Autor: Antonio Carlos Homem | Publicado: 2010-12-04T16:41:00-08:00

..





Matematica&nbsp;





&nbsp;&nbsp; A&nbsp;influência dos dedos da mão é que&nbsp;explica a base decimal de nosso siste­ma de numeração. Entre as tribos mais atra­sadas da África e da Austrália, existe um&nbsp;sistema de numeração cuja base não é 5&nbsp;(povos que aprenderam a contar com uma&nbsp;só mão), nem 10 (as duas mãos), nem&nbsp;20 (as mãos e os pés, como o sistema dos&nbsp;maias e astecas, que dividiam o dia em 20&nbsp;horas). Trata-se do sistema binário (base&nbsp;2), adotado por exemplo entre os papuas&nbsp;da Nova Guiné. Essa gente não aprendeu&nbsp;ainda a contar com os dedos, e possui sinais&nbsp;independentes para designar&nbsp;um&nbsp;e&nbsp;dois,&nbsp;e&nbsp;depois algumas combinações para exprimir os números até&nbsp;seis.&nbsp;Além de seis, empre­ga-se uma palavra que significa "montão".

Uma questão de base

O sistema binário só requer dois símbo­los, 0 e 1, por meio dos quais se podem&nbsp;expressar todos os outros números. Por&nbsp;exemplo, 1 + 1 não pode ser escrito&nbsp;2,&nbsp;mas 10. E essa base numérica, a mais pri­mitiva de todas, já encontrou na eminente&nbsp;figura de Leibnitz um defensor entusiasta.&nbsp;Csse matemático alemão nela viu a própria&nbsp;imagem da criação do universo, consideran­do que a unidade (1) representava Deus&nbsp;e o zero (0) simbolizava o&nbsp;nada. Assim como o Supremo criou todos os seres a&nbsp;partir do nada, esses dois sinais exprimiam&nbsp;todos&nbsp; os números possíveis e imagináveis.

A vantagem da base dois é a economia&nbsp;de símbolos e maior simplicidade das opera­ções. Há menos regras para multiplicar ou&nbsp;dividir mas — evidentemente — quem não&nbsp;está acostumado achará muito mais difícil.&nbsp;No sistema decimal, temos que decorar cem resultados de soma e cem de multiplicação,&nbsp;enquanto o sistema binário reduz a tabuada&nbsp;a duas regras apenas:

1&nbsp;&nbsp; +&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp; 10 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;X&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp; -&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;Essa&nbsp; vantagem&nbsp;&nbsp; é&nbsp; contrabalançada&nbsp;&nbsp; pela

necessidade de muitos sinais para represen­tar os mesmos números. Por exemplo:

1 000 000 000 000&nbsp;(na base dois)

Ainda assim, uma mudança de base em&nbsp;nosso sistema de numeração já foi várias vezes proposta e defendida. Mas, na ver­dade, a adoção do sistema decimal pela hu­manidade é um fenómeno fisiológico, e tal­vez o sistema binário de numeração, fosse-historicamente viável se o homem tivesse,&nbsp;em lugar de dez dedos flexíveis, apenas um&nbsp;toco em cada mão. Enquanto o homem&nbsp;contar por dezenas, seus dedos lhe recorda­rão a origem do passo mais importante de&nbsp;sua vida mental.

O velho encontra o novo

&nbsp;&nbsp; Não deixa de ser paradoxal que inteli­gências primitivas, como os papuas, se utilizem do mesmo sistema numérico dos atuais&nbsp;computadores eletrônicos. Salários de gran­des empresas, sinais enviados por satélites&nbsp;artificiais, resultados de exames vestibulares&nbsp;— tudo isso e muito mais, o computador ana­lisa matematicamente por intermédio da&nbsp;corrente elétrica. Êle só pode indicar a exis­tência ou a ausência de fluxo, sendo as duas&nbsp;alternativas representadas por dois símbolos (0 e 1) e suas combinações. O sistema biná­rio é que permite o agrupamento automáti­co dos dados e dos resultados tendo em vista&nbsp;o cálculo mecânico.

Por que o computador usa essa base?&nbsp;É simples entender: uma chave elétrica só&nbsp;pode estar ligada ou desligada. À falta de'&nbsp;corrente se associa o símbolo 0, à passagem&nbsp;de eletricidade se associa o símbolo 1. A&nbsp;representação de dez símbolos (0 a 9) exi­giria uma corrente proporcional a cada nú­mero, dando margem a erros pela variação&nbsp;da corrente. Já no caso da base binária,, a&nbsp;possibilidade de confundir uma situação&nbsp;"com corrente passando" e outra "sem cor­rente" é praticamente fmla. Além disso; a&nbsp;corrente elétrica pode ser ligada ou desli­gada no tempo extraordinariamente curto&nbsp;de IO6&nbsp;segundos (1 milionésimo de segun­do ou 1 microssegundo). E os cálculos, que&nbsp;levariam meses se feitos a mão, realizam-se&nbsp;no computador em poucos minutos.

O salto para o infinito

Para o primitivo, e mesmo para o filóso­fo antigo, os números estão impregnados&nbsp;de natureza. Para o homem civilizado de&nbsp;hoje, o número natural é um ente pura­mente matemático, uma conquista de seu&nbsp;pensamento. Com essa atitude, esquecido&nbsp;da origem humilde do número, e abstrain­do-se da realidade imediata, o homem ge­neraliza seus conceitos e estende ao máximo&nbsp;o campo de seu raciocínio.

Só uma criança de 5 anos, ou um selva­gem dos mais atrasados, pode pensar que&nbsp;existe um número maior que todos os outros.&nbsp;&nbsp; Na&nbsp;&nbsp; sucessão&nbsp;&nbsp; dos&nbsp;&nbsp; números&nbsp;&nbsp; naturais&nbsp;1, 2, 3, 4&nbsp;...

as reticências indicam que faltam, números&nbsp;a escrever. Quantos? Naquela sucessão, pas­sa-se de um número para o seguinte jun­tando uma unidade. Dado qualquer núme­ro&nbsp;n,&nbsp;por maior que seja, sempre se pode&nbsp;efetuar sobre êle a mesma operação mental, e obter um número maior&nbsp;n&nbsp;+ 1- Logo, a&nbsp;sucessão é ilimitada, e existem infinitos nú­meros naturais. Para dar essa ideia, escre­ve-se assim:

1, 2, 3,&nbsp;...&nbsp;n,&nbsp;...

Esse mesmo&nbsp;princípio ãe extensão&nbsp;pode&nbsp;ser aplicado ao conjunto dos pontos de uma&nbsp;reta. Tomando ao acaso dois elementos A&nbsp;e B desse conjunto (dois pontos da reta),&nbsp;o segmento AB assim definido pode ser di­vidido ao meio. Repetindo a operação nos&nbsp;dois novos segmentos formados, teremos&nbsp;quatro segmentos menores. Teoricamente,&nbsp;a divisão ao meio pode repetir-se ilimitada­mente, e o segmento AB constará de uma&nbsp;infinidade de pontos: o conjunto dos pon­tos da reta é infinito.

O todo igual à parte

Quando se estudam os conjuntos infini­tos, aparecem surpresas. Considere-se o con­junto N dos números naturais e o conjunto&nbsp;P dos números pares, que está contido no. anterior. A cada número de N. corresponde&nbsp;um de P e um só, o seu dobro. A cada nú­mero de P corresponde um número de N e um só, a sua metade (correspondência&nbsp;biunívoca).

N) 1, 2, 3,&nbsp;...&nbsp;n,&nbsp;...

P) 2, 4, 6,&nbsp;...&nbsp;2n,&nbsp;...

