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Hans Walser
Vom Strahlensatz zum Strahlensatz
Motive und Phnomene
GDM Jahresversammlung 2015
Basel
9. – 13. Februar 2015
Zusammenfassung
Ausgehend von einem didaktischen Fehler ergibt sich eine Gedankenreise, welche beim Strahlensatz beginnt und ber verschiedene Stationen wie Parabel, projektive Geometrie, Symmetrie, Faltgeometrie und rechte Winkel wieder zum Strahlensatz fhrt.
Auf der Rckseite eines Blattes (Querformat) tragen wir am unteren Rand zwei mal drei Marken ein (Abb. 1a). Dann wenden wir das Blatt und whlen einen Punkt (Abb. 1b).
Abb. 1: Zwei mal drei Marken. Punkt whlen
Nun falten wir die erste Markierung auf den Punkt ein und wieder zurck (Abb. 2).
Abb. 2: Erster Faltschritt
Nun falten wir die zweite Markierung auf den Punkt ein und wieder zurck (Abb. 3).
Abb. 3: Zweiter Faltschritt
Schlie§lich erhalten wir zwei Scharen von je drei Faltlinien (Abb. 4a). Die wechselseitigen Schnittpunkte teilen jeweils auf jeder Schar im gleichen Verhltnis (Abb. 4b). Das ist auch das Verhltnis der ursprnglich gewhlten Marken (Abb. 1a).
Abb. 4: Faltlinien. Teilverhltnisse
Diese Situation erinnert an den Strahlensatz.
In der Strahlensatzfigur (Abb. 5) haben wir aber einerseits eine Schar von parallelen Geraden und andererseits eine Schar von Geraden durch einen Punkt. Das sind begrifflich asymmetrische Vorgaben. Die Satzaussage ist aber symmetrisch: in beiden Geradenscharen sind je entsprechende Teilverhltnisse gleich.
Abb. 5: Strahlensatzfigur
Die Faltfigur der Abbildung 4b ist begrifflich symmetrisch. Ebenso erhalten wir eine begrifflich symmetrische Figur mit Winkeleisen (Abb. 6). Dazu verfahren wir wie folgt.
Abb. 6: Winkeleisen: Anschlagwinkel und Spenglerwinkel
Wir beginnen mit einem Punkte F und einer nicht durch F verlaufenden Geraden t. Nun passen wir gem§ Abbildung 7 zwei Sets von je drei rechten Winkeln (rote und blaue ãWinkeleisenÒ) ein so, dass die Scheitel der rechten Winkel auf t liegen und jeweils ein Schenkel durch F verluft. Die anderen Schenkel schneiden sich wechselseitig.
Abb. 7: Winkeleisen
Diese Schnittpunkte unterteilen die roten Schenkel im gleichen Verhltnis. Im Beispiel der Abbildung 7 ist es das Verhltnis 2:1. Ebenso unterteilen sie die blauen Schenkel im gleichen Verhltnis. Im Beispiel der Abbildung 7 ist es das Verhltnis 5:2.
Wir sind geneigt in unserem Anschauungsraum die Figur rumlich zu interpretieren. Dann allerdings haben wir das Gefhl, dass die auf uns zukommende Ebene nach unten hngt. Das hngt damit zusammen, dass die Figur keine perspektivische Darstellung ist.
Wir legen ein Koordinatensystem gem§ der Abbildung 8 zugrunde. Als x-Achse whlen wir die Gerade t. Der Punkt F habe die Koordinaten F(0, 1). Wir whlen exemplarisch einen roten Winkel mit dem Scheitelpunkt (a, 0) und einen blauen Winkel mit dem Scheitelpunkt (b, 0).
Abb. 8: Koordinaten
Der zweite rote Schenkel hat die Gleichung , der zweite blaue Schenkel die Gleichung . Fr den Schnittpunkt S der beiden Schenkel ergeben sich die Koordinaten . Summe und Produkt, die beiden einfachen Gottesgaben.
Die drei roten Winkel und die drei blauen Winkel der Abbildung 1 nummerieren wir mit beziehungsweise . Die Scheitel dieser Winkel seien bei beziehungsweise .
Der Punkt als Schnittpunkt des i-ten roten Schenkels mit dem j-ten blauen Schenkel hat die Koordinaten .
