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Titel
Triangulation
[* 2] (lat., auch trigonometrische
Netzlegung), Inbegriff aller
Arbeiten, welche einer geregelten topographischen
Aufnahme (s. d.) eines
Landes vorausgehen müssen, aber auch bei
Gradmessungen etc. ausgeführt werden.
Zweck der
Triangulation ist im eigentlichen
Sinn: Bestimmung der
Lage von
Punkten der Erdoberfläche. Denkt man sich einen
Punkt auf eine
Fläche projiziert (s.
Projektion),
[* 3] so ist die
Lage des
Punktes bestimmt, sobald die
Höhe des
Punktes über dieser
Fläche und die
Lage seiner
Projektion auf dieser
Fläche bekannt ist. Diese, die Projektionsfläche, ist die Meeresfläche, und die
Höhe der
Punkte über
derselben wird durch
Höhenmessung
[* 4] oder
Nivellement, ihre
Lage auf der Projektionsfläche durch Horizontalmessung oder (eigentliche)
Triangulation bestimmt. Die
Triangulation zerfällt in
Basismessung und Horizontalwinkelmessung.
Unter einer Basis versteht man diejenige auf die Projektionsfläche projizierte Entfernung von Punkten, die der folgenden Bestimmung der Entfernung aller Punkte voneinander als Grundlage dient. Die Länge der Basis beträgt im allgemeinen 3-5 km und ihre Lage wird so ausgesucht, daß sie die Vergrößerung der Seiten ermöglicht und das Terrain zwischen ihren Endpunkten nicht Unebenheiten bietet, die nicht durch den Basismeßapparat überwunden werden könnten.
Der Wichtigkeit der
Basis für die folgende
Triangulation entsprechend, muß man die
Basis mit der größten Sorgfalt und mit einem
Apparat
messen, der die
Garantie möglichst kleiner Fehler bietet. Die verschiedenen Basismeßapparate schließen sich im wesentlichen
dem von
Bessel 1834 zu der
Gradmessung
[* 5] in
Ostpreußen
[* 6] konstruierten und später verbesserten an. Der Basismeßapparat
besteht aus Meßstangen, Glaskeilen u.
Zubehör. Die Meßstangen
a a
[* 1]
(Fig. 1, S. 824), 3-5 an der Zahl, sind von
Eisen
[* 7] u. etwa 4 m
lang. Auf ihnen liegen Zinkstangen b b von der halben
Breite
[* 8] und der ganzen
Dicke. An dem einen Ende c
sind diese
Stangen durch
Schrauben
[* 9] u. Lötung fest miteinander verbunden; sonst nicht weiter vereinigt, berühren
sie sich der ganzen
Länge nach. An beiden
Enden der Zinkstange d und e sind
Stücke von
Stahl aufgelötet, deren
¶
mehr
Enden horizontal abgeschrägt sind. Die Eisenstange trägt dagegen nur auf dem einen Ende f ein Stahlstück, welches auch keilförmige Abschärfungen hat, deren Schneiden aber senkrecht zur Ebene der Stange stehen. Aus der ungleichen Ausdehnung [* 11] von Eisen und Zink folgt, daß die Entfernung e f mit der Temperatur der Meßstangen variiert. Aus der Größe e f ist daher auf diese Temperatur zu schließen, und da die Länge der Stangen bei einer gewissen Normaltemperatur durch vorangegangene Untersuchung bekannt ist, so ist unter fernerer Berücksichtigung des Ausdehnungskoeffizienten des Eisens die jedesmalige Länge der Stangen zu bestimmen. Um die Biegung der Meßstange zu verhüten, liegt dieselbe mittels der Rollenpaare g g [* 2] (Fig. 2) auf einer eisernen Stange h, die auf dem Boden eines Holzkastens iiii befestigt ist, der die Meßstange der Länge nach einschließt.
Auf den Ruhepunkten ist die Stange mittels Mikrometerschraube [* 12] k beweglich, die auf einer Seite aus dem Kasten heraustritt. Zur Horizontallegung der Stange, resp. zur Ablesung des Winkels, um welchen diese von der horizontalen Lage abweicht, befindet sich auf ihr eine Libelle l mit graduierter Schraube. In der obern Fläche des Kastens sind ein oder zwei mit Glas [* 13] geschlossene Einschnitte angebracht zur Ablesung der Stangentemperatur an einem auf den Meßstangen ruhenden Thermometer. [* 14]
Die Glaskeile (3-5), in Einem Stück geschliffen, sind nach dem Schleifen so voneinander getrennt, daß die parallelen Ebenen 3 Linien Entfernung haben. Die Stärke [* 15] der Keile steigt von 0,8-2,0 Linien. Zwischen diesen beiden Grenzen [* 16] sind auf einer der parallelen Ebenen 120 Striche in gleichen Zwischenräumen so gezogen, daß sie die den Winkel [* 17] der geneigten Ebenen des Keils halbierende Linie senkrecht durchschneiden. Diese 120 Striche füllen eine Länge von 41 Linien, sind also ⅓ Linie voneinander entfernt und sehr nahe von 0,01 zu 0,01 Linie der Dicke des Keils fortgehend. Da außerdem die Zehntel eines Zwischenraums von ⅓ Linie leicht durch das Augenmaß geschätzt werden, so bieten die Keile das Mittel, noch Tausendstel der Linie zu messen. Zubehör sind Böcke zum Auflegen der Stangen, Gewichte, Pfähle etc.
Der Basismessung gehen die Planierungsarbeiten des Basisterrains voraus, um Unebenheiten des Terrains über 3° Böschung, die durch den Apparat nicht überwunden werden können, durch Abkämmen, resp. Aufführung von Pfahlrosten etc. zu entfernen. Ist dieses geschehen, so werden bei einer langen Basis mittels eines über einem Endpunkt aufgestellten Theodolits (s. d.) in der Richtung nach dem andern Endpunkt Zwischenpunkte bestimmt und diese durch feine Stifte markiert.
Von dem einen Endpunkt anfangend, werden dann so viel Böcke aufgestellt, daß auf diese sämtliche Meßstangen hintereinander gelegt werden können. [* 2] (Fig. 2 zeigt eine auf zwei Böcke gelegte Meßstange.) Das vorderste Ende der ersten Meßstange wird mit dem ersten Endpunkt der Basis in Verbindung gebracht und diese Stange wie auch alle andern mittels Theodolits so eingerichtet, daß sie genau in der Richtung der Basis liegen. Es werden dann mittels der Glaskeile die Entfernung e f [* 2] (Fig. 1) sowie die Zwischenräume zwischen je zwei Meßstangen gemessen; endlich wird an den Libellenschrauben die Neigung der Meßstange abgelesen.
Ist eine Stange entweder zu nahe oder zu weit von der vorliegenden gelegt worden, so daß der Gebrauch der Glaskeile nicht durchführbar, so muß vorher die Stange mittels Mikrometerschraube in den nötigen Abstand gebracht werden. Sind die Ablesungen gemacht und notiert, so wird die erste Stange in die Verlängerung [* 18] der letzten gebracht und die Messung in derselben Weise fortgesetzt. Da die Messung einer Basis mindestens 14 Tage angestrengter Thätigkeit erfordert, die Arbeit mithin öfters unterbrochen und wieder angeknüpft werden muß, so sind provisorische Festlegungen erforderlich, die mit größter Genauigkeit ausgeführt werden müssen und besondere Maßregeln erfordern, damit bei Wiederaufnahme der Messung auch die kleinsten
[* 2] ^[Abb.: Fig. 1. Meßstange etc.]
[* 2] ^[Abb.: Fig. 2. Meßstange etc.] ¶
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Fehler vermieden werden. Die bei der Messung ausgeführten Beobachtungen geben das Mittel, die Länge der Basis zu berechnen und auch ferner den wahrscheinlichen Fehler in Bezug auf die Länge zu bestimmen (im allgemeinen kaum ein Milliontel der ganzen Länge). Die Endpunkte der Basis werden behufs späterer Wiederbenutzung sehr fest im Terrain markiert. Der beschriebene Basismeßapparat ist der Reichenbachsche oder Besselsche »Keilapparat«, derselbe wird in Preußen, [* 20] Bayern [* 21] und Italien [* 22] gebraucht, Rußland und Schweden [* 23] benutzen den »Fühlhebelapparat« (s. d.),
die Niederlande, [* 24] Spanien [* 25] und Portugal den Brunnerschen »Mikroskopenapparat«. Ein neuerer von General Baeyer und Bauernfeind empfohlener Apparat ist das Steinheilsche, auf Schienenbahn laufende gußstählerne »Meßrad« mit Zählapparat (im hoch, zwischen Holzwandungen laufend); letzterer Apparat etwa analog dem von Fernel in Frankreich 1525 und Müller in Mähren [* 26] 1720 zur dortigen Landesvermessung angewendeten Meßrad.
