Zermelo aksiomaatika

Zermelo aksiomaatika on hulgateooria aksiomaatika, mille esitas Ernst Zermelo 1908. aastal. Sellega pani Zermelo aluse aksiomaatilisele hulgateooriale.
Kokkuvõte Zermelo artiklist "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I".
Hulgateooria ülesanne on arendada aritmeetika ja analüüsi loogilisi aluseid, uurides matemaatiliselt arvu, järjestuse ja funktsiooni mõistet "nende algses lihtsuses", mistõttu ta on matemaatika hädavajalik koostisosa. Hulgateooriat ohustavad aga näiliselt möödapääsmatutest printsiipidest tuletatavad vastuolud, mis pole igati rahuldavat lahendust leidnud. Paistab, et Russelli antinoomia tõttu ei ole lubatav seada suvalisele loogiliselt defineeritavale mõistele vastavusse hulka, mis oleks selle maht. Georg Cantori hulgadefinitsiooni [ Hulgateooria#19. sajand ] tuleb kitsendada, kuid seda pole õnnestunud asendada sama lihtsa definitsiooniga, mis selliseid probleeme ei tekitaks. Ei jää muud üle kui otsida olemasolevale hulgateooriale printsiibid, mis välistavad kõik vastuolud, kuid säilitavad kõik väärtusliku. 
Artikkel esitab mõned definitsioonid ja 7 printsiipi (aksioomi), mis paistavad olevat üksteisest sõltumatud. Nende päritolu ja kehtivuspiirkond jäävad lahtiseks ja nende mittevastuolulisus tõestamata, kuigi kõik seni tuntud vastuolud kaovad. Artikkel pakub aksioomid ja nende lähemad järeldused ning ekvivalentsuse teooria ilma kardinaalarvude formaalse rakendamiseta. II artiklis on kavas käsitleda täielikku järjestust ning selle rakendamist lõplikele hulkadele ja aritmeetika printsiipidele. 
1. Hulgateoorial on tegu asjade piirkonnaga "B". Osa asju on hulgad. Kui sümbolid "a" ja "b" tähistavad sama asja, siis kirjutatakse "a" = "b", kui mitte, siis "a" ≠ "b". Asja "a" nimetatakse eksisteerivaks, kui ta kuulub piirkonda "B". Juhul, kui piirkonnas "B" on vähemalt üks klassi "K" indiviid, öeldakse, et on olemas klassi "K" kuuluvaid asju.
2. Piirkonda "B" kuuluvate asjade vahel on põhiseosed kujul "aεb". Kui "aεb", siis öeldakse, et "a" on "b" element. Asja "b", millel on elemendiks teine asi "a", võib alati nimetada hulgaks. See on ka tarvilik tingimus ainult ühe erandiga (aksioom II).
3. Kui hulga "M" iga element on ühtlasi hulga "N" element, siis öeldakse, et hulk "M" on hulga "N" element, ning kirjutatakse "M" ⊆ "N". See seos on refleksiivne ja transitiivne. Mittelõikuvateks nimetatakse hulki "M" ja "N" juhul, kui ükski hulga "M" element ei ole hulga "N" element. 
4. Küsimust või väidet "E", mille kehtivuse või kehtetuse üle põhiseosed aksioomide ja üldkehtivate loogikaseaduste alusel ilma suvata otsustavad, nimetatakse definiitseks. "Klassiväidet" "E"("x"), mille korral muutuja "x" võtab väärtused klassist "K", nimetatakse definiitseks, kui ta on definiitne klassi "K" iga indiviidi "x" korral. Küsimus, kas "aεb", on alati definiitne, ja küsimus, kas "M" ⊆ "N", on alati definiitne.
Piirkonna "B" põhiseaduste kohta kehtivad järgmised aksioomid ja postulaadid. 
Aksioom I. Kui hulga "M" iga element on ühtlasi hulga "N" element, ja ümberpöördult, siis alati "M"="N". Ehk iga hulk on määratud oma elementidega. (Määratuse aksioom (ekstensionaalsuse aksioom).)
Hulka, mis sisaldab ainult elemente "a", "b", "c", ..., "r", tähistatakse sageli {"a", "b", "c", ..., "r"}. 
Aksioom II. On olemas (mittepäris) hulk, nullhulk (tühihulk) 0, millel ei ole üldse elemente. Kui "a" on mingi asi piirkonnas, siis on olemas hulk {"a"}, millel on see ja ainult see element. Kui "a" ja "b" on kaks asja piirkonnas, siis on alati olemas hulk {"a", "b"}, millel on täpselt need elemendid. (Elementaarhulkade aksioom.) 
5. Aksioomi I põhjal on elementaarhulgad {"a"} ja {"a", "b"} alati üheselt määratud ning on ainult üks nullhulk. Küsimus, kas "a" = "b", on alati definiitne (nr 4), sest ta on samaväärne küsimusega, kas "aε"{"b"}.
6. Nullhulk on iga hulga alamhulk. Hulga alamhulka, mis ei ole nullhulk ega hulk ise, nimetatakse hulga osaks. Nullhulgal ja hulgal {"a"} ei ole osi.
Aksioom III. Kui klassiväide "E"("x") on hulga "M" kõigi elementide korral definiitne, siis on hulgal "M" alati alamhulk "M""E", mille elemendid on parajasti need hulga "M" elemendid "x", mille korral "E"("x") on tõene. (Väljaeraldamise aksioom ehk eraldamise aksioom.)
Et aksioom III võimaldab defineerida palju uusi hulki, on see teatud asendus üldisele hulgadefinitsioonile, millest kui kõlbmatust on loobutud. Esimene erinevus on see, et selle aksioomi abiga ei defineerita hulki sõltumatult, vaid eraldatakse välja juba antud hulkade alamhulkadena, nii et välistatakse sellised vastuolulised moodustised nagu "kõigi hulkade hulk" ja "kõigi ordinaalarvude hulk" ning sellega "ultrafiniitsed paradoksid" (Gerhard Hessenberg, "Grundbegriffe der Mengenlehre"). Teine erinevus on see, et määrav kriteerium "E"("x") peab olema selgituse nr 4 mõttes definiitne, ning sellega langevad ära kõik niisugused kriteeriumid nagu "lõpliku arvu sõnadega defineeritav" ning sellega Richardi antinoomia ehk lõpliku nimetuse paradoks. Enne aksioomi III rakendamist tuleb tõestada, et kriteerium on definiitne. 
7. Kui "M"1 ⊆ "M", siis on hulgal "M" alati veel üks alamhulk "M" – "M"1, hulga "M"1 täiend, mille elemendid on hulga "M" need elemendid, mis ei ole hulga "M"1 elemendid. Hulga "M" – "M"1 täiend on "M"1. Hulga "M" täiend on nullhulk, hulga "M" iga osa (nr 6) täiend on hulga "M" osa.
8. Kui "M" ja "N" on kaks hulka, siis aksioomi III põhjal moodustavad hulga "M" need elemendid, mis on ühtlasi hulga "N" elemendid, hulga "M" alamhulga "D", mis on ka hulga "N" alamhulk ning mille elementideks on hulkade "M" ja "N" ühised elemendid. Hulka "D" nimetatakse hulkade "M" ja "N" ühisosaks ehk lõikeks ning tähistatakse ["M", "N"]. Kui "M" ⊆ "N", siis ["M", "N"] on "M". Kui "N" on nullhulk või "M" ja "N" on mittelõikuvad, siis ["M", "N"] on nullhulk.
9. Ka mitmel hulgal "M", "N", "R", ... on alati lõige "D" = ["M", "N", "R", ...]. Tõepoolest, kui "T" on hulk, mille elemendid on hulgad, siis aksioomi III järgi vastab igale asjale "a" hulga "T" alamhulk "T""a", mille elemendid on parajasti need hulga "T" elemendid, millel "a" on elemendiks. Seetõttu on iga "a" korral definiitne, kas "T""a" = "T", ja kui "A" on hulga "T" element, siis "A" elemendid "a", mille korral "T""a" = "T", moodustavad "A" alamhulga "D", mille elemendid on parajasti kõik need ühised elemendid. Hulka "D" nimetatakse "T" juurde kuuluvaks lõikeks ning seda tähistatakse D"T". Kui hulga "T" elementidel ühiseid elemente ei ole, siis D"T" on nullhulk, ja nii on näiteks juhul, kui mõni hulga "T" element pole hulk või on nullhulk. 
10. Teoreem. Igal hulgal "M" on vähemalt üks alamhulk "M"0, mis ei ole hulga "M" element. Tõestus. Hulga "M" iga elemendi "x" korral on definiitne, kas "xεx" ("x" on iseenda element; seda võimalust aksioomid ei välista). Kui "M"0 on hulga "M" see alamhulk, mille elemendid on aksioomi III järgi parajasti need hulga "M" elemendid, mis ei ole iseenda elemendid, siis "M"0 ei ole hulga "M" element. Tõepoolest, "M"0 kas on iseenda element või mitte. Esimesel juhul oleks hulgal "M"0 element "x"="M"0, mis on iseenda element, ja see oleks vastuolus hulga "M"0 definitsiooniga. Et nüüd "M"0 ei ole iseenda element, siis juhul, kui ta oleks hulga "M" element, peaks ta olema ka hulga "M"0 element, mis aga äsja välistati. Tõestuse lõpp.
Teoreemist järeldub, et kõik asjad piirkonnas "B" ei saa olla ühe ja sellesama hulga elemendid, nii et piirkond "B" ei ole hulk, nii et Russelli antinoomia on kõrvaldatud. 
Aksioom IV. Igale hulgale "T" vastab hulk U"T" (hulga "T" astmehulk), mille elemendid on parajasti hulga "T" alamhulgad. (Astmehulga aksioom.)
Aksioom V. Igale hulgale "T" vastab hulk S"T" (hulga "T" ühend), mille elemendid on parajasti hulga "T" elementide elemendid. (Ühendi aksioom.)
11. Kui hulga "T" ükski element ei ole nullhulgast erinev hulk, siis S"T" on nullhulk. Kui "T" = {"M", "N", "R"} ning kõik selle elemendid on hulgad, siis kirjutatakse ka S"T" = "M" + "N" + "R" + ... ning seda ühendit nimetatakse nende hulkade summaks, olenemata sellest, kas mõnedel neist hulkadest on ühiseid elemente. Hulga "M" ja nullhulga summa on alati "M" ning "M" = "M" + "M" = "M" + "M" + ...
12. Niimoodi defineeritud liitmine on kommutatiivne ja assotsiatiivne. Summade ja lõigete (nr 8) kehtivad ka distributiivsuse seadused: