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Tanya Khovanova oggi lavora al MIT, ma è nata e vissuta in Russia quando ancora faceva parte dell’Unione Sovietica. Nel 1975 si stava preparando a rappresentare il suo paese alle Olimpiadi della Matematica, quando fu contattata da Valera Senderov, insegnante in una delle scuole speciali di matematica della capitale. La Senderov cercava il suo aiuto per lo svolgimento ottimale di alcuni problemi che venivano assegnati nelle prove orali di ammissione al Dipartimento di Matematica dell’Università Statale di Mosca, in modo da allenare i suoi allievi a risolverli senza difficoltà. La prima particolarità di questi problemi è che erano stati predisposti in modo da richiedere soluzioni elementari che tuttavia erano assai difficili da trovare. La seconda, inquietante, è che erano concepiti come veri e propri “tranelli” per non ammettere al Dipartimento gli studenti indesiderati, evitando in questo modo eventuali reclami e ricorsi. La terza, davvero scandalosa, era che le vittime designate di questa operazione erano gli studenti ebrei, al punto che tali esercizi erano chiamati informalmente, oltre che “problemi-bara”, anche “problemi per gli ebrei”.
L’antisemitismo è purtroppo una costante mai davvero sopita nella storia russa, come è dimostrato ad esempio dal fatto che la parola pogrom è un termine di quella lingua (Погром, "devastazione"), che designava inizialmente le sommosse popolari antisemite nella Russia zarista (avvenute con il consenso se non l’appoggio delle autorità) e oggi indica qualsiasi massacro di una minoranza. Inoltre, i famigerati Protocolli dei Savi di Sion, falso documento creato per “rivelare” i presunti piani di controllo del mondo da parte degli ebrei, furono opera della polizia dello Zar. La diffidenza verso gli ebrei ha caratterizzato anche la politica interna dell’Unione Sovietica, con esclusione forse del primo periodo post-rivoluzionario (molti dei capi rivoluzionari erano ebrei, come Trotsky). Scriveva a proposito Sergio Romano: “[Per Stalin] gli ebrei erano troppo internazionali, troppo cosmopoliti, troppo legati per vincoli familiari ad altre nazioni. Li usò spregiudicatamente quando gli servivano e li eliminò spietatamente quando li considerò pericolosi”. Negli anni della Guerra Fredda, e quasi sino al crollo dell’URSS, l’antisionismo fu ufficialmente propagandato in funzione anti-israeliana e anti-occidentale, particolarmente negli anni immediatamente successivi alla Guerra dei Sei Giorni (1967), Per quanto si dichiarasse che non si trattava di antisemitismo, nei fatti la politica del PCUS, che equiparava sionismo e razzismo, portò al controllo della polizia politica sulle sinagoghe e, con limitate eccezioni, alla preclusione per i cittadini ebrei all’ingresso nelle università e alle principali cariche pubbliche.
Tanya Khovanova, in un articolo scritto con Alexey Radul dell’Hamilton Institute del NUIM di Kildare (Eire), propone all’attenzione del lettore 21 dei “problemi per gli ebrei” di allora, convinta che questa raccolta abbia valore sia storico sia matematico. I due autori sottolineano come oggi questi esercizi appaiano più semplici di quanto lo fossero negli anni Settanta, perché nel frattempo nelle scuole essi vengono affrontati e risolti con maggiore frequenza. Allora venivano sottoposti uno dopo l’altro ai candidati, che venivano allontanati al primo errore. Di ogni problema, nelle tre sezioni in cui si divide il paper, viene fornito l’enunciato, poi un suggerimento per la soluzione, infine il procedimento risolutivo. Per questioni di brevità ne riporto tre, rimandando per gli altri all’articolo originale.
Enunciati
Problema n.1
Risolvete la seguente disequazione per x > 0:
Problema n.9
Date nel piano due rette che si intersecano, trovate il luogo dei punti A tale che la somma delle distanze da A di ciascuna retta sia uguale a un dato valore.
Problema n.21
Il grafico di una funzione monotonamente crescente è intersecato da due rette orizzontali. Trovate il punto sulla curva tra le intersezioni tale che sia minima la somma delle due aree limitate dalle rette, dalla curva e dalla retta verticale che passa per il punto.
Suggerimenti
Problema n.1
Conviene sostituire:
Problema n.9
In un triangolo isoscele la somma delle distanze da un punto qualsiasi della base ai due lati obliqui è costante.
Problema n.21
Il punto equidistante dalle due rette orizzontali dovrebbe essere quello cercato.
Soluzioni
Problema n.1
Osserviamo dapprima che per x > 1 i termini nell’enunciato sono indefiniti. Poi definiamo y in base al suggerimento:
Osserviamo che per i valori ammissibili di x abbiamo:
e y descresce monotonamente in x. Osserviamo anche che:
Date le seguenti osservazioni preliminari, la nostra disequazione si trasforma come segue:
Ora, il trinomio nella seconda parentesi è sempre negativo, così la nostra mostruosa disequazione si riduce, alla fine, nella semplice:
Facendo riferimento alla monotonia di y in x e al fatto che
La nostra risposta finale è
Problema n.9
Nella figura, la somma delle aree dei due triangoli ABD e CBD equivale all’area del triangolo ABC. Annullando la lunghezza del lato BC (=AB), la somma delle altezze dal punto D è uguale all’altezza dal punto A (e a quella dal punto C). Pertanto, il luogo è il rettangolo i cui vertici sono i quattro punti che sono ciascuno su una delle rette e alla distanza desiderata uno dall’altro.
Problema n.21
Sia A il punto della funzione equidistante dalle due rette orizzontali che giace sulla loro perpendicolare. Se muoviamo il punto di intersezione verso destra, allora l’area sotto la funzione cresce più velocemente di quanto decresce l’area sotto di essa. Muovendolo verso sinistra, la situazione è simmetrica.
Tanya Khovanova, Alexey Radul (2011). Jewish Problems arXiv:1110.1556v2