Tee (topoloogia)

Topoloogias nimetatakse teeks (või mõnikord parametriseeritud jooneks) topoloogilises ruumis "X" pidevat kujutust "f" ühiklõigust "I" = [0,1] (mõnikord ka mis tahes lõigust, sel juhul samastatakse tee parametriseeritud joonega) ruumi "X"
"f" : "I" → "X".
Tee alguspunkt on "f"(0), tee lõpp-punkt on "f"(1). Sageli räägitakse "teest punktist "x" punkti "y"", kus "x" ja "y" on tee algus- ja lõpp-punkt. Tee ei ole lihtsalt ruumi "X" alamhulk, mis "näeb välja nagu" joon, vaid kätkeb ka parametriseeringut. Näiteks kujutused "f"("x") = "x" ja "g"("x") = "x"² tekitavad kaks erinevat teed 0-st 1-ni reaalsirgel.
Aas ruumis "X" baaspunktiga "x" ∈ "X" on tee punktist "x" punkti "x". Aasa võib defineerida ka kujutusena "f" : "I" → "X", mille korral "f"(0) = "f"(1), või pideva kujutusena ühikringjoonelt "S"1 ruumi "X"
"f" : "S"1 → "X".
Viimane tuleneb sellest, et ruumi "S"1 võib pidada ruumi "I" faktorruumiks 0 ja 1. Kõigi aasade hulk ruumis "X" moodustab ruumi, mida nimetatakse ruumi "X" aasruumiks .
Topoloogilist ruumi, mille mis tahes kaht punkti ühendab tee, nimetatakse lineaarselt sidusaks. Iga ruumi saab lahutada lineaarselt sidusateks komponentideks. Ruumi "X" lineaarselt sidusate komponentide hulka tähistatakse sageli π0("X").
Teed ja aasad saab defineerida ka punkteeritud ruumidel, mis on olulised homotoopiateoorias. Kui "X" on topoloogiline ruum fikseeritud punktiga "x"0, siis tee ruumis "X" on tee, mille alguspunkt on "x"0. Samamoodi on aas ruumis "X" aas punktis "x"0.
Teede homotoopia.
Teed ja aasad on algebralise topoloogia haru homotoopiateooria kesksed uurimisobjektid. Teede homotoopia eksplitseerib tee pideva otspunkte säilitava deformatsiooni mõiste. 
Teede homotoopia ruumis "X" on niisuguste "I" järgi indekseeritud teede "f""t" : "I" → "X" pere, et: 
Öeldakse, et teed "f"0 ja "f"1 on homotoopsed (ehk täpsemalt lineaarselt homotoopsed), kui nad on seotud homotoopiaga. Analoogselt võib defineerida baaspunkti säilitava aasade homotoopia. 
Homotoopsus on teede ekvivalentsusseos topoloogilises ruumis. Tee "f" ekvivalentsiklassi selle seose järgi nimetatakse tee "f" homotoopiaklassiks ning seda tähistatakse sageli ["f"].
Teede kompositsioon.
Teede kompositsiooni topoloogilises ruumis saab moodustada ilmsel viisil. Olgu "f" tee punktist "x" punkti "y" ja "g" tee punktist "y" punkti "z". Tee "fg" defineeritakse kui tee, mis saadakse, kui läbitakse kõigepealt "f" ning seejärel "g":
formula_1
Teede kompositsioon on muidugi defineeritud ainult juhul, kui tee "f" alguspunkt langeb kokku tee "g" alguspunktiga. Kui vaadelda aasu punktis "x"0, siis teede kompositsioon on binaarne tehe. 
Teede kompositsioon (kui see on defineeritud), ei ole assotsiatiivne, sest parametrisatsioon on erinev. Küll aga on see assotsiatiivne homotoopia täpsusega, st [("fg")"h"] = ["f"("gh")]. Teede kompositsioon määrab aasade homotoopiaklasside hulgal ruumis "X" baaspunktiga "x"0 rühma struktuuri. Saadavat rühma nimetatakse ruumi "X" fundamentaalseks rühmaks punktis "x"0 ja seda tähistatakse tavaliselt π1("X","x"0).
Tee ruumis "X" võib defineerida pideva kujutusena lõigust [0,"a"] ruumi "X" mis tahes reaalarvu "a" ≥ 0 puhul. Niisugusel teel "f" on pikkus |"f"|, mis defineeritakse kui "a". Teede kompositsioon defineeritakse siis teatud muudatusega: 
formula_2
Kui eelmises definitsioonis on teedel "f", "g" ja "fg" pikkus 1, siis selle definitsiooni järgi |"fg"| = |"f"| + |"g"|. Eelmises definitsioonis rikkus assotsiatiivsuse see, et kuigi teedel ("fg")"h" ja "f"("gh") on sama pikkus 1, on tee ("fg")"h" keskpunkt "g" ja "h" vahel, aga tee "f"("gh") keskpunkt on "f" ja "g" vahel. Muudetud definitsioonis on teedel ("fg")"h" ja "f"("gh") sama pikkus, nimelt |"f"|+|"g"|+|"h"|, ja sama keskpunkt, nimelt (|"f"|+|"g"|+|"h"|)/2. Ja isegi parametrisatsioon on sama.
Fundamentaalne rühmoid.
Mis tahes topoloogiline ruum "X" tekitab kategooria, mille objektid on ruumi "X" punktid ja morfismid on teede homotoopiaklassid. Et mis tahes morfism selles kategoorias on isomorfism, on see kategooria rühmoid, mida nimetatakse ruumi "X" fundamentaalseks rühmoidiks. Aasad selles kategoorias on endomorfismid (kõik need on tegelikult automorfismid). Punkti "x"0 automorfismide rühm ruumis "X" on lihtsalt selle punktiga seotud fundamentaalne rühm ruumis "X". Saab defineerida fundamentaalse rühmoidi ruumi "X" mis tahes alamhulgas "A", kasutades alamhulga "A" punkte ühendavate teede homotoopiaklasse. Seda konstruktsiooni kasutatakse näiteks seoses Seiferti – van Kampeni teoreemiga.
Teed normeeritud ruumis.
Normeeritud ruumis saab punkte ühendavate teede loomust täpsustada.
Sirge tee on tee, mida saab esitada kujul formula_3 kõikide formula_4 puhul. Vektorit formula_5 nimetatakse tee formula_6 juhtvektoriks. Tee kujutiseks olev joon on siis sirge lõik. 
Murdjooneline tee on tee, mis on esitatav lõpliku arvu sirgete teede kompositsioonina. Tee kujutiseks olev joon on murdjoon.