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Pour ce premier billet maths de 2015, j’ai choisi un sujet à la fois très abordable, car ne nécessitant pas un gros bagage mathématique pour être compris, et relativement ludique dans son approche. Il s’agit d’une hypothèse plus connue sous le nom de conjecture de Gilbreath. Pour l’illustrer, voici un tableau avec des nombres et des couleurs. Sur la première ligne, on note la suite de tous les nombres premiers, ici jusqu’à 71 (soit les vingt premiers d'entre eux). Puis on calcule la différence entre chaque premier et celui qui le suit (en valeur absolue). On répertorie la valeur obtenue sur la seconde ligne. On répète l’opération ensuite pour chaque ligne, jusqu’à la fin du tableau. On remarque alors que la première colonne du tableau, juste en dessous du 2, ne contient que des 1. Et qu’aucun 1 n’apparaît d’ailleurs dans aucune autre case.
La conjecture de Gilbreath stipule qu’aussi loin qu’on répète l’opération, la première colonne ne contiendra toujours que des 1. Elle est à ce jour démontrée pour tous les nombres premiers inférieurs à 10 puissance 13.
Voici une autre disposition du tableau, peut-être plus aisée à lire, avec cette fois uniquement les onze premiers nombres premiers.
On y voit bien le résultat de chaque addition, sous chaque paire de nombres premiers et ainsi de suite. Les couleurs utilisées dans le premier tableau – violet pour les 1, blanc pour les 0 et jaune pour tous les autres nombres – permettent également d’amusantes spéculations. Les 0 sont donc ici en blanc et on remarque qu’ils forment des structures d’apparence triangulaires. Si on agrandit le tableau à une plus grande échelle – c’est-à-dire en prenant les 200 premiers nombres premiers -, la triangulation des 0 est confirmée, comme on peut le voir ci-dessous.
Un schéma qui évoque du reste les triangles de Sierpinski. La conjecture de Gilbreath a été formulée en 1958 par le mathématicien Norman J. Gilbreath. Elle semble pourtant avoir déjà été proposée par d’autres chercheurs au XIXe siècle, ce qui n’est pas illogique, car elle résulte finalement d’un travail d’observation auquel tout le monde ou presque pourrait se livrer. Qu’apporterait sa résolution ? Difficile à dire, mais sans doute pas une révolution en théorie des nombres.
Ultime remarque, on notera, dans la seconde ligne du tableau, qu’apparaissent tous les écarts successifs entre premiers. L’écart de 2 indique tous les jumeaux. L’écart de 4 tous les premiers dits cousins. Et l’écart de 6 tous les premiers dits sexy. Si ces valeurs se reproduisaient à l’infini, cela prouverait bien sûr que la conjecture des nombres premiers jumeaux (et cousins et sexy) est vraie.