Estudo dos Logaritmos e Exercícios de Funções Exponencial
Autor: Flavio Bacelar | Publicado: 2017-06-27T20:34:00-03:00






Definição
Chamamos logaritmo de um número real e positivo `b` em relação a base
 `a`, positiva e diferente de 1, ao expoente que se deve dar à base `a`,
 para que resulte uma potência igual a `b`.
ou seja:


googletag.cmd.push(function() { googletag.display('dfp-arroba-meio1'); }); 


\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b
Com a > 0, a \neq 1 e b > 0
Assim, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que "a" é a base do logaritmo, "b" é o logaritmando e "x" é o logaritmo.
Exemplo: \log_2 16 = 4, pois 2^4 = 16.

Definições
I) O logaritmo cujo o logaritmando é igual a 1 e a base é qualquer, é igual a zero:

\log_a 1 = 0, pois a^0 = 1
II) O logaritmo cujo a base e o logaritmando são iguais é igual a um:

\log_a a = 1, pois a^1 = a
III) A potência de base "a" e expoente \log_a b é igual a b:

a^{\log_a b} = b
IV) Dois logaritmos são iguais, numa mesma base, se os logaritmandos são iguais:

\log_a b = \log_a c \Leftrightarrow b = c

Propriedade dos logaritmos

1. Logaritmo do produto
O logaritmo do produto de dois fatores "a" e "b", em qualquer base "c", é igual à soma dos logaritmos de cada um desses fatores.
Se c &gt; 0 e c \neq 1, a &gt; 0, b &gt; 0, então:

\log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b
Exemplo: \log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2+3 = 5

2. Logaritmo do quociente
O logaritmo do quociente de dois fatores a e b, em qualquer base c, é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses fatores.
Se c &gt; 0 e c \neq 1, a &gt; 0, b &gt; 0, então:

\log_c \left(\frac{a}{b}\right) = \log_c a - \log_c b
Exemplo: \log_3 \left(\frac{27}{9}\right) = \log_3 27 - \log_3 9 = 3 - 2 = 1

3. Logaritmo da potência
O logaritmo de uma potência, em qualquer base c, é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência.
Se a &gt; 0 e a \neq 1, b &gt; 0, c \in \mathbb{R}, então:

\log_ a b^c = c \cdot \log_a b
Exemplo: \log_3 9^5 = 5 \cdot \log_3 9 = 5 \cdot 2= 10

4. Logaritmo de uma raiz
O logaritmo da raiz enésima de um número real positivo é o produto entre o inverso do índice da raiz pelo logaritmo cujo o logaritmando é o radicando:
Se a &gt; 0 e a \neq 1, b &gt; 0, n \in \mathbb{N}^*, então:

\log_a \sqrt[n]{b} = \log_a b^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \cdot \log_a b
Exemplo: \log_5 \sqrt[3]{25} = \frac{1}{3} \cdot \log_5 25 = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

Mudança de Base
Algumas vezes, os logaritmos com bases diferentes precisam ser transformados para outra base, de forma que ela seja a mesma para ambos.
Se a, b e c são números reais positivos, então:

\log_ a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}, a \neq 1 e c \neq 1
Exemplo: \log_3 5 transformado para a base 2 fica:

\log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}
Se a e b são reais positivos e quisermos transformar \log_a b para a base b, temos:

\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} = \frac{1}{\log_b a}, a \neq 1 e b \neq 1
Exemplo: \log_3 4 = \frac{1}{\log_4 3}
Se a e b são reais positivos, temos que:

\log_{a^\beta} b = \frac{1}{\beta} \cdot \log_a b, a \neq 1 e \beta \neq 0
Exemplo: \log_{3^5} 10 = \frac{1}{5} \cdot \log_3 10


Referência:
DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Logaritmos. Vol. 2. São Paulo: Atual, 1997.
console.log('Aud01');



Arquivado em: Matemática
-------------------------------------------------------------------------

&nbsp;Lista de Exercícios – Logaritmos




1) Em Química, defini-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal do inverso da respectiva concentração de H3O+ . O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de  $H_{3}$O+ é  4,8. 10$^{-8}$ mol/l. Qual será o pH desse líquido?
Do enunciado tiramos,

pH=-log[$H^{+}$] 



Código: Selecionar tudo
[tex]pH=-log [H+]
;[] significa concentração.

Assim temos,
<img alt="pH=-log(4,8.10^{-8})" border="0" class="eqn_tex" data-pagespeed-url-hash="2604403950" onclick="tex_popup(this);" onload="pagespeed.CriticalImages.checkImageForCriticality(this);" src="https://www1.equacao.mat.br/latex/mimetex.cgi?pH=-log(4,8.10%5E%7B-8%7D)" style="padding: 4px 0; vertical-align: -9px;" title="TeX:
pH=-log(4,8.10^{-8})" />

Código: Selecionar tudo
[tex]pH=-log(4,8.10^{-8})[/tex]

<img alt="pH=-log4,8+8.log10" border="0" class="eqn_tex" data-pagespeed-url-hash="3415501671" onclick="tex_popup(this);" onload="pagespeed.CriticalImages.checkImageForCriticality(this);" src="https://www1.equacao.mat.br/latex/mimetex.cgi?pH=-log4,8+8.log10" style="padding: 4px 0; vertical-align: -8px;" title="TeX:
pH=-log4,8+8.log10" />

Código: Selecionar tudo
[tex]pH=-log4,8+8.log10[/tex]

<img alt="\boxed{pH\approx 7,3}" border="0" class="eqn_tex" data-pagespeed-url-hash="2322154080" onclick="tex_popup(this);" onload="pagespeed.CriticalImages.checkImageForCriticality(this);" src="https://www1.equacao.mat.br/latex/mimetex.cgi?%5Cboxed%7BpH%5Capprox+7,3%7D" style="padding: 4px 0px; vertical-align: -14px;" title="TeX:
\boxed{pH\approx 7,3}" />




2) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:

altura: H(t) = 1 + (0,8).$log_{2}$ (t + 1)

diâmetro do tronco: D(t) = (0,1).2 $^ \frac{t}{7}$ 

com H(t) e D(t) em metros e t em anos.

a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.

b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.



Função Exponencial




PROBLEMAS DE FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chama-se função exponencial a função 
  
    
      
        f
        :
        
          R
        
        →<!-- → -->
        
          
            R
          
          
            +
          
          
            ∗<!-- ∗ -->
          
        
      
    
    {\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{*}}
  
 tal que 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          a
          
            x
          
        
      
    
    {\textstyle f(x)=a^{x}}
  
 em que 
  
    
      
        a
        ∈<!-- ∈ -->
        
          R
        
      
    
    {\textstyle a\in \mathbb {R} }
  
, 
  
    
      
        0
        &lt;
        a
        ≠<!-- ≠ -->
        1
      
    
    {\textstyle 0&lt;a\neq 1}
  
. O número 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 é chamado de base da função. A função exponencial 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          a
          
            x
          
        
      
    
    {\textstyle f(x)=a^{x}}
  
 pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se 
  
    
      
        a
        &gt;
        1
      
    
    {\textstyle a&gt;1}
  
, a função é crescente. Caso 
  
    
      
        0
        &lt;
        a
        &lt;
        1
      
    
    {\textstyle 0&lt;a&lt;1}
  
 a função é decrescente.[1][2]

p { margin-bottom: 0cm; direction: ltr; color: rgb(0, 0, 0); text-align: justify; }p.western { font-family: "SpArial",serif; font-size: 12pt; }p.cjk { font-family: "Times New Roman",serif; font-size: 12pt; }p.ctl { font-family: "SpArial",serif; font-size: 12pt; }



A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é[3],

  
    
      
        
          
            
              
                a
                
                  n
                
              
              =
            
            
              &nbsp;
            
          
        
        
          
            
              
                
                  
                    a
                    ×
                    ⋯
                    ×
                    a
                  
                  ⏟
                
              
            
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n},}
  

Esta definição implica as seguintes propriedades:



  
    
      
        
          a
          
            n
            +
            m
          
        
        =
        
          a
          
            n
          
        
        
          a
          
            m
          
        
        ;
      
    
    {\displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m};}
  


  
    
      
        
          a
          
            n
            m
          
        
        =
        
          
            (
            
              a
              
                n
              
            
            )
          
          
            m
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle a^{nm}=\left(a^{n}\right)^{m}.}
  


A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:



  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        =
        1
        ,
        
        ∀
        a
        ≠
        0
        ;
      
    
    {\displaystyle a^{0}=1,\quad \forall a\neq 0;}
  


  
    
      
        
          a
          
            −
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              a
              
                n
              
            
          
        
        ,
        
        ∀
        a
        ≠
        0
        ,
        &nbsp;
        &nbsp;
        n
        ∈
        
          N
        
        ;
      
    
    {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad \forall a\neq 0,~~n\in \mathbb {N} ;}
  


  
    
      
        
          a
          
            
              1
              n
            
          
        
        =
        
          
            a
            
              n
            
          
        
        ,
        
        ∀
        a
        &gt;
        0
        ,
        &nbsp;
        &nbsp;
        n
        ∈
        
          N
        
        ;
      
    
    {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}},\quad \forall a&gt;0,~~n\in \mathbb {N} ;}
  


  
    
      
        
          a
          
            
              n
              m
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                n
              
            
            
              m
            
          
        
        ,
        
        ∀
        a
        &gt;
        0
        ,
        &nbsp;
        &nbsp;
        n
        ∈
        
          Z
        
        &nbsp;
        &nbsp;
        m
        ∈
        
          N
        
        .
      
    
    {\displaystyle a^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}},\quad \forall a&gt;0,~~n\in \mathbb {Z} ~~m\in \mathbb {N} .}
  


A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:[4]

  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
        =
        
          sup
          
            
              
                n
                m
              
            
            &lt;
            x
          
        
        
          a
          
            
              n
              m
            
          
        
        ,
        a
        &gt;
        1
        ;
      
    
    {\displaystyle a^{x}=\sup _{{\frac {n}{m}}&lt;x}a^{\frac {n}{m}},a&gt;1;}
  

  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
        =
        
          inf
          
            
              
                n
                m
              
            
            &lt;
            x
          
        
        
          a
          
            
              n
              m
            
          
        
        ,
        a
        &lt;
        1.
      
    
    {\displaystyle a^{x}=\inf _{{\frac {n}{m}}&lt;x}a^{\frac {n}{m}},a&lt;1.}
  

De fato, a função y = ax é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:



  
    
      
        f
        (
        x
        +
        y
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        f
        (
        y
        )
        ;
      
    
    {\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y);}
  


  
    
      
        f
        (
        1
        )
        =
        a
        .
      
    
    {\displaystyle f(1)=a.}
  


No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:[4]



  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
        =
        
          e
          
            ln
            ⁡
            (
            a
            )
            x
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)x}.}
  


A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:



  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle a^{1}=a}
  


  
    
      
        
          a
          
            x
            +
            y
          
        
        =
        
          a
          
            x
          
        
        
          a
          
            y
          
        
        ,
        &nbsp;
        &nbsp;
        ∀
        x
        ,
        y
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle a^{x+y}=a^{x}a^{y},~~\forall x,y\in \mathbb {R} }
  


A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:



  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                1
                +
                0
              
            
            
              a
              
                1
              
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                1
              
            
            
              a
              
                1
              
            
          
        
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle a^{0}={\frac {a^{1+0}}{a^{1}}}={\frac {a^{1}}{a^{1}}}=1,}
  




Fonte na Integra (wikipedia)


3) Um
piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente,
colocou 1.000 traíras na represa e, por um descuido, soltou 8
lambaris. Suponha-se que o aumento das populações de lambaris e
traíras ocorre, respectivamente, segundo as leis L(t)=L³10&nbsp;
T(t)=T³2&nbsp;, onde L³ é a população inicial de lambaris, T³,
a população inicial de traíras e t, o número de anos que se conta
a partir do ano inicial. Considerando-se log 2 = 0,3, o número de
lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos?



a)30 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; b)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 18 c)12&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; d)6 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; e)3 
Trata-se de um problema a ser solucionado com aplicação de logaritmos. 

Para descobrir o valor de t devemos fazer L(t) = T(t) e inserir os valores de $L_o$=8 e $T_o$=1.000 , pode ser resolvido também por exponencial vejamos:

Assim faremos: 


L(t) = T(t)
$L_o.10^t$= $T_0. 2^t $ ( aplicando a propriedade da potência em ($10^t$)
$L_o.(2.5)^t$= $T_0. 2^t $
$L_o{\cancel{2^t}}5^t$= $T_0 {\cancel{2^t}}$
$8.5^t $= $1000$ (lembrando que 8=2³ e 1000=10³)
isolando $5^t$
$5^t$=$\frac{10^3}{2^ 3}$
$5^t$=$(\frac{10}{2})^3$
$\cancel{5}^t$=$\cancel{5}^3$
$t=3 anos$

p { margin-bottom: 0cm; direction: ltr; color: rgb(0, 0, 0); text-align: justify; }p.western { font-family: "SpArial",serif; }p.ctl { font-family: "SpArial",serif; }




4) Uma
população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas.
Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função

.
Nessas condições, qual o tempo necessário  para que a população
de bactérias seja de 51.200 bactérias?





&nbsp; 






5) Segundo
o modelo malthusiano para crescimento populacional, as populações
podem crescer sem limites. Apesar desse aspecto, o modelo funciona
bem durante um certo tempo.Utilizando
dados dos censos de 1940 a 1991, o modelo prevê para a população
brasileira um crescimento segundo a equação: P(t) = 40e0,02t
, sendo P(t) a população, em milhões de habitantes em cada ano t,
e t = 0 o ano de 1940.De
acordo com a projeção malthusiana, determine o ano a partir do qual
a população brasileira irá ultrapassar os 200 milhões de
habitantes. Considere
ln 5 = 1,6. (Resposta =&gt; 2020)

&nbsp;6) (UMC-SP) O crescimento de uma cultura de bactérias obedece a função $N(t) = 600.3^{kt}$ onde N é o número de bactérias no instante t, sendo t o tempo em horas. A produção tem inicio em t = 0. Após 24 horas há 1800 bactérias ao todo. Determine o valor de k, e o número de bactérias após 24 horas. 
N = Numero de bactérias no instante t.
T = Tempo fornecido em horas.
Início da produção&nbsp;⇒ t&nbsp;=&nbsp;0
Após 12 h = 1800&nbsp;Bactérias (Total)
N(t) = 

(Primeiro, descobrimos o valor de k):

N(12) =&nbsp;&nbsp;⇒&nbsp;(Dividimos por 600):

12 k = 1&nbsp;⇒ k =&nbsp;(Agora, descobrimos o número de bactérias em 24 horas):
N(24) =&nbsp;
N(24) =&nbsp; = 5400R.: O total de Bactérias em 24 horas é 5400