Fourier' teisendus

Fourier' teisendus (ka Fourier' pööre, inglise keeles "Fourier transform") on integraalteisenduste hulka kuuluv lineaarne operaator, mis teisendab funktsiooni formula_1 selle sagedusspektrit iseloomustavaks funktsiooniks formula_2.
See teisendus põhineb teoreemil, mille kohaselt mistahes pidev ja piisavalt regulaarne funktsioon on esitatav siinusfunktsioonide integraalina. Fourier' teisendus on pööratav operatsioon. Enamasti on formula_1 reaalarvuline ja formula_2 kompleksarvuline, kus kompleksarv kirjeldab kindla sageduskomponendi faasi ja amplituudi.
Definitsioon.
Fourier' teisendust on võimalik defineerida mitmel viisil. Antud artiklis kasutatakse definitsiooni:
formula_5,   iga reaalarvu ξ jaoks.
Kui argument "x" on aeg "t" (SI ühikuga sekund), siis teisenduse argument ξ esindab sagedust (hertsides). Sobivates tingimustes on funktsiooni formula_2 kaudu võimalik avaldada formula_1 ehk pöördteisendusega:
formula_8   iga reaalarvu "x" jaoks.
Asjaolu, et formula_2 abil saab taastada funktsiooni formula_1, kutsutakse Fourier' pöördteoreemiks, mida tutvustati esmakordselt prantsuse füüsiku ja matemaatiku Joseph Fourier' artiklis "Analytical Theory of Heat", ehkki see tõestati tänapäeva standardite järgi ära alles 1948. a.. Muutujaid formula_1 ja 
formula_2 kutsutakse "Fourier' integraalpaariks" või "Fourier' teisenduspaariks".
Fourier' teisendust eukleidilises ruumis vaadatakse eraldi juhuna, kus argument "x" esindab tihti asukohta ja ξ impulssi.
Sissejuhatus.
Fourier' teisendus tuleneb Fourier' rittaarendusest. Fourier' rittaarendus võimaldab kirjutada keerulisi, ent perioodilisi funktsioone siinuste ja koosinuste summana. Fourier' teisendus on Fourier' rea pikendus, kus vastava funktsiooni periood on venitatud lõpmatusse.
Fourier' teisendus vastab Laplace'i teisendusele, kui selle juures lugeda kompleksmuutuja (argumendi) reaalosa võrdseks nulliga.
Näide.
Järgmised skeemid illustreerivad, kuidas Fourier' teisendus mõõdab, kas mingis funktsioonis esineb teatud sagedusi. Funktsioon "f"("t") = cos(6π"t") e-π"t"2 võngub sagedusega 3 hertsi (kui "t" on sekundites) ja läheneb 0-le kiirelt. (Teine tegur võrrandis on ümbrisfunktsioon (funktsioon, mille kõver piirab laine amplituudide ekstreemumeid), mis vormib antud pideva sinusoidi lühikeseks impulsiks.) See funktsioon on spetsiaalselt valitud, et sellel oleks reaalne Fourier' teisendus, mida on lihtne graafiliselt esitada (vt esimest pilti). Selleks, et arvutada formula_13, tuleb integreerida e−2"πi"(3"t")"f"("t"). Teine pilt näitab selle funktsiooni reaalset ja imaginaarset osa. Reaalosa on pea alati positiivne, sest kui "f"("t") on negatiivne, on ka e−2"πi"(3"t") reaalosa mittepositiivne. Tingituna sellest, et need võnguvad samal sagedusel, on e−2"πi"(3"t") reaalosa positiivne, kui "f"("t") on mittenegatiivne. Reaalosa integreerimisel on tulemuseks suhteliselt suur number (antud juhul 0,5). Kui mõõta aga mõnd teist sagedust, mida vaadeldud sinusoidis ei esine, nagu näiteks funktsiooni formula_14 puhul, võngub integreeritav osa piisavalt, et tulemus tuleks väike. Enamasti on olukord keerulisem, ent sisuliselt mõõdab Fourier' teisendus just niimoodi seda, kui palju spetsiifiline sagedus funktsioonis "f"("t") esineb.
