2.1.1  Média Aritmética (X)
Autor: edolin schultz | Publicado: 2011-03-10T12:54:00-08:00

2.1.1  Média Aritmética (X)



Definição:

Média Aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:

X = [å(i→n) xi] / n

Sendo:                                           

X a média aritmética;

xi os valores da variável;

n o número de valores.



2.1.1.1    Dados Não-Agrupados

Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados, determinamos a média aritmética simples.

Exemplos:

→  Sabendo-se que a produção leiteira diária de vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 1 litros, temos, para produção média da semana:



X = (10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 +1) : 7 = 14

Logo: X = 14 litros



2.1.1.2         Desvio em Relação à Média



Desvio em relação ã média é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética.



Designando o desvio por d1, temos:

d1 = x1 – X

d1 = 10 – 14 = -4

d2 = 0   ....   d7 = -2



2.1.1.3    Propriedades da Média

1) A soma algébrica dos desvios tomados em relação a média é nula:  å(i = 1→ k) d1 = 0

No exemplo anterior, temos:  å(i = 1→ 7) d1 = (-4) + 0 + (-1) + ... + 7 = 0

2) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante:  y1 = xi ± c   =&gt;   Y = X ± c

Somando 2 a cada um dos valores da variável do exemplo dado, temos:  y1 = 12, y2 = 16, y3 = 15, ..., y7 = 14

Daí:  å(i = 1→ 7) y1 = 12 + 16 + 15 + ... + 14 = 112

Como n = 7, vem:  Y = 112 ÷ 7 = 16   =&gt;   Y = 14 + 2   =&gt;   Y = x + 2

3) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante:  y1 = x1 . c   =&gt;   Y = X . c         ou       y1 = x1 ÷ c   =&gt;   Y = X ÷ c

Multiplicando por 3 cada um dos valores da variável do exemplo dado, obtemos: y1 = 30, y2 = 42, y3 = 39, ..., y7 = 36

Daí:  å(i = 1→ 7) y1 = 30 + 42 + 39 + ... + 36 = 294

Como n = 7, vem:  Y= 294 ÷ 7 = 42   =&gt;   Y= 14 x 3   =&gt;   Y= x . 3



2.1.1.4           Dados Agrupados

2.1.1.4.1  Sem Intervalos de Classe

Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino:

TABELA 2.1

No DE MENINOS


fi

0

1

2

3

4


2

6

10

12

4




∑ = 34



Neste caso, como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fator de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:

X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi)

O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma coluna correspondente ao produto xifi:



TABELA 2.2

xi


fi


xifi

0

1

2

3

4


2

6

10

12

4


0

6

20

36

16




∑ = 34


∑ = 78



Temos, então:  ∑ xifi = 78  e  ∑ fi

Logo: X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi) = 78 ÷ 34 = 2,3



Nota:

·    Sendo x uma variável discreta, como interpretar o resultado obtido, 2 meninos e 3 décimos de menino?

O valor médio 2,3 meninos sugere, neste caso, que o maior número de famílias tem 2 meninos e 2 meninas, sendo, porém, a tendência geral de uma leve superioridade numérica em relação ao número de meninos.

Resolva:

Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:



xi


1     2     3     4     5     6

fi


2     4     6     8     3     1





Temos:



xi


fi


xifi

1

2

3

4

5

6


2

4

6

8

3

1


2

...

...

...

...

...




∑ = ...


∑ = ...

















Como:   ∑ xifi = ....,  ∑ xifi = ....      e     X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi)

Temos:  X = .... ÷ .... = 3,4



2.1.1.4.2  Com Intervalos de Classe

Neste caso, convencionamos que todos os valores excluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:

X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi)

Onde xi é o ponto médio da classe.

Consideremos a distribuição:



TABELA 2.3

i


ESTATURAS

(cm)


fi

1

2

3

4

5

6


150  ι— 154

154 ι— 158

158  ι— 162

162  ι— 166

166  ι— 170

170  ι— 174


4

9

11

8

5

3







∑ = 40





















Pela mesma razão do caso anterior, vamos, inicialmente, abrir uma coluna para os pontos médios e outra para os pontos xifi:



TABELA 2.4

i


ESTATURAS

(cm)


fi


xi


xifi

1

2

3

4

5

6


150 ι— 154

154 ι— 158

158 ι— 162

162 ι— 166

166 ι— 170

170 ι— 174


4

9

11

8

5

3


152

156

160

164

168

172


608

1.404

1.760

1.312

840

516







∑ = 40





∑ = 6.440



Como, neste caso:   ∑ xifi = 6.440,  ∑ fi = 40    e    X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi)

Temos:  X = 6.440 ÷ 40 = 161 cm

Resolva:

Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:



xi


450 − 550 − 650 − 750 − 850 − 950 − 1.050 − 1.150

fi


8       10      11      16       13      5           1



Temos:



i


xi


fi


xifi

1

2

3

4

5

6

7


500

....

....

....

....

....

1.100


8

10

11

16

13

5

1


4.000

....

....

....

....

....

....




∑ = ....





∑ = ....

















Logo:  X = .... ÷ .... = R$ 755,00



2.1.1.4.3  Processo Breve

Com o intuito de eliminarmos o grande número de cálculos que as vezes se apresentam na determinação da média, empregamos o que denominamos processo breve (em oposição ao processo utilizado anteriormente – processo longo), baseado em uma mudança da variável x por outra y, tal que:

y1 = (x1 – x0) ÷ h

onde x0 é uma constante arbitrária escolhida convenientemente dentre os pontos médios da distribuição – de preferência o de maior freqüência.

Fazendo essa mudança de variável, de acordo com a segunda e a terceira propriedades da média, ela resulta diminuída de x0 e dividida por h; mas isso pode ser compensado somando x0 a média da nova variável e, ao mesmo tempo, multiplicando-a por h. Resulta, então, a fórmula modificada.

X = x0 + (∑ yifi x h) ÷ (∑ fi)

Assim, a distribuição da Tabela 2.3, tomando para o valor x0 o ponto médio de maior freqüência (se bem que podemos tomar qualquer dos valores do ponto médio), isto é:

x0 = 160

como h = 4, temos para valores da nova variável:

y1 =(152 – 160) ÷ 4 = -2        y2 =(156 – 160) ÷ 4 = -1 .... y6 =(172 – 160) ÷ 4 = 3

Vamos, então, calcular a média da distribuição da Tabela 2.3 pelo processo breve.

Começamos por completar a tabela dada com as colunas correspondentes aos pontos médios (xi), aos valores da nova variável (yi) e aos produtos e aos produtos yifi:



TABELA 2.5

i


ESTATURAS

(cm)


fi


xi


fi


xifi




1

2

3

4

5

6


150 ι— 154

154 ι— 158

158 ι— 162

162 ι— 166

166 ι— 170

170 ι— 174


4

9

11

8

5

3


152

156

160

164

168

172


-2

-1

0

1

2

3


-8

-9

0

8

10

9


0

-17

0

0

0

27




x0 = 160


∑ = 40








∑ = 10






Temos, então, x0 = 160, ∑ yifi = 10,  ∑ fi = 40  e  h = 4.

Substituindo esses valores na fórmula:  X = x0 + (∑ yifi x h) ÷ (∑ fi)

Vem: X = 160 + 10 x 4 ÷ 40 = 160 + 1 = 161 cm



Notas:

·    O processo breve, com a nova variável definida por nós, só pode ser usado em distribuições que apresentam intervalos de classe de mesma amplitude.

·    O processo breve pode, também, ser aplicado para as distribuições sem intervalos de classe, bastando fazer h = 1.



Fases para o cálculo da média pelo processo breve:

1)      Abrimos uma coluna para os valores xi

2)      Escolhemos um dos pontos médios (de preferência o de maior freqüência) para o valor de x0.

3)      Abrimos uma coluna para os valores de y1 e escrevemos zero na linha correspondente a classe onde se encontra o valor de x0; a seqüência -1, -2, -3, ..., logo acima do zero, e a seqüência 1, 2, 3, ..., logo abaixo.

4)      Abrimos uma coluna para os valores do produto yifi, conservando os sinais + ou -, e, em seguida, somamos algebricamente esses produtos.

5)      Aplicamos a fórmula.





Exercício Resolvido:

1) Calcule a média aritmética, pelo processo breve, da distribuição:



CUSTOS (R$)


450 − 550 − 650 − 750 − 850 − 950 − 1.050 − 1.150

fi


8       10      11      16       13      5           1



Temos:



i


xi


fi


yi


xifi




1

2

3

4

5

6

7


500

600

700

800

900

1.000

1.100


8

10

1

16

13

5

1


-3

-2

-1

0

1

2

3


-24

-20

-11

0

13

10

3


0

0

-55

0

0

0

26

x0 = 800





∑ = 64





∑ = -29






Como: h = 100

Vem: X = x0 + (∑ yifi x h) ÷ (∑ fi) = 800 + (-29) 100 ÷ 64 = 754,69 = R$ 755,00



Resolva:

Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:



xi


30 − 50 − 70 − 90 − 110 − 130

fi


2      8     12     10      5



Temos:



i


xi


fi


yi


xifi

1

2

3

4

5


40

...

...

...

...


...

...

12

...

...


...

...

...

...

2


...

... ...

...

...

... ...

x0 = ...


∑ = ...








∑ = ...

















Como: h = ...

Vem: X = x0 + (∑ yifi x h) ÷ (∑ fi) = ... + ... x ... ÷ ... = 84,3



Emprego da Média

A média é utilizada quando:

a)   Desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade;

b)   Houver a necessidade de um tratamento algébrico ulterior.