SOBRE UMA REPRESENTAÇÃO INFINITESIMAL DO UNIVERSO
Autor: Renato | Publicado: 2012-09-08T03:50:00-07:00


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Imagine-se um ponto ideal. Imagine-se uma realidade
totalmente vazia com exceção desse único ponto. Como não existem referências,
podemos atribuir-lhe um número arbitrário, e por que não 0. Matematicamente, &nbsp;isto quer dizer posicionar o ponto em um
espaço unidimensional, ou descrevê-lo com um bit de informação se utilizarmos
números em sistema binário (vamos assumir a notação binária ao longo deste
post). Entretanto,&nbsp; como não há
restrições para o espaço em nosso exercício de imaginação, adicionemos uma nova
dimensão ao longo da qual medir o ponto, ou seja, o façamos habitar uma região
bidimensional. Utilizando a medida que escolhemos anteriormente como
referência, atribuamos o número 1, digamos, ao valor do ponto na segunda dimensão.
O ponto, descrito por 01 (se convencionarmos assim, ao invés de 10), é descrito
com 2 bits de informação. Repetindo esse processo podemos produzir um ponto,
digamos 1010, que possui quatro dimensões e é descrito com 4 bits.

Escolhendo sempre apenas um dígito entre 0 e 1 para
descrever a medida do ponto ao longo de uma dimensão, convencionamos que cada
dimensão aumenta 1 bit na quantidade de informação (ou entropia*) necessária
para descrever o ponto. Além disso, nessa realidade imaginada, os pontos só
podem existir nos vértices de um hipercubo de 4 dimensões (ou tesserato), de
lado 1.Imagine-se um ponto ideal. Imagine-se uma realidade
totalmente vazia com exceção desse único ponto. Como não existem referências,
podemos atribuir-lhe um número arbitrário, e por que não 0. Matematicamente, &nbsp;isto quer dizer posicionar o ponto em um
espaço unidimensional, ou descrevê-lo com um bit de informação se utilizarmos
números em sistema binário (vamos assumir a notação binária ao longo deste
post). Entretanto,&nbsp; como não há
restrições para o espaço em nosso exercício de imaginação, adicionemos uma nova
dimensão ao longo da qual medir o ponto, ou seja, o façamos habitar uma região
bidimensional. Utilizando a medida que escolhemos anteriormente como
referência, atribuamos o número 1, digamos, ao valor do ponto na segunda dimensão.
O ponto, descrito por 01 (se convencionarmos assim, ao invés de 10), é descrito
com 2 bits de informação. Repetindo esse processo podemos produzir um ponto,
digamos 1010, que possui quatro dimensões e é descrito com 4 bits.







Designando esse ponto e o espaço que o contém como um
universo, podemos desenhar um universo equivalente em quantidade de informação
(entropia máxima informacional) na forma de um espaço plano contendo dois
pontos bidimensionais. Convencionando sempre apenas 1 dígito para descrever
cada medida ao longo de uma dimensão, temos que os dois pontos só poderiam
existir em um dos quatro vértices de um quadrado – {00, 01, 10, 11} –. Chamemos
o universo de um único ponto de universo A e o universo de um número de pontos
maior que um de B. Um universo A com 6 dimensões, ou 6 bits seria equivalente a
um universo B plano, também de 6 bits, com três pontos, ou a um outro universo
B de 6 bits, mas tridimensional com dois pontos. A informação contida nos dois
universos é a mesma, mas em nossa representação linguística os universos A e B
talvez difiram no modo com que as informações são associadas, sem
necessariamente alterar o caráter qualitativo geral da informação. 





O único ponto presente no universo A continua sendo um único
ponto presente na mesma posição não importa quanta informação acrescentemos a
ele seguindo esse processo. Ao produzirmos um universo A de um número qualquer dA de dimensões (ou de bits),estamos desenvolvendo ao mesmo tempo um universo B de um número de dimensões&nbsp;dB&nbsp;=&nbsp;dA⁄n, onde n é o número de pontos presentes no universo B. Dentro, claro, das
convenções aqui adotadas. &nbsp;Podemos sempre
produzir um universo B tridimensional de complexidade arbitrária utilizando um x&nbsp;=&nbsp;3n. Pode ser difícil falar em complexidade
quando o universo só pode ser habitado nos vértices de um cubo, mas se
extendermos um pouco mais nosso modelo ao quebrar algumas das restrições que
nós mesmos nos impomos para construí-lo, enxergamos como essa complexidade pode
facilmente surgir.




Figura 1. À esquerda são representados exemplos de universos tipo "A" e à direito respectivas transformações em universos tipo "B" de 2 e 3 dimensões. Note que, de acordo com a transformação, a sequência de números que descreve o universo tipo "A" é quebrada em pedaços de mesmo comprimento que descrevem elementos no universo tipo "B". Uma sequência num universo tipo "A" pode conter informação para descrever um cubo, ou, de acordo com&nbsp;
dB&nbsp;=&nbsp;dA⁄n ,&nbsp;3 quadrados (superpostos).






Se escolhemos um valor limite maior do
que 1 bit para a quantidade de informação necessária para descrever um ponto ao
longo de uma dimensão, somos capazes de descrever posições intermediárias entre
um máximo e um mínimo – antes, os valores oscilavam entre um mínimo 0 e um
máximo 1, mas agora permitimos que eles oscilem em posições discretas entre um
máximo 1111... e um mínimo 0000... (Podemos inclusive assumir valores reais em
binário, para expandir a quantidade de valores intermediários entre os extremos
ao infinito, mas, como frações em binário tendem a ter uma representação
infinita, é preciso nesse caso realizar um tratamento especial para prevenir
que uma quantidade infinita de informação seja necessária para descrever uma
medida irracional, o que pode requerer a discretização do espaço) –. Dessa
forma, eliminamos a relação de igualdade entre a quantidade de informação e
quantidade de dimensões do universo A, entretanto podemos manter a relação
linear na forma&nbsp;da&nbsp;=&nbsp;x⁄m, onde m é o a quantidade de informação necessária para se descrever uma
medida e x é o conteúdo máximo de
informação do universo, em bits. Ajustando os parâmetros x, n e m, podemos produzir um universo B
tridimensional de complexidade topológica arbitrária a partir de um universo A
pontual. 




Figura 2. Topologia arbitrária em um espaço discretizado tridimensional. A construção para um tal modelo se baseia na escolha de um número fixo qualquer de dígitos para a representação da magnitude de uma medida ao longo de uma dimensão. Isto quer dizer que, apesar de tridimensional, o universo tipo "B" representado não requer apenas 1 dígito para descrever a medida de um ponto ao longo de uma dimensão, ou 3 dígitos para descrever completamente 1 ponto. Determinados números de valores intermediários podem ser obtidos. No caso, cada ponto pode ocupar uma de 210 posições.






Se tomarmos o universo observável e
tirarmos uma “foto” do seu estado atual, podemos capturá-lo numa sequência
binária que represente todo o seu conteúdo informacional na forma de um
universo A. O universo que observamos seria um universo B resultante da
transformação do universo A consistente de um único ponto. Assumimos que o
universo observável não sofre perdas ou ganhos de conteúdo (e.g. consiste em um
sistema isolado), ou seja, a “magnitude” do universo permanece constante. No
entanto, aceitamos o deslocamento relativo de partículas pontuais, o que
significa um rearranjo de informação e um rearranjo dos valores que o universo A
adquire em seu espaço. Podemos tanto pensar no universo A como um ponto em uma
hiperesfera, quanto como um vetor. Isso implica que, com o passar do tempo, o
vetor universo A muda de orientação e descreve uma trajetória na superfície de uma
hiperesfera de raio equivalente à sua magnitude. Que padrões seríamos capazes
de observar para a trajetória do universo observável nesse “espaço A”?!





Essa representação também pode permitir
uma conexão entre a entropia informacional e a entropia física. Assumindo o
universo observável como um sistema isolado, a sua entropia tende a aumentar.
Geralmente isto quer dizer que o universo tende a assumir estados em que seus
componentes ocupam o maior número possível de posições, o que requer uma
quantidade maior de informação para descrevê-lo. No entanto, isto não precisa
ser verdade caso não ignoremos as relações entre os elementos que compõem o
universo, e é aí que a complexidade cumpre seu papel. Estudar a evolução
conjunta de ambas as entropias pode talvez ser frutífero para trazer
esclarecimentos sobre a estrutura do universo. Nos primeiros exemplos utilizei
o termo “entropia” como sinônimo de “quantidade de informação”, mas isto não é
verdade, especialmente num universo em que seus elementos variam de forma
relativa uns aos outros. A quantidade total de informação se mantém, mas se a
informação se torna mais redundante (i.e. se o universo se “organiza” mais), a
sua entropia informacional diminui (junto com a entropia física de uma forma
geral, mas não necessariamente). 




Figura 3. Esquerda: o universo como um ponto infinitesimal numa hiperesfera de n&nbsp;dimensões. &nbsp;Direita: o universo como um vetor cuja orientação muda descrevendo uma trajetória numa hiperesfera de raio equivalente à magnitude do vetor.






Outra implicação é que, como um ponto ou
vetor, o universo ocupa um espaço infinitesimal na superfície de uma
hipersesfera, o que não impede que outros universos (possivelmente uma
quantidade infinita) de mesma magnitude existam sobre esse mesma superfíce, ou
que universos de magnitudes diferentes existam em estratos diferentes da
realidade.



Ainda outra implicação é que, visto dessa forma, o universo poderia estar expandindo em quantidade de informação, ao invés de simples extensão do espaço. Uma quantidade maior de informação disponível para o universo poderia representar uma quantidade maior de mapeamento de seus elementos, o que pode ser traduzido como uma expansão do espaço. O big-bang poderia ser interpretado como uma explosão informacional que mantém o universo como uma única partícula infinitesimal.





* Entropia
do ponto de vista da Teoria da Informação