Monikulmio

Monikulmio eli polygoni on geometriassa tasokuvio, jonka reuna on suljettu murtoviiva. Tämä tarkoittaa sitä, että seuraamalla murtoviivaa jana kerrallaan kärjestä toiseen päätyy lopulta takaisin lähtöpisteeseen. Monikulmion määritelmä vaihtelee hieman kirjallisuudessa. Eräät määritelmät rajaavat itseään leikkaavat murtoviivat pois, jolloin monikulmion sisäosat ovat yhtenäiset. Toiset määritelmät hyväksyvät itsensä leikkaamisen, jolloin monikulmio voisi olla myös tähti. Tällöin sisäosan määritelmä on mutkikkaampi. Eräät määritelmät tuntevat täytetyn monikulmion, jolloin sisäosan pisteet ovat osa monikulmiota.
Murtoviivan janoja kutsutaan monikulmion sivuiksi, jotka muodostavat yhdessä monikulmion piirin. Murtoviivan sisään sulkemaa aluetta kutsutaan monikulmion sisäpuoleksi, jonka kokoa voidaan ilmaista pinta-alana. Sivujen liittymispisteet ovat kärkiä ja janojen väliset asennot ilmaistaan kulmina, jotka aukeavat monikulmion sisäpuolelle. Nimityksen mukaisesti monikulmiossa on monta kulmaa. Jos kulmiossa on 5 kulmaa kutsutaan sitä viisikulmioksi. Yleistäen voidaan matemaattisessa tekstissä käyttää termiä "n"-kulmio, jos siinä on "n" kappaletta kulmia. Silloin sillä on myös "n" kärkeä ja "n" sivua. 
Nimityksiä.
Luokittelu.
Yksinkertainen luokittelutapa on luokitella monikulmiot kulmien lukumäärän mukaisesti. Monikulmiota, jossa on "n" kulmaa, kutsutaan "n"-kulmioksi. Tällaisia ovat esimerkiksi 
Edellä mainittujen kolmion ja nelikulmion lisäksi myös seitsemänkulmiosta käytetään usein esilaista ilmaisua seitsenkulmio.
Monikulmioita on monentyyppisiä ja ne luokitellaan monilla muillakin eri tavoin. Seuraavassa on joitakin luokittelutapoja. Yksittäinen monikulmio saattaa kuulua useaan luokkaan samanaikaisesti.
Muu luokitteluperuste:
Esimerkkejä.
Yleisimmin tarvittavat monikulmiot ovat kolmioita ja nelikulmioita. Kolmiot ovat kaikki yksinkertaisia-, konvekseja- ja syklisiä monikulmioita, mutta riippuen niiden muodosta, ne voivat kuulua eri luokkiin. Tasasivuinen kolmio on samaan aikaan sekä monotoninen-, säännöllinen-, tasakulmainen-, tangentiaalinen- että bisentrinen kolmio. Suorakulmainen kolmio sen sijaan on vain monotoninen-, tangentiaalinen- ja bisentrinen kolmio. Yleensä kolmio on vain monotoninen kolmio. Nelikulmioiden variaatioita on paljon enemmän kuin kolmioiden.
Monikulmioiden ominaisuuksia.
Kulmat.
Yleisessä monikulmiossa on "n" kappaletta kärkiä (ja kulmia) ja niiden välissä "n" sivua. Sisäkulmaksi kutsutaan sellaista kulmaa, joka aukeaa monikulmion sisäpuolelle. Monikulmion ulkopuolelle jäävä kulma on sisäkulman eksplementtikulma. Sisäkulmien suuruudet voivat vaihdella suuresti, mutta yksinkertaisen monikulmion kulmien yhteenlaskettu summa on 
formula_1.
Ulkokulma jää kolmion sivun ja viereisen sivun jatkeen väliin. Ulkokulma voidaan piirtää kahdella tavalla, mutta ristikulmina ne ovat aina yhtä suuret. Ulkokulma vaihtelee suuresti, mutta konveksin monikulmion samansuuntaisten ulkokulmien summa on aina sama eli 360°. Jos monikulmio on konkaavi, käytetään suunnattuja kulmia, jolloin kulman kiertosuunta määrää sen merkin. Silloin samaan suuntaan otettujen ulkokulmien summa on 360°.
Lävistäjät.
Monikulmion lävistäjien lukumäärä voidaan laskea ajattelemalla aluksi kärkipisteiden lukumäärää. Nämä voidaan yhdistää janoilla formula_2 eri tavalla. Monikulmion sivut eivät ole lävistäjiä, joten ne vähennetään pois
formula_3 
Kaikki lävistäjät eivät aina kulje monikulmion sisäosassa, mutta jos näin on, kutsutaan sitä konveksiksi monikulmioksi.
Pinta-ala.
Yleisen "n"-kulmaisen konveksin monikulmion pinta-ala voidaan laskea jakamalla se formula_4:lla lävistäjällä formula_5:een kolmioon, joiden pinta-alojen summa on monikulmion ala. Jos yksinkertainen monikulmio on suorakulmaisessa koordinaatistossa ja kärkien Ki koordinaatit ovat formula_6, saadaan pinta-alaksi
formula_7
Summalausekkeen viimeinen piste on samalla ensimmäinen piste eli formula_8 = formula_9.
Sama voidaan ilmaista vektoreilla. Jos ilmaistaan pinta-ala käyttöön z-koordinaatilla ja merkitään formula_10, voidaan monikulmion pinta-ala formula_11 laskea ristitulon avulla 
formula_12 
Tällaisia laskentakaavoja suositaan esimerkiksi tietokonelaskennassa niiden helpon ohjelmoitavuuden ansiosta.
Painopiste.
Monikulmion painopiste lasketaan kolmiojaotteluun perustuvalla osien painopisteiden yhteisvaikutukseen geometrisenä painopisteenä. Painopistettä voidaan merkitä keskiarvon merkinnällä:
formula_13
formula_14