Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika

Valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika ehk valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli hulgateooria ehk Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika ehk Zermelo-Fraenkeli hulgateooria (tähis ZFC või ZF + C) on üks aksiomaatilise hulgateooria variante, tänapäeval standardne variant. See on saanud nime Ernst Zermelo ja Abraham Fraenkeli järgi. Selles teoorias ei ole tagatud kõikide mingit predikaati rahuldavate objektide hulga olemasolu.
ZFC on mõeldud formaliseerima ühte algmõistet, nimelt päriliku fundeeritud hulga mõistet, nii et kõik indiviidid arutluse universumis on niisugused hulgad. Seega käib ZFC aksiomaatika ainult hulkade kohta, mitte urelementide (hulkade elemendid, mis ise ei ole hulgad) ega kõikide klasside (matemaatiliste objektide kogumid, mis on määratletud omadusega, mis neil on) kohta. ZFC aksiomaatika on niisugune, et selle mudelid ei saa sisaldada urelemente ning pärisklasse saab käsitleda ainult kaudselt.
Formaalselt on ZFC ühesordiline teooria esimest järku loogikas. Signatuuris on võrdsusseos ning üksainus algne binaarne seos, kuulumine, mille tähis on tavaliselt ∈. Valem "a" ∈ "b" tähendab, et hulk "a" on hulga "b" element.
ZFC aksiomaatikal on palju ekvivalentseid formuleeringuid. Enamik ZFC aksioome väidab teiste hulkade kaudu teatud viisil määratletud hulkade olemasolu. Näiteks paari aksioom ütleb, et kui on antud mis tahes kaks hulka "a" ja "b", siis on olemas uus hulk, mille elemendid on täpselt "a" ja "b". Teised aksioomid kirjeldavad kuulumisseose omadusi. ZFC aksiomaatika üks eesmärke on, et iga aksioom oleks tõene, kui teda interpreteerida kõikide von Neumanni universumisse (kumulatiivsesse hierarhiasse) kuuluvate hulkade kohta.
ZFC metamatemaatikat on ulatuslikult uuritud. Väljapaistvad tulemused selles valdkonnas on kontiinumhüpoteesi sõltumatus ZFC aksioomidest ning valikuaksioomi sõltumatus ülejäänud ZFC aksioomidest.
Ajalugu.
Aastal 1908 esitas Ernst Zermelo esimese aksiomaatilise hulgateooria, Zermelo hulgateooria. See aksiomaatiline teooria ei võimaldanud suurte ordinaalarvude konstrueerimist. Kuigi suuremat osa "tavalisest matemaatikast" saab arendada neid suuri ordinaalarve kasutamata, on nad hulgateoorias enamasti vajalikud. Zermelo teoorial oli veel see puudus, et ühes aksioomidest (aksioomis III) kasutati definiitse omaduse mõistet, mille operatsionaalne tähendus polnud selge.
Aastal 1922 esitasid Abraham Fraenkel ja Thoralf Skolem teineteisest sõltumatult definiitse omaduse operatsionaliseeringu: see on omadus, mida saab formuleerida esimest järku teooriana, mille atomaarsed valemid kasutavad ainult kuulumis- ja võrdusseost. Samuti tegid nad teineteisest sõltumatult ettepaneku asendada väljaeraldamise aksioomiskeem asenduse aksioomiskeemiga.
Kui Zermelo hulgateooriale (ilma valikuaksioomita) lisada asenduse aksioomiskeem ning regulaarsuse aksioom (mille pakkus esimesena välja Dmitri Mirimanov 1917), saame teooria ZF.
Kui lisada ZF-ile kas valikuaksioom või mõni sellega ekvivalentne väide, saame teooria ZFC.
Aksioomid.
ZFC aksiomaatikal on palju samaväärseid formuleeringuid (Fraenkel jt 1973). Siin on järgitud Kuneni (1980) esitust. Aksioomid on esitatud esimest järku loogika keeles. Lisatud on arusaamist kergendavad sõnastused loomulikus keeles.
Kõigist ZFC formuleeringutest järeldub, et eksisteerib vähemalt üks hulk. Kunen esitab peale alltoodud aksioomide veel aksioomi, mis otseselt väidab hulga olemasolu, (olemasolu aksioomi). Selle ärajätmist siin võib põhjendada kahel moel. Paljud autorid nõuavad esimest järku teooria semantikalt, et arutluse universum oleks mittetühi. Teiseks, ka lõpmatuse aksioomist järeldub, et vähemalt üks hulk on olemas, sest ta algab olemasolukvantoriga.
1. Ekstensionaalsuse aksioom.
Kaks hulka on võrdsed (on sama hulk), kui neil on samad elemendid.
formula_1
Selle aksioomi pöördväide järeldub võrdsuse omadusest, et võrdsetel objektidel on samad omadused. Kui taustloogika ei hõlma võrdsusseost "=", siis võib "x"="y" defineerida järgmise valemi lühendina (Hatcher 1982:138, definitsioon 1):
formula_2
Sel juhtumil võib ekstensionaalsuse aksioomile anda niisuguse kuju:
formula_3
st kui hulkadel "x" ja "y" on täpselt samad elemendid, siis nad on täpselt samade hulkade elemendid (Fraenkel jt 1973).
2. Regulaarsuse aksioom.
Igal mittetühjal hulgal "x" leidub niisugune element "y", et "x" ja "y" on mittelõikuvad hulgad.
formula_4
3. Väljaeraldamise aksioomiskeem ehk eraldamise aksioomiskeem.
Kui "z" on hulk ja formula_5 on mis tahes omadus, mis saab iseloomustada hulga "z" elemente "y", siis on olemas hulga "z" alamhulk, mis seda omadust rahuldab. Alamhulga paigutamine hulka "z" on vajalik Russelli paradoksi ja selle teisendite vältimiseks. Rangemalt öeldes: kui formula_5 on ZFC keele mis tahes valem, milles vabad muutujad võivad olla formula_7 (nii et "y" ei ole valemis formula_5 vaba), siis
formula_9
See aksioomiskeem kuulub aksiomaatikasse Z, kuid ZF-is on ta liiane, sest teda saab järeldada asenduse aksioomiskeemist koos tühihulga aksioomiga või ilma selleta.
Väljaeraldamise aksioomile toetudes konstrueeritud hulka tähistatakse sageli tingimuse abil määratlemise tähistustes. Kui "z" on hulk ja φ("x") on valem ühe vaba muutujaga "x", siis hulga "z" kõigi nende elementide "z" hulka, mis rahuldavad tingimust φ, tähistatakse
formula_10
Kui on tagatud, et eksisteerib vähemalt üks hulk (ülalpool on selgitatud, kuidas see on tagatud), siis saab tõestada, et eksisteerib tühihulk (selle tähis on formula_11). Selleks võetakse tavaliseks omaduseks φ mingi omadus, mida ühelgi hulgal ei ole. Näiteks kui "w" on hulk, mille olemasolu on juba kindlaks tehtud, siis saab tühihulga konstrueerida kui 
formula_12.
Kui taustloogika hõlmab võrdsust, siis saab tühihulga defineerida kui 
formula_13.
Seetõttu järeldub tühihulga aksioom siin esitatud aksiomaatikast. Ekstensionaalsuse aksioomist tuleneb, et on ainult üks tühihulk (konstrueeritud hulk ei sõltu hulga "w" valikust). Tavaliselt tehakse laiendus definitsiooni alusel, mis lisab ZFC keelele sümboli formula_11.
4. Paari aksioom.
Kui "x" ja "y" on hulgad, siis eksisteerib hulk, millesse "x" ja "y" elementidena kuuluvad.
formula_15
See aksioom kuulub aksiomaatikasse Z, kuid aksiomaatikas ZF on ta liiane, sest ta saadakse asenduse aksioomiskeemi rakendamisel mis tahes kaheelemendilisele hulgale. Kaheelemendilise hulga eksisteerimise tagab kas lõpmatuse aksioom või astmehulga aksioomi kahekordne rakendamine tühihulgale.
5. Ühendi aksioom.
Mis tahes hulga formula_16 korral eksisteerib hulk "A", millesse kuulub elemendina iga hulk, mis on hulga formula_17 mõne elemendi element. 
formula_18
6. Asenduse aksioomiskeem.
Kui formula_19 on ZFC keele valem, mille vabad muutujad on formula_20 seas (nii et "B" ei ole valemis formula_19 vaba, siis
formula_22
Teiste sõnadega, see aksioom ütleb, et kui defineeritava funktsiooni "f" määramispiirkond on hulk ning "f"("x") on selle piirkonna iga elemendi "x" korral hulk, siis funktsiooni "f" muutumispiirkond on mingi hulga alamklass kitsendusega, mida on tarvis paradokside vältimiseks. Siinset teisendit, milles "B" võib olla suurem kui rangelt tarvilik, nimetatakse mõnikord kogumi aksioomiskeemiks.
7. Lõpmatuse aksioom.
Olgu formula_23 avaldise formula_24 lühend, kus formula_25 on mingi hulk. Siis eksisteerib niisugune hulk "X", et tühi hulk formula_11 on hulga "X" element ning kui mingi hulk "y" on hulga "X" element, siis ka formula_27 on hulga "X" element. 
formula_28
Teiste sõnadega, eksisteerib hulk "X", millel on lõpmata palju elemente. Vähim hulk "X", mis rahuldab lõpmatuse aksioomi tingimust, on von Neumanni ordinaal ω, mida võib ka samastada naturaalarvude hulgaga formula_29.
8. Astmehulga aksioom.
Olgu formula_30 valemi formula_31 lühend. Mis tahes hulga "x" korral eksisteerib hulk "y", mis on hulga "x" astmehulga ülemhulk. Hulga "x" astmehulk on klass, mille elemendid on hulga "x" kõik alamhulgad.
formula_32
Sageli kohtab aksioomide 1–8 alternatiivseid kujusid, millest mõned on loetletud raamatus Jech (2003). Mõned ZF-i aksiomaatikad sisaldavad tühihulga aksioomi, mis ütleb, et tühihulk eksisteerib. Paari aksioom, ühendi aksioom, asenduse aksioomiskeem ja astmehulga aksioom sõnastatakse sageli nii, et selle hulga "x" elemendid, mille olemasolu väidetakse, on täpselt need hulgad, mis aksioomi väite kohaselt peavad hulka "x" elementidena kuuluma.
9. Täieliku järjestuse teoreem.
Iga hulga "X" korral eksisteerib binaarne seos "R", mis on hulgal "X" täielik järjestus. See tähendab, et "R" on niisugune lineaarne järjestus hulgal "X", et hulga "X" igal mittetühjal alamhulgal on element, mis on järjestuse "R" suhtes vähim element.
formula_33
Kui on antud aksioomid 1–8, siis on olemas palju väiteid, mis on tõestatavalt samaväärsed aksioomiga 9. Tuntum neist on valikuaksioom, mis ütleb järgmist. Olgu "X" hulk, mille elemendid on kõik mittetühjad. Siis eksisteerib niisugune funktsioon "f" (mida nimetatakse valikufunktsiooniks) hulgalt "X" hulga "X" elementide ühendisse, et kõikide "Y" ∈ "X" puhul "f"("Y") ∈ "Y". Et valikufunktsiooni olemasolu lõpliku hulga "X" korral on hõlpsasti tõestatav aksioomide 1–8 alusel, siis on valikuaksioomil tähtsust ainult teatud lõpmatute hulkade korral. Konstruktiivse matemaatika seisukohast on valikuaksioom "mittekonstruktiivne", sest ta väidab valikhulga olemasolu, kuid ütle midagi selle kohta, kuidas valikhulka "konstrueerida". On tehtud palju jõupingutusi, et iseloomustada nende hulkade defineeritavust või mittedefineeritavust, mille olemasolu valikuaksioom väidab.