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Exercices sur l’induction et l’auto-induction
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Exercices extraits de J. Cessac, G. Tréherne, Physique, 1ère C. Fernand Nathan, Paris 1966.
Dans quelles circonstances l’induction apparaît-elle ?
Un courant circulant dans une bobine y crée un champ magnétique. On peut se demander si un champ magnétique placé dans une bobine y ferait naître un courant. Relions les bornes d’une bobine à un galvanomètre et établissons un champ magnétique dans la bobine au moyen d’un aimant ou d’un électro-aimant. Nous constatons que le galvanomètre décèle un courant lorsqu’on établit ou qu’on supprime le champ magnétique, c’est-à-dire quand le champ varie, mais non quand le système est stationnaire. Ce courant est appelé courant induit. Ce phénomène se nomme phénomène d’induction.
Considérons un courant dans un circuit quelconque. Ce courant
crée un champ magnétique. Si le courant varie, le champ magnétique varie aussi. Or, les variations de champ magnétique créent un champ électrique. On peut se demander quels sont les effets de ce champ électrique sur le courant donné. Comme il s’agit d’un effet d’induction provoqué par un circuit sur lui-même, on parle de self-induction ou d’auto-induction.
Exercice 1
On approche d’un solénoïde fixe, fermé sur lui-même, un solénoïde de même axe, parcouru par un courant. Comparez le sens du courant induit dans le solénoïde fixe à celui du courant qui parcourt le solénoïde mobile. Faites le même exercice dans le cas d’un éloignement.
Exercice 2
Les extrémités d’une bobine de 1000 spires de 5 cm de rayon sont reliées à un galvanomètre. La bobine est amenée en 0.5 seconde dans un champ uniforme dont les lignes d’induction sont parallèles à son axe et dont le vecteur d’induction magnétique a pour intensité B=0.01 T. Calculez l’intensité moyenne du courant induit sachant que la résistance du circuit vaut 50 Ω.
Rép. 3.14$\times$10-3 A.
Exercice 3
Les deux bornes d’un galvanomètre à cadre mobile sont reliées aux deux extrémités d’une bobine comprenant 1000 spires de 5 cm de rayon. Le galvanomètre n’indique le passage d’aucun courant. Un aimant est approché de la bobine : l’induction magnétique B à l’intérieur de la bobine, qu’on suppose uniforme avant et après l’opération, varie de 0.1 T en 5 secondes. Quelle est la tension moyenne induite ? Sachant que le galvanomètre donne une déviation de 10 divisions sur la règle graduée quand il est traversé par un courant de 1 microampère (10-6 A), on demande de combien sera la déviation moyenne du galvanomètre pendant l’approche de l’aimant. Le fil de la bobine est en maillechort de résistivité 6$\times$10-7 Ωm et son diamètre vaut 4/10 mm. La résistance du galvanomètre est de 500 Ω.
Rép. 0.157 V, 785 divisions.
Exercice 4
Sur un cylindre isolant ayant 10 cm de diamètre et 3 m de longueur, on enroule régulièrement 1884 m de fil de cuivre dans lequel on fait passer un courant de 1 A. On demande de calculer l’induction magnétique B au centre 0 de cette longue bobine.
On place en 0, normalement à l’axe de cette longue bobine, une petite bobine ayant 1 000 spires de 10 cm2 de section. Quelle est la tension induite dans
la petite bobine lorsqu’on fait varier le courant qui traverse la longue bobine de 0 à 1 A en 1/100 de seconde, la variation de ce courant se faisant proportionnellement au temps ?
Rép. 2.5$\times$10-3 T, 0.25 V.
Exercice 5
La bobine d’un électro-aimant a 20 cm de longueur. Elle comprend 120 spires enroulées sur un noyau de 5 cm de diamètre. Le courant d’excitation est de 16 A. Calculez le flux d’induction à travers une section du noyau dans les deux hypothèses suivantes :
- a) noyau en fonte de perméabilité μ1=65
- b) noyau en fer de perméabilité μ2=220.
On enroule sur le noyau 20 spires de fil conducteur. On ramène le courant de 16 A à 0 en un vingtième de seconde. Calculez dans les deux hypothèses précédentes la tension moyenne induite dans le fil.
Rép. 1.5$\times$10-3 Wb, 5.2$\times$10-3 Wb, 0.6 V, 2.08 V.
Exercice 6
Une bobine de 200 spires de 10 cm de rayon, placée dans un champ uniforme d’induction B inconnue, est reliée à un galvanomètre balistique permettant de mesurer les quantités d’électricité induites dans la bobine. Sachant que la résistance du circuit ainsi réalisé vaut 200 Ω et qu’une rotation faisant passer l’angle θ de 0 à 90° produit une quantité d’électricité Q=3.14$\times$10-4 C, calculez l’induction B.
Rép. 0.01 T.
Exercice 7
Dans un champ uniforme où l’intensité d’induction magnétique est B, une tige conductrice AB de longueur l subit une translation uniforme de vitesse v. Exprimez la différence de potentiel VA-VB entre les extrémités de la tige dans le cas où les directions de l’induction B, de la tige et du déplacement sont trirectangulaires.
Application numérique : B=0.1 T, l=0.1 m, v=1 m/s.
Rép. 0.01 V.
Exercice 8
Sur deux rails conducteurs rectilignes parallèles situés dans un plan horizontal peut glisser une tige conductrice MN qui leur est perpendiculaire. Le tout est immergé dans un champ magnétique vertical dont l’induction magnétique a une intensité B=0.5 T et est dirigée vers le haut. Sauf dans la deuxième partie du problème, les extrémités des rails sont reliées aux pôles d’une batterie délivrant une tension U=6 V et le circuit a une résistance R=2 Ω. L’écartement des rails est a=20 cm.
- a) Quelle est la force électromagnétique qui s’exerce sur la tige MN supposée immobile ? Quel est le travail de cette force lorsqu’on déplace MN de 1 cm ?
- b) La batterie est retirée du circuit et remplacée par un ampèremètre. Le circuit, fermé de nouveau (voir figure) ayant encore la résistance R=2 Ω, on déplace MN à la vitesse v=5 m/s. Calculez l’intensité du courant dans le circuit.
- c) Que devient cette intensité du courant si on remet la batterie à la place de l’ampèremètre ? (Vous distinguerez les deux sens possibles de déplacement pour MN).
Rép. 0.3 N, 0.003 J, 0.25 A, $\rightarrow$ 2.75 A, $\leftarrow$ 3.25 A.
Exercice 9
Deux rails XX’ et YY’, parallèles et horizontaux, distants de 2 m (voir figure), ont une résistance négligeable. Ils sont placés dans une induction magnétique uniforme, verticale, d’intensité B=4$\times$10-5 T. Leurs extrémités sont reliées par une résistance R égale à 1 Ω. Une tige métallique MN, cylindrique, de résistance négligeable, est placée sur les rails perpendiculairement à leur direction.
- a) On déplace la barre, parallèlement à elle-même, à une vitesse constante de 50 cm/s. Calculez la tension dont elle est le siège.
- b) Calculez l’intensité du courant induit qui parcourt le circuit.
- c) Déterminez la direction, le sens et l’intensité de la force électromagnétique qu’exerce le champ sur le conducteur MN au cours du déplacement.
- d) Calculez le travail effectué par cette force en une seconde. Ce travail est-il moteur ou résistant ? Calculez l’énergie électrique qui apparaît dans le circuit pendant le même temps. Concluez.
Rép. 4$\times$10-5 V, 4$\times$10-5 A, 3.2$\times$10-9 N, 1.6$\times$10-9 J.
Exercice 10
Une cage métallique d’un puits de mine se déplace sur deux glissières verticales métalliques distantes de 1 m et situées dans un plan perpendiculaire au méridien magnétique. Ces glissières sont réunies respectivement aux deux bornes d’un galvanomètre à cadre mobile de 300 Ω de résistance. Pendant le mouvement de la cage, on constate que le galvanomètre indique une intensité de 0.2 μA. Déduisez de cette observation :
- a) La tension créée par induction pendant le mouvement de la cage.
- b) La vitesse de la cage.
Rép. 0.6$\times$10-4 V, 3 m/s.
- a) La résistance R du solénoïde.
- b) Son inductance L.
- c) L’expression de la tension d’auto-induction
dont il est le siège lorsqu’il est parcouru par un courant d’intensité i=5t2 A et la valeur de cette tension 10 secondes après l’instant initial t=0.
Rép. 4$\times$102 Ω, 9.86$\times$10-3 H, -0.986 V.
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