Algarv

Algarv (inglise keeles "prime number") on naturaalarv, mis on suurem kui 1 ja jagub ainult arvuga 1 ja iseendaga.
Seega erinevad algarvud teistest naturaalarvudest selle poolest, et neil on täpselt kaks erinevat naturaalarvulist jagajat. 
Ühest suuremaid naturaalarve, mis jaguvad peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga, nimetatakse kordarvudeks. Arv 1 ei ole algarv ega kordarv.
Algarvulisi muutujaid tähistatakse tavaliselt tähtedega formula_1 ja formula_2, vajaduse korral kasutatakse alaindekseid. 
Kõigi algarvude hulk on naturaalarvude hulga alamhulk. Seda tähistatakse tavaliselt sümboliga formula_3.
Kasvavalt järjestatud algarvude jada 
formula_4 .
Algarvude omadused.
Algarve iseloomustab naturaalarvude seas see, et neil on täpselt kaks naturaalarvulist jagajat.
Kõik algarvud peale arvu 2 on paaritud, sest kõik suuremad paarisarvud jaguvad peale iseenda ja 1 ka (vähemalt) arvuga 2. Seetõttu on igal algarvul peale arvu 2 kuju formula_5, kus formula_6 on naturaalarv.
Igal algarvul formula_7 on üks kujudest formula_8 ja formula_9, kus formula_6 on naturaalarv. Esimese formula_11 algarvu formula_7 seas on formula_13-l kuju formula_14 ja formula_15-l kuju formula_16. Kui jada jätkata, siis läheneb kummagi kuju osatähtsus väärtusele formula_17.
Igal algarvul formula_18 on üks kujudest formula_19 või formula_20, kus formula_6 on naturaalarv.
Igal algarvul formula_22 on üks kujudest formula_23 või formula_24, kus formula_6 on naturaalarv. 
Iga algarv formula_26 lõpeb ühega numbritest 1, 3, 7 või 9. Dirichlet' teoreemist tuleneb, et iga numbriga neist lõpeb lõpmata palju algarve. 
Algarve on lõpmata palju.
4. sajandil eKr tõestas Vana-Kreeka matemaatik Eukleides, et leidub lõpmata palju algarve. Ta kasutas vastuväitelist tõestust. Tänapäeva mõistestikku ülekantuna oletas ta, et algarve on lõplik hulk formula_27 ja konstrueerides seejärel naturaalarvu formula_28. Nii konstrueeritud naturaalarv ei saa olla algarv, sest ei leidu suuremaid algarve kui formula_29, seetõttu peab ta olema kordarv ja tal leidub algarvulisi jagajaid. Kui mingi algarv formula_30 jagab arvu formula_31 ja võrduse paremal poolel olevat algarvude korrutist, siis peab ta jagama ka arvu 1, mis ei ole aga võimalik, sest formula_32. Vastuolu tekkis oletusest, et algarve on lõplik hulk. Tänapäeval tuntakse seda väidet Eukleidese teoreemina, millel on terve rida tuntud tõestusi.
Algarvude jaotumine.
Algarvude asukoht naturaalarvude jadas tundub olevat juhuslik. Kaks algarvu 2 ja 3 on järjestikused naturaalarvud. Leidub ka üksteisele väga lähedal asuvaid algarve. Algarve kujul formula_33 ja formula_34 nimetatakse algarvukaksikuteks. Näiteks 29 ja 31 ning 41 ja 43 .
On tõestatud, et iga naturaalarvu formula_35 korral leidub arvude formula_35 ja formula_37 vahel algarv.
Sümboliga formula_38 tähistatakse naturaalarvu formula_35 mitteületavate algarvude arvu. Funktsiooni formula_38 nimetatakse algarvude jaotusfunktsiooniks.
Väikeste argumentide korral saab funktsiooni formula_38 väärtusi leida peast: formula_42.
Suurte arvude jaoks on saadud ligikaudne hinnang:
formula_43.
Algarvude genereerimine.
Üks vanimaid algoritme algarvude tabeli koostamiseks on Vana-Kreeka matemaatiku Eratosthenese poolt III sajandil eKr loodud lihtne meetod, mida tuntakse Eratosthenese sõelana: kõik algarvud, välja arvatud arv 2, kuuluvad paaritute arvude hulka ja sisalduvad reas
formula_44
Iga kordarv on mingi algarvu kordne, seega tuleb arvureas maha tõmmata kõik algarvu 3 kordsed alates arvust formula_45. Järgmine algarv on 5, nüüd saab maha tõmmata arvu 5 kordsed alates arvust formula_46. Analoogiliselt toimitakse edasi. Kui algarvust formula_33 väiksemate algarvude kordsed on maha tõmmatud, siis kõik allesjäänud arvud, mis on väiksemad kui formula_48, on algarvud. Nii saab leida kõik algarvud vahemikus formula_49, kus formula_35 on mingi etteantud naturaalarv.
Algarvude saamiseks on püütud leida ka valemeid. Näiteks Millsi valem
formula_51
või Wrighti valem
formula_52,
kus formula_53 tähistab suurimat täisarvu, mis on väiksem kui formula_54. Seni leitud valemeid ei loeta lihtsateks ja efektiivseteks.
Miks 1 ei ole algarv.
Algarvu definitsioon lähtub otstarbekusest. 
Algarvu mõiste on matemaatika ajaloos muutunud. Näiteks arvas Godfrey Harold Hardy veel 1908. aastal arvu 1 algarvude hulka, kuid hiljemalt 1929. aastal enam mitte. Alates 20. sajandist arvu 1 tavaliselt algarvuks ei loeta. 
Argument selle kasuks, et 1 peaks olema algarv:
Selle kasuks, et 1 ei peaks olema algarv, räägivad järgmised argumendid:
 Sel juhul tuleks algteguriteks lahutamise ühesus sõnastada keerulisemalt.