Konvolutsioon

Konvolutsioon on matemaatiline operatsioon (integraalteisendus) kahe funktsiooni ("f" ja "g") vahel, mille tulemusena tekib kolmas funktsioon ("f"∗"g"), mis kirjeldab, kuidas ühe funktsiooni kuju muudab teist. Konvolutsiooni terminit kasutatakse nii selle tulemusfunktsiooni jaoks kui ka selle protsessi kirjelduseks. See on integraal funktsioonide "f" ja "g" korrutisest, kus ühe funktsiooni argumenti on peegeldatud ja nihutatud. Integraal on leitud kõikide nihutatud väärtuste jaoks, mille tulemus on konvolutsiooni funktsioon.
Konvolutsiooni kasutatakse näiteks tõenäosusteoorias, statistikas, akustikas, spektroskoopias, signaalitöötluses, pilditöötluses ja lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamisel.
Definitsioon.
Funktsioonide "f" ja g konvolutsiooni tähistatakse "f"∗"g" valemiga, kus sümbol ∗ tähistab konvolutsiooni operatsiooni. See on defineeritud integraal funktsioonide "f" ja "g" korrutisest, kus ühe funktsiooni argumenti on peegeldatud ja nihutatud, mille on tulemus selline integraalteisendus: 
formula_1
Samaväärne valem (kasutades kommutatiivsust):
formula_2
Funktsioonidel "f" ja "g", kus lubatud vahemik on formula_3, saab valemit esitada kujul:
formula_4
Notatsioon.
Tihti kasutatakse tehnilistes lahendustes sellist esitust:
formula_5 
mida peab tõlgendama rahulikult segaduse vältimiseks. Näiteks, formula_6 on samaväärne valemiga formula_7, kuid formula_8 on hoopis samaväärne valemiga formula_9.
Ajalugu.
Üks vanemaid konvolutsiooni integraali kasutusi esines Taylori valemi tuletise võtmises D'Alemberti teoses "Recherches sur différents points importants du système du monde" (ilmunud 1754).
Sammuti valemi esitus:
formula_10
leidub Sylvestre François Lacroix raamatus "Treatise on differences and series", mis omakorda ilmus entsüklopeedilises sarjas "Traité du calcul différentiel et du calcul intégral", Chez Courcier, Pariis, 1797–1800. Pärast seda hakkas konvolutsiooni operatsioon ilmuma ka teistes autorite töödes, näiteks Pierre Simon Laplace, Joseph Fourier, Siméon Denis Poisson. Aga termin ise hakkas laialdasemat kasutust leidma alles 1950. või 1960. aastatel. Enne seda kasutati nimesid/nimetusi "Faltung" ('voltimine' saksa keeles), kompositsiooni summa, superpositsiooni integraal ja Carsoni integraal.
Operatsioon:
formula_11
oli esimesena kasutatud 1913. aastal Itaalia matemaatiku Vito Volterra poolt.
Diskreetne konvolutsioon.
Kompleksarvulised funktsioonid "f" ja "g", mis on defineeritud kindla Z hulga arvudel, saab konvolutsiooni tulemust defineerida järgmiselt:
formula_12
või sellega samaväärne valem (kaustades kommutatiivsus omadust):
formula_13
Kiired konvolutsiooni algoritmid.
Tihti on tavalisest diskreetsest konvolutsiooni operatsioonist võimalik moodustada ringkonvolutsiooni ja selle tulemusel saab kasutada kiireid teisendus algoritme, mis on sammuti konvolutsiooni omadustega ja nendega koostada konvolutsiooni protsessi.
Tavalise diskreetse konvolutsiooni arvutamisel "N" hulga elementide peal on selle võimalik keerukus formula_14. Kuid Fourier' kiirteisendus algoritm kasutades, mis on kõige populaarsem kiirteisenduse algoritm, on võimalik N hulga elementide pealt keerukuse viia formula_15 peale.
Digitaalses signaalitöötluses on populaarne kasutada veel teisti algoritme, näiteks overlap-add meetodit, mille põhimõtteks on viia mõlemad signaalid sagedusruumidesse kasutades FFT funktsiooni, korrutades need oma vahel läbi ning lõpuks tagasi viia aegruumi kasudes pöörd FFT funktsiooni.
 formula_16
 formula_17
 formula_18
 formula_19
Omadused.
Algebralised omadused.
kus formula_20 on suvaline reaalarv (või kompleksarv).
 formula_21
 formula_22
kus δ on Diraci deltafunktsioon.
Mõnedel "S" kogumitel leidub pöördelement"S"−1, mida konvolutsioon rahuldab valemiga:
 formula_23 
 formula_24
Tõestus:
 formula_25
Kui formula_26 ja formula_27 sii
formula_28
Integreerimine.
Kui "ƒ" ja "g" on integreeruvad funktsioonid, siis integraal nende konvolutsioonist faktoriseerub:
formula_29
Tuletise võtmine.
Ühe muutuja funktsioonide korral
 formula_30
kus "d"/"dx" on tuletis. Mitme muutuja funktsioonide juhul kehtib analoogne samasus osatuletise jaoks:
formula_31
Fourier' pöörde võtmine.
Funktsioonide "ƒ" ja "g" konvolutsiooni Fourier' pööre on "ƒ" ja "g" Fourier' pöörete konvolutsioon:
 formula_32,
kus formula_33 tähistab Fourier' pööret funktsioonist "f".
Mõned kasutusalad.
Konvolutsiooni on võimalik kasutada pajudes tehnilistes ja matemaatilistes rakendustes.