Ristitulo

Ristitulo eli vektoritulo on kolmi­ulotteisessa euklidisessa avaruudessa formula_1 määritelty kahden vektorin välinen laskutoimitus, jonka merkkinä käytetään vino­ristiä ×. Jos a ja b ovat kaksi eri­suuntaista vektoria, niiden ristitulo a × b on vektori, joka on molempia vastaan kohtisuorassa ja näin ollen kohti­suorassa niiden määrittämään tasoon nähden. Risti­tulolla on monia sovelluksia matematiikassa, fysiikassa, tekniikassa ja tietokoneohjelmoinnissa. Se on erotettava vektorien pistetulosta eli skalaari­tulosta.
Jos vektorit ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia, toisin sanoen ne eivät ole "lineaarisesti riippumattomia", tai jompikumpi niistä on nollavektori, ristitulo on nollavektori. Muussa tapauksessa vektorien ristitulo on itseisarvoltaan (eli pituudeltaan) yhtä suuri kuin sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina nämä vektorit ovat; erityisesti toistensa nähden kohti­suorien vektorien ristitulo on niiden pituuksien tulo. Ristitulo on anti­kommuta­tiivinen, toisin sanoen ), ja se noudattaa osittelulakia vektorien yhteenlaskun suhteen, toisin sanoen ). Avaruus formula_2 varustettuna ristitulolla on algebra reaalilukujen kunnan yli. Se ei ole vaihdannainen eikä liitännäinen, mutta se on Lien algebra.
Pistetulon tavoin ristitulo riippuu euklidisen avaruuden metriikasta, mutta toisin kuin pistetulo, se riippuu myös avaruuden orientaatiosta eli "kätisyydestä". Risti­tulon käsitettä voidaan yleistää monin tavoin; se voidaan tehdä kätisyydestä riippumattomaksi tulkitsemalla tulos pseudovektoriksi, tai kuinka monessa ulottuvuudessa tahansa voidaan vektorien ulkoista tuloa käyttää niin, että tuloksena on bivektori tai 2-muoto. Käyttämällä orientaatiota ja metristä struktuuria aivan samoin kuin tavan­omaisessa kolmi­ulotteisessa risti­tulossa voidaan "n" ulottuvuudessa muodostaa vektorin tulo niin, että se on kohti­suorassa niitä kaikkia vastaan. Kuitenkin vain kolmessa tai seitsemässä ulottuvuudessa voidaan kahden vektorin ei-triviaali tulo määritellä niin, että tuloksena on vektori. Niistäkin vain kolmi­ulotteisessa avaruudessa
ristitulo on yksikäsitteinen.
Määritelmä.
Vektorien a ja b ristitulo on määritelty vain kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ja se merkitään . Fysiikassa käytetään joskus myös merkintää formula_3, mutta matematiikassa sitä vältetään käyttämästä, jottei se sekaantuisi ulkoiseen tuloon.
Ristitulo määritellään vektorina c, joka on kohtisuorassa sekä a:ta että b:tä vastaan ja jonka suunta määräytyy oikean käden säännön mukaan ja joka pituudeltaan on yhtä suuri kuin sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina annetut vektorit ovat.
Ristitulo määritellään tällöin kaavalla 
formula_4
missä formula_5 on vektorien a ja b välinen kulma niiden määrittämässä tasossa (näin ollen se on aina 0°:n ja 180°:n välillä), formula_6ja formula_7 ovat vektorien a ja b pituudet ja n niiden määrittämää tasoa vastaan kohtisuorassa oleva yksikkövektori, jonka suunta määräytyy oikean käden säännön mukaan oheisen kuvan osoittamalla tavalla. Jos vektorit a ja b ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia ( eli niiden välinen kulma on joko 0° tai 180°), seuraa määritelmästä, että niiden ristitulo on nollavektori 0.
Sopimuksen mukaan vektorin n suunnan antaa oikean käden sääntö: jos oikean käden etusormi osoittaa vektorin a ja keskisormi vektorin b suuntaan, peukalo osoittaa vektorin n suuntaan oheisen kuvan mukaisesti. Tästä säännöstä seuraa, että risti­tulo on anti­kommuta­tiivinen. Toisin sanoen, jos vektorit a ja b vaihdetaan keskenään, risti­tulon suunta muuttuu vastakkaiseksi eli . Niinpä jos oikean käden asentoa muutetaan siten, että etusormi osoittaa vektorin b ja keskisormi vektorin a suuntaan, osoittaa peukalo väistämättä päin­vastaiseen suuntaan kuin aikaisemmin.
Edellä esitetystä määritelmästä seuraa, että ristituloa käytettäessä koordinaatiston kätisyys on otettava huomioon. Jos poikkeuksellisesti käytetään vasenkätistä koordinaatistoa, vektorin n suunnan antaa vasemman käden sääntö ja se osoittaa päinvastaiseen suuntaan.
Tästä aiheutuu kuitenkin ongelma, sillä jos yksi mieli­valtainen vertailu­järjestelmä vaihdetaan toiseen, esimerkiksi peilauksessa, jolloin siirrytään oikea­kätisestä vasen­kätiseen koordinaatti­järjestelmään, ristitulon n suunta muuttuu. Tämän ongelma selviää, kun ymmärretään, ettei kahden vektorin risti­tulo ole aito vektori vaan pseudovektori, kuten jäljempänä tarkemmin selitetään.
Nimet.
Vuonna 1881 Josiah Willard Gibbs ja hänestä riippumatta Oliver Heaviside, ottivat käyttöön sekä pistetulon että ristitulon käyttämällä edellisen merkkeinä pistettä, (), jälkimmäisen merkkinä vinoristiä ("x") ().
Vastaavia laskutoimituksia oli jo vuonna 1877 käyttänyt William Kingdon Clifford. Korostaakseen sitä, että toinen niistä antaa tuloksena skalaarin, toinen vektorin, hän antoi niille nimet "skalaaritulo" ja "vektoritulo", joita edelleenkin yleisesti käytetään nimitysten pistetulo ja ristitulo ohella.
Siihen, että vektori­tulon merkiksi valittiin vinoristi () ja sitä alettiin nimittää ristituloksi, vaikutti toden­näköisesti se, että ristitulon jokaista skalaarista komponenttia laskettaessa kerrotaan keskenään "a":n ja "b":n ne komponentit, jotka eivät vastaa toisiaan. Sitä vastoin pistetuloa laskettaessa kerrotaan vektorien toisiaan vastaavat, yhden­suuntaiset komponentit. Kuten jäljempänä selitetään, risti­tulo voidaan esittää tietyn­laisen 3×3 -matriisin muodossa. Sarrus'n säännön mukaisesti tämä merkitsee, että matriisin lävistäjien suunnassa toisiaan seuraavat luvut kerrotaan keskenään.
Ristitulon laskeminen.
Koordinaattimerkintä.
Kolmi­ulotteisen avaruuden standardien kanta­vektorien i, j ja k ristitulot ovat oikea­kätisessä koordinaatistossa seuraavat:
formula_8
mistä ristitulon anti­kommuta­tiivi­suuden vuoksi seuraa: 
formula_9
Ristitulon määritelmästä seuraa myös, että
formula_10 (nollavektori).
Voidaan osoittaa, että ristitulo noudattaa osittelulakia ja on lineaarinen, mikä tosin ei aivan mutkattomasti seuraa sen määritelmästä. Näiden ominai­suuksiensa sekä edellä lueteltujen kanta­vektorien risti­tulojen avulla voidaan laskea minkä tahansa kahden vektorin u ja v ristitulo. Jokainen vektori voidaan nimittäin esittää kolmen kohti­suoran komponentin summana, joista kukin on yhden kanta­vektorin suuntainen:
formula_11
Ristitulo voidaan näin ollen laskea osittelu­lain avulla:
formula_12
Tämä voidaan tulkita niin, että hajotetaan yhdeksän yksin­kertaisemman ristitulon summaksi, joista jokaisen tekijät ovat kanta­vektorien i, j ja k suuntaisia. Jokainen näistä yhdeksästä risti­tulosta on helppo käsitellä, sillä ne ovat joko toistensa suuntaisia tai toisiinsa nähden kohti­suorassa. Tästä hajotelmasta saadaan edellä esitettyjen yhtälöiden avulla ja yhdistämällä saman­muotoiset termit:
formula_13
mikä merkitsee, että tuloksena saatavan vektorin kolme skalaarikomponenttia
s = "s"1i + "s"2j + "s"3k = ovat
formula_14
Sarakevektorien avulla sama tulos voidaan ilmaista myös seuraavasti:
formula_15
Matriisimerkintä.
Ristitulo voidaan muodollisesti esittää myös determinanttina:
formula_16
Tämä determinantti voidaan laskea Sarrus'n säännön tai kofaktorikehitelmän avulla.
Sarrus'n säännön avulla saadaan
formula_17
Jos sen sijaan käytetään kofaktori­kehitelmää ensimmäiselle riville, saadaan:
formula_18 
mistä ristitulovektorin komponentit saadaan suoraan.
Ominaisuuksia.
Geometrinen merkitys.
