Viivaintegraali

Viivaintegraalilla (myös käyrä- tai polkuintegraalilla) tarkoitetaan matematiikassa funktion integroimista käyrää pitkin. Tavallinen Riemannin yksiulotteinen integraali
formula_1
onkin tavallaan viivaintegraali x-akselilla kulkevaa janaa pitkin. Fysiikassa polkuintegraalin käyttö rajoittuu lähinnä vektorilaskentaan, kun taas matematiikassa polkuintegraali on erityisen oleellinen käsite kompleksianalyysissä.
Skalaarikentän viivaintegraali.
Olkoon formula_2 skalaarikenttä ja formula_3 käyrän "C" parametrisaatio. Tällöin formula_4:n viivaintegraali käyrää "C" pitkin on 
formula_5
Kaava on pätevä melko lievin säännöllisyysoletuksin, esimerkiksi parametrisaation formula_6 jatkuva derivoituvuus välillä formula_7 riittää. Viivaintegraalin arvo on riippumaton parametrisaatiosta, eikä integroimissuunta vaikuta lopputulokseen. Käyrän kaarenpituus saadaan integroimalla funktiota formula_8 käyrää pitkin, ja mikäli integraali suppenee, sanotaan käyrää "suoristuvaksi". Mikäli fysikaalinen skalaarikenttä formula_2 kuvaa käyrän "viivatiheyttä" (massa/pituus), antaa viivaintegraali käyrää pitkin kokonaismassan.
Vektorikentän viivaintegraali.
Olkoon formula_10 vektorikenttä ja formula_3 käyrän C parametrisaatio. Tällöin formula_12:n viivaintegraali käyrää "C" pitkin on
formula_13.
Viivaintegraalin arvo on jälleen parametrisaatiosta riippumaton, mutta "integroimissuunnan" vaihto muuttaa integraalin arvon vastaluvukseen. Vektorikentän viivaintegraalilla on huomattavan paljon sovelluksia fysiikassa: Esimerkiksi voimakentän formula_14 tekemä työ "W", kun kappale liikkuu käyrän "C" kuvaaman matkan, saadaan viivaintegraalista
formula_15.
Maxwellin yhtälöiden integraalimuodoista sekä Faradayn induktiolaki että Ampere-Maxwellin laki sisältävät viivaintegraalin suljettua käyrää pitkin. Näiden lisäksi esimerkiksi Biot’n ja Savartin lain mukaan johtimen, jossa kulkee sähkövirta "I", aiheuttama magneettivuon tiheys pisteessä "P" saadaan integraalista
formula_16, 
missä käyrä "C" kuvaa virtajohdinta ja formula_17 on vektori johdinelementistä formula_18 pisteeseen "P".
Polkuintegraali kompleksianalyysissä.
Olkoon formula_19 jatkuva funktio, jonka määrittelyjoukko "A" on kompleksitason avoin osajoukko. Funktion "polkuintegraali" käyrää formula_20 pitkin määritellään
formula_21,
missä formula_22 on polun jatkuvasti derivoituva parametrisaatio. Integraalin arvo ei riipu polun parametrisaatiosta suunnistusta lukuun ottamatta. Analyyttisen funktion polkuintegraali pisteestä toiseen on lisäksi polusta riippumaton, ja polkuintegraalin arvo voidaankin laskea funktion integraalifunktion avulla analyysin peruslauseen mukaisesti, aivan kuten reaalisessa tapauksessa. Lisäksi analyyttisen funktion polkuintegraali "suljettua" käyrää pitkin on nolla. Polkuintegraalien laskutekniikka kompleksianalyysissä huipentuu residy-laskentaan, jonka avulla hyvinkin monimutkaisten funktioiden polkuintegraaleja suljettuja käyriä pitkin voidaan laskea helpohkosti.
Funktion polkuintegraali "kaarenpituuden suhteen" määritellään
formula_23.
Esimerkki.
Lasketaan esimerkkinä funktion 
formula_24
polkuintegraali positiivisesti suunnistettua yksikköympyrää pitkin. Polun parametrisaatio on nyt
formula_25, 
joten polkuintegraaliksi saadaan
formula_26
Polkuintegraali tätä suljettua käyrää pitkin poikkeaa nollasta, koska funktio ei ole analyyttinen polun sisäänsä sulkemassa alueessa (funktiolla on ensimmäisen kertaluvun "napa" origossa).
Funktion residy origossa saadaan kaavalla
formula_27,
joten residylauseen mukaan polkuintegraali mitä tahansa yksinkertaista suljettua käyrää pitkin origon ympäri on
formula_28