Monotoonne funktsioon

 
Matemaatilises analüüsis nimetatakse reaalmuutuja funktsiooni kasvavaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus kasvab, ning kahanevaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus kahaneb. Kasvavaid ja kahanevaid funktsioone nimetatakse rangelt monotoonseteks. Funktsiooni nimetatakse mittekahanevaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus ei kahane, ning mittekasvavaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus ei kasva. Mittekahanevaid ja mittekasvavaid funktsioone nimetatakse monotoonseteks.
Definitsioon.
Olgu "A" ja "B" teatavad reaalarvude hulgad ja olgu "f" funktsioon hulgast "A" hulka "B". Funktsiooni "f" nimetatakse
Kui funktsioon on mittekahanev või mittekasvav, nimetatakse seda monotoonseks. Kui funktsioon on rangelt kasvav või kahanev, nimetatakse seda rangelt monotoonseks. Iga rangelt monotoonne funktsioon on monotoonne, aga mitte vastupidi.
Mõnedes allikates nimetatakse "kasvavaks" ja "kahanevaks" vastavalt mittekahanevat ja mittekasvavat funktsiooni. Sel juhul nimetatakse rangelt monotoonset funktsiooni vastavalt rangelt kasvavaks või rangelt kahanevaks funktsiooniks. Tekstides, kus kasutatakse mõisteid "mittekasvav" ja "mittekahanev", eeldatakse, et mõisted "kasvav" ja "kahanev" tähendavad vastavalt ranget kasvamist ja kahanemist. Antud artiklis kasutatakse viimast tähistust.
Tuleb tähele panna, et väited "funktsioon f on mittekahanev" ning "funktsioon f ei ole kahanev" ei ole samaväärsed: funktsioon, mis ei ole kahanev, ei pea veel olema mittekahanev (vastupidine järeldus "mittekahanev" ⇒ "ei ole kahanev" küll kehtib, kui hulgas A on rohkem kui üks element). Väljendit "funktsioon f on mittekahanev" tuleks mõista pigem nii: "argumendi kasvades funktsiooni f väärtus kunagi ei kahane" või nii: "funktsioon f ei ole kahanev oma määramispiirkonna üheski vähemalt kaheelemendilises alamhulgas" (vt. alajaotust "Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis hulgas"). Samamoodi ei ole väide "funktsioon f on mittekasvav" samaväärne väitega "funktsioon f ei ole kasvav".
Erijuhul, kui A on kõigi naturaalarvude hulk, siis funktsioon f määrab ära jada ning saame eelnevast rangelt kasvava, rangelt kahaneva, mittekahaneva, mittekahaneva, monotoonse ja rangelt monotoonse jada definitsioonid.
Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis hulgas.
Sageli kõneldakse funktsiooni kasvamisest ja kahanemisest mingis tema määramispiirkonna "A" alamhulgas "X". Seda mõistetakse järgmiselt: funktsiooni f nimetatakse kasvavaks, kahanevaks, mittekahanevaks või mittekasvavaks hulgas X, kui funktsiooni f ahend hulgale X on vastavalt kasvav, kahanev, mittekasvav või mittekahanev.
Üks ja sama funktsioon võib seega olla oma lähtehulga ühes alamhulgas kasvav, teises kahanev.
Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis punktis.
Olgu "a" funktsiooni "f" määramispiirkonna sisepunkt. Funktsiooni "f" nimetatakse
Diferentseeruva funktsiooni monotoonsusomadused.
Olgu funktsioon "f" on diferentseeruv mingis oma määramispiirkonna sisepunktis "a". Siis kehtivad järgnevad väited (need tulenevad otse piirväärtuse monotoonsusest):
Olgu funktsioon "f" pidev mingis lõigus ["a", "b"] ning diferentseeruv vahemikus ("a", "b"). Lagrange'i keskväärtusteoreemist ja piirväärtuse monotoonsusest saab siis lihtsasti tuletada, et funktsioon "f" on lõigus [a, b]
Märgigem, et esimese kahe väite puhul kehtib järeldumine vastupidises suunas üldjuhul ei kehti: näiteks funktsioon f(x)=x3 on küll kasvav kogu reaalteljel, kuid tema tuletis punktis 0 on 0.