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Lead
Wir untersuchen Lösungen von diophantischen Gleichung die von besonderem Interesse in der Zahlentheorie sind.
Lay summary
Das Lösen von diophantischen Gleichung ist seit der Antik eine zentrale Fragestellung in der Zahlentheorie und in der Mathematik. Eine diophantische Gleichung benutzt nur die elementaren Grundrechenarten und weist mehrere Unbekannte auf, die in ganzen Zahlen oder in Brüchen zu lösen sind. Im 20ten Jahrhundert wurden von Thue, Siegel, Faltings und Vojta spektakuläre Resultate über das Lösungsverhalten solcher Gleichungen in zwei Variablen (und darüber hinaus) erzielt. Beispielsweise hat eine diophantische Gleichung nur endlich viele Lösungen in Brüchen, falls sie eine Kurve von Geschlecht mindestens zwei repräsentiert.
Das Projekt beschäftigt sich mit zwei Fragen.
Erstes Ziel ist es, für eine Klasse von diophantischen Gleichungen in zwei Variablen die Anzahl Lösungen in Brüchen zu beschränken. Als Motivation und Hilfsmittel dient ein neues Resultat des PI mit seinem Koauthor Ziyang Gao. Diese muss jedoch stark verallgemeinert werden, um die Fülle aller diophantischen Gleichungen abzudecken.
Zweites Ziel ist es, diophantische Eigenschaften spezieller Punkte hinsichtlich einem geeigneten Ganzzahligkeitsbegriff zu untersuchen. Spezielle Punkte sind Einheitswurzeln, Werte der Kleinschen j-Funktion, sowie Verallgemeinerungen davon. Als Motivation dient der Satz von Siegel über ganzzahlige Lösungen diophantischer Gleichung sowie die Vermutung von Lang über ganzzahlige Punkt auf abelschen Varietäten, ein Satz von Faltings. Es gibt entsprechende Vorarbeiten, aber die behandeln zur Zeit nur Dimensionen 1 und 2. Ein wichtiger Aspekt des Projekts ist es, Methoden für den allgemeinen Fall zu entwickeln.