Fourier' rida

Fourier' rida (või ka Fourier' reaksarendus) on viis esitada perioodilist signaali või perioodilist impulsside jada sinusoidide summana. Summat saab esitada komplekssete astendajatega eksponentfunktsioonide või trigonomeetriliste funktsioonide (siinuste ja koosinuste) kaudu. 
Fourier' reaksarendus on saanud nimetuse Joseph Fourier' (1768–1830) järgi, kes kasutas seda soojusjuhtivuse võrrandi lahendamiseks. 
Fourier' rida on lähedalt seotud Fourier' teisendusega, mis esitab funktsiooni sagedusruumis. Fourier' teisendus muudab funktsiooni argumendiks sageduse: formula_1. Sel juhul funktsiooni väärtus formula_2 näitab vastava sageduse amplituudi esialgses funktsioonis formula_3. Fourier' rittaarenduses vastavad funktsiooni formula_2 argumentidele, ehk sagedustele, summa erinevad liikmed ning funktsiooni formula_2 väärtustele nende liikmete ees olevad kordajad.
Definitsioon.
Fourier' rida on oma olemuselt signaali sageduskomponentideks lahutamisel saadud liikmete jada. Igal rea liikmel on oma kindel sagedus ning amplituud (ees olev kordaja), mis määrab ära, kui tugevalt see liige on esindatud algses signaalis. Üldiselt on Fourier' read lõpmata pikad, kuid paljudel juhtudel võib hea lähenduse saada, kui arvestada vaid esimest nelja-viite liiget.
Fourier' rida saab esitada mitut moodi.
Trigonomeetriline esitus.
Olgu funktsioon formula_6 perioodiline funktsioon või impulsside jada perioodiga formula_7. Sellisel juhul on selle funktsiooni Fourier' ritta arenduseks lõigul formula_8:
formula_9
kus kordajad formula_10 ja formula_11 avalduvad integraalidena:
formula_12
formula_13
formula_14
Kordajat formula_15 nimetatakse ka vastava funktsiooni alaliskomponendiks, kuna integraali, millega ta on defineeritud, võib tõlgendada kui funktsiooni formula_3 keskväärtust lõigul formula_8. Indeks formula_18 on täisarv, mis võib omada väärtuseid nullist lõpmatuseni.
Trigonomeetrilise esituse eeliseks on, et see lihtsustub, kui algfunktsioon on kas paaris- (funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes) või paaritu funktsioon (graafik on sümmeetriline nullpunkti suhtes). Paaritu funktsiooni puhul on kordajad formula_19 ning paarisfunktsiooni puhul formula_20.
Polaaresitus.
Polaaresitus käib faasis nihutatud koosinuse kaudu:
formula_21
kus:
formula_22
formula_23
formula_24
Rida saab esitada ka koosinuste asemel siinustena, kuid sisulist erinevust neil kahel esitusel ei ole ning tava järgi kasutatakse koosinusi.
Kasutades nurkade summa koosinuse valemit formula_25, saab näidata, et polaaresitus on võrdne trigonomeetrilise esitusega:
formula_26
Tähistades siin:
formula_27, \,\, formula_28
jagades need võrrandid omavahel:
formula_29
formula_30
ning võttes need võrrandid ruutu ja liites omavahel:
formula_31
formula_32
formula_33
on näha, et siin avaldatud suurused formula_34 ja formula_35 on võrdsed esialgsete tähistustega. Seega ülaltoodud polaaresituse kuju on ekvivalentne trigonomeetrilise kujuga. 
Polaaresituse eeliseks on see, et kui originaalfunktsiooni mingi pikkuse formula_36 (või aja formula_37) võrra nihutada, pole vaja kõiki koefitsiente formula_34 uuesti välja arvutada. Ainuke muutuv parameeter on faas formula_35.
Eksponentesitus.
Euleri valem ütleb, et
formula_40
Seega saab trigonomeetrilist rida, kasutades veel valemeid formula_41 ja formula_42, teisendada komplekssete astendajatega eksponentide reaks:
formula_43
Kui tähistada siin:
formula_44
ongi tulemuseks kompleksne kuju:
formula_45
Erinevuseks on see, et indeksil formula_18 on nüüd väärtused miinus lõpmatusest lõpmatuseni ja seetõttu esinevad reas ka negatiivsed sagedused ( kui formula_47). Reaalsete signaalide Fourier' rittaarenduses koonduvad negatiivsed sagedused siiski välja. Tingimus selle jaoks on formula_48, ehk negatiivse indeksiga kordaja peab olema positiivse indeksiga kordaja kordaja kaaskompleks.
Näide.
Olgu meil formula_49-perioodiline funktsioon formula_50, millel on lõigul formula_51 väärtused
formula_52
See on kastfunktsioon amplituudväärtusega formula_53. Selle funktsiooni Fourier' rea trigonomeetrilise kuju leidmiseks tuleb arvutada kordajad formula_54:
formula_55
mida oleks saanud ennustada ka asjaolust, et antud funktsioon on paaritu. Samuti saab ennustada, et kordaja formula_56, sest funktsioon on pool perioodi väärtusega formula_57 ning teine pool väärtusega formula_53. Seega keskväärtus on null. Kordajad formula_11 tulevad:
formula_60
On näha, et formula_20 iga paarisarvulise formula_18 väärtuse korral. Funktsiooni formula_3 Fourier' rida on seega:
formula_64
Näite kõrval olevatel piltidel on kujutatud selle funktsiooni (või ükskõik millise kastfunktsiooni) Fourier' rittaarendus. Ülemisel on arvestatud vaid esimese liikmega ja järjest liikmeid summeerides jõuame tulemuseni, mida on näha alumisel joonisel. Selles on nelja esimese nullist erineva liikme summast saadud funktsioon.