TEORIA DAS PROBABILIDADES
Autor: Claudio | Publicado: 2011-07-26T19:58:00-03:00




TEORIA DAS PROBABILIDADES



Prof. Claudio Cunha

Introdução

Consideremos os seguintes experimentos:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Aquecimento&nbsp; que da água contido em uma panela;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ;Queda livre de um corpo.



Conhecidas certas condições, podemos prever a temperatura em que a água entrará em ebulição e a velocidade com que o corpo atingirá o solo.

Os experimentos cujos resultados podem ser previstos, isto é, podem ser determinados antes da sua realização, são denominados &nbsp;experimentos determinísticos.

Consideremos também os experimentos:

&nbsp;&nbsp;&nbsp; ;Lançamento de uma moeda e leitura da figura da face voltada para cima;

&nbsp;&nbsp;&nbsp; ;Lançamento de um dado comum e leitura do número voltado para cima;

&nbsp;&nbsp;&nbsp; ;Nascimento de uma criança;

&nbsp;&nbsp;&nbsp; ;Sorteio de uma carta do baralho.

Se esses&nbsp; experimentos forem repetidos várias vezes, nas mesmas condições, não poderemos prever o seu resultado.

Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentarem resultados variados, não sendo possível, portanto, a previsão lógica dos resultados, são denominados experimentos aleatórios.

Um experimento aleatório apresenta as seguintes características fundamental Podem repetir-se várias vezes nas mesmas condições;

&nbsp;&nbsp;&nbsp; É conhecido o conjunto de todos os resultados possíveis;

&nbsp;&nbsp;&nbsp; ;Não se pode prever qual o resultado.

Os experimento aleatório&nbsp; estão sujeitos&nbsp; à lei do acaso.

Como não podemos prever o resultado, procuraremos descobrir as possibilidades de ocorrência de cada experimento aleatório.

A teoria da probabilidade estuda a forma de estabelecer as possibilidades de ocorrência de cada experimento aleatório.

ELEMENTOS ;ESPAÇO AMOSTRAL – É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por&nbsp;&nbsp; U.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; EVENTO - &nbsp;É qualquer subconjunto do espaço amostral.



Vejamos alguns exemplos.

1º exemplo: Determinar o espaço amostral&nbsp; nos seguintes experimentos.

Jogar-se uma moeda e&nbsp; lê-se a figura da face voltada para cima.

Joga-se um dado comum e lê-se o número voltado para cima.

Jogam-se duas moedas diferentes e lêem-se as figuras das faces voltadas para cima.

RESOLUÇÃO:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;U = {cara, coroa}

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;U = {1,2,3,4,5,6 }

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;U=&nbsp; { (cara, cara) (cara, coroa) (coroa, coroa) (coroa, cara)}

2º exemplo: Seja uma urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas&nbsp; vermelhas.&nbsp; Dessa urna são retiradas, sucessivamente, 3 bolas. Calcular&nbsp; explicitando os elementos dos seguintes eventos.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; As três bolas têm a mesma cor.

&nbsp;&nbsp;&nbsp; ;Duas das bolas são pretas.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; As três bolas são vermelhas.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O número de bolas pretas é igual ao número de bolas vermelhas.

RESOLUÇÃO:;1ª bola&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2ª bola&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3ª bola

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

O Espaço Amostral&nbsp; será:


U = {(PPP), (PPV), (PVP), (PVV), (VPP), (VPV), (VVP), (VVV)}

&nbsp;&nbsp; &nbsp;{(PPP), (VVV)}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; b) {(PPV), (PVP), (VPP)}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; c)&nbsp; {(VVV)};&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; d)&nbsp; Æ





&nbsp;

Exercícios de aprendizagem



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Dê o espaço amostral dos seguintes experimentos:

Lançamento simultâneo de três moedas. Faça: C = cara, K = coroa;
;Distribuição dos 4 filhos de uma família, quanto ao sexo, por ordem de nascimento.



Considere o experimento: lançamento de dois dados, um branco e outro verde, e observação da face superior. Determine ;O espaço amostral.

&nbsp; O evento: ocorrência de números iguais nos dois lados
&nbsp; O evento: ocorrência de números cuja soma seja 5.



TIPOS DE EVENTOS 

Considere o experimento aleatório: lançamento de um dado comum e observação do número voltado para cima.

O espaço amostral será: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

&nbsp;&nbsp;&nbsp; ;EVENTO CERTO: É o próprio espaço amostral.

Exemplo:&nbsp; Evento A ® ocorrência de um número menor de 8

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; EVENTO IMPOSSÍVEL: É o subconjunto vazio do espaço amostral.

Exemplo: evento B ® ocorrência de um número maior que 10.

B =Æ

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; EVENTO UNIÃO: &nbsp;É a reunião de dois eventos.

Exemplo:&nbsp; 

Evento A ® ocorrência de um número impar Þ E = {1, 3, 5}

Evento B ® ocorrência de um número par primo Þ B = {2}

Evento &nbsp;A È B ® ocorrência de um número ímpar ou de um número par primo ®&nbsp; A U&nbsp;&nbsp;B = {1, 2, 3, 5}

&nbsp;&nbsp;&nbsp; ;EVENTO INTERSECÇÃO: &nbsp;É a intersecção de dois eventos.

Exemplo: 

Evento A ® ocorrência de um número par Þ A = {2, 4, 6}

Evento B ® ocorrência&nbsp; de um número múltiplo de 4 Þ B = {4}

Evento&nbsp; A Ç B ® ocorrência de um número par e múltiplo de 4 Þ AÇB = {4}

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; EVENTO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: São aqueles que têm conjuntos disjuntos.

Exemplos:

Evento D ® ocorrência de número par Þ D = {2, 4, 6}

Evento E ® ocorrência&nbsp; de número ímpar Þ E = {1, 3, 5}

D Ç E =Æ

;EVENTO COMPLEMENTARES: &nbsp;São dois eventos&nbsp; A e ¯A&nbsp; tais que:

A È¯A = U (o evento união é o próprio espaço amostral)

A Ç ¯A = Æ ( o evento intersecção é o conjunto vaio).



Exemplos:

Evento A ® ocorrência de número par Þ A = {2, 4, 6}

Evento ¯A ® ocorrência&nbsp; de número ímpar Þ ¯A = {1, 3, 5}

Observe que:&nbsp; A È ¯A = U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A Ç¯A = Æ





EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM


Em uma caixa há 5 papeletas, numeradas de 1 a 5. Retiram-se duas delas ao acaso e calcula-se a soma dos números escritos.

Determine os eventos:

Obter uma soma par e múltipla de 3.
Obter uma soma ímpar ou múltipla de 3.

Obter uma soma múltipla de 7.



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Considere o lançamento de dois dados, um branco e um vermelho.

Dados ® os eventos

A : sair&nbsp; 5 no dado branco e&nbsp; 

B : sair&nbsp; 5 no dado vermelho,

Calcule:

A È B&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;b)&nbsp;&nbsp; A Ç B&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; c)&nbsp;&nbsp; ¯A





PROBABILIDADE DE UM EVENTO

Se, num fenômeno aleatório, o número de elemento do espaço amostral é n(U) &nbsp;e o número de elementos do evento&nbsp; A é&nbsp; n(A), então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número&nbsp; P(A) tal que:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; P(A)&nbsp; =&nbsp; &nbsp;n(P)/n(U)

Esta definição é válida, quando o espaço amostral U for equiprobabilístico,isto é, quando todos os elementos de U tiverem a mesma probabilidade.





Notas:

1ª) P (Æ) = 0 e P(U) = 1

2ª) Como 0 £ n (A) £ n (U)-se , tem-se: 0 £ P (A) £ 1.

3ª) É comum&nbsp;&nbsp; representarmos as probabilidades&nbsp; em porcentagem.

Por exemplo, em vez de dizermos P(A) = 1/2,&nbsp; podemos dizer P (A) = 50%.

Vejamos alguns exemplos.

1º exemplo; No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O número 2;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; b) um número par;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; c) um número múltiplo de 3.



Resolução:

O&nbsp; espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U)= 
;Ocorrência do número 2: ®&nbsp;&nbsp; A = {2}, portanto n(A) = 1

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; P(A) = n(A)/n(U)&nbsp;=&nbsp; 1/6&nbsp;= 0,1666 ou P(A)&nbsp; = 16,66%

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ocorrência&nbsp; de número par:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; B = {2, 4, 6}, portanto n(B) = 3



P(B) =n(B)/n(U)&nbsp;=&nbsp; 3/6&nbsp;&nbsp;= 1/2&nbsp;&nbsp;=&nbsp; 0,5 &nbsp;ou P(B) = 50% 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ocorrência de número múltiplo de 3:

C = {3, 6}, portanto n(C) = 2



P(C ) = n(C)/n(U)&nbsp;= 2/6&nbsp;= 1/3&nbsp;=&nbsp; 0,3333 ou P(C) = 33,33%

Exercício:

De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas.

&nbsp;Determinar a probabilidade dos eventos:&nbsp;

.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;As &nbsp;dua cartas são damas

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; As duas cartas são de ouros.

Resolução:

Cálculo do número de elementos do espaço amostral:

1ª possibilidade&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2ª possibilidade

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 52&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 51&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Þ n(U) = 52 .51 = 2652



Cálculo do número de elementos do evento A: duas damas.

Temos 4 damas : portanto:&nbsp; A4,2= 4 . 3 = 12&nbsp;&nbsp;&nbsp; Þ n(A) = 12

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; n(A)/n(U)&nbsp;&nbsp;= 12/2652&nbsp;&nbsp;= 1/221&nbsp;



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Cálculo do número de elementos do evento B: duas cartas de ouros.

Temos 13 cartas de ouros, portanto A13,2 = 13 . 12 = 156



P(B) = N(B)/N(U)&nbsp;&nbsp;= 156/2652&nbsp;= 13/221&nbsp;= 1/17



Exercícios&nbsp; de aprendizagem



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ;No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:

O número 1.

&nbsp;Um número primo.

&nbsp;Um número divisível por 2.
Um número menor que 5.

Um número maior&nbsp; 6.



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a probabilidade dos&nbsp; seguintes eventos:

;Os números são iguais;

A soma dos números é igual a 9.



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Um m ás, baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas uma após outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja um ás, sabendo-se que é um ás?

&amp;De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso&nbsp; uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja:

;Uma dama.

;Uma dama de paus.

;Uma carta de ouros.