TEORIA DOS CONJUNTOS
Autor: Penelope | Publicado: 2011-04-03T09:17:00-07:00


Símbolos

: pertence: existe
: não pertence: não existe
: está contido: para todo (ou qualquer que seja)
: não está contido: conjunto vazio
: contémN: conjunto dos números naturais
: não contémZ&nbsp;: conjunto dos números inteiros
/ : tal queQ: conjunto dos números racionais
: implica queQ'= I: conjunto dos números irracionais
: se, e somente seR: conjunto dos números reais


Representações de Conjuntosa)&nbsp;Extensão ou EnumeraçãoQuando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.Exemplos:Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.
Observações:Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.
b)&nbsp;Propriedade dos ElementosRepresentação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:A = {x | x tem a Propriedade P}e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.Exemplos:A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
B = {x | x é um número inteiro par e 8 &lt; x &lt; 22}. Último exemplo do item a) acima;
C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.
c)&nbsp;Diagrama de Euler-VennUm conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.Conjunto Unitário e Conjunto VazioEmbora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de&nbsp;conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de&nbsp;conjunto vazio&nbsp;(Ø).O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.Exemplos de Conjuntos Unitários:Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.
Exemplos de Conjuntos Vazios:{x | x &gt; 0 e x &lt; 0} = Ø;
Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
{x | x2&nbsp;= -1 e x é um número real} = Ø.
Conjunto UniversoÉ o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:Igualdade de ConjuntosDois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:Observações:A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
{a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.
SubconjuntoUm conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:onde a notaçãosignifica “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:Exemplos:{1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Ø C {a, b};
{a, b} C {a, b};
{a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.
Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:Propriedades da InclusãoSejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
D C E e E C D =&gt; D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
D C E e E C F =&gt; D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).
Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.Conjunto das PartesChama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:Exemplos:Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.
Observações:Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 23, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 22&nbsp;e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 21.
A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será feita oportunamente.Por enquanto é só. Aguardem o próximo artigo. Enquanto isto dê a sua opinião nos comentários, ela é muito importante.