Como derivar as funções constante, identidade e exponencial
Autor: Elisio da Silva | Publicado: 2014-11-02T17:03:00-03:00




Nesta aula são enfatizadas as técnicas de como derivar uma função constante (que sempre resultará em zero), como derivar a função identidade (que sempre resultará em um) e como derivar uma função exponencial (que sempre resultará na propria função). Essas regras básicas sempre serão usadas em conjunto com outras regras de derivação durante todo o curso de Cálculo. Portanto, é importante que o aluno aprenda de verdade esse conteúdo. Lembrando que o Cálculo foi muito importante para alguns pesquisadores, tais com Newton e Leibtniz na realização de suas produções científicas. Newton, por exemplo, usou o Cálculo como uma ferramenta no estudo da Mecânica Clássica. Atualmente existem vários softwares que ajudam a calcular derivadas e integrais, porém, é importante entendermos e dominarmos as técnicas dessa ferramenta realizando os cálculos manualmente, no borrão. Então, mãos à obra.



Regra para derivar uma função constante




Regra: "A derivada de uma função constante C com respeito a x é igual a zero."




1º) Derive a função constante $f(x)=4$



Podemos escrever


$$f(x)=4$$



como


$$y = 4.$$



A derivada de f(x) é


$$f'(x)=y'=\frac{d(f(x))}{dx}$$


$$=\frac{d(y)}{dx}$$


$$=\frac{d(4)}{dx}=0.$$


Portanto, a derivada de uma função constante (4) em relação a x é 0.



2º) Derive a função constante $f(x)=-5.$



Podemos escrever


$$f(x)=-5$$&nbsp;


da seguinte maneira


$$y=-5.$$&nbsp;


A derivada de f(x) é


$$f'(x)=y'=\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(y)}{dx}$$


$$=\frac{d(-5)}{dx}=0.$$


Portanto a derivada de uma constante ( -5 ) em relação a x é 0.



3º) Derive a função constante $f(x)=C.$



$$f(x)=C$$&nbsp;


ou



$$y=C.$$&nbsp;


A derivada de f(x) é


$$f'(x)=y'=\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(C)}{dx}=0.$$


Portanto, a derivada de uma constante (C, sendo C pertencentes aos reais) em relação a x é 0.



4º) Derive a função identidade $f(x)=x.$




Regra: "A derivada de uma função identidade


$$\frac{dx}{dx}$$&nbsp;

é sempre igual a 1."



A função dada 


$$f(x)=x$$


pode ser escrita como


$$f(x)=y=x=x^1.$$


Abaixo: para encontrar a derivada de x, multiplique a base (x) pelo expoente (1) e subtraia 1 do expoente (1 - 1 = 0). Uma vez que o expoente tornou-se 0 a base se iguala a 1, pois, todo número (diferente de zero) elevado a zero é igual a 1.


Portanto,


$$f'(x)=y'=\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x)}{dx}=\frac{d(x^1)}{dx}$$

$$=1.x^{1-1}=x^{0}=1.$$


Portanto, a derivada de uma função identidade


$$\frac{d(x)}{dx}$$ 



ou 


$$\frac{dx}{dx}$$


é sempre igual a 1. No problema a seguir, vamos usar a função identidade.



5º) Derive a função exponencial $f(x)=e^{x}$




Regra: "A derivada de uma função exponencial da forma $ e^x$ é sempre igual a própria função."



A função exponencial


$$f(x)=e^{x}$$

pode ser escrita como


$$y=e^{x}.$$


A derivada de uma função exponencial é igual a própria função exponencial, pois, de acordo com a regra


$$(a^{u})'=a^{u}.ln(a).u',$$&nbsp;


podemos admitir que


$$(e^{x})'=e^{x}.ln(e).x'.$$



A expressão acima equivale a 


$$\frac{d(e^{x})}{dx}=e^{x}.ln(e).\frac{dx}{dx}.$$ 

Portanto, a derivada da função exponencial pode ser calculada da seguinte maneira


$$\frac{d(y)}{dx}= \frac{d(e^{x})}{dx}$$


$$=e^{x}.ln(e).\frac{d(x)}{dx}$$



$$=e^{x}.1.1$$


$$=e^{x}.$$



Observamos, então, que a derivada de uma função exponencial da forma


$$e^{x}$$



é sempre igual a própria função


$$e^{x}.$$


No problema usamos o valor da função identidade, que é 1, e o fato de que o valor do número neperiano e é aproximadamente 2,71828182846... e seu logarítmo natural (ln) é igual a 1.



6º) Derive a seguinte função: 


$f(x)=2+\sqrt{5}+ x + e^x.$



Vamos derivar


$$f(x)=2+\sqrt{5}+x+e^x.$$


Os valores das constantes são iguais a


$2$ 

e


$$\sqrt{5}.$$



Para facilitar a notação podemos escrever a função


$$f(x)=y.$$


Portanto,


$$y=2+\sqrt{5}+ x + e^x.$$


Aplicaremos a regra da derivada da soma: "a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas de cada parcela", ou seja, para o caso da expressão dada, temos


$$\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(2)}{dx}+\frac{d(\sqrt{5})}{dx}+\frac{d(x)}{dx}+\frac{d(e^x)}{dx}$$


$$=0+0+\frac{dx}{dx}+e^x$$


$$=0+0+1+e^x$$


$$=1+e^x.$$




Derive as seguinte funções:




$f(x)=-\frac{1}{2};$



$f(x)=\frac{d(K)}{dx};$



$f(x)=-5+\sqrt{7}+ x + 2e^x;$


$f(x)=e.$



Bons estudos.