Equação do 2º Grau - 8ª Série
Autor: Educação e Compromisso | Publicado: 2011-10-05T07:37:00-07:00

Equação                                          do 2º grau
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Denomina-se                                                  equação do segundo                                                  grau, toda a equação                                                  do tipo ax²+bx+c, com                                                  coeficientes numéricos                                                  a.b e                                                  c com .                                                 
Exemplos:                                                  

                                                         Equação                                                         a                                                                                                                       b                                                                                                                       c                                                     
                                                         x²+2x+1                                                         1                                                         2                                                         1                                                     
                                                         5x-2x²-1                                                         -2                                                         5                                                         -1                                                     

Classificação:
-                                                  Incompletas: Se um dos coeficientes                                                  ( b ou                                                  c )                                                  for nulo, temos uma equação                                                  do 2º grau incompleta.
1º                                                  caso: b=0
Considere                                                  a equação do 2º                                                  grau imcompleta:
x²-9=0                                                  &nbsp;» &nbsp;x²=9                                                  &nbsp;» &nbsp;x= &nbsp;» &nbsp;x=                                                                                                  
2º                                                  caso: c=0
Considere                                                  a equação do 2º                                                  grau imcompleta:
x²-9x=0                                                  » &nbsp;Basta fatorar                                                  o fator comum x
x(x-9)=0                                                  &nbsp;» &nbsp;x=0,9
3º                                                  caso: b=c=0
2x²=0                                                  &nbsp;» &nbsp;x=0
Resolução                                                  de equações do                                                  2º grau:&nbsp;&nbsp;A                                                  resolução de equações                                                  do 2º grau incompletas                                                  já foi explicada acima,                                                  vamos agora resolver equações                                                  do 2º grau completas, ou                                                  seja, do tipo ax²+bx+c=0                                                  com a,                                                  b e c diferentes                                                  de zero.
-                                                  Uma equação do                                                  2º grau pode ter até                                                  2 raízes reais, que podem                                                  ser determinadas pela fórmula                                                  de Bháskara.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Como                                                  Bháskara chegou até                                                  a fórmula de resolução                                                  de equações do                                                  2º grau?
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Considerando                                                  a equação: ax²+bx+c=0,                                                  vamos determinar a fórmula                                                  de Bháskara:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Multiplicamos                                                  os dois membros por 4a:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4a²x²+4abx+4ac=0
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4a²x²+4abx=-4ac

&nbsp;&nbsp;&nbsp;Somamos                                                  b² aos dois membros:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Fatoramos                                                  o lado esquedo e chamamos de                                                   (delta)
b²-4ac:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2ax+b)²=                                                                                                   
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2ax+b=                                                 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2ax=-b                                                                                                   
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Logo:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;ou &nbsp;                                                                                                  
Fórmula                                                  de Bháskara:
&nbsp;                                                  
                                                                                                                                                                               
                                                             
&nbsp;                                                     
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Utilizando                                                  a fórmula de Bháskara,                                                  vamos resolver alguns exercícios:
1)                                                  3x²-7x+2=0
a=3,                                                  b=-7                                                  e c=2
 &nbsp;= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25                                                 
Substituindo                                                  na fórmula:
 =                                                                                                  
 &nbsp;e &nbsp;                                                                                                  
Logo,                                                  o conjunto verdade ou solução                                                  da equação é:
                                                 
2)                                                  -x²+4x-4=0
a=-1,                                                  b=4                                                  e c=-4
 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0                                                 
Sustituindo                                                  na fórmual de Bháskara:
 &nbsp;» &nbsp;x=2 &nbsp;                                                 

&nbsp;                                                 
-                                                  Neste caso, tivemos uma equação                                                  do 2º grau com duas raízes                                                  reais e iguais. ( )                                                 
3)                                                  5x²-6x+5=0
a=5                                                  b=-6                                                  c=5
 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64                                                 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Note                                                  que &lt;0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim,                                                  a equação não                                                  possui nenhuma raiz real.
Logo:                                                   » vazio                                                 
Propriedades:
&nbsp;                                                                                                   
                                                         &nbsp;                                                                                                                      &nbsp;Duas                                                              raízes reais                                                              e diferentes                                                     
                                                         &nbsp;                                                                                                                      &nbsp;Duas                                                              raízes reais                                                              e iguais                                                     
                                                         &nbsp;                                                                                                                      &nbsp;Nenhuma                                                              raiz real                                                     

Relações                                                  entre coeficientes e raízes
&nbsp;                                                                                                   

                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Vamos                                                  provar as relações                                                  descritas acima:
Dado a equação                                                  ax²+bx+c=0, com  e                                                 , suas raízes são:                                                 
 &nbsp;&nbsp;e &nbsp;&nbsp;                                                                                                  A soma das raízes                                                  será:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;                                                 Logo, a soma das raízes                                                  de uma equação                                                  do 2º grau é dada                                                  por:                                                  O produto das raízes                                                  será:&nbsp;&nbsp;                                                 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;                                                 Logo, o produto das                                                  raízes de uma equação                                                  do 2º grau é dada                                                  por:
&nbsp;                                                 Podemos através                                                  da equação ax²+bx+c=0,                                                  dividir por a.Obtendo:                                                  Substituindo por  e                                                  :                                                 Obtendo a Soma                                                  e Produto de uma equação                                                  do 2º grau:
&nbsp;                                                  
                                                         x²                                                              - Sx + P = 0                                                     
Exemplos:
1)                                                  Determine a soma e o produto                                                  das seguintes equações:
a)                                                  x² - 4x + 3=0
[Sol]                                                  Sendo a=1, b=-4 e c=3:
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;                                                                                                  b) 2x² - 6x -8                                                  =0Sendo a=2, b=-6 e                                                  c=-8&nbsp;&nbsp;                                                                                                  c)                                                  4-x² = 0
Sendo                                                  a=-1, b=0 e c=4:
&nbsp;&nbsp;                                                                                                  Resolução                                                  de equações fracionárias                                                  do 2º grau:&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equações                                                  fracionárias são                                                  as que possuem incógnitas                                                  no denominador e o processo                                                  de resolução destas                                                  equações é                                                  o mesmo das equações                                                  não fracionárias.Exemplos resolvidos:a)  &nbsp;Onde                                                 , pois senão anularia o denominador                                                 [Sol] Encontrando                                                  o m.m.c dos denominadores: 2x                                                  Então:  &nbsp;                                                 Eliminando os denominadores,                                                  pois eles são iguais: »                                                                                                  Aplicando a fórmula                                                  de Bháskara:                                                                                                  Logo, x = 2 e x` =                                                  4. &nbsp;» &nbsp;S={2,-4}b ) &nbsp;&nbsp;                                                  e                                                                                                  [Sol] m.m.c dos denominadores:                                                  (x-1).(x+2)Então:                                                  Eliminando os denominadores: »                                                  &nbsp;» &nbsp;                                                  &nbsp;» &nbsp;                                                                                                  * Note que a solução                                                  da equação deve                                                  ser diferente de 1 e 2 pois                                                  senão anularia o denominador,                                                  logo a solução                                                  da equação será                                                  somente:x=-1 &nbsp;»                                                  S={-1}Resolução                                                  de equações literais                                                  do 2º grau:&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equações                                                  literais são as que possuem                                                  uma ou mais letras além                                                  da incógnita.
&nbsp;                                                                                                   
                                                         Equação                                                         a                                                         b                                                         c                                                     
                                                         x²                                                              - (m+n)x + p = 0                                                         1                                                         -(m+n)                                                         p                                                     

Exemplo: Determine o valor da                                                  incógnita x.
1)                                                  x²-3ax+2a²=0
[Sol]                                                  Aplicando a fórmula de                                                  Bháskara:
a=1,                                                  b=-3a, c=2a²
                                                 
 , Logo:                                                 
x                                                  = 2a &nbsp;e &nbsp;x = a &nbsp;»                                                  &nbsp;S={a,2a}
&nbsp;Resolução                                                  de equações biquadradas&nbsp;&nbsp;&nbsp;Equacão                                                  biquadrada como o próprio                                                  nome diz, são equações                                                  nas quais estão elevadas                                                  ao quadrado duas vezes, sua                                                  forma é:
&nbsp;                                                                                                   
                                                          &nbsp;onde &nbsp;                                                                                                                                                                               

Exemplo resolvido:
1)                                                                                                   
Fazendo                                                  x² = y , temos  &nbsp;                                                 
Substituindo                                                  os valores na equação,                                                  temos:
y²                                                  - 5y + 4 = 0
Aplicando                                                  Bháskara:
                                                 Logo,                                                  y = 4 &nbsp;e y`= 1Voltando                                                  a variável x:Como                                                  y=x², temos:x²=4                                                  &nbsp;» &nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;e &nbsp;&nbsp;&nbsp;x²=1 &nbsp;» &nbsp;                                                                                                  Então                                                  a solução será                                                  » S={-2,-1,1,2} 
ou                                                  simplesmente