Paikselt taastatav kood

Paikselt taastatav kood (ka "Locally Recoverable Code", "Locally Repairable Code," "LRC") on kodeerimisteoorias kooditüüp, kus koodisõna iga sümbol on esitatav funktsioonina mingist väiksest osast ülejäänud sümbolitest.
Paikselt taastatavaid koode (edaspidi lühendatud PTK) kasutatakse andmesalvestuses, eriti pilv- ja hajussalvestuses. Kui osa andmebaasi sisust ei ole kättesaadav, siis PTK-d võimaldavad puuduva info ülejäänud andmete põhjal tõhusalt taastada. Seetõttu kasutatakse neid selleks, et suurendada salvestussüsteemide veataluvust.
Definitsioon.
Paikselt taastatav kood on üks kustutuskoodi liik. PTK-d loodi, kuna klassikaliste kustutuskoodide puhul (mille hulka kuuluvad nt Reed-Solomoni koodid) on vaja ühe sümboli taastamiseks nii palju teisi sümboleid, et taastamise protsess muutub ebatõhusaks ja aeglaseks. Paiksuse ("locality") ja paikselt taastatavate koodide eesmärk on vähendada ühe sümboli taastamiseks vajaminevate sümbolite arvu.
PTK-sid kirjeldatakse üldiselt kujul "(n, k, r)"-PTK, kus "n" tähistab koodi pikkust, "k" tähistab koodi mõõdet ja "r" tähistab koodisõnade paiksust.
Paikselt taastatava koodi definitsioon.
Öeldakse, et koodil on paiksus "r", kui tema iga koodisõna puhul on võimalik mistahes sümbolit taastada, kasutades "r" sümbolit ülejäänud koodisõnast. Teisisõnu, koodisõna iga sümbol peab olema esitatav funktsioonina mingist väiksest osast ülejäänud sümbolitest. Formaalsem koodi paiksuse kirjeldus on järgmine: Olgu formula_1 kood ja olgu formula_2 koodisõna, mis koosneb sümbolitest. Kui iga sümboli formula_3 puhul, kus formula_4 kuulub hulka formula_5, leidub selline formula_6 elemendist koosnev hulk formula_7 , nii et hulka formula_8 kuuluvatel indeksitel asuvate elementide põhjal on võimalik taastada element formula_3, siis formula_10 on formula_6-paikne.
Indeksite hulka, millel asuvatest elementidest on võimalik otsitav element taastada, nimetatakse elemendi taastehulgaks ("recovery set").
"t"-paikselt taastatava koodi definitsioon.
Paikselt taastavatel koodidel võib olla üks või mitu taastehulka. Taastehulkade arvu rõhutamiseks võib PTK-sid tähistada kujul "t"-PTK ehk "(n, k, r, t)"-PTK. 
Taastehulkade arv defineeritakse järgmiselt: Tähistagu formula_12 koodi formula_10 koordinaatide alamhulka formula_14. Olgu formula_15 puhul defineeritud koodisõnade hulk formula_16. Öeldakse, et koodil formula_10 on formula_18 ühisosata taastehulka, kui iga formula_19 jaoks leidub formula_18 paarikaupa ühisosata alamhulka formula_21 nii, et iga formula_22 puhul kehtib võrdusformula_23PTK-de kasutamisel andmesalvestussüsteemides kehtib põhimõte, et mida rohkem on taastehulki, seda parem on andmete kättesaadavus, sest siis saab korraga anda rohkematele kasutajatele juurdepääsu samadele andmetele. 
Tõestused parameetrite kohta.
Paikselt taastatavate koodide parameetrite kohta on tõestatud erinevaid tõkkeid.
Miinimumkauguse tõkked.
Gopalani jt artiklis ning Papailiopoulose ja Dimakise artiklis tõestatakse järgmine tõke ühe taastehulgaga "(n, k, d)"-PTK-de kohta, kus paiksus on "r" ja d on koodi miinimumkaugus:formula_24Koode, mis saavutavad selle tõkke võrdusega, peetakse optimaalseteks PTK-deks, nt püramiidkoodid. See tõke on ühtlasi Singletoni tõkke üldistus: Singletoni tõkke saab kätte siis, kui ülaltoodud avaldises võtta formula_25 . Rawati jt artiklis ning Wangi jt artiklis on tõestatud järgmine tõke koodi miinimumkauguse kohta:formula_26Tegemist on eelmise tõkke üldistusega juhtudele, kus koodisõna igal sümbolil on üks või rohkem taastehulka. Tamo jt artiklis on veel tõestatud järgmine miinimumkauguse ülemine tõke, kus formula_18 tähistab taastehulkade arvu ja formula_6 tähistab taastehulkade elementide arvu:formula_29
Kooditeguri tõkked.
