Primeira Lista de Algebra Linear (Flávio Coelho)
Autor: Evandro Nakajima | Publicado: 2010-01-14T08:55:00-08:00

1) Seja  um   espaço vetorial.

a) Mostre que  e que 

Resposta: Note que  e assim,





Como V é espaço vetorial, segue que ele é grupo e assim, vale a lei do cancelamento a direita, logo 


&nbsp;
&nbsp;Além disso, temos que  e, da mesma forma




Novamente pela lei do cancelamento a direita temos&nbsp;





b) Mostre que se  com  então  ou .

Resposta: Vamos supor que . Temos que  como  é corpo segue que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo, assim obtemos que&nbsp;





Por outro lado se supormos que  então não podemos assumir  pois do contrário,  possuirá inverso  e assim





que é uma contradição. 

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2) Mostre que os conjuntos &nbsp; e o espaço das funções  são  espaços vetoriais.

Resposta:

i) Considere o conjunto  com as seguintes operações:





-Associatividade&nbsp;




- Comutatividade
Novamente, como  é corpo, segue que


 



- Elemento Neutro e Elemento inverso
Como  é corpo, para todo  temos que existe  e  tais que




-Associativa da multiplicação



- Distributiva para vetores



 

-Distributiva para escalares




&nbsp;

- Identidade do corpo 
Temos que  e assim



Portanto,  é um  espaço vetorial.


ii) Seja  um conjunto qualquer e  o conjunto de todas as funções  com as operações usuais.

-Associatividade&nbsp;



-Comutatividade&nbsp;
 Como  é corpo, segue que é grupo abeliano e portanto





- Elemento Neutro e Elemento inverso
Considere  igual a função identicamente nula, ou seja,  então







-Associativa da multiplicação




- Distributiva para vetores




-Distributiva para escalares




- Identidade do corpo 

Considere a função  definida por , assim

&nbsp;


Portanto,  com as operações acima é um  espaço vetorial.


 
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3) Mostre que  é um espaço vetorial sobre.

&nbsp;Resposta: Temos que  com as operações







4) Seja  um subcorpo de . Mostre que se  é um espaço vetorial sobre  então será um espaço vetorial sobre .

&nbsp;Resposta: As quatro propriedades que levam  a ser um grupo abeliano permanecem válidas pois não dependem do corpo. Vamos analisar as outras quatro propriedades relacionadas com o produto por escalar. 

- Associatividade da multiplicação
Dados  temos que  e portanto vale





-Identidade
Como  é subcorpo segue que também é&nbsp; corpo, logo, existe um elemento  tal que
, a saber,  e portanto


&nbsp;&nbsp; uma vez que  é espaço vetorial sobre 


Distributividade para vetores


 Pois vale para todo , em particular vale para .



Distributividade para escalares


&nbsp;&nbsp; Pelo mesmo motivo que o item anterior.


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5) Seja  um plano do . Mostre que  é um  espaço vetorial.

Resposta: Vamos mostrar que  é fechado para diferença e que possui o elemento neutro do , para mostrar assim, que é subgrupo. De fato,  pois  e&nbsp;

logo é fechado para subtração. Vamos mostrar que é comutativo, de fato&nbsp;&nbsp;
Identidade
 é a identidade pois&nbsp;

Temos que a assoatividade do produto, distributiva para vetores e distributiva para escalares são imediatas visto que valem para todo , logo vale para .---------------------------------------------------------------------------------------------------&nbsp;6) Descreva o  espaço vetorial das soluções do seguinte sistema linear&nbsp;