t-tech/T-math huggingface dataset:
Задача: На острове Невезения с населением 96 человек провели пять реформ. Каждой реформой недовольна ровно половина граждан. Гражданин выходит на митинг, если недоволен более чем половиной реформ. Какое максимальное число людей может быть на митинге?
Решение: Общее число недовольств: $ 48 \cdot 5 = 240 $. Каждый на митинге недоволен хотя бы тремя реформами, поэтому $ 3x \leq 240 $, $ x \leq 80 $. Пример: 80 человек, разбитых на 5 групп по 16, недовольных разными реформами.
Ответ: 80
Задача: Клетчатый квадрат $8 \times 8$ согнули по линиям клеток в квадрат $1 \times 1$. Его разрезали по отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон. На сколько частей мог распасться квадрат?
Решение: При разрезании вертикального квадрата 1×1 все разрезы накладываются друг на друга. Число частей — 9.
Ответ: 9
Задача: Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
Решение: Если на этаже не более трёх квартир, то в десяти подъездах их не более 10·9·3 = 270, то есть в 10-м подъезде квартира № 333 не будет. Если на этаже не менее пяти квартир, то уже в девяти подъездах будет не менее 9·9·5 = 405 квартир, то есть искомая квартира будет не в десятом подъезде. Значит, квартир на этаже 4. В первых девяти подъездах 9·9·4 = 324 квартиры. В десятом подъезде квартиры начинаются с 325-й. На втором этаже они начнутся с 329-й, на третьем — с 333-й. Петя должен подняться на третий этаж.
Ответ: На 3-й этаж
Задача: В клетках таблицы 3 × 3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?
Решение: Пример таблицы, в которой ровно семь ненулевых чисел:

| 0 | 1 | -1 |
| -1 | 2 | 1 |
| 1 | -1 | 0 |

Докажем, что меньшим количеством ненулевых чисел обойтись нельзя. Если в таблице ровно одно ненулевое число, то сумма чисел в строке, содержащей это число, отлична от нуля. Если в таблице ровно три ненулевых числа, то если все они стоят в одной строке, то сумма чисел в любом столбце отлична от нуля. Если не все они стоят в одной строке, то в какой-нибудь строке стоит ровно одно ненулевое число, и сумма чисел в этой строке не равна нулю. Если в таблице ровно пять ненулевых чисел, то в таблице стоит 4 нуля, значит, какие-то два нуля стоят в одной строке. Поскольку сумма чисел в этой строке равна нулю, все числа в строке — нули. В столбце, в котором стоит оставшийся ноль, ровно два нуля, что невозможно.
Ответ: 7
Задача: Волк с тремя поросятами написал детектив «Три поросенка–2», а потом вместе с Красной Шапочкой и ее бабушкой кулинарную книгу «Красная Шапочка–2». В издательстве выдали гонорар за обе книжки поросенку Наф-Нафу. Он забрал свою долю и передал оставшиеся 2100 золотых монет Волку. Гонорар за каждую книгу делится поровну между ее авторами. Сколько денег Волк должен взять себе?
Решение: За книгу «Три поросёнка-2» каждый автор должен получить четверть гонорара. Но так как Наф-Наф уже забрал свою долю, Волку причитается 1/3 остатка. За книгу «Красная Шапочка-2» Волку также полагается 1/3 гонорара. Поэтому всего он должен получить треть переданной ему суммы: 2100 : 3 = 700 золотых монет.
Ответ: 700 золотых монет
Задача: Даша живёт на 6 этаже. Таня пошла не вниз, а вверх, дойдя до последнего этажа, спустилась к себе. Оказалось, что Таня прошла в полтора раза больше, чем если бы сразу пошла вниз. Сколько этажей в доме?
Решение: Пусть с шестого этажа Тане надо было спуститься на n этажей. Тогда «лишний путь» Тани составил 1,5n − n = 0,5n этажей. Вверх она поднялась на n/4 этажей. Если n/4 = 1, то Таня живёт на 4 этажа ниже Даши, и в доме 7 этажей. Если бы n/4 было 2 или больше, Тане пришлось бы спуститься минимум на 8 этажей вниз, что невозможно.
Ответ: 7 этажей
Задача: Население деревни за первый год увеличилось на n человек, а за второй — на 300 человек. При этом за первый год население выросло на 300%, а за второй — на n%. Сколько жителей стало в деревне?
Решение: Пусть изначально в деревне было x жителей. Тогда через год x + n = 4x (300% роста), откуда n = 3x. Через два года 4x + 300 = 4x + (n·4x)/100. Подставляя n = 3x, получаем 300 = (12x²)/100 → x² = 2500 → x = 50. Итого через два года: 4·50 + 300 = 500 жителей.
Ответ: 500
Задача: В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. За победу 3 очка, за ничью 1, за поражение 0. Команда успешна, если набрала хотя бы половину максимальных очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть?
Решение: Максимально возможное количество очков у одной команды: 15 игр · 3 очка = 45. Успешная команда набрала ≥23 очка. Пусть n — количество успешных команд. Тогда общее количество очков ≥23n. В каждой игре разыгрывается ≤3 очков, всего игр (16·15)/2 = 120, общее количество очков ≤360. Тогда 23n ≤ 360 → n < 16. Покажем, что n = 15 возможно: пусть команда 16 проиграла всем, остальные 15 команд выиграли у следующих 7 по кругу и проиграли остальным. Тогда каждая из 15 команд наберёт 24 очка.
Ответ: 15
Задача: В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M — середина AD. Известно, что угол BMC равен 90°. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.
Решение: Построим точку C₁ на прямой CM так, что C₁M = CM, и точку B₁ на прямой BM так, что B₁M = BM. Тогда BCB₁C₁ — ромб, так как диагонали перпендикулярны. Из равенства треугольников и свойств ромба получаем, что ∠3 + ∠4 = 60° + 60° − 90° = 30°, где ∠3 и ∠4 — углы, связанные с диагоналями четырёхугольника.
Ответ: 30°
Задача: На сторонах единичного квадрата отметили точки K, L, M, N так, что KM параллельна двум сторонам квадрата, а LN — двум другим. KL отсекает треугольник периметра 1. Какова площадь треугольника, отсекаемого MN?
Решение: Обозначим длины отрезков AL = x, AK = y. По теореме Пифагора 1 − x − y = √(x² + y²). Возведя в квадрат, получаем 1 = 2x + 2y − 2xy. Тогда площадь треугольника NMC равна (1 − x)(1 − y)/2 = (1 − x − y + xy)/2 = 1/4.
Ответ: 1/4
Задача: Автостоянка 7×7 клеточек. Незнайка расставил 24 машины так, чтобы все могли выехать. Попытайтесь расставить машины по-другому, чтобы их поместилось больше.
Решение: Можно поставить 28 машин, например, как на рис. 4. Можно ли больше — жюри неизвестно.
Ответ: 28 машин
Задача: Дима спускается на лифте с этажа за 1 минуту, а поднимается пешком после нажатия доступной кнопки. Путь наверх занимает 1 минуту 10 секунд. Лифт и Дима имеют постоянные скорости. На каком этаже живет Дима?
Решение: Первое решение: Разница между подъемом и спуском составляет 10 секунд. Путь пешком — 1 промежуток между этажами. Второе решение: Решение системы уравнений дает n=7, m=6.
Ответ: 7 этаж
Задача: Вася на остановке увидел 1 автобус и 2 трамвая. Шпион, пришедший позже, за время наблюдения увидел 10 автобусов. Какое минимальное число трамваев могло проехать за это время?
Решение: Пример: автобусы ходят в 9:00, 10:00..., трамваи — с интервалом 1 час 58 минут. Доказательство: интервал трамвая меньше двух часов. За время наблюдения Шпиона между автобусами 1-3, 3-5, 5-7, 7-9 проехало не менее 4 трамваев.
Ответ: 4 трамвая
Задача: В турнире участвовали 20 спортсменов и 10 арбитров. После окончания каждой игры участники фотографировались с арбитром. Оказалось, что не про каждого можно определить, кто он — спортсмен или арбитр. Сколько могло быть таких людей?
Решение: Каждый подозрительный человек должен быть на всех фотографиях с одним арбитром. Доказательство через периодичность и симметрию показывает, что таких людей двое.
Ответ: 2 человека
Задача: Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со
стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если
сумма показаний храпометров равна 7
Решение: Каждый студент виден 2, 3 или 6 храпометрам. Сумма показаний 7. Возможны только 3 студента (3+2+2).
Ответ: 3 студента
Задача: Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем 2008!.
Решение: 2008! делится на 45^45 и 46^46, но не делится на 47^47, так как 47 простое и 47·42 < 2008 < 47·43.
Ответ: 47
Задача: У 2009 года есть такое свойство: меняя местами цифры числа 2009, нельзя получить меньшее четырёхзначное число (с нуля числа не начинаются). В каком году это свойство впервые повторится снова?
Решение: В 2010, 2011, ..., 2019 годах и в 2021 году в номере года есть единица, и если её поставить на первое место, число заведомо уменьшится. Число 2020 можно уменьшить до 2002. А вот число 2022 нельзя уменьшить, переставляя цифры.
Ответ: 2022
Задача: Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырёх арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег. В ответе напишите минимально возможное количество потраченных денег.
Решение: Ответ: число 2009 можно получить за 23 рубля следующим способом: 2009 = (2 · (2 + 1) + 1)(2 · 2 · 2 · 2 · 2 · (2 + 1) · (2 + 1) − 1). Объясним, как эту задачу можно было бы решать. Заметим, что выражение можно составлять из произвольных чисел, заменив каждое из них на сумму соответствующего числа единиц. В частности, 2009 можно получить как сумму 2009 единиц. Но так как произведение обычно больше суммы, выгоднее числа не складывать, а умножать. Если разложить 2009 на простые множители, получится выражение 7 · 7 · 41 стоимостью 7 + 7 + 41 = 55 рублей. Теперь можно попробовать получить более дешёвым способом эти сомножители. Например, 41 можно получить за 12 рублей: 5 · 2 · 2 · 2 + 1. Аналогично 7 = 2 · 3 + 1. Воспользовавшись этим, можно получить 2009 за 24 рубля: (2 · 3 + 1)(2 · 3 + 1)(5 · 2 · 2 · 2 + 1). Можно попробовать удешевить один из сомножителей по-другому: например, представить 41 как 42 − 1 = 2 · 3 · 7 − 1 = 2 · 3 · (2 · 3 + 1) − 1. Снова получилось 12 рублей. Итак, дальше удешевлять отдельные сомножители так не получается, но можно попробовать применить ту же идею для каких-то их произведений. Например, можно представить 7 · 41 = 287 как 288 − 1 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 − 1, что получается за 23 рубля. Этот результат наилучший. Однако жюри неизвестно доказательство этого, не использующее компьютерного перебора.
Ответ: 23
Задача: Известно, что квадратные уравнения ax² + bx + c = 0 и bx² + cx + a = 0 (a, b и c — отличные от нуля числа) имеют общий корень. Найдите его.
Решение: Ответ: 1. Первое решение. Домножим первое уравнение на x и вычтем из него второе. Ясно, что общий корень исходных уравнений будет и корнем получившегося уравнения: (ax³ + bx² + cx) − (bx² + cx + a) = 0 ⇔ a(x³ − 1) = 0. Но у последнего уравнения только один корень — а именно, 1.
Второе решение. Можно решить задачу и «в лоб». Найдём сначала, при каких x значения обоих квадратных трёхчленов равны, — для этого нужно решить уравнение: ax² + bx + c = bx² + cx + a, то есть (a − b)x² + (b − c)x + (c − a) = 0. Можно решить его по формуле, но проще заметить, что 1 — его корень (что и не удивительно — оба трёхчлена принимают при x = 1 значение a + b + c), а второй корень (при a ≠ b) по теореме Виета равен (c − a)/(a − b). Нетрудно привести пример, когда x = 1 действительно является общим корнем наших трёхчленов, — нужно взять любые a, b, c с нулевой суммой. Проверим, может ли быть общим корнем x = (c − a)/(a − b). Подставляя его в первое уравнение, получаем, что для этого a(a² + b² + c² − ab − ac − bc) должно обратиться в ноль. Но a² + b² + c² − ab − ac − bc = 1/2((a − b)² + (b − c)² + (c − a)²) может обратиться в ноль только при a = b = c, а в этом случае у наших уравнений нет общих корней.
Ответ: 1
Задача: На батоне колбасы нарисованы тонкие поперечные кольца. Если разрезать по красным кольцам, получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трёх цветов?
Решение: Решение. Заметим, что количество частей всегда на 1 больше количества разрезов. Значит, красных колец 4, жёлтых — 6, а зелёных — 10. Таким образом, всего разрезов 4 + 6 + 10 = 20, а частей 21.
Ответ: 21
Задача: В обменном пункте совершаются операции двух типов: 1) дай 2 евро — получи 3 доллара и конфету в подарок; 2) дай 5 долларов — получи 3 евро и конфету в подарок. Когда богатенький Буратино пришёл в обменник, у него были только доллары. Когда ушёл — долларов стало поменьше, евро так и не появились, зато он получил 50 конфет. Во сколько долларов обошёлся Буратино такой «подарок»?
Решение: Решение. Поскольку Буратино получил 50 конфет, он совершил ровно 50 операций. При этом все полученные евро он вновь обменял на доллары. Поэтому на каждые 3 операции первого типа приходилось по 2 операции второго типа. То есть Буратино 30 раз получал по 3 доллара и 20 раз отдавал по 5 долларов. Значит, он потратил 20 · 5 − 30 · 3 = 10 долларов.
Ответ: 10
Задача: На столе в виде треугольника выложены 28 монет одинакового размера. Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна 10 г. Найдите суммарную массу всех 18 монет на границе треугольника.
Решение: Первое решение. Возьмём ромбик из 4 монет. Как видно из рисунка 15, массы двух монет в нём равны. Разбивая монеты на такие ромбики, получаем, что монеты одного цвета имеют одинаковую массу. Тогда сумма масс монет на границе равна 6·10=60 г.
Второе решение. Все монеты без центральной можно разбить на 9 троек, а все внутренние монеты без центральной — на 3 тройки. Значит, монеты на границе весят столько же, сколько 9−3=6 троек, то есть 60 г.
Ответ: 60 г
Задача: На окружности расставлены 2009 чисел, каждое из которых равно +1 или −1, причём не все числа одинаковые. Рассмотрим всевозможные десятки подряд стоящих чисел. Найдём произведение чисел в каждом десятке и сложим их. Какая наибольшая сумма может получиться?
Решение: Решение. Если все произведения sₖ равны 1, то все aₖ равны. Это противоречит условию. Если все sₖ, кроме одного, равны 1, и одно равно −1, то можно доказать, что тогда a₁ = a₁₁ = ... = a₂₀₀₁ = a₂ = ... = a₈, и a₂₀₀₈ = −a₉, a₂₀₀₉ = −a₁₀. Положив a₁ = a₂ = ... = a₂₀₀₇ = 1, a₂₀₀₈ = a₂₀₀₉ = −1, получаем, что s₁ = ... = s₂₀₀₈ = 1, а s₂₀₀₉ = −1. Таким образом, наибольшая возможная сумма равна 2005.
Ответ: 2005
Задача: Дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная из 37 звеньев. Через каждое звено провели прямую. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?
Решение: Решение. Допустим, прямых 8. Тогда они имеют не более 28 точек пересечения. Ломаная не может иметь вершин не в точках пересечения прямых, кроме начальной и конечной, то есть не может иметь более 29 звеньев. Пример для девяти прямых изображён на рисунке 27.
Ответ: 9
Задача: Какое наибольшее значение может принимать выражение 1:(a+2010:(b+1:c)), где a, b, c — попарно различные ненулевые цифры?
Решение: Решение. Так как a, b, c — положительные числа, не превосходящие 9, 1/(a + 2010/(b + 1/c)) ≥ 1/(a + 2010/(b + 1/c)). Максимальное значение достигается при a = 2, b = 9, c = 1, что даёт 1/(2 + 2010/(9 + 1/1)) = 1/203.
Ответ: 1/203 при a = 2, b = 9, c = 1.
Задача: «А это вам видеть пока рано», –– сказала Баба-Яга
своим 33 ученикам и скомандовала: «Закройте глаза!» Правый глаз закрыли все мальчики и треть девочек. Левый глаз закрыли все девочки и треть мальчиков. Сколько учеников увидели то, что видеть рано.
Решение: Решение. То, что видеть пока рано, две трети девочек увидели правым глазом, а две трети мальчиков — левым. Всего, стало быть, один глаз не закрыли две трети всех учеников — 22 человека.
Ответ: 22
Задача: Найти все решения ребуса Я + ОН + ОН + ... + ОН (8 раз) = МЫ, где одинаковые буквы — одинаковые цифры, разные — разные.
Решение: Решение. Так как 8 · ОН < 100, то ОН ≤ 12. О = 1, Н = 2 (Н ≠ 0, так как Я и Ы будут равны). Тогда МЫ = 96, Я = 0.
Ответ: 0 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 96
Задача: На сколько лет Павел младше Петра, если их возраст равен сумме цифр годов рождения.
Решение: Решение. Уравнение 11(x−u) + 2(y−v) = 101. С учётом ограничений получается разница в 9 лет.
Ответ: 9 лет
Задача: На острове Невезения в сутках 77 минут, а в часе 91 секунда. Сколько секунд в сутках на острове?
Решение: Решение. Пусть в сутках a часов, в часе b минут, в минуте c секунд. Тогда 77 = ab, 91 = bc. Разложив 77 = 7·11 и 91 = 7·13, получаем b = 7, a = 11, c = 13. Итого в сутках 11·7·13 = 1001 секунда.
Ответ: 1001.
Задача: Кузнечик прыгает на 50 см. Какое наименьшее количество прыжков ему нужно сделать, чтобы обойти 8 точек на рисунке 5?
Решение: Решение. Кузнечику нужно обойти 8 точек, начиная и заканчивая в произвольных точках. За 7 прыжков он не сможет, так как между E, F, G, H есть только одна соседняя точка, и обход невозможен.
Ответ: 8 прыжков.
Задача: К каждому члену некоторой конечной последовательности подряд идущих натуральных чисел приписали справа по две цифры и получили последовательность квадратов подряд идущих натуральных чисел. Какое наибольшее число членов могла иметь эта последовательность?
Решение: Решение. Для чисел от 16 до 34 приписывание двух цифр справа даёт квадраты от 41²=1681 до 59²=3481. Это 19 чисел.
Ответ: 19 членов.
Задача: На скатерти площади S после разных сгибаний видимая площадь пятен равна S1. Найдите наименьшее S1:S.
Решение: Решение. Доказано, что S1 ≥ 2S/3, используя симметрию относительно центра скатерти. Пример: S = a²/2, S1 = a²/3, отношение 2/3.
Ответ: 2/3.
Задача: Два велогонщика ехали со скоростью 40 км/ч, расстояние между ними было равно 30 метрам. Начался подъем, на котором скорость велосипедиста падает до 30 км/ч. Каким стало расстояние между велосипедистами, когда они оба находились на подъеме? (При необходимости округлите ответ до целого числа метров.)
Ответ: 23
Задача: У Сизифа есть куча из 2015 камней, которую он хочет разделить на 2015 кучек по одному камню. За одну операцию он может разбить любую кучку на две, но если они не одинаковые, то платит штраф в 1 рубль. Какой наименьший штраф ему придется заплатить?
Ответ: 9
Задача: У куба и правильного октаэдра совпадают середины ребер. Найдите отношение объема куба к объему октаэдра. (Ответ округлите до 1/100 и запишите в формате типа 2,78.)
Ответ: 0,75
Задача: Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты — ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?
Решение: Ответ. 6 минут. Решение. Отметим первого и второго фотографа на круге с помощью точек A и B соответственно (рис. 15), точками C и D обозначим середины дуг (CD — диаметр), соединяющих A и B. Тогда круг можно разделить на две половины: на дуге CAD Володя ближе к первому фотографу, а на дуге CBD (жирным на рис. 15) — ближе ко второму. По условию, ближе ко второму фотографу он был 3 минуты, т.е. ровно то время, пока бежал по дуге CBD. Следовательно, весь круг пробегает за 6 минут.
Ответ: 6 минут
Задача: В остроугольном треугольнике ABC, где ∠A = 45°, проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁. Биссектриса угла BAA₁ пересекает B₁A₁ в D, биссектриса угла CAA₁ пересекает C₁A₁ в E. Найдите угол между BD и CE.
Решение: Ответ. 67,5°. Решение. Прямая AA₁ — биссектриса ∠B₁A₁C₁ (высота треугольника — биссектриса его ортотреугольника). Докажем, что ∠B₁A₁C₁ = 90°. Тогда ∠AA₁C₁ = ∠AA₁B₁ = 45°. Пусть K и L — точки пересечения AA₁ с CE и BD. Так как ∠KA₁E = ∠EA₁C = ∠BA₁D = ∠DA₁L = 45°, то D равноудалена от AA₁ и AB, а E — от AA₁ и AC. Таким образом, BD и CE — биссектрисы внешних углов. По теореме о сумме углов треугольника ∠BMC = (β + γ) = 67,5°, где β + γ = 22,5°.
Ответ: 67,5°
Задача: Замените в слове МАТЕМАТИКА буквы цифрами и знаками сложения/вычитания, чтобы выражение равнялось 2014.
Решение: Комментарий. Перебор показывает, что выражение MAT + MATИ - А = 2014. MAT · 11 = 2013, что приводит к ответу.
Ответ: 1 8 3 + 1 8 3 9 - 8 = 2014
Задача: Одуванчик утром распускается, три дня цветет желтым, на четвертый становится белым, на пятый облетает. В понедельник днем было 20 желтых и 14 белых, в среду — 15 желтых и 11 белых. Сколько белых одуванчиков будет в субботу?
Решение: Решение. В субботу будут белыми одуванчики, распустившиеся во вторник или среду. Всего их 26 - 20 = 6.
Ответ: 6 белых
Задача: Незнайка рисует замкнутые пути внутри прямоугольника 5 × 8, идущие по диагоналям прямоугольников 1 × 2.  Помогите Незнайке нарисовать путь как можно длиннее. Пересекать уже проведенные диагонали или проходить
второй раз через уже посещенные вершины не разрешается. Какой длина у наибольшего возможного пути?
Решение: Комментарий. Пример пути из 24 диагоналей приведен на рис. 10. Доказательство оптимальности отсутствует.
Ответ: Наиболее длинный путь — 24 диагонали
Задача: На столе лежат 9 яблок, образуя 10 рядов по 3 яблокав каждом. Известно, что у девяти рядов веса одинаковы, а вес десятого ряда отличается. Есть электронные весы, на которых за рубль можно узнать вес любой группы яблок. Какое наименьшее число рублей надо заплатить, чтобы узнать, вес какого
именно ряда отличается?
Решение: Решение. Сумма весов всех рядов равна 3×(всех яблок). Если пять рядов равны, то шестой ряд отличается. Таким образом, достаточно взвесить один ряд, чтобы определить, является ли он отличающимся.
Ответ: 1 рубль
Задача: В магазине 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите минимальное k, чтобы можно было снять k белых и k фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся висели подряд.
Решение: Решение. Покажем, что k=10 хватит. Если снять все белые слева и фиолетовые справа, оставшиеся будут идти подряд. Примеры показывают, что меньшее k недостаточно.
Ответ: 10
Задача: Из n палочек можно сложить тупоугольный треугольник из любых трех. Каково максимальное n?
Решение: Решение. Для n≥5 из a₁ + a₂ > a₅ и a₅² > a₄² + a₃² следует противоречие. Пример для n=4: 1, 1, 1.5, 1.9.
Ответ: 4
Задача: Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит ее по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?
Решение: Решение. Петя первыми тремя ходами отмечает треугольник ABC, подобный исходному. Если Вася покрасит A и B в один цвет, а C в другой, Петя отметит P и Q так, что △PAB и △BQA подобны ABC. Если P или Q в первом цвете, образуется подобный треугольник. Если оба во втором, △CPQ подобен ABC.
Ответ: 5 ходов
Задача: Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось n исправных кнопок. Любое число от 1 до 99999999 можно набрать или как сумму двух чисел, набранных исправными кнопками. Каково минимальное n?
Решение: Решение. Если n=5 (0,1,3,4,5), любая цифра представима суммой двух рабочих. Для n<5 невозможно представить все цифры, так как суммы пар дают максимум 4 нечетных чисел.
Ответ: 5
Задача: В треугольник $\Delta$ вписана окружность $\omega$. Касательные к $\omega$, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$. Коэффициент подобия между треугольниками $\Delta_1$ и $\Delta$ равен 0,15; между треугольниками $\Delta_2$ и $\Delta$ — 0,43. Найдите коэффициент подобия между треугольниками $\Delta_3$ и $\Delta$. При необходимости округлите ответ с точностью до сотых.
Ответ: 0,42
Задача: Достаточно высокая цилиндрическая бочка с диаметром основания 2 до краёв заполнена водой. В неё погрузили куб с ребром 4 так, что одна из главных диагоналей куба лежит на оси цилиндра. Найдите объём вытесненной воды. При необходимости округлите ответ с точностью до сотых.
Ответ: 0,31
Задача: На вечеринку пришло 65 человек. Известно, что среди любых четырех из них найдутся трое попарно знакомых. Какое наименьшее количество пар знакомых может быть среди этих 65 человек?
Ответ: 2016