Aplicação da derivada no estudo dos movimentos:MRU e MRUV
Autor: Matemática para ensino Médio | Publicado: 2011-10-01T15:36:00-07:00

&nbsp;Introdução:
Nos cursos de exatas, oferecido nas universidades de todo o brasil e em outros paises, existe a matéria de Calculo Diferencial e Integral.Percebemos que nesta area&nbsp; da matemática encontramos diversas aplicaçoes em areas&nbsp; do conhecimento que dependem&nbsp; da matemática para a execução de calculos;podemos citar como exemplo a Física, Quimica, Economia, etc.&nbsp;Dentre essas aplicações, abordaremos o papel dos limites e derivadas no estudo dos movimentos retilineo e uniforme(MRU) e retilineo uniformemente variado(MRUV).&nbsp;Incremento de uma variável: 
Denominaremos incremento de uma variável ao acrescimo ou variação em uma&nbsp; variável x.Este incremento pode ser negativo, positivo ou nulo.Ex:Suponhamos que a temperatura de uma certa região aumentou de 28°C para 31°C.Neste caso, a temperatura sofreu variação de 3°C.Vimos , então, que o incremento é a diferença entre dois valores.Podemos expressar matematicamente da seguinte maneira:$\Delta x=x{}_{2}-x{}_{1}$
Incremento de uma função: 
Quando uma variável y é função de outra variável x, então qualquer incremento dado a x tem-se também um acréscimo $\Delta y$ correspondente em y e é dado por:
$\Delta y =f(x+\Delta x)-f(x)$
Ex:Dada a função f(x)=x²+2x, se x varia de 3 para 7, a função varia de 15 a 63, pois:
para x=3, então f(3)=3².2*3=9.6=15
para x=7,então f(7)=7²+2*7=49+14=63
Foi dado um acrescimo a x de 4 unidades, pois:
$\Delta x=x{}_{2}-x{}_{1}$ , então $\Delta x$=7-3 então $\Delta x$=4.Logo:
$\Delta y$=f(3+4)-f(3), então $\Delta y$=f(7)-f(3)=63-15=48 
Razão entre incrementos:
A razão entre o incremento de uma função y e o incremento de uma variá vel x é dada por:
$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ .A esta razão damos o nome de razão incremental.
Ex:Na função f: R $\rightarrow$ R definida por f(t)=t²+2t, quando x varia de 2 a 2,5, a função varia de 8 a 11,25.
para x=2 $\Rightarrow$ f(2)=2²+2*2&nbsp; $\Rightarrow$ 4+4=8
para x=2,5 $\Rightarrow$ f(2,5)=(2,5²)+2*2,5=6,25.5=11,25
$\Delta x$ =2,5-2=0,5 e $\Delta y$=f(2+0,5)-f(2)=11,25-8=3,25 
Então o valor da razão incremental $\frac{\Delta x} {\Delta y}$ é $ \frac{3,25} {0,5}$=6,5.
Obs:O resultado desta razão é denominada taxa média de variação da função y quando x varia&nbsp; de 2 a 2,5.
O conceito de taxa de variação média exprime a rapidez com que a a função cresce num dado intervalo.Utilizamos a taxa de variação média quando calculamos a velocidade média de um corpo. Ex: Um automóvel desloca-se de A para B.A tabela a seguir relaciona o espaço pecorrido com o tempo decorrido.
   Tempo(s)   0   1   2   3   4   5   6   7  
   Espaço(m)   0   2   5   9   14   20   27   35  
Vamos calcular as taxas de variação média em alguns intervalos:
tvm =$\frac{9-5} {3-2}$ = $\frac{4} {1}$=4m/s&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; tvm= $\frac{20-14} {5-4}$ =$\frac{6} {1}=6m/s
[2,3]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; [4,5 ] &nbsp; 

tvm =$\frac{35-27} {7-6}$ =$\frac{8} {1}$=8m/s&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
[6,7]
Observa-se, a partir dos calculos feitos que o movimento é cada vez mais rápido e , portanto, acelerado.
Calculemos a tvm entre 2 a 7 segundos.
tvm= $\frac{35-5} {7-2}$=$\frac{30 m} {5s}$=6m/s
[2,7] 
Podemos dizer que a velocidade média entre 2 a 7 segundos foi de 6m/s.
Generalizando para qualquer fução f no intervalo $[x{}_{a},x{}_{b}]$ , a taxa de variação média de uma função é:

tvm=$\frac{f(x{}_{b})- f(x{}_{a})} {x{}_{b}-x{}_{b}}$
$[x{}_{a},x{}_{b}] $

A taxa média de variação fornece o valor da velocidade do veiculo em determinado momento;se quisermos saber a velocidade de um corpo em um instante usaremos o conceito de taxa de variação instantanea.E o que veremos mais adiante.
Taxa de variação instantanea de uma função: 

