[Cálculo Numérico] Ilustração para o método do ponto fixo
Autor: Luís Cláudio LA | Publicado: 2010-11-20T11:23:00-02:00


Nesse post vamos mostrar como você pode usar a ferramenta planilha do GeoGebra para produzir uma ilustração do método do ponto fixo para resolver equações (principalmente as transcendentes).





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Considere o problema de encontrar a raiz de uma função contínua $g(x)=0$ que possui uma raiz no intervalo $[a,\,b]$. O método do ponto fixo consiste em encontrar um valor de $x$ em $[a,\,b]$ tal que $f(x)=x$ onde a solução desta última equação é a mesma que faz com que $g(x)$=0. A função $f$ é chamada função de transição ou interação.




Para ilustrar mostraremos como encontrar uma raíz da função $g(x)=x-\sqrt{x}$. Nesse caso, o valor de x que faz com que $f(x)=x$ ou seja, $\sqrt{x}=x$ é o mesmo que faz com que $g(x)=x-\sqrt{x}=0$. Encontrar uma raiz para $g$ é, portanto, equivalente a encontrar um ponto fixo para $f$.&nbsp;

Vamos ao GeoGebra. Abra o seu software

no menu principal clique em EXIBIR&gt;&gt;PLANILHA;
ainda no CAMPO DE ENTRADA digite: y=x ; depois digite: f(x)=sqrt(x) ;
na célula A1 digite: =Ponto[EixoX]; aperte a tecla ESC e arraste o ponto A1 que apareceu sobre o EixoX. Deixe-o próximo de x=3.
na célula B1 digite: =(x(A1), f(x(A1)))
na célula C1 digite: =Segmento[A1, B1]
na célula A2 digite: =(y(B1), y(B1))
copie a fórmula da célula B1 para a célula B2 ou escreva na célula B2: =(x(A2), f(x(A2)))
copie a fórmula da célula C1 para a célula C2 ou escreva na célula C2: =Segmento[A2, B2]
na célula D2 digite: =Segmento[B1, A2]
selecione as células A2 até D2 (basta clicar em A2 e arrastar até D2.





Pronto. Agora basta repetir esse procedimento copiando-o para as células que estão abaixo. Para isso, basta clicar no pequeno quadrado azul na parte direita inferior da célula D2 e arrastar para baixo. Sugiro que arraste até a linha 20 (serão 20 interações)




Selecione as colunas A,B,C e D (basta clicar sobre a letra da coluna A e arrastar até a coluna D (ver figura seguinte). Feito isso, clique com o botão do lado direito do mouse sobre a planilha, selecione a opção PROPRIEDADES e na janela que aparecerá, DESMARQUE a opção EXIBIR RÓTULO.


 



Feito isso, o que pode fazer agora é embelezar sua construção, mas isso deixarei contigo. O applet a seguir mostra um dos resultados finais.....



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Quando for tentar resolver um outro problema, poderá se deparar com outras funções de transição (ou interação). Nesse caso poderá usar a construção feita para ilustrar a convergência ou divergência da sequência usada para se aproximar da raiz, a saber,&nbsp;


$$x_{k+1}=f(x_k)\;,\;k\in \mathbb{N}.$$&nbsp;

Use o CAMPO DE  ENTRADA no applet anterior para experimentar outras funções de  transição (para outros problemas). Modifique a escala, caso queira ou baixe o arquivo. Basta um  clique duplo em qualquer lugar do applet. Para modificar a função de  transição, basta escrever no CAMPO DE ENTRADA:
 

f(x)=x^2
f(x)=sin(x)
f(x)=abs(cos(x))

e assim por diante.





Agora... Divirta-se. Em sua diversão, que tal tentar construir a ilustração para o Método de Newton? É bem simples. Eu garanto. 



Grande abraço