Martingais
Autor: Lilia Maria | Publicado: 2012-05-13T21:51:00-03:00




Martingais:

História,
teoria e aplicações

Ana Paula Carvalho[1]

Lilia Maria Faccio[2]

Tiago Novaes Mathias[3]

Universidade Federal do ABC

Resumo

Este artigo pretende mostrar um
breve histórico do desenvolvimento da teoria dos martingais, sua definição e
algumas observações importantes. Para isso retomaremos alguns conceitos básicos,
porém muito imprescindíveis para a construção da definição dos martingais.
Veremos também algumas aplicações, para que assim possamos entender melhor sua
utilização. Entre elas, teremos uma aplicação na área financeira, onde
atualmente sua utilização tem sido de grande importância.

Abstract

This article aims to show a brief history of the development of the
theory of martingale, its definition and some important observations. For that,
we will see some basic concepts, but very essential for the construction of the
definition of martingale. We will see some applications, so that we can better
understand their use. Among them, we have an application in the financial area,
where now its use has been of great importance

Palavras-chave

Martingais, Submartingais, Supermartingais.





Introdução

“He [Bond] was
playing a progressive system (martingale) 
on red at table five. … It seems that he is persevering and plays in maximums.”
Ian
Fleming, Casino Royale 

A palavra martingal tem muitos significados[4],
mas o que nos interessa refere-se a um tipo de estratégia de apostas muito popular
na França no século 18. A idéia é muito simples e foi concebida para um jogo do
tipo “cara ou coroa”, em que o jogador ganha se cair cara e perde se for coroa.
Nesta estratégia, deve-se dobrar a sua aposta depois de cada perda de modo que,
na primeira vitória as perdas anteriores sejam recuperadas e ainda se tenha um
lucro igual ao primeiro valor apostado. 

Para que fique claro, daremos um exemplo
bastante elementar. Imagine que um jogador aposta R$1,00 na primeira jogada. O
oponente aposta também R$1,00. Se ele ganha, recebe os R$2,00, tendo um lucro
de R$1,00. Se perder, perde o R$1,00 apostado. Supondo que ele tenha perdido,
na segunda rodada ele e o oponente apostam R$2,00 cada um. Se ele ganhar,
recebe R$4,00. Seu lucro é de R$1,00, pois ele perdeu R$1,00 na primeira rodada
e apostou R$2,00 do seu capital. Se houver a terceira rodada, a aposta deve ser
de R$4,00. Se vencer recebe R$8,00, mas o lucro continua sendo de R$1,00, pois
ele já perdeu R$3,00 e tirou R$4,00 do seu capital para participar desta
rodada. Veja o quadro:


 

  
RODADA

  
APOSTA

  
RECEBE

  
PERDE

  
LUCRO

 

  
1

  
R$1,00

  
R$2,00

  
R$1,00

  
R$1,00

 

  
2

  
R$2,00

  
R$4,00

  
R$3,00

  
R$1,00

 

  
3

  
R$4,00

  
R$8,00

  
R$7,00

  
R$1,00

 



Se o jogador tivesse um capital infinito para
jogar, certamente ele garantiria o lucro, mas na realidade, ninguém possui tal
capital. Mais ainda, dado o crescimento exponencial da aposta, qualquer um pode
falir rapidamente em um dia de má sorte. Considerando este mesmo valor para a
aposta, em 20 rodadas sem sucesso ele estaria apostando R$524.288,00 e perdido (ou
investido) até o momento (considerando a aposta atual) R$1.048.575,00! Seria um
investimento muito grande para um lucro insignificante.

O conceito de martingais dentro da teoria das probabilidades foi
introduzido por Paul Pierre Lévy[5],
mas grande parte do desenvolvimento deve-se a Joseph Leo Doob[6],
cuja motivação era de mostrar a impossibilidade de estratégias bem sucedidas
para apostas.

Segundo. Dobb, a teoria dos martingais ilustra
a história da probabilidade matemática. As definições básicas foram inspiradas em noções simples de jogo, mas a teoria
se tornou uma ferramenta sofisticada na
matemática moderna.

1.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Conceitos e definições preliminares

Antes de iniciarmos o estudo sobre Martingais, vamos rever rapidamente
definições básicas que são pré-requisitos para a formalização de sua teoria. Não
iremos nos aprofundar em cada um destas definições, explicitando propriedades e
aplicações, pois assumimos que são conceitos previamente tratados.

Assim sendo, primeiramente devemos nos lembrar o que é um espaço de
probabilidades para em seguida definirmos os processos estocásticos. Na
sequência vamos colocar as definições de Probabilidade Condicional e Esperança
Matemática para em seguida usá-las no conceito de Esperança Condicional que é
fundamental na definição de Martingais.

1.1.Espaço de Probabilidades 

Definição: Um espaço de probabilidades
é definido por um trio (Ω, A, P)
onde:

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Ω é o espaço amostral

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
A é
uma sigma álgebra de subconjuntos do Ω

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
P é uma probabilidade em A

1.2.Processo Estocástico

Podemos dizer que Processo Estocástico é uma família de variáveis
aleatórias que supomos definidas num mesmo espaço de probabilidades. Vejamos agora
sua definição formal:

Definição: 

Seja τ um conjunto arbitrário dos
reais. Um processo estocástico é uma família {X(t), t 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 

 
&nbsp;τ}, tal que para cada t 
 
&nbsp;τ, X(t) é uma variável
aleatória.

1.3.Probabilidade condicional

Definição: 

Seja (Ω, A, P) um espaço de probabilidades. Se B 
 
&nbsp;A e P(B) &gt; 0, a probabilidade de A dado
B é definida por:


 
&nbsp;, para todo A
 
&nbsp;A

1.4.Esperança matemática 

Definição: 

Seja X uma variável
aleatória. A esperança de X é a média de todos os seus valores possíveis, dada
por:

Se X uma
     v.a. discreta: 



 


Se X uma
     v.a. contínua: 



 
, onde P(X = x) é a função de distribuição de probabilidades.

1.5.Esperança condicional 

Definição:

Seja X uma
variável aleatória. Esperança Condicional é a média (ou esperança) de X
condicionada a outra variável aleatória Y, dada por:

Se X uma
     v.a. discreta: 



 


Se X uma
     v.a. contínua: 



 
, onde P(X = x) é a função de distribuição de probabilidades.

2.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Martingais – definição e propriedades

2.1&nbsp; &nbsp;Definição (1):

Um processo estocástico {Xn,
n = 0, 1, 2, ...} é martingal se para n = 0, 1, 2,... estiverem
satisfeitas seguintes condições:





(i)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
E[|Xn|]
&lt; ∞ 

(ii)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
E[Xn+1
| X0, ..., Xn] = Xn

Observando a condição (ii) podemos dizer que o valor esperado para o
próximo evento aleatório Xn+1, dados todos os eventos aleatórios anteriores (X0,
..., Xn), é igual ao valor do último evento aleatório (Xn).


Segundo Samuel Karlin
e Howard M. Taylor, autores do livro “A first course in Stochastic Process”,
este é o conceito mais antigo para martingais e seu valor é apenas histórico.

A seguir explicitaremos uma definição mais geral, que
adotaremos em todo o nosso trabalho.

2.2&nbsp; Definição (2):

Dados
os processos estocásticos {Xn,
n = 0, 1, 2, ...} e {Yn, n = 0, 1, 2, ...}, dizemos que {Xn} é martingal
em relação a {Yn}, se
para n = 0, 1,2, ... as seguintes condições estivarem satisfeitas: 

(i)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
E[|Xn|]
&lt; ∞ 

(ii)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
E[Xn+1
| Y0, ..., Yn] = Xn

Podemos
pensar em Xn como
informação ou histórico de n etapas de um experimento. Tomando-se como exemplo
um jogo, estas variáveis poderiam ser tanto o histórico de apostas (Xl,
... , Xn) como também resultados de rodadas em que o jogador não
participou. Não há restrições para estas variáveis. Elas podem até ser um vetor
com finitas ou infinitas dimensões. 

Se
em algum texto ou problema aparecer apenas a referência “{Xn} é um martingal”,
significa que a seqüência {Yn} é irrelevante ou não evidente.

Para algumas situações, uma definição mais
geral e construída em torno de desigualdades pode ser mais interessante. Para
tanto, definiremos, de forma sucinta, Supermartingais e Submartingais.

2.3&nbsp; Supermartingais e Submartingais

Definição:

Sejam {Xn, n = 0, 1, 2, ...} e
{Yn, n = 0, 1, 2, ...} processos estocásticos.

{Xn}é chamado de supermartingal em relação a {Yn} se para todo n tivermos satisfeitas as seguintes
condições:

(i)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
E[X
 
] &gt; - ∞ onde x- = min {x, 0},

(ii)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
E[Xn+1 | Y0, ..., Yn] ≤
Xn ,

(iii)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Xn é uma função de (Y0, ..., Yn)

{Xn}é
chamado de submartingal em relação a
{Yn} se para todo n tivermos satisfeitas as
seguintes condições:

(i)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
E[X
 
] &gt; - ∞ onde x+ = max {x, 0},

(ii)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
E[Xn+1 | Y0, ..., Yn]
≥ Xn ,

(iii)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Xn é uma função de (Y0, ..., Yn) 

Assim
como para os martingais, pode acontecer de a supressão de {Yn} pelos mesmos motivos.

Importante:

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
{Xn} é martingal 
 
{Xn} é submartingal e supermartingal (simultâneamente).

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Martingais são processos “constantes em média”,
isto é:

E[X1] = E[X2] = E[X3]= ....





·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Submartingais são processos “crescentes em
média”, isto é:

E[X1] ≤ E[X2]
≤ E[X3] ≤ ....

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
Supermartingais são processos “decrescentes em
média”, isto é:

E[X1] ≥ E[X2]
≥ E[X3] ≥ ....

Exemplo 1: Vamos
demonstrar agora que se {Xn} é martingal então E[Xn+1] =
E[Xn].

Sabemos
que Xn é uma função de (Y0, ..., Yn), isto é, conhecendo-se os
valores de (Y0, ..., Yn) podemos determinar os valores de
Xn, em particular Xn =E[Xn+1 | Y0,
..., Yn].

Considerando agora a propriedade de
esperança condicional que diz: E[g(X)] = E{E[g(X|Y)]} temos:

E[Xn+1] =
E{E[Xn+1|(Y0,
..., Yn)]} = E[Xn] 

Portanto 

E[Xn+1] = E[Xn].

Com
este resultado podemos dizer que se {Xn} é um martingal, então E[X0]
= E[X1] = E[X2]= ....

3.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Martingais – exemplos e aplicações

Embora a base da Teoria dos Martingais já fosse conhecida no
século 18, nas últimas décadas muitos matemáticos têm se dedicado ao seu
estudo. Sendo uma parte bastante abstrata dos processos estocásticos, há inúmeras
aplicações nas mais diversas áreas. Atualmente, sua grande importância está na
área financeira.

3.1&nbsp; Martingais e os jogos

Muitos
exemplos de martingais aparecem em jogos simples como o que utilizamos no
início deste artigo. Vamos agora tomar como exemplo uma variação daquele
inicial.

No
n-ésimo lançamento de uma moeda honesta acrescentamos um valor A ao capital do
jogador se sair cara subtraímos a mesma quantidade se sair coroa. Seja K o
capital do jogador ao iniciar o jogo. Não há necessidade deste capital ser
positivo, assim ele pode jogar mesmo com um crédito negativo (em outras
palavras, devendo para a banca). Vamos considerar também que os lançamentos são
independentes.

Seja
Zj assim determinado:

Zj = A, se sair cara no j-ésimo
lançamento e

Zj = −A, se sair coroa no j-ésimo
lançamento,

Desta
forma, no n-ésimo lançamento do jogo, o capital do jogador será:

Xn = K + Z1 + Z2
+ ... + Zn.

