Ordinaalarv

Ordinaalarvud on matemaatilised objektid, mis üldistavad elemendi positsiooni (indeksi) mõiste jadas täielikele järjestustele suvalistel hulkadel.
Positsioone jadades käsitatakse naturaalarvudena (mida väljendatakse järgarvudega "esimene, teine, kolmas, …" (element)), mis moodustavad lõplikud ordinaalarvud. Selle üldistuse juures on otsustav, et nagu ka jadade korral, on olemas vähim positsioon (ordinaalarv null) ja igal elemendil (välja arvatud võib-olla leiduv viimane element) on üheselt määratud järglane. Et (lineaarsetel) järjestustel, mis neid tingimusi täidavad, võib ikka veel olla väga erinevaid struktuure, siis lisatakse tingimus, et iga alamhulga korral leidub minimaalne positsioon, ning jõutakse täielike järjestusteni. 
Ordinaalarvud võimaldavad üldistada jadadega piirduva tõestusmeetodi matemaatilise induktsiooni kui tahes suurtele hulkadele või ka pärisklassidele, mis on täielikult järjestatud. Matemaatilise induktsiooni üldistust nimetatakse transfiniitseks intuitsiooniks. 
Seevastu hulga suuruse (elementide arvu) kirjeldus viib kardinaalarvu mõisteni ("üks, kaks, kolm, …").
Georg Cantoril oli idee, kuidas saab mõlemat mõistet (arv kui suurus ja arv kui positsioon) hulgateooria raames lõpmatutele hulkadele üldistada; sest kuna nad lõplike hulkade korral langevad kokku, tuleb neid lõpmatute hulkade korral eristada. Kardinaalarvud defineeritakse ordinaalarvude erijuhuna. Ordinaalarvude kogum, mida enamasti tähistatakse formula_1 või formula_2, ei moodusta tänapäeva hulgateoorias – täpselt nagu ka mitte kardinaalarvude kogum – hulka, vaid pärisklassi.
Paljud neist kaalutlustest (näiteks transfiniitne induktsioon ja kardinaalarvude definitsioon ordinaalarvudena) vajavad valikuaksioomi või sellega ekvivalentset Zermelo teoreemi. 
Ordinaalarvud on olulised hulgateoorias. Teistes matemaatika valdkondades kasutatakse ka teisi üldistatud indekseeringuid, mis opereerivad täielikust järjestusest erinevate järjestustega. Näiteks topoloogias kasutatakse võrke ja filtreid, mis üldistavad koonduvuse mõistet.
Avastuslugu.
Tänapäevase ordinaalarvude mõiste töötas olulises välja Georg Cantor. Põhiidee leidis ta uurides reaalmuutuja funktsioonide trigonomeetriliste ridadena esitamise ühesust. Siiski ei osutunud ordinaalarvude teooria nendes uurimustes lõpuks viljakaks.
Eduard Heine töödest oli teada, et vahemikus formula_3 pidevatel funktsioonidel on alati ühene esitus trigonomeetrilise reana. Cantor näitas (1870), et see on õige iga funktsiooni korral, mille trigonomeetriline rida kõikjal koondub. Küsimusele, kas on olemas teisi funktsiooniklasse, millel on see omadus, ei ole sellega aga veel vastatud. Juba Heine teoreem on õige funktsioonide korral, mis on peaaegu kõikjal pidevad, st lõpliku hulga formula_4 mittepidevuskohtadega. Ühesuse küsimus on samaväärne küsimusega, kas trigonomeetrilise rea 
 formula_5
võrdumine nulliga hulgal formula_3 \ formula_4 toob kaasa ka koefitsientide formula_8 ja formula_9 nulliga võrdumise. Selle omadusega hulki formula_4 nimetatakse U-tüüpi hulkadeks (prantsuse sõnast "unicité" 'ühesus') ja kõiki teisi hulki M-tüüpi hulkadeks ("multiplicité" 'mitmesus'). Lõplikud hulgad on seega U-tüüpi hulgad. Funktsiooni formula_11 kahekordsel integreerimisel saadakse Riemanni funktsioon:
 formula_12
Kui formula_13 on lineaarne, siis on kõik formula_8 ja formula_9 võrdsed formula_16-iga. Nii et kui mingi hulga formula_17 kohta tõestataks, et sellest, et formula_18formula_19 formula_20 formula_21 \ formula_22 formula_23, järeldub funktsiooni formula_13 lineaarsus, siis oleks sellega ka tõestatud, et formula_17 on U-tüüpi hulk. Cantor kasutab seda ideed artiklis "Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen" aastast 1871 ja näitab: "Kui (p,q) on mingi vahemik, milles on vaid lõplik arv hulga P punkte, siis on F(x) selles vahemikus lineaarne …" (seal lk 131)
Kui formula_17 on lõpmatu, siis on tal vähemalt üks kuhjumispunkt. Cantor nimetab hulga formula_17 kuhjumispunktide hulka tuletatud hulgaks ja tähistab seda formula_28, hulga formula_28 tuletatud hulka tähistab ta formula_30 jne. (vt hulga tuletis). Kui pärast lõplikku arvu samme jõutakse lõpliku hulgani formula_31, siis nimetab Cantor hulka formula_17 formula_33-liiki hulgaks. Cantor teeb kindlaks, et funktsiooni formula_13 lineaarsust vahemikus formula_35 sab tõestada ka siis, kui hulka formula_35 kuulub lõplik arv hulga formula_37 punkte, kusjuures selle väite korrektsus ei sõltu naturaalarvu formula_38 väärtusest. Tühja mitmekordse tuletisega hulgad on alati U-tüüpi. 
Selles artiklis ei välju Cantori kaalutlused veel lõplike iteratsiooniprotsesside raamidest; ent seal sisalduvad juba mõttemustrid, mis hiljem hakkasid kujundama kogu hulgateooriat. Ta omistab reaalarvude näitlikustamisele geomeetriliste punktidega teisejärgulise rolli, defineerides reaalarve Cauchy jadadena ratsionaalarvude hulga "A" elementidest. Nende jadade hulka tähistab ta "B" ja defineerib seal "A" korral kasutusel olevad tehted. Cauchy jadad hulga "B" elementidest moodustavad uue hulga "C". Seda protsessi saab teoreetiliselt lõpmatuseni jätkata. Cantor hakkab nüüd mõistma punkti all mingite hulkade "A", "B", "C", … elemente. 
Niisuguste korrastatud hierarhiate ehitamine, mille korral üleminek ühelt astmelt teisele toimub piirprotsesside kaudu, on hiljem saanud uute hulgateoreetiliste mõistete kasutuselevõtu sagedaseks vahendiks. Selline hierarhia on äratuntav ka ordinaalarvude puhul.
Pärast seda tööd trigonomeetriliste ridade kohta nõrgenes Cantori huvi funktsioonide trigonomeetrilistesse ridadesse arendamise ühesuse tarviliku ja piisava tingimuse vastu. Seda küsimust uurisid hiljem väga intensiivselt Paul Du Bois-Reymond, Charles-Jean de La Vallée Poussin, William Henry Young, Arnaud Denjoy, Nina Bari, Raichmann ja Dmitri Menšov, jõudmata siiski rahuldava tulemuseni. Cantor ise pühendus ülesandele klassifitseerida punktihulki selle järgi, millal tuletamise protsess lõpeb. Hulki, mille korral see toimub lõpliku arvu sammud järel, nimetab Cantor esimest liiki hukadeks. Hulk formula_17 on täpselt siis esimest liiki hulk, kui ühisosa
 formula_40
on tühi. Loomulik mõte on seejuures teha just see hulk esimeseks tuletiseks teist liiku hulkade transfiniitses järjestuses. Cantor tähistan selle formula_41. Sellele järgnevad tuletised
 formula_42
 formula_43
Cantor kirjutab artiklis "Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten" aastast 1880: "Konsekventsel edasiminekul saadakse suktsessiivselt edasised mõisted: 
 formula_44
jne; me näeme siin dialektilist mõistemoodustust, mis viib üha edasi ning jääb seejuures igasugusest suvast vabana iseeneses paratamatuks ja konsekventseks."
Selles mitte viie leheküljegi pikkuses artiklis on välja joonistatud sama hästi kui kogu tee, kuidas naturaalarvudest saab arendada täieliku transfiniitse ordinaalarvude süsteemi. Ordinaalarvude mõiste defineeris ta siis kahes artiklis "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (1895/97) täielikult järjestatud tüüpide järjestustüübina. 
Naturaalarvud ja järjestatud hulgad.
Ordinaalarvud on tänapäeva matemaatikas hulgateooria mõiste. Et defineerida neid naturaalarvude üldistusena, on loomulik paigutada naturalarvud hulgateoreetilisse hierarhiasse. Sealjuures kuulutatakse tühi hulk naturaalarvude jada nulliks. Tühi hulk on niisiis naturaalarvude Peano aksiomaatikas spetsiaalselt esiletõstetud ja ekspolitsiitselt defineerimata ilma eelkäijata arv. John von Neumanni ettepaneku järgi defineeritakse siis iga järgmist arvu juba defineeritud arvude hulgana:
 formula_45
 formula_46
 formula_47
 formula_48
 formula_49
 formula_50
Hulgad formula_16, formula_52, formula_53 on kuulumisseose (formula_54) suhtes täielikult järjestatud. Näiteks on arvul 4 elemendid 0, 1, 2, 3, mis järjestatakse 0 &lt; 1 &lt; 2 &lt; 3. Sellepärast kirjutatakse ka formula_55. Niisiis on naturaalarv formula_56 väiksem kui arv formula_57, kui formula_56 on hulga formula_57 element. Kogu naturaalarvude hulga kohta määratletakse: formula_60. Hulk formula_61 on Peano aksiomaatika mudel. Selle olemasolu tagatakse Zermelo-Fraenkeli hulgateoorias lõpmatuse aksioomiga.
Motivatsioon ja definitsioon.
Ordinaalarvude teooria on abstraheeriv teooria, mis abstraheerub hulga elementide "tegelikust loomusest" ning uuritakse ainult niisuguseid omadusi, mida saab tuletada elementide järjestusest. Edasi defineeritakse: bijektsiooni formula_62 formula_63→formula_64 täielikult järjestatud hulgalt formula_65 ≤formula_63formula_67 täielikult järjestatud hulgale formula_68 ≤formula_64formula_67 nimetatakse järjestusisomorfismiks ehk sarnaseks teisenduseks, kui formula_56 ≤formula_63 formula_57 ja formula_74 ≤formula_64 formula_76 on kõikide formula_77formula_78formula_63 korral ekvivalentsed. Öeldakse, et hulgad formula_63 ja formula_64 on järjestusisomorfsed (ehk sarnased) ja kirjutatakse formula_63 formula_83 formula_64, kui formula_63 ja formula_64 vahel on järjestusisomorfism gibt. Kõigi omavahel järjestusisomorfsete hulkade kogum on ekvivalentsusklass, mida nimetatakse järjestustüübiks.
Saab näidata, et iga lõplik täielikult järjestaud hulk on järjestusisomorfne (täpselt) ühe naturaalarvuga. Peale selle on täiesti järjestatud hulga kohta kolm väidet ekvivalentsed: 1.) Ta on lõplik. 2.) Pöördjärjestus on täielik. 3.) Igal mittetühjal alamhulgal on suurim element.
See pakub aluse naturaalarvude üldistamiseks ordinaalarvudeks, mis valitakse spetsiaalsete täielikult järjestatud hulkadena nõnda, et iga täiesti järjestatud hulk on järjestusisomorfne täpselt ühe ordinaalarvuga. Niisiis on iga ordinaalarv ühe teatud järjestustüübi esindaja. Järgnev definitsioon parandab Cantori lähenemist ja selle andis esimesena John von Neumann:
"Definitsioon I." (eeldab regulaarsuse aksioomi: Hulka formula_87 nimetatakse ordinaalarvuks, kui hulga formula_87 iga element on ka hulga formula_87 osahulk ning formula_87 on sisaldumisseose formula_91 suhtes täielikult järjestatud.
Niisugune hulk formula_87 on automaatselt täielikult järjestatud tulenevalt regulaarsuse aksioomist, mis ütleb: igal mittetühjal hulgal formula_87 on element formula_56, millel ei ole ühisosa hulgaga formula_87. Naturaalarvud on selle definitsiooni järgi ordinaalarvud. Näiteks on formula_96 arvu formula_97 element ja ühtlasi alamhulk. formula_61 on samuti ordinaalarv, vähim transfiniitne (igast naturaalarvust suurem) ordinaalarv. Neumanni definitsioonil on esimese definitsiooni ees see eelis, et ta määratleb aksiomaatilise hulgateooria raames laitmatult defineeritud hulgateoreetilise objekti. Iga täielikult järjestatud hulk formula_99 on järjestusisomorfne täpselt ühe ordinaalarvuga, mida enamasti tähistatakse formula_100.
Märkused ja teised definitsioonid.
Kõikide hulkade ekvivalentsusklassid järjestusisomorfismi suhtes on tänapäeva matemaatika seisukohast problemaatilised, sest nad on "haaramatult suured objektid", mis erinevalt von Neumanni ordinaalarvudest on defineeritud geneetiliselt, mitte substantsiaalselt. Nende olemasolu eeldatakse naiivses hulgateoorias ilma eksplitsiitse põhjenduseta ja Zermelo-Fraenkeli hulgateooria raames ei saa seda ordinaalarve kasutamata põhjendada.
Igas hulgateoorias nimetatakse ordinaalarvudeks niisuguseid objekte, mis rahuldavad ordinaalarvu aksioomi. See ütleb: igale täielikult järjestatud hulgale (või ka muule täielikult järjestatud struktuurile) saab omistada ordinaalarvu nõnda, et suvalised kahele eri hulgale omistatud ordinaalarvud on võrdsed täpselt siis, kui need kaks hulka on omavahel järjestusisomorfsed. Kõikides aksiomaatilistes hulgateooriates püütakse uute fundamentaalobjektide sissetoomise vältimiseks leida sobivaid teooriaga ette antud objekte, mis rahuldavasd ordinaalarvu aksioomi. Üks võimalus selleks seisneb spetsiaalsete hulkade hierarhiate (näiteks von Neumanni arvude hierarhia) ehitamises. 
Milliste raskustega sellistest hierarhiatest loobumine võib seotud olla, on näha üldiste lineaarsete järjestuste pealt, mille jaoks sobivat hulkade hierarhiat pole teada (2004). Järjestustüüpide eksisteerimise postuleerimist saab sel juhtumil vältida ainult järgu- ja astmetüüpide abil. Kui spetsiaalsed objektid, mis oleksid ordinaalarvude sissetoomiseks sobivad, on juba nimetatud, siis ordinaalarvu aksioom elimineeritakse (kui see on üldse võimalik), st taandatakse teoreemi staatusesse. ZFC puhul kasutatakse selleks Adolf Abraham Halevi Fraenkeli poolt 1922 Zermelo aksiomaatikale spetsiaalselt lisatud asendamisaksioomi.
Kui suur on ordinaalarvu aksioomi hulgateoreetiline tugevus, seda näitab tõsiasi, et "paljude" von Neumanni ordinaalarvude olemasolu tõestamiseks tuleb appi võtta lõpmatuse aksioom, asendamise aksioom ning mõnel juhtumil koguni valikuaksioom. Von Neumanni ordinaalarvude definitsioon on tänapäeval kõige kasutatavam. Ent ka aksiomaatilistes hulgateooriates leidub ordinaalarvude definitsioone, mis põhinevad ekvivalentsusklasside moodustamisel. Vastuolude vältimiseks moodustatakse need ekvivalentsusklassid aga teatud kitsendustega. Nii näiteks konstrueeritakse loenduvate ordinaalarvude hulk formula_101 Friedrich Moritz Hartogsi järgi nii: see defineeritakse ekvivalentsusklasside hulgana hulga formula_102 täielikult järjestatud elementide alamhulgas, kui formula_103. Seejuures on kaks alamhulka ekvivalentsed, kui nad on järjestusisomorfselt teineteisele kujutatavad. formula_104 on järjestuse formula_105 suhtes täielikult järjestatud hulk. Seda hierarhiat saab jätkata, postuleerides formula_106 ning moodustades hulgad formula_107, kus formula_108. Hartogsi definitsioon ei kasuta esindajate valikut ning on piisav paljudeks ordinaalarvude rakendusteks analüüsis ja topoloogias. Järjestusisomorfsete hulkade ekvivalentsusklasid moodustatakse ka astmeteoreetilise ülesehitusega hulgateooriates (Bertrand Russell, Willard Van Orman Quine, Dana Scott, Dieter Klaua jt). Näiteks Klaua üldises hulgateoorias on kõik hulgad universaalhulkade elemendid. Täielikult järjestatud hulga formula_63 ordinaalarv on siis kõikide hulgaga formula_63 järjestusisomorfsete elementide ekvivalentsusklass vähimas universaalhulgas, mis sisaldab hulgaga formula_63 järjestusisomorfseid hulki. Scotti-Potteri hulgateoorias, mis on ilma asendusaksioomita hulgateooria näide, nimetatakse von Neumanni ordinaalarve pseudoordinaalarvudeks. , Ordinaalarvud selles hulgateoorias defineeritakse iga täielikult järjestatud kollektsiooni formula_56 jaoks kui formula_113 ning täielikult järjestatud hulkade ordinaalarve nimetatakse väikesteks ordinaalarvudeks. formula_114 on väikeste ordinaalarvude kollektsioon ja formula_115 on vähim suur ordinaalarv. Kõikide ordinaalarvude kollektsiooni Scotti-Potteri hulgateoorias ei ole. 
On juba mainitud, et ordinaalarvude täieliku järjestatuse saab ZF-is tuletada regulaarsuse aksioomist. Aga hulgateoreetilises kirjanduses on tavaks sõnastada definitsioone aksioomidest võimalikult sõltumatult.