Täielik järjestus

Täielik järjestus hulgal "H" on selline lineaarne järjestus hulgal "H", mille puhul iga hulga "H" mittetühi alamhulk omab vähimat elementi selle järjestuse suhtes (elementi "a", mille puhul "a" ≤ "x" mis tahes elemendi "x" korral sellest alamhulgast). 
Hulka "H" koos täieliku järjestusega nimetatakse täielikult järjestatud hulgaks. 
Näited.
"x" &lt;z "y" siis ja ainult siis, kui |"x"| &lt; |"y"| või (|"x"| = |"y"| ja "x" ≤ "y"). See järjestus näeb välja nii: 
 0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4 ...
Piisavad ja tarvilikud tingimused.
Lineaarselt järjestatud hulk on täielikult järjestatud siis ja ainult siis, kui ta ei sisalda alamhulka, mis on antiisomorfne naturaalarvude järjestatud hulgaga tavalise järjestuse järgi. 
Ei eksisteeri lõpmatult pikka kahanevat ahelat.
Kui hulgal "H" on antud täielik järjestus, siis ei eksisteeri lõpmatult pikka kahanevat ahelat, st lõpmatut jadaformula_1 hulgas "H", mille korral iga formula_2 korral formula_3.
Elementide eellased ja järglased ning vähim ja suurim element.
Kui hulgal "H" on antud täielik järjestus, siis leidub hulgas "H" ilma eellaseta element, nimelt hulga "H" enda vähim element (seda nimetatakse nulliks ja tähistatakse 0). Eellaseta elemente võib olla rohkem, isegi lõpmata palju. Eellaseta elemente nimetatakse piirelementideks. 
Elemendi järglane on üheselt määratletud või puudub. Kui element ei ole suurim element, siis tema järglane on määratletud kui temast suuremate elementide hulga vähim element. Suurim element võib leiduda või mitte; kui ta leidub, siis ta on ainus. Suurimal elemendil järglast ei ole. 
formula_4
Näited.
Ilmselt on tegu täieliku järjestusega. Tõepoolest, kui alamhulka kuulub mingeid paarituid arve, siis on vähim nende seas ka alamhulga "vähim" arv (kõik paarisarvud on "suuremad"); kui aga temasse kuuluvad ainult paarisarvud, siis on vähim nende seas ka "vähim" selle täieliku järjestuse suhtes, sest paarituid arve, mis oleksid "väiksemad", lihtsalt pole. Selle täieliku järjestuse ordinaalarvu tähistatakse tavaliselt formula_5. Siin ei ole suurimat elementi, küll aga kaks ilma eellaseta elementi: 1 ja 2.
Transfiniitne induktsion.
Kui hulk on täielikult järjestatud, siis saab kasutada transfiniitse induktsiooni tehnikat, et näidata, et antud väide kehtib selle hulga iga elemendi kohta. Matemaatiline induktsioon on transfiniitse induktsiooni erijuht. 
Zermelo teoreem.
Valikuaksioomist järelduv Zermelo teoreem väidab, et mistahes mittetühja hulka on võimalik täielikult järjestada.
Kui eeldada ülejäänud aksioome Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas, siis see väide on valikuaksioomiga samaväärne. 
Selle teoreemi järgi saab reaalarvude hulka täielikult järjestada, kuid pole teada, kuidas seda teha.
Täieliku järjestuse pärandumine.
Täielikult järjestatud hulga alamhulk on sama järjestuse järgi täielikult järjestatud.
Täielikult järjestatud hulkade otsekorrutis on leksikograafilise järjestuse järgi täielikult järjestatud.
Alglõik ja võrdlusteoreem.
Täielikult järjestatud hulga mingist elemendist väiksemate elementide hulka nimetatakse selle täielikult järjestatud hulga alglõiguks.
Võrdlusteoreem ütleb, et iga kahe täielikult järjestatud hulga "T1" ja "T2" korral kehtib täpselt üks kolmest: 1) "T1" on isomorfne "T2"-ga; 2) "T1" on isomorfne "T2" mõne alglõiguga; 3) "T2" on isomorfne "T1" mõne alglõiguga.
Ordinaalarvud.
Täielikult järjestatud hulkade järjestustüüpe nimetatakse ordinaalarvudeks.
Ajalugu.
Täieliku järjestuse ja täielikult järjestatud hulga mõiste võttis kasutusele Georg Cantor.