Schläflin symboli

Schläflin symboli on geometriassa muotoa {p,q,r...} oleva merkintä, joka määrittää säännöllisen monikulmion, monitahokkaan tai korkeampiulotteisen polytoopin taikka tessellaation.
Schläflin symboli on saanut nimensä sveitsiläisen matemaatikko Ludwig Schläflin (1814–1895) mukaan, joka tutki ansiokkaasti geometriaa ja muita matematiikan aloja.
Rekursiivinen määritelmä.
Schläflin symboli määritellään rekursiivisesti aloittamalla symbolista "{p}", joka tarkoittaa kuperaa säännöllistä "p"-kulmiota. Esimerkiksi {3} tarkoittaa tasasivuista kolmiota, {4} neliötä, {5} säännöllistä viisikulmiota ja niin edelleen. Säännölliset tähtimonikulmiot eivät ole kuperia, ja niiden Schläflin symbolit ovat muotoa {"p"/"q"}, missä "p"/"q" on supistumaton murtoluku ja "p" kuvion kärkien lukumäärä. Esimerkiksi {5/2} tarkoittaa viisikantaa eli pentagrammia.
Säännöllinen monitahokas, jonka jokaisen kärjen ympärillä on "q" kappaletta säännöllisiä "p"-kulmiota monitahokkaan sivutahkoina, merkitään {p, q}. Esimerkiksi kuutiolla on sivutahkoina kolme neliötä jokaisen kärjen ympärillä, joten se merkitään {4,3}.
Schläflin symboli voidaan yleistää myös neljään tai useampaan ulottuvuuteen. Säännöllinen 4-ulotteinen polytooppi, jonka sivuina sen jokaisen särmän ympärillä on "r" sellaista monitahokasta, joiden Schläflin symboli on {p,q}, merkitään {p,q,r}. Esimerkiksi tesseraktilla, {4,3,3}, on sen jokaisen kärjen ympärillä sivuina kolme kuutiota, {4,3},
Yleisesti jokaisella säännöllisellä polytoopilla {p,q,r...,y,z} on "z" {p,q,r...,y} sivua sen jokaisen huipun ympärillä. Huiput ovat 4-polytoopin tapauksessa särmiä, 5-polytoopin tapauksessa tasopintoja, 6-polytoopin tapauksessa kolmiulotteisia soluja ja yleensä jokaisella "n"-polytoopilla "n"-3 -ulotteisia sivuja.
Säännöllisellä polytoopilla on säännöllinen kärkikuvio, jonka voidaan ajatella muodostuvan leikkaamalla sen kärjen ympäriltä pala pois. Säännöllisen polytoopin {p,q,r...y,z} kärkikuvio on {q,r...y,z}.
Säännöllinen polytooppi voi koostua kokonaan tai osittain tähtimonikulmioista. Sellainen on esimerkiksi pentagrammi, jonka Schläflin symboli on {5/2}. Sen kärjet ovat samat kuin säännöllisen viisikulmion, mutta ne on yhdistetty toisiinsa eri tavalla.
Schläflin symboli voi esittää äärellistä kuperaa monitahokasta taikka ääretöntä tessellaatiota euklidisessa tai hyperbolisessa avaruudessa riippuen konstruktion kulmadefektistä, eli siitä, minkä verran samassa kärjessä toisensa kohtaavien sivujen kärkikulmien summa poikkeaa 360 asteesta. Positiivinen kulmadefekti merkitsee sitä, että kärkikulmio "taipuu" seuraavaan ulottuvuuteen, jolloin kuvio kiertyy takaisin itseensä muodostaen polytppion. Jos kulmadefektio on nolla, kyseessä on tessellaatio, jonka ulottuvuus on sama kuin sivujen. Negatiivista kulmadefektia ei tavallisessa euklidisessa avaruudessa esiinny, mutta hyperbolisessa avaruudessa se saattaa esiintyä. 
Tavallisesti sivujen oletetaan olevan äärellisiä polytooppeja, mutta toisinaan nekin voidaan käsittää tessellaatioiksi.
Säännöllisellä polytoopilla on myös duaalipolytooppi, jonka Schläflin symboli saadaan alkuperäisen polytoopin symbolista kääntämällä siinä esiintyvät luvut päinvastaiseen järjestykseen. Itseduaalisen säännöllisen polytoopin Schläflin symboli on symmetrinen.
Symmetriaryhmät.
Schläflin symbolit liittyvät läheisesti äärellisiin peilaussymmetriaryhmiin, jotka vastaavat tarkalleen äärellisiä Coexterin ryhmiä ja merkitään samoilla luvuilla kuin Schäflin symbolissakin, mutta hakasulkujen välissä. Sellaiset ryhmät nimetään usein niiden generoimien säännöllisten polytooppien mukaan. Esimerkiksi [3,3] on reflektiivisen tetraedrisen symmetrian Coexterin ryhmä, [3,4] reflektiivinen oktaedrinen symmetria ja [3,5] reflektiivinen ikosaedrinen symmetria.
Eri kuvioiden Schläflin symboleja.
Säännölliset monikulmiot tasossa.
Kuperan säännöllisen "p"-kulmion Schläflin symboli on {p}. Esimerkiksi säännöllinen viisikulmio merkitään {5}.
Ei-kuperille tähtimonikulmioille käytetään konstruktiivista merkintä p/s, missä "p" on kärkien lukumäärä ja "s"-1 on niiden kärkien lukumäärä, jotka sivuutetaan piirrettäessä mikä tahansa tähtimonikulmion sivu. Esimerkiksi {5/2} esittää pentagrammia.
Säännölliset monitahokkaat.
Säännöllisen monitahokkaan Schläflin symboli on {"p","q"}, jos sen sivut ovat "p"-kulmioita ja jokaista kärkeä ympäröi "q" tahkoa, jolloin monitahokkaan kärkikuvio on "q"-kulmio. 
Viiden kuperan Platonin kappaleen Schläfflin symbolit ovat:
Esimerkiksi dodekaedrin Schläflin symboli on {5,3}, koska sen sivutahkot ovat säännöllisiä viisikulmioita ja jokaisessa kärjessä toisensa kohtaa kolme sivutahkoa.
Lisäksi on olemassa neljä ei-kuperaa säännöllistä Keplerin–Poinsot’n kappaletta. Niiden Schläfflin symbolit ovat:
Topologisesti säännölliset kaksiulotteiset tessellaatiot voidaan rinnastaa monitahokkaisiin, joissa kuitenkin samaan särmään ulottuvien tahkojen kulmien summa on 360 astetta. Niinpä niille voidaan määritellä Schälflin symbolit samalla tavalla kuin monitahokkaillekin. Ainoat säännölliset monikulmiot, joilla euklidinen taso voidaan täyttää, ovat tasasivuiset kolmiot, neliöt ja säännölliset kuusikulmiot. Vastaavat tessellaatiot ja niiden Schläflin symbolit ovat seuraavat:
Myös korkeammissa ulottuvuuksissa pätee vastaava analogia monitahokkaita vastaavien polytooppien ja tessellaatioiden välillä.
Säännölliset 4-polytoopit.
Säännöllisen 4-polytoopin Schläflin symboli on muotoa {"p","q","r"}. Sen kaksiulotteiset sivutahkot ovat säännöllisiä "p"-kulmioita ({"p"}), solut säännöllisiä monitahokkaita tyyppiä {"p","q"}, kärkikuviot säännöllisiä monitahokkaita tyyppiä {"q","r"} ja särmäkuviot säännöllisiä "r"-kulmioita (tyyppiä {"r"}).
On olemassa neljä säännöllistä kuperaa 4-polytooppia sekä 10 ei-kuperaa säännöllistä tähtimäistä 4-polytooppia. Esimerkiksi 120-soluisen polytoopin Scläflin symboli on {5,3,3}. Sen solut ovat dodekaedreja ({5,3}), ja kunkin särmän ympärillä on kolme solua.
Kolmiulotteisella euklidisella avaruudella on vain yksi säännöllinen tessellaatio, avaruuden jakaminen kuutioiksi. Tämän tessellaation Schläflin symboli on {4,3,4}, ja siinä jokainen särmä on yhteinen neljälle kuutiolle.
On myös neljä säännöllistä kompaktia hyperbolista tessellaatiota. Esimerkiksi Schläflin symboli {5,3,4} tarkoittaa "pientä hyperbolista dodekaedristä hunajakennoa", joka täyttää avaruuden dodekaedrin muotoisilla soluilla.
Säännölliset "n"-polytoopit.
Korkeampiulotteisten säännöllisten polytooppien Schläflin symbolit määritellään rekursiivisesti. Ne ovat muotoa {"p"1, "p"2, ..., "p""n" - 1}, kun "n"-polytoopin "n"-1 -ulotteisen sivun Schäflin symboli on {"p"1,"p"2, ..., "p""n" - 2} ja särmäkuvion {"p"2,"p"3, ..., "p""n" - 1}.
Polytoopin sivun särmäkuvio ja saman polytoopin särmäkuvion sivu ovat samat:{"p"2,"p"3, ..., "p""n" - 2}.
Viidessä tai useammassa ulottuvuudessa on vain kolme säännöllistä polytooppia: simpleksi {3,3,3...,3}, ristipolytooppi {3,3, ..., 3,4}; and the hyperkuutio, {4,3,3...,3}. Ne voidaan käsittää tetraedrin, oktaedrin ja kuution korkeampiulotteisiksi vastineiksi. Ei-kuperia säännöllisiä polytooppeja ei useammassa kuin neljässä ulottuvuudessa ole.
Duaalipolytoopit.
