Isomorfismiprobleem

Isomorfismiprobleemiks nimetatakse ülesannet konstrueerida efektiivne algoritm, mis antud klassi kahe suvalise algebralise süsteemi korral selgitab, kas nad on isomorfsed või mitte.
Isomorfismiprobleemi on rühmateooria seisukohalt käsitlenud C. Hoffman , väites, et rühmade "struktuur" sarnanevat isomorfismiprobleemiga. Paraku jääb see sarnasus kõrvaltvaatajale raskelt tabatavaks. See probleem on seni lahendamata paljude oluliste algebra klasside puhul.
Graafide isomorfismi probleem.
Eriline roll on isomorfismiprobleemil graafide vallas. Selle põhimõtteline teoreetiline algoritm täiesti olemas – see seisneb graafi "H" seosmaatriksi ridade ja nendele vastavate veergude ümberpaigutamises (permuteerimises, ümberjärjestamises, ümbervahetamises) niikaua, kui see ei lange kokku graafi "G" seosmaatriksiga. Sellel on üks oluline puudus – see on väga mahukas (keeruline), selle sammude arv läheneb "n"! ("n"-faktoriaalini). Omal ajal arvati, et 16! permutatsiooni arvutamine võtaks aega kuni 40 aastat.
Hakati otsima teisi teid graafide isomorfismi tuvastamiseks, mis oli aastail 1970–1980 väga populaarne. Näiteks, S. Toida pakkus selleks tõsimeeli välja "kauguste maatriksi". Tõepoolest on graafi kaugustemaatriksid omavahel kergemini eristatavad kui seosmaatriksid. Graafide mitteisomorfismi võib nende abil tuvastada "peaaegu alati", ka isomorfismi tuvastamine võib vahel korda minna.
Selle perioodi algoritme on kriitiliselt analüüsinud R. C. Read ja D. G. Corneil ning G. Gati , kes tituleerisid isomorfismiharrastuse "isomorfismihaiguseks". Isomorfismiprobleem muutus vahepeal koguni tabuks. Selle probleemi sisulist käsitlemist väldivad oma graafiõpikutes paljud. Näiteks B. Bollobasi "Modern Graph Theory" on isomorfismi-probleemile pühendanud vaid kaks sõna, selles käsitletakse peamiselt "praktilisi" probleeme nagu vooge võrkudes jne. Siiski tuuakse graafide isomorfismi visuaalne näide ära peaaegu kõikides graafiõpikutes – ja sellega enamasti piirdutaksegi.
Mõned algoritmilist graafiteooriat esitavad kirjatööd, näiteks N. Chistofiedese oma, ei sisalda mitte midagi isomorfismiga seostuvat. Kuid tegijaid leidub. Näiteks, seda on lahanud Netšepurenko jt ning esitanud ka sellega seotud algoritme ja arvutiprogramme. L. Babai leiab selleks Monte-Carlo algoritmi sobiva olevat. G. Tinhofer, M. Lödecke, S. Bauman ja L. Babel , väidavad, et isomorfismi probleem on lahendatav Weisfeiler-Lehmani algoritmi abil. C. V. Raj ja M. S. Shivakumar loendavad mitmesuguseid spetsiifilisi atribuute selle probleemi lahendamiseks. Tuleb ära märkida G. Kobleri, H. Schöningi ja J. Torani monograafiat , kus käsitletakse seda ajalise keerukuse aspektist. Ka K. Thulasirman ja M. N. S. Swamy ning S. Pemmaraju, S. Sciena piirduvad isomorfismi puhul vaid keerukuseprobleemi esile toomisega.
Probleemi ajaline keerukus.
Aktuaalne ongi isomorfismiprobleemi käsitlemine ajalise keerukuse (inglise "time complexity") seisukohalt. Levinud on arvamus, et see on mittepolünomiaalne NP (inglise "non-polynomial") ning praeguse aja "ametlik arvamus" peab parimaks E. Luksi (1983) algoritmi ajalise keerukusega 2O(√("n" log "n")) "n"-tipulise graafi puhul . Kuid neid on konstrueeritud ja tõestatud ka polünomiaalsetena P nagu seda on A. Dharwadkeri jt oma. Paljudel juhtudel pole see aga tõestatud. Diskussioonid keerukuse teemal kestavad.
Süstematiseerimine.
Isomorfismi tuvastamise meetodite süstematiseerimine on viinud lihtsa skeemini: a) sorteerimise ja mittesorteerimise meetodid; b) lokaalsete ja globaalsete invariantide kasutamise meetodid.
Invariantidele rajatud meetodid on viinud isomorfismi tuvastamise graafide "kanoonilise esituse" tasemele, mis tähendab graafi kujutamist mingil selle struktuuri esitaval kujul, soovitatavalt isomorfismi täpsusega. Kanoonilise esituse probleemi püstitas arvatavasti Lazlo Babai 1977. aastal.
Frank Harary järgi on isomorfismiprobleem lahendatav globaalinvariantide (polünoomid, spektrid jt) täieliku süsteemi baasil. S. Locke (http://www.math.fau.edu/locke/isotest) leiab, et isomorfismi testimiseks sobivad hästi kahendsüsteemis esitatud ülipikad 3-kuup-koodid. A. Zõkov on arvamusel, et see on lahendatav graafi tihedust, tsükleid, klikke jne iseloomustavate lokaalsete invariantide baasil.
Samas on isomorfismi mõiste ise sama hajuvaks muutunud nagu on juhtunud struktuuri mõistega. Klassikaliselt on isomorfism defineeritud kui "bijektsioon, mis säilitab naabrused". Hassler Whitney (1907–1989) leidis juba 1932. aastal, et "range isomorfism" on "bijektsioon, mis säilitab naabrused + veel midagi" . Ülo Kaasik defineerib: "bijektsioon, mis säilitab struktuuri", mis on täiesti arusaadav, kuigi ta ei ole struktuuri määratlenud. Peale selle on isomorfism seotud ka struktuursete ekvivalentsusklasside ehk "orbiitidega".
Isomorfismiklassid ja kanooniline esitus.
Isomorfismiklassid on graafiteoorias hästi rakendatavad. Isomorfismiklassi kuuluvatel graafidel on üks ja seesama struktuur. Seda struktuuri on võimalik kanooniliselt esitada spetsiaalse semiootilise mudeli formula_1 abil .
Erinevad graafid formula_2 ja formula_3 omavad ühesuguseid ehk ekvivalentseid struktuurseid mudeleid formula_4 ja formula_5 ! See tähendab, et graafid on isomorfsed formula_6 ehk nende struktuurid on ekvivalentsed. On tõestatud, et struktuursete mudelite moodustamise ja nende ekvivalentsuse fikseerimise ajaline keerukus on formula_7 .