117-Representações de um Inteiro Positivo como Somas de Inteiros Positivos Consecutivos
Autor: Aloisio Teixeira | Publicado: 2013-07-03T10:31:00-03:00






"O abandono da matemática traz dano a todo o conhecimento,
&nbsp;pois aquele que a ignora não pode conhecer&nbsp; as outras ciências
&nbsp;ou as coisas deste mundo."

Roger Bacon&nbsp;
&nbsp; 






O assunto do título é um dos mais interessantes em Teoria dos Números. Por certo, a maioria dos leitores aprendeu no ensino médio como somar, por exemplo, os números de  ao .&nbsp; O resultado desta soma é . No entanto, verifiquem que somar de  ao  também resulta em . As perguntas naturais que surgem na mente do leitor são as seguintes.



- Dado um inteiro positivo , de quantas maneiras podemos representá-lo como somas de inteiros positivos consecutivos?&nbsp;



- Como obter estas somas?

- Existem números que não podem ser representados como soma de inteiros positivos consecutivos?


Estas questões serão esclarecidas nas seções seguintes.







1.FÓRMULA GERAL DO PRIMEIRO TERMO





Seja uma progressão aritmética&nbsp; de razão  e primeiro termo . Logo, seu enésimo termo é . Conforme a fórmula da soma dos  primeiros termos&nbsp; de uma  e fazendo desta soma um inteiro positivo  dado, temos









&nbsp; 

&nbsp;



Reorganizando esta equação, obtemos



&nbsp; (1)



Concluímos então que,&nbsp; a primeira condição necessária para que  seja uma soma de inteiros consecutivos é que o número de termos  seja divisor do dobro da soma.



Reorganizando mais uma vez a nossa equação chegamos à



 (2) 



que é a fórmula do primeiro termo . A segunda condição é que  seja inteiro e positivo e, para isto,&nbsp; devemos&nbsp; escolher convenientes divisores  de , conforme  seja par ou ímpar. 


Observem que, em  ,  é uma função decrescente de . Desde que , ao colocarmos de modo crescente estes divisores&nbsp;  na fórmula acima,  reduzirá o seu valor, se anulará ( o que não queremos ) e se tornará negativo ( o que não queremos ). Mas, podemos obter uma cota real  superior de  se considerarmos a equação em 













 (3)


Logo os divisores  de  tais que  nos garante que o primeiro termo seja .&nbsp; Devemos então analisar estes divisores contidos no intervalo aberto  e verificar quais deles deixa o primeiro termo inteiro na fórmula .&nbsp; 

Por intermédio das equações (1) , (2) e (3) estudaremos todos os casos de representações de um número natural como soma de números positivos consecutivos .





2.POTÊNCIAS DE DOIS 







Se  , com , então não pode ser representado como somas de inteiros positivos consecutivos.&nbsp;





Demonstração. O número &nbsp; não&nbsp; pode ter a representação em questão por razões óbvias. Para , vejamos.






Se  for uma potência de dois, ou seja, se , com  natural maior que , então os divisores que interessam de  são da forma , com  ( descartamos o divisor  tendo em vista que, se este número é igual ao número de termos consecutivos, então tem que ser maior que um ) . Inserindo na fórmula , temos



 





Observem que se  então  é inteiro mas  não é. Logo, neste caso,  não é inteiro.



E se , então, tendo em vista que, no mínimo , temos&nbsp;  e . Logo  também não é inteiro por ser fracionário e/ou negativo. 







3.NÚMEROS PRIMOS 







Se  for primo ímpar, então tem uma única representação como somas de inteiros positivos consecutivos. 

Demonstração.&nbsp; Conforme vimos, pela equação , o número de termos  tem que ser divisor do dobro da soma. Ora, sendo  primo ímpar, os únicos divisores de  são , ,  e .&nbsp; Veremos agora cada divisor no cálculo do primeiro termo .

Para  não consideramos pois não se pode falar de soma consecutiva com apenas um termo;

Para  , temos , onde  é um inteiro positivo
&nbsp; 

Para , temos , pois  é um primo ímpar;


Para , temos  que não é inteiro e nem positivo.


Concluímos então que o único caso em que o primeiro termo  é um inteiro positivo é quando o número de termos é  sendo esta a única forma em que o primo ímpar  pode ser representado como soma de números positivos consecutivos.

Exemplo. Colocar  como soma de inteiros positivos consecutivos.

Pegamos então  que é divisor do dobro da soma . Calculando o primeiro termo com nossa fórmula , temos . Assim .






4.NÚMEROS ÍMPARES







Excetuando-se
 os números primos, todo número ímpar tem, no mínimo, duas formas de 
representação como soma de números inteiros consecutivos.&nbsp;



Demonstração. Seja  um número ímpar qualquer, com  primo ímpar e  é o produto de potências de primos ímpares maiores que .&nbsp; Considere o divisor  de , número de termos da soma  conforme a equação já vista . 



Para  , temos , onde  é um inteiro positivo.



Logo,
 qualquer número ímpar, composto ou primo, possui esta forma trivial de 
representação como soma dos números positivos consecutivos . Exemplos:  e .



Vejamos agora que, ao contrário dos números primos,&nbsp; para um número ímpar composto esta forma de representação não é única.



De fato, pois para o número de termos , temos como primeiro termo  que é inteiro positivo porque no mínimo , para .



Para as outras formas de somas, os divisores de  necessitam estar enquadrados no intervalo , sendo  a cota real superior. 




Exemplo. Colocar  como somas de inteiros positivos consecutivos.



A cota real superior é . Assim os números  de termos das somas são divisores de  maiores que  e menores que , ou seja, .



Calculando o primeiro termo de cada soma com a fórmula , temos





&nbsp; e



&nbsp;





&nbsp; e



&nbsp;





 e 



&nbsp;





&nbsp; e



 





&nbsp; e



 





&nbsp;



 e 





 e




&nbsp;&nbsp; 



TEOREMA DE SEBÁ




Se um natural ímpar só puder ser expresso como 
soma de dois naturais consecutivos, então, esse natural é um primo.&nbsp;&nbsp;




&nbsp;Este teorema é justificado nas seções  e .


















5.NÚMEROS PARES







Excetuando-se as potências de dois, alguns números pares podem ser 
representados por uma&nbsp; ou mais somas de no mínimo três inteiros positivos 
consecutivos.



Demonstração. Observem de imediato que, se  é par, então em , temos que o número de termos  (divisor de ) é obrigatório ser ímpar, pois é a única forma de  ser inteiro.&nbsp;




Logo, para calcular os primeiros termos das somas de , temos que analisar apenas os divisores &nbsp; ímpares do número par  tais que .&nbsp;



Exemplo. O primeiro par que não é potência de dois é .&nbsp; A cota superior real é . Os divisores ímpares de  tais que&nbsp;  é unicamente .&nbsp;



Calculando o primeiro termo . Assim .





Exercício. Calcular todas as formas de representação de  como soma de números positivos consecutivos.

&nbsp; 



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Referência na net:&nbsp; 


http://gazeta.spm.pt/getArtigo?gid=151


Imagem: http://www.puzzleclopedia.com/division-exacta/