Mathematical Truth

"Mathematical Truth" on Paul Benacerrafi artikkel. See ilmus ajakirjas Journal of Philosophy, 1973, 70 (19), lk 661–679.
Ta väidab selles, et ükski matemaatika filosoofiline tõlgendus ei ole ühtaegu rahuldav nii epistemoloogia kui ka semantika vaatepunktist. Matemaatilist tõesust on küll võimalik seletada nii, et see vastab meie süntaktilisele ja semantilisele tõesusekäsitusele mittematemaatilises keeles; ja on võimalik seletada meie matemaatilist teadmist kooskõlas kausaalse arusaamaga teadmisest; kuid üldjuhul ei ole võimalik teha mõlemat korraga. Nimelt eeldab tõesuse seletamine matemaatiliste abstraktsete objektide olemasolu, kuid need objektid pole tunnetusele kättesaadavad, sest nad on põhjuslikult inertsed ehk põhjuslikult mittemõjusad, mistõttu nad pole meeltetajule kättesaadavad. Teiselt poolt, kui siduda tõesustingimused kuidagi tõestusega, siis pole arusaadav, kuidas ja miks nad puutuvad tõesusesse. Seda nimetatakse Benacerrafi dilemmaks.
Sisukokkuvõte.
Matemaatilise tõe uurimisel on olnud kaks motiivi: 1) ehitada üles homogeenne semantikateooria, milles matemaatika propositsioonide semantika oleks rööpne ülejäänud keele semantikaga; 2) leida matemaatilise tõe juurde mõistlik epistemoloogia. Peaaegu kõik matemaatilise tõe mõiste teooriad teenivad üht neist kahest eesmärgist teise arvel. Et mõlemad eesmärgid on tarvis saavutada, siis Benacerraf ei ole rahul mitte ühegi matemaatilise ja mittematemaatilise tõe ja teadmise teooria komplektiga. "Sest, nagu ma allpool väidan, tõeteooriad, mis käsitlevad matemaatilist ja mittematemaatilist juttu relevantselt sarnasel moel, teevad seda selle hinnaga, et nad jätavad arusaamatuks, kuidas meil saab üldse olla matemaatiline teadmine; kuna aga need, kes omistavad matemaatilistele propositsioonidele seda laadi tõesustingimused, mille rahuldatust meil on võimalik selgelt teada, teevad seda selle arvel, et nad jätavad need tingimused sidumata igasuguse lausete analüüsiga, mis näitaks, kuidas omistatud tingimused on nende "tõesuse" tingimused." (lk 662). (Lk 661–662).
Mis tahes filosoofiliselt rahuldav tõe, osutuse, tähenduse ja teadmise teooria peab hõlmama neid kõiki ning olema adekvaatne kõigi propositsioonide puhul, millele need mõisted rakenduvad – nii empiiriliste kui ka matemaatiliste objektide puhul, sest muidu ta pole lihtsalt õige. Igasugusel lahknemisel sellisest homogeensusest peab olema mõjuv põhjendus, et see üldse kõne alla tuleks. 
Benacerraf loodab, et lõpuks õnnestub luua homogeenne teooria, ning toob siin esile takistused selle loomisel. (663)
I. Kahesugused teooriad.
Võrdleme kahte lauset:
1) On olemas vähemalt kolm suurt linna, mis on New Yorgist vanemad. 
2) On olemas vähemalt kolm täiuslikku arvu, mis on 17-st suuremad.
Kas neil mõlemal on loogilis-grammatiline vorm:
3) On olemas vähemalt kolm "F" "G"-d, mis on "a"-ga suhtes "R".?
Kas nende tõesustingimused on relevantselt rööpsed? Tundub, et esimesel on küll vorm 3) ning ta on tõene sellepärast, et teatud linnad on üksteisega teatud suhtes jne. (663–664)
Teise puhul tundub esmapilgul ilmne, et tal on vorm 3), kuid matemaatikafilosoofia on andnud teistsuguseid vastuseid. Mõned, sealhulgas Benacerraf ise artiklis "What Numbers Could Not Be", on loobunud eeldusest, et arvsõnad on nimed, sest selle "standardse" semantilise teooria kombineerimisel platonistliku arusaama arvude loomusest on vastuvõetamatud järelmid; sel juhul 3) ei ole lause 2) vorm. David Hilbert ("Über das Unendliche"), kes püüdis leida matemaatilise lõpmatuse mõiste rahuldavat teooriat, eristas "intuitiivset" matemaatikat, kus kõik on "finiitselt verifitseeritav", ja instrumentaalse iseloomuga väiteid ("ideaalseid elemente"), näiteks mõni kvantoreid sisaldav aritmeetikaväide, mis on mugavuse pärast kasutatavateks vahelülideks intuitiivse matemaatika osade vahel ("nad võetakse kasutusele mugavusabinõuna, et teha mugavamaks ja lihtsamaks teooria asjadest, millest tegelikult hoolitakse"). "Kui nende kasutuselevõtmine ei vii vastuoluni, ja kui tal on need teised kasutamisviisid, siis see on õigustatud: siit esimest järku aritmeetikale täieliku süsteemi mittevasturääkivuse tõestuse otsing." (664)
Nii et Hilberti järgi ei ole kõik kvantoreid sisaldavad väited semantiliselt ühe pulga peal. Ta ei tõlgendaks kvantorit lauses 2) samamoodi nagu lauses 1) ega peaks lauset 3) lause 2) vormi väljendavaks. (664–665)
Mõnes teises teoorias pakutakse aritmeetikalausete tõesustingimusteks nende tuletatavust teatud aksioomide hulgast. Kui tahta igale kinnisele aritmeetikalausele omistada tõeväärtust, siis on neile teooriatele komistuskiviks mittetäielikkuse teoreemid. Tuleb kas laiendada tuletatavuse mõistet (näiteks tuues sisse mõne "ω"-reegli) või loobuda täielikkuse tagaajamisest. Ma nimetan selliseid arusaamu matemaatilise tõesuse determinantidest "kombinatoorseteks" teooriateks (sest nad lähtuvad lausete kombinatoorsetest, st süntaktilistest omadustest). Kombinatoorsed teooriad omistavad lausetele tõeväärtusi teatud süntaktiliste (tavaliselt tõestusteoreetiliste) seikade põhjal. Tõesust defineeritaksegi sageli formaalse tuletatavusena teatud aksioomidest. (Mõnikord räägitakse tõesuse asemel tõesusest-"S"-is, kus "S" on mõni aksiomaatiline süsteem.) Neil juhtudel on tõesuse predikaat defineeritud puhtsüntaktiliselt, mitte osutuse, denotaadi ega rahuldamise ("satisfaction") kaudu. (446)
"Kombinatoorsed" on ka teooriad, mille järgi Peano aksiomaatika on arvu mõiste analüüs. Ka konventsionalistlikud teooriad on "kombinatoorsed". (665)
Teooria ei ole "automaatselt "kombinatoorne", kui ta tõlgendab matemaatika propositsioone kombinatoorsete asjade kohta käivatena, olgu siis endale osutavalt või mitte. Selline teooria võib ju analüüsida matemaatika propositsioone "standardsel" moel, võttes aluseks nimed ja kvantorid, mis neis võivad sisalduda, ja omadused, mis nad omistavad oma universumites olevatele objektidele – mis tähendab, et aluseks olev "tõesuse" mõiste on põhimõtteliselt Tarski oma. Erinevus on selles, et kuigi säärase teooria pooldajad on matemaatika keele analüüsi poolest realistid, mõistavad nad platonistide kombel matemaatilist universumit koosnevana üksnes matemaatiliselt mitteortodokssetest objektidest: matemaatika piirdub nende jaoks metamatemaatikaga, ja see süntaksiga. (665)
Benacerraf tahab siin lihtsalt eristada neid teooriaid, mis omistavad matemaatika väidetele neile esmapilgul omase süntaksi ja semantika, nendest, mis neid ignoreerivad ning püüavad kehtestada tõetingimusi (või tuua välja olemasolev tõeväärtuste jaotus ja seda seletada) ilmselt mittesemantilistel süntaktilistel kaalutlustel. Kumbki neist võtab arvesse tõe ja teadmise ühtse koherentse teooria üht osa. (665–666)
Kaks tingimust.
A. Sellise vaate üks osa on otsesemalt seotud tõesuse mõistega. Nimelt, peab olema üldine tõesuse teooria, mis tagaks, et matemaatilise tõesuse teooria on tõesti matemaatilise "tõesuse" teooria. Matemaatiliste propositsioonide tõetingimuste puhul peab olema ilmne, et nad on just nende tõesuse tingimused (mitte "lihtsalt" näiteks mõnes formaalses süsteemis teoreemiks olemise tingimused). Teoreemiks olemine võib iseenesest küll tõetingimuseks olla, kuid peab olema ka ära seletatud tõesuse ja teoreemiks olemise vaheline seos. (666)
Teiste sõnadega, iga matemaatilise tõesuse teooria peab olema vastavuses mõne üldise tõeteooriaga (või tõeteooriate teooriaga), nii et oleks tagatud, et tõesuseks nimetatav lausete omadus oleks tõepoolest tõesus. Tundub, et selleks on tarvis vähemalt keele kui terviku üldist teooriat. Võib-olla see praegusel juhul tähendab lihtsalt, et matemaatika semantilist aparaati tuleb vaadelda loomuliku keele semantilise aparaadi osana ning "mis tahes "semantiline" seletus, mille me kaldume andma nimedele, või üldisemalt, singulaarterminitele, predikaatidele ja kvantoritele emakeeles, hõlmab neid emakeele osi, mis me liigitame matemaatika keeleks." (666)
Et see nõue oleks täidetud, ei tohiks olla rahul teooriaga, mis ei anna lausetele 1) ja 2) rööpset tõlgendust. Võimalikud erinevused peaksid ilmnema singulaarterminite ja predikaatide osutuste erinevuses. Ainus teooria, mis seda nõuet täidab, on Tarski teooria, mille "oluline omadus on, et ta defineerib tõesust osutuse (või rahuldamise) kaudu teatud liiki süntaktilis-semantilise keeleanalüüsi alusel". Mis tahes väidetav matemaatilise tõe analüüs peab olema mõne sellise tõesusemõiste analüüs, mis on tõesus vähemalt Tarski mõttes." See nõue ei ole kooskõlas "kombinatoorsete" teooriatega. Ülaltoodud tõlgendus, mis sarnastab lause 2) lausetega 1) ja 3), on aga sellega kooskõlas. (666–667)
B. Teine tingimus eeldab, et olemas matemaatiline teadmine ning ta pole sellepärast vähem teadmine, et ta on matemaatiline. "Et meie teadmine käib tõdede kohta või seda võib nii tõlgendada, siis selleks et matemaatilise tõe teooria oleks vastuvõetav, peab ta olema kooskõlas matemaatilise teadmise omamise võimalikkusega: matemaatiliste propositsioonide tõesuse tingimused ei saa teha meile võimatuks teada, et nad on rahuldatud." Mitte et ei võiks olla tõdesid, mida pole võimalik teada; lihtsalt kõik tõed ei saa olla sellised, sest mõnda tõde me teame. Nii et matemaatilise tõe rahuldav teooria peab olema vähemalt kooskõlas sellega, et mõnda matemaatilist teooriat on võimalik teada. Matemaatilise tõe mõiste peab sobima üldisesse teadmise teooriasse nii, et see teeb arusaadavaks, kuidas meil on niisugune matemaatiline teadmine. Vastuvõetav matemaatika semantika peab sobima vastuvõetavasse epistemoloogiasse. Peab olema võimalik siduda "p" tõesustingimused minu uskumusega, et "p". Teine tingimus kipub välistama need teooriad, mis rahuldavad esimest tingimust, ja vastuvõetavaks pidama neid, mis esimest tingimust ei rahulda. Tavaline "standardne" teooria esitab tõetingimused niisuguste objektide kaudu, mis ei ole meeltetajule jms paremini tuntud tunnetusvahenditele kättesaadavad. "Kombinatoorsed" teooriad tekivadki tavaliselt seda arvestades ning on seega peaaegu alati epistemoloogiliselt motiveeritud. Nende eelis on see, et nad seletavad matemaatika propositsioone tõestuste kaudu, millega matemaatika tõesusväiteid tavaliselt õigustataksegi. Nende puhul ei ole eriti saladuslik, kuidas matemaatiline teadmine saadakse: seda saab seletada võimega tõestada ja tõestusest aru saada. Aga mida paremini siduda tõestuse mõiste kombinatoorsete omadustega, seda raskem on seda siduda tõestatava tõesusega. (667–668)
Need kaks tingimust paistavad eraldi võetuna süütud, kuid koos paistavad nad välistavat peaaegu kõik teadaolevad matemaatilise tõe teooriad. (668)
Standardseks vaateks nimetab Benacerraf platonistlikku teooriat, mis ütleb, et lausel 2) on vorm 3). Selle järgi sarnaneb matemaatika propositsioonide loogiline vorm näiliselt sarnaste empiiriliste propositsioonide omaga. Aga kuidas jääb nende lausetega, mis ei koosne nimedest, predikaatidest ja kvantoritest – mis ei ole sellises keeles, mille jaoks Alfred Tarski näitas, kuidas tõesust defineerida? Kui selliseid keeli on, siis nende jaoks on tarvis seda laadi tõesusteooriat, nagu Tarski andis "osutuslike" keelte jaoks.