Graafide süsteem

Graafide süsteem on graafide hulk, mille elementide vahel on fikseeritud seosed. Graafe on süstematiseeritud erinevatest aspektidest. Tavaliselt on selleks mingi kindel struktuurne omadus, nagu "planaarsus, regulaarsus, transitiivsus" jne. 
Palju tööd on tehtud "graafide loendamise" alal nende tippude ja servade arvu järgi . Paraku ei ole need siiski veel süsteemid, sest neis ei ole fikseeritud vahetud "seosed" elementide (st graafide) vahel. Need seosed on leitud hilisemate uuringute käigus .
Olgu |"V"|-tipuliste graafide süsteemi mitteisomorfsete graafide arv "p", sh sidusate arv "p*" ja märgistatute arv "p**". Süsteemi graafid jagunevad servade arvu järgi "m" nivooks. Seoste arv graafide süsteemis "q" ja orbiitide arv "q*".
Graafide süsteeme tippude arvu |"V"| järgi:
Nivoode arv "m" vastab "täisgraafi" servade arvule pluss üks, mis tähendab "tühigraafi" (st 0 servaga graafi) olemasolu. Graafide arv "p", kui: |"V"| = 8 – 12 344, kui |"V"| = 9 – 276 668, kui |"V"| = 10 – 12 005 168, kui |"V"| = 11 – 1 018 997 864 jne. Need aga ei moodusta süsteeme, sest seosed ei ole veel tuvastatud.
Graafide süsteemi atribuutika.
Graafide süsteemi moodustamine toimub graafide identifitseerimise baasil.
Igal graafil formula_1 on oma "suurimad alamgraafid" formula_2, mis saadakse "serva" formula_3 "eemaldamisel" formula_4 ja oma "väikseimad ülemgraafid" formula_5, mis saadakse serva lisamisel. Graafi alamgraafide arv võrdub servade arvuga ja ülemgraafide arv "mitteservade" arvuga. Saadud graafe nimetagem koos "naabergraafideks" formula_6. Nii on |"V"|-tipuliste graafide süsteemis iga nivoo seotud oma alumise ja ülemise naabernivooga.
Graafi tippude hulk jaguneb "orbiitideks" (st teatud tüüpi ekvivalentsusklassideks, transitiivsuspiirkondadeks). Nende raames jaguneb tipupaaride hulk omaette orbiitideks . Iga tipupaari orbiidi raames saadud naabergraafid on isomorfsed ja moodustavad "isomorfismiklassi". Graafide süsteemi iga nivoo koosneb aga "mitteisomorfsetest" graafidest, st erinevaid isomorfismiklasse esindavatest graafidest, ehk struktuuridest.
Seega graafi igale tipupaari orbiidile (binaarorbiidile) vastab üks naaberstruktuur. Need vastavused kujutavad endast "seoseid" formula_7 ehk "morfisme" formula_8 naabernivoodel asuvate struktuuride (st isomorfismiklasse esindavate graafide) vahel. Seoste (morfismide) formula_7 fikseerimine graafide vahel muudab |"V"|-tipuliste graafide kogumi graafide süsteemiks formula_10.
Algebralisi omadusi.
Morfismidel on süsteemis formula_11 oluline roll. Nii mõnigi algebraline struktuur iseloomustab selle süsteemi mõnda fragmenti või aspekti. Lihtsalt tõestatavad on järgmised propositsioonid.
Rakendusi.
Esineb reaalseid süsteeme mille toimimist on võimalik kujutada selle struktuuri järkjärgulise muutumise näol ajas. Kui süsteemi formula_11 struktuure käsitleda reaalse süsteemi "seisunditena" formula_43 ajahetkel formula_44, siis kujutab suktsessioon formula_45, endast morfismide formula_7, kui "sisendmõjutuste", poolt genereeritud "dünaamilist või evolutsioonilist nähtust". Sellisel viisil on ülesehitatud elegantne kuid abstraktne ontogeneesimudel.
Niisugust lähenemist on rakendatud loodusliku koosluse evolutsiooni ehk tsönogeneesi uurimisel, kus selle seisundid olid esitatud graafidena .
Kokkuvõte.
Selliseid graafide süsteeme on praegu võimalik moodustada vaid algoritmilisel teel, täpsemini, semiootilise modelleerimise teel . Ei ole usutav, et keegi oleks üritanud seda teha kombinatoorika või algebra baasil, sest seal puudub vastav atribuutika. Ametlikult tuntakse vaid |"V"|-tipuliste graafide kogumeid, mitte süsteeme. Esimese, kuni kuuetipuliste graafide kogumi esitas Frank Harary 1969. aastal. 2004. aastal välja antud mahukas "Graafiatlases" on jõutud kuni seotsmetipuliste graafide diagrammide ja parameetrite kogumi esitamiseni. Küll aga on see teos tähelepanuväärne oma mahu (üle 10 000 graafi), graafide klassifitseerimise ja parameetrite aspektist .