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Beispiel 2
In diesem Beispiel soll die bekannte Ableitungsformel
für n ≥ 1 gezeigt werden.
Für den Induktionsschritt verwenden wir dabei (ohne Beweis) die Produktregel
Induktionsanfang
Für den Startwert n0 = 1 müssen wir die Aussage
zeigen. Diese ist zwar bekannt, aber das trifft ja auf die allgemeine Ableitungsformel auch zu. Deshalb wollen wir die Aussage durch einsetzen in den Differenzenquotienten beweisen. Wir erhalten für f(x) = x:
Also ist der Differenzenquotient konstant, und somit stimmt er mit seinem Grenzwert für h→ 0 überein. Es ist also x′ = 1.
Induktionsannahme
Nun nehmen wir an, dass im weiteren die Aussage
für ein beliebiges, aber fest gewähltes n gültig sei.
Induktionsschritt
Nun müssen wir die Aussage
beweisen. Dafür benutzen wir die Produktregel, um die linke Seite auf die Induktionsannahme zurückzuführen. Es gilt
und somit
|(xn+1)′ = (x xn)′ = x′ xn + x (xn)′ |
Nun benutzen wir die aus dem Induktionsanfang bekannte Formel x′ = 1 und die Induktionsannahme und erhalten
|(xn+1)′ = x′ xn + x (xn)′ = 1 xn + x n xn−1 = (n+1) xn |
Damit ist der Induktionsschritt gezeigt, und die Ableitungsformel durch vollständige Induktion bewiesen.
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