Dünaamiline süsteem

Dünaamiline süsteem on matemaatiline süsteem, mis areneb ajas süsteemile aluseks oleva dünaamilise eeskirja järkjärgulise rakendumise kaudu. Dünaamilised süsteemid on näiteks matemaatilised mudelid, mis kirjeldavad 
planeetide liikumist, ilma, kristallide kasvamist või piljardipallide liikumist piljardilaual.
Dünaamilised süsteemid koosnevad olekute ruumist formula_1, aja väärtuste hulgast formula_2 ja dünaamikast formula_3. Olekute ruum sisaldab süsteemi kõiki võimalikke olekuid formula_4. Dünaamika on eeskiri, mille järgi süsteemi olek antud ajahetkel areneb süsteemi olekuks hilisemal ajahetkel. Matemaatiliselt on dünaamika funktsioon, mis kujutab olekute ruumi punktid olekute ruumi punktideks: formula_5.
Olekute ruum.
Muutujaid formula_6, mis kirjeldavad dünaamilist süsteemi täielikult, nimetatakse olekumuutujateks ehk olekute ruumi koordinaatideks. Olekute ruum formula_1 on olekumuutujate kõikidest võimalikest väärtustest moodustuv hulk. Olekute ruum saab olla diskreetne või pidev. Diskreetsel juhul saavad olekumuutujad võtta ainult täisarvulisi väärtusi. Pideval juhul saavad olekumuutujad võtta mistahes reaalarvulisi väärtusi. Olekumuutujate arvu nimetatakse dünaamilise süsteemi dimensiooniks. Lõplikumõõtmelist pidevat olekute ruumi kutsutakse faasiruumiks. Olekute ruumid saavad olla ka lõpmatumõõtmelised.
Diskreetse olekute ruumi näiteks on mündivise, mida saab modelleerida kahemõõtmelise diskreetse olekute ruumiga. Sel juhul oleks igale viskele vastav olek formula_8 element hulgast {"kull","kiri"}. Samas võib diskreetsel olekute ruumil olla ka lõpmatult palju mõõtmeid. Pideva olekute ruumi näiteks on füüsikaline pendel. Pendli oleku määramiseks on vaja teada pendli kõrvalekalde nurka formula_9 vertikaalist ja pendli nurkkiirust formula_10 Seega moodustavad füüsikalise pendli faasiruumi formula_9 ja formula_12 võimalikud väärtused ehk faasiruum on kahemõõtmeline muutkond.
Süsteemi "täieliku kirjeldamise" all ei mõelda seda, et olekumuutujad peavad kirjeldama täielikult reaalset nähtust, mida modelleeritakse, vaid olekumuutujad peavad täielikult kirjeldama matemaatilist süsteemi, mille abil modelleeritakse reaalset nähtust.
Dünaamika.
Süsteemi arengu eeskiri ehk dünaamika leiab süsteemi tulevase oleku süsteemi praeguse oleku kaudu. Süsteemi arengu eeskiri saab olla deterministlik, kui igale olekule vastab unikaalne järgmine olek, või stohhastiline ehk juhuslik, kui ühele olekule vastab rohkem kui üks võimalikku järgmist olekut. Oleku formula_8 trajektooriks nimetatakse ajaliselt järjestatud olekute kogumit, mis tuleneb dünaamika rakendumisest olekule formula_8. Paljudel juhtudel saame süsteemi arengu eeskirjaks võtta funktsiooni formula_15. Kui funktsioon formula_15 on olekute suhtes lineaarne, nimetatakse dünaamilist süsteemi lineaarseks. Kui funktsioon formula_15 on mittelineaarne, nimetatakse dünaamilist süsteemi mittelineaarseks. Kui funktsioon formula_15 ei sõltu ajast ilmutatud kujul, nimetatakse dünaamilist süsteemi autonoomseks.
Aeg.
Aeg formula_19 on samuti olekumuutuja, aga kuna me ei saa mõjutada aja kulgemist, nimetatakse aega sõltumatuks muutujaks. Ka aeg võib olla diskreetne või pidev.
Diskreetne aeg.
Diskreetsed dünaamilised süsteemid muudavad oma olekut diskreetsete ajavahemike tagant. Mündiviske näite korral eiratakse mündi kukkumist ja põrkamist, mündi olekut vaadatakse ainult siis, kui münt on jõudnud tasakaaluolekusse. Tihti valitakse ajahetked nii, et formula_20 ehk aja väärtusi sisaldav hulk formula_21. Süsteemi olekut hetkel formula_19 saame tähistada formula_23. Alustades algtingimusest formula_24, kui formula_25, saame rakendada funktsiooni formula_15, et leida süsteemi olekud järgnevatel ajahetkedel: formula_27 formula_28. Selle tulemusena saame olekute hulga formula_29, mis moodustab trajektoori olekute ruumis.
Pidev aeg.
Pidevate dünaamiliste süsteemide korral muutub süsteemi olek üle pideva aja. Sel juhul võime mõelda olekust formula_30 kui punktist, mis liigub aja kulgedes olekute ruumis. Süsteemi arengu eeskiri ehk dünaamika määrab siis, kuidas punkt formula_30 liigub. Alustades algtingimusest formula_32, kui formula_25, annavad kõik süsteemi tulevased olekud trajektoori, milleks on kõver olekute ruumis.
Dünaamilised süsteemid ilmnesid esimest korda siis, kui Isaac Newton rakendas mehaanikas harilike diferentsiaalvõrrandite teooriat. Sel juhul formula_34. Henri Poincare, keda peetakse kaasaegse, kvalitatiivse dünaamiliste süsteemide teooria rajajaks, märkas aga, et ka diferentsiaalvõrrandeid võib vaadata diskreetsete süsteemidena, kui uurida süsteemi lahendeid diskreetsete aja väärtuste hulgal. See on vajalik kõikides numbrilistes arvutustes ja katselistes mõõtmistes, sest mõõta on võimalik ainult lõpliku arvu väärtusi.
Sissejuhatavad näited.
Eksponentsiaalne kasv.
Lihtne dünaamilise süsteemi näide on eksponentsiaalselt kasvava suuruse, näiteks takistamatult kasvava bakterikultuuri populatsiooni suuruse ajaline areng. Olek mingil kindlal hetkel on antud mittenegatiivse reaalarvuga, nimelt populatsiooni suurusega, st süsteemi olekuruum on mittenegatiivsete reaalarvude hulk formula_35. Kui vaadelda kõigepealt olekuid formula_36 diskreetsel hetkedel formula_37, st ajaruumis formula_38, siis kehtib formula_39 konstantse kasvuteguriga formula_40. Siis olek hetkel formula_41 on formula_42.
Dünaamilise süsteemi iseloomulik omadus on see, et olek sõltub küll möödunud ajast formula_41 ja algväärtusest formula_44, kuid mitte alghetke valikust. Olgu näiteks antud veel üks eksponentsiaalselt kasvav populatsioon formula_45 sama kasvuteguriga formula_40, kuid algväärtusega formula_47. Hetkel formula_48 kehtib siis
formula_49.
Teine populatsioon kasvab niisiis ajalõigus formula_50 samamoodi nagu esimene populatsioon ajalõigus formula_51. Seda käitumist saab väljendada ka nii: voolufunktsioon formula_52, mis seab igale hetkele formula_41 ja igale algolekule formula_54 vastavusse oleku formula_55 hetkel formula_19, siin niisiis formula_57, rahuldab kõikide formula_58 ja kõikide formula_59 korral võrrandit
formula_60.
See on dünaamilise süsteemi voolu poolrühmaomadus. 
Vedrupendel.
Veel üks dünaamiliste süsteemide allikas on mehaaniliste süsteemide matemaatiline modelleerimine, lihtsaimal juhtumil punktmassi liikumine niisuguse jõu mõjul, mis sõltub kohast ja kiirusest, kuid mitte eksplitsiitselt ajast. Niisuguse süsteemi olek hetkel formula_61 on antud järjestatud paarina formula_62, mis koosneb kohast formula_63 ja kiirusest formula_64. Siis on kogu liikumise kulg üheselt määratud, kui on ette antud algasend formula_65 koos algkiirusega formula_66. Ühemõõtmelise liikumise korral on olekuruum seega formula_67.
Konkreetse näitena vaatleme vedrupendlit, mille massiivsele osale massiga formula_68 mõjub vedru taastav jõud ning võib-olla kiirusest sõltuv hõõrdejõud. Kui tähistada resultantjõudu formula_69, saame harilike diferentsiaalvõrrandite süsteemi
formula_70 
kus punkt muutujate kohal tähistab tuletist – selles näites pideva – aja järgi. Esimene võrrand ütleb, et kiirus on koha tuletis aja järgi, ja teine võrrand tuleneb otse Newtoni teisest seadusest, mille järgi massi ja kiirenduse korrutis võrdub punktmassile mõjuva resultantjõuga. 
Saab näidata, et ka selle süsteemi puhul on voolul 
formula_71
poolrühmaomadust. Kui vaadelda süsteemi oleku kulgu olekuruumis formula_67, st trajektoori formula_73, siis tekib vedrupendli sumbvõnkumise korral trajektoor, mis suundub spiraalikujuliselt rahuoleku formula_74 poole.
Definitsioonid.
Dünaamiline süsteem on järjestatud kolmik formula_75, mis koosneb hulgast formula_76 või formula_77 ajaruumist, mittetühjast hulgast formula_78, olekuruumist (faasiruumist), ja binaarsest tehtest formula_79 nii et kõikide olekute formula_54 ja kõikide hetkede formula_81 korral kehtib:
Kui formula_38 või formula_85, siis nimetatakse dünaamilist süsteemi formula_86 aegdiskreetseks ehk diskreetseks, ja kui formula_87 või formula_88, siis nimetatakse dünaamilist süsteemi formula_86 aegpidevaks ehk pidevaks. Dünaamilist süsteemi formula_86 nimetatakse diskreetseks või pidevaks pööratavaks, kui formula_85 või vastavalt formula_88 gilt.
Dünaamiliste süsteemide uurimine.
Dünaamilise süsteemi sisemine dünaamika võib olla üsna lihtne, aga selle korduv rakendumine võib aja lähenemisel lõpmatusele viia asümptootilise käitumiseni, mida ei ole otse dünaamika põhjal lihtne ennustada ega analüüsida. Paljudel juhtudel ei ole süsteemi lõppoleku leidmiseks lihtsamat viisi kui lasta süsteemil ajas töötada. Sellised arvutused võivad aga minna väga keeruliseks ja aeganõudvaks. Samas tihti puudub vajadus täpsete lahendite järgi ning piisab sellest, kui süsteemi algoleku ja dünaamika kaudu leida süsteemi käitumist kvalitatiivselt kirjeldavad tulemused.
Näide.
Üldine pidev deterministlik formula_93mõõtmeline dünaamiline süsteem.
Üldise pideva formula_93mõõtmelise dünaamilise süsteemi saame kirjutada kujul
formula_95
formula_96
formula_97
formula_98,
mida saab kompaktselt väljendada kujul 
formula_99.
Antud juhul formula_100 tähistab olekumuutujaid ja formula_101 tähistab süsteemi parameetreid, mis ei sõltu ajast.