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Hans Walser, [20191105]
Paritt
Anregung: Satz von Eddy
Geometrisches Problem zum Thema Paritt.
Ist folgende Aussage wahr?
Jede Gerade durch den Schwerpunkt eines regelm§igen n-Eckes halbiert dieses flchenm§ig.
Richtig fr gerades n, falsch fr ungerades n.
Punktsymmetrie. Die beiden Teile sind nicht nur flchenm§ig gleich gro§, sondern sogar kongruent.
Zunchst ein exemplarisches Gegenbeispiel. Wir unterteilen ein gleichseitiges Dreieck in 9 kongruente Teildreiecke (Abb. 1). Die senkrechte Symmetrieachse halbiert das Dreieck flchenm§ig. Bei der waagerechten Geraden durch den Schwerpunkt haben wir oben vier Teile und unten fnf Teile.
Abb. 1: Gleichseitiges Dreieck
Nun zur allgemeinen Situation mit ungerader Eckenzahl. Die Abbildung 2 zeigt zwar die Situation fr das regelm§ige Fnfeck, die berlegungen dazu gelten aber fr alle regelm§igen Vielecke ungerader Eckenzahl u > 1.
Wir setzen das Vieleck bodenstndig, das hei§t mit einer horizontalen Seite unten und einer Spitze oben.
Abb. 2: Ungerade Eckenzahl
Die Symmetrieachse durch die Spitze halbiert das Vieleck flchenm§ig (Axialsymmetrie). Die Hlfte rechts von der Symmetrieachse frben wir gelb. Nun drehen wir diese Symmetrieachse um den Schwerpunkt um einen kleinen Winkel . Die gelbe Flche wird um das grne Stck (oben) gr§er und um das rote Stck (unten) kleiner. Da das rote Stck kleiner ist als das grne Stck, haben wir auf der gelben Seite einen Nettozuwachs und auf der anderen Seite einen entsprechenden Verlust. Die gedrehte Gerade halbiert also das Vieleck nicht mehr.
Hintergrund: Ein regelm§iges Vieleck gerader Eckenzahl ist punktsymmetrisch (wie die Gerade), bei ungerader Eckenzahl haben wir keine Punktsymmetrie.
Unter der k-Spinne verstehen wir eine Figur aus k > 1 vom selben Punkt (Zentrum) ausgehenden Strahlen, welche regelm§ige Winkel einschlie§en (Abb. 3).
Fr k = 2 erhalten wir die punktierte Gerade, fr k = 3 den Mercedes-Stern, fr k = 4 das orthogonale Kreuz.
Abb. 3: k-Spinnen
Wir setzen nun das Zentrum einer k-Spinne in den Schwerpunkt eines regelm§igen n-Eckes.
Es gilt:
Genau wenn k ² n ein Teiler von n ist, zerlegt zu diesem k jede k-Spinne das regelm§ige n-Eck in k flchengleiche (sogar kongruente) Teile.
Beweis im Prinzip analog zu oben. Statt mit Punktsymmetrien mssen wir mit Drehsymmetrien arbeiten.
Die Abbildung 4 zeigt eine 3-Spinne, die ein regelm§iges Hexagon in drei kongruente Teile zerlegt.
Abb. 4: Hexagonzerlegung
Noch offen ist die Frage, was geschieht, wenn n < k ist, aber n ein Teiler von k.
Dazu Gegenbeispiele.
Fr n = 3 und k = 6 (Abb. 5) gibt es zwar einen symmetrischen Fall mit Zerlegung in 6 kongruente Teile. Verdrehen der 6-Spinne fhrt aber zu Zerlegungen mit nicht kongruenten Teilen.
Abb. 5: Zerlegung in kongruente Teile und in nicht kongruente Teile
Fr n = 3 und k = 9 gibt es keine Zerlegung in 9 kongruente Teile (Abb. 6).
Abb. 6: Keine Zerlegung in kongruente Teile
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