Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03463.jsonl.gz/2040

Hans Walser, [20090418a]
Additionstheoreme
Wir arbeiten in einem Dreieck mit den Bezeichnungen der Figur.
Bezeichnungsfigur
Anregung von Chr. P., A.
Nun ist aber und . Eingesetzt ergibt:
Wir verwenden den Kosinussatz.
Andererseits ist aber:
Vergleich liefert:
Wegen , , und erhalten wir:
Wir gehen davon aus, dass die Formel
gegeben ist. Das Additionstheorem fźr den Kosinus kšnnen wir daraus auf zwei verschiedenen Wegen herleiten. — Mit beiden Methoden kann auch umgekehrt das Additionstheorem des Sinus aus dem des Kosinus hergeleitet werden.
Wir verwenden die Relationen und :
Bei dieser Herleitung wurde das Bogenma§ vorausgesetzt. Im Gradma§ muss durch 90ˇ ersetzt werden.
Wir verwenden die Relationen und . Wir leiten nun die Terme des Additionstheorems fźr den Sinus auf beiden Seiten partiell nach ab:
Bei dieser Herleitung wurde das Bogenma§ vorausgesetzt. Bei Verwendung des Gradma§es erhalten wir auf beiden Seiten die innere Ableitung als Faktor und mźssen dann durch diesen Faktor dividieren. — Derselbe Trick geht auch bei den Additionstheoremen der hyperbolischen Funktionen.
Die Additionstheoreme lassen sich einfach źber Drehmatrizen herleiten:
Andererseits ist die Zusammensetzung zweier Drehungen mit den Drehwinkeln und eine Drehung um . Daher ist:
Vergleich ergibt die Additionstheoreme fźr Kosinus und Sinus.