Lineaarinen riippumattomuus

Lineaarinen riippumattomuus on eräs matematiikan ja erityisesti lineaarialgebran keskeisimpiä teemoja. Tärkeytensä vuoksi se tulee käsitteenä vastaan myös puhtaan matematiikan ulkopuolella, esimerkiksi kvanttimekaniikassa, jossa kantafunktioilla on keskeinen merkitys.
Vektoreiden lineaarinen riippumattomuus.
Olkoon formula_1 joukko vektoreita ja formula_2 joukko jonkin kerroinkunnan alkioita, tavallisesti reaalilukuja. Sanotaan, että vektorit formula_3 ovat lineaarisesti riippumattomia, jos lauseke
formula_4
pätee jos ja vain jos "kaikki" kertoimet formula_5 ovat nollia. Jos jokin tai jotkin kertoimista eivät ole nollia, sanotaan vektoreiden olevan lineaarisesti riippuvia. Käytännössä lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa sitä, ettei yksikään vektoreista ole joukon muiden vektoreiden monikertojen summa eli lineaarikombinaatio. Esimerkiksi vektorit
formula_6 ja formula_7
ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia, sillä
formula_8
on mahdollista vain silloin, kun formula_9. Jos kuitenkin otetaan mukaan kolmas vektori
formula_10
saadaan lineaarikombinaatio
formula_11,
joka toteutuu silloin, kun formula_12 ja formula_13, joten vektorit eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Kaikkien annetussa vektoriavaruudessa lineaarisesti riippumattomien vektoreiden joukko määrittelee vektoriavaruuden kannan. Vaikka kanta ei olekaan yksikäsitteinen (sillä jos esimerkiksi formula_14 on kanta, myös formula_15 on kanta), kantavektoreiden lukumäärä avaruudessa on vakio, ja se määrää tutkittavan vektoriavaruuden dimension. Edellisessä esimerkissä avaruuden dimensio on kaksi.
Funktioiden lineaarinen riippumattomuus.
Samaan tapaan kuin vektoreille lineaarinen riippumattomuus voidaan määritellä yleisemminkin funktioille. Olkoot formula_16 joukossa formula_17 määriteltyjä funktioita ja formula_2 kerroinkunnan alkioita. Vektoreiden tapaan funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia, jos
formula_19
kaikilla formula_20, vain silloin, kun kaikki kertoimet ovat nollia. Funktioiden lineaarinen riippumattomuus on olennaista, jos halutaan tietää, muodostavatko ne funktioavaruuden kannan. Funktioavaruuden dimensio määräytyy niin ikään lineaarisesti riippumattomien funktioiden lukumäärästä. Erotuksena vektoriavaruuteen on kuitenkin se, että on helppoa määritellä ääretöndimensioisia funktioavaruuksia käyttämällä kantana esimerkiksi ortogonaalisia polynomeja.
Lineaarisen riippumattomuuden toteaminen.
Lineaarialgebrassa usein tulee vastaan tilanne, jossa annettujen olioiden, vektorien tai muiden sellaisten lineaarinen riippuvuus tai riippumattomuus on todettava. Tyypillisesti tämä palautuu kysymykseen yhtälöryhmän ratkaisemisesta. Esimerkiksi, jos halutaan tietää, ovatko vektorit 
formula_21 ja formula_22
lineaarisesti riippumattomia, on ratkaistava yhtälöpari
formula_23.
Tämän tulokseksi saadaan formula_24 ja formula_25, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Mikä tahansa nollasta eroava arvo "x":lle tai "y":lle olisi puolestaan merkinnyt lineaarista riippuvuutta. Matriisilaskennasta on tunnettua, että yhtälöparin ratkaisun olemassaolon kertoo myös yhtälöryhmästä kirjoitettu determinantti. Niinpä voidaan kirjoittaa determinantti sellaiselle matriisille, jonka pystyriveinä ovat tutkittavat vektorit
formula_26.
Koska determinantti "ei ole" nolla, vektorit eivät ole toistensa lineaarikombinaatioita ja ne ovat siis lineaarisesti riippumattomia.
Wronskin ja Casoratin determinantit.
Jatkuvien funktioiden lineaarisen riippumattomuuden toteamiseen voidaan käyttää Wronskin determinanttia. Joukolle funktioita formula_27 se määritellään funktioista ja niiden derivaatoista muodostuvaksi determinantiksi
formula_28.
Funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia kaikilla niillä "x":n arvoilla, joilla determinantti ei ole nolla. Wronskin determinantti on tärkeä differentiaaliyhtälöiden teoriassa. Jos formula_29 on "N" funktiota sisältävä joukko diskreettejä funktioita, niiden lineaarista riippuvuutta testaa Casoratin determinantti
formula_30
Koska Casoratin determinantin kahden vaakarivin erotus on derivaatan diskreetti analogia, kyseessä on Wronskin determinantin suora yleistys. Myös tässä tapauksessa funktiot formula_31 ovat lineaarisesti riippumattomia, jos determinantti eroaa nollasta.