Levi-Civita sümbol

Levi-Civita sümbol ehk Levi-Civita permutatsioonitensor ehk Levi-Civita tensor on matemaatiline sümbol, mis vastab "n"-mõõtmelisele tensorile ja millel on "n" naturaalarvulist indeksit. Sümbol on nime saanud itaallasest matemaatiku ja füüsiku Tullio Levi-Civita järgi. Levi-Civita sümboli märkimiseks kasutatakse kreeka väiketähte epsiloni, mida eri autorid kirjutavad kas ε või ϵ, vähem levinud variant on ladina väiketäht "e". 
Levi-Civita sümbolit kasutatakse, et märkida indeksite permutatsiooni nii, et see oleks vastavuses tensoranalüüsiga:
formula_1
kus iga indeks "i1", "i2", ... , "in" saab väärtused naturaalarvude hulgast "1, 2, ... , n", kusjuures erinevaid formula_2 saab olla "nn" tükki. Indeks "n" näitab Levi-Civita sümboli mõõdet. 
Termin ""n"-mõõtmeline Levi-Civita sümbol" viitab asjaolule, et indeksite arv sümbolis vastab vaatluse all oleva vektorruumi dimensionaalsusele. Selleks ruumiks võib olla näiteks eukleidiline ruum või meetriline ruum. Levi-Civita sümboli väärtused on sõltumatud koordinaatide süsteemist või meetrikast.
Tullio Levi-Civita avaldas koos Gregorio Ricci-Curbastroga 1900. aastal artikli "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", kus esmakordselt kirjeldati sümbolit, mis hiljem sai tuntuks Levi-Civita sümbolina. Oma hilisemas töös kutsus Levi-Civita sümbolit ε-süsteemiks.
Definitsioon.
Levi-Civita sümbol peab olema antisümmeetriline ehk kui kaks suvalist indeksit, olenemata nende väärtusest, vahetavad kohad, muutub kogu Levi-Civita sümbol vastasmärgiliseks.
formula_3 
Kui kaks või enam suvalist indeksit on võrdsed, on sümboli väärtus võrdne nulliga. Kui kõik indeksid on üksteisest erinevad, saab võrduse
formula_4
kus "p" on inversioonide arv ja näitab, kui mitu korda on vaja indekseid ümber tõsta, et permutatsioonist "(i1", "i2", ... , "in)" saaks "n"-elemendiline permutatsioon "(1, 2, ... , n)", mida tuntakse ka loomuliku permutatsioonina.
Ühemõõtmeline.
Ühemõõtmeline Levi-Civita sümbol on sümboli lihtsaim näide, kuna on üksainus indeks "i", mis on alati endaga võrdne:
formula_5
Kahemõõtmeline.
Kahemõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud järgmiselt:
formula_6
Kõik võimalikud väärtused annavad 2×2 antisümmeetrilise maatriksi:
formula_7
Kolmemõõtmeline.
Kolmemõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud järgmiselt:
formula_8
Kui "(i, j, k)" moodustavad paarispermutatsiooni, siis on formula_9 väärtus +1; kui (i, j, k) moodustavad paaritu permutatsiooni, siis on formula_9 väärtus −1; kui kaks või enam indeksi väärtust korduvad, on tulemuseks 0. 
Sarnaselt kahemõõtmelise Levi-Civita sümboli väärtustega saab kolmemõõtmelise sümboli kõik väärtused esitada 3×3×3 maatriksina, kus "i" on sügavus, "j" on rida ja "k" on veerg.
formula_9 või ükskõik milline selle skalaarkorrutis on ainus kolme alaindeksiga suurus, mis muudab märki, kui kahe indeksi kohad omavahel ära vahetada.
Mõned näited:
formula_12
formula_13
formula_14
formula_15
Neljamõõtmeline.
Neljamõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud sarnaselt kolmemõõtmelise Levi-Civita sümboliga:
formula_16
Neljamõõtmelise Levi-Civita sümboli kõiki võimalike väärtusi saab esita nagu ka kahe- ja kolmemõõtmelisi: 4×4×4×4 maatriksina. 
Üldistus n-mõõtmele.
Üldistus "n"-mõõtmele tuleb kolmemõõtmelise Levi-Civita sümboli definitsioonist. Kui võtta indeksiteks naturaalarvud "a1", "a2", "a3", ... , "an" , saab neljamõõtmelise Levi-Civita sümboli järgmiselt:
formula_17 
Levi-Civita sümboli võib kirjutada ka järgmisel kujul:
formula_18
Selles valemis tähistab formula_19 korrutamise sümbolit, mis tähendab, et avaldist tuleb korrutada üle muutujate "i" ja "j". "Sgn" on signumfunktsioon, mille väärtused on kas "(+1, 0, −1)" vastavalt sellele, kas funktsiooni avaldis on suurem või väiksem kui null või nulliga võrdne. Valem kehtib kõikide "n" väärtuste korral, kuid on siiski vähelevinud, kuna indeksite ümbertõstmine Levi-Civita sümboli leidmiseks on lihtsam ja kiirem.
Omadused.
