Equações Algébricas: O Problema -  Parte I
Autor: Eduardo M. Rubik | Publicado: 2011-11-29T16:09:00-08:00








 
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Hoje vamos debater um pouco
sobre Matemática...

            Veja a resolução de um exercício, por um aluno do 1° Ano
do Ensino Médio, e depois comentaremos sobre ele.
















            Bom, o exercício tinha como objetivo
utilizar a Relação Trigonométrica Fundamental. Para tanto, foi dado o valor de cos x e o quadrante do ângulo a ser considerado e
pedia então para calcular o valor do sen&nbsp;x.

            Existem outros erros na resolução, mas
o que eu realmente quero discutir e enfatizar é&nbsp;aquela “passagem” do número 169 multiplicando o número 1 do lado
direito da igualdade. Infelizmente esse é um problema recorrente nas turmas de
ensino médio (pelo menos nas turmas de 1° ano do ensino médio, que são as que
eu trabalho. Ah, isso ocorre também na faculdade, onde trabalho com a
disciplina de Matemática Aplicada) e demonstra que o aluno não aprendeu
realmente os conceitos de resolução de equações algébricas e simplesmente opera
de forma mecânica. Veja! O&nbsp;grande objetivo, nesse
caso, depois de analisado o problema e montado a equação, é encontrar um valor
numérico para sen&nbsp;x, que é a incógnita do problema.
Nesse ponto não estamos mais falando de trigonometria, mas sim de resolução de
equações algébricas. E resolver uma equação algébrica significa encontrar um
valor numérico para a incógnita, nesse caso sen&nbsp;x, realizando operações matemáticas (soma, subtração, multiplicaçào e divisão).

            Aí é que entra a grande questão:
qual é a operação matemática que fez com que o 169 “suma”
do denominador da fração 25/169&nbsp;&nbsp;e apareça multiplicando o número 1 do outro
lado da igualdade? E a resposta é? Nenhuma! Ou seja, não existe operação
matemática (em nível de ensino médio, pelo menos) que faça a seguinte
transformação:





&nbsp;






            Veja só, como estamos trabalhando
com uma igualdade, se multiplicarmos 169 do lado direito, temos que fazer
também do lado esquerdo, caso contrário, estaremos
alterando a igualdade. Portanto, para “aparecer” o 169
do lado direito temos que fazer o seguinte: 







Ou seja,
multiplicar 169 dos dois lados.

            Se considerarmos a igualdade como uma balança, colocando 169kg dos dois lados não alteramos o seu equilíbrio.
Portanto, estamos mantendo a igualdade. Porém, nesse caso, teríamos o seguinte:



E não,







como fez
o aluno. E como fazem vários alunos...

            Isso provavelmente ocorre porque eles gravam apenas a
parte do “passa pro outro lado multiplicando se estiver dividindo” ou porque o
professor não explicou da forma correta.&nbsp;
Mas veja, por que passar
multiplicando? Porque a multiplicação é a operação inversa da divisão e então,
uma cancela a outra, sendo que o grande objetivo é isolar a incógnita. O que no
caso não ajudará em nada na “missão” de isolar o sen x&nbsp;, pois teremos 169(sen^2)x&nbsp;.

            Nesse caso a maneira mais correta
seria a seguinte:









            Para deixar o sen x&nbsp;&nbsp;"mais" sozinho precisamos dar um jeito (utilizando operações matemáticas) de
sumir com a fração do lado esquerdo. Como ela está somando, podemos subtrair o
mesmo valor do valor esquerdo, sabendo, logicamente, que a subtração de dois
números iguais é igual a zero. Mas lembre-se da balança, tudo que eu fizer de
um lado, tenho que fazer do outro. Então, 





E
é por isso que o valor que está somando do lado direito passa subtraindo do
lado esquerdo...continuando...

















            Nesse post nem vou entrar no problema
da soma de frações (outro problemão do ensino médio, infelizmente). 

            Veja o trabalho que dá resolver um
exercício relativamente simples. Percebam quantos conceitos importantes e
fundamentais precisamos resgatar lá do ensino fundamental...

            Portanto, o problema, na resolução do
aluno, está em não saber por que as coisas passam de um lado para o outro e
provavelmente a parte mecânica falhou na hora de informar quem vai pro outro
lado e com que sinal ele vai...

            Logicamente que este não é um estudo
científico, mas sim uma simples observação de um jovem professor de matemática
que gosta muito de pensar sobre essas coisas. 

            Espero que tenha ficado claro a
crítica no método “passa pra lá...passa pra cá” sem
que se pense no significado dessas passagens. E acredito que a dúvida de se o
169 pode ou não passar ou em que momento ele passa de
um lado para o outro e com qual sinal mora justamente no fato de não se mencionar
ou levar em conta que estamos realizando operações matemáticas.  

            Ah, eu aprendi isso somente na
faculdade de matemática, infelizmente.

            

Agora,
para mostrar que você realmente aprendeu e que desligou o piloto automático,
responda: porque na soma e na subtração alteramos o sinal e na divisão e
multiplicação isso não acontece???



Até
a próxima...



Eduardo
M. Rubik