Música na Grécia Antiga
Autor: FBI Music Department | Publicado: 2012-03-13T06:34:00-07:00


 

A música na vida e no pensamento da Grécia Antiga



Na mitologia grega, a música tinha origem divina e lhe eram atribuídos como inventores deuses e semideuses, como Apolo, Orfeu e Anfião. Os gregos acreditavam que a música tinha poderes mágicos como curar doenças, purificar o espírito e operar milagres na natureza.

A música era um elemento (ferramenta) também de cunho religioso. No culto de Apolo, o instrumento principal era a “Lira” e no de Dionísio o “Aulo”. A “lira” e sua variante de maiores dimensões, a “cítara”, eram instrumentos de cinco e sete cordas (chegando mais tarde a onze), ambas tocadas a solo ou como acompanhamento para o canto ou recitação poética.
A lira é um instrumento de cordas conhecido pela sua vasta utilização durante a antiguidade. As récitas poéticas dos antigos gregos eram acompanhados pelo seu som, ainda que o instrumento não tivesse origem helênica. O gênero de instrumento a que pertence a lira terá tido o seu alvorecer na Ásia, inferindo-se que terá entrado na Grécia através da Trácia ou da Lídia. Enquanto que os primeiros intérpretes, heróicos, e aqueles a quem se reconhecem melhoramentos no instrumento eram das colônias da Iónia, da Eólia ou da costa adjacente ao império Lídio, os mestres propostos pela mitologia grega eram Trácios: Orfeu, Museu e Tamíris.A estrutura de uma lira consiste num corpo oco - caixa de ressonância - do qual partem, verticalmente, dois braços (montantes), que, por vezes, também são ocos. Junto ao topo, os braços ficam ligados a uma barra - o jugo - que liga as cordas até outra saliência de madeira transversal - o cavalete - disposta junto à caixa de ressonância e que lhe transmite as vibrações das cordas. As cordas são percutidas com a ajuda de um plectro. O número de cordas variava, geralmente entre seis e oito.As cordas eram feitas de tripa ou de tendões de boi ou carneiro. Há quem afirme que os braços primitivos deste instrumento eram feitos com chifres de cabra.No Império Bizantino e na Grécia moderna, liras são instrumentos tocados com arco. Na música tradicional grega viva, há três tipos predominantes de lira: a lira cretense, a lira de Constantinopla (polítiki lyra) e a lira do Ponto (pontiakí lyra). São instrumentos pouco menores do que um violino, com três cordas, que se tocam apoiados no colo. As liras desempenham papel de instrumentos de solo na música grega.(fonte: wikipedia)O “aulo” (espécie de aerofone – qualquer intrumento musical em que o som é produzido principalmente pela vibração de ar sem a necessidade de membranas e cordas) era um instrumento de palheta simples ou dupla, muitas vezes com dois tubos. Seu timbre era estridente e penetrante. Associava-se a culto de dionísio pelo canto do “ditirambo” (canto de uma espécie de poema que pode ter origem no teatro grego). Nas grandes tragédias da época clássica, os coros e outras partes musicais poderiam ser acompanhados pelo aulo.Diferentes instrumentos eram chamados de aulos, incluindo um que era constituído de um tubo simples (monaulos), tocado como as flautas doces, outro também de tubo simples, mas tocado horizontalmente como a flauta transversal moderna, chamado de plagiaulos, outro com dois tubos separados, o diaulos, e por fim o tipo mais corrente, de tubo simples mas com palheta, que podia ser dupla ou simples.Embora tocado por alguns aristocratas, geralmente era um instrumento usado apenas por músicos profissionais, muitos deles escravos. Era um dos mais típicos instrumentos da Grécia antiga, estando presente em uma variedade de momentos: em sacrifícios, nas representações teatrais, nos jogos e nos cultos, sendo especialmente associado a Dionísio. A origem do aulos, segundo a mitologia, se deve a Mársias, o sátiro, que ou o teria inventado ou teria encontrado um exemplar rejeitado por Atena, pois ao tocá-lo seus lábios teriam inchado, arruinando sua beleza. Seja como for, Mársias adquiriu tal domínio sobre o instrumento que desafiou Apolo para um concurso de música, no qual aquele que se saísse vencedor poderia fazer do oponente o que quisesse. Como seria de esperar, Apolo, o deus da Música, venceu, e dependurou o sátiro em uma árvore e o esfolou vivo, para punir sua arrogância. O sangue de Mársias e as lágrimas das Musas formaram o rio Mársias na Ásia Menor. Mesmo brutal, o mito expressa bem as conseqüências de aproximação indevida ao divino, e reflete a tensão experimentada pelos gregos entre a lira e o aulos, símbolos respectivamente das oposições liberdade/tirania, profissionalismo/amadorismo, moderação/excesso. Isso levou no século XIX a uma interpretação equivocada dos espíritos Apolíneo e Dionisíaco, vistos então como irreconciliáveis. Contudo, no templo de Apolo em Delfos existia um santuário para Dionísio, e o próprio Dionísio era às vezes representado tocando uma lira ou kithara, instrumentos tipicamente associados a Apolo.(fonte: wikipedia)Ambos os instrumentos podem ter sido trazidos da Ásia Menor, sendo até o século VI a.C. instrumentos solistas. Com o passar do tempo, concursos de tocadores de cítara e aulo, acabaram tronando-se populares, bem como festivais de música instrumental. Consequentemente, pelo fato da música se tornar mais independente, multiplicava-se o número de virtuosos e ia se tornando mais complexa. Aristóteles era contra o excesso de treino profissional. Logo após a época clássica (entre 450 e 325 a.C.) deu-se uma reação contra o excesso de complexidade técnica e no início da era cristã, a teoria musical estava mais simplificada.Música e filosofia na Grécia

