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Hans Walser, [20080316a]
Polygone im Raum
Anregung: Chr. W., B.
Wir untersuchen die Winkelsumme von geschlossenen rumlichen Polygonen. Diese Winkelsumme ist kleiner oder gleich der Winkelsumme des ebenen Polygons gleicher Eckenzahl, mit Gleichheit genau im Fall eines ebenen Polygons. Die berlegungen bentzen die Richtungsnderungen der Seitenvektoren, also die Au§enwinkel.
In einem ebenen Fnfeck ist die Winkelsumme . Die linke Figur zeigt ein nicht ebenes rumliches Fnfeck mit fnf rechten Winkeln, also der Winkelsumme 450¡. Im Fnfeck der rechten Figur sind zwei rechte Winkel, zwei Winkel von 45¡ und ein Winkel von 60¡, zusammen 330¡.
Rumliche Fnfecke
Wir zeichnen zu einem ebenen Polygon die Richtungsnderungen der Seitenvektoren als Au§enwinkelsektoren ein. Durch Zusammensetzen dieser Au§enwinkelsektoren erhalten wir eine Kreisscheibe. Die Summe der Au§enwinkel ist 2¹.
Zusammensetzung der Au§enwinkel
Wird der Radius der Winkelsektoren gleich 1 gewhlt, sind die Winkelbogen die Au§enwinkel im Bogenma§ und die Kreisscheibe der Einheitskreis.
Da sich Innen- und Au§enwinkel je auf ¹ ergnzen, ergibt sich fr ein ebenes Polygon mit n Ecken die Innenwinkelsumme .
Fr ein rumliches Polygon fhrt das entsprechende Vorgehen auf eine Figur in der Einheitskugel, das sphrische Au§enwinkelbild. Dieses sphrische Au§enwinkelbild hat folgende Eigenschaften:
Auf der Oberflche der Einheitskugel ergibt sich ein Polygon, das aus Gro§kreisbogen zusammengesetzt ist. Die Lngen dieser Gro§kreisbogen entsprechen den Au§enwinkeln. Die Richtung vom Kugelmittelpunkt zu einem Eckpunkt dieses Gro§kreisbogen-Polygons ist gleich der Richtung des entsprechenden Seitenvektors des rumlichen Polygons.
Sphrisches Au§enwinkelbild
Es gilt:
Der Beweis geht indirekt mit einer Fallunterscheidung.
Fall 1: Die Gesamtlnge des sphrischen Au§enwinkelbildes sei kleiner als .
Eine geschlossene Kurve auf der Oberflche der Einheitskugel, deren Gesamtlnge kleiner als ist, verluft vollstndig in einer Halbsphre. Durch Drehen der Situation knnen wir erreichen, dass dies die obere (nrdliche) Halbsphre ist.
Dies gilt insbesondere auch fr das sphrische Au§enwinkelbild. Nun sind die Richtungen vom Kugelmittelpunkt zu den Ecken des sphrischen Au§enwinkelbildes die Richtungen der Seitenvektoren des ursprnglichen rumlichen Polygons. Diese Richtungen weisen alle nach oben, das rumliche Polygon schraubt sich also in die Hhe und kann nicht geschlossen sein.
Fall 2: Die Gesamtlnge des sphrischen Au§enwinkelbildes sei gleich .
Sonderfall 2.1: Das sphrische Au§enwinkelbild ist ein Gro§kreis. Dann liegen alle Seitenvektoren des rumlichen Polygons in einer Ebene, das Polygon ist eben.
Sonderfall 2.2: Das sphrische Au§enwinkelbild besteht aus zwei halben Gro§kreisen (Figur).
Zwei halbe Kreisscheiben
In diesem Sonderfall sind zwei Seitenvektoren horizontal, alle brigen weisen nach oben. Das rumliche Polygon ist nicht geschlossen.
In den brigen Fllen liegt das sphrische Au§enwinkelbild auf einer Halbsphre; das Polygon ist nicht geschlossen.
Die Au§enwinkelsumme ist somit , mit Gleichheit genau beim ebenen Polygon. Die Innenwinkelsumme eines Polygons mit n Ecken ist daher kleiner , mit Gleichheit genau beim ebenen Polygon.
In einem gleichseitigen rumlichen Polygon sind alle Seitenvektoren gleich lang und knnen auf die Lnge 1 normiert werden. Im sphrischen Au§enwinkelbild sind sie dann direkt die Vektoren vom Kugelzentrum zu den Ecken des sphrischen Au§enwinkelbildes. In einem geschlossenen gleichseitigen Polygon ist die Summe der Seitenvektoren null; der Schwerpunkt der Ecken des sphrischen Au§enwinkelbildes ist also der Kugelmittelpunkt.
Die Innenwinkel und damit auch die Au§enwinkel sind gleich. Das sphrisches Au§enwinkelbild ist ein gleichseitiges Gro§kreisbogen-Polygon.
In einem gleichwinkligen Polygon mit n Ecken ist der Au§enwinkel , der Innenwinkel , mit Gleichheit genau beim ebenen gleichwinkligen Polygon.
Das zugehrige Au§enwinkelbild ist ein gleichseitiges Gro§kreisbogen-Polygon mit dem Eckenschwerpunkt im Kugelmittelpunkt.
Nach einem Satz von B. L. van der Waerden ist ein gleichseitig-gleichwinkliges Fnfeck eben, also das regulre ebene Pentagon (vgl. [van der Waerden 1970], [Lssy/Trost 1970], [Irminger 1970]).
Das einfachste Beispiel eines nicht ebenen gleichseitig-gleichwinkligen Polygons gerader Eckenzahl sind die Mantelkanten eines geraden Antiprismas mit einem regulren n-Eck als Deck- und Grundflche. Deck- und Grundflche knnen in der Hhe beliebig auseinander gezogen werden. Dadurch wird der Innenwinkel beliebig klein. Das Polygon hat eine n-teilige Drehsymmetrie. Die Figur zeigt ein Beispiel fr .
Gleichseitig-gleichwinkliges Zehneck
Die Eckenzahl sei mn.
Wir denken uns eine Girlande aus mn gleich langen Strecken, welche in n Abschnitte zu je m Strecken unterteilt ist. Die Strecken sollen and den Enden gelenkig verbunden sein. Die Figur zeigt die ebene Situation fr und , also fr .
Girlande
Diese Girlande denken wir uns nun als sphrisches Au§enwinkelbild auf der Einheitskugel. Statt Strecken nehmen wir jetzt gleich lange Gro§kreisbogen. Die Gesamtlnge soll etwas gr§er als 2¹ sein. Die n Aufhngepunkte denken wir uns gleichm§ig auf einem nrdlichen Breitenkreis verteilt; der erste und der letzte Aufhngepunkt sind zu identifizieren. Der Schwerpunkt der mn Girlanden-Ecken liegt aus Symmetriegrnden auf der Kugelachse.
Nun bewegen wir den Aufhnge-Breitenkreis nach oben oder unten, bis der Schwerpunkt der Girlanden-Ecken auf den Kugelmittelpunkt zu liegen kommt. Dann knnen wir die Vektoren vom Kugelmittelpunkt zu den Girlanden-Ecken der Reihe nach zu einem rumlichen Polygon zusammensetzen. Dieses ist geschlossen, gleichseitig und gleichwinklig, aber nicht eben. Es hat eine n-teilige Drehsymmetrie.
Die Frage ist offen, ob es fr eine Primzahl gr§er als 5 ein nicht ebenes gleichseitig-gleichwinkliges Polygon gibt. Die berlegungen von van der Waerden lassen sich nicht auf beliebige Primzahlen bertragen. Der Grund liegt darin, dass es im gleichseitig-gleichwinkligen Fnfeck nur einen Typ von Diagonalen gibt, alle diese Diagonalen sind gleich lang.
Literatur
[Irminger 1970] Irminger, H.: Zu einem Satz ber rumliche Fnfecke. Elemente der Mathematik. Band 25, 1970, S. 135-136
[Lssy/Trost 1970] Lssy, W. und E. Trost: Zu einem Satz ber rumliche Fnfecke. Elemente der Mathematik. Band 25, Heft 4, 10. Juli 1970, S. 82-83
[van der Waerden 1970] Van der Waerden, B. L.: Ein Satz ber rumliche Fnfecke. Elemente der Mathematik. Band 25, Heft 4, 10. Juli 1970, S. 73-78