CIRCUNFERÊNCIA, CÔNICAS E GEOMETRIA ANALÍTICA.
Autor: Leonardo | Publicado: 2011-09-02T12:48:00-03:00


Neste artigo abordaremos a definição e as equações analíticas da circunferência, da elipse e da hipérbole, bem como algumas aplicações dos mesmos em exercícios.
1.0 &nbsp; DEFINIÇÃO GERAL.Em&nbsp;geometria, as cônicas&nbsp;são as&nbsp;curvas&nbsp;geradas na intersecção de um&nbsp;plano&nbsp;que atravessa um&nbsp;cone (daí o nome). Numa superfície em forma de cone, existem quatro tipos de intersecção que podem ser obtidos por esse processo e que resultam na:1)&nbsp;Elipse: a cônica obtida através da interseção de um plano que atravessa a superfície de um cone obliquamente à base do mesmo;2) Parábola:&nbsp;é a cônica também definida na intersecção de um plano que penetra a superfície de um cone e também a circunferência da base;3) Hipérbole: é a cônica definida na interseção de um plano que penetra um cone paralelo ao seu eixo;4) Circunferência, que é obtida através da intersecção de um plano que seja paralelo à base do cone.

fig.01: as cônicas; em A temos a parábola, em B na parte de baixo temos &nbsp;a &nbsp;circunferência e na parte de cima &nbsp;a elipse e em C temos a hipérbole. Fonte: wikipédia.

2.0 &nbsp; A CIRCUNFERÊNCIA.

2.1 &nbsp; DEFINIÇÃO E EQUAÇÕES.Geometricamente, a circunferência é o conjunto de todos os pontos que estão a uma igual distância de um ponto central, sendo que essa distância é chamada de raio, que aqui designaremos pela letra 'r'; analiticamente falando, a circunferência é o lugar geométrico dos pontos que tem distância fixa de um determinado ponto P:


Sendo assim, se considerarmos um plano xOy, e um ponto C (Xo, Yo) que será o centro da circunferência, basta considerarmos um ponto genérico P (X, Y) e usarmos a definição dada para encontrarmos a equação analítica da circunferência:
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
&nbsp;(*)A equação encontrada em (*) é a chamada equação reduzida da circunferência. Se resolvermos os quadrados dos binômios e passarmos 'r' para o segundo membro, teremos:&nbsp;(**)Essa equação encontrada em (**) é a conhecida como equação geral da circunferência.
Feita essa definição, vamos fazer agora uma revisão útil para solucionarmos determinados problemas envolvendo circunferências.


2.2 &nbsp; POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA


2.2.1 &nbsp; &nbsp;INTERNO OU INTERIOR


Significa que a distância do ponto considerado até o centro da circunferência é menor que o raio dessa circunferência, ou seja, se A(X1, Y1) é um ponto interno da circunferência, e C(Xo, Yo) é o centro dessa circunferência, temos que:


2.2.2 &nbsp; &nbsp;EXTERNO OU EXTERIOR


Significa que a distância entre o ponto considerado até o centro da circunferência é maior que o raio dessa circunferência, e, do mesmo modo, se A(X1, Y1) é o ponto considerado e C(Xo, Yo) é o centro dessa circunferência:


2.2.3 &nbsp; PERTENCENTE À CIRCUNFERÊNCIAÉ quando o ponto fica exatamente sobre a circunferência, ou seja, a sua distância até o centro é igual ao raio dessa circunferência; sendo assim,&nbsp; se A(X1, Y1) é o ponto considerado e C(Xo, Yo) é o centro dessa circunferência:


Abaixo temos um esquema das três situações colocadas acima esboçadas em um gráfico:


fig. 02: &nbsp;o ponto vermelho é um ponto exterior, o ponto azul é um ponto interior e o ponto verde é um ponto pertencente à circunferência
2.3 &nbsp; RETAS E CIRCUNFERÊNCIA


Iremos ver agora as posições relativas entre uma reta e uma circunferência, lembrando que a distância entre uma reta de equação AX + BY + C = 0 e um ponto P(Xo, Yo) é dada por:


