Liitintress

Liitintress on intress, mis arvutatakse laenu või deposiidi põhisummalt ja sellele lisandunud eelmiste perioodide kogunenud intressidelt. Liitintress on tulemuseks, kui intress reinvesteeritakse, selle asemel et see välja maksta.
Albert Einsteinile omistatakse sageli ütlust "Liitintress on kaheksas maailmaime. Kes sellest aru saab, teenib seda. Kes ei saa, maksab seda". Ei ole mingit viidet või tõendusmaterjali, et Einstein seda päriselt öelnud oleks, aga tähenduslik on see tsitaat sellegipoolest.
Liitintressi võib võrrelda lihtintressiga, mille puhul varasema perioodi intressi ei lisata põhisummale, seega liitintressi efekti ei teki. Lihtintressimäär on perioodi intress korrutatud perioodide arvuga. Seda nimetatakse ka vahel nominaalseks intressimääraks (sama nimetust kannab ka inflatsiooni mittearvestav intressimäär, mis võib tekitada segadust).
Liitintressi arvutatakse nii:
formula_1,
kus:
"P" on algne põhisumma;
"P"' on uus põhisumma;
"r" on intressimäär;
"n" on põhisumma ümberarvutamise sagedus (näiteks kui "r" on intressimäär aastas, aga liitintressi arvutatakse iga kuu, siis "n" = 12);
"t" on aeg, mille jooksul intressi akumuleerumist vaadeldakse. "t" ühik on sama, millise ajaühiku kohta on antud intressimäär "r".
Liitumise sagedus.
Liitumise sagedus näitab, mitu korda aastas (või mõne muu ajaühiku jooksul) kogunenud intressi regulaarselt välja makstakse või kapitaliseeritakse. Levinud sagedused on üks, kaks või neli korda aastas; kord kuus; iga nädal; iga päev või pidev liitumine.
Näiteks kui intress makstakse välja kord kuus ja intressimäär on selle aasta kohta, tähendab see, et liitumise sagedus on 12 ning perioodi mõõdetakse kuudes.
Liitumise efekt sõltub
Liitintressi kalkulaator on töövahend, mis võimaldab liitintressi efekti arvesse võttes investeeringute väljamaksete või laenumaksete suurusi arvutada.
Iga-aastane maksemäär.
Nominaalne intressimäär ei võimalda eri finantsinstrumente üksüheselt võrrelda, kui neil on erinevad liitumise sagedused. Arvesse tuleb võtta mõlemat suurust (ja võimalikke muid kulusid).
Paremaks võrdlemiseks on tuletatud suurus nimega iga-aastane maksemäär või krediidi kulukuse määr. Et tarbijatel oleks eri laene ja muid instrumente lihtsam omavahel võrrelda, on paljudes riikides finantsteenuste pakkujatel kohustuslik näidata nende krediidi kulukuse määrasid (näiteks "aastane protsendimäär", "aastane ekvivalentmäär", "efektiivne intressimäär"). Krediidi kulukuse määr näitab keskmiselt, kui palju aastas finantsinstrumendi kohta intressi koguneb. Selle arvutamisel on kaks aspekti.
Laenude intressimäärade matemaatika.
Perioodiline liitumine.
Perioodi jooksul kogunenud vara kokku, kaasa arvatud põhisumma, saadakse valemiga
formula_1
Kogu vaadeldava perioodi liitintress on lõppväärtuse ja algse põhisumma vahe:
formula_3
Näide 1.
Oletagem, et 1500 € hoiustatakse pangas põhisummana, mis teenib aastast intressi 8%. Liitintressi arvutamise periood on kaks korda aastas.&lt;br&gt;Seega saab konto seisu peale nelja aastat leida ülaltoodud valemit nii kasutades: "P" = 1500, "r" = 0,08 (8%), "n" = 2 ja "t" = 4:
formula_4
Uus põhisumma formula_5 peale kuut aastat on ligikaudu 2052.85 €.
Lahutades sellest algse põhisumma, saame teada kogutud intressisumma:
formula_6
Näide 2.
Oletagem, et samalt summalt – 1500 € – arvutatakse liitintressi iga kahe aasta järel.&lt;br&gt;Seega saab kogusumma kuue aasta järel leida samuti eeltoodud valemiga, kusjuures algandmed on nüüd "P" = 1500, "r" = 0,043 (4.3%), "n" = 1/2 (intressi arvutatakse üks kord kahe aasta jooksul) ning "t" = 6:
formula_7
Kontojääk on kuue aasta järel 1921,24 €.
Lahutades sellest algse põhisumma, saame teada kogutud intressisumma:
formula_8
Intressisumma on võrreldes eelmise näitega väiksem, sest liitumise sagedus on samuti väiksem.
Akumulatsioonifunktsioon.
Kuna põhisumma "P" on valemis lihtsalt koefitsient, siis sageli jäetakse see lihtsuse mõttes ära. Kasutatakse järele jäänud akumulatsioonifunktsiooni. See funktsioon näitab, kui palju kasvab üks ühik mistahes vaadeldava ajaperioodi "t" jooksul. Akumulatsioonifunktsioonid liht- ja liitintressi jaoks on
formula_9
formula_10
Pidev liitumine.
Kui "n", iga-aastane liitintressi arvutamise sagedus, kasvab lõpmata suureks, siis nimetatakse seda pidevaks liitintressiks. Võtame selle piltlikustamiseks näite võimalikult lihtsate arvudega. Vaatame, kuidas kasvab 1 euro ühe aastaga, kui intressimäär on 100% ja sagedus 1. Olgu põhisumma "P" = 1, "r" = 1 (100%), "n" = 1 ja "t" = 1.
formula_11
Kui jätta muud tingimused samaks ja suurendada vaid intressi arvutamise sagedust ning arvutada kaks korda aastas, saame
formula_12
Arvutame intressi korra kvartalis ("n" = 4) ja saame
formula_13
Esmapilgul võib jääda mulje, justkui oleks võimalik selliselt arvutamise sagedust suurendades lõpmatult lõpptulemust kasvatada, kuid näiteks iga päev arvutades ("n" = 365) saame
formula_14
Kui "n" läheneb lõpmatusele, siis summa "P"' läheneb arvule "e". Efektiivne aastane intressimäär läheneb sellisel juhul ülempiirile "er" − 1, kus "e" on matemaatiline konstant, mis on naturaallogaritmi alus.
Kogusumma peale "t" perioodi möödumist ja pideva liitintressi rakendamist saab seega arvutada põhisumma "P"0 kaudu valemiga
formula_15
Pideva liitintressi kasutamise võimalusi.
Valemit 
formula_15
on lihtne kasutada nii "P" kui ka "P"0 arvutamiseks. Olgu meil näiteks põhisumma 100 € ja intressimäär 8%, siis kolme aasta pärast on kogusumma
formula_17 €.
Kui on teada, et saame kolme aastaga pideva liitintressi arvutamise teel 100 €, kusjuures intressimäär on 6%, siis investeeringu hetkväärtuseks "HV" saame
formula_18 €.
Veel üks pideva liitintressi häid omadusi on skaleeritavus üle erinevate perioodide. Kui intressimäär esimesel perioodil on 4% mingis teadmata ajaühikus ja teisel 3% samuti teadmata ajaühikus, siis alustades 100 euroga, kui see kasvab 120 euroni esimese aasta lõpuks ja 150 euroni teise aasta lõpuks, saame leida aastased liitintressimäärad
formula_19 ja
formula_20
Kui need kokku liita, saame kogu intressimääraks 40,55%, kuid sama oleksime ka saanud lihtsalt alg- ja lõppseisu arvestades.
formula_21
Liitintress on ajas püsiv, kuid ajas püsivus on oluline komponent riskihalduses. See tähendab, et kui üksiku perioodi intressimäär on normaaljaotusega juhuslik muutuja, siis tahame, et ka mitme perioodi juhuslikud muutujad oleksid normaaljaotusega. Mitme perioodi pideva liitintressiga arvutatud intressimäär ongi normaaljaotusega, erinevalt näiteks lihtintressist.
Pidev liitintress on enim levinud intressi arvutamise viis soovitavate omaduste (lihtsa skaleeritavuse ja ajas püsivuse) tõttu.
Liitumise alus.
Selleks et konverteerida ühe alusega intressimäära teisele alusele, tuleb kasutada
formula_22
kus
"r"1 on intressimäär liitumise sagedusega "n"1 ja
"r"2 on intressimäär liitumise sagedusega "n"2.
Kui tegu on pideva liitintressiga, siis
formula_23
kus
"formula_24" on intressimäär pideva liitintressi korral ja "r" on intressimäär liitumise sagedusega "n".
