Números irracionais - o dilema dos matemáticos gregos
Autor: Micheline | Publicado: 2010-11-19T18:06:00-02:00

Um pouco de história...                  Os matemáticos gregos antigos acreditavam que todos os problemas podiam ser resolvidos pelos números inteiros e números racionais.                  No entanto, por volta de 400 a.C., resolvendo problemas geométricos, eles descobriram números que não eram inteiros e também não podiam ser escritos na forma de razão entre números inteiros. Isso os abalou muito – que tipo de número seriam aqueles ?                  A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada com fatos de natureza geométrica e de natureza aritmética. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando comparamos com o seu lado.   Teorema de Pitágoras: “ A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da  hipotenusa”.   Problema:  Dado um quadrado de lado igual à unidade quanto mede a diagonal ?  <!--[if gte mso 9]>     Normal   0   21         false   false   false                             MicrosoftInternetExplorer4   <![endif]--><!--[if gte mso 9]>     <![endif]--><!--[if gte mso 10]>   /* Style Definitions */  table.MsoNormalTable  {mso-style-name:"Tabela normal";  mso-tstyle-rowband-size:0;  mso-tstyle-colband-size:0;  mso-style-noshow:yes;  mso-style-parent:"";  mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;  mso-para-margin:0cm;  mso-para-margin-bottom:.0001pt;  mso-pagination:widow-orphan;  font-size:10.0pt;  font-family:"Times New Roman";  mso-ansi-language:#0400;  mso-fareast-language:#0400;  mso-bidi-language:#0400;}  <![endif]-->  A diagonal de um quadrado de lado medindo 1 é igual a √2.  Foi tentando resolver este problema usando o Teorema de Pitágoras que os gregos descobriram um “ novo” número: o número √2.  O Teorema de Pitágoras provocou, assim, a descoberta de novos números: os irracionais. Representam um marco importante para o pensamento humano, mas foi muito pertubadora para os pitagóricos.                   Acredita-se que a descoberta desse números, que eles chamaram de “inexprimíveis”, e que hoje chamamos de números irracionais, tenha sido mantida em segredo durante certo tempo.  O número √2 é um número irracional, pois ao extrair sua raiz quadrada , obtemos o seguinte resultado: 1,414213562373... ( infinito e não-periódico ).   A raiz quadrada de 2 é portanto um dos números irracionais mais célebres. Se tentarmos calculá-la vemos que deve ser 1 e... alguma coisa! Mas a “ alguma coisa” é que é o problema ! Alguns matemáticos antigos iam perdendo também a razão a tentar descobrir essa “ alguma coisa”. O mais que apuraram, pobres deles, foi 17/12, que é 1 mais “ alguma coisa”  ( 1 corresponde , como sabemos, a 12/12 ). Mas o quadrado de 17/12 é 289/144 ... E que  2 é ... 289/144!   Era “ quase” !  <!--[if gte mso 9]>     Normal   0   21         false   false   false                             MicrosoftInternetExplorer4   <![endif]--><!--[if gte mso 9]>     <![endif]--><!--[if gte mso 10]>   /* Style Definitions */  table.MsoNormalTable  {mso-style-name:"Tabela normal";  mso-tstyle-rowband-size:0;  mso-tstyle-colband-size:0;  mso-style-noshow:yes;  mso-style-parent:"";  mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;  mso-para-margin:0cm;  mso-para-margin-bottom:.0001pt;  mso-pagination:widow-orphan;  font-size:10.0pt;  font-family:"Times New Roman";  mso-ansi-language:#0400;  mso-fareast-language:#0400;  mso-bidi-language:#0400;}  <![endif]-->  Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem representar por uma razão entre dois inteiros m/n ( número racional ), os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis.   Outro número irracional muito usado na Geometria é o π ( pi ) descoberto por meio da divisão do comprimento de uma circunferência pelo diâmetro da mesma.    π  =  3,141592653589793238462... <!--[if !mso]>  v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);}  <![endif]--><!--[if gte mso 9]>     Normal   0   21         false   false   false                             MicrosoftInternetExplorer4   <![endif]--><!--[if gte mso 9]>     <![endif]--><!--[if gte mso 10]>   /* Style Definitions */  table.MsoNormalTable  {mso-style-name:"Tabela normal";  mso-tstyle-rowband-size:0;  mso-tstyle-colband-size:0;  mso-style-noshow:yes;  mso-style-parent:"";  mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;  mso-para-margin:0cm;  mso-para-margin-bottom:.0001pt;  mso-pagination:widow-orphan;  font-size:10.0pt;  font-family:"Times New Roman";  mso-ansi-language:#0400;  mso-fareast-language:#0400;  mso-bidi-language:#0400;}  <![endif]-->  O número de Ouro ( divina proporção ) também é considerado um número irracional. O número "phi" representa o símbolo da harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor.   O número de ouro descobre-se em relações métricas:Na natureza: em animais ( como na concha do Nautilus ),      flores, frutos, na disposição dos ramos de certas ár vores;Em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono      e decágono regulares e poliedros regulares; Em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até      diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música. Fonte de pesquisa:http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/numeros-irracionais.htmhttp://www.somatematica.com.br/irracionais.phphttp://sites.google.com/site/susymcmarques/historiadosnumerosirracionais Livro didático:      Novo Praticando Matemática - 7ª série                                    Autores: Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos