Log
Autor: easyway | Publicado: 2010-04-29T23:36:00-03:00

DefiniçãoDados a e b números reais e positivos, com a diferente de 1, definimos logaritmo  de b na base a, o número x, cuja potência de grau x de a  é igual a b. Ou seja:
<img alt="Definição de Logaritmo" class="center" src="http://docs.google.com/File?id=ah94q9n662k5_bchb2tdkgp9bc" title="Definição de 
Logaritmo" />
Observações e consequências da definição:
Na expressão a esquerda a é      denominado a base do logaritmo, b  o     logaritmando e x o  logaritmo;
Como a e     b são ambos positivos e     a é diferente de 1, existe um único      valor de x que satisfaz a  primeira     igualdade na expressão acima;
Decorre da definição de logaritmo que loga1 = 0, pois      a0 = 1. Em outras palavras, que o logaritmo de 1 em qualquer  base     é igual 0;
Do mesmo modo, observe que logaa = 1, uma vez que a  potência de     grau 1 de a é o  próprio     a. Ou seja, que o  logarítmo da base,     qualquer que seja a base satisfazendo, claro, as  condições da definição, é     igual a 1;
Substituindo o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos  que     alogab = b;
logab = logac &lt;=&gt; b = c. Decorrência  direta da     definição (b = alogac) e do fato  acima     (alogac = c). Traduzindo: dois  logaritmos em um mesma     base são iguais se e somente se os  logaritmandos são iguais;
Note que de 6. pode-se afirmar, ainda, que em uma igualdade ao se  aplicar o     logaritmo aos seus membros essa igualdade não se altera;
Ao conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em  uma base     a (a &gt; 0 e  diferente de 1),     denominamos de sistema de logaritmos de base a;
Entre a infinidade de sistemas de logaritmos de base     a, dois são particularmente      importantes: o sistema de logaritmo decimais ou de base 10 e o      sistema de logaritmo neperiano (também chamado de sistema  de     logaritmos naturais) ou de base     e     (e = 2,71828…, irracional);
O logaritmo decimal é representado pela notação log10x ou      simplesmente log x. E o neperiano por logex ou     ln     x;
Fato histórico 1: Henry Briggs, Matemático Inglês (1561-1630) foi  quem     primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 10,  publicando a     primeira tabela (ou tábua) de logaritmos de 1 a 1000 em  1617;
Fato histórico 2: O nome neperiano vem de John Neper, Matemático  Escocês     (1550-1617), autor do primeiro trabalho publicado sobre a  teoria dos     logaritmos. O nome natural é devido ao fato de que no  estudo dos fenômenos     naturais geralmente aparece uma lei exponencial  de base     e.
Exemplos:
<img alt="Exemplos da Definição de Logaritmo" class="center" src="http://docs.google.com/File?id=ah94q9n662k5_bchbz6tg292pd" title="Exemplos 
da Definição de Logaritmo" />
AntilogaritmoSejam a e   b dois números reais positivos com   a diferente de 1. Se o logaritmo de    b na base   a é igual a   x, então   b é o antilogaritmo de   x na base   a. Em símbolos:
<img alt="Definição de Antilogaritmo" class="center" src="http://docs.google.com/File?id=ah94q9n662k5_bchm8n4kvxmd4" title="Definição de 
Antilogaritmo" />
Exemplos:
<img alt="Exemplos de Antilogaritmo" class="center" src="http://docs.google.com/File?id=ah94q9n662k5_bchm82fmgvtvt" title="Exemplos de 
Antilogaritmo" />
Propriedades dos Logaritmos L1. O logaritmo do produto  de dois   fatores reais e positivos em qualquer base   a (a &gt; 0 e diferente de 1) é igual a    soma dos logaritmos dos fatores. Isto é:

Demonstração:
Fazendo z = loga(b.c) temos, usando a definição de  logaritmo, que:
az = b.cDaqui, obtemos pela observação 5. acima:az = alogab.alogac    =&gt; az = alogab+logac  =&gt; z =   logab + logacSubstituindo z na última igualdade fica   concluída a demonstração.Uma outra forma, também simples e similar a  anterior, de demonstrar a   propriedade L1 é esboçada a seguir.  Fazendo:z = loga(b.c),  x = logab   e  y =   logacvamos provar que z = x + y.Aplicando a definição de logaritmo nas  expressões acima obtemos,   respectivamente:az = bc,  ax = b  e   ay = cSubstituindo b e   c na primeira igualdade vem que:
az = axay  =&gt; az =   ax+y =&gt; z = x + yA propriedade L1 é válida para o logaritmo  do produto de n fatores (n &gt; 2)   reais e positivos, ou seja:loga(b1.b2.  … .bn) =   logab1 + logab2  + … +   logabnA prova pode ser feita utilizando-se o  método de indução sobre n, que consiste   em:demonstrar que é verdadeira para n = 2 – já feita;
supor que é válida para n = p &gt; 2 e demonstrar que é verdadeira  para n =     p + 1.
Deixo para vocês a demonstração com a seguinte dica: agrupar como  produto de   dois fatores de modo a aplicar L1 e após utilizar a  hipótese para n = p.
 L2. O logaritmo do quociente  de dois   números reais e positivos em qualquer base   a (a &gt; 0 e diferente de 1) é igual    ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor nessa mesma  base. Em   símbolos:
<img alt="Propriedade Logaritmos - L2" class="center" src="http://docs.google.com/File?id=ah94q9n662k5_bchm2vpkb7vkz" title="Propriedade 
Logaritmos - L2" />
Demonstração:
De maneira semelhante à adotada na propriedade L1, fazendo z =   loga(b/c)  obtemos:

Como consequência direta da propriedade L2 temos que:
<img alt="Corolário Propriedade L2" class="center" src="http://docs.google.com/File?id=ah94q9n662k5_bchm85xfwdg4m" title="Corolário 
Propriedade L2" />
CologaritmoDados a e b dois números reais positivos, com a diferente de 1, define-se cologaritmo   de b na base a ao oposto do logaritmo de b nessa base a. Ou seja:
cologab = -logab =    loga(1/b)L3. O logaritmo da potência  de grau   x de   b em qualquer base   a   (a,    b reais positivos,   x real e   a diferente de 1) é igual ao produto do   expoente x pelo logaritmo de   b na base   a. Em símbolos:
<img alt="Propriedade L3 do Logaritmo" class="center" src="http://docs.google.com/File?id=ah94q9n662k5_bchm9hdkz66mp" title="Propriedade L3 
do Logaritmo" />
Demonstração:
Novamente fazemos uso do procedimento utilizado na demonstração das    propriedades anteriores:
<img alt="Propriedade L3 - Logaritmo" class="center" src="http://docs.google.com/File?id=ah94q9n662k5_bchng22mr22d5" title="Propriedade L3 - 
Logaritmo" />
Fica como exercício a demonstração das propriedades L2 e L3 com o uso  da   segunda técnica adotada para provar a propriedade L1.
Como consequência da propriedade L3 temos que: o logaritmo da raiz de  índice   n de   b na base   a é igual ao produto do inverso do   índice n pelo logaritmo do radicando na    base a, i.e.:

Observações sobre as Propriedades L1, L2 e L3São válidas somente quando temos expressões logarítmicas que  envolvam as     operações de multiplicação, divisão e potenciação;
Essas propriedades não permitem obter o logaritmo de uma soma ou  diferença     [loga(b + c) ou loga(b - c)]. Nestes  casos, será     necessário primeiro obter o valor da soma ou da  diferença.
Mudança de BaseÉ muito comum, e você já deve ter se deparado com o fato, ter  expressões ou   equações logarítmicas em que seus membros estejam em  bases diferentes.
Como na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem  estar   todos em uma mesma base é fundamental saber como isto é feito.
Você deve se lembrar (se não, volte às observações) que no início  deste artigo   mencionei como importante o sistema de logaritmo decimais  ou de base 10, para   o qual foi construída, pelo matemático Henry  Briggs, uma tábua de logaritmos   que possibilita determinar o seu valor  para qualquer número real positivo.
Não abordaremos aqui os conceitos de mantissa e característica do  logaritmo   decimal utilizados para determinar seu valor com o auxílio  da tabela. Fica   apenas o registro de sua importância no uso das  propriedades de mudança de   base que apresentamos a seguir.
L4. Dados   a,   b  e   c números reais positivos,  com   a e   c diferentes de 1, tem-se que:
<img alt="Logaritmo -  Propriedade L4" class="center" src="http://docs.google.com/File?id=ah94q9n662k5_bchnjmphjkncg" title="Logaritmo -  
Propriedade L4" />
Demonstração:
Fazendo logab = x, logcb = y e logca  = z   provemos que x = y/z (note que z  é   diferente de zero, pois por definição a   é diferente de 1). De fato:
<img alt="Demonstração Propriedade L4" class="center" src="http://docs.google.com/File?id=ah94q9n662k5_bchnj3jf3hz63" title="Demonstração 
Propriedade L4" />
Como consequência da propriedade L4 temos:
logab = logcb.logac: a demonstração  é feita     transformando logcb para a base a no segundo  membro da igualdade;
logab = 1/logba: transforme logab  para a     base b.
Exercícios Resolvidos1. Resolver a equação 3x = 7 (lembra-se, a do início do  artigo):
Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:
log 3x = log 7Pela propriedade L3:
x.log 3 = log 7 =&gt; x = log 7/log 3 =  0,845/0,477 = 1,7712. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a  uma taxa de   juros compostos de 5% ao  ano, e o   capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os  montantes estarão   iguais?Um uso muito comum das propriedades de  logaritmo para resolver equações   exponencias é no cálculo de juros  compostos cuja fórmula é:onde M  é o montante,   C o capital,   i a taxa de juros e   t o tempo.Solução:Sejam M1 e M2 os  montantes correspondentes aos capitais   aplicados. Usando a fórmula,  temos que:M1 = 50000(1 + 0,05)t  e M2 = 45000(1 +   0,06)tTemos que determinar o tempo para que M1  = M2. Assim: