Sistema Linear
Autor: T206-3MF | Publicado: 2012-02-15T11:47:00-08:00

1 - Sistema linear  É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x1, x2, x3, ... , xn) do tipo: a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bn   Exemplo: 3x + 2y - 5z = -8 4x - 3y + 2z = 4 7x + 2y - 3z = 2 0x + 0y + z = 3  Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis). Os termos a11, a12, ... , a1n, ... , am1, am2, ..., amn são denominados coeficientes e b1, b2, ... , bn são os  termos independentes.  A ênupla ( 1,  2 ,  3 , ... ,  n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações.  Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema: x + y + 2z = 7 3x + 2y - z = 11 x + 2z = 4 3x - y - z = 2 pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.  Notas: 1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções. Exemplo: Os sistemas lineares  S1: 2x + 3y = 12  3x - 2y = 5 S2:  5x - 2y = 11  6x + y = 20 são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!  2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.  3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.  4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.  5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.  6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja  b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.  Exemplo: x + y + 2z = 0 2x - 3y + 5z = 0 5x - 2y + z = 0  2 - Exercícios Resolvidos  2.1 - UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina) Se os sistemas  S1:  x + y = 1  x - 2y = -5 S2: ax - by = 5  ay - bx = -1 são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:  a) 1 b) 4 c) 5 d) 9 e) 10  Solução: Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S1:  x + y = 1 x - 2y = -5  Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6  y = 2. Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1  x = -1.  O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.  Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem: a(-1) - b(2) = 5  - a - 2b = 5 a(2) - b (-1) = -1  2 a + b = -1 Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica: -2 a - 4b = 10 Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho),  fica: -3b = 9  b = - 3  Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul), teremos: 2 a + (-3) = -1  a = 1. Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10. Portanto a alternativa correta é a letra E.  2.2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,  2x - my = 10 3x + 5y = 8, seja impossível.  Solução: Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: x = (10 + my) / 2 Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 3[(10+my) / 2] + 5y = 8  Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 3(10+my) + 10y = 16 30 + 3my + 10y = 16 (3m + 10)y = -14 y = -14 / (3m + 10)  Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.  Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução.  Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:  a) 2x + 5y .- ..z = 10 .............3y + 2z = ..9 .....................3z = 15  b) 3x - 4y = 13 .....6x - 8y = 26  c) 2x + 5y = 6 ....8x + 20y = 18  Resp:  a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)} b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções. c) sistema impossível. Não admite soluções.