Autor: coisasquevousupondo | Publicado: 2011-10-17T13:08:00-07:00

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Resumo

O presente artigo sugere uma reflexão acerca da noção de pluralidade no filosofo pré-socrático Zenão de Eléia bem como explorar possíveis diálogos entre esse conceito e a matemática moderna.&nbsp;&nbsp;Para o desenvolvimento desse objetivo a primeira parte do artigo propõe uma reflexão sobre o conceito de pluralidade na escola eleatica e suas objeções frente às filosofias da época.Em seguida busca-se compreender a partir dos paradoxos elaborados por Zenão de que forma o filosofo concebe em sua dialética as noções de movimento e pluralidade. Por fim apresentam-se possíveis relações entre essa noção e a matemática moderna.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
Sobre a escola eleatica e a dialética de Zenão de Eléia


A "escola de pensamento" conhecida como eleática esta associada à pólis de Eléia, no sul da península italiana e se refere as filosofias de Parmênides de Eléia, Zenão de Eléia e Melisso de Samos. Os principais conceitos investigados por esses filosofos eram o "ser", o "não-ser", o "movimento", o "tempo" "espaço", "continuidade" sendo que essa escola tinha como principal caraceristica o fato de defender a unicidade estática de tudo o que existe um "Uno" eterno e imutável. por nossa mente, capaz de apreender a unicidade da existência. Os eleatas foram os primeiros a defender a necessidade de critérios objetivos para o estabelecimento da verdade e criaram argumentos que partiam de premissas claras e indubitáveis. Eles também consideravam falsa a realidade que se apresenta aos nossos sentidos, que percebem tudo como uma multiplicidade, e a contrapunham à efetiva realidade percebida.&nbsp; 

Sobre a escola Eleatica Zeller&nbsp; escreve:

“ao seu mestre Parmênides, que sustentava que o Ser é um quanto ao conceito, e que a realidade, ao invés, é multíplice quanto a evidência sensível, ele [Zenão] aderiu através de quarenta argumentos acerca da unidade do Ser: com efeito, ele considerou um dever apoiar a tese do próprio mestre. E ainda, novamente com a intenção de apoiar o próprio mestre, que afirmava a imobilidade do Ser, demonstra, através de cinco argumentos, que o Ser é imóvel” eleática até um ponto além do qual ela não podia ser de fato conduzida. Aos seus sucessores só restou a tarefa de defender suas idéias contra as representações comuns e de fundamentá-las com maior precisão em seus particulares” (E. Zeller; R. Mondolfo, La filosofia dei Greci nel suo sviluppo storico, Parte I: I Presocratici)

As principais doutrinas da "escola eleática" opunham-se às teorias dos filósofos pré-socráticos que os precederam, notadamente aos milesianos, que explicavam toda a realidade através de um elemento único, primário, e a Heráclito, que descrevia a realidade como a soma de mudanças constantes e ininterruptas.

A característica de Zenão é a dialética. Ele é o mestre da Escola Eleática nela seu puro pensamento torna-se o movimento do conceito em si mesmo, a alma pura da ciência - é o iniciador da dialética. A principal proposição da escola Eleatica é a seguinte: "O nada não possui realidade, não é, e aquilo que é surgir e desaparecer cai fora". Em Zenão, pelo contrário, também descobrimos tal afirmar e sobressumir daquilo que o contradiz, mas não o vemos, ao mesmo tempo, começar com esta afirmação; é a razão que realiza o começo - ela aponta, tranqüila em si mesma, naquilo que é afirmado como sendo sua destruição. Parmênides afirmou: "O universo é imutável, pois na mudança seria posto o não-ser daquilo que é; mas somente é ser, no 'não-ser é' se contradizem sujeito e predicado". Zenão, pelo contrário, diz: "Afirmai vossa mudança: nela enquanto mudança, é o nada para ela, ou ela não é nada". Nisto consistia&nbsp; o movimento determinado, pleno para aquela mudança; Zenão falou e voltou-se contra o movimento como tal ou puro movimento.

Zenão e os paradoxos; contra a multiplicidade
Zenão buscou provar a inconsistência dos conceitos de multiplicidade e divisibilidade, criando quatro paradoxos, relativos ao movimento e ao tempo, que foram retomados por Aristóteles e que são conhecidos pelos nomes de Dicotomia, Aquiles, a Seta e o Estádio. 

O paradoxo da dicotomia sugere a idéia de que, para se&nbsp; percorrer determinada distância se tem primeiro que percorrer&nbsp; metade dessa distância, mas antes disso, tem de percorrer um quarto. Isto continua indefinidamente, até uma infinidade de subdivisões. Segue-se, então, que o movimento não pode chegar sequer a começar.

O paradoxo de Aquiles diz o seguinte: &nbsp;Aquiles e uma tartaruga movem-se na mesma direção ao longo de uma linha reta. Se Aquiles der algum adianto à tartaruga, nunca conseguirá alcança-la, já que quando ele atingir a posição inicial da tartaruga, ela já terá avançado e se encontrará noutro local adiante dele, e quando ele chegar a essa nova posição, já a tartaruga terá realizado novo avanço; e assim sucessivamente.

Segundo Boyer (1984), “a Dicotomia e Aquiles argumentam que o movimento é
impossível sob a hipótese de subdivisibilidade indefinida do espaço e do tempo”. Zenão
mostrou que se os conceitos de contínuo e infinita divisão forem aplicados ao
movimento de um corpo, então este torna-se impossível. Na verdade, a essência do
movimento é tal que, quando vamos a querer fixar a posição de um objecto, em
determinado instante, num ponto da sua trajectória, já ele aí não se encontra – entre dois instantes, por mais próximos que sejam um do outro, o objecto percorreu um segmento, com uma infinidade de pontos. Deste fenómeno se pode dizer, como Leonardo da Vinci disse da chama: “olha para a chama e considera a sua beleza; fecha os olhos e torna a olhar: o que vês não estava lá e o que lá estava já não o encontras”.


Assim, os dois primeiros paradoxos de Zenão mostravam que um segmento finito pode ser dividido num número infinito de pequenos segmentos, cada um deles com comprimento finito. Esta questão seria hoje descrita como a convergência de uma série real. Na Dicotomia, a trajectória do objecto pode ser representada pelo segmento de reta
[AB] , C o ponto médio de [AB] , D o ponto médio de [AC] , E o ponto médio de
[AD] , e assim por diante&nbsp; 


Paradoxo da&nbsp; Seta: Uma seta lançada para o alvo está, na verdade, parada. Com efeito, em cada instante, a seta ocupa uma posição fixa, ou seja, em cada instante a seta está parada. Segue-se então, que a seta jamais se move. Paradoxo do estádio: Sejam três filas paralelas de atletas num estádio, uma imóvel e as outras correndo em sentidos opostos. Se passado um único instante de tempo, cada um dos atletas em corrida passar por um dos atletas em repouso, então um corredor de uma fila terá de ter passado por dois corredores da outra fila em movimento. Ou seja, um corredor de uma fila passa por um corredor da outra fila em metade desse tempo. Portanto, o instante de tempo é igual ao seu dobro.

O paradoxo da Seta reflecte a impossibilidade de movimento se o espaço e o tempo
forem compostos de partes indivisíveis. No Estádio, Zenão mostra que o intervalo de
tempo que se considera não pode ser mínimo.   Ainda Segundo Boyer (1984), “a também é impossível, sob a hipótese
contrária – de que a subdivisibilidade do tempo Flecha (Seta) e o Estádio, de outro lado, argumentam que e do espaço termina em indivisíveis”. 
Zenão apresentou paradoxos que mostravam as contradições existentes em
considerar grandezas divisíveis infinitamente e em considerar grandezas indivisíveis. Os problemas que conduziram aos seus paradoxos diziam respeito à relação entre o infinito actual e o infinito potencial.

Zenão e a matemática moderna: Possíveis diálogos.


A dialética de Zenão foi levada em consideração por vários filósofos e matemáticos que argumentaram acerca de sua filosofia e a relação com a matemática moderna. Vejamos algumas possíveis relações; relações; 

Santillana escreve:&nbsp;&nbsp; 


“O método de Zenão, não menos que seus resultados, marca uma época na história da ciência. Ele inventou a demonstração por absurdo, que será, em seguida, bastante utilizada pelos geometras posteriores, particularmente por Euclides. Para demonstrar uma proposição A, nós admitimos inicialmente a verdade da hipótese contrária, não-A, e daí deduzimos em seguida as conseqüências, até que nos encontramos frente a uma contradição (o absurdo). E, do fato da proposição não-A ter-se revelado falsa, nós inferimos que a proposição A deve ser verdadeira. Ninguém pode contestar o rigor desse método: todavia, os críticos modernos o consideram um caminho indireto e pouco natural, que a intuição repugna, pelo fato dele levar a supor situações impossíveis e a raciocinar sobre eles. É daí que vem, em grande parte, a antipatia de Schopenhauer com relação a Euclides, cujas construções ele compara a armadilhas feitas para capturar o consentimento dos discípulos” (F. Enriques; G. De Santillana, Histoire de la pensée scientifique, Le problème de la matière. II: Pythagoriciens et Eléates,p. 51)

Outros autores também ressaltam as especulações de Zenão e sua possível contribuição para o desenvolvimento da matemática. Para Cajori: 

“Nenhuma questão acerca dos fundamentos da matemática é tão antiga e de interesse tão duradouro, chegando até as mais recentes especulações em filosofia da matemática, quanto os argumentos de Zenão contra o movimento. (...) A história desses paradoxos é em grande parte a história dos conceitos de continuidade, de infinito e de infinitesimal” (F. Cajori, The history of Zeno's arguments on motion, The American mathematical monthly, p.


