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Wer nicht genau hinhört und deshalb eine Mathefrage falsch beantwortet, ist selbst schuld. Manchmal geht die Sache trotzdem gut – wie bei der Rechenaufgabe in diesem Rätsel.
Mathestunde in der Schule. Die Lehrerin testet die Kopfrechenkünste der Kinder. Sie nennt drei natürliche Zahlen grösser als Null. Die Aufgabe besteht darin, das Produkt aus diesen drei Zahlen auszurechnen. Jeder schreibt das Ergebnis auf einen kleinen Zettel und gibt ihn ab.
Hinterher unterhalten sich zwei Schüler. «Oh Mist», sagt einer, «ich habe plus statt mal gerechnet». Der andere denkt kurz nach und erklärt dann: «Ist nicht so schlimm, dein Ergebnis stimmt trotzdem.»
Welche drei Zahlen sollten die Kinder miteinander multiplizieren?
Auf den ersten Blick scheint die Aufgabe unlösbar zu sein. Drei Unbekannte – wir nennen sie a, b und c. Aber nur eine Gleichung:
a*b*c = a+b+c
Wie soll man da weiterkommen?
Der Lösung kommt man schnell näher, wenn man sich klarmacht, dass das Produkt aus drei natürlichen Zahlen (grösser Null) eigentlich fast immer grösser ist als ihre Summe. Womöglich gibt es nur wenige spezielle Lösungen – oder sogar keine einzige!
Wir nehmen an, dass a die grösste der drei gesuchten Zahlen ist. Es muss also gelten b =< a und c =< a (Das =< bedeutet kleiner gleich!). Dies setzen wir nun in die Ausgangsgleichung ein:
a*b*c = a + b + c =< 3*a
Wir können also auch schreiben:
a*b*c =< 3*a
Diese Ungleichung dividieren wir durch a und erhalten:
b*c =< 3
Wir wissen, das b und c natürliche Zahlen grösser als Null sind. Ignoriert man mögliche Vertauschungen von b und c, kommen nur folgende Paare als Lösung in Frage:
Wir setzen diese Zahlen für b und c in die Ausgangsgleichung ein und erhalten, wenn wir Vertauschungen ignorieren, als einzige ganzzahlige Lösung 3, 2, 1. Das waren auch die drei Zahlen, welche die Schüler miteinander multiplizieren sollten.