Relaatioalgebra

Relaatioalgebra on abstraktin algebran osa-alue, jonka käsittämillä operaattoreilla voidaan muodostaa uusia relaatioita operandina saatavista olemassa olevista relaatioista.
Relaatioalgebra muodostaa relaatiotietokantojen ja niiden käsittelyyn tarvittavien kyselykielien (esim. SQL) teoreettisen pohjan. Relaatioalgebra käsittää yhteen relaation kohdistuvia unaarisia operaattoreita (esim. valinta, uudelleennimeäminen) ja kahta relaatiota käsitteleviä binaarisia operaattoreita.
Unaariset operaattorit.
Valinta.
Valinta tuottaa relaation valitsemalla alkuperäisen relaation monikot, jotka täyttävät operaattorille määritetyn valintaehdon. Operaatiota kuvataan notaatiolla formula_1, missä formula_2 on valintaoperaattori, jolla on valintaehto formula_3. formula_4 on lähtörelaatio.
Valintaehto voi koostua alkuperäisen relaation attribuuteista, arvojoukkojen vakioista tai alkuperäisen relaation pohjalta kirjoitetuista vertailulauseista. Ehtolauseita voidaan yhdistellä loogisilla operaattoreilla ja, tai ja ei.
Projektio.
Projektio tuottaa relaation, johon on valittu halutut alkuperäisen joukon attribuutteja vastaavat sarakkeet. SQL-kyselykielen projektio-operaattori eroaa toteutuksessaan relaatioalgebran kuvaamasta, sillä kyselykielessä syntyvään uuteen relaatioon jätetään toisteiset monikot, kun relaatioalgebran operaattorissa ne poistetaan.
Projektio kuvataan relaatioalgebrassa notaatiolla formula_5, missä formula_6 on projektio-operaattori, formula_7 ovat projektiossa syntyvään relaatioon sisällytettävät attribuutit ja formula_4 lähtörelaatio.
Uudelleennimeäminen.
Uudelleennimeäminen tuottaa alkuperäistä relaatiota vastaavan uuden relaation, missä voidaan vaihtaa joko relaation, sen attribuuttien tai molempien nimiä. Operaatio kuvataan muodossa formula_9, missä formula_4 on alkuperäinen relaatio, formula_11 muodostettavalle relaatiolle annettava nimi ja formula_12 muodostetun relaation attribuuteille annettuja uusia nimiä. Mikäli attribuutteja ei lähdetä uudelleennimeämään, voidaan operaattori esittää tiiviimmässä muodossa formula_13.
Monikkoja yhdistävät operaattorit.
Karteesinen tulo.
Karteesinen tulo muodostaa relaation, johon kuuluvat pareittain kaikki lähtörelaatioiden alkiot. Kahden relaation karteesinen tulo vastaa joukko-opin unionia ja sisältää kaikki mahdolliset monikot, joissa jokin ensimmäisen relaation monikko on yhdistetty toisen relaation monikon kanssa. Operaattorin käyttökohteet yksinään ovat varsin rajalliset, mutta operaattorilla voidaan yhdistellä relaatioita monipuolisesti, kun operaattori yhdistetään unaariseen valintaoperaatioon.
Karteesisen tulon notaatio on formula_14, missä formula_4 ja formula_11 ovat lähtörelaatiot ja formula_17 tulo-operaattori.
Luonnollinen liitos.
Luonnollinen liitos yhdistää kahden tietokannan yhteiset attribuutit ja poistaa kaikki monikot, joiden yhteiset attribuutit eivät vastaa toisiaan. Liitoksen tiukat toteutumisehdot rajoittavat sen käyttökohteita, sillä se ei sovellu esimerkiksi tilanteisiin, missä liitettävillä relaatioilla ei ole samannimisiä attribuutteja. Liitos voidaan myös tehdä vain relaatioille, joissa esiintyy yksi samanniminen attribuutti.
Luonnollisen liitoksen notaatio on formula_18, missä formula_4 ja formula_11 ovat liitettävät alkuperäiset relaatiot ja formula_21 liitosoperaattori.
Theta-liitos.
Theta-liitos on luonnollisen liitoksen tapainen liitto-operaattori. Liitos tehdään luonnollisesta liitoksesta poiketen erikseen määritetyn ehdon perusteella ja se säilyttää molempien alkuperäisten relaatioiden kaikki attribuutit. Liitoksessa syntyvään relaatioon lisätään monikot, jotka täyttävät liitokselle annetun ehdon. Uuden relaation attribuutteja käsitellään liitoksen jälkeen alkuperäisiin relaatioihin viitaten.
Theta-liitoksen notaatio on formula_22, missä formula_23 on liitosoperaattori, jonka liitosehto on formula_3. formula_4 ja formula_11 ovat liitettävät alkuperäiset relaatiot.
Joukko-operaatiot.
Relaatioiden joukko-operaatiot edellyttävät, että lähtörelaatiot muodostuvat samoista attribuuteista. Lähtörelaatioiden attribuuttisarakkeet järjestellään ennen operaatioita samaan järjestykseen.
Unioni.
Unioni eli yhdiste sisältää lähtörelaatioiden monikot, jotka esiintyvät jommassakummassa tai molemmissa lähtörelaatioissa. Karteesisesta tulosta poiketen relaatioiden leikkaukselle osuvat monikot esiintyvät unionin tulosrelaatiossa vain kerran.
Unionin notaatio on formula_27, missä formula_4 ja formula_11 ovat lähtörelaatiot ja formula_30 unionioperaattori.
Leikkaus.
Leikkaus sisältää lähtörelaatioiden monikot, jotka esiintyvät vain molemmissa lähtörelaatioissa.
Leikkauksen notaatio on formula_31, missä formula_4 ja formula_11 ovat lähtörelaatiot ja formula_34 leikkausoperaattori.
Erotus.
Leikkaus sisältää ensimmäisen lähtörelaation monikot, jotka eivät esiinny toisessa lähtörelaatiossa.
Erotuksen notaatio on formula_35, missä formula_4 ja formula_11 ovat lähtörelaatiot ja formula_38 erotusoperaattori.