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Hans Walser, [20150406]
Flossen
Anregung: H. M-S., V.
Wir beginnen mit zwei Quadraten, welche eine Ecke gemeinsam haben, und fllen dazwischen mit Dreiecken (Flossen) aus (Abb. 1).
Abb. 1: Rote und blaue Flosse
Die rote und die blaue Flosse haben denselben Flcheninhalt. Dies kann durch Einbetten der Figur in ein Parkett eingesehen werden (Abb. 2). Die beiden Flossen sind je ein halbes Parallelogramm.
Abb. 2: Parkett
Die Hhe einer Flosse durch die gemeinsame Ecke ist auf derselben Geraden wie die Schwerlinie der anderen Flosse (Abb. 3). Dies folgt daraus, dass die Parallelogramme im Parkett der Abbildung 2 in zwei zueinander um 90¡ verdrehten Positionen vorkommen.
Abb. 3: Hhen und Schwerlinien
Wir setzen einem beliebigen Dreieck Quadrate an (es handelt sich nicht um den Pythagoras) und fllen zwischen den Quadraten mit Flossen auf (Abb. 4).
Abb. 4: Dreieck mit Flossen
Die Flossen haben nach Abschnitt 1 je denselben Flcheninhalt wie das Dreieck, sind also untereinander gleich gro§. Die Flossenflchensumme ist das Dreifache der Dreiecksflche.
Die Abbildung 5 zeigt die Situation fr ein konvexes Viereck. Die einzelnen Flossen sind nicht mehr flchengleich.
Abb. 5: Viereck mit Flossen
Hingegen sehen wir aus der Abbildung 6, dass die Flchensumme gegenberliegender Flossen gleich gro§ ist wie die Viereckflche.
Abb. 6: Gegenberliegende Flossen
Die Summe aller Flossenflchen ist daher das Doppelte der Viereckflche.
Bei nicht konvexen Vierecken mssen wir mit orientierten Flossenflcheninhalten arbeiten.
Im Sonderfall des Parallelogramms haben wir aber vier gleich gro§e Flossen (Abb. 7).
Abb. 7: Sonderfall Parallelogramm
Die Flossen sind je das halbe Parallelogramm (Halbierung durch Diagonalen).
Fr beliebige Vielecke mit Eckenzahl gr§er oder gleich fnf habe ich keine schne Eigenschaft der Flossen gefunden.
Hingegen gilt: Bei einem affinregulren n-Eck (affinregulre Vielecke sind affine Bilder von regulren Vielecken) sind alle Flossen gleich gro§. Das Verhltnis einer Flossenflche zur Flche des affinregulren n-Eckes ist . Dieses Verhltnis ist also unabhngig von der Form des affinregulren Vieleckes. Wir haben eine Flosseninvariante.
Die Abbildung 8 illustriert die Situation fr ein affinregulres Siebeneck.
Abb. 8: Affinregulres Siebeneck. Flchengleiche Flossen
Fr den Beweis halten wir zunchst einmal die Flchengleichheit gem§ Abbildung 9 fest.
Abb. 9: Flchengleichheit
Nun sind aber in einem affinregulren Vieleck smtliche Dreiecke, welche von zwei aufeinanderfolgenden Seiten aufgespannt werden, flchengleich. Daher sind auch alle Flossen flchengleich. Die Verhltniszahl lsst sich aus dem Sonderfall des regulren Vieleckes ermitteln.