Logaritmo
Autor: Vanessa Wottrich | Publicado: 2012-06-29T15:58:00-07:00


1 - INTRODUÇÃO
O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome&nbsp;logaritmo&nbsp;é uma nova denominação para&nbsp;expoente, conforme veremos a seguir.
Assim, por exemplo, como sabemos que 42&nbsp;= 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.
Outros exemplos:152&nbsp;= 225, logo: log15225 = 263&nbsp;= 216, logo: log6216 = 354&nbsp;= 625, logo: log5625 = 470&nbsp;= 1, logo: log71 = 0
2 - DEFINIÇÃO
Dados os números reais&nbsp;b&nbsp;(positivo e diferente de 1),&nbsp;N&nbsp;(positivo) e&nbsp;x&nbsp;, que satisfaçam a relação bx&nbsp;= N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que&nbsp;b&nbsp;é a base do sistema de logaritmos,&nbsp;N&nbsp;é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.
Exemplos:a) log28 = 3 porque 23&nbsp;= 8.b) log41 = 0 porque 40&nbsp;= 1.c) log39 = 2 porque 32&nbsp;= 9.d) log55 = 1 porque 51&nbsp;= 5.
Notas:
1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão&nbsp;logaritmo decimal&nbsp;e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x&nbsp;= N.
Existe também um sistema de logaritmos chamado&nbsp;neperiano&nbsp;(em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracionale&nbsp;= 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
Exemplos:a) log100 = 2 porque 102&nbsp;= 100.b) log1000 = 3 porque 103&nbsp;= 1000.c) log2 = 0,3010 porque 100,3010&nbsp;= 2.d) log3 = 0,4771 porque 100,4771&nbsp;= 3.e) ln e = 1 porque e1&nbsp;= e = 2,7183...f) ln 7 = loge7
2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada&nbsp;característica&nbsp;e a parte decimal é denominada&nbsp;mantissa&nbsp;.
Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.
Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que101,6532&nbsp;= 45.
3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9) , log20 , etc.
4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:
P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:logb1 = 0 porque b0&nbsp;= 1.
P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1&nbsp;= b.
P3) logbbk&nbsp;= k , porque bk&nbsp;= bk&nbsp;.
P4) Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
P5) blogbM&nbsp;= M ou seja:&nbsp;b&nbsp;elevado ao logaritmo de&nbsp;M&nbsp;na base&nbsp;b&nbsp;é igual a&nbsp;M.
3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:logb(M.N) = logbM + logbN
Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.
P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:logb(M/N) = logbM - logbN
Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10-1,6990&nbsp;= 0,02.
Da mesma forma podemos exemplificar:log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.
Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).
Nota: Chamamos de&nbsp;cologaritmo&nbsp;de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN.Exemplo: colog10 = -log10 = -1.
P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA
Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável:&nbsp;logbMk&nbsp;= k.logbM.Exemplo: log5256&nbsp;= 6.log525 = 6.2 = 12.
P4 - MUDANÇA DE BASE
Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base&nbsp;b&nbsp;e desejamos obter o logaritmo de N numa base&nbsp;a&nbsp;. Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Exemplos:a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5&nbsp;= 125.
Notas:1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.
2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:a)&nbsp;logbN = logN / logb&nbsp;(usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).b)&nbsp;logba . logab = 1
Exemplos:a) log37 . log73 = 1b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850
4 - A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA
Considere a função y = ax&nbsp;, denominada função exponencial, onde a base&nbsp;a&nbsp;é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.
Observe que nestas condições, ax&nbsp;é um número positivo, para todo x&nbsp;Î&nbsp;R, onde&nbsp;R&nbsp;é o conjunto dos números reais.
Denotando o conjunto dos números reais positivos por&nbsp;R+*&nbsp;, poderemos escrever a função exponencial como segue:f:&nbsp;R&nbsp;®&nbsp;R+*&nbsp;; y = ax&nbsp;, 0 &lt; a&nbsp;¹&nbsp;1
Esta&nbsp;função&nbsp;é bijetora, pois:a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.
Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.
Vamos determinar a&nbsp;função inversa&nbsp;da função y = ax&nbsp;, onde 0 &lt; a&nbsp;¹&nbsp;1.Permutando x por y, vem:x = ay&nbsp;\&nbsp;y = logax
Portanto, a função logarítmica é então:f:&nbsp;R+*&nbsp;®&nbsp;R&nbsp;; y = logax , 0 &lt; a&nbsp;¹&nbsp;1.
Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax&nbsp;) e logarítmica( y = logax ), para os casos a &gt; 1 e 0 &lt; a&nbsp;¹&nbsp;1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;


Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:
1 - para a &gt; 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.2 - para 0 &lt; a&nbsp;¹&nbsp;1, elas são DECRESCENTES.3 - o domínio da função y = logax é o conjunto&nbsp;R+*&nbsp;.4 - o conjunto imagem da função y = logax é o conjunto&nbsp;R&nbsp;dos números reais.5 - o domínio da função y = ax&nbsp;é o conjunto&nbsp;R&nbsp;dos números reais.6 - o conjunto imagem da função y = ax&nbsp;é o conjunto&nbsp;R+*&nbsp;.7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.
Vamos agora, resolver os seguintes exercícios sobre logaritmos:
1 - Se S é a soma das raízes da equação log2&nbsp;x - logx - 2 = 0 , então calcule o valorde 1073 - 10S.
SOLUÇÃO:Façamos logx = y; vem:y2&nbsp;- y - 2 = 0Resolvendo a&nbsp;equação do segundo grau&nbsp;acima, encontramos: y = 2 ou y = -1.Portanto,logx = 2 OU logx = -1
Como a base é igual a 10, teremos:log10x = 2&nbsp;\&nbsp;x = 102&nbsp;= 100log10x = -1&nbsp;\&nbsp;x = 10-1&nbsp;= 1/10
As raízes procuradas são, então, 100 e 1/10.Conforme enunciado do problema, teremos:S = 100 + 1/10 = 1000/10 + 1/10 = 1001/10
Logo, o valor de 1073 - 10S será:1073 - 10(1001/10) = 1073 - 1001 = 72Resposta: 72
2 - Calcule o valor de y = 6x&nbsp;onde x = log32 . log63 .
SOLUÇÃO:Substituindo o valor de x, vem:y = 6log32 . log63&nbsp;= (6log63)log32&nbsp;= 3log32&nbsp;= 2Na solução acima, empregamos a propriedade blogbM&nbsp;= M , vista anteriormente.Resposta: 2
3 - UEFS - Sendo log 2 = 0,301, o número de algarismos de 520&nbsp;é:a) 13b) 14c) 19d) 20e) 27
SOLUÇÃO:Seja n = 520&nbsp;. Podemos escrever, usando logaritmo decimal:log n = log 520&nbsp;= 20.log5
Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever:log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699
Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.Portanto, a resposta correta é a letra B.
4 - UFBA - Considere a equação 10x + 0,4658&nbsp;= 368. Sabendo-se quelog 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.
SOLUÇÃO:&nbsp;Temos: 10x + 0,4658&nbsp;= 368Daí, podemos escrever:log 368 = x + 0,4658&nbsp;\&nbsp;x = log 368 - 0,4658Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:log(368/100) = 0,5658
Logo, log 368 - log 100 = 0,5658&nbsp;\&nbsp;log 368 - 2 = 0,5658&nbsp;, já quelog 100 = 2 (pois 102&nbsp;= 100).Daí, vem então:log 368 = 2,5658
Então, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21Resposta: 21
5 - Se log N = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30N.
SOLUÇÃO:Podemos escrever:logN = 2 + log2 - log3 - log52logN = 2 + log2 - log3 - log25logN = 2 + log2 - (log3 + log25)Como 2 = log100, fica:logN = (log100 + log2) - (log3 + log25)logN = log(100.2) - log(3.25)logN = log200 - log75logN = log(200/75)
Logo, concluímos que N = 200/75Simplificando, fica:N = 40/15 = 8/3Logo, 30N = 30(8/3) = 80Resposta: 30N = 80
Agora, resolva estes:
1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 53&nbsp;.&nbsp;, então o logx é:*a) 2,997b) 3,398c) 3,633d) 4,398e) 5,097
2 - UEFS - O produto das raízes da equação log(x2&nbsp;-7x + 14) = 2log2 é:01) 502) 7*03) 1004) 1405) 35
3 - UCSal - Se 12n+1&nbsp;= 3n+1&nbsp;. 8 , então log2&nbsp;n é igual a:a) -2*b) -1c) 1/2d) 1e) 2
4 - UEFS - O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:a) (-3/2,4)b) (-4,3/2)c) (-4,2)*d) (3/2,4)e) (3/2,10)
5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz à equação log2&nbsp;(x-3) + log2&nbsp;(x-2) = 1.Resp: 4
6 - UFBA - Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x.Resp: 90
7 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a:a) 3/2b) 4/3c) 2d)5*e) 5/2
8 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x2&nbsp;- y2&nbsp;) é igual a:a) 100*b) 2c) 25d) 12,5e) 1000Sugestão: observe que x2&nbsp;- y2&nbsp;= (x - y) (x + y)