Autor: Angelo Moreira | Publicado: 2014-08-18T17:47:00-07:00


Função Quadrática






Definição

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função&nbsp;f&nbsp;de IR em IR dada por uma lei da forma&nbsp;f(x) = ax2&nbsp;+ bx + c, onde a, b e c são números reais e a&nbsp;0.&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x2&nbsp;- 4x&nbsp; + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2&nbsp;-1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2&nbsp;+ 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2&nbsp;+ 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0




Gráfico

&nbsp;&nbsp;&nbsp; O gráfico de uma função polinomial do 2º grau,&nbsp;y = ax2&nbsp;+ bx + c, com a&nbsp;0, é uma curva chamada&nbsp;parábola.

Exemplo:

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vamos construir o gráfico da função y = x2&nbsp;+ x:&nbsp;&nbsp;&nbsp; Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.




xy
-36
-22
-10

00
12
26








&nbsp;&nbsp;&nbsp; Observação:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Ao construir o gráfico de uma função quadrática&nbsp;y = ax2&nbsp;+ bx + c, notaremos sempre que:

se&nbsp;&nbsp;&nbsp;a &gt; 0, a parábola tem a&nbsp;concavidade voltada para cima;
se&nbsp;&nbsp;&nbsp;a &lt; 0, a parábola tem a&nbsp;concavidade voltada para baixo;




Zero e Equação do 2º Grau

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau&nbsp;f(x) = ax2&nbsp;+ bx + c&nbsp;, a&nbsp;0, os números reais x tais que f(x) = 0.

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Então as raízes da função&nbsp;f(x) = ax2&nbsp;+ bx + c&nbsp;são as soluções da equação do 2º grau&nbsp;ax2&nbsp;+ bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:








&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Temos:

&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Observação

&nbsp;&nbsp;&nbsp;A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando&nbsp;,&nbsp; chamado discriminante, a saber:

quando&nbsp;&nbsp;é positivo,&nbsp;há duas raízes&nbsp;reais e distintas;
quando&nbsp;&nbsp;é zero, há&nbsp;só uma raiz&nbsp;real;
quando&nbsp;&nbsp;é negativo,&nbsp;não há raiz&nbsp;real.



Coordenadas do vértice da parábola

&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Quando&nbsp;a &gt; 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um&nbsp;ponto de mínimo&nbsp;V; quando&nbsp;a &lt; 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um&nbsp;ponto de máximo&nbsp;V.&nbsp;

Em qualquer caso, as coordenadas de V são&nbsp;. Veja os gráficos:







Imagem

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

O conjunto-imagem&nbsp;Im&nbsp;da função&nbsp;y = ax2&nbsp;+ bx + c,&nbsp;&nbsp;a&nbsp;0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando&nbsp;a &gt; 0,&nbsp;




a &gt; 0








2ª quando&nbsp;a &lt; 0,





a &lt; 0










Construção da Parábola

&nbsp;&nbsp;

&nbsp;É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

O valor do coeficiente&nbsp;a&nbsp;define a concavidade da parábola;
Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
O vértice V&nbsp;&nbsp;indica o ponto de mínimo (se a &gt; 0), ou máximo (se a&lt; 0);
A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos&nbsp; y é o eixo de simetria da parábola;
Para x = 0 , temos y = a · 02&nbsp;+ b · 0 + c = c; então&nbsp; (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.


Sinal

&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Consideramos uma função quadrática&nbsp;y = f(x) = ax2&nbsp;+ bx + c&nbsp;e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.&nbsp;&nbsp;&nbsp; Conforme o sinal do discriminante&nbsp;&nbsp;= b2&nbsp;- 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º -&nbsp;&nbsp;&nbsp;&gt; 0&nbsp;&nbsp; Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1&nbsp;&nbsp;x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é&nbsp; o indicado nos gráficos abaixo:




quando a &gt; 0



y &gt; 0&nbsp;(x &lt; x1&nbsp;ou x &gt; x2)y &lt; 0&nbsp;x1&nbsp;&lt; x &lt; x2







quando a &lt; 0




y &gt; 0&nbsp;x1&nbsp;&lt; x &lt; x2y &lt; 0&nbsp;&nbsp;(x &lt; x1&nbsp;ou x &gt; x2)&nbsp;Ex:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;



&nbsp;&nbsp;