CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ( Q )
Autor: Max Pádua | Publicado: 2012-05-03T16:16:00-07:00

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Conjunto dos Números Racionais ( Q )

Chamamos de número racional todo número que pode ser escrito na forma de uma fração.
São exemplos de números racionais:

* Números Fracionãrios Positivos: + 4 &nbsp;, + 1 &nbsp;, + 8 &nbsp;, +10&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 6&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 7&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

* Números fracionários Negativos: -&nbsp;&nbsp;5 &nbsp;, - 6 &nbsp;, - 4 &nbsp;, - 1&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 7&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2

Todo número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração, ou seja, todo número inteiro e também um número racional.Exemplos;

* O número 6 pode ser escrito como &nbsp;6&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1

* o número - 5 pode ser escrito como - 5 &nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1

Representamos o conjunto dos números racionais plea letra Q, e este conjunto é formado pelos números inteiros e pelos números fracionários.


Observações:

1) Podemos escrever as frações positivas sem o sinal de +. Assim:

+&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2

2) O conjunto Q é infinito.

3) Valor Absoluto

+&nbsp; 1&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; -&nbsp; 3 &nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5

4) Números Opostos

+&nbsp; 5 &nbsp; =&nbsp; -&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+&nbsp; 8&nbsp; &nbsp;&nbsp; =&nbsp; -&nbsp;&nbsp; 8&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5

Regra de Sinais

Aplicamos a mesma regra de sinal de uma divisão de números inteiros.


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Representação Geométrica

Representamos os números racionais através de pontos de uma reta, da mesma maneira que representamos os números inteiros.








&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Comparação de Números Racionais

1) Ao comparar uma fração positiva com uma negativa, concluimos que a fração positiva será sempre maior que uma negativa.Assim:

+&nbsp;&nbsp;&nbsp;1 &nbsp;&nbsp; é maior que&nbsp;&nbsp; -&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3

2) Ao comparar duas frações negativas com denominadores iguais, devemos analisar os numeradores e verificar qual é o maior. Assim:

-&nbsp;&nbsp; 2&nbsp; é maior que&nbsp; -&nbsp; 5&nbsp;&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3

3) Ao comparar duas frações positivas com denominadores iguais, devemos analisar os numeradores e verificar qual é o maior. Assim:

+&nbsp;&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;&nbsp;é maior que&nbsp; +&nbsp;&nbsp;2&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5

4) Ao comparar duas frações positivas ou duas frações negativas com denominadores diferentes, devemos reduzir os denominadores a um mesmo denominador comum, dividirmos este novo denominador pelo antigo denominador e multiplicar pelo numerador e assim obtermos duas frações com mesmo denominador e compara-lás para verificar qual é&nbsp;o maior. Assim:

-&nbsp; 5&nbsp;&nbsp; é maior que -&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5

- &nbsp;25&nbsp;&nbsp;é maior que -&nbsp; 6&nbsp; &nbsp;
&nbsp;&nbsp; 15&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 15


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Adição de Números Racionais

&nbsp;Para adicionarmos números racionais devemos proceder da seguinte forma:

1) Reduzimos as frações dadas a um mesmo denominador.
2) Realizamos a adição de acordo com a regra de sinais de adição de números inteiros.

Exemplos:

a) ( - 2/3 ) + ( + 1/2 ) =&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp; -&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; +&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = - 4 + 3 &nbsp; = -&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 6&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

b) ( + 3/4 ) + ( - 1/2 ) =

&nbsp; +&nbsp;&nbsp;3 &nbsp;&nbsp; -&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp; 3 - 2 &nbsp;&nbsp; =&nbsp; +&nbsp;&nbsp;1&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Subtração de Números Racionais

Para subtrairmos dois números racionais, basta que adicionemos ao primeiro o oposto do segundo.

Exemplos:

a) ( + 1/2 ) - ( + 1/4 ) =

&nbsp;&nbsp;&nbsp; +&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; -&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&nbsp; 2 - 1&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4

b) ( - 4/5 ) - ( - 1/2 ) =

&nbsp;&nbsp;&nbsp; -&nbsp; 4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&nbsp; - 8 + 5 =&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 10&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 10&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 10&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 10


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;Multiplicação de Números Racionais

Ao multiplicarmos números racionais, devemos:

1) Multiplicar os numeradores entre si.
2) Multiplicar os denominadores entre si. 
3) Aplicar a regra de sinais da multiplicação de números inteiros.

Exemplos:

a)&nbsp;( + 1/7 ) . (&nbsp;+ 2/5 ) = + 2/35

b)&nbsp;(&nbsp; - 4/3 ) . ( - 2/7 ) = + 8/21

c) ( + 1/7 ) . ( - 4/3 ) = - 4/21


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Divisão de Números Racionais

&nbsp;Para dividirmos dois números racionais, devemos:

1) Multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.
2) Aplicar a regra de sinais da divisão de números inteiros.

Exemplos:

a) ( - 7/9 ) : (+ 5/2 ) = ( - 7/9 ) . ( + 2/5 ) =&nbsp; - 14/45

b) ( - 1/4 ) : ( - 3/7 ) = ( - 1/4 ) . ( - 7/3 ) = + 7/12

c) ( + 3/5 ) : ( - 2 ) = ( + 3/5 ) . ( - 1/2 ) = - 3/10