Lei de Stefan - Boltzmann
Autor: Francisco Jaborandi | Publicado: 2012-02-26T11:27:00-08:00



Lei de
Stefan – Boltzmann



Ludwig Boltzmann (1844-1906) e Joseph Stefan (1805-1872). 



O dois resultados concretos mais
importantes da termodinâmica do corpo negro, na era pré-Planck, são
as leis de Stefan-Boltzmann e Wien. As deduções dessas leis
demarcam o limite do que foi possível alcançar usando-se apenas as
ferramentas da termodinâmica e do eletromagnetismo clássico, sob a
ignorância completa dos fenômenos quânticos. São resultados
fabulosos que serviram como um ponto de partida bem estabelecido e
seguro para a análise de resultados experimentais, bem como os
trabalhos posteriores audaciosos e revolucionários de Planck e
Einstein. 




Em 1879 Josef Stefan observou
experimentalmente que, a densidade de energia emitida por unidade de
tempo e por unidade de área, por um corpo negro é proporcional à
quarta potência da temperatura absoluta do corpo. Esta mesma relação
foi teoricamente derivada pela teoria de Maxwell e pela termodinâmica
clássica, em 1884, por Ludwig Boltzmann. Por isso é denominada lei
de Stefan-Boltzmann. 




Todavia, a termodinâmica
clássica falhou, quando Lord Rayleigh e Sir James Jeans tentaram
usar a teoria do eletromagnetismo para descrever a distribuição da
densidade de energia existente em um corpo negro. Embora a teoria
deles trabalhasse relativamente bem em baixas frequências, ela
falhava ao ser aplicada a altas frequências, isto é, a intensidade
divergia para o infinito! Este resultado inaceitável originou a
catástrofe do ultravioleta, porque a luz ultravioleta era a
radiação de frequência mais elevada daquele tempo.



A lei de Stefan-Boltzmann também
é válida para os corpos conhecidos como corpos “cinza” (que
apresenta o comportamento aproximado ao de um corpo negro), cuja
superfície exibe um coeficiente de absorção menor do que 1,0 e
independente do comprimento de onda. Além do mais tem aplicações
terrestres etambém grande importância no campo astro físico, pois
é capaz de medir várias propriedades físicas de corpos celestes
afastados, uma vez que medi-las diretamente, seria impossível.
Contudo, basta observar o espectro de radiação do corpo negro que é
possível calcular propriedades físicas como a temperatura e emissão
de energia desses distantes corpos.



A radiação térmica é a
energia emitida por toda matéria que se encontra a uma temperatura
finita. Fisicamente, a radiação é a emissão de ondas
eletromagnéticas geradas dos átomos e moléculas excitadas da
agitação térmica, que passam para o estado não excitado, emitindo
fótons. O comprimento de onda desses fótons é inversamente
proporcional a sua temperatura (quanto menor o comprimento de onda,
maior a temperatura).





Cores quentes e frias.







O
corpo humano também transmite energia. As áreas mais vermelhas
indicam as regiões de maior emissão.







A radiação que é emitida por
um objeto ocorre através de sua superfície. A taxa na qual a
energia é transferida e denominada poder emissivo de superfície
(E).

A lei de Stefan- Boltzmann prevê
um limite superior para esse poder emissivo, dado pela expressão:




Eb
= σ
T4         (1)




onde:




E
= taxa de energia liberada por unidade de área [Wm-2];




σ
= constante de Stefan-Boltzmann: 5,67 . 10-8
[Wm-2K-4];




T
= temperatura da superfície [K].



Quando
uma superfície emite neste limite superior, é conhecidda como
emissor ideal
ou corpo negro.






A
equação (1) foi o que Stefan observou originalmente em 1879; para
um corpo negro ideal, a radiação por unidade de área é
proporcional à quarta potência da temperatura absoluta. 





A
taxa de emissão de energia de radiação de uma superfície real é
menor do que a emitida por um corpo negro à mesma temperatura. Para
acomodar esse fato na lei de Stefan-Boltzmann, introduz-se um termo
conhecido como emissividade
ε:



Eb
= ε
σT4
 (2)




A
emissividade é uma propriedade que fornece uma medida da capacidade
de emissão de energia de uma superfície em relação ao corpo
negro. Por isso 0 ≤
ε
≤
1.



A
emissividade é uma quantidade adimensional que como vimos acima, 
assume valores entre zero e um. Para uma superfície perfeitamente
refletora ε
= 0 (espelho
perfeito) e para uma superfície perfeitamente absorvedora ε
= 1 (corpo
negro ideal).  A emissão de radiação térmica de corpos que estão
a temperaturas altas pode ser satisfatoriamente descrita pela equação
(2).




A
emissividade depende fortemente da superfície do material e de seu
acabamento.




A
equação (2) também pode ser escrita da seguinte maneira:



P
=  ε A  σT4
watts




P
= potência irradiada por um corpo quente;




A
= área da superfície do corpo irradiador.



Vejamos um exemplo prático, no
qual a equação de Stefan – Boltzmann pode ser aplicada:



Exemplo:
Se a área de um filamento de
tungstênio de uma lâmpada de 100
W de potência é 0,26
cm2
e sua emissividade é 0,36,
qual será a temperatura do filamento:




Solução:




Primeiramente, vamos resolver a
equação para T, uma vez que o que estamos procurando:




P/A =   ε
σ T4




T
= [P / (A
ε σ)]1/4
= [100 / (0,26 . 10-4
. 0,36 . 5,67 . 10-8)]1/4




T
= 3705 K = 34320
C




Assim,
a temperatura do filamento será de 34320
C.