Música era uma palavra para os gregos que tinha relação com as Musas (nove entidades mitológicas que eram capazes de inspirar a criação artística e científica. A relação verbal indica que a música era comum a todas as atividades que dizem respeito a busca da beleza e da verdade.

As nove musas:
Clio:&nbsp;a musa Clio descobriu a história e a guitarra. Antigamente história se chamava Clio, porque se refere à "Kleos" a palavra grega para atos heróicos. Clio sempre foi representada com um clarim na mão direita e um livro na mão esquerda.
Euterpe:&nbsp;&nbsp;a musa Euterpe, descobriu muitos instrumentos musicais, cursos e dialetos. Ela sempre´é representado segurando uma flauta e muitos instrumentos estão sempre a sua volta.
Talía: era a protetora da comédia; ela descobriu a comédica, geometria, ciência&nbsp;arquitetural e agricultura. Ela também era protetora dos symposiuns. Ela sempre é representada segurando uma máscara teatral.
4. Melpomene:&nbsp;a oposta de Thalia, a musa Melpomene era a protetora da Tragédia; ela inventou a trágédia, discurso&nbsp;retórico e Melos. Ela é representada segurando uma máscara de tragédia e um bastão.
5. Terpsicore:&nbsp; era a protetora da dança. Ela inventou a dança, a harpa e a educação. Ela era chamada Terpsichore porque ela se divertia com a dança&nbsp;("terpo" em grego refere-se a diversão). Ela é representada segurando uma harpa e dançando.
6. Erato: essa musa era protetora do amor e da poesia amorosa - tanto quanto o casamento. Seu nome vem do grego "eros" que se refere ao sentimento de apaixonar-se. Ela era representada segurando uma lirae arco&nbsp;e flechas de amor.
7. Polimnia: era a protetora dos hinos divinos e da arte mimica. Ela inventou a geometria e a gramática. Era representada olhando para o céu e segurando uma lira.
8. Urânia: era a protetora dos objetos celestiais e das estrelas. Ela inventou a astronomia. Ela é representada usando estrelas, uma esfera celestial e um compasso.
9. Calliope: era a musa superiora.&nbsp; Ela acompanhava reis e príncipes em ordem para impor justiça e serenidade. Era protetora dos poemas heroicos e arte retórica. De acordo com o mito, Homero pediu à Calíope que o inspirasse enquanto escrevia a Ilíada e a Odsséia. Calíope é representada segurando louros em uma mão e os dois poemas homéricos na outra.
(fonte: http://www.greekmyths-greekmythology.com/nine-muses-in-greek-mythology/)

