Õhutakistusega langemine

Õhutakistusega langemine on keha, näiteks langevarjuri langemine, mille korral õhutakistus ei võimalda vaba langemist.
Erinevus vabast langemisest.
Ilma õhutakistuseta kasvab langemisel maapinna lähedal langeva keha kiirus formula_1 9,81 m/s võrra sekundis. Langemine on seega ühtlaselt kiirenev liikumine. See tähendab, kiirus kasvab võrdeliselt kestusega. Kiirendus on seejuures raskuskiirendus maapinna lähedal. Sekundi pärast on langeval kehal maapinna suhtes kiirus 9,81 m/s (umbes 35 km/h), kahe sekundi pärast 19,62 m/s (umbes 71 km/h) ja kolme sekundi pärast 106 km/h. Langevarjuril oleks pärast minutit vaba langemist kiirus üle 2100 km/h.
Tegelikult mõjub langevarjurile siiski ka õhutakistus, mis kasvab võrdeliselt kiiruse ruuduga. Resultantkiirendus vastab seetõttu ainult alguses raskuskiirendusele, edasisee kahaneb, kuni umbes seitsme sekundi pärast võrdub kiirendus nulliga — langevarjur langeb nüüd inimkeha langemise piirkiirusega umbes 55 m/s (umbes 198 km/h). See kiirus ei ole siiski maksimaalne saavutatav kiirus, vaid kiirus, mis saavutatakse, kui võetakse stabiilne, langemisega risti olev asend väljasirutatud käte ja harkis jalgadega. Sirge vertikaalse pea ees asendi puhul on õhutakistustegur palju väiksem. Atmosfääri alumises suhteliselt tihedas osas on maksimaalsed kiirused napilt üle 500 km/h. Väga kõrgel hüppel stratosfäärist on väga suures kõrguses võimalik saavutada isegi helikiirus.
Arvutamine.
Vabaks langemiseks loetakse keha langemist raskusväljas ilma ümbritseva keskkonna või atmosfääri mõjuta. Väikeste kiiruste korral on see sagel mõistlik lähendus. Ent täpse kiirenduse saamiseks tuleb arvestada üleslükkejõudu, Stokesi hõõrdumist ja Newtoni hõõrdumist. 
Üleslükkejõuga langemine.
Ümbritsev keskkond mõjub kehale jõuga, mis vastab väljatõrjutud keskkonna raskusjõule ning on sellele vastuipidise suunaga. Üleslükkejõu võib arvestamata jätta, kui suhe formula_2, kus formula_3 on tihedus.
Nläiteks ei saa õhupalli üleslükkejõudu õhus ja inimese üleslükkejõudu vees arvestamata jätta. 
Üleslükkejõud on 
formula_4
kus formula_5 on keha ruumala, formula_6 on selle tihedus ja formula_7 on väljatõrjutud keskkonna tihedus.
Defineerime
formula_8
üleslükkekiirendusena.
Seega saame kogu jõu kohta:
formula_9
kus suurust
formula_10
nimetame kohandatud raskuskiirenduseks.
Selle diferentsiaalvõrrandi lahend on siis analoogne nagu vaba langemise korral:
 formula_11
Tuleb tähele panna, et formula_12 võib olla ka negatiivne, kui formula_13.
Stokesi hõõrdumisega langemine.
Väikestel kiirustel on hõõrdejõud võrdeline langemiskiirusega:
 formula_14
hõõrdeteguriga formula_15. Liikumisvõrrand "z"-sihis (vertikaalselt) on siis
 formula_16
ehk
 formula_17
See võrrand viib avaldisteni
 formula_18
kiiruse kohta ja 
 formula_19
kõrguse kohta. Nii langeva keha kiirus kui ka selle teepikkus sõltuvad selle massist, mis on kooskõlas igapäevakogemusega. Piirkiirus, milleni Stokesi hõõrdumisega langemisel jõutaks, on
 formula_20
Õhutakistusega langemine: Newtoni hõõrdumine.
Alates teatud kriitilisest kiirusest (vt Reynoldsi arv) läheb laminaarne õhuvoolamine keha juures üle turbulentseks. See viib selleni, et õhutakistus on nüüd võrdeline kiiruse ruuduga: formula_21
Allapoole liikumise (st formula_22) liikumisvõrrandist formula_23 järeldub diferentsiaalvõrrand
 formula_24.
See diferentsiaalvõrrand on Riccati tüüpi ning on juhul, kui üks lahend on teada, analüütiliselt lahendatav. Üks lahend vastab statsionaarsele olekule
 formula_25.
Sellest tuleneb kiirus 
 formula_26
kus formula_27 on hüperboolne tangens, formula_28 on areatangens ja formula_29 ja peab kehtima formula_30.
Teepikkus avaldub siis kiiruse integraalina üle aja:
 formula_31
kus formula_32 on naturaallogaritm, formula_33 on hüperboolne koosinus ja formula_34.
Et liikumisvõrrandis esineb kiiruse ruut, tuleb märgi vahetamist liikumise ümberpööramisel hõõrdumisavalises juhtumi eristamisega eksplitsiitselt arvesse võtta. Üldine liikumisvõrrand on seetõttu 
 formula_35.
Lahendid hetkede korral, mil formula_36 (hetkliikumine üles) järelduavd ülaltoodud lahenditest asendusega formula_37. Konstant formula_38 sõltub keha kujust ja voolava keskkonna (näiteks õhu) tihedusest. Kehtib:
 formula_39,
kus formula_40 on kujutakistustegur, formula_41 on keha ristlõikepindala ja formula_3 on ümbritseva keskkonna (õhu) tihedus.
Näide: meteoorkeha.
Järgnevas eeldatakse, et kerakujuline meteoorkeha ristlõikepindalaga formula_41 ja massiga formula_44 Maa atmosfääri ja pidurdub. Otsitakse meteoorkeha kiirust ja pidurduskiirendust kõrguse (maapinnast) funktsioonina. Seejuures eeldatakse puhast Newtoni hõõrdumist, st jäetakse arvestamata ülehelikiirusest, õhu kuumenemisest ja rõhu vähenemisest peaaegu vaakumini tulenevad efektid. Maa gravitatsioonikiirendus jääb kõrguse (maapinnast) formula_45 kasvades väiksemaks. Kehtib
 formula_46,
kus formula_47 on Maa raadius. baromeetrilise valemi järgi on õhu tihedus sellel kõrgusel
 formula_48
kus formula_49 on õhu tihedus maapinnal, formula_50 on atmosfäärigaaside molaarmass (0,02896 kg mol−1), formula_51 on universaalne gaasikonstant (8,314 J K−1 mol−1) ja formula_52 on absoluutne temperatuur. Õhutakistus formula_53 kiiruse formula_54 korral sõltub sellest takistusest:
 formula_55
Massiga "m" meteoorkeha tegelik kiirendus on gravitatsioonikiirenduse ja pidurduskiirenduse vahe:
 formula_56
Asetades ülaltoodud valemid sellesse võrrandisse, saame meteoorkeha liikumisvõrrandi:
 formula_57
Juuresolevatel diagrammidel on ruumalaga "V" = 1 cm³ ja massiga "m" = 7,874 g raudmeteoriidi puhul see võrrand lahendatud numbrilisel meetodil. Seejuures on meteoriidi algkiirus "v"0 1 = 15 km/s, "v"0 2 = 25 km/s või "v"0 3 = 35 km/s. Selgub, et niisugune keha pidurdub alati sama kõrguste piirkonnas, kusjuures suurem mass sama tiheduse juures üksnes nihutab kõik kõverad diagrammidel vasakule. Et kiirendus 1 km/s² on 102-kordne raskuskiirendus, mõjub kiiretele meteoorkehadele tohutu jõud, mis rebib need tükkideks ja paneb suure hõõrdumissoojuse tõttu hõõguma. Nõnda tekkiv valgus moodustab väikese osa langeva tähe valgusnähtusest.