Algebrallinen geometria

Algebrallinen geometria on matematiikan osa-alue, joka tutkii geometriaa abstraktin algebran avulla. Algebrallisen geometrian voidaan ajatella olevan algebrallisten yhtälöryhmien ratkaisujoukon tutkimista. Kun yhtälöissä on useampi kuin yksi tuntematon, yhtälön geometrinen luonne helpottaa usein ilmiön ymmärtämistä. Voidaan sanoa, että algebrallinen geometria alkaa siitä, kun yhtälön ratkaisu jää sivuseikaksi ja ratkaisujen muodostama joukko on yhtä tärkeä kuin yhden yksittäisen ratkaisun tunteminen. Tämä johtaa siihen, että aloitteleva algebrallisen geometrian opiskelija kohtaa monia uusia tekniikoita käsitellä yhtälöitä alkaessaan opiskella algebrallista geometriaa.
Polynomien yhteiset nollakohdat.
Klassisessa algebrallisessa geometriassa päämielenkiinto kohdistuu polynomien yhteisten nollakohtien tutkimiseen. Esimerkiksi jos taso leikkaa palloa, tuloksena syntyy ympyrä.
Affiinit varistot.
Olkoon annettu kunta "k". Klassisessa algebrallisessa geometriassa kunnaksi oletetaan "C", kompleksiluvut, mutta monet tulokset ovat voimassa pelkästään olettamalla että "k" on algebrallisesti suljettu. Määritellään formula_1, affiini n-avaruus kunnassa k, olemaan "kn". Tämän merkintätavan tarkoituksena on unohtaa että "kn" on vektoriavaruus. Siten formula_1 on, ainakin hetken aikaa, pelkästään kokoelma pisteitä. Siten voidaan pudottaa "k" formula_1:sta ja kirjoittaa pelkästään formula_4.
Sanotaan että funktio
formula_5
on säännöllinen, jos se voidaan kirjoittaa polynomiksi. Tämä tarkoittaa sitä, että on olemassa polynomi "p" joukossa 
"k"["x"1...,"x""n"] 
siten että jokaiselle pisteelle
("t"1...,"t""n") formula_6
on voimassa
"f"("t"1...,"t""n") = "p"("t"1...,"t""n"). 
Säännölliset funktiot affiinissa "n"-avaruudessa on siten täsmälleen samat kuin "n":n muuttujan polynomit "k":ssa. Merkitään kaikkien säännöllisien funktioiden joukkoa formula_4:ssä formula_8.
Sanomme polynomin häviävän tietyssä pisteessä, jos tässä pisteessä on funktion arvo nolla. Olkoon "S" joukko polynomeja formula_8:ssä. Joukon "S" häviämisjoukko, "V"("S"), muodostuu niistä pisteistä formula_10:ssä, joissa jokainen "S":n polynomi häviää. Toisin sanoen 
"V"("S") = {("t"1...,"t""n") | kaikilla formula_11, "p"("t"1...,"t""n") = 0}. 
Osajoukko formula_4 joka on "V"("S") jollakin "S", on nimeltään algebrallinen joukko. "V" tulee nimestä "varisto" (tietyn tyyppinen algebrallinen joukko).
Jos on annettu joukon formula_4 osajoukko "V" siten että "V" on varisto, voidaan aina määrittää polynomijoukko joka virittää "V":n. Jos "V" on mikä tahansa formula_4:n osajoukko, määritellään "I"("V") olemaan se joukko jossa häviävien polynomien joukko sisältää V:n. "I" tulee sanasta ideaali: Jos polynomit "f" ja "g" molemmat häviävät "V":ssä, tällöin myös "f"+"g" häviää "V":ssä ja jos "h" on mikä tahansa polynomi, tällöin myös "hf" häviää "V":ssä, joten "I"("V") on aina formula_8:n ideaali.
Nyt herää kaksi tärkeää kysymystä: On annettu joukon formula_4 osajoukko "V". Milloin on 
"V" = "V"("I"("V"))? 
On annettu joukko "S" polynomeja, milloin on 
"S" = "I"("V"("S"))? 
Vastaus ensimmäiseen kysymykseen saadaan Zariskin topologian avulla, topologia formula_4:ssa joka kertoo suoraan formula_8:n algebrallisen rakenteen. Tällöin "V" = "V"("I"("V")) jos ja vain jos "V" on Zariski-suljettu joukko. Toiseen kysymykseen vastauksen antaa Hilbertin Nullstellensatz. Lauseen erään muodon mukaan "I"("V"("S")) on "S":stä viritetyn ideaalin alkuradikaali. Toisin sanoen on olemassa Galois yhteys, joka yhdistää kaksi sulkeumaoperaattoria. Nämä voidaan samaistaa ja ovat luonnollisesti teorian keskeinen käsite. Erilaisista syistä johtuen emme aina halua tutkia annetun algebrallisen joukon "V" koko ideaalia. Hilbertin kantalauseesta seuraa, että formula_8:n ideaalit ovat aina äärellisesti viritettyjä.
Algebrallisen joukon sanotaan olevan jaoton, jos sitä ei voida kirjoittaa kahden pienemmän algebrallisen joukon yhdisteeksi. Jaotonta algebrallista joukkoa kutsutaan myös varistoksi. Osoittautuu, että algebrallinen joukko on varisto jos ja vain jos joukon polynomit virittävät polynomirenkaan alkuideaalin.
