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Eine besonders große Bedeutung hat der Inkreis in der Dreiecksgeometrie.
Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis, wie im Folgenden begründet wird.
Alle Punkte der Winkelhalbierenden des Innenwinkels haben den gleichen
Abstand von den Seiten [AB] und [CA]. Entsprechend haben die Punkte der
Winkelhalbierenden von den gleichen Abstand von [BC] und [AB]. Der
Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden hat also von allen drei
Seiten des Dreiecks ([AB], [BC] und [CA]) gleichen Abstand. Er muss also
auch auf der dritten Winkelhalbierenden liegen. Zeichnet man um diesen
Schnittpunkt einen Kreis, der eine Seite des Dreiecks berührt, so
berührt dieser Kreis auch die beiden anderen Seiten.
Der Inkreis berührt alle drei Seiten im Inneren - im Gegensatz zu den
drei Ankreisen, die jeweils das Innere einer Seite und die
Verlängerungen der beiden anderen Seiten berühren.
Der Inkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden,
zählt zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks. Er trägt die
Kimberling-Nummer X1.
Radius [Bearbeiten] Ist A der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seiten
a, b und c, so berechnet sich der Radius r des Inkreises durch:
mit
Je nach den gegebenen Parametern des Dreiecks ist folgender Zusammenhang
interessant:
Koordinaten [Bearbeiten] Inkreismittelpunkt eines Dreiecks (X1)
Trilineare Koordinaten Baryzentrische Koordinaten
Weitere Eigenschaften [Bearbeiten] Die Entfernung zwischen der Ecke A
und einem der benachbarten Berührpunkte des Inkreises ist gleich s − a;
dabei bedeutet s wie oben den halben Umfang. Entsprechendes gilt für die
Ecken B und C. Die Verbindungsgeraden der Ecken des Dreiecks mit den
gegenüberliegenden Berührpunkten des Inkreises schneiden sich in einem
Punkt, dem Gergonne-Punkt.