Ehrenfesti teoreem

Ehrenfesti teoreem kvantmehaanikas seob vaadeldava suuruse keskväärtuse ajatuletise selle suuruse ja Hamiltoni operaatori kommutaatori keskväärtusega. Lühidalt kirjeldab see, kuidas mistahes kvantmehaanilise suuruse keskväärtus muutub ajas.  
formula_1
Ehrenfesti teoreem ilmus 1927. aastal Austria füüsiku Paul Ehrenfesti artiklis „"Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik"“, kus ta näitas, et kvantmehaaniliste suuruste keskväärtused järgivad Newtoni II seadust. 
Tuletus Schrödingeri võrrandi kaudu.
Eeldame, et kvantsüsteemi olekut saab täielikult kirjeldada kompleksse lainefunktsiooniga formula_2. Kui vaadeldav suurus on määratud hermiitilise operaatoriga formula_3, siis on suuruse keskväärtus määratud avaldisega
formula_4
Võttes sellest täistuletise ajas saame
formula_5
Schrödingeri võrrand ja selle komplekskonjugaat
formula_6
Asendades need tuletisse saameformula_7
Kokkuvõttes
formula_8
Kui vaadeldav suurus formula_9 ei sõltu ajast ehk kehtib formula_10, saame lihtsustatud kuju
formula_11
Seos klassikalise mehaanikaga.
Diraci vastavusprintsiip.
Diraci vastavusprintsiip võimaldab klassikalise mehaanika võrrandeid viia kvantmehaanilisse vormi, asendades Poissoni sulud vastavate operaatorite kommutaatoritega. Klassikalises mehaanikas kirjeldab mingi suuruse formula_12 ajas muutumist järgmine võrrand:
formula_13
Näeme, et esimene liige vasakul pool kirjeldab suuruse formula_12 otsest ajasõltuvust ning ülejäänud liikmed  kirjeldavad kaudset ajasõltuvust koordinaatide formula_15 ja impulsside formula_16 kaudu. Kasutame Hamiltoni liikumisvõrrandeid:
formula_17
Asendades need, saame:
formula_18
kus formula_19 on Poissoni sulg. Võrreldes saadud tulemust Ehrenfesti teoreemi definitsiooniga, kus oleme vahetanud viimases seoses kommutaatorite järjekorra
formula_20
saame tuletada Diraci vastavusprintsiibi, mis üldiselt avaldub kujul
formula_21
Klassikalised liikumisvõrrandid.
Ehrenfesti teoreemi abil saab tuletada seosed, mis meenutavad klassikalise mehaanika liikumisvõrrandeid. Eeldame, et tegemist on massiga osakesega potentsiaaliväljas formula_22. Hamiltoni operaator avaldub kujul:
formula_23
Kui formula_24 ning formula_25 ei sõltu ajast, siis Ehrenfesti teoreemi üldkujus osatuletise liige puudub ning kommutaatori kaudu saame:
formula_26
Kuna kehtib seos formula_27, siis saame:
formula_28
mis on vastav klassikalise mehaanika seosele formula_29 impulsi jaoks. 
Samamoodi, kui formula_30, siis:
formula_31
Teades, et formula_32, saame:
formula_33
Tuletatud liikumisvõrrandid annavad meile seose:
formula_34
ehk Ehrenfesti teoreem viib kujule, mis meenutab Newtoni II seadust
formula_35 
Siin eeldame, et tegemist on konservatiive jõuväljaga, mis defineeritakse klassikalises mehaanikas kujul
formula_36
Klassikalise konservatiivse jõuvälja definitsiooni põhjal avaldub potentsiaal kvantmehaanikas järgmiselt:
formula_37
See konservatiivse jõuvälja tõlgendus kvantmehaanikas erineb Ehrenfesti teoreemi põhjal tuletatust kasutatavast, sest 
formula_38
Klassikalise lähenduse kehtivus.
Ehrenfesti teoreemi põhjal kehtib kvantmehaanikas liikumisvõrrandi kuju, mis meenutab klassikalist mehaanikat, juhul kui rahuldub seos
formula_39
See seos kehtib vaid erijuhtudel, aga võib olla ka hea lähendus formula_40, kui lainepakett on koondunud kitsasse piirkonda. 
Kui potentsiaal on lineaarne, näiteks formula_41, siis formula_42, mis tähendab, et
formula_43
Kui potentsiaal on ruutvõrdeline, näiteks harmoonilise 
ostsillaatori korral formula_44, siis formula_45 ning
formula_46
Kui potentsiaal on aga kirjeldatav näiteks formula_47, siis võrdsus ei kehti täpselt. Sel juhul saab potentsiaali tuletise operaatori arendada Taylori ritta
formula_48
mille keskväärtus annab:
formula_49
kus formula_50 on lainepaketi dispersioon. Kui formula_51, siis hajuvus on väike ja seos kehtib heas lähenduses
formula_40
Sellisel juhul järgib osakese keskmine asukoht kvantmehaanikas ligikaudu sama trajektoori, mida ennustaks klassikaline mehaanika. Kui aga lainepakett on laiali hajunud, siis erinevus formula_53 ja formula_54 vahel kasvab ning klassikaline lähendus ei kehti.