Aprenda a magnífica técnica de derivar um vetor 
Autor: Elisio da Silva | Publicado: 2015-02-27T23:30:00-03:00




Antes de aprendermos a magnífica técnica de derivar um vetor em relação a uma dada variável é necessário que o aluno recorde alguns tópicos bem fáceis do Cálculo Vetorial. Tentaremos revisar esses tópicos de maneira bem interessante para que o aluno se sinta seguro em prosseguir neste interessante tema. Os assuntos tratados aqui, sobre vetores, não são novidades, apenas recordaremos algumas técnicas que os envolvem, pois com o passar do tempo o estudante, devido a outras atividades profissionais, pode esquecê-los.


Portanto, resumiremos sobre alguns tópicos importantes sobre vetores no espaço bidimensional e tridimensional, componentes escalares e vetoriais, vetores unitários ou versores, produto escalar ou produto interno. Depois, chegaremos na magnífica técnica de derivação de um vetor em relação a uma variável x e da derivação do produto escalar. No final do estudo são lançados e respondidos quatro questões para fixar mais o aprendizado do aluno sobre o tema.


Sabemos que os vetores são assuntos presentes em todos os estudos que envolvem as Ciências Exatas, por isso abra sua mente e tenha um profundo interesse e dedicação neste tema. Os leitores deste blog residentes no Brasil, Angola, Portugal, Índia, França, nas Américas e em toda a Europa que recebem estes estudos via e-mail não conseguirão ver as equações em um formato elegante, por isso precisam acessar as postagens pelos seus navegadores Firefox, IE, Chrome e outros. Bons estudos! 



VISUALIZAÇÃO DE UM VETOR EM DUAS DIMENSÕES



As figuras a seguir foram inseridas apenas para você visualizar e recordar sobre um vetor e suas componentes. Inicialmente, vamos considerar um vetor A, no espaço bidimensional, de acordo com a figura abaixo. O vetor A possui componentes escalares, dadas por Ax e Ay e componentes vetoriais, dadas por Axi e Ayj, que atuam nas direções positivas dos versores i e j. Os versores são vetores unitários e ortogonais. Possuem características interessantes de serem fixos no espaço e não variar com o tempo.




Estamos interessados nas componentes vetoriais do vetor A, que de acordo com a figura é dada por



$$\vec{A}=A_{x}\hat{i}+A_{y}}{\hat{j}.$$




VISUALIZAÇÃO DE UM VETOR EM TRÊS DIMENSÕES



Agora, vamos considerar um vetor A, no espaço tridimensional, de acordo com a figura abaixo. Dessa vez, o&nbsp; vetor A possui componentes escalares, dadas por&nbsp; Ax e Ay e Ax e componentes vetoriais dadas por Axi, Ayj e Ayz. Observe que as componentes do vetor A também são atuantes nas direções positivas dos versores cartesianos unitários e positivos i, j, k.





Estamos interessados nas componentes vetoriais do vetor A, que&nbsp;de acordo com a figura é expressada por


$$\vec{A}=A_{x}\hat{i}+A_{y}}{\hat{j}+A_{z}}{\hat{k}}.$$



O PRODUTO ESCALAR ENTRE VETORES



Já estamos um pouco familiarizados com o conceito de produto escalar ou produto interno entre dois vetores: obtemos um pequena noção sobre produto interno no estudo intitulado O Delta de Kronecker, a partir da página 2.


Para iniciarmos nosso trabalho com os vetores vamos optar por representá-los por duas letras gregas, no caso, pela letra alfa e por beta. Sabemos que o produto escalar é definido como:


$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|cos\theta.$$



Igualando o ângulo a 0º, seu cosseno se igualará a 1 e a expressão acima torna-se


$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|.$$


Vimos, de acordo com a última figura, que no sistema de coordenadas cartesianas os vetores podem ser  especificados pelas suas respectivas componentes vetoriais, nesse caso, por:


$$\vec{\alpha} =\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}}{\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k}$$


e por



$$\vec{\beta} =\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}.$$




PRODUTO ESCALAR EM FUNÇÃO DAS COMPONENTES VETORIAIS



O cálculo do produto escalar destes vetores em função das suas componentes pode ser efetuado da seguinte maneira:


$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}=(\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k})(\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}).$$



Utilizando as seguintes propriedades dos versores


$$\hat{i}\cdot \hat{i}=\hat{j}\cdot \hat{j}=\hat{k}\cdot \hat{k}=1$$


e


$$\hat{i}\cdot \hat{j}=\hat{i}\cdot \hat{k}=\hat{j}\cdot \hat{k}=0,$$



podemos multiplicar cada termo das componentes vetoriais do vetor alfa


$$(\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}}{\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k})$$


por cada termo das componentes vetoriais do vetor beta


$$(\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}),$$


com o intuito de obter a expressão do produto interno como um número real (um escalar) e obtermos para o espaço tridimensional a seguinte expressão:


$$\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}=\alpha_{x}\beta_{x}+\alpha_{y}\beta_{y}+\alpha_{z}\beta_{z}.$$


