LOGARITMOS
Autor: Aloyana Couto da Silva | Publicado: 2013-04-07T08:45:00-07:00









DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES&nbsp;



Dados
dois números reais positivos a e b, com a ǂ 1, existe um único número real x
tal que ax = b. A x chama-se Logaritmo de b na base a e indica-se loga
b.

Simbolicamente, escreve-se:



⍱ b &gt; 0, a &gt; 0 e a ≠ 1 

ax
= b ⟺
x = loga b &nbsp;





Sendo a a base
do logaritmo

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; b é o logaritmando ou antilogaritmo

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; x é o logaritmo de b na base a.





Consequências da Definição:



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Sejam a,
b e c números positivos, com a ≠ 1 e
m um número real. Então



<!--[if !supportLists]-->1)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->loga 1 = 0, pois loga
1 = x ∴
ax = 1 ∴ x =
0

<!--[if !supportLists]-->2)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->loga a = 1, loga a
= x ∴ ax = a ∴ x = 1

<!--[if !supportLists]-->3)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->loga am = m, pois loga
am = x ∴ ax
= am &nbsp;∴ x = m

<!--[if !supportLists]-->4)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->alogab
= b, pois fazendo loga b = x, temos ax = b

<!--[if !supportLists]-->5)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->loga b = loga c ⇔ b = c. Note que loga b = logc
= x ∴ ax = b e ax = c.
Logo, b = c. 





Propriedades Operatórias dos Logaritmos



<!--[if !supportLists]-->1)&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->Logaritmo do Produto: Em qualquer base a&nbsp; (sendo a &gt; 0 e a ǂ 1). De um produto de
dois números positivos é igual à soma dos logaritmos, nessa base, dos fatores.

Se a
&gt; 0, a ǂ 1, b &gt; 0 e c &gt; 0, então loga (b.c) = loga
b + loga c



Solução: Fazendo loga b = x e loga
c = y, temos ax = b e ay = c. Substituindo em loga
(b.c), resulta loga (b.c) = loga (ax.ay)
= loga ax+y = x + y = loga b + loga
c.



Note que não se trata de uma
propriedade totalmente nova, mas de outro modo de escrever a propriedade de
potências, em que o expoente do produto de potências de mesma base é obtido
somando-se os expoentes de cada uma das potências dos fatores.



<!--[if !supportLists]-->2)&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->Logaritmo do Quociente: Em qualquer base a
(sendo a &gt; 0 e a ǂ 1), de um quociente de dois números positivos é igual à
diferença entre os logaritmos, nessa base, do indivíduo e do divisor.



Se a
&gt; 0, a ǂ 1, b &gt; 0 e c &gt; 0, então loga b/c = loga
b – loga c

Solução: Fazendo loga b = x e loga
c = y, temos ax = b e ay= c. Substituindo em loga
em loga b/c, resulta loga b/c = loga ax/ay
= loga ax-y = x – y = loga b – loga
c.



Neste caso também se trata
de outro modo de escrever a propriedade de potências, onde o expoente do
quociente de potências de mesma base é obtido subtraindo-se os expoentes de
cada uma das potências envolvidas no quociente.



<!--[if !supportLists]-->3)&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->Logaritmo de Potência: Em qualquer base a (a
&gt; 0, a ǂ 1), de uma potência de base positiva e expoente real é igual ao
produto do expoente pelo logaritmo, na base a, da base dessa potência.



Se a
&gt; 0, a ǂ 1, b &gt; 0 e m ⋲ R,
então loga bm = m . loga
b





Solução: Fazendo loga b = x, temos b = ax.
Substituindo em loga bm, &nbsp;resulta loga bm = loga
(ax)m = loga amx = mx = m . loga
b



Este foi outro modo de escrever a propriedade envolvida
em potência de potência.







Caso Particular



















Para Saber Mais:



FACCHINI, Walter. Matemática – Volume Único, Editora
Saraiva, São Paulo, 2000







IEZZY, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos.
Fundamentos de Matemática Elementar – Logaritmos. Editora Saraiva, São Paulo,
1996.











loga 1 = 0