121 - COMO FORMAR UM POLINÔMIO A PARTIR DE VALORES INICIAIS - VETORES DE VARIAÇÃO DE GRAU
Autor: Aloisio Teixeira | Publicado: 2015-01-04T11:09:00-02:00


O objetivo do presente artigo é verificar, graficamente e passo a passo, por intermédio de um exemplo, como se constrói um polinômio  de grau ,&nbsp; a partir de  valores iniciais, ou seja, , ,...,. Veremos também o significado geométrico do coeficiente do termo de maior grau deste polinômio e dos polinômios auxiliares que o formam. Para este fim, introduzimos o conceito de



Polinômio corretor  , de grau ,&nbsp; é aquele que possui as seguintes propriedades.

a)&nbsp;  para  , , ..., ;

b)  para , ou seja, dado um número real , temos .

Logo, tal polinômio tem a forma 


 



O polinômio corretor  serve para que uma função qualquer  funcione conforme a natureza de uma função  conhecida, conforme as igualdades , ,....,, no entanto , sendo  um valor arbitrariamente escolhido.

Por exemplo, , , , . Sabemos que, para os três primeiros valores,  funciona como . No entanto para  temos a diferença . Logo, fazendo  no polinômio corretor , temos que a função  é melhor definida por




,









De fato, pois

,

,

,

 







CONSTRUÇÃO DE UM POLINÔMIO DE GRAU g A PARTIR DE VALORES INICIAIS. CONCEITO DE VETOR DE VARIAÇÃO DE GRAU. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA.




Dados , ,  e , calcular o polinômio  correspondente.&nbsp; E ainda, identificar no gráfico cartesiano os numeradores  dos coeficientes de todos os polinômios corretores utilizados.

Temos então os pontos , ,  e , conforme o diagrama a seguir.




Vejam que ,&nbsp; representado pelo ponto , sugere o polinômio de grau , . Assim, observem no diagrama a seguir que temos  e . Mas não queremos o ponto vermelho  e sim, o ponto azul na mesma vertical , porque .







A diferença das ordenadas de &nbsp; e  é o módulo de valor  do vetor que indica o sentido da correção. Chamarei vetores deste tipo de vetor de variação de grau. Logo, para alcançarmos o ponto  tendo por base o polinômio  de grau , é necessário somar ao mesmo o polinômio corretor de grau ,


&nbsp;



o que da origem a equação da reta



 ,







&nbsp;



representada no gráfico a seguir.









Embora a reta passe pelos pontos azuis  e , ela não alcança o ponto azul , pois , vide ponto vermelho .&nbsp;



A diferença das ordenadas de &nbsp; e  é o módulo de valor  do vetor que indica o sentido da correção. Logo, para alcançarmos o ponto  tendo por base o polinômio  de grau , é necessário somar ao mesmo o polinômio corretor de grau , 



&nbsp;



o que dá origem a equação quadrática



&nbsp;



representada pela parábola do diagrama a seguir












Agora a parábola abrange os pontos azuis ,  e&nbsp; , mas não "pega" o ponto azul .&nbsp; De fato, pois  ( ponto vermelho ).

A diferença das ordenadas de &nbsp; e  é o módulo de valor  do vetor que indica o sentido da correção. Logo, para alcançarmos o ponto , tendo por base o polinômio  , de grau , é necessário somar ao mesmo o polinômio corretor de grau , 


 



e assim temos polinômio procurado



&nbsp;



 



cujo gráfico é










onde todos os pontos pretendidos são alcançados.

No próximo diagrama,&nbsp; estão representados todos as representações geométricas ou vetoriais dos numeradores dos coeficientes , do polinômio cúbico assim estruturado. Observem que&nbsp; 


&nbsp;