Ist die Länge der Basis durch Messung und nachherige Berechnung bekannt, so ist es möglich, in einem Umkreis von 200 km Halbmesser beliebig viele Punkte zu bestimmen. Dieses geschieht wie folgt:
1) Die Basis A B [* 19] (Fig. 3) wird bis zu einer Entfernung G H von 40-100 km Länge auf die in der [* 19] Figur veranschaulichte Weise vergrößert. In jedem der vorhandenen Dreiecke brauchen nur je zwei Winkel gemessen zu werden, um demnächst die Seiten C B, C A und D A, D B, dann C D, darauf E C, E D, F C, F D etc., endlich G H zu berechnen.
2) Von der Seite G H ausgehend, werden Ketten von Dreiecken nach verschiedenen Richtungen bis zu 200 km Entfernung von der Basis geführt und diese Ketten miteinander so verbunden, daß Flächen, welche von Dreiecken nicht überzogen, jedoch ganz umschlossen sind, dazwischen bleiben. Es folgt 3) die Ausfüllung der zwischen den Ketten freigelassenen Räume mit Dreiecken.
4) In die unter 2 und 3 aufgeführten Dreiecke werden Dreiecke eingeschaltet, deren Seitenlängen bis zu 10 km herabsteigen.
5) In letztere Dreiecke werden endlich solche eingeschoben, deren Seitenlängen sich bis zu 2 km vermindern. Alle Messungen,
die sich auf 1 und 2 beziehen, umfassen die
Triangulation erster Ordnung, die auf 3 bezüglichen die sekundäre
Triangulation erster Ordnung, die
auf 4 bezüglichen die
Triangulation zweiter Ordnung, die auf 5 bezüglichen die Detail
triangulation oder Triangulation dritter
Ordnung.
Die
Triangulation erster Ordnung gibt die Grundlage zu allen folgenden
Triangulationsarbeiten; sie erfordert daher die Anwendung der
vorzüglichsten 10-15zölligen Theodolite (s. d.) sowie die größte Sorgfalt bei den Messungen. Die Arbeiten beginnen mit
der Rekognoszierung des Terrains und der Auswahl der Punkte, welche behufs Ausführung der Beobachtungen
namentlich in waldigem und etwas koupiertem Terrain durch Aufführung von bedeutenden Bauten (Signalen) sichtbar gemacht werden
müssen.
Die Höhe der Signale variiert je nach den Hindernissen, welche die Durchsicht von einem Punkt zum andern decken, von 3-30 m. Die Signale werden aus starkem Holz [* 27] so errichtet, daß sie bei heftigem Wind nicht erschüttert werden, und daß derjenige Teil, auf dem das Instrument zu stehen kommt, vollständig isoliert ist von demjenigen Teil, auf dem sich der Beobachter befindet. Dies erreicht man durch zwei ineinander stehende, völlig getrennte Bauten. Statt der Holzsignale werden bei geringern Höhen Steinpfeiler errichtet (1 m hoch), bei Kirchtürmen auf deren Plattform.
Diesen Vorbereitungsarbeiten folgen die Beobachtungen. Wegen der großen Entfernung der Punkte voneinander und in Rücksicht
auf die möglichst besten Einstellungsresultate wird aber bei der
Triangulation erster Ordnung davon abgesehen, die auf den Signalen angebrachten
Spitzen oder Tafeln etc. als Einstellungsobjekte zu nehmen, vielmehr
stets das mittels des auf dem Nachbarsignal aufgestellten Heliotrops (s. d.) reflektierte Licht
[* 28] eingestellt. Behufs der Beobachtungen
wird der Horizontalkreis des Theodolits genau horizontiert, und dann auf jedem Punkt sämtliche vorhandene Richtungen mindestens
24mal eingestellt, so daß alle Winkel gleich oft gemessen werden.
