Estudo das matrizes- 2º ano médio
Autor: Elicio Chaves | Publicado: 2012-05-14T08:04:00-07:00



           Estudo das&nbsp;matrizes         
27 de junho de 2008 às 03:10 | Publicado em Matemática  |  10 Comentários 

    
MATRIZES

O que é uma matriz?

matrizes são como tabelas em que tem linhas e colunas, a coordenada de uma matriz é definida por linha e coluna.

Elementos básicos para a construção de matrizes
Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:


N={1,2,3,4,5,6,7,…}
O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares 
ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:


N×N={(a,b): a e b são números naturais }
Uma relação importante em N×N é:


Smn={(i,j): 1&lt;i&lt;m, 1&lt;j&lt;n}



Definição de matriz
Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um número real (ou complexo).


Uma forma comum e prática para representar 
uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n 
números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a 
letra A.



a(1,1)
a(1,2)
…
a(1,n)


a(2,1)
a(2,2)
…
a(2,n)


…
…
…
…


a(m,1)
a(m,2)
…
a(m,n)







Definições básicas sobre matrizes

Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].
Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.
A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:

a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), …, a(n-1,2), a(n,1)

Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.
Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.
Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.





Exemplos de matrizes

Matriz 4×4 de números reais:



12
-6
7
18


-23
-24
0
0


0
0
5
0


0
0
0
9




Matriz 4×4 de números complexos:



12
-6+i
7
i


-i
-24
0
0


0
0
5+i
5-i


0
0
0
9




Matriz nula com duas linhas e duas colunas:



0
0


0
0




Matriz nula com três linhas e duas colunas:



0
0


0
0


0
0




Matriz identidade com três linhas e três colunas:



1
0
0


0
1
0


0
0
1




Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:



23
0
0
0


0
-56
0
0


0
0
0
0


0
0
0
100







Matrizes iguais

Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de 
mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos 
são iguais, isto é:

a(i,j) = b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em Smn.



Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:







1
2


3
4




=




x-1
y-1


x+y
x2











Soma de matrizes e suas propriedades

A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por:

c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.