O Corpo dos Números Complexos - Parte II
Autor: Diego Sousa | Publicado: 2013-08-29T12:34:00-03:00

Hoje daremos continuidade ao artigo enviado pelo leitor João (Portugal), quem não viu a primeira parte pode clicar aqui e ver!

Segue o artigo enviando pelo João:

__________________________________________________________




Antes de continuar o meu artigo quero desde já agradecer ao Diego a oportunidade de postar aqui no blog o meu trabalho. Comecemos por dizer algumas propriedades do corpo dos complexos:




1. O corpo dos números complexos não é um corpo de Galois

Demonstração:


Um corpo de Galois é um corpo finito, ou seja, é um corpo cujo em que o conjunto dos elementos é finito.&nbsp;

Ou seja, temos de mostrar que o conjuntos dos números complexos não é finito. Como sabemos, podemos obter um isomorfismo entre o corpo dos complexos e o produto direto entre corpo dos reais em si próprio, ou seja,

Seja $f$ uma função, tal que:

$$f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}\times\mathbb{R}$$

$$a+bi\mapsto (a,b)$$


Esta função $f$ é um isomorfismo entre os corpos. Sendo assim se $\mathbb{R^2}$ não é finito então o corpo dos números complexos também não é finito.

Ou seja, $\mathbb{C}$ não é um corpo de Galois.




2. O corpo dos complexos não é ordenado

Demonstração:

Veja a demonstração nessa postagem do Giga Matemática:

O porquê dos complexos não ser um corpo ordenado




Uma propriedade importante é o fato de o corpo dos números complexos ser&nbsp;

algebricamente fechado. Para demonstrar este fato vamos começar por introduzir e provar 4 lemas. Mas antes disto vamos definir um corpo algebricamente fechado. Um corpo $F$ é algebricamente fechado se qualquer polinômio de uma variável e grau maior ou igual a 1, com coeficientes em $F$, tiver uma raiz em $F$.


Eis os lemas que vamos utilizar:




1. Lema 1: Todo o polinômio de coeficientes reais de grau ímpar tem uma raiz real.



2. Lema 2: Todo o polinômio de coeficientes complexos e grau dois, tem pelo menos uma raiz complexa.



3. Lema 3: Se todo o polinômio de coeficientes reais, não constante, tem uma raiz complexa, então todo o polinômio de coeficientes complexos, não constante, tem uma raiz complexa.



4. Lema 4: Todo o polinômio real não constante tem uma raiz complexa.





Demonstração:

Seja $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$&nbsp;um polinômio de coeficientes reais, não constante e $a_n\neq 0$.&nbsp;



Vamos provar por indução no grau do polinômio que, $f(x)$ tem uma raiz complexa.Seja $n=2^mq$&nbsp;, com $q$ ímpar. Vamos fazer uma indução em $m$.



Se $m=0$ temos $n=q$ e o grau do polinômio é ímpar. Logo pelo Lema1, temos que o&nbsp;polinômio tem uma raiz real. Suponhamos agora que a propriedade se verifica para todos&nbsp;os graus $d=2kq'$ com $k&gt;m$ e $q'$ ímpar, e que o grau de $f$ é $n=2mq$. Seja $F'$ o corpo de&nbsp;decomposição de $f(x)$ sobre $\mathbb{R}$ cujas raízes são $r_1,\ldots,r_n$. Vamos mostrar que pelo menos&nbsp;uma destas raízes é complexa. Seja $g$ um inteiro e consideremos o polinômio


$$G(x)=\prod_{i\leq j}\left(x-(r_i+r_j+gr_ir_j)\right)$$

De coeficientes em $F'(x)$.




Ao formar $G$, escolhemos os pares de raízes $\{r_i,r_j\}$ de modo que o número destes pares seja o número de maneiras possíveis, de escolher dois elementos em $n$, ou seja, $2[q(2q-1)]=2q'$, onde $q'$ é ímpar, então o grau de $G$ é $n=2q'$. Como $G$ é um polinômio simétrico e $\{r_i,r_j\}$ são raízes de um polinômio real, então os coeficientes $s\{r_i,r_j\},s'\{r_i,r_j\}$, de $G$ são reais. Então podemos dizer que $G(x)$ tem coeficientes reais e o grau de $G$ é $2m-q'$. Por hipótese de indução temos que $G$ tem uma raiz complexa, logo existe um par $\{r_i,r_j\}$, com $r_i+r_j+gr_ir_j\in\mathbb{C}$. Como $g$ é um inteiro qualquer, podemos dizer que para cada $g_1$ existe um par $\{r_i,r_j\}$ com $r_i+r_j+g_jr_ir_j\in\mathbb{C}$. Como temos infinitas escolhas para $g$ e

finitas possibilidades para $i$ e $j$, então existem $g_1,g_2\in\mathbb{R}$ tal que $z'=r_i+r_j+g_1r_ir_j\in\mathbb{C}$ e

$z''=r_i+r_j+g_2r_ir_j\in\mathbb{C}$ , então $z'-z''=(g_1-g_2)r_ir_j$\in\mathbb{C}. Mas isso faz com que $g_1r_ir_j\in\mathbb{C}$, logo $r_i+r_j\in\mathbb{C}$. Então, $p(x)=(x-r_i)(x-r_j)=x^2-(r_i+r_j)x+r_ir_j$ tem coeficientes complexos, e grau dois, logo pelo Lema 2, as suas raízes são complexas. Como $r_1,\ldots,r_n$ são raízes de $f(x)$ temos que $f(x)$ tem uma raiz complexa.

$\Box$



Teorema: $\mathbb{C}$ é um corpo algebricamente fechado.



Demonstração:

O lema 4 diz que qualquer polinômio real não constante, tem uma raiz complexa, e o lema&nbsp;3 diz que se todos os polinômios reais não constantes têm raiz complexa, concluímos que&nbsp;todos os polinômios complexos não constantes, têm uma raiz complexa.&nbsp;

Então temos que todos os polinômios complexos, decompõem-se em $\mathbb{C}$, logo, $\mathbb{C}$ é um corpo&nbsp;algebricamente fechado.


$\Box$

__________________________________________________________



Agradeço ao leitor João por ter enviado seu artigo para o Giga Matemática. E você também pode participar, basta enviar seu artigo para o blog através da aba no topo desse blog ou clicar aqui! Até mais!