Modelagem Matemática
Autor: Lucas Vinícius | Publicado: 2012-02-07T15:37:00-02:00




Uma das áreas da matemática em que mais me interesso é a
modelagem matemática, eu acho incrível como um modelo simplificado pode gerar
resultados tão parecidos com os da vida real e o mais interessante é que a
modelagem matemática está mais próxima de nós do que imaginamos. As previsões
do tempo, por exemplo, são realizadas por modelos matemáticos, há modelos para
estimar o crescimento populacional, evolução de doenças e até mesmo o
funcionamento dos neurônios além de outros modelos em quase todas as áreas do
conhecimento.

Eu estava lendo um livro chamado
“Mathematical Modelling Case Studies
and Projects” (Jim Caldwell &amp; Douglas K.S. Ng) e vi um problema que achei
familiar. O problema é muito semelhante a um exemplo do livro “Equações
Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno” (Boyce &amp; DiPrima)
e como é um problema simples e bem tutorial, vou apresentá-lo e
resolve-lo aqui.



O
enunciado do problema é o seguinte:



&nbsp;A concentração de poluentes em um lago em determinado
instante de tempo é dado pela função \( Q(t) \), sabe-se que um rio desagua no
lago. A vazão de entrada é \( v_i=150 km^3/ano \) e a água do rio tem uma
concentração de poluentes de \( C kg/km^3 \), há também um rio que sai do lago,
que tem uma vazão de saída \( v_o=150 km^3/ano \). O lago tem um volume \( V=5000km^3 \) que permanece constante pois \( v_i = v_o \).

A
questão é criar um modelo que descreva a taxa de variação de \( Q(t) \), ou&nbsp; seja, desejamos saber com que velocidade a
quantidade de poluente no lago aumenta ou diminui.



Quando
falamos de taxa de mudança, certamente estamos falando da derivada de tal
função, neste caso, a derivada de \( Q(t) \).

Esta
taxa é dada pela diferença entre a concentração de poluente da água entrando no lago e a concentração de poluente da água que sai do lago. Temos assim a seguinte equação
diferencial:



$$\frac{dQ(t)}{dt}=\frac{v_i*C}{V}-\frac{v_o*Q(t)}{V}$$

\(Variação=Entrada-Saída\)



Substituindo os valores temos:

\[\frac{dQ(t)}{dt}=\frac{150*C}{5000}-\frac{150*Q(t)}{5000} =0.03*[C-Q(t)]\]

Podemos passar o \(dt\) para o outro lado multiplicando:

\[\frac{dQ(t)}{[C-Q(t)]}=0.03*dt\]

Integrando dos dois lados temos:

\[\int \frac{dQ(t)}{[C-Q(t)]}=\int 0.03*dt\]

\[\int \frac{dQ(t)}{[C-Q(t)]}=0.03t + K_1\]

Resolvendo a integral da esquerda por substituição:

\([C-Q(t)]=u\)

\(dQ(t)=-du\)

\[\int \frac{-du}{u} = -ln(u)+K_2\]

Assim:

\[ln([C-Q(t)])-K_2+K_1 = -0.03t\]

Aplicando a função \(e^x\) em ambos os lados da equação temos:

\[[C-Q(t)]*e^{K_1-K_2} = e^{0.03t}\]

\[Q(t)=C-K_3*e^{-0.03t}\]

Podemos observar que \(e^{K_1-K_2}\) &nbsp;foi substituído por \(K_3\), o que não faz diferença pois continua sendo uma constante.
Uma informação ainda não dita é que a concentração inicial de poluentes no lago é de \( 40kg/km^3 \) logo:


\(Q(0)=40\)
Desse Modo:
\[Q(t)=C-K_3*1=40\]

\(K_3=C-40\)

Nossa resposta final é então:
\[Q(t)=C-(C-40)*e^{-0.03t}\]

Plotando o gráfico para esta equação com vários valores de \(C\) temos:







Podemos observar que depois de certo tempo a concentração de poluente no lago será muito próxima da concentração de poluente da água que entra no lago, pois a função exponencial tende a zero rapidamente. É interessante também que, no caso desse modelo, quando paramos de lançar poluente no lago, \(C=0\), em alguns anos (cerca de 150 anos) a concentração de poluente cai para quase zero.
É claro que é apenas um modelo muito simplificado onde quase tudo é constante, mas mesmo assim é um ótimo exemplo para entendermos como funciona a modelagem.



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