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Travaux en mathématiquesIl a fait des découvertes majeures dans plusieurs domaines des mathématiques, en particulier en topologie.
C'est avant même de terminer ses études à Moscou que Pontriagine obtiendra ses résultats sur la dualité d'Alexander. Il dresse alors les bases nécessaires à la généralisation de la théorie de la transformée de Fourier en étudiant les caractères des groupes topologiques commutatifs. On parle depuis lors de la dualité de Pontryagin. En topologie, il a formulé le problème fondamental du cobordisme. Cela conduit à l'introduction dans les années 1940, de la théorie des classes caractéristiques (dont certaines portent le nom de classes de Pontryagin) conçues pour s'annuler sur une variété qui une frontière.
Plus tard dans sa carrière, à partir de 1952, il re-oriente ses recherches sur la théorie du contrôle optimal et des équations différentielles. Le principe du minimum de Pontryagin est fondamental dans la théorie moderne du contrôle.