A lenda do jogo de xadrez
Autor: Marco Ferreira | Publicado: 2011-11-05T10:27:00-02:00


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&nbsp;&nbsp; &nbsp;Uma das histórias a respeito da origem do jogo de xadrez, é contada no livro de Malba Tahan, chamado "Diabruras da Matemática". &nbsp;Diz a &nbsp;lenda que o jogo foi criado para entreter &nbsp;um rei da &nbsp;Índia, de nome Iadava, o jovem Lahur Sessa, apresentou o jogo ao rei e este ficou maravilhado, querendo recompensar o &nbsp;inventor do jogo de xadrez, Iadava &nbsp;perguntou qual presente ele gostaria de receber: jóias, terras, um palácio... O pedido do jovem inventor deixou o rei perplexo, Lahur &nbsp;disse que como recompensa, queria receber &nbsp;uma quantidade de trigo da &nbsp;seguinte forma:
&nbsp;&nbsp;1 grão de trigo &nbsp;pela &nbsp;1ª casa;&nbsp;&nbsp;2 grãos de trigo pela &nbsp;2ª casa;&nbsp;&nbsp;4 grãos de trigo pela &nbsp;3ªcasa;&nbsp;&nbsp;8 grãos de trigo pela &nbsp;4ª casa, ....
&nbsp;&nbsp; A quantidade de grãos deveria ser dobrada a cada casa subsequente, e como sabemos, o jogo de xadrez tem 64 casas. &nbsp;O rei achou o pedido muito insignificante e &nbsp;pediu que fosse calculado a quantidade de grãos para atender o desejo do inventor &nbsp;do jogo de xadrez &nbsp;do jeito que este havia proposto.&nbsp;&nbsp; Esse é um problema que envolve a soma dos termos de um progressão geométrica, vejamos:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;1 , 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,.....&nbsp;
&nbsp;Para calcular a soma dos 64 primeiros termos dessa p.g. , &nbsp;utilizamos a fórmula:

&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;


&nbsp;&nbsp;Sendo: &nbsp;a1 = primeiro termo &nbsp;; &nbsp;q= a &nbsp;razão da pg &nbsp; &nbsp;e &nbsp; n = o número de termos, &nbsp;substituindo os valores, temos:&nbsp;
&nbsp;&nbsp; &nbsp;S64 =&nbsp;(263 . 2 - 1)/ (2-1) = 264 – 1 = &nbsp;18446744073709551615 &nbsp;
&nbsp;&nbsp;Os calculistas reais &nbsp;chegaram a conclusão que para atender o pedido, seria &nbsp;necessário semear o planeta &nbsp;Terra todo e a dívida só seria quitada ao fim de 450 séculos!&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Um número astronômico: &nbsp;18 quintilhões, &nbsp;446 quatrilhões, &nbsp;744 trilhõess, 73 bilhões, 709 milhões, 551 mil, 615.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;O astuto inventor deixou o rei &nbsp;em apuros, como pagar a dívida? O rei ficaria na mais absoluta miséria!
&nbsp;&nbsp;Muita gente conhece essa história, no entanto, &nbsp;poucos sabem que o rei conseguiu sair dessa enrascada, com a &nbsp;ajuda de um matemático, chamado Lavaxamã, o Homem da Face &nbsp;Fria, ele propôs ao jovem inventor uma recompensa melhor que ele havia pedido, ele dobraria a quantidade de grãos por cada casa e &nbsp;consideraria também o número de casas infinito, não somente &nbsp;as 64 &nbsp;do tabuleiro e por fim ainda acrescentaria mais um grão de trigo. &nbsp; &nbsp;O jovem meditou por alguns instantes e resolveu aceitar a proposta do rei, que afinal parecia muito mais vantajosa.
&nbsp;&nbsp;Sendo assim, &nbsp; Lavaxamã começou a expor a proposta de como calcular a quantidade de &nbsp;grãos de trigo:
&nbsp;&nbsp;" S " &nbsp;é a &nbsp;soma de todos os infinitos termos da progressão &nbsp;e que deverão ser pagos
&nbsp;&nbsp; S = 1 + 2 + 4+ 8+16+ 32+ 64 + 128 + 256 +......
&nbsp;&nbsp;Dobrando a quantidade de grãos em cada casa, &nbsp;a soma "S" &nbsp;também dobra&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2S = 2 +4 +8 + &nbsp;16 +32 + 64 +128 + 256 +.....&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Por fim, ainda seria &nbsp;adicionado mais um grão de trigo a soma infinita de termos
&nbsp;2S + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 +16 +32 + 64 +128 + 256 +......
&nbsp;Note que a segunda parte &nbsp;da expressão é &nbsp;exatamente &nbsp;a soma inicial, ou seja, igual a S, Lavaxamã então propôs que se trocasse a &nbsp;parte numérica da expressão por S, e &nbsp;assim foi aceito pelo inventor.
&nbsp;&nbsp; &nbsp;2S + 1= S&nbsp;
&nbsp;Resolvendo a equação, &nbsp;temos &nbsp;: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;2S -S = -1&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;S= -1&nbsp;
No final, o rei de devedor passou a &nbsp;ser credor do jovem inventor, &nbsp;graças a um "sofisma algébrico".

Adaptado do livro "Diabruras da Matemática" &nbsp;de Malba Tahan&nbsp;