Lainefunktsioon

Lainefunktsioon ehk olekufunktsioon (ka leiulaine või psiifunktsioon; tähis formula_1 või formula_2, vastavalt "suur psii" ja "väike psii") on kvantmehaanikas (lainemehaanikas) matemaatiline funktsioon, mis näitab ühest või mitmest elementaarosakesest koosneva füüsikalise süsteemi kvantmehaanilist olekut (kvantolekut). 
Selle funktsiooni väärtus on tõenäosusamplituud. See funktsioon on Schrödingeri võrrandi lahend. See aitab kirjeldada näiteks elektroni asukohta aatomis.
Lainefunktsiooni väärtus üldjuhul formula_3 on komplekssuurus, selle väärtus erineb formula_4 ja formula_5 eri väärtuste korral. Samuti sõltub ta ruumikoordinaatidest. Kolmemõõtmelises ruumis esitatakse lainefunktsioon kujul formula_6. Üldjuhul sõltub see ka ajast ning esitatakse kujul formula_7, kus formula_5 on aeg. Aatomorbitaalide kirjeldamisel kasutatakse lainefunktsiooni argumentidena sfäärilisi polaarkoordinaate formula_9, mis kirjeldavad aatomi tuuma ümber paiknevat ruumipunkti.
Füüsikalise tähenduse andis lainefunktsioonile Max Born, kes väitis, et lainefunktsioon aja ja asukoha funktsioonina annab osakese leidmise tõenäosuse mingis ruumipunktis. Osakese tõenäosustiheduse leidmiseks mingis ruumiosas tuleb võtta lainefunktsioonist ruut samas ruumipunktis. Lainefunktsiooni mooduli ruut formula_10 on reaalarv ning see väljendab osakese leidmise tõenäosust kindlas ruumipunktis.
Vastavalt superpositsiooni printsiibile kvantmehaanikas saab lainefunktsioonidest liita ja korrutada kompleksarve, et moodustada uusi lainefunktsioone ja Hilberti ruum. 
formula_11 osakesest koosneva süsteemi puhul hõlmavad formula_12 kõigi osakeste asukohakoordinaadid. Vajaduse korral sa8Fab lisada muutujaid teiste vabadusastmete jaoks. Funktsiooni väärtus formula_13 sisaldab aga kvantmehaanika Kopenhaageni tõlgenduse järgi kogu füüsikaliselt võimalikku informatsiooni [[füüsikaline suurus|füüsikaliste suuruste väärtuste kohta selles olekus. Paljudel juhtudel ei ole põhimõtteliselt võimalik juba enne suuruse mõõtmist täpselt ennustada, vaid väärtuse tekitab alles [[mõõtmine kvantmehaanikas|mõõtmisprotsess]]. Füüsikaliselt võimalik informatsioon piirdub siis ennustusega oodatavate mõõtetulemite [[tõenäosusjaotus]]te. Näiteks on kvantsüsteemis võimatu teada osakese täpset asukohta enne asukoha mõõtmist. Lainefunktsioon annab oma [[mooduli ruut|mooduli ruudu]] formula_14 kaudu ruumilise jaotuse, millise tõenäosusega viibivad formula_11 osakest sel hetkel asukohtades formula_16. Kui vaadelda süsteemi, mis koosneb ühestainsast osakesest, siis saab seda tõenäosusjaotust kirjeldada vahetult kolmemõõtmelises ruumis.
[[Erwin Schrödinger]] võttis lainefunktsiooni kasutusele 1926, tuginedes [[mateerialaine]]mõistele, mille [[Louis de Broglie]] oli ette pannud lisaelemendina elementaarosakeste liikumiste kirjelduses. Selle ruumilise kuju ja ajalise arengu määravad samal ajal sisse toodud [[Schrödingeri võrrand]]. See (või mõni selle edasiarendustest, nagu näiteks [[Pauli võrrand]], [[Diraci võrrand]], [[Kleini-Gordoni-võrrand]]) kirjeldab, millist kvantsüsteemi vaadeldakse ja kuidas see ajas areneb.
Üksiku osakese puhul on lainefunktsiioonil teiste [[laine]]te järgi tuttav matemaatiline kuju. Kvantsüsteemi puhul, milles on üks osake tõmbavas [[jõuväli|jõuväljas]], saab lainefunktsioon moodustada [[seisulaine]]id, mis vastavad seotud [[statsionaarne olek (kvantmehaanika)|statsionaarsetele olekutele]] diskreetse ("kvantiseeritud") energiaga. Osakese piisavalt suure energia korral saab lainefunktsioon moodustada [[hajumine|hajumis]]oleku, mis koosneb kahest komponendist: mõjutusteta sissetulevast lainest ja [[jõuväli|jõuvälja]] tekitatud väljaminevast [[sfääriline laine|sfäärilisest lainest]]. Need kaks komponenti on kogu ruumis superpositsioon. Kui lainefunktsioon moodustab ruumiliselt lokaliseeritud [[lainepakett|lainepaketi]], siis see hajub tavaliselt kiiresti, kui seda ei hoia koos jõukese. Teatud juhtudel avaldub funktsioonis käitumine, mis vastab kujutlusele osakesest (näiteks [[harmooniline ostsillaator]]). 
