Z-teisendus

Z-teisendus on diskreetse-ajalise signaali muutmine sagedusruumi komponentideks (sageduskomponentideks). Diskreetne-ajaline signaal võib olla reaalarvuline või kompleksarvuline.
Definitsioon.
On olemas kaks Z-teisenduse tüüpi: "kahepoolne" ja "ühepoolne" Z-teisendus.
Kahepoolne Z-teisendus.
Diskreetse-ajalise signaali formula_1 "kahepoolse" Z-teisenduse formula_2 valem on defineeritud selliselt:
formula_3
kus formula_4 on täisarv ja formula_5 on üldjuhul kompleksarv:
formula_6,
kus formula_7 on formula_5 kompleksarvu absoluutväärtus, formula_9 on imaginaarühik ning formula_10 on "kompleksarvu argument" radiaanides.
Ühepoolne Z-teisendus.
Juhul, kui formula_1 on defineeritud ainult formula_12 jaoks, "ühepoolse" Z-teisenduse valem on defineeritud selliselt:
formula_13
Seda definitsiooni saab signaalitöötluses kasutada diskreetse-ajalise põhjusliku (kausaalse) süsteemi ühiku siirdega filtri Z-teisenduse välja arvutamiseks.
Üks näide ühepoolsest Z-teisendusest on tõenäosuse genereeriv funktsioon, kus komponent formula_1 on tõenäosus, et diskreetne juhuslik muutuja omandab väärtust formula_4 ning funktsioon formula_2 on üldiselt kujutatud nagu formula_17 (kus formula_18). Z-teisenduse omadustel on kasulikud interpretatsioonid tõenäosuseteooria kontekstis.
Pöörd-Z-teisendus.
"Pöörd"-Z-teisendus on 
formula_19
kus "C" on vastupäeva suletud rada mis ümbritseb algpunkti ning mis on täielikult konvergentsipiirkonnas. Juhul, kui konvergentsipiirkond on põhjuslik (kausaalne) (vaata Näide 2), see tähendab, et "C" rada peab ümbritsema kõik formula_2 pooluseid.
Kontuurintegraali erijuht ilmub, kui "C" on ühik ring. Sellist kontuuri saab kasutada, kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi, mis on alati garanteeritud kui formula_2 on stabiilne, ehk siis, kui kõik pooluseid on ühikringi sees. Sellise kontuuriga pöörd-Z-teisendus taandub ühikringi läheduses Z-teisenduse perioodiliste väärtuste diskreetse-ajalise pöörd-Fourier' teisendusele:
formula_22
Z-teisendus "n" lõpliku vahemikuga ja ühtlaste vahedega "z" väärtuste lõpliku arvuga saab välja arvutada kasutades Bluestein FFT algoritmi. Diskreetne-ajaline Fourier' teisendus on "z" piiramisega ühikringile saadud Z-teisenduse erijuht.
Konvergentsipiirkond.
Konvergentsipiirkond on komplekstasandi punktide hulk, millele Z-teisenduse summeerimine koondub.
formula_23
Näide 1 (ilma konvergentsipiirkonnata).
Olgu "x[n]" = (0.5)"n". Laienedes "x[n]" intervaalis (−∞, ∞) see muutub
formula_24
Vaadates summa
formula_25
Järelikult, pole "z" väärtusi mis rahuldavad seda tingimust.
Näide 2 (põhjuslik (kausaalne) konvergentsipiirkond).
Olgu formula_26 (kus "u" on Heaviside funktsioon). Laienedes "x[n]" intervaalis (−∞, ∞) see muutub
formula_27
Vaadates summa
formula_28
Viimane võrdsus tuleneb lõpmatust geomeetrilisest rajast ja võrdsus kehtib ainult kui |0.5"z"−1| &lt; 1 mis saab olla ümber kirjutatud kui |"z"| &gt; 0.5. Seega konvergentsipiirkond on |"z"| &gt; 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on komplekstasand kus raadiuse ring 0.5 on nö "välja löödud".
Näide 3 (antikausaalne konvergentsipiirkond).
Olgu formula_29 (kus "u" on Heaviside funktsioon). Laienedes "x[n]" intervaalis (−∞, ∞) see muutub
formula_30
Vaadates summa
formula_31
Jälle kasutades lõpmatu geomeetrilist rada, võrdusus kehtib ainult kui |0.5−1"z"| &lt; 1 mis saab olla ümber kirjutatud kui |"z"| &lt; 0.5. Seega konvergentsipiirkond on |"z"| &lt; 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on algpunktis keskendatud ring raadiusega 0.5.
Sellist näidet eelnevast eristab "ainult" konvergentsipiirkond. See on selleks, et näidata, et ainult teisenduse tulemust ei ole piisav.
Näidete kokkuvõte.
Näited 2 ja 3 näitavad, et "x[n]" Z-teisendus "X(z)" on unikaalne siis ja ainult siis, kui määratletakse konvergentsipiirkonda. Poolus-null graafiku loomine kausaalse ja antikausaalse näidete jaoks näitab, et konvergentsipiirkond mõlemal juhul ei sisalda poolust, mis asub 0.5 peal. See laieneb mitme poolustega juhtumitele: konvergentsipiirkonda ei sisalda pooluseid "mitte kunagi".
Kausaalne süsteem näites 2 annab konvergentsipiirkonda, mis sisaldab |"z"| = ∞ ning kausaalne süsteem näites 3 annab konvergentsipiirkonda, mis sisaldab |"z"| = 0.
Mitme poolustega süsteemides on võimalik saada konvergentsipiirkonda, mis ei sisalda mitte |"z"| = ∞ ega |"z"| = 0. Konvergentsipiirkond loob ringkujulist ala. Näiteks,
formula_32
sisaldab pooluseid 0.5 ja 0.75 peal. Konvergentsipiirkond tuleb 0.5 &lt; |"z"| &lt; 0.75, mis ei sisalda mitte algpunkti ega lõpmatust. Sellist süsteemi nimetatakse segakausaalsuse süsteemiks, sest see sisaldab kausaalse piiri (0.5)"n""u"["n"] ja antikausaalse piiri −(0.75)"n""u"[−"n"−1].
Süsteemi stabiilsus saab olla määratud teades ainult konvergentsipiirkonda. Kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi (|"z"| = 1), siis süsteem on stabiilne. Üleval süsteemidel kausaalne süsteem (Näide 2) on stabiilne sest |"z"| &gt; 0.5 sisaldab ühikringi.
Olgu meil on süsteemi Z-teisendus ilma konvergentsipiirkonnata (ebamäärane "x[n]"). Me saame määrata unikaalset "x[n]" tingimusel, et soovime:
Stabiilsuse jaoks konvergentsipiirkond peab sisaldama ühikringi. Kui meil on vaja kausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama lõpmatust ja süsteemi funktsioon tuleb parempoolseks jadaks. Kui meil on vaja antikausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama algpunkti ja süsteemi funktsioon tuleb vasakpoolseks jadaks. Kui meil on vaja nii stabiilsust kui ka kausaalsust, siis kõik süsteemi funktsiooni pooluseid peab olema ühikringi sees.
Seejärel saab leida unikaalset "x[n]".
Omadused.
Parseval teoreem
formula_33