Matemática Financeira – parte 2
Autor: José M.Ruggieri | Publicado: 2010-11-22T21:12:00-02:00

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; No post anterior Matemática financeira, começamos a falar um pouco sobre Matemática Financeira. Falamos sobre a sua importância, e também, sobre os cálculos de taxas de juros, juros simples e juros compostos.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Hoje, iremos falar a respeito de um assunto bastante utilizado em nosso dia-a-dia, os sistemas de amortização.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Uma dívida surge quando certa importância é emprestada por certo período de tempo. Quem faz a dívida deve restituir, além do principal, os juros devidos no prazo estipulado. Para isso, se utiliza os chamados sistemas de amortização.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; De acordo com o site Wikipedia, amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; No nosso estudo, iremos abordar de forma básica os dois sistemas mais usados, que são o Sistema Francês de Amortização ou tabela PRICE e o Sistema de Amortização Constante ou SAC.

Sistema Francês de Amortização – Tabela PRICE
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O sistema Francês de Amortização é mais conhecido no Brasil como tabela PRICE. A denominação tabela PRICE se deve ao nome do matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price, que viveu no século XVIII e que incorporou os juros compostos às amortizações de empréstimos.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A denominação Sistema Francês deve-se ao fato de esse sistema ter sido desenvolvido na França, no século XIX.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O sistema Francês consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas. O valor de cada prestação, ou pagamento, é composto por duas parcelas distintas: uma de juros e outra de capital (chamada amortização), assim:
P (prestação) = J(juros) + A (amortização)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; As prestações não precisam ser necessariamente mensais, como geralmente se imagina. Elas podem ser trimestrais, semestrais, etc, basta que sejam iguais, periódicas, sucessivas e de termos vencidos.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O valor das prestações é determinado com base na fórmula utilizada para séries de pagamentos uniformes com termos vencidos (ou postecipados), isto é:

PMT=PV x [((1+i)n x i)/((1+i)n - 1 )]
Vejamos o seguinte exemplo:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Calcule os valores das parcelas de juros e amortização referente a primeira prestação de um empréstimo de R$100.000,00, a uma taxa de juros de 2% a.m., para ser liquidado em 5 prestações iguais.
J1 (juros 1º mês) = ?
A1 (amortização 1º mês) = ?
PV (capital) = 100.000,00
n (nº de prestações) = 5
i (taxa de juros) = 2 % a.m.
PMT (prestação) = 100000 x [((1+0,02)5 x 0,02)/((1+0,02)5 - 1 )]
PMT = R$21.215,83
J1 = i x Sd n-1 (Saldo devedor)
J1 = 0,02 x 100000
J1 = R$2.000,00
A1 = PMT1 – J1
A1 = 21215,83 – 2000
A1 = R$19.215,83
Vamos montar uma planilha simulando esses pagamentos:

No&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Prestação&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Juros&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Amortização&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Saldo Devedor
0&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; ---&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; ---&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; ---&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; R$ 100.000,00
1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 21.215,83&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 2.000,00&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 19.215,83&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 80.784,17
2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 21.215,83&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 1.615,67&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 19.600,16&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 61.184,01
3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 21.215,83&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 1.223,67&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 19.992,16&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 41.191,85
4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 21.215,83&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 823,83&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 20.392,00&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 20.799,85
5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 21.215,83&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 415,98&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; R$ 20.799,85&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 0,00
Total&nbsp; R$ 106.079,15&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 6.079,15&nbsp; &nbsp; R$ 100.000,00&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Conforme dito anteriormente, pela tabela PRICE, as prestações têm valores fixos. Como você pode perceber, inicialmente os juros são maiores e a amortização é menor, com o passar do tempo, os juros vão diminuindo e a amortização vai aumentando.

Sistema de amortização constante – SAC
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Esse sistema, como o próprio nome diz, deriva de sua principal característica, ou seja, as amortizações periódicas são todas iguais ou constantes, diferentemente da tabela PRICE, onde já vimos que as amortizações são crescentes ao longo do tempo.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O SAC consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética, dentro do conceito de termos vencidos, em que o valor de cada prestação é composto por uma parcela de juros e outra parcela de amortização.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A parcela de capital a ser amortizada é obtida dividindo-se o valor do empréstimo pelo número de prestações, enquanto que o valor da parcela de juros é determinado multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior.

Vejamos o seguinte exemplo:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Um empréstimo de R$100.000,00 a taxa de 2% a.m. a ser liquidado em 5 prestações mensais.

A (Amortização) = C (Capital)/n (número de prestações)
A = 100.000/5 
A = R$20.000,00
J1(juros do 1º mês)&nbsp; = i x Sd n-1 (Saldo devedor)
J1 = 0,02 x 100000
J1 = R$2.000,00
PMT1 (valor da prestação 1º mês) = A1 + J1
PMT1 = 20000 + 2000
PMT1 = R$22.000,00
Vamos montar uma planilha simulando esses pagamentos

No&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Prestação&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Juros&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Amortização&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Saldo Devedor
0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; ---&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; ---&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; ---&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp; R$ 100.000,00
1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; R$ 22.000,00&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 2.000,00&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 20.000,00&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 80.000,00
2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; R$ 21.600,00&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 1.600,00&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 20.000,00&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; R$ 60.000,00
3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; R$ 21.200,00&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 1.200,00&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 20.000,00&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; R$ 40.000,00
4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; R$ 20.800,00&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 800,00&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 20.000,00&nbsp; &nbsp; &nbsp; R$ 20.000,00
5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; R$ 20.400,00&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 400,00&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 20.000,00&nbsp; &nbsp; &nbsp; R$ 0,00
Total&nbsp; R$ 106.000,00&nbsp;&nbsp; R$ 6.000,00&nbsp;&nbsp;&nbsp; R$ 100.000,00&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Conforme dissemos, veja como nesse sistema as amortizações são sempre iguais e as prestações são decrescentes.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Fazendo uma comparação com a planilha da tabela PRICE, veja que nesse exemplo, ao final do pagamento seria pago R$106.000,00, e na tabela PRICE R$106.079,15, ou seja, no final o custo desse empréstimo seria na tabela SAC R$79,15 a menos que na PRICE.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Apesar de não aconselhar empréstimos ou financiamentos a ninguém, pelo contrário, na maioria esmagadora das vezes sou contra, para quem é acostumado a fazer financiamentos, ou então, tem expectativa de fazer algum em breve, recomendo que passe a entender o funcionamento dessas tabelas.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Bom, é isso, espero ter ajudado aqueles que tinham dúvidas com relação ao funcionamento desses sistemas de amortização, e também, aqueles que se interessam por esse assunto.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A Matemática Financeira é muito interessante e útil para nosso dia-a-dia, mas, ao menos por enquanto, vamos ficar por aqui. Quem sabe, futuramente falarei mais a respeito do assunto e até, como já falamos no post anterior, possamos oferecer um curso através de vídeo-aulas. Tudo isso dependendo do interesse de nossos visitantes.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Caso ainda não tenha se cadastrado em nosso site, não perca tempo, acesse agora nossa página Cadastre-se e concorra a um dos dois exemplares do livro Á Árvore do Dinheiro que estaremos sorteando.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; E isso aí! Vamos continuar aprendendo e caminhando rumo a nossa independência financeira. Todos juntos em direção ao Sucesso Financeiro Pessoal.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Abraços e até a próxima.

Escrito por José Messias Ruggieri
Editado e revisado por Karla C. R. Ruggieri



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