Aula 7 - O que são Limites Laterais?
Autor: Romirys Cavalcante | Publicado: 2016-12-20T20:28:00-03:00

Estou dando início a aula 7 do nosso curso de cálculo aqui no VS. Hoje vamos conhecer e compreender um pouco sobre o que são os limites laterais de uma função e como esse conhecimento pode ser útil na hora de determinarmos o limite de uma função.&nbsp;

Por que estudar limites laterais?Você, muito provavelmente, deve ter se peguntado no início deste artigo por que precisa estudar e aprender sobre limites laterais ou em como isso vai lhe ajudar ao longo deste curso.
Para que possa perceber a importância desse assunto você deverá lembrar do conteúdo abordado em nossa aula 4 desse curso onde explanei sobre a unicidade do limite de uma função.&nbsp;
Durante essa aula expliquei, por meio de demonstrações básicas, que se uma função possui limites laterais iguais, então podemos afirmar que existe ($\exists&nbsp;$) um limite para ela, caso contrário, ou seja, se uma função possuir limites laterais distintos, então podemos afirmar que o limite da função em questão não existe ($\nexists&nbsp;$).
É nesse momento que vemos a importância desse assunto, pois é ele quem nos dirá se uma função possui ou não limite.

O que são limites laterais?Quando analisamos o comportamento de uma função em um ponto específico, nos preocupamos em observar o que acontece com os valores de $f(x)$ quando $x$ se aproxima desse ponto tanto pela direita quanto pela esquerda.&nbsp;
É isso que chamamos de limites laterais, ou seja, os resultados para o limite de uma função $f(x)$ quando a variável $x$ se aproxima de um valor em suas extremidades.

Observação: Vale lembrar que nesta aula utilizaremos o domínio e o contradomínio de nossas funções dos Reais nos Reais, ou seja, $f\left( x \right) :\Re \rightarrow \Re $.
Vamos encontrar o limite da função a seguir por meio de seus limites laterais.$$&nbsp;\lim _{ x\rightarrow 2 }{ (2x+1) } $$Lê-se: Limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$.
Vamos analisar o que acontece com a essa função quando $x$ se aproxima de $2$ pela esquerda, ou seja, para valores menores que $2$.&nbsp;
Para $x=1,2$ &nbsp;temos que $f(x)=3,4$Para $x=1,9$ &nbsp;temos que $f(x)=4,8$Para $x=1,99$ &nbsp;temos que $f(x)=4,98$Para $x=1,999$ &nbsp;temos que $f(x)=4,998$
Perceba que a medida que aproximamos $x$ pela esquerda para valores próximos de $2$ o valor de $f(x)$ se aproxima consideravelmente para $5$, logo, podemos dizer que:&nbsp;$$ \lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }{ (2x+1) } =5$$Lê-se: O limite de $2x+1$ quando $x$ tende a&nbsp;$2$ pela esquerda é igual a $5$. &nbsp;
Nota: Perceba que ao lado do $2$ existe um sinal de subtração, isso significa que estamos falando do limite lateral esquerdo dessa função. Lembre-se que quando estivermos trabalhando com limites laterais precisaremos utilizar o sinal de subtração ou adição para identificarmos os limites pela esquerda ou pela direita, respectivamente, da função.&nbsp;
Vamos analisar agora o que acontece com a essa função quando $x$ se aproxima de $2$ pela direita, ou seja, para valores maiores que $2$.&nbsp;
Para $x=2,2$ &nbsp;temos que $f(x)=5,4$Para $x=2,001$ &nbsp;temos que $f(x)=5,002$Para $x=2,0001$ &nbsp;temos que $f(x)=5,0002$Para $x=2,00001$ &nbsp;temos que $f(x)=5,00002$
Perceba que a medida que aproximamos $x$ pela direita para valores próximos de $2$ o valor de $f(x)$ se aproxima consideravelmente para $5$, logo, podemos dizer que:&nbsp;$$ \lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ (2x+1) } =5$$Lê-se: O limite de $2x+1$ quando $x$ tende a&nbsp;$2$ pela direita é igual a $5$.&nbsp;
Nota: Perceba que dessa vez utilizamos o sinal de adição, ao lado do $2$ para identificarmos que estamos trabalhando com o limite lateral direito dessa função.&nbsp;
Uma vez que encontramos os dois limites laterais dessa função e identificamos que ambos os limites são iguais, podemos simplesmente dizer que:&nbsp;$$ \lim _{ x\rightarrow { 2 }}{ (2x+1) } =5$$Lê-se:&nbsp;O limite de $2x+1$ quando $x$ tende a&nbsp;$2$ é igual a $5$.

Vamos partir para um novo exemplo a fim de fundamentarmos esse conteúdo.

Seja
$$f\left( x \right) =\begin{cases} { x }^{ 2 }-4,\quad se\quad x&gt;0 \\ 3-x,\quad se\quad x\le 0 \end{cases} $$
Determine:
$$ &nbsp;\lim _{ x\rightarrow {0}}{ f(x) }$$
Perceba que essa função possui duas condições, ou seja, devemos considerá-la como sendo ${ x }^{ 2 }-4$ quando $x&gt;0$ e considerá-la como sendo $3-x$ quando $ x\le 0$.

Analisando o limite dessa função a direita de zero temos que a medida que aproximarmos o valor de $x$ a $0$ pela direita a função $f(x)$ irá se aproximar de $-4$, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x) } =-4 $$Lê-se: O limite de $f(x)$ quando $x$ tende a&nbsp;$0$ pela direita é igual a $-4$.
Analisando o limite dessa função a esquerda de zero temos que a medida que aproximarmos o valor de $x$ a $0$ pela esquerda a função $f(x)$ irá se aproximar de $3$, logo:$$ \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ f(x) } =3 $$Lê-se: O limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $0$ pela esquerda é igual a $3$.
Note que os limites laterais dessa função são diferentes, portanto podemos afirmar que essa função não possui limite quando $x$ tende a $0$ (zero), ou seja:$$ \lim _{ x\rightarrow { 0 }}{ f(x) } = \nexists $$
Considerações FinaisNa aula de hoje aprendemos basicamente o que são limites laterais e para que servem. Na próxima aula iremos aprender a realizar essa análise de limites laterais de uma maneira bem mais prática e rápida utilizando os gráficos das funções que iremos trabalhar.&nbsp;
Para complementar essa aula de hoje deixo, ainda, como recomendação de estudo que assistam a seguinte aula:&nbsp;Limites através de gráficos de funções, do meu amigo Rafael Procopio do Canal&nbsp;Matemática Rio.


É fundamental que você pratique em casa como construir o gráfico de funções básicas como: funções do primeiro e segundo grau, funções modulares, funções exponenciais entre outras. Recomendo que assistam as aulas do canal&nbsp;Vestibulandia&nbsp;do meu amigo&nbsp;Nerckie, lá você irá encontrar todas essas explicações sobre construção de gráficos de funções.Aula Anterior Próxima Aula