Matrizes e Determinantes II
Autor: Mathematikis | Publicado: 2010-04-08T18:01:00-03:00


1 - Definições:
1.1 - Chama-se&nbsp;Menor Complementar&nbsp;( D&nbsp;ij) de um elemento aij&nbsp;de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir :



Podemos escrever:
D23&nbsp;= menor complementar do elemento a23&nbsp;= 9 da matriz A . Pela definição, D23será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13,&nbsp;D21, D22, D31, D32&nbsp;e D33. Faça os cálculos como exercício!


1.2 - Cofator&nbsp;de um elemento aij&nbsp;de uma matriz : cof ( aij&nbsp;) = (-1 )&nbsp;i+j&nbsp;. Dij&nbsp;.
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23&nbsp;= 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a:
cof(a23) = (-1)2+3&nbsp;. D23&nbsp;= (-1)5&nbsp;. 10 = - 10.
2 - Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.
Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.
Pierre Simon&nbsp;Laplace&nbsp;- (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês.
3 - Cálculo da inversa de uma matriz.
a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1&nbsp;, tal que X . X-1&nbsp;= X-1&nbsp;. X = In&nbsp;, onde In&nbsp;é a matriz identidade de ordem n.
b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator.
Símbolo:&nbsp;cof A&nbsp;.
c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz:



Onde: A-1&nbsp;= matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
(cof A)T&nbsp;= matriz transposta da matriz dos cofatores de A .

Exercícios propostos1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a:
*a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -4
2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz:



Resp: 15
3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i&nbsp;³&nbsp;j e aij = i + j se i&nbsp;&lt;&nbsp;j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária.
Resp: 12
4 - As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A.
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
5 - Dadas as matrizes A = (aij)3x4&nbsp;e B = (bij)4x1&nbsp;tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento
c12&nbsp;da matriz C = A.B é:
a)12
b) 11
c) 10
d) 9
*e) inexistente