Virheen kasautumislaki

Virheen kasautumislakia eli keskivirheen kasautumislakia käytetään, kun mittaustuloksista ja niiden virheistä lasketaan jokin toinen suure ja sille virhe. Virheellä ei tässä tarkoiteta arkikielestä tuttua virhettä vaan jokaiseen mittaukseen liittyvää epätarkkuutta ja tuloksen epävarmuutta. Virhe kuvaa tässä tuloksen sisäistä tarkkuutta (englanniksi "precision").
Virhettä merkitään symbolilla formula_1, siten että formula_2:n virhe on formula_3. Suure formula_2 voi olla mikä tahansa suure, jonka virhettä halutaan kuvata. Esimerkiksi jännite formula_5, jolloin jännitteen virhe on formula_6. Jos on mitattu useampaan kertaan samaa suuretta, esimerkiksi johonkin tiettyyn matkaan kulunut aika, saadaan jakauma mittaustuloksia, jotka usein ovat normaalijakautuneita. Tällöin jakauman otoskeskiarvo on mittaustulos, jonka virhe on otoshajonta.
Esimerkki. On haluttu mitata kappaleen nopeus formula_7 mittaamalla kappaleen kulkema matka formula_8 ja matkaan kuluttama aika formula_9. Kappaleen nopeus formula_10, mutta mikä on tuloksen epävarmuus? Matkan ja ajan virheet (formula_11 ja formula_12) tunnetaan (esimerkiksi mittaustarkkuudesta), joten oikea tapa menetellä on laskea nopeuden virhe käyttäen virheen kasautumislakia, jossa virhe "kasautuu". Nopeuden virhe siis nimenomaan "ei" ole suoraan formula_13 vaan jotain muuta.
Matemaattinen esitys.
Olkoon formula_14 funktio, joka riippuu formula_15:stä muuttujista formula_16. Kullakin muuttujalla on virhe (formula_17) eli jokainen muuttuja voidaan ilmaista muodossa formula_18.
Jos muuttujat ovat riippumattomia, formula_19:n epävarmuus formula_20 johtuu jokaisen muuttujan yksittäisestä virheestä formula_21 ja se voidaan laskea yhtälöllä:
formula_22,
missä formula_23 on funktion formula_19 osittaisderivaatta muuttujan formula_25 suhteen.
Jos muuttujat eivät ole toisistaan riippumattomia täytyy ottaa huomioon jokaisen muuttujaparin välinen kovarianssi formula_26 :
formula_27,
missä formula_28.
Lasketun tuloksen formula_19 epävarmuus voidaan nyt ilmaista formula_20:n avulla formula_31.
Tuloksen pyöristäminen.
Tulos ja sen virhe esitetään lopullisessa muodossaan aina pyöristettynä samaan tarkkuuteen. Esimerkiksi, jos tulokseksi on laskettu "T" = 3,058 s ja virheeksi "ΔT" = 0,987 s, tulee tulos pyöristää "T" = 3 s ja virhe "ΔT" = 1 s. Virhe siis määrää kuinka monta merkitsevää numeroa tuloksesta ilmoitetaan. Yleensä tapana on ilmoittaa virhe (ja tulos) kahden yksikön tarkkuudella vain, jos virhe alkaa ykkösellä tai korkeintaan kakkosella. Esimerkiksi 1,06 mformula_320,15 m on oikein pyöristetty tai 0,97 mformula_320,21 m, mutta 2,17 mformula_320,37 m on kyseenalainen, sillä virhe alkaa kolmosella. Oikeampi pyöristys olisi 2,2 mformula_320,4 m.
Pyöristys tehdään aina tarkimman arvon perusteella. Jo pyöristettyä tulosta ei siis enää uudelleen pyöristetä vaan pyöristys tehdään alkuperäisestä tuloksesta. Esimerkiksi välituloksia ei pyöristetä. Jos aluksi virheen tiedetään olevan 0,345 m ja se pyöristetään kahteen merkitsevään desimaaliin 0,35 m. Uudelleen pyöristäminen aiheuttaisi pyöristyksen 0,4 metriin, vaikka oikea pyöristys pyöristämättömästä virheestä antaa pienemmän virheen 0,3 m (ja samalla tarkemmin ilmoitetun tuloksen!). Tulosta ja virhettä ei pidä pyöristää turhaan ylöspäin, jotta sitä ei keskimäärin yliarvioida tulossarjoissa.
Esimerkkilasku: resistanssin epävarmuus.
Halutaan laskea resistanssi formula_36, kun on mitattu vastuksen läpi kulkeva virta formula_37 ja sen yli oleva jännite formula_5. Ohmin lain mukaan formula_39.
Mittausepävarmuudet tunnetaan suoraan vaikkapa yleismittarin asteikon tarkkuudesta formula_40 ja formula_41, jolloin laskettu epävarmuus formula_42 saadaan
 formula_43
Yksinkertaisemmin ilmaistava suhteellinen virhe formula_44 on siis neliöjuuri mitattujen suureiden suhteellisten virheiden neliöiden summasta.
Sijoitetaan laskuun vielä numerot. Oletetaan, että jännite formula_45 ja virta formula_46. Tällöin resistanssi
formula_47
ja resistanssin virhe
 formula_48
Virheen pyöristyssääntöjen mukaan tulos ilmoitetaan pyöristettynä formula_49.