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Oktaeder – Volumen
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Grundlagen zum Thema Oktaeder – Volumen
Inhalt
- Definition – Volumen des Oktaeders
- Beispiel zur Berechnung des Volumens eines Oktaeders
- Anwendung der Volumenformeln
- Abgrenzung der Volumenformel
Definition – Volumen des Oktaeders
Den Namen Oktaeder trägt der Körper aufgrund seiner $8$ (griechisch: oktá) dreieckigen Flächen. Er hat außerdem $6$ Eckpunkte und $12$ Kanten. Das Volumen eines Oktaeders setzt sich aus den Volumen zweier kongruenter quadratischer Pyramiden zusammen. Die Grundflächen beider Pyramiden liegen aneinander.
Mit der bekannten Formel für das Volumen von Pyramiden ($V_{Py} = \frac{1}{3} \cdot A_g \cdot h$) lässt sich die Oktaeder-Volumenformel herleiten:
$V_{Oktaeder} = 2 \cdot V_{Py} = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3$
Herleitung der Volumenformel des Oktaeders
Zur Bestimmung des Volumens eines Oktaeders wird dieses in zwei kongruente Pyramiden aufgeteilt. Da ein Oktaeder aus acht gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt ist, sind alle Kanten gleich lang. Die Kanten werden im Folgenden mit $a$ bezeichnet. Die Höhe $h$ einer Pyramide kann eindeutig bestimmt werden, wenn die Seitenlänge $a$ gegeben ist.
- Grundfläche $A_g$ der Pyramide bestimmen:
Die Grundfläche der Pyramide ist ein Quadrat. Der Flächeninhalt kann daher bestimmt werden, indem die Längen von zwei angrenzenden Seiten multipliziert werden.
$A_g=A_{Quadrat}=a\cdot a= a^2$
- Höhe $h$ bestimmen:
Die Höhe $h$ steht senkrecht auf der Grundseite $A_g$ und geht durch die Spitze der Pyramide. Um sie zu bestimmen, muss zunächst anhand der bekannten Seitenlängen $a$ die halbe Diagonale $s$ bestimmt werden. Mithilfe dieser Halbdiagonalen $s$ und dem Satz des Pythagoras kann auch die Höhe der Pyramide $h$ berechnet werden:
$\begin{array}{rccll} &a^2&=& h^2 +s^2 &~\vert - s \\ \\ \Leftrightarrow & h^2&=&a^2 - s^2 &~\vert~ s^2 = \frac12 a^2 \\ \\ \Leftrightarrow & h^2&=&a^2 - \frac12 \cdot a^2 &~ \vert~ \sqrt{~} \\ \\ \Leftrightarrow & h &=&\sqrt{\frac12 a^2} & \\ \\ \Leftrightarrow & h &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot a &= \frac12 \cdot \sqrt{2} \cdot a \\ \\ \end{array}$
- Volumen – Pyramide
Die ermittelten Größen können nun in die Formel für die Pyramide eingesetzt werden und so ergibt sich:
$V_{Py}= \frac 1 3 \cdot a^2 \cdot \frac12 \cdot \sqrt{2} \cdot a = \frac{\sqrt{2}}6 \cdot a^3$
-
Volumen – Oktaeder
Das Volumen des Oktaeders ist das Doppelte der Pyramide, da wir das Oktaeder an der Grundseite in zwei gleich große Pyramiden unterteilen können. Daher wird das Volumen der Pyramide verdoppelt:
$V_{Py}=2\cdot \frac{\sqrt{2}}6 \cdot a^3= \frac{\sqrt{2}}3 \cdot a^3$
Beispiel zur Berechnung des Volumens eines Oktaeders
Gegeben: $ a=3 \text{ cm}$
Gesucht: $V_{\text{Oktaeder}}$
Zur Berechnung des Volumens wird die Oktaeder-Volumenformel benötigt:
$V_{Oktaeder} = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3$
$\begin{array}{rcll} V_{Oktaeder} &=& \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot (3 \text{ cm})^3 \\ \\ &=& \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 27 \text{ cm}^3 \\ \\ &\approx & 12,73 \text{ cm}^3 \\ \\ \end{array}$
Das Volumen eines Oktaeders mit der Seitenlänge $a=3\text{ cm}$ beträgt demnach
Anwendung der Volumenformeln
Die Berechnung des Volumens von unterschiedlichen Körpern wie Quadern, Würfeln und Oktaedern spielt eine wichtige Rolle in der Schule. Hier wird zum Beispiel bestimmt mit wie vielen Litern Flüssigkeit man einen Körper füllen kann. Aber auch in der Natur kommen zum Beispiel Salzkristalle in der Form eines Oktaeders vor. Zur Berechnung der jeweiligen Dichte benötigt man dann unter anderem das Volumen.
Abgrenzung der Volumenformel
Weitere wichtige Formeln für das Oktaeder sind:
Oberfläche: $O_{Oktaeder}=2\cdot a^2 \sqrt{3}$
Höhe einer der Pyramiden: $ h =\frac12 \cdot \sqrt{2} \cdot a $
Abstand zwischen beiden Pyramidenspitzen: $ h =\sqrt{2} \cdot a $
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Oktaeder.
Transkript Oktaeder – Volumen
Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik, ich begrüßte euch herzlich zum Video Oktaedervolumen! Es wäre nicht schlecht, wenn ihr bereits das Video "Oktaederoberfläche" angeschaut habt. Dieses Video ist vorgesehen für etwa Schüler der 10. Klasse im 2. Schulhalbjahr. Jüngere und ältere Hörer oder Zuschauer sind gern gesehen. Das Volumen eines Oktaeders kann man aus dem Volumen zweier Pyramiden, die kongruent sind und mit den Grundflächen aneinander haften, bestimmen. Die Grundflächen dieser Pyramiden sind klar, es handelt sich hierbei um Quadrate. Also Ag=A²=A², das ist klar. Jetzt müssen wir die Höhe h der Pyramide bestimmen. Für die Bestimmung von h möchte ich die linke Zeichnung verwenden. h, die Kante des Oktaeders a und sie Seite s bilden ein rechtwinkliges Dreieck. a ist dabei Hypotenuse, s und a Katheten. h wollen wir bestimmen, a als Hypotenuse kennen wir, wir müssen nur noch s÷a ausdrücken. Das funktioniert folgendermaßen: Ich verwende eine kleine Skizze der Grundseite einer der Pyramiden. Das ist ein Quadrat, die beiden Seiten sind a und a, die Diagonale ist 2s, nämlich die zweifache Länge von s. Wir verwenden nun den Lehrsatz des Pythagoras und erhalten (2s)²=a²+a². Wir erhalten in der Zeile darunter 4s²=2a². Wir dividieren beide Seiten durch zwei und erhalten s²=½a², dritte Zeile. Nun ziehen wir die Wurzel: Wir schreiben zunächst das Wurzelzeichen über beide Terme links und rechts, vierte Zeile. In der fünften Zeile erhalten wir das Ergebnis: (links)s=(rechts)1/(2\sqrt)×a. Wir erweitern nun den Zähler und den Nenner mit Wurzel 2. Ich mache in der Mitte, direkt unter der Skizze des Quadrates weiter: s=(1×2\sqrt/2\sqrt×2\sqrt)×a. Zeile darunter: s=(2\sqrt/2)×a oder ½2\sqrt×a. Jetzt können wir den Lehrsatz des Pythagoras für a, s und h anwenden a²=s²+h². Wir subtrahieren s² und vertauschen die Seiten und erhalten h²=a²-s². Für s setzen wir nun den erhaltenen Wert ein und erhalten in der Zeile darunter: h²=a²-(½×2\sqrt×a)². Ich mache jetzt rechts weiter: h²=a²-2/4a² oder =a²-½a². Nächste Zeile: h²=½a². Nun ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten. Zunächst schreiben wir in der dritten Zeile das Wurzelzeichen über die Terme auf beiden Seiten. h²\sqrt=h und vierte Zeile, wir erhalten für die rechte Seite: 1/2\sqrt×a. Nach Erweiterung mit 2\sqrt, was wir bereits durchgeführt haben, erhalten wir in der fünften Zeile: h=½2\sqrt×a. Nun haben wir auch die zweite Größe, die wir benötigen. Ich übertrage sie noch nach oben und dann können wir zum Finale blasen. So, wir schauen uns nun das Volumen der Pyramide an: PPy=1/3ag×h, 1/3×Grundfläche×Höhe. Grundfläche ist a², also Zeile darunter: Volumen der Pyramide = 1/3a²×der Höhe und die haben wir ermittelt, ½2\sqrt×a. Das Volumen des Oktaeders ist das verdoppelte Volumen der Pyramide, also 2×2/6\sqrt×a³. Wir kürzen 2 und 6 gegeneinander und erhalten als Endergebnis 2/3\sqrt×a³ ist das Volumen der Pyramide. Natürlich habe ich das Symbol für das Volumen der Pyramide mit V gewählt. Wir erhalten also V=2/3\sqrt×a³. Ich bedanke mich für eure Aufmerksamkeit, vielleicht hat es euch ein wenig Spaß bereitet. Alles Gute, tschüss!
1 Kommentar
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Gut gelungen! Gefällt mir.
Oktaeder – Volumen Übung
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Beschreibe, wie die Höhe der Pyramide berechnet werden kann.Tipps
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.
Mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$ (längste Seite im rechtwinkligen Dreieck) gilt also:
$a^2 + b^2 = c^2$.
Du erhältst bei der Umformung an verschiedenen Stellen den Ausdruck $\frac1{\sqrt2}$.
Erweitere diesen Bruch mit $\sqrt 2$. Dies führt zu:
$\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{\sqrt2\cdot \sqrt2}=\frac{\sqrt2}2$.Lösung
Was ist ein Oktaeder?
Ein Oktaeder ist ein regelmäßiger Körper. Dieser wird von acht kongruenten und gleichseitigen Dreiecken gebildet. „Oktaeder“ heißt übrigens „Achtflächler“.
Das bedeutet insbesondere, dass alle $12$ Kanten gleich lang sind. Diese sind hier in dem Bild mit $a$ gekennzeichnet.
Wie du hier sehen kannst, besteht ein Oktaeder aus zwei geraden und quadratischen Pyramiden. Die Höhe des Oktaeders ist $h_O$. Sie ist doppelt so lang wie die Höhe $h$ einer der beiden Pyramiden.
Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch $V_\text{Pyr}=\frac13\cdot A_g\cdot h=\frac13\cdot a^2\cdot h$.
Du musst also die Höhe $h$ bestimmen.
Hierfür wendest du zweimal den Satz des Pythagoras an.
Die halbe Diagonale der Grundfläche
Wir bezeichnen die Diagonale der Grundfläche mit $2s$. Sie ist die Hypotenuse in einem gleichschenkligen und rechtwinkligen Dreieck mit den beiden Schenkeln $a$ (den Katheten). Somit gilt:
$\begin{array}{rclll} (2s)^{2}&=&a^{2}+a^{2}\\ 4s^{2}&=&2a^{2}&|&:4\\ s^{2}&=&\frac12a^{2}&|&\sqrt{~~~}\\ s&=&\frac1{\sqrt2}a\\ &=&\frac{\sqrt2}{2}a \end{array}$
Die Höhe der Pyramide
Nun kannst du die Höhe $h$ der Pyramide berechnen. Betrachte hierfür das rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse $a$ und den Katheten $s$ und $h$. Du kommst dann zu der Gleichung $a^{2}=s^{2}+h^{2}$.
Setze nun $s^{2}=\frac12a^{2}$ in diese Gleichung ein und forme nach $h$ um.
$\begin{array}{rclll} a^{2}&=&s^{2}+h^{2}\\ a^{2}&=&\frac12a^{2}+h^{2}&|&-\frac12a^{2}\\ \frac12a^{2}&=&h^{2}&|&\sqrt{~~~}\\ \frac1{\sqrt2}a&=&h\\ \frac{\sqrt2}{2}a&=&h \end{array}$
Nun bist du fertig. Du hast die Höhe mit Hilfe von $a$ ausgedrückt.
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Gib die Formel zur Berechnung des Volumens eines Oktaeders an.Tipps
Für jede Pyramide gilt $V=\frac13\cdot A_g\cdot h$.
Du kannst $h$ in dieser Aufgabe mit Hilfe von zwei Anwendungen des Satzes des Pythagoras ermitteln und abhängig von $a$ ausdrücken.
Der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ beträgt $a^{2}$.
Du kannst bei der Volumenberechnung des Oktaeders den Bruch kürzen.Lösung
Das Volumen des Oktaeders ist das Doppelte des Volumens einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Es gilt:
$V=2\cdot V_\text{Pyr}=2\cdot \frac13\cdot A_g\cdot h$.
Da die Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ ist, erhältst du $A_g=a^{2}$. Nun kannst du noch $h=\frac{\sqrt2}{2}a$ verwenden. So gelangst du zu:
$\begin{array}{rcl} V&=&2\cdot \frac13 \cdot a^2\cdot \frac{\sqrt2}{2}a\\ &=&\frac{\sqrt2}{3}a^{3}. \end{array}$
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Berechne das Volumen des Oktaeders.Tipps
Setze den bekannten Wert für $a$ in die Formel $V=\frac{\sqrt 2}{3}a^3$ ein.
Beachte beim Runden: Du schaust dir die dritte Stelle hinter dem Komma an.
Lösung
- Ist diese $0$; $1$; $2$; $3$ oder $4$, dann rundest du ab.
- Ist diese $5$; $6$; $7$; $8$ oder $9$, dann rundest du auf.
In dieser Aufgabe kannst du an einem konkreten Beispiel die Volumenberechnung für einen Oktaeder üben.
Du verwendest die Formel $V=\frac{\sqrt 2}{3}a^{3}$.
Nun kannst du den bereits bekannten Wert für die Kantenlänge $a=5~\text{cm}$ in diese Formel einsetzen:
$\begin{array}{rcl} V&=&\frac{\sqrt 2}{3}(5~\text{cm})^{3}\\ &=&\frac{\sqrt 2}{3}125~\text{cm}^{3}\\ &\approx&58,93~\text{cm}^{3}. \end{array}$
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Ermittle die Höhe des Oktaeders mit dem Volumen $V=300~\text{cm}^{3}$ und der Kantenlänge $a$.Tipps
Beachte: Gesucht ist die Höhe des Oktaeders. Diese ist doppelt so lang wie die Höhe einer der Pyramiden
Die Volumenformel lautet: $V=\frac{\sqrt 2}{3}a^3$.
Der Zusammenhang zwischen der Kantenlänge $a$ sowie der Höhe der Pyramide $h_\text{Pyr}$ ist gegeben durch:
$h_\text{Pyr}=\frac{\sqrt 2}{2}a$.Lösung
Die Volumenformel für ein Oktaeder lautet: $V=\frac{\sqrt 2}{3}a^3$. Da es sich um eine Gleichung handelt, kann man diese Formel umstellen. Hier stellen wir sie so um, dass die Kantenlänge $a$ isoliert ist:
$\begin{array}{rclll} V&=&\frac{\sqrt 2}{3}a^3&|&\cdot \frac{3}{\sqrt 2}\\ \frac{3}{\sqrt 2}\cdot V&=&a^{3}&|&\sqrt[3]{~~~}\\ \sqrt[3]{\frac{3}{\sqrt 2}\cdot V}&=&a. \end{array}$
Setze nun das bekannte Volumen in diese Formel ein:
$a=\sqrt[3]{\frac{3}{\sqrt 2}\cdot 300~\text{cm}^{3}}\approx8,6~\text{cm}$.
Die Höhe einer Pyramide lässt sich mit dieser Kantenlänge nun so berechnen:
$h_\text{Pyr}\approx\frac{\sqrt 2}{2}\cdot8,6~\text{cm}\approx 6,1~\text{cm}$.
Zuletzt benutzt du, dass die Höhe des Oktaeders das Doppelte der Höhe der Pyramide ist. Damit ergibt sich $h\approx 12,2~\text{cm}$.
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Gib an, was du zur Herleitung der Volumenformel eines Oktaeders benötigst.Tipps
Beachte: Die Höhe ist eine Länge. Die Oberfläche ist eine Fläche.
Ein Kegel hat einen Kreis als Grundfläche. Ein Kegel ist keine Pyramide.
Die Volumenformel für eine Kugel lautet $V=\frac43\pi~r^{3}$, wobei $r$ der Radius der Kugel ist.Lösung
Das Volumen eines Oktaeders kann man aus dem Volumen zweier kongruenter Pyramiden bestimmen. Diese Pyramiden haben die Grundfläche $A_g$ gemeinsam.
Für Pyramiden gilt die Volumenformel $V=\frac13\cdot A_g\cdot h$. Da die Grundfläche ein Quadrat ist, kannst du $A_g=a^{2}$ verwenden.
Nun musst du noch die Höhe einer der beiden Pyramiden bestimmen. Die Höhen der beiden Pyramiden sind gleich lang.
Hierfür musst du zweimal den Satz des Pythagoras anwenden.
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Leite die Formeln für die Oberfläche des Oktaeders her.Tipps
Berechne die Höhe $h_S$ eines Seitendreiecks mit Hilfe des Satzes von Pythagoras in Abhängigkeit von $a$.
Es ist $a^{2}=h_S^{2}+\left(\frac a2\right)^{2}$.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich so berechnen:
$A_\Delta=\frac12 g\cdot h_g$.
Dabei ist $g$ eine Grundseite und $h_g$ die zugehörige Höhe.Lösung
Der Flächeninhalt eines Seitendreiecks lässt sich berechnen mit $A_\Delta=\frac12 \cdot a\cdot h_S$.
Du musst also die Höhe $h_S$ des Seitendreiecks herleiten. Verwende hierfür den Satz des Pythagoras und forme dann nach $h_S$ um:
$\begin{array}{rclll} h_S^{2}+\left(\frac a2\right)^{2}&=&a^{2}\\ h_S^{2}+\frac{a^{2}}4&=&a^{2}&|&-\frac{a^{2}}4\\ h_S^{2}&=&\frac34 \cdot a^{2}&|&\sqrt{~~~}\\ h_S&=&\frac{\sqrt 3}{2}\cdot a. \end{array}$
Nun kannst du den Flächeninhalt eines Seitendreiecks berechnen:
$A_\Delta=\frac12 \cdot a\cdot \frac{\sqrt 3}{2}\cdot a=\frac{\sqrt 3}{4}\cdot a^{2}$.
Da die Oberfläche aus acht solchen Seitendreiecken besteht, gilt für die Oberfläche:
$O=8\cdot \frac{\sqrt 3}{4}\cdot a^{2}=2\cdot \sqrt 3\cdot a^{2}$.
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