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Exposés 2010-2011
17 mai 2011 « Equation des ondes » Par Jonathan Rochat
L’équation des ondes est l’une des équations aux dérivées partielles (EDP) la plus importante. Nous démontrerons l’existence d’une unique solution dans le cas d’une dimension d’espace. Nous allons ensuite introduire la notion de schéma numérique, ce qui nous permettra de résoudre et de visualiser (en fonction du temps) ce problème par des différences finies.
10 mai 2011 « R ou ne pas R, telle est la question! « Par Matthieu Wilhelm
S’il y a bien un objet que nous utilisons à outrance, c’est bien R, l’ensemble des nombres réels. Dès notre plus tendre scolarité, on nous a enseigné que √2 n’était pas rationnel et que 3/4 l’était; que R contenait des éléments qui n’étaient pas exprimables sous forme de fraction. En gros R était représenté comme tous les nombres que l’on pouvait lire sur une règle graduée. Plus tard, on nous a bassiné que Q était dense dans R, grand miracle de l’analyse. Mais dans le fond, qu’est-ce qu’un nombre réel? Comment le définit-on? Ce sera le propose de ce séminaire, construire l’ensemble des nombres réels.
5 avril 2011 « Couplage en théorie des graphes – La SMA peut-elle être une agence matrimoniale? « Par Robin Dupuis, dit Tapon
Peut-on marier entre eux tous les étudiants de la section de maths? Nous allons apporter une réponse à cette question à l’aide des théorèmes de Hall et de Tutte. (Noter bien que la question aurait aussi put être: Peut-on former sans peine des binômes pour le projet d’info ou le TP de math? Et permettre à toutes et tous de trouver une équipière/un équipier pour le championnat de coinche? Ou un cavalier/une cavalière pour le bal des diplomés? Mais on ma fait remarquer que c’était moins vendeur)
29 mars 2011 « Théorie de Galois ou la duplication du cube » Par Benjamin Horowitz
On va introduire quelques notions de base de la (très belle) théorie de Galois. Après, on va utiliser les méthodes de la Théorie de Galois pour démontrer qu’il est impossible de construire avec règle et compas un cube de volume double de celui d’un cube donné et pourquoi la transcendence de Pi nous dit que la quadrature du cercle est impossible.
22 mars 2011 « Polynômes et probabilités » Par Peter Jossen
Étant donné un polynôme f = f(x,y,…) à coefficients entiers en plusieurs variables, il est en général difficile de décider si f est irréductible ou non, c’est-à-dire si f peut s’écrire comme un produit de deux polynômes. Je vais montrer comment à l’aide de reductions modulo nombres premiers et d’un peu de probabilités, on peut deviner avec une grande certitude si qui ou non f est irréductible.
8 mars 2011 « Les nombres ordinaux – compter jusqu’à plus que l’infini! » Par Nicolas Berger
Un matin Jean-Claude Van Damme en se levant, s’admire devant son miroir et se dit: « Je suis aware. » Ayant pris conscience de son awareness, il s’exclame alors: « Je suis tellement aware, en fait je suis aware que je suis aware! » Suivant sa logique propre, il continue fougueusement. « Je suis aware que je suis aware que je suis aware. On peut alors dire que je suis 3-aware. Mieux, je suis n-aware pour tout nombre naturel n ». JCVD atteint alors un nouveau stade de pensée, jusque-là exploré par aucun autre homme. « Le fait que je sois n-aware pour tout n, j’en suis aware, c’est de l’infini-awareness! Et comme je suis aware que je suis infini-aware, je suis (infini+1)-aware… » Il continue, continue et continue, pour finalement se transcender et rejoindre Chuck Norris dans le Paradis que Cantor a créé pour nous.
14 décembre 2010: « Machines de Turing et indécidabilité » Par Dimitri Zaganidis
Dans ce séminaire, je vais vous montrer qu’il y a beaucoup de problèmes que votre ordinateur préféré est incapable de résoudre. Plus précisément, on utilisera le paradoxe du menteur (ou argument diagonal) pour montrer que le problème de l’arrêt est indécidable.
7 décembre 2010: « Dans les entrailles du JPEG » Par Shahin Tavakoli
file -> save as -> mon_image.jpg … ça tout le monde l’a déjà fait 2^N fois. Mais que se passe-t-il exactement avec mon_image du point de vue mathématique?? J’expliquerai les idées générales de la compression, en donnant beaucoup d’intuition! Et puis peut-etre que je parlerai aussi de la compression video…
30 novembre 2010: « Fractions continues » Par Jonathan Rochat
Tout nombre réel peut être représenté de manière original à l’aide de fractions continues, un escalier (parfois géant) de nombres entiers! Nous verrons un algorithme pour représenter les nombres rationnels et nous examinerons quelques amusants exemples de cas irrationnels.
23 novembre 2010: « Choux de Romanesco, côte Bretonne, et autres objets fractales » Par Robin Dupuis
Lors de ce séminaire nous vous présenterons ce que sont les objets fractales et quelques outils pour les étudier. « Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes et les éclairs ne se déplacent pas en ligne droite. » disait Mandelbrot, et c’est ce monde fabuleux que l’on tentera de vous faire approcher.
16 novembre 2010: « A problem of Borsuk » Par Filip Morić
Can we divide a 3-dimensional ball into 3 parts of smaller diameter? Can we divide any bounded set in R^3 into 4 parts of smaller diameter? What about higher dimensions? These and many related questions arise in connection with the so called Borsuk problem, a famous problem in discrete geometry. We’ll just open the door to this deep and exciting area.
9 novembre 2010: « Comment préparer un repas à deux » Par Luca Furrer
Je vais présenter le problème de la planification de deux processeurs expliqué à l’aide de comment s’organiser pour préparer un repas à deux en un temps minimal. Je présente une approche plutôt graphique en utilisant du couplage dans des graphes pour trouver une solution optimale de se problème à temps d’execution égaux des jobs.
2 novembre 2010: « La ligue des fonctions extraordinaires » Par David Strütt
Le but de ce séminaire d’analyse est de voir qu’il existe des fonctions aux propriétés fabuleuses, qu’on oserait même pas espérer. Partant de connaissances vraiment basiques, on va jeter un oeil aux fonctions holomorphes et aux fonctions harmoniques qui, il faut l’avouer, ont franchement la classe ! Pour les étudiants de première, c’est l’occasion de se rendre compte que l’analyse, c’est trop de la balle, et pour les deuxièmes, c’est l’occasion de voir un sujet sur lequel il est possible de faire un mini-projet pendant le 2ème semestre.
26 octobre 2010: « Problèmes pour mathématiciens petits et grands » Par Caroline Lassueur
Cet exposé, n’en est pas vraiment un, il s’agit plutôt de se plonger dans quelques problèmes mathématiques liés à la vie de tout les jours (ou pas!) exposés par P. Halmos dans son « Problèmes pour mathématiciens petits et grands » et de décrire les preuves qu’on apportés des mathématiciens comme Erdös et Von Neumann à ces problèmes. On se rendra alors vite compte que leur solutions très élégantes sont très loin des solutions intuitives ou classiques que vous donneriez vous-même. On y parlera en particulier de Wimbeldon, de trains, de mouches, de log, du nombre 2, de nombre premiers et d’un zeste de belle topologie (pour les 2èmes).
19 octobre 2010: « Introduction à la théorie des noeuds » Par Grégoire Theurillat
Le but de ce séminaire est de vous présenter la base de la théorie des nœuds, un sujet qui est facilement compréhensible et représentable graphiquement! Un sujet donc accessible à tous et très amusant. Une petite partie du séminaire sera dédiée au polynôme de Kauffman, un outil très pratique pour comparer deux nœuds.
5 octobre 2010: « De quelle couleur est votre chapeau? » Par Rafael Guglielmetti
Le but de ce séminaire est de présenter un problème classique: un certain nombre de personnes (fini ou infini) portent chacune un chapeau d’une certaine couleur. Le but est de trouver une stratégie maximisant le nombre de personnes capables de trouver la couleur de leur chapeau. On verra que ce problème fait intervenir des outils inattendus!
Exposés 2009-2010
8 décembre 2009: « Une histoire de la logique et de la crise des fondements – Les théorèmes de Gödel » Par Lev Kiwi
Je vais vous parler d’un peu d’histoire des maths (avec des vrais maths et des vrais mathématiciens) du début du 20e siècle; je vais évoquer notamment la crise des fondements et les pensées du moment. On va ensuite définir les notions de bases de la logique (logique du 1er ordre, théorie de la démonstration) pour aboutir aux théorèmes de Gödel. Leurs énoncés n’est pas du tout compliqué mais les preuves sont terriblement technique (sous-entendu: on ne les fera pas). Malgré tout, je vais vous donner (tant bien que mal) l’argument de Gödel sur ses résultats d’indécidabilité. En bref, on verra comment mathématiser « je mens »!
1 décembre 2009: « Introduction à la théorie des nombres » Par Rafael Guglielmetti
Courte introduction à la petite théorie des nombres!
Au menu:
Entrée: Introduction
Plat principal: Théorème des restes chinois (ou comment calculer le trésor espéré du cupide méga coach)
Dessert: Nombres premiers et pseudos premiers: comment un nombre peut être presque premier?
24 novembre 2009: « Avec votre tresse vous prendrez bien une baguette? » Par Thomas Gobet
out le monde a déjà essayé avec plus ou moins de succès de « tresser » des cheveux ! Les mathématiciens se sont amusés à définir des tresses mathématiques qui correspondent à l’image qu’on a de cet objet. Après avoir défini une tresse et fait plein de dessins, on verra de façon informelle que les ensembles de tresses possèdent des propriétés simples mais surprenantes qui permettent p. ex. de comparer des objets géométriques compliqués : par le biais des tresses, on peut associer à un objet géométrique appelénoeud un objet algébrique (une application linéaire sur un espace vectoriel de dimension finie) qui contient un maximum d’information sur le noeud, ce qui donne un moyen algébrique abstrait de comparer des objets géométriques !
Si le temps le permet, nous évoquerons très rapidement une conjecture très récente liée directement à cet usage des tresses (et qui met en relation de façon inattendue deux domaines très différents des mathématiques : la théorie de la représentation et lagéométrie hyperbolique !).
17 novembre 2009: « Vous avez des problèmes, engagez un mathématicien! » Par Lev Kiwi
On va traiter deux petits problèmes. Ce sera d’abord l’histoire de trois prisonniers et d’un garde sadique ayant fait des études de mathématiques! Et ensuite la résolution d’une prise d’otages pas comme les autres! On va résoudre ces problèmes avec des notions de probabilités plus que basiques et un peu de réflexion sur de petits graphes tout mignons!
10 novembre 2009: « Bayes Ball » Par Luca Furrer
En passant par un peu de probabilité et théorie de graphes, on va introduire les réseaux bayésiens qui représente des modèles probabiliste graphiquement dans la forme d’un graphe. On va représenter les relations des variables aléatoire dans un graphe. Les réseaux bayésiens sont utiliser pour comprendre des modèles en bioinformatique, médecine etc. Après on va faire la connaissance de la méthode du ballon de Bayes (angl: Bayes Ball).
03 novembre 2009: « Evaluation et couverture d’options » Par Abdel Belqadhi
Depuis une trentaine d’années, de nouveaux produits financiers (les options) ont vu le jour, nécessitant des outils mathématiques plus sophistiqués afin de déterminer leur juste prix. Les options sont utilisées pour des opérations de couverture contre les fluctuations aléatoires d’actifs risqués, et nous verrons comment elles permettent à l’investisseur de se protéger. Nous étudierons le modèle mathématique le plus simple qui permet de leur attribuer un prix. Enfin, en introduisant de manière graphique le mouvement brownien et le processus de Poisson, une description plus réaliste que celle du modèle binomial sera donnée.
Plan:
I) Définitions de la finance et exemples 0.
II) Problème de l’évaluation et la couverture d’options.
III) Modèle binomial.
IV) Nouvelle dynamique des prix avec des processus stochastiques de diffusions avec sauts: simulations et exemples numériques.
27 octobre 2009: « Théorie des nombres – Tout entier est somme d’au plus quatre carrés » Par Florent Mayencourt
Depuis votre arrivée à l’EPFL, vous avez sans doute appris de nouveaux concepts mathématiques. De là, vous vous êtes demandé d’où proviennent ces idées, quelle folie meut les chercheurs. Avec une simple conjecture de théorie des nombres, à savoir » tout entier est somme d’au plus quatre carrés », vous verrez comment on a eu l’idée d’inventer un nouveau corps, dont en particulier la norme va nous aider à montrer cette hypothèse.
20 octobre 2009: « Courbe de Peano » Par Thibaut Dumont
On a tous, un jour où l’autre, fait des coloriages dans des cahiers. Nous allons retourner en enfance et essayer de colorier le carré [0,1]x[0,1] du plan \R2 avec un crayon dont la mine est infiniment fine. Nous allons voir comment la courbe de Peano, objet sans épaisseur, peut recouvrir une surface d’aire non nulle. Nous verrons que Peano devait probablement avoir une forme très prononcée de la maladie de Parkinson, en effet sa courbe est extrêmement irrégulière ! L’existence d’une telle courbe a posé pas mal de question fondamentale en analyse, la plupart résolue grâce à la théorie de la mesure.
13 octobre 2009: « Théorie des jeux et logique » Par Dimitri Zaganidis et Rafael Guglielmetti
Est-il possible de gagner à tous les coups au jeu de la plaque de chocolat?
Y a-t-il des jeux pour lesquels vous pouvez toujours gagner contre votre adversaire? Existe-t-il une stratégie gagnante aux échecs? Au puissance 4?
Après avoir cassé quelques plaques de chocolat, nous présenterons ce qu’est un jeu et parlerons de l’existence de stratégies gagnantes.
Nous verrons ensuite comment appliquer ces principes à l’évaluation de formules.
4 octobre 2009: « Comment découper 31 parts de pizza avec des coefficients binômiaux? » Par Caroline Lassueur
Sur un cercle, on choisit n points tels que lorsque l’on trace toutes les cordes les reliant deux-à-deux, il n’y ait pas trois cordes distinctes concourantes en un même point. Le problème posé est de déterminer en combien de régions polyédriques le disque est divisé par un tel découpage. Premier réflexe du mathématicien, commencer par la méthode naïve et observer ce qui se passe pour n petit…conjecturer qu’on obtient 2^(n-1) régions…passer à n=6 et constater que l’on vient de découpé la pizza en 31 parts et non pas 32… Une explication à cette bizarrerie sera prouvée à l’aide de la formule d’Euler et de coefficients binômiaux uniquement!.
Exposés 2008-2009
25 février: « Sur le théroème des 4 couleurs » Par Stephane Flotron
Le but cet exposé est de présenter l’historique ainsi que les idées de la preuve du théorème des 4 couleurs. Ce fameux théorème dit que toute carte de géographie peut être colorée en utilisant 4 couleurs, et pas une de plus ! C’est donc un sujet ludique et facilement abordable (sauf éventuellement quelques détails à la fin de l’exposé).
25 février: « Introduction à la cryptographie à clé public Par Caroline Lassueur
Découvrez comment Bob et Alice communiquent à l’aide de codes dont la clé de décryptage est publique et pourquoi il est si difficile pour Eve de lire leurs messages.
18 février: « Collages, attention au décollage!!! Par Lev Kiwi
Nous allons formaliser la notion de collage (papier, colle)! On va pour cela introduire la notion de relation d’équivalence et de quotient (d’ensembles, d’espaces topologiques, d’espace vectoriel). Ensuite j’exhiberai (au beamer) quelques constructions qui utilisent ces notions, i.e. Ruban de Moebius et Bouteille de Klein. On finira par « découper » ces objets et on remarquera que ce n’est pas si évident!!!
3 décembre: « Le théorème de Ramsey » Par Adrien Lücker
Quel est le rapport entre des chaussettes dans un tiroir, des pigeons dans leur pigeonnier, la fête où vous étiez samedi soir et la coloration de graphes ? C’est la théorie de Ramsey ! A l’aide de jolis arguments, on répondra à la question : « Combien de personnes il faut inviter à une fête pour qu’il y ait :
– soit au moins 3 personnes qui se connaissent mutuellement,
– soit au moins 3 personnes qui ne se connaissent pas ? « .
3 décembre: « Critères de divisibilité » Par Daniele Rotanzi
Tout le monde sait comment reconnaître si un nombre est divisible par 2, ou par 4, ou par 3 (ou bien?) seulement en « regardant » les chiffres du nombre en question. Saviez-vous qu’il y a aussi des critères de divisibilité similaires pour 11 et pour 7, qui se basent sur des opérations élémentaires sur les chiffres du nombre considéré? Et si je vous dis qu’il y a un critère de divisibilité pour chaque nombre?
Contenu: théorie des nombres qui remonte à l’école primaire presque, mais qui, pour être démontré, requiert de l’algèbre.
26 novembre: « Théorie des jeux » Par Michèle Itten
Connu depuis le film « A beautiful mind » (« Un Homme d’exception »), la théorie des jeux sert à bien plus qu’à déterminer la meilleure stratégie de drague. Avec des nombreuses applications notamment en économie, elle offre des outils puissants de décrire des équilibres à long term. Dans ce petit exposé, on introduira les concepts de base (par un jeu, évidemment!) et présentera quelques exemples d’applications – juste assez pour vous donner envie d’en savoir plus! 🙂
Contenu:
- la notion du fameux « équilibre de Nash »
- le trésor des pirates et l’importance du design
- les assurances maladies et comment y apporter de la stabilité (sujet de recherche)
19 novembre: « Méthodes d’optimisation en finance » Par Abdelaziz Belqadhi
Maximiser le profit ou/et minimiser le risque, voilà ce que tout investisseur dans les marchés financiers essaie de réaliser. Les mathématiciens sont recrutés à tour de bras dans les banques pour développer des modèles mathématiques de plus en plus complexes. On donnera un apercu de 2 méthodes permettant de résoudre des problèmes qui surviennent courammment en finance.
Contenu:
- Optimisation linéaire et application à un problème de financement.
- Optimisation dynamique et application au pricing d’options.
12 novembre: « Le théorème du point fixe de Brouwer via le coloriage de graphes… » Par Shahin Tavakoli
Pourquoi y a-t-il toujours un point « vous êtes ici » sur les plan dans les supermarchés?? Ce point existe-t-il vraiment toujours? C’est une conséquence du célèbre théorème du point fixe de Brouwer… On en donnera ici une preuve particulièrement élégante qui ne demande aucune connaissance préalable!
05 novembre: « Variétés » Par Philip Egger
Il est difficile de faire de la géométrie sur la Terre, qui est après tout une sphère. Mais si nous avons un bon atlas, il suffit d’ouvrir à la page « Suisse » et regarder une carte, qui est plate et donc plus facile à gérer, ça devient plus facile. Il y a des ensembles sur lesquels il peut être difficile de faire de la géométrie. Pour y rémédier, on fait comme sur Terre en prenant des cartes qui contiennent différents points de l’ensemble. Ces ensembles, avec leurs propres atlas, forment des variétés.
Nous savons tous que la sphère S^2 se trouve dans R^3 qui est de dimension 3 et pourtant on a l’intuition que vraiment c’est un objet de dimension 2. En effet, en marchant sur la sphère on peut avancer, reculer, aller à gauche et à droite, mais pas monter ou descendre. C’est parce que la sphère est une sousvariété de R^3 de dimension 2.
29 octobre: « Introduction à la théorie des nombres » Par Rafael Guglielmetti
Petite introduction à la théorie des nombres! Venez découvrir combien de pièces d’or peut espérer gagner le cuisinier chinois après que les pirates aient péris au cours de naufrages et de sanglants duels à l’épée!
Contenu: congruences, fonction phi d’Euler et petit théorème de Fermat, théorème des restes chinois; quand les congruences aident à résoudre les équations à coefficients entiers, …
22 octobre: « Logique en freestyle » Par Lev Kiwi
Pourquoi la logique? Quelques paradoxes qui font qu’on s’y intéresse. Introduction à la théorie des jeux. Comment voir vos formules mathématiques comme un jeu (jeu de l’évaluation).
