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Hans Walser, [20090824a]
Kugel-Steckmodelle
Es werden Steckmodelle von Kugeln besprochen. Dabei werden Gro§kreise, in Einzelfllen auch Kleinkreise, aus starkem Papier geschnitten, geschlitzt oder gekerbt und zusammengesteckt. Allgemeines ber Steckmodelle siehe [Walser 2009].
Durch Projektion des Oktaeders auf seine Umkugel erhalten wir drei paarweise orthogonale Gro§kreise.
Oktaeder und Projektion auf die Umkugel
Steckmodell mit drei Gro§kreisen
Wir verwenden drei verschiedene Bauteile.
Bauteile
Fr das Zusammenstecken werden die Bauteile in der Reihenfolge von links nach rechts eingebaut. Beim Zusammenstecken ist ein wenig sanfte Gewalt ntig — eine bung in Feinmotorik.
An sich (was immer ãan sichÒ hei§t) kme man mit drei Exemplaren des mittleren Bauteils aus.
Drei gleiche Bauteile?
Wir bruchten also nur einen Bauteiltyp. Es msste dann einfach der rote Bauteil durch den grnen gesteckt werden, der grne durch den blauen und der blaue durch den roten. Ausprobieren! — Der erste Schritt geht problemlos, aber dann kommen wir in Schwierigkeiten. Die drei Bauteile sind topologisch gesehen Ringe, welche wie die drei borromischen Ringe wechselseitig ineinander verschlungen sein mssten.
Drei borromische Ringe
Drei nicht verschlungene Ringe knnen wir aber nur in die borromische Lage bringen, indem wir einen der drei Ringe aufschneiden und nach dem Zusammenfgen wieder zusammenlten. So machen es die Zauberknstler mit ihren acht Ringen...
Allerdings geht es mit gleichen Bauteilen. Allerdings mssen wir die Kreise sozusagen halbieren. Wir brauchen daher sechs Bauteile.
Modell mit sechs gleichen Bauteilen
Bauteilmuster:
Bauteil
Unser Modell unterteilt die Kugeloberflche in acht kongruente sphrische Dreiecke, deren Seitenlngen (auf der Einheitskugel) je sind, und die drei rechte Winkel haben.
Wir bauen nun eine Kugel mit einem beliebigen sphrischen Dreieck mit den Seitenlngen a, b, c (bezogen auf die Einheitskugel mit dem Umfang 2¹). Wir knnen entweder mit drei Kreisbauteilen arbeiten oder mit drei Paaren von Halbkreisbauteilen.
Bei drei Kreisscheiben ist die Topologie dieselbe wie beim einfachsten Modell oben.
Drei Kreisscheiben
Im Anhang das Beispiel in extenso. Es ist auch eine spiegelbildliche Version angegeben. Die Idee dabei ist, das Beispiel auf einem Farbdrucker auszudrucken, auszuschneiden und dann die gleichfarbenen Bauteile zweiseitig zu verwenden. Ein Zusammenkleben ist nicht einmal ntig, die Teile halten durch das Zusammenstecken.
Bei drei Paaren von Halbkreisbauteilen kann das so aussehen:
Halbkreis-Bauteile
In der folgenden Abbildung ist das fragliche sphrische Dreieck oben.
Sphrisches Dreieck
Dieses Modell ist geeignet, um die Herleitung der Flchenformel mit dem sphrischen Exzess zu visualisieren.
Durch Projektion des Kuboktaeders auf seine Umkugel erhalten wir die Situation der folgenden Abbildung. Die Kugeloberflche wird durch vier Gro§kreise in acht sphrische Dreiecke und sechs sphrische Vierecke unterteilt.
Kuboktaeder und Projektion auf die Umkugel
Kugelmodell des Kuboktaeders
Wir bentigen vier Bauteile gem§ Figur:
Bauteile
Zwlf gleiche Bauteile
Der einzelne Bauteil ist im Prinzip (Winkelabstand zwischen den u§ersten Kerben) ein Drittelskreis.
Bauteil
Da wir vier Gro§kreise haben, brauchen wir also zwlf gleiche Bauteile.
Wir projizieren das Ikosidodekaeder auf seine Umkugel.
Ikosidodekaeder und Projektion auf Umkugel
Dies fhrt zu einer Figur mit sechs Gro§kreisen.
An sich ist es mglich, ein Modell mit sechs Teilen zu bauen.
Modell aus sechs Teilen
Die Teile sind ungleich.
