Задача: По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори?
Решение: Нужно показать, что Аня всегда может добиться, чтобы разноцветных пар было не меньше 50, а Боря сможет помешать ей добиться, чтобы таких пар было больше 50.

Первый способ. Стратегия Ани. Первым ходом Аня красит в любой цвет любую точку, а дальше каждым ходом выбирает пару из непокрашенной точки и стоящей рядом с ней покрашенной (такая, очевидно, найдется), и красит непокрашенную точку в цвет, отличный от цвета покрашенной. При этом образуется новая пара соседних разноцветных точек.

Стратегия Бори. Каждым ходом Боря выбирает пару из непокрашенной точки и стоящей рядом с ней покрашенной, и красит непокрашенную точку в цвет, совпадающий с цветом покрашенной. При этом образуется новая пара соседних одноцветных точек.

Обоснование правильности стратегий. Всего в круге имеется 100 пар соседних точек, и каждый игрок делает за игру по 50 ходов. Сделав свои ходы, Боря добьется того, что из этих 100 пар хотя бы 50 будут одноцветными, а Аня — что хотя бы 49 из них будут разноцветными. Однако заметим, что количество разноцветных пар всегда четно. Действительно, после окончания игры пройдем полный круг, начиная с какой-то отмеченной точки (пусть для определенности с красной). Группы из идущих подряд красных и синих точек при этом будут чередоваться: К—С—К—С—...—К, и значит, встретим пар разноцветных соседей вида К—С столько же, сколько пар вида С—К. Поэтому если пар разноцветных соседних точек не меньше 49, то их хотя бы 50.

Второй способ. Разобъем все отмеченные точки на 50 пар соседей: \( P_1 \), \( P_2 \), ..., \( P_{50} \). Стратегия Бори. Если своим ходом Аня красит точку в паре \( P_i \), то Боря ответным ходом красит вторую точку в паре \( P_i \) в тот же цвет. Ясно, что при такой игре Бори в конце игры каждая пара \( P_i \) будет покрашена в один цвет. Значит из 100 пар соседних точек не менее 50 будут одноцветными. Поэтому разноцветных пар будет не больше, чем \( 100 - 50 = 50 \).

Стратегия Ани. Разобьем все отмеченные точки на 50 пар соседей и пронумеруем эти пары: \(P_1\), \(P_2\), ..., \(P_{50}\). Аня будет добиваться того, чтобы в каждой паре \(P_i\) с нечетным номером \(i\) она покрасила одну из точек красным, а в каждой паре \(P_i\) с четным номером \(i\) — синим. Если у Ани это получится, то покрашенные ею 50 точек разобьют окружность на 50 дуг с разноцветными концами. На каждой из этих дуг, очевидно, найдется хотя бы одна пара разноцветных соседних отмеченных точек (в частности, если на дуге нет отмеченных Борей точек, такую пару образуют концы дуги).

Покажем, как Аня может реализовать этот план. Первым ходом она красит одну из точек в какой-то паре \(P_i\) соответствующим цветом. Далее, если Боря отвечает ходом в ту же пару, то Аня красит одну из точек в любой еще не покрашенной паре, иначе она красит вторую точку в паре, в которой только что покрасил точку Боря. В результате после каждого хода Ани будет ровно одна пара \(P_j\), в которой одна точка покрашена Аней, а другая не покрашена, а в каждой из остальных пар \(P_i\) будет либо две покрашенных точки, ровно одна из которых покрашена Аней, либо ни одной покрашенной точки. Значит, в конце игры Аней будет покрашено ровно по одной точке в каждой паре \(P_i\), что ей и требовалось.
Ответ: 50