Diferentsiaalarvutus

Diferentsiaalarvutus on üks matemaatilise analüüsi põhikomponente integraalarvutuse kõrval (et nad on omavahel tihedalt seotud, siis nimetatakse neid koos diferentsiaal- ja integraalarvutuseks). Diferentsiaalarvutuse keskne teema on funktsiooni lokaalne muutumine. 
Selleks kasutatakse funktsiooni tuletise mõistet, mis on diferentsiaalarvutuse põhimõiste. Selle geomeetriline vaste on funktsiooni graafiku puutuja tõus. Tuletis on (Leibnizi ettekujutuse järgi) võrdelisustegur argumendi väärtuse lõpmata väikeste muutude ja funktsiooni väärtuse lõpmata väikeste muutude vahel. Kui niisugune võrdelisustegur (mingil kohal) eksisteerib, siis nimetatakse funktsiooni (sellel kohal) diferentseeruvaks funktsiooniks. Samaväärselt võib tuletist mingil kohal defineerida selle lineaarfunktsioonina, mis lähendab funktsiooni lokaalselt teistest lineaarfunktsioonidest paremini. Sellepärast nimetatakse tuletist ka funktsiooni linearisatsiooniks. 
Paljudel juhtudel on diferentsiaalarvutuse kasutamine tegelikkust võimalikult täpselt kujutavate matemaatiliste mudelite konstrueerimisel ja järgneval analüüsimisel möödapääsmatu. 
Sageli vastab tuletisele tegelikkuses muutumise hetkkiirus, majandusteaduses ka näiteks piirkulud ja piirtootlikkus.
Geomeetria seisukohast on tuletis tõusu üldistus. Tõus on algselt defineeritud ainult lineaarfunktsioonide jaoks (nende graafik on sirge). Suvalise funktsiooni tuletist kohal formula_1 defineeritakse funktsiooni formula_2 graafiku puutuja tõusuna punktis formula_3.
Aritmeetika seisukohast ütleb funktsiooni formula_2 tuletis iga koha formula_5 kohta, kui suur on funktsiooni formula_6 muudu lineaarosa (1. järku muut), kui argumendi formula_5 väärtuse muut formula_8 on kui tahes väike. Selle asjaolu täpseks formuleerimiseks kasutatakse piirväärtuse mõistet. 
Klassikalises füüsikalises rakenduses näitab ajast sõltuva koha- või teepikkusefunktsiooni tuletis osakese hetkkiirust. Hetkkiiruse tuletis aja järgi näitab hetkkiirendust.
Tuletise ja diferentseeruvuse definitsioon.
 
Sissejuhatus.
Tuletise definitsiooni lähtekoht on puutuja tõusu lähendamine lõikaja tõusu ehk kõõlu tõusu abil. Otsitagu funktsiooni formula_9 graafiku tõusu punktis formula_10. Kõigepealt arvutatakse funktsiooni formula_9 lõikaja tõus lõplikus vahemikus: 
 Lõikaja tõus = formula_12.
Lõikaja tõus on niisiis kahe muudu suhe; sellepärast nimetatakse seda ka muutude suhteks. Tähistades formula_13 lühidalt kui formula_14, saab lõikaja tõusu üles kirjutada kui formula_15.
Muutude suhted on igapäevaelust hästi tuntud, näiteks keskmise kiirusena: 
"Sõites Augsburgist Flensburgi olin ma kell 9.43 (formula_1) Biebelriedi ristil (ööpäeva kilomeetrinäit formula_17 = 198 km). Kell 11.04 (formula_18) olin ma Hattenbachi kolmnurgas (ööpäeva kilomeetrinäit formula_19=341 km). Seega läbisin ma 1 tunni 21 minutiga (formula_8) 143 km (formula_21). Minu keskmine kiirus sellel lõigul oli seega 143 km / 1,35 h = 106 km/h (formula_22)."