Bauteile
Das Zusammenstecken ist u§erst heikel, besonders das Einbringen des letzten Bauteils ist etwa vergleichbar mit der Erdumsegelung des Ferdinand de Magellan. Es empfiehlt sich daher, insbesondere bei den letzten Bauteilen, mit zwei Hlften zu arbeiten.
Halbierte Bauteile
u§erlich sieht man das dem Modell nicht an.
Ikosidodekaeder
Modell mit einer 30¡-Rasterung.
Meridiane und Breitenkreise
Blick auf den Sdpol
Bauteile fr die Meridiane
Der zweite und der sechste Bauteil sind symmetrisch, ebenso der dritte und der vierte. Wenn wir mit beidseitig gleichfarbenem Papier arbeiten, knnen wir diese Teile zusammenfassen. Bei der Verwendung von Fotos unter Bercksichtigung der beiden Seiten sind die Teile verschieden.
Die Bauteile finden sich gro§formatig im Anhang.
Fr den quator brauchen wir 2 Bauteile, fr die Breitenkreise ±30¡ insgesamt vier Bauteile und ebenso fr die Breitenkreise ±60¡.
Bauteile fr quator und Breitenkreise
Fr die Herstellung der Bauteile habe ich mit Kartonschablonen gearbeitet. Die Schablone wird auf die Rckseite der Foto gelegt und mit Kugelschreiber bertragen.
Die Schablone links kann fr alle 6 Typen von Meridianen verwendet werden, dazu dienen die Fhrungslcher auf der Achse.
Schablonen fr die Bauteile
Das Zusammenstecken beginnt mit den Meridianen an der Erdachse. Die zwei gleichen Bauteile ergnzen sich zu einem Gro§kreis. Anschlie§end werden die Bauteile fr quator und Breitenkreise eingesteckt.
Wir ersetzen die Breitenkreisebenen durch Breitenkreiskegel mit Spitze im Kugelzentrum und dem Breitenkreis als Leitkreis. Das Modell ist geeignet, die Kugelkoordinaten zu erklren. Auch Punkte im Kugelinnern haben die ãrichtigeÒ geografische Breite. Modell mit einer 30¡-Rasterung.
Meridianebenen und Breitenkegel
Sicht auf den Nordpol
Fr die Meridiane brauchen wir 12 Bauteile, welche paarweise aus sechs Typen bestehen.
Bauteile fr die Meridiane
Bauteile fr quator und Breitenkegel
Die Bauteile fr quator und Breitenkegel haben alle denselben Radius, hingegen sind die Winkelabstnde der Kerben verkrzt.
Fr den quator brauchen wir zwei der Bauteile links, fr die Breitenkegel ± 30¡ insgesamt vier der Bauteile Mitte und fr die Breitenkegel ± 60¡ insgesamt zwei der Bauteile rechts, da dieser Bauteil den ganzen Kegelmantel (inklusive berlappungen an den Nhten) darstellt.
Die Bauteile sind aus starkem Papier geschnitten; dabei knnen alte Fotos, Ansichtskarten oder Karteikarten zweitverwertet werden. Das Ende einer Kerbe wird mit einer Lochzange durchgesto§en. Dann kann sehr einfach bis zum Ende mit der Scheren oder einem Japanschneider geschnitten werden. Die Breite der Kerben hngt vom verwendeten Material ab. Ich habe mit ca. 1 mm gearbeitet. Eine kerbenbreite ist zwingend, wenn man nur mit einem Schnitt arbeitet, wellt sich das Material.
Der Zusammenbau braucht keinen Klebestoff; die Modelle sind im Prinzip reversibel. Erfahrungen im Unterricht zeigen, dass die Technik leicht verstndlich ist.
Literatur
[Walser 2009] Walser, Hans: Steckmodelle. MU Der Mathematikunterricht. Polyeder im Mathematikunterricht. Jahrgang 55. Heft 1. Februar 2009. Friedrich Verlag, Seelze. S. 38-47
Anhang
Sphrisches Dreieck mit Seiten a, b, c.
Kugel mit Meridianen und Breitenkreisen
Im folgenden Schnittmuster in Originalgr§e fr eine Kugel mit dem Radius ca. 7cm. Diese Gr§e ist geeignet fr die Verwendung von DIN A6 Karteikarten oder alten Fotos im selben Format.
Meridian Typ 1
Meridian Typ 2
Meridian Typ 3
Meridian Typ 4
Meridian Typ 5
Meridian Typ 6
quator
Breitenkreis fr ± 30¡
Breitenkreis fr ± 60¡