Enxergando o que está abaixo de nossos pés: tomografia sísmica
Autor: Física Discutida | Publicado: 2012-05-29T15:19:00-07:00



Descobrir novos campos de petróleo, depósitos minerais, aqüíferos, ou simplesmente obter informações sobre a geologia regional de subsuperfície é necessário, pois precisamos de recursos naturais para sobrevivermos. Nesse aspecto, a geologia é, de certa forma, limitada, pois seus métodos conseguem informações superficiais com riqueza de detalhes, mas informações da subsuperfície já não são mais tão acuradas. Por isso, vários métodos foram desenvolvidos de forma a tentar “enxergar” a geologia em subsuperfície.



Um desses métodos foi criado utilizando a mesma ideia por trás da técnica médica de investigação do interior do corpo de um paciente, a tomografia. Emitindo ondas (eletromagnéticas, em sua maioria – raios X ou raios gama, por exemplo) a partir de vários pontos sobre a superfície fechada S que delimita certa região R, e medindo seus tempos de chegada em sensores também espalhados nessa superfície, estima-se a velocidade em cada ponto de R. De modo semelhante, para a tomografia sísmica, coleta-se dados de tempos de trânsito registrados por receptores (geofones em terra, ou hidrofones no mar) espalhados na superfície S (note que, agora, é uma superfície aberta) após a emissão de ondas sísmicas a partir de uma fonte aproximadamente pontual (que pode ser explosivos ou fontes vibratórias, em terra, ou airguns, no caso do mar), de modo a se obter a função velocidade na região R abaixo de S (geralmente, supondo que R é isotrópico). Os objetivos e os métodos de coleta de dados são diferentes, mas a matemática utilizada é a mesma. Pois ambos os problemas são problemas inversos.



E o que vem a ser um problema inverso? Imagine uma equação do tipo As = t, em que s e t pertencem a algum espaço vetorial (no caso de s, como é o vetor que parametriza o modelo matemático, o espaço a qual ele pertence é chamado de espaço de parâmetros) e A é uma aplicação linear. Obter t tendo A e s é um problema dito direto – é simplesmente uma substituição direta; obter s tendo A e t, ou pior, obter A tendo s e t, é um problema dito inverso – e resolver um problema inverso, principalmente lidando com dados experimentais, não é algo fácil, principalmente devido às incertezas inerentes às medidas.



Pode-se pensar em um problema inverso como o seguinte problema: temos certos sinais que entram em uma “caixa preta”, e saem sinais modificados a partir dos sinais de entrada. O que ocorre com esses sinais dentro da “caixa preta”? O objetivo desse problema é justamente tentar caracterizar, pelo menos de forma aproximada, essa “caixa preta”.



A modelagem do problema da tomografia é feita relacionando o tempo de percurso e o tamanho do trajeto de um raio sísmico em um meio cúbico, com dimensões muito pequenas e de vagarosidade a ser estimada. No final, teremos um problema do tipo As = t, em que s é o vetor de vagarosidades, t é o vetor de tempos de percurso medidos e A é a matriz de tamanhos de trajetos. Esse problema apresenta uma certa dificuldade de solução devido a certos fatores:



* Esse é um problema sem solução, por causa dos erros experimentais em t. Logo, deve-se buscar uma solução alternativa. O mais comum, se A fosse independente de s, seria usar o famoso método dos mínimos quadrados lineares, que consiste na obtenção da solução

que minimiza o erro definido por um funcional – nesse caso, a soma dos erros quadráticos.



* O problema é que A, nesse caso, não é independente de s. Então, temos que recorrer a tentativas de solução alternativas – tipicamente, métodos de busca (métodos de busca da solução em certa região do espaço de parâmetros) e métodos de gradiente (métodos de estimação da solução de forma iterativa, com base na estimação do gradiente do funcional a ser minimizado).



* Além disso, ainda há o problema da estabilidade – a matriz A, em geral, é tal que certos erros no tempo de trajeto podem amplificar os erros na estimação das vagarosidades do modelo em subsuperfície. O problema, então, é dito instável. Para isso, utiliza-se algum esquema de regularização, de modo a se obter uma estimativa da solução que esteja razoavelmente “protegida” das amplificações dos erros.



O resultado desse problema inverso, a estimativa de s, pode ser resumido em uma imagem da subsuperfície. Essa imagem pode ser muito importante para estudos diversos.

Em resumo, resolver o problema da tomografia sísmica é um desafio – e é um desafio que deve ser enfrentado, para que possamos conhecer os segredos da geologia abaixo de nossos pés.



Renato Ramos

@renatoGEOF
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