Maatriks

Maatriks on matemaatiline objekt, mida esitatakse ristkülikukujuline (ridadeks ja veergudeks jaotatava) tabelina, mis koosneb numbritest, sümbolitest või avaldistest, mis tähistavad arve (tavaliselt reaalarve või kompleksarve) või mingeid muid etteantud hulka kuuluvaid matemaatilisi objekte, näiteks polünoome, funktsioone, diferentsiaale, vektoreid. Objekte, mida tabeli sissekanded tähistavad, nimetatakse maatriksi elementideks või maatriksi komponentideks. 
Tavaliselt eeldatakse, et selle hulga elemente, millest maatriksi elemendid võetakse, saab liita ja lahutada sarnaselt arvudega (nad moodustavad Abeli rühma). Lineaaralgebras eeldatakse tavaliselt ka, et neid saab arvude kombel korrutada ja jagada: nad moodustavad korpuse või üldisemalt ühikelemendiga assotsiatiivse ringi. Tehted maatriksitega defineeritakse maatriksi elementide tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) kaudu.
Et osutada sellele, kust maatriksi elemendid võetakse, räägitakse maatriksist üle mingi hulga, ringi või korpuse (näiteks reaalarvuliste elementidega maatriksit nimetatakse maatriksiks üle reaalarvude korpuse).
Maatriksid kuuluvad lineaaralgebra kesksete objektide hulka. Maatrikseid kasutatakse näiteks lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel.
Maatrikseid uurib maatriksite teooria.
Maatriksi üldistus on hüpermaatriks, millel võib olla rohkem mõõtmeid kui 2. 
Definitsioonid ja tähistused.
Maatriks on matemaatiline objekt, mida esitatakse ristkülikukujuline (ridadeks ja veergudeks jaotatava) tabelina, mis koosneb numbritest, sümbolitest või avaldistest, mis tähistavad arve või muid matemaatilisi objekte. Näiteks
formula_1
on maatriks. Objekte, mida maatriksi kui tabeli sissekanded tähistavad, nimetatakse maatriksi elementideks ehk maatriksi komponentideks.
Maatriksi mõõtmed määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatriksil on "m" rida ja "n" veergu, siis nimetatakse seda m × n ("m"-korda-"n") järku maatriksiks või lihtsalt "m × n" maatriksiks. Positiivsete täisarvude järjestatud paari "m × n" nimetatakse 'maatriksi järguks ehk mõõtmeteks ehk dimensiooniks ehk suuruseks ning arve "m" ning "n" selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4 × 3 maatriksit. (Mõnikord vaadeldakse ka lõpmatuid maatrikseid, millel on lõpmata palju ridasid ja veerge, ja tühje maatrikseid, mille ridade arv või veergude arv või mõlemad on 0.)
Maatriksit, mille ridade arv võrdub veergude arvuga, nimetatakse ruutmaatriksiks. "n × n" ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu "n".
Maatriksit, mille üks mõõtmetest võrdub ühega, nimetatakse ka vektoriks. Täpsemalt, maatrikseid dimensioonidega 1 × "n" ja "m" × 1 nimetatakse vastavalt reavektoriteks ja veeruvektoriteks. Näiteks 
formula_2
on 1 × 3 reavektor.
Elemendi kohta, mis asub maatriksi "i"-ndas reas ja "j"-ndas veerus, öeldakse, et see element asub kohal "i-j".
Maatrikseid tähistatakse suurte ladina tähtedega ning elemente tavaliselt väikeste ladina või kreeka tähtedega, mis on varustatud kahe asukohale viitava alaindeksiga (näiteks "a"11 või "a"1,1, kusjuures esimene indeks viitab reale ja teine veerule. "m × n" maatriksit
formula_3
esitatakse lühidalt üldelemendi "aij" abil: formula_4
või ka formula_5, kui formula_6. Kasutusel on ka tähistus, mille puhul maatriksi elementi tähistatakse sama sümboliga kui maatriksit ennast, näiteks ("A")"ij" või ka sulgudeta "A""ij". Maatriksite eristamiseks teistest objektidest kasutatakse ka näiteks rasvast kirja (A) või kahekordset allakriipsutamist (formula_7).
Maatriksi A elementi "i"-ndas reas ja "j"-ndas veerus nimetatakse mõnikord maatriksi "i","j"-elemendiks või ("i", "j") elemendiks ning tähistatake tavaliselt "a""i","j" või "aij", mõnikord "A"["i,j"] või "A""i,j". Näiteks järgneva maatriksi A (1, 3) element ("a"13, "a"1,3, "A"[1,3], "A"1,3) on 5:
formula_8.
Mõnikord antakse maatriksi elemendid valemiga: "a""i","j" = "f"("i", "j"). Näiteks järgneva maatriksi A elemendid on antud valemiga "aij" = "i" − "j".
formula_9
Sel juhul antakse maatriks ise mõnikord selle valemiga nurksulgudes või topeltsulgudes, näiteks siinsel juhtumil A = ["i"−"j"] või A = (("i"−"j")). Kui maatriksi mõõtmed on "m" × "n", siis valem "f"("i", "j") kehtib, kui "i" = 1, ..., "m" ja "j" = 1, ..., "n". Seda võib eraldi mainida või anda "m" × "n" alakirjas, meie juhtumil A = ["i" − "j"] ("i" = 1, 2, 3; "j" = 1, ..., 4) või A = ["i" − "j"]3×4.
