[Cálculo Numérico] Método do Ponto Fixo com o GeoGebra (ilustração)
Autor: Luís Cláudio LA | Publicado: 2010-11-20T11:45:00-02:00

Nesse post vamos mostrar como você pode usar a ferramenta planilha do GeoGebra para produzir uma ilustração do método do ponto fixo para resolver equações (principalmente as transcendentes).

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Considere o problema de encontrar a raiz de uma função contínua $g(x)=0$ que possui uma raiz no intervalo $[a,\,b]$. O método do ponto fixo consiste em encontrar um valor de $x$ em $[a,\,b]$ tal que $f(x)=x$ onde a solução desta última equação é a mesma que faz com que $g(x)$=0. A função $f$ é chamada função de transição ou interação.
Para ilustrar mostraremos como encontrar uma raíz da função $g(x)=x-\sqrt{x}$. Nesse caso, o valor de x que faz com que $f(x)=x$ ou seja, $\sqrt{x}=x$ é o mesmo que faz com que $g(x)=x-\sqrt{x}=0$. Encontrar uma raiz para $g$ é, portanto, equivalente a encontrar um ponto fixo para $f$.&nbsp;

Vamos ao GeoGebra. Abra o seu softwareno menu principal clique em EXIBIR&gt;&gt;PLANILHA;
ainda no CAMPO DE ENTRADA digite: y=x ; depois digite: f(x)=sqrt(x) ;
na célula A1 digite: =Ponto[EixoX]; aperte a tecla ESC e arraste o ponto A1 que apareceu sobre o EixoX. Deixe-o próximo de x=3.
na célula B1 digite: =(x(A1), f(x(A1)))
na célula C1 digite: =Segmento[A1, B1]
na célula A2 digite: =(y(B1), y(B1))
copie a fórmula da célula B1 para a célula B2 ou escreva na célula B2: =(x(A2), f(x(A2)))
copie a fórmula da célula C1 para a célula C2 ou escreva na célula C2: =Segmento[A2, B2]
na célula D2 digite: =Segmento[B1, A2]
selecione as células A2 até D2 (basta clicar em A2 e arrastar até D2.

Pronto. Agora basta repetir esse procedimento copiando-o para as células que estão abaixo. Para isso, basta clicar no pequeno quadrado azul na parte direita inferior da célula D2 e arrastar para baixo. Sugiro que arraste até a linha 20 (serão 20 interações)
Selecione as colunas A,B,C e D (basta clicar sobre a letra da coluna A e arrastar até a coluna D (ver figura seguinte). Feito isso, clique com o botão do lado direito do mouse sobre a planilha, selecione a opção PROPRIEDADES e na janela que aparecerá, DESMARQUE a opção EXIBIR RÓTULO.
 
Feito isso, o que pode fazer agora é embelezar sua construção, mas isso deixarei contigo. O applet a seguir mostra um dos resultados finais... Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) ..

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Quando for tentar resolver um outro problema, poderá se deparar com outras funções de transição (ou interação). Nesse caso poderá usar a construção feita para ilustrar a convergência ou divergência da sequência usada para se aproximar da raiz, a saber,&nbsp;

$$x_{k+1}=f(x_k)\;,\;k\in \mathbb{N}.$$&nbsp;
Use o CAMPO DE  ENTRADA no applet anterior para experimentar outras funções de  transição (para outros problemas). Modifique a escala, caso queira ou baixe o arquivo. Basta um  clique duplo em qualquer lugar do applet. Para modificar a função de  transição, basta escrever no CAMPO DE ENTRADA:
 
f(x)=x^2
f(x)=sin(x)
f(x)=abs(cos(x))
e assim por diante.


Agora... Divirta-se.
Grande abraço