Resolução da Lista de Introdução ao Princípio Fundamental da Contagem
Autor: Felipe Costa Mercadante | Publicado: 2012-08-13T21:25:00-03:00


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Antes de começarmos a resolver os exercícios, devemos lembrar qual é a ideia que fundamenta a contagem! Tudo começa com um intervalo de elementos que serão contados, numerados em ordem crescente. Se chamarmos o elemento inicial de $e_{i}$ e o elemento final de $e_{f}$, podemos representar o intervalo de contagem conforme a figura abaixo:

Para obter a quantidade de elementos no intervalo considerado contamos todos os elementos até o elemento final do intervalo (um total de $e_{f}$ elementos) e retiramos os elementos que estão fora do intervalo, subtraindo 1 do primeiro elemento do intervalo (um total de $e_{i}-1$ elementos).
O número de elementos ($n_{e}$) em um intervalo é, portanto:
$n_{e}=e_{f}-(e_{i}-1)=e_{f}-e_{i}+1$


1. Quantos números existem:
a) entre 15 e 50?
b) de 43 a 78?
c) no intervalo (52,136] (ou seja, maiores que 52 e menores ou iguais a 136)?
d) no intervalo [23,423] (ou seja, maiores ou iguais a 23 e menores ou iguais a 423)?
e) no intervalo [85,721) (ou seja, maiores ou iguais a 85 e menores que 721)?


a) Como os números considerados estão entre os extremos 15 e 50, não consideramos esses valores na contagem. Assim, contamos apenas de 16 ($e_{i}=16$) até 49 ($e_{f}=49$). Até 49 temos 49 elementos; até 15 (o anterior ao primeiro elemento) temos 15 elementos. Portanto, o intervalo terá $49-15=34$ elementos.
b) Nesse caso o intervalo considera os extremos 43 e 78. Assim, contamos de 43 ($e_{i}=43$) até 78 ($e_{f}=78$). Até 78 temos 78 elementos; até 42 (o anterior ao primeiro elemento) temos 42 elementos. Portanto, o intervalo terá $78-42=36$ elementos.
c) Nesse intervalo excluímos o 52 mas consideramos o 136. Assim, contamos de 53 ($e_{i}=53$) até 136 ($e_{f}=136$). Até 136 temos 136 elementos; até 52 (o anterior ao primeiro elemento) temos 52 elementos. Portanto, o intervalo terá $136-52=84$ elementos.
d) Nesse intervalo consideramos tanto o 23 quanto o 423. Assim, contamos de 23 ($e_{i}=23$) até 423 ($e_{f}=423$). Até 423 temos 423 elementos; até 22 (o anterior ao primeiro elemento) temos 22 elementos. Portanto, o intervalo terá $423-22=401$ elementos.
e) Por fim, nesse intervalo consideramos o 85 e excluímos o 721. Assim, contamos de 85 ($e_{i}=85$) até 720 ($e_{f}=720$). Até 720 temos 720 elementos; até 84 (o anterior ao primeiro elemento) temos 84 elementos. Portanto, o intervalo terá $720-84=636$ elementos.



2. Quantos anos tem uma pessoa que:
a) nasceu em 1975 e já fez aniversário?
b) nasceu em 1982 e já fez aniversário?
c) nasceu em 1954 e ainda não fez aniversário?
d) nasceu em 2001 e ainda não fez aniversário?


a) O primeiro ano do intervalo, que é o ano em que a pessoa completa 1 ano, é 1976 ($e_{i}=1976$). O último ano do intervalo é o último em que ela fez aniversário, ou seja, 2012 ($e_{f}=2012$). Portanto, a pessoa terá $2012-1975=37$ anos (lembrando que devemos subtrair o número anterior ao primeiro termo, ou seja, 1975).
b) O primeiro ano do intervalo, que é o ano em que a pessoa completa 1 ano, é 1983 ($e_{i}=1983$). O último ano do intervalo é o último em que ela fez aniversário, ou seja, 2012 ($e_{f}=2012$). Portanto, a pessoa terá $2012-1982=30$ anos.
c) O primeiro ano do intervalo, que é o ano em que a pessoa completa 1 ano, é 1955 ($e_{i}=1955$). O último ano do intervalo é o último em que ela fez aniversário, ou seja, 2011 ($e_{f}=2011$). Portanto, a pessoa terá $2011-1954=57$ anos.
d) O primeiro ano do intervalo, que é o ano em que a pessoa completa 1 ano, é 2002 ($e_{i}=2002$). O último ano do intervalo é o último em que ela fez aniversário, ou seja, 2011 ($e_{f}=2011$). Portanto, a pessoa terá $2011-2001=10$ anos.



Antes de continuarmos, vamos relembrar dois conceitos importantes para resolver os próximos exercícios: divisibilidade e conjuntos
Existem regras simples para determinar se um número é divisível por 2, 3, 4, 5, 8, 9 e 10. Porém existe um método genérico que é válido para qualquer divisor e será mais útil para nossos problemas, nos quais não importa se um número é divisível, mas qual é o divisível mais próximo. O método envolve olhar para o resto da divisão!
Por exemplo, para descobrir um número divisível por 17  próximo de 2658, fazemos o seguinte: dividimos 2658 por 17, o que nos dá um quociente igual a 156 e resto igual a 6. Se subtrairmos o resto do dividendo teremos o múltiplo de 17 que antecede o dividendo. No nosso caso 2652 (2658 - 6) é o múltiplo de 17 que antecede 2658.
Outra informação importante é obtida pelo valor do quociente. No caso, 2652 é o 156º múltiplo positivo de 17 pois pode ser representado como $17 \cdot 156=2652$. Essa técnica é usada na contagem de múltiplos.
Não vamos nos aprofundar em teoria de conjuntos, mas precisamos de uma informação básica para resolvermos os próximos 2 problemas: como contar elementos dentro de conjuntos que possuem interseção.
Vamos considerar dois conjuntos, A e B, representados na figura abaixo:

Para determinar a quantidade de elementos que estão na união dos dois conjuntos, A e B, é errado somar a quantidade de elementos de A e de B, pois os elementos que fazem parte dos dois conjuntos ao mesmo tempo (a interseção de A e B) são contados duas vezes. Assim, para obter a quantidade real de elementos fazemos o seguinte: somamos os elementos de A e de B (o que acaba duplicando o número de elementos da interseção) e subtraímos os elementos da interseção (eliminando a duplicação).



3. Dentre os números entre 123 e 321:
a) Quantos são pares?
b) Quantos são múltiplos de 3?
c) Quantos são múltiplos de 6?
d) Quantos dos números que são múltiplos de 3 são pares?
e) Quantos são pares ou múltiplos de 3?


Antes de começar a resolver a questão, vamos determinar o intervalo que nos interessa. Como foram pedidos os números entre 123 e 321, os extremos não são contados! Portanto, nosso intervalo de contagem vai de 124 a 320.
a) 124 é o 62º número par ($2 \cdot 62=124$) e 320 é 160º número par ($2 \cdot 160=320$). Assim, o primeiro elemento da contagem é 62 ($e_{i}=62$) e o último é 160 ($e_{f}=160$), pois estamos contando apenas os números pares! Portanto temos $160-61=99$ números pares no intervalo. (Só pra ressaltar, subtraímos um elemento antes do primeiro elemento do intervalo considerado.)
b) Para descobrir o primeiro múltiplo de 3 no intervalo dividimos 124 por 3. Obtemos resto 1, indicando que 123 é o múltiplo de 3 anterior a 124. Como queremos um múltiplo dentro do intervalo, o próximo múltiplo é o 126. Da divisão por 3, sabemos que 123 é o 41º múltiplo ($3 \cdot 41=123$), de modo que 126 é o 42º múltiplo.
De modo semelhante, dividindo 320 por 3 nos fornece resto 2, de modo que 318 é o múltiplo de 3 que antecede 320. Além disso, sabemos que 318 é o 106º número múltiplo de 3 ($3 \cdot 106=318$). Assim, o primeiro elemento da contagem é 42 ($e_{i}=42$) e o último é 106 ($e_{f}=106$), pois estamos contando apenas os múltiplos de 3! Portanto temos $106-41=65$ números múltiplos de 3 no intervalo.
c) Repetindo o procedimento do item anterior, dividimos 124 por 6, o que nos fornece resto 4. Dessa vez vamos mudar um pouco o método. Queremos o próximo múltiplo de 6 (pois é o que estará dentro do intervalo) em vez do antecessor. Assim, completamos o resto até chegar a 6, no caso somando 2, o que nos leva a 126 como sendo o próximo múltiplo. Sabemos que 126 é o 21º múltiplo de 6 pois o quociente da divisão foi 20 e chegamos ao próximo múltiplo, que é o 21º ($6 \cdot 21=126$).
Dividindo 320 por 6 obtemos resto 2, o que indica que o múltiplo de 6 que antecede 320 é o 318, sendo esse o 53º múltiplo de 6 ($6 \cdot 53=318$). Portanto, o primeiro elemento da contagem, considerando apenas os múltiplos de 6, é 21 ($e_{i}=21$) e o último é 53 ($e_{f}=53$), o que nos leva a um total de $53-20=33$ números múltiplos de 6  no intervalo.
d) Esse item foi pedido para chamar a atenção a um fato interessante: ser múltiplo de 6 significa ser múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo tempo. Todo número múltiplo de 6 pode ser escrito na forma $6 \cdot n$ (em que $n$ é um número inteiro) pois ele é 6 vezes alguma coisa. Se fizermos a decomposição do 6 ($2 \cdot 3=6$), mostramos que o número é múltiplo de 2 e 3 ao mesmo tempo. Por exemplo, 72 é múltiplo de 6, pois podemos escrever $72=6 \cdot 12$. Mas também podemos escrever $72=2 \cdot 3 \cdot 12$, ou seja, 72 é múltiplo de 2, pois $72=2 \cdot (3 \cdot 12)$, e de 3, pois $72=3 \cdot (2 \cdot 12)$. Portanto, o número de múltiplos de 3 que são pares é igual ao número de múltiplos de 6, ou seja, 33.
e) Aqui entra a discussão sobre conjuntos que eu falei que ia ser importante. Queremos encontrar a quantidade de múltiplos contidos na união de dois conjuntos (pares e múltiplos de 3) que possuem uma interseção (números pares que são múltiplos de 3). Portanto, para obter essa quantidade, temos que somar a quantidade nos dois conjuntos e subtrair o valor de interseção para eliminar a duplicação dessa interseção. O número de pares é 99, o número de múltiplos de 3 é 65. Somando os dois teremos 164 números, porém estamos contando duas vezes os múltiplos de 6 (múltiplos ao mesmo tempo de 2 e de 3). Para resolver esse problema subtraímos 33 múltiplos que foram contados duas vezes, chegando a 131 números. Resumindo as contas $99+65-33=131$.



