Vetores
Autor: ENGENHARIA CIVIL 2/2011 | Publicado: 2011-11-05T10:38:00-07:00

VetoresDeterminado por um segmento orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.Se indicarmos&nbsp;com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

onde&nbsp;XY&nbsp;é um segmento qualquer do conjunto.O vetor determinado por&nbsp;AB&nbsp;é indicado por&nbsp;&nbsp;ou B - A ou&nbsp;.
Um mesmo vetor&nbsp;&nbsp;é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, os quais são todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor,
 e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.As características de um vetor&nbsp;&nbsp;são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.O módulo de&nbsp;&nbsp;se indica por || .
Soma de vetoresSe v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:v + w = (a+c,b+d)
Propriedades da Soma de vetores
Diferença de vetoresSe v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:v - w = (a-c,b-d)
Produto de um número escalar por um vetorSe v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v como:c.v = (ca,cb)
Propriedades do produto de escalar por vetorQuaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:&nbsp;
Módulo de um vetorO módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:
Vetor unitárioVetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.Existem dois vetores unitários que formam a&nbsp;base canônica&nbsp;para o espaço R², que são dados por:i = (1,0) j = (0,1)Para construir um vetor unitário&nbsp;u&nbsp;que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor&nbsp;v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
Observação:
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um escalar não nulo. Nesse caso,&nbsp;u&nbsp;e&nbsp;v&nbsp;serão paralelos:Se c = 0, então u será o vetor nulo.
Se 0 &lt; c &lt; 1, então u terá comprimento menor do que v.
Se c &gt; 1, então u terá comprimento maior do que v.
Se c &lt; 0, então u terá sentido oposto ao de v.
Decomposição de vetores em Vetores UnitáriosPara fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos apresentados.Sendo simbolizados, por convenção,&nbsp;î&nbsp;como vetor unitário do plano&nbsp;x&nbsp;e&nbsp;como vetor unitário do plano&nbsp;y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três dimensões, o vetor utilizado para o plano&nbsp;z&nbsp;é o vetor unitário&nbsp;.Então, a projeção do vetor&nbsp;no eixo&nbsp;x&nbsp;do plano cartesiano será dado por&nbsp;, e sua projeção no eixoy&nbsp;do plano será:&nbsp;. Este vetor pode ser escrito como:=(,), respeitando que sempre o primeiro componente entre parênteses é a projeção em&nbsp;x&nbsp;e o segundo é a projeção no eixo&nbsp;y. Caso apareça um terceiro componente, será o componente do eixo&nbsp;z.No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado.
Produto escalarDados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:u.v = a.c + b.d
Exemplos:O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19
Propriedades do produto escalarQuaisquer que sejam os vetores,&nbsp;u v&nbsp;e&nbsp;w&nbsp;e&nbsp;k&nbsp;escalar:
Ângulo entre dois vetoresO produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:u.v = |u| |v| cos(x)onde x é o ângulo formado entre u e v.Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como,desde que nenhum deles seja nulo.Aceleração e Velocidade VetoriaisVetor PosiçãoImagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem O.Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos localizar o móvel nesta trajetória por meio de um vetor.O vetor&nbsp;é chamado vetor deslocamento e possui módulo, direção e sentido.=P-O
Velocidade VetorialVetor Velocidade Média:&nbsp;Considere-se um móvel percorrendo a trajetória do gráfico acima, ocupando posições&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;nos instantes&nbsp;e&nbsp;, respectivamente.Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo intervalo de tempo:Observação:O vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido do vetor deslocamento, pois é obtido quando multiplicamos um número positivo&nbsp;pelo vetor&nbsp;.
Vetor Velocidade Instantânea: Análogo à velocidade escalar instantânea, quando o intervalo de tempo tender a zero (), a velocidade calculada será a velocidade instantânea.então:&nbsp;
Aceleração VetorialVetor Aceleração Média:&nbsp;Considerando um móvel que percorre uma trajetória qualquer com velocidade&nbsp;em um instante&nbsp;&nbsp;e velocidade&nbsp;&nbsp;em um instante posterior&nbsp;, sua aceleração média será dada por:Observação:Assim como para o vetor velocidade, o vetor aceleração terá o mesmo sentido e mesma direção do vetor velocidade, pois é resultado do produto deste vetor () por um número escalar positivo,&nbsp;.
Vetor Aceleração Instantânea:&nbsp;A aceleração vetorial instantânea será dada quando o intervalo de tempo tender a zero ().Sabendo esses conceitos, podemos definir as funções de velocidade em função do tempo, deslocamento em função do tempo e a equação de Torricelli para notação vetorial:
Por exemplo:Um corpo se desloca com velocidade&nbsp;, e aceleração constante&nbsp;, da forma como está descrita abaixo:(a)Qual o vetor velocidade após 10 segundos? (b)Qual a posição do móvel neste instante?
(a)Para calcularmos a velocidade vetorial em função de um tempo, precisamos decompor os vetores velocidade inicial e aceleração em suas projeções em&nbsp;x&nbsp;e&nbsp;y:Assim, podemos dividir o movimento em vertical(y) e horizontal(x):Em&nbsp;x:&nbsp;Em&nbsp;y:&nbsp;A partir destes valores podemos calcular o vetor velocidade:
(b)Sabendo o vetor velocidade, podemos calcular o vetor posição pela equação de Torricelli, ou pela função horária do deslocamento, ambas na forma de vetores:Por Torricelli:na mesma direção e sentido dos vetores aceleração e velocidade.
Pela Função horária da Posição:na mesma direção e sentido dos vetores aceleração e velocidade.Movimento OblíquoUm movimento oblíquo é um movimento parte vertical e parte horizontal. Por exemplo, o movimento de uma pedra sendo arremessada em um certo ângulo com a horizontal, ou uma bola sendo chutada formando um ângulo com a horizontal.Com os fundamentos do movimento vertical, sabe-se que, quando a resistência do ar é desprezada, o corpo sofre apenas a aceleração da gravidade.
Lançamento Oblíquo ou de Projétil
O móvel se deslocará para a frente em uma trajetória que vai até uma altura máxima e depois volta a descer, formando uma trajetória parabólica.Para estudar este movimento, deve-se considerar o movimento oblíquo como sendo o resultante entre o movimento vertical (y) e o movimento horizontal (x).Na direção vertical o corpo realiza um Movimento Uniformemente Variado, com velocidade inicial igual a&nbsp;e aceleração da gravidade (g)Na direção horizontal o corpo realiza um movimento uniforme com velocidade igual a&nbsp;.Observações:Durante a subida a velocidade vertical diminui, chega a um ponto (altura máxima) onde&nbsp;, e desce aumentando a velocidade.
O alcance máximo é a distância entre o ponto do lançamento e o ponto da queda do corpo, ou seja, onde y=0.
A velocidade instantânea é dada pela soma vetorial das velocidades horizontal e vertical, ou seja,&nbsp;. O vetor velocidade é tangente à trajetória em cada momento.
Exemplo:Um dardo é lançado com uma velocidade inicial&nbsp;v0=25m/s, formando um ângulo de 45° com a horizontal. (a) Qual o alcance máximo (b) e a altura máxima atingida?Para calcular este movimento deve-se dividir o movimento em vertical e horizontal.Para decompor o vetor&nbsp;em seus componentes são necessários alguns fundamentos de trigonometria:Genericamente podemos chamar o ângulo formado de&nbsp;.Então:logo:e:logo:
(a) No sentido horizontal (substituindo o&nbsp;s&nbsp;da função do espaço por&nbsp;x):sendotemos:(1)No sentido vertical (substituindo&nbsp;h&nbsp;por&nbsp;y):sendotemos:(2)&nbsp;E o tempo é igual para ambas as equações, então podemos isolá-lo em (1), e substituir em (2):(1)e&nbsp;, então:onde substituindo em (2):(2)&nbsp;e onde o alcance é máximo&nbsp;. Então temos:mas&nbsp;, então:resolvendo esta equação por fórmula de Baskara:masentão:masEntãoSubstituindo os dados do problema na equação:
(b) Sabemos que quando a altura for máxima&nbsp;. Então, partindo da equação de Torricelli no movimento vertical:e substituindo os dados do problema na equação, obtemos:
Lançamento HorizontalTrata-se de uma particularidade do movimento oblíquo onde o ângulo de lançamento é zero, ou seja, é lançado horizontalmente. Por exemplo, quando uma criança chuta uma bola que cai em um penhasco, ou quando um jardineiro está regando um jardim com uma mangueira orientada horizontalmente.
Por exemplo:(Cefet-MG) Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma mesa com velocidade constante de 0,2m/s. Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,2m dos pés da mesa. Considerando g=10m/s² e a resistência do ar desprezível, determine:(a) a altura da mesa;(b) o tempo gasto pela bola para atingir o solo.
(a), e cos0°=1, então:, considerando a posição horizontal inicial do móvel zero, e isolando&nbsp;t:Porém neste caso, a aceleração da gravidade (g) vai ser positiva, devido ao movimento ser no mesmo sentido da aceleração., mas sen0°=0, então:, considerando a posição vertical inicial zero e substituindo&nbsp;t:
(b) Sabendo a altura da mesa é possível calcular o tempo gasto pela função horária do deslocamento:, mas sen0°=0, então:Movimento CircularGrandezas AngularesAs grandezas até agora utilizadas de deslocamento/espaço (s, h, x, y), de velocidade (v) e de aceleração (a), eram úteis quando o objetivo era descrever movimentos lineares, mas na análise de movimentos circulares, devemos introduzir novas grandezas, que são chamadas&nbsp;grandezas angulares, medidas sempre em radianos. São elas:deslocamento/espaço angular: φ (phi)
velocidade angular: ω (ômega)
aceleração angular: α (alpha)

