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vignette|Stanislaw Ulam conjecture le théorème, mais ne parvient pas à le démontrer dans le cas général.
En mathématiques, le théorème de Borsuk-Ulam est un résultat de topologie algébrique. Il indique que pour toute fonction f continue d'une sphère de dimension n, c'est-à-dire la frontière de la boule euclidienne de ℝn+1, dans un espace euclidien de dimension n, il existe deux points antipodaux, c'est-à-dire diamétralement opposés, ayant même par f.
Il fait partie des Contrairement au théorème de Jordan, il est peu intuitif. Il indique par exemple qu'à tout instant, il existe deux points antipodaux de la Terre ayant exactement la même température et la même pression (on suppose que ces deux grandeurs évoluent de façon continue).
Son premier usage concerne la topologie algébrique ; il permet par exemple de démontrer le théorème du point fixe de Brouwer qui lui est analogue à certains égards. Il permet de démontrer des résultats au titre aussi amusant que leur démonstration est dif