Signaali eraldus

Signaali eraldus on protsess, mille käigus eraldatakse ühest signaalide „segust“ ehk liitsignaalist kõik algsed komponendid ehk algsignaalid. Enamasti räägitakse signaali eralduse korral BSS-ist ehk "Blind Signal Separation"-ist (otsetõlkes: tundmatute signaalide eraldus), mis kujutabki liitsignaali lahutamist algseteks signaalideks, kasutades ainult olemasolevat liitsignaali. Kuigi sõna "blind" ehk n-ö tundmatust sisaldav on negatiivse alatooniga, siis tegelikkuses tähistab see hoopis võimekust lahutada igat signaali algkomponentideks.
Matemaatiline olemus.
Kui aegruumi algsignaali komponente on formula_1, siis saab kujutada neid formula_2 maatriksina: formula_3.
Signaalide omavahelisel liitumisel peab summa sisaldama kindla arvu kõiki komponente. Selleks et signaale lahutada, kasutatakse formula_4 arv sensoreid, millest igaüks salvestab kõiki algsignaale. Levinuim näide on kokteilipeoefekt. Kui peol räägib palju inimesi korraga ning sensoriteks on mitmed mikrofonid, siis salvestabki iga mikrofon igat kõnelejat, kuid erinevatel mikrofonidel on erinevad hääle allikad erinevalt kuulda. 
Seega saab signaalide summa kujutamiseks kasutada kordajate maatriksit formula_5, millega korrutatakse läbi kõik algsignaalid. Maatriksi formula_5 mõõtmed on formula_7 (eelneva näite korral ongi tarvis formula_4 korda formula_1 kordajat, sest igale mikrofonile rakendub iga signaal erineva „kordajaga“), kus enamasti formula_10 ning milles on välja toodud iga vastava sisendsignaali ning loodud summa elemendi kordaja: formula_11.
Siiski võib tekkida ka olukord, kus formula_12. Juhul kui formula_13, on tegu ülemääratud süsteemiga, kus võrrandeid on rohkem kui tundmatuid. Sel juhul kasutatakse algkomponentide leidmiseks vähimruutude meetodit või lineaarteisendusi. Kui formula_14, on tegu alamääratud süsteemiga, kus tehakse algkomponentide leidmiseks rohkem eeldusi ja kasutatakse mittelineaarteisendusi.
Kuna uuritava signaali moodustavad kõik algsed komponendid, siis on ka uuritav signaal lõpuks formula_15 maatriks, mille elementideks on vastavate kordajatega läbi korrutatud formula_16 elementide summad: formula_17.
formula_18, formula_19
Seega seisneb BSS-i idee formula_16 leidmises, kui on teada formula_21. Selle tarvis luuakse uus formula_22 maatriks, mis suudab teisendada uuritava signaali taas algkomponentideks: formula_23.
Saadav tulemus formula_24 ei pruugi olla täpselt sama algsignaalide maatriksiga, kuid see on siiski ligilähedane: formula_25.
Meetodid.
Independent Component Analysis.
ICA (otsetõlkes: eraldiseisvate komponentide analüüs) seisneb kolmel põhitõel:
Algsignaalid peaksid olema Gaussi kõverast erinevad, kuna tsentraalse piirteoreemi kohaselt hakkavad piisavalt suure valimi korral suvalised väärtused sarnanema normaaljaotusele ehk Gaussi kõverale. ICA puhul eeldatakse, et suvalisteks väärtusteks on signaalide komponendid, mistõttu võib öelda, et signaalide liitumisel saadud summad hakkavad lähenema normaaljaotusele. Sellest võib järeldada, et mida rohkem erineb saadud signaal Gaussi kõverast, seda tõenäolisemalt on tegu algsignaaliga. Sarnaselt oletatakse, et mida lihtsam on signaal, seda suurema tõenäosusega on tegu algsignaaliga.
ICA kasutamisel genereeritakse maatriks formula_23, mille korrutis liitsignaaliga vastab potentsiaalsele algsignaalide maatriksile. Saadud maatriksit formula_24 võrreldakse eelnevalt mainitud põhitõdedega. Eraldiseisvuse korral arvestatakse, kui palju sarnaneb saadud algsignaal etteantud signaalide summaga. Gaussi kõveruse korral jälgitakse ekstsessi ja asümmeetriakordajat (normaaljaotust kirjeldavad parameetrid).
Dependent Component Analysis.
Sarnaselt ICA-le jagab DCA (otsetõlkes: sõltuvate komponentide analüüs) signaalide summa tagasi algsignaalideks, kuid erinevalt ICA-st ei jaga DCA signaale üksikuteks signaalideks, vaid signaalide hulkadeks. DCA jagab algsignaalid hulkadesse, kus iga element mõjutab teisi elemente.
Principal Component Analysis.
PCA (otsetõlkes: põhikomponentide analüüs) ideeks on algsignaali vektorite leidmine. Selleks kasutatakse SVD ("Singular Value Decomposition", otsetõlkes: üksikväärtusteks jagamine) ja NMF ("Non-Negative Matrix Factorization", otsetõlkes: mittenegatiivse maatriksi tegurdamine) meetodeid. SVD puhul kasutatakse algkomponentide leidmiseks omavektoreid (inglise keeles: ). Omavektorid on nullvektorist erinevad vektorid, mida kasutatakse lineaarteisendustes.
Standardses NMF meetodis on antud formula_22 maatriks formula_29, millest luuakse formula_30 maatriks formula_31 ning formula_32 maatriks formula_33, mille korral formula_34 ning formula_35. Saadud maatriksite formula_31 ja formula_33 väärtused ja rollid sõltuvad konkreetsetest arvutustest, mistõttu on NMF universaalne vahend.
Stationary Subspace Analysis.
SSA (otsetõlkes: statsionaarse alammaatriksi analüüs) meetodis kujutatakse formula_38 maatriksit formula_29 sarnaselt matemaatilisele definitsioonile: formula_40. Erinevus seiseneb maatriksite formula_5 ja formula_42 sisudes – mõlemates on elemendid jagatud liikuvateks ning statsionaarseteks ehk püsivateks. Statsionaarsuse all peetakse silmas väärtuste konstantsust ajas. Meetod on vajalik juhtudel, kus on tarvis tuvastada ajutisi muutusi signaalides.
Common Spatial Pattern.
CSP-d (otsetõlkes: ühine ruumiline muster) kasutatakse enamasti elektroentsefalograafias (EEG), et eraldada ajukoorest saabuvaid signaale. Meetodis muudetakse liitsignaal lineaarteisendustega väiksemateks maatriksiteks, mille kovariatsioone uurides on võimalik leida sõltuvusi etteantud ja algsignaalide vahel.
Kasutusalad.
Signaali eraldust kasutatakse väga laiaulatuslikult. Üldiseks kasutusalaks on erinevate mürade vähendamine ning signaalide töötlemine. Pilditöötluses kasutatakse BSS-d näiteks peegelduste eemaldamisel, helinduses häälte eraldamiseks (nt kokteilipeoefekt), meditsiinis elektrokardiogrammis (nt lapse ja ema südamete töö eristamiseks) ning magnetresonantstomograafias (aju mitmed osad kiirgavad infot ning neid on vaja eristada). Lisaks kasutatakse signaali eraldust statistikas korrelatsioonide leidmiseks ja telekommunikatsioonis.