Ringi ideaal

Üldalgebras nimetatakse ringi ideaaliks (ehk ideaaliks selles ringis) selle ringi alamhulka, mis sisaldab nullelementi ning on kinnine oma elementide liitmise ja lahutamise suhtes ning on kinnine ringi mis tahes elemendiga (vasakult või paremalt) korrutamise suhtes. 
Näiteks on kahe paarisarvu summa ja vahe jälle paarisarvud ning paarisarvu korrutis mis tahes täisarvuga on samuti paarisarv. Seega on paarisarvude hulk täisarvude ringi ideaal. 
Nimetus "ideaal" on tuletatud ideaalarvu mõistest. Ideaale võib pidada arvude üldistuseks. Ideaali mõiste pärineb 19. sajandi algebralisest arvuteooriast (Ernst Eduard Kummer). Seda arendasid edasi Richard Dedekind ja Leopold Kronecker.
Definitsioon.
Olgu formula_1 ringi formula_2 alamhulk. Hulka formula_1 nimetatakse siis vasakpoolseks ideaaliks, kui:
1: formula_4,
2: kõigi formula_5 korral formula_6 (alamrühmakriteerium),
3L: iga formula_7 ja formula_8 korral formula_9.
formula_1 on parempoolne ideaal, kui on täidetud tingimused 1, 2 ja
3R: Iga formula_7 ja formula_8 korral formula_13.
Hulka formula_1 nimetatakse kahepoolseks ideaaliks ehk lihtsalt ideaaliks, kui formula_1 on vasakpoolne ideaal ja parempoolne ideaal, st on täidetud tingimused 1, 2, 3L ja3R erfüllt.
Ideaalide tekitamine.
Kõik vasakpoolsed ideaalid, kõik parempoolsed ideaalid ja kõik kahepoolsed ideaalid moodustavad igaüks sulundisüsteemi. Vastavaid ideaalioperaatoreid tähistatakse sulgude formula_58 harva ka kolmnurksulgude formula_59 abil.
Kui formula_60 on ringi formula_49 alamhulk, siis alamhulga formula_60 tekitatud ideaaliks 
formula_63
nimetatakse ringi vähimat (vastavalt vasakpoolset, parempoolset või kahepoolset) ideaali, mis sisaldab hulka formula_60.
Kui ringil formula_49 on ühikelement formula_66 siis
formula_67
ja kui formula_49 on ka kommutatiivne, siis
formula_69
Ühe elemendi formula_70 tekitatud ideaali
formula_71
nimetatakse peaideaaliks.
Erilised ideaalid.
Ideaali formula_1 nimetatakse pärisideaaliks, kui ta ei ole kogu formula_49. Ühikelemendiga ringide puhul ühikelemendiga formula_52 on see nii parajasti siis, kui ideaal seda ühikelementi ei sisalda. 
Pärisideaali formula_75 nimetatakse maksimaalseks ideaaliks, kui ei ole suuremat pärisideaali, st iga ideaali formula_1 korral
formula_77
Zorni lemma abil saab näidata, et ühikelemendiga ringi iga pärisideaal sisaldub mõnes maksimaalses ideaalis. Igal ühikelemendiga ringil peale nullringi leidub maksimaalne ideaal. 
Pärisideaali formula_78 nimetatakse lihtsaks ideaaliks, kui kõikide ideaalide formula_79 korral 
formula_80 või formula_81
Ühikelemendiga ringis on iga maksimaalne ideaal lihtne.
Faktorringid ja tuumad.
Ideaalid on ringide homomorfismide tuumad ja võimaldavad defineerida faktorringe. 
Ringide homomorfism formula_45 ringist formula_49 ringi formula_84 on kujutus formula_85, mille korral kõikide formula_86 korral
formula_87
Homomorfismi formula_45 tuum on defineeritud kui
formula_89
Tuum on alati ringi formula_49 kahepoolne ideaal.
Ringi formula_49 kahepoolne ideaal formula_1 võimaldab defineerida faktorringi formula_93 (loe: "formula_49 modulo formula_1"; mitte segi ajada faktoriaalringiga), mille elementidel on kuju
formula_96
kus formula_70 on ringi formula_49 mingi element. Kujutus
formula_99
on sürjektiivne ringide homomorfism, mille tuum on parajasti ideaal formula_1. Seega on ringi formula_49 ideaalid parajasti sellel ringil määratud homomorfismide tuumad. 
Olgu ring formula_49 kommutatiivne. Kui formula_78 on lihtne ring, siis formula_104 on integriteetkond. Kui formula_75 on maksimaalne ideaal, siis formula_106 on korpus.
formula_49 faktorringide äärmuslikud näited tekivad ideaalide formula_108 ja formula_49 puhul. Faktorring formula_110 on isomorfne ringiga formula_49 ja formula_112 on triviaalne ring formula_113
Ideaali norm.
Arvukorpuse formula_114 täiselementide ringis formula_60 saab defineerida ideaali formula_1 normi kui formula_117 (ja nullideaali korral formula_118). See norm on alati lõplik arv ning on seotud korpuse laiendi normiga formula_119 peaideaalide formula_120 korral kehtib nimelt formula_121 See norm on multiplikatiivne, st formula_122. Üldisemalt vaadeldakse neid norme ka arvukorpuste järkude ideaalide puhul.