Equação do segundo Grau
Autor: Claudio Luz | Publicado: 2011-04-30T08:05:00-03:00




Equação do 2º grau
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo&nbsp;ax²+bx+c, com coeficientes numéricos&nbsp;a.b&nbsp;e&nbsp;c&nbsp;com&nbsp;.
Exemplos:


Equaçãoabc
x²+2x+1121
5x-2x²-1-25-1


Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes (&nbsp;b&nbsp;ou&nbsp;c&nbsp;) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0 &nbsp;» &nbsp;x²=9 &nbsp;» &nbsp;x=&nbsp;&nbsp;» &nbsp;x=&nbsp;
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 » &nbsp;Basta fatorar o fator comum xx(x-9)=0 &nbsp;» &nbsp;x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 &nbsp;» &nbsp;x=0

Resolução de equações do 2º grau:
&nbsp;&nbsp;A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com&nbsp;a,&nbsp;b&nbsp;e&nbsp;c&nbsp;diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Multiplicamos os dois membros por 4a:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4a²x²+4abx+4ac=0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4a²x²+4abx=-4ac&nbsp;&nbsp;&nbsp;Somamos b² aos dois membros:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Fatoramos o lado esquedo e chamamos de&nbsp;&nbsp;(delta)b²-4ac:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2ax+b)²=&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2ax+b=
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2ax=-b&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Logo:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ou &nbsp;&nbsp;

Fórmula de Bháskara:&nbsp;





&nbsp;&nbsp;



&nbsp;&nbsp;&nbsp;Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3,&nbsp;b=-7 e&nbsp;c=2
&nbsp;&nbsp;= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
&nbsp;=&nbsp;
&nbsp;&nbsp;e &nbsp;&nbsp;
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0
a=-1,&nbsp;b=4 e&nbsp;c=-4
&nbsp;= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
Sustituindo na fórmual de Bháskara:
&nbsp;&nbsp;» &nbsp;x=2 &nbsp;&nbsp;
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. (&nbsp;)
3) 5x²-6x+5=0
a=5&nbsp;b=-6&nbsp;c=5
&nbsp;= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Note que&nbsp;&lt;0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo:&nbsp;&nbsp;» vazio

Propriedades:&nbsp;


&nbsp;&nbsp;Duas raízes reais e diferentes
&nbsp;&nbsp;Duas raízes reais e iguais
&nbsp;&nbsp;Nenhuma raiz real


Relações entre coeficientes e raízes&nbsp;









Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com&nbsp;&nbsp;e&nbsp;, suas raízes são:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;e &nbsp;&nbsp;&nbsp;

A&nbsp;soma das raízes será:&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

O produto das raízes será:

&nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:&nbsp;

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por&nbsp;a.

Obtendo:&nbsp;

Substituindo por&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;:

Obtendo a&nbsp;Soma e Produto de uma equação do 2º grau:&nbsp;



x² - Sx + P = 0



Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8

&nbsp;&nbsp;&nbsp;
c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Resolução de equações fracionárias do 2º grau:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:

a)&nbsp;&nbsp;&nbsp;Onde&nbsp;, pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então:&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:

&nbsp;»&nbsp;

Aplicando a fórmula de Bháskara:





Logo, x = 2 e x` = 4. &nbsp;» &nbsp;S={2,-4}

b )&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;e&nbsp;

[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)

Então:&nbsp;

Eliminando os denominadores:

&nbsp;»&nbsp;&nbsp;&nbsp;» &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;» &nbsp;&nbsp;

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:

x=-1 &nbsp;» S={-1}

Resolução de equações literais do 2º grau:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.&nbsp;


Equação
a

b

c

x² - (m+n)x + p = 0
1

-(m+n)

p



Exemplo: Determine o valor da incógnita x.
1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²

&nbsp;, Logo:
x = 2a &nbsp;e &nbsp;x = a &nbsp;» &nbsp;S={a,2a}

&nbsp;Resolução de equações biquadradas

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:&nbsp;



&nbsp;&nbsp;onde &nbsp;&nbsp;



Exemplo resolvido:
1)&nbsp;
Fazendo x² = y , temos&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Substituindo os valores na equação, temos:
y² - 5y + 4 = 0
Aplicando Bháskara:



Logo, y = 4 &nbsp;e y`= 1

Voltando a variável x:

Como y=x², temos:

x²=4 &nbsp;» &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;e &nbsp;&nbsp;&nbsp;x²=1 &nbsp;» &nbsp;&nbsp;

Então a solução será » S={-2,-1,1,2}ou simplesmente&nbsp;&nbsp;