Aprendendo PA e PG fácil
Autor: Prof. Diemes | Publicado: 2012-02-28T08:31:00-08:00

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica  quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu  antecessor for sempre igual. Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.

4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2

O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa  forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento  de uma progressão geométrica. Veja:




Com base nessa expressão, temos que:

a2 = a1 * q
a3 = a1 * q2 
a5 = a1 * q4
a10 = a1 * q9
a50 = a1*q49
a100 = a1*q99


Exemplo 1

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a8 = 4 * 37
a8 = 4 * 2187
a8 = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

Exemplo 2

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.


a20 = 3 * 319
a20 =&nbsp;3 * 1.162.261.467
a20 = 3.486.784.401


Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática


Exemplo 4

Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes:

Janeiro: 98,00
Fevereiro: 99,96
Março: 101,96
Abril: 104,00
Maio: 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.

Os termos estão em progressão geométrica, observe:

106,08 : 104 = 1,02
104 : 101,96 = 1,02
101,96 : 99,96 = 1,02
99,96 : 98,00 = 1,02

A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a  inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos  dessa dona de casa, observe:


Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes a
R$ 1.314,39.
&nbsp;  Questões
1-) Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...).2-) Encontre o termo geral da P.A. (7/3, 11/4, ...).3-) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10, ...).4-) Qual é o centésimo número natural par ?5-) Ache 0 5o termo da P.A. (a+b ; 3a-2b ; ...).6-) Ache o sexagésimo número natural ímpar.7-) Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44 ?8-) Ache a1 numa P.A., sabendo que r=1/4 e a17=21.9-) Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o último é 16 ?10-) Calcule o número de termos da P.A. (5, 10, ..., 785).11-) Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39 ? 12-) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos ?13-) Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5 ? 14-) Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são divisíveis por 8 ?  
15-) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.  
16-) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8 ? 
17-) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500. 
18-)  Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no  quilometro 3 e outro no quilometro 88. Entre eles serão colocados mais  16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a  mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar  esses novos telefones.19-) (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ? 20-)  Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto  e, em 1988, produziu 23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a  produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética,  pede-se:

a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987 ?

b) Quantas unidades foram produzidas em 1991 ?         Respostas
Questão 1Dados: a1 = 2 ; r = 7 - 2 = 5 ; an = ? ; n = ?  Resolução:
an = a1 + (n-1).r
an = 2 + (n -1).5 
an = 2 + 5n - 5 
an = 5n - 3Resposta: an = 5n - 3     Questão 2Dados: a1 = 7/3 ; r = 11/4 - 7/3 = (33 - 28)/12 = 5/12 ; an = ? ; n = ?  Resolução:
an = a1 + (n-1).r
an = 7/3 + (n -1). 5/12 
an = 7/3 + 5/12n - 5/12 
an = 5/12n + 28/12 - 5/12 
an = 5/12n + 23/12 Resposta: an = 5/12n + 23/12 ou an = (5n + 23)/12     Questão 3Dados: a1 = 4 ; r = 10 - 4 = 6 ; an = a15 = ? ; n = 15  Resolução: 
an = a1 + (n-1).r
a15 = 4 + (15 -1).6 
a15 = 4 + 14.6 
a15 = 4 + 84 
a15 = 88 Resposta: a15 = 88      Questão 4Dados: a1 = 0 ; r = 2 - 0 = 2 ; an = a100 = ? ; n = 100 Resolução:
an = a1 + (n-1).r
a100 = 0 + (100 -1).2 
a100 = 0 + 99.2 
a100 = 198 Resposta: a100 = 198      Questão 5Dados: a1 = a+b
r = (3a-2b)-(a+b) 
r = 3a-2b - a-b  
r = 2a-3b 
an = a5 = ? ; n = 5Resolução:an = a1 + (n-1).r
a5 = a+b + (5-1).(2a-3b) 
a5 = a+b + 4.(2a-3b)  
a5 = a+b +8a-12b  
a5 = 9a - 11b Resposta: a5 = 9a - 11b      Questão 6Dados: a1 = 1 ; r = 3 - 1 = 2 ; an = a60 = ? ; n = 60 Resolução:
an = a1 + (n-1).r
a60 = 1 + (60 -1).2 
a60 = 1 + 59.2 
a60 = 1 + 118 
a60 = 119 Resposta: a60 = 119     Questão 7Dados: a1 = 4 ; r = 5 ; an = 44 ; n = ?  Resolução:
an = a1 + (n-1).r
44 = 4 + (n-1).5 
44 = 4 + 5n -5 
44 -4 + 5 = 5n 
45 = 5n  
45/5 = n  
9 = n  ou  n = 9 Resposta: 9a posição     Questão 8Dados: a1 = ? ; r = 1/4 ; a17 = 21 ; n = 17  Resolução:
an = a1 + (n-1).r
a17 = a1 + (17-1).(1/4) 
21 = a1 + 16/4
21 = a1 + 4
21 - 4 = a1
17 = a1Resposta: a1 = 17     Questão 9Dados: a1 = -5 ; r = 3 ; an = 16 ; n = ?  Resolução:
an = a1 + (n-1).r
16 = -5 + (n-1).3
16 = -5 + 3n -3
16 = 3n - 8
16 + 8 = 3n 
24 = 3n
24/3 = n
8 = nResposta: n = 8      Questão 10Dados: a1 = 5 ; r = 5 ; an = 785 ; n = ?  Resolução: an = a1 + (n-1).r
785 = 5 + (n-1).5
785 = 5 + 5n -5
785 = 5n
785/5 = n 
157 = n Resposta: n = 157      Questão 11Dados: a1 = ? ; an = a7 = 46 ; a6 = 39 ; r = a7 - a6 ; r = 46 - 39 ==&gt; r = 7 ; n = 7  Resolução:
an = a1 + (n-1).r
46 = a1 + (7-1).7 
46 = a1 + 6.7 
46 = a1 + 42  
46 - 42 = a1  
4 = a1Resposta:  a1 = 4      Questão 12Dados: P.A.(105,...,994); a1 = 105 ; an = 994 ; r = 7 ; n = ?  Resolução:an = a1 + (n-1).r
994 = 105 + (n-1).7 
994 = 105 + 7n - 7 
994 = 105 - 7 + 7n
994 = 98 + 7n
994 - 98 = 7n
896 = 7n 
896/7 = n 
128 = nResposta:  n = 128     Questão 13Dados: P.A.(0,...,95);a1 = 0 ; an = 95 ; r = 5 ; n = ?  Resolução:
an = a1 + (n-1).r
95 = 0 + (n-1).5 
95 = 0 + 5n - 5 
95 + 5 = 5n  
100 = 5n
100 = 5n
100/5 = n
20 = nResposta:  n = 20     Questão 141-) Calculamos a quantidade de números, entre 100 e 500,  que são divisíveis por 8.
Dados: P.A.(104,...,496); a1 = 104 ; an = 496 ; r = 8 ; n = ?  Resolução:
an = a1 + (n-1).r
496 = 104 + (n-1).8 
496 = 104 + 8n - 8 
496 = 96 + 8n 
496 - 96 = 8n 
400 = 8n 
400/8 = n 
50 = n  2-) Calculamos a quantidade de todos os números, entre 100 e 500.
Dados: P.A.(100,...,500); a1 = 100 ; an = 500 ; r = 1 ; n = ?  Resolução: an = a1 + (n-1).r
500 = 100 + (n-1).1 
500 = 100 + n - 1 
500 = 99 + n  
500 - 99 = n 
401 = n3-) Calculamos o número de termos que não são divisíveis por 8, fazendo: n = 401 - 50 = 351Resposta:  n = 351     Questão 15P.A.(1, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _,37)
Dados: a1 = 1 ; r = ? ; an = a13 = 37 ; n = 13  Resolução: an = a1 + (n-1).r
a13 = 1 + (13-1).r 
37 = 1 + 12.r 
37 -1 = 12r 
36 = 12r 
36/12 = r 
3 = r  Calculamos as 11 interpolações:a2 = a1 + r = 1+3 = 4
a3 = a2 + r = 4+3 = 7
a4 = a3 + r = 7+3 = 10
a5 = a4 + r = 10+3 = 13
a6 = a5 + r = 13+3 = 16
a7 = a6 + r = 16+3 = 19
a8 = a7 + r = 19+3 = 22
a9 = a8 + r = 22+3 = 25
a10 = a9 + r = 25+3 = 28
a11 = a10 + r = 28+3 = 31
a12 = a11 + r = 31+3 = 34
Resposta: an = P.A.(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37)     Questão 16Dados: P.A.(2,...,66); a1 = 2 ; an = 66 ; r = 8 ; n = ?  Resolução:
an = a1 + (n-1).r
66 = 2 + (n-1).8 
66 = 2 + 8n - 8 
66 = 8n - 6 
66 + 6 = 8n  
72 = 8n 
72/8 = n 
9 = n Subtraímos 2 termos dos 9 termos encontrados: n = 9 - 2 = 7.  Resposta: n = 7     Questão 17Dados: P.A.(10, _, _, _, _, _, _,500);  a1 = 10 ; an = a8 = 500 ; r = ? ; n = 8  Resolução:an = a1 + (n-1).r
500 = 10 + (8-1).r 
500 = 10 + 7.r 
500 - 10 = 7r  
490 = 7r 
490/7 = r  
70 = r Calculamos as 6 interpolações:a2 = a1 + r = 10+70 = 80
a3 = a2 + r = 80+70 = 150
a4 = a3 + r = 150+70 = 220
a5 = a4 + r = 220+70 = 290
a6 = a5 + r = 290+70 = 360
a7 = a6 + r = 360+70 = 430
 Calculamos a média aritmética:M.A. = Adição dos termos / número de termos adicionados   = (a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7) / 6 
M.A. = (80 + 150 + 220 + 290 + 360 + 430) / 6 = 1530 / 6 = 255 Resposta: M.A. = 255     Questão 18P.A.(3,..,88)
Dados: a1 = 3 ; r = ? ; an = a18 = 88 ; n = 18  Resolução: an = a1 + (n-1).r
a18 = 3 + (18-1).r 
88 = 3 + 17.r 
88 - 3 = 17r
85 = 17r 
85/17 = r 
5 = r  Calculamos as 16 interpolações:a2= a1 + r = 3+5 = 8
a3= a2 + r = 8+5 = 13
a4= a3 + r = 13+5 = 18
a5= a4 + r = 18+5 = 23
a6= a5 + r = 23+5 = 28
a7= a6 + r = 28+5 = 33
a8= a7 + r = 33+5 = 38
a9= a8 + r = 38+5 = 43
a10= a9+ r = 43+5 = 48
a11= a10+ r = 48+5 = 53
a12= a11+ r = 53+5 = 58
a13= a12+ r = 58+5 = 63
a14= a13+ r = 63+5 = 68
a15= a14+ r = 63+5 = 73
a16= a15+ r = 73+5 = 78
a17= a16+ r = 78+5 = 83
 Resposta: Marcos quilométricos: 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83      Questão 19Dados:  M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000. 
M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.
M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.
M(1) = 1, 2, ..., 10000. Resolução:Para múltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r =&gt; 10000 = 1000 + (n - 1). 5 =&gt; n = 9005 / 5 =&gt; n = 1801.
Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r =&gt; 9996 = 1001 + (n - 1). 7 =&gt; n = 9002 / 7 =&gt; n = 1286.
Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r =&gt; 9975 = 1015 + (n - 1).35 =&gt; n = 8995 / 35 =&gt; n = 257.
Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r =&gt; 10000 = 1000 + (n - 1).1 =&gt; n = 9001.  
 Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é,  eles aparecem no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos  de 7 (daí adicionarmos uma vez tal conjunto de múltiplos).   Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).
Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171  
 Resposta: n = 6171 
      
Questão 20 
P.A.(6530, _ , 23330) Dados: a1 = 6530 ; r = ? ; an = 23330 ; n = 3
 Resolução:
an = a1 + (n-1).r
a3 = 6530 + (3-1).r 
23330 = 6530 + 2.r 
23330 - 6530 = 2r 
16800 = 2r 
16800/2 = r 
8400 = r
a2 = a1 + r  
a2 = 6530 + 8400 
a2 = 14930P.A.(6530, 14930, 23330, _ , _, _)  Dados:    a1 = 6530 ; r = 8400 ; an = a6 = ? ; n = 6 Resolução:    an = a1 + (n-1).r
a6 = 6530 + (6-1).8400 
a6 = 6530 + 5.8400 
a6 = 6530 + 42000 
a6 = 48530  
 Resposta: a) 14930; b) 48530    
       
Progressão GeométricaDefinição
É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do  anterior com uma constante, denominada razão, representada pela letra 'q'. 
Elementos
 a1 : 1o termo
an : termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo)
q : razão
n : número de termos
Sn : soma dos termos
Pn : produto dos termos  Fórmula do Termo Geral da P.G.




 an = a1 . qn-1    Produtos dos Termos de uma P.G.   
O produto dos 'n' termos de uma P.G. é dado por:




   ou&nbsp;&nbsp;&nbsp;  Soma dos Termos da P.G.
P.G. limitada (ou finita) &nbsp;&nbsp;&nbsp;ou &nbsp;&nbsp;P.G. ilimitada (ou infinita)      decrescente Obs.: para -1 &lt; q &lt; 1 e o número de termos tendendo ao infinito.
 Termo Médio de uma P.G.
TM2 = a1.an  Representação de 3 termos  na P.G.

Para representar três termos em P.G., sendo dado o  produto dos termos, use: 
  
         
Exercícios - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - P.G.Questões
1-) Escreva os cinco primeiros termos de cada P.G., sendo dados: a) a1 = 2 e q = 3
Resposta: P.G. (2, 6, 18, 54, 162, ...) b) a1 = 3 e q = -1
Resposta: P.G. (3, -3, 3, -3, 3, ...) c) a1 = -6 e q = 1/2
Resposta: P.G. (-6; -3; -1,5; -0,75; -0,375; ...) ou (-6; -3; -3/2; -3/4; -3/8; ...) d) a1 = -2 e q = 5/4
Resposta: P.G. (-2; -5/2; -25/8; -125/32; -625/128; ...) e) a1 = 7 e q = 0
Resposta: P.G. (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) f) a1 = q = 1
Resposta: P.G. (1, 1, 1, 1, 1, ...) 2-) Calcule o valor do primeiro termo de uma P.G., sabendo que o quarto termo é -108 e a razão é q = 3.   3-) A soma do 2o com o 3o termo de uma P.G. vale 16 e o produto do 1o com o 3o é 16. Determine essa P.G. sabendo que ela é crescente.   Resolução:
a2 + a3 = 16 (I)a1 . a3 = 16 (II)
Fazer a3 = a1 . q 2 e substituir em (II).
a1 . a1 . q 2 = 16
a1 2 .q  2 = 16
Extrair a raiz quadrada dos dois membros.
a1 .q = 4
a1 = 4/q
Se a2 = a1 .q
a2 = 4/q . q
a2 = 4 
Como a2 + a3 = 16, temos:
a3 = 12
q = a3 / a2 = 12/4 = 3
Daí a1 = 4/q
a1 = 4/3  Resposta: P.G. (4/3, 4, 12, ...) 4-) Interpole quatro meios geométricos entre 1/8 e 4.   5-) Interpole seis meios geométricos entre 1 e 2187.  Resolução:
an = a1. qn-1
2187 = 1.q 8-1
2187 = 1.q 7
Fatorando 2187, temos: 2187 = 37.
Então, 37 = q 7
Se os expoentes são iguais, as bases das potências também são iguais. Logo, q = 3
a2 = a1 . q 
a3 = a2 . q 
a4 = a3 . q 
a5 = a4 . q 
a6 = a5 . q 
a7 = a6 . q 
P.G.(1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187) 6-)  Uma pessoa aplicou R$ 8.000,00 à taxa de 2,5 por cento ao mês. Calcule  por quanto tempo esse dinheiro deve ficar aplicado para que o montante  seja de R$ 11.586,38. (Use log 1,025 = 0,0107 e log 1,4129732 = 0,1501.)   7-) Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (7, 14, ...).   Resolução:
Sn = a1. (qn-1) / q-1
S6 = 7.(26-1) / 2-1
S6 = 7.(64-1) / 1
S6 = 7.63
S6 = 441-)Questões
1-) Escreva os cinco primeiros termos de cada P.G., sendo dados: a) a1 = 2 e q = 3
Resposta: P.G. (2, 6, 18, 54, 162, ...) b) a1 = 3 e q = -1
Resposta: P.G. (3, -3, 3, -3, 3, ...) c) a1 = -6 e q = 1/2
Resposta: P.G. (-6; -3; -1,5; -0,75; -0,375; ...) ou (-6; -3; -3/2; -3/4; -3/8; ...) d) a1 = -2 e q = 5/4
Resposta: P.G. (-2; -5/2; -25/8; -125/32; -625/128; ...) e) a1 = 7 e q = 0
Resposta: P.G. (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) f) a1 = q = 1
Resposta: P.G. (1, 1, 1, 1, 1, ...) 2-) Calcule o valor do primeiro termo de uma P.G., sabendo que o quarto termo é -108 e a razão é q = 3.   3-) A soma do 2o com o 3o termo de uma P.G. vale 16 e o produto do 1o com o 3o é 16. Determine essa P.G. sabendo que ela é crescente.   Resolução:
a2 + a3 = 16 (I)a1 . a3 = 16 (II)
Fazer a3 = a1 . q 2 e substituir em (II).
a1 . a1 . q 2 = 16
a1 2 .q  2 = 16
Extrair a raiz quadrada dos dois membros.
a1 .q = 4
a1 = 4/q
Se a2 = a1 .q
a2 = 4/q . q
a2 = 4 
Como a2 + a3 = 16, temos:
a3 = 12
q = a3 / a2 = 12/4 = 3
Daí a1 = 4/q
a1 = 4/3  Resposta: P.G. (4/3, 4, 12, ...) 4-) Interpole quatro meios geométricos entre 1/8 e 4.   5-) Interpole seis meios geométricos entre 1 e 2187.  Resolução:
an = a1. qn-1
2187 = 1.q 8-1
2187 = 1.q 7
Fatorando 2187, temos: 2187 = 37.
Então, 37 = q 7
Se os expoentes são iguais, as bases das potências também são iguais. Logo, q = 3
a2 = a1 . q 
a3 = a2 . q 
a4 = a3 . q 
a5 = a4 . q 
a6 = a5 . q 
a7 = a6 . q 
P.G.(1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187) 6-)  Uma pessoa aplicou R$ 8.000,00 à taxa de 2,5 por cento ao mês. Calcule  por quanto tempo esse dinheiro deve ficar aplicado para que o montante  seja de R$ 11.586,38. (Use log 1,025 = 0,0107 e log 1,4129732 = 0,1501.)   7-) Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (7, 14, ...).   Resolução:
Sn = a1. (qn-1) / q-1
S6 = 7.(26-1) / 2-1
S6 = 7.(64-1) / 1
S6 = 7.63
S6 = 441
             Questão 1(UE – PA) 
Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido  dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em  progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a  entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a  quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na  aquisição desse carro?ver resposta
             Questão 2Sabendo que uma PG tem a1 = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão.ver resposta
             Questão 3A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão. &nbsp;ver resposta
             Questão 4(Vunesp – SP – Adaptado)
Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser  empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em  cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por  exemplo:

Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.ver resposta


  Respostas
Resposta Questão 1an = a1 * q n–1
a2 = 4000
a4 = 1000
a2 = a1 * q
4000 = a1 * q
a1 = 4000 / q
a4 = a1 * q3
1000 = 4000 / q * q3
1000 / 4000 = q3 / q
1 / 4 = q2
√1/4 = √q2
q = 1/2
a1 = 4000 / 1/2
a1 = 4000 * 2
a1 = 8000
1ª prestação: R$ 8 000,00
2ª prestação: R$ 4 000,00
3ª prestação: R$ 2 000,00
4ª prestação: R$ 1 000,00
5ª prestação: R$&nbsp;&nbsp;&nbsp; 500,00
Soma total das prestações: R$ 15 500,00
Entrada (valor do carro menos o total das prestações)
R$ 24 000,00 – R$ 15 500,00 = R$ 8 500,00
O valor da entrada foi de R$ 8 500,00