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En mathématiques, le théorème d'extension de Szpilrajn, démontré par Edward Szpilrajn, établit que tout ordre partiel est contenu dans un ordre total.
Intuitivement, le théorème dit qu'une comparaison entre éléments qui laisse quelques couples incomparables peut être étendue de telle manière que chaque élément est soit inférieur, soit supérieur à un autre. C'est l'un des nombreux exemples de l'utilisation de l'axiome du choix (sous la forme du lemme de Zorn) pour trouver un ensemble maximal avec certaines propriétés.
Définitions et énoncé
*Une relation binaire R sur un ensemble S est formellement définie comme un ensemble de couples (x, y) d'éléments de S. La condition (x, y) ∈ R est généralement abrégée en xRy.
*Une relation d'ordre (ou d'ordre partiel) sur S est une relation binaire réflexive (xRx pour tout x ∈ S), antisymétrique (xRy et yRx implique x = y) et transitive (xRy et yRz implique xRz).
*Si elle est de plus totale (xRy ou yRx est vraie pour chaque couple (x, y)