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Hans Walser, [20150919]
Kegelschnitte im Dreieck
Zu einem Dreieck studieren wir Kegelschnitte, welche zwei der drei Dreiecksecken als Brennpunkte haben und durch die dritte Ecke verlaufen.
Es entstehen interessante Schnittpunkte.
Ebenso erhalten wir die Berhrungspunkte des Inkreises und der Ankreise mit den Dreiecksseiten.
Zu einem Dreieck ABC zeichnen wir die Hyperbel, welche A und B als Brennpunkte hat und durch die Ecke C verluft (Abb. 1).
Abb. 1: Hyperbel
Nun wiederholen wir das Verfahren entsprechend fr die Brennpunkte B und C sowie C und A (Abb. 2).
Abb. 2: Drei Hyperbeln
Wir stellen fest, dass die drei durch die Dreiecksecken verlaufenden Hyperbelste einen Punkt S gemeinsam haben. Die drei anderen Hyperbelste haben ebenfalls einen Punkt gemeinsam (T).
Beweis fr S:
Blauer Hyperbelast: (1)
Roter Hyperbelast: (2)
Grner Hyperbelast: (3)
Wir schneiden den blauen Hyperbelast mit dem roten Hyperbelast und nennen den Schnittpunkt S. Wegen (1) und (2) gilt:
(4)
Subtraktion der beiden Gleichungen liefert:
(5)
Damit erfllt S die Gleichung (3) und liegt daher auch auf dem grnen Hyperbelast.
Fr T geht der Beweis analog.
Die geometrische Bedeutung der beiden Schnittpunkte S und T wird im Abschnitt 6 besprochen.
Wir nehmen nun nur die drei durch die Ecken verlaufenden Hyperbelste und schneiden sie mit der Gegenseite des Dreiecks (Abb. 3).
Wir stellen fest, dass diese drei Punkte , und die Berhrungspunkte des Inkreises mit den Dreiecksseiten sind.
Abb. 3: Inkreis
Beweis: Wir fhren die in der Dreiecksgeometrie bliche Abkrzung s als halben Umfang ein:
(6)
Da auf dem blauen Hyperbelast liegt, gilt nach (1):
(7)
Andererseits gilt:
(8)
Addition von (7) und (8) liefert:
(9)
Das ist aber genau der Tangentenabschnitt zum Inkreis. Analog fr die brigen Tangentenabschnitte.
Wir nehmen nun den zweiten, nicht durch die Ecke A verlaufenden Ast der roten Hyperbel (Abb. 4) und weiter die Ellipse (blau) mit den Brennpunkten A und B durch C sowie die Ellipse (grn) mit den Brennpunkten C und A durch B und erhalten so die Berhrungspunkte des Ankreises an die Seite a sowie zwei Schnittpunkte der drei Kegelschnitte.
Abb. 4: Ankreis und weitere Schnittpunkte
Die brigen Ankreise entsprechend.
Die Abbildung 5 gibt die integrale Figur.
Abb. 5: Integrale Figur
Da die beiden von einer Dreiecksecke ausgehenden Tangentenabschnitte an den Inkreis gleich lang sind, knnen wir die Abbildung 3 mit drei sich berhrenden Kreisen ergnzen, welchen die Dreiecksecken als Zentren haben (hellblau in Abb. 6).
Abb. 6: Drei Kreise
Der Schnittpunkt S ist das Zentrum des Kreises, der diese drei hellblauen Kreise von au§en berhrt.
Beweis: Das Zentrum eines jeden Kreises, der die beiden hellblauen Kreise um A und um B von au§en berhrt, liegt auf dem blauen Hyperbelast. Dies folgt aus der Abstandsdefinition der Hyperbel. Entsprechend ist das Zentrum eines jeden Kreises, der die beiden hellblauen Kreise um B und um C von au§en berhrt, auf dem roten Hyperbelast. Daher hat der Kreis, der alle drei hellblauen Kreise von au§en berhrt, auf dem Schnittpunkt der Hyperbelste.
Entsprechend ist T das Zentrum des Kreises, der die drei hellblauen Kreise umschlie§en berhrt (Abb. 7).
Abb. 7: Umschlie§ende Berhrung
Die Abbildung 8 zeigt die entsprechende Situation fr den Fall eines Ankreises (vgl. Abb. 4). Die Kreise berhren teilweise von au§en und teilweise von innen.
Abb. 8: Situation beim Ankreis
Wir starten mit einem beliebigen Bogen mit dem Zentrum in einer Dreiecksecke und fahren weiter gem§ Abbildung 9. Nach sechs Schritten schlie§t sich die Figur.
Abb. 9: Schlie§ungsfigur
In der Mitte haben wir ein Bogendreieck.
Wenn wir den ersten Bogen durch den Schnittpunkt S legen, verschwindet dieses Bogendreieck. Wir erhalten eine Tropfenfigur um den Punkt S (Abb. 10). Der Kreis, der diese Figur umschlie§t, hat sein Zentrum in T.
Abb. 10: Drei Tropfen