Nova Postagem para derivada
Autor: João Roberto B.Lemos | Publicado: 2011-03-08T11:30:00-08:00

&nbsp;http://hermes.ucs.br/ccet/deme/lzsauer/calculo/restrito/material_de_apoio_pdf/definicao_de_derivada_e_regras.pdf
A Derivada e as Regras de Derivação
O principal objetivo desta unidade é torná-lo familiar com o conceito de derivada, suas
propriedades operatórias e suas aplicações na resolução de problemas. Após completá-la,
você deverá estar apto a:
(a) relacionar a derivada de uma função com a taxa de variação da mesma em relação
à sua variável independente;
(b) determinar a derivada de uma dada função, usando o processo limite;
(c) determinar a derivada de uma função polinomial, racional, trigonométrica,
exponencial natural ou logarítmica natural, usando as propriedades operatórias da
derivada;
(d) determinar a derivada da potência de uma função;
(e) determinar derivadas sucessivas de uma dada função;
(f) identificar a derivada segunda da função deslocamento de um móvel, com a
aceleração do mesmo;
(g) aplicar as regras de derivação na resolução de problemas que envolvem taxa de
variação.
A Definição de Derivada
Na unidade anterior, mostramos que se x e y são duas variáveis relacionadas por uma
equação y   f x , então a taxa de variação instantânea de y em relação a x quando x tem
o valor x1é dada por
lim  x 0
 y
 x
  lim  x 0
f x1    x    f x1 
 x (3.1.1 )
Por outro lado, mostramos ainda, que o coeficiente angular m da tangente ao gráfico da
f no ponto  x1, f x1   também é dado por
m   lim  x 0
f x1    x    f x1 
 x (3.1.2 )
e que a velocidade instantânea de um móvel cuja equação do movimento é d   f t , num
tempo t   x1, é dada por
v   lim  x 0
f x1    x    f x1 
 x . (3.1.3 )
Assim, o problema de encontrarmos a taxa de variação de uma variável em relação à
outra, o problema de encontrarmos o coeficiente angular da reta tangente a um gráfico e o
problema de determinar a velocidade instantânea, são todos resolvidos pelo cálculo do
mesmo limite. Limites da forma lim  x 0
 y
 x aparecem com tanta freqüência em cálculo que é
necessário introduzir uma notação e uma terminologia especial para eles. Trata-se da
derivada da função f, que aqui simbolizaremos por f . Assim, definimos
f  x    lim  x 0
f x    x    f x 
 x (3.1.4 )
como sendo a função derivada de y   f x .
Atividade 1:
Considere a função f x    x3.
(a) determine a derivada f , da função f;
(b) determine f   12
.
Outras notações para a derivada:
Seja f uma função definida por y   f x . Sua derivada pode ser denotada por:
1
f  x  , y , df x 
dx , dy
dx , Dxf x  ou Dxy . (3.1.5 )
Propriedades Operatórias da Derivada
Podemos determinar derivadas de funções através de regras que fornecem um
resultado imediato para os limites que as definem. Para isto, consideremos c   R e
u   f x  e v   g x , duas funções reais quaisquer de variável x. São as seguintes as
propriedades operatórias da derivada:
1. Derivada da função constante:
Dxc   0
2. Derivada da potência de x :
Dxxn   n.xn 1, onde n  Q
3. Derivada do produto de uma constante por uma função:
Dx cv    c.Dxv
4. Derivada da soma ou diferença de funções:
Dx u   v    Dxu   Dxv
5. Derivada do produto de funções:
Dx u.v    uDxv   vDxu
6. Derivada do quociente de funções:
Dx
uv
  vDxu   uDxv
 v 2 , desde que v   0
7. Derivada da potência de uma função:
Dx un     n.un 1.Dxu
8. Derivada de funções trigonométricas:
Dxsenu   cosu.Dxu
Dx cosu    senu.Dxu
Dxtgu   sec2u.Dxu
Dx cot gu    cos ec2u.Dxu
Dx sec u   sec utgu.Dxu
Dx cos ecu    cos ecucot gu.Dxu
Atividade 2:
1) Determine a derivada de cada uma das seguintes funções, usando as propriedades
citadas acima. A seguir, confirme seus resultados no SN 1 .
(a) f x    2x3   3x   1
(b) h x    1
3 x
(c) g x    a4x4
(d) g a    a4x4
2
(e) f s     s2   3s   4  s3   1 
(f) F t    t
2t2   3
(g) y   2senx   cos x
(h) h x    2tgx
sec x   1
 1 Podemos obter a função derivada de uma função definida por f x , no SN, usando
qualquer uma das notações citadas em (3.1.5). Salientamos, no entanto, que a notação
 Dx   é cômoda quando há necessidade de determinarmos a derivada de várias funções,
não necessitando definí-la previamente.
Assim, por exemplo, para obter a derivada de f x    3x2   1, digitamos:
Dx 3x2   1 , clicamos em (Evaluate) e o SN fornece, imediatamente, a derivada que
procuramos. Isto é
Dx 3x2   1    6x .
2) Resolva os seguintes problemas usando regras de derivação quando necessário:
(a) Determine a equação da reta tangente à curva dada por y   x2   6
x   3 no ponto   4, 10 
da mesma.
(b) Dado que V   ir , determine a taxa de variação dV
dr da queda de tensão V em relação
a r (medido em ohms) para uma corrente de 0, 5 ampére.
(c) Um objeto cai de acordo com a equação d   5000   3, 28t2 onde d é dado em m e t em
seg. Determine a velocidade do objeto após 5seg.
(d) Determine o(s) ponto(s) (se existirem) nos quais o gráfico da função dada tem tangente
horizontal. A seguir construa, em cada caso, o gráfico da função e da(s) reta(s) no mesmo
sistema de eixos.
d.1) f x    x4   3x2   2 d.2) g x    1
x2
(e) Mostre que os gráficos das funções y   x e y   1x
têm retas tangentes perpendiculares
entre si em seus pontos de intersecção.
(f) Qual é a fórmula para o volume da esfera de raio r , V r  ? Encontre a derivada de V em
relação a r. Qual é o significado geométrico desta derivada ?
Derivadas Sucessivas
Você deve ter observado que a derivada de uma função qualquer, dada por y   f x ,
também é uma função de x e, como tal, pode ser derivada. A derivada da derivada da f é
dita derivada segunda da f e pode ser representada por
f   x  , y   , Dx
2f x  , Dx
2y , d2f x 
dx2 ou d2y
dx2 . (3.3.1 )
Continuando este processo, podemos obter a derivada de qualquer ordem de uma dada
3
função. Assim, se quisermos a derivada de ordem n da função y   f x , basta derivá-la,
sucessivamente, n vezes.
Notações para as derivadas sucessivas
f n  x  , y n  , Dx n f x  , Dx n y , d n f x 
dx n  ou d n y
dx n  . (3.3.2 )
Um conceito relacionado com a velocidade é a aceleração de um objeto em
movimento. Trata-se de outra aplicação da derivada. A aceleração é a taxa de variação
instantânea da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da velocidade, ou
ainda, a derivada da derivada da função deslocamento, isto é, a derivada segunda da
função deslocamento. Assim,
a   Dtv   Dt
2v .
Atividade 3
1) Determine a derivada de ordem quatro da função dada por y   3t6   8t3   2.
2) Uma partícula move-se ao longo de um eixo horizontal de acordo com a equação
d   t3   3t2   9t   1. Determinar a aceleração da mesma no instante t   3seg.
3) Uma bola é largada do ponto mais alto de um edifício, até atingir o solo. A altura da
bola, y, acima do solo (em metros) é dada em função do tempo, t, (em segundos) por
y   380   5t2 .
(a) Determine a velocidade da bola no instante t. Qual é o sinal da velocidade ? Por que
isto já era esperado ?
(b) Mostre que a aceleração da bola é uma constante. Qual é o valor e o sinal desta
constante ?
(c) Em que instante a bola bate no solo e qual é a sua velocidade neste instante ? Dê sua
resposta em m/s e em km/h.
4