O que Realizam os Matemáticos?
Autor: matematicaja-2 | Publicado: 2011-11-30T06:24:00-08:00

Este post é uma transcrição do famoso ensaio On the proof and Progress in Mathematics (Sobre prova e progresso em matemática) de William P. Thurston que a Revista Matemática Universitária número 17  de dezembro de 1994 traduziu e publicou e cujas ideias servem muito bem na atualidade. Vejamos então o que realizam os matemáticos.
Há   muitos aspectos implícitos nesta pergunta, que tentei formular de modo  a  não pressupor a natureza da resposta. Não seria bom, por exemplo,   começar com a pergunta
Como os matemáticos demonstram teoremas?
Esta pergunta introduz um assunto interessante, mas começar com ela seria assumir implicitamente:
(1) que existem uma teoria e uma prática uniforme, objetiva e bem estabelecida de demonstração em matemática, e
(2) que o progresso feito pelos matemáticos consiste em provar teoremas.
É importante examinar essas hipóteses, em lugar de aceitá-las como óbvias e prosseguir. A pergunta nem mesmo é
Como os matemáticos fazem o progresso em matemática?
Em vez disso, como uma forma mais explícita (e dirigida) da pergunta, eu prefiro
Como os matemáticos aumentam o entendimento humano da matemática?
Esta   pergunta traz à tona algo que é fundamental e universal: o que fazemos  é  encontrar maneiras pelas quais as pessoas possam entender e pensar   sobre matemática.
O  rápido avanço dos computadores ajudou a  enfatizar esse ponto, porque  computadores e pessoas são muito  diferentes. Por exemplo, quando Appel e  Haken completaram a prova do  Teorema do Mapa de Quatro Cores usando  grande quantidade de cálculos  difíceis executados por computador,  levantou-se muita controvérsia.  Interpreto esta como tendo muito pouco a  ver com as dúvidas quanto à  veracidade do teorema e à correção da  prova. Em vez disso, ela refletiu o  desejo contínuo da compreensão humana da prova, além do simples conhecimento de que o teorema é verdadeiro.
Num   nível mais usual, é comum principiantes em computação fazerem longos   cálculos que poderiam ser feitos à mão numa escala menor. Pode-se   produzir uma lista com os    primeiros números primos apenas para verificar, posteriormente, que  não  era exatamente isso que se queria. Descobre-se com esta experiência  que  o que realmente se pretende não é um conjunto de "respostas" - mas  sim compreensão.
Pode   parecer quase circular dizer que o que os matemáticos realizam é o   avanço da compreensão humana da matemática. Não tentarei resolver isso   discutindo o que é a matemática, pois isso nos levaria longe demais. Os   matemáticos geralmente sentem que sabem o que é a matemática, mas têm   dificuldade em apresentar uma boa definição direta. É interessante   tentar. Para mim, "a teoria dos modelos formais" é a que mais se   aproxima, mas sua discussão nos levaria a um novo ensaio.
Poderia   a dificuldade de se dar uma definição direta de matemática ser algo   intrínseco, indicando que a matemática possui uma qualidade recursiva   que lhe é essencial? Nessa direção poderíamos dizer que a matemática é a   menor área de conhecimento que satisfaz às seguintes condições:
 A matemática é o que inclui os números naturais e as geometrias plana e espacial.
 A matemática é o que os matemáticos estudam.
 Matemáticos são pessoas que aumentam a compreensão humana da matemática.
Em   outras palavras, à medida que a matemática avança, nós a incorporamos   ao nosso pensamento. À medida que este se torna mais sofisticado,   geramos novos conceitos e estruturas matemáticas: os assuntos da   matemática mudam para refletir a maneira como pensamos.
Se  o que  estamos fazendo é construir melhores maneiras de pensar, então  os  aspectos psicológicos e social são essenciais para um bom modelo do   progresso da matemática. Estas dimensões estão ausentes da visão   popular. A visão popular assegura, caricatamente, que
D. Os matemáticos partem de umas poucas estruturas matemáticas e de um conjunto de axiomas "dados" sobre estas estruturas, que  

T. existem várias questões importantes a serem resolvidas sobre estas   estruturas que podem ser enunciadas como proposições matemáticas   formais, e

P.o objetivo do matemático é encontrar a partir dos axiomas um caminho dedutivo para as proposições ou para a negação delas. 
Podemos chamar isso de modelo Definição - Teorema - Prova (DTP) da matemática.
Uma dificuldade óbvia do modelo DTP   é que ele não esclarece a origem das questões. Jaffe e Quinn discutem a   especulação (que rotulam inadequadamente de "matemática teórica" como   um ingrediente adicional importante. Especulação consiste em fazer   conjecturas, propor problemas e dar palpites inteligentes e argumentos   heurísticos sobre o que provavelmente é verdadeiro.
O modelo Dept  de Jaffe e Quinn também deixa de lado algumas questões básicas. Não   estamos tentando satisfazer alguma cota abstrata de produção de   definições, teoremas e provas. A medida do nosso sucesso é se o que   fazemos possibilita as pessoas compreender mais clara e efetivamente   sobre matemática.