Topoloogiline ruum

Topoloogiline ruum on üks matemaatika põhimõisteid, eukleidilise ruumi ja meetrilise ruumi üldistus. Topoloogilistele ruumidele üldistuvad ka paljud matemaatilise analüüsi mõisteid, sealhulgas koonduvus, pidevus ja sidusus. 
Topoloogilisi ruume uurib matemaatika haru üldtopoloogia. Seda mõistet kasutatakse paljudes teistes matemaatika harudes. 
Kui kontekstist on selge, et jutt on topoloogilisest ruumist, kasutatakse tihti lihtsalt sõna "ruum".
Definitsioon.
Topoloogilist ruumi defineeritakse mitmel ekvivalentsel moel. Levinuima definitsiooni puhul võetakse algmõisteks lahtise hulga mõiste. 
Definitsioon lahtiste hulkade kaudu.
Topoloogiliseks ruumiks nimetatakse järjestatud paari formula_1, kus formula_2 on mingi mittetühi hulk ning formula_3 on hulga formula_2 alamhulkade hulk, mis rahuldab järgmisi tingimusi:
Hulka formula_3 nimetatakse topoloogilise ruumi formula_1 topoloogiaks ning kogumi formula_3 elemente lahtisteks hulkadeks topoloogilises ruumis formula_1. Lahtise hulga täiendit hulgani X nimetatakse kinniseks hulgaks topoloogilises ruumis formula_1. Kui on selge, missugust topoloogiat hulgal formula_2 vaadeldakse, siis võidakse topoloogilist ruumi formula_1 tähistada ka lihtsalt tähisega formula_2.
Olgu formula_18 ja formula_19 topoloogiad hulgal formula_2. Öeldakse, et topoloogia formula_18 on tugevam kui topoloogia formula_19 (ehk topoloogia formula_19 on nõrgem kui topoloogia formula_18), kui formula_25.
Definitsioon kinniste hulkade kaudu.
Topoloogilise ruumi saab määratleda ka kinniste hulkade kaudu:
"Topoloogiliseks ruumiks" nimetatakse järjestatud paari formula_26, kus formula_2 on mingi mittetühi hulk ning formula_28 on hulga formula_2 alamhulkade hulk, mis rahuldab järgmisi tingimusi:
Hulka formula_28 kuuluvaid alamhulki nimetatakse "kinnisteks hulkadeks" ning hulga formula_28 elementide täiendeid "lahtisteks hulkadeks" topoloogilises ruumis formula_26. 
Lihtne on veenduda, et topoloogilise ruumi määratlus kinniste hulkade kaudu on samaväärne topoloogilise ruumi määratlusega lahtiste hulkade kaudu — see tähendab, et iga formula_2, formula_3 ja formula_28 korral formula_1 on topoloogiline ruum esimese määratluse järgi ning formula_28 on topoloogilise ruumi formula_1 kõigi kinniste hulkade hulk esimese määratluse järgi parajasti siis, kui formula_26 on topoloogiline ruum teise määratluse järgi ning formula_3 on topoloogilise ruumi formula_26 kõigi lahtiste hulkade hulk teise määratluse järgi.
Näiteid.
Triviaalne topoloogia ja diskreetne topoloogia.
Olgu formula_2 mistahes mittetühi hulk. Siis formula_48 on topoloogia hulgal formula_2. Seda topoloogiat nimetatakse triviaalseks topoloogiaks hulgal formula_2. Tegu on nõrgima topoloogiaga hulgal formula_2.
Samamoodi on mistahes mittetühja hulga formula_2 korral hulk formula_53 (hulga formula_2 kõigi alamhulkade hulk) topoloogia hulgal formula_2; teda nimetatakse diskreetseks topoloogiaks hulgal formula_2. Ilmselt on tegu tugevaima topoloogiaga hulgal formula_2.
Kolõplik topoloogia.
Olgu formula_2 mistahes mittetühi hulk ning formula_59 tema kõigi lõplike alamhulkade hulk. Siis 
formula_60\} 
on topoloogia hulgal formula_2; seda nimetatakse kolõplikuks topoloogiaks hulgal formula_2.
Meetriline ruum topoloogilise ruumina.
Olgu formula_63 meetriline ruum. Tähistame formula_64 abil lahtist kera keskpunktiga formula_65 ja raadiusega formula_66, s. o. 
 formula_67 
iga formula_68 korral. Siis 
 formula_69 
on topoloogia hulgal formula_2 — see on kauguse formula_71 poolt määratud topoloogia hulgal formula_2.
Kaks erinevat kaugust ühel hulgal võivad määrata ühe ja sama topoloogia.
Topoloogilist ruumi, mida saab vaadelda meetrilise ruumina, s. o. millel saab määratleda niisuguse kauguse, mis määrab selle topoloogilise ruumi topoloogia, nimetatakse metriseeruvaks topoloogiliseks ruumiks.
Kui formula_63 on meetriline ruum, formula_74 on kauguse formula_71 poolt määratud topoloogia hulgal X ning formula_59 on hulga formula_2 mittetühi alamhulk, siis kauguse formula_71 poolt hulgal formula_59 määratud topoloogia on hulga formula_59 alamruumi topoloogia topoloogilises ruumis formula_81.
Loomulik topoloogia lõplikumõõtmelistes vektorruumides.
Arvuhulgad formula_82 ja formula_83 on normeeritud ruumid "loomuliku normi" formula_84 suhtes ja seega meetrilised ruumid sellele normile vastava "loomuliku kauguse" formula_85 suhtes, kus || tähistab reaalarvude puhul absoluutväärtust ja kompleksarvude puhul moodulit. Selle kauguse poolt määratud topoloogiat nimetatakse loomulikuks topoloogiaks vastaval arvuhulgal. Näiteks hulga formula_82 loomulik topoloogia on väljakirjutatuna 
 formula_87.
Olgu formula_88 ja formula_89. Osutub, et iga kahe normi formula_90 ja formula_91 korral vektorruumil formula_92 (üle korpuse formula_93) kummalegi normile vastavate kauguste poolt määratud topoloogiad ühtivad. Nii võib määratleda loomuliku topoloogia hulkadel formula_92 kui mistahes normeeritud ruumi formula_95 normile vastava kauguse poolt määratud topoloogia.
Kui formula_59 on mingi hulga formula_92 mittetühi alamhulk ja formula_3 on loomulik topoloogia hulgal formula_92, siis hulga formula_59 loomulikuks topoloogiaks nimetame tema alamruumi topoloogiat topoloogilises ruumis formula_101. Kui mingi kaugus formula_71 määrab loomuliku topoloogia hulgal formula_92, siis määrab ta ka loomuliku topoloogia hulgal formula_59. Näiteks kaugus formula_85 määrab loomuliku topoloogia kõigi naturaalarvude hulgal formula_106 või lõigul formula_107. Seejuures osutub kõigi naturaalarvude hulga loomulik topoloogia diskreetseks topoloogiaks.
Üks (mitteloomulik) naturaalarvude topoloogia.
Tähistame iga formula_108 korral formula_109. Siis 
 formula_110 
on topoloogia hulgal formula_106.
Sierpiński ruum.
Üks klassikaline näide on Sierpiński ruum – kahest punktist koosnev ruum, kus üks üheelemendiline hulk on lahtine ja mitte kinnine, teine kinnine ja mitte lahtine.