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Hans Walser, [20191106]
Flche und Umfang
Idee und Anregung:
Myriam Hamich, Mosbach und Johann Bernhard Fischer von Erlach
Gebiete von gegebenem Flcheninhalt und Umfang
Zeichnen Sie alle mglichen Vielecke, die einen Flcheninhalt A = 14 und einen Umfang u = 24 aufweisen, und deren Eckpunkte rationale Koordinaten haben.
Bemerkung: Wegen den rationalen Koordinaten fr die Eckpunkte fllt die klassische Rechtecklsung mit und weg.
Es gibt beliebig viele Lsungen. Die Abbildung 1 zeigt exemplarisch drei Lsungen. Bei der dritten Lsung (Abb. 1c) wurde mit einem pythagoreischen Dreieck gearbeitet.
Abb. 1: Drei Lsungen
Die drei Lsungen haben (zufllig) alle eine ãStufeÒ (Abb. 2a). Dieses Wort ãStufeÒ ist metaphorisch zu verstehen, da wir es ja nicht mit einer richtigen Stiege zu tun haben.
Abb. 2: Stufen
Wir knnen die Stufe zu zwei halb so hohe Stufen verfeinern (Abb. 2b). In rot ist noch die alte Stufe eingezeichnet. Bei diesem Verfeinerungsprozess bleiben Lnge und Flcheninhalt unter der Stiege invariant. Wir knnen diesen Verfeinerungsprozess iterieren. Bei jeder Prozessstufe (das Wort ããStufeÒÒ) ist hier metametaphorisch zu verstehen) verdoppelt sich die Anzahl der ãStufenÒ unserer ãStiegeÒ.
Es gibt also beliebig viele Lsungen.
Damit gibt es unendlich viele Lsungen, denn eine endliche Anzahl von Lsungen wre im Widerspruch zur Beliebigkeit.
Die Abbildung 3 zeigt die Grenzlage.
Abb. 3: Grenzlage
Die Grenzlage sieht aus wie eine schrge Gerade mit der Lnge . In Wirklichkeit ist es eine ãStiegeÒ mit unendlich vielen ãStufenÒ. Die Lnge, waagerecht und senkrecht zusammengezhlt, ist 2.