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Rapports de section
Pour terminer le Chapitre 7, on explique en 9 minutes trois constructions de rapports de section donnés respectivement par une section, un nombre réel, et finalement un nombre rationnel.
Les similitudes
La première vidéo définit la notion de similitude et ne dure que 5’20”. Elle concerne les pages 80-81 du fascicule.
Les homothéties
La deuxième vidéo introduit les homothéties et les propriétés élémentaires de ces nouvelles transformations du plan, en 12’30”. Ecrivez la démonstration, très courte, de la Proposition 2.2. Attention au quadrilatère A”B”C”D”, tracez les segments correctement (c’est-à-dire pas comme moi qui ai construit A”B”D”C” malheureusement).
L’effet d’une homothétie sur une droite
On montre ensuite que l’image d’une droite par une homothétie est encore une droite, confondue avec la droite de départ lorsqu’elle passe par le centre, parallèle sinon. En 10’30”. Cette preuve est à compléter à la page 84, sans oublier l’illustration.
Les homothéties sont des similitudes
Nous arrivons enfin à démontrer que les homothéties sont des similitudes! Cette vidéo dure 9’26”. Ajoutez les illustrations dans la marge de la preuve de la Proposition 2.4 à la page 86.
Classification des similitudes
Dans la dernière section nous démontrons le Théorème de classification des similitudes du plan, à recopier à la page 87 des fascicules. La vidéo dure 7 minutes et introduit aussi la notion de figures semblables.
Les trois cas de similitude
Nous finissons le chapitre avec les trois cas de similitudes des triangles qui suivent de près les cas d’isométrie. Le film dur presque 14 minutes et vous aidera à compléter les notes de cours aux pages 88-90.
Serie35 du 9 juin
Exercice 5. On demande de résoudre cet exercice géométriquement, mais comme nous l’avons vu en classe une solution algébrique est possible dès lors qu’on réalise que le centre D de cette homothétie se trouve sur la droite OI, sur la demi-droite d’extrémité I qui ne contient pas O. J’utilise la notation avec des valeurs absolues pour indiquer la distance entre deux points pour la suite.
En effet la première homothétie de centre O et de rapport 2 envoie D sur un point E tel que |OE| = 2|OD|, la seconde doit renvoyer E sur D mais son rapport étant 1/3 on a 3 |ID| = |IE|.
Or |OE| = |OI| + |IE| et |OD|=|OI| + |ID|. La première égalité devient alors
|OI| + |IE| = 2 (|OI| + |ID|)
Mais en remplaçant |IE| par 3 |ID| on arrive finalement à l’équation
|OI| + 3 |ID| = 2 |OI| + 2 |ID|
si bien que |ID| = |OI|. Le point D se trouve à la même distance de I que O. Ta construction géométrique est-elle précise?
Exercice 1. Pour ces constructions il sera utile d’appliquer notre stratégie de supposer que le problème est résolu, c’est-à-dire de faire un croquis de la figure à construire (une figure d’étude) et de se demander quelles informations on connaît et ce qu’on aimerait trouver pour pouvoir effectuer la construction. A vos feuilles de brouillon!
Exercice 6. Relis la marche à suivre du cours pour ce problème, attention à l’ordre des points!
Exercice 7. Relis la méthode de la dernière page de cours pour les rapports qui ne sont pas entiers. Souviens-toi aussi de ne pas aller trop vite et de ne pas croire qu’il suffit de couper un intervalle en 4 si le rapport de section vaut un quart…
Exercices de test. Je ne vous donne pas d’indication, il n’y en a pas eu non plus pour les élèves de ces tests!
Exercice +. On se demande si deux cercles sont toujours semblables. Deux figures géométriques sont semblables s’il existe une similitude qui transforme l’une en l’autre. Il s’agit donc de trouver une similitude qui permet de transformer un cercle donné en un autre cercle arbitraire.