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Die alten Ägypter benutzten den Satz des Pythagoras um Land auszumessen. Sie wussten, wie sie mit Hilfe der Pythagoräischen Dreieckszahlen 3,4 und 5 einen rechten Winkel konstruieren konnten. Sie konnten aber auch unbekannte Strecken innerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn die beiden anderen Distanzen bekannt waren. Im Kleinen geht das gut, will man aber grosse Flächen vermessen, hilft der Satz des Pythagoras nicht viel, vor allem dann, wenn es um Strecken geht, die nicht direkt gemessen werden können. Für diese Fälle haben wir die Trigonometrie.
Die Trigonometrie untersucht die Verhältnisse zwischen den Seiten und Winkeln von Dreiecken.
Mit Trigonometrie kannst du die Länge einer Seite berechnen, wenn du zum Beispiel
eine Seite und einen Winkel gegeben hast. Du kannst aber auch die Winkel eines
rechtwinkligen Dreiecks bestimmen, wenn du die Länge von zwei Seiten kennst. Die
Trigonometrie vergleicht rechtwinklige Dreiecke, die gleiche Winkel haben und
studiert die Seitenverhältnisse.
Schau mal die Abbildung links an und bewege die Maus über das Gitter. Du siehst ein rechtwinkliges Dreieck, dessen eine Ecke immer der Maus folgt.
Gehst du mit der Maus nun zwei Kästchen weiter nach rechts und eines nach oben, so hast du ein Dreieck, das eine Basis von 4 und eine Höhe von 2 hat. Hast du gemerkt, dass die rot eingezeichnete Hypotenuse durch den Punkt geht, wo vorher deine Maus war? Da die Hypotenuse beidemal durch dieselben beiden Punkte ging (0,0 und 2,1), haben beide Dreiecke die selben Winkel.
Unten im Gitter siehst du das Verhältnis 2:1. Diese zwei Zahlen zeigen die Länge der Katheten des kleinstmöglichen Dreiecks an, das genau dieselben Winkel hat wie das gerade gezeichnete Dreieck. Das Dreieck, das du siehst, hat ein Basis von 4 und eine Höhe von 2.
Wenn du das Zahlenpaar oben mit dem Zahlenpaar unten vergleichst, siehst du, dass du beidemal dieselbe Antwort bekommst, wenn du jeweils die erste Zahl durch die zweite dividierst, nämlich 2:1=2 und 4:2=2, das heisst, dass die Seiten der beiden Dreiecke dasselbe Verhälnis haben. Das ist immer der Fall, wenn zwei Dreiecke die gleichen Winkel haben. Solche Dreiecke heissen ähnlich.
Ähnliche Dreiecke haben gleiche Winkel und gleiche Seitenverhältnisse.