t-tech/T-math huggingface dataset:
Задача: Аня и Боря играют в камень-ножницы-бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй. Аня и Боря провели 25 партий. Аня выбирала камень 12 раз, ножницы — 6 раз, бумагу — 7 раз. Боря выбирал камень 13 раз, ножницы — 9 раз, бумагу — 3 раза. Ни в одной партии не было ничьей. Сколько раз могла выиграть Аня? Укажите все возможные ответы.
Решение: Заметим, что, поскольку ничьих не было, когда Аня выбирала камень, Боря должен был выбрать ножницы или бумагу. Аня выбирала камень 12 раз. Боря выбирал ножницы или бумагу суммарно тоже \(9 + 3 = 12\) раз. Значит, все эти случаи пришлись на партии, в которых Аня выбирала камень. Значит, во всех остальных 13 партиях (когда Аня выбирала ножницы или бумагу), Боря выбирал камень. Из партий, когда Аня выбирала камень, она выиграла 9 раз: когда Боря выбирал ножницы. Из партий, когда Боря выбирал камень, Аня выиграла 7 раз: когда выбирала бумагу. Итак, Аня выиграла 16 раз.
Ответ: 16
Задача: Аня и Боря играют в камень-ножницы-бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй. Аня и Боря провели 36 партий. Аня выбирала камень 6 раз, ножницы — 5 раз, бумагу — 25 раз. Боря выбирал камень 2 раза, ножницы — 31 раз, бумагу — 3 раза. Ни в одной партии не было ничьей. Сколько раз могла выиграть Аня? Укажите все возможные ответы.
Ответ: 9
Задача: Аня и Боря играют в камень-ножницы-бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй. Аня и Боря провели 20 партий. Аня выбирала камень 13 раз, ножницы — 3 раза, бумагу — 4 раза. Боря выбирал камень 7 раз, ножницы — 9 раз, бумагу — 4 раза. Ни в одной партии не было ничьей. Сколько раз мог выиграть Боря? Укажите все возможные ответы.
Ответ: 7
Задача: За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 90 человек: 40 баронов, 30 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.
Решение: Попросим половину пирующих, стоящих через одного, сделать шаг вперёд. Тогда все люди поделятся на два круга: внутренний и внешний. Заметим, что у человека во внутреннем круге оба соседа находятся во внешнем, при том являются там соседями. Аналогично для человека во внешнем круге. Итак, нам достаточно найти наибольшее количество соседей одинакового титула в двух новых кругах. Поскольку в каждом из двух новых кругов по 45 человек, ни один из них не может быть целиком состоять из дворян одного титула. Значит, в каждом круге есть хотя бы две пары соседей разного титула (ровно одной быть не может). Значит, суммарно в обоих кругах как минимум 4 пары соседей разного титула. Итого, из 90 пирующих 4 точно не встанут. В рассуждении выше мы доказали, что больше 86 пирующих встать не могут. Но существует ли ситуация, в которой встанут ровно 86? Да, и пример такой ситуации легко построить из нашего рассуждения: поставим во внешний круг подряд 40 баронов и подряд 5 графов, а во внутренний — 25 графов подряд и 20 маркизов подряд. Тогда у нас будет ровно 4 пары соседей разного титула. Вообще, подходит любой пример, когда в каждом круге два типа людей, причём люди одного типа идут подряд, и другого типа тоже идут подряд.
Ответ: 86
Задача: За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 110 человек: 50 баронов, 40 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.
Ответ: 106
Задача: За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 55 человек: 25 баронов, 20 графов и 10 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.
Решение: Будем ставить людей в новый круг через одного: 1, 3, 5, 7, ..., 55, 2, 4, 6, ..., 54, снова 1. Нам достаточно найти наибольшее количество соседей одинакового титула в новом круге. Ясно, что соседи разного титула в новом круге есть. Так же ясно, количество соседств разного титула в новом круге не может равняться 1. Двум оно тоже равняться не может (тогда новый круг был бы устроен так: пирующие одного титула, затем пирующие другого титула. А где тогда третий титул?). А трём оно может равняться: например, сначала все бароны, потом все графы, потом все маркизы. Итак, мы показали, что из 55 пирующих как минимум трое не встанут, и построили пример, как только трое могут не встать. Тем самым ответ в задаче 52.
Ответ: 52
Задача: За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 95 человек: 45 баронов, 30 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.
Ответ: 92
Задача: Дана трапеция \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)). Оказалось, что \(\angle ABD = \angle BCD\). Найдите длину отрезка \(BD\), если \(BC = 36\) и \(AD = 81\).
