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Rein numerische Berechnungen wiesen auf ein größeres Problem bei der Stabilität der P3-D Bahnen hin [3]. Aus den numerischen Ergebnissen waren aber allgemeine Aussagen über die Einflußgrößen und deren Zusammenhänge nur sehr schwer abzuleiten. Erst ein analytisches Störungsmodell [9] lieferte genaueren Aufschluß über die Abhängigkeiten der Störungen von den Bahnparametern und die besonderen Eigenschaften der P3-D Bahnen [8]. Ein spezielles Ergebnis dieser Untersuchungen wird im folgenden vorgestellt.
Das nicht genau zentrale Gravitationsfeld der Erde verursacht sowohl eine Drehung der Bahnebene als auch eine Drehung der Apsidenlinie der Bahnellipse. In Tafel I sind die Formeln für diese Drehungen in einer Form zusammengestellt, bei der als Variable nur die große Halbachse a, die Exzentrizität e und die Inklination i auftreten, siehe [1]. Im übrigen verwenden wir die Bezeichnungen nach Delaunay für das Argument des Perigäums g (im Englischen "AoP") und die Länge des Knotens oder Rektaszension h (im Englischen "RAAN"). Die Drehung der Bahnebene - das ist die zeitliche Änderung des Knotens dh/dt - ist direkt proportional dem negativen Kosinus der Inklination. Die Drehung der Apsidenlinie - das ist die zeitliche Änderung des Argumentes des Perigäums dg/dt - ist unterhalb der sogenannten "kritischen" Inklination von 63.4° positiv und darüber negativ, entsprechend dem Ausdruck "5 cos²(i) - 1". Wir sehen die Abhängigkeit dieser Störungen von der großen Halbachse a mit der Potenz von -7/2.
Tafel I: Zeitliche Änderungen von Argument des Perigäums dg/dt und Länge des Knotens dh/dt infolge der Abflachung der Erde.
In Tafel II sind die (vereinfachten) Formeln der langfristigen zeitlichen Veränderungen bzw. Störungen der Exzentrizität und der Inklination durch Mond und Sonne zusammengestellt [9]. Langfristig heißt hier, daß alle Glieder mit Perioden unter einem Jahr vernachlässigt wurden. Die Vereinfachungen betreffen die Lage des Knotens der Mondbahn, dessen Einfluß nicht allzu groß ist. Wir können sehen, daß diese Störungen von der großen Halbachse a mit einer Potenz von +3/2 abhängen.
Tafel II: Langfristige zeitliche Änderungen der Exzentrizität de/dt und der Inklination di/dt infolge der Einflüsse von Mond und Sonne.
Betrachten wir nun das Verhältnis der Störungen von Mond und Sonne zu den durch die Abflachung der Erde verursachten, so haben wir eine Zunahme mit der fünften Potenz der großen Halbachse. Auf unsere Satelliten bezogen, bedeutet dies, daß bei der P3-D Bahn gegenüber den Bahnen von OSCAR 10 oder AO-13 der Einfluß von Mond und Sonne um den Faktor 3 größer ist.
Bei genauerer Analyse der Formeln in Tafel II sehen wir, daß die Änderungen in Exzentrizität und Inklination verschwinden, wenn g ein Vielfaches von 90° und h ein Vielfaches von 180° ist. Für polare Bahnen (i=90°) gilt dies auch, wenn g und h ein Vielfaches von 90° ist. Bei allen anderen Werten von g und h haben wir zeitliche Änderungen von e und i zu erwarten. Die einzige Ausnahme bilden ideal kreisförmige Bahnen (e=0), die immer kreisförmig bleiben.
Bei einer geplanten Missionsdauer von 20 Jahren wird der Knoten der P3-D Bahn voraussichtlich einen vollen Umlauf zurücklegen. Die Kenntnis des Verlaufs der Störungen während der gesamten Missionsdauer ist daher besonders wichtig.
Die Abhängigkeit dieser Störungen von h sind für einige uns interessierende Werte von g und für die nominellen Werte der P3-D Bahn in den Bildern 1 und 2 dargestellt. Die Werte der Störungen sind in Einheiten pro Tag angegeben. Auf ein Jahr umgerechnet, betragen die Maxima der Änderungen der Exzentrizität 0.02 - in unserem Beispiel entsprechend einer Abnahme der Perigäumshöhe von 4000 km auf 3300 km - und bei der Inklination 1.5°. Es fällt auf, daß bei einer Perigäumslage von 270° die Störungen der Inklination verhältnismäßig gering sind - ein Vorteil der Molniya, Taiga und M-HEO Bahnen [4,6].
Bild 1: Langfristige zeitliche Änderungen der Exzentrizität de/dt pro Tag in Abhängigkeit von Argument des Perigäums g und Länge des Knotens h bei der P3-D Bahn (a/R=5.054, e=0.678, i=63.43°).
Bild 2: Langfristige zeitliche Änderungen der Inklination di/dt in Grad pro Tag in Abhängigkeit von Argument des Perigäums g und Länge des Knotens h bei der P3-D Bahn (a/R=5.054, e=0.678, i=63.43°).
Im übrigen gelten ähnliche - aber noch etwas kompliziertere - Formeln wie die in Tafel II angegebenen auch für die Störungen von g und h durch Mond und Sonne [9]. Für g ist die Abhängigkeit der Störungen von h in Bild 3 dargestellt.
Bild 3: Langfristige zeitliche Änderungen des Argument des Perigäums dg/dt in Grad pro Tag in Abhängigkeit von Argument des Perigäums g und Länge des Knotens h bei der P3-D Bahn (a/R=5.054, e=0.678, i=63.43°).
2 g, 2 (h ± g), h ± 2 g
Die Störglieder der Inklination beinhalten noch zusätzlich Sinus-Funktionen der Winkel
h und 2 h.
Wenn nun einer dieser Winkel konstant oder annähernd konstant bleibt und nicht zu den oben erwähnten Sonderfällen zählt (Vielfache von 90° bzw. 180°), so hat auch die Sinus-Funktion einen konstanten, von Null verschiedenen Wert. In diesen Fällen werden Exzentrizität und Inklination beständig in eine Richtung driften. Ändert sich einer dieser Winkel langsam, so werden Exzentrizität und Inklination im Rhythmus des Sinus dieses Winkels schwanken. Wir können daher genau wie in der Nachrichtentechnik von einem Resonanzeffekt sprechen. Interessant ist hier, daß nicht nur Differenz oder Summe zweier Frequenzen eine Resonanz hervorrufen können, sondern auch der Stillstand eines einzigen Winkels.
Ganz besonders trifft das auf die geplante Perigäumslage von 225° zu, da sin(2 x 225°) = sin(90°) = +1 ist, und damit das entsprechende Störglied seinen größten Wert erreicht. Die P3-D Bahn befindet sich im Maximum einer Resonanz.
Bei AO-13 ist das Glied mit dem Winkel h + 2 g das größte. Es verursacht eine Schwankung der Perigäumshöhe von etwa 5000 km mit einer Periode von 40 Jahren. Dem ist eine kleinere Schwankung - herrührend vom Winkel 2 g - überlagert, deren Periode auch noch zwischen 7 und 12 Jahren variiert [5]. Beide Schwankungen zusammen verursachen dann die frühzeitige Rückkehr.
In Bild 4 sind drei P3-D Bahnen eingezeichnet, die alle mit einer Knotenlage von 0°, einem Argument des Perigäums von 225°, und einer Exzentrizität von 0.7 beginnen. Die Anfangsinklination der mittleren Bahn wurde so gewählt, daß das Argument des Perigäums möglichst lange im gewünschten Bereich (225 ± 15°) bleibt. Die anderen beiden (strichlierten) Bahnen differieren um jeweils 1° in der anfänglichen Inklination. Solange das Argument des Perigäums in der Nähe von 225° bleibt, nimmt die Exzentrizität ständig zu und die Inklination ebenso kontinuierlich ab. Bei der angenommenen Ausgangslage können wir ohne weitere Korrektur mit einer Lebensdauer von 5 bis 6 Jahren rechnen. Ist die Exzentrizität zu Beginn höher, so ist eine noch geringere Lebensdauer des Satelliten zu erwarten.
Bild 4: Zeitlicher Verlauf der Bahnparameter für 3 verschiedene Inklinationen (68 ± 1°) und Anfangswerten g=225° und h=0°.
Vom Standpunkt der Bahnstörungen jedoch sind die beiden Lagen grundsätzlich verschieden. Da sin(2 x 315°) = sin(270°) = -1 ist, haben die entsprechenden Störglieder das umgekehrte Vorzeichen, und dementsprechend sind die Tendenzen bei Exzentrizität und Inklination genau umgekehrt. Bild 5 zeigt drei Bahnen, die alle mit einer Knotenlage von 0°, einem Argument des Perigäums von 315° und einer Exzentrizität von 0.7 beginnen. Die Anfangsinklination der mittleren Bahn wurde wieder so gewählt, daß das Argument des Perigäums möglichst lange annähernd im gewünschten Bereich bleibt. Die anderen beiden (strichlierten) Bahnen differieren um jeweils 1° in der anfänglichen Inklination.
Bild 5: Zeitlicher Verlauf der Bahnparameter für 3 verschiedene Inklinationen (62 ± 1°) und Anfangswerten g=315° und h=0°.
Wir sehen hier eine Möglichkeit, die Lebensdauer des Satelliten ohne Korrektur auf 20 Jahre oder sogar noch etwas länger zu erweitern. Wir erkaufen allerdings diesen Vorteil mit einer ständig zunehmenden Perigäumshöhe. Innerhalb von 20 Jahren nimmt diese Höhe von 3500 km bis auf etwa 16000 km zu. Da sich die große Halbachse aber nicht ändert, nimmt die Apogäumshöhe entsprechend ab. Dies wieder ist ein erwünschter Effekt, da die mit zunehmendem Alter abnehmende Leistung der Sonnenzellen - und damit geringere Sendeleistung - durch die abnehmende Streckendämpfung zum Teil kompensiert werden kann.
Bei hoch-elliptischen Bahnen sind die Möglichkeiten sehr unterschiedlich. OSCAR 10 zum Beispiel, der mit einer relativ niedrigen Inklination bei einer sehr wenig wirksamen 5:3 Resonanz von Knoten- und Apsidendrehung liegt, wird seine Bahn noch viele hundert Jahre zumindest annähernd beibehalten. Ganz im Gegensatz dazu liegt AO-13 in der Nähe einer 2:1 Resonanz, die extreme Bahnstörungen verursacht. AO-13 wird durch die gravitativen Kräfte im Laufe der nächsten zwei Jahre auf die Erdoberfläche gezwungen werden.
Aus den weiter oben angeführten Beispielen ist zu ersehen, daß bei P3-D eine Perigäumslage von 225° sehr wahrscheinlich zu einem ähnlichen Schicksal führen wird. Eine Perigäumslage von 315° hingegen ergibt eine zunehmend kreisförmige Bahn, die zumindest für 20 Jahre oder mehr einigermaßen stabil bleibt. Das endgültige Schicksal auf einer solchen Bahn kann allgemein nicht vorhergesagt werden und ist für jeden konkreten Fall gesondert zu berechnen.
Bild 6: Zeitlicher Verlauf der Bahnparameter für 3 verschiedene Inklinationen (59 ± 1°) und Anfangswerten g=315° und h=90°.
Dieser Artikel erschien im AMSAT-DL Journal, Jahrgang 21, Nr. 4, Dezember 1994.