Evoluutta

Evoluutta on käyrän kaarevuuskeskipisteiden muodostama ura. Yhtäpitävästi se voidaan määritellä käyrän normaalien verhokäyräksi. Alkuperäistä käyrää kutsutaan evolventiksi. Käyrän evoluutan määrääminen on eräs differentiaalilaskennan sovellus.
Käyrän tai yleisemmin alimoniston evoluutta on sen normaalikuvauksen polttopisteiden joukko. Normaalikuvaus muodostetaan seuraavasti: Olkoon "M" sileä, säännöllinen alimonisto avaruudessa formula_1. Liitetään jokaiseen "M":n pisteeseen "p" ja siitä alkavaan, pintaan "M" nähden kohtisuoraan vektoriin "v" piste "p" + "v". Näin saatua Lagrangen kuvausta sanotaan normaalikuvaukseksi, ja sen polttopisteet muodostavat joukon "M" evoluutan.
Jos käyrän evoluutta tunnetaan, itse käyrä voidaan piirtää asettamalla nuora evoluutalle ja kiinnittämällä se pisteeseen G. Pisteeseen A asetettu piirrin piirtää alkuperäisen käyrän, evolventin. 
Historia.
Kartioleikkausten evoluuttoja käsitteli jo Apollonius Pergeläinen (noin 250 eKr.) teoksensa "Konika" ("Kartioleikkauksista") V kirjassa.. Laajemmin evoluuttoja tutki 1600-luvulla Christiaan Huygens, ja toisinaan ansion evoluuttojen teorian perustamisesta katsotaankin kuuluvan hänelle. Huygens kehitti evoluuttojen teorian selvittääkseen, onko olemassa tautokroninen käyrä, toisin sanoen käyrä, jonka minkä tahansa pisteelle asetulta kappaleelta kuluisi yhtä pitkä aika, ennen kuin ne ovat vierineet käyrän alimpaan kohtaan. Tällaiseksi osoittautui sykloidi, joka on siitä erikoinen, että myös sen evoluutta on muodoltaan sykloidi. Tämä seikka auttoi häntä konstruioimaan heilurin, jonka heilahdusaika pysyy mahdollisimman tarkoin vakiona. Evoluuttoja tutkimalla Huyghens johti myös monia tuloksia, jotka myöhemmin voitiin todistaa myös differentiaali- ja integraalilaskennan avulla.&lt;r
Parametrimuodossa esitetyn käyrän evoluutta.
Jos käyrällä on parametriesitys (x, y) = (f(t), g(t)), sen kuhunkin pisteeseen liittyvän kaarevuuskeskipisteen koordinaatit ovat
formula_2
missä "R" on käyrän kaarevuussäde,
formula_3
ja formula_4 on käyrän tangenttivektorin
formula_5
ja x-akselin välinen kulma. Tällöin on formula_6 ja formula_7. Tässä formula_8 ja formula_9 tarkoittavat funktioiden "f" ja "g" derivaattoja "t":n suhteen: formula_10 ja formula_11.
Yhdistämällä nämä saadaan käyrän evoluutalle parametriesitys:
formula_12
formula_13
Erityisesti jos käyrä on jonkin funktion formula_14 kuvaaja, jolloin formula_15, formula_16 ja formula_17, lauseke yksinkertaistuu muotoon
formula_18
formula_19.
Evoluutan ominaisuuksia.
Seuraavassa käytetään säännölliselle käyrälle parametriesitystä formula_20, jolloin sen evoluutta voidaan esittää muodossa formula_21, missä formula_22 on käyrän kaarevuussäde ja \vec n(t)&lt;/math&gt; sitä vastaan kohtisuora yksikkövektori.
Säännöllisen käyrän ominaisuuksia tutkittaessa on edullista käyttää parametrina sen kaaren pituutta formula_23, koska silloin formula_24 ja formula_25. Silloin evoluutan formula_26 tangenttivektoriksi saadaan
formula_27
Tästä yhtälöstä seuraavat seuraavat evoluutan ominaisuudet:
"Todistus:" Käyrällä, jonka etäisyys annetusta käyrästä on formula_29, on parametriesitys formula_30 ja kaarevuussäde formula_31 Niinä sen evoluutta on formula_32
Esimerkkejä.
Paraabelin evoluutta.
Paraabelille, jolla on parametriesitys formula_33, saadaan edellä esitettyjen kaavojen avulla evoluutan parametriesitykseksi:
formula_34
formula_35
Niinpä sen evoluutta on puolikuutioinen paraabeli (, jonka yhtälö on formula_36
Ellipsin evoluutta.
Ellipsillä on parametriesitys formula_37 Sen evoluutalle saadaan parametriesitys
formula_38
formula_39
Evoluutta on epäsymmetrinen astroidi.
Eliminoimalla parametri 't" saadaan käyrälle yhtälö
formula_40
Sykloidin evoluutta.
Sykloidilla on parametriesitys formula_41. Sen evoluutalle saadaan parametriesitys
formula_42
formula_43.
Sykloidin evoluutta on siis toinen alkuperäisen kanssa yhtenevä sykloidi, joka saadaan alkuperäisestä yhdensuuntaissiirrolla.
Joidenkin käyrien evoluuttoja.
Kuten edellä todettiin, paraabelin evoluutta on puolikuutioinen paraabeli, ellipsin evoluutta astroidi ja sykloidin evoluutta sykloidi. Ympyrän evoluutta käsittää vain sen keskipisteen. Suoralla ei varsinaisesti ole evoluuttaa, mutta sen evoluutan voidaan sanoa olevan äärettömän kaukainen ideaalipiste.
Nefroidin evoluutta on toinen, alkuperäistä puolet pienempi nefroidi. Astroidin evoluutta on kaksi kertaa alkuperäisen kokoinen nefroidi. Kardioidin evoluutta on kardioidi, joka on kooltaan kolmasosa alkuperäisestä. Deltoidin evoluutta on kolme kertaa alkuperäisen kokoinen deltoidi. Logaritmisen spiraalin evoluutta on toinen logaritminen spiraali, joka eräissä tapauksissa yhtyy alkuperäisiin spiraaleihin. Traktrix-käyrän evoluutta on ketjuviiva.