Kolmnurga võrratus

Kolmnurga võrratuseks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga külgede omadust, mis väidab, et kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg või on sellega võrdne.
Teiste sõnadega kolmnurga küljed formula_1 ja formula_2 on seoses 
formula_3
Eukleidese geomeetrias käsitletakse kolmnurga võrratust kauguse teoreemina, kus kasutatakse vektoreid formula_4 ja formula_5 ning nende pikkusi:
formula_6
Eukleidese geomeetria.
Eukleides tõestas kolmnurga külgede pikkuste võrratust tasapinnalises geomeetrias kasutades joonist 1. Järgnev tõestus on välja toodud Eukleidese raamatus "Elemendid".
Alustatakse kolmnurgaga formula_7. Küljele formula_8 moodustatakse võrdhaarne kolmnurk formula_9 nii, et külg formula_10 on külje formula_11 pikendus.
Seejärel väidetakse, et nurk formula_12, nii et külg formula_13. 
Kuid formula_14, nii et külgede summa on formula_15, mis tõestab kolmnurga külgede pikkuste võrratust.
Võrratusest tulenevad valemid.
Võrratus teisel kujul.
Võrratusest tulenevalt kehtivad kolmnurga külgede formula_1 ja formula_2 vahel järgmised seosed: formula_18 formula_19 formula_20
Sellest valemist järeldub
formula_21
Eelnevatest valemitest tuleneb, et
formula_22
Seda saab panna kirja valemina
formula_23 mis on sama mis formula_24
Kolmnurga võrratuse juhud.
Kui on antud kolm külge formula_1 ja formula_2, kus formula_2 on pikim külg, siis tulenevalt formula_2-külje pikkusest saab võrratus esineda kolmel kujul: 
Näide kolmnurga võrratuse kasutamisest.
Näide kahel hulknurgal.
Olgu meil hulknurk formula_35 ja selle sees kolmnurk formula_36. 
Tõestame, et formula_37kus formula_38 on ümbermõõt ehk kõikide külgede summa.
Kolmnurga võrratus vektorruumis.
Kui on antud normeeritud vektorruum formula_48siis üks normi määratlevaks tingimuseks on kolmnurga võrratus:
formula_49
Sellest tuleneb kolmnurga reegel, mis seisneb selles, et geomeetriliste vektorite formula_4 ja formula_5 summavektoriks formula_52 nimetatakse vektorit, mis on suunatud vektori formula_4 alguspunktist vektori formula_5 lõpp-punkti ning summavektori pikkus on väiksem kui formula_4 ja formula_5 pikkuste summa. 
Meetriline ruum.
Olgu formula_57 mitte tühi meetriline ruum ning formula_58 funktsioon formula_59üle reaalarvude. Üheks meetrilise ruumi tingimuseks on: 
formula_60 
Igale paarile formula_61 on vastavusse seatud reaalarv formula_62mis on formula_4 ja formula_5 vaheline kaugus: formula_65(absoluutväärtus või moodul arvude formula_4 ja formula_5 vahest). 
Tõestame antud aksioomi lähtudes kauguse definitsioonist. 
formula_68 korral: 
(M1) formula_69 
(M2) formula_70kui formula_71 
(M3)formula_72 
(M4) formula_73 
Tagurpidi kolmnurga võrratus.
Tuletame meetrilise ruumi formula_57eeltoodud aksioomist tagurpidi kolmnurga võrratust. 
formula_68 korral: 
formula_76 
Teisendame võrratust eelmises peatükis mainituid sammude M3 ja M4 abil: 
formula_77 
ja sellest tuleneb 
formula_78 
ning saame 
formula_79mis on tagurpidi kolmnurga võrratus. 
Tagurpidi kolmnurga võrratus omab kuju formula_80kus formula_81 ehk meetrilise (ja normeeritud) ruumi kaugus. Sellest tulenevalt on kolmnurga tõestus järgmine: 
formula_82
mis tähendabki seda, et formula_76
Tõestame, et tagurpidi kolmnurga võrratus kasutab fundamentaalset kolmnurga võrratust eeldades, et formula_84:
formula_85
formula_86
Ning kui paneme mõlemad võrratused kokku, saame
formula_87