Morfoloogia (matemaatika)

Matemaatiline morfoloogia käsitleb teooriat ja viise geomeetriliste struktuuride analüüsimiseks. Enamasti kasutatakse seda digitaalses pilditöötluses. Selles on kasutusel teooriaid matemaatikast, mis käsitlevad kujundeid, näiteks võreteooriat, geomeetrilist tõenäosust ja diskreetset geomeetriat. 
Põhilised matemaatilise morfoloogia operatsioonid on erosioon ja dilatsioon. Lihtsustatult on erosioon pildil objekti väiksemaks tegemine ja dilatsioon objekti suurendamine. Nende operatsioonide puhul on tähtis see, et need ei muuda enamjaolt objekti kuju. Seega on morfoloogias objektide kuju ja suurus olulisel kohal. Erosioonil ja dilatsioonil põhinevad teised keerulisemad morfoloogia operatsioonid
Ajalugu.
Matemaatilise morfoloogia pioneerid on Georges Matheron ja Jean Serra, kes hakkasid 1964. aastal morfoloogia kontsepti pilditöötluses arendama ja selle tulemusena ilmus sel teemal mitu raamatut (Matheron, 1975; Serra, 1982; Serra, 1988). Lisaks panid nad 1967. aastal Prantsusmaal Pariisi Kaevanduskoolis kokku tiimi matemaatilise morfoloogia edasi uurimiseks ja arendamiseks. See tegutseb tänapäevani.
Matemaatilise morfoloogia teooria käsitles alguses vaid binaarpilte (iga piksli väärtus on kas 0 või 1), kuid aja jooksul on seda hakatud kasutama ka halltoonides piltidel.
Struktureeriv element.
Matemaatilises morfoloogias liigutatakse struktureerivat elementi vasakult paremale ja ülevalt alla. Iga piksli kohta rakendatakse pildil olevale struktuurile operatsioone olenevalt kasutuse tüübist. Struktureeriva elemendi suurus, kuju ja keskpunkt määrab ala, mille ümbrust ühe piksli operatsioon arvestab. Struktureeriv element koosneb binaarsel kujul ühtedest.
Morfoloogia hulkadel.
Enamikku morfoloogilisi operatsioone saab kirjeldada kombineerides hulgateoreetilisi operatsioone kahe lihtsama operatsiooni kaudu, milleks on erosioon ja dilatsioon kasutades "Minkowski summat." Dilatsioon ja erosioon on defineeritud järgmiselt iga formula_1 kohta:
formula_2
Rangelt võttes on formula_3 ja formula_4 sama tüüpi binaarsed operandid, kuid tavaliselt kirjeldab formula_3 pilti ja formula_4 struktureerivat elementi, ehk formula_3formula_8formula_4 (dilatsioon) ja formula_3formula_11formula_4 (erosioon) kirjeldavad muudetud pilti.
Morfoloogilised operatsioonid.
Erosioon.
Erosiooni (formula_3formula_11formula_4) kasutades kaotatakse ära esiplaanil oleva objekti äärtes olevad pikslid.
Esiteks defineeritakse struktureeriv element, seejärel liigutatakse seda pildi peal vasakult paremale ja ülevalt alla.
Binaarse pildi töötlemisel jäetakse vaatluse all olev piksel alles ainult siis, kui iga piksel struktureeriva elemendi all on 1, vastasel juhul muudetakse piksel nulliks.
Halltoonides pildi erosioonil muudetakse vaatluse all olev piksel struktureeriva elemendi sees oleva miinimumväärtusega piksliks.
Erosioon on kasulik väikeste objektide eemaldamiseks või kahe ühendatud objekti eraldi lahutamiseks pildil.
Dilatsioon.
Dilatsioon (formula_3formula_8formula_4) on erosiooni vastandoperatsioon. 
Binaarse pildi töötlemisel jäetakse vaatluse all olev piksel alles siis, kui vähemalt ühe piksli väärtus struktureeriva elemendi sees on üks.
Halltoonides pildi puhul muudetakse vaatluse all olev piksel maksimaalseks struktureeriva elemendi all olevatest pikslitest.
Dilatsiooni saab kasutada näiteks kahe objekti ühendamiseks pildil.
Avamine.
Avamine, on erosioon, millele järgneb dilatsioon. Pildi f avamine struktureeriva elemendi s kaudu väljendatakse matemaatilisel kujul järgnevalt: 
formula_19 
Avamine eemaldab pildilt väiksed objektid ja seejärel suurendab allesjäänud objekte, mida enne erosiooniga väiksemaks tehti. 
Sulgemine.
Sulgemine on dilatsioon, millele järgneb erosioon. Pildi f sulgemine struktureeriva elemendi s kaudu väljendadakse matemaatilisel kujul järgnevalt:
formula_20
Sulgemine "sulgeb" ehk ühendab kitsaste aladega ühendatud objektid, jättes suuremad objektid enamjaolt muutmata.
Mõned morfoloogilised operatsioonid põhioperatsioonide kaudu.
Servatuvastus.
Morfoloogia pakub kolme erinevat viisi pildil servatuvastuse sooritamiseks:
formula_21
formula_22
formula_23
"White hat".
"White hat" morfoloogiline operatsioon on erinevus algse pildi ja algse pildi avamise formula_24 vahel:
formula_25
Seda operatsiooni kasutatakse eredate regioonide leidmiseks tumeda taustaga pildilt.
"Black hat".
"Black hat" morfoloogiline operatsioon on erinevus algse pildi sulgemise formula_26 ja algse pildi vahel:
formula_27
"Black hat" on "White hat" operatsiooni vastand.