Et arvutada puutuja tõusu (siinses rakenduses hetkkiirust), tuleb kahte punkti, millest lõikaja on läbi tõmmatud, teineteisele aina lähemale tuua. Seejuures lähenevad nii formula_23 kui ka formula_21 nullile. Suhe formula_25 jääb aga paljudel juhtudel lõplikuks. Sellel piirprotsessil põhineb järgmine definitsioon:
Diferentseeruvus ja tuletis punktis: formaalne definitsioon ja tähistus.
Funktsiooni formula_26, mis kujutab vahemiku "U" reaalarvude hulka, nimetatakse diferentseeruvaks kohal formula_27, kui eksisteerib piirväärtus
formula_28   (formula_29). 
Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni formula_2 tuletiseks formula_5 järgi kohal formula_1 ja seda tähistatakse 
formula_33   või   formula_34   või  formula_35   või  formula_36.
Avaldisi formula_37 ja formula_38 nimetatakse diferentsiaalideks, aga tänapäeva matemaatilises analüüsis 
(esituse selles kohas) on need ainult sümbolid ning seni tohib neid kasutada ainult sellises tuletise tähistuses. Mõnedes rakendustes (liitfunktsiooni diferentseerimine, mõne diferentsiaalvõrrandi integreerimine asendusreegel integreerimisel) arvutatakse nendega peaaegu nagu tavaliste muutujatega. Sellele annab täpse formaalse põhjenduse diferentsiaalvormide teooria. Diferentsiaal on ka integraalide tavalise tähistuse osa.
Tuletise tähistuse kahe diferentsiaali suhtena võttis kasutusele 
Leibniz. Newton kasutas punkti selle muutuja peal, mis märgib selle funktsiooni väärtust, millest tuletis võetakse; füüsikas kasutatakse seda tähistust tänini, kui tegu on tuletisega aja järgi (formula_39. Kriipsuga tähistus (formula_40) pärineb Joseph-Louis Lagrange'ilt, kes võttis selle 1797 kasutusele oma raamatus "Théorie des fonctions analytiques".
Aja jooksul leiti järgmine samaväärne definitsioon, mis on osutunud üldisemas kompleksmuutuja või mitmemõõtmeliste funktsioonide puhul mugavamaks:
Funktsiooni nimetatakse punktis formula_1 diferentseeruvaks, kui eksisteerib niisugune konstant formula_42, et 
formula_43
Funktsiooni formula_2 muutu, kui punktist formula_1 kaugenetakse ainult pisut, näiteks väärtuse formula_46 võrra, saab niisiis väga hästi lähendada funktsioonigaformula_47, sellepärast nimetatakse lineaarfunktsiooni formula_48, kus formula_49, ka funktsioni formula_2 linearisatsiooniks kohal formula_1.
Veel üks definitsioon on järgmine: eksisteerivad kohal formula_1 pidev funktsioon formula_53, kusjuures formula_54, ja konstant formula_42, nii et iga formula_5 korral
 formula_57.
Tingimused, et formula_58 ja formula_53 on kohal formula_1 pidev, tähendavad parajasti seda, et kui formula_5 läheneb punktile formula_1, siis "jääkliige" formula_63 läheneb nullile.
Mõlemal juhul on konstant formula_42 üheselt määratud ja formula_65.
Selle formuleeringu eeliseks on, et tõestused on lihtsamad, sest ei ole tarvis kasutada jagatist. Seda esitust parima lineaarlähenduse kaudu kasutasid järjekindlalt juba Weierstraß, Henri Cartan ja Jean Dieudonné.
Kui funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks, mainimata kindlat kohta, siis see tähendab, et funktsioon on diferentseeruv igal oma määramispiirkonna kohal ehk funktsiooni graafiku igal punktil on üheselt määratud puutuja.
Tuletis kui funktsioon.
Funktsiooni formula_2 tuletist kohal formula_67, mida tähistatakse formula_68 kirjeldab lokaalselt funktsiooni käitumist vaadeldava koha formula_69 ümbruses. Aga formula_1 ei ole ainus koht, millel formula_2 on diferentseeruv. Sellepärast võib proovida seada igale arvule formula_5 funktsiooni formula_2 määramispiirkonnast vastavusse tuletise sellel kohal (formula_74). Niiviisi saadakse uus funktsioon formula_75 mille määramispiirkond on kõigi niisuguste punktide hulk formula_76, millel funktsioon formula_2 on diferentseeruv. Seda funktsiooni formula_78 nimetatakse funktsiooni formula_2 tuletisfunktsiooniks ehk lühidalt tuletiseks ja öeldakse, et funktsioon formula_2 on piirkonnas formula_76 diferentseeruv. Näiteks on ruutfunktsioonil formula_82 mis tahes kohal formula_1 tuletis formula_84 seega on ruutfunktsioon reaalarvude hulgal diferentseeruv. Vastav tuletisfunktsioon formula_85 on antud kui formula_86
Tuletisfunktsioon erineb tavaliselt algsest funktsioonist, erandiks on eksponentsiaalfunktsiooni kordsed formula_87.
Kui funktsiooni formula_2 tuletis on pidev, siis nimetatakse teda pidevalt diferentseeruvaks funktsiooniks. Määramispiirkonnaga formula_76 pidevate funktsioonide ruumi tähistatakse formula_90, sama määramispiirkonnaga pidevalt diferentseeruvate funktsioonide ruumi tähistatakse formula_91.
Tuletiste arvutamine.
Funktsiooni tuletise arvutamist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks
Elementaarfunktsioonide (näiteks formula_92, formula_93) arvutamiseks juhindutakse ülal esitatud definitsioonist, arvutatakse muutud suhe ning leitakse piirväärtus, kus formula_23 läheneb nullile. Koolimatemaatikas nimetatakse seda "h"-meetodiks. Tüüpiline matemaatika rakendaja teeb selle arvutuse läbi ainult mõned korrad elus. Hiljem ta teab tähtsamate elementaarfunktsioonide tuletisi peast ning harvem esinevate funktsioonide tuletisi vaatab tabelitest (näiteks Bronštein-Semendjajevist või meie tuletiste ja algfunktsioonide tabelist ja arvutab liitfunktsioonide tuletised diferentseerimisreeglite abil. 
Tuletisfunktsiooni elementaarse arvutuse näide.
Otsitagu funktsiooni formula_95 tuletist. Edasi arvutatakse muutude suhe: 
formula_96.
Nüüd leitakse piirprotsessis, kus formula_97, funktsiooni tuletis:
formula_98
Diferentseerimisreeglid.
Liirfunktsioonide, näiteks formula_99 ja formula_100, diferentseerimine taandatakse diferentseerimisreeglite abil elementaarfunktsioonide diferentseerimisele (vaata ka Tuletiste ja algfunktsioonide tabel).
Järgnevate reeglitega saab liitfunktsioonide diferentseerimise taandada lihtsamata funktsioonide diferentseerimisele. Olgu formula_9, formula_102 ja formula_103 (oma määramispiirkonnas) diferentseeruvad reaalarvuliste argumendi väärtuste ja funktsiooni väärtustega funktsioonid ning formula_104 ja formula_105 reaalarvud. Siis kehtivad järgmised reeglid:
formula_106
formula_107
formula_108
formula_109
formula_110
formula_111
formula_112
formula_113
 Kui funktsioon formula_9 on kohal formula_115 diferentseeruv bijektiivne funktsioon, formula_116 ning selle pöördfunktsioon formula_117 on kohal formula_118 diferentseeruv, siis
formula_119
 Funktsiooni formula_9 graafiku punkti formula_121 peegeldamisel 1. nurgapoolitaja suhtes saadakse funktsiooni formula_122 graafiku punkt formula_123; funktsiooni formula_122 graafiku tõus punktis formula_123 on siis pöördväärtus funktsiooni formula_9 graafiku tõusust punktis formula_121.
 Liitfunktsiooni reeglist järeldub, et funktsiooni formula_9 naturaallogaritmi tuletis 
formula_129.
 Murdu kujul formula_130 nimetatakse logaritmiliseks tuletiseks.
 Funktsiooni formula_131 diferentseerimiseks tuletame meelde, et reaalarvuliste astendajatega astmed defineeritakse eksponentsiaalfunktsiooni kaudu: formula_132. Liitfunktsiooni reegli ja korrutamisreegli abil saame: 
formula_133.
 Kahe formula_134 korda diferentseeruva funktsiooni formula_2 ja formula_48 formula_104-is tuletis saadakse valemist 
formula_138.
 Siin esinevad avaldised kujul formula_139 on binomiaalkoefitsiendid. 
 See valem väljendab kahe formula_134 korda diferentseeruva funktsiooni kompositsiooni formula_134-indat tuletist. See valem üldistab liitfunktsiooni reegli mitmekordsetele tuletistele.
Mittediferentseeruvad funktsioonid.
Iga diferentseeruv funktsioon on pidev, ümberpöördu aga ei kehti. Veel 19. sajandi alguses oldi veendunud, et pidev funktsioon saab olla mittediferentseeruv mitte rohkem kui vähestel kohtadel (nagu absoluutväärtuse funktsioon). Bernard Bolzano konstrueeris esimesena funktsiooni, mis on kõikjal pidev, aga ei ole kuskil diferentseeruv, aga see ei saanud teistele matemaatikutele teatavaks. 1860ndatel leidis sellise funktsiooni ka Karl Weierstraß (Weierstraßi funktsioon) ja see lõi matemaatikute seas laineid. Pideva mittediferentseeruva funktsiooni tuntud mitmemõõtmeline näide on Kochi kõver, mille esitas 1904 Helge von Koch.
Mitte kõikjal diferentseeruva funktsiooni näide.
Funktsioon formula_142 (absoluutväärtuse võtmine) ei ole kohal 0 diferentseeruv.
Tõepoolest, iga formula_143 korral formula_144, mistõttu
formula_145.
Seevastu iga formula_146 korral formula_147 ning järelikult
formula_148.
Et vasakpoolne piirväärtus ja parempoolne piirväärtus ei lange kokku, siis piirväärtus ei eksisteeri. Seega ei ole funktsioon formula_9 kohal 0 diferentseeruv. Sellegipoolest on see funktsioon diferentseeruv kõigil teistel kohtadel. 
Kohal 0 eksisteerivad siiski parempoolne piirväärtus 
formula_150
ja vasakpoolne piirväärtus
formula_151.
Funktsiooni formula_9 graafiku järgi on näha, et diferentseeruvuse mõiste tähendab näitlikult, et funktsiooni graafik on nurkadeta.
Mitte kuskil diferentseeruva pideva funktsiooni näide.
Mitte kuskil diferentseeruvaid pidevaid funktsioone on esialgu raske ette kujutada, kuid nende näideteks on peaaegu kõik Wieneri protsessi (Browni liikumise) trajektoorid. Wieneri protsessi kasutatakse näiteks aktsiakursside graafikute modelleerimiseks.
Mitte kõikjal pidevalt diferentseeruva funktsiooni näide.
Funktsiooni nimetatakse pidevalt diferentseeruvaks, kui selle tuletis on pidev funktsioon. Isegi kui funktsioon on kõikjal diferentseeruv, ei pruugi tuletis olla pidev. Näiteks funktsioon
 formula_153
on diferentseeruv kõikjal, sealhulgas kohal formula_154. Tuletis, mille saab kohal 0 muutude suhte kaudu leida, 
 formula_155
ei ole aga kohal 0 pidev.
Newtoni-Leibnizi valem.
integreerimine ja diferentseeriine on omavahel seotud:
Kui formula_156 on vahemik, formula_157 pidev funktsioon ja formula_158 suvaline punkt, siis on funktsioon
 formula_159
pidevalt diferentseeruv, ja selle tuletis on formula_160.
Sellega on antud juhatus integreerimiseks. Otsitakse funktsiooni, mille tuletis on integreeritav. Siis Newtoni-Leibnizi valem ütleb: 
 formula_161.
Ajalugu.
Diferentsiaalarvutuse ülesandepüstitus oli antiigist saadik tuntud puutujaprobleemina. Üks lahenduskava nägi kõverjoone puutuja lähendamist joone lõikajaga lõplikult, aga suvaliselt väikeses vahemikus. Tuli ületada lõpmatu väikesele vahemikule ülemineku tehniline raskus. 
Diferentsiaalarvutuse algmed pärinevad Pierre de Fermat'lt, kes töötas umbes 1628 välja meetodi algebraliste avaldiste ekstreemumite määramiseks ning koonuselõigete ja teiste kõverate puutujate arvutamiseks. Tema meetod oli puhtalgebraline, ta ei vaadelnud piirprotsesse ega tuletisi. Siiski saab tema meetodit tõlgendada matemaatilise analüüsi vahenditega ning on teada, et ta mõjutas Isaac Newtonit ja Gottfried Wilhelm Leibnizit. 
Mõni aasta hiljem valis René Descartes teise algebralise meetodi, asetades kõvera juurde ringjoone, mis lõikab kõverat kahes lähestikku asetsevas punktis või puutub kõverat. See lähenemine võimaldas tal määrata teatud kõverate tõusud. 
17. sajandi lõpus õnnestus Isaac Newtonil ja Gottfried Wilhelm Leibnizil töötada teineteisest sõltumatult välja vastuoludeta diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Newton lähenes probleemile füüsikaliselt hetkkiiruse probleemi kaudu, Leibniz aga geomeetriliselt puutujaprobleemi kaudu. Nende tööd võimaldasid abstraheeruda puhtgeomeetrilisest esitusest ja seetõttu peetakse neid matemaatilise analüüsi alguseks. 
Tuntuks said need eelkõige Guillaume François Antoine, markii de L'Hôpitali raamatu kaudu. De L'Hôpital õppis eraviisiliselt Johann Bernoulli juures ja avaldas tema matemaatilise analüüsi alased uurimused. 
Tänapäeval tuntud diferentseerimisreeglid põhinevad eelkõige Leonhard Eulerilt, kes võttis kasutusele funktsiooni mõiste. 
Newton ja Leibniz töötasid kui tahes väikeste positiivsete arvudega. Seda kritiseerisid ebaloogilisuse tõttu juba kaasaegsed, näiteks George Berkeley vaidluskirjas "The analyst; or, a discourse addressed to an infidel mathematician". Hoolimata valitsevast ebakindlusest arendati diferentsiaalarvutust järjekindlalt edasi, esmajoones selle arvukate rakenduste tõttu teistes matemaatika harudes ja füüsikas. Tollele ajale sümptomaatiline oli Kuningliku Preisi Teaduste Akadeemia auhinnatöö teema: "Kõrgem geomeetria kasutab sageli lõpmata suuri ja lõpmata väikesi suurusi; ometi vältisid antiikõpetlased hoolega lõpmatust, ja mõned meie aja kuulsad analüütikud tunnistavad, et sõnad "lõpmatu suurus" on vastuolulised. Akadeemia nõuab niisiis, et selgitataks, kuidas on vastuolulisest eeldusest tekkinud nii palju õigeid lauseid, ning et antaks kindel ja selge alusmõiste, mis võiks lõpmatuse asendada, tegemata arvutust liiga raskeks ega liiga pikaks; ..."
Alles 19. sajandi alguses õnnestus Augustin-Louis Cauchyl anda diferentsiaalarvutusele tänapäevase ranguse, loobudes lõpmatu väikestest ja lõpmata suurtest suurustest ning defineerida tuletise lõikaja tõusude (muutude suhete) piirväärtusena. Tänapäeval kasutatava piirväärtuse definitsiooni võttis lõpuks kasutusele Karl Weierstraß 19. sajandi lõpus.
1822. aastal esitas Charles Babbage kuninglikule astronoomiaühingule ettekande «Märkusi masinate rakendamise kohta astronoomiliste ja matemaatiliste tabelite arvutamisel» ja tegi ettepaneku ehitada diferentsiaalarvustumasin. See oli mõeldud veatute matemaatiliste tabelite tootmise kiirendamiseks ning seda võib pidada tänapäevaste arvutite eellaseks. 1991. aastal valmis Londoni teadusmuuseumis sellise diferentsiaalarvustusmasina töötav eksponaat.