Banachi-Tarski paradoks

Banachi–Tarski paradoks on teoreem hulgateoreetilises geomeetrias, mille kohaselt saab kolmemõõtmelises ruumis kera jagada lõplikuks arvuks lõikumatuteks punktihulkadeks ja neid osasid üksnes nihete ja pöörete abil liigutades kokku panna kaks esialgsega ühesugust kera.
Selle teoreemi sõnastasid ja tõestasid poola matemaatikud Stefan Banach ja Alfred Tarski 1924. aastal. Õieti näitasid nad, et kehtib Banachi-Tarski paradoksi üldisem kuju: kui formula_1, siis iga kahe tõkestatud mittetühja sisemusega punktihulga korral eukleidilises ruumis formula_2 saab esimese hulga jagada lõplikuks arvuks lõikumatuteks punktihulkadeks, millest nihutamiste ja pöörete abil saab kokku panna teise hulga.
Raphael M. Robinson näitas 1947. aastal, et vähim arv tükke, milleks esialgse kera Banachi-Tarski paradoksis jagada saab, on viis: kolmest tükist pannakse kokku üks esialgsega samasugune kera ja ülejäänust kahest teine.
Arvteljel formula_3 ega tasandil formula_4 Banachi-Tarski paradoks ei kehti, kuid Banachi-Tarski paradoksi ja tema üldisema kujuga analoogilised väited jäävad kehtima, kui lubada lõpliku arvu asemel loenduvat hulka juppe.
Sõna paradoks kasutatakse siin vastuolu tõttu geomeetrilise vaistuga: kera kahekordistamine juppide pööramise ja nihutamise teel tundub võimatu, sest pööramine ja nihutamine peaksid säilitama ruumala – ometi ruumala kahekordistub. Matemaatikas lahendatakse see vastuolu öeldes, et mõned punktihulgad ruumis võivad olla mõõtumatud, s. t. nii keerulise ehitusega, et nende ruumalast ei saa üldse kõnelda. Seega näitab Banachi-Tarski paradoks vaid, et ruumala mõistet ei saa mõistlikult laiendada kolmemõõtmelise ruumi kõigile punktihulkadele: osadest, milleks kera selles paradoksis jaotatakse, peavad vähemalt mõned olema mõõtumatud.
Banachi-Tarski paradoksi tõestamisel kasutatakse hulgateooria palju vaidlusi tekitanud valikuaksioomi. 1964. aastal näitas Robert Solovay, et Zermelo-Fraenkeli hulgateoorial leidub mudel, kus ruumala mõiste saab laiendada ruumi formula_2 kõigile punktihulkadele iga naturaalarvu formula_6 korral (vt jaotist Seos valikuaksioomiga), ning järelikult valikuaksioomi kasutamata Banachi-Tarski paradoksi tõestada ei saa.
Kuna valikuaksioomist järeldub, et on olemas mõõtumatud hulgad (näiteks kera osad Banachi–Tarski paradoksis), on mõned matemaatikud otsustanud kasutada ilma valikuaksioomita hulgateooriat. Valdav enamik tänapäeva matemaatikuid aga tunnustab siiski valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli hulgateooriat ning seega ka Banachi-Tarski paradoksi kehtimist.
Täpsem sõnastus.
G-paradokssus ja G-võrdlahutuvus.
Olgu formula_7 mingi hulk ning formula_8 rühm, mille elemendid on bijektiivsed teisendused hulgal formula_7, nii et rühma formula_8 tehteks on teisenduste järjest rakendamine.
Öeldakse, et alamhulgad formula_11 ja formula_12 on "formula_8-võrdlahutuvad", kui leidub naturaalarv formula_6, paarikaupa lõikumatud osahulgad formula_15, paarikaupa lõikumatud formula_16 ning teisendused formula_17 nii, et
 formula_18
Alamhulka formula_19 nimetatakse "formula_8-paradoksseks", kui tal leiduvad lõikumatud alamhulgad formula_21 ja formula_22 nii, et formula_23, formula_21 ja formula_25 on formula_8-võrdlahutuvad ning formula_22 ja formula_25 on formula_8-võrdlahutuvad.
Banachi-Tarski paradoks.
Tähistame "E(n)" abil ruumi formula_2 kõigi isomeetriate (s. o. kaugusi säilitavate teisenduste) rühma ning "E+(n)" abil ruumi formula_2 kõigi pöörete ja rööplükete poolt määratud rühma (s. o. rühma, kuhu kuuluvad kõik pöörete ja/või rööplükete järjest rakendamisel saadavad teisendused). Seega "E+(n)" on rühma "E(n)" alamrühm: rühma "E(n)" kuuluvad lisaks pööretele ja rööplüketele veel peegeldused.
Banachi-Tarski paradoksi võib siis sõnastada järgmiselt:
 Iga kera ruumis formula_32 on "E+(3)"-paradoksne.
Banachi-Tarski paradoksi üldistus kõlab nõnda:
 Kui formula_1, siis iga kaks tõkestatud mittetühja sisemusega punktihulka ruumis formula_2 on "E+(3)"-võrdlahutuvad.
Seos valikuaksioomiga.
1964. aastal näitas Robert Solovay, et kui Zermelo-Fraenkeli hulgateooria on kooskõlaline, siis tal leidub ka mudel, kus iga naturaalarvu formula_6 korral on olemas niisugune ruumi formula_2 kõigil alamhulkadel määratud formula_37-invariantne loenduvalt aditiivne mõõt, et ühikkuubi formula_38 mõõt on 1. Niisuguses mudelis Banachi-Tarski paradoks ilmselt ei kehti.