Multiplicadores de Lagrange e estabilidade de problemas inversos (parte 3)
Autor: Renato "Lugner" | Publicado: 2012-11-09T06:46:00-08:00


Não, o autor desse blog não foi sequestrado, e ninguém assumiu o lugar dele. Sou eu mesmo, finalmente, trazendo mais uma postagem.


No post anterior, vimos de forma bem simples o problema da regularização de um problema inverso. Hoje, trago um dos tipos de vínculo mais utilizados na geofísica, o vínculo de suavidade (smoothness constraint).&nbsp;Como já foi mencionado nos posts anteriores, usar um vínculo é como "acorrentar" seu problema a uma dada condição: você o "força" a seguir essa condição; em troca, suas soluções serão mais estáveis. Se você tiver conhecimento a priori de que sua solução segue essa condição, ótimo. Se não... Bom, use o vínculo por sua conta e risco.


A maioria dos problemas geofísicos envolve variações suaves das propriedades físicas ao longo do espaço e do tempo. Por exemplo, uma pluma de sal "invadindo" a água subterrânea se difunde na água de forma suave, de forma que o contato entre a pluma e a água é gradacional. Outro exemplo é o campo de velocidades de uma bacia sedimentar, que, em geral, aumenta suavemente com a profundidade.




Mas o que é um vínculo de suavidade? Bom, esse vínculo consiste em obter uma solução tal que minimize a integral abaixo.




Isso significa que estamos minimizando a soma global da norma do gradiente da propriedade física s, ou seja, estamos minimizando a variação espacial dessa propriedade na região V. Claro que, na prática, temos que discretizar essa integral em um somatório. Utilizemos, como exemplo inicial, a grade 3x3 ilustrada pela Figura 1. O que queremos é a soma dos quadrados da norma L2 do gradiente do campo escalar s. Podemos optar por utilizar uma derivada numérica central, e, ignorando fatores multiplicativos (eles serão incorporados ao multiplicador de Lagrange, como veremos mais adiante), escrever essa norma como sendo:







Em que i e j são os índices da matriz. Note que, desse modo, estaremos desconsiderando as derivadas das células marginais da matriz, mas, para grandes volumes de dados, esse é um preço pequeno a pagar por uma boa precisão.



Figura 1. Grade exemplo para o problema de regularização com vínculo de suavidade.



Mas como discretizar essa equação? Primeiramente, iremos escrever o campo de parâmetros como um vetor ao invés de uma matriz, como fizemos em posts anteriores. Então, digamos, se k for o índice desse vetor, ele estará relacionado a i e j pela equação k = N(i-1) + j, em que N é a ordem da matriz, se ela for quadrada (verifique esse fato). Desse modo, a equação da norma do campo escalar será:






A integral do início do post será escrita como:






Então, o vetor Rs poderá ser escrito, por exemplo, como a concatenação de duas submatrizes, tais que:











Assim, R seria:








Esse é apenas um exemplo. O importante é notar que isso implicará na forma geral da matriz R, bem como no fato de que R não é único nesse caso: muitas matrizes R resultarão na equação que aproxima a integral do início do post. Porém, a forma geral de Rs, para o tipo de derivada que estamos considerando (derivada central), é:





Metade das linhas serão da forma , se referindo à derivada em relação à coordenada i;
As outras linhas serão da forma , se referindo à derivada em relação à coordenada j.



Isso implica que as linhas de R sempre terão uma entrada 1, uma entrada -1 e todas as outras entradas nulas. Algo complicado como a integral da norma do gradiente de um campo escalar foi reduzida a uma matriz tão simples, o que é surpreendente.

Conhecendo R, podemos escrever nossa função objeto, de forma análoga ao caso do vínculo de norma mínima:








Em que , A é o data kernel e tau é o vetor de dados. Lambda é o multiplicador de Lagrange. Note que qualquer fator multiplicativo associado a Rs poderia ser incorporado a lambda, trocando a magnitude de lambda (que é obtida por tentativa e erro, em geral) por simplicidade.


De forma análoga ao caso do vínculo de norma mínima (mostre!), a equação para a estimativa do vetor de parâmetros será:





Próximo post, usaremos essa equação para um estudo de caso (não espere nada muito grande, meu computador é arcaico e qualquer coisa maior que uma grade 20x20 o travaria!). Até mais!