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Die Konstruktion mit Zirkel und Lineal ist in der Geometrie die
klassische Methode, um geometrische Figuren aus vorgegebenen Größen zu
zeichnen. Verwendet werden dürfen ausschließlich ein Zirkel und ein
Lineal. Letzteres hat keine Markierungen; man kann damit also nur
Geraden zeichnen, aber keine Strecken abmessen.
Problemlösungen, die auf andere Hilfsmittel zurückgreifen, wurden von
den Griechen der klassischen Periode (und auch später von den meisten
Geometrietreibenden bis ins 20. Jahrhundert) als nicht zufriedenstellend
betrachtet.
Die Beschränkung auf die „euklidischen Werkzeuge“ leitete sich aus den
Postulaten ab, die Euklid am Anfang seines Lehrbuches »Die Elemente«
zusammengestellt hatte. Daraus ergeben sich als einzige zugelassene
Anwendungen dieser Werkzeuge:
* das Ziehen einer Geraden mit unbeschränkter Länge durch zwei beliebig
gegebene, voneinander verschiedene Punkte. * das Ziehen eines Kreises,
der einen beliebig gegebenen Punkt als Mittelpunkt hat und durch einen
beliebig gegebenen anderen Punkt verläuft und * das Übertragen bzw.
Abschlagen einer Strecke auf einer Geraden oder einer Kreislinie.
Mit diesen Anwendungen sind folgende algebraische Operationen (also die
Konstruktion des Ergebnisses auf dem Zahlenstrahl) möglich:
* die Addition (und Subtraktion) zweier reeller Zahlen; * die
Multiplikation zweier reeller Zahlen; * das Bestimmen der multiplikativ
Inversen einer reellen Zahl (ungleich Null) und damit die Division; *
das Ziehen der Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl.
Eine Reihe von geometrischen Problemen konnte jedoch mit diesen Mitteln
nicht gelöst werden. Darunter sind die klassischen Probleme der antiken
Mathematik:
* die Dreiteilung des Winkels; * die Verdoppelung des Würfels und * die
Quadratur des Kreises.
Der Beweis, dass diese Probleme grundsätzlich nicht mit Zirkel und
Lineal zu lösen sind, gelang jedoch erst im 19. Jahrhundert. Dennoch
bewirkten die Versuche, das Unmögliche zu vollbringen, eine ganze Reihe
von hervorragenden Leistungen. Die Griechen fanden eine Reihe von
brillanten Lösungen der »klassischen« Probleme mit anderen Hilfsmitteln,
wobei sie viele bemerkenswerte Resultate der höheren Geometrie
entdeckten.