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Hans Walser, [20160210]
Kantenschwerpunkt
Frage: Gibt es au§er dem gleichseitigen Dreieck noch andere Dreiecke, bei denen der Kantenschwerpunkt mit dem Eckenschwerpunkt zusammenfŠllt?
Wir konzentrieren uns zunŠchst auf zwei der drei Kanten (Abb. 1).
Abb. 1: Zwei der drei Kanten
Die beiden Kanten haben je ihren Mittelpunkt als Schwerpunkt. Wir haben nun aber in diesen Punkten unterschiedliche Massen, da die Kanten ungleich lang sind. Der Schwerpunkt dieser beiden Kanten muss also so gefunden werden, dass die beteiligten Hebelarme im umgekehrten VerhŠltnis zu den SeitenlŠngen stehen.
Nun sind die beiden SeitenlŠngen im selben VerhŠltnis wie die dazu parallelen SeitenlŠngen des Mittendreiecks. Die Winkelhalbierende des Winkels zwischen diesen beiden Seiten teilt die dritte Seite des Mittendreiecks im gewźnschten VerhŠltnis. Da diese Winkelhalbierende auch durch den Schwerpunkt (Mittelpunkt) der dritten Seite geht, ist sie eine Schwerlinie bezźglich der Kanten. Der Kantenmittelpunkt ist daher der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Mittendreieckes, also dessen Inkreismittelpunkt (Abb. 2).
Abb. 2: Kantenschwerpunkt
In einem Dreieck fallen Eckenschwerpunkt und FlŠchenschwerpunkt zusammen. Dieser Punkt, im Unterricht hŠufig einfach als ăSchwerpunktŇ bezeichnet, ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Nun ist es aber so, dass ein Dreieck und sein Mittendreieck denselben Eckenschwerpunkt haben, da die Seitenhalbierenden zusammenfallen (blau in der Abbildung 3).
Abb. 3: Eckenschwerpunkt
Die Frage: ăGibt es au§er dem gleichseitigen Dreieck noch andere Dreiecke, bei denen der Kantenschwerpunkt mit dem Eckenschwerpunkt zusammenfŠllt?Ň ist daher Šquivalent zur Frage, ob es au§er dem gleichseitigen Dreieck noch andere Dreiecke gebe, in denen der Eckenschwerpunkt gleich dem Inkreismittelpunkt ist.
Dazu muss jede Seitenhalbierende zusammenfallen mit der von der gleichen Ecke ausgehenden Winkelhalbierenden. Eine solche mit der Winkelhalbierenden zusammenfallende Seitenhalbierende ist aber eine Symmetrieachse des Dreieckes.
Das einzige Dreieck mit drei Symmetrieachsen ist das gleichseitige Dreieck.
Wenn nun das Seitenmittendreieck gleichseitig ist, dann auch das ursprźngliche Dreieck.
Somit gilt:
Das gleichseitige Dreieck ist das einzige Dreieck, bei dem Eckenschwerpunkt, Kantenschwerpunkt und FlŠchenschwerpunkt zusammenfallen.