Autor: coisasquevousupondo | Publicado: 2011-10-17T10:23:00-07:00

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Resumo
O presente artigo propõe uma reflexão acerca da noção de pluralidade no filosofo pré socrático Zenão de Eléia bem como explorar possíveis diálogos entre esse conceito na filosofia antiga e as idéias do matematico russo George Ferdinand Ludwig Cantor.&nbsp;&nbsp; Para o desenvolvimento desse objetivo a primeira parte do artigo propõe uma reflexão sobre o conceito de pluralidade escola eleatica e suas objeções frente as filosofias da época.Em seguida busca-se compreender a partir dos paradoxos elaborados por Zenão de que forma o filosofo consebe em sua dialetica as noções de movimento e pluralidade. Por fim apresenta-se possiveis relações entre essa noção e as teorias Cantorianas.











A escola eleatica e a dialética de zenão de eléia


A "escola de pensamento" conhecida como eleática esta associada à pólis de Eléia, no sul da península italiana e se refere as filosofias de Parmênides de Eléia, Zenão de Eléia e Melisso de Samos. 
Os principais conceitos investigados por esses filosofos eram o "ser", o "não-ser", o "movimento", o "tempo" "espaço", "continuidade" sendo que essa escola tinha como principal caraceristica o fato de defender a unicidade estática de tudo o que existe um "Uno" eterno e imutável. por nossa mente, capaz de apreender a unicidade da existência. Os eleatas foram os primeiros a defender a necessidade de critérios objetivos para o estabelecimento da verdade, e criaram argumentos que partiam de premissas claras e indubitáveis.Eles também consideravam falsa a realidade que se apresenta aos nossos sentidos, que percebem tudo como uma multiplicidade, e a contrapunham à efetiva realidade percebida.&nbsp; Sobre a escola Eleatica Zeller&nbsp; screve: 
“ao seu mestre Parmênides, que sustentava que o Ser é um quanto ao conceito, e que a realidade, ao invés, é multíplice quanto a evidência sensível, ele [Zenão] aderiu através de quarenta argumentos acerca da unidade do Ser: com efeito, ele considerou um dever apoiar a tese do próprio mestre. E ainda, novamente com a intenção de apoiar o próprio mestre, que afirmava a imobilidade do Ser, demonstra, através de cinco argumentos, que o Ser é imóvel” eleática até um ponto além do qual ela não podia ser de fato conduzida. Aos seus sucessores só restou a tarefa de defender suas idéias contra as representações comuns e de fundamentá-las com maior precisão em seus particulares” (E. Zeller; R. Mondolfo, La filosofia dei Greci nel suo sviluppo storico, Parte I: I Presocratici)
As principais doutrinas da "escola eleática" opunham-se às teorias dos filósofos pré-socráticos que os precederam, notadamente aos milesianos, que explicavam toda a realidade através de um elemento único, primário, e a Heráclito, que descrevia a realidade como a soma de mudanças constantes e ininterruptas.
A característica de Zenão é a dialética. Ele é o mestre da Escola Eleática nela seu puro pensamento torna-se o movimento do conceito em si mesmo, a alma pura da ciência - é o iniciador da dialética. A principal proposição da escola Eleatica é a seguinte: "O nada não possui realidade, não é, e aquilo que é surgir e desaparecer cai fora". Em Zenão, pelo contrário, também descobrimos tal afirmar e sobressumir daquilo que o contradiz, mas não o vemos, ao mesmo tempo, começar com esta afirmação; é a razão que realiza o começo - ela aponta, tranqüila em si mesma, naquilo que é afirmado como sendo sua destruição. Parmênides afirmou: "O universo é imutável, pois na mudança seria posto o não-ser daquilo que é; mas somente é ser, no 'não-ser é' se contradizem sujeito e predicado". Zenão, pelo contrário, diz: "Afirmai vossa mudança: nela enquanto mudança, é o nada para ela, ou ela não é nada". Nisto consistia&nbsp; o movimento determinado, pleno para aquela mudança; Zenão falou e voltou-se contra o movimento como tal ou puro movimento.



Zenão e os paradoxos
Zenao e os paradoxos



Zenão desafiou estas concepções e enunciou argumentos para tentar provar a
inconsistência dos conceitos de multiplicidade e divisibilidade, criando quatro
paradoxos, relativos ao movimento e ao tempo, que foram retomados por Aristóteles e
que são conhecidos pelos nomes de Dicotomia, Aquiles, a Seta e o Estádio

Zenão afirma que “a tese da multiplicidade das coisas leva a conseqüências ainda mais risíveis daquelas às quais leva a tese da unidade” (Platão, Parmênides, 128b)
“Além dos paradoxos do movimento, muitos outros argumentos de Zenão chegaram até nós: o paradoxo da pluralidade é o mais importante deles. Considerando que a negação da pluralidade é a tese central de Parmênides, é provável que esse paradoxo desempenhe um papel até mais importante, para Zenão, do que os mais conhecidos paradoxos contra o movimento. Ademais, independentemente da importância atribuída por Zenão, veremos que o paradoxo da pluralidade é logicamente anterior aos paradoxos do movimento” (W. C. Salmon, Zeno’s paradoxes, p. 6-7)
Sobrer percorrer determinada distância tem primeiro que
percorrer&nbsp; metade dessa distância, mas antes disso, tem de percorrer um quarto. Isto
continua indefinidamente, até uma infinidade de subdivisões. Segue-se, então, que o
movimento não pode chegar sequer a começar.
Aquiles: Aquiles e uma tartaruga movem-se na mesma direcção ao longo de uma
linha recta. Se Aquiles der algum adianto à tartaruga, nunca conseguirá alcança-la, já
que quando ele atingir a posição inicial da tartaruga, ela já terá avançado e se encontrará
noutro local adiante dele, e quando ele chegar a essa nova posição, já a tartaruga terá
realizado novo avanço; e assim sucessivamente.
A Seta: Uma seta lançada para o alvo está, na verdade, parada. Com efeito, em cada
instante, a seta ocupa uma posição fixa, ou seja, em cada instante a seta está parada.
Segue-se então, que a seta jamais se move
O Estádio: Sejam três filas paralelas de atletas num estádio, uma imóvel e as outras
correndo em sentidos opostos. Se passado um único instante de tempo, cada um dos
atletas em corrida passar por um dos atletas em repouso, então um corredor de uma fila
terá de ter passado por dois corredores da outra fila em movimento. Ou seja, um
corredor de uma fila passa por um corredor da outra fila em metade desse tempo.
Portanto, o instante de tempo é igual ao seu dobro.
Os dois primeiros paradoxos de Zenão mostravam que um segmento finito pode ser
dividido num número infinito de pequenos segmentos, cada um deles com comprimento
finito. Esta questão seria hoje descrita como a convergência de uma série real.
Na Dicotomia, a trajectória do objecto pode ser representada pelo segmento de recta
[AB] , C o ponto médio de [AB] , D o ponto médio de [AC] , E o ponto médio de
[AD] , e assim por dianteSegundo Boyer (1984), “a Dicotomia e Aquiles argumentam que o movimento é
impossível sob a hipótese de subdivisibilidade indefinida do espaço e do tempo”. Zenão
mostrou que se os conceitos de contínuo e infinita divisão forem aplicados ao
movimento de um corpo, então este torna-se impossível. Na verdade, a essência do
movimento é tal que, quando vamos a querer fixar a posição de um objecto, em
determinado instante, num ponto da sua trajectória, já ele aí não se encontra – entre dois
instantes, por mais próximos que sejam um do outro, o objecto percorreu um segmento,
com uma infinidade de pontos. Deste fenómeno se pode dizer, como Leonardo da Vinci
disse da chama: “olha para a chama e considera a sua beleza; fecha os olhos e torna a
olhar: o que vês não estava lá e o que lá estava já não o encontras”.

O paradoxo da Seta reflecte a impossibilidade de movimento se o espaço e o tempo
forem compostos de partes indivisíveis. No Estádio, Zenão mostra que o intervalo de
tempo que se considera não pode ser mínimo. Segundo Boyer (1984), “a Flecha (Seta)
e o Estádio, de outro lado, argumentam que também é impossível, sob a hipótese
contrária – de que a subdivisibilidade do tempo e do espaço termina em indivisíveis”.

Zenão apresentou paradoxos que mostravam as contradições existentes em
considerar grandezas divisíveis infinitamente e em considerar grandezas indivisíveis. Os
problemas que conduziram aos seus paradoxos diziam respeito à relação entre o infinito
actual e o infinito potencial.


Cantor 

Talvez se encontre algumas respostas em cantor no sentido de a teoria exigir tal. 




George Ferdinand Ludwig Philip Cantor, cujos pais eram dinamarqueses, nasceu em
1845, em S. Petersburgo, Rússia, mas passou a maior parte da sua vida na Alemanha. O
seu pai era judeu convertido ao protestantismo e a sua mãe católica de nascimento.
Cantor interessou-se fortemente pela teologia medieval sobre a continuidade e o
infinito. Como consequência, não seguiu uma carreira em engenharia como lhe sugeria
o seu pai, a fim de se concentrar em Filosofia, Física e Matemática.
Estudou em Zurique, Göttingen e Berlim, onde ensinavam, além de Kummer,
Leopold Kronecker e Karl Weierstrass. Talvez por influência de Kummer e Kronecker,
Cantor interessou-se particularmente por teoria de números, tendo sido este assunto
tanto da sua tese de doutoramento como do trabalho que apresentou para ser admitido
como docente na Universidade de Halle (uma universidade de província considerada
pouco importante), onde leccionou entre 1869 e 1905.
Faleceu em 1918 no hospital de doenças mentais de Halle.
As descobertas de Cantor sobre a teoria de conjuntos assentam sobre uma ideia muito
simples. Como comparar conjuntos se não se conseguir contar os seus elementos?
Qualquer criança, muito antes de aprender a contar, sabe que a mão direita tem tantos
dedos quantos da mão esquerda. Ora, “tantos…quantos” é a maneira pela qual não só as
crianças, mas também, em geral, as pessoas normais, exprimem o conceito de
correspondência biunívoca. Pois bem, basta colocar cada dedo de uma mão em frente ao
correspondente dedo da outra mão para concluir que ambas têm o mesmo número de
dedos.
De uma forma intuitiva, a correspondência, um a um, entre dois conjuntos A e B
trata-se do emparelhamento dos elementos de um conjunto com os do outro, de tal
modo que todos os elementos de cada conjunto têm exactamente um correspondente no
outro conjunto.
O paraíso que Cantor criou Capítulo 4
36
“Se eu puder corresponder, elemento por elemento, dois conjuntos bem definidos M
e N por uma operação unívoca (e, quando se pode fazê-lo duma maneira, pode-se fazêlo
também de muitas outras) (…) digo que estes conjuntos têm a mesma potência, ou
ainda que eles são equivalentes”. (Cantor, 1883 [1887])
Segundo esta definição, pode procurar-se a equivalência de grandes conjuntos, como
o dos lugares de um estádio e o dos espectadores que os ocupam para assistir a qualquer
acontecimento: se houver espectadores sem lugar, ou se sobrarem lugares não ocupados,
os dois conjuntos não são equivalentes; caso contrário, são.
A definição de Cantor não exige que contemos, ou mesmo que conheçamos, as
populações dos dois conjuntos para determinar se são ou não equivalentes.
Como diz Radice (1981), Cantor teve a ousadia intelectual, que duzentos e cinquenta
anos antes faltou a Galileu Galilei, de aplicar a definição infantil de igualdade do
número cardinal de dois conjuntos ao caso de conjuntos infinitos, afirmando que uma
parte pode ser equivalente ao todo quando se trata de conjuntos infinitos.
Na obra de Galileu Diálogos de Duas Novas Ciências, escrita dois séculos e meio
antes de Cantor, o grande cientista italiano chamou a atenção para a correspondência, de
um para um, entre o conjunto dos números naturais e os seus quadrados, embora
intuitivamente parecesse haver muito menos quadrados do que números naturais.
A contradição que se deparou a Galileu resolve-se com facilidade, tendo apenas em
atenção que o mesmo adjectivo, igual, pode ser empregue com dois significados
diferentes.Um deles, com origem em Aristóteles, baseia-se no facto de a parte não poder ser
igual ao todo, na medida em que no todo existe pelo menos um elemento que não está
na parte.
O outro, cantoriano, considera que a parte pode ser igual em número ao todo.
Assim, Cantor não só afirmou que a correspondência, de um para um, entre o
conjunto dos números naturais e os seus quadrados deveria ser literalmente aceite, como
também provou que o conjunto dos números pares, dos ímpares, dos números
O paraíso que Cantor criou Capítulo 4
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triangulares, …, podem estar em correspondência, um a um, com o conjunto dos
números naturais, ou seja, têm todos a mesma potência, o mesmo cardinal.
Cantor mostrou então que qualquer subconjunto infinito dos números naturais é
equipotente a .
Quando consideramos ao mesmo tempo conjuntos finitos e infinitos, a equipotência
de um conjunto com uma sua parte própria torna-se uma característica específica dos
conjuntos infinitos.
Assim, em 1888, Richard Dedekind definiu um conjunto infinito como aquele em
que se pode estabelecer uma bijecção com um seu subconjunto próprio. Com esta
definição, Dedekind revolucionou uma maneira de pensar milenária. Agora já não se
necessita de definir um conjunto infinito com a negação do que é finito, podemos, pelo
contrário, definir o finito como negação do que é infinito, ou seja, um conjunto é finito
se não estiver em bijecção com nenhuma parte própria.
O conjunto infinito mais pequeno é o conjunto dos números naturais, cujo cardinal é
denotado pelo símbolo 0 ℵ (álefe-zero), de acordo com a primeira letra do alfabeto
hebraico. Este número é o número infinito mais pequeno.
Cantor ficou seduzido pela estranha aritmética do aléfe-zero:
0 0 ℵ +1 =ℵ e 0 0 0 ℵ +ℵ =ℵ
Ou seja, quando somamos 1 ao infinito continuamos a ter infinito, assim como,
quando duplicamos o infinito continuamos a ter infinito.
Estas propriedades estavam no centro do paradoxo do Hotel de Hilbert, assim
chamado em honra ao lendário matemático alemão David Hilbert.
Hilbert descreveu um hotel com um número infinito de quartos, numerados 1, 2, 3,...
Uma noite, quando todos os quartos estavam ocupados, um hóspede solitário chega à
procura de quarto. O recepcionista do hotel fez cada hóspede avançar um quarto, de
maneira que o ocupante do quarto 1 fosse transferido para o quarto 2, o ocupante do
quarto 2 para o quarto 3, e assim sucessivamente. Assim, depois de todas as mudanças
feitas, o quarto 1 fica então livre para o novo hóspede! Na noite seguinte chegou um
autocarro, com um número infinito de novos hóspedes, e nenhum dos antigos hóspedes
O paraíso que Cantor criou Capítulo 4
38
tinha saído. “Não há problema”, anunciou o recepcionista. Desta vez, transferiu o
ocupante do quarto 1 para o quarto 2, o do quarto 2 para o 4, o do 3 para o 6 e, em geral,
o ocupante do quarto n para o quarto 2n. Isto deixou desocupado um número infinito de
quartos ímpares para os infinitamente muitos recém-chegados. Portanto, o passageiro
número 1 do autocarro pode ir para o quarto 1, o número 2 para o quarto 3, o número 3
para o quarto 5, e em geral, o número n para o quarto 2n −1. Mesmo que chegue uma
infinidade de autocarros infinitos de turistas, toda a gente pode ser acomodada.
O hotel de Hilbert mostra que certos tipos de argumentos estão disponíveis no caso
finito, mas não podem ser usados em qualquer outro caso: por exemplo, o “princípio da
gaiola de pombos”, que afirma ser impossível colocar n +1 objectos em n caixas
colocando no máximo um em cada uma, é falso para qualquer n infinito, e em particular
para 0 n =ℵ .

Cantor chamou numerável ao conjunto dos números naturais e considerou que
qualquer conjunto que estivesse em correspondência, um a um, com o conjunto dos
números naturais também era numerável.
O próximo passo era responder à questão: Terão todos os conjuntos infinitos o
mesmo cardinal?
Assim, surgiu a tentativa, bem sucedida, de estabelecer uma bijecção entre os
números inteiros e os números naturais.
f : → 
  
− + ≤
&gt;
2 1 0
2 0
n se n
n se n
n a
Cantor mostrou que, de facto, também o conjunto dos números inteiros tem tamanho
álefe-zero e perguntou-se então se o conjunto dos números racionais teria também o
tamanho álefe-zero (o que à primeira vista parece falso).
O paraíso que Cantor criou Capítulo 4
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M
Estamos habituados à ideia de que há muito mais racionais do que naturais, porque
os naturais têm grandes espaços entre si, enquanto os racionais estão densamente
distribuídos. Por exemplo, se olharmos para o bordo de uma régua graduada vemos que,
entre dois números naturais quaisquer, há espaço para uma infinidade de fracções, o que
nos levaria a concluir que as fracções são infi 
infinitamente mais numerosas do que os
naturais.
Cantor sabia, naturalmente, que algumas fracções se repetiriam e incitava que,
quando se encontrassem representações alternativas, essas deveriam ser ignoradas.
Enfim, como aconteceu com outras ideias incrivelmente originais, só aqueles que
estavam preparados para fazer um esforço para as entender e usar no seu trabalho as
apreciaram.

ttalvez ze rezolva no zentibo be eoria como a Cantoriana, que combina a nossa noção intuitiva de pontos e acontecimentos individuais com uma teoria sistemática de conjuntos infinitos. &nbsp;  
&nbsp; Mais algumas coisas
O paradoxo da pluralidade.&nbsp;&nbsp; Dos vários argumentos contra a multiplicidade, os textos normalmente individuam e relatam quatro principais, todos reconduzíveis em última análise ao primeiro, conhecido como 'o paradoxo da pluralidade'.
Zenão afirma que “a tese da multiplicidade das coisas leva a conseqüências ainda mais risíveis daquelas às quais leva a tese da unidade” (Platão, Parmênides, 128b)
“Além dos paradoxos do movimento, muitos outros argumentos de Zenão chegaram até nós: o paradoxo da pluralidade é o mais importante deles. Considerando que a negação da pluralidade é a tese central de Parmênides, é provável que esse paradoxo desempenhe um papel até mais importante, para Zenão, do que os mais conhecidos paradoxos contra o movimento. Ademais, independentemente da importância atribuída por Zenão, veremos que o paradoxo da pluralidade é logicamente anterior aos paradoxos do movimento” (W. C. Salmon, Zeno’s paradoxes, p. 6-7)
“O, portanto, precede os paradoxos contra o movimento (...) coloca em questão a consistência paradoxo da pluralidade aplica-se, mutatis mutandis, a qualquer continuum de elementos pontuais. (...) Esse paradoxo de nossas concepções desses continua. (...) Os paradoxos contra o movimento não podem ser resolvidos se o paradoxo da pluralidade não é solucionado” (Ibid., p. 15)
&nbsp;“No contexto da matemática moderna, Zenão nos desafia a obter um resultado diferente de zero após ter adicionado todas as extensões da infinidade não-numerável de pontos que compõe um segmento unitário. Isso significa que somos chamados a somar a mesma quantidade de zeros.” Mas “enquanto o comprimento é numeralmente aditivo na matemática tradicional, a adição das extensões dos pontos que compõem um segmento unitário é uma operação sem sentido (não definida) na geometria analítica e não pode portanto ser utilizada para calcular o valor do comprimento total do segmento. Particularmente, a dedução do paradoxal resultado nulo para a extensão do segmento unitário, por parte de Zenão, não é autorizada por esse fato aritmético. E o que vale para o segmento unitário, vale também para um segmento de dois centímetros e para qualquer outro. (...) Por conseguinte, se o conceito de infinidade não-numerável é ele mesmo isento de contradições, então a acusação zenoniana de inconsistência é falsa, tanto com relação ao postulado que a linha é um agregado de pontos matemáticos, quanto com aquele que um intervalo temporal é um conjunto de instantes, cada um dos quais tem duração nula” (A. Grünbaum, Modern science and refutation of the paradoxes of Zeno, in W. C. Salmon, Zeno’s paradoxes, p. 167-168)
“O fracionamento do contínuo em partes quaisquer através de pontos hipoteticamente privados de dimensão: uma operação intelectual indispensável para uma exata compreensão de determinados aspectos dos dados de fato. Tal operação leva naturalmente a conceber o contínuo como se fosse ‘constituído’ por uma quantidade ilimitada destes pontos. Mas a idéia que uma soma de elementos completamente privados de dimensão possa ter uma extensão não é realizável na realidade. A axiomatização da teoria dos conjuntos de Cantor procura em algum modo tornar acessível este conceito (...). Permanece assim a antinomia de diversas concepções, todas igualmente indispensáveis mas não completamente reduzíveis a um denominador comum...”&nbsp; &nbsp;(K. Von Fritz, Le origini della scienza in Grecia, p. 50-51)