Elipse
Autor: Grupo-Sapiencia | Publicado: 2009-06-04T07:18:00-07:00

Informática Educativa II :: Projeto de AprendizagemTítulo:  O estudo da elipse utilizando a Web 2.0Nome do Aluno:   Grupo Sapiência: Hélio, Julyana, Nerides e PatríciaDisciplina e anos envolvidos:     Matemática e Ciências – Este projeto está direcionado a alunos do terceiro ano do Ensino Médio.Tema central :     Aprendendo criativamente as propriedades da elipseTemas de apoio:     A órbita dos planetas e o método do jardineiroJustificativa:           Este projeto busca interagir a teoria matemática com uma visualização prática, buscando, através do movimento orbital da Terra em torno do Sol, como mecanismo dinâmico do Universo, facultar uma maior compreensão da elipse e de suas especificidades.      Para tal utilizaremos as ferramentas disponíveis da Web 2.0 a fim de tornarmos o ensino-aprendizagem atrativo e estimulante, fazendo com que o aluno busque o conhecimento mediado pelo professor.Objetivos gerais e específicos:             Objetivos gerais:      Ao final do módulo o aluno será capaz de reconhecer e demonstrar os elementos e particularidades da elipse como figura geométrica considerada, através de um sistema elíptico conhecido, a órbita da Terra em torno do Sol, utilizando as novas tecnologias para o desenvolvimento da aprendizagem de uma forma colaborativa e dinâmica entre todos em busca do conhecimento.            Objetivos específicos:      Ao final do módulo o aluno será capaz de:    - Reconhecer e identificar os elementos e as particularidades da elipse como figura geométrica;    - Identificar esta cônica em diversos ramos científicos e sociais;    - Resolver problemas do cotidiano que envolva o conteúdo em questão;    - Utilizar o computador como objeto de aprendizagem;    - Construir uma figura elíptica através do método jardineiro;    - Trabalhar colaborativamente.Enfoque pedagógico :          Utilizaremos um enfoque construtivista partindo do princípio de que o desenvolvimento da inteligência é determinado pelas ações mútuas entre o individuo e o meio.Recursos tecnológicos:              O aprender matemática perpassa o desenvolvimento de habilidades como intuição, observação de padrões, abstração, generalizações, entre outras, que não são estimuladas apenas com aulas expositivas e repetição de exercícios. Para um aprender significativo é fundamental que o aluno experimente, seja desafiado, arrisque, questione, manipule, busque a solução, desenvolva por si métodos de resolução e só então os validem com as regras, axiomas e teoremas formais.       Neste sentido a informática pode ser usada, além dos materiais tradicionais, como uma opção versátil de ferramenta de aprendizagem. Uma exposição dinâmica e multidimensional de tópicos de geometria, por exemplo, possibilitam a visualização de idéias abstratas para os alunos, como rotações de eixos ou intersecções de planos. Aulas exploratórias usando programas específicos oferecem possibilidades ao aluno de descobrir, experimentar e manipular novos conceitos, como funções e operações.      Além disso, a Internet é uma incomensurável fonte de pesquisa, servindo tanto de fonte de pesquisa para os alunos, como fonte de material para os professores, enriquecendo as aulas com dados e formas diferentes de abordar um antigo problema ou assunto.    Em função disto, foram escolhidos como ferramenta auxiliar no processo de aprendizagem recursos como: software educacional, vídeos e sites interativos.Etapas e suas estratégias de realização:Atividade I - Contextualização      A curva estudada a seguir é a elipse, suas propriedades podem ser observadas em diversos ramos, como na arquitetura, engenharia, no design e até mesmo na aplicação do jardineiro (“método do jardineiro”). Acesse o endereço abaixo para visualizar.    http://users.prof2000.pt/forma.tic/internet/cfae-arganil/2003/grupo02/pag03.htm     A seguir, apresentaremos um vídeo que mostra a trajetória terrestre em torno do Sol. Nessa apresentação o aluno deverá perceber o caminho percorrido que a Terra faz em torno do Sol.       Esta cônica também descreve o movimento orbital da Terra em torno do Sol, como mecanismo dinâmico do Universo.       Acesse o endereço abaixo e veja o vídeo que descreve o movimento orbital dos planetas.    http://www.youtube.com/watch?v=6e_rP31MvAE       Durante muito tempo, aproximadamente 18 séculos, não houve estudos detalhados de aplicação das cônicas no mundo físico. No entanto, pesquisas de físicos, astrônomos, projetistas foram mostrando aplicações do estudo de Apolônio ao mundo em que vivemos. A elipse, por exemplo, está associada à órbita dos planetas em torno ao Sol.        O professor fará perguntas referentes ao vídeo tais como:     - Porque  o clima fica quente ou frio num determinado período do ano? Tem o intuito de levar o aluno a raciocinar e perceber a trajetória elíptica realizada pela Terra.Atividade II - Cônicas     Acesse o endereço abaixo para visualizar as cônicas obtidas por intersecções de um cone de revolução com um plano. Veja abaixo quais são e como são obtidas.      Elipse: o plano é oblíquo ao eixo e intersecta todas as geratrizes de uma única folha.     Circunferência: o plano é perpendicular ao eixo da superfície cônica e não passa pelo vértice (esta cônica é um caso particular de elipse)     Hipérbole: o plano intersecta as duas folhas da superfície cônica e não passa pelo vértice.     Parábola: um plano paralelo a uma geratriz da superfície.     http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2005.1/gma04096/applets/conic/conic.html Atividade III – Estudando as propriedades da elipse      Esta seção contém atividades que tem a finalidade de mostrar formas de aplicação do software Wingeom como recurso didático para o processo de ensino e aprendizagem de parábolas. Estas atividades foram adaptadas do tutorial do Wingeon 2D (disponível em: http://math.exeter.edu/rparris/documents.html) por Flávio de Freitas Afonso, sob orientação de Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista.a)      Marque os pontos A (4, 0), B (-4, 0) e C (-7, 0)b)      Construa uma circunferência de centro A, passando pelo ponto C. Para isto, clique em Circunferência (no alto da janela principal) e selecione Raio-centro. Digite A na caixa “centro em” e, a seguir, selecione “circunferência através de”, digitando C na caixa correspondente. Clique, então, em desenhar.c)      Na Barra de ferramentas, selecione segmentos. Clicando com o botão esquerdo do mouse sobre a circunferência, crie o ponto D (em qualquer lugar da circunferência, exceto sobre o próprio ponto C).d)      Construa os segmentos  BD e AD.e)      Construa a mediatriz do segmento BD.f)        Peça a interseção da reta EF com o segmento AD. Este ponto será nomeado G, pelo próprio programa.g)      Clique em AnimTraço temporário e, na caixa de texto correspondente, digite G.h)      Movimente o ponto D e observe o conjunto de pontos marcados.i)        Crie o segmento BG.j)        Peça a medida de AG + BG.k)      Movimente novamente o ponto D observando a medida de AG + BG .l)        Descreva o que você observou.      OBSERVAÇÃO:      Elipse é um lugar geométrico dos pontos de um plano tais que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos desse plano (chamados focos) é constante.      Observar, na construção da atividade III, que a soma das medidas dos segmentos AG e BG é sempre constante. Isto pode ser provado da seguinte forma:Os triângulos BGE e DGE são congruentes (caso de congruência LAL), logo os segmentos GD e GB são congruentes.A medida do segmento AD é sempre constante, pois este segmento é raio da circunferência.Como AG + GD = AD e GD = GB  , podemos afirma r que: AG + GB = AD .Logo, a soma das medidas dos segmentos AG e BG é sempre igual a medida do segmento AD, que é constante, conforme mencionado no item 2.      Assim, verificamos que, através da movimentação do ponto D, na atividade III, obteve-se uma elipse, uma vez que: i) G é um ponto qualquer de um plano; ii) A e B são dois pontos fixo desse mesmo plano; iii) a soma das medidas dos segmentos AG e BG é sempre constante.      A e B são os focos da elipse e a distância entre eles é denominada distância focal. Os focos estão localizados sempre sobre o eixo maior da elipse, o outro eixo é denominado eixo menor da elipse. O centro da elipse é o ponto médio entre os seus focos. Na elipse da atividade III, o centro é o ponto    (0,0).     Sendo P um ponto qualquer de uma elipse de focos A e B, prova-se que o seu eixo maior tem medida igual ao valor constante de. Assim, na elipse da atividade III, o eixo maior tem a medida do segmento.                    ATIVIDADE IV     Após a realização da atividade III, acesse o endereço abaixo e visualize (através da animação) as regras, a propriedade refletora, o caso particular da elipse.      http://www.stefanelli.eng.br/webpage/v_elipse.htmlATIVIDADE V     Acesse o endereço abaixo e verifique se a música apresentada, através de um vídeo feito por um professor de Matemática, sobre as propriedades da elipse foi observada por você na atividade III.      http://www.youtube.com/watch?v=lrLtYMcaNxQATIVIDADE DE FIXAÇÃO1.      A órbita da Terra à volta do Sol  é uma elipse quase circular. O Sol é um dos focos dessa elipse e o eixo maior e o eixo menor mede 299 329 800 km e 299.288.058 km, respectivamente. Qual é a distância mínima e a distância máxima da Terra ao Sol?             2.     Era uma vez o Tarzan matemático que tinha naufragado numa ilha deserta. No interior da ilha, encontrou uma gruta onde decidiu abrigar-se. Todos os dias, ele levanta-se, vai tomar banho e descansa na sua rede que fica noutro ponto do interior da ilha. Sem mais nada para fazer, tentou descobrir o caminho mínimo deste percurso que realizava todos os dias. Para seu espanto, fosse qual fosse a praia que escolhesse para tomar banho, o percurso tinha sempre o mesmo tamanho. É possível? Porquê?              (CEFET-Campos/RJ – 2001) O deslocamento que a Terra e a Lua fazem, juntas, em torno do Sol, é denominado movimento de translação. A trajetória da Terra nesse movimento é uma elipse com o Sol em um dos focos. Durante o movimento de translação, há dois momentos denominados afélio e periélio, em que a Terra vai estar afastada e mais próxima do Sol, respectivamente. Considerando que o semi-eixo maior da órbita elíptica mede 149,5 milhões de quilômetros e que a distância entre os focos é de 5,08 milhões de quilômetros, determine a distância da Terra ao Sol no periélio.Definição de papéis:                Sabemos que o ensino-aprendizado da Matemática não pode ser limitado por sua aplicabilidade, porém sempre que possível for devemos contextualizar o conteúdo matemático para retirar o aluno da condição de espectador passivo e provocar aprendizagens significativas que mobilizem o aluno e estabeleçam entre ele e o objeto do conhecimento uma relação de reciprocidade.      O educador, neste processo, assumirá o papel de provocador e estimulador do saber. Ele irá propor estratégias e caminhos para que os objetivos educacionais sejam alcançados.        É reservado ao aluno o papel de sujeito no processo de aprendizagem, participando ativamente do próprio aprendizado, mediante a experimentação, o desenvolvimento do raciocínio e interatividade disponíveis na Web 2.0.Sites e bibliografia de apoio:  http://estagio2001.no.sapo.pt/cientifico/elipse/exerc_elipse.htm   http://www.youtube.com/watch?v=lrLtYMcaNxQ   http://www.stefanelli.eng.br/webpage/v_elipse.html   http://www.youtube.com/watch?v=6e_rP31MvAE   http://users.prof2000.pt/forma.tic/internet/cfae-arganil/2003/grupo02/pag03.htm   http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2005.1/gma04096/applets/conic/conic.htmlSeleção do material:             Após definição do conteúdo abordado foram feitas pesquisas na Web 2.0 de materiais que poderiam ser utilizados na construção do conhecimento de acordo com os objetivos traçados.     Tendo como prioridade a qualidade dos materiais e a seqüência didática, foram selecionados sites interessantes que abordam o conteúdo de maneira diversificada, dando prioridade ao visual (vídeos e sites interativos).Programação visual:             Espera-se explorar o uso deste tipo de tecnologia na prática didática através de atividades que permitam ao aluno o reconhecimento das relações matemáticas da construção geométrica e, para tal, o ambiente disponibiliza funcionalidades tais como o acompanhamento de textos explicativos, figuras estáticas, animadas e interativas.     Serão utilizados dois vídeos. O primeiro está relacionado à contextualização do tema escolhido, pois retrata a órbita dos planetas em forma de elipse. Além de tratar de outros conceitos de ciências. E o segundo vídeo está relacionado a uma música de autoria de um professor de matemática sobre a elipse.    Além disso, os estudantes poderão observar a construção de uma elipse e suas propriedades em sites dinâmicos, que serão utilizados como ferramenta de apoio, e a construção no software Wingeom que possibilita a movimentação do objeto em estudo.Meios para a execução:            Toda atividade se possível deverá ser executada em um ambiente que proporcione o trabalho colaborativo.       Para a execução do projeto será necessário um laboratório de informática, com Internet e o software Wingeom estalado no computador. (Software gratuito disponível para download em: http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html )Avaliação:       A educação é concebida como experiência de vivências múltiplas, agregando o desenvolvimento total do educando. Nessa abordagem o educando é um ser ativo e dinâmico, que participa da construção de seu próprio conhecimento.      A avaliação ocorrerá durante todo processo de aprendizagem, onde o professor acompanhará as participações (individual ou em grupo) em cada atividade realizada através de discussões e questionamentos propostos por ele.     Ao término de cada etapa, os alunos deverão discutir com os colegas suas descobertas e conclusões sobre a elipse fazendo os registros necessários.Cronograma:     1ª semana: Envolvimento com o tema Contextualização (3 aulas)Nesta aula o educador irá apresentar aos alunos o tema escolhido e mostrar a relevância do seu estudo através de exemplos práticos encontrados na sociedade que podem ser solucionados utilizando a definição ou propriedades da elipse, como por exemplo o método utilizado pelo jardineiro, a órbita dos planetas em torno do sol, entre outros. A estratégia será utilizar as mídias como um meio de envolver os estudantes a desenvolver um trabalho diversificado sobre elipse fazendo uso de vídeo e curiosidade contextualizando o tema.Questionamento do vídeo e atividade interativa (2 aulas)Nesta aula haverá um debate sobre o vídeo entre o educador e os educandos relacionando-o a cônica elipse. Além disso, os alunos irão obter uma visão geral das cônicas. Através de um site interativo visualizar as cônicas obtidas por intersecções de um cone de revolução com um plano. 2ª semana: Construção do conhecimento Atividade no software Wingeom (3 aulas)     O educando com o auxílio do software educacional (Wingeom) irá realizar uma seqüência didática na qual os alunos irão deduzir as propriedades da elipse. Atividade utilizando a Web 2.0 (2 aulas)     Através de um site interativo os estudantes vão observar as características e propriedades da mesma.  3ª semana: Fechamento do conteúdoMúsica e verificação das propriedades (2 aulas)Os alunos irão assistir a um vídeo contendo uma música sobre as propriedades da elipse e analisar criticamente se o que eles observaram na atividade de dedução está explícito na letra da música, neste momento será feito um debate entre os alunos.    Atividade de fixação (3 aulas)Após a realização destas etapas será proposto à resolução de problemas contextualizados (atividade de fixação) utilizando as propriedades estudadas durante todo processo.       Bibliografia:AFONSO, F. F. Estudando Elipse com Auxílio do Software Wingeon. Monografia (Licenciatura em Matemática). Campos dos Goytacazes, RJ, Centro Federal de Educação Tecnológica de Campos – CEFET Campos, 2007.http://estagio2001.no.sapo.pt/cientifico/elipse/exerc_elipse.htm. Ultimo acesso em: 01/06/2009.http://www.ccuec.unicamp.br/ead/index_html?foco2=Publicacoes/78095/366628&amp;focomenu=Publicacoes  Ultimo acesso em: 26/05/2009