IDENTIDADES PARA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Autor: Eliel, Sabrina, Osly | Publicado: 2011-06-25T11:31:00-03:00


&nbsp;&nbsp;&nbsp;IDENTIDADES PARA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS&nbsp;&nbsp;
&nbsp;NOTA: DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSASUm problema comum em trigonometria é achar um ângulo cujas funções trigonométricas são conhecidas. Problemas deste tipo envolvem a computação de&nbsp;funções arco, tais como arcsenx, arccos&nbsp;x, arctg&nbsp;x, e assim por diante. Consideremos esta idéia do ponto de vista de funções inversas, com a meta de desenvolver fórmulas de derivadas para as funções trigonométricas inversas.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Se interpretamos&nbsp;&nbsp;x&nbsp;como um ângulo medido em radianos cujo seno é&nbsp;x, e se aquele ângulo for&nbsp;não negativo,&nbsp;então podemos representar&nbsp;&nbsp;x&nbsp;como um ângulo em um triângulo retângulo, no qual a hipotenusa tem comprimento 1 e o lado oposto ao ângulo de&nbsp;&nbsp;tem comprimento&nbsp;x&nbsp;(figura a). Pelo Teorema de Pitágoras, o lado adjacente para o ângulo&nbsp;&nbsp; tem comprimento&nbsp;. Além disso, a ângulo oposto a&nbsp;&nbsp;&nbsp;é&nbsp;, uma vez que o co-seno daquele ângulo é&nbsp;x&nbsp;(figura b). Este triângulo motiva várias identidades úteis, envolvendo funções trigonométricas que são válidas para&nbsp;&nbsp;. Por exemplo:Analogamente,&nbsp;x&nbsp;e&nbsp;&nbsp;x&nbsp;podem ser representadas com ângulos de triângulos retângulos mostrados na&nbsp;figura c e d.&nbsp;Esses triângulos revelam mais identidades úteis, como por exemplo:
OBSERVAÇÃO.&nbsp;Não se ganha nada memorizando estas identidades; o que é importante é compreender o&nbsp;método&nbsp;usado para obtê-las.ExemploA figura&nbsp;abaixo mostra um gráfico gerado por um computador de&nbsp;y =&nbsp;(sen&nbsp;x). Pode se pensar que este gráfico deva ser a reta&nbsp;y = x, uma vez que&nbsp;(sen&nbsp;x)&nbsp;=&nbsp;x. Por que isto não acontece?Solução.&nbsp;A relação&nbsp;(sen&nbsp;x) =&nbsp;x&nbsp;é válida no intervalo&nbsp;; logo podemos dizer, com certeza, que os gráficos de&nbsp;y =&nbsp;(sen&nbsp;x) e&nbsp;y = x&nbsp;coincidem neste intervalo. Contudo, fora deste intervalo, a relação&nbsp;&nbsp; (sen&nbsp;x) =&nbsp;x&nbsp;não precisa ser válida. Por exemplo, se estiver no intervalo&nbsp;, então a quantidade&nbsp;x&nbsp;-&nbsp;&nbsp;estará no intervalo&nbsp;. AssimDesta forma,usando a identidade sen(x-) = -sen&nbsp;x&nbsp;e o fato de que&nbsp;&nbsp;é uma função ímpar, podemos expressar&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (sen&nbsp;x) comoIsso mostra que no intervalo&nbsp;, o gráfico de&nbsp;y =&nbsp;&nbsp;(sen&nbsp;x) coincide com a reta&nbsp;y =&nbsp;-(x-), a qual tem inclinação -1 e um intercepto&nbsp;x&nbsp;em&nbsp;x&nbsp;=&nbsp;, o que está de acordo coma figura.
DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Lembre-se que se&nbsp;f&nbsp;for uma função um a um, cuja a derivada é conhecida, então há duas maneiras básicas para obter uma fórmula de derivação para&nbsp;(x), podemos reescrever a equação&nbsp;y&nbsp;=&nbsp;(x) como&nbsp;x = f(y), e diferenciar implicitamente. Usaremos a diferenciação implícita para obter a fórmula de derivação para&nbsp;y&nbsp;=&nbsp;&nbsp;x.&nbsp;Reescrevendo esta equação comox =&nbsp;sen&nbsp;y&nbsp;e diferenciando implicitamente, obtemos&nbsp;Esta fórmula de derivada pode ser simplificada aplicando-se a fórmula&nbsp;, que foi deduzida a partir do triângulo da figura, resultando:Assim, mostramos que&nbsp;Se&nbsp;u&nbsp;for uma função diferenciável de&nbsp;x, então&nbsp;&nbsp;e a regra da cadeia produzem a seguinte fórmula generalizada da derivadaO método usado para obter esta fórmula pode também ser usado para obter fórmulas generalizadas de derivadas para outras funções trigonométricas inversas. Estas fórmulas, válidas para -1&lt;&nbsp;u&nbsp;&lt; 1, são&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp;