EQUAÇÃO DO 1º GRAU.
Autor: algebradlenhar | Publicado: 2011-06-16T12:01:00-07:00

Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática    básica de nível primário e secundário e que são    pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo    podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste décimo -  terceiro    tutorial&nbsp;  serão tratados assuntos sobre equações    do 1º grau, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos.    Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte    de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um    acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência,     porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

EQUAÇÃO DO 1º GRAU
* Definição

É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade    (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam  agregados     em seus domínios.

Exemplos:

3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido     recebe o termo de incógnita.

3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe     o termo de incógnita.

Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do  problema é verdadeira     ou falsa, pois os valores das incógnitas são desconhecidos.

É  possível verificar que as equações acima     se tornam verdadeiras quando:

x = 2, veja:

3x – 4 = 2

3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2

y = 1, veja:

3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1

Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com  soluções (S) =     2 e 1 respectivamente

- Equação do 1º  grau

Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é  equação     do primeiro grau, como toda equação que satisfaça a forma:

ax + b = 0

Onde, tem-se:

a e b , são as constantes da  equação,     com a ≠ 0 (diferente de zero)

Observe:

4x + 10 = 1

a = 4

b = 10 &gt;&gt; constantes (4,10)

3x – 6 = 0

a = 3

b = 6 &gt;&gt; constantes (3,6)

Exemplo de fixação:

x + 2 = 6 »

Assim, o número que substitui o “x” na equação    acima, tornando a sentença “verdadeira”, é o número     4, pois, 4 + 2 = 6.

Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade     já informada em tutoriais anteriores:

ax + b = 0  » ax = - b

x = -b/a

Obs.: É possível transformar uma equação em       outra que seja equivalente à primeira, porém esta segunda       na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível       somar ou subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número, que  seja       diferente de zero (≠0), aos membros da equação dada no       problema.

Exemplo:

&nbsp;x – 4 = 0 »&nbsp; x –4 + 2 = 0 + 2&nbsp;»&nbsp;  x       = 4

2x = 4 »&nbsp;  3.2x = 3.4  »&nbsp; x = 2

* Resolução de uma equação do 1º grau

Resolver uma equação do primeiro grau significa achar  valores    que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença    do problema, ou seja, será  preciso determinar de forma correta a  raiz    da equação.

Na forma simples de entender a solução de equação    do primeiro grau, basta separar as incógnitas dos números,  colocando-os    de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de    um lado da igualdade e do outro lado as constantes.

Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos:

a) Determine o valor do X:

4x – 12 = 8

4x = 8 + 12

4x = 20

x= 20/4 » x = 5 &gt;&gt; V = {5}

b) Qual o valor da incógnita x:

2 – 3.(2-4x) = 8

2 – 6 + 12x = 8

12x = 8&nbsp; - 2 + 6

12x = 6 + 6

x = 12/12 » x = 1 &gt;&gt; V = {1}

Mais alguns exemplos de equações de primeiro grau:

x + 5 = 10&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5x  – 3    = 28&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3x + 12     = 4

2x – 4 = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 10     + 4.(5.4x) = 5 – (x+8)

Observe que, como informado no método de resolução dos    problemas que envolvem equações do primeiro grau, sempre &nbsp;é&nbsp; colocado    de um lado às incógnitas e de outros os números, para     que se tenha assim a solução verdadeira da questão.

Por tanto ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto  “V” ou conjunto     de solução “S”.

Lembre-se: Os valores do conjunto soluções       têm   que ser satisfeitos pelos valores que estejam agregados na sentença.

* Por que a constante “a” tem que ser diferente de         zero (a ≠ 0)

Observe:

a ≠ 0 &gt;&gt; b ≠ 0, temos:

x = -b/a

S = {-b/a}

a ≠ 0 &gt;&gt; b = 0, temos:

x = 0/a

S = {0}

Agora se a constante “a” for igual = 0 (a =     0)

b ≠ 0 &gt;&gt; x = -b/0

V = {0}

Desta forma, é possível notar que quando a constante “a” for    igual à zero&nbsp; ( a = 0), temos a conjunto “V”, chamado    de conjunto Verdade, igual a zero V = {0}, não existindo, neste caso,    raiz ou solução que satisfaça a equação,    e &nbsp;a equação então é denominada de “impossível” ou “sem      solução”.

Ainda, se tratando da forma (a ≠ 0), observe a seguinte suposição     de equação:

b = 0 &gt;&gt; 0x = 0 &gt;&gt; V     = R

Assim, é possível dizer que a equação é  indeterminada,    pois qualquer valor para a incógnita x, se torna raiz ou solução     da equação ou do problema dado.

* Incógnita com valor negativo

Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer    que o coeficiente que estiver acompanhando a variável seja um número     negativo (-).

Caso isto ocorra, o correto a fazer é  multiplicar ambos os  membros    da equação por (-1), que é um dos princípios da     multiplicação, já estudados em tutoriais anteriores.

Veja alguns exemplos:

a) 4x – 2 = 6x + 8

Reduzindo os termos:

4x – 6x = 8 + 2

-2x = 10

Verifique &nbsp;&nbsp;que o número que acompanha o “x”,    ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), então multiplica-se     os termos da equação por (-1).

Assim, temos aos valores:

-2x = 10 .(-1)

2x = - 10

Verifique então, que após multiplicar os termos por (-1), temos    o coeficiente da incógnita “x” na forma positiva, agora     sim podendo prosseguir com a operação.

x = -10/2 &gt;&gt; x = -5

Como o valor de x = -5, então V = {-5}

Observação:

O método de resolução de equações do 1º grau,    no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas     do outro é apenas um  "macete". Veja o que realmente ocorre:

Observe:

2x + 4 = 8

Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o  valor de 2x "separado".

Veja o que acontece:

2x + 4 - 4 = 8 - 4

2x = 4

x = 2

V={2}

A forma de cálculo acima é a exposição do que    ocorre na solução de equações do 1º grau.    A "grande dica" de "separar" os números de um lado    e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizar nos  cálculos     dos problemas e sentenças.