Dinâmica da Relação Dívida Pública Bruta/PIB
Autor: Luiz Guilherme Vassallo | Publicado: 2015-05-04T10:57:00-03:00









1. Introdução


O modelo de projeção da relação dívida/PIB aqui apresentado utiliza uma equação
diferencial de primeira ordem, linear, com coeficiente e termo
constantes.&nbsp;&nbsp;A forma geral de uma equação deste tipo é


dy/dt + ay = b

onde&nbsp;a&nbsp;e&nbsp;b&nbsp;são constantes.



Como qualquer equação diferencial linear, sua solução consiste na soma de dois termos,
designados como&nbsp;solução particular&nbsp;e&nbsp;função
complementar.


A&nbsp;solução particular&nbsp;desta equação pode ser obtida
fazendo-se&nbsp;dy/dt = 0, de modo que ela corresponde a um&nbsp;valor
de equilíbrio intertemporal de y, dado que dy/dt = 0 significa que y
não varia quando t varia.&nbsp;Tenha-se
presente, porém, que a trajetória de&nbsp;y&nbsp;poderá convergir ou não
para este valor de equilíbrio. Como a solução da equação diferencial consiste
na soma da função complementar com a solução particular, a trajetória de y só convergirá para o valor de equilíbrio se a função complementar tender a zero quando&nbsp;t&nbsp;tende
a infinito.


Fazendo-se dy/dt = 0 na equação diferencial acima,&nbsp;obtém-se a&nbsp;solução
particular, que é, portanto,


y = b/a


A&nbsp;função complementar&nbsp;deste tipo de equação, como se sabe, é
dada por


y(t) = Ae-at,

onde&nbsp;A&nbsp;é uma constante
inicialmente indeterminada, mas que poderá ser determinada se dispusermos de
alguma informação adicional, que em geral consiste na chamada&nbsp;condição
inicial. E já se pode ver que a função complementar só tenderá a zero
(quanto&nbsp;t&nbsp;tende a infinito) se&nbsp;a&nbsp;for
positivo.


Temos, portanto,&nbsp;a seguinte&nbsp;solução geral&nbsp;da
equação diferencial acima:


&nbsp;y(t) = Ae-at&nbsp;&nbsp;+ b/a


A&nbsp;condição inicial&nbsp;é&nbsp;y(t)&nbsp;em&nbsp;t
= 0, isto é,&nbsp;y(0), o que torna&nbsp;e-at&nbsp;&nbsp;=
1.


Portanto,


y(0)&nbsp;=&nbsp;A&nbsp;+&nbsp;b/a;&nbsp;donde,&nbsp;A
= y(0) – b/a.


Introduzindo-se esta expressão de&nbsp;A&nbsp;na&nbsp;solução geral,
obtemos a chamada&nbsp;solução definida, qual seja:


y(t) = [y(0) – b/a]e-at&nbsp;&nbsp;+ b/a


Mais uma vez,&nbsp;pode-se ver que&nbsp;y(t)&nbsp;só convergirá para o
valor de equilíbrio intertemporal&nbsp;b/a&nbsp;se o coeficiente&nbsp;a&nbsp;for
positivo, de modo a&nbsp;que&nbsp;e-at&nbsp;tenda a zero
quando&nbsp;t&nbsp;tende a infinito.


Vamos agora aplicar este modelo geral ao nosso problema da relação dívida/PIB.


2. Fórmulas e Critérios Gerais


Começaremos pela simples apresentação das duas principais fórmulas deste texto.
Suas deduções serão apresentadas no item 3. Elas correspondem, respectivamente,
às fórmulas (7) e (9) do item 3. &nbsp;


A condição para a redução da relação dívida pública bruta/PIB é:


i &lt; r + (h/z)&nbsp;[ou&nbsp;h &gt; (i –
r)z],

onde:

. i = taxa média real de juros (ao ano) incidente
sobre a dívida pública

. r = taxa de crescimento anual do PIB real

. h = relação superávit primário/PIB

. z = relação dívida pública bruta/PIB

. h/z =
relação superávit primário/dívida pública bruta


A fórmula a seguir fornece a&nbsp;relação dívida pública bruta/PIB no ano t,
dados os valores das variáveis acima indicadas e a relação dívida/PIB no ano 0.


z(t) = [z(0) – h/(i – r)]e(i-r)t&nbsp;+ h/(i – r)


Esta fórmula (que corresponde à&nbsp;solução definida&nbsp;do modelo
apresentado na&nbsp;Introdução) pressupõe que&nbsp;as novas dívidas
contraídas pelo&nbsp;governo se enquadrem necessariamente em uma das três
situações abaixo:



(a) Se o superávit primário for grande o suficiente
para&nbsp;pagar integralmente os juros e ainda permitir a redução progressiva
da dívida, as novas dívidas serão contraídas apenas para a rolagem da dívida
remanescente.


(b) Se o superávit primário não for suficiente sequer para o pagamento integral
dos juros, as novas dívidas serão contraídas exclusivamente para a cobertura
dos juros não pagos com o superávit primário e&nbsp;para a rolagem da dívida.


(c) Se o superávit primário for exatamente o suficiente para o pagamento
integral dos juros, as novas dívidas serão contraídas apenas para as operações
de&nbsp;rolagem (e o montante da dívida ficará, obviamente, constante ao longo
de tempo).


Portanto, a fórmula acima só se aplica&nbsp;quando o governo está realmente empenhado em conter a dívida pública. Se o governo se endivida além dos limites citados,&nbsp;não é
possível&nbsp;usar&nbsp;tal fórmula para projetar a relação dívida pública
bruta/PIB.&nbsp;Caso o endividamento além desses limites obedecesse a uma regra fixa,
esta regra poderia ser incorporada ao modelo acima, mas este caso não foi
tratado aqui.&nbsp;&nbsp;


3. Dedução das Fórmulas


Sejam:



. Y = PIB anual real

. t = tempo, medido em anos

. r = (dY/dt)/Y = taxa de crescimento anual do PIB
real

. D = montante da dívida pública bruta

. z = D/Y = relação dívida bruta/PIB

. i = taxa média real de juros (ao ano) incidente
sobre a dívida bruta

. H = montante anual do superávit primário

. h = H/Y = superávit primário/PIB


Partimos da seguinte&nbsp;equação dinâmica do&nbsp;montante&nbsp;da
dívida bruta:


(1)&nbsp;dD/dt = iD – H&nbsp;[variação
anual do montante da dívida bruta = montante anual de juros devidos – montante
anual do superávit primário]


Precisamos agora&nbsp;caminhar para&nbsp;a&nbsp;equação dinâmica da&nbsp;relação&nbsp;dívida
bruta/PIB; e para isso&nbsp;comecemos dividindo (1) por&nbsp; D.


(2) (dD/dt)/D = i – (H/D) = i – [(H/Y)/(D/Y)] = i – (h/z) [expressão da taxa
de&nbsp;variação anual do montante da dívida bruta, em função da taxa de juros
(i), da relação superávit primário/PIB (h) e da relação dívida bruta/PIB (z)]


Por outro lado, como z&nbsp;≡&nbsp;D/Y, tem-se D&nbsp;≡&nbsp;zY, donde ln
D&nbsp;≡&nbsp;ln z + ln Y.


Diferenciando os dois lados desta última expressão em relação a t (o que só é
permitido porque se trata de uma identidade), obtém-se:


(3) (dD/dt)/D = (dz/dt)/z + (dY/dt)/Y = [(dz/dt)/z] + r


Comparando as expressões de (dD/dt)/D em (2) e (3), tem-se:


(4) [(dz/dt)/z] + r = i – (h/z)


Donde,


(5)&nbsp;dz/dt = [(i –r)z] – h,

que é a&nbsp;equação dinâmica da&nbsp;relação&nbsp;dívida
bruta/PIB&nbsp;[variação de z&nbsp;≡&nbsp;D/Y ao longo do tempo, em função
da taxa real de juros (i), da taxa de crescimento do PIB real (r), da relação
superávit primário/PIB (h) e da própria relação dívida bruta/PIB (z)].


Para que z seja declinante, é necessário que dz/dt &lt; 0, ou seja, que:


(6)&nbsp;h &gt; (i –r)z


Como z &gt; 0 (ou seja, supondo-se um país devedor crônico), isto equivale a:


(7)&nbsp;i &lt; (h/z) + r,

que foi a primeira fórmula apresentada no item 2.
Note-se que h/z = H/D, ou seja, superávit primário/dívida bruta.


Avançando um pouco mais, vamos reescrever (5) como


(8)&nbsp;dz/dt - (i –r)z = - h


Se tomarmos i, r e h como constantes ao longo do tempo, tem-se que (8) está na
forma de uma&nbsp;equação diferencial de&nbsp;primeira ordem, linear, com
coeficiente [-(i-r)] e termo (-h) constantes, cuja solução definida é:


(9)&nbsp;z(t) = [z(0) – h/(i – r)]e(i-r)t&nbsp;+ h/(i – r),

que foi a segunda fórmula apresentada no item 2.


Conhecendo z(0), que é a relação inicial dívida bruta/PIB, e tomando-se&nbsp;i,&nbsp;r&nbsp;e&nbsp;h&nbsp;como&nbsp;constantes,
pode-se determinar&nbsp;z(t), que é a relação dívida bruta/PIB depois de
t anos.


Analisando-se (8) com base no que foi dito na Introdução, constata-se que o
valor de equilíbrio de&nbsp;z (obtido fazendo-se dz/dt = 0)&nbsp;&nbsp;é&nbsp;h/(i
– r);&nbsp;e analisando-se (9) vê-se que a condição de convergência para
este valor de equilíbrio é&nbsp;r &gt; i, de modo a que se tenha&nbsp;(i
– r) &lt; 0.


Estas conclusões são aparentemente absurdas, pois indicam que a condição de
convergência [i – r &lt; 0] levaria a que o valor de equilíbrio da relação
dívida /PIB [h/(i – r)] seria negativo; ou seja, levaria a uma situação em que
o país passaria de devedor a credor.

Acontece que, ao passarmos da expressão (6) para a (7), supusemos um país cronicamente devedor, o que nos permitiu, daí em diante, considerar z &gt; 0. Assim, a fórmula (9) só é válida enquanto z(t) &gt; 0, o que se aplica perfeitamente ao Brasil.&nbsp;



4. Simulações




Naturalmente, não tem sentido usar hipóteses de constância dos parâmetros de projeção por prazo longo. Mesmo em projeções de médio prazo, o ideal é decompor o período de projeção em subperíodos, usando valores diferentes para estes parâmetros em cada subperíodo. Foi o que fizemos aqui.

Segue uma&nbsp;simulação para 2015,&nbsp;2016 e 2017, exclusivamente a título de exemplo. De todo modo,
ela parte da relação dívida bruta/PIB em&nbsp;dezembro de 2014 (58,9%), usa hipóteses&nbsp;quanto à taxa real de juros sobre a dívida pública e à taxa de crescimento
do PIB, para 2015 e 2016,&nbsp;baseadas (aproximadamente) no Relatório Focus do Banco Central referente a 17/07/2015 e&nbsp;adota as novas metas oficiais da relação superávit primário/PIB para 2015 (0,1%), 2016 (0,7%) e 2017 (1,3%). Os demais dados de entrada são hipóteses minhas.


  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
 




 
 
 
 
 
 

  Ano201520162017
Relação dívida pública
  bruta/PIB inicialz(0)58,9%62,5%66,6%
Relação superávit
  primário/PIBh0,1%0,7%1,3%
Taxa média real de juros (ao
  ano) sobre a dívida públicai4,4%7,7%6,0%
Taxa de crescimento anual do
  PIB realr-1,7%0,3%2,0%
Tempo, medido em anost111
i-r6,1%7,4%4,0%
h/(i-r)0,020,090,33
(i-r)t0,0610,0740,04
exp[(i-r)t]1,06291,07681,0408
Relação dívida pública
  bruta/PIB&nbsp;final&nbsp;z(1)62,5%66,6%68,0%


  
  
  
  
 

  
  
  
  
  
 

  
  
  
  
  
 

  
  
  
  
  
 

  
  
  
  
  
 

  
  
  
  
  
 

  
  
  
  
  
 

  
  
  
  
  
 

  
  
  
  
  
 

  
  
  
  
  
 

  
  
  
  
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Este&nbsp;modelo foi construído em 2004. De lá para
cá, naturalmente,&nbsp;o texto e as simulações passaram por várias
modificações.&nbsp;O modelo, porém, continua exatamente o mesmo. Minha intenção
é estar sempre atualizando os dados das simulações. A atualização foi feita em 23/07/2015
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Abaixo, atualização feita em 30/09/2015.



 
 
 
 
 
 

  
  Ano
  2015
  2016
  2017
 

  Relação dívida pública
  bruta/PIB inicial
  z(0)
  58,9%
  64,4%
  68,7%
 

  Relação superávit
  primário/PIB
  h
  -0,8%
  0,7%
  1,3%
 

  Taxa média real de juros (ao
  ano) sobre a dívida pública
  i
  4,8%
  6,6%
  6,0%
 

  Taxa de crescimento anual do
  PIB real
  r
  -2,8%
  -1,0%
  2,0%
 

  Tempo, medido em anos
  t
  1
  1
  1
 

  
  i-r
  7,6%
  7,6%
  4,0%
 

  
  h/(i-r)
  -0,11
  0,09
  0,33
 

  
  (i-r)t
  0,076
  0,076
  0,04
 

  
  exp[(i-r)t]
  1,0790
  1,0790
  1,0408
 

  Relação dívida pública
  bruta/PIB final&nbsp;
  z(1)
  64,4%
  68,7%
  70,2%
 




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P.S. em 03/04/2016
As atuais turbulências econômicas e políticas tornam sem sentido, por enquanto (e sabe-se lá até quando), a realização de novas atualizações. Aproveito para informar que a relação dívida bruta/PIB terminou 2015 em 66,5%; e já subiu para 67,6% no final de fevereiro de 2016 (ou seja, subiu 1,1 ponto percentual em apenas 2 meses).&nbsp;