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Résistance équivalente et lois de Kirchhoff
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Extrait de l’ouvrage Électricité, de J.-A. Monard, Bienne 1976.
Circuits ramifiés simples
On commence par remplacer les résistances en série ou en parallèle par une seule résistance. En répétant cette opération un certain nombre de fois, on parvient souvent à remplacer l’ensemble des résistances données par une seule. En utilisant judicieusement la loi d’Ohm, la seconde loi de conservation du courant et la loi d’addition des tensions, on parvient, dans beaucoup de cas, à faire tous les calculs souhaitables concernant un circuit donné.
- Étapes de la réduction d’un circuit
Calcul de la résistance équivalente d’un circuit
Exprimez la résistance équivalente de ce circuit en fonction de R1, R2, R3, R4, R5 et R6 en posant :
- R1 = 40 Ω
- R2 = 4 Ω
- R3 = 10 Ω
- R4 = 2 Ω
- R5 = 12 Ω
- R6 = 6 Ω
Calculez ensuite le courant qui traverse chacune de ces résistances.
- Quelle est la résistance équivalente de ce circuit ?
Il existe bien des circuits dans lesquels la méthode précédente n’est pas applicable. On utilise alors les lois de Kirchhoff. L’une exprime la conservation du courant. L’autre est l’affirmation que dans tout système où les courants sont constants, les tensions circulaires sont nulles. On applique la première loi aux noeuds - ou sommets - du circuit, c’est-à-dire aux points de jonction de plusieurs fils. La seconde loi s’applique aux mailles - ou boucles - du circuit. La tension circulaire le long d’une boucle est écrite comme étant la somme des tensions le long des conducteurs qui constituent la boucle.
Première loi de Kirchhoff
La somme des courants qui arrivent à un noeud d’un circuit est égale à la somme des courants qui en partent.
Seconde loi de Kirchhoff
Le long de toute maille d’un circuit, la somme des tensions est nulle.
Remarques à propos des lois de Kirchhoff
- Pour résoudre un circuit donné, on introduit des inconnues et, en appliquant les lois de Kirchhoff, on écrit autant d’équations qu’il est nécessaire. On peut écrire une équation pour chaque noeud et pour chaque maille, mais les équations obtenues ne sont pas toutes indépendantes. Un choix judicieux des noeuds et des mailles permet d’écrire le nombre minimum mais suffisant d’équations.
- Les équations provenant de la seconde loi ont comme termes des tensions électromotrices et des tensions ohmiques. On appelle tension ohmique une tension apparaissant le long d’une résistance, c’est-à-dire une tension qu’on peut exprimer à l’aide de la loi d’Ohm.
- Pour appliquer la seconde loi, on doit choisir un sens de parcours dans chaque boucle.
- Lorsqu’on ignore le sens d’un certain courant, on fait un choix arbitraire. Si on choisit le mauvais sens, il y a deux conséquences : dans les équations relatives aux noeuds, ce courant figure dans le mauvais membre, et dans les équations relatives aux mailles, certaines tensions ohmiques apparaissent avec le mauvais signe. Toutes ces « erreurs » reviennent à un changement de signe du courant considéré. On peut donc résoudre sans souci le système d’équations. Si on obtient des valeurs positives pour les courants, c’est que leur sens était bien choisi. Si on obtient des valeurs négatives, le sens était mal choisi.
Exemple d’application des lois de Kirchhoff
Pour trouver le courant passant dans chacune des résistances du circuit suivant, nous devons utiliser les lois de Kirchhoff.
- Quel est le courant passant dans chaque résistance ?
Les résistances R2 et R3 sont montées en série et peuvent être remplacées par une seule résistance R23 dont la valeur s’obtient en additionnant les valeurs des résistances R2 et R3. Appliquons la première loi de Kirchhoff aux nœuds considérés :
- I = I23 + I5 + I1
- I5 + I23 = I4
Considérons deux boucles et appliquons la deuxième loi de Kirchhoff :
- R1I1 - R4I4 - R5I5 = 0
- R23I23 - R5I5 = 0
Nous obtenons ainsi un système de quatre équations à quatre inconnues (les quatre courants cherchés) que nous pouvons résoudre.
Utilisation de l’ordinateur
Pour résoudre ce système d’équations avec Mathematica, vous écrivez :
et la solution se présente sous cette forme :
En substituant les valeurs des résistances dans la solution, vous obtenez les courants cherchés :