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Selon ses statuts, la SFGG a pour but de dispenser la gymnastique pour toutes les classes d'âge et pour toutes les aptitudes et favorise les possibilités de formation, de compétition et de jeux correspondants. Par ailleurs, elle attache une importance particulière à l'éducation morale et physique de la jeunesse. Elle coordonne l'activité de ses groupements, encourage la camaraderie et la sociabilité parmi tous ses membres, et observe une neutralité politique et confessionnelle.
La Société forme une des sections de la Société Fédérale de Gymnastique. Elle est indépendante dans ses affaires intérieures pour autant que ses activités ne dérogent pas aux statuts cantonaux et fédéraux.
La SFGG, tout comme les autres sections, participe aux manifestations cantonales, régionales et fédérales.
Les disciplines pratiquées au sein de la Section Genève-Grottes sont organisées en différents groupes composés de membres de la société. Il s'agit des jeunes gymnastes filles et garçons provenant de la gymnastique aux agrès, des actifs et des actives, de la gym hommes et seniors hommes, de la gym dames et seniors dames.