Fredholmi integraalvõrrand

Fredholmi integraalvõrrand (ingl "Fredholm integral equation") on integreeruv võrrand, mida uuris rootsi matemaatik Erik Ivar Fredholm. Võrrandi lahenduvuse ja lahendi ühesuse aluseks on nn Fredholmi teoreemid, mille Fredholm avaldas 20. sajandi alguses.
Üldine integraalvõrrand.
Üldine integraalvõrrand on esitatav kujul &lt;br&gt;
formula_1&lt;br&gt;
kus formula_2 on otsitav funktsioon, funktsioon formula_3 on integraali tuum, formula_4 on vabaliige ja formula_5 on arvuline kordaja.
Vastavat integraalvõrrandit nimetatakse Fredholmi integraalvõrrandiks, kui selles sisalduv integraaloperaator on täielikult pidev.
Sageli ei ole integraalvõrrandeid võimalik analüütiliselt lahendada või on analüütilise lahendi leidmine liiga keeruline, seega otsitakse lahendeid numbriliste meetodite abil.
Fredholmi 1. liiki integraalvõrrand.
Mittehomogeenseks Fredholmi esimest liiki integraalvõrrandiks nimetatakse integraalvõrrandit kujul &lt;br&gt;
formula_6&lt;br&gt;
kus tuum formula_3 ja vabaliige formula_4 on teada ning otsitavaks funktsiooniks on formula_9. 
Fredholmi 1. liiki integraalvõrrandi lahendamine osutub tavaliselt mittekorrektselt seatud ülesandeks ning võib juhtuda, et sellel lahend puudub või lahend ei ole ühene. Mittekorrektse ülesande puhul võivad vabaliikme väikestele vigadele vastata lahendi suured vead.
Esimest liiki integraalvõrrandi lahendamisel kasutatakse tavaliselt regulariseerimismeetodit, mille puhul konstrueeritakse regularisaator ning selle abil leitakse ülesande lähislahendid. Regulariseerimismeetodiga teisendatakse 1. liiki Fredholmi integraalvõrrand 2. liiki võrrandiks ning saadud võrrand lahendatakse rakendades 2. liiki integraalvõrrandi lahendamiseks olemasolevaid meetodeid. Ühe efektiivse meetodi mittekorrektsete ülesannete lahendamiseks – Tihhonovi meetodi – pakkus välja nõukogude matemaatik Andrei Nikolajevitš Tihhonov.
Fredholmi 2. liiki integraalvõrrand.
Fredholmi teist liiki integraalvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul&lt;br&gt;
formula_1.&lt;br&gt;
Selles integraalvõrrandis on tuum formula_3 ja funktsioon formula_4 antud ning tavaliselt on ülesandeks leida funktsioon formula_2. 2. liiki võrrandi puhul on otsitav funktsioon formula_2 nii integraali märgi all kui ka integraali märgist väljas. Teist liiki integraalvõrrandite lahendamine osutub tavaliselt korrektselt seatud ülesandeks ning nende lahendamiseks kasutatakse erinevaid numbrilisi meetodeid. Levinud meetodid on kvadratuurvalemite kasutamine ja kollokatsioonimeetod. Kvadratuurvalemite meetodi korral koostatakse ja lahendatakse lineaarne võrrandisüsteem. Kvadratuurvalemina võib kasutada näiteks trapetsvalemit või Simpsoni valemit. Kollokatsioonimeetoditest on lihtne kasutada splainidega interpoleerimist. Samas on see küllaltki tõhus meetod ning annab suhteliselt täpsed lahendid.
Juhul kui integraalvõrrandis on kas vabaliikmel formula_4 või tuumal formula_3 iseärasusi, siis tihti püütakse need iseärasused kõrvaldada võrrandi teisendamise teel. 
Rakendused.
Fredholmi integraalvõrrandid esinevad paljudes füüsikalistes mudelites. Näiteks kasutatakse Fredholmi esimest liiki võrrandeid radiograafias, spektroskoopias, kosmilises kiirguses, pilditöötluses ja signaalitöötluses. 2. liiki võrrand esineb näiteks kiirguslevi võrrandis.