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Ce livre est une initiation aux approches modernes de l'optimisation mathématique de formes. Il s'appuie sur les seules connaissances de première année de Master de mathématiques, mais permet déjà d'aborder les questions ouvertes dans ce domaine en pleine effervescence. On y développe la méthodologie ainsi que les outils d'analyse mathématique et de géométrie nécessaires à l'étude des variations de domaines. On y trouve une étude systématique des questions géométriques associées à l'opérateur de Laplace, de la capacité classique, de la dérivation par rapport à une forme, ainsi qu'un FAQ sur les topologies usuelles sur les domaines et sur les propriétés géométriques des formes optimales avec ce qui se passe quand elles n'existent pas, le tout avec une importante bibliographie.
Variation et Optimisation de Formes is an introduction to the modern theory of shape optimization. There are no prerequisites beyond a standard undergraduate background in mathematics. Yet the book leads up to open questions in this very active field of research. Methodology and tools of mathematical analysis and geometry for variations of shapes are carefully described. Emphasis is put on geometric questions for the Laplace operator, on the classical capacity, or on shape derivatives. It also gives an FAQ on the usual topologies for domains and on the geometric properties of optimal shapes and shows what to do when they do not exist. The book ends on an extended bibliography.