Kiirus

Kiirus ehk liikumiskiirus on füüsikaline suurus, mis näitab, kui palju ja mis suunas muutub liikuva keha või nähtuse asukoht ruumis ajaühiku jooksul. Füüsikas käsitatakse kiirust tavaliselt aja funktsioonina, mille väärtus antud hetkel on hetkkiirus. 
Kiirus on asukoha ja kiirenduse kõrval üks kinemaatika põhimõisteid. 
Kiirus on vektoriaalne suurus, seega saab seda iseloomustada kiirusvektori pikkuse ehk mooduli ehk arvväärtusega ja liikumissuunaga (paigalseisu puhul on suund määramata). 
Kiiruseks nimetatakse sageli ka kiirusvektori pikkust ehk moodulit ehk arvväärtust, mis on skalaarne suurus. See on näiteks auto sõidukiirus. 
Kiiruse tähis on formula_1 (kiirusvektori pikkuse korral formula_2), mis tuleb ladina keele sõnast "velocitas" kiirus. 
Kiiruse (kiirusvektori pikkuse) SI mõõtühik on meeter sekundis (m/s ehk m·s–1), dimensioon on L·T−1. CGS-süsteemis on ühik cm·s−1, dimensioon on L·T−1. Plancki ühik on c, dimensioon on c. Laialt on kasutusel ka ühik kilomeeter tunnis (km/h), kusjuures 1 m/s = 3,6 km/h, samuti on eelkõige merenduses ja lennunduses kasutusel sõlm.
Suurim võimalik kiirus, millega kindla põhjuse tagajärg saab ruumis levida, on valguse kiirus formula_3. See ülempiir kehtib järelikult ka igasuguse informatsiooni ülekande kohta. Kehad, millelon mass, saavad liikuda ainult kiirusest formula_3 väiksema kiirusega. 
Kiiruse väärtust tuleb alati mõista mingi taustsüsteemi suhtes. Kui keha seisab mingis taustsüsteemis paigal, siis tal on mingis teises taustsüsteemis, mis liigub esimese suhtes kiirusega formula_5, kiirus formula_6.
Definitsioon.
Kui punktmassina vaadeldav objekt liigub mööda trajektoori, kusjuures ta asub hetkel formula_7 punktis formula_8 ja hilisemal hetkel formula_9 punktis formula_10, siis tema kiiruse lähendväärtus formula_11 hetkel formula_7 (või punktis formula_13) saadakse kohavektori muudust formula_14 ja kohavahetuseks vajalikust ajavahemikust formula_15 valemiga
formula_16
kus formula_17 on vektor punktist formula_8 punkti formula_10. Geomeetriliselt vastab see trajektooriosa kõõlule nende kahe pu vahel. See lähendväärtus annab ka kiiruse suuna lähendi. Sellest lähendväärtusest saadakse hetkkiiruse täpne definitsioon hetkel formula_7 (või punktis formula_8), kui ajavahemikul formula_15 lastakse läheneda nullile. Seejuures jõuab punkt formula_10 (liikumise pidevuse põhjal) punktile formula_8 kui tahes lähedale, nii et ka formula_25 läheneb nullile; jagatis formula_26 aga läheneb piirväärtusele, mis vastabki hetkkiirusele:
formula_27
See kirjutatakse ka nii 
formula_28 või formula_29,
sest tegu on tuletisega aja järgi.
Et kõõl formula_30 võtab piirprotsessis trajektoori puutuja suuna, on see ka hetkkiiruse suund. 
Hetkkiirusvektori pikkus on antud valemiga 
formula_31
kus formula_32 on kohavektori formula_33 pikkus. Hetkkiirusvektori pikkus ei ole sama mis formula_34, nagu on näha näiteks ringliikumise puhul, kus formula_35.
Hetkkiirusvektori pikkus on võimalik saada ka, kui võtta kolmemõõtmelise trajektoori asemel ainult teepikkus formula_36) mööda trajektoori (vt joonist). Sel juhul võetakse läbitud teepikkuse formula_37 ja kulunud aja piirväärtus formula_15:
formula_39
Keskmine kiirus.
Keskmine kiirus formula_40, on keha läbitud teepikkuse formula_37 ja selleks kulunud aja formula_15 jagatis
formula_43.
Lihtsad erijuhtumid.
Ühtlane sirgliikumine.
