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Simulation des comportements de croissance limitée, de déclin exponentiel, de courbe en S et d’oscillations non harmoniques.
par Bernard Vuilleumier
Les comportements génériques du type « croissance ou déclin exponentiel », « croissance limitée », « courbe logistique » ainsi que les oscillations se rencontrent dans de très nombreuses situations. Ces comportements peuvent être simulés à l’aide de modèles simples.
Objectifs de l’activité
– Identifier, à partir de brèves descriptions, des grandeurs pertinentes.
– Proposer une représentation des grandeurs et phénomènes retenus.
– Lire et interpréter des graphiques.
– Formuler des hypothèses.
– Construire un modèle.
– Effectuer des simulations.
Observations
- La propagation d’une rumeur est d’autant plus rapide que le nombre de personnes la connaissant est faible.
- Une tasse de thé se refroidit d’autant plus vite que l’écart entre sa température et la température ambiante est grand.
- Un condensateur se décharge d’autant moins rapidement que la charge qu’il accumule diminue.
- Les rentrées d’intérêts sont proportionnelles au capital
- L’occupation d’une « niche écologique » de capacité limitée est d’autant plus rapide que le nombre d’individus la peuplant est faible.
Schématisation
– Identifiez et nommez pour chacune des observations, les grandeurs que vous jugez pertinentes pour construire un modèle.
– Représentez, par un symbole adéquat, chacune des grandeurs retenues.
– Indiquez par des liens les relations qu’entretiennent ces grandeurs.
Modélisation
– Attribuez des valeurs et définissez les relations permettant d’obtenir les comportements suivants (avec les mêmes étendues pour les axes) :
2. Refroidissement d’une tasse de thé
5. Occupation d’une niche écologique [1]
6. Amplitude et période d’oscillation d’un pendule
Déterminez, à l’aide d’une simulation, la période d’un pendule de longueur l=1 m et dont la vitesse initiale est nulle, pour les amplitudes initiales suivantes :
|Amplitude en °||Période T en s|
N. B. Pour tous vos modèles, vous donnerez les équations ainsi que les conditions de la simulation (durée, pas et méthode d’intégration).