Trigonometria: Elementos gerais sobre Trigonometria
Autor: Prof. Diemes | Publicado: 2012-03-06T08:47:00-08:00












  Trigonometria: Elementos gerais sobre Trigonometria 
 O papel da trigonometria
Ponto móvel sobre uma curva
Arcos da circunferência
Medida de um arco
 O número pi
Unidades de medida de arcos
Arcos de uma volta
Mudança de unidades


 
O papel da trigonometriaA palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri  (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais  amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria  podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e  ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias  inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide,  distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre  outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu  uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos,  Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.

 
Ponto móvel sobre uma curvaConsideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está  localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e  que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser  deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um  ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por  convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um  relógio) é adotado como sentido positivo. 

 
Arcos da circunferênciaSe um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele  descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade  do arco. 
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado  e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de  A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A. 
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois  pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados  sendo A e B as suas extremidades.

 
Medida de um arcoA medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um  outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u  for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o  número de vezes que o arco u cabe no arco AB.
Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u.  Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u),  temos m(AB)=5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica  de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco,  associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário,  e negativo se o sentido for horário. 

 
O número piPara toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega ,  que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a  divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número  é dada por:
 = 3,1415926535897932384626433832795...Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.

 
Unidades de medida de arcosA unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o  radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não  é muito comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo  comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco.  Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento  do raio ou 1 radiano, que denotaremos  por 1 rad.

Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um  arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo  8 cm, fazemos,

m(AB)=comprimento do arco(AB)
comprimento do raio=12
8
Portanto m(AB)=1,5 radianos

 
Arcos de uma voltaSe AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2r, então:

m(AB)=comprimento do arco(AB)
comprimento do raio=2r
r=2
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é,
2 rad=360 grausPodemos estabelecer os resultados seguintes

Desenho
Grau90180270360
Grado100200300400
Radiano/23/22
0 graus = 0 grado = 0 radianos

 
Mudança de unidadesConsideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida  corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela  seguinte proporção,
2  rad …………… 360 graus
R&nbsp;rad&nbsp;&nbsp;……………&nbsp;&nbsp;G&nbsp;&nbsp;grausAssim, temos a igualdade R/2=G/360, ou ainda,

R
&nbsp;=G
180
ExemplosPara determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos

R
&nbsp;=60
180
Assim R=/3 ou 60 graus=/3 rad

Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:

1
 =G
180
Asim 1 rad=180/ graus.
Você pode obter mais informações sobre o grau e o radiano, com notas  históricas, ilustrações e curiosidades na nossa página sobre  Geometria Plana: Ângulos
Um arco AB de uma circunferência tem comprimento L. Se o raio da circunferência mede 4 cm, qual a medida em radianos do arco AB, se:
(a) L=6cm&nbsp;&nbsp;&nbsp;(b) L=16cm&nbsp;&nbsp;&nbsp;(c) L=22cm&nbsp;&nbsp;(d) L=30cm
Em uma circunferência de raio R, calcule a medida de um arco em radianos, que tem o triplo do comprimento do raio.

Um atleta percorre 1/3 de uma pista circular, correndo sobre uma  única raia. Qual é a medida do arco percorrido em graus? E em radianos?

Em  uma pista de atletismo circular com quatro raias, a medida do raio da  circunferência até o meio da primeira raia (onde o atleta corre) é 100  metros e a distância entre cada raia é de 2 metros. Se todos os atletas  corressem até completar uma volta inteira, quantos metros cada um dos  atletas correria?

Qual é a medida (em graus) de três ângulos, sendo que a soma das  medidas do primeiro com o segundo é 14 graus, a do segundo com o  terceiro é 12 graus e a soma das medidas do primeiro com o terceiro é 8  graus.

Qual é a medida do ângulo que o ponteiro das horas de um relógio descreve em um minuto? Calcule o ângulo em graus e em radianos.
 
Os dois ponteiros de um relógio se sobrepoem à 0 horas. Em que momento os dois ponteiros coincidem pela primeira vez novamente?

Calcular o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 12h e 20minutos.

Em um polígono regular um ângulo externo mede pi/14 rad. Quantos lados tem esse polígono?

Escreva o ângulo a=12°28' em radianos.

Escreva o ângulo a=36°12'58" em radianos.
Dados os ângulos x=0,47623rad e y=0.25412rad, escreva-os em graus, minutos e segundos.

Em uma circunferência de raio r, calcular a medida do arco subtendido pelo ângulo A em cada caso:
A=0°17'48"&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;r=6,2935cm
A=121°6'18"&nbsp;&nbsp;&nbsp;r=0,2163cm

Em uma circunferência de centro O e raio r, calcule a medida do ângulo AÔB subtendido pelo arco AB nos seguintes casos.
AB=0,16296 cm&nbsp;&nbsp;&nbsp;r=12,587cm.
AB=1,3672cm&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;r=1,2978cm.

Em uma circunferência, dado o comprimento do arco AB e o ângulo AÔB subtendido a este arco, calcule a medida do raio.
AÔB=0°44'30"&nbsp;&nbsp;&nbsp;AB=0,032592cm
AÔB=60°21'6"&nbsp;&nbsp;&nbsp;AB=0,4572cm





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  Trigonometria: O círculo trigonométrico 
 Círculo trigonométrico
Arcos com mais de uma volta
Arcos côngruos e ângulos
 Arcos simétricos: eixo OX
Arcos simétricos: eixo OY
Arcos simétricos: origem


 
Círculo TrigonométricoConsidere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de  um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A será  tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o  sentido positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta  circunferência e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo trigonométrico
. 
Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva  envolvente da região circular enquanto circunferência de círculo é a  medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a  região circular.
Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue:

2o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: positiva
90º&lt;ângulo&lt;180º1o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: positiva
0º&lt;ângulo&lt;90º
3o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: negativa
180º&lt;ângulo&lt;270º4o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: negativa
270º&lt;ângulo&lt;360º
Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de  ângulos trigonométricos. Por convenção, os pontos situados sobre os  eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes. 

 
Arcos com mais de uma voltaEm Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas  medidas sejam maiores do que 360º. Por exemplo, se um ponto móvel parte  de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em  um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus)  poderá ser menor ou igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta  medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeira determinação.
Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou  mais vezes em um determinado sentido, antes de parar no ponto M,  determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta.  Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é  o ponto A e cuja extremidade é o ponto M.
Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um  ponto móvel que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas  algébricas, dependendo do percurso.
Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência  trigonométrica será extremidade de uma infinidade de arcos positivos de  medidas 
m, m+2, m+4, m+6, ...Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas 
m-2, m-4, m-6, ...e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M. 
Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação  positiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por:
µ(AM) = m + 2konde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={...,-2,-3,-1,0,1,2,3,...}.

Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M.
Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação positiva medindo 2/3, então os arcos desta família {AM}, medem:

Determinações positivas (sentido anti-horário)
k=0µ(AM)=2/3
k=1µ(AM)=2/3+2=8/3
k=2µ(AM)=2/3+4=14/3
k=3µ(AM)=2/3+6=20/3
......
k=nµ(AM)=2/3+2n=(2+6n)/3


Determinações negativas (sentido horário)
k=-1µ(AM)=2/3-2=-4/3
k=-2µ(AM)=2/3-4=-6/3
k=-3µ(AM)=2/3-6=-16/3
k=-4µ(AM)=2/3-8=-22/3
......
k=-nµ(AM)=2/3-2n=(2-6n)/3

 
Arcos côngruos e ÂngulosArcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2.
Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos.

Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica  de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM  da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central  determinado pelas semi-retas OA e OM.
Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b=a-2 correspondente ao arco AM.
Existem também ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam para ângulos.

 
Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OXSejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica, com A=(1,0)  e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a  medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por:  µ(AM')=2-m.
Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2k+m, onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM'} têm medidas iguais a 2k-m, onde k é um número inteiro.

 
Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OYSejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e  os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a medida  do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM' será dada pela  expressão µ(AM')=-m.
Os arcos da família {AM'}, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M', medem 2k+-m=(2k+1)-m onde k é um número inteiro.

 
Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à origemSejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação a origem (0,0).
Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')=+m. Arcos genéricos com origem em A e extremidade em M' medem:
µ(AM') = 2k  +  + m = (2k+1) + m




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  Trigonometria: Seno, Cosseno e Tangente 
 Seno e cosseno
Tangente
Ângulos no segundo quadrante
Ângulos no terceiro quadrante
Ângulos no quarto quadrante
Simetria em relação ao eixo OX
 Simetria em relação ao eixo OY
Simetria em relação a origem
Ângulos notáveis
Primeira relação fundamental
Segunda relação fundamental
Forma polar de número complexo
Soma e diferença de ângulos


 
Seno e cossenoDada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um  número real x, existe sempre um arco orientado AM sobre esta  circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos. 

Seno: No plano cartesiano, consideremos uma  circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja  M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro  quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo  central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um  ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY  determina outro ponto B=(0,y').
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é  definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado  por sen(AM) ou sen(a).
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos
sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k)=y'
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos.

Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao  ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que  coincide com a abscissa x' do ponto M.
Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos
cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k) = x'
 
TangenteSeja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto  A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo  ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no  ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do  arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
tan(AM) = tan(a) = tan(a+k) = µ(AT) = t'Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a  do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do  primeiro quadrante são todos positivos.
Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso:
cos(0)=1, &nbsp;&nbsp; sen(0)=0 &nbsp;&nbsp; e &nbsp;&nbsp; tan(0)=0Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes

 
Ângulos no segundo quadranteSe na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo  quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao  intervalo /2&lt;a&lt;.  Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com  a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto  M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno  do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é  negativo e a tangente do ângulo a é negativa.
Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso:
cos(/2)=0 &nbsp;&nbsp; e &nbsp;&nbsp; sen(/2)=1A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.

 
Ângulos no terceiro quadranteO ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo: &lt;a&lt;3/2.  Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro  quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua  abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um  ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.
Em particular, se a= radianos, temos que
cos()=-1, &nbsp;&nbsp; sen()=0 &nbsp;&nbsp; e &nbsp;&nbsp; tan()=0
 
Ângulos no quarto quadranteO ponto M está no quarto quadrante, 3/2&lt;a&lt; 2. O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.
Quando o ângulo mede 3/2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a=3/2, temos:
cos(3/2)=0, &nbsp; sin(3/2)=-1
 
Simetria em relação ao eixo OXEm uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro  quadrante e M' o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e  M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM', obtemos:
sen(a) = -sen(b)
cos(a) = cos(b)
tan(a) = -tan(b)
 
Simetria em relação ao eixo OYSeja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no  primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes  pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente  ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = -tan(b)
 
Simetria em relação à origemSeja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no  primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M em relação a origem, estes  pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente  ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = -sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = tan(b)
 
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveisUma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que  aparecem com muita frequência em exercícios e aplicações, sem  necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo  trigonométrico.

 
Primeira relação fundamentalUma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel  muito importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações  é:
sin²(a) + cos²(a) = 1que é verdadeira para todo ângulo a.
Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano  cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois  pontos, A=(x',y') e B=(x",y").
Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como:

Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas  são indicadas por (cos(a),sen(a)) e a distância deste ponto até a origem  (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes  pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²]1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a).