Iga kuu amortiseeruv laen või hüpoteeklaen.
Amortiseeruva ehk ühtlase igakuise maksega (kuni laen on makstud) laenu või hüpoteegi intressi arvutatakse liitintressi valemiga sageli iga kuu. Valem maksete suuruse kohta tuletatakse järgmises peatükis.
Igakuise makse täpne valem.
Igakuise makse (formula_25) täpne valem on
formula_26
või samahästi
formula_27,
kus
 formula_25 = igakuine makse;
 formula_29 = põhisumma;
 formula_30 = igakuine intressimäär;
 formula_31 = makseperioodide arv.
Selle saab tuletada, kui arvutada laenujääki igal järgmisel kuul. &lt;br&gt;Põhisumma, mis on alles peale esimest kuud, on
formula_32
See tähendab, et algsumma on vähenenud makse võrra. &lt;br&gt;Kui kogu laen makstakse tagasi ühe kuuga, siis
formula_33, seega formula_34
Peale teist kuud formula_35 on alles, seega
formula_36
Kui kogu laen makstakse tagasi kahe kuuga, siis
formula_37, so formula_38
Seda võrrandit saab üldistada "n" kuu jaoks, formula_39. See on geomeetriline jada, mille summa on
formula_40
ning mille saab teisendada kujule
formula_41
Igakuise makse ligikaudne valem.
Valem, mis peab paika mõne protsendi ulatuses, tuleneb asjaolust, et tüüpiliselt kehtib formula_42 ja koguperioodid formula_43= 10–30 aastat), seega igakuine intressimäär on märgatavalt väiksem ühest:
formula_44, seega formula_45, mis viib meid järgmise lihtsustuseni
formula_46,
mis omakorda viitab abimuutujate kasutusele võtmise mõistlikkusele
formula_47
formula_48.
Siin on formula_49 igakuine makse nullintressiga laenule, mis tuleb tagasi maksta formula_31osas. Selliste muutujatega võib lähenduse kirjutada kujul
formula_51
formula_52 on paarisfunktsioon:
formula_53
mis viitab, et seda saab ritta arendada formula_54 paarisarvuliste astmete kaudu.
Sellest omakorda järgneb, et formula_55 saab ritta arendada formula_54 paarisarvuliste astmetena pluss liige: formula_57
Kasulik on defineerida
formula_58
nii, et
formula_59,
mida saab ritta arendada:
formula_60,
kus punktid viitavad liikmetele, mis on kõrgemat järku formula_61 paarisarvuliste astmetega liikmed. Rittaarendus
formula_62
on 1% täpsusega, kui formula_63.
Hüpoteegimakse näide.
10 000 € hüpoteegi korral, mis on võetud 30 aastaks intressimääraga 4,5%, saame:
formula_64
formula_65,
mis annab
formula_66,
seega
formula_67 €
Täpne maksesumma on formula_68 €, seega lähendus oli kuuendikuprotsendine ülehinnang.
Ajalugu.
Kunagi peeti liitintressi kõige hirmsamaks liigkasuvõtmiseks ja see oli rangelt hukka mõistetud nii Rooma õiguses kui ka eri riikide tavaõiguses.
Firenze kaupmees Francesco Balducci Pegolotti pakkus ligikaudu aastal 1340 raamatus "Pratica della mercatura" välja liitintresside tabeli. See tabel annab intressid 100-liirisele laenule vahemikus 1%–8% kuni 20 aastaks.
Richard Witti raamat "Arithmetical Questions" (1613) oli liitintressi ajaloos tõeline nurgakivi. See oli pühendatud täielikult liitintressile, kuivõrd varasemad autorid olid liitintressi vaid põgusalt ühe matemaatikaõpiku peatükis käsitlenud. Witti raamat sisaldas tabeleid, mis baseerusid 10% intressimääral (tolle aja maksimaalne lubatud intressimäär laenudele) ning ka teistsugustel intressimääradel, mida kasutati muul otstarbel, näiteks kinnisvara rentimise hindamiseks. Witt oli matemaatika praktiseerija Londonis ning tema raamat saavutas tuntuse tänu väljenduse selgusele, sügavusele ja arvutuste täpsusele. Raamat sisaldas 124 elulist näidet koos põhjalike arvutuskäikudega.
Jacob Bernoulli avastas konstandi formula_69 aastal 1683, kui uuris liitintressi.