Kahden vektorin ristitulon itseisarvo on yhtä suuri kuin sellaisen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina nämä vektorit ovat (katso kuvio 1):
formula_19
Sellaisen suuntaissärmiön tilavuus V, jonka särmät ovat a, b ja c, voidaan laskea käyttämällä ristitulon ja pistetulon yhdistelmää, jota sanotaan skalaarikolmituloksi (katso kuvio 2):
formula_20
Koska skalaarikolmitulo voi olla myös negatiivinen, suorakulmaisen särmiön tilavuus on skalaarikolmitulon itseisarvo. Esimerkiksi
formula_21
Koska ristitulon itseisarvo on verrannollinen vektorien välisen kulman siniin, ristituloa voidaan käyttää "kohtisuoruuden" mittana samaan tapaan kuin pistetulo on "yhden­suuntaisuuden" mitta. Kahden
yksikkövektorin ristitulon itseisarvo on 1, jos ja vain jos ne ovat koht­isuorassa, ja 0, jos ja vain jos ne ovat saman- tai vastakkais­suuntaisia. Samojen vektorien pistetulon laita on tässä suhteessa täsmälleen päin­vastoin.
Vektorien komponentti­esityksen avulla voidaan myös määrittää niiden välinen kulma. Niiden pistetulo antaa tämän kulman kosinin, joka voi olla positiivinen tai negatiivinen, kun taas risti­tulon itseisarvo antaa saman kulman sinin, joka on aina positiivinen.
formula_25
 formula_26
formula_27
formula_28
Algebralliset ominaisuudet.
Osoittelulaki, lineaarisuus ja Jacobin identiteetti osoittavat, että vektoriavaruus formula_1 varustettuna vektorien yhteen­laskulla ja risti­tulolla on Lien algebra, tarkemmin sanottuna kolmi­ulotteisen reaalisen orto­gonaalisen ryhmän Lien algebra SO(3).
formula_30
Ristitulon määritelmästä seuraa, että tällöin vektorien a ja välisen kulman on oltava nolla eli niiden on oltava yhden­suuntaiset. Toisin sanoen ne liittyvät toisiinsa skaalaustekijällä "t", eli
 formula_31
jollakin skalaariarvolla "t".
formula_32 and
formula_33
eli on sekä vektorin a suuntainen että sitä vastaan kohtisuorassa, mikä on mahdollista vain, jos eli b ja c ovat identtiset.
formula_34, where formula_35 on rotaatiomatriisi, jossa formula_36.
Yleisemmin ristitulo noudattaa seuraavaa identiteettiä matriisimuunnoksissa:
formula_37
missä formula_38 on 3×3 -matriisi ja formula_39 sen käänteismatriisin transpoosi. Voidaan helposti nähdä, miten tämä kaava palautuu edelliseen, jos formula_38 on rotaatiomatriisi.
Kahden ristitulon summalle pätee:
formula_41
Differentioituminen.
Differentiaali­laskennan tulosääntö pätee jokaiselle bilineaariselle lasku­toimitukselle ja näin ollen myös ristitulolle:
formula_42
missä a ja b ovat reaalimuuttujasta "t" riippuvia vektorifunktioita.
Kolmitulot.
Ristituloa käytetään molempia kolmituloja muodostettaessa. Kolmen vektorin skalaarikolmitulo on määritelty seuraavasti:
formula_43
Skalaarikolmitulo on itseisarvoltaan yhtä suuri kuin sellaisen suuntaissärmiön tilavuus, jonka sivut ovat a, b ja c, ja siinä esiintyvät vektorit voidaan vaihtaa keskenään mihin tahansa järjestykseen, joka on edellä esitetyn parillinen permutaatio. Seuraavat lausekkeet ovat näin ollen yhtä suuret:
formula_44
Vektorikolmitulo on vektorin ja toisen ristitulon tuloksen ristitulo, ja sen liittää pistetuloon seuraava lause:
formula_45
Vektorien järjestyksen muistamiseen tämän kaavan oikealla puolella olevassa lausekkeessa voidaan käyttää muistisääntöä "BAC miinus CAB". Tätä kaavaa käytetään fysiikassa vektoreilla suoritettavien lasku­toimitusten yksin­kertaistamiseen. Muuan vektorianalyysissä käyttö­kelpoinen, gradientteihin liittyvä erikois­tapaus on:
formula_46
missä formula_47 on Laplacen operaattori vektoreille.
Myös seuraavat identtiset yhtälöt liittävät ristitulon skalaarikolmituloon:
formula_48
formula_49,
missä I on identtinen matriisi.
Vaihtoehtoinen muotoilu.
Ristitulon ja pistetulon yhdistää toisiinsa kaava
formula_50
Tässä oikealla puolella on vektorien a ja b Gramin determinantti, vektorien määräämän suunnikkaan pinta-alan neliö. Tämä ehto määrittää ristitulon suuruuden. Sillä jos pistetulo on määritelty vektorien välisen kulman formula_5 avulla:
formula_52
tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudestaan muotoon:
formula_53
Koska Pythagoraan lauseesta seuraa, että kaikilla kulmilla formula_5 pätee
formula_55,
saadaan tästä:
formula_56
mikä on ristitulon itseisarvo ilmaistuna kulman formula_5 avulla ja yhtä suuri kuin vektorien a ja b määrittämän suunnikkaan pinta-ala.
Tämä vaatimus yhdessä sen kanssa, että ristitulo on kohti­suorassa tekijöihinsä a ja b nähden
tarjoaa mahdollisuuden ristitulon vaihto­ehtoiseen määritelmään:
Lagrangen identiteetti.
Yhteyttä
formula_58
voidaan verrata toiseen yhteyteen, joka liittyy tämän yhtälön oikealla puolella olevaan lausekkeeseen,
nimittäin Lagrangen identiteettiin,
formula_59
missä a ja b voivat olla "n"-ulotteisia vektoreita. Tämä osoittaa, että Riemannin tilavuusmuoto pinnoille on sama asia kuin vektori­analyysin avulla laskettu tilavuus­alkio. Tapauksessa nämä kaksi yhtälöä voidaan yhdistää niin, että saadaan vektorien ristitulon itseis­arvolle lauseke niiden komponenttien avulla:
formula_60
Sama tulos saadaan myös suoraan käyttämällä ristitulon komponentteja, jotka saadaan yhtälöstä:
formula_61
Avaruudessa formula_1 Lagrangen yhtälö on erikoistapaus normin multiplikatiivisuudesta 
kvaternioiden algebrassa: |vw| = |v||w|.
Se on myös erikois­tapaus toisesta kaavasta, jota sitäkin toisinaan sanotaan Lagrangen identiteetiksi ja joka samalla on kolmi­ulotteinen tapaus Binet'n-Cauchyn identiteetistä:
 formula_63
Jos ja , tämä yksin­kertaistaa edellä esitettyä kaavaa.
Infinitesimaaliset generaattorit ja rotaatiot.
Ristitulo kuvaa sopivasti rotaatioiden infinitesimaalisia generaattoreja avaruudessa formula_1. Erityisesti jos n on yksikkövektori avaruudessa formula_1 ja "R"(f,formula_66,n) merkitsee rotaatiota origon kautta kulkevan, n:n määrittämän akselin ympäri kulman f verran (mitattuna radiaaneina, n:n kärjen suunnasta katsottuna vastapäivään), on
formula_67 
jokaiselle vektorille formula_68. Ristitulo n kuvaa näin ollen vektorin n ympäri suoritetun rotaation infini­tesi­maalista generaattoria. Nämä infini­tesi­maaliset generaattorit muodostavat Lien algebran so(3) rotaatio­ryhmässä SO(3), ja todetaan, että Lien algebra formula_1 varustettuna ristitulolla on isomorfinen Lien algebran so(3) kanssa.
Vaihtoehtoisia tapoja ristitulon laskemiseksi.
Muunnos matriisien kertolaskuksi.
Vektorien ristitulo voidaan ilmaista myös antisymmetrisen matriisin ja vektorin tulona:
formula_70
formula_71
missä yläindeksi T tarkoittaa matriisin transpoosia ja [a]× määritellään seuraavasti:
formula_72
On huomattava, että [a]× on kääntyvä matriisi, jossa a on sen oikean- tai vasemmanpuoleinen nollavektori.
Jos a itsekin on ristitulo,
formula_73
saadaan
formula_74
Geometrisen algebran avulla tämä tulos voidaan yleistää korkeampiinkin ulottuvuuksiin. Erityisesti kaikissa ulottuvuuksissa bivektori voidaan samastaa anti­symmetristen matriisien kanssa, jolloin anti­symmetrisen matriisin ja vektorin tulo on ekvivalentti bivektorin ja vektorin tulon ensimmäistä astetta olevan osan kanssa. Kolmessa ulottuvuudessa bivektorit ovat vektorien Hodgen duaaleja, joten tulo on ekvivalentti ristitulon kanssa, kun bivektoria käytetään sen vektori­duaalin sijasta. Korkeammissa ulottuvuuksissakin tulo voidaan laskea, mutta bivektoreilla on enemmän vapausasteita eivätkä ne ole ekvivalentteja vektorien kanssa.
Esimerkiksi epipolaari­sessa geometriassa tämä merkintä on usein myös paljon helppo­käyttöisempi.
Ristitulon yleisistä ominaisuuksista seuraa välittömästi, että
formula_75   sekä   formula_76
ja siitä, että [a]× on antisymmetrinen, seuraa, että
formula_77
Edellä esitetty kolmitulon bac-cab -sääntö voidaan tämän merkinnän avulla helposti todistaa.
Kuten edellä todettiin, Lien algebra formula_1 varustettuna ristitulolla on isomorfinen Lien algebran so(3), kanssa, jonka alkiot voidaan samastaa anti­symmetristen 3×3 -matriisien kanssa. Kuvaus a -&gt; [a]× on isomorfismi formula_1:n ja so(3):n välillä.
Tässä kuvauksessa 3-vektorien ristitulo vastaa anti­symmetristen 3x3 -matriisien kommutaattoria.
