Um extra sempre é bom...
Autor: Bruno P., Allan e Léo | Publicado: 2011-09-15T18:41:00-07:00

Bom, como solicitado pelo nosso amado professor, em seguir segue um resumo da aula de quarta-feira (14 de setembro de 2011).


Geometria Espacial
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A geometria espacial trata do estudo dos sólidos formados por faces, os chamados poliedros (poli=muitas + edros=faces). A definição de poliedro é: uma reunião de um numero finito de polígonos planos, onde cada lado de um desses polígonos é também lado de um outro polígono.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; E pra quem não sabe, um polígono é uma figura plana.Elementos de um poliedro:·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Cada um dos polígonos chamamos de face;·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O encontro de cada face é uma aresta; ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O ponto comum a três ou mais arestas é o vértice.
Agora algumas definições importantes:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Poliedro convexo: Existem algumas definições para poliedros convexos, mas uma delas é a melhor de entender, e é a que diz que se você der um tiro em um poliedro e esse fizer no Maximo dois furos ele é um poliedro convexo, já se o tiro fizer mais de dois furos este sólido é um poliedro não-convexo.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Poliedros regulares:&nbsp;&nbsp; São poliedros em que todas as faces são congruentes (=de mesma medida) entre si, e de cada vértice parte o mesmo número de arestas. Existem somente cinco poliedros regulares, os chamados poliedros de Platão, e que são objeto do nosso estudo &nbsp;e que serão mostrados à seguir.

   
NOME:   
Nº DE VÉRTICES:   
Nº DE FACES:   
Nº DE ARESTAS:  
   Tetraedro   
4   
4   
6  
   Hexaedro   
8   
6   
12  
   Octaedro   
6   
8   
12  
   Dodecaedro   
20   
12   
30  
   Icosaedro   
12   
20   
30
  

Depois de uma aula cansativa cheia de conteúdos, um certo comentário nos deixou muito motivados devido ao nível de dificuldade que pensávamos que íamos ter.

Finalmente chegou o momento em que foi explicada a famosa, linda, maravilhosa, básica, excelente, espetacular, fundamental &nbsp; RELAÇÃO DE EULLER.


Essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de  determinarmos o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por  Euler é a seguinte: 

V&nbsp; + F = A + 2, onde V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces.
Essa fórmula pode ser rapidamente memorizada com a seguinte frase: Vamos + Fazer = Amor a+ 2

&nbsp;Exemplo:

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número  de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de  faces do poliedro. 
Resolução: 
Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices,  podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa  forma, F = x e V = x. 

Aplicando a relação de Euler: 
V – A + F = 2 
x – 22 + x = 2 
2x = 2 + 22 
2x = 24 
x = 12 

Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é igual a12.  
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola