EQUAÇÃO DO 2º GRAU.
Autor: algebradlenhar | Publicado: 2011-06-15T19:15:00-07:00

Equação                                          do 2º grau                                         &nbsp;&nbsp;&nbsp;Denomina-se                                                   equação do segundo                                                  grau, toda a equação                                                  do tipo ax²+bx+c,  com                                                  coeficientes numéricos                                                  a.b e                                                  c com <!--NAMO_EQN__ 160 1
a\neq 0
-->.&nbsp;
Exemplos:                                                  

                                                         Equação                                                         a                                                                                                                       b                                                                                                                       c                                                     
                                                         x²+2x+1                                                         1                                                         2                                                         1                                                     
                                                         5x-2x²-1                                                         -2                                                         5                                                         -1
Classificação:                                                 -                                                  Incompletas: Se um  dos coeficientes                                                  ( b ou                                                  c )                                                  for nulo, temos uma  equação                                                  do 2º grau incompleta.
1º                                                  caso: b=0
Considere                                                  a equação do 2º                                                  grau imcompleta:
x²-9=0                                                  &nbsp;» &nbsp;x²=9                                                  &nbsp;» &nbsp;x=<!--NAMO_EQN__ 160 1
\pm \sqrt{9}
--> &nbsp;» &nbsp;x=                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
\pm 3
-->                                                 
2º                                                  caso: c=0
Considere                                                  a equação do 2º                                                  grau imcompleta:
x²-9x=0                                                  » &nbsp;Basta fatorar                                                  o fator comum x
x(x-9)=0                                                  &nbsp;» &nbsp;x=0,9
3º                                                  caso: b=c=0
2x²=0                                                  &nbsp;» &nbsp;x=0
Resolução                                                  de equações do                                                  2º grau:&nbsp;&nbsp;A                                                  resolução de equações                                                  do 2º grau incompletas                                                  já foi explicada acima,                                                  vamos agora resolver  equações                                                  do 2º grau completas, ou                                                   seja, do tipo ax²+bx+c=0                                                   com a,                                                  b e c  diferentes                                                  de zero.
-                                                  Uma equação do                                                  2º grau pode ter até                                                  2 raízes reais, que  podem                                                  ser determinadas pela  fórmula                                                  de Bháskara.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Como                                                  Bháskara chegou até                                                  a fórmula de resolução                                                  de equações do                                                  2º grau?
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Considerando                                                  a equação: ax²+bx+c=0,                                                  vamos determinar a  fórmula                                                  de Bháskara:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Multiplicamos                                                  os dois membros por 4a:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4a²x²+4abx+4ac=0
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4a²x²+4abx=-4ac

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Somamos                                                  b² aos dois membros:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Fatoramos                                                  o lado esquedo e  chamamos de                                                  <!--NAMO_EQN__ 160 1
\bigtriangleup 
--> (delta)
b²-4ac:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2ax+b)²=                                                  <!--NAMO_EQN__ 160 1
\bigtriangleup 
-->                                                 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2ax+b=<!--NAMO_EQN__ 160 1
\pm \sqrt{\bigtriangleup }
-->                                                 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2ax=-b                                                  <!--NAMO_EQN__ 160 1
\pm \sqrt{\bigtriangleup }
-->                                                 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Logo:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\frac{-b\pm \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}
--> &nbsp;ou &nbsp;                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
-->                                                 
Fórmula                                                  de Bháskara:
&nbsp;                                                  
                                                         <!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\frac{-b\pm \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}
-->                                                                                                                      
<!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
-->                                                             
&nbsp;                                                     
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Utilizando                                                  a fórmula de Bháskara,                                                  vamos resolver alguns  exercícios:
1)                                                  3x²-7x+2=0
a=3,                                                  b=-7                                                  e c=2
<!--NAMO_EQN__ 160 1
\bigtriangleup =b^{2}-4ac
--> &nbsp;= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25                                                  
Substituindo                                                  na fórmula:
<!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\frac{-b\pm \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}
--> =                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
\frac{-(-7)\pm \sqrt{25}}{2.3}=\frac{7\pm 5}{6}
-->                                                 
<!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\frac{7+5}{6}=2
--> &nbsp;e &nbsp;                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\frac{7-5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
-->                                                 
Logo,                                                  o conjunto verdade ou  solução                                                  da equação é:
<!--NAMO_EQN__ 160 1
V=\left\{
\frac{1}{3},2\right\}

-->                                                 
2)                                                  -x²+4x-4=0
a=-1,                                                  b=4                                                  e c=-4
<!--NAMO_EQN__ 160 1
\bigtriangleup =b^{2}-4ac
--> = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0                                                  
Sustituindo                                                  na fórmual de Bháskara:
<!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\frac{-4\pm 0}{-2}
--> &nbsp;» &nbsp;x=2 &nbsp;                                                 

<!--NAMO_EQN__ 160 1
V=\left\{
2\right\}

-->&nbsp;                                                 
-                                                  Neste caso, tivemos uma  equação                                                  do 2º grau com duas  raízes                                                  reais e iguais. (<!--NAMO_EQN__ 160 1
\bigtriangleup =0
--> )                                                 
3)                                                  5x²-6x+5=0
a=5                                                  b=-6                                                  c=5
<!--NAMO_EQN__ 160 1
\bigtriangleup =b^{2}-4ac
--> = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64                                                  
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Note                                                  que <!--NAMO_EQN__ 160 1
\bigtriangleup 
-->&lt;0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim,                                                  a equação não                                                  possui nenhuma raiz  real.
Logo:                                                  <!--NAMO_EQN__ 160 1
V=\oslash 
--> » vazio                                                 
Propriedades:
&nbsp;                                                                                                   
                                                         &nbsp;<!--NAMO_EQN__ 160 1
\bigtriangleup >0 -->                                                                                                                      &nbsp;Duas                                                              raízes reais                                                               e diferentes                                                     
                                                         &nbsp;<!--NAMO_EQN__ 160 1
\bigtriangleup =0
-->                                                                                                                      &nbsp;Duas                                                              raízes reais                                                               e iguais                                                     
                                                         &nbsp;<!--NAMO_EQN__ 160 1
\bigtriangleup <0
-->                                                                                                                      &nbsp;Nenhuma                                                              raiz real                                                     

Relações                                                  entre coeficientes e  raízes
&nbsp;                                                                                                   

                                                         <!--NAMO_EQN__ 160 1
Soma=-\frac{b}{a}
-->                                                                                                                      <!--NAMO_EQN__ 160 1
Produto=\frac{c}{a}
-->                                                                                                                  
Vamos                                                  provar as relações                                                  descritas acima:
Dado a equação                                                  ax²+bx+c=0, com <!--NAMO_EQN__ 160 1
a\neq 0
--> e                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
\bigtriangleup \geq 0
-->, suas raízes são:                                                  
<!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\frac{-b+\sqrt{\bigtriangleup }}{2a}
--> &nbsp;&nbsp;e &nbsp;&nbsp;                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\frac{-b-\sqrt{\bigtriangleup }}{2a}
-->                                                 A soma das raízes                                                  será:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!--NAMO_EQN__ 160 1
x+x=\frac{-b+\sqrt{\bigtriangleup }-b-\sqrt{\triangle }}{2a}=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a}
-->                                                 Logo, a soma das raízes                                                  de uma equação                                                  do 2º grau é dada                                                  por: <!--NAMO_EQN__ 160 1
S=-\frac{b}{a}
-->                                                 O produto das raízes                                                  será:&nbsp;&nbsp;<!--NAMO_EQN__ 160 1
x.x=\frac{(-b+\sqrt{\bigtriangleup }).(-b-\sqrt{\bigtriangleup })}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-\sqrt{\bigtriangleup ^{2}}}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-\bigtriangleup }{4a^{2}}
-->                                                 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!--NAMO_EQN__ 160 1
=\frac{b^{2}-\left(
b^{2}-4ac\right)
}{4a^{2}}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}
-->                                                 Logo, o produto das                                                  raízes de uma equação                                                  do 2º grau é dada                                                  por:
<!--NAMO_EQN__ 160 1
P=\frac{c}{a}
-->&nbsp;                                                 Podemos através                                                  da equação ax²+bx+c=0,                                                  dividir por a.Obtendo: <!--NAMO_EQN__ 160 1
ax^{2}+bx+c=\frac{ax^{2}}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}
-->                                                 Substituindo por <!--NAMO_EQN__ 160 1
S=-\frac{b}{a}
--> e                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
P=\frac{c}{a}
--> :                                                 Obtendo a Soma                                                  e Produto de uma equação                                                   do 2º grau:
&nbsp;                                                  
                                                         x²                                                              - Sx + P = 0                                                     
Exemplos:
1)                                                  Determine a soma e o  produto                                                  das seguintes equações:
a)                                                  x² - 4x + 3=0
[Sol]                                                  Sendo a=1, b=-4 e c=3:
<!--NAMO_EQN__ 160 1
S=-\frac{b}{a}=4
--> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
P=\frac{c}{a}=3
-->                                                 b) 2x² - 6x -8                                                  =0Sendo a=2, b=-6 e                                                  c=-8<!--NAMO_EQN__ 160 1
S=-\frac{b}{a}=3
-->&nbsp;&nbsp;                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
P=\frac{c}{a}=-4
-->                                                 c)                                                  4-x² = 0
Sendo                                                  a=-1, b=0 e c=4:
<!--NAMO_EQN__ 160 1
S=-\frac{b}{a}=0
-->&nbsp;&nbsp;                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
P=\frac{c}{a}=-4
-->                                                 Resolução                                                  de equações fracionárias                                                   do 2º grau:&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equações                                                  fracionárias são                                                  as que possuem  incógnitas                                                  no denominador e o  processo                                                  de resolução destas                                                  equações é                                                  o mesmo das equações                                                  não fracionárias.Exemplos resolvidos:a) <!--NAMO_EQN__ 160 1
\frac{4}{x}+\frac{x}{2}=3
--> &nbsp;Onde                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
x\neq 0
-->, pois senão anularia o denominador                                                  [Sol] Encontrando                                                  o m.m.c dos  denominadores: 2x                                                  Então: <!--NAMO_EQN__ 160 1
\frac{8}{2x}+\frac{x^{2}}{2x}=\frac{6x}{2x}
--> &nbsp;                                                 Eliminando os denominadores,                                                  pois eles são iguais:<!--NAMO_EQN__ 160 1
8+x^{2}=6x
--> »                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
x^{2}-6x+8=0
-->                                                 Aplicando a fórmula                                                  de Bháskara:<!--NAMO_EQN__ 160 1
x^{2}-6x+8=0
-->                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\frac{6\pm \sqrt{\left(
-6\right)
^{2}-4.1.8}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{6\pm 2}{2}
-->                                                 Logo, x = 2 e x` =                                                  4. &nbsp;» &nbsp;S={2,-4}b ) <!--NAMO_EQN__ 160 1
\frac{2x}{x-1}+\frac{1}{x+2}=\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}
-->&nbsp;&nbsp;                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
x\neq 1
--> e                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
x\neq 2
-->                                                 [Sol] m.m.c dos denominadores:                                                  (x-1).(x+2)Então: <!--NAMO_EQN__ 160 1
\frac{2x(x+2)}{(x-1)(x+2)}+\frac{x-1}{(x-1)(x+2)}=\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}
-->                                                 Eliminando os denominadores:<!--NAMO_EQN__ 160 1
2x^{2}+4x+x-1=5x+1
--> »                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
2x^{2}=2
--> &nbsp;» &nbsp;                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
x^{2}=1
--> &nbsp;» &nbsp;                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\pm 1
-->                                                 * Note que a solução                                                  da equação deve                                                  ser diferente de 1 e 2  pois                                                  senão anularia o  denominador,                                                  logo a solução                                                  da equação será                                                  somente:x=-1 &nbsp;»                                                  S={-1}Resolução                                                  de equações literais                                                  do 2º grau:&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equações                                                  literais são as que  possuem                                                  uma ou mais letras além                                                  da incógnita.
&nbsp;                                                                                                    
                                                         Equação                                                         a                                                         b                                                         c                                                     
                                                         x²                                                              - (m+n)x + p  = 0                                                         1                                                         -(m+n)                                                         p                                                     

