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Zirkulation
Strömungslehre
Die Zirkulation (Formelzeichen [math]\Gamma[/math]) ist ein Mass für die Wirbelstärke in einer Strömung. Die Zirkulation wird in Quadratmeter pro Sekunde (m²/s) angegeben.
Die Zirkulation ist als Linienintegral in einem Geschwindigkeitsfeld längs einer beliebigen, geschlossenen Kurve definiert
- [math]\Gamma = \oint_{C} \vec v \cdot d\vec s [/math]
- [math]\Gamma=\int_{A}(\nabla \times \vec v)\cdot d\vec A=\int_{A}rot(\vec v)\cdot d\vec A=\int_{A}2\vec\omega\cdot d\vec A[/math].
Dabei ist [math]A[/math] die durch Kurve [math]C[/math] eingeschlossene Fläche.
Beispiele
rotierendes Gefäss
Lässt man ein mit Flüssigkeit gefülltes Gefäss mit konstanter Drehzahl rotieren, bewegt sich die Flüssigkeit nach einer gewissen Zeit infolge ihrer Zähigkeit mit. Die Flüssigkeit hat dann in ihrem ganzen Gebiet eine konstante Winkelgeschwindigkeit. Wählt man als Fläche in einer Ebene normal zur Drehachse, ist die Zirkulation gleich der eingeschlossenen Fläche mal die Winkelgeschwindigkeit. Daraus folgt, dass die Winkelgeschwindigkeit gleich der halben Wirbelstärke ist.
laminare Rohrströmung
Die laminare Strömung in einem Rohr mit Radius R weist eine parabelförmige Geschwindigkeitsverteilung auf
- [math]v(r)=v_M\frac{R^2-r^2}{R^2}[/math]
Wendet man auf dieses Geschwindigkeitsfeld den Rotationsoperator (in Zylinderkoordinaten) an, folgt für die Wirbeldichte
- [math]\vec \omega=v_M\frac{r}{R^2}\vec e_{\varphi}[/math]
In einem langen Rohr mit laminarer Strömung bilden die Wirbel umlaufende Wirbelzöpfe, deren Stärke linear mit dem Radius ansteigt. An der Grenze zwischen Flüssigkeit und Rohrwand ist die Geschwindigkeit gleich Null und die Winkelgeschwindigkeit maximal.