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Sonnenfinsternis und Besselsche Elementesiehe auch: Mondfinsternis und Besselsche Elemente ?
Wikipedia-Eintrag: Besselsche Elemente (meine inoffizielle Version)
Inhalt
1. Einleitung
1. Einleitung ↑ Anfang
Die Besselschen Elemente sind geometrische Größen, die Friedrich Wilhelm Bessel in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts für die Beschreibung des eine Sonnenfinsternis verursachenden Mondschattens eingeführt hat. Mit ihnen werden in einem zweiten Schritt der Rand des Mondschattens auf der Erdoberfläche und wie die Bedeckung der Sonne durch den Mond an individuellen Beobachtungsorten aussieht, berechnet. Ein- und derselbe Mondschatten ist zu einem gegebenen Zeitpunkt für ganz unterschiedliche Beobachtungsergebnisse an den unterschiedlichen Beobachtungsorten verantwortlich. Bessels Verdienst war, mit der Beschreibung des Mondschattens eine für alle Beobachtungsorte nutzbare Berechnungsgrundlage für Vorhersagen geschaffen zu haben. Vorher war es üblich, dass jede ortsabhängige Berechnung diese vorbereitende Arbeit in irgend einer Art und Weise einschloss, also grundsätzlich vielfach vorgenommen wurde.
Welche Bewandtnis hat es mit dem Ausdruck Elemente?
Noch ein Hinweis auf in der Astronomie vorkommende Eigenarten am Beispiel der sogenannten Zeitgleichung:
2. Astronomische Elemente in astronomischen Jahrbüchern ↑ Anfang
Die Besselschen Elemente für bevorstehende Sonnenfinsternisse und andere von der Erde aus beobachtbare Bedeckungen zwischen Himmelskörpern werden heute von nationalen astronomischen Gesellschaften berechnet und in Jahrbüchern (zum Beispiel im nordamerikanisch/britischen Astronomical Almanac[1]) veröffentlicht. Dort sind sie eine Ergänzung zu den Ephemeriden (primäre Gruppe astronomischer Elemente), mit denen die voraus bestimmten, zeitlich veränderlichen Positionen der beweglichen Himmelskörper (Sonne, Mond, Planeten u.a.) in allgemeiner Form bekannt gemacht werden. Die Besselschen Elemente sind ihrem besonderen Zweck dienende Umrechnungenen der Ephemeriden (inkl. Abständen von der Erde) und der Durchmesser der beiden beteiligten Himmelskörper. Sie werden nur für die Dauer der jeweiligen Bedeckung, dafür aber in wesentlich kürzeren Zeitabständen (z.B. alle 10 Minuten einmal; Ephemeriden z.B. nur von Tag zu Tag einmal) erstellt. Die Ephemeriden selbst beruhen auf den sogenannten Bahnelementen [2] und deren zahlreichen aktuellen Korrekturen. Die Bahnen der Himmelskörper sind nämlich in Form und Lage nicht stabil. Sie sind keine exakten Ellipsen (sogenannte Kepplersche Bahnen), und ihre Lagen im Weltraum ändern sich mit der Zeit. Beides trifft in relativ starkem Maße auf die Mondbahn zu. Die Beachtung ihrer kleinen Veränderungen ist entscheidend für eine gute Sonnenfinsternis-Prognose. Bahnelemente sind grundsätzlich keine zeitliche Folge von Werten für geometrische Größen, sondern die Konstanten in Bewegungsgleichungen. Elemente wie Ephemeriden sind zunächst mit diesen Gleichungen für betimmte Zeitpunkte ermittelte Ortsangaben für Himmelskörper, die danach mit mehreren Korrekturfaktoren und Korrekturgleichungen so verändert werden, dass sie der kommenden Realität besser entsprechen.
Zur Berechnung der Besselschen Elemente gibt es heute eine Vielzahl von der Allgemeinheit benutzbarer elektronischer Rechenprogramme, vor allem für die für Sonnenfinsternisse gebrauchten Elemente. Auch für die Anwendung der Besselschen Elemente zur Ermittlung der örtlichen Verhältnisse auf der Erdoberfläche bei einer Sonnenfinsternis (zum Beispiel die Bedeckungsdauer an einem bestimmten Ort oder der Pfad, auf dem sich der Kernschatten über die Erdoberfläche bewegt), werden interessierten Laien Rechenprogramme zur Verfügung gestellt. Letztlich ist es am bequemsten, die zuverlässig und "flächendeckend" berechneten und veröffentlichen Finsternis-Voraussagen der NASA zu benutzen [3] (und sich die Mühe für das Verständnis der Besselschen Elemente und ihrer Anwendung zu ersparen).
3. Erklärung der Besselschen Elemente am Beispiel des Mondschattens ↑ Anfang
Auf der sonnenabgewandten Seite des Mondes entstehen Schatten, ein Kernschatten und ein diesen umgebender Halbschatten. Wenn diese Schatten auf die Erde fallen, sind sie die Akteure einer Sonnenfinsternis. Um letztere beschreiben und ihren Verlauf vorhersagen zu können, ist von der Geometrie und der Lage der Schatten relativ zur Erde auszugehen.
Abb.1 Sonne (gelb), Mond (blau) und Erde (durchsichtig) in einem Modell
3.1 Fundamentales Koordinatensystem und Fundamentalebene ↑ Anfang
Das fundamentale Koordinatensystem enthält den Erdmittelpunkt und ist zu jeder Zeit so orientiert, dass seine z-Achse parallel zur Schattenachse ist (s. Abb.1). Die positive Seite der z-Achse zeigt zur besonnten Seite der Erdoberfläche. Die x/y-Ebene ist die Fundamentalebene. Die Schnittgerade der Fundamentalebene mit der Äquatorebene ist die x-Achse, deren positive Richtung von der besonnten Seite der Erdoberfläche aus gesehen Osten ist. Das fundamentale ist wie das äquatoriale ein rechtshändiges Koordinatensystem, wodurch sich die positive Richtung der y-Achse ergibt (s. Abb.1).
3.2 Besselsche Elemente ↑ Anfang
Besselsche Elemente 1 und 2: (s. Abb.1)
Besselsche Elemente 3 und 4: (s. Abb.2)
Besselsche Elemente 5 und 6: (s. Abb.n 1 und 2)
Besselsche Elemente 7 und 8: (s. Abb.3)
4. Ermittlung der Besselschen Elemente ↑ Anfang
Die acht für eine Sonnenfinsternis gebrauchten Besselschen Elemente werden aus acht anderen Bestimmungsstücken ermittelt. Diese sind:
Für die Angabe der Richtung (Besselsche Elemente 1 und 2: d u. a) und der Lage
Wegen der im Vergleich zu Sternen geringen Entfernung der Sonne und des Mondes von der Erde und ihrer daraus folgenden deutlich feststellbaren scheinbaren Größe wirft der Mond kegelförmige Schatten (Kern- und Halbschatten). Die Besselschen Elemente 3 u. 4 und 7 u. 8, die die Radien l1 u. l2 der Schattenkreise und die Winkel f1 u. f2 der Schattenkegel angeben, benötigen zu ihrer Bestimmung zusätzlich die Radien ρ1 u. ρ2 von Sonne und Mond
Die Abstände von Sonne und Mond von der Erde sind wesentlich zu groß beziehungsweise ihre Durchmesser wesentlich zu klein, um die Besselschen Elemente graphisch ermitteln zu können. Die Abbildungen zeigen die Zusammenhänge grundsätzlich, aber in allen sind die Verhältnisse übertrieben unmassstäblich dargestellt. Die Ermittlung der Besselschen Elemente lässt sich mit erforderlicher Genauigkeit nur rechnerisch durchführen.
5. Berechnung der Besselschen Elemente ↑ AnfangLiteratur: [5] und [6]
5.1 Elemente Deklination und Stundenwinkel (beziehungsweise Rektaszension) der Schattenachse ↑ Anfang
Parallel zur Schattenachse liegt der Differenzvektor rs - rm (Abb.4), der als Richtungsvektor für die z-Achse des funamentalen Systems gebraucht werden kann. Als Einheitsvektor - also auf seine Länge |rs - rm| bezogen - ist er identisch mit dem Einheitsvektor k der fundamentalen z-Achse:
Im äquatorialen Koordinatensystem ist k ein allgemeiner Einheitsvektor, dessen Richtungswinkel (sphärische Koordinaten) die gesuchten Winkel a und d sind. Die bekannte Beziehung zwischen sphärischen und kartesischen Koordinaten lautet:
Analog und mit absoluter statt Einheitslänge gelten für die Ortsvektoren zur Sonne und zum Mond mit den vorgegebenen sphärischen Koordinaten α und δ:
Die Gleichungen (2) bis (4) werden in Gleichung (1) eingesetzt, (2) auf die rechte, (3) und (4) in den Zähler der linken Seite. Die drei Gleichungen für die kartesischen Komponenten X, Y und Z des Einheitsvektors k sind getrennt auszuwerten. Sie lauten:
Zur Auswertung wird noch die im Nenner der linken Seiten dieser Gleichungen stehende Länge des Differenzvektors benötigt. Sie ist mit den Zählern der linken Seiten als Raumdiagonale wie folgt festgelegt:
5.2 Elemente x- und y-Koordinate der Schattenachse ↑ Anfang
Die Besselschen Elemente x und y sind die Koordinaten von Sonne und Mond im fundamentalen System. Sie können mit dem bekannten standardisierten
Verfahren Verdrehung eines Koordinatensystems in ein anderes (bzw. die Ermmittlung der Koordinaten im anderen Koordinatensystems) mit Drehmatrizen ( Stichwort: Eulerwinkel ) aus ihren äuatorialen Koordinaten berechnet werden. Im vorliegenden Fall wird dieses Vorgehen zwar erwähnt, sein Gebrauch aber nicht beschrieben ([6]). Die Ergebnisse folgen ohne detaillierte Herleitung ([5] und [6]). Ich füge die fehlenden Herleitungen (Herleitung und Gebrauch der Gesamt-Drehmatrix D) hinzu.
Die erste Drehung wird um die äquatoriale Z-Achse vorgenommen. Drehwinkel ist a+π/2 (X- zu x-Achse). Die zweite Drehung geschieht um die neue x-Achse mit dem Winkel π/2-d. Die neue z-Achse ist nun zur Schattenachse parallel, und die neuen Achsen x und y spannen die Fundamentalebene auf.
Die Koordinaten (x,y,z) eines Vektors v sind im gedrehten System (Fundamental-) das Produkt der Koordinaten (X,Y,Z) im Ausgangssystem (Äquatorial-) mit der Drehmatrix D (Anmerkung 4): >>
Die Drehmatrix ist das Produkt aus den Matrizen der Einzeldrehungen, dabei steht die Matrix der ersten Drehung hinten (Rechenregel: "von rechts nach links multiplizieren").
Der Winkel ζ der ersten Drehung ist (a + π/2). Kürzere, gleichwertige Schreibweisen der trigonometrischen Funktionen der Klammerausdrücke sind:
Der Winkel χ der zweiten Drehung ist (π/2 - d). Kürzere, gleichwertige Schreibweisen der trigonometrischen Funktionen der Klammerausdrücke sind:
Die verkürzt geschriebenen Winkelfunktionen in die Teilmatrizen eingesetzt und die Multiplikation ausgeführt:
Die gesuchten fundamentalen Koordinaten x und y der Schattenachse sind auch die der äquatorialen Ortsvektoren sowohl zur Sonne als auch zum Mond. Im Folgenden werden die des Mondvektors rm benutzt und Gleichung (4) in Spaltenvektoren geschrieben: >>
Die Anwendung der Drehmatrix D auf die äquatorialen Mondkoordinaten ergeben die fundamentalen Mondkoordinaten xm, ym und zm (Anmerkung 5):
Jede der drei Matrix-Zeilen auf jeden der drei Koordinatenwerte des Spaltenvektors angewendet liefert die Ergebnisse:
xm und ym sind zu x und y verallgemeinert. zm wird für die Berechnung der Schattenradien (Abschnitt 5.4) benötigt.
Die momentane Entfernung |rm| von der Erde zum Mond ist in den Ephemeriden-Tabellen oft indirekt als äquatoriale horizontale Mondparallaxe πm zu finden. Damit und mit dem Durchmesser der Erde RE ist sie errechenbar:
5.3 Elemente Kegelwinkel des Halb- und des Kernschattens ↑ Anfang
Die Besselchen Elemente f1 und f2 sind die Winkel zwischen der Schattenachse und den Tangenten an Sonne und Mond, die die Kegelmäntel des Halb- und Kernschattens bilden (siehe Abb.3). Sie können mittels eines Hilfsdreiecks ermittelt werden. Dabei werden die Tangenten parallel verschoben, so dass sie durch den Mondmittelpunkt gehen. Hypotenuse beider Dreiecke ist die Verbindungslinie des Sonnen- und Mondmittelpunkts, die Gegenkatheten der gesuchten Winkel bilden die auf den parallel verschobenen Tangenten rechtwinklig stehenden Strecken durch den Sonnenmittelpunkt. In diesen rechtwinkligen Dreiecken ist jeweils die Länge zweier Seiten bekannt, zum einen die Entfernung zwischen Sonne und Mond, zum anderen die Länge der Gegenkathete, die beim Halbschatten der Summe aus Sonnen- und Mondradius entspricht, beim Kernschatten der Differenz dieser beiden Größen. Somit gilt:
Die Radien ρs und ρm sind konstante Größen:
5.4 Elemente Radius des Halb- und des Kernschattens auf der Fundamentalebene ↑ Anfang
Um die letzten beiden noch fehlenden Besselschen Elemente l1 und l2 zu errechnen - die Radien von Halb- und Kernschatten in der Fundamentalebene - wird der Abstand der Schnittpunkte der Tangenten mit der Schattenachse von der Fundamentalebene benötigt (s. Abb.3). Für den Halbschatten liegt dieser mit V1 bezeichnete Punkt auf der Schattenachse zwischen Sonne und Mond und stellt die Spitze des Halbschattenkegels dar. Der Schnittpunkt V2 liegt ebenfalls auf der Schattenachse und ist die Spitze – also der Endpunkt – des Kernschattens. Dabei gilt:
Mittels dieser Abstände lassen sich die Radien der Schattenkegel in der Fundamentalebene wie folgt ermitteln:
Wenn die Kegelspitze des Kernschattens vom Mond aus gesehen hinter die Fundamentalebene fällt, also eine totale Sonnenfinsternis vorliegt, ist deren Koordinate zV2 negativ, im anderen Fall positiv (ringförmige Sonnenfinsternis). Dementsprechend wird der Kernschattenradius l2 bei einer totalen Finsternis mit negativem Vorzeichen gekennzeichnet, bei ringförmiger Finsternis hingegen mit positivem. Die Größen zV1 und l1 sind immer positiv.
6. Beispiel-Berechnung Besselscher Elemente ↑ Anfang
Eine wichtige Vorarbeit für die Detailberechnung einer bevorstehenden Finsternis ist die Beschaffung der Koordinatenwerte von Sonne und Mond (Ephemeriden) für mehrere eng benachbarte Zeitpunkte (z.B. alle 10 Minuten). Die Berechnung der Ephemeriden aus den Bewegungsgleichungen der Himmelskörper ist grundsätzlich möglich, in der Regel aber durch den Laien wegen der Forderung nach hoher Genauigkeit praktisch nicht erfolgreich. Werte hoher Genauigkeit werden von einschlägigen Diensten angeboten [6]. Zur Erleichterung der Rechnungen, die eher als Fleißarbeiten anzusehen sind, wird man sich ein Computer-Rechenprogramm anfertigen (oder eins im Internet suchen). Die folgende Wiederholung einer vorgefundenen [7], von Hand gemachten Berechnung Besselscher Elemente für einen einzigen Zeitpunkt der totalen Sonnenfinsternis vom 26. Februar 1979 ist lediglich als Abrundung meiner "Fußwanderung" durch das Thema "Sonnenfinsternis und Besselsche Elemente" gedacht. Für die totale Sonnenfinsternis vom 15. Februar 1961 ist ebenfalls eine solche Einzelberechnung dokumentiert [8].
Totale Sonnenfinsternis vom 26. Februar 1979, 16h UT:
7. Beispiel für die Anwendung der Besselschen Elemente ↑ Anfang
(geplant)
8. Literatur ↑ Anfang
[1] Astronomical Almanac – Data for Astronomy, Spaces Sciences, ... (z.B. für 2013)
9. Anmerkungen ↑ Anfang
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