Determinante
Autor: Panda | Publicado: 2011-12-16T16:00:00-08:00

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar.  Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que  não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.Determinante de uma matriz quadradaSe A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:
   A=   a11   a12  
   a21   a22  
definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:det(A) = a11 a22 - a21 a12Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:
   A=   a11   a12   a13  
   a21   a22   a23  
   a31   a32   a33  
definimos o determinante de A, como:det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
- a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13 Regra prática de SarrusDada a matriz A de ordem 3:
   A=   a11   a12   a13  
   a21   a22   a23  
   a31   a32   a33  
Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.
   a11   a12   a13   a11   a12  
   a21   a22   a23   a21   a22  
   a31   a32   a33   a31   a32  
Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.
   
     a11     a12     a13     a11     a12    
     a21     a22     a23     a21     a22    
     a31     a32     a33     a31     a32    
   
     Produto cor amarela     +a11a22a33    
     Produto cor verde     +a12a23a31    
     Produto cor azul     +a13a21a32    
  
Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.
   
     a11     a12     a13     a11     a12    
     a21     a22     a23     a21     a22    
     a31     a32     a33     a31     a32    
   
     Produto cor rosa     -a11a22a33    
     Produto cor bege     -a12a23a31    
     Produto cor khaki     -a13a21a32    
  
O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3. Propriedades dos determinantesEm todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n&gt;2.Se In é a matriz      identidade, então:
det(In) = 1Se N é uma matriz nula,      então:
det(N) = 0Se uma linha (ou coluna) da      matriz A for nula, então:
det(A) = 0A matriz A bem como a sua      transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é:
det(At) = det(A)Se B é a matriz obtida pela      multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k,      então:
det(B) = k det(A)Se B=kA, onde k é um      escalar, então:
det(B) = kn det(A)Se B é a matriz obtida pela      troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:
det(B) = - det(A)Se A tem duas linhas (ou      colunas) iguais, então:
det(A) = 0Se a diferença entre os      elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma      constante, então:
det(A) = 0Se uma linha (ou coluna) de      A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:
det(A) = 0Ao  fixar todas as linhas (ou      colunas) de uma matriz exceto uma delas,  o determinante de A será uma      função linear da linha (ou coluna)  não fixada da matriz.
Ao  multiplicar (ou dividir)      uma linha (ou coluna) de uma matriz por  um número real k, o determinante      da matriz será multiplicado (ou  dividido) por k.


Segue abaixo uma lista de exercícios resolvidos sobre DETERMINANTES.

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