Tühi hulk

Tühi hulk ehk tühihulk on hulk, millel pole ühtegi elementi. Tühja hulka tähistatakse tavaliselt sümboliga ∅. 
Hulka, mis pole tühi hulk, nimetatakse mittetühjaks hulgaks.
Definitsioon ja tähistus.
Tühja hulka võib defineerida näiteks nii: 
 formula_1= {"x" : "x"≠"x"}
Tingimuseks võib olla ka mõni muu väide, mis on alati väär. 
Tühja hulga standardne tähistus, mille võttis kasutusele Nicolas Bourbaki (sümboli autor on André Weil), on sümbol formula_1 (variandid: formula_3, Ø). Kasutatakse ka tähistust "{}". On kasutatud ka tähist Λ.
Omadused.
Tühja hulga lõplikuks lugemine on kokkuleppe küsimus. 
Kontseptuaalsed raskused.
Tühi hulk ei ole sama mis eimiski. See on hulk, millesse mitte miski ei kuulu, kuid hulk ise on miski. See võib esimesel kokkupuutel raskusi tekitada. Osalt tuleb see nähtavasti sellest, et intuitiivne asjade virna mõiste ei ole päriselt vastavuses hulga formaalse definitsiooniga. Võib näiteks rääkida hulgast, millel on null elementi, mitte aga virnast, milles on null taldrikut. Hulka oleks parem võrrelda kotiga, milles on elemendid: tühi kott on küll tühi, aga ta on ikkagi olemas. 
On inimesi, keda teeb nõutuks tühja hulga omadus, et ta on mis tahes hulga "A" alamhulk. Alamhulga definitsiooni kohaselt tähendab see, et hulga formula_1 "iga" (ehk "mis tahes") elemendi "x" korral kuulub "x" hulka "A". Et "iga" (või "mis tahes") on mõjuv sõna, siis me ootame intuitiivselt, et hulgas formula_1 peab tingimata olema "mitu" sellist elementi, mis on ühtlasi hulga "A" elemendid, kuid hulgas formula_1 lihtsalt pole "ühtegi" elementi. Nii võib tekkida ettekujutus, et formula_1 ei olegi üldse hulga "A" alamhulk. Aga tegelikult ei ole sõna "iga" väljendis "hulga formula_1 iga element" üldse nii mõjuv. Kui on väär, et hulga formula_1 iga element on hulga "A" element, siis peab hulgas formula_1 olema vähemalt üks element, mis ei ole hulga "A" element. Et hulgas formula_1 ei ole üldse "ühtegi" elementi, siis "hulga formula_1 iga element" ei käigi tegelikult ühegi elemendi kohta, ja nõnda ei olegi hulgas formula_1 ühtegi elementi, mis ei ole hulga "A" element, nii et hulga formula_1 iga element on hulga "A" element: hulk formula_1 on hulga "A" alamhulk. Ükski väide, mis algab sõnadega "hulga formula_1 iga elemendi korral" ei väida midagi ühe elemendi kohta: tegemist on tühja tõega. Selle kohta öeldakse mõnikord, et tühja hulga elementide kohta on kõik tõene. 
Tuleb ka tähele panna, et hulk {formula_1} ei ole tühi hulk, sest tühi hulk on selle hulga elemendiks.
Tühi hulk on vajalik muu hulgas selleks, et tehetel hulkadega (näiteks ühisosa võtmisel) oleks alati tulemiks hulk. Tühja hulga olemasolu võimaldab ka üldisi väiteid hulkade kohta lihtsamalt sõnastada. Samuti võimaldab tühja hulga olemasolu määratleda hulka ka tingimuse kaudu, mida mitte ükski objekt ei rahulda.
Aksiomaatiline hulgateooria.
Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas (aksiomaatilise hulgateooria variandis) tagab tühja hulga olemasolu tühja hulga aksioom. Tühja hulga ainsus järeldub ekstensionaalsuse aksioomist. 
Tühja hulga olemasolu ja paratamatuse küsimus.
Kuigi tühja hulga mõiste on matemaatikas standardne ja üldtunnustatud, on siiski selle õigustatuses kahtlejaid. 
Jonathan Lowe on väitnud, et kuigi see mõiste "oli matemaatika ajaloos kahtlemata oluline teetähis, ... ei tohiks arvata, nagu oleneks selle kasulikkus arvutamisel sellest, et ta tõesti tähistab mingit objekti". Pole sugugi selge, et see mõiste on mõtestatud. "Kõik, mida me tühja hulga kohta eales teada oleme saanud, taandub sellele, et 1) ta on hulk, 2) tal ei ole elemente ja 3) ta on ainuke hulk, millel pole elemente. Ent on väga palju asju, "millel pole elemente" hulgateoreetilises mõttes: nende seas on kõik mittehulgad. On täiesti selge, miks neil asjadel pole elemente, sest nad ei ole hulgad. Ebaselge on aga on see, kuidas saab hulkade seas olla ainuke "hulk", millel pole elemente. Me ei saa sellist entiteeti eksisteerima manada pelga stipuleerimise teel." 
George Boolos väitis 1984 ajakirjas "Journal of Philosophy" artikli "To be is to be the value of a variable …" (ilmus ka tema raamatus "Logic, Logic and Logic"), et võib jõuda kaugele pelgalt üle indiviidide mitmuslikult kvantifitseerides, reifitseerimata hulki ainsuslike entiteetidena, millel on teised entiteedid elementideks. 
Tom McKay on laitnud "singularistlikku" eeldust, et loomuliku keele väljendeid, mis sisaldavad mitmusevormi, saab analüüsida hulgamärkide taoliste mitmusesurrogaatide abil. Ta pakub välja antisingularistliku teooria, mis erineb hulgateooriast. Selles teoorias puudub tühja hulga analoog. On vaid seos "seas", mis on nii kuuluvuse (elemendi ja hulga vahelise seose) kui ka sisalduvuse (alamhulga ja hulga vahelise seose) analoog. 
Tühi operandide hulk.
Ka tühja operandide hulgaga tehted võivad nõutuks teha. (Need tehted on nullaarsed.) 
Näiteks tühja liidetavate hulga korral võrdub summa nulliga; tühja tegurite hulga korral võrdub korrutis ühega (tühi korrutis). See võib tunduda kummalisena, sest tühjal hulgal pole ju elemente; kuidas siis saab vahet olla, kas neid liidetakse või korrutatakse? 
Tuleb välja, et nende tehete tulemid ütlevad rohkem tehte kui tühja hulga kohta. Näiteks null on liitmise ühikelement ja üks on korrutamise ühikelement. 
Tühi hulk ja null.
Tühjal hulgal on null elementi ehk tema võimsus on null. Seos nende kahe mõiste vahel läheb veelgi kaugemale: standardses naturaalarvude hulgateoreetilises definitsioonis "defineeritaksegi" nulli tühja hulgana. 1 defineeritakse hulgana {0}, 2 hulgana {0,{1}} jne. 
Kategooriateooria.
Kui "A" on hulk, siis leidub parajasti üks funktsioon "f" hulgast formula_1 hulka "A". Seda funktsiooni nimetatakse tühjaks funktsiooniks. Sellepärast on tühi hulk hulkade ja funktsioonide kategooria ainus algobjekt. 
Tühja hulka saab muuta topoloogiliseks ruumiks ainult ühel viisil (defineerides tühja hulga lahtise hulgana); see tühi topoloogiline ruum on ainus algobjekt topoloogiliste ruumide ja pidevate kujutuste kategoorias. 
Topoloogilised omadused.
Tühi hulk on nii lahtine kui ka kinnine. Tühja hulga sulund on tühi hulk.