A matemática de Fibonacci
Autor: JCnavegaLUZ | Publicado: 2012-04-14T05:56:00-07:00

Leonardo Fibonacci nasceu por volta do ano de 1170, filho de Guglielmo Fibonacci, um rico comerciante italiano. Guglielmo dirigia um posto de troca (segundo alguns relatos, ele foi o consultor de Pisa) em Bugia, um porto a leste de Argel no sultanato da dinastia almóada no Norte de África (atual Bugia, Argélia).

O apelido de família de seu pai era "Bonacci" (homem de boa natureza) e o apelido dele próprio, Fibonacci, diminutivo de fillius Bonacci, que provavelmente seria filho de Bonacci. Como um menino novo, Leonardo viajou com o pai para ajudá-lo. Foi lá que ele aprendeu sobre o sistema numérico hindu-arábico. Reconhecendo que a aritmética com algarismos arábicos é mais simples e mais eficiente do que com números romanos, Fibonacci viajou por todo o mundo mediterrâneo para estudar com os matemáticos árabes mais importantes da época. Leonardo voltou de suas viagens em torno de 1200. Em 1202, aos 32 anos, publicou o que havia aprendido em Liber Abaci (Livro de Ábaco ou Livro de Cálculo) e assim, introduziu os numerais hindu-Árabe para Europa.

Leonardo tornou-se um convidado amigável do Imperador Frederico II, que gostava de matemática e ciências. Em 1240 a República de Pisa homenageou Leonardo, conhecido como Leonardo Bigollo, concedendo-lhe um salário. No século XIX, uma estátua de Fibonacci foi construída e erguida em Pisa. Hoje está localizada na galeria ocidental do Camposanto, cemitério histórico na Piazza dei Miracoli. No Liber Abaci (1202), Fibonacci apresenta o chamado modus Indorum (método dos hindus), hoje conhecido como algarismos arábicos (Sigler 2003; Grimm 1973). O livro defendia a numeração com os dígitos 0-9 e a notação posicional, esclarecendo o sistema de posição árabe dos números, incluindo o número zero. O livro mostrou a importância prática do novo sistema numeral, aplicando-o à contabilidade comercial, conversão de pesos e medidas, o cálculo de juros, taxas de câmbio e outras aplicações. O livro foi bem recebido em toda Europa educada e teve um impacto profundo no pensamento europeu. Esse elegante sistema de sinais numéricos, em breve, substituiria o não mais oportuno sistema de algarismos romanos. A segunda edição de Liber Abaci, de 1228, foi a que hoje é conhecida. Esse livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e a Álgebra da época, e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes, pois, por esse livro, os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos. 

A teoria contida em Liber Abaci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro. Liber Abaci também colocou e resolveu um problema que envolve o crescimento de uma população hipotética de coelhos com base em pressupostos idealizados. A solução, de geração em geração, foi uma sequência de números mais tarde conhecida como número de Fibonacci. A seqüência numérica era conhecida por matemáticos indianos já no século VI, mas foi o Liber Abaci de Fibonacci que a introduziu para o Ocidente. A Sequência de Fibonacci consiste em uma sucessão de números, tais que, definindo os dois primeiros da sequência como 0 e 1, os números seguintes serão obtidos por meio da soma dos seus dois antecessores. Portanto, os números são: 
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...
Dessa sequência, extrai-se o número transcedental conhecido como número de ouro. Para saber a Sequência de Fibonacci, pode-se utilizar a fórmula: Uma das aplicações destas sequencias de Fibonacci seria na identidade de Cassini.

Na cultura popular
• O nome Fibonacci foi adotado por um grupo de art rock baseado em Los Angeles, The Fibonaccis, que gravou entre 1981 e 1987.
• Operadores da bolsa de valores frequentemente olham para a "Reconstituição de Fibonacci" para preverem os preços futuros das ações.
• Um jovem de Fibonacci é um dos personagens principais do romance Crusade in Jeans, de 1973. No entanto, o personagem foi excluído da versão cinematográfica de 2006.
• Em O Código Da Vinci, a sequência de Fibonacci foi usada como um código, mas também para confundir os personagens.
• Os números de Fibonacci são importantes para a análise em tempo real do algoritmo euclidiano, para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros.
• Matiyasevich mostrou que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma Equação diofantina, o que o levou à solução original do Décimo Problema de Hilbert.
• Os números de Fibonacci aparecem na fórmula das diagonais de um triângulo de Pascal (veja coeficiente binomial).
• Um uso interessante da sequência de Fibonacci é na conversão de milhas para quilômetros.
• Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes visuais, determinar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para Cordas, Percussão e Celesta de Béla Bartók.
• Le Corbusier usou a sequência de Fibonacci na construção do seu modulor, um sistema de proporções baseadas no corpo humano e aplicadas ao projeto de arquitetura.
• Em The Wave Principal, Elliot defende a ideia que as flutuações do mercado seguem um padrão de crescimento e decrescimento que pode ser analisado segundo os números de Fibonacci, uma vez determinada a escala de observação. Defende que as relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa tendem a seguir razões numéricas aproximadas das razões de dois números consecutivos da sequência de Fibonacci. (wikipedia)

Aplicações
Os números de Fibonacci podem ser usados para caracterizar diversas propriedades na Natureza. Introduzindo Fibonacci na natureza poderemos observar que essa seqüência é aplicada em diversos acontecimentos e elementos como: no comportamento da refração da luz, dos átomos, do crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, nas análises de tempo, no modo como as sementes estão dispostas no centro de diversas flores, etc.
Exemplos:
1- A análise de tempo vem se tornando cada vez mais importante. Conseguem ótimos resultados quando desenvolvem uma metodologia que reúne tempo e preço. Hoje em dia, realiza-se a análise temporal com ferramentas como Análise de Ciclos e os métodos que complementam o pacote Fibonacci: Seqüência de Fibonacci e Tempo de Fibonacci. É bom ressaltar que as técnicas de Fibonacci estão entre as mais usadas e efetivas no mercado acionário.
2- A Natureza "arruma" as sementes do girassol sem intervalos, na forma mais eficiente possível, formando espirais que tanto curvam para a esquerda como para a direita. O curioso é que os números de espirais em cada direção são (quase sempre) números vizinhos na seqüência de Fibonacci. O raio destas espirais varia de espécie para espécie de flor.

3- Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes visuais, determinar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para Cordas, Percussão.
4- Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos, ou regulam a posição ou número de suas folhas ou pétalas pela mesma seqüência.
Botânicos acreditam que essa disposição permita melhorar o aproveitamento da luz solar e maior exposição à gotas de chuvas.
5- Existem áreas da Física em que os números de Fibonacci surgem por construção proposital e dão resultados interessantes, como por exemplo em óptica.
6- Podemos ver PHI espalhado por todo o nosso corpo: É só medir a distância que vai do alto da cabeça até o chão, e depois dividir o resultado pela distância do umbigo até o chão. Ao medirmos a distância de um ombro até a ponta dos dedos, e depois dividir pela distância entre o cotovelo até a ponta dos dedos, obtemos o PHI. Ou mesmo medindo a distância dos quadris até o chão, e dividindo pelo joelho até o chão. Veremos PHI nos nós dos dedos, nos artelhos, na divisão da coluna vertebral...