15 octobre: « Ces étranges fractions qui ne finissent jamais » Par Adrien Lücker
Les fractions continues sont d’étranges objets mathématiques qui permettent de représenter les nombres réels. On verra que leurs propriétés sont souvent meilleures que celles de l’écriture décimale. Je vous dirai comment elles aident à construire un automate planétaire et à approximer des racines. On verra aussi comment calculer certaines fractions continues infinies.
Les autres applications (dont je vous parlerai pas cette fois!) sont nombreuses : on peut s’en servir pour démontrer l’irrationalité de e et de pi, pour résoudre des équations du genre x^2 – 61 y^2 = 1 (x, y entiers) ou bien pour factoriser de grands nombres entiers.
8 octobre: « Comment accrocher un tableau à un mur? » Par Lev Kiwi
Notre but sera de comprendre comment on peut accrocher un tableau sur n clous, de sorte qu’en enlevant n’importe lequel de ces clou, le tableau tombe!!! Pour résoudre le problème j’introduirai des outils de la topologie algébrique (le groupe fondamental) dont je vous expliquerai moralement comment ça marche (i.e. aucun prérequis nécessaire et donc pour le formalisme, il faudra attendre la fin de 2e année).
Exposés 2007-2008
7 mai: Nicolas Gfeller
30 avril: « Empilements de cercles » Par Clément Hongler
23 avril: Courses d’études, exposition Léonard De Vinci à la fondation Gianadda
16 avril: « Corps Finis » par Philip Egger
9 avril: « Sur le théorème des quatres couleurs » par Stéphane Flotron
19 mars: « Valeurs spéciales de la fonction Zeta de Riemann et l’anneau des périodes– ou, Comment changer les variables dans les intégrales? », par Peter Jossen
12 mars: « Proofs from THE BOOK et les nombres premiers. » Par Caroline Lassueur
5 mars: Journée George de Rham à l’epfl
27 février: « La Libération de l’Algèbre » par Marc Schleiss
20 février: « Point de Lemoine et droite d’Euler » par Gregory Vouardoux
19 décembre: « Vous croyez savoir compter ? » par David Kohler
12 décembre: « Pavages par dominos aléatoires » par Clément Hongler
5 décembre: « Optimisation robuste et réapprovisionnement de stocks » par Lorenza Santini
28 novembre: « Blackjack » par Philip Egger
21 novembre: « Covoiturage et jeux coopératifs » par Samuel Quinodoz
14 novembre: « Vulgarisation du groupe fondamental » par Alex Monnard
7 novembre: « Comment découper 31 parts de pizza avec des coefficients binômiaux! » par Caroline Lassueur
Exposés 2006-2007
20 juin : « Nombres de Ramsey » par David Kohler
13 juin : « Survol de la méthode des éléments finis » par Samuel Quinodoz
6 juin : « Variétés de dimension 2 » par Mathieu Schiess
23 mai : « Nombres p-adiques » par Julian Kellerhals
16 mai : « Le paradoxe de Banach-Tarski » par Marc Hoyois
9 mai : « Percolation et invariance conforme » par Clément Hongler
2 mai : « Compter les graphes » par Peter Jossen
25 avril : « Axiome du choix » par David Kohler
18 avril : « Crible d’Eratostènes et formule de Legendre » par Mathieu Glardon
4 avril : « Groupes de Coxeter » par Caroline Lassueur
21 mars : « Un peu de théorie des ensembles » par David Kohler
14 mars : « Calcul quantique » par Clément Hongler
1er février : « Surfaces minimales » par Martin Journois
18 janvier : « Opérateurs cellulaires sur un réseau partagé » par Sivan Altinakar
11 janvier : « Cryptographie » par Clément Hongler
21 décembre : « Fonctions de Baire » par Olivier Kneuss
14 décembre : « Triangles larges en géométrie hyperbolique » par Anthony Arnold
7 décembre : « Une introduction à la théorie des noeuds » par David Kohler
30 novembre : « Dimension de Hausdorff de l’ensemble de Cantor » par Clément Hongler
23 novembre : « Les problèmes du gardien de musée et du mariage en masse » par David Kohler