118 - Curva de Hípias
Autor: Aloisio Teixeira | Publicado: 2014-01-13T17:36:00-02:00



"Qualquer um pode ser um matemático de primeira sem habilidade para fazer cálculos. E é possível ter um grande poder de cálculo sem ter a menor ideia do que é a Matemática."


Georg Novallis 


Os matemáticos costumam inventar artifícios variados com o intuito de resolver problemas complexos ou até mesmo impossíveis por métodos tradicionais. Por exemplo, dividir um ângulo dado em três partes iguais apenas com régua não graduada e compasso&nbsp; é impossível mas não a partir de curvas especiais. Uma delas é a curva de Hípias que não só resolve a questão da trissecção angular como também o da quadratura do círculo. A quadratura consiste em encontrar com os instrumentos euclidianos ( régua e compasso)&nbsp; o lado de um quadrado de mesma mesma área que um círculo de raio conhecido. &nbsp; 

A curva de Hípias, curva exótica mais antiga conhecida, foi criada pelo grego Hípias de Elis  com o objetivo de resolver o problema da trissecção. Outro grego, Dinóstrato de Atenas &nbsp; e usando a mesma curva, solucionou a questão da quadratura . Por estes motivos, a curva recebeu o nome de trissectriz ou quadratriz de Hípias.



Definição




Uma curva diz-se mecânica quando seus pontos são gerados pela interseção de&nbsp; figuras geométricas em movimento. É o caso da curva de Hípias. 



Considere o quadrado  a seguir. A curva  é a trissectriz de Hípias. Observe que, em uma mesma vertical,&nbsp; as ordenadas dos pontos desta curva são menores&nbsp; que as ordenadas dos pontos do quarto de círculo . Realmente uma curva estranha. Veremos agora sua lei de formação.









Considere os seguintes movimentos. A reta  move-se em movimento uniforme e vertical&nbsp; até coincidir com a reta . No mesmo tempo que  inicia seu movimento, a reta  gira uniformemente e em sentido horário em torno do ponto  até coincidir também com a reta &nbsp; chegando ao mesmo tempo que a reta  no seu movimento vertical.



Em um dado momento, seja &nbsp; a posição da reta  e  a posição da reta . O ponto  é a intersecção de  e . O lugar descrito pelo ponto  considerando todas as intersecções possíveis das retas  e  durante seus movimentos é a curva , a curva de Hípias.



Trissecção






A mais importante propriedade da curva de Hípias&nbsp; é a proporcionalidade direta&nbsp; do segmento  com o ângulo  ou a proporcionalidade direta do segmento  com o ângulo  . É o que permite a trisseção.



Teorema. O espaço vertical  percorrido pelo segmento  é diretamente proporcional ao ângulo  formado pelo segmento  e o eixo .



Demonstração.&nbsp; O movimento do segmento  e do segmento  são uniformes, por definição.&nbsp; Logo, podemos fazer  e  , onde  é a velocidade linear de &nbsp; e &nbsp; a velocidade angular de . Assim,







caracterizando a proporção direta do espaço linear percorrido  com do espaço angular percorrido .

Consequentemente  é diretamente proporcional a .&nbsp; É esta segunda&nbsp; visão de proporcionalidade que normalmente é utilizado na trissecção. Passaremos a descrever o processo da mesma. Contemplem o diagrama.










Começamos dividindo o segmento  nas partes iguais ,  e . Sejam ,  e  os pontos da curva de Hípias que interceptam os segmentos horizontais , &nbsp; e , respectivamente. Assim, os segmentos ,  e  dividem o ângulo hachurado de vértice  em três partes idênticas.



Da mesma forma, de dividíssemos o segmento  em  partes iguais, então se dividiria o ângulo hachurado em  partes iguais, ou seja, Hípias tinha conseguido algo muito além do que uma trissecção angular, que era um problema em volga e importante da sua época.



Equação Cartesiana e Polar











Vimos que  é diretamente proporcional ao ângulo  ou vice-versa. Tendo em vista que , temos



&nbsp; 



Para achar o valor da constante  atribuímos &nbsp; e verificamos que quando &nbsp; então .&nbsp; Logo,  e&nbsp;



 




Mas vejam que&nbsp; . Assim, a equação cartesiana da curva de Hípias é dado na forma implícita 










Para a equação polar, usaremos o raio da curva  ( não confundir com o raio do quarto de círculo  que é ) e o ângulo  . Sabemos que . Fazendo  e substituindo chegamos a equação polar da curva de Hípias:







Quadratura


&nbsp; 








Fazer a quadratura do círculo com régua e compasso não é possível porque o número  não é construtível com estes instrumentos. Mas a partir do segmento  limitado pela origem  e pela curva de Hípias, a quadratura passa a ser possível. Porque? A resposta é que o valor de  é uma função racional de . E como calcular ?

Da equação polar , tiramos





 





&nbsp;  quando . Aqui, temos o limite conhecido








Logo, &nbsp;



Interessante observar que , onde  é a constante de proporcionalidade direta de  com o segmento 

Para quadrar o círculo basta utilizar  para construir um segmento do comprimento de  que é  de circunferência de raio  Então, um retângulo de medidas  e  tem a mesma área que um círculo de raio . Para finalizar constrói-se facilmente um quadrado com área igual a este retângulo.




Natureza Oculta da Curva de Hípias




A equação cartesiana da curva de Hípias  é implícita mas sua inversa não é. Trocando o  pelo  e vice-versa, temos:



&nbsp; 







Assim fica bem mais simples fazer o gráfico com esta equação. Fazendo  vejam o ramo  da curva de Hípias invertido pela troca de eixos.










Se a curva de Hípias, além da trissecção angular e da quadratura do círculo também resolvesse a questão da duplicação do cubo, então seria a curva mais genial já descoberta pois solucionaria todos os três problemas gregos famosos da antiguidade. 



Referência Bibliográfica 



História de Matemática, Carl B. Boyer, Editora Edgard Blücher LTDA



Referência na NET:



http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/Hipias.html

http://www.prof2000.pt/users/miguel/histmat/af18/materiais/texto10.htm 

http://www.matematica.br/historia/trissectriz.html

http://www.prof2000.pt/users/miguel/tese/capitulo1.htm

http://sofistas.no.sapo.pt/hipias.htm&nbsp;