Racionalização de Denominadores - 2EM - 15/02/2012
Autor: Professor Fábio Luiz | Publicado: 2012-02-16T07:25:00-08:00





A&nbsp;racionalização de denominadores&nbsp;consiste em se obter uma fração equivalente com denominador&nbsp;racional, para substituir uma outra com denominador&nbsp;irracional.

Conseguimos isto realizando algumas operações que eliminam o radical do denominador.

Iremos analisar três casos em particular.



1. Denominador é uma Raiz Quadrada

Este é o caso mais simples, quando tratamos radicais com&nbsp;índice igual a dois.

Vamos analisar a seguinte fração:



É sabido que podemos eliminar o radical se multiplicarmos&nbsp;&nbsp;por ele mesmo. Vejamos:



Partimos de&nbsp;&nbsp;e chegamos a&nbsp;5.

Então quando temos um radical de índice dois, podemos eliminá-lo multiplicando-o por ele mesmo, pois&nbsp;&nbsp;e além disto, para que nova a fração seja equivalente à fração original, também precisamos multiplicar o numerador pelo mesmo valor:



Neste nosso exemplo&nbsp;&nbsp;é o&nbsp;fator racionalizante da fração, pois a racionalizamos multiplicando ambos os seus termos por tal fator.

Genericamente o&nbsp;fator racionalizante&nbsp;de um denominador&nbsp;&nbsp;é o próprio&nbsp;.



Exemplos









2. Denominador de uma Raiz Não Quadrada

Agora vamos tratar um caso cujo índice seja diferente de dois, ou seja, um caso onde não temos uma raiz quadrada.

Observe a fração a seguir:



Neste caso de nada adianta multiplicarmos o radical por ele mesmo, pois não conseguiremos eliminá-lo. Veja o que acontece quando o fazemos:



Perceba que no caso anterior havíamos partido de&nbsp;&nbsp;e passamos por&nbsp;51, o que nos permitiu chegarmos a&nbsp;5.

Note que neste caso, porém, partindo-se de&nbsp;&nbsp;chegamos a&nbsp;&nbsp;e como&nbsp;2 não é divisível por 3, não conseguimos eliminar o radical.

Então o que precisamos fazer?

Obviamente devemos multiplicar o radical, por um outro fator de sorte que consigamos chegar a&nbsp;&nbsp;e não a&nbsp;.

Qual fator é este?

É muito simples. Veja o ponto chave abaixo:



Qual é o número que somado a&nbsp;1&nbsp;dá&nbsp;3?

É&nbsp;dois, pois&nbsp;3&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;2.

Então o fator racionalizante da fração é&nbsp;, pois:



Logo:



Podemos então concluir que o&nbsp;fator racionalizante&nbsp;de um denominador&nbsp;&nbsp;é igual a&nbsp;.



Exemplos









3. Quando o denominador é uma Soma ou Diferença de Dois Quadrados

Agora no último caso a ser tratado, veremos como devemos proceder quando no denominador da fração temos uma soma ou diferença de um ou dois radicais com índice igual a&nbsp;2.

Vejamos a fração abaixo:



Como pode observar, os métodos analisados acima não nos permitem racionalizar este tipo de fração. Para fazê-lo precisamos recorrer a um produto notável, mais especificamente ao&nbsp;produto da soma pela diferença de dois termos.

Mais especificamente, neste produto notável, o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Algebricamente temos:



Conseguiu perceber como podemos utilizar este conceito para racionalizarmos a fração proposta?

Parabéns se conseguiu, mas se não conseguiu tudo, daqui a pouco você estará apto a fazê-lo.

Vamos ver o que acontece quando substituímos&nbsp;a&nbsp;por&nbsp;&nbsp;e&nbsp;b&nbsp;por&nbsp;:



Percebeu agora?

Observe que originalmente tínhamos a expressão&nbsp;&nbsp;que multiplicamos por&nbsp;, perceba que invertemos o sinal, trocamos&nbsp;"+"&nbsp;por&nbsp;"-", se tivéssemos&nbsp;"-", o teríamos trocado por&nbsp;"+".

Como elevamos&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;ao quadrado, eliminamos assim os radicais.

Como nos casos anteriores, devemos multiplicar ambos os termos da fração pelo&nbsp;fator racionalizante, que neste exemplo é&nbsp;:



Neste último caso o&nbsp;fator racionalizante&nbsp;de um denominador&nbsp;&nbsp;será&nbsp;&nbsp;e vice-versa.



Exemplos







Neste último exemplo decompomos tanto&nbsp;18&nbsp;em&nbsp;2&nbsp;.&nbsp;32, quanto&nbsp;12&nbsp;em&nbsp;22&nbsp;.&nbsp;3&nbsp;(decomposição de fatores primos), que você pode revisar se for o caso.&nbsp;

Prof. Fábio Luiz