Kolmnurk

Kolmnurk on kolme tipuga hulknurk. 
Eukleidese geomeetrias on kolmnurk lihtsaim tasandiline geomeetriline kujund, mida piiravad sirglõigud. Seda piiravaid lõike nimetatakse külgedeks. Selle sees on kolm nurka, mida nimetatakse sisenurkadeks. Nende nurkade tippe nimetatakse kolmnurga tippudeks. Kolmnurgamõistet on võimalik üldistada ka mitteeukleidilistele geomeetriatele. Sel juhul peavad piiravad jooned olema geodeetilised jooned.
Kolmnurkadel on tasandi geomeetrias oluline koht, sest kõik hulknurgad saab lahutada kolmnurkadeks ja sellepärast saab neid uurida kolmnurga geomeetria abil. Peale selle põhineb kolmnurkadel trigonomeetria, mis on üks matemaatika fundamentaalne haru.
Üldine kolmnurk.
Ruumis on kolmnurk määratud kolme erineva punktiga, mis ei paikne ühel ja sellelsamal sirgel. Neid punkte nimetatakse kolmnurga tippudeks. Kolmnurk on kujund, mille moodustavad kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud. Neid sirglõike nimetatakse kolmnurga külgedeks. 
Osutub, et kolmnurk asub ühel tasandil: see on tasapinnaline kujund. Kolmnurga defineerimisel võib ka kohe tingimuseks seada, et kolmnurga tipud oleksid ühel tasandil. 
Mõnikord loetakse kolmnurka kuuluvaks ka kolmnurga tippudega määratud tasandi osa, mis on piiratud kolmnurga külgedega. Sel juhul kuulub selle tasandi punkt kolmnurka siis ja ainult siis, kui ta asub mõnel sirglõigul, mis ühendab kaht punkti, millest kumbki asub selle kolmnurga mõnel küljel.
Kolmnurga nurgad.
Igas kolmest tipust moodustavad kaks sirglõiku nurga. Vähemalt kaks neist on teravnurgad. Kui kolmas on ka teravnurk, nimetatakse kolmnurka teravnurkseks kolmnurgaks. Kuid üks nurk võib olla ka täisnurk või nürinurk. Kolmnurka nimetatakse siis vastavalt täisnurkseks või nürinurkseks kolmnurgaks.
Kolmnurga sisenurkade summa on alati 180 kraadi (180°) ehk "π" radiaani ("π" rad).
Kolmnurga nurki tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega α, β ja γ. Kui tegemist on täisnurkse kolmnurgaga, tähistatakse täisnurka tavaliselt tähega γ ning teravnurki tähtedega α ja β.
Kolmnurga sisenurga kõrvunurka nimetatakse kolmnurga välisnurgaks. Välisnurga moodustab kolmnurga üks külg ja teise külje pikendus. Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga.
Kolmnurga küljed.
Kolmnurga küljed on kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud, mis üksteisega moodustavad nurki.
Kolmnurga kahe suvalise külje pikkuste summa on alati suurem kolmanda külje pikkusest. Kolmnurga külgi tähistatakse tavaliselt tähtedega a, b ja c. Samuti võib neid tähistada kahe suurtähega (AB, BC ja AC): näiteks külg AB ühendab tippe A ja B.
Kolmnurga mediaanid.
Kolmnurga mediaan on kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav sirglõik. Kolmnurgal on kolm mediaani, mis lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga tsentroid.
Võrdkülgses kolmnurgas on mediaanid ühtlasi ka nurgapoolitajaks.
Mediaanide lõikepunkt jagab mediaanid osadeks suhtega, kus tipupoolne osa on kaks korda pikem kui küljepoolne osa.
Kolmnurga mediaani pikkus leitakse valemiga:
formula_1
formula_2
formula_3
kus formula_4 ja formula_5 on kolmnurga küljepikkused.
Kolmnurga kesklõik.
Kolmnurga kesklõik on kolmnurga kahe külje keskpunkte ühendav sirglõik, mis on paralleelne ühe küljega ja on võrdne poolega selle külje pikkusest. Kolmnurgal on kolm kesklõiku, mis jagavad kolmnurga neljaks võrdseks kolmnurgaks.
formula_6
formula_7
Kolmnurga nurgapoolitajad.
Kolmnurga nurgapoolitaja ehk bisektor on kolmnurga nurka kaheks võrdseks nurgaks jagav nurga tipust vastasküljeni ulatuv sirglõik. Kolmnurgal on kolm nurgapoolitajat, mis lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks.
Kolmnurga nurgapoolitajate lõikepunkt jaotab nurgapoolitaja kaheks lõiguks, saadud kaks lõiku alates tipust suhtuvad nii nagu nurga lähiskülgede summa suhtub nurga vastaskülge.
formula_8
formula_9
formula_10
Kolmnurga nurgapoolitaja jaotab nurga vastaskülje lõikudeks, mis on võrdelised nurga kahe lähisküljega, st
formula_11
formula_12
formula_13
Kolmnurga nurgapoolitaja pikkus leitakse valemiga:
formula_14
formula_15
formula_16
kus formula_4 ja formula_5 on kolmnurga küljepikkused ning formula_19 ja formula_20 on vastavalt nende külgede vastasnurgad.
Kolmnurga ümberringjoon.
Kõikidele kolmnurkadele saab joonestada ringjoone, millel asetsevad kolmnurga tipud. Sellist ringjoont nimetatakse kolmnurga ümberringjooneks. Ümberringjoone keskpunkt on kolmnurga külgi poolitavate ristsirgete (kolmnurga keskristsirgete) lõikepunkt.
Kolmnurkade liigid.
Nurkade järgi.
Täisnurkne kolmnurk.
Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk ehk 90° = π/2 rad. Täisnurkse kolmnurga täisnurga moodustavad küljed on kaatetid ja ülejääv külg on hüpotenuus. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi tähistatakse tavaliselt tähega c ning kaateteid tähtedega a ja b.
Hüpotenuus on alati pikem mõlemast kaatetist. Hüpotenuusi lähisnurgad on väiksemad täisnurgast ja nende summa võrdub täisnurgaga.
Vastavalt Pythagorase teoreemile võrdub kaatetite ruutude summa hüpotenuusi ruuduga.
Teravnurkne kolmnurk.
Teravnurkse kolmnurga kõik nurgad on väiksemad kui 90 kraadi.
Nürinurkne kolmnurk.
Nürinurkse kolmnurga üks nurk on suurem kui 90 kraadi.
Kaldnurkne kolmnurk.
Nüri- ja teravnurkseid kolmnurki nimetatakse mõnikord kaldnurkseteks kolmnurkadeks.
Külgede järgi.
Võrdhaarne kolmnurk.
Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Võrdhaarse kolmnurga haaradeks nimetatakse kahte võrdset külge ja aluseks kolmandat külge. Tipunurgaks nimetatakse selle kolmnurga kahe võrdse külje vahelist nurka. Võrdhaarse kolmnurga kaht teist nurka nimetatakse alusnurkadeks. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed.
Võrdkülgne kolmnurk.
Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega. Võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on samuti võrdse suurusega 60° = π/3. Võrdkülgne kolmnurk on korrapärane hulknurk.
Nagu igasse korrapärasesse hulknurka, nii ka võrdkülgsesse kolmnurka joonistatud siseringjoone raadius võrdub apoteemiga. Võrdkülgse kolmnurga apoteemi pikkus on umbes 0,289 külje pikkust formula_21, kus a on külje pikkus. Võrdkülgse kolmnurga ümberringjoone raadius on 2 korda suurem: umbes 0,577 külje pikkust formula_22. Võrdkülgse kolmnurga sise- ja ümberringjoone keskpunkt ühtivad, muude kolmnurkade puhul see nii ei ole.
Võrdkülgse kolmnurga kõrguse saab küljepikkuse järgi leida valemiga:
 formula_23
Erikülgne kolmnurk.
Erikülgne kolmnurk on kolmnurk, millel kõik küljed on erineva pikkusega. Erikülgse kolmnurga kõik nurgad on samuti erineva suurusega.
formula_24
Kolmnurga pindala.
kus "a" on kolmnurga alus ja "h" selle kõrgus.
formula_25
kus "r" on kolmnurga siseringjoone raadius, "P" kolmnurga ümbermõõt ning "p" pool kolmnurga ümbermõõtu: formula_26
formula_27
formula_28
formula_29
formula_30
kus "a", "b" ja "c" on kolmnurga külgede pikkused ning "p" pool kolmnurga ümbermõõtu: formula_31.
formula_32
kus formula_33 ning formula_34 ja formula_35 on kolmnurga kõrgused.
formula_36
kus "a" on kolmnurga külg, mida ringjoon puudutab, "r" on ringjoone raadius ning "p" pool kolmnurga ümbermõõtu (P): formula_31.
formula_38
kus a on haara ja b aluse pikkus.
formula_39
kus a on külje pikkus ja h on kolmnurga kõrgus. 
formula_40
kus I ja B on vastavalt kolmnurga sees ja selle välispiiril olevate täisarvuliste koordinaadipunktide arvud.
formula_41
formula_42
kus "x"-id ja "y"-id on vastavalt indeksile kolmnurga tippude "A", "B" ja "C" koordinaadid.
formula_43
kus "x"-id, "y"-id ja "z"-id on vastavalt indeksile kolmnurga tippude "A", "B" ja "C" koordinaadid.