MATEMÁTICA CONCEITOS E SIGNIFICADOS
Autor: vindealmei | Publicado: 2013-03-01T00:29:00-08:00





MATEMÁTICAS&nbsp;&nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

CONCEITOS &nbsp;E &nbsp;SIGNIFICADOS &nbsp;PROGRESSIVOS&nbsp;
QUE&nbsp; SE&nbsp; PODEM&nbsp;
EXPENDER SOBRE O PROGRAMA DA DISCIPLINA DE 

MATEMÁTICA&nbsp; DURANTE&nbsp;
O&nbsp; ENSINO&nbsp; BÁSICO&nbsp;
(alguns acréscimos foram feitos de conhecimentos julgados necessários, 

embora não aprofundados, nesta
Etapa de Aprendizado). 



1 - SOMA -&nbsp; MULTIPLICAÇÃO -&nbsp; EXPONENCIAÇÃO -&nbsp; LOGARÍTMO – INTEGRAL

2- &nbsp;FRAÇÃO &nbsp;ORDINÁRIA -&nbsp;
DECIMAIS -&nbsp; IGUALDADE DE FRAÇÕES
ORDINÁRIAS - RAZÕES E PROPORÇÕES

&nbsp;&nbsp;&nbsp; - TXs.&nbsp;
DE JUROS

3 -&nbsp; TRIGONOMETRIAS, PLANA E ESFÉRICA

4 -&nbsp; TEORIA DOS CONJUNTOS

5 - &nbsp;FUNÇÕES COMO RELAÇÕES ENTRE DUAS OU MAIS
VARIÁVEIS E DE 1º., 2º., 3º.,..., N GRAUS -&nbsp;
FUNÇÕES DE

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;FIGURAS GEOMÉTRICAS&nbsp; - POLINÔMIOS (SOMA E SUBTRAÇÃO DE FUNÇÕES) –
FUNÇÕES DE MATEMÁTICA

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;FINANCEIRA -&nbsp;
FUNCÕES CONTÍNUAS E DESCONTÍNUAS - FUNÇÕES CÍCLICAS

6 -&nbsp; SISTEMAS DE EQUAÇÕES :&nbsp; LINEARES -&nbsp;
DIFERENCIAIS -&nbsp; MATRIZES -&nbsp; DETERMINANTES&nbsp;&nbsp; 

7 - &nbsp;GEOMETRIAS -&nbsp;
PLANA -&nbsp; ESPACIAIS -&nbsp; PROJETIVA -&nbsp;
FRACTAL -&nbsp; TOPOLOGIA - DESCRITIVA
- ANALÍTICA

8 -&nbsp; ESTATÍSTICA/TEORIA DAS PROBABILIDADES

9- SEQUÊNCIAS/PROGRESSÕES

10- ANÁLISE COMBINATÓRIA/BINÔMIO
DE NEWTON

11- NÚMEROS - NATURAIS -&nbsp; INTEIROS -&nbsp;
RACIONAIS -&nbsp; REAIS - IRREAIS -
IMAGINÁRIOS -&nbsp; COMPLEXOS

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Para
que haja um aprendizado satisfatório de uma Disciplina é necessário que o aluno
tenha compreensão satisfatória inicial do que vai estudar e que esta
compreensão esteja &nbsp;agrupada segundo
temas afins, para mais fácil memorização.&nbsp;&nbsp;
&nbsp;Esta a razão da Grade Inicial
previamente apresentada, a qual, adiante, sofre um aprofundamento de
apresentação de conceituações.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Dessa
forma,&nbsp; vamos tentar construir o
conhecimento prévio das&nbsp; MATEMÁTICAS&nbsp; conforme programa contido no Ensino Básico,
com alguns pequenos acréscimos que fazem falta conhecer para complemento
intra-grupos ao quais pertençam 

1 - SOMA -&nbsp; MULTIPLICAÇÃO -&nbsp; EXPONENCIAÇÃO -&nbsp; LOGARÍTMO – INTEGRAL

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A
SOMA é a primeira operação da aritmética/matemática a trabalhar com quantidades.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A
MULTIPLICAÇÃO é o artifício criado para simplificar a soma contínua de uma
mesma grandeza, diversas vezes; assim, quando se diz 2 x 3, se está dizendo que
o 2 é somado 3 vezes ou que o 3 é somado 2 vezes.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A
EXPONENCIAÇÃO é o artifício criado para simplificar a multiplicação de uma
mesma grandeza, diversas vezes; assim quando se diz 5 elevado à 4ª. Potência,
ou 5 elevado a&nbsp; 4, se está dizendo que a
grandeza 5 é multiplicada por si mesma, quatro vezes;&nbsp; ou se 4 elevado à 5ª. Potência, diz-se que a
grandeza 4 é multiplicada por si mesma, 5 vezes.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O
LOGARÍTMO é um artifício criado para poder-se multiplicar grandes grandezas
entre si, numa época &nbsp;eque&nbsp;&nbsp;inexistiam máquinas de calcular.&nbsp;&nbsp;&nbsp;Assim os LOGARÍTMOS de grandes números poderiam ser somados entre si ,&nbsp;&nbsp;dando lugar a um novo LOGARÍTMO de um número que seria o resultado da multiplicação de duas grandes grandezas, que seria conhecido por reversão de seu&nbsp;&nbsp;LOGARÍTMO..&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Seu conceito fundamental é&nbsp;&nbsp;: “o LOGARÍTMO de um número N é o expoente a que se deve elevar uma BASE dada para igualar-se a N.”&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Assim, se pretendermos criar uma Tabela de Logarítmos na BASE 10,&nbsp;&nbsp;o Logarítmo do número N=10 será&nbsp;&nbsp;log(na BASE 10) de N&nbsp;&nbsp;será igual a 1 (uma unidade), pois 10 (BASE) elevado à potência 1 será igual a N =10.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Por esta razão o LOGARÍTMO&nbsp;&nbsp;está associado ao conhecimento da EXPONENCIAÇÃO, que se associa ao conceito SOMA. &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;

2

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Chama-se
de função INTEGRAL&nbsp; no intervalo (n-n1)
uma área contida em um PLANO, delimitado pela função&nbsp; e pelos comprimentos dos eixos Cartesianos
(vide 6 - ANALÍTICA), de tamanho do intervalo (n-n1), para X e Y de tamanhos
entre eixo de X até pontos de encontro com linha delimitadora da função.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Faz-se menção,&nbsp; agora, a este tipo de FUNÇÃO, pois seu
conceito se associa ao conceito de SOMA.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Fizemos
um caminho desde a operação simples SOMA até o conceito mais complexo de função
INTEGRAL , que também é associada ao conceito de SOMA, passando pelo conceito
de LOGARÍTMO,&nbsp; que também é associado ao
conceito de SOMA.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Se fizermos o
caminho inverso, iremos trilhar o caminho do conceito da SUBTRAÇÃO, passando
por uma função DERIVADA; &nbsp;&nbsp;depois, por
RADICIAÇÃO, que é o inverso da EXPONENCIAÇÃO;&nbsp;
&nbsp;então, por DIVISÃO, que é o
inverso da MULTIPLICAÇÃO, para, finalmente chegarmos à SUBTRAÇÃO.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; É&nbsp; uma VIAGEM&nbsp;
fascinante;&nbsp;&nbsp; é ou não é ?! &nbsp;

2-&nbsp; FRAÇÃO ORDINÁRIA -&nbsp; DECIMAIS -&nbsp;
IGUALDADE DE FRAÇÕES ORDINÁRIAS - RAZÕES E PROPORÇÕES

&nbsp;&nbsp;&nbsp; - TAXAS&nbsp;
DE JUROS

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Colocamos
a FRAÇÃO ORDINÁRIA , nesta posição pois seu conceito é exatamente igual ao de
DIVISÃO;&nbsp; ela se constitui de um número
dividido por outro.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Só que não
efetuamos a DIVISÃO;&nbsp;&nbsp; se efetuarmos,
transformamos a FRAÇÃO ORDINÁRIA em uma FRAÇÃO DECIMAL.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Parece truque de mágica!&nbsp;&nbsp; Se deixarmos a coisa quieta ela é o que
é.&nbsp;&nbsp; Se mexermos nela, ela se transforma
noutra coisa!&nbsp;&nbsp;&nbsp; Tatu-Bola é assim.&nbsp;&nbsp; Agora mexeram com ele e ele virou
MASCOTE&nbsp; da COPA DO MUNDO DE FUTEBOL DE
2014!&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vejam que coisa!&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Na primeira vez que mexeram, quando ele
era comprido ele virou BOLA;&nbsp; na segunda
vez que mexeram com ele, virou celebridade de COPA DO MUNDO!

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Se
tivermos uma igualdade entre duas FRAÇÕES ORDINÁRIAS , criamos o conceito de
RAZÕES E PROPORÇÕES.&nbsp;&nbsp;&nbsp; Continuamos
transformando as coisas.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; E ainda ao
invés de falarmos que duas FRAÇÕES ORDINÁRIAS são iguais. Iremos dizer que A
está para B, assim como C está para D, ao depararmos com A/B = C/D. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; E
por quê a TAXA DE JUROS aparece aqui, também ?&nbsp;&nbsp;
Qual o conceito que a associa com FRAÇÃO ORDINÁRIA ?&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; É porque sempre estamos a falar que TAXA
DE JUROS é de 10 por cento ao ano, ou é de “não sei quanto “ por cento ao
ano.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Perceberam a dimensão da TAXA DE
JUROS ?&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Além de estar sempre dividida
por 100 (ou, X/100), ainda tem uma dimensão temporal : é considerada ao ano, ou
ao mês, ou ao dia, ou a “tantos” dias.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Notaram que é a
primeira vez que damos uma dimensão a uma determinada grandeza ?&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Pois este é um dos principais conceitos
definidos pelas nossas Ciências:&nbsp;&nbsp; o das
dimensões das quantidades e de que somente podemos fazer operações de qualquer
natureza entre grandezas que tenham a mesma dimensão, ou poderemos cometer
erros homéricos quando quisermos operar com grandezas, diferentemente, &nbsp;dimensionadas. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Outras dimensões,
aparecem , como ppm, partes por mil ou por milhão;&nbsp;&nbsp; PIB por cabeça (Produto Interno
Bruto/cap);&nbsp;&nbsp; muitos outros com os quais,
ao longo dos estudos se irão topar.

3 -&nbsp; TRIGONOMETRIAS, PLANA E ESFÉRICA

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Por
quê as TRIGONOMETRIAS estarão aqui e não em um outro lugar ?&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Com que se parece o conceito das
TRIGONOMETRIAS ?&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Pois assim como a
TAXA DE JUROS&nbsp; é uma FRAÇÃO ORDINÁRIA,&nbsp;&nbsp; o conceito trigonométrico, é &nbsp; igualmente, uma FRAÇÃO ORDINÁRIA.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;O seno, o cosseno, a tangente e outras grandezas&nbsp;&nbsp;trigonométricas se constituem frações ordinárias que relacionam segmentos horizontais e verticais internos a um círculo de RAIO igual a 1, enquanto este RAIO se move circularmente e internamente ao círculo.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Há uma TRIGONOMETRIA DO PLANO, para os espaços planos e uma TRIGONOMETRIA ESFÉRICA para os espaços esféricos.&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;

&nbsp;&nbsp;



4 -&nbsp; TEORIA DOS CONJUNTOS

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Este
item serve apenas como referência, pois que se busca reunir em mesmos grupos
certos elementos que possuem similaridade de natureza em seus conceitos e que,
portanto, formam um conjunto, relativamente homogêneo.&nbsp;&nbsp; Outros conjuntos existem que poderão ser
heterogêneos.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Será sempre mais
próprio adquirir conhecimento com maior facilidade e memorizar conhecimento,
também, com maior facilidade se buscarmos trabalhar com conjuntos homogêneos. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;A TEORIA DOS CONJUNTOS, nas Matemáticas,
é como um mundo maravilhoso de ALICE, onde imaginação e fantasia andam sempre
juntas.



5 -&nbsp; FUNÇÕES COMO RELAÇÕES ENTRE DUAS OU MAIS
VARIÁVEIS E DE 1º., 2º., 3º.,..., N GRAUS -&nbsp;
FUNÇÕES DE

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; FIGURAS GEOMÉTRICAS&nbsp; - POLINÔMIOS (SOMA E SUBTRAÇÃO DE FUNÇÕES) –
FUNÇÕES DE MATEMÁTICA

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; FINANCEIRA -&nbsp; FUNCÕES CONTÍNUAS E DESCONTÍNUAS - FUNÇÕES
CÍCLICAS

