Introdução a Matemática Financeira
Autor: Iriana Gonçalves | Publicado: 2012-05-31T12:43:00-07:00



RELAÇÃO DAS PROPORÇÕES E TAXA DE JUROS

Juros: ‘’Quantia cobrada pelo credor ao tomador de recursos pela utilização do seu capital, denominado capital inicial ou principal, por um período determinado.’’ (Mendonça; Boggiss; Gaspar; Heringer, p.19, 2010).

Relacionando as proporções:

Sendo,

i= taxa de juro

J= juro

PV= Capital aplicado

TEMOS,

% Para a taxa de juro

i=j/PV

Logo,

R$ Para o valor do juro

J= PV * i

Assim como:

R$ Para o valor futuro/Montante

*FV= J+PV

*Onde FV corresponde ao valor futuro (também chamado de montante), resultado da somatória do juro com o capital aplicado.

Deste modo podemos concluir que:

Desconhecendo o valor monetário do Juro, mas, tendo a informação da taxa aplicada sobre o capital e o valor deste, sem que seja preciso aplicar a fórmula do Juro e então somar o resultado encontrado ao capital, podemos utilizar diretamente a fórmula descrita abaixo que resultará no mesmo valor. Vejamos:

FV=PV (1+i)

Exemplo:

Tendo como capital aplicado R$5.000,00 a uma taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante/valor futuro?

FV=5000(1+ 0,10)

FV= 5.500,00

*Aqui vale observar que sempre se fará necessário a transformação das taxas. Dessa forma, uma taxa de 10% dividida por 100 corresponde a 0,10 centésimos.

Perceba que poderíamos ter realizado o mesmo cálculo da seguinte forma:

J=5.000*10% = 500,00

*Aqui sem a necessidade de transformar em centésimos a taxa aplicada sobre o capital.

Logo,

FV = 5.000+500 = R$ 5.500,00

Dessa forma, podemos observar que:

Preservando o raciocínio exposto para a determinação do valor futuro, o mesmo acontecerá quando desconhecemos o valor do capital. 

Ou seja, entende-se que o capital é a diferença do montante/valor futuro com o valor do juro aplicado.

Contudo, se não tivermos esses valores monetários a disposição, podemos então, aplicar a seguinte fórmula:

PV=FV/(1+i)

Exemplo:

Se tivermos um valor futuro de R$5.500,00, aplicado a uma taxa de juros de 10% ao mês, podemos concluir que teremos um capital de?

PV=5.500/ (1+0,10)

PV=5.000

Veja que se tivéssemos realizado da seguinte maneira, também chegaríamos ao mesmo resultado.

PV=FV-J

PV=5500 – 500

PV=5000

Antes de prosseguirmos relacionando essas proporções, devemos observar que a expressão (i+1) representa um fator de capitalização, sendo a 1/(i+1) um fator de descapitalização.

Assim, ao utilizarmos as duas fórmulas anteriores, estamos capitalizando uma taxa de juros (X) a um capital (Y), a partir do valor desse capital ou, de um montante (X+Y).

Isto exposto, vamos aumentar o grau de nossa compreensão sobre as relações dessas proporções, começando pela variação de taxas.

Desta forma:

Se,

i=j/PV e J = FV-PV

Então,

i=FV/PV – 1

ou,

i=((FV/PV)-1)*100

*Utilizar o primeiro quando a taxa de juro estiver em forma unitária e o segundo quando a taxa estiver em forma percentual.

Exemplo:

Um empréstimo de R$ 100,00, paga-se ao fim de 4 meses (1 quadrimestre) o montante de R$105,00. Qual a taxa de variação percentual aplicada?

i=(FV/PV)-1

i=(105/100)-1

i=1,05-1

i=0,05 a.q

ou,

5% a.q



Equivalência de capitais por determinado período:

Entendemos que para encontrar o valor de um determinado capital aplicado, partindo das informações do valor futuro (FV) desse capital (PV) e a taxa (i) aplicada sobre ele, podemos utilizar como fórmula de cálculo a expressão:

PV=FV/(1+i)

ASSIM, quanto à equivalência de capitais, faremos o uso das mesmas variáveis, contudo, diferenciando-se quando a operação for a de pagamento ou, a de recebimento:

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Quando a aplicação de recursos for com POSTERIOR RECEBIMENTO do respectivo montante, denominada esse tipo de operação como – taxa interna de retorno de operação – teremos a seguinte expressão:

0= - PV + FV / (1+i)

Entende-se aqui que, a taxa de juros se iguala as de saídas e entradas de recursos, em data presente.

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Quando a aplicação de recursos for com POSTERIOR PAGAMENTO do respectivo montante, denominada esse tipo de operação como – taxa interna de juros da operação – é expressa da seguinte maneira:

0= PV - FV / (1+i)

Seja qual for o caso, à denominação da taxa interna (Retorno de operação ou Juros da operação) se referenciará ao fato de i (juro) ser dependente exclusivamente dos valores de PV e FV. 

Encerramos aqui esta introdução à matemática financeira, na próxima postagem, abordaremos os tipos de taxas aplicadas no mercado, abrindo o caminho para em fim, depois disso, entrarmos nos conceitos de Juros simples, Compostos e demais operações financeiras!