Polynomi

Matematiikassa polynomi on lauseke, joka saadaan yhdestä tai useammasta muuttujasta ja vakioista yhteen-, vähennys- ja kertolaskulla, sekä positiiviseen kokonaislukueksponentin osoittamaan potenssiin korottamisella. Esimerkiksi lauseke formula_1 on polynomi. Lausekkeet, joissa on muuttujia myös jakajassa, eivät ole polynomeja. Polynomit ovat samalla yksi laji matemaattisia funktioita.
Polynomi koostuu yhdestä tai useammasta termistä, joiden sisällä ei esiinny muita laskutoimituksia kuin kertolaskua sekä potenssiin korotusta. Jos termejä on vain yksi, on kyseessä monomi. Jos niitä on kaksi, sanotaan polynomia binomiksi ja jos niitä on kolme, trinomiksi. Edellä esitetty polynomi on siis trinomi, jonka termit ovat x², -4x ja 7.
Koulumatematiikassa polynomeja käytetään etenkin seuraavankaltaisissa tehtävissä: Ratkaise "x" yhtälöstä "x"² + 2"x" = 4. Tällöin on kyse analyysissä käsitellyistä "polynomifunktioista". Polynomeja esiintyy kuitenkin matematiikassa hyvin laajalti, eikä niiden funktiotulkinta suinkaan ole aina oleellinen. Esimerkiksi generoivia funktioita esitetään polynomeilla, mutta ne eivät nimestään huolimatta ole funktioita lainkaan.
Polynomin p(x) nollakohdat saadaan selville ratkaisemalla yhtälö p(x) = 0. Yllä esitetyssä kuvassa polynomilla on kolme nollakohtaa. Algebran peruslauseen mukaan kompleksilukujen kunnassa jokaisella polynomilla, jonka aste on suurempi kuin nolla, on nollakohta.
Polynomi renkaassa.
Renkaassa "R" voidaan määritellä polynomi "p(x)", formula_2, missä formula_3. Selvästi tällainen polynomi vastaa ääretöntä jonoa formula_4, jossa taas kaikki "ai" ovat renkaan "R" alkioita. Polynomien voidaan siis ajatella olevan vain muodollisia kirjoitelmia, joissa "x" on pelkkä symboli, määräämätön. Muodollisille kirjoitelmille voidaan määritellä polynomien yhteen- ja kertolaskua vastaavat laskutoimitukset, jolloin muodostuu polynomirengas formula_5. Polynomirenkaita käsiteltäessä polynomeja ajatellaan joko muodollisina kirjoitelmina tai funktioina riippuen siitä, kumpi on tarkoituksellisempaa. Valitsemalla "p"("x"):n määritelmässä, että rengas "R" on reaalilukurengas, saadaan peruskoulusta tutut polynomit.
Suurinta lukua "n", jolla "an" ≠ 0 kutsutaan polynomin asteeksi. Alla esiintyvien laskulakien säilyttämiseksi myös nollapolynomin tapauksessa määritellään sille erikseen, että aste = -∞. Polynomin "f"("x") astetta merkitään deg("f"("x")), joka selkeyden vuoksi usein lyhennetään muotoon deg "f"("x"). Asteet toteuttavat muun muassa seuraavat laskulait:
Mikäli kyseessä oleva rengas on lisäksi kokonaisalue, on säännössä 1 voimassa tiukka yhtäsuuruus.
Reaali- ja kompleksipolynomit.
Analyysissä käsitellyt polynomifunktiot yli formula_8:n ja formula_9:n ovat tärkeä sileiden funktioiden aliluokka. Sileät funktiot ovat funktioita, joilla on kaikkien kertalukujen derivaatat.
Polynomien arvoja on helppo määrittää johtuen polynomien yksinkertaisesta rakenteesta. Polynomeja käytetäänkin paljon numeerisessa analyysissä, jossa polynomeilla voidaan approksimoida funktioita ja siten funktioille voidaan määrittää vaikkapa numeerisia integraaleja.
Tietokoneiden numeerisessa laskennassa polynomifunktiot on usein korvattu splineillä. Splinit ovat paloittain määriteltyjä polynomeja ja ne tarjoavat joustavamman tavan approksimoida sileitä funktioita kuin polynomit. Splinejä käytetään splini-interpoloinnissa ja tietokonegrafiikassa.
Tekijöihin jako.
