Solmumenetelmä

Solmumenetelmä on eräs sähköisten virtapiirien ja verkkojen ratkaisuun liittyvä systemaattinen menetelmä. Tavoitteena on laskea verkon solmupisteiden jännitteet, kun verkon lähdesuureet ja komponentit tunnetaan.
Verkon rakenne ja komponentit.
Verkko koostuu solmupisteistä ja niitä yhdistävistä haaroista. Solmuksi sanotaan jokaista verkon pistettä, jossa kaksi tai useampia komponentteja kytkeytyy yhteen. Varsinaisiksi solmupisteiksi laskentaa varten kannattaa ottaa vain ne solmut, joissa yhdistyy kolme tai useampia haaroja. Jos jossain verkon haarassa on useita komponentteja sarjassa ne voidaan yhdistää yhdeksi komponentiksi. Tällöin jokainen haara sisältää vain yhden komponentin.
Verkko voi koostua tavanomaisista passiivisista sähköisistä komponenteista kuten vastuksista, keloista ja kondensaattoreista sekä aktiivisista virta- ja jännitelähteistä. Solmumenetelmää voidaan käyttää sekä tasa- että vaihtosähköverkoissa. Verkko voi sisältää myös ohjattuja virta- ja jännitelähteitä.
Solmumenetelmässä passiiviset komponentit esitetään tavallisesti admittansseina tai konduktansseina ja aktiiviset komponentit virtalähteinä. Verkon sisältämät jännitelähteet muunnetaan virtalähteiksi. Verkko voi sisältää myös muuntajia tai yleensäkin keskinäisinduktansseja. Tällöin kuitenkin saattaa olla luontevampaa käyttää silmukkamenetelmää.
Verkon yhtälöiden kirjoittaminen.
Solmumenetelmässä ratkaistaan verkon solmupisteiden jännitteet johonkin valittuun kantasolmuun nähden. Kantasolmun potentiaali voidaan valita vapaasti ja tavallisesti se asetetaan nollaksi, joten se oletetaan ikäänkuin maadoitetuksi. Kantasolmun valinta voidaan tehdä vapaasti. Piiristä riippuen voi kuitenkin olla edullista valita joku määrätty solmu kantasolmuksi. Esimerkiksi verkon piste, joka jo on maadoitettu.
Kun kantasolmu on valittu ja muut solmut numeroitu, niin muodostetaan jokaiselle solmulle (paitsi kantasolmulle) Kirchhoffin virtalakiin perustuva yhtälö:
formula_1
Toisin sanoen solmuun tulevien virtojen summa on nolla. Käytännössä solmun yhtälön toiselle puolelle kirjoitetaan solmuun tulevien tunnettujen lähdevirtojen summa ja toiselle puolelle solmusta lähtevien haarojen toistaiseksi tuntemattomat virrat.
formula_2
Haarojen virrat lasketaan solmujen tuntemattomien jännitteiden avulla ohmin lain mukaan. Esimerkiksi virta solmusta formula_3 solmuun formula_4 lasketaan:
formula_5
Tässä formula_6 on solmuja formula_3 ja formula_4 yhdistävän haaran admittanssi, formula_9 on solmun formula_3 jännite, formula_11 on solmun formula_4 jännite ja formula_13 on haaran virta solmusta formula_3 solmuun formula_4. Kun lasketaan kaikki solmuun formula_3 tulevat lähdevirrat ja siitä poistuvat haarojen virrat saadaan solmun formula_3 yhtälöksi:
formula_18
Ryhmittelemällä oikea puoli uudestaan saadaan.
formula_19 
Kun kaikille solmuille on kirjoitettu ylläolevan muotoiset yhtälöt, niin saadaan lineaarinen yhtälöryhmä. Siinä tuntemattomia ovat solmupisteiden jännitteet ja tunnettuja lähdevirrat ja komponenttien arvot. Yhtälöiden lukumäärä on sama kuin solmujen tuntemattomien jännitteiden lukumäärä. Näin ollen solmujen jännitteet on laskettavissa yhtälöryhmästä.
Kirjoitetaan vielä yhtälöt kaikille solmuille:
formula_20
formula_21
formula_22
formula_23
formula_24
Yhtälöissä on huomattava, että useimmat admittanssit ovat nollia, koska solmuilla ei tavallisesti ole välitöntä yhteyttä kaikkiin muihin solmuihin. Ainoastaan naapurisolmuihin kytkeytyvät admittanssit huomioidaan.
Verkon yhtälöt matriiseilla esitettynä.
Edellä oleva yhtälöryhmä voidaan esittää myös matriisiyhtälönä.
formula_25
Yhdistämällä admittanssimatriisin diagonaalilla olevat haarojen admittanssit yhtälö voidaan vielä kirjoittaa yleisemmässä muodossa.
formula_26
Tässä admittanssimatriisin diagonaalilla oleva admittanssi formula_27 on solmuun formula_28 yhdistyvien haarojen admittanssien summa. Admittanssi formula_29 on solmujen formula_28 ja formula_31 välisen haaran admittanssi. Admittanssimatriisi onkin kirjoitettavissa suoraan sijoittamalla diagonaalille naapurisolmuihin yhdistyvien admittanssien summat ja muihin kohtiin niiden admittanssit negatiivisina. Tässä on huomioitava, että solmujen jännitteet on otettu kaikki solmuista kantasolmuun päin. Jos jännitteiden suuntia muutetaan, niin muuttuvat myös admittanssien etumerkit.
Matriisiyhtälö on kirjoitettavissa vielä muodollisesti seuraavasti.
formula_32
Siinä formula_33 on solmuihin tulevien tunnettujen lähdevirtojen muodostama pystyvektori, formula_34 on verkon haarojen tunnetuista admittansseista muodostettu matriisi ja formula_35 on solmujen tuntemattomista jännitteistä muodostettu pystyvektori.
Keskinäisinduktanssin huomioon ottaminen.
Mikäli vaihtovirtaverkossa haarojen välillä on keskinäisinduktanssia on se otettava erikseen huomioon. Oheisessa kuvassa on kaksi haaraa, joiden välillä on keskinäisinduktanssi formula_36. Haarojen admittanssit ja vastaavat impedanssit on merkitty kuvaan.
Solmumenetelmässä haarojen virrat kirjoitetaan solmujen jännitteiden avulla. Keskinäisinduktanssien tapauksessa on helpompi kirjoittaa haarojen jännitteet niiden virtojen avulla. Matriiseilla esitettynä saadaan:
formula_37
Kun tämä ratkaistaan virtojen suhteen saadaan:
formula_38
Solmusta 1 admittanssiin formula_39 menevä virta on siten kirjoitettavissa solmujännitteiden formula_40 avulla.
formula_41
Vastaavasti solmuun 4 menevä virta on:
formula_42
Mikäli keskinäisinduktanssia on esimerkiksi kolmen haaran välillä tulee jo melko hankalia kaavoja admittanssien tilalle. Tällaisessa tapauksessa silmukkamenetelmä saattaa olla helpompi tapa ratkaista virrat ja jännitteet.
Ohjattujen lähteiden käsittely.
Solmumenetelmässä ohjatut lähteet muunnetaan jänniteohjatuiksi virtalähteiksi. Jänniteohjatun virtalähteen käsittelystä on jäljempänä yksinkertainen esimerkki.
Yhtälöiden ratkaiseminen.
Solmujen jännitteet voidaan ratkaista jollain lineaarialgebran menetelmällä, esimerkiksi Gaussin algoritmillä.
Matriiseilla laskettaessa saadaan pienissä verkoissa potentiaalit riittävällä tarkuudella suoraan admittanssimatriisin käänteismatriisin avulla. Tämä voidaan laskea jollain matriisilaskentaan soveltuvalla tietokoneohjelmalla, kuten Octavella.
formula_43
Esimerkit.
Yksinkertainen tasasähköverkko.
Oletetaan seuraava yksinkertainen tasasähköverkko. Koska kysymyksessä on tasasähköverkko merkitään haarojen johtavuudet formula_44 konduktansseilla formula_45.
Verkko koostuu neljästä solmusta ja niitä yhdistää neljä konduktanssia. Kuvassa on valittu kantasolmuksi solmupiste 0. Sen potentiaaliksi asetetaan nolla ja tässä se on merkitty maadoitetuksi. Verkko sisältää kolme ideaalista virtalähdettä formula_46, formula_47 ja formula_48. Kuvaan on merkitty niiden virtojen suunnat.
Kirjoitetaan yhtälöt solmuille 1,2 ja 3.
Solmu 1:
formula_49
Solmu 2:
formula_50
Solmu 3:
formula_51
Kirjoitetaan nämä vielä matriisimuodossa:
formula_52
Tuntemattomat jännitteet on näistä helppo laskea tavanomaisin menetelmin kun lähdevirrat ja konduktanssit tunnetaan. Muodollisesti matriisiyhtälön ratkaisu voidaan kirjoittaa konduktanssimatriisin käänteismatriisin avulla.
formula_53
Vaihtosähköverkko, joka sisältää keskinäisinduktanssia.
Oheisen kuvan mukaan admitanssien formula_54 ja formula_55 välillä on keskinäisinduktanssi formula_56. Koska kaavat on mukavampi kirjoittaa impedansseina, merkitään formula_57 ja formula_58. Kirjoitetaan yhtälöt keskinäisinduktanssia sisältäville haaroille.
formula_59
Lasketaan virrat edellisestä.
formula_60
Merkitään formula_61. Kirjoitetaan vielä virrat erikseen.
formula_62
formula_63
Muodostetaan sitten lopulta verkon yhtälö.
formula_64
Ohjatun lähteen käsittely.
Kuvassa on yksinkertainen esimerkki, jossa on jänniteohjattu virtalähde formula_47. Kirjoitetaan solmujen formula_4 ja formula_67 yhtälöt.
solmu formula_4:
formula_69
solmu formula_67:
formula_71
Koska virtalähde formula_47 sisältää tuntemattoman solmujännitteen formula_11, niin siirretään se yhtälön oikealle puolelle.
formula_74
Näin saadaan lopullinen yhtälöryhmä, joka on matriisimuodossa:
formula_75
Tästä tuntemattomat solmujännitteet on ratkaistavissa, koska formula_76:n oletetaan olevan tunnettu.
Menetelmän käyttö.
Solmumenetelmä on vain yksi piirianalyysin menetelmistä. Esimerkiksi silmukkamenetelmään nähden se on edullinen, jos se johtaa pienempään yhtälöiden määrään kuin silmukkamenetelmä. Jos taas verkko sisältää keskinäisinduktansseja on silmukkamenetelmä yleensä käyttökelpoisempi.
Solmumenetelmän sanotaan olevan myös helpompi koodata tietokoneelle, kuin silmukkamenetelmä. Sen vuoksi useimmat piirianalyysiohjelmat perustuvat solmumenetelmään.