Distribuição Binomial
Autor: distribuição binomial | Publicado: 2009-05-12T20:47:00-03:00

Autores: Adilson, Janaina, Roberta, Carlos Castelo, LandsteinerDistribuição binomial  Definições:  A distribuição binomial verifica as seguintes condições:1. A experiência tem um nº fixo de provas, n.2. As provas são independentes. (O resultado de uma prova não afecta probabilidade de ocorrência das restantes.)3. Cada prova origina um de dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.4. A probabilidade de sucesso, denotada por p, é constante em cada prova.Notação para a Distribuição Binomialn denota o nº de provas (valor fixo à partida).x denota um nº específico de sucessos em n provas, logo x pode ser qualquer nº entre 0 e n, inclusive.p denota a probabilidade de sucesso em cada uma das n provas.q denota a probabilidade de insucesso em cada uma das n provas.P(x) denota a probabilidade de obter exactamente xsucessos em n provas (P(x)=P(X=x)).Fórmulas da Probabilidade na Distribuição BinomialP(X=x)= [n!/x!(n-x)!].p^x.q^(n-x) para x = 0, 1, 2, . . ., n ouonde:n = nº de provasx = nº de sucessos nas n provasp = probabilidade de sucesso em cada provaq = probabilidade de insucesso em cada prova (q = 1 – p)Média μ = n • pVariância s^2 = n • p • (1-p) Desvio Padrão s = n • p • (1-p) (raíz quadrada) onde:n = nº de provasp = probabilidade de sucesso em cada uma das n provasq = probabilidade de insucesso em cada uma das n provasUtilização  A distribuição poderá ser empregada na determinação da probabilidade quando no evento especificado se deseja calcular a probabilidade de uma acontecimento composto estabelecido por vários eventos. Neste caso, os eventos que constituem o acontecimento devem ser independentes e a ordem dos eventos, dentro do acontecimento, não influencia o cálculo da probabilidade. Em muitas outra situações é necessário a reposição dos dados, para que se possa usar a distribuição binomial ou multinomial.  Conceito Entende-se por distribuição binomial como sendo aquela em que os termos da expansão do binômio (ou multinômio) correspondem às probabilidades de todos os eventos possíveis do espaço amostral. O binômio (ou multinômio) é formado pelas probabilidades de cada acontecimento elevado ao número total de ocorrências. Ilustração:  Por exemplo: temos um escritório de contabilidade para exemplificar será considerado o exemplo de conquista de novos clientes, considerando três conquistas. A probabilidade de sair um cliente péssimo(em situação financeira)é igual a S (S = ¾) e a probabilidade de encontrar um cliente ótimo( em situação financeira) é igual a C (C = ¼). Assim, tem-se as seguintes situações; A seqüência O³ + 3O²P + 3OP² + P³ tem dois significados:a) Cada elemento corresponde a uma probabilidade de um evento do espaço amostral. Sendo probabilidade, se verifica: O³ + 3O²P + 3OP² + P³ = 1b) Corresponde a expansão do binômio:(O + P)³ = O³ + 3O²P + 3OP² + P³ = 1Considere um experimento realizado vezes, sob as mesmas condições, com as seguintes características: 1. Cada repetição do experimento (ou ensaio) produz um de dois resultados possíveis, denominados tecnicamente por sucesso (S) ou fracasso (F), ie os resultados são dicotômicos.2. A probabilidade de sucesso, P(S)=p , é a mesma em cada repetição do experimento. (Note que P(F)=1-p ).3. Os ensaios são independentes, ie o resultado de um ensaio não interfere no resultado do outro.As quantidades n e p são os parâmetros da distribuição binomial. O número total de sucessos é X uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n e p e é por denotada X~B(n,p) . A probabilidade de X=x , pode ser encontrada como:A média de um variável aleatória binomial é np e a variância é np(1-p) . Para melhor entendimento considere o seguinte exemplo: Suponha que num pedigree humano envolvendo albinismo (o qual é recessivo), nós encontremos um casamento no qual sabe-se que ambos os parceiros são heterozigotos para o gene albino. De acordo com a teoria Mendeliana, a probabilidade de que um filho desse casal seja albino é um quarto. (Então a probabilidade de não ser albino é 3/4)Agora considere o mesmo casal com 2 crianças. A chance de que ambas sejam albinas é: Da mesma forma, a chance de ambas serem normais é :Portanto, a probabilidade de que somente uma seja um albina deve ser:Alternativamente, poderiamos ter usado a formula acima definindo como variável aleatória X o número de crianças albinas, com n=2, p=1/4 e estariamos interessados em P(X=1)Se agora considerarmos a família com n=5 crianças, as probabilidades de existam x=0,1,2...,5 crianças albinas, em que a probabilidade de albinismo é p=1/4 , são dadas por as quais ficam como segue:O número esperado (ou média) de crianças albinas em famílias com 5 crianças para casais heterozigotos para o gene albino é