Matemática Financeira
Autor: Angelo Saulo | Publicado: 2012-03-12T18:47:00-07:00

Matemática Financeira
A  Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas  alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo.  Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a  operação financeira a um Fluxo de Caixa. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; CapitalO  Capital é o valor aplicado através de alguma       operação financeira.  Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor       Presente ou  Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela        tecla PV nas calculadoras financeiras). &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; JurosJuros  representam a remuneração do Capital       empregado em alguma  atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados       segundo dois  regimes: simples ou compostos. &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;
               JUROS                 SIMPLES: o  juro de cada                 intervalo de tempo sempre é calculado  sobre o capital inicial                 emprestado ou aplicado.                 JUROS                 COMPOSTOS:  o juro de cada intervalo de tempo é calculado a                 partir  do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o                  juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e                passa a render juros também.             


&nbsp;&nbsp;&nbsp; O juro é  a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria  das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço  por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a  quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver  disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser  recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco,  que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro  disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a  remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Quando usamos juros simples e juros compostos?
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos.  Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de  crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como  Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc.  Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das  operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de  duplicatas.
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Taxa de juros&nbsp;&nbsp;&nbsp;  A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro  emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da  forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que  se refere:8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).&nbsp;&nbsp;&nbsp;  Outra forma de apresentação da   taxa de juros é a unitária, que é  igual a taxa percentual dividida por 100,   sem o símbolo %:   
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)JUROS SIMPLES

&nbsp;&nbsp;&nbsp; O regime de juros será    simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor  principal.   Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos  juros. Valor      Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou  aplicado,     antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula  temos:




   
       J = P . i . n/100     
 
Onde:



   
       J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos     
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;  
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Exemplo:  Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m.  pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que  pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.  
&nbsp;&nbsp;  Montante = Principal + Juros
&nbsp;&nbsp;  Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )


&nbsp;&nbsp; Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; SOLUÇÃO:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; M = P . ( 1 + (i.n) )
&nbsp;&nbsp;&nbsp; M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42&nbsp;&nbsp;&nbsp; Observe que expressamos a taxa i e o período n,  na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por  360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial  possui 360 dias.


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Exercícios   sobre juros simples:
&nbsp;  
&nbsp;&nbsp;  1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0.13 / 6 = 0.02167
&nbsp;&nbsp;&nbsp; logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195&nbsp;&nbsp;&nbsp; j = 1200 x 0.195 = 234
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.&nbsp;&nbsp;&nbsp; Temos: J = P.i.n
&nbsp;&nbsp;&nbsp; A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?&nbsp;&nbsp;&nbsp; Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
&nbsp;&nbsp;  4  - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão  necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização  simples?


&nbsp;&nbsp;  Objetivo: M = 2.P
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Dados: i = 150/100 = 1,5
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Fórmula: M = P (1 + i.n)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Desenvolvimento:



2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses 

JUROS   COMPOSTOS
&nbsp;&nbsp;&nbsp; O regime de juros  compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil  para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a c
ada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. 


&nbsp;&nbsp;&nbsp; Chamamos de capitalização o   momento em que os juros são incorporados ao principal. 


Após três meses de   capitalização, temos:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1º mês: M =P.(1 + i)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Simplificando, obtemos a fórmula:
&nbsp; 


   
       M = P . (1 +&nbsp;         i)n     
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:


   
       J = M - P     
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Exemplo:
&nbsp;&nbsp;  Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
&nbsp; (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
&nbsp;&nbsp;  Resolução:
&nbsp;&nbsp;  P = R$6.000,00
&nbsp;&nbsp;&nbsp; t = 1 ano = 12 meses
&nbsp;&nbsp;&nbsp; i = 3,5 % a.m. = 0,035
&nbsp;&nbsp;&nbsp; M = ?
&nbsp;&nbsp; 
&nbsp;&nbsp; Usando a fórmula M=P.(1+i)n,   obtemos:
&nbsp;&nbsp;  M&nbsp; =&nbsp; 6000.(1+0,035)12&nbsp; =&nbsp; 6000. (1,035)12
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Fazendo&nbsp; x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:
&nbsp;&nbsp;  log x = log 1,03512&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&gt;&nbsp;&nbsp; log x = 12 log 1,035&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&gt;&nbsp;&nbsp; log x = 0,1788&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&gt;&nbsp;&nbsp; x = 1,509
&nbsp;&nbsp;  Então&nbsp; M = 6000.1,509 = 9054.

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Portanto o montante é R$9.054,00


&nbsp;