Ühtlane sirgliikumine ehk ühtlane liikumine on olukord, kus objekti kiirus formula_1 on alati ühesugune (st nii arvväärtuse kui ka suuna poolest), ehk teisiti öeldes, formula_45. Sel juhtumil liigub objekt mööda sirget, millele tavaliselt rihitakse koordinaadistik, nii et kiirus on skalaarne suurus formula_2. Siis kehtib:
formula_47 
kus formula_48 on aja formula_7 jooksul läbitud teepikkus.
Ühtlaselt kiirenev liikumine.
Ühtlaselt kiireneva liikumise korral on kiirendusel formula_50 alati sama arvväärtus ja sama suund. Kui liikumise suund on kiirendusega formula_50 paralleelne, siis liigub objekt mööda sirget. Praktiselt rihitakse koordinaadistik liikumise suunale ning kujutatakse kiirendust ja kiirust skalaarina. Siis kehtib 
formula_52
kus formula_53 on algkiirus.
Ringliikumine.
Ringliikumise kiirus on nurkkiiruse ja ringliikumise raadiusvektori vektorkorrutis:
formula_54
kus formula_55 on nurkkiirus ja formula_56 on raadiusvektor.
Ühtlase ringliikumise korral on ringlikumise arvväärtus konstantne ja seda saab avaldada ringjoonel läbitud teepikkuse ja selleks kulunud aja formula_57 jagatisena:
formula_58
Seosed teiste füüsikaliste suurustega.
Seos asukohaga.
Kui punktmass liigub ruumis (kolmemõõtmeline ruum), siis saab kiirusvektori formula_1 ajalisest kulust järeldada punktmassi siirde, integreerides formula_1 üle aja:
 formula_61,
kus formula_62 ja formula_63. Siit saab avaldada punktmassi asukoha lõpphetkel:
 formula_64.
Kui punktmass liigub mööda sirget (sirgliikumine, ühemõõtmeline liikumine), siis rihitakse koordinaadistik tavaliselt sellele sirgele. Osakese asukohta kirjeldatakse siis ainult koordinaadiga formula_65. Ülaltoodud valem lihtsustub sel juhtumil valemiks 
formula_66.
See on Newtoni-Leibnizi teoreemi kinemaatiline versioon.
Seos teepikkusega.
Läbitud teepikkus formula_48 saadakse kiirusvektori arvväärtuse formula_68 integreerimisel üle aja:
 formula_69.
Lihtsaimal juhul, nimelt konstantse kiiruse korral, saab sellest formula_70.
Seos kiirendusega ja kiirenduse muutumise kiirusega.
Kiiruse esimene tuletis aja järgi on kiirendus: formula_71.
Kiirus saadakse kiirendusest integreerimisel: 
 formula_72. 
Kui liikumine leiab aset sirgel, siis rihitakse koordinaadistik praktiliselt liikumise suunas ning saadakse skalaarne võrrand 
 formula_73.
Kiiruse teine tuletis aja järgi annab kiirenduse muutumise kiiruse: formula_74. Kiirus saadakse kiirenduse muutumise kiirusest kahe integreerimisega.
Seos impulsi ja kineetilise energiaga.
Massiga formula_75 keha impulss arvutatakse valemiga formula_76, kineetiline energia on antud valemiga formula_77. 
Rangelt võttes kehtivad need võrrandid üksnes ligikaudselt nn mitterelativistlikul juhtumil, st kiiruste korral, mis on valguse kiirusest palju väiksemad.
Mõõtmine.
Kõige lihtsam viis kiirust määrata on mõõta,
Mõlemal juhul mõõdetakse õigupoolest ainult keskmist kiirust. Kui aga teelõik või ajavahemik valitakse piisavalt lühike või liikumine on ligikaudu ühtlane, siis on mõlema meetodiga võimalik jõuda rahuldava täpsuseni. Üks näide esimesest meetodist on Hippolyte Fizeau hammasrattameetod valguse kiiruse mõõtmiseks. Teist meetodit kasutatakse muu hulgas siis, kui kiiruse väärtusi arvutatakse GPSi andmete põhjal. 
Ratastega sõiduki sõidukiirust on kerge määrata spidomeetri abil. See möödab õigupoolest ratta pöörlemissagedust, mis on kiirusega võrdeline. 
Mõõtmismeetodina on aga võimalik kasutada praktiliselt kõiki kiirusest sõltuvaid efekte, nii näiteks Doppleri efekti Doppleri radaris, impulssi ballistilises pendlis ja kiirusrõhku Prandtli torus.
Ühikud.
Kiiruse SI ühik on meeter sekundis (m/s). Teine laialt kasutatav kiirusühik on kilomeeter tunnis (km/h).
Ameerika Ühendriikides ja mõnedes teistes ingliskeelsetes maades on kasutusel miil tunnis (mph). Merenduses ja lennunduses on kasutusel sõlm (meremiil tunnis). Vertikaalkiirusi esitatakse motoriseeritud lennunduses sageli jalgades minutis (LFM ("linear feet per minute"), fpm ("feet per minute")).
Peaaegu ainult lennunduses kasutatakse Machi arvu, vaid kiiruse suhte lokaalse helikiirusega. Helikiirus sõltub oluliselt temperatuurist, kuid mitte õhurõhust. Seda arvu kasutatakse sellepärast, et sellest sõltuvad aerodünaamilised efektid.
Käibel olevate kiirusühikute teisendamine:
Kiirused ja taustsüsteem.
Vastavalt taustsüsteemile või koordinaadistikule on kujunenud erinevad nimetused.
Vertikaal- ja horisontaalkiirused.
Homogeense raskusvälja puhul kasutatakse sageli Descartesi koordinaate. Kiirusi, mis on raskuskiirendusega formula_78 kollineaarsed, nimetatakse enamasti vertikaalkiirusteks, kiirusi, mis on raskuskiirendusega ortogonaalsed, nimetatakse horisontaalkiirusteks. 
Radiaalkiirus, tangentsiaalkiirus ja ringikiirus.
Polaarkoordinaatide puhul on radiaalkiirus formula_79 kiirusvektori komponent kohavektori sihis, st piki liikuvat objekti ja koordinaatide alguspunkti ühendavat kiirt. Sellega risti olevat komponenti nimetatakse ringikiiruseks Sformula_80. Nii saame: formula_81. Nurkkiiruse ja kohavektori vektorkorrutis annab ringikiiruse: formula_82.
Liikumiste korral mööda ringjoont, mille keskpunkt on koordinaatide alguspunkt, ja ka ainult sel juhtumil, on radiaalkiirus null ja ringikiirus võrdub tangentsiaalkiirusega, st kiirusega piki trajektoori puutujat.
Sellest, et kaugus koordinaatide alguspunktist (raadius) muutub, tuleneb radiaalkiirus: formula_83.
Absoluutne kiirus ja suhteline kiirus.
Eeldusel, et on olemas üldkehtiv taustsüsteem, nimetatakse selles süsteemis mõõdetavaid kiirusi absoluutseteks kiirusteks. Kiirusi punkti suhtes, mis ise selles punktis liigub, nimetatakse suhtelisteks kiirusteks. Näide: tramm liigub kiirusega 50 km/h. Selles liigub piki trammi sõitja suhtelise kiirusega (trammi suhtes) kiirusega 5 km/h. Tema absoluutne kiirus (tänaval seisva vaatleja suhtes) on järelikult 55 km/h või 45 km/h vastavalt sellele, kas ta liigub sõidusuunas või vastu sõidusuunda. 
Ent relatiivsusprintsiip ütleb, et ei ole füüsikalist alust, miks peaks mõnd kindlat taustsüsteemi kõigile teistele eelistama. Kõik füüsikaseadused, mis kehtivad ühes inertsiaalsüsteemis, kehtivad ka kõigis teistes inertsiaalsüsteemides. See, milliseid liikumisi peetakse absoluutseteks, on niisiis täiesti suvaline. Hiljemalt erirelatiivsusteooriast saadik sellepärast absoluutse kiiruse mõistet välditakse. Sellepärast on kõik kiirused suhtelised kiirused. Sellest relatiivsusprintsiibist koos sellega, et valguse kiirus on invariantne (Lorentzi invariant) järeldub, et kiirusi ei saa lihtsalt liita, nagu ülaltoodud näites vaikimisi eeldati. Selleasemel kehtib relativistlik kiiruste liitmise teoreem. See saab aga märgatavaks alles väga suurte kiiruste korral. 
Näide: suhteline kiirus astronoomias.
Näide astronoomiast illustreerib seda, et absoluutne kiirus ei mängi mingit rolli, sest absoluutselt paigalseisvat taustsüsteemi ei ole põhimõtteliselt olemas. Koordinaattelgedel on tähistaeva suhtes kindel suund, taustsüsteem seisab mingis raskuskeskmes paigal. Siis Kuu kiirus:
Universumi kaugete objektide puhul määrab kiiruse primaarselt aegruumi paisumine, ja seda mõõdetakse näiteks punanihke kaudu.
Arvukate osakeste kiirus.
Paljudest osakestest koosneva süsteemi puhul ei ole enamasti enam mõttekas või üldse võimalik anda iga üksiku molekuli kiirust. Selleasemel töötatakse kiirusjaotusega, mis näitab, kui sageli kiiruste teatav vahemik osakeste ansamblis esineb. Näiteks ideaalses gaasis kehtib Maxwelli-Boltzmanni jaotus ehk Maxwelli jaotus (vt joonist): enamiku osakeste kiirus on lähedane kõige tõenäosemale kiirusele, mida näitab Maxwelli-Boltzmanni jaotuse maksimum. Esineb ka väga väikesi ja väga suuri kiirusi, aga eeldatavalt on need päris vähestel osakestel. Maksimum sõltub temperatuurist. Mida kuumem gaas on, seda suurem on kõige tõenäosem kiirus. Rohkematel osakestel on siis suur kiirus. See näitab, et teperatuur on osakeste keskmise kineetilise energia mõõt. Siiski ei ole ka madalatel temperatuuridel väga suured kiirused välistatud. Kiirusjaotusega on seletatavad paljud füüsikalised transpordinähtused, nagu näites difusioon gaasides. 
Voolise voolukiirus.
Gaasi või vedeliku keskmine voolukiirus formula_84 saadakse mahtvooluhulgast formula_85 voolu ristlõike pindala formula_8 kaudu:
formula_87
Lokaalsed voolukiirused aga võivad üksteisest väga palju erineda. Näiteks on kiirus ideaalse toru keskel kõige suurem ja langeb hõõrdumise tõttu toru seina juures nullini. Sellepärast tuleb keskkonna voolamist käsitada vektorväljana. Kui kiirusvektorid on ajas konstantsed, siis räägitakse muutumatust voolamisest. Kui aga kiirused käituvad kaootiliselt, siis on tegu turbulentse voolamisega. Voolamiskäitumist aitab iseloomustada Reynoldsi arv, mis seob voolukiiruse vooluga kokkupuutuva keha mõõtmetega ja voolise viskoossusega.
Matemaatiliselt modelleeritakse kiiruste käitumist Navier'-Stokesi võrranditega, mis diferentsiaalvõrranditena seovad kiirusvektoreid sise- ja välisjõududega. Sellega on neil voolise liikumise jaoks sarnane tähtsus nagu mehaanika põhivõrrandil (Newtoni teisel seadusel punktmasside ja jäikade kehade jaoks.
Lainete kiirus.
Lainete liikumise keerukuse tõttu tuleb kasutada erinevaid kiirusemõisteid. (Ka laine levimiskiirus võib tähendada eri asju.)
Faasi- ja rühmakiirus langevad kokku üksnes harvadel juhtudel (näiteks valguse levimise korral vaakumis). Reeglina need erinevad. Üks näitlik äärmuslik näide on madude kulgemine: kui käsitada madu lainena, siis tema edasijõudmise kiirus on rühmakiirus. Faasikiirus siuglemisel on aga null, sest kohad, kus mao keha kõverdub paremale või vasakule, on pinnaga ette antud ega liigu mööda maapinda. 
Reeglina sõltub füüsikalise laine faasikiirus sagedusest või ringlainearvust. Seda efekti nimetatakse dispersiooniks. Dispersiooni tõttu murdub näiteks eri lainepikkusega valgus prismal erineval määral.
Relatiivsusteooria.
Klassikalise füüsika seadustest järeldub kiiruste kohta muu hulgas:
Kuigi klassikalise füüsika seadused seda ei nõua, eeldati enne Einsteiniüldiselt, et on olemas kõikide kiiruste universaalne taustsüsteem – eeter. Kui see oleks nii, peaks elektromagnetlainete levimiskiirus sõltuma vastuvõtja liikumisolekust.