Pitágoras acreditava que o universo é regido por números. Ele notou que uma corda esticada, quando tocada, em vibração, gera um determinado som. Se o comprimento da corda for reduzido pela metade, ela produzirá outro som, mais agudo, mantendo uma relação de 8ª justa com o primeiro som. Segundo a lenda, Pitágoras teria amarrado quatro fios com as mesmas características num suporte. Depois teria colocado um peso na ponta de cada um, o primeiro de 1 unidade, o segundo de 1 unidade e 1/3 (4:3), o terceiro de 1 unidade e ½ (3:2) e o último de 2 unidades (2:1). Como resultado a segunda corda teria produzido um intervalo de quarta justa em relação à primeira corda, a terceira corda um intervalo de quinta e a última um intervalo de oitava.

Assim, as notas são geradas a partir de relações numéricas simples e o sistema de sons exemplificava a harmonia do cosmos.

Platão, inspirando-se em Pitágoras, Dâmon e Sócrates, pensava em algumas contribuições da música na formação do cidadão grego, sustentando que certos modos influenciam diretamente na formação da personalidade do cidadão e da república para bem ou mal. Argumentava quais modos musicais deveriam ser valorizados na formação do cidadão para a vida, buscando de certa forma, fugir da tradição mitológica que ainda acreditava que os feitos artísticos tinham inspiração divina, abordando o caráter racional da arte em contrapartida ao pensamento místico. Ou seja, sua obra buscava entender até onde iam as influências e as possibilidades geradas pela música na vida social, intelectual. Eram três os principais modos: Lírico, Frígio e Dórico. Cada qual gerava um tipo de emoção e enaltecimento de algum aspecto da personalidade humana. O Lírico exaltava as características sensuais; o Frígio, as características patéticas e entusiásticas; o Dórico, as características da força e magnitude. 

Platão dividiu os modos em dois grupos, os que ajudariam na formação e interesses da polis e o grupo que poderia “prejudicar”.

Para alguns pensadores, a música tinha relação direta com a astronomia. Como leis matemáticas baseavam tudo, acreditava-se que certos modos e/ou notas, correspondiam à planetas, por exemplo.A música também era sinônimo de poesia.

Doutrina de Ethos

A palavra ethos significava para os gregos antigos a morada do homem, isto é, a natureza, uma vez processada mediante a atividade humana sob a forma de cultura,1 faz com que a regularidade própria aos fenômenos naturais seja transposta para a dimensão dos costumes de uma determinada sociedade. Em lugar da ordenação observável no ciclo natural das coisas (as marés ou as fases da Lua, por exemplo), a cultura promove a sua própria ordenação ao estabelecer normas e regras de conduta que devem ser observadas por cada um de seus membros. Sendo assim, os gregos compreendiam que o homem habita o ethos enquanto a expressão normativa da sua própria natureza. Embora constitua uma criação humana, tal expressão normativa pode ser simplesmente observada, como no caso das ações por hábito, ou refletida a partir de um distanciamento consciente. Nesse caso, adentramos o terreno da ética enquanto discurso racional sobre o ethos.



Na perspectiva musical, a doutrina de Ethos expressa à ordenação, diferenciação e o equilíbrio dos componentes rítmicos, melódicos e poéticos. De acordo com a doutrina de Ethos, a música tem o poder de agir e modificar categoricamente os estados de espírito nos indivíduos. Pode induzir a ação; fortalecer ou de modo contrário enfraquecer o equilíbrio mental; gerar um estado de inconsciência, onde a força de vontade fica totalmente ausente nos indivíduos. Nesta concepção, a música não era apenas imagem passiva do universo, era também uma força capaz de afetar o universo. A música, dizia Aristóteles, imita as paixões ou estados da alma (sentimentos). Logo, quando ouvimos certo trecho que imita uma “paixão”, ficamos impregnados com esse sentimento. Caso haja um hábito para ouvir músicas que nos fazem sentir uma paixão em específico, tenderemos a tornar esse tipo de paixão mais aflorada no nosso ser. Em outras palavras, quando habitualmente ouvimos músicas que nos faz sentir ódio, a tendência é que sintamos cada vez mais ódio, ou amor, se for o caso de uma música que nos faz sentir amor, ou erotismo, ou qualquer outro tipo de sentimento que determinadas músicas podem nos fazer sentir, alterando nossa personalidade há longo prazo.

Havia duas categorias de música, baseada na doutrina de Ethos: música com efeito de calma e elevação espiritual e música que incitava a excitação e o entusiasmo. A primeira categoria associava-se a Apolo, sendo a Lira seu instrumento e as formas poéticas correlativas a ode e a epopeia. A segunda categoria era associada a Dionísio onde se utilizava o aulo como instrumento e suas formas poéticas afins eram o ditirambo e o teatro.

Platão e Aristóteles acreditavam em um sistema de ensino baseado na ginástica e na música para formar indivíduos bons e completos, nunca prevalecendo em um dos dois ensinos, mas buscando equilíbrio entre eles. É claro que algumas melodias e modos eram utilizados para alguns indivíduos de formas diferentes, de maneira a se formar um indivíduo mais preparada para determinado cargo ou função dentro da sociedade.

“Só os modos dórico e frígio serão admitidos, promovem coragem e temperança. A multiplicidade das notas, as escalas complexas, a combinação de formas e ritmos incongruentes, os conjuntos de instrumentos diferentes entre si &lt; os instrumentos de muitas cordas e afinações bizarras &gt;, até mesmo os fabricantes e tocadores de aulo deverão ser banidos do estado”. (Platão, República, 3.398C – 399E).

Já Aristóteles mostrava-se menos restrito que Platão quanto a ritmos a modos particulares. Concebia que a música pudesse ser usada como uma forma de entretenimento e prazer intelectual, não apenas como educação.

É possível que a delimitação musical tenha partido de um intuito de&nbsp; depreciar certos hábitos da vida dos gregos, como ritos orgiásticos, música instrumental independente e, quem sabe, popularidade de virtuosos profissionais. Houve muitos outros momentos históricos em que as autoridades censuraram a música, como na própria igreja, ditaduras e outros governos autoritaristas e, até mesmo, os educadores preocupados com o que o jovem esculta e vê nos dias de hoje.

