Tudo sobre Matrizes e suas construções!!!!
Autor: Luciana Machado | Publicado: 2013-06-13T08:24:00-07:00




Elementos básicos para a
construção de matrizes:


Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:



&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; N={1,2,3,4,5,6,7,...}



O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:



&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;N×N={(a,b): a e b são números naturais }

Uma relação importante em N×N é:






Smn={(i,j): 1&lt;i&lt;m, 1&lt;j&lt;n}





Definição de matriz:



Uma matriz real (ou complexa) é uma
função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn&nbsp;associa
um número real (ou complexo).

Uma forma comum e prática para
representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo
m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra
A.




 

  
a(1,1)

  
a(1,2)

  
...

  
a(1,n)

 

  
a(2,1)

  
a(2,2)

  
...

  
a(2,n)

 

  
...

  
...

  
...

  
...

 

  
a(m,1)

  
a(m,2)

  
...

  
a(m,n)

 






Definições básicas sobre matrizes


Ordem:&nbsp;Se
     a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
Posição de um elemento:&nbsp;Na tabela acima a posição de cada
     elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
Notação para a matriz:&nbsp;Indicamos uma matriz A pelos seus
     elementos, na forma: A=[a(i,j)].
Diagonal principal:&nbsp;A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da
     forma a(i,j) onde i=j.
Matriz quadrada&nbsp;é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de
     colunas, i.e., m=n.
A&nbsp;diagonal
     secundária&nbsp;de
     uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:



a(1,n), a(2,n-1),
a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)


Matriz diagonal&nbsp;é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
Matriz real&nbsp;é
     aquela que tem números reais como elementos.
Matriz complexa&nbsp;é aquela que tem números complexos como elementos.
Matriz nula&nbsp;é
     aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a
     1 e zero fora da diagonal principal.
Matriz diagonal&nbsp;é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal
     principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.



Exemplos de matrizes:


Matriz 4x4 de números reais:


 

  
12

  
-6

  
7

  
18

 

  
-23

  
-24

  
0

  
0

 

  
0

  
0

  
5

  
0

 

  
0

  
0

  
0

  
9

 





Matriz 4x4 de números complexos:


 

  
12

  
-6+i

  
7

  
i

 

  
-i

  
-24

  
0

  
0

 

  
0

  
0

  
5+i

  
5-i

 

  
0

  
0

  
0

  
9

 





Matriz nula com duas linhas e duas
colunas:


 

  
0

  
0

 

  
0

  
0

 





Matriz nula com três linhas e duas
colunas:


 

  
0

  
0

 

  
0

  
0

 

  
0

  
0

 





Matriz identidade com três linhas e
três colunas:


 

  
1

  
0

  
0

 

  
0

  
1

  
0

 

  
0

  
0

  
1

 





Matriz diagonal com quatro linhas e
quatro colunas:


 

  
23

  
0

  
0

  
0

 

  
0

  
-56

  
0

  
0

 

  
0

  
0

  
0

  
0

 

  
0

  
0

  
0

  
100

 






Matrizes iguais:


Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)],
de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são
iguais, isto é:




a(i,j) = b(i,j)




para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Exercício:&nbsp;Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes
abaixo, isto é:


 

  
   

    
1

    
2

   

    
3

    
4

   


  
=

  
   

    
x-1

    
y-1

   

    
x+y

    
x2

   


 






Soma de matrizes e suas propriedades


A soma (adição) de duas matrizes
A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)],
definida por:


c(i,j) = a(i,j) +
b(i,j)




para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Exemplo:&nbsp;A soma das
matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.


 

  
   

    
-23

    
10

   

    
7

    
9

   


  
+

  
   

    
10

    
5

   

    
8

    
9

   


  
=

  
   

    
-13

    
15

   

    
15

    
18

   


 



Propriedades da soma de matrizes:



A1: Associativa:&nbsp;Para quaisquer
matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:


(A + B) + C = A + (B
+ C)


A2: Comutativa:&nbsp;Para quaisquer
matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:


A + B = B + A


A3: Elemento neutro:&nbsp;Existe uma
matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá
a própria matriz A, isto é:


0 + A = A


A4: Elemento oposto:&nbsp;Para cada
matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas
fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:


A + (-A) = 0





Multiplicação de escalar por matriz e
suas propriedades:


Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma
matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra
matriz C=k.A, definida por:


c(i,j) = k. a(i,j)


para todo par ordenado (i,j) em Smn.



Exemplo:&nbsp;A multiplicação
do escalar -4 pela matriz A, definida por:




 

  
-4

  
   

    
-2

    
10

   

    
7

    
9

   


  
=

  
   

    
-8

    
-40

   

    
28

    
36

   


 



Propriedades da
multiplicação de escalar por matriz:

E1: Multiplicação pelo escalar 1:&nbsp;A multiplicação
do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:


1.A = A


E2: Multiplicação pelo escalar zero:&nbsp;A multiplicação
do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:


0.A = 0


E3: Distributividade das matrizes:&nbsp;Para quaisquer
matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:


k (A+B) = k A + k B


E4: Distributividade dos escalares:&nbsp;Para qualquer
matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:


(p + q) A = p A + q A





Multiplicação de matrizes:


Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e
a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como
uma outra matriz C=A.B, definida por:




c(u,v) = a(u,1)
b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)


para todo par (u,v) em Smr.



