t-tech/T-math huggingface dataset:
Задача: У Жоры есть коробка конфет, в которой конфеты расположены прямоугольником \(4 \times 5\) (4 строчки, 5 столбцов). Жора берёт по одной конфете, каждый раз выбирая из строки, в которой осталось максимальное количество конфет; если таких несколько — из любой из них. Сколькими способами Жора мог съесть первые 5 конфет; порядок поедания важен?
Решение: Первую конфету Жора может съесть любую — т.е. у него 20 способов. Для каждого из этих 20 способов вторую конфету Жора сможет съесть уже только 15 способами: в таблице останется 3 строки, в каждой из которых по 5 конфеты (и из этих 15 будет выбирать Жора), а также одна строка с 4 конфетами. То есть выбрать первые две конфеты у Жоры \(20 \cdot 15\) способов. Аналогично предыдущему: для каждого из этих \(20 \cdot 15\) способов выбрать первые две конфеты у Жоры есть по 10 способов выбрать третью конфету. То есть выбрать первые три конфеты у него \(20 \cdot 15 \cdot 10\) способов. Аналогично предыдущему: выбрать первые четыре конфеты у Жоры \(20 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 5\) способов. Наконец, для каждого из \(20 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 5\) способов выбрать первые четыре конфеты у Жоры есть по 16 способов выбрать пятую конфету: за предыдущие четыре выбора Жора взял по одной конфете из каждой строки, т.е. сейчас в каждой строке осталось по 4 конфеты и Жора вновь может выбрать из всех конфет. Итого, ответ \(20 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 16=240000\).
Ответ: 240000
Задача: В стране 3 мегаполиса и 7 городков. Авиакомпания планирует расписание полётов между ними. Руководитель хочет, чтобы выполнялись следующие условия: от любого населённого пункта до любого другого можно добраться (прямым рейсом или с пересадками); если из пункта \( A \) есть рейс в пункт \( B \), то и из пункта \( B \) есть рейс в пункт \( A \); из двух мегаполисов можно улететь ровно в четыре населённых пункта, а из одного — в три; из каждого городка можно улететь ровно в один населённый пункт. Сколько существует способов организовать такое расписание?
Решение: Для начала заметим, что из городка можно улететь только в мегаполисы: если из какого-то городка \( X \) единственный рейс ведёт в городок \( Y \), то и из \( Y \) единственный рейс ведёт в \( X \), т.е. из городков \( X \) и \( Y \) больше никуда не добраться. Заметим, что ни в один мегаполис не может прилетать 4 рейса: тогда из этих 5 населённых пунктов (мегаполиса и 4 городков) больше нельзя никуда улететь. Значит, в каждый мегаполис прилетают рейсы не более чем из трёх городков. Суммарно в мегаполисы должны прилететь 7 рейсов из городков. Существует только два способа, как можно представить число 7 в виде суммы трёх чисел, каждое из которых не превосходит 3: \( 3 + 3 + 1 \). Назовём эти мегаполисы \( A_1 \), \( A_2 \) и \( B \) соответственно. Мегаполис \( B \) дополнительно должен быть соединён ещё хотя бы с двумя другими мегаполисами, значит ровно с двумя он и соединён. После этого у мегаполисов \( A_1 \) и \( A_2 \) также будет по 4 рейса. Посчитаем теперь количество таких расписаний: \(3 \cdot C_{7}^{3} \cdot C_{4}^{3} = 420\) вариантов (тут 3 — это количество способов выбрать мегаполис \( B \), после чего для мегаполиса \( A_1 \) надо из 7 городков выбрать 3, в которые из него будет рейс, далее из 4 оставшихся — 3 для мегаполиса \( A_2 \)). \( 3 + 2 + 2 \). Назовём мегаполис, соответствующий 3, \( A \). Заметим, что из \( A \) должна быть какая-то возможность ещё куда-то добраться, т.е. должен быть ещё хотя бы один рейс в какой-то другой мегаполис. Назовём этот мегаполис \( B \), а оставшийся — \( C \). Сейчас мы уже знаем про 4 рейса из \( A \), 3 рейса из \( B \) и 2 рейса из \( C \). Из \( C \) должен выходить ещё хотя бы один рейс в какой-то мегаполис. Это может быть только \( B \), ведь из \( A \) уже идёт 4 рейса. Сейчас все рейсы между мегаполисами определены. Посчитаем теперь количество таких расписаний: \(3 \cdot 2 \cdot C_{7}^{3} \cdot C_{4}^{2} = 1260\) вариантов (здесь 3 — способы выбрать мегаполис \( A \), 2 — мегаполис \( B \), \( C_{7}^{3} \) — сколькими способами можно выбрать городки для \( A \), \( C_{4}^{2} \) — после этого выбрать городки для \( B \)). Итого, всего способов \( 1260 + 420 = 1680 \).
Ответ: 1680
Задача: Числа \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\), \(a_9\) таковы, что \(\frac{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_9^2}{a_1 + a_2 + \ldots + a_9} = 48\). Какое наибольшее значение может принимать \(a_1\)?
Решение: Домножим обе части равенства на знаменатель дроби, перенесём всё в левую часть равенства и сгруппируем: \((a_1^2 - 48a_1) + (a_2^2 - 48a_2) + \ldots + (a_9^2 - 48a_9) = 0\). Теперь прибавим к выражениям в скобках по \(24^2\), а чтобы равенство сохранилось — к правой части прибавим \(9 \cdot 24^2\), получим: \((a_1^2 - 48a_1 + 24^2) + (a_2^2 - 48a_2 + 24^2) + \ldots + (a_9^2 - 48a_9 + 24^2) = 9 \cdot 24^2\). Теперь каждую скобку запишем как квадрат разности: \((a_1 - 24)^2 + (a_2 - 24)^2 + \ldots + (a_9 - 24)^2 = 72^2\). Оценим первое слагаемое: \((a_1 - 24)^2 = 72^2 - (a_2 - 24)^2 - \ldots - (a_9 - 24)^2 \leqslant 72^2\), поэтому \(-72 \leqslant a_1 - 24 \leqslant 72\) и \(-48 \leqslant a_1 \leqslant 96\). Таким образом, \(a_1 \leqslant 96\). Значение \(a_1 = 96\) достигается при \(a_2 = \ldots = a_9 = 24\).
Ответ: 96
Задача: Каждое из чисел от 1 до 3491 покрашено в один из k цветов (каждый цвет встречается). Оказалось, что для каждого цвета количество чисел этого цвета равно наименьшему числу этого цвета. При каком наибольшем k это возможно?
Решение: Обведём в кружочек наименьшее число каждого цвета. Наименьшее из обведённых чисел не меньше 1, следующее по величине — не меньше 2, следующее — не меньше 3, и т.д., последнее обведённое число не менее k. Общее количество покрашенных чисел по условию задачи равно сумме обведённых чисел, поэтому не меньше 1 + 2 + 3 + … + k = k(k + 1)/2, но по условию покрашенных чисел ровно 3491. Отсюда 3491 ≥ k(k + 1)/2 — несложно убедиться, что это неравенство выполняется при k ≤ 83.
Для k = 83 можно привести пример раскраски чисел: покрасим каждое из чисел от 1 до 82 в свой уникальный цвет (сами цвета также будем соответственно называть: 1-й, 2-й, 3-й, …, 82-й), а числа 88, 89, 90, 91, …, 175 покрасим в 83-й цвет. Далее во 2-й цвет покрасим ещё одно из пока не покрашенных чисел, в 3-й цвет — ещё два числа, и так далее, в 82-й цвет — ещё 81 число. В результате в 1-й цвет покрашено только число 1, во 2-й цвет — два числа, из которых наименьшее равно 2, в 3-й цвет — три числа, из которых наименьшее равно 3, и так далее, а вот в 83-й цвет покрашено 88 чисел, из которых наименьшее равно 88. Всего покрашены 1 + 2 + 3 + … + 82 + 88 = 82·83/2 + 88 = 3491 чисел, то есть все числа из набора.
Таким образом, для 83 цветов удалось предъявить пример, а большего количества цветов, как ранее доказано, быть не может.
Ответ: 83
Задача: Пусть $n > 2024$ — натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2024 до $n$. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных $n < 10000$, для которых это число будет равно 0?
Решение: Если $n$ чётно, то после $\frac{n-2024}{2}$ операций мы получим 2024 и $\frac{n-2024}{2}$ единиц. Чтобы в итоге осталось число 0, единиц должно быть чётно и хотя бы 2024. Значит, $n - 2024$ (а с ним и $n$) делится на 4 и $\frac{n-2024}{2} \geqslant 2024, n \geqslant 6072$. Таким чисел, больших 2024 и меньших 10000 всего 982 (от $1518 \cdot 4=6072$ до $2499 \cdot 4)$.
Если $n$ нечётно, то после $\frac{n-2023}{2}$ операций мы получим $\frac{n-2023}{2}$ единиц. Чтобы остался 0 единиц, должно быть чётное число. Следовательно, $n-2023$ делится на 4, т.е. $n \equiv 3(\bmod 4)$. Таких чисел, больших 2024 и меньших 10000, всего 1994 (от $506 \cdot 4+3$ до $2499 \cdot 4+3$).
Итого, ответ $982+1994=2976$.
Ответ: 2976
Задача: Аня нарисовала на плоскости квадрат и поделила верхнюю и нижнюю его стороны на 9 равных частей каждую. Затем она провела 10 прямых, соединяющих самую левую верхнюю точку с самой правой нижней, вторую слева верхнюю точку со второй справа нижней, и так далее. После этого она поделила правую и левую стороны каждую на 8 равных частей и провела 7 горизонтальных прямых через точки деления. На сколько частей эти прямые поделили квадрат?
Решение: 10 прямых сверху вниз поделили квадрат на 9 + 9 + 2 частей. Затем каждая горизонтальная прямая, кроме той, что проведена посередине, делит на две 9 частей (либо сверху, либо снизу) и еще две (одну справа и одну слева). Таких делений 6. Каждое из них прибавляет 9 + 2 = 11 частей. Средняя горизонтальная прямая делит две части каждую на две (то есть, прибавляет две части). Итого: 20 + 11 · 6 + 2 = 88.
Ответ: 88
Задача: Однажды утром 10 января Кот в сапогах обнаружил, что его вес стал на 20% больше, чем был до новогодних праздников. Чтобы восстановить в форму, Кот в сапогах сел на диету, и вскоре обнаружил, что его вес уменьшился на 20% по сравнению с весом 10 января, и на 224 грамма по сравнению с весом до новогодних праздников. Сколько весил Кот в сапогах до новогодних праздников? В ответ запишите только число - вес Кота в сапогах до новогодних праздников в килограммах.
Решение: Обозначим вес Кота в сапогах до новогодних праздников за x. Тогда его вес 10 января составлял 1,2x, поскольку 120% от числа - это 120 : 100 = 1,2 части от целого. Аналогично, после уменьшения веса на 20%, он стал равняться 1,2x · 0,8 = 0,96x. Этот вес на 224 грамма меньше изначального, то есть x. Значит, x − 0,96x = 224 грамма, то есть 0,04x = 224 грамма, откуда x = 5600 граммов, то есть 5,6 килограммов.
Ответ: 5.6
Задача: В соревновании по настольному теннису участвовало ровно 50 ребят, среди которых половина рыцари, всегда говорящие правду, и половина - лжецы, которые всегда лгут. По правилам турнира проигравший выбывал. В результате после нескольких игр ровно половина ребят выбыла. После этого событий каждый из оставшихся участников заявил, что выиграл ровно у одного рыцаря. Какое наибольшее количество рыцарей могло остаться участниками турнира?
Решение: Каждый из оставшихся рыцарей выиграл ровно у одного рыцаря. Поэтому оставшихся рыцарей не больше, чем выбывших, то есть удвоенное количество оставшихся рыцарей не больше 25, следовательно, их не больше 12. Пример: один из рыцарей выигрывает у другого, затем половина оставшихся рыцарей выигрывает у одного из оставшихся, включая того, который выиграл у первого рыцаря (сначала 2-й рыцарь выиграет у 1-го, потом 3-й у 2-го, 5-й у 4-го и т. д. 25-й у 24-го), а среди 25 лжецов, например, один выиграет по очереди у 12 других лжецов.
Ответ: 12
Задача: Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 5. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Выберите из приведенных чисел те, которые могли быть периметром прямоугольника Даши.
Решение: Пусть Дашин прямоугольник имел длину x и ширину y. Тогда площади Катиного и Таниного прямоугольников равны, соответственно, (x − 2)(y + 3) и (x − 3)(y + 5).
Приравняв эти два выражения, получим xy−2y+3x−6 = xy−3y+5x−15, откуда y = 2x − 9. Тогда периметр Дашиного прямоугольника равен 2x + 2y = 6x − 18 = 6(x − 3). Это число кратно 6. Из приведенных чисел подходит только 54. Если 6x − 18 = 54, то x = 12. Тогда y = 2x − 9 = 15.
Ответ: 54
Задача: Саша и Юра задумали по числу от 1 до 10, после чего Саша заявил: «Неважно, какое число ты задумал, в произведении наших чисел нет цифры 6», на что Юра ответил: «Тогда сумма наших чисел равна 14». Саша и Юра не ошибаются. Какое число задумал Юра?
Решение: Докажем, что Саша задумал 5. Это число подходит, так как при умножении числа 5 на любое число от 1 до 10 результат не содержит цифры 6. Осталось для каждого остального числа показать, какое число мог задумать Юра, чтобы в произведении чисел Саши и Юры была цифра 6. | Если Саша задумал, | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | то Юра мог задумать | 6 | 3 | 2 | 4 | 1 | 9 | 2 | 4 | 6 | | Тогда произведение | 6 | 6 | 6 | 16 | 6 | 63 | 16 | 36 | 60 | Таким образом, Саша задумал 5. Тогда Юра задумал \(14 - 5 = 9\).
Ответ: 9