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Hans Walser, [20200208]
Lemoine-Gerade
Definitionen und eine Eigenschaft der Lemoine-Gerade. Schnittpunkte. Verifikation mit DGS.
In einem beliebigen Dreieck ABC ist der Lemoine-Punkt L (auch Grebe-Punkt genannt) derjenige Punkt, der von den drei Seiten a,b,c AbstŠnde im VerhŠltnis a:b:c hat.
Konstruktion (Abb. 1): Wir setzen dem Dreieck (gelb in Abb. 1) hellblaue Quadrate an. Dies hat aber nichts mit Pythagoras zu tun, das Dreieck ist im Regelfall nicht rechtwinklig.
Abb. 1: Lemoine-Punkt
Wir verlŠngern die Au§enkanten der Quadrate bis zum Schnittpunkt. Die roten Geraden durch diese Schnittpunkte und die naheliegenden Dreiecksecken schneiden sich ein einem Punkt. Dies ist der Lemoine-Punkt L.
Die Lemoine-Gerade ist die Gerade durch den Lemoine-Punkt L und den Umkreismittelpunkt des Dreiecks (Abb. 2).
Abb. 2: Lemoine-Gerade
Wir zeichnen zu jeder Dreiecksseite den Apollonius-Kreis fźr das TeilverhŠltnis der beiden anderen Seiten (violett in Abb. 3). Die Apollonius-Kreise finden wir mit den inneren und Šu§eren Winkelhalbierenden, die wir mit den Gegenseiten schneiden. Die Apollonius-Kreise sind die Thaleskreise źber den durch die Winkelhalbierenden herausgeschnittenen Strecken.
Abb. 3: Apollonius-Kreise
Die drei Apollonius-Kreise haben zwei Schnittpunkte gemeinsam. Diese liegen auf der Lemoine-Geraden.
Abb. 4: Fźnfecke ansetzen
Wir setzen Fźnfecke an und schneiden die verlŠngerten DachschrŠgen. Die roten Geraden durch diese Schnittpunkte und die naheliegenden Dreiecksecken schneiden sich ein einem Punkt. Dieser Punkt liegt auf der Lemoine-Geraden.
Es geht analog mit beliebigen regelmЧigen n-Ecken mit n ł 4.
Abb. 5: Allgemein
Wir setzen beliebige, aber Šhnliche gleichschenklige Dreiecke auf. An der Spitze tragen wir auf beiden Seiten den gleichen Winkel ab und schneiden die entstehenden zweiten Winkelschenkel. Die roten Geraden durch diese Schnittpunkte und die naheliegenden Dreiecksecken schneiden sich ein einem Punkt. Dieser Punkt liegt auf der Lemoine-Geraden.
Wenn wir die Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke abtragen, ergibt sich der Lemoine-Punkt.
Wenn wir nach innen den halben Spitzenwinkel abtragen (also die Symmetrieachsen der gleichschenkligen Dreiecke nehmen), ergibt sich der Mittelsenkrechtenschnittpunkt, also der Mittelpunkt des Umkreises.
Die beiden definierenden Punkte der Lemoine-Geraden sind also in dieser Konstruktion enthalten.
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Hans Walser: Schnittpunkte 801-900