Equações Concursos
Autor: Marcos Vilela Garcia | Publicado: 2011-11-25T08:36:00-08:00

Dominando Equações Parte I

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EquaçõesO  primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente,  ao ano de 1650 a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido  por Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro  de Rhind também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro  a solução de problemas relacionados à&nbsp;Matemática.

Os gregos deram grande importância ao desenvolvimento da Geometria,  realizando e relatando inúmeras descobertas importantes para a  Matemática, mas na parte que abrangia a álgebra, foi Diofanto de  Alexandria que contribuiu de forma satisfatória na elaboração de  conceitos teóricos e práticos para a solução de equações.
Diofanto foi considerado o principal algebrista grego, há de se  comentar que ele nasceu na cidade de Alexandria localizada no Egito,  mais foi&nbsp;educado&nbsp;na  cidade grega de Atenas. As equações eram resolvidas com o auxílio de  símbolos que expressavam o valor desconhecido. Observe o seguinte  problema:

“Aha, seu total, e sua sétima parte, resulta 19”.&nbsp;
Note que a expressão Aha indica o valor desconhecido,&nbsp;atualmente&nbsp;esse  problema seria escrito com o auxílio de letras, as mais comuns x, y e  z. Veja a representação do problema utilizando letras:&nbsp;x + x/7 = 19.

&nbsp;
Introdução às equações de primeiro grauPara  resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma  sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em  linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a  mais difícil da Matemática.
Sentença com palavrasSentença matemática
2 melancias + 2Kg = 14Kg2 x + 2 = 14
Normalmente  aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir  daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será  necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do  estudo de equações.

Equações do primeiro grau em 1 variávelTrabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança:A  balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas  melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg.  Quanto pesa cada melancia?2 melancias + 2Kg = 14KgUsaremos  uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada  melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista  matemático, como:2x + 2 = 14Este  é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é  extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize  este exemplo simples.Podemos ver que toda equação tem:Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;
Um sinal de igualdade, denotado por =.
Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;
Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.
No link&nbsp;Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra&nbsp;incógnita&nbsp;significa&nbsp;desconhecida&nbsp;e equação tem o prefixo&nbsp;equa&nbsp;que provém do Latim e significa&nbsp;igual.
2 x + 2=14
1o. membrosinal de igualdade2o. membro
As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os&nbsp;termos&nbsp;da equação.Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.
2x + 2 = 14Equação original
2x + 2 - 2 = 14 - 2Subtraímos 2 dos dois membros
2x = 12Dividimos por 2 os dois membros
x = 6Solução
Observação:&nbsp;Quando  adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da  equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos  ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a  equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma  equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.Exemplos:A  soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada  um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.Solução:  Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a  letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo  a=c-4. Assim:c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.
A  população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as  duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos  habitantes tem a cidade B?Solução:  Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da  cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos  escrever:a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000
Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.
Uma casa com 260m2&nbsp;de  área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de  cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.3x + 140 = 260
3x = 260 -140
3x = 120
x = 40
Resposta: Cada quarto tem 40m2.
Exercícios:&nbsp;Resolver as equações1. 2x + 4 = 10
2. 5k - 12 = 20
3. 2y + 15 - y = 22
4. 9h - 2 = 16 + 2h

Desigualdades do primeiro grau em 1 variávelRelacionadas  com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro  grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em  que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:
&nbsp;&lt;menor
&nbsp;&gt;maior
&nbsp;&lt;menor ou igual
&nbsp;&gt;maior ou igual
Nas  desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis  valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.Exemplo:&nbsp;Determinar todos os números&nbsp;inteiros&nbsp;positivos para os quais vale a desigualdade:2x + 2 &lt; 14Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:
Passo 12x + 2 &lt; 14Escrever a equação original
Passo 22x + 2 - 2 &lt; 14 - 2Subtrair o número 2 dos dois membros
Passo 32x &lt; 12Dividir pelo número 2 ambos os membros
Passo 4x &lt; 6Solução
Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:S = {1, 2, 3, 4, 5}Exemplo:&nbsp;Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade2x + 2 &lt; 14obteremos o conjunto solução:S = {2, 4}Observação:&nbsp;Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma.Exemplo:&nbsp;Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) desigualdades:12 &lt; 2x + 2&nbsp;&lt;&nbsp;20poderemos seguir o seguinte processo:
12&lt;2x + 2&lt;20Equação original
12 - 2&lt;2x + 2 - 2&lt;20 - 2Subtraímos 2 de todos os membros
10&lt;2x&lt;18Dividimos por 2 todos os membros
5&lt;x&lt;9Solução
O conjunto solução é:S = {6, 7, 8, 9}Exemplo:&nbsp;Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades12 &lt; 2x + 2 &lt; 20obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:S = Ø = { }

Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveisUma  situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade  envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas  o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode  ser:a x + b y &lt; conde a, b e c são valores dados.Exemplo:&nbsp;Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:2x + 3y&nbsp;&gt;&nbsp;0observamos que o conjunto solução contém os pares:(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...Há  infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta  desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para  remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter  uma solução geométrica satisfatória.Processo geométrico:(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y&gt;0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.


Exercícios
Exercícios de Equações de 1º Grau
1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?&nbsp; &nbsp;&nbsp;
2) Resolva as equações a seguir:a)18x - 43 = 65b) 23x - 16 = 14 - 17xc) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2&nbsp;+ 12e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4f) 4x (x + 6) - x2&nbsp;= 5x2
3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;
4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):a) 5/x - 2 = 1/4 (x&nbsp;0)b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
Exercícios Resolvidos:

1) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100
Resposta: Esse número é 100.2) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?Solução:
x - x/5 = 36
(5 x - x)/5 = 36
4x /5 = 36
4x = 36.5
4x = 180
x = 180/4
x = 45
Resposta: Esse número é 45.3) O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?Solução:
3 m = m/2 + 20
6m/2 = (m+40)/2
6m = m + 40
6m - m =
5m = 40
m = 40/5
m = 8
Resposta: Esse número é 8.4) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?Solução:
3p + 5 = 254
3p = 254 - 5
3p = 249
p = 249/3
p = 83
Resposta: Esse número é 83.5) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número ?6) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?7) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.8) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?9)  Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90  empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?10)  Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se  tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará  igual. Qual a quantidade de bolas brancas?11)  Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas  primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que  receber as duas primeiras?12) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?



Exemplos:1º) 2x&nbsp;+ 1 = 73 é a única raiz, então S = {3}2º) 3x&nbsp;– 5 = –21 é a única raiz, então S = {1}

2. Resolução de uma EquaçãoResolver  uma equação é determinar todas as raízes da equação que pertencem a um  conjunto previamente estabelecido, chamado conjunto universo.1º) Resolver a equação:x2&nbsp;= 4 em RAs raízes reais da equação são –2 e +2, assim:2º) Resolver a equação:x2&nbsp;= 4 em NA única raiz natural da equação é 2, assim:Na  resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e  transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo  conjunto solução, no mesmo universo.Vejamos algumas destas propriedades:P1) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.Consequência:Observemos a equação:

x&nbsp;+ 2 = 3Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:
x&nbsp;+ 2 = 3&nbsp;&nbsp;x&nbsp;+ 2 -2 = 3 - 2Assim:x&nbsp;+ 2 = 3&nbsp;&nbsp;x = 1P2)  Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por  um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.Consequência:Observemos a equação:–2x&nbsp;= 6Dividindo por –2 os dois membros da igualdade, temos:Assim:-2x&nbsp;= 6&nbsp;&nbsp;x&nbsp;= -3
3. Equação do 1º GrauChamamos de&nbsp;equação do 1º grau as equações do tipo:onde&nbsp;a&nbsp;e&nbsp;b&nbsp;são números conhecidos com&nbsp;a&nbsp;&nbsp;0.
Exemplo:3x&nbsp;– 5 = 0 (a&nbsp;= 3 e&nbsp;b&nbsp;= –5)Para resolvermos uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades&nbsp;P1&nbsp;e&nbsp;P2&nbsp;do item anterior.
Exemplo:3x&nbsp;– 5 = 03x&nbsp;- 5&nbsp;&nbsp;3x&nbsp;- 5 + 5 = 0 + 53x&nbsp;- 5 = 0&nbsp;&nbsp;3x&nbsp;= 53x&nbsp;= 5&nbsp;&nbsp;3x&nbsp;= 5&nbsp;&nbsp;Assim: 3x&nbsp;- 5 = 0&nbsp;&nbsp;De modo abreviado, fazemos:3x&nbsp;- 5 = 0&nbsp;&nbsp;3x&nbsp;= 5&nbsp;&nbsp;Assim:Podemos estabelecer uma fórmula para resolver em R a equação:Assim:ax + b&nbsp;= 0&nbsp;&nbsp;ax = -b&nbsp;&nbsp;Exemplo:Resolver em R a equação:2x&nbsp;+ 5 = 0
4. Problemas do 1º GrauProblema é uma proposição a resolver, na qual figuram elementos conhecidos ou supostamente conhecidos, chamados&nbsp;dados, e elementos desconhecidos, chamados&nbsp;incógnitas.Resolver um problema é determinar os valores das incógnitas que satisfazem às condições impostas pelo enunciado.A resolução de um problema possui três fases:1) Colocar o problema em equação;2) Resolver a equação ou equações do problema;3) Interpretar os resultados ou fazer uma discussão sobre eles.Exercícios ResolvidosResolver as equações:01. 3x&nbsp;– 5 = 2x&nbsp;+ 6Resolução3x – 2x = 6 + 5x = 11S = {11}02. 2 (x&nbsp;+ 3) + 3 (x&nbsp;– 1) = 7 (x&nbsp;+ 2)Resolução2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 142x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6–2x&nbsp;= 11

 




Referências: 


http://www.mundovestibular.com.br/articles/57/1/EQUACOES-DO-PRIMEIRO-GRAU/Paacutegina1.htmlhttp://www.exatas.mat.br/equacao1.htmhttp://aprovadonovestibular.com/equacao-de-primeiro-grau-achar-resposta-de-exercicios.htmlhttp://pt.scribd.com/doc/2972252/Matematica-Exercicios-Resolvidos-Equacoes-Dicas-para-Resolucaohttp://www.slideshare.net/edigleyg3/equaes-do-1-grau-exerccioshttp://educadormatematico.wordpress.com/category/equacoes-de-1%C2%BA-grau/http://www.somatematica.com.br/soexercicios/equacoes.phphttp://www.mundoeducacao.com.br/matematica/historia-das-equacoes.htmhttp://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm21/equacoes.htmhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3ohttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm