Operações com Matrizes
Autor: Lucas Liza | Publicado: 2012-02-17T16:15:00-02:00



Igualdade de matrizes

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:



.



Operações envolvendo matrizes


Adição

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Dadas as matrizes&nbsp;, chamamos de soma dessas matrizes a matriz&nbsp;, tal que Cij&nbsp;= aij&nbsp;+ bij&nbsp;








A + B = C




Exemplos:


&nbsp;&nbsp;&nbsp;






Observação: A + B existe se, e somente se,&nbsp;A&nbsp;e&nbsp;B&nbsp;forem do mesmo tipo.

Propriedades

&nbsp;&nbsp; Sendo&nbsp;A,&nbsp;B&nbsp;e&nbsp;C&nbsp;matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:

a) comutativa: A + B = B + A

b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)

c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n

d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0


Subtração

&nbsp;&nbsp; Dadas as matrizes&nbsp;, chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de&nbsp;A&nbsp;com a matriz oposta de&nbsp;B:








A - B = A + ( - B )




Multiplicação de um número real por uma matriz

&nbsp;&nbsp; Dados um número real&nbsp;x&nbsp;e uma matriz&nbsp;A&nbsp;do tipo m x n, o produto de&nbsp;x&nbsp;por&nbsp;A&nbsp;é uma matriz&nbsp;Bdo tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de&nbsp;A&nbsp;por&nbsp;x, ou seja, bij&nbsp;= xaij:







B = x.A




&nbsp;&nbsp;&nbsp; Observe o seguinte exemplo:





Propriedades

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Sendo&nbsp;A&nbsp;e&nbsp;B&nbsp;matrizes do mesmo tipo ( m x n) e&nbsp;x&nbsp;e&nbsp;y&nbsp;números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . A

b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB

c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA

d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A





Multiplicação de matrizes

&nbsp;&nbsp;&nbsp;O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Assim, o produto das matrizes A = ( aij)&nbsp;m x p&nbsp; e B = ( bij)&nbsp;p x n&nbsp;é a matriz C = (cij)&nbsp;m x n&nbsp;em que cada elemento&nbsp;cij&nbsp;é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna&nbsp;B.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vamos multiplicar a matriz&nbsp;&nbsp;para entender como se obtém cadaCij:


1ª linha e 1ª coluna



&nbsp;&nbsp;&nbsp;


1ª linha e 2ª coluna



&nbsp;&nbsp;&nbsp;


2ª linha e 1ª coluna



&nbsp;&nbsp;&nbsp;


2ª linha e 2ª coluna



&nbsp;&nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Assim,&nbsp;.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Observe que:



&nbsp;&nbsp; Portanto,&nbsp;.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

&nbsp;&nbsp; Vejamos outro exemplo com as matrizes&nbsp;:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;



&nbsp;&nbsp;&nbsp; Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de&nbsp;A&nbsp;for igual ao número de linhas de&nbsp;B:



&nbsp;&nbsp; &nbsp; A matriz produto terá o número de linhas de&nbsp;A (m)&nbsp;e o número de colunas de&nbsp;B(n):


Se A3 x 2&nbsp;e B&nbsp;2 x 5&nbsp;, então ( A . B )&nbsp;3 x 5


Se A&nbsp;4 x 1&nbsp;e B&nbsp;2 x 3, então não existe o produto


Se A&nbsp;4 x 2&nbsp;e B&nbsp;2 x 1, então ( A . B )&nbsp;4 x 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;



Propriedades

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . In&nbsp;= In&nbsp;. A = A, sendo&nbsp;In&nbsp;a matriz identidade de ordem&nbsp;n

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0&nbsp;m x n&nbsp;uma matriz nula, A .B =0&nbsp;m x n&nbsp;não implica, necessariamente, que A = 0&nbsp;m x n&nbsp;ou B = 0&nbsp;m x n.



Matriz inversa

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Dada uma matriz&nbsp;A, quadrada, de ordem&nbsp;n, se existir uma matriz&nbsp;A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In&nbsp;, então&nbsp;A'&nbsp;é matriz inversa de&nbsp;A&nbsp;. representamos a matriz inversa por&nbsp;A-1&nbsp;.