Vastaluku

Matematiikassa jokaisella kokonaisluvulla "x" on vastaluku − "x", jolle pätee "x" + (−"x") = 0. 
Vastaluku liittyy käsitteenä matematiikassa kahden luvun yhteenlaskuun, jonka tulokseksi saadaan nolla
formula_1.
Tällöin sanotaan, että "molemmat luvut" formula_2 ja formula_3 ovat toistensa vastalukuja ja ne sijaitsevat lukusuoralla yhtä kaukana nollapisteestä. 
Edellinen esitys on koulumatematiikassa monelle tutuksi tullut määritelmä. Matematiikassa lukua nolla pidetään yhteenlaskuun liittyvänä kokonaislukujoukon neutraalialkiona eli 0-alkiona. Koska matematiikan neutraalialkion käsite on paljon laajempi, käytetään nimitystä 0-alkio vain luvuille ja sellaisille binäärioperaatioille, jotka ovat luonteeltaan additiivisia. 
Kokonaisluvut.
Jossakin vaiheessa matematiikan historiaa otettiin käyttöön negatiiviset luvut, jotta vähennyslaskua voitiin soveltaa rajoituksetta luonnollisille luvuille. Jos vähennettävä on suurempi kuin vähentäjä, tulee erotukseksi positiivinen luku. Näin on, kun lasketaan esimerkiksi formula_4. Jos vähentäjä on suurempi kuin vähennettävä, merkitään erotukseksi "vastaluku". Näin käy esimerkiksi, kun formula_5. Vastaluvun merkkinä oleva miinus (-) lienee vähennyslaskusta peräisin.
Kokonaislukujen joukko on muodostettu lisäämällä luonnollisiin lukuihin negatiiviset luvut. Negatiiviset luvut sisältävät jokaisen luonnollisen luvun vastaluvun eli negaation. Kokonaislukujen joukko onkin yksinkertaisin lukujoukko, jossa vastaluvut ovat olemassa. Jos kokonaislukuja kuvataan lukusuoralla olevilla pisteillä, sijoittuvat vastaluvut nollapisteestä katsottuna yhtä etäälle positiivisten- tai negatiivisten lukujen puolille. "Luvun etäisyys nollasta" kutsutaan luvun itseisarvoksi, jolloin positiivisuus ja negatiivisuus ovat luvun itseisarvoon liitettäviä erottelevia lisämääreitä. 
Positiivisesta luvusta voidaan tehdä negatiivinen liittämällä sen eteen miinusmerkki. Etumerkkiä voidaan pitää unaarioperaationa, jolla positiivinen luku muutetaan vastaluvukseen (formula_6). Kun negatiivisen luvun vastaluku on sen positiivinen itseisarvo, toimii miinusmerkki negatiivisen luvun eteen laitettuna vastalukuoperaationa (formula_7). Tämä voidaan ilmaista yleisesti positiiviselle kokonaisluvulle formula_2, joka ei ole nolla. Tällöin merkintä
 formula_9 tarkoittaa positiivisen luvun vastalukua.
 formula_10 tarkoittaa negatiivisen luvun vastalukua.
Alkuperäisen määritelmän mukaan toisilleen vastalukuina olevien lukujen summa on nolla
 formula_11
johtaa tulokseen, että vastaluku on aina luvun negaatio
 formula_12
ja luvulla on vain yksi vastaluku.
Nolla on oma vastalukunsa.
Rationaaliluvut.
Jotta kokonaislukujen jakolasku olisi aina laskettavissa, laajennettiin kokonaislukujen joukkoa kaikilla kokonaislukujen suhteilla. Näin muodostettiin rationaaliluvut. Osamäärään voitiin valita sekä negatiivisia että positiivisia lukuja, joten on sovittava rationaaliluvun merkki. Jos osamäärässä jaettava ja jakaja ovat molemmat positiivisia tai molemmat negatiivisia, tuli luvusta positiivinen. Jos taas osamäärä muodostettiin erimerkkisistä luvuista, tuli osamääräksi negatiivinen. 
Myös rationaaliluvut muodostuvat positiivisista luvuista ja näiden vastaluvuista. Nolla on oma vastalukunsa myös rationaalilukuna, mikä tarkoittaa että se on jakolaskun osoittaja; nimittäjänä se ei voi esiintyä.
Reaaliluvut.
Reaaliluvut saadaan täydentämällä rationaaliluvut irrationaaliluvuilla. Jokaisella irrationaaliluvulla on myös vastalukunsa, joten reaaliluvut ovat vastalukujen suhteen samantyyppinen lukujoukko kuin rationaaliluvut.
Kompleksiluvut.
Kompleksiluvut muodostettiin täydentämällä reaaliluvut imaginaariluvuilla muodostetuilla kompleksiluvuilla. 
Kompleksiluvun formula_13, missä formula_2 ja formula_3 ovat reaalilukuja ja formula_16 on imaginaariyksikkö, vastaluku on:
 formula_17
Määritelmä ehto toteutuu, koska
 formula_18
Jos kompleksiluku on esitetty polaarimuodossa Eulerin kaavan avulla, eli 
 formula_19
niin sen vastaluku on
 formula_20
Kirjallisuutta.