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Physik | Technik
Julian Seeholzer, 2004 | Emmenbrücke, LU
Das von Johann Bernoulli veröffentlichte Brachistochronenproblem untersucht die schnellste Bahn eines reibungsfrei zwischen zwei Punkten in einer vertikalen Ebene gleitenden Massepunktes. Dieses Problem wurde in dieser Arbeit für beliebige dynamischen Systeme verallgemeinert und mathematisch formuliert. Das allgemeine Brachistochronenproblem wurde dann für drei dynamische Systeme, welche sich vom ursprünglichen System von Bernoulli unterscheiden, untersucht. Das System mit Reibung untersucht die Brachistochrone, falls eine Reibungskraft zwischen Kurve und Massepunkt wirkt, das System mit Rotation, falls die Masse ausgedehnt ist und eine Rotationsbewegung ausführt und das kombinierte System, falls eine Reibungskraft wirkt und zusätzlich eine Rotationsbewegung ausgeführt wird. Das Problem wurde dann für diese Systeme mathematisch behandelt. Um theoretischen Lösungen überprüfen zu können, wurde für jedes System eine Simulation implementiert sowie eine experimentelle Untersuchung durchgeführt. Diese weiteren Untersuchungen erlaubten es abzuschätzen, ob die theoretisch erarbeiteten Lösungen, das physikalisch realistische System im Experiment genauer modellieren als das System von Bernoulli. Es konnte gezeigt werden, dass dies gilt.
Fragestellung
Die Arbeit untersuchte die folgenden zwei Fragestellungen: (I) Haben Reibungskräfte und Rotationsbewegungen einen Einfluss auf die Form der Brachistochrone eines Systems? (II) Beschreiben vereinfachte Systeme, welche eine Reibungskraft und / oder eine Rotationsbewegung berücksichtigen, ein physikalisch realistisches System genauer als das System von Bernoulli?
Methodik
Zur theoretischen Behandlung des allgemeinen Brachistochronenproblems wurden Methoden der Variationsrechnung und Ansätze aus der Theorie über gewöhnliche Differentialgleichungen verwendet. Ein zweiter Ansatz griff auf das Modellieren physikalischer Systeme in Python zurück. Der letzte Ansatz basierte auf einer experimentellen Untersuchung. Für dieses wurde mittels eines 3D-Druckverfahrens ein Modell der Zykloide hergestellt, sowie eine Infrarot-basierte Messanlage mit Steuerprogramm entwickelt.
Ergebnisse
Die theoretischen Untersuchungen lieferten die Beschreibung der Lösungskurven durch parametrisierte Vektorfunktionen sowie eine Beschreibung der Laufzeit eines Körpers für diese Kurve. Die Lösungskurven sind für die beiden Systeme, welche eine Reibungskraft berücksichtigen, mit der Zykloide verwandte Kurven. Sie entsprechen einer rotierten, skalierten und translatierten Zykloide. Für das System mit Rotation ist die Lösungskurve die Zykloide. Damit konnte die erste Fragestellung beantwortet werden. Es konnte weiter gezeigt werden, dass der Einfluss der Vereinfachungen in den Berechnungen nach oben begrenzt ist und sehr klein sein muss. Mittels des Experimentes konnte, unter Beachtung von Fehlergrenzen, noch die zweite Fragestellung beantwortet werden und gezeigt werden, dass das System mit Rotation und das kombinierte System, die physikalische Situation des Experiments besser beschreiben als das System von Bernoulli. Für das System mit Reibung konnte starke Evidenz gesammelt werden, dass dies gilt.
Diskussion
Die Simulation hatte den Vorteil, dass im Vergleich zu einem Experiment, beliebige Kurven untersucht werden konnten. Jedoch hat sie den Nachteil, dass die daraus abgeleiteten Resultate zusätzlich in einem Experiment untersucht werden müssen. Mit der Simulation konnten so Voruntersuchungen getätigt werden, um dann ein geeignetes Experiment entwickeln zu können. Da zur Untersuchung der zweiten Fragestellung lediglich eine Kurve notwendig war, ist dies eine geeignete Methodik. In den Berechnungen mussten Vereinfachungen gemacht werden, welche zu Ungenauigkeiten führen. Diese Ungenauigkeiten konnten jedoch mittels den Simulationen nach oben beschränkt werden. Es zeigte sich, dass diese sehr kleine Werte annehmen müssen und daher nicht von grossem Einfluss sind.
Schlussfolgerungen
Die Arbeit zeigte, dass die Brachistochrone nicht in allen Systemen der Zykloide entspricht und lieferte mit der Untersuchung einer Verallgemeinerung des Problems neue Erkenntnisse über Systeme, welche durch die Dynamik des kombinierten Systems beschrieben werden. Weiter konnte ein erstaunlicher Zusammenhang zwischen dem Betrag der Reibungskraft und der Form der Lösungskurve aufgezeigt werden.
Würdigung durch den Experten
Prof. Dr. Andreas Müller
Johann Bernoulli forderte 1696 die mathematische Welt heraus, sich am Brachistochronenproblem zu versuchen, was schliesslich zur Entwicklung der Variationsrechnung geführt hat. Auch Julian Seeholzer stellt sich Bernoullis Herausforderung, geht in seinen Zielsetzungen jedoch deutlich weiter. Er untersucht in seiner Arbeit realistischere Systeme unter Berücksichtigung von Reibung und Rotation. Er bleibt auch nicht bei der theoretischen Behandlung, sondern simuliert die Modelle mit dem Computer und verifiziert die Resultate in Versuchen an einem 3D-gedruckten Modell.
Prädikat:
hervorragend
Sonderpreis «European Union Contest for Young Scientists (EUCYS)» gestiftet von der Fondazione Aldo e Cele Daccò
Kantonsschule Reussbühl
Lehrer: Jörg Donth