SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Autor: Aloyana Couto da Silva | Publicado: 2013-03-17T11:05:00-07:00
















A semelhança é um conceito
natural e intuitivo. Figuras “parecidas” ou “que têm a mesma forma” são ditas
semelhantes. Todavia, vamos estabelecer o conceito matemático de semelhança de
triângulo, porém, vamos ver antes como e onde este conceito foi concebido.





AS
DESCOBERTAS GEOMÉTRICAS DE TALES DE MILETO





&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; As pirâmides egípcias são monumentos
grandiosos. A técnica empregada em sua construção até hoje fascina o homem.









Pirâmide de Quéops









A &nbsp;Pirâmide Quéops, no Egito, foi construída
cerca de 2500 a.C. Considerada uma das sete maravilhas do mundo antigo, ela tem
aproximadamente 150 m de altura. Sua base é um quadrado, cujos lados medem
cerca de 230 m.



Certa
vez, o matemático e filósofo grego Tales apresentou-se ao Rei Amasis, do Egito,
oferecendo-se para calcular a altura de uma pirâmide, sem escalar o monumento.



Tales
percorreu as areias quentes do deserto e, nas proximidades da pirâmide, fincou
uma estaca no chão. E concluiu que, no momento em que o comprimento da sombra
da estaca fosse igual ao comprimento da própria estaca, a altura da pirâmide
seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da medida da base.



Com
esse método, Tales inaugurou o processo de medida indireta, largamente usado
até hoje em Astronomia e para medir distâncias de locais inacessíveis.



Tales
também previu o eclipse (Obscurecimento
total ou parcial de um astro pele interposição de um corpo celeste entre ele e
o observador ou entre o astro e o Sol que o ilumina.) do Sol, ocorrido no
dia 28 de maio de 585 a.C.; criou um método para calcular a largura de um rio e
um método para calcular a distância de um barco que se aproxima.



A
Tales são atribuídas as seguintes descobertas geométricas:









































Teorema de Tales

















A IDEIA DE SEMELHANÇA



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A palavra semelhante quer dizer parecido.
Mas, na Geometria, essa palavra tem um significado mais preciso. Por exemplo,
dois mapas mundi, sendo um ampliação do outro,&nbsp;
na Geometria, dizemos que esses mapas são figuras semelhante, devido aos dois mapas terem exatamente a mesma
forma, embora seus tamanhos sejam diferentes. 



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Na Geometria, a palavra semelhante está ligada à idéia de mesma forma. Assim, uma ampliação, uma
redução e até mesmo uma congruência são exemplos de semelhança.



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Trataremos de um caso especial de
semelhança:







A Semelhança de Triângulos



Consideremos o seguinte problema:






Uma moeda de 2 cm de diâmetro, colocada a 2 m dos olhos, cobre
exatamente a Lua cheia. Sabe-se que a Lua está a uma distância de 300.000 km da
Terra, aproximadamente. Com estes dados, você é capaz de calcular o diâmetro da
Lua?















Observando
o desenho acima, vamos desdobrá-lo em duas figuras geométricas:



























Observe
que as duas figuras possuem a mesma “forma”, embora tenham tamanhos
“diferentes”. Essas figuras são denominadas figuras semelhantes.





Definição:



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem
os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.


















∆ABC ~ ∆A´B´C´&nbsp; ↔ Â
≡ Â´, B ≡ B´, C ≡ C´ e a/a´= b/b´= c/c´









Dois lados homólogos (homo =
mesmo, logos = lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos e
ambos são opostos a ângulos congruentes.

















São homólogos os lados:



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; BC
e B´C´ (opostos aos ângulos Â e Â´)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; AC
e A´C´ (opostos aos ângulos B e B´)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; AB e A´B´ (opostos
aos ângulos C e C´)







Razão
de Semelhança



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Seja K a
razão de semelhança entre os lados homólogos, então

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; a/a´=
b/b´= c/c´ = K, &nbsp;K
é chamado razão de semelhança dos triângulos.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Se K = 1, os
triângulos são congruentes.








Ex_1.&nbsp;

Seja ∆ABC e ∆A´B´C´ triângulos
semelhantes. Os lados do segundo têm medidas A´B´ = 3 cm, A´C´ = 7 cm e B´C´ =
5 cm. A medida do lado AB do primeiro é 6 cm, vamos obter a razão de semelhança
dos triângulos e os outros dois lados do primeiro triângulo.&nbsp;



Solução:

















∆ABC ~ ∆A´B´C´ à a/a´= b/b´= c/c´à a/5 = b/7 = 6/c = 2



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Como
a razão de semelhança é 2, segue que



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; a/5
= b/7 = 2 à
a/5 = 2 à
a = 10 e b/7 = 2 à
b = 14



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Portanto,
BC = 10 cm e AC = 14 cm.










Propriedades:



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Da
definição de triângulos semelhantes verifica-se facilmente que a semelhança é
uma relação de equivalência, pois possui as propriedades:



<!--[if !supportLists]-->i)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->Reflexiva: ∆ABC ~ ∆ABC

<!--[if !supportLists]-->ii)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->Simétrica: ∆ABC ~ ∆RST&nbsp; ↔ ∆RST ~ ∆ABC

<!--[if !supportLists]-->iii)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<!--[endif]-->Transitiva: ∆ABC ~ ∆RST, ∆RST ~ ∆XYZ&nbsp; → ∆ABC ~ ∆XYZ







Teorema Fundamental:



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Se
uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois
lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao
primeiro.



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Hipótese&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Tese



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; DE
// BC&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; →&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ∆ADE ~ ∆ABC



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Demonstração



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Para
provarmos a semelhança entre ∆ADE e ∆ABC, precisamos provar que eles têm
ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais. Assim:



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1º
Os ângulos são congruentes



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; DE
// BC → D ≡ B e E ≡ C (ângulos correspondentes), então temos: D ≡ B, E ≡ C e Â
comum (i)



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2º
Lados correspondentes são proporcionais



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Pelo
Teorema de Tales temos:


&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; AD
/ AB = AE / AC























Por E construímos EF paralela a AB, com F
em BC.



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A
figura obtida BDEF (acima) é um paralelogramo, pois os lados são paralelos



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; DE
≡ BF à
AE / AC = DE / BC à
&nbsp;pelo Teorema de Tales



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Segue
que, AD / AB = AE / AC = DE / BC ii.



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <!--[if gte msEquation 12]><span
 style='font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";
 mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
 mso-bidi-font-family:Arial'>
  <![endif]--><!--[if !msEquation]-->
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 

 
<!--[endif]-->Portanto, de i e ii concluímos que ∆ADE ~
∆ABC





Ex_2.

Um triângulo ABC tem os lados AB = 12 cm, AC = 13 CM e BC = 15 cm. A reta DE
paralela ao lado BC do triângulo determina um triângulo ADE, em que DE = 5 cm.&nbsp;

Calcule AD = x e AE = y.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Solução:&nbsp;



Aplicando o Teorema Fundamental, vem:


















DE // BC à ∆ADE ~ ∆ABC à x/12 = y/13 = 5/15 à x = 4 e y = 13/3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Portanto,
AD = 4 cm e AE = 13/3 cm&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 



Casos
ou Critérios de Semelhança:



<!--[if !supportLists]-->a.&nbsp;&nbsp;&nbsp; <!--[endif]-->Caso
Ângulo Lado Ângulo

Se
dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são
iguais.

<!--[if !supportLists]-->b.&nbsp;&nbsp;&nbsp; <!--[endif]-->Caso
Lado Ângulo Lado

Se
dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e
os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

<!--[if !supportLists]-->c.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <!--[endif]-->Caso
Lado Lado Lado

Se
dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são
semelhantes.



Observações: 



Com
base nos casos de semelhança, podemos ter os resultados seguintes:



Se
a razão de semelhança de dois triângulos é K, então:



&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; a razão entre lados homólogos é K;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; a razão entre os perímetros é K;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; a razão entre as alturas homólogas é
K;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; a razão entre as medianas homólogas é
K;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; a razão entre as bissetrizes internas homólogas
é K;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; a razão entre os raios dos círculos
inscritos é K;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; a razão entre os raios dos círculos
circunscritos é K;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;
.&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
.&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp; .

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;
.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;
.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp; .

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;
.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;
.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; .&nbsp;&nbsp; .

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; a razão entre dois elementos lineares homólogos
é K;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; e os ângulos homólogos são
congruentes.










Para Saber Mais:



DOLCE, Osvaldo. POMPEO, Nicolau José. Fundamentos de Matemática Elementar - Geometria Plana, vol 9 - Atual Editora, 1995.



FACCHINI, Walter. Matemática volume Único - 2ª edição. Editora Saraiva, 1997.











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