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Hans Walser, [20161122]
Viereck-Viertelung
Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen
Lehrsatz von D. Brune (Brune 1841): ãWenn man in einem Vierecke mit jeder der beiden Diagonalen durch den Mittelpunkt der andern eine Parallele zieht und den Durchschnittspunct dieser Parallelen mit den Mittelpuncten der vier Seiten durch gerade Linien verbindet, so theilen letztere das Viereck in vier flchengleiche Theile.Ò
Die Situation affin invariant.
Wir transformieren das Viereck mit einer affinen Abbildung, welche das Seitenmittenparallelogramm auf das Einheitsquadrat abbildet (Abb. 1). Das Viereck hat nun orthogonale Diagonalen der Lnge 2 und damit den Flcheninhalt 2. Jedes Teilviereck gem§ Konstruktion des Lehrsatzes hat eine Quadratseite der Lnge 1 als Diagonale. Diese teilt das Teilviereck in zwei Dreiecke mit dieser gemeinsamen Grundlinie 1. Die zugehrigen Hhen ergnzen sich auf 1. Die Flchen der beiden Dreiecke ergnzen sich somit auf ½. Jedes Teilviereck hat also den Flcheninhalt ½. Dies ist ein Viertel des Flcheninhaltes des gesamten Ausgangsviereckes. Dies war zu beweisen.
Abb. 1: Affine Transformation
Die Abbildung 2 zeigt die bliche Parkettierung mit dem Ausgangsviereck der Abbildung 1.
Abb. 2: Parkettierung
Literatur
Brune, D. (1841): Eine Eigenschaft des Vierecks. Journal fr die reine und angewandte Mathematik. 22. S. 379.