ENEM 2015 - POLINÔMIOS
Autor: Mauro Matematicando | Publicado: 2015-08-17T09:56:00-03:00


Polinômios






Os polinômios, a&nbsp;priori, formam um plano conceitual importante na álgebra, entretanto possuem também uma relevante importância na geometria, quando se deseja calcular expressões que envolvem valores desconhecidos.

A definição de polinômio abrange diversas áreas, pois podemos ter polinômios com apenas um termo na expressão algébrica, como por exemplo: 2x, y, 4z, 2, 5, etc. Mas podemos possuir polinômios com uma infinidade de termos. Por exemplo:

P(x)=an&nbsp;xn+a(n-1)&nbsp;x(n-1)+...+a2&nbsp;x2+a1&nbsp;x+a0

Como podemos notar, polinômios são compostos pelas várias expressões algébricas, desde aquelas que envolvem apenas números, até as que apresentam diversas letras, potências, coeficientes, entre outros elementos dos polinômios.

Os polinômios se encontram em um âmbito da matemática denominado&nbsp;álgebra, contudo a álgebra correlaciona o uso de letras, representativas de um número qualquer, com operações aritméticas. Portanto, podemos, assim, efetuar as operações aritméticas nos polinômios, que são: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação.

Buscaremos, então, nesta seção, abarcar todas as propriedades dos polinômios, assim como as operações aritméticas desses números.







Polinômio



Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão:a0&nbsp;xn&nbsp; + &nbsp;a1&nbsp;xn – 1&nbsp;+&nbsp; a2&nbsp;xn -2&nbsp; + ... + &nbsp;an – 1&nbsp;x + anA função polinomial será definida por:P(x) = a0xn&nbsp;+ a1xn – 1&nbsp;+ a2xn -2&nbsp;+ ... + an – 1x + anCom:a0&nbsp;, a1&nbsp;, a2, … , an – 1&nbsp;e an&nbsp;são números complexos e n&nbsp;&nbsp;N.&nbsp;•&nbsp;Valor numérico de um polinômio&nbsp;Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x4&nbsp;– 3x3&nbsp;+ x2&nbsp;– x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x.Então, se dissermos que x =&nbsp;2&nbsp;o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.P(2) = 5 .&nbsp;24&nbsp;– 3 .&nbsp;23&nbsp;+&nbsp;22&nbsp;–&nbsp;2&nbsp;+ 2P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2P(2) = 80 – 24 + 4P(2) = 56 + 4P(2) = 60Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4&nbsp;– 3x3&nbsp;+ x2&nbsp;– x + 2, quandox = 2 será&nbsp;P(2) = 60.•&nbsp;Raiz ou zero do polinômioSe pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x3&nbsp;+ 5x2&nbsp;– x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quandox = b.Exemplo:P(x) = x2&nbsp;- 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:x2&nbsp;- 1 = 0x2&nbsp;= 1x = + 1 ou - 1Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x2&nbsp;- 1.•&nbsp;Grau de um polinômioUm polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:• P(x) = x3&nbsp;- x2&nbsp;+ 2x&nbsp;-3&nbsp; &nbsp;→&nbsp;&nbsp; temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x3, então o polinômio tem o mesmo grau que ele.P(x) = x3&nbsp;- x2&nbsp;+ 2x -3 é do 3º grau.• P(x) = 5x0&nbsp;= 5 → grau zero.



Adição e Subtração de Polinômios



O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir:&nbsp;Adição&nbsp;Exemplo 1&nbsp;Adicionar x2&nbsp;– 3x – 1 com –3x2&nbsp;+ 8x – 6.&nbsp;(x2&nbsp;– 3x – 1) + (–3x2&nbsp;+ 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.&nbsp;+(–3x2) = –3x2&nbsp;+(+8x) = +8x&nbsp;+(–6) = –6&nbsp;x2&nbsp;– 3x – 1 –3x2&nbsp;+ 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.&nbsp;x2&nbsp;– 3x2&nbsp;– 3x + 8x – 1 – 6&nbsp;–2x2&nbsp;+ 5x – 7&nbsp;Portanto: (x2&nbsp;– 3x – 1) + (–3x2&nbsp;+ 8x – 6) = –2x2&nbsp;+ 5x – 7&nbsp;Exemplo 2&nbsp;Adicionando 4x2&nbsp;– 10x – 5 e 6x + 12, teremos:&nbsp;(4x2&nbsp;– 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.&nbsp;4x2&nbsp;– 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.&nbsp;4x2&nbsp;– 10x + 6x – 5 + 12&nbsp;4x2&nbsp;– 4x + 7&nbsp;Portanto: (4x2&nbsp;– 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2&nbsp;– 4x + 7&nbsp;Subtração&nbsp;Exemplo 3&nbsp;Subtraindo –3x2&nbsp;+ 10x – 6 de 5x2&nbsp;– 9x – 8.&nbsp;(5x2&nbsp;– 9x – 8) – (–3x2&nbsp;+ 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.&nbsp;– (–3x2) = +3x2&nbsp;– (+10x) = –10x&nbsp;– (–6) = +6&nbsp;5x2&nbsp;– 9x – 8 + 3x2&nbsp;–10x +6 → reduzir os termos semelhantes.&nbsp;5x2&nbsp;+ 3x2&nbsp;– 9x –10x – 8 + 6&nbsp;8x2&nbsp;– 19x – 2&nbsp;Portanto: (5x2&nbsp;– 9x – 8) – (–3x2&nbsp;+ 10x – 6) = 8x2&nbsp;– 19x – 2&nbsp;Exemplo 4&nbsp;Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:&nbsp;(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais.&nbsp;2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.&nbsp;2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5&nbsp;0x³ – 6x² + x + 16&nbsp;– 6x² + x + 16Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16Exemplo 5&nbsp;Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:&nbsp;a) A + B + C&nbsp;(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)&nbsp;6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20&nbsp;6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20&nbsp;9x³ + 6x² – 8x + 45&nbsp;A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45&nbsp;b) A – B – C&nbsp;(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)&nbsp;6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20&nbsp;6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20&nbsp;6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30&nbsp;3x³ + 4x² – 8x – 15&nbsp;A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15





Adição, Subtração e Multiplicação de Polinômios



Nas situações envolvendo cálculos algébricos, é de extrema importância a aplicação de regras nas operações entre os monômios. As situações aqui apresentadas abordarão a adição, a subtração e a multiplicação de polinômios.Adição e SubtraçãoConsidere os polinômios&nbsp;–2x² + 5x – 2&nbsp;e&nbsp;–3x³ + 2x – 1.&nbsp;Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles.Adição(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência–3x³ – 2x² + 7x – 3Subtração(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência3x³ – 2x² + 3x – 1Multiplicação de polinômio por monômioPara entendermos melhor, observe o exemplo:(3x2) * (5x3&nbsp;+ 8x2&nbsp;– x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação15x5&nbsp;+ 24x4&nbsp;– 3x3Multiplicação de polinômio por polinômioPara efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:(x – 1) * (x2&nbsp;+ 2x - 6)x2&nbsp;* (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.x³ + x² – 8x + 6Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.




Demonstrações através do cálculo algébrico




No estudo sobre o cálculo algébrico aprendemos a operar polinômios, fazer a sua fatoração e encontrar o seu mmc. E com essas informações é possível fazer algumas demonstrações como:• A soma de dois números inteiros consecutivos será sempre a diferença de seus quadrados.Considere x como sendo um número inteiro qualquer, o seu sucessor pode ser representado pelo polinômio x + 1. Somando esses dois polinômios chegaremos à seguinte expressão algébrica:x + (x + 1) = x + x + 1 = 2x + 1A diferença dos quadrados desses dois números consecutivos será representada pela seguinte expressão algébrica:(x +1)2&nbsp;- x2&nbsp;= (x2&nbsp;+ 2x + 1) – x2&nbsp;= x2&nbsp;+ 2x + 1 - x2&nbsp;= 2x + 1Comparado as duas expressões algébricas encontradas, podemos confirmar quex + (x + 1) = (x +1)2&nbsp;- x2• A soma de cinco números inteiros consecutivos será sempre múltiplo de 5.Considere como sendo cinco números inteiros consecutivos os polinômios: x-2 ; x-1 ; x ; x + 1 ; x + 2.Um número para que seja múltiplo de cinco pode ser escrito da seguinte forma: 5x, onde x é um número inteiro qualquer, ou seja, qualquer número que multiplicado por 5 será múltiplo de cinco.Somando os cinco números consecutivos teremos:x - 2 + x - 1 + x + x + 1 + x + 2 = 5x -3 + 3 = 5x, portanto, é verdadeiro dizer que a soma de 5 números inteiros consecutivos terá como resposta um número múltiplo de 5.• A soma de dois números inteiros ímpares será sempre um número par.Para que um número seja par é preciso que ele esteja escrito da seguinte forma: 2x, onde x representa um número inteiro qualquer. Dessa forma, um número ímpar seria igual a 2x +1.Somar dois números ímpares seria o mesmo que:(2x +1) + (2x + 1) = 2 (2x + 1). A expressão algébrica (2x + 1) terá valor numérico igual a um número inteiro qualquer, quando multiplicado por 2 (2x + 1) irá resultar em um número par.