Indeksimerkintä tensoreille.
Ristitulo voidaan vaihto­ehtoisesti määritellä Levi-Civita-symbolin eijk ja pistetulon formula_80 avulla (joka orto­normaalin kannan tapauksessa on sama kuin formula_81). Sen avulla vektori­merkintä voidaan muuttaa tensorien sovellukseksi:
formula_82
missä indeksit formula_83 vastaavat vektorin komponentteja. Tämä ristitulon luonnehdinta esitetään usein lyhemmin käyttämällä Einsteinin summaussääntöä
formula_84
jossa toistetut indeksit arvojen 1...3 yli on laskettu yhteen. On huomattava, että tämä esitysmuoto on toinen muoto ristitulon antisymmetrisiin matriiseihin perustuvasta esitysmuodosta:
formula_85
Klassisessa mekaniikassa ristitulon esittäminen Levi-Civita-symbolin avulla voi tehdä mekaaniset symmetriat ilmiselviksi, kun fysikaaliset systeemit ovat isotrooppisia. Esimerkkinä voidaan mainita hiukkanen Hooken lain mukaisessa potentiaalissa, jossa se voi värähdellä kolmessa ulottuvuudessa; mikään näistä ulottuvuuksista ei ole millään tavalla erikois­asemassa, jolloin liikemäärämomentin ristitulo­esitys on symmetrinen tavalla, jonka Levi-Civita-esitys tekee ilmeiseksi.
Muistisääntö.
Ristitulon määritelmän muistamiseen voidaan muistisääntönä käyttää sanaa "xyzzy".
Jos
formula_86
missä:
formula_87
on:
formula_88
formula_89
formula_90
Toinen ja kolmas yhtälö saadaan ensimmäisestä yksinkertaisesti kierrättämällä alaindeksit keskenään pystysuorasti, . Vaikeutena on luonnollisesti ensimmäisen yhtälön muistaminen, mihin on käytettävissä kaksi keinoa: on joko muistettava Sarrus'n skeeman kaksi relevanttia lävistäjää (ne, joissa 'i' esiintyy), tai on muistettava "xyzzy"-järjestys.
Koska Sarrus'n skeeman ensimmäinen lävistäjä on juuri edellä mainitun 3×3 -matriisin päälävistäjä, sanan "xyzzy" kolme ensimmäistä kirjainta on helppo muistaa.
Sovelluksia.
Ristituloa sovelletaan monissa yhteyksissä, esimerkiksi laskennallisessa geometriassa, fysiikassa ja insinööri­aloilla. Seuraavassa mainitaan joitakin esimerkkejä sovelluksista.
Laskennallinen geometria.
Ristituloa voidaan käyttää laskettaessa kahden ristikkäisen suoran etäisyys, toisin sanoen sellaisten suorien etäisyys kolmiulotteisessa avaruudessa, jotka eivät ole samassa tasossa.
Ristitulolla voidaan laskea myös kolmion tai monikulmion normaali, mitä usein tarvitaan tietokone­grafiikassa. Esimerkiksi monikulmion kiertyminen myötä- tai vastapäivään jonkin sen sisällä olevan pisteen ympäri voidaan laskea jakamalla se kolmioihin hieman pyörän puolien tapaan ja laskemalla puolien väliset kulmat yhteen, jolloin ristitulon avulla saadaan selville kunkin kulman etumerkki.
Tason laskennallisessa geometriassa ristitulon avulla voidaan määrittää
kolmen pisteen formula_91, formula_92 ja formula_93 määräämän kulman etumerkki. Se vastaa pisteparin formula_94 ja formula_95 määräämien, samassa talossa olevien vektorien ristitulon suuntaa, toisin sanoen lausekkeen formula_96 etumerkkiä. Jos ristitulo on nolla, pisteet ovat samalla suoralla. Käytettäessä "oikeakätisestä" koordinaatti­järjestelmää nämä kolme pistettä muodostavat positiivisen pyörähdys­kulman kierrossa pisteen formula_97 ympäri pisteestä formula_98 pisteeseen formula_99, mikäli lauseke on positiivinen, ja negatiivisen pyörähdys­kulman, jos lauseke on negatiivinen.
Ristitulon avulla voidaan laskea moni­tahokkaiden kuten tetraedrin tai suuntaissärmiön tilavuus.
Pyörimismäärä ja vääntömomentti.
Hiukkasen pyörimismäärä formula_100 annetun akselin suhteen on:
 formula_101
missä formula_102 hiukkasen paikkavektori origon suhteen ja 
formula_103 hiukkasen liikemäärä.
Samaan tapaan pisteeseen B vaikuttavan voiman momentti pisteen A suhteen on:
 formula_104
Mekaniikassa voiman momenttia sanotaan myös vääntömomentiksi ja
merkitään formula_105
Koska paikkavektori formula_102, liikemäärä formula_103
ja voima formula_108 ovat kaikki "aitoja" vektoreita, sekä pyörimismäärä formula_100 että voiman momentti formula_110 ovat pseudo­vektoreita eli "aksiaalisia vektoreita".
