Lançamentos: vertical, horizontal e obliquo.
Autor: Prof. Weder Camillo | Publicado: 2011-11-29T03:04:00-08:00



Movimento Vertical

Se largarmos uma pena e uma pedra de uma mesma altura, observamos que a pedra chegará antes ao chão.

Por isso, pensamos que quanto mais pesado for o corpo, mais rápido ele cairá. Porém, se colocarmos a pedra e a pena em um tubo sem ar (vácuo), observaremos que ambos os objetos levam o mesmo tempo para cair.

Assim, concluímos que, se desprezarmos a resistência do ar, todos os corpos, independente de massa ou formato, cairão com uma aceleração constante: a aceleração da Gravidade.

Quando um corpo é lançado nas proximidades da Terra, fica então, sujeito à gravidade, que é orientada sempre na vertical, em direção ao centro do planeta.

O valor da gravidade (g) varia de acordo com a latitude e a altitude do local, mas durante fenômenos de curta duração, é tomado como constante e seu valor médio no nível do mar é:

g=9,80665m/s²

No entanto, como um bom arredondamento, podemos usar sem muita perda nos valores:

g=10m/s²



Lançamento Vertical

Um arremesso de um corpo, com velocidade inicial na direção vertical, recebe o nome de Lançamento Vertical.

Sua trajetória é retilínea e vertical, e, devido à gravidade, o movimento classifica-se com Uniformemente Variado.

As funções que regem o lançamento vertical, portanto, são as mesmas do movimento uniformemente variado, revistas com o referencial vertical (h), onde antes era horizontal (S) e com aceleração da gravidade (g).







Sendo que&nbsp;g&nbsp;é positivo ou negativo, dependendo da direção do movimento:



Lançamento Vertical para Cima

g é negativo

Como a gravidade aponta sempre para baixo, quando jogamos algo para cima, o movimento será acelerado negativamente, até parar em um ponto, o qual chamamos&nbsp;Altura Máxima.






Lançamento Vertical para Baixo

g é positivo

No lançamento vertical para baixo, tanto a gravidade como o deslocamento apontam para baixo. Logo, o movimento é acelerado positivamente. Recebe também o nome de&nbsp;queda livre.





Exemplo

Uma bola de futebol é chutada para cima com velocidade igual a 20m/s.
(a) Calcule quanto tempo a bola vai demorar para retornar ao solo.
(b) Qual a altura máxima atingida pela bola? Dado g=10m/s².

(a)

Neste exemplo, o movimento é uma combinação de um lançamento vertical para cima + um lançamento vertical para baixo (que neste caso também pode ser chamado de queda livre). Então, o mais indicado é calcularmos por partes:

Movimento para cima:

&nbsp;

&nbsp;

Movimento para baixo:

&nbsp;

Como não estamos considerando a resistência do ar, a velocidade final será igual à velocidade com que a bola foi lançada.

&nbsp;

Observamos, então, que nesta situação, onde a resistência do ar é desprezada, o tempo de subida é igual ao de decida.

&nbsp;



(b)

Sabendo o tempo da subida e a velocidade de lançamento, podemos utilizar a função horária do deslocamento, ou então utilizar a Equação de Torricelli.

&nbsp;

Lembre-se de que estamos considerando apenas a subida, então t=2s

&nbsp;

ou

&nbsp;

&nbsp;



Vetores

Determinado por um segmento orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.



Se indicarmos&nbsp;com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

onde&nbsp;XY&nbsp;é um segmento qualquer do conjunto.

O vetor determinado por&nbsp;AB&nbsp;é indicado por&nbsp;&nbsp;ou B - A ou&nbsp;.
Um mesmo vetor&nbsp;&nbsp;é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, os quais são todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.

As características de um vetor&nbsp;&nbsp;são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

O módulo de&nbsp;&nbsp;se indica por || .



Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)



Propriedades da Soma de vetores





Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

v - w = (a-c,b-d)



Produto de um número escalar por um vetor

Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v como:

c.v = (ca,cb)



Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:&nbsp;





Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:




Vetor unitário

Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Existem dois vetores unitários que formam a&nbsp;base canônica&nbsp;para o espaço R², que são dados por:

i = (1,0) j = (0,1)

Para construir um vetor unitário&nbsp;u&nbsp;que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor&nbsp;v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:




Observação:
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um escalar não nulo. Nesse caso,&nbsp;u&nbsp;e&nbsp;v&nbsp;serão paralelos:

Se c = 0, então u será o vetor nulo.
Se 0 &lt; c &lt; 1, então u terá comprimento menor do que v.
Se c &gt; 1, então u terá comprimento maior do que v.
Se c &lt; 0, então u terá sentido oposto ao de v.



Decomposição de vetores em Vetores Unitários

Para fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos apresentados.

Sendo simbolizados, por convenção,&nbsp;î&nbsp;como vetor unitário do plano&nbsp;x&nbsp;e&nbsp;como vetor unitário do plano&nbsp;y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três dimensões, o vetor utilizado para o plano&nbsp;z&nbsp;é o vetor unitário&nbsp;.



Então, a projeção do vetor&nbsp;no eixo&nbsp;x&nbsp;do plano cartesiano será dado por&nbsp;, e sua projeção no eixoy&nbsp;do plano será:&nbsp;. Este vetor pode ser escrito como:

=(,), respeitando que sempre o primeiro componente entre parênteses é a projeção em&nbsp;x&nbsp;e o segundo é a projeção no eixo&nbsp;y. Caso apareça um terceiro componente, será o componente do eixo&nbsp;z.

No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado.







Produto escalar

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:

u.v = a.c + b.d



Exemplos:

O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:

u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14

O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:

u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19



Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores,&nbsp;u v&nbsp;e&nbsp;w&nbsp;e&nbsp;k&nbsp;escalar:





Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.



Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como,



desde que nenhum deles seja nulo.



Aceleração e Velocidade Vetoriais

Vetor Posição

Imagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem O.

Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos localizar o móvel nesta trajetória por meio de um vetor.

O vetor&nbsp;é chamado vetor deslocamento e possui módulo, direção e sentido.



=P-O



Velocidade Vetorial

Vetor Velocidade Média:&nbsp;Considere-se um móvel percorrendo a trajetória do gráfico acima, ocupando posições&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;nos instantes&nbsp;e&nbsp;, respectivamente.

Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo intervalo de tempo:





Observação:

O vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido do vetor deslocamento, pois é obtido quando multiplicamos um número positivo&nbsp;

pelo vetor&nbsp;.



Vetor Velocidade Instantânea: Análogo à velocidade escalar instantânea, quando o intervalo de tempo tender a zero (), a velocidade calculada será a velocidade instantânea.

então:&nbsp;



Aceleração Vetorial

Vetor Aceleração Média:&nbsp;Considerando um móvel que percorre uma trajetória qualquer com velocidade&nbsp;em um instante&nbsp;&nbsp;e velocidade&nbsp;&nbsp;em um instante posterior&nbsp;, sua aceleração média será dada por:





Observação:

Assim como para o vetor velocidade, o vetor aceleração terá o mesmo sentido e mesma direção do vetor velocidade, pois é resultado do produto deste vetor () por um número escalar positivo,&nbsp;.



Vetor Aceleração Instantânea:&nbsp;A aceleração vetorial instantânea será dada quando o intervalo de tempo tender a zero ().



Sabendo esses conceitos, podemos definir as funções de velocidade em função do tempo, deslocamento em função do tempo e a equação de Torricelli para notação vetorial:





Por exemplo:

Um corpo se desloca com velocidade&nbsp;, e aceleração constante&nbsp;, da forma como está descrita abaixo:



(a)Qual o vetor velocidade após 10 segundos? (b)Qual a posição do móvel neste instante?



(a)Para calcularmos a velocidade vetorial em função de um tempo, precisamos decompor os vetores velocidade inicial e aceleração em suas projeções em&nbsp;x&nbsp;e&nbsp;y:



Assim, podemos dividir o movimento em vertical(y) e horizontal(x):

Em&nbsp;x:&nbsp;



Em&nbsp;y:&nbsp;



A partir destes valores podemos calcular o vetor velocidade:







(b)Sabendo o vetor velocidade, podemos calcular o vetor posição pela equação de Torricelli, ou pela função horária do deslocamento, ambas na forma de vetores:



Por Torricelli:



na mesma direção e sentido dos vetores aceleração e velocidade.



