Matemática para Concursos– 17ª Parte
Autor: Marcos R Escatambulo | Publicado: 2008-06-02T13:39:00-07:00

Objetivos:           Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática    básica de nível primário e secundário e que são    pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo    podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste décimo - sétimo    tutorial   serão tratados assuntos sobre sistemas lineares, bem    como definições, exemplos e problemas resolvidos.  Este    tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura,    sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento    personalizado em questões de maior abrangência, porém     serve como uma fonte de direcionamento e consulta.           Sistemas Lineares           Definição           É todo sistema que pode ser definido em que  se têm “m” equações     a “n” incógnitas do tipo a seguir:                      Exemplos de fixação de definição           1) O sistema S1, informado abaixo, é um sistema linear com 3 equações     e 3 variáveis de primeiro grau.           S1 =        2x + 4y –z = 4                         -2x    + 3y + 4z = 7                         X    + y + 5z = 9           2) O sistema S2, informado abaixo, é considerado um sistema linear     com 04 equações e 3 variáveis.           S2 =        5x + 4y + z = 5                         -3x       + 7y + 3y =6                         X       + y + 4z = 8                         4x    + 2y – 5z = 15           3) O sistema S3, informado abaixo, é considerado um sistema linear     homogêneo com 3 equações e variáveis.           S3 =        2x + 5y – z = 0                         -3x    + 2y + 2z = 0                         X    + y + 5z = 0           Este sistema é considerado homogêneo porque todos os termos     do sistema são nulos ou igual 0.           Soluções de um Sistema Linear           Podemos dizer que um sistema de equações  lineares com “n” incógnitas,    que podem ser colocadas como X1, X2, X3, X4...., admite como sua solução    uma seqüência em ordem definida como r1, r2, r3, r4, se e somente    nesta condição, substituindo X1 = r1, X2 = r2, X3 = r3, X4,    r4, Xn = rn, e em todas as equações do sistema informado, elas     se tornarem todas verdadeiras.           - Exemplos de fixação de definição           Observe o sistema:           X + y = 12           X - y = 4           Temos aqui uma solução igual a (8, 4), pois se substituindo     x = 8 e y = 4 em cada equação dada do sistema temos o cálculo:           ( 8 ) + ( 4 ) = 12     (afirmação     verdadeira)           ( 8 ) – ( 4 ) = 4       (afirmação    verdadeira)           Observe o sistema abaixo:           X + y = 16           X – y = 2           Temos aqui uma solução igual a (7, 9), pois se substituindo     x = 9 e y = 9 em cada equação dada do sistema temos o cálculo:           ( 7 ) + ( 9 ) = 16     (afirmação     verdadeira)           ( 7 ) – ( 9 ) = 2       (afirmação     verdadeira)           Um outro exemplo de solução:           X + y = 42           X – y = 8           Temos aqui uma solução igual a (25, 17), pois se substituindo     x = 25 e y = 17 em cada equação dada do sistema temos o cálculo:           ( 25 ) + ( 17 ) = 42  (afirmação     verdadeira)           ( 25 ) – ( 17 ) = 8    (afirmação     verdadeira)           Um sistema linear pode ter mais de uma solução ou mesmo pode     não possuir nenhuma solução.           Tipos de sistema linear           Conforme as soluções os sistemas lineares podem ser definidos     como:           - Uma única solução: Pode ser chamado     de sistema linear determinado.           - Várias soluções: Pode ser chamado     de sistema linear indeterminado.           Obs. Se ao buscar  o valor de uma das variáveis, chegarmos a     uma expressão do tipo:           3 = 3 ou 0 = 0           Ou qualquer outra expressão que tenha uma sentença que seja    sempre verdadeira, o sistema terá infinitas soluções     e poderemos chamá-lo de possível, mas indeterminado.           - Não tem solução: Pode ser chamado     de sistema linear impossível           Obs. Se ao buscar  o valor de uma das variáveis, chegarmos a     uma expressão do tipo:           0 = 3 ou 2 = 5           Ou qualquer outra expressão que tenha uma sentença que seja    sempre falsa, o sistema não terá qualquer solução     e poderemos chamá-lo de impossível.           O conjunto solução de um sistema chamado de impossível é  vazio.           Propriedades de um Sistema Linear           1) Um sistema linear chamado de homogêneo tem sempre pelo menos       uma solução, pois :           X1 = 0           X2 = 0           X3 = 0, Xn = 0           Sempre terá todas as sentenças do sistema verdadeiras.           A solução (0,0,0,0....) é  chamada de solução     trivial.           2) Um sistema com n equações e n variáveis terá uma    solução única (chamado de sistema determinado) se, e    somente na condição de, que o determinante formado pelos coeficientes     do sistema for diferente de zero (≠0).           Operações elementares com sistema linear           Existem 03 tipos de operações que podemos chamar de “elementares” e    que podem ser feitas no cálculo de um sistema linear de equações,    de forma que transforme este sistema em outro equivalente, porém mais     simples.           Observe abaixo um exemplo de como trabalhar com estas operações    elementares sobre linhas. O sistema que está  à direta na tabela    já é o resultado da ação de cálculo da     operação elementar.           1. Troca de posição de duas equações     do sistema                      2. Multiplicação de uma equação por     um número não nulo                      3. Adição de duas equações do sistema                      Nas próximas lições veremos mais sobre os principais     temas de matemática para concursos.           Até  a próxima.