Virtafunktio

Virtafunktio on kaksiulotteisen ja kokoonpuristumattoman virtaavan fluidin nopeutta kuvaava funktio. Virtafunktio on apuväline virtauksen jatkuvuusyhtälön sekä Navierin−Stokesin yhtälöiden ratkaisemiseen pienentämällä muuttujien lukumäärä yhteen. Virtafunktion geometrinen tulkinta liittyy virtauksen virtaviivoihin: virtaviivat ovat viivoja, joiden kohdalla virtauksen virtafunktion arvo on vakio.
Määritelmä.
Karteesiset koordinaatit.
Tarkastellaan virtauksen nopeusvektorikenttää formula_1. Virtausta kuvaava jatkuvuusyhtälö on
formula_2,
missä
formula_3 on virtaavan fluidin tiheys,
formula_4 on aika ja
formula_5 on osittaisdifferentiaalioperaattori "nabla".
Tässä muodossaan jatkuvuusyhtälössä on neljä muuttujaa: formula_6, formula_7, formula_8 ja formula_4. Tarkoituksena on vähentää muuttujien määrää ensin kahteen. Tätä varten virtauksen pitää täyttää tiettyjä yksinkertaistavia ehtoja. Yleisin ehto on se, että virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta. Jos oletetaan, että nämä ehdot täyttyvät formula_10-tasossa, niin pätee
formula_11.
Määritellään nyt virtafunktio formula_12 siten, että sama yhtälö voidaan kirjoittaa
formula_13.
Toisin sanoen virtafunktio on määriteltävä siten, että
formula_14
jolloin virtauksen nopeus saa muodon
formula_15.
Napakoordinaatit.
Mikäli fluidin virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta ja sen nopeus on määritelty napakoordinaatein formula_16, on virtafunktio määriteltävä siten, että
formula_17
Sylinterikoordinaatit.
Olkoon nyt fluidin virtaus kolmiulotteista ja kokoonpuristumatonta siten, että sen nopeus on vain säteittäistä ja formula_18-akselin suuntaista: formula_19. Tällöin virtauksen virtafunktio on määriteltävä siten, että
formula_20
Kokoonpuristuva virtaus.
Virtafunktio voidaan määritellä myös kaksiulotteiselle virtaukselle, jossa tiheys ei pysy vakiona. formula_10-tasossa jatkuvuusyhtälöstä tulee tällöin
formula_22.
Nyt virtafunktio määritellään yksinkertaisesti siten, että
formula_23
Virtafunktion ominaisuuksia.
Virtaviiva.
Kaksiulotteisen virtauksen virtaviivoja ovat ne käyrät, jotka ovat kaikkialla virtauksessa sen nopeusvektorin tangentin suuntaisia. Nämä käyrät noudattavat yhtälöä
formula_24,
eli formula_25. Sijoittamalla virtafunktio tähän yhtälöön saadaan
formula_26.
Toisaalta yhtälön vasen puoli on ketjusäännön nojalla virtafunktion differentiaali:
formula_27.
Virtafunktion differentiaalille siis pätee
formula_28,
eli virtafunktion arvo on vakio virtaviivalla. Virtafunktion geometrinen tulkinta on siis se, että sen tasa-arvokäyrät ovat virtauksen virtaviivoja.
Tilavuusvuo.
Virtafunktion fysikaalinen tulkinta liittyy virtauksen tilavuusvuohon formula_29 (jota ei pidä sekoittaa virtaamaan). Kuvitellaan kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen tarkkailupinta, joka on pystysuorassa virtaukseen nähden ja jonka korkeus formula_18-akselin suunnassa on 1. Tilavuusvuo tarkkailupinnan differentiaalisen pienen alan läpi on
formula_31,
missä
formula_32
on pinnan yksikkönormaali. Korvataan nopeusvektori virtafunktiolla, jolloin
formula_33
Kahden virtaviivan, formula_34 ja formula_35, rajoittaman tarkkailupinnan osan läpi kulkeutuva tilavuusvuo on tällöin virtafunktioiden erotus:
formula_36.
Sovelluksia.
Roottori.
Kaksiulotteisen, kokoonpuristumattoman virtauksen nopeusvektorikentän roottori saadaan virtafunktion ja Laplacen operaattorin avulla:
formula_37,
jossa formula_38 on karteesisen koordinaatiston positiivisen formula_8-akselin suuntainen yksikkövektori.
Navierin−Stokesin yhtälö.
Virtaavan fluidin liikemääräyhtälö, eli Navierin−Stokesin yhtälö on
formula_40,
missä
formula_41 on putoamiskiihtyvyys,
formula_42 on paine ja
formula_43 on fluidin viskositeetti.
Kun sovelletaan Navierin−Stokesin yhtälöä kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen sekä otetaan roottori yhtälön kummaltakin puolelta, saadaan yhtälö, joka kuvaa virtauksen virtafunktiota formula_44:
formula_45,
missä formula_46 on fluidin kinemaattinen viskositeetti. Näin saadaan yhtälö, jossa on vain muuttuja formula_44. Toisaalta varjopuolena on se, että näin saatu yhtälö on neljännen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, jonka ratkaiseminen on, mikäli edes mahdollista, ainakin työlästä.
Laplacen yhtälö.
Eräs tärkeä virtafunktion sovellus on kaksiulotteinen, kokoonpuristumaton, kitkaton ja pyörteetön virtaus, jossa siis on edellisten oletusten lisäksi formula_48 ja formula_49. Tätä virtausta kuvaa Laplacen yhtälö
formula_50.