Michelsoni-Morley eksperiment ei kinnitanud viimast sõltuvust. Einstein postuleeris, et relatiivsusprintsiipi, mis oli teada juba klassikalisest mehaanikast, tuleb rakendada ka kõigile teistele füüsikanähtustele, sealhulgas valguse levimisele, ning et valguse kiirus on sõltumatu saatja liikumisolekust. Sellest tegi ta järelduse, et ülaltoodud klassikalise mehaanika väiteid tuleb modifitseerida. Üksikasjades tähendab see:
Erirelatiivsusteooriast tulenevad efektid saavad siiski märgatavaks alles väga suurte kiiruste korral. Lorentzi tegur, mis on aja dilatatsiooni ja pikkuse kontraktsiooni korral mõõduandev, annab alles formula_94 korral ühest protsendist suurema hälbe. Järelikult on klassikaline mehaanika isegi kõige kiiremate seni valmistatud kosmoseaparaatide puhul äärmiselt täpne lähendus.
Uurimislugu.
Autolykos Pitanest defineeris 4. sajandil eKr ühtlase liikumise nii: "Punkti kohta öeldakse, et ta vahetab ühtlasel kohta, kui ta võrdsete aegadega läbib ühesugused suurused." Olgugi et definitsioonis osalesid nii teepikkus kui ka aeg, peeti nende suhet mõttetuks, sest võrrelda sai ainult ühesuguseid suurusi, ja liikumise kiirus oli puhtkvalitatiivne, mitte kvantitatiivne mõiste. Samal ajal elanud Aristoteles jagas liikumise "loomulikuks", kui keha püüab jõuda oma "loomulikku" asukohta, ja "vägivaldseks", mis toimub jõu toimel. "Vägivaldse" liikumise puhul võrdub "liikumapanija" suuruse ja liikumise aja korrutis "liikumapandava" suuruse ja läbitud teepikkuse korrutisega, mis vastab valemile formula_95 või formula_96. Neidsamu vaateid jagasid Avicenna 11. sajandil, kellel oli küll teine arvamus liikumise põhjuste kohta, ja Gerard Brüsselist 12. sajandi lõpus ja 13. sajandi alguses. Gerard kirjutas traktaadi "Liber de motu" ("Raamat liikumisest"), esimese ladinakeelse traktaadi kinemaatikast, milles ta sõnastas idee keha liikumise keskmise kiiruse määramisest (pöörlemisel liigub pöörlemisteljega paralleelne sirge "ühtemoodi mis tahes oma punktiga" ja raadius "ühtemoodi oma keskpunktiga").
1328. aastal ilmus Thomas Bradwardine'i "Traktaat proportsioonidest ehk kiiruste proportsioonidest liikumisel", milles ta leidis mittevastavuse Aristotelese füüsikas ja kiiruse seosed mõjuvate jõududega. Bradwardine märkis, et Aristotelese vormeli järgi kui liikumapanev jõud võrdub vastupanuga, siis kiirus on 1, kuna aga see peab olema 0. Ta esitas ka oma kiiruse muutumise vormeli, mis ei olnud küll füüsika seisukohast põhjendatud, kuid kujutas endast esimest kiiruse funktsionaalset sõltuvust liikumise põhjustest. Bradwardine nimetas kiirust liikumishulgaks. William Heytesbury võttis traktaadis "Kohalikust liikumisest" kasutusele hetkkiiruse mõistest. 1330ndatel ja 1340ndatel tõestasid tema ja teised Bradwardine'i õpilased nn Mertoni reegli, mis tähendab teepikkuse võrdsust ühtlaselt kiireneva liikumise ja keskmise kiirusega ühtlase liikumise puhul.
Kiiruse mõistmise raskustest antiik- ja keskajal annavad tunnistust Zenoni apooriad "Achilleus ja kilpkonn" ja "Nool". 
Kiiruse mõistesse tõi selgust Galileo Galilei. See märgistab läbimurret uusaegse füüsika suunas 17. sajandi alguses. Seni oli olnud täpselt defineeritud ainult keskmine kiirus antud lõplikul teel ning kiiruse suurenemist, nagu näiteks vaba langemise puhul, oli kujutatud kiiruse väikeste hüpete jadana. Galilei aga katab pidevalt muutuv kiirus kõikide vahepealsete väärtuste kontiinumi. Ta ei käsitanud vahepealseid väärtusi mitte keskmiste kiirustena tee tükikestel, vaid hetkkiirustena trajektoori punktides. Selle kiirusemõiste esitas piirprotsessi abil lõpmata väikestele teepikkustele täpselt alles Isaac Newton 17. sajandi lõpus.
Kiiruse arvväärtust ja suunda käsitleti algul lahus, kuni need 19. sajandil ühendati kiirusvektorina üheks matemaatiliseks suuruseks.