t-tech/T-math huggingface dataset:
Задача: На острове живут два племени: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды 80 человек сели за круглый стол, и каждый из них заявил: «Среди 11 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, есть хотя бы 9 лжецов». Сколько рыцарей сидит за круглым столом? Укажите все возможные варианты.
Ответ: 20
Задача: У Веры есть набор различных по массе гирь, каждая из которых весит целое число грамм. Известно, что самая лёгкая гиря набора весит в 71 раз меньше, чем все остальные гири вместе взятые. Также известно, что две самые лёгкие гири набора вместе весят в 34 раза меньше, чем все остальные гири вместе взятые. Какое наименьшее число грамм может весить самая лёгкая гиря?
Ответ: 35
Задача: На координатной плоскости отметили все точки (x, y) такие, что x и y — целые числа, удовлетворяющие неравенствам 0 ≤ x ≤ 2 и 0 ≤ y ≤ 26. Сколько существует прямых, проходящих ровно через 3 отмеченные точки?
Ответ: 365
Задача: На стороне AC треугольника ABC отмечены точки M и N (M лежит на отрезке AN). Известно, что AB = AN, BC = MC. Описанные окружности треугольников ABM и CBN пересекаются в точках B и K. Сколько градусов составляет угол AKC, если ∠ABC = 64°?
Ответ: 122
Задача: Вася заменил в двух числах одинаковые цифры одинаковыми буквами, разные – разными. Получилось, что число ВАЗА делится на 8, а ТОПАЗ делится на 20. Найдите две последние цифры суммы ВАЗА + ТОПАЗ.
Ответ: 88
Задача: Вася заменил в двух числах одинаковые цифры одинаковыми буквами, разные – разными. Получилось, что число ОБЛАКО делится на 4, а КУСОК делится на 36. Найдите две последние цифры суммы ОБЛАКО + КУСОК.
Ответ: 32
Задача: Дан параллелограмм \(ABCD\), \(\angle D = 100^\circ\), \(BC = 24\). На стороне \(AD\) есть такая точка \(L\), что \(\angle ABL = 50^\circ\), \(LD = 8\). Найдите длину \(CD\).
Ответ: 16
Задача: Дан параллелограмм \(ABCD\), \(\angle D = 140^\circ\), \(BC = 36\). На стороне \(AD\) есть такая точка \(L\), что \(\angle ABL = 70^\circ\), \(LD = 12\). Найдите длину \(CD\).
Ответ: 24
Задача: В лес за грибами ходили четыре мальчика и три девочки. Каждый нашёл несколько грибов, всего они собрали 70 штук. Никакие две девочки не собирали поровну, а любые трое мальчиков принесли вместе не менее 43 грибов. У любых двоих детей число собранных грибов отличалось не более чем в 5 раз. Маша собрала больше всех из девочек. Сколько она принесла грибов?
Ответ: 5
Задача: В лес за грибами ходили четыре мальчика и три девочки. Каждый нашёл несколько грибов, всего они собрали 70 штук. Никакие две девочки не собирали поровну, а любые трое мальчиков принесли вместе не менее 43 грибов. У любых двоих детей число собранных грибов отличалось не более чем в 5 раз. Маша собрала меньше всех из девочек. Сколько она принесла грибов?
Ответ: 3
Задача: В лес за грибами ходили четыре мальчика и три девочки. Каждый нашёл несколько грибов, всего они собрали 61 штук. Никакие две девочки не собирали поровну, а любые трое мальчиков принесли вместе не менее 34 грибов. У любых двоих детей число собранных грибов отличалось не более чем в 3 раза. Маша собрала больше всех из девочек. Сколько она принесла грибов?