Exemplo: Determine o  valor da                                                  incógnita x.
1)                                                  x²-3ax+2a²=0
[Sol]                                                  Aplicando a fórmula de                                                  Bháskara:
a=1,                                                  b=-3a, c=2a²
<!--NAMO_EQN__ 160 1
\bigtriangleup =(-3a)^{2}-4.1.2a^{2}=a^{2}
-->                                                 
<!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\frac{3a\pm \sqrt{a^{2}}}{2}=\frac{3a\pm a}{2}
--> , Logo:                                                 
x                                                  = 2a &nbsp;e &nbsp;x = a &nbsp;»                                                  &nbsp;S={a,2a}
&nbsp;Resolução                                                  de equações biquadradas&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equacão                                                  biquadrada como o  próprio                                                  nome diz, são equações                                                  nas quais estão elevadas                                                   ao quadrado duas vezes,  sua                                                  forma é:
&nbsp;                                                                                                   
                                                         <!--NAMO_EQN__ 160 1
ax^{4}+bx^{2}+c=0
--> &nbsp;onde &nbsp;                                                             <!--NAMO_EQN__ 160 1
a\neq 0
-->                                                                                                                  

Exemplo resolvido:
1)                                                  <!--NAMO_EQN__ 160 1
x^{4}-5x^{2}+4=0
-->                                                 
Fazendo                                                  x² = y , temos <!--NAMO_EQN__ 160 1
x^{4}=y^{2}
--> &nbsp;                                                 
Substituindo                                                  os valores na equação,                                                  temos:
y²                                                  - 5y + 4 = 0
Aplicando                                                  Bháskara:
<!--NAMO_EQN__ 160 1
y=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{(-5)^{2}-4.1.4}}{2}=\frac{-5\pm 3}{2}
-->                                                 Logo,                                                  y = 4 &nbsp;e y`= 1Voltando                                                  a variável x:Como                                                  y=x², temos:x²=4                                                  &nbsp;» &nbsp;<!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\pm 2
--> &nbsp;&nbsp;&nbsp;e &nbsp;&nbsp;&nbsp;x²=1 &nbsp;» &nbsp;                                                 <!--NAMO_EQN__ 160 1
x=\pm 1
-->                                                 Então                                                  a solução será                                                  » S={-2,-1,1,2} 
ou                                                  simplesmente