O PROBLEMA DOS TRÊS GÊNIOS DA LÂMPADA E A HIPÓTESE DE RIEMANN.
Autor: Edmarcos Martins Jordão | Publicado: 2014-08-04T09:24:00-07:00



O problema consiste no seguinte: Um jovem está andando na rua quando, de repente, encontra um gênio da lâmpada que subitamente fala com ele:



- Amo! Dobro o dinheiro que você tem no bolso se, depois disso, dar-me R$ 20,00.



- Aceito, disse o jovem.



E assim aconteceu, o gênio dobrou o dinheiro que ele tinha no bolso e, em seguida, deu-lhe R$ 20,00.



Andando mais um pouco a frente o jovem encontra outro gênio que o faz a mesma proposta:



- Amo! Dobro o dinheiro que você tem no bolso se, depois disso, dar-me R$ 20,00.



- Aceito, disse o jovem,



E assim aconteceu, o gênio dobrou o dinheiro que ele tinha no bolso e, em seguida, deu-lhe R$ 20,00.



O jovem continuou a sua caminhada quando, mais uma vez, encontra um terceiro gênio que repete a proposta:



- Amo! – Amo! Dobro o dinheiro que você tem no bolso se, depois disso, dar-me R$ 20,00.



- Aceito, disse o jovem sem pensar muito. E assim aconteceu.



Ora, dessa vez não foi bom negócio para o jovem, pois, ao aceitar a proposta, ele verificou que não tinha mais nada no bolso.



Pergunta-se: Quantos Reais o jovem tinha bolso antes de encontrar com o primeiro gênio?







Há outras versões desse problema, mas seu sentido é o mesmo. O curioso é que, a partir de um simples problema desses, que podemos resolver através de equações de primeiro grau, esconde-se um problema de proporções muito maiores do que o se suponha inicialmente.



Para compreender melhor o que estou dizendo, vamos, primeiramente, resolver o problema.







RESOLUÇÃO:



Seja x o valor, em dinheiro, que o jovem tem no bolso, com x &gt; 10.&nbsp;



Então podemos escrever:



Primeiro gênio: (2x - 20)



Segundo gênio: 2(2x - 20) - 20



Terceiro gênio: 2[2(2x - 20) - 20] - 20







Para esclarecer melhor o que está escrito, chame de “a” o valor de 2x- 20, isto é:



&nbsp;a = 2x- 20. Logo:



Primeiro gênio: a



Segundo gênio: 2a - 20



Terceiro gênio: 2(2a - 20) - 20









Como é a partir do terceiro gênio que o valor fica nulo, fazemos:







&nbsp;2(2a - 20) - 20 = 0



4a - 40 - 20 = 0



4a = 60



a = 15







Mas, lembre-se que a = 2x - 20&nbsp;&nbsp;, logo:



&nbsp;2x - 20 = 15



2x = 35



x = 17, 50







Então o valor que o jovem tinha no bolso antes de encontra com o primeiro gênio era R$ 17, 50, ou seja, dezessete reais e cinquenta centavos.



A brincadeira começa a ficar mais interessante quando tentamos generalizar o problema, isto é, para quais valores poderíamos multiplicar o dinheiro e para quantos gênios isso seria necessário para que quando ocorresse o encontro com n gênios, a enésima vez fosse zerar o dinheiro no bolso?



Observe que o gênio sempre propõe o dobro e o garoto sempre o retribui com 20. Se o gênio propusesse com qualquer outro valor e o garoto retribuísse também com qualquer outro valor e se fossem quantos gênios houvesse, como ficaria esse problema?







Veja que antes era:



Para o primeiro gênio temos: 2x - 20



Para o segundo temos: 2(2x - 20) - 20



Para o terceiro temos: 2[2(2x - 20) - 20] - 20







Agora, fica:



Para o primeiro gênio, temos: (ax - b), com a, b&nbsp;∈ IR



Para o segundo, temos: a(ax - b) - b =&gt; a²x - ab - b



Para o terceiro, temos: a[a(ax - b) - b] - b =&gt; a³x - a²b - ab - b







Matematicamente, fazemos:





&nbsp;De uma forma mais elegante, temos:








 


Esta última expressão, para quem não conhece, fazendo b = 1, dá origem a nada mais nada menos que a função Zeta de Riemann, cujo prêmio para a descoberta de uma conjectura que leva seu nome, soma 1 milhão de dólares e já tem mais de um século sem resolução!

O primeiro a brincar com essa fórmula foi o gênio, sem exageros que dizer da “lâmpada”, Leonard Euler. A única coisa que Riemann fez foi estender o problema para os números Complexos, chegando a Famosa Teoria dos Números Primos e os zeros na linha!

Podemos testar a validade do resultado sobre os gênios. Como a brincadeira só vai até o terceiro gênio no valor de 20 reais descontados com o dobro do dinheiro, fazendo a = 2 (dobro do dinheiro), b = 20, que é o valor devolvido pelo garoto, e n = 4 (número de gênios), encontraremos x, que é o valor, em reais. Temos:



&nbsp;Há algo realmente fantástico neste raciocínio. Observe que quanto mais gênios há, isto é, quanto mais parcelas de vezes o acontecido ocorre, o valor anterior é apenas acrescido da metade da diferença dos valores anteriores.

Em outras palavras, o valor anterior era de 17,50 e o posterior era de 18, 75, posso dizer, sem medo de errar, que o próximo será de 19, 375.



Pela tabela a seguir podemos visualizar melhor:


Gênios

Valor

Diferença Entre Valores

Sobrou no Bolso


1°

17,50

0,00

15,00


2°

15,00

12,50

10,00


3°

10

5,00

0,00





Observe o que acontecem com 6 gênios:


Gênios

Valor

Diferença Entre Valores

Sobrou no Bolso




19,8437

0,0781




1°

19,6875

0,1562

19,375


2°

19,375

0,3124

18,75


3°

18,75

0,625

17,50


4°

17,50

1,25

15,00


5°

15,00

2,50

10,00


6°

10

5,00

0,00







Perceba que o valor posterior, subindo para sete gênios, reduz-se na metade do valor anterior. Esta diferença é acrescida ao valor, e à medida que os gênios vão aumentando em quantidade a diferença vai reduzindo cada vez menor, isto é, se aproxima cada vez mais de zero.

Usando limites, temos:



&nbsp;Podemos concluir que o maior valor que o garoto pode ter, em reais, de modo que no último gênio venha a ficar com zero real, é próximo de R$ 20,00. &nbsp;De fato, com este valor, R$ 20,00 ele não vai ficar nunca sem dinheiro no bolso.

Isso quer dizer que o crescimento, nessa taxa, nunca excederá os vinte. De certo, se o valor a ser descontado for&nbsp;b, o limite será o próprio&nbsp;b.



Numa situação mais geral, teríamos uma convergência.



O curioso é a semelhança do problema com a função Zeta e sua importância na luta do homem em desvendar o segredos dos Números Primos. Haja vista um prêmio milionário em questão, a Hipótese de Riemann está há mais de um século sem resolução e dizem os deuses da Matemática que quem o desvendar terá bem mais que riqueza e dinheiro, terá a imortalidade na galeria dos grandes gênios e suas contribuições para a humanidade.



Num outro poste falarei mais sobre a Hipótese de Riemann e seu impacto no mundo moderno.