4. Dentre os números de 600 a 900:
a) Quantos são múltiplos de 3?
b) Quantos são múltiplos de 5?
c) Quantos são múltiplos de 15?
d) Quantos são múltiplos de 3 e 5 ao mesmo tempo?
e) Quantos são múltiplos de 3 ou múltiplos de 5?


Novamente, vamos primeiro definir o intervalo de interesse. Nesse caso, a contagem inclui os extremos, sendo que o intervalo vai de 600 a 900.
a) O procedimento é o mesmo da questão anterior. Para descobrir o primeiro múltiplo de 3 no intervalo dividimos 600 por 3, que dá resto 0, de modo que 600 já é um múltiplo de 3, sendo o 200º múltiplo ($3 \cdot 200=600$). Dividindo 900 por 3 também obtemos resto 0, sendo o 900 o 300º número múltiplo de 3 ($3 \cdot 300=900$). O primeiro elemento da contagem é 200 ($e_{i}=200$) e o último é 300 ($e_{f}=300$), de modo que temos $300-199=101$ números múltiplo de 3 no intervalo.
b) Vou parar de detalhar todo o processo porque já está repetitivo demais (mas façam todo o processo mental do que está sendo calculado). 600 é o 120º múltiplo de 5 ($5 \cdot 120=600$) e 900 é o 180º múltiplo ($5 \cdot 180=900$). Portanto, no intervalo teremos $180-119=61$ múltiplos de 5.
c) 600 é o 40º múltiplo de 15 ($15 \cdot 40=600$) e 900 é o 60º múltiplo ($15 \cdot 60=900$). Portanto, no intervalo teremos $60-39=21$ múltiplos de 15.
d) Relembrando, todo número múltiplo de 15 pode ser escrito na forma $15 \cdot n$. Da decomposição de 15 ($3 \cdot 5=15$), sabemos que um número múltiplo de 3 e de 5, ao mesmo tempo, é múltiplo de 15. Portanto, o número de múltiplos de 3 e de 5 é 21.
e) Somando os elementos múltiplos de 3 (101) com os múltiplos de 5 (61) e subtraindo os múltiplos de 15 (21), para compensar a duplicação da interseção dos conjuntos, ou seja, $101+61-21=141$, obtemos o número de múltiplos de 3 ou de 5 no intervalo: 141.



5. Quantos números ímpares existem entre 90 e 470?


Esse exercício serve de introdução a um conceito que usaremos em outro momento, chamado de Princípio de Inclusão-Exclusão. Contar o número de ímpares é complicado (na verdade nem é tanto, mas dá um trabalho a mais), mas contar os pares é simples! A ideia é contar todos os elementos do intervalo e retirar os que são pares, pois assim sobram apenas os ímpares. O intervalo não inclui os extremos, 90 e 470, de modo que só consideramos os números de 91 a 469. No intervalo temos $469-90=379$ elementos. O primeiro par é o 92, que é o 46º par ($2 \cdot 46=92$), e o último par é o 468, que é o 234º par ($2 \cdot 234=468$). Assim, no intervalo temos $234-45=189$ pares. Portanto, temos $379-189=190$ ímpares no intervalo.



Os métodos mostrados são os que levam a menos erros, por serem mais intuitivos. Existem métodos mais rápidos, como eu comentei na classe, mas eu prefiro que todos comecem treinando esses que foram mostrados para desenvolver a intuição sobre o que está acontecendo, e depois passar para as formas mais avançadas. Se tiverem alguma dúvida perguntem no começo da próxima aula.