Lihtharmooniline võnkumine

Lihtharmooniline võnkumine (inglise keeles "simple harmonic motion") on füüsikas süsteemi võnkumine, kus taastav jõud on võrdeline siirdega tasakaaluasendist. Taastav jõud mõjub siirdega vastassuunaliselt. Süsteemi, mille liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena, on nimetatud ka sumbuvuseta vabavõnkumiseks ja sellist võnkumist järgivat objekti lihtharmooniliseks ostsillaatoriks (ingl "simple harmonic oscillator").
Lihtharmooniline võnkumine on lihtsaim mitmesuguste võnkumiste (ja seeläbi võnkumiste levimise ruumis ehk lainelevi) kirjeldamise aluseks olev matemaatiline mudel. Lihtharmoonilise võnkumise klassikaliseks näide on vedru küljes oleva massi liikumine juhul kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub Hooke'i seadusele ja sumbuvust ei arvestata. Teine tuntud näide lihtharmoonilisest võnkumisest on sumbuvuseta matemaatilise pendli võnkumine.
Lihtharmooniline võnkumise korral toimub liikumine ajas sinusoidaalselt ehk on kirjeldatav siinus- või koosinusfunktsiooniga. Sel juhul on võnkuva suuruse formula_1 muutus ajas formula_2 kirja pandav valemiga
 formula_3,
kus formula_4 on amplituud, formula_5 on ringsagedus ja formula_6 võnkumise algfaas. Ringsageduse formula_5 asemel kasutatakse sageli ka sagedust formula_8, kusjuures formula_9. Võnkumise periood on formula_10.
Matemaatiline käsitlus.
Definitsioon.
Lihtharmooniline on võnkumine, milles taastav jõud on võrdeline (formula_11) siirdega tasakaaluasendist. Matemaatiliselt võib lihtharmoonilise võnkumise definitsiooni seega kirja panna järgmiselt:
formula_12
kus formula_13 tähistab taastavat jõudu ja formula_1 on siiret tasakaaluasendist (miinusmärgiga rõhutatakse tõsiasja, et tegu on taastava jõuga). Jõud on teatavasti defineeritud, kui massi ja kiirenduse korrutis formula_15, seega võib definitsiooni kirjutada kujul
formula_16,
ehk definitsiooni võib kirja panna ka järgmiselt: "lihtharmooniline on iga võnkumine, milles siire ja kiirendus on võrdelised ja võrdvastupidise suunaga."
Dünaamika.
Vastavalt definitsioonile kirjeldab ühedimensioonilist lihtharmoonilist võnkumist konstantsete kordajatega teist järku harilik lineaarne diferentsiaalvõrrand. Kui võtta aluseks massi võnkumise lineaarse vedru küljes, siis vastavalt Hooke'i seadusele on taastavaks jõuks formula_17 ja võrdelisuse saab kirjutada võrdusena
formula_18
kus formula_19 on võnkuva keha mass, formula_1 on siire tasakaaluasendist ja formula_21 on vedru jäikus. Jagades mõlemat poolt massiga formula_19 ja kasutades tuletise teist kirjaviisi (formula_23 teine kirjaviis on formula_24) saame:
formula_25
selle diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidaalne funktsioon kujul
 formula_26
kus konstandid formula_27 ja formula_28 määravad algtingimused, nagu algsiire formula_29 ja algkiirus formula_30. 
Lahendit saab avaldada ka kujul:
formula_31
kus
 formula_32
kuna periood formula_33 siis formula_34
Antud võrranditest on näha, et lihtharmooniline võnkumine on isokroonne, s.t periood ja sagedus on amplituudist ja algfaasist sõltumatud.
Energia.
Asendades "ω"2 suurusega "k/m", avaldub süsteemi kineetiline energia "K"
 formula_35
ja potentsiaalne energia
 formula_36
Hõõrde või teiste liikumist takistavate jõudude puudumisel on süsteemi kogu mehaaniline energia ajas muutumatu
 formula_37
Näited.
Mass vedru otsas.
Järgnevalt on kirjeldatud füüsikalisi süsteeme, mis on lihtharmooniliste ostsillaatorite näited.
Kui vedru jäikusega "k" külge on kinnitatud Mass "m", siis selle liikumine tasakaaluasendi ümber juhul, kui puudub sumbuvus, on lihtharmooniline võnkumine. Niisuguse süsteemi võnkeperioodi saab leida valemiga
 formula_38
mis näitab, et võnkeperiood ei sõltu amplituudist ega ka raskuskiirendusest.
Ühtlane pöörlemine.
Lihtharmooniliselt liigub ühtlaselt ringjooneliselt liikuva (nurkkiirenduseta pöörleva) keha punkti projektsioon. Kui keha punkt pöörleb "xy"-tasandil nurkkiirusega "ω" pöörlemistsentrist kaugusel "r", siis punkti projektsioon liigub koordinaattelgedel lihtharmooniliselt. Seejuures on punkti liikumise amplituud võrdne kaugusega pöörlemistsentrist "r" ja võnkumise ringsagedus on võrdne pöörlemise nurkkiirusega "ω". Igal ajahetkel on punkti projektsioon "x"-teljele leitav vastavalt:
formula_39
Võttes antud seosest esimese ja teise tuletise aja järgi saame:
formula_40
viimase saab ümber kirjutada:
formula_41
ehk ühtlaselt pöörleva keha punkti projektsiooni liikumine vastab lihtharmoonilise võnkumise definitsioonile. Kiirendus ja siire on võrdelised.
Matemaatiline pendel.
Matemaatilise pendli sumbuvuseta võnkumisel väikese amplituudiga võib pendli liikumist lugeda lähedaseks lihtharmoonilisele võnkumisele. Matemaatilise pendli võnkumist kirjeldab diferentsiaalvõrrand
 formula_42
kus "m" on pendli mass, formula_43 on raskuskiirendus, "l" on pendli pikkus, formula_44 on inertsimoment, "formula_45" on pendli niidi nurk vertikaalist ja formula_46on antud nurga muutuse kiirendus ehk nurkkiirendus. Väikese amplituudiga võnkumiste korral on ka maksimaalne nurk tasakaaluasendist nullilähedase väärtusega. Nullilähedaste nurkade korral kehtib seos "sin "θ "≈" θ ja diferentsiaalvõrrand saab kuju
formula_47
mis teeb nurkkiirenduse formula_46 võrdeliseks nurga suurusega "formula_45" ja seega viimane diferentsiaalvõrrand rahuldab lihtharmoonilise võnkumise definitsiooni.
Diferentsiaalvõrrandi järgi saab määrata matemaatilise pendli võnkeperioodi. Pikkusega "l" pendli võnkeperiood on arvutatav valemiga
formula_50.
Valemist on näha et pendli võnkeperiood ei sõltu võnkeamplituudist ja pendli massist. Võnkeperiood sõltub raskuskiirendusest formula_43 ja pendli pikkusest, mistõttu sama pikkusega pendli võnkeperiood on näiteks Kuul pikem kui Maal, sest raskuskiirendus on Kuul väiksem. Kuna raskuskiirenduse formula_43 väärtus on Maa eri paigus erisugune, on sama pikkusega pendli võnkeperiood samuti erinev.