Ainult juhul kui vaatlus piirdub üheainsa osakesega, saab lainefunktsioon kirjeldada kolmemõõtmelises ruumis kujutletavat lainet. Kui vaadeldavasse süsteemi kuulub mitu osakest, on lainefunktsioon kõikide osakeste asukohtade koordinaatide funktsioon kõrgemamõõtmelises ruumis. Peale selle on lainefunktsioon kompleksarvuliste väärtustega ja sellepärast ei saa seda lihtsal moel graafiliselt kujutada. Lainefunktsioone, mis kuuluvad hästi defineeritud energiaga formula_17 olekusse ([[energia omaolek]]), saab alati kirjutada korrutisena kahest tegurist, millest üks sõltub ainult ajast ja teine ainult asukohast või asukohtadest. Sõltuvusel ajast on siis kompleksarvulise faasiteguri formula_18 kuju (formula_19 on [[taandumatu Plancki konstant]]). Teise teguri, mis on sõltuv ainult asukohast (või asukohtadest), saab paljudel juhtidel valida reaalarvulistena ja ühe osakesega süsteemi puhul on see tavalisel kujul graafiliselt kujutatav.
Et lainefunktsioon ei ole mõõdetav füüsikaline suurus, tuleb seda pidada eelkõige matemaatiliseks abivahendiks võimalike mõõtetulemite arvutamiseks. Selle üle, kas see eksisteerib sõltumatult sellest ka reaalse maailma esemena, vaieldakse seniajani (vt ka [[kvantmehaanika tõlgendused]]).
Ajalugu.
1905. aastal postuleeris [[Albert Einstein]] võrdelisuse footoni sageduse formula_20 ja ta energia formula_17 vahel, formula_22, ning 1916. aastal vastava seose footoni [[Impulss|impulsi]] formula_23 "ja lainepikkuse" formula_24, formula_25, kus formula_26 on [[Plancki konstant]]. Aastal 1923 pakkus De Broglie välja mõtte, et võrrand formula_25, mida edaspidi nimetati De Broglie võrrandiks, kehtib ka massiga osakeste jaoks. Põhilise tõestuse andis sellele [[Lorentzi kovariantsus]]. Eelnevat võib vaadelda kui kvantmehaanika kaasaegse arengu lähtepunkti. Mõlemad võrratused kujutavad endast [[Laine-osake|laine-osakese dualismi]] nii massiga kui ka massita osakeste jaoks.
1920. ja 1930. aastatel arendati kvantmehaanikat edasi [[Matemaatiline analüüs|matemaatilise analüüsi]] ja [[Lineaaralgebra|lineaaralgebraga]]. Matemaatilist analüüsi kasutasid [[Louis de Broglie]], [[Erwin Schrödinger]] ning teised, kes töötasid välja [[Laine|lainemehaanika]]. Lineaaralgebrat kasutasid [[Werner Heisenberg]], [[Max Born]] ning teised, töötades välja maatriksmehaanika. Schrödinger näitas hiljem, et need kaks lähenemist on ekvivalentsed.
Aastal 1926 avaldas Schödinger oma kuulsa lainevõrrandi, mida nüüd nimetatakse tema auks [[Schrödingeri võrrand|Schrödingeri võrrandiks]]. Võrrand põhines [[Klassikaline füüsika|klassikalisel]] [[Energia jäävuse seadus|energia jäävusel]], kasutades kvantoperaatoreid ja De Broglie võrrandit. Lahendiks olid võrrandil vastava kvantsüsteemi lainefunktsioonid. Ent siiski polnud selge, kuidas seda tõlgendada. Esmalt arvasid Schrödinger ja teised, et lainefunktsioonid kujutavad osakesi, mis on laiali puistatud, enamus osakesi olles seal, kus lainefunktsioon on suur. Ent näidati, et see ei sobi kokku lainepaketi (mis esindab osakest) elastse hajumisega sihtmärgist eemale; see levib igas suunas. Kuigi hajutatud osake võib hajuda igas suunas, ei murdu see ega liigu igasse suunda. Aastal 1926 pakkus Born välja [[Tõenäosuslik amplituudi|tõenäosusliku amplituudi]] vaate, mis seob kvantmehaanika arvutused otseselt tõenäosuslike eksperimentaalsete vaatlustega. Nüüdseks nähakse seda kui osana [[Kopenhaageni tõlgendusest]] kvantmehaanikast. Leidub ka teisigi tõlgendusi kvantmehaanikast.
Schrödingeri võrrandi lahend.
Lahendamisel tuleb ette probleem, kus mikroosakese algoleku andmise korral on üheselt määratud suuruseks ka osakese lainefunktsioon, mis määrab ära ta edaspidise käitumise. Seda väljendab [[Heisenbergi määramatuse printsiip]].
Lahendi otsimisel tuleb välja, et iga lahend pole ka füüsikaliselt kõlblik. Lahendi otsimisel tuleb arvestada lainefunktsiooni füüsikalist tähendust ning diferentsiaalvõrrandist endast tulenevaid matemaatilisi tingimusi. Lahend peaks rahuldama kahte järgmist tingimust:
Esimene tingimus tuleneb lainefunktsiooni tõenäosuslikust tõlgendusest, mille kohaselt peab tõenäosustihedus olema igas punktis lõplik ja ühene. Teine tingimus kujutab endast tavalist matemaatilist tingimust teist järku ruumiliste tuletistega diferentsiaalvõrrandi lahendile. Mõlemad tingimused on osakeste füüsikaliste olekute kindlakstegemisel olulised. Esimesest tingimusest saab aga tuletada ka kolmanda – [[normeerimistingimus|normeerimistingimuse]].
Välislingid.
[[Kategooria:Kvantmehaanika]]