Outros cinco fatos interessantes sobre o número pi
Autor: Calebe | Publicado: 2012-09-16T20:13:00-07:00





5. A soma dos inversos
dos quadrados dos inteiros positivos é igual a π²/6



Se você for somando
os inversos dos números inteiros, vai obter um resultado cada vez maior:



S1 = 1/1 = 1

S2 = 1/1 + 1/2 = 1,5

S3 = 1/1 + 1/2 + 1/3 = 1,83333 

S4 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 2,083333

S5 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 = 2,283333



Em algum momento essa
soma vai ficar tão grande quanto se queira. Por exemplo, ela pode se tornar
igual a 1 milhão, bastando que você some um número suficiente de termos. Poderíamos
dizer que a soma de infinitos termos desta série é infinita ou, com um
pouco mais de rigor, que é uma série divergente. Importante: a série
diverge muito lentamente -&nbsp; para que ela
some 100 são necessários uns três milhões de trilhões de trilhões de trilhões
de termos. Pronto, agora você já pode entender a piada abaixo, do SpikedMath.com:









“Ora, mas é lógico!”,
você clama, “que se a soma fica cada vez maior, em algum momento ela ultrapassa
até um número muito grande!” Mas isso não é tão óbvio quanto parece. Se você
for somando os quadrados dos números
inteiros, a coisa será diferente: o resultado nunca será superior a 1,645, por
mais termos que se somem. Diz-se que esta é uma série convergente. 



S1 = 1/1² = 1

S2 = 1/1² + 1/2² = 1,25

S3 = 1/1² + 1/2² + 1/3² = 1,3611 

S4 = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² = 1,4236

S5 = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² = 1,4636

...

S1000 = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + ... +
1/1000² = 1,6439

&nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Na verdade o limite da série não é
exatamente 1,645 e sim π²/6, e isso é muito legal. O número pi é definido a
partir de uma propriedade intrínseca à circunferência, e é realmente
impressionante que ele se meta na soma dos quadrados dos números inteiros. Para
uma bonita prova deste fato, sem&nbsp;Cálculo, veja essa
página da Wikipédia:





4. A probabilidade de
que dois números escolhidos ao acaso sejam primos entre si é 6/π²



Diz-se que dois
números são primos entre si se não têm nenhum divisor em comum. 64 e 35, por
exemplo, são primos entre si, mas 64 e 36 não, pois são ambos divisíveis por 2.
Aliás, é claro que dois números pares não podem ser primos entre si.

&nbsp;&nbsp; Pois bem: escolhendo dois números
aleatoriamente, a probabilidade de que eles não tenham nenhum divisor em comum
é aproximadamente 60,8 % e precisamente 6/π². 

Uma prova heurística
disso você encontra aqui.&nbsp;



3. Jogando um milhão de moedas, a probabilidade de que
metade delas saia coroa é 1/(1000√π)





No lançamento de n moedas, a probabilidade de que haja um
número igual de caras e coroas é C2n,2/2n. (Não te dá saudades das aulas
de Análise Combinatória?). Pode-se mostrar, ou melhor, os mestres podem
mostrar, que para n muito grande este
número tende a 1/√(nπ).



2.&nbsp;Jogar palitinhos em papel listrado é um método para calcular
π









&nbsp; &nbsp;&nbsp;Este método recebe o nome de Agulha de Buffon. Tome um tabuleiro com
várias listras paralelas e alguns palitinhos de comprimento igual à metade da
distância entre duas linhas consecutivas do papel. A experiência é muito
simples: jogue os palitinhos e conte quantos deles tocaram ou cruzaram alguma
das linhas. Faça isso zilhões de vezes e depois divida o número de palitinhos
lançados pelo número de palitinhos que acertaram alguma das linhas. O resultado
é uma aproximação do número pi. Se você tem 10 palitinhos, só teve paciência
para repetir os lançamentos 22 vezes e contou que houve 70 cruzamentos, sua
aproximação para pi é 220/70 = 3,142.








&nbsp;&nbsp;&nbsp; Eu resisti à tentação de colocar aqui as
provas dos fatos anteriores, mas dessa vez eu preciso escrever mais sobre isso.
Digo mais uma vez: você encontra pi quando divide o perímetro de uma
circunferência pelo seu diâmetro. Mas onde está a circunferência nessa
experiência com palitinhos???

&nbsp;&nbsp; A posição de um palitinho em relação às
linhas do tabuleiro pode ser descrita por duas variáveis: d, a distância do seu centro até a linha mais próxima e θ, o ângulo que ele faz com a
horizontal. O palitinho da figura abaixo caiu bem no meio da lacuna entre duas
linhas e na direção uma-hora-e-meia. Então nós descrevemos sua posição por d = l/2 e θ = 45º. 



&nbsp; &nbsp;&nbsp;A cada posição possível do palitinho
corresponde um ponto no gráfico da direita. O nosso palitinho corresponde ao
pontinho verde na figura (aliás, você sabe o que é um pontinho verde no
poleiro?... deixa pra lá). A relação entre d
e θ para que um palitinho cruze uma das retas é 



(l/2)
sen θ ≥ d



Isso corresponde aos
pontos pintados de vermelho no nosso gráfico. A probabilidade de que um palito
cruze uma reta é a chance de que um ponto do gráfico escolhido ao acaso esteja
entre os pontos vermelhos (veja que para o nosso palito isto não acontece e o
ponto verde não está no meio dos vermelhos). Essa chance é a razão entre a área
vermelha do gráfico e a área do retângulo de base 180º e altura l/2. Com um pouco de Cálculo mostra-se
que essa razão vale 1/π.

&nbsp; &nbsp;Note que o pi surge devido ao aparecimento
da função seno, que é definida a partir da circunferência. Perceba também que
este é um método probabilístico, no sentido de que o número pi não aparece
diretamente, mas apenas numa probabilidade. Teve um senhor que disse ter jogado
3550 palitinhos e obtido 1130 cruzamentos, obtendo a melhor aproximação
possível com números pequenos. Ninguém acreditou nele, pela mesma maneira que
dificilmente alguém acreditaria se você dissesse que em 3550 lançamentos de
moedas obteve 1775, exatamente metade, de coroas.



1. Você obteria π numa
experiência com bolas de bilhar



E esse é um método
determinístico para o cálculo do pi, isto é, sua expansão decimal aparece
forçosamente. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Tome um plano perfeitamente liso e duas
bolas de bilhar perfeitamente iguais, esféricas e homogêneas. OK, você nunca
conseguiria arranjar esse material, e essa é a desvantagem do método :-). De
fato, para que a experiência funcionasse, não poderia haver nenhuma perda de
energia ou momento durante as colisões das esferas entre si ou com a borda do
plano. Isso nem existe no mundo real...

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Mas enfim. Se você bate em uma das bolas
para que ela colida com a outra, haverá três colisões ao todo: uma primeira
colisão entre as bolas, uma segunda entre a bola e a borda da mesa e uma
terceira entre as bolas novamente. Depois disso a bola em que você bateu vai se
afastar da outra para sempre.









&nbsp; &nbsp;&nbsp;Agora tome uma bola de bilhar com massa 100
vezes maior que a da outra. Haverá 31 colisões ao todo. Já notou o padrão? Se a
razão entre as massas das bolas fosse de 10000, o número de colisões seria 314,
e assim por diante, a cada multiplicação de 100 na razão entre as massas
aparecendo mais um dígito de pi. 

&nbsp; &nbsp;Este fato é tão curioso que poucos são
merecedores de desvendá-lo. Não vou indicar nenhuma referência, a menos que me
peçam por meio dos comentários. 

&nbsp; &nbsp;