Aknafunktsioon

Aknafunktsioon (inglise keeles "window function") on matemaatiline funktsioon, mis on väljaspool valitud vahemikku (akent) null. Digitaalses signaalitöötluses määrab see funktsioon kindlaks, milline osakaal on signaali digiteerimesel aknasse jäävatel diskreediväärtustel signaali edasises töötluses. Kui mõnda teist funktsiooni (andmejada, lainekuju) aknafunktsiooniga korrutada, siis on ka tulemus väljaspool määramispiirkonda null. Aknast väljapoole jäävat andmeosa edasises andmetöötluses ei kasutata.
Aknafunktsiooni graafik on üldiselt vahemiku keskpunkti (tipu) suhtes sümmeetriline.
On mitut liiki aknafunktsioone, mida kasutatakse sagedusanalüüsis (näiteks diskreetse Fourier' teisenduse abil), sagedusfiltrite projekteerimisel, lainekimbu moodustamisel ja muudes signaalitöötluse rakendustes.
Rakendused.
Sagedusanalüüs.
Pidev signaal jagatakse töötlemisel harilikult üksikuteks plokkideks. Et plokid on lõpliku pikkusega, siis kaasneb sellega nn lekkenähtus (ingl "leakage effect"): kui ploki pikkus pole täpselt signaali perioodide naturaalarvu kordne, siis lisandub signaalile parasiitne sagedusspekter. See nähtus tuleneb Fourier' teisenduse omadustest.
Sobivalt valitud aknafunktsiooniga saab lekkenähtuse mõju vähendada, kuigi mitte täiesti kõrvaldada. Seejuures toimub signaaliploki tehislik periodiseerimine ajaakna ulatuses.
Aknafunktsiooni abil saab mõjutada ka sageduslikku selektiivsust ja suurimat võimalikku spektraalset viga. Kasutusel on mitmeid aknafunktsioone erinevateks rakendusjuhtudeks.
Filtrite projekteerimine.
Aknameetodit kasutatakse sageli lõpliku siirdega digitaaliltrite (FIR-filtrte) projekteerimisel. Nii saadakse Fourier’ pöördteisendust rakendades täpselt soovitud sageduskarakteristikuga filter.
Fourier’ pöördteisenduse tulemus on tegelikult lõpmata pikk. Et saada lõpliku pikkusega impulsskoste antud siirdekestusega filtri jaoks, valitakse aknafunktsiooni abil teisenduse tulemusest vajalik lõik. Filtri tegelik sageduskarakteristik vastab siis soovitud sageduskarakteristiku ja aknafunktsiooni korrutisele. 
Filtrite projekteerimisel annavad laiad (selektiivsed) aknafunktsioonid järsu ülemineku pääsu- ja tõkkeala vahel (seega kitsa siirdeala), kusjuures sumbumus tõkkealas on mõõdukas; kitsaste aknafunktsioonide kasutamisel on siirdeala laiem, aga tõkkealas signaal paremini alla surutud.
Aknafunktsioonide näiteid.
Järgnevalt esitatakse levinumaid aknafunktsioone. Neid illustreerivatel graafikutel on vasakul kujutatud "N" väärtusega diskreetne aknafunktsioon ja paremal 128 sageduskomponendiga aknafunktsioon, mis on saadud diskreetse Fourier’ teisenduse (DFT) teel. Selle aknafunktsiooni sagedusspektriga töödeldakse signaali tema sagedusalas. 
Valemites on formula_1 täisarvuline aknalaius ja . formula_2 sisendsignaali aktuaalne indeks. Kui pole teisiti märgitud, siis formula_3 ja maksimum on formula_4 juures. Seejuures eksisteerib ka samaväärne ja faasis nihutatud sümmeetriline kujutis 0 ümber. Sel juhul avaldub indeks kujul 
formula_5
maksimumumile vastab siis formula_6.
Ristkülikuline aken.
