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Hans Walser, [20180107]
Schrgkanten-Modelle
Idee und Anregung: Thomas Mller, KPH Krems
Aus einem einzigen Streifen knnen wir mit geeigneten Faltlinien Modelle bauen, deren Ecken auf Ecken der platonischen Krper liegen. Die Modelle halten in der Regel ohne Bindemittel und sind leicht wieder zerlegbar.
Die Methode erlaubt auch eine Faltkonstruktion des regelm§igen Siebenecks.
Fr das Oktaeder arbeiten wir mit einem Streifen der Abbildung 1.
Abb. 1: Streifen fr das Oktaeder
Der Streifen besteht aus drei Quadraten plus einem berlappungsquadrat. Dieses ist mit dem ersten Quadrat zu identifizieren.
Zwischen den Quadraten bringen wir Bergfalte (blau) an.
Weiter falten wir je eine der Diagonalen als Talfalte (rot). Die gefalteten Diagonalen mssen parallel sein.
Werden in der Abbildung 1 die Begriffe Bergfalte und Talfalte vertauscht, ergibt sich ein spiegelbildliches Modell.
Nun falten wir lngs der kurzen (blauen) Faltkanten ganz zusammen und fixieren allenfalls provisorisch mit einer Broklammer. Die Broklammern knnen nach dem Zusammenbau wieder entfernt werden. Der Rest ergibt sich von selber.
Fr das Modell der Abbildung 2 wurde Papier mit unterschiedlicher Frbung auf beiden Seiten verwendet.
Abb. 2: Oktaeder
Oft hlt das Modell auch von selbst. Falls nicht, lassen wir eine Broklammer stecken (Abb. 3) oder verleimen.
Abb. 3: Die einsame Broklammer
Auf den ersten Blick sieht man das Oktaeder vielleicht nicht, sondern ein Antiprisma mit einem gleichseitigen Dreieck als Grund- und Deckflche. Aber genau das ist ein Oktaeder.
Unser Modell enthlt 9 der 12 Oktaederkanten. Dafr sind alle drei Diagonalen vorhanden und sichtbar. Die Abbildung 4a zeigt das Modell in der blichen Oktaederansicht. Die Abbildung 4b zeigt die vorhandenen Kanten und Diagonalen. Die Diagonalen entstanden aus den roten Diagonalenfalten der Abbildung 1. Die blauen Kanten sind die drei Falten zwischen den Quadraten der Abbildung 1. Die schwarzen Kanten (wir haben zwei schwarze gleichseitige Dreiecke) sind die oberen und unteren Schnittkanten der Abbildung 1. Die drei zum Oktaeder noch fehlenden Kanten sind grn nachgetragen.
Abb. 4: Ansicht und Kantenschema
Fr den Wrfel arbeiten wir mit einem Streifen gem§ Abbildung 5.
Abb. 5: Streifen fr den Wrfel
Die Rechtecke haben das Seitenverhltnis . Das ist das DIN-Format (Walser 2013b). Die blauen Faltkanten werden zu Seitenflchendiagonalen, die roten zu Raumdiagonalen des Wrfels.
Die Abbildung 6 zeigt das zugehrige Modell. Es ist eine Art Doppelpyramide.
Abb. 6: Wrfel
Die Abbildung 7 zeigt die Einbettung in den Wrfel. Wir sehen, dass die vier senkrechten Wrfelkanten fehlen und grn nachgetragen werden mssen.
Abb. 7: Einbettung in den Wrfel
Die Rechteckhhen in der Abbildung 5 knnen beliebig verndert werden. Das Modell passt dann nicht mehr in einen Wrfel sondern in ein Prisma mit quadratischer Grundflche.
Solche Kartonmodelle dienen in Lden gelegentlich als Prsentier- und Angebotskrbe. Sie haben den Vorteil, dass sie fr den Transport flachgelegt werden knnen. Im Kleinformat knnen sie auch als Behlter fr Bromaterial benutzt werden (Abb. 8).
Abb. 8: Bromaterial
Fr ein zweites Modell zum Wrfel arbeiten wir mit einem Streifen gem§ der Abbildung 9. Die Rechtecke haben das Seitenverhltnis . Sie sind wiederum im DIN-Format, aber nun im Querformat.
Abb. 9: Streifen fr den Wrfel
In der Abbildung 10 sehen wir das Modell von oben. Was hat das sichtbare gleichseitige Dreieck mit dem Wrfel zu tun?
Abb. 10: Modell
Die Abbildung 11 zeigt die Einbettung in den Wrfel. Die gleichseitigen Dreiecke oben und unten des Modells werden aus Seitenflchendiagonalen des Wrfels gebildet.
Nur sechs der acht Wrfelecken werden vom Modell erreicht.
Abb. 11: Einbettung in den Wrfel
Fr das Dodekaeder arbeiten wir mit einem Streifen gem§ Abbildung 12. Die Rechtecke haben das Seitenverhltnis . Dabei ist der Goldene Schnitt (Walser 2013a).
Abb. 12: Streifen fr Dodekaeder
Die Abbildung 13 zeigt das Modell. Wie alle unsere Modelle ist es eine Art Doppelpyramide.
Abb. 13: Passt in ein Dodekaeder
Das Modell sieht zwar elegant aus, aber es hat nur zehn Ecken, nmlich das Grundfnfeck und das Deckfnfeck. Das Dodekaeder (Abb. 14) hat aber 20 Ecken.
