Resenha do cap 1 do livro O que é matemática? do autor Richard Courant e Herbert Robbins
Autor: Eliana | Publicado: 2010-12-14T03:23:00-08:00

Resenha do Capítulo I: Os números naturais. Do livro:COURANT, R., ROBBINS, H. O que é Matemática? Rio de Janeiro, Editora Ciência moderna Ltda.,2000Autora Sheila Regina Tres,  acadêmica do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Caxias do Sul, RS.O capítulo que escolhi para fazer a resenha está no livro, O que é matemática? do autor Richard Courant e Herbert Robbins, da editora ciência moderna o capítulo que optei por descrever é o capitulo I que fala sobre Os números naturais e a Teoria dos números. Este livro possui 615 paginas dividido em oito capítulos cujos assuntos são: O sistema numérico da matemática e a Álgebra dos conjuntos, Construção geométrica: A álgebra dos corpos numéricos, Geometria projetiva: geometrias não- Euclidianas e geometria em mais de três dimensões, Topologia, Funções e limites, Máximos e mínimos e finaliza com O calculo. Em suas ultimas pagina o autor destaca observações sobre problemas e exercícios, este livro é muito interessante, pois nos traz diversas formas diferentes de aprender a matemática e seus significados.O capítulo I inicia pelas palavras de Leopold Kronecker (1823-1891) que dizia: “Deus criou os números naturais; tudo a mais é produto da mão do homem”, pois naturais são: 1, 2, 3,.... que foram criados pela necessidade de contar objetos e coisas.Os números naturais obedecem a leis que não podem ser utilizados os símbolos já conhecidos, portanto as representações são feitas geralmente por letras, essa teoria na matemática é chamada de Aritmética. Alguns exemplos dessas leis são: comutativa na adição e da multiplicação, leis associativas da adição, entre outras.Com a infinidade de números naturais existentes, foram criados padrões para um raciocínio matemático chamado de indução matemática. Esse método é utilizado para demonstrar a coerência de teoremas matemáticos em uma seqüência infinita. O autor cita algumas das demonstrações por indução matemática: as progressões aritméticas, a progressão geométrica, a soma dos primeiros quadrados de n, uma desigualdade importante, o binômio de Newton. Em todas essas demonstrações ele faz passo-a-passo como deve ser o procedimento de uma demonstração.São feitas algumas observações sobre indução matemática, pois ela deve ser rigorosa, sempre cuidando se todas as condições para uma demonstração estão satisfeitas, quando a tentativa for bem sucedida, o teorema será conhecido como verdadeiro, mas se fracassar o teorema poderá ser verdadeiro ou falso.Para contribuir com a compreensão dos números naturais o autor faz um suplemento a esse capitulo onde o chama de, “A teoria dos números”, e introduz esse assunto com uma frase de Gauss (1777-1855), considerado o maior matemático dos tempos modernos, sua opinião foi expressa na seguinte frase: “a matemática é a rainha das ciências e a teoria dos números a rainha da matemática”.Os números primos ganharam destaque pela importância que eles têm na teoria dos números. Essa classe de números tem como característica a de não poderem ser decompostos em fatores menores, tem por definição que: “um número primo é um inteiro p, maior do que um, que não tem nenhum fator diferente dele próprio e de um”. Esses números possuem fundamental importância pelo fato de que qualquer inteiro pode ser expresso como um produto de primos.No estudo dos primos foram inúmeras tentativas para que se chegasse a uma formula geral, na qual esta pudesse originar todos os números primos, porem entre muitas provas não houve sucesso. Dentre estas tentativas o matemático Fermat conseguiu gerar uma fórmula que originasse os números primos, mas essa formula só foi comprovada para n= 1,2,3,4 e logo descobriu que para n > 4 não existe nenhum número primo que seja compatível a fórmula de Fermat. Em outra tentativa a fórmula gerada produz números primos até n= 79, e exceto em n= 41 e a partir de n= 80 a fórmula fracassa novamente. Contudo pode se deduzir que seria inútil buscar expressões que produzam apenas números primos. Uma maneira que conhecemos para localizar todos os números primos em um determinado intervalo é o chamado “Crivo de Eratóstenes”, este possibilita que localizemos todos os primos que desejarmos, essa é uma forma mais pratica para acharmos os números primos, já que não existe formulas que possam gerar todos eles. A grande descoberta de Gauss que foi demonstrada ao longo deste capitulo é a de que os números primos podem ser descritos pela função logarítmica, é posto como surpreendente, pois são dois conceitos matemáticos aparentemente tão desvinculados e na realidade estão intimamente ligados. A teoria dos números primos continua sendo um assunto difícil de tratar.Neste capitulo o autor também destaca a congruência, pois ela ocorre na vida diária, na qual nos diz respeito a módulos fixos. O conceito de congruência tem interpretação geométrica, quando escolhemos segmentos para representar e os estendemos por seus múltiplos de seu comprimento. Ao longo dessa explicação é feita varias demonstrações e exemplos que tornam o assunto mais compreensível.Neste contexto o teorema de Pitágoras também se relaciona com a teoria dos números, pois usando a fórmula em uma relação estabelecida por Fermat ele pode obter todos os números pitagóricos primitivos, esse não foi um teorema muito importante na matemática, mas gerou muitas investigações importantes na teoria dos números, e contribuiu também: Euler, o algoritmo de Euclides e as frações contínuas tiveram grande destaque.