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Hans Walser, [20131216a], [20140308]
Sphrische Spiralen
Die Idee ist einfach: Wir zeichnen auf einer Weltkarte eine schrg ansteigende Gerade und studieren deren Bild auf der Kugel.
Je nach Kartentyp gibt das verschiedene Kurven auf der Kugel.
In der Plattkarte ist das Gradnetz ein Quadratnetz. Die Karte der Abbildung 1 hat eine Maschenweite von 15¡.
Abb. 1: Plattkarte
Die Geraden mit Steigung ±1 folgen den Diagonalen der Netzquadrate (Abb. 2).
Abb. 2: Situation auf der Karte
Die Abbildung 3 zeigt die Situation auf der Kugel. Die Kurve wird als vivianische Kurve oder Strophoide bezeichnet.
Abb. 3: Situation auf der Kugel
Wenn wir die Sache von oben ansehen, erscheint ein Kreis. Tatschlich ist die Kurve die Schnittkurve der Kugel mit einem stehenden Kreis-Zylinder (Abb. 4).
Abb. 4: Schnitt mit Kreis-Zylinder
Die Steigung ±2 berechnen wir aus der Sicht der Sd-Nord-Achse. Die primre Variable ist also die geografische Breite. Auf ein Karo in Sd-Nord-Reichung geht es ±2 Karos in West-Ost-Richtung.
Die Steigung ±2 entspricht der ãgewhnlichenÒ Steigung (Abb. 5).
Abb. 5: Steigung ±2
Auf der Kugel ergibt sich eine herzfrmige Kurve (Abb. 6).
Abb. 6: Steigung ±2
Die Sicht von oben ist aber nicht die Kardioide. In der Abbildung 7 ist unserer Kurve (rot) die Kardioide (blau) gegenbergestellt.
Abb. 7: Vergleich mit Kardioide
Natrlich knnen wir auch hier mit einem Zylinder arbeiten. Er hat die rote Kurve als Leitlinie (Abb. 8).
Abb. 8: Zylinder
Bei der Steigung 4 muss die Kurve zweimal in West-Ost-Richtung die Erde umkreisen, um den Weg vom Sdpol zum Nordpol zu schaffen (Abb. 9).
Abb. 9: Steigung 4
Wenn wir die Plattkarte zum Zylinder aufwickeln, erhalten wir eine Schraubenlinie.
Auf der Erdkugel ist die doppelte Erdumkreisung ebenfalls zu erahnen (Abb. 10). Es entwickelt sich eine Doppelspirale mit Zentren in den beiden Polen.
Abb. 10: Steigung 4
Die Abbildung 11 zeigt in der Plalttkarte die Situation fr die Steigung 24.
Abb. 11: Steigung 24
Abb. 12: Spirale auf der Kugel
Bei diesen Spiralen wchst die Poldistanz pro Umgang immer um denselben Betrag; bei der Steigung 24 sind es 15¡. Diese Spiralen sind also ein sphrisches Analogon zu den archimedischen Spiralen.
Fr die Steigung a haben diese Spiralen die Parameterdarstellung:
Daraus ergibt sich und fr die Bogenlnge s von Pol zu Pol:
Dieses Integral kann von Maple nur numerisch gelst werden. Fr ergibt sich zum Beispiel:
Die Mercator-Karte ist winkeltreu. Die Abbildung 13 zeigt die Mercator-Karte fr eine Maschenweite 15¡. Das Gradnetz erscheint auf der Karte nicht mehr als Quadratnetz. Die Karte reicht auch nicht bis zu den Polen, denn diese sind auf der Mercator-Karte im Unendlichen.
Abb. 13: Mercator-Karte
Wir knnen aber der Karte ein Quadratnetz unterlegen (Abb. 14).
Abb. 14: Quadratnetz in der Mercator-Karte
Die senkrechten Linien des Quadratnetzes stimmen mit den Meridianen der Karte berein. Bei den horizontalen Linien stimmt es aber nur am quator. Das Quadratnetz ist willkrlich oben und unten bei ±¹ abgeschnitten worden. Dies ist nicht bei den Polen.
Nun bilden wir dieses Quadratnetz auf die Kugel ab (Abb. 15).
Abb. 15: Quadratnetz auf Kugel
Die Maschenweite nimmt in Richtung der Pole ab. Es gibt sogar unendlich viele Quadrate bis zu den Polen.
Nun zeichnen wir wieder Geraden in die Karte und bilden diese auf die Kugel ab.
Die Gerade hat die Richtung der Quadratdiagonalen.
Abb. 16: Steigung 1 auf Mercator-Karte
Auf der Kugel entsteht eine so genannte Loxodrome (Abb. 17).
Loxodromen haben gegenber der Nordrichtung immer denselben Kurswinkel, in unserem Beispiel ist das 45¡E. Wir sehen, wie die Kurve den Quadratdiagonalen entlang luft.
Abb. 17: Loxodrome
Bei der Steigung 2 sehen wir, dass es mehrere Umgnge braucht. Da die Mercator-Karte an sich oben und unten ins Unendliche geht, braucht es sogar unendlich viele Umgnge, um von Pol zu Pol zu gelangen.
Abb. 18: Steigung 2 auf der Mercator Karte
Auf der Kugel erhalten wir die Loxodrome zum Kurswinkel (Abb. 19).
Abb. 19: Loxodrome mit Steigung 2
Solche Loxodromen hat M.C. Escher als Grundlage fr verschiedene Grafiken verwendet.
Abb. 20: Steigung 12
Abb. 21: Steigung 12
Die Loxodrome zur Steigung a hat die Parameterdarstellung:
Daraus ergibt sich und fr die Bogenlnge s von Pol zu Pol:
Die Loxodromen sind das sphrische Analogon zu den logarithmischen Spiralen. Die logarithmischen Spiralen haben nmlich ebenfalls einen konstanten Kurswinkel zum Zentrum.
Die Karte nach Archimedes/Lambert ist flchentreutreu. Die Abbildung 22 zeigt diese Karte fr eine Maschenweite 15¡. Das Gradnetz erscheint auf der Karte nicht mehr als Quadratnetz.
Abb. 22: Flchentreue Karte nach Archimedes/Lambert
Die Dimensionen dieser Karte sind im irrationalen Verhltnis ; die Karte kann daher nicht randbndig mit einem Quadratraster berdeckt werden. Trotzdem knnen wir natrlich Geraden verschiedener Steigungen einzeichnen und auf die Kugel bertragen. Fr die Steigung a ergibt sich auf der Kugel eine Kurve mit der Parameterdarstellung:
Abb. 23: Gerade mit Steigung 1
Wir erhalten auf der Kugel Kurve der Abbildung 24
Abb. 24: Steigung 1
Fr die Steigung 2 ergibt sich die Kurve der Abbildung 25.
Abb. 25: Steigung 2
Die Steigung 24 ergibt die Kurve der Abbildung 26.
Abb. 26: Steigung 24
Ich wei§ nicht, was das ebene Analogon zu diesem Spiralentyp ist.
Das Integral
fr die Bogenlnge von Pol zu Pol kann Maple nur numerisch berechnen.
In der Abbildung 27 ist eine Sinuskurve eingezeichnet. Sie luft entlang der Diagonalen der Netzvierecke.
Abb. 27: Sinuskurve
Die Abbildung 28 zeigt dieselbe Kurve auf der Kugel. Es handelt sich wiederum um die vivianische Kurve oder Strophoide (Abb. 3).
Abb. 28: Auf der Kugel