Prova Mensal
Autor: Felipe Costa Mercadante | Publicado: 2012-04-02T01:35:00-03:00


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Depois de corrigir as provas, e perceber a catástrofe que foi, estive pensando em formas de recuperar as notas. Já tenho duas possibilidades, mas só vou apresentá-las na próxima aula (que será uma sexta-feira 13). Por enquanto, já vou cobrar, como parte das duas possibilidades, que vocês me entreguem, até a próxima aula, a prova resolvida. Só terão direito a essa recuperação os alunos que entregarem a prova resolvida!

Não é necessário copiar os enunciados, mas as resoluções devem ser completas e comentadas, ou seja, com a explicação do porquê de a resposta ser aquela. Por exemplo, deve ser explicado o motivo de a ordem de cada matriz ser a que é apresentada, o porquê da sequência de multiplicações ser a que foi colocada e o motivo de se fazer cada operação.

Segue abaixo a prova:



Um engenheiro de software está trabalhando no desenvolvimento de um sistema de análise e gerenciamento de produção. Como parte da fase de validação, ele deve realizar testes nos módulos do sistema e, para isso, utiliza como entrada dados para os quais já sabe qual será a resposta do sistema. Em todos os testes ele utilizará uma pequena amostra de dados que foi fornecida por um dos clientes (que possui algumas dezenas de fábricas e centenas de produtos). Essa amostra está na tabela abaixo:







Fábrica IFábrica IIFábrica III
Produto A651
Produto B471
Produção em 100 unidades/hora





A tabela mostra a produtividade (dada em centenas de unidades por hora) para dois tipos de produtos que são produzidos em três fábricas.O sistema, como é comum em computação, realiza cálculos com base em operações matriciais. Portanto, todos os dados devem ser sempre apresentados em forma matricial.1) (2 pontos) O primeiro módulo calcula quanto será produzido de cada produto se cada fábrica operar por um determinado tempo. Os tempos para o teste serão: 5 horas para a Fábrica I, 4 horas para a Fábrica II e 6 horas para a Fábrica III. Escreva o sistema de equações na forma $P=A \cdot T$, em que $P$ é a matriz de produção (em 100 unidades) com os totais produzidos de cada um dos produtos, $A$ é a matriz de produtividade (em 100 unidades/hora) e $T$ é a matriz de tempo de produção (em horas) para cada fábrica. Em seguida, encontre os valores da matriz de produção.&nbsp;
2) (2 pontos) O segundo módulo calcula a produção relativa para cada fábrica quando o tempo gasto para produzir cada tipo de produto varia. Os tempos para esse teste serão: 3 horas para o Produto A e 4 horas para o Produto B. Escreva o sistema de equações na forma $P=A^{T} \cdot T$, em que $P$ é a matriz de produção (em 100 unidades) com os totais de produtos para cada fábrica, $A^{T}$ é a matriz transposta da matriz de produtividade (em 100 unidades/hora) da questão 1 e $T$ é a matriz de tempo de produção (em horas) para cada produto. Em seguida, encontre os valores da matriz de produção.&nbsp;
3) (2 pontos) O terceiro módulo calcula a variação de produtividade necessária para se chegar a uma produção desejada. Nesse teste serão utilizados os mesmos valores de tempo que foram utilizados na questão 1; os valores de produção serão: 5800 unidades do Produto A e 6900 unidades do Produto B. Escreva o sistema de equações na forma $(A+X) \cdot T=P$, em que as matrizes $A$ e $T$ são as mesmas da questão 1, $P$ é uma matriz do mesmo tipo que a da questão 1, mas em vez de ter incógnitas os valores foram dados, e $X$ é a matriz abaixo:

$X=\begin{bmatrix} 0 &amp; x_{12} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; x_{23} \end{bmatrix}$
Em seguida, encontre os valores de $x_{12}$ e $x_{23}$.&nbsp;
4) (3 pontos) O quarto módulo (último a ser testado nessa fase) calcula o tempo que cada fábrica deve operar para se atingir uma determinada produção. Nesse último teste apenas as fábricas I e II serão consideradas. Os valores de produção serão: 6000 unidades do Produto A e 6200 unidades do Produto B. Escreva o sistema de equações na forma $(B^{-1} \cdot B) \cdot T=B^{-1} \cdot P$, em que $B$ é igual à matriz $A$ da questão 1 sem a última coluna, ou seja, com apenas duas colunas, $T$ é a matriz de tempo de produção (em horas) para cada fábrica que se deseja encontrar, sendo a matriz de incógnitas, $P$ é uma matriz do mesmo tipo que a da questão 1, mas em vez de ter incógnitas os valores foram dados, e $B^{-1}$ é a matriz inversa de $B$, que está dada abaixo:

$B^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{7}{22} &amp; -\frac{5}{22}\\ -\frac{4}{22} &amp; \frac{6}{22} \end{bmatrix}$
Em seguida, encontre os tempos de produção.&nbsp;
5) (1 a 3 pontos) Classifique todas as matrizes que aparecerem na prova, e que puderem ser classificadas, segundo a legenda abaixo:




Matriz LinhaMatriz ColunaMatriz QuadradaMatriz SimétricaMatriz DiagonalMatriz IdentidadeMatriz Nula
MLMCMQMSMDMIMN