Z-muunnos

Z-muunnos on digitaalisen signaalinkäsittelyn työkalu, joka on diskreettiaikainen versio analogisessa sähkötekniikassa käytettävälle Laplace-muunnokselle. Z-muunnos on yleistetty tapaus diskreettiaikaiselle Fourier-muunnokselle.
Muunnoksella voidaan siirtyä taajuustasoon, sitten poistaa sieltä vähemmän merkitsevät, vaimeat taajuudet ja siirtyä sitten käänteismuunnoksella takaisin aikatasoon. Syy siihen, että näin tehdään, on lähinnä tiedonsiirrollinen: siirtolinjojen kapasiteetti on niukka. Myös tiedon tallennus (esim. MP3) tulee edulliseksi.
Määritelmä.
Olkoon (jatkuva-aikaisesta signaalista näytteistetty so. poimittu) lukujono muotoa
formula_1.
Lukujonon formula_2 Z-muunnos määritellään 
formula_3.
Muunnosta formula_4 kutsutaan jonon formula_5 z-tasoesitykseksi. Muuttuja formula_6 on mielivaltainen kompleksiluku.
Geometrisesti voidaan ajatella, että tässä operaatiossa projisoidaan kaksi ääretönulotteista vektoria toisiinsa. Z-muunnos voidaan siis esittää sisätulona
formula_7,
missä vektorit formula_8 ja formula_6 saadaan muodostamalla näytteistetyistä sarjoista formula_5 ja formula_11 ääretönulotteiset vektorit esimerkiksi asettamalla määrittelemättömät sarjan alkiot nolliksi.
Nähdään, että z-sekvenssi on joko eksponentiaalisesti divergoiva (hajaantuva) tai konvergoiva (suppeneva), riippuen siitä, onko formula_12 vai formula_13. Jos formula_14, on kyseessä diskreettiaikainen Fourier-muunnos eli z-muunnos evaluoidaan tällöin yksikköympyrän kehällä kompleksitasossa. Näin ollen Z-muunnoksen avulla tutkitaan, onko aikatason signaalissa – tai suotimessa – komponentteja, jotka joko hajautuvat tai suppenevat.
Z-muunnos signaalinkäsittelyssä.
Z-muunnosta käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä erityisesti lineaaristen, aikainvarianttien (Linear Time Invariant, LTI) systeemien ja suotimien yhteydessä. Jos formula_15 ja formula_16 ovat diskreettiaikaisia signaaleja ja jos formula_17 ja formula_18 ovat kompleksisia vakioita, niin
formula_19,
missä formula_20 ja formula_21 ovat muunnoksien
formula_4 ja formula_23 konvergenssialueita. Näillä kompleksitason alueilla systeemi on stabiili
formula_24.
Tämä z-muunnoksen ominaisuus on lineaarisuus. Aikainvarianssi taas tarkoittaa sitä, että ajassa siirretyn tai viivästetyn sisäänmenosignaalin vaste eli ulostulo on myös viivästetty. Karkeasti voidaan sanoa, että tällöin systeemin parametrit eivät riipu ajasta; tämä ei ole kuitenkaan eksakti selitys, mutta oleellinen käytännön kannalta. Aikainvarianssi määritellään seuraavasti: jos formula_25 on systeemi ja formula_26 on viive-elementti, niin aikainvariantissa systeemissä
formula_27.
Suodinsuunnittelussa suotimen kertoimet pyritään valitsemaan siten, että z-muunnos konvergoi. Tällöin puhutaan stabiilista systeemistä. Diskreettiaikainen LTI-systeemi voidaan jaotella joko äärellisen impulssivasteen (engl. Finite Impulse Response, FIR) tai äärettömän impulssivasteen (engl. Infinite Impulse Response, IIR) systeemeihin. Impulssivaste on lukujono, jonka systeemi tuottaa ulostulona, kun sille annetaan syötesignaalina yksikköimpulssi. FIR-suodin esitetään äärellisenä summana
formula_28,
missä formula_29 ovat suotimen kertoimet. Tällainen systeemi suppenenee aina, sillä sekä kertoimet että lukujonot ovat äärellisiä. FIR-suotimessa ei ole ulostulosignaalien takaisinkytkentää sisäänmenoon. Tällaisella suotimella voidaan toteuttaa lineaarivaiheinen suodin, jonka kaikki taajuuskomponentit viivästyvät ajallisesti yhtä paljon. Lineaarivaiheinen suodin ei siis aiheuta signaalissa vääristymistä aikatasossa. Kun halutaan toteuttaa suodin, jossa on vähemmän kertoimia, valitaan IIR-suodin. IIR-suotimissa on ulostulon takaisinkytkentöjä, jotka voivat aiheuttaa epästabiilisuuden. Suodinsuunnittelussa on kuitenkin kehitetty rutiineja, joilla epästabiilisuus eliminoidaan.
Z-muunnoksella on sovelluskohteita mm. digitaalisessa signaalinkäsittelyssä ja -suodatuksessa, spektrianalyysissä, TV-tekniikassa, audiotekniikassa, korkeatasoisessa musiikissa ja tietoliikenteessä.