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Hans Walser, [20111231] / [20120102]
Zykloidenapproximation
Anregung: R. W., F.
Wir rollen ein regelm§iges n-Eck mit Umkreisradius 1 auf einer Geraden ab und verfolgen den Weg eines partikulren Eckpunktes. Beim Dreieck setzt sich dieser Weg aus zwei Kreisbogen zusammen, welche die Seitenlnge des Dreieckes als Radius haben (Abb. 1).
Abb. 1: Abrollen des Dreiecks
Beim Fnfeck haben wir vier Kreisbogen. Die Radien sind die Seiten- und Diagonalenlngen des Fnfeckes
Abb. 2: Abrollen des Fnfecks
Beim Siebeneck (Abb. 3) haben wir sechs Bgen, deren Radien der Reihe nach die Lngen der von einem Eckpunkt ausgehenden Seiten und Diagonalen sind (ãDiagonalenfcherÒ). Bei einem n-Eck haben wir entsprechend Bgen.
Abb. 3: Abrollen des Siebenecks
Fr wachsendes n nhert sich die Bogenfigur der Zykloide an. Die Abbildung 4 zeigt die Situation fr .
Abb. 4: Approximation der Zykloiden
Zwischen den Sektoren sehen wir wei§e Dreiecke, die wir in der Abbildung 5 rot frben. Zudem lassen wir die n-Ecke weg.
Abb. 5: Rote Dreiecke
Nun ersetzen wir auch noch die Kreissektoren durch je zwei gleichschenklige Dreiecke, eins gelb und das andere blau. Die Abbildung 6 illustriert den Fall . Der Kreisbogen wird also durch einen Polygonzug mit zwei Strecken ersetzt.
Abb. 6: Gelbe und blaue Dreiecke
Im folgenden lassen wir die Kreisbogen weg. Die Abbildung 7 illustriert die Flle und . Wir sehen die Zykloide auch so. (Wir werden im Folgenden fast immer mit den Beispielen und illustrieren.)
Abb. 7: Drei Farben
Nun lassen wir die gelben und blauen Dreiecke mal weg und klappen die brig bleibenden roten Dreiecke zusammen wie ein Taschenmesser. Es entsteht das ursprngliche n-Eck, unterteilt durch seine Diagonalen (Abb. 8).
Abb. 8: Ein- und Ausklappen
Fr entsteht der Einheitskreis.
Die gelben Dreiecke fr sich genommen lassen sich auf einen Startpunkt zusammenschieben (Abb. 9).
Abb. 9: Die gelben Dreiecke
Fr entsteht der Einheitskreis. Analoges gilt fr die blauen Dreiecke.
Wenn wir die Dreiecke nach Farben sortieren (Ab. 10 fr ), erhalten wir fr drei Einheitskreise.
Abb. 10: Drei Einheitskreise
Somit hat die Flche unter dem Zykloidenbogen den Inhalt , ein pro Farbe.
Nun entfernen wir die blauen Dreiecke und klappen die verbleibenden gelben und roten Dreiecke zusammen (Abb. 11).
Abb. 11: Halbkreis
Es entsteht ein prchtiger Halbkreis. Dieser besteht aus zwei Farben, hat also den Flcheninhalt . Sein Durchmesser ist daher 4. Nun ist dieser Durchmesser genau die halbe Bogenlnge der Zykloide (es fehlen die blauen).
Somit hat der Zykloidenbogen die Lnge 8. Dieses Resultat geht auf Christopher Wren (1658) zurck.
Nun entfernen wir im Halbkreis der Abbildung 11 die roten Dreiecke und klappen die gelben zusammen (Abb. 12). Die Scharniere sind jetzt an den oberen Ecken der gelben Dreiecke.
Abb. 12: Neue Zykloide
Wir sehen verschiedenes. Die obere Kontur ist eine verkleinerte Ausgabe der ursprnglichen Zykloide. Die Bogenlnge ist 4 (Durchmesser des Halbkreises der Abbildung 11). Somit ist die Zykloide lngenm§ig halb so gro§ wie die ursprngliche Zykloide. Der Flcheninhalt oberhalb der Spannsehne ist ein Viertel des Flcheninhaltes unter dem ursprnglichen Zykloidenbogen, also . Die Gesamtflche der Figur ist aber (gelbe Farbe). Damit ist der Flcheninhalt unter der Wasserlinie , ein Viertel der Gesamtflche. Weiter sehen wir, dass die Zykloide eine Evolvente ist von Kurven, die ihrerseits kongruente Zykloiden sind. Die Gesamtfigur hat daher den Umfang 8.
Wir klappen nun die gelben und blauen Dreiecke von oben her zusammen. Die Scharniere sind also an den oberen Ecken der Dreiecke (Abb. 13).
Abb. 13: Epizykloiden
Die obere Umrisskurve ist gleich lang wie die ursprngliche Zykloide, hat also die Lnge 8. Sie ist Evolvente der unteren Umrisskurve. Die untere Umrisskurve hat also die Lnge 4 (zwei Mal die Fadenlnge 2).
Die Umrisskurven sind Epizykloiden, welche durch Abrollen eines halb so gro§en Kreises auf einem Grundkreis entstehen. Die obere Umrisskurve hat die Darstellung:
Die untere Umrisskurve har die Darstellung:
Wir bndeln die gelben und blauen Dreiecke nun an den unteren Spitzen (Abb. 14 fr und ).
Abb. 14: Was ist die Umrisskurve?
Der Autor vermutete zunchst, dass fr die Kardioide (Herzkurve) entsteht. Das ist aber falsch. Die Abbildung 15 zeigt links ãunsereÒ Kurve (schwarz) und rechts zustzlich die Kardioide (rot).
Abb. 15: Vergleich mit Kardioide
Der Unterschied besteht in folgendem:
Unsere Kurve hat die Parameterdarstellung:
Der Flcheninhalt ist (zwei Farben).
Die Kardioide entsteht durch Abrollen eines Kreises auf einem anderen Kreis, wobei beide den gleichen Durchmesser a haben. In unserem Fall ist . Sie hat dann die Parameterdarstellung:
Das Quadrat mach den Unterschied. Der Flcheninhalt der Kardioide ist .
Man kann ja auch unbescheiden sein, und zwei Baustze kombinieren. Zunchst setzen wir mit den roten Dreiecken des einen Satzes das regelm§ige Vieleck zusammen. Anschlie§end setzen wir die roten Dreiecke des zweiten Satzes au§en an gem§ Abbildung 16. Sie knnen sich selber einen Namen fr dieses Insekt ausdenken.
Abb. 16: Zwei rote Baustze
Nun haben wir gewaltige Lcken. Aber die gelben und blauen Dreiecke der beiden Stze reichen zusammen gerade aus, diese Lcken aufzufllen (Abb. 17).
Abb. 17: Auffllen der Lcken
Wir erhalten nun wirklich eine Kardioide. Diese hat den Umfang 16 (gelb und blau je doppelt) und den Flcheninhalt (drei Farben je doppelt). Die Flche ist vier Mal so gro§ wie oben angegeben, weil wir nun auf dem Einheitskreis mit Durchmesser 2 abrollen.
Die roten Dreiecke entsprechen einer Zerlegung des regelm§igen n-Ecks durch den Diagonalenfcher eines Eckpunkts (Abb. 8). Dieselben Dreiecke ergeben sich aber auch aus einer Zickzackzerlegung (Abb. 18). Wie viele Mglichkeiten gibt es berhaupt, die roten Dreiecke zum regelm§igen Vieleck zusammenzusetzen?
Abb. 18: Zickzack
Nun nehmen wir lediglich die Zicks (Spitze nach oben) und lassen die Zacks weg (Abb. 19). Das ist in etwa die halbe Miete.
Abb. 19: Nur Zicks
Wir denken uns nun die Zicks der Abbildung 19 an den unteren Ecken gelenkig verbunden und klappen zusammen wie ein Taschenmesser. Es entsteht eine tropfenfrmige Figur (Abb. 20).
Abb. 20: Tropfen
Der untere Rand ist ein regelm§iger Polygonzug, im Vergleich mit dem ursprnglichen n–Eck sind die Richtungsnderungen aber anderthalb Mal so gro§ ( statt ). Die ãKrmmungÒ ist also anderthalb Mal so gro§. Fr geht der Untere Rand also gegen einen Kreis mit dem Radius . Da der Umfang die Hlfte des ursprnglichen Kreisumfanges ausmacht, haben wir somit als unteren Rand einen . Wie sich der Rand dann zur Spitze fortsetzt, wei§ ich nicht. Es ist kein Kreisbogen.
Mit den Zacks knnen wir einen Gegentropfen bauen (Abb. 21).
Abb. 21: Doppeltropfen
Nun fassen wir die Zicks oben an den Spitzen zusammen (Abb. 22).
Abb. 22: Gesammelte Zicks
Das gibt eine recht bescheidene Sache. Daher bndeln wir auch noch die Zacks, legen sie oben rechtwinklig an und verdoppeln die Figur mit einer Punktspiegelung (Abb. 23).
Abb. 23: Zicks in der Vertikalen und Zacks in der Horizontalen
Wir erhalten ein Kreuz, das sich fr als Kleeblatt darstellt (Abb. 24 fr ).
Abb. 24: Rotes Kleeblatt
Und zum Schluss nochmals eine Fehlanzeige: Die Randlinie, eine doppelte 8, ist keine Lemniskate. Die Abbildung 25 zeigt links die richtige Randlinie (schwarz) und rechts zustzlich die Lemniskate (blau).
Abb. 25: Randkurve und Lemniskate
Die Lemniskate ist zu dick.
Die Randkurve hat die Parameterdarstellung:
Der Flcheninhalt ist insgesamt (zwei Mal rot), pro Blatt also .
Die gezeichnete Lemniskate hat die Parameterdarstellung:
Die Wurzel macht den Unterschied. Pro Blatt hat die Lemniskate den Flcheninhalt 2.
Im Anhang findet sich ein Bastelbogen fr und in zwei Gr§en. Dieser kann auf Karton aufgezogen und dann ausgeschnitten werden. Damit knnen wir spielen.
Mit DGS wird eine Vorlage konstruiert, die dann in ein Grafikprogramm bertragen wird. Dort wird die Bastelbogenfigur in die einzelnen Dreiecke aufgelst, die dann virtuell auf dem Bildschirm bewegt werden knnen. Man braucht lediglich Translationen und (mehrfache) Drehungen um . Fr viele Beispiele gengen Drehungen um . Da die Dreiecke paarweise spiegelbildlich sind, gengt ein ãhalberÒ Bogen. Wir bentigen dann aber noch Spiegelungen.
Ebenso kann mit CAS gearbeitet werden. Die bentigten Eckpunkte der Dreiecke knnen in vielen Fllen (etwa Abb. 14. 23) in Polarkoordinaten einfach angegeben werden. Dann ist es auch einfach, daraus die Darstellung fr den Grenzfall anzugeben. In anderen Beispielen (etwa Abb. 13, 20) mssen die Punkte rekursiv definiert werden. In diesen Fllen kann nicht direkt eine Darstellung fr gefunden werden.
Der Umgang mit Modellen oder virtuellen Modellen frdert die Fhigkeiten, sich die Figuren vorzustellen. Dann ist man unabhngig von der Realitt und vom Computer.
Hands on Geometry findet im Kopf statt.
Der Grenzbergang kann nur im Kopf vollzogen werden. Aus den diskreten Winkeln wird schreibtechnisch ein , aus den in der Programmierung (CAS) vorkommenden Winkeln wird dann einfach t. Hufig haben wir den Fall (da die Peripheriewinkel halb so gro§ sind wie die Zentriwinkel), woraus sich dann ergibt.
Anhang: Bastelbogen
Bastelbogen fr und , klein
Bastelbogen , linke Seite
Bastelbogen , rechte Seite
Bastelbogen , linke Seite
Bastelbogen , rechte Seite