Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03533.jsonl.gz/1715

Hans Walser, [20130528]
Goldene Rechtecke
Das Einheitsquadrat und das Rechteck mit den Seitenlngen und sind flchengleich.
Unter verstehen wir den Goldenen Schnitt (Walser 2013):
Die Abbildung 1 zeigt die Situation.
Abb. 1: Quadrat und Rechteck
Das Rechteck hat das Seitenverhltnis . Es ist zu unterscheiden vom so genannten Goldenen Rechteck mit dem Seitenverhltnis . Ich schlage fr unser lngeres Rechteck den Namen langes Goldenes Rechteck vor.
Das Quadrat und das lange Goldene Rechteck der Abbildung 1 sind flchengleich und somit zerlegungsgleich. Die Abbildung 2 zeigt eine gemeinsame Zerlegung.
Abb. 2: Zerlegungsgleichheit
Wir kommen mit zwei Puzzle-Formen durch. Die entsprechenden Puzzle-Teile knnen durch Verschieben zur Deckung gebracht werden.
Die Frage ist, ob es auch eine gemeinsame Zerlegung in seitenparallele Rechtecke gibt. Die Abbildung 3 zeigt den ersten Schritt dieser gemeinsamen Zerlegung.
Abb. 3: Erster Schritt
Das gr§tmgliche gemeinsame Puzzle-Teil ist nun ein Goldenes Rechteck. Als Restrechtecke haben wir nun aber links ein langes Goldenes Rechteck und rechts ein Quadrat. Damit ist klar, dass das Zerlegungsverfahren nicht terminiert. Hier u§ert sich die Irrationalitt des Goldenen Schnittes. Die Abbildung 4 zeigt den nchsten Schritt.
Abb. 4: Zweiter Schritt
Das Puzzle-Rechteck ist wiederum ein Goldenes Rechteck. Das Restrechteck links ist nun ein Quadrat und das Restrechteck rechts ein langes Goldenes Rechteck. Die Abbildung 5 zeigt die folgenden Schritte, theoretisch geht es ad infinitum.
Abb. 5: Infinitesimale Ausschpfung
Bei der Anordnung der Puzzle-Teile gem§ Abbildung 5 kommen wir mit drei Farben aus. Wir knnen natrlich auch anders anordnen. Die Abbildung 6 zeigt eine spiralfrmige Anordnung. Wir bentigen vier Farben.
Abb. 6: Spiralfrmige Anordnung
Die Goldenen Rechtecke haben die Flcheninhalte:
Da sie zusammen das Einheitsquadrat ausschpfen, erhalten wir die Beziehung:
Wenn wir das Quadrat der Abbildung 6 in der senkrechten Richtung mit dem Faktor strecken, erhalten wir ein Goldenes Rechteck im Hochformat, welches von Quadraten ausgeschpft wird (Abb. 7).
Abb. 7: Goldenes Rechteck
Wenn wir umgekehrt das lange Goldene Rechteck der Abbildung 6 in horizontaler Richtung mit dem Faktor strecken (also inhaltlich schrumpfen), erhalten wir ein Goldenes Rechteck im Querformat, das durch Quadrate ausgeschpft wird (Abb. 8).
Abb. 8: Die sattsam bekannte Figur
Literatur
Walser, Hans (6. Auflage). (2013). Der Goldene Schnitt. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing ber populrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.