Avaliação de uma proposta de investimento por meio de sua Rentabilidade Real (RR) - Prof. Sebá
Autor: Romirys Cavalcante | Publicado: 2015-07-27T16:37:00-03:00

Pretende-se mostrar neste trabalho, por meio de um exemplo numérico e sem usar o rigor matemático que é próprio dos massacradores de cérebros, as distorções nos resultados, quando se usa a taxa média de inflação dos períodos cosiderados, para calcular a taxa interna de retorno real (TIRR), ou seja, a RR do investimento, ao invés de se usar a taxa ocorrida em cada período.



Por uma proposta de investimento, segundo (FARO, $1990$), “entende-se a inversão de capital num determinado empreendimento, quer seja ele uma aplicação no mercado de capitais ou no projeto de uma fábrica, com a finalidade de obtenção de receitas.”  E por rentabilidade real entende-se como sendo a TIRR do investimento, ou seja, a rentabilidade em moeda constante.
Como a taxa de inflação por período é variável com o tempo, o que é o caso comum, iremos analisar uma proposta de investimento hipotética. Caso algum investidor venha a se defrontar com um caso real no seu dia a dia, basta substituir os valores hipotéticos pelos valores reais, e aplicar a metodologia a seguir.
1.1 –  Proposta de Investimento Constituída por um Único Recebimento&nbsp;Suponha que alguém invista, hoje, em regime de juros compostos, $R\$ 10.000,00$ e obtenha no fim de dois meses o montante de&nbsp;$R\$&nbsp;13.800,00$. Sabendo-se que a inflação do $1º$ e $2º$ meses&nbsp;foi, respectivamente, $3\%$ e $4\%$, pergunta-se: qual a RR do investimento?&nbsp;1.1.1 – Usando a Inflação de cada PeríodoSe a inflação do 1º e 2º meses foi, respectivamente, de&nbsp;$3\%$ e $4\%$, logo, a inflação acumulada dos dois meses&nbsp;foi:$$\left[ (1,03)\cdot (1,04)\quad –\quad 1 \right] \cdot 100=7,12\%$$Deflacionando os&nbsp;$R\$&nbsp;13.800,00$, obtém-se:$$&nbsp;\frac { R$13.800,00 }{ 1,0712 } =R$12.882,75 $$O diagrama de fluxos de caixa (DFC), em termos de poder de compra, ou seja, em moeda constante, é o seguinte:

Calculando a RR, encontra-se:$$&nbsp;1000=\frac { 12882,75 }{ { \left( 1+RR \right) &nbsp;}^{ 2 } } \\ RR=13,50\% $$1.1.2 – Usando a Fórmula da Taxa RealA fórmula que nos dá a taxa real de um investimento, é a seguinte:$$&nbsp;{ i }_{ r }=\left( \frac { 1+{ i }_{ a } }{ 1+{ I }_{ M } } &nbsp;- 1 \right) \cdot 100 $$Onde:&nbsp;
${ i }_{ r }$ = Taxa real do investimento
${ i }_{ a }$&nbsp;= Taxa aparente do investimento
${ I }_{ M }$&nbsp;= taxa média de inflação
A taxa aparente do investimento é a taxa interna de retorno, quando não se leva em consideração a taxa de inflação, respectivamente,  de $3\%$ &nbsp;e $4\%$ &nbsp;do $1º$ e $2º$ meses.&nbsp;
O DFC em moeda corrente é o seguinte:

Calculando a rentabilidade do investimento em moeda corrente, ou seja, a rentabilidade aparente, obtém-se:$$&nbsp;1000=\frac { 13800 }{ { \left( 1+{ i }_{ a } \right) &nbsp;}^{ 2 } } \\ { i }_{ a }=17,47\% $$Se a inflação do $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$, logo, a taxa média de inflação (TMI) foi:$$&nbsp;TMI=\left[ \sqrt { \left( 1,03 \right) \cdot \left( 1,04 \right) &nbsp;} \quad -\quad 1 \right] \cdot 100=3,5\% $$Substituindo os valores da ${ i }_{ a }$ e da TMI na fórmula da taxa real, obtém-se:$$&nbsp;{ i }_{ r }=\left( \frac { 1,1747 }{ 1,035 } -1 \right) \cdot 100=13,5\% $$1.1.3 – Usando a Taxa Média de Inflação (TMI)Se a taxa de inflação do $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$, a TMI como foi visto no item $1.1.2$, foi de $3,5\%$ a.m. Como os $R\$ 13.800,00$, do $2º$ mês, vão ser deflacionados com a taxa de inflação acumulada do $1º$ e $2º$ meses, e como a taxa de inflação acumulada é a mesma tanto usando a taxa média de inflação como a inflação de cada mês, então, a RR do investimento usando a TMI, também é a mesma, ou seja, $13,5\%$ a.m.&nbsp;ConclusãoSe uma proposta de investimento for constituída de um único recebimento, é indiferente usar: ou a inflação de cada período, ou a taxa média de inflação ou a fórmula da taxa real, para se determinar a rentabilidade real de um investimento.
Será que se uma proposta de investimento for constituída por mais de um recebimento, chega-se à mesma conclusão? É o que veremos a seguir.
1.2 – Proposta de investimento Constituída por mais de um Recebimento&nbsp;Suponha que alguém invista, hoje, em regime de juros compostos, $R\$ 1.000,00$, numa instituição financeira, por dois meses, e obtenha em cada mês&nbsp;$R\$&nbsp;800,00$. Se durante os dois meses a taxa de inflação&nbsp;foi de $4\%$ no $1º$ mês e de $5\%$ no $2º$, qual foi a RR do investimento, ou seja, a rentabilidade mensal do investimento em termos de poder de compra?1.2.1 –  Usando a Taxa Média de Inflação&nbsp;Se a taxa de inflação do $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, de $4\%$ e $5\%$, logo, em regime de juros compostos, a taxa média de inflação é dada por:$$&nbsp;TMI=\left[ \sqrt { \left( 1,04 \right) \cdot \left( 1,05 \right) &nbsp;} \quad -\quad 1 \right] \cdot 100=4,5\% \quad a.m.$$&nbsp;Deflacionando os&nbsp;$R\$&nbsp;800,00$ do 1º mês:$$&nbsp;\frac { R\$&nbsp;800,00 }{ 1,045 } =R\$&nbsp;765,55 $$Deflacionando os&nbsp;$R\$&nbsp;800,00$ do 2º mês:$$&nbsp;\frac { R\$ 800,00 }{ \left( 1,045 \right) \cdot \left( 1,05 \right) &nbsp;} =R\$729,10 $$O DFC em moeda constante é o seguinte:

Calculando a RR, encontra-se:$$&nbsp;RR=31,85\%\quad a.m. $$E caso a inflação de cada mês tivesse sido de $5\%$ e $4\%$ ao invés de $4\%$ e $5\%$, qual seria, agora, a RR do investimento? Ora, seria a mesma; haja vista que a TMI não se alteraria.
Será que se chega à mesma conclusão fazendo a análise do investimento com a taxa de inflação de cada mês, ao invés de se usar a taxa média de inflação?  É o que veremos a seguir.&nbsp;1.2.2 – Usando a Inflação de Cada MêsComo a taxa de inflação, no $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, de $4\%$ e $5\%$, logo, deflacionando os $R\$ 800,00$ do $1º$ mês:$$&nbsp;\frac { R\$ 800,00 }{ 1,04 } =R\$ 769,23 $$Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $2º$ mês:$$&nbsp;\frac { R\$ 800,00 }{ \left( 1,04 \right) \cdot \left( 1,05 \right) &nbsp;} =R\$ 732,60 $$O DFC é o seguinte:&nbsp;

