Spektrijoonte peenstruktuur

Aatomifüüsikas kirjeldab peenstruktuur aatomi spektrijoonte lõhenemist elektroni spinni ja mitterelativistliku Schrödingeri võrrandi relativistlike paranduste tõttu. 
Jämestruktuur.
Joonspektri jämestruktuur on joonspekter, mida ennustab mitterelativistlike elektronide kvantmehaanika ilma spinne arvestamata. Vesinikuaatomi jämestruktuuri energiatasemed sõltuvad ainult peakvantarvust n. Täpsem mudel võtab arvesse relativistlikke ja spinnefekte, mis hävitavad energiatasemete kõdumise ja lõhestavad spektrijooned. Peenstruktuuri spektrijoonte lõhenemise määr võrreldes jämestruktuuri energiatega on suurusjärgus ("Zα")2, kus "Z" on aatomnumber ja "α" on peenstruktuuri konstant, dimensioonita suurus, mille ligikaudne väärtus on formula_1.
Relativistlikud parandid.
Peenstruktuuri energia parandid saab arvutada häiritusteooriast. See annab hamiltoniaanile 3 parandliiget: peamist järku relativistlik kineetilise energia parand, spinn-orbitaal seostuse parand ja Darwini liige. 
Need parandid võib samuti saada Diraci võrrandi mitterelativistlikest piirtingimustest, kuna Diraci teooria sisaldab relatiivsust ja spinni vastastikmõjusid. 
Kineetilise energia relativistlik parand.
Klassikaliselt on kineetilise energia liige hamiltoniaanis 
 formula_2
kus formula_3 on impulss ja formula_4 on elektroni mass. 
Võttes arvesse looduse täpsemat teooriat erirelatiivsuse kaudu peame kasutama kineetilise energia relativistlikku kuju, 
 formula_5
kus esimene liige on kogu relativistlik energia ning teine liige on elektroni seisuenergia (formula_6 on valguse kiirus vaakumis). Seda Taylori ritta (eriti binoomritta) arendades saame 
 formula_7
Esimest järku hamiltoniaani parand on 
 formula_8
Kasutades seda kui häiritust, saame arvutada esimest järku relativistlikest efektidest tulenevad energia parandid. 
 formula_9
kus formula_10 on häirimata lainefunktsioon. Võttes arvesse häirimata hamiltoniaani, näeme, et 
 formula_11
Me saame kasutada seda tulemust, et edasi arvutada relativistlikku parandit: 
 formula_12
Vesiniku aatomi jaoks formula_13, formula_14 ja formula_15 , kus formula_16 on Bohri raadius, formula_17 on peakvantarv ja formula_18 on orbitaalkvantarv. Seega on esimest järku relativistlik parand vesiniku aatomi jaoks 
 formula_19
Kus me kasutasime valemit 
 formula_20
Lõplike arvutuste juures on põhiseisundi relativistliku parandi suurusjärk 
Spinn-orbitaal seostus.
Vesiniku-sarnase aatomi jaoks, millel on formula_21 prootonit, orbitaalmoment on formula_22 ja elektroni spinn on formula_23, on spinn-orbitaal liige 
 formula_24
formula_25 on elektroni mass, formula_26 on vaakumi dielektriline läbitavus ja formula_27 on spinni g-faktor. formula_28 on elektroni kaugus tuumast. 
Spinn-orbitaal parandit aitab mõista liikumine tavapärasest taustsüsteemist (kus elektron tiirleb ümber tuuma) teise, kus elektron on paigal ja tuum tiirleb ümber selle. Sellisel juhul tuum toimib kui ringvool, mis tekitab magnetvälja. Elektronil on oma siseimpulssmomendi tõttu magnetmoment. Kaks magnetvektorit, formula_29 ja formula_30, paarduvad nii, et nende orientatsioonist sõltub ka energiakulukus. See annab energia parandi kujul 
 formula_31
Pane tähele tegur 2-te, mida kutsutakse Thomase pretsessiooniks ning mis tuleb relativistlikust arvutusest elektroni taustsüsteemist tuuma taustsüsteemi tagasi liikumiseks. 
Et 
 formula_32
on eeldatav hamiltoniaani väärtus 
 formula_33
Seega on spinn-orbitaal sidestuse suurusjärk formula_34. 
Darwini liige.
Diraci võrrandi mitterelativistlikus laienduses on veel üks liige. Seda kutsutakse Darwini liikmeks, kuna selle tuletas esimesena Charles Dalton Darwin, ning see avaldub kujul: 
 formula_35
Darwini liige mõjutab ainult s-orbitaali, sest elektroni, mille formula_36, lainefunktsioon haihtub algpunktis, mille tõttu delta-funktsioon ei avalda mõju. Näiteks annab see s2 orbitaalile sama energia nagu 2p orbitaalil tõstes 2s oleku energiat võrra. 
Darwini liige muudab tuuma asukohas efektiivset potentsiaali. Seda võib tõlgendada kui elektroni ja tuuma vahelise elektrostaatilise mõju laialimäärimist, mida põhjustavad elektroni kiired kvantvõnkumised. Seda saab näidata lühikese arvutusega. 
Kvantfluktuatsioonid võimaldavad tekkida virtuaalsetel elektron-positron paaridel, mille eluea hinnang tuleneb määramatuse printsiibist formula_37. Osakesed saavad selle aja jooksul läbida vahemaa formula_38, mis on Comptoni lainepikkus. Aatomi elektronid asuvad nende paaridega vastastikmõjusse. See annab fluktueeriva elektroni asukoha formula_39. Taylori rittaarendust kasutades saab hinnata potentsiaali formula_40 efekti: 
 formula_41
Keskmistamine üle fluktuatsioonide formula_42 
 formula_43
annab keskmise potentsiaali 
 formula_44
Lähenduses formula_45 annab see potentsiaali häirituse fluktuatsioonide tõttu: 
 formula_46
Et võrrelda eespoololeva avaldisega, asendame sisse Coulombi potentsiaali: 
 formula_47
See on ainult veidi erinev. 
Veel üks mehhanism, mis mõjutab ainult s-olekut, on Lambi nihe, väiksem parand, mis tuleb ette kvantelektrodünaamikas ning mida ei tohi sega ajada Darwini liikmega. Darwini liige annab s-olekule ja p-olekule sama energia, kuid Lambi nihe tõstab s-oleku kõrgemale energiatasemele kui p-oleku. 
Koguefekt.
Kogu hamiltoniaan avaldub kujul 
 formula_48
kus formula_49 on Coulombi vastastikmõju hamiltoniaan. 
Koguefekt, mis saadakse kolme komponendi summeerimisel, avaldub kujul:
 formula_50
kus formula_51 on kogu impulssmoment (formula_52 kui formula_53 ning muudel juhtudel formula_54 ). Väärib tähelepanu, et selle avaldise tuletas vana Bohri teooria põhjal esimest korda A. Sommerfeld enne, kui formuleeriti uus kvantmehaanika. 
Koguefekti võib samuti saada kasutades Diraci võrrandit. Sellisel juhul eeldatakse, et elektron on mitterelativistlik. Täpsed energiad annab avaldis 
 formula_55
See avaldis, mis sisaldab kõiki kõrgema järgu liikmeid, mis jäid välja teistes arvutustes, laiendab esimest järku, et anda energia parandid, mis on tuletatud häiritusteooriast. See avaldis ei sisalda siiski ülipeenstruktuuri parandeid, mille põhjustavad vastastikmõjud tuumaosakeste spinnidega. Teisi kvantväljateooria parandeid nagu Lambi nihe ja elektroni anomaalne magnetdipoolmoment ei ole arvesse võetud.