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Hans Walser, [20131210]
Origami und DIN-Format
Anregung: A. L., S.
Durch einen einfachen Faltprozess erhalten wir im Origami-Quadrat ein Rechteck im DIN-Format.
Wir vierteln zwei gegenberliegende rechte Winkel des Origami-Quadrates (Abb. 1a).
Abb. 1: Winkelhalbierende
Dann knnen wir ein Rechteck mit dem Seitenverhltnis (DIN-Format) einspannen (Abb. 1b).
Die Winkelhalbierende im Dreieck teilt die Gegenseite im Verhltnis der anliegenden Seiten.
Daher ist in unserem Fall (Abb. 2):
Abb. 2: Beweisfigur
Dieses Verhltnis bertrgt sich auf das Seitenverhltnis des Rechteckes in Abbildung 1b.
Wegen x + y = 1 ergibt sich:
Fr die Seiten a und b des Rechteckes erhalten wir:
Damir ergibt sich die Rechteckflche:
Wir finden im DIN-Rechteck der Abbildung 1b auch das so genannte Silberne Rechteck (Abb. 3).
Abb. 3: Silbernes Rechteck
Das Silberne Rechteck entsteht als Restrechteck beim Abschneiden eines Quadrates von einem DIN-Rechteck. Es hat das Seitenverhltnis und den Diagonalen-Schnittwinkel 45¡.
Wir vierteln alle vier rechten Winkel des Quadrates. Wir finden dabei nochmals das Silberne Rechteck (Abb. 4a) sowie ein regelm§iges Achteck (Abb. 4b).
Abb. 4: Silbernes Rechteck und regelm§iges Achteck
Wir zeichnen nun in der Figur der Abbildung 4b zustzlich ein Rechteck im DIN-Format gem§ Abbildung 1b ein (Abb. 5a).
Abb. 5: Achteck und DIN-Rechteck
Zunchst stellen wir fest, dass zwei diametrale Achteckecken genau in den Mittelpunkten der langen Seiten des DIN-Rechteckes liegen. Dies lsst sich mit Teilverhltnissen und Strahlenstzen einsehen. Weiter ist der Flcheninhalt des Achteckes genau die Hlfte des Flcheninhaltes des DIN-Rechteckes. Die Abbildung 5b illustriert das mit einer Zerlegung.
In der Abbildung 1b sehen wir an den Quadratecken im Wechsel zwei gro§e und zwei kleine rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke. Wir falten nun die zwei kleinen hinein (Abb. 6a).
Abb. 6: Gleichseitiges Sechseck mit Winkeln 90¡ und 135¡
Der Umriss der Figur ist ein gleichseitiges Sechseck. Dieses ist aber nicht gleichwinklig, sondern hat zwei rechte Winkel und vier Winkel von 135¡. Das Sechseck ist also nicht regelm§ig.
Nun falten wir Linien gem§ Abbildung 6b. Diese Faltlinien sind als ãTalfaltenÒ zu verstehen. Damit erhalten wir die Abwicklung eines (unregelm§igen) Tetraeders. Ein Tetraeder dieser Art hei§t Orthoschem; es ist die rumliche Verallgemeinerung des rechtwinklig gleichschenkligen Dreieckes. Es entsteht als konvexe Hlle dreier aufeinanderfolgender paarweise orthogonaler Wrfelkanten (Abb. 7).
Abb. 7: Orthoschem
Da die diagonale Faltlinie im DIN-Rechteck der Abbildung 6b auf zwei verschiedene Arten gewhlt werden kann, gibt es zwei zueinander spiegelbildliche Ausfhrungen des Orthoschems. Man kann den Wrfel mit drei ãlinkenÒ und drei ãrechtenÒ Orthoschems ausfllen.
Wir verwenden nun das gleichseitige Sechseck der Abbildung 6 als Parkettstein.
Zunchst gibt es eine Parkettierung, welche ein affin verzerrtes Bild der regulren Hexagonalparkettierung (Bienenwabenmuster) ist (Abb. 8).
Abb. 8: Hexagonalparkettierung
Es gibt aber auch ein Parkett mit einer vierteiligen Drehsymmetrie und einer Singularitt im Zentrum (Abb. 9). Das ist der einzige Punkt, in welchem vier Parkettsteine zusammensto§en.
Abb. 9: Vierteilige Symmetrie
Das Ganze hat System und lsst sich verallgemeinern (Abb.10).
Abb.10: Verallgemeinerung
Literatur
Walser,
Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes
Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN
978-3-937219-69-1.