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Una cassa contiene diecimila monete. Una di queste è truccata, e lanciandola in aria esce sempre testa, mentre tutte le altre sono normali, con eguali probabilità per testa e croce.
Prendo una moneta a caso e la lancio otto volte, ottenendo sempre testa.
È ragionevole concludere che abbia trovato la moneta truccata? Più in generale, dopo quanti lanci è ragionevole pensare di avere in mano la moneta truccata?
La moneta truccata
Una cassa contiene diecimila monete. Una di queste è truccata, e lanciandola in aria esce sempre testa, mentre tutte le altre sono normali, con eguali probabilità per testa e croce.
16 commenti su “La moneta truccata”
Infiniti
definisci “ragionevole” (a quanto la dai? 10 a 1?) e ne riparliamo.
(nel caso in questione, la risposta è “no”, naturalmente)
@Marco Ferrari: Ho scritto “ragionevole”, non “certezza assoluta”.
@.mau. Direi che è ragionevole quando è più probabile che abbia in mano una moneta truccata e non una normale.
@Marco: ha detto “ragionevole”, non “certo”
allora la risposta è “quattordici lanci”.
@.mau. Ma non vale, tu sei un matematico! 🙂
Comunque, non trovi controintuitivo che dopo tredici lanci è comunque più ragionevole affermare di avere in mano una moneta normale?
(infatti il mio primo commento era stato volutamente laconico)
assolutamente sì: un esempio – diverso da quelli soliti – dei problemi che abbiamo quando si parla di probabilità condizionali.
Per la me la ragionevolezza e la certezza non sono proprio così lontane. Ma chi sono io per parlare di fonte a un matematico?
@Marco Ferrari: temo che la certezza si abbia solo provando tutte e diecimila le monete e cercando l’unica che non faccia uscire mai croce. Temo passeresti più giorni a lanciare monete…
Il mio ragionevole è estremamente basso: con quattordici lanci – i conti non sono corretti, ma io non sono un matematico – ci sono due probabilità su tre che abbia in mano la moneta truccata. È abbastanza? Dipende: se si tratta di mandare in galera qualcuno o di essere sicuro che la caramella che ho in mano non sia avvelenata, penso sia ragionevole pretendere venti o trenta lanci almeno!
Hai posto un problema matematico, e un matematico ti risponde! La difficoltà che la mente umana ha di cogliere i numeri molto grandi (per quanto piccoli come 10 000), e la protervia con cui ci attacchiamo al mondo delle nostre impressioni, ci rende fessi. Ricordo ancora quando ho dovuto convincere mio padre che i numeri ritardatari al Lotto non avevano più probabilità di verificarsi che gli altri numeri, impedendogli di giocare una “martinagala” sul numero ritardatario record del momento (una tecnica di gioco pericolosa in cui punti sempre di più per recuperare le precedenti perdite).
Questo enigma non ha nessuno spessore filosofico, ma se vuoi uno spunto filosofico, io personalmente trovo che sia affascinante come la mente umana sia stata ottimizzata per analizzare situazioni complesse, e che questa abilità sia il nostro “istinto”, ben al di là di ogni sistema matematico (se agli scacchi siamo stati superati, pensa al gioco del Go, in cui qualsiasi principiante può vincere contro la migliore macchina). Eppure ci sono semplici problemi matematici talmente distanti dal nostro istinto che ci mettono subito in crisi.
Alla fine, avrei detto “una ventina”, ma solo perché so dell’esistenza dei bias del sistema 1 (come fa notare Tomate)
In realtà, se dovessi dare retta alle sensazioni, dovrei ammettere che la convinzione di avere in mano la moneta tarocca incominca a concretizzarsi solo dopo cinque o sei lanci (numero che può cambiare, immagino, a seconda di cosa ho fatto poco prima dell’esperimento; se, per esempio, ho visto un film di Harry Potter o una puntata di SuperQuark).
@tomate: Nessuno spessore filosofico, dici? Non so: a me sembra interessante (anche filosoficamente) che non vada valutata solo la probabilità di un evento, ma anche delle alternative
La risposta è controintuitiva, ma anche il problema lo è. Si parte infatti del pregiudizio che la moneta sia buona: quando la prendo dalla cassa devo dire che è buona al 99,99% di probabilità, e i lanci successivi devono farmi cambiare idea. Se stessi giocando a soldi con un estraneo, probabilmente mi basterebbero tre lanci per sospettare una frode!
La domanda corretta è: dopo n lanci in cui è risultato testa, che probabilità c’è che abbia preso proprio la moneta truccata? E si risponde applicando il teorema di Bayes. Il risultato è 2 alla n diviso 2 alla n + 9.999.. E’ chiaro che se n è infinito, la probabilità diventa 1. Se n, ad esempio è 8, la probabilità è 0,0246, cioè più o meno 1 su 50.
@Galliolus: Non sono sicuro di aver capito il tuo appunto: perché il problema è controintuitivo? Perché parto dall’assunto che la moneta sia buona?
@Vincenzo Fano: La tua formulazione è sicuramente più precisa del mio “è ragionevole affermare”; tuttavia credo che sia più interessante la mia 😉
ribadisco: Bayes è la risposta “matematica”, ma non è la risposta pratica. Come suggerisce Ivo, in questi casi è molto meglio usare un approccio frequentista.