Alguns Problemas Interessantes
Autor: dudu | Publicado: 2015-01-20T15:45:00-02:00


Ok, pessoal, estamos há algum tempo sem postar, então pra quebrar esse jejum separei alguns problemas que achei interessantes. São em nível de IME-ITA. Tente ver a ideia geral por trás de cada solução, elas são muito úteis para resolver problemas mais difíceis. Esperamos ajudar quem deseja treinar para a matemática apresentada nos concursos de tais institutos.



Vamos lá!





1- Quais os últimos três dígitos do quadrado do produto das raízes positivas da equação&nbsp;?



2- Na figura abaixo, o ponto P do menor arco A B dista 6 cm e 1 0 cm , respectivamente, das tangentes

AQ e BQ . Calcule a distância, em cm , do ponto P à corda A B .



3- Para quantos valores reais de p as três raízes de&nbsp;são números inteiros positivos?







4- Qual o valor de&nbsp;, onde u e v são números complexos não nulos satisfazendo&nbsp;?





5- Sejam X, Y e Z três números reais maiores que um que satisfazem&nbsp;,

então quanto vale&nbsp;?



6- Qual é o valor de&nbsp;?









Soluções:&nbsp;



1- Esse problema é bastante simples.&nbsp;



&nbsp;&nbsp;





Fazendo&nbsp;&nbsp;temos&nbsp;



Se&nbsp;&nbsp;sendo&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;então&nbsp;







Logo, os 3 últimos dígitos do quadrado do produto das raízes da equação são 995.



Dica: Quando estiver trabalhando com logaritmos tenha sempre em mente que log é uma função injetora.

Ou seja, log a = log b então a = b. Em demonstrações mais rigorosas vale a pena observar essa propriedade antes de usá-la (apenas escrever algo do tipo: "como log é uma função injetora, temos... ").



2-&nbsp;

Bem, vamos primeiro fazer uma figura com as informações que temos.&nbsp;







Sendo C, E e D as projeções de P sobre os lados AQ, AB e BQ do triângulo respectivamente temos:



#&nbsp;PDBE e PCAE são&nbsp;quadriláteros inscritíveis. Logo,



,&nbsp;,&nbsp;&nbsp;e&nbsp;.



Além disso, traçando os segmentos OA e OP vemos que OAP é um triângulo isósceles. Assim,&nbsp;e como&nbsp;&nbsp;= 90º temos que&nbsp;. E das propriedades de arco capaz,&nbsp;.&nbsp;



Assim,&nbsp;&nbsp;. Analogamente&nbsp;.&nbsp;



Assim,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;.



A dica é lembrar da relação entre CÂP e AÔP essa relação costuma ser esquecida.





3- Observe que 1 é raiz da equação independente do valor de p. (sempre vale a pena checar por algumas raízes triviais. Tente números como 1, 2, -1, -2 ... )



Assim, usando o método de Briot-Ruffini podemos fatorar da seguinte forma:&nbsp;



&nbsp;

Assim, sendo&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;as raízes da da equação temos:&nbsp;&nbsp;e&nbsp;.



Ao somar e adicionar 1 para tentar fatorar como&nbsp;&nbsp;não conseguirá muita coisa.&nbsp;



Por sorte (ou será que não?)&nbsp;,&nbsp;&nbsp;o que facilita a conta. Assim, podemos substituir p por&nbsp;.

Temos: &nbsp;





Assim,&nbsp;. Os divisores de 4351 são 1, 19, 229 e 4351. Assim, montamos a seguinte tabela.



 

  
Valor possível de&nbsp;

  
Valor de&nbsp;

  
Valor de 

  
  
Valor de

&nbsp;

  
Valor de 



 

  




  




  


&nbsp;

(Não é inteiro)

  



(Não é inteiro)

  




 

  


  


  


  


  


 




Observe que para cada valor possível de&nbsp;&nbsp;existe apenas um valor de&nbsp;&nbsp;tal que&nbsp;



Observe também que se fizermos&nbsp;&nbsp;obteremos os mesmos valores de&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;trocados, como nos interessa apenas quantos valores possíveis de P fazem as raízes serem inteiras positivas isso não faz diferença.



Além disso, não foram considerados os divisores negativos porque nesses casos, ao examinar, vê-se que não conseguiremos ambos,&nbsp;&nbsp;e&nbsp;, positivos.&nbsp;



Assim, só há um valor de p que faz &nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;serem inteiros positivos, que é p = 76.



A ideia principal de problemas desse tipo é procurar uma fatoração do tipo (aX + b)(cY-d) = E e analisar caso a caso lembrando que os números são inteiros (nem sempre se exige que eles sejam positivos) &nbsp;





4- Observe que&nbsp;&nbsp;caso contrário&nbsp;&nbsp;e os números são não nulos.



Assim, multiplicando por&nbsp;&nbsp;e dividindo por&nbsp;,&nbsp;que é diferente de zero, temos:&nbsp;



&nbsp;

Onde&nbsp;&nbsp;



Assim,&nbsp;







5 - Se&nbsp;&nbsp;então



.



Observe que&nbsp;





como&nbsp;&nbsp;temos&nbsp;.&nbsp;



Agindo de forma análoga pra Y e Z temos:&nbsp;







Logo,

&nbsp;



&nbsp;&nbsp;

&nbsp;como&nbsp;&nbsp;temos&nbsp;.



Analogamente temos&nbsp;&nbsp;e&nbsp;. Assim,










6- Vejamos, primeiro, quanto vale&nbsp;

.

&nbsp;Pela fórmula do binômio de Newton temos:







Observe que para p par temos que&nbsp;&nbsp;é real. Assim, com p = 2n temos&nbsp;







Assim,&nbsp;&nbsp;equivale a parte real de&nbsp;.&nbsp;logo, a parte real é&nbsp;.



A dica desse tipo de questão é tentar procurar um binômio de Newton que se pareça com a expressão procurada. No geral os fatores envolvidos no somatório podem dar dicas, mas ainda é preciso alguma criatividade. Eu tinha um professor que dizia que "Na primeira vez é mágica; a partir da segunda é técnica".&nbsp;




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Até mais.&nbsp;