Aula 01 - Matrizes - Enem 2018 
Autor: Flavio Bacelar | Publicado: 2017-07-09T12:04:00-03:00


Definição


Uma matriz real A de ordem $m × n$  é uma tabela de múmeros reais,
dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n são números inteiros positivos.

Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por
$A_{m×n} \Re$ . Neste curso, como só trabalharemos com matrizes reais, usaremos
a notação simplificada $A_{m×n} $, que se lê “A m por n”. Também podemos
escrever A = ($a_{ij}$), onde i $\in$ {$1, ...,m$}  é o índice de linha e j $\in$ {1, ..., n} é o índice de coluna do termo genérico da matriz. Representamos o conjunto de todas as matrizes reais “m por n”por $M_{m×n} \Re$ . Escrevemos os elementos de uma As barras simples são usadas matriz limitados por parênteses, colchetes ou barras duplas.<!-- Insert content here -->




Exemplo






1. Uma matriz ${3 \times 2}$ :
      



$\left ( \begin{array}{ccc}
1 &amp;  10\\
2 &amp;  11\\
10 &amp; 20\\
\end{array}
\right) $






2. Uma matriz ${2 \times 2}$ :
      



$\left ( \begin{array}{ccc}
3 &amp;  4\\
5 &amp; 15\\
\end{array}
\right) $




3. Uma matriz ${3 \times 1}$ :
      



$\left ( \begin{array}{c}
-3 \\
5 \\
1\\
\end{array}
\right) $




De acordo com o número de linhas e colunas de uma matriz, podemos destacar os seguintes casos particulares:




• m = 1: matriz linha



• n = 1: matriz coluna



• m = n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas $A_n$ e dizemos que “A é uma matriz quadrada de ordem n”. Representamos o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n por $M_n\Re$ (ou, simplesmente,por $M_n$).
 



Exemplo 2

  1. Uma matriz ${1 \times 4}$ :
      



$\left ( \begin{array}{cccc}
1 &amp;  10&amp; 5&amp; 7\\

\end{array}
\right) $

   



2. Uma matriz ${3 \times 1}$ :
      



$\left ( \begin{array}{c}
1 \\
10\\
17\\

\end{array}
\right) $





3. matriz quadrada de ordem 2:

 $\left ( \begin{array}{cc}
1&amp;22 \\
10&amp;11\\


\end{array}
\right) $




Os elementos de uma matriz podem ser dados também por fórmulas, como ilustra o pr´oximo exemplo.






Exemplo 3



Vamos construir a matriz A$\in M_{2 \times 4}(\Re)$




\[ a_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll}
i^2 + j&amp; \mbox{se $i \doteq j$};\\
i-2j &amp; \mbox{se $i \neq j$}.\end{array} \right. \] 







A matriz procurada é do tipo A= $\left ( \begin{array}{cccc}
a_{11}&amp;a_{12}&amp;a_{13}&amp;a_{14} \\
a_{21}&amp;a_{22}&amp;a_{23}&amp;a_{24} \\
\end{array}
\right) $ 



Seguindo a regra de formação dessa matriz, temos:
 



$a_{11}=1^2+1=2$

$a_{22}=2^2+2=6$ 



$a_{12}=1-2(2)=-3$

$a_{13}=1-2(3)=-5$

$a_{14}=1-2(4)=-7$

$a_{21}=2-2(1)=0$

$a_{23}=2-2(3)=-4$

$a_{24}=2-2(4)=-6$







Logo, A= $\left ( \begin{array}{cccc}
2&amp;-3&amp;-5&amp;-7 \\
0&amp;6&amp;-4&amp;-6 \\
\end{array}
\right) $ 







Igualdade de matrizes

O próximo passo é estabelecer um critério que nos permita decidir se duas matrizes são ou não iguais. Temos a seguinte definição:
Duas matrizes A,B $\in$ $M_{m\times n}\Re$, A = $(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$, são iguais quando $a_{ij}=b{ij}$, $\forall$ i $\in$ ${1,\ldots ,m}$, $\forall$ j $\in$ ${1, \ldots, n}$.




Exemplo 4




Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes
$\left ( \begin{array}{cc}
2a&amp;3b \\
c + d&amp;6 \\
\end{array}
\right) $ e
$\left ( \begin{array}{cc}
4&amp;-9\\
1&amp;2c \\
\end{array}
\right) $



$\left ( \begin{array}{cc}
2a&amp;3b \\
c + d&amp;6 \\
\end{array}
\right) = \left ( \begin{array}{cc}
4&amp;-9\\
1&amp;2c \\
\end{array}
\right) $$\Rightarrow$
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
2a&amp;= \,4\\
3b&amp;=\,-9\\
c + d&amp;= \,1\\
6&amp;= \,2c\\\end{array} \right. \]

 



Daí, obtemos a = 2, b = -3, c = 3 e d = -2.
 



Numa matriz quadrada A = ($a_{ij}$), i,j ¸ {1,$\ldots$ n}, destacamos os seguintes
elementos:



• diagonal principal: formada pelos termos $a_{ii}$ (isto é, pelos termos com índices de linha e de coluna iguais).



• diagonal secundária: formada pelos termos $a_{ij}$ tais que i + j = n.



Exemplo 5



Seja



$\left ( \begin{array}{cccc}
3&amp;-2&amp;0&amp;1 \\
5&amp;3&amp;-2&amp;7 \\
\frac{1}{2}&amp;-3&amp;\pi&amp;14 \\
-5&amp;3&amp;-1&amp;6 \\
\end{array}
\right) $



A diagonal principal de A é formada por: 3, 3, $\pi$ , 6



A diagonal secundária de A é formada por: 1,.2,.3,.5 


Matrizes quadradas especiais






No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar
alguns tipos especiais. Seja A = ($a_{ij}$) ¸ $M_{n}$($\Re$). Dizemos que A é uma
matriz



• triangular superior, quando $a_{ij}$ = 0 se i &gt; j (isto é, possui todos os
elementos abaixo da diagonal principal nulos).



• triangular inferior, quando $a_{ij}$ = 0 se i &lt; j (isto é,, possui todos os
elementos acima da diagonal principal nulos).



• diagonal, quando $a_{ij}$ = 0 se i $\neq$ j (isto é,, possui todos os elementos
fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal é, ao mesmo
tempo, triangular superior e triangular inferior.



• escalar, quando $a_{ij}$\[ \left\{ \begin{array}{ll}
0&amp;se\, i\neq j\\
k&amp;se\, i=j \\\end{array} \right. \], para algum k $\in$$\Re$. Isto é, uma
matriz escalar é diagonal e possui todos os elementos da diagonal principal
iguais a um certo escalar k. 



• identidade, quando $a_{ij}$\[ \left\{ \begin{array}{ll}
0&amp;se\, i\neq j\\
1&amp;se\, i=j \\\end{array} \right. \]. Isto ´e, a identidade é uma
matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais
a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por $I_n$.




Exemplo 6 




classificação





Uma matriz é dita triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.




$\left ( \begin{array}{cccc}
a_{11}&amp;a_{12}&amp;\ldots&amp;a_{1n} \\
 0 &amp;a_{22}&amp;\ldots&amp;a_{2n} \\
\vdots&amp;\vdots&amp;\ddots&amp;\vdots \\
0&amp;0&amp;\ldots&amp;a_{nn} \\
\end{array}
\right) $



Se os elementos acima da diagonal principal são nulos, então a matriz é dita triangular inferior.
       



$\left ( \begin{array}{cccc}
a_{11}&amp;0&amp;\ldots&amp;0 \\
a_{21} &amp;a_{22}&amp;\ldots&amp;0\\
\vdots&amp;\vdots&amp;\ddots&amp;\vdots \\
a_{n1}&amp;a_{n2}&amp;\ldots&amp;a_{nn} \\
\end{array}
\right) $







A matriz nula é uma matriz em que todos os elementos são nulos.




$\left ( \begin{array}{cccc}
0&amp;0&amp;\ldots&amp;0 \\
0 &amp;0&amp;\ldots&amp;0\\
\vdots&amp;\vdots&amp;\ddots&amp;\vdots \\
0&amp;0&amp;\ldots&amp;0 \\
\end{array}
\right) $

 



Exemplo 7



São matrizes identidade:




$I_1$=[1]  



$I_2$=   $\left ( \begin{array}{cc}
1&amp;0 \\
0 &amp;1\\
\end{array}
\right) $
  



$I_3$=   $\left ( \begin{array}{ccc}
1&amp;0&amp;0 \\
0 &amp;1&amp;0\\
0 &amp;0&amp;1\\
\end{array}
\right) $





$I_4$=   $\left ( \begin{array}{cccc}
1&amp;0&amp;0&amp;0 \\
0 &amp;1&amp;0&amp;0\\
0 &amp;0&amp;1&amp;0\\
0 &amp;0&amp;0&amp;1\\
\end{array}
\right) $
 



De modo geral, sendo n um n´umero natural maior que 1, a matriz



identidade de ordem n é: 



$I_n$=   $\left ( \begin{array}{cccccc}
1&amp;0&amp;0&amp;\ldots&amp;0&amp;0 \\
0&amp;1&amp;0&amp;\ldots&amp;0&amp;0 \\
0&amp;0&amp;1&amp;\ldots&amp;0&amp;0 \\
\vdots&amp;\vdots&amp;\vdots&amp;\vdots&amp;\vdots&amp;\vdots \\
0&amp;0&amp;01&amp;\ldots&amp;1&amp;0 \\
0&amp;0&amp;01&amp;\ldots&amp;01&amp;1 \\
\end{array}
\right) $
 



Definição
A matriz nula em $M_{m\times n}(\Re)$ ´e a matriz de ordem m × n que possui todos os
elementos iguais a zero. 



Exemplo 8



Matriz nula $2\times3$:




$\left [ \begin{array}{ccc}
0&amp;0&amp;0 \\
0 &amp;0&amp;0\\

\end{array}
\right] $



Matriz nula 5 × 2:




$\left [ \begin{array}{cc}
0&amp;0 \\
0 &amp;0\\
0&amp;0 \\
0 &amp;0\\
0 &amp;0\\
\end{array}
\right] $ 



Matriz Oposta 



Definição
Dada A = ($a{ij}$) $\in$ $M_{m\times n}(\Re)$, a oposta de A é a matriz B = ($b{ij}$) $\in$ $M_{m\times n}(\Re)$
tal que $b_{ij}$ = $-a_{ij}$ , $\forall$ i $\in$  {1,$\ldots$ ,m},$\forall$ j $\in$  {1, $\ldots$ , n}. Ou seja, os elementos
da matriz oposta de A s.ao os elementos opostos aos elementos de A.
Representamos a oposta de A por -A. 



Exemplo 9   



A oposta da Matriz $A=\left [ \begin{array}{ccc}
3&amp;-1 &amp;0\\
2&amp;\sqrt{3} &amp;4\\
12&amp;0 &amp;-8\\
-6&amp;10&amp;-2\\

\end{array}
\right] $  



é a Matriz:



$-A=\left [ \begin{array}{ccc}
-3&amp;1 &amp;0\\
-2&amp;-\sqrt{3} &amp;-4\\
-12&amp;0 &amp;8\\
6&amp;-10&amp;2\\

\end{array}
\right] $