Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03293.jsonl.gz/2298

Hans Walser, [20070401a]
Dritteln durch Halbieren
Wie kann eine Strecke AB gedrittelt werden, wenn folgende Hilfsmittel zur Verfźgung stehen?
- Halbieren einer Strecke
- Gerade durch zwei Punkte
- Schneiden zweier Geraden
Wir halbieren die Strecke AB und nennen den Mittelpunkt . Dann sei der Mittelpunkt der Strecke ; der Mittelpunkt der Strecke und allgemein der Mittelpunkt der Strecke . Ferner sei . Dieser Punkt D drittelt die Strecke AB.
Fortgesetztes halbieren
Der Beweis geht źber die geometrische Folge. Wir setzen und erhalten:
Dieses Verfahren ist in der Theorie exakt, in der Praxis kšnnen wir nur nŠherungsweise arbeiten.
Zwei Mal halbieren
Wenn wir noch einmal mehr halbieren, ergibt sich der zweite Drittelspunkt.
Drei Mal halbieren
Jetzt sehen wir auch sofort, wie die Sache zu beweisen ist, nŠmlich mit StrahlensŠtzen.
Natźrlich geht es auch mit Verdoppeln, genauer: mit Punktspiegeln. Wir wŠhlen wiederum einen Hilfspunkt H. Dann Spiegeln wir A an H und erhalten . Nun spiegeln wir B an und erhalten . Nun spiegeln wir noch A an und erhalten . Die Gerade schneidet AB im Drittelspunkt D, die Gerade schneidet AB im anderen Drittelspunkt E.
Verdoppeln
Nehmen wir an, wir hŠtten statt einem Halbierungswerkzeug ein Drittelungswerkzeug. Dieses Drittelungswerkzeug haben wir ja nach unseren †berlegungen mit dem Halbierungswerkzeug ebenfalls zur Verfźgung. Was kšnnen wir damit tun?
Wie Figura zeigt, kšnnen wir die Strecke AB nun vierteln.
Drei Mal dritteln ergibt vierteln
Wir kšnnen aber auch fźnfteln.
Vier Mal dritteln ergibt fźnfteln
Allgemein: Mit einem Werkzeug, welches eine Strecke in n Teile teilen kann, kšnnen wir eine Strecke auch in Teile teilen.
Damit folgt induktiv, dass wir mit eine Halbierungswerkzeug eine Strecke in beliebig viele Teile teilen kšnnen.