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Einheitswurzeln
Bevor wir eine allgemeine Gleichung vom Typ
lösen, suchen wir
zunächst die komplexen Lösungen der Gleichung
Dafür schreiben wir zunächst die Eins als komplexe Zahl
in Exponential- bzw.
Euler-Darstellung.
Es gilt für ganze Zahlen k∈ℤ
da die komplexe e-Funktion eiϕ periodisch in ϕ
mit Periode
2π ist.
Ist z = reiϕ
eine beliebige Lösung der Gleichung (2), so muss zunächst für ihren
(reellen) Betrag r≥ 0
gelten, und für eine ganez Zahl k∈ℤ muss das Argument ϕ
die Bedingung
erfüllen.
Daraus folgt also sofort r=1, d.h., die Lösungen
liegen alle auf dem Einheitskreis der Gaußschen Zahlenebene, und
ϕ = 2kπ/n.
Da ei2π = 1 können wir uns auf die Lösungen mit
0≤ ϕ < 2π beschränken. Wir erhalten also
Diese Lösungen heissen n-te Einheitswurzeln.
Man kann diese Lösungen grafisch relativ einfach bestimmen, indem man in
der Gaußschen Zahlenebene den Einheitskreis um den Nullpunkt abträgt, und
diesen dann in n gleiche Segmente teilt, so dass die 1 einer der
Teilungspunkte ist. Jeder solche Teilungspunkt ist dann eine Lösung.
In Abbildung ?? kann man sich dies
ansehen. Hat man z1 = ei2π/n bestimmt, so erhält man (grafisch)
die weiteren Lösungen durch verdoppeln des Arguments (Winkels) ϕ.
Man kann also die weiteren Lösungen mit dem Zirkel abtragen.
Allgemeine Wurzeln
Nun wollen wir die allgemeine Gleichung (1) untersuchen. Wir
versuchen zunächst, sie durch Umformungen auf die Gestalt (2) zu
bringen.
Wir gehen dafür in zwei Schritten vor. Zunächst ziehen wir eine n-te
Wurzel aus b. Ist etwa
so setzen wir
Dann ist z0n = b, und wir erhalten
Nun substituieren wir
und erhalten dadurch unsere Gleichung
in der Form (2). Wir erhalten also die Lösungen
Durch Rücksubstitution erhalten wir für k=0,…,n−1
Dadurch haben wir, falls b≠0 ist, n verscheidene Lösungen
gefunden. Da eine Gleichung n-ten Grades höchstens n verschiedene
Lösungen haben kann, haben wir also alle Lösungen gefunden. Dass wir mit
z0 eine willkürliche Lösung von z0n = b
gewählt haben, hat also keinen
Einfluss auf unser Ergebnis.
Man kann sich die Lösungen

zk = a +

|e

|, 0≤ k, < n
(3)
der Gleichung
immer mit dem angegebenen Rechenweg leicht herleiten. Die andere
Möglichkeit ist sich die Lösungsformel (3) zu merken. Diese ist
unter dem Namen Formel von DeMoivre bekannt.
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