Elipse
Autor: ''-  Ponto -'' | Publicado: 2012-09-18T08:20:00-07:00


 Elipse

Uma elipse é a intersecção de uma superfície cônica com um plano que a corta numa curva fechada.Em&nbsp;geometria, uma&nbsp;elipse&nbsp;é um tipo de&nbsp;secção cônica: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intercepte as duas folhas do cone, a intersecção entre o&nbsp;cone&nbsp;e o&nbsp;plano&nbsp;é uma elipse. Para uma prova elementar disto, veja&nbsp;esferas de Dandelin.Em alguns contextos, pode-se considerar o&nbsp;círculo&nbsp;e o&nbsp;segmento de reta&nbsp;como casos especiais de&nbsp;elipses, no caso do círculo, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.A elipse tem dois focos, que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um&nbsp;segmento de recta. A elipse é também a intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respectivamente, de semi-eixo maior (a) e semi-eixo menor (b).
equação reduzida da elipse:
Para o estudo que vamos fazer consideremos que a elipse&nbsp;&nbsp;tem os focos sobre o eixo dos&nbsp;xx&nbsp;&nbsp;e é centrada na origem, ou seja, no ponto&nbsp;(0,0)&nbsp;. Designaremos os focos da elipse por&nbsp; F1,F2&nbsp;&nbsp;e por&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;V1&nbsp;,V2,&nbsp;V3, V4&nbsp;&nbsp;os seus vértices.
F1(-c,0)&nbsp;&nbsp; V1(-a,0)&nbsp;&nbsp; V3(0,b)F2(c,0)&nbsp;&nbsp; V2(a,0)&nbsp;&nbsp; V4(0,-b)


assim&nbsp;&nbsp;&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;,&nbsp;&nbsp;com&nbsp;&nbsp;2a&nbsp;&gt; 2c
&nbsp; então por definição temos:
&nbsp;&nbsp;,&nbsp;equação vectorial da elipse, onde&nbsp;P(x,y)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; e um ponto sobre a elipse
Portanto:Elevando&nbsp; ambos os membros ao quadrado duas vezes vem:&nbsp;&nbsp;(a2&nbsp;-&nbsp; c2)x2&nbsp;+ a2&nbsp;y2&nbsp;= a2(a2&nbsp;-&nbsp; c2)&nbsp;ou seja&nbsp; b2x2&nbsp;+&nbsp; a2&nbsp;y2&nbsp;=a2b2,&nbsp;b2=&nbsp;a2-&nbsp;c2Dividindo agora tudo por&nbsp;a2b2&nbsp;&nbsp;obtém-se a&nbsp;equação reduzida da elipse:


Da mesma forma, considerando os focos da elipse sobre o eixo dos&nbsp;yy&nbsp;e eixo maior igual a&nbsp;2b&nbsp;&nbsp;chegaríamos à seguinte equação:

Equação reduzida da elipse
Tabela resumo da elipse&nbsp;&nbsp;
Características da Elipse&nbsp;&nbsp;
Centro(0,0)(0,0)
Equação Reduzida&nbsp;&nbsp;
FocosF1(-c,0)&nbsp;&nbsp;F2(c,0)F1(0,c)&nbsp; F2(0,-c)&nbsp;&nbsp;
Vértices&nbsp;V1(-a,0)&nbsp;&nbsp; V3(0,b)

V2(a,0)&nbsp;&nbsp; V4(0,-b)&nbsp;V1(-a,0)&nbsp;&nbsp; V3(0,b)

V2(a,0)&nbsp;&nbsp; V4(0,-b)
Distância Focal2c2c
Eixo Maior[V1V2]&nbsp; 2a&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [V3V4]&nbsp;&nbsp;&nbsp;2b&nbsp;&nbsp;
Eixo Menor&nbsp;&nbsp;[V3V4] &nbsp;&nbsp;2b&nbsp;&nbsp;[V1V2]&nbsp;&nbsp;&nbsp;2a
Excentricidade
Directrizesy=±a/ey=±b/e
Relação entre a,b,c&nbsp;&nbsp;a2&nbsp;= b2&nbsp;+&nbsp; c2&nbsp;&nbsp;b2&nbsp;= a2&nbsp;+&nbsp; c2&nbsp;&nbsp;

Translação&nbsp;&nbsp;da elipse segundo um vector&nbsp;&nbsp;
Para cada elipse podemos considerar uma translação segundo um vector&nbsp;(x1,y1)

O centro da nova elipse é (x1,y1), raciocinando da mesma maneira análoga tem-se para&nbsp;equação reduzida da elipse:&nbsp;
Assim:
Características&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Com focos numa paralela a OX&nbsp; a &gt; b&nbsp;&nbsp;Com focos numa paralela a&nbsp;OY&nbsp; b &gt; a
Focos(±c,0)+(x1,y1)(0,±c)+(x1,y1)

Vértices(±a,0)+(x1,y1)

(0,±b)+(x1,y1)&nbsp;(±a,0)+(x1,y1)

(0,±b)+(x1,y1)
Directrizesx-x1=±a/ey-y1=±b/e
Os restantes elementos não se alteram.&nbsp;&nbsp;