t-tech/T-math huggingface dataset:
Задача: Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только четные цифры.
Решение: Решение. Пусть akak−1...a1 — десятичная запись этого числа (обозначим его n). Тогда

n = a2a1 + 100 a4a3 + 10000 a6a5 + ... = a2a1 + a4a3 + a6a5 + ... + 99 · (a4a3 + 101 a6a5 + 10101 a8a7 + ...).

(Здесь число 0a, если возникает, равно a.) Таким образом, числа n и s = a2a1 + a4a3 + a6a5 + ... одновременно делятся или не делятся на 99. Поскольку n кратно 99 и все его цифры четные, s кратно 198, а значит, s ≥ 198. Предположим, что в числе n не больше пяти цифр. Тогда имеем: 198 ≤ s ≤ 8 + 88 + 88 = 184, противоречие. Значит, цифр хотя бы 6.

Если a6a5 < 22, то s < 22 + 88 + 88 = 198, поэтому первые две цифры образуют число не меньше, чем 22. Тогда наше число не меньше, чем 228888, а оно подходит.
Ответ: 228888
Задача: Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол $A$ равен $120^\circ$, угол $C$ равен $135^\circ$, а угол $D$ равен $n^\circ$. Найдите все возможные целые значения $n$.
Решение: Решение. Для начала покажем, что ответ единственен. Предположим противное: пусть существует два равносторонних пятиугольника ABCDE и A′B′C′D′E′ такие, что $\angle A = \angle A′ = 120^\circ$, $\angle C = \angle C′ = 135^\circ$ и $\angle D ≠ \angle D′$. Не умаляя общности, можно считать, что длины сторон пятиугольников равны 1. Заметим, что по двум сторонам и углу между ними равны треугольники EAB и E′A′B′, а также BCD и B′C′D′. Тогда BE = B′E′ и BD = B′D′, откуда треугольники BDE и B′D′E′ равны по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle BDE = \angle B′D′E′$. Заметим также из равнобедренных треугольников BCD и B′C′D′, что $\angle CDB = \angle C′D′B′ = 22,5^\circ$. Таким образом, $\angle CDE = \angle CDB + + \angle BDE = \angle C′D′B′ + \angle B′D′E′ = \angle C′D′E′$, что и означает единственность ответа.

Докажем, что существует равносторонний пятиугольник, у которого $\angle A = 120^\circ$, $\angle C = 135^\circ$, $\angle D = 90^\circ$. Сначала построим такой треугольник CDE, что CD = DE = 1, $\angle CDE = 90^\circ$. Тогда по теореме Пифагора EC = √2. Затем построим такую точку B, что $\angle ECB = 90^\circ$, BC = 1. По теореме Пифагора BE = √3. Теперь построим A так, что AB = AE = 1. Опустим высоту AH треугольника ABE. Тогда AB = 1, BH = √3/2, и по теореме Пифагора AH = 1/2. Следовательно, $\angle BAH = 60^\circ$ и $\angle EAB = 120^\circ$.
Ответ: 90
Задача: Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Описанная окружность треугольника $AOC$ вторично пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Оказалось, что прямая $EF$ делит площадь треугольника $ABC$ пополам. Найдите угол $B$.
Решение: Обозначим $\angle ABC = \beta$. Тогда $\angle AOC = 2\beta$ (центральный угол). $\angle AEC = \angle AOC = 2\beta$, опирающийся на дугу $AC$. Так как $\angle AEC$ внешний для треугольника $CEB$, $\angle ECB = \beta$, значит, $CEB$ равнобедренный. Аналогично $\angle AFC = 2\beta$, $\angle BAF = \beta$, треугольник $ABF$ равнобедренный. По формуле длины основания: $AB = 2 \cdot BF \cdot \cos \beta$, $BC = 2 \cdot BE \cdot \cos \beta$. Перемножив, получим $AB \cdot BC = 4 \cdot BE \cdot BF \cdot \cos^2 \beta$. Из отношения площадей $\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}} = \frac{AB \cdot BC}{BE \cdot BF} = 2$, откуда $1 = 2 \cdot \cos^2 \beta$. Тогда $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, значит, $\beta = 45^\circ$.
Обозначим $\angle ABC = \beta$. Так как $\angle AOC$ — центральный угол, $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$. Также $\angle BEO = \angle OCA$, а $\frac{1}{2} \angle AOC + \angle ACO = 90^\circ$ (треугольник $AOC$ равнобедренный). Тогда $\angle ABC + \angle BEO = 90^\circ$, то есть $EO$ — высота в треугольнике $BEC$. Аналогично $FO$ — высота в треугольнике $AFB$. Середины сторон $AB$ и $BC$ ($M$ и $N$) образуют треугольник $BMN$, подобный $BFE$ с коэффициентом $\sqrt{2}$. Если рассмотреть окружность на $EF$ как диаметре ($MN = \sqrt{2} \cdot r$), то $\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot (180^\circ - 90^\circ) = 45^\circ$.
Ответ: $\angle B = 45^\circ$
Задача: В Чикаго орудует 36 преступных банд, некоторые из которых враждуют между собой. Каждый гангстер состоит в нескольких бандах, причем любые два гангстера состоят в разных наборах банд. Известно, что ни один гангстер не состоит в двух бандах, враждующих между собой. Кроме того, оказалось, что каждая банда, в которой не состоит некоторый гангстер, враждует с какой-то бандой, в которой данный гангстер состоит. Какое наибольшее количество гангстеров может быть в Чикаго?
Решение: Для $N$ банд максимальное число гангстеров $g(N)$: $3^n$ при $N = 3n$, $4 \cdot 3^{n-1}$ при $N = 3n + 1$, $2 \cdot 3^n$ при $N = 3n + 2$. Доказательство по индукции: если граф вражды несвязен, то $f(k) \leq g(m)g(k - m) \leq g(k)$. Для связного графа с вершиной степени $\geq 3$ $f(k) \leq g(k-1) + g(k-4)$. Если граф — цепочка или цикл, то $f(k) \leq 3g(k-3)$. Для $N = 36$ ($3n$) максимальное число гангстеров $3^{12} = 531441$.
Ответ: $3^{12} = 531441$
Задача: Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80.
Решение: Заметим, что число и до, и после перестановки делится на 10 и поэтому оканчивается на 0. Для трехзначных чисел это невозможно, так как разность перестановок даст условие, при котором b-a делится на 8, что возможно только при a=0, но a не может быть первой цифрой. Для четырехзначных чисел вида 1ab0 проверяем перестановки. Если переставить 1 и a (a > 1), то разность a1b0 - 1ab0 = 900(a-1) кратна 80. Условие 45(a-1) = 4m требует, чтобы a-1 делилось на 4. При a=5 и b=2 число 1520 делится на 80 (1520 = 19·80), а перестановка 5120 также делится на 80 (5120 = 64·80).
Ответ: 1520
Задача: Три велосипедиста ездят по круговому треку длиной 300 метров с разными скоростями. Фотограф сделает снимок, если все окажутся на участке длиной d метров. При каком наименьшем d это гарантировано?
Решение: Рассмотрим движение относительно второго велосипадиста. Первый и третий движутся навстречу друг другу, их встречи происходят периодически. Дуги между встречами делятся поровну и не превосходят 150 м. Поскольку встречи сдвинуты в одном направлении, найдется дуга βₘ, содержащая точку A (положение второго велосипедиста), где расстояние до встречи не превосходит 75 м. Пример с арифметической прогрессией скоростей подтверждает, что d не может быть меньше 75.
Ответ: 75
Задача: По кругу написано 100 ненулевых чисел. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а прежние числа стерли. Количество положительных чисел не изменилось. Какое минимальное количество положительных чисел могло быть написано изначально?
Решение: Решение. Приведем пример для 34 положительных чисел. Возьмем все числа равными 1 по модулю, а знаки расставим следующим образом:

(сначала +, потом 33 группы +—, считая против часовой стрелки). Тут всего одна пара соседних положительных чисел и 33 пары соседних отрицательных — они и дадут 34 положительных произведения; остальные произведения будут отрицательными.

Докажем, что положительных чисел было не менее 34. Предположим, что их не более 33. Отрицательные числа в произведении могут образовываться, только если один из сомножителей положительный, причем каждое положительное число может участвовать не более чем в двух таких

произведениях. Следовательно, отрицательных чисел не более 66. Но тогда всего чисел не более 99, противоречие.
Ответ: 34
Задача: Найдите наибольшее натуральное число, все цифры в десятичной записи которого различны и которое уменьшается в 5 раз, если зачеркнуть первую цифру.
Решение: По условию $\overline{a A}=5 A$ (где $A$ — число, составленное из всех цифр, кроме первой, $a$ — первая цифра). Пусть $n$ — количество цифр в числе $\overline{a A}$. Отсюда, $4 A=a \cdot 10^{n-1} \Rightarrow \Rightarrow A=25 a \cdot 10^{n-3}$. Если $n>4$, то у числа $A$, а значит, и у искомого числа, есть две совпадающие цифры (два нуля на конце). Если же $n=4$, то $A=250 a$. Ясно, что чем больше $a$, тем больше исходное число. При $a \geqslant 4$ число $250 a$ состоит из 4 цифр, а не из трёх. При $a=3$ мы получаем $A=750$, а исходное число равно 3750. Значит, наибольшее искомое число равно 3750.
Ответ: 3750
Задача: В клетчатом квадрате со стороной 2018 часть клеток покрашены в белый цвет, остальные — в чёрный. Известно, что из этого квадрата можно вырезать квадрат $10 \times 10$, все клетки которого белые, и квадрат $10 \times 10$, все клетки которого чёрные. При каком наименьшем $d$ можно гарантировать, что из него можно вырезать квадрат $10 \times 10$, в котором количество чёрных и белых клеток отличается не больше чем на $d$?
Решение: Рассмотрим рамку, ограничивающую квадрат $10 \times 10$, полностью состоящий из чёрных клеток. При по следовательном перемещении этой рамки направо, налево, вверх и вниз можно добраться до квадрата $10 \times 10$, пол ностью состоящего из белых клеток. При этом на каждом шаге перемещения из рамки убираются 10 клеток и в неё добавляются 10 клеток. Таким образом, за один шаг ко личество чёрных клеток, содержащихся внутри квадрата, изменяется не более чем на 10 .

В частности, по пути от полностью чёрного до полностью белого квадрата встретится квадрат, в котором от 45 до 55 чёрных клеток. Для такого квадрата количество чёрных и белых клеток отличается не более чем на 10 .

Построим квадрат $2018 \times 2018$, в котором во всех квадра тах $10 \times 10$ количество чёрных и белых клеток отличается не меньше чем на 10 . Для этого в квадрате $2018 \times 2018$ проведём диагональ из нижнего левого угла в верхний пра вый. Все клетки над диагональю покрасим белым, а диа гональ и клетки под диагональю — чёрным. В любом квад рате $10 \times 10$ все клетки диагонали из нижнего левого угла в верхний правый покрашены одним цветом, причём если этот цвет чёрный, то и все клетки над диагональю чёрные, значит, их хотя бы 55 , и количество чёрных и белых клеток отличается хотя бы на 10 . Аналогично, если диагональ бе лая, то все клетки под диагональю белые, и их не менее 55 .
Ответ: 10
Задача: Пусть $ x $ и $ y $ — пятизначные числа, в десятичной записи которых использованы все десять цифр ровно по одному разу. Найдите наибольшее возможное значение $ x $, если $ \operatorname{tg} x^\circ - \operatorname{tg} y^\circ = 1 + \operatorname{tg} x^\circ \operatorname{tg} y^\circ $ ($ x^\circ $ обозначает угол в $ x $ градусов).
Решение: Решение. Данное равенство при условии, что $ \operatorname{tg} x^\circ $ и $ \operatorname{tg} y^\circ $ определены, эквивалентно равенству $ \operatorname{tg}(x - y)^\circ = 1 $, откуда $ x - y = 45 + 180n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Следовательно, разность $ x - y $ делится нацело на 45, а значит, на 5 и на 9. Поскольку сумма всех цифр делится на 9, то каждое из чисел $ x $ и $ y $ делится на 9. Наибольшее пятизначное число, все цифры которого различны, равно 98765. Ближайшее к нему меньшее число, делящееся на 9, равно 98757 и содержит повторяющиеся цифры. Последовательно уменьшая это число на 9, получаем числа 98748, 98739, 98730, 98721. Первые два из них также содержат повторяющиеся цифры. Третье состоит из различных цифр, но поскольку $ 98730 = 90 + 180 \cdot 548 $, то его тангенс не определён. Число $ x = 98721 $ также состоит из различных цифр. Если взять, например, $ y = 54036 $, то получим $ x - y = 44685 = 45 + 180 \cdot 248 $, поэтому число 98721 искомое.
Ответ: 98721.
Задача: Пользуясь равенством $\lg 11 = 1,0413\ldots$, найдите наименьшее число $n > 1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного натуральной степени числа 11.
Решение: Число $11^k$ является $n$-значным, если $10^{n-1} < 11^k < 10^n$. При $k \leq 24$ $k \lg 11 < k + 1$, поэтому $n = k + 1$. При $k \geq 25$ $k \lg 11 > k + 1$, и $n \geq k + 2$. Наименьшее $n$, для которого $11^k$ не является $n$-значным, это $n = 26$ (когда $k = 25$).
Ответ: 26
Задача: Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили в красный цвет, если между его концами четное число вершин, и в синий — в противном случае. В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках — произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
Решение: Обозначим числа в вершинах как $x_1, x_2, \dots, x_{100}$. Сумма на красных отрезках $R = (x_1 + x_3 + \dots + x_{99})(x_2 + x_4 + \dots + x_{100})$, сумма на синих $B$ выражается как $\frac{P^2 + Q^2 - 1}{2}$. Искомая разность $R - B = \frac{1 - (P - Q)^2}{2} \leqslant \frac{1}{2}$. Максимум достигается, например, при $x_1 = x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и остальных нулях.
Ответ: 1/2
Задача: Есть 100 кучек по 400 камней в каждой. За ход Петя выбирает две кучки, удаляет из них по одному камню и получает за это столько очков, каков модуль разности чисел камней в этих двух кучках. Петя должен удалить все камни. Какое наибольшее суммарное количество очков он может при этом получить?
Решение: Оценка: Пусть $P = a_1 - b_1 + a_2 - b_2 + \dots + a_n - b_n$, где $a_i$ и $b_i$ — числа на камнях, взятых Петей на ходу $i$, $n = 20000$. Сумма $S = a_1 + b_1 + \dots + a_n + b_n = (1 + 2 + \dots + 400) \cdot 100$, а $B = b_1 + \dots + b_n$. Тогда $P = S - 2B$. Минимизируя $B$, получаем $P \leqslant 3920000$.
Пример: Разобьем ходы на 100 серий по 200 ходов. В каждой серии (кроме первой и последней) берем камни из соседних кучек, приносящих 200 очков на ход. Всего таких ходов $98 \cdot 200$, итоговый результат $98 \cdot 200 \cdot 200 = 3920000$.
Ответ: 3920000
Задача: Из шахматной доски 8×8 вырезали 10 клеток. Известно, что среди вырезанных клеток есть как чёрные, так и белые. Какое наибольшее количество двухклеточных прямоугольников можно после этого гарантированно вырезать из этой доски?
Решение: Решение. Каждый двухклеточный прямоугольник содержит чёрную и белую клетки, поэтому если вырезано 9 белых клеток, то больше 32−9=23 прямоугольников вырезать не получится. Разрежем доску так, как показано на рис. 1. Вырезанные клетки при разрезании «испортят» не более 10 прямоугольников. Следовательно, у нас уже есть по крайней мере 22 целых прямоугольника. Покажем, как увеличить количество целых прямоугольников на 1. Рассмотрим изображённую на рис. 1 замкнутую цепочку клеток (по цепи идём от клетки а2 вверх). Поскольку вырезаны как белые, так и чёрные клетки, в этой цепи обязательно есть вырезанная белая клетка, за которой идёт вырезанная чёрная клетка. Если эти клетки соседние, то они «портят» только один прямоугольник, значит, при таком разрезании будет не менее 23 целых прямоугольников. В противном случае, если между ними есть ещё клетки, разделим доску между ними так, чтобы новый прямоугольник начинался сразу после вырезанной белой клетки (см. рис. 2). Тогда количество целых прямоугольников увеличится на 1. Следовательно, опять будет не менее 23 целых прямоугольников.
Ответ: 23
Задача: Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью втрое меньшей скорости автобуса и способен увидеть автобус на расстоянии не более 2 км.
Решение: Первое решение. Если мальчик отъедет от остановки не более чем на 500 м, то он успеет вернуться к приезду автобуса, который за это время проедет до остановки не более 1500 м. Если мальчик отъедет от остановки на расстояние, большее 500 м, то вернуться на неё до приезда автобуса он уже не успеет, значит, чтобы не упустить автобус, он должен продолжить движение до следующей остановки. Если мальчик заметит автобус, когда до второй остановки остаётся не более 1 км, то он сможет продолжить движение и оказаться на остановке не позднее автобуса, который за это время проедет не более 3 км. Таким образом, наибольшее расстояние между остановками, при котором мальчик гарантированно не упустит автобус, равно 1,5 км.
Второе решение. Если мальчик с того момента, как заметил автобус, проехал расстояние x, то автобус проехал расстояние 3x. Предположим, что мальчик поехал навстречу автобусу и приехал на остановку одновременно с автобусом, тогда 3x + x = 2, следовательно, мальчик проехал 0,5 км до остановки, поэтому если расстояние до этой остановки будет больше 0,5 км, то мальчик на неё не успеет. Если он продолжил ехать в том же направлении, что ехал изначально, и приехал на остановку одновременно с автобусом, то 3x − x = 2, следовательно, мальчик проехал 1 км, поэтому если расстояние до этой остановки будет больше 1 км, то мальчик на неё не успеет. Таким образом, расстояние между остановками не должно превышать 1,5 км.
Ответ: 1,5 км
Задача: За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)?
Решение: Решение. Рассмотрим произвольную расстановку чашек и выпишем в строчку их цвета. Под этой строчкой выпишем все её различные циклические сдвиги — всего 14 штук. Подсчитаем, сколько всего будет совпадений по цвету на одной и той же позиции в исходной расстановке и в расстановках, полученных сдвигами. Для чёрных чашек совпадения по цвету будут ровно в 6 сдвигах, а для белых — в 7 сдвигах. Следовательно, всего совпадений по цветам для 14 сдвигов будет 7·6 + 8·7 = 98. Значит, существует сдвиг, в котором будет не более 98/14 = 7 совпадений с исходной расстановкой. Рассмотрим такую расстановку чашек: ббббчбчббччбчч. Непосредственной проверкой можно убедиться, что все её циклические сдвиги имеют с ней ровно 7 совпадений.
Ответ: 7
Задача: На стороне AC треугольника ABC взяли такую точку D, что угол BDC равен углу ABC. Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD, если BC = 1?
Решение: Первое решение. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD соответственно, а M — середина стороны BC. Треугольники ABC и BDC подобны, так как у них угол C общий, а два других угла равны по условию. Поэтому оставшиеся углы этих треугольников BAC и DBC также равны. Это означает, что описанная окружность треугольника ABD касается прямой BC, а радиус O₂B перпендикулярен касательной BC. Кроме того, O₁ лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC. Поэтому отрезок MB длины 1/2 является ортогональной проекцией отрезка O₁O₂ на прямую BC. Но проекция не длиннее отрезка, поэтому |O₁O₂| ⩾ 1/2, причём равенство достигается, когда угол ABC равен 90°, так как в этом случае O₁ — середина стороны AC, а O₂ — середина стороны AB, O₁O₂ — средняя линия треугольника ABC.
Второе решение. Рассмотрим случай, когда треугольник ABC остроугольный. По теореме о касательной и секущей AC·DC = 1. Далее, ∠BO₁C = 2∠BAC = ∠BO₂D, следовательно, подобны равнобедренные треугольники DBO₂ и CBO₁, поэтому равны углы при их основаниях. Поскольку O₁O₂ — серединный перпендикуляр отрезка AB, получаем ∠O₁O₂B = 1/2∠AO₂B = 1/2(360° − 2∠ADB) = 180° − ∠ADB = ∠BDC. Кроме того, ∠O₂BO₁ = ∠O₂BD + ∠DBO₁ = ∠O₁BC + ∠DBO₁ = ∠DBC, следовательно, треугольники O₂O₁B и DBC подобны. Из подобия получаем O₂O₁ = DC·BO₁ / BC = DC·BO₁ = (DC/2)(AO₁ + O₁C) ⩾ (DC·AC)/2 = 1/2, причём неравенство обращается в равенство, когда точка O₁ лежит на отрезке AC, т.е. треугольник ABC прямоугольный.
Ответ: 1/2
Задача: Многогранник с вершинами в серединах рёбер куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?
Решение: Пусть ребро куба равно 1. Рассмотрим сечения кубооктаэдра плоскостью, параллельной основанию куба на расстоянии $ 0 < h < \frac{1}{2} $. В сечении получается восьмиугольник с углами $ 135^\circ $. Найдём $ h $, при котором соседние стороны восьмиугольника равны: $ 2h = \frac{\sqrt{2}}{2} - h\sqrt{2} $, откуда $ h = \frac{1}{2(1+\sqrt{2})} < \frac{1}{2} $. Таким образом, правильный восьмиугольник в сечении возможен. Допустим, что $ n > 8 $. Рассмотрев сечения и их объединение, получим противоречие. Наибольшее число сторон — 8.
Ответ: 8
Задача: Найдите наименьшее натуральное число $ N > 9 $, которое не делится на 7, но если вместо любой его цифры поставить 7, то получится число, делящееся на 7.