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O
campo das Matemáticas é muito fértil quando se trata de analisar e conhecer as
funções onde se relacionam duas ou mais variáveis.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Tendo em vista que, conforme a
GEOMETRIA DE EUCLIDES, o espaço tem começo em um PONTO, passando pela RETA
(CONJUNTO&nbsp; de pontos), passando pelo
PLANO (CONJUNTO de duas dimensões).&nbsp;&nbsp;&nbsp; Passando
para os &nbsp;ESPAÇOS com três dimensões,
curvos ou não (CONJUNTOS de três dimensões), passando pelos HIPER- ESPAÇOS ,
com mais de três dimensões, curvos ou não, elásticos ou não, turbulentos ou não,
aéreos, líquidos, gasosos, materializados ou abstratos&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Não é muito difícil imaginar esta
coletânea de ESPAÇOS, em nosso mundo, desde que nos lembremos de nossa casa,
dos mares, das nuvens, dos ventos, dos gases, das diversas forças atuantes em
nosso mundo e dos espaços abstratos que se constituem todas as construções
materiais e imateriais humanas, animais, vegetais.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; É para descrever tais espaços e o
comportamento da natureza e de idéias abstratas&nbsp;
nestes espaços que foram criadas as funções matemáticas onde se
inter-relacionam variáveis diversas, assim como foram criadas &nbsp;as GEOMETRIAS (vide item 6 - ).

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; As
funções que descrevem FIGURAS GEOMÉTRICAS&nbsp;
planas e com três ou mais dimensões, são as mais conhecidas e entendidas
daqueles cujo conhecimento matemático seja de pequeno&nbsp; a médio e, portanto, não utilizem este
conhecimento com maior profundidade.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
O mesmo ocorre com as funções de &nbsp;MATEMÁTICA
FINANCEIRA, tratando de cálculos sobre amortizações de montantes de empréstimos
e suas TAXAS DE JUROS.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Os POLINÔMIOS,
as FUNÇÕES CONTÍNUAS E DESCONTÍNUAS e as FUNÇÕES CÍCLICAS,&nbsp; já passarão&nbsp;
a exigir um pouco mais de atenção e cuidados para seu&nbsp; melhor entendimento.&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O
que é necessário bem compreender é que as funções algébricas descrevem o
comportamento de variáveis diversas e seus relacionamentos nos diversos espaços
que se apresentam no mundo natural e no mundo mais abstrato das criações
humanas.



6 -&nbsp; SISTEMAS DE EQUAÇÕES :&nbsp; LINEARES -&nbsp;
DIFERENCIAIS -&nbsp; MATRIZES -&nbsp; DETERMINANTES&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Os
Sistemas de Equações Lineares (com variáveis de potência zero ou 1) compreendem
relações entre variáveis ( em número igual ou maior do que 2)&nbsp; que deverão apresentar resultados das
variáveis compatíveis&nbsp; para satisfazer as equações&nbsp;&nbsp;&nbsp;constituintes.&nbsp;&nbsp;&nbsp;Normalmente será um conjunto de equações igual ao número de variáveis, contidas em cada equação, a exemplo de :

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (a1)X
+ (b1)Y + (c1)Z + (d1)W = (n1)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (a2)X
+ (b2)Y + (c2)Z + (d2)W = (n2)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (a3)X
+ (b3)Y + (c3)Z + (d3)W = (n3)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (a4)X + (b4)Y + (c4)Z + (d4)W =
(n4)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Os
Sistemas de Equações Diferenciais (com potências de variáveis = ou &gt; do que zero)
constituem estruturas que permitem avaliar-se graus de relações entre as
diversas variáveis entre si.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Estes
sistemas permitem solucionar e indicar em que grau se alteram as grandezas&nbsp; de todas as demais variáveis quando se aplicam
diferentes valores de grandeza a uma delas.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Normalmente será um conjunto de equações igual ao número de variáveis,
contidas em cada equação, a exemplo de :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (a1)(dX)/X
+ (b1)(dY)/X &nbsp;+ (c1)(dZ)/X + (d1)(dW)/X &nbsp;= &nbsp;(n1)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (a2)(dX)/Y &nbsp;+ &nbsp;(b2)(dY)/Y
+ (c2)(dZ)/Y + (d2)(dW)/Y &nbsp;= &nbsp;(n2)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (a3)(dX)/Z
&nbsp;+ &nbsp;(b3)(dY)/Z + (c3)(dZ)/Z + (d3)(dW)/Z &nbsp;= &nbsp;&nbsp;(n3)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;(a4)(dX)W + (b4)(dY)/W+ (c4)(dZ)/W+(d4)(dW)/W
= &nbsp;(n4)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; As
MATRIZES são algoritmos utilizados para facilitar-se a resolução dos Sistemas
de Equações a partir de duas variáveis, sendo os DETERMINANTES das MATRIZES os
valores encontrados para as variáveis compatíveis e congruentes com os
SISTEMAS.



&nbsp;&nbsp;7
-&nbsp; GEOMETRIAS -&nbsp; PLANA -&nbsp;
ESPACIAIS -&nbsp; PROJETIVA -&nbsp; FRACTAL -&nbsp;
TOPOLOGIA- DESCRITIVA - ANALÍTICA



AS GEOMETRIAS,
como as funções algébricas que as descrevem, definem –se em diferentes espaços
do mundo natural e de mundos abstratos da criação humana,&nbsp; assim como as figuras geométricas que neles
se inserem.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

A GEOMETRIA &nbsp;PLANA, dita EUCLIDIANA,&nbsp; porque criada pelo matemático e geômetra
Euclides, descreve o espaço do ponto, da reta e do plano.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

As GEOMETRIAS
ESPACIAIS -&nbsp; ELÍPTICA e HIPERBÓLICA,&nbsp; de Gauss, Lobachevski e Bolyai,&nbsp; descrevem tais espaços descritos por&nbsp; estes matemáticos.&nbsp;&nbsp;&nbsp; A ESPACIAL &nbsp;ESFÉRICA é criação do matemático&nbsp; Riemann .&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;


A GEOMETRIA
PROJETIVA , descreve&nbsp; os espaços
deformados pela perspectiva de visão de um observador a partir de seu ponto de
visão de espaços diversos.&nbsp;&nbsp;&nbsp; Foi
utilizada pela primeira vez pelos Pintores no início da época da Renascença,
séc. XIV/XV, para dar dimensão de profundidade no espaço plano da pintura,
assim como o claro/escuro foi utilizada para criar sensação de volume no mesmo
espaço plano.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A
GEOMETRIA FRACTAL começou a ser esboçada a partir de 1872, culminando em 1975
com sua apresentação formal e histórico de sua criação por diversos matemáticos,
pelo matemático Mandelbrot, também responsável pelo termo que criou -&nbsp; FRACTAL - a partir do qual passou a ser
conhecida e, com a computação, então possível, ganhou mais
desenvolvimento.&nbsp;&nbsp;&nbsp; Sua concepção
pretende melhor representar figuras ocorrentes no mundo natural&nbsp; e no mundo das Artes, através de processos de
subdivisão sucessiva de segmentos e figuras quaisquer.&nbsp;&nbsp;&nbsp; Destes processos, o mais simples e mais &nbsp;conhecido é o da adição sucessiva de novos
triângulos isósceles em meio e aos lados de um triângulo isósceles. &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A
TOPOLOGIA&nbsp; trata de espaços denominados
topológicos,&nbsp; possuidores de
características curvas diversas das figuras geométricas regulares conhecidas,
assim como de espaços que possam sofrer&nbsp;
variações de formas, a exemplo de espaços com ventos, elásticos,
gasosos, fluidos.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A
GEOMETRIA DESCRITiVA, uma criação de Gaspar Monge, descreve um objeto
volumétrico qualquer&nbsp; através de suas 6
(seis) vistas possíveis,como&nbsp; se contido
o objeto em um cubo, desde um observador no infinito a cada face e, portanto,
com linhas de visão perpendiculares às 6 (seis) faces do &nbsp;objeto e paralelas entre si.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Modernamente, esta GEOMETRIA DESCRITIVA é
a base da modelagem de figuras em 3D, a partir destas 6 (seis) vistas planas
possíveis, até o mínimo de 3 (três) para figuras simétricas nas suas&nbsp; três dimensões.&nbsp;&nbsp; Igualmente, o processo de fatiar um objeto
volumétrico através de diferentes planos paralelos (à semelhança de uma
tomografia) segundo três eixos cartesianos, permitirá subdividi-lo em muitos
blocos volumétricos de dimensões cúbicas de tamanhos projetados que servirão à
modelagem e montagem do objeto em qualquer parte de um espaço em que se queira
fazê-lo. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A
GEOMETRIA ANALÍTICA criada por Descartes, por isso chamada de eixos Cartesianos
permite que se dê forma, no plano ou em espaços tridimensionais, às funções
algébricas, de modo geral.



