Nelivektori

Nelivektori on suhteellisuusteoriassa neljästä komponentista koostuva vektori, joka on määritelty neli­ulotteisessa aika-avaruudessa. Se on matemaattinen työkalu, jolla kuvastetaan aika-avaruuden relativistisia ilmiöitä., Minkowskin avaruudessa. Se eroaa tavallisesta euklidisesta vektorista siinä, että neli­vektorit muuntuvat koordinaatistosta toiseen siirryttäessä Lorentzin muunnoksen mukaisesti. 
Aika-avaruudessa sijaitsevaa tapahtumaa voidaan kuvata nelivektorilla, jossa on kolme paikka­koordinaattia ja yksi ajan koordinaatti. Nelivektorin komponenteilla on mahdollista kuvata myös energiaa ja liikemäärää.
Tässä artikkelissa neli­vektoreita käsitellään erityisen suhteellisuus­teorian mukaisesti. Vaikka neli­vektoreita käytetään myös yleisessä suhteellisuus­teoriassa, jotkin tässä artikkelissa mainitut tulokset eivät siinä enää sellaisenaan päde.
Tässä artikkelissa käytetään seuraavia merkintöjä: lihavoidut pienet kirjaimet merkitsevät kolmiulotteisia vektoreita, hatulla varustetut kirjaimet kolmiulotteisen avaruuden yksikkö­vektoreita, lihavoidut isot kirjaimet merkitsevät neli­vektoreita, poikkeuksena neli­gradientti. Lisäksi käytetään tensorien indeksi­notaatiota.
Nelivektorien algebra.
Reaaliarvoisen kannan nelivektorit.
Nelivektori "A" on vektori, jolla on yksi "ajan­luontoinen" ja kolme "paikan­luontoista" komponenttia. Sellaisille on käytössä useita samaa tarkoittavia merkintätapoja:
formula_1
Yläindeksit tarkoittavat kontravariantteja komponentteja. Tavanomainen käytäntö on, että latinalaisilla kirjaimilla indeksoidaan ainoastaan paikanluontoiset komponentit, "i" = 1, 2, 3, kun taas kreikkalaisia kirjaimia käytetään indeksoitaessa komponentit Einsteinin summaussäännön mukaisesti, kun myös ajan­luontoinen komponentti on mukana: "a" = 0, 1, 2, 3, missä 0 vastaa ajan­luontoista komponenttia. Jako ajan- ja paikan­luontoisiin komponentteihin on hyödyllinen määriteltäessä nelivektorien ja muiden tensori­suureiden välisiä riippuvuuksia kuten laskettaessa Lorentz-invariantteja sisätuloina, mistä jäljempänä esitetään esimerkkejä. 
Erityisessä suhteellisuus­teoriassa paikan­luontoinen kantana e1, e2, e3 ja komponentteina "A"1, "A"2, "A"3 käytetään usein karteesista kantaa ja komponentteja:
formula_2
vaikka luonnollisesti muitakin kantoja ja koordinaatteja voidaan käyttää, esimerkiksi pallokoordinaatistoa
formula_3,
sylinterikoordinaatistoa, 
formula_4
tai mitä tahansa ortogonaalisia tai jopa käyrä­viivaista koordinaatistoa]]. On huomattava, että tässä ala­indekseinä käytetyt tunnukset eivät ole indeksejä, jotka saavat lukuarvoja. Yleisessä suhteellisuus­teoriassa on käytettävä paikallista käyrä­viivaista koordinaatistoa. Geometrisesti neli­vektoreitakin voidaan kuvata nuolilla, mutta aika-avaruudessa, ei pelkästään avaruudessa. Suhteellisuus­teoriassa nuolet piiretään aika-avaruus-diagrammiin eli Minkowskin diagrammiin. Jäljempänä neli­vektoreita sanotaan usein lyhyesti vektoreiksi.
On myös tavallista esittää kannan muodostavat yksikkövektorit muodossa 
formula_5
niin, että 
formula_6
Indeksit on tapana kirjoittaa alaindekseinä kovarianttien ja yländekseinä kontravarianttien nelivektorien tapauksessa. Kovariantti neli­vektori voidaan näin ilmaista muodossa formula_7. Kovariantti neli­vektori formula_8 saadaan, kun kerrotaan kontra­variantti neli­vektori formula_9 metrisellä tensorilla formula_10:
formula_11.
Eri merkintätavoilla kovariantit komponentit ovat:
formula_12
missä alaindeksit osoittavat kyseessä olevan kovariantti vektori. Usein metriikka on diagonaalinen, kuten 
orto­gonaalisten mutta ei yleisten käyrä­viivaisten koordinaattien tapauksessa.
Kanta voidaan esittää rivivektoreina:
formula_13
niin että:
formula_14
Perusteena näille merkintätavoille on se, että sisätulo on skalaari.
Lorentzin muunnos.
Jos oletetaan kaksi inertiaalista tai pyörivää vertailujärjestelmää, neli­vektori voidaan määritellä suureeksi, joka muuntuu Lorentz-muunnosmatriisin formula_15 mukaisesti:
formula_16
Indeksimerkintöjä käytettäessä kontravariantit komponentit muuntuvat seuraavasti:
formula_17
ja kovariantit komponentit seuraavasti:
formula_18
missä matriisilla formula_15 on komponentit "Λµ?" rivillä "µ" ja sarakkeella "ν,", ja sen käänteismatriisin Λ-1 komponentit ovat "Λµν," rivillä "µ" ja sarakkeella "ν,". 
Esimerkiksi tapahtuman neli­paikka S muunnetaan Lorentz-muunnoksella toiseen inertiaali­koordinaatistoon seuraavasti: formula_20, tässä formula_21 on 4x4-matriisi
formula_22. 
Aika-avaruus­intervalli saa neli­vektoreilla muodon formula_23. Aika-komponentin imaginaarisella kertoimella on siis suuri merkitys. Huomataan että aika-avaruusintervalli säilyy Lorentz-muunnoksessa, siis formula_24.
Kaikki neli­vektorit muuntuvat samalla tavalla, ja tämä voidaan yleistää neli­ulotteisille relati­visti­sille tensoreille.
Puhtaat kierrot mielivaltaisen akselin ympäri.
Jos oletetaan kaksi kiinteän kulman θ toisistaan erottamaa, yksikkö­vektorien määrittelemää vertailu­järjestelmää
formula_25
matriisin Λ komponentit ovat:
formula_26
formula_27
formula_28
missä "dij" on Kroneckerin delta ja "eijk" on kolmiulotteinen Levin-Civitan symboli. Neli­vektorin paikan­luontoiset komponentit kiertyvät, kun taas ajan­luontoinen komponentti pysyy muuttumattomana.
Jos rotaatio tapahtuu vain "z"-akselin ympäri, Lorentzin matriisin paikan­luontoinen osa yksin­kertaistuu rotaatiomatriisiksi "z"-akselin ympäri:
formula_29
Tasaiset liikkeet mielivaltaiseen suuntaan.
Kun kaksi vertailu­järjestelmää liikkuu toistensa suhteen tasaisella nopeudella v (tässä tarkoitetaan tavan­omaista nopeutta kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ei jäljempänä määriteltävää neli­nopeutta), on kätevää käyttää suhteellisen nopeuden yksikkönä valon­nopeutta "c" seuraavasti:
formula_30
Täten kun rotaatiota ei ole eli molempien vertailu­järjestelmien koordinaatti­akselit ovat saman­suuntaiset, matriisin Λ komponentit ovat:
formula_31
missä formula_32 on Lorentzin tekijä
formula_33
ja "δij" on Kroneckerin delta. Toisin kuin pelkän rotaation tapauksessa, tasaisessa suora­viivaisessa liikkeessä matriisin paikan- ja ajan­luontoiset komponentit kytkeytyvät toisiinsa.
Kun liike tapahtuu ainoastaan "x"-akselin suuntaan, matriisi yksin­kertaistuu muotoon
formula_34
missä käytetään rapiditeettia formula_35 , joka voidaan ilmaista hyper­bolisten funktioiden avulla:
formula_36
Tämä Lorentzin matriisi osoittaa, että etenemis­liike voidaan käsittää hyper­boliseksi rotaatioksi neliulotteisessa aika-avaruudessa, jolloin se on analoginen ympyräliikkeelle kolmi­ulotteisessa avaruudessa.
Ominaisuudet.
Lineaarisuus.
Nelivektoreilla on samat lineaarisuus­ominaisuudet kuin euklidisilla vektoreilla kolmessa ulottuvuudessa. Niitä voidaan laskea yhteen tavalliseen tapaan:
formula_37
ja ne voidaan kertoa skalaarilla λ komponenteittain:
formula_38
Samoin vähennyslasku on nelivektoreillakin yhteenlaskun käänteistoimitus, joka määritellään komponenteittain:
formula_39
Sisätulo.
Kahden nelivektorin A ja B sisätulo eli skalaaritulo määritellään Einsteinin notaatiota käyttäen seuraavasti:
formula_40
missä formula_41 on Minkowskin metriikka. Tässä yhteydessä sisätuloa sanotaan myös Minkowskin sisä­tuloksi. Asian havain­nollis­tamiseksi on kätevää kirjoittaa määritelmä uudestaan matriisimuodossa seuraavasti:
formula_42
missä tapauksessa ημν tarkoittaa rivillä "µ" ja sarakkeessa "ν" olevaa lukua Minkowskin metriikkaa esittävässä neliömatriisissa. Minkowskin metriikka ei ole euklidinen metriikka, koska siinä kahden aika-avaruuden eri pisteenkin (tapahtuman) välinen intervalli voi olla nolla. Sisätulo voidaan kirjoittaa monella muullakin tavalla, koska metrinen tensori muuttaa A:n ja B:n kovariantit komponentit kontra­varianteiksi tai päinvastoin. Näille komponenteille pätee:
formula_43
tai matriisimuodossa:
formula_44
kun taas A:n ja B:n kovarianteille komponenteille pätee:
formula_45
tai matriisi­muodossa samaan tapaan kuin edellä.
Nelivektorin A sisätuloa itsensä kanssa sanotaan vektorin normiksi, ja se merkitään ja määritellään seuraavasti:
formula_46
Intuitiivisesti sen voidaan käsittää merkitsevän neli­vektorin pituuden tai suuruuden neliötä. Neli­vektorin pituus, jota sanotaan myös sen magnitudiksi, ei kuitenkaan välttämättä ole positiivinen, toisin kuin kolmi­ulotteisten vektorien euklidisessa avaruudessa.
Seuraavassa esitetään kaksi tavallisinta valintaa metriseksi tensoriksi standardi­kannassa, joka vastaa oleellisesti
karteesisia koordinaatteja. Jos käytetään orto­gonaalisia koordinaatteja, tarvitaan skaalatekijöitä metriikan paikan­luontoisen osan diagonaalisessa suunnassa, kun taas yleisissä käyrä­viivaisissa koordinaateissa metriikan koko paikan­luontoisen osan komponentit riippuisivat käytetystä käyräviivaisesta kannasta.
Standardikanta, etumerkit (+---).
Etumerkkikäytännössä (+---) summaus indeksien yli johtaa tulokseen 
formula_47
tai matriisimuodossa:
formula_48
Erityisessä suhteellisuusteoriassa on yleinen käytäntö ottaa lauseke
formula_49
yhteen vertailu­järjestelmään, missä "C" on tämän vertailu­järjestelmän sisätulon arvo ja
formula_50
toisessa vertailu­järjestelmässä, missä "C"′ on sisä­tulon arvo tässä järjestelmässä. Koska sisä­tulo on invariantti, näiden on oltava yhtä suuret:
formula_51
toisin sanoen:
formula_52
Koska fysikaaliset suureet suhteellisuus­teoriassa ovat yleensä neli­vektoreita, tämä yhtälö on muistuttaa säilymis­lakeja, mutta se ei esitä minkään suureen säilymistä. Minkowskin sisätulon ensi­sijainen merkitys on siinä, että mille tahansa kahdelle nelivektorille sen arvo on invariantti eli sama kaikissa vertailu­järjestelmissä ja kaikille havaitsijoille; koordinaatiston vaihdos ei johda sisätulon arvon muutokseen. Nelivektorin komponentit sitä vastoin muuttuvat siirryttäessä koordinaatistosta toiseen; A ja A′ liittyvät toisiinsa Lorentzin muunnoksen osoittamalla tavalla, ja samoin B and B′. Tämäntapaista lauseketta kuitenkin käytetään suhteellisuus­teoreettisissa laskuissa säilymis­lakien tavoin, koska komponenttien suuruudet voidaan määrittää suorittamatta ekspli­siitti­sesti Lorentzin muunnosta. Erityisen esimerkin tästä muodostavat energia ja liikemäärä, jotka yhdistyvät samaksi neli­vektoriksi, neliliikemääräksi.
