t-tech/T-math huggingface dataset:
Задача: В эстафетном забеге Москва — Петушки участвовали две команды по 20 человек. Каждая из команд по-своему разделила дистанцию на 20 не обязательно равных отрезков и распределила их между участниками так, чтобы каждый бежал ровно один отрезок (скорость каждого участника постоянна, но скорости разных участников могут быть различны). Первые участники обеих команд стартовали одновременно, а передача эстафеты происходит мгновенно. Какое максимальное количество обгонов могло быть в таком забеге? Опережение на границе этапов обгоном не считается.
Решение: Сначала докажем, что произошло не более 38 обгонов. Заметим, что между стартом и первым обгоном и между двумя последовательными обгонами хотя бы в одной из команд должен поменяться бегущий. Смен бегунов было по 19 в каждой команде, то есть всего 38, а значит, обгонов не более 38. Докажем, что 38 обгонов могло быть. Изобразим траектории команд на графике с горизонтальной осью, соответствующей времени, и вертикальной осью — пройденной дистанции. Обе траектории являются 20-звенными ломаными. Пример: траектория первой команды соединяет вершины 1, 2, 4, 6, … 50, а второй — вершины 1, 3, 5, … 51. Пересекаются отрезки (i, i+2) и (i+1, i+3) для i = 1, 2, … 38, их точки пересечения — искомые 38 обгонов.
Ответ: 38
Задача: Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.
Решение: Середину стороны $AB$ обозначим за $M$, середину $AC$ — за $N$. Так как точки $P$ и $Q$ — точки касания вневписанной окружности треугольника $ABC$ со сторонами угла $PAQ$, то $AP = AQ$ как отрезки касательных. Их длина равна полупериметру треугольника $ABC$, то есть $AP = AQ = 1/2$. Поскольку $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, то $MN = 1/2BC$. Пусть $AB = 2c$, $BC = 2a$, $AC = 2b$. Тогда $AM = 1/2AB = c$, $AN = 1/2AC = b$, $MN = 1/2BC = a$. Также $AP = AQ = 1/2(AB + BC + AC) = a + b + c$. Из пересечения хорд $XY$ и $AP$ в точке $M$ следует $XM \cdot MY = AM \cdot MP$. В терминах обозначений: $XM \cdot (a + NY) = c(a + b)$. Аналогично для хорд $XY$ и $AQ$, пересекающихся в $N$: $NY \cdot (a + XM) = b(a + c)$. Вычитая равенства, получаем $XM = NY + c - b$. Подставляя в равенство $NY(a + XM) = b(a + c)$, находим $NY = b$, $XM = c$. Тогда $XY = XM + MN + NY = c + a + b = 1/2$.
Середину стороны $AB$ обозначим за $M$, середину $AC$ — за $N$. Так как $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, то $MN = 1/2BC$, $MN || BC$. Отметим точку $O$ — центр окружности $\omega$. Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $BAC$ как центр вневписанной окружности. Поскольку $OP \perp AP$ и $OQ \perp AQ$, точки $A, Q, O, P$ лежат на окружности с диаметром $AO$, следовательно, $O$ лежит на описанной окружности треугольника $APQ$. Далее обозначим точку $R$ — касание $\omega$ с $BC$. Продлим биссектрису угла $BCQ$ за $C$ до точки $Y_2$ на прямой $PR$. Докажем, что $\angle CY_2A = 90^\circ$. Учитывая равенство отрезков касательных и свойства углов, находим, что $\angle RY_2C = 1/2 \angle BAC$. Поскольку $AO$ — биссектриса $\angle BAC$, то $\angle BAO = 1/2 \angle BAC = \angle RY_2C$, откуда точки $O, P, A, Y_2$ лежат на окружности. Тогда $\angle OY_2A = 90^\circ$. Докажем, что $Y_2$ лежит на $MN$: в треугольнике $ACT$ биссектриса $CY_2$ является высотой и медианой, следовательно, $Y_2$ — середина $AT$. Прямая $MN$ проходит через середину $AC$ параллельно $CT$, значит, через середину $AT$. Тогда $NY = 1/2AC$, $XM = 1/2AB$, и $XY = 1/2(AB + BC + AC) = 1/2$.
