História das Seqüências e Séries
Autor: mom el star | Publicado: 2012-06-30T05:08:00-03:00

Hist&oacute;ria das&nbsp;Seq&uuml;&ecirc;ncias e S&eacute;ries&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Zen&atilde;o de El&eacute;a (490--425 a.C.) escreveu um livro com 40 paradoxos relativos ao cont&iacute;nuo e ao infinito. Pelo menos quatro dos paradoxos influenciaram o desenvolvimento da matem&aacute;tica para explicar os fen&ocirc;menos relevantes. Infelizmente, o livro n&atilde;o sobreviveu at&eacute; os tempos modernos, assim conhecemos estes paradoxos a partir de outras fontes. Os paradoxos de Zen&atilde;o sobre o movimento desconcertaram matem&aacute;ticos por s&eacute;culos. No final eles envolvem a soma de um n&uacute;mero infinito de termos positivos a um n&uacute;mero finito, o qual &eacute; a ess&ecirc;ncia da converg&ecirc;ncia de uma s&eacute;rie infinita de n&uacute;meros. V&aacute;rios matem&aacute;ticos contribu&iacute;ram para o entendimento das propriedades de seq&uuml;&ecirc;ncias e s&eacute;ries. Este ensaio destaca as contribui&ccedil;&otilde;es de alguns daqueles matem&aacute;ticos que estudaram seq&uuml;&ecirc;ncias e s&eacute;ries.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Zen&atilde;o n&atilde;o foi o &uacute;nico matem&aacute;tico da antiguidade a trabalhar com seq&uuml;&ecirc;ncias. V&aacute;rios dos matem&aacute;ticos gregos da antiguidade usaram seu m&eacute;todo de exaust&atilde;o (um argumento seq&uuml;encial) para mediar &aacute;reas de figuras e regi&otilde;es. Usando sua t&eacute;cnica refinada de racioc&iacute;nio chamada de "m&eacute;todo", Arquimedes (287-- 212 a.C.) alcan&ccedil;ou v&aacute;rios resultados importantes envolvendo &aacute;reas e volumes de v&aacute;rias figuras e s&oacute;lidos. Na verdade, ele construiu v&aacute;rios exemplos e tentou explicar como somas infinitas poderiam ter resultados finitos. Dentre seus v&aacute;rios resultados estava que a &aacute;rea sob um arco parab&oacute;lico &eacute; sempre dois ter&ccedil;os da base vezes a altura. Seu trabalho n&atilde;o foi t&atilde;o completo ou rigoroso, como daqueles matem&aacute;ticos que vieram depois e desenvolveram seq&uuml;&ecirc;ncias e s&eacute;ries como Newton e Leibniz, mas foi t&atilde;o impressionante quanto. Embora Arquimedes tenha sido obstru&iacute;do pela falta de precis&atilde;o e nota&ccedil;&atilde;o eficiente, foi capaz de descobrir muitos dos elementos da an&aacute;lise moderna de seq&uuml;&ecirc;ncias e s&eacute;ries.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O pr&oacute;ximo contribuinte importante para esta &aacute;rea da matem&aacute;tica foi Fibonacci (1170--1240). Ele descobriu uma seq&uuml;&ecirc;ncia de inteiros na qual cada n&uacute;mero &eacute; igual &agrave; soma dos dois antecessores (1,1,2,3,5,8,&hellip;), introduzindo-a em termos de modelagem de uma popula&ccedil;&atilde;o reprodutiva de coelhos. Esta seq&uuml;&ecirc;ncia tem muitas propriedades curiosas e interessantes e continua sendo aplicada em v&aacute;rias &aacute;reas da matem&aacute;tica moderna e ci&ecirc;ncia. Durante o mesmo per&iacute;odo, astr&ocirc;nomos chineses desenvolveram t&eacute;cnicas num&eacute;ricas para analisar resultados experimentais. Durante os s&eacute;culos 13 e 14, matem&aacute;ticos chineses usaram a id&eacute;ia de diferen&ccedil;as finitas para analisar tend&ecirc;ncias em seus dados. Hoje, m&eacute;todos como os deles s&atilde;o usados para entender o comportamento a longo prazo e os limites de seq&uuml;&ecirc;ncias infinitas. Este trabalho inicial na &Aacute;sia levou a mais investiga&ccedil;&atilde;o e an&aacute;lise de v&aacute;rias progress&otilde;es e s&eacute;ries mas teve pouca influ&ecirc;ncia sobre os matem&aacute;ticos europeus.