Stereografinen projektio

Stereografinen projektio on geometrinen kuvaus, joka kuvaa koko pallopinnan tasolle yhtä pistettä lukuun ottamatta. Tällöin pallopinnalta valitaan yksi kiinteä piste projektiopisteeksi, ja jokaista muuta pallopinnan pistettä vastaa se piste, jossa tämän projektiopisteen ja annetun pisteen kautta kulkeva suora leikkaa tason.
Tämä kuvaus on määritelty kaikissa pallonpinnan pisteissä paitsi projektiopisteessä. Funktio on määrittelyjoukossaan sileä ja bijektio. Se on myös konforminen, koska siinä kulmat pysyvät alkuperäisen suuruisina. Toisaalta se ei kuvaa tarkasti pinta-alaa, varsinkaan projektiopisteen lähellä.
Intuitiivisesti stereo­grafinen funktio on siis tapa kuvata pallopinta tasolle, mitä tosin ei mitenkään voida tehdä niin, että kaikkien pallopinnan alueiden muodot ja koot säilyisivät. Koska pallopinta ja taso esiintyvät monilla matematiikan aloilla, on stereo­grafisella projektiollakin monia erilaisia sovelluksia: sitä käytetään kompleksianalyysissä, karttaprojektiona, geologiassa ja valokuvauksessa. Käytännössä stereo­grafinen projektio voidaan toteuttaa tietokoneella tai käsin erityisellä tavalla ruudutetulla paperilla, jota sanotaan "stereo­grafiseksi verkoksi", lyhemmin "stereoverkoksi" tai "Wulffin verkoksi".
Historia.
Stereografisen funktion tunsivat ainakin jo Hipparkhos ja Ptolemaios, mutta mahdollisesti se tunnettiin Egyptissä jo ennen heitä. Sitä nimitettiin alkujaan "planisfääriprojektioksi". Ptolemaioksen teos "Planisphaerium" on vanhin säilynyt kirjallinen lähde, jossa sitä kuvataan. Sitä käytettiin varsinkin tähti­kartoissa. Erästä tähtikartta­tyyppiä sanotaan nykyisinkin planisfääriksi.
Stereografista projektiota käytettiin 1500-luvulta lähtien yleisesti myös maapallon kartoissa. Tällöin projektio­pisteet olivat päiväntasaajalla. Maapallo jaettiin kahteen pallon­puoliskoon, joiden keskipisteet olivat päivän­tasaajalla vastakkaisilla puolilla maapalloa, ja kumpikin kuvattiin tällä projektiolla omalle ympyrän­muotoiselle alueelleen. Ensimmäinen tällaisen maailman­kartan laati tiettävästi Gualterius Lud vuonna 1507, myöhemmistä vastaavan­laisista kartoista tunnetuimpia ovat Jean Rozen vuonna 1542 ja Rumold Mercatorin vuonna 1595 laatimat. Varsinkin 1600-luvulla projektio oli maailman­kartoissa hyvin suosittu.
François d'Aguilon antoi stereo­grafiselle projektiolle sen nykyisen nimen vuonna 1613 teoksessaan "Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles" ("Kuusi sekä filosofeille että matemaatikoille hyödyllistä kirjaa optiikasta").
Vuonna 1695 Edmond Halley, jota kiinnosti ennen kaikkea projektion käyttö tähtikartoissa, julkaisi ensimmäisen matemaattisen todistuksen sille, että tämä kuvaus on konforminen. Hän käytti tähän Isaac Newtonin vähän aikaisemmin keksimiä differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmiä.
Määritelmä.
Tässä osiossa käsitellään projektiota yksikköpallon pohjoisnavalta päiväntasaajan kautta tasolle. Projektion muita muotoja käsitellään jäljempänä muissa osioissa.
Kolmiulotteisessa avaruudessa formula_1 yksikköpallo on niiden pisteiden ("x", "y", "z") joukko, jotka toteuttavat yhtälön formula_2. Kuvittelemalla pallo karttapalloksi voidaan pistettä (0,0,1) (tai piste­joukkoa formula_3) sanoa "pohjois­navaksi". Seuraavassa käytetään pallo­pinnan muiden pisteiden kuin pohjois­navan joukolle merkintää "M". Taso "z"  0 kulkee pallon keski­pisteen kautta, ja edellisen rinnastuksen mukaisesti sen ja pallo­pinnan leikkausta voidaan sanoa "päiväntasaajaksi" eli "ekvaattoriksi". Vastaavalla tavalla käytetään jäljempänä muitakin maan­tieteellisiä termejä kuten pohjoinen ja eteläinen pallonpuolisko, leveyspiiri ja pituuspiiri eli meridiaani.
Jokaista "M":n pistettä "O" kohti on yksi ja vain yksi suora, joka kulkee navan "N" ja pisteen "P" kautta, ja se leikkaa päivän­tasaaja­tason "x"  0 yhdessä ja vain yhdessä pisteessä "P′". Tämä piste määritellään pisteen "P" stereo­grafiseksi projektioksi kyseisellä tasolla.
Kun pallopinnan pisteille käytetään karteesisia koordinaatteja ("x", "y", "z") ja tason pisteelle koordinaatteja ("X", "Y"), projektio ja sen käänteiskuvaus voidaan esittää yhtälöillä:
formula_4
formula_5
Kun pallopinnalla käytetään pallokoordinaatteja ("φ", "θ") (missä "φ" on leveyspiiri tai atsimuutti, 0 ≤ "φ" ≤ π) ja "θ" pituuspiiri tai zeniittikulma, 0 ≤ "θ" ≤ 2π) ja tasolla napa­koordinaatteja ("R", "Θ"), projektio ja sen käänteis­kuvaus ovat:
formula_6
formula_7
Tässä "φ":n käsitetään saavan arvo "π", kun "R" = 0. Trigonometristen funktioiden muunnoskaavojen avulla nämä yhtälöt voidaan kirjoittaa moneen muuhunkin muotoon. Jos pallopinnalla käytetään sylinteri­koordinaatteja ("r", "θ", "z") ja tasolla napakoordinaatteja ("R", "Θ"), projektio ja sen käänteiskuvaus ovat:
formula_8
formula_9
Ominaisuuksia.
Edellä määritellyssä stereo­grafisessa projektiossa yksikköpallon "etelänapa" (0, 0 −1) kuvautuu tason origoon (0, 0), päiväntasaaja yksikköympyrälle, eteläinen pallonpuolisko ympyrän sisäpuolelle ja pohjoinen pallonpuolisko sen ulkopuolelle.
Projektio ei ole määritelty projektiopisteessä "N" = (0, 0, 1). Tämän pisteen pienet ympäristöt kuvautuvat tasoalueille, jotka ovat kaukana origosta (0, 0). Mitä lähempänä piste "P" on projektiopistettä (0, 0, 1), sitä kauempana sen kuvapiste on tason pisteestä (0, 0). Tästä syystä on tapana sanoa, että piste (0, 0, 1) kuvautuu tasolla "äärettömyyteen" ja että taso voidaan täydentää pallopinnaksi lisäämällä siihen yksi "äärettömän kaukainen piste". Tämä ajattelutapa on osoittautunut käyttökelpoiseksi projektiivisessa geometriassa ja kompleksianalyysissä. Topologisella tasolla se osoittaa, että pallopinta on homeorfinen tason yhden kompaktisoinnin kanssa.
Karteesisissa koordinaateissa pallopinnan piste "P"("x", "y", "z") ja sen tasolla oleva kuvapiste "P′"("X", "Y") ovat joko molemmat rationaalipisteitä tai kumpikaan ei ole:
 formula_10
Stereografinen projektio on konformikuvaus, mikä merkitsee, että siinä kulmat, joissa käyrät leikkaavat toisensa, säilyvät ennallaan, kuten oheiset kuviot osoittavat. Sitä vastoin pinta-alat eivät säily: yleensä alueen pinta-ala pallopinnalla ei ole yhtä suuri kuin sitä vastaavan alueen pinta-ala tasolla. Pinta-ala-alkio "X","Y" -koordinaateissa on:
formula_11
Ainoastaan yksikköympyrän formula_12 kohdalla infinitesimaalisten alueiden pinta-ala säilyy. Origon (0,0) välittömässä
läheisyydessä olevien pienten alueiden pinta-ala on tasolla vain neljäsosa siitä, mikä se on pallopinnalla, ja kaukana origosta 
pinta-alamittakaava lähestyy ääretöntä.
