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Als letzten Schritt in unserem Quantencomputer messen wir nun den gewonnen Zustand unseres Systems (eigentlich würde es genügen, zu messen, wir messen aber jetzt und ), und rechnen danach klassisch weiter.
Die diskrete Fouriertransformation wird bei diesem Algorithmus dazu benötigt, die Periode im Funktionsgraphen der modularen Exponentation zu ermitteln, die unserer gesuchten Ordnung entspricht. Dabei wird praktisch der ,,Offset`` eines erhaltenen Wertes ausgelöscht und die Periode finden wir in der gemessenen Amplitude wieder (allerdings als Kehrwert und mit einem Faktor versehen), zusätzlich tritt eine Phasenverschiebung auf, da wir aber sowieso nur die Amplitude messen, können wir diese ignorieren.
Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Zustand und
() zu beobachten, beträgt:
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Da nun aber die Ordnung besitzt, können wir diese Summe umschreiben, indem wir setzen und erhalten:
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Wir können nun ausklammern und durch ersetzen, wobei dieser Rest noch so ,,verschoben`` wird, daß er im Intervall liegt, wir schreiben dafür und erhalten
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Die Summe können wir nun als Integral schreiben ([Heu98] Eulersche Summenformel) und gewinnen daraus
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Wenn (dies ist unabhängig von !) ist obiger Fehlerterm durch beschränkt und das Integral, also die Wahrscheinlichkeit den Zustand zu messen, ist groß. Dies kann man sich z.B. am komplexen Einheitskreis veranschaulichen, falls die einzelnen Amplituden ungefähr in die gleiche Richtung ,,zeigen``, ergibt sich eine Verstärkung.
Wenn wir nun in dem Integral substituieren, erhalten wir
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Nun können wir, da , mit einem Fehler von nur die obere Grenze des Integrals durch ersetzen und bekommen
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ist im Intervall , der Betrag des Integral wird also für minimal und beträgt . Der Betrag dieser Größe ist eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Zustand mit zu beobachten, deswegen ist diese asymptotisch durch beschränkt und für genügend große mindestens .
Die Wahrscheinlichkeit
zu messen, beträgt also
mindestens , falls
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Daraus erhalten wir:
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wobei wir und kennen.
Würde nun teilen, erhielten wir somit direkt unsere gesuchte Ordnung . Dies ist allerdings im allgemeinen nicht der Fall, wir können aber über einen kleinen Umweg trotzdem ermitteln, indem wir die sogenannte Kettenbruchentwicklung anwenden.
Da zu Beginn gewählt wurde, gibt es höchstens einen Bruch mit , der obige Bedingung erfüllt. Wir erhalten diesen Bruch vollständig gekürzt, indem wir auf den nächsten Bruch runden, der einen Nenner kleiner als hat. Dieser Bruch kann mittels Kettenbruchentwicklung von effizient gefunden werden.
Ein (endlicher, einfacher) Kettenbruch ist ein Ausdruck der Form
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mit . Jede positive rationale Zahl kann durch einen Kettenbruch dargestellt werden, der wie folgt berechnet wird: Sei und für ein . Wenn dann sei und für ein usw. Bei rationalem terminiert dieser Prozeß und wir erhalten die der Kettenbruchentwicklung (vgl. [EJ94], [Knu97] Analyse des Euklidischen Algorithmus).
Ist nun teilerfremd zu , erhalten wir damit (wir bekommen durch die Kettenbruchentwicklung einen vollständig gekürzten Bruch). Es gibt mögliche Werte von teilerfremd zu ( ist die Eulersche -Funktion, die die Anzahl der zu teilerfremden Zahlen angibt). Jeder dieser Brüche ist nahe an einem Bruch mit . Es gibt zudem r mögliche Werte für , da die Ordnung von ist.
Da jeder dieser Zustände mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens auftritt, erhalten wir mit einer Wahrscheinlichkeit größer oder gleich . Wenn wir nun ausnutzen, daß für eine Konstante ist (siehe [HW79], zitiert in [Sho97] und [EJ94]), müssen wir das Experiment also nur mal wiederholen, um mit einer hohen Wahrscheinlichkeit zu erhalten.
Dies kann in der Praxis noch weiter verbessert werden, indem bei gemessenem auch noch Zahlen nahe an wie ausprobiert werden, da auch diese noch eine einigermaßen hohe Wahrscheinlichkeit haben, nahe an einem Bruch zu sein.
Außerdem kann man die Rechnung nicht nur mit einem Kandidaten für , sondern, da der Bruch ja vollständig gekürzt zu vorliegt, auch für durchführen, ob diese Werte vielleicht die Ordnung von sind. Weiterhin ist es auch noch möglich, daß man, wenn man zwei Kandidaten für gefunden hat, das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden Werte ausprobiert, auch dadurch lassen sich die Versuche auf dem Quantencomputer reduzieren, so daß man zwar mehr klassische Nachbearbeitung braucht, aber der schwierig zu realisierende Quantencomputer nur wirklich da eingesetzt wird, wo er unbedingt benötigt wird.