Sierpiński ruum

Sierpiński ruum ehk sidus kaksikpunkt ehk Aleksandrovi kaksikpunkt ehk sidus kaheelemendiline ruum on lõplik topoloogiline ruum, mis koosneb kahest punktist nii, et üks ühest punktist koosnev alamhulk on lahtine ja mitte kinnine ning teine kinnine ja mitte lahtine. Sierpiński ruum on saanud nime Wacław Sierpiński järgi.
Sierpiński ruum on üks klassikaline topoloogilise ruumi näide. 
Definitsioon ja põhiomadused.
Sierpiński ruumi formula_1 kandja on formula_2; selle lahtised hulgad on formula_3 ja formula_2. Elementide alternatiivsed tähistused ja nimetused on näiteks formula_5 ("kinnine") ja formula_6 ("lahtine") ning 0 ja 1. 
Sierpiński ruumi kinnised hulgad on 
formula_7
Nii et üheelemendiline hulk formula_8 on kinnine ja hulk formula_9 on lahtine (formula_10 on tühihulk).
Sulund on ruumis "S" määratud nii: 
formula_11
Lõplik topoloogiiline ruum on ka üheselt määratud oma spetsialisatsioonieeljärjestusega. Sierpiński ruumi puhul on see eeljärjestus tegelikult osaline järjestus ja on antud nii:
formula_12
Topoloogilised omadused.
Sierpiński ruum formula_13 on nii lõpliku seesoleva punkti topoloogia (seesoleva punktiga formula_14) kui ka lõpliku väljasoleva punkti topoloogia (väljasoleva punktiga formula_15) erijuht. Sellepärast on ruumil formula_13 palju ühiseid omadusi ühe või mõlemaga neist klassidest.
Sierpiński ruum on vähim mittediskreetse ja mittetriviaalse topoloogiaga ruum. Ta on (homöomorfismi täpsusega) ainus niisugune kaheelemendiline ruum.
Sierpiński ruum on Aleksandrovi ruum.
Eraldatavus.
Punktid formula_15 ja formula_14 on ruumis "S" topoloogiliselt eristatavad, sest hulk formula_9 on lahtine hulk, millesse kuulub ainult üks neist punktidest. Punktil formula_14 on ümbrus formula_9, millesse ei kuulu punkt formula_15. Järelikult on "S" Kolmogorovi ruum ehk T0-ruum. 
Ent "S" ei ole T1-ruum, sest punkt formula_14ei moodusta kinnist hulka ja punktil formula_15 ei ole ümbrusi peale kogu ruumi. Sellest järeldub, et "S" ei ole Hausdorffi ruum ega T"n"-ruum ühegi formula_25 korral. Sierpiński ruum on mitte-Hausdorffi ruumi kõige lihtsam sisuline näide. 
"S" ei ole regulaarne (ega täielikult regulaarne ruum), sest punkti formula_14 ja temaga mittelõikuva kinnist hulka formula_8 ei saa ümbrustega eraldada. (Pealegi tähendaks regulaarsus koos tingimusega T0, et tegu on Hausdorffi ruumiga.)
On tühi tõde, et "S" on normaalne ja täielikult normaalne, sest seal ei ole mittetühje eraldatud hulki.
"S" ei ole perfektselt normaalne, sest eraldatud kinnisi hulki formula_28 ja formula_8 ei saa pideva kujutusega täpselt eraldada. Tõepoolest, formula_8 ei saa olla ühegi pideva kujutuse formula_31 nullihulk, sest iga selline kujutus on konstantne.
Loenduvus ja kompaktsus.
Nagu kõik lõplikud topoloogilised ruumid, on ka Sierpiński ruum kompaktne ja selles kehtib teine loenduvusaksioom. Sierpiński ruumis kehtib teine loenduvusaksioom. Ta on Lindelöfi ruum ja separaabel ruum.
Kompaktne alamhulk formula_32 ruumis "S" ei ole kinnine, mis näitab, et kompaktsed alamhulgad T0-ruumides ei pea olema kinnised.
Ruumi "S" igasse lahtisesse kattesse peab kuuluma ruumi "S" kandja, sest see on punkti 0 ainus lahtine ümbrus. Sellepärast leidub ruumi "S" igal lahtisel kattel lahtine alamkate, millesse kuulub ainult hulk, mille ainus element on ruumi "S" kandja. (See on ka Sierpiński ruumi kompaktsuse tõestus.)
Sellest järeldub, et "S" on täiesti normaalne.
Sidusus.
Sierpiński ruum "S" on hüpersidus (sest igasse mittetühja lahtisesse hulka kuulub 1) ja supersidus (sest igasse mittetühja kinnisesse hulka kuulub 0).
"S" on järelikult sidus ja liinsidus. 
Tee punktist 0 punkti 1 ruumis "S" on antud kujutusega: formula_33 ja formula_34 kõikide formula_35 korral. Kujutus formula_36 on pidev, sest formula_37, mis on lahtine ruumis "I". 
Nagu kõik lõplikud topoloogilised ruumid, on "S" lokaalselt liinsidus.
Sierpiński ruum on kokkutõmbuv, nii et ruumi "S" fundamentaalrühm on triviaalne. Ka selle kõrgemad homotoopiarühmad on triviaalsed.
"S" ei ole kaarsidus.
Kazimierz Alster tõestas, et Sierpiński ruum on sidusate ruumide klassi universaalne kujutis.
Koonduvus.
Iga jada ruumis "S" koondub punktiks 0, sest selle punkti ainus ümbrus on ruumi "S" kandja.
Jada ruumis "S" koondub punktiks 1 parajasti siis, kui jadas on ainult lõplik arv nulle (st jadas on lõpuks ainult ühed).
Punkt 1 on jada kuhjumispunkt parajasti siis, kui jadas on lõpmata palju ühtesid.
Metriseeruvus.
Sierpiński ruum "S" ei ole metriseeruv ega isegi pseudometriseeruv, sest iga pseudomeetriline ruum on täielikult regulaarne, aga Sierpiński ruum ei ole isegi mitte regulaarne.
Ruumi "S" tekitab hemimeetrika (ehk pseudokvaasimeetrika), kus formula_41 ja formula_42
Pidevad kujutused iseendasse ja homöomorfismide rühm.
On ainult kolm pidevat kujutust Sierpiński ruumist "S" iseendasse: samasusteisendus ja konstantsed kujutused punktidesse 0 ja 1.
Järel1kult, et Sierpiński ruumi "S" homöomorfismide rühm on triviaalne.
Karakteristliku funktsiooni analoog.
Kujutus formula_43 topoloogilisest ruumist formula_44 sidusasse kaksikpunkti on pidev siis ja ainult siis, kui punkti formula_45 originaal formula_46 on lahtine ruumis formula_44 (ehk punkti formula_48 originaal formula_49 on kinnine ruumis formula_44). 
Kui formula_51 on suvaline hulk ja formula_52 on kaheelemendiline hulk, siis vastab igale kujutusele formula_53 alamhulk formula_54 ja ümberpöördult.
Hulgaga formula_55 analoogset osa etendab formula_1 pidevate kujutuste ja lahtiste alamhulkade puhul. Olgu formula_51 suvaline topoloogiline ruum. Pideva kujutuse formula_58 puhul kehtib pideva kujutuse definitsiooni järgi, et lahtiste hulkade originaalid on lahtised. formula_59 ja formula_60. Huvitava tulemuse annab formula_61. See on nimelt ruumi formula_51 lahtine alamhulk ja on pideva kujutusega formula_63 üheselt määratud.
Sierpiński ruum on Kolmogorovi ruumide kategooria kogeneraator: kui formula_64 pidevad kujutused Kolmogorovi ruumist formula_65 Kolmogorovi ruumi formula_66, kusjuures formula_67, siis eksisteerib pidev kujutus formula_68 nii, et formula_69. Tõepoolest, kui formula_70 korral formula_71, siis on vähemalt formula_72 lahtise ümbrusega formula_73 punktist formula_74 eraldatud või ümberpöördult (sest formula_66 on Kolmogorovi ruum). Siis on formula_76 soovitud kujutus formula_77. Tegelikult on Kolmogorovi ruumide kategooria kogeneraatorid parajasti kõik Kolmogorovi ruumid, millel on alamruum, mis on homöomorfne ruumiga formula_1 ist.
Algebralises geomeetrias.
Algebralises geomeetrias tekib Sierpiński ruum diskreetse absoluutväärtusega ringi formula_79, näiteks formula_80 (täisarvude ringi lokaliseering algarvu formula_81 tekitatud algideaalis) spektrina. Spektri formula_82 üldpunkt, mis tuleb nullideaalist, vastab lahtisele punktile 1, spektri formula_82 eripunkt, mis tuleb ainsast maksimaalsest ideaalist, vastab kinnisele punktile 0.
Aleksandrovi kuup.
Aleksandrovi kuup – sidusa kaksikpunkti aste formula_84 — on universaalne ruum eralduvusaksioomiga formula_85 ruumidele (Kolmogorovi ruumidele) kaaluga formula_86, kus formula_87, st mis tahes Kolmogorovi ruum kaaluga formula_86 on homöomorfne ruumi formula_84 alamruumiga.
Rakendused.
Sierpiński ruumil on rakendusi formaalses semantikas ja rekursiivsusteoorias. Ta on Scotti topoloogia lahtiste hulkade klassifitseeriv ruum.