Aplicação de numeros complexos 1ª parte
Autor: Panda | Publicado: 2012-02-13T17:06:00-08:00

Conjunto 
 
Em todo o ensino médio estudamos apenas os seguintes conjuntos numéricos:
Conjunto dos naturais 
Conjunto dos inteiros 
Conjunto dos racionais 
Conjunto dos irracionais 
Conjunto dos reais 

No ensino médio estudamos um novo conjunto, o conjunto dos números complexos. 
Veja uma breve explicação da evolução dos conjuntos numéricos. 

Iniciamos  o estudo dos conjuntos numéricos pelo conjunto dos naturais   representado pela letra N maiúscula, os números que pertencem a esse   conjunto são: 
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}.

As  operações se tornaram complicadas e sem solução, pois como podemos   retirar uma quantidade maior de outra menor? Então foi notada a   necessidade de mais números e surgiram os números inteiros representados   pela letra Z maiúscula. Os números que pertencem a esse conjunto são: 
Z = {... , -3,-2,-1,0,1,2,3, ... }.

Novamente  as operações se complicaram, pois ao dividirmos, por exemplo,  2: 5 não  chegaríamos a uma resposta inteira, então sugiram os números  que podem  ser escritos em forma de fração, que são representados pela  letra Q  maiúscula, esses números são: 
Q = { ... , -5; ...; - 4,2; ... ; - 2; ... ; -1;...; 0; ...; 3,56; ...; 4; ... } .

Podemos  dizer que o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos   inteiros e racionais, que o conjunto dos inteiros está contido dentro do   conjunto dos racionais, veja essa relação em forma de diagrama:


&nbsp;Ao   resolvermos a raiz de alguns números percebemos que as soluções   encontradas eram números decimais infinitos e que não obedeciam a uma   seqüência, portanto, esses números iriam participar de um conjunto   chamado irracionais, representados pela letra I maiúscula. Esse conjunto   fica à parte, ele e nenhum dos outros conjuntos citados acima está   contido no conjunto dos irracionais. 

A união dos  conjuntos racionais com os irracionais forma o conjunto dos  reais,  representado pela letra R maiúscula, veja o diagrama abaixo: 



Nem  esses conjuntos satisfizeram alguns cálculos, então foi preciso que   criassem mais um conjunto numérico, esse seria um pouco diferente dos   outros, pois iria conter em sua estrutura a letra i. Sua representação é   feita pela letra maiúscula C. 

Esse conjunto é  chamado de conjunto dos números complexos, veio pra  resolver raízes com  índices pares e radicando negativo, pois no conjunto  dos reais essa  operação não teria solução. 

Podemos concluir que o  conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números  complexos.                                                                                                             
ARTIGOS DE "Conjunto dos números complexos"Conjugado 
Para determinarmos o oposto, o conjugado e a igualdade de qualquer número complexo precisamos conhecer alguns fundamentos.

Oposto

O  oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é   -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa   mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.

Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será:
- z = - 8 + 6i.

Conjugado

Para  determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar  o  número complexo através do oposto da parte imaginária. O conjugado de  z  = a + bi será:



Exemplo:
z = 5 – 9i, o seu conjugado será:

z = – 2 – 7i, o seu conjugado será

Igualdade

Dois números complexos serão iguais se, e somente se, respeitarem a seguinte condição:
Partes imaginárias iguais
Partes reais iguais

Dado os números complexos z1 = a + bi e z2 = d + ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d e bi = ei.


Observações:

A soma de números complexos opostos será sempre igual a zero.
z + (-z) = 0.

O conjugado do conjugado de um número complexo será o próprio número complexo.


Não existe relação de ordem no conjunto dos números complexos, então não podemos estabelecer quem é maior ou menor.

Exemplo 1

Dado o número complexo z = - 2 + 6i, calcule o seu oposto, o seu conjugado e o oposto do conjugado.

Oposto
- z = 2 - 6i

Conjugado


Oposto do conjugado



Exemplo 2

Determine a e b de modo que .

-2 + 9i = a - bi

Precisamos estabelecer a propriedade da relação de igualdade entre eles. Então:

a = - 2
b = - 9Operação de numeros complexosQuatro Operações com ComplexosConsideremos os números complexos z1       = a + bi e z2 = c + di ou, na forma trigonométrica,
z1 = r1cisq1       e z2 = r2cisq2           Adição
Algebricamente, a soma é na forma:&nbsp; z1       + z2 = a + c       + (b + d)iNa notação trigonométrica não há como simplificar.De notar que, se z e       w forem dois complexos:       z + w = w + z.Considerando  os números como vectores, geometricamente, a soma de       complexos  não passa da soma dos vectores que os representam pela       "regra do  paralelogramo".           Subtracção
A subtracção de z1 por z2       não é mais que a soma de z1 com o simétrico de z2,       ou seja,&nbsp;&nbsp; 
z1 - z2 = z1 + (-z2).Geometricamente,  considerando os números como vectores, a subtracção       corresponde à  adição do primeiro vector com o simétrico do segundo       vector.           Produto
O produto de z1 por z2 é o número       complexo
z1.z2 = (ac - bd) + (ad + cb)i       &nbsp;ou, na forma trigonométrica&nbsp; z1.z2       = r1r2cis(q1       + q2)&nbsp;       Vejamos a interpretação geométrica do produto de dois       complexos, z1 = a + ib e z2 = c + id. Esta       operação não corresponde, directamente, a nenhuma operação conhecida       entre vectores.Suponhamos que z2 é um número real, isto é,       que d = 0; então o produto de z1 por z2  corresponde       ao produto do vector (a, b) pelo número real c. Se  c&gt;0, então esta       operação corresponde a uma dilatação de razão c  do vector z1       e se c&lt;0 corresponde a uma dilatação  de razão |c| do mesmo vector,       seguida de uma rotação de 180º de  centro na origem.Consideremos, agora, que z2 =       i. Neste       caso o produto do complexo a + bi por i  corresponde à rotação       de 90º no sentido directo (contrário ao  movimento dos ponteiros do       relógio) e em torno da origem do vector  (a, b), obtendo-se o vector (-b,       a).O produto de um complexo a + bi por um imaginário       puro  ki  combina as duas operações anteriores: o produto do  vector (a, b) por  k, seguido de uma rotação de 90º no sentido directo  em torno       da  origem do vector obtido.Estas operações podem ser facilmente visualizadas na       figura seguinte:Vejamos agora o produto de um complexo       a + bi pelo       complexo c + di. Este produto é equivalente a c Ž       (a + bi)       + di Ž       (a + bi),       por isso vectorialmente corresponde a:         
                                           
               1. determinar o produto do vector (a,b) pelo número                 real c;               2.  determinar o produto do vector                 (a, b) pelo número                  real d e fazer uma rotação de 90º ao vector obtido             
                            
               3. adicionar os vectores obtidos em                 1. e 2.             
                           Divisão&nbsp;
O quociente entre z1 e z2 é o       produto de z1 pelo inverso de z2, ou seja, z1/z2       = z1.z2-1&nbsp;Na prática, basta multiplicar e dividir z1 por       z2&nbsp;