Etäisyysmoduli

Etäisyysmoduli on tähtitieteen keskeisimpiä yhtälöitä ja lähes kaikki tähtitieteelliset etäisyydenmittausmenetelmät perustuvat joiltakin osin siihen.
Etäisyysmodulin idea voidaan tiivistää siihen tosiseikkaan, että kahdesta yhtä kirkkasta kohteesta kauempana olevan lähettämä säteily jakaantuu laajemmalle pinnalle. Olkoon formula_1 kohteen havaittu kirkkaus eli näennäinen magnitudi. Tämä suure saadaan mitattua suoraan teleskooppiin liitetyn fotometrin avulla. Kohteen todellista kirkkautta kuvaava suure, absoluuttinen magnitudi puolestaan on määritelty niin, että se olisi kohteen näennäinen kirkkaus, jos mittaisimme sitä 10 parsekin päässä itse kohteesta. Näiden kahden luvun erotusta formula_2 kutsutaan kohteen "etäisyysmoduliksi" ja se on yhteydessä kohteen etäisyyteen formula_3 siten, että
formula_4
Missä formula_5 on kymmenkantainen logaritmi ja etäisyys formula_3 on luonnollisesti lausuttu parsekeina. Logaritmin sisällä oleva luku, 10 parsekia, seuraa suoraan absoluuttisen magnitudin määritelmästä.
Etäisyysmoduli pätee kaikkien magnitudien kohdalla. Kyseessä voi siis olla yhtä lailla vaikkapa bolometrinen (näennäinen magnitudi - absoluuttinen magnitudi) -erotus kuin jollakin tietyllä kapealla aallonpituuskaistalla mitattu magnitudipari. Yhtälön käytön vaikeus liittyykin tapaan, jolla tutkittavan kohteen absoluuttinen magnitudi formula_7 saadaan luotettavasti määriteltyä. Tämä vaatii lähes poikkeuksetta teoreettista taustatietoa kohteen fysiikasta.
Yllä oleva etäisyysmodulin esitysmuoto on voimassa vain tyhjässä avaruudessa. Lähes poikkeuksetta kohdetta joudutaan havaitsemaan tähtienvälisen aineen läpi, jolloin osa valosta häviää tähän aineeseen ekstinktiona. Mikäli kohde on lähellä, ekstinktio voidaan mitata kohteen punertumasta ja arvioida vakioksi, jolloin etäisyysmoduli voidaan kirjoittaa muotoon
formula_8,
missä formula_9 on nyt tähtienvälisen aineen aiheuttama häviö magnitudeina. Pitkillä etäisyyksillä joudutaan ekstinktio lausumaan himmenemisenä etäisyysyksikköä kohti (esimerkiksi 1 magnitudi/kiloparsek). Tällöin vakion formula_9 korvaa etäisyydestä riippuva termi:
formula_11,
missä kerroin formula_12 ilmaisee häviön etäisyysyksikköä kohti. Tästä yhtälöstä etäisyyttä formula_3 ei ole enää mahdollista laskea analyyttisesti, vaan kaavaa joudutaan iteroimaan numeerisesti.
Etäisyysmodulin johtaminen.
Etäisyysmoduli on helppo johtaa absoluuttisen ja näennäisen magnitudin määritelmistä lähtien. Tarkastellaan kohdetta, jonka luminositeetti 
formula_14,
missä "Fr" on kohteesta etäisyydellä "r" mitattava vuontiheys. Koska luminositeetti on kohteen fysikaalisista ominaisuuksista riippuva suure se on sama millä tahansa etäisyydellä kohteesta ja ero vuontiheydessä johtuu siis vain etäisyyksien erosta. Ratkaistaan vuontiheys formula_15 ja sijoitetaan näennäisen magnitudin kaavaan
formula_16.
Tässä esiintyvä "F0" on magnitudin määritelmässä esiintyvä "vertailuvuontiheys". Vastaavasti absoluuttiselle magnitudille saadaan määritelmänsä mukaisesti
formula_17.
Lasketaan nyt näiden erotus:
formula_18
eli logaritmin laskusääntöjen nojalla
formula_19.
Tässä 1. ja 3. termi kumoavat toisensa ja logaritmin laskusääntöjen vuoksi voidaan kirjoittaa 
formula_20
mistä "4πF0" supistuu pois ja kun potenssin kakkosen tuo logaritmin eteen saadaan etäisyysmodulin kaava.