Radicais e suas propriedades.
Autor: Grupopw | Publicado: 2010-09-15T12:12:00-07:00


DEFINIÇÃORadiciação de números relativos é a operação inversa da potenciação. Ou seja,Em outros termos, dado um número relativo&nbsp;a&nbsp;denominado&nbsp;radicando&nbsp;e dado um número inteiro positivo&nbsp;ndenominado&nbsp;índice da raiz, é possível determinar outro número relativo&nbsp;b, denominado&nbsp;raiz enésima de&nbsp;a&nbsp;(ou&nbsp;raiz de índice&nbsp;n&nbsp;de&nbsp;a), representada pelo símbolo&nbsp;, tal que&nbsp;b&nbsp;elevado a&nbsp;n&nbsp;seja igual a&nbsp;a.Antes de partir para o próximo tópico – as propriedades da radiciação – algumas observações importantes e exemplos:O símbolo &lt;=&gt; indicado na fórmula acima significa se e sómente se. Isto é, se a expressão antes desse símbolo é verdadeira então a segunda também é, e vice-versa;.
Na definição acima, temos que bn&nbsp;= a. Substituindo o valor de&nbsp;b&nbsp;(segunda igualdade), obtemos que&nbsp;, i.e., a potência de grau&nbsp;n&nbsp;da raiz enésima de&nbsp;a&nbsp;é igual a&nbsp;a;
&nbsp;é o símbolo de raiz ou sinal de raiz ou simplesmente radical;
Radical, além de ser o símbolo acima indicado, é também, por extensão, a raiz de um número relativo ou de uma expressão algébrica;
Raiz de índice 1 (n = 1) de&nbsp;a&nbsp;é o próprio número&nbsp;a;
Raiz de índice 2 (n = 2) de&nbsp;a&nbsp;é denominada de raiz quadrada de&nbsp;a. Neste caso não é necessário escrever o índice&nbsp;nno radical;
Raiz de índice 3 (n = 3) de&nbsp;a&nbsp;é denominada de raiz cúbica de&nbsp;a;
Extração da raiz enésima de&nbsp;a&nbsp;é o cálculo dessa raiz;
O valor da raiz enésima de&nbsp;a&nbsp;nem sempre é um número racional (inteiro ou fracionário), uma vez que nem semprea&nbsp;é uma potência de grau&nbsp;n,&nbsp;n&nbsp;inteiro, de&nbsp;b&nbsp;(por exemplo: raiz quadrada de 2);
Mesmo nesses casos é possível representar a raiz como uma potência de expoente fracionário (detalhes serão fornecidos mais a frente), embora sem significado como operação (exemplo: a raiz quadrada de 2 é expressa como 21/2);
Erro de aproximação, é o erro cometido na extração da raiz enésima de&nbsp;a, em que não existe uma potência de graun,&nbsp;n&nbsp;inteiro, de&nbsp;b&nbsp;que seja igual a&nbsp;a&nbsp;(por exemplo: raiz quadrada de 2 cujos valores aproximados podem ser 1; 1,4; 1,41; 1,414; …);
Raízes de índice par pode não ter solução válida no conjunto dos números reais (por exemplo: a raiz quadrada de -1, uma vez que a potência de grau par de um número é sempre positiva);
Para dar consistência ao cálculo de raízes de índice par e radicando com valor negativo, foi criado o conjunto dos números complexos, com a introdução da unidade imaginária&nbsp;i, cujo valor corresponde à raiz quadrada de -1;
Valor aritmético ou valor absoluto de um radical é o valor positivo desse radical (exemplo: o valor aritmético da raiz quadrada de 4 é +2, embora -2 também satisfaça a definição);
No cálculo dos radicais, conjunto de operações com números irracionais e com expressões algébricas, são considerados sempre apenas o seu valor aritmético, ou seja, seu valor positivo. Os valores positivos e negativos, quando é o caso, são adotados principalmente na resolução de equações polinomiais, como por exemplo, em uma equação do segundo grau;
Radicais equivalentes são os que têm o mesmo valor aritmético (exemplo: raiz cúbica de 8 e raiz quadrada de 4 são equivalentes por que ambas têm valor aritmético igual a 2);
Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando. Veja exemplo abaixo
PROPRIEDADESApenas algumas das propriedades abaixo serão demonstradas, deixando a verificação das demais como exercício. Havendo manifestação de interesse poderei publicar um post específico com a verificação das propriedades não apresentadas.P1. A raiz enésima do produto&nbsp;a.b&nbsp;é igual ao produto das raízes enésimas de&nbsp;a&nbsp;e&nbsp;b:Demonstração:Da definição de radiciação, temos que:Por outro lado, utilizando-se a propriedade da potência de grau&nbsp;n&nbsp;de um produto, e, novamente, a definição de radiciação, obtemos:Como se vê dos passos anteriores, foi demonstrado que ambos os lados da igualdade da propriedade elevado ao expoente&nbsp;n&nbsp;é igual ao produto&nbsp;a.b. Portanto, a base dessas potências são necessariamente iguais e a verificação da propriedade está concluída.Aplicação prática da Propriedade (simplificação de radicais):P2. O produto das raízes de&nbsp;a&nbsp;e de&nbsp;b&nbsp;com o mesmo índice&nbsp;n&nbsp;é igual a raiz enésima do produto&nbsp;a.b&nbsp;(note que esta propriedade é a recíproca de P1. Nas demais propriedades a recíproca também é válida. Esclarecimentos do que se entende por recíproca você pode obter no artigo sobre&nbsp;Potenciação&nbsp;):A demonstração de P2 é semelhante à de P1.P3. O quociente de raízes de mesmo índice&nbsp;n&nbsp;é igual a raiz enésima do quociente dos radicandos:P4. A potência de grau&nbsp;m&nbsp;da raiz de índice&nbsp;n&nbsp;de&nbsp;a&nbsp;é igual a raíz de índice&nbsp;n&nbsp;de&nbsp;a&nbsp;elevado à potência&nbsp;m:Demonstração:Para demonstrar a propriedade P4 utilizarei a técnica de demonstração por indução sobre&nbsp;m, considerando&nbsp;n&nbsp;fixo, que consiste em:1. A propriedade é verdadeira para m = 0, pois2. Considerando que P4 é verdadeira para m = p, m &gt; 0, isto é:provemos que é verdadeira para m = p + 1, ou seja:De fato:Observe que na expressão acima utilizamos a hipótese (verdadeira para m = p), a propriedade P2 e a propriedade de produtos de potências de mesma base.3. Considerando agora m &lt; 0 façamos -m = q &gt; 0, então:Na expressão acima foram utilizadas a propriedade de potência de expoente negativo, a hipótese, a propriedade P3 e regra de divisão de frações.P5. A raiz de índice&nbsp;m&nbsp;de uma raiz de índice&nbsp;n&nbsp;de&nbsp;a&nbsp;é igual à raiz de índice&nbsp;mn&nbsp;de&nbsp;a:P6. A raiz enésima de&nbsp;a&nbsp;elevado a&nbsp;m&nbsp;é igual a raiz de índice&nbsp;p.n&nbsp;de&nbsp;a&nbsp;elevado a&nbsp;p.m&nbsp;obtida multiplicando-se o índice e radicando por&nbsp;p. A mesma propriedade é válida para a divisão:Exemplo: Redução de radicais ao mesmo índiceP7. A raiz de índice&nbsp;n&nbsp;da potência de grau&nbsp;m&nbsp;de&nbsp;a&nbsp;é igual à potência de grau&nbsp;m/n&nbsp;de&nbsp;a:Demonstração:Da propriedade P6, dividindo-se o índice e o radicando por&nbsp;n:Exemplos:É interessante observar que todas as propriedades de potências para expoentes inteiros positivos são válidas, também, para as potências de expoentes fracionários.Postado por: Leonardo.