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Hans Walser, [20210415]
Shrimps
Lage des Zentrums einer eckigen logarithmischen Spirale. Ortsbogen und Kreis des Apollonius. Ebene der komplexen Zahlen. Hšhensatz.
Wir starten im Ursprung und zeichnen die Strecke zum Punkt P0 mit den Koordinaten (1,0). Mit einer RichtungsŠnderung t und einem Verkźrzungsfaktor f < 1 hŠngen wir eine zweite Strecke P0P1 an (Abb. 1 fźr t = 45ˇ und f = 0.75).
Abb. 1: Start
Durch Iteration des Prozesses entsteht eine eckige logarithmische Spirale (Abb. 2).
Abb. 2: Spirale
Wir fragen nach dem Zentrum Z der Spirale.
Das Zentrum Z finden wir wie folgt (Abb. 3): Wir zeichnen zur Strecke OP0 einerseits den Ortsbogen fźr den Winkel t und andererseits den Kreis des Apollonius fźr das VerhŠltnis f. Der Schnittpunkt ist das gesuchte Zentrum Z.
Abb. 3: Zentrum
Begrźndung: Die eckige logarithmische Spirale hat eine Drehstrecksymmetrie. Wenn wir sie um das Zentrum Z um den Winkel t drehen und mit dem Faktor f strecken, kommt sie mit sich selber zur Deckung. Bei dieser Drehstreckung wird der Vektor v von Z nach O auf den Vektor w von Z nach P0 abgebildet. Daher haben diese beiden Vektoren den Zwischenwinkel t und das LŠngenverhŠltnis f. Der Zwischenwinkel t wird mit dem Ortsbogen, das LŠngenverhŠltnis f mit dem Kreis des Apollonius realisiert
Wir bezeichnen die Ecken der Spirale mit O, P0, P1, P2, P3, ... . Damit hat Pn die Koordinaten:
(1)
Fźr das Zentrum Z erhalten wir durch Grenzźbergang die Reihen:
(2)
Fźr die Reihen in (2) gilt:
(3)
Wir kšnnen die Formeln (3) verifizieren wie folgt. Wir setzen (3) in (2) ein und berechnen die Vektoren v und w. Mit einiger Rechnung stellen wir dann fest, dass diese beiden Vektoren tatsŠchlich den Zwischenwinkel t und das LŠngenverhŠltnis f haben.
Wir kšnnen (3) aber auch mit komplexen Zahlen direkt herleiten. Dazu setzen wir:
(4)
In der Ebene der komplexen Zahlen erhalten wir die Drehstreckung mit dem Drehwinkel t und dem Streckfaktor f durch eine Multiplikation mit q. Daher ist:
(5)
Fźr das Zentrum Z erhalten wir die geometrische Reihe:
(6)
Einsetzen von (4) in (6) ergibt:
(7)
Trennung in Real- und ImaginŠrteil liefert (3).
Die †berlegungen in der Ebene der komplexen Zahlen fźhren zu einer alternativen Konstruktion des Zentrums Z.
Aus (5) ergibt sich insbesondere:
(8)
Wenn wir also P1 am Punkt P0 spiegeln, erhalten wir Q1 = 1 – q (Abb. 4).
Abb. 4: Start der alternativen Konstruktion
Wegen (6) ist Z der komplexe Kehrwert von Q1. Den komplexen Kehrwert findet man durch Spiegeldung an der reellen Achse (x-Achse) und anschlie§ender Inversion am Einheitskreis. Es gibt dynamische Geometrie-Software mit einem direkten Button fźr die Kreisspiegelung. Wir zeigen ein schrittweises Vorgehen mit elementaren Mitteln (Abb. 5).
Abb. 5: Kreisspiegelung
Wir spiegeln Q1 an der y-Achse und erhalten den Bildpunkt Q2. (Wir hŠtten ebenso gut den Punkt Q1 zunŠchst an der x-Achse und anschlie§end am Koordinatennullpunkt O spiegeln kšnnen.) Das gesuchte Zentrum Z liegt auf der Geraden Q2O. Nun mźssen wir noch die LŠnge der Strecke Q2O invertieren. Dazu zeichnen wir die Normale zur Geraden Q2O durch O und schneiden diese mit dem Einheitskreis im Punkt N. Die Normale zu Q2N durch N scheidet die Gerade Q2O im gesuchten Punkt Z.
Begrźndung: Das rechtwinklige Dreieck Q2ZN hat die Hšhe 1. Daher sind die LŠngen der Strecken Q2O und OZ invers.
Diese Konstruktion der Kreisspiegelung hat gegenźber den źblichen Konstruktionen den Vorteil, dass sie unabhŠngig von der Lage des Ausgangspunktes innerhalb oder au§erhalb des Einheitskreises funktioniert.
Wir halten f konstant und variieren t zwischen 0ˇ und 360ˇ Das Zentrum Z bewegt sich auf dem Kreis des Apollonius fźr das VerhŠltnis f (Abb. 6 fźr f = 0.75).
Abb. 6: Variation der RichtungsŠnderung
Wir halten t fest und variieren f zwischen 0 und 1. Das Zentrum Z bewegt sich auf dem Ortsbogen fźr den Winkel t (Abb. 7 fźr t = 45ˇ).
Abb. 7: Variation des Verkźrzungsfaktors
Im Grenzfall f = 1 ergibt sich das regelmЧige Achteck.