Задача: Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY.
Решение: Решение 1. Обозначим точку касания ω с отрезком BC через R. Рассмотрим отрезки AP и AQ. С одной стороны, они равны. С другой стороны, BR=BP и CR=CQ, поэтому AP+AQ=AB+BP+CQ+AC=AB+BC+AC. Следовательно, длины отрезков AP и AQ равны половине периметра треугольника ABC. Обозначим середины отрезков AB и AC через M и N соответственно. Отметим точки X' и Y' на прямой MN так, что X'M=MA и Y'N=NA (см. рис. 1). Заметим, что длина отрезка X'Y' также равна половине периметра треугольника ABC, то есть AP=X'Y'. Но X'M=MA, откуда MY'=MX'. Следовательно, треугольники AX'M и PMY' равнобедренные, откуда AX'PY' — равнобокая трапеция. Как известно, равнобокую трапецию можно вписать в окружность, поэтому точка P лежит на описанной окружности γ треугольника AX'Y'. Аналогично точка Q лежит на γ, поэтому γ описана около треугольника PAQ. Следовательно, X' = X, Y' = Y и XY = 1/2.
Решение 2. Отметим точку I — центр окружности ω. Поскольку ∠API = ∠AQI = 90°, то точки A, P, I, Q лежат на одной окружности γ, построенной на отрезке AI как на диаметре. Обозначим через M и N середины отрезков AB и AC соответственно, а за X' и Y' — точки пересечения прямых BI и CI с прямой MN соответственно. Докажем, что X' и Y' лежат на γ. Заметим, что углы PBI и MBX' равны как вертикальные, углы CBI и MX'B равны, так как прямые BC и MN параллельны. Но BI — биссектриса угла PBC, поэтому ∠MBX' = ∠MX'B, то есть треугольник BMX' равнобедренный и BM = MX'. В треугольнике ABX' медиана X'M равна половине стороны, поэтому этот треугольник прямоугольный с прямым углом X'. Таким образом, ∠AX'I = 90°, то есть X' лежит на γ, поэтому X' = X. Аналогично треугольник ACY' прямоугольный и Y' = Y. Тогда XY = XM + MN + NY = 1/2.
Решение 3. В обозначениях предыдущего решения обозначим через a, b и c половины длин сторон BC, AC и AB соответственно, а через x и y — длины отрезков MX и NY соответственно. Запишем степени точек M и N относительно γ двумя способами: MX · MY = MA · MP, NY · NX = NA · NQ. Вычтем второе уравнение из первого: a x - a y = a c - a b ⇔ y = x + b - c. Подставим в первое уравнение системы: x(a + y) = c(a + b) ⇔ x² + x(a + b - c) - c(a + b) = 0. По теореме Виета у полученного квадратного уравнения относительно x два корня: c и - (a + b). Так как x положительно, то x = c. Аналогично y = b. Отсюда XY = a + b + c = 1/2.
Решение 4. Как и во втором решении, заметим, что окружность γ построена на AI как на диаметре. Обозначим через ω' образ окружности ω при гомотетии с центром A и коэффициентом 1/2. Поскольку AI — диаметр γ, то окружности γ и ω' имеют общий центр. При той же гомотетии треугольник ABC переходит в треугольник AMN, поэтому ω' будет касаться прямых AP, AQ и XY. Таким образом, XY, AP и AQ — три хорды окружности γ, касающиеся концентрической окружности ω'. Значит, их длины равны. Как доказано в первом решении, длина отрезка AP равна половине периметра треугольника ABC, поэтому и длина XY равна половине периметра, то есть 1/2.
Ответ: 1/2