Modelo de Crescimento de Solow
Autor: Luiz Guilherme Vassallo | Publicado: 2015-09-01T03:05:00-03:00









1.&nbsp;Introdução



O modelo de crescimento de Solow, publicado em 1956 com o título ‘A
Contribution to the Theory of Economic Growth’, é a base da principal vertente
atual dos modelos de crescimento econômico.



Vamos apresentar este modelo em duas versões, que serão denominadas
‘Modelo Básico de Solow’ (MBS) e ‘Modelo com Progresso Tecnológico’ (MPT).



O MBS não considera a existência de progresso tecnológico, o que, em
termos de modelagem, significa&nbsp;não&nbsp;incluir, na função de produção,
uma variável representativa do progresso tecnológico. Já na função de produção
do MPT, esta variável é incluída.



Seguindo o critério de Solow, vamos considerar (tanto no MBS quanto no
MPT) a variável investimento em termos&nbsp;líquidos, o que equivale a
fazer de conta que os bens de capital não se desgastam. Ou seja, todo o
investimento vai resultar em aumento da capacidade produtiva, pois não haverá
necessidade de investimentos destinados a substituir os bens de capital que se
desgastam.



Em termos de modelagem, isto significa&nbsp;não&nbsp;incluir uma
variável para representar a taxa de depreciação anual. Tal critério reduz o
tamanho de algumas das expressões matemáticas (que ainda assim serão grandes),
sem comprometer em nada os aspectos essenciais do modelo.



Como a preocupação de Solow é o mecanismo de crescimento a longo prazo e
não os problemas de recessão e inflação, os dois modelos desconsideram a
possibilidade de desemprego e de desigualdade&nbsp;ex ante&nbsp;entre
poupança e investimento. Com isso, poupança e investimento serão tratados como
sinônimos.&nbsp;



No que se refere a notações, cabe mencionar apenas que, ocasionalmente,
adotaremos a prática usual de representar a derivada de uma variável&nbsp;em
relação ao tempo&nbsp;por meio de&nbsp;um ponto sobre a letra&nbsp;representativa
dessa variável. Por exemplo, ẏ &nbsp;≡ dy/dt.





2.&nbsp;Modelo Básico de Solow (MBS)



2.1&nbsp;Solução para o Produto Total



Este item é designado como ‘solução para o produto total’ porque no
próximo item o modelo será tratado em termos de produto médio por unidade de
trabalho.



A função de produção macroeconômica que adotaremos é a Cobb-Douglas, com
certeza familiar a todos que possam ler este texto com algum proveito. Como no
MBS não há a variável ‘progresso tecnológico’, a Cobb-Douglas aqui é a
seguinte:



(1)&nbsp; Y(t) = KaL(1-a)



Y ≡ produto líquido no ano t

K ≡ quantidade de capital (média no ano t)

L ≡ quantidade de trabalho (média no ano t)

‘a’ é um parâmetro da função [0 &lt; a &lt; 1]

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;

As magnitudes K e L são também funções do tempo, embora isso não tenha
sido explicitado em (1) para não sobrecarregar a fórmula. Ou seja, as variáveis
no lado direito de (1) devem ser entendidas como K(t) e L(t).



O objetivo do modelo é representar a evolução temporal de Y, sendo K e L
funções do tempo. Em outras palavras, encontrar a ‘solução do modelo’ é
representar Y em função apenas de t, dos parâmetros do modelo e dos valores iniciais [isto é, em t=0] supostamente conhecidos de K e L [isto é, K(0) e L(0)].



A quantidade de trabalho (L) será tratada como variável exógena. Sua
taxa geométrica de crescimento será considerada&nbsp;constante&nbsp;e
será designada por&nbsp;n. Assim, partindo-se de L(0) = L0, a
magnitude de L no ano t será dada por:



(2)&nbsp; L(t) = L­0&nbsp;ent&nbsp;&nbsp; [o que
implica L̇/L = n, como é fácil conferir]



Quanto à evolução temporal de K, adotaremos a seguinte função de
acumulação de capital:



(3)&nbsp; dK/dt = sY



O coeficiente ‘s’ é a propensão média&nbsp;líquida&nbsp;a poupar,
suposta constante e 0&lt;s&lt;1. Portanto, sY é a poupança líquida total anual,
a qual, neste modelo, coincide com o investimento líquido total anual. Por isso
(3) representa a acumulação anual de capital.



As equações (1), (2) e (3) consubstanciam o MBS.



O problema deste sistema é a equação diferencial (3). Analisando-a,
constata-se que a magnitude da acumulação anual de capital (dK/dt) depende da
magnitude do produto anual Y, a qual, por sua vez, depende de K, como se vê na
função de produção (1). Surge aí, portanto, uma circularidade, pois Y será
tanto maior quanto maior for a acumulação anual de capital (dK/dt), e esta será
tanto maior quanto maior for Y.



Na verdade, a solução deste problema é exatamente&nbsp;a solução do
MBS, pois, uma vez determinada a trajetória temporal de K, e sendo
conhecida a trajetória temporal de L (que é exógena),&nbsp;a trajetória
temporal de Y poderá ser representada apenas como função da variável t e dos
parâmetros do modelo, que é o objetivo do que está sendo chamado de&nbsp;‘solução
do modelo’.



Para resolver a equação diferencial (3), vamos inserir nela as equações
(1) e (2), de modo que (3) fica assim:



(4)&nbsp; dK/dt = sKa(L0ent)(1-a)



Apesar da aparência hostil, a solução desta equação é simples. Como será
visto logo a seguir, ela pode ser rapidamente transformada em uma equação
diferencial com variáveis separáveis [equação (4')], que pode ser resolvida por
integração direta. Solow apresenta apenas o resultado, mas nós vamos resolvê-la
aqui, já que sua resolução é a própria resolução do modelo.