Näillä merkkisäännöillä vektorin A normi on:
formula_53
Niinpä (+---) -merkki­sääntöjä käytettäessä neli­vektori on paikan­luontoinen, jos ||A|| &lt; 0, ajan­luontoinen, jos ||A|| &gt; 0 ja nolla­vektori, jos ||A|| = 0.
Standardikanta, etumerkit (-+++).
Jotkut kirjoittajat määrittelevät formula_41:n päin­vastaisin etumerkein, missä tapauksessa saadaan etumerkki­käytäntö (-+++). Tässä tapauksessa summaus johtaa tulokseen:
formula_55
matriisimuodossa:
formula_56
On huomattava, että tässä tapauksessa yhdessä vertailujärjestelmässä pätee:
formula_57
toisessa sen sijaan:
formula_58
joten:
formula_59
ja näin ollen "C" saadaan edellisen kanssa yhtä­pitävästi "A".n ja "B":n avulla. Kumpikin käytäntö toimii yhtä hyvin. Nämä kaksi eri tavalla määriteltyä Minkowskin metriikkaa eroavat toisistaan vain neli­vektorin kovarianttien ja kontra­varianttien komponenttien etu­merkkien osalta, toisin sanoen etu­merkit riippuvat siitä, kumpaa käytäntöä noudatetaan.
Tämän etumerkki­käytännön mukaisesti normin neliö on:
formula_60
Niinpä (-+++) -merkkisääntöjä käytettäessä neli­vektori on paikan­luontoinen, jos ||A|| &gt; 0, ajan­luontoinen, jos ||A|| &gt; 0 ja nollavektori, jos ||A|| = 0.
Duaalivektorit.
Sisätulo esitetään usein ensimmäisen vektorin duaalivektorin ja jälkimmäisen vektorin tulona:
formula_61
Tässä "Aν":t ovat A:n duaalivektorin "A"* komponentit duaali­kannassa, ja niitä sanotaan A:n "kovarianteiksi koordinaateiksi", kun taas alkuperäisiä komponentteja "Aν" sanotaan sen "kontra­varianteiksi koordinaateiksi".
Nelivektorien derivaatat ja differentiaalit.
Erityisessä (mutta ei yleisessä) suhteellisuus­teoriassa neli­vektorin derivaatta invariantin skalaarin λ suhteen on sekin neli­vektori. Usein on myös kätevää käyttää neli­vektorin differentiaalia "d" ja jakaa se skalaarin λ differentiaalilla "dλ":
formula_62
missä kontravariantit komponentit ovat:
formula_63
ja kovariantit koordinaatit:
formula_64
Relativistisessa mekaniikassa neli­vektorin differentiaali jaetaan usein itseis­ajan differtiaalilla.
Perustavia nelivektoreita.
Nelipaikka.
Minkowskin avaruuden pisteillä, joita sanotaan myös "tapahtumiksi", on paikallinen ja ajallinen sijainti, ja sen ilmaisee nelipaikkavektori eli nelipaikka, joka annetussa vertailujärjestelmässä voidaan ilmaista neljän koordinaatin avulla:
formula_65
Tässä r on pisteen paikkavektori kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Jos r on aika­koordinaatin "t" funktio samassa vertailujärjestelmässä, toisin sanoen r = r("t"), tämä vastaa tapahtumien sarjaa ajan "t" muuttuessa. Määritelmä "X"0 = "ct" merkitsee sitä, että kaikki koordinaatit voidaan ilmoittaa samoilla, mittayksiköillä, pituuden yksiköillä. Nämä koordinaatit ovat tapahtuman "paikka­neli­vektorin" komponentit. "Siirtymä­neli­vektori" määritellään kahta tapahtumaa yhdistävänä "nuolena":
formula_66
Nelipaikkavektorin sisätulo itsensä kanssa on
formula_67
mikä "määrittelee" Minkowskin aika-avaruudessa intervallin "s" ja itseis­ajan "t", jotka ovat invariantteja. Neli­paikka­vektorin differentiaalin sisä­tulo itsensä kanssa on:
formula_68
mikä määrittelee differentiaalisen viivaelementin d"s" ja differentiaalisen itseis­ajan d"t", mutta tämä normi on myös:
formula_69
niin että:
formula_70
Fysikaalisia ilmiötä tarkasteltaessa päädytään luonnollisesti differentiaaliyhtälöihin. Funktioiden paikka- ja 
aika­derivaattoja tarkasteltaessa ei kuitenkaan ole selvää, minkä vertailu­järjestelmän suhteen ne on otettu. On sovittu, että aika­derivaatat otetaan itseisajan "t" suhteen. Koska itseisaika on invariantti, tämä takaa, että jokaisen neli­vektorin derivaatta itseisajan suhteen on myös neli­vektori. On tärkeä löytää yhteys tämän itseis­aika­derivaatan ja toisen aika­derivaatan, yleensä jonkin inertiaali­järjestelmän koordinaatti­ajan suhteen otetun derivaatan välillä. Tämä yhteys saadaan ottamalla edellä selitetty differentiaalinen invariantti aika-avaruus-intervalli ja jakamalla sitten suureella "cdt"2, jolloin saadaan:
formula_71
missä u = "d"/"dt" on kohteen nopeus mitattuna samassa järjestelmässä kuin koordinaatit "x", "y", "z" ja koordinaattiaika "t", ja 
formula_72
on Lorentzin tekijä. Tästä saadaan käyttökelpoinen yhteys koordinaatti­ajan ja itseis­ajan suhteen otettujen differentiaalien välille:
formula_73
Tämä yhteys voidaan todeta myös siitä, miten aika muuntuu Lorentzin muunnoksessa. Suhteellisuus­teoriassa tärkeitä nelivektoreita voidaan saada jakamalla tällä differentiaalilla.
Neligradientti.
Koska osittais­derivaatat ovat lineaarisia operaattoreita, voidaan neligradientti muodostaa osittaiserivaatasta formula_74, ja avaruudellisesta gradientista formula_75. Käytettäessä standardikantaa indeksi- ja lyhennysmerkintöineen neligradientin kontravariantit komponentit ovat:
formula_76
On otettava huomioon, että kantavektorit on asetettu komponenttien, jotta tämä ei sekaantuisi kantavektorien derivaattoihin tai yksinkertaisesti sen osoittamiseksi, että osittaisderivaatta on tämän nelivektorin komponentti. Kovariantit komponentit ovat:
formula_77
Koska tämä on operaattori, sillä ei ole "pituutta", mutta jos lasketaan muodollisesti tämän operaattorin sisätulo itsensä kanssa, saadaan toinen operaattori:
formula_78
jota sanotaan D'Alembertin operaattoriksi.
Nelivektoreita fysiikan eri aloilla.
Kuten jäljempänä mainitut esimerkit osoittavat, monet sellaiset suureet, joita ei-relativistisessa fysiikassa pidetään skalaareina, osoittautuvat suhteellisuusteoriassa jonkin nelivektorisuureen ajanluontoiseksi komponentiksi. Saman nelivektorin paikanluontoiset komponentit vastaavat ei-relativistisessa fysiikassa jotakin vektorisuuretta.
Kinematiikka.
Nelinopeus.
Hiukkasen nelinopeus määritellään seuraavasti:
formula_79
Geometrisesti U on hiukkasen maailmanviivan tangenttivektori. Nelipaikan differentiaalin avulla voidaan laskea nelinopeuden magnitudi:
formula_80
Todetaan, että kaikkien hiukkasten ja kappaleiden nelinopeuden magnitudi on aina valonnopeus "c":
formula_81
Normi voidaan esittää myös muodossa:
formula_82
josta saadaan edelleen:
formula_83
mikä yksinkertaistuu Lorentzin tekijän määritelmäksi. 
