Revisão de Matrizes - Parte I
Autor: Felipe Costa Mercadante | Publicado: 2012-03-20T03:50:00-03:00


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Definição e Elementos 

Matriz é um conjunto de elementos organizados em forma de tabela, possuindo um número definido de linhas e colunas. Em linguagem matemática, uma matriz $A_{mxn}$ é aquela que possui $m$ linhas e $n$ colunas. Por exemplo, a matriz $D_{3x2}$ a seguir é uma matriz com 3 linhas e 2 colunas:

$D_{3x2}=\begin{bmatrix}1 &amp; 0\\ -3 &amp; 2\\ 0 &amp; 1\end{bmatrix}$ 

Em uma matriz, cada elemento é indexado pela sua posição, ou seja, qual linha e qual coluna esse
elemento ocupa. Em linguagem matemática, um elemento $a_{ij}$ de $A$ é aquele elemento que ocupa a linha $i$ e a coluna $j$. Por exemplo, na matriz $H$ a seguir, o elemento $h_{13}=2$ ocupa a primeira linha e a terceira coluna:

$H_{2x3}=\begin{bmatrix}-1 &amp; 1 &amp; 2\\ 1 &amp; 0 &amp; -1\end{bmatrix}$ 
Note que a existência de um elemento $n_{22}$ não implica em a matriz $N$ ser $2x2$, mas sim que ela deve ter pelo menos 2 linhas e 2 colunas, podendo ter mais linhas e colunas.

Podemos escrever matrizes genéricas substituindo cada um de seus elementos, que serão definidos em outro momento, por uma letra minúscula, igual à letra maiúscula usada para a matriz, e subíndices iguais à linha e à coluna que ocupa. Assim, a matriz genérica $A_{3x3}$ será representada por:

$A_{3x3}=\begin{bmatrix}a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13}\\ a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23}\\ a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33}\end{bmatrix}$&nbsp;



Classificação

Matriz Linha
Essa classificação é dada a todas as matrizes que, como o próprio nome diz, possuem apenas uma linha, ou seja, $m=1$. Assim, a matriz $E_{1x4}$ abaixo é uma matriz linha:

$E_{1x4}=\begin{bmatrix} 2 &amp; 0 &amp; 1 &amp; -1\end{bmatrix}$

Matriz Coluna
Essa classificação é
 dada a todas as matrizes que, como o próprio nome diz, possuem apenas 
uma coluna, ou seja, $n=1$. Assim, a matriz $U_{3x1}$ abaixo é uma matriz
 linha:

$U_{3x1}=\begin{bmatrix} 17\\ 25\\ -1\end{bmatrix}$

Matriz Quadrada

Uma matriz é dita quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas, ou seja, $m=n$. Para essas matrizes, ao invés de usar a representação $mxn$, é preferível que se utilize apenas um subíndice. Por exemplo, uma matriz $R$ de ordem $4x4$ é representada por $R_{4}$ em vez de $R_{4x4}$. É importante dizer que não está errado usar essa segunda representação, apenas é preferível usar a primeira. A seguir temos uma das possíveis matrizes $R_{4}$:

$R_{4}=\begin{bmatrix}0
 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 0\\ 1&amp; 2 &amp; -4 &amp; -1\\ -2 &amp; 6 &amp; -1 &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1\end{bmatrix}$ 

As matrizes quadradas, e apenas as matrizes quadradas, possuem elementos especiais: a diagonal principal e a diagonal secundária. Se uma matriz quadrada fosse representada por um quadrado, as duas diagonais formariam a diagonal principal e a diagonal secundária. A diagonal principal contém os elementos em que a linha e a coluna possuem o mesmo número, ou seja, $i=j$. Na matriz quadrada genérica $A_{3x3}$ abaixo, os elementos $a_{11}$, $a_{22}$ e $a_{33}$ fazem parte da diagonal principal. A diagonal secundária contém os elementos em que a linha e a coluna possuem números que somados correspondem à ordem da matriz mais uma unidade, ou seja, $i+j=n+1$. Na matriz quadrada genérica $A_{3}$ abaixo, os elementos $a_{13}$, $a_{22}$ e $a_{31}$ fazem parte da diagonal secundária.

&nbsp;$A_{3}=\begin{bmatrix}a_{11}
 &amp; a_{12} &amp; a_{13}\\ a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23}\\ a_{31} 
&amp; a_{32} &amp; a_{33}\end{bmatrix}$

Matriz Simétrica&nbsp;
Apenas matrizes quadradas podem ser simétricas. Quando o valor de cada elemento de uma linha $m$ qualquer e uma coluna $n$ qualquer é igual&nbsp; ao valor do elemento correspondente da linha $n$ e da coluna $m$, a matriz é dita simétrica. Matematicamente, para cada elemento de uma matriz $A$ é válida a relação $a_{ij}=a_{ji}$. Por exemplo, a matriz $T_{3}$ a seguir é simétrica:

$T_{3}=\begin{bmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3\\ 2 &amp; 3 &amp; 4\\ 3 &amp; 4 &amp; 5\end{bmatrix}$ 
Conforme será visto no próximo post, Revisão de Matrizes - Parte II, uma matriz simétrica é sempre igual à sua transposta. No nosso exemplo, $T^{T}=T$.

Matriz Diagonal

Recebem essa classificação as matrizes em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, podendo os elementos da diagonal principal também serem nulos. Como apenas matrizes quadradas possuem diagonal principal, também apenas matrizes quadradas podem ser matrizes diagonais. A matriz $P_{3}$ a seguir é uma matriz diagonal:

$P_{3}=\begin{bmatrix}1 &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; 2 &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; 3\end{bmatrix}$

Note que toda matriz diagonal é também simétrica e, portanto, é igual à sua transposta: $P^{T}=P$


Matriz Identidade
A matriz identidade é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1. Esse tipo de matriz é extremamente importante e surge em diversos contextos, sendo o elemento neutro da multiplicação de matrizes, por exemplo. Por ser um tipo de matriz especial, possui uma representação também especial: $I_{n}$, em que $n$ representa a ordem da matriz identidade. Abaixo estão representadas algumas matrizes identidade:

$I_{2}=\begin{bmatrix}1 &amp; 0\\ 0 &amp; 1\end{bmatrix}$, $I_{3}=\begin{bmatrix}1 &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; 1 &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; 1\end{bmatrix}$

Matriz Nula
Como o nome sugere, matriz nula é aquela em que todos os elementos são nulos. Assim como a matriz identidade, dada a sua importância, a matriz nula também possui uma 
representação especial: $0_{mxn}$, em que $mxn$ representa a ordem da
 matriz nula. Abaixo estão representadas algumas matrizes nulas:

$0_{1x1}=\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}$, $0_{1x2}=\begin{bmatrix}0 &amp; 0\end{bmatrix}$, $0_{3x2}=\begin{bmatrix}0 &amp; 0\\ 0 &amp; 0\\ 0 &amp; 0\end{bmatrix}$

Com isso terminamos a parte de definição e classificação de matrizes. O próximo post, Revisão de Matrizes - Parte II, é sobre operações matriciais. Aguardem...