Homologia

Matematiikassa homologia on tapa rakentaa Abelin ryhmiä tai moduleja, jotka luonnehtivat homomorfisin kuvauksin kytketyn moduulijonon tiettyjä ominaisuuksia. Ko. jono muodostetaan tavallisesti siten että se kuvaa jotain matemaattista objektia, jolloin homologia kertoo jotain kiintoisaa tästä objektista.
Homologia alkoi topologisten avaruuksien luokittelusta ja kehittyi yleiseksi algebralliseksi teoriaksi, jota käytetään algebrallisessa geometriassa, ryhmäteoriassa, topologiassa jne. Topologisessa yhteydessä käytettyjä homologiateorioita yhdistävät Eilenbergin–Steenrodin aksioomat.
Yleinen rakennelma.
Olkoon formula_1 avaruus, jossa voidaan rakentaa Abelin ryhmistä tai moduleista koostuva ketjukompleksi formula_2, joka sisältää jotain tietoa formula_1:stä ja jonka jäsenien välillä on homomorfismeja
formula_4,
missä formula_5 ja formula_6, niin voidaan rakentaa homologiaryhmät seuraavalla tavalla: homomorfismien välillä oleva yhtälö tarkoittaa, että formula_7, ja voidaan rakentaa tekijäryhmä formula_8, jonka sanotaan olevan formula_9. homologiaryhmä formula_10:stä.
Singulaarinen homologia.
Homologia rakennelma vaikuttaa kenties mielivaltaiselta, mutta se tulee esiin luonnollisella tavalla, kun käsitellään simpleksejä ja topologisia avaruuksia. Lyhyesti, standardi formula_11-simpleksi formula_12 on joukko vektoreita formula_9-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa 
formula_14
ja formula_9-simpleksi formula_16 topologisessa avaruudessa formula_10 on jatkuva kuvaus formula_12:stä formula_10:ään:
formula_20
formula_16:n reuna formula_22 on määritelty formaaliksi summaksi formula_16 rajoitettu formula_12:n alisimplekseihin, missä suunnistus vaikuttaa etumerkkiin. Esimerkiksi, jos formula_10 on viiva formula_26, niin silloin formula_27 ja formula_28. Olkoon formula_29 rengas. Tällöin voidaan konstruoida formula_29-moduuli, jonka virittäjät ovat kaikki formula_11-simpleksejä formula_10:ssä formula_33. Nyt meillä on formula_29-moduleista koostuva ketjukompleksi, jonka jäsenten välillä on määritelmässä vaaditut homomorfismit.
Kuvausta formula_35 sanotaan formula_11-reunoiksi formula_37 ja kuvausta formula_38 sanotaan formula_11-sykleiksi formula_40. formula_10:n singulaarisia homologiaryhmiä ovat siten formula_42 (eli formula_43 jokaiselle formula_9:lle).
Eksakteja jonoja.
Eksakti jono on moduleista muodostunut jono
formula_45,
missä formula_46. Seuraavat jonot ovat tärkeitä:
formula_47
eli formula_48;
formula_49
eli formula_50 ja formula_51 ovat isomorfisia.
Jos formula_52, formula_53, ja formula_54 ovat ketjukomplekseja ja meillä on seuraava lyhyt eksakti jono
formula_55
eli
formula_56
jokaiselle formula_9:lle, voidaan rakentaa pitkä eksakti jono
formula_58
Tämä on käärmelemman sovellutus, ja se on kätevä tapa hahmottaa tuntemattomia homologiaryhmiä tunnetuista ryhmistä.
Kategorinen näkökulma.
Tietty homologiateoria voidaan tulkita myös kategoriseksi funktoriksi, joka vie jonkin määrityn kategorian Abelin moduulien kategoriaan. Näin katsottuna formula_59 on kovariantti funktori. Siis jos formula_1 ja formula_61 ovat samassa kategoriassa formula_62, ja formula_63 on morfismi niiden välillä, silloin homologiassa formula_64 vie formula_65:n formula_66:iin. Usein formula_64 kirjoitetaan formula_68.
Singulaarinen homologia on siten funktori topologisen avaruuksien kategoriasta Abelin moduulien kategoriaan. Jos formula_69 on ketju jossain topologisessa avaruudessa formula_1, ja formula_63 on jatkuva kuvaus, niin summa formula_72 on ketju formula_61:ssä. Näin formula_74:stä tule homomorfismi formula_75.
Kategoriateorian näkökulmasta kohomologia on kontravariantti homologiateoria, jossa siis kohomologiafunktori formula_76 on kontravariantti. Näin kohomologia on homologian kategorinen duaali. Kullekin homologian ketjukompleksin moduulille on siis duaalimoduuli vastaavan kohomologian ketjukompleksissa. Ketjukompleksissa, josta kohomologiaryhmät muodostetaan, homomorfismit kuvaavat aina astetta ylemmälle moduulille: käsiteltävä ketjukompleksi "menee toiseen suuntaan".