Conjuntos
Autor: Felipe | Publicado: 2015-10-07T12:49:00-03:00








Tudo o que você precisa saber para responder as questões de conjuntos de concursos e vestibulares




Conjuntos são grupos de itens e cada item que o compõe é chamado de
elemento. Exemplo: o conjunto das
cores primárias é formado pelos elementos amarelo, azul e vermelho.





Para
representar um conjunto, utilizamos letras
maiúsculas. Geralmente, nomeiam-se os conjuntos seguindo a sequência normal
do alfabeto: A, B, C, etc.


Os
elementos podem ser representados de diversas formas. São cobrados por
concursos e vestibulares quatro delas: notação entre chaves, diagrama de Venn,
símbolos matemáticos e intervalos.


Notação entre chaves: os elementos são
colocados entre chaves e separados por ponto-e-vírgula. Alguns vestibulares
separam os elementos por vírgula, o que pode confundir o aluno se você tiver o
elemento um e meio (1,5) ou os elementos um e cinco (1,5). Exemplos:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A = {azul; amarelo;
vermelho}

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; B = {0; 1;
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; C = {0,5;
1,5; 2,5} (perceba como não há confusão se utilizarmos o ponto-e-vírgula)


Diagrama de Venn: os elementos são
colocados dentro de círculos, sendo que os elementos comuns a dois conjuntos
têm de pertencer aos dois círculos. Considere os conjuntos: A={a; b; c; d; e},
B={a; e; i; o; u} e C={c}. A representação por diagrama será:



Símbolos matemáticos: são as relações
entre conjuntos utilizando os símbolos matemáticos. Veja a tabela abaixo e os
exemplos baseados nos conjuntos A={a; b; c; d; e}, B={a; e; i; o; u} e C={c}.







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Exemplos:
(se
necessário, visualize a imagem anterior para compreender melhor)


A U B = {a; b; c; d; e; i; o; u}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

A ∩ B = {a; e}

A – B = {b; c; d}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

d ∈ A  (d é elemento do conjunto A)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

d ∉ B (d não é elemento do conjunto B)

C ∩ B = { } (Não há elementos em comum nos conjuntos B e C)

A ⊃ C (A contém
C)

A ⊅ B (A não contém B)

C ⊂ A (C está
contido em A ou C é subconjunto de A)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
C
⊄
B (C não está contido em B)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

Intervalos: são utilizados
para representar uma sequência de números em uma reta.  Tipos de intervalos: 

]1;4[ = intervalo aberto nas duas extremidades. Todos os números entre
1 e 4, mas não 1 e 4.

]1;4] = intervalo aberto em uma das extremidades. Todos os números
entre 1 e 4, mas não 1.

[1;4] = intervalo fechado nas duas extremidades. Todos os números entre
1 e 4, incluindo estes.






&nbsp;Exercícios &nbsp;<!--[if gte vml 1]><v:shape id="Imagem_x0020_1" o:spid="_x0000_i1025"
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01- Se A ⊂ B e B
= {10, 23, 12, {1,2}}, então A U B é: 

(A) Ø

(B) {1}

(C) {10, 23, 12}

(D) {15, 10} U {13,10}

(E) {10, 23, 12, {1,2}}



02- (UFPB-2007) Os 40 alunos de uma turma da 4ª série de uma escola de
Ensino Fundamental foram a um supermercado fazer compras. Após 30 minutos no
supermercado, a professora reuniu os alunos e percebeu que exatamente:

- 19 alunos
compraram biscoitos.
- 24 alunos
compraram refrigerantes.



- 7 alunos não
compraram biscoitos nem refrigerantes.

O número de alunos
que compraram biscoitos e refrigerantes foi:

A) 17 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; B) 15 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; C) 12 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; D) 10 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; E)
7



03 - (CESCEA-69) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,c,d} e C =
{a,c,d,e}, o conjunto (A - C) U (C - B) U (A ∩ B ∩ C) é:

a){a,b,c,e}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; b){a,c,e}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; c)A

d){b,d,e}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; e){b,c,d,e}



04-
(CESCEA-72) Dados os conjuntos A = {1,2,-1,0,4,3,5} e B = {-1,4,2,0,5,7}
assinale a afirmação verdadeira:

a) A U B =
{2,4,0,-1}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; b) A ∩
(B - A) = Ø

c) A ∩ B =
{-1,4,2,0,5,7,3}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; d) (A U B) ∩
A = {-1,0}

e) Nenhuma das
respostas anteriores




Resoluções



01 – (E). Se
A está contido em B, todos os elementos de A estão também em B. Logo, a união
desses dois conjuntos são os próprios elementos de B, visto que seria
redundante contar os elementos de A de novo. Note que, como o vestibular não
usou ponto-e-vírgula, utilizaram-se chaves dentro de chaves para identificar o
elemento 1,2, o que é válido.



02- (D).
Dica: desenhe o diagrama da situação. Como 7 dos alunos não compraram nenhum
dos dois itens, temos 40 – 7 = 33 alunos que compraram biscoitos e/ou
refrigerante. Seja A o conjunto dos biscoitos e B o dos refrigerantes. Temos: A
∩ B = 33, A = 19 e B = 24. 

A U B = A +
B – A ∩ B = 10 alunos.



03- (A). Dica:
Resolva primeiro os “novos” conjuntos entre parênteses. Em seguida, resolva as
operações seguindo a ordem que aparecem.




04 –(B).
Dica: Resolva cada uma das alternativas separadamente.