Alunos do EJA-Artigas
Autor: professorgil2000 | Publicado: 2016-10-08T21:07:00-03:00









Matematica Financeira

Elementos básicos em Matemática Financeira









A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas 
alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A 
idéia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e 
empregar alguns procedimentos matemáticos.
Capital: O Capital é o valor aplicado através de 
alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor 
Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se 
Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.
Juros: Juros representam a remuneração do Capital 
empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser 
capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, 
com algumas condições mistas.


RegimeProcesso de funcionamento
SimplesSomente o principal rende juros.
CompostosApós cada período, os juros são incorporados ao Capital, proporcionando juros sobre juros.


Notações comuns que serão utilizadas neste material


CCapital
nnúmero de períodos
jjuros simples decorridos n períodos
Jjuros compostos decorridos n períodos
rtaxa percentual de juros
itaxa unitária de juros (i = r / 100)
PPrincipal ou valor atual
MMontante de capitalização simples
SMontante de capitalização composta




Compatibilidade dos dados
Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos 
deverão ser respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que
 os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis, coerentes 
ou homogêneos. Situações onde isto não ocorre, serão estudadas à parte e
 deverão ser feitas conversões de unidades.
Exemplo: Na fórmula

F(i,n) = 1 + i n
a taxa unitária de juros i deverá estar indicada na mesma unidade de 
tempo que o número de períodos n, ou seja, se a taxa é i=0,05 ao mês, 
então n deverá ser um número indicado em meses.



Juros simples

Se n é o numero de periodos, i é a taxa unitária ao período e P é o valor principal, então os juros simples são calculados por:


j = P i n
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:


j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00

Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituimos i por r/100 e obtemos a fórmula:


j = P r n / 100
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:


j = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00

Se a taxa é r % ao mês, usamos m como o número de meses e a fórmula:


j = P r m / 100
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por:


j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00

Se a taxa é r% ao dia, usamos d como o número de dias para obter 
os juros exatos (número exato de dias) ou comerciais simples com a 
fórmula:


j = P r d / 100
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) à taxa de 0,02% ao dia são dados por:


j = 1.250,00 x 0,02 x 180 / 100 = 45,00
Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um 
capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses do ano de 1999 (181 
dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados por:


j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50





Montante simples
Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é 
conhecido como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, 
indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado 
por uma das fórmulas:

M = P + j = P (1 + i n)
Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao 
ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado 
através de capitalização simples?
Objetivo: M=2P
Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in)
Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logo
n = 2/3 ano = 8 meses

Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à 
taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 1.000,00 e a dívida foi 
contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de 
abril do mesmo ano?
Contagem do tempo:


PeríodoNúmero de dias
De 10/01 até 31/0121 dias
De 01/02 até 28/0228 dias
De 01/03 até 31/0331 dias
De 01/04 até 12/0412 dias
Total92 dias

Fórmula para o cálculo dos juros exatos:

j = P r (d / 365) / 100
Cálculo:

j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05




Fluxo de caixa
Apresentaremos aqui, apenas alguns elementos sobre fluxo de caixa. O 
internauta interessado em obter mais detalhes, poderá acessar outro link
 que construímos sobre 
Fluxo de caixa. Em nossa Página, existem muitos outros links sobre Matemática Financeira que construímos para dar suporte a este curso.
Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e 
Saídas de capital, realizadas em determinados períodos. O fluxo de caixa
 pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha de tempo) 
com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma 
tabela com estas mesmas indicações.
A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser
 indicada por uma seta para baixo enquanto que o indivíduo que pagou a 
conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é uma 
coisa comum e pode ser realizada sem problema.
Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de 
R$5.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao ano, compostos 
mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de 
R$1.000,00 durante os 5 meses seguintes. No 6º. mês quer-se conhecer o 
Valor Futuro da reunião destes depósitos.


Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vários meses, 
usamos o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor 
resultante ou montante acumulado.




Juros compostos
Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o 
montante (soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no
 instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.
Exemplo preparatório: Consideremos uma situação 
hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido 
de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou 
$100,00 em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado
 acumulado em 01/06/94.


TempoDataValor PrincipalJurosMontante
001/01/94100,000100,00
101/02/94100,0050,00150,00
201/03/94150,0075,00225,00
301/04/94225,00112,50337,50
401/05/94337,50168,75506,20
501/06/94506,25253,13759,38

Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos 
inícios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses 
anteriores.
Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)
A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:


S1=100(1,5)1
S2=100(1,5)2
S3=100(1,5)3
S4=100(1,5)4
S5=100(1,5)5


Em geral:

Sn = P (1+i)n
onde


SnSoma ou montante
PValor Principal aplicado inicialmente
itaxa unitária
nnúmero de períodos da aplicação

Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo.




Montante composto
A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P,
 da taxa i ao período e do número de períodos n, é dada por:

S = P (1+i)n
Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao 
ano, quanto tempo será necessário para dobrar o capital aplicado através
 de capitalização composta?
Objetivo: S=2P
Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por:

S=P(1+i)n
Solução: 2P=P(1+1,5)n, logo

(2,5)n = 2
Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:

n = log(2) / log(2,5) =  0,7564708 de 1 ano

Observação: Tábua de logaritmo imediata
Para obter o logaritmo do número N na base natural, basta trocar N pelo número desejado e escrever:
javascript:Math.log(N)

na caixa branca de seu browser que indica Endereço (Location) desta 
página. Após obter o resultado, use o botão voltar (back) para continuar
 os estudos.
Uma forma alternativa é copiar a linha em azul para o Endereço, 
pressionando a seguir a tecla &lt;ENTER&gt; para obter o resultado.




Fator de Acumulação de Capital (Fator de P para S)
Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, definimos o Fator
 de Acumulação de Capital ou Fator de P para S, denotado por FAC(i,n) ou
 FPS(i,n), como:

FAC(i,n) = FPS(i,n) = (1 + i)n
Agora, podemos escrever o montante composto S como o produto do valor Principal P por FAC(i,n):

S = P FAC(i,n) = P FPS(i,n)

Utilidade: O FAC(i,n)=(1+i)n pode ser 
obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam 
potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de 
multiplicação) e a seguir tecla-se o sinal de igualdade n-1 vezes.

Existem algumas variações da fórmula do Montante Composto, que estão apresentadas abaixo:


S = P (1 + i)n

P = S (1+i)-n


Uma variação da fórmula de Montante composto é usada na obtenção do Valor Atual P de um capital futuro conhecido S.

P=S(1+i)-n




Fator de Valor Atual
Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, o Fator de Valor 
Atual ou Fator de S para P ou Fator de Desconto, denotado por FVA(i,n) 
ou FSP(i,n) como o inverso de FAC(i,n)=FPS(i,n):

FVA(i,n) = FSP(i,n) = (1+i)-n

Utilidade: O FVA(i,n)=(1+i)-n pode ser 
obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam 
potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de 
multiplicação) e o sinal = (igual) n-1 vezes para obter FAC(i,n) e a 
seguir teclamos o sinal de divisão e finalmente o sinal = (igual) para 
obter o FVA(i,n), que é o inverso do FAC(i,n).




Cálculo de juros Compostos

J = P [(1+i)n-1]
Exemplo: Qual é o valor dos juros compostos pagos à 
taxa i=100% ao ano se o Principal é R$1.000,00 e a dívida foi contraída 
no dia 10/01/94 e deverá ser paga em 12/04/94?
Solução: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.
Dúvida: Qual será a fórmula para juros compostos quando a taxa é 
anual e o período está indicado em uma unidade diferente de 1 ano? A 
idéia é transformar 92 dias em unidades anuais para obter:

n = 92/365 de 1 ano = ~ 0,252055 = 1/4 ano
Principal: P=1000; Taxa anual: i=100/100=1. A fórmula empregada é:

J = P [(1+i)n-1]
Solução:

J=1000[(1+1)1/4-1]=1000(1,189207-1)=189,21
Teste: Você saberia obter a raiz quarta de um número
 com uma calculadora que só extrai a raiz quadrada? E a raiz oitava de 
um número que só extrai a raiz quadrada?




Taxas
Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira.
Taxas: (Matemática Financeira, Introdução ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho:
 "No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e 
executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros 
principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O 
desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o 
fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre as 
partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática 
Financeira existe uma verdadeira 'poluição' de taxas de juros."
Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas:

Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de 
formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a 
que a taxa está referida.
Exemplos:


1200% ao ano com capitalização mensal.


450% ao semestre com capitalização mensal.


300% ao ano com capitalização trimestral.



Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de 
formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a
 taxa está referida.
Exemplos:


120% ao mês com capitalização mensal.


450% ao semestre com capitalização semestral.


1300% ao ano com capitalização anual.


Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A
 taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. 
Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:

1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)

Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e 
um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de 
32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre 
cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste
 mês, será definida por:

vreal = 1 + ireal
que pode ser calculada por:

vreal = resultado / (1 + iinflação)
isto é:

vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02
o que significa que a taxa real no período, foi de:

ireal = 2%

Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo 
anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona um rendimento real de 
0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido 
pela taxa da inflação iinflação, isto é, deve ser multiplicado por 1&nbsp;+&nbsp;iinflação e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005.
Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de 
poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e a taxa da inflação 
desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta 
no dia 30/05/93, o valor de:

V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77




Taxas equivalentes
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se 
aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através 
de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante 
final.
Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao 
mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação com a taxa de 33,1% 
ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação.


Tomando P=1.000,00; i1=0,1 ao mês e n1=3 meses, seguirá pela fórmula do Montante composto, que :

S1=P(1+i1)3=1000(1+0,1)3=1000.(1,1)3=1331,00
Tomando P=1.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto, teremos:

S2=C(1+i2)1=1000(1+0,331)=1331,00
Logo S1=S2 e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmo trimestre.

Observação sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a
 taxa nominal de uma aplicação é de 300% ao ano capitalizada 
mensalmente, estamos entendemos que a taxa é de 25% ao mês e que está 
sendo aplicada mês a mês, porque:

i = 300/12 = 25
Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a 
uma taxa de 75% ao trimestre, aplicada a cada trimestre, porque:

i = 300/4 = 75
É evidente que estas taxas não são taxas efetivas.

Cálculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas 
equivalentes são aquelas obtidas por diferentes processos de 
capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.
Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa
 ao período p, sendo que este período poderá ser: 1 semestre, 1 
quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se 
deseje. Deve ficar claro que tomamos 1 ano como o período integral e que
 o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 ano é indicado 
por Np.
Exemplo: 1&nbsp;ano = 2&nbsp;semestres = 3&nbsp;quadrimestres = 4&nbsp;trimestres = 12&nbsp;meses = 24&nbsp;quinzenas = 360&nbsp;dias.
A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é:

1 + ia = (1+ip)Np



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