Expoentes Irracionais
Autor: Eliel, Sabrina, Osly | Publicado: 2011-06-25T11:17:00-03:00

EXPOENTES IRRACIONAIS
Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número&nbsp;b&nbsp;estão definidas porSe&nbsp;b&nbsp;for negativo, então algumas das potências fracionárias de&nbsp;b&nbsp;terão valores imaginários; por exemplo,&nbsp;. Para evitar esta complicação, vamos supor que&nbsp;, mesmo que não seja estabelecido explicitamente.Observe que as definições precedentes não incluem potências&nbsp;irracionais&nbsp;de&nbsp;b, tais comoHá vários métodos para definir potências irracionais. Uma abordagem é definir potências irracionais de&nbsp;b&nbsp;como limite de potências racionais. Por exemplo, para definir&nbsp;&nbsp;devemos começar com a representação decimal de&nbsp;, isto é,3,1415926Desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam cada vez mais próximos de&nbsp;&nbsp;&nbsp; isto é,3,1;&nbsp;&nbsp; 3,14;&nbsp;&nbsp; 3,141;&nbsp;&nbsp; 3,1415;&nbsp;&nbsp; 3,14159e a partir destes podemos formar uma seqüência de potências&nbsp;racionais&nbsp;de 2:Uma vez que os expoentes dos termos desta seqüência tendem a um limite&nbsp;, parece plausível que os próprios termos tendam a um limite; sendo assim, é razoável&nbsp;definir&nbsp;como sendo este limite.&nbsp;A tabela&nbsp;abaixo fornece evidência numérica de que a seqüência, na realidade, tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é&nbsp;&nbsp;8,8250. Em geral, para qualquer expoente irracional&nbsp;p&nbsp;e número positivo&nbsp;b, podemos definir&nbsp;como o limite de potências racionais de&nbsp;b, criadas pela expansão decimal de&nbsp;p.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Tabela







&nbsp; x&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
38,000000
3,18,574188
3,148,815241
3,1418,821353
3,14158,824411
3,141598,824962
3,1415928,824974

A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Uma função da forma&nbsp;f&nbsp;(x) =&nbsp;, onde&nbsp;b&nbsp;&gt; 0 e&nbsp;b&nbsp;1, é chamada de&nbsp;função exponencial de base b, cujos exemplos são&nbsp;f&nbsp;(x) =&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;f&nbsp;(x) =&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;f&nbsp;(x) =&nbsp;&nbsp;Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. Assim as funções tais como&nbsp;f&nbsp;(x) =&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;f&nbsp;(x) =&nbsp;&nbsp;não seriam classificadas como funções exponenciais, uma vez que elas tem uma base variável e um expoente constante.Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos mostrados na&nbsp;figura 1, dependendo de se 0 &lt;&nbsp;b&nbsp;&lt; 1 ou&nbsp;b&nbsp;&gt; 1.&nbsp;A figura 2&nbsp;mostra os gráficos de algumas funções exponenciais específicas.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;
OBSERVAÇÃO.&nbsp;Se&nbsp;b&nbsp;= 1, então a função&nbsp;&nbsp;é constante, uma vez que&nbsp;=&nbsp;&nbsp;= 1. Este caso não é de nosso interesse aqui, assim o excluímos da família das funções exponenciais.


NOTA:Quando os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmica e suas relativas tem uma vasta aplicação na matemática e na ciência.