Rühma toime

Matemaatikas kuuluvad rühma toime juurde rühm formula_1 "aktiivse" osana ja hulk "passiivse" osana. Elemendi formula_2 toime hulgal formula_3 on selle hulga teisendus. Seejuures toimivad elemendid formula_4 hulga formula_3 elementidel nii, et korrutise formula_6 toime vastab kummagi toime järjestikusele rakendamisele (toimete kompositsioonile).
Toimivat rühma formula_7 nimetatakse teisenduste rühmaks. Hulka formula_3 koos rühma formula_7 toimega hulgal formula_3 nimetatakse formula_7-hulgaks.
Kui hulga formula_3 juures on oluline struktuur, olgu siis algebraline, geomeetriline või topoloogiline, peetakse rühma toimet lubatavaks ainult juhul, kui ta säilitab selle struktuuri. 
Rühma toime võimaldab algebras, geomeetrias ja teistes matemaatika harudes kirjeldada objektide sümmeetriaid sümmeetriarühmade abil. Siin on esiplaanil selle hulga uurimine, millel hulk toimib. Teiselt poolt võib etteantud rühma toime sobivalt valitud hulkadel anda rühmateoorias olulist informatsiooni toimiva rühma struktuuri kohta. Sel juhul on esiplaanil toimiva rühma uurimine.
Sissejuhatav näide: kuubirühm ja kuubi diagonaalid.
formula_13 olgu kuubi tipud tavalises tähistuses, st formula_14 ja formula_15 on vastastahud (esimene pilt). Kuubi pööre ümber telje, mis ühendab nende kahe tahu keskpunkte, (teine pilt) toob kaasa järgmise tippude vahetuse: 
 formula_16   ja samal ajal
 formula_17
Pöördega vahetatakse ka (samal ajal) neli kuubi diagonaali, nimelt 
 formula_18
Veel üks sümmeetriakujutus, peegeldus tasandi formula_19 suhtes (neljas pilt), jätab kaks diagonaali formula_20 ja formula_21 paigale ning vahetab teised kaks
 formula_22   ja   formula_23.
Kuubil on aga ka sümmeetriakujutusi, mis diagonaale omavahel ei vaheta, nimelt peegeldus keskpunkti suhtes (kolmas pilt). See kujutab 
 formula_24   ja samal ajal
 formula_25   ja samal ajal
 formula_26   ja samal ajal
 formula_27
Seejuures iga diagonaal kujutub iseendaks.
Öeldakse, et kuubi sümmeetriate rühm (kuubirühm ehk oktaeedrirühm) toimib tippude hulgal, servade hulgal, diagonaalide hulgal jne. Järgnevas on vaadeldud toimet diagonaalidele. 
Iga diagonaalide paari korral (joonisel paar formula_28 ja formula_29) leidub peegeldus tasandi suhtes, mis vahetab need omavahel ära ning jätab kõik teised diagonaalid paigale, nimelt selle tasandi suhtes, mis sisaldab paigalejäävaid diagonaale. Niisugust ühe paari vahetust nimetatakse transpositsioonks, ja need transpositsioonid tekitavad kogu nelja diagonaali permutatsioonide sümmeetrilise rühma. Et neid permutatsioone on formula_30 ning sümmeetriateisendusi, mis jätavad kõik diagonaalid paigale, on kaks (identsusteisendus ja peegeldus punkti suhtes), siis on kuubi sümmeetriateisendusi 
 formula_31.
Definitsioon.
(Vasakpoolne) toime.
Rühma formula_1 (vasakpoolne) toime hulgal formula_3 on binaarne tehe
 formula_34
järgmiste omadustega:
Siis öeldakse, et rühm formula_7 toimib (vasakult) hulgal formula_3, ja nimetatakse hulka formula_3 koos selle rühma toimega (vasakpoolseks) formula_7-hulgaks.
Neist nõudmistest järeldub, et iga formula_45 korral on kujutus formula_46 bijektsioon (pöördteisendus formula_47 on formula_48). Sellepärast ei ole rühma elemendi formula_49 toime mitte ainult teisendus, vaid hulga formula_3 substitutsioon, ja rühma formula_7 toimmet hulgal formula_3 võib samastada r homomorfismiga rühmast formula_1 sümmeetrilisse rühma formula_54.
Parempoolne toime.
Analoogselt vasakpoolse toimega on parempoolne toime binaarne tehe
 formula_55, 
kus
Erinevus vasakpoolsete ja parempoolsete toimete vahel seisneb viisis, kuidas hulgal formula_3 toimivad tehted formula_63. Vasakpoolse toime puhul toimib kõigepealt formula_64 ja siis formula_49, parempoolse toime puhul on järjekord vastupidine.
Parempoolsest toimest saab konstrueerida vasakpoolse toime, esitades seda vasturühma vasakpoolse toimena või ka pannes rühma elemendi vasakpoolse toime asemele elemendi formula_66 parempoolse toime. Igale parempoolsele toimele formula_67 vastab vasakpoolne toime 
 formula_68
sest
formula_69
ja
formula_70
Analoogselt saab muuta vasakpoolset toimet parempoolseks. Et vasakpoolsel ja parempoolsel toimel ei ole olemuslikku erinevust, siis järgnevalt tuleb juttu ainult vasakpoolsetest toimetest.
Veel mõisteid.
Orbiit.
Olgu formula_71 rühma formula_1 toime hulgal formula_73 Iga formula_35 korral nimetatakse siis hulka 
 formula_75
elemendi formula_76 orbiidiks. Orbiidid moodustavad hulga formula_3 klassijaotuse. Orbiidi elementide arvu (või võimsust) nimetatakse ka orbiidi pikkuseks. Väljavalitud formula_78 korral nimetatakse eeskirjaga 
formula_79
antud kujutust formula_80 orbiidikujutuseks.
Orbiidid on ekvivalentsiklassid ekvivalentsusseose
 formula_81
suhtes, mis on defineeritud nii: leidub formula_45 nii, et formula_83.
Ekvivalentsiklasside hulka formula_84 nimetatakse orbiidiruumiks. 
Fundamentaalpiirkond.
Olgu formula_3 topoloogiline ruum ja formula_7 rühm, mis toimib hulgal formula_3. Punkti formula_35 korral tähistagu formula_89 punkti formula_76 orbiiti. Siis nimetatakse hulka formula_91 ruumi formula_3 fundamentaalpiirkonnaks, kui ühisosa formula_93 on iga formula_35 korral on üheelemendiline hulk.
Ruut on formula_95 on ruumi formula_96 fundamentaalpiirkond teisenduste rühma formula_97 suhtes. Iga punkti formula_98 saab esitada kujul formula_99, kus formula_100 ja formula_101.
Transitiivsed ja teravalt transitiivsed toimed.
Rühma formula_7 toimet formula_71 hulgal formula_3 nimetatakse (lihtsalt) transitiivseks või öeldakse "rühm formula_7 toimib (lihtsalt) transitiivselt hulgal formula_3“, kui iga kahe elemendi formula_107 puhul leidub formula_45 nii, et formula_83. Sel juhtumil leidub ainult üks orbiit, mis hõlmab kogu hulga formula_3. Kui peale selle on rühma element formula_49, mille korral formula_83 kahe suvalise elemendiga formula_107 üheselt määratud, siis nimetatakse rühma toimet teravalt (lihtsalt) transitiivseks.
Kui ka iga kahe erineva formula_114 ja iga kahe erineva formula_115 korral leidub rühma element formula_2, mille korral formula_117 ja formula_118, siis nimetatakse rühma toimet kahekordselt transitiivseks ja kui lisaks leidub alati parajasti üks rühma element, millel on see omadus, siis nimetatakse rühma toimet teravalt kahekordselt transitiivseks.