Das Dodekaedermodell der Abbildung 14 besteht aus zwlf Pyramiden. Diese haben ihre Spitze gemeinsam im Zentrum. Sie sind kongruent zu den beiden Pyramiden des Modells der Abbildung 13.
Abb. 14: Dodekaeder
Das Modell der Abbildung 13 passt genau in die fnf Ecken des Grundfnfeckes des Dodekaeders der Abbildung 14 und die fnf Ecken des Deckfnfeckes. Die Abbildung 15 illustriert die Einbettung.
Abb. 15: Einbettung in das Dodekaeder
Die fehlenden zehn Ecken des Dodekaeders finden wir mit einem Streifen der Abbildung 16. Die Streifen haben ein Seitenverhltnis . Wir haben es wieder wie bei der Abbildung 5, wo es um den Wrfel ging, mit dem DIN-Format zu tun. Die berraschung legt sich, wenn wir uns berlegen, dass man auf dem Dodekaeder mit Seitenflchendiagonalen einen Wrfel festlegen kann.
Abb. 16: Streifen fr Dodekaeder
Die Abbildung 17 zeigt das zugehrige Modell.
Abb. 17: Passt in ein Dodekaeder
In der Abbildung 18 sehen wir die Einbettung in das Dodekaeder.
Abb. 18: Einbettung in das Dodekaeder
Fr das Ikosaeder arbeiten wir mit einem Streifen der Abbildung 19. Die Rechtecke haben das Seitenverhltnis , sind also Goldene Rechtecke.
Abb. 19: Streifen fr Ikosaeder
Die Abbildung 20 zeigt das Modell. Es passt in ein Ikosaeder (Abb. 21).
Abb. 20: Passt in ein Ikosaeder
Abb. 21: Einbettung in das Ikosaeder
Es gibt auch eine andere Lsung. Dazu arbeiten wir mit dem Streifen der Abbildung 22. Die Rechtecke haben das Seitenverhltnis , sind also ebenfalls Goldene Rechtecke.
Abb. 22: Streifen fr Ikosaeder
Die Abbildung 23 zeigt das Modell.
Abb. 23: Modell
Die Abbildung 24 zeigt die Einbettung in das Ikosaeder. Wer mit der Figur nicht klarkommt, bastelt ein Modell.
Abb. 24: Einbettung in das Ikosaeder
Das Tetraeder hat als einziges von den platonischen Polyedern keine parallelen Seitenflchen. Es hat keine Punktsymmetrie.
Daher knnen wir mit unserer Methode kein passendes Modell bauen.
Wir knnen aber das Tetraeder an seinem Mittelpunkt spiegeln. Zusammen mit dem Spiegelbild ergibt sich der Kepler-Stern. Der hat aber dieselben Ecken wie der Wrfel. Unsere Modelle fr den Wrfel passen auch in den Keplerstern.
Wir knnen jedes regelm§ige Polygon mit unserer Methode bauen. Fr das regelm§ige Dreieck arbeiten wir mit einem Streifen gem§ Abbildung 25. Die Rechtecke haben das Seitenverhltnis . Der stumpfe Diagonalenschnittwinkel ist 120¡. Das ist ein Drittel des vollen Winkels.
Abb. 25: Streifen fr Dreieck
Die Abbildung 26 zeigt das Modell.
Abb. 26: Dreieck
Fr das regelm§ige Fnfeck arbeiten wir mit einem Streifen gem§ Abbildung 27. Die Rechtecke haben das Seitenverhltnis . Der spitze Diagonalenschnittwinkel ist 72¡. Das ist ein Fnftel des vollen Winkels.
Abb. 27: Streifen fr das Fnfeck
Die Abbildung 28 zeigt das Modell.
Abb. 28: Fnfeck
Wir sehen, wie der Hase luft.
Wir knnen zu jedem Prisma mit einem regelm§igen Vieleck gerader Eckenzahl als Grundflche (exemplarisch ein Sechseck in Abb. 29a) und zu jedem Antiprisma mit einem regelm§igen Vieleck ungerader Eckenzahl als Grundflche (exemplarisch ein Siebeneck in Abb. 29b) ein Modell nach unserer Methode bauen.
Abb. 29: Allgemeiner Fall
Der Streifen besteht aus den in der Abbildung 29 eingezeichneten Rechtecken. Fr ein n-Eck als Grundflche braucht es Rechtecke. Die Hhe der Rechtecke ist irrelevant.
Das regelm§ige Siebeneck ist nach einem Satz von Gau§ nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Hingegen knnen wir mit unserer Faltmethode ein Siebeneck konstruieren.
Abb. 30: Modell mit Siebeneck
Das Modell der Abbildung 30 wurde aus einem lngs der langen Mittellinie halbierten DIN A4-Papier gefaltet (es geht auch mit anderen Rechteckformaten, insbesondere US Letter). Durch mehrmaliges Halbieren erfalten wir eine Folge von acht Rechtecken. Das genaue Seitenverhltnis der Rechtecke ist nicht relevant. Und dann geht es weiter wie gehabt. Die Abbildung 31 zeigt das Modell von der Broklammerseite.
Abb. 31: Modell mit Broklammer
Die Abbildung 32 schlie§lich zeigt das Modell von oben. Wir sehen das Siebeneck.
Abb. 32: Siebeneck
Literatur
Walser, Hans (2013a): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing ber populrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.
Walser, Hans (2013b): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.
Abbildungsnachweis
Abb. 8: Heinz Slepcevic, Graz
Alle brigen Abbildungen durch den Autor