Análise Combinatória
Autor: Memória Fraca | Publicado: 2012-03-11T06:43:00-07:00



1.&nbsp;Princípio Fundamental da Contagem
PARTE I - Resolva os seguintes problemas:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; - Para o Campeonato Mineiro, o time do Cruzeiro dispõe de dois modelos de camisa e três de calção, para se diferenciar do time adversário. Com essas camisas e calções, de quantos uniformes distintos o Cruzeiro dispõe?

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; - Na “Copa do Brasil”, exige-se que, além de camisa e calção sejam distintos, também as meias o sejam. Sendo assim, para participar da Copa do Brasil o Cruzeiro teve de providenciar duas cores distintas de meias. Qual será, portanto, o número de uniformes diferentes que o Cruzeiro disporá para esta copa? 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Uma forma de visualizarmos o que ocorre nos exemplos acima é usando o diagrama de árvore, que é montado como no exemplo abaixo:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Para chegarmos ao 2º andar do Coltec, vindos de fora do prédio, podemos escolher entre duas portas de entrada e quatro escadas de acesso. De quantas formas distintas podemos chegar?

p1 e1; p1e2; p1e3; p1e4
p2e1; p2e2; p2e3; p2e4

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Complete o diagrama acima para chegarmos ao terceiro andar, sabendo-se que existem duas escadas de acesso do 2º para o 3º andar.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Sendo os conjuntos A={a1, a2, a3, .......,am} e B={b1, b2, b3, .........., bn}, deterine quantos elementos tem A e quantos elementos tem B. Quantos são os pares ordenados, do tipo (ai, bj) onde aiÎA e bjÎB, que podemos formar com os elementos destes conjuntos?


PARTE II - Na final dos 100 metros rasos da Olimpíada de 96, oito atletas disputavam as três primeiras posições para obter uma medalha. De quantas maneiras diferentes era possível se organizar o podium com os três primeiros colocados?

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Sendo o conjunto A={a1, a2, a3,.......,am}, quantos serão os pares ordenados, do tipo (ai, aj) onde ai , ajÎA que poderemos formar com os elementos deste conjunto? E se ?



PARTE III - O almoxarifado de uma empresa adotou um código para classificar os produtos em estoque. O código é formado por uma letra do nosso alfabeto e três algarismos, sendo que o primeiro algarismo tem de ser par. Quantos são os diferentes códigos que eles poderão dispor? E se não for permitida a repetição?



ENUNCIADO DO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Se um evento pode ocorrer de n1 maneiras distintas e, a seguir, um segundo evento pode ocorrer de n2 maneiras distintas, e assim sucessivamente, até um k-ésimo evento que pode ocorrer de nk maneiras distintas, então o número de maneiras distintas em que os k eventos podem ocorrer sucessivamente é n1.n2.....nk.

2. &nbsp;PERMUTAÇÃO
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; - Com um grupo de cinco alunos, de quantas maneiras distintas posso fazer uma fila com três alunos? Com quatro? E com cinco?

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; - Sendo o conjunto A={a1, a2, a3,.......,an}, quantas sequências distintas poderemos fazer com todos os seus elementos?

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Chamaremos de Permutação a todos agrupamentos de n elementos formados com os n elementos de um conjunto. O número de permutações será calculado como na questão acima, ou seja, Pn = n.(n-1).(n-2).....3.2.1

1. ARRANJO
Resolva os problemas abaixo:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; - Em uma corrida com 12 participantes, de quantas maneiras distintas podemos ter as três primeiras colocações? E com n participantes?


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; - Com n participantes de quantas maneiras poderíamos ter os quatro primeiros colocados? Os cinco primeiros colocados? Ou os p primeiros colocados?


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; - A partir do resultado obtido no segundo problema obtenha uma expressão que represente de forma simplificada este problema.


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Chamaremos a partir de agora de Arranjo a todos agrupamentos de p elementos formados com os n elementos de um conjunto A, ou seja, serão arranjos de n, p a p. Determinamos o número de arranjos possíveis, através da expressão simplificada obtida acima. 




&nbsp;1. COMBINAÇÃO
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Resolva os problemas abaixo:-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Em uma turma temos 4 alunos, de quantas maneiras distintas podemos obter grupos de dois alunos? Descreva esses grupos.
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; E se dividíssemos em grupos de 3 alunos? Descreva esses grupos.
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;- Se a turma tiver 12 alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4 alunos? E quantos grupos de 8 alunos?
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;- Se a turma tiver n alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4 alunos? E quantos grupos de r alunos?
&nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;- A partir do resultado obtido no problema acima obtenha uma expressão que represente o caso de p alunos na turma e r no grupo.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Chamaremos de Combinação a todos os agrupamentos com p elementos, onde a ordem dos elementos não importa, ou seja serão combinação de n elementos, p a p.

 

VII - Resolva as questões abaixo:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; - De quantas formas 3 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? E se forem 4 pessoas? E se forem 5 pessoas?
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; - Determine agora de quantas formas n pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Chamamos de Permutação Circular a disposição dos elementos de um conjunto ao redor de um circulo. Para determinarmos o número de disposições possíveis utilizamos a expressão determinada no exemplo acima: PCn = ( n - 1 )!

VIII - Resolva as questões abaixo:- Quantos são os anagramas do nome ANA?
- Quantos são os anagramas das palavras NADA e VATAPA?
- Quantos são os anagramas das palavras ARARA e COLTECANO?

- Sendo o conjunto A={ a1, a1,...,a1, a2, a3, a4,...,an-n1. }, quantas são as sequências de n elementos em que o elemento a1 aparece exatamente &nbsp;vezes?


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Chamamos de Permutação com repetição a permutação de n elementos, onde temos n1 elementos iguais a a1, n2 elementos iguais a a2, ..., nk elementos iguais a ak, de modo que n1+ n2+&nbsp;&nbsp;&nbsp; +nk=n e ai¹aj se i¹j. Esta permutação será determinada pela expressão:

 



Para fixar o conteúdo:&nbsp;http://www.carlosbezerra.com/lista02.pdf