Mitta

Mitta on mittateorian peruskäsite, jolla tarkoitetaan funktiota, jonka halutaan liittävän erilaisiin tutkittaviin joukkoihin esimerkiksi lukumäärä, pituus, pinta-ala, tilavuus tai todennäköisyys. Mitan käsitteeseen pohjautuvat todennäköisyysteoria ja integraalilaskennan yleinen teoria.
Lebesguen mitta formula_1 reaalilukujen joukossa formula_2 ja sen osajoukoissa mittaa välin pituutta: formula_3. Usean pistevieraan välin yhdisteen mitta on näiden osavälien mittojen summa. Joukon formula_4 Lebesguen mitta mittaa joukkojen pinta-alaa, jne. Ihan kaikille joukon formula_2 osajoukoille Lebesguen mittaa ei pysty määrittelemään. Niistä, joille pystyy, käytetään termiä "mitallinen joukko".
Lukumäärämitta puolestaan kertoo joukon alkioiden lukumäärän paitsi että äärettömillä joukoilla se saa arvon formula_6. Sen pystyy määrittelemään kaikille joukoille. Muitakin mittoja on loputtomasti.
Tässä artikkelissa "mitta" tarkoittaa positiivista mittaa eli sellaista, jonka arvot ovat joukossa formula_7.
Kompleksinen mitta määritellään muuten samoin, mutta sen arvojen pitää olla kompleksilukuja (siis formula_6 on kielletty).
Merkkinen mitta määritellään muuten samoin, mutta sen arvojen pitää kuulua joukkoon formula_2 tai formula_10 riippuen siitä, minkä oppikirjan määritelmää käytetään. Välin formula_11 osajoukkoihin rajoitettu Lebesguen mitta on näitä kaikkia, mutta koko joukon formula_2 Lebesguen mitta ei tietenkään ole kompleksinen mitta. 
Määritelmä.
Merkitään formula_13 (laajennetun lukusuoran ei-negatiivinen osa). 
Oletetaan, että formula_14 on joukko ja formula_15 on jokin joukon formula_14 sigma-algebra. Sanomme, että funktio formula_17 on mitta, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:
Ehtoa (2) kutsutaan usein "täysadditiivisuudeksi" tai formula_22"-additiivisuudeksi".
Jos formula_23 on mitta joukossa formula_14, niin kutsumme kolmikkoa formula_25 mitta-avaruudeksi. Joukkoa formula_14 kutsutaan tällöin "perusjoukoksi" ja sigma-algebran formula_15 alkioita "mitallisiksi joukoiksi".
Ominaisuuksia.
Mitan määritelmän avulla voidaan osoittaa esimerkiksi seuraavat ominaisuudet jokaisessa mitta-avaruudessa formula_28:
Ulkomitan määräämä mitta.
Usein mittateoriassa mitta pyritään määrittelemään ns. ulkomitan avulla. Ulkomitta ei itsessään ole (yleensä) mitta, mutta siitä saadaan Carathéodoryn lauseen avulla mitta. Näin saatuja mittoja ovat mm. Hausdorffin mitat ja Lebesguen mitta.
Nimityksiä.
Esimerkiksi reaalilukujen joukko formula_2 varustettuna Lebesguen mitalla formula_1 on σ-äärellinen mutta ei äärellinen. Se ei ole äärellinen, koska formula_49. Tarkastellaan suljettuja välejä formula_50 kaikilla kokonaisluvuilla formula_51. Näitä on numeroituvan monta, kaikkien mitta on formula_52, ja niiden yhdiste on koko reaaliakseli. Tarkastellaan reaalilukujen joukkoa varustettuna lukumäärämitalla formula_53, joka antaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärän mutta äärettömille joukoille arvon formula_6. Tämä mitta formula_53 ei ole σ-äärellinen, sillä jokainen äärellismittainen joukko sisältää vain äärellisen monta pistettä, joten reaaliakselia ei saada numeroituvana yhdisteenä äärellismittaisista joukoista (äärellisten joukkojen numeroituva yhdiste kun on numeroituva toisin kuin formula_2).