Monoid

Monoidiks nimetatakse matemaatikas tavaliselt ühe assotsiatiivse binaarse tehtega universaalalgebrat, milles leidub ühikelement. 
Monoidi võib veel iseloomustada 
Monoid rahuldab kõiki rühma aksioome peale pöördelementide olemasolu. Seetõttu võib öelda, et rühm on pöördelementidega monoid. 
Kui monoidi tehe on kommutatiivne, siis on tegu kommutatiivse monoidi ehk Abeli monoidiga. 
Formaalne definitsioon.
Monoid on hulk "M", millel on defineeritud binaarne algebraline tehe * 
"M" × "M" → "M", mille puhul on täidetud järgmised tingimused: 
Kui definitsioonis on binaarse algebralise tehte asemel mainitud lihtsalt binaarset tehet, siis tuleb lisada veel üks tingimus: 
Omadused.
Ühikelemendi ainsus.
Monoidi definitsioonist järeldub, et tal on üksainus ühikelement. Tõepoolest, oletame, et monoidil "M" on ühikelemendid "e" ja "i". Siis "e"*"i"="e", sest "i" on ühikelement, ja "e"*"i"="i", sest "e" on ühikelement. Järelikult "e"="i", seega ühikelemendid langevad kokku. 
Pööratavad elemendid.
Monoidi elementi "x" nimetatakse pööratavaks, kui on olemas niisugune element "y", et "x"*"y"="e" ja "y"*"x" = "e". Sel juhul nimetatakse elementi "y" elemendi "x" pöördelemendiks. 
Elemendil "x" saab olla ainult üks pöördelement. Tõepoolest, oletame, et "x" ja "z" on elemendi "x" pöördelemendid. Sel juhul tehte assotsiatiivsuse tõttu
"z"="z"*"e"="z"*("x"*"y")=
=("z"*"x")*"y"="e"*"y", 
seega "z"="y", nii et elemendi "x" pöördelemendid langevad kokku. Seetõttu tähistatakse pööratava elemendi "x" (ainsat) pöördelementi ka "x"−1. 
Monoidi "M" kõikide pööratavate elementide hulk tehtega * moodustab rühma. Selles mõttes sisaldub igas monoidis rühm. 
Taandatavusomadusega monoidid.
Iga monoid ei ole isomorfne mingi rühma alammonoidiga. Monoidis võivad leiduda kaks elementi "a" ja "b" nii, et 
"a"*"b"="a", kuigi "b" ei ole ühikelement. Selline monoid ei ole isomorfne mõne rühma alammonoidiga, sest rühmas saaks korrutada ülaltoodud võrduse mõlemad pooled vasakult elemendi "a" pöördelemendiga ning tuleks välja, et "b"="e", mis aga kõnealusel juhul pole tõsi. 
Monoidil (M,*) on taandatavusomadus, kui mis tahes "a", "b" ja "c" puhul hulgast "M" järeldub sellest, et "a"*"b"="a"*"c", et "b"="c" ning sellest, et "b"*"a"="c"*"a", järeldub, et "b"="c".
Taandatavusomadusega kommutatiivne monoid on isomorfne mõne rühma alammonoidiga. Nii näiteks on naturaalarvude monoid liitmise suhtes alammonoid täisarvude rühmas liitmise suhtes. Kui taandatavusomadusega monoid ei ole kommutatiivne, siis ta ei pruugi olla isomorfne mõne rühma alammonoidiga. 
Taandatavusomadusega lõplik monoid on isomorfne mõne rühmaga. 
Pöördmonoid.
Pöördmonoid on monoid "M", milles mis tahes elemendi "a" jaoks leidub üks ja ainult üks "a"−1∈"M" nii, et "a"="a"*"a"−1*"a" ja "a"−1="a"−1*"a"*"a"−1.
Alammonoidid.
Monoidi "M" alammonoid "N" on hulga "M" alamhulk "N", mis sisaldab ühikelementi ning mille mis tahes elementide korrutis on hulga "N" element. Hulk "N" moodustab siis ise monoidi, mille tehe on saadud monoidi "M" tehte kitsendamisel hulgale "N". 
Monoidide homomorfismid.
Homomorfism monoidide ("M", *) ja ("M"′, @) vahel on funktsioon "f": "M"→"M"′, mille korral 
kus "e" ja "e"′ on vastavalt monoidi "M" ja monoidi "M"′ ühikelement.
Monoidide kui rühmoidide homomorfism ei puugi olla monoidide homomorfism, sest ta ei pruugi säilitada ühikelementi. Olukord on seega teistsugune kui rühmade puhul: rühmade kui rühmoidide homomorfism on alati rühmade homomorfism. 
Kui monoidide homomorfism on bijektiivne, siis teda nimetatakse monoidide isomorfismiks. Kui kahe monoidi vahel on olemas isomorfism, siis neid monoide nimetatakse isomorfseteks. 
Seos kategooriateooriaga.
Monoide võib vaadelda kategooriate erijuhuna. Tõepoolest, monoidi tehte aksioomid on täpselt samad mis morfismide korrutamisel, kui tegemist on objekti morfismidega iseendale. 
Monoidi võib seega vaadelda üheainsa objektiga kategooriana: kui on antud 
monoid ("M",*), siis saab konstrueerida üheainsa objektiga väikese kategooria, mille morfismid on monoidi "M" elemendid. Morfismide korrutamine on antud monoidi tehtega *.
Monoidide homomorfisme võib selles konstruktsioonis vaadelda funktoritena üheelemendiliste kategooriate vahel. 
Nõnda võib kategooriaid vaadelda monoidide üldistusena. Paljusid monoidide teooria derfinitsioone ja teoreeme saab üldistada mitme objektiga väikestele kategooriatele.
Monoidide kategooria.
Monoidid moodustavad monoidide kategooria Mon, mille objektid on monoidid ja mille morfismid on monoidide homomorfismid. 
Monoidobjekt kategooriateoorias.
Monoide saab kategooriateoorias abstraktselt defineerida monoidobjektidena.