Explicação | Fatoração | Matemática
Autor: PAULO FREIRE | Publicado: 2011-04-29T14:37:00-03:00

Fatorar&nbsp;é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.
Ex: ax + ay = a.(x+y)
Existem vários casos de fatoração como:
1) Fator Comum em evidência
Quando os termos apresentam fatores comuns
Observe o polinômio:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ax + ay &nbsp;» Ambos os termos apresentam o fator&nbsp;a&nbsp;em evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Forma fatorada
Exs : Fatore:
a) bx + by - bz = b.(x+y-z)
b)&nbsp;
c)&nbsp;
d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)
e)&nbsp;
2) Fatoração por agrupamento
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.
Como por exemplo:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator&nbsp;a&nbsp;, os dois últimos termos possuem em comum o fator&nbsp;b. Colocando esses termos em evidência:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(x+y).(a+b)
Ou seja: &nbsp;ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)
Exs: Fatore:
a)&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;x é fator &nbsp;&nbsp;&nbsp;a é fator &nbsp;&nbsp;&nbsp;(x-3) é fator comum &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Forma
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;comum &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;comum &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;fatorada
b)&nbsp;&nbsp;&nbsp;é fator&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;é fator &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2+a) é fator comum &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Forma
&nbsp;&nbsp;comum &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;comum &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;fatorada

3) Fatoração por diferença de quadrados:
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado
Assim: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Exs: Fatore:
a)&nbsp;
b)&nbsp;
c)&nbsp;
Note que é possível fatorar a expressão duas vezes4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios () e (&nbsp;) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Assim:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2x &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3y
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|__________|
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de&nbsp;
Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;» forma fatorada
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|_______________|
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Sinal
Logo: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;» forma fatorada
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|_______________|
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Sinal
Exs:
a)&nbsp;
b)&nbsp;
*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo:
Exs:
a)&nbsp;
b)&nbsp;
Outros casos de fatoração:
1)&nbsp;
2)&nbsp;
3)&nbsp;
&nbsp;