Atividades de aprendizagem classificadas em níveis: baixo, médio e alto
Autor: Thailise Peccatti | Publicado: 2010-11-29T16:24:00-08:00

&nbsp;&nbsp; &nbsp;1) Escreva uma P.A de 8 termos em que \(a_1=6\) e \(r=-4\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Para começar temos os seguintes dados:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_1=6\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(r=-4\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;E para calcular o segundo termo basta somar o nosso primeiro termo e a razão r &nbsp;da P.A dada:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_2=a_1+r\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_2=6+(-4)\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_2=2\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp; Dessa forma, conseguiremos calcular os próximos 8 termos dessa P.A
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Logo, a nossa P.A será: P.A (6, 2, -2, -6, -10, -14, -18, -22)
&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 2) Encontre o termo geral da P.A. (2,7,...).
&nbsp;&nbsp; &nbsp;À partir da P.A dada temos os seguintes dados:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_1=2\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_2=7\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(r=a_2-a_1\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(r=7-2\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;r=5
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Agora é só aplicar os dados do problema na fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_{n}=2+(n-1)5\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_{n}=2+5n-5\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_{n}=5n-3\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Logo,&nbsp;\(a_{n}=5n-3.\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 3) Numa P.A&nbsp;\(a_4=12\)&nbsp;e&nbsp;\(a_9=27\).Calcule&nbsp;\(a_{3.}\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp; Dos dados que temos, podemos pensar em obter uma P.A em que o nosso a₁ seja o que a quastão nos propõe como \(a_4\)&nbsp;e o \(a_9\)&nbsp;sendo o nosso último termo dessa nova P.A. assim, encontraremos a razão dessa progressão:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;P.A (12, __,__,...,27)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Com essa nova P.A., temos os seguintes dados:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_1=12\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_6=27\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(n=6\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Com esses dados, podemos substituí-los na fórmula do termo geral e encontrar a razão r:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(27=12+(6-1)r\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(15=5r\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(r=3\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Assim, a razão da nova P.A é r=3, o que de modo análogo será o mesmo que a P.A inicial.
&nbsp;&nbsp; &nbsp;De tal forma, voltando à P.A inicial e tendo os termos&nbsp;\(a_4=12\)&nbsp;e\(&nbsp;r=3\), podemos assim calcular o termo a₃:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_4=a_3+r\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(12=a_3+3\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_3=9\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Logo, obtemos&nbsp;\(a_3=9.\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp; Obs.: este cálculo poderia também ser mostrado através das Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 4) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8?
&nbsp;&nbsp; &nbsp;O exercício nos dá uma P.A. no seguinte formato:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;P.A.(2,__,__,__,__,__,...,66)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Dessa P.A e do exercício temos os dados abaixo:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;r=8
&nbsp;&nbsp;&nbsp;\(a_1=2\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;\(&nbsp;a_{n}=66\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;O que temos que calcular é o n,ou seja, o número de termos entre 2 e 66, podendo isso se calculado pela fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(66=2+(n-1)8\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(66-2=8n-8\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(64-8=8n\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;\(n=((56)/8)\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(n=7\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Logo, sabemos que a nossa P.A. tem 7 termos, porém o que queremos saber são quantos meios existem entre 2 e 66, assim :
&nbsp;&nbsp; &nbsp;n=7-2
&nbsp;&nbsp; &nbsp;n=5
&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 5) Ache três números em P.A crescente sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Primeiramente vamos indicar nossa P.A.:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(P.A. (x-r,x,x+r)\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Obs.: Para sabermos que a nossa P.A é desse formato basta pensarmos nas Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Assim, tendo a P.A e os dados do problemas, podemos formar um sistema, onde:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\((x-r)+x+(x+r)=15\)&nbsp;&nbsp;------&nbsp;\(3x=15\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\((x-r)x(x+r)=105\)&nbsp;&nbsp;----------&nbsp;\(x(x^2-r^2)=105\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Resolvendo a primeira parte do sistema, temos:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;\(3x=15\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(x=5\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Sabendo que&nbsp;\(x=5\), conseguimos resolver a segunda parte do sistema:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(x(x^2-r^2)=105\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(5(5^2-r^2)=105\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(5(25-r^2)=105\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(25-r^2=21\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(25-21=r^2\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(r^2=4\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(r=±2\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp; Agora vamos verificar para quais valores de r obtemos uma P.A. crescente:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Sendo r=+2 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Sendo r=-2
&nbsp;&nbsp; &nbsp;1º termo = x-r=6-(+2)=4 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;1º termo = x-r=6-(-2)=8 &nbsp; 
&nbsp;&nbsp; &nbsp;2º termo = x=6 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 2º termo = x=6
&nbsp;&nbsp; &nbsp;3º termo = x+r=6+(+2)=8 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;3º termo = x+r=6+(+2)=8
&nbsp;&nbsp; &nbsp;P.A.(4, 6, 8) &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;P.A.(8, 6, 4)
&nbsp;&nbsp; &nbsp; Assim verificado temos que a P.A de termos crescentes pedida onde sua soma é 15 e seu produto é 105 é:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;P.A.(4, 6, 8)
&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 6) Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever o livro?
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Primeiramente podemos pensar no que cada um desses dados está se referindo dentro de uma Progressão Aritmética. assim podemos começar a escrevê-la:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Os termos de nossa P.A. são as linhas escritas em cada dia, assim&nbsp;\(a_1=20\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;A razão é 5 devido à cada dia escrever o número de linhas do dia anterior mais 5, assim&nbsp;\(r=5\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Logo podemos pensar na P.A da seguinte maneira:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;\(P.A.(20, 25,30,...)\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Sabendo que o livro tem 17 página e cada página com 25 linha, sabemos o total de linhas do livro, que atribuiremos de&nbsp;\(S_{n}=17×25\)&nbsp;----&nbsp;\(S_{n}=425\).
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Assim temos:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_1=20\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(r=5\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(S_{n}=425\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Como querenos encontrar o n, que será o número de dias, e tendo&nbsp;\(a_1\)&nbsp;e r, substituímos na fórmula do termo geral:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;\(a_{n}=20+(n-1)5\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_{n}=20+5-n-5\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(a_{n}=5-n+15\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Dessa fórmula ainda não conseguimos sabeo o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro, logo, tendo&nbsp;\(S_{n}=425\), subtituimos o valor encontrado na fórmula da Soma:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(S_{n}=((a_1+a_n)n)/2\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(425=((20+5_n+15)n)/2\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(850=(35+5-n)/2\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(5_n^2+35_n-850=0\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Resolvendo essa equação pela fórmula de báskara, encontramos:
&nbsp;&nbsp; &nbsp;\(n=10\)&nbsp;e&nbsp;\(n=16\)
&nbsp;&nbsp; &nbsp;Assim, o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro é&nbsp;\(n=10\).