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Cours 6: Vers la diagonalisation
Nous arrivons au coeur du sujet après tous ces préparatifs. Nous avons en effet tous les outils maintenant pour essayer de choisir la meilleure base possible pour comprendre les propriétés géométriques d’une application linéaire f: V → V. Notre but est de trouver une méthode pour calculer les valeurs propres de f, puis de construire, si c’est possible, une base formée de vecteurs propres.
Film 1: changement de base
Ce film de 8 minutes introduit les matrices de changement de base pour nous permettre de comparer les matrices d’une même application linéaire, mais pour des choix de bases différentes.
Film 2: La matrice d’une rotation
J’ai 3 minutes pour vous présenter une rotation du plan, comment elle est vue par deux choix de bases. C’est parti.
Film 3: un exemple
Nous prenons 8 minutes pour développer un exemple. Il s’agit d’une application linéaire entre deux espaces vectoriels de polynômes que nous étudions par rapport à deux choix de bases.
Film 4: le polynôme caractéristique
On étudie les endomorphismes dans ce film de 11 minutes. On y définit le polynôme caractéristique d’un endomorphisme (ou d’une matrice carrée) et on y étudie les premières propriétés.
Film 5: les espaces propres
Un film de 10 minutes pour identifier les valeurs propres avec les racines du polynôme caractéristique et rappeler les définitions de vecteur propre et d’espace propre. Un exemple sur C conclut la vidéo.
Film 6: bases de vecteurs propres
Un grand film de 19 minutes pour étudier les espaces propres. On y montre que la multiplicité géométrique est toujours plus petite (ou égale) à la multiplicité algébrique, et on se penche sur la question de former des bases avec un maximum de vecteurs propres. Un exemple complet clôt ce chapitre.