Autor: Rafaelense | Publicado: 2011-05-26T05:24:00-07:00

                          Números Complexos      Introdução: Um pouco de História  Houve  um momento na História da Matemática em que a necessidade de expressar a  raiz de um número negativo se tornou fundamental. Em equações  quadráticas do tipo:    Temos uma fórmula fechada para sua resolução, que é a fórmula para equações de 2º grau:   Onde:   O número Δ é o discriminante da equação e para:   Δ &gt; 0, temos 2 raízes reais;   Δ = 0, temos uma raiz real;   Δ  &lt; 0, não temos nenhuma raiz real e aqui que se encontrava o  problema: Como expressar a raiz de Δ se Δ &lt; 0? Isso implicaria em  dizer que: qual o número elevado ao quadrado resulta um número negativo? Então, se tivermos a equação:        Vemos  que caímos num caso particular em que a fórmula para a equação de 2º  grau não encontra raízes reais. Para contornar este problema, Bombelli  admitiu que:   Assim, considerando um novo tipo de número.  Leonard Euler (1707 – 1783) usou em 1777 a letra i para representar o número , chamando-o de unidade imaginária, pois i2 = -1.  Logo, seria possível encontrar uma solução para a equação:        Fazemos:   Surgiu, assim, um novo tipo de número, chamado por Gauss de Número Complexo, sendo expresso por:  Gauss, por volta de 1800, associou a cada número na forma a + bi um ponto P do plano cartesiano, definido pelo par ordenado (a, b):    [Figura 1]  Conseqüentemente,  foi criado um novo conjunto numérico chamado de Conjunto dos Números  Complexos e podemos fazer uma representação por diagramas de  Venn:    [Figura 2]   Elementos do Conjunto Complexo Um número complexo costuma-se ser simbolizado pela letra z. Qualquer elemento de z de C tem a forma:    Sendo:   a a parte Real Re(z)   b a parte Imaginária Im(z)  Oposto de um Número Complexo O oposto de um número complexo:   É o número complexo:  Igualdade de Números Complexos Dois números complexos:    São iguais, se, e somente se:     Adição e Subtração de Números Complexos Dado dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, temos para a:  Adição:     Subtração:      Conjugado de um Número Complexo Dado um número complexo z = a + bi, o conjugado de z é denominado por  e é dado por:    Notem que:     Mas i2 = – 1 , logo:   Multiplicação de Números Complexos                    Dados dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di , o produto z1 . z2 é dado por:   Mas i2 = – 1 , logo:      Divisão de Números Complexos  Dado dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di ≠ 0, o quociente z1 / z2 é obtido multiplicando ambos termos pelo conjugado do divisor:            Separando a parte Real da Imaginária, obtemos:    Inverso de um Número Complexo  Dado um número complexo não – nulo z = a + bi, o inverso deste número é dado por:  Ainda podemos escrever z – 1 como:  Potência de i com Expoente Natural Com relação às potências de i com expoente natural, temos que:          Percebemos que as potências se repetem de 4 em 4. Então, para calcular indicaremos q como quociente e R como resto da divisão de n por 4:    Daqui temos que n = 4q + R. Logo:        Mas , logo:    Portanto, para calcular in, basta calcular iR, onde R é o resto da divisão de n por 4. Plano de Argand – Gauss   Como já foi dito na introdução deste estudo, Gauss associou a cada número z = a + bi, um ponto P do Plano Cartesiano.  A parte Real (Re) do complexo é representada por um ponto no eixo horizontal e este é chamado de Eixo Real.  A parte Imaginária (Im), por sua vez, é representada por um ponto no eixo vertical, chamado de Eixo Imaginário.  O ponto P, correspondente ao número complexo z = a + bi é chamado de imagem ou afixo de z.  A  interpretação geométrica dos complexos foi descoberta em 1797 por  Caspar Wessel (1745 – 1818), mas somente em 1806, o matemático suíço  Jean Robert Argand (1768 – 1822) publicou um artigo sobre a  representação gráfica dos números complexos. Gauss já havia concebido  tal representação, mas si a publicou 30 anos após a publicação de  Wessel. Hoje, o plano dos números complexos é conhecido com Plano de  Gauss ou Plano de Argand – Gauss e é representado como:    [Figura 3: Plano de Argand-Gauss]  Módulo e Argumento de um Número Complexo No Plano de Gauss, a distância da origem até o ponto P é chamada de módulo e representada pó |z|, indicada na figura abaixo pela letra grega ρ (Rô):    [Figura 2: módulo]  Para calcularmos a distância ρ, aplicamos o teorema pitagórico no triângulo Opa:      Algumas propriedades podem ser destacadas:              O ângulo formado pela reta suporte de OP e o Eixo Real é denominado por θ, sendo  e é chamado de argumento de z, para z ≠ 0 e indicamos por ARG(z). Podemos escrever:    Tomando o triângulo retângulo Opa da figura 1, temos:    [Figura 5: triângulo retângulo]  Daqui obtemos as relações:     Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos Seja o número complexo em sua forma algébrica z = a + bi, sendo z ≠ 0. Das relações trigonométricas observadas na figura 3, temos que:   Se substituirmos essas relações na forma algébrica de z obteremos:    A forma polar de z é muito útil para efetuarmos potenciação e radiciação de números complexos. Produto de Números Complexos na Forma Polar Dados os números complexos em sua forma polar:   O produto entre z1 e z2 é dado por:      Mas, sabemos que:  e  [Veja aqui as demonstrações da Soma e Subtração de arcos] Logo:  Por indução temos que:   Divisão de Números Complexos na Forma Polar Dados os números complexos em sua forma polar:   A divisão entre z1 e z2 é dada por:  Vamos fazer, separadamente, as multiplicações do numerador e denominador da equação (1): Numerador:                    Denominador:     Pela relação trigonométrica fundamental, temos que:  Logo:  Substituímos, agora, (2) e (3) em (1) e obtemos:    Potenciação de Números Complexos na Forma Polar - (Primeira Fórmula de De Moivre)           Dado um número complexo não-nulo em sua forma polar  e um número  . A n-ésima potência de z será dada por:  Para maiores detalhes consulte a demonstração da Primeira Fórmula de De Moivre aqui. Radiciação de Números Complexos na Forma Polar - (Segunda Fórmula de De Moivre)  Dado um número complexo não-nulo em sua forma polar . A n-ésima raiz de z será dada por:  Para maiores detalhes consulte a demonstração da Primeira Fórmula de De Moivre aqui.(Baricentro da mente)