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Hans Walser
Universitt Basel
Schwerpunkt
Forum fr Begabtenfrderung
22. bis 24. Mrz 2012, TU Berlin
Zusammenfassung
Beim Schwerpunkt treffen Geometrie und Physik aufeinander. Dies erffnet interessante Einsichten und Querverbindungen. Es kommen Beispiele am Dreieck und Viereck zur Sprache. Insbesondere wird auf die Unterschiede von Eckenschwerpunkt, Kantenschwerpunkt und Flchenschwerpunkt eingegangen. Schlie§lich wird eine bemerkenswerte Gerade im Viereck vorgestellt.
Fachliche und didaktische Zielsetzung: Querbezge zwischen Bereichen der Elementargeometrie, der Mechanik und der Topologie. Frderung des Raumvorstellungsvermgens.
An einer Fachdidaktiker-Tagung wurde so nebenbei der Satz formuliert, eine Gerade durch den Schwerpunkt halbiere die Flche. Das Argument dafr war, dass der Schwerpunkt ja gerade so definiert worden sei (Abb. 1).
Abb. 1: Halbierung der Flche
Sehen wir uns die Sache nher an. Wir parkettieren das Dreieck und legen eine horizontale Linie durch den Schwerpunkt (Abb. 2).
Abb. 2: Parkettierung
Wir zhlen oben vier und unten fnf Teildreiecke. Nun ist es so, das die drei grnen und die dazwischen eingeklemmten roten Teildreiecke ein Sechseck bilden, das bezglich der blauen Geraden symmetrisch liegt. Problematisch sind also noch die drei roten Dreiecke au§en, eins oben und zwei unten (Abb. 3).
Abb. 3: Hebelgesetze
Nun hat das obere Dreieck von der Gleichgewichtsachse den Abstand , die beiden unteren je den Abstand . Wir haben also unten den halben Abstand, aber die doppelte Masse. Es kommen die Hebelgesetze von Archimedes zum Tragen.
Beim Eckenschwerpunkt denken wir uns gleiche Massen in den Ecken konzentriert, beim Kantenschwerpunkt soll die Masse homogen entlang der Kanten oder des Randes verteilt sein (Drahtmodell) und beim Flchenschwerpunkt homogen ber die Flche (Plattenmodell) (Abb. 4). Die drei Schwerpunkte sind in der Regel voneinander verschieden.
Abb. 4: Ecken-, Kanten- und Flchenschwerpunkt
Beim Quadrat (Abb. 5 links) ist natrlich alles, was Schwerpunkt hei§t, in der Mitte. Wenn wir nun aber unten etwas herausbrechen (Abb. 5 rechts), wandert der Flchenschwerpunkt nach oben und der Kantenschwerpunkt nach unten.
Abb. 5: Verlagerung der Schwerpunkte?
Beim Dreieck fallen allerdings der Eckenschwerpunkt und der Flchenschwerpunkt zusammen. Das ist das, was in der Schule allgemein als ãSchwerpunktÒ bezeichnet wird. Der Kantenschwerpunkt ist aber im Allgemeinen davon verschieden (siehe unten).
Wir beginnen mit einer Seitenhalbierenden. Diese geht durch eine Ecke, die beiden anderen Ecken sind gleich weit von der Seitenhalbierenden entfernt. Die Seitenhalbierende ist also Schwerlinie bezglich der Ecken. Der Eckenschwerpunkt ist der Schnittpunkt von zwei Schwerlinien. Die Sache mit dem Flchenschwerpunkt beweisen wir mit dem Prinzip von Cavalieri (Abb. 6). Wir zerschneiden die Dreiecksflche parallel zur Seitenhalbierenden in (unendlich) dnne Streifen. Streifen mit gleichem Abstand von der Seitenhalbierenden haben gleiche Lnge. Dies folgt aus Strahlenstzen. Somit sind diese beiden Streifen bezglich der Seitenhalbierenden im Gleichgewicht. Die Seitenhalbierende ist daher auch Schwerlinie bezglich der Ecken. Der Flchenschwerpunkt ist der Schnittpunkt von zwei Seitenhalbierenden und fllt mit dem Eckenschwerpunkt zusammen.
Abb. 6: Prinzip von Cavalieri
Eine bekannte Denksportaufgabe luft unter dem Namen "The Odd Ball Problem". Darin geht es darum, von zwlf optisch nicht unterscheidbaren Kugeln durch Wgen mit einer Zweihebel-Waage (Abb. 7) die eine Kugel zu bestimmen, deren Gewicht vom Gewicht der brigen elf Kugeln abweicht. Man weiss nicht, ob die "odd ball" schwerer oder leichter ist. Die eigentliche Denksportaufgabe besteht darin, mit mglichst wenigen Wgungen auszukommen.
Abb. 7: Zweihebel-Waage
Das nahe liegende Vorgehen besteht darin, die Kugeln in drei Vierergruppen aufzuteilen und zwei dieser drei Vierergruppen gegeneinander zu wgen. Je nach Ausgang der Wgung werden die beiden Vierergruppen, die in der nachfolgenden zweiten Wgung gegeneinander gewogen werden, bestimmt, und so verfhrt man auch fr die dritte Wgung.
Einfacher geht es mit einer Dreihebel-Waage. Es gibt zwei Konstruktionsmglichkeiten, eine horizontale und eine vertikale. Physikalisch laufen beide nach demselben Prinzip.
Der geneigte Leser ist eingeladen, sich zu berlegen, was ãGleichgewichtÒ bei den beiden Waagentypen bedeutet.
Horizontale Dreihebel-Waage: Wir denken uns einen horizontal liegenden Mercedes-Stern, der in der Mitte in einem Kugelgelenk aufgehngt oder durch ein Nadelgelenk untersttzt ist. An jeder Sternspitze hngt eine Waagschale (Abb. 8).
Abb. 8: Horizontale Dreihebel-Waage
Vertikale Dreihebel-Waage: Riesenrad mit drei Gondeln (Abb. 9).
Abb. 9: Riesenrad mit drei Gondeln
Wir teilen die 12 Kugeln in drei Vierergruppen auf und geben jede Vierergruppe in eine der drei Waagschalen. Wenn nun eine der Waagschalen unten ist und die beiden anderen Waagschalen auf gleicher Hhe oben, ist in der unteren Waagschale die ãodd ballÒ, und sie ist schwerer. Nun nehmen wir drei der vier Kugeln aus der unteren Waagschale und geben je eine in eine Waagschale. Falls diese im Gleichgewicht bleiben, ist die vierte Kugel die schwerere, ansonsten ist es die Kugel in der wiederum unteren Waagschale.
Falls die ãodd ballÒ leichter ist, geht eine der Waagschalen jeweils nach oben und wir knnen analog weiterfahren und schlie§en.
Wir kommen also mit zwei Wgungen aus.
Mit der Dreihebel-Waage knnen wir das ãodd ball problemÒ fr 48 Kugeln mit 3 Wgungen lsen: wir teilen die 48 Kugeln in vier Gruppen zu je 12 Kugeln auf und legen je eine Zwlfergruppe in eine Waagschale. Bei Gleichgewicht ist die faule Kugel in der vierten Zwlfergruppe und wir knnen wie oben mit zwei weiteren Wgungen weiterfahren. Bei Ungleichgewicht erhalten wir ebenfalls die Information, in welcher Zwlfergruppe die faule Kugel ist (inklusive der Zusatzinformation, ob die faule Kugel schwerer oder leichter ist). Wir knnen auch da wie oben weiterfahren.
Bei Kugeln reichen n Wgungen mit der Dreihebel-Waage.
Ein Parittsproblem: Nun ist man versucht, eine Waage mit zwlf Waagschalen zu bauen und das ãodd ballÒ Problem mit einer einzigen Wgung zu lsen. Das geht aber in die Hosen: Wir wissen dann nicht, ob die unterste Waagschale die ãodd ballÒ als schwerere Kugel enthlt oder die oberste Waagschale die ãodd ballÒ als leichtere Kugel. Das liegt daran, dass 12 eine gerade Zahl ist und wir somit paarweise diametrale Waagschalen haben.
Eine Zwlfhebel-Waage enthlt eben auch Zweihebel-Waagen, Dreihebel-Waagen, Vierhebel-Waagen und Sechshebel-Waagen. Man muss einfach die Waagschalen dazwischen leer lassen.
Bei 11 oder allgemein einer ungeraden Anzahl Kugeln kmen wir mit einer entsprechenden Waage mit einer Wgung durch, weil wir dann nicht gleichzeitig eine unterste und eine oberste Waagschale htten.
Einem beliebigen Dreieck setzen wir auf den Seiten drei zueinander hnliche Dreiecke , und an (Abb. 10). Die Dreiecke drfen nach au§en oder nach innen angesetzt werden.
Abb. 10: Ansetzen hnlicher Dreiecke
Dann haben die beiden Dreiecke und denselben Schwerpunkt S.
Beweis: Wir interpretieren die Punkte als komplexe Zahlen in der Gau§schen Zahlenebene. Zunchst ist dann:
Weiter gilt wegen der hnlichkeit der angesetzten Dreiecke:
Fr den Schwerpunkt T des Dreieckes erhalten wir:
Wir konzentrieren uns zunchst auf zwei der drei Kanten (Abb. 11).
Abb. 11: Zwei der drei Kanten
Die beiden Kanten haben je ihren Mittelpunkt als Schwerpunkt. Wir haben nun aber in diesen Punkten unterschiedliche Massen, da die Kanten ungleich lang sind. Der Schwerpunkt dieser beiden Kanten muss also so gefunden werden, dass die beteiligten Hebelarme im umgekehrten Verhltnis zu den Seitenlngen stehen.
Nun sind die beiden Seitenlngen im selben Verhltnis wie die dazu parallelen Seitenlngen des Mittendreiecks. Die Winkelhalbierende des Winkels zwischen diesen beiden Seiten teilt die dritte Seite des Mittendreiecks im gewnschten Verhltnis. Da diese Winkelhalbierende auch durch den Schwerpunkt (Mittelpunkt) der dritten Seite geht, ist sie eine Schwerlinie bezglich der Kanten. Der Kantenmittelpunkt ist daher der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Mittendreieckes, also dessen Inkreismittelpunkt.
Dieser Punkt ist in der Regel vom Ecken- und Flchenschwerpunkt verschieden.
Frage: Gibt es au§er dem gleichseitigen Dreieck noch andere Dreiecke, bei denen der Kantenschwerpunkt mit dem Eckenschwerpunkt zusammenfllt?
Der Eckenschwerpunkt E eines Vierecks ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden und (Abb. 12). Dabei ist der Mittelpunkt der Strecke . Vorstellung: Wir denken uns eine Mobile mit gleichen Massen in den Eckpunkten, den Jochen zweiter Ordnung und sowie dem Joch erster Ordnung . Der Mittelpunkt von ist der Aufhngepunkt des Mobile, also der Eckenschwerpunkt. Diesen erhalten wir aber auch ber das Mobile mit den Jochen und sowie dem Joch . Der Schnittpunkt der beiden Joche ersten Grades ist also der Eckenschwerpunkt E.
Abb. 12: Eckenschwerpunkt
Frage: Wie verhlt sich die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der beiden Diagonalen und ?
Frage: Wie finden wir den Eckenschwerpunkt eines allgemeinen Tetraeders?
Den Flchenschwerpunkt F finden wir ebenfalls mit einer Mobile-berlegung. Mit einer Diagonale teilen wir das Viereck in zwei Dreiecke und verjochen dann deren Flchenschwerpunkte. Im Dreieck ist aber der Flchenschwerpunkt gleich dem Eckenschwerpunkt. Zunchst zeichnen wir den Stern der Abbildung 13.
Abb. 13: Stern
Der in der Abbildung 13 eingezeichnete Punkt ist der Schwerpunkt des Dreiecks . Entsprechend fr die anderen Punkte . Daher ist der Schnittpunkt der Joche und der Flchenschwerpunkt F (Abb. 14).
Abb. 14: Flchenschwerpunkt
Der Flchenschwerpunkt F ist also der Diagonalenschnittpunkt des Viereckes . Dieses Viereck hat es in sich. So ist zum Beispiel die Seite parallel zur Seite und ein Drittel so lang. Diese folgt aus der Teilungseigenschaft 1:2 des Dreiecksschwerpunktes sowie Strahlenstzen. Das Viereck ist also das Bild des Ausgangsvierecks bei einer zentrischen Streckung mit dem Faktor . Bei dieser Streckung wir der Diagonalenschnittpunkt D des Vierecks auf den Flchenschwerpunkt F abgebildet. Das Zentrum der Streckung teilt also die Strecke DF innen im Verhltnis 3:1.
Der Mittelpunkt der Strecke liegt auf der Geraden (Strahlenstze) und wird bei der zentrischen Streckung auf den Punkt abgebildet. Das Zentrum der Streckung liegt also auf der Geraden . Ebenso liegt das Zentrum auf der Geraden . Das Zentrum der Streckung ist daher der Eckenschwerpunkt E. Somit haben wir den Sachverhalt:
Im allgemeinen Viereck liegen der Diagonalenschnittpunkt D, der Eckenschwerpunkt E und der Flchenschwerpunkt F auf einer Geraden. Der Punkt E teilt die Strecke DF im Verhltnis 3:1 (Abb. 15).
Abb. 15: Die Gerade
Der Kantenschwerpunkt liegt nicht auf dieser Geraden.
ber Vierecke, in denen Kanten- und Flchenschwerpunkt bereinstimmen, siehe [Meixner / Metsch 2004].
Frage: Wie lsst sich die Schnittpunkteigenschaft der Abbildung 16 erklren?
Abb. 16: Ein Schnittpunkt
Spiegeln des Vierecks an den Mittelpunkten der Seiten des Vierecks fhrt zu einer Beinahe-Parkettierung (Abb. 17). Die Spiegelbilder sitzen passgenau. An den Ecken des Ausgangsvierecks entstehen unterschiedlich gro§e Parallelogramme.
Abb. 17: Unterteilung des Vierecks
Einem beliebigen Viereck setzen wir auf den Seiten vier zueinander hnliche Dreiecke , , und an (Abb. 18). Die Dreiecke drfen nach au§en oder nach innen angesetzt werden.
Abb. 18: Ansetzen von Dreiecken
Dann haben die beiden Vierecke und denselben Eckenschwerpunkt E.
Frage: Wie lsst sich das beweisen?
Frage: Gibt es eine Verallgemeinerungsmglichkeit?
In einem beliebigen Dreieck ABC zeichnen wir den Inkreismittelpunkt und die drei Ankreismittelpunkte (Abb. 19). So entsteht ein nicht konvexes Viereck .
Abb. 19: Ein Viereck im Dreieck
Dann ist der Eckenschwerpunkt des Viereckes der Umkreismittelpunkt U des Dreiecks ABC (Abb. 20).
Abb. 20: Umkreis des Dreiecks
Beweisskizze: Die inneren und u§eren Winkelhalbierenden des Dreieckes ABC bilden ein Dreieck mit Hhenschnittpunkt . Der Umkreis des Dreiecks ABC ist der Feuerbachkreis des Dreiecks . Die Mittelpunkte der Strecken , und respektive der Strecken , , und liegen diametral auf dem Feuerbachkreis. Daraus ergibt sich die Behauptung.
Literatur
[Meixner / Metsch 2004] Meixner, T. / Metsch, K.: ber Vierecke, in denen Kanten- und Flchenschwerpunkt bereinstimmen. Math. Semesterber. 51, (2004) S. 131-145.
Hans Walser
Mathematisches Institut
Universitt Basel
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