Markovi ahel

Markovi ahelaks (vene matemaatiku Andrei Markov seeniori nime järgi) nimetatakse matemaatikas lõpliku või loenduva olekute hulgaga diskreetse ajaga juhuslikku protsessi, millel on Markovi omadus.
Markovi omadus tähendab, et fikseeritud oleviku korral tulevik ei sõltu minevikust. Teiste sõnadega, olevikuseisundi kirjeldus sisaldab kogu informatsiooni, mis võib protsessi tulevast arengut mõjutada.
Definitsioon.
Markovi ahel on juhuslike muutujate jada "X"1, "X"2, "X"3, ..., millel on Markovi omadus:
formula_1
Muutujate "X""i" võimalikud väärtused moodustavad lõpliku või loenduva hulga "S", mida nimetatakse ahela olekute ruumiks.
Markovi ahelat kujutatakse tihti suunatud graafina, mille servade juurde on kirjutatud ühest olekust teistesse ülemineku tõenäosused.
Modifikatsioonid.
Pideva ajaga Markovi ahelatel on pidevalt muutuv indeks.
Ajaliselt homogeenne Markovi ahel (ajaliselt homogeensete üleminekutõenäosustega Markovi ahel) on Markovi ahel, kus "n" kõigi väärtuste korral
formula_2 .
"m"-ndat järku Markovi ahel ehk Markovi ahel mäluga "m" ("m" on lõplik) on Markovi ahel, milles iga "n" korral
formula_3
formula_4 ,
st tulevik sõltub ainult olekutest viimasel "m" hetkel. Ahelast ("Xn") saab konstrueerida ahela ("Yn"), millel on "klassikaline" Markovi omadus. Nimelt, olgu 
"Yn" = ("Xn"; "X""n"−1; ...; "X""n"−"m"+1) "X" väärtuste "m"-korteež. Sel juhul on "Yn" klassikalise Markovi omadusega Markovi ahel.
Markovi ahelad võib esitada lõplike automaatidena. Kui automaat on hetkel "n" olekus "y", siis tõenäosus, et ta hetkel "n" + 1 läheb üle olekusse "x", sõltub ainult olekust hetkel "n".
Markovi ahelate omadused.
Olgu "n" ajasammuga olekust "i" olekusse "j" jõudmise tõenäosus defineeritud kui
formula_5
ja ühe ajasammuga olekust "i" olekusse "j" ülemineku tõenäosus kui
formula_6
"n" sammuga üleminek rahuldab Chapmani-Kolmogorovi võrrandit, mille järgi iga "k" (0 &lt; "k" &lt; "n") korral
formula_7
Marginaaljaotus Pr ("X""n" = "x") on olekutevaheline jaotus hetkel "n". Algjaotus on Pr ("X"0 = "x"). Protsessi kulgu sammude kaupa kirjeldab valem
 formula_8
Ülaindeks formula_9 on mõeldud lihtsalt täisarvulise indeksina. Ent kui Markovi ahel on homogeenne, siis võib seda ülaindeksit tõlgendada ka astmenäitajana.
Taanduvus.
Olekut "j" nimetatakse teisest olekust "i" kättesaadavaks ("accessible"; tähistus "i" → "j"), kui eeldusel, et ollakse olekus "i", on nullist erinev tõenäosus, et millalgi tulevikus ollakse olekus "j" . Teiste sõnadega, olek "j" on olekust "i" kättesaadav, kui leidub niisugune täisarv "n" ≥ 0, et
 formula_10
Selles definitsioonis lubatakse ka "n" väärtust 0, mistõttu iga olek on selle definitsiooni järgi kättesaadav ka iseendast.
Öeldakse, et olek "i" lävib seisundiga "j" ("i" ↔ "j"), kui olek "i" on kättesaadav olekust "j" ning olek "j" on kättesaadav olekust "i". Olekute hulk "C" on läviv klass, kui mis tahes kaks olekut hulgast "C" lävivad teineteisega ja ükski olek hulgast "C" ei lävi ühegi olekuga, mis ei kuulu hulka "C". (Saab näidata, et lävimine on ekvivalentsusseos.) Läviv klass on kinnine, kui klassist lahkumise tõenäosus ("probability of leaving the class") on null: kui olek "i" asub lävivas klassis "C", kuid olek "j" mitte, siis olek "j" ei ole kättesaadav olekust "i".
Markovi ahel on taandumatu, kui tema olekute ruum on läviv klass. Teiste sõnadega, taandumatus Markovi ahelas on mis tahes olek kättesaadav mis tahes olekust.
Perioodilisus.
Olekul "i" on periood "k", kui mis tahes naasmine ("return") olekusse "i" peab toimuma "k" kordse arvu ajasammude möödudes. Näiteks kui olekusse "i" on võimalik naasta ainult paarisarvu sammude möödudes, siis "i" on perioodiline perioodiga 2. Oleku periood on
 formula_11
(kus "SYT" on suurim ühistegur). Pandagu tähele, et kui mingil olekul on periood "k", ei pruugi sellesse olekusse olla võimalik "k" sammuga naasta. Näiteks kui olekusse on võimalik naasta {6, 8, 10, 12, ...} ajasammuga, siis "k" on 2, kuigi 2 selles loetelus ei esine.
Kui "k" = 1, siis nimetatakse olekut aperioodiliseks. Kui "k"&gt;1, siis nimetatakse olekut perioodiliseks perioodiga "k".
Saab näidata, et lävivas klassis on kõigil olekutel üks ja seesama periood.
Lõpliku olekute arvuga taandumatut Markovi ahelat nimetatakse ergoodiliseks, kui tema olekud on aperioodilised.
Naasmine.
Olekut "i" nimetatakse siirdeolekuks ("transient"), kui on nullist erinev tõenäosus, et alustades olekust "i" ei naasta kunagi olekusse "i". Olgu juhuslik muutuja "Ti" esimene naasmisaeg olekusse "i" ("tabamisaeg" ("hitting time")):
 formula_12
Siis olek "i" on siirdeolek siis ja ainult siis, kui
 formula_13
Kui olek "i" on ei ole siirdeolek (tal on tõenäosusega 1 lõplik tabamisaeg), siis teda nimetatakse naasvaks. Kuigi tabamisaeg on lõplik, ei pruugi tal olla lõplikku matemaatilist ootust.
Olgu "Mi" naasmisaja matemaatiline ootus
 formula_14
Siis olek "i" on püsiv, kui "Mi" on lõplik. Vastasel juhul on olek "i" nullsiirdeolek ("null recurrent").
Saab näidata, et olek on naasev ("recurrent") siis ja ainult siis, kui
 formula_15
Olekut "i" nimetatakse neelavaks, kui sellest olekut on võimatu lahkuda. Seega on olek "i" on neelav siis ja ainult siis, kui
 formula_16 ning formula_17, kui formula_18
Ergoodilisus.
Olekut "i" nimetatakse ergoodiliseks, kui ta on aperioodiline ja püsiv. Kui Markovi ahela kõik olekud on ergoodilised, siis ahelat nimetatakse ergoodiliseks.
Püsivate seisundite analüüs ja piiravad jaotused.
Kui Markovi ahel on homogeenne, nii et protsess on kirjeldatav üheainsa ajast sõltumatu maatriksiga "p""ij", siis vektor "π" on statsionaarne jaotus ("stationary distribution") (ka tasakaalus jaotus, invariantne mõõt), kui selle koordinaatide ("entries") "πj" summa on 1 ning nad rahuldavad võrrandit
 formula_19
Taandumatul ahelal on statsionaarne jaotus siis ja ainult siis, kui kõik selle olekud on püsivad. Sel juhul leidub ainult üks statsionaarne jaotus "π" ning ta on seotud naasmisaja matemaatilise ootusega:
 formula_20
Kui ahel on taandumatu ja ühtlasi aperioodiline, siis mis tahes "i" ja "j" korral
 formula_21
Algsele jaotusele ei ole siin mingit piirangut. Ahel koondub statsionaarse jaotusega ahelaks sõltumata algsest olekust.
Kui ahel ei ole taandumatu, siis ei ole tal ühtset statsionaarset jaotust. (Igal kinnisel lävival klassil on oma ainus statsionaarne jaotus. Igaüks neist laieneb kogu ahela statsionaarseks jaotuseks, kus tõenäosus väljaspool klassi on nullile lähenev hulk ("set to zero").) Samas, kui olek "j" on aperioodiline, siis
 formula_22
ja iga teise oleku "i" puhul olgu "fij" tõenäosus, et startides olekust "i", läbib ("visits") ahel kunagi olekut "j"
 formula_23
Lõpliku seisundite ruumiga Markovi ahelad.
Kui olekute ruum on lõplik, transitsiooni tõenäolist jaotust ("transition probability distribution") võib kujutada transitsioonimaatriksina, milles element p järjekorranumbriga ("i", "j") võrdub
formula_24
P on stohhastiline maatriks. Kui Markovi ahel on ajaliselt homogeenne ("time-homogeneous") Markovi ahel, siis transitsioonimaatriks P on sõltumatu tähisest "n" ning "k"-astmelise transitsioonitõenäosuse võib arvutada transitsioonimaatriksi astmel "k"', P"k".
