Graafi paljuaspektilisus

Graafe kasutas Leonhard Euler kõmulise Königsbergi sildade probleemi lahendamiseks 1736 aastal . Seda peetakse ka graafiteooria alustuseks. Neid on korduvalt erinevate nimede all taasavastatud teid, vooge ja tsükleid puudutavate praktiliste ülesannete lahendamise käigus. See on jätnud graafiteooriale tugeva jälje.
Graafid on "mitmepalgelised" ehk paljuaspektilised objektid. Neid on käsitletud geomeetria, kombinatoorika, algebra, topoloogia, tõenäosuse jt aspektidest. Levinuim on kombinatoorikaline aspekt, mis paraku jätab graafide nii mõnegi muu külje märkamatuks. On olemas ka algebraline , algoritmiline , geomeetriline , ekstreemne , spektraalne , topoloogiline , juhuslike graafide teooria ning neid teooriad on tekkinud teisigi.
Paraku on graafide struktuurne aspekt unarusse jäetud. Järgnevas on esitatud lühiülevaade graafide struktuurisemiootilise käsitlemise käigus ilmsiks tulnud atribuutidest .
Graaf ja selle struktuur.
Struktuur on diskreetse süsteemi elementidevahelist organiseeritust iseloomustav atribuut. Struktuur ise on kujutatav graafina. 
Graafi struktuur on tuvastatav selle tippudevaheliste binaarsuhete süvaidentifitseerimise teel saadud struktuurimudeli formula_1 või graafi seosmaatriksi korrutise (astme) formula_2 näol. Isomorfsetel graafidel on ühesugune struktuur ning selle esitis isomorfsete graafide täielik invariant.
Struktuur ja selle sümmeetria.
Sümmeetria kui nähtus (omadus) tähendab millegi kordumist ruumis või ajas. Niisugused kordumised graafi struktuuris avalduvad ühesuguste elementide, "ekvivalentsusklasside", näol. Rühmateooria käsitluses kujutavad need "automorfismide transitiivsuspiirkondi" mida "graafi orbiitideks" formula_3 nimetatakse (väga ebakohane termin!).
Graafi tippudevaheliste "binaarsuhete orbiitide" formula_4 baasil kooruvad välja ka "tipuorbiidid" formula_5.
Täiesti sümmeetrilised on vaid "täisgraafid" ja nende "täiendid" tühigraafide näol, omades vaid üht tipu ja binaarsuhete orbiiti. "Tippudest sümmeetrilisi ehk transitiivseid" graafe millel on rohkem kui üks binaarorbiit on juba rohkem. Binaarorbiiti kuuluvad elemendid moodustavad "orbiitgraafe". "Mitmete tipu- ja binaarorbiitidega" graafide ehk "ositi sümmeetriliste" esinemissagedus on kõige suurem. Graafe, mille iga binaarsuhe kujutab endast omaette orbiiti on nimetatud "0-sümmeetrilisteks". Nende esinemissagedus suureneb graafi tippude arvu suurenemisel.
Seega avalduvad graafi sümmeetriaomadused tema "orbiitide" baasil. Sümmeetria väärtus on Shannoni infomahu valemi baasil 0 ja 1 vahel "mõõdetav suurus", mida "korrapärasuseks" nimetatakse. .
Sümmeetriaomadused ja naaberstruktuurid.
Graafi formula_6 binaarorbiidist formula_4 serva formula_8 eemaldamisel saadud "suurimad alamgraafid" formula_9 formula_10 formula_11 formula_10 formula_13 on isomorfsed ning kujutavad endast graafi "suurimat alam-naaberstruktuuri" formula_14.
Graafi formula_6 binaarorbiiti formula_4 serva formula_8 lisamisel saadud "väikseimad ülemgraafid" formula_18 formula_10 formula_20 formula_10 formula_13 on isomorfsed ja kujutavad endast graafi "väikseimat ülem-naaberstruktuuri" formula_14.
Graafi "naaberstruktuuride" arv võrdub binaarorbiitide formula_4 arvuga.
Üleminekut lähtestruktuurilt formula_6 naaberstruktuurile formula_14 nimetame "morfismiks" formula_27."
Morfism on "reversiivne": lähtestruktuuri formula_28 igas naaberstruktuuris 
formula_14 eksisteerib "reversiivne orbii"t formula_30 millele rakendatud reversiivne morfism formula_31 "rekonstrueerib (taastab)" lähtestruktuuri formula_28.
Graafide kogum ja naaberstruktuuride süsteem.
On käsitletud ja esitatud "n"-tipuliste graafide hulki jaotatult alamhulkadeks nende servade arvu järgi. Esimesena esitas 3- kuni 6-tipulisi kogumaid Frank Harary 1969 aastal. Tänaseks on Graafiatlases selliselt esitatud kõik kolme kuni seitsmetipuliste graafide hulgad . Näiteks, kuuetipuliste graafide hulk koosneb 156 graafist. Siin on õigem öelda, koosneb 156 mitteisomorfsest graafist ehk struktuurist. Graafide süsteemi moodustamiseks on vaja fikseerida morfismid naaberstruktuuride vahel formula_27. Igal struktuuril on oma väikseimad ülemstruktuurid ja suurimad alamstruktuurid, st struktuuride (graafide) vahel eksisteerivad kindlad seosed. Struktuurimudelite baasil on need morfismid paika pandavad ning on genereeritud "n"-tipuliste struktuuride süsteeme koos vastavate struktuursete ja tõenäosuslike parameetritega .
Graafide süsteeme tippude arvu "n", struktuuride (mitteisomorfsete graafide) arvu "p", nivoode arvu "m", ja morfismide arvu "q" järgi:
Graafide süsteemide olemasolu kinnitab Ulami hüpoteesi kehtivust.