Helilainevõrrand

Helilainevõrrand on füüsikas võrrand, mis kirjeldab helilaine levi keskkonnas. Helilainevõrrand on lainevõrrand ja seega on samuti teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand. Helilainevõrrand võib kirjeldada helirõhu formula_1, osakese kiiruse u, kiiruste potentsiaali formula_2 või siirete potentsiaali formula_3 muutusi sõltuvana asukohast x ja ajast formula_4.
Lineaarne homogeenne helilainevõrrand.
Lineaarne homogeenne ilma sumbuvuseta helilainevõrrand helirõhust formula_1 avaldub kujul:
formula_6
kus,
Lineaarse homogeense helilainevõrrandi tuletamine.
Helilainevõrrandi saab tuletada lineariseeritud olekuvõrrandist, pidevuse võrrandist ja lineariseeritud Newtoni teisest seadusest pideva keskkonna jaoks ehk lineariseeritud Euleri võrrandist.
Akustilised suurused helirõhk ja surutavus.
Vaatleme keskkonna ühte osakest. Antud osake hõlmab keskkonna piisavalt suurt ruumala sisaldamaks miljoneid molekule, kuid on piisavalt väike, et tema piires kõik akustilised muutujad (näiteks rõhk, tihedus, osakese siire) on ühtlase suurusega. Antud osakesel on tasakaaluolek ja sellele taskaaluolekule vastab "häirimata osakese tihedus" formula_9 ja "häirimata osakese rõhk" formula_10. Osakese piires on rõhk ja tihedus igal ajahetkel sama väärtusega. Helilaine levimisel keskkonnas muutub osakese rõhk ja tihedus ajas. Helilaine levimise ajal leidub osakese piires antud "osakese hetkeline tihedus" formula_11 ja osakesele mõjuv "hetkeline rõhk" formula_12. Seejuures on helirõhk on defineeritud hetkelise- formula_12 ja häirimata rõhu formula_10 vahe ehk formula_15. "Akustiline tihedus on" analoogselt defineeritud hetkelise tiheduse formula_11 ja "häirimata tiheduse" formula_9 vahena. Viimasest olulisema suurusena defineeritakse surutavus formula_18, mis on akustilise tiheduse ja häirimata tiheduse suhe ehkformula_19
Olekuvõrrand akustikas.
Reaalseid gaase ja vedelikke ei saa enamasti lähendada ideaalse gaasiga ja seetõttu määratakse nende puhul mõõtmiste abiga isentroopsed seosed mis esinevad rõhu ja tiheduse muutuste vahel. Viimaseid seoseid saab esitada Taylori reanaformula_20kus häirimata oleku voolise isoentroopse kokkusurumise ja paisumise osatuletiste formula_21 väärtused määratakse katseliselt. Kui häirituse suurus on piisavalt väikese amplituudiga, võib kõrgemat järku Taylori rea liikmed hüljata. Sedasi toimides saame rõhu fluktuatsioonide ja tiheduse muutuste vahel kirja panna lineaarse seoseformula_22kus suurust formula_23, nimetatakse adiabaatiliseks mahtelastsusmooduliks. Kasutades akustilise rõhu ja surutavuse definitsioone saame lineariseeritud olekuvõrrandi kirja panna seosena, mis sarnaneb Hooke'i seadusele ehkformula_24Seega on helirõhk formula_1 ehk hetkeline erinevus tasakaalu oleku rõhust ligikaudu võrdeline surutavusega formula_18 ehk hetkelise tiheduse erinevusega tasakaaluoleku tihedusest ning võrdeteguriks nende kahe suuruse vahel on adiabaatiline mahtelastusmoodul formula_27.
Keskkonna pidevuse võrrand.
Oletades, et vaadeldava osakese ruumala on formula_28 ja tema pinna pindala formula_29. Osakese pinna kuju on määratud vektorfunktsiooniga formula_30, mis on defineeritav kõikides pinna punktides olevate pinnanormaalide formula_31 ja elementaarpindade formula_32 korrutisega formula_33. Osakese massi juurdekasv ruumalas formula_28 võrdub osakese pinda formula_29 läbiva massi voo suurusega:formula_36Kasutades Gauss-Ostrogradski teoreemi, mis seob vektorvälja voo läbi pinna ja pinna sisese tensorvälja formula_37 saame pidevusvõrrandi parema poole kirjutada kujuleformula_38Vastavalt eeldustele võib osakese piires osakese kiiruse ja tiheduse korrutise gradienti pidada konstantseks, ning seega võib kirjutada: formula_39Asendades viimase algsesse pidevuse võrrandisse ja jagades mõlemat poolt läbi osakese ruumalaga formula_28 saame keskkonna pidevuse võrrandi kujulformula_41Asendades hetkelise tihedused formula_11 surutavusega formula_18 vastavalt tema definitsioonile formula_44 ja arvestades, et häirimata tihedus formula_9 muutub võrreldes surutavusega ajas aeglaselt ja eeldusest tuleneva surutavuse formula_18 vähese muutumisega osakese piires saame lineariseeritud keskkonna pidevuse võrrandiformula_47
Euleri võrrand.
Pidevate keskkondade jaoks on Newtoni teine seadus kirja pandav laialt levinust teistsugusel kujul. Pidevas keskkonnas on osakese pinnale mõjuva rõhu resultandi muutus võrdne jõuga, mis paneb osakese massiga formula_48 liikuma vastavalt kiirendusega formula_49 ehkformula_50Kasutades jälle Gauss-Ostrogradski teoreemi saame Euleri võrrandi parema poole kirjutadaformula_51Vastavalt eeldustele võib pidevas keskkonnas osakese piires gradienti rõhust lugeda konstantseks ja seegaformula_52mida asendades algsesse Euleri võrrandisse ja jagades mõlemaid pooli ruumalaga formula_28 saame Euleri võrrandi viia kujuleformula_54Viimases on formula_55 materiaalne tuletis kiirusest:formula_56Tavaliselt on helilainete amplituudid väikesed. Olgu formula_57 ja formula_58 helilainele iseloomulikud suurused (harmoonilise laine korral periood ja lainepikkus)
formula_59
formula_60
formula_61
Viimases on formula_62 osakese siire. Kui osakese siire on lainepikkusega võrreldes väike on konvektiivne kiirendus võrreldes lokaalse kiirendusega samuti väike suurus ja Euleri võrrand lihtsustub kujuleformula_63
Lineaarne helilainevõrrand.
Võttes divergentsi "lineaarsest Euleri võrrandist" saameformula_64kus formula_65 on Laplace'i operaator. Järgnevalt võtame aja järgi tuletise "lineaarsest pidevuse võrrandist" ja arvestame, et formula_9 on ajas vähe muutuv,formula_67"lineaarne olekuvõrrand" lubab surutavust esitada, kui formula_68 ja kuna formula_69 on ajas vähe muutuv saameformula_6
kus formula_8 on helikiirus, mis on defineeritud kui formula_72