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Der Dreisatz (früher auch: die Regel de tri [von französisch Règle de
tri, von lateinisch regula de tribus], manchmal auch Schlussrechnung, im
österreichischen Sprachgebrauch nur Schlussrechung bzw. kurz Schlüsse)
ist ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Werten eines
Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen. Eine
(einfachere) Variante ist der Zweisatz. Der Dreisatz ist kein
mathematischer Satz, sondern ein Lösungsverfahren für
Proportionalaufgaben. Er wird insbesondere in der Schulmathematik
gelehrt. Man kann mit dem Dreisatz Probleme aufgrund einfacher
Einsichten oder auch ganz schematisch lösen, ohne die zugrunde liegenden
mathematischen Gesetzmäßigkeiten vollständig zu durchschauen. Wer mit
Proportionalitäten vertraut ist, benötigt den Dreisatz nicht mehr, weil
er dann die Ergebnisse durch einfache mathematische Operationen erhalten
kann.
Inhaltsverzeichnis [Verbergen] 1 Einfacher Dreisatz 1.1 Inhaltliches
Lösen 1.2 Hintergrund 2 Erweiterungen 2.1 Umgekehrter Dreisatz 2.2
Verallgemeinerter Dreisatz 3 Beispiele 3.1 Beispiel 1 3.2 Beispiel 2
(einfacher und umgekehrter Dreisatz) 3.3 Beispiel 3 (verallgemeinerter
Dreisatz) 4 Weblinks 5 Einzelnachweise
Einfacher Dreisatz Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je mehr A,
umso mehr B.“ vor (direkte Proportionalität): Beim Verdoppeln
(Verdreifachen, ...) von A wird auch B verdoppelt (verdreifacht, ...).
Gegeben ist ein Verhältnis von a Einheiten einer Größe A zu b Einheiten
einer Größe B. Gefragt wird nach der Anzahl x Einheiten der Größe B, die
in demselben Verhältnis zu c Einheiten von A stehen. In einer Tabelle
sind die „gleichartigen“ Werte untereinander zu schreiben:
Größe A Größe B a b c x
Inhaltliches Lösen Die Dreisatzaufgabe lässt sich sehr einfach in drei
Denkschritten lösen:
a Einheiten von A entsprechen b Einheiten von B. Einer Einheit von A
entsprechen b / a Einheiten von B. c Einheiten von A entsprechen also
Einheiten von B. In der Tabelle wird eine zusätzliche Zeile eingefügt.
In beiden Tabellenspalten wird mit demselben Wert dividiert bzw.
multipliziert.
Größe A Größe B Rechne: a b durch a 1 b / a mal c c
Beim Rechnen entstehende Brüche werden in jedem Schritt gekürzt (siehe
Beispiel 1).
Hintergrund Verhältnisse gehören zu den elementaren mathematischen
Kenntnissen und erscheinen bereits in Euklids Elementen[1]. Die
Dreisatzregel wird (ohne Begründung) als regula de tri in den
Rechenbüchern von Adam Ries[2] angegeben. Die Bezeichnung Dreisatz rührt
her von den drei gegebenen, in die Rechnung eingesetzten (in altem
Deutsch: „gesatzten“) Größen. Heutige deutschsprachige Schulbücher
deuten die Bezeichnung oft als das „Lösen in drei Sätzen“. In
algebraischer Schreibweise handelt es sich bei der Dreisatzaufgabe um
eine Verhältnisgleichung
a : b = c : x. Durch Umstellen der Gleichung gewinnt man die Lösung
(Beispiel 2a).
Erweiterungen
Umgekehrter Dreisatz Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je weniger
A, umso mehr B.“ vor (indirekte Proportionalität, Beispiel 2b): Beim
Halbieren (Dritteln, ...) von A wird B verdoppelt (verdreifacht, ...).
Dabei ergeben a Einheiten einer Größe A mit b Einheiten einer Größe B
ein konstantes Produkt. Gefragt wird nach der Anzahl x Einheiten der
Größe B, die mit c Einheiten von A dasselbe Produkt ergeben: . In beiden
Spalten der Tabelle werden entgegengesetzte Rechenoperationen
ausgeführt:
Rechne: Größe A Größe B Rechne: durch a a b mal a mal c 1 durch c c
Verallgemeinerter Dreisatz Beim verallgemeinerten Dreisatz gehen
Produkte mehrerer Größen in das Verhältnis ein (vgl. Beispiel 3).
Ausgehend von kann man auf zwei Wegen die Lösung des Problems bestimmen.
Der einfache Dreisatz ist mehrfach anzuwenden (man geht zuerst von a0 zu
a1 über, dann von b0 zu b1 und schließlich von c0 zu c1). Alternativ
können alle Schritte auch gleichzeitig ausgeführt werden: