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Hans Walser, [20100221b]
Zykloide
Wir gehen aus von der Parameterdarstellung:
Zykloide
Der Einheitskreis rollt auf der Geraden im positiven Drehsinn hinauf. Die Zykloide ist symmetrisch zur x-Achse gezeichnet.
Aus der Parameterdarstellung erhalten wir:
Im Definitionsbereich knnen die Betragsstriche weggelassen werden. Fr die Bogenlnge s ergibt sich:
Fr den Definitionsbereich ergibt sich der Wertebereich .
Kurvenlnge
Wir sehen, dass der Zykloidenbogen die Lnge 8 hat.
Wir parametrisieren die Zykloide mit der eigenen Bogenlnge. Aus erhalten wir:
Eingesetzt in die Parameterdarstellung ergibt die Parameterdarstellung im natrlichen Parameter s:
In natrlichen Parametern lassen sich Richtung und Krmmung sehr einfach berechnen.
Fr die Ableitung nach s verwenden wir das Strich-Symbol.
Daraus ergibt sich , was den natrlichen Parameter charakterisiert.
Fr den Richtungswinkel der Zykloide ergibt sich aus dem Tangentialvektor :
Der Richtungswinkel dreht von 0 auf ¹, was sich ja auch aus der Zykloidenfigur ergibt.
Richtungswinkel
Aus und ergibt sich:
Die Krmmung ist die Richtungsnderung relativ zum Kurvenfortschritt, also:
Andererseits ist:
Daraus ergibt sich:
Das ist offensichtlich die Krmmung. Allgemein ist bei natrlichen Parametern . In unserem Beispiel ist die Krmmung positiv.
Die Zykloide ist selber eine Radlinie. Wir lassen nun zustzlich auf der Zykloide ein Rad mit dem Radius oder einem Bruchteil davon abrollen. Der Radius ist so gewhlt, dass es ãaufgehtÒ.
Wir whlen . Das Rad macht einen Umlauf, es gibt einen Bogen.
Es sei der um gedrehte Vektor , also:
Dieser Vektor weist auf die linke Seite der Zykloide. Somit beschreibt den Weg des Mittelpunktes des auf der rechten Seite der Zykloide abrollenden Rades. Um den Weg eines Punktes auf der Peripherie des Rades zu verfolgen, brauchen wir noch den Drehwinkel des Rades. Bei Abrollen auf einer Geraden ist , wobei eine additive Justierkonstante ist. Bei Abrollen auf einer gekrmmten Kurve kommt aber noch die Krmmung, also die Vernderung der Kurvenrichtung dazu:
Am Anfang, also bei , muss der Drehwinkel sein, wenn wir den Weg des anfnglichen Berhrungspunktes des Rades mit der Zykloide als Radlinie haben mchten. Daraus ergibt sich.
Somit ist:
Somit erhalten wir fr die Radlinie die Parameterdarstellung im Parameter s:
Radlinie rechts auf der Zykloide
Der Parameter s ist aber nicht die Bogenlnge der Radlinie. Diese ist ja lnger als die Zykloide. Numerisch ergibt sich:
Leider konnte meine Software das Lngenintegral nicht exakt lsen.
Wir whlen , es gibt also m Bogen. Die Abbildung zeigt den Fall .
Sechs Bogen
Die einzelnen Bgen sind unterschiedlich lang:
Bogenlnge rechts [1] = 1.87939424
Bogenlnge rechts [2] = 1.802403437
Bogenlnge rechts [3] = 1.789264826
Bogenlnge rechts [4] = 1.789264826
Bogenlnge rechts [5] = 1.802403437
Bogenlnge rechts [6] = 1.87939424
Fr die Gesamtlnge erhalten wir:
Summe der Bogenlngen rechts = 10.94212501 = 68.75139907/(2*PI)
Fr erhalten wir:
Summe der Bogenlngen rechts = 10.23547712 = 64.31139947/(2*PI)
Fr ergibt sich:
Summe der Bogenlngen rechts = 10.19096602 = 64.03172794/(2*PI)
Vermutlich gilt:
Analog knnen wir fr Radlinien links vorgehen. Das Rad dreht nun im negativen Drehsinn.
Wir whlen wiederum . Es ist:
Die Abbildung zeigt beide Radlinien.
Beide Radlinien auf der Zykloide
Numerisch ergibt sich:
So weit so gut. Die Sache hat allerdings einen Haken. Die Zykloidenkrmmung
wird fr beliebig gro§, das hei§t, dass die Zykloide gegen die Enden zu beliebig stark gekrmmt ist und sicher einmal strker als der abrollende Kreis. Auf der linken Seite der Zykloide kann also der abrollende Kreis die Zykloide nicht ganz ausfahren. Man muss sich da von der mechanischen Vorstellung des Abrollens lsen.
Wir whlen , es gibt also m Bogen. Die Abbildung zeigt den Fall mit den Bogen links und rechts.
Sechs Bogen links und rechts
Die einzelnen Bgen links sind unterschiedlich lang:
Bogenlnge links [1] = 1.515961025
Bogenlnge links [2] = 1.592902016
Bogenlnge links [3] = 1.606040627
Bogenlnge links [4] = 1.606040627
Bogenlnge links [5] = 1.592902016
Bogenlnge links [6] = 1.515961025
Fr die Gesamtlnge erhalten wir:
Summe der Bogenlngen links = 9.429807335 = 59.2492269/(2*PI)
Fr erhalten wir:
Summe der Bogenlngen links = 10.13635562 = 63.68860067/(2*PI)
Fr ergibt sich:
Summe der Bogenlngen links = 10.1808667 = 63.96827206/(2*PI)
Vermutlich gilt auch links: