Korpuse laiend

Korpuse formula_1 laiend ehk ülemkorpus on korpus formula_2, mille alamkorpus korpus formula_1 on. 
Laiendite uurimine on korpuseteoorias tähtis, sest iga korpuste homomorfism on laiend.
Põhidefinitsioonid.
Kui "E" on korpus, siis selle alamkorpus on selle alamhulk "K", mis on kinnine liitmise ja korrutamise ning pöördelemendi ja vastandelemendi võtmise suhtes ning sisaldab ühikelementi ja millel on defineeritud kõik needsamad algebralised tehted mis korpuses "E". Siis korpust "E" nimetatakse korpuse "K" laiendiks. Seda laiendit tähistatakse formula_4, formula_5 või formula_6). Seda tähistust tõlgendatakse sageli korpuste paarina, ja sageli nimetatakse laiendiks seda paari. Korpuste homomorfism on alati injektiivne, st on sisestus. Sellest järeldub, et konkreetse laiendi formula_4 etteandmine on samaväärne homomorfismi formula_8
etteandmisega. 
Kui on antud laiend formula_4 ja korpuse "E" alamhulk "S", siis korpuse "E" vähimat alamkorpust, mis sisaldab korpust "K" ja hulka "S", tähistatakse formula_10 ja nimetatakse hulga "S" tekitatud korpuseks üle korpuse "K". Üheelemendilise hulga tekitatud laiendeid nimetatakse lihtsateks laienditeks, lõpliku hulga tekitatud laiendeid nimetatakse lõplikult tekitatud laienditeks.
Iga laiendi formula_4 korral on "E" vektorruum üle korpuse "K". Siis saab "E" elemente käsitada "vektoritena". "K" elemente "skalaaridena, vektori korrutamise skalaariga annab korrutamine korpuses "E". Selle vektorruumi mõõdet nimetatakse laiendi astmeks ja tähistatakse 
formula_12. 1. astme laiendit nimetatakse triviaalseks laiendiks, 2. ja 3. astme laiendit vastavalt ruutlaiendiks ja kuuplaiendiks. Kui laiendil on lõplik aste, nimetatakse seda lõplikuks laiendiks, vastasel juhtumil lõpmatuks laiendiks.
Näited.
Kompleksarvude korpus formula_13 on reaalarvude korpuse formula_14 laiend. See laiend on lõplik: formula_15, sest (1, "i") on baas. Reaalarvude korpus on omakorda ratsionaalarvude korpuse laiend; selle laiendi aste on kontiinumi võimsus, sellepärast on see laiend lõpmatu. 
Hulk formula_16 on korpuse formula_17 laiend, mis on ilmselt lihtne. Korpuse formula_17 lõplikke laiendeid nimetatakse algebralisteks arvukorpusteks ja need on algebralise arvuteooria tähtis uurimisobjekt. 
Tavaline antud korpuse laiendamise protseduur, mis võimaldab lisada sellesse polünoomi "f"("x") juure, on polünoomide ringi faktorringi võtmine polünoomi "f"("x") tekitatud peaideaali järgi. Olgu "K" näiteks korpus, mis ei sisalda võrrandi formula_19 juurt. Siis polünoom formula_20 on korpuses "K" taandumatu, järelikult ideaal formula_21 on maksimaalne, seega faktorring formula_22 on korpus. See korpus sisaldab võrrandi formula_23 juurt: see on polünoomi formula_24 kujutis faktoriseerimiskujutuse puhul. Kui seda protseduuri mitu korda korrata, võib saada antud polünoomi lahutuskorpuse, s.o korpuse, milles antud polünoom lahutub lineaarteguriteks.
Algebralisus ja transtsendentsus.
Olgu "E" korpuse "K" laiend. Korpuse "E" elementi nimetatakse algebraliseks üle korpuse "K", kui ta on juur mingist (nullpolünoomist erinevast) polünoomist kordajatega korpuses "K". Mittealgebralisi elemente nimetatakse transtsendentseteks. Näiteks laiendi formula_25 puhul on imaginaarühik algebraline element, sest ta rahuldab võrrandit formula_23.
Eriti tähtis on laiend formula_27: termineid "algebraline arv" ja "transtsendentne arv" (põhikorpust mainimata) kasutatakse just seda laiendit silmas pidades.
Kui laiendi formula_4 iga element on algebraline üle "K", siis laiendit formula_4 nimetatakse algebraliseks lаiendiks. Mittealgebralisi laiendeid nimetatakse transtsendentseteks. 
Korpuse "E" alamhulka "S" nimetatakse algebraliselt sõltumatuks üle "K", kui ei leidu (nullpolünoomist erinevat) lõpliku arvu muutujate polünoomi kordajatega korpuses "K", millesse lõpliku arvu hulga "S" sisseasetamisel saadakse nullelement. Algebraliselt sõltumatu hulga suurimat võimsust nimetatakse antud laiendi transtsendentsuse astmeks. Iga laiendi korral võib leida niisuguse algebraliselt sõltumatu hulga "S", et formula_30 on algebraline laiend. Seda tingimust rahuldavat hulka "S" nimetatakse selle laiendi transtsendentsusbaasiks. Kõigi transtsendentsusbaaside võimsus võrdub laiendi transtsendentsusastmega.
Kui lihtne laiend on tekitatud algebralise elemendiga, siis ta on lõplik laiend. Vastasel juhtumil on korpuse "E" ainsad elemendid, mis on algebralised üle korpuse "K", korpuse "K" elemendid ise.
Galois' laiendid.
Algebralist laiendit formula_4 nimetatakse normaalseks laiendiks, kui iga taandumatu polünoom formula_32 üle korpuse formula_1, millel on vähemalt üks juur korpuses в formula_2, lahutub formula_2 lineaarteguriteks.
Algebralist laiendit formula_4 nimetatakse separaabliks laiendiks, kui korpuse "E" iga element on separaabel, st tema minimaalsel polünoomil ei ole kordseid juuri. Teoreem primitiivsest elemendist väidab, et igal lõplikul separaablil laiendil on primitiivne element. Galois' laiend on laiend, mis on ühtaegu separaabel ja normaalne.
Iga laiendi formula_4 puhul võib vaadelda korpuse "E" niisuguste automorfismide hulka, mis jätavad korpuse "K" elemendid paigale. Kui laiend on Galois' laiend, siis seda rühma nimetatakse laiendi Galois' rühmaks.
Laiendi formula_4 puhul on sageli kasulik kirjeldada vahekorpusi. Galois' teooria põhiteoreem väidab, et vahekorpuste hulga ja Galois' rühma alamrühmade hulga vahel on bijektsioon, mis pöörab sisalduvusjärjestuse ümber.