jopa ei-ykköselliset kokonaisalueet ja renkaat (pseudorenkaat). 
Se, että formula_1:ssä ei ole nollanjakajia, tarkoittaa, että formula_8.
Karakteristika.
Alkion formula_9 monikerta on formula_10, missä yhteenlaskettavia on "n" kappaletta. Jos kokonaisalueen "D" alkion "a" monikerta formula_11 on nolla jollakin positiivisella kokonaisluvulla "n", kun "a" on nollasta poikkeava, niin jokaisella "D":n alkiolla "b" tulo "nb" on nolla. Tämä nähdään seuraavasti: Olkoon "a" nollasta poikkeava kokonaisalueen "D" alkio ja olkoon "D":n karakteristika "n". Tällöin formula_12, joten jos formula_13, niin täytyy olla formula_14, koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia. Kertomalla tämä "b":llä ja kirjoittamalla lauseke vastaavalla tavalla auki päädytään yhtälöön formula_15.
Koska jokainen kokonaisalue on rengas, niin pienintä edellä mainitun kaltaista lukua "n" sanotaan kokonaisalueen karakteristikaksi ja merkitään char("D") = "n". Jos tällaista lukua ei ole, merkitään char("D") = 0. Karakteristika on aina joko nolla tai alkuluku. Tämä nähdään seuraavasti: Oletetaan, että char("D") = "n", formula_16. formula_17. Tällöin formula_18 ja koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia, on formula_19 tai formula_20. Tarvittaessa muuttujat uudelleen nimeämällä saadaan formula_21. Luku "n" on kuitenkin karakteristikan määritelmän mukaan pienin tällaisen ehdon toteuttava luku, eli formula_22. Siispä luvulla "n" ei voi olla epätriviaaleja tekijöitä.
Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden karakteristika on nolla (äärettömien) ja joiden karakteristika on alkuluku. Jos kokonaisalueen "D" karakteristika on nolla, on "D":ssä äärettömän monta alkioita. Esimerkiksi kuntalaajennukset käyttäytyvät eri lailla riippuen siitä, onko alkukunnan karakteristika ääretön vai äärellinen. Ero tulee näkyviin esimerkiksi kuntalaajennusten yhteydessä.
Äärelliset kokonaisalueet.
Keskeinen äärellisiä kokonaisalueita koskeva tulos on se, että jokainen äärellinen kokonaisalue on kunta.
Toisin sanoen sen jokaisella nollasta eroavalla alkiolla on käänteisalkio.
Tulos voidaan perustella seuraavasti:
Olkoon formula_1 äärellinen kokonaisalue, formula_24 kokonaisalueen formula_1 alkioiden lukumäärä ja formula_9 jokin sen nollasta eroava alkio.
Olkoot formula_27 kokonaisalueen "R" erisuuret alkiot. Tällöin myös alkiot formula_28 ovat keskenään erisuuria.
Jos nimittäin olisi formula_29 erisuurilla indeksien formula_30 ja formula_31 arvoilla, niin olisi formula_32. Tällöin formula_33 ja formula_9 olisivat kokonaisalueen formula_1 nollasta eroavia nollanjakajia. Tämä on ristiriita. Alkiot formula_36 käyvät siis läpi kaikki kokonaisalueen formula_1 alkiot. Erityisesti formula_38 jollakin formula_39. Alkio formula_40 on tällöin alkion formula_9 käänteisalkio.