Para obter o elemento da 2a. linha e
3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:

multiplicar
     os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
multiplicar
     os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
multiplicar
     os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
multiplicar
     os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
somar
     os quatro produtos obtidos&nbsp;anteriormente.


Assim:


c23&nbsp;=
a21&nbsp;b13&nbsp;+ a22&nbsp;b23&nbsp;+
a23&nbsp;b33&nbsp;+ a24&nbsp;b43




Podemos visualizar esta operação
através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira
matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira
matriz.


 

  
   

    
a11

    
a12

    
a13

    
a14

   

    
a21

    
a22

    
a23

    
a24

   

    
a31

    
a32

    
a33

    
a34

   

    
a41

    
a42

    
a43

    
a44

   


  
×

  
   

    
b11

    
b12

    
b13

    
b14

   

    
b21

    
b22

    
b23

    
b24

   

    
b31

    
b32

    
b33

    
b34

   

    
b41

    
b42

    
b43

    
b44

   


  
=

  
   

    
c11

    
c12

    
c13

    
c14

   

    
c21

    
c22

    
c23

    
c24

   

    
c31

    
c32

    
c33

    
c34

   

    
c41

    
c42

    
c43

    
c44

   


 





Observação:&nbsp;Somente podemos
multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao
número de linhas da segunda.




Propriedades da multiplicação de
matrizes:


Para todas as matrizes A, B e C que
podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:



M1: Nem sempre vale a comutatividade:&nbsp;Em geral, A×B é
diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha
e B em cor preta:




 

  
   

    
1

    
2

    
3

   

    
2

    
4

    
6

   

    
3

    
6

    
9

   


  
×

  
   

    
1

    
2

   

    
3

    
5

   

    
7

    
9

   


 



M2: Distributividade da soma à direita


A (B+C) = A B + A C




M3: Distributividade da soma à esquerda


(A + B) C = A C + B C




M4: Associatividade


A (B C) = (A B) C




M5: Nulidade do produto:&nbsp;Pode acontecer que o
produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B
sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:




 

  
   

    
0

    
1

   

    
0

    
0

   


  
×

  
   

    
0

    
2

   

    
0

    
0

   


  
=

  
   

    
0

    
0

   

    
0

    
0

   


 



M6: Nem sempre vale o cancelamento:&nbsp;Se ocorrer a
igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem
exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:


 

  
   

    
0

    
1

   

    
0

    
0

   


  
×

  
   

    
0

    
5

   

    
0

    
0

   


  
=

  
   

    
0

    
2

   

    
0

    
0

   


  
×

  
   

    
0

    
5

   

    
0

    
0

   


 



mas as matrizes A e B são diferentes.




Matrizes com propriedades especiais:


Uma
     matriz A é&nbsp;nilpotente&nbsp;de
     índice k natural, se:



Ak&nbsp;=
0


Uma
     matriz A é&nbsp;periódica&nbsp;de
     índice k natural, se:



Ak+1=
A


Uma
     matriz A é&nbsp;idempotente,
     se:



A2&nbsp;=
A


As
     matrizes A e B são&nbsp;comutativas, se:



A B = B A


As
     matrizes A e B são&nbsp;anti-comutativas, se:



A B = - B A


A
     matriz&nbsp;identidade&nbsp;Id&nbsp;multiplicada
     por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer
     sentido.



Id&nbsp;A
= A


A
     matriz A será&nbsp;a inversa da matriz&nbsp;B, se:



A B = Id&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;B
A = Id



<!--[if !supportLineBreakNewLine]-->
<!--[endif]-->


A transposta de uma matriz e suas
propriedades;


Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem
m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz




At&nbsp;=
[a(j,i)]


e segue que as linhas de A se
transformam nas colunas de At.



Propriedades das matrizes
transpostas

T1: A transposta da transposta da
matriz é a própria matriz.


(At)t&nbsp;=
A




T2: A transposta da multiplicação de um
escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta
da matriz.


(kA)t&nbsp;=
k (At)




T3: A transposta da soma de duas
matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.


(A + B)t&nbsp;=
At&nbsp;+ Bt




T4: A transposta do produto de duas
matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem&nbsp;trocada.


(A B)t&nbsp;=
Bt&nbsp;At



<!--[if !supportLineBreakNewLine]-->
<!--[endif]-->


Matrizes simétricas e anti-simétricas e
suas propriedades:


Uma matriz A é&nbsp;simétrica&nbsp;se é uma matriz
quadrada tal que:


At&nbsp;=
A




Uma matriz A é&nbsp;anti-simétrica&nbsp;se é uma matriz
quadrada tal que:


At&nbsp;=
-A



<!--[if !supportLineBreakNewLine]-->
<!--[endif]-->

Propriedades das
matrizes simétricas e anti-simétricas

S1: Se A é uma matriz simétrica de
ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.

S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem
n, então a matriz B=A+At&nbsp;é simétrica.

S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem
n, então a matriz B=A-At&nbsp;é anti-simétrica.

S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem
n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com
uma matriz anti-simétrica T, isto é, A=S+T, e neste caso:




S =(1/2)(A + At)&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;T
=(1/2)(A - At)