Maatriksi ridu ja veerge tähistatakse mõnikord tärni abil, näiteks "a""i",∗ on maatriksi A "i"-s rida ja "a"∗,"j" on maatriksi A "j"-s veerg.
Maatrikseid, mille elemendid kuuluvad ringi R, nimetatakse maatriksiteks üle ringi R. Näiteks maatrikseid, mille elementideks on reaalarvud, nimetatakse maatriksiteks üle reaalarvude korpuse või üle reaalarvude.
Tehted maatriksitega.
Liitmine, korrutamine skalaariga ja transponeerimine.
Lihtsaimad tehted maatriksitega on "maatriksite liitmine", "skalaariga korrutamine" ja "transponeerimine".
Skalaariga korrutamise omadused ja liitmise omadused (assotsiatiivsus ja kommutatiivsus) ringis kanduvad üle maatriksite liitmisele: näiteks "A" + "B" = "B" + "A". 
Transponeerimise tehe, mida arvude (või ringi elementide) jaoks ei eksisteeri, ühildub liitmise ja skalaariga korrutamisega kui ("cA")"T" = "c"("A""T") ja ("A" + "B")"T" = "A""T" + "B""T". Veel kehtib ("A""T")"T" = "A".
Korrutamine.
Kahte maatriksit saab korrutada vaid siis, kui esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga. Kui "A" on "m × n" maatriks ja "B" on "n × p" siis "AB" on "m × p" maatriks, mille elemendid on
formula_10 
iga "i" = 1,2 ... "m" ja "j" = 1,2 ... "p" korral.
Näiteks
 formula_11
ja sarnaselt
formula_12
Maatriksite korrutamine on:
Kui korrutis "AB" on defineeritud, ei pruugi korrutis "BA" defineeritud olla. Täpsemalt on mõlemad korrutised defineeritud parajasti siis, kui A ja "B" on sama järku ruutmaatriksid. Ka siis, kui "AB" ja "BA" on defineeritud, ei pruugi need korrutised võrdsed olla, st üldjuhul
"AB" ≠ "BA".
st erinevalt reaal- või kompleksarvude korrutamisest pole maatriksite korrutamine kommutatiivne.
Pöördmaatriks.
Ruutmaatriksi "A" pöördmaatriksiks nimetatakse maatrksit "B", mis rahuldab tingimust
formula_13 
kus "I" on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit tähistatakse sümboliga formula_14. Ruutmaatriksil leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui selle determinant on nullist erinev ehk kui see on regulaarne. Maatriksi "A" pööramiseks nimetatakse tehet, mis seisneb ülalantud tingimust rahuldava maatriksi "B" leidmises.
Rakendused lineaaralgebras.
Maatriksid tekivad loomulikul moel lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel ja lineaarteisenduste vaatlemisel.
Lineaarvõrrandisüsteemid.
Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi kujul: 
 formula_15.
See süsteem koosneb formula_16 lineaarvõrrandist formula_17 tundmatuga. Selle võib esitada järgmise maatriksvõrrandina: 
 formula_18,
kus
 formula_19+
Maatriks formula_20 on lineaarvõrrandisüsteemi koefitsientide maatriks, veeruvektor formula_21 on tundmatute vektor ja veeruvektor formula_22 on mingi etteantud vektor. 
Selleks et süsteemil oleks (vähemalt üks) lahend, on tarvilik ja piisav, et vektor formula_22 oleks maatriksi formula_20 lineaarkombinatsioon, ja siis vektor formula_21 on koefitsientide vektor vektori formula_22 lahutuseks maatriksi formula_20 veergude järgi.
Maatriksite keeles saab lineaarvõrrandisüsteemi lahenduvuse tingimuse formuleerida Kroneckeri-Capelli teoreemina: 
 maatriksi formula_20 astak võrdub maatriksi formula_20 veergudest ja veerust moodustatud formula_22 moodustatud maatriksi formula_31 astakuna.
Tähtis erijuht. Kui võrrandite arv langeb kokku tundmatute arvuga (formula_32 ehk formula_20 on ruutmaatriks), siis ühese lahenduvuse tingimus on ekvivalentne maatriksi formula_20 pööratavusega. 
(Märkus. Süsteemi lahenduvusest ei järeldu veel, et maatriks ei ole kõdunud. Näide: 
formula_35.)
Kui maatriks formula_20 on pöötatav, siis süsteemi lahend on 
 formula_37.
Sellest tuleneb Crameri meetod. 
Lineaarkujutused.
Vaatleme lineaarkujutust formula_38 formula_17-mõõtmelisest vektorruumist formula_40 formula_16-mõõtmelisse vektorruumi formula_42, millel on järgmine kuju:
 formula_43.
Maatrikskujul on see 
 formula_44,
kus maatriks formula_20 on lineaarkujutuse koefitsientide maatriks. 
Kui vaadelda lineaarkujutuse formula_46 mõju vektoritele kujul 
formula_47, 
mis moodustavad vektorruumi formula_40 baasi, siis formula_49 on maatriksi formula_20 formula_51-s veerg.
Niisiis kirjeldab maatriks formula_20 lineaarkujutust formula_46 täielikult, ja sellepärast nimetatakse seda selle lineaarkujutuse maatriksiks.