Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Jatkuvien funktioiden väliarvolause on tärkeä lause analyysissa. Bolzanon lause on sen erikoistapaus. 
Lause kuuluu seuraavasti: olkoon formula_1 jatkuva funktio suljetulta väliltä formula_2 reaalilukujen joukolle formula_3. Olkoon formula_4 reaaliluku, joka toteuttaa ehdon formula_5 tai formula_6. Tällöin (avoimen) välin formula_7 jollekin pisteelle formula_8 pätee formula_9.
Jatkuvien funktioiden väliarvolause on intuitiivisesti itsestäänselvyys: jos esimerkiksi "f" on jatkuva funktio välillä [1, 2] ja sen arvot välin päätepisteissä ovat "f"(1) = 3 ja "f"(2) = 5, on "f":n arvo 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 välissä. Lauseen idea on yksinkertaisesti se, että jatkuva funktio voidaan piirtää nostamatta kynää paperista: jotta funktio voisi olla jatkuva, sen tulee yhdistää katkeamatta suorat "y" = 3 ja "y" = 5, jolloin sen on leikattava ainakin kerran suora "y" = 4. 
Lause esitetään usein myös seuraavasti: jos jatkuvan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä vastaa tapausta "u" = 0, ja sitä kutsutaan usein Bolzanon lauseeksi. Lause on nimetty matemaatikko Bernard Bolzanon mukaan. Toisaalta Bolzanon lauseella voidaan todistaa jatkuvien funktioiden väliarvolause tutkimalla funktiota
formula_10, jolloin formula_11 ja formula_12. Tällöin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa formula_13, jolla formula_14. 
Todistus.
Todistetaan ensimmäinen tapaus "f" ("a") &lt; "u" &lt; "f" ("b"). Tapauksen "f" ("b") &lt; "u" &lt; "f" ("a") todistus on samankaltainen tai voidaan palauttaa edelliseen tarkastelemalla funktiota "g" ("x") = -"f"("x").
Olkoon "S" niiden välin [a, b] pisteiden joukko, joissa funktion arvo "f"("x") on pienempi tai yhtä suuri kuin "u" eli "S" = {"x" formula_15 [a, b] : "f"("x") ≤ "u"}. Tällöin "S" on epätyhjä (koska "a" kuuluu siihen, "f"("a") &lt; "u") ja ylhäältä rajoitettu ylärajan ollessa "b". Reaalilukujen täydellisyysaksiooman nojalla joukolla "S" on olemassa supremum eli pienin yläraja "c" = sup "S". Väite: "f" ("c") = "u".
Oletetaan ensin, että "f"("c") &gt; "u". Silloin "f"("c") - "u" &gt; 0. Koska funktio "f" on jatkuva eli formula_16, on funktion raja-arvon määritelmän perusteella olemassa δ &gt; 0 siten että
Oletetaan seuraavaksi, että "f"("c") &lt; "u". Nyt "u" - "f"("c") &gt; 0 ja jatkuvuuden nojalla on olemassa δ &gt; 0 siten, että 
Koska ei voi olla "f"("c") &lt; "u" eikä "f"("c") &gt; "u", tulee olla "f"("c") = "u". □
Bolzanon lauseen todistus vastaoletuksella.
Lemma.
Jos funktio formula_19 on jatkuva pisteessä formula_20 ja formula_21, niin on olemassa formula_22 siten, että formula_23, kun formula_24. 
Jos funktio formula_19 on jatkuva pisteessä formula_20 ja formula_27, niin on olemassa formula_22 siten, että formula_29, kun formula_24. 
Lemman todistus.
Todistetaan tapaus formula_21. Tapaus formula_27 todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota formula_33. 
Koska formula_19 on jatkuva pisteessä formula_20 ja formula_21, niin on olemassa formula_22 siten, että 
formula_38
kun
formula_39
Tällöin
formula_40
joten 
formula_41
kun
formula_39
Täten 
formula_43
kun
formula_44
Olkoot formula_45, formula_46 ja formula_47. Tapaus, jossa formula_48 ja formula_49, todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota formula_33. 
Olkoon joukko formula_51. Koska formula_52, niin formula_53. Koska formula_53 ja formula_55 on ylhäältä rajoitettu, niin on olemassa formula_56. Koska formula_19 on jatkuva välillä formula_2 ja formula_46, niin lemman nojalla on olemassa formula_60 siten, että formula_61 ja formula_29, kun formula_63. Koska formula_19 on jatkuva välillä formula_2 ja formula_47, niin lemman nojalla on olemassa formula_67 siten, että formula_68 ja formula_23, kun formula_70. Täten formula_71. Olkoon formula_72. 
Väite: formula_73. 
Tehdään vastaoletus: formula_74. 
Koska formula_19 on jatkuva välillä formula_2, niin lemman nojalla on olemassa formula_22 siten, että formula_78 ja joko formula_23 tai formula_29, kun formula_81. 
Jos formula_23, kun formula_83, niin formula_84 on joukon formula_55 yläraja. Tällöin formula_86 ei ole joukon formula_55 pienin yläraja. Jos formula_29, kun formula_83, niin formula_86 ei ole joukon formula_55 yläraja. 
Ollaan päädytty ristiriitaan sen kanssa, että formula_74. Täten alkuperäinen väite pätee eli formula_73 pätee. 
Siis todistettin, että jos formula_19 on jatkuva funktio välillä formula_2, formula_46 ja formula_47, niin on olemassa formula_98 siten, että formula_73. formula_100