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Hans Walser, [20150324]
Brennpunkt und Leitlinie der Parabel
Eine Parabel sei durch fnf Punkte gegeben (Abb. 1).
Abb. 1: Parabel durch fnf Punkte
Gesucht sind der Brennpunkt und die Leitlinie der Parabel. Gibt es ein Verfahren ohne Rechnen?
Bemerkung 1: Durch fnf Punkte kann auch eine Ellipse oder eine Hyperbel gegeben sein. Der Fall der Parabel ist ein bergangsfall und daher sehr unwahrscheinlich.
Fr den Fall der Ellipse siehe [Ellipse].
Wie es bei Hyperbeln geht, wei§ ich nicht.
Bemerkung 2: In den Abbildungen ist jeweils die Parabel magenta eingezeichnet. Dies hat aber rein dekorative Bedeutung. Die Parabel wird fr die Konstruktionen nicht verwendet.
Bemerkung 3: Im Folgenden wird das Konstruktionsverfahren beschrieben. Die Beweise berlassen wir dem der Lust hat.
Gem§ dem Satz von Pappos-Pascal kann zu den fnf gegebenen Punkten auf beliebig viele Arten ein sechster Parabelpunkt konstruiert werden. Insbesondere kann dieser sechste Punkt auf einer frei whlbaren Geraden durch einen der fnf gegebenen Punkte konstruiert werden. Wir knnen also zu jedem der gegebenen fnf Punkt eine Sehne in beliebiger Richtung zeichnen.
Parallel zur Sehne zeichnen wir eine Sehne durch (Abb. 2). Die Gerade durch die Mittelpunkte der beiden Sehnen ist Symmetrieachse der Parabel bei der Schrgspiegelung in Richtung der beiden Sehnen.
Abb. 2: Achse zu schiefer Symmetrie
Diese Achse ist parallel zur blichen Symmetrieachse (Orthogonalspiegelung) der Parabel.
Wir zeichnen nun durch eine zur Schrgspiegelsymmetrieachse orthogonale Sehne. Die Mittelsenkrechte dieser Sehne ist die bliche Symmetrieachse der Parabel (Abb. 3). Man beachte, dass wir damit zwar die Symmetrieachse haben, aber noch nicht den Scheitelpunkt der Parabel.
Abb. 3: Symmetrieachse der Parabel
Wir orientieren uns gedanklich an der durch gegeben schulischen Parabel. Diese hat fr eine Tangente der Steigung 1. Diese Tangente schlie§t mit der Symmetrieachse einen Winkel 45¡ ein.
Daher zeichnen wir durch eine Sehne, welche mit der Symmetrieachse einen Winkel 45¡ einschlie§t (Abb. 4).
Abb. 4: Konstruktion der Einheit
Der Mittelpunkt dieser Sehne hat von der Symmetrieachse den Abstand . Durch Verdoppelung erhalten wir die Einheit des passenden schrgen kartesischen Koordinatensystems.
Wir zeichnen nun ein Quadrat mit einer Ecke in und einer Seite auf der Symmetrieachse (Abb. 5).
Abb. 5: Quadrat
Dieses Quadrat verwandeln wir nun in ein flchengleiches Rechteck mit der Einheit als einer Seite. Die dazu senkrechte Seite soll auf der Symmetrieachse liegen. Die Oberkante des Rechteckes soll durch verlaufen (Abb. 6). Die untere Rechteckecke auf der Symmetrieachse ist der Scheitelpunkt der Parabel.
Abb. 6: Rechteck und Scheitelpunkt
Der Brennpunkt der Parabel liegt nun auf der Symmetrieachse im Abstand oberhalb des Scheitelpunktes (Abb. 7). Die Leitlinie ist orthogonal zur Symmetrieachse und schneidet diese im Abstand unterhalb des Scheitelpunktes.
Abb. 7: Brennpunkt und Leitlinie
Websites
[Ellipse]. Abgerufen 4. 4. 2015
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Brennpunkte_Ellipse/Brennpunkte_Ellipse.htm
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Brennpunkte_Ellipse/Brennpunkte_Ellipse.pdf