3° AULA
Autor: Bruna Nayara | Publicado: 2011-09-15T16:37:00-07:00

Sistemas de Numeração Desde quando se começou a registrar informações sobre quantidades, foram criados diversos métodos de representar as  quantidades. Esse histórico pode ser encontrado em Representação da Informação. 
O método ao qual estamos acostumados usa um sistema de numeração posicional. Isso significa que a posição ocupada por  cada algarismo em um número altera seu valor de uma potência de 10 (na base 10) para cada casa à esquerda. 
Por exemplo, no sistema decimal (base 10), no número 125 o algarismo 1 representa 100 (uma centena ou 102) , o 2  representa 20 (duas dezenas ou 1x101) e o 5 representa 5 mesmo (5 unidades ou 5x100). Assim, em nossa notação, 
125 = 1x102 &nbsp;+ 2x101 + 5x100 
Base de um Sistema de Numeração
A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação. A base 10 é hoje a mais usualmente  empregada, embora não seja a única utilizada. No comércio pedimos uma dúzia de rosas ou uma grosa de parafusos (base  12) e também marcamos o tempo em minutos e segundos (base 60). 
Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja  uma potência de 2, tal como 24 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou eventualmente ainda 23 (base 8 ou sistema octal).
Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na base 2, seriam  apenas 2 algarismos: 0 e 1. Na base 16, seriam 16: os 10 algarismos aos quais estamos acostumados, mais os símbolos A, B,  C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades. Generalizando, temos que uma base b  qualquer disporá de b algarismos, variando entre 0 e (b-1).
A representação 125,3810 (base 10) significa 1x102 &nbsp;+ 2x101 + 5x100 + 3x10-1 + 8x10-2 :
Generalizando, representamos uma quantidade N qualquer, numa dada base b, com um número tal como segue:
Nb = an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 + a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n sendo que 
an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 é a parte inteira e 
a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n é a parte fracionária.
Intuitivamente, sabemos que o maior número que podemos representar, com n algarismos, na base b, será o número  composto n vezes pelo maior algarismo disponível naquela base (ou seja, b-1). Por exemplo, o maior número que pode ser  representado na base 10 usando 3 algarismos será 999 (ou seja, 103 - 1 = 999).
Generalizando, podemos ver que o maior número inteiro N que pode ser representado, em uma dada base b, com n  algarismos (n "casas"), será N = bn - 1. Assim, o maior número de 2 algarismos na base 16 será FF16 que, na base 10,  equivale a 25510 = 162 - 1.
Representação Binária
Os computadores modernos utilizam apenas o sistema binário, isto é, todas as informações armazenadas ou processadas no  computador usam apenas DUAS grandezas, representadas pelos algarismos 0 e 1. Essa decisão de projeto deve-se à maior  facilidade de representação interna no computador, que é obtida através de dois diferentes níveis de tensão (ver discussão em  Bits &amp; Bytes). Havendo apenas dois algarismos, portanto dígitos binários, o elemento mínimo de informação nos  computadores foi apelidado de bit (uma contração do inglês binary digit).
Na base 2, o número "10" vale dois. Mas se 102 = 210, então dez é igual a dois? 
Não, dez não é e nunca será igual a dois! 
Na realidade, "10" não significa necessariamente "dez". Nós estamos acostumados a associar "10" a "dez" porque estamos  acostumados a usar o sistema de numeração decimal. O número 
102 seria lido "um-zero" na base 2 e vale 210 (convertido para "dois" na base dez), 
105 seria lido "um-zero" na base 5 e vale 510 (convertido para "cinco" na base dez), 
1010 pode ser lido como "um-zero" na base 10 ou então como "dez" na base dez, 
1016 seria lido "um-zero" na base 16 e vale 1610 (convertido para "dezesseis" na base dez), etc.
Portanto, 10 só será igual a dez se - e somente se - o número estiver representado na base dez!
Uma curiosidade: o número "10b" vale sempre igual à base, porque em uma dada base b os algarismos possíveis vão sempre  de 0 a (b - 1)! Como o maior algarismo possível em uma dada base b é igual a (b-1), o próximo número será (b - 1 + 1 = b)  e portanto será sempre 10 e assim, numa dada base qualquer, o valor da base será sempre representado por "10"!
Obs.: Toda vez que um número for apresentado sem que seja indicado em qual sistema de numeração ele está representado,  estenderemos que a base é dez. Sempre que outra base for utilizada, a base será obrigatoriamente indicada.
Um dia pode ser que os computadores se tornem obrigatórios e sejamos todos forçados por lei a estudar a aritmética em  binário! Mas, mesmo antes disso, quem programa computadores precisa conhecer a representação em binário! Vamos  começar entendendo as potências de dois (calma, isso é só o começo, depois piora!):

 
Repr.Binária Potência Repr.Decimal 
120 1
1021 2
10022 4
100023 8
1000024 16
10000025 32
100000026 64
1000000027 128
10000000028 256
100000000029 512
10000000000210 1.024
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