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Breiten-unabhängige Sonnenuhren
(DGC-Mitteilungen Nr.112, 2007)
Inhalt
1. Einleitung
1. Einleitung ↑ Anfang
"Eine Breiten-unabhängige Sonnenuhr" war der Titel einer Arbeit von Freeman [1], in der eine solche Uhr erstmals beschrieben wurde. Das "Sonnenuhren Handbuch" der DGC [2] enthält das Kapitel "Breitenunabhängige Sonnenuhren", in dem diese Uhr aufgenommen und unter Bezug auf die Relation
(1) sin τ · cos δ = sin a · cos h
auf eine Einfachst-Ausführung abstrahiert wurde. Diese Ausführung ist wie die von Freeman eine ebene Sonnenuhr.
Die genannte Relation drückt die Tatsache aus, dass die y- (Ost/West-) Koordinate der Sonnenposition sowohl im System des Ortsäquators als auch des Horizonts von der Breite unabhängig ist. Somit lässt sich dieser Sonnenuren-Typ auf eine in Ost/West-Richtung positionierte Gerade (Stab) reduzieren. Eine solche Minimal-Sonnenuhr wurde gebaut und wird hier vorgestellt.
Im Vergleich zur Einfachst-Ausführung [2] wird die Erfindungshöhe (ein aus dem Patent-Wesen stammender Begriff) der Sonnenuhr von Freeman angegeben. Die Ausführung [2] wurde ebenfalls gebaut.
Zum Schluss wird der Frage nachgegangen, inwiefern die genannte Relation der Schlüssel zu bisher nicht bekannten Breiten-unabhängigen Sonnenuhren sein kann.
2. Die Schlüssel-Relation ↑ Anfang
Die oben genannte, hier als Schlüssel-Relation bezeichnete Formel lautet ausführlicher
(2) y' = sin τ · cos δ ≡ sin a · cos h = y .
Gleich sind nämlich die y-Koordinaten der gebräuchlichen Koordinaten-Systeme (y' im Ortsäquator-, y im Horizont-System). Sie liegen beide in Ost/West-Richtung. Die Systeme gehen durch Drehung (90°-φ) um die Ost/West-Achse auseinander hervor. Somit ist die y-Koordinate des einen Systems mit der des anderen identisch (y'=y) und ist keine Funktion der geographischen Breite φ. Wenn also stellvertretend für das Produkt sin τ · cos δ das Produkt sin a · cos h gebraucht wird, so kann auf den Stundenwinkel τ durch Ermittlung des Azimuts a und des Höhenwinkels h bezüglich eines beliebigen Horizontes (bei bekannter Deklination δ) geschlossen werden.
In den Darstellungen [1] und [2] wird ein ebenes Zifferblatt auf dem Orts-Horizont zur Anzeige des Stundenwinkels gebraucht und zur Erklärung auf Azimut und Höhenwinkel eingegangen. Letztere führen unter Beachtung der Deklination (d-Einstellung) zu einer Länge auf einer Ost/West-Geraden als Mass für den Stundenwinkel, ohne dass sie explizit gemessen werden. Das legt folgende Schlussfolgerung nahe:
3. Eine "greifbare" y'-Koordinate ↑ Anfang
Die Orts-Beschreibung von Himmelskörpern ist wegen deren "nicht greifbarer" Entfernung nur mit Winkel-Angaben möglich (und üblich). Man setzt alle Körper auf ein- und dieselbe Himmels-Sphäre und macht deren Radius hilfsweise zu 1 (Einheits-Radius). Einer karthesischen Koordinate wie y' = sin τ · cos δ liegt dieser zu Grunde. Der Ursprung der Koordinaten-Systeme ist immer Mittelpunkt einer Richtungs-Kugel mit Radius 1 (eins).
<< Abb.1 Sonne (Subsolarer Punkt) im Koordinaten-System des Ortsäquators
Zu einer "greifbaren" y'-Koordinate gehört die Vorstellung einer entsprechend kleinen Einheits-Kugel (Abb.1). Die zu messende Sonne wird auf ihr durch den Subsolaren Punkt S vertreten. Der "reale" Einheits-Radius sei L0.
Im Sonderfall δ=0 (Abb.1, oben, Äquator-Ebene) befindet sich die Sonne bei S0 in der Äquator-Ebene, in der der Stundenwinkel definiert ist. Die Projektion des Ortsvektors der Sonne auf die Ost/West-Achse ist deren y'-Koordinate:
(3) y' = L0 · sin τ >> sin τ = y' / L0 .
Im allgemeinen Fall δ ≠ 0 (Abb.1, unten, Stundenebene) befindet sich die Sonne auf einem Kleinkreis bei S. Verschiebt man die Sonne zu S (grössere Kugel, Radius L=L0/cos δ), so ist die Projektion ihres Ortsvektors in die Äquator-Ebene L0, und die Projektion auf die y'-Koordinate hat denselben Wert wie bei δ=0:
(4) y' = (L0/cos δ) · sin τ .
Die Sonnen-Deklination ist im allgemeinen Fall berücksichtigt, wenn ein Stück Sonnenstrahl der variablen Länge L=L0/cosδ betrachtet wird.
(5) y' = L · sin τ >> sin τ = y' / L .
Die Schlüssel-Relation (s.2.) lautet in Worten:
4. Gebrauch einer Breiten-unabhängigen Sonnenuhr ↑ Anfang
Die Einfachst-Version [2] ist wie folgt zu gebrauchen:
Angesichts dieses Aufwands kam Freeman bei der Vorstellung seiner Sonnenuhr selbst zum Schluss, dass es sich "eher um eine wissenschaftliche Kuriosität als um ein Instrument für den praktischen Gebrauch" handle. Dabei ist seine Version etwas einfacher als oben zu gebrauchen (s.6.). Die Kuriosität besteht darin, dass man weder bei Bau, Aufstellung noch Gebrauch die geographische Breite beachten muss. Der unpraktische Gebrauch kommt daher, dass diese Sonnenuhr passiv ist. Mehrfach aktiv hat der Benutzer zu sein, bevor sich τ als Winkel oder Tagesstunde ablesen lässt.
Die bereits von Freeman stammende Bezeichnung "Breiten-unabhängige Sonnenuhr" macht somit jedem Waren-Prospekt Ehre, der mehrere Nachteile des Produkts zu Gunsten eines einzigen Vorteils verschweigt. Von einer Sonnen-Uhr wird nämlich vor allem erwartet, dass sie die Tageszeit ohne Zutun des Benutzers anzeigt. Das vorliegende Produkt braucht mehr Benutzer-Aktivität als der ebenfalls passive Zollstock "in der Hand" eines Heimwerkers. Es gibt noch andere passive Sonnenuhren, z.B. die Analemmatische Sonnenuhr, die allerdings einfacher zu gebrauchen und "unter den Füssen" vieler Benutzer recht beliebt ist.
Bei bestimmten Stundenwinkeln ist die Messung zudem ungenau und zweideutig:
5. Eine Breiten-unabhängige Sonnenuhr als Stab ↑ Anfang
Trotz obigem, grundsätzlich ungünstigem Urteil sei eine infolge näherer Betrachtung der Schlüssel-Relation (s.2.) entstandene Stab-Sonnenuhr vorgestellt (Abb.2). Das bisher übliche Grundbrett ist zu Gunsten eines Ost/West-Stabes aufgegeben, was den Umfang reduziert (Minimal-Version) und zudem das Mess-Prinzip besser erkennen lässt.
<< Abb.2 Breiten-unabhängige Sonnenuhr als Stab
An einem inneren Schiebe-Stabes ist ein in seiner Länge einstellbarer Peilstab gelenkig befestigt. Zur Längeneinstellung dient eine δ-Skala (tanδ), die sich auf der mit äusseren Rohr fest verbundenen Tast-Scheibe befindet und aus Ringen besteht. Rohr und Schiebestab sind in Ost/West-Richtung zu positionieren. Der Peilstab wird gegen die Sonne gerichtet. Bei erreichter Peilung fallen der Schatten eines kleinen Querstabes bei der Spitze und der der verlängerten Achse des Gelenkes (Abb.2, unten) zusammen. Die Tast-Scheibe lässt die Sonne durchscheinen. Der Schiebestab wird verschoben bis die Spitze des Peilstabes die Scheibe berührt. Auf der τ-Skala (sinτ) des Schiebestabes ist die Tageszeit ersichtlich.
Die Uhr ist für den halben Tag ausgeführt. Für die Anzeige von Vor- zu Nachmittags-Stunden (Skala doppelt beschriftet) ist von Ost- auf West- Orientierung umzustellen. Die Tastscheibe ist als Vollkreis -also übertrieben gross- ausgeführt, um auf die Unabhängigkeit von φ hinzuweisen. Der Vollkreis symbolisiert den ganzen Meridian, kein Horizont ist ausgezeichnet.
6. Vorteil der Sonnenuhr von Freeman