Tarefa do 3º Bimestre
Autor: Prof. José Eduardo | Publicado: 2011-08-27T16:44:00-07:00

Olá alunos!Esta é a nossa terceira tarefa. Vocês devem ler o texto e responder as questões que se encontram logo abaixo do mesmo.&nbsp;Leiam com muita atenção! As questões devem ser respondidas e enviadas para o e-mail: jeduardolante@gmail.com&nbsp;As perguntas referentes ao texto devem ser repondidas com suas próprias palavras, podendo conter citações de partes do texto. As  respostas não podem ser cópias do texto. Vocês tem até o dia 15/09/2011  para enviar suas respostas, não deixem para última hora!Vamos lá galera, muita disposição! Aguardo a participação de todos.Abraços,José Eduardo. 
História dos Números Complexos
A   história dos números  complexos revela-se fascinante. Registros  históricos mostram  que, em  2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade  da subtração. Os números  que  conhecemos como inteiros negativos  são resultados de certas   subtrações. Por exemplo, em notação moderna,  o resultado da subtração 5 –  10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao  longo da História, &nbsp;à  pressão  da curiosidade de multiplicar números negativos  dando origem ao  conjunto numérico que atualmente  denominamos de  conjunto dos Números  Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550   AC) acreditavam que o  mundo poderia ser compreendido por meio de  razões da  forma m/n  (racionais) com m e n naturais e n distinto de   zero. Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da  diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é   . Ora,   &nbsp;não é razão de naturais! Além disso, os Pitagóricos descobriram muitos outros desse tipo:   ,&nbsp;   ,   ,   , ... .
Portanto,  por necessidades  intrínsecas  da investigação matemática, o universo dos  números naturais  foi  expandido amplamente. Durante o desenvolvimento da Álgebra,  na  Idade  Média, os matemáticos italianos exploraram vários tipos de   equações e  classificaram suas soluções. Essa investigação mostrou que  algumas   equações não possuíam solução em termos dos números conhecidos.  Um dos  problemas enfrentados consistia na solução da equação x² + 1 =  0. Essa  equação não parecia ter solução, pois contrariava o fato de que  todo  número real  distinto de zero, quando elevado ao quadrado, é  positivo.  Os matemáticos indianos  e árabes, quando se deparavam com  essas  equações se recusavam a definir algum  símbolo para expressar a  raiz  quadrada de um número negativo, pois consideravam o problema   completamente sem sentido. No Século XVI, raízes quadradas de  números   negativos começaram a aparecer em textos algébricos, porém os autores   frisavam que as expressões não possuíam significado e utilizavam termos    tais como ”fictícias”, “impossíveis”, “sofisticadas”, para   mencioná-las. O matemático alemão Leibniz (1646-1716), um dos inventores   do Cálculo Diferencial, atribuía à raiz quadrada de –1 um certo  caráter  metafísico interpretando-a como uma manifestação do “Espírito  Divino”; a  mesma  sensação de espanto sucedeu com o matemático suíço  Lenhard  Euler.Alguns  matemáticos   europeus, em particular os italianos Gerolamo Cardano e  Rafaello  Bombelli,  introduziram os números complexos na Álgebra,  durante o  Século XVI, quando eles  assumiram a existência de raízes  quadradas de  números negativos, apesar de  considerarem tais raízes  “números  impossíveis” e, assim, denominá-los “números imaginários”. Por  esse  motivo, até hoje perdura o nome de números  imaginários quando  nos  referimos a raízes quadradas de números negativos. Postulando  a   existência de raízes quadradas de inteiros negativos, e assumindo que i  é solução da equação x² + 1 = 0, ou seja, axiomatizando–se que i  satisfaz a relação i² = –1, pode-se efetuar operações envolvendo  i e os números reais. Dessa forma, para qualquer número real positivo a, a raiz quadrada do número negativo –a é i  , ou seja,&nbsp;   &nbsp;=&nbsp; i   .
Dados os números reais  c e d, podemos multiplicar d  por i e obter  i d, e adicionar a c para obtermos c + i  d.  Em geral, qualquer número complexo é escrito como c + d i,  onde c é denominado “parte real” e d “parte imaginária”.&nbsp;  Portanto, obtemos números da forma c + i d  formando o conjunto dos números complexos. No conjunto dos  números complexos, podemos adicionar e multiplicar formando  uma  estrutura algébrica denominada corpo dos números complexos.Os  matemáticos  costumam representar os números  reais como pontos em uma  reta denominada de reta  real, onde a cada  ponto corresponde um único  número real e a cada número real associam um  único ponto dessa reta.  Como a raiz quadrada de um número  negativo não  pode ser representada  nessa reta, persistiu um impasse até o Século   XIX.   O primeiro a  propor uma visualização dos complexos  identificando-os como   pontos do plano bidimensional foi o autodidata  norueguês Caspar Wessel  em 1797.  Essa idéia foi redescoberta por  Jean-Robert Argand, um  contador suíço, que publicou  um livro em 1860  sobre o assunto, e  também pelo genial matemático alemão  Karl Friedrich  Gauss. Como era  impossível associar um ponto da reta real à  raiz  quadrada de um número  negativo, a questão foi resolvida associando-se   aos números  imaginários pontos sobre uma reta perpendicular à reta real,  passando   pelo ponto zero, e dessa forma criando um sistema de  coordenadas  cartesianas.  Nesse sistema, os números reais são colocados  sobre o  eixo horizontal,  denominado eixo real, e todos os  números  imaginários sobre a reta perpendicular à  reta real, passando  pelo zero  da reta real horizontal, denominado de eixo  imaginário. Como   &nbsp;=&nbsp;     &nbsp;= i  , todos os números&nbsp; imaginários podem ser colocados no eixo imaginário como múltiplos de i =   .
 Portanto, não só os  imaginários passam  a ter uma representação  gráfica, como as combinações  possíveis de  reais e imaginários, ou seja, os  números complexos, são  representados  por pontos no plano definido pelos eixos  real e  imaginário, denominado  plano complexo.O  talento e a  genialidade de Gauss levaram a um  dos resultados mais  profundos da Matemática, o  Teorema Fundamenta  Álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui  solução no  corpo dos números complexos.  Além desse resultado  importantíssimo, a  álgebra dos números complexos  originou uma nova área de investigação — a  Análise Complexa — que tem  um papel fundamental no desenvolvimento da   Álgebra e da Teoria dos  Números. Os números complexos representam uma  das  estruturas mais  importantes da Ciência. Atualmente, é impossível  imaginar a  Engenharia  Elétrica, a Aerodinâmica, ou a Dinâmica dos  Fluidos, sem os números  complexos. A Mecânica Quântica faz uso dos  números complexos e, na   Teoria da Relatividade de Einstein, o espaço  tridimensional é visto  como real e a  dimensão relativa ao tempo como  imaginário.&nbsp;


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Números Complexos, uma abordagem histórica&nbsp;
A questão central desta página é "Como surgiram os Números Complexos?".A  maioria das pessoas, quando confrontadas com esta questão respondem que  surgiram para resolver as equações de 2º grau da forma &nbsp;x2 + a = 0, sendo a um número positivo.&nbsp;No entanto, esta ideia está errada!A  abordagem aprofundada aos números complexos, apesar de ter sido feita a  partir do séc. XVIII, foi mencionada levemente por outros matemáticos  anteriores à data. No entanto, dada a incompreensão e o desconhecimento  destes números, tais matemáticos abandonaram o seu estudo.O primeiro matemático de que se tem conhecimento de se ter deparado com um problema que envolvia números complexos foi Héron de Alexandria (séc. I dC) no livro Stereometrica. Este pretendia resolver a expressão:


Mas como não havia o domínio atual sobre estes números, abandonou o seu cálculo.Por volta do ano 275 dC, Diophanto (200-284 aprox.) ao resolver um problema deparou-se com a equação 24x2 - 172x + 336 = 0. Como concluiu que não tinha soluções reais, não viu necessidade de dar sentido à raiz&nbsp;&nbsp;

&nbsp;Bhaskara  (1114-1185 aprox.), um dos indianos que mais perto chegou das ideias da  álgebra moderna (conhecia a regra "menos por menos dá mais", trabalhava  com coeficientes negativos, etc.) reconhecia que a equação &nbsp;x2 -  45x = 250 era satisfeita por dois valores x = 5 e x = -5 mas, dizia que  não considerava a segunda pois as pessoas não "apreciavam" raízes  negativas.Gerônimo Cardano  (1501-1576) considerava que o aparecimento de raízes quadradas de  números negativos na resolução de um problema indicava que o mesmo não  tinha solução. No entanto, foi Cardano que, em 1545, mencionou pela  primeira vez os números complexos. Na sua obra Ars Magna de Cardano,  falava do seguinte problema: "Determinar dois números cuja soma seja 10  e o produto seja 40". Para tal, considerou as expressões:


 Cardano ficou por aqui, não dando  significado a estas expressões, pondo de lado a "tortura mental"  envolvida, mas teve o mérito de ter sido o primeiro a considerá-las, até  porque neste tempo os números negativos eram evitados.
A  partir disto é possível derrubar a ideia errada de que os números  complexos surgiram com as equações do segundo grau. Os números complexos  apareceram sim, a partir das equações de terceiro grau.Mas, foram preciso cerca de 25 anos para este tema ser de novo considerado, por&nbsp; Raffaelle Bombelli (1526-1572) numa obra de nome Algebra.Ao resolver a equação x3 = 15x + 4, Bombelli utilizou a "fórmula de Cardano" obtendo a seguinte solução (em notação moderna):Ele  achou estranho este resultado porque conhecia todas as raízes da  equação, entre as quais&nbsp; x = 4. Teve então a estranha ideia de procurar a e b positivos tais que:  
Com alguma manipulação algébrica, usando as mesmas regras que usava para os números reais, mais a propriedade,


 chegou ao resultado a = 2 e b = 1, donde sai x = 4.O  próprio Bombelli não estava bem seguro do que havia criado. Para os  demais matemáticos da época, os números complexos eram vistos com  suspeita e quanto muito tolerados, na falta de melhor coisa.É  de referir que alguns matemáticos da época procuraram maneiras de  evitar o uso de tais números. Entre eles, Cardano foi o que mais tentou  evitar as "torturas mentais" envolvidas no uso de raízes quadradas de  negativos. No seu livro De Regula Aliza, de 1570, procurou  artifícios que contornassem o uso de tais raízes na resolução de  equações de 3º grau obtendo, somente, resultados vagos.&nbsp;Raffaelle Bombelli apresentou na sua obra Algebra as leis algébricas que regiam os cálculos entre números da forma :
  Em particular, mostrou que as 4 operações aritméticas sobre números  complexos produzem números desta forma.&nbsp;Ou seja, o conjunto dos  complexos é fechado para estas operações.Em 1629, Albert Girard (1595-1632) utiliza, efectivamente, o símbolo Ö-1 quando enuncia as relações entre raízes e coeficientes de uma equação.Um grande passo no estudo dos números complexos foi a sua representação visual. Em 1797, o dinamarquês Caspar Wessel  (1745-1818) representou, pela primeira vez, geometricamente os números  complexos, estabelecendo uma correspondência bijectiva entre estes e os  pontos do plano.
Este trabalho foi levado ao esquecimento, talvez por ter sido publicado  em dinamarquês e só por volta de 1806, quando publicado em francês por Jean Argand (1768-1822) ganhou o devido respeito. Por este motivo, esta representação ficou, indevidamente, ligada ao nome de Argand.


É  pois possível dizer que, apesar da sua história ser recente, os números  complexos envolveram o trabalho de vários matemáticos continuando,  ainda&nbsp; hoje, muitas questões em aberto.



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