Cramerin sääntö

Lineaarialgebrassa, Cramerin sääntö on kaava yhtä monta yhtälöä ja tuntematonta sisältävän lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sääntö pätee aina, kun yhtälöryhmällä on tasan yksi ratkaisu.
Sääntö ilmaisee ratkaisun kullekin lineaarisen yhtälöryhmän tuntemattomalle kahden determinantin osamäärän avulla. Determinantit saadaan yhtälöryhmän kertoimien muodostamasta neliömatriisista ja erityisestä kerroinmatriisista muodostetusta matriisista, missä sopiva kertoimien sarake on korvattu yhtälöryhmän vakioilla.
Cramerin sääntö on nimetty Gabriel Cramerin (1704–1752) mukaan, joka julkaisi säännön mielivaltaiselle tuntemattomien muuttujien määrälle vuonna 1750, joskin Colin Maclaurin julkaisi säännön erikoistapauksen 1748 ja mahdollisesti tunsi säännön jo 1729.
Yleinen tapaus.
Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää, missä on "n" tuntematonta ja "n" riviä.
Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisien tulona seuraavasti:
formula_1,
missä formula_2 matriisilla formula_3 on nollasta poikkeava determinantti, ja vektori formula_4 on muuttujien muodostama sarakevektori.
Cramerin säännön mukaan jos tällä lineaarisella yhtälöryhmällä on yksittäinen ratkaisu, niin tuntemattomien arvot saadaan kaavasta:
formula_5
missä formula_6 on matriisi joka muodostetaan korvaamalla matriisin formula_3 "i":s sarake sarakevektorilla formula_8.
Sääntö pätee lineaarisille yhtälöryhmille, jonka kertoimet ja vakiot kuuluvat mihin tahansa kuntaan, ei ainoastaan reaaliluvuille.
On näytetty, että Cramerin sääntö voidaan toteuttaa ajassa O("n"3). Aikavaativuus on verrattavissa Gaussin-Jordanin eliminaatiomenetelmään. Luokkaan O("n"3) pääsemiseksi tarvitaan Cramerin säännön osalta tehokasta determinantin laskemistapaa. Perinteisellä determinantin laskukaavalla lasketaan formula_2 matriisien determinantteja n+1 kertaa antaen työmääräksi (n+1)!(n-1) laskutoimusta. Näin ollen perinteisellä determinantin laskukaavalla Cramerin säännön aikavaatimus on luokkaa O("n!n") .
Todistus.
Olkoon formula_10 kertoimien matriisi ja alimatriisi formula_11 matriisi, joka on saatu poistamalla matriisista formula_10 i:s rivi ja j:s sarake. 
Määritellään alkion formula_13 kofaktori 
formula_14. 
Esitellään vielä uusi matriisi korvaamalla matriisin A alkiot niiden kofaktoreilla ja transponoimalla saatu matriisi. Tätä matriisia kutsutaan adjungoiduksi matriisiksi ja se merkitään
formula_15.
Olkoon edelleen formula_16, jolloin sillä on käänteismatriisi. Kääntyvälle matriisille pätee:
formula_17 ja formula_18.
Nyt käänteismatriisi formula_19 voidaan esittää A:n determinantin käänteisluvun ja formula_10:n adjungoidun matriisin tulona. 
formula_21.
Koska kyseessä on matriisitulo, niin tämä tarkoittaa sitä, että 
formula_22.
Olkoon nyt
formula_23.
Jos selvitämme determinantin formula_24 kehittämällä i:nnen sarakkeen suhteen, niin huomaamme, että
formula_25. 
Tällöin 
formula_26.
Esimerkkejä pienillä yhtälöryhmillä.
Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää formula_27
Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa: formula_28 
Oletetaan, että "ad" − "bc" ei ole 0. Nyt "x" ja "y" voidaan löytää Cramerin säännöllä:
formula_29 
ja
formula_30
Säännöt 3×3-matriiseille ovat samankaltaiset. Olkoon formula_31.
Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa formula_32
Arvot muuttujille "x", "y" ja "z" voidaan löytää seuraavasti:
formula_33