Probabilidades Ocultas
Autor: André Luiz Diniz | Publicado: 2011-11-29T16:37:00-08:00

Fim de ano é tempo de Amigo Oculto. Em família, com os amigos e no trabalho, é quase impossível escapar da tradicional troca de lembranças natalinas. O cálculo das probabilidades está presente desde a etapa de sorteio dos papéis1, passando pelo momento de entrega dos presentes (quantas vezes alguém que já recebeu presente foi sorteado, fechando o ciclo e obrigando uma pessoa a reiniciar o processo?) até chegar ao resultado final da brincadeira, onde em geral se verifica a coincidência de duas pessoas – não raro, marido e mulher ou mãe e filha – terem trocado presentes entre si, arrancando os tradicionais gritos de “marmelada”. 
Neste post analiso a probabilidade de ocorrência de alguns destes fatos (denominados de eventos, no jargão estatístico) e mostro que, ao contrário do que parece, a probabilidade de haver troca direta de presentes entre duas pessoas não é tão rara como pode parecer a princípio. 
Apesar de exigir, em geral, um grande esforço de análise combinatória, o cálculo da probabilidade de ocorrência de qualquer desses eventos parte de um conceito bastante simples, expresso na seguinte razão2:
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Supondo que será realizado um amigo oculto entre N pessoas, o número total de sorteios que podem ser realizados é N!, já que a 1ª pessoa pode tirar qualquer um dentre os N papéis, a 2ª pessoa qualquer um dentre os N-1 papéis restantes, e assim por diante, chegando-se ao produto N*(N-1)*...*2.*1 = N! 
Chance de pelo menos uma pessoa se tirar, invalidando o sorteio
Depois de retirados os N papéis, deseja-se saber a probabilidade de o sorteio se tornar inválido, ou seja, de pelo menos uma pessoa ter se tirado. Para tal, deve-se calcular o número de combinações em que isso ocorre, o que é algo bastante complexo, pois envolve as situações em que exatamente uma pessoa se tira, exatamente duas pessoas se tiram, etc., até o caso limite em que todas as N pessoas se tiram. Cada uma dessas possibilidades leva a uma expressão diferente de cálculo.3 Computando-se todas elas, as probabilidades de ocorrer um sorteio inválido em função do número N de pessoas participando do Amigo Oculto são mostradas na tabela abaixo.

Número de pessoas no Amigo Oculto (N)345678910 em diante
Chance do sorteio 
ser inválido (%)66,66762,50063,33363,19463,21463,21163,21263,2121...

É importante ressaltar que, quanto mais pessoas houver na brincadeira, menor é a probabilidade de você se tirar, mas cresce o número de possíveis combinações de pessoas se tirando. Isto resulta no curioso resultado de que a probabilidade de ocorrer um sorteio inválido praticamente não varia com o número de pessoas participando do amigo oculto. Para valores de N maiores do que 10, essa probabilidade tende assintoticamente para um valor bastante elevado, em torno de 63,2121%, e esse é o motivo pelo qual muitas vezes são necessários diversos sorteios até se obter uma combinação válida.
Chance de o ciclo se fechar durante a entrega dos presentes
Escolhida a pessoa que irá iniciar o amigo oculto, a entrega de presentes evolui com a próxima pessoa sendo a que recebeu o presente anterior. Uma questão interessante é saber qual a probabilidade do ciclo se “fechar”, ou seja, de a primeira pessoa ser presenteada antes do término da entrega de todos os presentes, o que obrigaria à escolha de uma nova pessoa para reiniciar o processo. O número de combinações em que o ciclo não se fecha corresponde a (N-1)!, pois, para que isso ocorra, a segunda pessoa teria que tirar uma das (N-1) pessoas ainda não presenteadas, a terceira pessoa teria que tirar uma das (N-2) pessoas ainda não presenteadas, e assim sucessivamente. Portanto, a probabilidade de o ciclo não se fechar corresponde à razão entre (N-1)! e o número total de sorteios válidos, uma vez que a entrega de presentes só é feita depois de conseguido um sorteio válido. 

Esta razão, que também foi calculada por mim através de simulação,&nbsp;se torna cada vez maior quando aumenta o número de pessoas no amigo oculto, como mostra o gráfico abaixo. Isto explica porque muitas vezes é necessário reiniciar o processo de entrega dos presentes a partir de uma pessoa que ainda não foi presenteada.
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&nbsp; Chance de haver troca direta de presentes entre duas pessoas
A probabilidade de você tirar cada um dos participantes no Amigo Oculto é a mesma, e vale 1/(N-1), já que, em um sorteio válido, você não pode se tirar. Em um amigo oculto com 11 pessoas, por exemplo, você tem 0,1 (ou 10% ) de possibilidade de tirar cada uma delas.
O que irei calcular agora é a chance de haver troca direta de presentes entre duas pessoas, ou seja, em um par de pessoas, uma tirar a outra. Considero três possibilidades:
A) Você trocar presente com determinada pessoa. Neste caso, deseja-se calcular a probabilidade de uma troca específica entre você e uma pessoa desejada.B) Você trocar presente com alguma pessoa. Neste caso, consideram-se as trocas entre você e qualquer uma das N-1 pessoas restantes;C) Alguém trocar presente com alguma outra pessoa. Neste caso, considera-se a possibilidade de haver troca de presentes entre quaisquer dos N.(N-1)/2 pares de pessoas que podem ser formados.
A variação das probabilidades dos três casos em função do número de pessoas no amigo oculto é mostrada a seguir:
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Como era de se esperar, no caso A, a chance de você trocar presente com uma determinada pessoa desejada (seu marido ou mulher, por exemplo), diminui bastante à medida que cresce o número de participantes, chegando a insignificantes 0,11% para um grupo de 30 pessoas. A chance de você trocar presente com alguma pessoa (caso B) também diminui para grupos maiores, embora esta probabilidade não seja tão remota para um Amigo Oculto com até 30 pessoas. O que talvez cause surpresa é a probabilidade de haver alguma troca entre quaisquer pares de participantes, que é muito próxima de 40%, mesmo quando o número de pessoas é grande. Apesar da chance de determinada coincidência diminuir com o aumento de N, a quantidade de coincidências que podem ocorrer aumenta drasticamente quando há muitos participantes, fazendo com que o resultado final leve a uma probabilidade alta de haver alguma coincidência.
Todas as probabilidades calculadas neste post consideram um sorteio idôneo, onde os papéis são distribuídos aos participantes de forma totalmente aleatória. Não estão previstos nos cálculos, evidentemente, manipulações por parte da organização do sorteio, trocas de papéis entre participantes mais próximos, ou eventuais “marmeladas” que de fato podem vir a ocorrer neste tipo de brincadeira..._________________________________________________________________________________
1) Considero a forma tradicional de sorteio, onde se recortam N papéis com os nomes de cada participante, e cada pessoa retira um papel.
2) Note que esse é exatamente o mesmo conceito que leva à obtenção da probabilidade de 1/6 de sair a face “1” em um lançamento de um dado, já que há 1 combinação favorável (a face de número 1) dentre as 6 combinações possíveis de serem sorteadas (as seis faces do dado).
3) O número de combinações para cada valor de N pessoas se tirando pode ser obtida de forma recursiva, com base no número de combinações obtidas para menos de N pessoas se tirando. Posso enviar o detalhamento dos cálculos para os interessados.