Olekujaotus ("stationary distribution") "π" on (jada) vektor, mis rahuldab võrrandit
formula_25
Teisisõnu, olekujaotus "π" on normaliseerimisel saadud transitsioonimaatriksi omadusvektor ("normalized left eigenvector"), mis on seotud omadusväärtusega ("eigenvalue") 1.
Väärtust "π" võib vaadelda lineaarse (järelikult pideva) maatriksiga P seotud ühiksimpleksi ("unit simplex") transformatsiooni fikseeritud punktina.
Iga pideva transformatsiooni ("continuous transformation") puhul on ühiksimpleksil kindel punkt, milles alati eksisteerib olekujaotus, kuid üldiselt ei ole garanteeritud, et see on ainukordne. Ometi, kui Markovi ahel on redutseerimatu ja aperioodiline, eksisteerib ainukordne olekujaotus π. Lisaks läheneb ("converges") P"k" üheveeruline maatriks ("rank-one matrix"), milles iga rida on olekujaotus π
formula_26
kus 1 on veeru vektor ("column vector") kõigi väärtuste jaoks, mis võrduvad 1. Seda väidab Perron-Frobeniuse teoreem. See tähendab, et aja möödudes "unustab" Markovi ahel oma algjaotuse ning läheneb oma olekujaotusele.
Pöörduv Markovi ahel.
Pöörduva ("reversible") Markovi ahela idee tuleneb võimest "inverteerida" ("invert") tõenäosuse tingimuslikkust kasutavat Bayes' seadust:
formula_27
formula_28
Ilmneb, et aeg on pöörduv. Järelikult võib Markovi ahel olla pöörduv ("reversible"), kui see on "π", nagu näiteks
formula_29
Seda tingimust tuntakse ka detailse tasakaalu tingimusena ("detailed balance").
Summeerides ("summing over") formula_30 annab
formula_31
pöörduvate Markovi ahelate puhul, et "π" on alati olekujaotus.
Bernoulli skeem.
Bernoulli skeem on Markovi ahela erijuhtumiks, kus transitsioonide tõenäosusmaatriksil ("transition probability matrix") on identsed read, mis tähendab, et ka järgmine olek on sõltumatu käesolevast (lisaks sellele, et ta on sõltumatu mineviku olekutest). Ainult kahe võimaliku olekuga Bernoulli skeem on tuntud kui Bernoulli protsess.
Rakendused.
Muusika.
Markovi ahelaid on kasutatud algoritmilisel komponeerimisel, kasutades selleks näiteks muusikatarkvara Open Music, CSound või Max.
Esimese tasandi järjestusega ahelate ("first-order chain") puhul saavad olekutest heli väärtused ning igale helile konstrueeritakse tõenäosusvektor, saades nii üleminekute tõenäolise maatriksi ("transition probability matrix"). Algoritmi konstrueerimise eesmärgiks on toota üleminekute maatriksi väärtustel põhinevaid muusikaliste parameetrite väärtusi: näiteks MIDI väärtusi, helisagedusi hertsides, helivältuste suurusi või muude muusikaliste parameetrite väärtusi.
Teise tasandi Markovi ahelaid ("second-order Markov chain") võib kasutada, arvestades käesolevat "ja" ka eelmist olekut.
Kõrgematel tasanditel, "n"-tasandi järjestusega ahelate (" "n"th-order chains") puhul rühmituvad algsed helid helide rühmadeks, 'purunedes' samal ajal juhuslikeks kujunditeks ja järgnevusteks. Sellised kõrgema tasandi ahelad genereerivad muusikalise fraasi tasemel struktuure, sel ajal kui esimese tasandi järjestusega süsteem toodab 'sihitut ekslemist'.
Kirjandus: Markovi paroodiageneraatorid.
Markovi protsesse võib kasutada ka antud tekstikatkest pealiskaudsel vaatlusel reaalsena näivate uute tekstide genereerimiseks. Meetodit on kasutatud erinevate taasloovate "paroodiageneraatorite" tarkvara puhul (vt dissociated press, Jeff Harrison, Mark V Shaney,
).
Teooria ajalugu.
Andrei Markov vanem sai aastal 1906 nende protsesside esimesi tulemusi alguses puhtalt teoreetiliselt. Arvutuslikult lõpetatud seisundiruumide ("countably infinite state spaces") üldistuse esitas Andrei Nikolajevitš Kolmogorov aastal 1936. Markovi ahelaid on seostatud Browni liikumisega ja ergoodilise hüpoteesiga, mis on ühtedeks tähtsamateks teemadeks 20.sajandi alguse füüsikas.