Jäykkä kappale.
Ristituloa käytetään usein jäykän kappaleen kuvailuun. Jäykän kappaleen kahden pisteen O ja Q välinen etäisyys pysyy vakiona, ja niiden nopeuksien välinen riippuvuus kappaleen pyöriessä on:
 formula_111
missä formula_102 on kunkin pisteen paikkavektori, formula_113 sen nopeus ja formula_114 kappaleen kulmanopeus.
Koska paikkavektori formula_102 ja nopeus formula_113 ovat "aitoja" vektoreita, kun taas kulmanopeus formula_114 on pseudovektori eli "aksiaalinen vektori".
Lorentzin voima.
Ristitulo esiintyy Lorentzin voiman lausekkeessa, joka osoittaa, kuinka suuri voima liikkuvaan sähkö­varaukseen formula_118 vaikuttaa sähkö- ja magneetti­kentässä.
 formula_119
Koska nopeus formula_113, voima formula_108 ja sähkökentän voimakkuus formula_122 ovat kaikki "aitoja" vektoreita, kun taas magneettivuon tiheys formula_123 on "pseudovektori".
Muita sovelluksia.
Vektorianalyysissä vektorikentän roottori määritellään muodollisesti nablan ja vektori­kentän ristitulona.
Ristitulon kirjoittaminen matriisien kertolaskun muotoon on epipolaarisessa geometriassa paljon käytetty toimenpide.
Ristitulo ulkoisena tulona.
Ristituloa voidaan kuvata ulkoisen tulon käsittein. Tämä näkemys sallii ristitulon luonnollisen geometrisen tulkinnan. Ulkoisessa algebrassa kahden vektorin ulkoinen tulo (eli kiilatulo) on bivektori. Bivektori on suunnattu tasoalue pitkälti samaan tapaan kuin vektori on suunnattu jana. Kun on annettu kaksi vektoria a ja b, niiden bivektori formula_3 voidaan käsittää suunnatuksi suunnikkaaksi, jonka sivuina a ja b ovat. Ristitulo saadaan tällöin ottamalla bivektorista formula_3 Hodgen duaali, joka kuvaa 2-vektorit vektoreille:
formula_126
Tämä voidaan käsittää suunnatuksi moni­ulotteiseksi alkioksi, joka on "kohtisuorassa" bivektoria vastaan. Vain kolmessa ulottuvuudessa tuloksena saadaan suunnattu jana, siis vektori, kun taas esimerkiksi neljässä ulottuvuudessa Hodgen duaali on kaksi­ulotteinen, siis toinen tasoalue. Niinpä vain kolmessa ulottuvuudessa vektorien a ja b ristitulo on bivektorin formula_3 kanssa duaalinen vektori: se on kohti­suorassa bivektoria vastaan, sen suunta riippuu koordi­naatiston kätisyydestä, ja se suuruudeltaan samassa suhteessa kohti­suoraa yksikkö­vektoria suurempi kuin formula_3 on yksikkö­bivektoria suurempi, täsmälleen niin kuin sen ominaisuudet on edellä kuvattu.
Ristitulo ja kätisyys.
Kun muodostetaan mitattavien suureiden ristitulo, koordinaatti­järjestelmän "kätisyyttä" ei voida valita mielivaltaisesti. Kun kuitenkin fysiikan lait kirjoitetaan yhtälöiksi, koordinaatti­järjestelmän ja myös sen kätisyyden pitäisi olla mielivaltaisesti valittavissa. Jotta tästä ei koituisi ongelmia, on oltava tarkkana, ettei koskaan kirjoiteta sellaisia yhtälöitä, joiden molemmat puolet eivät käyttäydy samoin kaikissa muunnoksissa, jotka voivat tulla kysymykseen. Jos esimerkiksi yhtälön toisella puolella on kahden vektorin ristitulo, on otettava huomioon, että jos koordinaatti­järjestelmän kätisyyttä ei ole ennalta annettu, tulos ei ole (aito) vektori vaan pseudovektori. Tällöin yhteen­sopivuus­syistä yhtälön toisenkin puolen on oltava pseudo­vektori.
Yleisesti ristitulo voi olla joko aito vektori tai pseudo­vektori riippuen siitä, kumpaa tyyppiä sen
tekijät ovat. Tuloksen tyyppi riippuu sen tekijöiden tyypeistä seuraavasti:
Tästä seuraa myös, että ylempänä esitetyt ortonormaalin oikeakätisen karteesisen koordinaatiston
yksikkö­vektorien i, j ja k ristitulot edellyttävät itse asiassa, että kaikki nämä kanta­vektorit ovat pseudo­vektoreita (ellei niiden ei sallita olevan eri tyyppiä, mitä yleensä ei sallitakaan), sillä , and .
Koska ristitulo saattaa olla myös (aito) vektori, se ei välttämättä vaihda suuntaansa peilauksessa tason suhteen. Näin on asian laita, jos toinen ristitulon tekijöistä on (aito) vektori ja toinen pseudovektori (toisin sanoen kahden vektorin ristitulo) Esimerkiksi kolmen aidon vektorin vektorikolmitulo on aito vektori.
Yleistyksiä.
On olemassa useita tapoja yleistää ristitulon käsite useampaan ulottuvuuteen.
Lien algebra.
Ristitulo on yksi yksinkertaisimmista Lien tuloista, ja näin ollen sitä yleistyksiä Lien algebrat, jotka on aksiomatisoitu binääriksi tuloiksi, jotka toteuttavat multilineaarisuuden, ristikkäissymmetrian ja Jacobin identiteetin aksioomat. On olemassa monia Lien algebroja, ja niiden tutkimuksesta on tullut laaja matematiikan ala, Lien teoria.
Esimerkiksi Heisenbergin algebra antaa toisen Lien algebran mukaisen struktuurin avaruudelle formula_129 Tässä kannassa formula_130 tulo on formula_131
Kvaterniot.
Ristitulo voidaan esittää myös kvaternioiden termein, ja tämä onkin syynä siihen, miksi kirjaimia
i, j ja k on alettu käyttää avaruuden formula_1 standardien
kantavektorien tunnuksina. Yksikkö­vektorit i, j ja k vastaavat "binäärisiä" (180 asteen)
kiertoja vastaavien akselien ympäri. Näitä rotaatiota vastaavat "puhtaat" kvaterniot, joiden
skalaari­osa on nolla ja joiden normi on 1.
Esimerkiksi edellä esitetyt yksikkö­vektorien i, j, and k ristitulot vastaavat
täysin kvaternioiden "i", "j" ja "k" kertolaskua. Yleensäkin jos vektori
 esitetään kvaterniona
kahden vektorin ristitulo saadaan laskemalla vastaavien kvaternioiden tulo ja poistamalla tuloksesta
reaaliosa. Tämä reaaliosa on toisaalta sama kuin samojen vektorien pistetulon vastavektori.
Samastamalla 'puhtaasti imaginaariset" kvaterniot edellä selitetyllä tavalla
formula_1:n vektorien kanssa osoittautuu toisaalta, että vektorien ristitulo on puolet
vastaavien kvaternioiden kommutaattorin arvosta.
Oktoniot.
Seitsenulotteisten vektorien ristitulo voidaan muodostaa samaan tapaan kuin kolmiulotteistenkin käyttämällä oktonioita kvaternioiden sijasta. Se että muissa kuin kolmi- tai seitsenulotteisessa avaruudessa ei ole ei-triviaalia vektoriarvoista ristituloa, seuraa Hurwitzin lauseesta, jonka mukaan ainoat normitetut jakoalgebrat ovat 1-, 2-, 4- ja 8-ulotteiset.
Kiilatulo.
Useammassa ulottuvuudessa ristitulolla ei ole suoranaista vastinetta, joka antaisi tulokseksi vektorin. On kuitenkin olemassa käsite kiilatulo, jolla on samantapaisia ominaisuuksia, paitsi että kahden vektorin kiilatulo ei ole tavallinen vektori vaan 2-vektori. Kuten edellä mainittiin, ristitulo voidaan tulkita kiilatuloksi kolmessa ulottuvuudessa käyttämällä Hodgen duaalia 2-vektorien kuvaamiseksi vektoreille. Kiilatulon Hodgen duaali antaa tuloksenaan -vektorin, joka on ristitulon luonnollinen yleistys missä tahansa määrässä ulottuvuuksia.
Kiilatulo ja pistetulo voidaan yhteenlaskemalla yhdistää geometriseksi tuloksi.
Antisymmetriset matriisit.
Jos ristitulon edellytetään olevan binäärinen laskutoimitus, sen argumentteina on oltava tarkalleen kaksi vektoria. Jos sen "tuloksen" ei tarvitse olla vektori tai pseudovektori vaan sen sijaan matriisi, käsite voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa.
Esimerkiksi mekaniikassa kulmanopeus voidaan tulkita joko pseudovektoriksi formula_134 
tai antisymmetriseksi matriisiksi eli ristikkäissymmetriseksi tensoriksi formula_135. Jälkimmäisessä tapauksessa jäykän kappaleen nopeuslaki saa muodon:
 formula_136
missä O määritellään muodollisesti kappaleen asemaan liittyvän pyörähdysmatriisin formula_137 avulla:
formula_138. Kolmessa ulottuvuudessa pätee:
 formula_139
Kvanttimekaniikassa pyörimismäärä eli liikemäärämomentti formula_140 esitetään usein antisymmetrisenä matriisina tai tensorina. Tarkemmin sanottuna se on kappaleen paikan formula_141 ja liikemäärän formula_103 ristitulo:
 formula_143
Koska sekä formula_141:llä että formula_103:llä voisi olla mielivaltainen määrä 
formula_146 komponentteja, tämäntyyppinen ristitulo voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa siten, että laskutoimituksen "fysikaalinen" tulkinta säilyy.
Asian laskennallisesta puolesta kerrottiin edellä osiossa #Vaihtoehtoisia tapoja ristitulon laskemiseksi.
Historia.
Vuonna 1773 italialainen matemaatikko Joseph Louis Lagrange (alkuperäiseltä nimeltään Giuseppe Luigi Lagrancia) otti käyttöön sekä piste- että ristituloksi nykyisin nimitetyt lausekkeet tutkiessaan tetraedriä kolmessa ulottuvuudessa. Vuonna 1843 irlantilainen matemaattinen fyysikko Sir William Rowan Hamilton otti käyttöön kvaterniot ja niiden kertolaskun sekä samalla myös termit "vektori" ja skalaari". Jos ja ovat kaksi kvaternioita, joissa u ja v ovat formula_1:n vektoreita, kvaternioiden tulo on . James Clerk Maxwell muotoili kuuluisat sähkömagnetismin yhtälönsä alun perin Hamiltonin kvaternioiden avulla, ja tästä ja muista syistä kvaterniot kuuluivat jonkin aikaa oleellisena osana fysiikan oppimäärään.
Vuonna 1878 William Kingdon Clifford julkaisi teoksensa "Elements of Dynamic" ("Dynamiikan alkeet"), joka aikanaan oli hyvin edistyksellinen. Siinä hän määritteli kahden vektorin tulon vektoriksi, joka oli suuruudeltaan yhtä suuri kuin sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina alkuperäiset vektorit ovat, ja suunta kohtisuorassa niiden muodostamaa tasoa vasten.
Englantilainen Oliver Heaviside ja Yalen yliopiston professori Josiah Willard Gibbs
Connecticutissa olivat myös sitä mieltä, että kvaternioihin perustuvat laskenta­menetelmät olivat liian hankalia, ja niitä käytettäessä tuloksesta oli usein merkitystä vain sen skalaari- tai vektoriosalla. Niinpä he ottivat käyttöön sekä piste- että risti­tulon noin 40 vuotta kvater­nioiden käyttöön­oton jälkeen, mutta he saivat osakseen kiivasta vastustusta. Siihen, että uusi lähestymis­tapa lopulta hyväksyttiin, vaikutti paljolti sen tehokkuus, joka teki Heavisidelle mahdolliseksi yhdistää Maxwellin alku­peräisistä 20 sähkö­magnetismin yhtälöistä useita siten, että jäljelle jäivät vain ne neljä, joita nykyisinkin yleisesti käytetään.
Tästä kehityksestä pitkälti riippumatta ja saamatta omana aikanaan osakseen sanottavaa huomiota Hermann Grassmann kehitti geometrisen algebran, joka ei rajoittunut kahteen tai kolmeen ulottuvuuteen ja jossa ulkoisella tulolla oli keskeinen osa. Vuonna 1853 Grassmannin aikalainen Augustin-Louis Cauchy julkaisu tutkielman algebrallisista avaimista, joilla voitiin ratkaista yhtälöitä ja joilla oli samat kertolaskuominaisuudet kuin ristitulolla. William Kingdon Clifford yhdisti Hamiltonin ja Grassmanin algebrat Cliffordin algebraksi, jossa kahden vektorin tulona saatava bivektori kolmiulotteisten vektorien tapauksessa on vektorin kaltainen ja vastaa vektorien ristituloa.
Ristitulon nimen ja merkinnän otti käyttöön Gibbs. Alun perin ne esiintyivät hänen yksityisesti opiskelijoilleen laatimassa monisteessa "Elements of Vector Analysis" vuodelta 1881. Käsitteen käyttökelpoisuuden mekaniikassa pani merkille Aleksandr Kotelnikov. Gibbsin merkintä ja nimitys "ristitulo" tulivat yleiseen käyttöön sen jälkeen, kun hänen entinen oppilaansa Edwin Bidwell Wilson laati oppikirjan "Vector Analysis". Wilson järjesteli Gibbsin luentojen aineiston uudelleen ja yhdisti siihen aineistoa Heavisideltä, Föppsiltä ja Hamiltonilta. Hän jakoi vektorianalyysin kolmeen osaan:
 Kirjassa määriteltiin kahdenlaiset vektorien kertolaskut, joista käytettiin seuraavia nimiä:
Kirjassa käsiteltiin myös useita erilaisia kolmituloja sekä useamman kuin kolmen vektorin tuloja. Edellä mainittu kolmitulon laajennus oli myös mukana.