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Hans Walser, [20171120]
Tetraeder im Wrfel
Wenn wir im Einheitswrfel jede zweite Ecke verbinden, erhalten wir ein regelm§iges Tetraeder der Kantenlnge (Abb. 1).
Abb. 1: Tetraeder im Wrfel
Der Rest des Wrfels besteht aus vier unregelm§igen Tetraedern mit drei Kanten der Lnge 1 (diese liegen auf den Wrfelkanten) und drei Kanten der Lnge (auf den Kanten des regelm§igen Tetraeders). Ich bezeichne diese unregelm§igen Tetraeder als Ecktetraeder, da sie mit dem Wrfel je eine Ecke gemeinsam haben.
Dieser Sachverhalt wird mit Papiermodellen nachgebaut.
Dabei erhalten wir zustzlich auch das Oktaeder.
Die Abbildung 2 zeigt die Abwicklung. Die grau getnten Dreiecke sind Verbindungselemente. Die roten Linien sind Faltlinien im Sinne von Talfalten.
Abb. 2: Abwicklung des Tetraeders
Wir arbeiten mit zwei Lagen oder Schichten.
Fr die innere, unsichtbare Lage verwenden wir das Schnittmuster der Abbildung 91 im Anhang. Dieses Schnittmuster ist lngenm§ig auf 96% reduziert worden, um die Papierdicke zu kompensieren. (Bei gr§eren Modellen gengt eine Reduktion auf 98%.)
Wir drucken das Schnittmuster aus und legen es auf einen Stapel neutralen Papiers. Die Anzahl der Bltter im Stapel entspricht der Anzahl Tetraeder die wir bauen wollen. Wir tackern den Stapel am Rand au§erhalb des Schnittmusters zusammen. Es gengen drei Klammern, mglichst weit vom Schnittmuster entfernt, damit wir beim Schneiden das Lineal nicht auf die Klammern legen mssen.
Die Farbe dieser Papiere soll sich unterscheiden von den Farben, die im fertigen Modell au§en sichtbar sein sollen. Damit erhalten wir kein Durcheinander auf dem Basteltisch.
Dann schneiden wir mit einem Japanmesser aus und erhalten so einen ganzen Stapel von Schnittmustern. Beim Ausschneiden achten wir darauf, dass mglichst lange mglichst viele Tackerklammern aktiv bleiben, das hei§t mit dem Schnittgut in Verbindung sind. Erst beim letzten Schnitt soll die letzte Tackerklammer weggeschnitten werden.
In der Abbildung 91 sind keine Faltlinien eingezeichnet. Wir haben somit auf unseren Bauteilen keine Faltlinien und nur die Umrisslinien vom Schnittprozess. Trotzdem knnen wir die ausgeschnittenen Bauteile sehr gut falten, da die Faltlinien ja in ein regelm§iges Dreiecksraster gehren.
Die Abbildung 3 zeigt das gefalteten Bauteil.
Abb. 3: Bauteil fr die innere, unsichtbare Lage
Wir falten das Bauteil nun zum Tetraeder auf und zwar so, dass die u§ersten Verbindungsdreiecke au§en zu liegen kommen. Dies ist ungewohnt, weil Verbindungslaschen traditionell innen und unsichtbar verbaut werden. Wir mssen aber beachten, dass wir es hier mit der inneren Lage zu tun haben, die im fertigen Modell au§en nicht mehr sichtbar ist.
Die Abbildung 4 zeigt eine Zwischenstufe und das Endergebnis dieses Vorgangs.
Abb. 4: Auffalten
Fr die u§ere, sichtbare Lage verwenden wir das Schnittmuster der Abbildung 92 im Anhang. Der Ausschneideprozess geht analog zur inneren Lage, wobei wir aber jetzt mit der spter sichtbaren Farbe arbeiten. Wir falten auch analog.
Die Abbildung 5a zeigt die innere Lage im gefalteten Bauteil fr die u§ere Lage. Fr die u§ere Lage mssen die Verbindungsdreiecke innen platziert werden. Dies geht reihum sehr einfach, lediglich das letzte Verbindungsdreieck muss eingesteckt werden. So erhalten wir das Tetraeder (Abb. 5b).
Abb. 5: u§ere Lage und fertiges Tetraeder-Modell
Die Abbildung 6 zeigt die Abwicklung der Ecktetraeder.
Abb. 6: Abwicklung Ecktetraeder
Der Arbeitsvorgang ist analog zum regelm§igen Tetraeder. Die Abbildung 93 zeigt das Schnittmuster fr die innere Lage. Das Schnittmuster ist so ausgelegt, dass wir pro Blatt zwei Bauteile erhalten.
Beim Falten muss man ein bisschen den Kopf anstrengen. Geht aber.
Die Abbildung 94 zeigt das Schnittmuster fr die u§ere, sichtbare Lage. Fr die u§ere Lage kann mit verschiedenen Farben gearbeitet werden.
Wir bauen die vier bentigten Ecktetraeder und kleben sie an den Kanten gelenkig mit Klebeband zusammen (Abb. 7). Dies ist der einzige Schritt, wo wir Klebeband bentigen.
Abb. 7: Die vier Ecktetraeder
Man beachte, dass sowohl das regelm§ige Tetraeder (Abb. 5b) wie auch eines der vier Ecktetraeder (Abb. 7) in meinen Modellen aus violettem Papier gefertigt sind. Dies ist didaktisch ungeschickt und liegt daran, dass ich keine weiteren Farben zur Verfgung hatte.
Wir drehen jetzt das Gelenkmodell der Abbildung 7 um und legen das regelm§ige Tetraeder hinein (Abb. 8).
Abb. 8: Hineinlegen des regelm§igen Tetraeders
Nun knnen wir das Modell zum Wrfel schlie§en (Abb. 9).
Abb. 9: Schlie§en zum Wrfel
Wir knnen die Gelenke an den Kanten der vier Ecktetraeder (Abb. 7) in der anderen Richtung bis zum Anschlag umlegen (Abb. 10). Wir erhalten in der Mitte einen Punkt, an dem sechs rechte Winkel aneinander sto§en. Dies ist natrlich in der ebenen Geometrie nicht mglich, aber wir sind ja im Raum.
Abb. 10: Andere Richtung
Wir berlegen uns, dass wir die Figur durch eine zweite, kongruente Figur komplementr ergnzen knnen.
Die zweite Figur wird aus sthetischen Grnden farbm§ig spiegelbildlich gearbeitet (Abb. 11).
Abb. 11: Spiegelbildliche Farbanordnung
Wir knnen nun die beiden Figuren gem§ Abbildung 10 zu einem Oktaeder zusammenfgen (Abb. 12).
Abb. 12: Oktaeder
Im Oktaeder sind jeweils gegenberliegende Seitendreiecke gleicher Farbe.
Abb. 91: Schnittmuster 96% fr Tetraeder
Abb. 92: Schnittmuster 100% fr Tetraeder
Abb. 93: Schnittmuster 96% fr Ecktetraeder
Abb. 94: Schnittmuster 100% fr Ecktetraeder