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Kondensator entladen
Problemstellung
Ein Kondensator wird zuerst auf eine bestimmte Spannung aufgeladen und dann über einem Widerstand wieder entladen. Beim Entladen fliesst die elektrische Ladung von einem Teil des Kondensators zum andern und setzt dabei über dem Widerstand Energie frei.
Dieser Vorgang kann problemlos ins Flüssigkeitsbild übertragen werden. Dazu denkt man sich den einen Teil des Kondensators geerdet. Dann dürfen der andere Teil des Kondensators und der Widerstand mit einem Gefäss verglichen werden, aus dem eine zähe Flüssigkeit über ein langes Röhrchen ausläuft.
Dynamik
Die Ladungsbilanz bezüglich des einen Teils des Kondensators bildet den Ausgangspunkt unserer Überlegungen
- [math]\dot Q = I[/math]
- [math]C \dot U = -\frac {U}{R}[/math] oder [math]RC \dot U + U = 0[/math]
Das Minuszeichen hängt mit den unterschiedlichen Betrachtungsweisen zusammen: Die Ladungsbilanz wird bezüglich des Kondensators aufgestellt, das resistive Gesetz bezieht sich auf den Widerstand.
Die Differentialgleichung besagt, dass die Spannung zur (negativen) Änderungsrate der Spannung proportional ist. Folglich ist besteht die Lösung dieser Gleichung in einer (abklingenden) Exponentialfunktion
- [math]U = U_0 e^{-t / \tau}[/math] mit τ = RC
Die exponentielle Abnahme der Spannung über dem Widerstand zieht eine entsprechende Abnahme der Stromstärke nach sich
- [math]I = I_0 e^{-t / \tau}[/math] mit I0 = U0/R
Entsprechend sinkt auch die Leistung über dem Widerstand
- [math]P = P_0 e^{-2t / \tau}[/math] mit P0 = U0 I0 = U02 / R = R I02
Systemdynamik
Das Systemdiagramm für das Entladen eines Kondensators über einem Widerstand kann direkt aus dem Flüssigkeitsbild gewonnen werden. Der eine Teil des Kondensators bildet den Topf (Stock), der Stromzweig über dem Widerstand das Abflussrohr (flow).
Die Spannung legt die Ladung auf dem Kondensator sowie die Stromstärke durch den Widerstand fest. Als zweite Ebene ist die Energiebetrachtung mitmodelliert. Integriert man die über dem Widerstand umgesetzte Leistung über die Zeit auf, erhält man die total dissibierte Leistung, die gerade der Kondensatorenergie zu Beginn der Vorganges entspricht (W = C/2 U2). Im Flüssigkeitsbild erscheint die im Kondensator gespeicherte Energie als Lageenerige bezüglich des grossen Sees: Menge mal mittlere Pumphöhe.
Simulation
analytische Lösung
Dieses Problem kann recht einfach analytisch gelöst werden. Für die Spannung erhält man dann eine sinkende Exponentialfunktion bezüglich der Zeit
- [math]U = U_a e^{-t/\tau}[/math]
Indem man das Ohm'sche Gesetz auf den Widerstand anwendet, erhält man die Strom-Zeit-Funktion
- [math]I= I_a e^{-t/\tau}[/math] mit Ia = Ua/R
Die über dem Widerstand dissipierte Leistung ist dann gleich dem Produkt dieser beiden Funktionen
- [math]P= P_a e^{-2t/\tau}[/math] mit Pa = UaIa = Ua2/R = Ia2R