Angulos
Autor: Tornearia Virtual | Publicado: 2012-04-01T14:49:00-03:00

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Ângulo


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Ângulo&nbsp;é a região de um plano concebida pela abertura de duas&nbsp;semirretas&nbsp;que possuem uma origem em comum, chamada&nbsp;vértice&nbsp;do&nbsp;ângulo[1]. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante e é medida em&nbsp;radianos&nbsp;ou&nbsp;graus. Ângulo é um dos&nbsp;conceitos fundamentais da matemática, ocupando lugar de destaque na&nbsp;Geometria euclidiana, ao lado de&nbsp;ponto,&nbsp;reta,&nbsp;plano,&nbsp;triângulo,&nbsp;quadrilátero,polígono&nbsp;e&nbsp;perímetro[2].


Elementos conceituais, componentes e aplicações do ângulo

O principal ramo da&nbsp;matemática&nbsp;que se relaciona com o conceito de&nbsp;ângulo&nbsp;é a&nbsp;trigonometria. Além das&nbsp;funções trigonométricas, as principais&nbsp;funções&nbsp;(ou&nbsp;operações) com ângulos são a&nbsp;soma, asubtração&nbsp;e a&nbsp;multiplicação&nbsp;por um&nbsp;número[3].

Semirretas&nbsp;são os lados do ângulo.&nbsp;Origem&nbsp;ou&nbsp;vértice&nbsp;é o ponto onde as duas semirretas se encontram.Bissetriz&nbsp;é a semirreta com origem no&nbsp;vértice&nbsp;desse ângulo dividindo-o ao meio.

Ângulos consecutivos: dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos internos comuns.

Também é muito notória a conceituação dos números&nbsp;pi&nbsp;e&nbsp;e, ambas usadas nas operações e funções com ângulos.

Já na&nbsp;matemática aplicada&nbsp;é muito comum o uso de ângulos. Exemplos de ramos do&nbsp;conhecimento&nbsp;em que isto ocorre são a&nbsp;cartografia, a&nbsp;geografia, a&nbsp;engenharia, a&nbsp;física, a&nbsp;química, a&nbsp;biologia, vários ramos da&nbsp;medicina, como a&nbsp;ortopedia, a&nbsp;odontologia, a&nbsp;astronomia, a&nbsp;aviação.

Embora o senso comum preveja apenas ângulos&nbsp;positivos, a matemática admite a existência de ângulos&nbsp;negativos, ou seja, ângulos têm&nbsp;sinal. Tal questão é importante mormente no tratamento devetores&nbsp;na&nbsp;forma polar, em alternativa à&nbsp;forma cartesiana.

Do mesmo modo, é definida na&nbsp;convenção matemática&nbsp;a noção de&nbsp;ângulos entre&nbsp;curvas, como sendo o ângulo entre as retas&nbsp;tangentes&nbsp;no ponto de&nbsp;interseção&nbsp;.

Unidades de medidas para ângulos

A&nbsp;medida em&nbsp;radianos&nbsp;de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo[4]. O&nbsp;SI&nbsp;utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial.&nbsp;Senos&nbsp;e&nbsp;co-senos&nbsp;cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base&nbsp;e.

A&nbsp;medida em&nbsp;graus&nbsp;de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito&nbsp;°. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.

O&nbsp;gradiano, também chamado de&nbsp;grado, é uma medida angular na qual o arco é dividido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usada mais em&nbsp;triangulação.

O&nbsp;ponto&nbsp;é usado em&nbsp;navegação, e é definido como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.

O&nbsp;círculo completo&nbsp;ou&nbsp;volta completa&nbsp;representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.

O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.

Medindo ângulos





O ângulo&nbsp;θ&nbsp;é o quociente de&nbsp;spor&nbsp;r.



Para medir um ângulo&nbsp;θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco&nbsp;s&nbsp;é então dividido pelo raio do círculo&nbsp;r, e multiplicado por uma variavel&nbsp;k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus,&nbsp;.


Cabe mencionar que valor de&nbsp;θ&nbsp;é independente do tamanho do círculo (a proporção&nbsp;s/r&nbsp;é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.

Classificações dos ângulos

Quanto à medida





Ângulo agudo.







Ângulo reto.







Ângulo obtuso.







Ângulo raso.







Ângulo giro ou ângulo completo.



Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como:

Nulo: um ângulo nulo mede 0°;&nbsp;agudo: ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°;&nbsp;reto: um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°; assim os seus lados estão localizados em&nbsp;retas perpendiculares;&nbsp;obtuso: é um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°;&nbsp;raso: ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semirretas opostas;&nbsp;côncavo&nbsp;ou&nbsp;reentrante: ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°;&nbsp;giro&nbsp;ou&nbsp;completo: ângulo que mede 360° (também pode ser chamado de Ângulo de uma volta).

O ângulo reto (90°) é um dos ângulos mais notórios e utilizados, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como, aproximadamente, no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc..

Um ângulo de 360 graus é aquele que completa o círculo. A volta completa coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°). Tal identificação se assemelha à do&nbsp;ângulo negativo&nbsp;com o ângulo positivo que tem como medida exatamente aquele (negativo) somado com a volta completa.

Ângulos Consecutivos: dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo;&nbsp;ângulos adjacentes: Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum;&nbsp;ângulos opostos pelo vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Quanto a complementações





Ângulos complementares&nbsp;a&nbsp;e&nbsp;b&nbsp;(b&nbsp;é o complemento de&nbsp;a, e&nbsp;a&nbsp;é o complemento de&nbsp;b).







Os ângulos&nbsp;a&nbsp;e&nbsp;b&nbsp;são suplementares;&nbsp;a&nbsp;é agudo e&nbsp;b&nbsp;é obtuso.



Ângulos complementares: dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.

Ângulos suplementares: dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.

Ângulos replementares: dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.

Ângulos explementares: Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.