Metriikka ("X", "Y") -koordinaateissa on:
formula_13,
mikä on ainoa Bernhard Riemannin geometrian perusteita käsittelevässä, Göttingenissä vuonna 1854 julkaistussa artikkelissa "Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen" esiintyvä matemaattinen kaava.
Mikään kuvaus pallopinnalta tasolle ei voi olla sekä konforminen että säilyttää myös pinta-alat, Jos säilyttävä. Jos sellainen kuvaus olisi olemassa, se olisi lokaalinen isometria ja siinä säilyisi myös Gaussin kaarevuus. Kun pallopinnalla ja tasolla kuitenkin on erilainen Gaussin kaarevuus, tämä on mahdotonta.
Stereografisen projektion konformisuudesta seuraa joukko mielenkiintoisia geometrisia ominaisuuksia. Pallopinnan ympyrät, jotka "eivät" kulje projektiopisteen kautta, kuvautuvat tasolla ympyröiksi. Pallopinnan ympyrät, jotka "kulkevat" projektiopisteen kautta, kuvautuvat sen sijaan suoriksi. Tämän vuoksi suoria sanotaankin joskus "äärettömyyspisteen kautta kulkeviksi ympyröiksi" tai "ääretönsäteisiksi ympyröiksi".
Stereografisen projektion käänteiskuvauksessa kaikki tason suorat kuvautuvat pallopinnalle projektiopisteen eli "äärettömyyspisteen" kautta kulkeviksi ympyröiksi. Yhdensuuntaiset suorat, jotka eivät leikkaa toisiaan, kuvautuvat pallopinnalle ympyröiksi, jotka sivuavat toisiaan kyseisessä pisteessä. Niinpä tason kaikkien suorien vastineet pallopinnalla kohtaavat toisensa jossakin; joko ne leikkaavat toisensa kahdessa pisteessä tai ne sivuavat toisiaan projektiopisteessä. (Hieman samantapaisia huomioita voitaisiin tehdä reaalisesta projektiivisesta tasosta, mutta siinä suorien leikkaus­ominaisuudet ovat toisenlaisia.)
Pallopinnan loksodromit kuvautuvat tasolle käyriksi, joiden yhtälö on muotoa
formula_14
missä parametri "a" on loksodromin "tiiviys". Toisin sanoen loksodromit kuvautuvat logaritmisiksi spiraaleiksi. Tällainen spiraali leikkaa origon kautta kulkevat säteittäiset suorat kaikkialla yhtä suurissa kulmissa, samoin kuin pallopinnalla loksodromi leikkaa meridiaanit kaikkialla yhtä suurissa kulmissa.
Stereografinen prjektio liittyy tason inversioon yksinkertaisella tavalla. Olkoot "P" ja "Q" kaksi pallopinnan pistettä ja "P′" ja "Q′" niiden kuvapisteet tasolla. Silloin "P′" ja "Q′" ovat toistensa kuvapisteet tason inversiossa yksikköympyrän suhteen, jos ja vain jos "P" ja "Q" ovat toistensa peilikuvat ekvaattoritason suhteen.
Toisin sanoen jos :
niin "P′" ja "P″" ovat toistensa kuvapisteet inversiossa yksikköympyrän suhteen.
 formula_15
Wulffin verkko.
Stereografisen projektion mukaisia kaavioita voidaan tulostaa tietokoneella käyttämällä edellä esitettyjä kaavoja. Jos niitä kuitenkin on piirrettävä käsin, nämä kaavat ovat hankalia. Sen sijaan käytetään yleisesti tarkoitukseen suunniteltua kuvioitua paperia. Tällaisella viivaverkolla varustettua paperia sanotaan "stereoverkoksi" tai "Wulffin verkoksi", venäläisen mineralogi George Wulffin (Juri Viktorovich) mukaan. Wulffin verkko saadaan aikaan piirtämällä pallonpuoliskolle leveys- ja pituuspiirien verkko ja projisoimalla nämä käyrät sitten levylle. 
Kaaviossa se seikka, että stereo­grafinen projektio vääristää pinta-aloja, näkyy vertaamalla lähellä keskipistettä olevaa verkon sektoria reunojen läheisyydessä oleviin. Sektorien pinta-ala pallopinnalla on sama. Tasolla reunassa olevan sektorin pinta-ala on lähes neljä kertaa niin suuri kuin keskellä olevan. Jos verkon tiheyttä suurennetaan, tämä suhde lähestyy arvoa 4.
Wulffin verkossa leveys- ja pituuspiirit leikkaavat toisensa kohtisuorasti. Tämä on suora seuraus stereo­grafisen projektion konformisuudesta. (Tosin konformisuus on vahvempi ominaisuus kuin leveys- ja pituuspiirien kohtisuoruuden säilyminen. On olemassa sellaisiakin kuvauksia pallopinnalta tasolle, joissa leveys- ja pituuspiirit leikkaavat toisensa kohtisuorasti, mutta muut kulmat eivät pysy muuttumattomina; sellaisia ovat esimerkiksi neliökartta ja Gall-Petersin projektio.)
Esimerkkinä Wulffin verkon käytöstä voidaan kuvitella kaksi päällekkäin asetettua ohutta, läpikuultavaa paperia, joista kumpaankin se on kopioitu ja jotka molemmat on suunnattu ja kiinnitetty keskipisteidensä mukaan. Olkoon "P" pallopinnan piste, jonka pallokoordinaatit ovat (140°, 60°) ja karteesiset koordinaatit näin ollen (0.321, 0.557, −0.766). Tämä piste sijaitsee 60°:n kulmassa vastapäivään positiivisesta "x-akselista" (tai 30°:n kulmassa myötäpäivään "y"-akselista) ja origosta katsottuna 50°;n kulmassa vaakatasoon "z" 0 nähden. Kun nämä kulmat tunnetaan, "P":n asettamiseksi paikoilleen tarvitaan neljä vaihetta:
joka on 60° vastapäivään pisteestä (1, 0) (tai 30° myötäpäivään pisteestä (0, 1)).
kohdallaan alempaan paperiin painetun verkon kanssa. Vaiheessa 3 merkitty piste päätyy tällöin haluttuun projektiopisteeseen. 
Muiden pisteiden kuvaamiseksi, joiden kulmat eivät ole sellaisia pyöreitä lukuja kuin 60° ja 50°, on suoritettava visuaalinen interpolaatio verkoston lähimpien viivojen väliin. Tämä käy helpommin, jos verkon viivat ovat tiheämmässä kuin 10°:n välein. Usein ne painetaan 2°:n välein.
Kahden pallopinnalla olevan pisteen stereo­grafisten kuvapisteiden välinen keskuskulma voidaan määrittää merkitsemällä niiden vastinpisteet Wulffin verkkoon, jota sitten kierretään keskipisteensä ympäri, kunnes pisteet ovat meridiaanilla tai lähellä sitä. Sen jälkeen niiden välinen kulma voidaan mitata laskemalla verkoston viivat, jotka leikkaavat tämän meridiaanin.
Muita muotoiluja ja yleistyksiä.
Eri lähteissä on stereo­grafinen projektio määritelty hieman eri tavoin. Toisinaan stereo­grafinen projektio pohjoisnavalta (0, 0, 1) määritellään kuvaukseksi tasolle "z" = -1, joka sivuaa yksikköpalloa etelänavalla eli pisteessä (0, 0, -1). Tällaisessa projektiossa saadut arvot "X" ja "Y" ovat aina tasan kaksi kertaa niin suuret kuin edellä kuvatussa projektiosa ekvaattoritasolle. Esimerkiksi tässä projektiossa päiväntasaajaa vastaa ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja jonka säde on 2. Sen sijaan että edellä kuvatussa projektiossa pienten alueiden pinta-alat kuvautuvat oikein lähellä päiväntasaajaa, tällaisessa projektiossa ne kuvautuvat oikein etelänavan välittömässä läheisyydessä.
Toisinaan taas projektio muodostetaan pallopinnalta, jonka säde on 1/2, tasolle z = -1/2 tai pallopinnalta, joka sivuaa tasoa origossa ja jonka halkaisija on 1, tasolle z = 0. Siinä tapauksessa kaavat saavat muodon
formula_16
formula_17
Yleisesti stereo­grafinen projektio voidaan määritellä mistä tahansa pallopinnan pisteestä "Q" mille tahansa tasolle "E", joka täyttää seuraavat ehdot:
Kunhan taso "E" täyttää nämä ehdot, jokaista pallopinnan pistettä "P", pistettä "Q" lukuun ottamatta, vastaa tasolla yksikäsitteisesti määrätty piste "P′", joka määritellään pisteen "P" stereo­grafiseksi projektioksi tasolla "E".
Kaikilla tällä tavoin muodostetuilla stereo­grafisen projektion muotoiluilla on oleellisesti samat ominaisuudet. Ne ovat sileitä bijektioita, diffeo­morfismeja, jotka on määritelty kaikkialla paitsi projektio­pisteessä. Ne ovat konformisia, eivätkä pinta-alat niissä säily.
Vielä yleisemmin stereo­grafinen projektio voidaan määritellä n-pallolla "S""n" "n"+1 -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa E"n"+1. Jos "Q" on "S""n":n piste ja "E" hypertaso avaruudessa E"n"+1, pisteen "P" ∈ "S""n" − {"Q"} stereo­grafinen projektio on suoran formula_18 ja hypertason "E" leikkauspiste. Karteesisissa koordinaateissa (pallopinnalla formula_19, tasolla formula_20) pisteen projektio Q:sta katsottuna on 
formula_21  missä 1 ≤ "i" ≤ 'n".
Määrittelemällä formula_22, saadaan käänteiskuvaukseksi
formula_23 ja formula_24  missä 1 ≤ "i" ≤ 'n".
Vielä yleisemmässä tapauksessa oletetaan, että "S" on (ei-singulaarinen) toisen asteen hyperpinta projektiivisessa avaruudessa
P"n"+1. Toisin sanoen "S" on ei-singulaarisen toisen asteen muodon "f"("x"0, ..., "x""n"+1) nollakohtien ura homogeenisissa koordinaateissa "x""i". Kiinnitetään hyperpinnalta "S" jokin valittu piste "Q" ja valitaan avaruudesta P"n"+1 hypertaso "E", johon "Q" ei sisälly. Tällöin pisteen "P" ∈ "S" - {"Q"&amp;#125 stereo­grafinen projektio on formula_18:n ja "E":n ainoa leikkauspiste. Kuten edellä, stereo­grafinen projektio on konforminen, ja "pienen" joukon ulkopuolella sillä on käänteiskuvaus. Stereografinen projektio esittää toisen asteen hyperpinnan hyperpinnan rationaalisena hyperpintana. Tällä konstruktiolla on merkitystä algebrallisessa geometriassa ja konformissa geometriassa.
Sovelluksia matematiikassa.
Kompleksianalyysi.
Vaikka pallopinnalla on yksi piste, projektiopiste, jossa stereografinen projektio ei ole määritelty, koko pallopinta voidaan kuvata käyttämällä kahta projektiota eri projektiopisteistä. Toisin sanoen pallopinta voidaan peittää kahdella tasosta saadulla parametroinnilla, jotka saadaan projektioiden käänteiskuvauksista. Parametroinnit voidaan valita niin, että indusoivat pallopinnalle saman suunnistuksen. Yhdessä ne osoittavat, että pallopinta on suunnistuva pinta ja samalla kaksiulotteinen monisto. 
Tällä konstruktiolla on huomattava merkitys kompleksianalyysissa. Tason piste ("X", "Y"), missä "X" ja "Y" ovat reaalilukuja, voidaan samastaa kompleksiluvun "ζ" = "X" + i"Y" kanssa. Stereografinen projektio pohjoisnavalta päiväntasaajan tasolle on tällöin:
formula_26
formula_27
Samoin jos "ξ" = "X" − i"Y" on toinen kompleksinen koordinaatti, funktiot
formula_28
formula_29
määrittelevät stereografisen projektion etelänavalta päiväntasaajan tasolle. Muunnoskuvaukset, joilla siirrytään "ζ"-koordinaateista "ξ"-koordinaatteihin ovat tällöin formula_30 ja formula_31, joista "ζ" lähestyy nollaa kun "ξ" lähestyy ääretöntä ja päin vastoin. 
Tämä tekee mahdolliseksi lisätä kompleksitasoon luonnollisella tavalla äärettömyyspiste formula_32. Näin saadaan niin sanottu laajennettu taso formula_33. Toisin kuin tavallinen kompleksitaso, laajennettu taso on topologisena avaruutena kompakti. Laajennetun tason jokaista pistettä vastaa kääntäen yksikäsitteisesti piste pallopinnalla, Riemannin pallolla, kun tämä pallo pohjoisnapaa lukuun ottamatta kuvataan stereografisella projektiolla kompleksitasolle ja pohjoisnavan kuvapisteeksi määritellään piste formula_32. Tämä kuvaus on homeomorfismi. Tähän konstruktioon perustuu koko meromorfi­funktioiden teoria. Riemannin pallolle voidaan määritellä myös luonnollinen metriikka, pallometriikka eli Riemannin metriikka, joka määrittää myös sen ja samalla laajennetun tason topologian.
Suorien ja tasojen havainnollistus.
Kaikki kolmiulotteisen avaruuden origon kautta kulkevat suorat muodostavat avaruuden, jota sanotaan reaaliseksi projektiiviseksi tasoksi. Tätä avaruutta on vaikea havainnollistaa, koska sitä ei voi upottaa kolmiulotteiseen avaruuteen.
Kuitenkin se voidaan "melkein" havainnollistaa levyllä seuraavaan tapaan. Jokainen origon kautta kulkeva suora leikkaa eteläisen pallonpuoliskon "z" ≤ 0 pisteessä, joka voidaan stereografisesti projisoida levylle. Vaakasuorat viivat leikkaavat pallopinnan kahdessa pisteessä päiväntasaajalla, joista kumpi tahansa voidaan projisoida tasolle; on ymmärrettävä, että vastakkaiset sivut levyn reunalla esittävät samaa suoraa. Kyseessä on tekijätopologia. Niinpä jokainen origon kautta kulkevien suorien joukko voidaan melkein täydellisesti kuvata pistejoukolle levyllä.
Samoin jokainen origon kautta kulkeva taso leikkaa yksikkökiekon jotakin isoympyrää myöten, jota sanotaan tason "jäljeksi". Tämä ympyrä voidaan kuvata kiekon ympyrälle stereografisella projektiolla. Näin tämä projektio tekee mahdolliseksi esittää tasoja ympyränkaarina levyllä. Ennen kuin tietokoneita oli käytettävissä, isoympyröiden stereografinen projektio johti usein suurisäteisten kaarien piirtämiseen, mihin tarvittiin erityistä piirustusvälinettä. Nykyisin tämä voidaan suorittaa tietokoneen avulla paljon helpommin.
Jokaiseen tasoon liittyy myös yksikäsitteinen suora, tason "napa", joka kulkee origon kautta ja on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tätä suoraa vastaa piste levyllä samoin kuin jokaista origon kautta kulkevaa suoraa. Niinpä stereografisella projektiolla voidaan myös havainnollistaa tasoja levyn pisteinä. Kun on kuvattavana useita tasoja, niiden napojen kuvaaminen johtaa vähemmän sekavaan kuvaan kuin niiden jälkien kuvaaminen.
Tätä konstruktiota käytetään kristallografiassa ja geologiassa usein suuntatietojen havainnollistamiseen jäljempänä kuvatulla tavalla.
Muita havainnollistuksia.
Stereografista projektiota käytetään myös polytooppien havainnollistamiseen. Schlegelin diagrammissa avaruuden formula_35 "n"-ulotteinen polytooppi projisoidaan "n"-ulotteiselle pallolle, joka sen jälkeen projisoidaan stereografisesti avaruudelle formula_36. Kutistaminen formula_35:sta formula_36:ään voi tehdä polytoopin helpommaksi havainnollistaa ja ymmärtää.
Aritmeettinen geometria.
Alkeellisessa aritmeettisessa geometriassa yksikköympyrän stereo­grafinen projektio tarjoaa keinon löytää kaikki Pythagoraan kolmikot. Ympyrän stereo­grafisessa projektiossa pohjois­navalta (0,1) "x"-akselille jokaista sellaista yksikkö­ympyrän pistettä ("x", "y"), jossa molemmat koordinaatit ovat rationaalilukuja, vastaa kääntäen yksi­käsitteisesti jokin rationaali­luku "x"-akselilla. Jos formula_39 on "x"-akselin rationaali­piste, sen käänteinen stereo­grafinen projektio yksikkö­ympyrällä on 
formula_40
missä osoittajat "n"2-"m"2 ja 2"mn" sekä yhteinen nimittäjä "n"2+"m"2 muodostavat Pythagoraan kolmikon.
Tangentin puolikulmamuunnos.
Trigono­metristen funktioiden pari (sin "x", cos "x") muodostaa yksikköympyrän erään parametri­esityksen. Stereo­grafisen projektion avulla sille voidaan muodostaa toinenkin parametriesitys:
formula_41
Tällä parametrisaatiolla pituusalkio yksikköympyrän pituusalkio "dx" saadaan muotoon
formula_42
Alkion "dx" korvaaminen tällä lausekkeella yksinkertaistaa toisinaan trigonometrisia funktioita sisältävien lausekkeiden integrointia.
Sovelluksia muilla aloilla.
Stereografinen projektio karttaprojektiona.
Kartografian perusongelma on, että kuvattiinpa pallopinta tasolle millä tavalla tahansa, eivät kartassa voi sekä kulmat (ja näin ollen alueiden muodot) että pinta-alojen suhteet näkyä oikein. On kuitenkin olemassa karttaprojektioita, joissa pinta-alojen suhteet ovat oikein, ja toisia, joissa kulmat ovat oikein. Edelliset soveltuvat varsinkin tilastollisiin karttoihin, jälkimmäisiä navigointiin.
Stereografinen projektio kuuluu jälkimmäiseen luokkaan. Jos projektion keskukseksi valitaan pohjois- tai etelänapa, sillä on lisäetuna, että kaikki pituuspiirit näkyvät navasta lähtevinä suorina viivoina, kaikki leveyspiiri taas napaa ympäröivinä saman­keskeisinä ympyröinä. Nykyään tätä projektiota käytetäänkin ennen kaikkea napaseutujen kartoissa. 
Stereografisessa projektiossa kaikki pallopinnan ympyrät kuvautuvat ympyröiksi paitsi projektio­pisteen kautta kulkevat suoriksi. Tämän vuoksi se soveltuu myös Kuun ja vieraiden planeettojen karttoihin, joissa kraatterit ovat tyypillisiä piirteitä. USGS onkin käyttänyt tätä projektiota Kuun, Merkuriuksen ja Marsin kartoissa.
Kristallografia.
Kristallografiassa kiteiden akselien ja sivujen suuntautuminen kolmiulotteisessa avaruudessa on keskeinen geometrinen tutkimuskohde, joka voidaan selvittää tulkitsemalla esimerkiksi röntgensäteilyn ja elektronien diffraktiokuvioita. Nämä suuntautumiset voidaan havainnollistaa niin kuin edellä on kerrottu osiossa Suorien ja tasojen havainnollistus. Toisin sanoen kiteen akselit ja kidetasojen navat leikkaavat pohjoisella pallonpuoliskolla, josta ne sitten kuvataan tasolle stereografisella projektiolla. Napoja esittävää kaaviota sanotaan "napakuvioksi" ().
Elektronidiffraktiossa Kikuchin viivaparit näkyvät nauhoina hilatason jälkien ja Ewaldin pallon leikkausviivan ympärillä ja täten ne tarjoavat "kokeellisen pääsyn" kiteen stereo­grafiseen projektioon. Kikuchin kaavioiden mallit käänteis­avaruudessa ja taivutettujen ääriviivojen kanssa käytettävät reunaviivojen kaaviot suorassa avaruudessa toimivat täten tiekarttoina, joiden avulla saadaan tietoa kiteiden suuntautumisesta trans­missio­elektroni­mikro­skoopissa.
Valokuvaus.
Jotkin kalansilmälinssit käyttävät stereografista projektiota ottaakseen laajakulmaisia näkymiä. Verrattuna vanhemman tyyppisiin kalansilmälinsseihin, joissa käytetään oikeapintaista projektiota, lähellä reunoja olevat alueet säilyttävät muotonsa ja suorat viivat kaareutuvat vähemmän. Steregrafiset kalansilmä­linssit ovat yleenä kuitenkin kalliimpia valmistaa. Kuvien uudelleen­muotoiluun tarkoitetuilla ohjelmilla kuten Panotools voidaan myös oikeapintaisella kalan­silmällä otetut kuvat automaattisesti muuntaa stereografiseen projektioon.
Stereo­grafista projektiota on käytetty pallomaisten näkymien kuvaamiseen. Tämä johtaa ilmiöihin, joita sanotaan "pieneksi planeetaksi" (kun projektion keskus on nadiirissa) tai "putkeksi" (kun projektion keskus on zenitissä).
Sen, että stereografista projektiota käytetään näkymien kuvaamiseen enemmän kuin muita taso­projektioita, katsotaan johtuvan siitä, että projektion konformisuuden vuoksi siinä muodot säilyvät.