COMBINAÇÃO LINEAR
Autor: Flavio Bacelar | Publicado: 2017-07-05T09:02:00-03:00









&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Uma
expressão da forma $a_1u_1$ + $a_2u_2$+ . . . +$a_nu_n$ = w, onde $a_1$ , $a_2$ , . . . , $a_n$&nbsp; são escalares e $u_1$, $u_2$, . . .,$u_n$ e w, vetores
do ? n&nbsp; chama-se combinação linear.



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Em
outras palavras, sejam V um espaço vetorial real ( ou complexo), $v_1$, $v_2$,...,$v_n$
? V e $a_1$ ,...,$a_n$, números ? (ou complexos). 



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Então
o vetor&nbsp; é um elemento de V, e dizemos
que “v” é uma combinação linear de $v_1$,...,$v_n$.







&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; W
= [ $v_1$,...,$v_n$] é chamado subespaço quando por $v_1$,..., $v_n$.







&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Por
exemplo, os vetores $e_1$ = (1, 0, 0); $e_2$ = (0, 1, 0) e&nbsp; $e_3$ = (0, 0, 1) geram o espaço vetorial $\Re^3$,
pois qualquer vetor (a, b, c) ? $\Re^3$ pode ser escrito como combinação linear dos $e_i$, especificamente:







(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)







&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Sendo
u = (x, y, z) se o sistema de equações lineares resultante da combinação linear
não for consistente, isto é, não tiver solução, então o vetor não pode ser
escrito como combinação linear, logo não gera um espaço.







Exemplos.:



1) Sejam&nbsp; e os
escalares $a_1$ = 2 e $a_2$ = -1. Podemos encontrar um vetor = (x, y) que seja
combinação linear de 



&nbsp;&nbsp; (x, y) = 2.(3, 1) +
(-1).(2, 4) = (4, -2)&nbsp; 







2) Sejam os vetores = (1, -3, 2) e = (2, 4, -1).



O vetor = (-4, -18, 7) pode ser escrito como combinação
linear de .



(-4, -18, 7) = a1.(1, -3, 2) + a2.(2, 4, -1)


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Comentário sobre produto interno











Esta postagem, de caráter explicativo/introdutório/elementar é direcionada para quem tem pouca familiaridade com a noção de produto interno e tem o objetivo de auxiliar a compreensão de duas postagens posteriores.

Lembremos que quando falamos de funções cujo domínio é R\mathbb{R}, é costumeiro utilizar o símbolo xx para representar um elemento qualquer de&nbsp;R\mathbb{R}&nbsp;e a notação f(x)f(x) &nbsp;para representar a imagem do elemento xx.

Por sua vez, quando o domínio da função é R×R=R2\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2 frequentemente utilizamos o símbolo (x,y)(x,y) para representar um elemento de R2\mathbb{R}^2 e a notação f(x,y)f(x,y) para representar a imagem do elemento (x,y)(x,y). Assim, a notação f((x,y))f\left ( (x,y) \right ) é, usualmente, deixada de lado.

Fato simples, mas talvez pouco notado, é que às vezes dispensamos até mesmo a notação f(x,y)f(x,y) &nbsp;ao lidarmos com uma função de duas variáveis. Por exemplo, quando o assunto é a adição não escrevemos f(2,8)=10f(2,8) = 10 mas sim 2+8=102+8 = 10 (e a adição é uma função que leva R2\mathbb{R}^2 em R\mathbb{R}).

Algo semelhante ocorre com o produto interno. Mas o que mesmo é um produto interno?

Dado um espaço vetorial real VV, um&nbsp;produto interno em&nbsp;VV é uma função f:V×V→Rf:V\times V \rightarrow \mathbb{R} que cumpre as seguintes condições:




f(u,v)=f(v,u)f(u,v)=f(v,u)


f(u+w,v)=f(u,v)+f(w,v)f(u+w,v)=f(u,v)+f(w,v)

f(ku,v)=kf(u,v)f(ku,v)=kf(u,v)


f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)


f(u,kv)=kf(u,v)f(u,kv)=kf(u,v)


f(u,u)&gt;0f(u,u)>0 quando u≠0u \neq 0

E isso tem que valer sempre, quaisquer que sejam u,v,w∈Vu,v,w\in V e k∈Rk\in\mathbb{R}.

O produto interno mais comum (talvez o primeiro com o qual entramos em contato) é aquele definido em Rn\mathbb{R}^n através da expressã


u⋅v=u1v1+u2v2+⋯+unvn
u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2+\cdots +u_nv_n





onde u=(u1,u2,...,un)u=(u_1,u_2,...,u_n) e v=(v1,v2,...,vn)v=(v_1,v_2,...,v_n) são vetores de Rn\mathbb{R}^n (o leitor interessado poderá verificar que esta operação satisfaz todas as condições acima mencionadas e que, portanto, realmente se trata de um produto interno no sentido da definição dada).

Correndo o risco de parecer redundantes, frisamos que num contexto mais amplo, não apenas esta operação é denominada de produto interno mas também qualquer outra que satisfaz as condições listadas.

Outra coisa para se notar é que&nbsp;neste caso específico, em vez de usarmos a notação f(u,v)f(u,v) para indicar a imagem do par (u,v)∈Rn×Rn(u,v)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n utiliza-se simplesmente u⋅vu\cdot v. No mesmo contexto em que esta notação ocorre, tal operação é conhecida como produto escalar e, em outros contextos (nos mais gerais), ela é conhecida como produto interno canônico. O fato é que nem mesmos nestes “outros contextos” se costuma utilizar a notação f(u,v)f(u,v) para representar o produto interno de uu e vv. Na prática, o que se utiliza é ⟨u,v⟩\langle u,v \rangle. Substituindo esta notação nas seis condições acima mencionadas, o leitor poderá obter um enunciado convencional da definição de produto interno em espaços vetoriais reais.