Subfaktoriaal

Subfaktoriaal ehk de Montmorti arv ehk korratuste arv (tähis formula_1) on peamiselt kombinatoorikas kasutatav funktsioon, mis seab igale naturaalarvule formula_2 vastavusse formula_2-elemendilise hulga korratuste ehk püsipunktita permutatsioonide hulga. 
!"n" näitab näiteks, mitmel viisil saab "n" inimest vahetada kingitusi nii, et igaüks annab ühe kingituse kellelegi teisele ja saab täpselt ühe kingituse kelleltki teiselt. 
Subfaktoriaal on tihedalt seotud faktoriaaliga formula_4, mis annab formula_2-elemendilise hulga permutatsioonide koguarvu, ning on faktoriaali järgi ka nime saanud. Subfaktoriaal ei ületa kunagi faktoriaali: 
formula_6.
Subfaktoriaal on ligikaudu võrdne faktoriaali ja arvu e jagatisega.
Definitsioon.
Naturaalarvu formula_7 subfaktoriaal defineeritakse faktoriaali kaudu valemiga 
formula_8.
Subfaktoriaal formula_1 vastab formula_2-elemendilise hulga püsipunktita permutatsioonide (korratuste) arvule, faktoriaal formula_4 aga kõigi võimalike permutatsioonide arvule.
Näide.
Oletame, et meil on kuus eri värvi kuulikest ja iga kuulikese jaoks kast, mis on sellega ühte värvi. Tuleb leida, mitu võimalust on jagada kuulikesed kastidesse nii, et igas kastis on täpselt üks kuulike, aga ükski kuulike ei ole kastis, mis on sellega ühte värvi. Neid võimalusi on täpselt
formula_12. 
Teised esitused.
Ümardusesitused.
Kehtib valem
formula_13, 
kus formula_14 on arv e ja formula_15 on mittetäielik gammafunktsioon. 
Väga hea lähendus on 
formula_16.
Ümardamise abil saab formula_17 kohta anda isegi täpse valemi
formula_18,
kus formula_19 tähistab arvule formula_20 lähimat täisarvu. 
Kui viimasesse valemisse lisada enne jagamist veel ühe liitmine, siis ei ole enam tarvis vahet teha, kas ümardatakse alla- või ülespoole. Selle asemel kasutatakse lihtsalt täisosa, nii et formula_1: avaldub nii:
formula_22, 
kus formula_23 tähistab arvu formula_20 täisosa. 
Rekursiivsed esitused.
Subfaktoriaali saab arvutada ka rekurrentselt valemite 
formula_25 (formula_26)
ja
formula_27 (formula_28)
järgi. Avaldis formula_29 vastab formula_2-elemendilise hulga püsipunktita permutatsioonide arvule ühe fikseeritud elemendi korral (jada A0002555 saidil OEIS). 
Veel üks rekurrentne valem binoomkordajate kaudu on järgmine: 
formula_31
Selle saame järgmistel kaalutlustel. Permutatsioone on kokku formula_4. formula_33 püsipunkti saab valida formula_34 viisil. Püsipunktita permutatsioone ülejäänud formula_35 elemendiga on formula_36.
Integraalesitus.
Järgnev integraalesitus päratu integraali kaudu üldistab subfaktoriaali naturaalarvudelt kompleksarvudele, mille reaalosa on suurem kui math&gt;-1&lt;/math&gt;:
formula_37.
Maatriksesitus.
!"n" on sellise "n"-nda astme ruutmaatriksi permanent, mille peadiagonaalil on nullid ja mille ülejäänud elemendid on ühed.
Umbraalarvutus.
Umbraalarvutuses kehtivad formaalsed samasused 
formula_38 
ja
 formula_39, 
kus formula_40 tähistab formula_41 ja formula_42 tähistab formula_43.
 !1 = 0
 !2 = 1
 !3 = 2
 !4 = 9
 !5 = 44
 !6 = 265
 !7 = 1 854
 !8 = 14 833
 !9 = 133 496
 !10 = 1 334 961
 !11 = 14 684 570
 !12 = 176 214 841
 !13 = 2 290 792 932
 !14 = 32 071 101 049
 !15 = 481 066 515 734
 !16 = 7 697 064 251 745
 !17 = 130 850 092 279 664
 !18 = 2 355 301 661 033 953
 !19 = 44 750 731 559 645 106
 !20 = 895 014 631 192 902 121
 !21 = 18 795 307 255 050 944 540
Meelelahutusmatemaatika.
Ainus subfaktorioon, st ainus arv, mis võrdub oma kümnendesituse numbrite subfaktoriaalide summaga, on 
formula_44.
Mängus "Neli nelja" mõne variandi puhul on kasulik teada, et !4 = 9.
Tähis.
!"n" on kõige levinum tähis, kuid see on ebamugav, sest faktoriaali tähisega segiajamise vältimiseks tuleb kasutada sulgi. Muud tähised on "M"("n") (pärineb Pierre Rémond de Montmortilt), "h"("n", 0) (pärineb Donald Knuthilt), "Mn" ja "n"¡ .
Ajalugu.
Korratuste arvuga tegelesid esimestena Leonhard Euler ja Nikolaus II Bernoulli.