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Dieser Artikel stammt aus unserem Spendermagazin «das Gehirn». Unsere Zeitschrift «das Gehirn» erscheint viermal im Jahr und ist für Spenderinnen und Spender der Schweizerischen Hirnliga kostenlos. Lesen Sie weitere spannende Beiträge, indem Sie hier ein Probeexemplar bestellen.
Einige der berühmtesten Rätsel trainieren nicht nur das Gehirn. Sondern sie zeigen, wo es ins Stolpern gerät; welche Denkfehler der Mensch häufig macht.
Knacken Sie die beiden Rätsel in unserem Artikel auf Anhieb? Und wenn Sie sich damit schwertun – woran liegt das?
Ziegen-Problem (auch Monty-Hall-Standard- Problem genannt)
Das Ziegen-Problem ist wohl eines der meistdiskutierten Rätsel des 20. Jahrhunderts. Es füllt einen seitenlangen Wikipedia-Artikel mit komplizierten Tabellen und Formeln, und einige Spezialfälle davon wurden sogar von Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftlern kontrovers diskutiert. Dabei ist es auch für Laien gut möglich, das Problem zu lösen – wenn man einige typische Denkfallen überwindet.
Das Rätsel wurde ursprünglich im Jahr 1975 vom Statistiker Steve Selvin im Leserbrief einer wissenschaftlichen Fachzeitschrift publiziert. In den 90er Jahren wurde es einer breiten Öffentlichkeit bekannt, weil es die Kolumnistin Marilyn vos Savant (die als Person mit dem höchsten IQ der Welt im Guinness Buch der Rekorde stand) im vielgelesenen US-amerikanischen Sonntagsblatt «Parade» erläuterte. Sie bekam daraufhin über 10 000 empörte Zuschriften von Leuten, die ihre Lösung nicht glaubten. In einer etwas vereinfachten Form lautet das Rätsel wie folgt:
Angenommen, Sie befinden sich in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen drei verschlossenen Türen. Hinter einer Tür ist ein Auto, hinter den anderen beiden jeweils eine Ziege. Das Auto und die Ziegen sind vor der Show zufällig auf die Türen verteilt worden. Sie möchten das Auto gewinnen und müssen dafür die richtige Tür öffnen.
Im ersten Schritt dürfen Sie eine der drei Türen auswählen. Nachdem Sie die Tür gewählt haben, bleibt sie noch geschlossen. Der Showmaster öffnet nun eine der beiden anderen Türen. Er weiss, was sich hinter den Türen befindet, und wählt eine Tür mit einer Ziege. Nun sind also noch zwei Türen verschlossen; hinter einer ist das Auto, hinter der anderen die zweite Ziege.
Nun fragt Sie der Showmaster, ob Sie bei Ihrer ersten Wahl bleiben oder zur anderen Tür wechseln möchten. Sie wählen beispielsweise Tür 1, der Showmaster öffnet Tür 3 mit einer Ziege und fragt Sie dann: «Möchten Sie zu Tür 2 wechseln?».
Ist es vorteilhaft für Sie, Ihre Wahl zu ändern? Wird die Wahrscheinlichkeit grösser, dass Sie das Auto gewinnen?
Wir lassen Ihnen etwas Zeit, darüber nachzudenken, und stellen zunächst ein weiteres Rätsel vor, das viele Gehirne stolpern lässt.
«Survivorship Bias» im Zweiten Weltkrieg
Bei der «Survivorship Bias» handelt es sich eigentlich nicht um ein Rätsel, sondern um einen häufigen Denkfehler, der sogar Entscheidungsträgern der US-amerikanischen Armee unterlaufen ist. Ihnen auch? Damit Sie das prüfen können, stellen wir Ihnen das bekannteste Beispiel dafür vor:
Im Zweiten Weltkrieg wurde die US-amerikanische Fliegerstaffel regelmässig analysiert, damit man die Flugzeuge optimieren könne. Unter anderem wollte man die besonders anfälligen Stellen mit einer besseren Panzerung ausstatten. Hierzu untersuchte man die Flugzeuge, die aus dem Gefecht zurückgekehrt waren: Welche Stellen waren besonders oft von Schüssen durchlöchert worden? Die Idee dahinter: Dort, wo es am meisten Einschusslöcher hatte, sollten die Flugzeuge stärker gepanzert werden (siehe Abbildung rechts).
War das eine gute Idee – und wenn nicht, wieso?
Auflösung Ziegen-Problem
Ja, es ist vorteilhaft für Sie, die Wahl zu ändern. Sogar deutlich: Wenn Sie bei der ursprünglich gewählten Tür bleiben, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie das Auto gewinnen, nur 1/3 – wenn Sie hingegen zur anderen, noch verschlossenen Tür wechseln, beträgt sie 2/3.
Warum? Durch das Eingreifen des Showmasters hat sich an der Wahrscheinlichkeit, dass hinter «Ihrer» Tür ein Auto ist, nichts geändert: Sie beträgt wie am Anfang 1/3, weil Sie aus drei gleichwertigen Türen gewählt haben. Die Ausgangslage für die zweite verschlossene Tür (nennen wir sie Nr. 2) hat sich hingegen verändert: Waren Anfangs je 1/3 auf die drei Türen verteilt, ist nun das 1/3 Wahrscheinlichkeit der Tür, die bereits geöffnet wurde, auf Tür Nr. 2 «übergegangen». Denn dass das Auto hinter der nun geöffneten Tür ist, wurde unmöglich. Tür Nr. 2, die Sie anfangs nicht gewählt haben, enthält dadurch nun mit 2/3 Wahrscheinlichkeit ein Auto.
Das klingt kompliziert. Etwas übersichtlicher wird es, wenn wir die verschiedenen Möglichkeiten durchspielen:
Eine weitere Überlegung, die dabei hilft, die Antwort intuitiv zu verstehen: Stellen Sie sich vor, es wären 100 Türen statt nur drei. Hinter einer ist das Auto, hinter 99 eine Ziege. In der ersten Runde wählen Sie aus diesen 100 Türen eine aus. Danach öffnet der Showmaster (der weiss, wo das Auto ist) 98 Türen, hinter denen Ziegen sind. Eine weitere Tür bleibt zu. Würden Sie nun zur anderen Tür wechseln oder bei Ihrer ursprünglichen Wahl bleiben? Hier ist mit anderen Zahlen dasselbe passiert: Die Wahrscheinlichkeit, dass hinter «Ihrer» Tür das Auto ist, bleibt, wie sie am Anfang war, 1/100. Die Wahrscheinlichkeit, dass hinter der zweiten noch verschlossenen Tür das Auto ist, stieg mit jeder enthüllten Ziege. Zuletzt beträgt sie 99/100.
Wenn Sie nach wie vor nicht von der Antwort überzeugt sind, empfehlen wir Ihnen, was die brillante Kolumnistin Marilyn vos Savant ihren Leserinnen und Lesern empfohlen hat: Ausprobieren! Spielen Sie das Spiel immer und immer wieder durch und zählen Sie, mit welcher Strategie Sie langfristig häufiger gewinnen. Je öfter Sie spielen, desto stärker wird sich die Verteilung der statistischen Wahrscheinlichkeit annähern.
Auflösung «Survivorship Bias» im Zweiten Weltkrieg
Nein, es war keine gute Idee, die zurückgekehrten Flugzeuge dort stärker zu panzern, wo sie am meisten Einschlusslöcher hatten. Warum? Der Schlüssel liegt im Wörtchen «zurückgekehrt»: Die Armeestrategen untersuchten nur diejenigen Flugzeuge, deren Insassen überlebt hatten und überhaupt zurückkehren konnten – also noch mit ihrem Flugzeug heimgeflogen sind. Die Stellen, an denen sie getroffen worden waren, waren also gerade nicht besonders anfällig gewesen, im Gegenteil: Obwohl das Flugzeug dort getroffen wurde, war es durch die Einschüsse nicht abgestürzt, sondern konnte noch weiterfliegen.
Es gab auch Stellen, an denen die zurückgekehrten Flugzeuge nie Einschlusslöcher hatten (s. kleine Abbildung). Wenn man die «Survivorship Bias» mitdenkt, wird klar: Gerade an diesen Stellen muss die Panzerung verstärkt werden! Es ist nämlich zu vermuten, dass die Flugzeuge, die an diesen Stellen getroffen wurden, eben nicht zurückkehren konnten, sondern sofort abstürzten. Daher die Bezeichnung für das Problem: «Survivorship Bias» bedeutet auf Deutsch «Überlebenden-Verzerrungseffekt ». Die Daten werden verzerrt, weil man nur die Überlebenden auswertet, statt die ganze Gruppe.