Jos vähintään kaksiulotteisen polytoopin Scläflin symboli on {"p"1,"p"2, ..., "p""n" - 1}, sen duaalipolytoopin Schläflin symbolissa ovat samat luvut takaperoisessa järjestyksessä: {"p""n" - 1, ..., "p"2,"p"1}.
Jos lukujono on palindrominen eli sama etuperin ja takaperin, polytooppi on "itseduaalinen". Jokainen säännöllinen kaksiulotteinen polytooppi eli monikulmio on itseduaalinen.
Prismaattiset polytoopit.
Uniformiset prismaattiset polytoopit voidaan määritellä ja nimetä alempiulotteisten säännöllisten polytooppien karteesisina tuloina, operaattorina "×". Niinpä:
Prismojen duaalikappaleet eli bipyramidit voidaan myös esittää yhdistetyillä symboleilla, joissa kuitenkin edellisestä poiketen käytetään yhteenlaskuoperaattoria "+". Niinpä:
Pyramidimaiset polytoopit, joissa yksi tai useampi kärki suuntautuu kohtisuorasti ulospäin muiden muodostamasta kuviosta, voidaan esittää yhdistämistä tarkoittavan operaattorin "∨" avulla. Tällaiset polytoopit voidaan katsoa kahden polytoopin yhdistelmiksi, joista toisen jokainen kärki yhdistetään särmällä toisen jokaiseen kärkeen. Niinpä:
Operaatioita yhdistettäessä laskujärjestys ylimmästä alimpaan on ×, +, ∨.
Aksiaaliset polytoopit, joissa kärjet ovat yhdensuuntaisilla hypertasoilla, voidaan merkitä operaattorilla ||. Uniforminen prisma on {"n"}||{"n"} ja antiprisma {"n"}||r{"n"}.
Yleistettyjä Schläflin symboleja.
Monikulmioiden muunnokset.
"Katkaistussa" monikulmiossa on kaksi kertaa niin monta sivua kuin alkuperäisessä. Säännöllinen monikulmio, jossa sivujen lukumäärä on parillinen, se voidaan puolittaa. Jos säännöllisessä "n"-kulmiossa, jossa "n" on parillinen, jokainen kärki yhdistetään siihen nähden kahden sivun takana olevaan kärkeen, saadaan kahdesta "n"/2-kulmiosta muodostuva tähtikuvio 2{n}.
Monitahokkaat ja laatoitukset.
Coxeter laajensi Schläflin symbolin käyttöaluetta kvasisäännöllisiin monitahokkaisiin lisäämällä symboliin pystysuoran ulottuvuuden. Tämä oli lähtökohtana kehitettäessä yleisempää Coexterin diagrammia. Norman Johnson yksinkertaisti pystysuorien symbolien merkintää ottamalla käyttöön etuliitteen "r". Yleisin merkintä on "t"-merkintä, ja se vastaa suoraan Coexterin diagrammin renkaita. Alternoituja monitahokkaista, joissa on alkuperäisestä monitahokkaasta mukana vain puolet kärjistä, merkitään Coexterin diagrammilla, jossa renkaan sisällä on täplän sijasta aukko, tai Schäflin symbolilla, jonka eteen on lisätty kirjain "h". Schäflin symboli, jonka alussa on "a", vastaa Coexterin diagrammia, jossa on kaksi tällaista rengasta, ja se tarkoittaa muunnettua monitahokasta, jonka muodostavat molemmat alternoidut monitahokkaat yhteensä. Monitahokkaan "pullistaminen" () on typistämisen puolinainen muoto, ja "holosnub" on molempien alternoidun typistämisen tuloksena saatujen monitahokkaiden yhdistelmä.
Alternaatiot, neljännekset ja pullistumat.
Alternoitu monitahokas saadaan, kun alkuperäisen monitahokkaan kärjistä joka toinen poistetaan. Coexterin diagrammissa alternaatiota merkitään renkaalla, jonka sisällä ei ole täplää. On kaksi mahdollista tapaa valita, mitkä kärjet alternaatioon otetaan mukaan, mutta symboli ei ilmaise, kummat otetaan mukaan. Jos alternoitu monitahokas vielä alternoidaan toisen kerran, saadaan neljännesmuoto (), joka ilmaistaan merkitsemällä + -merkki renkaan sisään osoittamaan, että on suoritettu kaksi riippumatonta alternaatiota.
Alteroidut ja holosnuboidut.
Alteroiduilla ja holosnuboiduilla muodoilla on Coexterin ryhmän täysi symmetria, ja niitä merkitään kahdella täyttämättömällä renkaalla, mutta ne voivat olla suuremman kuvion osia.
 Merkinnöissä käytetty ß tarkoittaa tässä saksalaista kaksois-s:ää (eszett), ei sitä huomattavasti muistuttavaa kreikkalaisten aakkosten beetaa (β).