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Wer kennt die folgende Aufgabe nicht: »Vor dem Haus liegt ein kleiner Garten mit fünf Beeten auf denen die dreiköpfige Familie jedes Jahr erlesenes Gemüse anpflanzt und liebevoll beim Gedeihen betreut. Wenn im Laufe des Jahres alle Früchte der Arbeit geerntet, verzehrt oder eingemacht sind, zieht der Winter, der das kleine Feld mit weissem Schnee zudeckt, ins Land. Im Frühling dann, muss die Erde wieder gelockert – umgestochen – werden. Wenn der Vater alleine arbeitet, braucht er fünf Stunden, sein Sohn dagegen benötigt für die gleiche Arbeit sieben Stunden. Wie lange brauchen Vater und Sohn, wenn sie das Umstechen gemeinsam erledigen?« Die Lösung wird wie folgt gefunden: Der Vater schafft in einer Stunde 1/5 des Gartens, der Sohn schafft in einer Stunde 1/7 des Gartens. Vater und Sohn zusammen schaffen in einer Stunde 1/5 und 1/7, also 12/35 des Gartens. Daraus folgt, dass sie – zusammen – nach knapp 3 Stunden mit dem Umstechen fertig sind. Diese Lösung kann auch mit einer Zeichnung gefunden werden.
In der oben stehenden Abbildung ist auf der unteren Gerade g1 die für die Arbeit notwendige Zeit des Sohnes As und auf der oberen, zur unteren Gerade parallel verlaufenden Gerade g2, jene des Vaters Av abgetragen. Werden diese beiden Strecken zu einem Trapez ergänzt und die beiden Diagonalen d und e eingezeichnet, erhält man den Schnittpunkt H durch den eine Gerade g3 gezogen werden kann, die zu den beiden anderen Geraden g1 und g2 ebenfalls parallel läuft. Die Strecke auf dieser Gerade g3 welche durch die beiden ergänzten Seiten des Trapezes begrenzt wird, entspricht dem Harmonischen Mittel Az von Av und As → für die gegebene Arbeit brauchen Vater und Sohn, wenn sie gleiche Zeiten für die Erledigung einsetzen, etwa sechs Stunden, für jeden Einzelnen bedeutet dies knapp drei Stunden Arbeit. Allgemein gilt, dass die Linie (im Bild rot eingezeichnet) durch den Schnittpunkt der Diagonalen eines jeden Trapezes dem Harmonischen Mittel der beiden parallel liegenden Trapez-Seiten entspricht. Die Beweisführung ist allerdings nicht ganz einfach.
In der Mathematik ist eine ganze Menge von Mittelwerten definiert. Unter diesen Definitionen gibt es solche, welche bekannt und wichtig zugleich sind, andere hingegen sind eher »spezieller Natur« und im Alltag selten anzutreffen. Zu den Mittelwerten zählen auch der Modus und der Median, die nur eine Skalendignität unterster Stufe – eine Nominalskala – als Basis benötigen. Die drei klassischen Mittelwerte – das Arithmetische Mittel, das Geometrische Mittel und das Harmonische Mittel -, wie auch weitere, oft weit weniger bekannte Mittel (Quadratisches Mittel, Kubisches Mittel, Logarithmischer Mittelwert, …), setzten eine Skalendignität höchster Stufe, eine Kardinalskala – eine Intervallskala oder sogar eine Verhältnisskala – voraus.
Uns allen vertraut ist das Arithmetische Mittel. Wenn wir als Beispiel den Durchschnittslohn einer Gruppe berechnen wollen, addiert man all die Löhne und teilt die Summe durch die Anzahl der addierten Löhne, welche natürlicherweise der Anzahl der Gruppen-Mitglieder entspricht. Gerade bei der Betrachtung von Löhnen – natürlich nicht nur – kann es jedoch sinnvoller sein, den Median und nicht das Arithmetische Mittel als Grundlage für Analysen heranzuziehen, denn die Löhne der untersten oder obersten Klasse, wenn sie als Ausreisser darstellen, können die Statistik – deren Interpretation -, den Eindruck – »verfälschen«, wie folgendes Beispiel zeigt:
Lohnliste einer Arbeitsgruppe: 11000; 9000; 10000; 12000; 35000; 8000.00; 13000; → das Arithmetische Mittel liegt somit bei 14000, der Median bei 11000;
Ob nun das Arithmetische Mittel oder der Median für eine Analyse aussagekräftiger ist, hängt von der Fragestellung ab. Es kann generell gesagt werden, dass sich bei der Erstellung einer Liste allfällig eingeschlichene Fehler beim Median, dies im Gegensatz zum Arithmetischen Mittel, wenig oder gar keine Auswirkung haben. Der Median wird am einfachsten bestimmt, wenn die Werte einer Liste in aufsteigenden Werten geordnet werden. Bei einer ungeraden Anzahl an Werten entspricht der Median dem mittleren Wert; bei einer geraden Anzahl an Werten, wird der Median als Durchschnitt der beiden mittleren Werte, dem Untermedian und dem Obermedian, berechnet. In den Wirtschaftswissenschaften, wenn es um die Berechnung der Einkommen geht, wird der Median gegenüber dem Arithmetischen Mittel bevorzugt. Der Median hat jedoch in diesem Bereich als Alternative die Wohlfahrtsfunktion als »Mitbewerber«.
Wenn man von einer Durchschnittsgeschwindigkeit redet, meint man allgemein den Quotienten aus zurückgelegtem Weg und der dafür benötigten Zeit – es handelt sich bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten um das Arithmetische Mittel. Es ist der Vollständigkeit festzuhalten, dass diese Betrachtung auf der Messung in gleichen Zeiten – in vielen Fällen pro Stunde oder pro Sekunde – beruht. Man kann sich aber auch vorstellen, dass die Betrachtung auf Messungen gleicher Strecken – beispielsweise Kilometer oder Meter – beruht. In diesem Fall wird die Durchschnittsgeschwindigkeit als Harmonisches Mittel berechnet.
Mit dem Geometrischen Mittel wird der mittlere Faktor eines Wachstums bestimmt. Durch Multiplikation dieses Faktors mit dem Anfangsbestandes kann so der Endbestand errechnet werden.
Beispiel folgt
Die Beziehung der drei klassischen Mittel kann, wenn es nur zwei positive Merkmalträger gibt, in einem rechtwinkligen Dreieck unter Beizug der Sätze von Euklid – dem Höhensatz und dem Kathetensatz – sehr schön gezeigt werden.
Aus der Skizze gehen folgende Beziehungen hervor: <x>a = ½ (x1 + x2) und <x>g = √ (x1 · x2) – dies nach dem Höhensatz sowie<x>h = <x>g : <x>a – dies nach dem Kathetensatz. Ebenfalls ist in der Skizze auch sehr gut die Ungleichung der drei klassischen Mittelwerte von zwei positiven Zahlen zu erkennen: <x>h ≤ <x>g ≤ <x>a
Mathematik, für manche als »Rotes Tuch« wahrgenommen, kann interessant, sehr spannend und lehrreich sein und niemand auf dieser Erde verlangt, dass man alles dieser Wissenschaft zu verstehen hat. Nein, im Gegenteil: Das eigene Erforschen, das Eintauchen in die Materie macht Spass!
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Bild-Quellen:
Bild A: JBS
Bild B: JBS
Bild C: Buchdeckel