Isomeetria

Isomeetria on kujutus ühest meetrilisest ruumist teise, mis säilitab meetrika (punktidevahelised kaugused). See tähendab, et kujutispunktide vaheline kaugus on võrdne lähtepunktide vaheliste kaugustega.
Definitsioon.
Kui on antud kaks meetrilist ruumi formula_1 ja formula_2 ning formula_3 on kujutus omadusega 
 formula_4 kõikide formula_5 korral, siis kujutust formula_6 nimetatakse isomeetriaks ruumist formula_7 ruumi formula_8. 
Selline kujutus on alati injektsioon. Kui formula_6 on isegi bijekrsioon, siis kujutist formula_6 nimetatakse isomeetriliseks isomorfismiks ning niisuguse kujutuse olemasolu korral nimetatakse ruume formula_7 ja formula_8 isomeetriliselt isomorfseteks.
Erijuhtumid.
Normeeritud ruumid.
Normeeritud ruumis ehk normeeritud vektorruumis formula_13 on kahe vektori vaheline kaugus formula_14 defineeritud vahevektori norm]na:
formula_15.
Kui formula_13 ja formula_17 on kaks normeeritud ruumi normidega formula_18 ja formula_19 ning formula_20 on lineaarkujutus, siis see kujutus on lineaarne isomeetria parajasti siis, kui ta säilitab normi, st kui kõikide formula_21 korral kehtib
formula_22.
Ilma lineaarsuse eelduseta kehtib:
Kui isomeetria kujutab formula_13 nullvektori formula_17 nullvektoriks, siis ta on lineaarkujutus.
Skalaarkorrutisega vektorruumid.
Kui formula_13 on skalaarkorrutisega vektorruum (skalaarkorrutisruum), siis vektori indutseeritud norm ehk skalaarkorrutisnorm (pikkus) on defineeritud ruutjuurena vektori skalaarkorrutisest iseendaga. Kahe vektori formula_28 ja formula_29 vaheline kaugus avaldub siis nii:
formula_30,
kus skalaarkorrutis on tähistatud kolmnurksulgudega.
Kui formula_13 ja formula_17on vektorruumid skalaarkorrutistega formula_33 ja formula_34 ning formula_20 on lineaarkujutus,
siis see kujutus on lineaarne isomeetria parajasti siis, kui ta säilitab skalaarkorrutise, st 
formula_36 kõikide formula_37 korral.
Selliseid kujutusi nimetatakse juhul, kui vektorruum on üle reaalarvude korpuse, ka ortogonaalseteks kujutusteks, ja juhul, kui vektorruum on üle kompleksarvude korpuse, unitaarseteks kujutusteks. Reaalarvude juhtumil ei ole seejuures tarvis eeldada, et kujutis on lineaarne, sest iga isomeetria, mis kujutab nullvektori nullvektoriks, on sel juhtumil lineaarne. 
Kui formula_38 on ruumi formula_13 ortonormeeritud baas, siis lineaarkujutus formula_40 on isomeetria parajasti siis, kui formula_41 on ortonormeeritud süsteem ruumis formula_17.
Eukleidilise vektorruumi kõik lineaarsed isomeetriad iseendasse moodustavad rühma, mida nimetatakse selle ruumi ortogonaalseks rühmaks. Unitaarse vektorruumi kõik lineaarsed isomeetriad iseendasse moodustavad rühma, mida nimetatakse selle ruumi unitaarseks rühmaks.
Eukleidiline punktiruum.
Iga isomeetria formula_43 eukleidiliselt punktiruumilt formula_44 eukleidilisele punktiruumile formula_45 on afiinne kujutus. Seda saab esitada kujul
formula_46 kõikide formula_47
korral, kusjuures formula_48 on lineaarne isomeetria vastavast eukleidilisest vektorruumist formula_49 vastavasse eukleidilisse vektorruumi formula_50.
Ümberpöördult, iga kujutus, mida saab nii esitada, on isomeetria. 
Eukleidilise punktiruumi isomeetriaid iseendasse nimetatakse ka liikumisteks.