Projeto de Aula - Função Exponencial
Autor: Adelia | Publicado: 2012-06-17T07:06:00-07:00


Dados da aula

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1-Título: Aplicações da Função Exponencial no dia a dia



2-O que o aluno poderá aprender com esta aula

- Identificar a função exponencial e aprender noções básicas, assim como suas aplicações no dia a dia.

- Compreender através da Função Exponencial a forma de reprodução de bactérias.

- Resolver problemas relativos à Função Exponencial com o uso da calculadora em atividades envolvendo o cálculo de juros compostos e na descrição da evolução de populações. 



3-Duração: 

&nbsp;4 aulas de 50 minutos cada





4- Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Expoente inteiro não-negativo

Expoente inteiro negativo

Propriedades das potências 

Definição da Função Exponencial e o reconhecimento da sua lei de formação

Gráfico da Função Exponencial



5-Estratégias e recursos da aula



Passo 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A turma foi levada ao laboratório de informática e foi pedido que a mesma se dividisse em equipes de três alunos por computador, para fazer uma pesquisa sobre as aplicações da Função Exponencial no dia a dia, explorando assuntos como reprodução de bactérias e na descrição da evolução das populações. Ao final da pesquisa eles deveriam expor por meio de apresentações do assunto pesquisado.

Passo 2

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Foi iniciada a apresentação dos trabalhos feitos pelos alunos, na qual, eles resolveram problemas envolvendo as bactérias e o crescimento populacional. A seguir, estão as atividades resolvidas pelos alunos, na qual, tiveram o auxílio da calculadora disponível em seus celulares para efetuarem os cálculos.



Passo 3

Atividade 1

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de t dias?

Solução:

milhões de bactérias
Ao fim de 1 dia 1 + 0,5 = 1,5
Ao fim de 2 dias 1,5 + 0,5x1,5 = 1,5(1 + 0,5) = 1,52
Ao fim de 3 dias 1,5 + 0,5x1,52 = 1,52 (1 + 0,5) = 1,53
&nbsp;......
Ao fim de t dias ................................................................ 1,5t
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vemos que o número de milhões de bactérias, ao fim de t dias, é dado por uma potência de expoente variável (exponencial).
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Sabemos que esta potência tem significado para qualquer valor real de t; no início da contagem é t = 0 e antes desse instante é t &lt; 0.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Sabemos, também, que os valores de 1,5t são sempre positivos. Portanto, temos a correspondência:

f: lR &nbsp;lR

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; t &nbsp;1,5t
que se chama função exponencial de base 1,5.


Atividade 2

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Um país contraiu em 1829 um empréstimo de 1 milhão de dólares, para pagar em cem anos, à taxa de juros de 9% ao ano. Por problemas de balança comercial, nada foi pago até hoje, e a dívida foi sendo “rolada”, com capitalização anual dos juros. Qual era, aproximadamente, o valor da dívida em 1989? Para os cálculos, adotados, adote (1,09)8 = 2 e 210 = 103.

Solução:

Valor do empréstimo é o Capital inicial: C = 1.000.000 transformando em potência 106

Taxa de Juros Compostos: i = 9% ao ano ou 0,09 a.a

Tempo: t = 1989 – 1829 = 160 anos = 8.20

Aplicando na fórmula de Juros Compostos

J = C(1 + i)t

J = 106(1 + 0,09)8.20

J = 106 ((1,09)8)20

J = 106 ( 210) 2

J = 106 . 10 3

J = 109 = 1.000.000.000

Total da dívida em cem anos: Capital + Juros: 1.000.000 + 1.000.000.000 = 1.001.000.000



Atividade 3

A análise de uma cultura de bactérias registrou que existem, inicialmente, 1000 bactérias presentes e, após t minutos, a quantidade de bactérias é N(t)&nbsp; = 1000.20,8t . verifique se, em 10 minutos, a quantidade de bactérias presentes na cultura será superior a 2.105 .

Solução:

N (t) = 1000.20,8.10 

N (t) = 1000.28

N (t) = 1000.256

N (t) = 256000 

Logo, 256000 é maior que 2.105 = 200000



5 - Recursos Educacionais



Livro didático, caderno, caneta, calculadora, celular, Laboratório de informática, pincel e quadro branco.



6 - Avaliação



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ao final de todas as apresentações foi realizada uma avaliação sobre o conteúdo pesquisado, a fim de saber se os conteúdos foram compreendidos por todos. Por meio de um diálogo houve um questionamento sobre o que os alunos haviam aprendido com a pesquisa. Foram abordados os seguintes aspectos:

1. Houve a participação ativa de todos os envolvidos?

2. Como foi a participação individual de todos os membros de cada equipe?

3. Durante a elaboração das soluções dos problemas, existiu colaboração dos colegas na compreensão do assunto, esclarecimento de dúvidas?

4. Ao final foi satisfatória a aprendizagem?

5. Quais foram às dúvidas persistentes dos alunos?



Referências



BARRETO, Benigno Filho; SILVA, Cláudio Xavier Da. Matemática aula por aula. 1 ed. São Paulo: FTD, 2003