Resolução da Prova Bimestral
Autor: Felipe Costa Mercadante | Publicado: 2012-05-06T07:25:00-03:00


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Como a sequência das questões e das alternativas mudam de uma prova para a outra, colocarei do jeito que eu mandei e vocês conferem com as suas provas:



1) Dada a matriz $A= \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{bmatrix}$, assinale a alternativa incorreta:
a) A matriz A é quadrada.
b) O produto de qualquer matriz quadrada X por A é igual a X.
c) A matriz A é simétrica.
d) O produto da matriz A por A é igual a A.
e) A matriz A é igual à matriz $I_{3}$.



Provavelmente, muitos devem ter errado essa questão por não ler que era para assinalar a alternativa incorreta.
Analisando as alternativas:
a) A matriz A é uma matriz 3x3, o que a caracteriza como quadrada. (V)
b) O produto entre matrizes só é possível se o número de linhas da primeira é igual ao número de colunas da segunda. Assim, a matriz X deve ter 3 linhas. Caso 

isso fosse verdade, então, sendo $A=I_{3}$, o produto de uma matriz qualquer pela matriz identidade que torna o produto possível é igual à primeira matriz. A 

alternativa estaria correta se estivesse escrito "O produto de qualquer matriz quadrada X de ordem 3 por A é igual a X". (F)
c) A transposta da matriz A é a própria matriz A, que é característica das matrizes simétricas. (V)
d) Como já foi dito no item b), o produto de uma matriz com 3 linhas por $I_{3}$ é a própria matriz original, no caso A. (V)
e) A matriz A é a matriz identidade de ordem 3, ou seja, $A=I_{3}$. (V)



2) Dada a lei de formação da matriz M:


$m_{ij}= \begin{cases} i, &amp; \mbox{se } i &gt; j \\ 0, &amp; \mbox{se } i = j \\ j, &amp; \mbox{se } i &lt; j \end{cases}$


A matriz correspondente, que tem 2 colunas e 3 linhas será:
a) $\begin{pmatrix} 0 &amp; 1 &amp; 1 \\ 1 &amp; 0 &amp; 2 \end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix} 0 &amp; 2 &amp; 3 \\ 2 &amp; 0 &amp; 3 \end{pmatrix}$
c) $\begin{pmatrix} 0 &amp; 1 \\ 1 &amp; 0 \\ 1 &amp; 2 \end{pmatrix}$
d) $\begin{pmatrix} 0 &amp; 1 &amp; 0 \\ 1 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix}$
e) $\begin{pmatrix} 0 &amp; 2 \\ 2 &amp; 0 \\ 3 &amp; 3 \end{pmatrix}$



A lei de formação dada escolhe o maior número, entre linha e coluna, e utiliza o maior deles como valor. Assim, se i &gt; j, então o valor do elemento 

será o mesmo que o número da linha em que ele está. Caso i &lt; j, então o valor do elemento será igual ao valor da coluna em que ele está. Se o número 

da linha for igual ao número da coluna em que o elemento está, então seu valor será zero. Desse modo, os elementos $m_{11}$ e $m_{22}$ serão iguais a zero. Os demais 

elementos serão o maior valor entre linha e coluna, ou seja:
$m_{11}=0$, $m_{12}=2$, $m_{21}=2$, $m_{22}=0$, $m_{31}=3$ e $m_{32}=3$.
A matriz M será:


$M= \begin{pmatrix} 0 &amp; 2 \\ 2 &amp; 0 \\ 3 &amp; 3 \end{pmatrix}$



3) A matriz resultante da soma das matrizes $\begin{bmatrix} 6 &amp; 0 &amp; 2 \\ 1 &amp; -1 &amp; 0 \end{bmatrix}$ e $\begin{bmatrix} 4 &amp; -2 \\ 2 &amp; -1 \end

{bmatrix}$ é:
a) $\begin{bmatrix} 22 &amp; 2 &amp; 8 \\ 11 &amp; 1 &amp; 4 \end{bmatrix}$
b) $\begin{bmatrix} 10 &amp; -2 &amp; 2 \\ 3 &amp; -2 &amp; 0 \end{bmatrix}$
c) $\begin{bmatrix} 4 &amp; 0 \\ 1 &amp; -1 \end{bmatrix}$
d) $\begin{bmatrix} 10 &amp; -2 \\ 3 &amp; -2 \end{bmatrix}$
e) nenhuma das anteriores



Para que uma soma entre duas matrizes seja possível é necessário que ambas tenham mesma ordem, ou seja, mesmo número de linhas e colunas. Isso é decorrência de essa 

soma representar a soma dos coeficientes relativos a cada uma das incógnitas comuns a dois sistemas lineares diferentes. Pretendo deixar isso mais claro em algum post 

futuro. Como as matrizes são de ordens diferentes, não é possível somá-las.