Fourier' teisenduse omadused.
Eeldame, et "f"("x"), "g"("x") ja "h"("x") on integreeritavad funktsioonid ja mõõdetavad reaalsirgel Lebesgue'i mõõduga ning rahuldavad järgmist valemit:
formula_15
Nende funktsioonide Fourier' teisenduste tähistused on vastavalt formula_16 , formula_17  ja  formula_18.
Alusomadused.
Fourier' teisendusel on järgmised alusomadused:
 Iga kompleksarvu "a" ja "b" korral, kui formula_19, siis  formula_20
 Iga reaalarvu "x"0 korral, kui  formula_21  siis  formula_22
 Iga reaalarvu "ξ"0 korral, kui formula_23 siis  formula_24
 Iga nullist erineva reaalarvu "a" korral, kui formula_25, siis  formula_26     Olukord "a" = −1 põhjustab järgmise omaduse: kui formula_27, siis formula_28
 Kui  formula_29  siis  formula_30
 Täpsemalt öeldes, kui formula_1 on reaalne funktsioon, siis  formula_32, ehk, formula_33 on hermiitiline funktsioon.
 Juhul, kui "f" on puhtimaginaarne, siis  formula_34
 Asendades formula_35 definitsiooni, saame
formula_36
Fourier' teisendus nullpunktis (formula_37) võrdub funktsiooni formula_1 integraaliga üle selle määramispiirkonna.
Perioodilisus ja pööratavus.
Sobivatel tingimustel saab funktsiooni formula_1 taastada selle Fourier' teisendusest formula_40. Tähistame Fourier' teisenduse sümboliga formula_41 nii et formula_42. Fourier' teisenduse kahekordne rakendamine teatud funktsioonidele pöörab funktsiooni ümber: formula_43 Seda võib tõlgendada "aja pööramisena". Seega kui rakendada teatud funktsioonile Fourier' teisendust 4 korda: formula_44 saab vana funktsiooni tagasi, mis tähendab, et Fourier' teisendus on neljaperioodiline. Samamoodi saab Fourier' pöördteisenduse, kui rakendada Fourier' pööret 3 korda: formula_45.
Niisiis võib defineerida paarsuse operaatori formula_46, ,mis inverteerib aega järgmiselt formula_47:
formula_48
formula_49
Need ei kehti iga funktsiooni korral, vaid kindlatel tingimustel, mille dikteerib Fourier' pöördteoreem.
Fourier' teisendus eukleidilises ruumis.
Fourier' teisendust võib rakendada "n" dimensioonis, mil teisenduse defineerimiseks on samuti erinevaid võimalusi. Üks integreeritava funktsiooni "f"(x) defineerimise viisidest on järgmine:
formula_50
kus x ja ξ on "n"-dimensioonilised vektorid ja on nende skalaarkorrutis. Skalaarkorrutis on mõnikord kirjutatud kujul formula_51.
Kõik eelnevas peatükis kirjeldatud Fourier' teisenduse omadused kehtivad ka "n" dimensiooni puhul.
Määramatuse printsiip.
Mida kontsentreeritum "f"("x") on, seda laiem peab olema selle Fourier' teisendus formula_2. Teisisõnu, kui "pigistada" funktsiooni argumendiga "x", siis selle Fourier' teisendus argumendiga ξ "venib välja". Pole võimalik korraga kontsentreerida funktsiooni ja selle Fourier' teisendust.
Seda omadust võib tõlgendada kui määramatuse printsiipi. Kui "f"("x") on integreeritav ja ruut-integreeritav funktsioon, siis ilma üldistuse vähenemiseta on normaliseeritud funktsiooni "f"("x") kuju järgmine:
formula_53
Plancherelli teoreem ütleb, et siis ka formula_16 on normaliseeritud.
