CIrcunferencia e o circulo ( nivel 7ª série)
Autor: Mazé | Publicado: 2013-02-01T11:16:00-08:00


Conceitos:
Dado um ponto O no plano m , vamos marcar nesse plano os pontos que estão a uma mesma distancia r e O






















A circunferência tem sua parte interna e naturalmente a sua parte externa.
Então todo ponto do plano cuja distância ao centro da circunferência é menor que o raio chama-se PONTO INTERNO à circunferência . A reunião de todos os pontos internos denomina-se região interior à circunferência.
Assim podemos definir : Ao conjunto de pontos obtido pela reunião da circunferência com a região interna a ela chamamos de circulo.



AB= corda
X e Y pontos internos à circunferência
CD diâmetro da circunferência
O ponto central
OE raio da circunferência
K Z corda &nbsp;e secante
M tangente










Circunferência determinada por três ponto não colineares

Considere a sentença:
* Toda circunferência pode ser construída a partir de três pontos não colineares.
Para provar essa afirmação , vamos examinar um teorema válido para qualquer circunferência :
&nbsp;EM TODA CIRCUNFERÊNCIA , UM DIÂMETRO PERPENDICULAR A UMA CORDA DESSA CIRCUNFERÊNCIA DIVIDE AO MEIO , E RECÍPROCAMENTE , SE UM DIÂMETRO DIVIDE UM CORDA AO MEIO , ELE É PERPENDICULAR A ESSA CORDA



Hipótese { C &nbsp;( O,r)
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; AB é corda
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; CD diâmetro
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; CD perpendicular AB em M}

Tese { AM igual MB}


DEMONSTRAÇÃO:

O triangulo AOB é isósceles,
&nbsp;pois OA = OB ( raio da circunferência) OM é a altura do triangulo AOB , pois CD perpendicular a AB
Assim OM é também mediana do triangulo AOB. Portanto: AM = MB. &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(a q d.)

Método Prático para encontrar o centro de uma circunferência:Traçamos os segmentos AB &nbsp;e &nbsp;BC, que são cordas da circunferência . A &nbsp;seguir taçamos as mediatrizes de AB &nbsp;e BC. Como cada mediatriz contém o diâmetro dessa circunferência, então a intersecção das duas mediatrizes determina o centro &nbsp;O da circunferência , cujo raio será OA &nbsp; &nbsp;OB &nbsp; &nbsp; OC.























POSIÇÕES RELATIVAS A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Considerando-se as circunferências C (O,r) e C' ( O',r'), podemos obter as posições relativas entre elas comparando as distâncias d entre os centros O e O' e a soma dos raios &nbsp;r e r'.





Na figura 1 a distancia das cir
cunferência é maior que a soma das medidas dos raios



Na figura 2 a distancia iguala a
soma das medidas dos raios.




Na figura 3 a distancia é igual
a diferença das medidas dos raios. são tangentes internas


figura 4- C &nbsp;e C' são secantes
As circunferências C &nbsp;e &nbsp;C' têm dois pontos comuns ( A &nbsp;e B)
Neste caso , observe que a distancia entre os centros está compreendida entre as &nbsp;distancias das circunferências tangentes extremamente e tangente internamente









figura 5- C e C' não tem pontos comuns , mas o circulo de maior raio
contem o circulo de menor raio.
d&lt; ( r - r')
No caso em que O coincidir com O' temos d=O e as circumferencias são
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;concentricas. &nbsp; &nbsp; 
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;