Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss FRS (, , ; 30. huhtikuuta 1777 Braunschweig – 23. helmikuuta 1855 Göttingen) oli saksalainen matemaatikko, tähtitieteilijä ja fyysikko. Hänen työnsä koskivat muun muassa tilastotiedettä, lukuteoriaa, analyysiä, differentiaaligeometriaa, maanmittausta, sähköstatiikkaa, tähtitiedettä ja optiikkaa. Gauss oli aikansa merkittävin matemaatikko ja on saanut lisänimen "princeps mathematicorum" (latinaa, ). Hän esitti muun muassa pienimmän neliösumman menetelmän, jolla pystytään sovittamaan jatkuvia käyriä havaintoaineistoon ja todisti algebran peruslauseen ja aritmetiikan peruslauseen, jonka mukaan jokainen luonnollinen luku voidaan esittää yksikäsitteisesti alkulukujen tulona. Gauss osoitti myös, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana. Hän julkaisi tuloksiaan niukasti. Eräs julkaisematta jäänyt tutkimus koski epäeuklidista geometriaa – hän oli tutkinut tätä geometrian aluetta jo ennen Bolyaita ja Lobatševskiä. 
Matematiikan lisäksi Gauss tunnetaan optiikan sekä sähkö- ja magnetismiopin saavutuksista. Niitä ovat esimerkiksi Gaussin kuvauslaki ja Gaussin laki magneettikentille. Gauss on eponyymi SI-järjestelmän ulkopuoliselle magneettivuon tiheyden yksikölle, gaussille (Gs). Hänen mukaansa on nimetty joka neljäs vuosi myönnettävä Carl Friedrich Gaussin palkinto.
Elämäkerta.
Lapsuus.
Carl Friedrich Gauss syntyi Braunschweigissa 30. huhtikuuta 1777. Gaussin vanhemmat olivat vähävaraisia työläisiä. Gaussin isä Gebhard Dietrich Gauss teki elämänsä aikana puutarhurin, muurarin, teurastajan ja vakuutusyhtiön varainhoitajan apulaisen töitä. Äiti Dorothea Bentze ei ollut käynyt koulua. Kirjoittaminen ja lukeminen tuottivat hänelle vaikeuksia, mutta hänen kerrotaan silti olleen varsin älykäs. Isää on kuvattu rehelliseksi ja oikeamieliseksi, mutta kasvattajana hyvin ankaraksi. Hän lannisti nuoren poikansa ja määräsi hänet ryhtymään kauppiaaksi. Isä ei myöskään pitänyt siitä, että Carl Friedrich käytti aikaansa harrastuksiin eikä auttanut töissä. Gaussin äiti ja eno kuitenkin huomasivat pojan lahjat ja ymmärsivät, että pojan on päästävä kehittämään niitä. Perheeseen kuului myös Gebhardin edellisestä suhteesta syntynyt poika, Johann George Heinrich Gauss.
Gaussin lapsuudesta on olemassa paljon anekdootteja, joita hän kertoi itsekin mielellään, mutta niiden totuudenmukaisuudesta ei ole varmuutta. Kerran hän putosi veteen, kun hän oli leikkimässä kotitalon läheisyydessä sijaitsevalla kanavalla, mutta hänet pelastettiin täpärästi. Gauss oppi jo varhain lukemaan kuuntelemalla, kun muut perheenjäsenet lukivat saamiaan kirjeitä ääneen. Hänen sanotaan olleen hyvä päässälaskija jo ennen kouluikää. Tästä kertoo esimerkiksi seuraava tarina: Gebhard Gauss vei 3-vuotiaan poikansa kesäisenä päivänä työpaikalleen muurausyritykseen. Kesken palkanlaskijan töiden poika huusi kovaan ääneen isälleen: ”Isä, nämä laskelmat ovat väärin!” Hämmentyneet läsnäolijat huomasivat pian virheen. Myöhempinä vuosina Gauss naureskeli asialle sanoen, että oppi laskemaan ennen kuin lukemaan. Piti tarina paikkansa tai ei, Gaussia voidaan matemaattisten taitojensa perusteella pitää lapsinerona.
Seitsemänvuotiaana Gauss aloitti koulunkäynnin kahdensadan oppilaan St. Katharinen-Volksschulessa ("Pyhän Katariinan kansakoulu"). Koulun rehtorina oli J. G. Büttner. Kerran 10-vuotias Gauss pääsi opiskelemaan aritmetiikkaa noin 15-vuotiaiden oppilaiden kanssa. Büttner antoi luokalle vaikean tuntuisen tehtävän: heidän piti kirjoittaa paperille luvut yhdestä sataan, laskea ne yhteen ja tuoda paperi opettajalle tarkastettavaksi. Büttner oletti oppilaiden käyttävän jonkin aikaa tehtävän tekemiseen, mutta hänen yllätyksekseen Gauss palautti paperinsa saman tien ja sanoi braunschweigin murteellaan "Ligget se" (). Gaussin paperissa oli vain yksi luku, 5050, mikä on oikea tulos. Opettaja käski Gaussin selittää, kuinka hän oli keksinyt vastauksen niin nopeasti. Gauss sanoi: ”1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, ja niin edelleen. Koska tällaisia pareja on sadassa 50 kappaletta, niin lopputulos on 50×101=5050.” Laskupäänsä ansiosta Gauss vältti raipaniskut, joita monet muut oppilaat saivat opettajalta väärien vastausten vuoksi. Büttner oli tuloksesta niin vakuuttunut, että osti Gaussille paremman aritmetiikan oppikirjan omatoimista opiskelua varten. 
Büttner alkoi suunnitella lahjakkaan oppilaansa koulutusta ja kutsui Gaussin isän keskustelemaan asiasta henkilökohtaisesti. Isä suhtautui yllättävän suopeasti Büttnerin ehdotukseen, että pojalle annettaisiin päivittäisen rukilla kehräämisen sijasta lupa lukea matematiikkaa. Keskustelun jälkeen isän sanotaan vieneen rukin takapihalle ja pilkkoneen sen polttopuiksi. Isä oli kuitenkin vihoissaan, kun pojasta ei tulisikaan työläistä. Gaussin äidin sukulaiset olivat kauhuissaan, sillä vanhan uskomuksen mukaisesti Jumalan suosikit kuolisivat nuorina. Hyvä laskupää merkitsisi siis lyhyttä elämää.
Gauss sai ohjausta Johann Christian Martin Bartelsilta. Hän eteni opinnoissaan niin nopeasti, että hallitsi jo yksitoistavuotiaana binomikaavan ja opiskeli päättymättömiä sarjoja. Kotonaan hän jatkoi opiskelemista, mutta illalla hänen piti mennä nukkumaan ajoissa, sillä perheellä ei ollut varaa polttaa kynttilöitä turhan takia.
Opiskeluvuodet.
Ennen yliopistoa.
Guy Waldo Dunningtonin kirjoittaman "Carl Friedrich Gauss: Titan of Science" -elämäkertateoksen mukaan Gauss opiskeli eräänä päivänä matematiikkaa Braunschweigin herttuan palatsin nurmikolla. Herttuatar huomasi kirjaan syventyneen 14-vuotiaan pojan, mutta epäili aluksi hieman hänen matemaattisia taitojaan. Keskusteltuaan Gaussin kanssa herttuatar kuitenkin vakuuttui siitä, ettei tämä lukenut ainoastaan ajankuluksi vaan todella ymmärsi matematiikkaa, ja otti pojan kyvyt puheeksi herttuan kanssa. Tilanne kuvataan hieman eri tavalla Jane Muirin teoksessa "Of Men and Numbers: The Story of the Great Mathematicians", jonka mukaan huhut Gaussin taidoista levisivät herttuan hoviin. Joka tapauksessa Braunschweigin herttua kiinnostui Carl Gaussista ja lähetti palvelijan hakemaan poikaa luokseen. Palvelija pyysi ensin Carlin velipuolta Georgea herttuan luokse, mutta George arvasi sen olevan väärinkäsitys ja pyysi palvelijaa ottamaan Carlin mukaansa. Georgella oli tapana vitsailla myöhemmin, että hän saattaisi olla nyt professori, jos olisi vain halunnut mennä herttuan luokse.
Braunschweigin herttuan avustamana Gauss kirjoittautui 14-vuotiaana 18. helmikuuta 1792 Collegium Carolinumiin (nyk. Braunschweigin teknillinen yliopisto), joka oli yliopistoon valmistava koulu. Kouluun hän kirjoittautui vielä nimellä "Johann Friedrich Carl Gauss", mutta käytti sen jälkeen aina nimeä "Carl Friedrich Gauss". Herttua tuki häntä taloudellisesti, jotta hän saisi kaikki vaadittavat matemaattiset välineet käyttöönsä. Matematiikantaitojaan hän harjoitteli lukemalla Newtonin, Eulerin ja Lagrangen kirjoituksia. Collegium Carolinumissa Gauss viihtyi neljä vuotta. Elokuussa 1795 hän sai herttualta stipendin, jonka turvin hän saattoi mennä Göttingenin yliopistoon. Gauss lähti synnyinkaupungistaan 11. lokakuuta.
Göttingenissä.
Göttingenissä Gauss sai matematiikan opettajakseen Abraham Kästnerin, jota hän tapasi pitää pilkkanaan. Gauss osasi sujuvasti klassisia kieliä, etenkin latinaa, ja hän pohti vielä Göttingenissäkin, ryhtyisikö matemaatikoksi vai kielitieteilijäksi. Päiväkirjansa perusteella hän teki päätöksen 30. maaliskuuta 1796: hänestä tulisi matemaatikko. Tuona päivänä hän nimittäin ratkaisi kuuluisan, siihen asti avoimen ongelman: mitkä säännölliset monikulmiot voidaan konstruoida harpilla ja viivoittimella? Hän osoitti, että täsmälleen ne monikulmiot, joiden kulmien lukumäärän parittomat alkutekijät ovat Fermat’n lukuja. Gauss siis havaitsi, että 17-kulmio voidaan konstruoida euklidisin työkaluin. Löytöä on myöhemmin pidetty yhtenä tärkeimmistä Gaussin uralla.
Vuosi 1796 oli muutenkin hedelmällinen, sillä samana vuonna Gauss keksi lukuteorian osa-alueen modulaariaritmetiikan, joka tekee lukuteorian tutkimisen huomattavasti helpommaksi. 8. huhtikuuta hän keksi kuuluisan neliönjäännöslauseensa. Tuloksen ansiosta matemaatikot saattoivat kokeilla minkä tahansa modulaariaritmetiikan toisen asteen yhtälön ratkaisujen olemassaoloa. Toukokuun viimeisenä päivänä Gauss otaksui sittemmin todeksi osoittautuneen alkulukulauseen, jonka avulla voidaan tutkia, miten alkuluvut ovat jakautuneet kokonaislukujen joukossa. Gauss todisti myös, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana. Tämän tuloksen hän keksi 10. heinäkuuta ja kirjoitti siitä päiväkirjaansa: ”Heureka! num=formula_1.” 1. lokakuuta hän julkaisi tuloksen polynomien ratkaisujen lukumäärästä, missä polynomin kertoimet kuuluvat annettuun äärelliseen kuntaan. (150 vuotta myöhemmin tämän tuloksen perusteella keksittiin niin sanotut Weilin otaksumat, jotka todistettiin vuonna 1974.)
Gaussilla oli opiskeluvuosinaan vähän ystäviä, mutta he olivat sitäkin läheisempiä. Parhaimpien ystävien joukossa oli Farkas Bolyai, josta tuli myös matemaatikko. Gaussin mielestä Bolyai oli ainoa, joka kykeni ymmärtämään hänen matemaattisia ajatuksiaan. Syyskuussa 1798 Gauss jätti opiskelunsa kesken ja palasi Braunschweigiin. Opiskelut olivat hankalassa vaiheessa, sillä herttua saattaisi lopettaa Gaussin tukemisen, eikä hän ollut vielä suorittanut tutkintoa. Onneksi herttua jatkoi tukeaan sillä ehdolla, että Gauss väittelisi Helmstedtin yliopistossa. Gauss suostui, sillä hän tunsi jo entuudestaan väitöstyönsä ohjaajan Johann Pfaffin. Rahoituksen varmistuttua Gaussin asema oli hyvä, sillä hänen ei tarvinnut etsiä töitä ja hän saattoi omistautua matematiikalle. Vuonna 1799 valmistuneessa väitöskirjassaan "Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse" Gauss todisti algebran peruslauseen ja kritisoi monia sen ajan huippumatemaatikkoja perusteellisuuden puutteesta. Nykymatemaatikot arvostavat Gaussin väitöstä paljon. 
Algebran peruslause on tärkeä ja kuuluisa lause, jonka mukaan jokaisella kompleksikertoimisella polynomilla on ainakin yksi nollakohta. Todistus oli yksi ensimmäisistä puhtaista eksistenssitodistuksista, mutta silti vajavainen, koska se perustui oikeaksi todistamattomaan Jordanin käyrälauseeseen. Moni matemaatikko oli yrittänyt todistaa peruslauseen, muun muassa Jean le Rond d’Alembert, mutta tuloksetta. Algebran peruslauseelle Gauss esitti myöhemmin vielä kolme eri todistusta, joista viimeinen, vuodelta 1849, on yhtä täsmällinen kuin nykyajan matemaattiset julkaisut. Matemaattiselta kannalta se on todistuksista samalla yleisin, sillä se osoittaa, että algebran peruslause pitää paikkansa myös, kun polynomin kertoimet ovat kompleksisia. Gaussin todistukset vaikuttivat merkittävästi funktioteorian kehitykseen, ja tuon ajan matemaatikot oppivat paljon kompleksilukujen ominaisuuksista muun muassa algebran peruslauseen todistusten kautta.
Vuonna 1801 Gauss julkaisi pääteoksenaan pidetyn "Disquisitiones Arithmeticae" (), jossa hän vihdoin esitti julkisesti eräitä aiempia tuloksiaan. Isaac Newtonin tapaan Gauss julkaisi tuloksiaan erittäin säästeliäästi, ja joitakin tärkeitä tuloksia hän jätti tyystin julkaisematta. Sinetissäänkin hän käytti mottoa "Pauca sed matura" (). "Aritmeettisten tutkimusten" kirjoittamisen hän oli aloittanut jo 21-vuotiaana eli vuonna 1798. Omien tulostensa lisäksi Gauss esittelee teoksessaan Eulerin, Legendren ja Fermat’n lukuteoreettisia tuloksia.
Aikuisikä.
Tähtitieteilijän uran alku ja avioliitto.
Gauss tiesi, ettei Braunschweigin herttua voisi tukea häntä ikuisesti, joten hänen olisi etsittävä töitä. Suorin valinta oli tähtitieteilijän ura. Taivaankappaleiden ratojen laskeminen olisi hyvätuottoista, sillä useita aiemmin tuntemattomia kappaleita oli havaittu eikä niiden rataa tunnettu tarpeeksi tarkasti.
