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Hans Walser, [20130219]
Vier rechtwinklige Dreiecke
Wir beginnen mit vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken, von denen zwei spiegelbildlich zu den beiden anderen sind (Abb.1).
Abb. 1: Vier rechtwinklige Dreiecke
Diese ordnen wir nun an gem§ Abbildung 2.
Abb. 2: Umlegen der Dreiecke
Es entstehen zwei Rechtecke, in Umrissrechteck und ein ãLochrechteckÒ.
Wir vermuten, dass die beiden Rechtecke hnlich sind.
Wir knnen die vier Dreiecke der Abbildung 1 noch auf eine zweite Art zu Rechtecken zusammenfgen (Abb. 3).
Abb. 3: Zweite Art
Wir vermuten wiederum, dass Umrissrechteck und Lochrechteck hnlich sind.
Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 4.
Abb. 4: Bezeichnungen
Fr das Umrissrechteck haben wir das Seitenverhltnis (c + b) : a, fr das Lochrechteck das Seitenverhltnis a : (c – b). Die hnlichkeitsbedingung ist:
Dies fhrt zu , also der Formel von Pythagoras, die in einem rechtwinkligen Dreieck erfllt ist.
Wir diskutieren die Situation mit speziellen rechtwinkligen Dreiecken. Dazu normieren wir a =1, so dass wir nur noch den Parameter b im Spiel haben.
Fr ergibt sich die Situation der Abbildung 5. Wir erhalten das so genannte Goldene Rechteck, dessen Seitenlngen im Verhltnis des Goldenen Schnittes stehen.
Abb. 5: Goldenes Rechteck
Das Goldene Rechteck hat die Eigenschaft, dass nach Abschneiden eines Quadrates kleineres Goldenes Rechteck als Restrechteck brig bleibt. Dies kann in unserem Beispiel durch eine andere Anordnung der Teilfiguren gezeigt werden (Abb. 6).
Abb. 6: Abschneiden eines Quadrates
Fr b = 1 erhalten wir das Rechteck der Abbildung 7, das Rechteck mit dem leicht esoterischen Namen Silbernes Rechteck. Es hat die Eigenschaft, dass nach Abschneiden von zwei Quadraten ein zum Ausgangsrechteck hnliches Rechteck brig bleibt.
Abb. 7: Silbernes Rechteck
Fr ergibt sich ein Rechteck mit der Eigenschaft, dass nach Abschneiden von n Quadraten ein zum Ausgangsrechteck hnliches Rechteck brig bleibt. Die Abbildung 8 illustriert den Fall fr n = 5.
Abb. 8: n = 5
Fr die Lnge x des Rechteckes (bei einer Breite von 1) erhalten wir:
Dies fhrt zur positiven Lsung:
Umgekehrt kann jedes Rechteck so zerlegt werden, dass vier kongruente rechtwinklige Dreiecke und ein zum Ausgangsrechteck hnliches Rechteck entstehen. Dazu passen wir in das Rechteck zunchst einen Rhombus ein, dessen lange Diagonale mit einer der beiden Rechtecks-Diagonalen bereinstimmt. Die Abbildung 9 illustriert das weitere Vorgehen.
Abb. 9: Zerlegung eines Rechteckes