Normaali (matematiikka)

Normaali on geometriassa vektori tai suora, joka leikkaa tasossa kohtisuorasti toista janaa, suoraa, vektoria tai käyrää vasten, taikka tilassa myös tasoa tai pintaa vasten. Tasogeometriassa suoran, janan tai vektorin normaali on toinen suora tai vektori, joka on kohtisuorassa tätä vasten. Jos kohteena on mutkitteleva käyrä, on normaali kohtisuorassa tässä kohdassa olevaa käyrän tangenttia vasten. Avaruusgeometriassa suorien, janojen ja vektorien normaali määritellään samoin kuin tasogeometriassa. Tilassa voi vielä esiintyä tasoja, joiden normaali on suora tai vektori, joka on kohtisuorassa tasoa vastaan katsottiinpa sitä tasossa miltä suunnalta hyvänsä. Tällöin normaali on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tila-avaruudessa mutkittelevan pinnan normaali on kohtisuorassa pinnan tangenttitasoa vasten.
Kuvioissa kahden kohtisuorasti kohtaavan objektin väliin piirretään pieni neliö taikka kulmakaari, jonka sisälle merkitään piste. Tekstissä kohtisuoruus voidaan esittää objektien tunnusten väliin sijoitettavalla kohtisuoruussymbolilla. Seuraavassa esimerkissä formula_1 ja formula_2 ovat suoria, formula_3 ja formula_4 vektoreita, formula_5 ja formula_6 janoja, formula_7 on käyrä, formula_8 on taso ja formula_9 on pinta. Silloin voidaan edellisen esityksen mukaisesti merkitä esimerkiksi
formula_10
tai avaruusgeometriassa edellisten lisäksi myös vektorin kanssa esitettynä 
formula_11 
ja janalla ja suoralla vastaavalla tavalla.
Tasogeometriassa.
Suorat ja janat.
Kahden suoran leikatessa toisensa kohtisuorasti, ovat molemmat suorat toistensa normaaleja. Koska suorien leikkauskohdassa olevat neljä kulmaa ovat toisilleen vieruskulmat ja ristikulmat, ovat ne kaikki 90°.
Normaalit voidaan aina piirtää käyttäen konstruktiivista menetelmää viivaimella ja harpilla. Jos tasolta, jossa kulkee jo suora, osoitetaan piste, voidaan tämän pisteen kautta aina piirtää suoralle normaali. Jos piste on annetulla suoralla, piirretään harpilla pisteen ympärille ensin ympyrä. Ympyrän ja suoran leikkauspisteistä piirretään ympyrän halkaisijan pituisella säteellä kaksi puoliympyrää niin, että nämä leikkaavat toisensa. Puoliympyröiden leikkauspisteistä vedetään suoralle normaali. Sama voidaan tehdä myös silloin, kun piste sijaitsee sivussa annetusta suorasta. Ensin piirretään riittävän pitkällä säteellä harpin avulla kaari, joka leikkaa suoraa kahdessa leikkauspisteessä. Leikkauspisteistä piirretään leikkauspisteiden välin pituisella säteellä kaksi puoliympyrän kaarta, joiden leikkauspisteiden kautta vedetään suoralle normaali.
Kahden suoran avulla, jotka leikkaavat toisensa muuten kuin kohtisuorasti, voidaan muodostaa uudet suorat, jotka ovat kohtisuorat. Koska ristikulmien kulmanpuolittajat muodostavat aina yhteisen suoran, voidaan kahden leikkaavan suoran molemmista ristikulmaparista muodostaa kaksi keskenään leikkaavaa suoraa. Näiden kulmanpuolittajasuorien välinen kulma on suorakulma, koska vieruskulmiensa (α + β = 180°) puolikkaina ne muodostavat välillensä suoran kulman (α/2 + β/2 = (α + β)/2 = 90°).
Janalle voidaan konstruoida normaali vastaavalla tavalla. Lähtien ulkopuolisesta tai janalla olevasta pisteestä, voidaan määrätä normaali samalla tavalla. Jos jana on lyhyt, voidaan sitä aina jatkaa viivaimella, jotta piirrokset ovat riittävän laajat. Janalle voidaan muodostaa myös keskinormaali, joka kulkee janan keskipisteen kautta. Janan normaalin jokaisen pisteen etäisyydet janan kummastakin päätepisteestä ovat aina samat.
Jos janana on ympyrän säde, voidaan sen kehäpisteeseen piirtää tangentti, joka on aina ympyrän säteen normaali. Kolmion korkeusjana on sen kannan normaalin suuruinen, joka piirretään kulkemaan huipun kautta. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat toisensa normaalien suuntaiset.
Analyyttinen geometria.
Jokaisella vaakasuoralla "y = a" on normaalina pystysuora "x = b", joissa luvut "a" ja "b" ovat vapaasti valittavina, ja päinvastoin.
Jos annettu vinosti kulkeva suora esitetään yhtälöllä 
 formula_12
ja on sen kulmakerroin formula_13. Normaalin yhtälön kulmakertoimeksi formula_14 tulee silloin
formula_15 
Ehdokkaita normaaliksi on äärettömän monia, sillä suoralta on vielä valittava se piste, jonka kautta normaali kulkee. Jos valittu piste on formula_16, saadaan yhtälöksi
formula_17
formula_18
Vektorit.
Yleisen suoran yhtälön, eli normaalimuotoisen suoran yhtälön, normaalivektori voidaan muodostaa yhtälön kertoimista
formula_19
Merkitään vektoria formula_20 ja formula_21 Vektorit formula_3 ja formula_4 ovat toistensa normaalivektoreita eli formula_24 jos 
Tämä pistetulon nollasääntö on hyvä vektoreiden kohtisuoruustesti.
Funktion kuvaajan normaalit.
Funktion kuvaajalle voidaan piirtää kohtaan "a" normaali, joka on kohtisuorassa kuvaajan samaan kohtaan piirrettyä tangenttia vastaan. Tangentin kulmakerroin formula_25 kohdassa "a" saadaan funktion derivaatan arvosta kyseisessä kohdassa. Normaalin kulmakerroin formula_14 määräytyy samalla tavalla kuin suorillakin eli
formula_27 
Normaalin yhtälö pisteessä formula_28 missä derivaatta on olemassa muttei ole arvoltaan nolla, on 
formula_29 
Jos derivaattaa ei siinä kohdassa ole olemassa, on normaalin yhtälö formula_30 Jos derivaatta on nolla, tulee normaalin yhtälöksi ottaa pystysuora formula_31 
Tason käyrät.
Ympyrän normaali on säteen suuntainen, koska ympyrän tangentti on sädettä kohtisuorassa ja normaali tangenttia kohtisuorassa.
Avaruusgeometriassa.
Tasot yleisesti ja analyyttisessä geometriassa.
Tila-avaruudessa esitettävä taso voi olla äärettömän monessa asennossa ja kohdassa, joten tasolle voidaan asettaa normaalisuora, -jana tai -vektori äärettömän moneen kohtaan. Lukuisista sijoitusvaihtoehdoista huolimatta samalla puolella tasoa olevat normaalivektorit osoittavat aina samaan suuntaan, kun tason vastakkaisella puolella olevat normaalivektorit osoittavat vastakkaiseen suuntaan. Molemmilla vektoreilla voidaan suunnata normaalisuorat, jotka ovat keskenään yhdensuuntaiset.
Tasolle sijoitettava normaali tulee olla kohtisuorassa kaikkien tasonsuuntaisten vektorien kanssa. Riittää kuitenkin valita kaksi tasonsuuntaista vektoria (esimerkiksi formula_3 ja formula_4), jotka ovat keskenään erisuuntaiset, ja normaali formula_34 voidaan määrittää näiden avulla käyttäen pistetuloa
formula_35 
Tason yhtälö voidaan muodostaa vektoreilla käyttäen normaalivektoria formula_34. Valitaan tasolta piste P, jonka avulla muut tason pisteet Q ilmoitetaan. Tasoehto sisältää pistetulon, jossa normaalivektori kerrotaan paikkavektoreiden erotuksella 
formula_37
formula_38 
Tason yhtälön muuttujien kertoimet A, B ja C ovat siten normaalinvektorin komponentteja.
Yleiset pinnat.
Tilassa mutkittelevan pinnan eri kohtien tangenttitasot ovat eri asennoissa. Tason normaalit, jotka ovat samalla myös pinnan normaalivektorit, ovat siten myös eri asennoissa. Jos esimerkiksi kaksiulotteinen pinta P mutkittelee kolmiulotteisessa avaruudessa, voidaan se joissakin tapauksissa esittää yhtälöllä formula_39 Tämän pinnan normaali pisteessä formula_16 voidaan laskea osittaisderivaatoilla 
formula_41 
missä formula_42 ja formula_43 
Vektorit.
Kuten tasossakin, kaksi vektoria formula_44 ja formula_45 ovat kohtisuorassa eli formula_24 kun
formula_47