Autor: Graduandos 2012 em Matemática | Publicado: 2010-12-22T14:55:00-08:00


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&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE

AFOGADOSDA INGAZEIRA-FAFOPAI

DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA

PROFESSORA: ELIANA NOGUEIRA

Fátima Roberta de Oliveira

Estudo da Cônicas: história, definição e aplicações





História das Cônicas







&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Por volta de 350 a.c&nbsp; o geômetra grego Menaechmus (380 – 320 a.c) tentando resolver o problema da duplicação do cubo deu os primeiros passos na direção da Geometria Analítica. Na solução que obteve do problema ele utilizou duas curvas inventadas por ele: uma parábola e uma hipérbole, uma terceira curva denominada elipse surgiu como subproduto de sua invenção. Até hoje essas três curvas são chamadas secções cônicas.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Entretanto, foi Apolônio de Perga(260 – 200 ac) astrônomo e matemático grego nascido na cidade de perga que fez o primeiro estudo sistemático das cônicas. Apolônio atribuiu às cônicas a designação até hoje utilizada: Elipse, Hipérbole e Parábola. Apesar de não ter sido o primeiro matemático a falar das cônicas, pois Menaechmus já havia realizado trabalhos sobre as secções, foi Apolônio quem as batizou de Secções Cônicas e aprofundou o estudo sobre as mesmas, recebendo assim o título de Pai das Cônicas.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Apolônio fio considerado um dos mais originais e profundos matemáticos gregos, em sua época houve quem o categorizasse como o sexto homem da lista do doze homens mais notáveis do seu tempo. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; “As Cônicas” são a principal obra de Apolônio, composta por oito livros dos quais sobreviveram sete. Em tempos anteriores a essa obra as cônicas eram obtidas através de três tipos diferentes de cone circular reto de acordo com o ângulo do vértice: reto, agudo ou obtuso. Apolônio mostrou em sua obra que não seria necessário tomar secções perpendiculares a um elemento do cone e que através de um único cone seria possível obter todas as espécies de secções variando apenas a posição do plano que intersecta a superfície do cone.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Apolônio teve precursores no estudo das cônicas como: Menaechmus, Aristeu e Euclides, porém foi ele o matemático que mais estudou e desenvolveu as Secções Cônicas deixando várias contribuições sobre o estudo.



O que são Cônicas



Em geometria, entende-se por cônicas as curvas geradas através da intersecção de um plano que corta um cone. Em um cone existem três tipos de cortes que podem ser obtidos gerando a: Elipse, hipérbole e parábola.





Elipse é a cônica onde um plano inclinado em relação ao eixo intersecta todas as geratrizes. Pode ser definida ainda como o conjunto de pontos de um plano onde a soma das distancias desses pontos à dos pontos fixos (F1 e F2) é um constante (2a), maior que a distancia entre os pontos fixos.







São considerados elementos da Elipse:

Os focos (F1 e F2) dois pontos fixos dentro do plano, a distancia entre esses pontos é chamada de distancia focal e mede 2c.
O centro da elipse (0, 0) é considerado também o ponto médio entre os focos.
O eixo maior é o segmento que passa pelos focos e sua medida é 2a
O eixo menor é segmento que passa pelo centro e é perpendicular ao eixo maior.
Os pontos A1 e A2 são vértices.










Excentricidade na elipse é a razão entre a distancia focal e a distancia entre os vértices e = c/a. A excentricidade indica se a elipse é mais ou menos achatada, quanto maior o seu valor mais achatada é a elipse.



Equação da Elipse



O ponto de partida&nbsp; para chegar à equação da elipse é equação PF1 + PF2 = 2a, onde P é um ponto do plano e F1, F2 são os focos. 



&nbsp; d (P, F1)&nbsp; + d (P , F2)= 2a









&nbsp;Elevando ao quadrado a expressão e desenvolvendo chega-se à equação: 



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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Esta é a equação reduzida da elipse com focos no eixo (x) onde o denominador de x² é maior que o denominador de y², ou seja, a²&gt;b².

Existe um caso ainda em que a origem do sistema de coordenadas é centro da elipse e os focos estão localizados no eixo y, neste caso o denominador de x² é menor que o denominador de y² e a equação é escrita na forma: &nbsp;&nbsp;x²/b² + y²/a²=1.





A Hipérbole



Hipérbole é o conjunto dos pontos P de um plano onde a diferença (em módulo) da distancia desses pontos a dois pontos fixos (F1, F2) no plano é igual a uma constante: 2a, sendo 2a&lt;2c com F1F2 = 2c. ou é ainda a cônica definida na intersecção de um plano que penetra um cone de forma paralela ao seu eixo.





























Equação da Hipérbole



Considerando a hipérbole cujos focos pertencem ao eixo x e a origem do sistema de coordenadas é o ponto médio do segmento onde as extremidades são os focos tem-se:









Um ponto P (x, y) só pertence à curva se satisfazer a condição

&nbsp;│PF2 – PF1│= 2a&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 



Desta forma:&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;



Elevando ao quadrado e desenvolvendo a equação acima tem-se ao final a equação reduzida da hipérbole com focos sobre o eixo x: x²/a² +y²/b² = 1



Se os focos pertencerem ao eixo y a forma padrão da equação é: y²/a² + x²/b² = 1



A parábola é o conjunto dos pontos de um plano que tem a mesma distancia de um ponto fixo chamado foco e de uma reta d chamada diretriz, também fixa no plano, ou é ainda a cônica definida na intersecção de um plano que penetra a superfície de um cone. 




&nbsp; 

























São elementos da parábola:

O ponto F, foco da parábola
A reta d, diretriz da parábola,
O vértice (v) que também é ponto médio do foco à diretriz.
A reta que passa pelo foco &nbsp;e é perpendicular a diretriz, chamada de eixo de simetria da parábola.




Equação da Parábola:



Para obter a equação da parábola deve-se considerar dois casos:

Quando o sistema da coordenadas cartesianas com origem no vértice tem eixo de simetria contido no eixo (x). Neste caso, usando a formula da distancia, um ponto (P) só pertence á parábola se satisfazer à condição: d (F, P) = d (d, P)





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A equação será: y² = 2px



Se o eixo de simetria está contido no eixo (x) os pontos do plano podem ser maiores ou menores que zero, se (P&gt;0) a concavidade da parábola é voltada para direita, se (P&lt;0) a concavidade é voltada para a esquerda.

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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; P&lt;0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;P&gt;0



Quando o sistema de coordenadas cartesianas com origem no vértice tem eixo de simetria contido do eixo(y): d (F, P) = d (d, P)



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A equação será: x² =2py&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

Neste caso. Se o&nbsp; eixo de simetria está no eixo (y) os pontos do plano podem ser maiores ou menores que zero. Se (P&gt;) a concavidade da Parábola é voltada para cima. Se (P&lt;0) a concavidade da parábola é voltada para baixo.





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Aplicação das Cônicas



“Cada planeta move-se em torno do sol com uma trajetória que é uma elipse, da qual o sol ocupa um dos focos”.



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&nbsp;&nbsp;&nbsp; Esta foi uma das primeiras contribuições das cônicas no campo da astronomia. Acreditava-se há séculos atrás que a terra era o centro do universo e que os planetas giravam em volta da terra gerando órbitas circulares, foi o astrônomo e matemático alemão Johanes Kepler que após diversos trabalhos e observações astronômicas concluiu que as órbitas dos planetas eram elípticas e que estes giravam em torno do sol e não da terra como eram as concepções anteriores.

&nbsp;&nbsp;&nbsp; A aplicação das cônicas estende-se também à óptica e acústica, a propriedade da parábola de que todo raio luminoso que incide num espelho&nbsp;&nbsp; parabólico, paralelamente ao eixo, reflete-se passando por um ponto fixo é utilizada para justificar o funcionamento dos espelhos parabólicos que captam ondas de rádio, de radar ou de ondas eletromagnéticas.

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Na engenharia e arquitetura, pelas propriedades físicas e estéticas, as cônicas são utilizadas na construção de torres, cúpulas e pontes.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Na tecnologia atual as cônicas também têm aplicações, é através de algumas antenas parabólicas que torna-se possível receber programas de televisão estrangeiros. 





Conclusão





&nbsp;&nbsp; As descobertas e o desenvolvimento da matemática contribuíram de maneira&nbsp; bastante significativa para o crescimento da humanidade, tratando-se em especial das formas cônicas que surgiram por volta de (260-200 ac ), são varias as suas aplicações seja no campo da astronomia, da engenharia e arquitetura, da óptica e acústica ou da tecnologia atual.

&nbsp;&nbsp; A importância do estudo das cônicas está em mostrar que mais do que formas e desenhos estas secções não foram reconhecidas por acaso pois foi através&nbsp; do estudo das&nbsp; mesmas que outras transformações ocorrem, uma das mais&nbsp; importantes foi em 1610 quando Johanes Kepler, astrônomo e matemático alemão, por meio de suas observações&nbsp; conclui que as órbitas dos planetas era elipses e não circunferências,&nbsp; com pensava-se antes, a partir daí outras revelações ocorreram, descobriu-se que o estudo das cônicas poderia ser aplicado na construção de torres e pontes, em satélites de comunicação, em faróis de&nbsp; navegação, antenas parabólicas entre outros.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Desta forma, é possível observar que por trás dos meios de comunicação e de tecnologia de dispomos hoje ouve a preocupação de diversos estudiosos em dar um passo na direção&nbsp; do desenvolvimento por meio de suas&nbsp; grandes descobertas.







Referencias Bibliográficas





&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; GIOVANNI, José Ruy, 1937 – Matemática, 3 : geometria analítica,números complexos,polinômios, limites e derivadas,noções de estática&nbsp; :&nbsp; 2º grau / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno. – São Paulo : FTD, 1992. 





&nbsp;&nbsp; DANTE, Luiz Roberto, Matemática, volume único/ Luiz Roberto Dante. 1. ed. 

São Paulo : Ática,2005.





www.wikipedia.org/wiki/parábola

http://pt.wikipedia.org/wiki/hip%25/Agrbole

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/historia.htm

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm15/aplicacoes.htm





COMENTÁRIO: A pesquisa e a produção escrita é importantíssima para a aprendizagem, o trabalho visa verificar a maturidade do aprendente com relação a determinado assunto, relacionado ao conjunto teórico da área de conhecimento do trabalho em questão.







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