Tensor

Tensor on lineaaralgebras matemaatiline objekt, mis üldistab skalaari, vektori, maatriksi ja bilineaarse vormi mõistet. 
Paljusid füüsikalisi suurusi on loomulik vaadelda kahe vektorihulga vaheliste vastavustena. Näiteks pingetensor väljendab sisend- ja väljundvektorite vahelist seost. 
Tensori mõiste võtsid kasutusele Bernhard Riemann ja Elwin Bruno Christoffel ning seda arendasid edasi Tullio Levi-Civita ja Gregorio Ricci-Curbastro. Nende eesmärk oli formuleerida diferentsiaalmuutkonna diferentsiaalgeomeetrilised omadused Riemanni kõverustensori abil. 
Et tensorid väljendavad vektoritevahelist seost, on nad sõltumatud koordinaadistiku valikust. Tensorit on võimalik esitada selle järgi, mida ta teeb vektorruumi baasiga või taustsüsteemiga. Saadakse suurus, mis korrastatakse mitmemõõtmeliseks massiiviks. Tensori sõltumatus koordinaatidest avaldub siis kovariantse teisendusena, mis seob ühes koordinaadistikus arvutatud massiivi teises koordinaadistikus arvutatud massiiviga. Tensori järk on selle esitamiseks vajaliku massiivi mõõde. Skalaar on 0-järku tensor, sest tema suurus on ainus komponent, nii et teda saab esitada 0-mõõtmelise arvusüsteemina. Vektor on esimest järku tensor, sest teda saab koordinaatide abil esitada komponentide ühemõõtmelise massiivina. Maatriks on teist järku tensor, sest teda saab esitada kahemõõtmelise massiivina. Ja nii edasi: "k"-järku tensor on esitatav komponentide "k"-mõõtmelise massiivina. Tensori järk on tema komponendi spetsifitseerimiseks vajalike indeksite arv. 
Terminoloogia.
Termin "tensor" ei ole päris ühemõtteline; matemaatikas ja füüsikas mõistetakse seda erinevalt. "Matemaatikaentsüklopeedia" järgi on "tensorarvutusel" kaks tähendust: see on "tensoreid ja tensorvälju uuriva matemaatikaharu traditsiooniline nimetus (...). Tensorarvutus jaguneb tensoralgebraks (mis on multilineaarse algebra põhiosa) ja tensoranalüüsiks, mis uurib diferentsiaaloperaatoreid tensorväljade algebral." 
Multilineaarses algebras ja diferentsiaalgeomeetrias mõistetakse tensori all eelkõige vektorruumide tensorkorrutist. Füüsikas mõeldakse tensori all sageli seda, mida matemaatik nimetaks tensorväljaks: see seab ruumi igale punktile vastavusse teatud matemaatilise tensori, nii et tensor on punkti pidev funktsioon. 
Definitsioonid.
Tänapäevane definitsioon.
formula_1-tüüpi tensor üle formula_2-mõõtmelise vektorruumi formula_3 on formula_4 ruumi formula_3 ja formula_6 kaasruumi formula_7 (st lineaarsete funktsionaalide (1-vormide ruumide ruumil formula_3) tensorkorrutise element
 formula_9
Arvude summat formula_10 nimetatakse tensori järguks või tensori valentsiks ("tensori valentsil" on ka teine tähendus). formula_1-tüüpi tensorit nimetatakse formula_6 korda kovariantseks ja formula_4 korda kontravariantseks.
Tensor kui multilineaarne funktsioon.
Täpselt nii, nagu formula_14-tüüpi kovariantset tensorit võib esitada lineaarse funktsioonina, on formula_15-tüüpi tensorit formula_16 mugav kujutleda formula_6 vektoriaalse argumendi formula_18 funktsioonina formula_19, mis on lineaarne iga argumendi formula_20 järgi (selliseid funktsioone nimetatakse multilineaarseteks funktsioonideks), st mis tahes konstandi formula_21 korral korpusest formula_22 (üle mille on vektorruum defineeritud) 
 formula_23
 formula_24
Samamoodi esitub mis tahes valentsiga formula_25 tensor formula_16 formula_6 vektori ja formula_4 kovektori multilineaarse funktsionaalina 
 formula_29
 formula_30
Tensori komponendid.
