Kardinaalarv

Kardinaalarv on matemaatiline objekt, mis võib olla hulga võimsus. Kardinaalarvudega iseloomustatakse nii lõplike hulkade kui ka lõpmatute hulkade suurust. 
Kardinaalarvu võib defineerida kõikide mingi hulgaga võrdvõimsate hulkade klassina. Selle definitsiooni puudus on, et see klass ei pruugi olla hulk. Sellepärast defineeritakse kardinaalarvu tavaliselt vähima ordinaalarvuna, mis on etteantud hulgaga võrdvõimas. 
Kardinaalarvu, mis on lõpliku hulga võimsus, samastatakse tavaliselt naturaalarvuga, mis on elementide arv selles hulgas. Georg Cantor võttiski kardinaalarvud kasutusele naturaalarvude üldistusena. 
Lõpmatute hulkade võimsused võivad olla erinevad. Neid märgitakse sümboliga ℵ (alef), heebrea tähestiku esimese tähega, ning allindeksiga, mis on alguses naturaalarvuline. Naturaalarvude hulga formula_1 võimsust (alef-null) ("vähimat" võimsust) märgitakse selles kirjaviisis ℵ0. 
Naturaalarvu saab kasutada kahel otstarbel: esiteks (lõpliku) hulga elementide arvu kirjeldamiseks, teiseks elemendi positsiooni kirjeldamiseks järjestatud hulgas. Lõplike hulkade puhul on need kaks kontseptsiooni omavahel jäigas vastavuses, lõpmatute hulkade puhul aga läheb tarvis kaht eri mõistet. Positsiooni kirjeldamine järjestatud hulgas viib ordinaalarvu mõisteni, elementide arvu kirjeldus aga siin jutuks oleva kardinaalarvu mõisteni.
Formaalne definitsioon.
Ordinaalarvu formula_2 nimetatakse kardinaalarvuks, kui igal väiksemal ordinaalarvul formula_3 on ka väiksem võimsus (st ordinaalarvu formula_2 ei saa üksüheselt kujutada ühelegi oma alamhulgale formula_5). Selle definitsiooni võib esitada kujul
formula_6, kus formula_7 on kõigi kardinaalarvude klass.
Kardinaalarvude tähistamine.
Kardinaalarve tähistatakse tavaliselt kreeka tähestiku keskmiste tähtedega formula_8, et eristada neid ordinaalarvudest, mida tähistatakse tähtedega kreeka tähestiku algusest: formula_9.
Selgitus.
Kaht hulka "X" ja "Y" nimetatakse võrdvõimsateks, kui on olemas bijektsioon hulgast "X" hulka "Y"; siis kirjutatakse |"X"| = |"Y"|. Hulkade võrdvõimsus on ekvivalentsusseos kõigi hulkade klassil.
"1. definitsioon. Kardinaalarvud pärisklassidena."
Hulga "X" ekvivalentsusklassi võrdvõimsuse seose suhtes nimetatakse kardinaalarvuks |"X"|.
Selle definitsiooniga on see raskus, et kardinaalarvud ei ole defineeritud hulkadena, vaid pärisklassidena (välja arvatud formula_10).
Sellest raskusest saab mööda minna, kui panna |"X"| tähistama mitte kogu ekvivalentsusklassi, vaid valitakse sellest üks element välja, valitakse välja nii-öelda esindajate süsteem. Et seda formaalselt korrektselt teha, kasutatakse ordinaalarvude teooriat (selle lähenemise korral peab ordinaalarv olema juba defineeritud): 
"2. definitsioon: kardinaalarvud eriliste ordinaalarvudena"
Iga hulk "A" on võrdvõimas mõne täielikult järjestatud hulgaga "B" (eeldatakse valiku aksioomiga ekvivalentset Zermelo teoreemi). Hulga "B" juurde kuulub mingi ordinaalarv. Hulga "B" saab valida nii, et see ordinaalarv ("algusarv") oleks vähim võimalik, sest ordinaalarvud ise on täielikult järjestatud. Kardinaalarvu |"A"| saab samastada selle vähima ordinaalarvuga. 
See hulgateoreetiline võte võimaldab hulga võimsust (ja kardinaalarvu) defineerida nii, et see oleks hulk. Siit järeldub kohe võrreldavuslause: kardinaalarvud on täielikult järjestatud (sest ordinaalarvude klassi alamklassina on nad ise täielikult järjestatud). Seda ei saa tõestada ilma valiku aksioomita.
Ajalugu.
Kardinaalarve kirjeldas Georg Cantor, kes 1874–1884 püüdis luua hulgateooriat, mida praegu nimetatakse naiivseks hulgateooriaks. 
Kõigepealt võttis ta kasutusele võimsuse mõiste kui lõplike hulkade võrdsustamise vahendi. Näiteks hulgad {1,2,3} ja {2,3,4} ei ole küll võrdsed, kuid nad on võrdvõimsad.
Edasi võttis Cantor kasutusele üksühese vastavuse, mille abil on lihtne näidata, kas kaks lõplikku hulka on võrdvõimsad. Üksühese vastavuse mõiste abil rakendas ta oma ideed ka lõpmatutele hulkadele, näiteks naturaalarvude hulgale. Ta võttis kasutusele ka loenduva hulga mõiste iga hulga kohta, mis on võrdvõimas naturaalarvude hulgaga. Loenduva hulga võimsusele andis ta nimeks formula_11 (alef-null).
Cantorit huvitas, kas iga lõpmatu hulk on loenduv. Diagonaalmeetodi abil tõestas ta, et nii see ei ole, ning kirjeldas uut võimsust (kardinaalarvu), kontiinumi võimsust, mida tänapäeval tavaliselt tähistatakse tähega "c". Ta näitas, et eksisteerib vähim lõpmatu kardinaalarv (formula_11) ning et iga kardinaalarvu korral eksisteerib temast suurem kardinaalarv (formula_13).
Hiljem sõnastas ta väite, mis on tuntud kontiinumi hüpoteesi nime all, nimelt, et "c" = formula_14. Osutus, et selle kehtivus ei sõltu hulgateooria standardsetest aksioomidest ning seetõttu ei saa seda nende põhjal tõestada ega ümber lükata.