FATORAÇÃO
Autor: PROFESSOR MARCELO | Publicado: 2015-08-14T11:01:00-03:00







Fatoração

O QUE
SIGNIFICA FATORAR?

Fatorar
significa transformar em produto

FATORAÇÃO DE
POLINÔMIOS

Fatorar um
polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de
polinômios ou monômios e polinômios.

A
propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em
evidencia. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.

1) FATOR
COMUM

Vamos
fatorar a expressão: ax + bx + cx

ax + bx + cx
= x . (a + b + c)

O x é fator
comum e foi colocado em evidência.

Exemplos

Vamos
fatorar as expressões

1) 3x + 3y =
3 (x + y)

2) 5x² - 10x
= 5x ( x – 2)

3) 8ax³ -
4a²x² = 4ax²(2x – a)

EXERCÍCIOS

1) Fatore as
expressões:








a) 4x + 4y =
R: 4 ( x + y)

b) 7a – 7b =
R: 7 (a - b)

c) 5x – 5 =
R: 5 (x - 1)

d) ax – ay =
R: a (x - y)

e) y² + 6y =
R: y (y + 6)

f) 6x² - 4a
= R: 2 (3x² - 2a)

g) 4x⁵ - 7x²
= R: x² ( 4x³ - 7)

h) m⁷ - m³ =
R : m³( m⁴- 1)

i) a³ + a⁶ =
R: a³ ( 1 + a³)

j) x² + 13x
= R: x(x + 13)k) 5m³ - m² =

l) x⁵⁰ + x⁵¹
=

m) 8x⁶ -
12x³ =

n) 15x³ -
21x² =

o) 14x² +
42x =

p) x²y + xy²
=








&nbsp;

2) Fatore as
expressões:

&nbsp;








a) 2a – 2m +
2n = (R: 2 (a -m+n))

b) 5a + 20x
+ 10 = (R: 5(a + 4x + 2))

c) 4 – 8x –
16y = (R: 4(1 - 2x - 4y))

d) 55m + 33n
= (R: 11(5m + 3n))

e) 35ax –
42ay = (R: 7a(5x -6y)

f) 7am – 7ax
-7an =&nbsp; (R: 7a(m - x - n))

g) 5a²x –
5a²m – 10a² = (R: 5a² ( x -m-&nbsp; 2))

h) 2ax + 2ay
– 2axy = (R: 2a(x + y -xy))








&nbsp;

3) Fatore as
expressões:

&nbsp;

a) 15x⁷ -
3ax⁴ =

b) x⁷ + x⁸ +
x⁹ =

c) a⁵ + a³ -
a² =

d) 6x³ -10x²
+ 4x⁴ =

e) 6x²y +
12xy – 9xyz =

f) a(x -3) +
b(x -3) =

g) 9 ( m + n
)- a( m –n)

&nbsp;

&nbsp;

2)
AGRUPAMENTO

Vamos
fatorar a expressão ax + bx + ay + by

ax + bx + ay + by

x( a + b) + y ( a+ b)

(a + b) .( x
+y)

Observe o
que foi feito:

Nos dois primeiros temos “x em evidencia” .Nos dois últimos fomos “y
em evidência”. Finalmente “ (a + b) em evidência”. Note que aplicamos duas
vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum

&nbsp;

Exemplos:

Vamos
fatorar as expressões:

1º exemplo

5ax + bx +
5ay + by

x.( 5a + b)
+ y (5a + b)

(x + y) (5a
+ b)

&nbsp;

2º exemplo 

x² + 3x + ax
+ 3a

x(x + 3) + a
( x + 3)

(x + 3) . (
x + a)

&nbsp;

EXERCÍCIOS

&nbsp;

1) Fatore as
expressões:

&nbsp;








a) 6x + 6y +
ax + ay =

b) ax + ay +
7x + 7y=

c) 2a + 2n +
ax +nx=

d) ax + 5bx + ay + 5by =

e) 3a – 3b + ax – bx =

f) 7ax – 7a + bx – b =

g) 2x – 2 + yx – y =

h) ax + a +
bx + b =








&nbsp;

2) Fatore as
expressões:

&nbsp;








a) m² + mx +
mb + bx=

b) 3a² + 3 +
ba² + b =

c) x³ + 3x²
+ 2x + 6 =

d) x³ + x² +
x + 1 =

e) x³ - x² +
x – 1 =

f) x³ + 2x² + xy + 2y =

g) x² + 2x + 5x + 10 =

h) x³ - 5x²
+ 4x – 20 =








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3) DIFERENÇA
DE DOIS QUADRADOS 

Vimos que: (a+
b) (a –b) = a² + b²

Sendo assim:
a² + b²= (a+ b) (a –b)

Para fatorar
a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes quadradas dos dois
termos.

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1º exemplo

x² - 49 = (x
+ 7) ( x – 7)

2º exemplo 

9a² - 4b² = (3a
+ 2b) (3a – 2b)

Exercícios

1) Fatore as
expressões:








a) a² - 25 =

b) x² - 1 =

c) a² - 4 =

d) 9 - x² =

e) x² - a² =

f) 1 - y² =

g) m² - n² =

h) a² - 64 =








2) Fatore as
expressões








a) 4x² - 25
=

b) 1 – 49a²
=

c) 25 – 9a²
=

d) 9x² - 1 =

e) 4a² - 36
=

f) m² - 16n²
=

g) 36a² - 4
=

h) 81 - x² =

i) 4x² - y²=

j) 16x⁴ - 9 =

k) 36x² - 4y² =

l) 16a² - 9x²y² =

m) 25x⁴ - y⁶ =

n) x⁴ - y⁴ =

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4) TRINÔMIO
QUADRADO PERFEITO

Vimos que:

(a +b)² = a²
+ 2ab + b² Logo a² + 2ab + b² = (a +b)²

(a -b)² = a²
- 2ab + b² Logo a² - 2ab + b² = (a -b)²

&nbsp;

Observe nos
exemplos a seguir que:

Os termos extremos fornecem raízes quadras exatas. Os termos do meio
deve ser o dobro do produto das raízes. O resultado terá o sinal do termo do
meio.

EXERCÍCIOS

1) Coloque
na forma fatorada as expressões:

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a) x² + 4x +
4 = R:(x + 2)²

b) x² - 4x +
4 = R:(x -2)²

c) a²+ 2a +
1 = R: (a + 1)²

d) a² - 2a +
1 = R: (a – 1)²

e) x²- 8x +
16= R: ( x – 4)²

f) a² + 6a +
9 = R: (a + 3)²

g) a² - 6a +
9 = R: (a + 3)²

h) 1 – 6a +
9a² = R: (1 – 3a)²








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2) Fatore as
expressões

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a) m² -12m +
36=


b) a² + 14a
+ 49 =


c) 4 + 12x +
9x² =


d) 9a² - 12a
+ 4 =


e) 9x² - 6xy
+ y² =


f) x² + 20x
+ 100 =


g) a² - 12ab
+ 36b² =


h) 9 + 24a +
16a² =


i) 64a² -
80a + 25 =


j) a⁴ - 22a²
+ 121


l) 36 + 12xy
+x²y²


m) y⁴ - 2y³
+ 1