Tensor, mille komponendid on ortonormaalses baasis esitatud Levi-Civita sümboli kaudu, on pseudotensor, sest ortogonaalse transformatsiooni käigus omandab jakobiaan negatiivse märgi. Kuigi Levi-Civita sümbol käitub pärisortogonaalteisendustel nagu tensor, on ta siiski kolmandat järku Descartesi pseudotensor. Seega Levi-Civita sümboli nimetamine Levi-Civita permutatsioonitensoriks on pigem formaalne.
Vastavalt kontekstile, kus Levi-Civita sümbolit on tensorite komponentide muutmiseks vaja kasutada, tuleb sümbol kirjutada kas kovariantsena formula_20 või kontravariantsena formula_21. Indeksite asukoha muutusest ei sõltu Levi-Civita sümboli väärtus ja seega võib neid vaadelda kui kahte võrdset avaldist:
formula_22
Selline käsitlusviis on võetud eelduseks järgnevate näidete jaoks.
Einsteini kokkulepe.
Tihti otsitakse Levi-Civita sümboli korrutist mingi tensori komponentidega. Sel juhul on vaja kõik võimalikud korrutised kokku liita, mille lihtsustamiseks on kasutusele võetud Einsteini kokkulepe. Einsteini kokkulepe ehk Einsteini summeerimisreegel on kokkulepe, tähistamaks korduvate indeksite summeerimist üle nende indeksite. Korraga võib summeerida mitu indeksipaari korraga, kuid tuleb meeles pidada, et kõikidel indeksitel oleks sama piirkond. See kehtib nii kovariantsete kui ka kontravariantsete komponentide jaoks. Summamärki formula_23 ei ole enam vaja kirjutada. 
Seos Kroeneckeri deltaga.
Võttes Levi-Civita sümboli indeksiteks "i", "j", "k", "l", "m", "n," saab kirjutada kahe Levi-Civita sümboli korrutise Kroeneckeri deltade determinandina:
formula_24
Selle determinandi erijuht on: 
formula_25
Vastavalt Einsteini summeerimisreeglile saab saadud avaldise kirjutada lihtsamal kujul ilma summeerimismärgita:
formula_26
Järgides seda põhimõtet, saab Levi-Civita sümbolite korrutist edasi arendada:
formula_27
formula_28
Kahemõõtmeline.
Kui Levi-Civita sümbol on kahemõõtmeline, siis indeksid "i", "j", "k" ja "l" saavad väärtused 1 või 2.
formula_29
formula_30
formula_31
n-mõõtmeline.
"N"-mõõtmelise Levi-Civita sümboli korral saavad indeksid "i1", ..., "in", "j1", ..., "jn" väärtused naturaalarvude hulgast "(1, 2, ..., n)".
formula_32
formula_33
formula_34
Hüüumärk (!) tähistab faktoriaali ja formula_35 on üldistatud Kroeneckeri delta. Iga "n" jaoks kehtib järgmine omadus:
formula_36
mis tuleneb sellest, et
Üldistatult saab "n"-mõõtmeliste Levi-Civita sümbolite korrutise kirjutada kujul:
formula_37
Rakendused.
Determinandid.
Lineaaralgebras saab 3×3 ruutmaatriksi determinandi kirjutada Levi-Civita sümbolite abil. Tähistades maatriksi "A"-ga, ja maatriksi komponendid "aij":
formula_38
Saadud tulemuse saab üldistada "n"×"n" maatriksi jaoks, pidades silmas Einsteini summeerimisreeglit:
formula_39
Vastavalt vajadusele võib Einsteini summeerimisreeglist tuleneva valemi kirjutada indeksite "i" ja "j" abil:
formula_40
mille saab omakorda anda veelgi üldisemate juhtude jaoks:
formula_41
Vektorite korrutamine.
Ristkorrutis.
Kui "a" = ("a1", "a2", "a3") ja "b" = ("b1", "b2", "b3") on vektorid, mis moodustavad paremakäelise koordinaatide süsteemi üle ortonormaalse baasi ja kuuluvad hulka formula_42, siis nende determinant on 
formula_43
mis tänu Levi-Civita sümbolile lihtsustub järgmiselt:
formula_44
Jälgides Einsteini reeglit, võib summeerimissümbolid kirjutamata jätta. Seega on kahe vektori ristkorrutise "i" komponent
formula_45
Võttes "i" väärtuseks (1, 2, 3) saab leida kõik kolm ristkorrutise komponenti ilma, et peaks neid eraldi välja arvutama.
formula_46
formula_47
formula_48
Kolme vektori segakorrutis.
Vektorite korrutamise reeglist on teada, et 
formula_49
Võttes kolmandaks vektoriks "c" = ("c1", "c2", "c3"), siis vektorite "a", "b" ja "c" segakorrutiseks tuleb
formula_50
Siit on kerge näha, et kui vahetada ükskõik millise kahe vektori järjestus, siis muudab segakorrutis märki, ehk vektorite segakorrutis on antisümmeetriline: 
formula_51
Vektorvälja rootor.
Kui funktsionaal "F" = ("F1", "F2", "F3"), mille Descartesi koordinaadid on "x" = ("x1", "x2", "x3"), on vektorväli lahtisel hulgal formula_42, siis funktsiooni "F" rootori "i" komponent avaldub järgmiselt: 
formula_53
mis tuleneb eespool saadud ristkorrutise avaldisest, kui võtta kasutusele gradiendi operaator nabla.