Autor: coisasquevousupondo | Publicado: 2011-10-17T11:29:00-07:00

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“O método de Zenão, não menos que seus resultados, marca uma época na história da ciência. Ele inventou a demonstração por absurdo, que será, em seguida, bastante utilizada pelos geometras posteriores, particularmente por Euclides. Para demonstrar uma proposição A, nós admitimos inicialmente a verdade da hipótese contrária, não-A, e daí deduzimos em seguida as conseqüências, até que nos encontramos frente a uma contradição (o absurdo). E, do fato da proposição não-A ter-se revelado falsa, nós inferimos que a proposição A deve ser verdadeira. Ninguém pode contestar o rigor desse método: todavia, os críticos modernos o consideram um caminho indireto e pouco natural, que a intuição repugna, pelo fato dele levar a supor situações impossíveis e a raciocinar sobre eles. É daí que vem, em grande parte, a antipatia de Schopenhauer com relação a Euclides, cujas construções ele compara a armadilhas feitas para capturar o consentimento dos discípulos” (F. Enriques; G. De Santillana, Histoire de la pensée scientifique, Le problème de la matière. II: Pythagoriciens et Eléates,p. 51)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; “Podemos afirmar que é à crítica de Zenão que se devem os primeiros passos da análise infinitesimal” (idem)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; “Nenhuma questão acerca dos fundamentos da matemática é tão antiga e de interesse tão duradouro, chegando até as mais recentes especulações em filosofia da matemática, quanto os argumentos de Zenão contra o movimento. (...) A história desses paradoxos é em grande parte a história dos conceitos de continuidade, de infinito e de infinitesimal” (F. Cajori, The history of Zeno's arguments on motion, The American mathematical monthly, p. 1)
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Segundo Pierre Bayle, “o ganho que pode ser adquirido dessas especulações não consiste simplesmente em adquirir esse tipo de Conhecimento, que em si é muito estéril; mas aprender a conhecer os limites de nosso entendimento” (em F.  Cajori, The history of Zeno's arguments on motion, The American mathematical monthly, p. 111)
Segundo Hegel, “a dialética de Zenão sobre a matéria não foi refutada até hoje; não conseguimos, até agora, ir além dela e a questão permanece incerta” (em F.  Cajori, The history of Zeno's arguments on motion, The American mathematical monthly, p. 181)
Segundo Sir William Hamilton, “é sobre essa incapacidade da mente de conceber tanto a indivisibilidade última, quanto a divisibilidade sem fim de espaço e tempo, que os argumentos de Zenão de Eléia contra a possibilidade do movimento se fundamentam – argumentos que mostram, no mínimo, que o movimento, mesmo que seja um fato incontestável, não pode der conceitualmente possível, enquanto envolve uma contradição” (em  F. Cajori, The history of Zeno's arguments on motion, The American mathematical monthly, p. 185)
“Os paradoxos de Zenão mostram que tal descrição [matemática] não pode ser literalmente correta. A conseqüência dessa visão parece ser que a física matemática necessita de uma fundamentação matemática radicalmente diferente se ela quer lidar de maneira adequada com a realidade física.” E ainda: “O aspecto dual dos problemas levantados pelos paradoxos de Zenão resulta do fato que, apesar do uso da matemática nas ciências empíricas ter sido inquestionavelmente válido, as asserções da matemática pura por si não descrevem o mundo físico” (W. C. Salmon, Zeno’s paradoxes, p. 30 e 33)
O problema, segundo Bergson, reside no “aplicar o movimento à linha percorrida e na suposição de que o que é verdadeiro para a linha seja verdadeiro para o movimento” (H. Bergson, Materia e memoria, in F. Cajori, The history of Zeno's arguments on motion, The American mathematical monthly, p. 293) ou, também, “Ao invés que nos mantermos no íntimo devir das coisas, nos colocamos do lado de fora, com o objetivo de recompor artificialmente seu devir” (The cinematographic view of becoming, in W. C. Salmon, op. cit., p. 61)
Nos deparamos com o “problema da passagem da matemática à física, na qual é necessário distingüir a realidade física do raciocínio matemático que a essa realidade é aplicado. O próprio cálculo infinitesimal é uma aproximação formal a uma realidade física que não é, de fato, alcançada. Isso não significa que tal realidade não exista: é necessário, aliás, conceber tal realidade de maneira a explicar porque para ela pode ser aplicado o cálculo infinitesimal. Leibniz, portanto, conceberá a realidade como um conjunto de mônadas e Anaxágoras, antes dele, como um conjunto de homeomerias” E ainda: “O que aprendemos com Zenão é que se nós traduzimos os termos de um discurso lógico-matemático em dados de uma experiência de fato, não nos deparamos com nossa experiência real, mas somente com o absurdo” Enfim, a divisibilidade ad infinitum de espaço e tempo nada mais são do que “uma convenção que ajuda a determinar o caráter de uma linguagem (a linguagem da geometria) que substitui a linguagem do senso comum quando nós, dos problemas da vita cotidiana, passamos para os temas mais delicados da tecnologia e da ciência pura. Mas se nós não esperamos que essa linguagem mais precisa explique uma correspondência um a um entre seus termos e a experiência cotidiana, evitaremos o erro de pensar que Aquiles seja condenado a realizar infinitas tarefas. Nós podemos muito bem dizer que Aquiles deve percorrer dez metros, depois um metro, depois um decímetro, e assim por diante; mas isso não complica em nada a tarefa de Aquiles, e ele pode alegremente alcançar a tartaruga, ignorando tranqüilamente a rapidez do matemático em representar a imortal corrida através de fórmulas cada vez mais complexas” (E. Paci, Storia del pensiero presocratico, p. 75-76)
“A solução do problema consiste em tomar consciência do fato que, inevitavelmente, nos deparamos com contradições toda vez que espaço, tempo e movimento são considerados, ao mesmo tempo, do ponto de vista da percepção sensível e do raciocínio abstrato” (Loewe em F. Cajori, The history of Zeno's arguments on motion, The American mathematical monthly, p. 184)
“Muitos dos tradicionais, insolúveis problemas do espaço e do tempo, originam-se do fato de filósofos e pesquisadores terem freqüentemente esquecido que espaço e tempo nada mais são do que elaborações conceituais complexas, quadros descritivos realizados pela mente, com elementos muito mais simples, na tarefa de ordenar as percepções” (M. Ageno, La costruzione operativa della fisica, p. 193)
Da dificuldade de conciliar esses dois planos, ocupou-se até Piaget: “Por quanto móvel e cinético seja o modo de formar as imagens na intuição geométrica, tal modo não alcança o contínuo enquanto imagem: se nós nos limitamos às representações em imagens das etapas do movimento, Aquiles nunca alcançará a tartaruga, e encontraremos, portanto, até no nível da imagem cinética, um resíduo estático irredutível à imagem, em flagrante oposição com o dinamismo operativo do pensamento. O fato que a imagem não possa representar o contínuo cinético, não tem nada a ver com a percepção, porque há uma percepção muito refinada do movimento, que consegue até compor movimentos aparentes ou estroboscópicos, através de elementos que são na realidade imóveis. O caráter estático da imagem, com um resíduo irredutível até o nível das imagens cinéticas ou de transformação, não pode portanto depender de outra coisa que de suas exigências figurais, e é interessante encontrar, mesmo a esse propósito, um parentesco entre a imagem gráfica e a imagem propriamente mental. Nos perguntamos, portanto, se as duas propriedades gerais da imagem, de comportar pseudoconservações figurais (que consistem em manter determinados caráteres do objeto, considerados típicos ou exemplares, e em conservá-los até as custas de outros caráteres que parecem mais importantes) e de manter-se em parte estática, que não dependem somente da percepção (e no segundo caso, por nada mesmo), não poderiam derivar de estruturas conceituais, não no nível da imagem adulta e menos ainda naquele da intuição geométrica especializada, mas naquele da formação das imagens, e portanto nos níveis pré-operativos” (J. Piaget; B. Inhelder, L'immagine mentale nel bambino, cap. 2)
Os paradoxos “apresentam-se como antinomias gnoseológicas que até as teorias matemáticas mais recentes somente podem superar na medida em que, partindo de axiomas não realizáveis na intuição, é possível construir teorias não-contraditórias” (K. Von Fritz, Le origini della scienza in Grecia, p. 49)
Os argumentos de Zenão são “paradoxos da matemática aplicada. Nenhuma teoria matemática abstrata pode resolvê-los completamente...” (W. C. Salmon, Zeno’s paradoxes, p. 30)
“Seria naturalmente precipitado concluir que temos de fato chegado a uma completa resolução de todos os problemas que emergem a partir dos paradoxos de Zenão. Cada época, de Aristóteles em diante, parece ter encontrado nos paradoxos dificuldades aproximadamente comensuráveis com os recursos matemáticos, lógicos e filosóficos então disponíveis. Quando instrumentos mais poderosos apareceram, os filósofos individuaram dificuldades mais profundas que teriam sido insuperáveis para os métodos mais primitivos. Podemos ter resoluções apropriadas para o nosso nível atual de entendimento, mas eles poderão parecer inadequados quando avançarmos mais. Afinal, os paradoxos chegam ao cerne de conceitos difíceis como aqueles de espaço, tempo e movimento” (W. C. Salmon, Zeno’s paradoxes, p. 44)
“Durante dois milênios e meio os paradoxos de Zenão têm sido motivo de discussão e objeto de análise, mas somente hoje, graças a uma formulação da análise matemática desenvolvida na última década, é possível resolvê-los. A solução depende do conceito de infinitesimal, já conhecido na antigüidade, mas até pouco tempo atrás olhado com suspeita por muitos” (W. I. Mc Laughlin, La risoluzione dei paradossi di Zenone sul moto, Le Scienze, 317 (1995), p. 60)



Bibliografia

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