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Hans Walser, [20170213a]
Brennpunkte der Ellipse
Anregung: M. G., F.
Eine Ellipse sei durch fźnf Punkte A, B, C, D, E gegeben (Abb. 1).
Abb. 1: Kegelschnitt durch fźnf Punkte
Gesucht sind die Brennpunkte der Ellipse. Gibt es ein Verfahren ohne Rechnen?
Bemerkung 1: Durch fźnf Punkte kann auch eine Hyperbel oder eine Parabel gegeben sein.
Bemerkung 2: Wir werden im Folgenden mit Tangenten an die Ellipse in Ellipsenpunkten arbeiten. Dazu gibt es eine Konstruktion [1], die wir im Folgenden als Makro verwenden.
Bemerkung 3: In den Abbildungen ist jeweils die Ellipse magenta eingezeichnet. Dies hat aber rein dekorative Bedeutung. Die Ellipse wird fźr die Konstruktionen nicht verwendet.
Bemerkung 4: Im Folgenden wird das Konstruktionsverfahren beschrieben. Die Beweise źberlassen wir dem der Lust hat.
Es sei F der Mittelpunkt der Strecke AB und G der Pol der Geraden AB. Dieser Pol ist der Schnittpunkt der Tangenten in A und B (Abb. 2). Die Gerade FG ist eine Achse der Ellipse.
Abb. 2: Achse
Der Begriff Achse ist hier so zu verstehen: Die Gerade FG ist Spiegelachse der Ellipse bei SchrŠgspiegelung parallel zur Geraden AB. Sie verlŠuft durch den Mittelpunkt der Ellipse.
Mit Hilfe einer zweiten Achse finden wir den Mittelpunkt M der Ellipse (Abb. 3).
Abb. 3: Mittelpunkt der Ellipse
Wir tragen das geometrische Mittel (Kathetensatz oder Hšhensatz) der Strecken MF und MG von M aus ab. Der Endpunkt N liegt auf der Ellipse. Mit MN haben wir also einen Halbmesser der Ellipse.
Abb. 4: Geometrisches Mittel
Die Richtung des zum Halbmesser MN konjugierten Halbmessers ist parallel zu AB (Abb. 5).
Abb. 5: Richtung des konjugierten Halbmessers
Wir schneiden die TrŠgergerade des konjugierten Halbmessers einerseits mit der Parallelen zu ersten Halbmesser durch A (Schnittpunkt K) und andererseits mit der Tangenten in A (Schnittpunkt L). Mit Hilfe des geometrischen Mittels der Strecken MK und ML finden wir den Endpunkt O des zweiten Halbmessers.
Abb. 6: Konjugierter Halbmesser
Damit haben wir zwei konjugierte Halbmesser und kšnnen mit dem Verfahren von Rytz die Hauptachsen und die Brennpunkte der Ellipse konstruieren.
Ein Verfahren ohne Tangenten findet sich in [2]
Websites
[1] Hans Walser: Tangente an Kegelschnitt (14. 2. 2017)
[2] Hans Walser: Brennpunkte an Ellipse (14. 2. 2017)