Divisão de polinômio por polinômio




Em toda divisão temos&nbsp;dividendo, divisor, quociente e resto, como estamos falando de divisão de polinômio por polinômio, teremos:Para o&nbsp;dividendo&nbsp;um polinômio&nbsp;G(x)Para o&nbsp;divisor&nbsp;um polinômio&nbsp;D(x)Para o&nbsp;quociente&nbsp;um polinômio&nbsp;Q(x)Para o&nbsp;resto&nbsp;(podendo ser zero) um polinômio&nbsp;R(x)Prova real:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Tem algumas observações a serem feitas, como:? ao final da divisão o resto sempre tem que ser menor que o divisor:&nbsp;R(x) &lt; D(x).? quando o resto for igual a zero, a divisão é considerada exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor.&nbsp;R(x) = 0.Observe a divisão de polinômio por polinômio abaixo, vamos partir de um exemplo, cada passo tomado no desenvolvimento da divisão será explicado.Dada a divisão(12x3&nbsp;+ 9 – 4x) : (x + 2x2&nbsp;+ 3)Antes de começar a operação temos que fazer algumas verificações:? se todos os polinômios estão em ordem conforme as potências de x.No caso da nossa divisão devemos ordenar, ficando assim:(12x3&nbsp;-&nbsp;4x&nbsp;+&nbsp;9) : (2x2&nbsp;+&nbsp;x&nbsp;+ 3)&nbsp;? observar se no polinômio G(x) não está faltando algum termo, se estiver devemos completar.No polinômio 12x3&nbsp;- 4x + 9 está faltando o termo x2, completando ficará assim:12x3&nbsp;+&nbsp;0x2&nbsp;- 4x + 9Agora podemos iniciar a divisão:? G(x) tem 3 termos e D(x) tem 3 termos. Pegamos o 1º termo de G(x) e dividimos pelo 1º termo de D(x):&nbsp;12x3&nbsp;: 2x2&nbsp;= 6x, o resultado&nbsp;multiplicará&nbsp;o polinômio&nbsp;2x2+ x + 3&nbsp;e o resultado dessa multiplicação&nbsp;subtrairemos&nbsp;pelo polinômio&nbsp;12x3&nbsp;+ 0x2&nbsp;- 4x + 9. Assim teremos:?&nbsp;R(x) &gt; D(x), podemos dar continuidade à divisão, repetindo o mesmo processo anterior. Achando agora o segundo termo de Q(x).R(x) &lt; D(x), não damos continuidade a divisão, concluindo que:O quociente é 6x – 3 e o resto é –19x + 18.
Divisão de polinômios




Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. Observe o seguinte esquema:



Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo operatório. Observe:Exemplo 1:



Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o dividendo como resultado.Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo4x * (3x² + x – 2) + 012x³ + 4x² – 8xCaso isso ocorra, a divisão está correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinômio por polinômio. Veja:Exemplo 2:



Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo(2x – 5) * (5x – 9) + (–5)10x² – 18x – 25x + 45 + (–5)10x² – 43x + 45 – 510x² – 43x + 40Observe o exemplo de número 3:



Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo(3x² + x – 1) * (2x² – 4x + 5) + 06x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 56x4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5Exemplo 4:

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo(4x – 5) * (3x² – x + 2) + (2x + 7)12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7)12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 712x³ – 19x² + 15x – 3





Divisão de Polinômios utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini

Compreendendo um dispositivo que auxilia na divisão de polinômios: o dispositivo de Briot-Ruffini. Esse dispositivo utiliza uma raiz do polinômio e seus coeficientes para calcular a divisão do polinômio pela sua raiz.

Podemos ver no artigo de&nbsp;Divisão de polinômios&nbsp;o método tradicional para a divisão, utilizando o algoritmo da divisão. Entretanto, dois matemáticos (Paolo Ruffini&nbsp;e A. Briot) criaram um dispositivo prático para realizar esta divisão, dispositivo este que recebeu seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini.Esse algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x-a). Esse dispositivo usará apenas os coeficientes do polinômio e o termo constante (a).Chamemos de p(x) o polinômio a ser dividido (dividendo); e h(x) o divisor no qual h(x)=x-a. Com isso, a estrutura do dispositivo é a seguinte:

Para melhor compreendermos como este dispositivo funciona, utilizá-lo-emos em um exemplo, e explicaremos passo a passo seu processo.Exemplo:Efetue a divisão de p(x) por h(x), na qual:




Agora multiplique esse termo repetido pelo divisor, o resultado será somado ao próximo termo do dividendo p(x).&nbsp;



Repita o processo agora para o novo elemento, multiplique esse número pelo divisor e some-o ao próximo termo.



Obtemos o resto 0 e um quociente da seguinte forma:



Para verificarmos se a divisão foi feita de forma correta, podemos utilizar o algoritmo da divisão que diz o seguinte:



Dessa forma, temos:



Logo, a divisão foi feita corretamente, pois ao verificar os termos da divisão no algoritmo da divisão constatamos que a igualdade é verdadeira.





Equação Polinomial



Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio:&nbsp;p(x) = anxn&nbsp;+ an-1xn-1&nbsp;+ ... + a1x + a0&nbsp;de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos:&nbsp;x4&nbsp;+ 9x2&nbsp;– 10x + 3 = 0&nbsp;10x6&nbsp;– 2x5&nbsp;+ 6x4&nbsp;+ 12x3&nbsp;– x2&nbsp;+ x + 7 = 0&nbsp;x8&nbsp;– x6&nbsp;– 6x + 2 = 0&nbsp;x10&nbsp;– 6x2&nbsp;+ 9 = 0&nbsp;As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução.&nbsp;Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)&nbsp;Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.&nbsp;Exemplo 1&nbsp;Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação:&nbsp;2x4&nbsp;+ kx3&nbsp;– 5x2&nbsp;+ x – 15 = 0&nbsp;Se 2 é raiz da equação, então temos:&nbsp;2(2)4&nbsp;+ k(2)3&nbsp;– 5(2)2&nbsp;+&nbsp;2 – 15 = 0&nbsp;2*16 + k*8 – 5*4 +&nbsp;2 – 15 = 0&nbsp;32 + 8k –&nbsp;20 +&nbsp;2 – 15 = 0&nbsp;8k +&nbsp;34&nbsp;–&nbsp;35 = 0&nbsp;8k –&nbsp;1 = 0&nbsp;8k =&nbsp;1k = 1/8&nbsp;Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.Exemplo 2&nbsp;Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx3&nbsp;+ (m + 2)x2&nbsp;– 3x – m – 8 = 0.&nbsp;Temos que:&nbsp;m(–3)3&nbsp;+ (m + 2)( –3)2&nbsp;– 3(–3) – m – 8 = 0&nbsp;m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0&nbsp;–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0&nbsp;–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9&nbsp;– 19m = –19&nbsp;m = 1&nbsp;O valor de m é 1.&nbsp;




Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios





As expressões algébricas fracionárias são aquelas em que o denominador possui letras, isto é, termos variáveis. Veja os exemplos:



No caso dessas frações algébricas, antes de realizarmos a soma devemos aplicar o cálculo do mmc, no intuito de igualar os denominadores, pois sabemos que somente adicionamos frações com denominadores iguais.Para determinarmos o mmc de polinômios, fatoramos cada polinômio individualmente, e logo em seguida multiplicamos todos os fatores sem repetição dos comuns. A utilização dos casos de fatoração é de extrema importância para a determinação de algumas situações envolvendo mmc. Observe o cálculo do mmc entre polinômios nos exemplos a seguir:Exemplo 1&nbsp;mmc entre 10x e 5x² – 15x10x = 2 * 5 * x5x² – 15x = 5x * (x – 3)mmc = 2 * 5 * x * (x – 3) =&nbsp;10x * (x – 3) ou 10x² – 30xExemplo 2mmc entre 6x e 2x³ + 10x²6x = 2 * 3 * x2x³ + 10x² = 2x² * (x + 5)mmc = 2 * 3 * x² * (x + 5) =&nbsp;6x² * (x + 5) ou 6x³ + 30x²Exemplo 3&nbsp;mmc entre x² – 3x + xy – 3y e x² – y²x² – 3x&nbsp;+ xy – 3y&nbsp;=&nbsp;x(x – 3)&nbsp;+ y(x – 3)&nbsp;= (x + y) * (x – 3)x² – y² = (x + y) * (x – y)mmc =&nbsp;(x – 3) * (x + y) * (x – y)Exemplo 4&nbsp;mmc entre x³ + 8 e do trinômio x² + 4x + 4.x³ + 8 = (x + 2) * (x² – 2x + 4).x² + 4x + 4 = (x + 2)²mmc =&nbsp;(x + 2)² * (x² – 2x + 4)