Considere a função y=x².Faremos a variavel x sofrer incrementos cada vez menores , fazendo $\Delta x$ "tender a zero". Veremos o que acontece com $\Delta y$ e com a razão incremental.Observe a tabela abaixo:
Iniciaremos com x=4.

   $ \Delta x$   &nbsp;x+ $ \Delta x$   &nbsp; y+ $\Delta y$   $ \Delta y$   $ \frac{ \Delta y}{\Delta x}$  
   3   7   49   33   11  
   2   6   32   20   10  
   1   5   25   9   9  
   0,5   4,5   20,25   4,25   8,5  
   0,1   4,1   16,81   0,81   8,1  
   0,01   4,01   16,0801   0,0801   8,01  
   0   4   16   0   8  
&nbsp;Podemos observar na tabela acima que a medida que o valor de $ \Delta x$ aproxima-se de zero, $ \Delta y $ também tende(aproxima-se) de zero, e a razão incremental&nbsp; $\frac{ \Delta y} {\Delta x}$, nesse caso, tende a uma constante que é igual a 8.Este valor é denominado taxa de variação instantanea da função y=x² no ponto x=4.
Derivada:
Quando $ \Delta x $ tende a zero e a razão incremental se aproxima de um valor finito m , dizemos que m é o limite da razão incremental com $\Delta x$ tendendo a zero, e escrevemos:
$ m=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .Lê-se:Limite de $\frac{\Delta y} {\Delta x}$ quando x tende a zero.
Podemos agora definir o conceito de derivada:
&nbsp; A taxa de variação instantanea, ou derivada da função f em $x{}_{0}$ é dada por:
$ m=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ , sendo $\Delta y=f(x{}_{0} + \Delta x)-f(x{}_{0})$ 
&nbsp;O valor desse limite é denotado por $ f '(x{}_{0})$ e dizemos que f é derivável em $ x{}_{0}$ .

Interpretação cinemática da derivada:
Em Fisica, no estudo d a cinemática, sabemos que a posição s de um móvel é função do tempo&nbsp;&nbsp; S=S(t).No instante $t{}_{0}$, o móvel está na posição $S{}_{0}$ e no instante $t{}_{0}+ \Delta t$, com $ \Delta t \neq 0 $ , está na posição $S(t{}_{0}+ \Delta t) $ .
Definiremos velocidade média como a razão do espaço pecorrido pelo tempo decorriso, ou seja:
$V=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{S(t{}_{0}+\Delta t)-S({}_{0})} {\Delta t}$ .Fazendo $\Delta t$ Tender a zero, $\Delta s $ também tende a zero.A velocidade escalar do movel&nbsp; no instante $t{}_{0}$ é o limite da velocidade escalar média para $\Delta t \Rightarrow 0$ .


$V{}_{m}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{S(t{}_{0}+\Delta t)- S(t{}_{0})}{\Delta t}\Rightarrow V(t{}_{0})=S'(t{}_{0})$
A derivada da função&nbsp; S(t) em $t{}_{0}$ é numericamente igual à velocidade escalar do móvel no instante $t{}_{0}$ .
Sabemos que a aceleração escalar média do móvel, no intervalo de tempo $\Delta t$, pode ser definido como o quociente entre $ \frac{\Delta V} {\Delta T}$ , ou seja:
$a{}_{m}=\frac{V(t{}_{0}+\Delta t)-V (t{}_{0})}{\Delta t}$
A aceleração escalar do móvel no instante $t {}_{0}$ é o limite da aceleração escalr média para $&nbsp; \Delta t $ tendendo a zero .
$a{}_{m}=\lim_{\Delta t\Rightarrow 0}\frac{V(t{}_{0}+\Delta t)-V(t{}_{0})}{\Delta t}\Rightarrow a(t{}_{0})=V'(t{}_{0})$
A derivada da função V=v(t) em $t{}_{0}$ é numericamente igual a aceleração escalar do móvel no instante $t{}_{0}$

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