8 -&nbsp; ESTATÍSTICA/TEORIA DAS PROBABILIDADES



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A
ESTATÍSTICA é o ramo das Matemáticas que busca estabelecer os padrões de
ocorrências&nbsp; de variáveis constitutivas
de fenômenos que aparecem em conjuntos de grandes números.&nbsp;&nbsp;&nbsp; Assim, por exemplo, em conjuntos de seres
humanos quais seus padrões de médias de alturas;&nbsp; quais seus padrões de distribuição em faixas
etárias;&nbsp; quais as ocorrências de
diferentes raças, credos e suas participações relativas.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Em conjuntos vegetais arbóreos, as
ocorrências de diferentes espécies em maiores quantidades e suas presenças por
áreas, definidas em unidades/m2&nbsp; para
definições de BIOMAS e de valorações econômicas.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Em matéria de poluição, quais os
quantitativos de presença de elementos tóxicos em partes por milhão(ppm)&nbsp; em conjuntos de &nbsp;espaços de terras, líquidos e aéreos. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Estes objetivos diversos visam gerar
padrões de ocorrências de variáveis em Universos Diversos que denominamos
Conjuntos , com quantitativos e qualificações,&nbsp;
para que se possa trabalhar com as probabilidades, de que possam estar
acontecendo em Conjuntos maiores similares aos analisados.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O Objetivo é poder-se trabalhar em
Conjuntos Homogêneos de Menor número de unidades, estatisticamente, &nbsp;para poder-se atribuir a outros Conjuntos&nbsp; Homogêneos assemelhados, de Maior número de
unidades, padrões assemelhados de comportamento.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Há um objetivo econômico de reduzir-se
custos de investigação sobre ocorrências de fenômenos em Conjuntos
Homogêneos.&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;Junta-se ESTATÍSTICA E TEORIAS DAS
PROBALIDADES para atingir-se este propósito.&nbsp;&nbsp;&nbsp;


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; A exemplo, sabe-se que determinadas
populações humanas, que aparecem homogêneas quanto às atividades de
trabalho;&nbsp; ganhos salariais; processos de
preparo de alimentos e alimentação;&nbsp;&nbsp;
tipos raciais;&nbsp; condições
habitacionais; &nbsp;poluição ambiental, &nbsp;&nbsp;estarão propensas a determinados tipos de
doenças.&nbsp;&nbsp; Feito um levantamento
estatístico para avaliar-se a ocorrência destas doenças e suas importâncias
relativas de presença em um Conjunto desta Natureza Populacional,&nbsp; permitirá concluir que outros Conjuntos
Homogêneos, de igual ou&nbsp; maior tamanho,
vizinhos ou distantes,&nbsp; terão grande
PROBABILIDADE de ter as mesmas doenças com iguais importâncias relativas de
presenças.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Seria, portanto,
suficiente analisarmos uma população em comunidades reduzidas para podermos
inferir, por MÉTODO DE INDUÇÃO que outras comunidades assemelhadas, de qualquer
tamanho e em qualquer local assemelhado ao da população investigada, terão
problemas de doenças, bastante, aproximados.

&nbsp;&nbsp;


&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;

9- SEQUÊNCIAS/PROGRESSÕES

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; São
construções de Conjuntos de Grandezas, &nbsp;numéricas ou não,obtidas a partir de uma regra
de obtenção/ construção ou sem regras.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Assim, as sequências dos números inteiros é aquela à qual se acrescente
a unidade a qualquer grandeza anterior para obter-se a seguinte posterior.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; No caso, a sequência de números inteiros
entre 20 e 50, será 21, 22,...49, 50.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Uma sequência de parentesco poderá compreender&nbsp; bisavô, avô, filho, neto, bisneto.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Uma sequência de desastres poderá ser de
chuvas torrenciais, deslizamentos de terras sobre áreas densamente povoadas,
destruição e aterramento de casas com seus habitantes,&nbsp; mortes e feridos em profusão.&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Não
necessitará haver sempre uma lógica em quaisquer sequências.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ela poderá ser construída com ou sem
regras, bastando que se a apresente como uma sequência.&nbsp;&nbsp; O mais comum será que haja&nbsp; alguma lógica de construção para obter-se uma
sequência. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; As
PROGRESSÕES&nbsp; são construções de Conjuntos
de Grandezas numéricas, definidas como Aritméticas (por soma), ou Geométricas
(por multiplicação), a partir de uma Grandeza que sirva como sua BASE até uma
Grandeza que lhe sirva de teto ou de FINAL.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Assim
a PROGRESSÃO ARITMÉTICA construída pela soma de 2 unidades a cada número par
anterior para formar o seguinte posterior, será igual a uma sequência de
números pares.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A mesma regra de
construção para &nbsp;os números ímpares fará
acontecer uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA igual a uma sequência de números ímpares.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Assim, qualquer termo a(n) de uma
PROGRESSÃO ARITMÉTICA será igual ao termo BASE a(1) + (n-1)xS, onde S é o valor
da unidade SOMA (chamada RAZÃO) que constrói a PROGRESSÃO ARTIMÉTICA.&nbsp;&nbsp; Supondo a unidade SOMA IGUAL A 3 para
construir-se uma&nbsp; PROGRESSÃO ARITMETICA,
de BASE 7, seu termo de número 5&nbsp; será
igual a 7 + ( 4x3) = 19; a PROGRESSÃO será : 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
7, 10,13,16,19