Breve história de Platão

Em 428 a.C. (ou 427 a. C., não se sabe ao certo), pouco tempo após a morte de Péricles (estadista ateniense; foi durante o seu período que Atenas viveu o auge da sua democracia), nasce em Atenas aquele que por muitos é considerado o maior filósofo da Antigüidade: Platão. Sua família era muito tradicional, sendo muito de seus membros pessoas eminentes na política. Só para citar um exemplo, ele era descendente de Sólon, que foi um dos maiores legisladores de Atenas. Como era muito comum entre os atenienses de seu tempo, Platão desde cedo se interessou pela política. Ainda em sua juventude, Platão conhece e torna-se um discípulo de Sócrates, por quem foi profundamente influenciado em sua filosofia. Quando, em 399 a.C., Sócrates é julgado e morto, aprofunda-se em Platão a descrença nos rumos políticos da democracia ateniense (essa crítica à democracia ateniense foi uma de suas preocupações centrais durante a sua vida). Após a morte de seu mestre, Platão resolve viajar. Vai à Magna Grécia (que hoje seria o sul da Itália) onde conhece Arquitas de Tarento, um sábio- governante que inspira em Platão um modelo de governante para a solução dos problemas políticos. Ainda durante essa viagem, Platão vai a Siracusa, cidade-Estado localizada na Sicília, onde conhece e torna-se amigo de Dion, cunhado de Dionísio, tirano da cidade. É nessa cidade que Platão tenta aplicar suas idéias sobre política. Mas nada consegue. Ainda durante essa viagem, Platão vai ao Egito, mas o que aconteceu durante essa jornada é praticamente desconhecido. É nessa época que Platão escreve seus primeiros Diálogos e, provavelmente, começa a escrever República, uma de suas maiores obras. Os Diálogos dessa fase são considerados "socráticos", como a Apologia de Sócrates e Eutífron. Por volta de 387 a.C., já em Atenas, Platão funda sua Academia, que era um instituição de ensino que concebia o conhecimento como algo vivo e mutável e não como algo a ser decorado e passado adiante (bem que as escolas atuais poderiam se inspirar nessa concepção platônica de conhecimento e ensino). A fundação da Academia é considerada um marco na história do pensamento ocidental. Durante vinte anos Platão dedica-se ao ensino e às suas obras. Desse período são os Diálogos considerados de "transição", como Fédon, Banquete, República, Fedro. Essa fase é considerada uma transição da filosofia socrática de Platão para uma filosofia mais pessoal, mais desvinculada de seu mestre. Em 367 a.C., Dion chama Platão de volta à Siracusa: Dionísio I havia morrido e seria sucedido por Dionísio II. Platão vê nessa situação a chance de mudar o rumos políticos da cidade, ou seja, preparar o novo tirano para expulsar os cartagineses da Sicília. Essa segunda viagem de Platão foi fracassada, pois ele não consegue realizar seus intentos junto a Dionísio II. Ainda mais uma vez Platão seria chamado a Siracusa e mais uma vez sua viagem seria fracassada. Acabada sua tentativa de intervir na vida política de Siracusa, Platão retorna à sua Academia para retomar a produção de sua obra. Essa última fase de sua obra pode ser considerada a fase do amadurecimento de sua filosofia, além de definir, definitivamente, as fronteiras entre o seu pensamento e o de seu mestre Sócrates. É nessa fase que podemos ver sua visão do mundo das idéias em sua plenitude. (Só para localizar quem está lendo essa biografia e nunca soube nada sobre a filosofia de Platão, cabe aqui uma rápida explicação: o mundo das idéias seria o lugar da onde tudo que conhecemos teria nascido, só que esse mundo é invisível. Tudo aquilo que podemos ver é somente uma cópia imperfeita desse mundo das idéias). São dessa fase obras como Timeu, Crítias e a inacabada Leis. Platão morreu em 348 a.C. (ou 347 a.C.), cerca de dez anos antes de Felipe da Macedônia conquistar a Grécia. Isso mostra que talvez ele estivesse certo em criticar a democracia e a política ateniense de uma maneira geral, mas isso não cabe a nós julgarmos. Mas um dos maiores ensinamentos que ele nos legou é justamente um que mais falta em nossos dias: para Platão, o conhecimento constrói-se a partir de uma junção entre intelecto e emoção. Para ele, a ciência, o conhecimento são frutos de inteligência e amor.



Breve história de Aristóteles

Aristóteles - do grego: Ἀριστοτέλης, transliterado Aristotélēs -&nbsp; nasceu em Estágira, Macedônia, em 384 a.C., filho de um médico . Aos 17 anos integrou-se na academia de Platão, onde permaneceu até pouco após a morte deste em 348 -7. Foi durante todo esse tempo, discípulo e crítico de Platão, mas também nesse período, começou a trilhar seu próprio caminho.Com a morte de seu mestre, instalou-se em Assos, na Eólida, casou-se com Pítias, sobrinha de Hérmias, tirano local e eventual ouvinte de Platão, mudando-se depois para Lesbos, até ser chamado em 343 à corte de Felipe da Macedônia para encarregar-se da educação de seu filho, função que exerceu até 336 a.C., quando Alexandre subiu ao trono.



Em 333 voltou a Atenas onde fundou uma escola, o Liceu (também chamada Peripatética&nbsp; - do grego “caminho”- nome decorrente do hábito de Aristóteles de ensinar ao ar livre, muitas vezes sob as árvores que cercavam o local) e preparou uma coleção de manuscritos que se tornou modelo para as bibliotecas que surgiram posteriormente. Ao contrário da Academia de Platão, o Liceu privilegiava as ciências naturais, cobrindo os campos do conhecimento clássico de então: filosofia, metafísica, lógica, ética, política, retórica, poesia, biologia, zoologia, medicina e estabeleceu as bases de tais disciplinas quanto a sua metodologia científica.&nbsp;



Com aproximadamente 61 anos, Aristóteles foi obrigado a deixar Atenas, em virtude da morte do “ex-aluno”, Alexandre o Grande (323 a.C.) e do sentimento antimacedônico predominante. O famoso filosofo nessa época, já era casado com Hérpiles, uma vez que Pítias havia falecido pouco tempo depois do assassinato de Hérmias, seu protetor. Com Hérpiles, teve uma filha e o filho Nicômaco. Morreu em 322 a.C na Cálcida.&nbsp;



Para compreendermos a originalidade da contribuição do pensamento de Aristóteles, dois fatores são essenciais: a influência da formação experimental herdada de seu pai e a força filosófica platônica, duas tendências opostas que encontraram uma resposta original. O primeiro fator funciona como ponto de partida ou pano de fundo para a refutação do segundo fator de influência. Assim a filosofia aristotélica valoriza o que é empírico como crítica à teoria platônica das idéias. Em termos, Aristóteles formula uma filosofia realista contra o pensamento idealista de Platão.&nbsp;

Principais obras de Aristóteles, agrupadas por matérias:– Lógica: Categorias, Da Interpretação, Primeira e segunda analítica, Tópicos, Refutações dos Sofistas;_ Filosofia da natureza: Física;_ Psicologia e antropologia: Sobre a alma, além de um conjunto de pequenos tratados físicos;_ Zoologia: Sobre a história dos animais;_ Metafísica: Metafísica;_ Ética: Ética a Nicômaco, Grande ética, Ética a Eudremo;_ Política: Política, Economia;_ Retórica e poética: Retórica, Poética.&nbsp;




Breve história de Pitágoras

Pitágoras (570-500 a.C.) foi um matemático grego, tendo sido também lider religioso, místico, sábio e filósofo. Nasceu em Samos, uma ilha grega na costa marítima do que hoje é a Turquia. Viajando a Mileto, uma cidade grega 50 quilômetros a sudeste de Samos, aprendeu Matemática com Tales (624-546 a.C.), considerado o fundador da Matemática grega. Segundo antigos historiadores, Pitágoras viajou para o Egito e para a Babilônia, onde é provável que tenha se encontrado com o profeta Daniel. É provável também que Pitágoras tenha estudado na Índia. Sua crença na reencarnação talvez tenha origem indiana. Um de seus contemporâneos é Buda, e é provável que Pitágoras e Buda tenham se encontrado. Em torno de 525 a.C. Pitágoras mudou-se para Crotona, uma cidade ao sul da Itália, onde fundou a Ordem (Escola) Pitagórica. Casou-se com Teano, provavelmente a primeira mulher matemática da história.



A Escola Pitagórica

O termo Escola Pitagórica se refere a uma escola filosófica no sentido histórico cuja existência se prolongou por mil anos desde sua fundação. O modo de vida e as doutrinas atribuídas a Pitágoras, provenientes de sua escola, recebem o nome de pitagorismo. Segundo historiadores, a Escola Pitagórica tinha um caráter peculiarmente duplo. Por um lado, dedicava-se a questões espirituais: os pitagóricos acreditavam na imortalidade da alma e na reencarnação e tinham a auto-reflexão como um dever consciente e imprescindível na espiritualização da vida. Por outro lado, como parte dessa espiritualização, incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música, o que lhe imprimiu um caráter também científico, no sentido moderno da palavra. O estudo da Matemática - confundindo-se com a filosofia, pois "tudo é número" - era feito para promover a harmonia da alma com o cosmo. Dentre os princípios filosóficos que norteavam a escola pitagórica, destacam-se: a alma é imortal e reencarna-se; os acontecimentos da história repetem-se em certos ciclos; nada é inteiramente novo; todas as coisas vivas são afins; os princípios da Matemática são os princípios de todas as coisas. 

Dentre os principais nomes da Escola Pitagórica destamos: Filolaus de Tarento (nasceu c. 470 a. C. e morreu c. 390 a. C.), Arquitas de Tarento (nasceu em 428 a. C. aproximadamente) e Hipasus de Metapontum (viveu por volta de 400 a. C.). O pitagorismo influenciou fortemente as obras de Demócrito de Abdera e Platão. Alguns séculos mais tarde houve uma revivência da Escola Pitagórica, e seus protagonistas passaram a ser chamados de neo-pitagóricos. Dentre esses destacamos Nicômaco de Gerasa, que viveu em torno do ano 100.

Tudo é Número

Os Pitagóricos chegaram à razoável conclusão, em seus estudos, de que "tudo são números". Essa afirmação parece ter sido fortemente influenciada por uma descoberta importante da Escola Pitagórica, a explicação da harmonia musical através de frações de inteiros. 

Os Pitagóricos notaram haver uma relação matemática entre as notas da escala musical e os comprimentos de uma corda vibrante. Uma corda de determinado comprimento daria uma nota. Reduzida a 3/4 do seu comprimento, daria uma nota uma quinta acima. Reduzida à metade de seu comprimento, daria uma nota uma oitava acima. Assim os números 12, 8 e 6, segundo Pitágoras, estariam em "progressão harmônica", sendo 8 a média harmônica de 12 e 6. A média harmônica de dois números a e b é o número h dado por 1/h = (1/a + 1/b) 2. 

Pitágoras dava especial atenção ao número 10, ao qual ele chamava de número divino. Dez era a base de contagem dos gregos, e dez são os vértices da estrela de Pitágoras. "A estrela de Pitágoras" é a estrela de cinco pontas formada pelas diagonais de um pentágono regular. O pentágono regular era de grande significação mística para os Pitagóricos e já era conhecido na antiga Babilônia.

figuras de muitos significados para a Matemática e a Filosofia da Escola Pitagórica.

As diagonais do pentágono regular cortam-se em pontos de divisão áurea. O ponto de divisão áurea de um segmento AB é o ponto C desse segmento que o divide de modo que a razão entre a parte menor e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e o todo, ou seja, AC/CB = CB/AB. Para os antigos gregos, o retângulo áureo, isto é, de lados proporcionais aos segmentos AC e CB, é o retângulo de maior beleza.

A árvore de Pitágoras

A figura da Árvore de Pitágoras nos recorda que a Matemática é às vezescomparada com uma árvore, com raízes (Fundamentos da Matemática), tronco (estruturas numéricas e geométricas) e galhos (os principais são a Álgebra, a Análise e a Geometria). Independentemente de ser ou não apropriada essa comparação, vamos fazer uma breve descrição da Matemática, conforme a vemos hoje. 

O que é Matemática.

Os matemáticos, em geral, preferem se abster de definir a Matemática. Penso que isso se deve a um sentimento ou a uma impressão de que, apesar do muito que já foi conseguido no desenvolvimento dessa ciência, algo de grande importância ainda precisa ser compreendido, conforme sugere a citação. Conscientes do caráter efêmero de tudo que é construído pelo homem, talvez seja mais prudente aguardar o amadurecimento dos tempos, e limitar nossas considerações à descrição do que tem sido efetivamente conseguido.Quanto ao uso da palavra matemática diz a tradição que isso teve origem com Pitágoras. Segundo Anglin [1] pág. 33, a raiz do termo matemática deriva de uma língua Indo-Européia e seu significado é relacionado com a palavra mente.