Teleparalleelne gravitatsiooniteooria

Teleparalleelne gravitatsioon (TPG) on üldine gravitatsiooniteooria, mille lõi Albert Einstein 1920. aastatel eesmärgiga luua teooria, mis ühendaks omavahel elektromagnetismi ja üldrelatiivsusteooria (ÜRT). Pärast 1916. aastat, kui Einstein avaldas üldrelatiivsusteooria, sai gravitatsiooni ja elektromagnetismi ühendamine füüsikas üheks peaeesmärgiks. Kuigi see ebaõnnestus, tõi see kaasa uusi teadmisi raskusjõust. Tänapäeval on leitud, et teleparalleelne gravitatsiooniteooria on võrdväärne üldrelatiivsusteooriaga, kuid nende käsitlused on erinevad. Eestis tegeletakse TPGga ja muude gravitatsiooniteooriatega peamiselt Tartu Ülikooli teoreetilise füüsika laboris ning Tallinnas KBFI-s.
Aegruum ja puutujaruum.
Teleparallelismi põhimõisteteks on aegruum ja puutujaruum. Üldrelatiivsusteoorias on keskseks ruumi ja aja võrdväärsus. Teleparallelismis võetakse kasutusele tetraadi mõiste. Tetraad on neljast lineaarselt sõltumatust vektorist koosnev baas, mis määrab igas aegruumi punktis selle punkti puutujaruumi. Aegruumi koordinaate tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega formula_1 ja puutujaruumi koordinaate ladina tähtedega formula_2. Piltlikult on puutujaruumi lihtne ette kujutada kui sfääri igas punktis olevat puutujatasandit. Puutujaruum on erinevalt aegruumist alati tasase geomeetriaga ehk seda ruumi kirjeldab Minkowski meetrika
formula_3.
Aegruum ja puutujaruum on omavahel seotud järgmiselt:
formula_4 ,
kus formula_5 on aegruumi meetrika. Suurust formula_6 nimetatakse tetraadväljaks.
Kovariantne tuletis ja seostus.
Nii teleparallelismis kui ka üldrelatiivsusteoorias on tähtis kovariantse tuletise mõiste. Kuna gravitatsiooni teoorias ei ole üldjuhul tegemist tasase ruumiga, siis ei saa eeldada, et liikumise suund jääb konstantseks. Ruumi kõverust saab uurida vektoritega, vaadates, kuidas vektori suund muutub kõveras ruumis paralleelnihkel. Üldiselt on vektori formula_7 muut
formula_8
kus formula_9 on baasivektorid. Kasutades tuletise ja summeerimise omadusi, on võimalik kirjutada see avaldis kujul
formula_10
kus suurust formula_11 nimetatakse seostuseks ning sulgude sees olevat avaldist nimetatakse kovariantseks tuletiseks. formula_11 on siin oluline, kuna see kirjeldab vektori muutust liikumisel kõveras ruumis. Kuna teleparalleelses käsitluses on puutujaruumi kõverus 0, siis on tetraadi kovariantne tuletis formula_13 See on analoogiline sellega, et tasases ruumis on ristkoordinaatides formula_14 Minkowski meetrika formula_15 tuletis 0, kuna meetrika on konstantne kogu ruumis.
Kõverus ja vääne.
Vastavalt ruumi kõverust ja väänet kirjeldavad tensorid on defineeritud järgmiselt:
formula_16
Kuna kõverus ja vääne sõltuvad seostuse formula_11 valikust, siis võib vabalt valida, mis seoseid see rahuldab. Enamasti valitakse seostus nii, et üks nendest suurustest oleks 0. Üldrelatiivsusteoorias valitakse seostus nii, et oleks täidetud tingimus formula_18. Teleparalleelses gravitatsioonis seatakse eeldus, et formula_19. Nendel eeldustel on võimalik avaldada seostus, mis tuleb
formula_20
kus formula_21 tähistavad osatuletisi aegruumi koordinaatide järgi. Esimest avaldist nimetatakse Levi-Civita seostuseks ja teist Weizenböcki seostuseks.
Liikumisvõrrandid.
TPG liikumisvõrrandid.
Weizenböcki seostuse formula_22 saab siduda Levi-Civita seostusega kontorsioonitensori formula_23 järgmiselt:
formula_24
Siin on formula_23 avaldatav väändetensori formula_26 kaudu kujul
formula_27
Sellega on võimalik tuletada punktosakese liikumisvõrrandid TPGs, mis tulevad võrrandist
formula_28
See on osakese liikumisvõrrand sarnaselt Newtoni II seadusega, kus vasak pool kirjeldab osakese liikumist ja parem pool sellele osakesele mõjuvaid jõudusid. On näha, et võrrandi parem pool on nullist erinev. See näitab, et osakesele mõjuvad gravitatsioonilised jõud ning et tegemist on jõuvõrrandiga. Sellest järeldub, et paine mängib TPGs gravitatsioonilise jõu rolli.
Võrdlus üldrelatiivsusteooriaga.
Üldrelatiivsusteoorias on liikumisvõrrandi parem pool 0 ning seega puuduvad ka jõud. See on TPG ja ÜRT suurimaid erinevusi: ÜRTs põhjustab gravitatsiooni ruumi geomeetria, TPGs ruumi kõverus puudub, kuid kehade vahel mõjuvad jõud, mis tekitavad gravitatsiooni. Lisaks sellele oleks kasulik veel märkida, et TPG on kalibratsiooniteooria, st et liikumisvõrrandid ja ka väljavõrrandid on muutumatud näiteks koordinaadinihetel:
formula_29
kus formula_30 on koordinaadinihe.
Väljavõrrandid.
TPG väljavõrrandite tuletamine käib sarnaselt ÜRT-ga. Selleks võib kasutada vähima mõju printsiipi. Siis tuleb esimesena koostada sobiv Lagrange'i funktsioon. Selle koostamisel tuleb arvestada, et Lagrange'i funktsioon peab rahuldama järgmisi tingimusi:
Kõige lihtsama kujuga Lagrange'i funktsioon, mis neid tingimusi rahuldab, avaldub kujul
formula_31
kus formula_32 on tetraadi formula_33 determinant ehk formula_34 formula_35 on konstant, mis määratakse hiljem ning formula_36 on väändetensor. Kogu mõju tuleb sel juhul võrrandist
formula_37
kus formula_38 on mateeria liige. Vähima mõju printsiibi kohaselt tuleb mõju varieerida tetraadi formula_39 suhtes. Seda tehes moodustuvad TPG väljavõrrandid 
formula_40
kus formula_41 nimetatakse superpotentsiaaliks ja formula_42 on energia-impulsi tihedus. formula_43 on mateeria energia-impulsi tensor. On näha, et need võrrandid on analoogilised ÜRTs tuntud Einsteini võrranditega, mis üldisel kujul on
formula_44 
Mõlemal juhul on tegemist teist järku tensoritest koosnevate võrranditega. Kuna nii puutujaruumi kui ka aegruumi indeksid saavad omada nelja väärtust, siis mõlemal juhul on kokku 16 võrrandit. Sümmeetriate tõttu aga on võimalik leida, et 6 neist on jäljendid ning seega tuleb kokku 10 sõltumatut tensorvõrrandit. Seega on näha, et TPG ja ÜRT väljavõrrandid on võrdväärsed.
Võrdväärsus üldrelatiivsusteooriaga.
Teleparalleelne gravitatsiooniteooria on võrdväärdne üldrelatiivsusteooriaga. See tähendab, et teleparalleelne käsitlus ei too kaasa uut füüsikat, vaid lihtsalt selle kirjeldus on erinev. Neid kahte erinevat kirjeldust lubab gravitatsiooni üldisus. Kuigi ÜRT ja TPG on võrdväärsed teooriad, on nende vahel siiski põhimõttelisi erinevusi:
Seega see, kas aegruum on kõver või mitte, sõltub sellest, millised eeldusi tehakse ja kumb mingil juhul lihtsam on. Kuna TPG on kalibratsiooniteooria, siis on ta üldisem kui ÜRT, kuna TPGs on vabadus teha koordinaatteisendusi, ilma et võrrandid sellest muutuksid.