Säännölliset funktiot.
Kuten jatkuvat funktiot ovat topologiassa usein käytettyjä kuvauksia topologisten avaruuksien välillä ja sileät funktiot ovat vastaavasti kuvauksia differentioituvien monistojen välillä, on olemassa myös algebrallisten joukkojen välillä funktioita, säännöllisiä funktioita. Algebrallisen joukon formula_20 säännöllinen funktio määritellään joukon formula_4 rajoittumaksi "V":hen. Voi näyttää epäluonnolliselta rajoitukselta vaatia säännöllinen funktion määrittelyjoukoksi myös alkuperäisen funktion määrittelyjoukkoa laajempi avaruus, mutta tilanne on analoginen normaalien topologisten avaruuksien kohdalla, missä Tietzen jatkolause takaa että suljetun joukon jatkuva funktio voidaan aina jatkaa jatkuvaksi funktioksi ympäröivään avaruuteen.
Kuten säännöllisen funktio affiinissa avaruudessa, säännölliset funktiot V:ssä muodostavat renkaan, jota merkitään k[V]. Tämä rengas on nimeltään V:n koordinaattirengas.
Koska V:n säännölliset funktiot saadaan formula_4:n säännöllisistä funktioista, niillä on yhteys niiden koordinaattirenkaaseen. Erityisesti, saadakseen funktion k[V]:ssä otamme funktion formula_8:sta ja sanomme että kaksi funktiota ovat samat jos ne ovat samat V:ssä. Tämä tarkoittaa että funktioiden erotus häviää V:ssä. Tästä nähdään, että k[V] on tekijäjoukko formula_24.
Affiinien varistojen kategoria.
Käyttämällä säännöllisiä funktioita affiinilta varistolta formula_25:lle, voidaan määritellä säännöllisiä funktioita affiinilta varistolta toiselle. Määritellään ensiksi säännöllinen funktio varistolta affiiniin avaruuteen: Olkoon V varisto formula_4:ssa. Valitaan "m" säännöllistä funktiota V:stä ja nimetään ne f1...,fm. Määritellään säännöllinen funktio f V:ltä formula_27:ään asettamalla f(t1...,tn)=(f1...,fm). Toisin sanoen, jokainen fi määrää yhden koordinaatin f:n maalissa.
Jos V' on varisto joka sisältyy formula_27:han, sanomme että f on säännöllinen funktio V:ltä V':uun, jos f:n maalijoukko sisältyy V':uun.
Tämän ominaisuuden perusteella kaikki affiinit varistot muodostavat kategorian, missä objektit ovat affiineja varistoja ja morfismit säännöllisiä kuvauksia. Seuraava lause karakterisoi affiinien varistojen kategorian:
 Affiinien varistojen kategoria on duaalinen kategoria äärellisesti viritettyjen redusoitujen k-algebrojen ja niiden homomorfismien kategorialle.
Projektiivinen avaruus.
Tarkastellaan varistoa V(y=x2). Sen kuvaaja on paraabeli. Kun x kasvaa, suoran, joka kulkee origon ja pisteen (x,x2) kautta, kulmakerroin kasvaa. Kun x vähenee, saman suoran kulmakerron pienenee ja pienenee.
Verrataan tätä varistoon V(y=x3). Tämä on kolmannen asteen yhtälö. Kun x kasvaa, origon ja pisteen (x,x3) kautta kulkevan suoran kulmakerroin kasvaa rajatta kuten ennenkin. Mutta toisin kuin ennen, kun x pienenee rajatta, kulmakerroin kasvaa edelleen rajatta. Siten varistojen V(y=x2) ja V(y=x3) käyttäytyminen äärettömyydessä on erilaista. Affiinissa avaruudessa on kuitenkin vaikeaa määritellä käsite "äärettömyydessä".
Ratkaistakseen ongelman on työskenneltävä niin sanotussa projektiivisessa avaruudessa. Projektiivisen avaruuden ominaisuudet ovat samat kuin kompaktin Hausdorffin avaruuden. Projektiivinen avaruus saadaan siis lisäämällä avaruuteen äärettömyyspisteitä ja määrittelemällä äärettömille topologiset ympäristöt. Tätä kutsutaan prosessia topologiassa nimellä Aleksandrovin kompaktisointi. Varistojen käyttäytyminen äärettömyydessä antaa lisätietoa varistoista. Osoittautuu, että V(y=x3):lla on singulariteetti yhdessä lisätyssä pisteessä, mutta V(y=x2) on sileä varisto.
Vaikka projektiivinen geometria löydettiin alun perin synteettisen geometrian kautta, homogeeninen koordinaatisto mahdollisti algebrallisten tekniikoiden käytön algebrallisen geometrian tutkimisessa. Edelleen projektiivisten tekniikoiden käyttö yksinkertaisti ja tiukensi monia algebrallisen geometrian tuloksia. Esimerkiksi tunnettu Bezout'n lause kahden variston leikkauspisteiden lukumäärästä voidaan esittää tiukimmassa muodossaan ainoastaan projektiivisessa avaruudessa. Tämän takia projektiivinen avaruus näyttelee keskeistä roolia algebrallisessa geometriassa.