PROITEC - Geometria - Aula 01
Autor: Prof. Patrício | Publicado: 2016-06-22T22:30:00-03:00


Conceitos Primitivos

A nossa geometria que estudamos no ensino fundamental e médio, e também em cursos de graduação, foi desenvolvida ao longo de vários séculos antes de Cristo. Vários povos da antiguidade já dominavam a geometria (egípcios, babilônicos, fenicios, gregos, hindus, árabes, entre outros). No entanto, Euclides de Alexandria (360 a
295 a.C.) é quem compilou e reuniu grande parte do conhecimento da geometria até o seu tempo em uma coletânea de livros, chamada "Os Elementos". Neste trabalho, Euclides lança a base axiomática de toda a geometria, definindo alguns conceitos (definições, axiomas, postulados) que são verdadeiros até hoje. Vejamos os conceitos primitivos mais importantes para a geometria: ponto, reta e plano.



Ponto: É aquilo que não tem partes. Fazendo uma analogia com as ciências naturais, podemos afirmar que o ponto é equivalente ao átomo na geometria, não é possível dividi-lo. O ponto não tem dimensão.

Reta: é o ente geométrico dotado apenas de comprimento, não tem largura. A reta tem apenas uma dimensão. A reta é infinita, formada por uma infinidade de pontos.

Plano: é o lugar geométrico onde podemos conter pontos, retas e outras figuras geométricas. O plano é dotado de duas dimensões (comprimento e largura).

Representamos pontos com letras maiúsculas:&nbsp; pontos A, B e C.&nbsp;

As retas são representadas com letras minúsculas: reta r, reta s, reta t, etc.

Os planos podem ser representados por letras minúsculas do alfabeto grego: plano $\alpha$, plano $\beta$, plano $\pi$, etc.


Pontos A, B e C, reta r e plano $\pi$




Todos estes conceitos primitivos são conhecidos intuitivamente e tomados como verdadeiros (axiomas).



Determinando retas e planos

&nbsp;axioma: Dados dois pontos distintos passa uma única reta.

Este tipo de afirmação na matemática deve ser admitida como verdadeira.



Definição: Sejam A e B pontos distintos do plano, podemos representar a reta r que os contém por $\overleftrightarrow{AB}$.

Definição: Sejam os pontos A, B e C, sobre uma reta r, tomando um ponto A dividindo em dois pedaços, quais sejam, as semirretas de origem A, as semirretas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$. 




Semirretas $\overleftrightarrow{AB}$ e $\overleftrightarrow{AC}$, semirretas opostas com mesmo vértice A.


&nbsp; 

Definição:&nbsp;Dados A e B distintos, dizemos que AB é o segmento de reta que tem como extremidades A e B. Denotamos, a medida do segmento AB ou distância de A a B, por $\overline{AB}$.



Proposição: Um plano pode ser determinado por:

Três pontos não-colineares;
Por uma reta e um ponto fora dela;
Por duas retas paralelas e distintas;
Por duas retas concorrentes.


1.Três pontos não-colineares



2. Uma reta e um ponto fora dela.




3. Duas retas paralelas e distintas






4. Duas retas concorrentes r e s, que se interceptam no ponto P.



Posições Relativas de Retas

Podemos classificar as retas quanto à sua posição em relação a outras retas em:


retas coincidentes (iguais);




Definição: Duas retas r e s coincidentes são representadas pela mesma reta, denotamos por $r \equiv s$ e $r \cap s = r=s$. Ou seja, todos os pontos de r são também os pontos de s. As retas coincidentes são um caso particular de retas paralelas.


retas concorrentes (se cruzam em um único ponto);


Definição:&nbsp;Duas retas&nbsp;r&nbsp;e&nbsp;s são concorrentes quando se interceptam em um único pontos P.&nbsp;

retas paralelas;


Definição: Diz-se que duas retas são paralelas quando $r\cap s=\emptyset$ (distintas) ou&nbsp;&nbsp;$r \cap s = r=s$ (coincidentes).

retas reversas.



Definição: Diz-se que duas retas são reversas quando elas pertencem a planos diferentes, não podendo ser classificadas nem como paralelas nem como concorrentes.

retas reversas, pertencem a planos diferentes.





Ângulos

Definição: Uma região R do plano é convexa quando para todos os pontos $A, B \in R$, tivermos $AB \subset R$. Caso contrário, diremos que R é uma região não-convexa.




Região Convexa



Região não-convexa




Uma reta r de um plano o divide em duas regiões convexas, os semiplanos delimitados por r. Dados os pontos A e B, um em cada um dos semiplanos em que r divide o plano, tem-se sempre $AB \cap r \neq \emptyset$, ou seja, a reta r e o segmento de reta $AB$ se cruzam em algum ponto P.




Duas retas concorrentes (ou segmentos de retas) dividem o plano em duas regiões convexas






Definição: Dadas, no plano, duas semirretas $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$, um ângulo (ou região angular) de vértice O e lados $OA$ e $OB$ é uma das duas regiões do plano limitadas pelas semirretas $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$. representamos o âmgulo formado pelos pontos A, O e B por $\angle AOB$ e sua medida por $\widehat{AOB}$, cujo vértice é o ponto O. Na maioria das vezes, por questão de economia de espaço e tempo denotamos&nbsp;$\widehat{AOB}=\theta$ (lê-se: téta).









Classificação dos ângulos


Ângulos agudos: são ângulos menores do que 90°.
Ângulos retos: são ângulos iguais a 90°.
Ângulos obtusos: ângulos maiores do que 90°.



ângulo agudo, $\alpha &lt; 90°$




90°&lt; Ângulo obstuso &lt;180°




ângulo reto = 90°



Definição: Diz-se que dois ângulos, $\alpha$ e $\beta$, são complementares quando a soma é igual a 90°.



Ângulos complementares




Definição: Diz-se que dois ângulos, $\alpha$ e $\beta$, são&nbsp;suplementares&nbsp;quando a soma é igual a 180°.




Ângulos suplementares






Definição: Dois ângulos, $\angle AOB$ e $\angle COD$, de mesmo vértice O são&nbsp;opostos pelo vértice (O.P.V.)&nbsp;se seus lados forem semirretas opostas.



Proposição: Dois ângulos opostos pelo vértices são iguais.









Veja que $\alpha + \beta =180°$ e $\alpha+\gamma =180°$, então
$$\alpha = 180°-\beta = 180° -\gamma \Rightarrow -\beta=-\gamma \Rightarrow \beta = \gamma$$. Analogamente, encontramos $\alpha=\delta$.&nbsp;


Referências Bibliográficas



MUNIZ NETO, Antonio Caminha. Tópicos de Matemática Elementar: geometria euclidiana plana. -2.ed. - Rio de Janeiro: SBM, 2013. V2; 464 p. (Coleção Professor de Matemática; 25).
http://egeom.blogspot.com.br/2011/11/pontoreta-e-plano-conceitos-primitivos.html&nbsp;
www.pt.wikipedia.org