"x" = 0 ümbruse kontsentratsiooni kirjeldab dispersioon:
formula_55
Määramatuse terminites on tegemist |"f"("x")|2 teise momendiga nulli suhtes.
Määramatuse printsiip ütleb, et kui "f"("x") on absoluutselt pidev ning funktsioonid "x"·"f"("x") ja "f"′("x") on ruut-integreeritavad, siis
formula_56    
Võrdsus on võimalik vaid juhul, kui formula_57 (seega formula_58), kus σ &gt; 0 on suvaline reaalarv ja "C"1 on selline, et "f" on "L"2-normaliseeritud. Teisisõnu on "f" normaliseeritud Gaussi funktsioon varieeruvusega σ2, keskpunktiga 0, ja selle Fourier' teisendus on Gaussi funktsioon varieeruvusega σ−2.
Õigupoolest järeldub eelmainitud võrratusest, et:
 formula_59
iga "x"0, ξ0 ∈ R .
Rakendused.
Diferentsiaalvõrrandite analüüs.
Fourier' teisendust ja veel üldisemat Laplace'i teisendust kasutatakse diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Kui 
"f"("x") on diferentseeritav funktsioon, Fourier' teisendusega formula_60, siis selle funktsiooni tuletise Fourier' teisendus on formula_61. Selle abil saab teisendada diferentsiaalvõrrandid algebralisteks võrranditeks. See meetod toimib ainult probleemide puhul, mille määramispiirkonnaks on kogu reaaltelg. Üldistades Fourier' teisendust mitme muutujaga diferentsiaalvõrranditele määramispiirkonnaga Rn, saab ka neid lihtsustada algebralisteks võrranditeks.
Teised tähistused.
Fourier' pöörde teised tüüpilised tähistused on:
formula_62
Elektroonikas kasutatakse ξ asemel tihti oomegat ω (nurksagedus), mõnikord märgitakse Fourier' teisendust kujul "F"("j"ω), kus "j" on imaginaarühik, et märkida suhet Laplace'i teisendusega. Samas esitatakse Fourier' teisendus vahel ka kujul "F"(2π"f"), et märkida sagedust hertsides.
Kompleksse funktsiooni formula_60 paremaks tõlgendamiseks võib selle kahe reaalarvulise funktsiooni "A"("ξ") ja φ("ξ") kaudu esitada polaarkoordinaatides:
formula_64
kus
formula_65
on amplituud ja
formula_66  
on faas.
Eelnevast lähtudes võib pöördteisenduse kirjutada kujul:
formula_67
mis on rekombinatsioon kõigist "f"("x") sageduse komponentidest. Iga komponent on kompleksne sinusoid kujuga
"e"2"πix"ξ  mille amplituud on "A"("ξ") ja algne faasinurk (kohal "x" = 0) on φ(ξ).
Teised defineerimisviisid.
Fourier' teisenduse võib esitada ka nurksageduse kaudu: ω = 2πξ, mille ühik on radiaani sekundi kohta.
Asendus ξ = ω/(2π) eelolevatesse valemitesse annab järgmise kuju:
formula_68
Sellisel juhul avaldub pöördteisendus järgmiselt:
formula_69
Erinevalt selle artikli defineerimise tavadest, selliselt defineeritud Fourier' pööre ei ole enam unitaarne teisendus määramispiirkonnas "L"2(R"n"). See tähendab, et vektorite sisekorrutis (eukleidilises ruumis skalaarkorrutis) ei ole invariantne. Fourier' teisenduse valemite vahel esineb ka vähem sümmeetriat.
Esineb ka tava jaotada tegur (2π)"n" võrdselt Fourier' teisenduse ja pöördteisenduse vahel:
formula_70
formula_71
Selline Fourier' pööre on jälle unitaarne teisendus määramispiirkonnas "L"2(R"n"). Samuti on olemas sümmeetria teisenduste vahel.