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Oresme (1325--1382) estudou taxas de varia&ccedil;&atilde;o, como velocidade e acelera&ccedil;&atilde;o, usando uma aproxima&ccedil;&atilde;o seq&uuml;encial. Seu principal trabalho, De configurationibus, foi o primeiro a apresentar gr&aacute;ficos de velocidade. O argumento que usamos para mostrar a diverg&ecirc;ncia da s&eacute;rie harm&ocirc;nica foi inventado por Oresme em sua publica&ccedil;&atilde;o. Duzentos anos depois, Stevin (1548--1620) avan&ccedil;ou a matem&aacute;tica providenciando uma simbologia mais f&aacute;cil de se compreender. Ele entendeu os conceitos f&iacute;sicos e matem&aacute;ticos da acelera&ccedil;&atilde;o devido &agrave; gravidade. Somou s&eacute;ries e analisou seq&uuml;&ecirc;ncias, mas parou um pouco antes de definir ou explicar limites e converg&ecirc;ncia. O contempor&acirc;neo de Stevin, Galileu (1564--1642), aplicou matem&aacute;tica &agrave;s ci&ecirc;ncias especialmente astronomia. Baseado no seu estudo de Arquimedes, Galileu melhorou a compreens&atilde;o de hidrost&aacute;tica, desenvolveu os resultados para o movimento em queda livre sob a a&ccedil;&atilde;o da gravidade e os movimentos dos planetas. At&eacute; sugeriu que poderia existir uma terceira propriedade entre o finito e o infinito. Galileu deixou seus sucessores com conselhos e desafios encontrados nas duas cita&ccedil;&otilde;es a seguir:&nbsp;Onde os sentidos falham, a raz&atilde;o deve entrar.Infinitos e indivis&iacute;veis transcendem nosso entendimento finito, o primeiro por conta de sua magnitude, o segundo pela sua pequenez; imagine o que eles s&atilde;o quando combinados.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &Agrave; medida que o desenvolvimento do c&aacute;lculo foi tomando forma, o progresso no entendimento de s&eacute;ries infinitas teve um papel no desenvolvimento do c&aacute;lculo diferencial e integral. Pascal (1623--1662) era fascinado pelos resultados impressionantes que vinham das somas infinitas, mas era confundido pelo seu conceito. Para ele, o infinito era alguma coisa para admirar, mas imposs&iacute;vel de entender. Pascal preferiu a abordagem geom&eacute;trica de St. Vincent (1584--1667) para s&eacute;ries e sua converg&ecirc;ncia em vez da nova abordagem anal&iacute;tica de Fermat (1601--1665) e Descartes (1596--1650) que n&atilde;o conseguia visualizar ou entender. Apesar da limita&ccedil;&atilde;o de Pascal para entender s&eacute;ries, ele, junto com Descartes e Fermat, usou c&aacute;lculos com s&eacute;ries nas contribui&ccedil;&otilde;es aos fundamentos do c&aacute;lculo diferencial e integral.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; At&eacute; a metade do s&eacute;culo 17, matem&aacute;ticos tinham desenvolvido e analisado s&eacute;ries de n&uacute;meros. O tempo tinha chegado para investigar seq&uuml;&ecirc;ncias e s&eacute;ries de fun&ccedil;&otilde;es. Ambos Newton (1642--1727) e Leibniz (1646--1716) desenvolveram representa&ccedil;&otilde;es de s&eacute;ries para fun&ccedil;&otilde;es. Usando m&eacute;todos alg&eacute;bricos e geom&eacute;tricos, Newton calculou as s&eacute;ries para as fun&ccedil;&otilde;es trigonom&eacute;tricas sen(x) e cos(x) e para a fun&ccedil;&atilde;o exponencial. Estes resultados s&atilde;o encontrados nos trabalhos de Newton intitulados Method of Fluxions and Infinite Series e Analysis with Infinite Series. Newton utilizou s&eacute;ries para desenvolver muitos resultados de c&aacute;lculo, tais como &aacute;rea, comprimento de arco e volumes. Leibniz somou seq&uuml;&ecirc;ncias de rec&iacute;procas de n&uacute;meros poligonais e, seguindo o trabalho de St. Vincent, somou e analisou v&aacute;rias seq&uuml;&ecirc;ncias geom&eacute;tricas. Leibniz usou uma abordagem seq&uuml;encial de valores infinitamente pr&oacute;ximos para explicar o conceito de limite. Embora nunca tenha pensado na derivada como um limite, descobriu muitos dos resultados que agora estudamos em c&aacute;lculo usando limites.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Brook Taylor (1685--1731) n&atilde;o foi o primeiro a inventar a estrutura e o processo que chamamos de s&eacute;rie de Taylor, e a s&eacute;rie de Maclaurin n&atilde;o foi desenvolvida por Colin Maclaurin (1698--1746). James Gregory (1638--1675) estava trabalhando com s&eacute;ries de Taylor quando Taylor tinha apenas alguns anos de idade. Gregory tamb&eacute;m publicou a s&eacute;rie de Maclaurin para muitas fun&ccedil;&otilde;es trigonom&eacute;tricas antes que Maclaurin tivesse nascido. Taylor n&atilde;o conhecia o trabalho de Gregory quando publicou seu livro Methodus incrementorum directa et inversa, o qual continha o que chamamos agora de s&eacute;rie de Taylor. Ele tinha desenvolvido independentemente um m&eacute;todo baseado em c&aacute;lculo para gerar representa&ccedil;&otilde;es de fun&ccedil;&otilde;es em s&eacute;ries. Posteriormente, Maclaurin citou um trabalho de Taylor em um livro de c&aacute;lculo que escreveu em 1742. O livro de Maclaurin popularizou representa&ccedil;&otilde;es de fun&ccedil;&otilde;es em s&eacute;ries, e embora Maclaurin nunca tenha afirmado que as tinha descoberto, a s&eacute;rie de Taylor centrada em a = 0 tornou-se posteriormente conhecida como s&eacute;rie de Maclaurin. Johann Bernoulli (1667--1748) tamb&eacute;m fez uma descoberta independente do teorema de Taylor.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Euler (1707--1783) usou freq&uuml;entemente s&eacute;ries infinitas em seu trabalho para desenvolver novos m&eacute;todos ou para modelar problemas aplicados. Publicou Mechanica em 1736, onde aplicou sistematicamente o c&aacute;lculo &agrave; mec&acirc;nica e desenvolveu novos m&eacute;todos para resolver equa&ccedil;&otilde;es diferenciais usando s&eacute;ries de pot&ecirc;ncias. Estabeleceu a nota&ccedil;&atilde;o de somat&oacute;rio que usamos hoje, usando sigma para o s&iacute;mbolo da soma. D'Alembert (1717--1783) escreveu cinco artigos lidando com m&eacute;todos para integrar equa&ccedil;&otilde;es diferenciais. Embora tenha recebido pouca educa&ccedil;&atilde;o cient&iacute;fica formal, &eacute; claro que ele conhecia os trabalhos de Newton, L'Hospital e dos Bernoullis. D'Alembert publicou muitos trabalhos sobre matem&aacute;tica e f&iacute;sica matem&aacute;tica, culminado com seu trabalho principal, Trait&eacute; de dynamique. Considerou a derivada como um limite da diferen&ccedil;a de quocientes, o que o colocou &agrave; frente dos seus pares no entendimento do c&aacute;lculo. Tamb&eacute;m desenvolveu o teste da raz&atilde;o para determinar a converg&ecirc;ncia de muitas s&eacute;ries. Atrav&eacute;s do trabalho de D'Alembert, a natureza da pesquisa sobre s&eacute;ries estava mudando de c&aacute;lculos pr&aacute;ticos para uma fundamenta&ccedil;&atilde;o mais te&oacute;rica.