Pela Função horária da Posição:



na mesma direção e sentido dos vetores aceleração e velocidade.



Movimento Oblíquo

Um movimento oblíquo é um movimento parte vertical e parte horizontal. Por exemplo, o movimento de uma pedra sendo arremessada em um certo ângulo com a horizontal, ou uma bola sendo chutada formando um ângulo com a horizontal.

Com os fundamentos do movimento vertical, sabe-se que, quando a resistência do ar é desprezada, o corpo sofre apenas a aceleração da gravidade.



Lançamento Oblíquo ou de Projétil



O móvel se deslocará para a frente em uma trajetória que vai até uma altura máxima e depois volta a descer, formando uma trajetória parabólica.



Para estudar este movimento, deve-se considerar o movimento oblíquo como sendo o resultante entre o movimento vertical (y) e o movimento horizontal (x).

Na direção vertical o corpo realiza um Movimento Uniformemente Variado, com velocidade inicial igual a&nbsp;e aceleração da gravidade (g)

Na direção horizontal o corpo realiza um movimento uniforme com velocidade igual a&nbsp;.

Observações:


Durante a subida a velocidade vertical diminui, chega a um ponto (altura máxima) onde&nbsp;, e desce aumentando a velocidade.
O alcance máximo é a distância entre o ponto do lançamento e o ponto da queda do corpo, ou seja, onde y=0.
A velocidade instantânea é dada pela soma vetorial das velocidades horizontal e vertical, ou seja,&nbsp;. O vetor velocidade é tangente à trajetória em cada momento.



Exemplo:

Um dardo é lançado com uma velocidade inicial&nbsp;v0=25m/s, formando um ângulo de 45° com a horizontal. (a) Qual o alcance máximo (b) e a altura máxima atingida?



Para calcular este movimento deve-se dividir o movimento em vertical e horizontal.

Para decompor o vetor&nbsp;em seus componentes são necessários alguns fundamentos de trigonometria:



Genericamente podemos chamar o ângulo formado de&nbsp;.

Então:



logo:



e:



logo:





(a) No sentido horizontal (substituindo o&nbsp;s&nbsp;da função do espaço por&nbsp;x):



sendo



temos:

(1)

No sentido vertical (substituindo&nbsp;h&nbsp;por&nbsp;y):



sendo



temos:

(2)&nbsp;

E o tempo é igual para ambas as equações, então podemos isolá-lo em (1), e substituir em (2):

(1)

e&nbsp;, então:



onde substituindo em (2):

(2)&nbsp;



e onde o alcance é máximo&nbsp;. Então temos:



mas&nbsp;, então:



resolvendo esta equação por fórmula de Baskara:



mas



então:





mas



Então



Substituindo os dados do problema na equação:





(b) Sabemos que quando a altura for máxima&nbsp;. Então, partindo da equação de Torricelli no movimento vertical:



e substituindo os dados do problema na equação, obtemos:






Lançamento Horizontal

Trata-se de uma particularidade do movimento oblíquo onde o ângulo de lançamento é zero, ou seja, é lançado horizontalmente. Por exemplo, quando uma criança chuta uma bola que cai em um penhasco, ou quando um jardineiro está regando um jardim com uma mangueira orientada horizontalmente.



Por exemplo:

(Cefet-MG) Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma mesa com velocidade constante de 0,2m/s. Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,2m dos pés da mesa. Considerando g=10m/s² e a resistência do ar desprezível, determine:

(a) a altura da mesa;

(b) o tempo gasto pela bola para atingir o solo.



(a)

, e cos0°=1, então:

, considerando a posição horizontal inicial do móvel zero, e isolando&nbsp;t:



Porém neste caso, a aceleração da gravidade (g) vai ser positiva, devido ao movimento ser no mesmo sentido da aceleração.



, mas sen0°=0, então:

, considerando a posição vertical inicial zero e substituindo&nbsp;t:







(b) Sabendo a altura da mesa é possível calcular o tempo gasto pela função horária do deslocamento:



, mas sen0°=0, então:









Movimento Circular

Grandezas Angulares

As grandezas até agora utilizadas de deslocamento/espaço (s, h, x, y), de velocidade (v) e de aceleração (a), eram úteis quando o objetivo era descrever movimentos lineares, mas na análise de movimentos circulares, devemos introduzir novas grandezas, que são chamadas&nbsp;grandezas angulares, medidas sempre em radianos. São elas:

deslocamento/espaço angular: φ (phi)
velocidade angular: ω (ômega)
aceleração angular: α (alpha)



Saiba mais...

Da definição de radiano temos:





Desta definição é possível obter a relação:



E também é possível saber que o arco correspondente a 1rad é o ângulo formado quando seu arco&nbsp;S&nbsp;tem o mesmo comprimento do raio&nbsp;R.





Espaço Angular (φ)

Chama-se espaço angular o espaço do arco formado, quando um móvel encontra-se a uma abertura de ângulo φ qualquer em relação ao ponto denominado origem.



E é calculado por:&nbsp;



Deslocamento angular (Δφ)

Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferença entre a posição angular final e a posição angular inicial:



Sendo:



Por convenção:

No sentido anti-horário o deslocamento angular é positivo.

No sentido horário o deslocamento angular é negativo.



Velocidade Angular (ω)

Análogo à velocidade linear, podemos definir a&nbsp;velocidade angular média, como a razão entre o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento:



Sua unidade no Sistema Internacional é:&nbsp;rad/s

Sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s.

Também é possível definir a&nbsp;velocidade angular instantânea&nbsp;como o limite da velocidade angular média quando o intervalo de tempo tender a zero:





Aceleração Angular (α)

Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos&nbsp;aceleração angular médiacomo:





Algumas relações importantes

Através da definição de radiano dada anteriormente temos que:



mas se isolarmos S:



derivando esta igualdade em ambos os lados em função do tempo obteremos:



mas a derivada da Posição em função do tempo é igual a velocidade linear e a derivada da Posição Angular em função do tempo é igual a velocidade angular, logo:



onde podemos novamente derivar a igualdade em função do tempo e obteremos:



mas a derivada da velocidade linear em função do tempo é igual a aceleração linear, que no movimento circular é tangente à trajetória, e a derivada da velocidade angular em função do tempo é igual a aceleração angular, então:



Então:


Linear



Angular


S

=

φR


v

=

ωR


a

=

αR





Período e Frequência



Período (T)&nbsp;é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno ciclico se repita. Sua unidade é a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...)

Frequência(f)&nbsp;é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua unidade mais comum é Hertz (1Hz=1/s) sendo também encontradas kHz, MHz e rpm. No movimento circular a frequência equivale ao número de rotações por segundo sendo equivalente a velocidade angular.

Para converter rotações por segundo para rad/s:



sabendo que 1rotação = 2πrad,



Movimento Circular Uniforme



Um corpo está em Movimento Curvilíneo Uniforme, se sua trajetória for descrita por um círculo com um "eixo de rotação" a uma distância R, e sua velocidade for constante, ou seja, a mesma em todos os pontos do percurso.

No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as pás de um ventilador girando.

Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, logo existe uma aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da velocidade, chamamos deAceleração Centrípeta.

Esta aceleração é relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:





Sabendo que&nbsp;e que&nbsp;, pode-se converter a função horária do espaço linear para o espaço angular:





então:





Movimento Circular Uniformemente Variado

Quando um corpo, que descreve trajetória circular, e sofre mudança na sua velocidade angular, então este corpo tem aceleração angular (α).

As formas angulares das equações do Movimento Curvilíneo Uniformemente Variado são obtidas quando divididas pelo raio R da trajetória a que se movimenta o corpo.

Assim:


MUV

MCUV


Grandezas lineares

Grandezas angulares

























E, aceleração resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial e da aceleração centípeta:





Exemplo:

Um volante circular como raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com aceleração angular igual a 2rad/s².

(a) Qual será a sua velocidade angular depois de 10 segundos?

(b) Qual será o ângulo descrito neste tempo?

(c) Qual será o vetor aceleração resultante?



(a) Pela função horária da velocidade angular:





(b) Pela função horária do deslocamento angular:





(c) Pelas relações estabelecidas de aceleração tangencial e centrípeta: