Autor: coisasquevousupondo | Publicado: 2011-10-14T17:02:00-07:00

George Ferdinand Ludwig Philip Cantor, cujos pais eram dinamarqueses, nasceu em
1845, em S. Petersburgo, Rússia, mas passou a maior parte da sua vida na Alemanha. O
seu pai era judeu convertido ao protestantismo e a sua mãe católica de nascimento.
Cantor interessou-se fortemente pela teologia medieval sobre a continuidade e o
infinito. Como consequência, não seguiu uma carreira em engenharia como lhe sugeria
o seu pai, a fim de se concentrar em Filosofia, Física e Matemática.
Estudou em Zurique, Göttingen e Berlim, onde ensinavam, além de Kummer,
Leopold Kronecker e Karl Weierstrass. Talvez por influência de Kummer e Kronecker,
Cantor interessou-se particularmente por teoria de números, tendo sido este assunto
tanto da sua tese de doutoramento como do trabalho que apresentou para ser admitido
como docente na Universidade de Halle (uma universidade de província considerada
pouco importante), onde leccionou entre 1869 e 1905.
Faleceu em 1918 no hospital de doenças mentais de Halle.
As descobertas de Cantor sobre a teoria de conjuntos assentam sobre uma ideia muito
simples. Como comparar conjuntos se não se conseguir contar os seus elementos?
Qualquer criança, muito antes de aprender a contar, sabe que a mão direita tem tantos
dedos quantos da mão esquerda. Ora, “tantos…quantos” é a maneira pela qual não só as
crianças, mas também, em geral, as pessoas normais, exprimem o conceito de
correspondência biunívoca. Pois bem, basta colocar cada dedo de uma mão em frente ao
correspondente dedo da outra mão para concluir que ambas têm o mesmo número de
dedos.
De uma forma intuitiva, a correspondência, um a um, entre dois conjuntos A e B
trata-se do emparelhamento dos elementos de um conjunto com os do outro, de tal
modo que todos os elementos de cada conjunto têm exactamente um correspondente no
outro conjunto.
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“Se eu puder corresponder, elemento por elemento, dois conjuntos bem definidos M
e N por uma operação unívoca (e, quando se pode fazê-lo duma maneira, pode-se fazêlo
também de muitas outras) (…) digo que estes conjuntos têm a mesma potência, ou
ainda que eles são equivalentes”. (Cantor, 1883 [1887])
Segundo esta definição, pode procurar-se a equivalência de grandes conjuntos, como
o dos lugares de um estádio e o dos espectadores que os ocupam para assistir a qualquer
acontecimento: se houver espectadores sem lugar, ou se sobrarem lugares não ocupados,
os dois conjuntos não são equivalentes; caso contrário, são.
A definição de Cantor não exige que contemos, ou mesmo que conheçamos, as
populações dos dois conjuntos para determinar se são ou não equivalentes.
Como diz Radice (1981), Cantor teve a ousadia intelectual, que duzentos e cinquenta
anos antes faltou a Galileu Galilei, de aplicar a definição infantil de igualdade do
número cardinal de dois conjuntos ao caso de conjuntos infinitos, afirmando que uma
parte pode ser equivalente ao todo quando se trata de conjuntos infinitos.
Na obra de Galileu Diálogos de Duas Novas Ciências, escrita dois séculos e meio
antes de Cantor, o grande cientista italiano chamou a atenção para a correspondência, de
um para um, entre o conjunto dos números naturais e os seus quadrados, embora
intuitivamente parecesse haver muito menos quadrados do que números naturais.
A contradição que se deparou a Galileu resolve-se com facilidade, tendo apenas em
atenção que o mesmo adjectivo, igual, pode ser empregue com dois significados
diferentes.
Um deles, com origem em Aristóteles, baseia-se no facto de a parte não poder ser
igual ao todo, na medida em que no todo existe pelo menos um elemento que não está
na parte.
O outro, cantoriano, considera que a parte pode ser igual em número ao todo.
Assim, Cantor não só afirmou que a correspondência, de um para um, entre o
conjunto dos números naturais e os seus quadrados deveria ser literalmente aceite, como
também provou que o conjunto dos números pares, dos ímpares, dos números
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triangulares, …, podem estar em correspondência, um a um, com o conjunto dos
números naturais, ou seja, têm todos a mesma potência, o mesmo cardinal.
Cantor mostrou então que qualquer subconjunto infinito dos números naturais é
equipotente a  .
Quando consideramos ao mesmo tempo conjuntos finitos e infinitos, a equipotência
de um conjunto com uma sua parte própria torna-se uma característica específica dos
conjuntos infinitos.
Assim, em 1888, Richard Dedekind definiu um conjunto infinito como aquele em
que se pode estabelecer uma bijecção com um seu subconjunto próprio. Com esta
definição, Dedekind revolucionou uma maneira de pensar milenária. Agora já não se
necessita de definir um conjunto infinito com a negação do que é finito, podemos, pelo
contrário, definir o finito como negação do que é infinito, ou seja, um conjunto é finito
se não estiver em bijecção com nenhuma parte própria.
O conjunto infinito mais pequeno é o conjunto dos números naturais, cujo cardinal é
denotado pelo símbolo 0 ℵ (álefe-zero), de acordo com a primeira letra do alfabeto
hebraico. Este número é o número infinito mais pequeno.
Cantor ficou seduzido pela estranha aritmética do aléfe-zero:
0 0 ℵ +1 =ℵ e 0 0 0 ℵ +ℵ =ℵ
Ou seja, quando somamos 1 ao infinito continuamos a ter infinito, assim como,
quando duplicamos o infinito continuamos a ter infinito.
Estas propriedades estavam no centro do paradoxo do Hotel de Hilbert, assim
chamado em honra ao lendário matemático alemão David Hilbert.
Hilbert descreveu um hotel com um número infinito de quartos, numerados 1, 2, 3,...
Uma noite, quando todos os quartos estavam ocupados, um hóspede solitário chega à
procura de quarto. O recepcionista do hotel fez cada hóspede avançar um quarto, de
maneira que o ocupante do quarto 1 fosse transferido para o quarto 2, o ocupante do
quarto 2 para o quarto 3, e assim sucessivamente. Assim, depois de todas as mudanças
feitas, o quarto 1 fica então livre para o novo hóspede! Na noite seguinte chegou um
autocarro, com um número infinito de novos hóspedes, e nenhum dos antigos hóspedes
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tinha saído. “Não há problema”, anunciou o recepcionista. Desta vez, transferiu o
ocupante do quarto 1 para o quarto 2, o do quarto 2 para o 4, o do 3 para o 6 e, em geral,
o ocupante do quarto n para o quarto 2n. Isto deixou desocupado um número infinito de
quartos ímpares para os infinitamente muitos recém-chegados. Portanto, o passageiro
número 1 do autocarro pode ir para o quarto 1, o número 2 para o quarto 3, o número 3
para o quarto 5, e em geral, o número n para o quarto 2n −1. Mesmo que chegue uma
infinidade de autocarros infinitos de turistas, toda a gente pode ser acomodada.
O hotel de Hilbert mostra que certos tipos de argumentos estão disponíveis no caso
finito, mas não podem ser usados em qualquer outro caso: por exemplo, o “princípio da
gaiola de pombos”, que afirma ser impossível colocar n +1 objectos em n caixas
colocando no máximo um em cada uma, é falso para qualquer n infinito, e em particular
para 0 n =ℵ .
Cantor chamou numerável ao conjunto dos números naturais e considerou que
qualquer conjunto que estivesse em correspondência, um a um, com o conjunto dos
números naturais também era numerável.
O próximo passo era responder à questão: Terão todos os conjuntos infinitos o
mesmo cardinal?
Assim, surgiu a tentativa, bem sucedida, de estabelecer uma bijecção entre os
números inteiros e os números naturais.
f : → 
  
− + ≤
&gt;
2 1 0
2 0
n se n
n se n
n a
Cantor mostrou que, de facto, também o conjunto dos números inteiros tem tamanho
álefe-zero e perguntou-se então se o conjunto dos números racionais teria também o
tamanho álefe-zero (o que à primeira vista parece falso).
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Estamos habituados à ideia de que há muito mais racionais do que naturais, porque
os naturais têm grandes espaços entre si, enquanto os racionais estão densamente
distribuídos. Por exemplo, se olharmos para o bordo de uma régua graduada vemos que,
entre dois números naturais quaisquer, há espaço para uma infinidade de fracções, o que
nos levaria a concluir que as fracções são infi 
infinitamente mais numerosas do que os
naturais.
Mas, não obstante a aparências, Cantor provou que é possível emparceirar qualquer
fracção com um número natural, apresentando uma demonstração engenhosa que
mostra que existem também 0 ℵ racionais.
Cantor começou a demonstração por dispor todas as fracções do tipo
q
p
, com p,
q∈  e q ≠ 0 , numa matriz. A primeira linha contém, por ordem crescente, todas as
fracções de denominador 1, a segunda linha todas as fracções cujo denominador é 2, e
assim por diante.
Assim, usando o seu engenhoso “argumento diagonal”, Cantor mostrou que se
fizéssemos um percurso diagonal era possível pôr em correspondência, de um para um,
os números racionais e os números naturais.
Cantor sabia, naturalmente, que algumas fracções se repetiriam e incitava que,
quando se encontrassem representações alternativas, essas deveriam ser ignoradas.
Enfim, como aconteceu com outras ideias incrivelmente originais, só aqueles que
estavam preparados para fazer um esforço para as entender e usar no seu trabalho as
apreciaram.

ttalvez ze rezolva no zentibo be eoria como a Cantoriana, que combina a nossa noção intuitiva de pontos e acontecimentos individuais com uma teoria sistemática de conjuntos infinitos. &nbsp;