Pii

 [pii] ehk Archimedese konstant on matemaatiline konstant, mis on võrdne tasandil paikneva ringjoone pikkuse ja diameetri suhtega (see suhe ei sõltu ringjoone ega diameetri valikust). formula_1 ligikaudne väärtus on 3,14159.
Seda suurust on tähistatud kreeka tähe formula_1-ga alates 18. sajandi keskpaigast.
Kuna formula_1 on irratsionaalarv, siis ei saa seda esitada kahe täisarvu jagatisena (murde, nagu näiteks 22/7, kasutatakse formula_1 ligikaudsete väärtustena, aga ükski murd ei saa olla selle täpne väärtus). Selle tõttu on formula_1 kümnendesitus lõpmatu ning samuti ei teki kümnendesituses korduvaid jäädavaid mustreid. Arvatakse, et formula_1 kümnendesituse numbrid on juhuslikult jaotunud. 
Lisaks on formula_1 transtsendentaalne arv ehk arv, mis ei ole ühegi 0-ist erineva ratsionaalarvuliste kordajatega polünoomvõrrandi lahendiks.
Matemaatikud on tuhandeid aastaid püüdnud suurendada oma teadmisi formula_1-st, arvutades selle väärtust suure täpsusega. Enne 15. sajandit kasutasid matemaatikud, nagu Archimedes ja Liu Hui, geomeetrilisi meetodeid, mis baseerusid hulknurkadel, et hinnata formula_1 väärtust. Umbes 15. sajandil põhjustasid uued lõpmatutel jadadel põhinevad algoritmid revolutsiooni formula_1 arvutamises. 20. ja 21. sajandil avastasid matemaatikud ja arvutiteadlased uued lähenemised, mis ühendatuna aina kasvava arvutusvõimsusega võimaldasid hüppeliselt suurendada väljaarvutavate komakohtade arvu. Augustis 2010 anti teada, et formula_1 väärtusest on kindlaks tehtud 5 triljonit komakohta. Sellega purustati alles sama aasta algul püstitatud varasem rekord, mis oli 2,7 triljonit komakohta. 2011. aastal arvutati üle 10 triljoni formula_1 komakoha . Teaduslikes arvutustes ei kasutata tavaliselt rohkem kui 40 komakohta. Peamine motivatsioon selliste arvutuste tegemiseks on seega inimkonna soov purustada rekordeid, kuid formula_1 komakohtade leidmisega seonduvaid mahukaid arvutusi on kasutatud ka superarvutite ja suure täpsusega korrutusalgoritmide võimekuse hindamiseks.
Kuna formula_1 definitsioon on seotud ringjoonega, siis leidub seda paljudes trigonomeetria ja geomeetria valemites. Eriti nendes, mis on seotud ringide, ellipsite ja sfääridega. Seda esineb ka teistes teadusvaldkondades, nagu näiteks kosmoloogias, arvuteoorias, statistikas, fraktalites, termodünaamikas, mehaanikas ja elektromagnetismis. Kuna formula_1 esineb nii paljudes teadusharudes, siis on ta ka üks enim tuntud matemaatilisi konstante nii teadlaste kui ka üldise populatsiooni hulgas. formula_1 kohta on ilmunud mitu raamatut ja tema ülistamiseks peetakse ka Pii päeva. Lisaks jõuavad uued rekordid formula_1 arvutamisest tihti uudistesse. Samuti võistlevad inimesed formula_1 komakohtade meelde jätmises. Praegune rekord on üle 67 000 komakoha.
Nimi.
Matemaatikud kasutavad ringi ümbermõõdu ja diameetri suhte tähistamiseks kreeka tähte formula_1. Seda tähte ja sealt tulenevalt ka suurust formula_1 võib kirjutada ladina sõnaga "pi". Väikest formula_1-d ei tohi ajada segamine suure formula_22-ga, millega tähistatkse matemaatikas jada liikmete korrutist.
Definitsioon.
Enamasti on formula_1 defineeritud kui ringjoone ümbermõõdu suhe tema diameetrisse:
formula_24
Suhe "C/d" on konstant, hoolimata ringjoone suurusest. Näiteks kui ühe ringjoone diameeter on kaks korda pikem kui teise ringjoone diameeter, siis on ka tolle ringjoone ümbermõõt 2 korda suurem, säilitades nii suhte "C/d" väärtuse. See formula_1 definitsioon eeldab kaudselt eukleidilist geomeetriat. Ringjoone tähendust saab laiendada ka mitte-eukleidilistesse ruumidesse, aga need uued ringjooned ei rahulda enam võrdust formula_1="C/d". Eksisteerivad ka teistsugused formula_1 definitsioonid, mis ei ole seotud ringijoontega. Näiteks on formula_1 kaks korda suurem vähimast positiivsest x-ist, mille korral cos(x) võrdub nulliga.
Omadused.
formula_1 on irratsionaalarv, mis tähendab, et seda ei saa esitada kahe täisarvu suhtena (murde, nagu näiteks 22/7, kasutatakse formula_1 ligikaudsete väärtustena, kuid ei leidu ühtegi lõplikku murdu, mis oleks selle täpne väärtus). Kuna formula_1 on irratsionaalarv, siis on selle kümnendesitus lõpmatu ning kümnendesituses ei teki lõpmatult korduma jäävaid mustreid. formula_1 irratsionaalsust saab tõestada 
mitmel moel. Enamik neid mooduseid kasutab diferentsiaal- ja integraalarvutuse meetodeid, tõestades, et vastandjuhul tekiks matemaatiline vastuolu. Arvu π irratsionaalsusmõõt (ratsionaalarvudega lähendatavuse aste) ei ole täpselt teada; see on suurem või võrdne arvu e irratsionaalsusmõõduga ja väiksem kui Liouville'i arvudel.
formula_1 on transtsendentne arv, mis tähendab, et see ei ole ühegi ratsionaalarvuliste kordajatega polünoomvõrrandi, nagu näiteks
formula_34,
lahendiks. formula_1 transtsendentaalsusest tulenevad kaks järeldust. Esiteks ei saa formula_1 -d esitada ühegi ratsionaalarvu ja n-astme juure kombinatsioonina. Teiseks, kuna transtsendentaalse arvu pikkust külge ei saa konstrueerida sirge ja kompassi abil, siis ei ole ka võimalik konstrueerida sirge ja kompassi abil ruutu, mille pindala oleks võrdne etteantud ringi pindalaga.
formula_1 kümnendesituses esinevad numbrid ilma nähtavate mustriteta ja vastavad seniste arvutuste põhjal statistilisele juhuslikkusele. Samuti paistab, et formula_1 rahuldab normaalsuse testi tingimusi. Lõpmatut arvu nimetatakse normaalseks, kui kõik võrdse suvalise pikkusega numbrikombinatsioonid esinevad sarnase tõenäosusega. formula_1 normaalsust ei ole suudetud veel tõestada ega ümber lükata. Alates arvutite loomise perioodist on teadlastel olnud teada hulgaliselt formula_1 komakohtade väärtusi, mida statistiliselt analüüsida. Yasumasa Kanada on uurinud formula_1-d statistilise analüüsi vaatenurgast ning leidnud, et formula_1 numbrid vastavad seniste andmete põhjal normaalsuse tingimusele.
Ligikaudne väärtus.
Mõned ligikaudsed formula_1 väärtused:
Ajalugu.
Antiikaeg.
Esimesed kirjalikud viited formula_1 ligikaudsest väärtusest pärinevad Egiptusest ja Babülooniast. Mõlemad hindasid formula_1 väärtust vähem kui 1% veaga. Babülooniast on leitud ajavahemikust 1900–1600 eKr pärinev savitahvel, millel kasutatakse formula_1 väärtusena formula_53. Egiptusest on pärit papüürus, mille valmistamise ajaks hinnatakse 1650 eKr ja millel on valem ringi pindala leidmiseks. Seal kasutatakse formula_1 väärtusena formula_55.
Indiast on leitud aastast 600 eKr pärinevaid viiteid, milles formula_1 väärtuseks hinnati 
formula_57. 150 eKr Indiast pärit leidude põhjal võib öelda, et kasutatud on ka hinnangut formula_58.
Hulknurga lähenduse ajastu.
Esimene teadaolev algoritm, mille põhjal formula_1 väärtusi arvutati, põhines geomeetrilisel lähenemisel, kasutades hulknurki. 
Algoritm seisnes selles ,et ringi sisse konstrueeritakse korrapärane hulknurk, mille tipud toetuvad ringjoonele, ning ringjoonest välja konstrueeritakse korrapärane hulknurk, mille küljed on ringjoone puutujateks. Mida suurem on hulknurkade nurkade arv, seda täpsemalt saab määrata ringjoone pikkuse ja sealt tulenevalt formula_1 väärtuse.
Selle algoritmi mõtles 250 eKr välja kreeka matemaatik Archimedes ning too meetod valitses ilma eriliste alternatiivideta
üle 1000 aasta formula_1 arvutamise valdkonnas. Hulknurga algoritmiga jõudsid matemaatikud 39 komakoha täpsuseni 1630. aastal. See rekord purustati alles 1699. aastal, kui lõpmatute jadade meetodit kasutades jõuti 71 komakoha täpsuseni.
Lõpmatute jadade ajastu.
India matemaatik Madhava (1350–1425) avastas esimesena võimaluse avaldada formula_1 kuitahes täpne väärtus lõpmatu jada kujul.
Kuna aga Euroopasse see avastus ei jõudnud, loetakse lõpmatute jadade abil formula_1 väärtuse avaldajaks G.W. Leibnitzit ja J. Gregoryt.
Lõpmatute jadade uurimise areng 16. ja 17. sajandil põhjustas revolutsiooni formula_1 arvutamises. Lõpmatud jadad võimaldasid matemaatikutel arvutada formula_1-d täpsemalt, kui seda olid teinud geomeetrilisi meetodeid kasutanud õpetlased. 1699. aastal arvutas inglise matemaatik Abraham Sharp formula_1 väärtuse 71 komakoha täpsusega, kasutades Gregory–Leibnizi jada.
formula_67
See jada on võrdne formula_1/4, kui arvutada selle väärtus kohal z = 1.
Motivatsioon π arvutamiseks.
Enamikus numbrilistes arvutustes, kus kasutatakse formula_1 väärtust, piisab vähestest komakohtadest, et tagada vajalik täpsus. Jörg Arndti ja Christoph Haeneli järgi läheb enamikus kosmoloogilistes arvutustes vaja 39 komakohta, sest sellise hulga juures saab arvutada nähtava universumi ruumala ühe aatomi ruumala täpsusega. Hoolimata sellest on inimesed näinud suurt vaeva, et arvutada tuhandeid ja miljoneid formula_1 komakohti. Seda püüet võib osaliselt seletada inimkonna sooviga purustada rekordeid ja sellised saavutused jõuavad sageli uudistesse üle maailma. Samas leidub ka praktilisi põhjuseid. Näiteks hinnatakse sedasi superarvutite võimsust ja numbrilise analüüsi algoritme (kaasa arvatud suure täpsusega korrutamise algoritmid) ning ka matemaatikas kasutatakse saadavat infot formula_1-s esinevate numbrikombinatsioonide juhuslikkuse uurimiseks.
π arvuteoorias.
Arvuteoorias kohtab arvu formula_1 tihti. Järgnevalt on toodud mõned näited: