Matematiikan filosofia

Matematiikan filosofia on filosofian osa-alue, joka tutkii 
matematiikan filosofisia perusteita, oletuksia ja seurauksia. 
Yleistä.
Matematiikan filosofian teemoja ovat muun muassa:
Termit "matematiikan filosofia" ja "matemaattinen filosofia" voidaan nähdä joko samoina tai erillisinä. Viimeksi mainittu voidaan käsittää kolmella tavalla. Ensinnäkin se voidaan ymmärtää pyrkimyksenä määritellä jokin filosofinen aihealue, kuten estetiikka, etiikka, logiikka, metafysiikka tai teologia täsmällisemmässä ja tiukemmin määritellyssä muodossa. Tällainen oli tyypillistä skolastisille filosofeille sekä Gottfried Leibnizin ja Baruch Spinozan järjestelmille. Toiseksi se voidaan käsittää jonkin matemaatikon tai matemaatikkoyhteisön työfilosofiana. Kolmanneksi sen voidaan katsoa viittaavan matemaattisen filosofian lähestymistapaan, jota Bertrand Russell sovelsi teoksessaan "Introduction to Mathematical Philosophy" ("Johdanto matemaattiseen filosofiaan").
Matematiikan filosofia on osittain päällekkäistä metafysiikan kanssa sikäli, että jotkut siihen kuuluvat näkemykset ovat realistisia matemaattisten olioiden suhteen, ja katsovat näiden olioiden olevan olemassa joko transsendentaalisesti, fysikaalisesti tai mentaalisesti. Platonisen realismin mukaan matemaattiset oliot ovat olemassa transsendentaalisessa ei-fysikaalisten olioiden todellisuudessa. Matemaattisen empirismin mukaan matemaattiset oliot ovat tavallisia fysikaalisia olioita. Tämä tarkoittaa, että esimerkiksi kolmiot ovat olemassa fysikaalisesti. Intuitionismin mukaan kaikki matemaattiset totuudet ovat kokemuksellisia ja matematiikka on ihmisten suorittamaa konstruktiivista mentaalista toimintaa. Muut matematiikanfilosofiset näkökannat, kuten formalismi ja fiktionalismi, eivät myönnä matemaattisten olioiden olemassaoloa ja ovat näin antirealistisia.
Historiaa.
Länsimaisen matematiikan filosofian juuret ovat Platonissa, joka tutki matemaattisten olioiden ontologista asemaa, ja Aristoteleessa, joka tutki logiikkaa ja äärettömyyteen liittyviä ongelmia. Antiikin kreikkalainen matematiikan filosofia sai paljon vaikutteita geometriasta. Esimerkiksi tiettynä aikana kreikkalaiset olivat sitä mieltä, ettei 1 (yksi) ole luku, vaan ennemminkin pituuden yksikkö. Varhaiset kreikkalaiset ajatukset luvuista kuitenkin joutuivat väistymään, kun irrationaaliluvut keksittiin luvun 2 neliöjuuren löytämisen myötä. Tämä johti koko kreikkalaisen matemaattisen ajattelun uudistamiseen.
Monet kreikkalaisen matematiikan ajatukset säilyivät 1600-luvulle saakka. Tuolloin huomio alkoi kiinnittyä yhä enemmän matematiikan ja logiikan väliseen suhteeseen. Tämä näkökulma oli keskiössä ennen kaikkea Gottlob Fregen ja Bertrand Russellin matematiikan filosofiassa, mutta se joutui myöhemmin kyseenalaistetuksi matematiikan kehityksen myötä. 1900-luvun matematiikan filosofiaa hallitsivat kiinnostus formaaliin logiikkaan, joukko-oppiin ja matematiikan perustaan. Vuosisadan aikana matematiikan ontologiaa ja tietoteoriaa koskevat näkemykset jakaantuivat eri koulukuntiin. Tämä on johtunut erilaisista reaktioista joihinkin uusiin yllättäviin ja intuition vastaisiin löytöihin formaalin logiikan ja joukko-opin alueilla. Tämä on johtanut epäilyksiin, jonka mukaan matematiikka sellaisena kuin se on tunnettu, ja matemaattinen analyysi erityisesti, eivät ole niin varmalla ja täsmällisellä pohjalla kuin on luultu. Jotkin suuntaukset ovat pyrkineet ratkaisemaan uudet ongelmat, jotkin puolestaan ovat katsoneet, ettei matematiikka ole oikeutettu asemaansa kaikkein luotettavimman tiedon lähteenä.
Suuntauksia.
Matemaattinen realismi.
Matemaattinen realismi, kuten ontologinen realismi yleensä, katsoo, että matemaattiset entiteetit ovat olemassa ihmismielestä riippumatta. Näin ihmiset eivät tee matematiikassa keksintöjä, vaan ennemminkin löytöjä, ja jos kaikkeudessa olisi muita älykkäitä olentoja, ne tekisivät samoja matemaattisia löytöjä. Seurauksena on olemassa vain yhdenlaista mahdollista matematiikkaa. Esimerkiksi kolmiot ovat todellisia entiteettejä, eivät ihmismielen luomuksia.
Monet tunnetut matemaatikot, kuten Kurt Gödel ja Paul Erdős, ovat kannattaneet matemaattista realismia ja nähneet itsensä luonnollisina esiintyvien matemaattisten entiteettien löytäjinä. Gödel katsoi, että on olemassa objektiivinen matemaattinen todellisuus, joka voidaan havaita tavalla joka vastaa aistihavaintoja. Matemaattisen realismin sisällä on kuitenkin erilaisia näkemyksiä siitä, millainen olemassaolo matemaattisilla entiteeteillä on ja kuinka niistä tiedetään.
Platonismi.
Platoninen realismi on realismin muoto, jonka mukaan matemaattiset entiteetit ovat abstrakteja, eli niillä ei ole aika-avaruudellisia tai kausaalisia ominaisuuksia. Tämän näkemyksen sanotaan usein olevan ihmisten arkijärjen mukainen näkemys esimerkiksi luvuista. Näkemystä kutsutaan platoniseksi siksi, koska se vastaa Platonin ideaopissaan esittämää näkemystä tosiolevaisten ideoiden maailmasta. Platon sai ajatuksiinsa vaikutteita pythagoralaisilta, joiden mukaan koko todellisuus koostui kirjaimellisesti luvuista.
Platonismin ongelmana on se, missä ja millä tavalla matemaattiset oliot tarkkaan ottaen ovat olemassa, ja kuinka saamme tietoa niistä? Onko jossain olemassa fysikaalisesta maailmastamme täysin erillinen maailma, jossa matemaattiset entiteetit sijaitsevat? Kuinka meillä on pääsy tähän maailmaan, ja teemme löytöjä näitä entiteettejä koskevista totuuksista? 
Logisismi.
Logisismi on näkemys, jonka mukaan matematiikka on palautettavissa logiikkaan, ja siksi vain logiikan osa-alue. Logisistien mukaan matematiikka on tunnettavissa "a priori" ja analyyttisesti. Näin logiikka on matematiikan oikea perusta, ja kaikki matemaattiset totuudet ovat välttämättä loogisia totuuksia.
Logisismin perustaja oli Gottlob Frege. Rudolf Carnap esitti logisistisen teesin kahdessa osassa:
Matemaattinen empirismi.
Matemaattisen empirismin mukaan matematiikkaa ei voida tuntea "a priori" lainkaan. Sen mukaan löydämme matemaattisia tosiasioita empiirisen tutkimuksen avulla, aivan kuten muillakin tieteenaloilla. Eräs näkemyksen varhaisia kannattajia oli John Stuart Mill. Hänen näkemyksiään kuitenkin kritisoitiin paljon, koska näkemyksen mukaan sellaiset lauseet kuten ”2 + 2 = 4” ovat epävarmoja, kontingentteja totuuksia, jotka voidaan oppia vain niin, että näemme kahden olioparin tulevan yhteen ja muodostavan neljän olion joukon.
Nykyaikaista matemaattista empirismiä ovat kannattaneet muun muassa W. V. O. Quine ja Hilary Putnam. Sen mukaan matematiikka on korvaamatonta empiirisille tieteille, ja jos haluamme uskoa tieteiden kuvaamien ilmiöiden olevan todellisia, meidän on uskottava myös näiden tieteiden käyttämien kuvausten vaatimiin matemaattisiin entiteetteihin. Esimerkiksi koska fysiikan täytyy puhua elektroneista selittääkseen, kuinka sähkölamppu toimii, elektronien täytyy olla olemassa; vastaavasti, koska fysiikan täytyy käyttää lukuja elektroneja koskevissa selityksissä, lukujen täytyy olla olemassa. Tällainen näkemys on naturalistinen, ja katsoo matemaattisten entiteettien olemassaolon olevan paras selitys havaintokokemuksille. Tämä kaventaa matematiikan ja muiden tieteiden välistä kuilua.
Intuitionismi.
Intuitionismi on metodologia, jonka motto on ”ei ole olemassa kokemuksesta riippumattomia matemaattisia totuuksia”. Intuitionismin perustaja on L. E. J. Brouwer. Hänen mukaansa matemaattiset oliot saavat alkunsa "apriorisista" muodoista, jotka antavat tietoa empiirisiä olioita koskevista havainnoista. Brouwerin lisäksi intuitionismia on kannattanut muun muassa Michael Dummett.
Intuitionismin mukaan matematiikka on ihmismielen konstruktiivista toimintaa. Se ei koostu analyyttisestä toiminnasta, jossa olemassaolon monisyisiä syväominaisuuksia paljastetaan ja sovelletaan. Sen sijaan logiikassa ja matematiikassa on kyse sisäisesti yhdenmukaisten menetelmien soveltamisesta vielä monisyisempien mentaalisten rakenteiden ymmärtämiseksi.
Konstruktivismi.
Konstruktivismin mukaan matemaattisen entiteetin olemassaolon todistamiseksi se on välttämättä ensin löydettävä (tai ”konstruoitava”). Kuten intuitionismi, konstruktivismi katsoo, että matematiikkaan tulee hyväksyä vain sellaiset matemaattiset entiteetit, jotka voidaan eksplisiittisesti konstruoida tietyssä mielessä. Matematiikka ei ole merkityksettömillä symboleilla pelattua peliä, vaan koskee entiteettejä, jotka voimme luoda suoraan mentaalisen toiminnan kautta. 
Formalismi.
Formalismin mukaan matemaattisia väittämiä voidaan pitää väittäminä, jotka koskevat tiettyjen merkkijonojen käsittelysääntöjen seuraamuksia. Esimerkiksi ”pelissä” nimeltä Euklidinen geometria (joka koostuu ”aksioomiksi” kutsutuista merkkijonoista sekä ”päättelysäännöistä”, joiden avulla annetuista merkkijonoista voidaan tuottaa uusia merkkijonoja) voidaan todistaa, että Pythagoraan lause pätee (eli voidaan tuottaa merkkijono, joka vastaa Pythagoraan lausetta). Matemaattiset totuudet eivät koske lukuja, joukkoja, kolmioita ja niin edelleen — eivätkä oikeastaan mitään todella olemassa olevaa.
Formalismin ei kuitenkaan tarvitse tarkoittaa, että matematiikassa on kyse vain merkityksettömästä symbolisesta pelistä. Formalisti voi toivoa, että on olemassa joku tulkinta, jolla ”pelin” säännöt pitävät.
Fiktionalismi.
Fiktionalismin mukaan luvut ja muut matemaattiset entiteetit eivät ole todellisuudessa olemassa, vaan ne ovat enemmän hyödyllistä fiktiota. Tämä sama ajatus tunnetaan myös yleisemmin filosofiassa fiktionalismina.
Matemaattinen fiktionalismi sai alkunsa kun Hartry Field osoitti teoksessaan "Science Without Numbers" (1980), kuinka tiedettä tehdään ilman matematiikkaa. Hän esitti Newtonin mekaniikan täydellisen aksiomatisoinnin, joka ei viitannut lukuihin tai funktioihin lainkaan. Hän esimerkiksi hyödynsi Hilbertin aksioomien ”välillisyyden” ("betweenness") käsitettä luonnehtiessaan avaruutta ilman avaruudellisia koordinaatteja. Hilbertin geometria oli matemaattista, koska se puhuu abstrakteista pisteistä, mutta Fieldin teoriassa nämä pisteet ovat konkreettisia fysikaalisen avaruuden pisteitä, joten erillisiä matemaattisia olioita ei tarvita.