Butterworthi filter

Butterworthi filter on signaalitöötluses kasutatav lineaarne sagedusfilter, mille sageduskoste (amplituudi-sageduse karakteristik) pääsuribas (ingl passband) on tasane ning tõkkeribas (ingl stopband) sujuvalt langev.. Sellist filtrit mainis esimesena 1930. aastal Briti insener ja füüsik Stephen Butterworth oma uurimuses „On the Theory of Filter Amplifiers“.
Ülevaade.
Vaadeldes filtri sageduskostet amplituudi-faasi sageduskarakteristikul ehk Bode diagrammil, läheneb koste tõkkeribas lineaarselt miinus lõpmatusele, olenevalt filtri järgust "n": tõus on –6"n" dB oktaavi kohta (või –20"n" dB dekaadi kohta). Butterworthi filtritel on monotoonselt muutuv ülekandefunktsioon sageduse formula_1 suhtes, erinevalt mitut teist tüüpi filtrist, kus pääsuribas ja/või tõkkeribas esineb vähemal või suuremal määral lainelisust.
Võrreldes Tšebõšovi või elliptilise filtriga on Butterworthi filtri sageduskarakteristiku langus siirdealas väiksem, mille tõttu on sageli vajaliku filtreerimisvõime saamiseks kasutada kõrgemat järku filtrit.
Näide.
Butterworthi kolmandat järku madalpääsfiltri ülekandefunktsioon on avaldatav kujul:
formula_2,
kus formula_3 ja formula_4 on vastavalt filtri väljundpinge ja sisendpinge amplituud. 
Joonisel on kolmandat järku Butterworthi madalpääsfiltri skeem. Eeldades, et formula_5 F (faradit), formula_6, formula_7 H (henrit) ja formula_8 H, ning induktiivpoolide formula_9 impedants on formula_10 ja kondensaatorite formula_11 impedants formula_12, kus formula_13 on elektriahela komplekssagedus.
Selle elektriahela ülekandefunktsioon on
formula_14.
Sageduskoste amplituud formula_15 avaldub kujul
formula_16,
mis on tuletatud valemist
formula_17,
kus formula_1 on süsteemi sagedus.
Süsteemi faasinihe sageduse formula_1 korral avaldub kujul
formula_20.
Analoogselt on võimalik luua ka teisi Butterworthi filtreid:
Butterworthi filtri realiseerimine.
Analoogfiltrid.
Lineaarsete analoogfiltrite realiseerimiseks on olemas erinevaid filtri topoloogiaid. Butterworthi filtri korral on kõige sagedamini kasutusel kas Caueri (passiivkomponentidel põhinev) või Sallen-Key (aktiiv-passiivkomponentidel põhinev) topoloogia.
Kindla ülekandefunktsiooniga Butterworthi filter on esitatav esimest järku Caueri võrrandiga. Elektriahela formula_21-s element on leitav valemitega:
formula_22, kus formula_21 on paaritu arv ja formula_24 on filtri järk;
formula_25, kus formula_21 on paarisarv ja formula_24 on filtri järk.
Filter võib analoogselt alata ka jadamisi ühendatud induktiivpooliga, sel juhul on formula_28 väärtuste arvutamisel formula_21-väärtused paaritud arvud ning formula_30 formula_21-väärtused paarisarvud.
Digitaalfiltrid.
Butterworthi filtri digitaalkuju saamiseks on vajalik analoogfiltri pidev signaal ajas diskreetida. Selleks kasutatakse lineaarsete filtrite puhul näiteks bilineaarset teisendust (ingl bilinear transform).
Näiteks teist järku Butterworthi madalpääsfiltri digitaalne realisatsioon, kasutades bilineaarset teisendust, näeks välja selline:
Butterworthi analoogfiltri ülekandefunktsiooni võib esitada kujul
formula_32.
Kasutades bilineaarse teisenduse valemit
formula_33,
kus
formula_34,
leidmaks digitaalset lõikesagedust (ingl cut-off frequency) kohal formula_35 radiaani sekundis.
Eeldades, et formula_36 (lõikesagedus veerandi diskreetimissageduse juures), saame
formula_37.
Järelikult on digitaalfiltri ülekandefunktsioon esitatav kujul
formula_38
formula_39
formula_40
formula_41,
kus formula_42 on analoogfiltri ülekande funktsioon.
Filtri omadused.
Butterworthi filtri omadused:
Butterworthi filter on teiste filtritega võrreldes tasase sageduskostega, kuid ülekandetegur langeb tõkkeribas aeglasemalt kui teistel filtritel.