Autor: laianebicki | Publicado: 2012-11-19T19:33:00-08:00

CONTINUAÇÃO (PARTE 2)


4 UTILIZAÇÃO DOS DADOS PARA RESOLVER O PROBLEMA





Conforme é possível observar na Tabela
2, não verificamos nenhuma regularidade com a qual fosse possível definir o
crescimento dos salários a cada novo ano. Assim, optamos por utilizar a moda
como medida representativa desse conjunto de dados. Como não havia valores
iguais, calculamos a média dos valores mais próximos. Este valor deixa a taxa
de aumento do salário mínimo bem representada, não sendo observados valores
exagerados ao longo dos cálculos.

Optamos em depositar na conta poupança
8% do salário, pois, é o percentual descontado mensalmente de um trabalhador
que recebe um salário mínimopara o INSS.

Supondo que um trabalhador comece a
depositar o valor na poupança em janeiro de 2012, podemos descrever o aumento
do salário mínimo ao longo dos anos da seguinte maneira:

Ano 1:

622,00

Ano 2:

622,00+8,45%, ou seja,
622,00+0,0845·622,00 = 622,00·(1+0,0845)= 622,00·(1,0845)



Ano 3:

622,00·(1,0845)+8,45%, ou seja,
622,00·(1,0845)·[(1+0,0845)]= 622,00·(1,0845)·(1,0845)= 622,00·(1,0845)².

Percebemos, então, que a cada ano o
salário mínimo é dado pelo valor do salário inicial multiplicado pelo valor
1,0845 elevado ao número do ano em questão menos um. Então:

Ano n:

622·(1,0845)n-1

Nesse contextopodemos dizer, por
exemplo, que daqui a 35 anos o salário mínimo será:

Ano 35:

622·(1,0845)35-1=9808,33.

R$9.808,33 é um salário mínimo razoável
se pensarmos que será daqui a 35 anos.

Contudo, se tivéssemos utilizado o
valor da média apresentado na Tabela 1 para representação desses dados, ou
seja, ao invés de 8,45 tivéssemos utilizado 12,6 então, daqui a 35 anos o
salário mínimo estaria em R$ 35.163,79, o que nos fez descartar esse valor
devido a acreditarmos que seria um absurdo, pois, dessa forma, os salários
estariam aumentando em média mil reais por ano.

Agora, da mesma forma, podemos calcular
o valor do depósito feito na conta poupança que é de 8% em relação ao salário
mínimo:

Ano 1:

8% de 622, ou seja, 0,08·622.

Ano 2:

8% de 622·(1,0845), ou seja, 0,08·
622·(1,0845).

Ano 3:

0,08· 622·(1,0845)².

Utilizando o raciocínio anterior, o
valor do depósito mensal será dado pela seguinte expressão:

Ano n =&nbsp;0,08· 622·(1,0845)n-1.

Para calcular a soma dos valores dos
depósitos, vamos pensar da seguinte maneira:

(ano 1 + ano 2 + ano 3 + ... + ano
n).12

Multiplicamos a soma dos anos por 12,
pois, os depósitos são mensais e não anuais totalizando assim 12 depósitos
feitos a cada ano.

Reescrevendo:

[0,08·622+0,08· 622·(1,0845)+0,08·
622·(1,0845)²+ ...+0,08·622·(1,0845)n-1]·12

Definindo as variáveis:

p=porcentagem relativa aos depósitos
mensais em relação ao salário mínimo.

x=salário inicial.

n&nbsp;= ano.

Assim, temos:

[px + px(1,0845) + px(1,0845)2&nbsp;+
... + px(1,0845)n-1]·12

A sequência&nbsp;(px, px(1,0845), px(1,0845)2, ...,
px(1,0845)n-1)&nbsp;é uma Progressão Geométrica Finita de razão&nbsp;q=1,0845&nbsp;e primeiro termo&nbsp;a1=px.

Logo, fazendo a soma dos termos da PG,
temos:

Assumindo&nbsp;p=0,08, x=622,00 e n=35:

&nbsp;=&nbsp;9.481,7827

9481,7827·12= 113.781,39

Descobrimos, então, que o montante
depositado ao final de 35 anos éde R$113.781,39.

Como esse dinheiro é aplicado em uma
poupança, então os depósitos sofrem ajustes de juros mensais.

Com as novas regras da poupança,
descobrimos que certo dinheiro aplicado tem seu rendimento em torno de 0,5% ao
mês. Então nosso rendimento é dado da forma a seguir:

Considerando&nbsp;px&nbsp;o valor do depósito mensal, onde
estamos utilizando&nbsp;p=0,08, x= 622, e&nbsp;t=0,005&nbsp;a taxa de rendimento da poupança,
então temos o saldo da poupança da seguinte forma:

1º mês:&nbsp;px

2º mês:&nbsp;(px)t + px + px = px(t+2)

Onde&nbsp;(px)t&nbsp;representa o juro mensal aplicado
ao saldo da conta do mês anterior adicionado de&nbsp;px, que é o saldo anterior e de&nbsp;px&nbsp;novamente, que é o valor fixo
mensal de depósito para o primeiro ano. Nos próximos meses ocorre a mesma
coisa:

3º mês:&nbsp;[px(t+2)]t + px(t+2) + px = pxt² + px2t
+ pxt + px3 = px(t²+3t+3)

4º mês:&nbsp;[px(t²+3t+3)]t + px(t²+3t+3) + px
=px(t³+4t²+6t+4)

5º mês:px(t³+4t²+6t+4)t + px(t³+4t²+6t+4) + px
= px(t4+5t3+10t2+10t+5)

6º mês:&nbsp;px(t4+5t3+10t2+10t+5)t
+px(t4+5t3+10t2+10t+5) + px = px(t5+6t4+15t3+20t2+15t+6).

Ou seja, a cada mês temos os juros que
rendeu o valor do mês anterior adicionado do valor do mês anterior e do
deposito de mês atual. Perceba que a cada mês temos um polinômio com um grau a
mais que no anterior, logo, ao final do primeiro ano, encontraremos um
polinômio de grau onze.

A partir disso, decidimos montar uma
matriz. Desta forma, cada linha representa o polinômio referente aum mês, onde
estão contidos os valores que multiplicam&nbsp;t, que é nossa taxa de juros, e cada
coluna representa um grau do polinômio. Observe:






 

  
  
1

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

 

  
  
2

  
  
1

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

 

  
  
3

  
  
3

  
  
1

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

 

  
  
4

  
  
6

  
  
4

  
  
1

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

 

  
  
5

  
  
10

  
  
10

  
  
5

  
  
1

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

 

  
  
6

  
  
15

  
  
20

  
  
15

  
  
6

  
  
1

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

 

  
  
7

  
  
21

  
  
35

  
  
35

  
  
21

  
  
7

  
  
1

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

 

  
  
8

  
  
28

  
  
56

  
  
70

  
  
56

  
  
28

  
  
8

  
  
1

  
  
0

  
  
0

  
  
0

  
  
0

 

  
  
9

  
  
36

  
  
84

  
  
126

  
  
126

  
  
84

  
  
36

  
  
9

  
  
1

  
  
0

  
  
0

  
  
0

 

  
  
10

  
  
45

  
  
120

  
  
210

  
  
252

  
  
210

  
  
120

  
  
45

  
  
10

  
  
1

  
  
0

  
  
0

 

  
  
11

  
  
55

  
  
165

  
  
330

  
  
462

  
  
462

  
  
330

  
  
165

  
  
55

  
  
11

  
  
1

  
  
0

 

  
  
12

  
  
66

  
  
220

  
  
495

  
  
792

  
  
924

  
  
792

  
  
495

  
  
220

  
  
66

  
  
12

  
  
1