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L’axiomatique est un concept essentiel de la pensée deleuzienne, en ceci qu’elle permet de confronter divers milieux hétérogènes de manière non métaphorique et sans nécessité d’homogénéisation formelle. L’axiomatique s’oppose à la formalisation logique et se caractérise par la mise en rapport d’éléments non qualifiés ainsi que par ses modèles de réalisation, mais cela ne va pas sans problèmes. Le capitalisme est cité comme exemple privilégié d’axiomatique.
I. Axiomatique et formalisation logique
I.1. L’axiomatique permet une relation fonctionnelle entre éléments quelconques en tant que quelconques
L’axiomatique s’oppose à la formalisation logique par le fait qu’elle est immanente aux domaines dans lesquels elle prend place, contrairement à la formalisation logique qui opère par transcendance. Ainsi, l’axiomatique n’opère pas par surcodage.
L’axiomatique assure une sorte de mise en contact de relations universelles entre éléments quelconques, avec des domaines de réalisation hétérogènes. C’est l’aspect universel qui est central ici, et renvoie à l’opération d’immanence effectuée par l’axiomatique, puisqu’un champ dans lequel est appliqué l’axiomatique s’explique par lui-même. C’est pourquoi l’axiomatique est immanente et s’oppose fondamentalement à la formalisation, opération transcendante.
Cette opposition entre formalisation et axiomatique s’exprime dans l’opposition entre David Hilbert, formaliste, et Bertrand Russell, qui développe une axiomatique.
L’axiomatique opère sur l’objet non qualifié ou quelconque, par exemple des variables en algèbre, des vecteurs en géométrie, ou encore la richesse « abstraite » et le « travailleur nu » du capitalisme, cette gigantesque machine qui opère une axiomatique de flux décodés. Dès lors, si un élément est déterminé ou qualifié, nous n’avons pas affaire à un système axiomatique car les éléments quelconques ne sont pas spécifiés.
Ne comprenant que des relations fonctionnelles entre éléments quelconques en tant que quelconques, l’axiomatique ne « parle » de rien. Elle est donc le seul discours qui permette un affrontement, une comparaison directe entre ensembles ou domaines hétérogènes en tant que tels. Ainsi, les ensembles « addition des nombres réels » et « composition des déplacements dans l’espace euclidien » peuvent être mis en relation. À première vue, il n’y a pas d’autre moyen que l’homogénéisation pour comparer entre eux des domaines hétérogènes, or l’axiomatique permet cette mise en comparaison tout en conservant les spécificités des domaines étudiés.
I.2. L’axiomatique possède des modèles de réalisation
Une axiomatique a nécessairement au moins un modèle de réalisation. Ce modèle de réalisation est un domaine où s’effectue concrètement une opération donnée. Mais en réalité, une axiomatique a toujours plusieurs modèles de réalisation : ce serait démontrable si l’on faisait une axiomatique de l’axiomatique.
Les différents modèles de réalisation d’une axiomatique sont au moins possibles ou virtuels : serait dès lors contradictoire une axiomatique n’ayant qu’un seul modèle de réalisation.
Point très important pour Deleuze, on peut se servir de la notion d’axiomatique autrement qu’à titre métaphorique. En effet, les modèles de réalisation de l’axiomatique sont très concrets. Par exemple, dans un exemple discuté par Deleuze, l’ennemi quelconque pris comme prétexte dans l’opération de militarisation de fonctions civiles est comparable à l’élément quelconque dans l’axiomatique. En tant que figure, il est tout à fait concret.
I.3. Le cas du capitalisme
Autre cas discuté dans le détail par Deleuze lors de ce cours: le capitalisme, qui est également une axiomatique au sens mathématique : les appareils d’état sont les modèles de réalisation de l’axiomatique qui se définit comme conjugaison généralisée des flux décodés. Les états-nations seront, avec leurs valeurs lyriques, musicales, sentimentales, les champs d’effectuation ou les modèles de réalisation de l’axiomatique capitaliste.
Mais ces modèles de réalisation ne sont pas des apparences, l’état-nation est une chose bien réelle.
De plus, le capitalisme met en jeu le sujet universel (le travailleur tel qu’il se définit dès la fin de la féodalité) qui se réfléchit dans l’objet quelconque, en l’occurrence le travail abstrait : c’est ainsi que le capitalisme met en jeu des éléments non qualifiés. De même pour la richesse abstraite, qui ne se définit plus selon un objet déterminé, par exemple une valeur en lingots de métal, mais se crée par spéculation.
Le capitalisme marque la fin de la « conjonction topique » de l’empire archaïque, qui était définie comme le rapport entre un objet déterminé et un sujet qualifié, par exemple l’empereur et le sujet, ou entre des sujets déterminés les uns par rapport aux autres, par exemple les sujets entre eux.
