Kultainen leikkaus

Kultainen leikkaus eli kultainen suhde saadaan, kun jana jaetaan kahteen osaan niin, että lyhyemmän osan suhde pidempään osaan on sama kuin pidemmän osan suhde koko janaan. Kultainen suhde on tällöin pidemmän ja lyhyemmän jako-osan pituuksien suhde, noin 1 : 0,618 tai 1,618 : 1. Janan jakamista tällä tavoin sanotaan myös sen jakamiseksi "jatkuvassa suhteessa".
Kultaista leikkausta tutkivat ensimmäisenä antiikin Kreikan matemaatikot, näistä erityisesti Pythagoraan vaimona pidetty Theano huomattuaan, että suhde esiintyy useissa geometrisissa kuvioissa. Sillä on tärkeä rooli paitsi matematiikassa myös estetiikassa, arkkitehtuurissa, taiteessa, luonnossa ja musiikissa.
Kultainen leikkaus taiteessa ja arkkitehtuurissa.
Kultainen leikkaus on kuvataiteessa ja arkkitehtuurissa sommittelun perussääntöjä. Muodot, joissa esiintyy kultainen leikkaus, koetaan yleisesti esteettisesti miellyttäviksi. Keskimäärin miellyttävimpinä pidetään sellaisia ihmiskasvoja tai ruumiinrakennetta, joiden suhteet vastaavat kultaista leikkausta parhaiten.
Kultainen leikkaus esiintyy usein jo antiikin Kreikan arkkitehtuurissa. Esimerkiksi Ateenan Parthenonin korkeuden ja sen päädyn pituuden suhde on suurella tarkkuudella kultainen leikkaus.
Matematiikan vakio.
Kultaisen leikkauksen arvo voidaan laskea sen määritelmän perusteella. Jos tarkasteltavan janan pituus on 1 ja sen pidemmän jako-osan formula_1, niin lyhempi jako-osa on formula_2, ja formula_1 toteuttaa yhtälön formula_4 eli formula_5. Tämän toisen asteen yhtälön positiivinen ratkaisu on formula_6. Kultaisen leikkauksen arvo on formula_7. Kultaista leikkausta merkitään usein symbolilla formula_8 (fii).
Kultaiseen leikkaukseen liittyy läheisesti myös Fibonaccin lukujono, jossa jokainen luku on kahden edellisen luvun summa. Siinä kahden peräkkäisen luvun suhde on sitä lähempänä kultaista leikkausta, mitä pidemmälle lukujonossa edetään, eli tämän suhteen raja-arvo on sama kuin kultaisen leikkauksen suhdeluku.
Geometriset konstruktiot.
Janan jako.
Eukleides esittää teoksessaan "Alkeet" keinon, jolla jana voidaan jakaa jatkuvassa eli kultaisen leikkauksen mukaisessa suhteessa (kirjan II propositio 11). Tämä voidaan suorittaa useammallakin tavalla, joista yksi on seuraava:
Eukleides myös käyttää tulosta säännöllisen viisikulmion piirtämiseen (kirjan IV propositio 11). On arveltu, että Eukleideen esittämä konstruktio on alun perin pythagoralaisten keksimä.
Kultainen kolmio.
Tasakylkisessä kolmiossa, jonka kulmat ovat 36°, 72° ja 72°, on kyljen ja kannan suhde sama kuin kultainen leikkaus.. Tällaista kolmiota sanotaan kultaiseksi kolmioksi.
Viisikulmio, kymmenkulmio ja pentagrammi.
Säännöllinen kymmenkulmio voidaan jakaa kymmeneen kultaiseen kolmioon, joilla on yhteinen kärki kymmenkulmion keskipisteessä. Tämän vuoksi ympyrän sisään piirretyssä säännöllisessä kymmenkulmiossa ympyrän säteen ja kymmenkulmion sivun suhde on myös kultainen leikkaus.
Säännöllisessä viisikulmiossa lävistäjän ja sivun suhde on kultainen leikkaus, samoin ympyrän säteen ja sen sisään piirretyn säännöllisen kymmenkulmion sivun suhde.
Pentagrammin konstruoiminen perustuu kultaiseen leikkaukseen. Pentagrammi on kuvio, joka saadaan, kun säännölliselle viisikulmiolle piirretään lävistäjät ja poistetaan alkuperäinen viisikulmio. Lävistäjät jakavat toiset lävistäjät kolmeen osaan. Säännöllisen viisikulmion lävistäjät jakavat toisensa kultaisen leikkauksen suhteessa. On arveltu, että tämän ominaisuuden takia antiikin filosofi Pythagoras valitsi pentagrammin salaseuransa symboliksi.
Kultainen suorakulmio.
Kultainen suorakulmio on suorakulmio, jonka sivujen suhteet noudattavat kultaista leikkausta. Tällainen suorakulmio voidaan konstruoida oheisen kuvion yhteydessä selitetyllä tavalla: