Ülekandefunktsioon

Ülekandefunktsioon (inglise keeles "transfer function") on avaldis, mis seob lineaarse süsteemi (nt signaalitöötlusseadme) väljundsuuruse tema sisendsuurusega. Ülekandefunktsiooni võib esitada sõltuvalt ajast või sagedusest.
Autuomaatjuhtimissüsteemide ja nende lülide matemaatilisel kirjeldamisel esitatakse ülekandefunktsioon harilikult väljundsignaali Laplace'i teisenduse ja sisendsignaali Laplace'i teisenduse suhtena (nullilistel algtingimustel). 
Kui on teada süsteemi sisendsignaal ja ülekandefunktsioon, siis on määratav ka väljundsignaal.
Lineaarsed ajas muutumatud süsteemid.
Ülekandefunktsioone kasutatakse signaalitöötluses, automaatjuhtimissüsteemides ja kommunikatsiooniteoorias. Ülekandefunktsiooni all mõeldakse tavaliselt lineaarseid ajas muutumatuid süsteeme. Praktikas pole enamus süsteeme lineaarsete sisend- ja väljundkarakteristikuga, kuid nominaalsete tööparameetrite puhul saab neid lihtsustada lineaarseteks ajas muutumatuteks süsteemideks.
Allpool olevad kirjeldused on antud komplekskujul muutujaga formula_1. Üldjuhul on piisav defineerida muutuja formula_2 (seega formula_3), mis lihtsustab kompleksarvuliste muutujatega Laplace'i teisenduse reaalarvuliste muutujatega formula_4 Fourier' teisenduseks. Rakendustes, kus sellist lihtsustamist kasutatakse, uuritakse ainult püsiseisundit, mitte põgusaid sisse- ja väljalülitamise käitumist ning stabiilsus probleeme. Selliseid rakendusi esineb signaalitöötluses ja kommunikatsiooniteoorias.
Seega pideva sisendsignaali formula_5 ja väljundi formula_6 ülekandefunktsioon formula_7 on sisendi Laplace'i teisenduse formula_8 lineaarne kujutamine väljundi Laplace'i teisenduseks formula_9:
formula_10
või
formula_11.
Diskreetsete süsteemide korral kasutatakse Z-teisendust sisendsignaaali formula_5 ja väljundsignaali formula_6 suhtel ning siis on ülekandefunktsioon tuttaval kujul formula_14.
Diferentsiaalvõrrandite otsene tuletis.
Vaatleme konstantsete koefitsientidega lineaarset diferentsiaalvõrrandit 
formula_15
kus "formula_16" ja "formula_17" on sobivalt sujuvad funktsioonid ajas "formula_18" ja "formula_19" on vastavas funktsiooniruumis määratletud operaator, mis on kujutus funktsiooni "formula_16" ja funktsiooni "formula_17" vahel. Sellist võrrandit saab kasutada, et väljundfunktsiooni "formula_16" "jõuga" piirata funktsiooni "formula_17". Ülekandefunktsiooni saab kasutada operaatori formula_24 määratlemiseks, mis toimib "formula_19"-i parempöördena, ehk formula_26
Homogeense konstantse koefitsiendiga diferentsiaalvõrrandi formula_27 lahendused leiab asendusega formula_28. See asendus annab karakteristliku võrrandi
formula_29
Mittehomogeense juhu saab hõlpsasti lahendada, kui sisendfunktsioon "formula_17" on kujul formula_31. Sel juhul asendades formula_32 saame formula_33, kui defineerida
formula_34
Ülekandefunktsiooni selline definitsioon nõuab kompleks- ja reaalarvuliste väärtuste vahel hoolikat eristamist, kus traditsiooniliselt koheldakse "formula_35" kui võimendusena ja "formula_36" kui faasinihkena. Kasutatakse ka teisi ülekandefunktsiooni määratlusi, nagu näiteks formula_37
Võimendus, siirdeprotsessid ja stabiilsus.
Üldist sinusoidaalset sisendit formula_38 sagedussüsteemi saab esitada kujul formula_39. Süsteemi impulsskoste sinusoidaalne sisend, mis algab ajahetkest formula_40, koosneb püsiseisundi ja siirdeprotsessi impulsskostete summast. Püsiseisundi impulsskoste on süsteemi väljund lõpmatu ajahulga jooksul ja siirdeprotsessi impulsskoste on vahe süsteemi impulsskoste ja püsiseisundi impulsskoste vahel (see vastab ülaltoodud diferentsiaalvõrrandi homogeensele lahendile.) Lineaarse ajas muutumatu süsteemi puhul saab seda esitada korrutisena 
formula_41
kus "sPi" on karakteristliku võrrandi "N" juured ja on seega ülekandefunktsiooni poolused. Vaatleme ühe poolusega ülekandefunktsiooni näidet formula_42 kus formula_43. Ühikulise amplituudiga sinusoidi Laplace'i teisendus on formula_44. Laplace'i teisenduse väljund on formula_45 ja ajaline väljund on pöördvõrdeline selle funktsiooni Laplace'i teisendusega: 
formula_46
Lugejas olev teine muutuja on siirdeprotsessi impulsskoste ja lõpmatu ajahulga jooksul hajub see lõpmatult, kui formula_47 on positiivne. Selleks, et süsteem oleks stabiilne, ei tohi sellel ülekandefunktsioonil olla ühtegi poolust, mille reaalosad oleksid positiivsed. Kui ülekandefunktsioon on rangelt stabiilne, on kõigi pooluste reaalosad negatiivsed ja siirdeprotsess läheneb lõpmatult nullile. Püsiseisundi väljund on 
formula_48
Sageduskoste (ka "võimendus") "formula_49" on määratletud kui väljundamplituudi ja püsiseisundi sisendi amplituudi suhte absoluutväärtus 
formula_50
mis on lihtsalt ülekandefunktsiooni formula_51 absoluutväärtus, mida hinnatakse väärtusel formula_52. Selle tulemuse kehtivust saab näidata suvalise ülekandefunktsiooni pooluste arvuga. 
Signaalitöötlus.
Olgu formula_53 sisend üldisesse lineaarse ajas muutumatusse süsteemi ja väljundiks formula_54 ning kahepoolne Laplace'i teisendus väärtustest formula_53 ja formula_54. Siis saame defineerida
 formula_57
Siis on väljund sisendiga seotud ülekandefunktsiooniga formula_51 järgnevalt
 formula_59
ja ülekandefunktsioon ise on seega
 formula_60
Harmoonilise Kompleksarvulise signaali, millel on sinusoidaalne komponent, mille amplituud formula_61, nurksagedus formula_4 ja faas on formula_63, kus arg on argument, saab esitada kujul
formula_64
kus formula_65 sisestamisel lineaarsesse ajas muutumatusse süsteemi, saame väljundil vastava komponendi
formula_66
Pange tähele, et lineaarses ajas muutumatus süsteemis pole sisendsagedus formula_67 muutunud, süsteemis on muutnud ainult sinusoidi amplituud ja faasinurk. Sageduskarakteristik formula_68 kirjeldab seda muutust iga sageduse formula_67 puhul "võimenduse"
formula_70
ja "faasinihe"
 formula_71
abil.
Grupihilistus (st ülekandefunktsiooniga sinusoidi ümbrisesse viidud sagedustest sõltuv viivituste summa) leitakse faasinihke tuletise arvutamisel nurksagedusest formula_67:
formula_73
Ülekandefunktsiooni saab näidata ka Fourier' teisenduse abil, mis on ainuke Kahepoolne Laplace'i teisenduse erijuht, kui formula_74.
Levinud ülekandefunktsioonid.
Mõned levinumad ülekandefunktsioonid ja nende eripärad on: