Análise combinatória
Autor: Jussara * Willian * Jose * | Publicado: 2011-11-27T05:41:00-08:00

Como calcular probabilidades
     Para aprender como fazer cálculos de análise combinatória, útil para determinar probabilidades, veja um exercício resolvido:
Escrito há cerca de 3 mil anos, o "I - Ching" ou "Livro das Mutações"  apresenta um conjunto de símbolos criados a partir de dois princípios (o  masculino Yang, representado por uma linha inteira -, e o feminino  Ying, representado por uma linha quebrada - - ).
Entre outras funções, esse conjunto de símbolos permitiria adivinhar o  futuro, o que torna o livro muito popular ainda hoje em dia. A base do  sistema é um conjunto de três símbolos montados com as linhas Ying e  Yang, que se constróem do seguinte modo:


              1o símbolo             2o símbolo             3o símbolo   
                   

A essas figuras chamadas Pa-Kua (as Oito Mutações), atribuíam-se nomes,  características, imagens, papéis numa estrutura familiar, além dos  pontos cardeais, como se vê a seguir:


              Norte             Nordeste             Leste             Sudeste   
                                                        
              Sul             Sudoeste             Oeste             Noroeste   
                                                        

Combinando-se dois desses trigramas, obtém-se um hexagrama, figura de  significado ainda mais amplo, que constitui a resposta do oráculo a uma  pergunta de quem o consulta. Por exemplo:




Sem entrar nas questões de caráter filosófico ou oracular do I-Ching,  podemos nos perguntar: quantos hexagramas é possível formar com cada  dois trigramas?


              1o          trigrama&nbsp;             2o          trigrama&nbsp;             Total:          64 hexagramas   
              8          possibilidades             8          possibilidades   

Pensando de forma análoga, podemos considerar que se constrói um  hexagrama escolhendo seis símbolos de um grupo de dois (linha inteira,  linha quebrada). Assim, o total de símbolos será 26 = 64.
Usamos aqui um princípio multiplicativo que é a base da análise  combinatória, um conjunto de procedimentos que sistematiza a contagem de  agrupamentos.

O princípio fundamental da contagemUm evento ocorre em n etapas, sucessivas e independentes, de modo que a primeira etapa ocorre de k1 maneiras, a segunda etapa ocorre de k2 maneiras, ..., e a enésima etapa ocorre de kn. Então, o evento pode ocorrer de k1, k2, ... .Kn maneiras distintas.
Essa é a versão multiplicativa do princípio: para que ocorra o evento,  todas as etapas devem ser cumpridas. Por exemplo: para se escolher um  número de três algarismos, devemos escolher o algarismo das unidades e  das dezenas e também das centenas - não se podem omitir quaisquer  etapas. Se as etapas não forem sucessivas, mas alternativas, o princípio  fica enunciado assim:
Um evento ocorre em n etapas, alternativas e independentes, de modo que a primeira etapa ocorre de k1  maneiras, a segunda etapa ocorre de k2  maneiras, ..., e a enésima etapa ocorre de k2. Então, o evento pode ocorrer de k12 + ... + Kn maneiras distintas.
Se, para o seu almoço, você pode escolher um lanche com ou sem maionese, então você pode escolher entre dois lanches!

AgrupamentosDe modo geral, pode-se resolver um grande  número de situações de contagem usando os princípios fundamentais. No  entanto, alguns conjuntos podem ser agrupados por critérios que  facilitam a sua compreensão; compreender a que classe de agrupamento  pertence a situação que estamos tratando pode facilitar muito a  resolução.
Arranjos: são agrupamentos nos quais a ordem dos elementos é relevante.  Três pessoas (A, B, C) que se inscrevem em um concurso que premia os  dois primeiros lugares podem dar a esse concurso seis classificações  distintas:


              1o          lugar             2o          lugar   
              A             B   
              A             C   
              B             A   
              B             C   
              C             A   
              C             B   

Observe que duas mesmas pessoas podem terminar o concurso de duas maneiras distintas.
O número de arranjos possíveis de p elementos tirados de um grupo de n elementos, com n  p pode ser escrito como:




Combinações: são agrupamentos em que a ordem dos elementos não é  relevante. No exemplo anterior, se as pessoas A, B e C tivessem que se  organizar para formar uma comissão de duas pessoas, só haveria três  possibilidades : A e B, A e C, B e C. O número de combinações de p  elementos tirados de um grupo de n elementos, com n  p é:




As permutações são casos particulares de arranjos em que o número de  elementos do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis:  



A sistemática da análise combinatória não é novidade. Em toda a história  do desenvolvimento matemático do homem aparecem registros de  investigações nos cálculos de possíveis agrupamentos:

 Na obra de Euclides (300 a.C.) há um método para se encontrar o valor de (1 + x)2;

 Além da fórmula resolutiva para equações de 2o  grau, Baskhara descreveu algumas situações práticas em que se permutam  possibilidades - na poesia, na arquitetura e na medicina; 

 Trabalhos do início da Era Cristã relacionados à cabala analisam combinações e permutações entre números inteiros; 

 Astrônomos da Idade Média calculavam as possíveis conjunções entre dois, três, n planetas, 

 À época do Renascimento, a pressão das recentes  descobertas e necessidades mercantis fizeram com que matemáticos  europeus desenvolvessem a sistemática de combinatória na descrição de  várias circunstâncias: as possibilidades de n pessoas se sentarem em  torno de uma mesa, as combinações possíveis de fechaduras, os  agrupamentos possíveis de objetos e, naturalmente, as chances nos jogos  de azar.
Apesar de tantas outras motivações, foi o interesse pelos jogos de azar a  grande motivação para o desenvolvimento da análise combinatória, nos  trabalhos de Pascal e Fermat. Naturalmente, outros ramos da matemática  usaram esse conhecimento e vieram a se desenvolver: a probabilidade, a  teoria de grafos, os conjuntos e a criptologia. A chance de jogos como a  MegaSena é um saber relacionado à análise combinatória.