Isto quer dizer que P e N são equivalen­tes, e em conjuntos infinitos o todo e a&nbsp;parte se correspondem, o que não acontece em conjuntos finitos, com número limitado&nbsp;de elementos.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;inteiros

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;racionais {

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;fracionários

Números reais {

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;irracionais

Uma aplicação importante da mate­mática é a estatística, que coleta e ana­lisa dados referentes a acontecimentos&nbsp;humanos ou fenómenos naturais, a partir&nbsp;dos quais pode fazer previsões. Para ser&nbsp;útil na pesquisa, no planejamento e na&nbsp;fundamentação científica, a estatística&nbsp;precisa obter uma boa&nbsp;amostra,&nbsp;cuidado­samente selecionada, de forma a represen­tar uma média de opinião ou situação, e&nbsp;capaz de refletir a totalidade dos casos.&nbsp;Um moderno fabricante de roupas maculinas&nbsp;certamente&nbsp;deverá conhecer&nbsp;a es­tatura&nbsp;média dos homens&nbsp;e as&nbsp;variações&nbsp;em torno&nbsp;dessa média.&nbsp;Separando, do&nbsp;total das pessoas que compram ternos&nbsp;feitos, uma amostra de cem, obtém-se um&nbsp;gráfico&nbsp;como o da figura,&nbsp;versão mate­mática&nbsp;da situação ilustrada acima.&nbsp;Esse&nbsp;diagrama chama-se "distribuição normal"&nbsp;e informa que a altura média&nbsp;é&nbsp;de 1,67&nbsp;m. Dois terços dos indivíduos&nbsp;estão entre&nbsp;1,60&nbsp;e&nbsp;1,75 m,&nbsp;e&nbsp;96% num intervalo de&nbsp;15&nbsp;&nbsp; cm&nbsp;&nbsp; acima&nbsp;&nbsp; ou&nbsp;&nbsp; abaixo&nbsp;&nbsp; da&nbsp;&nbsp; média.

A extensão dos campos numéricos

As quatro operações matemáticas funda­mentais são: adição, subtração, multiplica­ção e divisão. A estas é preciso acrescentar mais três, diretamente ligadas a elas: poten­ciação, radiciação e logaritmação. Em face da definição e das propriedades de uma&nbsp;operação, surgem certas impossibilidades&nbsp;que a matemática elimina apelando ao mes­mo princípio de extensão, graças ao qual se criam novos campos numéricos. Para&nbsp;fazer frente à impossibilidade de divisão (exata) em números inteiros, foram defini­dos os números racionais. Este novo campo&nbsp;abrange o conjunto dos números inteiros e&nbsp;mais o formado por números fracionários(fraçoes) que são de fato os novos elemen­tos. Aparece aí outra dificuldade; a opera­ção de radiciação é em geral impossível no campo racional. Então êle é novamente es­tendido, criando-se os números irracionais&nbsp;(por exemplo raiz quadrada de 3,&nbsp;o número&nbsp;π). Cons­titui-se assim o campo real, cuja grande fa­çanha é estabelecer uma correspondência&nbsp;biunívoca entre os números e os pontos da&nbsp;reta, integrando perfeitamente a álgebra&nbsp;com a geometria.

Noção de função

É a mesma e maravilhosa ideia de cor­respondência, nascida das contagens rudi­mentares do homem primitivo, que inspira&nbsp;o conceito de função matemática e sua re­presentação num "sistema de referência"&nbsp;constituído por retas ou eixos orientados.&nbsp;Um objeto, abandonado em queda livre do&nbsp;alto de um prédio, atingirá o solo num&nbsp;tempo que depende do espaço percorrido. Após várias experiências, feitas de diferen­tes andares do edifício, teremos uma tabela&nbsp;que consiste em duas sucessões de núme­ros: o conjunto í (dos tempos) e o conjun­to&nbsp;e&nbsp;(dos espaços), postos em correspondên­cia um com outro. Diremos que a variável&nbsp;í é função da variável e e escreveremos sim­bolicamente:&nbsp;t — f&nbsp;(e), ou í (e).

