O Brilho Máximo de Venus
Autor: Dion | Publicado: 2011-08-25T07:21:00-07:00









Em que posição o planeta Venus apresenta a maior luminosidade?







Solução: Sejam S, E, V os pontos médios do sol, terra e Venus, os raios das órbitas (tomadas como circulares) da Terra e Venus SE=a e SV=b, a distância variável da Terra a Venus EV=r, o raio de Venus h. As tangentes a Venus de S e E tocam Venus ao longo dos círculos I e II, respectivamente, cujos diâmetros no plano SEV chamaremos de AB e CD, respectivamente. Como \[AB\perp SV \ e \ CD\perp EV\] o ângulo entre os planos de ambos os círculos é igual ao ângulo \[\varphi=SVE\] entre suas normais VS e VE. A projeção da porção de Venus que é iluminada pelo sol e visível da terra sobre o plano do circulo II consiste no semicírculo com raio central VC e área \[\left(\pi/2\right)h^2\]   e a projeção do semicírculo com raio central VB, tendo área \[\left(\pi/2 \right)h^2\cos \varphi.\] (A área da projeção de uma superfície plana sobre um plano é igual ao produto da área da superfície e o cosseno do ângulo entre os dois planos.)





 A radiação emetida por Venus para a terra é assim exatamente a mesma que aquela da superfície em V perpendicular aos raios, com área \[J=\frac{1}{2}\pi h^2\left(1+\cos \varphi\right).\]



Se 1 cm² desta superfície a uma distância&nbsp;1 fornece uma intensidade luminosa c, a superfície inteira gera uma intensidade luminosa cJ e a uma distância VE=r a intensidade luminosa é \[B=\frac{cJ}{r^2}=\frac{c\pi h^2}{2}\cdot \frac{1+\cos \varphi}{r^2}.\]

 

&nbsp;  

Consequentemente, a intensidade luminosa atinge um máximo quando o fator \[f=\frac{1+\cos \varphi}{r^2}\] alcança seu maior valor.

Agora, de acordo com o teorema do cosseno, como aplicado ao triângulo SEV, \[\cos \varphi = \frac{r^2+b^2-a^2}{2br},\] e consequentemente, \[f=\frac{1}{2br}+\frac{1}{r^2}-\frac{a^2-b^2}{2br^3}.\]

Esta expressão tem a forma \[f=Ax+Bx^2-Cx^3,\] onde \[A=\frac{1}{2b},\ B=1, \ C=\frac{a^2-b^2}{2b}\]

são constantes e \[x=\left(1/r\right)\] é variável. Devemos agora tornar a função f(x) tão grande quanto possível fazendo uma escolha adequada para x. Como a curva da função mostra, f inicialmente cresce a medida que x (&gt;0) cresce; em um certo ponto x=m atinge seu valor máximo, e então decresce.&nbsp;



Para todo x≠m (positivo), segue que, \[Ax+Bx^2-Cx^3&lt;Am+Bm^2-Cm^3.\]

De acordo com x&gt;a (ou x&lt;a), escrevemos esta desigualdade como

\[C\left(m^3-x^3\right)&lt;A\left(m-x\right)+B\left(m^2-x^2\right)\]

ou

\[C\left(x^3-m^3\right)&gt;A\left(x-m\right)+B\left(x^2-m^2\right),\]

dividindo ambos os lados por m-x e x-m, respectivamente descobrimos que a função \[C\left(m^2+m+x^2\right)\]&nbsp; é menor que a função \[A+B\left(m+x\right)\] quando x&lt;m, e maior quando x&gt;m. Como estas duas funções continuas crescem uniformemente, elas devem atingir valores iguais no ponto x=m, de forma que

\[C\left(m^2+m^2+m^2\right)=A+B\left(m+m\right).\]

Desta equação segue que

\[m=\frac{B+\sqrt{B^2+3CA}}{3c}.\]

Substituindo aqui os valores de A, B, C, encontramos para a distância desejada r=1/m o valor

\[r=\sqrt{3m^2+b^2}-2b.\]

De forma que conhecemos agora todos os lados do triângulo SEV para a posição ótima (a:b:r=1:0.7233:0.4304), e a distância angular buscada de Venus ao sol é 39º43.5’.



REFERÊNCIAS
&nbsp;

DÖRRIE, H. 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution. Dover Publications, New York.

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