Nun berechnen wir das Teilverhltnis auf dem i-ten roten Schenkel:
Fr die Strecke erhalten wir:
Analog ergibt sich fr die Strecke :
Bei der Verhltnisbildung krzt sich der Wurzelfaktor heraus:
Wir sehen, dass das Teilverhltnis unabhngig vom Index i ist, das hei§t, es ist auf allen roten Schenkeln gleich. Es ist zudem gleich dem Teilverhltnis der Scheitel der drei blauen Winkel.
Aus Symmetriegrnden gilt das Analoge fr die Teilverhltnisse auf den blauen Schenkeln.
Im Abschnitt 14.1 eine Beweisvariante, die mit Sehnenvierecken arbeitet.
Wir modifizieren die Figur der Abbildung 7, indem wir mit dem Punkt F gegen die Gerade t streben.
Die beiden Winkelscharen behandeln wir aber ungleich, um die fr den Strahlensatz ntige Asymmetrie zu erreichen. Bei den blauen Winkeln lassen wir die Scheitelpunkte auf t fest. Diese Winkel werden also gedreht. Bei den roten Winkeln lassen wir die Richtungen fest. Diese Winkel werden parallel verschoben.
Da die Teilverhltnisse bei den Winkelscheiteln sich nicht verndern, bleiben auch die Teilverhltnisse auf den Schenkeln invariant.
Die Abbildung 9 illustriert diesen Modifikationsprozess in mehreren Schritten. Im Grenzfall mit F auf t stehen die blauen Schenkel senkrecht auf t, sind also untereinander parallel. Die roten Schenkel verlaufen durch F. Wir haben den gewhnlichen Strahlensatz.
Abb. 9: Modifikation
Auf einem Arbeitsblatt (8. Schuljahr) ist zu lesen:
Da wurde moniert, das sei zwar fachlich richtig, aber didaktisch falsch. Die erste Zeile sei definierend fr die Trapeze, die zweite Zeile gelte aber fr jedes Viereck (Abb. 10a). Vielleicht sollte hier speziell auf die Mittellinien hingewiesen werden, weil eine davon nachher fr die Flchenformel gebraucht wird.
Abb. 10: Mittellinien halbieren sich
Die Halbierungseigenschaft kann ber das diagonalenparallele Parallelogramm nachgewiesen werden, welches durch die Seitenmitten des allgemeinen Viereckes aufgespannt wird (Abb. 10b).
Dieser didaktische ãFehlerÒ erwies sich als sehr anregend: was ist, wenn Mitte und halbieren durch Drittel und dritteln ersetzt wird?
Dritteln sich Drittellinien gegenseitig?
Der Sonderfall des Trapezes erweist sich als einfach, da wir den Strahlensatz anwenden knnen (Abb. 11a).
Abb. 11: Sonderfall Trapez. Allgemeines Viereck
Wir vermuten aufgrund der Zeichnung (Abb. 11b), dass sich auch im allgemeinen Fall die Drittellinien gegenseitig dritteln. Wie ist es mit anderen Teilverhltnissen?
Im Abschnitt 14.2 ein elementarer Beweis fr die Drittelung im allgemeinen Viereck.
Die Abbildung 12 zeigt die Situation bei Viertelung und Achtelung. Wir knnen Parallelogramme einpassen.
Abb. 12: Viertel-Linien und Achtel-Linien
Die Parallelogramme liegen allerdings nicht schn in einer Flucht.
Die Abbildung 13 zeigt das projektive Bild eines Schachbrettes, ein so genanntes Moebiusnetz.
Abb. 13: Schachbrett und Weg des Lufers
Im Unterschied zur Abbildung 12 sind die blauen Vierecke keine Parallelogramme. Dafr sind sie ãstimmigÒ.
Wir teilen zwei gegenberliegende Seiten des Vierecks im Verhltnis λ, die beiden anderen Seiten im Verhltnis μ. Wir verbinden dann die Teilpunkte gegenberliegender Seiten. Zu zeigen ist: diese Verbindungslinien teilen sich gegenseitig in den Verhltnissen λ und μ. Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 14.
Abb. 14: Beweisidee
Zunchst teilen wir die Seiten AB und DC im gleichen Verhltnis λ. Es ist also:
In der Abbildung 14 ist λ = 0.2.
Dann teilen wir die Strecken AD, BC und EF im gleichen Verhltnis μ:
In der Abbildung 14 ist μ = 0.45.
Zu zeigen ist: Die Punkte G, I und H sind kollinear, also
Das ist eine Vektorerei. Es ist:
Weiter ist:
Und weiter:
Somit ist:
Somit sind die Punkte G, I und H kollinear.
Fr ganze Zahlen λ und μ erhalten wir ein Viereckraster wie folgt. Wir verlngern die Viereckseiten und tragen Vielfache der Seitenlngen ab (Abb. 15a).
Abb. 15: Erster Schritt. Ergnzung zum Viereckraster
Anschlie§end ergnzen wir zum Viereckraster (Abb. 15b). Jede Rasterlinie der einen Schar wird von den Rasterlinien der anderen Schar in gleichm§igen Abstnden geschnitten.
Wir sehen, dass sich beim berschneiden der Linien was Spannendes anbahnt.
Wenn wir das Viereckraster fortsetzen, berschneiden sich die Rasterlinien. Als Enveloppe entsteht eine Kurve (Abb. 16). Die Kurve sieht aus wie eine Parabel, es knnte aber auch eine Ellipse sein. Was nun?
Abb. 16: Parabel
Wir zeichnen zweimal drei Tangenten an eine Parabel und bestimmen exemplarisch die Teilverhltnisse zwischen den wechselseitigen Schnittpunkten (Abb. 17).
Abb. 17: Tangenten an Parabel
Wenn wir dasselbe Spielchen mit einem Kreis machen (Abb. 18a), haben wir zwar wieder Winkeleisen wie in der Abbildung 7, aber keine konstanten Teilverhltnisse. Mit einer Ellipse kann es daher auch nicht funktionieren, das sich eine Ellipse mit einer affinen Abbildung unter Erhaltung der Teilverhltnisse auf einen Kreis abbilden lsst.
Abb. 18: Mit dem Kreis und Hperbel funktioniert es nicht
Auch mit der Hyperbel (Abb. 18b) ist nichts zu wollen.
Die Parabel, der Exot unter den Kegelschnitten, ist also der interessante Fall.
Die Kegelschnitte knnen punktweise mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Fr die Parabel bentigen wir eine Gerade (Leitlinie) und einen Punkt (Brennpunkt). Die Abbildung 19 illustriert exemplarisch die Konstruktionen von zwei Punkten. Die jeweils gleichfarbigen Abstnde sind gleich gro§.
Abb. 19: Konstruktion von Parabelpunkten
Die Tangenten ergeben sich als Mittelsenkrechte (Abb. 20).
Abb. 20: Tangenten als Mittelsenkrechte
In unserem Beispiel aus der Faltgeometrie (Abb. 4) spielen der Punkt die Rolle des Brennpunktes und die untere Papierkante die Rolle der Leitlinie.
Die rechten Winkel in der Abbildung 20 liegen auf der Scheiteltangente der Parabel (Abb. 21). Dabei erkennen wir auch wieder die Winkeleisen der Abbildung 7.
Abb. 21: Scheiteltangente und Winkeleisen
Damit schlie§t sich der Gedankenkreis.
Im Folgenden einige Ergnzungen, die mir von Kolleginnen und Kollegen zugekommen sind.
Der im Abschnitt 4 vorgestellte Beweis lsst sich auch mit Sehnenvierecken durchfhren. Die Idee dazu verdanke ich Emese Vargyas, Mainz.
Die Abbildung 22 entspricht der Abbildung 8; das Koordinatensystem ist weggelassen. Wegen der rechten Winkel bei A und B ist das Viereck SAFB ein Sehnenviereck (Abb. 22a). In der Abbildung 22b ist zustzlich das Sehnenviereck CAFB eingezeichnet.
In diesem Viereck gilt . Dabei ist s auch der Abstand von S von der Geraden
AB.
Abb. 22: Sehnenviereck
In der Abbildung 23 sind nun drei blaue rechte Winkel eingetragen.
Abb. 23: Drei blaue rechte Winkel
Dabei gilt:
Somit ist auch:
Das Teilverhltnis auf dem roten Schenkel ist also unabhngig von der Position des Punktes A.
Fr diese berlegungen bentigen wir die gewhnlichen Strahlenstze.
Der Nachweis, dass sich Drittellinien gegenseitig dritteln (Abb. 11b) lsst sich mit folgender berlegung von Hans Humenberger, Wien, fhren.
Abb. 24: Drittellinien
Die schwarzen Linien in der Abbildung 24 sind parallel zu den Viereckdiagonalen. Auf Grund der gewhnlichen Strahlenstze ist die Strecke PQ doppelt so lang wie die Strecke RS. Daher drittelt der Schnittpunkt T die Strecken PS und QR (ãX-FigurÒ). Analog fr die brigen Schnittpunkte der roten und blauen Strecken.
Last modified: 20. Februar 2015