Determinant

Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse arvu. See on oluline matemaatiline konstruktsioon lineaarvõrrandisüsteemide uurimisel.
Maatriksi "A" determinanti tähistatakse tavaliselt formula_1, formula_2 või formula_3. Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile.
Determinandi leidmine.
Üldjuhul saab n×n determinanti efektiivselt arvutada Leibnizi valemiga või Laplacei valemiga. 2×2 ja 3×3 maatriksite determinanti on lihtsam arvutada ja meelde jätta Sarruse reegli abil. Lühidalt ja pikema selgituseta on need ka siin toodud.
Sarruse reegel.
Reegel on saanud nime prantsuse matemaatiku Pierre Frédéric Sarruse järgi ja kujutab endast kava, mille abil saab meelde jätta, kuidas arvutada 2- ja 3-järku determinante (sarnane lihtsustus aga ei kehti suuremate determinandi järkude puhul).
formula_4
formula_5 determinant on formula_6.
formula_7 determinant on formula_8
Leibnizi valem.
Võetakse summa üle kõigi permutatsioonide σ hulgast .
formula_9
 formula_10 determinant on formula_11
Laplace'i valem.
Laplace'i valemi kohaselt võrdub determinandi väärtus tema mingi rea elementide ja vastavate elementide algebraliste täiendite korrutiste summaga.
formula_12
kus "a" on maatriksi element ja "A" tema algebraline täiend. Kui algebraline täiend esitada miinori kaudu, siis saame Laplace'i valemi üldlevinud kuju:
formula_13
Ajalugu.
Determinandi mõiste tekkis enne maatriksi mõistet. Algul defineeriti determinanti lineaarvõrrandite süsteemi omadusena. Determinant määrab ehk determineerib, kas võrdse tundmatute ja võrrandite arvuga süsteemil on üksainus lahend (see on nii parajasti siis, kui tundmatute kordajaist moodustatud determinant ei võrdu nulliga). Nii defineeritud teist järku determinante vaatles 16. sajandi lõpus Cardano. Suuremaid determinante vaatles umbes 100 aastat hiljem Leibniz. Gabriel Cramer (1750) täiustas Leibnizi teooriat seoses võrrandisüsteemidega. 
Graafiline tõlgendus.
2-dimensiooniline ruum.
2-dimensioonilises ruumis on determinant 2 vektorile ehitatud rööpküliku pindala.
Näide.
Olgu antud punktid formula_14, formula_15 ja meid huvitab nullpunktiga loodud kolmnurga pindala.
Kõige lihtsam viis pindala leidmiseks on leida pool determinandi absoluutväärtusest, mis on ehitatud vektoritest formula_16 ja formula_17, seega formula_18
3-dimensiooniline ruum.
3-dimensioonilises ruumis on determinant 3 vektorile ehitatud rööptahuka ruumala.
Näide.
Olgu antud 3 vektorit formula_19, formula_20 ja formula_21, ning me soovime leida nendega piiratud püramiidi ruumala.
Kõige lihtsam viis ruumala leidmiseks on leida formula_22 determinandi absoluutväärtusest, mis on nendest vektoritest ehitatud.
formula_23
Mõisteid.
Miinor.
Maatriksi A elemendi "aik" miinoriks "Mik" nimetatakse antud maatriksist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel saadud maatriksi determinanti.
formula_32
formula_33
formula_34
formula_35
Algebraline täiend.
Elemendi aik algebraliseks täiendiks Aik nimetatakse selle elemendi miinorit võetuna märgiga "+", kui indeksite summa i+k on paarisarv ja märgiga "-", kui ta on paaritu arv. See on lihtsustatud vorm, ning sisuliselt kujutab miinoris kasutatud elementide asukoha inversioonide arvu, ning graafiliselt on põhjustatud telgkordinaatide vahetusest.
Aik = (−1)i+kMik
Arendi, miinorite ja algebralise täiendi näide.
Suvalisele 4-järku ruutmaatriksile saab arendi leida 8 viisil.
Näiteks maatriks formula_36 determinant formula_37
Arendid on sel juhul:
Tähelepanekud ja determinandi kasutusalad.
Kui lineaarvõrrandisüsteemi vektorid on lineaarselt sõltuvad, siis determinant on 0 ja eemaldada saab vähemalt 1 vektori, mis kirjeldab tundmatute vahelisi seoseid. Kui lineaarvõrrandisüsteemi determinant on 0, siis on kas 0 või lõpmatult palju lahendeid.
Determinandi abil saab arvutada vektrorkorrutist:
formula_39.
Lisaks sellele on vektorkorrutise formula_40 suund risti formula_28-ga ja see on määratud parema käe reegliga. Sarnaselt sellega formula_42.
Maatriksi astak on defineeritud kui suurim miinori järk, mille tulem on nullist erinev.
Kui lineaarvõrrandisüsteemil formula_43 ei ole lahendeid, siis kui selle elemendid on lineaarselt sõltumatud (mida nad on, kui leidub pöördmaatriks), siis pöördmaatriksi abil saab leida pseudolahendi formula_44, mis lihtsustub formula_45. Lisaks Gaussi-Jordani eliminatsioonile saab pöördmaatriksi leida determinandi abil:
formula_46, kus formula_47 on maatriksi miinorite väärtuste ja algebralise täiendite (ilma elemendita) maatriks mida on transponeeritud (read ja veerud on vahetatud).
Käsitsi on ebapraktiline leida kõrgemat järku determinante otse, ehk ilma eelnevalt lineaarteisendustega mõnda ritta või veergu nullide tegemist ja selle rea või veeru järgi arendamist. Praktikas teevad seda ka arvutiprogrammid, sest determinandi arvutamiseks vajalik töö maht on võrdne ruut faktoriaaliga (siiski vaid halvimal juhul tuleb see töö teha). Töö mahu piltlikustamiseks võib öelda, et saab konstrueerida nn halvima juhu 1000-järku determinandi, mida ükski arvuti inimeluaja jooksul ei suuda lahendada.
Crameri valemid.
Lineaarse võrrandisüsteemi (lühend LVS) :
formula_48
lahendid saab leida Crameri valemitega, kui:
Vastava tundmatu formula_50 leiab valemiga:
formula_51
Kus maatriks formula_52 on saadud maatriksi formula_28 i'nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga (ehk aritmeetilise vektoriga b).