Progressão geométrica - PG
Autor: Matheus | Publicado: 2011-04-28T08:36:00-07:00

A progressão geométrica é uma sequência de números que cada um cresce geométricamente, não como na PA, mas o segundo é igual ao produto do primeiro pela razão q, ou seja,&nbsp;a2=a1 x q, em que&nbsp;an é o segunto termo, neste caso, e&nbsp;a1 o primeiro termo dessa sequência.
Mas graças a formula do termo geral da PG, nós não precisamos fazer toda a sequência para descobrir, por exemplo, o centésimo termo, ou o enésimo termo, basta usarmos a seguinte expressão:

an=a1.qn-1
Um problema clássico de PG foi o da invenção do jogo de xadrez. Conta a lenda "Em um reino muito distante havia um rei que estava muito triste. Sua vida era monótona. Um dia, afinal, o rei foi informado de que um moço brâmane solicitava uma audiência que vinha pleiteando havia já algum tempo. Como estivesse, no momento, com boa disposição de ânimo, mandou o rei que trouxessem o desconhecido à sua presença. E o jovem começou a falar:
– Meu nome é Lahur Sessa e venho da aldeia de Namir, que trinta dias de marcha separam desta bela cidade. Ao recanto em que eu vivia chegou a de que o nosso bondoso rei arrastava os dias em meio de profunda tristeza, amargurado pela ausência de um filho que a guerra viera roubar-lhe. Grande mal será para o país, se o nosso dedicado soberano se enclausurar, como um brâmane cego dentro de sua própria dor. Deliberei, pois, inventar um jogo que lhe desse alegria novamente. E é isto que me traz aqui.
Como todos os soberanos, este também era muito curioso, e não aguentou para saber o que o jovem sábio lhe trouxera. O que Sessa trazia ao rei consistia num grande tabuleiro quadrado, dividido em sessenta e quatro quadradinhos, ou casas, iguais. Sobre esse tabuleiro colocavam-se, não arbitrariamente, duas coleções de peças que se distinguiam, uma da outra, pelas cores branca e preta, repetindo porém, simetricamente, os engenhosos formatos e subordinados a curiosas regras que lhes permitiam movimentar-se por vários modos. Sessa explicou pacientemente ao rei, aos monarcas vizires e cortesãos que rodeavam, em que consistia o jogo, ensinando-lhes as regras essenciais. (...) Depois, dirigindo-se ao jovem brâmane, disse-lhe:
– Quero recompensar-te, meu amigo, por este maravilhoso presente, que de tanto me serviu para o alívio de velhas angústias. Diz-me o que queres, qualquer das maiores riquezas, que te será dado.
– Rei poderoso, não desejo nada. Apenas a gratidão de ter-te feito algum bem que basta.
– Causa-me assombro tanto desdém e desamor aos bens materiais. Por favor, diga-me o que pode ser-te dado. Ficarei magoado se não aceitar.
– Então, o invés de ouro, prata, palácios, desejo em grãos de trigo. Dar-me-ás um grão de trigo pela primeira casa, dois pela segunda, quatro pela terceira, oito pela quarta, dezesseis pela quinta, e assim sucessivamente, até a sexagésima quarta e última casa do tabuleiro.
Todo mundo ficou espantado com o pedido. Tão pouco!
– Insensato, chamou-lhe o rei, donde já se viu tanto desamor pelos bens materiais?
Chamou então, o rei, os algebristas mais hábeis da corte, e ordenou-lhes que calculassem o valor. Após muito tempo, voltaram:
– Rei magnânimo! Calculamos o número de grãos de trigo que constituirá o pagamento e obtivemos um número cuja grandeza é inconcebível para a imaginação humana.
Lathur Sessa abriu mão de seu pedido, mas mostrou ao rei uma nova maneira de pensar. Ganhou com isso um manto de honra e ainda 100 sequins de ouro". Aqui obtivemos uma petição tão simples aos olhos do rei, mas&nbsp;matemáticos&nbsp;disseram que "nem se plantasse toda a terra com trigo, seria possível pagar tal 'dívida'", vamos analisar da seguinte forma, isso nos revela uma soma de PG, ou seja, a soma de todos os termos de uma progressão geométrica finita é:
 

n
∑=(an.q-a1)/q-1i=1E como precisa-se descobrir o an, usamos a formula do termo geral, isso nos levaria ao seguinte resultado:
a64=1.2^64-1
a64=2^63.
Aplicando na soma temos:

&nbsp;n∑=(an.q-a1)/q-1i=1
&nbsp;n∑=(2^63.2-1)/2-1 &nbsp;&nbsp;&nbsp;i=1
&nbsp;n∑=2^64-1&nbsp;i=1Esse valor nos resulta em:n∑=118 446 744 073 709 551 616-1&nbsp;i=1
Depois:n∑=118 446 744 073 709 551 615&nbsp;i=1
Esse é um clássico exemplo de PG.Mas se nossa razão for igual a 1, (q=1), nossa fórmula facilita-se, é apenas multiplicar-se o primeiro termo pela número de termos, ou seja,an=a1.n.&nbsp;