Ellips

Ellipsiks nimetatakse tasandile kuuluvate punktide hulka, mille puhul iga punkti kauguste summa kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on jääv suurus, mis võrdub ellipsi läbimõõduga ehk pikema telje pikkusega.
Ellips on ovaalide hulka kuuluv kinnine kõverjoon. See on üks koonuselõikeid.
Ellipsi võrrand ristkoordinaadistikus on
formula_1.
Ellipsi mõiste ja sõna ἔλλειψις ("élleipsis" 'puudujääk') võttis kasutusele Apollonios Pergest. Nimetus on seotud ekstsentrilisusega formula_2.
Looduses esinevad ellipsid häiritusteta Kepleri orbiitidena (ümber Päikese tiirlevate planeetide orbiitidena. Ka aksonomeetrias läheb ellipseid sageli tarvis, sest ringjoon kujutub paralleelprojektsiooni korral üldjuhul ellipsiks. 
Definitsioonid ja mõisted.
Ellipsit saab defineerida mitut moodi. Peale definitsiooni punktide kauguse kaudu saab ellipsit defineerida ka ringjoone aksonomeetrilise kujutisena või lõikejoonena vastava kaldega tasandi ning kaksikkoonuse vahel. 
Ellips kui punktihulk.
Ellipsi saab defineerida tasandi kõikide niisuguste punktide formula_3 hulgana, mille kauguste summa kahest etteantud punktist formula_4 ja formula_5 võrdub etteantud konstandiga. Punkte formula_4 ja formula_5 nimetatakse fookusteks.
formula_8
See konstant peab olema suurem kui formula_9.
Kui fookused langevad kokku, siis formula_10 on ringjoon. See juhtum jäetakse sageli vaikimisi välja, sest enamik ütlusi ellipsite kohta on ringjoone juhtumil triviaalsed.
Haripunktid ja teljed.
Mõlemat fookust läbivat telge nimetatakse peateljeks ning keskpunkt formula_11 jagab selle kaheks pikemaks poolteljeks formula_12 ja formula_13. Punkte formula_14 und formula_15 nimetatakse peaharipunktideks. Kummagi pikema pooltelje pikkust tähistatakse formula_16:
formula_17
Analoogselt räägitakse kõrvalharipunktidest formula_18 ja formula_19 ning kõrvalteljest, mis koosneb lühematest pooltelgedest formula_20 ja formula_21. Lühemate pooltelgede pikkust tähistatakse formula_22:
formula_23
Pea- ja kõrvaltelg on omavahel risti ja lõikuvad punktis formula_11.
Spetsiaalsed kaugused.
Definitioonivõrrandist koos sümmeetriakaalutlustega tuleneb, et kõrvalharipunktide formula_18 ja formula_19 kaugus fookustest formula_4 ja formula_5 võrdub suurusega formula_16 definitsioonist:
formula_30
Sümmeetriakaalutluste tõttu kehtib formula_31
formula_32
See tähendab, et punktihulga saab esitada konkreetsel kujul:
formula_33.
Fookust läbiva ja peateljega risti oleva kõõlu poolpikkust formula_34 nimetatakse ellipsi poolparameetriks, mõnikord ka lihtsalt parameetriks "p":
formula_35
Ellipsi ekstsentrilisus.
Ellipsi kuju saab kirjeldada arvuga, mida nimetatakse ekstsentrilisuseks. See näitab ellipsi fookuste vahelist suhtelist kaugust. See on ühest väiksem mittenegatiivne arv, mida tähistatakse tavaliselt tähega formula_36.
Ellipsil, mille pikema pooltelje pikkus on formula_16 ja lühema pooltelje pikkus on formula_22, on ekstsentrilisus 
formula_39.
Fookuste kaugust keskpunktist nimetatakse lineaarseks ekstsentrilisuseks ja tähistatakse formula_40. Lineaarse ekstsentrilisuse saab Pythagorase teoreemi järgi arvutada täisnurksest kolmnurgast formula_41:
formula_42
Dimensioonita suurus ekstsentrilisus 
formula_43.
Sellest järeldub:
formula_44;
formula_45.
Kui formula_46, siis formula_47 ja ellips on ringjoon.
Kui formula_48, siis formula_49 ja ellipsit nimetatakse võrdkülgseks ellipsiks ehk ilusaima kujuga ellipsiks. 
Kui formula_16 on palju suurem kui formula_22, siis formula_36 on ligi 1 ning ellips on seega lähedane paraboolile.
Ellips kui koonuselõige.
Ellipsit võib vaadelda tasandi lõikena koonusega (koonuselõige), kusjuures lõikenurk tasandi ja koonuse telje vahel peab olema suurem kui pool kaksikkoonuse avanurgast. 
Defineerivat omadust ("summa kaugustest kahe fikseeritud punktini...") saab Dandelini kerade abiga tõestada.
Ellips kui üks silindri lõige.
Ka silindri lõikamisel tasandiga tekib ellips, kui lõige pole silindri teljega risti ja lõige ei läbi silindri tasapinnalisi osi (silindri põhjasid).
Peaasend ja analüütiline definitsioon.
Ellips, mille keskpunkt on koordinaatide alguspunkt ja mille peatelg langeb kokku "x"-teljega, nimetatakse ellipsit 1. peaasendis. Niisuguse ellipsi punktide koordinaatide kohta kehtib võrrand 
formula_53.
Ellips kui ühikringjoone afiinne kujutis.
Teine ellipsi definitsioon kasutab afiinset kujutust. Ellipsit defineeritakse ühikringjoone afiinse kujutusena. Afiinsel kujutusel reaaltasandil on kuju formula_54, kus formula_55 on regulaarne maatriks (determinant ei ole 0) ja formula_56 suvaline vektor. Kui formula_57 on maatriksi formula_55 veeruvektorid, siis kujutatakse ühikringjoon formula_59 ellipsile. 
formula_60. formula_56 on keskpunkt ja formula_57 on ellipsi kaks konjugeeritud diameetrit. formula_57 ei asetse üldjuhul omavahel risti. See tähendab, formula_64 ja formula_65 ei ole üldjuhul ellipsi haripunktid. See ellipsi definitsioon annab suvalise ellipsi lihtsa parameetrilise esituse.
Et haripunktis on puutuja vastava diameetriga risti ja puutuja suund ellipsi punktis on 
formula_66, saadakse haripunkti parameeter formula_67 võrrandist 
formula_68
ja seega võrrandist formula_69.
Kui formula_71, siis formula_72 ja parameetriline esitus on juba haripunktikujul.
Ellipsi neli haripunkti on formula_73
Ellipsi parameetrilise esituse haripunktikuju on 
formula_74
Näited:
Erijuhud.
Koonuselõigete kontekstis nimetatakse koonuse keskteljega risti oleva tasandi lõiget, ringjoont, ellipsi erijuhtumiks: kattuvate fookustega ellipsiks. Sellise ellipsi ekstsentrilisus on 0 ja fookuse mõiste kattub ringjoone keskpunkti mõistega. 
Kui ellipsi ekstsentrilisus läheneb ühele, venib ellips aina pikemaks, säilitades siiski kinnise lapiku joone kuju. Kui koonust lõikava tasapinna nurk saab paralleelseks koonuse moodustajaga, saab kõverjoone ekstsentrilisus väärtuseks 1 ja lapik kinnine joon katkeb, muutudes U-tähe kujuliseks parabooliks, mille haarad kokku ei puutu.