Kepleri seadused

Kepleri seadused kirjeldavad planeetide liikumist ümber Päikese. 
Kolm Kepleri seadust on järgmised:
Seaduste tuletamisel ei arvestata planeetidevahelise interaktsiooniga ja eeldatakse, et piirjuhul formula_1 → 0. Kepleri seadused moodustavad hea mudeli, millega arvutada nende planeetide orbiite, mis ei erine liialt nendest piirangutest.
Ajalugu.
Johannes Kepler avastas kaks esimest seadust, analüüsides Tycho Brahe astronoomilisi vaatlusi. Oma töö avaldas ta 1609. aastal. Kolmanda seaduse avastas Kepler aastaid hiljem ja avaldas 1619. aastal. 17. sajandi algul olid Kepleri seadused radikaalsed: valdavalt usuti, et taevakehade orbiidid on ideaalsed ringid. Orbiitide elliptilisus ei olnud vaatlusel tihti arusaadav ja seega on lihtne pidada neid ringikujulisteks.
Esmalt arvutas Kepler planeedi Marss orbiiti, mis vihjas elliptilisele kujule. Sellest järeldas ta, et ka teistel taevakehadel, sealhulgas ka neil, mis asuvad Päikesest kaugemal, peavad olema elliptilised orbiidid. Kepleri seadused esitasid tõsise väljakutse senisele üldtunnustatud geotsentrilisele Aristotelese ja Ptolemaiose maailmasüsteemile ning toetasid üldjoontes Mikołaj Koperniku heliotsentrilist teooriat, ehkki Koperinku teoorias olid planeetide orbiidid ikkagi ringikujulised.
Peaaegu sajand hiljem tõestas Isaac Newton, et Kepleri seadused kehtivad kindlatel ideaalsetel tingimustel, mis piisavalt hea lähendusega esinevad Päikesesüsteemis, ning tulenevad Newtoni kolmest seadusest ja gravitatsiooniseadusest. Kuna planeetidel on mass ja massist tulenev liikumise perturbatsioon, kehtivad Kepleri seadused ainult ligikaudselt ja ei kirjelda täpselt Päikesesüsteemi sisemist liikumist. Voltaire'i 1738. aastal avaldatud "Eléments de la philosophie de Newton" oli esimene teos, kus nimetati Kepleri seadusi seadusteks. Koos Newtoni matemaatiliste teooriatega moodustavad Kepleri seadused osa tänapäeva astronoomiast ja füüsikast.
Iga planeedi orbiit on ellips, mille ühes fookuses on Päike.
Esimene seadus.
Ellips on matemaatiline kujund, mis meenutab kujult välja venitatud ringjoont. Päike ei asu ellipsi keskpunktis, vaid ühes fookustest. Ringjoon on ellipsi erijuht, kui mõlemad fookused asuvad ühessamas punktis, mis langeb kokku ellipsi keskpunktiga. Ellipsi kuju kirjeldatakse parameetriga, mida kutsutakse ekstsentrilisuseks. Ekstsentrilisus on parameeter, mis võib muutuda nullist (tavaline ringjoon) üheni (ellips, mis on fookuste kauguse tõttu nii välja venitatud, et moodustab parabooli). Päikesesüsteemi planeetide orbiitide ekstsentrilisus on väikseim Veenusel (0,007). Ometi ei erine isegi Merkuuri orbiit kuigi palju ringjoonest. Samas on avastatud taevakehi, mille ekstsentrilisus on väga suur. Nende seas on palju komeete ja asteroide. On vaadeldud ka taevakehasid, mille orbiit on paraboolne või hüperboolne.
Ellipsi võrrandi kuju polaarkoordinaatides on
formula_2
kus "r" ja "θ" on ellipsi polaarkoordinaadid, "p" on fokaalparameeter ja "ε" on orbiidi ekstsentrilisus. Kui vaatame ellipsit planeedi orbiidina kujutab "r" planeedi kaugust Päikesest ja "θ" on nurk planeedi hetkeasukoha ja Päikesele lähima asukoha vahel.
Olukorda, kus "θ" = 0° nimetatakse periheeliks, siis on planeedi kaugus Päikesest minimaalne.
formula_3
Kui "θ" = 90° või "θ" = 270°, siis kaugus on "p".
Kui "θ" = 180°, afeel, on kaugus maksimaalne.
formula_4
Pikem pooltelg "a" on aritmeetiline keskmine "rmin" ja "rmax" vahel:
formula_5
seega
formula_6
Lühem pooltelg "b" on geomeetriline keskmine "rmin" ja "rmax" vahel:
formula_7
seega
formula_8
Fokaalparameeter "p" on harmooniline keskmine "rmin" ja "rmax" vahel:
formula_9
Ekstsentrilisus "ε" on variatsioonikoefitsient "rmin" ja "rmax" vahel:
formula_10 
Ellipsi pindala on
formula_11
Erijuhul, kui on tegemist ringiga, on "ε" = 0, mis annab "r" = "p" = "rmin" = "rmax" = "a" = "b" ja "S" = "π r2".
Planeedi raadiusvektor katab võrdsetes ajavahemikes võrdsed pindalad.
Teine seadus.
Mõistmaks Kepleri teist seadust eeldame, et planeedil kulub üks päev liikumaks punktist "A" punkti "B". Jooned Päikeselt punktidesse "A" ja "B" koos planeedi orbiidiga määravad piisavalt heas lähenduses kolmnurkse ala. Olenemata, kus kohas planeet oma orbiidil paikneb, katab tiirleva planeedi liikumisele vastav raadiusvektor iga päev sama suure pindala. Nagu väidab Kepleri esimene seadus peab planeet liikuma mööda elliptilist orbiiti paiknedes seega eri aegadel Päikesest eri kaugustel. Seega peab planeet liikuma kiiremini paiknedes Päikesele lähemal ja aeglasemalt olles Päikesest kaugemal, et katta sama suur ala.
Kepleri teine seadus vastab faktile, et jõukomponent, mis on risti raadiusvektoriga, on null. Kiirus, millega liigub segment, on vastavuses impulsimomendiga ja seega esitab Kepleri teine seadus impulsimomendi jäävust. Kirjutades valemina:
formula_12
kus formula_13 on kiirus, millega pind liigub.
Tuntud ka võrdsete pindade reeglina, mis kehtib ka hüperboolsetele- ja paraboolsetele trajektooridele.
Planeetide tiirlemisperioodide ruudud suhtuvad nagu nende orbiitide pikemate pooltelgede kuubid.
Kolmas seadus.
Kolmas seadus kirjeldab suhet planeedi kauguse Päikesest ja taevakeha tiirlemisperioodi vahel. Olgu näiteks planeet A neli korda Päikesest kaugemal kui planeet B. Seega peab planeet A läbima iga tiiruga neli korda pikema vahemaa kui planeet B. Planeet A liigub kaks korda aeglasemalt kui planeet B, et säiliks tasakaal vähenenud tsentripetaaljõuga, mis tuleneb gravitatsioonilisest tõmbest. Kokku kulub planeedil A 4×2=8 korda kauem aega, et teha üks täistiir ümber Päikese kui planeedil B. See on vastavuses Kepleri kolmanda seadusega (82=43).
Kolmandat seadust tunti ka "harmoonilise seadusena", kuna Kepler kasutas seda katses määrata "kerade muusika" täpseid reegleid ja esitada neid muusikalises kirjaviisis.
Praegusel ajal kasutatakse kolmandat seadust, et kindlaks teha eksoplaneedi kaugus tähest, mille ümber see tiirleb. Kauguse määramine aitab kindlaks teha, kas planeet sobib eluks.
Valemites väljendades:
formula_14
kus T on planeedi tiirlemisperiood ja a on orbiidi pikem pooltelg.
Võrdelisuse konstant on sama iga Päikese ümber tiirleva planeedi jaoks.
formula_15
Konstandi väärtuseks tuleb 1(täheaasta)2(astronoomiline ühik)−3. Arvutades tulemuse välja saab 2.97472505×10–19 s2m−3.
millest tuleneb
formula_16
mis omakorda näitab Kepleri kolmandat seadust
formula_17}}
Üldistus.
Kepleri seadused kirjeldavad ligikaudselt kahe keha liikumist orbiidil üksteise ümber. Kahe keha massid võivad olla peaaegu võrdsed, näiteks Charon ja Pluuto (erinevus ~1:10), väikese erinevusega, näiteks Kuu ja Maa (~1:100), või suure erinevusega, näiteks Merkuur ja Päike (~1:10 000 000).
Kahe keha liikumise korral sõltub tiirlemine süsteemi barütsentrist (punkt, mille ümber kehade süsteem tiirleb), kuna kummagi keha massikese ei asu täpselt ühes ellipsi fookuses. See-eest on mõlemad orbiidid ellipsid, mille üks fookus asub barütsentris. Juhul, kui masside suhe on suur, võib barütsenter olla suurema keha sees massikeskme lähedal. Sellisel juhul on tarvis keerukat täppismõõtmist, et eristada barütsentrit suure keha massikeskmest. Taevakehadest, mis tiirlevad ümber Päikese, on suurima massiga Jupiter (masside suhe 1/1047,3486) ja Saturn (1/3497,898), seega on juba pikka aega teatud, et Päikesesüsteemi massikese võib kohati paikneda väljaspool Päikest., mõnikord kuni Päikese diameetri kaugusel Päikese keskmest. Seega Kepleri esimene seadus, ehkki ligikaudselt piisavalt täpne, ei kirjelda klassikalise füüsika abil planeetide tiirlemist ümber Päikese.
Nullekstsentrilisus.
Kui planeedi orbiidi ekstsentrilisus oleks null, siis Kepleri seaduste järgi:
Kuue planeedi, mis olid Kopernikule ja Keplerile teada, ekstsentrilisused on üpriski väikesed, mis võimaldab hea täpsusega hinnata planeetide liikumist lähtudes neist punktidest.
Kuna ühtlast ringliikumist peeti normaalseks, siis kõrvalekaldeid taolisest liikumisest peeti anomaaliateks. Kepler täiendas Koperniku mudelit, saades uuteks reegliteks: