Números Inteiros
Autor: CROM COM A MATEMÁTICA | Publicado: 2010-05-22T06:46:00-07:00

Pagina principal  Alegria  Financeira  Fundamental  Médio  Geometria  Trigonometria  Superior  CálculosEnsino Fundamental: Números Inteiros   * Curiosidades com inteiros   * Introdução aos números inteiros   * Sobre a origem dos sinais   * Conjunto Z dos números inteiros   * A reta numerada   * Ordem e simetria no conjunto Z   * Módulo de um número inteiro   * Adição de números inteiros    * Soma de inteiros: Propriedades   * Multiplicação de inteiros   * Propriedades da multiplicação   * Propriedade mista (distributiva)   * Potenciação de números inteiros   * Potenciação com o browser   * Radiciação de números inteiros   * Radiciação com o browserCuriosidades com números inteiros12345679 x  9 = 11111111112345679 x 18 = 22222222212345679 x 27 = 33333333312345679 x 36 = 44444444412345679 x 45 = 55555555512345679 x 54 = 66666666612345679 x 63 = 77777777712345679 x 72 = 88888888812345679 x 81 = 9999999999 x 9 + 7        = 889 x 98 + 6       = 8889 x 987 + 5      = 88889 x 9876 + 4     = 888889 x 98765 + 3    = 8888889 x 987654 + 2   = 88888889 x 9876543 + 1  = 888888889 x 98765432 + 0 = 8888888889 x 1 + 2          = 119 x 12 + 3         = 1119 x 123 + 4        = 11119 x 1234 + 5       = 111119 x 12345 + 6      = 1111119 x 123456 + 7     = 11111119 x 1234567 + 8    = 111111119 x 12345678 + 9   = 1111111119 x 123456789 + 10 = 111111111111 x 11               =        121111 x 111             =       123211111 x 1111           =      123432111111 x 11111         =     123454321111111 x 111111       =    123456543211111111 x 1111111     =   123456765432111111111 x 11111111   =  123456787654321111111111 x 111111111 = 123456789876543219        x 7        =        6399       x 77       =       7623999      x 777      =      7762239999     x 7777     =     7776222399999    x 77777    =    7777622223999999   x 777777   =   7777762222239999999  x 7777777  =  7777776222222399999999 x 77777777 = 77777776222222231            x 7 + 3 = 1014           x 7 + 2 = 100142          x 7 + 6 = 10001428         x 7 + 4 = 1000014285        x 7 + 5 = 100000142857       x 7 + 1 = 10000001428571      x 7 + 3 = 1000000014285714     x 7 + 2 = 100000000142857142    x 7 + 6 = 10000000001428571428   x 7 + 4 = 1000000000014285714285  x 7 + 5 = 100000000000142857142857 x 7 + 1 = 10000000000009      x 9      =      8199     x 99     =     9801999    x 999    =    9980019999   x 9999   =   9998000199999  x 99999  =  9999800001999999 x 999999 = 99999800000112 x 12 =   144,  21 x 21 =   44113 x 13 =   169,  31 x 31 =   961102x102 = 10404,  201x201 = 40401103x103 = 10609,  301x301 = 90601112x112 = 12544,  211x211 = 44521122x122 = 14884,  221x221 = 4884199 = 9+8+7+65+4+3+2+1100 = 1+2+3+4+5+6+7+8×9134498697 = 1 + 2^3 + 4^5 + 6^7 + 8^91000 = 8 + 8 + 8 + 88 + 88845 = 8+12+5+20,      8+2=12-2=5x2=20÷2=10100 = 12+20+4+64,    12+4=20-4=4x4=64÷4=16225 = 1+23+45+67+89, 89-67=67-45=45-23=23-1=225^2 + 2^1 = (5-2)^(2+1)Notação: Para indicar que um número x está elevado a y, escreverei x^y, que é uma notação comum no meio científico.Introdução aos números inteirosNa época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos.Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.Sobre a origem dos sinaisA idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.O conjunto Z dos Números InteirosDefinimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}Exemplos de subconjuntos do conjunto Z(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}Observação: Não existe padronização para estas notações.Reta NumeradaUma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.Ordem e simetria no conjunto ZO sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).Exemplos:(a)  3 é sucessor de 2(b)  2 é antecessor de 3(c) -5 é antecessor de -4(d) -4 é sucessor de -5(e)  0 é antecessor de 1(f)  1 é sucessor de 0(g) -1 é sucessor de -2(h) -2 é antecessor de -1Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.Exemplos:(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.Módulo de um número InteiroO módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:|x| = max{-x,x}Exemplos:(a) |0| = 0(b) |8| = 8(c) |-6| = 6Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.Soma (adição) de números inteirosPara melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7  (+3) + (+4) = (+7)perder 3 + perder 4 = perder 7  (-3) + (-4) = (-7)ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3  (+8) + (-5) = (+3)perder 8 + ganhar 5 = perder 3  (-8) + (+5) = (-3)Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.Exemplos:(a) -3 + 3 = 0(b) +6 + 3 = 9(c) +5 - 1 = 4Propriedades da adição de números inteirosFecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.Associativa: Para todos a,b,c em Z:a + ( b + c ) = ( a + b ) + c2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7Comutativa: Para todos a,b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:z + 0 = z7 + 0 = 7Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (-z) = 09 + (-9) = 0Multiplicação (produto) de números inteirosA multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)Com o uso das regras acima, podemos concluir que:Sinais dos números Resultado do produtoiguais positivodiferentes negativoPropriedades da multiplicação de números inteirosFecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.Associativa: Para todos a,b,c em Z:a x ( b x c ) = ( a x b ) x c2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7Comutativa: Para todos a,b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:z x 1 = z7 x 1 = 7Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal quez x z-1 = z x (1/z) = 19 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1Propriedade mista (distributiva)Distributiva: Para todos a,b,c em Z:a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )Potenciação de números inteirosA potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.an = a × a × a × a × ... × aa é multiplicado por a n vezesExemplos:  1.     25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32  2.     (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8  3.     (-5)² = (-5) x (-5) = 25  4.     (+5)² = (+5) x (+5) = 25com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.Potenciação com o browserPara obter a potência Mn em seu navegador, como 125, digite (ou copie) a linha de comando:javascript:Math.pow(12,5)exatamente da forma como está escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta248832Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.Radiciação de números inteirosA raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.Observação: Por deficiência da linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:b=Rn[a] se, e somente se, a=bnA raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:R[9] = ±3mas isto está errado. O certo é:R[9] = +3Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.Exemplos:(a) R³[8]   =  2, pois 2³ = 8.(b) R³[-8]  = -2, pois (-2)³ = -8.(c) R³[27]  =  3, pois 3³ = 27.(d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27.Observação: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.Radiciação com o browserPara obter a raiz n-ésima de um número não negativo M, que é igual a uma potência (power, em inglês, reduzida para pow) com expoente fracionário da forma 1/n, no navegador, digite exatamentejavascript:Math.pow(M,1/n)como está escrito, na caixa de seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço).Pressione ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta! Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.Valid XHTML 1.0!  Construída por Patrícia E. Silva e Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005.