Teorema de Pitágoras
Autor: Poliana | Publicado: 2011-11-13T22:36:00-02:00

Quem                foi Pitágoras?
Pitágoras,                  um dos maiores filósofos da Europa antiga, era filho de um gravador,                  Mnesarco. Nasceu cerca de 580 anos a.c., em Samos, uma ilha do                  mar Egeu, ou, segundo alguns, em Sidon, na Fenícia. Muito pouco                  se sabe sobre a sua juventude, a não ser que conquistou prémios                  nos Jogos Olímpicos. 
Chegando à                  idade adulta e não se sentindo satisfeito com os conhecimentos                  adquiridos em sua terra, deixou a ilha onde vivia e passou muitos                  anos a viajar, visitando a maioria dos grandes centros da sabedoria.                  A história conta a sua peregrinação em busca de conhecimentos,                  que se estenderam ao Egipto, Indostão, Pérsia, Creta e Palestina,                  e como adquiriu em cada país novas informações, conseguiu familiarizar-se                  com a Sabedoria Esotérica, assim como os conhecimentos exotéricos                  neles disponíveis. 
Voltou, com                  a mente repleta de conhecimentos e a capacidade de julgamento                  amadurecida, à sua terra, onde tencionava abrir uma escola para                  divulgar os seus conhecimentos, o que, porém, se mostrou impraticável,                  devido à oposição do turbulento tirano Policrates, que governava                  a ilha. Em vista do fracasso de uma tentativa migrou para Crotona,                  importante cidade da Magna Grécia, que era uma colónia fundada                  pelos dórios na costa meridional da Itália.
Foi ali que                  o famoso filósofo fundou a Escola ou Sociedade de Estudiosos,                  que se tornou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro                  de erudição na Europa; foi ali que, secretamente, Pitágoras ensinou                  a sabedoria oculta que havia coligido dos ginosofistas e brâmanes                  da Índia, dos hierofantes do Egipto, do Oráculo de Delfos, da                  Caverna de Ida e da Cabala dos rabinos hebreus e magos caldeus.                  
Durante cerca                  de quarenta anos ele leccionou para os seus discípulos e exibiu                  os seus maravilhosos poderes; mas foi posto um fim à sua instituição,                  e ele próprio foi forçado a fugir da cidade, devido a uma conspiração                  e rebelião surgidas em decorrência de uma disputa entre o povo                  de Crotona e os habitantes de Síbaris; ele conseguiu chegar em                  Metaponto, onde, segundo a tradição morreu mais ou menos em 500                  a.c.. 
A                Escola de Pitágoras
A Escola                  de Pitágoras tinha várias características peculiares. Cada membro                  era obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação,                  guardando perfeito silêncio; os membros tinham tudo em comum e                  abstinham-se de alimentos de origem animal; acreditavam na doutrina                  da metempsicose, e tinham uma fé ardente e absoluta no seu mestre                  e fundador da Escola. 
O elemento                  da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que "autos efa"                  - ele disse - constituía uma destacada feição da Escola; por isso,                  a sua afirmação "Um amigo meu é o meu outro eu" tornou-se um provérbio                  naquele tempo. O ensino era em grande parte secreto, sendo atribuídos                  a cada classe e grau de instrução certos estudos e ensinamentos;                  somente o mérito e a capacidade permitiam a passagem para uma                  classe superior e para o conhecimento de mistérios mais recônditos.                  
A ninguém                  era permitido registar por escrito qualquer princípio ou doutrina                  secreta, e, pelo que se sabe, nenhum discípulo jamais violou a                  regra até depois da morte de Pitágoras e da dispersão da Escola.                  Depende-se, assim, inteiramente, dos fragmentos de informações                  fornecidas pelos seus sucessores, e pelos seus críticos ou críticos                  dos seus sucessores. 
Uma considerável                  incerteza é, portanto, inseparável de qualquer consideração das                  doutrinas reais do próprio Pitágoras, mas pisa-se um terreno mais                  firme quando se investigam as opiniões dos seus seguidores. 
Sabe-se que                  as suas instruções aos seguidores eram formuladas em duas grandes                  divisões: a ciência dos números e a teoria da grandeza. A primeira                  dessas divisões incluía dois ramos: a aritmética e a harmonia                  musical; a segunda era subdividida também em dois ramos, conforme                  se tratava da grandeza em repouso - a geometria, ou da grandeza                  em movimento - a astronomia. As mais notáveis peculiaridades das                  suas doutrinas estavam relacionadas com as concepções matemáticas,                  as ideias numéricas e simbolizações sobre as quais se apoiava                  a sua filosofia. 
Os princípios                  que governam os Números eram, supunha-se os princípios de todas                  as Existências Reais; e, como os Números são os componentes primários                  das Grandezas Matemáticas e, ao mesmo tempo, apresentaram muitas                  analogias com várias realidades, deduzia-se que os elementos dos                  Números eram os elementos das Realidades.
 Acredita-se                  que os europeus devem ao próprio Pitágoras os primeiros ensinamentos                  sobre as propriedades dos Números, dos princípios da música e                  da física; há provas, porém de que ele visitou a Ásia Central,                  e ali adquiriu as ideias matemáticas que formam a base da sua                  doutrina. A maneira de pensar introduzida por Pitágoras e seguida                  pelo seu sucessor Jamblico e outros, tornou-se conhecida mais                  tarde pelos títulos de Escola Italiana ou Escola Dórica. 
História                e lenda do Teorema de Pitágoras

Os geómetras                  gregos                  elevaram a um altíssimo grau de perfeição, técnica e lógica, o                  estudo das proporções entre grandezas, em particular o confronto                  entre figuras semelhantes. Eles basearam-se em tal estudo o cálculo                  não só de comprimentos incógnitos, mas também das áreas de muitas                  figuras planas limitadas por rectas, ou de volumes de sólidos                  limitados por planos.
Para confrontar                  as áreas das duas figuras planas semelhantes ( isto é, da mesma                  forma) é preciso confrontar não os lados correspondentes, mas                  os quadrados dos lados correspondentes. No entanto, alguns matemáticos                  estão de acordo com os estudiosos que pensam que os gregos fizeram                  o cálculo das áreas, num primeiro momento, por uma via mais simples                  e natural do que aquela que se baseia no confronto de figuras                  semelhantes e, em geral, sobre as proporções.
Um exemplo                  famoso, é o de Pitágoras e do seu teorema:« Num triângulo rectângulo,                  a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma                  das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos. A lenda                  diz que Pitágoras compreendeu tão bem a importância da sua demonstração,                  que ordenou uma hecatombe, isto é, o sacrifício de cem bois aos                  deuses, em sinal de agradecimento e de alegria. 
Naturalmente,                  sobre a descoberta de Pitágoras não temos jornais, nem livros,                  nem revistas da época, porque naquela época não havia nem jornais,                  nem livros, nem revistas. Temos só lendas, ou melhor, histórias                  de escritores que viveram séculos e séculos depois. Todavia, muitas                  razões nos induzem a acreditar na «história de Pitágoras». Talvez                  não se tenha chamado Pitágoras, talvez não tenha morto cem bois,                  mas um só, ou talvez não tenha sacrificado nem sequer um cordeirinho:                  tudo isto pode ser só lenda.
Mas que um                  estudioso da Grande Grécia ( com esta expressão incluíam-se a                  Itália Meridional e a Sicília), que viveu seiscentos anos a.c.,                  tenha mostrado com um raciocínio geral a relação, a que chamamos                  Teorema de Pitágoras, entre os quadrados dos catetos e o da hipotenusa,                  para cada possível triângulo rectângulo, acreditamos que seja                  verdade.
Sabemos, para                  além disso, que no tempo de Pitágoras, nas ilhas gregas e na Grande                  Grécia, a geometria de recolha de regras práticas e de observações                  separadas, como aquela que recordamos agora, se transforma em                  ciência racional, isto é em raciocínios gerais sobre as figuras                  em geral. Portanto Pitágoras - hecatombe ou não hecatombe - demonstrou                  verdadeiramente, cerca de seiscentos anos a.c., que «a soma dos                  quadrados dos dois catetos, num triângulo rectângulo, é sempre                  igual, ou melhor, equivalente, ao quadrado da hipotenusa». 



A Árvore de Pitágoras  
Yolanda Kioko Saito Furuya 

A figura utilizada como símbolo do Hipertexto Pitágoras foi gerada   pelo aplicativo computacional algébrico Maple V R4. Adaptamos um  programa de autoria  de Harm Derksen. Trata-se de uma figura fractal construída a partir da figura  representativa do Teorema de Pitágoras (um triângulo retângulo e os  três quadrados desenhados sobre os lados).  
 Para compreender a construção desse fractal começaremos estudando  sua versão bidimensional. Observe na figura abaixo que o primeiro estágio  consiste  da figura representativa do Teorema de Pitágoras, constituída por  um triângulo retângulo e os três quadrados desenhados sobre os lados.  No segundo estágio são desenhados dois triângulos retângulos  com hipotenusas coincidentes com os lados dos quadrados menores, em oposição ao  primeiro triângulo. Sobre os catetos destes triângulos retângulos são  desenhados quadrados, e assim temos mais duas figuras representativas do Teorema de  Pitágoras. No terceiro estágio obtemos mais quatro triângulos, e assim  sucessivamente.  
  Esta versão bidimensional da Árvore de Pitágoras tem  128 triângulos e quadrados, e foi obtida com o aplicativo computacional Maple V.  Clicando com o mouse sobre a figura você pode ver o programa em um arquivo para leitura  (formato .txt). Se você dispõe do Maple e deseja implementar o programa, pode  obtê-lo no formato .mws no final deste texto, em Referências.  
 A Árvore de Pitágoras tridimensional pode ser obtida de forma semelhante, com algumas adaptações, para facilitar a colagem: 
utilizar triângulos retângulos isósceles;
a profundidade w do conjunto-base (triângulo retângulo e seus quadrados,  formando uma forquilha) deve ser tal que h/w = w/c, onde h = hipotenusa e c = cateto, para que  o triângulo retângulo seguinte tenha hipotenusa = w e profundidade = c, colado com  uma rotação de 90 graus;
o comprimento dos galhos pode ser aumentado, degenerando quadrados em  retângulos;
para simplificar o programa, podemos modificar o conjunto base: utilizar um galho da forquilha descrita acima, isto é, o quadrado da hipotenusa e o triângulo retângulo, com profundidade w.


 Versão tridimensional da Árvore de Pitágoras, obtida com o aplicativo  computacional Maple V. Clicando com o mouse sobre a figura você pode ver o programa em  um arquivo para leitura (formato .txt). Se você dispõe do Maple e deseja  implementar o programa, pode obtê-lo no formato .mws logo abaixo, em  Referências.  
  Referências 
[1] Derksen, H., Árvore de Pitágoras, em   http://www.maplesoft.com/cybermath/samples.html. 
[2] Furuya, Y.K.S., Programa de geração da Árvore de  Pitágoras bidimensional. 1998, UFSCar.  
[3] Furuya, Y.K.S.,  Programa de geração da Árvore de  Pitágoras tridimensional. 1998, UFSCar.  


Fonte: http://www.prof2000.pt/users/paulap/pitagoras.html
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; http://www.dm.ufscar.br/hp/hp0/hp0.html