Autor: Graduandos 2012 em Matemática | Publicado: 2010-12-22T14:50:00-08:00


FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – FAFOPAI

IVALDO GOMES DANIEL

4° PERÍODO DE MATEMÁTICA

PROFESSORA ELIANA NOGUEIRA



OS CONCEITOS DE SECÇÕES CONICAS



RESUMO

Neste artigo estudaremos as cônicas, sua historia, definições, propriedades e a sua utilização, e desta forma motivar os leitores a motivação sobre o estudo das secções cônicas, na história vários matemáticos a estudaram, mais o que se destacou foi o matemático Apolônio. Apolônio compreendeu uma forma de mostrar os três tipos de cônicas, ele conseguiu gerar todas as cônicas de um único cone de duas folhas, simplesmente variando a inclinação do plano de intersecção e as denominou-as de elipse, parábola, e hipérbole. Apolônio escreveu vários livros onde&nbsp; os mesmos foram traduzidos na língua atual estudo das cônicas foi muito importante no desenvolvimento de varias outras áreas como o da astronomia, tecnologia arquitetura e engenharia e de certa forma se tornou um estudo onde sua importância cresce a cada dia.



INTRODUÇÃO

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O primeiro estudo sistematizado foi feito por Apolônio de Perga, que substituiu qualquer outro estudo anterior, O tratado sobre as Cônicas certamente foi à obra-prima de Apolônio e teve grande influência no desenvolvimento da matemática, Livros iniciais foram escritos como uma introdução elementar incluindo as proposições básicas das cônicas, Apolônio quem pela primeira vez mostrou que a partir de um único cone é possível obter as três espécies de secções cônicas que as denominou de elipse, parábola e hipérbole. 

Desde que o matemático grego Apolônio escreveu o primeiro trabalho sobre as Secções Cônicas, diversos matemáticos de renome contribuíram de maneira significativa no entendimento dessas curvas e suas aplicações nos mais diversos assuntos.

As Secções Cônicas representam uma parte muito especial dentro do estudo da Matemática. Alem de ser muito importante no nosso dia-a-dia, Suas definições, equações e gráficos são utilizados em vários conteúdos matemáticos, além de serem muitas as aplicações das cônicas na história das sociedades.

Este presente trabalho tem por objetivo mostrar a história das secções cônicas, serão abordadas as definições, propriedades de reflexão e suas utilizações na vida cotidiana.

Os antecessores de Apolônio no estudo das cônicas foram Manaecmo, Aristeu e o próprio Euclides. Naquela época, as cônicas eram obtidas seccionando um cone circular reto de uma folha com um plano perpendicular a uma linha que segue ate o vértice do cone, obtendo três tipos distintos de curvas, conforme a seção do cone fosse um ângulo agudo, um ângulo reto ou um ângulo obtuso. Apolônio juntamente com Euclides foram considerados os maiores matemáticos gregos da antigüidade. Apolônio estudou com os discípulos de Euclides em Alexandria e foi um astrônomo notável, talvez ele, e não Euclides mereceu o nome de "o grande Geômetra”. Apolônio foi o matemático que mais estudou e desenvolveu as seções cônicas na antiguidade. Suas contribuições foram: ter conseguido gerar todas as cônicas de um único cone de duas folhas, simplesmente variando a inclinação do plano de interseção; ter introduzido os nomes elipse, parábola e hipérbole e ter estudado as retas tangentes e normais a uma cônica. A maior parte das obras de Apolônio desapareceu. Os que sabem sobre estas obras perdidas devem a Pappus de Alexandria. Sua obra prima é Seções Cônicas composta por oito volumes da obra original sobreviveram sete volumes, Os três primeiros volumes são baseados em trabalhos de Euclides e o oitavo volume foi, infelizmente, perdido. Em 1.710, Edmund Halley traduziu os sete volumes sobreviventes de Secções Cônicas para o latim e todas as demais traduções para as línguas modernas foram feitas a partir da tradução de Halley.com base nos estudos de Apolônio vários matemáticos estudaram e desenvolveram o estudo das cônicas como Ptolomeu introduziu o sistema de latitude e longitude tal como é usado hoje em cartografia e usou métodos de projeção e transformações estereográficas. Este estudo faz uso de um Teorema de Apolônio que diz que todo cone oblíquo tem duas famílias de seções circulares. As Cônicas de Apolônio também tiveram forte influência nos estudos de Kepler. O interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica e à construção de espelhos parabólicos. René Descartes generalizou a utilização das cônicas e identificou-as como equações do 2º grau. Mas nem todas as equações do 2º grau representam cônicas.



Cônica é toda a linha que se obtém como intersecção de um plano com uma superfície gerada pela rotação completa de uma reta que e a geratriz, em torno de outra reta que e o eixo, formando sempre o mesmo ângulo até completar uma volta completa ao ponto comum à geratriz e ao vértice. Quando o plano que intersecta a superfície cônica passa pelo vértice, a secção obtida é uma cônica degenerada. Caso contrário, obtemos cônicas não degeneradas, as quais vamos estudar de uma forma mais profunda como sendo lugares geométricos em um plano fixado, onde são definidos de (elipse, parábola e hipérbole)



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;PROPRIEDADES DE REFLEXÃO

As propriedades refletoras são geradas através de cônicas como; elipsóides, parabolóides e hiperbolóides; estas se usam, nos espelhos e antenas parabólicas ou para criar condições acústicas especiais em auditórios. Para entendermos melhor suponha que uma onda ou um raio luminoso que parte em direção a um foco de uma cônica. Usando a lei de reflexão percebemos que a onda ou raio luminoso tem uma trajetória bem determinada. Essas propriedades geométricas que podemos demonstrar analiticamente sem grandes dificuldades como as seguintes: 

A elipse tem uma importante propriedade que é usada na reflexão da luz e de ondas sonoras. Qualquer luz ou sinal que dispare de um foco será refletido em direção ao outro foco. Ela pode ser encontrada em salas que têm a forma de um elipsóide, que é um sólido que se obtém rodando uma elipse em torno do seu eixo, isto é, da reta definida pelos dois focos, ou seja, se pegarmos duas pessoas colocar nos focos, e uma delas falar, mesmo que seja baixo, a outra ouvirá perfeitamente, ainda que a sala seja grande e haja muitos outros ruídos. 

Todo raio luminoso ou onda que incide em uma parábola paralelamente a seu eixo é refletido passando por seu foco, onde todo raio ou onda emitido do foco é refletido paralelamente a seu eixo. observando as figuras abaixo entenderemos melhor sobre a parábola;

“Todo raio luminoso ou onda que incide em uma hipérbole, alinhado com um foco, é refletido passando pelo outro foco ou inversamente, todo raio luminoso ou onda emitido do foco de uma hipérbole é refletido alinhado com o outro foco”

(Arquimedes)



. Esta propriedade faz com que a hipérbole tenha aplicações em alguns instrumentos ópticos como, por exemplo, o telescópio de reflexão. . É constituído basicamente por dois espelhos, um maior, chamado primário, que é parabólico, e outro menor, que é hiperbólico. Os dois espelhos dispõem-se de modo que os eixos da parábola e da hipérbole coincidam e que o foco da primeira coincida com um dos da segunda. O telescópio Hubble, muito conhecido pelas imagens claras que envia do espaço, é um instrumento deste tipo. Esta propriedade faz com que a hipérbole tenha várias aplicações práticas. 



AS CONICAS NA VIDA COTIDIANA

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; De fato, as propriedades refletoras das cônicas, e não somente as da parábola, têm contribuindo para a construção de telescópios, antenas, radares, faróis, ópticas dos carros, lanternas, etc.

As cônicas são usadas de diversas formas entre elas estão;

a astronomia, onde as curvas dos planetas são formas de uma elipse cônica, ou os telescópios com as suas lentes projetoras, e com a lei de gravidade podemos prevenir as trajetórias de projéteis, de pontos ou de partículas na nossa atmosfera ou ate mesmo no espaço.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Em Óptica e a Acústica onde espelhos parabólicos, as antenas parabólicas que captam ondas de rádio, de radar ou de outras ondas eletromagnéticas, acústicas especiais em auditórios, teatros, catedrais, etc. são muito utilizadas, pois suas características servem de solução para novos caminhos da arquitetura e da engenharia.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Devido às suas propriedades físicas e estéticas, os arcos de cônicas surgem freqüentemente em Engenharia e Arquitetura, em pontes, pórticos, cúpulas, torres e arcos. Por exemplo, o cabo de suspensão de uma ponte, quando o peso total é distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, toma a forma de uma parábola e é aquela forma é quem da à sustentação a ponte de maneira mais pratica.

As cônicas também têm suas aplicações na tecnologia atual. Pois Se ligarmos a televisão, podemos ver imagens "ao vivo" provenientes dos mais diversos lugares do mundo. Para nós isto é natural, há 25 anos atrais era impossível.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; De fato, só depois dos americanos terem lançado e colocado em órbita um satélite de comunicações, as imagens de televisão tornaram se possíveis. Depois deste primeiro satélite muitos outros se seguiram, permitindo que os técnicos de comunicação emitissem ou recebessem sinais de televisão ou rádio. O grande problema das comunicações consiste em localizar e consertar o rasto de um satélite de comunicação no espaço, utilizando-se para isso antenas muito potentes e exatas, algumas delas com forma de parabolóide.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Na ideia central do nosso trabalho foi de mostrar ao leitor a compreender e a subsidiar o uso das mesmas, e a importância das cônicas no dia-a-dia.



CONCLUSÃO

Neste artigo estudamos as cônicas, sua historia, definições, propriedades e a sua utilização, a compreendemos os três tipos de cônicas, as suas definições, propriedades e a sua utilização, entendemos pelas figuras como e sua forma geométrica e como conseguiu gerar todas as cônicas de um único cone de duas folhas, a suas propriedades, fizemos o entendimento sobre, elipse, parábola, e hipérbole. o estudo das cônicas foi importante no desenvolvimento de varias outras áreas como o da astronomia, tecnologia arquitetura e engenharia, onde a relevância das variadas formas como a da parabolóide que se deu a origem as antenas, os arcos que com suas curvas deixam as pontes com formas mais bonitas e servem de sustentação e de certa forma tornou estudo das cônicas mais interessante onde sua importância e notada a cada olhar, a cada pesquisa e que este material também sirva de fonte de pesquisa.



REFERENCIAS BLIBLIOGRAFAS

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/historia.htm

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/pt/Euclidean_geometry#Conic_sections_and_gravitational_theory

http://www.dma.uem.br/matemativa/conteudo/exposicao/curvas/conicas/6_bilhar_eliptico/c12_30.JPG

COMENTÁRIO: A versão do texto deve dispor de clareza, idéias criativas, o que confere qualidade e coerência à revisão de seu trabalho acadêmico.