CONSTRUÇÃO DE POLIEDROS ATRAVÉS DE DOBRADURAS DE PAPEL
Autor: Professor Novaes | Publicado: 2012-03-22T09:26:00-07:00









André Monteiro Novaes


SME do Rio de Janeiro

andremnovaes@gmail.com




Celso Marques da Silva JuniorIFRJcelsomjr@ig.com.br
Francisco Quaranta NetoUniversidade Federal do Rio de Janeiroe-mail:fquaranta@ig.com.Br
José Antonio NovaesUniversidade Estadual do Rio de Janeiro – UERJUniversidade Gama Filho – UGFe-mail:novaesja@globo.com




Palavras Chaves



Poliedros
Origami
Geometria




Sinopse

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Construção de 9 poliedros a partir de 4 módulos utilizando a técnica do Origami.



Resumo

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Este trabalho utiliza a ferramenta das dobraduras (Origami) para a construção de Poliedros. Tal confecção será realizada através de módulos que têm como ponto de partida um quadrado de papel. Serão apresentados 4 diferentes módulos, além de um elemento conector. A partir deles, podem ser construídos vários poliedros dos quais escolhemos nove. O processo de construção requer a utilização de alguns conceitos básicos da Geometria. Após a obtenção dos poliedros, temos a oportunidade de visualizar os vértices, as faces e as arestas dessas figuras espaciais de maneira direta e concreta, diminuindo a dificuldade que reside na sua observação através de desenhos feitos no plano. Por fim, mostraremos como levar os alunos a conjectura do teorema de Eüler.



Público Alvo

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Professores do Ensino Fundamental e do Ensino Médio que ensinam Matemática; alunos dos cursos de graduação em Licenciatura de Matemática e de Licenciatura das Séries Iniciais.





Introdução



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Visualizar um poliedro através do nome ou do desenho numa folha de papel pode ser uma tarefa um pouco árdua para um aluno do ensino fundamental e do ensino médio. Ter um poliedro disponível à sua frente representa uma ferramenta efetiva para o entendimento dos seus elementos: vértices, faces e arestas. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Será então proposta uma atividade já implementada em sala de aula (com duração prevista de 2 a 4 horas) que permitirá a construção de poliedros utilizando módulos que serão confeccionados a partir de quadrados de papel. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O primeiro módulo será o de Sonobê, que a partir de um quadrado, alcança o formato final de um quadrado com duas pontas triangulares. Com este módulo, pode-se obter um cubo. Se este quadrado final do módulo for partido ao meio pela diagonal, constrói-se, entre outros poliedros, um hexaedro de faces triangulares, um octaedro estrelado e um icosaedro estrelado.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O segundo módulo será o do triângulo eqüilátero construído a partir de um quadrado. Usando o conector (última atividade de dobra proposta) obtém-se um octaedro regular e um icosaedro regular. Utilizando também o módulo do quadrado (penúltima atividade de dobra proposta), constrói-se uma pirâmide de base quadrada e um cubo-octaedro.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O terceiro módulo será o do pentágono regular que, a partir de um quadrado, alcança o formato final de um pentágono regular com duas pontas triangulares. Com este módulo, pode-se obter um dodecaedro regular.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O quarto módulo será o do quadrado que, a partir de um quadrado, alcança o formato final de um quadrado menor com quatro pontas triangulares. Junto com o segundo módulo permite a construção de uma pirâmide de base quadrada e um cubo-octaedro.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A última peça será a do conector que possibilita a conexão entre o segundo e o quarto módulo.

MÓDULO DE SONOBÊ





&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A partir de um quadrado de papel, serão realizadas determinadas dobras que permitirão a obtenção de um quadrado que possui duas pontas triangulares que possibilitam a conexão entre os vários módulos que são necessários para a confecção de poliedros que possuem faces quadrangulares ou faces triangulares, uma vez que o quadrado poderá ser partido ao meio. Eis a seqüência passo a passo:






1 – Dobre um quadrado ao meio e desfaça.





2 – Faça uma dobra de modo que o segmento BC coincida com AD. Idem para FE.





3 – Gire o papel de 180° em torno de AD e dobre de forma tal que HI coincida com JI.








4 – Traga o ponto I até K e dobre.







5 – Traga J até K e dobre.

&lt;!--[if !vml]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;





6 – Traga G até H e dobre.

&lt;!--[if !vml]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;







&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Tem-se então um módulo no formato final de um quadrado que possui duas pontas triangulares que são os conectores. Deve-se encaixá-las nas reentrâncias dos outros módulos semelhantes.




&lt;!--[if !vml]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;


Poliedros que podem ser formados com este módulo



&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;3 módulos formam um hexaedro com faces triangulares.



&lt;!--[if !vml]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;







&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;6 módulos formam um cubo.



&lt;!--[if !vml]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;







&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;12 módulos formam um octaedro estrelado. Uma dica para a montagem é fazer conjuntos que reúnem três módulos (que formam uma pirâmide de base triangular) e encaixá-los de tal forma que em cada vértice concorram quatro desses conjuntos.



&lt;!--[if !vml]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;







&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;30 módulos formam um icosaedro estrelado. Uma dica para a montagem é fazer conjuntos que reúnem três módulos (que formam uma pirâmide de base triangular) e encaixá-los de tal forma que em cada vértice concorram cinco desses conjuntos.

















MÓDULO DO TRIÂNGULO EQÜILÁTERO





&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A partir de um quadrado de papel, serão realizadas determinadas dobras que permitirão a obtenção de um triângulo eqüilátero com três bolsas (uma em cada aresta) que viabilizam a entrada do elemento conector (última dobradura) unindo os vários módulos que são necessários para a confecção de poliedros que possuem as faces triangulares. Eis a&nbsp;seqüência passo a passo:






1 – Dobre um quadrado ao meio e desfaça.









&lt;!--[if !vml]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;

2 – Traga BF até o segmento AD (F pertence a AD), dobre e desfaça.









&lt;!--[if !vml]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;

3 – Leve o vértice C até a dobra anterior e dobre.









4 – Traga E para fazer a dobra FF’.

&lt;!--[if !vml]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;





5 – Conduza o segmento GF’ até BF pela frente e dobre.



&lt;!--[if !vml]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;





6 – Traga E, dobrando em BI. Leve B até H por trás e F até I por trás de forma que B encaixe em FI.






Prova que BF’F é um triângulo eqüilátero 



&lt;!--[if !supportLists]--&gt;&nbsp;&nbsp;

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;Dados:- BAF’ é retângulo em A

&nbsp; &nbsp; - BF’ é congruente a BF

&nbsp; &nbsp; - A é o ponto médio de BF

Pode-se concluir que BAF’ é um triângulo retângulo que possui o &nbsp; &nbsp;ângulo B&nbsp;igual a 60° uma vez que o cateto adjacente é metade da hipotenusa.

Como BF’F é isósceles (BF=BF’), então os dois outros ângulos da base são congruentes e iguais a 60°.

Assim BF’F é um triângulo eqüilátero.





Poliedros que podem ser formados com este módulo



&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;4 módulos formam uma pirâmide quadrada (mais um módulo do quadrado).





&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;20 módulos formam um icosaedro regular (mais 30 conectores). Recomenda-se o uso de cola para uma fixação adequada.





&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;8 módulos formam o octaedro regular (mais 12 conectores). Recomenda-se o uso de cola para uma fixação adequada.





&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;8 módulos formam o cubo octaedro (mais 6 módulos do quadrado e 24 conectores).









MÓDULO DO PENTÁGONO REGULAR 






&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A partir de um quadrado de papel, serão realizadas algumas dobras que permitirão a obtenção de um pentágono regular com duas pontas e três bolsas (uma em cada aresta) que fazem a conexão entre os vários módulos que são necessários para a confecção do poliedro que possui faces pentagonais regulares, no caso o dodecaedro. Eis a seqüência&nbsp;passo a passo:









1 – Dobre um quadrado ao meio e desfaça





2 – Faça a dobra AC e desfaça





3 – Leve o vértice F até um ponto da linha AC de tal forma que a dobra passe pelo ponto A.







4 – Corte o papel por uma paralela a AD e que passa por G





5 – Conduza o vértice F para fazer a dobra HE





6 – Faça as dobras HJ e JE



&nbsp;7 – Faça o encaixe, através do contato entre JF e JI






8 – Dobre o vértice E até HJ de tal forma que uma parte de JE fique // a uma parte de HE (do item 7). Idem para o vértice H








Poliedro que pode ser formado com este módulo

&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;12 módulos formam um dodecaedro regular.









MÓDULO DO QUADRADO



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A partir de um quadrado de papel, serão realizadas algumas dobras que permitirão a obtenção de um quadrado com quatro pontas que se conectam com os módulos do triângulo eqüilátero ( através dos conectores) para formar um poliedro que possui faces quadradas e triangulares regulares. Eis a seqüência passo a passo:







1 – Dobre um quadrado ao meio duas vezes e desfaça.





2 – Faça as dobras GE, HE, GF e FH.







3 – Faça 4 dobras levando os pontos G, E, H e F até o centro da figura.













Poliedros que podem ser formados com este módulo

&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;1 módulo forma uma pirâmide de base quadrada (mais 4 módulos triangulares e 4 conectores).

&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;6 módulos formam um cubo-octaedro (mais 8 módulos triangulares e 24 conectores).







CONECTOR







1 – Dobre um quadrado ao meio duas vezes e desfaça.





2 – Faça as dobras GE, HE, GF e FH.













Poliedros cujas faces podem ser unidas por este conector

&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;Pirâmide de base quadrada (4 conectores).

&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;Icosaedro (30 conectores).

&lt;!--[if !supportLists]--&gt;Ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;!--[endif]--&gt;Tetraedro (6 conectores).









&lt;!--[if !vml]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS




KASAHARA, Kunihiko. Origami omnibus. Tokyo, New York: Japan Publica-tions, 1967. 

KASAHARA, Kunihiko. Origami made easy. Tokyo, New York: Japan Publica-tions, 1973. 

GILBERT, William, A cidade de Origami. São Paulo: Nobel, 2001.

GÊNOVA, A. Carlos. Tangram em Origami. São Paulo: Global, 1990.

GÊNOVA, A. Carlos. Introdução à composição modular. São Paulo: Global, 1990.

FUSÈ, Tomoko, Unit origami.&nbsp; Tokyo, New York: Japan Publica-tions, 1990.

BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;KALEFF, Ana Maria M. R. Vendo e Entendendo Poliedros. Niterói: EdUFF, 1998. 

Considerei a proposta de atividade extremamente interessante pois permite a alunos e professores consolidarem o estudo dos poliedros os construindo a partir das dobraduras resultantes em polígonos regulares. Senti alguma dificuldade na contrução do Módulo do Pentágono Regular.
Rodrigo Reis