Resolução Comentada da Prova Mensal
Autor: Felipe Costa Mercadante | Publicado: 2012-04-07T01:10:00-03:00


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Repetindo o enunciado da prova:



Um engenheiro de software está trabalhando no desenvolvimento de um sistema de análise e 

gerenciamento de produção. Como parte da fase de validação, ele deve realizar testes nos módulos do 

sistema e, para isso, utiliza como entrada dados para os quais já sabe qual será a resposta do 

sistema.



Acho que cabe um comentário aqui. A ideia de se desenvolver módulos separados é para facilitar a 

etapa de testes e reduzir o carregamento final do programa. No software final, os módulos são 

integrados, sendo que algumas funções utilizam vários módulos integrados ao mesmo tempo. Farei um 

comentário sobre isso na próxima aula. Voltando para a prova:



Em todos os testes ele utilizará uma pequena amostra de dados que foi fornecida por um dos clientes 

(que possui algumas dezenas de fábricas e centenas de produtos). Essa amostra está na tabela abaixo:




  

    
    
Fábrica I
    
    
Fábrica II
    
    
Fábrica III
    
   

    
Produto A
    
    
6
    
    
5
    
    
1
    
   

    
Produto B
    
    
4
    
    
7
    
    
1
    
   

    
Produção em 100 unidades/hora
    
   

 



A tabela mostra a produtividade (dada em centenas de unidades por hora) para dois tipos de produtos 

que são produzidos em três fábricas.



A partir da tabela dada, podemos montar a matriz produtividade. Essa matriz poderia ser escrita de 

várias maneiras, trocando-se linhas e colunas. Para diminuir o trabalho de descobrir a associação dos 

valores (ou seja, o que representam esses valores) de cada elemento das matriz, vamos escrevê-la de 

duas formas: como uma matriz $A_{2x3}$ e como uma matriz $A_{3x2}$.



$A_{1}= \begin{bmatrix} 6 &amp; 5 &amp; 1\\ 4 &amp; 7 &amp; 1 \end{bmatrix}$ e $A_{2}= \begin{bmatrix} 6 &amp; 4 \\ 5 &amp; 

7\\ 1 &amp; 1 \end{bmatrix}$



Na matriz $A_{1}$, cada linha representa um produto (A ou B) e cada coluna uma fábrica (I, II ou 

III). Já na matriz $A_{2}$, cada linha representa uma fábrica e cada coluna um produto. Note que $A_

{2}$ é a matriz transposta de $A_{1}$, e que as produtividades estão dadas em 100 unidades/hora. 

Voltando para a prova:



O sistema, como é comum em computação, realiza cálculos com base em operações matriciais. Portanto, 

todos os dados devem ser sempre apresentados em forma matricial.



1) (2 pontos) O primeiro módulo calcula quanto será produzido de cada produto se cada fábrica 

operar por um determinado tempo. Os tempos para o teste serão: 5 horas para a Fábrica I, 4 horas para 

a Fábrica II e 6 horas para a Fábrica III. Escreva o sistema de equações na forma $P=A \cdot T$, em 

que $P$ é a matriz de produção (em 100 unidades) com os totais produzidos de cada um dos produtos, 

$A$ é a matriz de produtividade (em 100 unidades/hora) e $T$ é a matriz de tempo de produção (em 

horas) para cada fábrica. Em seguida, encontre os valores da matriz de produção.



Analisando a questão, a matriz de produção $P$ deverá conter o total produzido de cada produto. Como 

existem apenas dois produtos, deverão existir dois valores associados. Para esses valores, criaremos 

as incógnitas $P_{A}$ e $P_{B}$.


Para saber quanto foi produzido do produto A, temos que encontrar quanto que cada fábrica produziu 

desse produto. Para isso, temos que multiplicar a produtividade de cada fábrica pelo tempo de 

produção. Em seguida, somamos as produções de cada fábrica para encontrar o total. Obteríamos, 

portanto, o seguinte:



$P_{A}= 6 \cdot 5+5 \cdot 4+1 \cdot 6=30+20+6=56$



O mesmo seria feito para o produto B. No entanto, a questão não pedia, inicialmente, os valores em 

si, mas a representação matricial da operação do cálculo desses valores, na forma $P=A \cdot T$. A 

operação mostrada serve apenas para ajudar na montagem da equação matricial. Novamente, considerando 

a natureza do produto matricial, existem duas possibilidades de se fazer essa representação, 

utilizando cada um dos dois tipos de matrizes:



$P_{1}=A_{1} \cdot T_{1} \Rightarrow \begin{bmatrix} P_{A} \\ P_{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 

&amp; 5 &amp; 1 \\ 4 &amp; 7 &amp; 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}$ e $P_{2}=T_{2} 

\cdot A_{2} \Rightarrow \begin{bmatrix} P_{A} &amp; P_{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 &amp; 4 &amp; 6 \end

{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 6 &amp; 4 \\ 5 &amp; 7 \\ 1 &amp; 1 \end{bmatrix}$



Pelo enunciado, o que se queria era a primeira representação, pois é a que está na forma $P=A \cdot 

T$ (e é, na prática, a forma mais comum de se fazer esse tipo de representação). Eu, sendo um 

professor muito bonzinho, aceitaria também a segunda representação. Por fim, o cálculo dos 

valores seria:



$P=A \cdot T \Rightarrow \begin{bmatrix} P_{A} \\ P_{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 &amp; 5 &amp; 1 \\ 

4 &amp; 7 &amp; 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \cdot 5+5 

\cdot 4+1 \cdot 6 \\ 4 \cdot 5+7 \cdot 4+1 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30+20+6 \\ 20+28+6 

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 56 \\ 54 \end{bmatrix}$



O enunciado da questão explicitava que os valores das matrizes $P$, $A$ e $T$ deveriam estar, 

respectivamente, em 100 unidades, 100 unidades/hora e horas. Assim, o sistema abaixo estaria errado:



$\begin{bmatrix} P_{A} \\ P_{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 600 &amp; 500 &amp; 100 \\ 400 &amp; 700 &amp; 100 

\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5600 \\ 5400 \end

{bmatrix}$



Mesmo assim, eu considerei essa resposta. Próxima questão:



2) (2 pontos) O segundo módulo calcula a produção relativa para cada fábrica quando o tempo 

gasto para produzir cada tipo de produto varia. Os tempos para esse teste serão: 3 horas para o 

Produto A e 4 horas para o Produto B. Escreva o sistema de equações na forma $P=A^{T} \cdot T$, em 

que $P$ é a matriz de produção (em 100 unidades) com os totais de produtos para cada fábrica, $A^{T}$ 

é a matriz transposta da matriz de produtividade (em 100 unidades/hora) da questão 1 e $T$ é a matriz 

de tempo de produção (em horas) para cada produto. Em seguida, encontre os valores da matriz de 

produção.



Da mesma forma que na questão 1, vamos começar por um cálculo que nos ajude a montar a equação 

matricial. Queremos encontrar, conforme descrito no enunciado, a produção para cada fábrica. 

Portanto, precisaremos de três incógnitas: $P_{I}$, $P_{II}$ e $P_{III}$. Para saber o quanto cada 

fábrica produziu de produtos, devemos multiplicar, para cada fábrica, a produtividade de cada produto 

pelo tempo de produção e, em seguida, somar essas produções. Para a fábrica I, esse cálculo será:



$P_{I}=6 \cdot 3+4 \cdot 4=18+16=34$



O mesmo deve ser feito com as outras fábricas. Em forma matricial, utilizando as duas possibilidades, 

teríamos:



$P_{1}=T_{1} \cdot A_{1} \Rightarrow \begin{bmatrix} P_{I} &amp; P_{II} &amp; P_{III} \end{bmatrix} = \begin

{bmatrix} 3 &amp; 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 6 &amp; 5 &amp; 1 \\ 4 &amp; 7 &amp; 1 \end{bmatrix}$ e $P_{2}

=A_{2} \cdot T_{2} \Rightarrow \begin{bmatrix} P_{I} \\ P_{II} \\ P_{III} \end{bmatrix} = \begin

{bmatrix} 6 &amp; 4 \\ 5 &amp; 7 \\ 1 &amp; 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$



Como a forma pedida era $P=A^{T} \cdot T$, a montagem correta era a segunda, com a resalva que eu 

consideraria as duas como corretas. O enunciado facilitava as coisas por pedir a matriz transposta da 

matriz $A$ da questão 1.


Para se obter a matriz transposta, devemos trocar a posição de cada elemento, de modo que a linha 

passe a ser coluna e a coluna, linha. Em linguagem matemática, isso equivale a trocar os subíndices 

de cada elemento:



Dada a matriz $A$ de elementos $a_{ij}$, a matriz transposta $A^{T}$ é tal que $a^{T}_{ij}=a_{ji}$.



Assim, a matriz transposta da matriz $A$ será:



$A= \begin{bmatrix} 6 &amp; 5 &amp; 1 \\ 4 &amp; 7 &amp; 1 \end{bmatrix} \Leftrightarrow A^{T}= \begin{bmatrix} 6 &amp; 4 

\\ 5 &amp; 7 \\ 1 &amp; 1 \end{bmatrix}$



Como já vimos, $A^{T}_{1}=A_{2}$ levando à forma pedida. Utilizando apenas essa forma, temos o 

seguinte:



$P=A^{T} \cdot T \Rightarrow \begin{bmatrix} P_{I} \\ P_{II} \\ P_{III} \end{bmatrix} = \begin

{bmatrix} 6 &amp; 4 \\ 5 &amp; 7 \\ 1 &amp; 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin

{bmatrix} 6 \cdot 3+4 \cdot 4 \\ 5 \cdot 3+7 \cdot 4 \\ 1 \cdot 3+1 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin

{bmatrix} 18+16 \\ 15+28 \\ 3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 34 \\ 43 \\ 7 \end{bmatrix}$



Novamente, os valores das matrizes $P$, $A^{T}$ e $T$ deveriam estar, respectivamente, em 100 

unidades, 100 unidades/hora e horas. Próxima questão:



3) (2 pontos) O terceiro módulo calcula a variação de produtividade necessária para se chegar 

a uma produção desejada. Nesse teste serão utilizados os mesmos valores de tempo que foram utilizados 

na questão 1; os valores de produção serão: 5800 unidades do Produto A e 6900 unidades do Produto B. 

Escreva o sistema de equações na forma $\left (A+X \right ) \cdot T=P$, em que as matrizes $A$ e $T$ 

são as mesmas da questão 1, $P$ é uma matriz do mesmo tipo que a da questão 1, mas em vez de ter 

incógnitas os valores foram dados, e $X$ é a matrix abaixo:



$X= \begin{bmatrix} 0 &amp; x_{12} &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; x_{23} \end{bmatrix}$



Em seguida, encontre os valores de $x_{12}$ e $x_{23}$.



Nessa questão apenas a forma $A_{1}$ da matriz de produtividade é possível, pois esta será somada a 

uma matriz 2x3 ($X_{2x3}$), o que só é possível entre matrizes de mesma ordem. A matriz $T$ e a 

matriz $P$ serão ambas do mesmo tipo que as da questão 1, para o caso em que a matriz $A$ era uma 

matriz 2x3, ou seja, ambas são matrizes do tipo coluna, sendo $T_{3x1}$ e $P_{2x1}$. Essas ordens 

podem ser deduzidas pelo fato de o primeiro termo do produto matricial ser uma matriz 2x3 (a soma de 

duas matrizes 2x3 é uma matriz também 2x3), o que obriga a matriz $T$ a ter 3 linhas (mesmo número de 

colunas que $A$) e a matriz $P$ a ter 2 linhas (mesmo número de linhas que $A$) e uma coluna (mesmo 

número de colunas que $T$). Montando essa equação, teremos:



$\left (A+X \right ) \cdot T=P \Rightarrow \left ( \begin{bmatrix} 6 &amp; 5 &amp; 1 \\ 4 &amp; 7 &amp; 1 \end

