A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA
Autor: Mathematikis | Publicado: 2010-04-08T17:55:00-03:00


Considere a função y = ax&nbsp;, denominada função exponencial, onde a base&nbsp;a&nbsp;é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.
Observe que nestas condições, ax&nbsp;é um número positivo, para todo x&nbsp;Î&nbsp;R, onde&nbsp;R&nbsp;é o conjunto dos números reais.Denotando o conjunto dos números reais positivos porR+*&nbsp;, poderemos escrever a função exponencial como segue:
f:&nbsp;R&nbsp;®&nbsp;R+*&nbsp;; y = ax&nbsp;, 0 &lt; a&nbsp;¹&nbsp;1Esta&nbsp;função&nbsp;é bijetora, pois:
a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.
Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.
Vamos determinar a&nbsp;função inversa&nbsp;da função y = ax&nbsp;, onde 0 &lt; a&nbsp;¹&nbsp;1.
Permutando x por y, vem:
x = ay&nbsp;\&nbsp;y = logaxPortanto, a função logarítmica é então:
f:&nbsp;R+*&nbsp;®&nbsp;R&nbsp;; y = logax , 0 &lt; a&nbsp;¹&nbsp;1.Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax&nbsp;) e logarítmica
( y = logax ), para os casos a &gt; 1 e 0 &lt; a&nbsp;¹&nbsp;1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.





Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:
1 - para a &gt; 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.
2 - para 0 &lt; a&nbsp;¹&nbsp;1, elas são DECRESCENTES.
3 - o domínio da função y = logax é o conjunto&nbsp;R+*&nbsp;.
4 - o conjunto imagem da função y = logax é o conjunto&nbsp;R&nbsp;dos números reais.
5 - o domínio da função y = ax&nbsp;é o conjunto&nbsp;R&nbsp;dos números reais.
6 - o conjunto imagem da função y = ax&nbsp;é o conjunto&nbsp;R+*&nbsp;.
7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.Vamos agora, resolver os seguintes exercícios sobre logaritmos:
1 - Se S é a soma das raízes da equação log2&nbsp;x - logx - 2 = 0 , então calcule o valor
de 1073 - 10S.
SOLUÇÃO:Façamos logx = y; vem:
y2&nbsp;- y - 2 = 0
Resolvendo a&nbsp;equação do segundo grau&nbsp;acima, encontramos: y = 2 ou y = -1.
Portanto,
logx = 2 OU logx = -1
Como a base é igual a 10, teremos:
log10x = 2&nbsp;\&nbsp;x = 102&nbsp;= 100
log10x = -1&nbsp;\&nbsp;x = 10-1&nbsp;= 1/10As raízes procuradas são, então, 100 e 1/10.
Conforme enunciado do problema, teremos:
S = 100 + 1/10 = 1000/10 + 1/10 = 1001/10
Logo, o valor de 1073 - 10S será:
1073 - 10(1001/10) = 1073 - 1001 = 72
Resp: 72
2 - Calcule o valor de y = 6x&nbsp;onde x = log32 . log63 .
SOLUÇÃO:Substituindo o valor de x, vem:
y = 6log32 . log63&nbsp;= (6log63)log32&nbsp;= 3log32&nbsp;= 2
Na solução acima, empregamos a propriedade blogbM&nbsp;= M , vista anteriormente.
Resp: 2
3 - UEFS - Sendo log 2 = 0,301, o número de algarismos de 520&nbsp;é:
a) 13
b) 14
c) 19
d) 20
e) 27
SOLUÇÃO:Seja n = 520&nbsp;. Podemos escrever, usando logaritmo decimal:
log n = log 520&nbsp;= 20.log5
Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever:
log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699
Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.
Portanto, a resposta correta é a letra B.
4 - UFBA - Considere a equação 10x + 0,4658&nbsp;= 368. Sabendo-se que
log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.
SOLUÇÃO:&nbsp;Temos: 10x + 0,4658&nbsp;= 368
Daí, podemos escrever:
log 368 = x + 0,4658&nbsp;\&nbsp;x = log 368 - 0,4658
Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:
log(368/100) = 0,5658Logo, log 368 - log 100 = 0,5658&nbsp;\&nbsp;log 368 - 2 = 0,5658&nbsp;, já que
log 100 = 2 (pois 102&nbsp;= 100).
Daí, vem então:
log 368 = 2,5658Então, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
Resp: 21
5 - Se log N = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30N.
SOLUÇÃO:Podemos escrever:
logN = 2 + log2 - log3 - log52logN = 2 + log2 - log3 - log25
logN = 2 + log2 - (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logN = (log100 + log2) - (log3 + log25)
logN = log(100.2) - log(3.25)
logN = log200 - log75
logN = log(200/75)
Logo, concluímos que N = 200/75
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3
Logo, 30N = 30(8/3) = 80
Resp: 30N = 80
Agora, resolva estes:
1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 53&nbsp;.&nbsp;, então o logx é:
*a) 2,997
b) 3,398
c) 3,633
d) 4,398
e) 5,097
2 - UEFS - O produto das raízes da equação log(x2&nbsp;-7x + 14) = 2log2 é:
01) 5
02) 7
*03) 10
04) 14
05) 35
3 - UCSal - Se 12n+1&nbsp;= 3n+1&nbsp;. 8 , então log2&nbsp;n é igual a:
a) -2
*b) -1
c) 1/2
d) 1
e) 2
4 - UEFS - O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:
a) (-3/2,4)
b) (-4,3/2)
c) (-4,2)
*d) (3/2,4)
e) (3/2,10)
5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz à equação log2&nbsp;(x-3) + log2&nbsp;(x-2) = 1.
Resp: 4
6 - UFBA - Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x.
Resp: 90
7 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a:
a) 3/2
b) 4/3
c) 2
d)5
*e) 5/2
8 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x2&nbsp;- y2&nbsp;) é igual a:
a) 100
*b) 2
c) 25
d) 12,5
e) 1000
Sugestão: observe que x2&nbsp;- y2&nbsp;= (x - y) (x + y)