Cálculo I: Números Reais
Autor: Brawn exercícios | Publicado: 2016-01-31T23:01:00-02:00


Neste post falaremos dos Números Reais e suas propriedades na introdução ao Cálculo.


O conjunto dos números reais (ℝ) é formado pela união dos conjuntos Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ) e Irracionais (𝕀).





No conjunto dos números Naturais (ℕ) existe uma propriedade importante, denominada&nbsp;Princípio da Indução Finita (para mais detalhes, clique aqui). Essa propriedade é muito utilizada no estudo de sequências.

Com as propriedades existentes no conjunto dos ℝ, assim como no conjunto dos ℕ, ℤ e ℚ, é possível que se defina as operações de ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO. Neste ponto definimos o que é um Corpo.




Definição 1:&nbsp;Um corpo é um conjunto M diferente de vazio que possui duas operações: ADIÇÃO&nbsp;⊕&nbsp;e&nbsp;MULTIPLICAÇÃO&nbsp;⊗&nbsp;de modo que satisfaça as seguintes propriedades:



a) Associativa: Dados a,b,c ∈ M são verdadeiras as seguintes relações:
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)


b) Comutativa: Dados a,b ∈ M, são verdadeiras as seguintes relações:
 a ⊕ b = b ⊕ a a ⊗ b = b ⊗ a

c) Elemento neutro da adição: Deve existir 0 ∈ M&nbsp;tal que&nbsp;a&nbsp;⊕ 0 = a, para todo a ∈ M.




d)&nbsp;Elemento neutro da multiplicação: Deve existir 1 ∈ M, tal que&nbsp;a&nbsp;⊗ 1 = a, para todo a ∈ M.



e) Elemento simétrico ou oposto da adição: Deve existir -a ∈ M para cada elemento a ∈ M&nbsp;tal que:

a&nbsp;⊕ (-a) = 0&nbsp;(elemento neutro da adição).


f) Elemento inverso da multiplicação: Deve existir a⁻¹&nbsp;∈ M* para cada a ∈ M de forma que:

a&nbsp;⊗&nbsp;(a⁻¹) = 1&nbsp;(elemento neutro da multiplicação)


g) Propriedade distributiva da multiplicação de uma adição: Para quaisquer elementos a, b, c ∈ M, deve ser válida a seguinte igualdade:

a ⊗ (b ⊕ c) = a ⊗ b ⊕ a ⊗c




De posse dessa definição temos que, dos conjuntos acima mencionados, apenas os conjuntos ℝ e ℚ satisfazem a definição acima para as operações de adição e multiplicação usuais e, portanto, podem ser chamados de Corpo.


Exercícios resolvidos:


Exercício 1: Mostre que o conjunto dos números Racionais (ℚ) forma um corpo segundo as operações de adição e multiplicação usuais:

O conjunto ℚ é formado por números que podem ser escritos por:



Onde tanto a quanto b são números Inteiros (ℤ), onde b ≠ 0.
Sejam os três números Racionais a seguir:


Vamos verificar as propriedades:

Propriedade a) Associativa:
Esta propriedade é válida para a soma e a multiplicação usuais já que, para quaisquer a,b,c,d,e,f ∈ ℤ são verdadeiras as igualdades:






Propriedade b) Comutativa:
Esta propriedade é válida para a soma e a multiplicação usuais já que, para quaisquer a,b,c,d ∈ ℤ são verdadeiras as igualdades:


Propriedade c) Elemento neutro da adição:
É válida pois o 0 pertence ao conjunto dos números Racionais.


Propriedade d) Elemento neutro da multiplicação:
É válida pois o 1 pertence ao conjunto dos números Racionais.

Propriedade e) Elemento simétrico ou oposto da adição:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, o seu simétrico também pertence.

Propriedade f) Elemento inverso da multiplicação:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, o seu inverso também pertence.

Propriedade g) Propriedade distributiva da multiplicação de uma adição:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, a igualdade abaixo é verdadeira:




Por satisfazer todas as propriedades, temos que os números Racionais formam um corpo.

