Seriaalne meetod

Seriaalne meetod ehk serialistlik meetod ehk seeriatehnika on muusika kompositsioonimeetod, mille puhul muusika loomiseks kasutatakse seeriat või seeriate kompleksi ning loodavat või muusikat vaadeldakse võimalikult paljudest parameetritest.
Seriaalse meetodi voorusteks on universaalsus ja täpsus. Universaalsus väljendub võimes kohanduda kõigile muusikalistele parameetritele, täpsus aga võimes selgelt eritleda algse seeria või seeriate kompleksiga suguluses olev muusikaline materjal.
Seriaalse muusika loomise protsess kahe tööfaasi – otsustamise ja automaatikaga – ei erine oluliselt traditsiooniliste kompositsioonimeetodite abil loodava muusika tööprotsessist. Erinevus on automaatika suhteliselt suur osatähtsus, mis on põhjustatud seriaalse meetodi eesmärgist "kirjeldada kõiki võimalikke kõlasündmusi ja -aistinguid" võimalikult paljudest parameetritest. Muidu väga töömahuka automaatika faasi puhul on seriaalse meetodi abil muusikat kirjutavad või analüüsivad inimesed leidnud endale suure abilise järjest tormilisema kiirusega arenevas infotehnoloogias.
Seriaalne meetod iseenesest ei anna garantiid hea muusika kirjutamiseks. Ka selles suhtes ei erine ta teistest kompositsioonimeetoditest. Süsteemsele kontrollile on võimalik allutada kõik muusikalised parameetrid. Kogu teos on võimalik luua ühest seeriast või seeriate kompleksist. Ometi on hea teose loomiseks otstarbekas jätta mõned muusikalised parameetrid seriaalse kontrolli alt välja. Niisamuti võib teose muuta huvitavamaks muusikalise materjali kasutamine, mille päritolu ei ole originaalseeria või -seeriate kompleksi seisukohalt identifitseeritav.
Paavo Heininen on raamatus "Serialism" sõnastanud seriaalse meetodi kolm arengufaasi:
Seeria ja muusikaline parameeter.
Seriaalse meetodi määratlusi läbib keskne idee seeriast ja muusikalisest parameetrist:
1961 Gottfried Michael Koenig: "Seriaalne on teatud moel dodekafoonia, seriaalne on puäntillistlik stiil, seriaalne on grupikompositsioon ("Gruppenkomposition"), seriaalne on ka struktuurimuusika ("Strukturmusik"), ja seriaalne võib olla hoopis ka muusika, mis jätab teatud vormikihid juhuse hooleks. Seriaalne ei tähenda niisiis midagi või tähendab kõike, see on peaaegu maailmavaade".
1968 Rudolph Stephan: "Seriaalse muusika mõiste alla mahuvad kõik muusikateosed, mille kompositsioonitehnika viitab üksikute helide või helistruktuuri paljude (võimalikult kõigi) olulisemate muusikaliste omaduste, nn. parameetrite, ette ära määramisele. /.../ Seriaalse muusika kaks tüüpi, puäntillistlik ja statistiline, kujutavad enesest ekstreemsusi, mida võib kohata nii puhtas vormis kui rohketes vahevormides".
1970 Karlheinz Stockhausen: "Võimalikult kõigis muusikalise konstruktsiooni valdkondades koostada skaalad, mille jaotused on tunnetatavad aste-astmelt suurenevatena. Astmed kindlas järjekorras ära vahetada. Sellest ‘reast’ tuletada ridade ridu kasutades transpositsiooni, permutatsiooni, interpolatsiooni, modulatsiooni. Kogu teos selle rea ja tema tuletiste abil valmis kirjutada".
1991 Lauri Otonkoski: "Serialism: süsteem, milles kord juba kaksteisthelireaks või muuks ehituslikuks põhiühikuks valitud ühiku sisemised suhted ja seaduspärasused määratlevad lisaks helikõrgusele ka muid muusikalisi parameetreid: helikestust, helitugevust, artikulatsiooni jne.".
1992 Paavo Heininen: "Serialism on tänase päeva definitiivse mõtlemise tähelepanekute ja aistingute universumi topoloogia, koordinaadistik, mis võimaldab kõige terviklikumate, süstemaatilisemate vahendite abil kirjeldada kõiki võimalikke kõlasündmusi ja -aistinguid. Seega ei dikteeri ta mingeid lahendusi, kuid annab instrumendid lahendusvõimaluste ja -variantide selgeks hindamiseks".
Seeria: rida ja rühm.
Seriaalse muusika struktuuri kontrollib täielikult või osaliselt üks või mitu seeriat. Seeriaks nimetatakse samalaadsete muusikaliste objektide rida või rühma. Rida sisaldab piiratud arvu muusikalisi elemente, mis paiknevad kindlas järjestuses. Ka rühma elementide arv on piiratud, kuid rühma elementidel järjestus puudub. Rühma elementide arvu n erinevate järjestuste arv N on võrdne faktoriaaliga arvust n (N = n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1). Kui rühma identiteedi loob rühmas sisalduvate elementide identiteetide summa, siis rea identiteedi loovad nii rea elementide identiteetide summa kui ka elementide järjestus. Rea identiteet on seega järjestuse kvaliteedi võrra tugevam rühma identiteedist.
Muusikaline parameeter.
Muusikaliseks parameetriks nimetatakse aspekti, millest käsitleda muusikalist objekti. Muusikaliseks objektiks võib olla üksik heli või paljudest helidest koosnev muusikaline struktuur. Üksiku heli parameetriteks on näiteks kõrgus, kestus, tugevus, tämber, artikulatsioon, paiknemine registriruumis. Helistruktuuri parameetriteks on näiteks helikõrguslik ulatus ehk ambitus, helistruktuuri kestus, nobedus, helikogus (helide hulga suurus muusikalise struktuuri määratud osas), kronomeetriline tihedus (üksikute helide või kooskõlade kõlama hakkamiste arv teatud ajaühikus), domineeriv artikulatsiooniviis muusikalise struktuuri määratud osas, faktuuritüüp, vormi seisund jne. (VL 1981:60,465; Stephan 1968:1529; Thompson 1994:168; Pousseur 1957:68; Brindle 1966:110).
Parameetrid jaotuvad primaarseteks ja kompleksseteks. Primaarse parameetriga määratud rühma elementide omadused on füüsikaliselt mõõdetavad või võrdlemise tulemusena täpselt hinnatavad. Kompleksses parameetris liituvad mitu primaarset parameetrit. Seetõttu nõuab komplekssete parameetritega määratud rühma omaduste hindamine kõigepealt hinnanguid igas kompleksses parameetris sisalduvas primaarses parameetris eraldi ning seejärel summeerituna kompleksse parameetri kui terviku raames. Primaarsed parameetrid jagunevad heli nelja põhiomaduse põhjal helikõrguse, heli kestuse, helitugevuse ja tämbri valdkonda. Komplekssete parameetrite otstarbekas klassifikatsioon puudub.
Otsustamine ja automaatika.
Muusika loomise protsessi võib jagada kahte liiki toimingute ahelaks. Need on otsustamine ja automaatika. Sõltub helikeelest, stiilist ja taotletavast eesmärgist, kui suure osa protsessist üks või teine toiminguliik hõlmab. Seriaalse meetodi puhul on automaatikal suhteliselt suur osatähtsus. Näiteks kui on otsustatud, milline seeria või seeriate kompleks teost kontrollib ning milliseid operatsioone seeria või seeriate kompleksiga teostatakse, toimub valitud operatsiooniskeemi põhjal seeria uute transformatsioonide loomine juba automaatselt. Automaatikat võib rakendada ka näiteks seeria elementide paigutamisel faktuuri ja vormi. Pärast automaatika faasi lõppu algab uus otsustamise faas, mil helilooja töötleb automaatselt saadud tulemust lähedasemaks oma algsele ettekujutusele loodavast teosest (Ligeti 1958:38).
Kirjeldatud kahest toiminguliigist – otsustamisest ja automaatikast – on kaheldamatult huvipakkuvam otsustamine. Otsusele jõudmise teid on kaks: predeterminatsioon (otsus on eelmise otsuse loogiline tulemus) ning improvisatsioon (otsus on saadud improviseerides, otsekui "juhuslikult"). Seriaalne meetod oma ranguses teeb predeterminatsiooni ja improvisatsiooni vahele täpse vahe. Samas on seriaalne tehnika niivõrd universaalne, et oma koht leidub ka improvisatsioonil. Improviseerides võib sündida esimene rida, improvisatsiooni võib kasutada seeria poolt määratud kestusega lõigu "täitmisel" muusikalise materjaliga. Improviseerides võib sündida teose makrostruktuuri graafiline mudel. Improviseerimine range seriaalse struktuuri sees võib anda huvitavama tulemuse kui puhta struktuuri eksponeerimine.
Rida.
Rea loomine. Rea omaduste uurimine.
Esimest loodud rida nimetatakse originaaliks. Originaal on lähtematerjaliks tuletatavate ridade loomisel. On võimalik, et esialgseid ridu on mitu ning ei eksisteeri üht üheselt originaalina identifitseeritavat rida. Sel juhul on need mitu rida kõik originaalid ning struktureerimine lähtub nende ridade kompleksist. Originaalide kompleksi kuuluvad read on tihtipeale mingi reegli põhjal omavahel suguluses (Frisius 1998:1335).
Ridu on võimalik luua eranditult kõigi parameetrite raames. Tuleb vaid otsustada, kas hea teose loomine eeldab ühe või teise parameetri rea kontrollile allutamist. Ridade loomine primaarsete ning komplekssete parameetrite raames võib praktilise komponeerimise protsessi seisukohalt olla erinev. Ridade loomine primaarsete parameetrite raames sarnaneb teosele lähenemisega induktiivselt, komplekssete parameetrite raames aga deduktiivselt.
Rea omaduste uurimine võib anda olulist teavet loodava või analüüsitava teose kui terviku esteetilise väärtuse kohta. Rea omadusi uurides püütakse määrata rea identiteet ning võrrelda seda seejärel kogu teose identiteediga. Näiteks kaksteisthelirea puhul on oluliseks uurimisobjektiks rea intervalliline koostis: millised intervallid domineerivad, kas rida on homogeenne (koosneb ainult väikestest sekunditest – suurtest septimitest, puhastest kvartidest – kvintidest), on võimalikult mittehomogeenne (kaheteistkümnest erinevast võrdtempereeritud süsteemi helist koosneva rühma raames on võimalik järjestada kõigi intervallide ridu (Eimert 1952:21–25)), asetseb homogeensuse-mittehomogeensuse teljel nende kahe äärmuse vahepeal. Esteetiliste otsuste tegemisel võib kujuneda oluliseks rea originaali ning erinevate kujude erinevate segmentide omavaheliste seoste tuvastamine ning mitmesugused reasisese sümmeetria ilmingud.
Järgnevad näidetena esitatud read on koostatud võimalikult lihtsad, et kahandada miinimumini neis ridades sisalduv võimalik stiililine, ajalooline, biograafiline vms. lisainformatsioon. Näidete eesmärk on anda ülevaade, kuidas rakendada seriaalset meetodit praktilisel komponeerimisel.
Read primaarsetes parameetrites.
Rida helikõrguse parameetris.
Võrdtempereeritud helisüsteemis on kaksteistheliridu kokku 12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479 001 600.
Näites 1.1 on lihtsaim kaksteisthelirida, võrdtempereeritud kromaatiline heliastmik, noteeritud kolme moodi: tavalises noodikirjas, tähemärkidena, numbernotatsioonis. Seriaalse meetodi rakendamisel heliteose loomiseks või analüüsimiseks võivad olla kõik need notatsioonid vajalikud. Arvuga "null" tähistatakse traditsiooniliselt heliklassi C. Sellest tulenevalt võrdtempereeritud kromaatilise helirea puhul C = 0, Cis/Des = 1, D = 2 jne.
Näites 1.2 on esitatud oktaavi piiresse jäävate võrdtempereeritud süsteemis intervallide tähistamine täisarvudena. Oktaavist suuremate intervallide täisarvuline väärtus on võrdne oktaavi piiresse jääva intervalli täisarvulise väärtusega modulo 12. Seriaalse meetodi puhul tehakse vahet mõistetel "heli" ja "heliklass". Heliklass tähistab ühe oktaavi piiresse jäävaid helisid ning nendega ühe või paljude oktaavide kaugusel olevaid ekvivalentseid helisid. Üksteisest ühe või mitme oktaavi kaugusel olevate helide samasust esitab oktaaviekvivalentsi aksioom (Hämeenniemi 1982:22). Pluss- või miinusmärk intervalli väärtuse ees tähistab liikumist vastavalt põhiheli suhtes üles või alla.
Rida registri parameetris.
Registrite rea loomiseks tuleb registriruum jagada registripiirkondadeks. Üks võimalus on jagada registriruum piirkondadeks oktaavide kaupa. Muusikaline enim kasutatud registriruum on umbes 7 oktaavi. Seega on üks võimalus kasutada näiteks seitsmest elemendist koosnevat registripiirkondade rida (näide 2). Registripiirkondade rea koostamisel tasub silmas pidada, et kui näiteks võrdtempereeritud süsteemi helikõrguste rea elemendid on oma mõjujõult võrdsed, siis ülikõrged ja ülimadalad registripiirkonnad on võrreldes keskmiste registripiirkondadega suhteliselt mõjukamad.
Näide 2. Seitsmest elemendist koosnev registripiirkondade rida:
a) registripiirkondade rea elemendi number
b) registripiirkonna ambituse suhtelise suuruse esitamine graafiliselt
c) registripiirkonna ambituse suhtelise suuruse esitamine tähemärkidena
Rida kestuse parameetris.
Kestuste rea loomiseks on otstarbekas määrata kõigepealt rea elementide arv. Seejärel on lihtsaimaks võimaluseks ühikuks valitud kestust aluseks võttes erinevate aritmeetiliste, geomeetriliste, eksponentsiaalsete vms jadade tuletamine (näide 3.1). Kestuste ridu võib luua ka kahe kestuse vahelise ruumi "täitmise" abil (ajapunkti süsteem, näide 3.2).
Näide 3.1. Kestuste ridu ühikkestuse alusel. Näites on valitud ühikkestuseks a) üks kolmekümnekahendik, b) üks kuueteistkümnendik, c) üks kaheksandik ja d) üks neljandik. Ühikkestus on valitud kestuste rea elemendiks 0. Rea elemendid on järjestatud aritmeetilise jadana, mille jada vaheks on ühikkestus
Näide 3.2. Kahe kestuse vahemiku "täitmine". Täidetud on arvude 12 ja 1 vahemik. Näites on täitmise protsess kujutatud aste-astmelt: a) täisarv n vahemikus 12–1, b) ruutjuur arvust n, c) juurimise tulemus, d) juurimise tulemus on korrutatud kümnega, e) ühikkestus üks kuueteistkümnendik on korrutatud juurimise kümnega korrutatud tulemusega, f) rea elemendi number (Lewinski 1958:93)
Rida helitugevuse parameetris.
Muusikas kasutatav helitugevuse ruum on piiratud inimese kuulmis- ja valulävega. Akustilise muusika noteerimisel kasutatavad tingmärgid on suhtelised ja kokkuleppelised. Helivaljuse mõõtmisel (detsibellides) selgub, et näiteks eri instrumentide "forte" võib olla erinev.
Näide 4. Rida helitugevuse parameetris: a) rea elemendi number, b) muusikaliste helitugevuste rida, mida on kasutanud Boulez oma teoses Structures I (Ligeti 1958:41); , c) umbkaudne helivaljus detsibellides (Burghauser, Špelda 1971:82)
Rida tämbri parameetris.
Oletame, et teost hakkab esitama 13 instrumentalisti: flöödi- (Fl.), oboe- (Ob.), klarneti- (Cl.), fagoti- (Fag.), metsasarve- (Cor.), trompeti- (Tr.), trombooni- (Tr-ne) ning löökpillimängija (Perc), pianist (P-no), viiuldaja (V-no), vioolamängija (V-la), tšellist (Vc) ning kontrabassimängija (Cb). Igaüks neist saab endale väärtuse tämbrite reas. Saadud rida on toodud näites 5.
Näide 5. Rida tämbri parameetris: a) rea elemendi number, b) akustiliste instrumentide tämbrite rida
Rida artikulatsiooni parameetris.
Akustilises muusikas on artikulatsiooniviiside ülitäpne määratlemine määratleja subjektiivsuse tõttu peaaegu võimatu. Nii palju kui on erinevaid interpreete, on võimalik kuulda näiteks erinevat legaatot või stakaatot. Artikulatsioon on ka väga instrumendikeskne. Näiteks on olemas terve rida keelpillide artikulatsiooniviise, mis teistel instrumentidel on teostamatud (nt saltando). Näites 6 on toodud 11 elemendist koosneva artikulatsioonide rea, mida on võimalik teostada peaaegu igal instrumendil.
Näide 6. Rida artikulatsiooni parameetris: a) rea elemendi number, b) artikulatsiooni itaaliakeelne nimetus, c) artikulatsioonimärk noodikirjas. Rea koostamisel on püütud arvestada sellega, et reastatud artikulatsioonid oleksid teostatavad igal instrumendil
Rida taktimõõdu parameetris.
Näites 7 on esitatud improviseerides loodud taktimõõtude rida. Teose jaotumine taktideks võib sündida tihedas seoses visiooniga teose tervikvormist. Taktideks jaotumisel võib olla suur mõju teose karakterile. Taktideks jaotumise otstarbekust on kasulik järgmistes otsustamiste faasides kriitiliselt läbi vaadata. Muusikalise materjali "õigustatud" jaotumine taktidesse võib tunduvalt kergendada interpreedi tööd teosega.
Näide 7. Rida taktimõõdu parameetris: a) rea elemendi number, b) improviseerides loodud taktimõõtude rida
Read komplekssetes parameetrites.
Rida faktuuri parameetris.
Üks võimalus klassifitseerida erinevaid faktuure on jaotada nad kahe matemaatilise mõiste "punkt" ja "joon" mõjuvälja. Mõiste "punkt" tähistab faktuure, mis sisaldavad suhteliselt lühikese kestusega helisid, millel on selgelt eristatav algus ja lõpp. Mõiste "joon" tähistab faktuure, mis sisaldavad suhteliselt pika kestusega helisid, millel ei ole selgelt tajutavat algust ja lõppu. Üheselt "punkti" või "joone" mõjuvälja kuuluvatel faktuuridel on lõpmatult palju vahevorme. Näiteks on raske määratleda faktuuri, mille lühikestest helidest koosnev, esmapilgul selgelt "punkti" mõjuvälja liigitatav faktuur on niivõrd tihe, et lähestikku sattuvad lühikesed helid tunduvad moodustavat pikemaid liine, mida võiks tõlgendada "joontena". Samuti võib lühikese ja pika heli vaheline täpne piir hajuda heli repetitsiooni, tremolo, trilleri või muu muusikalise ornamendi puhul. "Punkti" mõjuväljas viibimise tunde võivad luua ka lõpmatult pikana tunduva heli piires toimuvad kiired helitugevuse muutumised. Otsust faktuuri kuulumise kohta "punkti" või "joone" mõjuvälja ei ole võimalik teha otsuse alusel ühes-kahes primaarses parameetris. Näites 8 on kujutatud viiest elemendist koosnevat faktuuride rida teljel "punkt" – "joon". Element 0 kuulub "punkti" mõjuvälja. Elemendid 1, 2 ja 3 paiknevad nii "punkti" kui "joone" mõjuväljas: elemendi 1 puhul on tajutav punkti koondumine joonteks, elemendis 2 see protsess süveneb, elemendis 3 on jooned selgelt eristatavad. Element 4 kuulub "joone" mõjuvälja.
Näide 8. Faktuuride rida matemaatiliste mõistete "punkt" ja "joon" mõjuväljas: a) rea elemendi number, b) faktuuride rida teljel "punkt" – "joon". Element 0 kuulub "punkti" mõjuvälja. Elemendid 1, 2 ja 3 paiknevad nii "punkti" kui "joone" mõjuväljas: elemendi 1 puhul on tajutav punkti koondumine joonteks, elemendis 2 see protsess süveneb, elemendis 3 on selgelt eristatavad jooned. Element 4 kuulub "joone" mõjuvälja
Rida vormi parameetris.
Erinevaid vormilõike võib kaardistada nende seisundi järgi. Brindle (1986:110) pakub välja võimaluse valida vormi seisundi kirjeldamisel vastandlike mõistete paariks "pingestunud – lõdvestunud". Pingestumine ja lõdvestumine võivad olla tingitud erinevates parameetrites toimuvast muusikalise materjali omaduste muutumisest. Võimaluse koostada erinevaid vormilõikude ridu teljel "pingestnud – lõdvestunud" pakub näide 9. Tabelis on näha, kuidas seitsmes muusikalises parameetris toimuvad muutused muusikalise materjaliga mõjutavad vormi seisundit.
Näide 9. Vormi võimalikud seisundid "pingestunud" ja "lõdvestunud" erinevates parameetrites sisalduva muusikalise materjali poolt mõjutatuna
Näites 10 on improviseerides loodud vormilõikude rida, mille puhul on jäetud veel lahtiseks, milline parameeter vormilõigu asendit teljel "pingestunud – lõdvestunud" mõjutab. Telg "pingestumine – lõdvestumine" on jaotatud kuueks astmeks: eriti pingestunud (P3), pingestunud (P2), veidi pingestunud (P1), veidi lõdvestunud (L1), lõdvestunud (L2), eriti lõdvestunud (L3).
Näide 10. Rida vormi parameetris:
a) rea elemendi number
b) vormilõigu seisund teljel "pingestunud – lõdvestunud" (P3 = eriti pingestunud, P2 = pingestunud, P1 = veidi pingestunud, L1 = veidi lõdvestunud, L2 = lõdvestunud, L3 = eriti lõdvestunud).
Rida karakteri parameetris.
Seriaalse teose üheks lähtekohaks võib olla karakterite rida. Read muudes parameetrites võivad sündida püüdest luua rea poolt määratud karakterile vastav muusikaline materjal. Teose karakteritega on lahutamatus seoses teose faktuur ja vorm. Otsused ühes parameetris toovad vältimatult kaasa reaktsiooni ka teises. Näiteks ei ole võimalik nõuda muusikalt, mille faktuur on täis teravakõlalisi, järsult artikuleeritud akorde või mille vorm elab üle pidevaid ülijärske pingestumise ja lõdvestumise seisundeid, lüürilise hällilaulu karakterit. Järgnev karakterite rida on loodud nii, et toimub karakterite järkjärguline transformatsioon kergest, lõbusast, ülemeelikust vihase kaudu kuivaks.
Näide 11. Rida karakteri parameetris: a) rea elemendi number, karakteri transformatsiooni suund elemendisiseselt, b) karakterid. Toimub karakterite järkjärguline transformatsioon kergest, lõbusast, ülemeelikust vihase kaudu kuivaks.
Reaoperatsioonid.
Originaalrea või originaalridade kompleksiga sooritatavate operatsioonide eesmärgiks on suurendada teose loomiseks vajaliku suguluses oleva muusikalise materjali hulka või tugevdada/nõrgendada rea identiteeti. Operatsioonide sooritamiseks reaga kohaldatakse tihti matemaatilisi mudeleid ja teooriaid.
Rea neli kuju.
Matemaatikas on rea nelja kuju loomisele vastavaks operatsiooniks geomeetrilise kujundi peegeldamine sirge suhtes.
Näide 12. Geomeetrilise kujundi peegeldamine: x = horisontaaltelg, y = vertikaaltelg (Thompson 1994:419)
Muusikas on matemaatiline idee geomeetrilise kujundi peegeldamisest kohaldatav rea teiste kujude tuletamiseks originaalkujust.
1. Rea põhikuju on rea originaal (O).
2. Rea originaali peegeldamisel horisontaaltelje suhtes, nii et peegeldustelg läbib originaali esimest heli, tekib rea inversioon (I).
3. Rea originaali peegeldamisel vertikaaltelje suhtes, nii et peegeldustelg läbib originaali viimast heli, tekib rea originaali retrograad (R).
4. Rea inversiooni peegeldamisel vertikaaltelje suhtes, nii et peegeldustelg läbib inversiooni viimast heli, tekib rea inversiooni retrograad (IR).
Näide 13. Rea neli kuju: Originaali (O) peegeldamisel horisontaaltelje suhtes, nii et peegeldustelg läbib originaali esimest heli, tekib rea inversioon (I); originaali peegeldamisel vertikaaltelje suhtes, nii et peegeldustelg läbib originaali viimast heli, tekib originaali retrograad (R); inversiooni peegeldamisel vertikaaltelje suhtes, nii et peegeldustelg läbib inversiooni viimast heli, tekib inversiooni retrograad (IR). × = horisontaaltelg, y = vertikaaltelg.
Transponeerimine.
Matemaatikas vastab heli võrdtempereeritud süsteemis transponeerimisele geomeetrilise kujundi rööplüke ehk translatsioon. Translatsiooni korral toimub algse kujundi P paralleelne siirdumine kujundiks P' (Thompson 1994:420).
Näide 14. Geomeetrilise kujundi translatsioon, muusikalise mõiste "transponeerimine võrdtempereeritud süsteemis" vaste matemaatikas. Translatsiooni korral toimub algse kujundi P paralleelne siirdumine kujundiks P' (Thompson 1994:420)
Muusikas on translatsiooni analoogiks transponeerimine võrdtempereeritud helisüsteemis. Eri transpositsioonid märgitakse sümboliga ‘Tn’, milles ‘T’ tähistab transpositsiooni ning ‘n’ transpositsiooniintervalli. Kuna rea transponeerimata nii originaali kui inversiooni esimene heli tähistatakse arvuga null, on intervallil n sama väärtus kui transpositsiooni Tn esimesel helil. Rea originaali ja inversiooni eri transpositsioonide retrograade tähistatakse sümboliga ‘R’, mis liidetakse rea originaali või inversiooni transpositsiooni sümboli ette. Retrograadkuju transpositsiooniintervallil n on sama arvuline väärtus kui vastava retrograadkuju transpositsiooni viimasel helil (Hämeenniemi 1982:117). Ülevaate transpositsioonide tähistamisest erinevate reakujude puhul annab näide 15.
Näide 15. Võrdtempereeritud süsteemis helirea transpositsioonide tähistamine.
T = transpositsiooni tähis,
n = 1. transpositsiooniintervall, 2. originaali ja inversiooni esimese heli numbriline väärtus ning retrograadi ja inversiooni retrograadi viimase heli arvuline väärtus. Kuna rea originaal tähistatakse arvuga 0, vastab transpositsiooniintervalli arvuline väärtus heli arvulisele väärtusele.
Heliloomingu ja analüüsi praktikas on välja kujunenud rea originaali ning kolme tuletiskuju – inversiooni, retrograadi ja retrograadi inversiooni – kõiki transpositsioone sisaldav töövahend: tabel, mida võib nimetada reakujude transpositsioonide maatriksiks. Rea originaal koos transpositsioonidega loetakse vasakult paremale, inversioon ülevalt alla, retrograad paremalt vasakule ning inversiooni retrograad alt üles.
Näide 16. Transpositsioonide maatriks: originaal (O) koos transpositsioonidega (Tn) loetakse vasakult paremale, inversioon (I) ülevalt alla, retrograad (R) paremalt vasakule ning inversiooni retrograad (IR) alt üles (Cope 1977:16–18)
Rotatsioon.
Matemaatikas nimetatakse rotatsiooniks geomeetrilise kujundi nihet ümber punkti T.
Näide 17. Geomeetrilise kujundi rotatsioon ümber punkti T (Thompson 1994:419)
Muusikas võib rotatsiooni idee kohaselt rea elemente kujutada asuvat otsekui ringjoonel. Elemendid asuvad üksteisest võrdsel kaugusel. Kindlaks määratakse ringjoonel asuva segmendi pikkus rea elementides. Rotatsioon toimub, kui segmenti hakatakse nihutama mööda ringjoont kindla sammu võrra. Igas uues asendis haarab segment sama arvu rea elemente. Gieseler (1975:45) kirjeldab üht võimalikku kaksteisthelirea rotatsiooni näidet järgnevalt: "Kui põhirida algab heliga 2, siirdub heli 1 rea lõppu. Kui sel moel jätkata rida helist 3, 4 jne., jõuab rida heli 12 kaudu ringiga algusse tagasi. Seejuures helide järjekord ning intervallisuhted säilivad."
Näide 18. Kaksteisthelirea (näide 1.1) rotatsioon; roteeruva segmendi pikkus on viis rea elementi, rotatsiooni samm on kaks elementi: a) geomeetrilise objekti rotatsiooni idee kohaldamine muusikas, b) rotatsioon noodikirjas, c) rotatsiooni tulemusena saadud rida. Rooma numbriga on tähistatud rotatsioonisegmenti
Permutatsioon.
Matemaatikas tähendab permutatsioon vahetust, järjestuse muutmist. Kui elemente on n, on võimalikke järjestusi n!. Näiteks kolmele kirjatähele a, b ja c on olemas kuus permutatsiooni: abc, acb, bac, bca, cab, cba (3! = 3*2*1 = 6) (VL 1981:478, Thompson 1994:310).
Näide 19. Permutatsioon matemaatikas. Kolmel elemendil a, b ja c on kuus permutatsiooni (Thompson 1994:310)
Muusikas on permutatsiooni eelduseks, et rida või rea segment vabastatakse järjestusest. Järjestusest vabastatud rida või segment muutub rühmaks ning kaotab oma rea järjestusega loodud identiteedi. Rühma elemente võib järjestada uuel moel. Järjestamiste arv võrdub faktoriaaliga rühma elementide arvust. Permutatsiooni võib kasutada mitmesuguste variatsioonide loomiseks. Näiteks on võimalik luua üksteisega suguluses olevatest akordidest koosnev akordikett, anda samale meloodilisele kujundile iga kord erinev sama heliklassilise koostisega helikõrgusstruktuur. Permutatsioon annab võimaluse tagada välise vaheldumise juures sisemine homogeensus.
Näide 20. Permutatsioon muusikas. Omavahel sama heliklassilise koostise tõttu suguluses olevad 6 kolmehelilist akordi:
a) kolmehelilise rühma C, Cis/Des ja D kuus erinevat järjestust
b) kuus kolmehelilist akordi, mis koosnevad samadest heliklassidest
Interpolatsioon.
Sõna interpolatsioon tähendab kiilosa, vahelelüket. Matemaatikas on interpolatsioon meetod, mille puhul arvutatakse funktsiooni väärtuste ligikaudseid väärtusi, kui küsimuse all olevas vahemikus tuntakse funktsiooni teatud väärtusi. Interpolatsioon on kahe erineva väärtuse vahele loodud vaheväärtus (VL 1981:290, Otonkoski 1991:253, Thompson 1994:153).
Muusikas annab interpolatsioon väga laiad võimalused mitmesuguste vahemike "täitmiseks". Võimalikeks vahemikeks on näiteks kahe helikõrguse vaheline intervall, ajaline kestus vms. Vahemiku täitmine võib toimuda nii seriaalsele kontrollile allutatult kui ka improviseerides.
Näide 21. Interpolatsioon matemaatikas ja muusikas: a) vahemik 0 (C) … h) 1 (Des) või b) 0 (centi) … 100 (centi) on "täidetud" c) kolme mikrointervalliga: e) 31-helilise helirea viiendiktooni, f) võrdtempereeritud süsteemi veerandtooni ning g) võrdtempereeritud süsteemi kolmandiktooniga. Näite osas d) on ühe kaheksandiku pikkune kestus "täidetud" vastavalt e) ca ühe kvintooli kuueteistkümnendiku, f) ühe kuueteistkümnendiku, g) ühe triooli kaheksandikuga. Interpoleeritud helikõrgused ja kestused on valitud improviseerides
Multiplikatsioon.
Boulez kasutab multiplikatsiooni teoses "Structures II". Multiplikatsioon on kaksteisthelirea operatsioon, kus rea igale helile lisatakse vabalt valitud intervalli kaugusel olev heli (Flebel 1978:81). Multiplikatsiooni võib kasutada näiteks faktuuri tiheduse paindlikuks muutmiseks.
Näide 22. Multiplikatsioon: akord 0 = multiplikatsioon puhas kvart üles (+5), akord 1 = multiplikatsioon puhas kvart alla (−5), akord 2 = multiplikatsioon väike septim üles (+A), akord 3 = multiplikatsioon väike septim alla (-A), akord 4 = multiplikatsioon väike sekst üles (+A), akord 5 = multiplikatsioon väike sekst alla (-A).
Selektsioon.
Selektsiooni on lihtne kasutada reale uue identiteedi tekitamisel või olemasoleva identiteedi võimendamisel. Selektsiooni abil fokuseeritakse rea teatud elemente ning vähendatakse teiste elementide mõju. Selektsioon võib olla vajalik kergesti meelde jäävate muusikaliste lõikude loomiseks. Näites 23 on kaksteisthelireast (näide 1.1) tõstetud esile kaks kvartakordi, mis võiksid näiteks moodustada seriaalse muusikalise lõigu harmoonia. Ülejäänud helid kujundavad ülemise hääle meloodia. Teistsugust laadi muusikalise materjali keskel äratab selline muusikaline lõik tähelepanu.
Näide 23. Kahe kvartakordi selekteerimine näites 1.1 toodud kaksteisthelireast: a) kahe kvartakordi I ja II ning astmelise materjali III selekteerimine kaksteisthelireast, b) selektsiooni tulemusena saadud kaks kvartakordi ning astmeline liikumine. Kvartakorde võiks kasutada seriaalse muusikalise lõigu harmoonia ning kvartakordidest üle jäänud rea helisid ülemise hääle meloodia loomisel. Teistsugust laadi muusikalise materjali keskel äratab selline muusikaline lõik tähelepanu
Erinevates parameetrites loodud ridade sidumine: tabel ja graafiline mudel.
Erinevates parameetrites loodud ridu võib siduda mitmesugustes tabelites ning graafilistes mudelites. Primaarsetes parameetrites loodud ridade sidumiseks piisab koondava tabeli koostamisest. Erinevates parameetrites võib rea elementide arv tulenevalt parameetri spetsiifikast olla erinev. Et iga muusikaline objekt saaks väärtuse erinevas parameetris, tuleb vähem elemente sisaldavatest ridadest luua reaoperatsioonide abil uusi, rohkem elemente sisaldavaid ridu. Võimaluste arv, kuidas erinevates parameetrites loodud ridade elemente omavahel siduda, on lõpmatu. Näites 24 on omavahel seotud näidetes 1–7 esitatud read. Tabelisse on viidud helikõrgus (näide 1.1), register (näide 2), heli kestus (näide 3.2), helitugevus (näide 4), tämber (näide 5), artikulatsioon (näide 6), taktimõõt (näide 7). Tabelis on lüngad, mis on tähistatud küsimärgiga. Lüngad tulenevad sellest, et erinevates parameetrites loodud ridade elementide arv on tulenevalt parameetri spetsiifikast erinev. Selleks, et iga muusikaline objekt saaks endale määratluse kõigis võimalikes parameetrites, tuleb ridadest tuletada uusi ridu, mille hulgast on võimalik valida elemente lisaks.
Näide 24. Primaarsetes parameetrites loodud ridu siduv tabel: a) rea elemendi number, b) rida helikõrguse parameetris (näide 1.1), c) rida registri parameetris (näide 2), d) rida kestuse parameetris (näide 3.2), e) rida helitugevuse parameetris (näide 4), f) rida tämbri parameetris (näide 5), g) rida artikulatsiooni parameetris (näide 6), h) rida taktimõõdu parameetris (näide 7). Tabelis on lüngad, mis on tähistatud küsimärgiga. Lüngad tulenevad sellest, et erinevates parameetrites loodud ridade elementide arv on tulenevalt parameetri spetsiifikast erinev
Komplekssetes parameetrites loodud ridu on otstarbekas siduda teose graafilises mudelis, mille x-telg tähistab aega ning y-telg parameetrit või parameetrite süsteemi. Graafilisest mudelist võib olla kasu muusikaliste protsesside visuaalsel kujutamisel teose terviku ulatuses. Graafilise mudeli loomisel võib kasutada graafilisi märke, geomeetrilisi kujundeid, sõnalisi ning numbrilisi kommentaare. Kuna teose graafiline mudel on väga tihedalt seotud teose karakterisatsiooni ning tundeseisundiga, on väga raske esitada abstraktset näidet teose graafilisest mudelist. Näites 25 on toodud Kaija Saariaho orkestriteose "Lichtbogen" 1984 graafiline mudel (Grabócz 1993:166). Näide selgitab, kuidas on teose graafilise mudeli abil viidud süsteemi vormilõikude vaheldumine, helikõrguslik struktuur ning faktuur. Teose graafilisele mudelile on võimalik lisada informatsiooni kõigi nii komplekssete kui primaarsete parameetrite kohta. Helilooja ei pruugi paljut ka otseselt välja joonistada. Teose graafiline mudel on enamasti vaid omamoodi "meelespea".
Kui ridade loomine kuulub seriaalse meetodi otsustamise tööfaasi, siis ridade ühendamine tabelitesse ning graafikutesse toimub enamasti automaatselt. Seriaalset meetodit kasutava helilooja töö põhiraskuseks ei pruugi olla niivõrd uue muusikalise materjali loomine, kuivõrd valiku tegemine muusikalise materjali hulgas.