RADICIAÇÃO
Autor: Webfólio: Joseval Vasconcelos | Publicado: 2012-03-27T12:37:00-07:00

POTENCIAÇÃO
Potência é um produto de fatores iguais.
aⁿ = a .a . a.....................a (n fatores)
O número real a é chamado de base e o número natural n é chamado de expoente da potência.
Exemplos
a) 2⁴ = 2 . 2 . 2 .2 = 16  b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49
c) (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8  d) (1/2)² = (1/2) . (1/2) = ¼

CASOS PARTICULARES
1) Toda potência de expoente 1 é igual à base.
a¹ = a  exemplo: (-3)¹ = -3

2) Toda potência de espoente zero é igual a 1.
a⁰ = 1   exemplo: (-5)⁰ = 1

3) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo.
a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a≠0 e n inteiro)  exemplo: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8

EXERCÍCIOS
1) Calcule
a) 7² =  b) 4² =  c) 2⁵ = d) 8¹ =  e) 9⁰ = 
f) (-9)² = g) (-5)³ = h) (-1)⁷ = i) (-15)¹ = j) (-10)⁰ = 
k) (+3)⁴ = l) (-1)⁵⁶ = m) (-10)⁵ = 

2) Calcule:
a) 2⁵ =  b) (-2)⁵ =  c) -2⁵ = 
d) 2⁴ =  e) (-2)⁴ =  f) -2⁴ = 
g) –(-3)⁴ = h) –(-5)³ =  i) –(+2)⁶ = 

3) Calcule:
a) (3/2)² = b) (-1/2)⁴ =  c) (-1/3)³ = 
d) (-4/5)⁰ = e) (-5/9)¹ = f) (+7/8)¹ = 
g) (-1/2)⁵ = h) (-4/3)² = 

4)Calcule:
a) 7⁻² =  b) 5⁻³ =  c) 2⁻⁴ =  d) 2⁻⁵ = 
e) (-3)⁻² =  f) –(-3)⁻² = 

5)Calcule:
a) (3/2)⁻² =  b) (1/2)⁻³ =  c) (2/3)⁻² =  d) (-1/4)⁻² =  
e) (5/2)⁻³ =  f) (-1/2)⁻⁴ = 

6 Calcule:
a) (-4)² - 3 =  b) 1 + (-2)³ =  c) -2 + (-5)² =  d) 15 + (-1)⁷ -2 = 
e) (-2)² + (-3)³ +1 =  f) (-9)² -2 –(-3) -6 =  g) (-2) . (-7) + (-3)² = 
h) (-1)³ + 3 + (-2) . (-5) = 

7) Calcule o valor das expressões:
a) (-4/3)² - 1 =  b) 3/2 + (-1/2)² -8 =   a) (1 - ½)² + (-1 + ½)³ = 
b) (1 + ½)² - ¼ = 

POTÊNCIA COM MESMA BASE

Para facilitar as operações entre potencias, emprega-se as seguintes propriedades:
1) aⁿ . aⁿ = aⁿ ⁺ ⁿ  exemplo: 2³ . 2⁸ = 2¹¹
2) aⁿ : aⁿ = aⁿ ⁻ ⁿ  exemplo: 3¹⁰ : 3² = 3⁸
3) (aⁿ)ⁿ = aⁿ ˙ ⁿ   exemplo: (7³)⁴ = 7³ ˙ ⁴ = 7¹²
4) (a . b )ⁿ = aⁿ . bⁿ  exemplo (5 . 3)² = 5². 3²

EXERCÍCIOS
1) Classifique como verdadeiro ou falso:
a) 5⁷ . 5² = 5⁹ ( ) b) 3⁹ : 3⁴ = 3⁵ ( ) c) 8⁵ : 8⁻³ = 8² ( )  d) 7⁵ – 7³ = 7² ( )
e) 7⁶⁻⁵ = 7⁶ / 7⁵ ( ) f) (7³)² = 7⁵ ( ) g) ( 5 + 2 )² = 5² + 2² ( ) h) 3² + 3³ + 3⁵ = 3¹⁰ ( )

2) Simplifique, aplicando a propriedades de potência:
a) (3 . 7)⁵ . (3 .7 )² =   b) (5xy²) . (2x²y³) = 
c) (a² . b)² . (a . b)³ =   d) (7xy²)² . (x³y²)⁴ =
 
3) Calcule:
a) (-3)² + 6² =  b) 3² + (-5)² =  c) (-2)³ - (-1)³ =  d) 5² - 3⁴ - (-1)⁹ =  
e) (-10)² - (-3) = f) 5 . (-3)² + 1 - 6⁰ =  g) 4 . (-1) . (-3)² = h) -4 . 6 . (-1)⁷ =  
i) (-7)² - 4 . 2 . (-2) =   j) (-6)² - 4 . (-3) . (-3) = 

RADICAIS Sabemos que:
a) √25 = 5 porque 5² = 25 b) ³√8 = 2 porque 2³ = 8 c) ⁴√16 = 2 porque 2⁴ = 16
Sendo a e b números reais positivos e n um número inteiro maior que 1 temos por definição que: ⁿ√a = b -- bⁿ = a
lembramos que os elementos de ⁿ√a = b são assim denominados
√ = sinal do radical n = índice do radical a = radicando b = raiz
nota:
Quando o índice é 2 , usualmente não se escreve.
Exemplos :
a) ²√9 = √9
b) ²√15 = √15
ÍNDICE PAR
Se n é para, todo número real positivo tem duas raízes.
Veja:  (-7)² = 49  (+7)² = 49 sendo assim √49 = 7 ou -7
Como o resultado de uma operação deve ser único vamos convencionar que:
√49 = 7 -√49 = -7
Exemplos
a) √25 = 5  b) -√25 = -5  c) ⁴√16 = 2  d) -⁴√16 = -2
NOTA: não existe raiz de um número negativo se o índice do radical for par.
Veja:
a) √-9 = nenhum real porque (nenhum real)² = -9 b) √-16 = nenhum real porque (nenhum real)² = -16
ÍNDICE ÍMPAR
[Se n é ímpar ], cada número real tem apenas uma única raiz
Exemplos:
a) ³√8 = 2 porque 2³ = 8  b) ³√-8 = -2 porque (-2)³ = -8
c) ⁵√1 = 1 porque 1⁵ = 1  d) ⁵√-1 = -1 porque (-1)⁵ = -1
Radicando positivo a raiz é positiva
Radicando negativo e índice ímpar a raiz é negativa

EXERCÍCIOS
1) Determine as raízes:
a) √49 = b) √100 = c) √0 =  d) ³√8 = e) ³√-8 = f) ³√125 =  g) ³√-14 = h) ⁴√1  
i) ⁴√16 = j) ³√1000 = k) ⁴√81 = l) ⁵√0 =  m) ⁵√-32 = n) ⁶√64 = o) ⁷√-1 = 

2) Calcule
a) √25 = b) -√25 = c) √-25 = d) -√-25 =  e) ⁴√81 = f) ⁴√-81 = g) -⁴√81 =
h) ⁶√1 =  i) -⁶√1 = j) ⁶√-1 = 

3) Calcule:
a) 7 - √25 =  b) ⁵√0 + ⁶√1 =  c) ³√0 + ³√-125 = d) ⁴√81 + ⁵√1 = e) 4 + ³√ -1 = 
f) 5 - ³√-8 = g) 7. ³√-1 -5 = h) 2.√49 -3.√1 = 

3) Calcule:
a) (7 + √25) / 4 = b) (7 - √25) / 4 = c) (-6 + √100) / 2 = 
d) (-6 - √100) / 2 =    e) (√36 + 2.√9) / 3 = 

POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE FRACIONÁRIO
Se 3 é um número real positivo e 2/4 é um número racional, com 2 e 4 inteiros definimos:
Exemplos
a) 2²⁾⁴ = ⁴√2²  b) 5³⁾⁴ = ⁴√5³  c) 7¹⁾² = √7

EXERCÍCIOS
1) Escreva em forma de potência com expoente fracionário:
a) ³√7² =  b) ⁵√a³ =  c) √10 = d) ⁴√a³ =  e) √x⁵ = f) ³√m = 

2) Escreva em forma de radical:
a) 5³⁾⁴ =  b) 5¹⁾² =  c) a²⁾⁵ = d) a¹⁾³ =  e) 2⁶⁾⁷ =  f) 6¹⁾² = 

PROPRIEDADES DOS RADICAIS
Para os radicais de radicandos positivos valem as seguintes propriedades:
1º Propriedade:
1) √49 = √7² = 7   2) ³√125 = ³√5³ = 5
Exemplos
a) √3² =3  b) ³√5³ = 5  c) ⁴√10⁴ = 10
2º Propriedade:
1) √4.25 = √100 = 10   2) √4 . √25 = 2 . 5 = 10
Comparando 1 e 2, temos √4.25 = √4 . √25
Exemplos
a) √2.7 = √2 . √7  b) √8.x = √8 . √x c) ³√5.a = ³√5 . ³√a d) ⁴√5.7.9 = ⁴√5 . ⁴√7 . ⁴√9

