''- As Cônicas -''
Autor: ''-  Ponto -'' | Publicado: 2012-09-18T08:30:00-07:00

Parábola

A parábola é a representação de uma função do 2º grau. Na sua construção observamos alguns pontos importantes como as intersecções com os eixos x e y e os pontos de coordenadas do seu vértice.
Ao resolver uma equação do 2º grau utilizando o método de Bháskara teremos três possíveis resultados, todos dependendo do valor do discriminante ∆. Observe:

∆ &gt; 0: duas raízes reais diferentes.
∆ = 0: uma raiz real ou duas raízes reais iguais.
∆ &lt; 0: nenhuma raiz real.&nbsp;

Essas condições interferem na construção dos gráficos da função do 2º grau. Por exemplo, o gráfico da função&nbsp;y = ax² + bx + c, possui as seguintes características de acordo com o valor do discriminante:

∆ &gt; 0: a parábola irá cortar em dois pontos o eixo x.
∆ = 0: a parábola irá cortar em apenas um ponto o eixo x.
∆ &lt; 0: a parábola não irá cortar o eixo x.&nbsp;

Nesse momento devemos levar em consideração a concavidade da parábola, ou seja, quando o coeficiente a &gt; 0: concavidade para cima, e a &lt; 0: concavidade para baixo.
De acordo com as condições existentes de uma função do 2º grau, temos os seguintes gráficos:

a &gt; 0, temos as seguintes possibilidades de gráficos:

∆ &gt; 0





∆ = 0





∆ &lt; 0



a &lt; 0, temos as seguintes possibilidades de gráficos:

∆ &gt; 0



∆ = 0



∆ &lt; 0





Vértices da Parábola





a &gt; 0, valor mínimo



a &lt; 0, valor máximo







&nbsp;Como se obtém a&nbsp;equação&nbsp;reduzida da parábola:

&nbsp;&nbsp;Vamos obter a equação da parábola em que o foco está sobre o eixo dos yy, o seu vértice é (0,0) e a directriz é paralela ao eixo dos xx.

&nbsp; Temos que a distância entre a origem e o foco é igual à distância entre a origem e a directriz.


&nbsp; Designando por p a distância entre o foco e a directriz, temos que:



F(0,p/2) e a equação da directriz é&nbsp; y=-p/2





&nbsp; Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola, então:



&nbsp;

&nbsp; Sendo D o pé da perpendicularidade baixa da recta que passa por P e é perpendicular a d1&nbsp;(directriz).

&nbsp; Portanto D(x,-p/2), assim pela definição de parábola vem:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

&nbsp; Elevando ambos os membros ao quadrado e simplificando vem:



Equação reduzida da parábolax2&nbsp;= 2yp






Características da Parábola

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equação&nbsp;&nbsp;

x2&nbsp;= 2yp

x2&nbsp;= -2yp&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Focos
(0,p/2)&nbsp;(0,-p/2)&nbsp;Directriz&nbsp;&nbsp;&nbsp;y=-p/2&nbsp;y=p/2

Excentricidade
e=1&nbsp;e=1&nbsp;Características da Parábola





Equação

y2&nbsp;=&nbsp; 2xp

y2&nbsp;= -2xp&nbsp;&nbsp;

Focos
(p/2,0)&nbsp;(-p/2,0)&nbsp;Directriz&nbsp;&nbsp;&nbsp;x=-p/2&nbsp;x=p/2

Excentricidade
e=1&nbsp;e=1



Translação da Parábola:&nbsp;&nbsp;

Para cada uma das parábolas, podemos considerar uma translação segundo um vector (x1,y1)&nbsp;












O seu vértice vai passar a ser (x1,y1) e raciocinando de forma análoga à que utilizamos para obter a primeira equação, chegaríamos à seguinte&nbsp;equação reduzida da parábola:

&nbsp;&nbsp;(x-x1)2= 2p(y-y1)

Sistematizando numa tabela vem:



Equação&nbsp;&nbsp;(x-x1)2= 2p(y-y1)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(x-x1)2= -2p(y-y1)
Focos&nbsp;&nbsp;(0,p/2)+(x1,y1)(0,-p/2)+(x1,y1)
Directriz
&nbsp;y-y1= -&nbsp;p/2&nbsp;&nbsp;

y-y1=&nbsp;&nbsp;p/2&nbsp;

Excentricidadee=1e=1






Equação&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(y-y1)2= 2p(x-x1)&nbsp;&nbsp;(y-y1)2= -2p(x-x1)
Focos(p/2,0)+(x1,y1)(-p/2,0)+(x1,y1)
Directriz&nbsp;&nbsp;x-x1= -&nbsp;p/2
x-x1=&nbsp;&nbsp;p/2&nbsp;&nbsp;&nbsp;


Excentricidade
e=1e=1