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vignette|Exemple d'une surface à laquelle le théorème de Gauss-Bonnet peut être appliqué
En géométrie différentielle, la formule de Gauss-Bonnet est une propriété reliant la géométrie (au sens de la courbure de Gauss) et la topologie (au sens de la caractéristique d'Euler) des surfaces. Elle porte le nom des mathématiciens Carl Friedrich Gauss, qui avait conscience d'une version du théorème, mais ne la publia jamais, et Pierre Ossian Bonnet, qui en publia un cas particulier en 1848.
Énoncé
Interprétation et signification
D'après le théorème, la courbure de Gauss totale d'une surface fermée est égale à 2π fois la caractéristique d'Euler de la surface. Notons que pour une surface compacte orientable sans bord, la caractéristique d'Euler égale 2-2g, où g est le genre de la surface : une surface compacte orientable sans bord est topologiquement équivalente à une sphère avec des anses attachées, et g compte le nombre d'anses.