Arco triplo
Autor: Carlos Bino de Souza | Publicado: 2017-01-13T15:47:00-03:00



Recordação
Encontramos em livros didáticos cálculos relacionados ao seno, cosseno e tangente com ângulos notáveis (30°, 45° e 60°), podendo encontrar o seno, cosseno e a tangente dos ângulos que são múltiplos de 15°, utilizando a fórmula das relações trigonométricas da soma e subtração de ângulos. Vamos recordar!

Considere dois ângulos, $\alpha, \beta\in [0°, 360°[$, assim
$$\begin{equation}\label{eqtan}
\mathrm{tg}(\alpha)=\dfrac{\mathrm{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)}
\end{equation}$$

$$\begin{equation}\label{eqrf}
\mathrm{sen}^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1
\end{equation}$$



$$\begin{equation}\label{eqsenosoma}\mathrm{sen}(\alpha +\beta)=\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\cos(\beta) +\cos(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta)\end{equation}$$




A partir da Fórmula $\ref{eqsenosoma}$ é possível demonstra que
$$\begin{equation}\label{eqsct}\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(\alpha-\beta) &amp; = &amp; \mathrm{sen}(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta) \\
\cos(\alpha\pm\beta) &amp; = &amp; \cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)\mp\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta) \\
\mathrm{tg}(\alpha\pm\beta) &amp; = &amp; \dfrac{\mathrm{tg}(\alpha)\pm\mathrm{tg}(\beta)}{1\mp\mathrm{tg}(\alpha)\cdot\mathrm{tg}(\beta)}
\end{array}\right.\end{equation}$$

Assim, para calcular $\cos 15°$, vamos tomar $15°=45°-30°$, e utilizando a fórmula $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta)$, onde $\alpha=45°$ e $\beta=30°$, temos:

$$\cos 15°=\cos(45°-30°)=\cos(45°)\cdot\cos(30°)+\mathrm{sen}(45°)\cdot\mathrm{sen}(30°)$$

Como $\cos(45°)=\mathrm{sen}(45°)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos(30°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $\mathrm{sen}(30°)=\dfrac{1}{2}$, temos

$$\cos 15°=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$$

Também podemos encontrar $\mathrm{sen}(15°)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ e $\mathrm{tg}(15°)=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$ usando as Fórmulas $\eqref{eqsct}$.

Podemos calcular o seno, cosseno e a tangente de $75°$ se tomarmos $75°=45°+30°$.

$$\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(75^\circ)&amp; = &amp; \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \\
\cos(75^\circ)&amp;= &amp; \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\mathrm{tg}(75^\circ)&amp;= &amp; 2+\sqrt{3}
\end{array}\right.$$

Através das Fórmulas $\eqref{eqsenosoma}$ e $\eqref{eqsct}$ é possível demonstrar as fórmulas do ângulo (arco) duplo se considerarmos $2\alpha=\alpha+\alpha$.

$$\begin{equation}\label{eqad}
\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(2\alpha) &amp; = &amp;2\cdot\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\cos(\alpha) \\
\cos(2\alpha)&amp; = &amp;&nbsp;\cos^2(\alpha)-\mathrm{sen}^2(\alpha) \\
\mathrm{tg}(2\alpha) &amp; = &amp;&nbsp;\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\alpha)} {1-\mathrm{tg}^2(\alpha)}
\end{array}\right.
\end{equation}$$

Com as Fórmulas $\eqref{eqad}$ e $\eqref{eqrf}$, é possível demonstrar as fórmulas do ângulo (arco) metade, se considerarmos $2\alpha=\beta\Rightarrow\alpha=\dfrac{\beta}{2}$

$$\begin{equation}\label{eqam}
\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}\left( \dfrac{\beta}{2} \right ) &amp; = &amp; \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\beta)}{2}} \\
\cos\left( \dfrac{\beta}{2} \right ) &nbsp;&amp; = &amp;\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos(\beta)}{2}} \\
\mathrm{tg}\left( \dfrac{\beta}{2} \right ) &nbsp;&amp; = &amp; \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\beta)}{1+\cos(\beta)}}
\end{array}\right.
\end{equation}$$

Não demonstraremos as fórmulas acima, pois as demonstrações podem ser encontradas na internet e em livros didáticos de Matemática do Ensino Médio, a nossa recordação ficará limitada, apenas, em apresentar as fórmulas, pois serão necessárias para demonstrar a seguir.


Arco triplo

Vamos calcular $\mathrm{sen}(3\beta)$, para $\beta\in [0°,360°[$.



$$\mathrm{sen}(3\beta)=\mathrm{sen}(2\beta+\beta)=\mathrm{sen}(2\beta)\cdot\cos(\beta)+\cos(2\beta)\cdot\mathrm{sen}(\beta)=2\cdot\mathrm{sen}(\beta)\cdot\cos(\beta)\cdot\cos(\beta)+[\cos^2(\beta)-\mathrm{sen}^2(\beta)]\cdot\mathrm{sen}(\beta)\Rightarrow\mathrm{sen}(3\beta)=3\cdot\mathrm{sen}(\beta)\cos^2(\beta)-\mathrm{sen}^3(\beta)$$



Utilizando a relação fundamental da trigonometria (Fórmula $\eqref{eqrf}$), podemos fazer $\cos^2(\beta)=1-\mathrm{sen}^2(\beta)$

$$\mathrm{sen}(3\beta)=3\cdot\mathrm{sen}(\beta)[1-\mathrm{sen}^2(\beta)]-\mathrm{sen}^3(\beta)$$

$$\mathrm{sen}(3\beta)=3\mathrm{sen}(\beta)-4\mathrm{sen}^3(\beta)$$

Vamos determinar $\cos(3\beta)$

$\cos(3\beta)=\cos(2\beta+\beta)=\cos(2\beta)\cdot\cos(\beta)-\mathrm{sen}(2\beta)\cdot\mathrm{sen}(\beta)=[\cos^2(\beta)-\mathrm{sen}^2(\beta)])\cdot\cos(\beta)-2\cdot\mathrm{sen}(\beta)\cdot\cos(\beta)\cdot\mathrm{sen}(\beta)=\cos^3(\beta)-3\cos(\beta)\mathrm{sen}^2(\beta)=\cos^3(\beta)-3\cos(\beta)\cdot[1-\cos^2(\beta)]$

$$\cos(3\beta)=4\cos^3(\beta)-3\cos(\beta)$$

Vejamos para $\mathrm{tg}(3\beta)$, utilizando a Fórmula $\eqref{eqtan}$

$$\mathrm{tg}(3\beta)=\mathrm{tg}(2\beta+\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}(2\beta)+\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}(2\beta)\cdot\mathrm{tg}(\beta)}=
\dfrac{\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}+\mathrm{tg}(\beta)}{1-\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}\cdot\mathrm{tg}(\beta)}=
\dfrac{\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\beta)+\mathrm{tg}(\beta)-\mathrm{tg}^3(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}}{\dfrac{1-\mathrm{tg}^2(\beta)-2\cdot\mathrm{tg}^2(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}}\Rightarrow\mathrm{tg}(3\beta)=\dfrac{3\mathrm{tg}(\beta)-\mathrm{tg}^3(\beta)}{1-3\mathrm{tg}^2(\beta)}$$

Desse modo, temos as seguintes fórmulas para ângulo (arco) triplo
$$\begin{equation}\label{eqat}\left\{
\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(3\beta)&amp;=&amp;3\mathrm{sen}(\beta)-4\mathrm{sen}^3(\beta) \\
\cos(3\beta)&amp;=&amp;4\cos^3(\beta)-3\cos(\beta) \\
\mathrm{tg}(3\beta)&amp;=&amp;\dfrac{3\mathrm{tg}(\beta)-\mathrm{tg}^3(\beta)}{1-3\mathrm{tg}^2(\beta)}
\end{array}\right.\end{equation}$$


Considerações


As fórmulas para arcos triplos, para quem gosta de Matemática, são bem divertidas de serem determinadas, mas apresentam poucas utilidades, pois podem ser substituídas pelas fórmulas já encontradas em livros didáticos do Ensino Médio. Mas vale apena pedir para os alunos as encontrar!