{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 &amp; x_{12} &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; x_{23} \end{bmatrix} \right ) \cdot \begin

{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 58 \\ 69 \end{bmatrix}$



É importante notar que os valores da matriz de produção ($P$) devem estar em 100 unidades, até para 

que o produto seja coerente (ao multiplicar 100 unidades/hora por hora teremos como resultado 100 

unidades). Resolvendo a equação, teremos:



$\left ( \begin{bmatrix} 6 &amp; 5 &amp; 1 \\ 4 &amp; 7 &amp; 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 &amp; x_{12} &amp; 0 \\ 0 &amp; 

0 &amp; x_{23} \end{bmatrix} \right ) \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 

58 \\ 69 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left ( \begin{bmatrix} 6+0 &amp; 5+x_{12} &amp; 

1+0 \\ 4+0 &amp; 7+0 &amp; 1+x_{23} \end{bmatrix} \right ) \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} = 

\begin{bmatrix} 6 \cdot 5+ \left ( 5+x_{12} \right ) \cdot 4+1 \cdot 6 \\ 4 \cdot 5+7 \cdot 4+ \left 

( 1+x_{23} \right ) \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30+20+4 \cdot x_{12}+6 \\ 20+28+6+6 \cdot 

x_{23} \end{bmatrix} = \\ = \begin{bmatrix} 56+4 \cdot x_{12} \\ 54+6 \cdot x_{23} \end{bmatrix} = 

\begin{bmatrix} 58 \\ 69 \end{bmatrix}$



Nesse ponto, dada a igualdade das matrizes, igualamos os elementos das duas matrizes, obtendo:



$\begin{cases} 56+4 \cdot x_{12}=58 \Rightarrow 4 \cdot x_{12}=58-56 \Rightarrow x_{12}= \frac{2}{4}

=0,5 \\ 54+6 \cdot x_{23}=69 \Rightarrow 6 \cdot x_{23}=69-54 \Rightarrow x_{23}= \frac{15}{6}=2,5 

\end{cases}$



Assim, os valores das incógnitas, em 100 unidades por hora, são: $x_{12}=0,5$ e $x_{23}=2,5$. Próxima 

questão:



4) (3 pontos) O quarto módulo (último a ser testado nessa fase) calcula o tempo que cada 

fábrica deve operar para se atingir uma determinada produção. Nesse último teste apenas as fábricas I 

e II serão consideradas. Os valores de produção serão: 6000 unidades do Produto A e 6200 unidades do 

Produto B. Escreva o sistema de equações na forma $\left (B^{-1} \cdot B \right ) \cdot T=B^{-1} 

\cdot P$, em que $B$ é igual à matriz $A$ da questão 1 sem a última coluna, ou seja, com apenas duas 

colunas, $T$ é a matriz de tempo de produção (em horas) para cada fábrica que se deseja encontrar, 

sendo a matriz de incógnitas, $P$ é uma matriz do mesmo tipo que a da questão 1, mas em vez de ter 

incógnitas os valores foram dados, e $B^{-1}$ é a matriz inversa de $B$, que está dada abaixo:



$B^{-1}= \begin{bmatrix} \frac{7}{22} &amp; - \frac{5}{22} \\ - \frac{4}{22} &amp; \frac{6}{22} \end

{bmatrix}$



Em seguida, encontre os tempos de produção.



Essa questão serve para introduzir o uso de matrizes inversas, que estudaremos em breve. Assim como 

na questão 3, apenas a forma $A_{1}$ da matriz de produtividade é possível como referência. O uso da 

forma $A_{2}$ levaria a complicações no resultado! Ao excluirmos a última coluna, obtemos a matriz 

$B$ a seguir:



$B= \begin{bmatrix} 6 &amp; 5 \\ 4 &amp; 7 \end{bmatrix}$



Do enunciado, sabemos que a matriz $T$ será a matriz de incógnitas. Como são duas fábricas, deveremos 

ter uma incógnita para o tempo de cada uma delas. Substituindo as matrizes na equação do enunciado, e 

lembrando que a matriz de produção deve estar em 100 unidades, teremos:



$\left (B^{-1} \cdot B \right ) \cdot T=B^{-1} \cdot P \Rightarrow \left (\begin{bmatrix} \frac{7}

{22} &amp; - \frac{5}{22} \\ - \frac{4}{22} &amp; \frac{6}{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 6 &amp; 5 \\ 4 

&amp; 7 \end{bmatrix} \right ) \cdot \begin{bmatrix} T_{I} \\ T_{II} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 

\frac{7}{22} &amp; - \frac{5}{22} \\ - \frac{4}{22} &amp; \frac{6}{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 60 

\\ 62 \end{bmatrix}$



Poderíamos partir para as múltiplicações mas, para facilitar as operações, podemos fazer a seguinte 

alteração na matriz inversa, utilizando o produto por escalar:



$\begin{bmatrix} \frac{7}{22} &amp; - \frac{5}{22} \\ - \frac{4}{22} &amp; \frac{6}{22} \end{bmatrix} = 

\frac{1}{22} \cdot \begin{bmatrix} 7 &amp; -5 \\ -4 &amp; 6 \end{bmatrix}$



Assim, voltando para a equação, teremos:



$\left (\frac{1}{22} \cdot \begin{bmatrix} 7 &amp; -5 \\ -4 &amp; 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 6 &amp; 5 

\\ 4 &amp; 7 \end{bmatrix} \right ) \cdot \begin{bmatrix} T_{I} \\ T_{II} \end{bmatrix} = \frac{1}{22} 

\cdot \begin{bmatrix} 7 &amp; -5 \\ -4 &amp; 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 60 \\ 62 \end{bmatrix}$



Resolvendo, primeiro o lado esquerdo, teremos:



$\left (\frac{1}{22} \cdot \begin{bmatrix} 7 &amp; -5 \\ -4 &amp; 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 6 &amp; 5 

\\ 4 &amp; 7 \end{bmatrix} \right ) \cdot \begin{bmatrix} T_{I} \\ T_{II} \end{bmatrix} = \left (\frac

{1}{22} \cdot \begin{bmatrix} 7 \cdot 6-5 \cdot 4 &amp; 7 \cdot 5-5 \cdot 7 \\ -4 \cdot 6+6 \cdot 4 &amp; -4 

\cdot 5+6 \cdot 7 \end{bmatrix} \right ) \cdot \begin{bmatrix} T_{I} \\ T_{II} \end{bmatrix} = \\ = 

\left (\frac{1}{22} \cdot \begin{bmatrix} 42-20 &amp; 35-35 \\ -24+24 &amp; -20+42 \end{bmatrix} \right ) 

\cdot \begin{bmatrix} T_{I} \\ T_{II} \end{bmatrix} = \left (\frac{1}{22} \cdot \begin{bmatrix} 22 &amp; 

0 \\ 0 &amp; 22 \end{bmatrix} \right ) \cdot \begin{bmatrix} T_{I} \\ T_{II} \end{bmatrix}$



Nesse ponto deve ficar mais claro o porquê de termos colocado a fração para fora da matriz, de modo a 

obter uma matriz com números inteiros. Essa simplificação diminui a quantidade de números escritos e 

simplifica a representação dos produtos das matrizes. Continuando a equação, teremos:



$\left (\frac{1}{22} \cdot \begin{bmatrix} 22 &amp; 0 \\ 0 &amp; 22 \end{bmatrix} \right ) \cdot \begin

{bmatrix} T_{I} \\ T_{II} \end{bmatrix} = \left (\begin{bmatrix} \frac{1}{22} \cdot 22 &amp; \frac{1}{22} 

\cdot 0 \\ \frac{1}{22} \cdot 0 &amp; \frac{1}{22} \cdot 22 \end{bmatrix} \right ) \cdot \begin{bmatrix} 

T_{I} \\ T_{II} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 

T_{I} \\ T_{II} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot T_{I}+0 \cdot T_{II} \\ 0 \cdot T_{I}+1 \cdot 

T_{II} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T_{I} \\ T_{II} \end{bmatrix}$



Sabendo que o produto de uma matriz qualquer por uma matriz identidade (que tenha a ordem necessária 

para que o produto matricial seja possível) é igual à matriz inicial, poderíamos ter pulado a 

penúltima passagem. Resolvendo, agora, o lado direito da equação, teremos:



$\frac{1}{22} \cdot \begin{bmatrix} 7 &amp; -5 \\ -4 &amp; 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 60 \\ 62 

\end{bmatrix} = \frac{1}{22} \cdot \begin{bmatrix} 7 \cdot 60-5 \cdot 62 \\ -4 \cdot 60+6 \cdot 62 

\end{bmatrix} = \frac{1}{22} \cdot \begin{bmatrix} 420-310 \\ -240+372 \end{bmatrix} = \frac{1}{22} 

\cdot \begin{bmatrix} 110 \\ 132 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{22} \cdot 110 \\ \frac{1}

{22} \cdot 132 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}$



Por fim, igualando os dois lados da equação, teremos:



$\begin{bmatrix} T_{I} \\ T_{II} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}$



Assim, os tempos de produção, em horas, serão: $T_{I}=5$ e $T_{II}=6$. Última questão:



5) (1 a 3 pontos) Classifique todas as matrizes que aparecerem na prova, e que puderem ser 

classificadas, segundo a legenda abaixo:




  

    
Matriz Linha
    
    
Matriz Coluna
    
    
Matriz Quadrada
    
    
Matriz Simétrica
    
    
Matriz Diagonal
    
    
Matriz Identidade
    
    
Matriz Nula
    
   

    
ML
    
    
MC
    
    
MQ
    
    
MS
    
    
MD
    
    
MI
    
    
MN
    
   

 



As classificações dependeriam da forma como a prova foi resolvida. Os pontos extras serão dados para 

os que entregaram a lista de exercícios e para o único grupo que entregou a atividade que eu dei em 

aula, envolvendo sistemas lineares e suas equações matriciais.


Em vez de classificar todas as matrizes já apresentadas, vou apenas colocar exemplos para cada uma 

das classificações, explicando cada tipo:



Matriz Linha: toda matriz com apenas uma linha, ou seja, do tipo $L_{1xn}$. Exemplo: $L_{1x3}= 

\begin{bmatrix} 5 &amp; 4 &amp; 6 \end{bmatrix}$.


Matriz Coluna: toda matriz com apenas uma coluna, ou seja, do tipo $C_{mx1}$. Exemplo: $C_

{2x1}= \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$.


Matriz Quadrada: toda matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas, ou seja, 

do tipo $Q_{nxn}=Q_{n}$. Exemplo: $Q_{2}= \begin{bmatrix} 7 &amp; -5 \\ -4 &amp; 6 \end{bmatrix}$.


Matriz Simétrica: toda matriz quadrada em que os elementos são simétricos em relação à 

diagonal principal, ou seja, $s_{ij}=s_{ji}$. Exemplo: $S_{2}= \begin{bmatrix} 9 &amp; -3 \\ -3 &amp; -1 

\end{bmatrix}$.


Matriz Diagonal: toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal 

principal são nulos, ou seja, $i \neq j \Rightarrow d_{ij}=0$. Exemplo: $D_{2}= \begin{bmatrix} 22 &amp; 

0 \\ 0 &amp; 22 \end{bmatrix}$.


Matriz Identidade: toda matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 

1 e os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, ou seja, $i=j \Rightarrow i_{ij}

=1$ e $i \neq j \Rightarrow i_{ij}=0$. Exemplo: $I_{2}= \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1 \end

{bmatrix}$.


Matriz Nula: toda matriz em que todos os elementos são nulos, ou seja, $\forall i,j, \ 0_{ij}

=0$. Exemplo: $0_{2x3}= \begin{bmatrix} 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 \end{bmatrix}$.



Agora ninguém vai poder dizer que não conseguiu resolver a prova. Claro que o que vocês vão me 

entregar não precisa ter todos os detalhes que eu coloquei, mas precisa ter as explicações mínimas!


Na próxima aula a gente conversa sobre a prova. Até lá.