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Le Parachutiste
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Un parachutiste saute d’un avion pour effectuer un saut libre. Au cours de sa descente, deux forces sont exercées sur lui : son poids dirigé vers le bas, et une force de frottement, due à l’air, dirigée vers le haut. Son accélération est égale, selon la loi fondamentale de la dynamique, à la somme des forces qu’il subit divisée par sa masse.
Comme indiqué précédemment, le but de cet exercice est de trouver l’instant idéal pour ouvrir le parachute le plus tard possible d’un parachutiste, qui a sauté de 1000 m de hauteur pour arriver au sol avec une vitesse maximale de 10 m/s.
Il faut savoir que la vitesse dépend de la masse, plus l’objet est lourd, plus grande sera sa vitesse. Dans notre cas, le parachutiste a une masse de 80 kg.
Pour se faire, nous allons construire un modèle pour représenter tous les éléments qui interviennent pendant cette chute, suivi des données de base qui sont définies.
Dans cette situation, il y a deux forces essentielles qui interviennent : la force de frottement et la force de pesanteur. A cet instant, on peut encore négliger la force de frottement puisque le parachute n’est pas encore ouvert, par contre pour la force de pesanteur, elle agit constamment sur le corps.
Ces deux forces sont définies ainsi :
Force de pesanteur :
- Poids = m*g
Force de frottement :
- Ffrott = 1/2*$\rho$*S*Cx*v²
- S étant la surface définie par la formule d’aire d’un disque, le parachute étant lui-même un disque : S = $\pi$*r²
Et maintenant, il s’agit d’ouvrir le parachute. Pour pouvoir faire le modèle de cette nouvelle situation, il nous faut 3 nouvelles données, c’est-à-dire :
- le temps de l’ouverture du parachute (après combien de temps ?)
- la durée de l’ouverture du parachute
- le rayon du parachute (afin de déterminer la surface)
Pour pouvoir diriger l’ouverture du parachute à un certain moment donné, nous utilisons une fonction que l’on appelle STEP (marche). Cette fonction est utilisée pour les variations brusques. Dans notre cas, c’est le rayon qui varie brusquement à l’ouverture du parachute. Et afin que le graphique soit bien ondulé, nous utilisons cette fois-ci une autre fonction, nommée SMOOTH (lissage) qui comme son nom l’indique, lisse la trajectoire de la courbe.
Pour en savoir plus sur ces deux fonctions :
Fonctions STEP et SMTH
Nous avons donc le modèle complet. Il nous faut aussi trouver l’équation de l’accélération, pour cela, nous avons fait dépendre la surface du parachute, au rayon, puis la force de frottement de la surface, de rho, et du Cx. Ce qui nous donne l’équation suivante :
Accélération :
- a = (Ffrott - poids)/m
Avec toutes ces informations, nous pouvons donc à présent faire le graphique afin de pouvoir répondre au but de l’exercice, c’est-à-dire de trouver l’instant idéal pour ouvrir le parachute le plus tard possible, pour arriver au sol avec une vitesse maximum de 10 m/s.
Dans ce graphique, nous pouvons constater quelques phases de la grandeur de la vitesse, depuis que le parachutiste ait sauté de l’avion jusqu’à qu’il atterrisse. Au début, juste après avoir sauté de l’avion, le parachutiste part en chute libre et la vitesse augmente très vite due à la force de pesanteur. Ensuite il atteint une vitesse maximale, il n’accélère plus donc sa vitesse reste constante. Arrive le moment où il ouvre son parachute, et là sa vitesse diminue fortement, il n’est plus en chute libre donc la force de frottement a augmenté. La fin, sa vitesse reste constante car il a atteint sa vitesse minimale, avant d’arriver au sol.
Le premier tableau (gauche), le parachute est ouvert après 35.5 s. Et dans le second, ouverture après 35.6 s.
Conclusion
Grâce à ce graphique et ces deux tableaux, nous pouvons donc en conclure que le temps idéal pour ouvrir son parachute est après 35.5 s après avoir sauté de 1000 m de hauteur. Et le parachutiste touche le sol à la vitesse de 10 m/s, après environ 42.50 s de chute.