Primitivas "aparentemente" diferentes....
Autor: Luís Cláudio LA | Publicado: 2010-08-21T22:53:00-03:00



É fato conhecido de qualquer curso de cálculo que de $F(x)$ e $G(x)$ são primitivas de uma função $$f(x)$$ então F e G diferem por uma constante, ou seja,



$F(x)=G(x)+C$ onde $C\in R$




Entretanto, é muito comum que pensemos estas duas funções idênticas e diferindo por uma constante como por exemplo&nbsp;


$F(x)=x^2+5$ e $G(x)=x^2+10$.&nbsp;


Nosso interesse aqui é mostrar exemplos de funções cuja primitiva pode ser escrita em termos de funções "aparentemente" diferentes. Se quiser ver o restante desse artigo, clique em "Mais informações »" a seguir.





Uma função que permite contemplar esse tipo de primitivas aparentemente diferentes é a $$f(x)=\cot(x)$$. Podemos escrever



$\int \csc (x)\,dx=-\ln|\csc(x)+\cot(x)|+C$
$\int \csc (x)\,dx=\ln|\csc(x)-\cot(x)|+C$



Embora semelhantes, há uma diferença no sinal. Para obter esses resultados basta fazer os seguinte:



$$\int \csc(x)\,dx=\int \csc(x)\cdot \frac{\csc(x)+cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)} \,dx$$



$$=\int \frac{\csc^2(x)+\csc(x)\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}\,dx$$

Agora, fazendo a mudança de variável&nbsp;


$$u=\csc(x)+\cot(x)$$&nbsp;

teremos&nbsp;


$$du=-\csc(x).\cot(x)-\csc^2(x)dx=-[\csc(x).\cot(x)+\csc^2(x)]dx$$



Daí, 




$$\int \csc(x)\,dx=\int \frac{\csc^2(x)+\csc(x)\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}\,dx=\int \frac{-du}{u}=-\ln |u|+C$$



&nbsp;e concluímos que&nbsp;




$$\int \csc(x)\,dx=-\ln |\csc(x)+\cot(x)|+C$$




Agora, faremos de outra forma. Observe:



$$\int \csc(x)\,dx=\int \csc(x).\frac{\csc(x)-\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}\,dx$$ 




$$=\int \frac{\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}\,dx$$



Considere a mudança de variável $$u=\csc(x)-\cot(x)$$. Então teremos&nbsp;



$$du=[-\csc(x).\cot(x)+\csc^2(x)]dx=[\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)]dx$$




Então,




$$\int\csc(x)\,dx=\int \frac{\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}\,dx=\int \frac{1}{u}du=\ln|u|+C$$



&nbsp;e concluímos que&nbsp;


 

$$\int \csc(x)\,dx=\ln |\csc(x)-\cot(x)|+C$$


 

Se desenhar o gráfico das duas funções encontrará algo como mostramos na figura seguinte. Há um gráfico de cor azul e outro de cor vermelha. Note que estão sobrepostos. Trata-se apenas de uma ilustração. A demonstração deixaremos para outro momento.


 




 

Outra situação interessante


 

Considere agora o problema de encontrar a primitiva da função $f(x)=\frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}$. Uma das formas de resolver a integral é da seguinte forma:


 


$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{\frac{1}{\sqrt{e^{2x}}}}{\frac{\sqrt{e^{2x}-1}}{\sqrt{e^{2x}}}}\, dx$$&nbsp;


$$=\int \frac{\frac{1}{(e^{2x})^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{\frac{e^{2x}-1}{e^2x}}}\,dx=\int \frac{\frac{1}{e^{x}}}{\sqrt{1-\frac{1}{e^{2x}}}}\,dx$$



 

$$=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}}\,dx=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-(e^{-x})^2}}\,dx$$
&nbsp; 


 

Agora, fazendo $u=e^{-x}$ encontraremos $du=-e^{-x}dx$ e assim,



$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-(e^{-x})^2}}\,dx=\int \frac{-du}{\sqrt{1-u^2}}=-\arcsin(u)+C$$




Desse modo,&nbsp;




$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=-\arcsin(e^{-x})+C$$




Outra resolução




Agora, vamos pensar em uma outra solução. Consideramos o mesmo problema: calcular a integral




$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx$$



Façamos agora a mudança de variável $e^{2x}-1=w^2,\,\,w&gt;0$, ou seja, $x&gt;0$. Daí, $d(e^{2x}-1)=d(w^2)$ ou seja, $2.e^{2x}dx=2w.dw$. Como $e^{2x}=1+w^2$ então




$$2.e^{2x}dx=2w.dw\Rightarrow 2.(1+w^2).dx=2w.dw\Rightarrow dx=\frac{2w.dw}{2(1+w^2)}dw$$





ou seja,




$$dx=\frac{w}{1+w^2}dw$$


Daí,

 


$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{1}{\sqrt{w^2}}\cdot \frac{w}{1+w^2}\,dw=\int \frac{1}{\color{red}w}\cdot \frac{{\color{red}w}}{1+w^2}\,dw$$



$$\int \frac{1}{1+w^2}\,dw=\arctan(w)+C$$




Como $e^{2x}-1=w^2,\,\,w&gt;0$ então $w=\sqrt{e^{2x}-1}$ e assim,





$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{1}{1+w^2}\,dw=\arctan(w)+C$$



$$=\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})+C$$



Então, concluímos que:

 

 $\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=-\arcsin(e^{-x})+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})+C$


  

Aparentemente são diferentes, não? Se dois alunos resolvem o problema de calcular a primitiva de $\frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}$ e encontram $-\arcsin(e^{-x})$ e $\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})$ o primeiro pensamento que deve vir à mente é que um deles errou ou ambos erraram o cálculo. Entretanto, os dois acertaram.&nbsp;



A teoria diz que estas funções devem diferir uma da outra apenas por uma constante. Então, é se de esperar que o gráfico de uma seja igual ao gráfico de outra com algum deslocamento vertical. E é o que de fato se vê quando desenhamos o gráfico das duas funções. Observe na figura seguinte.









A ilustração sugere que $G(x)-F(x)=C$ onde $C\in R$. Isso é fato conhecido na literatura e não iremos demonstrar aqui já que o objetivo foi construir uma ilustração que mostrasse que estas funções podem ser aparentemente diferentes e mesmo assim diferirem por uma constate.




Esta discussão teve início na turma B de Cálculo 2 da Engenharia Civil do UniCEUB. Na ocasião fazíamos&nbsp; exercícios de revisão. Obrigado a todos que participaram (até de forma indireta) da construção desta ilustração.




Um grande abraço

Luís Cláudio LA