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Hans Walser, [20130620]
Gleichschenklige Trisektrix-Dreiecke
Ausarbeitung einer Idee von H. M.-S., V.
Die beiden Dreieckspunkte A und B seien fest vorgegeben. Der dritte Dreieckspunkt C soll so gewhlt werden, dass die entstehenden Dreiecke ABC die Gleichung
erfllen.
Die Trisektrix ist die Ortskurve des Punktes C.
Die Abbildung 1 zeigt die Trisektrix mit einem allgemeinen Trisektrix-Dreieck.
Abb. 1: Trisektrix
Fr Punkte C auf der Tropfenschleife gilt in der Bedingung das Plus-Zeichen, au§erhalb der Tropfenschleife das Minuszeichen.
Fr einen Punkt C auf der Tropfenschleife bedeutet die Bedingung , dass das Quadrat ber c flchengleich ist mit der Vereinigung des Quadrates ber a und dem Rechteck ber b mit der zweiten Seite a.
Die Winkelhalbierende unterteilt die Seite c in die Abschnitte (Abb. 2):
Abb. 2: Winkelhalbierende
Fr das rote Hochkant-Rechteck mit der Hhe c erhalten wir wegen den Flcheninhalt:
Das blaue Hochkant-Rechteck hat den Flcheninhalt:
Somit haben gleichfarbige Rechtecke in der Abbildung 2 den gleichen Flcheninhalt. Die Situation erinnert an den Kathetensatz.
Fr einen Punkt C au§erhalb der Tropfenschleife gilt ein analoger Sachverhalt, der aber mit der u§eren Winkelhalbierenden und Subtraktionen von Flchen arbeitet.
Wir fragen nun speziell nach gleichschenkligen Dreiecken, die der Bedingung gengen.
(i) Fr a = b ergibt sich das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck ber c (Abb. 3).
Abb. 3: Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck
(ii) Fr a = c wird b = 0.
(iii) Fr b = c erhalten wir aus die Beziehung: . Dabei bedeutet den Goldenen Schnitt . ber den Goldenen Schnitt siehe (Walser 2013). Die Abbildung 4 illustriert die Situation. Das Dreieck wird als Spitzes Goldenes Dreieck bezeichnet.
Abb. 4: Spitzes Goldenes Dreieck
(iiii) Ebenfalls fr b = c ergibt sich aus die Beziehung . Wir erhalten das so genannte Stumpfe Goldene Dreieck (Abb. 5).
Abb. 5: Stumpfes Goldenes Dreieck
Damit sind alle gleichschenkligen Dreiecke in unserem Kontext besprochen.
Fr den Fall des rechtwinklig gleichschenkligen Dreieckes fllt die Winkelhalbierende mit der Hhe zusammen und wir erhalten den Satz des Pythagoras und den zugehrigen Kathetensatz.
Bei den Goldenen Dreiecken teilt die Winkelhalbierende die Gegenseite innen und au§en im Verhltnis des Goldenen Schnittes.
Im Spitzen Goldenen Dreieck ergibt sich die Situation der Abbildung 6, wobei wir c = 1 setzen. Die beiden blauen Rechtecke sind sogar kongruent. Es handelt sich dabei um so genannte Goldene Rechtecke.
Abb. 6: Unterteilung
Im stumpfen Goldenen Dreieck mssen wir mit der u§eren Winkelhalbierenden arbeiten. Die Situation ist so vertrackt, dass wir drei Abbildungen bentigen (Abb. 7-9).
Die blauen Rechtecke sind wiederum kongruente Goldene Rechtecke.
Abb. 7: Blau zum ersten
Abb. 8: Blau zum zweiten
Abb. 9: Rot gleich Rot
Die roten Teile sind eine Vergr§erung der entsprechenden roten Teile der Abbildung 6.
Bei den Trisektrix-Dreiecken gilt auch eine schne Winkeleigenschaft (Ohne Beweis, siehe Abb. 10).
Abb. 10: Winkeleigenschaft
Damit kann die Trisektrix zur Winkeldrittelung verwendet werden. Der zu Drittelnde Winkel muss bei B eingepasst werden.
Daher der Name Trisektrix.
Literatur
Walser, Hans (6. Auflage). (2013). Der Goldene Schnitt. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing ber populrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.