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Hans Walser, [20140122]
Gerade im Viereck
In einem Viereck liegen der Diagonalen-Schnittpunkt, der Eckenschwerpunkt und der Flchenschwerpunkt auf einer Geraden (Seebach, 1994). Es wird eine allgemeine Eigenschaft dieser Geraden gezeigt.
Die Abbildung 1 zeigt eine Konstruktion des Eckenschwerpunktes.
Abb.1: Eckenschwerpunkt
Der Eckenschwerpunkt ist der Mittelpunkt des Kantenmittenparallelogramms. Die Seiten dieses Parallelogramms sind parallel zu den Viereckdiagonalen (Strahlenstze).
Die Abbildung 2 zeigt eine Konstruktion des Flchenschwerpunktes. Wir dritteln die Kanten des Viereckes und ergnzen zu einem Parallelogramm, dessen Seiten parallel zu den Viereckdiagonalen sind (Strahlenstze). Der Mittelpunkt dieses Parallelogramms ist der Flchenschwerpunkt.
Abb. 2: Flchenschwerpunkt
Die Abbildung 3 zeigt die beiden Schwerpunkte und den Diagonalen-Schnittpunkt. Die drei Punkte liegen auf einer Geraden.
Abb. 3: Drei Punkte auf einer Geraden
Die bisherigen Konstruktionen legen nahe, wie folgt vorzugehen. Wir unterteilen die Viereckseiten im Verhltnis , ergnzen zu einem Parallelogramm, dessen Seiten parallel zu den Viereckdiagonalen sind (Strahlenstze), und nehmen den Mittelpunkt dieses Parallelogramms. Die Abbildung 4 zeigt einige Konstruktionen dieser Art, die Viereckkanten sind in Sechstel aufgeteilt.
Abb. 4: Parallelogramme
Die Mittelpunkte der Parallelogramme liegen offenbar auf einer Geraden.
Wir knnen die Figur rumlich sehen, die roten Mittelpunkte liegen auf der Schnittgeraden der beiden durch Niveaulinien angegebenen blauen Ebenen. Wir sehen in ein Loch, das die Form einer umgekehrten schiefen Pyramide hat (Abb. 5).
Abb. 5: Pyramidenloch
Fr den Beweis verwenden wir ein schiefes u,v-Koordinatensystem mit den Diagonalen des Vierecks als Achsen und dem Diagonalen-Schnittpunkt als Ursprung (Abb. 6).
Abb. 6: Beweisdisposition
In diesem Koordinatensystem knnen die Eckpunkte Viereckes ABCD wie folgt beschrieben werden: , , , .
Aus dem Teilverhltnis bilden wir den Parameter . Fr die Seitengeraden des Parallelogramms PQRS ergeben sich damit die Gleichungen:
Daraus erhalten wir fr die Eckpunkte des Parallelogramms PQRS die Koordinaten:
Fr den Mittelpunkt Z des Parallelogramms PQRS ergibt sich schlie§lich:
Dieser Punkt beschreibt in Abhngigkeit von t eine Gerade durch den Ursprung mit dem Richtungsvektor (der Richtungsvektor bezieht sich natrlich auf das schiefe u,v-Koordinatensystem):
Die Richtung ist also durch die Differenzen der Diagonalen-Abschnitte definiert. Der Richtungsvektor ist genau dann von null verschieden, wenn das Viereck nicht punktsymmetrisch ist.
Spezielle Punkte:
: Diagonalen-Schnittpunkt
: Eckenschwerpunkt
: Flchenschwerpunkt
Ich frage mich, ob es mit dem zu t = 1 gehrenden Punkt auch eine spezielle Bewandtnis hat.
Literatur
Seebach, Karl (1994): Nochmals Viereckschwerpunkte. DdM, Didaktik der Mathematik, 22. Jahrgang, Heft 4, 309-315.