VALORES MAXIMOS E MINIMOS ABSOLUTOS - Pontos críticos de uma função
Autor: Roberto Nascimento | Publicado: 2012-12-02T12:18:00-08:00

Em matemática, um ponto crítico, também chamado de ponto estacionário é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula. Os pontos críticos  serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de  inflexão, podendo-se descobrir em que categoria o ponto cai analisando a  sua segunda derivada (a curvatura) da função. A implicação inversa  também é verdadeira para extremos locais, ou seja, um ponto é um máximo  ou mínimo relativo se e só se for um ponto crítico. Tal já não é verdade  para máximos e mínimos absolutos. Também um ponto de inflexão  claramente não implica uma primeira derivada nula.

onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função
onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função
em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função : no ponto  a função tem um ponto de inflexão (horizontal).
em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função 
em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um  intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao  intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.

Obviamente, a função pode ter um comportamento para valores menores  que o ponto crítico e outro comportamento para valores maiores que o  ponto crítico.

 Identificação de pontos críticos de funções
Para identificar o tipo de ponto estacionário, torna-se necessário analisar também a segunda derivada de . Vamos supor que se queira analisar a função  de acordo com suas derivadas num determinado ponto (que chamaremos de x*).

 Sinal das derivadas Segunda derivada positiva, ou seja,  Segunda derivada nula, ou seja,  Segunda derivada negativa, ou seja,  
 Primeira derivada positiva, ou seja,  Não é ponto crítico; função é crescente neste ponto e gráfico tem concavidade voltada para cima (ou seja, é uma função convexa no intervalo analisado) Não é ponto crítico; função é crescente neste ponto Não é ponto crítico; função é crescente neste ponto e gráfico tem concavidade voltada para baixo (ou seja, é uma côncava no intervalo analisado) 
 Primeira derivada nula, ou seja,  É ponto crítico; a função atinge um mínimo local no ponto  É ponto crítico; Se a derivada segunda também for nula, não se pode  concluir se é ponto de mínimo, máximo ou sela. No entanto, se  for o ponto em questão e se existir algum número &nbsp;∈&nbsp;N tal que  se &nbsp;∈&nbsp;{…};&nbsp;≠&nbsp; É ponto crítico; ponto crítico; a função atinge um máximo local no ponto  
 Primeira derivada negativa, ou seja,  Não é ponto crítico; função é decrescente neste ponto e gráfico tem concavidade voltada para cima (ou seja, é uma função convexa no intervalo analisado) Não é ponto crítico; função é decrescente neste ponto Não é ponto crítico; função é decrescente neste ponto e gráfico tem concavidade voltada para baixo (ou seja, é uma côncava no intervalo analisado) 

então:

 tem um máximo local em  se  for par e ;
 tem um mínimo local em  se  for par e ;
 tem um ponto de inflexão horizontal em  se  for ímpar.







 Usando derivadas para desenhar gráficos de funções
As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local  terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no  ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem  todos os "pontos críticos" são extremos locais. Alguns são pontos de  inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos:  se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo  local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte  de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não  necessariamente). Uma vez que os extremos locais tenham sido  encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da  função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será  crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e  logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos  pontos críticos em cada lado.