Friedmanni võrrandid

Friedmanni võrrandid on üldrelatiivsusteooriast leitud kosmoloogia võrrandid, mis määravad homogeense ja isotroopse aegruumi evolutsiooni. Võrrandid tuletas esimesena Alexander Friedmann aastal 1922 ja 1924. aastal lisas ka täiendavad võrrandid negatiivse ruumikõveruse jaoks.
Võrrandid.
Friedmanni võrrand on
formula_1.
Friedmanni kiirenduse võrrand on
formula_2.
Suurus formula_3 on Newtoni gravitatsioonikonstant, formula_4 on energiatihedus, formula_5 on valguse kiirus, formula_6 on mastaabikordaja ja formula_7 on rõhk.
Hubble'i parameeter formula_8 on defineeritud kui
formula_9.
Mastaabikordaja formula_6 on pikkuse dimensiooniga suurus, mis määrab kahe kaasaliikuva punkti suhtelise kauguse. Kasutusel on ka pikkuse dimensiooniga mastaabikordaja, mis saadakse dimensioonitu mastaabikordaja korrutamisel mingi pikkusega, näiteks ruumikõveruse raadiusega. 
Ruumikõverust määrav kordaja formula_11 võib olla vastavalt mastaabikordaja valikule pidev või diskreetne. 
Võrrandid pole sõltumatud. Esimese võrrandi saab teisest, kui arvestada adiabaatilist paisumist. Lisaks saab teise võrrandi avaldada pidevusevõrrandi:
formula_12
Kuna kiirenduse võrrand on teist järku tuletise tõttu komplitseeritum, siis kasutatakse rohkem esimest võrrandit.
Tiheduse võib jagada kolmeks teadaolevaks komponendiks:
formula_13.
Esimene liige vastab vaakumi energiatihedusele ehk kosmoloogilisele konstandile ning on avaldatav kujul formula_14. Teine liige vastab barüon- ja tumeainele. Kolmas liige vastab kiirgusele. Kuna mastaabikordaja võetakse antud ajahetkel üheks, siis tihedused vastavad hetke hetkeväärtustele. Kiirguse liikmele tekib ruumilisele sõltuvusele formula_15 lisaks sõltuvus punanihkest formula_16.
Võrrandite leidmisel eeldatakse kosmoloogilise printsiibi kehtimist, millest saadakse Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker meetrika:
formula_17.
Võetakse ideaalse vedeliku energia-impulsi tensor
formula_18
ning sisestatakse see koos meetrikaga Einsteini väljavõrranditesse.
Esimene võrrand tuleb 00 komponendist ning teine ruumilise osa jäljest.
Tihedusparameeter.
Tihedusparameeter on defineeritud kui tegeliku ja kriitilise tiheduse suhe formula_19. Kriitiline tihedus on defineeritud kui formula_20 ning on selline tihedus, mille korral on kindla formula_8 väärtuse korral aegruumi ruumiline osa tasane. Kuna Hubble'i parameeter sõltub üldjuhul ajast, siis peab ka kriitiline tihedus ajast sõltuma. formula_22 tähistab tihedusparameetri hetkelist väärtust.
Tihedusparameeter võib üldiselt koosneda mitmest erinevast komponendist
formula_23.
Kui vaadata ajahetke kui formula_24, siis saab formula_25.
Friedmanni esimesest võrrandist saab leida seose tihedusparameetri ja ruumikõveruse vahel 
formula_26.
Sellest järeldub, et ruum on avatud, kui formula_27, tasane, kui formula_28 ning kinnine, kui formula_29.
formula_30 on kosmoloogilisele konstandile vastav tihedusparameeter.
Barotroopne olekuvõrrand.
Kuna sõltumatuid Friedmanni võrrandeid on kaks ning otsitavaid parameetreid on kolm (formula_6, formula_32 ja formula_7), siis selleks, et võrrandid lahendata, tuleb teha täiendavaid eelduseid.
Eeldusel, et universum sisaldab homogeenset ja isotroopset vedelikku, saab leida rõhku ja energiatihedust siduva barotroopse olekuvõrrandi
formula_34.
Suurust formula_35 nimetatakse barotroopseks indeksiks. Erinevatele formula_35 väärtustele vastavad erinevad mateerialiigid:
Universum paisub kiirenevalt kui formula_40 ning superkiirenevalt kui formula_41.
Superkiirenevale paisumisele vastab fantoomenergia, mille osakaal suureneb Universumi paisumisel ning lõpliku aja vältel tekib singulaarsus nimega Big Rip. Singulaarsust iseloomustab seotud struktuuride, näiteks galaktikate ja aatomite, lahtirebimine. Mida negatiivsem on formula_35, seda kiiremini saabub singulaarsus.
Ühekomponendilise ideaalse vedeliku lahendid.
Vaadates ainult ühte komponenti ning eeldades, et vedelik allub barotroopsele olekuvõrrandile, saab leida Friedmanni võrranditele lahendid. Tasase ruumi jaoks saab:
formula_43
formula_44
formula_45
formula_46
formula_47
Kõiki tasase universumi mudeleid iseloomustab mastaabikordaja lõputu kasv ning konstantne aeglustusparameeter formula_48. Kui suurendada formula_35 väärtust ning seetõttu ka rõhku, siis aeglustusparameeter väheneb ning ruumi paisumine aeglustub. Negatiivsed rõhu väärtused kiirendavad ruumi paisumist.
Kõikidel formula_50 mudelitel eksisteerib singulaarsus kus mastaabikordaja läheneb nullile ning tihedus hajub. Vastavate lahendite nimeks on Suur Pauk. Nullist erineva kosmoloogilise konstandi korral võib singulaarsust vältida.
Üldjuhul mittetasase juhu jaoks võrrandid analüütiliselt ei lahendu. Mitterelativistliku aine erijuhul (formula_51) saab võrrandid siiski lahendada.
Negatiivse kõverusega mudeli jaoks on lahendiks:
formula_52
formula_53
Positiivse kõverusega mudeli lahendiks on tsükloid:
formula_54
formula_55 .
Positiivse kõveruse juhu korral saab leida punkti, kus formula_56 ning millest alates formula_6 hakkab vähenema sümmeetriliselt kasvuga. Nulli jõudes tekib singulaarsus nimega Big Crunch.