Aplicação de numeros complexos 2ª parte
Autor: Panda | Publicado: 2012-02-13T17:05:00-08:00

Potencia de 1 + i
Os números considerados complexos são  escritos acompanhados de uma parte imaginária. No complexo z = a + bi,  temos que a parte imaginária é representada por bi. Considerando i a  unidade imaginária, vamos determinar alguns valores de in. Veja: 

Qualquer número elevado a zero será sempre 1, então: 
i 0 = 1 

Qualquer número elevado a 1 será ele mesmo, então: 
i 1 = i 

Conforme a regra dos números complexos: 
i 2 = – 1 
i 3 = i2 * i = (–1) * i = –i 
i 4 = i2 * i2 = (–1) * (– 1) = 1 
i 5 = i4 * i = 1 * i = i 
i 6 = i5 * i = i * i = i2 = –1 
i 7 = i6 * i = (–1) * i = – i 
i 8 = i4 * i4 = 1 * 1 = 1 
i9 = i8 * i = 1 * i = i 
i10 =(i2)5 = (–1)5 = –1 

A  partir da potência i4 as outras vão se repetindo de 4 em 4, para  calcularmos in (n um número inteiro qualquer), para calcularmos por  exemplo a potência i343, iremos dividir o expoente n por 4. No caso do  exemplo, iremos dividir 343 por 4, irá sobrar um resto r igual a 3,  assim, podemos concluir que: 

i n = i r 
i 343 = i3, portanto i343 = – i 

Exemplo 1 

Aplicando as propriedades da potência, calcule (2 – 2i)6. 
Podemos fatorar o expoente da seguinte forma: 

[(2 – 2i)2]3 = 
[22 – 2 * 2 * (2i) + (2i)2]3 
[4 – 8i + 4i2]3 = 
[4 – 8i + 4 * (–1)]3 = 
[4 – 8i – 4]3 = 
[– 8i]3 = 
– 512 * i3 = 
– 512 * (– i) = 
+ 512i 

Exemplo 2 

Para calcularmos a seguinte soma: i 1993 + i 1994 + i  1995, devemos dividir cada expoente por 4 utilizando da seguinte  propriedade i n = i r. 
Dividindo  1993 por 4, termos como resto 1; dividindo 1994 por 4, teremos resto 2;  dividindo 1995 por 4, teremos resto 3, substituindo os expoentes 1993,  1994 e 1995 (aplicando a propriedade in = ir) pelos seus respectivos  restos, teremos: 

i1 + i2 + i3 = 
i + (–1) + (–i) = 
i – 1 – i = 
– 1 + i – i = 
– 1 

Portanto, i1993 + i1994 + i1995 = –1.&nbsp;
Plano de Gauss 
Por  volta do século XV, os matemáticos tinham um único pensamento: "O  quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é  positivo. Um número negativo não é quadrado de nenhum número, pois não  existe raiz quadrada de um número negativo”. 
Raízes quadradas de  números negativos continuavam aparecendo, e o que mais preocupava os  matemáticos da época era que essas raízes, sendo desenvolvidas de acordo  com as regras algébricas, forneciam resultados satisfatórios, que não  podiam ser obtidos de outra forma. 
Foi através de estudos  relacionados aos matemáticos Wessel, Argand e Gauss, que muitos  resolveram associar os números a e b de um complexo a coordenadas de um  ponto no plano, criando assim uma representação geométrica para um  complexo. 

A criação dos números complexos  revolucionou, de certa forma, a Matemática, pois se criava mecanismos  para obtenção de resultados envolvendo a raiz quadrada de um número  negativo, até então um mistério. Os complexos são formados por uma parte  real (x) e outra imaginária (y), assumindo a seguinte forma algébrica: z  = x + yi. O número complexo pode ser representado no plano através de  um ponto Q de coordenadas (x, y), sobre o eixo x marcamos a parte real e  sobre o eixo y a parte imaginária de z. O ponto Q deve receber o nome  de afixo ou imagem geométrica de z. 

 

Representando geometricamente um número complexo 

a) z = 1 + i, A(1,1) 
b) z = 3 + 2i, B(3,2) 
c) z = -2 + 4i, C(-2,4) 
d) z = -3 -4i, D(-3,-4) 
e) z = 2 + 2i, E(2,2) 
f) z = 4i, F(0,4) 
g) z = -5, G(-5,0) 

 

Questões:
01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i


02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i


03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais&nbsp;(a + 1)4 é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

&nbsp;
04.&nbsp; Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1

&nbsp;
05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2


06. A potência (1 - i )16 equivale a:

a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256


07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 = 10 então x é igual a:&nbsp; 

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1


08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5


09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.


10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x8 - 17x4 + 16 = 0.



Resolução: 
   01. C   02. C   03. C   04. A  
   05. E   06. E   07. E   08. D  
&nbsp;09. 3 - 2i; -3 + 2i10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}