Um pouco da História
Autor: Professor Novaes | Publicado: 2012-05-05T14:29:00-07:00


Os poliedros são estudados desde a Grécia Antiga na escola de Pitágoras, 600 aC, embora haja evidencia de que os Povos Neolíticos que viveram na Escócia tinham esculpidos alguns destes sólidos 1000 anos antes. Alguns destes modelos, ver figura 1, encontram-se no Museu Ashmolean em Oxford, Reino Unido.



FIG 1: Modelos Neolíticos dos Sólidos Platónicos

Os poliedros ilustrados na figura 2 tiveram um papel crucial na Filosofia de Platão, que serão os nossos objectos de estudo.





FIG 2: Tetraedro&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Cubo (Hexaedro)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Octaedro&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Dodecaedro&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Icosaedro

Na sua admiração e entusiasmo (porquê só cinco?) pela Geometria, Euclides e a Grécia Antiga, chamou a estes os Sólidos Platónicos associando-os aos átomos do universo. Da mesma forma que hoje nós acreditamos que toda a matéria é feita de combinações de átomos, também na Grécia Antiga se acreditava que a matéria era feita com os sólidos Platónicos.

Também se acreditava que toda a matéria também tinha o lado místico. Assim, no diálogo Timaios, Platão associou o tetraedro ao elemento fogo, o cubo à terra, o icosaedro à água e finalmente o dodecaedro ao quinto elemento (o universo).



O cubo, tetraedro e o dodecaedro tinham sido considerados pelos pitagóricos, e os restantes por Theætetus – amigo de Platão -- que pensava que o universo estava envolvido por um dodecaedro gigante.

Os pitagóricos sabiam que existiam apenas cinco regular sólidos regulares convexos e que cada um podia ser rigorosamente circunscrito por uma esfera. Euclides descreve estes sólidos no seu livro Elementos, parte XIII, da proposição 13 à proposição 17, onde se encontra o argumento heurístico de que estes são os únicos sólidos regulares. O matemático Euler fez a demonstração deste resultado no séc. XVIII.



Kepler no início do séc. XVII, sugeriu associar os Sólidos Platónico aos planetas conhecidos nessa altura: Mercúrio, Vénus, Marte, Júpiter e Saturno.


Apresentação dos sólidos platónicos:


Poliedros&nbsp;(poli = muitos; hedros = faces) são sólidos delimitados por regiões planas (polígonos) que constituem as denominadas faces. Os segmentos de recta que limitam as faces designam-se por arestas e os pontos de encontro destas por vértices.



Um poliedro diz-se convexo quando os ângulos diedros formados por duas faces consecutivas forem menores que 180º.

Sólidos Platónicos&nbsp;são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares (polígonos com os lados e ângulos&nbsp; todos iguais)&nbsp; e que têm o mesmo número de faces que se encontram em cada vértice.



Será que todos os poliedros regulares são convexos?

Kepler descobriu dois poliedros que são simultaneamente regulares e não convexos- o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado. Mais tarde, foi provado que existem apenas nove poliedros regulares, sendo cinco convexos (sólidos platónicos) e quatro não convexos (sólidos de Kepler-Poinsot).



Ao construir poliedros regulares, os alunos irão encontrar a fórmula de Euler, que quando aplicada a um dado poliedro regular convexo se conclui que esse poliedro terá de ser um dos cinco Sólidos Platónicos.

Os&nbsp;Sólidos de Arquimedes ou poliedros&nbsp;semi-regulares são, grosso modo, poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos e são todos obtidos por operações sobre os Sólidos Platónicos. A título de exemplo, um deles designa-se por Icosaedro truncado e que é usada na moderna bola de futebol: 32 faces, 12 pentágonos, 20 hexágonos:



FIG 7: Construção da bola de futebol a partir do Icosaedro


Obtém-se assim a (moderna) bola de futebol:


FIG 8: Icosaedro truncado (ou bola de futebol ou ainda a molécula do futeboleno C60)

O Icosaedro truncado reencontrou novas e interessantes aplicações com a descoberta da molécula do futeboleno C60 (buckminsterfullereno ou buckyball) que foi comunicada num artigo da revista Nature, em 1985, por H. W. Kroto, J. R. Heath, S. C. O'Brien, R. F. Curl e R. E. Smalley. &nbsp;O primeiro e os dois últimos foram galardoados com o prémio Nobel da Química de 1996. Esta descoberta marca o início de uma nova área do conhecimento: a nanotecnologia. A molécula tem uma estrutura semelhante a uma bola de futebol. É constituída por 60 átomos de carbono, que formam 12 pentágonos e 20 hexágonos. Faz-se notar que se descobriu recentemente que muitos vírus, p.ex. o vírus da herpes, têm a forma de icosaedro!


Os duais dos Sólidos de Arquimedes são designados por Sólidos de Catalan e a fórmula de Euler é válida para os poliedros convexos!





Exercício



01) Qual é o número de arestas, vértices e faces do icosaedro truncado que tem 20 hexágonos e 12 pentágonos ?&nbsp;



Resolução:&nbsp;O Teorema de Euler relaciona o número&nbsp;V&nbsp;de vértices, o número&nbsp;A&nbsp;de arestas e o número&nbsp;F&nbsp;de faces de um poliedro convexo qualquer (como é o caso de nosso icosaedro truncado) através da fórmula:






Existem 12 faces pentagonais e 20 hexagonais. Então. Segue do&nbsp;Teorema de Euler que&nbsp;, ou seja,&nbsp;.

Observe que cada aresta é aresta de exatamente duas faces. Então, contando-se as arestas de todas as faces e somando, tem-se:&nbsp;





onde&nbsp;&nbsp;é o número de faces de&nbsp;&nbsp;arestas. Temos&nbsp;. Como&nbsp;, segue que.





Em resumo, o icosaedro truncado tem 32 faces (sendo 12 pentagonais e 20 hexagonais), 90 arestas e 60 vértices.







http://www.notapositiva.com/pt/trbestbs/matematica/10_solidos_platonicos_d.htm

Postado por Rafael Lima