GEOMETRIA ANALÍTICA
Autor: Prof.: JOCA | Publicado: 2010-08-26T11:27:00-07:00

GEOMETRIA ANALITICAA geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna.Por aquilo que dela é ensinado nos livros escolares, pode-se explicar a geometria analítica de uma forma mais simples: a disciplina procura definir formas geométricas de modo numérico e extrair informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vetor ou uma forma.René Descartes criou as fundações para os métodos da geometria analítica em 1637 no apêndice intitulado Geometria do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.Exemplo:Ao par ordenado de números reais:(0,0) está associado o ponto O (origem);(3,2) está associado ao ponto A;(− 1, 4) está associado o ponto B;(−2,−3) está associadoo ponto C;(2, − 1) está associado o ponto D.Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o número 3 é a coordenada x ou abscissa do ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A.Observações:1. Os eixos x e y chamam-se eixos coordenados e dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes cuja identificação é feita conforme a figura. O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante.2. Se o ponto P pertence ao eixo x, suas coordenadas são (a, 0), com a ε  .3. Se o ponto P pertence ao eixo y, suas coordenadas são (0, b), com b ε  .EXERCÍCIOS05) Determine as coordenadas dos pontos indicados na figura  e de seus simétricos: Resolução:A(2;5)  B(5;2)   C(-4;3)  D(-1;-6)   E(3;-4)Simétricos:A’(-2;5)  B’(-5;2)   C’(4;3)  D’(1;-6)   E’(-3;-4)02. Sabendo que P(2m+ 1, – 3m – 4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores reais de m.Resolução:Para o valor da coordenada x, temos: Para o valor da coordenada y temos: Sendo assim temos:  AULA 34 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS1º Caso: O segmento AB é paralelo ao eixo Ox.  2º Caso: O segmento AB é paralelo ao eixo Ou. 3º Caso: O segmento AB não é paralelo a nenhum dos eixos.Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, que será indicada por dAB, é a medida do segmento de extremidades A e B.dAB  distância entre os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) depende das coordenadas dos mesmos, e é determinado através do Teorema de Pitágoras. Veja: EXERCÍCIOS03. Calcule a distância entre os pontos dados:a) A(3, 7) e B(– 1, 4)b) P(3, – 1) e Q(3, 2)c) A(0, – 2) e B( 5 ,– 4)Resolução:   04. Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas: A(1, 5), B(–2, 1) e C(4, 1).Resolução:    p=5+5+6= 1605 Sabendo que o ponto P pertence ao eixo das abscissas (Ox) e está eqüidistante dos pontos     A(4, 2) e B(8, –2), determinar suas coordenadas.Resolução: O ponto P tem coordenadas(6;0)06. Na figura abaixo os pontos A, B, C e D representam a localização de quatro alunos do    2ª EM A : Danilo, Diego, Sayuri e Vitor respectivamente, onde suas distâncias são medidas em metros. Nessas condições, determine a distância entre Sayuri e Vitor. Sabendo-se que Sayuri está eqüidistante de Danilo e Diego. Resolução:  A distância entre os pontos C(-4;0) e D(0;0) pode ser determinada por: AULA 35 – COORDENADAS DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO.Dado um segmento de reta AB tal que A(x1, y1) e B(x2, y2) são pontos distintos, temos um ponto M(xM, yM) médio do segmento.As coordenadas do ponto médio são dadas  por: COORDENADAS DO BARICENTRO DE UM TRIÂNGULOEm triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e  C(xC, yC) no plano cartesiano, as coordenadas do baricentro, xG e yG, são:EXERCÍCIOS07. Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB, em cada caso:a) A(2,1) e B(0, 6)b) A(5, 6) e B(- 6, - 8)c) A(7, -1) e B(4, -4)Resolução:  08. Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(– 2, – 2). Sabendo-se que M(3, – 2) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x, y), que é a outra extremidade do segmento.Resolução: 09. Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sendo A(5, 2), B(1, -2) e C(4, 5).Resolução:  AULA 36 – CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOSDados três pontos no plano cartesiano A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), podemos verificar se os mesmos estão alinhados através do seguinte determinante: •  Se Δ = 0, então os pontos estão alinhados;• Se Δ ≠ 0, então os pontos não estão alinhados. Quando os pontos não estão alinhados eles formam um triângulo.EXERCÍCIOS10. Verifique se os pontos, dados abaixo, estão alinhados:a) A(– 1, 3); B(2, 4) e C(– 4, 10)Resolução: b) A(0, 2); B(– 3, 1) e C(4, 5)Resolução:  11. (PUC-MG) Calcule o valor de t sabendo que os pontos  ,   e C(−1, 6) são colineares.Resolução: AULA 36 –ÁREA DE UM TRIÂNGULOPodemos determinar a área de uma região triangular utilizando apenas as coordenadas dos vértices do triângulo. A área do triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) é dado por: ÁREA DE UM POLÍGONO CONVEXOA área de um polígono convexo qualquer pode ser obtida dividindo-o em triângulos distintos e, a seguir calculando-se a soma das áreas desses triângulos.EXERCÍCIOS12.Determine a área da região triangular cujos vértices são os pontos A(1, 2); B(– 2, 4) e C(4, – 2).Resolução: 13.Calcule a área do triângulo da figura: Resolução:  14.Determine o valor de x para que os pontos      A(2,- 3), B(x, 7) e C(x, 1) sejam:a) ColinearesResolução: b) os vértices de um triângulo.Resolução:Para que sejam os vértices de um triângulo o determinante deve ser diferente de 0, sendo assim x ≠ 2.15.O terreno do Sr. Ivo  tem a forma triangular, e seus vértices no sistema cartesiano são dados pelos pontos P(2 ,6), Q(-3, 9) e W(0, 10). Sabendo que as medidas do terreno são em metros e o metro quadrado do terreno custa R$ 12,00. Qual o preço do terreno?Resolução: 16. Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). Determine o valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área. Resolução: A área S1 do quadrilátero ABCD A área S2 do triângulo CHB é:  Se a cerca reta perpendicular ao lado AB divide ABCD em dois lotes de áreas iguais, então a cerca reta está à direita do ponto C e origina dois lotes de área 4 cada um, conforme a figura: A área do triângulo isósceles EPB é 4.Logo AULA 37- EQUAÇÃO GERAL DA RETA.Podemos calcular a equação de uma reta partindo de dois de seus pontos e utilizando a condição de alinhamento de três pontos vista anteriormente.Portanto, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) com coordenadas conhecidas e um terceiro ponto P(x,y) genérico, temos:  Desenvolvendo este dispositivo, temos a equação geral da reta da forma:ax +by+c = 0EXERCÍCIOS17. (Fuvest-SP) Dados os pontos A(2, 3) e B(8, 5), determine a equação da reta que passa por eles.Resolução: 18.. (Mack-SP) Qual a equação da reta r da figura? Resolução: 19.Se um triângulo tem como vértices os pontos     A(2, 3); B(4, 1) e C(6, 7), determine uma equação geral da reta suporte da mediana relativa ao lado  .Resolução:  20. Uma formiga se desloca num plano, ao longo de uma reta. Passa pelo ponto (1, –2) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea de outra formiga, nesse mesmo plano, descrita pela equação y + 2x = 8.Determine a  equação da reta que representa a trajetória da primeira formiga .Resolução:A menor distância entre um ponto e uma reta está sobre a perpendicular a esta reta que passa pelo ponto. O coeficiente angular de ma reta perpendicular a outra reta de coeficiente angular m, é -1/m. Assim:y=-2x+8.....m=-2então a reta perpendicular deve ter coeficiente angular igual a :       -1/m=1/2Reta que passa por (1,-2) com coef ang igual ½: Exercícios Resolvidos Aula 34 – Ex. 03  e 04 –  ág 0403) Determinar o ponto P do eixo das abcissas, eqüidistante dos pontos A(6;5) e B(-2;3) 04) dados A(x;6); B(-1;4) e C(5;2) determinar o valor de x de modo que o triângulo ABC seja isósceles de base BC. Aula 35 – Ex. 05 –  ág 0605) Determine a medida da mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC , sendo A(4;6), B(5;1) e C(1;3). Aula 36 – Ex. 03, 04 e 05 –  ág 0703) Dados A(x;2), B(3;1) e C(-1; -2), determinar o valor de x, sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 4. 04)Verificar se os pontos a(-2;-3), B(1;2) e C(5;4) estão alinhados. 05) Para que valores de m, os pontos A(0;m),     B(-2;4) e C(1; -3) estão alinhados?