Números Triangulares, Quadrados e Retangulares
Autor: Leonardo S. F. dos Santos | Publicado: 2012-01-13T22:34:00-02:00



Este artigo foi originalmente publicado na revista Espiral, na edição de outubro-novembro-dezembro de 2008:

http://abradic.com/espiral/&nbsp; 

Autor: Dr.
Leonardo S. F. dos Santos

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&nbsp;&nbsp; Um número não
pode ser associado a algum lugar do espaço. Por exemplo, em
algum lugar existem duas pessoas, duas maçãs, duas
cadeiras mas o dois em si mesmo não está em lugar
algum. O mesmo pode ser dito dos demais números.






&nbsp;&nbsp; Pode um número
que não ocupa nenhum lugar no espaço ter uma forma
espacial? O número em si não pode, mas suas
representações podem adequar-se a certas formas.






&nbsp;&nbsp; Um forma ingênua
de associar um número a uma forma é desenhando
segmentos de retas. O 1 é representado por um ponto. O número
2 é representado como um segmento de reta. Já o número
3 é representado por um triângulo, o 4 por um quadrado,
o cinco por um pentágono e assim por diante.






&nbsp;&nbsp; Mas no século VI
a.C., um grupo de filósofos matemáticos gregos, os
discípulos de Pitágoras, já tinham uma forma
mais sofisticada de associar números a formas. Porém o
próprio conceito de número era diferente do atual.
Número não era abstração, mas aquilo que
estruturava o "cosmo". O 1 não era número
porque ele era a própria unidade. O primeiro número era
o 2 porque era a primeira manifestação da
multiplicidade. O 3 era o segundo número e assim por diante.
Além disso, os pitagóricos desconheciam o zero.






&nbsp;&nbsp; Se Pitágoras
existiu de fato ou se foi personagem lendário é uma
questão em aberto. Mas a matemática pitagórica
persiste na atualidade. A atribuição de formas aos
números é um exemplo disso.









Números triangulares






&nbsp;&nbsp; O triângulo
sempre foi uma figura sagrada. Nas religiões antigas, vários
deuses se organizavam em trindades. Na Índia a trindade era
constituída de Brahma (criador), Vishnu (conservador) e Shiva
(destruidor). No Egito havia a trindade Osíris (pai), Isis
(mãe) e Hórus (filho). Na religião cristã
aparece o conceito Deus em três pessoas, a Santíssima
Trindade, formada pelo Pai (criador), Filho (salvador) e Espírito
Santo (vivificador).






&nbsp;&nbsp; Os pitagóricos
chamavam de triangulares todos os números que podem ser
escritos como a soma de uma sequência começando pelo 1.
Assim o 3 é triangular porque 3=1+2. O 6 também é
triangular porque 6=1+2+3. O número 10 também é
triangular porque 1+2+3+4=10. Continuando um pouco a sequência
de números triangulares, que é infinita:






1+2+3+4+5=15






1+2+3+4+5+6=21






1+2+3+4+5+6+7=28






1+2+3+4+5+6+7+8=36






1+2+3+4+5+6+7+8+9=45






1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55






&nbsp;&nbsp; Por que chamar estes
números de triangulares? Porque eles podem ser representados
como triângulos de pontos. Por exemplo:






3 







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6 







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10






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15 







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&nbsp;&nbsp; Alguns números
triangulares merecem atenção especial. Por exemplo, a
soma que constitui o número 6 pode ser substituída pelo
produto sem perder a validade. Tanto faz escrever 6=1+2+3 como
6=1x2x3.






&nbsp;&nbsp; O conjunto 1, 2, 3 e 4
tinha valor sagrado para os pitagóricos e era chamado de
Sagrada Tetrakytis. Assim o número triangular correspondente a
esta soma também era sagrado: 1+2+3+4=10. O 1 e os nove
primeiros números formavam a base para todos os in&nbsp; finitos
números. Os pitagóricos dividiam os números
acima de 10 em dez classes: aqueles que eram formados por dezenas
(10, 20=10+10, 30=10+10+10, etc.), os que eram formados por dezenas e
uma unidade (11=10+1, 21=10+10+1, 31=10+10+10+1, etc.), os que eram
formados por dezenas e duas unidades (12=10+2, 22=10+10+2,
32=10+10+10+2, etc.) e assim por diante. Esta forma de dividir os
números foi precursora do sistema decimal. Faltou aos
pitagóricos conhecer o número zero e agrupar dez
dezenas em uma centena, dez centenas em um milhar, etc. Foi
necessário esperar um povo do Oriente que não teve
acesso ao pitagorismo, os indianos, conceber o sistema decimal.
Também foi necessário que os árabes do séc.
IX divulgassem para o mundo o sistema decimal, chamado até
hoje de numeração indo-arábica. O termo
algarismo deriva do matemático árabe que divulgou o
sistema, Al-Khowarizmi (780-840).






&nbsp;&nbsp; Segundo o filósofo
francês Jean-François Mattéi, talvez o 5 seria
tão sagrado quanto o 4. Afinal, o símbolo principal do
pitagorismo é o pentagrama, a estrela de cinco pontas. Assim o
10 não só seria um número triangular mas também
a soma de 5 com ele mesmo. Os 10 dedos das mãos seriam a união
dos 5 dedos de cada mão. Se o 5 é sagrado, o número
triangular correspondente também seria:&nbsp;



1+2+3+4+5=15.






&nbsp;&nbsp; Os pitagóricos
influenciaram o filósofo grego Platão (428 a.C. - 347
a.C.). Os escritos de Platão acabaram influenciando os judeus
e os cristãos. A influência pitagórica sobre os
cristãos, mediada pelo platonismo, deixou marcas profundas
sobre os dogmas cristãos e sobre a interpretação
cristã das Escrituras. Consequentemente os números
triangulares ganhavam destaque e comentários. Deus se
apresenta como 3 pessoas, cria o mundo em 6 dias, dá ao homem
10 mandamentos, etc.






&nbsp;&nbsp; O número
triangular mais misterioso da Bíblia é o 153. O número
153 aparece no Evangelho de São João, capítulo
21, versículo 11. Jesus ressuscitado ordena que Pedro e mais 6
discípulos pesquem. O número de peixes pescados é&nbsp;



153=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17.






&nbsp;&nbsp; O termo "número
triangular" não é muito popular. Em compensação,
atribuir forma quadrada a alguns números é bem mais
comum. É o que será visto a seguir.









Números quadrados






&nbsp;&nbsp; Assim como o triângulo,
o quadrado também sempre foi uma figura sagrada. Ele não
representava o divino, mas a própria terra, com suas quatro
direções: norte, sul, leste e oeste. Muitos templos,
pirâmides e torres tinham a base quadrada. Como já foi
mencionado, a Tetrakytis (1, 2, 3 e 4), era particularmente sagrada
para os pitagóricos. Os cristãos só aceitam 4
evangelhos. Ireneu de Lion, bispo cristão do século II,
um dos responsáveis pelo canon bíblico, associava os 4
pontos cardeais com os 4 evangelhos.






&nbsp;&nbsp; Os pitagóricos
chamavam de quadrados todos os números que podem ser escritos
como a soma de uma sequência começando pelo 1 e seguida
apenas por números ímpares. Assim o 4 é quadrado
porque 4=1+3. O 9 também é quadrado porque 9=1+3+5. O
número 16 também é quadrado porque 1+3+5+7=16.
Continuando um pouco a sequência de números quadrados,
que é infinita: 







1+3+5+7+9=25






1+3+5+7+9+11=36






1+3+5+7+9+11+13=49






1+3+5+7+9+11+13+15=64






1+3+5+7+9+11+13+15+17=81






1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100






&nbsp;&nbsp; Por que chamar estes
números de quadrados? Porque eles podem ser representados como
quadrados de pontos. Por exemplo:






4 







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*&nbsp; *






9






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16






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25






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&nbsp;&nbsp; A outra forma de
representar um número quadrado é como o produto de um
número por ele mesmo. Por exemplo:






4=2x2






9=3x3






16=4x4






25= 5x5






&nbsp;&nbsp; A interpretação
pitagórica deste fato era bem interessante. Um número
ímpar (excluindo o 1, que não era número) podia
ser escrito como um par regido por uma unidade central. Assim
3=1+1+1, 5=2+1+2, 7=3+1+3, 9=4+1+4, etc. O número ímpar
era uma multiplicidade regida pela unidade. Assim a soma dos ímpares
só podia gerar uma figura regular, o quadrado.