Multiplicidade de uma raiz



Na resolução da equação do 2º grau x2&nbsp;– 6x + 9 = 0, encontramos duas raízes iguais a 3. Utilizando o teorema da decomposição, fatoramos o polinômio e obtemos:x2&nbsp;– 6x + 9 = 0 = (x – 3)(x – 3) = (x – 3)2Nesse caso, dizemos que 3 é raiz de multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação.Dessa forma, se um polinômio fatorado resulta a seguinte expressão:Podemos dizer que:x = -5 é raiz com multiplicidade 3 ou raiz tripla da equação p(x) = 0x = -4 é raiz com multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação p(x) = 0x = 2 é raiz com multiplicidade 1 ou raiz simples da equação p(x) = 0De maneira geral, dizemos que r é uma raiz de multiplicidade n, com n ≥ 1, da equação p(x) = 0, se:Observe que p(x) é divisível por (x – r)m&nbsp;e que a condição q(r) ≠ 0 significa que r não é raiz de q(x) e garante que a multiplicidade da raiz r não é maior que m.Exemplo 1. Resolva a equação x4&nbsp;– 9x3&nbsp;+ 23x2&nbsp;– 3x – 36 = 0, sabendo que 3 é raiz dupla.Solução: considere p(x) como sendo o polinômio dado. Assim:Note que q(x) é obtido fazendo a divisão de p(x) por (x – 3)2.Fazendo a divisão pelo dispositivo prático de Briot –Ruffini, obtemos:Após a realização da divisão, vemos que os coeficientes do polinômio q(x) são 1, -3 e -4. Assim, q(x) = 0 será: x2&nbsp;– 3x – 4 = 0Vamos resolver a equação acima para determinarmos as demais raízes.x2&nbsp;– 3x – 4 = 0Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)Δ = 25x = -1 ou x = 4Portanto, S = {-1, 3, 4}Exemplo 2. Escreva uma equação algébrica de grau mínimo tal que 2 seja raiz dupla e – 1, raiz simples.Solução: Temos que:(x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0Ou&nbsp;




Teorema de D’Alembert




O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), parax = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.Exemplo 1Calcule o resto da divisão (x2&nbsp;+ 3x – 10) : (x – 3).Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:P(3) = R32&nbsp;+ 3 * 3 – 10 = R9 + 9 – 10 = R18 – 10 = RR = 8Portanto, o resto dessa divisão será 8.Exemplo 2Verifique se x5&nbsp;– 2x4&nbsp;+ x3&nbsp;+ x – 2 é divisível por x – 1.Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.P(1) = (1)5&nbsp;– 2*(1)4&nbsp;+ (1)3&nbsp;+ (1) – 2P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2P(1) = 3 – 4P(1) = – 1Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.Exemplo 3Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômioP(x) = x4&nbsp;– mx3&nbsp;+ 5x2&nbsp;+ x – 3 por x – 2 seja 6.Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6P(2) = 24&nbsp;– m*23&nbsp;+ 5*22&nbsp;+ 2 – 324&nbsp;– m*23&nbsp;+ 5*22&nbsp;+ 2 – 3 = 616 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6– 8m = 6 – 38 + 3– 8m = 9 – 38– 8m = – 29m = 29/8Exemplo 4Calcule o resto da divisão do polinômio 3x3&nbsp;+ x2&nbsp;– 6x + 7 por 2x + 1.R = P(x) → R = P(– 1/2)R = 3*(–1/2)3&nbsp;+ (–1/2)2&nbsp;– 6*(–1/2) + 7R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)R = –3/8 + 2/8 + 80/8R = 79/8&nbsp;