Reaalsirge

Reaalsirge on reaalarvude hulk koos reaalarvude loomuliku järjestuse ja teiste loomulike struktuuridega.
Arvsirge punktid sageli samastatakse reaalarvudega. Seetõttu saab arvsirget vaadelda sirgena, mille punktid on reaalarvud. Arvsirge on siis kõigi reaalarvude hulk formula_1 kui ruum, nimelt ühemõõtmeline eukleidiline ruum. Seda ruumi saab vaadelda vektorruumina, afiinse ruumina, meetrilise ruumina, topoloogilise ruumina, mõõdu ruumina või lineaarse kontiinuumina.
Nagu ka reaalarvude hulka, tähistatakse reaalsirget tavaliselt sümboliga formula_1 või formula_3. Mõnikord kasutatakse ka tähist R1, et näidata, et tegu on ühemõõtmelise eukleidilise ruumiga.
Lineaarse kontiinuumina.
Reaalsirge on tavalise järjestuse &lt; suhtes lineaarne kontiinuum: ta on lineaarselt järjestatud ning see järjestus on tihe ja tal on supreemumiomadus.
Reaalsirgel ei ole maksimaalseid ega minimaalseid elemente. Tal on loenduv tihe alamhulk, nimelt ratsionaalarvude hulk. On tõestatud, et mis tahes lineaarne kontiinuum, millel leidub loenduv tihe alamhulk ja ei leidu maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on järjestusisomorfne reaalsirgega.
Reaalsirge rahuldab ka loenduva ahela tingimust: iga paarikaupa ühisosata mittetühjade lahtiste intervallide kogum reaalsirgel on loenduv. Järjestusteoorias küsib kuulus Suslini probleem, kas iga lineaarne kontiinuum, mis rahuldab loenduva ahela tingimust ning millel pole maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on reaalsirgega järjestusisomorfne. On osutunud, et see väide on valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikast sõltumatu.
Meetrilise ruumina.
Reaalsirge moodustab meetrilise ruumi, mille meetrika annab absoluutvahe ehk vahe absoluutväärtus:
"d"("x", "y")  =  |" x" − "y" |.
Kui "p" ∈ R ja "ε" &gt; 0, siis 
"ε"-kera ruumis formula_1 keskpunktiga formula_5 on lihtsalt vahemik ("p" − "ε", "p" + "ε").
Reaalsirgel kui meetrilisel ruumil on mitu tähtsat omadust:
Topoloogilise ruumina.
Reaalsirgel on loomulik topoloogia, mille saab defineerida kahel moel.
Esiteks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul viisil täielikult järjestatud hulk, on tal loomulik järjestustopoloogia. Teiseks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul moel meetriline ruum, on sel loomulik meetriline topoloogia. See järjestustopoloogia ja see meetriline topoloogia langevad kokku. Topoloogilise ruumina on reaalsirge homöomorfne vahemikuga (0, 1).
Reaalsirge on triviaalsel moel topoloogiline muutkond, mille mõõde on 1. Ta on homöomorfismi täpsusega üks kahest erinevast rajata 1-muutkonnast (teine on ringjoon).
Tal on ka loomulik diferentseeruv struktuur, millega ta on diferentseeruv muutkond. Difeomorfismi täpsusega võimaldab reaalsirge loomulik topoloogia ainult ühte diferentseeruvat struktuuri.
Reaalsirge on lokaalselt kompaktne ja parakompaktne, samuti loenduva baasiga ja normaalne.
Ta on ka lineaarselt sidus ning seetõttu ka sidus, kuigi teda saab muuta mittesidusaks ühe punkti eemaldamisega. Reaalsirge on ka kokkutõmmatav, nii et kõik tema homotoopiarühmad ja redutseeritud homoloogia rühmad on 0.
Reaalsirge on lokaalselt kompaktne ruum, mida saab mitut moodi kompaktifitseerida. Selle ühepunktiline kompaktifikatsioon on ringjoon (nimelt projektiivne reaalsirge) ning lisapunkti võib vaadelda märgita lõpmatusena. Teise võimalusena saab reaalsirgele lisada kaks otsa, nii et saadakse laiendatud reaalsirge [−∞, +∞]. On ka Stone'i–Čechi kompaktifikatsioon, mille puhul lisatakse lõpmata palju punkte.
Mõnel juhul on otstarbekas anda reaalsirgele mitteloomulikke topoloogiaid, näiteks alumise piirväärtuse topoloogia ja Zariski topoloogia. Reaalsirge puhul langeb viimane kokku kolõpliku topoloogiaga.
Vektorruumina.
Reaalsirge on ühemõõtmeline vektorruum üle reaalarvude korpuse R (üle iseenda). Tal on loomulik skalaarkorrutis (reaalarvude korrutis), nii et tekib eukleidiline ruum. Loomulik norm on absoluutväärtus.
Mõõdu ruumina.
Reaalsirge kanooniline mõõt on Lebesgue'i mõõt, mis on Boreli mõõdu vähim täielik laiend. Iga intervalli täielik mõõt on selle pikkus.
Reaalsirge Lebesgue'i mõõt on üks lihtsamaid näiteid Haari mõõdust lokaalselt kompaktsel rühmal.
Ajalugu.
Reaalsirget (sirget) on uuritud antiikajast saadik, kuid see defineeriti rangelt alles 1872.