Calculando a RR, encontra-se:$$ RR = 32,30\%\quad a.m. $$Nos item $1.2.1$ e $1.2.2$ as RR's “falam” por si, ou seja, a RR do investimento quando se usa a taxa de inflação por período é um pouco maior do que  a RR do investimento quando se usa a taxa média de inflação. A RR do investimento cresce ainda mais, quando se usam as taxas de inflação por período,  à medida que essas taxas se distanciam umas das outras.1.2.3 – Mudando a Ordem de Ocorrência da InflaçãoSuponha que no exemplo em estudo, a inflação tenha sido, no $1º$ &nbsp;e $2º$ meses, respectivamente, $5\%$ e $4\%$, ao invés de $4\%$ e $5\%$, qual será, agora, a RR do investimento?&nbsp;
Deflacionando os $R\$ 800,00$ do 1º mês:$$&nbsp;\frac { R\$ 800,00 }{ 1,05 } =R\$ 761,90 $$Deflacionando os&nbsp;$R\$ 800,00$&nbsp;do $2º$ mês:$$&nbsp;\frac { R\$ 800,00 }{ \left( 1,05 \right) \cdot \left( 1,04 \right) &nbsp;} =R\$ 732,60 $$O DFC é o seguinte:&nbsp;

Calculando a RR, encontra-se:
$$ RR = 31,78\% \quad a.m. $$1.2.4 – Usando a Fórmula da Taxa Real&nbsp;Por ser correto o uso da fórmula da taxa real na determinação da RR de uma proposta de investimento, quando esta é constituída de um único recebimento, isso induz, a um  analista de investimento, a usar, incorretamente, a fórmula da taxa real na determinação da RR de uma proposta de investimento com mais de um recebimento. É o que veremos a seguir.
O DFC, sem se levar em consideração a taxa de inflação do $1º$ e $2º$ meses, é o seguinte:&nbsp;

Calculando a ${i}_{a}$, do DFC acima, encontra-se:
$${i}_{a}&nbsp;= 37,98\% \quad a.m. $$A TMI, de acordo com o resultado obtido no item 1.2.1., é:
$$TMI = 4,5\%$$Calculando a RR por meio da fórmula da taxa real, obtém-se:$$&nbsp;{ i }_{ r }=\left( \frac { 1,3798 }{ 1,045 } -1 \right) \cdot 100=32,04\%\quad a.m.\quad&nbsp;\text{(Errado)}&nbsp;$$Vejamos a seguir por que a RR de $32,04\% $ a.m. não é a correta.
Conforme os resultados obtidos nos itens $1.2.2$ e $1.2.3$, a RR do investimento é de $32,30\%$ a.m. para uma inflação de $4\%$ no $1º$ mês e $5\%$ no $2º$ ou $31,78\%$ a.m. para uma inflação de $5\%$ no $1º$ mês e $4\%$ no $2º$. Portanto, a RR correta é de $32,30\%$ a.m. ou $32,78\%$ a.m.; e não $32,04\%$ a.m.&nbsp;
Suponha que no exemplo apresentado, a taxa de inflação tivesse se mantido constante no $1º$ e $2º$ meses. Vamos supor $5\%$. Se a taxa de inflação fosse de $5\%$ no $1º$ e $2º$ meses, é claro que a taxa média de inflação seria também de $5\%$ a.m.
Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $1º$ mês, obtém-se:&nbsp;$$&nbsp;\frac { R\$ 800,00 }{ 1,05 } =R\$ 761,90 $$Deflacionando os&nbsp;$R\$ 800,00$&nbsp;do $2º$ mês, encontra-se:$$&nbsp;\frac { R\$ 800,00 }{ { \left( 1,05 \right) &nbsp;}^{ 2 } } =R\$ 725,62 $$O DFC, em moeda constante, é o seguinte:

Calculando a RR do DFC acima, encontra-se:
$$ RR = 31,41\%\quad a.m. $$Já que a ${i}_{a}$ do investimento foi de $37,98\%$ a.m., conforme resultado do item $1.2.4$, e a TMI foi de $5\%$ a.m., logo, a RR do investimento é dada por:$$&nbsp;{ i }_{ r }=\left( \frac { 1,3798 }{ 1,05 } -1 \right) \cdot 100=31,41\%\quad a.m. $$A RR do investimento, nos dois casos, foi de 31,41% a.m., o que nos assegura ser correto o novo processo de cálculo, da RR do investimento, usando a fórmula da taxa real.Conclusão&nbsp;Caso alguém aplique $R\$ 1.000,00$, hoje, em regime de juros compostos, durante dois meses, e obtenha em cada mês $R\$ 800,00$, se a inflação por hipótese for, respectivamente, de $4\%$ &nbsp;e $5\%$ ou $5\%$ e $4\%$ &nbsp;no $1º$ e $2º$ meses, a TIRR (Taxa Interna de Retorno Real) do investimento (ou a RR do investimento) será:
a)&nbsp;$17,46\%$, em ambos os casos, quando se considera a taxa média de inflação (Item $1.2.1$) ou a fórmula da taxa real (Item $1.2.4$);&nbsp;
b)&nbsp;$32,30\%$ a.m., quando se considera a inflação de $4\%$ e $5\%$ cada mês (Item $1.2.2$);
c)&nbsp;$31,78\%$ a.m., quando se muda a ordem de ocorrência da inflação de $4\%$ a.m. e $5\%$ a.m. para $5\%$ a.m. e $4\%$ a.m. para cada mês. (Item $1.2.3$).

Mesmo sendo igual a inflação acumulada, ou seja:
$$&nbsp;(1,04)\cdot (1,05)–1=(1,05)\cdot (1,04)–1 $$
Nas duas hipóteses, a TIRR (Taxa Interna de Retorno Real) do investimento (ou a RR do investimento) foi diferente:

- $32,30\%$ a.m. para uma inflação acumulada de:
$$(1,04)\cdot (1,05)–1$$
- $31,78\%$ a.m. para uma&nbsp;inflação acumulada de:
$$(1,05)\cdot (1,04)–1$$
Há ainda um fato marcante a se observar nas letras "b" e "c": a inflação sendo mais intensa no $1º$ mês e depois decrescendo no $2º$, conduz ao resultado de menor TIRR, letra "c"; e inversamente, quando a inflação começa em menor escala no $1º$ mês e depois crescendo no $2º$, letra "b". Já na letra "a", como a inflação média mensal é a mesma, esse fato não é percebível.&nbsp;
Portanto, é desaconselhável, totalmente, a utilização da taxa média de inflação e da fórmula da taxa real, nas tomadas de decisão sobre a rentabilidade real de uma proposta de investimento, quando ela é constituída por mais de um pagamento ou recebimento. O correto é usar a inflação de cada período, caso ela seja variável com o tempo. Se a inflação se mantiver constante, com o tempo, então, é indiferente usar: a taxa média de inflação, a fórmula da taxa real ou a inflação de cada período.&nbsp;ImportanteEste é um artigo criado por Sebastião Vieira do Nascimento, conhecido por todos como Sebá. Ele é graduado em Economia pela UFPB – Universidade Federal da Paraíba e mestre em Engenharia de Produção também pela UFPB. É professor titular aposentado da UFCG – Universidade Federal de Campina Grande – PB.

Durante os vinte e sete anos que atuou como professor, lecionou as seguintes disciplinas: Matemática Financeira, Engenharia Econômica e Pesquisa Operacional. Atualmente, dedica seu tempo escrevendo livros sobre as áreas em que atuou e sobre Teoria dos Números. Desde sua aposentadoria até hoje, ele já publicou sete livros pela Editora Ciência Moderna.