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Hans Walser, [20131013], [20160331], [20160401]
Quetschwrfel
Es wird auf die Problematik der in Schulen weitverbreiteten ãSchrgbilderÒ eingegangen.
In Schulbchern und Arbeitsblttern sieht man oft ãWrfelÒ-Darstellungen wie etwa in der Abbildung 1.
Abb. 1: Was ist denn das?
Ein Wrfel kann es allerdings nicht sein. Wenn wir frontal auf eine Wrfelseite sehen, ist bei einem massiven Wrfel nichts von den anderen Wrfelseiten sichtbar. Dies lsst sich leicht an einem Wrfelmodell berprfen.
Wir nehmen nun an, die Abbildung 1 zeige das Orthobild (Orthogonalprojektion, Normalprojektion) eines Spates mit lauter gleich langen Kanten.
Damit knnen wir den Spat rekonstruieren. Rechnerisch geht das etwa so: Wir whlen ein rumliches kartesisches Koordinatensystem so dass , und . Die Kantenlnge ist also 1. Nun ist zu beachten, dass die y-Achse nicht durch den Punkt D verluft, sondern orthogonal zum Frontquadrat ABFE hinter A in die Tiefe. Fr den Punkt D lesen wir zunchst die zwei Koordinaten und ab. Da die Kante AD die Lnge 1 haben soll, folgt , also . Entsprechend lassen sich die Koordinaten der restlichen Punkte berechnen.
Mit Vektorgeometrie lassen sich nun auch die Winkel und bestimmen.
Die Abbildung 2 zeigt eine Abwicklung des Spates.
Abb. 2: Abwicklung des Quetschwrfels
Ein aus diese Abwicklung gebautes Papier- oder Kartonmodell kann nun entsprechend der Abbildung 1 gesehen werden (Abb. 3a). Ein Wrfel ist es aber nicht (Abb. 3b). Es ist im wrtlichen Sinn eine falsche Schachtel.
Abb. 3: Quetschwrfel
Die Abbildung 4 zeigt den Vergleich mit der Normalprojektion eines echten Wrfels. Die angedeuteten Seitenflchen sind in den beiden Darstellungen kongruent.
Abb. 4: Quetschwrfel und Wrfel
Die Abbildung 5 zeigt eine Serie von Schrgbildern. Welches ist der Wrfel?
Abb. 5: Welches ist der Wrfel?
Die Frage kann nicht entschieden werden. Nach den Regeln des Schrgbildes muss die Tiefendimension (Richtung nach ãhintenÒ) zustzlich mit einer Einheit versehen werden. Anders gesagt: Es muss zustzlich gesagt werden, welches der Wrfel ist (Eichwrfel).
Die Abbildung 6 zeigt dieselbe Wrfelserie in Normalprojektion. Die farbige rechte Seitenflche ist jeweils bernommen worden.
Abb. 6: Alles Wrfel
Das Schattenbild eines Kantenwrfels ist (wegen der gro§en Entfernung der Sonne von der Erde) annhernd ein Schrgbild. Dieses ist also ãnatrlichÒ.
In Auseinandersetzung mit Lehrpersonen und Schulbuchautoren wird immer wieder die ãEinfachheitÒ des Schrgbildes hervorgehoben. Schlerinnen und Schler knnen auf Karopapier selber und rasch zeichnen.
Die ãEinfachheitÒ ist richtig, solange wir uns auf Polyeder beschrnken. Sobald krumme Flchen (Zylinder, Kegel, Kugel) ins Spiel kommen wird die Sache problematisch. Die korrekten Schrgbildfiguren sehen unnatrlich aus.
Die folgenden beiden Abbildungen basieren auf dem Schrgbild der Abbildung 1.
Die Abbildung 7 zeigt einen dem ãWrfelÒ einbeschriebenen geraden Kreiszylinder.
Abb. 7: Quetschzylinder
Zum Vergleich dazu die Darstellung desselben Zylinders in Normalprojektion (Abb. 8).
Abb. 8: Zylinder
Die menschliche Wahrnehmung ist sehr sensibel auf ãfalscheÒ Kreisbilder. Die Ellipse mit horizontaler Symmetrieachse (Abb. 8) wird als ãrichtigesÒ Kreisbild empfunden, die schiefe Ellipse (Abb. 7) als ãfalschÒ. Das fhrt dann gelegentlich dazu, dass ãkorrigiertÒ wird wie etwa in Abbildung 9.
Abb. 9: ãKorrigierterÒ Quetschzylinder
Im Kontext des Wrfels ist der Fehler sofort einsichtig. Der Deckkreis msste die Mittelpunkte der oberen Wrfelkanten berhren, was er aber offensichtlich nicht tut. Bei der Darstellung des freistehenden Zylinders knnen wir kaum glauben, dass der Zylinder gleich dick wie hoch sein soll.
Bei der Abbildung 8 ist dagegen alles in Ordnung.
Die Abbildung 10 zeigt einen dem ãWrfelÒ einbeschriebenen geraden Kreiskegel.
Abb. 10: Quetschkegel
Die Figuren sehen echt bescheuert aus (Kommentar eines Kollegen). Zum Vergleich dazu die Normalprojektion desselben Kegels (Abb. 11).
Abb. 11: Kegel
Der Umriss einer Kugel erscheint im Schrgbild als Ellipse (Abb. 12). Das sieht man am Schattenbild. In der Normalprojektion ergibt sich ein Kreis als Kugelumriss.
Abb. 12: Schatten als Quetschkugel
Der Umriss der Inkugel eines Wrfels im Schrgbild ist eine Ellipse (Abb. 13). Der quator ist schief.
Abb. 13: Quetschkugel
Diese Ellipse oft auf einen Kreis ãkorrigiertÒ. Dies ist einer der hufigsten Darstellungsfehlern in Schulbchern und Unterrichtsmaterialien.
Zum Vergleich zur Quetschkugel die Normalprojektion derselben Kugel (Abb. 14). Der quator ist horizontal.
Abb. 14: Kugel
Korrekte Kreis- und Kugelzeichnungen im Schrgbild sind (fr uns heutige) nicht einfach herzustellen. Am besten ist es, dazu eine 3d-Grafik-Software zu verwenden.
Wer macht es besser? Wir brauchen nicht lange zu suchen. Die Bauanleitungen von LEGO¨ verwenden ein Darstellungsprinzip (Normalprojektion oder Normalaxonometrie), das zum Wrfelbild der Abbildung 15 fhrt. Damit werden schon Kinder im Vorschulalter mit guten Raumdarstellungen vertraut.
Abb. 15: Der schne Wrfel
Und viele Software ldt zum Zeichnen von dreidimensionalen Figuren ein. Meist steht dabei sogar eine Perspektive zur Verfgung.
Als Argument fr den Schrgbild-ãWrfelÒ wird oft die leichte Zeichenbarkeit im Karoraster verwendet. Tatschlich knnen aber auch exakte normalaxonometrische Wrfelbild im Quadratraster gezeichnet werden. Die Abbildungen 16 und 17 geben je ein Beispiel.
Abb. 16: Normalaxonometrie im Raster
Abb. 17: Normalaxonometrie im Raster
Beide Lsungen haben den Nachteil, dass es vergleichsweise gro§e Wrfel gibt. Immerhin sind die Lsungen in einem 4mm Quadratraster auf DIN A4 Papier machbar.
Es gibt unendlich viele exakte Rasterlsungen [Vgl. [20131014] ].
Normalaxonometrische Wrfelbilder lassen sich natrlich auch approximativ in den Karoraster einpassen. Das gibt dann weniger gro§e Bilder. Die Abbildung 18a) zeigt ein normalaxonometrisches Wrfelbild (die oberen vier Ecken passen nicht in den Raster), whrend die Abbildung 18b) eine in den Raster passende Approximation darstellt. Die Approximation ist um etwa 3.9% zu hoch.
Abb. 18: Normalaxonometrie und Approximation
Die Abbildung 19 zeigt eine Variante. Die Approximation im Raster (Abb. 19b) ist 1.8% zu niedrig.
Abb. 19: Variante
Im Folgenden eine rezeptm§ige Darstellung eines an sich exakten Vorgehens.
Wir haben gesehen, dass unser ãGefhlÒ fr eine korrekte Darstellung eng an die Darstellung eines Kreises als Ellipse verknpft ist.
Wir orientieren uns an der Abbildung 8 und beginnen daher gleich mit der Ellipse.
Wir whlen die beiden Brennpunkte F und G auf einer horizontalen Geraden. Dazu die Mittelsenkrechte und darauf einen Punkt P (Abb. 20).
Abb. 20: Start
Nun zeichnen wir die Ellipse mit diesen beiden Brennpunkten durch P (Abb. 21). In dynamischer Geometrie Software steht ein Button dazu zur Verfgung.
Abb. 21_ Ellipse
Auf der Ellipse whlen wir einen Punkt Q und zeichnen den dazu diametralen Punkt (Abb. 22).
Abb. 22: Punkt auf Ellipse und diametraler Punkt
In diesen beiden Punkten zeichnen wir die Tangente an die Ellipse (Abb. 23).
Abb. 23: Tangenten
Wir zeichnen die Mittelparallele zu den beiden Tangenten und schneiden sie mit der Ellipse. In den Schnittpunkten zeichnen wir erneut Tangenten an die Ellipse (Abb. 24).
Abb. 24: Mittelparallele und weitere Tangenten
Die vier Tangenten bilden ein Viereck. Dieses ist das Bild des Deckquadrates unseres Wrfels.
Die zum Deckquadrat senkrechten Wrfelkanten sind parallel zur kurzen Ellipsenachse zu zeichnen (Abb. 25).
Abb. 25: Weitere Wrfelkanten
Die Lnge der Bilder dieser Wrfelkanten ist gleich dem Abstand der beiden Brennpunkte F und G (Abb. 26). Dies ist der Gag dieser Konstruktion.
Abb. 26: Abstand der Brennpunkte
Nun knnen wir zum Wrfelbild ergnzen und das Bild grafisch aufpeppen (Abb. 27).
Abb. 27: Bild des Wrfels
Das Verfahren ist rein planimetrisch und hat nichts mit 3d Geometrie Software zu tun. Das wre ein anderes Thema und sicher viel einfacher.
Die lange Achse der Ellipse ist die wirkliche Kantenlnge des Wrfels.
Die Geometrie der Kegelschnitte war zu Zeiten von Zirkel und Lineal eine aufwndige Sache. Mit dynamischer Geometrie Software geht alles viel einfacher.
Mit den vier Punkten F, G, P, Q knnen wir das Bild verndern.
Mit dem Punkt Q knnen wir den Wrfel um die senkrechte Achse drehen (Ab. 28). Die Ellipse bleibt unverndert.
Abb. 28: Drehen des Wrfels
Durch auf- und Abschieben des Punktes P wird der Wrfel um eine horizontale Achse gekippt (Abb. 29).
Abb. 29: Kippen des Wrfels
Bis jetzt haben wir immer nur ãstehendeÒ Wrfel gezeichnet, die auf einer horizontalen Unterlage stehen.
Durch Verndern der Brennpunkte, so dass sie nicht mehr auf einer horizontalen Geraden liegen, erreichen wir Bilder von Wrfeln, welche schief in den Raum eingebettet sind (Abb. 30).
Abb. 30: Schiefe Bettung