Abeli rühm

Abeli rühmaks (Niels Henrik Abeli järgi) ehk kommutatiivseks rühmaks nimetatakse matemaatikas rühma formula_1, mille korrutamistehe (tähis formula_2) on kommutatiivne, st
formula_3 iga formula_4 korral.
Näiteks positiivsed reaalarvud moodustavad arvude korrutamise suhtes Abeli rühma (positiivsete reaalarvude rühm). See rühm on isomorfne kõikide reaalarvude rühmaga, milles rühma korrutamistehteks on arvude liitmine. 
Kommutatiivse rühma vastandmõiste on mittekommutatiivne rühm.
Aditiivne ja multiplikatiivne tähistus.
Tavaliselt kasutatakse Abeli rühmade puhul aditiivset tähistust: rühma korrutamistehe on + (ja seda nimetatakse liitmiseks), ühikelement on 0 ja elemendi "a" pöördelement on –"a". 
Näiteid.
Mis tahes tsükliline rühm "G" on Abeli rühm, sest kui "x" ja "y" on rühma "G" elemendid, siis "xy" = "a""m""a""n" = "a""m" + "n" = "a""n" + "m" = "a""n""a""m" = "yx". Seetõttu on ka rühm Z (täisarvude rühm liitmise suhtes) ja Z/"n"Z (jäägiklasside rühm " modulo" "n" liitmise suhtes) Abeli rühmad.
Reaalarvud moodustavad liitmise suhtes Abeli rühma (reaalarvude rühm); nullist erinevad reaalarvud moodustavad korrutamise suhtes Abeli rühma (nullist erinevate reaalarvude rühm). Ühikelemendiga kommutatiivses assotsiatiivses ringis võib ka üldjuhul välja tuua kaks Abeli rühma: kõikide elementide aditiivne rühm ja pööratavate elementide multiplikatiivne rühm.
Konstruktsioonid.
Kommutatiivsuse pärandumine.
Abeli rühmade alamrühmad, faktorrühmad, korrutised ja otsesummad on Abeli rühmad.
Perioodiline osa.
Abeli rühma kõik lõplikku järku elemendid moodustavad alamrühma, mida nimetatakse selle Abeli rühma perioodiliseks osaks ehk väändeks ehk väändealamrühmaks ehk maksimaalseks väändealamrühmaks ehk maksimaalseks perioodiliseks alamrühmaks. 
Faktorrühmas perioodilise osa järgi ei ole lõplikku järku elemente peale 0.
Abeli rühmade liike.
Perioodiline Abeli rühm.
Perioodiline Abeli rühm on Abeli rühm, mis koosneb ainult lõplikku järku elementidest. 
Abeli rühma perioodiline osa on tema maksimaalne alamrühm, mis on perioodiline Abeli rühm.
Väändeta Abeli rühm.
Väändeta Abeli rühm on Abeli rühm, mille perioodiline osa on {0}; teiste sõnadega, Abeli rühm, mille ainuke lõplikku järku element on 0.
Segatud Abeli rühm.
Segatud Abeli rühm on Abeli rühm, mille perioodiline osa ei lange kokku ei selle rühma endaga ega nullalamrühmaga {0}; teiste sõnadega, Abeli rühm, millel on nii lõplikku järku elemente kui ka lõpmatut järku elemente.
Omadused.
Alamrühmad on normaalsed.
Abeli rühmal on kõik alamrühmad normaalsed (normaaljagajad), nii et nende järgi saab moodustada faktorrühmi. 
Perioodilise rühma laiend väändeta rühma kaudu.
Igal segatud Abeli rühmal on alamrühm, mis on perioodiline Abeli rühm ja mille järgi võetud faktorrühm on väändeta rühm. Teiste sõnadega, iga segatud Abeli rühm on perioodilise Abeli rühma laiend väändeta rühma abil. Selliseks perioodiliseks alamrühmaks on selle Abeli rühma perioodiline osa.
Üldjuhul ei eraldu Abeli rühma perioodiline osa otsesumma komponendina.
Topoloogia.
Paljudel suurtel Abeli rühmadel on loomulik topoloogia, mis teeb nad topoloogilisteks rühmadeks.
Kategooria.
Kõigi Abeli rühmade kogum koos nendevaheliste homomorfismidega moodustab Abeli rühmade kategooria Ab, mis on Abeli kategooria prototüüp.
Lahenduvus.
Peaaegu kõikide tuntud algebraliste struktuuride teooriad on mittelahenduvad. Sellepärast on üllatav, et Alfred Tarski õpilane Wanda Szmielew (1955) tõestas, et Abeli rühmade esimest järku teooria on (erinevalt rühmade esimest järku teooriast) lahenduv.
Lahendamata küsimusi.
Abeli rühmade esimest järku teooria lahenduvuse kindlakstegemine ning lõplike Abeli rühmade fundamentaalteoreem on Abeli rühmade teooria õnnestumised, kuid lahendamata küsimusi on veel palju: