Conjuntos Numericos
Autor: Elaine FHA | Publicado: 2010-10-27T05:21:00-07:00

Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas  formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os  seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o  exemplo abaixo:Esse conjunto se chama "A" e possui três  termos, que estão listados entre chaves.Os nomes dos conjuntos são sempre letras  maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.           Vamos começar nos primórdios da matemática.- Se eu pedisse para você contar até 10, o que  você me diria?- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete,  oito, nove e dez.Pois é, estes números que saem naturalmente  de sua boca quando           solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é  representado pela letra .Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens,  e           tinha como intenção mostrar quantidades.*Obs.: Originalmente, o zero  não estava incluído neste conjunto, mas           pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se  este número como sendo           pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:Obs.2: Como o zero originou-se  depois dos outros           números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes  teremos a necessidade de           representar o conjunto dos números naturais sem incluir o  zero. Para isso foi definido           que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do  conjunto, iria representar a           ausência do zero. Veja o exemplo abaixo:         Estes números foram suficientes para a  sociedade           durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das  "trocas" de           mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma  representação numérica para as           dívidas.Com isso inventou-se os chamados "números  negativos", e junto com           estes números, um novo conjunto: o conjunto dos números  inteiros, representado pela letra .O conjunto dos números inteiros é formado por           todos os números NATURAIS mais todos os seus representantes  negativos.Note que este conjunto não possui início nem  fim (ao contrário dos           naturais, que possui um início e não possui fim).Assim como no conjunto dos naturais, podemos  representar todos os inteiros sem o ZERO           com a mesma notação usada para os NATURAIS.Em algumas situações, teremos a necessidade de           representar o conjunto dos números inteiros que NÃO  SÃO NEGATIVOS.Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do  símbolo do conjunto (vale a pena           lembrar que esta simbologia representa os números NÃO  NEGATIVOS, e não os números           POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo:Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui  um           início. E você pode estar pensando "mas o zero não é  positivo". O zero não           é positivo nem negativo, zero é NULO.Ele está contido neste conjunto, pois a  simbologia do           sinalzinho positivo representa todos os números NÃO  NEGATIVOS, e o zero se           enquadra nisto.Se quisermos representar somente os positivos  (ou seja, os não negativos sem o zero),           escrevemos:Pois assim teremos apenas os positivos, já que o  zero não é           positivo.Ou também podemos representar somente os  inteiros NÃO POSITIVOS com: Obs.: Este conjunto possui final, mas não  possui início.E também os inteiros negativos (ou seja, os não  positivos sem o zero):Uma propriedade interessante dos números  inteiros, que já foi           mencionada neste texto (e que podemos representar em um  gráfico) é a de ter em seu           interior todos os números naturais. Veja o gráfico abaixo:         Olhando ainda pela linha do tempo, em um  determinado momento           começou a ficar crucial a necessidade de se representar  "partes" de alguma           coisa. Ex.: fatia de um bolo, pedaço de um terreno,... e por  essa necessidade foi           inventado as frações. Para incluir os número ditos  fracionários junto com os já         existentes, criou-se o conjunto dos números RACIONAIS (),  que indica uma razão (divisão) entre dois números inteiros.Alguns exemplos de números racionais são  mostrados           abaixo:Ou seja, números racionais são todos aqueles  que podem ser           representados por uma fração de números inteiros.- Ué, o que que o 6 e o 2,3 estão fazendo  ali em           cima, se eles não têm o sinal de fração?
- Ora, o 6 pode ser representado pela fração   ou até mesmo ,  e o 2,3 pode ser ,  portanto, se um             número tem a possibilidade de ser escrito em fração de  números inteiros, é considerado racional.- Então me parece que todos os           números com vírgula serão racionais??
- Não. Somente os que possuírem finitos  algarismos após a vírgula, e as           chamadas dízimas periódicas, que possuem infinitos algarismos  após a vírgula mas são           números racionais. Veja os exemplos abaixo.         
             3,14159265...             Este não é um número Racional,  pois possui               infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas  reticências)           
             2,252             Este é  um número Racional, pois possui               finitos algarismos após a vírgula.           
             2,252525...             Este número possui infinitos  números após a                   vírgula, mas é racional, é chamado de dízima  periódica. Reconhecemos um número destes               quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no  caso 25).           
         Com isso podemos concluir que o conjunto dos  números           RACIONAIS é formado por todos os números Inteiros (como vimos  no exemplo anterior, um inteiro pode ser representado como uma fração,  por exemplo 10 pode ser )  e mais alguns.Portanto, o conjunto           dos inteiros está "dentro" do conjunto dos Racionais.  Representamos assim:Note que até agora o conjunto dos números           racionais é o maior de todos. E assim durou por muito tempo!Obs.1: As           notações para os "não positivos" e os "não negativos",  utilizados           para os inteiros, também podem ser usadas para os racionais.                Obs.2: O zero É um número racional, pois  podemos           representá-lo pela fração: =  {Todos os racionais sem o           zero}
 =           {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}
  =           {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os  positivos}
 =           {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}
  =           {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os  negativos}         Se formos um pouco mais além na história, vamos  chegar ao           famoso teorema de Pitágoras.- Ué, não estamos estudando conjuntos?- Sim, calma lá, é só para explicar.Pense comigo:Se temos um triângulo com catetos medindo 1  unidade de           comprimento.Pelo teorema de Pitágoras, calculamos que o  terceiro lado           (a hipotenusa), vale .- E quanto é?
- Pois isto não podemos dizer             exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como  uma fração de números             inteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é  uma dízima periódica). Então não podemos chamá-lo de             número racional. Por este motivo houve a necessidade de  criar-se mais um conjunto. Que,             por oposição aos números racionais, chama-se "CONJUNTO DOS  NÚMEROS             IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao contrário  dos racionais, NÃO podem ser representados por uma  fração de números inteiros. Este conjunto é           representado por .As raízes quadradas não exatas são os  principais           representantes deste conjunto.Por exemplo:  =&gt; Todos estes valores não podem ser           representados por uma fração de números inteiros, portanto,  são chamados de números         irracionais.            =&gt; Este número           também não tem uma representação em forma de fração, por isso  também é um número           irracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional  teremos como resultado um           irracional.
  =&gt; Este também é         irracional, pelo mesmo motivo do número acima.- Ah, entendi! Então o conjunto dos           irracionais é formado só pelas raízes quadradas não exatas?        - Não, todas raízes não exatas fazem  parte do conjunto dos números irracionais. Mas           não são só elas, também estão neste             conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e  =               2,71828...), e alguns outros.Para o Vestibular esses são os irracionais           mais importantes!Portanto, se um número for racional, não           pode ser irracional, e vice-versa. Por isso que, ao representarmos nos balões,  devemos           separá-los. Veja a figura abaixo:Estes números foram utilizados por séculos e  até         hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi  dado um nome para o           conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido  foi "CONJUNTO DOS           NÚMEROS REAIS"Ou seja, o conjunto dos números Reais é           formado por todos os números Racionais junto com os números  Irracionais, portanto:Note que na parte pintada, não há nenhum           número.Pois, se um número é Real, ou ele será Racional  ou ele será Irracional, e se           encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum  número que seja REAL e não           seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.         Durante muito tempo foi só isso que           precisamos, conseguíamos fazer todos os cálculos necessários  com apenas estes números.Mas o tempo foi passando e novas           necessidades foram surgindo, veja a história a seguir.Com um grande salto no tempo, chegamos na           casa de nosso querido amigo Caju!Estava ele brincando com números em sua           casa, quando houve o seguinte diálogo...Caju - Mãe,           mãe. Olha só que legal, eu sei que   é 5, porque 5           ao quadrado é 25.
Mãe - Oh! Meu filhão, muito bem!
Caju - Também sei que   é         9, pois 9 ao quadrado é 81.
Mãe - Ah, filhinho, que bonitinho!  Mas me diz uma coisa, quanto         é ?
Caju - Ora mãe, isso é fácil,   é –5 ! 
Mãe - Então me prova.
Caju - Olha mãe, (–5) ao quadrado  dá... dá...... ops,           dá +25...Pois é galera, qualquer número negativo           elevado ao quadrado resulta um valor positivo, então como  fazer para calcular a raiz           quadrada de um número negativo?A partir daí firmou-se um mistério na           Matemática: quanto vale esta droga de raiz?O tempo passou, e para solucionar o caso,           convencionou-se que ,  onde i é chamado de           unidade imaginária.Então este mistério foi solucionadoEx.: 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ^--               Aqui foram usadas as propriedades de radiciação. E com isso formou-se o conjunto dos           números IMAGINÁRIOS, representado pela letra ,  que é composto por todas as raízes de           números negativas.Novamente temos uma divisão, ou o número         é Real ou não é Real. Por isso devemos colocar o balão dos  imaginários separado dos           números Reais. Veja o desenho:Agora, neste caso temos uma dúvida. Se           somarmos um número Real com um número imaginário, como por  exemplo:2+3iEm que balão ele vai se encontrar?
Não pode ser real, e também não pode ser imaginário.Para solucionar este caso, convencionou-se           que o conjunto dos Reais junto com o conjunto dos Imaginários,  é chamado de Conjunto dos           números COMPLEXOS, que é representado por C.Note que o conjunto dos números complexos         é o conjunto de TODOS os números que conhecemos  até hoje! Preste bem           atenção, eu disse TODOS os números conhecidos  até hoje! Veja o           gráfico abaixo: