Hotel de Hilbert: mesmo lotado, ainda há vagas!
Autor: Clave de Pi | Publicado: 2011-08-30T19:04:00-03:00

 	 	
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Olá pessoal!
A matemática apesar de ser bem lógica e formal, existem algumas coisas que às vezes não parece ter lógica inicialmente, e uma dessas é a Teoria dos conjuntos. Você sabe o que é infinito?
Leia este pequeno texto e comente o que você achou:
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;David Hilbert foi um grande entusiasta das descobertas de Cantor, chegando a afirmar que “ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós”. Para ilustrar o conceito de infinitude e enumerabilidade, Hilbert imaginou um hotel de infinitos quartos. Vamos explorar a ideia de Hilbert com uma dose extra de ficção.




&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; O Hotel de Hilbert fica ao bordo do Mar Mediterrâneo, em Saint Tropez, na badalada Cote d'Azur. Seu edifício, cinza e branco, construído em 1925 é um belo exemplo de estilo art-déco dos anos 20 e 30 do século XX. Grande e confortável, o hotel tem uma infinidade enumerável de quartos suficientes para hospedar clientes dos mais diversos gostos. Desde aqueles em busca de dias tranquilos e ensolarados aos que preferem noites em boates agitadas. O gerente, o próprio David Hilbert, é um homem muito gentil, de barba bem tratada que nunca é visto sem seus óculos e chapéu branco.&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Como é alta temporada, o hotel está lotado. Porém, o painel localizado em sua entrada informa que há vagas disponíveis! Chega um homem de camiseta florida, carregando uma pequena e elegante valise marrom. Ele pede um quarto a Hilbert que responde:&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; -Apesar de o hotel estar completamente lotado, providenciarei um quarto vazio para o senhor. &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Aguarde um minuto por favor.&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Aproveitando que os hóspedes são muito solícitos, pelo auto falante, Hilbert se dirige a eles:&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;-Perdoem-me por incomodá-los. 		Gostaria de pedir a cada um de vocês que troque de quarto. Quem 		está ocupando o quarto n passará ao quarto n+1. Grato pela 		compreensão.&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; E o cliente satisfeito, se instala no quarto número 1.&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;A época é de muita procura. Chega um ônibus de excursão com uma infinidade enumerável de cadeiras. Todas estão ocupadas mas, de acordo com as restritas normas de segurança do lugar, ninguém viaja em pé. O animador grupo, facilmente reconhecível por sustentar uma pequena flâmula vermelha com marca da agência, dirige-se a Hilbert solicitando os quartos que havia reservado para seus clientes.Confirmando a reserva, Hilbert solicita um minuto para providênciar os quartos. Novamente pelo alto-falante, dirige-se aos hóspedes:&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; -Perdoem-me por incomodá-los outra vez. Peço novamente que troquem de quarto, mas desta vez obedecendo a seguinte regra: quem estiver ocupando o quarto n mudará para o quarto 2n. Mais uma vez agradeço a compreensão.&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Hilbert informa ao animador que ele e seu grupo podem acomodar-se. Quem está na caderá m ocupará o quarto 2m-1.&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Fim do verão e o hotel se esvazia. Outra excursão chega. O animador, com bandeira amarela, é menos experiente que seu colega e não reservou os quartos antecipadamente, pois acreditava em baixa ocupação no outono. O ônibus está cheio mas, novamente não há pessoas em pé. Além disto, para cada número real há uma cadeira no ônibus com aquele número! Hilbert informa que, apesar do hotel estar completamente vazio, não há vagas suficiente para acomodar a todos. E, amavelmente, sugere o Hotel Real que é maior que o seu.

Texto extraído do Livro de Análise Real&nbsp;&nbsp;Cassio Neri e Marco Cabral disponível para download em :&nbsp;http://www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros/analise-livro.html
Para saber mais:&nbsp;http://www.uff.br/grupodelogica/hotel_hilbert_slides.pdf

Clave de Pi- "O conhecimento é a harmonia da vida."