Püsipunktita permutatsioon

Püsipunktita permutatsioon ehk korratus on kombinatoorikas hulga elementide permutatsioon, mis ei jäta ühtki elementi paigale.
formula_1-elemendilise hulga võimalike püsipunktita permutatsioonide arvu näitab subfaktoriaal formula_2.
Arvu formula_1 kasvades läheneb formula_1 elemendi permutatsioonide hulgas püsipunktideta permutatsioonide osakaal kiiresti arvu e pöördväärtusele.
Juhul kui permutatsioonis jääb osa elemente paigale, saab rääkida osalisest korratusest. Osaliste korratuste arvu näitavad kohtumiste arvud.
Lähteülesanne.
Prantsuse matemaatik Pierre Rémond de Montmort tutvustas 18. sajandi alguses oma raamatus "Essai d'analyse sur les jeux de hazard" kaardimängu nimega "Treize" ("Kolmteist"), mis lihtsustatud kujul käib nii: "Mängija segab 13 ühte masti mängukaardi komplekti ning asetab kaardid enda ette pakki. Nüüd avab ta ükshaaval kaardid, kutsudes järjekordset kaarti vastavalt järjekorrale nimega äss, kaks, kolm jne kuni kuningani. Kui kutsutud kaart peaks millalgi avatud kaardiga kokku langema, siis ta võidab mängu; kui seda ühegi kaardi puhul 13 seast ei juhtu, siis ta kaotab." Montmort küsis, millise tõenäosusega mängija mängu võidab. Oma raamatu esimeses trükis aastast 1708 esita de Montmort küll õige tulemuse, kuid ilma täpsema tuletuskäiguta. Teises trükis aastast 1713 esitas ta kaks tõestust: üks on tema enda oma ja põhineb rekurrentsetel esitustel, teine pärineb kirjavahetusest Nikolaus I Bernoulliga ja põhineb inklusiooni ja eksklusiooni printsiibil. De Montmort näitab edasi, et võidu tõenäosus on väga lähedal arvule formula_5. Tõenäoliselt on tegu eksponentfunktsiooni esimese rakendusega tõenäosusteoorias.
Varasemaid töid tundmata analüüsis Leonhard Euler 1753 sarnast õnnemängu nimega "Rencontre", mis käib nii: "Kahel mängijal on kummalgi täielik 52 mängukaardi komplekt. Nad segavad oma kaardid ja panevad enda ette pakki. Nüüd võtavad mõlemad mängijad korraga oma pakist kõige ülemise kaardi. Kui millalgi tuleb kaks korda sama kaart, siis võidab üks mängija, vastasel juhul teine." Jälle tekib küsimus võidu tõenäosusest. Euler tuletab lahenduse uute rekurrentsete valemite abil, kusjuures ta tohib eeldada, et ainult üks mängijatest oma kaarte segab ja teine mängija avab oma kaardid etteantud järjekorras.
Küsimuseasetuse teisi variante ja üldistusi uurisid teiste seas Abraham de Moivre, Johann Heinrich Lambert ja Pierre-Simon Laplace.
Tänapäeva kombinatoorikaõpikutes sõnastatakse seda ülesannet sageli "Vahetusse läinud kübarate probleemina" (kübarate asemel võivad olla ka n
näiteks mantlid, kohvrid või kirjad) umbes nii: "Vastuvõtul annavad formula_1 külalist kübarad garderoobi ära. Riidehoidja on sel õhtul aga väga hajameelne ning annab lahkumisel igale külalisele tagasi juhuslikult valitud kübara. Kui suur on tõenäosus, et vähemalt üks külaline saab õige kübara?"
Need kolm matemaatilist probleemi on teatud mõttes samaväärsed ning neid saab lahendada, uurides püsipunktita permutatsioone.
Definitsioon.
Olgu formula_7 sümmeetriline rühm, mille moodustavad hulga formula_8 kõik permutatsioonid. Permutatsiooni formula_9 nimetatakse püsipunktivabaks, kui kõigi formula_10 korral
formula_11.
Püsipunktivaba permutatsioon on seega permutatsioon, mille korral ükski element ei jää paigale, ehk teiste sõnadega, ei esine tsüklit pikkusega üks.
Püsipunktita permutatsiooni tõenäosus.
Olgu formula_12 kõigi püsipunktita permutatsioonide hulk hulgas formula_7 ning formula_14 nende arv. Osakaal
formula_15.
ongi Laplace'i valemi järgi püsipunktita permutatsiooni tõenäosus, kui eeldada, et kõik formula_16 võimaliku permutatsiooni on hulgas formula_7 võrdtõenäosed.
Üldisemalt võib vaadelda ka mis tahes lõplike hulkade, näiteks tähestike permutatsioone, matemaatiliste omaduste uurimisel võib aga piirduda esimese formula_1 naturaalarvuga.
Näited.
Permutatsiooni püsipunkt ilmneb permutatsiooni kaherealises esituses sellena, et samal kohal on mõlemas reas sama arv.
Ainsal permutatsioonil hulgas formula_19
formula_20
on püsipunkt ning seetõttu formula_21 ja formula_22. Hulgas formula_23 on kaks permutatsiooni
formula_24   ja   formula_25,
kusjuures neist esimesel on kaks püsipunkti ja teisel pole ühtki. Nii et formula_26 ja formula_27.
Hulga formula_28 kuuest permutatsioonist
formula_29   ja   formula_30
on ainult neljas ja viies püsipunktita, seega formula_31 ja formula_32.
Hulga formula_33 puhul on kandja tühi hulk, millel on üksainus permutatsioon. Et tühjast hulgast ei saa elementi välja valida, siis on see permutatsioon püsipunktita, nii et formula_34 und formula_35.