Aplicação de numeros complexos 3ª parte
Autor: Panda | Publicado: 2012-02-13T16:52:00-08:00

Exercícios Resolvidos: 
1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro. Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3. 
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 . Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável 
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64. 
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64. 
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 . Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável 
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100. Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.&nbsp;
Exercicios&nbsp;
1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180 
2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , 
calcule Im(z).w + Im(w).z . 
3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z +  = 12 + 6i é: 
4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser: 
5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é: 
6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é: 
7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
Resp: 3
Clique aqui para ver a solução. 
8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240
Resp: 1+2i 
9)  Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi ,  sabendo-se que z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro ,  pede-se calcular o valor de b2 - 2a. 
Resp: 50 
10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.
Resp: 32i 
11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0.  
12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:
a)-3i 
b)1-i 
c) 5/2 + (5/2)i 
d) 5/2 - (3/2)i 
e) ½ - (3/2)i 
13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1+2i 
b) 1+2i 
c) 1 - 2i 
d) 3 - 4i 
e) 3 + 4i 
14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10 
b) 5 e 10 
c) 7 e 9 
d) 5 e 9 
e) 0 e -9 
15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö 13
b) Ö 7 
c) 13 
d) 7 
e) 5 
16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16 
b) 161 
c) 32 
d) 32i 
e) 32+16i 
17 - UCSal - Sabendo que (1+i)22 = 2i, então o valor da expressão 
y = (1+i)48 - (1+i)49 é:
a) 1 + i 
b) -1 + i 
c) 224 . i 
d) 248 . i 
e) -224 . i  GABARITO:

1) -3 - i&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
2) -3 + 18i&nbsp;&nbsp; 
3) 4 + 3i&nbsp;&nbsp; 
4) 3/2&nbsp;&nbsp; 
5) -2 + 18i&nbsp;&nbsp; 
6) i&nbsp;&nbsp; 
7) 3&nbsp;&nbsp; 
8) 1 + 2i
9) 50&nbsp;&nbsp; 
10) 32i&nbsp;&nbsp; 
11) -1 - i   
12)&nbsp;B&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
13) D&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
14) A&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
15) A&nbsp;&nbsp; 
16) A&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
17) E