t-tech/T-math huggingface dataset:
Задача: В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите синус большего угла треугольника.
Решение: Пусть \( AC \) — основание данного треугольника, \( B \) — его вершина, \( I \) — центр вписанной окружности, \( H \) — середина стороны \( AC \), \( r \) — радиус вписанной окружности, \( \angle A = \alpha \), \( \angle B = eta \). Из условия \( AH = 2r \). В треугольнике \( AIH \) \( AI = \sqrt{r^2 + (2r)^2} = r\sqrt{5} \). Отсюда \( \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \), \( \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}} \), тогда \( \sin \alpha = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5} \). Из равнобедренности треугольника \( ABC \) имеем \( \frac{eta}{2} = 90^\circ - \alpha \), и тогда \( \cos \frac{eta}{2} = \frac{4}{5} \), \( \sin \frac{eta}{2} = \frac{3}{5} \), и тогда \( \sin eta = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} \). Очевидно, \( eta \) и есть наибольший угол (потому что \( \cos \alpha = \frac{3}{5} > \frac{1}{2} \), и следовательно, \( \alpha < 60^\circ \)).
Ответ: 0,96
Задача: В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите косинус большего угла треугольника.
Ответ: 0,28
Задача: В равнобедренном треугольнике основание в 3 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите косинус большего угла треугольника.
Ответ: -0,28
Задача: В равнобедренном треугольнике основание в 3 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите синус большего угла треугольника.
Ответ: 0,96
Задача: В равнобедренном треугольнике основание в 1,5 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите косинус большего угла треугольника.
Ответ: 5/13
Задача: В равнобедренном треугольнике основание в 1,5 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите синус большего угла треугольника.
Ответ: 12/13
Задача: Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржсики и плюшки, стоившие целое число рублей. Кися купил 6 коржсиков и 5 плюшек, потратив менее 400 рублей, а Буся — 2 коржсика и 3 плюшки, потратив больше 200 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржсика.
Ответ: 24
Задача: Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржсики и плюшки, стоившие целое число рублей. Кися купил 8 коржсиков и 5 плюшек, потратив менее 250 рублей, а Буся — 2 коржсика и 3 плюшки, потратив больше 100 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржсика.
Ответ: 17
Задача: Некоторый квадратный трёхчлен \( x^2 - px + q \) имеет целые корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Оказалось, что числа \( x_1 \), \( x_2 \) и \( q \) образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите сумму возможных значений \( x_2 \).
Решение: По теореме Виета \( q = x_1 x_2 \). Тогда \( 2x_2 = x_1 + x_1 x_2 \), откуда \( x_1 = \frac{2x_2}{1+x_2} \). Так как корни целые, то \( 2x_2 \) делится на \( 1 + x_2 \). Но \( 2 + 2x_2 \) делится на \( 1 + x_2 \), а значит, 2 тоже делится на \( 1 + x_2 \). Тогда \( x_2 = -3, -2, 0 \) или 1. В этих случаях \( x_1 \) принимает значения 3, 4, 0 и 1. Поскольку \( x_2 < x_1 \), подходят лишь первые два варианта, откуда сумма возможных значений \( x_2 \) равна -5.
Ответ: -5
Задача: Некоторый квадратный трёхчлен \( x^2 - px + q \) имеет целые корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Оказалось, что числа \( x_1 \), \( x_2 \) и \( q \) образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите сумму возможных значений \( x_1 \).
Ответ: 7
Задача: Некоторый квадратный трёхчлен \( x^2 - px + q \) имеет целые корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Оказалось, что числа \( x_1 \), \( x_2 \) и \( q \) образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите произведение возможных значений \( x_2 \).
Ответ: 6
Задача: Некоторый квадратный трёхчлен \( x^2 - px + q \) имеет целые корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Оказалось, что числа \( x_1 \), \( x_2 \) и \( q \) образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите произведение возможных значений \( x_1 \).
Ответ: 12
Задача: Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 1001 точка. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
Решение: Сперва опишем стратегию, как будет действовать Шахерезада, чтобы выполнялись условия Шахрияра в течение 1998 ночей. Сначала она будет резать по линиям, соединяющим соседние вершины, и отбрасывать меньшую часть (назовём такую часть сегментом). Так она будет резать 1000 ночей. После этого останется 1001-угольник с приставленным к одной из сторон сегментом. После этого она будет отрезать треугольники. После каждого такого отрезания количество углов уменьшается на 1 (и по-прежнему к одной из сторон приложен сектор), и ещё через 998 ходов останется треугольник с сектором, после чего резать по правилам будет нечего.

Аналогично доказывается, что стратегии на большее количество шагов у Шахерезады нет. За каждый ход Шахерезада выбрасывает либо сектор, либо вершину (возможно, и то, и другое). В конце концов должен остаться сектор и хотя бы три вершины, а значит, более 1998 раз разрезать нельзя.
Ответ: 1999
Задача: Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 1002 точки. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
Ответ: 2001
Задача: Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 501 точка. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
Ответ: 999
Задача: Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 502 точки. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
Ответ: 1001
Задача: Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 1000 точек. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
Ответ: 1997
Задача: Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 965 точек. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
Ответ: 1927
Задача: Вася записал в прямоугольнички последовательные натуральные числа \(N\), \(N+1\), \(N+2\) и \(N+3\). Под каждым прямоугольничком он написал в кружочек сумму цифр соответствующего числа. Сумма чисел в первом и втором кружочках оказалась равна 200, а сумма чисел в третьем и четвёртом кружочках равна 105. Чему равна сумма чисел во втором и третьем кружочках?
Решение: Если между двумя последовательными натуральными числами нет перехода через десяток, сумма цифр большего из них на 1 больше суммы цифр меньшего, и поэтому сумма этих двух сумм нечётна. Так как число 200 чётно, между \(N\) и \(N+1\) есть переход через десяток, и \(N+1\) оканчивается на 0. Но тогда число в четвёртом кружочке на 2 больше числа во втором, и потому искомая сумма равна \(105 - 2 = 103\).
Ответ: 103
Задача: На острове Невезения живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды, за круглым столом собрались 2022 аборигена и каждый из них сделал заявление: «Рядом со мной сидят рыцарь и лжец!» Известно, что при этом три рыцаря ошиблись (т.е. нечаянно солгали). Какое максимальное количество рыцарей могло находиться за столом?
Решение: Разобьём всех сидящих за столом на блоки, состоящие из аборигенов одного типа, сидящих подряд. Тогда блоки лжецов могут состоять только из 1 человека, иначе лжец, сидящий с краю в этом блоке скажет правду. Если блок рыцарей состоит из двух человек, то оба рыцаря в нем сказали правду (не ошиблись). Если блок рыцарей состоит из 1 человека – он ошибся в своём высказывании (у него два соседа лжеца). Если блок рыцарей состоит из k > 2 человек, то в нем k − 2 рыцаря, сидящие внутри блока, ошибутся (у них будет по два соседа-рыцаря).
Обозначим за n количество блоков лжецов, за m ≤ 3 — количество блоков из одного рыцаря. Блоки рыцарей и лжецов чередуются, поэтому их поровну. Тогда, рыцарей — m + 2(n − m) + 3 − m = 2(n − m) + 3, а лжецов — n. Следовательно, 2(n − m) + 3 + n = 2022, или n = (2019+2m)/3 ≥ 2019/3 = 673. Тогда рыцарей не больше, чем 2022 − 673 = 1349.
Пример. 673 блока лжецов, по одному в каждом блоке, чередуются с 673 блоками рыцарей, причём в одном блоке 5 рыцарей, а в остальных — по два рыцаря.
Ответ: 1349
Задача: На рисунке приведен пример того, как 3 луча разбивают плоскость на 3 части. На какое максимальное количество частей могут разбить плоскость 11 лучей?
Решение: Если провести (n + 1)-ый по счёту луч так, чтобы он пересекал все n предыдущих, то n точек пересечения на нём разбивают его на n + 1 часть. Отрезок, ближайший к вершине, новых частей разбиения не добавляет, а каждый из остальных n участков (n − 1 отрезок и 1 луч) делит какую-то из существующих частей разбиения на две новые, т.е. добавится n частей. (Соответственно, если луч пересечёт меньше количество лучей, то добавится меньшее количество новых частей разбиения).
1 луч — 1 часть.
2 луча — 1+1.
3 луча — 1+1+2
...
n лучей — 1 + 1 + 2 + ... + (n − 1) = 1 + n(n − 1)/2 = (n^2 − n + 2)/2.
Для n = 11 получается ответ (121 − 11 + 2)/2 = 56.
Ответ: 56
Задача: На стороне \(AB\) параллелограмма \(ABCD\) выбрана точка \(F\), а на продолжении стороны \(BC\) за вершину \(B\) — точка \(H\) так, что \(AB/BF = BC/BH = 5\). Точка \(G\) выбирается так, что \(BFGH\) — параллелограмм. \(GD\) пересекает \(AC\) в точке \(X\). Найдите \(AX\), если \(AC = 100\).
Решение: Проведем в параллелограмме \(ABCD\) диагональ \(BD\), а в параллелограмме \(BFGH\) диагональ \(GB\). Пусть \(BD\) пересекает \(AC\) в точке \(O\). Докажем, что \(AC||GB\). Треугольники \(ABC\) и \(GHB\) подобны по двум сторонам и углу между ними: \(AB/BF = BC/BH\) и \(\angle GHB = \angle ABC\). Значит \(\angle GBH = \angle ACB\), поэтому \(AC||GB\). Так как \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма, то \(DO = BO\), значит \(XO\) — средняя линия треугольника \(BDG\). Из подобия также следует, что \(AC/GB = 5\), \(GB = 20\). Тогда \(XO = GB/2 = 10\), \(AX = 100/2 - 10 = 40\).
Ответ: 40
Задача: В клетках таблицы 10×10 расставлены натуральные числа 1, 2, ..., 99, 100. Назовём уголком фигуру, которая получается удалением одной клетки из квадрата 2×2. Назовём уголок хорошим, если число в его клетке, граничащей по сторонам с двумя другими, больше чисел, стоящих в этих двух других клетках. Каково наибольшее возможное число хороших «уголков»? (Каждый уголок учитывается независимо от того, как он расположен по отношению к другим, разные уголки могут частично накладываться).
Решение: Назовём центром «уголка» клетку, которая граничит по сторонам с двумя другими его клетками. Рассмотрим любой квадрат 2×2, находящийся в нашей таблице. В нём содержится 4 «уголка». При этом хорошими из них могут быть только те, в центрах которых находятся два наибольших числа из тех, что находятся в нашем квадрате 2×2. Так как каждый «уголок» находится в каком-либо квадрате 2×2, отсюда следует, что хороших уголков в нашей таблице не больше половины от их общего числа, равного 4×81, так как всего в нашей таблице имеется 81 квадрат размером 2×2 (например, потому, что левые верхние клетки всех таких квадратов образуют квадрат 9×9). Итак, мы доказали, что хороших уголков не больше, чем 4×81/2 = 162. Приведем пример, когда их ровно 162. Покрасим клетки таблицы в два цвета в шахматном порядке, и произвольным образом поставим на чёрные клетки числа от 51 до 100, а на белые — числа от 1 до 50. Легко видеть, что в этом случае в каждом квадрате 2×2 будет ровно два хороших уголка с центрами в чёрных клетках.
Ответ: 162
Задача: На стороне AC треугольника ABC выбрана точка E. Биссектриса AL пересекает отрезок BE в точке X. Оказалось, что AX = XE и AL = BX. Чему равно отношение углов A и B треугольника?
Решение: Пусть прямая, проходящая через точку E параллельно AL, пересекает прямые BC и BA в точках P и Q соответственно. Из подобия треугольников ABL и QBP имеем PQ/AL = BE/BX = BE/AL, откуда PQ = BE. В силу параллельности прямых AL и PQ имеем ∠AQE = ∠XAE = ∠AEQ, откуда AE = AQ. Кроме того, из равенства AX = XE следует, что ∠AEB = ∠AEX = ∠XAE, откуда ∠AEB = ∠AQE. Таким образом, треугольники AQP и AEB равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AP = AB и ∠BAE = ∠PAQ = 2∠CBA, откуда и получаем ответ.
Ответ: 2
Задача: Назовем два числа почти равными друг другу, если они равны друг другу или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Клетчатый прямоугольник со сторонами, равными натуральным числам a и b, таков, что из него нельзя по линиям сетки вырезать прямоугольник, площадь которого почти равна половине площади исходного прямоугольника. Какое наименьшее значение может принимать число |a−b|?
Решение: Если одна из сторон прямоугольника четна, от него можно по средней линии отрезать прямоугольник вдвое меньшей площади. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе стороны нечетны. В этом случае |b−a| четно. Если |b−a| = 0, то a = b = 2n+1, половина площади прямоугольника равна 2n²+2n+0,5, и мы можем вырезать из него прямоугольник 2n×(n+1) почти равной этому числу площади 2n(n+1). Если |b−a| = 2, то a = 2n+1, b = 2n−1, половина площади прямоугольника равна 2n²−0,5, и мы можем вырезать из него прямоугольник 2n×n почти равной этому числу площади 2n². Таким образом, |a−b| ≥ 4. Полагая a = 2n+3, b = 2n−1, получаем прямоугольник, половина площади которого равна 2n²+2n−1,5. Почти равны ей целочисленные площади 2n²+2n−1 и 2n²+2n−2. При n = 3 2n²+2n−1 = 23, 2n²+2n−2 = 22 = 2·11. Простые числа 23 и 11 больше сторон получающегося при n = 3 прямоугольника 9×5, поэтому вырезать из него по линиям сетки прямоугольник, площадь которого почти равна половине его площади, невозможно. Таким образом, минимальное возможное значение |a−b| равно 4.
Ответ: 4
Задача: На доску записали 99 чисел, среди которых нет равных. В тетрадку выписали $\frac{99 \cdot 98}{2}$ чисел — все разности двух чисел с доски (каждый раз из большего числа вычитали меньшее). Оказалось, что в тетрадке число 1 записано ровно 85 раз. Пусть $d$ — наибольшее число, записанное в тетрадке. Найдите наименьшее возможное значение $d$.
Решение: Докажем, что \( d \geqslant 7 \). Все числа с доски разбиваются на цепочки чисел вида \( a, a+1, a+2, \ldots, a+t \) так, что числа из разных цепочек не отличаются ровно на 1. В цепочке из \( n_i \) чисел есть ровно \( n_i - 1 \) пара чисел, отличающихся на 1. Поэтому общее количество единиц в тетрадке равно \( (n_{1}-1)+(n_{2}-1)+\ldots+(n_{k}-1)=(n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{k})-k=99-k \), откуда \( k=99-85=14 \). Значит, в одной из цепочек не меньше, чем 99/14 чисел, то есть не меньше 8 чисел. Разность наибольшего и наименьшего чисел в такой цепочке не меньше \( 8-1=7 \). Осталось привести пример, в котором \( d=7 \). Такой пример дают, например, числа \( 0, \frac{1}{14}, \frac{2}{14}, \ldots, \frac{98}{14}=7 \).
Ответ: 7
Задача: Двум мальчикам выдали по мешку картошки, в каждом мешке по 150 клубней. Ребята по очереди перекладывают картошку, каждый своим очередным ходом перекладывает ненулевое количество клубней из своего мешка в чужой. При этом они должны соблюдать условие новой возможности: на каждом ходе мальчик должен переложить больше клубней, чем у него было в мешке перед любым из его предыдущих ходов (если такие ходы были). Так, первым своим ходом мальчик может переложить любое ненулевое количество, а своим пятым ходом мальчик может переложить 200 клубней, если перед его первым, вторым, третьим и четвёртым ходами количества клубней в его мешке были меньше 200. Какое максимальное суммарное количество ходов могут совершить ребята?
Решение: Пусть в процессе было N ходов. Посмотрим на процесс «в обратную сторону». Назовём последний сделанный ход первым, предпоследний (сделанный другим мальчиком) — вторым, и т.д. Обозначим через а0 количество клубней в мешке, из которого их перекладывали на первом ходе, после этого хода (то есть в самом конце процесса). Аналогично, обозначим через аi−1 количество клубней в мешке, из которого перекладывали на i-м ходе, непосредственно после этого хода. Наконец, обозначим через аN количество клубней в мешке, в который перекладывали на N-м (самом раннем) ходе, перед этим ходом (тогда aN = 150).
Пусть k ≤ N − 3. Рассмотрим мешок, в котором лежало ak клубней после (k + 1)-го хода (из него только что переложили картошку). Тогда перед (k + 1)-м ходом в нём было 300 − ak+1 клубней, перед (k + 2)-м ходом − ak+2 клубней, а перед (k + 3)-м ходом − 300 − ak+3 клубней. На (k + 1)-м ходе из этого мешка переложили (300 − ak+1) − ak клубней, и это количество должно быть больше, чем количество клубней в нём перед (k + 3)-м ходом. Итак, 300 − ak+3 < 300 − ak − ak+1, откуда ak+3 > ak+1 + ak; поскольку все числа целые, имеем ak+3 ≥ ak+1 + ak + 1.
Определим числа b0, b1, b2, … так: b0 = b1 = b2 = 0, bk+3 = bk+1 + bk + 1. Тогда, поскольку a0, a1, a2 ≥ 0, из полученного неравенства непосредственной индукцией получается, что ak ≥ bk и bk+1 ≥ bk при всех k = 0,1,… Значит, bN ≤ aN = 150.
Приведём таблицу первых значений чисел bk: | k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----| | bk | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 11 | 15 | 20 | 27 | 36 | 48 | 64 | 85 | 113 | 150 | 199 |
Значит, из условия bN ≤ 150 получаем, что N ≤ 19.
Пример, когда дети могут сделать 19 ходов, следует из построения выше. Изначально у каждого ребёнка по b19 = 150 клубней. Если дети будут действовать так, чтобы после k-го (с начала) хода у перекладывавшего оставалось ровно b19−k клубней, то на k-м (с начала) ходе ребёнок будет перекладывать 300 − b20−k − b19−k клубней, а перед любым предыдущим его ходом у него будет 300 − bi клубней при i ≥ 17 − k, причём 300 − bi ≤ 300 − b17−k < 300 − b19−k − b20−k. Значит, этот ход удовлетворяет условию, и дети могут сделать 19 таких ходов.
Ответ: 19.
Задача: Новая шахматная фигура слонопотам за один ход может перемещаться либо на любое число клеток по диагонали, либо на одну клетку по горизонтали или по вертикали. Слонопотам стоит в левой нижней клетке доски 8×8. Назовём клетку доски достижимой, если слонопотам может в неё попасть ровно за 2 хода. Сколько существует достижимых клеток?
Ответ: 46
Задача: Вписанный четырёхугольник \(ABCD\) таков, что \(\angle ADB = 40^\circ\) и \(\angle CDB = 52^\circ\). Точка \(M\) внутри четырёхугольника такова, что \(\angle BAM = 26^\circ\) и \(\angle BCM = 20^\circ\). Сколько градусов составляет угол \(CBM\)?
Ответ: 44
Задача: Натуральное число назовём счастливым, если в его десятичной записи каждая цифра — либо ноль, либо семёрка. Число 20232023 представили в виде суммы \(n\) слагаемых, каждое из которых является счастливым числом. Найдите наименьшее возможное значение \(n\).
Ответ: 9
Задача: В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( A \) проведена высота \( AH \). На продолжении отрезка \( HA \) за точку \( A \) нашлась точка \( D \) такая, что \( \angle DBA = \angle CBA \). Найдите длину отрезка \( BD \), если известно, что \( BC = 7 \) и \( AD = 12 \).
Ответ: 16
Задача: Назовём хорошей пару $\(a, b\)$ натуральных чисел, лежащих на отрезке $[100; 240]$, если число $\(\sqrt{a} + \sqrt{b}\)$ является целым. Сколько существует хороших пар?
Ответ: 30.
Задача: Клетчатую таблицу назовём разнообразной, если её клетки раскрашены в чёрный и белый цвет так, что во всех строках разное количество чёрных клеток, а также во всех столбцах разное количество чёрных клеток.

Пару натуральных чисел \((m, n)\) назовём подходящей, если существует разнообразная таблица \(m \times n\), причём \(10 \leq m \leq 20\) и \(10 \leq n \leq 20\). Сколько существует подходящих пар? (Если числа \(m\) и \(n\) различны, то пары \((m, n)\) и \((n, m)\) считаются различными.)
Ответ: 31.
Задача: В окружность ω вписана трапеция ABCD такая, что BC ∥ AD, AD = 14 и BC = 9. Пусть M — середина дуги AD окружности ω, не содержащей точек B и C. Прямая ℓ касается ω в точке C. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из M на ℓ. Найдите длину отрезка CH.
Ответ: 4,5.
Задача: По кругу лежали n шариков, где 6 ≤ n ≤ 100. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 2 шарика. Сколько различных значений могло принимать n?
Ответ: 63
Задача: Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\), в котором \(AB = BD\). На отрезке \(BD\) выбрали точку \(K\) так, что \(AD \parallel KC\). Описанная окружность треугольника \(KDC\) пересекает отрезок \(BC\) в точке \(L\). Известно, что \(\angle ABD = 48^\circ\) и \(\angle CBD = 13^\circ\). Сколько градусов составляет угол \(BAL\)?
Ответ: 53
Задача: В компьютер ввели число 1. За одну операцию число в компьютере можно либо увеличить на 7, либо поделить на 2, если оно чётное (например, из числа 60 можно получить 30 или 67). При этом запрещается получать числа, большие 400.

Число назовём классным, если его можно получить в результате некоторой последовательности разрешённых операций. Сколько существует классных чисел?
Ответ: 172
Задача: Назовём полоской клетчатый прямоугольник, длина одной из сторон которого равна 1 (в частности, квадрат \(1 	imes 1\) тоже является полоской).

Назовём натуральное число \(k\) хорошим, если клетчатый прямоугольник \(43 	imes k\) можно разрезать по линиям сетки на попарно различные полоски. Сколько существует хороших чисел, не превосходящих 100?
Ответ: 38
Задача: Выберите числа, которые являются контрпримерами к данному утверждению: «Если сумма цифр натурального числа делится на 27, то и само число делится на 27».
Решение: Утверждения про 81 и 18 точно не являются контрпримерами, так как для них не выполнен посыл «если сумма цифр натурального числа делится на 27». Утверждение про 999 не является контрпримером, поскольку не противоречит нашему утверждению. Наконец, число 9918 является контрпримером, поскольку для него выполнено, что сумма цифр делится на 27, но само число 9918 = 9 · 1102 не делится на 27.
Ответ: только 9918
Задача: Выберите числа, которые являются контрпримерами к данному утверждению: «Если натуральное число делится на 27, то и сумма его цифр делится на 27». а) 81; б) 999; в) 9918; г) 18.
Ответ: только 81