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Matematica e paradossi
Nuova Libera Stampa, 17 ottobre 1992
"La matematica può pertanto definirsi
come la materia nella quale non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando
né se quel che stiamo dicendo è vero."
Chi pensa alla matematica come alla scienza
delle certezze, del due più due fa quattro, troverà certo
qualche difficoltà ad accettare tranquillamente questa affermazione.
E' un po' quanto è accaduto anche a me quando, giovane insegnante
appena diplomato in matematica, affrontai per la prima volta la lettura
di alcune opere di Bertrand Russel - l'autore della frase citata - e fui
così indotto ad approfondire le mie conoscienze intorno ai fondamenti
della matematica.
Bertrand Russell (1872-1970)
ha certamente lasciato un segno nella cultura del nostro secolo come scrittore
e filosofo con numerose opere che hanno ottenuto anche un successo presso
il pubblico, come Matrimonio e Morale (1929), L'educazione e l'ordine
sociale (1932), L'elogio dell'ozio (1935), Storia della Filosofia occidentale
(1945) .
Nei suoi ultimi anni fece parlare di sé anche come presidente del
tribunale che porta il suo nome, istituito per giudicare i crimini di guerra
americani in Vietnam. Russell comunque pacifista lo era già da giovane,
tanto è vero che dovette scontare sei mesi di carcere nel 1918,
durante i quali scrisse l'Introduzione alla filosofia matematica, un testo
accessibile anche al profano, nel quale vengono spiegati i più importanti
problemi posti dai concetti elementari della matematica (il numero, lo
spazio, gli insiemi).
Ed è proprio come matematico che Russell ha dato i più qualificati
contributi, come protagonista, nei primi anni del secolo, del dibattito
sui fondamenti della matematica, soprattutto con i monumentali Principia
Mathematica, scritti assieme a N. Whitehead tra il 1910 e il 1913.
In ambito matematico il suo nome è pure legato a un famoso paradosso.
Il termine paradosso deriva dal greco paradoxos ,
composto da para (contro) e doxa (opinione) indica una proposizione formulata
in evidente contraddizione con l'esperienza comune o con i principi elementari
della logica ma che, sottoposta a rigoroso esame critico si dimostra valida.
Achille e la tartaruga
Storicamente i paradossi più noti sono quelli di
Zenone di Elea, vissuto nel V secolo a.C.; tra essi il paradosso di Achille
e la tartaruga.
Achille corre a una velocità dieci volte
superiore a quella della tartaruga, la quale parte con un vantaggio di
100 metri. Nel momento in cui Achille raggiunge il punto T0 da cui è
partita la tartaruga, questa si sarà spostata nel punto T'. Rapidamente
Achille raggiungerà T', ma la tartaruga si sarà spostata
in T'', e così via all'infinito. Se ne conclude che Achille non
raggiungerà mai la tartaruga.
Il paradosso è evidente, in quanto chiunque sa benissimo che è
vero il contrario e anche in matematica, con un'equazione di primo grado
si può determinare quando avviene il sorpasso. Ma il problema sta
nel far quadrare i conti utilizzando la stessa impostazione di Zenone.
Si trova così una somma infinita :
100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..... = 111,11111.....
Con lo con lo sviluppo del calcolo infinitesimale a partire dal XVII
secolo si sono potuti risolvere in modo definitivo i problemi posti dalla
somma di infiniti termini. A questo proposito Russell annota: "Si
dimostra che, se Achille raggiungerà mai la tartaruga, questo dovrà
accadere dopo che sia trascorso un numero infinito di istanti dal momento
della sua partenza. E questo, di fatto, è vero; ma non è
vero che un numero infinito di istanti dia origine a un tempo infinitamente
lungo, e quindi non si può affatto concludere che Achille non raggiungerà
mai la tartaruga."
Il paradosso di Russell
La teoria degli insiemi, fondata verso la metà dell'800 da
Georg Cantor (1845 - 1918) sembrava poter dare una risposta ai diversi interrogativi aperti
in merito ai fondamenti dell'aritmetica. Il matematico tedesco
Gottlob Frege (1848 - 1925), con la sua opera Grundgesetze der Arithmetik, era convinto
di aver posto fondamenti sicuri al concetto di numero e quindi a tutta
la matematica. Ma Russell, in una lettera allo stesso Frege, fa notare
di aver scoperto una difficoltà, sufficiente comunque a far crollare
tutto l'edificio e ad aprire quella che è poi stata definita la
crisi dei fondamenti.
Il problema riguarda gli insiemi che sono o non sono elementi di se stessi.
Ad esempio un gregge è un insieme di pecore ma non è una
pecora, un insieme di biciclette non è una bicicletta, l'insieme
delle lettere dell'alfabeto non è una lettera dell'alfabeto. Tutti
questi insiemi non sono elementi di se stessi.
Se invece considero l'insieme delle non-biciclette, questo è certamente
una non-bicicletta e quindi è elemento di se stesso. Analogamente
si può considerare "l'insieme di tutte le cose che si possono
definire usando 16 parole della lingua italiana "; se chiamiamo A
questo insieme vediamo subito che anche A rispetta la definizione e dunque
A è elemento di A.Ci sono quindi insiemi regolari (quelli che non
appartengono a se stessi) e insiemi singolari (che appartengono a se stessi).
Una delle caratteristiche principali del lavoro matematico è quella
del generalizzare. Nel nostro caso ciò consiste nel considerare
l'insieme di tutti gli insiemi regolari. Sia M questo insieme. Sorge subito
una domanda : M è regolare o singolare ?
Ammettiamo dapprima che M sia regolare (M non è un elemento di M);
ma se M è regolare, allora è un elemento di M, quindi singolare.
Viceversa se M fosse singolare(M elemento di M), dalla definizione di M
consegue che M non appartiene a M e quindi l'insieme è regolare.
L'insieme M conduce quindi ad una palese contraddizione che, assieme ad
altri problemi emersi nello stesso periodo, mette in crisi i fondamenti
della matematica. Lavori successivi dello stesso Russel (teoria dei tipi
logici) e di Zermelo e Fraenkel (costruzione assiomatica della teoria degli
insiemi) permetteranno di superare questo ostacolo. Ma introdurre una costruzione
assiomatica, che è la forma classica di ina teoria matematica, significa
proprio confermare la giustezza della frase di Russell citata all'inizio
di questo articolo.
Il barbiere e i mentitori
Nel 1918 Russell presenta una versione più pittoresca del paradosso:
Un villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è
un uomo ben sbarbato che rade tutti e unicamente gli uomini del villaggio
che non si radono da soli. Se i fatti stanno in questo modo sorge immediatamente
la domanda: "Chi rade il barbiere?". Se distinguiamo gli
uomini del villaggio in due insiemi, quelli che si radono da soli e quelli
che si fanno radere dal barbiere, ricadiamo in pieno nelle premesse del
paradosso di Russell.
Tra i paradossi più antichi e più discussi bisogna annoverare
quello del mentitore che viene presentato in moltissime versioni, come,
ad esempio, quella che presenta il cretese Epimenide che afferma "tutti
i cretesi sono mentitori". Come possiamo determinare il valore
di verità dell'affermazione di Epimenide? Sia che la si ammetta
vera che falsa si cade subito in contraddizione.
E, a proposito di mentitori, concludo con un piccolo
problema.
Un viandante giunge a un bivio presso il quale stanno due gemelli dei quali
uno dice sempre la verità mentre l'atro mente continuamente. Per
sapere qual è la strada giusta, il viandante può porre una
sola domanda a uno solo dei due gemelli, senza sapere chi dei due è
il mentitore,
Quale domanda deve porre per essere sicuro di farsi indicare la via giusta?
Bibliografia:
Niccolas Falletta, Il libro dei paradossi, Longanesi 1983.
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