Navierin–Stokesin yhtälöt

Navierin–Stokesin yhtälöt ovat joukko yhtälöitä, jotka kuvaavat fluidien eli nesteiden ja kaasujen liikettä. Yhtälöt kertovat, että muutokset fluidiosasen liikemäärässä johtuvat paineen ja fluidin sisäisten viskoosien voimien (kitka) vaihtelusta. Navierin–Stokesin yhtälö on siis tasapainoyhtälö fluidiin vaikuttaville voimille. Yhtälöt on nimetty Claude-Louis Navierin ja George Gabriel Stokesin mukaan.
Yhtälöt ovat erittäin käyttökelpoisia monilla fysiikan osa-alueilla. Niitä voidaan käyttää muun muassa mallintamaan säätä, merivirtoja, nesteen virtausta putkessa tai ilman liikettä lentokoneen siiven ympärillä. Siksi niitä käytetään muun muassa autojen ja ilma-alusten muotoilussa tai voimalaitosten suunnittelussa sekä saasteiden leviämisen arvioinnissa.
Navierin–Stokesin yhtälöt ovat differentiaaliyhtälöitä. Tämä tarkoittaa sitä, että toisin kuin algebralliset yhtälöt, jotka kuvaavat muuttujien kuten nopeuden ja paineen välisiä suhteita, nämä yhtälöt kuvaavat muuttujien muutosnopeuksien eli derivaattojen suhteita. Yksinkertaisimman muotonsa ne saavat ideaalifluidiin sovellettuina, jolloin viskoosit voimat ovat nollia. Nämä voimat johtuvat fluidin molekyylien vuorovaikutuksesta, ja niiden suuruus kuvaa, kuinka "paksua" fluidi on. Tällöin yhtälö kertoo, että kiihtyvyys (nopeuden muutosnopeus) on verrannollinen sisäisen paineen muutokseen.
Vaikka turbulenssi on mitä tavallisin arkipäivän ilmiö, turbulenssiongelmiin on äärimmäisen vaikea löytää ratkaisuja. Käytännössä kaikissa tapauksissa Navier–Stokes-yhtälöiden ratkaisut täytyy löytää numeerisesti tietokoneiden avulla. Toukokuussa 2000 Clay-instituutti (Clay Mathematics Institute) listasi Navierin–Stokesin yhtälöt Millennium-ongelmien joukkoon, joiden ratkaisusta on luvattu miljoona dollaria. Palkinnon saa se, joka kehittää merkittävästi tämän ilmiön selittävää matemaattista teoriaa.
Matemaattinen muotoilu.
Kokoonpuristumattoman fluidin Navierin–Stokesin yhtälöt karteesisessa koordinaatistossa voidaan esittää muodossa 
formula_1
formula_2
formula_3,
missä formula_4, formula_5 ja formula_6 määrittelevät paikan koordinaatistossa, formula_7 formula_4-suuntainen, formula_9 formula_5-suuntainen ja formula_11 formula_6-suuntainen nopeuden komponentti, formula_13 fluidin paine paikan ja ajan funktiona, formula_14 fluidin tiheys ja formula_15 dynaaminen viskositeetti. Kokonaisderivaatat (ei osittais-) on tässä laskettu "liikettä seuraten", yksittäisen fluidipaketin näkökulmasta.
Tämä voidaan esittää kompaktimmin vektorimuodossa käyttäen nabla-operaattoria sekä lauseketta ns. kinemaattiselle viskositeetille formula_16:
formula_17,
tai lokaalin derivaatan ja advektio-operaattorin avulla esitettynä
formula_18,
missä formula_19 on virtausnopeus.
Millennium-ongelma.
Clay Mathematics Institute on nimennyt Navierin–Stokesin yhtälöiden ratkaisun olemassaolon ja sileyden todistamisen miljoonan Yhdysvaltain dollarin arvoiseksi Millennium-ongelmaksi. Ongelman muotoilu on seuraava:
Millennium-ongelma ei siis pyri ratkaisemaan Navierin–Stokesin yhtälöitä vaan pelkästään osoittamaan, että yhtälöillä todellakin aina on olemassa ratkaisu. Lisäksi halutaan todistaa, että ratkaisu on aina sileä. Sileys tarkoittaa, että ratkaisun derivaattojen täytyy olla jatkuvia, eli fysikaalisesti ajateltuna fluidin ominaisuuksien, kuten sen paikallisen kiihtyvyyden, täytyy muuttua ilman äkkinäisiä hyppyjä. Tämä ominaisuus vaaditaan, jotta yhtälöt varmasti kuvaavat fluidien liikettä realistisesti.
Koko kolmiulotteisessa avaruudessa pätevän ratkaisun lisäksi Millennium-palkinto voidaan myöntää, jos ongelma ratkaistaan periodisessa kolmiulotteisessa avaruudessa, eli avaruudessa, joka toistaa itseään tietyn matkan välein. Tämä auttaa hallitsemaan mahdollisia ongelmia äärettömyydessä"."