(4’) K-a&nbsp;dK = sLo(1-a)e(1-a)ntdt



Vamos então integrar (4’) passo a passo, começando pelo lado esquerdo,
que é uma fácil integral de potência.



Integrando o lado esquerdo de (4’) e, do lado direito, colocando os
elementos constantes para fora do sinal de integral, obtemos a seguinte
expressão:



<!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75"
 coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe"
 filled="f" stroked="f">
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 
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 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"
  o:title="eq%2B5"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Simplificando a notação, façamos&nbsp;b = 1 - a. Então (5) fica
assim:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_45"
 o:spid="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" alt="https://3.bp.blogspot.com/-YxxKYvOug6M/VfZVhnVHBxI/AAAAAAAACeU/b87xg5A8L3U/s400/eq%2B5%2527.png"
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 style='width:300pt;height:104.25pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png"
  o:title="eq%2B5%2527"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Para resolver a integral do lado direito de (5’), façamos&nbsp;u =
bnt. Então&nbsp;du/dt = bn&nbsp;e, portanto,&nbsp;dt = du/bn.
Aplicando este resultado na referida integral, tem-se:









<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_44"
 o:spid="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" alt="https://2.bp.blogspot.com/-fsMdNmb-xno/VfZaloPYVjI/AAAAAAAACeo/ADyQOBzHFUc/s640/eq%2B6.png"
 href="http://2.bp.blogspot.com/-fsMdNmb-xno/VfZaloPYVjI/AAAAAAAACeo/ADyQOBzHFUc/s1600/eq+6.png"
 style='width:480pt;height:111pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png"
  o:title="eq%2B6"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->

onde C é a constante de integração.



Inserindo este resultado em (5’) e multiplicando os dois lados por&nbsp;b,
obtemos:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_43"
 o:spid="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" alt="https://2.bp.blogspot.com/-hGFLvN__7QY/VfZdbxsCo8I/AAAAAAAACe0/F2jdOH0Tmro/s400/eq%2B7.png"
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 style='width:300pt;height:131.25pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.png"
  o:title="eq%2B7"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Note-se que, sendo C apenas o símbolo de uma constante indeterminada,
não há necessidade de multiplicá-lo por&nbsp;b.



Supondo conhecermos K(0), façamos t = 0 para determinar C:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_42"
 o:spid="_x0000_i1068" type="#_x0000_t75" alt="https://2.bp.blogspot.com/-PxfJcVpVWfc/VfZhU1XAhoI/AAAAAAAACfA/C_CRKt8iOgE/s400/eq%2B8.png"
 href="http://2.bp.blogspot.com/-PxfJcVpVWfc/VfZhU1XAhoI/AAAAAAAACfA/C_CRKt8iOgE/s1600/eq+8.png"
 style='width:300pt;height:127.5pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image008.png"
  o:title="eq%2B8"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Inserindo (8) em (7) e elevando os dois lados à fração&nbsp;1/b,
chegamos à seguinte trajetória temporal de K, que é exatamente a expressão a
que chega Solow para o modelo sem progresso tecnológico:







<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_64"
 o:spid="_x0000_i1067" type="#_x0000_t75" style='width:333.75pt;height:102.75pt;
 visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image010.png"
  o:title=""/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->



Introduzindo (2) e (9) em (1), e voltando a&nbsp;1 - a = b,
obtemos a trajetória temporal de&nbsp;Y&nbsp;exclusivamente em função
de&nbsp;t&nbsp;e dos parâmetros&nbsp;s,&nbsp;n&nbsp;e&nbsp;a,
que é o objetivo da solução deste modelo.









<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_40"
 o:spid="_x0000_i1066" type="#_x0000_t75" alt="https://4.bp.blogspot.com/-JhmuQygJnMc/VfZo5vSA0PI/AAAAAAAACfY/b0yyXLFf8rA/s640/eq%2B10.png"
 href="http://4.bp.blogspot.com/-JhmuQygJnMc/VfZo5vSA0PI/AAAAAAAACfY/b0yyXLFf8rA/s1600/eq+10.png"
 style='width:480pt;height:90pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image011.png"
  o:title="eq%2B10"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->

Em vez de analisar este resultado, vamos reservar as análises para a
solução do MBS em termos de produto médio por unidade de trabalho, no item a
seguir.



2.2&nbsp;Solução para o Produto por Unidade de Trabalho



Vamos agora construir o MBS em termos de produto médio por unidade de
trabalho, bem como de capital por unidade de trabalho. Esta é uma forma que faz
mais sentido quando se trata de avaliar o principal resultado do crescimento
econômico, que é o aumento da disponibilidade de bens e serviços por habitante.



As novas variáveis são as seguintes:



y = Y/L



k = K/L



Dividindo os dois lados da função de produção (1) por L, é fácil
verificar que ela fica assim:



(11) &nbsp;Y/L = (K/L)a



Reescrevendo (11) com as novas variáveis, obtemos a nova forma da função
de produção do MBS.



(12)&nbsp; y = ka



Vejamos agora como fica a função de acumulação de capital. A forma
original, dada em (3), era seguinte:



(3)&nbsp; dK/dt = sY



Dividindo por K os dois lados de (3), obtemos:



(13) K̇/K = s(Y/K)



onde K̇ ≡ dK/dt.



Transformando k = K/L em logaritmos naturais, obtemos:



(14) ln k = ln K - ln L



Vamos agora diferenciar (14) em relação a t.



