Equação de primeiro grau
Autor: Carlos Vinícius | Publicado: 2016-08-09T04:04:00-07:00



Chamam-se equações a igualdades nas que aparecem número e letras (incógnitas) relacionados mediante operações matemáticas.

Por exemplo&nbsp;: 3x - 2e = x2 + 1



São equações com&nbsp;uma incógnita&nbsp;quando aparece uma&nbsp;sóla&nbsp;letra (incógnita, normalmente o x).

Por exemplo&nbsp;: x2 + 1 = x + 4













Diz-se que são de primeiro&nbsp;grau&nbsp;quando dita letra não está elevada a nenhuma potência (por tanto a 1).

Exemplos&nbsp;:

3x + 1 = x - 2

1 - 3x = 2x - 9.

x - 3 = 2 + x.

x/2 = 1 - x + 3x/2

São estas últimas as equações que vamos resolver nesta lição.



SOLUÇÃO NUMÉRICA E GRÁFICA

Exercício 1.- Suponhamos que queremos resolver a equação: 3x + 1 = x - 2.

Resolver uma equação é encontrar um valor de x que, ao ser substituído na equação e realizar as operações indicadas, se chegue a que a igualdade é verdadeira.

No exemplo podemos provar com valores:

x = 1, chegaríamos a 5 = -2, depois não é verdadeiro,

x = -1 chegaríamos a -2 = -3, também não. Resolvamo-la então para achar o valor de x buscado:

Numericamente, como seguramente saberá, se resolve "aclarando" o x, ou seja ir passando termos de um membro a outro até conseguir: x = ..número..Assim:

3x - x = -1 - 2 ; 2x = - 3 ; x = -3/2 ou x = -1,5.

Efetivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 -2 ; -4,5 + 1 = -3,5. verdadeiro!.

Dizemos neste caso que a&nbsp;ecaución&nbsp;tem solução. Mas:

que significa graficamente esta solução?

Observa a seguinte cena. A linha reta desenhada em vermelho representa graficamente à equação. Muda os valores de x na janela inferior, assinalando sobre as&nbsp;flechitas&nbsp;com o rato ou "arrastando" o ponto grosso vermelho com o rato.

O valor de x onde a reta curta ao eixo X será a solução da equação (observa que é x = -1,5)



&gt;

Observa nesta cena que a equação está escrita na parte inferior da imagem, em vermelho.

Para resolver uma equação de primeiro grau utilizam-se duas regras fundamentais para conseguir deixar o "x" só no primeiro membro. Vejamos para o exercício anterior:

3x + 1 = x - 2.

- Somar ou restar aos dois membros um mesmo número. Neste caso restar 1 aos dois membros e restar x aos dois membros:

3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que uma vez operado fica: 2x = -3. Produz o mesmo efeito o que chamamos "passar de um membro a outro somando o que resta ou restando o que soma"

- Multiplicar ou dividir os dois membros por um mesmo número. Neste caso por 2:

2x/2 = -3/2, que uma vez simplificado fica x = -3/2 como já obtinha antes. Produz o mesmo efeito o que chamamos&nbsp;"passar de um membro a outro o que está multiplicando dividindo ou o que está dividindo multiplicando".&nbsp;



Exercício 2.- Resolve numericamente em teu caderno de trabalho a equação:&nbsp;1 - 3x = 2x - 9.

Escreve na seguinte cena, na linha onde agora vês escrita a equação anterior, a equação deste exercício. Fixa na equação do exercício 1 a forma de escrever 3x, escreve-se 3*x.

Combrueba&nbsp;o ponto onde a reta curta ao eixo X. O valor de x deve coincidir com o obtido numericamente.





(obterás que a solução é x = 2)



EQUAÇÕES QUE NÃO TÊM SOLUÇÃO



Exercício 3.- Resolve no caderno de trabalho a seguinte equação:

x - 3 = 2 + x.

Rapidamente obterá a expressão&nbsp;0 = 5&nbsp;que significa? Desde depois esta igualdade não é certa independentemente do valor que tome x.

Dizemos que neste caso a equação não tem solução.

Na cena seguinte, observará que não se representa nenhuma reta, logo a equação não representa a nenhuma reta e por tanto não existe o ponto de corte com o eixo X, depois não existe a solução.



Exercício 4.-&nbsp;Resolve numericamente, comprovando que não tem solução a equação:

3x - 2 + x = 5x + 1 - x

Na cena anterior muda a equação atual por esta, observando que não se representa nenhuma reta, depois não existe a solução.





EQUAÇÕES COM INFINITAS SOLUÇÕES

Exercício 5.-&nbsp;Resolve no caderno de trabalho a seguinte equação:

2x-1 = 3x + 3 - x - 4

Agora chegarás à expressão 0 = 0 que significa agora?. A igualdade que obtiveste é certa mas se te têm eliminado o x. Qual é a solução?.

Se a igualdade é certo seguro,&nbsp;o será para qualquer valor de x!. Comprova-o substituindo x por 0, 1, -3 ou outro valor que deseje.

Neste caso diz-se que a equação tem&nbsp;infinitas soluções (qualquer valor de x é solução).



Graficamente não podemos&nbsp;fazer uma interpretação similar à das cenas anteriores já que o programa não interpreta de nenhuma forma a igualdade 0 = 0.



Este tipo de equações denominam-se IDENTIDADES



Exercício 6.-&nbsp;Comprova em teu caderno de trabalho que a seguinte equação é uma identidade.

3x -2 + x = 1 + 4x - 3



PROBLEMAS DE APLICAÇÃO

Uma das aplicações mais importantes das equações é a de resolver problemas da vida quotidiana. Por exemplo:

Exercício 7.- O irmão maior de uma família com três irmãos tem 4 anos mais que o segundo e este 3 mais que o menor. Se entre todos tem a idade do pai que tem 40 anos que idade tem a cada irmão ?

Para resolver estes problemas devemos eleger algum valor desconhecido para chamar-lhe "x". Neste caso chamemos :

x = idade do irmão menor.

A partir disso expressar os dados do problema e propor uma igualdade (equação) com eles: Será:

x + 3 : idade do irmão médio

x+3 + 4 = x + 7 idade do irmão maior

Equação: soma das idades dos irmãos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,

Resolvendo a equação obtém-se&nbsp;x = 10, logo a solução do problema é:

Idades dos três irmãos: 10 , 13 e 17 anos.

A solução da&nbsp;ecuacíón&nbsp;pode ser visto também nesta cena

&gt;

Propõe e resolve numericamente e também se o deseja graficamente é esta cena, mudando a equação, o seguinte problema:

Exercício 8.- Em uma caixa há o duplo de&nbsp;caramelos&nbsp;de&nbsp;menta&nbsp;que de fresa e o triplo de&nbsp;caramelos&nbsp;de laranja que de&nbsp;menta&nbsp;e fresa juntos. Se ao todo há 144&nbsp;caramelos, quantos há da cada sabor ?. (Sol: 12, 24, 108).



EXERCÍCIOS FINAIS

Resolve numericamente no caderno de trabalho e graficamente na cena que se te apresenta a seguir os exercícios e problemas seguintes:

Exercício 9.- Resolver as seguintes equações:

a)&nbsp;-5x = 12 - x

b)&nbsp;2(x - 7) - 3(x + 2) + 4(x + 1) - 2 = 0&nbsp;(Olho com os signos adiante dos parênteses !)

c)&nbsp;3x - 5 = x/2 (Observa que para eliminar o 2 basta multiplicar toda a equação por 2)

d)&nbsp;3x + 4 - x = 7 + 2x

e)&nbsp;2x - 1 = 3(x + 2) - x



Exercício 10.- Propõe e resolve os seguintes problemas:

a )O perímetro de um jardim retangular é de 58 m. Se o lado maior mede 11 m. mais que o lado menor. Quanto medem os lados do jardim ? (Sol: 9 e 20 m)

b) Acha um número tal que sua metade mais sua quarta parte mais 1, seja igual ao número pedido. (Sol: 4).