Cauchy jada

Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks nimetatakse (arvude, üldisemalt meetrilise ruumi punktide) jada vn, mille elemendid indeksi "n" kasvades üksteisele lõputult lähenevad, st iga etteantud positiivse kauguse korral leidub jada element, millest alates kõik jada elemendid on üksteisest etteantud kaugusest väiksemal kaugusel. 
Cauchy jadad on nime saanud prantsuse matemaatiku Augustin-Louis Cauchy järgi. Neil on matemaatilises analüüsis põhjapanev tähtsus.
Arvude fundamentaaljadad on defineeritud mingi arvuhulga suhtes (kui jutt on reaalarvudest, siis peetakse vaikimisi silmas reaalarvude hulka, aga seda hulka võidakse ka eksplitsiitselt kitsendada). Selles hulgas ei pruugi kõikidel fundamentaaljadadel piirväärtust olla, näiteks kõikidel ratsionaalarvude fundamentaaljadadel ei ole piirväärtust ratsionaalarvude seas. Kui ratsionaalarvude fundamentaaljadal ei ole piirväärtust ratsionaalarvude seas, siis reaalarvude hulga suhtes on tal piirväärtus, mis on irratsionaalarv. Iga arvuhulk on meetriline ruum. Meetrilise ruumi punktide kõik fundamentaaljadad koonduvad selles ruumis parajasti siis, kui see ruum on täielik. Reaalarvud moodustavad täieliku meetrilise ruumi, ratsionaalarvud mitte. Mittetäieliku meetrilise ruumi saab täielikustada, lisades uute elementidena nende fundamentaaljadade ekvivalentsusklassid, mis selles ruumis ei koondu. (Fundamentaaljadad on ekvivalentsed, kui nad tulevad üksteisele kui tahes lähedale). Ratsionaalarvude ruumi täielikustamisel saame reaalarvude ruumi. 
Reaalarvude fundamentaaljadad.
Definitsioon.
Reaalarvude jada formula_1 nimetatakse fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks, kui mis tahes formula_2 korral leidub indeks formula_3, millest alates kõik jada elemendid on üksteisest väiksemal kaugusel kui formula_4: 
formula_5
kus formula_6 on arvu absoluutväärtus.
formula_12.
formula_18.
Koonduv jada on fundamentaaljada.
Teoreem. Iga koonduv reaalarvude jada on fundamentaaljada. 
Tõestus. Olgu formula_19 suvaline koonduv jada piirväärtusega formula_20. Olgu formula_21. Siis leidub formula_22 nii, et kõikide formula_23 korral, nii et formula_24, kehtib 
formula_25 
Olgu formula_24 nüüd suvalised. Kolmnurga võrratusest järeldub, et 
formula_27.
Fundamentaaljada on tõkestatud.
Teoreem. Iga reaalarvude fundamentaaljada on tõkestatud.
Tõestus. Olgu formula_19 fundamentaaljada. Niisiis leidub iga formula_21 korral niisugune formula_22, et kõikide formula_31 korral formula_32. Olgu formula_33. Niisiis leidub niisugune formula_22, et kõikide formula_31 korral formula_36. Olgu formula_37, siis kõikide formula_38 korral formula_39 Seega asetsevad kõik jada elemendid formula_40, mille korral formula_38, vahemikus formula_42. Seega on kõik jada elemendid alates indeksist formula_3 ülalt tõkestatud arvuga formula_44 ja alt tõkestatud arvuga formula_45:
formula_46
Enne elementi formula_47 asetseb ainult lõplik hulk jada elemente formula_48. Need on seetõttu tõkestatud. Seetõttu on nad ülalt tõkestatud arvuga formula_49 ja alt tõkestatud arvuga formula_50. Saame:
formula_51
Kogu jada on niisiis ülalt tõkestatud arvuga formula_52 ja alt tõkestatud arvuga formula_53.
Koonduva osajadaga fundamentaaljada on koonduv.
Lemma. Iga reaalarvuline fundamentaaljada formula_19, millel on arvuks formula_20 koonduv osajada formula_56, koondub selle koonduva osajada piirväärtuseks formula_20.
Selgitus. Olgu formula_19 fundamentaaljada ja formula_56 selle fundamentaaljada koonduv osajada piirväärtusega formula_20. Fundamentaaljada formula_19 definitsiooni järgi jõuavad ja jäävad selle jada elemendid üksteisele kui tahes lähedale. Koonduva osajada elemendid jõuavad ja jäävad koonduva jada definitsiooni järgi kui tahes lähedale arvule formula_20. 
Olgu formula_21. Nüüd tuleb leida niisugune formula_22, et kõikide formula_38 korral formula_66. Alustame võrratusest
formula_66. Kui jada element formula_40 asetseb osajadas formula_56, ei ole sellega probleemi, sest piisavalt suurte indeksite puhul võrratus kehtib. Vaatleme jada elementi formula_40, mis ei ole kõnealuse osajada element. Fundamentaaljada definitsioonist järeldub, et lõpuks peab jada liikme formula_40 mis tahes ümbruses olema osajada elemente. Need aga on piirväärtusele kui tahes lähedal. Kolmnurga võrratusest järeldub, et 
formula_72
Mõlemad absoluutväärtused saab teha kui tahes väikeseks. Kui mõlemad on väiksemad kui formula_73, siis on formula_74 kindlasti väiksem kui formula_75. Alustame avaldisest formula_76. Siin leiame indeksi formula_77, mille korral kõikide formula_78 korral formula_79. Arv formula_77 leidub, sest osajada formula_56 koondub arvuks formula_20.
Vaatame nüüd teist avaldist: leidub niisugune formula_83, et kõikide formula_84 korral formula_85. Meil on formula_86 asemel formula_87. Niisiis tuleb tagada, et formula_88. Üldiselt onformula_89, sest formula_90 on naturaalarvude kasvav jada. Seega võime valida formula_91, sest siis formula_92. Et aga ka formula_93 peaks olema suurem kui formula_77, siis valime ükskõik millise formula_95. 
Muutuja formula_96 esines seni ainult avaldises formula_97. Seal me nõudsime, et kehtiksformula_84. Sellepärast me nõuame indeksilt formula_96 ainult seda, et see oleks suurem kuiformula_83. Sellepärast valime koonduvuse tõestuses formula_101.
Tõestus. Olgu formula_19 Cauchy jada ja formula_56 selle Cauchy jada koonduv osajada piirväärtusega formula_20. Olgu formula_21 suvaline. Cauchy jada definitsioonist järeldub, et leidub niisugune formula_22, et kõikide formula_31 korral formula_108. 
Täielikkus.
On ratsionaalarvude jadasid, mille liikmed küll kuhjuvad kirjeldatud viisil, kuid millel ei ole piirväärtust ratsionaalarvude hulgas. Üks näide on ratsionaalrvude jada järgmise eeskirjaga (Heroni iteratsioonivalem)
formula_109.
See jada on fundamentaaljada, aga selle piirväärtus on irratsionaalarv formula_110, nii et see ratsionaalarvude hulga piires ei koondu. Asjaolu, et paljude ratsionaalarvuliste fundamentaaljadade piirväärtused ei kuulu ratsionaalarvude hulka formula_111, viis ideeni, et reaalarve saab konstrueerida ratsionaalarvude hulga täielikustamise teel.
Fundamentaaljadad meetrilistes ruumides.
Definitsioon.
Üldisemalt defineeritakse fundamentaaljada mõiste meetrilistes ruumides formula_112, st hulkades formula_113, millel on antud meetrika formula_114. Hulga formula_113 elementide jada formula_116 nimetatakse siis fundamentaaljadaks, kui
formula_117 
See tähendab, iga reaalarvu formula_118 korral leidub indeks formula_3, nii et kõikide naturaalarvude formula_120 korral on vastavate jadaliikmete kaugus formula_121.
Samaväärne geomeetriline formuleering on järgmine: iga formula_118 korral leiduvad punkt formula_20 ja indeks formula_3, nii et kõik jada elemendid alates elemendist formula_125 asetsevad lahtises keras formula_126 raadiusega formula_4 punkti formula_20 ümber. See versioon erineb koonduvuse definitsioonist ainult selle poolest, et siin tohib keskpunkt formula_20 sõltuda raadiusest formula_4, kuna aga koonduvuse korral peab piirväärtus formula_20 olema raadiusest formula_4 sõltumatu.
Täielikkus.
Iga koonduv jada meetrilises ruumis on ka fundamentaaljada. Tõepoolest, kui jada formula_133 koondub ja selle piirväärtus on formula_134, siis leidub iga formula_118 korral indeks formula_136, nii et kõikide formula_137 korralformula_138. Koos kolmnurga võrratusega, mis meetrilistes ruumides kehtib, järeldub sellest kõikide formula_120 korral, et
formula_140
ja järelikult on see jada fundamentaaljada. Ümberpöördu ei pruugi siiski tõsi olla, mistõttu on võetud kasutusele täieliku ruumi (täieliku meetrilise ruumi) mõiste. Täielikus ruumis on definitsiooni kohaselt igal fundamentaaljadal piirväärtus ning koonduva jada mõiste langeb fundamentaaljada mõistega kokku. Ent iga mittetäieliku meetrilise ruumi saab täielikustada, moodustades fundamentaaljadade ekvivalentsusklassid. Seejuures loetakse kaks hulga formula_113 elementide fundamentaaljada formula_142 ja formula_143 ekvivalentseteks, kui 
formula_144
ehk
formula_145.
Kui ühe jada piirväärtus kuulub hulka formula_113, siis kuulub sinna ka teise jada piirväärtus ja need piirväärtused on võrdsed. 
Definitsioon.
Olgu "M" meetriline ruum kaugusega formula_147. Jada formula_148 nimetatakse fundamentaaljadaks, kui iga positiivse reaalarvu ε &gt; 0 korral leidub selline naturaalarv "N", et iga naturaalarvu "n", "m" &gt; "N" korral kehtib
formula_149.
Seda asjaolu märgitakse lühemalt kujul 
formula_150
Kui jada formula_151 on fundamentaaljada, siis öeldakse, et ta koondub fundamentaalselt. 
Erinevalt koonduvusest, mis sõltub sellest, millises ruumis jada vaadeldakse, on jada fundamentaalsus tema sisemine omadus.