Gamma-matriisit

Matemaattisessa fysiikassa, gamma-matriisit, {γ0, γ1, γ2, γ3}, eli Diracin matriisit muodostavat matriisiarvoisen esityksen joukolle ortogonaalisia kantavektoreita aika-avaruuden kontravariantteja vektoreita varten. Cliffordin algebra saadaan näistä. 
Näistä muodostetaan myös spinorit, jotka esittävät rotaatioita ja Lorentz-puskuja.
Diracin kannassa neljä kontravarianttia gamma-matriisia on
formula_1
formula_2
Matemaattinen rakenne.
Gamma-matriisit määrittelevä ominaisuus on Cliffordin algebra eli antikommutaatiorelaatio
formula_3
missä formula_4 on Minkowskin metriikka jossa on käytetty merkkisopimusta (+ − − −) ja formula_5 on yksikkömatriisi.
Tätä määrittelevää ominaisuutta pidetään enemmän fundamentaalina kuin numeerisia gamma-matriiseja, joten metriikan eri merkkisopimukset (+ − − −), (− + + +) muuttavat gamma-matriisien määritelmää.
Kovariantit gamma-matriisit määritellään
formula_6,
jossa on käytetty Einsteinin summaussääntöä.
Määritelmä ei määrää yksikäsitteisesti gamma-matriiseja.
Historiaa.
Paul Dirac löysi gammamatriisit koettaessaan löytää kvanttimekaanista liikeyhtälöä, joka kuvaa spin-1/2 hiukkasia. Klein ja Gordon olivat yrittäneet tätä jo 1926, jolloin he tekivät Schrödingerin tapaan operaattorisijoituksen formula_7 ja formula_8 dispersiorelaatioon
formula_9
Tuloksena ollut Kleinin-Gordonin yhtälö ei antanut positiividefiniittiä todennäköisyystiheyttä ja ennusti väärät energiatasot vetyatomille. Ongelma perustuu toisen kertaluvun derivaattoihin. Ottamalla ensin dispersiorelaatiosta neliöjuuri ja vasta sen jälkeen sijoittamalla saadaan neliöjuuren alla oleva operaattori, minkä käsittely aiheuttaa vaikeuksia.
Dirac linearisoi operaattorineliöjuuren olettamalla, että
formula_10
missä formula_11 on kolmekomponenttinen vektori. Korottamalla yrite toiseen tulisi saada dispersiorelaatio ja samalla ehtoja tekijöille formula_12 ja formula_13. Ehdot ovat
formula_14
formula_15
formula_16
missä "i" ≠ "j". Näitä ehtoja eivät täytä yhtäaikaa mitkään kompleksiluvut. Dirac huomasi, että tietyt matriisit toteuttavat annetut ehdot. Pienimmät annetut ehdot toteuttavat matriisit ovat 4x4-matriiseja. Nykymerkinnöin formula_17 ja formula_18, missä formula_19.
Diracin yhtälö.
Luonnollisessa yksikköjärjestelmässä Diracin yhtälö voidaan ilmaista muodossa
formula_20
missä formula_21 on nelikomponenttinen Dirac-spinori. Jos formula_22 olisi nelivektori, se osoittaisi johonkin aika-avaruuden suuntaan ja Diracin yhtälö ei olisi Lorentz-invariantti.
Feynmanin sivallusmerkintä määritellään
 formula_23
Diracin yhtälö on tämän avulla ilmaistuna
formula_24
Käyttämällä operaattoria formula_25 molemmin puolin, saadaan
formula_26
eli Kleinin-Gordonin yhtälö. Kuten merkinnästä voi päätellä, Diracin yhtälöä noudattavan hiukkasen massa on "m".
Viides gamma-matriisi.
On hyödyllistä muodostaa viides gamma-matriisi neljän gamma-matriisin tulona seuraavalla tavalla:
formula_27 (Diracin kannassa)
Vaikka formula_28 käyttää gamma-kirjainta, sitä ei pidetä määritelmän mukaisena gamma-matriisina. Yläindeksi 5 on jäänne ajasta, jolloin formula_29 oli formula_30. 
formula_28 voidaan ilmaista vaihtoehtoisesti myös seuraavassa muodossa:
formula_32
Tässä formula_33 on neliulotteinen yleistys Levi-Civita-symbolille. Viides gamma-matriisi on hyödyllinen käsiteltäessä hiukkasten kätisyyttä eli kiraalisuutta hiukkasfysiikassa. Esimerkiksi Diracin kentän voi projisoida vasen- (L) ja oikeakätisiksi (R) seuraavasti:
formula_34.
Matriisilla on seuraavat ominaisuudet:
formula_35
formula_36
formula_37
Matemaattisia identiteettejä.
Seuraavat gamma-matriiseja koskevat laskusäännöt seuraavat suoraan matriisit määrittelevästä antikommutaatiorelaatiosta, joten ne pätevät missä tahansa kannassa.
Jälkien laskusääntöjä.
Ylläolevien laskusääntöjen todistaminen vaatii kolmen lineaarialgebrasta tutun laskusäännön käyttämistä:
missä "A", "B" ja "C" ovat matriiseja ja "r" on skalaari.
Feynmanin sivallusmerkintä.
Kvanttikenttäteoriassa usein esiintyvä gamma-matriisin ja nelikomponenttisen vektorin yhdistelmä lyhennetään jättämällä gamma-matriisi merkitsemättä ja piirtämällä kenoviiva vektorin päälle:
formula_23
Sivallusmerkintään liittyviä laskusääntöjä:
formula_39
formula_40
formula_41
formula_42
formula_43
formula_44
formula_45
formula_46
missä
formula_47 on neliulotteinen Levi-Civita-symboli ja formula_48
Muut kannat.
Gamma-matriisit kirjoitetaan joskus blokkidiagonaalimuodossa käyttäen 2x2-yksikkömatriisia, formula_49, ja määrittelemällä
formula_50
missä "k" on kokonaisluku yhden ja kolmen väliltä ja σk ovat Paulin matriiseja.
Diracin kanta.
Tässä artikkelissa gamma-matriisit on kirjoitettu Diracin kannassa:
formula_51
Weylin kanta.
Toinen yleisessä käytössä oleva kanta on Weylin kanta, missä formula_52 pysyvät samoina, mutta formula_29 on erilainen, jolloin formula_28 on myös erilainen:
formula_55
Weylin kanta on hyödyllinen, koska hiukkasfysiikassa kiraaliset kentät saavat siinä yksinkertaisen muodon:
formula_56
Erityisesti voidaan päätellä
formula_57
missä formula_58 ja formula_59 ovat vasen- (L) ja oikeakätiset (R) kaksikomponenttiset Weylin spinorit.
Toinen mahdollinen määritelmä Weylin kannalle on
formula_60
Tällöin kiraaliset kentät saavat hiukan eri muodon:
formula_61
Toisin sanoen:
formula_62
missä formula_58 ja formula_59 ovat vasen- ja oikeakätiset kaksikomponenttiset Weylin spinorit, kuten edellä.
Majoranan kanta.
On olemassa myös Majoranan kanta, missä kaikki Diracin matriisit ovat imaginaarisia mutta spinorit ja Diracin yhtälö ovat reaalisia. Paulin matriisien avulla sen voi ilmaista seuraavasti:
formula_65
formula_66