(15) d(lnk)/dt = d(lnK)/dt - d(lnL)/dt



Aplicando a regra da cadeia, a equação (15) fica assim:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_39"
 o:spid="_x0000_i1065" type="#_x0000_t75" alt="https://2.bp.blogspot.com/-ATvit_kEoVw/VfZtfCzzs9I/AAAAAAAACfk/dXhRTuC3_Aw/s1600/eq%2B16.png"
 href="http://2.bp.blogspot.com/-ATvit_kEoVw/VfZtfCzzs9I/AAAAAAAACfk/dXhRTuC3_Aw/s1600/eq+16.png"
 style='width:393pt;height:87.75pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image012.png"
  o:title="eq%2B16"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Resolvendo, obtemos:



(17) &nbsp;k̇/k = K̇/K - L̇/L



Ou



(17’)&nbsp; K̇/K = k̇/k + L̇/L



Ou ainda, lembrando que L̇/L = n,



(17’’)&nbsp; K̇/K = k̇/k + n



Inserindo este resultado em (13), obtemos:



(18) k̇/k + n = s(Y/K)



Dividindo por L o numerador e o denominador da fração no lado direito,
obtemos:



(19)&nbsp; k̇/k + n = s(y/k)



Multipliquemos por k os dois lados de (19).



(20) dk/dt + nk = sy



Inserindo em (20) a relação y = ka, chegamos à equação
diferencial fundamental deste formato do MBS (em termos de y = Y/L e k = K/L).



(21) dk/dt + nk = ska

&nbsp;A solução de uma equação diferencial desta forma (conhecida como equação de Bernoulli), e que é a própria solução do MBS em termos de produto por unidade de trabalho (y) e de capital por unidade de trabalho (k), já não é tão simples como a solução de (4), em
termos de produto total (Y) e de capital total (K). Ainda assim, pode ser
resolvida sem maiores dificuldades, usando uma técnica de substituição de
variáveis.



Preparando (21) para esta técnica, multipliquemos seus dois lados por k-a.



(22) k-a(dk/dt) + nk1-a&nbsp;= s



Agora vamos proceder à substituição de variáveis, fazendo z ≡ k1-a.
Diferenciando esta expressão em relação a t, obtemos:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_38"
 o:spid="_x0000_i1064" type="#_x0000_t75" alt="https://1.bp.blogspot.com/-FihJKED-LiY/VfZzh0kI88I/AAAAAAAACf0/aTpIsuCyOu4/s1600/eq%2B23.png"
 href="http://1.bp.blogspot.com/-FihJKED-LiY/VfZzh0kI88I/AAAAAAAACf0/aTpIsuCyOu4/s1600/eq+23.png"
 style='width:328.5pt;height:90.75pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image013.png"
  o:title="eq%2B23"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->









Ou, rearranjando,







<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_37"
 o:spid="_x0000_i1063" type="#_x0000_t75" alt="https://2.bp.blogspot.com/-9vryg6s6JHs/VfZ8WWfOwMI/AAAAAAAACgE/MZDLpaaa3U4/s400/eq%2B23%2527.png"
 href="http://2.bp.blogspot.com/-9vryg6s6JHs/VfZ8WWfOwMI/AAAAAAAACgE/MZDLpaaa3U4/s1600/eq+23'.png"
 style='width:300pt;height:105pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image014.png"
  o:title="eq%2B23%2527"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->


Inserindo (23’) em (22), e lembrando que k1-a&nbsp;≡ z, chegamos a:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_36"
 o:spid="_x0000_i1062" type="#_x0000_t75" alt="https://4.bp.blogspot.com/-nVlpnOtdOKA/VfZ9-Zt81hI/AAAAAAAACgQ/CzN60VMRq_Y/s400/eq%2B24.png"
 href="http://4.bp.blogspot.com/-nVlpnOtdOKA/VfZ9-Zt81hI/AAAAAAAACgQ/CzN60VMRq_Y/s1600/eq+24.png"
 style='width:300pt;height:123pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image016.png"
  o:title="eq%2B24"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Ou, multiplicando os dois lados por&nbsp;1 - a:



(24’) dz/dt + (1 - a)nz = (1 - a)s



Esta é uma equação diferencial linear de 1ª ordem, com coeficiente
[(1 - a)n] e termo [(1 - a)s] constantes.



A solução desta equação é dada pela soma de dois termos, denominados
‘função complementar’ e ‘solução particular’.



A função complementar, neste caso, é a solução da seguinte equação,
gerada fazendo o lado esquerdo de (24’) igual a zero:



(25)&nbsp; dz/dt + (1 - a)nz = 0



Vamos prepará-la para a solução.



(25’) dz/dt = - (1- a)nz



(25’’) (1/z)dz/dt = -(1- a)n



(25’’’) (1/z)dz = -(1 - a)ndt



Observando que o coeficiente de dt, no lado direito de (25’’’), é uma
constante, a solução de (25’’’) é imediata, por integração direta dos dois lados.



(26)&nbsp; ln(z) = -(1 - a)nt + C



Portanto



(27) z(t) = e-(1-a)nteC



Sendo ec&nbsp;apenas o símbolo de uma constante
indeterminada, podemos substituí-lo por C, de modo que (27) fica assim:



(27’)&nbsp; z(t) = Ce-(1-a)nt



Vamos agora buscar a solução particular de (24’), que consiste em
qualquer solução desta equação. Observando-se (24’), fica claro que a solução
particular mais simples é z = constante, o que implica&nbsp; dz/dt = 0 e que nos leva à seguinte solução
particular:



(28)&nbsp; z = s/n



Fazendo a soma (27’) + (28), chegamos à seguinte solução geral de (24’):



(29)&nbsp; z(t) = Ce-(1-a)nt&nbsp;+ s/n



Para passarmos da solução geral para a solução definida, precisamos
determinar C, o que faremos supondo que conhecemos z(0). Assim, fazendo t = 0
em (29), obtemos:



(30)&nbsp; z(0) = C + s/n



Donde



(30’)&nbsp; C = Z(0) - s/n



Inserindo em (29) esta expressão de C, obtemos a solução definida de
(24’).



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_35"
 o:spid="_x0000_i1061" type="#_x0000_t75" alt="https://1.bp.blogspot.com/-5VdOHFn6G0s/VfcOUzlANuI/AAAAAAAACnE/x490D9Q-MYo/s640/eq%2B31.png"
 href="http://1.bp.blogspot.com/-5VdOHFn6G0s/VfcOUzlANuI/AAAAAAAACnE/x490D9Q-MYo/s1600/eq+31.png"
 style='width:480pt;height:104.25pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image018.png"
  o:title="eq%2B31"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







[O teste da validade desta solução é apresentado em anexo, no final
deste texto.]



Agora precisamos voltar à variável&nbsp;k. Dado que z = k1-a,
tem-se que k = z1/(1-a). Fazendo essa substituição em (31), obtemos
a solução definida na variável k.







<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_15"
 o:spid="_x0000_i1060" type="#_x0000_t75" style='width:369.75pt;height:81.75pt;
 visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png"
  o:title=""/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->



A análise mais importante a fazer em relação a (32) consiste em observar
que, quando&nbsp;t&nbsp;tende a infinito, o primeiro termo dentro dos
colchetes tende a zero, de modo que k(t) tende a (s/n)1/(1-a), que é
um valor constante.



Em outras palavras, a relação K/L (simbolizada por k) possui um limite
finito de crescimento no modelo sem progresso tecnológico. E, sendo Y/L = (K/L)a,
resulta que a relação Y/L (simbolizada por y) também possui um limite finito de
crescimento no modelo sem progresso tecnológico.



Esta conclusão é intuitiva: sem progresso tecnológico, o aumento da
quantidade de capital por trabalhador estará submetido à lei dos rendimentos
decrescentes, de modo que o produto marginal do capital tenderá a zero. Ou seja, o produto por
trabalhador em uma economia sem progresso tecnológico só poderá crescer até que
este limite finito seja alcançado.



Antes deste limite, porém, o ritmo de crescimento do produto per capita
pode até ser acelerado, o que explica o fato de que alguns países
tecnologicamente muito atrasados cresçam aceleradamente durante algum tempo.



Já para os países tecnologicamente maduros, o ritmo de crescimento do
produto per capita depende essencialmente do ritmo do desenvolvimento tecnológico.




O fato de que o MBS está submetido à lei dos rendimentos decrescentes
decorre da forma da função de produção em termos de produto médio por
trabalhador, qual seja:


&nbsp;y = ka



Diferenciando y em relação a k e lembrando que 0&lt;a&lt;1, obtemos:



dy/dk = aka-1&nbsp;= a/k1-a.



Portanto, dy/dk (produto marginal do capital por unidade de trabalho)
diminui à medida que k aumenta, tendendo a zero quando k tende a infinito.





3.&nbsp;Modelo com Progresso Tecnológico (MPT)



3.1&nbsp;Solução para o Produto Total



Vamos seguir o mesmo roteiro que seguimos no MBS.



A função de produção macroeconômica que adotaremos é ainda a
Cobb-Douglas, só que agora com uma variável referente ao progresso tecnológico.
Esta variável vai ser representada pela letra&nbsp;A.



(33)&nbsp; Y(t) = AKaL(1-a)



Tal como as variáveis K e L, a variável A também é considerada função do
tempo, de modo que na função de produção acima ela deve ser entendida como
A(t).



Além disso, tal como a variável L, a variável A também é tratada por
Solow como exógena; e sua taxa geométrica de crescimento será considerada&nbsp;constante&nbsp;e
será designada por&nbsp;g. Todavia, considerando a dificuldade para
escolher um critério de medição de A, vamos seguir Solow e considerar A(0) = 1.
Portanto,



(34)&nbsp; A(t) = egt



Mantendo os critérios já adotados no MBS, podemos reescrever a função de
produção do MPT da seguinte forma:



(35)&nbsp; Y(t) = egtKaL01-ae(1-a)nt



A função de acumulação de capital passa a ser a seguinte:



(36)&nbsp; dK/dt = sY = segtKaL01-ae(1-a)nt



Podemos reescrever (36) da seguinte forma:



(36’)&nbsp; dK/dt = sKaL01-ae[g+(1-a)n]t



Também aqui, temos uma equação diferencial que pode ser colocada sob a
forma de variáveis separáveis. Para isto, basta multiplicar seus dois lados por
K-adt.



(36’’)&nbsp; K-adK = sL01-ae[g+(1-a)n]tdt



Procedendo à integração passo a passo, comecemos integrando o lado
esquerdo (uma fácil integral de potência) e, no lado direito, colocando as
constantes para fora do sinal de integração.



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_33"
 o:spid="_x0000_i1059" type="#_x0000_t75" alt="https://4.bp.blogspot.com/-iBx8XEGShJ8/VfaCnuB82fI/AAAAAAAACgc/NalUp0EyuKk/s1600/eq%2B37.png"
 href="http://4.bp.blogspot.com/-iBx8XEGShJ8/VfaCnuB82fI/AAAAAAAACgc/NalUp0EyuKk/s1600/eq+37.png"
 style='width:346.5pt;height:110.25pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
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 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image021.png"
  o:title="eq%2B37"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->








Mais uma vez, para simplificar a notação, façamos&nbsp;b = 1 - a.
Então (37) fica assim:







<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_32"
 o:spid="_x0000_i1058" type="#_x0000_t75" alt="https://4.bp.blogspot.com/-x6pnkteF6tU/VfaEZB6Ty6I/AAAAAAAACgo/x39Cws8K9yQ/s400/eq%2B37%2527.png"
 href="http://4.bp.blogspot.com/-x6pnkteF6tU/VfaEZB6Ty6I/AAAAAAAACgo/x39Cws8K9yQ/s1600/eq+37'.png"
 style='width:300pt;height:108pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
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 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image022.png"
  o:title="eq%2B37%2527"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->


Para resolver a integral no lado direito, façamos u = (g + bn)t, de modo que
du/dt = g + bn e, portanto, dt = du/(g + bn). Substituindo, em (37’),&nbsp;dt&nbsp;por
esta expressão, ficamos com a seguinte equação (depois também de multiplicar os
dois lados por&nbsp;b):












<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_31"
 o:spid="_x0000_i1057" type="#_x0000_t75" alt="https://2.bp.blogspot.com/-O1oKAKjxlGM/VfaGW6O9FUI/AAAAAAAACg0/IiTTnZNBLQU/s400/eq%2B38.png"
 href="http://2.bp.blogspot.com/-O1oKAKjxlGM/VfaGW6O9FUI/AAAAAAAACg0/IiTTnZNBLQU/s1600/eq+38.png"
 style='width:300pt;height:144.75pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image024.png"
  o:title="eq%2B38"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_30"
 o:spid="_x0000_i1056" type="#_x0000_t75" alt="https://1.bp.blogspot.com/-hZcID3snkgo/VfcFRVZujBI/AAAAAAAACmI/7naw7SbzD6U/s400/eq%2B39.png"
 href="http://1.bp.blogspot.com/-hZcID3snkgo/VfcFRVZujBI/AAAAAAAACmI/7naw7SbzD6U/s1600/eq+39.png"
 style='width:300pt;height:111pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png"
  o:title="eq%2B39"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->





Inserindo este resultado em (38) e ao mesmo tempo substituindo&nbsp;u&nbsp;por&nbsp;(g+bn)t,
obtemos:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_29"
 o:spid="_x0000_i1055" type="#_x0000_t75" alt="https://3.bp.blogspot.com/-8hmUFnv_1qY/VfaJ9yaB1OI/AAAAAAAAChA/-hB32xDsOig/s400/eq%2B40.png"
 href="http://3.bp.blogspot.com/-8hmUFnv_1qY/VfaJ9yaB1OI/AAAAAAAAChA/-hB32xDsOig/s1600/eq+40.png"
 style='width:300pt;height:108.75pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image028.png"
  o:title="eq%2B40"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Fazendo t = 0 e supondo que conhecemos K(0), tem-se:







<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_28"
 o:spid="_x0000_i1054" type="#_x0000_t75" alt="https://2.bp.blogspot.com/-2GTpHH5tobU/VfaKLMVTg8I/AAAAAAAAChI/mRI33gUe17w/s400/eq%2B41.png"
 href="http://2.bp.blogspot.com/-2GTpHH5tobU/VfaKLMVTg8I/AAAAAAAAChI/mRI33gUe17w/s1600/eq+41.png"
 style='width:300pt;height:109.5pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png"
  o:title="eq%2B41"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->



Inserindo (41) em (40) e extraindo a raiz b dos dois lados da expressão
resultante, obtemos a trajetória temporal de K(t) a que chega Solow.







<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_18"
 o:spid="_x0000_i1053" type="#_x0000_t75" style='width:425.25pt;height:111pt;
 visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image031.png"
  o:title=""/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->



Mais uma vez, para obter a trajetória de Y(t), basta inserir (42) na
função de produção (35) [Y(t) = egtKaL01-ae(1-a)nt].
Mas não faremos isto, porque a expressão resultante é enorme e o benefício é
mínimo. O melhor é ir logo para o modelo em termos de produto por unidade de trabalho,
tal como fizemos no MBS.



3.2&nbsp;Solução para o Produto por Unidade de Trabalho



Vamos agora construir o MPT em termos de produto médio por unidade de
trabalho, bem como de capital por unidade de trabalho, tal como fizemos no MBS.



Recapitulando, as novas variáveis são as seguintes:



y = Y/L



k = K/L



Dividindo por L os dois lados de (33)&nbsp; [Y(t) = AKaL(1-a)],
a função de produção fica assim:



(43)&nbsp; y = Aka



Dado que A(t) = egt, vamos escrever (43) da seguinte forma:



(43’) y = kaegt



A sequência de passos agora é a mesma que do MBS.



A forma geral da função de acumulação de capital não se altera.



(44)&nbsp; dK/dt = sY



Dividindo por K os dois lados de (44), obtemos:



(45) K̇/K = s(Y/K)



onde K̇ ≡ dK/dt.



Transformando k = K/L em logaritmos naturais, obtemos:



(46) ln k = ln K - ln L



Vamos agora diferenciar (46) em relação a t.



(47) d(lnk)/dt = d(lnK)/dt - d(lnL)/dt



Aplicando a regra da cadeia, a equação (47) fica assim:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_26"
 o:spid="_x0000_i1052" type="#_x0000_t75" alt="https://3.bp.blogspot.com/-_ZMAOifeN0M/VfaZ_u_t0gI/AAAAAAAAChk/JZoeOtZ1e58/s1600/eq%2B48.png"
 href="http://3.bp.blogspot.com/-_ZMAOifeN0M/VfaZ_u_t0gI/AAAAAAAAChk/JZoeOtZ1e58/s1600/eq+48.png"
 style='width:390pt;height:104.25pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image032.png"
  o:title="eq%2B48"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Resolvendo, obtemos:



(49)&nbsp; k̇/k = K̇/K - L̇/L



Ou



(49’)&nbsp; K̇/K = k̇/k + L̇/L



Ou ainda, lembrando que L̇/L = n,



(49’’)&nbsp; K̇/K = k̇/k + n



Inserindo este resultado em (45), obtemos:



(50) k̇/k + n = s(Y/K)



Dividindo por L o numerador e o denominador da fração no lado direito,
obtemos:



(50’)&nbsp; k̇/k + n = s(y/k)



Multipliquemos por k os dois lados de (50).



