TRIANGULO tipos mediana bissetriz altura congruencia
Autor: Mazé | Publicado: 2012-12-27T12:04:00-08:00


Triangulo ou trilatero é o polígono de três lados.Pode-se dizer que triangulo é a figura constituida por três seguimentos cujas extremidades são três pontos não alinhados.
Os vértices do triangulo são A B C ou &nbsp;B C A &nbsp; &nbsp;ou C B A .
Os Angulos Â , ^B, ^C são ângulos internos do triangulo.






&nbsp;&nbsp; &nbsp; 













Um triangulo separa os pontos de um plano em duas regiões:
Uma convexa de pontos internos ( isto é ) a parte de dentro do triangulo
Outra convexa de pontos externos &nbsp;do triangulo.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIANGULOS:

Quanto aos lados ; O triangulo pode ser: escaleno, isósceles &nbsp;e equilátero.
Escaleno - Os três lados tem medidas diferentes .
Isósceles - Tem dois lados de medidas iguais .e a base diferente
Equilátero - os três lados têm medidas iguais

Quanto aos ângulos : acutângulo , obtusângulo, equiângulo retângulo
acutângulo - Os três angulos são agudos 
obtusângulo- um angulo obtuso e outros dois agudos
equiângulo - os três ângulos são iguais
retângulo - um angulo reto &nbsp;e os outros dois agudos.

OUTROS ELEMENTOS DE UM TRIANGULO
MEDIANA - Mediana de um triangulo é o segmento cujas &nbsp;extremidades são um vertice e o ponto médio do lado oposto.
Todas as três medianas do triangulo encontram-se num mesmo ponto O &nbsp;chamado BARICENTRO

P ponto médio de AC = mediana
N ponto médio de BC = mediana
M ponto médio de AB = mediana










ALTURA - A altura é a perpendicular que sai do vértice em direção ao lado oposto formando naturalmente um angulo de 90º ao se interceptar a esse lado ,o triangulo tem 3 alturas e o encontro delas chama-se ortocentro












































TRIANGULOS CONGRUENTES - Se dois triangulos ABC e A'B'C' são tais que os lados sejam respectivamente congruentes , dizemos então que os triangulos são congruentes.

Os lados do triangulos possuem respectivamente
medidas iguais. e os angulos internos são res-
pectivamente iguais.






PROPRIEDADES DE CONGRUENCIA -1- Se dois triangulos são congruentes , então , são congruentes os angulos opostos a lados congruentes e os lados opostos a angulos congruentes. 
&nbsp;Na figura acima o angulo A é oposto ao lado BC &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;angulo B oposto &nbsp;a AC &nbsp; &nbsp; &nbsp;Angulo C oposto a AB.
2- A congruencia é uma relação de equivalencia , isto é, valem as propriedades : Reflexiva , Simetrica e Transitiva.
Reflexiva - Todo triangulo é congruente a si mesmo.
Simétrica - Se um triangulo é congruente a um segundo , este é congruente ao primeiro.
Transitiva - Se um triangulo é congruente a um segundo e este é congruente a um terceiro, então o primeiro é congruente ao terceiro.

CASOS DE CONGRUENCIA
Nas verificações intuitivas ou racionais ( demonstrações) há necessidade de decidir se dois triangulos são ou não são congruentes, mas não se conhecem as medidas de todos os lados desses triangulos.
vejamos , então , os casos que podem ocorrer .
1° Caso - Se dois triângulos possuem dois lados e angulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes , então , são congruentes - L A L &nbsp;( lado angulo e lado )















AC congruente a DF &nbsp; &nbsp; &nbsp; AB congruente DE &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Angulo A &nbsp; e Angulo D compreendidos ....

2º Caso- Se dois triangulos têm um lado e os angulos adjacentes a esses lados respectivamente congruentes, então , são congruentes - A LA ( angulo, lado e angulo )


&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 

Â congruente &nbsp;a ^D
^B congruente a &nbsp;Ê

Lado AB congruente a DE &nbsp;Portanto
A B C congruente D E F ( A L A )



3º Caso - Se dois triangulos têm &nbsp;um lado , um angulo adjacente e o angulo oposto a esse lado respectivamente congruentes , então , são congruentes. L. &nbsp;A .Ao &nbsp; ( Ao= angulo oposto )






A|PLICAÇÕES DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS-Os angulos da base de um triangulo isosceles são congruentes





















Em todo triangulo isósceles , a mediana relativa a base é altura e bissetriz relativa à base.

RELAÇÕES ENTRE ELEMENTOS DE UM TRIANGULO

1- Um angulo,externo de um triangulo é maior que cada um dos angulos internos não adjacentes.


&nbsp; 
















Demonstração Construção auxiliar = Por B traço BE // AC
asserção &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;razão
1- C=x &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 1.BE //AC e BC transversal , angulos alternos internos
2- &nbsp;b&gt;x &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 2.BE semi-reta interna ao angulo b como se vê intuitivamente
3- b&gt;C &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 3.Propriedade transitiva
4-A=y &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;4.BE ??AC e AB transversal, angulos correspondentes
5-b&gt; y &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;5. BE é semi-reta interna ao angulo b
6-b&gt;A &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;6.Consequências de 4 &nbsp;e 5



2- Se num triangulo dois lados são de medidas diferentes, então ao maior lado opõe-se o angulo de maior medida &nbsp; &nbsp; &nbsp; 


















3- A soma dos angulos internos de um triângulo = 180°


&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; r// AB (A alterno ^x )
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(B alterno ^y) sendo,
&nbsp;A=x &nbsp; &nbsp; &nbsp;B=y &nbsp; &nbsp;( x + C+y = 180°)
r
Portanto A &nbsp;+ &nbsp;B &nbsp; + &nbsp;C &nbsp;= 180°

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 







Exemplo em aplicação -