4) O dono de duas fábricas (A e B) que produzem 3 tipos de produtos (I, II e III) quer saber qual a quantidade de cada tipo de produto que deve ser produzida por 

fábrica para se conseguir um determinado lucro. A unidade de produto do tipo I produzida gera um lucro de RS 0,10 na fábrica A e RS 0,15 na fábrica B. A unidade de 

produto do tipo II produzida gera um lucro de RS 0,20 na fábrica A e RS 0,15 na fábrica B. Por fim, a unidade de produto do tipo III produzida gera um lucro de RS 0,05 

na fábrica B e RS 0,10 na fábrica A. Os lucros que ele quer obter são: RS 8.000,00 para o produto do tipo I, RS 5.000,00 para o produto do tipo II e RS 4.000,00 para o 

produto do tipo III. Uma possível equação matricial que descreve esse sistema é:
a) $\begin{bmatrix} 0,10 &amp; 0,15 \\ 0,20 &amp; 0,15 \\ 0,10 &amp; 0,05 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} q_{A} \\ q_{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8.000,00 

\\ 5.000,00 \\ 4.000,00 \end{bmatrix}$
b) $\begin{bmatrix} q_{I} &amp; q_{II} &amp; q_{III} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0,10 &amp; 0,20 &amp; 0,10 \\ 0,15 &amp; 0,15 &amp; 0,05 \end{bmatrix} = 

\begin{bmatrix} 8.000,00 &amp; 5.000,00 &amp; 4.000,00 \end{bmatrix}$
c) $\begin{bmatrix} q_{A} &amp; q_{B} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0,10 &amp; 0,15 \\ 0,20 &amp; 0,15 \\ 0,10 &amp; 0,05 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 

8.000,00 &amp; 5.000,00 &amp; 4.000,00 \end{bmatrix}$
d) $\begin{bmatrix} 0,10 &amp; 0,15 \\ 0,20 &amp; 0,15 \\ 0,05 &amp; 0,10 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} q_{I} \\ q_{II} \\ q_{III} \end{bmatrix} = \begin

{bmatrix} 8.000,00 \\ 5.000,00 \\ 4.000,00 \end{bmatrix}$
e) $\begin{bmatrix} 0,10 &amp; 0,15 \\ 0,20 &amp; 0,15 \\ 0,05 &amp; 0,10 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} q_{A} \\ q_{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8.000,00 

\\ 5.000,00 \\ 4.000,00 \end{bmatrix}$



Em primeiro lugar, ao montar a matriz de coeficientes, deveria-se tomar cuidado com a sequência dos valores, pois as duas primeiras duplas de valores estão na 

sequência "fábrica A e fábrica B", enquando a última esta invertida ("fábrica B e fábrica A"). A matriz de coeficientes será:


$\begin{bmatrix} 0,10 &amp; 0,15 \\ 0,20 &amp; 0,15 \\ 0,10 &amp; 0,05 \end{bmatrix}$


Também era possível montar a transposta da matriz anterior, como está mostrado na alternativa b). O enunciado está propositalmente ambíguo: as incógnitas podem ser 

tanto o conjunto $q_{I}$, $q_{II}$ e $q_{III}$, quanto o conjunto $q_{A}$ e $q_{B}$. Para determinar qual o conjunto certo, devemos fazer com que o produto seja 

possível (número de colunas da primeira igual ao número de linhas da segunda e a matriz produto deve ter o mesmo número de linhas da primeira e mesmo número de colunas 

da segunda). Eu escolhi a forma mais comum para ser a verdadeira, mas existem quatro equações possíveis, mostradas a seguir:


1) $\begin{bmatrix} 0,10 &amp; 0,15 \\ 0,20 &amp; 0,15 \\ 0,10 &amp; 0,05 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} q_{A} \\ q_{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_{I} \\ 

L_{II} \\ L_{III} \end{bmatrix}$
2) $\begin{bmatrix} q_{A} &amp; q_{B} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0,10 &amp; 0,20 &amp; 0,10 \\ 0,15 &amp; 0,15 &amp; 0,05 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_

{I} &amp; L_{II} &amp; L_{III} \end{bmatrix}$
3) $\begin{bmatrix} 0,10 &amp; 0,20 &amp; 0,10 \\ 0,15 &amp; 0,15 &amp; 0,05 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} q_{I} \\ q_{II} \\ q_{III} \end{bmatrix} = \begin

{bmatrix} L_{A} \\ L_{B} \end{bmatrix}$
4) $\begin{bmatrix} q_{I} &amp; q_{II} &amp; q_{III} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0,10 &amp; 0,15 \\ 0,20 &amp; 0,15 \\ 0,10 &amp; 0,05 \end{bmatrix} = \begin

{bmatrix} L_{A} &amp; L_{B} \end{bmatrix}$


Os lucros totais dados são para os tipos de produtos, não para as fábricas, sendo possíveis apenas as equações 1) e 2). A primeira é a única que aparece em uma das 

alternativas:


$\begin{bmatrix} 0,10 &amp; 0,15 \\ 0,20 &amp; 0,15 \\ 0,10 &amp; 0,05 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} q_{A} \\ q_{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8.000,00 \\ 

5.000,00 \\ 4.000,00 \end{bmatrix}$



5) Dadas as matrizes M e N abaixo:


$M= \begin{pmatrix} 3+x &amp; -3 \\ 2 &amp; 9 \end{pmatrix}$ e $N= \begin{pmatrix} 5 &amp; 2y-1 \\ \sqrt{4} &amp; z-y \end{pmatrix}$


a soma dos valores das incógnitas (x + y + z) é:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 9
e) 11



Se duas matrizes são iguais, então seus elementos correspondentes devem ser iguais. Com isso, teremos as seguintes igualdades:


$\begin{cases} 3+x=5 &amp; \Leftrightarrow &amp; x=5-3 &amp; \Leftrightarrow &amp x=2; \\ 2y-1=-3 &amp; \Leftrightarrow &amp; 2y=-2 &amp; \Leftrightarrow &amp; y=-1 \\ 

z-y=9 &amp; \Leftrightarrow &amp; z=9+y=9-1 &amp; \Leftrightarrow &amp; z=8 \end{cases}$


Somando os valores das três incógnitas, teremos:


$x+y+z=2-1+8=9$



6) A solução da equação $\begin{bmatrix} 2 &amp; 1 \\ 0 &amp; -1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix}$ é:
a) $\begin{bmatrix} 2 &amp; 0 \end{bmatrix}$
b) $\begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix}$
c) $\begin{bmatrix} 6 &amp; 3 \\ 0 &amp; 3 \end{bmatrix}$
d) $\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}$
e) $\begin{bmatrix} 0 &amp; 3 \end{bmatrix}$



Fazendo as contas, temos:


$\begin{bmatrix} 2 &amp; 1 \\ 0 &amp; -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 3+1 \cdot (-3) \\ 0 \cdot 3+(-1) \cdot (-

3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6-3 \\ 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}$



7) A equação $\begin{bmatrix} 2 &amp; 0 &amp; -1 \\ 0 &amp; 1 &amp; 1 \\ 1 &amp; -2 &amp; 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin

{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 6 \end{bmatrix}$ representa o sistema:
a) $\begin{cases} 2x - z &amp; = &amp; 1 \\ y + z &amp; = &amp; -3 \\ x - 2y &amp; = &amp; -6 \end{cases}$
b) $\begin{cases} 3x+y-2z &amp; = &amp; -1 \\ x+2y+2z &amp; = &amp; 3 \\ 2x-3y+z &amp; = &amp; 6 \end{cases}$
c) $\begin{cases} 2x-z &amp; = &amp; -1 \\ y+z &amp; = &amp; 3 \\ x-2y &amp; = &amp; 6 \end{cases}$
d) $\begin{cases} 2x-y &amp; = &amp; -1 \\ x+y &amp; = &amp; 3 \\ x-2y &amp; = &amp; 6 \end{cases}$
e) $\begin{cases} 2y-z &amp; = &amp; 1 \\ x+z &amp; = &amp; -3 \\ z-2x &amp; = &amp; -6 \end{cases}$



Se fizermos o produto do termo da esquerda da equação, teremos:


$\begin{bmatrix} 2 &amp; 0 &amp; -1 \\ 0 &amp; 1 &amp; 1 \\ 1 &amp; -2 &amp; 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 

x+0 \cdot y+(-1) \cdot z \\ 0 \cdot x+1 \cdot y+1 \cdot z \\ 1 \cdot x+(-2) \cdot y+0 \cdot z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x-z \\ y+z \\ x-2y \end{bmatrix}$


Igualando os dois lados da equação, teremos:


$\begin{bmatrix} 2x-z \\ y+z \\ x-2y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 6 \end{bmatrix}$


Por fim, da igualdade das matrizes, o que leva à igualdade dos termos correspondentes, teremos como solução o sistema:


$\begin{cases} 2x-z &amp; = &amp; -1 \\ y+z &amp; = &amp; 3 \\ x-2y &amp; = &amp; 6 \end{cases}$