(23/04/11) DICAS PARA TAREFA 1 DE GEOMETRIA 3
Autor: Tano Matemático | Publicado: 2011-04-27T19:25:00-07:00

ola colegas, seguem algumas dicas para tarefa de geometria 3:
1) A idéia é pensar na teoria de conjuntos...temos que encontrar um modelo para a seguinte situação: dois axiomas são satisfeitos e um não é. Por exemplo, vou dar um modelo onde o axioma 3 nao é satisfeito. Sejam dois conjuntos A = {a,b} conjunto de pontos, B = {{a,b}}conjunto de retas. Podemos perceber que o axioma um é satisfeito (temos dois pontos e uma unica reta passando por eles). O axioma 2 também é satisfeito (há pelo menos dois pontos distintos na reta). Mas o axioma 3 não é (não há um ponto em A que não esteja na reta em B). Logo o axioma 3 é independente dos outros. Agora é só bolar modelos parecidos para provar a independência dos outros dois.

2) Seja A a união das retas que passam por P e B o plano. Temos que mostrar que A = B. Lembre-se, nossa geometria é plana, não tem sentido o R3. Então a uniao das retas está contida no plano. Pegue um ponto do plano, se esse ponto é igual a P, então o  plano esta contido na uniao, se o ponto é distinto de P, use o Axioma 1 e determine uma reta ligando P a esse ponto, logo o plano estará contido na uniao. E como a uniao está contida no plano, A = B.

3)i) Leia a definição de semiplano...verás que não é possível que o mesmo não seja convexo, ou seja, ele o é por sua definição...então suponha que existe um semiplano não convexo...a contradiçao virá imediatamente.
ii) Determine um segmento contido num semiplano. Se este segmento está contido na intersecção dos dois semiplanos, então ele está contido no outro semiplano. Logo, por estar CONTIDO na intersecção, a mesma é convexa.

iii) na ii) foi feito com 2 semiplanos, agora faça com n semiplanos...determine um segmento que está em cada um dos semiplanos...logo ele estará CONTIDO na intersecção deles. (é uma generalização de ii).

iv) quando se une semiplanos, o ponto A do segmento AB (por exemplo) pode estar em apenas um deles...logo nem sempre se tem na uniao um conjunto convexo. 

4) quantos pontos determinam uma reta? 2! entao se vc tem um conjunto de pontos com 3 elementos, quantos subconjuntos de 2 elementos sao possiveis? 3!...e com 4 elementos? quantos subconjuntos de dois elementos?

5) há várias formas de gerar a definição...mas seria interessante olhar a videoaula do professor Cleverson e tirar suas conclusões...lá ele explica o que é estar à esquerda de, e inicia um modelo de definição.

6)i) podemos provar através de duas afirmaçoes:    1) Se D é um ponto interno de T, então D é ponto interno de dois angulos de T.    Use a definição de Ponto interno de um triângulo, logo D é ponto interno não só de dois, mas de três angulos.    2) Se D é ponto interno de dois angulos de T, então D é um ponto interno de T     Use a definição de ponto interno de um ângulo. Por hipótese, D é ponto interno de dois angulos. Com a definição verás que por ser ponto interno de dois, ele será ponto interno do outro, logo será ponto interno de T.

ii) Seja D qualquer ponto da intersecção dos 3 semiplanos...cada semiplano é determinado por uma reta e um ponto contido...Como D está na intersecção, entao D estará no mesmo lado dos pontos que estão contidos em cada semiplano. Logo T será a intersecçao dos semiplanos, porque D é qualquer ponto da intersecçao.

iii) Suponha que a união desses semiplanos não é o exterior de T. Então vai existir um ponto D tal que D nao está contido na uniao e que é ponto externo...logo chegarás numa contradição.