Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/01211.jsonl.gz/1254

I frattali sono figure geometriche che ripetono la stessa struttura di base in un’ampia scala di ingrandimenti; in altri termini un frattale è un agglomerato di copie di se stesso in scale differenti. Queste entità erano già state studiate come “curve iterative” da Gaston Julia (1893-1978) negli anni Venti, ma fu il matematico Benoît Maldenbrot, francese di origine polacca, a coniare (nel 1975) il nome “frattale” (dalla radice latina “fractus”,nel senso di frattura o frazione) e a studiarne i possibili campi di applicazione. Da allora i frattali hanno avuto una diffusione notevole e sono stati identificati in numerose strutture, del regno minerale, vegetale e animale.
Molte piante hanno forme decisamente “autosimili”, sia nelle radici che nello sviluppo delle ramificazioni; dall’ingrandimento di una di queste parti si rileva la stessa configurazione più volte ripetuta[1]. Anche se tali strutture, nelle piante e nel corpo umano, hanno differenti funzioni, la loro costituzione frattale consente di comprimere nel minimo spazio grandi estensioni di superficie. Basti pensare, ad esempio, alle strutture bronchiali e alveolari dei polmoni che pur in volume limitato dispiegano, per sviluppo di superficie, uno spazio enorme: nell’uomo quasi la superficie di un campo da tennis.
Alla ricerca di una spiegazione logica, l’anatomista austriaco Rupert Riedl (1925-2005), teorico dell’evoluzione, ha rilevato come la natura proceda con il massimo di economia, riproponendo la sequenza genetica di codifica di una certa struttura per un numero “n” di volte; tali codici morfologici sono peraltro validi solo per le macro-strutture e non sono applicabili alle strutture microscopiche (cellule e organuli cellulari). In altri termini, i frattali del mondo reale non hanno una struttura complessa ad una qualsiasi scala di ingrandimento, ma solo a una grande varietà di scale. Il successo dei frattali negli anni Ottanta, in coincidenza con lo sviluppo delle tecniche di generazione delle immagini al computer, ha anche favorito lo sviluppo di un’arte grafica frattale, e perfino di una musica frattale.
Le spirali sono alla base del mondo vivente. Tutte le volte che c’è la necessità di esporre la maggior superficie esterna possibile, ma che al contempo si presenta un limite al volume totale di materia disponibile, oppure uno svantaggio all’aumento di peso, il processo evolutivo privilegia le forme frattali. Il nucleo cellulare è costituito da una lunga catena a spirale, il DNA, riportante l’intero codice genetico. Anche la forma di certi organismi può essere a spirale (come ad esempio quella dell’Ammonite, vissuto circa trecento milioni di anni fa; Archimede ne trasse spunto per scrivere addirittura un trattato: “Sulle Spirali”). Anche nella natura inanimata scopriamo spirali (molte galassie, ad esempio, sono a forma di spirale; inclusa la nostra: La Via Lattea)[2]. Ma la cosa più interessante, nel contesto che stiamo trattando, è che le spirali sono anche alla base dei frattali. Ci sono tre tipi comuni di spirali piane, la più importante delle quali, per quanto riguarda i frattali, è la spirale logaritmica. La spirale logaritmica può essere distinta dalla spirale archimedea dal fatto che le distanze fra i bracci di una spirale logaritmica aumentano secondo una progressione geometrica, mentre in una spirale archimedea queste distanze sono costanti.
La natura matematica del mondo biologico, assume forme particolarmente eleganti ed enigmatiche nel regno vegetale. Gli aspetti matematici delle piante sono stati riconosciuti da molto tempo. D’Arcy Thompson vide chiaramente che la strana numerologia del mondo vegetale ha implicazioni importanti per la biologia dello sviluppo delle piante. Grazie a ricerche contemporanee di dinamica, oggi si ha un’idea abbastanza chiara di che cosa sia implicato in tale biologia. Seguendo una tradizione ben stabilita, che ricondusse a Leonardo da Vinci (ma che ipotizzò potesse risalire ai tempi degli antichi egizi), Thompson osservò che il regno animale ha una curiosa preferenza per particolari numeri e per geometrie a spirale, e che in esso numeri e geometrie sono strettamente connessi. Si possono osservare spirali logaritmiche nella disposizione delle foglie di alcune piante, definita come fillotassi (un esempio sono l’ordinamento delle scaglie dell’ananas o la disposizione delle foglie dell’Aloe). I bracci dei cicloni tropicali, come gli uragani, formano spirali logaritmiche. In biologia, strutture approssimativamente simili alla spirale logaritmica si trovano facilmente nelle conchiglie di molti molluschi. Una cosa estremamente interessante, è che si possa costruire una spirale logaritmica approssimata con inclinazione di circa 17.03239 gradi, usando i numeri di Fibonacci[3] o il rapporto aureo[4]. Una spirale aurea, è una spirale logaritmica in cui il rapporto costante tra raggi consecutivi, è pari al numero aureo.
I numeri di Fibonacci si riscontrano un po’ ovunque in natura. In botanica ad esempio, i pistilli sulle corolle dei fiori spesso si dispongono secondo uno schema preciso formato da spirali il cui numero corrisponde ad uno della serie di Fibonacci. Di solito le spirali orientate in senso orario sono trentaquattro mentre quelle orientate in senso antiorario cinquantacinque (due numeri di Fibonacci); altre volte sono rispettivamente cinquantacinque e ottantanove, o ottantanove e centoquarantaquattro (si tratta sempre di numeri di Fibonacci consecutivi)[5]. I numeri di Fibonacci sono presenti anche nel numero di infiorescenze di ortaggi, come ad esempio il Broccolo romanesco. Le foglie delle piante sono disposte sui rami in modo tale da non coprirsi l’una con l’altra per permettere a ciascuna di esse di ricevere la luce del sole. Se prendiamo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e contiamo quante foglie ci sono fino a quella perfettamente allineata, spesso questo numero è un numero di Fibonacci e anche il numero di giri in senso orario o antiorario, che si compiono per raggiungere tale foglia allineata, dovrebbe essere un numero di Fibonacci. Il rapporto tra il numero di foglie e il numero di giri si chiama “rapporto fillotattico”.
La fillotassi è una branca della botanica preposta allo studio ed alla determinazione dell’ordine con cui le varie entità botaniche (foglie, fiori, etc.) vengono distribuite nello spazio, conferendo una struttura geometrica alle piante. Le spirali dei coni degli abeti furono studiate nella metà del Settecento da due matematici, Charles Bonnet e G.L. Calandrini. Un contributo importante alla teoria della fillotassi fu dato intorno al 1837 dal pioniere della cristallografia Auguste Bravais e dal fratello Louis, quando scoprirono la singola regolarità più importante nell’accrescimento di una pianta: un particolare angolo, che è universale nella geometria delle piante, ovvero l’angolo di divergenza (che è di circa 137,5 gradi). Per apprezzare il significato matematico di questo numero, consideriamo due numeri consecutivi nella successione di Fibonacci, come 34 e 55; formiamo la frazione corrispondente 34/55 e moltiplichiamola per 360°. Il risultato è di circa 222,5°. Ora, noi possiamo misurare gli angoli all’esterno o all’interno, e poiché 222,5° è maggiore di 180°, dovremmo sottrarlo a 360°; otteniamo così il misterioso angolo di 137,5°. Questo particolare angolo, viene anche chiamato: angolo aureo.
Nel 1907, Gerrit van Iterson calcolò quale disposizione si otterrebbe disegnando punti successivi su una spirale avvolta strettamente ad angoli di 137,5°. Egli mostrò che, a causa del modo in cui si allineano punti vicini, si ottengono due famiglie di spirali che si compenetrano: una che si avvolge in senso orario e l’altra in senso antiorario. In considerazione dello stretto rapporto esistente fra i numeri di Fibonacci e il numero aureo, i numeri delle spirali nelle due famiglie, sono numeri di Fibonacci consecutivi (quali numeri di Fibonacci essi siano, dipende da quanto sia stretta la spirale). Nel 1979, Helmut Vogel rappresentò i semi del capolino di un girasole con dischetti circolari uguali, e calcolò quale regola di distribuzione ad intervalli (supponendo un angolo di divergenza costante) avrebbe impaccato quei dischetti nel modo più compatto possibile. Gli esperimenti eseguiti al computer mostrarono che, se l’angolo di divergenza è minore di 137,5°, nel capolino appaiono dei vuoti, e si vede solo una famiglia di spirali.
Anche nel caso opposto, ossia se l’angolo di divergenza è maggiore di 137,5°, nel capolino appaiono dei vuoti, ma questa volta si osserva solo l’altra famiglia di spirali. L’angolo aureo risulta essere quindi l’unico angolo in corrispondenza del quale i semi si impaccano senza lasciare vuoti; e quando lo fanno si vedono simultaneamente entrambe le famiglie di spirali. Il matematico britannico Ian Stewart, nel suo libro “L’altro segreto della vita”, afferma che: “Se, su un mondo lontano, con un tipo di vita del tutto diverso (e una genetica non fondata sul DNA), avessero avuto origine organismi simili alle piante, con una forma di accrescimento basata sulle stesse linee generali, anche questi presenterebbero la numerologia di Fibonacci. I numeri di Fibonacci non sono accidentali, ma sono conseguenze della geometria universale, detta ‘cristallografia’ della struttura delle piante. In effetti le piante non possono evitare la numerologia di Fibonacci, nello stesso modo in cui i cristalli di sale non possono evitare di essere cubici”.
Nel regno animale, la conchiglia del Nautilus Pompilius ha una forma che richiama la spirale aurea. Il Nautilus è un mollusco diffuso principalmente nell’Oceano Pacifico occidentale e nell’Oceano Indiano. Nella struttura della conchiglia del Nautilus, si può riconoscere la presenza della sezione aurea. Gli archi successivi della spirale aurea riproducono la forma con cui il Nautilus, crescendo ingrandisce la propria conchiglia. Il rapporto tra una spira del Nautilus e quella successiva è uguale al rapporto tra due numeri successivi di Fibonacci, che è il numero aureo. Nel campo della geometria, se si disegna un rettangolo con i lati in rapporto aureo fra di loro, lo si può dividere in un quadrato e un altro rettangolo, simile a quello grande nel senso che anche i suoi lati stanno fra loro nel rapporto aureo. A questo punto il rettangolo minore può essere diviso in un quadrato e un rettangolo che ha pure i lati in rapporto aureo, e così via. La curva che passa per vertici consecutivi di questa successione di rettangoli è una spirale che troviamo spesso nelle conchiglie e nella disposizione dei semi del girasole e delle foglie su un ramo.
Note:
[1] Lindenmayer sviluppò un sistema algebrico per generare figure frattali simili alla struttura ramificata delle piante (una sorta di “grammatica della ramificazione”). Le sue idee sono oggi note come “sistemi di Lindenmayer” o, in breve, “L-Sistemi”. Esistono L-Sistemi probabilistici, come pure LSistemi deterministici e anche L-Sistemi sensibili al contesto, le cui “regole grammaticali” dipendono da vincoli contestuali. Gli L-Sistemi sensibili al contesto, possono costruire modelli molto convincenti di piante reali.
[2] I bracci delle galassie sono approssimativamente spirali logaritmiche. Si pensa che la nostra stessa galassia, la Via Lattea, abbia quattro bracci spirali principali, ciascuno dei quali è una spirale logaritmica con inclinazione di circa 12 gradi.
[3] La successione di Fibonacci è una sequenza numerica per cui, partendo da 0 ed 1 come primi due numeri, quelli successivi sono dati dalla somma dei due numeri precedenti. Questi sono di conseguenza i primi dieci numeri della sequenza di Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e 34. In matematica i numeri di Fibonacci sono legati in qualche modo alla sezione aurea, alla sequenza di Farey, alle frazioni continue, alla zeta di Fibonacci, alla zeta di Riemann, ai gruppi di Lie e in special modo ai frattali.
[4] La sezione aurea (o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina), nell’ambito delle arti figurative e della matematica, indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180. Il rapporto aureo, può essere approssimato, con crescente precisione, dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente collegato.
[5] La maggior parte delle eccezioni implicano o: a) il raddoppiamento di questi numeri (un “trucco” che è reso possibile da certe peculiarità dei cromosomi delle piante, ma che usa ancora la successione di Fibonacci); o b) la cosiddetta “successione anomala” 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, che presenta lo stesso meccanismo di addizione, ma comincia con numeri diversi.
Fausto Intilla, 27.10.2020