Fermat' printsiip

Fermat' printsiip (Pierre de Fermat' järgi) või vähima aja printsiip on printsiip optikas, mis väidab, et valguskiir punktist A punkti B levib mööda teed, mille läbimiseks kulunud aeg on minimaalne.
Fermat’ printsiibist on võimalik tuletada valguse murdumis- (Snelli seadus) ja peegeldumisseadus kahe erineva optilise keskkonna piirpinnal.
Ajalugu.
Aleksandria Heron uuris oma teoses "Catoptrica" valguse peegeldumist, kus ta väitis, et valgus läbib punktist S punkti P peegeldumisel sellise tee, mis on kõige lühem.
1637. aasta alguses kirjutas Descartes oma teoses "Dioptrique", kuidas valgus levib vees ja leidis valemi vähima aja jaoks, ent kasutas olukorra piltlikustamiseks väga veidraid näiteid ega rääkinud katsetest valguse endaga.
Üldise põhimõtte vähima aja printsiibi jaoks avaldas Fermat oma kirjas 1. jaanuaril 1662 Cureau de la Chambre'ile. Kirja sisu kohtas aga tugevat vastuseisu Descartesi austajalt Claude Clerselier'lt, kes oli omal ajal tugev ekspert optikas. Clerselier, nagu ka teisedki Descartesi austajad, ei uskunud, et valguse levimiseks kuluks õhus vähem aega kui vees.
Kaasaegne käsitlus.
Valguse poolt lõpmatult väikse lõigu "ds" läbimiseks on vajalik aeg formula_1 , kus "v" on valguse kiirus keskkonna antud punktis. Asendades kiiruse valemist formula_2 kus "c" on valguse kiirus vaakumis ning "n" keskkonna murdumisnäitaja, näeme, et formula_3 . Järelikult saame punktide A ja B vahelise tee läbimiseks kuluva aja arvutada valemist.
formula_4
Fermat’ printsiibi kohaselt peab "t" olema minimaalne. Kuna valguse kiirus vaakumis on konstantne siis ekstreemumi tingimus kehtib ka järgneva suuruse kohta.
formula_5
Suurust "L" nimetatakse optiliseks teepikkuseks. Homogeenses keskkonnas on optiline teepikkus võrdne geomeetrilise teepikkuse "s" ja murdumisnäitaja "n" korrutisega.
formula_6
Lähtuvalt eelnevast võib Fermat’ printsiibi formuleerida järgmiselt: valgus levib mööda sellist teed, mille optiline teepikkus on minimaalne.
Peegeldumisseadus.
Vaatleme peegeldumist kahe keskkonna piirpinnal punktis C (vaata joonist). Kuna valgus levib ühes keskkonnas, siis valguse kiirus on konstantne ning seeläbi vähima aja leidmine taandub minimaalse teepikkuse leidmisele.
Kogu optiline teepikkus: formula_7
Leiame sellise "c" koordinaadi, millele vastab minimaalne optiline teepikkus. Selleks leiame funktsiooni formula_8 miinimumi:
formula_9
ehk
formula_10
formula_11
formula_12
kuna formula_13, siis formula_14
Vaatame, millega võrduvad nurkade formula_15 ja formula_16 tangensid ja võrdleme neid omavahel.
formula_17 
formula_18
formula_19
Näeme, et nurgad on võrdsed. Seega saamegi peegeldumisseaduse ühe tingimuse, mis ütleb, et valguse langemisnurk on võrdne peegeldumisnurgaga.
Murdumisseadus.
Kuna valgusel on eri keskkondades erinev kiirus, siis punktist A punkti B liikumisel ei ole sirgjooneline liikumine ajaliselt kõige optimaalsem. Tinglikult öeldes soovib valgus võimalikult palju liikuda seal, kus saab kiiresti liikuda, ning vastupidi: võimalikult vähe seal, kus liikumine on aeglasem. Seega keskkondade piirpinnal valguskiir muudab oma suunda – murdub.
Murdumisnurk formula_20 sõltub (vaata joonist):
formula_21
formula_22
formula_23
Kogu ajavahemik:
formula_24 
Funktsiooni formula_25 miinimumi leidmine:
formula_26
Jooniselt on näha, et formula_27 ja formula_28
Seose formula_29 ehk formula_30 saamine
Valguse levimine lineaarselt muutuva murdumisnäitajaga keskkonnas formula_31.
Aja integraali minimeerimine: formula_32
formula_33 ning formula_34
formula_35 
Selleks, et eelnevat integraali minimeerida, kasutatakse Euleri-Lagrange'i võrrandit.
formula_36 
Kus formula_37 on Lagrange'i funktsioon. Antud juhul formula_38
Kuna formula_39 , siis formula_40, kus formula_41
Edasi teisendades
formula_42
formula_43
formula_44
formula_45
formula_46
formula_47
Konstandid saab leida tingimustest:
formula_48 ja formula_49
või
formula_48 ja formula_51
Teisel juhul:
formula_52 
formula_53
ja kasutades seost formula_54, saame
formula_55
Asendades eelneva konstandi avaldisse formula_56,saame
formula_57
Kokkuvõttes 
formula_58
Looduses.
Sipelgad käituvad üsna sarnaselt valgusega, valides punktist A punkti B liikumisel enda jaoks kõige optimaalsema teekonna. Kui neil on valida mitme trajektoori vahel, kus kõige lühem tee ei pruugi ajaliselt olla kõige kiirem, siis nad valivad raja, mis võtab liikumiseks kõige vähem aega, täpselt nagu valgus.