Aula 5 - Propriedades do Limite de uma Função
Autor: Romirys Cavalcante | Publicado: 2015-01-17T12:05:00-03:00

Estou dando início a aula 5 do curso: Como Aprender Cálculo Diferencial e Integral. Na aula de hoje vamos estudar sobre as propriedades operatórias dos limites, conteúdo de grande importância quando estamos trabalhando com&nbsp;limites. Já pensou ter que resolver limites pela definição toda vez? Seria muito complicado e chato não é mesmo? Com o conteúdo de hoje você vai aprender caminhos e métodos mais fáceis para encontrá-los.

Propriedades Básicas dos LimitesAbaixo você vai conhecer os dois limites mais básicos de se aprender quando estudamos as propriedades de limites.&nbsp;
Seja $f(x)=x$ e $k$ uma constante, temos:

Propriedade 1: O limite de uma função $f(x)=x$ será equivalente ao valor que o "$x$" se aproxima, no caso abaixo, o limite da função $f(x)$ será "$p$", pois este é valor em que "$x$" está se aproximando.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow p }{ x=p } &nbsp;} $$
 Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ x=3 }&nbsp;$$
$$&nbsp;\lim _{ x\rightarrow 5 }{ x=5 }&nbsp;$$
$$&nbsp;\lim _{ x\rightarrow \pi &nbsp;}{&nbsp;x=\pi &nbsp;} $$
Propriedade 2: O limite de uma constante é a própria constante.
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ k=k } $$&nbsp;
 Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ 9=9 } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \pi =\pi &nbsp;}&nbsp;$$
$$&nbsp;\lim _{ x\rightarrow +\infty &nbsp;}{ 12=12 }&nbsp;$$
Principais Propriedades dos LimitesSeja $k$ uma contante, $\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=L } $ e $\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x)=M }$ e $ n\in { N }^{ \ast &nbsp;} $, então:

Propriedade 3: O limite da soma entre duas funções é equivalente a soma dos limites dessas funções.&nbsp;$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)+g(x) \right] =L+M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)+\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) } &nbsp;} &nbsp;} &nbsp;$$
 Exemplos:$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( { x }+4 \right) = } \lim _{ x\rightarrow 1 }{ { x }+\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 4=1+4=5 } &nbsp;}&nbsp; $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( 3x+7 \right) =\lim _{ x\rightarrow 5 }{ { 3x }+\lim _{ x\rightarrow 5 }{ 7=15+7=22 } &nbsp;} &nbsp;} $$

Propriedade 4:&nbsp;O limite da diferença entre duas funções é equivalente a diferença dos limites dessas funções.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)-g(x) \right] =L-M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)-\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) } &nbsp;} &nbsp;}&nbsp;&nbsp;$$
 Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( { x }-7 \right) = } \lim _{ x\rightarrow 5 }{ { x }-\lim _{ x\rightarrow 5 }{ 7=5-7=-2 } &nbsp;}&nbsp; $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x-1 \right) =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ { 4x }-\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 1=8-1=7 } &nbsp;} &nbsp;}&nbsp; $$
Propriedade 5: O limite de uma constante por uma função é equivalente ao produto da constante pelo limite da função.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ k\cdot f(x) \right] =k\cdot L=k\cdot \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } &nbsp;}&nbsp;&nbsp;$$
 Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left[ 3\cdot \left( { 4x }+7 \right) &nbsp;\right] = } 3\cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( { 4x }+7 \right) &nbsp;} &nbsp;\right] =3\cdot \left[ 4\cdot 5+7 \right] =3\cdot 27=81$$
$$&nbsp;\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left[ 2\cdot \left( { x }+1 \right) &nbsp;\right] = } 2\cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x+1 \right) &nbsp;} &nbsp;\right] =2\cdot \left[ 1+1 \right] =2\cdot 2=4 $$

 Propriedade 6: O limite do produto entre duas funções é equivalente ao produto dos limites dessas funções.&nbsp;$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)\cdot g(x) \right] =L\cdot M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } \cdot \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) } &nbsp;}&nbsp;&nbsp;$$
 Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \left( 2x \right) \cdot \left( x+4 \right) &nbsp;\right] = } \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x } &nbsp;\right] \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+4 \right) &nbsp;} &nbsp;\right] =4\cdot 6=24$$
$$&nbsp;\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \left( { x }^{ 3 } \right) \cdot \left( x-1 \right) &nbsp;\right] = } \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { x }^{ 3 } } &nbsp;\right] \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x-1 \right) &nbsp;} &nbsp;\right] =8\cdot 1=8 $$

Propriedade 7: O limite da divisão entre duas funções é equivalente a divisão entre os limites dessas funções se, e somente se, o limite da função que fica no denominador for diferente de zero, no caso abaixo, a propriedade é válida se $ \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x)\neq 0 }&nbsp;$.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ \frac { f(x) }{ g(x) } &nbsp;\right] =\frac { L }{ M } =\frac { \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } &nbsp;}{ \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) } &nbsp;} &nbsp;}&nbsp;&nbsp;$$
 Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( 4x \right) &nbsp;}{ \left( x+2 \right) &nbsp;} &nbsp;\right] = } \frac { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x } &nbsp;\right] &nbsp;}{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right) &nbsp;} &nbsp;\right] &nbsp;} =\frac { 8 }{ 4 } =2$$
$$&nbsp;\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { \left( 8x \right) &nbsp;}{ \left( 3x-3 \right) &nbsp;} &nbsp;\right] = } \frac { \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ 8x } &nbsp;\right] &nbsp;}{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x-3 \right) &nbsp;} &nbsp;\right] &nbsp;} =\frac { 24 }{ 6 } =4 $$

Propriedade 8: O limite de uma função elevada a $n$ é equivalente ao limite elevado a $n$ dessa função.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ { \left[ f(x) \right] &nbsp;}^{ n }={ { \left( L \right) &nbsp;}^{ n }=\left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } &nbsp;\right] &nbsp;}^{ n } } $$
 Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \left[ x+2 \right] &nbsp;}^{ 3 }= } { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \left( x+2 \right) &nbsp;} } &nbsp;\right] &nbsp;}^{ 3 }={ \left( 4 \right) &nbsp;}^{ 3 }=64$$
$$&nbsp;\lim _{ x\rightarrow 4 }{ { \left[ 3x-1 \right] &nbsp;}^{ 2 }= } { \left[ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ { \left( 3x-1 \right) &nbsp;} } &nbsp;\right] &nbsp;}^{ 2 }={ \left( 11 \right) &nbsp;}^{ 2 }=121$$
Outras Propriedades Importantes de LimitesAs propriedades abaixo são pouco conhecidas, mas são de grande importância em alguns casos para resolução de limites, por isso é importante conhecer e aprender cada uma delas.
Seja $k$ uma contante, $\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=L } $ e $ n\in { N }^{ \ast &nbsp;} $, então:

Propriedade 9: O limite da raiz enésima de uma função é equivalente a raiz enésima do limite dessa função.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \sqrt [ n ]{ f(x) } =\sqrt [ n ]{ L } =\sqrt [ n ]{ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } &nbsp;} &nbsp;}&nbsp;&nbsp;$$
 Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \sqrt [ 3 ]{ 4x } = } \sqrt [ 3 ]{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ (4x) } &nbsp;} =\sqrt [ 3 ]{ 8 } =2$$
$$&nbsp;\lim _{ x\rightarrow 4 }{ \sqrt { 3x+4 } = } \sqrt { \lim _{ x\rightarrow 4 }{ (3x+4) } &nbsp;} =\sqrt { 16 } =4 $$

Propriedade 10: O limite do logaritmo natural de uma função é equivalente ao logaritmo natural do limite dessa função.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \ln { f(x) } =\ln { (L) } =\ln { \left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } &nbsp;\right] &nbsp;} &nbsp;} $$
 Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \ln { \left( x+2 \right) &nbsp;} &nbsp;\right] = } \ln { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right) } &nbsp;\right] &nbsp;} =\ln { 4 } \cong 1,39$$
$$&nbsp;\lim _{ x\rightarrow 4 }{ \left[ \ln { \left( 3x-2 \right) &nbsp;} &nbsp;\right] = } \ln { \left[ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ \left( 3x-2 \right) } &nbsp;\right] &nbsp;} =\ln { 10 } \cong 2,3 $$

Propriedade 11: O limite de "$e$" elevado a uma função é equivalente a "$e$" elevado ao limite dessa função.&nbsp;$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ { \left( e \right) &nbsp;}^{ f(x) }={ \left( e \right) &nbsp;}^{ L }={ \left( e \right) &nbsp;}^{ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } &nbsp;} } $$
 Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { e }^{ \left( x+1 \right) &nbsp;}= } { \left( e \right) &nbsp;}^{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ x+1 } &nbsp;\right] &nbsp;}={ \left( e \right) &nbsp;}^{ 3 }\cong 20,08$$
$$&nbsp;\lim _{ x\rightarrow 1 }{ { e }^{ \left( 4x \right) &nbsp;}= } { \left( e \right) &nbsp;}^{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ 4x } &nbsp;\right] &nbsp;}={ \left( e \right) &nbsp;}^{ 4 }\cong 54,6 $$
Propriedade 12:&nbsp;O limite do seno de uma função é equivalente ao seno do limite dessa função.
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ sen\left[ f(x) \right] &nbsp;} =sen\left[ L \right] =sen\left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } &nbsp;\right]&nbsp;$$
 Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ sen\left[ 3x+1 \right] &nbsp;} =sen\left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( 3x+1 \right) &nbsp;} &nbsp;\right] =sen(4) $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ sen\left[ { x }^{ 2 }+4 \right] &nbsp;} =sen\left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( { x }^{ 2 }+4 \right) &nbsp;} &nbsp;\right] =sen(8) $$

Espero que tenha gostado desta aula. Um grande abraço, bons estudos e até a próxima aula. Não se esqueça de por em prática todas essas propriedades com vários exercícios, pois só assim você vai conseguir fixar esse conteúdo em sua cabeça.

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