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くいなちゃん2019年06月18日
「６さいからの数学」第3話では、整数とその性質を解説します！
第2話では、集合と自然数と加算の公理を使って「」を証明しました。 しかし、これらの公理を持ち出さなくてもわたしたちは「」であることを確信しています。 そこで、前回のような方法で「」や「」などを証明していくことはやめ、その気になればこれらも証明可能であるとした上で、今後は「本当に成り立つかどうか判らないこと」に焦点を当てて進めることにします。
1整数
第2話で、自然数を「」という集合で表しましたが、これらにマイナスを付けた数を含めたものを「整数」といいます。 つまり整数全体の集合をとすると、「」となります。
より大きい数を「正」の数といい、より小さい数を「負」の数といいます。
どのような2つの整数に対しても、加算「」や減算「」や乗算「」が行えることはご存知の通りです。 「」は「」と書かれたり、しばしば乗算の記号が省略されて「」と書かれます。
1.1累乗
整数と、以上の整数に対し、「」と表された演算を「累乗」といいます。 このとき「」とは「を回掛けた数」を意味し、例えば「」は「」、つまりです。
また、でない任意の数に対し、「」とします。 例えば「」です。 「」は、「」と定義されることもありますが、様々な理由から定義しないことも多いです。
1.2絶対値
整数がからどれだけ離れているかを、の「絶対値」といい、「」と表します。 のときは「」、のときは「」と計算できます。 例えばの絶対値は「」、の絶対値は「」です。
1.3整数を学ぶ意義
物理学などの自然科学では、整数よりも実数を扱うことが多いため、学校教育では整数が深く取り上げられることは少ないのが現状です。
しかし整数にはパズルのような面白さと奇妙さがあるため、数学の大会や未解決問題には整数に関するものが多く現れます。 またコンピュータ上では整数は基本的な要素になるため、素数の定理が暗号に応用されるなど、部分的に活用されています。
その面白さに触れていただくため、今回は整数の基本的な性質を説明したのちに、最後にそれらを応用した具体的な問題を解いてみることにします。
ここからは、整数の様々な性質について解説します。
2.1商と余り
2つの整数の除算()は、その値が整数にならないことがあります。 そこで、計算結果が整数になる「商」と「余り」というものを定義します。
「」をしたとき、「商」とは、個のものを人に配ったときの1人あたりの個数に当たります。 「余り」は、配りきれずに残った個数です。 例えば、「」の商は、余りはです。
これを厳密に数式で定義すると、「」をしたときの商と余りとは、それぞれ「 」を満たす整数とになります。 「」の例では、に、に、に、にを入れると「 」になり、この数式を満たしていることが解ります。
2.2割り切る、約数、倍数
「」の余りがであれば、「はを割り切る」といいます。 例えば「」は余りがなので、はを割り切ります。
はを割り切るとき、はの「約数」といい、またはの「倍数」といいます。 はを割り切るため、はの約数、はの倍数です。
2.3公約数、公倍数
はを割り切り、はを割り切るとき、整数を、との「公約数」といいます。 例えば、はを割り切り、はを割り切るので、はとの公約数です。
はを割り切り、はを割り切るとき、整数を、との「公倍数」といいます。 例えば、はを割り切り、はを割り切るので、はとの公倍数です。
との公約数のうち最大のものを、との「最大公約数」といい、「」と表します。 との正の公倍数のうち最小のものを、との「最小公倍数」といい、「」と表します。
最大公約数を求めるには、図2-1に示した「ユークリッドの互除法」という方法が便利です。
例えばとの最大公約数をユークリッドの互除法で求めた結果は、図2-2の通りです。
また、最小公倍数は「」で求まります。 例えばとの最小公倍数は、となり、です。
2.5互いに素
2つの整数とが、と以外に公約数を持たないとき、すなわちのとき、とは「互いに素」であるといいます。 例えばなので、とは互いに素です。
3素数
正の約数がとだけである、以上の整数のことを、「素数」といいます。 言い換えると素数とは、以上の整数のうち、と自分自身以外の正の整数では割り切れない数のことです。 素数でない以上の整数を「合成数」といいます。
素数を小さい順に並べると「」と続いていきます。 「」が素数に含まれていないのは、と自分自身以外である「」で割り切れるためです。
素数は、「エラトステネスの篩」という方法で得ることができます。 これは「以上の整数のうち、どの素数の倍数でもないものは素数である」ことを利用した方法で、図3-1のように行います。
3.1素因数分解
すべての正の整数は、素数の積(掛け算)で表すことができます。 例えば累乗を使うと、「」「」「」「」「」「」のように表せます。 このように正の整数を素数の積で表すことを、「素因数分解」といいます。
どの正の整数も必ず素因数分解することができ、そのパターンは(積の順序を無視すれば)1通りに限られます。 この性質は「素因数分解の一意性」と呼ばれ、他の定理を証明するのにとても役立ちます。
素数に「」を含めない理由は、を素数に含めると、「」のように素因数分解の一意性が成り立たなくなるためです。
さて、それでは最後に、今までに紹介した整数の性質を応用した具体的な問題に挑戦してみましょう。 「不定方程式」と呼ばれる問題です。
「方程式」とは、「を満たすを求めよ」のような、等式を成立させる変数の値を求める問題のことです。 このとき、等式が成立するような変数の値のことを、方程式の「解」といいます。
方程式のうち「不定方程式」とは、方程式の解が無数にあるものを指します。 例えば「を満たすとの組み合わせを求めよ」のようなものです。 この場合、「」や「」などが解となります。
このように不定方程式では方程式の解が無数にありますが、大抵は、条件を付けることで解の個数を有限個にして出題されます。 その条件をいかに利用して解くかというところに、パズルのような面白さがあります。
4.1問題
それでは不定方程式の具体的な問題として、図4-1に挑戦しましょう。
4.2解法
まずは、不定方程式を組み立てます。 桁の整数を上の桁から1桁ずつ、、、と置くと(例えばの場合は、、、)、逆順にしたときに元の数の倍になることから図4-2の方程式が出来上がります。
このままではこの式は4つの変数を含んだ不定方程式で解が無数に存在しますので、様々な条件を利用して解を絞り込んでいきます。
4.3aの値を求める
まずの場合はが桁以下になってしまうので、であるといえます。 また、の場合は倍すると桁以上になってしまうため、といえます。 つまり、はかのどちらかとなります。
ここで仮にだとすると、方程式は「」となり、右辺の一の位が「」になっています。 倍して一の位がになる整数はありませんので、の場合に解は存在しないことが判ります。 よって、解が存在するとしたらの場合のみとなります。
4.4dの値を求める
を代入すると、方程式は「」になります。 ここで右辺の一の位は「」ですが、倍して一の位がになる整数の一の位は、「」「」しかありませんので、よって左辺の一の位であるは、かとなります。
ここでだとすると、方程式は「」になりますが、この式を整理すると「」になり、に～のどの値を入れてもは負の数になるため、であることが判ります。 よって、解が存在するとしたらの場合のみとなります。
4.5bとcの値を求める
を代入すると、方程式は「」になり、これを整理すると「」となります。 ここで「」が整数になるためには、とする必要があり、それ以外はありえません。
を、に代入して、より、です。
よって、、、、より、です。 より、倍すると確かにもとの数の逆順になることが解ります。
今回は、整数の基本的な性質を紹介し、具体的な問題に挑戦してみました。 次回は、小数を含めたいろいろな数について解説します！
©Kuina-chan