Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03365.jsonl.gz/2176

Hans Walser, [20150912]
Unterteilung des Tangentenvierecks
Anregung: M. M., O.
Die Triangulation eines Tangentenvierecks fhrt zu speziellen Berhrungspunkten der Inkreise der Teildreiecke.
Zunchst zerlegen wir ein beliebiges Viereck mit einer Diagonalen in zwei Dreiecke und zeichnen in jedem Teildreieck den Inkreis. Die beiden Inkreise berhren die Diagonale in der Regel in verschiedenen Punkten (Abb. 1).
Abb. 1: Inkreise in Teildreiecken
Wir vermuten, dass die Distanz zwischen den beiden Berhrungspunkten unabhngig davon ist, mit welcher Diagonalen wir das Viereck unterteilt haben.
Zur Berechnung dieser Distanz verwenden wir die Bezeichnungen der Abbildung 2.
Abb. 2: Bezeichnungen
Wir berechnen die alternierende Seitensumme des Viereckes ABCD:
(1)
Somit ist:
(2)
Die Distanz ist also unabhngig von der zur Unterteilung gewhlten Diagonalen.
In einem Tangentenviereck ist die alternierende Seitensumme null. Daher ist auch , und die beiden Inkreise in den Teildreiecken haben den Berhrungspunkt mit der Diagonalen gemeinsam (Abb. 3).
Abb. 3: Tangentenviereck
Wir beginnen mit zwei sich berhrenden Kreisen und whlen auf der gemeinsamen Tangente im Berhrungspunkt zwei Punkte. Von diesen Punkten aus zeichnen wir je die anderen Tangenten an die beiden Kreise und erhalten so ein Tangentenviereck (Abb. 4).
Abb. 4: Konstruktion eines Tangentenviereckes
Werden die beiden Punkte auf der gleichen Seite gewhlt, ergibt sich ein nicht konvexes Viereck mit Ankreis (Abb. 5). Da der Ankreis auch alle vier Seitengeraden des Viereckes berhrt, kann das Viereck ebenfalls als Tangentenviereck bezeichnet werden.
Abb. 5: Ankreis
In einem nicht konvexen Tangentenviereck ist die doppelt alternierende Seitensumme null. Dazu die Bezeichnungen der Abbildung 6.
Abb. 6: Nicht konvexes Tangentenviereck
Es ist:
(3)
Das hei§t aber, dass die Punkte B und D auf derselben Ellipse mit den Brennpunkten A und C liegen.
Schlie§lich knnen wir die beiden Kreise ineinander zeichnen (Abb. 7 und 8).
Abb. 7: Kreise berhren sich von innen
Abb. 8: Kreise berhren sich von innen