Kvaternioonid

Kvaternioonid on üks arvuvald, mis laiendab reaalarvude valda ja kompleksarvude valda. Kvaternioonid kuuluvad hüperkompleksarvude hulka. 
Seda kirjeldas ning uuris süstemaatiliselt alates 1843. aastast William Rowan Hamilton; sellepärast nimetatakse neid ka "Hamiltoni kvaternioonideks" või Hamiltoni arvudeks. Hamilton rakendas neid ka mehaanikas. Olinde Rodrigues avastas need 1840 Hamiltonist sõltumatult. Sellegipoolest tähistatakse kvaternioonide hulka Hamiltoni järgi sageli H või formula_1.
Kvaternioonid moodustavad kaldkorpuse, mille puhul korrutamine sõltub tegurite järjekorrast, st ei ole kommutatiivne. See tähendab, on olemas kvaternioonid formula_2 ja formula_3, mille korral
 formula_4.
Mõned reaalarvude puhul kehtivad arvutamisreeglid seetõttu ei kehti, kuid assotsiatiivsus ja distributiivsus kehtivad ning kvaternioonid on pööratavad. Kvaternioonid olid esimene mittekommutatiivse kaldkorpuse näide. 
Kvaternioonid võimaldavad paljudel juhtudel arvutuslikult elegantselt kirjeldada kolmemõõtmelist eukleidilist ruumi ja teisi ruume, eriti pöörete kontekstis. Nad pakuvad huvi ka omaette ja aitavad näiteks tõestada Lagrange'i nelja ruudu teoreemi.
Konstrueerimine.
Kvaternioonid tekivad reaalarvudest sel teel, et lisatakse (adjungeeritakse) kolm uut arvu, mille tähised on kompleksarvude imaginaarühiku eeskujul pannakse formula_5, formula_6 und formula_7. Nii saadakse neljamõõtmeline arvuvald (vektorruum), mille arvudel on reaalosa, mis koosneb ühest komponendist, ja imaginaarosa, mis koosneb kolmest komponendist ja mida nimetatakse ka vektorosaks. 
Iga kvaterniooni saab üheselt esitada kujul
 formula_8,
kus formula_9, formula_10, formula_11, formula_12 on reaalarvud. Nii moodustavad elemendid formula_13 baasi, kvaternioonide standardbaasi üle formula_14. Liitmine käib komponentidekaupa ja pärandub vektorruumist. Uusi arve formula_5, formula_6, formula_7 korrutamine käib Hamiltoni reeglite
 formula_18
järgi. Skalaariga korrutamine formula_19, mis samuti pärandub vektorruumist ja mille puhul skalaari peetakse iga elemendiga vahetatavaks (ei eristata vasak- ja parempoolset korrutamist), koos liitmisega, parempoolse distributiivsusega ja Hamiltoni reeglitega võimaldavad korrutamise laiendada baasilt kõikidele kvaternioonidele. Et nõnda kuulub ka iga skalaar formula_20 kvaternioonide hulka kui formula_21, siis võib reaalarvude ringi formula_14 käsitada kui kvaternioonide ringi formula_1 alamringi.
Nõnda defineeritud korrutamine on assotsiatiivne, on vasakult ja paremalt distributiivne, nii et kvaternioonid moodustavad ringi. See ring ei ole kommutatiivne, st kvaternioonide formula_2 ja formula_3 korrutised formula_26 ja formula_27 on üldjuhul erinevad. Multiplikatiivse rühma formula_28 tsenter, s.o selle rühma niisuguste elementide hulk, mis kommuteeruvad kõikide kvaternioonidega, on reaalarvude multiplikatiivne rühm formula_29.
Kvaternioonid moodustavad kaldkorpuse, sest igal kvaternioonil formula_30 on pöördelement (pöördarv) formula_31, mille korral 
 formula_32 .
Kommutatiivsuse puudumise tõttu välditakse murrujoonega tähistust, nagu näiteks formula_33.
Peale selle moodustavad kvaternioonid neljamõõtmelise jagamisega algebra üle reaalarvude korpuse formula_14 – ja see on isomorfismi täpsusega ainus niisugune.
Tähistus.
Järgnevas tekstis kasutatakse niisuguseid tähiseid: 
Kui formula_2 on kvaternioon, siis selle reaalarvulisi komponente tähistatakse formula_36 bezeichnet, ja need seostatakse baasiga formula_13 järgmiselt:
 formula_38
Mõnikord on tarvis vektortähistusi. Siis võetakse komponendid formula_39 kokku kolmemõõtmeliseks vektoriks formula_40, nii et kvaterniooni formula_2 saab samastada neljamõõtmelise vektoriga formula_42.
Analoogsed kokkulepped kehtivad teiste tähtede, nagu formula_3 jne kohta.
Vanemas kirjanduses tähistatakse kvaternioone mõnikord fraktuurkirja suurtähtedega ning imaginaarühikuid kui ühikvektoreid fraktuurkirja väiketähtedega, näiteks nii: 
 formula_44,
kus formula_45.
Kompleksarve tähistatakse tavaliselt tähega formula_46 ja nende reaalarvulisi komponente tähtedega formula_47, formula_48.
Põhitehted.
Kvaternioonide konstrueerimine on analoogne kompleksarvude konstrueerimisele, ainult et adjungeeritakse ühe arvu asemel kolm arvu, mida tähistatakse formula_5, formula_6 ja formula_7.
Lineaarkombinatsioonid
 formula_52
üle baasi formula_53 moodustavad reaalarvuliste komponentidega formula_54 4-mõõtmelise kvaternioonide vektorruumi formula_1. Vektorruumina on formula_1 isomorfne vektorruumiga formula_57. Baaselement formula_58, mille abil saadakse reaalarvude hulga injektsioon kvaternioonide hulka (ja mis ühtlasi on ühikelement (neutraalne element korrutamise suhtes), jäetakse lineaarkombinatsioonis enamasti märkimata. Liitmine ja lahutamine toimuvad komponentide kaupa. 
Vektorruumist võetakse üle skalaariga korrutamine, s.o vasak- ja parempoolne reaalarvuga korrutamine, mis on komponentide suhtes distributiivne. See skalaariga korrutamine on kogu hulgal formula_1 defineeritud Hamiltoni korrutamise ahend. Baaselementide omavaheline Hamiltoni korrutamine või pisut laiemalt Hamiltoni korrutamine hulgas
 formula_60
toimub Hamiltoni reeglite järgi:
Need reeglid koos formula_61 vahetatavusega iga elemendiga annavad täieliku tabeli tehte jaoks, mis osutub assotsiatiivseks ja teeb hulgast formula_62 rühma – kvaternioonide rühma.
Kui eeldada reeglit formula_63 (ja rühma aksioome), siis on reeglite formula_64 ja formula_65 kombinatsioon, milles väljendub kolme mittereaalarvulise kvaterniooniühiku tsüklilisus ja antitsüklilisus, asendatav üksikreegliga
Selle üksikreegli formula_66 saaks asendada ka ükskõik millisega viiest alternatiivsest üksikreeglist formula_67, formula_68,
formula_69, formula_70 ja formula_71.
Nende asendusreeglite, assotsiatiivsuse ning (vasak- ja parempoolse) distributiivsuse abil saab korrutamist jätkata kogu kvaternioonide vallale formula_1. Arve formula_73 võib käsitleda antikommuteerivate muutujatena. Kahe niisuguse arvu korrutamisel saab kasutada Hamiltoni reegleid.
Kahe kvaterniooni
 formula_74   und   formula_75
kahe tehte valemid on 
formula_76
ja
formula_77
Tuletus:
formula_78
Sellega on ringile vajalikud kaks tehet defineeritud. Kerge on veenduda, et kõik ringi aksioomid on rahuldatud.
Vastandelement on (nagu igas vektorruumis) korrutis skalaariga −1. Lahutamine on selle vastandelemendi liitmine.
Kaldkorpusele vajalik jagamine tuleb kommutatiivsuse puudumise tõttu asendada pöördelemendiga korrutamisega. 
Vasturing.
Kui formula_1 on mittekommutatiivne ring, siis saab korrutamise
formula_80
abil moodustada teise, vasturingiks nimetatava ringi formula_81. Siin järelduvad kõik ringi seadused, st assotsiatiivsus ja mõlemad distributiivsused, algsetest seadustest. Selles ringis kehtivad kõik põhitehete all toodud arvutusreeglid selle erandiga, et ainult avaldiste puhul, milles kordajad on ainult kujul formula_82, kus formula_83 ja formula_84, on märk vastupidine. Peale selle kehtib lühivorm
 formula_85.
Carl Friedrich Gauß defineeriski kvaternioonide korrutamise aastal 1819 nii.
Peale selle on kruvireegli formula_86 orientatsioon ringis formula_87 peegelpildis. Samasusteisendus hulgal formula_57 on antiisomorfism ja konjugatsioon on isomorfism
 formula_89.
Mittekommutatiivsus on ekvivalentne ringide formula_1 ja formula_87 erinevusega. Et mõlemad ringid rahuldavad ringi aksioome, peavad need olema Otto Hölderi mõttes ebatäielikud. Ratsionaalarvude, reaalarvude ja kompleksarvude aksiomaatika on selles mõttes täielikud. 
Põhimõisted.
Skalaarosa ja vektorosa.
Kvaterniooni
 formula_74
komponendi formula_9 erilise staatuse tõttu nimetatakse seda – nagu kompleksarvude puhulgi – reaalosaks või skalaarosaks
 formula_94 ,
komponente formula_95 koos aga moodustavad imaginaarosaks ehk vektorosa 
 formula_96.
Sageli samastatakse vektorosa ka vektoriga formula_97.
Konjugeerimine.
Kvaterniooni 
 formula_74
kaaskvaternioon ehk konjugeeritud kvaternioon on defineeritud kui 
 formula_99.
Saame seosed
 formula_100
ja
 formula_101 ,
millest tuleneb, et 
 formula_102
ja
 formula_103
Kui kvaternioon on oma kaaskvaterniooniga võrdne, siis ta on reaalarv, st tema vektorosa on nill. Kui kvaternioon on oma kaaskvaterniooni vastandarv, siis ta on puhas kvaternioon, st tema skalaarosa on null. 
Konjugeerimise tähtsad omadused on veel:
Skalaarkorrutis.
Kahe (ruumi formula_57 vektoritena käsitatava) kvaterniooni skalaarkorrutis formula_105 on defineeritud kui
 formula_106 .
Kehtib
 formula_107 .
Skalaarkorrutis on positiivselt määratud sümmeetriline bilineaarvorm, mille kaudu saab defineerida normi ja pikkuse ning määrata nurgad ja ortogonaalsuse. 
Skalaarkorrutise abil saab ka välja tuua kvaterniooni komponendid:
 formula_108 .
Vektorkorrutis.
Kahe kvaterniooni formula_109 vektorkorrutis on nende vektorosade vektorkorrutis. See osutub pooleks nende kommutaatorist. Kui formula_110 ja formula_111, siis
 formula_112
Kaks kvaterniooni on sellepärast parajasti siis omavahel vahetatavad ehk kommuteeruvad, kui nende vektorosad kui reaalarvulised vektorid on lineaarselt sõltuvad. 
Kvaternioonide korrutis kui skalaar- ja vektorkorrutis.
Kui samastada kvaternioonid
skalaari formula_113 ja vektori formula_114 paaridega
siis saab korrutise esitada (kolmemõõtmelise) (punktiga tähistatud) skalaarkorrutise ja vektorkorrutise abil:
 formula_115 .