Algteguriteks lahutus

Algteguriteks lahutus ehk lahutus algteguriteks on positiivse naturaalarvu formula_1 esitus algarvude formula_2 korrutisena. Neid 
algarve nimetatakse siis arvu formula_3 algteguriteks. See esitus on ühene (kui mitte arvestada tegurite järjekorda; see on multihulk).
Algteguriteks lahutamine on üks arvuteooria põhilisi ja klassikalisi tööriistu. Seda käsitleb aritmeetika põhiteoreem. 
Seni ei ole teada efektiivset algteguriteks lahutamise meetodit mis tahes arvu jaoks. 
Definitsioonid.
Olgu formula_3 positiivne naturaalarv. Arvu formula_5 nimetatakse arvu formula_3 algteguriks,
Algteguriteks lahutus on arvu formula_3 esitus tema algtegurite korrutisena. Et naturaalarvude korrutamine on kommutatiivne ja assotsiatiivne, on algtegurite järjekord arvuteooria seisukohast ebaoluline. Arvu 1 lahutust algteguriteks võib vaadelda tühja korrutisena. Kui formula_3 ise on algarv, siis ta on ise ainuke algtegur. Kui algtegureid on rohkem kui üks, siis nimetatakse arvu formula_3 kordarvuks. Üks algtegur võib korrutises esineda mitu korda ning seetõttu on algtegurite arvust rääkides tarvis täpsustada, kas jutt on erinevate algtegurite arvust või tegurite arvust kordsust arvestades. Korduvalt esinevad tegurid saab astmenäitajate abil kergesti loetavalt kokku võtta. Kui formula_13 erinevat algtegurit formula_14 on kasvavalt järjestatud (formula_15), siis räägitakse ka kanoonilisest algteguriteks lahutusest:
formula_16
Algteguri formula_17 astmenäitaja formula_18 on algteguri formula_17 kordsus arvus formula_3. Ta näitab, mitu korda formula_3 jagub arvuga formula_17. Kordsust arvestades on arvul formula_3 siis formula_24 algtegurit.
Üks samaväärne kirjutusviis on :formula_25
kusjuures astmenäitajad formula_26 on nullist erinevad ainult lõpliku arvu formula_27 korral.
formula_28
formula_29 (algarv)
formula_30
formula_31 (kahe aste)
formula_32, kanoonilisel kujul formula_33
formula_34 (kümne aste)
Aritmeetika põhiteoreem.
Väited algteguriteks lahutuse olemasolu kohta iga positiivse naturaalarvu korral ja selle ühesuse kohta kanoonilisel kujul on aritmeetika põhiteoreem. Kumbki väide formuleeritakse ja tõestatakse eraldi. Tõestused on elementaarsed, klassikaliselt formuleeritakse need vastuväitelistena ja need kasutavad naturaalarvude hulga täielikku järjestatust. Aritmeetika põhiteoreemi tõestas esimest korda täielikult ja korrektselt Carl Friedrich Gauß teoses "Disquisitiones arithmeticae". Pisut teisel kujul oli see teoreem tuntud juba Eukleidesele.
Olemasolu tõestus.
Arvu formula_35 kohta ei ole midagi tõestada. Iga algarv on ise enda lahutus algteguriteks. Jääb üle näidata, et ülejäänud naturaalarvude puhul on lahutus algteguriteks olemas. 
Oletame, et ülejäänud naturaalarvude seas on selliseid, mille korral algteguriteks lahutust ei eksisteeri. Et naturaalarvude hulk formula_36 
on täielikult järjestatud, siis on selliste arvude seas olemas vähim, nimelt formula_3. Et formula_38 ei ole algarv, eksisteerivad arvul formula_3 mittetriviaalsed jagajad formula_40, nii et formula_41, kusjuures formula_42. Et formula_3 on vähim arv, mille puhul algteguriteks lahutust ei ole olemas, siis eksisteerib arvu formula_44 korral (või vastavalt arvu formula_45 korral) algteguriteks lahutus formula_46 (või vastavalt formula_47). Siis on formula_48 arvu formula_3 algteguriteks lahutus, ja see on oletusega vastuolus.
Ühesuse tõestus.
Arvu formula_35 ja algarvude puhul pole midagi näidata. Jääb näidata, et ülejäänud positiivsete naturaalarvude korral eksisteerib ülimalt üks lahutus algteguriteks. 
Oletame, et ülejäänud arvude seas eksisteerivad niisugused, millel eksisteerib mitu erinevat algarvudeks lahutust. Et naturaalarvude hulk on täielikult järjestatud, siis nende seas eksisteerib vähim niisugune arv formula_3. Kui arvul formula_3 eksisteerib mitu erinevat algteguriteks lahutust, siis tal eksisteerib kaks erinevat algteguriteks lahutust formula_53 ja formula_54. Peale selle, formula_3 ei ole algarv, järelikult formula_56
Peale selle võib eeldada, et formula_57. Tõepoolest, kui mõni tegur oleks ühine, näiteks formula_58, siis oleks formula_59. Et formula_3 on vähim kahe erineva algteguriteks lahutusega arv, oleks formula_61, nii et ülaltoodud algteguriteks lahutused oleksid identsed, ja see oleks vastuolus arvu formula_3 valikuga.
Et formula_63 jagab korrutist formula_64, siis Eukleidese lemma järgi jagab formula_63 ka mõnd selle korrutise sobivalt valitud jagajat. See ei saa olla mõni algteguritest formula_66, sest muidu oleks formula_67. Järelikult jagab formula_63 mõnd hulga formula_66 formula_70 erineva elemendi korrutist. Seda argumenti saa korrata, st formula_63 jagab mõnd hulga formula_66 formula_73 erineva elemendi korrutist jne. Lõpuks peab formula_63 jagama mõnd hulga formula_66 elementi. Et tegu on algarvudega, on seega formula_76. See on vastuolu.