NÚMEROS MÁGICOS E CONTAS DE DIVIDIR
Autor: Marcos Vier | Publicado: 2013-12-06T23:05:00-03:00


Temas muito inocentes de aritmética básica, como
contas de multiplicar, podem gerar resultados bastante interessantes e
surprendentes, como ao multiplicar o número 142857 por 2, 3, 4, 5, 6 e 7:



142857 × 2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 285714

142857 × 3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 428571

142857 × 4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 571428

142857 × 5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 714285

142857 × 6&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 857142



Por que razão acontece essa repetição dos dígitos de
142857 ao multiplicá-lo por 2, 3, 4, 5 e 6, sempre com a mesma ordem circular?
Será mera coincidência? Será possível obter outros exemplos desse tipo?

A resposta tem a ver com o resultado de 142857 × 7,
que é 999999. Isso quer dizer que o período da representação decimal de 1/7 é
exatamente 142857. Vamos examinar com cuidado a conta de divisão de 1 por 7:



&nbsp;


<!--[if !supportLists]-->10&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]--><!--[if gte vml 1]><v:group id="_x0000_s1026"
 style='position:absolute;left:0;text-align:left;margin-left:67.05pt;
 margin-top:2.5pt;width:28.8pt;height:7.2pt;z-index:251655168' coordorigin="4176,7488"
 coordsize="576,144" o:allowincell="f">
 <v:line id="_x0000_s1027" style='position:absolute' from="4176,7488" to="4176,7632"
  strokeweight=".25pt"/>
 <v:line id="_x0000_s1028" style='position:absolute' from="4176,7632" to="4752,7632"
  strokeweight=".25pt"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->7

<!--[if !supportLists]-->30&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->0,142857

&nbsp;20

&nbsp; 60

&nbsp;&nbsp; 40

&nbsp;&nbsp;&nbsp; 50

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1



repetindo o resto 1, o que
quer dizer que todo o processo se repete e o resultado da divisão é 1/7 =
0,142857142857142857…

Podemos reescrever o processo
assim:



&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 0 × 7 + 1

<!--[if !supportLists]-->10&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->= 1 × 7 + 3

<!--[if !supportLists]-->30&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->= 4 × 7 + 2

<!--[if !supportLists]-->20&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->= 2 × 7 + 6

<!--[if !supportLists]-->60&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->= 8 × 7 + 4


<!--[if !supportLists]-->40&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->= 5 × 7 + 5



<!--[if !supportLists]-->50&nbsp;&nbsp;&nbsp; <!--[endif]-->= 7 × 7 + 1.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Daí temos:

&nbsp;10 – 7 × 1 =
3, e portanto 100-7 × 10 = 30, e como 30 – 7 × 4 = 2 temos:

100 – 7 (10 + 4) = 2, e
analogamente obtemos:

1000 – 7 (100 + 40 + 2) = 6

10000 – 7 (1000 + 400 + 20
+8) = 4

100000 – 7 (10000 + 4000 +
200 + 80 + 5) = 5

1000000 – 7 (100000 + 40000
+ 2000 + 800 + 50 + 7 ) = 1



( A última igualdade diz que
142857 × 7&nbsp; = 999999)



Desta forma, os restos
sucessivos que aparecem na divisão de 1 por 7, que são 3, 2, 6, 4, 5, 1 são,
respectivamente, os restos na divisão por 7 de 10, 100, 1000, 10000, 100000 e
1000000. Estes restos assumem todos os valores possíveis entre 1 e 6 e isso
equivale ao fato de o período de 1/7 ter 6 casas. Desta forma, temos: 



2 × 0,142857142857142857… =
2/7 = 100/7–14&nbsp; = 100 × 0, 14285714
2857142857… – 14 = 0,285714285714285714…, e, portanto, temos 2 × 142857 =
285714



Da mesma maneira temos que
3/7 = 10/7 – 1 implica 3 × 142857 = 428571, e as outras igualdades seguem de
modo análogo.



Notemos agora que sempre que
o período da representação decimal de 1/n tiver n –1 casas decimais (que é o máximo possível), o período (que será
igual a (10n-1
–1) / n ) terá as mesmas propiedades
de 142857. O primeiro valor de n
maior que 7 para o qual isso acontece é 17, e o período de 1/17 é
0588235294117647. Multiplique esse número por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15, 16 e 17 para conferir. 








































Observe que, para que isso
aconteça, n deve ser um número primo,
pois se n = p × b, &nbsp;com b &nbsp;maior que 1 e &nbsp;p &nbsp;um número primo diferente de 2 e 5, então p nunca aparecerá como resto na divisão
de 1 por n, pois em geral um fator
primo comum de n e de um resto que
aparece na divisão de 1 por n só pode
ser 2 ou 5 ( de fato, um resto que aparece na divisão de 1 por n &nbsp;é resto da divisão de alguma potência de 10
por n ). Por outro lado, se os únicos
fatores primos de n são 2 e 5, então
1/n tem representação decimal finita.

Conclusão: Se o período de 1/n tiver n–1 casas decimais, ele terá propiedades
análogas às de 142857: os dígitos de seus produtos por 1, 2, 3, 4, …, n–1 serão sempre os mesmos, na mesma
ordem circular. Para que isso aconteça, n
deve ser primo e a menor potência de 10 que deixa resto 1 quando dividida por n deve ser 10n–1. Dizemos que, nesse caso, 10 é&nbsp; raiz primitiva módulo n. Não se sabe se existem infinitos primos n&nbsp; com essa propriedade. Isso
seguiria de uma famosa conjectura de teoria dos números, a conjectura de&nbsp; Artin (vide [V]). 



Os números
primos n&nbsp; menores que 100 tais que o período de 1/n na base 10 tem n –1 casas são 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.



Por outro lado, para todo
número primo n existem números naturais
B &nbsp;entre 2 e n
– 1 tais que o período de 1/n na
base B &nbsp;tem exatamente n – 1 casas (nesses casos B
é raiz primitiva módulo n). Se um
número &nbsp;B tem essa propriedade, todas as bases da
forma kn + B &nbsp;com k
natural também têm. Nesses casos, o período de 1/n na base &nbsp;B &nbsp;(
ou seja, o número&nbsp;&nbsp;&nbsp; (Bn-1–1)/n
), quando multiplicado&nbsp; por 1, 2, 3,
…, n – 1 terá representações na base B que serão permutações uma da outra com
a mesma ordem circular.



Por exemplo, com n = 5 e &nbsp;B = 8, temos que a
representação de 1/5 na base 8 é 0,146314631463… Na base 8 temos:

2 × (1463)8 =(3146)8
, 3 × (1463)8 = (4631)8 ,

4 × (1463)8 = (6314)8
, 5 × (1463)8 = (7777)8
























Referências: 

[L] Lima, Elon L., Meu Professor de Matemática e outras
histórias, pp. 158-170 – SBM, 1991.

[T] Tahan, Malba, O homen que calculava, Ed. Record.








[V] Voloch, José Felipe, Raizes Primitivas e a Conjectura de Artin,
Revista Matemática Universitária Nº9/10, dezembro de 1989, pp. 153-158.