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Já
a PROGRESSÃO GEOMÉTRICA, construída a partir do produto de uma Grandeza,&nbsp; G=2, &nbsp;pelo
número anterior para construir o posterior consecutivo, será igual a uma
sequência de números consecutivos como dobro do anterior.&nbsp;&nbsp;&nbsp; Visualizando, para melhor entendimento,
suponha-se &nbsp;o número BASE&nbsp; de 8, a sequência &nbsp;será de números 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 8,16,32,64,128,
caso tenhamos 128 como seu número final.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Assim,
qualquer número&nbsp; a(n) será igual ao
número BASE a(1) x G&nbsp; (elevado à potência
(n-1)), onde G é o valor da unidade PRODUTO (chamada RAZÃO) que constrói a
PROGRESSÃO GEOMETRICA.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; No&nbsp; caso da PROGRESSÃO GEOMÉTRICA citada, seu
quinto número será igual a &nbsp;8 x 2 (elevado
à quarta potência) = 8 x 16 = 128.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Podemos
dizer que uma sequência&nbsp; poderá não ser
nem uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA, nem uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA, mas que qualquer
PROGRESSÃO ARITMÉTICA ou GEOMÉTRICA, sempre serão sequências. 



10- ANÁLISE COMBINATÓRIA -
COMBINAÇÕES - ARRANJOS - PERMUTAÇÕES - BINÔMIO DE NEWTON 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A
Análise Combinatória presta-se à quantificação de sub-conjuntos que possam ser
formados, desde um Conjunto, &nbsp;tendo em
vista certas normas de formação.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O
objetivo destas quantificações é de interesse estatístico quanto a&nbsp; informações, proposições,&nbsp; investigações e pesquisas. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Supondo que se tenha informações as mais
diversas sobre os elementos que constituem um Conjunto, ou seja, de membros de
um Conjunto e que desejamos deste extrair sub-conjuntos com informações
idênticas ou assemelhadas ao que desejamos saber, propor, investigar ou
pesquisar.&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;A exemplo podemos pretender saber quanta
população menor, igual e maior &nbsp;do que
uma certa faixa etária existe na população total.&nbsp;&nbsp; Isto corresponde a determinar um grupo (sem
que haja repetições de indivíduos) que constituirão&nbsp;&nbsp;nossos sub-conjuntos;&nbsp;&nbsp;a exigência de que não haja repetição de indivíduos reside na precisão do número de pessoas com as propriedades solicitadas.&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Em
outro exemplo,&nbsp; temos um conjunto = m = 6
de seis algarismos (entre 0 e 9) que pretendemos&nbsp; agrupar 2 a 2 para constituir um conjunto de
números com os quais&nbsp; pretendemos&nbsp; constituir jogos de 6 números para a
Mega-Sena;&nbsp; portanto podemos agrupá-los
permitindo que os grupos sejam invertidos (tal como 12 e 21, 34 e 43)&nbsp; e que possam aparecer algarismos repetidos
(tal como 11, 33, 44).&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Depois de
obtida a quantidade de números desejados, iremos agrupá-los, 6 a 6, para
quantificar de quantos jogos unitários de 6 números se constituirá nosso BOLÃO.


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Em
outro exemplo, temos um Conjunto de automóveis constituindo a frota de um País,
ou de um Estado deste País, &nbsp;em um tempo
futuro,&nbsp; e desejamos saber&nbsp; de quantos algarismos e letras necessitamos
para que o número de placas de registro dos carros que iremos criar ( com 3
letras e 4 números) seja igual ou superior ao número de automóveis previsto até
este tempo&nbsp; futuro, utilizando 25 letras
do alfabeto e 10 algarismos (0 a 9).&nbsp; &nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Nos
exemplos acima buscamos aproximar três tipos de GRUPOS&nbsp; em nossos sub-conjuntos com os quais
pretendemos trabalhar.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Nosso&nbsp; primeiro exemplo aproxima-se do que
entendemos ser &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; COMBINAÇÕES de
indivíduos agrupados segundo suas faixas etárias, grupos para os quais não se
permitem nem repetições nem inversões.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;Nosso segundo exemplo aproxima-se de ARRANJOS,
que são grupos para os quais são admitidas repetições e inversões, além do
número das COMBINAÇÕES,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Nosso
terceiro exemplo aproxima-se daquilo que se entende por PERMUTAÇÕES, quando
exigimos que um determinado grupo tenha uma certa ordem, uma certa sequência,
um certo encadeamento e que, portanto, permite que se façam repetições e
inversões de posicionamentos individuais, desde que mantidas suas
individualidades como GRUPOS.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Por
último, como é necessário saber-se de quantas formas&nbsp; podemos estabelecer nossas COMBINAÇÕES,
ARRANJOS E PERMUTAÇÕES, são necessários os procedimentos de cálculos que se
expõem através do chamado BINÔMIO de NEWTON, como algoritmo.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O
número de COMBINAÇÕES de um Conjunto de m
elementos que pretendemos agrupar em n
quantidades, sem repetições, nem inversões, será de&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;N = C(m,n)
= m!/n!(m-n)!. com o símbolo ! (que se chama fatorial) consistindo na multiplicação sucessiva da sequência de
grandezas de 1 até m como numerador e, como &nbsp;denominador, o produto do fatorial de n (que é
multiplicação sucessiva da sequência de 1 até n),&nbsp; pelo fatorial da diferença de (m-n).&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Caso tenhamos 6 elementos em um Conjunto e
quisermos saber quantas COMBINAÇÕES&nbsp; se
podem obter quando se grupam 6 = m
elementos tomando-os 2 a 2 =n
elementos (é o modo de dizer, corretamente), teremos, conforme a regra de
cálculo citada :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; N
= (1x2x3x4x5x6)/(1x2)x(1x2x3x4)= depois de simplificar = (5x6)/2 = 15

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O
número de ARRANJOS &nbsp;de um Conjunto de m elementos que pretendemos
agrupar em n quantidades,
serão :

Com Inversões, Sem repetições : 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;N = A(m,n) = m!/(m-n)! ; para m = 6 e n = 2,
teremos&nbsp; A(m,n) = 1x2x3.x4.x5.x6/1x2x3x4
= 30

Com inversões,Com repetições : N
= A(m,n) = m(elevado à potência n) = 6 (elevado á potência 2) = 36 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O
número de PERMUTAÇÕES de um Conjunto&nbsp; de m elementos&nbsp; que pretendemos agrupar em diversas ordens, serão :&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; N = P(m)&nbsp; = m!;&nbsp;
para m = 6, teremos P(m) = 1x2x3x4x5x6 = 720.

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Observe-se
que o número de ARRANJOS, com inversões, sem repetições,&nbsp; é o número de COMBINAÇÕES multiplicado por
fatorial de n = n! e que o número de PERMUTAÇÕES é o anterior número de
ARRANJOS, com Inversões, sem repetições, multiplicado por fatorial de (m-n) =
(m-n)!

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

11- NÚMEROS - NATURAIS -&nbsp; INTEIROS -&nbsp;
RACIONAIS -&nbsp; REAIS - IRREAIS -
IMAGINÁRIOS - &nbsp;COMPLEXOS

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Números
NATURAIS são o inteiros positivos, à exceção do zero.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Números
INTEIROS&nbsp; são os Números NATURAIS, mais o
zero, mais os negativos simétricos aos números NATURAIS.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Números
RACIONAIS (de RAZÃO, como origem) são os Números iNTEIROS mais os fracionários
originados pela divisão de dois Números INTEIROS.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Números
IRRACIONAIS são os números que não podem ser obtidos pela divisão de dois
Números INTEIROS.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Números
REAIS são os Números RACIONAIS mais os Números IRRACIONAIS.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Número
IMAGINÁRIO, denominado i é igual à
raiz quadrada de (-1).

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Números
COMPLEXOS são os números formados por soma de um Número REAL&nbsp; mais outro Número REAL, este último
sendo&nbsp; multiplicado pelo Número
IMAGINÁRIO i.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;


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