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Questions et problèmes sur les oscillations harmoniques, la conservation de l’énergie mécanique et sur le théorème de l’énergie cinétique.
par Bernard Vuilleumier
Champ : énergie et oscillations
Documents autorisés : Aucun. Calculette.
Mardi 16 janvier 2007, CECNB, M1-M2, 95 min.
Moyenne de classe : 4.28
Écart type : 1.03
Effectif : N=16
Questions (6 points)
- Comment varie l’amplitude d’un oscillateur harmonique lorsque son énergie totale subit une diminution de 50 % ?
- Que doit valoir le rapport où m est la valeur de la masse accrochée à un ressort de raideur k pour que l’oscillateur ainsi constitué ait une période de 1 seconde ? Cette période dépend-t-elle de l’amplitude ?
- Quelle doit être la longueur d’un pendule pour qu’il ait une période de 1 seconde. Cette période dépend-t-elle de l’amplitude ?
Problème 1 (8 points)
Les stations extrêmes d’un funiculaire sont aux altitudes et . La voie a une pente constante et une longueur l. Une voiture de masse m descend à la vitesse v. Soudain, le câble qui la retient se casse.
- a) Exprimez la vitesse de la voiture lorsqu’elle a parcouru une distance d depuis l’endroit où la rupture a eu lieu en supposant que la force de frottement qu’elle subit est égale en grandeur au centième de son poids.
- b) Exprimez la force de freinage que devrait subir la voiture pour qu’elle s’arrête sur cette distance d en tenant compte de la force de frottement.
Calculez cette vitesse ainsi que la force de freinage nécessaire pour s’arrêter sur une distance d pour les valeurs =500 m, =900 m, l=2 km, m=4000 kg, v=18 km/h, d=36 m.
Problème 2 (6 points)
Un ressort de constante k, disposé horizontalement, a une extrémité fixe et une extrémité libre. Un wagonnet de masse m vient buter contre cette dernière avec une vitesse v. Exprimez :
- a) la déformation maximale du ressort.
- b) la durée du contact du wagonnet avec le ressort
- c) le temps nécessaire pour que la vitesse du wagonnet passe de la valeur v à la valeur u.
Calculez ces grandeurs lorsque k=50 N/m, m=1 kg, v=2 m/s, u=1 m/s.
Problème 3 (6 points)
Un oscillateur harmonique a une constante de rappel k et une masse m. Son mouvement a une amplitude A. Calculez :
- a) en quel point son énergie cinétique est égale à son énergie potentielle élastique
- b) à quel moment son énergie cinétique est égale à son énergie potentielle élastique
Problème 4 (6 points)
Vous lancez un objet à la vitesse depuis une fenêtre située à une hauteur h.
- a) Exprimez la vitesse v de l’objet lorsqu’il arrive au sol en négligeant le frottement dans les trois cas suivants : a) Vous lancez l’objet verticalement vers le bas. b) Vous lancez l’objet horizontalement. c) Vous lancez l’objet vers le haut sous un angle de .
- b) Calculez dans chaque cas cette vitesse v pour les valeurs h=20 m, =15 m/s.
- c) Ordonnez les temps de chute par ordre croissant.