Sistemas de equações com 2 incógnitas
Autor: Andréia | Publicado: 2014-04-01T20:33:00-07:00


8º ano - 2º Bimestre de 2014

Sistemas de equações do 1º grau

Exemplo a equação&nbsp;x - y = 6&nbsp;admite infinitas soluções.

Como as equações&nbsp;x + y = 20&nbsp;e&nbsp;x - y = 6&nbsp;admitem infinitas também soluções podemos nos perguntar:

Será que dentre estas soluções existem aquelas que são comuns às duas equações, isto é, que resolva ao mesmo tempo tanto a primeira, quanto à segunda equação?

Veja:


Métodos de Resolução

Há vários métodos para calcularmos a solução deste tipo de sistema. Agora veremos os dois mais utilizados, primeiro o&nbsp;método da adição&nbsp;e em seguida o&nbsp;método da substituição.


Método da Adição

Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das equações, a fim de obtermos uma equação com apenas uma incógnita.

Quando a simples soma não nos permite alcançar este objetivo, recorremos ao&nbsp;princípio multiplicativo da igualdade&nbsp;para multiplicarmos todos os termos de uma das equações por um determinado valor, de sorte que a equação equivalente resultante, nos permita obter uma equação com uma única incógnita.

A seguir temos outras explicações que retratam estas situações.


Quando o sistema admite uma única solução?

Tomemos como ponto de partida o sistema composto pelas duas equações abaixo:



Perceba que iremos eliminar o termo com a variável&nbsp;y, se somarmos cada um dos termos da primeira equação com o respectivo termo da segunda equação:



Agora de forma simplificada podemos obter o valor da incógnita&nbsp;x&nbsp;simplesmente passando o coeficiente&nbsp;2&nbsp;que multiplica esta variável, para o outro lado com a operação inversa, dividindo assim todo o segundo membro por&nbsp;2:



Agora que sabemos que&nbsp;x = 13, para encontrarmos o valor de&nbsp;y, basta que troquemos&nbsp;x&nbsp;por&nbsp;13&nbsp;na primeira equação e depois isolemos&nbsp;y&nbsp;no primeiro membro:



Escolhemos a primeira e não a segunda equação, pois se escolhêssemos a segunda, teríamos que realizar um passo a mais que seria multiplicar ambos os membros por&nbsp;-1, já que teríamos&nbsp;-y&nbsp;no primeiro membro e não&nbsp;y&nbsp;como é preciso, no entanto podemos escolher a equação que quisermos. Normalmente iremos escolher a equação que nos facilite a realização dos cálculos.

Observe também que neste caso primeiro obtivemos o valor da variável&nbsp;x&nbsp;e em função dele conseguimos obter o valor de&nbsp;y, porque isto nos era conveniente. Se for mais fácil primeiro encontrarmos o valor da segunda incógnita, é assim que devemos proceder.

Quando um sistema admite uma única solução dizemos que ele é um&nbsp;sistema possível e determinado.


Quando o sistema admite uma infinidade de soluções?

Vejamos o sistema abaixo:



Note que somando todos os termos da primeira equação ao da segunda, não conseguiremos eliminar quaisquer variáveis, então vamos multiplicar os termos da primeira por&nbsp;-2&nbsp;e então realizarmos a soma:



Veja que eliminamos não uma das variáveis, mas as duas. O fato de termos obtido&nbsp;0 = 0&nbsp;indica que o sistema admite uma infinidade de soluções.

Quando um sistema admite uma infinidade de soluções dizemos que ele é um&nbsp;sistema possível e indeterminado.


Quando o sistema não admite solução?

Vejamos este outro sistema:



Note que se somarmos os termos da primeira equação com os da segunda, também não conseguiremos eliminar nenhuma das variáveis, mas agora veja o que acontece se multiplicarmos por&nbsp;2&nbsp;todos os termos da primeira equação e realizarmos a soma das equações:



Obtivemos&nbsp;0 = -3&nbsp;que é inválido, este é o indicativo de que o sistema não admite soluções.

Quando um sistema não admite soluções dizemos que ele é um&nbsp;sistema impossível.


Método da Substituição

Este método consiste em elegermos uma das equações e desta isolarmos uma das variáveis. Feito isto substituímos na outra equação, a variável isolada pela expressão obtida no segundo membro da equação obtida quando isolamos a variável.

Este procedimento também resultará em uma equação com uma única variável.

O procedimento é menos confuso do que parece. A seguir veremos em detalhes algumas situações que exemplificam tais conceitos, assim como fizemos no caso do método da adição.


Quando o sistema admite uma única solução?

Para nos permitir a comparação entre os dois métodos, vamos utilizar o mesmo sistema utilizado no método anterior:



Vamos escolher a primeira equação e isolar a variável&nbsp;x:



Agora na segunda equação vamos substituir&nbsp;x&nbsp;por&nbsp;20 - y:



Agora que sabemos que&nbsp;y = 7, podemos calcular o valor de&nbsp;x:




Quando o sistema admite uma infinidade de soluções?

Solucionemos o sistema abaixo:



Este sistema já foi resolvido pelo método da adição, agora vamos resolvê-lo pelo método da substituição.

Por ser mais fácil e gerar em um resultado mais simples, vamos isolar a incógnita&nbsp;y&nbsp;da primeira equação:



Agora na outra equação vamos substituir&nbsp;y&nbsp;por&nbsp;10 - 2x:



Como obtivemos&nbsp;0 = 0, o sistema admite uma infinidade de soluções.


Quando o sistema não admite solução?

Novamente vamos solucionar o mesmo sistema utilizado no método anterior:



Observe que é mais viável isolarmos a variável&nbsp;x&nbsp;da primeira equação, pois o seu coeficiente&nbsp;2&nbsp;é divisor de ambos coeficientes do primeiro membro da segunda equação, o que irá ajudar nos cálculos:



Agora substituímos&nbsp;x&nbsp;na segunda equação pelo valor encontrado:



Conforme explicado anteriormente, o resultado&nbsp;0 = -3&nbsp;indica que este sistema não admite soluções.



Fonte:&nbsp;http://www.matematicadidatica.com.br/SistemasEquacoesPrimeiroGrauDuasIncognitas.aspx