REVISITANDO AS AULAS DE MATEMÁTICA - 8ª A, B, C, D - 3ª SEMANA - 10/02/14 A 14/02/14
Autor: Prof. Narita | Publicado: 2014-02-15T16:44:00-08:00




Conjuntos Numéricos

Conjunto dos&nbsp;Números Naturais

São todos os números inteiros&nbsp;positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:



N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}


Conjunto dos&nbsp;Números Inteiros
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:

Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z+:

Z+&nbsp;= {0,1,2,3,4,5,6, ...}

- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:

Z-&nbsp;= {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z+&nbsp;excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:

Z*+&nbsp;= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Z*+&nbsp;= N*

- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z-&nbsp;excluindo o zero. Representa-se por Z*-.

Z*-&nbsp;= {... -4, -3, -2, -1}


Conjunto dos&nbsp;Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos&nbsp;periódicos&nbsp;(que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como&nbsp;dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.





http://www.youtube.com/watch?v=VrfrVAOCrmI





A representação da fração&nbsp;&nbsp;em números decimais é&nbsp;0,375, assim como a representação decimal da fração&nbsp;&nbsp;é&nbsp;0,2.

Repare que embora o número de casas decimais em cada um dos exemplos seja diferente, eles são finitos. O primeiro exemplo possui três casas decimais, ao passo que o segundo exemplo possui apenas uma.

Agora qual seria a representação decimal da fração&nbsp;?

Note que neste caso o número de casas decimais da representação desta fração na forma decimal, não será um número finito.&nbsp;76&nbsp;dividido por&nbsp;495&nbsp;será algo como&nbsp;0,1535353...

Se continuarmos o processo de divisão, iremos indefinidamente acrescentar um dígito 5, depois um 3, depois um 5 e assim por diante, sendo que sempre poderemos continuar acrescentando mais um dígito. A isto damos o nome de&nbsp;dízima periódica

As dízimas periódicas podem ser simples ou composta, no caso do exemplo acima temos uma&nbsp;dízima periódica composta.

A dízima periódica composta&nbsp;0,1535353...&nbsp;foi gerada a partir da fração&nbsp;, por isto esta fração é chamada defração geratriz da dízima periódica.

Classificando as Dízimas Periódicas em Simples e Compostas

A dízima periódica&nbsp;0,1535353...&nbsp;é composta, pois ela possui um anteperíodo que não se repete, no caso o número1, e um período formado pelo número&nbsp;53, que se repete indefinidamente. Se fosse apenas&nbsp;0,535353...&nbsp;teríamos uma&nbsp;dízima periódica simples, pois ela possui apenas um período,&nbsp;53, mas não um anteperíodo.

Veja abaixo alguns exemplos:

Exemplos de Dízimas Periódicas Simples

0,111...&nbsp;período igual a&nbsp;1

0,252525...&nbsp;período igual a&nbsp;25

0,010101...&nbsp;período igual a&nbsp;01

0,123123123...&nbsp;período igual a&nbsp;123

Exemplos de Dízimas Periódicas Compostas

0,2333...&nbsp;anteperíodo igual a&nbsp;2&nbsp;e período igual a&nbsp;3

0,45222...&nbsp;anteperíodo igual a&nbsp;45&nbsp;e período igual a&nbsp;2

0,171353535...&nbsp;anteperíodo igual a&nbsp;171&nbsp;e período igual a&nbsp;35

0,32101230123...&nbsp;anteperíodo igual a&nbsp;32&nbsp;e período igual a&nbsp;0123




Fração geratriz

Como achar a fração geratriz de uma dízima periódica?

A fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica.

Aqui, vamos dar dicas de como achar as frações geratrizes de dízimas periódicas simples e compostas, de uma forma bem prática.
Dízimas periódicas simples
a)&nbsp;0,2222...Período: 2Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador.





Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero.Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal:



Dízimas periódicas compostas
a)&nbsp;0,27777...Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.No caso do numerador, faz-se a seguinte conta:(parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo)Assim:


b)&nbsp;1,64444...


c)&nbsp;21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos)


d)&nbsp;2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)


Por que dá certo?Veja a explicação na forma como geralmente se aprende a achar a fração geratriz na escola:Chama-se a fração geratriz de&nbsp;x:


Para achar o valor de x, encontram-se múltiplos dele com apenas o período na parte decimal


E subtraem-se as duas igualdades


Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos, achando-se a fração geratriz.Note que, no método mais prático, a conta sugerida é a mesma que aparece na equação: 164 - 16, e o denominador fica exatamente com os mesmos algarismos.No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por números ainda maiores, para se achar a mesma parte decimal nos dois números a serem subtraídos:




*Michele Viana Debus de França&nbsp;é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

http://www.youtube.com/watch?v=QJNXg67uIHI