Cantorin joukko

Cantorin joukko on matematiikassa saksalaisen matemaatikon Georg Cantorin vuonna 1883 esittämä merkittävä välillä [0,1] olevien lukujen konstruktio.
Määritelmä.
Cantorin joukko määritellään siten, että yksikköväli [0,1] jaetaan kolmeen yhtäsuureen osaan ja väleistä keskimmäinen poistetaan. Sitten jäljelle jääneet välit [0, 1/3] ja [2/3, 1] jaetaan kolmeen yhtäsuuren osaan ja näistä keskimmäiset poistetaan. Tätä toistetaan äärettömän monta kertaa. Cantorin joukko koostuu jäljelle jääneistä välin [0, 1] pisteistä.
Prosessin kuusi ensimmäistä vaihetta on kuvattu alla:
Joukon mitta.
Koska Cantorin joukko on määritelty väleinä, jotka poistetaan konstruktiossa, Cantorin joukon Lebesguen mitta voidaan laskea poistettujen välien pituuksien avulla. Tämä saadaan geometrisena sarjana
formula_1
joten Cantorin joukon Lebesguen mitta on 1 – 1 = 0. Toisaalta voidaan huomata, että jokaisella askeleella Cantorin pituus pienenee 2/3 osaan edellisestä pituudesta, joten Cantorin joukon pituus on ääretön tulo 2/3 × 2/3 × 2/3 × ..., joka on siis 0. Cantorin joukon Hausdorffin dimensio on formula_2 ja tällä dimensiolla vastaava Hausdorffin mitta Cantorin joukosta on 1.
Mitä Cantorin joukkoon kuuluu?
Aluksi saattaa näyttää hämmentävältä, että poistoissa jää jäljelle ylipäänsä mitään, sillä poistettujen välien yhteispituus on 1 eli sama kuin alkuperäisen välin. Tarkemmin katsottuna jäljelle jää kuitenkin pisteitä, sillä keskimmäinen poistettu kolmannes on avoin joukko eli sen päätepisteitä ei poisteta. Siten poistamalla jana (1/3, 2/3) alkuperäisestä välistä [0, 1] jää jäljelle pisteet 1/3 ja 2/3. Seuraavatkaan poistot eivät poista näitä pisteitä, sillä poistettu väli kuuluu aina toisen välin sisälle. Samaan tapaan voidaan osoittaa, että esimerkiksi murtoluvut 1/9, 2/9, 7/9 ja 8/9 kuuluvat Cantorin joukkoon, niin myös 1/27, 2/27, 25/27, 26/27, 1/81, 2/81, 79/81, 80/81 ja yleensäkin muotoa formula_3, formula_4, formula_5 ja formula_6 olevat murtoluvut. Lisäksi siihen kuuluu muitakin murtolukuja, joiden nimittäjä on kolmen potenssi, joskaan eivät kaikki tällaiset murtoluvut. Siten Cantorin joukko ei ole tyhjä.
Cantorin joukkoon kuuluu kuitenkin myös suuri joukko irrationaalilukuja. Voidaan myös osoittaa, että se on ylinumeroituva, eli se on aidosti mahtavampi joukko kuin luonnollisten lukujen joukko formula_7. Todistus perustuu siihen, että Cantorin joukon pisteet voidaan esittää 3-kannassa desimaaliesityksinä, joissa ei ole mukana ykkösiä (vain 0 ja 2). Tämän jälkeen ylinumeroituvuus voidaan todistaa Cantorin diagonaaliesityksen tapaan.
Dynaaminen iterointiin perustuva tulkinta.
Cantorin joukolle voidaan antaa myös dynaaminen iterointiin perustuva määritelmä, joka on vastaavanlainen kuin esimerkiksi se tapa, jolla Mandelbrotin joukko yleensä määritellään.
Olkoon formula_8 kuvaus, joka on määritelty niin, että
formula_9
Kyseessä on siis "sahalaita-kuvaaja", jolla formula_10 tarkalleen silloin kun formula_11, se saa maksimiarvonsa formula_12 pisteessä formula_13 ja arvon formula_14 pisteissä formula_15 ja formula_16, ja lisäksi formula_17 lähestyy raja-arvoa formula_18 ("miinus ääretön"), kun formula_19 lähestyy raja-arvoa formula_20 tai formula_18.
Määritellään reaaliluvun formula_19 positiivinen rata kuvauksen formula_23 suhteen nyt niiden reaalilukujen joukoksi, jonka alkiot on saatu iteroimalla arvoa formula_19 kuvauksella formula_23 mielivaltaisen monta kertaa, eli kyseessä ovat luvut formula_26, missä formula_27 on lyhennysmerkintä sille, että arvoa formula_19 on iteroitu formula_29 kertaa, jolloin esimerkiksi formula_30 tarkoittaa arvoa formula_31. (Lisäksi tulkitaan, että formula_32 ja formula_33.) Esimerkiksi lähtemällä arvosta formula_34 iteroinnin ensimmäiset kuusi lukua ovat formula_35 formula_36 ja formula_37.
Voidaan osoittaa, että Mandelbrotin joukon määritelmää vastaavalla tavalla Cantorin joukko koostuu tarkalleen niistä reaaliluvuista formula_19, joiden kuvauksen formula_23 suhteen otettu positiivinen rata on rajoitettu, eli on olemassa sellainen luku formula_40 (Luku formula_41 saa riippua iteroinnin aloittavasta reaaliluvusta formula_19.), että reaalilukua formula_19 iteroimalla saatava positiivinen rata on kokonaan rajoitetun välin formula_44 sisällä. Lisäksi on helppo nähdä, että tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että reaaliluvun formula_19 positiivinen rata sisältyy kokonaisuudessaan yksikköväliin formula_46. Tämä seuraa siitä, että jos jossain iteroinnin kohdassa formula_29 on voimassa formula_48, selvästi formula_49, joka lähestyy raja-arvoa formula_50, kun formula_51 kasvaa eli iterointi etenee pidemmälle. Yksikkövälin formula_46 oikeaa puolta koskeva väite seuraa tästä nyt helposti, sillä jos iteroinnin jossain kohdassa formula_29 on voimassa formula_54, selvästi formula_55, jolloin jatko voidaan päätellä aiemman formula_56-tilanteen perusteella. Erityisesti yllä olevan esimerkin piste formula_34 ei kuulu Cantorin joukkoon, sillä esimerkissä nähtiin, että formula_58, eli pisteen formula_34 iterointi kuvauksen formula_23 suhteen menee yksikkövälin formula_46 ulkopuolelle.