Liitfunktsioon

Liitfunktsiooniks ehk funktsioonide ehk kujutuste kompositsiooniks nimetatakse matemaatikas funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni "järjest rakendamisel".
Definitsioon.
Olgu formula_1, formula_2 ja formula_3 mingid hulgad. Funktsioonide formula_4 ning formula_5 "liitfunktsiooniks" ehk "kompositsiooniks" nimetatakse niisugust funktsiooni formula_6, et formula_7 iga formula_8 korral. 
Funktsiooni formula_9 nimetatakse siin "välimiseks", funktsiooni formula_10 "sisemiseks funktsiooniks". Funktsioonide formula_9 ja formula_10 liitfunktsiooni tähistatakse sageli formula_13. Mingite funktsioonide formula_9 ja formula_10 liitfunktsiooni või nende liitfunktsiooni väärtuste leidmist nimetatakse ka funktsioonide formula_9 ja formula_10 "järjest rakendamiseks".
Miks liitfunktsiooni argument ei ole (üldjuhul) funktsioon.
Olgu mingi suurus x (mille muutumispiirkond olgu X) määrab üheselt ära suuruse u (mille väärtused kuulugu hulka U) ning suurus u määrab üheselt ära suuruse y (mis omandab väärtusi hulgast Y). Siis võime suurust y vaadelda funktsioonina suurusest u ning suurust u funktsioonina suurusest x. Et suurus formula_18 on funktsioon suurusest formula_19, siis omab mõtet avaldis formula_20, mis tähistab suuruse formula_18 väärtus suuruse formula_19 mingi etteantud väärtuse korral. Samas u on funktsioon suurusest x, seega funktsiooni y argument oleks justkui funktsioon.
Eelnev arutluskäik ei ole aga matemaatiliselt korrektne (vähemalt mitte selles mõttes, nagu mõiste "funktsioon" tavaliselt defineeritakse), sest "funktsioonide" all ei mõisteta matemaatikas ranges mõttes mitte mingeid funktsionaalselt seotud suurusi, vaid "eeskirja" ühe suuruse põhjal teise suuruse leidmiseks (vaata artiklit Funktsioon (matemaatika)).
Eeltoodud arutluses tekitab segadust sõnastus "suurus formula_19 on funktsioon suurusest formula_24". Seda väljendit ei ole õige sõna-sõnalt tõlgendada - väide "suurus formula_19 on funktsioon hulgal formula_26" ei ole õige. Tõepoolest, kui hulkadeks formula_26 ja formula_28 oleks kõigi reaalarvude hulk (füüsikalisi suurusi vaadeldakse ju tavaliselt reaalarvudena - näiteks võime suuruseks formula_19 võtta mingi keha asukoha ja suuruseks formula_24 kulunud aja), siis saaksime, et suurus formula_19 on korraga reaalarv ja funktsioon reaalarvust (ehk teisisõnu, eeskiri, mis seab igale reaalarvule vastavusse mingi reaalarvu) - vastuolu, sest meil ei ole mingit alust samastada reaalarve reaalmuutuja funktsioonidega. Näiteks keha asukoht mingil ajahetkel ei ole ju eeskiri reaalarvule reaalarvu vastavusse seadmiseks, vaid lihtsalt reaalarv.
Õige on väljendit "suurus formula_19 on funktsioon suurusest formula_24" mõista nii: "suuruse formula_19 saab esitada funktsioonina suurusest formula_24", s. t. "leidub mingi funktsioon formula_36, nii et alati kehtib seos formula_37". Sellisel juhul leiduvad meie näites funktsioonid formula_36 ja formula_39 nii, et formula_40 ja formula_37. Suuruse formula_18 saab suuruse formula_24 kaudu avaldada siis liitfunktsiooni formula_13 abil: formula_45. Siin aga on funktsiooni formula_13 argumendiks on ikkagi reaalarv, mitte funktsioon formula_10. 
Tähised ja nimetused algebras ja matemaatilises analüüsis.
Algebras ja matemaatilises analüüsis on liitfunktsiooni jaoks veidi erinevad nimetused ja tähised.
Sõna "liitfunktsioon" kasutatakse põhiliselt matemaatilises analüüsis (algebras kasutatakse sõna "funktsioon" asemel tavaliselt sõna "kujutus"), sõna "kompositsioon" kasutatakse nii algebras kui analüüsis.
Algebras nimetatakse kujutuste kompositsiooni sageli ka lihtsalt nende kujutuste "korrutiseks", kujutuste järjest rakendamist nende kujutuste "korrutamiseks" ning kujutuste formula_9 ja formula_10 korrutist tähistatakse sageli lihtsalt nende järjestkirjutisena formula_50 (samamoodi nagu nt. reaalarvuliste muutujate formula_24 ja formula_18 korrutist tähistatakse formula_53). Niisugust tähistust võib põhjendada sellega, et kujutuste järjest rakendamist vaadeldakse algebras sageli tehtena mingil kujutuste hulgal; seda tehet tähistatakse tavaliselt korrutustehtena.
Matemaatilises analüüsis seevastu mõeldakse funktsioonide formula_9 ja formula_10 "korrutise" all niisugust funktsiooni formula_56, et formula_57 iga formula_24 jaoks funktsiooni formula_56 määramispiirkonnast. Seepärast ei saa matemaatilises analüüsis sõna "korrutis" liitfunktsiooni kohta kasutada.
Liitfunktsiooni tuletis.
Kui formula_9 ja formula_10 on reaalmuutuja funktsioonid ning funktsioonil formula_9 on lõplik tuletis kohal formula_24 ja funktsioonil formula_10 on lõplik tuletis kohal formula_99, siis funktsioonil formula_13 on lõplik tuletis kohal formula_24 ning formula_102.
Sellest valemist saab järeldada ka valemid rohkema arvu funktsioonide liitfunktsioonide tuletise leidmiseks: näiteks kui leiduvad lõplikud formula_103, formula_104 ja formula_105, siis formula_106 jne.
Samad liitfunktsiooni tuletise valemid kehtivad ka tuletise mõiste üldistuste jaoks, näiteks kompleksmuutuja funktsioonide liitfunktsiooni tuletise jaoks.