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Hans Walser
Reuleaux-Zweiecke
Arbeitskreis Geometrie der GDM
9. - 11. September 2016, Saarbrźcken
Zusammenfassung: Analog zum Reuleaux-Dreieck, das sich in verschiedenen Positionen ins immer gleiche Quadrat einpassen lŠsst, gibt es Reuleaux-Zweiecke, die sich in ein gleichseitiges Dreieck einpassen lassen. Es werden zwei Beispiele vorgestellt sowie verschiedene Beweistechniken diskutiert: Rechnung, Einbinden in einen źbergeordneten Zusammenhang, Kinematik. Ein wichtiger Aspekt ist die Beschreibung von Kurven in verschiedenen zueinander bewegten Referenzsystemen. Schlie§lich wird eine Verallgemeinerung auf Reuleaux-Vierecke besprochen.
Das Reuleaux-Dreieck (Reuleaux, 1875, S. 131f) ist ein ăGleichdickŇ (Schźlerausdruck). Es hat in jeder Richtung den gleichen Durchmesser und lŠsst sich daher berźhrend in einen Streifen oder ein Quadrat einpassen.
Reuleaux-Dreieck im Streifen und im Quadrat
Reuleaux-Zweieck mit 60ˇ-Winkel
Wir kšnnen zwei der drei Bogen des Reuleaux-Dreiecks zu einem Reuleaux-Zweieck zusammenfźgen. Dieses Zweieck wurde von Honsberger (1973, S. 56-58) beschrieben.
Die folgende Abbildung zeigt dieses Reuleaux-Zweieck im gleichseitigen Dreieck in zwei speziellen und einer allgemeinen Lage.
Reuleaux-Zweieck im Dreieck
Das Reuleaux-Zweieck ist kein Gleichdick.
Es hat zwei Winkel von 60ˇ und kann daher die Ecken des Dreieckes gerade noch erreichen.
Wir beginnen mit dem Zweieck in der speziellen Lage mit horizontaler Sehne.
Startsituation und Verdrehung
Eine der fundamentalen Ideen in der Mathematik besteht darin, ein Problem in ein źbergeordnetes einzubinden, worin die Lšsung sofort sichtbar wird. Daher binden wir das Dreieck mit dem Zweieck in spezieller Lage in ein regelmЧiges Sechseck ein gemЧ Abbildung. Jedes Zweieck liegt in ăseinemŇ Dreieck.
Nun drehen wir den Zweieck-Kranz um den Sechseckmittelpunkt um einen beliebigen Winkel. Jedes Zweieck ragt jetzt teilweise in das Nachbardreieck.
Wir passen blaue gleichseitige Stźtzdreiecke ein. Nun kšnnen wir jedes einzelne Zweieck parallel zur berźhrten Sechseckseite um die SeitenlŠnge der blauen Stźtzdreiecke zurźckverschieben. Der Zweieck-Kranz wird aufgelšst.
Stźtzdreiecke und Zurźckschieben
Jedes Zweieck ist nun wieder in ăseinemŇ Dreieck, aber in allgemeiner Lage.
Die Abbildung zeigt das 120ˇ-Zweieck (Reuleaux, 1875, S. 120f).
120ˇ-Zweieck
Die folgenden Abbildungen zeigen die Einpassung ins gleichseitige Dreieck. Die Breite des Zweiecks und damit auch der Radius der Bšgen ist die halbe Dreieckshšhe.
Horizontale Lage
SchrŠge und senkrechte Lage
Wegen des 120ˇ-Winkels sind die Dreiecksecken nicht erreichbar.
Die Einpass-Eigenschaft kann mit einem Šhnlichen Beweis wie beim 60ˇ-Zweieck gezeigt werden.
Drei Geraden verlaufen in der Regel nicht durch denselben Punkt. Wenn sie das trotzdem tun, ist das bemerkenswert. Klassische Beispiele im Schulunterricht sind die drei Schwerlinien, die drei Winkelhalbierenden, die drei Mittelsenkrechten der Seiten oder die drei Hšhen eines beliebigen Dreiecks. Es gibt aber im Zusammenhang mit einem Dreieck noch viele andere Schnittunkte von drei Geraden, vgl. (Walser, 2012).
Wir nehmen nun eine allgemeine Lage des 120ˇ-Zweiecks im Dreieck und zeichnen in den Berźhrpunkten die Normalen auf die Dreiecksseiten.
Schnittpunkt. Ort der Schnittpunkte relativ zum Dreieck
Wir stellen fest, dass die drei Normalen durch denselben Punkt verlaufen. Fźr den Nachweis der Schnittpunkteigenschaft benštigen wir eine kinematische †berlegung, vgl. (Honsberger, 1973, S. 62) und (Reuleaux, 1875, S. 119). Wenn sich eine Figur, welche eine andere berźhrt, berźhrend rotativ bewegen lŠsst, muss das momentane Drehzentrum auf der Berźhrungsnormalen liegen. Daher mźssen in unserem Beispiel sŠmtliche drei Normalen durch denselben Punkt, eben das momentane Drehzentrum, verlaufen.
Das momentane Drehzentrum ist variabel, es bewegt sich sowohl relativ zum Dreieck wie auch relativ zum 120ˇ-Zweieck.
Relativ zum Dreieck bewegt es sich auf einem Reuleaux-Dreieck.
Relativ zum 120ˇ-Zweieck bewegt es sich auf einem 120ˇ-Zweieck.
Ort der Schnittpunkte relativ zum Zweieck
Im gleichseitigen Dreieck gibt es nur das 60ˇ-Zweieck und das 120ˇ-Zweieck so dass sie berźhrend gedreht werden kšnnen. Allenfalls kann man noch das 180ˇ-Zweieck, den Inkreis also, dazu nehmen.
Reuleaux-Zweiecke im gleichseitigen Dreieck
Wir beginnen mit einem beliebigen Rhombus der SeitenlŠnge 1 und einem Winkel .
Nun zeichnen wir zwei Zweiecke ein gemЧ Abbildung. Der Winkel des Rhombus źbertrŠgt sich (im Bogenma§) auf die SeitenlŠnge des Zweieckes.
Zwei Zweiecke
Die Schnittfigur der beiden Zweiecke ist ein Bogen-Viereck. Dieses Bogen-Viereck lŠsst sich ebenfalls auf verschiedene Arten in ein gleichseitiges Dreieck einpassen, so dass immer alle drei Dreiecksseiten berźhrt werden. Der Beweis lŠuft im Prinzip analog wie bei den Zweiecken.
Einpassen ins Dreieck
Und ebenfalls schneiden sich die Berźhrungspunkt-Normalen in einem Punkt. Dies ist der momentane Drehpunkt.
Wird das Bogen-Viereck im gleichseitigen Dreieck verdreht, bewegt sich der Schnittpunkt relativ zum Dreieck auf einer Kurve, welche dieselben Symmetrien hat wie das gleichseitige Dreieck.
Bewegung relativ zum Dreieck
Wenn wir das Bogen-Viereck festhalten und das Dreieck darum herum bewegen, ergibt sich fźr den Schnittpunkt eine Kurve mit den Symmetrien des Bogen-Vierecks (Kleinsche Vierergruppe).
Relativ zum Bogen-Viereck
Literatur
Honsberger, Ross (1973): Mathematical Gems. From Elementary Combinatorics, Number Theory, and Geometry. The Mathematical Association of America.
Reuleaux, Franz (1875): Lehrbuch der Kinematik. Erster Band: Theoretische Kinematik. Braunschweig: Vieweg. e-Version: https://ia700409.us.archive.org/29/items/lehrbuchderkine01reulgoog/lehrbuchderkine01reulgoog.pdf
Walser, Hans (2012): 99 Schnittpunkte. Beispiele – Bilder – Beweise. 2. Auflage. EAGLE, Edition am Gutenbergplatz: Leipzig. ISBN 978-3-937219-95-0
Websites
Abgerufen 2. Mai 2016
Delta-Bogenvielecke
Delta-Kurven-Umfang
Gleichdick
Gleichdick mit Kartoffeln
Gleichdick mit Zykloiden
Reuleaux-Dreiecke
Reuleaux-Dreieck, der Goldene Schnitt und das DIN-Format
Reuleaux-Dreieck, Tetraeder und Seifenblasen
Reuleaux-Dreieck-Triangulation
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Spiel mit Reuleaux-Dreiecken