Gopalan jt ning Papailioulos ja Dimakis on tõestanud ühe taastehulgaga "(n,k,r)"-PTK-de kooditeguri kohta järgmise tulemuse:formula_30Ühe või rohkema (ühisosata) taastehulgaga koodide kohta on Tamo jt artiklis tõestatud järgmine kooditeguri ülemine tõke, kus formula_18 on koodi taastehulkade arv ja formula_6 on koodi paiksus:formula_33Lisaks miinimumkauguse ja kooditeguri tõketele on tõestatud, et mida väiksem on koodi paiksus, seda madalam on veataluvus.
Optimaalsete paikselt taastatavate koodide konstruktsioonid.
Nagu eelpool mainitud, peetakse optimaalseteks PTK-deks neid koode, mille puhul kehtib võrdus formula_34 
Silberstein jt on kirjeldanud konstruktsiooni optimaalsete formula_35-PTK-de jaoks, mis põhineb Gabidulini koodidel (Gabidulini koodid on MRD-koodid). Konstruktsioonis kasutatakse paikse grupi ("local group") mõistet. Nimelt, töös kirjeldatav andmetalletussüsteem koosneb formula_36 tipust, millest igaüks sisaldab mingi arvu sümboleid. Ühe tipu sümbolid saab taastada, kasutades ülimalt formula_6 teist tippu nn paikse grupi seast, mille suurus on formula_38. Selliste koodide kohta on artiklis tõestatud järgmine tõke, kus formula_39 ja formula_40 on paiksuse parameetrid, formula_41 on tipu sümbolite arv ning formula_42 on koodi formula_43 mõõde:formula_44Teine konstruktsioon on kirjeldatud Tamo jt artiklis. See konstruktsioon põhineb MDS-koodidel ja Reed-Solomoni koodidel. Töös on tõestatud ka optimaalsuse tingimust kinnitav võrdus formula_45
Prakashi jt artiklis on kirjeldatud konstruktsioon ühe taastehulgaga optimaalsete PTK-de jaoks. Kirjeldatud konstruktsioonis on tehtud oluline edasiminek võrreldes eelnevate konstruktsioonidega: koodi tähestiku suurus ehk on võrreldav koodi pikkusega "n". See-eest, koodi pikkus on piiratud täpse väärtuseniformula_46 
Koodi pikkuse piirangust saadakse mööda Tamo ja Bargi artiklis. Artiklis on toodud ühe taastehulgaga optimaalsete PTK-de konstruktsioon, mis põhineb Reed-Solomoni koodide üldistusel. Selliselt konstrueeritud koodide kohta tõestatakse artiklis iga formula_6 korral, formula_48, miinimumkauguse tõke formula_49 mis tõestab konstruktsiooni optimaalsust. Antud juhul on koodi tähestiku suurus võrreldav koodi pikkusega formula_36, ilma et koodi pikkusele oleks seatud piiranguid.
Edasiarendused.
Maksimaalse taastatavusega paikselt taastatavad koodid.
Maksimaalse taastatavusega paikselt taastatavad koodid on sellised koodid, mis suudavad parandada samaaegselt kõik vead, mida on informatsiooniteoreetiliselt võimalik parandada, arvestades paiksusega. Selliseid koode kasutatakse nt Microsofti pilvsalvestussüsteemis Microsoft Azure.
Kvantpaikselt taastatavad koodid.
Louis Golowichi jt artiklis tutvustatakse kvantpaiksuse kontseptsiooni ja defineeritakse kvant-PTK mõiste. Mainitakse, et kvant-PTK võiks leida rakendust kvantandmesalvestuses ning kirjeldatakse kvant-PTK-de konstruktsioone, parameetrite tõkkeid ja muid omadusi.
Paikse veatuvastusega paikselt taastatavad koodid.
Carlos Munuera artiklis on kirjeldatud koodimudelit, mis ühendab paikse taastatavuse paikse veatuvastusega. Eesmärgiks on tuvastada olukordi, kus paiksel taastamisel kasutatavate elementide väärtused on vigased ja seetõttu tuleb taastamise tulemus vigane.