Eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrand

Eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, millele saab anda kuju f1(y)dy=f2(x)dx. Niisuguse võrrandi kumbki pool on ühest muutujast sõltuva avaldise korrutis selle muutuja diferentsiaaliga. Võrrandi teisendamist sellisele kujule nimetatakse muutujate eraldamiseks.
Et lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandit, on vaja eraldada muutujad ja pärast seda võtta võrrandi mõlemast poolest integraal.
Näited.
Näide 1.
Lahendada võrrand formula_1
Lahendus:
Muutujate eraldamiseks korrutame võrrandi mõlemad pooled dx-iga
formula_2, kus märk formula_3 tähendab "Siit järeldub".
Järgnevalt integreerime vasakut poolt muutuja y, paremat poolt aga muutuja x järgi. Ehk teisisõnu võtame võrrandi mõlemast poolest integraali.
formula_4, ning saame
formula_5
Vastus: Võrrandi üldlahend on formula_5.
Näide 2.
Lahendada võrrand formula_7 tingimusel, et x=5 puhul y=10.
Lahendus: Muutujate eraldamiseks jagame võrrandi mõlemad pooled korrutisega xy.
formula_8, kus formula_3 tähendab "Siit järeldub".
Järgnevalt integreerime vasakut poolt muutuja y, paremat poolt muutuja x järgi ehk teisisõnu võtame võrrandi mõlemast poolest integraali.
formula_10, ning saame:
formula_11
Konstandi lisamine paremale poolele kujul formula_12 kergendab potentseerimist. Pärast potentseerimist saame üldlahendi:
formula_13
Erilahendi leidmiseks määrame konstandi C, milleks asetame saadud üldlahendisse algtingimused x=5 ja y=10 ning saame:
formula_14
Vastus: Otsitav erilahend on y=2x
Näide 3.
Lahendada võrrand y'=2(y-3), kui x=0 puhul y=4.
Lahendus: Kirjutame y' kujul formula_15 ning saame formula_16. Nüüd eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemad pooled läbi avaldisega formula_17 ning saame
formula_18 märk formula_19 tähendab "siit järeldub. Järgnevalt integreerime võrrandi vasakut poolt muutuja y, paremat poolt muutuja x järgi:
formula_20, saame
formula_21. 
Logaritmi definitsiooni põhjal formula_22, millest formula_23.
Leiame C väärtuse, arvestades algtingimusi: formula_24
Vastus:otsitav erilahend on formula_25
Näide 4.
Leida punkti (3;-2) läbiva joone võrrand, kui joone puutuja tõus formula_26
Lahendus: on teada, et puutuja tõus on joone võrrandi tuletis. Seda teadmist kasutades saame diferentsiaalvõrrandi formula_27 ehk formula_28. Eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemad pooled läbi dx- ga:
formula_29, kus formula_30 tähendab "siit järeldub". Järgnevalt integreerime võrrandi mõlemaid pooli:
formula_31 ning saame formula_32. Nüüd leiame C, pannes avaldisse joone punkti koordinaadid. formula_33
Vastus: Joone võrrand on formula_34
Näide 5.
Riigi sisemajanduse kogutoodang on antud momendil 100 miljardit krooni. Statistiliste andmete analüüsimisel selgus, et iga kümne aastaga suureneb riigi sisemajanduse kogutoodang 1,5 korda. Eeldades, et riigi majanduse kogutoodangu kasv jätkub samas tempos leida:
Lahendus: Tähistame riigi sisemajanduse kogutoodangu käesoleval momendil tähega N ja tähega t aega, mis on möödunud momendist, mil riigi sisemajanduse kogutoodang oli 100 miljardit krooni. Sellisel juhul on riigi sisemajanduse kogutoodangu muutumise kiirus võrdne tuletisega formula_35. Kuna eeldasime, et see kiirus on võrdeline sisemajanduse kogutoodangu kasvuga riigis, saame diferentsiaalvõrrandi: formula_36, kus k on võrdetegur. Eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemad pooled läbi avaldisega formula_37 siis saame formula_38 integreerime võrrandi mõlemad pooled:
formula_39 ning saame pärast integreerimist:
formula_40, millest formula_41. Konstandi C leiame samast võrdusest, arvestades, et t=0 korral N= 100 (miljardit).
formula_42
Konstandi k leidmisel arvestame aga asjaolu, et t=10 (aastat) Riigi sisemajanduse kogutoodang formula_43. Et C=100 saame:
formula_44. Seega väljendab riigi sisemajanduse kogutoodangut valem formula_45.
Selle valemi abil leiamegi vastused ülesande küsimustele:
Vastus: Riigi sisemajanduse kogutoodang 30 aasta pärast on 337 miljardit krooni; Riigi sisemajanduse kogutoodang kahekordistub 17. aastaga.