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Felix Lau

Lau Form 23
Der deutschen Auflage der Laws of Form, die 1997 erschien, stellt George Spencer Brown eine Diskussion der Unterscheidung zwischen den Methoden „Befehl und Betrachtung“ sowie „Gerede und Interpretation“ voran.
Die von George Spencer Brown verwendete Methode beruht darauf, dass der Lernende bzw. Noch-nicht-Wissende Aufforderungen befolgt, bestimmte Operationen selbst durchzuführen und dann zu betrachten, wohin er mit ihnen gelangt. In herkömmlichen mathematischen Texten findet man keine Aufforderung, etwas selbst zu tun. (Ausgenommen natürlich die floskelhafte Aufforderung: „Den einfachen Beweis möge der interessierte Leser selbst finden.“
„Überhaupt nichts kann durch Erzählen gewusst werden.“ (SPENCER BROWN 1997: XII)
Was man erzählt bekommt, kann man glauben oder lernen, aber nicht wissen. Wissen erlangt man allein durch eigene Erfahrung. Ohne Erfahrung ist „Wissen“ abstrakt und leer – und mithin kein Wissen, sondern eben Glaube oder Meinung.
George Spencer Brown wendet sich also gegen eine Methode zum Wissenserwerb, die Gesetze und Definitionen so verwendet, als vermittelten diese etwas objektiv Wahres. Hinter dieser Vorgehensweise sieht er die irrige Doktrin, dass jemand etwas wissen könne, indem man es ihm bloß erzählt. Stattdessen ist sein Vorschlag, gerade auch Gesetze und Definitionen nicht als Beschreibungen, sondern als Befehle oder Aufforderungen zu begreifen. Sie sind die Regeln von „Lasst uns so tun, als ob“-Spielen.
Als Beispiel für seine methodische Vorgehensweise und dafür, wie man zu Wissen statt zu Glauben kommt, führt er einen (altbekannten) Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen an, in dem er das Augenmerk auf die anweisende Lehrform lenkt. Ausgangspunkt ist folgender: Ich habe jetzt zwar geschrieben – und Sie haben es vermutlich andernorts auch schon gehört –, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, nur: damit wissen Sie noch nicht, dass das tatsächlich der Fall ist. Sie können es mir oder anderen nur glauben – bis Sie es wissen. Und wenn Sie es wissen, können und brauchen Sie es nicht mehr zu glauben. Um etwas zu wissen, muss man es „tiefer“ erfahren haben – das hängt mit eigener Tätigkeit zusammen – als es das bloße Hören oder Lesen bewirken kann. In diesem Fall muss man selber nach- oder mitgedacht haben.
Wir bringen den Beweis, der auf Euklid zurückgeht, nicht aufgrund seiner Originalität, sondern weil er sich wegen seiner Anschaulichkeit und eleganten Einfachheit gerade für mathematische Laien eignet, die Methode von Befehl und Betrachtung selbst nachzuvollziehen. Mit der Darstellung von George Spencer Brown erkennt man anschaulich die allgemeine Form von Beweisen: Nenne dies so-und-so, berechne dieses und jenes, und betrachte, was es ist, das du erhältst. Es ist diese Beweisform, die auch hinter der Methode von Befehl und Betrachtung steht, die hier interessiert, denn der Beweis selbst ist geläufig, bietet nichts Neues.
Wenn man über einen Begriff der Primzahlen verfügt (Definition: Jede natürliche Zahl, die genau nur durch eins und sich selbst ohne Rest teilbar ist, wird Primzahl genannt) und eine Vorstellung davon hat, dass Zahlenmengen dahingehend charakterisiert (unterschieden) werden können, ob sie endlich oder unendlich viele Zahlen umfassen, kann man sich fragen, in welche Kategorie denn nun die Menge der Primzahlen fällt. Die reine Anschauung hilft da nicht weiter, da klarerweise die Dichte der Primzahlen mit der Größe der untersuchten Zahlenmenge abnimmt. Denn: Je größer eine Zahl ist, umso mehr mögliche Teiler gibt es. Vielleicht mag man nicht glauben, dass sie ein Ende nehmen, denn nur die Ausdünnung allein liefert keinen zwingenden Grund dafür, dass sie nicht endlos auftreten könnten. Man kann sich eine Meinung bilden, solange man nicht weiß, was der Fall ist. Also: Ist die Anzahl der Primzahlen endlich oder unendlich?
Sobald jemand Interesse daran hat, diese Frage zu entscheiden, also ein Motiv verfolgt, wird er nach einem Beweis bzw. einer Beweisidee suchen. Das ist die Form, Fragen mathematischer Art zu entscheiden. Und es ist auch klar, dass jede Zahlenmenge entweder endlich oder unendlich groß ist. Es kann nicht sein, dass sie beides, keines oder etwas „dazwischen“ ist.
Eine Möglichkeit, sich der Frage der Mächtigkeit der Primzahlen zu nähern, ist anzunehmen, es gäbe endlich viele und mithin eine größte, nennen wir sie m. Die Annahme der Endlichkeit ist der erste Befehl, der zu befolgen ist; dass es dann eine größte Primzahl geben muss, ist die erste Betrachtung. Um den Beweis führen, verstehen und akzeptieren zu können, ist es nicht notwendig, diese größte Primzahl zu kennen. Es wird lediglich angenommen, es gäbe eine Zahl mit der Eigenschaft, die größte aller Primzahlen zu sein, so dass deren Anzahl endlich ist. Nehmen wir also an, es existiere m.
Die Beweisidee enthält folgende Anweisungen und Betrachtungen: Multipliziere alle Primzahlen bis zur größten (m) miteinander und addiere dann 1. Diese so produzierte Zahl, nenne sie M+1, ist durch keine der miteinander multiplizierten Primzahlen teilbar, welche der Annahme nach alle sind. Betrachte dazu folgende Überlegung: Wenn man M+1 durch eine beliebige der endlich vielen Primzahlen teilt, dann bleibt stets der Rest eins, schließlich ist jede Primzahl Teiler von M. Und wenn eine Zahl durch keine Primzahl teilbar ist, dann ist sie durch überhaupt gar keine Zahl teilbar – außer durch sich selbst und durch 1.
Die Konstruktion von M+1 erfolgte durch das Befolgen der Befehle, mit denen man sie bestimmen kann. Nun ist der Schluss aus der Beobachtung zu ziehen: M+1 ist entweder selbst eine Primzahl (und größer als m) oder aus Faktoren zusammengesetzt, die größere Primzahlen als m sind. Als Veranschaulichung dieses Unterschiedes mögen folgende Beispiele dienen:
Nehmen wir an, 11 wäre die größte Primzahl, dann ist M+1: 2•3•5•7•11+1 = 2311. Diese Zahl ist prim. Nehmen wir an, 13 wäre die größte Primzahl, dann ist M+1: 2•3•5•7•11•13+1 = 30031. Diese Zahl ist selbst keine Primzahl, sondern das Produkt der Primzahlen 59 und 509. In beiden Fällen muss es mindestens eine Primzahl geben, die größer als m ist.
Damit wurde bewiesen, dass die Annahme, die Primzahlen seien endlich und es gäbe mithin eine größte, zu dem Schluss führt, dass es größere Primzahlen gibt und damit die Menge der Primzahlen unendlich groß ist. Dabei wird für den Beweis keine Primzahl berechnet oder bestimmt, sondern nur die Gewissheit erlangt, dass es eine größere als die angenommene geben muss.
Abgesehen von dieser schönen Beweisidee haben wir mitverfolgt, wie die Methode von Befehl und Betrachtung praktisch aussieht: Anweisungen ausführen („Nimm ... an“, „Berechne ...“) und zu überlegen, was es ist, das man so erhält, welche Eigenschaften vorliegen und was das hinsichtlich der zu klärenden Frage bedeutet.
„dass es in diesem Text nirgendwo einen einzigen Satz gibt, welcher besagt, was oder wie irgend etwas ist.“ (SPENCER BROWN 1997: X)
Außer diesem Satz selbst. Ironischerweise ist diese Feststellung die einzige Setzung, der einzige Satz in den Laws of Form, der sagt, wie etwas ist, bzw. wie etwas nicht ist – das heißt, man kann das nur glauben oder nicht, bis man es durch den Nachvollzug des Kalküls geprüft hat. Der zitierte Satz bleibt jedoch ein Satz, der etwas darüber aussagt, was oder wie irgend etwas ist: Es ist so, dass es in den Laws of Form keinen Satz gibt, der besagt, was oder wie etwas ist. Diese Problematik wird entschärft, wenn man „diesen Text“ (Zitat) auf die Darstellung des Kalküls bezieht, also auf die 12 Kapitel des Haupttextes der Laws of Form. Hier soll nur vorbereitend darauf hingewiesen werden, dass diese Problematik dadurch entsteht, dass der zitierte Satz auch auf sich selbst bezogen wird. Für den Haupttext gilt tatsächlich, dass er nur Sätze enthält, die auffordern, etwas zu tun (zu benennen, zu unterscheiden, Regeln anzuwenden etc.) und zu betrachten, was sich daraus ergibt.
Da es eine der Absichten dieses Textes ist, anhand der Laws of Form zu zeigen, dass Objekte oder andere Manifestationen von Unterscheidungen in diesem Sinne nicht wirklich (objektiv, unabhängig) sind, da die Welt keine Unterscheidungen enthält, sondern wir Beobachter es sind, die diese mit dem Prozess des Beobachtens mit-produzieren, geraten wir in das Problem,
„dass wir in einem Buch Worte und andere Symbole in einem Versuch gebrauchen müssen, das auszudrücken, was der Gebrauch von Worten und anderen Symbolen bislang verschleiert hat.“ (SPENCER BROWN 1997: XXXIV)
Denn Sprache ist, da sie auf den Gebrauch von Unterscheidungen angewiesen ist, einerseits unfähig zu beschreiben, wie Realität entsteht, andererseits ist sie aber gerade das Medium, das wir benötigen oder zumindest einsetzen, so dass Realität erzeugt und wahrgenommen werden kann.
Wie wir aus dem Kalkül ersehen, sind Worte oder Namen nicht als Verweise auf eine unabhängige Realität zu verstehen. Vielmehr markieren sie Grenzziehungen eines Beobachters, denn sie erhalten ihren Gehalt eben nur durch einen Beobachter, der eine Anzeige verwendet, um eine Unterscheidung operativ brauchbar zu machen. Deshalb ist es unmöglich, die Welt oder Wirklichkeit, wie sie unabhängig von einem Beobachter sein könnte, zu beschreiben.
„Entlernen der geläufigen deskriptiven Superstruktur, welche, bis sie abgelegt ist, irrtümlich für die Wirklichkeit gehalten werden kann.“ (SPENCER BROWN 1997: XXXIV)
Für einen klaren Blick auf Realität wird es unerlässlich sein, die Unter-scheidung zwischen dem Namen und dem Benannten nicht aus den Augen zu verlieren und in ihrer ganzen Tragweite zu erfassen. Hier soll die Aufmerksamkeit darauf gelenkt werden, dass wir leicht die Realität verwechseln mit der Beschreibung von Realität, respektive mit unseren Gedanken über Realität, die beide Unterscheidungen benötigen.