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Hans Walser, [20170424]
Erdbilder
Es wird ein Modell besprochen (Abb. 1). Geodaten aus [1].
Abb. 1: Modell
Abb. 2: Orthografische Projektionen
Die Abbildung 2a zeigt die Erdkugel in verschiedenen orthografischen Projektionen. Das Bild im Kreuzungspunkt zeigt die Erde von vorne. Dabei ist ãvorneÒ eurozentrisch gedacht (Nullmeridian und quator als Mittellinien). Links und rechts davon die Erde ebenfalls von links beziehungsweise rechts, oben der Nordpol, unter dem Kreuzungspunkt der Sdpol und ganz zuunterst die Erde ãvon hintenÒ (Pazifik, aber ãauf dem KopfÒ).
Die Anordnung der Projektionen in der Abbildung 2a (ãlateinisches KreuzÒ) lsst an ein Wrfelnetz denken (Abb. 2b). Im Anhang eine gr§ere Version als Bastelvorlage.
In jeder Frontalansicht sehen wir eine orthografische Projektion der Erdkugel. Die Anordnung auf der Wrfeloberflche entspricht den Ansichten, die eine in einen Glaswrfel eingegossene Erdkugel ergbe.
Die Abbildung 2b zeigt allerdings bei weitem nicht die einzige Lsung. Die Abbildung 3 zeigt andere konsistente Belegungen mit orthografischen Projektionen.
Abb. 3: Andere Belegungen
Natrlich stellt sich nun die kombinatorische Frage, wie viele Belegungen mit orthografischen Projektionen im lateinischen Kreuz mglich sind. Nun, eine bestimmte Projektion zum Beispiel die Sicht auf den Nordpol kann auf jedem der sechs Felder des Kreuzes abgelegt werden. Die Projektion kann dann allerdings noch um Vielfache von 90¡ gedreht werden, also vier Mglichkeiten im selben Feld. Somit haben wir insgesamt 24 Mglichkeiten, die Sicht auf den Nordpol zu platzieren. Die anderen 5 Projektionen knnen dann allerdings nur noch auf eine Art konsistent platziert werden.
Mit einem Set von 6 orthografischen Projektionen (Abb. 4) knnen konsistente Anordnungen ausprobiert werden. Im Anhang das Set in gr§erem Format.
Abb. 4: Ausschneiden und ausprobieren
Nun gibt es aber 21 verschiedene Wrfelnetze [2]. Die Abbildung 5 gibt eine schematische bersicht. Die meisten Beispiele kommen in spiegelbildlichen Versionen vor.
Abb. 5: Wrfelnetze
Die Abbildung 6 gibt einige falsche Beispiele. Die mit gleicher Farbe markierten Quadrate kmen aufeinander zu liegen. Anderswo htten wir dann fehlende Quadrate.
Abb. 6: Falsche Beispiele
Einige der Beispiele der Abbildung 5 sind ihrerseits punktsymmetrisch. Bei diesen Beispielen (vgl. Abb. 7) gibt es nur 12 Belegungen mit orthografischen Projektionen, da je zwei Belegungen zu identischen Schnittmustern fhren (von den Klebefalzen abgesehen).
Abb. 7: Gleich oder verschieden?
Die Abbildung 8 zeigt ein Beispiel, wo es mit den Klebefalzen nicht klappt. Die gelb markierten Klebefalze kommen sich in die Quere. An den lila markierten Kanten fehlt der Klebefalz.
Abb. 8: Probleme mit den Klebfalzen
In einem Schnittmuster ist die Anzahl der Au§enkanten gerade. Dies kann mit einem destruktiven Verfahren eingesehen werden. Wenn wir bei einem fertigen Modell eine Kante aufschneiden, entstehen zwei Au§enkanten.
Ein sicheres Verfahren zur Platzierung der Klebefalze besteht darin, an jeder zweiten Au§enkante einen Klebefalz anzubringen.
Das Modell der Abbildung 1 wurde nicht geklebt, sondern aus drei Streifen der Abbildung 9 geflochten. Im Anhang die Streifen in gr§erem Format.
Abb. 9: Drei Streifen
Beim Flechten des Modells muss natrlich wieder auf Konsistenz der Projektionen geachtet werden.
Das Flechtmodell hat gegenber dem Klebemodell einige Vorteile. Es muss nicht mit Leim oder Klebestoff gearbeitet werden. Die Modelle sind (wenigstens im Prinzip) reversibel und knnen fr Transport und Lagerung wieder auseinander genommen werden. Bei einiger bung lassen sie sich auch schneller und prziser herstellen als Klebemodelle.
Die meisten Orte der Erdoberflche erscheinen auf der Oberflche unseres Modells mehrfach, in der Regel dreifach. Das Schwarze Meer sehen wir auf den Seiten ãvorneÒ, ãrechtsÒ und ãobenÒ (Abb. 10a). London, auf dem Nullmeridian gelegen, wird auf vier Seiten sichtbar, der Nordpol auf fnf Seiten und Teile des quators gar auf allen sechs Seiten, allerdings ãobenÒ und ãuntenÒ im wrtlichen Sinne nur peripher und auf den brigen Seiten nur je zur Hlfte.
Abb. 10: Sicht ber Eck
Unser Modell entspricht also nicht der Vorstellung der in den transparenten Wrfel eingegossenen Erdkugel (Abb. 10b).
Die Abbildung 11 zeigt die sechs orthografischen Projektionen rund um die Kugel. Die Projektionen ãuntenÒ, ãhintenÒ und ãlinksÒ werden jetzt von innen gesehen. Sie erscheinen daher spiegelbildlich.
Abb. 11: Projektionen
Websites
[1] ETH Zrich. Institut fr Kartografie und Geoinformation. Kartenprojektionen (25.04.2017):
[2] Hans Walser: Wrfelabwicklungen (25.04.2017):
[3] Hans Walser: Wrfelwelten (25.04.2017):
[4] Hans Walser: Origami-Wrfelwelt (25.04.2017):
Anhang