Raiz Cubica
Autor: Ticsjb | Publicado: 2010-11-05T04:45:00-07:00


Como calcular "na mão"Quanto vale a raiz cúbica de 8? Como você tem um cubo perfeito, o resultado é fácil (2). Mas e a raiz cúbica de 17?&nbsp;.

Veja como aplicar um método iterativo (não confunda com interativo; esse adjetivo se refere a algo repetitivo e auto-alimentado) que calcula de maneira bem simples a raiz cúbica de um número positivo C, com boa aproximação. Acompanhe:
Dada a equação X3&nbsp;- C = 0, é possível calcular a raiz cúbica aproximada de C usando a seguinte expressão:Esse é um processo iterativo baseado numa prática de cálculo numérico chamado método de Newton.

Quem são esses xi&nbsp;e xi+1&nbsp;que aparecem nessa expressão?Bem, se você tiver xi&nbsp;, pode calcular xi+1&nbsp;através da própria expressão&nbsp;
Mas o que representa o xi, afinal? Representa os números que se candidatam a soluções da equação e que vão sendo obtidos por iterações - ou seja, aplicações sucessivas da expressão&nbsp;.

Você pode começar com um valor qualquer; por exemplo, 1; que chamaremos de x0. Coloque-o no lugar de xi&nbsp;e calcule xi+1&nbsp;pela expressão dada. Substitua esse x1&nbsp;novamente na expressão e calcule x2. Volte com x2&nbsp;novamente na mesma expressão e calcule x3. Depois de algumas iterações ou ciclos da mesma expressão, você verá que os xi+1&nbsp;estarão variando muito pouco. Então, você estará chegando muito perto de&nbsp;.Talvez você esteja se perguntando: Mas então x0&nbsp;pode assumir qualquer valor, isto é, eu posso chutar qualquer valor inicial?Sim, pode. x0&nbsp;pode assumir qualquer valor positivo, pois a expressão acaba convergindo para o valor desejado - se bem que, quanto mais perto x0&nbsp;estiver do valor, por assim dizer, verdadeiro de&nbsp;, tanto mais rapidamente a expressão convergirá para um bom valor aproximado de&nbsp;.Talvez isso lhe pareça misterioso e, na verdade, não deixa de ser mesmo, mas o melhor aqui é ver o método em funcionamento.Use a sua calculadora e teste a seguinte iteração:Isso é o mesmo que&nbsp;. Façamos, por exemplo, x0&nbsp;= 1:Tente reproduzir esses resultados na sua própria máquina. Mas observe:o primeiro valor, o x0&nbsp;é um valor arbitrário, um chute mesmo, como já dissemos;




todos os xi&nbsp;obtidos a partir desse x0&nbsp;foram escritos com três casas decimais (muitas calculadoras permitem que se fixe o número de casas decimais desejado);




vamos considerar que o valor&nbsp;terá sido alcançado quando não houver mais modificações na segunda casa decimal (no entanto, você pode considerar que a meta foi atingida quando não houver mais variação na segunda, terceira ou qualquer outra casa; aqui, estamos levando o cálculo até a segunda casa decimal para observar o comportamento dos xi)Como você viu, chegamos a um resultado aceitável em cinco ciclos ou iterações. O que você espera que aconteça se atribuímos x0&nbsp;= 0 para o valor de saída?&nbsp;
Podemos criar uma rotina para a calculadora, caracterizada por uma seqüência de comandos que permite calcular xi+1&nbsp;a partir de xi. A seqüência deverá lhe permitir fazer o cálculo diretamente, sem anotar resultados parciais no papel. Uma sugestão é a seguinte seqüência, planejada para uma máquina bem simples (como a calculadora do Windows modo standard, por exemplo):
Calcule&nbsp;&nbsp;pelo método das aproximações sucessivas com o algoritmo desenvolvido. Comece com C = 17 e x0&nbsp;= 1. Faça 5 iterações (isto é, faça i variar de 1 a 5) e dê o valor de&nbsp;&nbsp;com 3 casas decimais

Fonte:&nbsp;educacao.uol.com.br