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Wie jedes Jahr versammeln sich die Freunde alter Busse zu einer grossen Sause auf dem Land. Doch diesmal streiken diverse Oldtimer – und das Umsteigen beginnt. Behalten Sie den Überblick?
Sie lieben Oldtimerbusse und einmal im Jahr verabreden Sie sich zu einer gemeinsamen Ausfahrt. Vom Parkplatz am Rande der Stadt geht es zu einem nicht weit entfernten Schloss, wo ein grosses Picknick geplant ist.
Beim Start befinden sich in jedem der Busse gleich viele Personen. Auf den ersten Kilometern haben zehn Busse eine Panne und müssen am Strassenrand stehen bleiben. Die Personen aus diesen Bussen verteilen sich über die noch funktionierenden Oldtimer. Jeder dieser Wagen muss genau einen zusätzlichen Mitfahrer aufnehmen – und alle sind untergekommen.
Nach dem Picknick springen 15 weitere Busse nicht mehr an und müssen ebenfalls zurückgelassen werden. Die Leute aus diesen Bussen verteilen sich wieder über die verbliebenen Fahrzeuge. Und siehe da: Auf der Rückfahrt sitzen in jedem der Oldtimer genau drei Menschen mehr als auf der Hinfahrt.
Wie viele Personen haben an der Ausfahrt teilgenommen?
Wir bezeichnen die Zahl der Busse mit b und die Zahl der Insassen je Bus bei Beginn der Ausfahrt mit p. Dann sind insgesamt b*p Menschen zum Oldtimertreffen gekommen.
Wenn auf dem Hinweg in zehn Bussen weniger (b-10) je ein Passagier mehr sitzt (p+1), ist in diesen b-10 Fahrzeugen dieselbe Personenzahl untergebracht wie beim Start, nämlich b*p. Also gilt:
b*p = (b-10)*(p+1)
b*p = b*p - 10p + b-10
Wenn wir das nach b umstellen, ergibt sich:
b = 10p +10 = 10(p+1)
Bei der Rückfahrt sitzen (p+3) Personen in (b-25) Bussen – und auch dies entspricht der Personenzahl zu Beginn.
b*p = (b-25)*(p+3)
b*p = b*p + 3b - 25p - 75
Wieder stellen wir nach b um:
3b = 25p + 75
Zugleich gilt b = 10(p+1) – siehe oben – und das setzen wir in diese Gleichung ein und lösen das Ganze nach p auf:
30p + 30 = 25p + 75
5p = 45
p = 9
Zu Beginn sitzen also in jedem Wagen neun Personen. Mit der Formel b = 10(p+1) ist schnell die Zahl der Busse berechnet. Es sind 100.
Also haben sich 100*9=900 Personen getroffen. Zu Beginn sassen in den 100 Bussen jeweils neun Menschen.
Diese Aufgabe hat schon ein paar Jahrzehnte auf dem Buckel. Sie stammt vom englischen Rätselerfinder Sam Loyd (1841-1911). Drei Jahre nach seinem Tod hatte sein Sohn die «Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks, and Conundrums» herausgegeben – eine gigantische Sammlung der schönsten Aufgaben von Loyd. Das Buch ist vollständig online auf Mathpuzzle.com abrufbar. Martin Gardner hat knapp 50 Jahre später eine Auswahl von Loyds Knobeleien in zwei Büchern publiziert.