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Hans Walser, [20100607a]
Schlie§ungsfiguren mit Sternen
Wir beginnen mit einem beliebigen Stern mit fnf Spitzen. Dieser kann durchaus in einem Quadratraster liegen, braucht also nicht regelm§ig zu sein.
Stern mit fnf Spitzen
Nun spiegeln wir fortlaufend an jeweils der folgenden Spitze gem§ Figur. Es ergibt sich eine Schlie§ungsfigur mit der Periodenlnge 10.
Schlie§ungsfigur
Analog knnen wir etwa mit einem Stern mit sieben Spitzen verfahren.
Stern mit sieben Spitzen
Es ergibt sich eine Schlie§ungsfigur der Periodenlnge 14.
Schlie§ungsfigur
Wir beginnen mit n Punkten und spiegeln diese am Punkt . Die Bildpunkte seien ; es ist also . Nun spiegeln wir die Punkte an und erhalten . Wir fahren entsprechend weiter, also .
Die Abbildung zeigt die Beschriftungssituation der Punkte fr .
Beschriftungen
Ferner sei . Als Folge der Punktspiegelungen ist .
Wir untersuchen nun das Polygon:
Fr den zugehrigen Vektorzug erhalten wir die Einzelvektoren:
Somit ist:
Nun ist eine Fallunterscheidung bezglich der Paritt von n erforderlich.
Fr ungerades n gilt:
Wir haben eine Schlie§ungsfigur der Periodenlnge .
Fr gerades n haben wir:
Wir haben eine Schlie§ungsfigur genau dann, wenn:
Dann ist aber bereits:
Die Schlie§ungsfigur hat die Periodenlnge n.
Wir haben bei ungeradem n immer eine Schlie§ungsfigur der Periodenlnge . Als Basis ist aber nicht eine Sternfigur erforderlich. Es gengt ein Polygon mit n Ecken. Allerdings kann es dabei zu berlappungen kommen, so dass die Schlie§ungseigenschaft schlecht einsehbar ist. Die Figur zeigt die Situation mit einem konvexen Fnfeck als Basisfigur.
berlappungen
Fr ungrades n sind die Schlie§ungsfiguren als Ganzes punktsymmetrisch.
Um dies zu beweisen, brauchen wir einen Hilfssatz ber die Reduktion von Zusammensetzungen von Punktspiegelungen: Die Zusammensetzung dreier Punktspiegelungen lsst sich als eine einzige Punktspiegelung darstellen: . Dabei ist D die Ergnzung der drei Punkte A, B, C zum Parallelogramm. Daraus folgt, dass sich eine Zusammensetzung von ungerade vielen Punktspiegelungen als eine einzige Spiegelung darstellen lsst. Wir knnen also schreiben:
Die Punkte werden also mit der Punktspiegelung auf die Punkte abgebildet. Insbesondere ist . Die Ergnzung der Punkte zum Parallelogramm ergibt wiederum den Punkt M. Aus
folgt:
Es werden mit der Punktspiegelung also die Punkte auf die Punkte abgebildet und allgemein die Punkte auf die Punkte . Daher ist M das Symmetriezentrum der Gesamtfigur.
Aus dem Beweis geht fr gerades n hervor:
Wenn also (Regelfall) ist, bilden die Punkte eine quidistante Punktefolge auf einer Geraden. Durch Fortsetzen unseres Spiegelungsprozesses erhalten wir ein Bandornament. Die Figur zeigt ein Beispiel fr .
Bandornament
Eine Schlie§ungsfigur gibt es fr gerades n genau dann, wenn:
Da die Vektoren sich zum Basispolygon schlie§en, gilt auch:
Addition und Subtraktion dieser beiden Gleichungen liefert:
Geometrisch hei§t das, dass das Basispolygon sich alternierend aus Vektoren zusammensetzt, welche je ihrerseits ein geschlossenes Polygon bilden. Wir knnen also aus den Seitenvektoren zweier Polygone mit je Ecken durch alternierende Zusammensetzung das Basispolygon fr die Schlie§ungsfigur konstruieren.
Fr haben wir die Bedingung . Das Basispolygon ist ein Parallelogramm. Es ist alternierend aus den Seitenvektoren zweier geschlossener ãZweieckeÒ zusammengesetzt.
Schlie§ungsfigur mit Parallelogramm
Wir setzen das Sechseck alternierend aus den Seitenvektoren zweier Dreiecke zusammen.
Konstruktion des Sechseckes aus zwei Dreiecken
Mit diesem Sechseck ergibt sich eine Schlie§ungsfigur mit der Periodenlnge sechs.
Schlie§ungsfigur mit Periodenlnge sechs
Wir setzen das Achteck aus zwei Vierecken zusammen.
Konstruktion des Achteckes aus zwei Vierecken
Wir erhalten eine Schlie§ungsfigur mit der Periodenlnge acht.
Schlie§ungsfigur mit Periodenlnge acht