DEMONSTRAÇÕES
Autor: Vagner Rocha | Publicado: 2011-10-03T17:15:00-07:00


A espécie humana não é uma classe de equivalência, mas um conjunto quociente. E mais: não há quem conheça todo mundo.

DEMONTRAÇÃO:

Ora,
 um conjunto quociente é composto de classes de equivalência. Logo, se a
 espécie humana é um conjunto quociente, existe uma classe de seres que 
são equivalentes entre si, no entanto, existe, no mínimo um ser 
pertencente à&nbsp; nossa espécie que é diferente dos representantes dessa 
classe e equivalente a outros de outra classe. Mas, veja bem, se 
pertencemos todos a uma mesma espécie, pode-se dizer que somos iguais, 
ao menos fisicamente.E, sendo assim, ninguém conhece ninguém, mas há 
casos que é possível o contrário.
CONCLUSÃO: a matemática não se aplica às relações humanas.


&nbsp;SOMA DE TRÊS NÚMEROS CONSECUTIVOS
Demonstração de que a soma de três números consecutivos é divisível por 3:

Sejam os números consecutivos&nbsp; x, (x+1) e (x+1)+1, sua soma será dada por:

x+ (x+1)+ (x+1)+1= (x+x+x)+1+1+1 = 3x+3 = 3(x+1)&nbsp;&nbsp; que é divisível por 3, pois :
3(x+1) /3 = x+1. Logo, fica provado que a soma de três números consecutivos quaisquer é divisível por 3.





CONGRUÊNCIAS

Dizemos que a = b (modm) (lê-se “a é congruente com b módulo m”) se m dividir a - b.
Propriedades.
1. A congruência módulo m é uma relação de equivalência;
&nbsp;DEM.: para que a congruência seja uma relação de equivalência ela precisa ser:
I-reflexiva;
II- simétrica;
III-transitiva.
I: se ela for simétrica &lt;==&gt; a=a(mod.m)
Pela
 definição de congruência temos que se m divide a - b, então existe k 
tal que a - b = m.k. Ora, a - a = 0 e m divide 0. Logo: a - a = m.k e a =
 a (mod; m). Portanto, a congruência é reflexiva.
II: a = b (modm) &lt;==&gt; a - b = m.k
multiplicando-se por (-1) teremos: &nbsp; (a - b).(-1) = m.k(-1) ==&gt; b - a = m.(-k). Logo, a congruência é simétrica.
III: se  a = b (modm) e b = c (mod.m) ==&gt; a = c (mod.m)
temos, da definição, que a = b (modm) &lt;==&gt; a - b = mk (i)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; e b = c (mod.m) &lt;==&gt; b - c = mk´ (ii)
Agora, somando (i) com (ii) teremos:
a - b + b - c = mk + mk´
a
 - c = m ( k + k´) , ou seja, a = c ( mod. m). Portanto, a congruência 
também é simétrica e obedece, assim, às condições I, II e III. Logo, a 
congruência é uma relação de equivalência.
2. Se a = b (modm) e c= d (modm), então a + c = b + d (modm);
&nbsp;Temos que a = b (modm) &lt;==&gt; a - b = m.k&nbsp; e&nbsp; c= d (modm) &lt;==&gt; c - d =&nbsp; mk`
somando essas duas proposições temos : (a - b) + ( c - d ) = mk + mk`
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ( a + c ) - ( b + d ) = m ( k + k`)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Logo :&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ( a + c ) = ( b + d ) ( mod. m)&nbsp;
E, assim, fica provada a segunda propriedade.
3. Se a = b (modm) e c = d (modm), então ac= bd (modm);
Temos que&nbsp; a = b (modm)&lt;==&gt; a - b = m.k&nbsp; e c = d (modm) &lt;==&gt; c - d = m.k`
somando b a primeira equação e d à segunda:
a - b + b = m.k + b ==&gt; a = m.k + b&nbsp;&nbsp;&nbsp; (i)
c - d + d = m.k`+ d ==&gt; c = m.k` + d&nbsp;&nbsp; (i)
multiplicando (i) por (i) teremos:
a.c = ( m.k + b ).( m.k` + d)
a.c = m.m.(k.k`+ m.k.d + m.k`.b + b.d
a.c - b.d = m.( m.k.k`+ k.d + k`.b)
a.c - b.d = m.k"
a.c = b.d ( mod. m)
E, assim, fica provado a propriedade 3.
4. Se a = b (modm) e m/d ( d divide m), então a = b (mod d);
&nbsp;a = b (modm) &lt;==&gt; a - b = m.k (i)
se d divide m, então existe k` tal que m = d.k`
substituindo esse último valor de m em (i) teremos:
a - b = (d.k`).k
a - b = d.( k.k`)
logo a = b.( mod. d)
5. Se a = b (modm) e c &gt; 0, então ac= bc (mod mc);
a = b (modm) &lt;==&gt; a - b = m.k
como c é maior que zero a seguinte igualdade é válida:
c.( a - b) = c.(m.k)
a.c - b.c = (m.c).k
a.c = b.c ( mod. m.c)
fica provado, então, todas as propriedades referentes à congruência.