Введем обозначения: $M, N$ — середины $AB$ и $AC$, $P, Q$ — точки касания $\omega$ с продолжениями $AB$ и $AC$. Точка $O$ — её центр. Как и раньше, $O$ лежит на описанной окружности $APQ$. Обозначим центр описанной окружности треугольника $PAQ$ как $I$. Поскольку $AO$ — диаметр окружности, $I$ лежит на $AO$ и $AO = 2AI$. Применим гомотетию с центром в $A$ и коэффициентом $1/2$: треугольник $ABC$ переходит в $AMN$, центр вневписанной окружности $O$ переходит в $I$. Таким образом, $I$ — центр вневписанной окружности треугольника $AMN$. Значит, $I$ лежит на биссектрисе угла $BMN$, и хорды $XY$ и $AP$ равноудалены от центра окружности. Тогда $XY = AP = 1/2$.
Ответ: 1/2
Задача: На острове живут хамелеоны пяти цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного меняется на один из этих пяти по правилу, зависящему от цвета укусившего и укушенного. Известно, что $2023$ красных хамелеона могут договориться о последовательности укусов, после которой все станут синими. При каком наименьшем $k$ можно гарантировать, что $k$ красных хамелеонов смогут договориться, чтобы стать синими?
Решение: Пример правил: если хамелеон цвета $k < 5$ кусает цвета $k$, укушенный меняет цвет на $k + 1$. Синие остаются синими. При 4 красных хамелеонах невозможно получить синий. Значит, $k \geq 5$. Докажем, что $k = 5$ достаточно. Процесс перекрашивания состоит из двух этапов. 5 хамелеонов отслеживают перекрашивание 2023 хамелеонов и воспроизводят условия: (1) не более 1 хамелеона каждого цвета, остальные — красные; (2) палитра 5 хамелеонов содержит палитру 2023. После появления нового цвета 5 хамелеонов перекрашивают одного из них этим цветом. На втором этапе все цвета перекрашиваются в синий, используя порядок, обратный появления цветов. Таким образом, 5 хамелеонов хватит.
Ответ: 5
Задача: Пять роботов угадывали двузначное число. Робот может назвать какое-то число и ему скажут, больше ли загаданное число названного, меньше или равно. Каждый робот угадал загаданное число 17 за 8 вопросов: 1-й робот спрашивал в таком порядке: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17; 2-й робот: 90, 70, 50, 30, 10, 20, 19, 17; 3-й робот: 10, 99, 50, 30, 20, 15, 16, 17; 4-й робот: 50, 20, 10, 25, 15, 19, 18, 17; 5-й робот: 90, 10, 50, 20, 11, 13, 16, 17. Один из роботов задал вопрос, на который уже мог сам сказать ответ. Про какое число он в этот момент спросил?
Ответ: 25
Задача: Рассмотрим все 33! способа записать 33 буквы русского алфавита подряд. Пусть N1 — количество полученных «слов» в которых можно найти и «АБ», и «ВГ», и «ДЕ». Пусть N2 — количество «слов», в которых можно найти и «АВВ», и «ГДЕ». Найдите N1 / N2. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01.
Ответ: 30
Задача: Из 8 185 057 спичек сложен клетчатый прямоугольник 2022 × 2023 (каждая клетка окружена четырьмя спичками). Какое наибольшее количество спичек можно убрать так, чтобы у каждой клетки была убрана ровно одна сторона — спичка?
Ответ: 2049296
Задача: Окружность ω касается сторон AD, AB и BC параллелограмма ABCD, в котором ∠A < 90°. Диагональ AC пересекает ω в точках P и Q, причём P лежит между A и Q. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AP = 3, PQ = 9, QC = 16. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01.
Ответ: 254,61
Задача: На каждую клетку доски $8 \times 8$ поставили по сторожу. Каждый сторож может смотреть в одном из четырёх направлений (вдоль линий доски) и сторожить всех сторожей на линии своего взгляда. Для какого наибольшего $k$ можно так направить взгляды сторожей, чтобы каждого сторожа сторожили не менее $k$ других сторожей?
Решение: Ответ: 5. Докажем, что $k \leq 5$. Для этого предположим, что $k \geq 6$. Рассмотрим сторожей, стоящих в углах доски. На каждого из них смотрят по крайней мере 6 сторожей, и эти сторожа должны стоять у края доски. При этом, если какой-то сторож видит одного из угловых сторожей, то он не видит других угловых сторожей. Таким образом хотя бы 24 сторожа, стоящих у края доски, смотрят вдоль сторон доски. Тогда «внутрь» доски, не на угловых сторожей, смотрит не более четырёх сторожей, стоящих у границы. Рассмотрим теперь сторожей, стоящих в центральном квадрате $6 \times 6$. Посчитаем для них максимально возможное количество «входящих взглядов». (Взгляды, обращённые на сторожей на границе доски подсчитывать не будем.) Это число не превосходит 184 = 24 + 100 + 48 + 12. (24 — от четырёх сторожей на границе, 100 — по 5 взглядов от каждого из 20 сторожей на границе квадрата $6 \times 6$, 48 — по 4 взгляда от каждого из 12 сторожей на границе квадрата $4 \times 4$, 12 — по 3 взгляда от каждого из 4 сторожей из центрального квадрата $2 \times 2$.) Таким образом на 36 сторожей приходится 184 = 36 · 5 + 4 < 36 · 6 взглядов. Значит, среди сторожей есть те, которым досталось меньше 6 взглядов. Примеры для $k = 5$ могут быть устроены по-разному. Один из вариантов изображён на рисунке (длинные стрелки означают, что несколько сторожей подряд смотрят в одну сторону, сторожа в центре могут смотреть в любую сторону).
Ответ: 5
Задача: В клуб любителей гиперграфов в начале года записались $n$ попарно незнакомых школьников. За год клуб провёл 100 заседаний, причём каждое заседание посетил хотя бы один школьник. Два школьника знакомились, если было хотя бы одно заседание, которое они оба посетили. В конце года оказалось, что количество знакомых у каждого школьника не меньше, чем количество заседаний, которые он посетил. Найдите минимальное значение $n$, при котором такое могло случиться.
Решение: Оценка. Рассмотрим самого активного школьника, посетившего наибольшее количество заседаний, пусть их было $k$. Так как все заседания посетил хотя бы кто-то, то $nk \geq 100$. С другой стороны, по условию этот школьник познакомился с хотя бы $k$ другими участниками, значит, мы нашли уже хотя бы $k+1 \geq \frac{100}{n} + 1$ школьника, хотя их всего $n$. Таким образом, $n \geq \frac{100}{n} + 1$, откуда $n \geq 11$. Пример. Возьмём первое заседание, которое посетят все школьники, а остальные разобьём на 11 групп по 9 заседаний, их посетят по одному школьнику. Скажем, что школьник номер $i$ посетил заседания из $i$-ой группы вместе с первым (таким образом, каждый участник посетил 10 заседаний). Тогда каждый школьник познакомился с остальными участниками десятью на самом первом заседании.
Ответ: 11
Задача: Для какого наибольшего натурального числа n существует натуральное число m, что выполняется равенство n! · 7! = m!.
Ответ: 5039
Задача: На вечеринку пришли участники ОММО и ММО. Каждый принимал участие только в одной олимпиаде. Каждые двое — друзья или враги. У каждого участника ММО среди друзей 16 участников ММО и 8 участников ОММО. У каждого участника ОММО среди врагов 7 участников ММО и 10 участников ОММО. Сколько человек пришло на вечеринку?
Ответ: 33
Задача: Репьюнит — натуральное число, десятичная запись которого состоит из одних единиц. Жора выписал в порядке возрастания числа, которые можно представить в виде суммы попарно различных репьюнитов: 1, 11, 12, ... Какое число Жора написал на 2024 месте?
Ответ: 12345667777
Задача: На плоскости проведены 220 прямых общего положения (никакие три не проходят через одну точку, никакие две не параллельны). Они разделили плоскость на области. Расстоянием между областями назовём наименьшее количество прямых, пересекаемых при переходе из одной области в другую. Область назовём любопытной, если расстояние от неё до любой другой области меньше 220. Какое наибольшее количество любопытных областей может быть?
Ответ: 23871
Задача: Рассмотрим все перестановки чисел от 1 до 2024. Представим каждую перестановку как числа, записанные в строку. Назовём флипом обмен двух соседних чисел в строке, отличающихся хотя бы на 100. Назовём две перестановки эквивалентными, если одну можно получить из другой с помощью одного или нескольких флипов. Ричард С. выбрал из всех перестановок максимальное количество попарно не эквивалентных. Пусть Ричард выбрал N перестановок. На сколько нулей оканчивается десятичная запись числа N?
Ответ: 3872
Задача: В единичном квадрате выбрали три точки $ A, B, C $ (распределение равномерно, выбирали независимо). Чему равно математическое ожидание $ \angle ABC $? Ответ укажите целым или действительным числом, измеренным в градусах. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ: 60
Задача: Точка $ P $ лежит на описанной окружности квадрата $ ABCD $ и $ PA \cdot PC = 56 $, $ PB \cdot PD = 90 $. Найдите площадь $ ABCD $. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ: 106
Задача: Сколько существует подмножеств множества $ \{1, \ldots, 12\} $, содержащих ровно одну пару последовательных чисел?
Ответ: 744
Задача: Пусть $ f $ — действительный многочлен третьей степени, причем $$ |f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = |f(5)| = |f(6)| = |f(7)| = 2024. $$ Найдите $ |f(0)| $. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ: 12144
Задача: Каждая клетка квадрата $100 \times 100$ покрашена либо в белый, либо в чёрный цвет. Оказалось, что у каждой белой клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в белый цвет, а у каждой чёрной клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в чёрный цвет. Найдите максимальное возможное количество чёрных клеток.
Решение: Пример. Разобьём квадрат на 50 каёмок и покрасим их в чёрный и белый цвет так, что внешняя каёмка покрашена в чёрный цвет, а соседние каёмки — в разные цвета. Легко видеть, что эта раскраска удовлетворяет условиям задачи. Посчитаем количество чёрных клеток: внешняя чёрная каёмка состоит из $99 \cdot 4$ клеток, следующая — из $95 \cdot 4$, ..., последняя — из $3 \cdot 4$. Сумма арифметической прогрессии даст $5100$ чёрных клеток.

Оценка. Рассмотрим произвольную раскраску, удовлетворяющую условию. Пусть в ней $b$ чёрных и $w$ белых клеток. Тогда $b + w = 10000$. Всего рёбер в квадрате — $19800$. Чёрных рёбер $b$, белых $w$, разноцветных $9800$. На границе каждой белой клетки не более двух разноцветных рёбер, а каждое разноцветное ребро лежит на границе ровно одной белой клетки. Следовательно, $2w \geq 9800$, то есть $w \geq 4900$. Поскольку $b + w = 10000$, то $b \leq 5100$.
Другой способ сделать оценку. Отметим центры клеток и соединим отрезком центры соседних по стороне разноцветных клеток. Тогда угловые клетки не будут соединены, клетки у границы — ровно с одной, клетки не у границы — ровно с двумя. Следовательно, все клетки, кроме угловых, разобьются на цепочки и циклы. В каждом цикле цвета чередуются, поэтому чёрных и белых клеток поровну. В цепочках разность между чёрными и белыми клетками не превышает $1$. Всего цепочек $196$, поэтому максимальная разность между чёрными и белыми клетками равна $200$. Следовательно, чёрных клеток не больше $5100$.
Ответ: 5100 клеток.
Задача: Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?
Решение: Обозначим полученный правильный 2011-угольник через \( M \), его вершины (по часовой стрелке) — через \( X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{2011} \), его вписанную окружность через \( \omega \), а его центр — через \( O \). Назовём прямые, содержащие стороны многоугольника, выделенными.

Заметим, что для любых пяти последовательных вершин \( A \), \( B \), \( C \), \( D \), \( E \) многоугольника \( M \) существует окружность, отличная от \( \omega \), касающаяся прямых \( AB \), \( BC \), \( CD \) и \( DE \). Действительно, вершины \( A \) и \( E \), а также \( B \) и \( D \) симметричны относительно прямой \( CO \). Тогда точка пересечения внешней биссектрисы угла \( ABC \) с прямой \( CO \) отлична от \( O \) и равноудалена от прямых \( AB \), \( BC \), \( CD \) и \( DE \), а значит, является центром искомой окружности. Теперь, если Вася нарисует 503 такие окружности для точек \( (X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5}) \), \( (X_{5}, X_{6}, X_{7}, X_{8}, X_{9}) \), …, \( (X_{2009}, X_{2010}, X_{2011}, X_{1}, X_{2}) \), а также окружность \( \omega \), то любая выделенная прямая будет общей касательной к двум проведённым окружностям. Итак, 504 окружностей достаточно.

Осталось доказать, что окружностей должно быть не менее 504. Каждой выделенной прямой должны касаться хотя бы две окружности. Окружность \( \omega \) касается всех 2011 этих прямых. У любой другой окружности есть не более четырёх общих касательных с \( \omega \); значит, она касается не более четырёх выделенных прямых. Итак, если окружностей \( n \), то всего происходит не более, чем \( 2011 + 4(n - 1) \) касаний окружности с выделенными прямыми; с другой стороны, их должно быть не меньше \( 2011 \cdot 2 = 4022 \). Итак, \( 2011 + 4(n - 1) \geqslant 2 \cdot 2011 \), откуда \( n \geqslant 2011/4 + 1 > 503 \), что и требовалось доказать.
Ответ: 504
Задача: На окружности отмечены 2012 точек, делящих её на равные дуги. Из них выбрали \(k\) точек и построили выпуклый \(k\)-угольник с вершинами в выбранных точках. При каком наибольшем \(k\) могло оказаться, что у этого многоугольника нет параллельных сторон?
Решение: Пусть \(A_1, A_2, \ldots, A_{2012}\) — отмеченные точки в порядке обхода (мы будем считать, что \(A_{2013} = A_1\), \(A_{2014} = A_2\)). Разобьём их на четвёрки точек \((A_1, A_2, A_{1007}, A_{1008})\), \((A_3, A_4, A_{1009}, A_{1010}), \ldots, (A_{1005}, A_{1006}, A_{2011}, A_{2012})\). Если среди выбранных $k$ точек встретятся все точки некоторой четвёрки $\left(A_{2 i-1}, A_{2 i}, A_{2 i+1005}, A_{2 i+1006}ight)$, то в полученном многоугольнике найдутся две стороны $A_{2 i-1} A_{2 i}$ и $A_{2 i+1005} A_{2 i+1006}$, которые симметричны относительно центра окружности и потому параллельны. Это невозможно; значит, в каждой из 503 четвёрок будет отмечено не более трёх вершин, то есть $k \leqslant 503 \cdot 3=1509$.

Осталось привести пример 1509-угольника без параллельных сторон с вершинами в отмеченных точках. Подходит, например, многоугольник $A_{1} A_{2} \ldots A_{1006} A_{1008} A_{1010} \ldots A_{2012}$ (его вершинами являются все точки с номерами от 1 до 1006 и все точки с чётными номерами от 2008 до 2012). Действительно, стороны $A_{2012} A_{1}, A_{1} A_{2}, \ldots, A_{1005} A_{1006}$ лежат по одну сторону от диаметра $A_{2012} A_{1006}$ и потому не могут быть параллельными; аналогично, стороны $A_{1006} A_{1008}, \ldots, A_{2010} A_{2012}$ попарно непараллельны. Наконец, маленькая диагональ $A_{j} A_{j+2}$ правильно го 2012 -угольника не параллельна его сторонам; значит, никакие две стороны вида $A_{i} A_{i+1}$ и $A_{j} A_{j+2}$ также не могут быть параллельными.
Ответ: При \(k = 1509\).
Задача: За круглым столом сидят 30 человек — рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них за этим же столом есть ровно один друг, причем у рыцаря этот друг — лжец, а у лжеца этот друг — рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос «Сидит ли рядом с вами ваш друг?» сидевшие через одного ответили «да». Сколько из остальных могли также ответить «да»? (Перечислите все варианты и докажите, что других нет.)
Решение: Из условия следует, что все сидящие за столом разбиваются на пары друзей; значит, рыцарей и лжецов поровну. Рассмотрим любую пару друзей. Если они сидят рядом, то рыцарь на заданный вопрос ответит «да», а лжец — «нет». Если же они не сидят рядом, то их ответы будут противоположными. В любом случае ровно один из пары друзей даст ответ «да». Значит, при любой рассадке все остальные 15 ответов будут «нет».
Ответ: 0
Задача: Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?
Решение: Покажем, что в каждый многочлен \( P(x) \) Петя мог подставить не более пяти чисел. Действительно, пусть \( n \)-й член получившейся арифметической прогрессии равен \( an + b \), а \( n \)-е из Васиных последовательных чисел равно \( k + n \). Тогда Петя мог подставить это число в \( P(x) \), если \( P(k + n) = an + b \), а это — уравнение пятой степени относительно \( n \), поэтому оно имеет не более пяти корней.
Итак, всего чисел не могло быть больше 50. Осталось показать, что 50 чисел могли получиться. Пусть, например, были выбраны многочлены

\[ P_{k}(x) = x + (x - (5k - 4)) \cdot (x - (5k - 3)) \cdot \ldots \cdot (x - 5k) \]

при \( k = 1, 2, \ldots, 10 \), и Вася называл числа \( 1, 2, \ldots, 50 \). Так как \( P_{k}(5k - i) = 5k - i \) при \( i = 0, 1, \ldots, 4 \), у Пети могли получаться последовательно числа \( 1, 2, \ldots, 50 \).
Ответ: 50 чисел.
Задача: Туристическая фирма провела акцию: «Купи путевку в Египет, приведи четырех друзей, которые также купят путевку, и получи стоимость путевки обратно». За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по 4 новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно?
Решение: Пусть каждый из $x$ потенциальных «счастливчиков» привел по 4 друга. Тогда «приведенных» клиентов $4 x$, еще 13 пришли сами, значит, всего туристов было $13+4 x$. С другой стороны, $x$ человек привели новых клиентов, а 100 человек — не привели, то есть всего туристов было $x+100$. Получим уравнение: $13+4 x=x+100$, откуда $x=29$.
Ответ: 29
Задача: Даны натуральные числа \( M \) и \( N \), большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что \( M = 3N \). Чтобы получить число \( M \), надо в числе \( N \) к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число \( N \)? Найдите все возможные ответы.
Решение: По условию, \( M = 3N \), значит, число \( A = M - N = 2N \) чётно. Но, по условию, число \( A \) составлено из нечетных цифр и двойки. Значит, \( A \) оканчивается на 2. Поэтому вдвое меньшее число \( N \) оканчивается либо на 1, либо на 6.
Покажем, что \( N \) не может оканчиваться на 1. Если \( N \) оканчивается на 1, то при его удвоении не происходит переноса десятка из последнего в предпоследний разряд. Значит, предпоследняя цифра числа \( A = 2N \) будет чётной, а она должна быть нечётной. Противоречие.
Ответ: Цифрой 6.
Задача: Тридцать девочек — 13 в красных платьях и 17 в синих платьях — водили хоровод вокруг новогодней ёлки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли её соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно?
Решение: Рассмотрим любую девочку. Цвета платьев её соседок слева и справа могли быть такими: синий-синий, синий-красный, красный-синий, красный-красный. Девочка ответила «да» ровно в первых двух случаях; значит, она сказала «да» ровно в том случае, когда её соседка слева была в синем платье.

Итак, поскольку ровно у 17 девочек соседка слева была в синем платье, то и ответ «да» прозвучал 17 раз.
Ответ: 17