Juros Compostos
Autor: Prof Frank de Paula Moreira | Publicado: 2015-11-10T10:59:00-08:00


Em
juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (F) obtido pela aplicação de um único
valor principal P no instante t = 0,
á taxa i de juros (por período)
durante n períodos.



a- Cálculo do montante
(F)




A
fórmula para cálculo do Montante (F), é dada por:





A
expressão apresentada acima, mostra que no regime de capitalização composta, o
montante cresce exponencialmente ao longo do tempo.





<!--[if gte msEquation 12]><i
  style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:18.0pt;line-height:
  107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
  mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:Arial;background:
  #D9D9D9;mso-shading-themecolor:background1;mso-shading-themeshade:217;
  mso-ansi-language:PT-BR;mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'>F=P<span
    style='font-size:18.0pt;mso-ansi-font-size:18.0pt;mso-bidi-font-size:18.0pt;
    font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
    mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;background:
    #D9D9D9;mso-shading-themecolor:background1;mso-shading-themeshade:217;
    font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><i
    style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:18.0pt;
    line-height:107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:
    "Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:
    Arial;background:#D9D9D9;mso-shading-themecolor:background1;mso-shading-themeshade:
    217;mso-ansi-language:PT-BR;mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language:
    AR-SA'>(1+i)<i
    style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:18.0pt;
    line-height:107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:
    "Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:
    Arial;background:#D9D9D9;mso-shading-themecolor:background1;mso-shading-themeshade:
    217;mso-ansi-language:PT-BR;mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language:
    AR-SA'>n<![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 

 
<!--[endif]-->







Exemplos de aplicação



1
- Qual o
valor futuro de um capital de $ 16.000, aplicado por 2 anos e 8 meses, à taxa
de 0,5% a.m?

Solução:

F =?

i = 0,5 %
a.m.= 0,005

n = 2
anos e 8 meses = 32 meses 

P =
16.000














F = P ( 1 + i )n
<!--[if gte msEquation 12]><span
   style='font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
   mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial'><m:chr
      m:val="⇒"/><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
     mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math";
     mso-bidi-font-family:Arial'><![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 

 
<!--[endif]-->&nbsp; F = 16000(1+0,005)32&nbsp; <!--[if gte msEquation 12]><m:opEmu
    m:val="on"/><span style='font-size:10.0pt;mso-ansi-font-size:10.0pt;
   mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:
   "Cambria Math";mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;mso-hansi-font-family:
   "Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;mso-ansi-language:EN-US;
   font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:chr
      m:val="⇒"/><span style='font-size:10.0pt;
     mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
     mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;
     mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;
     mso-ansi-language:EN-US;font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
<!--[endif]-->&nbsp;F = 16000(1,005)32
<!--[if gte msEquation 12]><span
   style='font-size:10.0pt;mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
   font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
   mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;mso-hansi-font-family:"Cambria Math";
   mso-bidi-font-family:Arial;mso-ansi-language:EN-US;font-style:italic;
   mso-bidi-font-style:normal'><m:chr
      m:val="⇒"/><span style='font-size:10.0pt;
     mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
     mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;
     mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;
     mso-ansi-language:EN-US;font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
<!--[endif]-->&nbsp;F = $ 18.768,69



2
– Ao
comprar seu carro, Luiz financiou R$ 18.000,00 a serem pagos com taxa de 2,25%
a.m. em 36 meses em regime de juros compostos. Sabendo-se que ele deu R$
3.900,00 de entrada, o valor aproximado que Luiz pagou pelo seu carro foi?



Objetivo:
valor pago pelo carro = F + 3.900

Solução:

F =?

i = 2,25
% a.m.= 0,0225

n = 36
meses&nbsp; 

P = 18.000

F = P ( 1 + i )n
<!--[if gte msEquation 12]><span
   style='font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
   mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial'><m:chr
      m:val="⇒"/><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
     mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math";
     mso-bidi-font-family:Arial'><![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 

 
<!--[endif]-->&nbsp; F = 18000(1+0,0225)36&nbsp; <!--[if gte msEquation 12]><m:opEmu
    m:val="on"/><span style='font-size:10.0pt;mso-ansi-font-size:10.0pt;
   mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:
   "Cambria Math";mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;mso-hansi-font-family:
   "Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;mso-ansi-language:EN-US;
   font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:chr
      m:val="⇒"/><span style='font-size:10.0pt;
     mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
     mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;
     mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;
     mso-ansi-language:EN-US;font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
<!--[endif]-->&nbsp;F = 18000(1,0225)36
<!--[if gte msEquation 12]><span
   style='font-size:10.0pt;mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
   font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
   mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;mso-hansi-font-family:"Cambria Math";
   mso-bidi-font-family:Arial;mso-ansi-language:EN-US;font-style:italic;
   mso-bidi-font-style:normal'><m:chr
      m:val="⇒"/><span style='font-size:10.0pt;
     mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
     mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;
     mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;
     mso-ansi-language:EN-US;font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
<!--[endif]-->&nbsp;F = $ 40.100,69



Logo:
VPC = F + 3.900 = 40.100,69 + 3.900 = 44.000,69.



Portanto,
o valor aproximado que Luiz pagou pelo seu carro foi de R$ 44.000,00
































3
– O
capital de $ 5.000 esteve aplicado durante 2 meses e quinze dias a juros
compostos de 2% a.m.. Calcular o montante.

Solução:

F =?

i = 2%
a.m.= 0,02

n = 2
meses e 15 dias = 75 dias = 75/30 = 2,5 meses&nbsp;


P = 5.000

F = P ( 1 + i )n
<!--[if gte msEquation 12]><span
   style='font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
   mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial'><m:chr
      m:val="⇒"/><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
     mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math";
     mso-bidi-font-family:Arial'><![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 

 
<!--[endif]-->&nbsp; F = 5000(1+0,02)2,5&nbsp; <!--[if gte msEquation 12]><m:opEmu
    m:val="on"/><span style='font-size:10.0pt;mso-ansi-font-size:10.0pt;
   mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:
   "Cambria Math";mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;mso-hansi-font-family:
   "Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;mso-ansi-language:EN-US;
   font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:chr
      m:val="⇒"/><span style='font-size:10.0pt;
     mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
     mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;
     mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;
     mso-ansi-language:EN-US;font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
<!--[endif]-->&nbsp;F = 5000(1,02)2,5
<!--[if gte msEquation 12]><span
   style='font-size:10.0pt;mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
   font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
   mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;mso-hansi-font-family:"Cambria Math";
   mso-bidi-font-family:Arial;mso-ansi-language:EN-US;font-style:italic;
   mso-bidi-font-style:normal'><m:chr
      m:val="⇒"/><span style='font-size:10.0pt;
     mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
     mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;
     mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;
     mso-ansi-language:EN-US;font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
<!--[endif]-->&nbsp;F = $ 5.253,76
























Observação:
Em juros compostos devemos transformar o período n na mesma unidade de tempo da
taxa i, ou seja, a unidade de tempo da taxa não se deve alterar e sim o
período.







Variações da fórmula &nbsp;&nbsp;









cálculo do principal (p)













cálculo da taxa (i)



cálculo do período (n)





Exemplos de aplicação

1
– Qual o
capital que deve ser aplicado para obter $ 61.180,46 em 2 anos e 8 meses, à
taxa de 15% a.q.?

Solução:

F =61.180,46

i = 15% a.q.= 0,15

n = 2 anos e 8 meses = 32
meses = 32/4 = 8 quadrimestres&nbsp; 

P = ?


















<!--[if gte msEquation 12]><i
 style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:10.0pt;font-family:
 "Cambria Math",serif;mso-bidi-font-family:Arial'>P=F<span
   style='font-size:10.0pt;mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;
   font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
   mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;font-style:
   italic;mso-bidi-font-style:normal'><i
   style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:10.0pt;font-family:
   "Cambria Math",serif;mso-bidi-font-family:Arial'>(1+i)<i
   style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:10.0pt;font-family:
   "Cambria Math",serif;mso-bidi-font-family:Arial'>-n<![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 

 
<!--[endif]-->&nbsp; <!--[if gte msEquation 12]><m:opEmu
    m:val="on"/><span style='font-size:10.0pt;mso-ansi-font-size:10.0pt;
   mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:
   "Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:
   Arial;font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:chr
      m:val="⇒"/><span style='font-size:10.0pt;
     mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
     mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math";
     mso-bidi-font-family:Arial;font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
<!--[endif]-->&nbsp;P = 61180,46(1+0,15)-8&nbsp; <!--[if gte msEquation 12]><m:opEmu
    m:val="on"/><span style='font-size:10.0pt;mso-ansi-font-size:10.0pt;
   mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:
   "Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:
   Arial;font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:chr
      m:val="⇒"/><span style='font-size:10.0pt;
     mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
     mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math";
     mso-bidi-font-family:Arial;font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
<!--[endif]-->&nbsp; P = 61180,46(1,15)-8&nbsp; <!--[if gte msEquation 12]><m:opEmu
    m:val="on"/><span style='font-size:10.0pt;mso-ansi-font-size:10.0pt;
   mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:
   "Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:
   Arial;font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:chr
      m:val="⇒"/><span style='font-size:10.0pt;
     mso-ansi-font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
     mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math";
     mso-bidi-font-family:Arial;font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
<!--[endif]-->&nbsp;P = $
20.000,00



2 – Qual a
taxa de juros mensal correspondente a um capital de $ 10.000, para obter $
55.599,17 em 1 ano e meio?








3 – Por&nbsp; quantos&nbsp;
meses&nbsp; devo aplicar&nbsp; o&nbsp;
capital de $ 12.000, a taxa de 20% a.m, para receber $ 51.597,80?









EXERCÍCIOS PROPOSTOS



1 - Determine
os juros e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00, no regime de
capitalização composta, nos seguintes casos:

&nbsp;a) à taxa de 22% ao ano, após dois anos; Resposta: R$ 4.884,00 e R$ 14.884,00. 

b) à
taxa de 30% ao ano, após 18 meses; Resposta: R$ 4.822,28 e R$ 14.822,28.

&nbsp;c) à taxa de 15% ao mês, após 45 dias; Resposta: R$ 2.332,38 e R$ 12.332,38. 

d) à
taxa de 2,5% ao mês, após 5 meses; Resposta: R$ 1.314,08 e R$ 11.314,08.



2
– Quais os juros que serão pagos por um empréstimo de $ 18.000 à taxa de 6%
a.m, por um período de 2 anos? R.: J = $54.880,823



3 - Determinar o montante que um
investimento de R$ 80.000,00 produzirá em dois semestres, à taxa de 15% ao
trimestre, no regime de capitalização composta. Resposta : R$ 139.920,50



4 - Quantos períodos serão necessários
para triplicar um capital, a juros compostos, à taxa de 10% ao período?
Resposta: 11,53.



5 - Qual a taxa mensal de juros compostos
que transforma um capital de R$ 30.000,00 em R$ 212.537,21 em dois anos?
Resposta: 8,5% a.m.



6 - O capital de R$ 100.000,00 colocado a
juros compostos, capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se, no final
desse prazo, a R$ 156.994,83. Calcular a taxa de juros aplicada. Resposta: 5,8%
a.m.



7 - Determinar o prazo necessário para que
uma aplicação no valor de R$ 20.000,00 se transforme em R$ 35.246,83, à taxa de
12% ao mês, no regime de juros compostos. Resposta: 5 meses.



8- Ricardo fez uma aplicação de R$
15.000,00 por 15 meses à taxa de 45% a.a., no regime de juros compostos.
Determine o montante recebido. Resposta: R$ 23.867,19 pela convenção
exponencial.



9 - Você vai adquirir dois títulos, o
primeiro tem valor de resgate de R$ 50.000,00 e prazo de resgate 6 meses; o
segundo tem valor de resgate de R$ 30.000,00 e prazo de resgate de 9 meses.
Qual o valor da aplicação, se a instituição financeira está oferecendo uma taxa
de 6% ao mês, no regime de juros compostos? Resposta: R$ 53.004,98 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Dica: Pt = P1 +P2





10 - Sabendo que um capital inicial, em
regime de juro composto, à taxa de 2,5%a.m., durante 4 meses, rendeu um
montante de R$ 79.475,00, calcule o capital inicial. &nbsp;Resposta: R$ 72.000,00



11 - Uma loja financia um bem de consumo
durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única
prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela
loja? 



12 - O capital de $ 8.700,00, colocado a
juros compostos à taxa de 3,5%a.m., elevou-se no fim de certo tempo a $ 11.456.
Calcule este tempo. 



13 - Calcule o tempo que deve deixar
aplicado um capital de R$ 2.980,00 para que possa resgatar R$ 3.198,38, sabendo
que a taxa pela qual o capital será remunerado é 1,5%am. 





14 - (ESPP 2012). Um
investidor vai aplicar um total de R$ 2.000,00 em dois bancos. No primeiro, a
uma taxa de 5% ao mês e, no segundo, a uma taxa de 3% ao mês. As duas
aplicações são em regime de juros compostos e o prazo é o mesmo (1 mês). Se o
investidor resgatou o mesmo valor nas duas aplicações, então assinale a
alternativa que indica respectivamente, os valores aproximados de investimento
em cada banco: Sabe-se que <!--[if gte msEquation 12]><span
   style='font-size:12.0pt;mso-ansi-font-size:12.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;
   font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
   mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;mso-hansi-font-family:"Cambria Math";
   mso-bidi-font-family:Arial;mso-bidi-font-weight:bold;font-style:italic;
   mso-bidi-font-style:normal'><i
   style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:12.0pt;font-family:
   "Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;mso-bidi-font-family:
   Arial'>2,08<i style='mso-bidi-font-style:
   normal'><span style='font-size:12.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
   mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;mso-bidi-font-family:Arial'>1,05<i
 style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:12.0pt;font-family:
 "Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:SymbolOOEnc;mso-bidi-font-family:
 Arial'>=1,95<![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 

 
<!--[endif]-->&nbsp;

a)R$ 900,00 e R$ 1.100,00

b)R$ 880,00 e R$ 1.120,00

c)R$ 950,00 e R$ 1.050,00

d)R$ 990,00 e R$ 1.010,00

e)R$ 800,00 e R$ 1.200,00



15 - Qual o tempo necessário para que um
capital, aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique seu valor? Resposta:
23,45 meses



16 - Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um
período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao
final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?

Resposta: 41,12 meses



17 - Certo capital foi colocado a juros
compostos de 6% a.s., durante dois anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de
juros, qual o montante obtido? Consideremos
(1,06)4 = 1,26

Resposta: R$ 12.600,00