Como Z1,
Z2,... são variáveis aleatórias independentes e, como E[Zi]=
0, {Xn} é um martingal, pois:

(i)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
E[| Xn |] &lt; ∞ (trivial)

(ii)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
E[Xn+1|X1, X2 , ... ,Xn
] = Xn

Prova:

E[Xn+1|X1 = a1,
X2 = a2, ... ,Xn = an] = 

= E[(Xn + Zn+1)| X1
= a1, X2 = a2, ... ,Xn = an]
=

= E[(an + Zn+1)| X1 = a1, X2 = a2,
... ,Xn = an] =

= an + E[Zn+1| X1 = a1, X2 = a2,
... ,Xn = an] =

= an + E[Zn+1] 

= an.

Como
an = Xn, então E[Xn+1|X1, X2
, ... ,Xn ] = Xn, portanto { Xn}é
um martingal





3.2&nbsp; Martingais e a área financeira

Renato Aguiar em seu trabalho “Previsibilidade de Retornos no Mercado
Acionário Brasileiro” observa que o modelo martingal é um dos mais antigos para
a modelagem dos preços no mercado financeiro. Ele explica que o sucesso do uso
deste modelo deve-se ao fato de que o mesmo está relacionado ao princípio de em
um jogo justo, no qual o ganho esperado para os jogadores é sempre zero, pois é
pouco provável que um indivíduo racional aceite um jogo no qual o resultado esperado
seja negativo, o que permitiria à outra parte um resultado positivo.

Dentro do modelo martingal, a melhor estimativa do preço de um ativo
para amanhã é o próprio preço do ativo hoje (jogo justo: ganho esperado é zero).
Esta afirmação pode ser representada pela expressão:


 
&nbsp;onde P é o preço do
ativo e t é o tempo

O modelo martingal foi por muito tempo considerado uma condição
essencial para um mercado eficiente, já que ele assume a imprevisibilidade dos
retornos dos ativos dado seu histórico de preços. Apesar do apelo intuitivo da
teoria do jogo justo, alguns estudos demonstraram que o modelo martigal não é
condição necessária ou suficiente para a explicação racional dos preços dos
ativos pois não considera o risco como variável.

3.3&nbsp; Teorema da votação: uma aplicação
interessante

Dois
candidatos estão concorrendo a uma eleição.O candidato A obteve a votos e o candidato B obteve b, sendo b &lt; a.

Vamos
mostrar que a probabilidade do candidato A estar sempre a frente do candidato B
na contagem é 
 
.

Seja
n = a + b o total de votos. Seja Sk o número de votos recebido pelo
candidato A após k votos Então Sn = a – b. Para 0 ≤ k ≤ n − 1, definimos:


 


O
primeiro passo para solução do problema é mostrar que X0, X1,
... , Xn−1 é um martingal. Note que a sequência X0, X1,
... , Xn está relacionada ao processo de contagem dos votos na ordem
inversa, onde X0 é uma função de Sn, Xn−1 é
uma função de S1, e assim por diante.

Consideremos
a esperança condicional E[Xk |X0,X1, . . . ,Xk−1].
Isto equivale à esperança do número de votos após terem sido contados k-1
votos.

Após
a contagem de n – k + 1 votos, temos a seguinte situação:

Votos do candidato A: n
− k + 1 + Sn−k+1

Votos do candidato B: n
− k + 1 − Sn−k+1

O
(n − k + 1)-ésimo é um voto aleatório dentre os n − k + 1 votos, portanto

Sn−k = Sn−k+1
+ 1 se o (n − k + 1)-ésimo voto for para o candidato B

Sn−k = Sn−k+1
− 1 se o (n − k + 1)-ésimo voto for para o candidato A

Para
k ≥ 1 temos


 


Isso
mostra que X0, X1, ... , Xn−1 é um martingal

Seja
T o menor valor de k para o qual Xk = 0, caso ele exista e T = n – 1
caso contrário.


 


Agora
vamos considerar duas situações:

Caso
1 – O candidato A sempre lidera a votação

Neste caso todos os Sn−k (e consequentemente todos os Xk)
são positivos para 0≤k≤n − 1, e XT = Xn−1 = S1
= 1 (S1 = 1 vem do fato que o candidato A ter recebido o primeiro
voto uma vez que a hipótese é que ele sempre lidera)

Caso
2 – O candidato A não está sempre na liderança da votação

Neste caso, consideramos que para algum k &lt; n − 1, Xk = 0.

