Peitekuvaus

Peitekuvauksella tarkoitetaan topologiassa kuvausta, jonka voidaan epämuodollisesti ajatella kuvaavan monta kopiota avaruudesta itseensä.
Kansantajuinen selitys.
Peitekuvauksella tarkoitetaan kuvausta, jossa lähtöavaruus ”peittää” toisen avaruuden useita kertoja siten, että paikallisesti kaikki näyttää samalta. Jokaisen pisteen ympärillä maaliavaruudessa eli "perusavaruudessa" on pieni alue, jonka alkukuvassa peiteavaruudessa on useita erillisiä kopioita tästä alueesta. Näistä jokainen kopio kuvautuu takaisin täsmälleen samaan osaan perusavaruutta. Oheisessa kuvassa perusavaruudesta on valittu pieni osa, jota on merkitty punaisella. Sitä vastaava alkukuva muodostaa monta punaista ympäristöä lähtöavaruudessa.
Tyypillinen esimerkki on reaalisuoran ja ympyrän välinen kuvaus
formula_1, formula_2.
Tässä reaalisuora ”kiertyy” ympyrän ympärille äärettömän monta kertaa: jokainen ympyrän piste vastaa ääretöntä määrää reaalilukuja. Paikallisesti – kun katsotaan vain pientä osaa ympyrästä – peiteavaruus näyttää kuitenkin täsmälleen samalta kuin ympyrä itse.
Tällaista kuvausta käytetään usein, kun monimutkainen avaruus halutaan "avata" yksinkertaisempaan muotoon, esimerkiksi kun tutkitaan, kuinka monta kertaa jokin polku kiertää ympyrän ympäri.
Määritelmä.
Olkoot formula_3 ja formula_4 topologisia avaruuksia ja olkoon formula_5 niiden välinen surjektio.
Kuvaus formula_6 on peitekuvaus, jos jokaiselle pisteelle formula_7 on olemassa ympäristö formula_8, jonka alkukuva formula_9 on sellaisten erillisten joukkojen formula_10 avoin peite, joille on olemassa upotus formula_11. Tällöin ympäristöä formula_12 kutsutaan peitekuvauksen formula_6 "peiteympäristöksi".
Toisin sanoen kuvaukselle formula_6 pätee, että
formula_15
Peiteavaruutta kutsutaan toisinaan myös "peitteeksi". Peitekuvauksen formula_5 lähtöjoukkoa formula_17 sanotaan formula_18:n peiteavaruudeksi. Jokaista formula_18:n alkion formula_20 alkukuvaa kutsutaan "säikeeksi". Yleensä vaihdannaisissa kaavioissa formula_17 asetetaan formula_18:n yläpuolelle, jolloin formula_6 osoittaa "alaspäin". Tätä sanotaan kuvauksen "nostoksi", tai tarkemmin, "p-nostoksi".
Esimerkkejä.
Yksi klassisimmista esimerkeistä on peitekuvaus
formula_24
Intuitiivisesti voidaan ajatella, että reaalisuora on kierretty spiraaliksi, joka "peittää" ympyrän äärettömän monta kertaa. Jokaisella ympyrän pisteellä on pieni avoin kaari, jonka alkukuva formula_25 koostuu äärettömästä määrästä erillisiä avoimia välejä reaalisuoralla, ja jokainen näistä väleistä kuvautuu homeomorfisesti kyseiselle kaarelle.
Toinen esimerkki saadaan avoimesta peitteestä, joka on peitekuvauksen erikoistapaus, kun lähtöavaruus on erillinen yhdiste joukkoja formula_26 ja kuvaus on identtinen kunkin osan rajoituksella.
Nosto ja peitekuvaukset.
Peitekuvauksiin liittyy tärkeä käsite nimeltä "nosto".
Jos peitekuvauksen formula_5 ja jatkuvan kuvauksen formula_28 välillä on olemassa jatkuva kuvaus formula_29 siten, että
formula_30
sanotaan formula_31:n olevan kuvauksen formula_32 "nosto" peiteavaruuteen formula_33.
Nostot ovat topologiassa tärkeitä esimerkiksi perusryhmien tutkimuksessa, koska ne mahdollistavat polkujen ja homotopioiden yksikäsitteisen nostamisen peiteavaruuteen.
Nostojen yksikäsitteisyyttä käsittelee niin sanottu "nostolause":
Jos formula_5 on peitekuvaus, formula_35 on yhtenäinen topologinen avaruus ja formula_28 jatkuva kuvaus, jolle formula_37,
niin on olemassa yksikäsitteinen nosto formula_29, jolle formula_39.
Tämä ominaisuus tekee peitekuvauksista käyttökelpoisia erityisesti silloin, kun halutaan analysoida silmukoita ja niiden homotopisia ominaisuuksia perusavaruudessa formula_40.
Yhteys perusryhmään.
Peitekuvaukset muodostavat keskeisen työkalun algebrallisessa topologiassa ja erityisesti perusryhmän määrittämisessä.
Esimerkiksi ympyrän formula_41 peitekuvauksen
formula_42
avulla voidaan osoittaa, että ympyrän perusryhmä on isomorfinen kokonaislukuryhmän formula_43 kanssa.
Jokainen silmukka formula_44 voidaan nostaa poluksi formula_45 siten, että formula_46 ja formula_47
Noston päätepiste formula_48 kertoo, kuinka monta kertaa ja mihin suuntaan silmukka kiertää ympyrän ympäri:
Näin muodostuva kuvaus
formula_54
on bijektio, joten saadaan isomorfia
formula_55
Tämä tulos on klassinen esimerkki siitä, kuinka peitekuvauksia ja nostojen yksikäsitteisyyttä voidaan käyttää topologisten avaruuksien algebralliseen luokitteluun.