Autor: Evanilson Brandão | Publicado: 2012-07-09T22:39:00-03:00



COMBINATÓRIA – Princípios básicos



O principio
fundamental da contagem diz que se há x
modos de tomar uma decisão D1 e, tomada a decisão D1, há y modos de tomar a decisão D2,
então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2
é xy. 



Exemplo 1. Com 5 homens e 5
mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?



Solução. Formar um casal equivale a
tomar as decisões:

D1:
Escolha do homem (5 modos).

D2:
Escolha da mulher (5 modos).

Há 5 ´ 5 = 25 modos de formar um casal.



Exemplo 2. Uma bandeira é
formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde,
azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores
iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?



Solução. Colorir a bandeira equivale a
escolher a cor de cada listra. Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra
e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. 

A resposta é 3 ´ 26 = 192. 



Exemplo 3. Quantos são os
números de três dígitos distintos?



Solução. O primeiro dígito pode ser
escolhido de 9 modos, pois ele não pode ser igual a 0. O segundo dígito pode
ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O
terceiro dígito pode ser escolhido de 8 modos, pois não pode ser igual nem ao
primeiro nem ao segundo dígitos. 

A resposta é 9 ´ 9 ´
8 = 648.



Você já deve ter
percebido nesses exemplos qual é a estratégia para resolver problemas de
Combinatória:



1) Postura. Devemos sempre nos colocar no
papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que
decisões devemos tomar. No exemplo 3, nós nos colocamos no papel da pessoa que
deveria escrever o número de três dígitos; no exemplo 2, nós nos colocamos no
papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no exemplo 1, nós nos colocamos
no papel da pessoa que deveria formar o casal.



2) Divisão. Devemos, sempre que possível,
dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples. Formar um casal
foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher; colorir a bandeira foi
dividido em colorir cada listra; formar um número de três dígitos foi dividido
em escolher cada um dos três dígitos.



Vamos voltar ao
exemplo anterior – Quantos são os números de três dígitos distintos? – para ver
como algumas pessoas conseguem, por erros de estratégia, tornar complicadas as
coisas mais simples.

Começando a escolha
dos dígitos pelo último dígito, há 10 modos de escolher o último dígito. Em
seguida, há 9 modos de escolher o dígito central, pois não podemos repetir o
dígito já usado. Agora temos um impasse: de quantos modos podemos escolher o
primeiro dígito? A resposta é “depende”. Se não tivermos usado o 0, haverá 7
modos de escolher o primeiro dígito, pois não poderemos usar nem o 0 nem os
dois dígitos já usados nas demais casas; se já tivermos usado o 0, haverá 8
modos de escolher o primeiro dígito. 

Um passo importante
na estratégia para resolver problemas de Combinatória é:



3) Não adiar dificuldades. Pequenas
dificuldades adiadas costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma
das decisões a serem tomadas for mais restrita que as demais, essa é a decisão
que deve ser tomada em primeiro lugar. No exemplo 3, a escolha do primeiro
dígito era uma decisão mais restrita do que as outras, pois o primeiro dígito
não pode ser igual a 0. Essa é portanto a decisão que deve ser tomada em
primeiro lugar e, conforme acabamos de ver, postergá-la só serve para causar
problemas.


A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2001. Vol.
2 (p. 85-87).