Lainevõrrand

Lainevõrrand on oluline teist järku lineaarne hüperboolne osatuletistega diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab füüsikas laineid ehk häirituste levikut keskkonnas (pillikeele võnkumine, valguse- ja helilaine levik, veelaine levik jne). Võrrandi üldkuju ühedimensionaalse juhu jaoks on:
formula_1,
kus alaindeksid viitavad muutujatele, mille järgi on osatuletised võetud, ning indeksite arv näitab, mitmendat järku osatuletisega on tegemist. Konstant formula_2 on kiiruse ruudu dimensiooniga ning kirjeldab laine levimise kiirust. Elektromagnetlaine levi kirjeldalmisel kasutatakse formula_3, kus formula_4 tähistab valguse kiirust. Lainevõrrandi lahendiks kõige üldisemal kujul on funktsioon formula_5, millest on pikemalt juttu peatükis D'Alemberti lahend. Lainevõrrand lahti kirjutatuna osatuletiste kaudu avaldub järgmiselt:
formula_6
Antud võrrandi kuju nimetatakse ka hüperboolseks. Teljestikul laine amplituud formula_7 versus koordinaat kirjeldab formula_8 mingis fikseeritud punktis formula_9 häirituse amplituudi muutumise kiiruse muutust ajas. Suurus formula_10 aga funktsiooni nõgusust kohal formula_11. 
D'Alemberti lahend.
Ühedimensionaalse võrrandi D'Alemberti lahendi saab leida tehes esiteks kanoonilised koordinaatteisendused:
formula_12
formula_13
Leiame diferentseerides:
formula_14
formula_15
formula_16
formula_17
Asendades lähtevõrrandisse formula_10 ning formula_8 saame üldkujulise võrrandi uue kanoonilise kuju:
formula_20
Integreerimisel saame:
formula_21
Üldlahendiks on lahendite lineaarkombinatsioon (võrrandit rahuldavate lahendite summa). Lainel võib olla kuitahes palju allikaid ning üksikute allikate panuste liitumisel saadakse summaarne laine. Sisuliselt viitab see superpositsiooniprintsiibile, mis on omane väljadele ja lainetele. Näide superpositsioonist on lainete interferents.
Elektromagnetlainet kirjeldava võrrandi tuletamine Maxwelli võrranditest.
Olgu koordinaatsüsteem valitud, nii et elektrivälja tugevuse formula_22 ja magnetinduktsiooni formula_23 vektorid oleksid suunatud vastavalt formula_24- ja formula_25-telje sihis. Elektrivälja tugevuse ja magnetinduktsiooni väärtus sõltugu vaid koordinaadist formula_11 ja ajast formula_27. Elektrivälja tugevuse ja magnetinduktsiooni vektorite ajalise käitumise saab kirja panna järgnevalt:
formula_28
formula_29
Siin pole täpsustatud, milliste funktsioonidega on elektri- ja magnetvälja käitumine määratud. Seda oli vaja üksnes selleks, et lainevõrrandi tuletamisel meeles pidada, millistest muutujatest elektrivälja tugevus ja magnetinduktsioon sõltuvad. Kui lainevõrrand on tuletatud, siis vastavate teist järku diferentsiaalvõrrandite lahendamisel saavad funktsioonid formula_30 ja formula_31 konkreetsema kuju.
Gaussi seadus elektrivälja jaoks allikavabas ruumis: formula_32
Gaussi seadus magnetvälja jaoks: formula_33,
Maxwelli võrrandid vaakumis leviva elektromagnetlaine jaoks:.
kus nabla formula_34 on diferentsiaaloperaator. Nendes Maxwelli võrrandites tähistab punkti kujul esitatud korrutusmärk nabla skalaarkorrutist väljavektoriga. Need kaks võrrandit kirjeldavad väljade allikalisust. Magnetväljal puuduvad allikad (tekitajad), magnetmonopoolid olenemata kontekstist. See tähendab, et näiteks magneti korral on magnetvälja jõujooned kinnised kõverad. Elektrivälja saab tekitada mitmel viisil. Üks variant on laenguga osakesed (negatiivselt laetud elektronid, positiivselt laetud aatomituumad), ent vaakumis leviva elektromagnetlaine perioodiliselt muutuva elektrivälja tugevuse komponenti ei tekita laeng ja magnetinduktsiooni komponenti ei põhjusta magnetid. Järgmised kaks Maxwelli võrrandit näitavad, kuidas toimub elektromagnetlaine levik vaakumis:
Faraday seadus: formula_35
Ampère'i-Maxwelli seadus: formula_36,
kus formula_37 on magnetiline konstant ehk vaakumi magnetiline läbitavus ja formula_38 on elektriline konstant ehk vaakumi dielektriline läbitavus. Nendes Maxwelli võrrandites tähistab formula_39-kujuline korrutusmärk nabla vektorkorrutist väljavektoriga. Esimene võrrand näitab, et ajas muutuv magnetväli tekitab pööriselise elektrivälja ja vastupidi, ning teine võrrand näitab, et ajas muutuv elektriväli tekitab pööriselise magnetvälja ja vastupidi.
Lainevõrrandi tuletuskäik.
Kuna koordinaatsüsteem on valitud nii, et elektromagnetlaine levib formula_11-telje suunas, siis elektrivälja rootori ehk nabla vektorkorrutise elektriväljatugevuse vektoriga saab kirjutada järgnevalt:
formula_41
Faraday seadusest lähtuvalt saame võrduse:
formula_42
Analoogse mõttekäiguga saab leida magnetinduktsiooni rootori ja Ampère'i-Maxwelli seaduse:
formula_43
Võtame Faraday seadusest osatuletise koordinaadi formula_11 järgi ja kombineerime saadud tulemuse Ampère'i-Maxwelli seadusest saadud tulemusega, arvestades, et diferentsiaaloperaatorid kommuteeruvad (tuletiste võtmise järjekorra võib ümber vahetada):
formula_45
Tulemuseks on lainevõrrand elektrivälja jaoks. Analoogse mõttekäiguga saab tuletada teise lainevõrrandi magnetvälja jaoks. Leiame Ampère'i-Maxwelli seadusest osatuletise koordinaadi formula_11 järgi ja kombineerime saadud tulemuse Faraday seadusega:
formula_47
Tuletatud lainevõrrandid elektri- ja magnetvälja jaoks elektromagnetlaines on erijuhud kõikvõimalikest lainetest (helilained, mehaanilised ristlained vms) formula_48, mis liiguvad formula_11-telje suunas lõpliku kiirusega formula_50:
formula_51
Siit järeldub, et Maxwelli võrranditest tuletatud lainevõrrandis korrutis formula_52 annab valguse kiiruse pöördväärtuse ruudu, niisiis valguse kiirus avaldub järgmiselt:
formula_53
Lainevõrrandite lahend.
Lihtsaimad lahendid lainevõrranditele elektriväljatugevuse ja magnetinduktsiooni jaoks avladuvad kujul:
formula_54
formula_55,
kus formula_56 on lainearv, formula_57 on ringsagedus ja formula_58 on elektromagnetlaine lainepikkus.
Leides elektriväljatugevuse funktsioonist osatuletise formula_11 järgi ja magnetinduktsiooni funktsioonist osatuletise formula_27 ehk aja järgi ja asendades need Faraday seadusesse, saame
formula_61
formula_62
formula_63
Siinused taanduvad välja ja jääb alles:
formula_64
Igal ajahetkel suhe formula_65 on konstantne ja võrdub valguse kiirusega.
Laine energia.
Laine kui häiritus kannab endaga kaasas energiat. Lisaks sellele, et Poyntingi vektor formula_66 näitab elektromagnetlaine leviku suunda, on see defineeritud kui energiahulk, mis läbib ajaühikus laineleviku suunaga ristuvat ühikulist pinda. Poyngtingi vektori ühik on formula_67 ja definitsioonvalem avaldub järgmiselt:
formula_68
Tasalaine korral, kui elektriväljatugevuse ja magnetinduktsiooni vektorid on omavahel risti, avaldub Poyntingi vektor kujul formula_69. Poyntingi vektori ajaline keskmistamine annab tulemuseks laine kiiritustiheduse, mis annab tähtsa tulemuse, et elektriväljatugevuse või magnetinduktsiooni vektori amplituudväärtuse ruut on võrdeline kiiritustihedusega.
Oletame, et laine vastuvõtja asukohas avalduvad elektriväljatugevus ja magnetinduktsioon vastavalt formula_70 ja formula_71. Pointingi vektori moodul saab kuju
formula_72
Keskmistame saadud tulemuse üle perioodi formula_73:
formula_74,
kus formula_75 on kiirgustugevus.
Elektrivälja tugevuse ja magnetinduktsiooni väärtusi elektromagnetlaine jaoks vahetult mõõta ei saa, küll aga saab mõõta kiiritustihedust, mis on proportsionaalne elektrivälja tugevuse või magnetinduktsiooni vektori amplituudväärtuse ruuduga.