Lógica Modal Para Filosofia da Religião
Autor: Fernando Furtado | Publicado: 2013-03-23T19:30:00-03:00

Lee Walters &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 

University of Oxford

lee.walters@some.ox.ac.uk

Trad.
Fernando Furtado



Lógicas Modais

K:&nbsp;(P →Q)
→ (P→Q)



T: &nbsp;P →
P &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Alternativamente, P → à
P

B: àP → P &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Alternativamente, P →à
P



4: &nbsp;àà P →
à
P &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Alternativamente,
P →P



5: à&nbsp;P →&nbsp;P &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Alternativamente,
à
P →à
P &nbsp;&nbsp;





&nbsp;K e T são incontroversos para modalidade metafísica e juntos resultam
na lógica modal mais fraca para qualquer interesse metafísico, KT.
S5 é a lógica
modal mais forte para os interesses metafísicos e é caracterizado por KT5.&nbsp;Este sistema implica B e 4.
&nbsp;Dois sistemas
intermediários estão entre KT e S5, são S4, que é resultante de KT4, e B,
resultante de KTB. S4 não implica B e vice-versa.





Na semântica dos mundos possíveis, ‘à
P’ é verdadeira sse P é verdadeira em algum mundo acessível e ‘P’ é verdadeira sse P é verdadeira em todos os
mundos acessíveis. Se a relação de acessibilidade é reflexiva, então T é
estabelecido; se ela é simétrica, então B é estabelecido; e se é transitiva, 4
é estabelecido. Em S5 a relação de acessibilidade pode ser ignorada pois ela é
reflexiva, simétrica e transitiva. S4 é o sistema no qual a relação de
acessibilidade é transitiva. B é o sistema no qual a relação de acessibilidade
é simétrica. Portanto, S4 e B são considerados mais fracos que S5 de modos
diferentes.



O Argumento Ontológico Modal 



O argumento modal procura estabelecer a existência
de Deus a partir de duas premissas.

Primeira, a possibilidade da existência de Deus e
depois algumas afirmações que se seguem da descrição de Deus como um ser
perfeito. Hartstone e Kane (1984) entendem esta segunda afirmação como necessariamente se Deus existe, então existe
necessariamente -&nbsp;(D→D). Ver também a discussões sobre Anselmo por
Leftow (2004) onde ele nota que um argumento que apresenta estas duas premissas
é válido em S5.



1.&nbsp;&nbsp;(D →&nbsp;D)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Premissa

2. &nbsp;à
D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Premissa

3.&nbsp; ((D → D)) → (à D → à&nbsp;D) &nbsp; &nbsp; &nbsp;Teorema modal válido em T

4. à D → à&nbsp;D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 1,3
Modus Ponens

5. à&nbsp;D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 2,4 Modus Ponens

6. à
&nbsp;D → D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Axioma 5.

7. &nbsp;D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 5,6 Modus Ponens

8. D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 7, T.





(8) diz que Deus existe e (7) que Deus
necessariamente existe.



Como Kane (1984) nota, a beleza do argumento
ontológico modal é que ele pega naquilo que os críticos do argumento ontológico
pensam que é sua própria conclusão, nomeadamente (1), e usa como premissa, sem
combinar com a premissa Deus existe,
recorrendo apenas à mera possibilidade da existência de Deus.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

Um contraexemplo a S5 e S4?

S5 é, de todo modo, controverso. Talvez o mais
forte desafio a S5, de Salmon (1989), questione a validade de S4 e, portanto, a
transitividade da relação de acessibilidade.

Este desafio resulta da afirmação intuitiva que a
origem de objetos materiais é um pouco flexível. Por exemplo, uma estatua S originalmente feita de uma porção de
matéria m, não poderia ter sido feita
de um pedaço de matéria m* que não
tivesse pelo menos 90% de m. Mas se S tivesse sido feita de m*, então ela poderia ter sido feita de
um pedaço de matéria m** que apenas
tivesse 90% de m*. E m** não precisa ter tido 90% de m. Assim, embora S não pudesse ter sido feita de m**, é possível que ela pudesse ter sido feita de m**. Isto é, na circunstância possível
em que S foi feita de m*, ela poderia ter sido feita de m**. Se aceitarmos este cenário, aceitamos
a falsidade de S4: embora seja possivelmente possível que S fosse feita de m**, não
é possível que S seja feita de m**.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

O Argumento Ontológico Modal sem
S5



Se aceitarmos este contraexemplo a S5, então o
argumento ontológico modal acima é invalido. Kane (1984), todavia, mostrou que
há um argumento com as premissas acima que é valido em B.

9. &nbsp; (D →D)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Premissa





10.&nbsp; à
D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Premissa

11.&nbsp; (&nbsp;(D → D)) → (à D → à&nbsp;D) &nbsp; &nbsp; &nbsp;Teorema modal válido em
T

12. à D → à D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;9, 11,
Modus Ponens

13. à&nbsp;D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;10, 12, Modus Ponens

14. à&nbsp;D→ D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B

15. D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 5, 6, Modus Ponens

16. D →D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;9, T

17.&nbsp;D &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 15 ,16 Modus Ponens




Portanto, temos aqui um argumento ontológico modal
que mesmo quem rejeita S4/S5 pode aceita­r. Mas o que acontece se também
aceitarmos à
­~D?


Uma Inferência Modal Inválida


Possibilidades
não aglomeram. Isto é, de àP e àQ não se segue à(P˄Q).
Nos termos dos mundos possíveis, por haver um mundo onde P e um mundo onde Q
não que dizer que haja um mundo onde (P˄Q). Para ver isto, tome uma proposição
contingente qualquer P. Pela definição de contingente temos àP e à~P,
mas, claro, não temos à(P˄Q).

Uma inferência invalida similar está no domínio
temporal. Se ‘P’ é verdadeira em algum momento do tempo e ‘Q’ é verdadeira em
algum momento do tempo, não se segue daqui que ‘P˄Q’ são verdadeiras ao mesmo tempo. (Expresso isto
em termos de frases e não como proposições, como no modo padrão de exibição,
proposições não mudam o valor de verdade e, portanto, se são verdadeira em
algum momento do tempo, são verdadeiras em todos).

Assim, do que fato de que é possível que a não
exista e de que é possível que b não
exista, não se segue que é possível nem que a
nem b exista.



Leituras Adicionais



Kane, R. 1984: Modal
Ontological Argument. Mind 93: 336-350.



Leftow, B. “The Ontological Argument”, in The Oxford Handbook of Philosophy of Religion, edited by William Wainwright (OUP: 2004).



Salmon, N. 1989: The Logic of What Might Have Been. The Philosophical Review 98: 3–34.



Sobel, J.H. 2004: Logic and Theism. Cambridge: Cambridge University
Press.