Omaväärtus ja omavektor

Lineaaralgebras maatriksi A omavektor (inglise keeles "eigenvector") on mittenull vektor, kus maatriksi formula_1 ja vektori korrutis on võrdne skalaari formula_2 ja vektori korrutisega. Seda skalaari nimetatakse omaväärtuseks. Omaväärtused on laialdaselt kasutused erinevates valdkondades, näiteks informatsiooniteoorias, ehituses, stereo süsteemides, elektrilises ning mehaanilises inseneerias.
Omaväärtus rahuldab võrrandit formula_3, mille saab ümber kirjutada kujule formula_4. Kuna omavektor on mittenull, saame leida omaväärtuse lahendades karakteristliku võrrandi formula_5. Maatriksi formula_1 karakterisliku võrrandi kõikide lahenduste hulka nimetatakse formula_1 spektriks. Teisest küljest, kui maatriksil formula_1 on formula_2 teada, saab leida omavektori lahendades võrrandi formula_10.
Mona Lisa illustratsioon annab hea näite. Pildil saab igat punkti kohelda kui vektorit keskpunktist. Näites kasutatakse "shear" teisendust, kus x-teljest kõrgemaid punkte nihutatakse paremale ning madalamaid vasakule, kusjuures x-telg ise jääb samaks. Suvaline x on omavektor siis ja ainult siis, kui ta on x-teljega kolineaarne, kuna x-telg jääb pärast transformeerimist konstantseks.
Arvutus.
Omaväärtuste arvutamine on teoorias ja praktikas väga erinev. Klassikaliselt leitakse enne omaväärtus ning seejärel omavektorid iga omaväärtuse kohta. On aga leitud, et see viis ei anna häid tulemusi ujukomaarvudega nende ebatäpsuse tõttu.
Omaväärtused.
Maatriksi A omaväärtused saab arvutada leides lahendused karakteristlikule võrrandile. See on lihtne formula_27 maatriksite korral, aga muutub komplekssemaks maatriksi suuruse kasvades.
Teoorias, karakteristliku võrrandi kordajad saab arvutada täpselt, kuna nad on maatriksi elementide korrutiste summa ja leiduvad algoritmid, mis suudavad leida kõik nullkohad suvalisele polünoomile vajaoleval täpsusel. See lähenemine aga ei anna praktikas täpseid tulemusi, kuna ujukomaarvude kasutamine tekitab ümardusvigu ning nullkohad võivad olla sensitiivsed väikestele muudatustele. Isegi täisarvuliste maatriksite puhul on arvutus mittetriviaalne, kuna summad on väga pikad. Determinandi arvutamiseks on vaja formula_18 maatriksil vaja formula_29 korrutustehet.
Omavektorid.
Kui täpne omaväärtus on teada, saab arvutada vastava omavektori leides lahendused võrrandile Ax = λx, mis on siis võrrandsüsteem teatud kordajatega. Näiteks, kui on teada, et maatriksi
formula_30
omaväärtus on 6, saame leida omavektorid lahendades võrrandi formula_31:
formula_32
See maatriksite võrrand on ekvivalentne kahele lineaarsele võrrandile:
formula_33 ehk formula_34
Mõlemad võrrandid lihtsustuvad formula_35. Seega iga vektor formula_36, kus formula_37 on mingi suvaline reaalarv, on maatriksi A omaväärtusega formula_38 omavektor.
Iteratiivne meetod.
Arvutitel kasutatakse vastupidist meetodit, kus algul leitakse omavektorid ning seejärel nendele vastavad omaväärtused. Lihtsaim algoritm alustab suvalise vektoriga ning korrutab seda maatriksiga korduvalt. Kui seda piisavalt kaua teha, läheneb see vektor selle maatriksi omavektorile. Sellele ekvivalentselt saab vektorit korrutada maatriksiga formula_39, mille tagajärjel läheneb see vektor omavektorile, mis vastab omaväärtusele, mis on lähim arvule formula_40.
Kui formula_41 on ligikaudne maatriksi formula_1 omavektor, siis vastava omaväärtuse saab leida valemiga
 formula_43
kus formula_44 on maatriksi formula_41 kaasmaatriks.
Kasutus.
Pilditöötluses on võimalik arvutada omanägu (inglise keeles "eigenface"), mis on hulk omavektoreid, mis on kasuks näotuvastuses. Need omavektorid on arvutatud tõenäosusjaotuse kovariantsimaatriksist üle kõrgdimensionaalse näopiltide vektorruumi. Omanäod moodustavad ise kõigi kovariantsimaatriksi konstrueerimisel kasutatud piltide baaside hulga. See vähendab dimensiooni, võimaldades esindada algseid treeningkujutisi väiksemate aluspilte baaside hulgana. Klassifikatsiooni saab sel juhul teha baaside hulkade peal.
Google'i PageRanki algoritm kasutab omaväärtusi ja omavektoreid, et arvutada võtmesõnale vastava lehekülje tõenäosust.