1ª SÉRIE (Mat.)
Autor: Renato Corrêa | Publicado: 2012-01-14T13:51:00-02:00





Teoria de Conjuntos


Conjunto
é a reunião de elementos que possuem pelo menos uma característica em comum
entre eles, é representado por uma letra maiúscula do alfabeto.



Elemento
é um dos componentes do conjunto, em geral, é representado por uma letra minúscula
do nosso alfabeto.




Como exemplo, temos o conjunto
das vogais do alfabeto, este conjunto será representado pela letra M.

M = {a, e, i, o, u}, as letras a,
e, i, o, u são os elementos do conjunto M.



Pertinência
é a característica associada a um elemento que faz parte do conjunto. Caso o
elemento pertença ao conjunto utilizamos o símbolo&nbsp;∈&nbsp;que se lê pertence, caso o elemento não
pertença ao conjunto, será utilizado o símbolo&nbsp;∉&nbsp;que se lê não pertence.





Como exemplo, vamos analisar o
conjunto das vogais do alfabeto.



M = {a, e, i, o, u} 



b&nbsp;∉&nbsp;M lê se b não pertence a M.



a&nbsp;∈&nbsp;M, lê se pertence a M.





Algumas características dos
conjuntos:

Os elementos de um conjunto estão dentro de duas
chaves.

O conjunto é descrito por uma ou mais
características.



Os conjuntos também podem ser
escritos pelas características que formam o conjunto.





Por exemplo, o conjunto V = {a,
e, i, o, u} também pode ser descrito como 


M = {x / x é vogal do
alfabeto}.



Diagrama
de Venn – é a representação gráfica do conjunto.








&nbsp; &nbsp;Alguns&nbsp;Conjuntos importantes:

&nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;

&nbsp; &nbsp;Conjunto vazio – é subconjunto de todos os
subconjuntos, não possui nenhum elemento e é representado por { } ou Ø.



&nbsp; &nbsp;Conjunto universo – é um conjunto que contém todos
os elementos do contexto no qual estamos trabalhando, e é representado pela
letra U.











&nbsp; Subconjuntos
– Dados dois conjuntos A e B, se A está contido em B, ou seja todos os
elementos de A pertencem a B, dizemos o conjunto A é subconjunto de B. Pois A
tem alguns elementos de B.



&nbsp;&nbsp;



&nbsp; Exemplo: A = {1, 2, 3} e B = {0,
1, 2, 3, 4}, como todos os elementos de A estão no conjunto B, dizemos que A é
subconjunto de B.




&nbsp; OBS: Caso os conjuntos A e B
tivessem os mesmos elementos também dizemos que A é subconjunto de B , e também
podemos dizer que B é subconjunto de A.



&nbsp;&nbsp;



&nbsp; Exemplo: A = {1, 2, 3} e B = {1,
2, 3}, podemos dizer que A é subconjunto de B e B é subconjunto de A pois os
dois conjuntos tem o mesmo elemento.



&nbsp; &nbsp;



&nbsp; Para calcularmos o número de
subconjuntos de um determinado conjunto basta calcularmos a equação 2n,
onde n é o número de elementos do conjunto.







&nbsp; Por exemplo, dado o conjunto A =
{ 1, 2, 3} possui 8 subconjuntos, pela equação podemos confirmar isto, pois 23
= 2 . 2 . 2= 8, mas quais são os subconjuntos?







&nbsp; Os subconjuntos de um conjunto
são conjuntos com 0 elementos, 1 elemento, 2 elementos, ... , até n elementos.







&nbsp; &nbsp;Então o conjunto A = {1, 2, 3}
com 3 elementos temos,





&nbsp; &nbsp;Com 0 elementos: o conjunto vazio
{ }&nbsp; - 1 subconjunto





&nbsp; &nbsp;Com 1 elemento: { {1}, {2}, {3}}&nbsp; - 3 subconjuntos





&nbsp; &nbsp;Com 2 elementos: { {1,2}, {1,3},
{2,3} – 3 subconjuntos





&nbsp; &nbsp;Com 3 elementos: { 1,2,3} – 1 subconjunto.





&nbsp; &nbsp;Temos 8 subconjuntos








&nbsp; &nbsp;Relação de Inclusão



&nbsp;&nbsp;



&nbsp; &nbsp;As relações de inclusão são está contido que é representado por&nbsp;⊂, não está contido que é representado por&nbsp;⊄, contém que é representado por&nbsp;⊃&nbsp;e não contém que é representado por&nbsp;⊅. Essas relações só podem ser utilizadas quando temos relações entre conjuntos, quando temos relações de elementos com conjuntos utilizamos pertence ou não pertence.

















&nbsp; &nbsp;Exemplo: 







&nbsp;&nbsp;Dados os conjuntos A = {1, 2, 3,
4, 5}, B = {1, 2, 3} e C = {3}, relacione as sentenças abaixo:











&nbsp; &nbsp;a)&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;∈ B





&nbsp; &nbsp;b) 4&nbsp;∉&nbsp;C





&nbsp; &nbsp;c) 0&nbsp;∉&nbsp;C





&nbsp; &nbsp;d) A ⊃ B





&nbsp; &nbsp;e) B ⊃ C





&nbsp; &nbsp;f) B ⊅ A





&nbsp; &nbsp;g) B ⊂ A








&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;União de
conjuntos&nbsp;






&nbsp; Dados dois conjuntos A e B, a união
destes dois conjuntos é a reunião de elementos do conjunto A e dos elementos do
conjunto B, também podemos representar este conjunto através de sua descrição
que é a seguinte:











&nbsp; &nbsp;A U B = {x / x&nbsp;∈&nbsp;A ou X&nbsp;∈&nbsp;B}





&nbsp;&nbsp;




&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Interseção
de conjuntos








&nbsp; &nbsp;Dados dois conjuntos A e B, a
interseção destes dois conjuntos é o conjunto de elementos que estão tanto no
conjunto A e do conjunto B, também podemos representar este conjunto através de
sua descrição que é a seguinte:





&nbsp; &nbsp;&nbsp;





&nbsp; &nbsp;A&nbsp;∩ B = {x / x&nbsp;∈ A e x&nbsp;∈ B}&nbsp;
&nbsp;&nbsp;
&nbsp; &nbsp;Diferença entre conjuntos




&nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp;&nbsp;Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre o conjunto A e o conjunto B é o conjunto formado pelos &nbsp;elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B, também podemos representar este conjunto através de sua descrição que é a seguinte:
&nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp;A - B = {x / x&nbsp;∈ A e x&nbsp;∉&nbsp;B}

&nbsp; &nbsp;Complementar de um conjunto


&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp;Dados dois conjuntos A e B, o complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por&nbsp;CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, são os elementos que tem no conjunto A e não tem no conjunto B, também podemos representar este conjunto através de sua descrição que é a seguinte:



&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;CAB&nbsp;= A – B =&nbsp;{x / x&nbsp;∈ A e x&nbsp;∉&nbsp;B}

&nbsp; &nbsp;OBS: Para existir complementar de um conjunto B em relação ao conjunto A necessariamente tem que satisfazer a seguinte condição:

&nbsp; &nbsp;&nbsp;B ⊂ A, todos os elementos de B estão contidos em A.

&nbsp; Exemplo:
&nbsp;&nbsp;
&nbsp; Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3} e C = {0, 1}, responda:

&nbsp; a) A&nbsp;U C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
&nbsp; b) A&nbsp;∩ B =&nbsp;{1, 2, 3}
&nbsp; c) B&nbsp;∩ C = {1}
&nbsp; d) A - B = {4, 5}
&nbsp; e) A - C = {2, 3, 4, 5}
&nbsp; f)&nbsp;CAC =&nbsp;∅, pois C&nbsp;⊄ A
&nbsp; g)&nbsp;CAB = {4, 5}



&nbsp; Conjuntos Numéricos

&nbsp;&nbsp;

&nbsp; Os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes, os conjuntos numéricos que vamos aprender é: Conjunto dos números naturais, conjunto dos números inteiros, conjunto dos números racionais, conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números reais.&nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; Conjunto dos números naturais
&nbsp;&nbsp;
&nbsp; O conjunto dos números naturais é representado por IN.
&nbsp; IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}


&nbsp; Conjunto dos números inteiros&nbsp;
&nbsp;&nbsp;
&nbsp; O conjunto dos números inteiros é indicado por Z.
&nbsp; Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
&nbsp; Repare que todos os números naturais pertencem ao conjunto dos números inteiros, com isso podemos dizer que IN é subconjunto de Z, já que IN está contido em Z, além de IN podemos destacar outros subconjuntos de Z que são:&nbsp;
&nbsp; &nbsp;
&nbsp; Conjunto dos inteiros não negativos (Z+)= {0, 1, 2, ...}
&nbsp; Conjunto dos inteiros não positivos (Z-)= {..., -2, -1, 0}
&nbsp; Conjunto dos inteiros positivos (Z*+)= {1, 2, 3, 4, ...}




&nbsp; Conjunto dos inteiros negativos (Z*-) = {..., -3, -2, -1}

&nbsp; Conjunto dos números racionais

&nbsp; O conjunto dos números racionais formados pela fração a\b, onde a pertence a Z e B pertence a&nbsp;Z*, já que não pode ter zero no denominador, utilizamos a letra Q para simbolizar o conjunto dos números racionais, e como os dois números da fração são números inteiros podemos afirmar que todos os números inteiros estão incluídos no conjunto dos nú,eros racionais, onde podemos concluir que&nbsp;o conjunto dos números inteiros é um subconjunto dos números racionais.
&nbsp; alguns exemplos de números racionais {..., -3,4, -3, -2, -1, -0,5, 0, 0,5, 1,...}.
&nbsp; &nbsp;
&nbsp; podemos escrever o conjunto dos números inteiros através da expressão abaixo.
&nbsp; Q = {x\ x = p\q , com p&nbsp;∈ Z e q&nbsp;∈&nbsp;Z*}
&nbsp;&nbsp;
&nbsp; Obs: As dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais.

&nbsp; &nbsp;Conjunto dos números irracionais

&nbsp; &nbsp;O conjunto dos números irracionais é formado por todos os números que não são quocientes de inteiros e que podem ser representados por decimais não periódicos infinitos, é representado pela letra I.
&nbsp;&nbsp;
&nbsp; Alguns exemplos de números irracionais:
&nbsp;&nbsp;p =&nbsp;3,1415926535897932384626433832795...
&nbsp;&nbsp;√2 = 1,41421356...
&nbsp;&nbsp;√3 = 1,73205081...

&nbsp; Conjunto dos números reais&nbsp;
&nbsp;&nbsp;
&nbsp; O conjunto dos números reais é a união de todos os elementos do conjunto dos números racionais(Q) e do conjunto dos números irracionais(I), o conjunto dos números reais é simbolizado por R.
&nbsp;&nbsp;
&nbsp; Para uma melhor compreensão podemos representar estes conjuntos através do Diagrama de Venn.










&nbsp; &nbsp; &nbsp;Intervalos Reais

&nbsp;&nbsp;

&nbsp; &nbsp;O conjunto dos números reais(R), possui subconjuntos denominados intervalos. Estes intervalos são obtidos através de desigualdades. Sejam os números reais a e b, com a &lt; b, temos os conjuntos:



&nbsp; 1 - intervalo aberto em a e b:







&nbsp; 2 -&nbsp;&nbsp;Intervalo fechado em&nbsp;a&nbsp;e&nbsp;b&nbsp;:&nbsp;





&nbsp; &nbsp;&nbsp;

&nbsp; &nbsp; &nbsp;3 -&nbsp;Intervalo fechado à esquerda ou aberto à direita de em&nbsp;a&nbsp;e&nbsp;b:









4 -&nbsp;Intervalo fechado à direita ou aberto à esquerda de em&nbsp;a&nbsp;e&nbsp;b:









União e Interseção de intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x &gt; 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 &lt; x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}




&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;



&nbsp; O que precisamos saber desta parte para o nosso estudo são as relações de pertinência e de inclusão nos conjuntos numéricos. Para mais esclarecimentos abaixo encontra-se um link para um vídeo contendo explicações para facilitar ainda mais.

&nbsp; &nbsp;

&nbsp;&nbsp;http://www.youtube.com/watch?v=i50d2i5jsLc



&nbsp; &nbsp; &nbsp;Não deixe de visitar os exercícios da sua série.