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Der Raum und das DIN-Format
Hans Walser
12. Januar 2015
Toeplitz-Kolloquium, Bonn
Zusammenfassung: Ausgehend von didaktischen und erkenntnistheoretischen Problemen der Raumgeometrie werden zunchst einige Modelle von Polyedern vorgestellt, welche aus Papier oder Karton im DIN-Format hergestellt werden knnen. Anschlie§end wird die Grundidee des DIN-Formates auf andere Figuren bertragen, wobei wiederum der Raum eine wichtige Rolle spielt.
Zum Verstndnis der didaktischen Schwierigkeiten in der Raumgeometrie ist es naheliegend sich zunchst das zweidimensionale Analogon vor Augen zu halten.
Die Geometrie in der Ebene ist nicht zweidimensional. Sie ist in den dreidimensionalen Raum eingebettet. Wir Menschen – Schler wie Lehrer – sehen aus der dritten Dimension auf die zweidimensionale Geometrie-Ebene hinunter. Die ebene Geometrie wird sozusagen aus der Feldherrenperspektive prsentiert. Ganz anders sah es der Landsknecht im Dreck oder der Fahrer eines Jagdpanzers durch seinen Sehschlitz.
In der Raumgeometrie ist die Situation grundstzlich anders. Wir leben selber im Raum. Wir stecken sozusagen mit dem Kopf in der Suppe, die wir auslffeln sollten. Um eine dreidimensionale Geometrie von derselben Qualitt wie die zweidimensionale Geometrie zu erhalten, mssten wir aus der vierten Dimension auf den dreidimensionalen Raum hinunterschauen knnen.
Unsere Probleme mit der dreidimensionalen Geometrie lassen sich illustrieren, indem wir uns die Situation von Leuten versetzen, welche in einer zweidimensionalen Welt leben. Also Leute aus Flatland (Abbott 1884, Burger 1978), Flachlnder oder Screenbewohner.
Die Schulwandtafel der Flachlnder ist eindimensional, die Flachlandlehrerin hat darauf eine recht bekannte Figur gezeichnet (Abb. 1a).
Abb. 1: Eine recht bekannte Figur
Wir erkennen die Figur erst in der Sicht aus der dritten Dimension (Abb. 1b). Ich frage mich, ob die Flachlnder den Satz des Pythagoras je erkannt haben, und wenn ja, wie sie ihn beweisen konnten.
Vielleicht wrden wir aus der 4d-Sicht auf die 3d-Raumgeometrie eine viel reichhaltigere Geometrie als die uns bekannte Raumgeometrie sehen. Das ist aber reine Spekulation und hnlich irrelevant wie die Frage ob es ein Leben nach dem Tod gibt oder ob das Licht im Khlschrank wirklich ausgeht wenn wir die Tr schlie§en.
Die Abbildung 2 zeigt ein scheinbar zweidimensionales Puzzle.
Abb. 2: Puzzle
Um das noch fehlende Puzzle-Teil rechts oben einzufgen, mssen wir es allerdings in die dritte Dimension anheben, in der Luft verschieben und etwas drehen und dann einsenken. Diese Operation ist fr Flachlnder nicht machbar. Sie knnen zwar durch Ausmessen feststellen, dass das Puzzleteil hineinpasst (statisch), aber sie knnen es nicht einpassen (dynamisch). Ein 2d-Puzzle funktioniert nur im 3d-Raum.
Die Abbildung 3 zeigt ein entsprechendes Beispiel im 3d-Raum (vgl. [1], S. 13 und (Maier, 1998, S. 25)).
Abb. 3: ãUnmglichesÒ 3d-Puzzle
Die fehlende Ecke passt zwar hinein, lsst sich aber nicht einpassen. Auf jeder Seitenflche des Wrfels bruchten wir eine Ausweichrichtung senkrecht zur jeweiligen Seitenflche. Dies ist simultan nur in der vierten Dimension mglich.
ãUnsereÒ 3d-Geometrie ist ein Abklatsch der 2d-Geometrie.
Wenn wir ein DIN A4 Papier lngs der kurzen Mittellinie falten, ergibt sich ein doppellagiges DIN A5 Papier (Abb. 4). Dieses hat nun dieselbe Form (hnlichkeit), also dieselben Seitenverhltnisse wie das DIN A4 Papier. Dies kann durch Anlegen an eine gemeinsame Diagonale nachgeprft werden.
Abb. 4: DIN A4 und DIN A5
Mit der Schmalseite 1 und der Langseite x fr das DIN A4 Rechteck erhalten wir aus der hnlichkeit:
Dieses Seitenverhltnis kann durch Falten nachgeprft werden (Abb. 5). Dabei bentzen wir den Sachverhalt, dass im Quadrat die Diagonalen-Lnge das der Seitenlnge ist.
Abb. 5: Kontrolle durch Falten
Zwei diametrale Wrfelkanten spannen ein Rechteck im DIN-Format auf. Daher knnen mit Papieren oder Karten im DIN-Format Wrfelmodelle gebaut werden.
Die Abbildung 6 zeigt ein Modell aus sechs A6-Karten. Schnittmuster und Bauanleitung siehe (Walser, 2009) und (Walser, 2013, S. 45f).
Abb. 6: Wrfelmodell aus sechs A6 Karten
Als Baumaterial dient Papier im DIN A6-Format. Geeignet ist dazu Papier der Strke 80 g/m2, das vom Format A4 auf A6 zugeschnitten wird.
Fr jede Kante braucht es ein Papier.
Fr den Faltprozess verwenden wir eine etwas festere A6-Karte als Faltlehre. Wir legen diese Faltlehre diagonal auf ein A6-Papier und falten die vorstehenden Ecken des darunterliegenden Papiers nach vorne ber die Faltlehre (Abb. 7a, 7b). Dann entfernen wir die Faltlehre. Der Umriss des Papiers ist nun ein Rhombus (Abb. 7c).
Abb. 7: Faltvorgang
Nun falten wir die untere Spitze des Rhombus nach hinten unter die obere Spitze (Abb. 7d). Diese letzte Faltlinie wird zu einer Kante des Wrfels. Was an dieser Kante noch vorsteht, kann zurckgebogen oder abgeschnitten werden. Damit haben wir unser Bauteil. Es hat die Form eines doppellagigen gleichschenkligen Dreiecks mit zwei Verbindungslaschen zum Einschieben in die Nachbarteile.
Die Abbildung 8 zeigt ein geffnetes Bauteil von innen. Die Spitzen der beiden Rhomben-Hlften mssen vor dem Zusammenbau des Modells noch aufeinander gelegt werden. Diese Spitzen kommen alle in den Mittelpunkt des Wrfels zu liegen. Die Seiten der Rhomben werden zu halben Raumdiagonalen des Wrfels.
Wir bentigen 12 Bauteile. Beginnend mit drei verschieden farbigen A4-Papieren, die wir zu A6-Papieren vierteln, erhalten wir drei Stze von je vier gleichfarbigen Bauteilen. Damit knnen wir den jeweils vier parallelen Wrfelkanten dieselbe Farbe zuordnen (Abb. 9).
Abb. 8: Bauteil
Und nun kommt das Interessante, der Zusammenbau (Abb. 9). Wir schieben jeweils eine Verbindungslasche zwischen die beiden gleichschenkligen Dreiecke des Nachbarbauteils. Dabei achten wir darauf, dass an jeder halben Raumdiagonale des Wrfels drei Bauteile in den drei verschiedenen Farben zusammen kommen. Parallele Wrfelkanten haben dieselbe Farbe.
Abb. 9: Kantenmodell des Wrfels
Es empfiehlt sich, den Zusammenbau schrittweise mit Broklammern zu fixieren. An jeder Ecke des Wrfels ergeben sich schlie§lich drei Broklammern.
Wenn alles sitzt, knnen die Broklammern schrittweise entfernt und durch eine Heftklammer mit dem Tacker ersetzt werden. Dabei hat man den Ehrgeiz die Klammern symmetrisch einzubringen.
Fr das Modell der Abbildung 9 wurden drei Farben verwendet und die Bauteile so angeordnet, dass parallele Kanten dieselbe Farbe haben. Wir knnen aber auch mit vier Farben arbeiten und die zugehrigen Kanten paarweise windschief einbauen. Dann sehen wir in jeder Seitenflche des Wrfels in eine Pyramide mit jeweils einer anderen zyklischen Anordnung der vier Farben. Im Wrfelmodell kommen genau diese sechs zyklischen Anordnungen vor.
Analog zum Kantenmodell des Wrfels kann ein Kantenmodell des Tetraeders gebaut werden (Abb. 10). Dazu mssen wir im Faltvorgang der Abbildung 7d lngs der langen Rhombendiagonalen falten. Wir bentigen sechs Bauteile.
Abb. 10: Kantenmodell des Tetraeders
Das DIN-Format ist flchenm§ig ans metrische System angebunden. Das DIN A0 Papier hat einen Flcheninhalt von einem Quadratmeter.
Wir knnen mit einem Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... ein A0-Rechteck ausschpfen (Abb. 11).
Abb. 11: Ausschpfung des A0-Rechteckes
Wenn wir die Mitten aufeinanderfolgender Rechtecke verbinden, ergibt sich eine Zickzack-Linie, welche in den Grenzpunkt rechts oben mndet.
Wir knnen das Set von Rechtecken A1, A2, A3, ... aber auch spiralfrmig gem§ Abbildung 12a anordnen.
Abb. 12: Spiralfrmige Anordnung. Drittel und Neuntel
Der Grenzpunkt ist ein ãDrittelpunktÒ (Abb. 12b). Dies kann wie folgt eingesehen werden: Wenn wir auf der Hhe des Grenzpunktes von rechts her einfahren, treffen wir nur Hochformat-Rechtecke, und zwar der Reihe nach A4, A8, A12, ... . Diese haben im Vergleich zum Startrechteck die Breiten , , , ... . Fr den Abstand vom rechten Rand erhalten wir somit die geometrische Reihe:
Ein violettes Rechteck der Abbildung 12b hat das Seitenverhltnis des DIN-Formates. Es bedeckt einen Neuntel des A0-Rechteks. Welchen DIN-Code hat es?
Dazu vergleichen wir mit den Flchenanteilen im DIN-System.
Wir sehen, dass unser violettes Rechteck zwischen A3 und A4 liegt, gefhlsm§ig nher an A3. Rechnerisch erhalten wir:
Jeder Punkt im Innern oder auf dem Rand des A0-Rechteckes kann Grenzpunkt werden. Dazu verwenden wir folgenden Algorithmus (ãDie Katze schleicht um den hei§en BreiÒ): Wir fllen das A0-Rechteck mit einem Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... so auf, dass der anvisierte Grenzpunkt nie ins Innere eines Set-Rechteckes gelangt. Die Abbildung 13 zeigt die ersten fnf Schritte und die Grenzfigur.
Abb. 13: Beliebiger Grenzpunkt
Natrlich wird der Algorithmus ambivalent, wenn der anvisierte Grenzpunkt auf den Rand eines Set-Rechteckes zu liegen kommt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die x-Koordinate und/oder die y-Koordinate modulo eine abbrechende Dualbruchentwicklung haben.
In diesem Fall entscheiden wir uns fr ãuntenÒ beziehungsweise ãlinksÒ. Dieser Entscheid ist von derselben Qualitt wie der Entscheid, ein Halbes im Dezimalsystem durch 0.5 und nicht durch 0.4999... darzustellen.
Die Abbildung 14 zeigt die Situation mit dem Grenzpunkt in der Mitte des A0-Rechtecks.
Abb.14: Grenzpunkt in der Mitte
Die Figur ist asymmetrisch, muss es sein, da bei einer Symmetrie im A0-Rechteck jedes Teil doppelt oder vierfach erscheinen msste.
Ein Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... ist abzhlbar (es ist ja bereits nummeriert). Es hat die Mchtigkeit . Da jeder Punkt eines Din A0-Rechteckes Grenzpunkt sein kann, haben wir fr diese Punkte nach unserem Algorithmus die Mchtigkeit , da es fr jedes Set-Rechteck zwei Positionsmglichkeiten gibt.
Abb. 15: Wilhelm Ostwald (1853-1932). Walter Porstmann (1886-1959)
Der Nobelpreistrger Wilhelm Ostwald (1853-1932, Nobelpreis fr Chemie 1909, Abb. 15a) entwickelte 1911 ein System von Papierformaten, das er als Weltformat bezeichnete (Ostwald 1911). Geometrische Grundlage ist das Rechteck mit dem Seitenverhltnis , also wie beim heutigen DIN-Rechteck. Das System wurde lngenm§ig auf das metrische System bezogen, indem das kleinste Rechteck (Weltformat I) die kurze Seite 1cm aufwies.
Der Ingenieur, Mathematiker und Normungstheoretiker Walter Porstmann (1886-1959, Abb. 15b) war zeitweise Assistent von Wilhelm Ostwald. Er engagierte sich fr ein System, das nicht lngenm§ig, sondern flchenm§ig mit dem metrischen System verbunden ist, also . So entstand das heute noch verwendete DIN-System.
Gibt es andere Figuren, die in zwei kongruente, zur Ausgangsfigur hnliche Teilfiguren zerlegbar sind?
Die Frage ist allgemein gehalten, es ist nicht von Halbieren die Rede, sondern nur von Zerlegen.
Wir knnen die DIN-Rechtecke zu Parallelogrammen verscheren (Abb. 16).
Abb. 16: Parallelogramme
Die Teilparallelogramme sind ungleichsinnig hnlich zum Startparallelogramm.
Das naheliegende Beispiel ist das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck (Abb. 17). Bei der einfachsten Zerlegung gibt es einen Grenzpunkt unten rechts.
Abb. 17: Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck
Es gibt im rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck ebenfalls eine spiralfrmige Anordnung (Abb. 18). Der Grenzpunkt fhrt zu Fnfteln.
Abb. 18: Spiralfrmige Anordnung
Die Figur kann auch aus einem halben Origami Papier durch fortlaufendes Falten erreicht werden (Abb. 19 und Abb. 20). Fr das Falten ist ein dreidimensionaler Raum erforderlich.
Abb. 19: Faltprozess
Abb. 20: Faltmodell
Die Thaleskreise der Teildreiecke verlaufen durch den Grenzpunkt, ebenso eine Auswahl von Seitenhalbierenden (Abb. 21).
Abb. 21: Thaleskreise. Seitenhalbierende
Wird ein Quader mit dem Kantenverhltnis halbiert, ergeben sich zwei Quader mit dem Kantenverhltnis . Diese sind hnlich zum ursprnglichen Quader.
Die Abbildung 22 zeigt eine Anordnung eines DIN-Quader-Sets analog zur klassischen Anordnung eines Sets von DIN-Rechtecken.
Abb. 22: Anordnung
Whrend bei Rechtecken nur zwischen Querformat und Hochformat unterschieden werden kann, brauchen wir hier drei Anaordnungsformate. Dazu dient das beigefgte Koordinatensystem. Der erste Quader hat seine lngsten Kanten in der x-Richtung, der zweite Quader hat seine lngsten Kante in der y-Richtung und der dritte Quader in der z-Richtung. Der vierte Quader hat seine lngsten Kanten wiederum in der x-Richtung.
Als Stimmungsbild (Abb. 23) reale DIN-Quader.
Abb. 23: DIN-Kisten
Die Quader der Abbildungen 22 und 23 sind in einer rumlichen Spirale wie bei einer Wasserschnecke angeordnet. Der Grenzpunkt ist das Zentrum der Spirale (Abb. 24).
Abb. 24: Rumliche Spirale
Gibt es analog zur Abbildung 12 eine Spirale mit dem Grenzpunkt im Innern?
Das Problem ist – einmal mehr – unsere Beschrnkung auf drei Dimensionen. Wir knnen nicht aus der vierten Dimension ins Innere der Kisten blicken. Daher berlegen wir zunchst, wie eine Flachlnderin die zweidimensionale spiralfrmige Anordnung der Abbildung 12 baut. Ihr Problem ist, dass sie nach Hinlegen der ersten vier Rechtecke entweder ausgeschlossen oder eingeschlossen ist.
Ideal wre, wenn sie im Zentrum beginnen und dann die Spirale darum herum wickeln knnte. Das geht aber nicht, da das Zentrum im Unendlichen ist.
Sie beginnt daher au§en mit den beiden ersten Rechtecken (Abb. 25). Dann legt sie das dritte und vierte Rechteck separat hin. Das fnfte und sechste Rechteck wird an die beiden ersten angefgt, das siebte und achte an das dritte und vierte und so weiter.
Abb. 25: Vorgehen der Flachlnderin
Schlie§lich werden die beiden Teilfiguren zusammengeschoben.
Die kleine Teilfigur ergibt sich aus der gro§en durch eine zentrische Streckung mit dem Faktor .
Analog knnen wir mit unseren Kisten vorgehen.
Zunchst legen wir die ersten drei Kisten hin gem§ Abbildung 26.
Die nchsten drei Kisten legen wir separat hin, aber im Vergleich zu den ersten drei Kisten in spiegelbildlicher Anordnung. Dann weiter wie in der Ebene. Die kleine Teilfigur mssen wir vor dem Einschieben noch auf den Kopf stellen.
Abb. 26: Vorgehen im dreidimensionalen Raum
Der Grenzpunkt ist wiederum ein ãDrittelpunktÒ.
Die spiegelbildliche Anordnung der beiden Teifiguren ist deshalb erforderlich, weil im Raum die zentrische Streckung mit dem Faktor eine orientierungsumkehrende Abbildung ist. Man kann das mit den realen Kisten der Abbildung 23 ausprobieren. Allgemein ist im Raum (im Unterschied zur Ebene) eine zentrische Streckung mit negativem Faktor orientierungsumkehrend. Man kann sich das am Sonderfall der Punktspiegelung (Faktor –1) leicht klarmachen: wir halten eine Kugel so mit beiden Hnden, dass entsprechende Finger (Daumen-Daumen etc.) diametral liegen (Abb. 27).
Abb. 27: Punktspiegelung im Raum
Die Punktspiegelung am Kugelmittelpunkt bildet die rechte Hand auf die linke Hand ab.
Es ist daher etwas fragwrdig, die Punktspiegelung im Raum als Analogon der Punktspiegelung in der Ebene zu bezeichnen.
Wir verbinden nun die Mittelpunkte aufeinanderfolgender Quader zu einer Zickzacklinie. Die Abbildung 28a zeigt dies in einer Phantomdarstellung, die Abbildung 28b in klassischer Manier mit Grund-, Auf- und Kreuzriss.
Abb. 28: Zickzackzocklinie
Eigentlich ist es eine Zickzackzocklinie.
Im vierdimensionalen Raum ergeben sich durch
oder in anderer Schreibweise
die Kanten zweier aufeinanderfolgender 4d-DIN-Hyperquader. George Plya (1887-1985, Abb. 29) htte in dieser Situation allerdings von einer Verallgemeinerung durch Verwsserung gesprochen.
Abb. 29: George Plya
Wir verwssern weiter zum 12d-DIN-Hyperquader.
Das haben wir zwar noch nie gesehen, aber schon gehrt. Es sind die Frequenzverhltnisse der Gleichtemperierte 12-Ton-Stimmung.
Und ihm trumte; und siehe, eine Leiter stand auf der Erde,
die rhrte mit der Spitze an den Himmel, und siehe,
die Engel Gottes stiegen daran auf und nieder.
Gen 28, 11
Die Abbildung 30a zeigt die ersten Sprossen der Jakobsleiter.
Abb. 30: Jakobsleiter
Auf der einen Seite der Leiter steigen die Engel hinauf, auf der anderen Seite hinunter. Damit sie sich nicht gegenseitig auf den F§en herumtreten, haben sie festgelegt, dass die aufsteigenden Engel nur die Sprossen mit ungeraden Nummern verwenden, die absteigenden nur die Sprossen mit geraden Nummern (Abb. 30b). Damit zerfllt die Jakobsleiter in zwei Teil-Jakobsleitern, die zur ursprnglichen Jakobsleiter hnlich sind (Abb. 30c und 30d). Wir haben also das Prinzip des DIN-Formates.
Der Reduktionsfaktor ist 2. Das Wort Reduktionsfaktor ist syntaktisch richtig, semantisch falsch, da Sprossenhhne nicht reduziert, sondern verdoppelt wird. Unter dem Aspekt eines Fraktals ergibt sich die Mandelbrot-Dimension D (fraktale Dimension):
Literatur
Abbott, Edwin A. (1884): Flatland. A Romance of Many Dimensions. London: Seeley.
Burger, Dyonis (1978): Silvestergesprche eines Sechsecks. Kln: Aulis. ISBN 3-7614-0085-3.
Maier, Peter Herbert (1998): Rumliches Vorstellungsvermgen – Unterschiede zwischen Mann und Frau? In Informationsbltter fr Darstellende Geometrie (IBDG) 1/1998. S. 23-31.
Ostwald, Wilhelm (1911): Die Weltformate fr Drucksachen. Ansbach: SeyboldÕs Buchhandlung.
Walser, Hans (2009): Steckmodelle. MU Der Mathematikunterricht. Polyeder im Mathematikunterricht. Jahrgang 55. Heft 1. Februar 2009. Friedrich Verlag, Seelze. S. 38-47.
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.
Internetseiten
[1] http://www.geotic.at/docs/GEODIKON-GDM-Saarbruecken-140912-de.pdf (abgerufen 21. 9. 2014)
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