Calculando pirâmide
Autor: Matemática Já | Publicado: 2011-11-30T07:34:00-08:00

Área Lateral de uma pirâmideÀs vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das  superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido  como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o  sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou  algum outro material.No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão  d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões  obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face)  a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das  faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser  obtida por:A(lateral) = n A(face)Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que  está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo  apótema mede 4cm.Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4  triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos  triângulos, assim:
 A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12
A(lateral) = 4.12 = 48 cm²  
   Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral.
Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos  calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal.  Calcularemos o raio r da base.
Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]A área da face e a área lateral, são dadas por:A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]
A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]    Área total de uma PirâmideA área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:A(total) = A(lateral) + A(base)Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide  quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as  arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162
A(lateral) = 4.162 = 648
A(base) = 18² = 324Concluímos que:A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970   Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total  de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso,  eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1  metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de  apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.  A(base) = 2.2 = 4 m²
A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³Logo, a área total da barraca éA(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²    Volume de uma PirâmideO volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:Volume = (1/3) A(base) h Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco  com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana  quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou  uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a  medida da aresta lateral de 6cm.
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida  da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que  A(base)=a²=4cm.4cm=16&nbsp;cm².   A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um  triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta  lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal  do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim  temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].     Seção Transversal de uma pirâmideSeção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um  plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma  que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A  razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente  da base é dita razão de semelhança.  Observações sobre seções transversais:Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são  regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção  transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.

Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos  outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à  pirâmide original.

Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são  iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do  vértice têm áreas iguais.


 V(seção)Volume da seção até o vértice
(volume da pirâmide menor)
V(piram)Volume da pirâmide (maior)
A(seção)Área da seção transversal
(base da pirâmide menor)
A(base)Área da base da pirâmide (maior)
h Distância do vértice à seção
(altura da pirâmide menor)
HAltura da pirâmide (maior)
Assim:
 V(seção)V(base)&nbsp;=  A(seção)A(piram) &nbsp;·&nbsp;hH 
  
A(seção)A(base) &nbsp;= h²H² 
  Então:
 
 V(seção)V(base)&nbsp;=  h³H³ 
 
  

Postado por : Uelder.