Mooduli ruut

Mooduli ruut on kompleksarvu mooduli ruut. Kompleksarvuliste väärtustega funktsiooni mooduli ruut on funktsioon, mille väärtused on lähtefunktsiooni väärtuste mooduli ruudud. 
Mooduli ruutu kasutatakse näiteks signaaliteoorias, et arvutada signaali koguenergiat. Kvantmehaanikas rakendada mooduli ruutu, et arvutada olekute tõenäosusi, näiteks osakeste viibimistõenäosusi. 
Definitsioonid.
Arvud.
Reaalarvu formula_1 mooduli ruut formula_2 on lihtsalt:
formula_3.
Kompleksarvu formula_4 (reaalosaga formula_5 ja imaginaarosaga formula_6) mooduli ruut formula_7 aga (juhu kui formula_8) ei ole mitte selle ruut formula_9, vaid
formula_10.
Siin on formula_11 arvu formula_12 kaaskompleksarv.
Mooduli ruut on alati mittenegatiivne reaalarv.
Funktsioonid.
Funktsioonide mooduli ruut defineeritakse punktikaupa, nii et saadakse jälle funktsioon. Reaalarvuliste väärtustega funktsiooni mooduli ruut formula_13 on antud valemiga
formula_14
ning võrdub seega funktsiooni ruuduga. Kompleksarvuliste väärtustega funktsiooni formula_15 mooduli ruut on defineeritud valemiga
formula_16. 
Funktsiooni mooduli ruut on seega sama määramispiirkonnaga formula_17 reaalarvuliste väärtustega funktsioon, mille väärtused võrduvad lähtefunktsiooni väärtuste mooduli ruutudega. Reaalarvulisel juhtumil tähistatakse seda formula_18 ja kompleksarvulisel juhtumil ka formula_19.
Omadused.
Järgnevalt on ära toodud kompleksarvude mooduli ruudu põhiomadused. Need omadused kanduvad puunktikaupa üle funktsioonidele. 
Pöördväärtus.
Kompleksarvu formula_20 pöördväärtuse kohta kehtib
formula_21.
Niisiis võib selle arvutada, jagades kaaskompleksarvu arvu mooduli ruuduga. 
Ruudu moodul.
Kompleksarvu mooduli ruut võrdub arvu ruudu mooduliga, st
formula_22.
Nimelt kehtib
formula_23.
Polaarkujul formula_24, kus formula_25, saadakse vastavalt 
formula_26.
Korrutis ja jagatis.
Kahe kompleksarvu formula_27 ja formula_28 puhul kehtib:
formula_29.
Analoogselt kehtib kahe kompleksarvu (formula_30) puhul:
formula_31.
Kahe kompleksarvu korrutise või vastavalt jagatise mooduli ruut on niisiis nende arvude mooduli ruutude korrutis või vastavalt jagatis. Need omadused on ka juba moodulil endal. 
Summa ja vahe.
Kahe kompleksarvu summa või vastaval vahe puhul kehtib vastavalt:
formula_32.
Kui kujutleda kompleksarve formula_33 ja formula_34 ning nende summat või vastavallt vahet formula_35 punktidena komplekstasandil, siis vastab see seos täpselt koosinusteoreemile tekkiva kolmnurga kohta. Kui mõlema kompleksarvu moodul on 1, siis saame kahe kompleksarvu summa mooduli ruuduks:
formula_36.
Rakendused.
Signaaliteooria.
Signaaliteoorias on pideva kompleksarvuliste väärtustega signaali formula_37 koguenergia defineeritud integraalina üle selle mooduli ruudu, st 
formula_38.
Koguenergia vastab seega signaali formula_39-normile. Üks keskne tulemus on siin Planchereli teoreem, mille järgi signaali energia ajapiirkonnas võrdub signaali energiale sagedusepiirkonnas. Kui formula_40 on funktsiooni formula_41 (normeeritud) Fourier' teisenduse tulem, siis kehtib
formula_42.
Fourier' teisendus säilitab niisiis signaali koguenergia ja on seega unitaarne kujutus.
Kvantmehaanika.
Mooduli ruutu kasutatakse sageli ka kvantmehaanikas. Bra-ket-tähistuses kirjutatakse aluseks oleva Hilberti ruumi kahe vektori formula_43 ja formula_44 skalaarorrutis kui formula_45. Kui mingi vaadeldav on antud operaatorina formula_46 
mittekõdunud omaväärtusega formula_47, mis 
vastab normeeritud omavektorile formula_48, st
formula_49,
siis saab tõenäosuse mõõta olekus formula_50 vaadeldava formula_46 väärtus formula_47 arvutada vastava tõenäosusamplituudi kaudu:
formula_53.
Schrödingeri võrrandis figureeriva normeeritud lainefunktsiooni mooduli ruut punktikaupa mõttes võrdub osakese viibimistõenäosustihedusega:
formula_54.