Modelo Predador-Presa de Lotka-Volterra
Autor: Sintonia Tecnológica e Ambiental | Publicado: 2010-09-27T12:55:00-03:00

É fundamental para as nossas vidas entender os fenômenos naturais em vários aspectos, pois o homem faz parte e interage o tempo todo com a natureza. Para resolver problemas cotidianos importantes necessitamos de um entendimento sólido das ciências naturais, com a finalidade, por exemplo, de realizar previsão do tempo ou de avaliar o grau de contaminação de poluentes num corpo hídrico, ou até mesmo para avaliar os impactos da ação antrópica no meio ambiente.
 


A modelagem matemática é considerada uma das ferramentas mais importantes na compreensão destes problemas e existem diferentes abordagens na modelagem de um sistema. Dependendo da abordagem escolhida, dispõe-se de técnicas diferentes para o estudo do problema. No nosso caso, vamos falar sobre problemas do tipo predador-presa que podem ser solucionados pelo uso de um modelo, representado por equações diferenciais.




Essas equações constituem uma das principais formas de modelagem e tem sido amplamente utilizadas para modelar fenômenos de diferentes áreas, desde a biologia até a economia. São consideradas próprias para a modelagem de fenômenos os quais não se sabe como de fato são as grandezas modeladas, porém se sabe ou se especula como estas variam. A variação pode ser em relação ao tempo, espaço, temperatura, umidade ou qualquer outra variável, dependendo do problema.



Em geral, não há um único modelo "correto". A escolha de um modelo depende da sua&nbsp;finalidade e da precisão com que se pretende trabalhar. Neste post vamos nos deter no modelo de Lotka-Volterra. Este é, talvez, o mais antigo dos modelos presa-predador. Apesar de ser extremamente simples, o modelo é muito representativo e trata de duas equações para descrever o comportamento de dois tipos diferentes de populações.
O modelo predador-presa foi desenvolvido, separadamente, para tratamento de presas e predadores na natureza, por Alfred Lotka em1925, e por Vito Volterra em 1926 (ambos matemáticos).
Em meados da década de 1920, o biológo marinho italiano, Umberto D’ancona, desenvolveu uma análise estatística com dados sobre peixes vendidos em mercados na Itália, entre 1910 e 1923. A pesca havia sido suspensa em parte do Mar Adriático durante a Primeira Guerra Mundial, de 1914 a 1918, e Umberto D´Ancona mostrou que houve aumento da freqüência relativa de certas espécies e redução da freqüência relativa de outras espécies. 
Os dados mostravam que a freqüência de predadores, como tubarões, aumentara durante os anos de guerra e posteriormente diminuira com o aumento da pesca. A abundância relativa das presas, por outro lado, seguira um padrão inverso. Umberto D´Ancona estava noivo de Luisa Volterra, uma ecologista, filha de Vito Volterra, um famoso matemático. D´Ancona propôs, então, a questão a Vito Volterra, que escreveu um par simples de equações diferenciais para descrever o sistema.
Se definirmos N(t) como o número (ou densidade) de presas e P(t) e número (ou densidade) de predadores, o sistema proposto por Vito Volterra apresenta a seguinte formulação:


 &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;onde r, c, b e m são constantes positivas.
O termo rN(t) implica que as presas crescerão de modo exponencial na ausência de predadores. Por sua vez, o segundo termo da primeira equação, -cN(t)P(t), está relacionado à redução das presas por ação dos predadores. Na segunda equação, o termo bN(t)P(t) indica que a perda de presas leva à produção de novos predadores, e -mP(t) indica que a população de predadores decai exponencialmente na ausência de presas.
 Do ponto de vista ecológico, o modelo serve para ilustrar a observação que a interação entre duas espécies tende a gerar oscilações, conforme gráfico abaixo, que é um exemplo clássico da dinâmica predador-presa:

 &nbsp;Cientistas do Isle Royale National Park (clique no link), parque nacional dos EUA, com mais de 50 trabalhos publicados, acreditam que os modelos de Lotka-Volterra são os mais adequados para estudar relações predador-presa.
O modelo assume que não há migração e que as capacidades suporte e os coeficientes de competição para ambas as espécies são constantes. Isso não é realístico (como qualquer modelo), mas essas simplificações são necessárias para a construção do modelo. 


 

Fonte:
- DANTAS, M. P. Seleção Natural Espontânea em Sistemas Presa-Predador com Difusão. Monografia de graduação apresentada ao Departamento de Ciência da Computação da Universidade Federal de Lavras, Minas Gerais, 2005.
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- Equações de Lotka-Volterra, Wikipedia.&nbsp;
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- Modelo Matemático de&nbsp;Lotka-Volterra.
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