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Um einen ersten Einblick in die Natur der Quantenmechanik zu erlangen betrachten wir zunächst die Wellen- und Teilcheneigenschaften von elektromagnetischer Strahlung und wie diese in unterschiedlichen Experimenten zu Tage treten.
In der klassischen Elektrodynamik wird elektromagnetische Strahlung erfolgreich als Wellenphänomen beschrieben. Die Maxwell-Gleichungen erlauben es eine grosse Anzahl von Beobachtungen akkurat zu erklären. Ein klassisches Beispiel ist die Beugung von Licht an einem Einzelspalt oder die Interferenz von Licht an einem Doppelspalt. Diese Phänomene lassen sich durch die Welleneigenschaften von elektromagnetischer Strahlung vollständig beschreiben. In diesem Kapitel werden wir anhand einiger Beispiele noch einmal diskutieren unter welchen experimentellen Bedingungen Welleneigenschaften von Licht zu Tage treten. Diese Betrachtungen sind mitunter auch deswegen nützlich, da wir in späteren Kapiteln die Welleneigenschaften von Materie, die in ähnlichen Experimenten zum Vorschein kommen, betrachten werden.
Unter bestimmten experimentellen Bedingungen zeigt elektromagnetische Strahlung jedoch Eigenschaften, die sich nicht mehr mit klassischem Elektromagnetismus im Wellenbild erklären lassen. Zum Beispiel zeigt sich, dass die Energie, die von einer elektromagnetischen Welle transportiert wird, in Einheiten von einzelnen Photonen quantisiert ist. Des Weiteren kann man beobachten, dass diese Teilchen des Lichts, obwohl sie masselos sind, ebenfalls einen Impuls tragen.
Welche dieser Eigenschaften des Lichts nun beobachtet werden hängt sehr spezifisch von den Bedingungen ab unter welchen Experimente mit Licht durchgeführt werden.
Zur Einführung betrachten wir anhand eines generischen experimentellen Aufbaus zur Untersuchung der Eigenschaften von Licht (siehe Abb. 1.1) verschiedene Bedingungen, unter denen Wellen- oder Teilcheneigenschaften von Licht zu beobachten sind.
Der Aufbau besteht zunächst aus einer häufig als punktförmig approximierten Lichtquelle, die Licht der Wellenlänge (Frequenz ) mit einer Intensität (Leistung pro Fläche) isotrop in alle Richtungen des Raumes aussendet. Befindet sich die Lichtquelle im Brennpunkt einer Sammellinse der Brennweite , so lässt sich das Licht hinter der Linse in guter Näherung als ebene elektromagnetische Welle beschreiben. Häufig wird dann die Wechselwirkung des so erzeugten Lichts mit einem Objekt von Interesse untersucht. Dieses Objekt könnte zum Beispiel ein Doppelspalt sein oder auch ein einfaches kugelförmiges Objekt mit Durchmesser und Masse . Nach der Wechselwirkung mit dem Objekt wird meist das Licht mit einem Schirm, oder einem anders gearteten Detektor, aufgefangen und die Intensität der detektierten Strahlung als Funktion des Ortes dargestellt.
Bei der Durchführung und Interpretation von Experimenten dieser Art sind die experimentellen Bedingungen, die mitunter starken Einfluss auf die beobachtbaren physikalischen Phänomene haben, ausschlaggebend.
Zunächst werden wir anhand der Beugung am Einzelspalt (Abschnitt 1.1) und Doppelspalt (Abschnitt 1.2) das Verständnis der Welleneigenschaften des Lichts vertiefen.
Wir untersuchen als erstes die Beugung einer elektromagnetischen Welle am Einzelspalt. Dabei betrachten wir den Fall, dass die Wellenlänge des Lichts ähnlich der Breite des Einzelspalts ist. Das Ganze betrachten wir in der Fraunhofer-Näherung [1], d.h. wir nehmen an, dass die Abstände zwischen Lichtquelle und Beugungsobjekt, sowie zwischen Beugungsobjekt und Beobachtungsebene (Schirm) viel grösser sind als die Spaltbreite , so dass einfallende und gebeugte Wellenfront als eben angesehen werden können. Wir können also in unseren Berechnungen von ebenen Wellen ausgehen. In der Praxis lässt sich dies am einfachsten dadurch erreichen, dass man eine Punktquelle in den Brennpunkt einer Sammellinse bringt und das Beugungsbild in der Brennebene einer zweiten Sammellinse registriert. Von einer solchen Anordnung (siehe Abb. 1.2) gehen wir in den folgenden Berechnungen aus.
Auf den Einzelspalt der Breite trifft eine ebene elektromagnetische Welle mit einer elektrischen Feldstärke der Form
wobei der Nullpunkt in der Ebene des Einzelspalts gewählt wird und die Amplitude, die Kreisfrequenz und die Wellenzahl des Lichts bezeichnen.
Wir berechnen nun die Amplitude der elektrischen Feldstärke und die
Intensität des elektromagnetischen Feldes im Beobachtungspunkt P. Der
Beobachtungspunkt P befindet sich dabei wie erwähnt in der Brennebene einer
Sammellinse. Somit werden im Beobachtungspunkt P alle Parallelstrahlen, die von
allen Punkten der Wellenfront des Einzelspalts ausgehen, fokussiert. Nach dem
Huygens-Prinzip3
sind diese Strahlen Teile von Elementarwellen, die von jedem Punkt des Einzelspalts
ausgehen und in P entsprechend dem Superpositionsprinzip interferieren. Die Quellen
dieser Elementarwellen (Huygens-Wellen) sind entlang des Einzelspalts kontinuierlich
verteilt.
Der Beitrag einer Elementarwelle, die vom Punkt ausgeht, zur elektrischen Feldstärke im Punkt P beträgt
wobei die Amplitude der elektrischen Feldstärke der einfallenden ebenen Welle ist und der optische Weg zwischen O und P. Verglichen mit dem Weg zwischen O (Spaltmitte) und P, ist in der besagten Näherung um den Gangunterschied grösser. Ausgedrückt in Abhängigkeit des Beugungswinkels und der Koordinate am Spalt ergibt sich für den Gangunterschied
Somit ergibt sich
Die gesamte elektrische Feldstärke im Punkt P ergibt sich dann durch Integration über alle Teilwellen des Einzelspalts
wobei
gerade der Phasendifferenz zwischen dem Strahl aus der Mitte und einem Strahl vom Rand des Einzelspalts entspricht oder in anderen Worten ist die Phasendifferenz zwischen den Randstrahlen.
Die physikalische elektrische Feldstärke entspricht dem Realteil dieser Funktion. Daher erhalten wir für die elektrische Feldstärke im Beobachtungspunkt P
Die Intensität ergibt sich durch zeitliche Mittelung des Quadrats der elektrischen Feldstärke über die Periode der Oszillation der Feldstärke
Die Intensität und die elektrische Feldstärke zeigen in Abhängigkeit von folgende Charakteristiken (siehe Abb. 1.3):
Das Hauptmaximum tritt bei auf. Dabei nimmt die elektrische Feldstärke und die Intensität jeweils den Wert ihrer Amplituden bzw. an.
Die Minima treten bei den Nullstellen von auf, d.h. wenn ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Wir erhalten somit die folgende Bedingung für die Beugungsminima unter dem Winkel
Dies entspricht genau der Bedingung, dass der Gangunterschied zwischen den Rändern des gebeugten Strahls einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge entspricht.
Die Nebenmaxima folgen aus der Bedingung
Daraus ergibt sich folgende transzendente Gleichung, die z.B. graphisch gelöst werden kann
Das Hauptmaximum befindet sich genau in der Mitte von zwei Minima gleicher Ordnung. Hingegen beobachtet man, dass die Nebenmaxima nicht genau in der Mitte zwischen den benachbarten Minima zu liegen kommen. Die numerische Lösung der transzendenten Gleichung (1.11) ergibt jedoch, dass mit zunehmendem die Nebenmaxima immer näher in die Mitte rücken: Für das erste Nebenmaximum erhält man statt für die Mitte, beim zweiten statt , beim dritten statt , usw..
Das Beugungsmuster (elektrische Feldstärke und Intensität) lässt sich auch durch die Fourier-Transformation der Spaltfunktion bestimmen. Für genauere Ausführungen wird auf weiterführende Literatur verwiesen [1].
Auch bei der Beugung am Doppelspalt (siehe Abb. 1.4) soll gelten, dass die Wellenlänge des Lichts ähnlich der Breite der Einzelspalte ist. Weiter betrachten wir das Ganze wiederum in der Fraunhofer-Näherung, d.h. wir nehmen an, dass die Abstände zwischen Lichtquelle und Beugungsobjekt, sowie zwischen Beugungsobjekt und Beobachtungsebene (Schirm) viel grösser sind als die Einzelspaltbreite und der Abstand zwischen den Einzelspalten . Daher können wir wiederum von ebenen Wellen ausgehen.
Ausgehend von den Resultaten zur Beugung am Einzelspalt, bestimmen wir nun wiederum die elektrische Feldstärke und die Intensität auf dem Schirm.
Die elektrische Feldstärke für den Doppelspalt erhalten wir durch Addition der elektrischen Feldstärken der Einzelspalte unter Berücksichtigung der entsprechenden Phasenverschiebungen. Abb. 1.4 entnehmen wir, dass alle Wellen, die von dem bei gelegenen oberen Einzelspalt ausgehen, einen um geringeren optischen Weg gegenüber eines fiktiven Einzelspalts bei zurücklegen. Damit erhält die gesamte vom oberen Einzelspalt ausgehende elektrische Feldstärke eine zusätzliche Phase von
Daher erhalten wir
wobei die elektrische Feldstärke des Einzelspalts ist. Analog erhalten wir für die elektrische Feldstärke des unteren Einzelspalts
Daraus ergibt sich unter Verwendung von Gl. (1.7) für die elektrische Feldstärke des Doppelspalts
Die Intensität für den Doppelspalt ergibt sich (analog zur Berechnung für den Einzelspalt) durch zeitliche Mittelung des Quadrats der elektrischen Feldstärke über die Periode der Oszillation der Feldstärke
wobei der beim Beugungswinkel gemessene Wert für den Einzelspalt ist.
Die Intensität und die elektrische Feldstärke zeigen in Abhängigkeit von folgende Charakteristiken (siehe Abb. 1.5):
Wir führen als erstes zwei neue Begriffe ein. Dazu schreiben wir die elektrische Feldstärke und die Intensität in der Form
wobei als Spaltfaktor und als Strukturfaktor bezeichnet werden. Die Quadrate der beiden Grössen heissen Spaltfunktion bzw. Strukturfunktion. Die Strukturfunktion hängt nur vom Abstand und nicht von der Breite der Einzelspalte ab. Betrachtet man nur die Grösse ohne die Spaltfunktion dann entspricht dieser Ausdruck der Intensitätsverteilung, falls von den beiden Einzelspalten nur jeweils eine Elementarwelle ausgehen würde. Dies ist der Fall beim sogenannten Youngschen Doppelspaltversuch. Bei einem Doppelspalt mit endlichen Breiten treten auch Interferenzen zwischen den Elementarwellen eines Einzelspalts auf. Diese werden durch die Spaltfunktion berücksichtigt.
Doppelspaltmaxima treten unter der Bedingung auf. D.h. für den Beugungswinkel bei den Maxima gilt
Für die Winkel der Einzelspaltminima gilt nach Gl. (1.9):
Fallen nun die Winkel für ein Doppelspaltmaxima und ein Einzelspaltminima zusammen, dann wird das entsprechende Maximum unterdrückt. Aus (1.19) und (1.20) ergibt sich als Bedingung für fehlende Beugungsmaxima
Da und ganzzahlig sind, kommt es somit zur Auslöschung von Doppelspaltmaxima für rationale Verhältnisse von Einzelspaltbreite und Einzelspaltabstand . In unserem Beispiel in Abb. 1.5 () werden somit die Ordnungen , , , ... unterdrückt.
Falls nun ist gilt nach (1.21) und es werden somit bis auf alle Doppelspaltmaxima unterdrückt. Dies ist so zu verstehen, dass für die beiden Einzelspalte der Breite zu einem Einzelspalt der Breite vereinigt werden und nur das Beugungsbild eines Einzelspalts beobachtbar ist.
Doppelspaltminima treten unter der Bedingung auf. D.h. für den Beugungswinkel bei den Minima gilt
Hier nochmals die wichtigsten Resultate für die Beugung am Einzel- und Doppelspalt in der Übersicht:
Einzelspalt (siehe Abb. 1.2)
Doppelspalt (siehe Abb. 1.4)
: Spaltfaktor, : Strukturfaktor.
Unterdrückt durch Einzelspaltminima falls