Operações com números complexos
Autor: Panda | Publicado: 2012-02-13T17:36:00-08:00




A construção dos números complexos passou por diversos obstáculos, que levaram em média 300 anos para serem vencidos, desenvolvendo, assim, teorias referentes a esse conjunto numérico.

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A origem de i ao quadrado igual a -1




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No estudo dos números complexos deparamo-nos com a seguinte igualdade: i2 = – 1.&nbsp;



A justificativa para essa igualdade está geralmente associada à resolução de equações do 2º grau com raízes quadradas negativas, o que é um erro. A origem da expressão i2 = – 1 aparece na definição de números complexos, outro assunto que também gera muita dúvida. Vamos compreender o motivo de tal igualdade e como ela surge.




Primeiro, faremos algumas definições.



1. Um par ordenado de números reais (x, y) é chamado de número complexo.

2. Os números complexos (x1, y1) e (x2, y2) são iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2.

3. A adição e a multiplicação de números complexos são definidas por:



(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 ,&nbsp; y1 + y2)



(x1, y1)*(x2, y2) = (x1*x2 – y1*y2 ,&nbsp; x1*y2 + y1*x2)



Exemplo 1. Considere z1 = (3, 4) e z2 = (2, 5), calcule z1 + z2 e z1*z2.

Solução:

z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)

z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)



Utilizando a terceira definição fica fácil mostrar que:

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)

(x1 , 0)*(x2, 0) = (x1*x2, 0)



Essas igualdades mostram que no que diz respeito às operações de adição e multiplicação, os números complexos (x, y) se comportam como números reais. Nesse contexto, podemos estabelecer a seguinte relação: (x, 0) = x.



Usando essa relação e o símbolo i para representar o número complexo (0, 1), podemos escrever qualquer número complexo (x, y) da seguinte forma:



(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy&nbsp;→ que é a chamada de forma normal de um número complexo.



Assim, o número complexo (3, 4) na forma normal fica 3 + 4i.



Exemplo 2. Escreva os seguintes números complexos na forma normal.



a) (5, – 3) = 5 – 3i

b) (– 7, 11) = – 7 + 11i

c) (2, 0) = 2 + 0i = 2

d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i



Agora, observe que chamamos de i o número complexo (0, 1). Vejamos o que ocorre ao fazer i2.

Sabemos que i = (0, 1) e que i2 = i*i. Segue que:

i2 = i*i = (0, 1)*(0, 1)

Utilizando a definição 3, teremos:

i2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0)



Como vimos anteriormente, todo número complexo da forma (x, 0) = x. Assim,

i2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0) = – 1.

Chegamos à famosa igualdade i2 = – 1.




Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.



Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).



Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.




Adição

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2
(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)
6 + 5i + 2 – i
6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.


Subtração

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2
(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)
4 + 5i + 1 – 3i
4 + 1 + 5i – 3i
5 + (5 – 3)i
5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.


Multiplicação

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2
(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi2
ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd
ac - bd + adi + bci
(ac&nbsp;- bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)I.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i2 
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.

Divisão
Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como: 

Dado dois números complexos z1 e z2, para efetuarmos a divisão dos dois devemos seguir a seguinte regra: 
z1 : z2 = z1&nbsp; . &nbsp; &nbsp;z2&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; z2&nbsp; &nbsp; &nbsp;z2&nbsp;
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