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Lagrange (1736--1813) estendeu o trabalho de Euler nas equa&ccedil;&otilde;es de movimento e o entendimento da energia potencial. Publicou M&eacute;canique analytique (1787), que aplicava c&aacute;lculo ao movimento de objetos. O maior trabalho de Lagrange foi na teoria e aplica&ccedil;&atilde;o do c&aacute;lculo. Ele sentiu que a s&eacute;rie de Taylor desempenhava um papel fundamental no entendimento do c&aacute;lculo, embora ainda evitasse o limite e as propriedades de converg&ecirc;ncia de seq&uuml;&ecirc;ncias e s&eacute;ries. Bolzano (1781-1848) confrontou este assunto, apontando que a converg&ecirc;ncia era importante para entender e usar s&eacute;ries. Tentou explicar converg&ecirc;ncia associando-a com a id&eacute;ia de subconjuntos limitados. Bolzano acreditava no m&eacute;todo de Lagrange para usar s&eacute;ries de Taylor como a base para o c&aacute;lculo. Fourier (1768--1830) fez contribui&ccedil;&atilde;o ao estudo e c&aacute;lculo da difus&atilde;o de calor e &agrave; solu&ccedil;&atilde;o de equa&ccedil;&otilde;es diferenciais. Th&eacute;orie analytique de la chaleur (A Teoria Anal&iacute;tica do Calor, 1822) cont&eacute;m uso extenso de s&eacute;ries consistindo de fun&ccedil;&otilde;es trigonom&eacute;tricas que hoje chamamos de s&eacute;ries de Fourier. Apesar disso, contribuiu muito pouco para a teoria destas s&eacute;ries, as quais eram conhecidas, muito antes, por Euler, Daniel Bernoulli e Lagrange.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Finalmente, a comunidade matem&aacute;tica foi motivada a estabelecer fundamentos mais te&oacute;ricos para as id&eacute;ias de limite e converg&ecirc;ncia de seq&uuml;&ecirc;ncias e s&eacute;ries. Cauchy (1789-1857) foi o primeiro a definir por completo as id&eacute;ias de converg&ecirc;ncia e converg&ecirc;ncia absoluta de s&eacute;ries infinitas. Este trabalho foi feito em conjunto com o desenvolvimento de uma an&aacute;lise rigorosa do c&aacute;lculo. Tamb&eacute;m foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistem&aacute;tica para n&uacute;meros complexos e a transformada de Fourier para equa&ccedil;&otilde;es diferenciais. Contudo, ambos Cauchy e seu colega Niels Henrik Abel (1802--1829) ignoraram a utilidade das s&eacute;ries divergentes. Abel escreveu em 1828 "s&eacute;ries divergentes s&atilde;o a inven&ccedil;&atilde;o do diabo, e &eacute; uma vergonha basear nelas qualquer demonstra&ccedil;&atilde;o".&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Runge (1856--1927) desenvolveu o m&eacute;todo de resolu&ccedil;&atilde;o baseado em seq&uuml;&ecirc;ncias para solucionar numericamente equa&ccedil;&otilde;es diferenciais junto com M. W. Kutta (1867--1944). Seq&uuml;&ecirc;ncias e s&eacute;ries tornaram-se ferramentas padr&atilde;o para aproximar fun&ccedil;&otilde;es e calcular resultados em computa&ccedil;&atilde;o num&eacute;rica.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; O matem&aacute;tico indiano autodidata Srinivasa Ramanujan (1887--1920) usou seq&uuml;&ecirc;ncias e s&eacute;ries de pot&ecirc;ncias para desenvolver resultados em teoria de n&uacute;meros. O trabalho de Ramanujan era te&oacute;rico e produziu numerosos resultados importantes usados por matem&aacute;ticos no s&eacute;culo 20. Seus colaboradores brit&acirc;nicos Godfrey Harold (G.H.) Hardy (1877--1947) e John Littlewood (1885--1977) usaram seu conhecimento de s&eacute;ries para produzir avan&ccedil;os importantes em teoria de n&uacute;meros e estenderam a utilidade das s&eacute;ries para muitas &aacute;reas da matem&aacute;tica.