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Vier Freunde denken sich gemeinsam eine Zahl aus und verraten einige Details darüber. Dummerweise widersprechen sie sich dabei. Die Lösung findest du trotzdem, oder?
Wenn du gut mit Zahlen kannst, wird dir die folgende Aufgabe sicher gefallen. Gestellt wurde sie Schülern der 10. Klasse bei der Mathematikolympiade im Jahr 2010. Und zwar in der Regionalrunde, der zweiten von vier Stufen. Sie gehört damit zu den anspruchsvolleren, aber noch nicht wirklich schwierigen Aufgaben.
Agneta, Bert, Clara und Dennis haben sich gemeinsam eine natürliche Zahl ausgedacht und auf einen Zettel geschrieben. Ihre Freunde sollen die Zahl erraten und deshalb machen die vier jeweils zwei Aussagen dazu:
ACHTUNG! Um das Rätsel noch ein bisschen schwieriger zu machen, erklären die vier ausserdem, dass jeder von ihnen bei einer seiner zwei Aussagen die Wahrheit gesagt hat und bei der anderen nicht.
So und nun bist du dran: Finde alle Zahlen, die auf dem Zettel stehen könnten!
Die Aufgabe erscheint erst einmal unübersichtlich – alle denkbaren Varianten einzeln durchzuprüfen, könnte ein Weilchen dauern. Aber wenn wir uns die Aussagen der vier Personen genauer anschauen, können wir einiges ausschliessen und kommen schnell voran. Wir beginnen mit Agneta:
A1: Die Zahl ist dreistellig.
A2: Das Produkt aller Ziffern ist 23.
A2 kann nicht stimmen, weil 23 eine Primzahl ist und deshalb 23 als Ziffer in der gesuchten Zahl auftauchen müsste. Das geht jedoch nicht, denn es existieren in unserem Dezimalsystem nur Ziffern von 0 bis 9. Also muss Aussage A1 stimmen – die Zahl ist dreistellig.
Weiter geht es mit Bert:
B1: Die Zahl ist durch 37 teilbar.
B2: Die Zahl besteht aus drei gleichen Ziffern.
Wir prüfen, ob seine zweite Aussage (B2) zutreffen kann, also ob die Zahl aus drei gleichen Ziffern bestehen kann. Passt das zu dem, was Clara gesagt hat?
C1: Die Zahl ist durch 11 teilbar.
C2: Die Zahl endet mit Null.
Wenn B2 wahr wäre und zugleich C2, müsste die Zahl aus drei Nullen bestehen, was natürlich nicht geht. Wären stattdessen B2 wahr und C1, würde unsere gesuchte Zahl aus drei gleichen Ziffern bestehen und zugleich durch 11 teilbar sein. Aber eine solche Zahl gibt es nicht, wie man leicht überprüfen kann. Denn 110, 220, 330 und so weiter sind Vielfache von 11, nicht aber 111, 222, 333 und so weiter.
Aus alldem folgt: B2 passt weder zu C1 noch zu C2, ist also falsch. B1 ist wahr. Wir suchen also eine dreistellige Zahl, die durch 37 teilbar ist und zudem entweder durch 11 teilbar ist (C1) oder auf Null endet (C2).
Im ersten Fall sind als Lösungen 11x37=407 oder 2x11x37=814 möglich. Im zweiten Fall kommt man auf 370 oder 740.
Es fehlen nur noch die Aussagen von Dennis:
D1: Die Quersumme ist grösser als 10.
D2: Die Ziffer der Hunderterstelle ist weder die grösste noch die kleinste der Ziffern.
Sofern D1 wahr ist und D2 falsch, passen nur 740 und 814 zu den Aussagen. In beiden Fällen ist die erste auch die grösste der drei Ziffern.
Ist hingegen D1 falsch und D2 richtig, kommt nur 370 in Frage.
Fazit: Es gibt keine eindeutige Lösung. Auf dem Zettel stand entweder 370, 740 oder 814.