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Hans Walser, [20160201]
Delta-Kurven-Umfang
Anregung: Renato Pandi
Delta-Kurven sind geschlossene Kurven, welche in einem gleichseitigen Dreieck bei Drehungen einen Zwangslauf machen, indem immer alle drei Seiten des Dreiecks von der Delta-Kurve berźhrt werden. Die Abbildung 1 zeigt ein Beispiel in zwei speziellen und einer allgemeinen Lage.
Abb. 1: Delta-Kurve
Wir zeigen, dass zu einem gegebenen Dreieck alle Delta-Kurven denselben Umfang haben.
Wir zeichnen in jedem der drei Berźhrungspunkte das gemeinsame Lot von Dreiecksseite und Rand der Delta-Kurve (Abb. 2).
Abb. 2: Lote in den Berźhrungspunkten
Diese drei Lote schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Um dies einzusehen, benštigen wir eine kinematische †berlegung. Wir kšnnen die Delta-Kurve etwas bewegen, wobei die Berźhreigenschaft erhalten bleibt. Diese Bewegung ist eine infinitesimale Drehung. Der momentane Drehpunkt dieser infinitesimalen Drehung liegt auf jedem der drei Berźhrlote. Diese scheiden sich daher in einem gemeinsamen Punkt, eben dem momentanen Drehpunkt der infinitesimalen Drehung. — Dieser momentane Drehpunkt bleibt aber beim weiteren Bewegen der Delta-Kurve nicht fest, weder in Bezug auf das Dreieck noch in Bezug auf die Delta-Kurve. Er Šndert seine Lage stŠndig. Daher Šndern auch die drei AbstŠnde von diesem Drehpunkt zu den Lotfu§punkten.
Der Satz von Viviani besagt, dass in einem gleichseitigen Dreieck die von einem beliebigen Punkt ausgehenden Lotstrecken auf die drei Seiten eine konstante GesamtlŠnge haben. Diese GesamtlŠnge ist die Hšhe h des Dreieckes. Mit den Bezeichnungen der Abbildung 2 ist also fźr jede Lage der Delta-Kurve im Dreieck:
(1)
†ber den Satz von Viviani siehe (Kawasaki 2005), (Vargyas und Walser 2015).
Wir drehen nun das Dreieck um die Delta-Kurve (Abb. 3). Dabei bewegen sich die drei Berźhrungspunkte. Bei einer infinitesimalen Drehung legen sie auf dem Rand der Delta-Kurve die infinitesimalen WeglŠngen zurźck.
Abb. 3: Drehung des Dreiecks
Es ist:
(2)
und wegen (1) folgt:
(3)
Nach einer Drehung um ist das Dreieck auf sich abgebildet, das hei§t der Punkt ist nun in der ursprźnglichen Position des Punktes , dieser in der ursprźnglichen Position des Punktes und dieser Punkt wiederum in der ursprźnglichen Position des Punktes . Die drei Berźhrungspunkte haben also zusammen den Rand der Delta-Kurven genau einmal źberstrichen. Somit erhalten wir fźr den Umfang u der Delta-Kurve:
(4)
Das war zu zeigen. Der Umfang der Delta-Kurve ist der Umfang des Inkreises des Dreiecks.
Der Beweis bedarf allerdings noch einiger ErgŠnzungen und PrŠzisierungen. Dazu benštigen wir folgenden Hilfssatz.
Wir beginnen mit einer Delta-Kurve (Abb. 4).
Abb. 4: Delta-Kurve
Mit der Dreieckshšhe h erhalten wir fźr die Delta-Kurve den Umfang gemЧ (4).
Nun legen wir um die Delta-Kurve eine Schwarte, deren Dicke traditionellerweise mit bezeichnet wird (Abb. 5. Die Schwarte ist blau eingezeichnet).
Wenn wir gleicherma§en das Dreieck durch Parallelen im Abstand vergrš§ern, wird die Delta-Kurve mit Schwarte zu einer Delta-Kurve im vergrš§erten Dreieck. Die Berźhrungspunkte verschieben sich rechtwinklig auf die Dreiecksseiten um den Betrag . Ein momentaner Drehpunkt bleibt erhalten.
Bei einer geschlossenen konvexen Kurve vergrš§ert sich der Umfang durch Anbringen einer Schwarte der Dicke um .
Die Delta-Kurve mit Schwarte hat somit den Umfang:
(5)
Das vergrš§erte Dreieck hat die Hšhe (ein kommt beim Hšhenfu§punkt dazu und zwei weitere bei der Dreiecksecke).
Abb. 5: Blaue Schwarte
Die Delta-Kurve mit Schwarte hat als Delta-Kurve im vergrš§erten Dreieck den Umfang:
(6)
Diese Formel ist mit (5) kompatibel.
Der Schwartensatz besagt, dass wir aus einer Delta-Kurve durch Anbringen einer Schwarte eine Delta-Kurve in einem entsprechend vergrš§erten Dreieck erhalten. Mit kommen wir bezźglich Figur und Umfang auf die ursprźnglich Delta-Kurve zurźck.
Im Beispiel der Abbildung 6 ist der momentane Drehpunkt au§erhalb des Dreieckes.
Abb. 6: Momentaner Drehpunkt au§erhalb des Dreieckes
Damit der Satz von Viviani immer noch stimmt, mźssen wir mit algebraischen AbstŠnden rechnen und im Beispiel der Abbildung 6 den Abstand negativ bewerten. Um dieses Vorzeichenproblem zu umgehen, fźgen wir eine so dicke Schwarte dazu und vergrš§ern das Dreieck entsprechend, dass der Viviani-Punkt (der momentane Drehpunkt) ins Innere des vergrš§erten Dreiecks zu liegen kommt.
Viele klassische Delta-Kurven haben Ecken. Die Abbildung 7 zeigt ein Beispiel, das Zweieck mit Innenwinkeln von 120ˇ. In den Ecken sind die Normalen auf die Delta-Kurve nicht definiert. Mit dem Schwarten-Trick kšnnen wir das aber regeln. Wegen (5) und (6) gilt mit die Umfangsformel auch fźr die eckige Delta-Kurve.
Abb. 7: Delta-Kurve mit Ecken
SelbstverstŠndlich ist nicht jede Kurve mit eine Delta-Kurve. Wir konstruieren ein Gegenbeispiel. ZunŠchst zeichnen wir zu einem gegebenen Dreieck mit der Hšhe h einen Bogen mit dem Radius h und dem Winkel (Abb. 8). So ganz nebenbei: Mit Zirkel und Lineal ist das nicht machbar.
Abb. 8: Bogen mit 20ˇ
Dann fźgen wir sechs solche Bogen je um 60ˇ verdreht aneinander und erhalten so ein Bogen-Sechseck (Abb. 9).
Abb. 9: Bogen-Sechseck
Dieses Bogen-Sechseck hat den Umfang , ist aber offensichtlich keine Delta-Kurve im Dreieck. Die Sache hat System, wie wir gleich sehen werden.
Literatur
Kawasaki, Ken-Ichiroh (2005): Proof Without Words: Viviani's Theorem. Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 3, p. 213.
Vargyas, Emese und Walser, Hans (2015): Verallgemeinerung des Satzes von Viviani. MI, Mathematikinformation Nr. 63, 15. September 2015. ISSN 1612-9156. S. 3-10.