Autor: Matemática Fundamental | Publicado: 2014-08-01T16:06:00-03:00


&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Razão e Proporção





Velocidade Média:&nbsp;A "velocidade média", em geral, é uma
grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros
ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).

vmédia&nbsp;= distância percorrida / tempo gasto


Exemplo:&nbsp;Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em
2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?

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A partir dos dados do problema, teremos:

vmédia&nbsp;= 328 Km / 2h = 164 Km/h

o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi
de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

&nbsp; Agora resolva.





<!--[if !supportLists]-->11)&nbsp;&nbsp;&nbsp; <!--[endif]-->Em uma
viagem de 400 km, um ônibus percorreu&nbsp;250 km. Calcule a razão
correspondente ao restante do trajeto que o ônibus deverá percorrer.



<!--[if !supportLists]-->22)&nbsp;&nbsp;&nbsp; <!--[endif]-->Um carro
percorre uma determinada distância com velocidade média de 120 km/h, com um
tempo de10800 s. Qual foi a distância percorrida?



<!--[if !supportLists]-->33)&nbsp;&nbsp;&nbsp; <!--[endif]-->Um avião
com velocidade média de 400 km/h, percorre uma distância de 50000000 cm. Qual
foi o tempo gasto na viagem?





Densidade
Demográfica:&nbsp;O cálculo da densidade demográfica, também
chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de
razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e
a área ocupada em uma certa região.
Exemplo:&nbsp;Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que
significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a
expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição,
observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um
jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na
quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
Exemplo:&nbsp;Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De
acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de
12.000.000 habitantes. Assim:

dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²
densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2

Isto significa que para cada 1 Km2&nbsp;existem aproximadamente 60
habitantes.



1 -&nbsp; Calcule a densidade demográfica
de&nbsp;Tanguá, sabendo que a área territorial é 146 Km², e a população
é&nbsp;&nbsp; 30.700 habitantes (CENSO 2010).





&nbsp;2 - Calcule a densidade demográfica
de Rio Bonito, sabendo que sua área territorial é 462 km² e a população é&nbsp;55.500
habitantes (CENSO 2010).





&nbsp;3 -&nbsp;&nbsp;&nbsp; Qual é a
cidade mais densamente povoada:&nbsp; Tanguá ou Rio Bonito?





&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Proporção




A igualdade entre duas razões forma uma proporção, vale lembrar
que razão é a divisão entre dois números a e b, tal que b ≠ 0 e pode ser
escrito na forma de a/b. Observe os exemplos de proporções a seguir:


&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;é
uma proporção, pois 10:20 = 3:6
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;





&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;é
uma proporção, pois 9:12 = 3:4



As proporções possuem uma propriedade que diz o seguinte: “em uma proporção, o
produto dos extremos é igual ao produto dos meios.” Essa propriedade pode ser
colocada em prática na verificação da proporcionalidade, realizando uma
operação denominada multiplicação cruzada.



9 x 4 = 12 x 3
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 36 = 36

Multiplicação cruzada

<!--[if !supportLineBreakNewLine]-->
<!--[endif]-->

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 height:118.45pt;z-index:-251657216;visibility:visible;mso-wrap-style:square;
 mso-width-percent:0;mso-height-percent:0;mso-wrap-distance-left:9pt;
 mso-wrap-distance-top:0;mso-wrap-distance-right:9pt;
 mso-wrap-distance-bottom:0;mso-position-horizontal:absolute;
 mso-position-horizontal-relative:text;mso-position-vertical:absolute;
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  o:title="Untitled-10(16)"/>
 
<![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->4 x 15
= 6 x 10
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
60 = 60





As proporções possuem uma enorme aplicabilidade em situações problema
envolvendo informações comparativas, na regra três a proporcionalidade é usada
no intuito de calcular o quarto valor com base nos três valores estabelecidos
pelo problema. Acompanhe os exemplos a seguir no intuito de demonstrar a
importância do estudo das proporções.

Exemplo 1
Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos
pães podem ser feitos com 25kg de farinha?

Estabelecemos a seguinte relação:
600 -------------- 100
x -------------- 25


Podem ser feitos 150 pães.

































<!--[if !supportLists]-->01)&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->&nbsp;Em uma loja são vendidos 8 m de um tecido a R$
156,00. Qual o preço de 12 m&nbsp; do mesmo
tecido nessa loja?

<!--[if !supportLists]-->02)&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->Um
carro, à velocidade de 60 km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade
do carro fosse de 80 km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

<!--[if !supportLists]-->03)&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->Uma
torneira gotejando desperdiça 92 litros de água em dois dias. Em trinta dias,
quantos litros de água serão desperdiçados por essa torneira?

<!--[if !supportLists]-->04)&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->Com
R$ 2,00 é possível comprar seis pães. Qual o valor a ser pago por 15 desses
pães?

<!--[if !supportLists]-->05)&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->Sabendo
que os números 6, 24, 5 e X formam, nessa ordem, uma proporção, determine o
valor de X



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Porcentagem



1. Represente
as frações abaixo na forma percentual.



a) 7/10. 

b) 1/5. 

c)
3/20. 

d)
3/4. 

e)
1/8. 

&nbsp;

2.
Calcule: 

a)
30% de 1500. 

b)
12% de 120. 

c)
27% de 900. 

d)
55% de 300. 

e)
98% de 450. 

3.
Sabendo que 45% de um número equivalem a 36, determine esse número. 

&nbsp;

4.
Em uma turma de 40 alunos, 45% são meninos. Quantos meninos e meninas tem a
turma? 

&nbsp;

5.
Segundo o censo do IBGE, em 2010, o Brasil tinha 147,4 milhões de pessoas com
10 anos ou mais que eram alfabetizadas, o que correspondia a 91% da população
nessa faixa etária. Determine o número de brasileiros com 10 anos ou mais em
2010. 











&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Média Aritmética
e Média Aritmética Ponderada

Média Aritmética

Média aritmética de dois ou mais
valores é o quociente da soma desses valores pelo número deles



Exemplos :



Calcular a média aritmética entre os
valores 9,12 e18.



Solução:



M.A. = ( 9 + 12 + 18 ) : 3



39 : 3 = 13



Resposta: A média aritmética é 13







EXERCÍCIOS



1) Calcule a média aritmética dos
seguintes números:



a) 7 e 15 =&nbsp;(R: 11)

b) 10,2 e 9 =&nbsp;(R: 7)

c) 4,7,15,9 e 10 =&nbsp;(R: 9)

d) 42,18,56 e 34 =&nbsp;(R: 37,5)





2)&nbsp;Calcule a média aritmética
dos seguintes números:



a) 0,4; 3,2 6 0,6 =&nbsp;(R: 1,4)



b) 1/4&nbsp;e 1/2 =&nbsp;(R: 3/8)



c) 2/3 e 4/5&nbsp;=&nbsp;(R: 11/15)





3) Num campeonato, um time de
basquete faz a seguinte campanha:



-------Partidas--------------------Número de pontos

---------1--------------------------------74

---------2-------------------------------101

---------3--------------------------------68

---------4--------------------------------97

---------5--------------------------------86

---------6-------------------------------120





Qual a média aritmética de pontos por
partida?&nbsp;(R: 91)





Média Aritmética Ponderada



Média aritmética ponderada de dois
números ou mais números é o quociente da soma dos produtos desses números pela
soma dos respectivos pesos.



Exemplos:



Calcular a média aritmética ponderada
dos números 5,7,e 8 com pesos 2,3,e 5 respectivamente.



Solução:



M.P.= (5.2 +7.3 + 8.5) : (2 + 3 + 5)



= 71 /10 = 7,1



Resposta:&nbsp;A média aritmética ponderada é
7,1.



EXERCÍCIOS



1)&nbsp;Calcule&nbsp;a média artimética ponderada dos
números 6,7,5,e 8 com peso 2,2,3 e 3 , respectivamente.

(R: 6,5)

,

2) Um copo de groselha custa R$ 2,50
e m copo de leite custa R$ 1,00 misturando-se 20 copos de groselha e 30 copos
de leite, qual o preço do copo dessa mistura?&nbsp;(R: 1,60)



3) Um quilograma de café tipo A custa
R$ 12,00 e um quilograma de café tipo B custa R$ 15,00 misturando-se 4 kg de
café tipo A com 8 kg de café tipo B obtemos um terceiro tipo de café. quanto
vale o quilograma de café dessa mistura?&nbsp;(R: R$ 14,00)



4) Numa feira, a cebola estava sendo
vendida assim:



6 quilos : R$ 5,00 cada quilograma.

10 quilos : R$ 4,00 cada quilograma

24 quilos : R$ 3,00 cada quilograma



Qual&nbsp; o preço médio do quilo da
cebola?&nbsp;(R: 3,55)