Aplicações de números complexos.
Autor: Romário Trajano | Publicado: 2016-07-11T07:58:00-07:00





Números Complexos e Aplicação



Tal trabalho objetiva mostrar que os números complexos, como muitos imaginam, não são aplicados apenas em engenharia elétrica, mas sim, em problemas do Ensino Médio, tal como: encontrar os lados, em números inteiros, de um triângulo retângulo, dada a medida da hipotenusa, que é o que veremos a seguir.



José era filho de um agricultor e frequentava a escola do Ensino Médio. Certo dia o professor passou uma tarefa para casa sobre números complexos. Assim que José chega em casa, sua mãe pergunta: - Qual o dever de casa, meu filho? José responde: - Uma lista de exercícios sobre números complexos. O pai de José ao ouvir falar em números complexos, pergunta ao filho: - E para que serve meu filho, na vida real, números complexos? O filho responde: - Eu fiz a mesma pergunta ao professor, e ele me respondeu que a gente só veria a aplicação dos números complexos, caso a gente no futuro fizesse um curso de graduação em engenharia elétrica. - É por isso, meu filho, que na época que estudei o Ensino Médio (antigo científico), nunca tive o menor interesse em aprender esse tal de números complexos. - Por que papai? - Ora, porque durante o período que frequentei a escola do Ensino Médio, em momento algum tive a oportunidade de ver, em sala de aula, uma só aplicação da matemática "ensinada" numa situação prática do dia a dia.



Certo dia o pai de José e encontra com um professor por nome Sebá e pergunta-lhe: - Professor, sou agricultor e meu filho estuda o Ensino Médio; o professor dele passou uma lista de exercícios sobre números complexos e disse que os números complexos só têm aplicação em curso de graduação de engenharia elétrica, isso é verdade? Respondeu o professor Sebá: - Não! Vejamos alguns exemplos.



Aplicações dos números complexos



1. Suponha que você tenha um fio de arame com 85 metros de comprimento e quer dividi-lo em duas partes, cada parte um número inteiro, e com cada parte fazer um quadrado, pergunta-se: qual deve ser o tamanho de cada parte?







Resolução:

85=x2+y2

85=5⋅17=(22+12)⋅(42+12)

Aplicando números complexos, obtém-se:

(2+i)⋅(4+i)=−7+6i. Logo,&nbsp;x=7&nbsp;e&nbsp;y=6.

Portanto:&nbsp;85=x2+y2=72+62



Resposta.&nbsp;Uma parte com&nbsp;36m&nbsp;e a outra com&nbsp;49m, ou seja, um quadrado de lado&nbsp;6m&nbsp;e outro de lado&nbsp;7m.

&nbsp;



Mas existe algum outro modo de cortar o arame, professor?

Vejamos:

Trocando o sinal de&nbsp;2+i&nbsp;ou de&nbsp;4+i. Troquemos o sinal de&nbsp;2+i:

(2−i)⋅(4+i)=9−2i

85=92+22



Resposta. Uma parte com&nbsp;4m&nbsp;e a outra com&nbsp;81m, ou seja, um quadrado de lado&nbsp;2m&nbsp;e outro, de lado&nbsp;9m.



&nbsp;



2. Suponha que você delimitou um terreno retangular com perímetro igual a 226 metros e notou que a diagonal media 85 metros, pergunta-se: quais as medidas do retângulo em números inteiros?

Resolução:





Como o retângulo é composto por dois triângulos retângulos iguais, logo, basta achar as medidas dos lados de um deles. Para achar as medidas dos lados de um triângulo retângulo tendo o valor da hipotenusa, basta usar as fórmulas de Euclides, as quais são:

a=x2−y2&nbsp;(um dos catetos)

b=2xy&nbsp;(o outro cateto)

c=x2+y2&nbsp;(hipotenusa)

x&gt;y



Como&nbsp;85=92−22, temos que

a=92−22=77

b=2⋅9⋅2=36

c=92+22=85



As medidas dos lados do triângulo retângulo são:&nbsp;(a,b,c)=(77,36,85)



Como a diagonal de um retângulo é comum a dois triângulos retângulos iguais, logo, unindo os dois triângulos retângulos pelas duas hipotenusas, obtém-se um retângulo com as medidas:

lado menor:&nbsp;36m, lado maior:&nbsp;77m&nbsp;e diagonal:&nbsp;85m.

Perímetro do retângulo:&nbsp;2⋅36+2⋅77=226m



- O senhor sabe que é possível, usando números complexos, delimitar outro terreno retangular com a diagonal medindo&nbsp;85m&nbsp;e perímetro menor que&nbsp;226m?

- Duvido! Só acredito vendo.



- Vejamos:

Como&nbsp;85&nbsp;pode ser escrito de outra maneira:&nbsp;85=72+62, então:

a=72−62=13

b=2⋅7⋅6=84

c=72+62=85



As medidas dos lados do triângulo retângulo são:&nbsp;(a,b,c)=(13,84,85)



Como a diagonal de um retângulo é comum a dois triângulos retângulos iguais, logo, unindo os dois triângulos retângulos pelas hipotenusas, obtém-se um retângulo com as seguintes medidas:

lado menor:&nbsp;13m, lado maior:&nbsp;84m&nbsp;e diagonal:&nbsp;85m.

Perímetro do novo retângulo:&nbsp;2⋅13+2⋅84=194m

Usando números complexos, foram gastos&nbsp;32m&nbsp;a menos para delimitar um terreno com mesma diagonal (claro que a área deste terreno é bem menor).



3. Com 25 tijolos faz-se um quadrado com cada lado 5 tijolos; se o quadrado de lado 5 for dividido em dois quadrados menores, qual a medida do lado de cada um?









Resolução:

25=5⋅5=(12+22)⋅(12+22)=(1+2i)⋅(1+2i)=−3+4i

25=32+42



Resposta.&nbsp;Um quadrado com lado 3 tijolos e outro com lado 4 tijolos.





Trocando o sinal de&nbsp;1+2i:

(1−2i)⋅(1+2i)=5+0i

25=02+52



Matematicamente,&nbsp;25=02+52&nbsp;é uma igualdade verdadeira, mas não satisfaz ao problema proposto.



Conclusão


Para que ensinar triângulos retângulos, ternos pitagóricos e números complexos somente pelo fato de esses assuntos fazerem parte do currículo do Ministério da Educação? Para mim é uma coisa que isolada, não significa absolutamente nada. Pior: atrapalha a carreira de muitos jovens.



Como podemos esperar algum resultado de ensino da matemática do Ensino Fundamental e Médio, se as ementas não mencionam aplicações? Ou será que o que consta nas ementas é apenas para ser cobrado nas provas?



Como seria estimulante, para todos os alunos, se o professor mostrasse o quanto é poderoso e fundamental aqui que estão aprendendo!



Diante do exposto, pode-se afirmar que:


a aversão que o aluno tem á matemática, decorre da distância que o Ensino Fundamental e Médio guarda da realidade em que vive;
já que o aluno não consegue fazer a conexão entre o que aprende e suas necessidade do dia a dia, daí vem o desinteresse e, em consequência, a aversão à matemática;
toda a matemática do Ensino Fundamental e Médio é importante para a vida do aluno, mas da forma como é "ensinada": Não serve para nada.




TICs na matemática.