Ответ: 54
Задача: Дана трапеция \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)). Оказалось, что \(\angle ABD = \angle BCD\). Найдите длину отрезка \(BD\), если \(BC = 49\) и \(AD = 64\).
Ответ: 56
Задача: Дана трапеция \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)). Оказалось, что \(\angle ABD = \angle BCD\). Найдите длину отрезка \(BD\), если \(BC = 49\) и \(AD = 81\).
Ответ: 63
Задача: В клетках таблицы 14 × 14 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице?
Ответ: 13
Задача: В клетках таблицы 16 × 16 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице?
Ответ: 15
Задача: В клетках таблицы \(18 \times 18\) расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице?
Ответ: 17
Задача: Дана трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)). Точка \(H\) на стороне \(AB\) такова, что \(\angle DHA = 90^\circ\). Известно, что \(CH = CD = 13\) и \(AD = 19\). Найдите длину отрезка \(BC\).
Решение: Продлим лучи \(AB\) и \(DC\) до пересечения в точке \(X\) (см. рисунок).
В равнобедренном треугольнике \(HCD\) имеем \(\angle CHD = \angle CDH\). В прямоугольном треугольнике \(XHD\) имеем \(\angle HXD = 90^\circ - \angle XDH = 90^\circ - \angle CHD = \angle XHC\).
Следовательно, треугольник \(XHC\) — равнобедренный, и \(CX = CH = CD\). Тогда в треугольнике \(AXD\) отрезок \(BC\) является средней линией (ведь \(BC \parallel AD\), и точка \(C\) является серединой отрезка \(XD\)), поэтому \(BC = \frac{1}{2} AD = 9.5\).
Ответ: 9.5
Задача: Дана трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)). Точка \(H\) на стороне \(AB\) такова, что \(\angle DHA = 90^\circ\). Известно, что \(CH = CD = 11\) и \(AD = 17\). Найдите длину отрезка \(BC\).
Ответ: 8.5
Задача: Дана трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)). Точка \(H\) на стороне \(AB\) такова, что \(\angle DHA = 90^\circ\). Известно, что \(CH = CD = 13\) и \(AD = 21\). Найдите длину отрезка \(BC\).
Ответ: 10.5
Задача: Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 120 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет). После этого остальные пять пиратов голосуют за предложение капитана. Пират проголосует «за», только если он получит больше монет, чем каждый из двух его соседей. Предложение принимается, если «за» проголосуют хотя бы три из пяти членов команды. Какое наибольшее количество монет может получить капитан при таком способе дележа?
Ответ: 39
Задача: Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 150 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет). После этого остальные пять пиратов голосуют за предложение капитана. Пират проголосует «за», только если он получит больше монет, чем каждый из двух его соседей. Предложение принимается, если «за» проголосуют хотя бы три из пяти пиратов. Какое наибольшее количество монет может получить капитан при таком способе дележа?
Ответ: 49
Задача: Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 90 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет). После этого остальные пять пиратов голосуют за предложение капитана. Пират проголосует «за», только если он получит больше монет, чем каждый из двух его соседей. Предложение принимается, если «за» проголосуют хотя бы три из пяти членов команды. Какое наибольшее количество монет может получить капитан при таком способе дележа?
Ответ: 29
Задача: В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1, 2, 3, …, 9 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то, как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с большим количеством этажей. Чему равно максимально возможное число домов на одной стороне улицы в Междуграде?
Решение: Оценка. Пусть \( a_k \) — максимальное число домов, если все они имеют не более \( k \) этажей. Ясно, что \( a_1 = 1 \). Найдем \( a_k \). Рассмотрим самый высокий дом с \( k \) этажами, он по условию только один. И слева, и справа от него стоят дома с 1, 2, 3, …, \( k - 1 \) этажами, и для домов с каждой стороны выполняется древний закон Междуграда для \( (k - 1) \)-этажных домов. Поэтому всего домов не более \( a_{k-1} + 1 + a_{k-1} \) (дома слева, самый высокий дом с \( k \) этажами, дома справа). Итак, \( a_k \leqslant 1 + 2a_{k-1} \). Посчитаем по этой формуле: \( a_2 \leqslant 1 + 2 \cdot 1 = 3 \); \( a_3 \leqslant 1 + 2 \cdot 3 = 7 \); \( a_4 \leqslant 1 + 2 \cdot 7 = 15 \),… Можно заметить закономерность \( a_m \leqslant 2^m - 1 \), откуда \( a_9 \leqslant 2^9 - 1 = 511 \).

