Ruutvõrrand

Ruutvõrrand on algebraline võrrand üldkujuga
 formula_1,
kus formula_2 on tundmatu ning formula_3, formula_4 ja formula_5 on arvud, kusjuures formula_6.
Ruutvõrrandi lahendivalem on
 formula_7.
Reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandil on reaalarvude hulgas alati kas kaks erinevat, kaks kokkulangevat või mitte ühtegi lahendit. Geomeetrilises tõlgenduses asuvad ruutvõrrandi lahendid kohtadel, kus ruutfunktsiooni formula_8 graafik lõikab formula_2-telge.
Definitsioon.
Ruutvõrrand on võrrand kujul
 formula_1,
kus formula_2 on tundmatu ehk otsitav ning formula_3, formula_4 ja formula_5 on antud arvud, kusjuures formula_6. Võrrandi vasaku poole avaldises on formula_16 ruutliige ehk pealiige, formula_17 lineaarliige ja formula_5 vabaliige. Arvud formula_3, formula_4 ja formula_5 on ruutvõrrandi kordajad, sealhulgas formula_3 on ruutliikme kordaja ja formula_4 lineaarliikme kordaja.
Näiteks formula_24 on ruutvõrrand, kus formula_25, formula_26 ja formula_27.
Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on formula_28. Taandatud ruutvõrrandi kuju on
 formula_29.
Iga ruutvõrrandi saab teisendada samaväärseks taandatud ruutvõrrandiks, jagades võrrandi pooled läbi ruutliikme kordajaga. Et ruutliikme kordaja erineb nullist, siis on see alati võimalik. Ruutvõrrandit, mille ruutliikme kordaja ei ole formula_28, nimetatakse taandamata ruutvõrrandiks.
Näiteks formula_31 on taandatud ruutvõrrand, seevastu formula_32 on taandamata ruutvõrrand, sest selles on ruutliikme kordaja formula_33.
Täielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille kõik kordajad on nullist erinevad. Mittetäielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille mõni kordaja on null. Mittetäielikus ruutvõrrandis võib null olla kas lineaarliikme kordaja, vabaliikme kordaja või mõlemad. Vastavalt sellele on mittetäielikul ruutvõrrandil kolm võimalikku kuju: formula_34, formula_35 või formula_36.
Ruutvõrrandi lahend on tundmatu formula_2 iga selline väärtus, millega tundmatut väärtustades võrrand kehtib. Näiteks ruutvõrrandi formula_38 lahend on formula_39, sest formula_40. Samuti on selle ruutvõrrandi lahend formula_41, sest formula_42.
Ruutvõrrand on teist järku algebraline võrrand, mis tähendab, et võrrandi vasak pool on polünoom, mille aste on formula_43. Seda polünoomi nimetatakse ka ruutpolünoomiks ehk ruutkolmliikmeks.
Lahendivalem.
Üldkujuline ruutvõrrand.
Üldkujulise ruutvõrrandi formula_1 lahendid saab leida valemist
 formula_45.
See valem annab kaks lahendit formula_46 ja formula_47, millest ühe arvutamisel valitakse valemi lugejas märk formula_48, teise arvutamisel aga formula_49.
Näiteks ruutvõrrandi formula_50 lahendid on
 formula_51,
seega formula_52 ja formula_53.
Lahendivalemi tuletamiseks lähtume võrdusest
 formula_1.
Viime formula_5 paremale poole:
 formula_56.
Korrutame pooli suurusega formula_57:
 formula_58.
Liidame mõlemale poolele formula_59:
 formula_60.
Vasaku poole saame nüüd kirjutada täisruuduna:
 formula_61.
Järelikult
 formula_62,
millest avaldame otsitava formula_2:
 formula_64.
Taandatud ruutvõrrand.
Taandatud ruutvõrrandi formula_29 lahendid saab leida valemist
 formula_66.
Näiteks võrrandi formula_67 lahendid on
 formula_68,
millest formula_69 ja formula_70.
Taandatud ruutvõrrandi lahendivalem järeldub vahetult üldkujulise ruutvõrrandi lahendivalemist, kui seal panna formula_3, formula_4 ja formula_5 asemele vastavalt taandatud ruutvõrrandi kordajad formula_28, formula_75 ja formula_76 ning viia nimetaja formula_43 juuremärgi alla.
Diskriminant.
Ruutvõrrandi formula_1 lahendivalemis ruutjuure märgi all olevat avaldist
 formula_79
nimetatakse selle ruutvõrrandi diskriminandiks.
Reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi erinevate reaalarvuliste lahendite arv sõltub diskriminandi märgist.
Diskriminandi märgi järgi saab kindlaks teha reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi reaalarvuliste lahendite arvu ilma võrrandit lahendamata. Näiteks võrrandil formula_86 puuduvad reaalarvulised lahendid, sest formula_87. Ruutvõrrandil leidub reaalarvulisi lahendeid kindlasti siis, kui formula_3 ja formula_5 on erineva märgiga, sest sel juhul on diskriminant kindlasti positiivne.
Geomeetriliselt vastavad ruutvõrrandi lahenditele ruutfunktsiooni lõikepunktid formula_2-teljega. Kui ruutvõrrandi diskriminant on positiivne, siis lõikab ruutfunktsiooni formula_8 graafik formula_2-telge kahes erinevas punktis, nulliga võrduva diskriminandi puhul puutub graafik formula_2-telge ühes punktis ning negatiivse diskriminandi puhul graafikul lõikepunkte formula_2-teljega pole.
Ruutkolmliikme tegurdatud kuju.
Arv formula_95 on ruutvõrrandi formula_1 lahend parajasti siis, kui avaldis formula_97 on avaldise formula_98 tegur. Siit järeldub, et kui formula_46 ja formula_47 on ruutvõrrandi formula_1 lahendid, siis esitub ruutkolmliige lineaartegurite korrutisena
 formula_102.
Kui ruutvõrrand on taandatud, siis on sellel võrdusel kuju
 formula_103.
Need võrdused kehtivad ka juhul formula_104.
Kui on teada ruutkolmliikme tegurdatud kuju, siis saab sellest otse välja lugeda ruutvõrrandi lahendid. Näiteks teades, et formula_105, võime järeldada, et ruutvõrrandi formula_106 lahendid on formula_107 ja formula_108.
Viète'i valemid.
Üldkujulise ruutvõrrandi formula_1 lahendid formula_46 ja formula_47 rahuldavad võrdusi
 formula_112,
 formula_113.
Taandatud ruutvõrrandi formula_29 lahendid formula_46 ja formula_47 rahuldavad võrdusi
 formula_117,
 formula_118.
Need valemid avastas 16. sajandil prantsuse matemaatik François Viète, kelle järgi nad on ka nime saanud.
Kehtib ka vastupidine: kui formula_46 ja formula_47 rahuldavad nimetatud võrdusi, siis on need arvud vastava ruutvõrrandi lahendid.
Viète'i valemid järelduvad vahetult ruutpolünoomi esitusest lineaartegurite korrutisena, kui seal sulud lahti korrutada. Nimelt, kui formula_46 ja formula_47 on ruutvõrrandi lahendid, siis
 formula_123.
Et kaks polünoomi on võrdsed parajasti siis, kui vastavate liikmete kordajad on võrdsed, siis saame esimeses ja viimases avaldises lineaarliikmeid ja vabaliikmeid võrreldes seosed formula_124 ja formula_125. Nendest tulenevad Viète'i valemid üldkujulise ruutvõrrandi jaoks. Viète'i valemid taandatud ruutvõrrandi jaoks saame erijuhul formula_126, formula_127, formula_128.
Praktikas võimaldavad Viète'i valemid ruutvõrrandi lahendite õigsust kontrollida. Samuti aitavad nad mõnel juhul võrrandit peast lahendada. Näiteks ruutvõrrandi formula_129 lahendamisel on vaja leida arvud formula_46 ja formula_47, mille puhul formula_132 ja formula_133. Need arvud on formula_69 ja formula_135.
Viète'i valemite abil saab lihtsasti leida ruutfunktsiooni formula_8 graafiku haripunkti. Et graafik on sümmeetriline haripunkti läbiva vertikaalsirge suhtes, siis on haripunkti formula_2-koordinaat ruutvõrrandi lahendite aritmeetiline keskmine:
 formula_138.
Haripunkti formula_139-koordinaadi saame seejärel arvutada ruutfunktsiooni väärtusena leitud argumendil:
 formula_140.
Viimaste valemite lõppkujud kehtivad olenemata sellest, mitu reaalarvulist lahendit ruutvõrrandil on. Haripunkti koordinaatide teadmine on mõnikord kasulik ruutfunktsiooni graafiku joonestamisel.
Viète'i valemeid saab üldistada ükskõik millise astmega polünoomi juhule.
Kompleksarvulised lahendid.
Kui reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi diskriminant formula_141 on negatiivne, siis võrrandil puuduvad reaalarvulised lahendid, aga on olemas kompleksarvulised lahendid. Kui formula_142, siis ruutvõrrandi lahendivalemis on formula_143, kus formula_144 on imaginaarühik, ning üldkujulise ruutvõrrandi lahendid avalduvad valemiga
 formula_145.
Need lahendid on teineteise kaaskompleksid.
Näiteks võrrandi formula_146 puhul on formula_147. Võrrandi lahendid on seega
 formula_148.
Lahendite järgi saab vasaku poole esitada lineaartegurite korrutisena, ülaltoodud näites
 formula_149.
Lahendamismeetodid.
Kuigi iga ruutvõrrandit saab lahendada lahendivalemi abil, on teinekord otstarbekam kasutada mõnda muud meetodit, mis nõuab vähem arvutustööd.
Erikujulised võrrandid.
Mittetäieliku ruutvõrrandi lahendeid on võimalik leida võrrandi teisendamise teel.
Mõnikord kehtib võrrandi formula_1 kordajate vahel seos, mille alusel saab võrrandi lahendid otse välja kirjutada. Levinuimad nendest seostest on järgmised.
Viimaseid seoseid saab üldistada ka kõrgemat järku võrranditele.
Ruutkolmliikme tegurdamine.
Vaatleme kõigepealt taandatud ruutvõrrandit formula_29. Tegurdamismeetodi puhul püütakse lahutada võrrandi vasak pool lineaartegurite korrutiseks ja viia võrrand kujule formula_179. Et kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks tegur on null, peab olema formula_180 või formula_181. Seega üks lahend on formula_182 ja teine lahend formula_183.
Näiteks ruutvõrrandi formula_67 lahendamiseks lahutame vasaku poole teguriteks: formula_185. Siit saame võrrandi lahendid formula_69 ja formula_70.
Sobivat teguriteks lahutust aitab otsida asjaolu, et arvude formula_188 ja formula_189 summa võrdub arvuga formula_75 ja korrutis arvuga formula_76. Seda näeme sulge avades: formula_192.
Tegurdamismeetodit kasutatakse valdavalt olukorras, kus võrrandi kordajad formula_75 ja formula_76 on täisarvud. Kui täisarvuliste kordajatega taandatud ruutvõrrandil leidub lahendeid ratsionaalarvude seas, siis on need lahendid samuti täisarvud. Seega võime sobivate formula_188 ja formula_189 leidmiseks lahutada võrrandi vabaliikme formula_76 kõikvõimalikel viisidel kahe täisarvu korrutiseks ja kontrollida, kas nende arvude summa on formula_75. Näiteks võrrandi formula_67 puhul vaatame läbi arvu formula_200 teguriteks lahutused formula_201, formula_202 jne, kuni leiame lahutuse formula_203, mille tegurite summa on formula_43. Kui ükski variant vajalikku summat ei anna, siis võrrandil täisarvulisi ega üldse ratsionaalarvulisi lahendeid ei ole. Sel juhul on võrrandi lahendid irratsionaalarvud (või kompleksarvud).
Üldkujulise ruutvõrrandi formula_1 lahendamiseks püütakse võrrand esitada kujul formula_206. Siit formula_207 või formula_208. Ruutvõrrandi lahendid on formula_209 ja formula_210.
Üldkujulise ruutvõrrandi saab teisendada tegurdamiseks sobivamaks taandatud ruutvõrrandiks kordaja üleviimise võttega. Lähtume võrrandist
 formula_1
ja korrutame mõlemat poolt ruutliikme kordajaga formula_3:
 formula_213.
Toome sisse uue muutuja formula_214 ning kirjutame võrrandi taandatud ruutvõrrandina
 formula_215.
Saadud ruutvõrrand erineb esialgsest võrrandist ainult selle poolest, et ruutliikme kordaja formula_3 on üle läinud vabaliikmesse. Selle võrrandi lahendamisel saame lahendid formula_217 ja formula_218. Lähtevõrrandi lahendid on formula_219 ja formula_220.
Kui lähtevõrrandi kordajad formula_3, formula_4 ja formula_5 on täisarvud, siis on ka saadud taandatud ruutvõrrandi kordajad täisarvud. Seetõttu piisab täisarvuliste lahendite leidmiseks vaadelda arvu formula_224 teguriteks lahutusi. Kui lähtevõrrandi kordajad on ratsionaalarvud, siis saame need teisendada täisarvudeks, korrutades võrrandi pooli kordajate nimetajate vähima ühiskordsega.
Lahendame näiteks võrrandi formula_225. Kirjutame võrrandi uue tundmatu formula_226 kaudu: formula_227. Vaatleme vabaliikme formula_228 teguriteks lahutusi ja proovime leida sellise lahutuse, kus tegurite summa on formula_229. Näeme, et formula_230 ei sobi, formula_231 ei sobi, aga formula_232 sobib. Järelikult formula_233. Seega uue võrrandi lahendid on formula_234 ja formula_235 ning esialgse võrrandi lahendid formula_236 ja formula_237.
Tegurdamismeetod ei nõua ruutjuure arvutamist, kuid võimaldab efektiivselt lahendada ainult piiratud hulka võrrandeid.
Täisruuduks täiendamine.
Täisruuduks täiendamise meetodi idee on haarata ruutvõrrandi ruutliige ja lineaarliige täisruuduks teiseneva avaldise koosseisu, kasutades ära summa ruudu valemit formula_238. Sellega saadakse võrrand, mis sisaldab tundmatut ainult üks kord ning seda on võimalik otseste teisendustega avaldada.
Taandatud ruutvõrrandi formula_29 lahendamiseks rakendame järgmisi samme.
Illustreerime seda lahendamiskäiku võrrandi formula_245 puhul. Kirjutame võrrandi kujul
 formula_246.
Vasak pool on täisruudu avaldise algus. Et lineaarliikme kordaja formula_247 peab olema formula_248, siis formula_249. Järelikult formula_250. Liidame selle mõlemale poolele:
 formula_251.
Vasaku poole saame esitada täisruuduna:
 formula_252.
Järelikult
 formula_253.
Seega formula_254 ehk formula_255 ja formula_256.
Täisruuduks täiendamise meetodil on ka teine variant, mille puhul viime kõigepealt vabaliikme paremale poolele ja võtame vasakul ühise teguri formula_2 sulgude taha: formula_258. Nüüd avaldame vasakul teguri formula_259 avaldiste formula_260 ja formula_261 summana, teguri formula_2 aga nende vahena. Seejärel kasutame ruutude vahe valemit formula_263. Nii tekib jällegi võrrand, kust formula_2 on vahetult leitav.
Näiteks võrrandi formula_245 viime kujule
 formula_266.
Vasakul esitame formula_267 ja formula_268. Järelikult
 formula_269.
Ruutude vahe valemi põhjal saame
 formula_270.
Seega formula_252, millest formula_272 ning formula_273.
Üldkujulise ruutvõrrandi formula_1 saab ruutliikme kordajaga jagamise teel teisendada taandatud ruutvõrrandiks formula_275. Seejärel võime rakendada eelnevas esitatud võtteid. Teine võimalus on korrutada üldkujulise ruutvõrrandi pooli ruutliikme kordajaga formula_3 ning ülaltooduga analoogiliste sammude abil tekitada vasakule poolele avaldis formula_277.
Täisruuduks täiendamise meetod võimaldab lahendada ükskõik millist ruutvõrrandit. Selle abil saab tuletada ka ruutvõrrandi lahendivalemit.
Lahendivalemi kasutamine.
Ruutvõrrandi lahendivalemi
 formula_278
kasutamine on universaalne meetod ruutvõrrandi lahendite leidmiseks ja seda saab rakendada seal, kus teised meetodid tulemust ei anna (näiteks ruutkolmliige pole täisarvudes tegurdatav) või nõuavad liiga palju tööd (näiteks võrrandi kordajad on murdarvud). Samuti kasutatakse lahendivalemit siis, kui ruutvõrrandi lahendamist on vaja programmeerida.
Peale tavapärase valemi on olemas veel ka teine lahendivalem
 formula_279,
mis järeldub esimesest Viète'i valemite abil: ruutvõrrandi lahendid formula_46 ja formula_47 saab avaldada ka vastavalt kujul formula_282 ja formula_283. Teise lahendivalemi eelis on see, et juhul formula_284, formula_285, kui ruutvõrrand muutub lineaarvõrrandiks, saame üheks lahendiks selle lineaarvõrrandi lahendi, samas kui tavapärane valem annab sellisel juhul nulliga jagamise. Teise lahendivalemi puudus on see, et ta ei võimalda arvutada ühte lahendit ruutvõrrandite puhul, kus formula_286.
Teist lahendivalemit kasutatakse mõnede arvutusmeetodite koosseisus, mis peavad arvestama, et lahendatava ruutvõrrandi ruutliikme kordaja võib olla võrrandi ülejäänud kordajatega võrreldes absoluutväärtuselt väga väike või lausa null. Üks selline on näiteks Mulleri meetod.
Geomeetriline lahendamine.
Geomeetriline lahendamine tähendab ruutvõrrandi lahendite konstrueerimist sirkli ja joonlaua abil. Jagades vajadusel ruutvõrrandi läbi ruutliikme kordajaga, võime eeldada, et võrrandi ruutliikme kordaja on formula_28.
Geomeetriliste meetodite seas on keskne roll meetodil, millega saab leida antud arvu ruutjuurt, see tähendab, lahendada võrrandit formula_288, kus formula_76 on positiivne arv. Järgnev konstruktsioon on esitatud Eukleidese peateose Elemendid II raamatu 14. lauses.
Tõmbame lõigu formula_290 pikkusega formula_76. Pikendame seda üle punkti formula_292 punktini formula_293 nii, et lõigu formula_294 pikkus oleks formula_28. Konstrueerime poolringjoone, mille diameetriks on formula_296. Tõmbame lõigule formula_296 punktist formula_292 ristsirge. Olgu formula_141 selle ristsirge lõikepunkt poolringjoonega. Siis lõigu formula_300 pikkus on formula_301.
See järeldub kolmnurkade formula_302 ja formula_303 sarnasusest: kehtib seos formula_304, millest formula_305.
Meetodites, mis ei kasuta koordinaatsüsteemi, eeldatakse tavaliselt, et võrrandi kordajad ja lahendid on teatavate lõikude pikkused. Seetõttu peab lahendatav võrrand olema esitatav kujul, kus kõik kordajad on positiivsed, samuti vähemalt üks lahend. Täielikke taandatud ruutvõrrandeid, mis neid tingimusi rahuldavad, on kolme tüüpi: formula_306, formula_307 ja formula_308. Viète'i valemite põhjal on neist esimesel ruutvõrrandil kaks positiivset lahendit, teisel ja kolmandal aga üks positiivne ja üks negatiivne lahend. Seejuures on teise ruutvõrrandi lahendid kolmanda võrrandi lahendite vastandarvud.
Võrrandi formula_306 lahendamiseks tõmbame lõigu formula_290 pikkusega formula_75. Konstrueerime ringjoone, mille diameeter on formula_290. Tõmbame punktist formula_313 lõigule formula_290 ristlõigu formula_296 pikkusega formula_301 ja punktist formula_293 kiire risti lõiguga formula_296. Olgu formula_141 ja formula_320 selle kiire lõikepunktid ringjoonega. Võrrandi lahendid on lõigu formula_321 pikkus ja lõigu formula_322 pikkus.
Võrrandite formula_307 ja formula_308 lahendamiseks järgime sama protseduuri kuni punkti formula_293 konstrueerimiseni. Seejärel tõmbame punktist formula_293 kiire läbi ringjoone keskpunkti formula_327. Olgu formula_141 ja formula_320 vastavalt selle kiire esimene ja teine lõikepunkt ringjoonega. Võrrandi formula_307 positiivne lahend on lõigu formula_321 pikkus ja võrrandi formula_308 positiivne lahend lõigu formula_322 pikkus.
Esimese konstruktsiooni puhul rahuldavad formula_321 ja formula_322 Viète'i valemeid formula_336 ja formula_337. Teise konstruktsiooni puhul järeldub võrdusest formula_338 kas formula_339 või formula_340, mis on samaväärsed vastavate ruutvõrranditega.
Koordinaatsüsteemi kasutamisel on võimalik lahendada ka negatiivsete kordajatega või negatiivsete lahenditega ruutvõrrandeid. Üks selline meetod on Carlyle'i ringjoon. Eeldame, et lahendatav võrrand on kujul formula_29. Märgime koordinaattasandil kaks punkti koordinaatidega formula_342 ja formula_343. Tõmbame ringjoone, mille diameetri otspunktideks on need kaks punkti. Kui see ringjoon lõikab formula_2-telge, siis on ruutvõrrandi lahenditeks lõikepunktide abstsissid.
Selle ringjoone võrrand on formula_345. Et ringjoone lõikepunktides formula_2-teljega on formula_347, siis lõikepunktide formula_2-koordinaadid rahuldavad võrrandit formula_29.
Carlyle'i ringjoonel on ka omadus, et punktid formula_350, formula_351, formula_352 ja formula_353 asuvad korraga nii ringjoonel kui ka funktsiooni formula_354 graafikul.
Geomeetrilised meetodid olid ruutvõrrandi lahendamisel tavalised kuni keskajani, mil võimsamad ja üldisemad algebralised meetodid nad asendasid.