A matemática e a folha de papel
Autor: Professor Elias Coutinho | Publicado: 2010-08-08T08:19:00-07:00


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Parece difícil acreditar que para uma simples folha seja tão importante à matemática. Se você é daqueles que só acredita vendo, então pode fazer o teste e verificar que tudo que falaremos aqui é verdade." O formato de papel mais usado para impressões e fotocópias, que recebe a denominação A4, tem 210 milímetros de altura por 297  milímetros de largura.
Analisaremos, a seguir, de onde vêm essas estranhas medidas.
Inicialmente padronizaremos neste artigo que as palavras largura e altura sempre serão usadas como referência ao maior e ao menor lado de um retângulo, respectivamente.
Imagine-se tendo que resolver o seguinte problema: qual deve ser a largura e a altura de uma folha retangular de modo que quando ela for dividida ao meio, os dois novos retângulos obtidos mantenham a proporção entre altura e largura da folha original?
O problema é de solução simples, como se vê a seguir:


 
Portanto, a folha retangular com razão L/A igual a √2 é a única que, quando dividida ao meio, conforme processo descrito, resultará em retângulos semelhantes ao da folha original. Lembramos que de forma diferente dos triângulos, onde bastam ângulos congruentes para que sejam figuras semelhantes, no caso dos quadriláteros as semelhança só se garante se os ângulos forem congruentes e se a razão entre os lados das figuras for preservada. No caso das medidas de uma folha A4, note que 297/210 é uma ótima aproximação racional para √2 , cometendo um erro muito pequeno, da ordem de centésimo de milésimo. A classificação de papéis da qual A4 faz parte chama-se série A, que começa com o A0 e vai até o A10. Essas folhas têm em comum a razão √2 entre largura e altura. A série inicia com uma folha retangular de área 1 m², definida como A0. A partir dela obtemos a folha do formato seguinte, A1, dividindo-se A0 ao meio.
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Dividindo-se A1 ao meio obtemos A2, que dividida ao meio resultará A3, e assim por diante até A10."&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;José Luiz Pastore Mello 



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&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 
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