Ainsi, le capitalisme se constitue en axiomatique, elle-même définie comme conjugaison généralisée de flux décodés : il n’y a plus conjonction topique entre le gouvernant et les gouvernés, il y a conjugaison d’éléments abstraits, décodés, à savoir le travailleur nu et la richesse abstraite. C’est une toute nouvelle machine. La conjonction topique et la conjugaison généralisée sont ainsi mises en opposition par Deleuze, la première renvoyant à l’appareil d’état, la seconde au capitalisme.
II. Un exemple mathématique
Deleuze donne un exemple mathématique tiré du livre de Robert Blanché, « L’axiomatique » (1955). C’est un exemple simplifié issu du cercle de mathématiciens français nommé Bourbaki, cercle qui produisit une grande axiomatique, publiée chez Hermann.
Selon Bourbaki, il y a axiomatique à chaque fois que l’on détermine des relations entre éléments non spécifiés. On symbolise ces relations par (R). Deleuze propose le terme de « relations fonctionnelles » pour ces relations entre éléments non spécifiés.
Les « relations formelles » se font, à l’opposé, entre éléments spécifiables renvoyant à l’opération de formalisation logique.
Symbole de la relation entre éléments non spécifiés : x(R)y, qui se lit : il y a relation fonctionnelle entre x et y, qui sont les éléments quelconques de la relation. (R) est donc la relation fonctionnelle entre deux éléments quelconques en tant que quelconques, ici x et y.
Pour son exemple, Deleuze définit trois (R), trois types de relations, afin de définir une axiomatique à trois relations.
1) À deux éléments quelconques x, y, un troisième, z, correspond nécessairement. Cela signifie que l’addition ou la soustraction existe. Dans ce cas, x(R)y signifie x + y = z ou x – y = z.
2) Il y a un élément e, tel que pour tout élément x on a : x(R)e = e(R)x = x. En d’autres termes, il y a un zéro, un terme nul, ici appelé e, qui est tel que s’il est mis en relation avec un x, la relation ne change pas x.
3) Pour tout élément x, il y a un élément x’ tel que x(R)x’ = x’(R)x = e. En d’autres termes, il y a un terme complémentaire à x qui, s’il est mis en relation avec celui-ci, rend la relation égale à zéro. Par exemple, pour tout nombre positif, par exemple 4, il existe un nombre opposé qui l’annule : 4 + (-4) = 0.
C’est un procédé qui n’est pas du type formel. Ces axiomes sont distincts car aucun d’eux ne peut être démontré à partir d’un autre : chaque axiome introduit quelque chose de nouveau.
Cette axiomatique à trois axiomes comporte deux modèles de réalisation : l’addition des nombres réels (nombres positifs, négatifs, ou nuls), la composition des déplacements dans l’espace euclidien à trois dimensions. Ces deux modèles sont absolument hétérogènes et indépendants. Sous la règle de l’addition, on dirait pour 1) que deux nombres réels sont additionnables de telle sorte qu’on obtienne un troisième nombre. De même pour les déplacements dans l’espace euclidien. Pour 2), on aurait e + x = x + e = x où e n’est autre que 0, ou le déplacement identique. En 3) nous avons le cas des opposés : x + (-x) = (-x) + x = 0. C’est aussi le déplacement inverse.
On peut dès lors compléter notre définition : on appelle « axiomatique » un ensemble de relations fonctionnelles entre éléments non spécifiés (ici, x et y) qui s’effectuent dans les relations formelles et les éléments qualifiés ou spécifiés propres à chacun de ses modèles de réalisation, ici l’addition et le déplacement dans l’espace.
En d’autres termes, l’axiomatique permet d’appliquer des formules comme e + x = x + e = x ou x + (-x) = (-x) + x = 0 où x n’est pas spécifié (et e ne l’est que secondairement) dans au moins deux modèles de réalisation : l’algèbre et la géométrie euclidienne. On comparera cette explication avec celle que Deleuze donne pour l’axiomatique de Spinoza, dans la section VI plus bas.
L’axiomatique procède donc différemment d’une démarche de formalisation logique, car dans une axiomatique on a un ensemble de relations fonctionnelles entre éléments non spécifiés qui sont en relation d’immanence avec les modèles de réalisation, en même temps que les modèles de réalisation effectuent chacun pour leur compte, dans leur hétérogénéité, les relations de l’axiomatique.
III. Quatre problèmes
Quatre problèmes se posent dès lors, concernant les modèles de réalisation. Premier problème, l’isomorphie des modèles de réalisation de l’axiomatique. Les divers modèles de réalisation d’une même axiomatique sont hétérogènes, c’est pourquoi ils ne peuvent être dits homogènes les uns par rapport aux autres. On dira donc de ces modèles de réalisation qu’ils sont isomorphes. Dès lors, les modèles de réalisation d’une axiomatique peuvent être hétérogènes tout en étant isomorphes.
Ainsi, les divers états réalisant le capitalisme mondial peuvent être dits isomorphes, bien qu’il existe entre les états tyranniques du tier-monde et les états de la social-démocratie une hétérogénéité presque absolue.
Deuxième problème, la limite d’une axiomatique. Du fait qu’aucun axiome ne peut découler d’un autre, les axiomes sont distincts des théorèmes, qui découlent des axiomes. Or, l’ensemble des axiomes d’une axiomatique possède, au moins en droit, une limite, c’est-à-dire qu’il ne peut y avoir qu’un nombre fini d’axiomes pour une axiomatique. Comment définir cette limite ? La limite d’une axiomatique apparaît dès le moment où l’on ne peut pas ajouter de nouvel axiome sans que le système entier ne perde sa cohérence. Dès le moment où un système axiomatique devient contradictoire, on dit qu’il est saturé.
C’est ici que se pose le fameux problème du capitalisme et des limites du capitalisme. Que signifie le fait, comme le dit Marx, que le capitalisme ne cesse de repousser ses propres limites ? Cela signifie que les limites du capitalisme ne sont pas extérieures à lui mais viennent de la saturation des axiomes qui le composent. Dès lors, il n’y a pas de limitation des ressources naturelles qui borneraient les investissements énergétiques, comme le disent souvent les capitalistes, mais il y a des limites immanentes à l’axiomatique capitaliste concernant, par exemple, les modes de production de l’énergie.
Troisième problème, la découverte par un célèbre axiomaticien, peut-être Robert Blanché, du phénomène suivant : dans toute axiomatique complexe (comportant un grand nombre d’axiomes), l’axiomatique en question comporte nécessairement un modèle de réalisation dans les nombres dits naturels. Or les nombres naturels appartiennent à des ensembles dits dénombrables, d’où une grande inquiétude, qui a généré une des premières grandes crises dans l’axiomatique. Les ensembles non dénombrables ont une puissance qui les fait échapper à l’axiomatique, c’est-à-dire que l’axiomatique ne peut pas dépasser la puissance du dénombrable.
Exemple de puissance non dénombrable : la puissance du continu, c’est-à-dire de l’ensemble des points sur une ligne.
Dès lors, y a-t-il une puissance supérieure à l’axiomatique qui serait la puissance du non-dénombrable, sachant que l’axiomatique opère dans des ensembles au besoin infinis, mais dénombrables ? L’axiomatique mondiale dégage-t-elle une puissance qu’elle n’est pas certaine elle-même de contrôler, ainsi les visions apocalyptiques telle la bombe atomique ?
Quatrième problème : la tentative d’axiomatiser l’arithmétique. Dans cette tentative se fit nécessairement la rencontre avec des propositions que l’axiomaticien précédemment mentionné nommait « indécidables », à savoir des propositions dont on ne peut pas démontrer, en les rapportant au système d’axiomes, si elles sont vraies ou non vraies, c’est-à-dire dont on ne peut décider si elles sont vraies ou fausses. Est-ce que toute axiomatique, y compris l’axiomatique mondiale supposée, comporte un certain type et un certain nombre de propositions qu’on pourrait appeler indécidables ?
Notons que l’indécidabilité n’est pas l’imprévisibilité : on ne peut pas prévoir l’augmentation d’une masse monétaire, mais par contre l’augmentation ou la diminution d’une masse monétaire renvoie au système d’axiomes.
Notons aussi qu’il ne s’agira pas, dans le cas de l’axiomatique mondiale, de décider si une proposition est vraie ou fausse, mais plutôt de décider si elle peut rester dans l’axiomatique ou si elle doit en sortir. Les propositions dites indécidables constitueront certains types très particuliers de flux: voir la section V ci-dessous.
IV. L’axiomatique comme automate spirituel
La construction d’une axiomatique est semblable à la construction d’un automate spirituel, concept célèbre de la philosophie. Un système axiomatique peut même être conçu comme une automation, du fait qu’il y a expulsion des images au profit d’un système symbolique, comme en mathématiques.
De plus, en tant qu’automate spirituel, l’axiomatique est une forme d’expérimentation tout à fait particulière, du fait qu’il est impossible de savoir à l’avance quels axiomes permettront de créer un système qui puisse être consistant dans la durée. Il est également impossible de déterminer à l’avance s’il existe des contradictions au sein d’un système axiomatique, ce qui ne se révèle que dans la pratique.
On relèvera à ce sujet un exemple qui n’est pas mentionné par Deleuze mais qui ne lui était certainement pas inconnu, à savoir l’axiomatique de Zermelo-Fraenkel. Fondée au début du 20èmesiècle par les deux mathématiciens éponymes, cette axiomatique est une des bases fondamentales des mathématiques modernes. Or, fait bien connu des mathématiciens, il est impossible de savoir dans quelle mesure cette axiomatique est consistante autrement que par la pratique.
En ce sens, l’axiomatique est une activité créatrice. Dès lors, il est impossible de concevoir l’axiomatique comme la constitution d’un savoir automatique et infaillible, en mathématique comme dans d’autres domaines. La politique, par exemple, est elle-même le modèle de réalisation d’une axiomatique particulière, même si, comme l’on entend parfois, « les politiciens se trompe tout le temps ». La politique est axiomatisation, c’est pourquoi elle est faillible.
V. Axiomatique et capitalisme
Le capitalisme comme axiomatique ne cesse d’engendrer des propositions indécidables. Les propositions indécidables sont les propositions qui sont l’objet direct de toutes les entreprises et de toutes les positions révolutionnaires.
Bien que l’exemple suivant ne soit pas donné par Deleuze, on peut dire qu’en Russie en 1917, la proposition « si nous nous débarrassons de la bourgeoisie, le prolétariat sera traité justement » est indécidable, puisqu’elle concerne des événements à venir. Cent ans plus tard, cette proposition est devenue décidable.
Une proposition indécidable, contrairement à la notion de tiers exclu qui veut qu’une proposition soit nécessairement vraie ou fausse (il n’y a pas de troisième possibilité), fait l’objet d’une tiers inclus. Ainsi, si l’on demande : le capitalisme tue-t-il par la faim ? Il faut répondre oui et non : la faim organisée multiplie les affamés plus qu’elle ne tue les gens, il n’y a donc pas de réponse claire.
L’axiomatique, en tant que conjugaison générale de flux décodés, n’opère pas cette conjugaison sans créer elle-même des flux qui échappent à la conjugaison, c’est-à-dire qui ne se laissent pas axiomatiser et qui ne sont pas axiomatisables. Ainsi, tout système axiomatique a des fuites.
VI. L’axiomatique de Spinoza
Spinoza définit les objets géométriques par des définitions génétiques, sans s’occuper de la nature des objets représentés par l’idée. Ainsi, les définitions d’objets géométriques doivent mettre en évidence la cause suffisante d’un objet de telle manière que les propriétés peuvent en être déduites. Par exemple, la définition du cercle n’est pas une définition du type « figure composées par les points équidistants à un centre », mais « figure décrite par un segment dont une extrémité est fixe et l’autre mobile ». Les propriétés du cercle, comme par exemple le fait d’une collection de points équidistants d’un centre, sont immédiatement visibles.
Ceci est déjà une figure de l’automate spirituel, comme l’explique Deleuze.
Mais que se passe-t-il, demande le philosophe, si l’on ne considère plus la nature d’un objet en lui-même, par exemple l’idée du cercle, et que l’on ne procès plus que par éléments non-spécifiés ? Serait-il possible de considérer le cercle ou la sphère non pas de manière formelle, c’est-à-dire en fonction de la forme de l’objet, mais en fonction d’une relation ? On considérerait par exemple que la sphère ou le cercle est ce qui est produit lorsqu’une relation est établie entre l’extrémité mobile d’un segment et l’autre extrémité fixe.
Ainsi, l’axiomatique de Spinoza repose sur le principe de la définition génétique, qui elle-même n’est pas une formalisation : il ne s’agit pas de réfléchir aux formes des objets géométriques, mais bien plutôt de la manière de les construire. Or la manière de construire un objet est une opération procédant par une mise en relation d’éléments qu’il n’y a, à la rigueur, pas besoin de spécifier : le cercle, en tant que produit d’un segment dont une extrémité est mobile et l’autre fixe, peut être de nature géométrique autant qu’algébrique, et se réaliser ainsi dans différents modèles. C’est en ce sens que la définition génétique est immanente à l’objet dont elle est l’idée.
S’il est vrai que la pensée de Spinoza n’est pas encore une axiomatique mais un ordre démonstratif, elle n’en annonce pas moins la possibilité d’une immanence de la pensée que Deleuze appelle une « combinatoire ».
VII. Conclusion
On le voit, pour Deleuze l’axiomatique est un outil précieux en cela qu’il permet de concevoir les choses en elles-mêmes, à partir d’éléments non spécifiés et indépendants. De plus, tout domaine de la pensée, de l’art à la philosophie en passant par les mathématiques, la biologie, l’économie, etc., peut être conçu comme modèle de réalisation d’une axiomatique particulière. En dernier lieu, c’est l’axiomatique qui permet à Deleuze d’invoquer librement et de mettre en lien des éléments qui n’ont à première vue rien de commun, comme par exemple le nomadisme et l’occupation de l’espace, le travailleur nu et la richesse abstraite, etc., qui sont mis en lien de la même manière que la géométrie et l’algèbre sont mises en lien dans les mathématiques.