Autor: Márcio André, simplesmente EU | Publicado: 2014-09-10T18:38:00-03:00


POLINÔMIOS - 8º ANO - 723 (E.E.CECILIA PINTO) -&nbsp;
PROFESSOR MARCIO ANDRE


Um pouco de história



A grande maioria das pessoas que estão em processo de&nbsp;aprendizagem&nbsp;em matemática sempre buscam aplicações imediatas para os conteúdos. Não que esse deva ser um caminho único a ser seguido, pelo contrário, a compreensão de seu valor abstrato, perpassante do território da realidade, é indubitavelmente importante. Faço aqui um comparativo entre duas matemáticas, que por mais que sejam admiráveis, tem seus campos estudados por pesquisadores diferentes. É sabido que os matemáticos reconhecem a existência dessas duas matemáticas, porém dificilmente dominam as duas simultânea e profundamente.

Falo da&nbsp;matemática&nbsp;utilitária e da matemática abstrata. Enquanto a primeira se relaciona com as questões diárias, os problemas, as demandas, ou seja, questões atuais que requerem soluções imediatas, a outra se refere ao pensamento abstrato, o conhecimento pensado e criado no campo da imaginação, do mundo teórico. É bom frisar que a matemática utilitária não se relaciona apenas com questões práticas, mas também a teorias abstratas que reflitam ao pensamento moderno decorrente da realidade vigente.

O filósofo grego Platão diferenciava a matemática utilitária, importante para comerciantes e artesãos, da matemática abstrata, destinada a elite. Um representante dessa elite foi Alexandre da Macedônia, também conhecido por Alexandre o Grande, que teve como seu preceptor Aristóteles. Mas foi no século III a.C. que surgiu o matemático Arquimedes de Siracusa, esse talvez tenha sido o primeiro a desenvolver com competência as duas matemáticas da qual estamos nos referindo.

Para mais informações sobre a&nbsp;história&nbsp;de monômios e polinômios, leia o artigo&nbsp;Monômios.



Ocorrência de polinômios



Perímetros de figuras planas



Cálculo de distâncias



Cálculo de áreas



Todo monômio é considerado polinômio;
Os monômios integrantes de um polinômio são chamados termos do polinômio;
5x2&nbsp;→ é um polinômio de um único termo (monômio);
2x – y → é um polinômio de dois termos: 2x e - y.



Redução de Polinômios

Em muitos casos nos deparamos com representações polinomiais extensivas que podem ser reduzidas por meio das ideias relativas à adição e/ou subtração de monômios[1]. Para que a redução seja possível é necessária à existência de monômios semelhantes na expressão.



Observações:

De acordo com a quantidade de termos resultantes das reduções polinomiais ou até mesmo da representação inicial dos polinômios, podemos classifica-los das seguintes formas:

monômio, quando há apenas um termo;
binômio, quando há dois termos;
trinômio, quando há três termos;
acima de três termos, não há nome particular, sendo chamado apenas&nbsp;polinômio.



Grau de um polinômio

O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é dado em função de seu termo de maior grau.



Da mesma forma que nos monômios, dado um polinômio reduzido, podemos estabelecer o seu grau em relação a uma de suas variáveis.

8m3n + m4n → esse polinômio é do 4º grau em relação a variável&nbsp;m&nbsp;e do 1º grau em relação à&nbsp;n.
x8y5&nbsp;+ x10y2&nbsp;→ esse é um polinômio do 10º grau em relação a variável&nbsp;x&nbsp;e do 5º grau em relação&nbsp;
à&nbsp;y.


Polinômio com uma só variável

A compreensão desse tópico é muito importante para estudos futuros a exemplo das funções. Nos casos abaixo dizemos que são&nbsp;polinômios na incógnita x.

2x – 7&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;x2&nbsp;+ x + 3

Esse tipo de polinômio costuma-se ser&nbsp;escrito&nbsp;de forma decrescente, ou seja, do termo de maior grau ao termo de menor grau. Quando falta uma ou mais potências na variável “x” dizemos ser um&nbsp;polinômio incompleto.

7x3&nbsp;+ 2x + 3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;x2&nbsp;+ 3

7x3&nbsp;+ 2x + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma 7x3&nbsp;+ 0x2&nbsp;+ 2x + 3;
x2&nbsp;+ 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma x2&nbsp;+ 0x + 3.




Adição de polinômios

A adição de polinômios segue os critérios da redução, obedecendo às propriedades dos monômios no que se refere a termos semelhantes. Devemos sempre agrupar os termos semelhantes e realizar suas adições. Acompanhem:





Multiplicação de um monômio por um polinômio

Para desenvolver o produto de um monômio por um polinômio é primordial o conhecimento sobre a propriedade distributiva da multiplicação, pois esta multiplicação é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. Vejam nos exemplos:





Multiplicação de um polinômio por outro polinômio

Da mesma forma que o caso anterior, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, isto é, deveremos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo.



Divisão de um polinômio por um monômio

O quociente de um polinômio por um monômio é dado através da divisão de cada termo do polinômio pelo monômio, desde que este não seja nulo. Para isso deveremos conhecer bem as propriedades da potenciação.

(10x4y6&nbsp;+ x3y4&nbsp;+ x2y2) : (x2y)

10x4y6&nbsp;: x2y =&nbsp;10x2y5;&nbsp;x3y4&nbsp;: x2y =&nbsp;xy3&nbsp;e x2y2&nbsp;: x2y =&nbsp;y

Ou seja,

(10x4y6&nbsp;+ x3y4&nbsp;+ x2y2) : (x2y) =&nbsp;10x2y5&nbsp;+ xy3&nbsp;+ y.



Divisão de um polinômio por outro polinômio

A divisão de polinômios em uma mesma variável “x” é muito semelhante ao algoritmo de divisão abordado nas séries iniciais.