Exercícios
Autor: Caroline Gallon | Publicado: 2010-11-28T04:28:00-08:00

 1) De<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />termine o 61º termo da PA (9,13,17,21...):a1=9a2=13r=?a61=?Como temos a1 e a2 podemos encontrar r:a2=a1+r13=9+r13-9=rr=4Agora substituindo na fórmula do termo geral an=a1+(n-1).r , temos:a61=9+(61-1).4a61=9+(60).4a61=9+240a61=249 2) Determinar o número de termos da PA (4,7,10,....,136)a1=4a2=7an=136r=?n=?O primeiro passo é encontrar a razão ,depois é só substituir na fórmula do termo geral e encontrar n:a2=a1+r7=4+r7-4=rr=3Substituindo:an=a1+(n-1).r136=4+(n-1).3136=4+3n-3136+3-4=3n135=3nn=135/3n=453) (ITA/200) O valor de n que torna a seqüência (2+3n,-5n,1-4n) uma PA pertence ao intervalo:a) [-2,-1]b) [-1,0]c) [0,1]d) [1,3]e) [2,3]a1=2+3na2=-5na3=1-4nPara que a seqüência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação de definição de PA):a2=a1+r-5n=2+3n+r-5n-3n-2=rr=-8n-2                ea3=a2+r1-4n=-5n+r1-4n+5n=rr=1+nDeterminando o valor de r:-8n-2=1+n-8n-n=1+2-9n=3n=3/-9n=-1/3Logo a resposta correta é a alternativa b.4) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187.Qual a soma dos trinta primeiros termos:a1=100a30=187n=30s30=?Aplicando a fórmula da soma S_n=(a_1+a_n).n/2 temos:s30=(100+187).30/2s30=(287).15s30=43055) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:a1=21r=7a12=?n=12s12=?Calculando a12 utilizando a fórmula do termo geral an=a1+(n-1).r temos:a12=21+(12-1).7a12=21+(11).7a12=21+77a12=98Agora é só substituir na fórmula da soma sn=(a1+an).n/2s12=(21+98).12/2s12=(119).6s12=714 6) Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. ( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)Sn = (16n – 2n2) / 10Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:Sn=(16n – 2n2) / 10  Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.7)  As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:Ora, se x + 1, 2x , x^2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:2x – (x + 1) = (x^2 – 5) – 2x2x – x –1 + 5 – x^2 + 2x = 03x + 4 – x2 = 0 Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:x^2 – 3x – 4 = 0Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.Assim, teremos:x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x^2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas.8) UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.Teremos que:0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).1 hora o relógio baterá 1 vez2 horas o relógio baterá 2 vezes3 horas o relógio baterá 3 vezes........................................................................................................12 horas o relógio baterá 12 vezes.Logo, teremos a seguinte seqüência:(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.Portanto, a soma dos termos desta PA será:S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78A soma procurada será igual ao resultado anterior mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60.4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -15 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:Números com 3 algarismos: de 100 a 999.Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.Daí vem: n = 112Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 613766 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.Podemos escrever:a3 + a7 = 30a4 + a9 = 60Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60Subtraindo membro a membro as duas expressões, vem:3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.Substituindo numa das equações acima, vem:2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.Logo, o centésimo termo será:a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 9657- Determinar o déscimo segundo termo da P.A. (3,5,7,...).\(a_1=3\)n=12\(a_{12}= ?\)Calculamos a razão:r=5-3r=2Substituímos estes valores na fórmula do termo geral :\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)\(a_{12}=3+(12-1)2\) \(a_{12}=25\)8 - Determinar o primeiro termo de uma P.A. em que o vigésimo termo é igual a 99 e a razão é igual a 5.\(a_{20}=99\)n=20r=5\(a_1= ?\)Substituímos esses valores na fórmula do termo geral: \(a_{n}=a_1+(n-1)r\) \(99= a_1+(20-1)5\) \( 99=a_1+95\) \(a_1=4\)9 - Calcular a razão de uma P.A., sabendo que o primeiro termo é o triplo da razão e que \(a_{23}=50\).\(a_{23}=50\)n=23\(a_1=3r\)r= ?\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)\(50=3r+(23-1)r\)\(50=3r+22r\)\(50=25r\)\(r=2\)10 - Sabendo que \((x+1)\),\((3x-2)\),\((2x+4)\) formam, nessa ordem, uma P.A., calcular o valor de x e a razão dessa P.A.\(P.A. (x+1,3x-2,2x+4)\)Sabendo que numa P.A. a diferença entre um termo, a partir do segundo, e o seu antecessor é sempre constante, podemos montar a seguinte equação:\((2x+4)-(3x-2)=(3x-2)-(x+1)\)\(2x+4-3x+2=3x-2-x-1\)\(-x+6=2x-3\)\(-x-2x=-3-6\)   (-1)\(3x=9\)\(x=3\)Para determinar a razão, basta substituir x por 3 na sequencia inicial e efetuar a diferença entre um termo e seu anterior.\((x+1)\),\((3x-2)\),\((2x+4)\)\((3+1)\),\((3(3)-2)\),\((2(3)+4)\)4,7,10Logo, r=7-4 = 3  1) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por \(S_n=n^2+2n\). O valor do 13o termo desta PA é:(A) 195(B) 190(C) 27(D) 26(E) 25- Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo \((a_1)\) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.- À primeira vista você pode achar que se substituirmos \(n\) por 13 teremos o valor do 13otermo. Estamos enganados. Então:- O que devemos fazer é substituir primeiro \(n\) por 1, isso dá\(S_1=12+2(1)\)\(S_1=3\)- Como S1 significa a soma de todos os termos até \(a_1\), ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele \((a_1=3)\)- Se substituirmos \(n\) por 2, temos:\(S_2=22+2(2)\)\(S_2=8\)- S2 significa a soma de todos os termos até \(a_2\), então é igual à \(a_1+a_2\).Como já sabemos o valor de a1, logo:\(S_2=a_1+a_2=8\)\(3+a_2=8\)\(a_2=5\)Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:\(a_n=a_1+(n-1)r\)\(a_{13}=3+(13-1)2\)\(a_{13}=3+24\)\(a_{13}=27\)Resposta certa letra "C"2) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6(E) 7- Informações do problema:\(a_1=112 a_n=250 r=23\)- Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:- A alternativa "E" parece ser a alternativa correta, mas 7 não é a resposta, é o número total de termos.Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.A resposta certa é a letra "C"3) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é:(A) 60(B) 59(C) 72(D) 80(E) 76- Informações do problema:\( a_7=20 a_{10}=32 a_{20}=?\)- Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral:\(a_7=a_1+6r a_{10}=a_1 + 9_r\)\(20=a_1+6r 32=a_1 + 9_r\)- Formamos um sistema de equações e resolvemos:\(20=a_1+6r\)\(32=a_1+9r\)Vamos isolar o termo \(a_1\) na primeira equação\(a_1=20-6r\)Agora vamos substituir este valor na segunda equação\(32=20-6r+9r\)\(32-20=9r-6r\)\(12=3r\)\(r=12/3\)\(r=4\)Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do \(a_1\).\(20=a_1+6*4\)\(20=a_1+24\)\(a_1=-24+20\)\(a_1= -4\)Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pede o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.\(a_{20}=a_1+19r\)\(a_{20}=-4+19*4\)\(a_{20}=-4+19*4\)\(a_20=72\)Resposta certa letra "C".1) Dados a5=100 e r=10 , calcule o primeiro termo:a5=100n=5r=10a1=?a5=a1+(5-1).r100=a1+(4).10100=a1+40100-40=a1a1=60   1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:\( a_1=5 \)  \( r=11 \)  \( a_{13}=? \)- Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde \( a_n \) será o \( a_{13} \), portanto \( n=13 \).Agora, substituindo:\[\begin{aligned}a_{13} = 5 + (13 - 1) * 11 \\a_{13} = 5 + (12 * 11) \\a_{13} = 5 + 132 \\a_{13} = 137 \\\end{aligned}\]2) Sendo \( a_7 = 21 \) e \( a_9 = 27 \) , calcule o valor da razão: \( a_7 = a_1 + (7 - 1)r \)Substituindo pelos valores\[\begin{aligned}  21 = a_1 + 6r  \\a_9 = a_1 + (9 - 1)r  \\\end{aligned}\]Substituindo pelos valores \(27 = a_1 + 8r \)Note que temos duas incógnitas ( \(a_1\) e \(r\) ) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações.Vamos isolar o \(a_1\) na primeira equação e substituir na segunda: \( a_1 = 21 - 6r \)Agora, substituindo na segunda:\[\begin{aligned}27 = (21 - 6r) + 8r \\27 = 21 + 2r\\27 - 21 = 2r\\6 = 2r\\\frac{6}{2} = r\\r=3\end{aligned}\]    3) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:(A) 8a(B) 7a(C) 6a(D) 5a(E) 4a- informações do problema: \( a1 = 23;  r = -6;   a_n = -13;   n = ? \)- Substituindo na fórmula do termo geral:\[\begin{aligned} a_n = a_1 + (n-1)r \\-13 = 23 + (n - 1)(-6) \\-13 - 23 = -6n + 6 \\-36 - 6 = -6n \\-42 = -6n \\\end{aligned}\]Vamos multiplicar os dois lados por (\(-1\))\[\begin{aligned}6n = 42 \\n = \frac{42}{6} \\n=7 \\\end{aligned}\]Resposta certa letra "B"   4) (UCS) O valor de x para que a sequência \( (2x, x+1, 3x) \) seja uma PA é:(A) \( \frac{1}{2} \)(B) \( \frac{2}{3} \)(C) 3(D) \( \frac{1}{2} \)(E) 2  - Informações: \( a_1 = 2x;   a_2 = x+1;   a_3 = 3x \)- Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo dafrente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:\[\begin{aligned}a_2 = a1 + r \\r = a_2 - a1 \\a_3 = a_2 + r  \\r = a_3 - a_2\end{aligned}\]- Como temos \(r\) igualado nas duas equações, podemos igualar uma a outra, ou seja:\( a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \)- Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:\[\begin{aligned}6n = 42 \\(x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1) \\x + 1 - 2x = 3x - x - 1 \\x - 2x - 3x + x= -1 - 1 \\-3x = -2 \\\end{aligned}\]Multiplicando ambos os lados por (-1)\[\begin{aligned}3x = 2 \\x = \frac{2}{3} \\\end{aligned}\]Resposta certa letra "B"