&nbsp;&nbsp; Como herança do
pitagorismo, até hoje a multiplicação de um
número por ele mesmo é chamada de "elevar ao
quadrado". Assim 2 ao quadrado é 2x2=4. Já 3 ao
quadrado é 3x3=9. E assim por diante. Na matemática
moderna o número quadrado é chamado de "quadrado
perfeito". O único quadrado perfeito que não era
classificado como número quadrado é o 1=1x1. No
pitagorismo o 1 não era número.






&nbsp;&nbsp; A soma de dois números
triangulares sucessivos sempre gera um número quadrado. Por
exemplo, o número triangular que vem depois do 3 é o 6
e 3+6=9. Outros exemplos:






6+10=16






10+15=25






15+21=36






21+28=49






&nbsp;&nbsp; Abaixo os números
quadrados formando dois triangulares sucessivos ficam bem ilustrados.






9 =3 + 6






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16=6 + 10 







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Mas o que aconteceria
se ao invés de ímpares fossem somados pares?






Números retangulares






&nbsp;&nbsp; Assim como o triângulo
e o quadrado, o retângulo também era uma figura sagrada,
mas apenas se as proporções do retângulo fossem
especiais. Algumas proporções sagradas eram 3 por 2, 5
por 3 e a principalmente a proporção áurea. Esta
proporção que aparece no Partenon, em algumas igrejas
medievais e no próprio pentagrama pitagórico vale
aproximadamente 1,618, ou seja, o lado maior sobre o menor tinha este
valor. Fora de algumas proporções sagradas, os
pitagóricos associavam o retângulo à
irregularidade. 







&nbsp;&nbsp; Os pitagóricos
chamavam de retangulares todos os números que podem ser
escritos como a soma de uma sequência de pares começando
pelo 2. Assim o 6 é retangular porque 6=2+4. O 12 também
é retangular porque 12=2+4+6. O número 20 também
é retangular porque 2+4+6+8=20. Continuando um pouco a
sequência de números retangulares, que é
infinita: 







2+4+6+8+10=30






2+4+6+8+10+12=42






2+4+6+8+10+12+14=56






2+4+6+8+10+12+14+16=72






2+4+6+8+10+12+14+16+18=90






2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110






&nbsp;&nbsp; Por que chamar estes
números de retangulares? Porque eles podem ser representados
como retângulos de pontos onde a base ou a altura diferem em
uma unidade. Na representação abaixo será usada
a base com uma unidade a mais. Por exemplo:






6 







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*&nbsp; *&nbsp; *






12






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20 







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*&nbsp; *&nbsp; *&nbsp; *&nbsp; *
*&nbsp; *&nbsp; *&nbsp; *&nbsp; *
*&nbsp; *&nbsp; *&nbsp; *&nbsp; *&nbsp;&nbsp;





30






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&nbsp;&nbsp; A outra forma de
representar um número retangular é como o produto de
dois números sucessivos. Por exemplo:






6=2x3






12=3x4






20=4x5






30= 5x6






&nbsp;&nbsp; A interpretação
pitagórica deste fato também era bem interessante. Um
número par podia ser escrito como um par sem nenhuma unidade
central, com um vazio entre as metades. Assim 2=1+1, 4=2+2, 6=3+3,
8=4+4, etc. Então o número par era uma multiplicidade
pura. A soma dos pares só podia gerar uma figura irregular, o
retângulo.