Saiba mais...Da definição de radiano temos:Desta definição é possível obter a relação:E também é possível saber que o arco correspondente a 1rad é o ângulo formado quando seu arco&nbsp;S&nbsp;tem o mesmo comprimento do raio&nbsp;R.

Espaço Angular (φ)Chama-se espaço angular o espaço do arco formado, quando um móvel encontra-se a uma abertura de ângulo φ qualquer em relação ao ponto denominado origem.E é calculado por:&nbsp;
Deslocamento angular (Δφ)Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferença entre a posição angular final e a posição angular inicial:Sendo:Por convenção:No sentido anti-horário o deslocamento angular é positivo.No sentido horário o deslocamento angular é negativo.
Velocidade Angular (ω)Análogo à velocidade linear, podemos definir a&nbsp;velocidade angular média, como a razão entre o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento:Sua unidade no Sistema Internacional é:&nbsp;rad/sSendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s.Também é possível definir a&nbsp;velocidade angular instantânea&nbsp;como o limite da velocidade angular média quando o intervalo de tempo tender a zero:
Aceleração Angular (α)Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos&nbsp;aceleração angular médiacomo:
Algumas relações importantesAtravés da definição de radiano dada anteriormente temos que:mas se isolarmos S:derivando esta igualdade em ambos os lados em função do tempo obteremos:mas a derivada da Posição em função do tempo é igual a velocidade linear e a derivada da Posição Angular em função do tempo é igual a velocidade angular, logo:onde podemos novamente derivar a igualdade em função do tempo e obteremos:mas a derivada da velocidade linear em função do tempo é igual a aceleração linear, que no movimento circular é tangente à trajetória, e a derivada da velocidade angular em função do tempo é igual a aceleração angular, então:Então:
LinearAngular
S=φR
v=ωR
a=αR

Período e Frequência
Período (T)&nbsp;é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno ciclico se repita. Sua unidade é a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...)Frequência(f)&nbsp;é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua unidade mais comum é Hertz (1Hz=1/s) sendo também encontradas kHz, MHz e rpm. No movimento circular a frequência equivale ao número de rotações por segundo sendo equivalente a velocidade angular.Para converter rotações por segundo para rad/s:sabendo que 1rotação = 2πrad,Movimento Circular Uniforme
Um corpo está em Movimento Curvilíneo Uniforme, se sua trajetória for descrita por um círculo com um "eixo de rotação" a uma distância R, e sua velocidade for constante, ou seja, a mesma em todos os pontos do percurso.No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as pás de um ventilador girando.Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, logo existe uma aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da velocidade, chamamos deAceleração Centrípeta.Esta aceleração é relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:Sabendo que&nbsp;e que&nbsp;, pode-se converter a função horária do espaço linear para o espaço angular:então:
Movimento Circular Uniformemente VariadoQuando um corpo, que descreve trajetória circular, e sofre mudança na sua velocidade angular, então este corpo tem aceleração angular (α).As formas angulares das equações do Movimento Curvilíneo Uniformemente Variado são obtidas quando divididas pelo raio R da trajetória a que se movimenta o corpo.Assim:
MUVMCUV
Grandezas linearesGrandezas angulares





E, aceleração resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial e da aceleração centípeta:
Exemplo:Um volante circular como raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com aceleração angular igual a 2rad/s².(a) Qual será a sua velocidade angular depois de 10 segundos?(b) Qual será o ângulo descrito neste tempo?(c) Qual será o vetor aceleração resultante?
(a) Pela função horária da velocidade angular:(b) Pela função horária do deslocamento angular:(c) Pelas relações estabelecidas de aceleração tangencial e centrípeta:



Leis de NewtonAs leis de Newton constituem os três pilares fundamentais do que chamamos Mecânica Clássica, que justamente por isso também é conhecida por Mecânica Newtoniana.
1ª Lei de Newton - Princípio da InérciaQuando estamos dentro de um carro, e este contorna uma curva, nosso corpo tende a permanecer com a mesma velocidade vetorial a que estava submetido antes da curva, isto dá a impressão que se está sendo "jogado" para o lado contrário à curva. Isso porque a velocidade vetorial é tangente a trajetória.
Quando estamos em um carro em movimento e este freia repentinamente, nos sentimos como se fôssemos atirados para frente, pois nosso corpo tende a continuar em movimento.
estes e vários outros efeitos semelhantes são explicados pelo princípio da inércia, cujo enunciado é:"Um corpo em repouso tende a permanecer em repouso, e um corpo em movimento tende a permanecer em movimento."Então, conclui-se que um corpo só altera seu estado de inércia, se alguém, ou alguma coisa aplicar nele uma força resultante diferente se zero.
2ª Lei de Newton - Princípio Fundamental da DinâmicaQuando aplicamos uma mesma força em dois corpos de massas diferentes observamos que elas não produzem aceleração igual.A 2ª lei de Newton diz que a Força é sempre diretamente proporcional ao produto da aceleração de um corpo pela sua massa, ou seja:ou em módulo: F=ma
Onde:F é a resultante de todas as forças que agem sobre o corpo (em N);m é a massa do corpo a qual as forças atuam (em kg);a é a aceleração adquirida (em m/s²).
A unidade de força, no sistema internacional, é o N (Newton), que equivale a kg m/s² (quilograma metro por segundo ao quadrado).Exemplo:Quando um força de 12N é aplicada em um corpo de 2kg, qual é a aceleração adquirida por ele?F=ma12=2aa=6m/s²
Força de Tração
Dado um sistema onde um corpo é puxado por um fio ideal, ou seja, que seja inextensível, flexível e tem massa desprezível.Podemos considerar que a força é aplicada no fio, que por sua vez, aplica uma força no corpo, a qual chamamos Força de Tração&nbsp;.
3ª Lei de Newton - Princípio da Ação e ReaçãoQuando uma pessoa empurra um caixa com um força F, podemos dizer que esta é uma força de ação. mas conforme a 3ª lei de Newton, sempre que isso ocorre, há uma outra força com módulo e direção iguais, e sentido oposto a força de ação, esta é chamada força de reação.Esta é o princípio da ação e reação, cujo enunciado é:"As forças atuam sempre em pares, para toda força de ação, existe uma força de reação."