Números perfeitos
Autor: Leonardo S. F. dos Santos | Publicado: 2012-01-18T15:34:00-02:00




&nbsp;&nbsp;

Autor: Leonardo Sioufi Fagundes dos Santos



Texto publicado originalmente na revista eletrônica Espiral do Núcleo José Reis, na edição de julho-agosto-setembro de 2008. 

&nbsp;http://abradic.com/espiral/



Alguns errinhos foram corrigidos com a autorização do autor do texto.

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&nbsp;&nbsp; O conceito de perfeição está associado ao ideal e ao divino. Os 
seres reais costumam ser classificados como imperfeitos, ainda que o 
conceito de perfeição seja vago. Mas alguns números são perfeitos. O que caracteriza um número como perfeito ?&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Perfeição não é aparência. Para saber se um número é 
perfeito é necessário conhece-lo por dentro. É isso mesmo ! Vamos olhar 
os números por dentro.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Antes que o leitor abandone o texto pensando tratar-se de 
pseudo-matemática, espere um pouco. Nem sempre os matemáticos foram 
vistos como frios e calculistas. Grande parte do conhecimento matemático
 veio de um ambiente religioso.

&nbsp;&nbsp; Por volta do séc. VI a.C., grupos religiosos que cultivavam 
conhecimentos secretos proliferavam em terras que correspondem hoje ao 
sul da Itália e à Grécia. O conhecimento secreto de cada grupo, 
designado genericamente como "mistério", era transmitido através de 
mitos, ritos e símbolos próprios. O ingresso a estes grupos era marcado 
por um "rito de iniciação". Os "mistérios" mais conhecidos foram os 
eleusinos, os délficos, os órficos, os dáctilos, os báquicos, os 
cabíricos e os dáctilos. Um novo grupo surgiu nesta época, os 
pitagóricos. Eles destacaram-se porque seus símbolos secretos eram os números
 e seu mistério era a própria matemática. O termo "pitagórico" deriva do
 mestre que teria fundado o grupo, Pitágoras de Samos (570 a.C.-496 
a.C.).&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Praticamente nada se sabe sobre a vida de Pitágoras porque 
os pitagóricos o descreviam de forma mitológica. Alguns chegaram a 
duvidar que Pitágoras tenha existido. Segundo escritores antigos, foi 
Pitágoras que criou o termo filósofo, que em grego significa "amigo da 
sabedoria".&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Apesar do segredo, muitos filosófos gregos eram pitagóricos e
 escreviam seus livros inspirados nas doutrinas secretas. Além disso, 
alguns pitagóricos traíram o voto de sigilo e revelaram alguns segredos.
 Assim os pitagóricos acabaram legando aos gregos um vasto conhecimento 
matemático relativo aos números naturais e à geometria. Os números eram mais do que meras abstrações. Números
 possuiam qualidades, sexo, alguns tinham amizade entre si, etc. E por 
trás destas qualidades estavam propriedades aritméticas dos números estudadas até hoje.&nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Os pitagóricos de maior destaque foram os filosófos gregos 
Empedocles de Agrigento (490 a.C- 435 a.C.), Filolau de Crotona (que 
viveu no séc. V a.C. mas não se sabe exatamente quando) e Arquitas de 
Tarento (428 a.C.-347 a.C.). Empedocles é famoso por ter criado a teoria
 dos quatro elementos: fogo, ar, água e terra.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; O filosófo Platão de Atenas (427 a.C.-347 a.C.) não é 
contado entre os pitagóricos mas foi profundamente influenciado pelo 
pitagorismo.

&nbsp;&nbsp; Apesar de geniais, os pitagóricos tinham um conceito bem restrito de número. O 1 não era número. Números
 eram pluralidade e o 1 era único, singular. O primeiro número era o 2, o
 segundo era o 3, etc. Os pitagóricos conheciam as frações mas não as 
classificavam como números. Frações podiam ser representadas como um par de números (por exemplo, 2/3, 3/5, etc.) ou como o 1 seguido de um número (por exemplo, 1/2, 1/3, etc.).&nbsp;

&nbsp;&nbsp; A existência de medidas que não podiam ser representadas por frações, hoje chamadas de números
 irracionais, provocaram um verdadeira crise na escola pitagórica. 
Paradoxalmente, diversas medidas não fracionárias são encontradas 
através do "teorema de Pitagóras''. Os pitagóricos também não 
conceberam o zero, nem os números negativos e nem os complexos. Mas isso é outra história...&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Em linguagem moderna, o números concebidos pelos pitagóricos juntamente com o zero e o 1 formam o conjunto dos números naturais, representados por N. Geralmente o conjunto dos naturais é apresentado na forma:&nbsp;


N={0,1,2,3,4,...} 

onde as reticências significam que o conjunto continua infinitamente.&nbsp;



As partes de um número, os divisores.





&nbsp;&nbsp; Para conhecer o interior de alguma coisa é necessário dividi-la. Com os números não é diferente. Para conhecer o interior de um número é necessário dividi-lo.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Mas a divisão que interessa é a divisão exata. Por divisão 
exata os matemáticos se referem a divisão com resto zero. Por exemplo, 
10 pode ser dividido em 2 grupos com 5 unidades cada. Em outras 
palavras, 10=5+5=2x5. Assim a divisão de 10 por 2 é exata. Da mesma 
forma, o número 10 pode ser dividido em 5 grupos de 2 unidades, 
10=2+2+2+2+2=5x2. Então a divisão de 10 por 5 também é exata. A divisão 
de 10 por 1 é exata porque é possível pensar neste número como 1 grupo 
com 10 unidades, 10=1x10. Enfim a divisão 10 por 10 é exata porque se 
obtem 10 grupos com 1 unidade cada, 10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10x1. Mas 10 
não pode ser dividido exatamente em 3 grupos. Dez resulta em 3 grupos de
 3 unidades com resto 1, ou seja, 10=3x3+1. Assim 10 dividido por 3 não é
 uma divisão exata. A divisão de 10 por 4 não é exata porque 10=4x2+2. 
As divisões de 10 por 6, 7, 8 e 9 também não são exatas.&nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Quando um número dividido por outro resulta em divisão 
exata, o segundo é designado como divisor do primeiro. Por exemplo, 1, 
2, 5 e 10 são divisores de 10. Já 3, 4, 6, 7, 8 e 9 não são divisores de
 10. Os números 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são divisores de 12. Já 5, 7, 8, 9, 10 e 11 não são divisores de 12.

&nbsp;&nbsp; Um conceito que facilita o estudo dos divisores é o de 
``múltiplo''. Se um número é divisor de um segundo, o segundo é múltiplo
 do primeiro. Por exemplo, 2 é divisor de 10, logo é 10 múltiplo de 2. 
Já o 3 não é divisor de 10, logo 10 não é múltiplo de 3. A idéia por 
trás da nomenclatura "múltiplo" é que a relação pode ser escrita como 
multiplicação. Por exemplo, 10 é múltiplo de 2 porque 10 pode ser 
escrito como 2x5. Já 15 não é múltiplo de 2 porque não há número 
"natural" multiplicado por 2 que resulte em 15. Mas 15 é múltiplo de 3 
porque 15=3x5.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Eis abaixo uma lista dos números de 1 até 30 com seus respectivos divisores: 

1: 1 2: 1 e 2 3: 1 e 3 4: 1, 2 e 4 5: 1 e 5 6: 1, 2, 3 e 6 7: 1 e 7 8: 1, 2, 4 e 8 9: 1, 3 e 9 10: 1, 2, 5 e 10 11: 1 e 11 12: 1, 2, 3, 4, 6 e 12 13: 1 e 13 14: 1, 2, 7 e 14 
15: 1, 3, 5 e 15 16: 1, 2, 4, 8 e 16 17: 1 e 17 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18 19: 1 e 19 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20 21: 1, 3, 7 e 21 22: 1, 2, 11 e 22 23: 1 e 23 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 
25: 1, 5 e 25 26: 1, 2, 13 e 26 27: 1, 3, 9 e 27 28: 1, 2, 4, 7, 14 e 28 29: 1 e 29 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 




&nbsp;&nbsp; Alguns padrões que aparecem na lista de divisores dos números podem ser generalizados. É necessário ressalta-los.

&nbsp;&nbsp; O número 1 é divisor de todos os números
 naturais. Dividir um número por 1 é formar um único grupo com todas as 
unidades sem nenhum resto. Assim, um número dividido por 1 é ele mesmo. 
Por exemplo, 10=1x10, 11=1x11, etc. Outra forma de descrever o mesmo 
fato é que "todo o número é múltiplo de 1".&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Todo o número é divisor de si mesmo. Dividir um número por 
ele mesmo é formar um grupo para cada unidade. Cada grupo fica com uma 
única unidade sem nenhum resto. Assim um número dividido por ele mesmo é
 1. Por exemplo, 10=10x1, 11=11x1, etc. Outra forma de descrever isso é 
que todo número é múltiplo de si mesmo.

&nbsp;&nbsp; Entre os divisores de um número, o mesmo é denominado 
``divisor impróprio''. Em outras palavras, todo número é um divisor 
impróprio de si mesmo. Assim 10 é divisor impróprio de 10, 11 é divisor 
impróprio de 11, etc. Os demais divisores de um número são denominados 
``divisores próprios''. Por exemplo, 1, 2 e 5 são divisores próprios de 
10, enquanto 10 é divisor impróprio de 10. O único divisor próprio de 11
 é 1 enquanto 11 é divisor impróprio.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Os pitagóricos não incluíam os divisores impróprios em suas 
listas. Por exemplo, para os pitagóricos os únicos divisores de 10 
seriam 1, 2 e 5. O único divisor de 11 seria o 1.

&nbsp;&nbsp; O divisor impróprio de 1 é 1. O número 1 é o único que tem 
apenas um divisor: o próprio 1. O número 1 é o único que não tem divisor
 próprio.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; O problema dos divisores de zero será discutido no próximo tópico.

&nbsp;&nbsp; Com exceção do 0 e do 1, os demais números têm pelo menos dois divisores: o 1 e o divisor impróprio, ele mesmo.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; O número 2 é divisor de todos os números
 pares mas não é divisor de nenhum ímpar. A própria definição de par é 
de um número que é múltiplo de 2. Na classificação moderna o número 1 é 
ímpar porque não é múltiplo de 2. Mas para os pitagóricos o 1 não era um
 número, portanto não podia ser ímpar.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Na classificação moderna o zero é par porque é múltiplo de 2
 (0=2x0). Mas os pitagóricos desconheciam o zero de forma que para eles 0
 não podia ser par.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp; Os números que tem exatamente dois divisores recebem o adjetivo "primo". Se os números
 primos têm apenas dois divisores, eles devem ser o 1 e o divisor 
impróprio. O número 0 não é primo por razões que serão discutidas no 
próximo tópico. Já o número 1 não é primo porque tem apenas um único 
divisor. O número 2 tem dois divisores, 1 e 2, portanto é o primeiro 
número primo. O 3 também é primo porque tem somente dois divisores, 1 e 
3. Mas o 4 não é primo porque tem 3 divisores: 1, o divisor impróprio 
(4) e 2. 
&nbsp;&nbsp; Há infinitos números primos. Na lista acima é possível ver que os números primos entre 1 e 30 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp; O único divisor próprio de um número primo é o 1. Como os 
pitagóricos não incluíam o divisor impróprio como divisor de um número, 
para eles o único divisor de um primo era o 1. Por esta razão, os 
pitagóricos usavam o adjetivo "primo" com o sentido de "primordial", 
"primeiro". O número primo não tinha "partes" caso ele fosse escrito 
como um produto. Por exemplo, o número 7, que é primo, só pode ser 
escrito como 1x7 ou 7x1. Fica impossível escreve-lo como produto de números
 diferentes de 7. Isso pode ser generalizado para todos os primos. O 
número primo não pode ser "decomposto", ele é primordial, indivisível.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp; Os números diferentes de 0 que têm mais de
 2 divisores são chamados de compostos. Por exemplo, o número 4 é 
composto porque tem mais de dois divisores. O número 11 não é composto 
porque tem somente dois divisores. Assim 11 é primo. Já o número 15 é 
composto porque tem mais de dois divisores: 1, 3, 5 e 15.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp; Todos os pares diferentes de 0 e 2 são compostos porque tem pelo 
menos três divisores: 1, 2 e o divisor impróprio. Ou seja, o único 
número par que é primo é o 2. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp; Os números compostos recebiam este nome porque podiam ser escritos como "compostos" por um produto de números
 diferentes deles mesmos. Assim o número 6, que é composto, pode ser 
escrito como 2x3. O número composto 9 pode ser escrito como 3x3. Enfim, 
todos os números compostos podem ser "decompostos".&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp; A decomposição mais completa que um número composto pode sofrer é 
em fatores primos. Por exemplo, 6=2x3 e 2 e 3 são primos. O número 45 
pode ser escrito como 3x15, mas apenas 3 é primo. Reescrevendo 45=3x3x5,
 os únicos fatores, 3 e 5, são primos. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp; O produto dos primos gera todos os compostos.Assim os números naturais podem ser primos ou compostos, um ou outro, sendo que o 1 e o 0 ficam excluídos desta classificação. 

&nbsp;

Breve discussão sobre o zero





&nbsp;&nbsp; Nos dois parágrafos seguintes será descrito o
 problema do zero na divisão. Caso o leitor não compreenda os dois 
parágrafos, não desanime e siga em frente para o próximo tópico, 
"perfeição de um número". Não é necessário entender o "zero" para 
compreender os números perfeitos. Mas já que se falou de divisão, vale a pena mencionar o papel do 0.&nbsp;


&nbsp;&nbsp; Não se pode dividir nenhum número por zero. As razões não 
são óbvias. Um argumento superficial é que não se pode dividir um número
 em zero grupos. Que sentido teria dividir 10 em zero grupos ? Quantas 
unidades ficam em cada grupo se não há grupos ? Nem mesmo o 0 pode ser 
dividido por 0. Então zero não é divisor de nenhum número. Com isso 0 
não é divisor nem de si mesmo. Zero é o único número que não tem divisor
 impróprio.

&nbsp;&nbsp; O número zero pode ser dividido por qualquer número 
diferente de 0. Zero pode ser dividido em um único grupo com zero 
unidades (0=1x0), em dois grupos com zero unidades cada (0=0+0=2x0), em 
três grupos com zero unidades cada (0=0+0+0=3x0) e assim sucessivamente.
 Em outras palavras, 0 dividido por qualquer número diferente de 0 é 0. 
Todos os números são divisores de 0 exceto o 
próprio 0. Assim zero tem infinitos divisores. O número 0 não é primo 
porque tem mais de 2 divisores. Zero também não é composto porque a 
própria definição já excluiu o zero. Assim como o número 1, 0 não é 
primo e nem composto.

&nbsp;&nbsp; Em resumo, nenhum número pode ser dividido por zero mas 0 pode ser dividido por todos os outros números, resultando em 0. Mas caso o leitor não tenha entendido este tópico, prossiga. Quando os números perfeitos foram concebidos pelos pitagóricos, o 0 não era nem sonhado. 


Perfeição&nbsp;nos&nbsp;números
&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp; Para entender um número, os pitagóricos somavam seus divisores 
próprios. Se os divisores próprios de um número revelariam como ele pode
 ser decomposto, a soma deles sintetizaria as informações. 

&nbsp;&nbsp; Por exemplo, os divisores próprios de 4 são 1 e 3. A soma destes
 divisores é 1+2=3. Assim soma dos divisores próprios de 4 é 3. O único 
divisor próprio de 5 é 1. Assim a soma dos divisores próprios de 5 é 1. 
Isso pode ser generalizado para todos os números
 primos. A soma dos divisores próprios de um número primo é 1, 
confirmando seu caráter primordial. Os divisores próprios de 6 são 1, 2 e
 3. A soma dos divisores próprios de 6 é 1+2+3=6. Esta coincidência 
chamou a atenção dos pitagóricos.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Todo número cuja a soma dos divisores próprios coincide com 
ele mesmo recebe o adjetivo de "perfeito". O segundo número perfeito é o
 28 porque pode ser escrito como a soma de seus divisores próprios: 
28=1+2+4+7+14. O terceiro número perfeito é 496. Os divisores próprios 
de 496 são 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 e 248 e 
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496.

&nbsp;&nbsp; O grande matemático grego Euclides (360 a.C.-295a.C.) conhecia apenas os quatro primeiros números perfeitos: 6, 28, 496 e 8.128. Apesar disso, ele descobriu um método para achar todos os números perfeitos.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; O matemático sírio (provavelmente de origem grega) 
Nicomachus de Gerasa (60-120) deu importantes contribuições para a 
matemática e escreveu sobre os números perfeitos.
 Apesar de ser brilhante, este matemático cometeu alguns erros. Por 
exemplo, embora ele não tenha encontrado o quinto número perfeito, ele 
acreditava que ele teria 5 algarismos. Como será visto neste texto, o 
quinto número perfeito, 33550336, tem 8 algarismos. Ele também 
acreditava que os números perfeitos
 terminavam com os algarismos 6 e 8 alternadamente. Como será visto a 
seguir, todo número perfeito termina com 6 ou com 8, mas não 
alternadamente.

&nbsp;&nbsp; Os primeiros teólogos cristãos ficaram fascinados pelos números perfeitos. Os teólogos usavam o simbolismo pitagórico para interpretar o papel dos números
 nas Sagradas Escrituras. Santo Agostinho (354-430), considerado por 
muitos como o pai da teologia cristã, acreditava que Deus criou o mundo 
em 6 dias porque 6 é um número perfeito. Santo Isidoro de Sevilha 
(560-636) também adotou esta interpretação da criação.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; O fascínio pelos números perfeitos
 foi herdado pelos teólogos mulçumanos. Os povos convertidos ao 
islamismo, principalmente árabes e persas, puderam reunir a matemática 
grega com a indiana e a chinesa, desconhecidas pelo Ocidente durante 
séculos. Da matemática indiana os árabes adotaram o sistema de numeração
 conhecido hoje como indo-arábico. Com todos estes avanços, os números perfeitos puderam voltar a ser estudados além do 8.128.

&nbsp;&nbsp; O matemático árabe Thabit Ibn Qurra (836-901) estudou algumas propriedades dos números perfeitos. Depois dele quase todos os matemáticos arábes pesquisaram os números perfeitos. Ibn Al-Haythan (965-1039) redescobriu o método de Euclides para encontrar números perfeitos. Ismail Ibn Ibrahim Ibn Fallus (1194-1239) descobriu o quinto, sexto e sétimo números perfeitos: 33.550.336, 8.589.869.056 e 137.438.691.328. O quinto e sexto números perfeitos
 não alternam 6 e 8, o que mostra que o genial Nicomachus estava errado.
 Mas Ismail Ibn Ibrahim Ibn Fallus errou o oitavo, nono e décimo números perfeitos.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; A produção árabe foi interrompida pelo&nbsp; incêndio da 
biblioteca de Bagdá pelos mongóis em 1258. Infelizmente uma parte 
significativa da produção cultural árabe e persa se perdeu na destruição
 desta imensa biblioteca, a maior da época.

&nbsp;&nbsp; Com o Renascimento, os europeus voltaram-se para a antiga 
cultura grega e redespertaram seu interesse pela matemática. Mas 
infelizmente eles não dispunham de grande parte do conhecimento árabe. O
 matemático italiano Luca Pacioli (1445-1517) desenvolveu um método 
errôneo para chegar aos números perfeitos. Com o método dele chegava-se a uma lista que misturava números perfeitos com não perfeitos.
 O matemático alemão Johanes Muller von Konigsberg (1436-1476), 
conhecido como Regiomontanus, redescobriu os quinto, sexto e sétimo números perfeitos. Outros matemáticos europeus redescobriram os primeiros 7 números perfeitos
 e outros mais. Entre eles merecem destaque o italiano Pietro Cataldi 
(1552-1626) e os franceses Marin Mersenne (1588-1648), Rene Descartes 
(1596-1650) e Pierre Fermat (1601-1665).&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Enfim o grande matemático suiço Leonard Euler (1707-1783) deu contribuições decisivas para a teoria dos números perfeitos.

&nbsp;&nbsp; Atualmente os computadores são um aliado essencial na busca pelos números perfeitos. Sem os computadores seria impossível continuar a busca pela perfeição nos números. Uma lista dos números perfeitos obtidos até 2006 está exposta no endereço eletrônico:

http://amicable.homepage.dk/perfect.htm

&nbsp;&nbsp; A lista acima não leva em conta que o quinto, sexto e sétimo números perfeitos foram descobertos pelos árabes. As datas e créditos das descobertas são relativas às redescobertas européias.









Defeito nos números

&nbsp;&nbsp; Um número cuja a soma dos divisores próprios é menor do que o 
mesmo recebe o adjetivo "defeituoso" ou "menos que perfeito" . Isso 
acontece com quase todos os números. Por exemplo, os números
 primos são defeituosos porque a soma de seus divisores próprios é 1 e 1
 é menor do que qualquer primo. O número 4 não é primo, mas é defeituoso
 porque a soma de seus divisores próprios é 3 e 3 é menor do que 4. E 
assim por diante.


&nbsp;&nbsp; O fato dos números defeituosos serem 
qualificados como tais não implica que eles eram desprezados pelos 
pitagóricos. Por que os pitagóricos classificariam os números
 primos como defeituosos se eles são primordiais ? Por que os 
pitagóricos chamariam seu número mais sagrado, o 4, de defeituoso ? Na 
verdade, não existe nenhum texto ou evidência indicando que os primeiros
 pitagóricos empregavam o termo "defeituoso" para os números menos que perfeitos.
 A classificação "defeituoso" só aparece na obra de Nicomachus de Gerasa
 quase 600 anos depois. Neste texto será mantida a classificação 
defeituosa porque ela aparece na literatura.&nbsp;







Números quase perfeitos e o caminho para perfeição

&nbsp;&nbsp; Entre os números defeituosos há alguns que são classificados como quase perfeitos. Para estes números,
 a soma dos divisores próprios é o seu próprio antecessor, ou seja, o 
número que vem imediatamente antes. O número 2 é quase perfeito porque a
 soma dos seus divisores próprios é 1. O número 4 também é quase 
perfeito porque a soma de seus divisores próprios é 3. O número 8 é 
quase perfeito. Os divisores próprios de 8 são 1, 2 e 4 e 1+2+4=7, onde 7
 é antecessor de 8. Já os divisores de 16 são 1, 2, 4 e 8 e 1+2+4+8=15 e
 15 é antecessor de 16. Assim 16 é um número quase perfeito. Na verdade 
qualquer número que resulte do 2 multiplicado por si mesmo é quase 
perfeito. Em&nbsp; outras palavras todo o número quase perfeito é da forma 2,
 2x2=4, 2x2x2=8, 2x2x2x2=16, 2x2x2x2x2=32, 2x2x2x2x2x2=64, 
2x2x2x2x2x2x2=128, etc.&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; É através dos números quase perfeitos que se chega aos números perfeitos. Mas antes de encontrar os números perfeitos é necessário definir uma classe especial, os "primos de Mersenne".&nbsp; Os primos de Mersenne são números antecessores dos quase perfeitos
 e ao mesmo tempo primos (como o nome já indica). Por exemplo, o 
antecessor de 2 é 1, mas 1 não é primo, então 1 não é primo de Mersenne.
 Já o antecessor de 4 (número quase perfeito) é 3 e 3 é primo. Então 3 é
 um primo de Mersenne. O antecessor de 8 (número quase perfeito) é 7 e 
este último é primo. Então 7 é primo de Mersenne. Mas o antecessor de 16
 é 15 e 15 não é primo porque é múltiplo de 3 e de 5. Assim 15 não é 
primo de Merssenne. O antecessor de 32, 31, é um primo de Mersenne. Mas 
63 (antecessor de 64) não é primo, logo 63 não é primo de Mersenne. O 
quarto, quinto, sexto e sétimo primos de Mersenne são respectivamente: 
127, 8.121, 131.071 e 524.287. Existem infinitos primos de Mersenne.

&nbsp;&nbsp; O nome "primos de Mersenne" é uma homenagem ao matemático 
Marin Mersenne. Embora Euclides e Ibn Al-Haythan&nbsp; já sabiam que era 
necessário achar os primos de Mersenne para encontrar números perfeitos, foi Marin Mersenne quem primeiro estudou sistematicamente as propriedades dos números que levam seu nome.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; O grande matemático Leonard Euler fez grandes contribuições 
no estudo dos primos de Mersenne. Foi através do estudo dos primos de 
Mersenne que Euler contribui tanto na procura dos números perfeitos.

&nbsp;&nbsp; Hoje em dia os computadores são os grandes aliados na busca 
dos primos de Mersenne. Uma tabela com os primos de Mersenne encontrados
 até agosto de 2008 pode ser encontrada no endereço eletrônico:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Primo_de_Mersenne

&nbsp;&nbsp; Finalmente é possível encontrar os números perfeitos.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; "Multiplique um primo de Mersenne por seu sucessor (número 
que vem imediatamente depois). Divida o produto por 2. O resultado final
 é um número perfeito".

&nbsp;&nbsp; Por exemplo, o primeiro primo de Mersenne é 3. Multiplicando
 3 por seu sucessor, 4, chega-se a 3x4=12. Dividindo 12 por 2 chega-se a
 6. E 6 é o primeiro número perfeito. Já o segundo primo de Mersenne é 7. 
Multiplicando 7 por seu sucessor, 8, chega-se a 56. E 56 dividido por 2 
resulta em 28. O segundo número perfeito é 28. O terceiro primo de 
Mersenne é 31, que multiplicado por seu sucessor (32) resulta em 
31x32=992. E dividindo 992 por 2 chega-se a 496 (terceiro número 
perfeito).

&nbsp;&nbsp; Para cada primo de Mersenne que se encontra, chega-se a um 
número perfeito. Mas será que este método esgota todas as possibilidades
 ? Até 2008, com todo o aparato computacional disponível, se sabe que 
todos os números perfeitos
 que têm até 602 algarismos é encontrado através dos primos de Mersenne.
 Uma das consequências disso é que todo o número perfeito termina com 6 
ou 8. Assim nunca foi encontrado um número perfeito ímpar e nem um 
perfeito par que terminasse em 0, 2 ou 4.

&nbsp;&nbsp; A medida que se avança no conjunto dos números
 naturais, os primos de Mersenne ficam mais raros. Por exemplo, os cinco
 primeiros primos de Mersenne são relativamente&nbsp; próximos: 3,7, 31, 127 e
 8.121. Mas o quinto primo de Mersenne é 131.071 e tem dois algarismos a
 mais do que o quarto. Esta raridade de primos de Mersenne vai aumentado
 após 131.071. Como consequência os números perfeitos também vão ficando cada vez mais raros. Os quatro primeiros números perfeitos são 6, 28, 496 e 8.128. Já o quinto número perfeito é bem maior do que o quarto, 33.550.336.



Números perfeitos e números triangulares

&nbsp;&nbsp; Os pitagóricos classificavam como números triangulares a soma em sequência do 1 com os demais números.
 Assim 1+2=3 é triangular. O segundo número triangular é 1+2+3=6. Assim 6
 é ao mesmo tempo um número perfeito e triangular. O terceiro é 
1+2+3+4=10. O quarto número triangular é 15=1+2+3+4+5.

&nbsp;&nbsp; O conjunto do 1 com 2, 3 e 4 recebia o nome de Sagrada 
Tetraktys. Os pitagóricos tinham uma veneração especial por este grupo 
da unidade com os "três primeiros números" (para
 eles o 1 não era número). O 10, por ser a soma do 1 até 4, também era 
considerado sagrado. Os pitagóricos "quase" desenvolveram o sistema 
decimal indo-arábico mais de mil anos antes dos indianos. Um dos 
obstáculos para isso era a falta do algarismo 0. Mas isso é outra 
história...

&nbsp;&nbsp; Por que falar de números triangulares em um artigo sobre números perfeitos
 ? Porque como o leitor já deve ter desconfiado, todo o número perfeito é
 triangular. Mas nem todo o número triangular é perfeito. Assim 3, 10, 
15 e 21 são triangulares mas não são perfeitos. Já 28, que é perfeito, é necessariamente triangular. De fato, 28=1+2+3+4+5+6+7.

&nbsp;&nbsp; Os números triangulares fornecem outro método de achar números perfeitos.
 Somando a sequência do 1 até um primo de Mersenne chega-se a um número 
perfeito. Assim a soma de 1 até 3 (primo de Mersenne) resulta em 6. Já a
 soma de 1 até o primo de Mersenne 7 resulta em 28. A soma de 1 até 31 
resulta em 496. E assim por diante. 

Abundância nos números

&nbsp;&nbsp; Há números cuja soma dos divisores próprios é maior do que o mesmo. Eles são chamados de números abundantes ou&nbsp; "mais que perfeitos". Os números "abundantes" são mais raros do que os imperfeitos mas mais frequentes do que os perfeitos.
 O número 12 é o menor número abundante. Os divisores próprios de 12 
são: 1, 2, 3, 4 e 6 e a soma deles é 1+2+3+4+6=16 e 16 é maior do que 
12. Depois do 12 o próximo número abundante é o 18. Os divisores 
próprios de 18 são 1, 2, 3, 6 e 9. A soma 1+2+3+6 +9=21.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Os múltiplos de um número perfeito diferentes dele mesmo são
 abundantes. Assim todos os múltiplos de 6 (exceto o próprio 6) são 
abundantes: 12, 18, 24, 30, etc. Os múltiplos de 28 (que não sejam o 
próprio 28) também são abundantes: 56, 84, 112, etc.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; Mas nem todo o número abundante é múltiplo de um número 
perfeito. Por exemplo, o número 20 tem como divisores próprios 1, 2, 4, 5
 e 10 e nenhum destes números é perfeito. No 
entanto a soma dos divisores próprios de 20 mostra que ele é um número 
abundante. Calculando 1+ 2+4+5+10=22 e 22 é maior do que 20. 

&nbsp;&nbsp; Todo múltiplo de um número abundante é abundante. Assim os 
múltipos de 20 são todos abundantes: 20, 40, 60, 80, 100, etc. Os 
múltiplos de 56 são todos abundantes: 56, 112, 168, etc. O menor número 
abundante ímpar é 945. Todos os múltiplos de 945 são abundantes: 945, 
1.890, 2.835, etc.
&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; A nomenclatura abundante para designar os números "mais que perfeitos" só aparece na obra de Nicomachus de Gerasa. Mas os pitagóricos não atribuíam nenhuma superioridade ao números abundantes em relação aos perfeitos.&nbsp;

&nbsp;&nbsp; O número 1 não tem divisores próprios, portanto não se pode 
soma-los. Mesmo considerando o 1 como número, não faz sentido 
classificar o 1 como defeituoso, nem como abundante e nem como perfeito.
 O número zero, com seus infinitos divisores, também não se enquadra 
nesta classificação.



&nbsp;&nbsp; Abaixo há uma lista com os números de 2 até 30, com a soma dos divisores próprios de cada número exibida ao lado. Fica fácil ver quais os números defeituosos, perfeitos e abundantes.

2: 1. Defeituoso3: 1. Defeituoso4: 1+ 2=3. Quase perfeito, portanto defeituoso.5: 1. Primo, portanto defeituoso. 6: 1+2+3=6. Perfeito7: 1. Primo, portanto defeituoso.8: 1+2+4=7. Quase perfeito, portanto defeituoso.
9: 1+3=4. Defeituoso.10: 1+2+5=8. Defeituoso.11: 1. Primo, portanto defeituoso.12: 1+2+3+4+6=16. Abundante.13: 1. Primo, portanto defeituoso.14: 1+2+7=10. Defeituoso.15: 1+3+5=9. Defeituoso.16: 1+2+4+8=15. Quase perfeito, portanto defeituoso.
17: 1. Primo, portanto defeituoso.18: 1+2+3+6+9=21. Abundante.19: 1. Primo, portanto defeituoso.20: 1+2+4+5+10=22. Mais que perfeito 21: 1+3+7=11. Defeituoso22: 1+2+11=14. Defeituoso23: 1. Primo, portanto defeituoso.
24: 1+2+3+4+6+8+12=36.&nbsp; Abundante.25: 1+5=6. Defeituoso26: 1+2+13=16. Defeituoso27: 1+3+9=13. Defeituoso28: 1+2+4+7+14=28. Perfeito 29: 1. Primo, portanto defeituoso.30: 1+2+3+5+6+10+15=42. Abundante.





Reflexões sobre a perfeição dos números





&nbsp;&nbsp; Duas reflexões podem ser extraídas sobre os números perfeitos. Uma reflexão sobre o conceito de um número e outra sobre perfeição.


&nbsp;&nbsp; Em primeiro lugar, os números, que são quantidades, também podem ser compreendidos como qualidades. Mesmo sem adotar a mística pitagórica, os números podem ser primos ou compostos, perfeitos ou não, etc. As qualidades numéricas emergem das próprias propriedades quantitativas dos números.
 Por exemplo, a perfeição de um número, uma qualidade, está associada a 
uma propriedade quantitativa, a igualdade entre um número e a soma de 
seus divisores próprios.&nbsp;




&nbsp;&nbsp;&nbsp; Talvez falar de números de um ponto
 de vista qualitativo ajude a sociedade a superar seu preconceito com 
relação a matemática. Este preconceito exclui as pessoas de todos os 
benefícios da modernidade. O dinheiro deixou de ser papel e moeda para 
se tornar um número que aparece nas telas dos caixas eletrônicos. Os 
alimentos são avaliados pelas quantidades de nutrientes e calorias 
presentes nas embalagens. Os serviços e a administração das empresas 
exigem cada vez mais raciocínio lógico. Os números são a nova esfinge que se não compreendidos estrangulam o homem.




&nbsp;&nbsp; A segunda reflexão é sobre o conceito de perfeição. A noção 
pitagórica de perfeição era diferente da atual. Na atualidade, perfeição
 é um estado onde não há defeitos. Já para os pitagóricos, perfeição era
 uma correspondência entre as partes e o todo.




&nbsp;&nbsp; Se o conceito de perfeição pitagórico fosse igual ao atual, 
um número defeituoso não poderia ser o mais sagrado, o 4. Além disso, 
nenhum número poderia exceder a perfeição, como os abundantes fazem.



&nbsp;&nbsp; Atualmente as pessoas acabam desistindo de serem perfeitas e
 de aperfeiçoar o mundo que as rodeia. Perdem-se os ideais. Para que 
melhorar se a perfeição é um estado impossível ? Talvez o conceito 
pitagórico de perfeição anime o homem a aperfeiçoar-se.




&nbsp;&nbsp; Como aplicar o conceito de perfeição pitagórica ao ser 
humano ? Perfeição é o que está fora concordar com o que está dentro. Um
 ser humano perfeito é aquele que cabe em si mesmo. Quem é perfeito é 
sincero porque mostra o que está dentro de si mesmo.&nbsp; A pessoa perfeita 
não tentaria fingir ou ser algo que ela não é. Ao contrário, o ser 
humano perfeito é exatamente ele mesmo, nem mais e nem menos.&nbsp;




&nbsp;&nbsp; O caminho da perfeição começa com uma pergunta. Quem sou eu ?
 No momento que o homem encontra a resposta, ele é exatamente ele 
mesmo.&nbsp;



&nbsp;&nbsp; Mas o que fazer enquanto não se encontra o si mesmo ? Só 
resta continuar buscando o autoconhecimento. Quem chegar a ser quase 
perfeito já pode ficar feliz porque a quase perfeição é o caminho para a
 perfeição.