Kolmioluku

Kolmioluku on luonnollista lukua oleva määrä pisteitä, jotka pinnalle tasavälein aseteltuna muodostavat tasasivuisen kolmion. Kymmenen ensimmäistä kolmiolukua ovat 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 ja 55. 
Rekursiivisesti ilmaistuna kolmioluku formula_1 on formula_2 
Suurempia kolmiolukuja voidaan muodostaa pienemmistä lisäämällä niihin riittävästi pisteitä:
Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa rekursiivisessa yhtälössä luku formula_3
Kolmioluvut ovat yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.
Kolmiolukuja voi pitää kertoman yhteenlaskullisena vastineena.
Formaalinen määritelmä.
Kolmioluvut formula_1 saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan formula_5 peräkkäistä luonnollista lukua yhteen:
formula_6 
Merkintä formula_7 tarkoittaa binomikerrointa, jonka arvo on sama kuin formula_8:sta alkiosta muodostettavien parien lukumäärä.
Yhteyksiä matematiikkaan.
Kolmiolukuja esiintyy satunnaisesti jokaisella matematiikan alalla. Alla on esimerkkejä joistakin kolmiolukujen ominaisuuksista.
Arjen erikoisuuksia.
Keilat asetetaan kolmioluvun formula_9 tapaan tetraktyksen muotoon. Biljardipallot kootaan kolmiokehykseen aloitusasemaan kolmioluvun formula_10 tapaan.
Pedon luku on kolmioluku formula_11 666. Se on suurin kolmioluku, jonka lukuesityksessä kaikki numerot ovat samat. 
Kolmiolukujen ominaisuksia.
Kolmioluvut ovat "sukua toisilleen", joten niillä on rekursiivisia suhteita. Seuraavia kolmiolukujen välisiä ominaisuuksia tunnetaan. Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden erotus on kuutioluku formula_12. 
formula_13 
Esimerkiksi, kun n = 3, saadaan formula_14 
Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden summa on kolmioluku.
formula_15
Kun esimerkiksi n = 3, saadaan formula_16 
Seuraavat kolmiolukujen identiteetit on helppo ymmärtää oheisista piirroksista. Menetelmä on yksinkertainen ja antaa olettaa, että muitakin kolmiolukuja voi muodostaa yhdistelemällä eri suuruisia kolmioita suuremmiksi kolmioiksi.
formula_17 (kuvio 1)
formula_18 (kuvio 2)
Kun lasketaan yhteen peräkkäiset parittomat luvut, saadaan kahden peräkkäisen kolmioluvun summa.
formula_19
Summa on arvoltaan myös neliöluku, kuten jäljempänä todetaan.
Kytkentä muihin kuviolukuihin.
Kolmioluvuilla on myös kytkentöjä muihin kuviolukuihin. Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on aina neliöluku formula_20: 
formula_21
Tämä voidaan havaita suoraan pistekuvioista, joista on alla kaksi esimerkkiä.
Neliölukuja voi muodostaa useammastakin kolmioluvusta. 
Toinen vastaava esimerkki on:
formula_22 
Jos lasketaan yhteen pariton määtä kolmiolukuja seuraavasti
formula_23
saadaan tulokseksi neliöluku. 
Joka toinen kolmioluku on kuusikulmioluku formula_24: formula_25 
Kukin viisikulmioluku formula_26 on kolmasosa kolmioluvusta: formula_27 
Jos formula_28 on seitsenkulmioluku, saadaan lausekkeen arvoksi formula_29, joka on kolmioluku formula_30.
Peräkkäisten kuutiolukujen summa on kolmioluvun neliö:
formula_31 
Peräkkäisten parittomien kuutiolukujen summa antaa kolmioluvun:
formula_32 
Yhteyksiä muuhun matematiikkaan.
Friedrich Gauss on todistanut oikeaksi Pierre de Fermat'n monikulmiolukujen teoreeman, jonka mukaan kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana. 
Kaikki luvun formula_33 jakajat ovat muotoa formula_34 ja samoin on laita lukujen formula_35, jotka ovat kaikki muotoa formula_36. Muotoa formula_37 olevilla luvuilla on jakajina luvut formula_38 ja formula_39 eli niiden lukuesitys päättyy numeroon 1 tai 9. 
Parilliset täydelliset luvut "P" ovat kolmiolukuja formula_40, jossa "p" on alkuluku. Kaikki formula_41 ovat muotoa formula_42 missä formula_1 on kolmioluku indeksillä, joka on muotoa formula_44 
Kombinatoriikassa formula_5-henkisen ryhmän parinmuodostus voidaan tehdä formula_46 monella tavalla. Lukumäärä on sama kuin kolmioluku formula_47 
Kolmiolukuja formula_48 voidaan pitää additiivisena vastineena lukujen kertomalle, jossa on vastaavasti formula_49 
Kolmioluvut ilmaantuvat seuraavaan määrättyyn integraaliin:
formula_50 
Historiaa.
Antiikissa muun muassa pythagoralaiset (n. 500 eaa.) tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa, mikä liittyi nähtävästi oleellisella tavalla numerologiaan. Pythagoralaisten lukuteoria piti pyhän tetraktyksen formula_51 kolmiorakennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voi liittää luvun eikä mitään voi kuvitella tai tietää luvutta. 
Pierre de Fermat tutki muiden töidensä ohessa myös pythagoralaisten matematiikkaa ja käsitteli muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmänsä avasivat lukujen maailman, ja samalla tuli perustetuksi lukuteoria. 
Gottfried Wilhelm Leibniz laski kolmiolukujen käänteislukujen sarjan arvon. Kun summassa oli "n" termiä, tuli summaksi formula_52 ja kun termejä oli äärettömästi tuli sarjan arvoksi 2.
Friedrich Gauss todisti vuonna 1796, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun avulla. Augustin-Louis Cauchy todisti saman yleisellä tasolla, toisin sanoen, että jokaisen luonnollisen luvun voi esittää "n":n "n"-kulmioluvun summana.