Números Inteiros
Autor: Max Pádua | Publicado: 2012-03-14T15:51:00-07:00





Conjunto dos Números Inteiros: Z



O conjunto dos números inteiros é a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen= significa número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}



Exemplos de subconjuntos do conjunto Z:



a) Conjunto dos números inteiros excluído-se&nbsp; o zero:



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}



b) Conjunto dos números inteiros não negativos:



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}



c) Conjunto dos números inteiros não 



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}





&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;Reta Numérica





Podemos representar geometricamente o conjunto dos números inteiros, construindo um reta numérica, considerando o número zero como a origem e assim traçar cada ponto tanto dos números negativos, quanto dos números positivos.







A ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita. Todos os números inteiros possuem um sucessor e um antecessor. O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).




Exemplos:




·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4 é sucessor de 3

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 8 é antecessor de 9

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; -5 é antecessor de -4

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; -4 é sucessor de -5

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0 é antecessor de 1




Números Opostos ou Simétricos



Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento &nbsp;simétrico ou oposto, ou seja, estão a uma &nbsp;mesma distância da origem do conjunto dos números inteiros.




Exemplos:




·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O oposto de +3 é -3.

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;O oposto de -5 é +5


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Valor Absoluto ou Módulo

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais |&nbsp;|. O módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica.

Exemplos:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 




* O valor absoluto de -10 é 10.




* O valor absoluto de&nbsp; +8 é 8.




* |-6| = 6

* |0| = 0

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Adição de Números Inteiros

1) Adição de números com sinais iguais:

Basta somar os valores absolutos e manter-se o sinal.Exemplos:

a)(+3) + (+4) = (+7)

b)(-3) + (-4) = (-7)

2) Adição de números com sinais contrários





Basta subtrair os valores absolutos e considerar o sinal do maior valor absoluto. Exemplos:


a)(+8) + (-5) = (+3)

b)(-8) + (+2) = (-6)




Para melhor compreensão desta operação, procuramos associar aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.Exemplos:



a) ganhar&nbsp;9 + ganhar 4 = ganhar&nbsp;13 ou&nbsp;&nbsp; (+9) + (+4) = (+13).

b) perder&nbsp;10 + perder 4 = perder&nbsp;14 ou (-10) + (-4) = (-14).

c) ganhar&nbsp;2 + perder&nbsp;5 =&nbsp;perder 3 ou (+2) + (-5) = (-3).

d) perder 8 + ganhar&nbsp;12 = ganhar&nbsp;4 ou (-8) + (+12) = (+4).


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Subtração de Números Inteiros

A subtração é uma operação inversa à da adição.
Para subtrairmos dois númeors inteiros negativos, basta que adicionemos ao primeiro&nbsp;o oposto do segundo, ou seja, mantemos o primeiro elemento e trocamos o sinal do segundo elemento e em seguida realizamos a operação.Exemplos:

a) (+4) - (- 5) = (+4) + (+ 5) = + 9

b) (-8&nbsp;) - (+3) = (-8)&nbsp; + (- 3 ) = - 11

c) (-9 ) -&nbsp;(-7 ) =&nbsp; (-9 ) + (+7 ) = - 2

d)(+10) - ( +5) = (+10) + ( -5) = + 5




&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Multiplicação de números Inteiros

Devemos multiplicar os valores absolutos e aplicar a seguinte regra de sinais:

( -&nbsp; ) . ( -&nbsp; ) = ( + )


( + ) . ( + ) = ( + )


( -&nbsp; ) . ( + ) = ( -&nbsp; )


( + ) . ( -&nbsp; ) = ( -&nbsp; )

Ou seja, a multiplicação de dois&nbsp;números inteiros com sinais iguais resulta em um número positivo, já a multiplicação de dois &nbsp;números com sinais diferentes&nbsp;resulta em um número negativo.Exemplos:


a) &nbsp;( +2 ) . ( +5 ) = ( +10 )

b)&nbsp;&nbsp; (&nbsp;- 8 ) . ( - 5 ) = ( +40 ) 

c)&nbsp;&nbsp;&nbsp;( +7 ) . (&nbsp;-&nbsp;7&nbsp;) = ( -&nbsp;49 )

d)&nbsp;&nbsp;( - 2 ) . ( +8 ) = (&nbsp;- 16&nbsp;)


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Divisão de números Inteiros

Devemos&nbsp;dividir os valores absolutos e aplicar a seguinte regra de sinais:



( -&nbsp; )&nbsp;: ( -&nbsp; ) = ( + )




( + )&nbsp;: ( + ) = ( + )




( -&nbsp; )&nbsp;: ( + ) = ( -&nbsp; )




( + )&nbsp;: ( -&nbsp; ) = ( -&nbsp; )

Ou seja, a&nbsp;divisão de dois&nbsp;números inteiros com sinais iguais resulta em um número positivo, já a&nbsp;divisão de dois &nbsp;números com sinais diferentes&nbsp;resulta em um número negativo.Exemplos:

a) ( +12 )&nbsp;: ( +2 ) = ( +6 )

b)&nbsp;&nbsp;(&nbsp;- 80 )&nbsp;: ( -10 ) = ( +8 ) 

c)&nbsp;&nbsp;( +20 )&nbsp;: (&nbsp;-&nbsp;2&nbsp;) = ( -&nbsp;10 )

d)&nbsp;&nbsp;( - 25 )&nbsp;: ( +5 ) = (&nbsp;-&nbsp;5&nbsp;)