Aaltofunktio

Aaltofunktio formula_1 on kvanttimekaniikan tapa kuvata hiukkasta. Aaltofunktio on yleisesti kompleksinen suure, jonka itseisarvon neliö, todennäköisyysamplitudi formula_2(tarkasti ottaen tulo kompleksikonjugaattinsa kanssa formula_3) kuvaa hiukkasen esiintymisen todennäköisyystiheyttä tiettynä hetkenä tietyssä pisteessä: formula_4 (tässä formula_5 ei ole ajan funktio). 
Klassinen hiukkanen vs. kvanttimekaniikan aaltofunktio.
Klassisen fysiikan mukaan hiukkanen on paikallistunut tiettyyn pisteeseen tietyllä hetkellä, ja sen paikka ja nopeus voidaan tietää äärettömän tarkasti samanaikaisesti. Kvanttimekaniikassa hiukkanen ei kuitenkaan esiinny paikallistuneena tiettyyn pisteeseen, vaan sen paikan ja liikemäärän määrityksessä on aina tietty epävarmuus (ks. Heisenbergin epätarkkuusperiaate). Tämä ajattelutapa on seurausta kokeista, joissa hiukkaset ilmentävät itseään aaltoina (Thompsonin elektronidiffraktio, esimerkiksi). 
Tulosta voidaan havainnollistaa seuraavan yksiulotteisen esimerkin avulla. Tiedetään, että hiukkanen on paikallistunut avaruudessa ja tarvitaan myös sitä kuvaava aaltofunktio formula_5 noudattamaan edellä mainittua todennäköisyystiheysominaisuutta. Kvanttimekaanisesti ajatellaan siis paikallistunutta aaltofunktiota hiukkasena. Lähdetään liikkeelle täysin paikallistumattomasta aaltofunktiosta, eli jonka paikkaa ei tiedetä lainkaan: kosiniaallosta formula_7, jossa formula_8. Kosiniaalto on muodoltaan samankaltainen kuin siniaalto, ja sellaisenaan se on määritelty negatiivisesta äärettömästä positiiviseen äärettömään. Kun laitetaan päällekkäin useampia kosiniaaltoja (eli rakennetaan formula_5:n Fourier-sarjalla), joiden aaltoluvut "k" eroavat hieman toisistaan, jossain kohdissa aaltofunktiot kumoavat toisensa, kun taas jossain kohdissa ne vahvistavat toisiaan. Valitsemalla "k":t sopivasti voidaan luoda lokalisoitunut aaltopaketti. Tässä käytetään binomijakaumaa kertoimille, jotta saadaan suurin piirtein Gaussin käyrän rajaama paketti (ks. kuva): formula_10 (normalisoi jakamalla formula_11). Mitä paikallistuneempi paketti halutaan, eli mitä tarkemmin halutaan tietää sen paikka, sitä suurempi jakauma tarvitaan formula_12:ssa. Täten paikallistunut aaltofunktio hiukkaselle tarvitsee jakauman liikemäärässä, koska formula_13. Täten mitä pienemmäksi epävarmuus paikassa vähenee, sitä suuremmaksi epävarmuus liikemäärässä kasvaa.
Aaltofunktion sovellukset.
Aaltofunktioille pätee Schrödingerin aaltoyhtälö, jonka avulla voimme laskea aaltofunktion muodon esimerkiksi vetyatomin 1s-elektronille. Kvanttimekaanisesti yksielektronisen vetyatomin 1s-elektronin aaltofunktio on pallomainen, eli elektroni ei kierrä ydintä millään ellipsiradalla vaan sen aaltofunktio on levinnyt pallomaiseksi, pienentyen mitä kauempana ytimestä elektronia tarkastelemme.
Koska todennäköisyys sille, että hiukkanen ylipäänsä on jossain, on yksi, on toteuduttava normittumisehto formula_14. Niin sanotuissa sirontatiloissa tällainen normittaminen ei kuitenkaan yleensä onnistu. Aaltofunktion ja sen derivaatan on oltava jatkuvia. Jos potentiaali on epäjatkuva, voi aaltofunktion derivaatassa esiintyä epäjatkuvuus.
Aaltofunktiolla voimme myös selittää havainnon, että yksittäiset fotonit noudattavat tuttua diffraktiokuviota Youngin kaksoisrakokokeessa. Klassisesti tämä on mahdotonta, koska fotonihiukkasen on mentävä jommastakummasta raosta eikä se voi diffraktoida toisen fotonin kanssa. Kuitenkin fotonit ovat ”tietoisia” toisestakin raosta ja luovat diffraktiokuvion. Kvanttimekaniikassa ongelmaa ei ole, sillä fotonille voidaan löytää aaltofunktioratkaisuja, joiden mukaan se ”kulkee” molempien rakojen läpi samanaikaisesti diffraktoiden itsensä kanssa.
Aaltofunktiot klassisessa aaltomekaniikassa.
Aaltofunktion käsitettä voidaan hyödyntää myös klassisille aalloille. Esimerkiksi mekaanisen aallon aaltofunktio kuvaa väliaineen hiukkasjoukon siirtymiä (aallon muotoa ja kulkusuuntaa) tietyllä hetkellä. Tarkastellaan esimerkkinä yksiulotteista, vakiomuotoista ja poikittaista aaltoa, joka kulkee narussa maahan nähden positiiviseen x-suuntaan nopeudella "v". Naru väliaineena noudattaa Hooken lakia. Y-akseli määritellään suuntaan, joka on kohtisuora aallon etenemissuuntaan nähden. Nopeudella "v" aalto kulkee ajan "t" kuluessa matkan "vt" maahan nähden. Jos aaltoa tarkastellaan Maan suhteen nopeudella "v" liikkuvassa koordinaatistossa M, johon nähden aallon nopeus on nolla, voidaan narun minkä tahansa hiukkasen siirtymä y-suunnassa esittää liikkumatonta aaltoa kuvaavan "ajasta riippumattoman aaltofunktion" f() arvona "DMy" = f("xM"). Jos taas tilannetta tarkastellaan Maan koordinaatistossa, jossa aallon nopeus on "v", koordinaatti "x = xM - vt", ja tarvitaan "ajasta riippuvaa aaltofunktiota" f("x,t") kuvaamaan kohdassa "x" olevan hiukkasen siirtymää hetkellä "t". Voidaan osoittaa, että ajasta riippuvan aaltofunktion yleinen muoto harmoniselle aaltoliikkeelle on aallon kulkusuunnasta riippuen joko f("x-vt") tai f("x+vt"), jossa f(x) on aallon muodon määrittävä funktio, esimerkiksi sin("k(x-vt)"). Tulos seuraa siitä, että aaltofunktio f("xM") aallon suhteen liikkumattomassa koordinaatistossa saa maan suhteen liikkumattomassa koordinaatistossa muodon f("x-vt"), missä "x" on Maan koordinaatiston koordinaatti. Näin ollen mielivaltaisen narupartikkelin siirtymä Maan koordinaatistossa y-akselin suhteen on niin ikään "DY" = f("x-vt") samoin merkinnöin. Tulokset voidaan yleistää myös useampiulotteisille aalloille.