Zur Eliminierung der sehr kleinen, aber stets vorhandenen Einteilungsfehler des Horizontalkreises nimmt man sämtliche Beobachtungen nicht auf einer Station in derselben Stellung des Kreises vor, sondern verändert unter Beibehaltung derselben Stellung des Instruments den Horizontalkreis um einen bestimmten Winkel (gewöhnlich 60°). Auch wird bei der exzentrischen Lage des Fernrohrs in jeder Kreislage jedes Objekt ebenso oft in der einen wie in der andern genau um 180° entgegengesetzten Stellung des Fernrohrs eingestellt.
Aus dem Mittel beider Resultate folgt dann der auf das Zentrum des Instruments sich beziehende Winkel. Zwei weitere Feldarbeiten
sind: a) Das Nehmen der Zentrierelemente. Da es nicht immer möglich, den Heliotropen oder den Theodolit
[* 29] im Zentrum der Station aufzustellen, so ist die Abweichung hiervon zu messen, um diese den später zu berechnenden Winkeln als
Korrektion hinzufügen zu können. b) Das Festlegen des Punktes. Dieses ist unbedingt erforderlich, wenn die Messungen einen
dauernden Wert haben und die Anknüpfung späterer Messungen ermöglichen sollen. Es geschieht durch
Marksteine, bei der
Triangulation erster Ordnung durch eine versenkte, ca. 50 cm im Quadrat große Platte und einen daraufgestellten, ca. 1 m
hohen, ca. 50 cm zu Tage tretenden Block. In beide, Stein und Platte, sind in der Mitte der Steinflächen Kreuzschnitte angebracht,
deren Mittelpunkte das Zentrum der Station bedeuten.
Nach Beendigung der Feldarbeiten beginnt die Berechnung der Kette. Da es nur selten möglich, auf einer Station stets sämtliche Objekte einzustellen, so wird das Mittel aus allen Einstellungen auch nicht deren wahrscheinlichsten Wert ergeben. Die Ermittelung desselben wird durch die Ausgleichung der Stationen erreicht. Es folgt sodann das Zentrieren [* 30] der Winkel bei denjenigen Stationen, bei denen der Theodolit oder der Heliotrop [* 31] nicht im Zentrum der Station aufgestellt war.
Sind die wahrscheinlichsten Werte der Richtungen hiernach korrigiert, so folgt die Ausgleichung der Kette. Da nämlich in jedem Dreieck [* 32] sämtliche Winkel gemessen werden und es unmöglich ist, dieselben absolut richtig zu messen, so folgt, daß die Summe der gemessenen Winkel nicht gleich sein wird 180° + dem sphärischen Exzeß (d. h. der Zusatz an Winkelgröße über 180° an der Summe der Winkel eines Kugeldreiecks). Außerdem folgt aus der nicht absoluten Richtigkeit der Winkel, daß bei der Berechnung der Dreiecksseiten stets verschiedene Werte gefunden werden müssen,
[* 19] ^[Abb.: Fig. 3.] ¶
Im Brockhaus` Konversationslexikon, 1902-1910
Triangulation
[* 2] (neulat.), Dreiecksaufnahme, in der Vermessungskunst
alle Arbeiten zur sorgfältigen und genauen Bestimmung einer meistens großen Anzahl von Punkten auf der Erdoberfläche nach
ihrer geogr. Länge und Breite sowie ihrer absoluten Höhe. Die
Triangulation bildet stets die erste und grundlegende Vorarbeit für die
Vermessung und Kartierung eines Landes und wird meist im Zusammenhang über ein größeres Gebiet, unter
sorgfältiger Berücksichtigung der sphäroidischen Gestalt der Erde und unter Benutzung aller wissenschaftlichen und technischen
Hilfsmittel ausgeführt.
Das betreffende Landgebiet wird hierdurch mit einem mehr oder weniger engen Netze von Dreiecken überspannt, die die einzelnen
trigonometrischen Punkte miteinander bilden, weshalb man die
Triangulation auch vielfach Netzlegung
nennt. Bei der Ausführung wird stets aus dem Großen ins Kleine gearbeitet, um dem Entstehen und Übertragen von Fehlern möglichst
vorzubeugen. Man unterscheidet in diesem Sinne eine Triangulation erster, zweiter und dritter Ordnung. Erfinder der Triangulation ist der Mathematiker
Willibrord Snellius (s. d.) in Leiden,
[* 33] der diese Art der Vermessung 1617 bei einer von ihm ausgeführten
Gradmessung zuerst anwendete.
Der Gang [* 34] der Arbeit (in Preußen) ist ungefähr folgender: Zuerst werden die Dreieckspunkte erster Ordnung durch eingehende Erkundung des Geländes so ausgewählt, daß die einzelnen Dreiecksseiten eine durchschnittliche Länge von etwa 60 km erhalten. Diese Punkte werden durch Granitplatten und Pfeiler für die Dauer bezeichnet und durch Gerüste (sog. Signale oder Pyramiden) weithin sichtbar gemacht und zur Aufstellung der Instrumente vorbereitet. Die einzelnen Dreiecke, die keine zu spitzen Winkel erhalten dürfen, werden hierbei meist in Form einer in sich selbst zurücklaufenden Kette so aneinander gereiht, daß sie einen größern Teil des zu triangulierenden Landes zunächst umspannen und sodann auch den Innenraum ausfüllen (Dreieckskette, Dreiecksnetz).
Sämtliche Dreieckswinkel werden mit zehnzölligen Theodoliten gemessen, die bei mikroskopischer Ablesung noch 1/10 Sekunde durch Schätzung bestimmen lassen; jeder einzelne Winkel wird 24mal gemessen, wobei als Visierobjekt auf den jedesmal anvisierten Dreieckspunkten ausschließlich das Licht von Heliotropen (s. d.) benutzt wird. Die Berechnung und Ausgleichung erfolgt nach bestimmt vorgeschriebenen Formeln; als äußerste zulässige Fehlergrenze für die Brauchbarkeit einer Dreiecksseite ist ein mittlerer Fehler von 1/100000 der wirklichen Länge bestimmt.
Die Berechnung der Seitenlängen selbst gründet sich auf eine Basis (s. d.). Die geogr. Länge und Breite wird durch Verbindung der Dreieckskette mit einer Sternwarte, [* 35] die Orientierung auf dem Erdkörper durch das gemessene Azimut einer Dreiecksseite gewonnen. Dieser Triangulation erster Ordnung folgt diejenige zweiter Ordnung, wobei die großen Dreiecke durch gleichfalls sorgfältig ausgewählte und sodann bebaute Punkte zweiter Ordnung ausgefüllt werden. Die Länge der einzelnen Dreiecksseiten beträgt hier nur etwa 12 km, die Winkelmessung wird mit 8zölligen Theodoliten bis auf halbe Sekunden genau ausgeführt und jeder Winkel 12mal gemessen.
Das Visierobjekt bilden hierbei die auf den einzelnen Punkten errichteten Pyramiden. Endlich folgt im Anschluß hieran die Triangulation dritter Ordnung oder die Detailtriangulation, welche Dreiecke von etwa 2 km Seitenlänge bestimmt, wobei 5zöllige Universalinstrumente mit Ablesung bis zu 1 Sekunde verwendet werden; jeder Winkel wird 6mal gemessen. Hierbei werden auch zahlreiche solche Punkte bestimmt, auf denen Winkelmessungen nicht stattfinden (z. B. Türme, Schornsteine, Hausgiebel u. s. w.), die vielmehr nur durch mehrfache Schnitte festgelegt werden. Solche Punkte sind vierter und fünfter Ordnung. Alle Punkte werden nach geogr. Länge und Breite berechnet; ihre absolute Höhe über N. N. (s. d.) wird durch trigonometr. oder geometr. Nivellement bestimmt. Auf jede Quadratmeile sollen regelmäßig 10 versteinte Punkte kommen, zu denen außerdem noch die trigonometrisch bestimmten Türme, Schornsteine u. s. w. hinzutreten.
Vgl. von Morozowicz, Die königlich preuß. Landesaufnahme (im Beiheft zum «Militär-Wochenblatt», Berl. 1879);
Die königlich preuß. Landestriangulation. Triangulation der Umgegend von Berlin [* 36] (hg. vom Bureau der Landestriangulation, ebd. 1867).