Funções Logaritmicas
Autor: Eliel, Sabrina, Osly | Publicado: 2011-06-25T11:22:00-03:00

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
A&nbsp;figura 1&nbsp;que se encontram no item&nbsp;família de funções exponenciais&nbsp; sugere que se&nbsp;b&nbsp;&gt; 0 e&nbsp;&nbsp;b&nbsp;1, então o gráfico de&nbsp;y&nbsp;=&nbsp;&nbsp;satisfaz o teste da reta horizontal, e isso implica que a função&nbsp;f&nbsp;(x) =&nbsp;&nbsp;&nbsp;tem uma inversa. Para encontrar uma fórmula para esta inversa (com&nbsp;x&nbsp;como variável independente), podemos resolver a equação&nbsp;x&nbsp;=&nbsp;&nbsp;para&nbsp;y&nbsp;com uma função de&nbsp;x. Isto pode ser feito tomando o logaritmo na base de&nbsp;b&nbsp;de ambos os lados desta equação. Isto dá lugar a&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;()Porém, se pensarmos&nbsp;()&nbsp; como expoente ao qual&nbsp;b&nbsp;se deve ser elevado para produzir&nbsp;, então fica evidente que&nbsp;(). Assim, pode ser reescrito comoy&nbsp;=&nbsp;de onde concluímos que a inversa de&nbsp;f&nbsp;(x) =&nbsp;&nbsp;é&nbsp;(x) =&nbsp;&nbsp;x. Isto implica que o&nbsp;gráficode&nbsp;x&nbsp;=&nbsp;&nbsp;e o de&nbsp;y&nbsp;=&nbsp;&nbsp; são reflexões um do outro, em relação relação à reta&nbsp;&nbsp;y = x.&nbsp;Chamaremos&nbsp;&nbsp;de&nbsp;função logarítmica na base&nbsp;b.Em particular, se tomarmos&nbsp;f&nbsp;(x) =&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;(x) =&nbsp;&nbsp;, e se tivermos em mente que o domínio de&nbsp;&nbsp;é o mesmo que a imagem de&nbsp;f, então obtemos&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

logb(bx)=x para todos os valores reais de x
blog x=x para x&gt;0
Em outras palavras, a equação nos diz que as funções&nbsp;logb(bx) e&nbsp;blog x&nbsp;cancelam o efeito de outra quando compostas em qualquer ordem; por exemplo&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA
&nbsp;&nbsp;FUNÇÕES DEFINIDAS EXPLICITAMENTE E IMPLICITAMENTE
&nbsp;Até agora, estávamos preocupados em diferenciar funções que são expressas na forma&nbsp;y&nbsp;=&nbsp;f(x). Dizemos que uma equação desta forma define&nbsp;y&nbsp;explicitamente&nbsp;como uma função de&nbsp;x, pois a variável&nbsp;y&nbsp;aparece sozinha de um lado da equação. Entretanto, algumas vezes as funções estão definidas com equações nas quais&nbsp;y&nbsp;não está sozinho de um lado; por exemplo, a equaçãoyx&nbsp; + y +1&nbsp;= xnão está na forma&nbsp;y = f&nbsp;(x). Contudo, esta equação ainda define&nbsp;y&nbsp;como uma função de&nbsp;x, uma vez se pode reescrever como&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; y&nbsp;=&nbsp;Assim dizemos que&nbsp;xy&nbsp; + y +1&nbsp;= x&nbsp;define&nbsp;y&nbsp;implicitamente&nbsp;como&nbsp;uma função de&nbsp;x, sendo&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; f&nbsp;(x) =&nbsp;Uma equação em&nbsp;x&nbsp;e&nbsp;y&nbsp;pode implicitamente definir mais do que uma função de&nbsp;x; por exemplo, se resolvermos a equação&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;para&nbsp;y&nbsp;em termos de&nbsp;x, obtemos&nbsp;; assim, encontramos duas funções que estão definidas implicitamente por&nbsp;, isto é&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; e&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Os gráficos destas funções são semicírculos superiores e inferiores do círculo&nbsp;&nbsp;.



y=
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;y&nbsp;=&nbsp;-
Em geral, se tivermos uma equação em&nbsp;x&nbsp;e&nbsp;y, então qualquer segmento de seu gráfico que passe pelo teste vertical pode ser visto como gráfico de una função definida pela equação. Assim fazemos a seguinte definição:

Definição.&nbsp;Dizemos que uma dada equação em&nbsp;x&nbsp;e&nbsp;y&nbsp;define a função&nbsp;fimplicitamente se o gráfico de&nbsp;y = f&nbsp;(x) coincidir com algum segmento do gráfico da equação.&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Assim, por exemplo, a equação&nbsp;&nbsp;define as funções&nbsp;e&nbsp;&nbsp;implicitamente, uma vez que os gráficos dessas funções são os segmentos do círculo&nbsp;.Às vezes, pode ser difícil ou impossível resolver uma equação em&nbsp;x&nbsp;e&nbsp;y&nbsp;para&nbsp;y&nbsp;em termos de&nbsp;x.Com persistência, a equação&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;por exemplo, pode ser resolvida para&nbsp;y&nbsp;em termos de&nbsp;x, mas a álgebra é enfadonha e as fórmulas resultantes são complicadas. Por outro lado, a equação&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sen(xy) =&nbsp;ynão pode ser resolvida para&nbsp;y&nbsp;em termos de&nbsp;x&nbsp;por qualquer método elementar. Assim, mesmo que uma equação em&nbsp;x&nbsp;e&nbsp;y&nbsp;possa definir uma ou mais funções de&nbsp;x, pode não ser prático ou possível achar fórmulas explícitas para aquelas funções.