Autor: Angelo Moreira | Publicado: 2014-08-18T17:45:00-07:00


Função do 1° Grau






Chama-se&nbsp;função polinomial do 1º grau, ou&nbsp;função afim, a qualquer função&nbsp;f&nbsp;de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax&nbsp;+ b, onde a e b são números reais dados e a0.

&nbsp;Na função f(x) = ax&nbsp;+ b, o número&nbsp;a&nbsp;é chamado de coeficiente de&nbsp;x&nbsp;e o número&nbsp;b&nbsp;é chamado termo constante.

&nbsp;Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
&nbsp;f(x) = 5x&nbsp;- 3, onde a = 5 e b = - 3&nbsp;f(x) = -2x&nbsp;- 7, onde a = -2 e b = - 7&nbsp;f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0


Gráfico



&nbsp;&nbsp;&nbsp; O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,&nbsp;&nbsp;y&nbsp;= ax&nbsp;+ b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox&nbsp;e Oy.

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Exemplo:

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vamos construir o gráfico da função&nbsp;y&nbsp;= 3x&nbsp;- 1:&nbsp;&nbsp;&nbsp; Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

&nbsp;&nbsp;&nbsp; a)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Para&nbsp;&nbsp;&nbsp;x&nbsp;= 0, temos&nbsp;&nbsp;&nbsp;y&nbsp;= 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).&nbsp;&nbsp;&nbsp; b)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Para&nbsp;&nbsp;&nbsp;y&nbsp;= 0, temos&nbsp;&nbsp; 0 = 3x&nbsp;- 1; portanto,&nbsp;&nbsp;e outro ponto é&nbsp;.

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Marcamos os pontos (0, -1) e&nbsp;&nbsp;no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.



xy
0-1
0







&nbsp;&nbsp;&nbsp; Já vimos que o gráfico da função afim&nbsp;y&nbsp;= ax&nbsp;+ b é uma reta.&nbsp;&nbsp;&nbsp; O coeficiente de&nbsp;x,&nbsp;a, é chamado&nbsp;coeficiente angular da reta&nbsp;e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

&nbsp;&nbsp;&nbsp; O termo constante,&nbsp;b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos&nbsp;y&nbsp;= a · 0 + b = b.&nbsp;Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.Zero e Equação do 1º Grau
&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax&nbsp;+ b, a0, o número real&nbsp;x&nbsp;tal que&nbsp; f(x) = 0.

&nbsp;&nbsp; Temos:

&nbsp;&nbsp; f(x) = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ax&nbsp;+ b = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Vejamos alguns exemplos:


Obtenção do zero da função f(x) = 2x&nbsp;- 5:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; f(x) = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2x&nbsp;- 5 = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;


Cálculo da raiz da função g(x) = 3x&nbsp;+ 6:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; g(x) = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3x&nbsp;+ 6 = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;x&nbsp;= -2&nbsp;&nbsp;&nbsp;


Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:O ponto em que o gráfico corta o eixo dos&nbsp;x&nbsp;é aquele em que h(x) = 0; então:&nbsp;&nbsp;&nbsp; h(x) = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; -2x&nbsp;+ 10 = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;x&nbsp;= 5





Crescimento e decrescimento

&nbsp;&nbsp; Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:






x-3-2-10123
y-10-7-4-1258





&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes&nbsp;&nbsp;&nbsp; valores de y também aumentam. Dizemos, então que a&nbsp;&nbsp;&nbsp; função y = 3x - 1 é crescente.&nbsp;&nbsp; Observamos novamente seu gráfico:







Regra geral:

a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a &gt; 0);a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a &lt; 0);

Justificativa:

para a &gt; 0: se x1&nbsp;&lt; x2, então ax1&nbsp;&lt; ax2. Daí, ax1&nbsp;+ b &lt; ax2&nbsp;+ b, de onde vem f(x1) &lt; f(x2).
para a &lt; 0: se x1&nbsp;&lt; x2, então ax1&nbsp;&gt; ax2. Daí, ax1&nbsp;+ b &gt; ax2&nbsp;+ b, de onde vem f(x1) &gt; f(x2).





Sinal

&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.&nbsp;&nbsp;&nbsp; Consideremos&nbsp; uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz&nbsp;. Há dois casos possíveis:

&nbsp; 1º) a &gt; 0 (a função é crescente)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; y &gt; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ax + b &gt; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; x &gt;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; y &lt; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ax + b &lt; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; x &lt;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz



2º) a &lt; 0 (a função é decrescente)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; y &gt; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;ax + b &gt; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; x &lt;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; y &lt; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;ax + b &lt; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; x &gt;&nbsp;



Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é&nbsp; negativo para valores de x maiores que a raiz.







&nbsp;Ex:&nbsp;

&nbsp;