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Funktionen verknüpfen 06:26 min
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Transkript Funktionen verknüpfen
Dieses Video heißt: Funktionen verknüpfen. Gemeint ist damit addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und das eigentliche Verknüpfen - also hintereinander ausführen. Wir wollen also mit Funktionen rechnen, so wie wir normalerweise mit Zahlen rechnen. Nehmen wir zum Beispiel die Funktion f(x)=ex und g(x)=3x. Was soll dann die Summe dieser Funktionen sein? Das ist die Funktion, die jedem x den Wert f(x)+g(x) zuordnet, also ex+3x, wenn wir diese Funktion nun h(x) nennen, dann wäre als die Funktion h(x) die Summe der Funktion f und g. Im Prinzip müssen wir also beim Rechnen mit Funktionen nur die Regeln der Termumformung beachten. Diese beiden Funktionen wollen wir jetzt mal subtrahieren. (f-g)(x)=f(x)-g(x), gleiche x-Potenzen können wir zusammenfassen: -4x-4x=-8x und 2-(-5)=+7 (x²-8x+7).
Das Einzige, wo man ein bisschen drauf achten muss, ist der Definitionsbereich. Da sind nämlich nur die x-Werte drin, die in beiden Definitionsbereichen von den beiden Funktionen drin sind. Nehmen wir zum Beispiel f(x)=Lnx, da sind nur die positiven Zahlen definiert und g(x)=1/(x-3). Hier sind alle Zahlen außer 3 definiert. Dann muss ich in der Summe an beiden Stellen aufpassen, also besteht der Definitionsbereich dort aus den positiven Zahlen außer der 3. Manchmal ergibt sich als Summe dann auch so eine ganz einfache Funktion, wie hier zum Beispiel: f+g ist die konstante Funktion 1. Beim Multiplizieren gilt wieder: Regeln der Termumformung beachten und die gemeinsamen Definitionsbereiche bestimmen. Bei der Division muss man besonders auf den Definitionsbereich achtgeben. Nehmen wir die Funktion f(x)=3x und g(x)=x²-x-12. (f/g)(x)=f(x)/g(x). Der Nenner darf nicht 0 werden. Das heißt, wir müssen uns nun überlegen, wo die Funktion, die im Nenner steht, 0 wird, also wo sie ihre Nullstellen hat. Das kann man hier mit der PQ-Formel lösen und dann ergibt sich - 3 und 4. Das heißt, der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen außer -3 und 4. So, jetzt kommt das Spannendste von allem, nämlich das eigentliche Verknüpfen. Nehmen wir die Funktion f(x)=sin(x) und g(x)=x². Dann bedeutet f verknüpft mit g, dass ich erst g auf (x) anwende und dann auf das Ergebnis f anwende. In f soll ich also g reinstecken, also x². Dann machen wir das einmal: f(x²). So, was macht das f jetzt? Oben steht f(x)=sin(x), aber wir stecken jetzt nicht x rein, sondern wir stecken irgendwas anderes rein, aber auf jeden Fall müssen wir davon den Sinus nehmen. Ich stell mir das immer mit so einer Kiste vor und die Kiste steht jetzt bei uns für das x². Also ist das sin(x²). Nehmen wir mal umgekehrt g verknüpft mit f, also g angewandt auf f. f(x)=sin(x), also g(sin x) und der Sinus ist diesmal unsere Kiste. g(Kiste)=Kiste², also kommt da raus: (sin(x))². Beim ersten Mal haben wir also zuerst das Quadrat und dann den Sinus und beim zweiten Mal erst den Sinus, dann das Quadrat. Rechnen wir noch ein Beispiel: f(x)=Lnx und g(x)=x²-1 und wir wollen wieder die Verknüpfung von f Kringel g berechnen und das ist dann f(g(x)); g(x)=x²-1, also f(x²-1). Was macht das f? Das f wendet auf das, was eingesetzt wird, den Ln an. Also: Ln(x²-1). g Kringel f wäre dann: g(lnx) und das g quadriert das, was reingesteckt wird und zieht dann noch 1 ab. Nehmen wir noch einmal die erste Verknüpfung, um etwas zum Definitionsbereich zu sagen. Das kann nämlich ganz schön haarig werden bei solchen Geschichten. Im Ln dürfen nur Zahlen drin stehen, die >0 sind. Also muss x²-1>0 sein. Wo ist das der Fall? Da das eine verschobene Normalparabel ist, kann man das recht einfach bestimmen: Das ist für alle x1. Das wäre hier also der Definitionsbereich von f Kringel g. Was muss man also beim Definitionsbereich einer Verknüpfung beachten? Man schaut sich an, was man bei f nicht einsetzen darf, was also in der roten Kiste drin ist und die Werte dürfen dann eben bei g nicht rauskommen. Bestimme also die x, für die g(x) Werte annimmt, die man nicht in f einsetzen darf. Diese x gehören nicht zum Definitionsbereich von f Kringel g. Verknüpft man zum Beispiel f(x)=1/(x-9) mit g(x)=3x, so ergibt sich: f(3x), also 1/3x-9 und da ist die 9 also nicht erlaubt bei dem f und bei g kommt eben 9 raus, wenn man für x 2 einsetzt. Der Definitionsbereich sind also die reellen Zahlen ohne 2. Okay, jetzt haben wir genug rumgeknüpft, jetzt ist Schluss.