Nelikiihtyvyys.
Kappaleen nelikiihtyvyys määritellään seuraavasti:
formula_84
missä a = "d"/"dt" kolmiulotteinen kiihtyvyys. Koska U:n pituus on vakio, nelikiihtyvyys on (pseudo)-ortogonaalinen nelinopeuden kanssa, toisin sanoen nelinopeuden ja nelikiihtyvyyden Minkowskin sisätulo on nolla:
formula_85
kaikille maailmanviivoille. Geometrisesti nelikiihtyvyys merkitsee maailmanviivan kaarevuusvektoria Minkowskin avaruudessa.
Dynamiikka.
Neliliikemäärä.
Massalliselle kappaleelle, jonka lepomassa tai invariantti massa on "m"', neliliikemäärä määritellään:
formula_86
missä liikkuvan kappaleen kokonaisenergia on:
formula_87
ja sen relativistinen kokonaisliikemäärä on:
formula_88
Laskemalla neliliikemäärän sisätulo itsensä kanssa saadaan:
formula_89
ja myös:
formula_90
mistä saadaan kappaleen energian ja liikemäärän välinen yhteys:
formula_91
Tämä tulos on käyttökelpoinen relati­visti­sessa meka­niikassa ja oleellisen tärkeä relati­visti­sessa kvantti­mekaniikassa sekä relati­visti­sessa kvantti­kenttä­teoriassa, joita kaikkia sovelletaan hiukkas­fysiikassa.
Nelivoima.
Hiukkaseen vaikuttava nelivoima määritellään vastaavalla tavalla kuin voima on Newtonin toisen lain mukaisesti määritelty liikemäärän aika­derivaattana:
formula_92
missä "P" on se teho, jolla kappaleen liikkeeseen vaikutetaan, ja f kappaleeseen vaikuttava (kolmi­ulotteinen) voima. Kappaleeseen, jonka lepomassa "m" on vakio, vaikuttava nelivoima voidaan yhtä­pitävästi määritellä myös seuraavasti:
formula_93
Neli­voimalle ja neli­nopeudelle voidaan sen perusteella, mitä edellä todettiin neli­kiihtyvyydestä, johtaa tulos: 
formula_94
Termodynamiikka.
Nelilämpövuo.
Nelilämpövuo on vektorikenttä, joka on oleellisesti saman­kaltainen kuin kolmi­ulotteinen lämpövuo q väli­aineen paikallisessa vertailujärjestelmässä:
formula_95
missä "T" on absoluuttinen lämpötila ja "k" lämmönjohtavuus.
Nelibaryonilukuvuo.
Baryonien vuo on: 
formula_96
missä "n" on baryonien lukumääräinen tiheys baryonien paikallisessa lepo­koordinaatistossa (positiivinen baryoneille, negatiivinen anti­baryoneille), ja
"U" on baryonien muodostaman aineen nelinopeus.
Nelientropia.
Entropiaa vastaava nelivektori, "nelientropia", määritellään: 
formula_97
missä "s" on entropia baryonia kohti ja "T" absoluuttinen lämpötila aineen paikallisessa lepo­koordinaatistossa. 
Sähkömagnetismi.
Seuraavassa on joitakin esimerkkejä sähkömagnetismiin liittyvistä neli­vektoreista.
Nelivirta.
Sähkövirtaa kuvaava nelivektori, "nelivirta", määritellään seuraavasti:
formula_98
missä j on virrantiheys ja ρ varaustiheys.
Nelipotentiaali.
Sähkömagneettinen nelipotentiaali määritellään:
formula_99
missä a on vektoripotentiaali ja ϕ skalaaripotentiaali. Nelipotentiaali ei ole yksi­käsitteisesti määritelty, koska se riippuu siitä, minkä kohdan potentiaali on valittu nolla­kohdaksi.
Aaltoliike.
Nelitaajuus.
Tasoaaltoa voidaan kuvata neli­taajuudella, joka määritellään seuraavasti:
formula_100
missä "ν" on aallon taajuus ja formula_101 aallon etenemis­suuntaan osoittava yksikkövektori. Saadaan:
formula_102
joten nelitaajuuden magnitudi on aina nolla.
Neliaaltovektori.
Aalto­liikettä tarkas­tel­ta­essa käytetään usein aikaan "t" ja pituuteen "r" kääntäen verrannollisia suureita,
kulma­taajuutta "ω" ja aaltovektoria "k". Suhteellisuus­teoriassa nämä voidaan yhdistää neli­vektoriksi, "neliaaltovektoriksi":
formula_103
Likipitäen monokromaattisen valon muodostamaa aaltopakettia kuvaa yhtälö:
formula_104
Aineaaltoja koskevat de Broglien relaatiot voidaan yhdistää yhdeksi yhtälöksi:
formula_105
missä "h" on Planckin vakio jaettuna 2π:llä. Tämän normin neliö on:
formula_106
ja yhdistämällä tämä sekä de Broglien relaatio
formula_107
saadaan energian ja liikemäärän yhteyttä vastaava relaatio aine­aalloille:
formula_108
Voidaan todeta, että massattomilla hiukkasilla ("m" = 0) tästä saadaan:
formula_109
tai ||k|| = "ω"/"c". Tämä on yhteen­sopiva edellisen kanssa. Niinpä fotonien kolmi­liike­määrä on "ω"/"c" aaltojen etenemis­suunnassa, jonka määrittelee yksikkö­vektori formula_101.
Kvanttiteoria.
Kvantti­mekaniikassa toden­näköisyyden neli­virta on analoginen sähkö­magneettiselle neli­virralle:
formula_111
missä "ρ" on aikakomponenttia vastaava toden­näköisyyden tiheysfunktio ja vektori "'j" on "toden­näköisyys­virta". Epärelativistisessa kvantti­mekaniikassa tämä virta on aina hyvin määritelty, koska tiheyden ja virran lausekkeet ovat positiivisia ja ne voidaan tulkita toden­näköisyyksinä. Rela­ti­visti­sessa kvantti­mekaniikassa ­ja kvanttikenttäteoriassa ei aina ole mahdollista määritellä virtaa, varsinkaan kun vuorovaikutukset otetaan huomioon.
Jos energia korvataan energiaoperaattorilla ja liikemäärä neliliikemäärän liikemääräoperaattorilla, saadaan
relati­visti­sissa aalto­yhtälöissä käytetty neliliikemääräoperaattori.
Muita muotoiluja.
Nelivektorit fysikaalisen avaruuden algebrassa.
Nelivektori "A" voidaan määritellä myös käyttämällä Paulin matriiseja kantana, jolle voidaan käyttää monia yhtäpitäviä merkin­tätapoja:
formula_112
tai eksplisiittisesti:
formula_113.
Tässä muotoilussa neli­vektoria ei esitä reaali­arvoinen rivi- tai sarake­vektori vaan hermiittinen matriisi, siis sellainen, jonka transpoosin kompleksikonjugaatti on sama kuin alkuperäinen matriisi. Matriisin determinantti on neli­vektorin modulus ja näin ollen invariantti:
formula_114
Tätä ideaa Paulin matriisien käyttämisestä kanta­vektoreina sovelletaan fysikaalisen avaruuden algebrassa, ja se on esimerkki Cliffordin algebrasta.
Nelivektorit aika-avaruuden algebrassa.
Aika-avaruuden algebra on toinen esimerkki Cliffordin algebrasta. Siinä myös gamma-matriisit voivat muodostaa kannan. Niitä sanotaan myös Diracin matriiseiksi, koska ne esiintyvät Diracin yhtälössä. Gamma-matriisit voidaan muodostaa usealla eri tavalla.
Feynmanin slash-notaatio on eräs lyhyt merkitätapa nelivektorille A gammamatriisien avulla:
formula_115
Gammamatriisien avulla lyhyesti kirjoitettu neliliikemäärä on tärkeä relati­visti­sessa kvantti­mekaniikassa ja relati­visti­sessa kvantti­kenttä­teoriassa. Diracin yhtälössä ja muissa
rela­tivisti­sissa aalto­yhtälöissä esiintyy muotoa
formula_116
olevia termehä, joissa energia­komponentti "E" ja liike­määrä­komponentit ("px","py", "pz") korvataan niitä vastaavilla operaattoreilla.