Determinantes em equações
Autor: Felipe R. | Publicado: 2011-02-27T14:29:00-03:00


O que são? Para que servem? Como calcular?


De modo bem simplificado, os determinantes determinam antes. Determinam antes do quê? Eles dizem para você se uma equação linear tem solução ou não antes de você resolvê-la.


O que é equação linear? É aquela quem não tem nenhum x², x³, etc. No ensino fundamental e médio aprendemos isto com o nome de sistemas de equações, como:

x + y = 2
x - y = 6

E aí, será que é possível resolver isso? Calculamos então o determinante dos coeficientes das incógnitas, ou seja, o determinante dos números que ficam do lado do x e do y.

Um dado importante: o determinante é útil para grupos de n equações e n incógnitas. Sistemas de 2 equações com 3 incógnitas são IMPOSSÍVEIS de resolver, faltam dados. É preciso sempre ter o mesmo número de equações e de incógnitas para talvez resolver um sistema.

Um sistema pode ser de 3 tipos:

- Possível e determinado: você consegue achar os valores de todas as incógnitas.
- Possível e inderterminado: você acha os valores das incógnitas em função de uma delas. Exemplo: &nbsp; x = z + 2, y = 3z e z=z. Você não tem um valor exato, mas tem as soluções em função de z.
- Impossível: você acha respostas que são absurdas. Exemplo:

x + y = 3
x + y = 72 &nbsp; &nbsp; 

Como uma mesma soma dará resultados diferentes? Isto é impossível.



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CÁLCULO DO DETERMINANTE

Os determinantes são divididos em "ordens", que nada mais é que o número de elementos em cada linha ou coluna. As matrizes de ordem 1 só possuem um elemento e o determinante de uma matriz A pode ser escrito de duas formas. Veja:

A = [ 1 ] &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Matriz A cujo único elemento é o 1.

detA = 1 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Simbologia do determinante: "det" + "letra que simboliza a matriz"

|A| = |1| = 1 &nbsp; &nbsp; &nbsp; Simbologia do determinante: duas barras verticais entre a matriz. &nbsp; &nbsp; 

Perceba que o determinante também pode ser definido como o "valor númerico" da matriz. Em todas as matrizes de ordem 1 o determinante é o próprio elemento.

Primeira constatação: Sempre que o determinante for diferente de zero, o sistema é possível e determinado (S.P.D.). Veja a equação

2x = 6

Em forma de matriz:

A = [2]

O determinante é 2. O sistema é possível e determinado, logo há uma resposta para a equação e, se calcularmos, acharemos "3" como resposta. Parece meio bobo calcular determinante só para saber se há uma resposta, mas para sistemas maiores, esse cálculo te poupa de um trabalho maior depois.

Segunda constatação: Se o determinante for igual a zero, o sistema pode ser impossível (S.I.) ou possível e indeterminado (S.P.I.).

MATRIZES DE ORDEM 2 e 3

São calculados pela multiplição das diagonais principais menos a multiplicação das diagonais secundárias. Veja as imagens:




Fonte: colegioweb.com.br

Se você tivesse as equações:

x + 2y = 7
3x - y = 14

A determinante seria seria:

| 1 &nbsp; &nbsp;2 &nbsp;|
| 3 &nbsp; -1 &nbsp;|

= -1.1 -(2.3) = -1 - 6 = -7, logo há solução para o problema.

Para matrizes de ordem 3, temos que repetir alguns elementos na direita da matriz para poder multiplicar todas as diagonais completamente.




Fonte: souzadecesar.blogspot.com


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