Atividade  250735 - Wa - Ads - Sem 1 - Unidade 2 - Fundamentos de Lógica e Matemática Discreta Período  07/03/11 00:00 à 09/07/11 23:59
Autor: Otoni Ribeiro | Publicado: 2012-04-30T14:21:00-03:00


Web Aula 1

Tema: Conjuntos 

As
 relações apresentadas nesta aula já foram estudadas no Ensino Médio, 
portanto o que nos propomos no momento é recapitular alguns pontos 
básicos do estudo dos conjuntos.

Vamos
 iniciar com a definição de conjunto, a notação adequada para 
representar conjuntos e elementos e também as possíveis maneiras de se 
representação

Então vamos começar?

Não há um consenso a respeito da definição de conjunto. O que apresento é uma possibilidade de definição:

Idéia intuitiva de “coleção” ou “totalidade” de objetos.
Esses objetos são denominados elementos.


Devemos representar conjuntos e elementos da seguinte forma:

CONJUNTOS - Letras maiúsculas: A, B, C, D...

ELEMENTOS - Letras minúsculas: a, b, c, d ...

Quando queremos dizer se um determinado elemento pertence ou não pertence a um conjunto devemos utilizar a seguinte notação:

F: conjunto de filósofos.
s: Sócrates
Sócrates é um filósofo.


s  F (o elemento s pertence ao conjunto F)

Sócrates não é um filósofo.

s  F (o elemento s não pertence ao conjunto F) 






A relação que se estabelece entre elementos e conjuntos é chamada de relação de pertinência.

Lembre-se, a relação de pertinência se dá entre elemento e conjunto






Como representar um conjunto?




Podemos representar um conjunto das seguintes maneiras:

Enumeração ou extensão: Listagem de todos os elementos do conjunto.
Descrição ou compreensão: Propriedade comum aos elementos do 
conjunto que permite estabelecer se um elemento pertence ou não ao 
conjunto.


 




Exemplos:





P: conjunto de números pares
Enumeração: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...}
Descrição: {x|x é número par}
S: conjunto dos planetas que formam o sistema solar
Enumeração:{Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno}
Descrição:{x|x é planeta do sistema solar}


Evidentemente,
 quando o conjunto possui muitos elementos é mais conveniente que 
façamos sua representação por descrição ou compreensão e quando se trata
 de um conjunto com poucos elementos, a enumeração permite melhor 
visualização.

Imagine
 se você tivesse que representar o conjunto formado por todos os alunos 
que estudam Análise e Desenvolvimento de Sistemas da UNOPAR?

Seria
 mais adequado que o fizesse por descrição, pois seria uma tarefa 
cansativa fazer a enumeração de todos os alunos desse curso.

Agora vamos aplicar um pouco do que vimos até aqui.






Exercícios:




Represente os conjuntos enumerados por descrição:

S:{segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}
P:{1,3,5,7,9,11,13,15...}
Q:{quadrado, triângulo, retângulo, círculo...}
C:{verde, amarelo, azul, branco} Relações entre Conjuntos





Nós
 já vimos acima a relação de pertinência, que se estabelece entre 
elemento e conjunto. Agora vamos ver a relação de inclusão, que se dá 
entre conjuntos.



Inclusão:
 se cada elemento do conjunto A for também elemento de outro conjunto B,
 dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B.









 

Quando A e B têm exatamente os mesmos elementos, eles são o mesmo conjunto: A = B



Para essa relação, valem todas essas propriedades:








Operações com Conjuntos




São várias as operações que podemos fazer envolvendo conjuntos. Vamos focar nossa atenção nas principais.

União de Conjuntos:








Exemplo:























Intersecção de Conjuntos










Exemplo:









A = {0,1,2,3,4}

B = {1,3,5,7}
A ∩ B = {1, 3}


Diferença de Conjuntos












A = {1,2,3,4,5}

B = {2,4,6,8}

A – B = {1, 3, 5}





Vamos novamente aplicar os conhecimentos desenvolvidos até agora no exercício a seguir:

Com base no diagrama, calcule:

















Aplicação em Problemas




Os
 problemas envolvendo operações com conjunto não são difíceis de 
resolver. Entretanto é necessário acompanhar o raciocínio para 
compreender os passos da resolução. E é isso que vamos fazer agora. Leia
 atentamente o problema e acompanhe a resolução:

Num curso com 630 alunos, 350 deles estudam matemática, 210 estudam lógica e 90 deles estudam as duas matérias. 
Quantos alunos estudam apenas matemática? 
Quantos alunos estudam apenas lógica? 
Quantos alunos estudam matemática ou lógica? 
Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias? Resolução:





1.
 Primeiro de tudo, vamos montar os conjuntos para cada matéria. Então 
temos o conjunto de alunos que estudam matemática, que chamaremos de M, e
 o conjunto de alunos que estudam lógica, que chamaremos de L, assim:





2.
 Agora não podemos nos esquecer que existem alunos que estudam as duas 
matérias, matemática e lógica, portanto pertencem ao conjunto M e também
 ao conjunto L. Dessa forma eles devem ser colocados na intersecção:





3.
 Depois de colocar os elementos da intersecção, vamos colocar os 
elementos de M e L. Começando por M: o enunciado nos diz que são 350 
alunos que estudam matemática, ou seja, o conjunto M deve ter exatamente
 350 elementos. Mas não podemos nos esquecer que já colocamos nesse 
conjunto 90 elementos (que são os da intersecção). Atenção: se esses 
elementos estão na intersecção, é porque fazem parte de M e já foram 
colocados nesse conjunto, de forma que precisam ser retirados do total 
de 350. Ficamos então com 350 menos 90 = 260

4.
 O mesmo raciocínio seguimos para o conjunto L. São 210 alunos que 
estudam lógica, mas na intersecção já colocamos 90. Se esses 90 
pertencem à intersecção, pertencem também ao conjunto L, portanto 
precisam ser tirados dos 210. Ficamos então com 210 menos 90 = 120





5.
 Agora fica fácil responder as questões. Na primeira: quantos alunos 
estudam apenas matemática? Se vamos contar os alunos que estudam apenas 
matemática, os que estão na intersecção não podem ser contados, pois 
eles estudam lógica também. Então temos 260 alunos que estudam apenas 
matemática.

6.
 Para a segunda questão, o raciocínio é o mesmo. Se queremos responder 
quantos alunos estudam apenas lógica, não podemos considerar os da 
intersecção, pois estes estudam matemática também. Então temos 120 
alunos que estudam apenas lógica.

7.
 Na terceira questão, precisamos prestar atenção no conectivo ou. Ele 
define a operação de união entre conjuntos. Como já vimos, na união 
consideramos tanto os elementos que pertencem a M como os que pertencem a
 L. Os que estão na intersecção também precisam ser considerados, pois 
pertencem aos dois conjuntos. Dessa forma temos 260 que pertencem a M 
mais 120 que pertencem a L e mais 90 que estão na intersecção, num total
 de 470.

8.
 Para a última questão, precisamos retornar ao enunciado do problema que
 nos diz que este curso possui 630 alunos. Bom, se o total são 630 e 470
 estudam matemática ou lógica é fácil descobrir quantos não estudam 
essas matérias. 630 menos 470 = 160 alunos. 
Atividade no fórum:





Agora
 que você já viu como podemos resolver um problema envolvendo conjuntos,
 vamos ver na prática como você vai se sair. Resolva o problema abaixo e
 faça a postagem no fórum, apontando os resultados que você encontrou 
bem como o raciocínio que você seguiu para resolvê-lo.

Atenção:
 nesse problema aparecem três conjuntos, então podemos ter intersecção 
entre os três ou entre dois. Em qualquer caso, vale o mesmo raciocínio 
do problema anterior.






Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 
600 leram A Moreninha 
400 leram Helena 
300 leram Senhora 
200 leram A Moreninha e Helena 
150 leram A Moreninha e Senhora 
100 leram Senhora e Helena 
20 leram as três obras 






 




Calcule:




O número de pessoas que leu apenas uma das três obras.

O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.

O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

 




Aprofundando o conhecimento:




Toda
 a matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos, assim, a 
noção de conjuntos é muito relevante pois é a partir dela que todos os 
conceitos matemáticos podem ser expressos. É também a mais simples das 
idéias matemáticas.

A
 linguagem dos conjuntos, hoje universalmente adotada na apresentação da
 matemática, ganhou esta posição porque permite dar aos conceitos e às&nbsp; 
proposições desta ciência a precisão e a generalidade que constituem sua
 característica básica. 

Web aula 2

Tema: A representação do pensamento 

Durante
 muito tempo, estudar lógica significava aprender regras formuladas por 
Aristóteles para distinguir bons e maus argumentos. No entanto, podemos 
substituir essa análise pelo uso de alguns diagramas simples, 
relacionados com as proposições categóricas das quais tratou 
Aristóteles. A partir de tais diagramas, por inspeção direta, podemos 
avaliar a legitimidade de um argumento. Essa aula vai estudar esses 
diagramas.

 




Diagramas de Eüler




Por
 volta de 1770, o matemático suíço Leonhard Eüler, recorreu ao uso de 
alguns diagramas para representar as premissas e a conclusão dos 
argumentos, visando facilitar a compreensão das regras da boa 
argumentação. Veja o esquema:

Figura 9

A: conjunto dos possuidores da propriedade a

x: possui a propriedade a

y: não possui a propriedade a

Temos então os seguintes diagramas, correspondendo às quatro proposições básicas:






PROPOSIÇÃO
DIAGRAMA DE EÜLER


Todo a é b






Nenhum a é b






Algum a é b (ou Existe a que é b) 






Algum a não é b (ou Existe a que não é b) 








    


 
Vamos ver alguns exemplos¹:






1º Exemplo:

“Todos os patos nadam”

P: conjunto de patos

N: conjunto dos seres que nadam







2º Exemplo:

“Alguns gorilas nadam.”

(ou “Existem gorilas que nadam.”)

G: conjunto dos gorilas

N: conjunto dos seres que nadam




3º Exemplo: 

“Nenhum gato nada.”

G: conjunto dos gatos

N: conjunto dos seres que nadam




4º Exemplo: 

“Alguns homens não nadam.”

H: conjunto de homens

N: conjunto de seres que nadam




5º Exemplo: 

“Todos os países exportadores de petróleo são ricos.”
E: conjunto dos países exportadores de petróleo R: conjunto dos países ricos




6º Exemplo: “Todos os países ricos são exportadores de petróleo.”

E: conjunto dos países exportadores de petróleo


R: conjunto dos países ricos




7º Exemplo: 

“Existem países ricos que não são exportadores de petróleo.”

E: conjunto dos países exportadores de petróleo

R: conjunto dos países ricos




8º Exemplo: 

“Existem países ricos que são exportadores de petróleo.”

E: conjunto dos países exportadores de petróleo

R: conjunto dos países ricos




9º Exemplo: 

“Nenhum país exportador de petróleo é pobre.”

E: conjunto dos países exportadores de petróleo

P: conjunto dos países pobres










¹Os exemplos foram baseados em MACHADO e DA CUNHA (2005)Para praticar:










1) O diagrama ao lado representa os seguintes conjuntos: Figura 23

A: conjunto dos caranguejos

B: conjunto dos crustáceos

Suponhamos verdadeira a seguinte proposição:“Todos os caranguejos são crustáeos.”

A partir da premissa considerada, verifique se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas:






(1) Nenhum caranguejo é crustáceo.

(2) Alguns caranguejos não são crustáceos.

Agora vamos analisar:

A
 primeira proposição é falsa, pois pelo diagrama podemos ver que o 
conjunto de caranguejos está inteiro contido no conjunto de crustáceos, 
então todo elemento que pertence ao conjunto A (conjunto de caranguejos)
 pertence também ao conjunto B (conjunto dos crustáceos).

A
 segunda proposição também é falsa pois não temos elementos do conjunto A
 (de caranguejos) fora do conjunto B (de crustáceoas). Então todo 
caranguejo é crustáceo.






2) Considere agora os seguintes conjuntos:

H:conjunto de habitantes do Brasil

B: conjunto dos brasileiros

Suponhamos verdadeiras as seguintes proposições, de acordo com os diagramas:

“Existem brasileiros que não moram no Brasil.”

“Existem habitantes do Brasil que não são brasileiros.”

A partir das premissas dadas, verifique se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas:






(1) Nem todos os brasileiros moram no Brasil.

(2) Todos os habitantes do Brasil são brasileiros.

Agora vamos analisar:

A
 primeira proposição é verdadeira, pois, pelos diagramas, podemos notar 
que existem brasileiros que não são habitantes do Brasil. Essa afirmação
 é equivalente à premissa "Existem brasileiros que não moram no Brasil".
Já
 a proposição dois é falsa, uma vez que podemos perceber pelos diagramas
 que existem habitantes do Brasil que não são brasileiros. Argumentos e diagramas





Podemos
 utilizar diagramas como os de Eüler como um recurso na avaliação de um 
argumento. Os diagramas nos possibilitam o reconhecimento de uma 
argumentação válida ou de um sofisma, mas devemos ter atenção para ver 
se a representação dos diagramas correspondem ao que as premissas 
afirmam. Vamos estudar alguns casos:






ARGUMENTO 1:

Todos os paulistas são brasileiros.

João é paulista.

Logo, João é brasileiro.

ARGUMENTO VÁLIDO






ARGUMENTO 2:

Todos os paulistas são brasileiros.

Kelvin não é paulista.

Logo, Kelvin não é brasileiro.

SOFISMA:
 Kelvin pode ser ou não brasileiro. No caso de ele ser mineiro, por 
exemplo, teríamos as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.




ARGUMENTO 3:

Existem brasileiros que são famosos.

Todas as pessoas famosas são chatas.

Logo, existem brasileiros que são chatos.

ARGUMENTO VÁLIDO:
 observe que não estamos afirmando que as premissas são, 
necessariamente, verdadeiras, mas apenas que, se elas forem verdadeiras,
 então a conclusão também será verdadeira.




ARGUMENTO 4:

Nenhum garimpeiro é atleta.

Todos os atletas são saudáveis.

Logo, nenhum garimpeiro é saudável.

SOFISMA: o diagrama nos mostra que é possível termos duas simultaneamente verdadeiras e a conclusão falsa.




ARGUMENTO 5: 

Todos os tubarões são antropófagos.

Existem índios que são antropófagos.

Logo, existem índios que são tubarões.
SOFISMA: pelo diagrama podemos perceber que é possível satisfazer as condições enunciadas nas premissas e a falsidade da conclusão.





    


 Atividade de fórum:





Agora
 que você já viu as possibilidades de análise de argumentos por meio dos
 diagramas de Eüler, analise os argumentos a seguir, construindo os 
diagramas em cada caso, e verifique se eles são válidos ou não.

Não
 se esqueça, poste seus comentários e conclusões no fórum para debate, 
assim você pode discutir se suas conclusões estão adequadas, 
compartilhar conhecimento com os demais, além de aprender também.


Todos os alemães são europeus.Richard não era alemão.Logo, Bacon não era europeu.

Todo caranguejo é crustáceo.João não é caranguejo.Logo, João não é crustáceo.

Como existem livros que são verdes e existem coisas verdes que são comestíveis, existem livros que são comestíveis.

Sabemos que quem tem princípios morais nunca se embriaga. Ora, o papa nunca se embriaga; logo o papa tem princípios morais.

Nenhum brasileiro é europeu.Nenhum europeu é sul-americano.Logo, nenhum brasleiro é sul-americano.

Nenhum índio tem bigode.Todos os caetés são índios.Logo, nenhum caeté tem bigode.

Alguns escritores são chatos.Todos os escritores são alfabetizados.Logo, alguns chatos são alfabetizados. 

Não existem capitalistas pobres. Todos os mendigos são pobres. Logo, não existem mendigos capitalistas.Aprofundando o conhecimento:





Por
 volta de 1880, Venn, um matemático inglês, aperfeiçoou os diagramas já 
utilizados anteriormente por Eüler, representando conjuntos, sempre por 
círculos entrelaçados. Nesse tipo de representação, uma região com os 
sinais “-“ não tem elementos, enquanto que uma região com sinal “+” é 
não-vazia, isto é, tem elementos. Temos as seguintes correspondências 
com as proposições básicas:

Na
 maioria das vezes em que diagramas são utilizados na prática, os de 
Eüler é que são lembrados, entretanto o nome mais frequente atribuído a 
eles é diagramas de Venn. Tecnicamente, podemos considerar os diagramas 
de Venn um aperfeiçoamento dos diagramas de Eüler, entretando a 
representação de Eüler é muito mais compreensível do que a de Venn.






Todo a é b



Nenhum a é b



Algum a é b



Algum a não é b






 




Bibliografia:




MACHADO,
 N.J.; DA CUNHA, M.O. Lógica e linguagem cotidiana: verdade, coerência, 
comunicação, argumentação. Coleção Tendências em Educação Matemática, 
Autêntica, 2005.