Logarítimos - Definição
Autor: Mathematikis | Publicado: 2010-04-08T17:41:00-03:00


Dados os números reais&nbsp;b&nbsp;(positivo e diferente de 1),&nbsp;N&nbsp;(positivo) e&nbsp;x&nbsp;, que satisfaçam a relação bx&nbsp;= N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que&nbsp;b&nbsp;é a base do sistema de logaritmos,&nbsp;N&nbsp;é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.
Exemplos:
a) log28 = 3 porque 23&nbsp;= 8.
b) log41 = 0 porque 40&nbsp;= 1.
c) log39 = 2 porque 32&nbsp;= 9.
d) log55 = 1 porque 51&nbsp;= 5.
Notas:
1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressãologaritmo decimal&nbsp;e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x&nbsp;= N.
Existe também um sistema de logaritmos chamado&nbsp;neperiano&nbsp;(em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional
e&nbsp;= 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,
logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
Exemplos:
a) log100 = 2 porque 102&nbsp;= 100.
b) log1000 = 3 porque 103&nbsp;= 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010&nbsp;= 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771&nbsp;= 3.
e) ln e = 1 porque e1&nbsp;= e = 2,7183...
f) ln 7 = loge7
2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada&nbsp;característica&nbsp;e a parte decimal é denominada&nbsp;mantissa&nbsp;.
Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.
Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que
101,6532&nbsp;= 45.
3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9) , log20 , etc.
4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:
P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
logb1 = 0 porque b0&nbsp;= 1.
P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1&nbsp;= b.
P3) logbbk&nbsp;= k , porque bk&nbsp;= bk&nbsp;.
P4) Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
P5) blogbM&nbsp;= M ou seja:&nbsp;b&nbsp;elevado ao logaritmo de&nbsp;M&nbsp;na base&nbsp;b&nbsp;é igual a&nbsp;M.
3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
logb(M.N) = logbM + logbN
Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.
P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
logb(M/N) = logbM - logbN
Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10-1,6990&nbsp;= 0,02.
Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.
Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).
Nota: Chamamos de&nbsp;cologaritmo&nbsp;de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN.
(menos log de N na base b).
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.
P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA
Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável:&nbsp;logbMk&nbsp;= k.logbM.
Exemplo: log5256&nbsp;= 6.log525 = 6.2 = 12.
P4 - MUDANÇA DE BASE
Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base&nbsp;b&nbsp;e desejamos obter o logaritmo de N numa base&nbsp;a&nbsp;. Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Exemplos:
a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)
b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)
c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5&nbsp;= 125.
Notas:1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.
2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a)&nbsp;logbN = logN / logb&nbsp;(usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).
b)&nbsp;logba . logab = 1
Exemplos:
a) log37 . log73 = 1
b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850