Entendendo "The Monty Hall Problem"
Autor: Thiago | Publicado: 2011-10-25T13:19:00-02:00





Finalmente entendi o problema de&nbsp;The Monty Hall Problem..

É um problema complexo.. então eu dividi em 3 partes.. a explicação do que é o problema e como ele funciona (1), um exemplo simples explicando o que porque da probabilidade (2) e um exemplo mais completo, explicando o porque das coisas (3).

Pra entender, basta o item 1 e 2.. Mas se ficar na dúvida ainda, leia o item 3.

(Antes de mais nada.. abra sua mente..)

1- O que é "The Monty Hall Problem"?

Em um jogo, existem 3 portas (porta 1, porta 2 e porta 3). Atrás de uma delas um carro e das outras duas nada (ou um prêmio com um valor baixo que não se compara ao carro).

Você pode escolher uma porta (por exemplo, porta 1). Então o apresentador vai abrir uma das portas restantes (2 ou 3) que&nbsp;não&nbsp;possui um carro. Neste caso, ele abre a porta 3.

Neste momento ele te dá a opção de&nbsp;trocar&nbsp;de porta. Ou seja, você pode optar pela porta 2 ao invés da porta 1, agora que a 3 foi aberta e você sabe que lá não tem um carro..

A pergunta é:&nbsp;Qual a probabilidade de vencer, caso você troque?

A resposta padrão, e que eu também pensava é:&nbsp;50%. E é fácil entender.. Afinal, são duas portas, em uma delas está o prêmio, então: 1/2.

É fácil entender, mas está&nbsp;errado! A chance é de&nbsp;66%&nbsp;contra apenas 33% se manter a porta anterior.


2- Explicação compacta...

Supondo que o prêmio está na porta 1...
- Se você selecionar a porta 1, será aberta a porta 2 ou 3, e se você trocar,&nbsp;perde. (0x1)
- Se você selecionar a porta 2, será aberta a porta 3 (já que a 1 tem o prêmio), e se você trocar, você&nbsp;ganha. (1x1)
- Se você selecionar a porta 3, será aberta a porta 2 (já que a 1 tem o prêmio), e se você trocar, você&nbsp;ganha. (2x1)

Supondo que o prêmio está na porta 2...
- Se você selecionar a porta 1, será aberta a porta 3 (já que a 2 tem o prêmio), e se você trocar, você&nbsp;ganha. (3x1)
- Se você selecionar a porta 2, será aberta a porta 1 ou 3, e se você trocar, você&nbsp;perde. (3x2)
- Se você selecionar a porta 3, será aberta a porta 1 (já que a 2 tem o prêmio), e se você trocar, você&nbsp;ganha. (4x2)

Supondo que o prêmio está na porta 3...
- Se você selecionar a porta 1 , &nbsp;será aberta a porta 2 (já que a 3 tem o prêmio), &nbsp;e se você trocar, você &nbsp;ganha&nbsp;. (4x3)
- Se você selecionar a porta 2 , será aberta a porta 1 (já que a 3 tem o prêmio), &nbsp;e se você trocar, você &nbsp;ganha&nbsp;. (5x3)
- Se você selecionar a porta 3, &nbsp;será aberta a porta 1 ou 2, &nbsp;e se você trocar, você&nbsp;perde. (6x3)

Então, analisando todas as combinações possíveis, você tem 6 chances de ganhar se trocar contra apenas 3 se manter. Simples assim...

(leia de novo.. processe a informação e siga)

Analisando somente a opção final (porta 1 ou porta 2), claro, você tem 50% de chance de ganhar em qualquer uma.. mas o jogo não se resume a esta ultima parte. Analisar o jogo como um todo, aumenta a possibilidade de vitória :)


3- Explicação completa...

Mudando o exemplo pra facilitar o entendimento.. OBS: para facilitar a leitura, vou convencionar que 1/3 é 33.

Você é um aluno, de uma determinada disciplina, ministrada por um professor que dá a nota geral em cima de 2 provas.

Para a primeira prova, ele dá 3 opções {A, B, C}.
Para os que fazem a prova A, existem duas outras provas {D,E} das quais você vai fazer apenas uma.
Para os que fazem a prova B, a próxima prova é, obrigatoriamente, F.
Para os que fazem a prova C, a próxima prova é, obrigatoriamente, G.

: Quais são suas chances de fazer cada prova?
- 33% de chances de fazer a prova A, B e C.
- Se, sempre que você fizer a B ou a C, você vai fazer a prova F ou G (respectivamente), então a probabilidade de fazer a F ou G é a mesma que B e C: 33%.
- Após fazer a A, você tem 50% de chances de a D ou E..

Ou seja, de um modo geral você tem:
33% de chance de fazer a prova F
33% de chance de fazer a prova G
16,5% de chance de fazer a prova D
16,5% de chance de fazer a prova E


Entendeu? é importante que tenha entendido até aqui.. se não entendeu re-leia ou leia o quadro abaixo..

12 alunos na sala..
4 irão fazer a prova A, 4 a prova B e 4 a prova C. (1/3 da sala em cada prova)
Dos 4 da prova A, 2 irão fazer a prova D e 2 a prova E.
Os 4 da prova B iram pra F e os 4 da C, a G.
Ou seja, 1/6 irá fazer a D, 1/6 a E, 1/3 a F e 1/3 a G


Mas nestas últimas provas existem duas surpresinhas...

- Primeiro, você não sabe qual está fazendo. Ou seja, não sabe se a prova atual é a F, G, D ou E (apenas sabe a probabilidade acima)
- As provas possuem somente UMA pergunta objetiva com a opção SIM e NÃO. E adivinhe? Você não sabe qual é a resposta correta.

Como não sabe a resposta, você tenta barganhar uma dica do professor e ele diz:

- Nas provas F e G, a resposta correta é SIM. Já n as provas D e E, a resposta correta é NÃO.

E aqui está um detalhe importante.. não existem mais 4 tipos de prova, mas sim 2: A prova FG e a prova DE.

Como dito antes, as suas chances de estar na F é de 33% e na G 33%. Então, na prova FG a chance é de 66%.
Assim, a chance de estar na DE é de 33%.

E agora? Se você estiver na prova FG e chutar SIM você acerta. Se não estiver erra... Mas é mais provável que esteja, então, essa é sua melhor opção.

: Lembrando que a melhor opção não é, necessariamente, a opção correta e você pode errar.


Entendeu? Se não entendeu re-leia ou leia o quadro abaixo..

Novamente.. 12 alunos na sala..

4 irão fazer a prova A, 4 a prova B e 4 a prova C. (1/3 da sala em cada prova)
Dos 4 da prova A, 2 irão fazer a prova D e 2 a prova E.
Os 4 da prova B iram pra F e os 4 da C, a G.
Se TODOS responderem SIM então 8 acertaram (os 4 da F e os 4 da G) e 4 irão errar..

Este é,&nbsp;exatamente, o mesmo problema que o monty hall..


Na primeira porta, você tem 3 opções.,,

E você pode errar em duas delas (provas B e C), e acertar em 1 (prova A).

Caso acerte, o apresentador poderá abrir duas novas portas (provas D e E).
Caso erre, o apresentador poderá abrir somente uma porta - isso porque ele não pode abrir a sua nem a porta com carro (provas F e G).

Se você errou, e responder SIM - para trocar, você ganha (prova FG)
Se você acertou, e responder NÃO, você ganha (prova DE)

Então eu te pergunto.. qual era mesmo a chance de acertar respondendo sim pra FG? Então.. qual a chance de ganhar responder SIM para troca?

hehehehe..