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Hans Walser, [20090626a]
Kehrzahl aus Gelenkmodell
Wir untersuchen ein Gelenkmodell, das zu einer Zahl deren Kehrzahl liefert. Es entstehen Trapeze, insbesondere das goldene Trapez, welches die Zahlen , sowie in der Form des goldenen Schnittes enthlt.
Das Gelenkmodell besteht aus je zwei Stben der Lnge eins und , die wechselseitig an den Enden gelenkig verbunden sind. Damit knnen ein Rechteck im DIN-Format gebildet werden, oder Parallelogramme mit dem Seitenverhltnis .
DIN-Rechteck und Parallelogramm
Wir knnen die Stbe der Lnge aber auch berkreuzen. So knnen wir als Sonderfall das Quadrat bilden oder allgemein ein gleichschenkliges Trapez.
Quadrat und Trapez
Damit das Modell beweglich bleibt, darf die berkreuzungsstelle nicht fixiert werden.
Wir werden nun diese gleichschenkligen Trapeze untersuchen.
Das Gelenkmodell
Wir fragen zunchst, wie sich die Lngen der beiden Parallelseiten des gleichschenkligen Trapezes zueinander verhalten.
Parallelseiten
Gesucht ist also die Funktion .
Wir zeichnen die Symmetrieachse des Trapezes sowie eine Hhe gem§ Figur ein.
Symmetrieachse und Hhe
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
Daraus erhalten wir:
Somit ist y die Kehrzahl von. Die durch das Gert definiert Funktion hat den Definitionsbereich .
Der Sonderfall des Quadrates wurde schon erwhnt. Das Quadrat hat den kleinsten Umfang und die gr§te Flche im Vergleich zu den anderen Trapezen.
Allgemein hat das Trapez den Umfang:
Diese Funktion hat ihr Minimum bei .
Fr den Flcheninhalt verwenden wir den Schnittwinkel zwischen den Diagonalen. Der Flcheninhalt eines Viereckes ist allgemein die Hlfte des Produktes der beiden Diagonalen mit dem Sinus des Zwischenwinkels. In unserem Fall wird:
Das Maximum ist fr , also fr das Quadrat.
Fr ist (goldener Schnitt); wir erhalten das so genannte goldene Trapez.
Goldenes Trapez
Wegen erhalten wir fr das goldene Trapez die Hhe:
Das ist die Hhe im regulren Einheitsdreieck. Wir knnen dieses geeignet ins goldene Trapez einpassen. Das goldene Trapez hat also die Basiswinkel 60¡.
Ma§e und Winkel im goldenen Trapez
Das goldene Trapez ist wohl die einfachste Figur, welche , und enthlt. Dies ist umso verblffender, als vor allem in der Geometrie des Quadrates auftritt, in der Geometrie des regulren Dreieckes und in der Form des goldenen Schnittes in der Geometrie des regulren Fnfeckes. Diese Figuren ãbei§enÒ sich aber. Dreieck und Fnfeck lassen sich nicht in den Quadratraster einfgen, und Quadrat und Fnfeck lassen sich nicht in den Dreiecksraster einfgen.
Wir whlen die Lngen der Stbe b und c mit . Damit knnen wir als Sonderfall ein Rechteck mit den Seiten a und b mit bilden.
Fr das gleichschenklige Trapez fragen wir nach dem Zusammenhang der Lngen der beiden Parallelseiten.
Verallgemeinerung
Nach Einfhren der Hhe h gilt:
Daraus erhalten wir:
Im Prinzip wieder eine Kehrwertfunktion.