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くいなちゃん2020年01月25日
「６さいからの数学」発展編1、常微分方程式の解き方について説明します！
1.1常微分方程式
「微分方程式」とは、のように、式に微分が含まれる方程式のことです。 方程式を満たす未知の関数を求めることを目的とします(この式の場合はを求める)。
物理学では、位置を時間で微分すると速度になり、速度を時間で微分すると加速度になることから、それらの方程式を考えるとたいてい微分方程式になり、それを解くことが重要になります。
微分方程式に含まれる関数のうち、未知のものが1つの場合を「常微分方程式」といい、今回説明します。
1.2一般解と特殊解と特異解
常微分方程式の解には、例えばがあります。 を微分すると、になるため、確かに解になっていることが分かります。
しかしこのという解は、実はという、より一般的な解の特殊なケースになっています(は任意の定数)。 を微分すると、となり、確かに解になっていて、このの解にを代入したものがになっています。
このの解のように、他の解を含む一般的な解のことを「一般解」といい、一般解の定数(先ほどの)に具体的な値を代入した解のことを「特殊解」といいます。
また方程式によっては、一般解の定数に何を代入しても得られない解が存在することがあり、「特異解」と呼ばれます。
2求積法
常微分方程式は、実はほとんどの場合、厳密に解くことができません。 厳密に解けるパターンはいくつかに分類されており、以下で順番に説明していきます。 厳密に解けない常微分方程式は、近似的に計算するしかありません。
2.1変数分離形
まずの形の常微分方程式を、「変数分離形」といいます。 右辺が、との式の積になるケースです。
これを解くには、図2-1の手順で行います。
例えば最初のの常微分方程式は、の形になっていますので変数分離形です。 これを解くと図2-2となります。
2.2同次形
の形の常微分方程式を、「同次形」といいます。 右辺がの式になっているケースです。
これを解くには、図2-3の手順で行います。
例えば「(ただし)」の常微分方程式を解くと図2-4となります。
2.3一階線形
の形の常微分方程式を、「一階線形微分方程式」といいます。 特にのとき、つまりの場合を「斉次形」といい、それ以外の場合を「非斉次形」といいます。
斉次形は、と変形すると、の形になりますので変数分離形として解けます。 解いた結果は、(は任意定数)になります。 「」とは、指数関数「」の意味です。
非斉次形は、ややこしいため結論だけ書くと、解は「」となります。 詳細は別の記事で扱います。
2.4高階線形
の形の常微分方程式を、「二階線形微分方程式」といいます。 の場合を斉次形、それ以外の場合を非斉次形といいます。
またこれを一般化して、の形の常微分方程式を、「階線形微分方程式」といいます。 「」は、をで階微分する意味「」です。 の場合を斉次形、それ以外の場合を非斉次形といいます。
二階以上の線形微分方程式は、解き方が込み入ってくるため、別の記事で扱おうと思います。
2.5ベルヌーイの微分方程式
線形微分方程式でない常微分方程式は、非線形微分方程式といい、一部の形を除いては、これまでのように積分を使って解くことが困難になります。 ここでは容易に解ける特別な例を紹介します。
を以外の整数として、の形の方程式を、「ベルヌーイの微分方程式」といい、解き方は図2-5の通りです。
3級数解法
(この項目は執筆中です。)
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