2.3.1 &nbsp;EXTERNA


É a reta que não cruza com a circunferência em nenhum ponto, ou seja, ela não tem pontos em comum com a circunferência; sendo assim, a distância dessa reta até a circunferência, em outras palavras, se 'd' é a distância do centro dessa circunferência até a reta dada e 'r' é seu raio, temos que:
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; d &gt; r

2.3.2 &nbsp; &nbsp;SECANTE


É a reta que cruza, secciona a circunferência, sendo assim, a reta secante tem dois pontos em comum com a circunferência, portanto, a distância do seu centro até a reta tem que ser menor que seu raio:
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; d &lt; r
Obs: da geometria plana, a reta suporte que contém o raio da circunferência dada e que passa pelo ponto médio determinado pela corda determinada pela reta secante é perpendicular a essa reta secante.


2.3.3 &nbsp; TANGENTE


É &nbsp;a reta que toca a circunferência em apenas um ponto, tendo como consequência que essa reta terá apenas um ponto em comum com essa circunferência, e logo, a distância da reta até seu centro é igual ao próprio raio da circunferência:
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; d = r
Obs: da geometria plana, qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular à reta suporte que contém o raio da mesma e que passa pelo ponto de tangência.


Abaixo temos uma visualização geométrica das três posições relativas entre a reta e a circunferência:


fig. 03: a reta vermelha é externa, a reta azul é uma secante e a reta verde é uma tangente.
2.3.4 &nbsp; &nbsp;DETERMINAÇÃO DOS PONTOS EM COMUM ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA


Para determinarmos os pontos em comum entre uma reta de equação PX + QY + K = 0 e uma circunferência de equação&nbsp;X2 + Y2&nbsp;+ AX + BY + C = 0, é só resolver o sistema de equações formado entre elas, que é de 2º grau, observando que:
• r é secante: Δ &gt; 0 ;• r é tangente: Δ = 0 ;• r é exterior: Δ &lt; 0 .
2.4 DUAS CIRCUNFERÊNCIAS 
Para essa parte, denotaremos por 'C1' e 'C2' os centros das duas circunferências, 'd' a distância entre seus centros, e 'R1' e 'R2' os seus raios


2.4.1 &nbsp; CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES


É quando duas circunferências possuem dois pontos em comum, ou seja, possuem dois pontos em comum:


fig. 03
Para duas circunferências serem secantes, é necessário que |R1 - R2| &lt; d &lt; R1 + R2, e veja também que o segmento de reta AB é perpendicular à reta suporte que contém a distância entre C1 e C2.


2.4.2 &nbsp; CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERNAS


É quando duas circunferências possuem um ponto em comum e estão externas uma em relação a outra:


fig. 04
E para a situação acima acontecer, deve-se ter d = R1 + R2.


2.4.3 &nbsp; CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERNAS


Acontece quando duas circunferências tem um ponto em comum e são internas uma em relação a outra:


fig. 05


Para tal situação acontecer, devemos ter d = |R1 - R2|


2.4.4 &nbsp;CIRCUNFERÊNCIAS EXTERNAS


É a situação na qual duas circunferências não tem pontos em comum:


fig. 06
Veja que d &gt; R1 + R2.


2.4.5 &nbsp; CIRCUNFERÊNCIAS INTERNAS


É a situação na qual duas circunferências não tem pontos em comum e uma localiza-se internamente a outra: 


fig. 07
Para isso, devemos ter d &lt; |R1 - R2|.


2.4.6 &nbsp; CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS. 


É um caso especial de circunferências internas no qual d = 0, ou seja, as circunferências tem o centro em comum:


fig. 08


3.0 &nbsp; A ELIPSE 



A elipse é o nome dado ao lugar geométrico dos pontos do plano tais que a soma das distâncias de qualquer ponto&nbsp;desse lugar geométrico a dois pontos fixos, chamados focos, é constante e igual a 2a.Abaixo listaremos seus principais elementos:

fig. 08


Centro: o ponto (Xo, Yo)
Eixo maior: o segmento AD = 2a
Eixo menor: o segmento BC = 2b
Distância focal: a distância entre os focos Fi e F2 = 2c
Relação notável:&nbsp;a2 = b2 + c2
Excentricidade: a razão entre 'c' e 'a' -&gt; e = c/a. Se 'e' tende a zero, a elipse tende a ser menos achatada e se parecerá com uma circunferência; se 'e' tende a um, a elipse será bem achatada.&nbsp;

Agora, vamos achar a equação de uma elipse com centro na origem O(0,0) e eixo maior paralelo ao eixo das abscissas:

fig. 09
Se a elipse tiver centro no ponto C(Xo, Yo), a equação será:OBS. 01: Repare que se a = b, caímos na equação de uma circunferência:(X – Xo)2 + (Y – Yo)2 = r2assim, concluímos que toda circunferência é um caso particular de uma elipse.
OBS. 02: Se a elipse tiver seu eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas, sua equação será: 


Dica sobre elipses!!!


• Para identificar se o eixo focal da elipse é paralelo ao eixo Ox ou Oy, basta olhar para a equação. Se
a2&nbsp;&nbsp;estiver embaixo do termo x, ela terá seu eixo maior paralelo ao&nbsp;eixo Ox. Se o&nbsp;a2&nbsp;estiver embaixo do termo y, a elipse tem eixo maior paralelo ao eixo Oy.

4.0 &nbsp; HIPÉRBOLE.

4.1 &nbsp; DEFINIÇÃO:
Dados dois pontos distintos F1 e F2, tais que a distância entre eles seja constante e igual a 2c, e uma certa distância 2a, tal que 2a &lt; 2c. A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P de um plano tais que |d(PF1) - d(PF2)| = 2a:

fig. 10

4.2 &nbsp; ELEMENTOS:

fig. 11
Centro: ponto médio de F1 e F2;
Focos: F1 e F2;
Eixo real: A1A2;
Pontos de intersecção de F1F2&nbsp;com A1A2: A1 e A2;
Segmento focal: F1F2
Eixo imaginário: B1B2, sendo que este é perpendicular a &nbsp;A1A2
Distância focal: d(F1F2) = 2a
Eixo transverso ou eixo imaginário: d(B1B2) = 2b 
Semi eixo real: d(CA1) = a
Semi eixo imaginário: d(CB1) = b
Excentricidade: é a razão entre 'c' e 'a', e = c/a
Relação notável:&nbsp;c2 = a2 + b2
OBS:

Dizemos que uma hipérbole é equilátera se o comprimento do eixo focal é igual ao comprimento do eixo não-focal, isto é, a = b.

Duas hipérboles tais que o eixo focal de cada uma é igual ao eixo não-focal da outra são denominadas hipérboles conjugadas. Como os retângulos de base de duas hipérboles conjugadas&nbsp;são iguais, elas têm o mesmo centro, mesmas assíntotas e os focos a uma mesma distância do centro.



4.3 &nbsp; EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE. 


4.3.1 &nbsp; EIXO REAL HORIZONTAL.


fig. 12
A equação reduzida da hipérbole nesse caso é dada por:
Onde (Xo, Yo) é o centro da hipérbole e 'a' e 'b' são respectivamente os semi-eixos real e imaginários da hipérbole.


4.3.2 &nbsp; &nbsp;EIXO REAL VERTICAL


fig. 13
Nessa situação, a hipérbole terá a seguinte equação:


4.4 &nbsp; &nbsp;ASSINTOTAS DA HIPÉRBOLE. 


Entendemos como assintotas da hipérbole as retas que passam pelo centro da hipérbole e acompanham seus ramos, sem jamais tocá-los, ou seja, a hipérbole e assintotas não tem pontos em comum:


fig.14: as assíntotas da hipérbole
Numa hipérbole de eixo horizontal. o coeficiente angular das assíntotas são dadas por m = +/- b/a, e na de eixo vertical, as declividades são dadas por m = +/- a/b, e suas equações são dadas por:

Eixo vertical: Y - Yo = +/-b/a.(X - Xo)
Eixo vertical: Y - Yo = +/-.a/b.(X - Xo)

5.0 &nbsp; &nbsp;A PARÁBOLA

5.1 &nbsp; DEFINIÇÃO:

Desde cedo, os estudantes tem contato com essa cônica ao estudarem por exemplo, as funções de segundo grau, cujo gráfico é uma parábola. Todavia, a geometria analítica trabalha com parábolas cujo gráfico não é uma função. Consideremos então uma reta 'r' e um ponto 'F', fora de 'r'; a parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano tais que:
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;d(P,r) = d(P,F)


fig. 15: a parábola e seus elementos.
5.2 &nbsp; &nbsp;ELEMENTOS:

Foco: o ponto F;
Diretriz: a reta r;
Vértice: o ponto V;
Eixo de simetria: a reta que passa por V e é perpendicular à diretriz;
Parâmetro: a distância do foco até a reta diretriz.
5.3 &nbsp; &nbsp;EQUAÇÕES:
Agora, iremos postar as quatro equações básicas da parábola, bem como a situação em que cada uma ocorre. Não faremos a dedução da equação da parábola em nenhum casa, mas caso queira fazer isso, use a definição dada em 5.1.
5.3.1:

fig. 16
Neste primeiro caso, a diretriz é paralela com o eixo das abscissas e a concavidade da parábola é para cima, assim, sua equação é dada por:

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(X – Xv)2 = 2p.(Y – Yv)
5.3.2:


fig. 17

Neste segundo caso, a diretriz é paralela com o eixo das abscissas e a concavidade da parábola é para baixo, assim, sua equação é dada por:

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(X – Xv)2&nbsp;= - 2p.(Y – Yv)

5.3.3:


fig. 18

Neste terceiro caso, a diretriz é paralela com o eixo das ordenadas e a concavidade da parábola é para a direita, assim, sua equação é dada por:

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(Y – Yv)2&nbsp;= 2p.(X – Xv)

5.3.4:


fig. 19


Neste quarto caso, a diretriz é paralela com o eixo das ordenadas e a concavidade da parábola é para a direita, assim, sua equação é dada por:

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(Y – Yv)2&nbsp;= - 2p.(X – Xv)



5.4 APLICAÇÕES PRÁTICAS:
Em nosso dia-a-dia, as parábolas são utilizadas em diversos equipamentos e sistemas de vital importância para nossa sociedade. Dentre eles, podemos destacar:Antenas parabólicas e Radares: é&nbsp;comum observarmos no alto de residências e edifícios as Antenas Parabólicas, que captam ondas eletromagnéticas que são enviadas por satélites em órbita ao redor da terra. Isto somente é possível devido à propriedade da parábola de refletir o conjunto de raios recebidos em um único ponto (o foco da parábola). Neste ponto encontra-se posicionado o receptor de ondas, que enviará o sinal recebido para um conversor que as decodificará e enviará para o receptor de televisão. Os aparelhos de radar operam de forma semelhante às antenas parabólicas, recebendo o eco de pulsos eletromagnéticos.
Faróis de veículos: os refletores parabólicos de faróis e lanternas permitem que a luz da lâmpada localizada no foco se propague em raios paralelos ao eixo da parábola formando o facho.&nbsp;As lentes parabólicas posicionadas na parte de trás dos faróis dos veículos permitem que a luz gerada pelos mesmos seja direcionada para um ponto específico, o foco da parábola, que normalmente é apontado para o solo, evitando desta forma que a luz de um carro ofusque a visão de um motorista que venha em direção oposta.
Lançamento de projéteis: quando lançamos um objeto (míssil, pedra, flecha, etc.), desprezando a resistência do ar, este descreve uma curva parabólica. Por que isso? Devido a combinação dos movimentos horizontal e vertical, todo objeto arremessado para cima tem a trajetória vista do solo em formato de parábola.
6.0 &nbsp; REFERÊNCIAS:Matemática: construção e significado/obra coletiva concebida e desenvolvida pela Editora Moderna; editora responsável: Juliane Matsubara Barroso - São Paulo, 2008.
Sousa, Maria Helena Soares de. Matemática 2° grau, São Paulo, Scipione, 2001.
Wikipédia, a enciclopédia livre:&nbsp;http://pt.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:P%C3%A1gina_principal.

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