Valime ruumis formula_3 baasi formula_32, ja vastavalt formula_33 on duaalne baas kaasruumis formula_7 (s.o formula_35, kus formula_36 on Kroneckeri sümbol).
Siis tekib ruumide formula_37 korrutises formula_38 loomulikul viisil baas 
 formula_39.
Kui defineerida tensor multilineaarse funktsioonina, siis tema komponendid on määratud selle funktsiooni väärtustega baasil formula_38:
 formula_41
Pärast seda võib tensori esitada baastensorkorrutiste lineaarse kombinatsioonina: 
 formula_42
Tensori komponentide alaindekseid nimetatakse kovariantseteks, ülaindekseid kontravariantseteks. 
Näiteks mingi kahekordselt kovariantse tensori formula_43 lahutus on järgmine: 
 formula_44
Klassikalisest definitsioonist.
Füüsikakirjanduses levinum klassikaline lähenemine tensori defineerimisele alustab tensori esitamisest komponentide kaudu. 
Tensorit defineeritakse geomeetrilise objektina, mida kirjeldatakse mitmemõõtmelise massiivina, st mitme indeksiga nummerdatud arvude komplektina, ehk teiste sõnadega tabelina (üldjuhul formula_6-mõõtmelisena, kus formula_6 on tensori järk. 
Nii on vektor (esimest järku tensor) määratletud ühemõõtmelise massiivina (reana või õigemini tulbana), näiteks lineaarne operaator ja ruutvorm aga kahemõõtmelise massiivina ehk maatriksina. Skalaar (0-järku tensor) on määratud ühe arvuga (mida võib vaadelda 0-mõõtmelise massiivina), mis sisaldab ainult ühe elemendi. (Skalaare ja vektoreid on mugav vaadelda tensorite erijuhtudena, sest kõik definitsioonid ja teoreemid tensorite kohta käivad ka nende kohta ning skalaare ja vektoreid ei ole üldises arutluses tarvis eraldi mainida.) 
Defineeritakse tehted tensoritega, mida võib pidada maatriksitehete (näiteks maatriksite korrutamine ja maatriksi korrutamine vektoriga) ning vektoritehete (näiteks skalaarkorrutis) otseseks üldistuseks. Kui lähtuda tänapäevasest (aksiomaatilisest) definitsioonist, siis need tulenevad otseselt tensorite (multi)lineaarsusest selles definitsioonis. 
Formuleering.
Tensoreid on palju liike, ja konkreetset tüüpi tensori kirjeldamiseks on tarvis spetsiaalset terminoloogiat. Kui tensorite esitamiseks komponentide kaupa kasutatakse indeksnotatsiooni, on tarvis teada, milliseid piirkondi indeksid hõlmavad. Asja algseks mõistmiseks on kasulik lähtuda arusaamast, et tensori "T" saab moodustada vektorite korrutamise teel (kuigi nõnda pole võimalik saada kõiki tensoreid, vaid tuleb veel kasutada lineaarkombinatsioone). Korrutatud vektorite arv annab tensori "T" järgu, kuna indeksnotatsioon nõuab massiivi, mille komponentide koguarv saadakse vektorite komponentide arvude korrutamisel. Teiste sõnadega, tensori järk ütleb, mitmemõõtmeline see massiiv on, kuna tema suurus sõltub geomeetrilisest rakendusest. Kõige tavalisemat tüüpi tensorid vastavad ruutmaatriksile, kuupmassiivile jne, kusjuures kõigil indeksitel on sama piirkond, kuid see ei kitsenda matemaatilisi võimalusi. 
Tensori valents.
