Dízimas periódicas
Autor: Prof. Manoel | Publicado: 2012-03-09T10:37:00-08:00




Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período

Classificação de dízimas periódicas
As dizimas periódicas podem ser dividas em:
Simples: São aquelas em que o período se apresenta logo depois da vírgula.
Observe:
&nbsp;35/37 = 0,945945945... Período - 945945945... (três algarismo) Parte não periódica: 0
25/27 = 0,925925925... Período - 925925925... (três algarismo) Parte não periódica: 0
4/33 = 0,121212... Período - 121212... (dois algarismo) Parte não periódica: 0
Compostas: São consideradas dízimas periódicas compostas todas que entre o período e a vírgula existe uma parte que não seja periódica.
Neste caso esta parte da dízima periódica não é considerada e exclui-se então esta parte da parte periódica.
Exemplos:
0,7333... Período: 333... (um algarismo) Parte não periódica: 7&nbsp;
0,72444... Período: 444... (um algarismo) Parte não periódica: 72
0,51666... Período: 666... (um algarismo) Parte não periódica: 51
Formação de uma fração geratriz
Todos os números com uma expansão decimal infinita ou finita e periódica sempre são números racionais.
Neste caso, é fato que sempre existem frações capazes de representá-los. A estas frações chamamos de frações geratrizes.
Para encontrarmos a fração geratriz seguimos os seguintes passos.
&nbsp;1º passo – relacionar a dízima periódica com uma incógnita
&nbsp;x = 0,333333...
&nbsp;2º passo – multiplicar os dois lados da igualdade por um múltiplo de 10, de acordo com a quantidade de algarismos do período, por exemplo: um algarismo, multiplicar por 10&nbsp;dois algarismos, multiplicar por 100 três algarismos, multiplicar por 1000, e assim sucessivamente.&nbsp;
x = 0,333333 ... * 10&nbsp;
10x = 3,3333 ...
&nbsp;3º passo – subtrair a segunda igualdade da primeira igualdade&nbsp;
10x = 3,3333
&nbsp;– x = 0,3333
&nbsp;9x = 3
&nbsp;x = 3/9
&nbsp;Exemplo 2
&nbsp;Encontrar a fração geratriz da seguinte dízima periódica: 0,232323... .&nbsp;
1º passo x = 0,232323....
2º passo x = 0,232323 ... * 100&nbsp;
100x = 23,23&nbsp;
3º passo&nbsp;
100x = 23,23
&nbsp; – x = 0,23
&nbsp;99x = 23
&nbsp;99x = 23
&nbsp;x = 23/99
&nbsp;Exemplo 3
&nbsp;Determinar a fração geratriz do número racional 0,562562...&nbsp;
1º passo x = 0,562562...&nbsp;
2º passo x = 0,562562... * 1000&nbsp;
1000x = 562,562&nbsp;
3º passo
1000x = 562,562
&nbsp;– x = 0,562
999x = 562
&nbsp;x = 562/999
Vamos praticar?

Atividades
1) Calcule as geratrizes das dízimas periódicas :
a) 0,555... &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;h) 1,030303...
b) 2,363636... &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;i) 0,003003003...
c) 1,999... &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;j) 2,027027027...
d) 5,018018018... &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;k) 0,0666...
e) 1,04727272... &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; l) 2,06818181...
f) 1,32444... &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;m) 1,291666...
g) 1,05333... &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;n) 3,61666...

2) Calcule o valor das expressões abaixo :
a)&nbsp;
b) – 0,151515... – ( 0,333...)2 =