Aula 01: Matrizes
Autor: Fransuelton Gomes | Publicado: 2012-05-21T16:43:00-07:00


Definição de matrizUma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn&nbsp;associa um número real (ou complexo).Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.
a(1,1)a(1,2)...a(1,n)
a(2,1)a(2,2)...a(2,n)
............
a(m,1)a(m,2)...a(m,n)



Definições básicas sobre matrizesOrdem:&nbsp;Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
Posição de um elemento:&nbsp;Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
Notação para a matriz:&nbsp;Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].
Diagonal principal:&nbsp;A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
Matriz quadrada&nbsp;é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.
A&nbsp;diagonal secundária&nbsp;de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)
Matriz diagonal&nbsp;é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
Matriz real&nbsp;é aquela que tem números reais como elementos.
Matriz complexa&nbsp;é aquela que tem números complexos como elementos.
Matriz nula&nbsp;é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
Matriz diagonal&nbsp;é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.



Exemplos de matrizesMatriz 4x4 de números reais:
12-6718
-23-2400
0050
0009
Matriz 4x4 de números complexos:
12-6+i7i
-i-2400
005+i5-i
0009
Matriz nula com duas linhas e duas colunas:
00
00
Matriz nula com três linhas e duas colunas:
00
00
00
Matriz identidade com três linhas e três colunas:
100
010
001
Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:
23000
0-5600
0000
000100



Matrizes iguaisDuas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:a(i,j) = b(i,j)para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Exercício:&nbsp;Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:

12
34
=
x-1y-1
x+yx2




Soma de matrizes e suas propriedadesA soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por:c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)para todo par ordenado (i,j) em Smn.Exemplo:&nbsp;A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.

-2310
79
+
105
89
=
-1315
1518



Propriedades da soma de matrizesA1: Associativa:&nbsp;Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:(A + B) + C = A + (B + C)A2: Comutativa:&nbsp;Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:A + B = B + AA3: Elemento neutro:&nbsp;Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:0 + A = AA4: Elemento oposto:&nbsp;Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:A + (-A) = 0


Multiplicação de escalar por matriz e suas propriedadesSeja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por:c(i,j) = k. a(i,j)para todo par ordenado (i,j) em Smn.Exemplo:&nbsp;A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:
-4
-210
79
=
-8-40
2836



Propriedades da multiplicação de escalar por matrizE1: Multiplicação pelo escalar 1:&nbsp;A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:1.A = AE2: Multiplicação pelo escalar zero:&nbsp;A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:0.A = 0E3: Distributividade das matrizes:&nbsp;Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:k (A+B) = k A + k BE4: Distributividade dos escalares:&nbsp;Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:(p + q) A = p A + q A


Multiplicação de matrizesSeja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz C=A.B, definida por:c(u,v) = a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)para todo par (u,v) em Smr.Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
somar os quatro produtos obtidos anteriomente.
Assim:c23&nbsp;= a21&nbsp;b13&nbsp;+ a22&nbsp;b23&nbsp;+ a23&nbsp;b33&nbsp;+ a24&nbsp;b43Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.

a11a12a13a14
a21a22a23a24
a31a32a33a34
a41a42a43a44
×
b11b12b13b14
b21b22b23b24
b31b32b33b34
b41b42b43b44
=
c11c12c13c14
c21c22c23c24
c31c32c33c34
c41c42c43c44

Observação:&nbsp;Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.


Propriedades da multiplicação de matrizesPara todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:M1: Nem sempre vale a comutatividade:&nbsp;Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:

123
246
369
×
12
35
79

M2: Distributividade da soma à direitaA (B+C) = A B + A CM3: Distributividade da soma à esquerda(A + B) C = A C + B CM4: AssociatividadeA (B C) = (A B) CM5: Nulidade do produto:&nbsp;Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:

01
00
×
02
00
=
00
00

M6: Nem sempre vale o cancelamento:&nbsp;Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:

01
00
×
05
00
=
02
00
×
05
00

mas as matrizes A e B são diferentes.


Matrizes com propriedades especiaisUma matriz A é&nbsp;nilpotente&nbsp;de índice k natural, se:Ak&nbsp;= 0
Uma matriz A é&nbsp;periódica&nbsp;de índice k natural, se:Ak+1= A
Uma matriz A é&nbsp;idempotente, se:A2&nbsp;= A
As matrizes A e B são&nbsp;comutativas, se:A B = B A
As matrizes A e B são&nbsp;anti-comutativas, se:A B = - B A
A matriz&nbsp;identidade&nbsp;Id&nbsp;multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer sentido.Id&nbsp;A = A
A matriz A será&nbsp;a inversa da matriz&nbsp;B, se:A B = Id&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;B A = Id



A transposta de uma matriz e suas propriedadesDada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matrizAt&nbsp;= [a(j,i)]e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de At.

Propriedades das matrizes transpostasT1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.(At)t&nbsp;= AT2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.(kA)t&nbsp;= k (At)T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.(A + B)t&nbsp;= At&nbsp;+ BtT4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem&nbsp;trocada.(A B)t&nbsp;= Bt&nbsp;At


Matrizes simétricas e anti-simétricas e suas propriedadesUma matriz A é&nbsp;simétrica&nbsp;se é uma matriz quadrada tal que:At&nbsp;= AUma matriz A é&nbsp;anti-simétrica&nbsp;se é uma matriz quadrada tal que:At&nbsp;= -A

Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricasS1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A+At&nbsp;é simétrica.S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A-At&nbsp;é anti-simétrica.S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A=S+T, e neste caso:S =(1/2)(A + At)&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;T =(1/2)(A - At)