Lõplike elementide meetod

Lõplike elementide meetod ehk LEM (ingl k "finite element method", FEM) on numbriline arvutusmeetod insener-tehniliste ja füüsikaliste probleemide lahendamiseks. Meetod hõlmab üldiste (osatuletistega) diferentsiaalvõrrandite ja/või nende süsteemi aproksimeerimist ehk lähendamist üle mingi (pideva) piirkonna (nt tasand), mis jaotatakse väiksemateks, lõplikeks elementideks (nn piirkonna diskreetimine). Numbriline lahend kogu piirkonna jaoks saadakse lõplike elementide summeerimisega mingi eeskirja järgi.
Ajalugu.
Esmakordselt kasutas piirkonna diskreetimist saksa matemaatik Karl Schellbach 1851. aastal, seda Plateau probleemi lahendamisel. Lord Rayleigh', Walther Ritzi ja Boris Galjorkini hilisem arendustöö variatsiooniarvutuse ja kaalutud hälvete meetodites andis samuti märkimisväärse panuse LEMi teooriasse.
Hiljem on diskreetimist kasutanud Richard Courant, kes 1943. aastal uuris Saint-Venant' väändeprobleemi, kasutades ka Rayleigh'-Ritzi meetodit, kuigi tema töö jäi suurema tähelepanuta. Kaasaegse LEMi formuleerimisele aitas kaasa John Argyrise 1954. aastal avaldatud artikkel struktuurianalüüsi ja energiateoreemi teemadel. Argyrisest sõltumatult panustasid tänapäevase LEMi väljatöötamisse Ray William Clough (1960) ja M. J. Turner (1956), kellest viimane võttis kasutusele termini "lõplik element".
Seoses aeronautikatööstuse ja arvutusjõudluse arenguga 1960. aastatel arendas NASA välja esimese LEMi tarkvara NASTRAN struktuurianalüüsi arvutuste jaoks. Edasistel aastatel kujunes LEM tööstusstandardiks, laienedes esialgsest struktuurianalüüsist soojusjuhtivuse, hüdromehaanika ja elektrodünaamika simulatsioonideni. Personaalarvutite tulekuga 1970. aastate lõpus ilmusid turule esimesed LEMi kommertstarkvarapaketid. 
Meetodi põhimõte.
Üldjoontes viiakse LEM läbi järgnevalt:
Ülaltoodud punktidest järeldub, et LEM sobib mittelineaarsete efektide uurimiseks. Samuti nähtub punktidest, et vaadeldav pidev süsteem lõpmatu arvu tundmatutega lähendatakse diskreetse süsteemi ja lõpliku arvu tundmatutega. Kui teatud piirkonnas vajatakse suuremat täpsust, siis seal saab konstrueerida tihedama elementide võrgustiku. Tegemist oleks optimaalse lahendusega, kuna kogu piirkonda pole mõtet väga tihedalt diskreetida: nõudmised arvuti muutmälu, salvestusseadmete ja protsessorijõudluse osas kasvaksid viimasel juhul drastiliselt.
Probleeminäide.
LEMi tehniliseks käsitluseks sobib ühedimensiooniline homogeenne Dirichlet' probleem
(1):formula_1
kus formula_2 on teadaolev funktsioon ja formula_3 otsitav lahend. Esmalt tuleb formuleerida ääreväärtusprobleemi nõrk formulatsioon e nõrk vorm, seejärel see diskreetida.
Korrutades esimest võrrandit valemis (1) skalaarselt suvalise funktsiooniga formula_4, mis rahuldab
(2):formula_5
saadakse
(3):formula_6
Võrrandi vasaku poole ositi integreerimine annab
formula_7
milles viimase võrduse saamiseks kasutati valemit (2). Defineerides funktsionaali formula_8 järgnevalt:
formula_9
saab valemi (3) kirja panna kui
(4):formula_10
Tegemist on nõrga vormiga probleemi (1) jaoks selles mõttes, et see seab nõrgemad tingimused lahendile formula_11 ja proovifunktsioonile formula_12. Kui ääreväärtusprobleem oleks defineeritud üle mingi suvalise piirkonna formula_13, siis vastavad testfunktsioonid moodustaksid Sobolevi ruumi formula_14. Testfunktsioonid rahuldavad formula_15, kus formula_16 on piirkonna formula_13 tükati sile raja. On võimalik näidata, et formula_18. Probleeminäite testfunktsioonide ruumiks on formula_19.
Diskreetimine.
Nõrga vormi (4) diskreetimine taandub lõpmatu-dimensioonilise lineaarse probleemi
formula_20
asendamisele lõpliku-dimensioonilise probleemiga
(5):formula_21
kus formula_22 on lõpliku dimensiooniga tükiti polünoomide ruum.
Võttes intervalli formula_23, jagatakse see formula_24 osaks: formula_25. Ruumi formula_22 määratletakse kui
(6):formula_27
milles formula_28 tähistab pidevate funktsioonide hulka. Ülaltoodud definitsiooni kohaselt pole formula_12 diferentseeruv kogu määramispiirkonna ulatuses, st punktides formula_30 funktsiooni formula_12 tuletist ei leidu.
Baasi valik.
Ruumi formula_22 jaoks saab valida järgneva baasi:
formula_33
Sellise definitsiooni kohaselt on igas intervallis formula_34 defineeritud baasifunktsioon formula_35 kolmnurkfunktsioon. Kehtib formula_36, kus formula_37 tähistab Kroneckeri sümbolit. Baas rahuldab järgmisi omadusi:
(7):formula_38
Maatriksi kujule viimine.
Kirjutades otsitava funktsiooni formula_3 baasifunktsioonide formula_40 kaudu
formula_41
ja tähistades valemis formula_42, saab valemi (5) kirja panna kui
(8):formula_43
Defineerides vektorid formula_44 ja formula_45, kus formula_46, ning maatriksi formula_47, saab valemi (8) avaldada kui
(9):formula_48
Järelikult on ääreväärtusprobleem taandunud formula_49 leidmisele võrrandis (9). Omaduse (7) tõttu on maatriks formula_50 sümmeetriline, positiivselt määratud ja hõre, st enamus tema elementidest on nullid. Seda tüüpi võrrandite jaoks on välja töötatud mitmesuguseid algoritme, näiteks konjugeeritud gradiendi meetod ning LU- ja Cholesky dekompositsioon, mis arvutite peal efektiivselt realiseeruvad.
Üldistused.
LEMi on võimalik rakendada ka kõrgemaid (osa)tuletisi sisaldavatele ääreväärtusprobleemidele, näiteks Neumanni ja segaprobleemile, üle suvalise piirkonna formula_13. Diferentsiaalvõrrandi järk määrab baasifunktsioonide pidevuse tingimused, piirkonna dimensionaalsus aga elementide dimensiooni, näiteks formula_52 võib jaotada kolmnurkadeks, ruutudeks või muuks kumeraks hulknurgaks, formula_53 tetraeedriteks jne (ühedimensioonilises probleeminäites on piirkond sirglõikudeks jaotatud). Nõrk vorm formuleeritakse Greeni identsusi kasutades, nt homogeense Dirichlet' probleemi nõrgaks vormiks on
formula_54
Baasifunktsioonid e interpolatsioonifunktsioonid on üldjuhul tükati polünoomid, nt Hermite'i ja Lagrange'i polünoomid, kusjuures nende väärtused peavad pidevuse tagamiseks erinevate elementide kokkupuuteäärel olema võrdsed. Nõrga vormi koostamist ja selle lähendamist lõpliku baasiga nimetatakse Galjorkini meetodiks. Ülesanne taandub lõpuks numbrilisele maatriksivõrrandi lahendamisele või Runge-Kutta meetodi rakendamisele.
Võrdlus lõplike vahede meetodiga.
Lõplike vahede meetod (LVM) on alternatiivne viis osatuletistega diferentsiaalvõrrandite (süsteemi) lahendamiseks. Põhilised erinevused LEMi ja LVMi vahel on:
LEMi kasutatakse üldiselt struktuurianalüüsis, samas kui arvutuslikus hüdrodünaamikas (nt õhuvoolude simulatsioon lennukitiiva ümber) kasutatakse rohkem LVMi või lõpliku ruumala meetodit.
Rakendused.
LEM on populaarne mehaanika valdkonda kuuluvate insener-tehniliste probleemide simulatsioonides. LEM on integreeritud aeronautika-, ehitus-, laeva-, auto- ja isegi mööblitööstuse disainimis- ning tootmisprotsessi. Paljud LEMi tarkvarapaketid koosnevad komponentidest, millest igaüks käsitleb erinevaid füüsikavaldkondi, nt termodünaamika, elektromagnetism, hüdrodünaamika ja mehaanika. LEM aitab visualiseerida materjalide pingeid, nende jaotust ja konstruktsiooni vastupidavust, samuti on võimalik minimeerida erinevaid karakteristikuid, näiteks kaalu, materjali- ja tootmiskulu. LEMi tarkvara võimaldab simulatsiooni parametriseerida (nt konstruktsiooni pingete simulatsioon, kus parameetriks on erineva raskusega koormised), arvestada ajalist sõltuvust ja saada tulemus soovitud täpsuse piires.
LEM on märkimisväärselt parandanud tootearenduse standardeid ja metodoloogiat, seda eriti tööstusvaldkonnas. Näiteks on LEMi kasutuselevõtuga kontseptsioonist tootmisliinini jõudmise aeg oluliselt vähenenud. Seda tänu prototüüpide tarkvaralise testimise võimalusele, mis elimineerib mitteoptimaalsed või -töötavad prototüübid ning nendega seotud kulud, näiteks materjal ja aeg, tootearenduse algetappides.
Lisaks tööstuslikule rakendusele uuritakse LEMi abil füüsikalisi olukordi, mille tingimustes on raske eksperimenti läbi viia või seda seletav mudel vajaks kontrollimist.