Kahe valimi t-test

Kahe valimi "t"-test on üks statistiline test, üks "t"-testidest. See kontrollib kahe valimi keskmiste järgi, kas kahe üldkogumi keskmised on omavahel võrdsed (alternatiiviks on see, et üks keskmistest on teisest väiksem).
Kahe valimi "t"-testil on kaks varianti:
Kui kaks sõltumatut valimit pärinevad "erineva" standardhälbega üldkogumitest, siis tuleb kasutada Welchi testi.
Testi idee.
Kahe valimi "t"-test kontrollib (lihtsaimal juhul) kahe valimi keskmiste formula_2 ja formula_3 järgi, kas vastavate üldkogumite keskmised on erinevad. 
Joonis näitab kahte üldkogumit (mustad punktid) ja kahte valimit (sinised ja punased punktid), mis on üldkogumitest juhuslikult valitud. Valimite keskmised formula_2 ja formula_3 saab valimitest, arvutada, üldkogumite keskmised formula_6 ja formula_7 on aga tundmatut. Joonisel on üldkogumid nii konstrueritud, et nende keskmised on võrdsed: formula_8. Nüüd oletatakse ajaloosündmuste tõttu või teoreetilistel kaalutlustel, et üldkogumite keskväärtused formula_6 ja formula_7 on erinevad.
Lihtsaimal juhul kontrollib test 
Kui valimid on sobivalt valitud, näiteks lihtsate juhuvalimitena, siis on valimi 1 keskmine formula_2 suure tõenäosusega üldkogumi 1 keskmise formula_6 lähedal ja valimi 2 keskmine formula_3 suure tõenäosusega üldkogumi 2 keskmise formula_7 lähedal. See tähendab, kaugus punase ja musta punktiirjoone vahel ning kaugus sinise ja musta punktiirjoone vahel on suure tõenäosusega väikesed. 
Täpsed arvutused on järgnevates jaotistes. 
Kahe valimi "t"-test sõltumatute valimite korral.
Et uurida kahe võrdse tundmatu standardhälbega formula_1 üldkogumi keskmiste vahesid, kasutatakse kahe valimi "t"-testi. Selleks peavad mõlemad üldkogumid olema normaaljaotusega või valimid nii suured, et rakendub tsentraalne piirteoreem, (valimite suurus ületab 30). Testi jaoks valitakse "n"-elemendiline valim formula_26 1. üldkogumist ja sellest sõltumatult "m"-elemendiline valim formula_27 2. üldkogumist. Vastavate sõltumatute valimimuutujate formula_28 ja formula_29 keskväärtuste kohta kehtib siis formula_30 ja formula_31, kus formula_32 ja formula_33 on üldkogumite keskmised. Kui keskmiste vahe jaoks on ette antud arv formula_34, siis ütleb nullhüpotees, et 
formula_35
ja alternatiivhüpotees, et
formula_36. 
Statistiliseks kriteeriumiks osutub 
formula_37
kusformula_38 ja formula_39 on vastavad valimikeskmised ja 
formula_40 
kaalutud dispersioon, mis arvutatakse valimite dispersioonide formula_41 ja formula_42 kaalutud keskmisena.
Statistilisel kriteeriumil formula_43 on nullhüpoteesi korral formula_44 vabadusastmega "t"-jaotus. Kontrollväärtus (statistilise kriteeriumi realisatsioon valimi korral) saadakse siis kujul
formula_45
kus formula_46 ja formula_47 on valimist arvutatavad keskväärtused ja 
formula_48
kaalutud dispersiooni realisatsioon, mis arvutatakse valimite dispersioonidest formula_49 ja formula_50.
Olulisnivool formula_51 lükatakse nullhüpotees alternatiivi kasuks tagasi, kui 
formula_52
Teise võimalusena võib sama statistilise kriteeriumiga formula_43 testida järgmisi hüpoteese:
Märkus.
Kui üldkogumite dispersioonid ei ole võrdsed, siis tuleb teha Welchi test.
Näide 1.
Tuleb võrrelda väetisesorte. Selleks kasutatakse 25 väetisena ühesuurust portsjonit, nimelt formula_60 portsjonit väetist sordist A ja formula_61 portsjonit väetist sordist B. Eeldatake, et saakidel on normaaljaotus ja dispersioonid on võrdsed. Esimese sordi puhul on keskmine saak formula_62 valimi dispersiooniga formula_63 ja teise sordi puhul on keskmine saak formula_64 dispersiooniga formula_65. Kaalutud keskmiseks saame
 formula_66.
Siit saame kontrollväärtuse
 formula_67.
See väärtus on suurem kui formula_68 vabadusastmega "t"-jaotuse 0,975-kvantiil formula_69.
Järelikult saab formula_70-ise usaldusega väita, et väetisesortide toimes on erinevus. 
Kahe valimi "t"-test mittesõltumatute valimite korral (paarisvõrdluse "t"-test).
Siin on formula_71 und formula_72 kaks paarikaupa erinevat valimit, mis on saadud näiteks samade uuritavate üksuste kahest mõõtmisest (korduvmõõtmine). Valimid võivad olla paarikaupa mittesõltumatud ka muudel põhjustel, näiteks kui formula_73-i ja formula_74-i väärtused on partnerluses olevate naiste ja meeste näidud ning huvi pakuvad soolised erinevused. 
Selleks et testida nullhüpoteesi, et normaaljaotusega üldkogumil on võrdsed keskmised, võib testida ühe valimi "t"-testi abil hüpoteesi, et vahede formula_75 keskmine on null. Praktikas peab väiksemate valimite (formula_76) korral olema täidetud tingimus, et vahedel on üldkogumis normaaljaotus. Piisavalt suurte valimite korral jaotuvad paaride vahed ligikaudselt normaaljaotusega ümber üldkogumi vahe aritmeetilise keskmise. Tingimuste täidetuse suhtes ei ole "t"-test kuigi tundlik.
Näide 2.
Et testida uut ravimeetodit kolesterooli taseme alandamiseks, määratakse 10 katsealusel kolesterooli tase enne ja pärast ravi. Saadakse järgmised näidud:
Näitude vahede aritmeetiline keskmine on formula_77 ja valimi standardhälve on formula_78. Kontrollväärtuseks saame 
 formula_79.
Et formula_80, siis formula_81. Seega "ei saa" nullhüpoteesi, et kolesteriini taseme keskväärtused on enne ja pärast ravi võrdsed, nii et ravil "pole toimet", olulisusnivool formula_82 tagasi lükata.
Et formula_83, siis ka ühepoolne alternatiiv, et ravi "alandab" kolesterooli taset, statistiliselt oluline. Kui ravil üldse toime on, pole see nii suur, et seda võiks nii väikse valimi pealt avastada.
Welchi test.
Welchi testi puhul arvutatakse statistiline kriteerium sarnaselt nagu kahe valimi "t"-testi puhul:
formula_84
Ent sellel kriteeriumil ei ole nullhüpoteesi korral "t"-jaotust, vaid seda lähendatakse "t"-jaotuse abil vabadusastmete arvu muutmise teel (vaata ka Behrensi-Fisheri probleem):
formula_85
kus formula_86 ja formula_87 on üldkogumite standardhälvete hinnangud valimite järgi ning formula_88 ja formula_89 on valimite suurused.
Kuigi Welchi test on välja töötatud spetsiaalselt juhtumiks, kus formula_90, ei tööta ta hästi, kui vähemalt üks jaotus on mittenormaalne ning juhtumite arvud on väikesed ja väga erinevad formula_91).
Alternatiivsed testid.
"t"-testi kasutatakse selleks, et testida hüpoteese ühe või kahe tundmatu standardhälbega normaaljaotusega üldkogumitest võetud valimi keskväärtuste kohta. 
Viited.
&lt;/ref&gt;