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Dimension,
[* 2] Art und
Weise der
Ortsbestimmung
[* 3] im
Raum durch Abmessung, wird oft verwechselt mit
Richtung; es wird auch häufig
die Art und
Weise der
Ausdehnung,
[* 4] als
Länge,
Breite,
[* 5] Tiefe, damit bezeichnet. Man sagt, daß eine
Ortsbestimmung
n-
dimensional sei, wenn zu ihr n Abmessungen nötig und hinreichend sind. Die
Geometrie der
Linie ist ein
dimensional. Man denke
sich, von einem
Ort
(Punkt) A im
Raum ginge eine
Linie 1 aus. Eine »der
Hypothesen, welche der
Geometrie zu
Grunde liegen« (Habilitationsschrift
Riemanns, aus dem
Nachlaß veröffentlicht 1867), lautet: Jede
Linie können wir in Teile
zerlegt denken, innerhalb derer die
Richtung sich nicht ändert, d. h. in
Elemente, welche uns geradlinig erscheinen.
Die Summe dieser geradlinigen Teile auf eine und dieselbe Gerade gestreckt, gibt die Länge der Linie. Wir nehmen dabei an, daß, in welcher Weise wir auch die Teilung vornehmen, die Länge sich nicht ändert. Wir sprechen dies auch so aus: Jede Linie läßt sich, ohne zu zerreißen und ohne sich zu dehnen, geradlinig und somit auf jede andre gleicher Länge biegen. Durch Biegung ohne Dehnung (Deformation) wird die Krümmung, d. h. die Art und Weise der Richtungsänderung, beseitigt, während die Länge bleibt. Es treten als ausgezeichnete Linien hervor: die Gerade, deren Krümmung 0 ist, die Schraubenlinie und der Kreis, [* 6] deren Krümmung konstant ist, d.h. deren Richtung sich stets in derselben Weise ändert.
Die Teile dieser Linien sind wegen der Konstanz [* 7] der Krümmung frei auf den Linien selbst beweglich. Die Länge einer von A ausgehenden Linie AB ist demnach durch die Lage des Endpunktes B bestimmt, also die Länge abhängig von der Lage. Da für jeden Punkt C der zwischen A und B liegt, auch die Länge AC kleiner als die von AB ist, und für jeden Punkt D, der in der Fortsetzung der Linie über B hinaus liegt, auch die Länge AD größer als die von AB ist, so ist das Abhängigkeitsverhältnis umkehrbar, d. h. zu jeder bestimmten Länge gehört ein bestimmter Punkt B auf der Linie. Mißt man die Länge mit einer willkürlichen Maßstrecke e, so genügt die Angabe der Maßzahl X, um die Lage des Punktes B zu bestimmen. Die Bestimmung selbst geschieht durch Biegung ohne Dehnung oder durch fortgesetztes Probieren.
Bei den entsprechenden Betrachtungen für die Flächen folgen wir den »Disquisitiones generales circa superficies curvas« von Gauß, von denen Riemann ausgegangen ist. Wie jede Linie sich in geradlinige Elemente aufgelöst denken läßt, so muß sich, abgesehen von Ausnahmestellen, wie Spitzen etc., jede Fläche in Elemente gleicher Stellung oder ebene aufgelöst denken lassen, oder es müssen Tangentialebenen vorhanden sein. Der Auflösungsprozeß erfordert zu seiner Durchführung ein Dreiecksnetz, wie es die beistehende [* 1] Fig. 1 zeigt.
Wie man auf der Linie einen Punkt annimmt, so nimmt man auf der Fläche eine Linie q0 ^[q0] an. In diese schreibt man von einem festen Punkt 00 ^[00] einen Sehnenzug und denkt sich durch die Endpunkte der Sehnen 00 ^[00] 01 ^[01] etc. je eine Linie p auf der Fläche gezogen. In jede p-Linie schreibt man, von der q0 ^[q0]-Linie an gerechnet, einen Sehnenzug. Verbindet man auf je zwei benachbarten p-Linien die entsprechenden Endpunkte und je einen Punkt der einen mit dem folgenden der andern (s. Figur), so entsteht ein Dreiecksnetz zwischen je zwei aufeinander folgenden p-Linien, welches sich in eine Ebene ausbreiten läßt.
Indem man nun die Sehnenzüge sich mehr und mehr den p-Linien anschmiegen läßt, bis sie zuletzt in die p-Linien übergehen, so geht auch jedes solche Netz zuletzt in eine bestimmte ebene Fläche über, deren Größe von der Art des Überganges unabhängig ist. Geht dann schließlich der Sehnenzug in der q0 ^[q0]-Linie in die q0 ^[q0]-Linie über, so hat auch die Summe dieser Grenzen [* 8] wieder eine Grenze, das Feld oder der Flächeninhalt der betrachteten Fläche genannt.
Daß diese beiden
Grenzen existieren, sind wieder
Hypothesen, welche der
Geometrie zu
Grunde liegen, obwohl
sie
Riemann nicht ausdrücklich erwähnt. Die
Ortsbestimmung auf der
Fläche erfordert nur, daß angenommen werden darf, durch
jeden
Punkt der
Fläche ginge mindestens eine p-Linie. Sie bedarf dann zweier voneinander unabhängiger Abmessungen, einer
auf der q0 ^[q0]-Linie, welche die
Koordinate q liefert und eine der
p-Linien des zu bestimmenden
Punktes
gibt, und einer zweiten auf dieser p-Linie, der
Koordinate p, welche den
Punkt auf seiner
p-Linie bestimmt, und somit wird die
Fläche zwei
dimensional.
Als p-Linien bedient sich Gauß der kürzesten Linien auf der Fläche, d. h. der Linien, welche auf der Fläche gespannte Fäden bilden, und zwar derjenigen, welche in ihren Ausgangspunkten auf der q0 ^[q0]-Linie senkrecht stehen. Mittels weniger einfacher Betrachtungen zeigt er, daß jede Linie, welche die Punkte gleicher Koordinate p verbindet, alle p-Linien senkrecht durchschneidet. Man erhält so zugleich auf jeder Fläche ein System von auf den p-Linien senkrechten q-Linien, die Fläche wird so in unendlich kleine Rechtecke zerschnitten, welche, einzeln betrachtet, von einem gewöhnlichen ebenen Rechteck nur um einen unmerkbaren Bruchteil desselben verschieden sind. Als q0 ^[q0]-Linie wird zur Vereinfachung der Formeln auch ein Kreis mit unendlich kleinem Radius angewandt. Daß der Flächeninhalt, bezogen auf ein beliebiges Maßquadrat, nicht ausreicht, die Lage auf der Fläche zu bestimmen, folgt daraus, daß er von p und q abhängt
[* 1] ^[Abb: Fig. 1] ¶
mehr
und ein kleineres p durch ein größeres q ausgewogen werden kann und umgekehrt. Außerdem tritt noch ein zweiter sehr wesentlicher Unterschied zwischen Flächen und Linien hervor. Während der geradlinige Streckenzug sich in jeder Phase des Auflösungsprozesses strecken läßt, und somit auch die Linie selber, und deshalb jede Linie auf jeder andern abwickelbar ist, ist das Entsprechende für das Vielecksnetz der Flächen keineswegs der Fall. Bei der hier gegebenen Erzeugung läßt sich zwar jede von den Teilsummen zwischen zwei aufeinander folgenden p-Linien auf einer Ebene ausbreiten; aber es ist im allgemeinen nicht möglich, auch nur zwei benachbarte Elementarstreifen längs einer Linie zusammenhängend auf dieselbe Ebene zu biegen.
Keineswegs läßt sich daher jede Fläche auf jede andre biegen. Von bekannten Flächen lassen sich Kegel und Cylinder zur Ebene »deformieren«, für Kugel und Ellipsoid [* 10] ist dies unmöglich. Keine Flächt welche auf der Kugel abwickelbar ist, ist auf der Ebene abwickelbar, und umgekehrt. In der gegenseitigen Abwickelbarkeit ist also für die Flächen ein Einteilungsprinzip gewonnen, da, wie man sofort einsieht, eine kürzeste Linie auch nach der Deformation kürzeste Linie bleibt, daher auch ein unendlich kleines Dreieck [* 11] seine Form nicht ändert und somit alle Winkel [* 12] erhalten bleiben.
Die ganze Geometrie der aus kürzesten (oder geradesten) Linien gebildeten Figuren ist für die Flächen derselben Klasse dieselbe. Das Kennzeichen der Zusammengehörigkeit zweier Klassen besteht in der Übereinstimmung der sämtlichen von entsprechenden Punkten ausgehenden Linienelemente auf den Flächen, welche, da sie geradlinig gedacht werden müssen, auch zugleich die Elemente der von den betreffenden Punkten ausgehenden kürzesten Linien sind. Die Identität der Linienelemente zieht die Gleichheit des Gaußschen Krümmungsmaßes nach sich, ein Zusammenhang, der für Flächen konstanter Krümmung umkehrbar ist. Flächen konstanter und gleicher Krümmung lassen sich ineinander deformieren. Ausgezeichnet sind die Klassen der Ebene, Kugel (und, mit einer gewissen Einschränkung, der Pseudosphäre Beltramis), auf welcher die Flächenstücke frei verschiebbar sind.
Geht man auf den Raum und zunächst zum Körper über, so tritt an die Stelle der Linie q0 eine den Körper teilende Fläche Q0.
[* 9] ^[Abb. 2.]
Dieser Fläche Q0 werde eins ihrer Dreiecksnetze eingeschrieben [* 9] (Fig. 2). Durch jede Seite jedes dieser Dreiecke werde im Raum eine Fläche P gelegt, z. B. durch O2 O3, die Fläche P1. Diese Flächen schneiden sich in Linien, P2 und P3 z. B. in 11, den Linien werden von Q0 aus Sehnenzüge eingeschrieben, deren Endpunkte der Reihe nach
mit 11, 12, l3 2c., 21, 22, 23 2c. bezeichnet werden. Man verbinde dann 11, mit 01, 02, 03 zu einem Tetraeder (dreiseitige Pyramide), dann i2 mit O1, O2, O3 desgleichen, dann 13 mit 11, 12, 13 desgl., so entsteht ein von drei Tetraedern begrenzter, einfach zusammenhängender, prismaartiger Raum mit den sechs Ecken O1, O2, O3, i1, i2, i3. Indem man dann die Vordermarke 0 durch 1 und 1 durch 2 ersetzt 2c, erhält man einen Tetraederzug. Wir sehen, im Raum tritt an die Stelle des Dreiecknetzes ein Tetraedernetz.
Wie die Dreiecke mit der Vordermarke O schließlich die Fläche Q0 stetig erfüllen, so geben die mit der Marke s die Fläche
Qs, es bedarf einer besondern Abmessung, um die Fläche Qs zu bestimmen, auf der dann der besondere Punkt
bestimmt wird. Die Ortsbestimmung im Körper verlangt drei voneinander unabhängige Abmessungen, sie ist drei
dimensional. Es
ist nun von allen Hypothesen die uns geläufigste, daß wir Art und Weisen angeben können, bei denen drei solcher voneinander
unabhängiger Abmessungen genügen, um die Lage jedes Ortes im Raum zu bestimmen.
Die bei weitem gebräuchlichsten verdanken wir dem Licht [* 13] und der Schwere. Die durch das Auge [* 14] gegebenen heißen Polarkoordinaten, welche als Bestimmung eines Punktes auf der Erdoberfläche durch Erdradius, geographische Länge und Breite, hinlänglich bekannt sind. Als Grundeinheiten dienen dabei eine Strecke und zwei Bogen, [* 15] den Drehungen der Augen entsprechend. Der Schwere danken wir das rechtwinkelige dreiachsige Koordinatensystem, Länge, Breite, Tiefe oder Höhe.
Die Schwere gibt die Vertikalachse, da sie uns durch den Reiz, welchen sie auf unsre Nerven [* 16] übt, aufrecht zu gehen zwingt. Die Horizontalkoordinaten werden gegeben durch den Schnitt der Symmetrieebene längs des Nasenrückens mit der Ebene, aus der wir stehen, und durch den Schnitt der vertikalen Ebene der Drehpunkte unsrer Arme mit der Fußebene. Wir tragen somit unser dreiachsiges rechtwinkeliges Koordinatensystem beständig mit uns herum, und deshalb ist es uns so geläufig.
Die Vermittelung zwischen beiden Systemen bewirkt der Pythagoras. Es zeigt sich nun, daß Volum- und Ortsbestimmung
in unserm Raum sich außerordentlich einfach gestalten. Wie die Ebene als Fläche gleicher Stellung die nächst
dimensionale Stufe
der Geraden, der Linie gleicher Richtung, erscheint der Raum als nächst höhere Stufe der Ebene. Die Gerade fällt mit jedem ihr
eingeschriebenen Streckenzug zusammen, die Ebene mit jedem ihrer Dreiecksnetze, der Raum mit jedem seiner
Tetraederzüge.
Oder auch: die Gerade ist durch eine Strecke, die Ebene durch ein Dreieck, der Raum durch ein Tetraeder völlig bestimmt. In der
Geraden und der Ebene ist jeder Teil frei beweglich. Weil keine Krümmung vorhanden, d. h. keine Richtungsänderung,
so kehrt ein gleichmäßig verschobener Teil nie in seine Anfangslage zurück, worin der Hauptunterschied zwischen Gerader
und Ebene einerseits und Kreis und Kugel anderseits liegt. Ganz ebenso ist in »unserm« Raum jeder Teil frei beweglich, und auch
so, daß der gleichmäßig verschobene Körper nie wieder in seine Anfangslage zurückkehrt. Hier liegt
der Ausgangspunkt der mehr als drei
dimensionalen Geometrie Riemanns. Er erkannte scharf die besondern Beziehungen unsers Raumes
zur Geraden und Ebene, den besondern Linien und Flächen, und damit wurde derselbe nur zum ebenen Raum; der Gedanke einer Mannigfaltigkeit
von Räumen, ebenen und krummen, entsprechend der Fülle der Linien und Flächen, wurde möglich. Ganz besonders
nahe lag der kugelförmige Raum, da auch in diesem jeder Teil
¶
mehr
frei verschiebbar ist, nur daß er in seine Anfangslage zurückkehrt, wie ein im Innern unsrer Kugel mit gleichmäßiger Richtungsänderung
bewegter Körper. Wie die Fülle der Flächen nur in der Tiefe Platz hat, so bedarf eine Fülle von Räumen einer vierten
Dimension (das
Wort als Art und Weise der Ausdehnung gebraucht), innerhalb derer der einzelne Raum durch eine vierte Abmessung
bestimmt wird. Die Mehrheit vier
dimensionaler Räume macht eine fünfte nötig 2c. Die Aufstellung einer Mannigfaltigkeit von
n-
Dimensionen oder der »n-fach ausgedehnten Größe« wurde unvermeidlich.
Sieht man von einer gelegentlichen Äußerung von Gauß und von einer ebenso flüchtigen aus Kants Erstlingsschrift ab,
so ist der erste, welcher den Begriff der n-fachen Mannigfaltigkeit in voller Schärfe aufgestellt hat, nicht Riemann, sondern
der geniale H. Graßmann, dessen bereits 1844 erschienene Ausdehnungslehre »zum Schaden der Wissenschaft« 25 Jahre lang völlig
unbeachtet blieb. Erst die Gesamtausgabe von Riemanns Werken (1867) und die im Anschluß daran erfolgende
Veröffentlichung von Helmholtz in den »Heidelberger Jahrbüchern« und den »Göttinger Nachrichten« von 1868 lenkten die Aufmerksamkeit
der Mathematiker auf die n-
dimensionale Geometrie.
Besonders wichtig wurde in dieser Hinsicht der Vortrag von Helmholtz: Ȇber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen
Axiome«, von 1870. Helmholtz ist wohl der erste, welcher ernsthaft die Möglichkeit einer vier
dimensionalen
Anschauung erwogen hat. In seinem Vortrag zeigt er zuerst an dem Beispiel der Flächenwesen, welches Beispiel von Fechner herrührt,
wie wenig aus unsrer Unfahigkeit einer vier
dimensionalen Anschauung auf deren Unmöglichkeit an sich geschlossen werden kann.
Ein solches Wesen, das nur zwei
dimensionaler Anschauung fähig ist, würde nie imstande sein, die beiden
Hälften eines gleichschenkeligen Dreiecks zur Deckung zu bringen, der Unterschied zwischen Kongruenz und Symmetrie (der es uns
unmöglich macht, den rechten Handschuh auf die linke Hand
[* 18] zu ziehen) würde für dies Wesen schon auf der Fläche hervortreten.
Es würde nie begreifen können, wie etwas in einen geschlossenen Kreis hineinkommen könne 2c. Helmholtz
entwickelt dann genau die drei verschiedenen Geometrien, für welche die Kongruenz oder die freie Beweglichkeit der Teile bestehen
bleibt (s. Parallelenaxiom und »nichteuklidische Geometrie« unter Geometrie), zu denen diese Wesen je nach der Beschaffenheit
ihrer Fläche gelangen würden.
Ein Wesen, das in die Oberfläche eines Ellipsoids (Eifläche) gebannt wäre, müßte auch auf die Kongruenz
verzichten. Es tritt der Anteil, welchen die Erfahrung an der Geometrie hat, scharf hervor. Die Lücke, welche Helmholtz läßt
(er hat die Grundzüge der vier
dimensionalen Geometrie nicht entworfen), ist namentlich von den Italienern im letzten Jahrzehnt
ausgefüllt. Es macht nicht die geringste Schwierigkeit, sich eine zwar nicht notwendige, aber doch mögliche
Geometrie der ebenen Räume nn vier
dimensionalen Raum auszumalen. Die beiden wichtigsten Sätze lauten: Es können vier und nicht
mehr als vier Gerade gegenseitig aufeinander senkrecht stehen, und: Zwei Ebenen zweier (drei
dimensionaler) Räume können auch
nur einen Punkt gemein haben. Auf diesem Satz beruht die Möglichkeit kreuzender Ebenen, d. h. Ebenen, welche
weder parallel sind, noch sich schneiden, wodurch die Geometrie sehr wesentlich erweitert wird.