Tuletis (matemaatika)

Funktsiooni tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse "muutumise kiirust" funktsiooni argumendi muutumisel. Täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile.
Füüsikas on kohavektori tuletis aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletis omakorda on kiirendus.
Reaalarvulise argumendiga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni tuletis mingis punktis on funktsiooni puutuja tõus selles punktis.
Matemaatilise analüüsi eeskujul on tuletise mõistet mitmel viisil üldistatud teistesse matemaatika valdkondadesse. See artikkel käsitleb eelkõige reaal- või kompleksmuutuja funktsiooni tuletist matemaatilise analüüsi tähenduses. Mõiste "tuletis" tähenduste kohta matemaatika teistes harudes vaata alajaotust "Üldistusi".
Määratlus.
Tuletis antud kohal.
Olgu antud reaalarvuliste väärtustega funktsioon formula_1 ning mõni reaalarv formula_2 funktsiooni määramispiirkonnast. Kui leidub (lõplik või lõpmatu) piirväärtus formula_3, siis seda nimetatakse funktsiooni formula_4 tuletiseks kohal formula_5ning tähistatakse sümboliga formula_6.
Tavaliselt määratletakse funktsiooni tuletis ainult tema määramispiirkonna sisepunktides, s. t. eeltoodud definitsiooni lisatakse veel eeldus, et formula_5on hulga formula_8 sisepunkt.
Kui funktsioonil formula_4 on lõplik tuletis kohal formula_5, nimetatakse funktsiooni formula_4 diferentseeruvaks kohal formula_5.
Samamoodi defineeritakse tuletis ja diferentseeruvus ka kompleksmuutuja funktsiooni korral, s. t. juhul formula_13, kus formula_14.
Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised.
Kui funktsioon formula_4 on diferentseeruv igas oma määramispiirkonna formula_8 punktis, öeldakse lihtsalt, et funktsioon formula_4 on diferentseeruv.
Kui funktsioon formula_4 on diferentseeruv, saame vaadelda tema tuletist funktsioonina formula_19.
Sellisel juhul saame uurida funktsiooni formula_20 tuletiste olemasolu. Funktsiooni formula_20 tuletist nimetatakse funktsiooni formula_4 teist järku tuletiseks ning tähistatakse formula_23. Kui funktsioon formula_20 on diferentseeruv ehk funktsioonil formula_4 on kogu tema määramispiirkonnas olemas lõplik teist järku tuletis, nimetatakse funktsiooni formula_4 kaks korda diferentseeruvaks.
Samamoodi, kui funktsioon formula_23 on diferentseeruv, määratletakse ka funktsiooni formula_4 kolmandat järku tuletis formula_4 jne. Üldiselt, funktsiooni formula_4 formula_31-ndat järku tuletist"' kohal formula_5, kus formula_33, tähistatakse formula_34.
Tähistusi.
Lagrange'i tähistus.
Eeltoodud määratluses kasutasime Joseph-Louis Lagrange'i tähistust:
 formula_6 – funktsiooni formula_4 tuletis kohal formula_5
 formula_38 – teist järku tuletis
 formula_39 – kolmandat järku tuletis
 formula_40 ehk formula_41 – neljandat järku tuletis
 formula_34 – formula_43-ndat järku tuletis (formula_33)
Leibnizi tähistus.
Kui muutujate formula_45 ja formula_5 vahel on seos formula_47, siis nii funktsiooni formula_4 tuletisfunktsiooni formula_20 kui ka selle väärtust kohal formula_5 tähistatakse Leibnizi tähistuses formula_51.
Leibnizi tähistust põhjendab seos formula_52, kus formula_53 on suuruse formula_5 muut ning formula_55 on vastav suuruse formula_45 muut. Tuletise kui funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtuse tähistamiseks asendame selles suhtes kreeka tähe delta lihtsalt talle ladina tähestikus vastava tähega formula_57.
Kõrgemat järku tuletise formula_34 jaoks kasutatakse tähistust formula_59.
Newtoni tähistus.
Kui funktsiooni argument tähistab aega (sel juhul kasutatakse argumendi tähistamiseks tähe formula_5 asemel enamasti tähte formula_61), siis kasutatakse füüsikas sageli ka Newtoni tähistust. Kui muutuja formula_45 sõltuvust ajast formula_61 kirjeldab seos formula_64, siis funktsiooni formula_4 tuletisi tähistatakse:
 formula_66
 formula_67
ja nii edasi.
Kõrgemat järku tuletiste puhul on Newtoni tähistust raske kasutada, sest mitut täppi on tüütu kirjutada ja kokku lugeda. Samuti puudub üldine tähistus formula_43-ndat järku tuletise jaoks, kuid paljudes füüsikaülesannetes piisab esimest ja teist järku tuletisest.
Näide.
Olgu formula_69, sellisel juhul formula_70 ja
formula_71
Tuletise rakendusi.
Matemaatika.
L'Hospitali reegel.
Kui formula_72 ja leidub formula_73
või formula_74 ja leidub formula_73
siis kehtib võrdus
 formula_76
Näiteks formula_77
Taylori valem.
Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:
 formula_78
Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni formula_79 lähendamine "x" = 0 juures:
 formula_80
Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse formula_81 vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt. Kui "n" ≥ 0 on täisarv ja formula_4 on funktsioon, mis on "n" korda pidevalt diferentseeruv lõigul ["a", "x"] ja "n" + 1 korda diferentseeruv vahemikus ("a", "x"), siis leidub arv formula_83 nii, et
formula_84
Funktsiooni uurimine.
Kui reaalmuutuja funktsiooni tuletis on positiivne mingis lõigus, siis funktsioon kasvab selles lõigus. Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon kahaneb antud lõigus. Funktsiooni tuletise nullkohad on funktsiooni lokaalsed miinimum- ja maksimumkohad.
Teine tuletis määrab funktsiooni graafiku "kõveruse": kui teine tuletis mingil kohal on nullist erinev, siis funktsiooni graafik asub antud punkti ümbruses selles punktis tõmmatud puutujast paremal või vasakul ("kõverdub" päripäeva või vastupäeva) ning esimese ja teise tuletise abil saab arvutada graafiku kõverusraadiuse. Kui funktsiooni teine tuletis on mingis lõigus positiivne või negatiivne, siis funktsioon on antud lõigus vastavalt kumer või nõgus. Graafiku punkte, kus funktsiooni teine tuletis on 0, nimetatakse käänupunktideks.
Füüsika.
Tuletis (ja matemaatiline analüüs üldiselt) on tänapäeva füüsikas asendamatu abivahend loodusnähtuste kirjeldamisel. Üks olulisi tuletise rakendusi on näiteks füüsikaliste suuruste (ajalise) muutmise kiiruse kirjeldamine ning liikumisvõrrandite kirjapanemine.
Näide: Kiirus ehk asukoha ajalise muutumise kiirus leitakse kohavektorist ajalise tuletise võtmise teel. Liikugu punkt mingis koordinaadisüsteemis sirgjooneliselt võrrandi formula_85 järgi. Kiiruse leidmiseks ajahetkel formula_86 võetakse liikumisvõrrandist aja järgi tuletis: formula_87. Kiiruse võrrandist omakorda tuletise võtmine annab kiiruse ajalise muutumise kiiruse ehk kiirenduse: formula_88. Näeme, et antud punkt liigub ühtlase kiirendusega.
Näide: Liikugu keha keskkonnas, mille poolt avaldatav hõõrdejõud on võrdeline keha kiirusega, st "F = – k v", kus "k" on võrdetegur. Seega on keha liikumisvõrrand vastavalt Newtoni II seadusele
 formula_89
kus formula_90 on kiirendus ja "m" on keha mass. Saadud avaldis annab hariliku diferentsiaalvõrrandi, mille lahend ütleb, kuidas keha kiirus ajas muutub.
Üldistusi.
Diskreetne matemaatika.
Loogikafunktsiooni tuletis argumendi järgi määrab loogikatingimused, milliste puhul funktsiooni väärtus on tundlik selle argumendi muutuste suhtes (kas otse- või vastandfaasis).
formula_91
Näide: olgu formula_92
formula_93