 Exercício 2: Por que o conjunto dos números Naturais (ℕ) não é um corpo?
Por não possuir números negativos contata-se que a propriedade e) não pode ser cumprida. Além dela, a Propriedade f) também não.

 Exercício 3: Por que o conjunto dos números Irracionais (𝕀) não é um corpo?

Por não possuir os números 0 e 1, não satisfaz as Propriedades c) e d).
Surge, destas propriedades, a seguinte Proposição:

Proposição 1: Para todo conjunto que seja um corpo, é verdadeiro:
1 - O elemento neutro é único;
2 - A unidade é única;
3 - Para cada elemento x do conjunto, existe um único elemento simétrico;
4 - Para cada elemento x do conjunto, existe um único elemento inverso multiplicativo;
5 - Se a,b,c pertencem ao conjunto de tal forma que a+b = a+c então, b = c;
6 - Dados a,b que pertençam ao conjunto, é verdadeiro:
-(-a) = a-(a+b) = (-a) + (-b)(-a)*b = a*(-b)(-a)*(-b) = a*b
7 - Dados a,b que pertençam ao conjunto, é verdadeiro dizer que:
a*b = 0 se, e somente se, a = 0 ou b = 0
8 - Dados a,b que pertençam ao conjunto e sejam diferentes de zero, é verdadeiro dizer que:
(a⁻¹)⁻¹ = a(a*b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹

Definição 2: Um corpo ordenado é um corpo K que possua um subconjunto P não vazio denominada conjunto dos números positivos de K, tal que:
a) Para todo a,b ∈ P tem-se que a+b e a*b ∈ P.
b) Para cada a ∈ K uma e somente uma das afirmativas abaixo é verdadeira:
ou a = 0, ou a ∈ P ou -a ∈ P

Definição 3: Seja C um corpo ordenado e seja S um subconjunto não vazio de C, define-se que:
a) S é limitado superiormente em C caso exista algum termo a ∈ C que seja maior ou igual a todos os termos de S. Dizemos nesse caso que a é uma cota superior de S em C. Se a for a menor cota superior de S em C, chamamos a de supremo de S em C.
b) S é limitado inferiormente em C caso exista algum termo b ∈ C que seja menor ou igual a todos os termos de S. Dizemos nesse caso que b é uma cota inferior de S em C. Se b for a menor cota inferior de S em C, chamamos b de ínfimo de S em C.
c) S é limitado em C quando possui cota inferior e superior em C.


Exercício resolvido:
Exercício 4: Mostre que o conjunto A = [3, 10) é limitado em&nbsp;ℝ.
De fato, basta tomarmos 2&nbsp;∈&nbsp;ℝ e 15&nbsp;∈&nbsp;ℝ, onde 2 é uma cota inferior e 15 é uma cota superior. No caso temos 3 como ínfimo de A em&nbsp;ℝ&nbsp;e 10 como supremo de A em&nbsp;ℝ.

Em outras palavras, o supremo de um conjunto é um valor tal que seja maior ou igual a todos os valores do conjunto porém não existe valor "intermediário" entre ele e o maior valor do conjunto. Esta afirmação só é verdadeira quando o supremo é o próprio maior valor do conjunto.
O raciocínio análogo ocorre para o ínfimo, devendo ser ele o menor valor do conjunto.

Definição 4:&nbsp;Um corpo ordenado completo é um conjunto tal que todo subconjunto dele, limitado inferiormente, admite ínfimo nele.



Exercício resolvido:
Exercício 5: Mostre que ℚ não é um corpo ordenado completo.
Dado o conjunto A = {x ∈ ℚ / x² &gt; 2} temos que o ínfimo do conjunto √2 ∉ Q. Desta forma, este subconjunto de ℚ não possui ínfimo em ℚ, mas apenas em ℝ. (Veja também: Mostre que √2 não é Racional).

O conjunto dos ℝ é um corpo ordenado completo.

PS: O conjunto dos números Naturais pode ser definido com o 0 (zero) ou sem ele. Esta definição fica a critério do professor.