Outros defendem que a solução dos paradoxos exige uma teoria como a Cantoriana, que combina a nossa noção intuitiva de pontos e acontecimentos individuais com uma teoria sistemática de conjuntos infinitos.&nbsp; É o que&nbsp; Russell defende no seu livro Our Knowledge of the External World, para o filosofo, os &nbsp;paradoxos de Zenão apenas obtiveram uma resposta efetiva quando Georg Cantor desenvolveu a teoria dos conjuntos infinitos, visto que ela permite tratar conjuntos infinitos de pontos no espaço, assim como acontecimentos no tempo, como todos completos, e não simplesmente como coleções de pontos ou sucessões de instantes individuais.  As descobertas de Cantor sobre a teoria de conjuntos assentam sobre uma idéia muito
simples. Como comparar conjuntos se não se conseguir contar os seus elementos?
Qualquer criança, muito antes de aprender a contar, sabe que a mão direita tem tantos
dedos quantos da mão esquerda. As noções de “tanto ‘ e “quanto” é a maneira pela qual não só as crianças, mas também, em geral, as pessoas &nbsp;exprimem o conceito de
correspondência biunívoca. Pois bem, basta colocar cada dedo de uma mão em frente ao
correspondente dedo da outra mão para concluir que ambas têm o mesmo número de
dedos. De uma forma intuitiva, a correspondência, um a um, entre dois conjuntos A e B
trata-se do emparelhamento dos elementos de um conjunto com os do outro, de tal
modo que todos os elementos de cada conjunto têm exatamente um correspondente no
outro conjunto. Segundo esta definição, pode procurar-se a equivalência de grandes conjuntos, como o dos lugares de um estádio e o dos espectadores que os ocupam para assistir a qualquer acontecimento: se houver espectadores sem lugar, ou se sobrarem lugares não ocupados, os dois conjuntos não são equivalentes; caso contrário, são.&nbsp; Cantor sabia, naturalmente, que algumas facções se repetiriam e incitava que,
quando se encontrassem representações alternativas, essas deveriam ser ignoradas.&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

Hegel também cita Zenão, e coloca os paradoxos como questões não refutadas; &nbsp;
&nbsp;“a dialética de Zenão sobre a matéria não foi refutada até hoje; não conseguimos, até agora, ir além dela e a questão permanece incerta” (em F.  Cajori, The history of Zeno's arguments on motion, The American mathematical monthly, p. 181)
  
Já segundo Pierre Bayle, “o ganho que pode ser adquirido dessas especulações não consiste simplesmente em adquirir esse tipo de Conhecimento, que em si é muito estéril; mas aprender a conhecer os limites de nosso entendimento” (em F. Cajori, The history of Zeno's arguments on motion, The American mathematical monthly, p. 111)

Por fim ,Paci &nbsp;faz una interessante analise sobre o tema que talvez proponha o limite entre os problemas&nbsp; de Zenão e a Matematica, Sobre o assunto ele escreve.


Nos deparamos com o “problema da passagem da matemática à física, na qual é necessário distingüir a realidade física do raciocínio matemático que a essa realidade é aplicado. O próprio cálculo infinitesimal é uma aproximação formal a uma realidade física que não é, de fato, alcançada. Isso não significa que tal realidade não exista: é necessário, aliás, conceber tal realidade de maneira a explicar porque para ela pode ser aplicado o cálculo infinitesimal. Leibniz, portanto, conceberá a realidade como um conjunto de mônadas e Anaxágoras, antes dele, como um conjunto de homeomerias” E ainda: “O que aprendemos com Zenão é que se nós traduzimos os termos de um discurso lógico-matemático em dados de uma experiência de fato, não nos deparamos com nossa experiência real, mas somente com o absurdo”
Enfim, a divisibilidade ad infinitum de espaço e tempo nada mais são do que “uma convenção que ajuda a determinar o caráter de uma linguagem (a linguagem da geometria) que substitui a linguagem do senso comum quando nós, dos problemas da vita cotidiana, passamos para os temas mais delicados da tecnologia e da ciência pura. Mas se nós não esperamos que essa linguagem mais precisa explique uma correspondência um a um entre seus termos e a experiência cotidiana, evitaremos o erro de pensar que Aquiles seja condenado a realizar infinitas tarefas. Nós podemos muito bem dizer que Aquiles deve percorrer dez metros, depois um metro, depois um decímetro, e assim por diante; mas isso não complica em nada a tarefa de Aquiles, e ele pode alegremente alcançar a tartaruga, ignorando tranqüilamente a rapidez do matemático em representar a imortal corrida através de fórmulas cada vez mais complexas” (E. Paci, Storia del pensiero presocratico, p. 75-76)
  Conclusão
Zenão foi inovador em sua dialética no sentido de ter se voltado contra a idéia de pluralidade&nbsp; e movimento enquanto a idéia central da escola eleatica era a de que: "O nada não possui realidade, não é, e aquilo que é surgir e desaparecer cai fora". Em Zenão, pelo contrário, também descobrimos tal afirmar e sobressumir daquilo que o contradiz, mas não o vemos, ao mesmo tempo, começar com esta afirmação; é a razão que realiza o começo - ela aponta, tranqüila em si mesma, naquilo que é afirmado como sendo sua destruição. Seus famosos e intrigantes paradoxos atravessaram o tempo e provavelmente tenham sido um dos motores no desenvolvimento da matemática moderna.