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Aufgabe 1. Wieviel reelle Nullstellen hat das Polynom
? Wieviel reelle Nullstellen hat das Polynom ?
Aufgabe 2. Seien und topologische Räume. Eine Abbildung ist stetig, wenn für jede offene Teilmenge des Raumes das Urbild eine offene Teilmenge im Raum ist. Zeige, dass diese Definition der Stetigkeit äquivalent zu der --Definition der Stetigkeit ist, wenn die Räume und metrische Räume sind.
Aufgabe 3. Sei eine Menge. Zwei Distanzen sind topologisch äquivalent, wenn die Topologien der metrischen Räume und gleich sind. Zeige, dass Distanzen topologisch äquivalent sind, wenn der Ausdruck auf nach oben beschränkt ist. Gilt die Umkehrung: für topologisch äquivalente Distanzen ist der Ausdruck nach oben beschränkt?
Aufgabe 4. Sei die Menge aller Folgen in . Wir betrachten auf die Distanzen und . Zeige, dass der topologische Raum zu kompakt ist. Sind die Distanzen und topologisch äquivalent? Untersuche die Identitätsabbildungen von nach für auf Stetigkeit.
Aufgabe 5. Sei der topologische Raum . Zeige, dass topologisch homogen ist. Ist der metrische Raum homogen. Gibt es auf eine Distanz, sodass und topologisch äquivalent sind, und dass der metrische Raum homogen ist? Der topologische Raum heisst Hilbertscher Kubus, nach David Hilbert, geboren am Januar in Königsberg, verstorben am Februar in Göttingen. Er ist gemäss einer Vermutung, dadurch charakterisiert, dass die Topologie von mit einer Distanz definiert ist, und dass kompakt, zusammenziehbar, mehrpunktig und topologisch homogen ist. Diese Vermutung ist eng verbunden mit dem . Problem aus der Liste von Problemen, die D. Hilbert am Internationalen Mathematiker Kongress präsentiert hat.
Aufgabe 6. Sei in das Rechteck . Zeige, dass nur dann gilt, wenn oder eine ganze Zahl ist.
Aufgabe 7. Sei das Rechteck die Vereinigung von endlich vielen Rechtecken derart, dass für jedes die Differenz oder eine rationale Zahl ist und dass gilt . Zeige, dass oder eine rationale Zahl ist.
Aufgabe 8. Die hier folgende BD stammt aus der Antike. Ein Exemplar aus der Zeit um v.Chr. ist auf babylonischen Tontafeln erhalten, auch das ``Schau mal'' steht im Original. Diese BD hat dazu beigetragen, dass der Beweis eines Grundlehrsatzes über Dreiecke mit rechtem Winkel in der damaligen Wissensgesellschaft grosse Bekanntheit genoss.