Пример. Вдоль улицы могут стоять дома

\[
12131214121312151213121412131216....,
\nвсего \( 2^9 - 1 = 511 \) домов.

Этот пример строится из оценки: ставим 9-этажный дом по центру, а слева и справа от него пишем примеры для не более чем 8-этажных домов. Эти примеры для не более чем 8-этажных домов строим так же: по центру ставим 8-этажный дом, слева и справа от него пишем примеры для не более чем 7-этажных домов, и т.д. В итоге получается пример выше.
Ответ: 511
Задача: В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1, 2, 3, …, 7 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с большим количеством этажей. Чему равно максимально возможное число домов на одной стороне улицы в Междуграде?
Ответ: 127
Задача: В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1, 2, 3, . . . , 8 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с большим количеством этажей. Чему равно максимально возможное число домов на одной стороне улицы в Междуграде?
Ответ: 255
Задача: В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1, 2, 3, . . . , 10 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с большим количеством этажей. Чему равно максимально возможное число домов на одной стороне улицы в Междуграде?
Ответ: 1023
Задача: Правильный треугольник \( T \) со стороной 111 разбит на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме находящейся в центре \( T \), отмечены. Назовём множество отмеченных точек линейным, если все его точки лежат на одной прямой, параллельной стороне треугольника \( T \). Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств?
Решение: Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной \( k \), разобьём его на правильные треугольнички со стороной 1 и отметим все вершины этих треугольничков; полученную конструкцию назовём \( k \)-треугольником. В дальнейшем под прямыми мы всегда будем понимать прямые, параллельные сторонам этого треугольника и проходящие через хотя бы одну отмеченную точку.

Лемма. Пусть \( A \) — отмеченная точка в \( k \)-треугольнике. Тогда существует единственный способ провести \( k \) прямых так, что все отмеченные точки, кроме, возможно, \( A \), покрыты этими прямыми. Именно, для каждой стороны \( k \)-треугольника надо провести все прямые, параллельные ей и лежащие между этой стороной и точкой \( A \) (включая саму сторону, но исключая прямую, содержащую \( A \)).

Доказательство. Проведем индукцию по k. База при k = 1 проверяется легко: надо провести прямую, содержащую две оставшихся точки, кроме А. Для перехода рассмотрим сторону k-треугольника, на которой не лежит А. Если прямая, содержащая эту сторону, не проведена, то все k+1 отмеченных точек на этой прямой должны быть покрыты различными прямыми; это невозможно, так как прямых k. Значит, эта прямая проведена. Выкинув её и точки k-треугольника, лежащие на ней, получаем (k−1)-треугольник, в котором проведено k−1 прямых с теми же условиями. Осталось применить предположение индукции.

Перейдём к задаче. Рассмотрим одно из разбиений на линейные множества. Для каждого множества проведём прямую, его содержащую. Тогда эти прямые покрыли все отмеченные точки 111-треугольника, кроме, возможно, его центра А. Значит, эти прямые устроены так, как описано в лемме, и для любого разбиения этот набор прямых один и тот же.

Заметим, что наш 111-треугольник разбился на 6 областей: три «ромба» в углах, состоящих из точек, покрытых нашими прямыми дважды, и три «трапеции» у сторон, в которых каждая точка покрыты одной прямой (см. рисунок справа). Тогда каждая точка в «трапеции» относится к множеству, лежащему на этой прямой; каждую же точку в «ромбе» можно отнести к любому из двух множеств, лежащих на проходящих через неё прямых. Все такие выборы можно сделать независимо друг от друга. Поскольку в каждом из трёх «ромбов» всего 37² точек, получаем, что требуемых разбиений ровно 2³·37².
Ответ: 2^{3 \cdot 37^2} = 2^{4107}
Задача: Каждый из 2024 людей является рыцарем или лжецом. Некоторые из них дружат друг с другом, причём дружба взаимна. Каждого из них спросили про количество друзей, и все ответы оказались различными целыми числами от 0 до 2023. Известно, что все рыцари отвечали на вопрос верно, а все лжецы изменяли истинный ответ ровно на 1. Какое наименьшее число лжецов могло быть среди этих людей?
Решение: Положим $n = 1012$.
Оценка. Людей обозначим вершинами, номер вершины будет означать ответ соответствующего человека, а если пара людей дружит, то проведем ребро между соответствующими вершинами.
Пусть $A$ — множество всех людей, которые назвали числа от 0 до $n - 1$, а $B$ — множество всех людей, которые назвали числа от $n$ до $2n - 1$. Пусть $d_i$ — степень вершины $i$ (т.е. количество ребер, выходящих из вершины $i$). Тогда по условию $d_i = i$, если $i$ — рыцарь, и $\left|d_i - i\right| = 1$ в противном случае. Пусть в множестве $A$ ровно $x$ лжецов, а в множестве $B$ — ровно $y$.
Оценим количество $E$ ребер между людьми из разных множеств $A$ и $B$.
С одной стороны, $E$ не больше суммы степеней вершин множества $A$, откуда
$$
E \leqslant d_0 + d_1 + \ldots + d_{n-1} \leqslant
$$
$$
\leqslant 0 + 1 + 2 + \ldots + (n - 1) + x = \frac{(n - 1)n}{2} + x.
$$
С другой стороны, из каждой вершины $i$ множества $B$ не более $n - 1$ ребер идет в вершины множества $B$, и значит, не менее $d_i - (n - 1)$ ребер идет в вершины множества $A$. Отсюда
$$
E \geqslant d_n + d_{n+1} + \ldots + d_{2n-1} - n(n - 1) \geqslant
$$
$$
\geqslant n + (n + 1) + \ldots + (2n - 1) - y - n(n - 1) = \frac{n(n + 1)}{2} - y.
$$
Получаем неравенство
$$
\frac{(n-1) n}{2}+x \geqslant \frac{n(n+1)}{2}-y,
$$
откуда $x+y \geqslant n$. Это означает, что всего лжецов не менее $n$.
Пример. Как и прежде, номер человека будет означать его ответ. Возьмем два множества людей: $C=\{0,1, \ldots, n-1\}$ и $D=\{n, n+1, \ldots, 2 n-1\}$. Пусть в множестве $C$ никакие двое людей не дружат друг с другом, а в множестве $D$ — любые двое дружат. Далее, пусть человек $i \in C$ и $j \in D$ дружат тогда и только тогда, когда $i+j \geqslant 2 n-1$. Тогда у человека $i \in C$ всего $i+1$ друг: $2 n-1,2 n-2, \ldots, 2 n-i-1$. У человека $j \in D$ будет всего $j$ друзей: это $j-n+1$ людей $n-1, n-2, \ldots, 2 n-j-1$ из множества $C$ и все люди множества $D$, кроме него самого. При этом все люди в $C$ — лжецы, а в $D$ — рыцари. Видим, что все условия задачи выполняются.
Ответ: 1012.
Задача: В клетках таблицы 11 × 11 расставили числа от 1 до 121, каждое по разу. В каждой строке все числа идут по возрастанию слева направо, и в каждом столбце все числа идут по возрастанию сверху вниз. Назовём число особым, если оно отличается от каждого своего соседа хотя бы на 2. Какое наибольшее количество особых чисел может быть? Числа являются соседями, если они стоят в соседних по стороне клетках.
Решение: Число 1 меньше всех остальных чисел, поэтому оно должно быть первым в строке и первым в столбце, а значит, оно должно находиться в левом верхнем углу. Значит, число 2 не может быть в левом верхнем углу, поэтому либо оно не в первой строке, либо не в первом столбце. В первом случае оно должно быть больше какого-то числа в его столбце, а во втором случае — какого-то числа в его строке. Но единственное число, которое меньше 2 — это 1, поэтому числа 1 и 2 должны находиться рядом. Тогда никакое из них не может быть особым.
Аналогичными рассуждениями легко получить, что число 121 должно находиться в правом нижнем углу, а число 120 должно быть рядом с ним, поэтому эти числа также не могут быть особыми. Значит, особых чисел не более 121 − 4 = 117.
Ответ: 117
Задача: В стране 15 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет. Оказалось, что для любого города \( A \) найдутся такие три города, что они между собой попарно не соединены дорогами, но каждый из них соединён дорогой с \( A \). Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране?
Решение: Рассмотрим произвольный город \( A \). По условию найдутся города \( B, C, D \) такие, что они соединены с \( A \), но попарно не соединены между собой. В частности, это означает, что \( C \) и \( D \) не соединены с \( B \). Теперь рассмотрим город \( B \). Для него тоже должны найтись соответствующие 3 города. Заметим, что это не могут быть города \( C \) и \( D \), поскольку они не соединены с \( B \). Значит, должны найтись города \( K \), \( L \) и \( M \), попарно не соединённые между собой (среди них, возможно, есть город \( A \)). Но тогда в стране нет хотя бы 6 дорог: \( BC, CD, BD, KL, LM, KM \). Всего возможных дорог в стране \( \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 14 = 105 \), из которых хотя бы 6 отсутствует. Значит, всего дорог не более \( 105 - 6 = 99 \).

Теперь поймём, что дорог может быть ровно 99. Пронумеруем города числами от 1 до 15. Пусть города 1, 2, 3 попарно не соединены между собой, а также города 4, 5, 6 попарно не соединены между собой, а любые другие пары городов дорогой соединены. Проверим, что условие задачи выполняется. Действительно, если в качестве города A из условия задачи взять город из первой тройки, то для него подходит тройка городов 4, 5, 6. Если же в качестве города A из условия взять город не из первой тройки, то для него подходит тройка городов 1, 2, 3.
Ответ: 99
Задача: На стороне AB прямоугольника ABCD выбрана точка P, а на стороне CD — точка Q. Известно, что ∠BCP = 17°, ∠AQP = 37°, ∠QAD = 16°. Сколько градусов составляет ∠CPQ?
Решение: Отметим на сторонах CD и AB точки P₁ и Q₁ соответственно так, что PP₁ ⊥ QQ₁ ⊥ BC. Будем пользоваться тем, что накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Из параллельности прямых BC и PP₁ получаем, что ∠P₁PC = ∠BCP = 17°. Аналогично из параллельности прямых AD и QQ₁ получаем, что ∠Q₁QA = ∠DAQ = 16°.
Тогда можно вычислить и угол PQQ₁: ∠PQQ₁ = ∠PQA - ∠Q₁QA = 37° - 16° = 21°.
В силу параллельности прямых PP₁ и QQ₁ имеем ∠P₁PQ = ∠PQQ₁ = 21°. Теперь осталось лишь сложить два угла: ∠CPQ = ∠CPP₁ + ∠P₁PQ = 17° + 21° = 38°.
Ответ: 38
Задача: Учитель написал на доске четыре различных целых числа. Отличник Паша перемножил какие-то три из них и получил 37, а отличник Ваня перемножил какие-то три из них и получил 74. Какое наименьшее значение может принимать сумма четырёх чисел на доске?
Решение: Заметим, что число 37 является простым, и получить его произведением трёх целых чисел можно лишь, перемножая числа 1, −1 и −37. Чтобы получить произведение 74, надо выбрать два множителя из набора {1, −1, −37} и один новый множитель. Тогда получается, что есть 3 варианта для последнего множителя:
1) 1 · (-1) · (-74) = 74,
2) 1 · (-37) · (-2) = 74,
3) (-1) · (-37) · 2 = 74.
Очевидно, что наименьшая сумма всех четырёх чисел будет в случае, когда четвёртое число на доске равно −74, и она равна 1 + (-1) + (-37) + (-74) = -111.
Ответ: -111
Задача: Рассмотрим 450 чисел, состоящих из одних девяток:
\[ 9, 99, 999, \ldots, \underbrace{999\ldots9}_{450}. \]
Сколько единиц в десятичной записи суммы этих 450 чисел?
Решение: Заметим, что \underbrace{999\ldots9}_{k} = \underbrace{100\ldots0}_{k} - 1. Представим все наши числа таким же образом и просуммируем. Несложно понять, что получится число
\[ \underbrace{111\ldots10}_{450} - 450 = \underbrace{11\ldots10000}_{447} + (1110 - 450) = \underbrace{11\ldots10760}_{447}, \]
в записи которого 447 единиц.
Ответ: 447
Задача: Действительные числа \(a_1, a_2, \ldots, a_{90}\) образуют арифметическую прогрессию. Чему равно \(a_2 + a_5 + a_8 + \ldots + a_{89}\), если \(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{90} = 3000\)?
Решение: Как известно, в арифметической прогрессии каждый член равен среднему арифметическому своих соседей. Отсюда получаем, что \(2a_2 = a_1 + a_3\), \(2a_5 = a_4 + a_6\), ..., \(2a_{89} = a_{88} + a_{90}\).

Обозначим \(x = a_2 + a_5 + a_8 + \ldots + a_{89}\) и \(y = a_1 + a_3 + a_4 + a_6 + \ldots + a_{88} + a_{90}\). Тогда \(2x = y\). При этом \(x + y = 3000\). Тогда \(3x = 3000\), т.е. \(x = 1000\).
Ответ: 1000