Log-normaalijakauma

\ \exp\left(-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)&lt;/math&gt;
 | cdf = formula_1
 | mean = formula_2
 | median = formula_3
 | mode = formula_4
 | variance = formula_5
 | skewness = formula_6
 | kurtosis = formula_7
 | entropy = formula_8
 | mgf = määritelty vain luvuille, joilla on ei-positiivinen reaaliosa
 | char = esitys formula_9 hajaantuu asymptoottisesti, mutta sopii numeeristen likiarvojen laskentaan
 | fisher = formula_10
 | moments = formula_11, formula_12
Log-normaalijakauma eli logaritminormaalijakauma on toden­näköisyys­laskennassa sellaisen jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma, jonka logaritmi on normaalisti jakautunut. Toisin sanoen, jos satunnais­muuttuja formula_13 on log-normaalisti jakautunut, niin formula_14 on normaalisti jakautunut, ja jos formula_13 on normaalisti jakautunut, niin formula_16 on log-normaalisti jakautunut. Log-normaalisti jakautunut satunnais­muuttuja voi saada vain positiivisia reaali­luku­arvoja. Jakauma on käyttökelpoinen malli monille fysikaalisille, teknisille, taloustieteellisille ja muilla aloilla esiintyville muuttujille.
Jakaumaa nimitetään toisinaan myös Galtonin jakaumaksi Francis Galtonin mukaan. Muita siihen toisinaan yhdistettyjä nimiä ovat McAlister, Gibrat ja Cobb-Douglas.
Todennäköisyyslaskennan keskeisen raja-arvolauseen mukaan monen riippumattoman satunnaismuuttujan "summa" noudattaa sitä tarkemmin normaalijakaumaa, mitä enemmän näitä satunnaismuuttujia on. Samaan tapaan tarpeeksi monen toisistaan riippumattoman satunnaismuuttujan "tulolla" on taipumus noudattaa log-normaalijakaumaa sitä tarkemmin, mitä enemmän näitä muuttujia on. Log-normaalijakaumalla on myös suurin entropia niistä jakaumista, joilla on tietty odotusarvo ja varianssi.
Määritelmä.
Jakauman muodostaminen ja parametrit.
Olkoon formula_17 standardinormaalijakaumaa noudattava satunnaismuuttuja, ja olkoot formula_18 ja formula_19 kaksi reaalilukua. Silloin satunnais­muuttujan 
formula_20
jakaumaa sanotaan log-normaalijakaumaksi parametrein formula_18 and formula_22. Nämä parametrit ovat tällöin jakauman luonnollisen logaritmin odotusarvo ja keskihajonta, mutta eivät itse jakauman formula_13 odotusarvo ja varianssi. 
Tämä yhteys pätee logaritmi- tai eksponenttifunktion kantaluvusta riippumatta. Jos formula_24 on normaalisti jakautunut, samoin on myös formula_25, olivatpa formula_26 ja formula_27 mitkä tahansa positiiviset luvut (formula_28. Samoin jos formula_29 on log-normaalisti jakautunut, samoin on satunnaismuuttujan formula_30 laita, kun formula_31.
Sellaisen jakauman muodostamiseksi, jolla on haluttu odotusarvo formula_32 ja varianssi formula_33, on valittava
formula_34 ja 
formula_35 
Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää "multiplikatiivisia" eli "geometrisia" parametreja formula_36 ja formula_37. Niillä on suorempi tulkinta: formula_38 on jakauman mediaani, ja formula_39 liittyy jakauman leviämiseen jäljempänä selitettävällä tavalla.
Tiheysfunktio.
Positiivinen satunnais­muuttuja "X" on log-normaalisti jakautunut, jos "X":n logaritmi on normaalisti jakautunut, jolloin 
formula_40
Olkoon formula_41 normaalijakauman "N"(0,1) kertymäfunktio ja formula_42 sen tiheysfunktio. Tällöin saadaan:
 formula_43
ja kovarianssimatriisi
formula_44
Useamman muuttujan logaritminormaalijakauma ei kuitenkaan ole kovin yleisessä käytössä, minkä vuoksi jäljempänä rajoitutaan käsittelemään yhden muuttujan jakaumaa.
Karakteristinen funktio ja momentit generoiva funktio.
Logaritmisella normaalijakaumalla on kaikki momentit, ja 
formula_45
Tämä voidaan johtaa sijoittamalla integraaliin formula_46. Kuitenkaan odotusarvo formula_47 ei ole määritelty millään argumentin formula_48 positiivisella arvolla, koska sen määrittelevä integraali hajaantuu. Sen vuoksi logaritmisella normaalijakaumalla ei myöskään ole momentit generoivaa funktiota. Tähän liittyy se, että logaritmisen normaalijakauman momentit eivät yksikäsitteisesti määrittele jakaumaa.
Karakteristinen funktio formula_49 on määritelty reaaliarvoille formula_48, mutta ei sellaisille kompleksiluvuille, joilla on negatiivinen imaginaariosa, minkä vuoksi karakteristinen funktio ei ole analyyttinen origossa. Tämän vuoksi logaritmisen normaalijakauman karakteristista funktiota ei voida esittää päättymättömänä suppenevana sarjana. Erityisesti sen muodollinen Taylorin sarja
 formula_51
hajaantuu. Funktiolle on kuitenkin voitu muodostaa vaihtoehtoisia hajaantuvia sarjaesityksiä.
Karakteristiselle funktiolle formula_52 ei tunneta suljetussa muodossa esitettävää lauseketta. Sille saadaan kuitenkin hyviä likiarvoja lausekkeesta
formula_53
missä formula_54 on Lambertin W-funktio. Tämä likiarvo voidaan johtaa asymptoottisella menetelmällä, mutta se pätee likimäärin kaikilla formula_48:n arvoilla, joilla formula_52 suppenee.
Ominaisuuksia.
Geometriset eli multiplikatiiviset momentit.
Logaritmisen normaalijakauman geometrinen eli multiplikatiivinen keskiarvo on formula_57. Se on samalla jakauman mediaani. Jakauman geometrinen eli multiplikatiivinen keskihajonta on formula_58. Analogisesti aritmeettisten tilastollisten tunnuslukujen kanssa voidaan määritellä geometrinen varianssi formula_59, ja myös geometrista variaatiokerrointa formula_60 on ehdotettu. Viimeksi mainitun olisi tarkoitus olla analoginen tavallisen variaatiokertoimen kanssa lognormaalin aineiston tapauksessa, mutta tällä määritelmällä ei ole sellaista teoreettista perustaa, että sen perusteella voitaisiin arvioida itse variaatiokerrointa formula_61.
On huomattava, että geometrinen keskiarvo on aina pienempi kuin sen aritmeettinen keskiarvo. Tätä tosiasiaa sanotaan aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi, ja se kuvastaa sitä tosiasiaa, että logaritmi­funktion kuvaaja on ylöspäin kupera. Itse asiassa pätee yhteys
 formula_62
Liikealalla termiä formula_63 tulkitaan toisinaan kuperuus­korjaukseksi. Stokastisen analyysin kannalta kyseessä on sama korjaus­termi kuin geometrista Brownin liikettä koskevassa Itôn lemmassa. 
Aritmeettiset momentit.
Kun formula_64 on mikä tahansa reaali- tai kompleksiluku, lognormaalisti jakautuneen satunnais­muuttujan formula_13 "n":s momentti on
 formula_66
Erityisesti lognormaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan formula_13 aritmeettinen keskiarvo, odotusarvo, aritmeettinen varianssi ja aritmeettinen keskihajonta ovat: 
formula_68.
Jakauman aritmeettinen variaatiokerroin formula_69 määritellään sen keskihajonnan ja keskiarvon suhteena:
 formula_70.
Logaritmisen normaalijakauman tapauksessa se on:
 formula_71
Tätä tulosta sanotaan joskus "geometriseksi variaatiokertoimeksi" (, GCV). Aritmeettisesta keskihajonnasta poiketen se on aritmeettisesta keskiarvosta riippumaton.
Parametrien formula_72 ja formula_73 arvot voidaan laskea, jos aritmeettinen keskiarvo ja varianssi tunnetaan:
 formula_74
Momentit formula_75 eivät määritä toden­näköisyys­jakaumaa yksi­käsitteisesti. Toisin sanoen on muitakin jakaumia, joilla on samat momentit. Itse asiassa on koko joukko jakaumia, joilla on samat momentit kuin logaritmisella normaali­jakaumalla.
Moodi, mediaani ja kvantiilit.
Jakauman moodi on piste, jossa sen tiheys­funktio saa suurimman arvonsa. Erityisesti se toteuttaa yhtälön formula_76, josta saadaan:
 formula_77
Koska logaritmisesti muunnettu muuttuja formula_78 on normaalisti jakautunut ja koska kvantiilit säilyvät monotonisissa muutoksissa, muuttujan formula_13 kvantiilit ovat:
 formula_80
missä formula_81 on standardin normaalijakauman kvantiili.
Erityisesti logaritmisen normaalijakauman mediaani on sama kuin sen geometrinen keskiarvo.
formula_82
Osittainen odotusarvo.
Satunnaismuuttujan formula_13 osittainen odotusarvo kynnysarvon formula_84 suhteen määritellään seuraavasti: 
formula_85
Vaihtoehtoisesti se voidaan kirjoittaa ehdollisen odotusarvon avulla muotoon formula_86. Logaritmisen normaalijakauman tapauksessa osittainen odotusarvo on:
formula_87
missä formula_41 on normaalijakauman kertymäfunktio. Osittaisen odotusarvon kaavalla on käyttöä vakuutusalalla ja taloustieteessä, ja sen avulla ratkaistaan Black–Scholesin kaavaan johtava osittaisdifferentiaaliyhtälö. 
Ehdollinen odotusarvo.
Log-normaalin satunnaismuuttujan formula_13 ehdollinen odotusarvo kynnysarvon formula_84 suhteen on sen osittainen odotusarvo jaettuna sen kumulatiivisella todennäköisyydellä olla tällä välillä:
formula_91
Vaihtoehtoisia parametrointeja.
Log-normaalijakauma määritetään tavallisimmin parametrien formula_92 tai formula_93 avulla, mutta vaihtoehtoisesti se voidaan parametroida useilla muillakin tavoilla. Todennäköisyysjakaumien tietokanta ProbOnto tuntee kaikkiaan seitsemän muuta tapaa parametroida log-normaalijakauma:
Esimerkkejä uudelleenparametroinneista.
Tarkastellaan tilannetta, jossa samaa aineistoa halutaan mallintaa kahdella tavalla käyttämällä kahta erilaista optimointivälinettä, esimerkiksi PFIM and PopED. Näistä edellinen tukee LN2-, jälkimminen LN7-parametrointia. Siksi tarvitaan uudelleenparametrointia, sillä muutoin mallit johtaisivat eri tuloksiin.
Muunnokselle formula_101 pätevät kaavat:
formula_102.
Muunnokselle formula_103 taas pätevät kaavat:
formula_104.
Muut uudelleenparametrointikaavat löytyvät ProbOnto -tietokannasta.
Log-normaalisti jakautuneiden satunnaismuuttujien kerto- ja jakolasku.
Jos kaksi riippumatonta log-normaalisti jakautunutta satunnaismuuttujaa, formula_112 ja formula_113, kerrotaan keskenään, niiden tulo on sekin log-normaalisti jakautunut, parametreina formula_114 ja formula_22, missä formula_116. Tämän avulla voidaan helposti muodostaa useammankin log-normaalin satunnaismuuttujan tulon jakauma: Jos formula_117 ovat formula_64 riippumatonta, log-normaalisti jakautunutta satunnaismuuttujaa, niin formula_119
Jos taas log-normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja formula_112, jonka parametrit ovat formula_121 ja formula_122, jaetaan toisella siitä riippumattomalla log-normaalisti jakautuneella satunnaismuuttujalla formula_113, jonka parametrit ovat formula_121 ja formula_122, näiden osamäärä on sekin log-normaalisti jakautunut, parametreina formula_126 ja formula_22.
Multiplikatiivinen keskeinen raja-arvolause.
Samalla tavalla jakautuneiden riippumattomien positiivisten satunnaismuuttujien formula_128 multiplikatiivinen eli geometrinen keskiarvo noudattaa logaritmista normaalijakaumaa sitä tarkemmin, mitä enemmän näitä muuttujia on. Tätä tulosta sanotaan "multiplikatiiviseksi keskeiseksi raja-arvolauseeksi", ja se seuraa suoraan todennäköisyyslaskennan keskeisestä raja-arvolauseesta, kun sitä sovelletaan muuttujiin, jotka saadaan alkuperästen satunnaismuuttujien logaritmeina. 
Muuta.
Log-normaalijakaumaa noudattavalla aineistolla on symmetrinen Lorenzin käyrä.
Jakauman harmoninen (formula_129), geometrinen (formula_130) ja aritmeettinen keskiarvo (formula_131) liittyvät toisiinsa seuraavasti:
 formula_132
Log-normaalit jakaumat ovat äärettömästi jaollisia, mutta eivät stabiileja jakaumia.
formula_143
Jos kaikilla muuttujilla formula_144 on sama varianssiparametrin arvo formula_145, nämä kaavat yksinkertaistuvat muotoon
formula_146
Yhteydet muihin jakaumiin.
Vielä parempia likiarvoja voidaan saada arvioimalla jakauman tiheys- ja kertymäfunktiota Monte Carlo menetelmällä.
formula_155
 Tämä on log-logistinen jakauma.
Tilastollisia päätelmiä.
Parametrien estimointi.
Lognormaalijakauman parametrien "μ" ja "σ" suurimman uskottavuuden estimaattorien määrittämiseksi voidaan käyttää samaa menetelmää, jolla ne määritellään normaalijakaumalle. Voidaan todeta, että 
 formula_156,
missä formula_157 on normaalijakauman formula_158 tiheysfunktio. Niinpä log-normaalijakauman uskottavuusfunktio on
formula_159.
Koska tässä ensimmäinen termi on vakio "μ":n ja "σ": suhteen, molemmat logaritmiset uskottavuusfunktiot, formula_160 ja formula_161, saavat maksiminsa samoilla formula_18:n ja formula_22:n arvoilla. Niinpä suurimman uskottavuuden estimaattorit ovat samat kuin normaalijakaumalle havaintoarvoilla formula_164,
 formula_165
Äärellisillä "n":n arvoilla näillä estimaattoreilla esiintyy systemaattinen virhe. Tämä virhe on tosin formula_166:n osalta häviävän pieni, mutta formula_22:lle saadaan vähemmän vääristynyt arvo korvaamalla formula_168:n yhtälössä nimittäjä "n" arvolla "n-1".
Jos yksittäisiä arvoja formula_169 ei tunneta mutta aineiston keskiarvo formula_170 ja keskihajonta "s" tunnetaan, vastaavat parametrit saadaan seuraavista kaavoista, jotka on muodostettu ratkaisemalla formula_18 ja formula_22 odotusarvon formula_173 ja varianssin formula_174 yhtälöistä: 
formula_175.
Tilastollisia tunnuslukuja.
Log-normaalisti jakautunutta aineistoa voidaan tehokkaimmin analysoida soveltamalla logaritmisesti muunnettuun aineistoon normaalijakaumaan perustuvia tunnettuja metodeja ja suorittaa sen jälkeen tuloksille käänteinen muunnos.
Hajontavälit.
Tyypillisen esimerkin tästä muodostavat hajontavälit. Normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja on noin kahden kolmasosan (68 %) todennäköisyydellä välillä formula_176 ja noin 95 %:n todennäköisyydellä välillä formula_177. Sen vuoksi log-normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja on 
 välillä formula_178 todennäköisyydellä 2/3 ja
 välillä formula_179 todennäköisyydellä 95 % 
Käyttämällä estimoituja parametreja suunnilleen samat prosenttiosuudet log-normaalisti jakautuneesta aineistosta on näillä väleillä.
formula_38:n luottamusväli.
Samalla periaatteella todetaan, että formula_18:n luottamusväli on formula_182, missä formula_183 on standardipoikkeama ja "q" Studentin t-jakauman 97,5 prosentin kvantiili, vapausasteluvulla "n-1". Käänteisellä muunnoksella saadaan 
formula_38:n luottamusväliksi
formula_185 with formula_186
 formula_189 
Esiintyminen ja sovelluksia.
Log-normaalijakaumaa voidaan soveltaa moniin luonnonilmiöihin. Tyypillisessä tapauksessa sen käyttö voidaan perustella seuraavasti: Monet luonnon kasvuilmiöt muodostuvat suuresta määrästä pieniä muutoksia, joissa kohteen koko kasvaa pienen prosenttimäärän verran entisestään. Tällaiset muutokset kumuloituvat multiplikatiivisesti, mutta logaritmisella asteikolla additiivisesti. Jos jokaisen yksittäisen muutoksen vaikutus on mitättömän pieni, keskeinen raja-arvolauseen mukaan niiden summan jakauma on lähempänä normaalijakaumaa kuin yksittäisten muutoksen jakauma. Tästä seuraa, että kasvavien kohteiden koon logaritmilla on taipumus noudattaa normaalijakaumaa, jolloin koko itse noudattaa log-normaalijakaumaa. Tosin jos jakauman keskihajonta on tarpeeksi pieni, normaalijakaumaa voidaan käyttää sillekin hyvänä likiarvona.
Tämä keskeisen raja-arvolauseen multiplikatiivinen versio tunnetaan myös Gibratin lakina, Robert Gibratin (1904–1980) mukaan, joka muotoili sen liikeyrityksille. Jos näiden pienten muutosten kertymisnopeus ei vaihtele ajan kuluessa, kasvu tulee koosta riippumattomaksi. Vaikka näin ei tapahtuisikaan, minkä tahansa ajan kuluessa kasvavan suureen jakaumalla on taipumus muodostua logartminormaaliksi.
Toinen perustelu jakauman käytölle on, että perustavien luonnonlakien mukaan monien suureiden arvot saadaan kertomalla ja jakamalla positiivisia muuttujia. Esimerkkeinä voidaan mainita gravitaatiolaki, jonka mukaisesti voima määräytyy kappaleiden massojen ja niiden etäisyyden mukaan, tai kemikaalien konsentraatiot liuoksessa tasapainon vallitessa, jotka määräytyvät lähtöaineiden alkutilanteessa vallinneiden konsentraation mukaan. Tällaisia tilanteita voidaan mallintaa olettamalla, että muuttujat noudattavat logaritmista normaalijakaumaa.
Silloinkin kun edellä esitetyt perustelut eivät päde, logaritminen normaalijakauma on usein uskottava ja empiiristen havaintojen mukaan pätevä malli. Esimerkkeinä voidaan mainita:
Tämän vuoksi terveiltä henkilöiltä tehtyjen mittausten viitearvot voidaan asianmukaisemmin määritellä olettamalla suureiden noudattavan logaritmista normaalijakaumaa kuin olettamalla niiden jakautuneen symmetrisesti keskiarvon molemmin puolin.
Oikealla oleva CumFreq:illä tehty kuva esittää esimerkkiä log-normaalijakauman sovittamisesta eri vuosien suurimpiin yhden päivän sademääriin, ja se osoittaa myös binomijakaumaan perustuvan 90%:n luottamusvälin.
Sadanta-aineistoa kuvaa kaavioon merkityt pisteet osana kumulatiivista frekvenssianalyysiä.