Trigonometria e aplicações básicas
Autor: Matemática e suas Tecnologias | Publicado: 2011-11-30T07:07:00-08:00

Trigonometria e aplicações
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.Algumas aplicações da trigonometria são:Determinação da altura de um certo prédio.
Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.
Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;Triângulo&nbsp;retângulo
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.Observação:&nbsp;Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.
Lados de um&nbsp;triângulo&nbsp;retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

TermoOrigem da palavra
CatetoCathetós:
(perpendicular)
HipotenusaHypoteinusa:
Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:

LetraLadoTriânguloVértice = ÂnguloMedida
aHipotenusaA = Ângulo&nbsp;reto&nbsp;&nbsp;A=90°
bCatetoB = Ângulo agudoB&lt;90°
cCatetoC = Ângulo agudoC&lt;90°


Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.

ÂnguloLado opostoLado adjacente
Cc cateto opostob cateto adjacente
Bb cateto opostoc cateto adjacente

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.

Propriedade do triângulo&nbsp;retângulo
Ângulos:&nbsp;Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
Lados:&nbsp;Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
Altura:&nbsp;A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.


A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.


Projeções de segmentos
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.


Projeções no triângulo retângulo
Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.m = projeção de c sobre a hipotenusa.
n = projeção de b sobre a hipotenusa.
a = m+n.
h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre&nbsp;média geométrica.


Relações Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Triângulohipotenusacateto maiorcateto menor
ABCabc
ADCbnh
ADBchm
Assim:a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/mlogo:a/c = c/m &nbsp;&nbsp; equivale a &nbsp;&nbsp; c² = a.m
a/b = b/n &nbsp;&nbsp; equivale a &nbsp;&nbsp; b² = a.n
a/c = b/h &nbsp;&nbsp; equivale a &nbsp;&nbsp; a.h = b.c
h/m = n/h &nbsp;&nbsp; equivale a &nbsp;&nbsp; h² = m.n
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²que resulta no Teorema de Pitágoras:a² = b² + c²A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.

FunçãoNotaçãoDefinição
senosen(x)medida do cateto oposto a x
medida da hipotenusa
cossenocos(x)medida do cateto adjacente a x
medida da hipotenusa
tangentetan(x)medida do cateto oposto a x
medida do cateto adjacente a x

Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.


sen(x)=CO
H=CO
1&nbsp;&nbsp;&nbsp;cos(x)=CA
H=CA
1&nbsp;&nbsp;&nbsp;tan(x)=CO
CA=sen(x)
cos(x)


Relação fundamental:&nbsp;Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:cos²(x) + sen²(x) = 1



Postado por: Biããh FernandaFonte:http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigon1/mod114.htm&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;