Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03448.jsonl.gz/1496

Hans Walser
Halbregulr
Zusammenfassung: Wir knnen bei einem regulren Fnfeck eine Ecke einklappen und erhalten als Restfigur ein zwar noch gleichseitiges, aber nicht mehr gleichwinkliges Fnfeck. Mit diesem halbregulren Fnfeck knnen wir Parkette auslegen; dies im Unterschied zum regulren Fnfeck, das sich nicht zu einem Parkett auslegen lsst. Wir knnen mit unserem halbregulren Fnfeck aber auch Bandornamente und Spiralen bilden, ebenso Flchenfllungen mit Drehsymmetrie.
Mit zwlf halbregulren Fnfecken lsst sich ein halbregulres Dodekaeder bauen. Es ist die nichtkonvexe Ergnzung zu einem regulren Dodekaeder. Das halbregulre Dodekaeder ist ein Stern mit acht Spitzen, aber verschieden von Keplers Stella octangula. Das halbregulre Dodekaeder hat dieselbe Topologie wie das regulre Dodekaeder. Zusammen mit dem regulren Dodekaeder lsst sich der Raum lckenlos und berlappungsfrei ausfllen. Es ergibt sich die Raumstruktur eines flchenzentrierten Wrfelgitters.
Das regulre Fnfeck kann nicht fr eine Parkettierung der Ebene verwendet werden. Es bleibt eine Lcke von 36¡ (Abb. 1) (Grnbaum and Shephard 1987, Frontispiece).
Abb. 1: Keine Parkettierung mit regelm§igen Fnfecken
Wir modifizieren das regulre Fnfeck: Wir klappen eine Ecke ein (Abb. 2). Die Restfigur ist ein halbregulres Fnfeck. Es hat zwar gleich lange Seiten, aber ungleiche Winkel.
Abb. 2: Halbregulres Fnfeck
Zusammen mit dem regulren Fnfeck kann das halbregulre Fnfeck fr eine Parkettierung der Ebene verwendet werden (Abb. 3a).
Abb. 3: Parkett mit regulren und halbregulren Fnfecken
Das Parkett enthlt Translationssymmetrie (blaue Pfeile in Abb. 3b), Achsensymmetrie (rot) und Schubspiegelsymmetrie (violett).
Die Abbildung 4 zeigt eine Unterteilung der Ebene mit fnfteiliger Drehsymmetrie.
Abb. 4: Fnfteilige Drehsymmetrie
Wir knnen aber auch mit dem halbregulren Fnfeck allein arbeiten.
Die Abbildung 5 zeigt ein Bandornament. Es hat nur Translationssymmetrie. Wenn wir die Farben ignorieren, erhalten wir zustzlich Schubspiegelsymmetrie.
Abb. 5: Bandornament
Die Abbildung 6a zeigt eine Stapelung des Bandornamentes der Abbildung 5.
Hier werden wir leicht das Opfer einer optischen Tuschung. Sind die horizontalen Linien parallel?
Die Abbildung 6b zeigt ein eleganteres Beispiel ohne Bandornamente.
Worin besteht der Unterschied zwischen den Parketten der Abbildungen 6c und 6d?
Abb. 6: Parkette
Die Abbildung 7a zeigt eine Konstellation mit konzentrischen Ringen. In der Abbildung 7b sind die Farben so ausgetauscht worden, dass immer verschiedene Farben an einer Kante erscheinen.
Abb. 7: Konzentrische Ringe
In der Abbildung 8a sehen wir zunchst keine Struktur. Tatschlich enthlt die Figur aber eine Spirale konstanter Breite, also eine archimedische Spirale (Abb. 8b).
Abb. 8: Spirale
In der Abbildung 9 haben wir zwei beziehungsweise zehn Spiralen.
Abb. 9: Weitere Spiralen
Aus zwlf regulren Fnfecken knnen wir das regulre Dodekaeder bauen (Abb. 10a). Zusammen mit dem regulren Tetraeder, dem Wrfel, dem regulren Oktaeder und dem regulren Ikosaeder gehrt es zu den fnf platonischen Krpern.
Abb. 10: Regulres und halbregulres Dodekaeder
Mit zwlf halbregulren Fnfecken knnen wir entsprechend das halbregulre Dodekaeder bauen (Abb. 10b).
Das halbregulre Dodekaeder passt offensichtlich in einen Wrfel (Abb. 11b). Wir knnen aber auch auf den Seiten des regulren Dodekaeders einen Wrfel einzeichnen (Abb. 11a).
Abb. 11: Zusammenhang mit dem Wrfel
Wir knnen daher das regulre Dodekaeder als Wrfels mit sechs aufgesetzten Walmdchern sehen. berraschenderweise ist das halbregulre Dodekaeder genau die Restfigur nach dem Abschneiden von sechs Walmdchern vom Wrfel. Wir knnen daher das regulre Dodekaeder als ãpositivÒ und das halbregulre Dodekaeder als ãnegativÒ sehen. Der Walmdachberschuss des regulren Dodekaeders entspricht dem Walmdachdefizit des halbregulren Dodekaeders.
Die Abbildung 12 zeigt den Zusammenhang wischen den beiden Dodekaedern.
Abb. 12: Walmdcher
Das Walmdach in der Bildmitte wandert vom Wrfel rechts (Abb. 12b) zum Wrfel links (Abb. 12a). Das erinnert an die Situation von Anionen und Kationen in der Chemie.
Das einzelne Walmdach hat die Ausma§e gem§ Abbildung 13.
Abb. 13: Ausma§e eines Walmdaches
Dabei bezeichnet den Goldenen Schnitt (Walser 2013) . Die Firsthhe des Walmdaches ist .
Das halbregulre Dodekaeder ist ein Stern mit acht Spitzen (Abb. 14b). Es unterscheidet sich aber vom ebenfalls achtspitzigen Kepler-Stern (stella octangula, Abb. 14a).
Abb. 14: Kepler-Stern und halbregulres Dodekaeder
Das regulre und das halbregulre Dodekaeder haben unterschiedliche Symmetriegruppen. Das regulre Dodekaeder hat (trivialerweise) die Symmetriegruppe des Dodekaeders, das halbregulre Dodekaeder hat nur die Symmetriegruppe des regulren Tetraeders.
Das regulre und das halbregulre Dodekaeder haben dieselbe Topologie (Abb. 15 und 16).
Beide haben 20 Ecken, aber im halbregulren Dodekaeder sind 12 der 20 Ecken hyperbolisch.
Abb. 15: Ecken, Kanten und Seitenflchen
Beide haben 30 Kanten, aber im halbregulren Dodekaeder sind 6 der 30 Kanten wie eine Talsohle.
Das regulre Dodekaeder hat 12 regulre Fnfecke als Seitenflche, das halbregulre Dodekaeder aber 12 halbregulre Fnfecke.
Die Abbildung 16 zeigt den topologischen Zusammenhang zwischen Ecken und Kanten. Hierin unterscheiden sich das regulre und das halbregulre Dodekaeder nicht.
Abb. 16: Diagramme
Die Abbildung 17 zeigt ein Papiermodell des halbregulren Dodekaeders.
Abb. 17: Papiermodell
Fr das Modell werden 6 Bauteile gem§ Abbildung 18 bentigt. Die schwarzen Linien sind Schnittlinien, die rote Linie ist ein Talfalt und die blauen Linien sind Bergfalte.
Abb. 18: Schnittmuster
Die roten Teile sind im Modell au§en sichtbar. Die grauen Teile werden seitlich eingesteckt.
Tipp: Das Modell ist nicht besonders stabil. Ich habe daher zunchst ein Unterbaumodell in reduzierter Gr§e (98%) gebaut und darber als zweite Lage das eigentlich Modell.
Wegen der relativen Situation zwischen den beiden Dodekaedern (Abb. 12) kann das regulre Dodekaeder dem halbregulren Dodekaeder aufgesetzt werden wie ein Ei auf den Eierbecher (Abb. 19).
Abb. 19: Ei und Eierbecher
Weder das regulre noch das halbregulre Dodekaeder sind ãRaumfllerÒ (Coxeter 1973, S. 68f), mit denen der Raum lckenlos und berlappungsfrei aufgefllt werden knnte. Hingegen knnen wir den Raum mit einer Kombination von regulren und halbregulren Dodekaedern gem§ Abbildung 19 auffllen (Abb. 20).
Abb. 20: Raumfller
Die Figur der Abbildung 20 ist das rumliche Analogon zur Figur der Abbildung 3.
Der Beweis fr die Raumfllungseigenschaft ist einfach: Der Wrfel ist ein Raumfller. Wir denken uns nun in einer Wrfel-Raumfllung die einzelnen Wrfel schwarz und wei§ gefrbt wie ein dreidimensionales Schachbrett. Darin knnen wir von den schwarzen Wrfeln je sechs Walmdcher abspalten und an die benachbarten wei§en Wrfel anheften.
Literatur
Coxeter, H.S.M. (1973): Regular Polytopes. Third Edition. New York: Dover 1973. ISBN 0-486-61480-8.
Grnbaum, Branko and Shephard, Geoffrey C. (1987): Tilings and Patterns. New York: Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.
Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.
Websites
[1] Stella octangula (abgerufen 02.07.2017)