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Alcuni degli enigmi più famosi non si limitano ad allenare il cervello, evidenziano anche quando il cervello s’imbatte in difficoltà e quali sono gli errori di ragionamento più comuni. Riuscite a risolvere al primo colpo i due rompicapi riportati qui di seguito? Se invece incontrate delle difficoltà, vi spieghiamo il perché.
Il problema delle capre (anche detto paradosso di Monty Hall) Il problema delle capre è con ogni probabilità uno degli enigmi più dibattuti del XX secolo. Ad esso Wikipedia ha dedicato un articolo di parecchie pagine contenenti tabelle e formule complicate, e alcune conclusioni sono state persino contestate da diversi scienziati. Tuttavia, anche i profani riescono a risolvere il problema, a patto di non cadere, durante il ragionamento, in alcune tipiche trappole.
L’enigma è stato segnalato per la prima volta dallo statistico Steve Selvin nel 1975 e pubblicato nella posta dei lettori di una rivista scientifica. Negli anni Novanta, l’opinione pubblica ne venne a conoscenza perché l’editorialista Marilyn vos Savant (che figurava nel Guinness dei primati come la persona con il quoziente di intelligenza più alto di sempre) ne diede la soluzione sul domenicale statunitense «Parade». In seguito, la vos Savant ricevette più di 10’000 lettere indignate da persone che non condividevano la sua spiegazione. Semplificando, ecco l’enigma.
Supponiamo che partecipiate a un quiz televisivo in cui, tra tre porte chiuse, dovete scegliere quale porta aprire per trovare l’automobile nascosta. Dietro le altre due porte trovereste una capra. L’automobile e le capre sono state assegnate casualmente alle porte prima del programma.
All’inizio potete scegliere una delle tre porte, ma non la potete aprire. In seguito, il conduttore del programma, che sa che cosa si nasconde dietro le tre porte, apre una delle altre due porte, scegliendone una con una capra. A quel punto le porte ancora chiuse sono due e dietro una di loro c’è l’automobile, mentre dietro l’altra c’è la seconda capra.
Il conduttore vi chiede allora se confermate la vostra prima scelta o se volete cambiare porta. Se voi, per esempio, avete scelto la porta numero 1, il conduttore apre la porta numero 3 (dietro la quale c’è una capra) e vi chiede: «Vuole cambiare e aprire la porta numero 2?».
Vi conviene cambiare porta? In questo modo le vostre probabilità di vincere l’automobile aumenterebbero?
Vi lasciamo un po’ di tempo per riflettere e vi presentiamo un altro enigma che ha messo in difficoltà parecchi cervelli.
Il «pregiudizio di sopravvivenza» della Seconda guerra mondiale
In realtà il pregiudizio di sopravvivenza (o del sopravvissuto) non è un enigma, ma un errore di ragionamento diffuso, commesso persino dai quadri dell’esercito degli Stati Uniti e magari anche da voi. Per verificarlo, vi presentiamo l’esempio più noto di questo errore.
Durante la Seconda guerra mondiale la squadriglia aerea statunitense veniva esaminata regolarmente per ottimizzare i velivoli. Uno degli obiettivi era di rinforzare le zone particolarmente vulnerabili degli aerei. A tale scopo venivano analizzati accuratamente i caccia rientrati alla base dopo i combattimenti: quali parti erano state colpite più spesso dai proiettili nemici? Si pensò che occorreva rinforzare gli aerei laddove erano presenti più fori causati dai proiettili (v. immagine a destra).
Secondo voi era una buona idea? Se pensate di no, perché?
Soluzione del problema delle capre
Cambiare porta conviene, eccome. Se optate per la porta che avete scelto all’inizio, la probabilità di vincere l’automobile è solo di 1/3, se invece scegliete una delle due porte ancora chiuse, la probabilità è pari a 2/3.
Come mai? L’intervento del conduttore del programma non cambia la probabilità che dietro la «vostra» porta ci sia un’automobile: la probabilità è infatti identica per tutte le porte, ossia è pari a 1/3, come all’inizio, perché avete scelto una porta tra tre possibilità equivalenti. Viceversa, la situazione di partenza per la seconda porta chiusa (che chiamiamo porta numero 2) cambia: se all’inizio a ogni porta era stato assegnato 1/3 di probabilità, ora la probabilità di 1/3 della porta aperta dal conduttore «passa» alla porta numero 2, poiché è impossibile che l’automobile sia dietro la porta aperta. In questo modo, la probabilità che dietro la porta numero 2 (che non avete scelto inizialmente) vi sia un’automobile è pari a 2/3.
Sembra complicato, ma tutto diventa un po’ più chiaro analizzando le varie possibilità.
Un’altra riflessione che aiuta a intuire quale sia la risposta giusta è la seguente: immaginate che le porte siano 100 invece di tre. Dietro una porta c’è l’automobile, mentre dietro le altre 99 porte c’è una capra. Al primo turno scegliete una di queste 100 porte. In seguito il conduttore (che sa dov’è l’automobile) apre 98 porte, dietro le quali ci sono capre. Oltre alla porta che avete scelto all’inizio, solo un’altra resta chiusa. A questo punto cambiereste porta o manterreste la scelta iniziale? Qui succede la stessa cosa di prima, cambiano solo i numeri: la probabilità che l’automobile sia dietro la «vostra» porta è, come all’inizio, di 1/100. La probabilità che l’automobile sia dietro la seconda porta ancora chiusa, invece, aumenta esponenzialmente ogni volta che si apre una porta dietro la quale c’è una capra, quindi alla fine la probabilità è di 99/100.
Se non siete ancora convinti, vi consigliamo di fare ciò che la brillante editorialista Marilyn vos Savant ha consigliato ai suoi lettori: provate di persona! Fate più volte il gioco e calcolate qual è la strategia che vi fa vincere più spesso a lungo termine. Più giocate, più il margine di probabilità statistico si stringerà.
Soluzione del «pregiudizio di sopravvivenza» della Seconda guerra mondiale
No, non sarebbe stata una buona idea rinforzare gli aerei rientrati alla base nelle parti maggiormente colpite dai proiettili. Come mai? La chiave sta nel termine «rientrati»: gli strateghi dell’esercito statunitense hanno esaminato solo gli aerei i cui occupanti erano sopravvissuti ed erano riusciti a rientrare alla base con i loro velivoli. Ciò significa che i punti in cui erano stati colpiti non erano particolarmente vulnerabili. Pur essendo danneggiati, gli aerei non si erano schiantati al suolo ed erano riusciti a rientrare alla base.
C’erano punti in cui gli aerei rientrati alla base non presentavano fori di proiettili (v. immagine piccola). Sulla base del «pregiudizio di sopravvivenza», è evidente che è proprio in quelle parti che i velivoli dovevano essere rinforzati! È infatti lecito supporre che gli aerei colpiti in quei punti non siano riusciti a rientrare alla base, ma si siano schiantati subito al suolo, ed è proprio per questo motivo che l’enigma è stato chiamato il «pregiudizio di sopravvivenza», appunto perché sono stati presi in considerazione solo i sopravvissuti e non tutto il gruppo.