Algebran peruslauseesta seuraa, että reaalikertoiminen polynomi voidaan lausua sellaisten reaalikertoimisten polynomien tulona, jotka ovat ensimmäistä tai toista astetta. Toisen asteen polynomi tulee kyseeseen silloin, kun polynomin nollakohdat ovat kompleksilukuja. Ne ovat tällöin parittain toistensa kompleksikonjugaatteja.
Esimerkiksi reaalikertoiminen polynomi formula_10 jakautuu tekijöihin seuraavasti:
formula_11
Koska tässä kumpaakin tekijäpolynomia vastaava diskriminantti on formula_12 ja siis negatiivinen, ei tekijäpolynomeja voida enää jakaa reaalikertoimisiksi ensimmäisen asteen polynomeiksi.
Polynomeja matematiikan eri aloilta.
Lineaarialgebrassa neliömatriisin karakteristinen polynomi sisältää useita tärkeitä matriisin ominaisuuksia.
Verkkoteoriassa verkon muuttujan "x" kromaattiset polynomit kertovat kuinka monella tavalla verkko voidaan värittää "x" värillä.
Kombinatoriikassa käytetään generoivia funktioita, joita käyttäen monet kombinatoriset tarkastelut voidaan palauttaa polynomien käsittelyksi. Tarkastellaan esimerkin vuoksi vaaleja, jossa erässä vaalipiirissä on ehdolla kaksi vasemmiston ehdokasta. Tällöin vaaleja edustaa generoiva funktio "f"("x") = 1 + 2"x" + "x²", jossa siis "xk":n kerroin kertoo, kuinka monella tavalla "k" vasemmistolaista voidaan valita. Jos jossain toisessa vaalipiirissä on myös ehdolla kaksi ehdokasta, tässä vaalipiirissä vaaleja edustaa myös "f"("x"). Vastaus kysymykseen, kuinka monella tavalla näissä kahdessa vaalipiirissä yhdessä voidaan valita "s" vasemmistolaista saadaan tulopolynomin astetta "s" olevan termin kertoimesta.
Polynomien yleistyksiä.
Yllä polynomi määriteltiin siten, että alin esiintyvä "x":n eksponentti on 0. Joissain tilanteissa on kätevää ottaa mukaan myös negatiiviset eksponentit, jolloin saadaan muotoa formula_13 olevia lausekkeita. Tällaisia yleistettyjä polynomeja kutsutaan Laurentin polynomeiksi.
Toinen mahdollinen yleistys ovat usean muuttujan polynomit, joiden yleinen muoto on formula_14. Hyväksymällä summauksen aloittaminen negatiivisesta luvusta saadaan usean muuttujan Laurentin polynomit.
Jos hyväksytään myös äärettömän monitermiset polynomit, johdutaan analyysissä keskeisiin potenssisarjoihin.
Polynomit koulumatematiikassa.
Polynomi koostuu yhdestä tai useammasta monomista. Monomia sanotaan myös termiksi.
Esim. 1. formula_15 on polynomi, joka koostuu kolmesta monomista.
Merkitään formula_16 ja formula_17.
Polynomeja voidaan laskea yhteen ja vähentää. Ne monomit, joissa on sama muuttujaosa, voidaan yhdistää.
Esim. 2. Lasketaan yhteen polynomit formula_18 ja formula_19,
formula_20. Sulkeet voidaan poistaa, koska niiden edessä on plus-merkki. Lasketaan yhteen monomit, joissa on sama muuttujaosa.
Saadaan formula_21.
Polynomin kertominen vakiolla tapahtuu siten, että jokainen termi kerrotaan vakiolla erikseen.
Esim. 3.
formula_22
Jos vakio, jolla kerrotaan on formula_23 riittää, kun polynomista vaihdetaan kaikki etumerkit.
Esim. 4. formula_24. Huom. Tätä merkitään myös formula_25.
Esim. 5. Lasketaan polynomien erotus formula_26.
formula_27
formula_28
Polynomin kertominen monomilla tapahtuu samoin kuin polynomin kertominen vakiolla.
Esim. 6.
formula_29
Polynomien kertolasku keskenään on monimutkaisempi:
(1) Kerrotaan ensin termillä 2x. Seuraavaksi kerrotaan termillä 3.
(2) Lopuksi lasketaan kertolaskut.
(3) Saadaan sievennetty muoto.
formula_30