Tekijäavaruus (lineaarialgebra)

Tekijäavaruus lineaarialgebrassa on suppeampi vektoriavaruus, joka saadaan "kutistamalla" jossakin vektoriavaruudessa "V" jokin sen aliavaruus "N" nollaksi. Vektoriavaruuden "V" tekijäavaruus aliavaruuden "N" suhteen eli "modulo N" merkitään "V"/"N".
Muodollinen määritelmä.
Muodollisesti tekijäavaruus konstruoidaan seuraavasti.
Olkoon "V" vektoriavaruus, jonka kerroinkunta on "K", ja olkoon "N" jokin "V":n aliavaruus]. Määritellään "V":ssä ekvivalenssirelaatio ~ siten, että "x" ~ "y", jos ja vain jos "x" − "y" ∈ "N". Toisin sanoen alkiot "x" ja "y" ovat ekvivalentteja, jos toinen niistä voidaan saada lisäämällä toiseen jokin "N":n alkio. Tästä määritelmästä voidaan päätellä, että jokainen "N":n alkio on ekvivalentti nollavektorin kanssa; täsmällisemmin sanottuna kaikki "N":ään kuuluvat vektorit kuvautuvat nollavektorin ekvivalenssiluokkaan.
Sille ekvivalenssiluokalle, johon alkio "x" kuuluu, käytetään usein merkintää
["x"] = "x" + "N" 
sillä sen määrittää joukko
["x"] = {"x" + "n" : "n" ∈ "N"}.
Tekijäavaruus "V"/"N" eli "V"/~ ("V" modulo "N") määritellään tällöin kaikkien ekvivalenssirelaation ~ avaruudessa "V" määrittelemien ekvivalenssiluokkien joukoksi. Näiden ekvivalenssiluokkien eli tekijäavaruuden alkioiden yhteenlasku ja skalaarilla kertominen määritellään tällöin seuraavasti:* 
Helposti voidaan osoittaa, että nämä laskutoimitukset ovat hyvin määriteltyjä, toisin sanoen ne eivät riipu siitä, mikä alkio valitaan edustamaan ekvivalenssiluokkaa. Näillä laskutoimituksilla varustettuna tekijäavaruus "V"/"N" on "K":n vektoriavaruus, jossa "N" on nollaluokka, [0].
Kuvausta, joka liittää alkioon "v" ∈ "V" sitä vastaavan ekvivalenssiluokan ["v"] sanotaan ekvivalenssikuvaukseksi.
Esimerkkejä.
Olkoon formula_1 tavanomainen karteesinen taso ja olkoon "Y" origon kautta kulkeva suora "X":ssä. Silloin tekijäavaruus "X"/"Y" voidaan samastaa tasossa "X" olevien "Y":n suuntaisten suorien muodostaman avaruuden kanssa. Toisin sanoen joukon "X"/"Y" alkioita ovat "Y":n suuntaiset suorat tasossa "X". Tämä tarjoaa tavan visualisoida tekijäavaruuksia geometrisesti.
Toinen esimerkki on avaruuden formula_2 tekijäavaruus sen aliavaruuden suhteen, jonka muodostavat "m" ensimmäistä standardia kantavektoria. Avaruuteen formula_2 kuuluvat kaikki järjestetyt "n" reaaliluvun jonot ("x"1,…,"x""n"). Mainitun aliavaruuden, joka voidaan samastaa formula_4:n kanssa, muodostavat sellaiset "n" reaaliluvun järjestetyt jonot, joissa viimeiset "n"−"m" lukua ovat nollia: Kaksi formula_5:n vektoria kuuluvat tämän kongruenssiluokkaan "modulo" tämä aliavaruus, jos ja vain jos niiden viimeiset "n"−"m" koordinaattia ovat samat. Tekijäavaruus formula_6 on ilmeisellä tavalla isomorfinen avaruuden formula_7 kanssa.
Yleensäkin jos "V" on aliavaruuksien "U" ja "W" (sisäinen) suora summa eli 
formula_8
niin tekijäavaruus "V"/"U" on isomorfinen "W":n kanssa.
Funktioavaruuksien tärkeitä tekijäavaruuksia ovat Lp-avaruudet.
Ominaisuuksia.
Avaruudesta "V" tekijäavaruuteen "V"/"U" on olemassa luonnollinen epimorfismi, joka saadaan kuvaamalla jokainen formula_9 sitä vastaavalle ekvivalenssiluokalle ["x"]. Tämän epimorfismin ydin on aliavaruus "U". 
Jos "U" on "V":n aliavaruus, tekijäavaruuden "V"/"U" dimensiota sanotaan "U":n kodimensioksi "V":ss'. Koska "V":n kanta voidaan muodostaa "U":n kannasta "A" ja "V"/"U":n kannasta "B" lisäämällä "A":han jokaisen "B":n alkion edustaja, "V":n dimensio on avaruuksien "U" ja "V"/"U" dimensioiden summa. Jos "V" on äärellisulotteinen, "U":n kodimensio "V":ss' on "V"n ja "U":n dimensioiden erotus:
formula_10
Olkoon "T" : "V" → "W" lineaarikuvaus. "T":n "ydin" (kernel), jolle käytetään merkintää ker("T") on niiden alkioiden "x" ∈ "V" joukko, joilla "Tx" = 0. Ydin on "V":n aliavaruus. Lineaarialgebran ensimmäisen isomorfialauseen mukaan tekijäavaruus "V"/ker("T") on isomorginen "V":n kuva-avaruuden kanssa, joka on "W":n aliavaruus. Äärellisulotteisten avaruuksien tapauksessa tästä seuraa myös, että "V":n dimensio on sama kuin "T":n ytimen kuva-avaruuden dimensioiden summa:
formula_11 
Tekijäavaruutta "W"/im("T") sanotaan lineaarikuvauksen "T" : "V" → "W" "kokerneliksi". 
Banachin avaruuden tekijäavaruus aliavaruuden suhteen.
Jos "X" on Banachin avaruus ja "M" sen suljettu osajoukko, myös tekijäavaruus "X"/"M" on Banachin avaruus. Tekijäavaruudelle saadaan valmiiksi myös vektoriavaruuden rakenne edellä selitetyllä menettelyllä. Avaruudessa "X"/"M" määritellään "normi" seuraavasti:
formula_12
Tekijäavaruus "X"/"M" on täydellinen normin suhteen, joten se on Banachin avaruus. 
Esimerkkejä.
Olkoon "C"[0,1] välillä [0,1] määriteltyjen jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden muodostama Banach-avaruus, jolla on supremumnormi. Muodostetaan sille aliavaruus "M", johon kuuluvat ne funktiot "f" ∈ "C"[0,1], joilla "f"(0) = 0. Tällöin ekvivalenssiluokan, johon annettu funktio "g" kuuluu, määrittää funktion arvo 0:ssa, ja tekijäavaruus "C"[0,1] / "M" on isomorfinen formula_5:n kanssa.
Jos "X" on Hilbertin avaruus, tekijäavaruus "X"/"M" on isomorfinen "M":n ortogonaalisen komplementin kanssa.