Matemática - Função Quadrática.
Autor: Luana Brito | Publicado: 2011-05-15T17:01:00-07:00

Função       Quadrática 
&nbsp; Definição
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma  f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
f(x) = 3x2 - 4x&nbsp; + 1, onde a =     3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c     = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b     = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8     e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e     c = 0

Gráfico
&nbsp;&nbsp;&nbsp; O gráfico de uma função polinomial do 2º grau,  y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.


 
     
           x           y         
           -3           6         
           -2           2         
           -1           0         
                               
           0           0         
           1           2         
           2           6         
        
       &nbsp;&nbsp;&nbsp; Observação:&nbsp;&nbsp; Ao construir o gráfico de uma função quadrática  y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:     se&nbsp;&nbsp; a &gt;     0, a     parábola tem a  concavidade voltada para cima;   
     se&nbsp;&nbsp; a &lt;     0, a     parábola tem a  concavidade voltada para baixo; 

Zero e Equação do 2º Grau&nbsp;&nbsp;&nbsp; Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau  f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.&nbsp;&nbsp;&nbsp; Então as raízes da função  f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau  ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
            
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Temos:&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Observação&nbsp;&nbsp; A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,&nbsp; chamado discriminante, a saber:     quando      é positivo,  há duas raízes reais e distintas;   
     quando      é zero, há  só uma raiz  real;   
     quando      é negativo,  não há raiz real.Coordenadas do vértice da parábola &nbsp;&nbsp; Quando  a &gt; 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um  ponto de mínimo V; quando  a &lt; 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um  ponto de máximo V.&nbsp; Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
Imagem
&nbsp;&nbsp; &nbsp; O conjunto-imagem  Im  da função  y = ax2 + bx + c,&nbsp; a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
 1ª - quando  a &gt; 0,         
               a &gt; 0             
       &nbsp;       
2ª quando  a &lt; 0,

               a &lt; 0             
&nbsp;
Construção da Parábola&nbsp;&nbsp; É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
     O valor do coeficiente a     define a concavidade da parábola;   
     Os zeros definem os pontos em     que a parábola intercepta o eixo dos x;   
     O vértice V      indica o ponto de mínimo (se a &gt; 0), ou máximo (se a&lt; 0);   
     A reta que passa por V e é     paralela ao eixo dos&nbsp; y é o eixo de simetria da parábola;   
     Para x = 0 , temos y = a · 02 +     b · 0 + c = c; então&nbsp; (0, c) é o ponto em que a parábola corta o     eixo dos y. 
Sinal&nbsp;&nbsp;  Consideramos uma função quadrática  y = f(x) = ax2 + bx + c   e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Conforme o sinal do discriminante  = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:1º -&nbsp;              &gt; 0
&nbsp;&nbsp; Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais         distintos (x1          x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da         função é&nbsp; o indicado nos gráficos abaixo:
                       quando a &gt;                         0                     
y &gt; 0 (x                 &lt; x1 ou x &gt; x2)
y &lt; 0 x1                 &lt; x &lt; x2       


                 
                       quando a &lt;                         0                     
               
y &gt; 0 x1               &lt; x &lt; x2
y &lt; 0                (x &lt; x1 ou x &gt; x2)2º               -&nbsp;                = 0                          

                 
                       quando a &gt;                         0                     
               
               &nbsp;                              
                     quando a &lt;                       0                   
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;               
3º               -&nbsp;                &lt; 0               
               
                 
                       quando a &gt;                         0                     
               
                              
                     quando a &lt;                       0                   
               &nbsp;Fonte: somatematica.com.br