&nbsp;&nbsp; O dobro de um número
triangular sempre gera um número retangular. Por exemplo:






6=2x3






12=2x4






20= 2x10






30=2x15






&nbsp;&nbsp; Abaixo os números
retangulares formando dois triangulares iguais ficam mais claros.






6=3 + 3






*&nbsp; *&nbsp; * =&nbsp;&nbsp; *&nbsp; * +&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  *


*&nbsp; *&nbsp; *&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; *&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;       * *










12=6 + 6 







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    *


*&nbsp; *&nbsp; *&nbsp; * =&nbsp;&nbsp;  * *&nbsp;&nbsp;&nbsp;    +&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;   
* * 



*&nbsp; *&nbsp; *&nbsp; * &nbsp; &nbsp;&nbsp;      *&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;         
*&nbsp; *&nbsp; *






&nbsp;&nbsp; Esta propriedade dos
números retangulares abre caminho para encontrar números
triangulares. Se o dobro de um triangular é retangular, a
metade de um retangular é triangular. Assim o produto de dois
números sucessivos divididos por 2 é um número
triangular. Por exemplo:






3=(2x3)/2=6/2






6=(3x4)/2=12/2






10=(4x5)/2=20/2






15=(5x6)/2=30/2









Um triângulo é uma soma de um
quadrado com um retângulo






&nbsp;&nbsp; Todo número
triangular pode ser escrito como a soma de um número quadrado
com um número retangular. Por exemplo:






6=4+2






10=4+6






15=9+6






21=9+12






28=16+12






&nbsp;&nbsp; A interpretação
pitagórica disso é interessante. O primeiro número
triangular, o 3, é formado pela soma da unidade 1 com a
primeira manifestação de multiplicidade, o 2. Os
números quadrados são regulares e constituídos
de uma soma de ímpares enquanto os retangulares são
irregulares e formados pela soma de pares. Assim como o 3 é a
soma do 1 e do 2, os números triangulares são a soma
dos quadrados com os retangulares. Para saber como é a
decomposição de um número triangular em um
retangular e um quadrado, basta separar os ímpares e o 1 de um
lado e os pares de outro. Por exemplo:






6=1+2+3=(1+3)+2=4+2






10=1+2+3+4=10=(1+3)+(2+4)=4+6






15=1+2+3+4+5=(1+3+5)+(2+4)=9+6






21=1+2+3+4+5+6=(1+3+5)+(2+4+6)=9+12






Conclusão






&nbsp;&nbsp; Geralmente as crianças
gostam de somar sequências de números, associar formas a
números, descobrir alguma interpretação poética
para suas contas, etc. Por que não ir além? Ou melhor,
por que não ir aquém, no passado onde estas idéias
surgiram. Por que não mostrar que a brincadeira de somar a
sequência dos números naturais é uma prática
antiga?






&nbsp;&nbsp; Muitas crianças
que aprendem potenciação pela primeira vez se
impressionam com as palavra quadrado. Se elas aprendem a elevar
números ao quadrado, por que não eleva-los ao triângulo
ou à circunferência?






&nbsp;&nbsp; Muitos adultos têm
uma criança adormecida dentro de si mesmos, cheia de perguntas
que ficaram sem respostas. E ela pode descobrir que o quadrado na
potenciação está realmente ligado ao quadrado da
geometria. E uma criança que especulou que além dos
quadrados perfeitos poderiam existir triângulos e retângulos
perfeitos não estava errada.






&nbsp;&nbsp; Uma idéia
infantil que um adulto achou ridícula certamente já
passou pela cabeça de alguém considerado sábio e
foi ensinada em alguma época.






&nbsp;&nbsp; Os pitagóricos
também criaram os conceitos de números pentagonais,
hexagonais, piramidais, cúbicos, etc. Mas neste ponto do
texto, o autor cansou de escrever e o leitor, de ler. O autor já
está com os olhos triangulares de tanto olhar para a tela do
computador, dedos retangulares de tanto digitar e nádegas
quadradas de tanto ficar sentado escrevendo este texto
despretensioso.