Ühisteguriteta arvud

Ühisteguriteta arvud on täisarvud formula_1 ja formula_2, mille ainus ühistegur on arv 1. Sellest järeldub, et ükskõik milline algarv, mis jagub esimene täisarvu, ei jaga teise täisarvu.
Täisarvud formula_3 ja formula_4 on ühisteguriteta arvud kui nende suurim ühistegur (GCD) on formula_5.
Lugeja ja nimetaja taandatud murruosas on ühisteguriteta arvud. Näiteks formula_6 on ühisteguriteta arvud, sest mõlemad arvud jaguvad formula_5-ga. formula_8 ei ole ühisteguriteta arvud, sest neid saab jagada formula_9-ga. formula_10 on ühisteguriteta arvud, sest ei leidu ühistegurit, mis ei ole 1 ja mis jagab kõik kolm numbrit.
Ühisteguriteta arvude formula_3 ja formula_4 standardne esitus on formula_13 ja formula_14 . GCD leidmiseks saab kasutada Eukleidese algoritmi.
Kui formula_3 ja formula_4 on ühisteguriteta arvud ja formula_13, siis nende notatisoon on formula_18.
Ühisteguriteta arvud hulkadel.
Hulk formula_19, kus formula_20on täisarvud, saab olla ühisteguriteta hulk või kindlalt ühisteguriteta, kui hulga elementide suurim ühistegur on 1. Näiteks hulk, mille elemendid on formula_21 on ühisteguriteta arvud, sest ei leidu ühistegurit, mis ei ole formula_5 ja mis jagab kõik numbrid ja sellest järeldub, et hulk on kindlalt ühisteguriteta.
Kui täisarvude hulgas on kaks suvalist täisarvu ühisteguriteta arvud, siis need arvud on paarikaupa ühisteguriteta arvud ja hulk on paarikaupa ühisteguriteta hulk. Hulgas formula_23 leidub kaks arvu, kus iga arv on ühisteguriteta arv formula_24, aga kõik hulga elemendid pole paarikaupa ühisteguriteta arvud, sest formula_25 ei ole ühisteguriteta arv. Iga paarikaupa ühisteguriteta hulk, mis on lõplik, on kindlalt ühisteguriteta hulk, aga kindlalt ühisteguriteta hulk ei ole paarikaupa ühisteguriteta hulk.
Lõpmatu hulga elemendid on ühisteguriteta arvud, kui kõik hulga elemendid on formula_26.
Paarikaupa ühisteguriteta arvud saavad olla lõpmatu hulgas. Märkimisväärsed näited on hulk Sylvester'i jadas, kus kõik elemendid on Fermat' arvud ja hulk, kus kõik elemendid on Mersenne'i arvud.
Omadused.
Kui formula_3 ja formula_4 on ühisteguriteta arvud, siis järgmised tingimused on samaväärsed:
Esimesest punktist järeldub, et formula_43ja formula_44 on ühisteguriteta arvud.
Täisarvud formula_3 ja formula_4 on ühisteguriteta arvud siis ja ainult siis, kui diagonaal punktist formula_47 punkti formula_48 Descarter’i koordinaatsüsteemis ei sisalda tippe täisarvu koordinaatidega (vt Pilt 1).
Kaks naturaalarvu formula_3 ja formula_4 on ühisteguriteta arvud siis ja ainult siis, kui numbrid formula_51 ja formula_52 on ühisteguriteta arvud.
Ühisteguriteta arvu tõenäosus.
Oletame, et on täisarvud formula_3 ja formula_4, ja tahame leida tõenäosus, et mõlemad arvud on ühistegurite arvud.
Oletame, et formula_55 on tõenäosus sellest, et kaks juhuslikult valitud täisarvud on ühisteguriteta arvud. Oletame, et oli võetud juhuslikult valitud täisarv formula_56. Tõenäosus sellest, et formula_56 jagub formula_3 on formula_59 . Tõenäosus sellest, et formula_56 jagub formula_4 on sama. Sellest järeldub, et tõenäosus sellest, et formula_56 jagub formula_3 ja formula_4 on formula_65. Tõenäosus sellest, et formula_66 on formula_55, aga formula_68 ja formula_69 on samaväärsed. Kui oletada, et on sündmuste sõltumatus, siis tõenäosus, et formula_69 on formula_71. Sest sündmused formula_72 on üksteist välistavad ja tõenäosus sellest, et on formula_73 on formula_5 järeldub järgmisele:
formula_75, mis tähendab, et formula_76.
Vastastikuste algarvude paaride genereerimine.
Kõik positiivsete vastastikuste algarvude paarid formula_77, kus formula_78, saab organiseerida kahe tähelised puudega, kus puul iga tipu lehtede arv on väiksem kui formula_79. Üks puu algus on punktis formula_80 (kõik paaris-paaritu ja paaritu-paaris paarid) ja teise puu alguspunkt on formula_81(kõik paaritu-paaritu paarid). Iga veeru formula_77 lehed genereeritakse nii: