Kahe muutuja funktsioon

Funktsioon ƒ on kahe muutuja funktsioon, kui eksisteerivad hulgad formula_1, formula_2 ja formula_3 nii, et
formula_4
kus formula_1 × formula_2 on formula_1 ja formula_2 otsekorrutis.
Näiteks, kui formula_9 on täisarvude hulk ja formula_10 on naturaalarvude hulk (v.a. null), siis formula_11 on ratsionaalarvude hulk nii, et
formula_12
ehk igale ratsionaalarvule vastab jagatis formula_13. Iga arvupaar "m" ja "n" on kahe muutuja funktsioon hulga formula_11 suhtes.
Kahe reaalmuutuja funktsioon.
Hulgal formula_15 on määratud kahe reaalmuutuja funktsioon "z = ƒ(x,y)", kui igale arvupaarile "(x; y)" ehk punktile "P(x; y)" hulgast formula_15 on mingi eeskirjaformula_17 abil seatud vastavusse täpselt üks reaalarvformula_18 ning seda märgitakse nii: 
formula_19
kus 
Funktsiooni ƒ muutumispiirkond on formula_21
Kahe reaalmuutuja funktsiooni määramispiirkond.
Kahe muutuja funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasandil. Lihtsamatel juhtudel koosneb kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond joontega piiratud tasapinna osadest; piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks. Piirkonna punkte, mis ei asetse rajajoonel, nimetatakse piirkonna sisepunktideks.
Ainult seesmistest punktidest koosnevat piirkonda nimetatakse lahtiseks piirkonnaks. Kui aga piirkonda kuuluvad ka kõik rajapunktid, siis nimetatakse piirkonda kinniseks. Piirkonda nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C.
Näide.
Kahe muutuja funktsiooni 
formula_22 
määramispiirkond on formula_23 ≥ 0 ehk formula_24 ≤ 1 .
Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega ühikulise raadiusega ringi punktide hulk "xy"-tasandil, kusjuures ringi keskpunkt on (0;0) ehk koordinaattelgede alguspunktis, ehk iga punkt formula_25 nii, et formula_24 ≤ 1 .
Funktsiooni 
formula_27 
määramispiirkond on formula_28 &gt; 0 ehk formula_29 &gt; formula_30. Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega punktide hulk "xy"-tasandil, mis jäävad sirgest formula_31 üles.
Kahe reaalmuutuja funktsioonide tuletised.
Kahe muutuja funktsiooni formula_32 osamuut formula_33 järgi: formula_34
Kahe muutuja funktsiooni formula_32 osamuut formula_29 järgi: formula_37
Kahe muutuja funktsiooni formula_32 täismuut: formula_39
Üldjuhul formula_40
Funktsiooni formula_32 osatuletiseks formula_33 järgi nimetatakse vastava osamuudu formula_43 ja muudu formula_44 suhte piirväärtust formula_44 lähenemisel nullile:
formula_46
Funktsiooni formula_32 osatuletis formula_29 järgi on seega
formula_49
II järku osatuletis formula_33 järgi: formula_51
II järku osatuletis formula_29 järgi: formula_53
II järku segatuletised formula_33 ja formula_29 järgi: formula_56
Näide.
Koonuse ruumala "V" sõltub selle kõrgusest "h" ja raadiusest "r" :
formula_57
Funktsiooni "V" osatuletis "r" järgi on
formula_58
mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle raadius muutub ja kõrgus jääb muutumatuks. Osatuletis "h" järgi on
formula_59
mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle kõrgus muutub ja raadius jääb muutumatuks.
Teoreem segatuletistest.
Kui funktsioon formula_60 ja tema osatuletised formula_61 on punktis "P (x; y)" ning selle mingis ümbruses määratud ja pidevad, siis selles punktis
formula_62
Kahe reaalmuutuja funktsiooni ekstreemumid.
Kahe muutuja funktsioonil formula_60 on punktis formula_64 lokaalne maksimum, kui formula_65 kõigi punktile formula_66 küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide formula_67 korral.
Kahe muutuja funktsioonil formula_60 on punktis formula_64 lokaalne miinimum, kui formula_70 kõigi punktile formula_66 küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide formula_67 korral.
Näide.
Funktsioonil formula_73 on miinimum punktis formula_74 kuna
formula_75 ning formula_76, kui "x≠1" ja formula_77, kui "y≠2" ja seetõttu formula_78 ≠ formula_79 , siis formula_80.
Ekstreemumi piisavad tingimused.
formula_81 on funktsiooni formula_32 teist järku tuletised punktis formula_64.
Olgu mingis punktis formula_64 funktsiooni formula_85 osatuletised kuni kolmanda järguni (k. a.) pidevad ja olgu punkt formula_64 funktsiooni formula_85 statsionaarne punkt, s.t.
formula_88
Siis punktis formula_64 :
Näide.
Funktsiooni formula_99 lokaalsete ekstreemumite leidmine.
Esimest järku osatuletised on formula_100
Võrrandisüsteemi formula_101 lahendid on formula_102 
Seega on funktsiooni formula_99 statsionaarseks punktiks formula_104 
Teist järku tuletised selles punktis on formula_105
formula_106
Kuna formula_91 ja formula_95 siis on punkt formula_109 funktsiooni formula_99 miinimumpunkt.
Funktsiooni formula_99 lokaalseks miinimumiks on formula_112