Füüsikalistes rakendustes jagunevad massiiviindeksid vastavalt teisenduste omsadustele kontravariantseteks ülaindeksiteks ja kovariantseteks alaindeksiteks. Tensori valents on massiiviindeksite arv ja tüüp. Tensorid, mille summaarne järk on sama, kuid valents on erinev, ei ole üldjuhul identsed, sest nende geomeetrilised meetrilised tähendused on erinevad. Ent iga antud kovariantse indeksi saab teisendada kontravariantseks indeksiks ja ümberpöördult, rakendades meetrilist tensorit. Seda geomeetrilist operatsiooni nimetatakse üldiselt indeksite tõstmiseks või indeksite langetamiseks. 
Einsteini kokkulepe.
Einsteini kokkulepe ehk Einsteini summeerimisreegel on tensorite kirjutamise viis, mis võimaldab läbi saada ilma summamärgita, jättes selle implitsiitseks. Lepitakse kokku, et iga korduva indeksi puhul toimub summeerimine: kui indeksit "i" kasutatakse tensoravaldise antud liikmes kaks korda, siis see tähendab, et väärtused tuleb indeksi "i" järgi summeerida. Sel moel võidakse summeerida mitu indeksipaari korraga, kuid üldiselt peab sel juhul kõigil indeksitel olema sama piirkond, nii et kõik tähistamata summeeringud on summad 1-st "N"-ini, kus "N" on mingi antud arv.
Tensorid tänapäeva matemaatikas.
Kuna tensoreid saab esitada komponentide mitmemõõtmeliste massiividena, käituvad nad koordinaatide teisenduste korral spetsiifilisel moel. Tensorite abstraktne teooria on lineaaralgebra haru, mida nüüd nimetatakse multilineaarseks algebraks. Teisendustega seotud omadus antakse tensoritele aksiomaatilise definitsiooniga. Tensorite loomus on see, et nad on bilineaarsed, trineaarsed, ..., "n"-lineaarsed, kus "n" on tensori järk; ühesõnaga multilineaarsed. Tavaliselt defineeritakse matemaatikas teatud vektorruumid; koordinaadistikud jäetakse fikseerimata, kuni vajaduse korral võetakse kasutusele baasid. Näiteks saab kontravariantseid vektoreid kirjeldada ka 1-vormidena ehk kovariantsete vektoritega duaalse ruumi elementidena. 
Definitsioon vektorruumide vektorkorrutiste kaudu.
Olgu "V"1, ... , "V"n vektorruumid üle ühise korpuse "F". Siis saab moodustada nende tensorkorrutise "V"1 ⊗ ... ⊗ "V"n. 
Tensor vektorruumil "V" defineeritakse siis vektorruumi
formula_47
elemendina, kus "V"* on ruumi "V" kaasruum. Paljudes kontekstides tähendabki sõna "tensor" seda. 
Kui tensorkorrutises esineb "m" korda "V" ja "n" korda "V"*, siis öeldakse, et tensor on ("m", "n")-tüüpi ning "m"-järku kovariantne ja "n"-järku kontravariantne ning tema kogujärk (tensori järk) on 'm" + "n". On erijuhte: 0-järku tensorid on parajasti skalaarid (korpuse "F" elemendid), esimest järku kovariantsed tensorid on ruumi "V" tensorid ning esimest järku kontravariantsed tensorid on ruumi "V*" elemendid, st lineaarsed funktsionaalid ehk 1-vormid (sellepärast nimetatakse ruumide "V" ja "V*" elemente vastavalt kontravariantseteks ja kovariantseteks vektoriteks). Kõikide ("m", "n")-tüüpi tensorite ruumi tähistatakse 
formula_48
(1, 1)-tensorite ruum 
formula_49 
on loomulikul moel isomorfsed lineaarteisenduste ruumiga "V"-st "V"-sse. Reaalse vektorruumi "V" sisekorrutis, mis on defineeritud kui "V" × "V" → R, vastab loomulikul viisil (0, 2)-tensorile 
formula_50 
Mõnes rakenduses nimetatakse seda assotsieeritud meetrilisele tensorile.
Ühitatavus.
Kuna tensorsuuruse formaalne matemaatiline definitsioon algab abstraktse lõplikumõõtmelise vektorruumiga formula_51, mis siis annab ühtsed "ehituskivid" iga tüüpi (iga valentsiga) tensoriteke, on tüüpilistes rakendustes formula_51 puutujaruum mõne muutkonna mõnes punkt. Ruumi formula_51 elemendid esitavad tavaliselt füüsikalisi suurusi, näiteks kiirusi või jõude. Selleks et esitada tensorit konkreetse arvumassiivina, peab olema valitud taustsüsteem, teiste sõnadega ruumi formula_51 kui vektorruumi baas
formula_55
Ruumi formula_51 iga vektorit saab selle baasi suhtes "mõõta", st iga 
formula_57 
korral leiduvad parajasti üks skalaaride massiiv formula_58, nii et (nüüdsest peale kasutame Einsteini kokkulepet ja jätame summamärgid ära) 
formula_59
Neid skalaare nimetatakse vektori formula_60 komponentideks antud taustsüsteemi suhtes.
Olgu formula_61 vastav duaalne baas, nii et
formula_62
kus paremal pool on Kroneckeri sümbolite massiiv. Iga kovektori (1-vormi) 
formula_63 
korral leidub parajasti üks komponentide formula_64 massiiv, mille korral
formula_65
Üldisemalt, igal tensoril formula_66 on ainus esitus komponentide kaudu. See tähendab, leidub parajasti üks skalaaride formula_67 massiiv, mille korral
formula_68
See üleminek komponentidele on sillaks tensorite abstraktse matemaatilise notatsiooni ning viisi vahel, kuidas neid tavaliselt kirjutatakse teoreetilises füüsikas ja tehnikas. Tensorite kirjutamine komponentide kaupa kajastab vaid osaliselt ideed, et tensor on "geomeetriline suurus": ilmneb ainult "kvantitatiivne aspekt", kuid mitte ruumi aspekt. Edasi vaatame, mis juhtub, kui minnakse üle teise taustsüsteemi 
formula_69
Iga kahe taustsüsteemi jaoks leidub parajasti üks pööratav üleminekumaatriks formula_70, millel on omadus, et indeksi formula_71 kõigi väärtuste korral kehtib taustsüsteemiteisenduse reegel 
formula_72
Olgu formula_57 vektor ja tähistagu formula_58 ja formula_75 vastavaid komponendimassiive nende kahe taustsüsteemi suhtes. Valemist
formula_76
ja taustsüsteemiteisendusest tuletub vektoriteisenduse reegel
formula_77
kus formula_78 on maatriksi formula_70 pöördmaatriks, st 
formula_80
Seega on vektori komponentide teisendusreegel kontravariantne taustsüsteemi teisendusreegliga. Sellepärast nimetataksegi vektori ülaindekseid kontravariantseteks. 
Et näidata kovektorite teisendusreeglit, saab kasutada duaalse baasi teisendusreeglit kujul 
formula_81
Siis
formula_82
kuna aga
formula_83
Kovektori komponentide teisendusreegel on kovariantne. See tähendab järgmist: 
olgu formula_84 antud kovektor, ja olgu formula_64 ning 
formula_86 vastavad komponendimassiivid. Siis
formula_87
Ülaltoodud suhet on kerge näidata, sest 
formula_88
ja
formula_89
edasi saab kasutada taustsüsteemi teisendusreeglit. 
Ülaltoodu valguses võtab üldist formula_90-tüüpi tensor kuju 
formula_91
Kokkuvõttes, kahe tavalise tensoritele lähenemise ühitatavus tähendab, et komponentide kaudu lähenemine ja abstraktne tensorkorrutiste kaudu lähenemine väljendavad eri viisidel üht ja sedasama sisu.
Ühitatavus tensorväljade korral.
Tensorvälju saab väljendada ka osatuletiste kaudu: 
formula_92
Seda nimetatakse mõnikord tensorite teisendusseaduseks. Peetakse silmas, et üldise mittelineaarse koordinaatide teisenduse Jacobi maatriksite komponente saab kasutada samal moel nagu ülalmainitud maatriksite "A" ja "B" komponente, ja tulenev geomeetriline "seadus" on õige viis tensorväljade äratundmiseks. Selle seaduse saab tuletada samamoodi nagu enne: matemaatiliselt vastab ta puutujakihtkonnale, mitte puutujaruumile, ja asjaolu, et seda seadust rakendatakse pideva keskkonna mehaanikas, toetab ta märkust, et rakendused tulenevad puutujaruumist kui põhimudelist.
Ajalugu.
Karin Reich on kirjutanud tensorite päritolu üksikasjaliku ajaloo. Selle uurimuse järgi on tensoranalüüs välja kasvanud Carl Friedrich Gaussi diferentsiaalgeomeetria alastest töödest ning formuleeringut on palju mõjutanud 19. sajandi keskel arendatud algebraliste vormide ja invariantide teooria. 
Sõna "tensor" võttis 1846 kasutusele William Rowan Hamilton, kuid ta ei kasutanud seda tänapäevases tähenduses, vaid mõistis selle all Cliffordi algebra normioperatsiooni. Tänapäevases tähenduses võttis sõna "tensor" kasutusele Woldemar Voigt 1898. 
Tensorarvutuse töötas 1890. aasta paiku absoluutse diferentsiaalarvutuse nime all välja Gregorio Ricci-Curbastro; ta avaldas selle esmakordselt 1892 . Paljudele matemaatikutele tegi selle kättesaadavaks Ricci ja Tullio Levi-Civita klassikaline õpik "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" ("Absoluutse diferentsiaalarvutuse meetodid ja nende rakendused"; 1900; hiljem tõlgiti see teistesse keeltesse). 
20. sajandil hakati seda valdkonda nimetama tensoranalüüsiks. 1915. aasta paiku formuleeris Albert Einstein seda kasutades üldrelatiivsusteooria. Einstein õppis selle meetodi suurte raskustega geomeeter Marcel Grossmannilt. Levi-Civita algatas siis Einsteiniga kirjavahetuse, et parandada vigu, mis Einstein oli tensoranalüüsi rakendades teinud. Kirjavahetus leidis aset 1915–1917. Seda kirjavahetust iseloomustas vastastikune austus. Kord kirjutas Einstein: "Ma imetlen teie arvutusmeetodi elegantsust; oleks tore ratsutada läbi nende valdkondade tõelise matemaatika hobusel, kuna meietaolised peavad oma teekonna vaevaliselt jalgsi läbi tegema." 
Tensorid osutusid kasulikuks ka teistes valdkondades, näiteks pideva keskkonna mehaanikas. Mõned tuntud tensorite näited diferentsiaalgeomeetrias on ruutvormid, näiteks meetriline tensor ja kõverustensor. Hermann Grassmanni välisalgebra 19. sajandi keskpaigast on väga geomeetriline tensorite teooria, kuid alles mõne aja pärast avastati, et nii välisalgebra kui ka diferentsiaalvormide teooria kuuluvad loomulikul moel tensorarvutuse juurde. Élie Cartani tööd tegid diferentsiaalvormid ühtedeks põhilisteks matemaatikas rakendatavatest tensorväljadest. 
1920. aastatel hakati taipama, et tensoritel on fundamentaalne roll algebralises topoloogias (näiteks Künnethi teoreemi puhul). Tensoreid kasutatakse ka paljudes üldalgebra harudes, sealhulgas homoloogilises algebras ja esituste teoorias. Multilineaarset algebrat saab üldistada korpustest võetud skalaaridelt üldisematele juhtudele, kuid saadav teooria on vähem geomeetriline ja arvutused keerukamad. Tensorid on 1960. aastatel üldistatud ka kategooriateooriasse, kasutades monoidaalse kategooria mõistet.