O número PI
Autor: Débora Monteoliva | Publicado: 2014-02-10T07:54:00-08:00



Um número fascinante&nbsp;

PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' tambem um dos poucos objetos matematicos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.

Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para cálcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiôes em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.&nbsp;

Como uma consequência dessa situação, e como uma outra maneira de demonstrar o interesse e fascinação despertados pelo PI, os editores estão sempre a publicar livros dedicados inteiramente ao tema e dirigidos tanto ao grande público como a professores e pesquisadores. Entre os mais recentes, podemos destacar:&nbsp;




Lennart Berggren (ed) - Pi: A Source BookSpringer Verlag, 2nd ed., NYork, 2000( nada menos do que 736 paginas! )
J. P. Delahaye - Le fascinant nombre PiEditions Belin / Pour La Science, Paris, 1997.
J. Arndt - PI, unleashed.Springer Verlag, NYork, 2000.





PI está em todos os lugares&nbsp;

O rolar das ondas numa praia, o trajeto aparente diário das estrelas no céu terrestre, o espalhamento de uma colônia de cogumelos, o movimento das engrenagens e rolamentos, a propagação dos campos eletromagnéticos e um sem número de fenômenos e objetos, do mundo natural e da Matemática, estão associados às idéias de simetria circular e esférica. Ora, o estudo e uso de círculos e esferas, de um modo quase que inexorável, acaba produzindo o PI. Daí a ubiquidade desse número. Ele é uma das constantes universais da Matemática.
É importante chamarmos a atenção para o fato que também são frequentes as ocorrências do PI em estudos onde aparentemente, principalmente para uma pessoa de pouca formação matemática, não estariam envolvidas simetrias circulares: na normalização da distribuição normal de probabilidades, na distribuição assintótica dos números primos, na construção de números primos próximos a inteiros dados ( na chamada constante de Ramanujan ), e mil e uma outras situações.&nbsp;

Os vários tipos de PI&nbsp;

Em verdade, na Geometria Euclidiana, temos quatro constantes que poderiam ser chamadas de PI:



o PI de circunferências: a constante de proporcionalidade na relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro
o PI de áreas de círculos: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de um círculo e o quadrado de seu diâmetro
o PI de áreas de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de uma esfera e o quadrado de seu diâmetro
o PI de volumes de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre o volume de uma esfera e o cubo de seu diâmetro


Usando as fórmulas clássicas da Geometria, fica muito fácil expressarmos qualquer uma dessas constantes de proporcionalidade em termos das demais. Por questão de tradição, prefere-se trabalhar exclusivamente com o PI da circunferência de círculos, o qual é denotado internacionalmente pela letra pi minúsculo, a letra inicial da palavra grega peripheria que significa perímetro ou circunferência (&nbsp;essa notação surgiu no início do sec. 1700 e foi adotada e popularizada pelo importante livro&nbsp;Análise Infinitesimal, escrito por Euler c. 1750&nbsp;).&nbsp;




A descoberta do PI&nbsp;

Muitas pessoas acham que precisamos ter o valor do PI para calcular circunferência de círculos. Um exemplo clássico mostrando que isso NAO e' verdade e' o cálculo da circunferência da Terra por Erathostenes c. 250 AC. Ele mediu um arco de meridiano terrestre de 5000 estádios e, usando um instrumento de forma semi-esférica (&nbsp; chamado skaphe&nbsp;), verificou que esse arco de meridiano era proporcional a um arco de meridiano da skaphe, o qual media 1/50 do meridiano da esfera desse instrumento. Consequentemente, concluiu que o meridiano terrestre e' 50*5000 = 250000 estádios. Ou seja, em lugar nenhum precisou saber o valor do PI!&nbsp;

Esse exemplo, e outros que poderiamos mencionar, mostram que é bastante surpreendente que a quase totalidade das pessoas ache que PI foi descoberto ao se relacionar circunferências com diâmetros dos respectivos círculos. Embora a definição usual do PI baseie-se na constância da razão&nbsp;circunferência : diâmetro, muito provavelmente não foi essa a origem do PI. Com efeito, é difícil imaginarmos situações práticas reais onde, numa civilização incipiente, alguém tenha precisado calcular a circunferência de um círculo de diâmetro conhecido, ou vice-versa. Muito mais naturais sao problemas requerendo achar a área de um campo circular em termos do diâmetro ou mesmo em termos da circunferência. Em verdade, devia-se até questionar se a descoberta do PI realmente ocorreu no contexto de círculos, e não no de esferas.&nbsp;

Essa inquietação nao é só nossa. O famoso historiador matemático Abraham Seidenberg gastou muitos anos de sua vida vasculhando museus e lendo trabalhos de antropologia, em busca dos mais antigos indícios de envolvimento humano com círculos, esferas e o PI. O resultado desses estudos foi resumido nos seus artigos&nbsp;The ritual origin of the circle and square, Archiv. Hist. Exact Sc. 25, (1981), e principalmente em&nbsp;On the volume of a sphere, Archiv. Hist. Exact Sc. 39, (1988). Sua conclusão foi que o cálculo do volume da esfera em termos de seu diâmetro remontaria a antes de 2 000AC, sendo anterior a matemática das grandes antigas civilizações mesopotâmica, indiana, chinesa e egípcia. O historiador matemático B. van der Waerden identifica essa origem com o que chamo de Tradição Origem da Matemática e a localiza no Vale do Danúbio c. 4&nbsp;000 AC. Segundo Seidenberg, nessa tradição também se teria reconhecido a igualdade da constante de proporcionalidade relacionando circunferência com diâmetro e área de círculo com quadrado do raio; ou seja, já nessa tradição, possivelmente lá por 3000 a 4000AC, se teria reconhecido que o "PI da circunferência" é igual ao "PI da área do círculo". Também é interessante observar que Seidenberg concluiu que a descoberta dessa igualdade usou métodos infinitesimais, ao estilo de Cavalieri.&nbsp;

E' preciso que fique bem claro que o que o trabalho de Seidenberg achou na noite dos tempos, em bem remota antiguidade, foram apenas&nbsp;indícios indiretos&nbsp;de envolvimento com PI. Os mais antigos documentos&nbsp;concretos&nbsp;que temos e que tratamexplícitamente&nbsp;de PI são tabletas mesopotâmicas de c. 2&nbsp;000 AC, como a mostrada ao lado. Examinando a figura desenhada, fica fácil ver que a mesma corresponde a adotar a aproximação grosseira PI = 3, que é a mais comum das aproximações para PI que encontramos nos documentos mesopotâmicos.&nbsp;

A descoberta teórica do PI&nbsp;

Quem pela primeira vez provou rigorosamente a existência do PI?
Bem, essa pergunta talvez nunca possa ser respondida. Que eu saiba, a mais antiga&nbsp;referência&nbsp;que temos de uma demonstração da existência do PI fala de Hippokrates de Chios, c. 430 AC. Trata-se de uma nota de Simplicius, filósofo grego que viveu quase mil anos depois de Hippokrates. Simplicius, no seu Comentário sobre o livro Physis, de Aristóteles, menciona que Eudemos na sua História da Geometria (&nbsp;escrita c. 330 AC e, hoje, há muitos séculos totalmente perdida&nbsp;) diz que Hippokrates demonstrou que a razão entre as áreas de círculos é igual à razão entre os quadrados dos respectivos diâmetros.&nbsp;

Por outro lado, o mais antigo&nbsp;documento&nbsp;ainda existente e que traz&nbsp;demonstração&nbsp;da existência do PI é o livro Elementos de Euclides, escrito em c. 300 AC. Na proposição 2 do Livro XII dos Elementos, Euclides enuncia e prova que&nbsp;círculos estão um para o outro assim como os quadrados de seus diâmetros, que é o resultado atribuído acima a Hippokrates. Ademais, na proposição 18 desse Livro XII, Euclides enuncia e prova que&nbsp;esferas estão uma para a outra assim como a razão tríplice de seus diâmetros.&nbsp;

Euclides encerrou o Livro XII de seus Elementos sem tratar da questão da área da esfera. (&nbsp;Coube a Archimedes c. 250 AC mostrar que a razão entre as áreas de esferas é igual à razão entre os quadrados de seus diâmetros&nbsp;). Mas o mais curioso é que em nenhum dos treze livros dos Elementos Euclides fala no PI da circunferência.&nbsp;

Coube a Archimedes a tarefa de ir mais longe do que Euclides demonstrando a existência dos PI's que esse não abordou e estabelecendo resultados que permitem facilmente relacionar os quatro tipos de PI: o PI das circunferências, o PI de áreas de círculos, o PI de áreas de esferas e o PI de volumes de esferas.




Por que é tão difícil calcular o PI?&nbsp;

A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m&nbsp;/&nbsp;n, seu cálculo poderia


ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n
ou explorar a periodicidade de sua representação decimal( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 /&nbsp;7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente )



O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1&nbsp;761.Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.&nbsp;














O cálculo de aproximações práticas do PI?&nbsp;Dada a ubiqüidade do PI, já comentada acima, é mais do que natural e importante que desejemos calcular seu valor. Contudo, dada sua irracionalidade imprevisível, jamais saberemos seu valor exato e isso nos leva a indagar: por que não nos contentarmos com aproximações PRATICAS do PI?Nas lides diárias, dificilmente precisaremos conhecer uma aproximação melhor do que 3.14, enquanto que a vasta maioria dos calculos científicos não precisa saber mais do que 3.1416 e somente cálculos matemáticos muito exigentes, como o da obtenção de valores muito exatos das funções trigonométricas, precisaria saber mais de 10 dígitos do PI.O mais antigo matemático que se preocupou com a obtenção de aproximações PRATICAS do PI foi Archimedes c. 200AC, em seu trabalho&nbsp;Sobre a medida do círculo. Usando o método dos polígonos, que descreveremos adiante, na proposição 3 desse trabalho ele mostra que:

a circunferência de qualquer círculo é maior do que três vezes seu diâmetro, e o excesso e' menor do que a sétima parte do diâmetro mas maior do que dez vezes sua septuagésima primeira parte

ou seja: 3 10/71 &lt; PI &lt; 3 1/7, o equivale a dizer, em frações decimais: 3.1408 &lt; Pi &lt; 3.1428.





Fonte:&nbsp;http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/aplcom1a.html

&nbsp;versão: 08-jan-2 001
local desta página: http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/aplicomp.html© J. F. Porto da Silveirapermitida a reprodução, desde que com fins acadêmicos e não comerciais.&nbsp;




Faça uma experiência em casa você mesmo:

Entre os números irracionais o mais famoso&nbsp; é o "PI" que tem o seu valor expresso por 3,1415926535..............&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Sua fama não é sem razão, pois quando menos esperamos deparamos com nosso amigo famoso como no caso das Pirâmide de Quéops, onde a circunferência da pirâmide dividida pelo dobro da altura (considere a altura como diâmetro) tem como resultado o famoso "PI".&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Mas não acredite que isso seja só coincidência, obtemos o valor do "PI" dividindo o comprimento da circunferência pelo seu diâmetro.&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Faça você o experimento. Arrume um barbante e meça por exemplo um disco de vinil. Com uma régua meça o diâmetro do mesmo, divida o comprimento fornecido pelo barbante pelo diâmetro fornecido pela régua e hei-lo que surge o nosso amigo o "PI".&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Mas vá mais adiante e experimente fazer a mesma experiência com a borda de um copo, com um prato, com uma tampinha, ou com tudo que tiver a forma de uma circunferência&nbsp; e aí estará o famoso "PI".&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp; A Matemática durante muitos séculos e até hoje é encarada como uma ciência fria, distante e de acesso a poucos, como se ela escolhesse a quem se mostrar.&nbsp;

Walguir Ventura&nbsp;Membro Imagick 1402
Fonte:&nbsp;http://www.imagick.org.br/pagmag/themas2/piwalguir.html