Vaihenopeus

Vaihenopeus on aaltoliikkeessä se nopeus, jolla aallon vaihe etenee avaruudessa. Samalla se on nopeus, jolla kukin aallon taajuuskomponentti etenee. Sellaisella komponentilla jokainen aallon vaihe, esimerkiksi aallon­huippu, näyttää etenevän vaihe­nopeudella. Aallon vaihe­nopeus voidaan esittää sen aallon­pituuden λ ja jakson­ajan "T" avulla:
formula_1
Yhtäpitävästi, käyttäen aallon kulma­taajuutta, joka tarkoittaa vaihekulman formula_2 muutos­nopeutta aikayksikössä, ja aalto­lukua formula_3, joka tarkoittaa vaiheulman muutosnopeutta matkan yksikköä kohti, vaihenopeus voidaan lausua muodossa 
formula_4
Tämän ymmärtämiseksi tarkastellaan yksin­kertaista siniaaltoa, formula_5. Ajan "t" aikana aalto­lähde on tuottanut formula_6 värähdystä. Samassa ajassa "t" tämä "N":n aallon rintama on edennyt lähteestä avaruuden halki matkan "x" niin, että tällä matkalla niitä on samat formula_7 kappaletta. Aallon etenemis­nopeudeksi saadaan tästä formula_8. Aalto etenee siis sitä nopeammin mitä pidempiä ja useammin toistuvia avaruudessa leviävät aallot ovat.
Muodollisesti aallon vaihe on formula_9. Koska formula_10 ja formula_11, vaihenopeus on formula_12.
Vaihenopeus, ryhmänopeus ja taitekerroin.
Perusmuotoinen siniaalto ei kuljeta informaatiota. Useimmiten kuitenkin aaltoliikkeen amplitudi tai taajuus vaihtelevat jonkin verran, mitä sanotaan modulaatioksi. Yhdistämällä kaksi siniaaltoa, joilla on hieman toisistaan poikkeavat taajuudet ja aallon­pituudet,
formula_13
aallon amplitudikin vaihtelee sini­muotoisesti, ja sillä on vaihenopeus formula_14 Juuri tämä modulaatio esittää informaatiota välittävissä aalloissa signaalin sisältöä. Koska jokainen amplitudia esittävänä verhokäyrän osa sisältää ryhmän sisäisiä aaltoja, tätä nopeutta sanotaan ryhmä­nopeudeksi, "v"g. Edellä sanotusta seuraa, että perus­muotoisella sini­aallollakin on hyvin määritelty vaihenopeus, mutta sen ryhmä­nopeutta ei voida määritellä.
Annetussa väliaineessa aalto­liikkeen taajuus on jokin aaltoluvun funktio formula_15. Aalto­liikkeen vaihe­nopeus riippuu väliaineesta ja monessa tapauksessa myös sen taajuudesta. Jos vaihenopeus kuitenkin on taajuudesta riippumaton, aaltoliikkeen ryhmänopeus on yhtä suuri kuin vaihenopeus. Yleisessä tapauksessa formula_16 ja aallon ryhmänopeus saadaan derivoimalla kulmataajuus formula_17 aaltoluvun "k" suhteen:
formula_18
Valon vaihenopeus ja dispersio.
Valon tai muun sähkömagneettisen aallon taitekerroin annetussa väliaineessa on yhtä suuri kuin valon nopeus tyhjiössä ("c") jaettuna sen vaihe­nopeudella kyseisessä väliaineessa:
formula_19.
Jos valon vaihenopeus ja sen mukaisesti taitekerroin ei ole yhtä suuri kaikilla taajuuksilla, väliaineessa esiintyy dispersiota, mikä ilmenee valon hajaantumisena väreihin.
Valonnopeuden "c" ja väliaineessa etenevien valoaaltojen vaihe­nopeuden "v"p suhde on sama kuin väliaineen taitekerroin, formula_19.
Koska formula_21, valon ryhmä­nopeus on yhtä suuri kuin sen vaihenopeus vain, jos sen taite­kerroin on aaltoluvusta "dk" riippumaton vakio eli formula_22. Tässä tapauksessa sen vaihe- ja ryhmänopeus eivät myöskään riipu taajuudesta sillä formula_23. 
Muussa tapauksessa sekä vaihenopeus että ryhmä­nopeus riippuvat taajuudesta ja väliainetta sanotaan dispersiiviseksi. Funktiota, joka osoittaa, millä tavalla aaltoliikkeen kulmataajuus riippuu sen aaltoluvusta, sanotaan väliaineen dispersiorelaatioksi.
Valon vaihenopeus väliaineessa saattaa eräissä tapauksissa olla jopa suurempi kuin valon nopeus tyhjiössä ("c"). Tämä on mahdollista, jos väliaineessa esiintyy ns. anomaalinen dispersio, jolloin sen taitekerroin tavallisesta poiketen "pienenee" valon taajuuden kasvaessa. (Yleensähän taitekerroin on sitä suurempi, mitä suurempi on valoaallon taajuus.) Anomaalisen dispersion tapauksessa taitekerroin voi olla pienempi kuin 1, jolloin valon vaihenopeus ylittää valon nopeuden tyhjiössä. Tästä ei kuitenkaan seuraa, että informaatiota tai energiaa voitaisiin siirtää valoa nopeammin, mikä olisi ristiriidassa suhteellisuusteorian kanssa. Tätä ilmiötä ovat teoreettisesti kuvailleet useat fyysikot kuten Arnold Sommerfeld ja Léon Brillouin.
Vaihenopeus kvanttimekaniikassa.
Kvanttimekaniikan mukaan jokaiseen etenevään hiukkaseenkin liittyy aalto, jonka aallonpituus on de Broglien mukaan
formula_24
ja taajuus
formula_25,
missä "h" on Planckin vakio, "p" hiukkasen liikemäärä, "m" sen massa, "v" sen etenemisnopeus ja "E" sen energia. Tästä seuraa, että hiukkaseen liittyvä aallon vaihenopeus "u" on aallonpituuden ja taajuuden tulo, eli
formula_26
Tässä hiukkasen etenemisnopeus "v" on sama kuin aallon ryhmänopeus. Koska massallisten hiukkasten enenemisnopeus on aina pienempi kuin valonnopeus c, on sen vaihenopeus "u" = "c"²/"v" aina valonnopeutta suurempi. Tässäkään tapauksessa valonnopeutta suurempi vaihenopeus ei silti merkitse, että olisi mahdollista lähettää valoa nopeammin eteneviä eteneviä signaaleja.