Решение: Пусть $ N = \overline{a_1 a_2 \ldots a_n} $. Условия: $ 10a_k \equiv a_{k+1} \pmod{7} $. Для задачи $ N $, где $ N $ без последней цифры делится на 7, и $ n-1 $ делится на 7. Наименьшее $ n = 8 $. Число 13264513 удовлетворяет условиям и начинается с 1, поэтому оно наименьшее.
Ответ: 13264513
Задача: По правилам дорожного движения водитель автобуса не может работать больше 9 часов в день; он может увеличить это число до 10 часов в день, но не чаще чем два раза за 7 дней; не может работать больше 56 часов за 7 дней и 90 часов за 14 дней. Какое наибольшее число часов может проработать водитель за 2020 год?
Ответ: 2360
Задача: Сколькими способами можно вычеркнуть 24 буквы из последовательности ОМОМО…МО (всего 27 букв), чтобы остались три буквы М, М, О, идущие именно в таком порядке?
Ответ: 364
Задача: В треугольнике $ ABC $ со сторонами $ AB = 3 $, $ BC = 4 $, $ CA = 5 $ на сторонах $ AB $, $ BC $, $ CA $ взяты пары точек $ C_1 $ и $ C_2 $, $ A_1 $ и $ A_2 $, $ B_1 $ и $ B_2 $ соответственно. Внутри треугольника $ ABC $ находится точка $ P $, такая что треугольники $ PA_1A_2 $, $ PB_1B_2 $, $ PC_1C_2 $ — равные и равносторонние. Найдите площадь выпуклого шестиугольника с вершинами в точках $ A_1 $, $ A_2 $, $ B_1 $, $ B_2 $, $ C_1 $, $ C_2 $. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01.
Ответ: 3.34
Задача: Решите уравнение $ x[x[x[x[x]]]] = 122 $. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01. Напомним, что $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $ x $.
Ответ: 2.98
Задача: Среди последовательных натуральных чисел $ n+1, \ldots, n+k $ найдётся 13, любые два из которых взаимно просты. Найдите наименьшее возможное значение $ k $.
Ответ: 33
Задача: Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале $ (0, 1) $?
Решение: Если на интервале $ (0, 1) $ лежат все 2022 корня многочлена, то по теореме Виета свободный член многочлена должен быть равен их произведению, следовательно, будет тоже лежать на интервале $ (0, 1) $ и не будет целым. Докажем, что в качестве примера подойдёт многочлен $ P(x) = x^{2022} + (1 - 4042x)(3 - 4042x)\ldots(4041 - 4042x) $. Заметим, что при всех $ k = 0, 1, \ldots, 2021 $ число $ P\left(\frac{2k}{4042}\right) = \left(\frac{2k}{4042}\right)^n + (-1)^k (2k - 1)!! (4041 - 2k)!! $ является положительным при чётном $ k $ и отрицательным при нечётном $ k $. Таким образом, на интервале $ (0, 1) $ многочлен $ P(x) $ меняется знак по крайней мере 2021 раз, и следовательно имеет хотя бы 2021 корень.
Ответ: 2021
Задача: Среди n последовательных натуральных чисел больше кратных 2022, чем кратных 2021. При каком наибольшем n такое возможно?
Ответ: 4082419
Задача: Существует единственное положительное иррациональное число x, для которого x² + x и x³ + 2x² — целые числа. Найдите x с точностью до 0,001.
Ответ: 1,303
Задача: Учёные имеют индекс Оленина k, если у них k соавторов, попарно соавторских между собой. При 2021 учёном, какое наибольшее количество различных индексов может быть?
Ответ: 1011
Задача: Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале (0;1)?
Решение: Рассмотрим многочлен Q(x) = x^nP(1/x), где P(x) — исходный многочлен. Q(x) имеет n-1 корней на (1;+∞), что соответствует n-1 корням P(x) на (0;1). Построим Q(x) = 1 + x(x-10)(x-20)...(x-10(n-1)), который имеет n-1 корней на (1;+∞). Тогда P(x) имеет 2021 корень на (0;1).
Ответ: 2021
Задача: Таня выписывала числа вида n^7 - 1. При n=8 число делится на 337. Найдите наименьшее n>1, при котором число делится на 2022.
Решение: Рассмотрим n^7 ≡ 1 (mod 337). Известно, что n=8 — корень. Другие корни: 8²=64, 8³=175, 8⁴=52, 8⁵=79, 8⁶=295. Из них подходят n=79, 175, 295, но минимальное n>1 — 79.
Ответ: 79