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Hans Walser, [20060329a]
Dudeney
Ernest Dudeney demonstrierte 1905 vor der Royal Society in London die Zerlegung des Quadrats und des gleichseitigen Dreiecks in drei Vierecke und ein Dreieck. Seine Zerlegung kann durch ein Gelenkmodell realisiert werden.
Analog wird die Zerlegung eines in Grenzen beliebigen Parallelogramms und eines beliebigen Dreiecks gezeigt. Insbesondere werden das DIN-Rechteck und das Goldene Rechteck bearbeitet.
Die Zerlegung wird durch die Farben angedeutet.
Die klassische Figur von Dudeney
Die folgende Figur zeigt den bergang vom Quadrat zum Dreieck in einem Gelenkmodell in mehreren Phasen. Das rote Dreieck, im Quadrat rechts unten, ist dabei immer in derselben Position festgehalten worden.
Gelenkmodell
Das Ausgangsquadrat habe die Seite 1, das gleichseitige Dreieck die Seite s. Wegen der Flchengleichheit der Figuren haben wir:
Ausgehend von der Lnge 1 der Quadratseite kann durch zweimalige Anwendung des Hhensatzes konstruiert werden; daraus erhalten wir durch Inversion am Einheitskreis . Die Seitenlnge s des Dreiecks kann also konstruiert werden.
Weiter verwenden wir die Bezeichnungen der folgenden Figur.
Bezeichnungen
Es gilt folgendes:
ist Mittelpunkt der Strecke AB; ist Mittelpunkt der Strecke CD.
Die drei spitzen Winkel bei Z messen je 60¡.
Die beiden Strecken und messen je ; das Dreieck ist gleichseitig mit der Seitenlnge . Dieses Dreieck ist also flchenm§ig ein Viertel des Zieldreieckes. Die Strecke misst ebenfalls .
Die Strecke ist parallel zur Strecke und gleich lang, nmlich .
Da s und damit konstruiert werden knnen, erhalten wir im Quadrat ABCD ausgehend von den Seitenmitten und die beiden Punkte beziehungsweise . Die Strecke knnen wir zum gleichseitigen Dreieck ergnzen. Damit haben wir alle relevanten Punkte der Figur von Dudeney.
Die Figur zeigt eine Nherungslsung im . Die Winkel bei Z messen nicht genau 60¡.
Nherungslsung im Raster
Diese berlegungen und das konstruktive Vorgehen knnen auf den Fall eines in Grenzen beliebigen Parallelogramms als Ausgangsfigur und eines beliebigen Dreiecks als Zielfigur bertragen werden.
Parallelogramm und Dreieck mssen flchengleich sein. Um das zu erreichen, formen wird jede der beiden Figuren in ein flchengleiches Quadrat um. Aus den Seitenlngen der beiden Quadrate knnen wir das Skalierungsverhltnis zur Flchenjustierung ablesen.
In der folgenden Figur wurde zunchst das violette Dreieck zum gelben Dreieck aufgeblasen, um es dem Parallelogramm links flchengleich zu machen.
Vom Parallelogramm zum Dreieck
Das Vorgehen orientiert sich am Sonderfall von Dudeney; wir bernehmen auch die entsprechenden Bezeichnungen. Das Parallelogramm ABCD soll zu einem Dreieck umgeformt werden, welches dieselbe Form wie das Dreieck PQR hat.
Bezeichnungen
Dazu zoomen wir zunchst dieses Dreieck zum Dreieck , so dass die Flcheninhalte bereinstimmen, Nun seien und Mittelpunkte der Strecken beziehungsweise ; das Dreieck misst also flchenm§ig ein Viertel des Parallelogramms ABCD.
Wir tragen nun vom Mittelpunkt der Seite CD eine der Seitenlngen des Dreieckes (in der Figur wurde die Seitenlnge verwendet) auf die Seite BC (oder DA) ab und erhalten den Punkt . Den Punkt konstruieren wir entsprechend. Den Punkt Z konstruieren wir so, dass das Dreieck kongruent zum Dreieck wird. Damit haben wir alle relevanten Punkte der Figur.
Wir sehen auch, dass wir in der Konstruktion Wahlmglichkeiten haben. Zu gegebenem Parallelogramm ABC und Zieldreieck PQR gibt es verschiedene Lsungen.
Die folgende Figurensequenz zeigt die Verwandlung eines Parallelogramms in ein Dreieck. Die Figur kann auch berdreht werden so dass sich die Einzelteile berlagern.
In der folgenden Bezeichnungsfigur ist der Mittelpunkt der Strecke ; die Strecke ist also eine Schwerlinie des Dreieckes .
Bezeichnungen
In dieser Bezeichnung muss gelten. Die folgende Figur zeigt die Grenzsituation fr den Fall der Gleichheit. Die Punkte Z, und fallen zusammen.
Grenzfall
Innerhalb dieses Grenzfalles muss weiter gelten. Die folgende Figur zeigt den Grenzfall .
Grenzfall im Grenzfall
Im Folgenden werden als Sonderflle Rechtecke mit den Seitenlngen a und b gewhlt. Diese sollen jeweils in ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlnge s umgewandelt werden. Dabei wird analog zur Bezeichnung beim Quadrat angenommen, dass die Seite vertikal und die Seite horizontal auf dem Zeichenpapier liegt. Fr die Seitenlnge s des Zieldreieckes gilt .
Hochformat und Querformat des Ausgangsrechteckes fhren jeweils zu unterschiedlichen Zerlegungen.
Das Ausgangsrechteck hat das Seitenverhltnis .
DIN-Format
Im Goldenen Rechteck stehen die Rechtecksseiten im Verhltnis des Goldenen Schnittes, also .
Goldenes Rechteck
Die folgende Figur zeigt eine Ma§skizze fr das Goldene Rechteck im Querformat.
Ma§skizze
Das goldene Rechteck ist offenbar schon nahe bei einem Grenzfall.
Im Grenzfall hat das Rechteck das Seitenverhltnis . Im Grenzfall unterscheiden sich die beiden auf Hoch- beziehungsweise Querformat beruhenden Zerlegungen nur noch in der Farbe und der Anordnung.
Grenzfall