Ilustração sobre gráficos de funções inversas
Autor: Luís Cláudio LA | Publicado: 2010-10-16T15:25:00-03:00




Prezados(as) professores(as),

como lembrado pelo leitor Gustavo Pavam, você pode obter o gráfico da função inversa apenas pedindo a reflexão de um ponto sobre o gráfico de uma função em torno da reta y=x e para isso basta criar a reta y=x, ativar a ferramenta REFLEXÃO, clicar em um ponto sobre a curva (como na imagem ao lado) e posteriormente na reta y=x. É simples.




Entretanto, neste post pretendemos construir uma ilustração que permita ao estudante perceber, do ponto de vista geométrico que o gráfico da função inversa pode ser obtido, também, por rotação e reflexão do gráfico da função original. São 90 graus no sentido anti-horário e posteriormente uma reflexão sobre o EixoY. &nbsp;Aproveitaremos a atividade para aprender dois comandos:

Rotação de um ponto em torno da origem.
Reflexão de um ponto em torno do EixoY


&nbsp;Um problema inicial que enfrentamos está no fato de que o comando Girar[] do GeoGebra não gira funções. Para contornar esse problema precisaremos de um pouco de matemática e a função LUGAR GEOMÉTRICO.




A estratégia será a seguinte:

Criamos uma função usando o comando Função[lei, início, fim]
Colocamos um ponto sobre o gráfico desta função. Provavelmente será nomeado de "A".
Criamos um ponto B que é a rotação do ponto A em "t" radianos em torno da origem. Esse parâmetro "t" estará no intervalo [0; 1,57]
Usamos a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO para marcar esse lugar.
Quando o parâmetro "t" estiver em 1,57 (metade de pi) pedimos para ele mostrar a reflexão do gráfico que está girando em torno do EixoY (matemática básica)
Enfeites finais.


Se quer ver o restante do post clique em&nbsp; clique em "Mais informações »" a seguir.




Devemos primeiro criar uma função. Usaremos o comando Função[] para ter controle sobre o domínio, já que várias funções não têm inversas se tomarmos o domínio sendo os Reais, como por exemplo: f(x)=cos(x), sen(x), x² e outras. No CAMPO DE ENTRADA entre com o seguinte comando:

f(x)=Função[x^2,0,5]


Criamos uma função y=x² definida no intervalo [0, 5]. Vamos pedir um ponto sobre o gráfico de f. Para isso entre com o seguinte comando&nbsp; 

Ponto[f]


Um ponto A foi criado sobre o gráfico de f. Aperte a tecla ESC e movimente o ponto.






Agora vamos criar o parâmetro que controlará a rotação. Usaremos a ferramenta SELETOR (Janela 10). Ative esta ferramenta (figura do botão ao lado) e clique onde quer que o seletor apareça. Uma janela se abrirá. Dê nome a esse seletor de "t" com valor inicial em 0 e final em 1.57. Aperte&nbsp; o botão APLICAR.



O próximo passo é criar um ponto B que seja a rotação do ponto A em "t" radianos no sentido anti-horário. Aqui é necessário o conhecimento de um pouco de matemática que se aprende geralmente nos cursos de Álgebra Linear (ou Geometria Analítica, não me lembro muito bem). Se (x,y) é um ponto qualquer do plano coordenado e (X,Y) é a coordenada de um ponto obtido com a rotação do ponto (x,y) em torno da origem em um ângulo de "t" radianos (pode ser em graus também, claro), então




$$X=x.\cos(t)-y.\sin(t)$$
.
$$Y=x.\sin(t)+y.\cos(t)$$


Veja isso mais detalhadamente clicando AQUI. Precisamos criar um ponto então com estas coordenadas. Para isso, entre com o seguinte comando no CAMPO DE ENTRADA do GeoGebra:

(x(A) cos(t) - y(A) sin(t), x(A) sin(t) + y(A) cos(t))


O ponto criado foi nomeado, provavelmente, como B. Aperte a tecla ESC e certifique-se que o ponto gira em torno da origem. Agora temos os dois pontos necessários para construir o lugar geométrico.

Ative a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO e clique sobre o ponto B e posteriormente sobre o ponto A. Alternativamente, no CAMPO DE ENTRADA entre com o comando LugarGeométrico[B,A] .


Aperte a tecla ESC e arraste o seletor com o parâmetro "t". Veja se o gráfico gira em torno do EixoX.




A parte final deixo como exercícios vocês construírem. Vejam se conseguem construir algo semelhante ao que se vê no applet seguinte.




. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) .




Para baixar esse arquivo, basta dar um clique duplo sobre ele depois de carregado. Para modificar a função que está sendo usada na ilustração, digite no CAMPO DE ENTRADA uma instrução na forma: f(x)=Função[lei da função, início, fim]. Deixarei algumas para que possa apenas copiar e colar (na verdade basta selecionar, arrastar para o CAMPO DE ENTRADA e apertar ENTER).

f(x)=Função[sin(x),-pi/2,pi/2] - para a inversa de seno em $[-\pi/2,\pi/2]$
f(x)=Função[cos(x),0,pi] - para a inversa de cosseno em $[0,\pi]$
f(x)=Função[tan(x),-1.5,1.5] - para a inversa de tangente em $[-\pi/2,\pi/2]$
f(x)=Função[cos(x)/sin(x),0,pi] - para a inversa de cotangente em $[0,\pi]$
f(x)=Função[1/cos(x),0,pi] - para a inversa de secante em $[0,\pi]$
f(x)=Função[1/sin(x),-pi/2,pi/2] - para a inversa de cosecante em $[-\pi/2,\pi/2]$
f(x)=Função[x^2,-5,0] - para a inversa de $y=x^2$, $x&lt;0$ 
f(x)=Função[sqrt(x),0,10] - para a inversa de $y=\sqrt{x}$, $x&gt;0$
f(x)=exp(x) - para a inversa da exponencial
f(x)=ln(x) - para a inversa do logaritmo natural


Agora você pode tentar fazer as suas. Há uma outra forma de gerar o gráfico da função inversa que é refletindo o gráfico de y=f(x) em torno da reta y=x, mas deixaremos essa construção como uma atividade, já que é bem simples.


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Grande abraço
Luís Cláudio LA