Se em algum momento da apuração o candidato B lidera, então existe um
ponto intermediário k onde Sk (e consequentemente Xk ) é
0.

Assim T = k &lt; n − 1 e XT = 0.

Considerando
que o candidato A tem mais votos que o candidato B, 


 


Portanto
a probabilidade do candidato A sempre liderar a contagem será 
 
.





3.4&nbsp; Martingais em estudos populacionais

Em
nossas pesquisas, encontramos referências de estudos populacionais utilizando técnicas
semelhantes a martingais desde o século 17. Até hoje martigais são amplamente
utilizados para descrever alguns modelos.

O
estudo do desenvolvimento populacional de colônias de amebas[7] é
um dos exemplos mais citados. A seguir, vamos expor de forma sucinta come
seriam tais estudos

Seja
p a probabilidade de uma ameba dividir, dando origem a dois seres idênticos ao
primeiro. Consequentemente, a probabilidade de uma ameba morrer antes de se
dividir é 1 - p. 

Seja
Xn amebas é o número de sobreviventes na enésima geração (note que Xn = 0 se a
população foi extinta). 

Seja
q a probabilidade de uma eventual extinção. Definir uma função que relacione p
e q é um exercício instrutivo. A melhor tática para definir tal função é
considerar que a probabilidade dos descendentes de uma ameba eventualmente
morrer igual à probabilidade de uma ameba morrer antes de se dividir.

Então
{Xn onde n = 1, 2, ...} é um martingal.

4.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Conclusão

O nosso objetivo ao desenvolver este trabalho não era esgotar o assunto “Martingais”
e sim mostrar as suas origens e uma definição que desse uma noção simples,
porém exata do seu significado. 

Na busca de aplicações, encontramos muitas e em diversas áreas, porém
todas têm um objetivo comum: estimar um valor esperado no futuro condicionado às
informações que temos até o presente.

Bibliografia

DOOB, J. L.;The American Mathematical Monthly,
Vol. 78, No. 5. (1971), pp. 451-463.Disponível em: http://www.jstor.org/stable/2317751
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KARLIN, Samuel. (1975) A first course in
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ALIEV, Amir. (2007) What Is a Martingale? Texto russo traduzido por
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em http://professores.ibmecrj.br/pepe/teaching/exemplo.pdf
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em http://www.sbmac.org.br/boletim/arquivos2007/volume-29.pdf
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HINOJOSA, Adrian.
Uma introdução aos Processos Estocásticos com aplicações. UFMG. Disponível em http://homepages.dcc.ufmg.br/~marques/livro/Uma_Introducao_aos_Processos_Estocasticos.pdf
Acessado em 02/08/2009.

&nbsp;SILVA, Fabrício Luís S. da (e outros). (2008) Martingales.
UNICAMP. Campinas. Disponível em http://www.ic.unicamp.br/~fkm/disciplinas/mo419/seminario-martingales.pdf
Acessado em 02/08/2009.

Knowledgerush Enciclopedia. Martingale. Disponível em http://www.knowledgerush.com/kr/encyclopedia/Martingale/
Acessado em 30/07/2009







[1]
Mestranda em Matemática



[2]
Mestranda em Engenharia da Informação



[3]
Mestrando em Engenharia da Informação



[4] O mais antigo significado de martingal é um tipo de rédea
usado em cavalos para controlar a cabeça. O termo, em inglês,
martingale, refere-se ao habitante de Martigues, uma
aldeia francesa.



[5] Paul
Pierre Lévy (15/09/1886 – 15/12/1971) matemático francês.



[6] Joseph
Leo Doob (27/-2/1910–07/06/2004) matemático americano



[7] O tipo
para comum de reprodução destes seres vivos é a bipartição.

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Apresentado em agosto de 2009 em Processos Estocásticos na UFABC, disciplina ministrada pelo Prof. Dr. João Ricardo Sato