Ekstensionaalsuse aksioom

Ekstensionaalsuse aksioom on aksioom, mille kohaselt hulgad (või klassid), millel on täpselt samad elemendid, on võrdsed. 
Aksiomaatilises hulgateoorias on see Zermelo-Fraenkeli hulgateooria üks aksioome. 
Formaalne formuleering.
Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas esitatakse ekstensionaalsuse aksioomil kujul: 
formula_1
ehk:
mis tahes hulkade "A" ja "B" puhul kehtib, et kui iga hulga "C" korral on "C" hulga "A" element siis ja ainult siis, kui "C" on hulga "B" element, siis on hulgad "A" ja "B" võrdsed.
Teistpidine väide formula_2tuleneb võrdsuse omadusest, et võrdsetel objektidel on täpselt samad omadused.
Tõlgendus.
Ekstensionaalsuse aksioom ütleb, et hulk on üheselt määratud oma elementidega.
Ekstensionaalsuse aksioomi alusel saab iga lausega kujul formula_3 defineerida unikaalse hulga formula_4. "P" on siin ühekohaline predikaat, mis on defineeritud hulka "A" mainimata, kusjuures hulga "A" elemendid on parajasti need hulgad, mis rahuldavad predikaati "P". Niiviisi tavalise matemaatika definitsioonid töötavadki, kui nad on taandatavad hulgateooria terminitele. 
Ekstensionaalsuse aksioom on omamoodi abstraktne hulga definitsioon. Ta näitab ühe viisi, kuidas objekt on määratud oma seose kaudu teiste objektidega. Hulki ei saa eristada näiteks elementide korduse järgi (nii nagu 1-st suuremad naturaalarvud on määratud oma algteguritega kordusi arvestades). Olukord ei ole ka niisugune nagu laste ja vanemate puhul, sest samal vanemate paaril võib olla mitu last või ka mitte ühtki last. 
Ekstensionaalsuse aksioom tähendab sisuliselt, et hulgad on võrdsed parajasti siis, kui kõik nende omadused langevad kokku. 
Ekstensionaalsuse aksioom on matemaatika alustes peaaegu üldtunnustatud, ning aksiomaatilise hulgateooria iga versioon sisaldab ekstensionaalsuse aksioomi või mõnd viimasega samaväärset väidet. Teatud juhtudel tuleb kasutada mõnd selle modifikatsiooni.
Samaväärseid väiteid.
Ekstensionaalsuse aksioomiga samaväärne on väide: kui hulgad "A" ja "B" on teineteise alamhulgad, "A" ⊆ "B" ja "B" ⊆ "A", siis nad on võrdsed, "A" = "B". Ernst Zermelo esitas aksioomi sel kujul. 
Võrdsuseta predikaatloogikas.
Ülaltoodud kujul toodud aksioomi puhul on eeldatud, et võrdusmärk on predikaatloogika algsümbolite seas (võrdsusega esimest järku loogika). 
Mõned aksiomaatilise hulgateooria esitused eelistavad sellest eeldusest loobuda ning kasutada ülaltoodud lauset mitte aksioomina, vaid võrdsuse definitsioonina. Siis tuleb aksiomaatikasse võrdsuse kohta käivate aksioomidena sisse võtta tavalised võrdsuse aksioomid võrdsusega predikaatloogikast. Enamik võrdsuse aksioome järeldub juba võrdsuse definitsioonist, välja arvatud see: 
formula_5.
Sellepärast nimetataksegi selles kontekstis ekstensionaalsuse aksioomiks just viimast aksioomi.
Urelementidega hulgateoorias.
Urelement on hulga element, mis ise ei ole hulk.
Zermelo–Fraenkeli aksiomaatikas urelemente ei ole, kuid mõnes teises hulgateooria aksiomaatikas on. 
Urelemente saab käsitada hulkadest erinevat tüüpi objektideba. Sel juhul on formula_6 mõttetu, kui formula_4 ei ole hulk, mistõttu ekstensionaalsuse aksioom lihtsalt käib ainult hulkade kohta. 
Tüüpideta loogikas saab esitada nõude, et formula_6 oleks väär, kui formula_4 on urelement. Sel juhul järelduks tavalisest ekstensionaalsuse aksioomist, iga urelement on võrdne tühihulgaga. Et sellist järeldust vältida, võib ekstensionaalsuse aksioomi modifitseerida nii, et ta käiks ainult mittetühjade hulkade kohta: 
formula_10
See tähendab:
Olgu antud mis tahes hulgad "A" ja "B"; siis kehtib, et kui "A" on mittetühi hulk (see tähendab, kui hulgal "A" eksisteerib element "C"), siis kehtib, et kui hulkadel "A" ja "B" on täpselt samad elemendid, siis nad on võrdsed.
Tüüpideta loogikas on veel see võimalus, et iga urelementi formula_4 peetakse definitsiooni järgi iseenda ainsaks elemendiks. Siis ei ole tarvis ekstensionaalsuse aksioomi modifitseerida, see-eest aga tuleb modifitseerida regulaarsuse aksioomi.
Teoorias ZFU kitsendatakse muutujad hulkadele:
formula_12
Klassidega hulgateoorias.
Klass hulgateooriates kasutatakse ekstensionaalsuse aksioomi üldisemalt vabade klassimuutujatega, näiteks Ackermanni hulgateoorias: 
formula_13
Sõltumatus ja kooskõlalisus.
Ekstensionaalsuse aksioom on sõltumatu teistest aksiomaatika ZF aksioomidest (Abian, LaMacchia 1978). Lähtudes pärilikult lõplike hulkade mudelist on võimalik konstrueerida mudel, kus samade elementidega hulgad ei ole identsed, kuid teised aksioomid kehtivad. 
Kõigis ZF mudelites kehtib ekstensionaalsuse aksioom, nii et ta on ülejäänud aksioomidega kooskõlas.
Ajalugu.
Ekstensionaalsuse aksioomi väite sõnastas esimesena 1888 Richard Dedekind Dedekindilt võttis Ernst Zermelo ekstensionaalsuse aksioomi üle Zermelo hulgateooriasse (1907), mis oli esimene aksiomaatiline hulgateooria. Sealt jõudis ta Zermelo-Fraenkeli hulgateooriasse ning hilisematesse aksiomaatilise hulgateooria versioonidesse.