E, para o espaço bidimensional, a relação acima se reduz a


$$\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}=\alpha_{x}\beta_{x}+\alpha_{y}\beta_{y}.$$



CÁLCULO DA DERIVADA DE UM VETOR



Dado um vetor


$$\vec{\alpha}=\alpha_{x}\vec{i}+\alpha_{y}\vec{j}++\alpha_{z}\vec{k},$$ 


sua derivada em relação a variável x pode ser dada por:


$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d\alpha_{x}}{dx}\vec{i}+\frac{d\alpha_{y}}{dx}\vec{j}+\frac{d\alpha_{z}}{dx}\vec{k}.$$


Para o espaço bidimensional a relação acima se reduz a


$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d\alpha_{x}}{dx}\vec{i}+\frac{d\alpha_{y}}{dx}\vec{j}.$$


A seguir, vamos praticar o que aprendemos até aqui por meio de exercícios.



EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1



Derive o seguinte vetor em relação a x:


$$\vec{\alpha}= 2x^{2}\vec{i}+x^{2}\vec{j}.$$


A derivada do vetor em relação a variável x pode ser dada por:



$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d(2x^{2}\vec{i}+{x^{2}\vec{j})}}{dx}=4x\vec{i}+2x\vec{j}.$$


Calcule o valor desta derivada no ponto x = 1.


Basta substituir o x por 1 e temos que


$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}= 4.1\vec{i}+2.1\vec{j} =4\vec{i}+2\vec{j}.$$



EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 2



Derive o seguinte vetor em relação a x:


$$\vec{\beta}= 6x^{3}\vec{i}+4x^{2}\vec{j}-2x\vec{k}.$$


A derivada do vetor em relação a variável x pode ser dada por: 


$$\frac{d{\vec{\beta}}}{dx}=\frac{d(6x^{3}\vec{i}+4x^{2}\vec{j}-2x\vec{k})}{dx}=18x^{2}\vec{i}+8x\vec{j}-2\vec{k}.$$


Calcule o valor desta derivada no ponto x = 1.


Basta substituir o x por 1 e temos que


$$\frac{d{\vec{\beta}}}{dx}=18x^{2}\vec{i}+8x\vec{j}-2\vec{k}=18\vec{i}+8\vec{j}-2\vec{k}.$$



CÁLCULO DA DERIVADA DE UM PRODUTO ESCALAR



Já estudamos um pouco sobre a derivada do produto usando o método usual no estudo intitulado&nbsp; Como calcular facilmente a derivada do produto. Pois bem, o método usual para a derivada do produto é análoga à da derivada de um produto escalar e pode ser obtida mediante a seguinte regra:


$$\frac{d}{dx}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot \frac{d{\vec{\beta}}}{dx}+\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}\cdot \vec{\beta}$$


A seguir, vamos praticar o que aprendemos na teoria por meio de exercícios.



EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 3





Considere os vetores


$$\vec{\alpha}= 2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j}$$


e


$$\vec{\beta}= 3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j}.$$


Derive o produto escalar entre esses vetores.


Aplicando a regra de derivação de um produto escalar, temos que


$$\frac{d}{dx}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot 
\frac{d{\vec{\beta}}}{dx}+\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}\cdot \vec{\beta}.$$ 


Calculando a derivada do vetor alfa


$$\frac{{d\vec{\alpha}}}{dx}=2\vec{i}+4x\vec{j}.$$


Calculando a derivada do vetor beta


$$\frac{{d\vec{\beta}}}{dx}=6x\vec{i}+4x\vec{j}.$$


Substituindo esses valores na expressão da regra do produto interno, temos


$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot (6x\vec{i}+4x\vec{j})+(2\vec{i}+4x\vec{j})\cdot \vec{\beta}.$$


Portanto,


$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=(2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j}) \cdot (6x\vec{i}+4x\vec{j})+(2\vec{i}+4x\vec{j})\cdot (3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j}),$$


equivale a: 


$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=18x^{2}-16x^{3}.$$



EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 4



Calcule por outro método o produto escalar dos vetores do exercício anterior.


Podemos fazer esta operação do seguinte modo:


Inicialmente, fazer o produto escalar do vetor alfa com o vetor beta:


$$(\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta})=(2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j})(3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j})=6x^{3}-4x^{4}.$$


Depois, derivar o resultado em relação a x e encontraremos novamente o resultado


$$\frac{d(6x^{3}-4x^{4})}{dx}=18x^{2}-16x^{3}.$$



CONTINUE APRENDENDO



Viu como foi fácil derivar um vetor? Agora é sua vez de fazer a sua parte, repetindo os cálculos feitos por aqui no seu caderno, lendo mais nos livros didáticos ou na rede sobre vetores unitários, regras de derivação de vetores, componentes vetoriais e produto escalar. Espero que este estudo ajude você de alguma maneira. Se ajudou comente aí. Se você estiver gostando do meu trabalho, recomende-o para os colegas e amigos de escolas e de universidades. Obrigado pela paciência e sucesso para você.