Supremum

Järjestetyn joukon T osajoukon S supremum eli pienin yläraja on joukon T alkio, joka on pienin kaikista osajoukon S kaikkia alkioita suuremmista tai yhtä suurista alkioista. Joukon S supremum ei siis välttämättä sisälly joukkoon S. Jos joukko sisältää suurimman alkion eli maksimin, on se myös joukon supremum. Supremum on yksikäsitteinen, jos se on olemassa.
Reaaliluvuille on tyypillistä, että ylhäältä rajoitetun epätyhjän reaalilukujen joukon osajoukon supremum on "aina" olemassa, ja tämä ns. täydellisyysominaisuus erottaa reaalilukujen joukon esimerkiksi rationaalilukujen joukosta.
Reaalilukujoukon supremum.
Ylärajan määritelmä. Olkoon formula_1.
Reaaliluku E on joukon S yläraja , jos ja vain jos kaikille formula_2 pätee x ≤ E.
Joukko S on ylhäältä rajoitettu jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen yläraja.
Supremumin määritelmä. Olkoon edelleen formula_1.
Luku E formula_4 on joukon S supremum eli pienin yläraja,
jos ja vain jos se on pienin joukon S ylärajoista eikä mikään pienempi reaaliluku ole joukon S yläraja.
Tällöin merkitään E = sup(S). Siis joukolla S on supremum ja kyseinen supremum on E.
E = sup(S) formula_5
1) E ≥ x kaikilla x formula_6 S eli E on joukon S yläraja.
2) E ≤ M kaikilla joukon S ylärajoilla M.
Siis vielä sanallisesti: Reaaliluku E on joukon S supremum jos ja vain jos E on suurempi tai yhtäsuuri kaikkia joukon S alkioita ja E on pienempi tai yhtäsuuri kaikkia muita joukon S ylärajoja.
Jos epätyhjällä joukolla S on olemassa supremum, se on yksikäsitteinen. Joukolla voi siis olla enintään yksi supremum.
Todistus. Olkoon sup(S) = E ja sup(S) = E2. Siis E2 on joukon S eräs yläraja. Tällöin supremumin määritelmän nojalla E ≤ E2. Samoin saadaan E2 ≤ E. Siis E = E2.
Täydellisyysaksiooma.
Reaalilukujen joukossa on voimassa täydellisyysaksiooma: 
Jos joukko formula_7 on epätyhjä ja se on ylhäältä rajoitettu, on joukolla S supremum eli pienin yläraja joukossa formula_8. Epätyhjä tarkoittaa, että joukon S täytyy sisältää ainakin yksi reaaliluku. Siis jos joukko S on ylhäältä rajoitettu, niin sup(S) on olemassa.
Jos joukko S sisältää suurimman alkion eli maksimin, on se joukon S supremum.
Rationaalilukujen joukossa täydellisyysaksiooma ei ole voimassa. Esimerkiksi joukko&lt;br&gt; 
formula_9&lt;br&gt;
on ylhäältä rajoitettu, mutta sillä ei ole rationaalilukujen joukossa pienintä ylärajaa. Sen sijaan reaalilukujen joukossa sen pienin yläraja eli supremum on formula_10.
Joukon maksimi.
Joukon suurimman alkion eli maksimin on kuuluttava joukkoon kun taas supremumin ei tarvitse kuulua joukkoon. Siis jos supremum on olemassa, se ei välttämättä kuulu joukkoon S. Jos joukko S sisältää suurimman alkion eli maksimin, on se joukon S supremum.
Jos formula_11 ja maxS on olemassa niin maxS = sup(S).
Todistus. Olkoon olemassa maxS = E.
1)E on joukon S yläraja eli kaikilla x formula_12 S pätee x ≤ E.
2)Koska E formula_6 S niin E ≤ sup(S). Toisaalta 1):n nojalla E on joukon S yläraja. Siis E ≥ sup(S). Siis E = sup(S).
Ajatellaan negatiivisten reaalilukujen joukkoa, johon nolla ei kuulu. Kyseisellä joukolla ei ole suurinta alkiota sillä jokaiselle osajoukon alkiolle on aina olemassa toinen, suurempi alkio. Siis jokaiselle x formula_14 on olemassa x/2 formula_14, jolle x &lt; x/2. Jokainen reaaliluku joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin nolla on yläraja negatiivisten reaalilukujen joukolle. Siis nolla on negatiivisten reaalilukujen joukon pienin yläraja eli supremum. Siis negatiivisten reaalilukujen joukolla on supremum mutta ei suurinta alkiota eli maksimia.
Supremumin osoittaminen.
Yksinkertaisessakin tapauksessa supremumin määritelmän soveltaminen on melko työlästä. Seuraavien lauseiden avulla supremumia voidaan tutkia yksinkertaisemmalla tavalla.
Lause 1. Olkoon E = sup(S) ja formula_16 &gt; 0. Tällöin on olemassa x formula_6 S, jolle x &gt; E - formula_16
Lause 2. Olkoon S formula_19 ja E formula_20. Tällöin E = sup(S) jos ja vain jos
1) E on joukon S yläraja. Siis x ≤ E kaikilla x formula_12 S.
2) Kaikille formula_22 &gt; 0 formula_23 x formula_12 S, jolle x &gt; E - formula_16
Supremum osoitetaan jollakin seuraavista tavoista tilanteesta riippuen:
a) Jos joukossa S näyttäisi olevan suurin alkio E, osoitetaan kohdat:
1) E formula_26 S.
2) x ≤ E kaikille x formula_6 S.
Tällöin maxS = sup(S).
b) Jos joukko S on ylhäältä rajoitettu, mutta joukossa ei ole suurinta alkiota, osoitetaan kohdat:
1) x ≤ E kaikille x formula_6 S, jolloin E on S:n eräs yläraja.
2) E - formula_16 ei ole S:n yläraja. Siis E on ylärajoista pienin.
Tällöin E = sup(S).
c) Osoitetaan, että joukko ei ole ylhäältä rajoitettu näyttämällä, että joukossa on mielivaltaisen suuria lukuja. Siis joukosta löytyy mielivaltaisesti valittua rajaa suurempia lukuja.