Autor: blog do lindolfo | Publicado: 2011-08-27T09:56:00-07:00

DISCIPLINA: DIDÁTICA ESPECIAL E PRÁTICA DE MATEMÁTICA – ENSINO MÉDIO






UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS
ESCOLA NORMAL SUPERIOR









PARFOR/MATEMÁTICA
DISCIPLINA: DIDÁTICA ESPECIAL E PRÁTICA DE MATEMÁTICA – ENSINO MÉDIO 







Profª Msc. Helisângela Ramos da Costa









MANAUS
julho/2011 
SUMÁRIO



CAPÍTULO 1 - TENDÊNCIAS DO ENSINO DE MATEMÁTICA NO NÍVEL MÉDIO. 	03
CAPÍTULO 2 - ANÁLISE CRÍTICA DE PROPOSTAS DE ENSINO DE MATEMÁTICA NO NÍVEL MÉDIO. 	32
CAPÍTULO 3 - ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS UTILIZADOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA NO NÍVEL MÉDIO. 	33
CAPÍTULO 4 - AVALIAÇÃO NO PROCESSO ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA NO NÍVEL MÉDIO. 	36
CAPÍTULO 5 - ESTUDO DE ALTERNATIVAS METODOLÓGICAS PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA NO NÍVEL MÉDIO.	40
CAPÍTULO 6 - ORIENTAÇÕES PARA ELABORAÇÃO DO RELATÓRIO DO ESTÁGIO SUPERVISIONADO	41
REFERÊNCIAS	42


 
CAPÍTULO 1 - TENDÊNCIAS DO ENSINO DE MATEMÁTICA NO NÍVEL MÉDIO. 

Ao longo da história do ensino da Matemática, surgiram várias propostas pedagógicas com o objetivo de contribuir para o processo de ensino e aprendizagem dos alunos, buscando propor-lhes um ensino de Matemática com significado, de utilidade. Para tanto, faz-se necessário o estudo e o acompanhamento efetivo daquilo que vem sendo apresentado em sala de aula, repensando a ação educativa, em especial no ensino médio, que de acordo com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei nº 9.394/96), tem como finalidades centrais não apenas a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos durante o nível fundamental, no intuito de garantir a continuidade de estudos, mas também a preparação para o trabalho e para o exercício da cidadania, a formação ética, o desenvolvimento da autonomia intelectual e a compreensão dos processos produtivos.
Neste sentido, ao final do ensino médio, 

espera-se que os alunos saibam usar a Matemática para resolver problemas práticos do quotidiano; para modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento; compreendam que a Matemática é uma ciência com características próprias, que se organiza via teoremas e demonstrações; percebam a Matemática como um conhecimento social e historicamente construído; saibam apreciar a importância da Matemática no desenvolvimento científico e tecnológico.(BRASIL, 2006, p.69)


Para atender estas expectativas algumas tendências metodológicas merecem destaque para seu uso no ensino de Matemática, tais como a História da Matemática, o lúdico, a resolução de problemas, a tecnologia, a Modelagem Matemática e a Etnomatemática.

1.1 História da Matemática 
1.2 O lúdico e a resolução de Problemas
O lúdico associado à Resolução de Problemas pode ser utilizado como ótima estratégia capaz de atrair alunos para a participação em sala de aula. Existem jogos que podem ser utilizados para explorar diferentes conteúdos, basta mudar as situações-problema utilizadas em relação ao conteúdo explorado. Alguns destes jogos são o da velha e trilha poligonal.
A) Jogo da velha
Materiais:
- 6 fichas com as situações-problema;
- I cartaz com o jogo da velha com envelopes;
- 5 marcadores diferentes para cada grupo.
Modo de Jogar:
O professor coloca no quadro o cartaz do jogo da velha, já com as situações-problema dentro dos envelopes, e distribui os marcadores para os grupos. Os grupos, através do par ou ímpar, decidem quem começa a jogar. O primeiro grupo escolhe um dos envelopes, e o professor lê o problema que deverá ser resolvido pelo grupo em um tempo determinado. Se o grupo acertar, coloca a sua marca, se errar, a marca será a do outro grupo. O segundo grupo tem o mesmo procedimento. Assim, o jogo continua até que um dos grupos consiga vencer o jogo da velha, cuja regra é a tradicional: colocar em linha, ou coluna, ou diagonal, suas três marcas primeiro. (LARA, 2003).
 
 
Figura 01: Jogo da velha
Fonte: LARA (2003, p. 96)
B) Trilha Poligonal
Materiais: 1 trilha; dado; envelopes com situações-problema

Modo de jogar:
Cada jogador lançará o dado avançando o número de casas indicadas. Verificará o polígono em que parou e retirará uma situação-problema do envelope correspondente. Se resolver corretamente fica na casa. Se errar, permanece onde estava antes de lançar o dado. Vence o jogo aquele que alcançar primeiro a chegada. (LARA, 2003).
Obs.: as situações-problema podem ser feitas para qualquer conteúdo explorado.  
Modelo da Trilha Poligonal
  
Figura 02: Áreas e perímetros com a trilha poligonal
Fonte: LARA (2003, p. 146)


C) Matemórtica das funções
Materiais: fichas com funções repetidas de acordo com o número de grupos.
Modo de Jogar:
O professor dispõe os grupos sentados um atrás do outro e, distribui uma ficha contendo urna função para cada aluno. Os grupos receberão a mesma função e na mesma ordem, para que obtenham o mesmo resultado. Ou seja, todos os primeiros de cada fila recebem a função 1, todos os segundos de cada fila recebem a função 2 e, assim até o final de cada fila. Depois, o professor entrega o valor da variável x, que será o mesmo, para o primeiro de cada fila. Cada um calculará o valor numérico da função de sua ficha e passará o resultado para o de trás que, encontrará o valor numérico de sua função (outra) com o valor alcançado pelo aluno de sua frente e passará o novo resultado para o aluno de trás. Assim, sucessivamente, até chegar o último da fila que deverá correr ao quadro e escrever o resultado final que obteve. 
1ºcaso: Se tal resultado estiver correto, o aluno marca um ponto para sua equipe. Um novo valor é atribuído à variável e entregue ao primeiro da fila e, novamente, vai até o último da fila. Ganha a equipe que marcar mais pontos. A cada rodada o professor deve mudar as posições dos alunos da mesma equipe. 
2º caso: Se estiver incorreto o professor deve pedir que cada aluno de sua fila diga a resposta obtida para cada função e aqueles que erraram devem ir ao quadro para que seja discutido com todos os erros cometidos. 
 
Figura 03: Funções através de um jogo de cartas
Fonte: LARA (2003, p. 156)
D) Técnica da caixinha mágica (adaptação) 
Pode ser aplicada em aulas de resolução de exercícios, construção de gráficos de funções, etc. Pode ser aplicada individualmente ou em grupo.
Aplicação da técnica:

•	prepara-se uma caixinha, contendo várias fichas, com questões a serem resolvidas (no caso de resolução de exercícios) ou com a função a ser construído o gráfico(no caso de aula sobre construção de gráficos) pelo aluno (se for individual) ou pelo grupo;
•	cada aluno (se for individual) ou o grupo tira da caixinha uma ficha que contém a questão a ser resolvida (no caso de resolução de exercícios) ou o gráfico a ser construído(no caso de aula sobre construção de gráficos);

Vantagens:
	- cada aluno ou grupo resolve uma questão diferente diminuindo o risco de “cola”;
- promove a participação do grupo; 
- fixa conceitos, princípios e generalizações de forma lúdica;
- pode ser aplicado em qualquer disciplina e em qualquer conteúdo.

E) Técnica do Autódromo
Aplicação da técnica:
•	o professor prepara um conjunto de questões objetivas (recomenda-se no máximo 4 alternativas) com a respectiva pontuação e 4 cartelas para cada equipe onde cada uma delas deve conter uma das alternativas possíveis para as respostas das perguntas: “a”, “b”, “c” ou “d”; 
•	o professor deve dispor a classe em grupos de quatro participantes e eleger uma pessoa como representante. 
•	o professor desenha no quadro uma tabela simulando uma pista do Autódromo, conforme a tabela 01;   

	1ª questão	2ª questão	3ª questão	4ª questão 
Equipe A				
Equipe B				
Equipe C				
Equipe D				
     Tabela 01: Técnica do Autódromo.

•	o professor escreve no quadro uma questão, atribui um tempo para sua resolução e para que o grupo escolha um dos cartões com a alternativa correta;
•	terminado o tempo, o professor solicita que o representante de cada equipe fique de pé e apresente o cartão-resposta eleito pelo grupo; 
•	quando todos os grupos tiverem apresentado suas respostas, o professor anuncia a alternativa correta assinalando na pista/tabela com um “x”, o avanço ou não das equipes;
•	começa então a segunda rodada,  repetindo-se as etapas anteriores até que todas as questões elaboradas tenham sido resolvidas.

Após respondidas todas as questões o professor analisa a pontuação obtida  pelas equipes e declara vencedora a(s) equipe(s) que obtiver(em) a maior pontuação.

Vantagens e desvantagens:
- promove a participação do grupo; 
- fixa conceitos, princípios e generalizações de forma lúdica;
- pode ser aplicado em qualquer disciplina e em qualquer conteúdo.

Observação importante sobre as atividades em grupos:
- O professor deve escolher os componentes da equipe por proximidade de localização na sala para evitar que os alunos façam barulho ao arrastar as carteiras
- O professor pode numerar cada equipe e solicitar que os alunos coloquem o número ou nome de sua equipe com os nomes dos componentes em uma folha de controle. Esta folha deve ser recolhida antes de iniciar a atividade para que o professor tenha melhor controle da participação e pontuação de cada aluno. Caso o professor opte em deixar para os alunos a responsabilidade de escolha dos nomes das equipes uma sugestão é que os nomes tenham relação com conceitos matemáticos ou nomes de matemáticos.
- O professor deve ao final de cada rodada escolher um dos componentes da equipe para ir ao quadro escrever a questão, resolver e explicar à turma como foi feito. Isto permitirá com que todos da equipe se interessem em saber como resolver a questão e desenvolvam a argumentação matemática reconhecendo os conceitos aplicados em cada passo da resolução do problema no momento em que tiverem explicando à turma. 
- Após o aluno escolhido tiver explicado a resolução da questão o professor deve aproveitar os erros cometidos (se houverem) para debater com a turma as causas destes erros e as possíveis soluções.
- A cada rodada o aluno escolhido da equipe deve ser diferente.
- O professor deve observar e pontuar em sua folha de controle a participação dos alunos de cada equipe e os acertos.

1.3 Tecnologia informática
Já em relação ao uso da tecnologia, em especial dos computadores, estes têm se apresentado de forma cada vez mais freqüente na vida das pessoas, como instrumento precioso de trabalho e em todos os níveis da educação. Por outro lado, muitos professores da rede pública de ensino ficam à margem do uso da nova tecnologia e, por conseguinte, correm o risco de jamais incorporá-la na sua vida diária, em especial, em sua prática pedagógica.

Sem uma familiaridade com o computador, o professor fica impossibilitado de entender as formas de contribuição que esta ferramenta pode dar, implicando num descaso, e até mesmo em receio. Junte-se a isso o folclore de que é possível substituir professores por computadores, para que a questão vire um impasse (MENEZES et al., 2003, p. 01).

Apesar de todas as oportunidades oferecidas pelas tecnologias informáticas, Valente (1999) chama a atenção para o fato de que o uso do computador em ambientes de ensino-aprendizagem, por si só, não cria a melhor situação de aprendizado. Professor e aluno precisam ser parceiros de um mesmo processo de construção do conhecimento não só pela relação afetiva e emocional estabelecida, mas pela constante negociação e renegociação de significados. 
Alguns softwares utilizados no ensino de Matemática, em especial de funções, matrizes e sistemas lineares são o Winplot e Excel. 

1.3.1 Excel
O Excel embora seja um software comercial (com fins lucrativos), e, portanto, não foi desenvolvido para propósitos educativos, pode ser utilizado como recurso tecnológico útil à aprendizagem matemática, principalmente no que se refere ao estudo de funções. É um software muito utilizado na criação e manipulação de tabelas, cujas células podem ser relacionadas por expressões matemáticas, e na construção de diferentes tipos de gráficos.
Ao utilizar o Excel, o aluno terá que transformar a linguagem matemática da função para a linguagem computacional. O valor associado à variável x, por exemplo, será identificado através de um par de caracteres (uma letra maiúscula e um número) que representa a posição (coluna e linha) em que se encontra. 
A ferramenta “Gráfico” será utilizada para que o aluno obtenha um dos tipos de gráficos existentes (dispersão, linha, pizza, coluna, barra, etc.) a partir de dados organizados em tabela. Ao passar pelas etapas de obtenção do gráfico, o aluno deve definir um título para o eixo x e para o eixo y. Nesse momento, o aluno deve identificar qual objeto na situação-problema representa a variável dependente x e qual objeto representa a variável independente y da linguagem matemática.
Outra ferramenta disponível no Excel é a “linha de tendência”. Através desta o usuário pode escolher uma curva (linear, polinomial, exponencial ou logarítmica) em que os pontos do gráfico da função mais se aproximam dela. 
Após obter o gráfico a opção “Adicionar linha de tendência” pode ser solicitada para que seja exibida a curva que melhor se ajusta aos pontos do gráfico. Nas figuras 04a, 04b, 04c e 04d são apresentados a seqüência de procedimentos para exibir o gráfico de uma função que relaciona o total a pagar pelo couro de peixe  e o desconto oferecido.
 







Figura 04a: Construção do gráfico no Excel-1º passo.


























Figura 04b: Adicionando linha de tendência no Excel-2º passo.












Figura 04c: Adicionando linha de tendência no Excel-3º passo.

























Figura 04d: Adicionando linha de tendência no Excel - etapa concluida.

Nas Figuras 5a e 5b exemplo de aplicação de matrizes no Excel.
 
Figura 05a: Aplicação de matrizes no Excel - soma.
 
Figura 05b: Aplicação de matrizes no Excel - multiplicação.

1.3.2 Winplot
O Winplot  é um freeware (gratuito), que faz parte da Peanut Softwares (uma coleção de freewares matemáticos), de autoria de Richard Parris (professor do Departamento de Matemática da Philips Exeter Academy – Estados Unidos). O idioma original é o inglês, mas já foi traduzido para vários outros idiomas. O responsável pela versão em português é o professor Adelmo Ribeiro de Jesus da Universidade Federal da Bahia.
Trata-se de um software gráfico que permite o traçado e a animação de gráficos em 2 dimensões e em 3 dimensões, através de diversos tipos de equações (explícitas, implícitas, paramétricas e outras). Permite explorar as múltiplas representações de funções (algébrica, tabular e gráfica) e realizar simulações através do traçado simultâneo de gráficos de uma família de equações de curvas. 
Uma das atividades tinha como objetivo analisar o domínio da função f(x)= através do gráfico. Como a solução obtida pelo estudo do sinal da função é Df = {(x,y)R2; x  3/4 ou x < 5/6} mesmo que o aluno utilizasse a ferramenta “Plotar lista” do Winplot para exibir o ponto no gráfico correspondente a x=1, por exemplo, este ponto não era exibido, pois não pertence ao domínio da função. (Figura 06).










Figura 06: Análise do domínio da função f(x)= 

1.3.3 Régua e Compasso

Atividade 1: Construir uma reta passando por um ponto P paralela a uma reta dada.
Solução: Para que o estudante construa a 1ª reta, ao clicar na ferramenta   o 
software soliciltará 2 pontos. Basta clicar em qualquer ponto da tela destinada a construção dos objetos.  Para construir a reta paralela, ao clicar na ferramenta   o software solicitará a reta a qual deve ser paralela e o ponto. (Figura 07a).
 
Figura 7a: Retas paralelas no Régua e Compasso.
Mesmo que o aluno mova um dos pontos da reta dada (clicando na ferramenta Ações/Movendo Ferramentas/Mover Ponto) a reta que passa por P continuará sendo paralela a reta dada.








Figura 07b: Movimentação de um dos pontos de Retas paralelas no Régua e Compasso.
1.3.5 Wingeom 
O software Wingeom é um software freeware (de domínio público) faz parte do pacote da Peanut Software, que desenvolve softwares livres e gratuitos para o ensino da Matemática e tem uma versão em português do Brasil. Permite a construção de figuras bidimensionais e tridimensionais. Foi desenvolvido por Richard Parris da Phillips Exeter Academy. Este recurso roda em sistema operacional Windows e ocupa apenas 144 KB de memória do disco rígido. As versões disponíveis para Windows são 95, 98, ME e XP, compilados em 2005.
O software é distribuído em 10 idiomas, incluindo o Português do Brasil, sendo que esta versão foi desenvolvida com o apoio de Franciele Cristine Mielke. Para obter uma versão grátis pode ser acessado também o site http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html.
Para utilizar o Wingeom acesse o Atalho criado na sua área de trabalho  
No menu janela, na barra de ferramentas, clique com o botão do lado esquerdo do mouse. Clique em 2-dm. 
 
			Figura 08a: menu Janela 2Dim do Wingeom

Atividade 1:	Traçando um polígono regular 
Solução: Clique no item unidades, na barra de ferramentas da janela gráfica, e, utilizando o botão do lado esquerdo do mouse, selecione polígono – regular.
 
	Figura 8b: Traçando um polígono regular no Wingeom
Leve a seta do mouse sobre a palavra ok e clique, utilizando o botão do lado esquerdo do mouse. 
 
Figura 08c: Janela para informar número e comprimento de lados de um polígono regular no Wingeom.

Será exibida na sua janela um  polígono de 7 lados,  cujos vértices são determinados por letras do nosso alfabeto. 
 
Figura 08d: Polígono regular de 7 lados no Wingeom.
Agora responda: 
a)	Quantos vértices têm esse polígono? 
b) Quantos ângulos têm esse polígono? 
c) Qual o nome desse polígono? 

Atividade 2: Preencher a região interna do polígono 
Solução: Clique no item editar, com o botão do lado esquerdo do mouse, na barra de ferramentas e selecione realces – preencher regiões. 
 
Figura 8e: Preenchendo a região interna de um polígono no Wingeom.

Serão exibidos dois quadros um com as cores e outro preencher. 
Escolha uma cor, leve a seta do mouse no espaço em frente a palavra polígono e digite as letras ABCDEFG, clique em seguida sobre a palavra preencher. 
 
Figura 8f: Escolhendo uma cor para a região interna de um polígono no Wingeom.

Para fechar os dois quadros, clique sobre a palavra fechar, utilizando o botão do lado esquerdo do mouse. 

Atividade 3: Medir os lados e os ângulos do polígono 

Clique no item medidas (botão do lado esquerdo do mouse), na barra de ferramentas da janela gráfica. Aparecerá um quadro: Medidas: 
 
Figura 8g: Medindo os lados do polígono no Wingeom. 

Digite no espaço em branco AB enter, BC enter, CD enter, DE enter, EF enter, 
FG enter, GA enter, para medir os lados desse polígono. 
Digite agora AB+BC+CD+DE+EF+FG+GA enter, para somar as medidas de todos os lados desse polígono. 
Para medir os ângulos, digite: <ABCenter, <BCD enter, <CDE enter, <DEF enter, 
<EFG enter, <FGA enter, <GAB enter.  Veja a figura 08h.






Figura 08h: Medindo os ângulos do polígono no Wingeom.

Para fechar esse quadro, clique sobre a letra x, com o botão do lado esquerdo do mouse. 

Agora responda: 
a)	Quanto mede cada um de seus lados? 
b)	Quantos graus têm cada um de seus ângulos? 
c)	Qual é o perímetro desse polígono? 
d)	Esse polígono é regular? Por que? 

Para fechar este arquivo, leve a seta do mouse sobre a letra X, e clique, utilizando o botão do lado esquerdo do mouse. Será exibida uma janela: Cuidado! 
 Salvar mudanças em sem nome1.wg2 
Colocar a seta do mouse sobre a palavra não e clicar. 

Atividade 4:	Traçar um polígono não regular 
Solução: Abrir um novo arquivo, repetindo o mesmo procedimento do item quatro. 
Clique no item botões (lado esquerdo do mouse) na barra de ferramentas da janela gráfica e selecione segmentos (BE). 
 
Figura 08i: Traçar um polígono não regular no Wingeom.
Leve a seta do mouse até uma parte qualquer da região da janela gráfica para as construções geométricas e clique com o botão direito do mouse. 
Surgirá na janela gráfica uma letra A indicando um ponto. 
Essas letras são seqüenciais e em ordem alfabética e aparecerão na medida em que acionarmos o botão do lado direito do mouse. 
Repita esse procedimento e marque mais seis pontos quaisquer em regiões diferentes da sua janela gráfica. 
Será exibida na janela gráfica os pontos ABCDEFG. 

 
Figura 08j: Exibição dos pontos de um polígono não regular no Wingeom.

Com a seta do mouse sobre o ponto A, segure o botão esquerdo do mouse e arraste-o até o ponto B, soltando então o botão do mouse. Repita este procedimento do ponto B ao C, do ponto C ao D, do D ao E, do E ao F, do  F ao G e do G ao ponto A. .
 
Figura 08l: Exibição dos segmentos ligando os vértices de um polígono não regular no Wingeom.

Observações: 
a) Repita o procedimento do item seis para preencher a região interna do polígono. 
b) Repita os procedimentos do item sete, para medir os lados e os ângulos desse polígono. 

Agora responda: 
a)	Quantos lados têm esse polígono? 
b)	As medidas dos seus lados são iguais? 
c)	As medidas dos seus ângulos são iguais? 
d)	Esse polígono é regular? Por quê? 

Conclusão: Quando todos os lados têm a mesma medida e todos os ângulos têm a mesma abertura, dizemos que essa figura é um polígono regular. 

Para sair do programa: 
•	Colocar a seta do mouse sobre a palavra x. 
•	Clicar utilizando o botão do mouse do lado esquerdo. 
•	Aparecerá uma janela: Cuidado! 
•	Salvar mudanças em sem nome1.wg3 
•	Colocar a seta do mouse sobre a palavra não e clicar. 

1.4 Modelagem Matemática 

Um caminho para se trabalhar a Matemática na escola, a idéia de modelagem matemática, que pode ser entendida como a habilidade de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.
“A modelagem matemática, percebida como estratégia de ensino, apresenta fortes conexões com a idéia de resolução de problemas apresentada anteriormente” (BRASIL, 2006, p.84) embora algumas outras variáveis devem ser consideradas para que possa ser aplicada em sala de aula considerando o tempo reduzido, o comportamento dos alunos e o conteúdo a ser cumprido. Dentre estas variáveis destacam-se: 
a)	a escolha do tema: o professor deve escolher sozinho ou junto com os alunos um assunto motivador e sobre o qual seja fácil obter dados. 
b)	interação com o tema: considerando a dificuldade de muitos alunos em ter acesso a outros livros que não seja o utilizado pela escola, revistas, internet e de ir a campo fazer pesquisa para obter dados sobre o tema, o professor pode fazer este levantamento elaborando uma síntese e entregando a cada grupo com questões para discussão abordando tanto conceitos do tema quanto conceitos matemáticos. Quando possível levar um alguém que trabalha na área abordada pelo tema. Por exemplo, se for sobre construção civil, levar um pedreiro ou mestre de obras, que pode inclusive ser o próprio parente de um aluno.
c)	planejamento das atividades: as atividades a serem realizadas em cada aula devem ser bem explicadas aos alunos, sintetizadas e que exijam pouco tempo para o professor elaborar e desenvolver em sala ou fora dela. As atividades que exigem maior tempo devem ser feitas em outros momentos escolares como feiras, projetos, etc.     

Articulada com a idéia de modelagem matemática, tem-se a alternativa de trabalho com projetos.[...]. Ele pode iniciar a partir de um problema bem particular ou de algo mais geral, de uma temática ou de um conjunto de questões inter-relacionadas. Mas, antes de tudo, deve ter como prioridade o estudo de um tema que seja de interesse dos alunos, de forma que se promova a interação social e a reflexão sobre problemas que fazem parte da sua realidade. São situações a serem trabalhadas sob uma visão interdisciplinar, procurando-se relacionar conteúdos escolares com assuntos do quotidiano dos estudantes e enfatizar aspectos da comunidade, da escola, do meio ambiente, da família, da etnia, pluriculturais, etc.(BRASIL, 2006, p.85)


Diversos autores descrevem as etapas que constituem o processo da modelagem matemática como método. Conforme Biembengut e Hein (2003) são: a interação, a matematização e o modelo matemático. Essas etapas não obedecem a uma seqüência rígida e nem se findam ao passar para uma etapa seguinte. 
Na interação, ocorre o envolvimento com o tema (a realidade) a ser estudado/problematizado. 
Na matematização, ocorre a “tradução” da situação-problema  para a linguagem matemática através da formulação do problema e de hipóteses, da dedução do modelo matemático e da resolução do problema. É necessário classificar as informações (em relevantes e não relevantes), levantar as hipóteses, selecionar variáveis relevantes e constantes envolvidas, selecionar símbolos apropriados para essas variáveis e descrever essas relações em termos matemáticos. A utilização do computador pode ser imprescindível especialmente no tratamento de processos discretos (BIEMBENGUT e HEIN, 2003).
No modelo matemático, ocorre a interpretação e a validação.  No primeiro momento, analisam-se as implicações da solução do modelo obtido. No segundo momento, verifica-se a adequação à situação-problema investigada (validação). Quando o modelo é válido, é utilizado para compreender, explicar, analisar, prever ou decidir sobre a realidade em estudo. Caso contrário, o processo deve ser retomado na segunda etapa mudando ou ajustando as hipóteses, variáveis ou próprio modelo considerado (BIEMBENGUT e HEIN, 2003).
A elaboração do modelo depende do conhecimento matemático que se tem, do conhecimento da situação analisada, das variáveis selecionadas e dos recursos disponíveis. Quanto mais aspectos forem contemplados, melhor será o modelo obtido, o que implica dizer, que mais próximo da realidade o será (BIEMBENGUT e HEIN, 2003).
Os temas escolhidos abordavam atividades econômicas da região, problemas locais, prestação de serviços e curiosidades dos grupos como habitação, água e esgoto, madeireiras, fábrica de papel, agricultura, plantação de maçãs, suinocultura, criação de peixes, apicultura e comércio (BASSANEZI, 2004; BIEMEBNGUT E HEIN, 2003). 
Uma das tendências dos trabalhos de modelagem matemática no ensino tem sido sua abordagem na Educação Ambiental e o uso de tecnologias de informação e comunicação junto à modelagem.
Após a escolha do tema, o professor utiliza as mesmas etapas e subetapas do processo de modelagem, isto é: interação, matematização e modelo matemático descritas na seção 1.2. 
b) Interação com o tema: consiste no reconhecimento da situação-problema e na familiarização com o assunto a ser modelado. Nesta etapa faz-se um estudo sobre o tema escolhido com objetivo de coletar informações. Essa coleta se dá através de visitas técnicas a órgãos e profissionais, pesquisa na internet, livros, revistas, entrevistas, reportagens de jornais ou experimentos. Caso os alunos não tenham acesso à internet ou para otimizar o tempo, Barbosa (2001, 2004) sugere que o professor se responsabilize pela coleta dos dados necessários para elaboração da situação-problema. 
Conforme Rosa (2005), o professor deve ajudar os alunos a formular questões que permitam desenvolver o conteúdo programático que deseja e que possibilite fazer generalizações com situações correlatas. 
c) Formulação do problema: consiste na tradução da situação-problema para a linguagem matemática. Inclui a formulação das hipóteses, a seleção de variáveis relevantes, a seleção de símbolos apropriados para denotar essas variáveis. Assim, na medida em que se está formulando ou resolvendo o problema, o(s) conteúdo(s) programático(s) vai (vão) sendo desenvolvido(s). Ou seja, a Matemática vai sendo desenvolvida à medida que se faz necessária. (ROSA, 2005). A autora destaca ainda que esta etapa merece bastante atenção pelo professor, pois o processo de transferência da linguagem natural para linguagem matemática realizado pelos alunos é na maioria das vezes uma tarefa que exige muito esforço. 
d) Elaboração dos modelos matemáticos: consiste na representação matemática do problema em questão sendo possível a utilização de expressões numéricas, tabelas, gráficos ou representações geométricas. Deve-se indicar porque algumas características do modelo foram consideradas e outras rejeitadas. A partir do modelo obtido, os alunos podem elaborar estratégias que os auxiliam na explicação, análise e resolução do problema. 
e) Resolução dos problemas matemáticos: consiste no uso de conceitos matemáticos para resolver o problema traduzido através do modelo. Quando possível, deve-se utilizar diferentes técnicas para a resolução do problema, pois os alunos devem explorar todas as abordagens e representações possíveis, estabelecendo suposições e aproximações e comparando os resultados obtidos ao utilizar as diferentes técnicas. Segundo Biembengut e Hein (2003), o professor deve mostrar outros exemplos e propor exercícios para que o conteúdo não se restrinja ao modelo obtido, permitindo assim, que o aluno aprimore a apreensão dos conceitos. 
f) Interpretação da solução: corresponde à etapa de interpretação descrita por Biembengut e Hein (2003). Segundo Rosa (2005), é fundamental que cada aluno/grupo avalie e interprete a solução, verificando a adequação do modelo.  A interpretação da solução envolve uma retomada dos conceitos matemáticos que estão relacionados ao problema. Por isso, recomenda-se que a interpretação do resultado obtido com a resolução do modelo matemático seja realizada de diferentes maneiras: analítica, gráfica, geométrica ou algébrica. 
g) Validação da solução: consiste na comparação entre o resultado obtido pelo modelo matemático e a realidade à qual está vinculada a situação-problema.

Independente da metodologia a ser utilizada o professor deve pensar sempre se a aula proposta está promovendo a construção do conhecimento. “A construção do significado é sempre uma ação de significar, [...], de representar por um signo, através de um processo de abstração.” (MACHADO, 1995, p. 37). Na construção do conhecimento, as abstrações não constituem o início ou fim do processo, são mediações indispensáveis, condição de possibilidade do conhecimento em qualquer área. São responsáveis pela organização de relações crescentemente significativas, viabilizando uma ação mais efetiva sobre a realidade concreta. Sendo assim, torna-se viável a coexistência de diferentes formas de organização do concreto, a partir de diferentes sistemas de abstrações mediadoras. A própria percepção já representa um primeiro momento da abstração. (MACHADO, 1995)
Mas não é apenas o uso de situações contextualizadas ou do uso de material concreto que implicam na construção do conhecimento de modo significativo pelo aluno, mas sim o significado das situações, as ações do indivíduo e sua reflexão sobre essas ações que são importantes na construção do conhecimento matemático (ALENCAR, 2001).
A aprendizagem é dita significativa quando uma nova informação (conceito, idéia, proposição) adquire significados para o aprendiz através da relação que faz entre esta e os conhecimentos prévios existentes na estrutura cognitiva do indivíduo, denominados subsunçores ou conhecimentos âncora (MOREIRA, 1999).
Segundo Vygotsky (1999), a maior dificuldade é a aplicação de um conceito, finalmente apreendido e formulado a um nível abstrato, a novas situações concretas, sendo a transição do abstrato para o concreto uma tarefa tão árdua para o jovem como a transição primitiva do concreto para o abstrato. 
O movimento ... concreto - abstrato - concreto ... é discutido também por D’Ambrósio (2004), ao conceber que entre teoria e prática persiste uma relação dialética e que a pesquisa surge para permitir esta relação. A prática deve ser fundamentada em uma teoria que, naturalmente inclui princípios metodológicos que a contemplam. A prática resultante da pesquisa modificará ou aprimorará a teoria de partida. Nesse sentido, nenhuma teoria é final, assim como nenhuma prática é definitiva, e não há teoria e prática desvinculadas. A aceitação desses pressupostos conduz à dinâmica que caracteriza a geração e a organização do conhecimento: ... teoria prática teoria prática teoria... 
Para Vergnaud, na Matemática, dois campos conceituais são muito importantes por alicerçarem todos os demais conceitos matemáticos: 
-	o campo conceitual das estruturas aditivas: o principio aditivo do sistema de numeração, aumento ou diminuição (ganho, gasto), relação de comparação (ter mais que, ter menos que, maior que menor que);
-	 o campo conceitual das estruturas multiplicativas (o principio multiplicativo do sistema de numeração, múltiplos e divisores de um número, porcentagem, proporção, função linear, função afim, função polinomial de grau n). 
Exemplo:
Conceito: função do 2º grau
S: movimento uniformemente variado, área limitada por um campo de futebol e via de ciclista, etc.
I:
objetos: bola de futebol, bola de basquete, míssel, etc.
propriedades: movimento tem velocidade escalar variando uniformemente no decorrer do tempo
relações: função do 2º grau, velocidade em função do tempo, posição em função do tempo, etc.

R1:Lançamento de projétil
  
Figura 09: Lançamento de projétil

R2: Equação horária MUV:
S(t) = S0 + v 0 t + (a t2)/2  f(x) = ax2+bx+c
S – posição do objeto no instante t
S0 – posição inicial do objeto
v 0 – velocidade inicial do objeto
a – aceleração do objeto

R3: Tabela espaço (S) versus tempo (t) em MUV para So=1 m, Vo=5m/s e a = 10m/s2

t	S
0	1 + 5.0 + (10.02)/2=1 m
1	1 +5.1+(10.12)/2=11 m
2	1 +5.2+(10.22)/2=31 m
3	1 +5.3+(10.32)/2=61 m


R4: Gráfico espaço (S) versus tempo (t) em MUV

 
Figura 10: Gráfico espaço x tempo em MUV


R5: Trajetória de um projétil (a bola de futebol) com os vetores velocidade e suas componentes vetoriais.
 

Figura 11: Trajetória de um projétil com os vetores velocidade e suas componentes vetoriais.
1.5 Etnomatemática
Já a Etnomatemática é conceituada por D’Ambrósio (2004, 2005) a partir das raízes etimológicas tica, matema e etno. Não se trata apenas do estudo de “matemáticas nas diversas etnias” como o nome sugere. 
Corresponde aos distintos modos (techné ou tica) de explicar, de conhecer, de entender, de lidar com, de conviver (matema) com a realidade natural e sociocultural (etno) na qual ele, homem, está inserido. 
A etnomatemática busca restaurar a dignidade de seus indivíduos, reconhecendo e respeitando suas raízes. 

Não se trata de ignorar nem rejeitar conhecimento e comportamento modernos. Mas sim aprimora-los, incorporando a ele valores de humanidade, sintetizados numa ética de respeito, solidariedade e cooperação.
[...]
O enfoque etnomatemático sempre está ligado a uma questão maior, de natureza ambiental ou de produção, [...] raramente se apresenta desvinculada de outras manifestações culturais, tais como arte e religião. (D’AMBRÓSIO, 2000, p.11).


A etnomatemática busca considerar a matemática construída e significada nas práticas culturais dos grupos, bem como compreender as influências desses significados no processo pedagógico.
Na etnomatemática, após escolhido(s) o(s) tema(s), o professor deve preparar seus alunos para a etnografia (pesquisa de campo). Na pesquisa etnográfica o investigador de campo observa e analisa os grupos humanos considerados em sua particularidade, visando sua reconstituição tão fiel quanto possível. (COSTA, 2008).
Mas, Barbosa (2001, 2004) sugere que quando não for possível a pesquisa de campo com os alunos, a coleta de informações pode ser feita através de pesquisas na internet, livros, revistas, jornais pelos alunos ou pelo próprio professor, uma vez que a etapa de elaboração dos modelos, onde o conteúdo matemático será explorado, muitas vezes constitui uma longa etapa que exige um tempo maior. 
Como exemplo, cita-se a pesquisa etnográfica realizada por Caldeira (2007) junto a crianças de 3ª e 4ª séries do ensino fundamental (sala conjugada) de uma escola de zona rural localizada no município de Ajapi, no interior do Estado de São Paulo. O objetivo da pesquisa era “perceber que muitos conhecimentos matemáticos que as crianças apresentavam decorrentes de uma prática social advinham de suas relações culturais, não ‘erros’ conceituais da Matemática, mas elaborações advindas das suas relações socioculturais” (p. 82). Para iniciar as atividades foram sugeridos alguns temas a serem explorados, todos relacionados ao cotidiano da comunidade, tais como construção de pipas; construção de “bichinho de barro” com argila do córrego local; construção de viveiro (para pássaros e galinhas) e construção de uma horta. Dentre estes, o último tema foi escolhido. A partir de questões elaboradas pelas crianças e expressões utilizadas, os conceitos matemáticos de quantidade, grandeza e formas foram surgindo como: Quantas mudas? Quantos bambus? Quantos metros de arame para fazer acerca? Qual o formato do portão? Qual o formato da porta? Quantas sementes em cada cova? (COSTA, 2008). 
Ao buscar conhecer as características sociais de um grupo de agricultores da cidade onde leciona, o professor junto com seus alunos podem identificar elementos históricos que resgatam a formação do grupo. Em muitos casos, estes grupos são formados devido à migração do campo para a cidade, em busca da melhoria de condições de vida e trabalho, uma vez que no campo encontravam-se em situação difícil pela baixa remuneração, péssimas condições de trabalho e falta de financiamento para os pequenos proprietários de terra. (COSTA, 2008)
Ao vivenciar o cotidiano de um grupo de agricultores, os alunos podem compreender como a cultura de um grupo apresenta-se através de um sistema de representação de valores, normas ou referências, construídos por meio das interações entre os indivíduos e entre diferentes grupos, consolidando, assim, os processos pelos quais o saber por eles desenvolvidos chegam a ser socialmente estabelecidos como realidade. (COSTA, 2008)  
O professor pode chamar a atenção dos alunos para o fato de que a linguagem utilizada por estes grupos em relação às medidas lineares (metro), de superfície (metro quadrado) e volume (metros cúbicos) geralmente não são utilizadas corretamente. São diferenciadas pelo contexto, utilizando, por exemplo, o mesmo termo metro, para situações que tratam de distância, superfície e volume. Mas, isso, não causa no grupo nenhum problema de comunicação. Outro fato, é que embora não conheçam as relações matemáticas entre área e volume, mas devido à experiência que possuem, são capazes de saber qual a quantidade de esterco suficiente para toda a roça. Cabe ao professor mostrar como o individuo pode utilizar o conhecimento matemático a serviço da otimização do seu trabalho seja na agricultura, na construção civil, no planejamento financeiro, etc.(COSTA, 2008).
Ao lado da cerâmica, o trançado é um dos itens da cultura material de maior expressividade gráfica. Várias tribos indígenas são notórias pela singularidade de suas cerâmicas, pelo grafismo de seus cestos, pela suas artes plumárias e máscaras rituais. O sistema gráfico wauja, por exemplo, do Parque Indígena do Alto Xingu, na Amazônia Meridional, está estruturado a partir da combinação de cinco elementos gráficos mínimos: 1) triângulos (retângulos e isósceles), 2) pontos, 3) círculos, 4) quadriláteros (losangos, quadrados, retângulos e trapézios) e 5) linhas (retas e curvas). As linhas retas são paralelas uma as outras e ao mesmo tempo perpendiculares para garantir maior firmeza ao cesto. Como em qualquer sistema de arte ornamental, são as combinações padronizadas dos elementos mínimos que determinam a formação de um motivo. (INSTITUTO SOCIOAMBIENTAL, 2001). Na figura 12 tem-se um modelo de cesto indígena de fibra de arumã feito por índios da tribo Waimiri Atroari localizada nas bacias dos rios Jauaperi e Camanaú, no Amazonas e Roraima, respectivamente. A seguir uma descrição de como o professor pode elaborar questões que explorem o aspecto da medida numa visão etnomatemática contida no artigo “Antropologia e etnomatemática: um diálogo possível para o ensino de Matemática”(COSTA, 2008).
 
Figura 12: Cesto indígena
Fonte: IANDÉ (s.d.). 
Além do aspecto da forma, o professor pode elaborar questões que explorem o aspecto da medida. Por exemplo: Como medir o volume de um determinado cesto indígena com base circular e outro com base retangular ou quadrada?
E, ambos os casos, o estudante deverá calcular a área da base (círculo, retângulo ou quadrado) e multiplicar pela altura do cesto. Se o cesto tiver base circular, para calcular a área da base será necessário medir o diâmetro do circulo. Denominando d o diâmetro do círculo (em cm) e h a altura do cesto, a área total será:
 
Se o cesto for um prisma de base retangular ou quadrada, para calcular a área da base terá que medir a largura e o comprimento da base (no caso do quadrado possuem medidas iguais). Denominando a e b a largura e o comprimento, respectivamente, da base do cesto a área total será:
 
Mas, o professor deve chamar a atenção para o fato de que muitos cestos possuem a base quadrada, mas o topo é circular como mostra alguns dos cestos da Figura 12. Nesses casos, o volume dos cestos ficará entre o volume do prisma e o volume do cilindro (supondo que a área do quadrado na base seja menor que a área do circulo no topo do cesto). 


CAPÍTULO 2 - ANÁLISE CRÍTICA DE PROPOSTAS DE ENSINO DE MATEMÁTICA NÍVEL MÉDIO (PCNEM). 

Historicamente o processo de ensino e aprendizagem, mais presente nas nossas salas de aula de Matemática, identifica o ensino com transmissão de conhecimento, e aprendizagem com mera recepção de conteúdos. Nessa concepção, a aprendizagem é vista como um acúmulo de conhecimentos, e o ensino baseia-se essencialmente na “verbalização” do conhecimento por parte do professor, copiando as definições, exemplos e exercícios do livro didático para o quadro, cabendo como papel apenas explicar o que foi copiado. Se por um lado essa concepção apresenta a vantagem de se atingir um grande número de alunos ao mesmo tempo e em menor tempo, por outro lado demanda alunos bastante motivados e atentos à palavra do professor, o que não parece ser o caso para grande parte de nossos alunos, que estão imersos em uma sociedade que oferece uma gama de outras motivações. (BRASIL, 2006).

Uma segunda corrente, ainda pouco explorada em nossos sistemas de ensino,
transfere para o aluno, em grande parte, a responsabilidade pela sua própria aprendizagem, na medida em que o coloca como ator principal desse processo. Neste caso a aprendizagem se realiza pela construção dos conceitos pelo próprio aluno, que ao confrontar suas concepções, constrói os conceitos pretendidos pelo professor. Dessa forma, caberia a este o papel de mediador, ou seja, de elemento gerador de situações que propiciem esse confronto de concepções. (BRASIL, 2006, p.80-81)


“...É preciso dar prioridade à qualidade do processo e não à quantidade de conteúdos a serem trabalhados”. (BRASIL, 2006, p. 71). Independente da corrente adotada a metodologia adotada pelo professor para ensinar passa pela transposição didática do conteúdo que pode ser interna ou externa à escola conforme o esquema seguinte.

 

O conceito de transposição didática também aparece intimamente ligado à idéia de contextualização. É na dinâmica de contextualização/descontextualização que o aluno constrói conhecimento com significado. A contextualização pode ser feita por meio da resolução de problemas, mas é preciso estar atento aos problemas “fechados”, porque esses pouco incentivam o desenvolvimento de habilidades. Nesse tipo de problema, já de antemão o aluno identifica o conteúdo a ser utilizado. (BRASIL, 2006, p.83). 


Ao contrário da prática de muitos professores baseada em definição-exemplos- exercicios, os PCNEM defendem que “as idéias sócio-construtivistas da aprendizagem partem do princípio de que a aprendizagem se realiza pela construção dos conceitos pelo próprio aluno, quando ele é colocado em situação de resolução de problemas.” (BRASIL, 2006, p.81). Neste caso, a formalização do conceito torna-se a última etapa do processo de aprendizagem. 


CAPÍTULO 3 - ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS UTILIZADOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA AO NÍVEL MÉDIO. 

O livro didático continua sendo até hoje o recurso mais disponível para o professor e para o aluno com a função de fornecer conhecimento sistematizado e uniforme para os alunos, auxiliar o professor no desenvolvimento de sua aula.
A partir de 1996, o Ministério da Educação passou a avaliar e publicar uma lista com os livros didáticos recomendados por uma equipe de especialistas encarregada de analisa-los. Tais avaliações dos livros didáticos e as mudanças nas políticas governamentais de educação - as diretrizes pedagógicas para o ensino fundamental e para o ensino médio, propostas pelo MEC em 1997 e expostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) - provocaram um intenso debate nos meios educacionais.
O livro a ser utilizado pelo professor no planejamento de sua aula pode ser transformado como fonte dinâmica do processo de aprendizagem do aluno na medida em que pode a partir de questões contextualizadas ou não, torná-las contextualizadas, extrair o(s) tema(s) relacionados aquela questão, discutir sobre ele com os alunos, levantar hipóteses, construir o objeto envolvido na questão para que o aluno visualize melhor e/ou utilize conceitos matemáticos prévios na sua construção. 
Por exemplo, se uma questão do livro fornece o desenho de um paralelepípedo retângulo com suas dimensões e pede para se calcular o seu volume o professor pode solicitar na aula anterior para os alunos levarem caixas de diferentes tamanhos para serem medidos os volumes e feito um desenho esquemático representando cada caixa com suas dimensões utilizando o conceito de escala. Pode ainda ensiná-los a construir uma caixa mostrando a forma planificada. Pode levantar questões de como saber o custo para se fazer uma caixa com determinado material e se o material utilizado na tampa, por exemplo, for diferente daquele utilizado nas laterais, e se a caixa não tiver tampa, etc. Pode verificar objetos maiores que necessitem da utilização do metro cúbico como unidade de medida de volume como a carroceria do caminhão para carregar areia, seixo, madeira, uma piscina, etc.
Sendo assim, a mudança na utilização do livro didático pelo professor ocorre quando este se conscientiza de que o livro didático é apenas um apoio, um complemento ao trabalho em sala de aula e não um instrumento de reprodução para as aulas.
A seguir algumas orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) de Matemática para análise do livro didático em relação aos objetivos de Matemática no nível médio:
•	[...] compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam o desenvolvimento de estudos posteriores e a aquisição de uma formação científica geral;
•	aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, no contexto das ciências, da tecnologia e das atividades cotidianas;
•	analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, de outras áreas do conhecimento e da atualidade;
•	desenvolver as capacidades de raciocínio e de resolução de problemas, e de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;
•	utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;
•	expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática;
•	estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;
•	reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações;
•	promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação.

Outros critérios específicos a serem considerados:
•	conteúdo matemático - se o livro aborda os conceitos de forma correta, clara, sistematizada, com certo rigor; se possui adequada distribuição dos tópicos, equilíbrio entre os conceitos e procedimentos, e de acordo com a realidade; se permite ligação do conteúdo a ser explorado com outros já explorados e com diferentes áreas da Matemática; se há relação entre os conhecimentos novos e aqueles já adquiridos; se há contextualização histórica do conteúdo
•	linguagem utilizada - se tem uma linguagem acessível, com texto não cansativo ao leitor, adequada ao conteúdo e à faixa etária comum aos alunos da série;
•	 formação de conceitos, habilidades e atitudes -  se o livro estimula a utilização de outros recursos didáticos, incentiva a interação entre os alunos, reconhece o papel do aluno e seus conhecimentos anteriores, além de permitir a ligação da Matemática com outras áreas do conhecimento;
•	criatividade - se tem uma abordagem que faça os alunos se sentirem motivados para os assuntos do texto e apresentem soluções aos problemas, estimulando-os  a pensarem;
•	inclusão de exercícios, atividades e problemas de acordo com os conceitos apresentados, em vários níveis de dificuldade, usando diferentes maneiras para resolvê-los e diferentes situações e contextualizadas;
•	diagramação - se é agradável para o aluno e para o professor, se as ilustrações estão de acordo com o texto, sendo apresentada através de diferentes formas (fotos de imagens reais, desenhos, tabelas, diagramas, etc) enriquecendo-o e facilitando sua compreensão;

Atividade:
- Escolha uma unidade de Matemática do livro didático para ensino médio. 
- Faça uma leitura atenta desde o conteúdo até os exercícios identificando e justificando quais objetivos sugeridos nos PCNEM de Matemática são atendidos e quais não são, localizando no texto da unidade trechos que demonstram tal fato. 


CAPÍTULO 4 - AVALIAÇÃO NO PROCESSO ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA NO NÍVEL MÉDIO. 

A avaliação em uma abordagem construtivista, contextualizada visa uma aprendizagem significativa dos conceitos, da formação de habilidades e competências. Neste sentido, Moretto (2003) diz que aprender significativamente é

... dar sentido à linguagem que usamos, é estabelecer relações entre os vários elementos de um universo simbólico, é relacionar o conhecimento elaborado com os fatos do dia-a-dia, vividos pelo sujeito da aprendizagem ou por outros sujeitos. (MORETTO, 2003, p. 17)

No entanto, embora a avaliação possa ser feita de formas diversas, com instrumentos variados, a prova escrita ainda é, em nossa cultura, o mais comum deles. Apesar das limitações que esse instrumento de avaliação possui, é possível ampliar seu alcance, transformando-a também em momento de aprendizagem, especialmente em relação ao desenvolvimento das competências de leitura, interpretação e produção de textos pelos alunos, ou ainda da argumentação e posicionamento crítico frente às produções de seus colegas.
  Nessa perspectiva, algumas características destacadas pelos PCN’s em relação à avaliação no ensino podem ser adotadas no ensino de biologia como abordagem de questões que incluam a capacidade de observar e interpretar situações dadas, de realizar comparações, de estabelecer relações, de proceder registros ou de criar novas soluções com a utilização das mais diversas linguagens. E nesse sentido, a prova pode conter questões elaboradas pelos alunos a partir da orientação do professor. 
As provas do Exame Nacional do Ensino Médio, por exemplo, refletem este novo tipo de prova cujas questões muitos alunos não foram capacitados para interpretá-las e resolvê-las. Por sua vez, muitos professores não tiveram formação que os capacitassem para este tipo de ensino contextualizado.
A seguir duas questões do ENEM 2010- matemática que refletem a importância das questões contextualizadas nas avaliações dos alunos e que o professor pode utilizá-las como exemplos e exercícios  complementares ao livro didático e como fonte para o desenvolvimento  do trabalho com modelagem 


  






 


 
  



CAPÍTULO 5 - ESTUDO DE ALTERNATIVAS METODOLÓGICAS PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA AO NÍVEL MÉDIO.
Atividade:
Escolha um conteúdo de uma unidade didática diferente dos explorados nos capítulos anteriores e/ou em sala de aula e elabore 1 plano de aula utilizando pelo menos uma das metodologias para o ensino de Matemática no nível médio: História da Matemática, Lúdico, Resolução de Problemas, Tecnologia, Modelagem Matemática, Etnomatemática. 

Plano de Aula nº01
Data: ___/____/____
Conteúdo: 
Conceitos abordados:
Objetivo(s): 
Metodologia: são metodologias: história da matemática, modelagem matemática, jogos, material concreto, tecnologia (vídeo ou informática).
Recursos: (no caso de utilizar livros didáticos indicar a referência completa incluindo as páginas)
São recursos didáticos: quadro negro, retroprojetor, projetor multimídia, calculadora, livro didático, jornal, cartolina, etc. São ambientes: biblioteca, videoteca, laboratório de informática, etc. 
Atividade 1: Descrever passo a passo como irá explorar o conteúdo de cada aula a partir da metodologia e dos recursos utilizados. 

Obs:
1) Caso tenha utilizado material concreto inserir foto do material utilizado no corpo do texto e caso tenha sido confeccionado inserir os materiais, o modelo e a descrição do procedimento de confecção no Anexo D (se o procedimento para confecção não foi de sua autoria) ou Apêndice C (se o procedimento para confecção foi de sua autoria). 
2) Caso tenha utilizado texto de revista, jornal, internet ou livro (em historia da matemática ou modelagem) inserir no Anexo D;
3) Caso tenha utilizado jogo inserir no Anexo D (se o procedimento para confecção não foi de sua autoria) ou Apêndice C (se o procedimento para confecção foi de sua autoria) os materiais, as regras, a quantidade de componentes, o modelo e a descrição do procedimento de aplicação do jogo.
4) Caso tenha utilizado tecnologia informática inserir as telas que mostram o desenvolvimento passo a passo da atividade no corpo do texto.
5) Caso tenha sido utilizado vídeo fazer uma sinopse no corpo do texto destacando os trechos do vídeo que foram utilizados para abordar o(s) conteúdo(s) e como isso foi feito:
Ex.: 
1º trecho: descrição da situação apresentada no vídeo.
Discussão: descrição de como utilizou a situação apresentada no vídeo para explorar o(s) conceito(s) matemático(s). 
2º trecho:
Discussão: 

CAPÍTULO 6 - ORIENTAÇÕES PARA ELABORAÇÃO DO RELATÓRIO DO ESTÁGIO SUPERVISIONADO.

- Pesquisar sobre os estudos já realizados por outros autores acerca da metodologia de ensino utilizada durante a intervenção na escola (História da Matemática, Lúdico, Material Concreto, Resolução de Problemas, Tecnologia, Modelagem Matemática, Etnomatemática) 
- Pesquisar sobre as Orientações dos PCNEM 
- Pesquisar sobre a metodologia da pesquisa (qualitativa)
- Escolher uma escola de ensino médio para realizar o estágio 
- Coletar dados sobre a escola: a estrutura física da escola em relação as suas dependências (sala de aula, banheiros, cantina, secretaria, sala dos professores, ginásio, biblioteca, laboratório de informática, laboratório de ciências, videoteca); as atividades e os projetos desenvolvidos durante o ano letivo especificando os objetivos, como são aplicados e quem participa.
- Escolha uma turma (no mínimo) de ensino médio da escola escolhida.
- Verifique qual(is) conteúdo(s) da turma escolhida irá elaborar 4 planos de aula utilizando no mínimo uma das metodologias para o ensino de Matemática no nível médio: História da Matemática, Lúdico, Material Concreto, Resolução de Problemas, Tecnologia, Modelagem Matemática, Etnomatemática. 
Obs.: O 4º plano de aula deve ser destinado à avaliação feita através de uma prova elaborada pelo professor e da avaliação de atividades conforme modelo fornecido na disciplina.
- Aplicar os 4 planos de aula na turma(s) escolhida.
- Aplicar os questionários de avaliação das atividades do professor.
- Analisar os resultados obtidos durante as aulas, na prova e nos questionários de avaliação das atividades do professor.
 - Elaborar o relatório conforme modelo do relatório.


 
REFERÊNCIAS


ALENCAR, E. S. de. Novas Contribuições da Psicologia aos Processos de Ensino e Aprendizagem. 4 ed. São Paulo: Cortez, 2001.

BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: Contribuições para o debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24., 2001, Caxambu. Anais eletrônicos... Rio Janeiro: ANPED, 2001. 1. Disponível em:  Acesso em: 28/12/2006.

BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como? In: Veritati, n. 4, p. 73-80, 2004. Disponível em:  Acesso em: 25/03/2007.

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 2. ed. São Paulo: Contexto, 2004. 

BIEMBENGUT, M. S; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 3 ed. São Paulo: Contexto, 2003. 

BRASIL. Orientações curriculares para o ensino médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação e Cultura, 2006.

CALDEIRA, A. D. Etnomodelagem e suas relações com a educação matemática na infância. In: BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAUJO, J. de L. (Org.). Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM, 2007. cap. 5, p. 81-97.

COSTA, H. R. da. Antropologia e etnomatemática: um diálogo possível para o ensino de Matemática. In: Revista do Centro de Educação. Universidade Federal de Santa Maria. v. 33, n03, p.509-524. 2008.

D’ AMBROSIO, U. Educação Matemática. 11 ed. Campinas, São Paulo: Papirus, 2004. 

IANDÉ.  Casa das Culturas Indígenas: 
a arte do Brasil feita em comunidades tradicionais. Disponível em: < http://www.iande.art.br/loja/trancado/waimiricesto2128f.htm> Acesso em: 22/07/2008.

INSTITUTO SócioAmbiental. Wauja. In: Enciclopédia Povos indígenas do Brasil. 2001. Disponível em: . Acesso em 12/07/2008. 

LARA, I. C. M. de. Jogando com a matemática de 5ª a 8ª série. 3 ed. São Paulo: Rêspel, 2003  

MACHADO, N. J. Epistemologia e Didática. 5. ed. São Paulo: Cortez Editora, 1995.  

MENEZES, C. S. et al.. Formação de Recursos Humanos em Telemática para Educação - Uma experiência com EAD usando a Internet. In: 1ST LATIN AMERICAN WEB CONGRESS, Santiago, 2003. Proceedings of 1st Latin American Web Congress, 2003. Disponível em: http://www.la-web.org/2003/stamped/22_menezes_c.pdf. Acesso em: 06 nov. 2007.

MOREIRA, M. A. Teorias de Aprendizagem. São Paulo: EPU, 1999. 195 p.	

MORETTO, Vasco Pedro. Prova - um momento privilegiado de estudo - não um acerto de contas.  3ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2003.

ROSA, M. Currículo e matemática: algumas considerações na perspectiva etnomatemática. In: Plures - Humanidades, Ribeirão Preto, n.6, p.81-96, 2005. Disponível em: http://mestrado.mouralacerda.edu.br/plures/Plures2005internet.pdf. Acesso em 30 jun. 2007.

VALENTE, J. A. (Org.) O computador na sociedade do conhecimento. In: Informática para a mudança na Educação (Coleção). Ministério da Educação. Secretaria de Educação à distância. Programa Nacional de Informática na Educação. 1999. 

VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente. Tradução José Cipolla Neto et al.. 4 ed. São Paulo: Martins Fontes, 1991.