Progressão Arítmética
Autor: Prof. Diemes | Publicado: 2012-02-27T06:55:00-08:00

1 - Introdução
&nbsp; 
Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de  números reais. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A =  ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35)

2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA
&nbsp; 
Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda sequência numérica cujos  termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor  constante denominado razão. 
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

3 - Termo Geral de uma PA
&nbsp; 
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. 
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r 
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r 
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
..................................................... 
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r
A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA. 
Exemplos: 
Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. 
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar. 
Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n. 
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ; 
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40. 
Exemplos: 
Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Temos a5 = 30 e a20 = 60. 
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2. 
Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8.
Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.  
4 - Propriedades das Progressões Aritméticas 
Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste. 
Exemplo: 
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2  
Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: 
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo: 
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.  
Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante. 
Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r 
Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas. 
5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA 
 
Exemplo:
Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a200 . 
Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000. 
Exercícios resolvidos e propostos: 
1

SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo aA. 
2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
a) 8 
b) 12
c) 15 
*d) 24 
e) 33 
SOLUÇÃO:
Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0 
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x2 – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1. 
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou  substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos  lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas  dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores  negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade  matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são  necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D. 
3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Resp: 60 
SOLUÇÃO:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes. 
Logo, teremos a seguinte sequência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12) 
A partir do segundo termo da sequência acima, temos uma PA de 12 termos,  cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12. 
Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78 
A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto. 
4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro  termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a  razão dessa progressão.
Resp: r = -1 
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada. 
5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
a) 64376
b) 12846 
c) 21286 
d) 112 
*e) 61376 
SOLUÇÃO:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124) 
Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112 
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E. 
6 – Determinar o centésimo termo da progressão  aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a  soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Resp: 965 
SOLUÇÃO:
Podemos escrever: 
a3 + a7 = 30 
a4 + a9 = 60 
Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60 
Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10. 
Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:
2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25. 
Logo, o centésimo termo será:
a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965  
Agora resolva estes: 
UFBA - Considere a P.A. de razão r , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a22 = k, 
determine 10k + r : 320. 
Resposta: 36
Para revisar logaritmos, clique AQUI. 
Determine três números em PA tais que a soma deles seja 15 e a soma dos seus quadrados seja 83.
Resposta: 3, 5 e 7.