Mõju (füüsika)

Mõju on füüsikas suurus, mida kasutatakse füüsikalise süsteemi liikumisvõrrandite tuletamiseks statsionaarse mõju printsiibi alusel. Matemaatiliselt on see funktsionaal, mis võtab argumendiks liikumisjoone läbi füüsilise ruumi ning tagastab reaalarvu. Mõju SI ühikuks on džaul-sekund.
Ajalugu.
Mõju sõnastas esmakordselt prantsuse matemaatik Pierre Louis Maupertuis aastal 1744. Samal aastal tegi Leonhard Euler sõltumatuid avastusi ning olulisi täiendusi Maupertuis' tööle. Mõned ajaloolased on ka arvamusel, et mõju kasutas ka Gottfried Leibniz oma kirjavahetustes juba aastal 1707, kuid nende kirjade originaale ei ole leitud.
Suurimad arendused algelise variatsioonarvutuse vallas tegi aastal 1760 Joseph-Louis Lagrange, kes 1788. aastal kasutas neid meetodeid mõju defineerimiseks sellisel kujul, nagu neid tänapäeval tuntakse. Aastal 1834 pakkus olulise alternatiivse sõnastuse välja William Hamilton.
Kaasaegses füüsikas on kõik fundamentaalsed jõud formuleeritavad mõju kaudu, kuid empiirilised seadused, näiteks liugehõõret kirjeldav jõud, ei pruugi olla statsionaarse mõju printsiibist tuletatavad. Jäävusseadused on mõjust süstemaatiliselt tuletatavad. Seda tänu Noetheri teoreemile, mis seab igale pidevale sümmeetriateisendusele vastavusse jääva suuruse.
Definitsioon.
Funktsionaalidega tegelevat matemaatikaharu nimetatakse variatsioonarvutuseks. 
Klassikalises mehaanikas on mõjufunktsionaal tavaliselt antud integraalina üle aja, kus alg- ja lõpphetk on fikseeritud.
 formula_1
Suurust L nimetatakse süsteemi lagranžiaaniks ehk Lagrange'i funktsiooniks, mis on klassikalise keha koordinaatidest, selle ajalistest tuletistest ja ajast sõltuv funktsioon.
Väljateoorias dünaamilised muutujad väljad, mis sõltuvad nii ruumi- kui ajakoordinaatidest. Sel juhul antakse mõju integraalina nii üle aja kui ka ruumi
 formula_2
kus suurust formula_3 nimentatakse lagranžiaani tiheduseks. See võib sõltuda väljadest ja nende osatuletistest ruumi- ja ajakoordinaatide järgi. Vastav lagranžiaan on defineeritud integraalina üle ruumi
 formula_4
Mõju klassikalises mehaanikas.
Klassikalises mehaanikas on punktosakese mõjufunktsionaal
 formula_5,
kus formula_6 tähistab üldistatud koordinaate ning punkt muutuja kohal tähistab tuletist aja järgi. Igale võimalikule trajektoorile formula_7 vastab reaalarvuline mõju. Kõikide trajektooride otspunktid on fikseeritud, need on formula_8 ja formula_9. Trajektoor, mida mööda keha tegelikult liigub, on määratud statsionaarse mõju printsiibiga.
Statsionaarse mõju printsiip.
Statsionaarse mõju printsiip (vahel ka vähima mõju printsiip) väidab seda, et trajektoor, mida keha tegelikult järgib, on selline, mille varieerimisel on mõju statsionaarne. Matemaatiliselt on see tingimus
 formula_10,
kus
 formula_11.
Euleri-Lagrange'i võrrandid.
Statsionaarse mõju tingimusest on võimalik avaldada võrrandid osakese trajektoori formula_12 jaoks, kasutades selleks variatsioonarvutust.
 formula_13
Kuna trajektooride otspunktid on fikseeritud, siis trajektoori variatsioon otspunktides on null, mistõttu viimane liige on null. Kuna statsionaarse mõju tingimus peab kehtima trajektoori mistahes variatsiooni jaoks, siis peab sulgudes olev avaldis ka olema võrdne nulliga. Seda nimetatakse variatsioonarvutuse põhilemmaks. Seega
 formula_14
Neid võrrandeid (iga sõltumatu vabadusastme formula_15 jaoks) kutsutakse Euleri-Lagrange'i võrranditeks. Kui Lagrange'i funktsioon neisse asendada, on tulemuseks keha liikumisvõrrandid.
Lagrange'i funktsioon.
Klassikalises mehaanikas eristatakse kahte liiki energiat: kineetiline energia formula_16, mis sõltub keha kiirusest, ning potentsiaalne energia formula_17, mis sõltub keha asukohast. Osutub, et süsteemides, milles toimivad vaid konservatiivsed jõud, on lagranžiaan avaldatav nende kahe suuruse vahena:
 formula_18
Süsteemi lagranžiaan pole üheselt määratud. Kui seda konstandiga korrutada või kui sellele liita koordinaatide funktsiooni ajaline täistuletis, jäävad Euleri-Lagrange'i võrrandid samaks. Seetõttu on nende poolt kirjeldatavad süsteemid füüsikaliselt eristamatud. Öeldakse, et sel viisil erinevad mõjud on ekvivalentsed.
Mõju konstrueerimine.
Uue füüsikateooria uurimiseks postuleeritakse sageli uus mõjufunktsionaal, mis seda teooriat kirjeldaks. Selline meetod on võimas uurimisvahend, sest mõjust saab tuletada väga palju informatsiooni süsteemi käitumise kohta. Selleks et teooria oleks füüsikaline, peab mõjufunktsionaal täitma vähemalt järgmisi tingimusi: