Questão 26 e Questão 27 – Vestibulinho Etec (1° prova) – Centro Paula Souza – 2° Semestre de 2.009
Autor: Luiz Francisco Batista Sampaio | Publicado: 2016-12-14T11:36:00-02:00




leia o texto para responder às questões de números 26 e 27.






O PORQUÊ DAS COISAS






Para certos povos primitivos o trovão, por exemplo, é uma reação de descontentamento dos deuses contra atos praticados pelos homens. Para superar esses temores, homens dotados de curiosidade intelectual procuraram e procuram, até hoje, descrever o mundo e explicar como ele funciona, passando de especulações baseadas apenas na experiência e na observação da realidade para a etapa da abstração, não se contentando apenas com o como mas pensando também no porquê. Esta é a origem da ciência.






Tales, um rico comerciante grego da Antiguidade e também uma pessoa muito curiosa, é considerado o criador da ciência da maneira como a entendemos hoje e, a ele, são creditadas as primeiras demonstrações sistemáticas em geometria, como






todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é um ângulo reto;
qualquer diâmetro divide uma circunferência em duas partes iguais;
ângulos opostos pelo vértice são congruentes;
se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um desses triângulos são, respectivamente, iguais a dois ângulos e um lado do outro, então os triângulos são congruentes.










Questão 26






Na figura, tem-se o triângulo $\textrm{ABC}$ que está inscrito em uma semicircunferência de centro $\textrm{O}$. Se a medida do ângulo $\textrm{C}\widehat{\textrm{A}}\textrm{B}$ é $x^{\circ}$, e a medida do ângulo $\textrm{A}\widehat{\textrm{B}}\textrm{C}$ é $\frac{2}{3}x^{\circ}$, então o valor de $x$ é












(A) 54.




(B) 58.




(C) 60.




(D) 72.




(E) 75.








Solução: (A)








Na Figura 26.1 temos os dados do enunciado.







Figura 26.1: Imagem do enunciado com os demais dados apresentados.






Conforme o texto temos que "todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é um ângulo reto", ou seja, $\textrm{A}\widehat{\textrm{C}}\textrm{B}=90^{\circ}$.






imagem






A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, ou seja:






$x^{\circ}+\frac{2}{3}\; x^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$






$x^{\circ}+\frac{2}{3}\; x^{\circ}=90^{\circ}$






$\frac{5}{3}\; x^{\circ}=90^{\circ}$






$x^{\circ}=\frac{90^{\circ} \; \cdot \; 3}{5}=\frac{270^{\circ}}{3}=54^{\circ}$






Desta forma o ângulo $x$ é igual a $54$.

















Referência de Estudo




Disciplina


Série / Ano


Bimestre






Matemática


Conteúdo: Geometria.




6ª / 7°


2°






Matemática


Conteúdo: Números.




6ª / 7°


4°






Matemática


Conteúdo: Números / Relações.




7ª / 8°


3°




Fonte:São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; coordenação de área, Nilson José Machado. – 1. ed. atual. – São Paulo : SE, 2011.











Questão 27






Na figura, os segmentos $\overline{\textrm{AC}}$ e $\overline{\textrm{BD}}$ interceptam-se no ponto $\textrm{E}$.












Além disso,


• as medidas dos ângulos $\textrm{D}\widehat{\textrm{A}}\textrm{E}$ e $\textrm{B}\widehat{\textrm{C}}\textrm{E}$ são iguais;&nbsp;
• os segmentos $\overline{\textrm{DE}}$ e $\overline{\textrm{EB}}$ são congruentes;&nbsp;
• $\overline{\textrm{AE}}=13$&nbsp;
• $\overline{\textrm{AD}}=18$&nbsp;
• $\overline{\textrm{DE}}=16$&nbsp;
• $\overline{\textrm{EC}}=2x+1$&nbsp;
• $\overline{\textrm{BC}}=5y-2$&nbsp;



Nessas condições, o valor de $x + y$ é






(A) 6.




(B) 10.




(C) 16.




(D) 20.




(E) 24.








Solução: (B)








Na Figura 27.1 temos os dados do enunciado.








Figura 27.1: Imagem do enunciado com os demais dados apresentados.







Observe que temos $\epsilon= \epsilon_{1}$, pois são ângulos opostos pelo vértice $\textrm{E}$.






Podemos considerar dois triângulos: o triângulo $\textrm{AED}$ e o triângulo $\textrm{CEB}$. Estes triânulos são inicilamente semelhantes, vide Figura 2.







Figura 27.2: indicação dos lados correspondentes aos triângulossemelhantes e congruentes $\textrm{AED}$ e $\textrm{CEB}$..





Outro fato importante é que&nbsp;$\overline{\textrm{DE}}=\overline{\textrm{EB}}$, este fato permite concluir que os triângulos são congruentes (iguais).&nbsp;Desta forma temos:




• $\overline{\textrm{DE}}=\overline{\textrm{EB}}$
• $\overline{\textrm{AD}}=\overline{\textrm{BC}}$
• $\overline{\textrm{AE}}=\overline{\textrm{EC}}$







Calculando o valor de $y$:






$\overline{\textrm{AD}}=\overline{\textrm{BC}}$






$18=5y-2$






$18+2=5y$






$20=5y$






$y=\frac{20}{5}=4$






Calculando o valor de $x$:






$\overline{\textrm{AE}}=\overline{\textrm{EC}}$






$13=2x+1$






$13-1=2x$






$12=2x$






$x=\frac{12}{2}=6$






Calculando o valor de $x+y$:






$x+y=6+4=10$






Desta forma a soma de $x$ e $y$ é igual a $10$.















Referência de Estudo




Disciplina


Série / Ano


Bimestre






Matemática


Conteúdo: Geometria.




6ª / 7°


2°






Matemática


Conteúdo: Números.




6ª / 7°


4°






Matemática


Conteúdo: Números / Relações.




7ª / 8°


3°






Matemática


Conteúdo: Geometria / Relações.




8ª / 9°


3°




Fonte:São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; coordenação de área, Nilson José Machado. – 1. ed. atual. – São Paulo : SE, 2011.





















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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!