Para representar geometricamente essa&nbsp;função algébrica, podem-se marcaT os diver­sos valores de í num eixo, os de&nbsp;e&nbsp;num ou­tro eixo, perpendicular ao primeiro. Cada&nbsp;par de valores define um ponto do plano,&nbsp;assim como — com mais um eixo — um trio de números define um ponto do espaço. Esse&nbsp;sistema referencial chama-se cartesiano, por&nbsp;ter sido usado pela primeira vez por René&nbsp;Descartes, na primeira metade do século&nbsp;XVII.&nbsp;A obra de Cartesius, como era co­nhecido esse matemático e filósofo francês,&nbsp;marca uma. revolução na matemática e na&nbsp;filosofia: em cada ponto do mundo, êle&nbsp;conseguira pregar uma etiqueta identifica­dora. Era a completa quantificação do&nbsp;universo.



A estrutura da matemática

A matemática constitui uma série sempre renovada e ampliada de "julgamentos sobre&nbsp;fatos". O enunciado de um fato matemáti­co é a proposição, e o processo que faz apa­recer a verdade de uma proposição é uma&nbsp;demonstração. Uma proposição demonstra­da chama-se teorema. Os objetos sobre os&nbsp;quais se faz uma proposição estão compreen­didos numa certa "intuição", isto signifi­cando que as palavras&nbsp;proposição, teorema&nbsp;e&nbsp;demonstração&nbsp;são tomadas no sentido co­mum. Seus respectivos "equivalentes formais"&nbsp;são&nbsp;&nbsp; as&nbsp; palavras&nbsp;&nbsp;&nbsp;fórmula,&nbsp;&nbsp; tese&nbsp;&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;&nbsp;dedução.

A matemática como ciência é portanto&nbsp;constituída de proposições e demonstrações&nbsp;que se referem a certos objetos intuitivos.&nbsp;A natureza desses objetos e de suas proprie­dades distingue a matemática das outras&nbsp;formas de conhecimento. Para definir uma&nbsp;estrutura matemática, basta delimitar o do­mínio das noções intuitivas que lhe é pró­prio, noções "primitivas" isentas de demons­tração. A evolução lógica da matemática se&nbsp;apresenta como uma série de reduções nos&nbsp;domínios intuitivos e de ampliações nos&nbsp;campos numéricos. E a axiomatização (ou&nbsp;formalização) é o termo reservado à etapa&nbsp;final desse processo, que se exprime na&nbsp;moderna&nbsp;teoria dos conjuntos.&nbsp;Nesta, a partir de uns poucos postulados ou axiomas,&nbsp;estabelece-se uma estrutura formal — atra­vés de símbolos operacionais — que engloba as teorias clássicas e dentro da qual as pro­priedades são gerais. Letras representam os&nbsp;elementos do conjunto, e todas as demons­trações podem ser feitas sem que se saiba&nbsp;qual a "natureza" desses elementos.

O nome no singular

Assim, a matemática, que no século&nbsp;XIX&nbsp;superou todos os progressos realizados em&nbsp;mais de 20 séculos anteriores, libertou-se da&nbsp;filosofia e absorveu a lógica. Ganhou uma&nbsp;unidade que justifica seu nome no singular.&nbsp;E construiu uma soberba estrutura cientí­fica, que vem sendo aplicada na biologia,&nbsp;na linguística e de um modo geral nas ciên­cias da vida e da sociedade.

A linguística matemática, por exemplo,&nbsp;teve um impulso sensacional na década de&nbsp;1950, quando surgiu o problema das tra­duções mecanizadas. Assim como a lógica, por muito tempo considerada especulação vazia, e que de repente se tornou essencial&nbsp;para o projeto e a programação dos compu­tadores, a teoria da linguagem se transfor­mou em elemento essencial para a máquina de traduzir, ganhando marcante interesse&nbsp;prático.



&nbsp;Enc. Delta






..