Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03468.jsonl.gz/1657

Hans Walser, [20130513]
Flchengleichheit
Anregung: H. K. S., L.
Es wird mit regulren Vielecken gearbeitet, deren Eckenzahl ein Vielfaches von vier ist. Faktisch bentigen wir die Hlfte oder einen Viertel eines solchen Vieleckes. Das Halbieren und Vierteln kann auf zwei Arten geschehen (Abb. 1 fr den Fall des regelm§igen Achteckes).
Abb. 1: Halbieren und Vierteln
In beiden Fllen knnen wir eine Figur bauen, welche eine Flchengleichheit enthlt.
Die Flchengleichheit kann bei Polygonen mit Zerlegungen nachgewiesen werden. Spannend ist das Auffinden einer passenden und mglichst einfachen Zerlegung.
Auf der Basis der Figuren der Abbildung 1a erhalten wir die Figur der Abbildung 2a, entsprechend auf der Basis der Figuren der Abbildung 1b die Figur der Abbildung 2b. Die beiden Flchenanteile sind jeweils gleich gro§.
Abb. 2: Rot = Blau
Die Flchengleichheit kann nachgerechnet werden. Bei flchengleichen Polygonen gibt es aber immer auch eine Zerlegung, welche die Flchengleichheit nachweist. Die Abbildung 3 gibt mgliche Zerlegungsbeweise fr die Figuren der Abbildung 2.
Abb. 3: Zerlegungsbeweise
Die auftretenden Rechtecke in der Abbildung 3b haben das Seitenverhltnis eines DIN-Rechteckes. Das ist beim regelm§igen Achteck aber nicht erstaunlich.
Die Abbildung 4 zeigt die beiden Flle auf der Basis eines Quadrates.
Abb. 4: Basis Quadrat
Die Zerlegungsgleichheiten sind offensichtlich (Abb. 5).
Abb. 5: Zerlegungsbeweise
Die Abbildung 6 zeigt die beiden Flle auf der Basis eines regelm§igen Zwlfeckes.
Abb. 6: Basis Zwlfeck
Die Abbildung 7 enthlt Zerlegungsbeweise fr die Figuren der Abbildung 6.
Abb. 7: Zerlegungsbeweise
In der Abbildung 1 wurden als Trennlinien fr das Halbieren Symmetrieachsen des regulren Viereckes verwendet. Regulre Vielecke, deren Eckenzahl ein Vielfaches von vier ist, sind aber auch punktsymmetrisch. Wir knnen mit einer beliebigen Geraden durch das Symmetriezentrum halbieren. Die Abbildung 8a illustriert ein Beispiel fr das Quadrat. Das Quadrat ist gegenber der Horizontalen um 20¡ verdreht. Das ist kein ãschnerÒ Winkel.
Die Abbildung 8b zeigt die zugehrige Figur mit Flchenhalbierung. Sie ist asymmetrisch.
Abb. 8: Schiefe Halbierung
Entsprechend ist auch der Zerlegungsbeweis (Abb. 9) asymmetrisch.
Abb. 9: Zerlegungsbeweis
Wenn wir mit der Eckenzahl gegen Unendlich fahren, erhalten wir das Kalenderblatt Dezember 2014 von Heinz Klaus Strick, Leverkusen (Abb. 10). In diesem Fall gibt es keinen Zerlegungsbeweis. Die Flchengleichheit kann mit Argumentieren oder Rechnen einsichtig gemacht werden.
Abb. 10: Kreisbgen