Lorentz-muunnos

Lorentz-muunnos eli "Lorentzin muunnos" on koordinaattijärjestelmän muunnos, jonka Hendrik Antoon Lorentz keksi yrittäessään selittää valon käyttäytymistä esimerkiksi Michelsonin-Morleyn kokeessa. Myöhemmin Albert Einstein muotoili erityisen suhteellisuusteorian, ja korvasi siinä klassisen mekaniikan Galilein muunnoksen Lorentz-muunnoksella.
Esitystapa.
Kuvitellaan, että järjestelmä (havaitsija) P' liikkuu järjestelmästä P katsottuna positiivisen x-akselin suuntaan nopeudella v. Merkitään valonnopeutta kirjaimella c, aikaa kirjaimella t, ja paikkaa suorakulmaisilla koordinaateilla x,y ja z. Tällöin Lorentzin muunnoksen yhtälöt ovat 
formula_1
formula_2
formula_3
formula_4
Lorentzin muunnoksessa aika ei ole absoluuttinen suure, eli tapahtumien välinen aika ei kaikkien havaitsijoiden mielestä ole sama. Kun järjestelmässä P kuluu t sekuntia, järjestelmässä P' on kulunut viimeisen yhtälön mukainen aika. Esimerkiksi jos järjestelmä P' liikkuu P:n suhteen nopeudella 1/2c eli noin 150 miljoonaa metriä sekunnissa ja järjestelmät olivat aluksi (hetkellä t=0) päällekkäin, niin kun järjestelmässä P on kulunut yksi sekunti (t=1s), niin (järjestelmästä P katsottuna) järjestelmässä P' on kulunut vain noin 0,87 sekuntia (t'=0,87s). "Käytännössä" tämä tarkoittaa sitä, että kun katsomme esimerkiksi nopeasti kiitävää avaruusalusta, aika näyttää siellä kuluvan hitaammin kuin meidän aikamme. Ilmiö on myös mitattu hyvin tarkoilla atomikelloilla joita on lennätetty satelliiteissa.
Myöskään tapahtumien väliset etäisyydet eivät kaikkien havaitsijoiden mielestä ole samat. Järjestelmästä P mitattuna järjestelmän P' x-akseli näyttää "painuneen kasaan". Jos järjestelmän P' mukana liikkuu esimerkiksi raketti, järjestelmässä P oleva havaitsija mittaa sen lyhyemmäksi kuin raketin kyydissä oleva havaitsija.
Lorentzin muunnosta voi verrata koordinaattijärjestelmän kiertoon. Kun kolmiulotteista euklidisen avaruuden suorakulmaista koordinaattijärjestelmää halutaan kiertää kulman a verran z-akselin ympäri, saadaan yhtälöt:
formula_5
formula_6
formula_7
Kierrossa uusi x' ja y' ovat vanhojen x ja y koordinaattien "sekoitukset". Myös Lorentzin muunnoksessa aika ja liikkeen suuntainen koordinaatti sekoittuvat toisiinsa. Lorenzin muunnos on tavallaan paikan ja ajan "kierto", joskaan se ei matemaattisesti ole täysin sitä vastaava. Kaikissa tavallisissa suorakulmaisten koordinaattien kierroissa on säilyvä suure, formula_8, joka on pisteen origosta mitatun etäisyyden neliö. Lorentzin muunnoksessakin on eräs säilyvä suure, formula_9. Tätä suuretta kutsutaan joskus aika-avaruuden etäisyyden neliöksi. Se säilyy samana kaikissa Lorentzin muunnoksissa.
Lorentz-muunnosta voidaan kuvata helposti myös nelivektoreilla
Lorentz-muunnoksen johtaminen.
Lorentz-muunnosten pohjaksi otetaan yleisin mahdollinen lineaarinen muunnos
formula_10
formula_11
jossa x ja t ovat objektin paikka ja aika vanhassa koordinaatistossa P, x' ja t' koordinaatit uudessa koordinaatistossa P' ja A, B, C, ja D tuntemattomia vakioita.
1. Ensiksi vaaditaan, että valon nopeus tyhjiössä on vakio c, ja riippumaton koordinaatistosta.
Objektin nopeus koordinaatistossa P on formula_12 ja koordinaatistossa P' formula_13
Jos nopeus formula_12 koordinaatistossa P on c, on sen oltava c myös koordinaatistossa P'
formula_15 
formula_16
Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan jatkossa nimellä yhtälö 1
2. Nopeus on suhteellista
P liikkuu P':n suhteen nopeudella -v 
P:n origo on x = 0, joka koordinaatistossa P' on 
formula_17
formula_18
formula_19
P':n origo on x' = 0, joka on P:ssä x = vt
formula_20
formula_21
formula_22
Näistä yhtälöistä saadaan
formula_23
Sijoitetaan yhtälöön 1
formula_24
formula_25
3. Oletetaan, että hetkellä t = 0 koordinaatistot ovat P:sta katsoen päällekkäin
formula_26
formula_27
formula_28 
Hetkellä t' = 0 koordinaatistot ovat päällekkäin P'sta katsottuna
formula_29
formula_30
formula_31
formula_32
Pituuden on näytettävä samalta molemmille koordinaatistoille silloin, kun ne ovat päällekkäin.
formula_33
formula_34
formula_35
Tästä saadaan lopulta muunnokset
formula_36
formula_37
A on tässä Lorentz-kerroin, formula_38.