 
Segunda relação fundamentalOutra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é dada por:

tan(a) =sen(a)
cos(a)
Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.
Se a=0, a= ou a=2, temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a=/2 ou a=3/2,  segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação  tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a.
Para a0, a, a2, a/2 e a3/2, considere novamente a circunferência trigonométrica na figura seguinte.
Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo:

AT
MN=OA
ON
Como AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a, 0&lt;a&lt;2 com a/2 e a3/2 temos

tan(a) =sen(a)
cos(a)

 
Forma polar dos números complexosUm número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar:
z = r [cos(c) + i sen(c)]onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângulo formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número complexo z.
A multiplicação de dois números complexos na forma polar:
A = |A| [cos(a)+isen(a)]
B = |B| [cos(b)+isen(b)]é dada pela Fórmula de De Moivre:
AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)]Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas   trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos e somar os seus   argumentos.
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso
A = cos(a) + i sen(a)
B = cos(b) + i sen(b)Multiplicando A e B, obtemos
AB = cos(a+b) + i sen(a+b)Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler  (lê-se "óiler"), garantindo que para todo número complexo z e também  para todo número real z:
eiz = cos(z) + i sen(z)Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo  Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números  complexos unitários A e B, como:
A = eia = cos(a) + i sen(a)
B = eib = cos(b) + i sen(b)onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim,
ei(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b)Por outro lado
ei(a+b) = eia . eib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)]e desse modo
ei(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma
cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b)
sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a)para obter
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)
 
Seno, cosseno e tangente da soma e da diferençaNa circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0£a£2 e 0£b£2, a&gt;b, então;
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:

tan(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)
cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)
Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:

tan(a+b)=tan(a)+tan(b)
1-tan(a)tan(b)
Como
sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b)

Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco A de medida: A=&nbsp;810 graus.

Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco A de medida A=-2000 graus.

Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco de medida 38/3.

Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco de medida:
(a) A=1620°&nbsp;&nbsp;(b) A=-37/3&nbsp;&nbsp;(c)A=-600°&nbsp;&nbsp;(d) A=125/11
Unindo as extremidades dos arcos da forma (3n+2)/6, para n=0,1,2,..., obtém-se qual dos polígonos regulares?
(a) Quadrado&nbsp;&nbsp;&nbsp;(b) Hexágono&nbsp;&nbsp;&nbsp;(c) Octógono
Verifique se os arcos de medidas 7/3 e 19/3 são arcos côngruos?

Marcar no círculo trigonométrico as extremidades dos arcos de medidas x=2k/3, onde k é um número inteiro.

Marcar no círculo trigonométrico as extremidades dos arcos de medidas x=/4+2k/3, onde k é um número inteiro.

cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter:

tan(a-b)=tan(a)-tan(b)
1+tan(a)tan(b)



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  Trigonometria: Resolução de triângulos 
 Resolução de triângulos
Lei dos Senos
 Lei dos Cossenos
Área de um triângulo (Heron)


 
Resolução de triângulosOs elementos fundamentais de um triângulo são os seus lados, os seus  ângulos e a sua área, resolver um triângulo, segnifica conhecer as  medidas destes elementos. Conhecendo-se três entre estes elementos  podemos usar as relações métricas ou as relações trigonométricas  dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas relações  estão expostas na sequência.

 
Lei dos SenosSeja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura ao lado, com  lados a, b e c, que são os lados opostos aos ângulos A, B e C,  respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do  ângulo oposto a este lado é uma constante igual a 2R, em que R é o raio  da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:

a
sen(A)=b
sen(B)=c
sen(C)=2R

Demonstração: Para simplificar as notações iremos  denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo nome do vértice, por  exemplo para o triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e C  respectivamente, assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo  ao seno do ângulo correspondente ao vértice A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio  R. Tomando como base do triângulo o lado BC, construimos um novo  triângulo BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um diâmetro da  circunferência. Este novo triângulo é retângulo em C.
Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.

Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes  aos vértices A e A' são congruentes, pois são ângulos inscritos à  circunferência que correspondem a um mesmo arco BC. Então:

sen(A')=sen(A)=a
2R
isto é,

a
sen(A)=2R
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes

b
sen(B)=c
sen(C)=2R


Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que correspondem aos vértices A e A', a relação entre eles é dada por A'=-A, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares BAC e BA'C. Então

sen(-A)=a
2R=sen(-A)
isto é,

a
sen(A)=2R
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes

b
sen(B)=c
sen(C)=2R


Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo, é imediato que

sen(B)=b
a,&nbsp;sen(C)=c
a&nbsp;e&nbsp;sen(A)=sen(/2)=1
Como, neste caso a=2R, temos,

a
sen(A)=b
sen(B)=c
sen(C)


 
Lei dos CossenosEm um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a  diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e  o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo  formado por estes lados.
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
b² = a² + c² - 2ac cos(B)
c² = a² + b² - 2ab cos(C)

Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.

Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação
a² = b² + c² - 2bc cos(A)recai no teorema de Pitágoras.
a² = b² + c²uma vez que cos(A)=cos(/2)=0.


 Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do  triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o  Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:
a² = h²+(c-x)² = h²+(c²-2cx+x²) = 
=(h²+x²)+c²-2cx&nbsp;&nbsp;&nbsp;(Eq.1)No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também cos(A)=x/b, ou seja, x = b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq. 1), obtemos:
a²=b² + c² - 2bc cosA

 Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do  triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o  Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que:
a² = h²+(c+x)² = h²+(c²+2cx+x²) = 
=(h²+x²)+c²+2cx&nbsp;&nbsp;(Eq.2)No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também:
cos(D)=x/b=cos(-A)=-cos(A), então, x = -b cos(A)Substituindo estes resultados na equação (Eq.2), obtemos:
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma


 Matemática Essencial:&nbsp; Alegria&nbsp; Financeira&nbsp; Fundamental&nbsp; Médio&nbsp; Geometria&nbsp; Trigonometria&nbsp; Superior&nbsp; Cálculos 

  Trigonometria: Exercícicios sobre resolução de triângulos 

Nos exercícios seguintes, dado um triângulo qualquer ABC,  denotaremos, por a, b e c, os lados opostos aos vértices A, B e C,  respectivamente. Os ângulos receberão o mesmo nome que seus respectivos  vértices.


 Seja o triângulo ABC, mostrado na figura, onde a=20, b=10 e B=30. Calcular o raio do círculo circunscrito e o ângulo C.

  Dois pontos A e B estão em margens opostas de um rio e C é um ponto na  mesma margem que A localizado a 275m de distância de A. Os ângulos  conhecidos são, CAB=125º50' e ACB=48º50'. Qual é a distância entre A e  B?

  Um navio navega para Leste quando uma luz é observada no rumo N  62º10'L. Depois que o navio percorre 2250m, a luz está no rumo N48º25'L.  Se o curso do navio for mantido qual será a maior aproximação que o  navio terá da luz?

Resolver o triângulo ABC dados c=0,5, b=0,8 e C=70º.

Dados a=7,6; b=4,8 e c=7,1, determinar a medida do ângulo B:

 Três circunferências com raios medindo 115cm, 150cm e 225cm, são  traçadas de forma que cada uma delas é tangente exterior às outras duas,  como na figura ao lado. Calcular as medidas dos ângulos internos do  triângulo formado pelos centros dessas circunferências.

Com base nas circunferências do exercício anterior, calcule a área do triângulo determinado por seus centros.

  Os lados adjacentes de um paralelogramo medem 1388m e 2526m e o ângulo  formado entre estes lados mede 54,42º. Determinar o comprimento da maior  diagonal desse quadrilátero.
  
cos(A)=b²+c²-a²
2bc,cos(B)=a²+c²-b²
2ac,cos(C)=a²+b²-c²
2ab


 
Área de um triângulo em função dos ladosExiste uma fórmula que permite calcular a área de um triângulo  conhecendo-se as medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos  lados do triângulo, p a metade do perímetro do triângulo, isto é:  2p=a+b+c, então,
S = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]onde R[z] é a nossa notação para a raiz quadrada de z&gt;0.
A demonstração está em nosso link Fórmula de Heron.