Afiinne ruum

Afiinne ruum ehk lineaarne muutkond on ruum on matemaatiline ruum, mille punktide vahelised seosed on määratud igale punktide järjestatud paarile vastavusse seotud vektoriga (mingi vektorruumi elemendiga) nii, et tekivad samalaadsed seosed vektorite ja punktide vahel nagu tavalises geomeetrias. 
Tavaline ruum on vaadeldav afiinse ruumina, punktide järjestatud paarile seatakse vastavusse vektor (eukleidilise ruumi kui vektorruumi element), mis "viib" esimesest punktist teise.
Afiinses ruumis saab vektoreid liita ja lahutada, kuid ei saa liita ja lahutada punkte, sest ruumis ei ole ühtset koordinaatteljestikku ehk reeperit. 
Afiinsel ruumil on geomeetria süstemaatilises ülesehituses vahepealne seisund eukleidilise ruumi ja projektiivse ruumi vahel.
Kolmemõõtmeline afiinne ruum on, nagu eukleidiline ruumgi, meile tuttava kolmemõõtmelise ruumi matemaatiline mudel, kuid pikkuse, kauguse ja nurga mõiste jäetakse kõrvale.
Laiemas mõttes võib afiinsel ruumil olla mis tahes lõplik mõõde. Afiinne ruum võib olla ka punkt, afiinne sirge, afiinne tasand või siis nelja- või enamamõõtmeline ruum. 
Afiinne ruum lineaaralgebras.
Definitsioon.
Afiinne ruum üle korpuse formula_1 on hulk formula_2 (mille elemente nimetatakse punktideks ja käsitatakse geomeetriliselt punktidena) koos kujutusega hulgast formula_3 teatud kindlasse vektorruumi formula_4 üle korpuse formula_1 (see kujutus seab igale punktide järjestatud paarile (formula_6; formula_7) vastavusse vektori (vektorruumi formula_4 elemendi) formula_9 ning nimetatakse vektoriks algusega punktis "P" ja lõpuga punktis "Q" või punktide "P" ja "Q" ühendusvektoriks), nii et 
Järjestatud kolmikut formula_18 nimetatakae afiinseks ruumiks. Kui on selge, milline vektorruum formula_19 ja milline noolekujutus on aluseks, räägitakse ka lihtsalt afiinsest ruumist formula_20.
Korpuseks formula_1 on sageli reaalarvude korpus formula_22.
Lükked.
Afiinses ruumis on liitmine kui kujutus formula_23 defineeritud sellega, et formula_24 on just vektoriga formula_25 üheselt määratud punkt formula_26. Kindla formula_11 korral nimetatakse juurdekuuluvat kujutust formula_28 lükkeks ehk täpsemalt lükkeks vektori formula_29 võrra ja vektorit formula_29 nimetatakse siis juurdekuuluvaks lükkevektoriks.
Lükked on alati bijektsioonid. Need moodustavad koos kompositsiooni kui rühmatehtega (vt permutatsioonide rühm) ruumi formula_20 automorfismide rühma formula_32 alamrühma formula_33, kusjuures formula_34 korral alati formula_35 ja formula_36.
Et formula_37, siis kirjutatakse sageli ka formula_38 asemel formula_39. Siis formula_40 parajasti siis, kui formula_41.
Afiinne alamruum.
Kui formula_42 on üks kindel punkt ruumis formula_20 ja formula_44 on vektorruumi formula_19 alamvektorruum, siis formula_46 afiinne alamruum ehk afiinne osaruum. Afiinse osaruumi formula_47 juurde kuuluv alamvektorruum formula_48 on osaruumiga formula_47 üheselt määratud.
Vektorruumiga formula_19 afiinse ruumi formula_20 üle korpuse formula_1 on defineeritud kui vektorruumi formula_19 üle formula_1 mõõde (Hameli mõõde). Sageli on mugav pidada ka tühihulka afiinseks (osa)ruumiks. Sellele osaruumile omistatakse mõõde –1.
Afiinne punktiruum ja selle vastav vektorruum.
Kui valida afiinses ruumis formula_20 kindel alguspunkt formula_56, saadakse kujutuse abil, mis seab igale punktile formula_10 vastavusse lükke formula_58 punkti formula_42 kohavektori, eine üksühene kujutus afiinse ruumi ja tema lükete vektorruumi (rihiruumi ehk sihiruumi) vahel. Seejuures tuleb tähelepanna, et see punktide ja kohavektorite vaheline vastavus sõltub alguspunkti valikust. 
Ümberpöördult saab iga vektorruumi formula_19 vaadelda afiinse punktiruumina: formula_61, kus formula_62, on kujujutus, mis seab punktide järjestatud paarile vastavusse nende ühendusvektori. Sellega eraldatakse üks afiinse ruumi punkt ette välja, nimelt vektorruumi nullvektor.
Esimesel juhtumil saab pärast punkti samastamist tema kohavektoriga (sõltuvalt alguspunkti valikust, teisel juhtumil juba ette käsitada liitmist vektorruumis formula_19s nii, et rühm formula_64 toimib lükete rühmana iseendale kui punktihulgale. 
Sellepärast loobutakse mõnikord rangest eristusest afiinse punktiruumi ja lükkevektorite vektorruumi vahel.