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Benoît Mandelbrot
Benoît B. Mandelbrot (* 20. November 1924 in Warschau; † 14. Oktober 2010 in Cambridge, Massachusett) war ein französisch-US-amerikanischer Mathematiker.
Mandelbrot leistete Beiträge zu einem breiten Spektrum mathematischer Probleme, insbesondere in der theoretischen Physik, der Finanzmathematik und der Chaosforschung.
Fraktale Geometrie
Am bekanntesten aber wurde er als Vater der fraktalen Geometrie.
Er beschrieb die Mandelbrot-Menge und prägte den Begriff „fraktal“. Mandelbrot trug selbst stark zur Popularisierung seiner Arbeiten bei, indem er Bücher schrieb und Vorlesungen hielt, die für die Allgemeinheit bestimmt waren.
Die Mandelbrot-Menge, benannt nach Benoît Mandelbrot, ist die Menge der komplexen Zahlen Z, für welche die durch die iterative Vorschrift mit dem Anfangswert Z =0 definierte Folge endlich bleibt, d. h. beschränkt ist.
Interpretiert man die Mandelbrot-Menge (eine Teilmenge der Gaußschen Zahlenebenen) als geometrische Figur, so ergibt sie ein Fraktal, das im allgemeinen Sprachgebrauch oft Apfelmännchen genannt wird.
Mandelbrot Koordinaten
Im Bild links oben sind die Koordinaten des Apfelmännchens eingetragen.
Bilder berechnen
Bilder berechnet man, indem man jedem Pixel (x,y) eines Bildes eine komplexe Zahl zuordnet ( C = C + ax + biy).
Beginnend mit Z=0 untersucht man, ob und wann die Iterationen anfangen, zu „explodieren“.
Bleiben die Werte klein, wird das Pixel häufig schwarz gefärbt, es gehört zur Mandelbrotmenge, kommt es zu einer „Explosion“ der Zahlenwerte, wird die Anzahl der dafür notwendigen Iterationen als Farbe kodiert.
Fluchtgeschwindigkeit
Das Bild links unten zeigt ein koloriertes Apfelmännchen. Die Farbänderung wird anhand der sogenannten Fluchtgeschwindigkeit berechnet.
Diese ist im Grenzbereich der Mandelbrotmenge am "schnellsten" und nimmt stetig ab je weiter man entfernt ist.
Beachten Sie auch die von mir erstellten Videos auf der folgenden Seite.
Mandelbrot Koordinaten
Mandelbrot Koordinaten
Mandelbrot Fluchtgeschwindigkeit
Links zu schönen Fraktalen Videos
Maths Town / Temple of the Mandelbrot - A fractal zoom (4k 60fps)
Wie entstehen die fraktale Bilder ?
Man sucht zuerst einen interessanten Punkt im fraktalen Bild (meist nahe der Mandelbrotgrenze gelegen).
Dann braucht es ein Programm das aus einigen Subroutienen besteht;
LOOP
- Bildausschnitt (xmin, xmax und ymin, ymax) definieren.
- Pro Bildpunkt Formel berechnen
- Farbe zuordnen
Die folgenden Bilder zeigen vereinfachte Programmausschnitte mit Visual Basic Code.
Das künstlerische an den Mandelbrot Fraktalen und Zoom Videos ist das steuern der Kolerierung, also die Farbpalette definieren und die Einbindung dieser in die Fluchtgeschwindigkeit.
Die Herstellung (rendern) von Zoomvideos benötigt Millionen von Berechnungen und ist nur mit leistungsstarken Computer zu realisieren unbdes kann tage bis Wochen dauern bis so ein Video fertig gestellt ist.
Als Rendering (engl. “machen”) wird in der Videoproduktion ein automatisierter Prozess bezeichnet, der aus vorliegenden Rohdaten in 3D-, Animations- oder Schnittprogrammen ein fertiges Bild oder Video berechnet.