(51) dk/dt + nk = sy



Inserindo em (51) a relação y = kaegt, chegamos à
equação diferencial fundamental deste formato do MPT.



(52) dk/dt + nk = skaegt



Para a solução desta equação diferencial, que é a própria solução do MPT
no presente formato, começaremos adotando a nossa já conhecida técnica de
substituição de variáveis.



Preparando (52) para a substituição, vamos multiplicar seus dois lados
por k-a.



(53)&nbsp; k-a(dk/dt) + nk1-a&nbsp;= segt



Vamos então proceder à substituição de variáveis, fazendo z ≡ k1-a.
Diferenciando esta expressão em relação a t, obtemos:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_25"
 o:spid="_x0000_i1051" type="#_x0000_t75" alt="https://2.bp.blogspot.com/-YSY1dMYfFf4/Vfabx30GeUI/AAAAAAAAChw/Lo5sM55ktyA/s1600/eq%2B54.png"
 href="http://2.bp.blogspot.com/-YSY1dMYfFf4/Vfabx30GeUI/AAAAAAAAChw/Lo5sM55ktyA/s1600/eq+54.png"
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 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image033.png"
  o:title="eq%2B54"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Ou, rearranjando,



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_24"
 o:spid="_x0000_i1050" type="#_x0000_t75" alt="https://1.bp.blogspot.com/-XeihVQOum1k/VfadFdTz8BI/AAAAAAAACh8/8Z1L18fx_Nc/s400/eq%2B54%2527.png"
 href="http://1.bp.blogspot.com/-XeihVQOum1k/VfadFdTz8BI/AAAAAAAACh8/8Z1L18fx_Nc/s1600/eq+54'.png"
 style='width:300pt;height:96.75pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
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 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image034.png"
  o:title="eq%2B54%2527"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Inserindo (54’) em (53), e lembrando que k1-a&nbsp;≡ z,
chegamos a:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_23"
 o:spid="_x0000_i1049" type="#_x0000_t75" alt="https://3.bp.blogspot.com/-XC9RLgD_aEY/VfaefEJNsJI/AAAAAAAACiI/vEvObOShhv4/s400/eq%2B55.png"
 href="http://3.bp.blogspot.com/-XC9RLgD_aEY/VfaefEJNsJI/AAAAAAAACiI/vEvObOShhv4/s1600/eq+55.png"
 style='width:300pt;height:104.25pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image036.png"
  o:title="eq%2B55"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Ou, multiplicando os dois lados por&nbsp;1 - a:



(55’) dz/dt + (1 - a)nz = (1 - a)segt



Esta é uma equação diferencial linear de 1ª ordem, com coeficiente constante
[(1 - a)n] e termo&nbsp;variável&nbsp;[(1 - a)segt].



Este tipo de equação diferencial (com coeficiente constante e termo
variável) pode, em alguns casos, ser resolvido pelo método dos coeficientes indeterminados. Como a equação (55’) é um
destes casos, vamos resolvê-la por este método. 



Preparando a solução, vamos fazer b = 1 - a (apenas para simplificar a
notação) e vamos colocar (55’) na seguinte forma:



(56)&nbsp; dz/dt + bnz = bsegt



A solução desta equação, como sempre, é constituída pela soma da função complementar com a solução particular.



A dificuldade aqui é achar a solução particular, em virtude de o termo [expressão do lado direito de
(56)] ser função de t. Já a função
complementar pode ser achada sem dificuldade, pois o coeficiente (que é bn) é constante.



Comecemos pela função
complementar, que é a solução da equação
diferencial reduzida, qual seja,



&nbsp;(57)&nbsp; dz/dt + bnz = 0



Ou, dividindo tudo por z e rearrumando, tem-se:



(57’) dz/z = (-bn)dt



Integrando os dois lados, obtemos:



(58) lnz = -bnt + C



Portanto, a função complementar é a seguinte:



(59) z(t) = e-bnteC



Ou, lembrando que eC é uma constante indefinida, tem-se:



(59’) z(t) = Ce-bnt 



Determinemos agora a solução
particular, que é qualquer solução de (56), a equação diferencial completa.



A aplicação do método dos coeficientes indeterminados é possível aqui
porque diferenciações sucessivas do termo
(bsegt) geram sempre o mesmo tipo de expressão: uma constante multiplicando egt.



Por exemplo:



d(bsegt)/dt = bsgegt&nbsp;; d2(bsegt)/dt2
= bsg2egt&nbsp;; dn(bsegt)/dtn
= bsgnegt



Tenha-se presente que bsgn é uma constante.



A solução particular de (56) é



(60) z(t) = Begt



onde B é o coeficiente a ser determinado.



Para determinar B, é melhor escrever (56) da seguinte forma:



(61) z’(t) + bnz(t) = bsegt



A partir de (60), obtemos:



(62) z’(t) = Bgegt



Aplicando (60) e (62) em (61), obtemos:



(63) Bgegt + bnBegt = bsegt 



Ou



(63’) B(g+bn)egt = bsegt



Chega-se, então, ao seguinte valor de B:







<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_21"
 o:spid="_x0000_i1048" type="#_x0000_t75" style='width:185.25pt;height:78.75pt;
 visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image038.png"
  o:title=""/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->

Inserindo este valor de B em (60), obtemos a solução particular que
procuramos:







<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_34"
 o:spid="_x0000_i1047" type="#_x0000_t75" style='width:224.25pt;height:89.25pt;
 visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image039.png"
  o:title=""/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->



Juntando a função complementar (59’) com a solução particular (65),
obtemos a seguinte solução geral de (56):



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_48"
 o:spid="_x0000_i1046" type="#_x0000_t75" style='width:309.75pt;height:105pt;
 visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image040.png"
  o:title=""/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Supondo que conhecemos z(0), façamos t=0 em (66), de modo a determinar
C:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_51"
 o:spid="_x0000_i1045" type="#_x0000_t75" style='width:246pt;height:93.75pt;
 visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image041.png"
  o:title=""/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->





Portanto,







<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_54"
 o:spid="_x0000_i1044" type="#_x0000_t75" style='width:249pt;height:97.5pt;
 visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image042.png"
  o:title=""/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->

Aplicando este valor de C na solução geral (66), obtemos a solução
definida de (56), qual seja:







<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_16"
 o:spid="_x0000_i1043" type="#_x0000_t75" style='width:425.25pt;height:88.5pt;
 visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image043.png"
  o:title=""/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->



[O teste da validade desta
solução é apresentado em anexo, no final deste texto.]



Fazendo&nbsp;z = k1-a&nbsp;= kb, obtemos a
seguinte solução definida na variável&nbsp;k:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_20"
 o:spid="_x0000_i1042" type="#_x0000_t75" style='width:425.25pt;height:106.5pt;
 visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image044.png"
  o:title=""/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->





Quando t tende a infinito em (69), o primeiro termo dentro dos colchetes tende a zero, mas o segundo tende
a infinito. Isto quer dizer que,&nbsp;no modelo com progresso tecnológico, a
relação K/L (=k) pode crescer indefinidamente&nbsp;(ao contrário do que
acontece no modelo sem progresso tecnológico). &nbsp;Com isso, a relação Y/L (=y) também pode
crescer indefinidamente.





ANEXO:&nbsp;Teste de validade das soluções dos modelos em termos de
produto por unidade de trabalho&nbsp;(As soluções em termos de produto total não serão testadas porque são as mesmas do texto de Solow)



A validade da solução de uma equação diferencial deve ser testada em
dois aspectos: (1) sua diferenciação deve ser compatível com a equação
diferencial original e (2) a solução deve satisfazer a condição inicial. Estes
testes são apresentados a seguir.



A.1&nbsp;Modelo Básico de Solow (MBS)



Equação diferencial original:



(24’) dz/dt + (1 - a)nz = (1 - a)s



A solução obtida foi a seguinte:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_13"
 o:spid="_x0000_i1037" type="#_x0000_t75" alt="https://1.bp.blogspot.com/-5VdOHFn6G0s/VfcOUzlANuI/AAAAAAAACnI/x5GZdErIYIs/s640/eq%2B31.png"
 href="http://1.bp.blogspot.com/-5VdOHFn6G0s/VfcOUzlANuI/AAAAAAAACnI/x5GZdErIYIs/s1600/eq+31.png"
 style='width:480pt;height:105pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image018.png"
  o:title="eq%2B31"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







Diferenciando (31), obtemos:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_12"
 o:spid="_x0000_i1036" type="#_x0000_t75" alt="https://4.bp.blogspot.com/-szryHHggA7s/VfcQVXIuWtI/AAAAAAAACnQ/Geb2CJWJrM0/s640/equ%2Ba11.png"
 href="http://4.bp.blogspot.com/-szryHHggA7s/VfcQVXIuWtI/AAAAAAAACnQ/Geb2CJWJrM0/s1600/equ+a11.png"
 style='width:480pt;height:105pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image051.png"
  o:title="equ%2Ba11"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->






Observando-se (31), vê-se que:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_11"
 o:spid="_x0000_i1035" type="#_x0000_t75" alt="https://3.bp.blogspot.com/-RNHLpKlwSPs/VfcRzkVOSCI/AAAAAAAACnc/x_dwFdTwpHo/s640/equ%2Ba12.png"
 href="http://3.bp.blogspot.com/-RNHLpKlwSPs/VfcRzkVOSCI/AAAAAAAACnc/x_dwFdTwpHo/s1600/equ+a12.png"
 style='width:480pt;height:114pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image053.png"
  o:title="equ%2Ba12"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->






Inserindo-se este resultado em (a.1.1), obtém-se:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_10"
 o:spid="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75" alt="https://4.bp.blogspot.com/-v-6kDymRBUE/VfcTF_BZueI/AAAAAAAACno/hiO0bNfyrYU/s640/equ%2Ba13.png"
 href="http://4.bp.blogspot.com/-v-6kDymRBUE/VfcTF_BZueI/AAAAAAAACno/hiO0bNfyrYU/s1600/equ+a13.png"
 style='width:480pt;height:114pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image055.png"
  o:title="equ%2Ba13"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->





&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

É fácil ver que (a.1.3) pode ser reescrita exatamente como a equação
diferencial original (24').



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_9"
 o:spid="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" alt="https://1.bp.blogspot.com/-zUwL28MxZAM/VfcURrG2E2I/AAAAAAAACn0/qfm-ba8FHRw/s640/equ%2Ba13%2527.png"
 href="http://1.bp.blogspot.com/-zUwL28MxZAM/VfcURrG2E2I/AAAAAAAACn0/qfm-ba8FHRw/s1600/equ+a13'.png"
 style='width:480pt;height:105pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image057.png"
  o:title="equ%2Ba13%2527"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->





Portanto, a solução (31) é compatível com a equação diferencial
original.



Agora vamos ver ser se (31) satisfaz a condição inicial. Para isso,
vamos fazer, em (31), a variável&nbsp;t&nbsp;tender a zero.



É fácil ver que, quando t tende a zero, (31) fica assim:





<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_8"
 o:spid="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" alt="https://1.bp.blogspot.com/-ZPlpFMqlDZA/VfcVWhkVN0I/AAAAAAAACoA/G23BdugIe80/s640/equ%2Ba14.png"
 href="http://1.bp.blogspot.com/-ZPlpFMqlDZA/VfcVWhkVN0I/AAAAAAAACoA/G23BdugIe80/s1600/equ+a14.png"
 style='width:480pt;height:129pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image059.png"
  o:title="equ%2Ba14"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->Portanto, (31) também satisfaz a condição inicial.



Resumindo, (31) é realmente a solução da equação diferencial (24´).



A.2&nbsp;Modelo com Progresso Tecnológico (MPT)



A equação diferencial original, fazendo b = 1 - a, é a seguinte:



(55’) dz/dt + bnz = bsegt



A solução obtida foi a seguinte:







<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_55"
 o:spid="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" style='width:425.25pt;height:88.5pt;
 visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image043.png"
  o:title=""/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->

&nbsp;Diferenciando (68), obtemos:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_6"
 o:spid="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" alt="https://4.bp.blogspot.com/-4YAW-FYpBdk/VfavnUBX0hI/AAAAAAAACjg/aoTQe1ITjJ4/s640/equ%2Ba21.png"
 href="http://4.bp.blogspot.com/-4YAW-FYpBdk/VfavnUBX0hI/AAAAAAAACjg/aoTQe1ITjJ4/s1600/equ+a21.png"
 style='width:480pt;height:109.5pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image061.png"
  o:title="equ%2Ba21"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->





Observando-se (68), vê-se que:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_5"
 o:spid="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" alt="https://3.bp.blogspot.com/-L7FD8Ya1MO8/Vfa37Rca8gI/AAAAAAAACjw/ofC6pNjTQ0c/s1600/equ%2Ba22.png"
 href="http://3.bp.blogspot.com/-L7FD8Ya1MO8/Vfa37Rca8gI/AAAAAAAACjw/ofC6pNjTQ0c/s1600/equ+a22.png"
 style='width:448.5pt;height:93pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image062.png"
  o:title="equ%2Ba22"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->





Inserindo este resultado em (a.2.1), obtém-se:





<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_4"
 o:spid="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" alt="https://1.bp.blogspot.com/-eUUsqfEK16o/Vfa62Kdn1PI/AAAAAAAACj8/Od1ZkdiglbQ/s1600/equ%2Ba23.png"
 href="http://1.bp.blogspot.com/-eUUsqfEK16o/Vfa62Kdn1PI/AAAAAAAACj8/Od1ZkdiglbQ/s1600/equ+a23.png"
 style='width:487.5pt;height:107.25pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image063.png"
  o:title="equ%2Ba23"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp;

Reescrevendo (a.2.3), vem:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_3"
 o:spid="_x0000_i1027" type="#_x0000_t75" alt="https://4.bp.blogspot.com/-AnSvmCJVERk/Vfa9gOxGCkI/AAAAAAAACkI/5TabeSGI6Fg/s1600/equ%2Ba23%2527.png"
 href="http://4.bp.blogspot.com/-AnSvmCJVERk/Vfa9gOxGCkI/AAAAAAAACkI/5TabeSGI6Fg/s1600/equ+a23'.png"
 style='width:494.25pt;height:99.75pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image064.png"
  o:title="equ%2Ba23%2527"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->







<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_2"
 o:spid="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75" alt="https://4.bp.blogspot.com/-nFXGTB-I-Gw/Vfa_YvlnEpI/AAAAAAAACkU/XtkiCSSdh1c/s1600/equ%2Ba23%2527%2527.png"
 href="http://4.bp.blogspot.com/-nFXGTB-I-Gw/Vfa_YvlnEpI/AAAAAAAACkU/XtkiCSSdh1c/s1600/equ+a23''.png"
 style='width:413.25pt;height:104.25pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image065.png"
  o:title="equ%2Ba23%2527%2527"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->





(a.2.3’’’) dz/dt = -bnz + bs egt



É fácil ver que (a.2.3’’’) pode ser reescrita exatamente como a equação
diferencial original (55´).



(a.2.3iv) dz/dt + bnz = bsegt



Portanto, a solução (68) é compatível com a equação diferencial
original.



Agora vamos ver ser se (68) satisfaz a condição inicial. Para isso,
vamos fazer, em (68), a variável&nbsp;t&nbsp;tender a zero.



É fácil ver que, quando t tende a zero, (68) fica assim:



<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_1"
 o:spid="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" alt="https://1.bp.blogspot.com/-uRexgc7R0wg/VfbBx32t8eI/AAAAAAAACkg/sIzKmeJnEmE/s1600/equ%2Ba24.png"
 href="http://1.bp.blogspot.com/-uRexgc7R0wg/VfbBx32t8eI/AAAAAAAACkg/sIzKmeJnEmE/s1600/equ+a24.png"
 style='width:390.75pt;height:84pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'
 o:button="t">
 
 <v:imagedata src="file:///C:\Users\LGVASS~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image066.png"
  o:title="equ%2Ba24"/>
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->





Portanto, (68) também satisfaz a condição inicial.



Resumindo, (68) é realmente a solução da equação diferencial (55´).