Equações do 2º Grau Exercícios
Autor: Mundo TECH | Publicado: 2012-07-03T16:54:00-07:00

Equação 
                                        do 2º grau
                                        
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Denomina-se 
                                                equação do segundo 
                                                grau, toda a equação 
                                                do tipo ax²+bx+c, com 
                                                coeficientes numéricos 
                                                a.b e 
                                                c com .                                                 

                                                Exemplos: 
                                                


                                                    

                                                        Equação
                                                        a 
                                                            
                                                        b 
                                                            
                                                        c
                                                    

                                                        x²+2x+1
                                                        1
                                                        2
                                                        1
                                                    

                                                        5x-2x²-1
                                                        -2
                                                        5
                                                        -1
                                                    


 
                                                Classificação:

                                                - 
                                                Incompletas: Se um dos coeficientes 
                                                ( b ou 
                                                c ) 
                                                for nulo, temos uma equação 
                                                do 2º grau incompleta.

                                                1º 
                                                caso: b=0

                                                Considere 
                                                a equação do 2º 
                                                grau imcompleta:

                                                x²-9=0 
                                                &nbsp;» &nbsp;x²=9 
                                                &nbsp;» &nbsp;x= &nbsp;» &nbsp;x=                                                                                                  

                                                2º 
                                                caso: c=0

                                                Considere 
                                                a equação do 2º 
                                                grau imcompleta:

                                                x²-9x=0 
                                                » &nbsp;Basta fatorar 
                                                o fator comum x x(x-9)=0 
                                                &nbsp;» &nbsp;x=0,9

                                                3º 
                                                caso: b=c=0

                                                2x²=0 
                                                &nbsp;» &nbsp;x=0

                                                
Resolução 
                                                de equações do 
                                                2º grau:
&nbsp;&nbsp;A 
                                                resolução de equações 
                                                do 2º grau incompletas 
                                                já foi explicada acima, 
                                                vamos agora resolver equações 
                                                do 2º grau completas, ou 
                                                seja, do tipo ax²+bx+c=0 
                                                com a, 
                                                b e c diferentes 
                                                de zero.

                                                - 
                                                Uma equação do 
                                                2º grau pode ter até 
                                                2 raízes reais, que podem 
                                                ser determinadas pela fórmula 
                                                de Bháskara.

                                                &nbsp;&nbsp;&nbsp;Como 
                                                Bháskara chegou até 
                                                a fórmula de resolução 
                                                de equações do 
                                                2º grau?

                                                &nbsp;&nbsp;&nbsp;Considerando 
                                                a equação: ax²+bx+c=0, 
                                                vamos determinar a fórmula 
                                                de Bháskara:

                                                &nbsp;&nbsp;&nbsp;Multiplicamos 
                                                os dois membros por 4a:

                                                
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4a²x²+4abx+4ac=0 
                                                &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4a²x²+4abx=-4ac 
                                                 &nbsp;&nbsp;&nbsp;Somamos 
                                                b² aos dois membros:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

                                                &nbsp;&nbsp;&nbsp;Fatoramos 
                                                o lado esquedo e chamamos de 
                                                 (delta)b²-4ac:

                                                &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2ax+b)²= 
                                                                                                 

                                                &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2ax+b=                                                 

                                                &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2ax=-b 
                                                                                                 

                                                &nbsp;&nbsp;&nbsp;Logo:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;ou &nbsp;                                                                                                  

                                                
Fórmula 
                                                de Bháskara: &nbsp; 
                                                


                                                    

                                                        
                                                             

                                                        
 
                                                                                                                          
                                                            &nbsp;

                                                    


&nbsp;&nbsp;&nbsp;Utilizando 
                                                a fórmula de Bháskara, 
                                                vamos resolver alguns exercícios:

                                                1) 
                                                3x²-7x+2=0

                                                a=3, 
                                                b=-7 
                                                e c=2

                                                 &nbsp;= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25                                                 

                                                Substituindo 
                                                na fórmula:

                                                 =                                                                                                  

                                                 &nbsp;e &nbsp;                                                                                                  

                                                Logo, 
                                                o conjunto verdade ou solução 
                                                da equação é:

                                                                                                 

                                                2) 
                                                -x²+4x-4=0

                                                a=-1, 
                                                b=4 
                                                e c=-4

                                                 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0                                                 

                                                Sustituindo 
                                                na fórmual de Bháskara:

                                                 &nbsp;» &nbsp;x=2 &nbsp;                                                  
                                                 &nbsp;                                                 

                                                - 
                                                Neste caso, tivemos uma equação 
                                                do 2º grau com duas raízes 
                                                reais e iguais. ( )                                                 

                                                3) 
                                                5x²-6x+5=0

                                                a=5 
                                                b=-6 
                                                c=5

                                                 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64                                                 

                                                &nbsp;&nbsp;&nbsp;Note 
                                                que &lt;0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, 
                                                a equação não 
                                                possui nenhuma raiz real.

                                                Logo: 
                                                 » vazio                                                 

                                                
Propriedades: 
                                                &nbsp; 
                                                
                                                


                                                    

                                                        &nbsp;                                                             
                                                        &nbsp;Duas 
                                                            raízes reais 
                                                            e diferentes
                                                    

                                                        &nbsp;                                                             
                                                        &nbsp;Duas 
                                                            raízes reais 
                                                            e iguais
                                                    

                                                        &nbsp;                                                             
                                                        &nbsp;Nenhuma 
                                                            raiz real
                                                    


 
                                                Relações 
                                                entre coeficientes e raízes 
                                                &nbsp; 
                                                
                                                


                                                    

                                                        
                                                             

                                                        
                                                             

                                                    


Vamos 
                                                provar as relações 
                                                descritas acima:

                                                Dado a equação 
                                                ax²+bx+c=0, com  e                                                 , suas raízes são:                                                 

                                                
 &nbsp;&nbsp;e &nbsp;&nbsp;                                                                                                  

A soma das raízes 
                                                será:  &nbsp;&nbsp;&nbsp;                                                 

Logo, a soma das raízes 
                                                de uma equação 
                                                do 2º grau é dada 
                                                por:                                                  

O produto das raízes 
                                                será:

&nbsp;&nbsp;                                                 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;                                                 

Logo, o produto das 
                                                raízes de uma equação 
                                                do 2º grau é dada 
                                                por: &nbsp;                                                 

Podemos através 
                                                da equação ax²+bx+c=0, 
                                                dividir por a.

Obtendo:                                                  

Substituindo por  e                                                  :                                                 

Obtendo a Soma 
                                                e Produto de uma equação 
                                                do 2º grau: 
                                                &nbsp; 
                                                


                                                    

                                                        
x² 
                                                            - Sx + P = 0

                                                    


Exemplos:

                                                1) 
                                                Determine a soma e o produto 
                                                das seguintes equações:

                                                a) 
                                                x² - 4x + 3=0

                                                [Sol] 
                                                Sendo a=1, b=-4 e c=3:

                                                
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;                                                                                                  

b) 2x² - 6x -8 
                                                =0

Sendo a=2, b=-6 e 
                                                c=-8

&nbsp;&nbsp;                                                                                                  
c) 
                                                4-x² = 0

                                                Sendo 
                                                a=-1, b=0 e c=4:

                                                
&nbsp;&nbsp;                                                                                                  

Resolução 
                                                de equações fracionárias 
                                                do 2º grau:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equações 
                                                fracionárias são 
                                                as que possuem incógnitas 
                                                no denominador e o processo 
                                                de resolução destas 
                                                equações é 
                                                o mesmo das equações 
                                                não fracionárias.

Exemplos resolvidos:

a)  &nbsp;Onde                                                 , pois senão anularia o denominador                                                 

[Sol] Encontrando 
                                                o m.m.c dos denominadores: 2x 
                                                

Então:  &nbsp;                                                 

Eliminando os denominadores, 
                                                pois eles são iguais:

 »                                                                                                  

Aplicando a fórmula 
                                                de Bháskara:

                                                 

                                                 

Logo, x = 2 e x` = 
                                                4. &nbsp;» &nbsp;S={2,-4}

b ) &nbsp;&nbsp;                                                  e                                                                                                  

[Sol] m.m.c dos denominadores: 
                                                (x-1).(x+2)

Então:                                                  

Eliminando os denominadores:

 »                                                  &nbsp;» &nbsp;                                                  &nbsp;» &nbsp;                                                                                                  

* Note que a solução 
                                                da equação deve 
                                                ser diferente de 1 e 2 pois 
                                                senão anularia o denominador, 
                                                logo a solução 
                                                da equação será 
                                                somente:

x=-1 &nbsp;» 
                                                S={-1}

Resolução 
                                                de equações literais 
                                                do 2º grau:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equações 
                                                literais são as que possuem 
                                                uma ou mais letras além 
                                                da incógnita. &nbsp; 
                                                
                                                


                                                    

                                                        Equação
                                                        
a

                                                        
b

                                                        
c

                                                    

                                                        x² 
                                                            - (m+n)x + p = 0
                                                        
1

                                                        
-(m+n)

                                                        
p

                                                    


 
                                                Exemplo: Determine o valor da 
                                                incógnita x.

                                                1) 
                                                x²-3ax+2a²=0

                                                [Sol] 
                                                Aplicando a fórmula de 
                                                Bháskara:

                                                a=1, 
                                                b=-3a, c=2a²

                                                                                                 

                                                 , Logo:                                                 

                                                x 
                                                = 2a &nbsp;e &nbsp;x = a &nbsp;» 
                                                &nbsp;S={a,2a}

                                                
&nbsp;Resolução 
                                                de equações biquadradas

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equacão 
                                                biquadrada como o próprio 
                                                nome diz, são equações 
                                                nas quais estão elevadas 
                                                ao quadrado duas vezes, sua 
                                                forma é: &nbsp; 
                                                
                                                


                                                    

                                                        
 &nbsp;onde &nbsp;                                                                                                                          

                                                    


 
                                                Exemplo resolvido:

                                                1) 
                                                                                                 

                                                Fazendo 
                                                x² = y , temos  &nbsp;                                                 

                                                Substituindo 
                                                os valores na equação, 
                                                temos:

                                                y² 
                                                - 5y + 4 = 0

                                                Aplicando 
                                                Bháskara:

                                                
                                                 

Logo, 
                                                y = 4 &nbsp;e y`= 1

Voltando 
                                                a variável x:

Como 
                                                y=x², temos:

x²=4 
                                                &nbsp;» &nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;e &nbsp;&nbsp;&nbsp;x²=1 &nbsp;» &nbsp;                                                                                                  

Então 
                                                a solução será 
                                                » S={-2,-1,1,2}  ou 
                                                simplesmente