Ristkülikfunktsioon on kogu akna laiuses 1 ja sellest väljaspool 0:
formula_7
See aknafunktsioon on kasutatav sisendsignaali plokkide lihtsal töötlemisel. Signaali absoluutväärtuse spekter vastab sinc-funktsiooni kõverale. Akendamisega ei kaasne ajaliselt diskreeditud signaalis lekkenähtust ainult sel juhul, kui akna laius on täpselt kordne harmoonilise võnkumise perioodide arvuga.
Kolmnurkne aken.
formula_8
kus formula_9 võib olla formula_10, formula_11 või formula_12. Esimene on tuntud ka kui Bartletti või Fejér'i aken.
Blackmani aken.
Blackmani akent kirjeldab funktsioon
formula_13
kus
formula_14
ja
formula_15
Klassikalise Blackmani akna korral valitakse harilikult formula_16.
Blackmani-Harrise aken.
Funktsioon avaldub kujul
formula_17,
kus
formula_18.
Frederic J. Harris avaldas selle funktsiooni 1978 Blackmani variandina.
Koosinusaken.
Koosinus-aknafunktisioon on tuntud ka kui siinus-aknafunktsioon:
formula_19.
Gaussi aken.
Gaussi aknafunktsioon põhineb Carl Friedrich Gauss normaaljaotuse kõveral, mis on leiendatud lõpmatuseni välja venitatud ja vajab seetõttu ajalist piirangut; see tähendab kombinatsiooni ristkülikulise akna funktsiooniga.
Aknafunktsioon
formula_20
kus 
formula_21
Tukey'i aken.
formula_22
α = 0 juures see funktsioon on kast aken ja α = 1 juures see on Hanni aken.
Hanni ja Hammingu aknad.
Tavapärane koosinuste summa aken, kui K = 1:
formula_23
seades a0 = 0.5, saame Hanni akna:
formula_24
nimetatud Julius von Hanni järgi. Hanni akna äärepunktid puutuvad nulli, Hammingu aken mitte. Tulemusena kõrvalsagarad kahanevad umbes 18 dB oktavi kohta.
Seades a0 = 0.54, või täpsemalt 25/46 saame Hammingu akna. Välja pakutud Richard W. Hammingu poolt. See valik eemaldab esimese kõrvalsagara sagedusel 5formula_25/("N"−1)
Poissoni aken.
Poisson'i aken või üldisemalt eksponentsiaalaken kasvab eksponentsiaalselt akna keskosani ja langeb eksponentsiaalselt keskelt lõpu poole. Kuna eksponentfunktsioon ei jõua kunagi nullini, siis akna väärtused akna äärtes ei ole nullid.
Poisson'i aknafunktsiooni valem:
formula_26
kus "τ" on aja konstant. Eksponentfunktsioon kahaneb 8.69 dB võrra ajakonstandi kohta. See tähendab, et leitava languse D dB kohta poole akna pikkuse kohta on "τ:" formula_27
Hübriid aknafunktsioonid.
Hübriid aknafunktsioon on kombinatsioon erinevatest akendest, neid korrutades või liites.
Bartlett-Hann aken.
formula_28
formula_29
Hann-Poissoni aken.
Saadakse, korrutades Hanni akna Poisson'i aknaga. Kui formula_30, siis sel pole kõrvalsagaraid, sest Fourier' pööre kahaneb ilma miinimumita. Seda kasutatakse "hill climbing" algoritmides nagu Newtoni meetod.
formula_31,
kus "α" määrab eksponendi kalde.
Aknafunktsioonide võrdluskriteeriumid.
Aknafunktsioonide võrdlemisel ja konkreetseks vajaduseks sobiva funktsiooni valimisel tuginetakse järgmistele kriteeriumidele:
Mida laiem on peamaksimum, seda madalamad on kõrvalmaksimumid. Näiteks kui ristkülikulise akna korral on akna laius formula_32, kõrvalmaksimumide suhteline amplituud –13 dB ja suurim diskretimisviga 3,92 dB, siis Blackmani akna korral on vastavad väärtused –57 dB, formula_33 ja 1,1 dB.