Zero é número par? - Pares, impares e neutros.
Autor: Evandro Costa de Oliveira | Publicado: 2009-01-19T02:46:00-08:00

Esses dias algumas pessoas me questionaram quanto a paridade do zero dizendo para provar que ele é par. Bem, é uma questão no minimo legal. Então colocarei aqui vários ambitos de análise e o resultado obtido em cada um deles.Definição de Par e ÍmparParn = 2kImparn = 2k + 1Tal que n, k є I.Então, caso fosse impar:0 = 2k + 1k = - 1/2 (absurdo)Logo, k é par:0 = 2kk = 0Propriedade da SomaA soma de números iguais, em módulo, é sempre par.par1 + par2 = parI) -2k - 2k = 2(-2k) = 2nII) 2k + 2k = 4k = 2(2k) = 2nIII) 2k - 2k = 2(k - k) = 2(0) = 2n = 0impar1 + impar2 = parI) -2k - 1 - 2k - 1 = -4k - 2 = 2(-2k - 1) = 2nII) 2k + 1 + 2k + 1 = 4k + 2 = 2(2k + 1) = 2nIII) 2k + 1 - 2k - 1 = 2(k - k) = 2(0) = 2n = 0Não existe uma soma de resultado impar que se resulte em zero.DivisibilidadeUma definição também para par é que o número é divisivel por 2.Pois n = 2k, logo n/2 = k0 = 2.00/2 = 1.0 = 0ou seja:0/2 = 2.Inteiro + zero de resto- Caso fosse impar isso se resulta em absurdo.n = 2k + 10/2 = 2. Inteiro + 1 de resto0 = 4.k + 24k = -2k = -1/2 (absurdo)A Soma de 2 Números ParesComo já visto, a soma de dois números pares é sempre par.E a soma de dois números impares é sempre par também.2 números pares0 + 2k = 2k0 + 8 = 82 números impares0 + 2k + 1 = 2k + 10 + 1 = 1(logo é uma soma de um par com um impar)- aqui também fica a questão da propriedade do elemento neutro das aditivas.- consequencia dessa propriedade, multriplicação de pares por impares se resulta em par.Multiplicação Par x Impar2k.(2y + 1) = 4ky + 2 = 2(ky + 1) = 2nLogo,0.impar ou 0.par = parPares PerfeitosNúmeros pares são números que correspondem a uma associação igual entre dois números sem ter resto.Ou seja, podemos representar da seguinte forma:7 = / / / / / / /Pegando seus pares e os removendo, ou seja, dividindo por 2. Temos traço sem par, ou seja, houve o resto de 1.4= / / / /Assim, se tem 2 pares e com resto zero.0 = ?Aí entra um problema, pois não há pares em zero; porém o resto é zero. Mas não há o par.Logo, nessa definição zero não é par. Ou seja, quando se tem o número associado como quantidade o zero é puramente neutro e não adquire propriedade como par, nem impar.Confusão de ConceitosTalvez a grande questão que leva a confusão seja um problema quanto alguns conceitos quanto as caracteristicas de um número. Característica 1: ConjuntoUm número pode ser Racional ou Irracional, num dominio Real.Característica 2: PrimaridadeNúmero primo são os números que apenas são divisiveis por 1 e por ele mesmo. Até hoje não se encontrou uma equação ou formulação certa para isso.Quanto a isso, os números são classificados como primo ou não-primo.Característica 3: Opostos/Inversos e NeutrosNeutro = associação de opostos ou inversos0 = 1 + (-1)0 = 4 + (-4)1 = 2^0 = 2/2 = 1 = 2.(1/2)1 = 7^0 = 7/7 = 1 = 7.(1/7)Característica 4: PariedadeNúmeros divisiveis por 2 são pares.Ou seja, um número pode possuir uma ou mais caracteristicas. E não se pode dizer assim, se ele tem a caracteristica de neutro então não pode possuir outra. Caso fosse assim. Se o (-2) é oposto de 2, então não podemos dizer que ele é par?Quocientes, númeradores e restosVamos pensar no 4,4 no 2,2 e no 1,1. Eles são pares?No conjunto dos racionais são, no dos inteiros não?4,4 : 2 = 2,2 + 0Ou seja, resto 0? Não. Pois 4,4 / 2 = 2 + 0,22,2 / 2 = 1,1 + 0É assim? Ou é 2,2 / 2 = 1 + 0,1 ?1,1 / 2 = 0,55Um dos problemas é que muitos esquecem que decimais são frações, não é um resto zero. Ou então, associam qualquer número com finais (a última casa à direita) 0, 2, 4, 6 e 8 como sendo par. Em geral, são alguns vicios de se trabalhar com tais algarismos pares, de modo a identificar o número como par devido a isso. E com isso, é comum olhar números pares com final zero, como 10, 50, 100, e, devido a isso, considerarem o zero como sendo um número par. Sim, se pode dizer que quando o ultimo algarismo do número for par, o número é par; mas afirmar que devido a isso o zero é par; é esquecer da propriedade do que define um número sendo par. Porém, esquecem de uma propriedade de dizima periódica: Qualquer número racional tem dizima periódica.Tanto o 3 quanto o 3,3 quanto o 3,33... 3 = 3,0000000000000000000... (dizima em zero)3,3 = 3,3000000000000000000... (dizima em zero)3,33.... = 3,3333333333333333333... (dizima em 3)- Algum deles é par? E os seguintes?2 = 2,0000000000000000000... (dizima em zero)2,2 = 2,2222222222222222222222... (dizima em dois)2,22222222222222 = 2,222222222222220000000... (dizima em zero)Pois muitas vezes se faz uma confusão quanto a diferenciar o que é parte inteira e parte decimal. Exemplos:2,2 = (2 + 0,2) = 2 + 2.10^(-1) = 2 + 2/10Tem a parte inteira e a parte decimal. A parte inteira pode ser classificada se é par ou impar. A parte decimal não, nela, apenas podemos dizer qual algarismo é par ou impar.0,5 é par?e1/2 é par?e5/10?10/20?40/80?Percebeu qual é realmente o significado de número inteiro e de resto zero? O que se deve levar conta para considerar o zero como par?A RéguaPor fim, um exemplo simples. Numa reta, os pontos representam sua posição no espaço. Quanto as casas dos centimetros. Sempre segue uma ordem par, impar, par, impar... contatos a partir de uma referência. A regua começa normalmente com 0, 1, 2, 3, 4, ... (par, impar, par, impar...). Apenas no 1 se tem a unidade. Logo toda unidade tem tamanho 1. Como é impar, é uma associação de um par com um impar: par - impar = 11 - 0 = 12 - 1 = 13 - 2 = 1Agora mude a régua. Arraste de modo que a régrua seja: -1, 0, 1, 2, 3, ... (e aí mudou alguma coisa?) Não, a propriedade continuou igual. Note que a ordem contiuna: (impar, par, impar, par...) É o algarismo que representa se é par ou imparO ponto zero representa a unidade 1. Ou seja, continua a mesma história, do tamanho, do módulo:0 - (-1) = 1par - impar = impar1 - 0 = 1Questões para ficar careca1) Pense no 0,999... (dizima em 9) e no seu oposto. Ambos são zero, certo? E tais, são pares ou impares?2) Entre dois números irracionais sempre há um racional? E entre dois racionais, sempre há um irracional?3) No conjunto dos Reais, qual é os números (infinitamente) a direita e a esqueda de zero, são pares ou impares? Racionais ou irracionais? O zero pode ser um irracional?4) Na fatoração. Porque não se faz: 5.4.3.2.1.0! ? Sem levar em conta, a primeira vista, que qualquer fatorial seria igual a zero.5) Por que ocultam-se os zeros do Triangulo Aritmético (de Pascal)?6) Demonstre o absurdo de se dizer que algum número é divisivel por zero. E que 0^0 = 1. 7) Dê o conjunto solução de "par" dividido por "par". E - sabendo o que é par e impar - pode-se dizer que toda fração racional não-par é impar?