Vuoden 1801 ensimmäisenä päivänä italialainen tähtitieteilijä Giuseppe Piazzi löysi Ceres-planeetan (joka nykyään luokitellaan kääpiöplaneetaksi), mutta onnistui tarkkailemaan sitä vain parina yönä. Tietoja kohteen radasta hän ehti tallentaa yhdeksän asteen verran, kunnes se katosi Auringon taakse. Franz Xaver von Zach julkaisi kesän ja syksyn aikana muutamia laskelmia kappaleen radasta. Myös Gauss osallistui kappaleen radan määrittämiseen, mutta Zachin ja hänen ystävänsä laskelmat erosivat varsin paljon. Ceres löydettiin joulukuun 7. päivänä uudelleen radalta, joka oli lähes täysin Gaussin laskelmien mukainen. Radan määrittämiseksi hän oli laskenut kahdeksannen asteen yhtälön likimääräisen ratkaisun. Zach huomautti, että ”ilman tohtori Gaussin työskentelyä ja nerokkaita laskelmia emme olisi löytäneet Ceresiä uudelleen”. Gauss kehitti tätä tarkoitusta varten pienimmän neliösumman menetelmän, jota käytetään nykyäänkin tilastollisen virheiden minimoimiseksi.
Seuraavana vuonna Gauss käytti samaa menetelmää Heinrich Olbersin löytämän Pallaksen radan määrittämiseksi, mutta tällä kertaa hän ei ratkaissut ongelmaa suoraviivaisesti, vaan muotoili yleisen ongelman mille tahansa vastaavanlaiselle kappaleelle ja ratkaisi Pallaksen radan sen avulla. Taivaankappaleiden ratojen määrittämisen ongelmien pohjalta Gauss kirjoitti "Theoria motus corporum coelestium" -teoksen (1809). Siinä hän esittelee havaintoaineiston virheiden käsittelyn yhteydessä niin sanotun Gaussin kellokäyrän. Käyrä tunnettiin jo ennen Gaussin syntymää, mutta siihen viitataan nykyään usein Gaussin nimellä. 
Olbers ehdotti Gaussia Göttingeniin vastaperustetun yliopiston observatorion johtajaksi, mutta ehdotukseen ei tässä vaiheessa suostuttu. Pietarissakin oli kiinnostuttu Gaussista. Häntä yritettiin houkutella Pietariin eri tavoin, muun muassa valitsemalla hänet Pietarin tiedeakatemian ulkomaalaiseksi jäseneksi. Hänen mesenaattinsa sai hänet kuitenkin pidettyä Saksassa korottamalla tuntuvasti stipendin suuruutta. 
Vuonna 1803 Gauss tutustui Johanna Elisabeth Rosina Osthoffiin. Osthoffia ei pidetty erityisen kauniina, eivätkä hänen kirjoittamansa kirjeet kerro kovin korkeasta koulutustasosta. Gaussiin vetosi kuitenkin voimakkaasti hänen ystävällisyytensä, iloisuutensa ja ymmärtäväisyytensä. Gauss tiesi jo tavatessaan hänet ensimmäisen kerran, että Osthoff olisi se nainen, jonka hän haluaa elämänkumppanikseen. Hän kosi ihastustaan kirjeitse 12. heinäkuuta 1804, mutta kolme kuukautta kului ilman vastausta. Gauss epäili, ettei hänen rakkautensa saanutkaan vastakaikua. Osthoffin epäröinti ei kuitenkaan johtunut rakkauden puutteesta, vaan Gaussin maineesta. Hän oli myös kuullut huhun, että Gauss olisi jo kihloissa toisen naisen kanssa. Lopulta Osthoff vastasi myöntyvästi. Rakastavaiset menivät kihloihin kiireesti, 22. marraskuuta 1804. Avioliitto solmittiin Braunschweigin Pyhän Katariinan kirkossa 9. lokakuuta vuonna 1805. Vuoden kuluttua heille syntyi ensimmäinen lapsi, poika Joseph.
Vaikeuksia yksityiselämässä.
Napoleonin sodat sotkivat Gaussin elämää. Selvimmin tämä tuli esille, kun häntä tukenut herttua sai surmansa vuonna 1806 taisteltuaan ranskalaisia vastaan Preussin ja Itävallan armeijoiden johdossa. Kun stipendirahat loppuivat, Gaussin oli pakko hankkia töitä, mikä ei tosin tuottanut ongelmia. Gauss oli uransa huipulla, ja hänet haluttiin kaikkialle. Alexander von Humboldt sai hänet töihin Göttingenin yliopiston observatorioon, jonne Olbers oli jo aiemmin häntä ehdottanut. Tarinan mukaan Humboldt kysyi Laplacelta, kuka olisi Saksan paras matemaatikko. Tähän Laplace vastasi: ”Johann Friedrich Pfaff.” Vastauksesta yllättyneenä Humboldt kysyi heti perään, mitä mieltä Laplace sattui olemaan Gaussista. Tämä vastasi: ”Voi, Gauss on tietenkin maailman suurin matemaatikko!” Gaussin työhön kuului myös opettaminen Göttingenin yliopistossa. Hän inhosi opettamista yli kaiken, eivätkä oppilaatkaan pitäneet hänestä opettajana sen enempää. Tässä Göttingenin yliopiston tähtitieteen professorin hän toimi vuodesta 1807 elämänsä loppuun asti.
Braunschweigin herttuan kuolemaa seuranneen kolmen vuoden aikana Gaussin läheisistä kuolivat hänen isänsä, Johann Bentze -setänsä, vaimonsa ja kolmas lapsensa. Gaussin saama palkkakaan ei ollut erityisen suuri. Lähipiiri kritisoi voimakkaasti Gaussin ajankäyttöä: hänen ei olisi pitänyt tuhlata aikaansa tutkimuksiinsa vaan käyttää se paremmin tuottaviin askareisiin. Gauss oli tämän kaiken vuoksi todella masentunut. Päiväkirjaansa hän merkitsi: ”Kuolema on minulle elämää läheisempi.” Vaikka Johanna-vaimon kuolema oli suuri menetys, Gauss meni naimisiin vuoden sisällä Fredrica Wilhelmine Waldeckin kanssa. Häät pidettiin 4. elokuuta 1810. Heille syntyi yhteensä kolme lasta; Eugene, Wilhelm ja Theresa. Sitten Minna – kuten Gauss vaimoaan kutsui – sairastui pahaan tuberkuloosiin. Gauss teki parhaansa vaimonsa ja kodin hoitamiseksi. Se ei riittänyt, vaan Gauss kutsui leskeksi jääneen äitinsä luokseen asumaan. Gauss itse oli lupautunut Hannoveriin maanmittaajaksi. Hyvää maanmittaaja tarvittiin, koska muiden muassa maanviljelijöillä oli kiistoja rajalinjoista. Gauss käytti mittauksissaan kolmiomittausmenetelmää, joka on vaikea tasaisella seudulla kuten Hannoverissa. Matemaattisista käytännön ongelmien ratkaisuista oli paljon hyötyä myöhemmin, kun Gauss tutki differentiaaligeometriaa. Tältä alalta hän julkaisi teoksen "Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas" vuonna 1827. Siinä Gauss esittää ajatuksen avaruuden kaareutumisesta, joka tulisi olemaan Albert Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian perustana.
Kun Gauss palasi kotiinsa Hannoverista, hänen vaimonsa oli edelleen hyvin sairas. Gauss yritti epätoivoisesti hoitaa vaimoaan ja jatkaa matemaattisia tutkimuksiaan. Vaimon kuoleman jälkeen Gaussin lähipiiri harveni nopeasti. 97-vuotias äiti kuoli 1839, ja lapsetkin olivat jo varttuneet aikuisiksi. Eugene oli pahoissa riidoissa isänsä kanssa ja lähti kotoaan sanomatta hyvästejä, mitä Gauss ei koskaan antanut anteeksi. Lapset lähtivät kotoa yksitellen, ja lopulta Gauss eli kahden Theresa-tyttärensä kanssa hoitaen samalla kotiaskareet.
Viimeiset vuodet.
Gauss aloitti venäjän opiskelun aikansa kuluksi. Hän osasi jo saksan lisäksi ranskaa, kreikkaa, latinaa, englantia ja tanskaa, sekä hieman ruotsia, italiaa ja espanjaa. Kielitaitoaan hän harjaannutti kirjoittamalla kirjeitä vastaanottajan äidinkielellä. Kielten ohella hän harrasti kirjanpitoa ja pikakirjoitusta. Gauss otti askeleen kohti eläkepäiviä lopettamalla opettamisen ja luennoitsemisen Göttingenissä. Väittelyihinkään hän ei enää jaksanut ottaa osaa.
Viimeisenä elinvuotenaan Gauss kärsi muutamasta sydänkohtauksesta. Hänellä oli kammiolaajentuma eli suurentunut sydän. Gauss kuoli 23. helmikuuta vuonna 1855 Göttingenissä, joka silloin kuului Hannoverin kuningaskuntaan. Hänet haudattiin Albanifriedhofin hautausmaalle äitinsä vierelle.
Tieteellinen ura.
Matematiikka.
Lukuteoria.
Gauss käytti runsaasti aikaa huolellisuuteen ja aukottomaan päättelyyn omissa kirjoituksissaan. Esimerkki tästä on hänen lukuteoreettinen päätyönsä "Disquisitiones arithmeticae", jonka levikki jäi kustantajan konkurssin vuoksi pieneksi. Lukuteoria olikin Gaussin lempialueita matematiikassa. Hänen kerrotaan sanoneen: ”Matematiikka on tieteiden kuningatar, ja lukuteoria on matematiikan kuningatar.” Teoksessaan hän esittelee monia lukuteorian kannalta olennaisia todistuksia ja ottaa käyttöön uusia käsitteitä. Yksi tällainen on kongruenssi ja sille nykyisinkin käytössä olevan merkintä formula_2 (lue: a on kongruentti b modulo p). Kirjassa on seitsemän osaa, joista kolme ensimmäistä on lähinnä muiden matemaatikkojen löytöjen esittelyä. Sen jälkeen Gauss etenee kolmessa seuraavassa osassa kongruensseihin ja niihin perustuvaan modulaariseen aritmetiikkaan.
Gauss esittelee kirjassa jo alaikäisenä löytämänsä todistuksen neliönjäännöslauseelle – tai kultaiselle lauseelle, joksi hän sitä tapasi kutsua. Hän oli siitä niin innoissaan, että myöhemmin näytti sen toteen kuudella eri tavalla. Lausetta olivat ennakoineet jo Euler ja Lagrange, mutta he eivät kyenneet todistamaan sitä. Lauseen sisältö voidaan esittää seuraavassa muodossa: jos luvut "p" ja "q" ovat erisuuria parittomia alkulukuja, niin kongruenssiyhtälöt formula_3 ja formula_4 ovat molemmat ratkeavia tai molemmat ratkeamattomia paitsi silloin, kun sekä "p" että "q" antavat luvulla 4 jaettaessa jakojäännökseksi luvun 3. Lauseen avulla ei siis voida ratkaista kongruenssiyhtälöä, vaan se ainoastaan kertoo, onko sille olemassa ratkaisuja. 
Kirjansa viimeisessä osassa Gauss myös osoittaa mahdolliseksi 17-kulmion konstruoimisen harpin ja viivaimen avulla. Hän todisti myös, että muutkin säännölliset monikulmiot, joiden sivujen lukumäärä on Fermat’n alkuluku, ovat konstruoituvia. Sellaisia ovat myös 257- ja 65537-kulmiot. Hän ei kuitenkaan esittänyt menetelmiä, joilla nämä konstruktiot voitiin suorittaa. Myöhemmin Johann Gustav Hermes käytti kymmenen vuotta toteuttaakseen 65537-kulmion (5. Fermat’n luku).
Algebra ja analyysi.
Analyysin osalta Gaussin tärkein työ on jo Albert Girardin 1600-luvulla pohtima väite, että jokaisella n-asteisella polynomilla on olemassa vähintään yksi juuri. Tälle niin sanotulle algebran peruslauseelle hän esitti ensimmäisen todistuksen omassa väitöstyössään. Elämänsä aikana Gauss todisti lauseen vielä kolmesti. 
Epäeuklidinen geometria.
Gauss oli vakuuttunut siitä, että Eukleideen esittämä paralleelipostulaatti voitaisiin korvata toisella olettamuksella geometrian sortumatta. Hän ei kuitenkaan julkaissut ajatuksiaan, joten kaksi muuta tutkijaa saivat kunnian epäeuklidisen geometrian löytämisestä. Toinen oli venäläinen Nikolai Lobatševski. Lobatševskin ajatukset levisivät hitaasti, mutta tulivat kuitenkin Gaussin tietoon. Vaikka Gauss yksityiskirjeissä kiittikin Lobatševskiä, hän ei ottanut kantaa tämän tuloksiin. 
Toinen epäeuklidisen geometrian keksijä oli unkarilainen János Bolyai, jonka isä Farkas Bolyai oli Gaussin läheinen ystävä opiskeluaikana. Gauss kieltäytyi arvioimasta hänenkin tutkimuksiaan: ”Jos kehuisin tätä työtä, kehuisin itseäni, koska olen ajatellut samoin jo monen vuoden ajan.”
Fysiikka.
Fysiikan alalla Gaussin kiinnostuksen kohteita olivat etenkin sähkö ja magnetismi. Lisäksi häntä kiinnosti optiikka, kristallografia, mekaniikka ja kapillaari-ilmiö. Fysiikan tutkimusten seurauksena hän kehitti muutamia laitteita, kuten bifilaarisen magnetometrin ja Wilhelm Eduard Weberin kanssa lennättimen prototyypin, jonka avulla Gauss ja Weber kykenivät keskustelemaan observatorion ja fysiikan laitoksen välillä. Välimatka oli 3 kilometriä. Matemaattisessa fysiikassa Gauss tutki potentiaaliteoriaa. Sähköopin alalla Gaussin laki yleistää Coulombin lain kuvaamalla matemaattisesti Faradayn esittämää sähkökentän käsitettä ja määrittelemällä sähkövuon käsitteen. Ennen SI-järjestelmää käytetyssä cgs-järjestelmässä magneettivuon tiheyden yksikkö oli nimetty gaussiksi.
Maanmittaus.
Kun Gauss oli vähän aikaa maanmittaajana Hannoverissa, hän keksi työnsä ohella erittäin hyödyllisen heliotroopin. Itse asiassa heliotroopin kaltainen laite oli jo keksitty, mutta Gauss teki siitä entistä toimivamman. Laite mahdollisti aiempaa tarkemmat mittaukset jopa 110 kilometrin (15 saksan mailin) etäisyyksille. Heliotroopin toiminta perustuu auringon säteisiin ja laitteissa oleviin peileihin.
Gauss sai idean laitteen keksimiseen, kun hän katseli kaukoputkella 50 kilometrin päässä olevaa Hampurin Pyhän Mikaelin kirkon tornia. Auringonsäteet heijastuivat Gaussia kohti, mikä oli todella ärsyttävää. Mietittyään asiaa vähän aikaa Gauss keksi, kuinka auringonsäteistä saataisiin muodostettua merkkivalo, joka näkyisi päiväsaikaankin. Tämä merkki voitaisiin peilien avulla heijastaa haluttuun pisteeseen. Maanmittauksia oli aiemmin tehty öiseen aikaan, joten laitteen arveltiin olevan läpimurto. Suunniteltuaan laitteen vuonna 1821 Gauss antoi breithauptilaiselle yritykselle tehtäväksi rakentaa heliotroopin.