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Hans Walser, [20080202a], [20131230c]
Es ist immer wieder versucht worden, Schlsselzahlen der Mathematik wie die Kreiszahl ¹ oder den Goldenen Schnitt in den Ma§verhltnissen der Cheops-Pyramide zu finden.
Im Laufe der Zeit ist diese Pyramide natrlich durch Verwitterung und menschliche Einflsse derart erodiert dass es nicht mehr mglich ist, die ursprnglich von den Bauherren vorgesehenen Ma§e festzustellen.
Der Steigungswinkel der vier Seitenflchen der Pyramide wurde im frhen 19. Jahrhundert von Howard-Vyse mit 51.85¡ gemessen (vgl. [Bau], S. 52). Howard-Vyse verwendete dazu Verkleidungssteine, die an der untersten Schicht noch unversehrt an ihrem originalen Platz standen. Diese Steine sind in der Zwischenzeit zerstrt worden, so dass eine Nachmessung nicht mehr mglich ist.
Den folgenden Rechnungen basieren auf einer Pyramide mit der Seitenlnge 2a an der Grundkante und der Hhe h. Ferner sei k die Hhe der gleichschenkligen Seitendreiecke.
Pyramide
ber die Ma§verhltnisse bei der Cheops-Pyramide sind im Laufe der Zeit verschiedene Hypothesen entstanden. Im Folgenden werden die drei wichtigsten Hypothesen besprochen.
Rationales Verhltnis
Oft wird angenommen, dass die Steigung der Seitenflchen ein einfaches rationales Verhltnis, nmlich 28:22 ist. In diesem Falle wre
und
.
Fr den Steigungswinkel der Seitenflchen ergibt sich aus dieser Annahme:
Der Goldene Schnitt
Aus dem numerischen Wert ergibt sich die Vermutung, dass die Bauleute den Goldenen Schnitt mit in der Pyramide vermauert haben.
Fr den Steigungswinkel der Seitenflchen ergibt sich aus dieser zweiten Annahme:
Die Kreiszahl ¹
Eine weitere Hypothese ist, dass die Hhe der Pyramide gleich dem Radius des Kreises gewhlt wurde, welcher den gleichen Umfang hat wie das Basisquadrat der Pyramide. Dies hie§e:
Daraus ergibt sich:
Fr den Steigungswinkel der Seitenflchen ergibt sich aus dieser dritten Annahme:
.
Vergleich
Die drei Hypothesen ergeben Steigungswinkel, die sich nur wenig unterscheiden. Sie widersprechen sich aber, und dies nicht nur numerisch. Im ersten Fall haben wir eine rationale Steigung, im zweiten Fall mit dem Goldenen Schnitt eine irrationale Steigung, und zwar eine algebraisch-irrationale Steigung, welche sich durch Wurzelausdrcke angeben lsst. Im dritten Fall mit der Kreiszahl ¹ haben wir schlie§lich eine transzendent-irrationale Steigung.
Nherungswerte
Der Vergleich der drei Hypothesen fhrt aber auf Nherungswerte fr die Kreiszahl ¹ wie auch fr den Goldenen Schnitt.
Aus der Annahme einer rationalen Steigung von 28:22 ergibt sich:
, also
Fr viele praktische Zwecke ist dies ein recht brauchbarer Nherungswert. Ferner erhalten wir:
Dieser Nherungswert ist wenig sinnvoll, da ohnehin durch eine Quadratwurzel gegeben ist.
Hingegen knnen wir jetzt auch die Kreiszahl ¹ durch den Goldenen Schnitt approximieren und umgekehrt. Aus
erhalten wir einerseits
und andererseits
sowie .
Literatur
[Bau] Baumann, Jelass: Die Entfesselung des Denkens – Pythagoras. Zrich: Nimrod-Literaturverlag 2003.