Conexões matemáticas entre os quadrados mágicos e as potências de expoente inteiro
Autor: Nildo Vaz | Publicado: 2011-06-16T06:02:00-07:00

As figuras mágicas já foram objecto de análise neste blog, por serem um objecto de recreação matemática propício ao estabelecimento de múltiplas conexões matemáticas. No presente artigo pretendo conectar um desse tipo de figuras (os quadrados de ordem 3) ao tema das potências de expoente inteiro. Comecemos por analisar as seguintes figuras:  
 Analisando-se cada uma delas constata-se que são formadas por nove números inteiros consecutivos, iniciando a da esquerda no 1, a do meio no 2 e a da direita no 3. Adicionando-se os três valores de cada linha, cada coluna e cada diagonal, a soma é sempre a mesma em cada figura: na da esquerda há uma soma mágica de 15, na do meio a soma mágica é 18 e na da direita a soma mágica é 21. Existe, pois, um padrão numérico que relaciona as várias somas mágicas que se vão obtendo, a partir do menor número de cada sequência numérica utilizada. De facto, para o início em 1, a soma é 15; para o início em 2, a soma é 15 + 1 x 3; para o início em 3, a soma mágica é 15 + 2 x 3 e assim sucessivamente.  Seria interessante, em contexto de sala de aula de matemática, que os alunos fossem incentivados a investigar esta e outras regularidades existentes nestas mágicas figuras, chegando mesmo à lei geral que permite identificar ou prever uma qualquer soma mágica (s) a partir de um qualquer número inteiro (n) que inicie uma sequência de nove números inteiros consecutivos. Essa lei seria a seguinte s = 15 + (n - 1) x 3. Observando com atenção as três figuras acima, facilmente se constata que a disposição do valor ordinal de cada um dos nove números obedece a uma mesma distribuição geométrica que é a seguinte: 
 Ora, tendo em conta esta mesma disposição geométrica, analisemos agora a seguinte figura. será um quadrado mágico?:  Obviamente que salta à vista não tratar-se de uma quadrado de soma mágica, pois os valores são muito díspares; não são consecutivos. Contudo se em vez de os adicionarmos em linha, em coluna ou em diagonal, os multiplicarmos, teremos uma bela surpresa. De facto: 2 x 256 x 8 = 409664 x 16 x 4 = 409632 + 1 x 128 = 4096  2 x 64 x 32 = 4096256 x 16 x 1 = 40968 x 4 x 128 = 4096 2 x 16 x 128 = 40968 x 16 x 32 = 4096 O produto mágico é, pois, 4096. Analisando os nove números em causa verifica-se serem as primeiras nove potências de base 2. Vejamos:  Em sala de aula, e dependendo do tipo de alunos, poder-se-ia introduzir a regra da multiplicação de potências com a mesma base e expoentes diferentes (mantém-se a base e adicionam-se os expoentes). De facto: 21 x 28 x 23 = 21226 x 24 x 22 = 212
25 x 20 x 27 = 212
  
21 x 26 x 25 = 212
28 x 24 x 20 = 212
23 x 22 x 27 = 212
  
21 x 24 x 27 = 212
23 x 24 x 25 = 212
 
Passemos agora às potências de base 3. Eis a figura com as nove primeiras potências de base 3:   
Note-se que esta figura obedece ao mesmo padrão multiplicativo anterior: 
31 x38 x 33 = 31236 x 34 x 32 = 312
35 x 30 x 37 = 312
   
31 x 36 x 35 = 312
38 x 34 x 30 = 312
33 x 32 x 37 = 312

31 x 34 x 37 = 312
33 x 34 x 35 = 312
  Com os respectivos valores das potências, o aspecto da figura será o seguinte: 
 Calculemos, pois, o respectivo produto mágico: 3 x 6561 x 27 =531441729 x 81 x 9 = 531441243 x 1 x 2187 = 531441 3 x 729 x 243 = 5314416561 x 81 x 1 = 53144127 x 9 x 2187 = 531441 3 x 81 x 2187 = 53144127 x 81 x 243 = 531441 Analisemos, ainda as nove primeiras potências de base 4: 


Neste caso volta a haver um produto mágico, de valor 412, isto é 16777216. 
Como exploração extra poder-se-ia substituir a base destas potências pelo quadrado de dois, o que daria a seguinte nova figura:
 

 
Tirando partido desta substituição, poder-se-ia introduzir ou rever o conceito de potência de uma potência, destacando a regra operativa de manter a base e multiplicar os expoentes. Eis como figura a figura mágica: 
 Logo, o produto mágico 412 será equivalente ao valor da potência 224.