Lõplik topoloogiline ruum

Lõplik topoloogiline ruum on topoloogiline ruum, mille kandja on lõplik. Teiste sõnadega, see on topoloogiline ruum, millel on ainult lõplik arv elemente.
Lõplikke topoloogilisi ruume kasutatakse sageli näidetena huvitavate nähtuste kohta või vastunäidetena esmapilgul usutavana tunduvatele oletustele. William Thurston on lõplike topoloogiate uurimist nimetanud kummaliseks teemaks, mis võib anda häid ideid mitmesuguste küsimuste puhul.
Topoloogiad lõplikul hulgal.
Olgu formula_1 lõplik hulk. Topoloogia hulgal formula_1 on hulga formula_1 astmehulga formula_4 alamhulk formula_5, mis rahuldab järgmisi tingimusi:
Teiste sõnadega, hulga formula_4 alamhulk formula_5 on topoloogia parajasti siis, kui hulka formula_5 kuuluvad nii formula_15 kui ka formula_1 ning see hulk on kinnine suvaliste ühendite ja ühisosade suhtes. Topoloogia formula_5 elemente nimetatakse lahtisteks hulkadeks. Topoloogiliste ruumide üldises definitsioonis nõutakse, et topoloogia oleks kinnine lahtiste hulkade suvaliste (lõplike või lõpmatute) ühendite suhtes, kuid ainult lahtiste hulkade lõplike ühisosade suhtes. Siin ei ole seda vahetegemist tarvis: et lõpliku hulga astmehulk on lõplik, saab olla ainult lõplik arv lahtisi hulki (ja ainult lõplik arv kinniseid hulki).
Topoloogiat lõplikul hulgal võib vaadelda ka võre
formula_18 alamvõrena, millesse kuuluvad nii vähim element formula_15 kui ka suurim element formula_1.
Näited.
0 või 1 punkti.
Tühihulgal ∅ on üksainus topoloogia. Ainus lahtine hulk on tühihulk. Tõepoolest, see on hulga ∅ ainus alamhulk.
Ka üheelemendilisel hulgal {"a"} on üksainus topoloogia. Selle lahtised hulgad on ∅ ja {"a"}. See topoloogia on ühtaegu nii diskreetne kui ka triviaalne, kuigi mõnes mõttes on parem võtta seda diskreetse topoloogiaga, sest sellel on rohkem ühiseid omadusi lõplike diskreetsete ruumidega.
Iga topoloogilise ruumi "X" korral leidub üksainus pidev kujutus ∅ → "X", nimelt tühi kujutus. Samuti leidub üksainus pidev kujutus ruumist "X" üheelemendilisse ruumi {"a"}, nimelt konstantne kujutus elemendiks "a". Kategooriateooria keeles on tühi ruum topoloogiliste ruumide kategoorias algobjekt ja üheelemendiline ruum on seal lõppobjekt.
2 punkti.
Olgu "X" = {"a","b"} kaheelemendiline hulk. Hulgal "X" on neli erinevat topoloogiat:
On lihtne näha, et teine ja kolmas topoloogia on homöomorfsed. Kujutus, mis vahetab omavahel punktid "a" ja "b", on homöomorfism. Topoloogilist ruumi, mis on ühega neist homöomorfne, nimetatakse Sierpiński ruumiks. Seega on kaheelemendilisel hulgal tegelikult ainult kolm mitteekvivalentset topoloogiat: triviaalne, diskreetne ja Sierpiński topoloogia.
Sierpiński ruumi {"a","b"}, kus {"b"} on lahtine, spetsialisatsioonieeljärjestus on järgmine: "a" ≤ "a", "b" ≤ "b" ja "a" ≤ "b".
3 punkti.
Olgu "X" = {"a","b","c"} 3-elemendiline hulk. Hulgal "X" on 29 erinevat topoloogiat, kuid ainult 9 mitteekvivalentset topoloogiat:
Viis viimast on Kolmogorovi ruumid ehk T0-ruumid. Esimene on triviaalne. Ruumides 2, 3 ja 4 on punktid "a" ja "b" topoloogiliselt eristamatud.
4 punkti.
Olgu "X" = {"a","b","c","d"} 4-elemendiline hulk. Hulgal"X" on 355 erinevat topoloogiat, kuid ainult 33 mitteekvivalentset topoloogiat:
Viimased kuusteist on T0-ruumid.
Omadused.
Spetsialisatsioonieeljärjestus.
Topoloogiad lõplikul hulgal "X" on üksüheses vastavuses eeljärjestustega hulgal "X". Tuletame meelde, et eeljärjestus hulgal "X" on binaarne seos hulgal "X", mis on refleksiivne ja transitiivne.
Antud (mitte tingimata lõpliku) topoloogilise ruumi "X" puhul saab defineerida eeljärjestuse hulgal "X" järgmiselt:
"x" ≤ "y" parajasti siis, kui "x" ∈ cl{"y"}
kus cl{"y"} on üheelemendilise hulga {"y"} sulund. Seda eeljärjestust nimetatakse Spetsialisatsioonieeljärjestuseks hulgal "X". Iga lahtine hulk "U" ruumis "X" on ülemine hulk eeljärjestuse ≤ suhtes (st kui "x" ∈ "U" ja "x" ≤ "y", siis "y" ∈ "U"). Kui "X" on lõplik, kehtib ka ümberpöördu: iga ülemine hulk on ruumis "X" lahtine. Seega on lõplike ruumide puhul topoloogia üheselt määratud eeljärjestusega ≤.
Teiselt poolt olgu ("X", ≤) eeljärjestatud hulk. Defineerime hulgal "X" topoloogia τ, võttes lahtisteks hulkadeks need hulgad, mis on eeljärjestuse ≤ suhtes ülemised hulgad. Siis seos ≤ on ruumi ("X", τ) spetsialisatsioonieeljärjestus. Niiviisi defineeritud topoloogiat nimetatakse eeljärjestusega ≤ määratud Aleksandrovi topoloogiaks.
Eeljärjestuste ja lõplike topoloogiate ekvivalentsust võib tõlgendada Birkhoffi esitusteoreemi versioonina – ekvivalentsusena lõplike distributiivsete võrede (topoloogia lahtiste hulkade võrede) ja osaliste järjestuste (eeljärjestuse ekvivalentsusklasside osalise järjestuste) vahel. See vastavus töötab ka suurema ruumide klassi puhul, mida nimetatakse lõplikult tekitatud ruumideks. Lõplikult tekitatud ruume saab iseloomustada kui ruume, milles lahtiste hulkade mis tahes ühisosa on avatud. Lõplikud topoloogilised ruumid on lõplikult tekitatud ruumide erijuht.
Kompaktsus ja loenduvus.
Iga lõplik topoloogiline ruum on kompaktne, sest iga lahtine kate on juba ise lõplik. Kompaktseid ruume peetakse sageli lõplike ruumide üldistuseks, sest neil on palju ühiseid omadusi.
Igas lõplikus topoloogilises ruumis kehtib teine loenduvusaksioom, sest lahtisi hulki on lõplik arv. Iga lõplik topoloogiline ruum on separaabel, sest ruum ise on loenduv.
Eraldatavusaksioomid.
Kui lõplik topoloogiline ruum on T1-ruum (eriti kui ta on Hausdorffi ruum), siis peab ta tegelikult olema diskreetne. Asi on selles, et ühepunktilise hulga täiend on lõpliku arvu kinniste ühepunktiliste hulkade ühend ja seetõttu kinnine. Sellest järeldub, et iga punkt peab olema lahtine.
Seega ei saa ükski lõplik topoloogiline ruum, mis ei ole diskreetne, olla T1-ruum, Hausdorffi ruum ega midagi tugevamat.
Mittediskreetne lõplik ruum saab siiski olla T0 ehk Kolmogorovi ruum. Üldiselt on kaks punkti "x" ja "y" topoloogiliselt eristamatud parajasti siis, kui "x" ≤ "y" ja "y" ≤ "x", kus ≤ on spetsialisatsioonieeljärjestus hulgal "X". Sellest järeldub, et ruum "X" on T0-ruum siis ja ainult siis, kui spetsialisatsioonieeljärjestus ≤ hulgal "X" on osaline järjestus. Lõplikul hulgal on palju osalisi järjestusi. Igaüks neist määrab erineva T0-topoloogia.
Ruum on R0-ruum siis ja ainult siis, kui spetsialisatsioonieeljärjestus on ekvivalentsusseos. Mis tahes ekvivalentsusseose korral lõplikul hulgal "X" on vastav topoloogia hulga "X" klassijaotustopoloogia. Ekvivalentsusklassid on topoloogiliselt eristamatute punktide klassid. Et klassijaotustopoloogia on pseudometriseeruv, on lõplik ruum R0-ruum siis ja ainult siis, kui ta on täielikult regulaarne.
Mittediskreetsed lõplikud ruumid saavad olla ka normaalsed. Väljasoleva punkti topoloogia mis tahes lõplikul hulgal annab täielikult normaalse T0-ruumi, mis ei ole diskreetne.