O que é transformação linear?
Autor: Alan De Maria | Publicado: 2012-08-15T20:59:00-03:00



Vamos iniciar a série
sobre transformações lineares respondendo exatamente a pergunta "O
que é uma transformação linear?"



Não pretendo seguir
uma formalidade e nem mesmo gastar muito tempo revisando o texto. Eu
diria que 50% do que escrevo vem da cabeça, de coisas que eu já
estudei, e nos outros 50% sigo o livro do Hoffman de Álgebra Linear.
Então se houver algum erro corrijam-me por favor. 




Se você procurar nos
livros a definição, é provável que encontre algo mais ou menos
nessa linha como no livro do Hoffman:



Seja $V$ e $W$ espaços
vetoriais sobre o corpo $F$. Uma transformação linear de $V$ em $W$ é
uma função $T$ que leva vetores de $V$ em $W$ de tal forma que:



$T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$ e $T(av_1)=aT(v_1)$



para
todo $v_1$ e $v_2$ em $V$ e todo $a \in F$.



Talvez
seja essa a definição mais genérica possível, pois nem mesmo o
corpo é explicitado. Em geral, o corpo dos números reais é o mais
comumente utilizado, enquanto que na física, física matemática e
certas aplicações de engenharia pode-se utilizar os corpo dos
números complexos. Para saber mais sobre o que é um corpo, veja
http://pt.wikipedia.org/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica).



Mas como
traduzir essa formalidade para o terreno humano?



Veja
então que uma transformação linear é necessariamente uma regra,
isto é, uma função, que obedece  as condições supracitadas, não
necessariamente separadas. Pode-se ter da mesma forma uma
transformação linear com a seguinte cara: $T(v_1+ a v_2) = T(v_1) + a
T(v_2)$.



O fato
da definição ser genérica pode dificultar nosso entendimento, mas
vamos recorrer a alguns exemplos algébricos:



Seja $V$ e $W$ qualquer espaço vetorial. A transformação linear que leva um
vetor nele mesmo é chamada transformação identidade e tem a
seguinte forma: $Iv=v$ (a notação muitas vezes depende do autor,
alguns usam parênteses, outros não... eu costumo utilizar quando
quero dar alguma ênfase).

Há
também a transformação nula, isto é, $0v=0$. Para verificar que são
transformações lineares, basta verificar que:




$I(v_1+v_2)
 = I(v_1)+I(v_2) = v_1 + v_2$, pois $I(v_1)=v_1$ e $I(v_2)=v_2$ por definição da
 transformação identidade. De mesmo modo, $I(av_1) = a I(v_1) = a v_1$. 


$0(v_1+v_2)=0(v_1)+0(v_2)=0+0=0$.
 De mesmo modo $0(a v_1)=a 0(v_1)= a 0=0$.





Repare
também que pela definição qualquer
transformação linear do elemento neutro 0 resulta necessariamente
no próprio elemento neutro, ou seja: $T(0) = 0$, pois $T(0) = T(0+0) =
T(0) + T(0)$. Se $T(0)=T(0)+T(0)$, ao subtrair $T(0)$ dos dois lados
chega-se em $T(0)=0$.



Devido a
essa última propriedade, que pode ser enunciada como "qualquer
transformação linear leva necessariamente o zero ao zero",
pode haver uma certa confusão entre as transformações lineares e
as funções lineares. As funções lineares podem ser vistas como
retas no plano, mas as únicas funções lineares (retas no plano)
que são também transformações lineares (no sentido que estamos
justamente explicando) são aquelas que passam pela origem, pois toda
transformação linear deve obedecer $T(0)=0$. 


Para
entender melhor, imagine duas funções $f(x)=2x$ e $g(x)=2x+3$. De fato,
para uma escolha genérica de $x_1$ e $x_2$ :




Da
definição da função $f(x_1+x_2)=2(x_1+x_2)$,&nbsp;mas pela propriedade da
transformação linear $f(x_1+x_2) = f(x_1) + f(x_2) = 2 x_1 + 2 x_2 =
2(x_1+x_2)$. Logo, $f(x)$ é, além de função linear, uma transformação
linear, pois $f(0)=0$.




Agora
repare que $g(x_1+x_2)=2(x_1+x_2)+3$, mas $g(x_1) + g(x_2) = 2x_1 + 2x_2 + 6
\neq g(x_1+x_2)$, logo, $g(x)$ não é transformação linear, embora seja
uma função linear.



Saindo
um pouco da álgebra, é interessante pensar nas transformações
lineares em termos geométricos. Sugiro ao leitor que consulte algum livro de álgebra linear para verificar as transformações lineares no plano: contração, dilatação, rotação, reflexão, cisalhamento horizontal, cisalhamento vertical, etc... Na figura de uma manipulação que programei no Mathematica, seguem alguns exemplos. O quadro da esquerda é o vetor original, o quadro da direita o vetor transformado:









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Este foi o primeiro post da série de álgebra linear. Fique ligado nos próximos. Se houver qualquer dúvida, envie um comentário.

Abraços