Principais conceitos de uma P.A
Autor: Thailise Peccatti | Publicado: 2010-11-27T04:02:00-08:00

Progressão Aritmética

É uma sucessão de números um após o outro que seguem um "ritmo definido". 
É toda a sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais  ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
&nbsp; 
&nbsp; Por exemplo:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2,5,8,11,14...)
&nbsp; Nesta sequência, 3 é a razão da progressão aritmética.
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5=2+3
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 8=5+3
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 11=8+3
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 14=11+3
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Uma progressão aritmética pode ser: crescente, decrescente ou constante.

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Exemplos:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3,4,5,6,7) é uma P.A. crescente, pois r=1&gt;0, ou seja, os elementos estarão em ordem crescente.
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (10,8,6,4,...) é uma P.A. decresente, pois r=-2&lt;0, ou seja, os elemtentos estarão em ordem decrescente.
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (5,5,5,5) é uma P.A. constante, pois r=0, os elementos serão todos iguais.

Representação de uma P.A

&nbsp;&nbsp;&nbsp; A representação matemática de uma Progressão Aritmética é:
\(&nbsp;&nbsp;&nbsp; a_{n+1}=a_{n}+r\) &nbsp;&nbsp; ou&nbsp;&nbsp; \(a_₂-a_₁=a_₃-a_₂=...=a_{n+1}-a_{n}=r\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Exemplo:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Calcular r e a₅ na P.A.(3,9,15,21...)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_{n+1}=a_{n}+r\) &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_₅=a_₄+r\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 9=3+r&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_₅=21+6\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; r=6&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_₅=27\) &nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Logo, r=6&nbsp;&nbsp; e&nbsp;&nbsp; \(a_₅=27\)

Termo Geral de uma Progressão Aritmética
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Considere uma P.A. finita qualquer \((a_₁,a_₂,a_₃,...,a_{n})\) de razão igual a r, sabemos que:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_₂-a_₁=r→a_₂=a_₁+r\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_₃-a_₂=r→a_₃-a_₁-r=r→a_₃=a_₁+2r\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_₄-a_₃=r→a_₄-a_₁-2r=r→a_₄=a_₁+3r\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; ....
&nbsp;&nbsp; \( a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Exemplo:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Calcule o 16º termo de uma P.A., sabendo que \(a_₁=-10\); r=3.
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_₁₆=-10+(16-1)3\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_₁₆=-10+15.3\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_₁₆=-10+45\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_₁₆=35\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Logo, o 16º termo da P.A. é 35.

Soma dos termos de uma P.A. finita
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Se tivermos uma P.A. finita qualquer, usamos a seguinte fórmula para a soma de seus termos:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(Sn=(((a_₁+a_n)n)/2)\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Exemplo:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Determine uma P.A. sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que a₈=79.
&nbsp;&nbsp;&nbsp; n=8
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(S_n=324\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(a_₈=79\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(S_n=(((a_₁+a_n)n)/2)\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(324=(((a_₁+79)8)/2)\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(324.2=8a_₁+79.8\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(648=8a_₁+632\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(648-632=8a_₁\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(16=8a_₁\)
&nbsp;&nbsp; \( a_₁=((16)/8)= 2\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Agora precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.
&nbsp;&nbsp; \( a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 79=2+(8-1)r
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 79=2+7r
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 79-2=7r
&nbsp;&nbsp;&nbsp; \(r=((77)/7)= 11\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Então a P.A. fica:
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2,13,24,35,46,57,68,79)
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Soma= 2+13+24+35+46+57+68+79= 324