Escalonamento de Sistemas Lineares
Autor: Lucas Liza | Publicado: 2012-02-17T20:59:00-02:00



&nbsp; &nbsp;Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando&nbsp;m&nbsp;e&nbsp;n&nbsp;são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do&nbsp;escalonamento,&nbsp;que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.

&nbsp;&nbsp; Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.

&nbsp;&nbsp; Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

&nbsp;a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.

&nbsp;b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

&nbsp;c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:

I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1:&nbsp;&nbsp;&nbsp;

1º passo:&nbsp;Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:


&nbsp;Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;Trocamos&nbsp; a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;


2º passo: Anulamos os coeficientes&nbsp; da 2º incógnita a partir da 3º equação:


Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;


Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.

-2z=-6&nbsp;z=3

Substituindo z=3 em (II):

-7y - 3(3)= -2&nbsp;&nbsp;-7y - 9 = -2&nbsp;&nbsp;y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I):

x + 2(-1) + 3= 3&nbsp;x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3





Exemplo 2:&nbsp;&nbsp;&nbsp;

1º passo:&nbsp;Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:


Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;


2º passo:&nbsp;Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:


Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;


Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.



II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m &lt; n)

Exemplo:



1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:


Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;


2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:


Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;


O sistema está escalonado. Como mgrau de indeterminação&nbsp;(GI):

GI= n - m

Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:


Consideramos o sistema em sua forma escalonada:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; GI&nbsp; = n-m = 4-3 = 1


Como o grau de indeterminação é&nbsp;1, atribuímos a uma das incógnitas um valor&nbsp;, supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t=, substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:

12z - 6= 3012z= 30 + 6&nbsp;=

Conhecidos&nbsp;z&nbsp;e&nbsp;t,&nbsp;substituímos esses valores na 2º equação:



Conhecidos&nbsp;z,t&nbsp;e&nbsp;y, substituímos esses valores na 1º equação:



Assim, a solução do sistema é dada por S=, com&nbsp;IR.

Para cada valor que seja atribuído a&nbsp;, encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema.&nbsp;