Splain

Splain on sile, ühesuguse struktuuriga tükiti polünomiaalne funktsioon, mis liitepunktides rahuldab teatud sileduse tingimusi. Interpolatsiooniprobleemides eelistatakse tihtipeale splain-interpolatsiooni polünomiaalsele interpolatsioonile, kuna see annab sarnaseid tulemusi, isegi kui kasutada madala astme polünoome.
Mõiste "splain" pärineb painduvatest spiraalsetest seadmetest, mida laevaehitajad jajoonestajad kasutavad siledate kujundite saamiseks.
Sissejuhatus.
Mõistet "splain" kasutatakse viitamiseks laiale funktsioonide klassile, mis tegeleb andmete interpoleerimise ja/või silumisega. Andmed võivad olla kas ühe- või mitmemõõtmelised. Splainidega lähendamine on tükiti interpoleerimine ühe ja sama astme polünoomiga.
Splain-funktsioonid on olemuselt piiratud mõõtmed, mis on peamine põhjus nende kasulikkuseks arvutustes ja esitustes. Ülejäänud artiklis on keskendutud täielikult ühemõõtmelistele, polünoomsetele splainidele ja kasutatud terminit "splain" selles piiratud tähenduses.
Definitsioon.
Lihtsaim splain on tükiti polünomiaalne funktsioon, kus igal polünoomil on üks muutuja. Splain formula_1 võtab väärtused vahemikust formula_2 ja määrab need formula_3 reaalarvude hulka:
formula_4
Kuna formula_1 on tükiti määratletud, valime formula_6 lõiku vahemikus formula_2: 
 formula_8
 formula_9
 formula_10
Kõik need lõigud on seotud polünoomiga formula_11,
 formula_12.
formula_13"-"ndas lõigus vahemikus formula_2 on formula_1 määratletud formula_11 abil,
 formula_17
 formula_18
 formula_19
 formula_20
Antud formula_21 punkti formula_22 nimetatakse sõlmedeks. Vektorit formula_23 nimetatakse splaini sõlme vektoriks.
Kui sõlmed on ühtlaselt jaotatud vahemikus formula_2 siis splaini nimetatakse ühtlaseks, vastasel juhul nimetatakse splaini ebaühtlaseks.
Kui formula_6"-"nda polünoomi tükkidel formula_11 on iga aste vähemalt formula_27, siis splain on astmega formula_28 (või formula_29).
Kui formula_30 kehtib formula_31 punkti formula_32" "naabruses, siis on splain sile (vähemalt) formula_33 kohal formula_32. See tähendab, et kohal formula_32 jagavad formula_36 ja formula_11 ühist tuletisväärtust astmest formula_38 (funktsiooni väärtusest) kuni astmeni formula_39 (teisisõnu, kahe kõrvuti asetseva polünoomi tükki ühendavad kõige rohkem formula_40 sileduse kaotust).
Vektorit formula_41 kus splainil on siledus formula_33 kohal  formula_43 nimetatakse splaini sileduse vektoriks.
Näited.
Oletame, et intervall formula_44 on formula_45 ja alamintervallid onformula_46. Oletame, et polünoomi tükid peavad olema astmega formula_47 ja tükid vahemikus formula_48 ja formula_49 peavad ühinema väärtuse ja esimese tuletisega (formula_50 korral) samal ajal kui tükid vahemikus formula_49 ja formula_52 ühinevad lihtsalt väärtusega (formula_53 korral). See määrab splaini formula_54 tüübi, mille kohaselt
 formula_55
 formula_56
 formula_57
oleks selle tüübi liige ja ka
 formula_58
 formula_59
 formula_60
oleks selle tüübi liige. (Märkus: kuigi polünoomi tükk formula_61 ei ole ruutpolünoom, siis tulemust kutsutakse ikka ruutsplainiks. See näitab, et splaini astmeks on polünoom-osade maksimaalne aste.) Sellist tüüpi splaini pikendatud sõlme vektor oleks formula_62.
Kõige lihtsam splain on astmega formula_38. Seda nimetatakse ka astmeliseks funktsiooniks. Järgmine kõige lihtsam splain on astmega formula_64. Seda kutsutakse ka lineaarsplainiks. Kinnine lineaarsplain (st esimene ja viimane sõlm langevad kokku) on lihtsalt hulknurk.
Tavaline splain on naturaalne formula_65. astme kuupsplain. Sõna "naturaalne" tähendab, et splaini polünoomi teine tuletis on interpoleerimise intervalli lõpp-punktides võrdne nulliga:
 formula_66
Algoritm kuupsplainide arvutamiseks.
Kuupsplainid on kujul formula_67.
Arvestades koordinaatide komplektiformula_68 soovime leida hulga formula_69 splainiga formula_70   formula_71
Need peavad rahuldama:
Defineerime ühe kuupsplaini formula_76 5-ennikuna formula_77 kus formula_78 ja formula_79 vastavad varem näidatud kujule ja formula_80 on võrdne parameetriga formula_81
Algoritm kuupsplaini arvutamiseks:
Sisend: koordinaatide hulk formula_82, kus formula_83
Väljund: splainide hulk, mis koosneb formula_27-ist 5-ennikust. 
Välislingid.
Teooria
Exceli funktsioon
Võrguteenuste pakkujad
Arvutikood