Ответ: 6
Задача: В лес за грибами ходили четыре мальчика и три девочки. Каждый нашёл несколько грибов, всего они собрали 61 штук. Никакие две девочки не собирали поровну, а любые трое мальчиков принесли вместе не менее 34 грибов. У любых двоих детей число собранных грибов отличалось не более чем в 3 раза. Маша собрала меньше всех из девочек. Сколько она принесла грибов?
Ответ: 4
Задача: Найдите наибольшее пятизначное число, произведение цифр которого равно 120.
Ответ: 85311
Задача: Найдите наибольшее шестизначное число, произведение цифр которого равно 120.
Ответ: 853111
Задача: Найдите наибольшее шестизначное число, произведение цифр которого равно 280.
Ответ: 875111
Задача: В течение первого полугодия лентяй Паша заставлял себя решать задачи по математике. Каждый день он решал не более 10 задач, а если в какой-нибудь день он решал больше 7 задач, то следующие два дня он решал не более 5 задач в день. Какое наибольшее количество задач Паша мог решить за 7 подряд идущих дней?
Ответ: 52
Задача: В течение первого полугодия лентяй Паша заставлял себя решать задачи по математике. Каждый день он решал не более 10 задач, а если в какой-нибудь день он решал больше 7 задач, то следующие два дня он решал не более 5 задач в день. Какое наибольшее количество задач Паша мог решить за 6 подряд идущих дней?
Ответ: 45
Задача: В течение первого полугодия лентяй Паша заставлял себя решать задачи по математике. Каждый день он решал не более 10 задач, а если в какой-нибудь день он решал больше 7 задач, то следующие два дня он решал не более 5 задач в день. Какое наибольшее количество задач Паша мог решить за 8 подряд идущих дней?
Ответ: 59
Задача: В течение первого полугодия лентяй Паша заставлял себя решать задачи по математике. Каждый день он решал не более 10 задач, а если в какой-нибудь день он решал больше 7 задач, то следующие два дня он решал не более 5 задач в день. Какое наибольшее количество задач Паша мог решить за 9 подряд идущих дней?
Ответ: 66
Задача: Точка \(M\) — середина стороны \(BC\) треугольника \(ABC\), в котором \(AB = 19\), \(AC = 36\), \(BC = 21\). На стороне \(AB\) как на диаметре построена окружность. На этой окружности выбирается произвольная точка \(X\). Какое минимальное значение может принимать длина отрезка \(MX\)?
Ответ: 6.5
Задача: Рома загадал натуральное число, сумма цифр которого делится на 8. Затем прибавил к загаданному числу 2 и снова получил число, сумма цифр которого делится на 8. Найдите наименьшее число, которое мог загадать Рома.
Решение: Если оба числа делятся на 8, то и их разность делится на 8. Если при прибавлении не было перехода через десяток, то сумма цифр отличалась бы на 2, что не делится на 8. Если был переход через десяток, но не было перехода через сотни, то сумма цифр отличалась бы на 9 − 2 = 7, что также не делится на 8. А если был переход через сотни и не было перехода через тысячи, то сумма цифр изменилась бы на 2 · 9 − 2 = 16, что уже делится на 8.

Чтобы был переход через сотни при прибавлении двойки, последние две цифры должны быть 98 или 99. Теперь найдём в каждом из случаев минимальное число с суммой цифр, кратной 8. Это числа 798 и 699; понятно, что 699 меньше (и оно, очевидно, подходит под условие).

Осталось заметить, что если бы при прибавлении 2 происходил переход через разряд тысяч или более, то исходное число было бы не меньше 998, а найденное число уже меньше.
Ответ: 699
Задача: Диагонали четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(K\). Оказалось, что \(AB = BK = KD\). На отрезке \(KC\) отметили такую точку \(L\), что \(AK = LC\). Найдите \(\angle BLA\), если известно, что \(\angle ABD = 52^\circ\) и \(\angle CDB = 74^\circ\).
Решение: Треугольник \(ABL\) равен треугольнику \(KDC\) (\(AL = KC\), \(AB = KD\) и \(\angle BAK = \angle BKA = \angle DKC\)). Имеем 

\[ 
\begin{aligned} 
\angle BLA & = 180^\circ - \angle BAL - \angle ABL = 180^\circ - \frac{180^\circ - \angle ABD}{2} - \angle CDB = \\ 
& = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle ABD - \angle CDB = 42^\circ. 
\end{aligned} 
\]
Ответ: 42
Задача: Вдоль аллеи в один ряд высадили клёны и лиственницы, всего 75 деревьев. Известно, что нет двух клёнов, между которыми растёт ровно 5 деревьев. Какое наибольшее количество клёнов могло быть высажено вдоль аллеи?
Решение: Разобьём все деревья на группы по 12 стоящих подряд. Будет 6 полных групп и ещё 3 дерева в конце. В каждой группе деревья разобьём на 6 пар: первое с седьмым, второе с восьмым, ..., шестое с двенадцатым. Заметим, что между деревьями в одной паре ровно 5 других деревьев, а значит, в этой паре максимум один клён. Получаем, что в каждой группе из 12 подряд стоящих деревьев не более 6 клёнов, следовательно, всего не более 6 · 6 + 3 = 39 клёнов. Осталось показать, что 39 клёнов можно было высадить. Будем чередовать группы из 6 клёнов с группами из 6 лиственниц; в конце высадим группу из трёх клёнов. Тогда понятно, что между двумя клёнами в одной группе будет не более 4 деревьев, а между двумя клёнами из разных групп не менее 6.
Ответ: 39
Задача: Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Известно, что $\angle ADB = 48^\circ$, $\angle BDC = 56^\circ$. Внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $X$ так, что $\angle BCX = 24^\circ$, а луч $AX$ является биссектрисой угла $BAC$. Найдите угол $CBX$.
Решение: Углы $BDC$ и $BAC$ равны, так как опираются на одну дугу. Аналогично, равны углы $ADB$ и $ACB$. Тогда

$\angle ACX = \angle ACB - \angle XCB = \angle ADB - \angle XCB = 48^\circ - 24^\circ = 24^\circ = \angle XCB$

Получаем, что $CX$ — биссектриса угла $ACB$, поэтому $X$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$.

Теперь нетрудно найти искомый угол:

$\angle CBX = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - \angle BAC - \angle ACB}{2} = \frac{180^\circ - 56^\circ - 48^\circ}{2} = 38^\circ$
Ответ: 38
Задача: На прямой отметили две красные точки и несколько синих. Оказалось, что одна из красных точек содержится ровно в 56 отрезках с синими концами, а другая — в 50 отрезках с синими концами. Сколько синих точек отмечено?
Решение: Пусть слева от первой красной точки находится a синих точек, а справа — b синих точек; слева от второй красной точки — c синих точек, а справа — d синих точек. Тогда ab = 56, cd = 50. Кроме этого, a + b = c + d — количество синих точек.
Заметим, что среди чисел с и d ровно одно является чётным, так как число 50 делится на 2, но не делится на 4. Получается, что среди чисел а и b тоже ровно одно чётное. Есть ровно два способа представить 56 в виде произведения чётного на нечётное: 56 = 8 · 7 и 56 = 56 · 1.

В первом случае подходят c = 10, d = 5. В качестве примера можно поставить на прямой 5 синих точек, потом красную, потом ещё 3 синих, потом ещё красную и в конце ещё 7 синих.

Во втором случае общее количество синих точек равно 57. Тогда остаётся лишь понять, что следующая система уравнений не имеет целых решений:

\[
\begin{cases}
c + d = 57, \\
cd = 50.
\end{cases}
\]

Можно проверить, что квадратный трёхчлен \( t^2 - 57t + 50 = 0 \), корнями которого по теореме Виета должны быть числа c и d, не имеет пары натуральных решений (например, достаточно убедиться, что его значения при t = 0 и t = 1 имеют разные знаки, то есть один из корней лежит на интервале (0; 1)).

Альтернативно, можно просто перебрать разложения числа 50 на множители c и d.
Ответ: 15
Задача: Многочлен P(x) с вещественными коэффициентами имеет степень 10^{5}, а его старший коэффициент равен 1. Найдите наименьшую возможную степень многочлена R(x) = P(x^{1000} + 1) - P(x)^{1000}.
Решение: Обозначим n=1000, k=100, то есть степени рассматриваемых многочленов P равны n k. Лемма. Существует единственный многочлен P степени n k (со старшим коэффициентом 1) такой, что степень полученного многочлена R будет меньше, чем p k(n-1). Доказательство. Запишем наш многочлен как P(x)=x^{n k}+p_{1} x^{n k-1}+p_{2} x^{n k-2}+…+p_{n k}. Обозначим F(x)=P(x^{n}+1) и G(x)=P(x)^{n}; это — многочлены степени n^{2} k со старшим коэффициентом 1. В многочлене F(x) коэффициент p_{j} участвует лишь в членах степени, не большей n(n k-j). Значит, для любого i=1,2, …, n k коэффициент при x^{n^{2} k-i} в многочлене F(x) зависит лишь от коэффициентов p_{j} при j ≤ i / n<i. С другой стороны, коэффициент при этой же степени в G(x) есть n p_{i}+A, где A зависит лишь от коэффициентов p_{j} при j<i. Если мы хотим, чтобы степень R была меньше, чем n k(n-1), то эти коэффициенты должны быть равны; это равенство даёт однозначное выражение p_{i} через p_{1}, p_{2}, …, p_{i-1} (в частности, p_{1} находится единственным образом). Значит, из этих равенств по очереди находятся все коэффициенты многочлена P(x). Теперь достаточно предъявить многочлен P(x) такой, что степень R окажется меньше, чем n k(n-1) — по лемме, он единственный, и он и даст минимальную степень R. Положим P(x)=(x^{n}+1)^{k}. Тогда многочлен R(x) =((x^{n}+1)^{n}+1)^{k}-(x^{n}+1)^{n k}= =k ·(x^{n}+1)^{n(k-1)}+C_{k}^{2}(x^{n}+1)^{n(k-2)}+… имеет степень всего лишь n^{2}(k-1)<n k(n-1). Значит, наименьшая возможная степень R и есть n^{2}(k-1)=99 · 10^{6}.
Ответ: 99 · 10^{6}
Задача: Десятизначные натуральные числа a, b, c таковы, что a + b = c. Какое наибольшее количество из 30 их цифр могут оказаться нечётными?
Решение: Заметим, что если a + b = c, то все три числа a, b, c не могут оказаться одновременно нечётными. Следовательно, среди них есть как минимум одно чётное число, и последняя цифра этого числа также будет чётной. Таким образом, среди 30 цифр есть как минимум одна чётная, а нечётных — не более 29. Пример 1 999 999 999 + 1 111 111 111 = 3 111 111 110, показывает, что среди 30 цифр могут оказаться ровно 29 нечётных.
Ответ: 29
Задача: Биссектрисы треугольника $A B C$ пересекаются в точке $I$, внешние биссектрисы его углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $J$. Окружность $\omega_{b}$ с центром в точке $O_{b}$ проходит через точку $B$ и касается прямой $C I$ в точке $I$. Окружность $\omega_{c}$ с центром в точке $O_{c}$ проходит через точку $C$ и касается прямой $B I$ в точке $I$. Отрезки $O_{b} O_{c}$ и $I J$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $I K / K J$.
Решение: Проведём в окружности $\omega_{b}$ диаметр $I X$, а в окружности $\omega_{c}$ — диаметр $I Y$. Заметим, что $\angle I B J=90^{\circ}=$ $=\angle I C J$, поскольку внутренняя и внешняя биссектриса угла перпендикулярны. Следовательно, точка $X$ лежит на $B J$, а точка $Y$ — на $CJ$ (см. рис. 1). Кроме того, $IX \perp IC$, поскольку $\omega_b$ касается $IC$ в точке $I$, поэтому $IX \parallel CJ$. Аналогично, $IY \parallel BJ$. Итого, четырёхугольник $IXJY$ — параллелограмм, пусть его диагонали пересекаются в точке $M$. Тогда $IM = MJ$, а отрезок $O_bO_j$ — средняя линия треугольника $IXY$, поэтому точка $K$ — середина отрезка $IM$. Таким образом, $IK = IM/2 = IJ/4$, откуда следует, что $IK/KJ = 1/3$.
Обозначим через $N$ середину дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$ треугольника $ABC$, а через $S$ — середину другой её дуги $BC$. Пусть луч $NI$ вторично пересекает $\Omega$ в точке $P$ (см. рис. 2). Поскольку $SN$ — диаметр окружности $(ABC)$, то $\angle NPS = 90^\circ$.

По известной лемме о трезубце имеем $SI = SC = SJ$, в частности, $S$ — середина отрезка $IJ$. Поскольку $\angle BAC = \angle BNC$ и $BN = NC$, то $\angle NBC = \angle NCB = \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB$.

Продлим луч $CI$ до пересечения с $AB$ в точке $L$. Так как $\angle L I B$ внешний для треугольника $B I C$, а также четырёхугольник $B N C P$ — вписанный, мы получаем, что $\angle L I B=$ $=\angle I B C+\angle I C B=\frac{1}{2} \angle A B C+\frac{1}{2} \angle A C B=\angle N C B=\angle I P B$, поэтому окружность $(I B P)$ касается прямой $C I$ в точке $I$. Также эта окружность проходит через $B$, следовательно, это и есть окружность $\omega_{b}$. Аналогично, окружность $\omega_{c}$ описана около треугольника $I P C$.

Значит, $I P$ — общая хорда окружностей $\omega_{b}$ и $\omega_{c}$, а тогда $O_{b} O_{c}$ — серединный перпендикуляр к отрезку $I P$. Поскольку к тому же $\angle I P S=90^{\circ}$, мы получаем, что $O_{1} O_{2}$ проходит через середину отрезка $I S$, то есть $K I=K S$, а тогда $I K / K J=1 / 3$.
Ответ: 1/3
Задача: Дана клетчатая прямоугольная таблица. Известно, что существует:
- ровно 940 способов вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник \(1 	imes 2\);
- ровно 894 способа вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник \(1 	imes 3\).

Сколько существует способов вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник \(1 	imes 5\)?

При подсчёте количества способов вырезания прямоугольника учитываются и вертикальные, и горизонтальные расположения.
Решение: Пусть в таблице \(a\) строк и \(b\) столбцов. Не нарушая общности, \(a \leq b\). Ясно, что хотя бы одно из чисел \(a\) и \(b\) не меньше 2.
- Предположим, \(a = 1\). Тогда из таблицы \(1 	imes b\) вырезать прямоугольник \(1 	imes 2\) можно \(b - 1 = 940\) способами, а вырезать прямоугольник \(1 	imes 3\) можно \(b - 2 = 894\) способами. Ясно, что таких значений \(b\) не существует.
- Предположим, \(b \geq a \geq 2\). Тогда из таблицы \(a 	imes b\) вырезать прямоугольник \(1 	imes 2\) можно \(a(b - 1) + b(a - 1)\) способами, а прямоугольник \(1 	imes 3\) можно вырезать \(a(b - 2) + b(a - 2)\) способами. Следовательно, \(a(b - 1) + b(a - 1) = 940\) и \(a(b - 2) + b(a - 2) = 894\). Вычитая из первого равенства второе, получаем \(a + b = 46\). Из этого следует, что \(ab = 493\). По обратной теореме Виета числа \(a\) и \(b\) являются корнями трёхчлена \(x^2 - 46x + 493 = (x - 17)(x - 29)\), поэтому \(a = 17\) и \(b = 29\). Вырезать прямоугольник \(1 	imes 5\) из таблицы \(17 	imes 29\) можно ровно \(17 \cdot 25 + 13 \cdot 29 = 802\) способами.
Ответ: 802
Задача: Несколько сладкоежек приняли участие в состязании по поеданию конфет. Каждый участник съел целое количество конфет, причём любые два участника съели разное количество конфет. Подводя итоги состязания, жюри упорядочило всех людей по убыванию количества съеденных конфет (например, победитель съел больше всего конфет, а человек, занявший последнее место, съел меньше всего конфет).

Известно, что:
• победитель съел в 14 раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые;
• участник, занявший третье место, съел в 20 раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые;
• участник, занявший последнее место, съел в 21 раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые.
Сколько сладкоежек участвовало в состязании?
Решение: Пусть всего было n сладкоежек, и суммарно они съели S конфет. Из условия следует, что победитель съел S/15 конфет, человек на третьем месте — S/21 конфет, человек на последнем месте — S/22 конфет.
Все участники, кроме последнего, съели больше S/22 конфет. Значит, S > n · S/22, откуда получаем n < 22, то есть n ≤ 21.
Человек на втором месте съел менее S/15 конфет, а все участники на местах с третьего по n-е съели не более S/21 конфет. Значит, S < 2 · S/15 + (n−2) · S/21, откуда получаем 1 < 2/15 + (n−2)/21. Поэтому n − 2 > 21 · 13/15 > 18, то есть n ≥ 21. Значит, n = 21.
Также для n = 21 можно привести пример. Пусть 1-й сладкоежка съел 924 конфеты, 2-й — 783 конфеты, 3-й — 660 конфет, с 4-го по 21-го — с 647 по 630 конфет соответственно (суммарно съедено 13860 конфет). Несложно проверить, что все условия задачи выполняются.
Ответ: 21
Задача: На острове живёт 23 рыцаря и 200 лжецов; имена всех жителей различны. Знающий об этом приехавший турист попросил каждого из 223 жителей написать на листке 200 имён лжецов. Каждый рыцарь написал верно 200 имён лжецов, а каждый лжец написал произвольный список из 200 имён, в котором точно нет его собственного имени. Какое наибольшее количество лжецов турист сможет гарантированно определить по этим данным?
Решение: Для начала приведём стратегию для лжецов, позволяющую гарантированно вычислить не больше 16 из них. Назовём рыцарей \(R_1, R_2, \ldots, R_{23}\), а лжецов — \(L_1, L_2, \ldots, L_{200}\). Все рыцари укажут в своих списках \(L_1, L_2, \ldots, L_{200}\). Пусть для каждого целого \(0 \leq i \leq 7\) группа лжецов \(L_{23i+1}, L_{23i+2}, \ldots, L_{23i+23}\) укажет в своих списках \(R_1, R_2, \ldots, R_{23}\), а также всех лжецов, кроме самих \(L_{23i+1}, L_{23i+2}, \ldots, L_{23i+23}\). А 16 лжецов \(L_{185}, L_{186}, \ldots, L_{200}\) укажут в своём списке \(R_1, R_2, \ldots, R_{23}, L_1, L_2, \ldots, L_{177}\). Турист, увидев полученные списки, не сможет гарантированно вычислить ни одного лжеца среди \(L_1, L_2, \ldots, L_{184}\) (это и означает, что он вычислит не более 16 лжецов). Действительно, если бы вдруг турист заявил, что \(L_k\) — лжец, то он мог бы ошибиться: группа из 23 человек, в которую входил \(L_k\), вполне могла полностью состоять только из рыцарей, которые в своих списках одинаково указали на всех остальных людей, которые вполне могли оказаться лжецами.

Теперь поймём, почему турист всегда сможет вычислить хотя бы 16 лжецов. Факт того, что человек указывает в списке 200 имён предполагаемых лжецов равносилен тому, что он называет рыцарями оставшихся 23 человек (включая себя). Все 23 рыцаря заведомо называют рыцарями друг друга. Заметим, что если некоторый человек \(A\) назовёт рыцарями группу из 23 человек, не все из которых называют рыцарями эту же группу людей, то \(A\) — точно лжец (если бы он был рыцарем, то все названные им люди тоже были бы рыцарями, а тогда бы они назвали рыцарями эту же группу). Групп из 23 человек, называющих рыцарями друг друга, не больше 9 (ведь \(10 \cdot 23 > 223\)), и они не пересекаются. Следовательно, турист точно может гарантировать, что оставшиеся люди, не входящие в такие группы, являются лжецами. И таких людей хотя бы \(223 - 9 \cdot 23 = 16\).
Ответ: 16
Задача: По кругу выписаны 12 различных натуральных чисел, одно из которых равно 1. Любые два соседних числа отличаются либо на 10, либо на 7. Какое наибольшее значение может принимать наибольшее выписанное число?
Решение: Пронумеруем для удобства все числа по кругу по часовой стрелке, начиная с числа 1: \(a_1 = 1\), \(a_2\), ..., \(a_{12}\). Заметим, что для всех \(1 \leq i \leq 6\) верно

\[a_{i+1} - a_1 = (a_{i+1} - a_i) + (a_i - a_{i-1}) + \ldots + (a_2 - a_1) \leq 10i,\] 

\[a_{13-i} - a_1 = (a_{13-i} - a_{14-i}) + \ldots + (a_{12} - a_1) \leq 10i,\] 

поэтому \(a_7\) не превосходит \(1 + 6 \cdot 10 = 61\), а все остальные числа не превосходят \(1 + 5 \cdot 10 = 51\). 

Если \(a_7 = 61\), то все разности \(a_2 - a_1\), \(a_3 - a_2\), ..., \(a_7 - a_6\), \(a_7 - a_8\), \(a_8 - a_9\), ..., \(a_{12} - a_1\) равны 10, но тогда \(a_2 = a_{12} = 11\), противоречие. Значит, \(a_7 < 61\), откуда следует, что \(a_7 \leq 1 + 5 \cdot 10 + 7 = 58\). Итак, наибольшее выписанное число не превосходит 58.

Осталось проверить, что на доске действительно может присутствовать число 58. Пусть по кругу по часовой стрелке выписаны числа 1, 11, 21, 31, 41, 51, 58, 48, 38, 28, 18, 8.

Легко видеть, что все условия задачи выполняются.
Ответ: 58
Задача: В спортивной школе занимается 55 человек, каждый из которых либо теннисист, либо шахматист. Известно, что нет четырёх шахматистов, которые имели бы поровну друзей среди теннисистов. Какое наибольшее количество шахматистов может заниматься в этой школе?
Решение: Пусть в школе занимаются а теннисистов и 55 — а шахматистов. У каждого из шахматистов количество друзей-теннисистов не меньше 0 и не больше а, то есть может принимать а + 1 значений. Если бы шахматистов было больше 3(а + 1), среди них по принципу Дирихле нашлись четверо с одинаковым количеством друзей-теннисистов. Значит, шахматистов не больше 3(а + 1), получаем неравенство 55 — а ≤ 3(а + 1). Решая его, получаем а ≥ 13, тогда 55 — а ≤ 55 — 13 = 42.

Заметим также, что ровно 42 шахматиста могло быть: пусть для каждого целого 0 ≤ k ≤ 13 какие-то трое шахматистов имеют ровно k произвольных друзей-теннисистов.
Ответ: 42
Задача: Дан прямоугольник \( ABCD \). Прямая, проходящая через вершину \( A \) и точку \( K \) на стороне \( BC \), делит весь прямоугольник на две части, площадь одной из которых в 5 раз меньше площади другой. Найдите длину отрезка \( KC \), если \( AD = 60 \).
Решение: Проведём через K прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает сторону AD в точке L (рис. 1), тогда ABKL и DCKL — прямоугольники. Пусть S_{ABK} = S, тогда S_{KLA} = S. Очевидно, что S_{AKCD} = 5S и S_{LKCD} = 5S - S = 4S.

Отношение площадей прямоугольников ABKL и DCKL с общей стороной KL равно отношению сторон BK и CK. Следовательно, \frac{BK}{CK} = \frac{2S}{4S} = \frac{1}{2}, откуда получаем KC = \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40.
Ответ: 40.