EXERCÍCIOS
1) Aplique a 1º propriedade:
a) √8² = b) ³√7³ =  c) ⁵√x⁵ = d) √(7a)² =  e) ³√(5x)³ = f) ⁴√(7x)⁴ = 
g) √(a²m)² =  h) √(a + 3)² = 

2) Aplique a 2º propriedade:
a) √5 .7 = b) ³√2.8 =  c) ³√5X =  d) √10xy = e) √5x²m =
 
3º) Propriedade
Exemplos: 1) √4/25 = 2/5   2) √4/√25 = 2/5
SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS 
Simplificar um radical significa escrevê-lo sob a forma mais simples e equivalentes ao radical dado
1º) CASO: O índice e o expoente do radicando são divisíveis por um mesmo número (diferente de zero)
Exemplos:  a) ¹²√3¹⁰ = ¹²⁾²√3¹⁰⁾² = ⁶√3⁵  b) ⁹√7¹² = ⁹⁾³√7¹²⁾³ = ³√7⁴
Conclusão: um radical não se altera quando o expoente do radicando e o índice do radical são divididos pelo mesmo número.

EXERCÍCIOS
1) Simplifique os radicais :
a) ⁴√5⁶ = b) ⁸√7⁶ = c) ⁶√3⁹ = d) ¹⁰√8¹² =   e) ¹²√5⁹ = f) ⁶√x¹⁰ = g) ¹⁰√a⁶ = h) ¹⁵√m¹⁰ =  i) ¹⁰√x⁵ =   j) ⁸√a⁴ = 

2º CASO : O expoente do radical é um múltiplo do índice.
O radicando pode ser colocado Dora do radical com um expoente igual ao quociente do expoente anterior pelo índice.
Exemplos
a) √7¹⁰ = 7⁵ (Dividimos 10 por 2)  b) ³√7¹² = 7⁴ (Dividimos 12 por 3)
c) ⁴√7²⁰ = 7⁵ (Dividimos 20 por 4)  d) √a⁶ = a³ ( Dividimos 6 por 2)

EXERCÍCIOS
1) Simplifique os radicais:
a) √7⁸ = b) ³√5⁹ = c) ⁴√7¹² =  d) ⁵√9¹⁵ = e) ³√3¹⁵ = f) ⁴√6⁸ = 
g) √9²⁰ = h) √x² = i) √x⁴ = j) √a⁶ = 

3º CASO: O expoente do radicando é maior do que o índice
Decompomos o radicando em fatores de modo que um dos fatores tenha expoente múltiplo do índice
Exemplos:
a) √x¹¹ = √x¹⁰. √x = x⁵.√x  b) ⁴√a⁷ = ⁴√a⁴. ⁴√a³ = a. ⁴√a³

EXERCÍCIOS
1) Simplifique os radicais
a) √a⁷ =  b) ³√m⁷ =   c) ⁴√m⁷ = 
d) ⁵√x⁶ =  e) ⁷√a⁹ =   f) √7⁵ =
g) √2⁹ =  h) ³√5¹⁰ =    i) ⁴√7⁹ =  j) ⁵√6⁸ = 

2) Fatore o radicando e simplifique os radicais:
a) √8 = b) √27 = c) ³√81 = d) ⁴√32 =   e) √50 = f) √80 = g) √12 =
h) √18 =   i) √50 = j) √8 = k) √72 = l) √75 =  ‘m) √98 = n) √99 =
o) √200 = 

3) Calcule
a) √36 - √49 = b) ³√8 + √64 =  c) -√100 - ³√64 =  d) -³√125 - ³√-1 = e) ⁵√1 + √9 - ³√8 = 
f) √100 +⁵√-32 + ⁶√0 =   g) ⁴√16 + ⁷√1 - ⁵√-1 = 

OPERAÇÕES COM RADICAIS  RADICAIS SEMELHANTES
Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando
Exemplos de radicais semelhantes
a) 7√5 e -2√5
b) 5³√2 e 4³√2
Exemplos de radicais não semelhantes
a) 5√6 e 2√3
b) 4³√7 e 5√7

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
1º CASO : Os radicais não são semelhantes
Devemos proceder do seguinte modo:
a) Extrair as raízes (exatas ou aproximadas)
b) Somar ou subtrair os resultados

Exemplos
1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7
2) √49 - √25 = 7 – 5 = 2
3) √2 + √3 = 1,41 + 1,73 = 3,14
Neste último exemplo, o resultado obtido é aproximado, pois √2 e √3 são números irracionais (representação decimal infinita e não periódica)

EXERCÍCIOS

1) Calcule
a) √9 + √4 =  b) √25 - √16 =  c) √49 + √16 = d) √100 - √36 = e) √4 - √1 =
f) √25 - ³√8 =   g) ³√27 + ⁴√16 = h) ³√125 - ³√8 = i) √25 - √4 + √16 =   
j) √49 + √25 - ³√64 = 

2º CASO: Os radicais são semelhantes.
Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica.
Exemplos:
a) 5√2 + 3√2 = (5+3)√2 = 8√2
b) 6³√5 - 2³√5 = (6 – 2) ³√5 = 4³√5
c) 2√7 - 6√7 + √7 = (2 – 6 +1) √7 = -3√7

EXERCÍCIOS
1) Efetue as adições e subtrações:
a) 2√7 + 3√7 = b) 5√11 - 2√11 = c) 8√3 - 10√3 =  d) ⁴√5 + 2⁴√5 = e) 4³√5 - 6³√5 f) √7 + √7 =  g) √10 + √10 = h) 9√5 + √5 =  i) 3.⁵√2 – 8.³√2 =  j) 8.³√7 – 13.³√7 =
k) 7√2 - 3√2 +2√2 =  l) 5√3 - 2√3 - 6√3 = m) 9√5 - √5 + 2√5 =  n) 7√7 - 2√7 - 3√7 = 
o) 8. ³√6 - ³√6 – 9. ³√6 = 
p) ⁴√8 + ⁴√8 – 4. ⁴√8 = 3º CASO: Os radicais tornam-se semelhantes depois de simplificados.
Exemplos
a)5√3 + √12
..5√3 + √2².3
..5√3 + 2√3
..7√3
b)√8 + 10√2 - √50
..√2².√2 +10√2 - √5². √2
..2√2 + 10√2 - 5√2
..7√2

EXERCÍCIOS
1) Simplifique os radicais e efetue as operações:
a) √2 + √32=  b) √27 + √3 =  c) 3√5 + √20 =  d) 2√2 + √8 =  e) √27 + 5√3
f) 2√7 + √28 =  g) √50 - √98 =  h) √12 - 6√3 =  i) √20 - √45 = 

2) Simplifique os radicais e efetue as operações:
a) √28 - 10√7 = b) 9√2 + 3√50 = c) 6√3 + √75 =  d) 2√50 + 6√2 = e) √98 + 5√18f) 3√98 - 2√50 =    g) 3√8 - 7√50 = h) 2√32 - 5√18 =

 3) Simplifique os radicais e efetue as operações:
a) √75 - 2√12 + √27 = b) √12 - 9√3 + √75 = 
c) √98 - √18 - 5√32 =  d) 5√180 + √245 - 17√5 = 

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
1º Caso: Os radicais têm o mesmo índice
Efetuamos a operação entre os radicandos
Exemplos:
a) √5 . √7 = √35 b) 4√2 . 5√3 = 20√6
c) ⁴√10 : ⁴√2 = ⁴√5 d) 15√6 : 3√2 = 5√3

2º Caso: Os radicais não têm o mesmo índice
Inicialmente devemos reduzi-los ao mesmo índice
Exemplos
a) ³√2 . √5 = ⁶√2² . ⁶√5³ = ⁶√4 . ⁶√125 = ⁶√500
b)⁵√7 : √3 = ¹⁰√7² : ¹⁰√3⁵ = ¹⁰√49/243

EXERCÍCIOS
1) Efetue as multiplicações e divisões:
a) √2 . √7 =   b) ³√5 . ³√10 =  c) ⁴√6 . ⁴√2 = 
d) √15 . √2 =   e) ³√7 . ³√4 =   f) √15 : √3 = 
g) ³√20 : ³√2 =  h) ⁴√15 : ⁴√5 =  i) √40 : √8 =   j) ³√30 : ³√10 = 

2) Multiplique os radicais e simplifique o produto obtido:
a) √2 . √18 =  b) √32 . √2 =  c) ⁵√8 . ⁵√4 =   d) ³√49 . ³√7 =  e) ³√4 . ³√2 
f) √3 . √12 =   g) √3 . √75 =  h) √2 . √3 . √6 = 

3) Efetue as multiplicações e divisões:
a) 2√3 . 5√7 =  b) 3√7 . 2√5 =  c) 2. ³√3 . 3. ³√3 = d) 5.√3 . √7 =   
e) 12. ⁴√25 : 2. ⁴√5 =  f) 18. ³√14 : 6. ³√7 =  g) 10.√8 : 2√2 = 
Fonte: http://jmp22.blogspot.com.br/ Acesso em 26/03/2012