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Atbasch: der erste Buchstabe ersetzt den letzten (a für Z), der zweite den zweitletzten (b für y) etc. Der Name selbst sagt dies: in unser Alphabet übersetzt, ergäbe das hebräische Atbasch Azby.
Amplitude:
Axiom: eine Aussage, die wir als wahr annehmen, ohne sie beweisen zu müssen.
Basis: eine Seite des Dreiecks, vor allem im gleichschenkligen Dreieck, wo die beiden anderen Seiten Schenkel genannt werden.
Caesarverschiebung: eine Art von Substitution, bei der jeder Buchstabe des Alphabets durch den Buchstaben ersetzt wird, der eine feste Anzahl Stellen später im Alphabet kommt. Caesar selber, der um das Jahr 0 lebte, hat jeweils eine Verschiebung von 3 benutzt. Natürlich ist auch jede andere Zahl möglich.
Definition: eine Definition legt fest, wie eine symbolische Abkürzung benützt werden soll.
Dido: die Begründerin der Stadt Karthago. Sie wanderte etwa 800 v.Chr. aus Phoenizien aus. Ihre Geschichte wird immer wieder neu erzählt, u.a. 300 v.Chr. vom Historiker Timaeus von Turomenium, von Vergil etwa 200 n.Chr., im Mittelalter von Petrarch, Ovid und Boccaccio, um 1800 von Charlotte von Stein, die man heute nur noch als Freundin von Goethe kennt. Die neuste, sehr kurz gehaltene Version ist in Mathematica Ludibunda erschienen.
Dreieck: ein Polygon mit genau drei Seiten. Die drei Winkel ergeben 180°.
Kennt man eine Seite des Dreiecks und die dazugehörige Höhe, so kann man seine Fläche wie folgt berechnen:
F = ½ × c × hc
wenn zum Beispiel die Seite c und die Höhe auf c (hc) gegeben sind.
Die Fläche kann auch berechnet werden, wenn alle drei Seiten gegeben sind. Es gilt dann:
F = √s(s-a)(s-b)(s-c), wobei s = ½(a+b+c)
Auch die Trigonometrie liefert verschiedene Möglichkeiten zur Flächenberechnung. Sind zum Beispiel die Seite a und die Winkel des Dreiecks gegeben, so lässt sich die Fläche nach der folgenden Formel berechnen: F = a²sinβsinγ ÷ 2sinα.
Oder bei zwei gegebenen Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel:
F = ½absinγ
Element: ein Bestandteil einer Menge. Der Zürichsee ist zum Beispiel Element der Menge der Gewässer.
Endliches System:
ein mathematisches System mit einer beschränkten Zahl von Elementen. So hat zum Beispiel das Uhrensystem, das wir täglich benützen, genau zwölf Ziffern. Alle weitern natürlichen Zahlen sind kongruent zu genau einer dieser Ziffern. Ein anderes Beispiel ist das Alphabet mit seiner beschränkten Anzahl von Buchstaben. Die modulare Arithmetik beschreibt die Gesetze von endlichen Systemen.
Entziffern: den verborgenen Sinn einer verschlüsselten Bootschaft herausfinden. Ist der Schlüssel bekannt, ist dies meistens leicht. Sonst kann es ziemlich schwierig bis unlösbar werden.
Frequenz: entspricht der Anzahl Perioden pro Zeiteinheit. Die Anzahl Schwingungen pro Sekunde wird in Hertz angegeben. Eine Frequenz von einem Hertz (abgekürzt Hz) haben wir also, wenn eine Welle in einer Sekunde genau eine Periode hat. Haben wir 5 Perioden pro Sekunde, so entspricht das einer Frequenz von 5 Hz.
Funktion: eine Rechnungsanleitung, die uns sagt, nach welcher Formel wir den Wert einer Variabeln bestimmen können.
Ist ein Bruder drei Jahre älter als seine Schwester, so können wir die Beziehung zwischen ihrem Alter so beschreiben: y = x + 3, wenn y das Alter des Bruders und x das Alter der Schwester ist. Diese Gleichung nennt man auch Funktionsgleichung.
Die Abhängigkeit des Alters der beiden Kinder kann man als Funktion so schreiben:
f(x) = x + 3
Damit wird ausgedrückt, dass der Funktionswert f(x) vom Wert abhängt, der für x eingesetzt wird. Schauen wir also das Alter an, wenn x=15 ist, so ist der Funktionswert 15 + 3 = 18. Wenn die Schwester 15 ist, muss also der Bruder 18 sein.
Dieser Zusammenhang kann in einer Wertetabelle dargestellt werden. Links sind die x eingetragen, rechts die dazugehörigen y.
Der Graph der obigen Funktion ist eine Gerade. Es gibt auch viele andere Formen bei Graphen. Bei trigonometrischen Funktionen, zum Beispiel, entstehen Kurven. Auch die Fuzzy Logik arbeitet mit graphischen Darstellungen.
Geheimtext: die verschlüsselte Nachricht. Kann auf einem oder mehreren Geheimtextalphabeten aufgebaut sein. Um diese festzulegen wird ein Schlüssel benützt.
Gleichschenkliges Dreieck: ein Dreieck, bei dem zwei Seiten gleich lang sind. Die Höhe hc lässt sich mit Hilfe des Satzes des Pythagoras leicht berechnen, so dass es zur Flächenberechnung nur die beiden Seitenlängen braucht.
F = c × hc
c = √a² - (c/2)²
Gleichseitiges Dreieck: ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind und die Winkel gleich gross. Mit dem Satz des Pythagoras kann die Höhe ha berechnet werden, so dass wir die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks bestimmen können, wenn wir die Seitenlänge a kennen.
ha = a√3/4
F = a × ha
F = a²/4√3
Hertz: die Masseinheit der Frequenz; gibt die Anzahl Schwingungen pro Sekunde an.
Hypotenuse: die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Höhe:
Katheten: die beiden Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck, welche den rechten Winkel einschliessen.
Kehrwert: oder auch Umkehrung. Bei einem Verhältnis von zwei Zahlen sprechen wir von einer Kehrwert, wenn die Reihenfolge der beiden Zahlen umgekehrt wird. Der Kehrwert von 1/5 ist also 5/1.
Bei Funktionen gibt es manchmal Umkehrfunktionen. So ist zum Beispiel die Addition die Umkehrfunktion der Subtraktion, die Multiplikation die Umkehrfunktion der Division. In der modularen Arithmetik sind diese Funktionen nicht mehr Umkehrfunktionen.
Der Tangens eines Winkels entspricht dem Kehrwert des Kotangens; Du kannst den Graph dieser beiden Funktionen vergleichen, für die gilt: tanα=1/cotα.
Klartext: die noch unverschlüsselte Nachricht. Das Klartextalphabet ist unser übliches Alphabet. Es wird mit kleinen Buchstaben geschrieben, während das Geheimtextalphabet, in dem der Geheimtext geschrieben ist, gewöhnlich gross geschrieben wird.
Kongruent: in der Geometrie werden zwei Körper als kongruent bezeichnet, wenn sie die gleiche Form und Grösse haben. In der modularen Arithmetik heissen zwei Zahlen kongruent in modulo m, wenn sie nach der Division durch m den gleichen Rest haben. Auf der Uhr kannst du dir kongruente Zahlen so vorstellen, dass der Zeiger zur gleichen Ziffer zeigt. Beispiel: In mod 4 ist 5 kongruent zu 1; da 5:4=1 Rest 1 und 1:4=0 Rest 1. Oder anders ausgedrückt: Egal ob der Zeiger nun eine Stunde von 0 aus hinter sich gebracht hat oder fünf Stunden, beidemale zeigt er in mod 4 auf die Ziffer 1. siehe auch das Kapitel über die modulare Arithmetik
Koordinatensystem: ermöglicht es, jedem geometrischen Punkt der Ebene ein Zahlenpaar zuzuordnen. Dazu benützt man zwei sich schneidende Achsen. Der Schnittpunkt wird als Ursprung bezeichnet. Die horizontale Achse heisst gewöhnlich x-Achse und nimmt nach rechts zu. Die vertikale Achse, die y-Achse, nimmt nach oben hin zu. Die Skalen der beiden Achsen müssen nicht gleich sein. Dem Schnittpunkt werden die Koordinaten (0,0) zugeordnet, das heisst, sein x- und sein y-Wert ist 0.
Links vom Ursprung sind die x-Koordinaten negativ. Bei der y-Achse sind die Koordinaten unterhalb des Ursprungs negativ.
Dies ergibt eine Vierteilung der Koordinaten. Im ersten Quadranten sind x- und y-Koordinaten positiv, im zweiten sind die x-Koordinaten negativ und die y-Koordinaten positiv, im dritten sind beide negativ und im vierten ist die x-Koordinate positiv und die y-Koordinaten negativ.
Schau dir das Koordinatengitter an. Du kannst dir einzelne Punkte auswählen und die dazugehörigen Koordinaten studieren.
Kreis:
der Kreis ist definiert durch die Menge aller Punkte, die von einem Zentrum aus den gleichen Abstand haben. Der Abstand wird als Radius r bezeichnet.
Umfang und Fläche des Kreises sind nur vom Radius abhängig. Für die Formeln kannst du dir die Abbildung anschauen.
Kryptographie: die Wissenschaft von verschlüsselten Nachrichten. Das griechische "cryptos" heisst "verborgen", und "graphein" bedeutet "schreiben". Im Gegensatz zur Steganographie muss die geheime Nachricht nicht versteckt sein. "Verborgen" ist die Bedeutung der Nachricht, und nicht die Nachricht selber.
Schau dir auch Rapunzels Homepage an!
Mathematica Ludibunda: Mathematica Ludibunda ist lateinisch und bedeutet "spielerische Mathematik". Mathematica heisst nicht einfach Mathematik. Es ist noch gar nicht lange her, dass zur Mathematik auch Physik, Astronomie, Musik, Philosophie und Kunst gehörte. Das griechische Wort "mathema" heisst Wissenschaft im Allgemeinen.
Das Buch hat diesen Namen nicht nur bekommen, weil viele spielerische Elemente den Text auflockern, sondern auch weil es einfach und anschaulich ist, so dass man Mathe spielend lernen kann. Lass dich vom Wort Mathe nicht abstossen: unser Buch enthält Beiträge zu ziemlich all den Bedeutungen, die mathematica haben kann.
Menge: eine Sammlung von Elementen, die ein bestimmtes Kriterium erfüllen. Zum Beispiel gehört ein Apfel zur Menge der Äpfel. Hier ist das Kriterium, ein Apfel zu sein; die Elemente sind die einzelnen Äpfel. Eine Birne erfüllt das Kriterum der Menge der Äpfel nicht, gehört also nicht in diese Menge.
Ein anderes Beispiel ist die Menge der Ziffern, die zur Viereruhr gehören. Die Elemente dieser Menge sind 0,1,2 und 3.
Modulare Arithmetik: ein mathematisches System mit einer beschränkten Zahl von Elementen. Wir schreiben mod m, wenn das System genau m verschiedene Elemente hat. Modulo 5 zum Beispiel hat als Elemente die Zahlen 0,1,2,3 und 4. Alle weiteren natürlichen Zahlen sind als kongruent zu genau einem dieser Elemente definiert. Lies mehr über die modulare Arithmetik bei Smart Joe.
Monoalphabetische Verschlüsselung: jedem Buchstaben des Alphabets wird ein anderer Buchstabe zugeordnet. Diese Substitution bleibt über den ganzen Text erhalten (mono=eins), im Gegensatz zur polyalphabetischen Verschlüsselung (poly=mehr als eins).
Ein Beispiel dazu: Wählen wir als Schlüssel das Wort "Mathe".
Klartextalphabet
Geheimtextalphabet
Entziffere nun QMOULZEJ.
One-Time-Pad: eine polyalphabetische Verschlüsselung. Wie bei der Vignère-Verschlüsselung wechselt man immer zwischen verschiedenen Geheimtextalphabeten, die zueinander verschoben sind wie bei der Caesarverschiebung. Anstatt immer das gleiche Schlüsselwort zu benutzen, hat man eine zufällige Reihenfolge von Buchstaben, die zeigen welches Alphabet jeweils benutzt werden muss. So könnte ein One-Time-Pad aussehen:
asucetkbxgxfproasoeu
Wenn das One-Time-Pad nur einmal benutzt wird, ist es 100% sicher, da man für jedes Zeichen jeden beliebigen Buchstaben einsetzen und daher auch eine ganz falschen Text entschlüsseln kann. Der einzige Nachteil ist, dass für jede Nachricht ein neues Pad erstellt und dem Empfänger überbracht werden muss. Und sobald man der Versuchung, es zweimal zu benutzen, nicht widerstehen kann, ist es wieder möglich die Nachrichten zu knacken.
Paradox:
ein Gedanke, der sich selbst zu widersprechen scheint. Zwei berühmte Beispiele sind das Drachenparadox und das Russellsche Paradox.
Periode:
die Strecke zwischen irgendeinem Punkt bis zum nächsten Punkt, der dem gleichen Muster entspricht. Wird auch als Schwingungsweite bezeichnet.
Polyalphabetische Verschlüsselung: im Gegensatz zur monoalphabetischen Verschlüsselung wird jedem Buchstaben immer wieder ein anderer zugeordnet. Der Schlüssel legt den Wechsel fest. Für ein Klartextalphabet gibt es also mehrere Geheimtextalphabete. Ein Beispiel dazu: Wählen wir als Methode die Vignère-Verschlüsselung und als Schlüssel "Mathe", so sieht das so aus:
Polygon: oder Vieleck; jede geschlossene Figur, die von Geraden begrenzt ist. Beim regulären Polygon (gleichseitigen Vieleck) sind alle Seiten und Winkel gleich. Für die Flächenberechnung wird das Polygon in Dreiecke zerlegt. Der Umfang ergibt sich aus der Summe aller Seiten.
Pythagoräische Dreieckszahlen: drei ganze Zahlen a, b und c, für die gilt:
a² + b²= c².
Die kleinstmögliche Dreiergruppe 3, 4 und 5 war schon den Ägyptern bekannt und wurde von ihnen zur Konstruktion des rechten Winkels benützt (Umkehrung des Pythagorassatz).
Auf dieser Website erfährst du mehr über die Pythagoräischen Dreieckszahlen: www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/pythag.htm
Quadrat:
ein Viereck mit vier gleichen Seiten und vier rechten Winkel. Die Fläche ergibt sich,
wenn wir die Seite mit sich selber multiplizieren.
Multiplizieren wir eine Zahl mit sich selber, so wie beim Quadrat die Länge der Seite, so ergibt das eine Quadratzahl. 2 ergibt die Quadratzahl 4, 3 ergibt 9 usw. Wir sprechen von x², wenn wir sagen wollen, dass es das Produkt von x×x ist.
Flächen von geometrischen Figuren werden in Quadrateinheiten angegeben. Dahinter ist der Gedanke, dass man eine beliebige Fläche in eine quadratische verwandeln kann. Das geht sehr leicht beim Dreick oder beim Rechteck, bei den meisten anderen Figuren kann aber nur eine Annäherung gefunden werden.
Rechteck: ein Viereck mit vier rechten Winkeln und je zwei gegenüberliegende Seiten von gleicher Länge.
Für die Berechnung der Fläche F und des Umfangs U, siehe Abbildung links.
Ein spezielles Rechteck ist das Quadrat mit vier gleichlangen Seiten.
Rechter Winkel: der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Gerade, schneidet diese in einem rechten Winkel. Als Vierteldrehung verstanden, ist ein rechter Winkel 90° oder π/2. Siehe auch unter Winkelmass.
Rechtwinkliges Dreieck: ein Dreieck, bei dem ein Winkel ein rechter (90°) ist. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heisst Hypotenuse. Die andern beiden Seiten, welche den rechten Winkel einschliessen, heissen Katheten.
In der Trigonometrie bekommen auch die beiden Katheten eigene Namen. Untersucht man die Verhältnisse zwischen einem Winkel und den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, so nennt man die Kathete, die dem relevanten Winkel anliegt Ankathete, die dem Winkel gegenüberliegende Seite Gegenkathete.
Die Fläche lässt sich sehr leicht berechnen:
F = ½ ab
Schallwellen: sind abwechselnde Verdichtungen und Verdünnungen von Luft. Sie entstehen, wenn ein elastischer Körper vibriert.
Treffen mehrere regelmässige Schallwellen auf unser Ohr, so hören wir das als Klang.
Das Verhältnis ihrer Schwingungszahlen bestimmt das Intervall. Hier ein paar Verhältnisse und die dazugehörigen
Intervalle:
So ergibt ein Schallwelle, die mit 800Hertz schwingt die Oktave zu einer, die mit 400Hertz schwingt.
Die ganzzahligen Vielfachen eines Tones werden Obertöne genannt. Von ihnen ist die Qualität eines Klanges abhängig.
Die Pythagoräer sahen in dieser Gesetzmässigkeit einen Beweis für die Göttlichkeit der ganzen Zahlen. Sie experimentierten erst mit verschiedenen Seitenlängen. Ab dem 16.Jh wurde dann die heutige Art von Streichinstrumenten entwickelt, bei denen auch ausgenützt wird, dass dickere Seiten einen tieferen Ton erzeugen als dünnere, und der Ton bei stärkerer Spannung höher wird.
Schlüssel: eine Verschlüsselungsmethode kann mit einem Schlüssel verknüpft werden. Wählt man zum Beispiel die Caesarverschiebung, so kann ein Schlüssel angeben, um wieviele Buchstaben das Geheimtextalphabet verschoben ist. Zum Beispiel bei einen Schlüssel von 12 sehen Geheim- und Klartextalphabet so aus:
Bei einer Vignère-Verschlüsselung sagt uns der Schlüssel, welches der verschiedenen Geheimtextalphabete wann gebraucht wird. Zum Beispiel wenn man den Schlüssel "math" hat, verschlüsselt man den ersten Buchstaben des Klartexts mit dem Geheimtextalphabet das mit "m" anfängt. Den zweiten verschlüsselt man mit dem "a" Alphabet und den dritten mit dem "t" Alphabet und der vierte mit dem "h" Alphabet. Dann fängt man wieder von vorne an.
Senkrechte: auch Lot genannt. Eine Gerade, die eine andere Gerade in einem rechten Winkel schneidet. Von einem Punkt aus ist es die kürzeste Verbindung zu einer Geraden.
Bei einem Dreieck gibt es die Mittelsenkrechten; das sind die drei Geraden, welche senkrecht zu den drei Seiten stehen. Alle drei schneiden sich in einem Punkt. Von diesem Punkt aus kann ein Kreis konstruiert werden, auf dem die Ecken des Dreiecks liegen (Umkreis).
Auch die Höhen sind Senkrechte. Sie schneiden sich ebenfalls in einem Punkt.
Steganographie: die Wissenschaft von versteckten Nachrichten. Das griechische "steganos" heisst "bedeckt", und "graphein" bedeutet "schreiben". Um eine Nachricht zu verstecken, kann sie zum Beispiel mit einem Pflanzensaft geschrieben werden, der erst sichtbar wird, wenn das Schriftstück erhitzt wird.
Natürlich können Steganographie und Kryptographie auch kombiniert werden.
Substitution: jeder Buchstabe wir durch einen anderen ersetzt. Das kann eine zufällige Wahl sein, oder man kann nach einem System vorgehen. Ein Beispiel dafür ist die Caesarverschiebung.
Teilmenge: eine Menge die Element einer anderen Menge ist. Zum Beispiel ist die Menge der Äpfel eine Teilmenge der Menge der Früchte. Die Menge der Früchte ihrerseits ist Teilmenge der Menge der Nahrungsmittel.
Transposition: die einzelnen Buchstaben einer Nachricht werden übernommen, aber anders angeordnet. Diese Art von Verschlüsselung ist schon seit dem 5.Jh vor Christus überliefert. Schau dir dieses Beispiel an: Eine Nachricht wird so geschrieben, dass die Buchstaben immer abwechslungsweise einmal auf die obere und einmal auf die untere Zeile zu stehen kommen.
r p n e l s t i h r s e
Nachher wird zeilenweise zusammengefasst:
RPNELSTIHRSEAUZLÄSDCGÜSN
Trigonometrie: tri=drei gon=Seite metrein=messen
Untersucht die Verhältnisse von Seiten und Winkel in Dreiecken. Definitionen dazu findest du im Hauptteil des Kapitels Trigonometrie.
Uhrensystem: ein endliches System. Es hat eine endliche (beschränkte und definierte) Anzahl von Elementen, in unserem Fall Ziffern. Das meist benützte Uhrensystem ist unsere Zwölfstundenuhr. Wenn wir die 12 überschreiten, kommen wir wieder zur 1. Wievielmal der Zeiger die Runde macht, kümmert uns bei der Uhrzeit nicht. Lies über Smart Joes Uhrensammlung!
Umkehrung des Pythagorassatz: ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn das Quadrat einer Seite der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten entspricht. Wurde von den Ägyptern zur Landesvermessung benützt.
Unendliches System: ein mathematisches System mit einer unbeschränkten Zahl von Elementen. Die Menge der natürlichen Zahlen zum Beispiel ist unendlich, da man auch noch zur grössten Zahl eine weitere addieren kann.
Verhältnis: die Beziehung zwischen zwei Teilen. Haben wir zum Beispiel zwei Strecken mit den Längen 10m und 2m, so ist ihr Verhältnis 5:1, da 10:2 gleich 5:1 ist. Ein Verhältnis von zwei Grössen x und y kann mit dem Divisionszeichen geschrieben werden als x:y oder als Bruch x/y. (Ein Bruch ist dasselbe wie eine Division. Es sind nur zwei verschiedene Schreibweisen!)
Vieleck: siehe Polygon
Viereck: ein Polygon mit genau vier Seiten. Ihre vier Winkel ergeben zusammen 360°.
Viereruhr: ein Uhrensystem, das die vier Ziffern 0,1,2 und 3 hat. Dieses System bezeichnet man als mod 4 (modulus: lateinisch für Mass; modulo 4: eine Vierergruppe als Mass nehmend). In mod 4 sind zwei Zahlen kongruent, wenn ihre Differenz ein Vielfaches von 4 ist.
Vignère-Verschlüsselung: eine polyalphabetische Verschlüsselung. Dem Klartextalphabet können bis zu 26 Geheimtextalphabete entsprechen. Diese sind zueinander verschoben wie bei der Caesarverschiebung. Die Zuordnung des Geheimtextalphabets zum Klartextalphabet ändert sich von Buchstabe zu Buchstabe und wird durch einen Schlüssel festgelegt.
Blaise de Vignère lebt im 16.Jh und war ein französischer Diplomat. Er kombinierte verschiedene bekannte Verschlüsselungssysteme zu einem neuen, das nach ihm benannt wurde.
Winkelmass: ein Winkel kann als eine Drehbewegung verstanden werden. Wenn eine Gerade eine volle Umdrehung gemacht hat, stimmt sie mit sich selber überein. Die volle Umdrehung entspricht einem vollen Kreisbogen, kann also mit 360° oder mit 2π bezeichnet werden.
Ein rechter Winkel entspricht einem Viertel eines Kreisbogens, ist also 90° oder π/2.
Ziehen: benützt du eine Maus, so kannst du damit zum Objekt gehen, das verschoben werden soll, den linken Mausknopf klicken und mit runter gedrücktem Knopf das Objekt verschieben.