Autor: Graduandos 2012 em Matemática | Publicado: 2010-12-22T14:53:00-08:00


Autarquia Educacional de Afogados da Ingazeira – AEDAI

Faculdade de Formação de Professores de Afogados da Ingazeira – FAFOPAI



Franklly Gonçalves da Silva

4° período de Matemática





CURVAS CÔNICAS E SUAS APLICAÇÕES





RESUMO



O presente trabalho tem como objetivo a interligação de abordagens, partindo da Geometria Dinâmica e chegando a provas matemáticas. O objetivo é despertar o sentimento de prazer e evidenciar o verdadeiro significado de "fazer matemática": tornar real, concreto e mais simples para alunos e professores o caminho explorar-conjeturar-demonstrar, base da construção do conhecimento científico. E mostrar que a Matemática, mais precisamente a geometria, como um instrumento de utilidade social, evidenciando as aplicações das formas cônicas em diversas áreas e a importância do estudo desse conteúdo para a vida dos alunos. Observa-se que com a evolução da ciência, das artes e da arquitetura, há uma preocupação maior com esse tipo de conhecimento para suprir suas necessidades.



Palavras-chave: significado, real, conhecimento científico, formas cônicas.



1. INTRODUÇÃO



Sabemos que todas as coisas ocupam espaço: objetos, pessoas, animais, pedras, plantas... A preocupação de melhor aproveitar esse espaço leva algumas pessoas a observar as formas dos objetos, suas medidas, suas regularidades e irregularidades.

Em Matemática nos referimos às formas dos objetos, por formas geométricas, e o estudo destas formas é estudado por um dos mais importantes ramos da Matemática: a Geometria. Durante muito tempo, houve uma divisão entre Geometria e Matemática. Depois, a Geometria passou a ser ensinada dentro dos conteúdos da área/disciplina de Matemática, mas era sempre relegada ao último mês, aparecendo, geralmente, no capítulo final dos livros didáticos. Com isso, muitos de nós, professores, tivemos uma formação deficitária nesta área. Hoje, com o avanço das pesquisas em Educação Matemática percebemos que a Geometria está presente não só nos livros didáticos, mas no nosso cotidiano.

Documentos históricos mostram que as questões relacionadas à geometria estavam inicialmente associadas a problemas relativos à medida da terra. Logo a definição de geometria é geo = terra, metria = medida, logo, medida da terra.

Explorando imagens e objetos do nosso dia-a-dia, podemos aprender a ler e explorar a geometria das coisas ao nosso redor.



2. ORIGENS DAS CÔNICAS



As Cônicas foram estudadas por Menecmo, Euclides e Arquimedes. A elipse, a parábola e a hipérbole eram obtidas como seções de cones circulares retos com planos perpendiculares a um dos elementos do cone, conforme variação do ângulo no vértice (agudo, reto ou obtuso). Menecmo descobriu a elipse pesquisando sobre a parábola e a hipérbole, pois ofereciam as propriedades necessárias para a solução da duplicação do cubo. Também era de seu conhecimento as equações das curvas conforme a sua seção: quando formada por seção de um cone circular retângulo era (uma constante), quando seção de cone acutângulo e quando seção de cone obtusângulo. O tratado sobre as cônicas estava entre algumas das mais importantes obras de Euclides, porém se perdeu pelo fato do trabalho escrito por Apolônio ser mais extenso.

A obra de nível mais avançado foi precisamente aquela feita por Apolônio de Perga, que substituiu qualquer estudo anterior. O tratado sobre as Cônicas certamente foi uma obra-prima de Apolônio e teve grande influência no desenvolvimento da matemática. Devido fundamentalmente a este estudo sobre as cônicas ele era conhecido como o "Geômetra Magno".



3. AS SEÇÕES CÔNICAS



Considerando-se uma superfície cônica gerada por uma reta chamada geratriz, que gira em torno de uma reta chamada de eixo e mantendo-se fixa em um ponto chamado vértice e tendo como diretriz uma circunferência, obtém-se um cone duplo. A reta geratriz forma com o eixo certo ângulo α. Considerando este cone duplo, secionado por um plano secante, dependendo do ângulo que este plano secante formar com o eixo, teremos uma das três curvas cônicas: a elipse, a hipérbole ou a parábola. 



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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Elipse &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Hipérbole &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Parábola





Sendo assim, quando o plano secante é oblíquo ao eixo, mas o ângulo dele com o plano da base é menor do que o ângulo entre a geratriz do cone e o plano da base a curva resultante chama-se Elipse.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Assim, a hipérbole ocorre quando o plano secante é paralelo ou oblíquo ao eixo, mas o ângulo dele com o plano da base é maior do que o ângulo entre a geratriz do cone e o plano da base. E a parábola é quando o plano secante é obliquo ao eixo, mas sua inclinação é igual ao ângulo entre a geratriz do cone e o plano da base.



4. AS CÔNICAS NA NATUREZA



Estas curvas podem ser encontradas na natureza e por esse motivo foram objeto de estudo para diversos matemáticos. A elipse, por exemplo, corresponde à geometria das órbitas de alguns planetas e cometas. A hipérbole corresponde à geometria das trajetórias de alguns cometas e de outros corpos celestes. A parábola corresponde à trajetória de um projétil lançado num campo gravitacional, o que se pode verificar com a trajetória de um jacto d’ água. A elipse pode ainda ser encontrada na forma da luz de uma lanterna projetada numa superfície plana. 



5. AS CÔNICAS NA ENGENHARIA E ARQUITETURA



Em engenharia e arquitetura como no caso das pontes, pórticos, cúpulas, torres e arcos, usam-se as cônicas devido às suas propriedades físicas e até mesmo estéticas. Um Exemplo é o cabo de suspensão de uma ponte, quando o peso total é uniforme distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, toma a forma de uma parábola, como se pode ver na Figura.







Outro exemplo é a planta do Coliseu em Roma, como se pode ver na Figura.







Na representação Arquitetônica nada melhor do que Oscar Niemeyer, arquiteto famoso, principalmente, pelas curvas impostas a edificações de arquitetura singular em Brasília e pelas formas revolucionárias de seu estilo arquitetônico. Oscar Niemeyer tem um gênio de artista e vê a arquitetura de forma única: "De um traço nasce a arquitetura. E quando ele é bonito e cria surpresa, ela pode atingir, sendo bem conduzida, o nível superior de uma obra de arte."

Oscar Niemeyer nasceu no Rio de Janeiro, em 1907. Em 1934, diplomou-se como engenheiro e arquiteto no Rio de Janeiro. Iniciou sua vida profissional no escritório do arquiteto Lúcio Costa, que projetou o Plano-Piloto de Brasília. Oscar Niemeyer projetou várias obras no Brasil e em vários outros países, entre elas o conjunto da Pampulha, em

Belo Horizonte, o conjunto Ibirapuera, em São Paulo, os principais prédios de Brasília, o Museu de Arte Contemporânea e muitas outras obras importantes.

Em muitas das suas obras é bem visível o traçado da tangência e concordância de arcos de circunferência e curvas cônicas. As Figuras a seguir apresentam algumas obras que evidenciam exemplos desses traçados e entre elas apresentam-se algumas citações de Oscar Niemeyer.





Conjunto da Pampulha. Igreja de São Francisco - Belo Horizonte, 1940.





Catedral de Brasília. Brasília,1958.



"De modo que apesar de todos os problemas, trouxe muita coisa boa e foi para mim uma experiência fantástica, é lógico que eu trabalhei sempre com muita determinação. Eu não me preocupava com a opinião de ninguém eu não via livro de arquitetura. Eu queria, por exemplo, na Praça dos Três Poderes fazer uma arquitetura mais leve, os prédios como que sempre apenas tocando o chão. Era uma opção como outra qualquer que eu não vou repetir."





Sede do Partido Comunista Francês. Paris, 1967.





Editora Mondadori. Segrate, Milão, 1968.



"Na sede da editora Mondadori mostrei como é importante manter exteriormente um jogo harmonioso de volumes e espaços livres, mantendo as arcadas em vãos desiguais; no ritmo diferente, quase musical que a caracteriza"





Bolsa do Trabalho. Bobigny, França, 1972.



"Mostrei como é possível fazer obra econômica, dando ao bloco principal maior economia, enriquecendo-o pelo contraste com as formas livres do auditório."



6. AS CÔNICAS NA ASTRONOMIA



A importância do estudo de Apolônio sobre as cônicas dificilmente pode ser questionada. Temos a inegável influência dele sobre os estudos de Ptolomeu. Este foi astrônomo e geógrafo e fez observações em Alexandria de 127-151 d.C.. Suas obras mais famosas são o Almagesto (astronomia) e a Geografia (8 volumes). Ptolomeu introduziu o sistema de latitude e longitude tal como é usado hoje em cartografia e usou métodos de projeção e transformações estereográficas. Este estudo faz uso de um Teorema de Apolônio que diz que todo cone oblíquo tem duas famílias de seções circulares. As Cônicas de Apolônio também tiveram forte influência nos estudos de Kepler. O interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica e à construção de espelhos parabólicos. Em 1.609, Kepler edita a Astronomia Nova, onde apresenta a principal lei da astronomia: "os planetas descrevem órbitas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos". A propósito, a palavra foco é devida a Kepler e provém da forma latinizada foccus cujo significado é fogo, lareira. Outra aplicação prática das cônicas aparece na obra de Galileu (1.632), onde "desprezando a resistência do ar, a trajetória de um projétil é uma parábola". Galileu se reporta à componente horizontal e à componente vertical de uma parábola. Foi a Matemática pura de Apolônio que permitiu, cerca de 1.800 anos mais tarde, os "Principia” de Sir Isaac Newton.



7. AS CÔNICAS NA ÓPTICA E NA ACÚSTICA



As propriedades ópticas e acústicas não são exclusivas da parábola. De fato, um raio que passe por um dos focos reflete-se na direção do outro foco, tanto na elipse, como na hipérbole, que ao rodar em torno do seu eixo de simetria, gera uma superfície parabólica ou parabolóide.

Todas as superfícies geradas por cônicas, parabolóides, elipsóides, hiperbolóides, têm propriedades refletoras. Usam-se, por exemplo, nos espelhos e antenas parabólicas ou para criar condições acústicas especiais em auditórios, teatros, catedrais.

O interesse dos espelhos parabólicos resulta das seguintes propriedades da parábola e do parabolóide: Todo o raio luminoso que incide num espelho parabólico, paralelamente ao eixo, reflete-se passando por um ponto fixo, designado por foco. Reciprocamente, todo o raio luminoso que incide no espelho parabólico passando pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo.



8. AS CÔNICAS NA TECNOLOGIA



As parábolas fazem parte do cotidiano das pessoas, ainda que estas muitas vezes não percebam. As antenas parabólicas, por exemplo, que são objetos muito comuns nas residências, utilizam uma superfície denominada parabolóide, que se origina ao girar a parábola em torno do seu eixo de simetria. Este parabolóide serve para refletir as ondas eletromagnéticas emitidas por satélites, para o foco da parábola, onde se encontra o aparelho receptor que as converterá em um sinal que a TV transformará em ondas, que representam os programas que as pessoas assistem.

É possível observar também a aplicação da propriedade das parábolas nos faróis dos carros, nos holofotes, fornos solares, em lanternas e muitos outros objetos.

Outro exemplo é o sistema LORAN de localização em navegação. Permite ao navegante de um navio ou avião achar sua posição sem confiar em marcos visíveis, usando para isso o conceito de lugar geométrico que define a hipérbole.



9. CONCLUSÕES



Acreditamos que a exploração de um determinado assunto através de múltiplos enfoques tem maior probabilidade de despertar uma motivação legítima no aluno, além de tornar o estudo do tema em questão mais abrangente e aumentando a compreensão das definições e dos conceitos geométricos envolvidos neste estudo. Além disso, a construção de modelos usando Geometria

Dinâmica permite o exame de uma ampla variedade de exemplos, favorecendo o estabelecimento de conjecturas razoáveis e mostrando caminhos a serem seguidos para a obtenção da necessária prova matemática dessas suposições.



10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

F.I.C. (1954). Elementos de Geometria. Rio de Janeiro.

Gomes, F., &amp; Lima, Y. Xeq Mat - Matemática 12º ano. Editorial O Livro.

http://www.niemeyer.org.br/0scarNiemeyer%20-%20Acessado%20em%2012/12/2010

Neves, M. A. F. Geometria I- Matemática 10º ano: parte 1. Porto: Porto Editora.



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COMENTÁRIO: Imagine a reação de uma pessoa que fez seu trabalho com pesquisa, ao ler um trabalho se depara com o seu com o nome de outra pessoa..... ou ler o trabalho e não corresponder ao gênero pesquisado.









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