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Hans Walser, [20140713]
Analogie zum Quadrat im Raum
†blicherweise wird der Wźrfel als das Analogon des Quadrates im Raum angesehen. Es gibt allerdings auch andere Mšglichkeiten, das Quadrat in den Raum zu analogisieren.
Es gibt gute Grźnde, den Wźrfel als ein Analogon des Quadrates im Raum anzusehen.
Beispiel:
Quadrat =
Wźrfel =
n-d-Hyperwźrfel: =
Wir sehen das Quadrat als die konvexe Hźlle zweier kongruenter Strecken, die sich mittig orthogonal schneiden (Diagonalen). Das rŠumliche Analogon ist das Oktaeder.
Formeln:
Quadrat =
Oktaeder =
=
In einem kartesischen Koordinatensystem seien und die beiden Einheitsvektoren.
Wir definieren rekursiv eine Vektorfolge : . Weiter sei der um +90ˇ gedrehte Vektor . Damit erhalten wir die Situation der Abbildung 1.
Abb. 1: Vektorzug
Der Vektorzug schlie§t sich zum Quadrat, die Summe der ersten vier Folgenvektoren ist der Nullvektor.
Weiter ist und allgemein . Wir haben ein periodisches Verhalten mit der PeriodenlŠnge 4 und ein antiperiodisches Verhalten mit der PeriodenlŠnge 2. Fźr die Summe gilt:
In einem kartesischen rŠumlichen Koordinatensystem seien die drei Einheitsvektoren.
Wir definieren rekursiv eine Vektorfolge : und . Weiter sei:
Die Rekursion erinnert von ferne an die Fibonacci-Rekursion. Wir erhalten der Reihe nach:
und allgemein . Wir haben ein periodisches Verhalten mit der PeriodenlŠnge 3. Der Vektorzug schlie§t sich nicht. Die Summe divergiert.
Die Abbildung 2 zeigt die Situation.
Abb. 2: Vektorzug im Raum
Es ergibt sich eine eckige Spirale, welche sich auf einem Dreikant emporwindet. Bei Sicht lŠngs der blau eingezeichneten Wźrfeldiagonalen sehen wir den Querschnitt des Dreikants (Abb. 3).
Abb. 3: Dreikant
Die Vektoren schneiden die Mantelkanten des Dreikants unter einem Winkel von:
Daher kšnnen wir ein Modell des Dreikants mit eckiger Spirale aus einer Plastikfolie im DIN-A4-Format bauen. Wir legen die Folie im Querformat hin und zeichnen die Diagonale von links unten nach rechts oben. Anschlie§end erstellen wir vier oder acht Bergfalten gemЧ Abbildung 4.
Abb. 4: Bauanleitung Dreikant
Nun kšnnen wir die Folie zum Dreikant falten und mit Bźroklammern oder Klebeband fixieren (Abb. 5).
Abb. 5: Modell aus Plastikfolie
In der Ebene haben wir mit Drehen um 90ˇ gearbeitet, im Raum mit dem Kreuzprodukt. Diese beiden Operationen lassen sich unter einen Hut bringen, so dass die Analogie offensichtlich wird. Das geht mit Hilfe von formalen Determinanten.
Wir arbeiten mit einem Vektor
und bilden die formale Matrix A:
Die EintrŠge dieser Matrix sind also in der ersten Spalte die Komponenten des Vektors und in der zweiten Spalte die Einheitsvektoren. Nun berechnen wir formal die Determinante:
Wir erhalten einen Vektor, und zwar den um 90ˇ gedrehten Vektor .
Wir arbeiten mit zwei Vektoren
und berechnen die analoge Determinante:
Wir erhalten das Kreuzprodukt.
Im n-dimensionalen Raum kšnnen wir nun analog die Determinante einer Matrix berechnen deren erste n – 1 Spalten die Komponenten von n – 1 Vektoren sind und deren letzte Spalte aus den n Einheitsvektoren besteht. Diese Determinante ist wieder ein Vektor im n-dimensionalen Raum.
Schreibweise:
Wir starten mit den drei Vektoren
und verwenden die Rekursion:
Wir erhalten der Reihe nach:
Wir haben eine PeriodenlŠnge 8 und eine AntiperiodenlŠnge 4. Der Vektorzug ist geschlossen.
Fźr die Summe gilt:
Wir haben also prinzipiell dasselbe Verhalten wie in der Dimension 2.
Mit den vier Startvektoren und der Rekursion
erhalten wir:
Wir haben im Prinzip dasselbe Verhalten wie in der Dimension 3. Der Vektorzug schlie§t sich nicht.
Die Summe divergiert.
Es ergibt sich eine ParitŠtsunterscheidung bezźglich der Dimension n. Der Grund fźr diese ParitŠtsunterscheidung ist das alternierende Vorzeichenverhalten bei der Entwicklung der Determinante nach Laplace.
AntiperiodenlŠnge n, PeriodenlŠnge 2n.
Die Summe ist ebenfalls periodisch mit der PeriodenlŠnge 2n.
Der Vektorzug ist geschlossen.
PeriodenlŠnge n.
Die Summe divergiert.
Der Vektorzug schlie§t sich nicht.