Diferentseeruv muutkond

Diferentseeruv muutkond (inglise keeles "differentiable manifold", "differential manifold") on matemaatikas geomeetriline objekt, mis näeb lokaalselt välja nagu vektorruum üle reaalarvude korpuse, nii et seal on rakendatavad tuletise mõiste ja sellega seotud mõisted. See on näiteks joone ja pinna üldistus. 
Diferentseeruvat muutkonda saab kirjeldada kaartidega, mis moodustavad atlase. Teine võimalus on võtta seda kõrgema mõõtmega eukleidilise ruumi alamhulgana (eukleidilise ruumi alammuutkonnana) ning kirjeldada võrrandi või parameetrilise esitusena. Whitney sisestamisteoreem näitab, et need lähenemisviisid on samaväärsed. 
Diferentseeruvat muutkonda saab defineerida topoloogilise muutkonnana koos diferentseeruva struktuuriga. 
Diferentseeruvad muutkonnad on diferentsiaalgeomeetria ja diferentsiaaltopoloogia põhiline uurimisobjekt. 
Diferentseeruvad muutkonnad on füüsikas väga olulised. Nendega opereeritakse füüsikateooriates, sealhulgas klassikalises mehaanikas (sidemetega süsteemid), üldrelatiivsusteoorias (aegruumi kirjeldus) ja Yangi-Millsi teoorias. 
Definitsioonid.
Diferentseeruv atlas.
Topoloogilise ruumi formula_1 kaart on järjestatud paar formula_2, mis koosneb ruumis formula_1 lahtisest mittetühjast hulgast formula_4 ja homöomorfismist
 formula_5.
Kui formula_2 on formula_7 kaks ruumi formula_1 kaarti, kusjuures formula_9, siis kujutust nimetatakse 
 formula_10
kaardivahetuseks.
Ruumi formula_1 atlas on siis niisugune kaartide kogum formula_12 (formula_13 on indeksite hulk), et
 formula_14
Atlast nimetatakse formula_15-diferentseeruvaks, kus formula_16, kui kõik selle kaardivahetused on formula_15-difeomorfismid.
Diferentseeruv struktuur.
Kaks formula_15-diferentseeruvat atlast on definitsiooni järgi ekvivalentsed, kui ka nende ühend on formula_15-diferentseeruv atlas ist. Seda atlaste ekvivalentsiklassi selle ekvivalentsiseose suhtes nimetatakse formula_15-diferentseeruvaks struktuuriks.
Kui formula_21, siis räägitakse ka siledast struktuurist. 
Diferentseeruv muutkond.
"formula_22" korda diferentseeruv muutkond on Hausdorffi ruum, milles on täidetud teine loenduvusaksioom, koos formula_15-diferentseeruva struktuuriga.
Diferentseeruval muutkonnal on mõõde formula_24, kui mõni kaart ja seetõttu kõik kaardid kujutavad ruumi formula_25 mõnda alamhulka.
Sile muutkond.
Sile muutkond on Hausdorffi ruum, milles on täidetud teine loenduvusaksioom, koos sileda struktuuriga. 
Siledates muutkondades saab uurida funktsioonide siledust. See ei ole formula_22 korda diferentseeruvates muutkondades võimalik, sest kaardivahetus on ainult formula_22 korda diferentseeruv ning seetõttu saab iga funktsiooni muutkonnas diferentseerida ülimalt formula_22 korda. Diferentsiaalgeomeetrid vaatlevad sageli ainult siledaid muutkondi, sest nende kohta saadakse samad tulemused mis formula_22 korda diferentseeruvate muutkondade kohta, kuid pole tarvis hallata, mitu korda tohib kaardivahetust diferentseerida. 
Kompleksmuutkonnad.
Ka kompleksmuutkonnad (diferentseeruva muutkonna mõiste modifikatsioon) on siledad, kuid neis peab kaardivahetus olema ka biholomorfne.
Diferentseeruvad kujutused, teed ja funktsioonid.
Olgu formula_2 muutkonna formula_1 kaart ja formula_7 muutkonna formula_36 kaart, kusjuures formula_37. Kujutust formula_38
nimetatakse kujutuse formula_39 kaardiesituseks (nende kaartide suhtes).
Olgu formula_1 formula_41-mõõtmeline ja formula_36 formula_24-mõõtmeline formula_15-muutkond. Pidevat kujutust formula_45 nimetatakse formula_15-kujutuseks ehk formula_22 korda pidevalt diferentseeruvaks (lühidalt diferentseeruvaks) kujutuseks, kui kõik selle kaardiesitused (need on siis kujutused ruumist formula_48 ruumi formula_25) on formula_22 korda pidevalt diferentseeruvad kujutused. 
Diferentseeruvus ei sõltu kaartide valikust. See tuleneb sellest, et kaardivahetuskujutused on formula_15-difeomorfismid, ja mitmemõõtmelisest liitfunktsiooni diferentseerimise reeglist. 
Kujutuse formula_39 pidevus ei järeldu diferentseeruvusest, vaid seda tuleb eeldada, et kaardis saaks nii valida, et formula_37.
Klassi formula_54 kuuluvaid kujutusi, st kui tahes palju kordi diferentseeruvaid kujutusi, nimetatakse ka siledateks kujutusteks.
Võimalikud on ka juhtumid formula_55 ja formula_56. Sellistel juhtudel pole mitut kaarti tarvis. 
Diferentseeruvat kujutust lõigust formula_57 mingisse muutkonda nimetatakse teeks (diferentseeruvaks teeks) ehk parametriseeritud jooneks. Kui sihtruum on formula_58, siis räägitakse diferentseeruvast funktsioonist muutkonnas formula_1.
Kujutust formula_45 nimetatakse lokaalseks formula_15-difeomorfismiks, kui kaardid saan nii valida, et kaardiesitused on formula_39-difeomorfismid. Kui formula_39 on ka bijektiivne, siis nimetatakse kujutust formula_39 formula_15-difeomorfismiks.
Selleks et defineerida diferentseeruvate muutkondade vahelise kujutuse tuletist, on tarvis lisastruktuuri, nimelt puutujaruumi (vt puutujaruum, diferentsiaal).
Alammuutkonnad.
formula_41-mõõtmelise diferentseeruva muutkonna formula_1 formula_24-mõõtmeline alammuutkond (formula_75) on alamhulk formula_36, mis vastavatel kaartidel näeb välja nagu vektorruumi formula_48 formula_24-mõõtmeline alamruum. Täpsemalt, iga punkti formula_79 korral leidub formula_80 ümbruses niisugune kaart formula_81 et formula_82 Seejuures võetakse formula_48 kui formula_84; "0" paremal poolel on 0 ruumis formula_85. Selliseid kaarte nimetatakse lõikekaartideks. Alamhulgal formula_36 on loomulikul viisil diferentseeruv struktuur, mis on ühitatav muutkonna formula_1 diferentseeruva struktuuriga. Nimelt, kui samastada formula_88 ja formula_25, siis lõikekaardi formula_2 ahend formula_91 hulgale formula_92 alammuutkonna formula_36 kaart ja kõigi nii saadud kaartide hulk moodustab alammuutkonna formula_36 diferentseeruva atlase.
Whitney sisestamisteoreem.
Whitney sisestamisteoreem ütleb, et iga formula_24-mõõtmelise diferentseeruva muutkonna formula_1 korral leidub sisestus formula_97, mis samastab muutkonna formula_1 ruumi formula_99]] kinnise alammuutkonnaga. Abstraktse diferentseeruva muutkonna mõiste erineb ruumi formula_99 alammuutkonna mõistest ainult näitlikkuse poolest, mitte matemaatiliste omaduste poolest.
Klassifikatsioon.
Topologische muutkond on Hausdorffi ruum, milles on täidetud teine loenduvusaksioom, koos atlasega. Mõnikord on võimalik saada sellest diferentseeruv atlas ning laiendada topoloogiline muutkond diferentseeruvaks muutkonnaks. Ent igas topoloogilises muutkonnas pole võimalik leida diferentseeruvat struktuuri. Mõnikord on võimalik ühel topoloogilisel muutkonnal leida mittesamaväärseid diferentseeruvaid atlasi. Seega on topoloogilisi muutkondi, millel võib leida erinevaid diferentseeruvaid struktuure. Differentialgeomeetria seisukohast on tegu eri muutkondadega, topoloogia jaoks on see üks objekt.
Diferentseeruvate muutkondade klassifitseerimisel vaadeldakse valitud diferentseeruval muutkonnal vaadeldakse ainult topoloogilist struktuuri ning uuritakse, kui palju on erinevaid diferentseeruvaid struktuure, mis teevad sellest diferentseeruva struktuuri. Diferentseeruvatel muutkondadel, mille mõõde on väiksem kui neli, on (difeomorfsuse täpsusega) ainult üks diferentseeruv struktuur. Kõigil muutkondadel, mille mõõde on suurem kui neli, on lõplik arv erinevaid diferentseeruvaid struktuure. Neljamõõtmelised muutkonnad on diferentseeruvate struktuuride seisukohast ebaharilikud. Ruumil formula_101, mis on mittekompaktse neljamõõtmelise diferentseeruva muutkonna lihtsaim näide, on loendumatu hulk erinevaid diferentseeruvaid struktuure, seevastu ruum formula_25, kus formula_103, on täpselt üks diferentseeruv struktuur. Neljamõõtmelise sfääri puhul aga ei ole erinevalt teistest "väiksematest" mõõdetest teada, kui palju diferentseeruvaid struktuure sellel on. Tabelis on toodud diferentseeruvate struktuuride arv sfääridel kuni mõõtmeni 12: