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Hans Walser, [20161003]
Schlussgerade
Es wird ein Beispiel von kollinearen Punkten vorgestellt.
Auf einem Kreis k wŠhlen wir drei Punkte M1, M2, M3 und einen Punkt P (Abb. 1).
Abb. 1: Punkte auf einem Kreis
Weiter zeichnen wir drei Kreise ki mit Mittelpunkt Mi durch P (Abb. 2).
Abb. 2: Drei Kreise
Dann sind die drei von P verschiedenen paarweisen Schnittpunkte der drei Kreise kollinear (Abb. 3).
Abb. 3: Kollineare Punkte
Wir zeichnen zum Dreieck M1M2M3 die Wallace-Gerade w (frźher als Simson-Gerade bezeichnet) bezźglich P (Abb. 4).
Abb. 4: Wallace-Gerade
Streckung von w von P mit dem Faktor 2 ergibt die Gerade s, auf welcher die drei Schnittpunkte liegen.
Die Wallace-Gerade ist eine genau-dann-Aussage. Auf unseren Fall źbertragen hei§t das folgendes.
Wir beginnen mit drei kollinearen Punkten und einem Punkt Q au§erhalb der TrŠgergeraden der drei kollinearen Punkte. Nun zeichnen wir die drei Kreise durch Q und je zwei der drei kollinearen Punkte.
Dann liegen die drei Mittelpunkte der Kreise und Q auf einem Kreis.
Nun eine Mehrfachanwendung unserer †berlegungen. Auf einem Kreis k wŠhlen wir vier Punkte M1, M2, M3, M4 und einen Punkt P (Abb. 5). Weiter zeichnen wir vier Kreise mit den Mittelpunkten M1, M2, M3, M4 durch P. Von diesen vier Kreisen kšnnen wir auf vier Arten deren drei auswŠhlen. Die jeweils zweiten paarweisen Schnittpunkte jeder der vier Dreierauswahlen sind kollinear. Wir erhalten also vier Geraden.
Abb. 5: Vier blaue Kreise
Nun zur Umkehrung. Wir wŠhlen vier Geraden in allgemeiner Lage. Je drei davon bilden ein Dreieck. Das ist auf vier Arten mšglich, und in jedem der vier Arten zeichnen wir den Umkreis des Dreiecks. Dann kann man mit KreiswinkelsŠtzen zeigen (Walser: Vierkreisepunkt), dass die vier Umkreise einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Wir lassen nun diesen Schnittpunkt die Rolle unseren Punktes P spielen und folgern daraus, dass die Mittelpunkte der Umkreise zusammen mit dem Schnittpunkt auf einem Kreis liegen.
Websites
Hans Walser: Vierkreisepunkt (01.10.2016):