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Konstruktionen mit Zahnstochern
Kaum jemand weiss, dass alle Punkte, die man mit Zirkel und Lineal konstruieren kann, auch durch eine unbegrenzte Anzahl von gleich langen Zahnstochern erhalten werden können (Streichhölzer, Wattenstäbchen, usw. erzielen denselben Effekt). Zahnstocher sind dabei feste Strecken, die in der Ebene bewegt werden dürfen. Diese Konstruktionsmethode wurde von T. R. Dawson erfunden und im Kapitel "Match-Stick" Geometry (Streichholzgeometrie) in der Mathematical Gazette 1939 veröffentlicht. Dawson bewies, dass man nur Punkte konstruieren kann, die man auch mit Hilfe von Zirkel und Lineal erhalten kann. Die Herausforderung dieses Spiels ist es, Konstruktionen mit der kleinstmöglichen Anzahl von Zahnstochern zu vollführen.
Gegeben
sei ein Winkel ACB, der nicht grösser als 120° und nicht genau 60° ist, sowie
eine Gerade durch die Punkte A und B. Gesucht ist der Mittelpunkt G von AB,
den es nun mit Hilfe von gleich langen Zahnstochern zu konstruieren gilt (Abb. 1).

Bei diesem Beispiel geht es darum, ein
Einheitsquadrat mit Kantenlänge gleich der Länge eines Zahnstochers zu
konstruieren (Abb. 2). Fange irgendwo damit an, ein gleichseitiges Dreieck ABC
zu bilden. Ergänze die Seite BC
zu einem weiteren gleichseitigen Dreieck BCD, dasselbe tust du mit BD,
es ergibt sich Dreieck BDE. AF
ist eine beliebige Strecke innerhalb des Winkels BAC. Man erhält dadurch das
gleichschenklige Dreieck ABF. "Spiegle" dieses Dreieck um BF,
es folgt ein kongruentes Dreieck BFG. An die Strecke BG
fügst du zwei weitere Zahnstocher an, so dass wir dort das gleichschenklige
Dreieck BGH erhalten. Durch B und den Schnittpunkt J der Dreiecke BDE und BGH
legst du die erste Seite des Quadrates (BK).
Die Strecke durch B und F steht senkrecht dazu, dies ist unsere zweite Seite (BL).
Nun ergänzt du das Quadrat mit zwei weiteren Zahnstochern, wobei sich Punkt M
zwangsläufig ergibt – fertig ist unser Quadrat.

In der Theorie mag die Streichholz-Geometrie ein amüsanter Zeitvertreib für Rätselliebhaber sein. In der praktischen Anwendung ergeben sich aber unerwartet grosse Probleme die Figuren mit Zahnstochern zu konstruieren. Ein grosses Mass an Konzentration und Fingerspitzengefühl sowie ein ausdauernder Rätselcharakter und starke Nerven sind wichtige Voraussetzungen zum praktischen Umsetzen der Theorie. Das ganze gerät oft zum Fiasko, da die Zahnstocher immer wieder verrutschen und sehr eigenwillig in ihrer Handhabung sind. Genaues Konstruieren ist somit schlichtweg unmöglich!