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Hans Walser, [20090526a]
Geometrische Fibonacci-Folge
Wir arbeiten mit der Matrix
und dem Startvektor:
Damit bilden wir die geometrische Vektorfolge:
Die Folge lŠsst erkennen, dass die Vektoren aus den Fibonacci-Zahlen gebildet sind.
Fibonacci-Vektoren
Die Vektoren genźgen der źblichen Fibonacci-Rekursion:
Die Figur zeigt die Vektoren .
Vektoren
Die Vektoren werden zwar immer lŠnger, konvergieren aber gegen eine Grenzrichtung.
Da die Matrix Q regulŠr ist, funktioniert die Folge auch fźr negative Indizes. Als Beispiele :
Negative Indizes
Die folgende Figur zeigt die Vektoren :
Vektoren auch mit negativen Indizes
Die beiden Vektoren und sind gleich lang und orthogonal. Der Zwischenwinkel ist alternieren .
Die Matrix q hat folgende Eigenwerte und Eigenvektoren:
Hier erscheint der goldene Schnitt.
Wir normieren die Vektoren so, dass der obere Eintrag eine 1 wird. Beispiel:
Dann gilt:
Die Vektoren nŠhern sich also steigungsmЧig den Eigenvektoren, werden aber beliebig lang.
Wir verwenden die gleiche Matrix Q, aber den Startvektor:
Damit erhalten wir:
Anderer Startvektor
Es handelt sich hier um die Lucas-Zahlen, welche dieselbe Rekursion haben wie die Fibonacci-Zahlen. Die Rekursionsformel steckt offenbar in der Matrix Q. Die beiden Startwerte packen wir in den Startvektor.
Wir verwenden die Matrix (der Faktor 2 im Element rechts unten hat nur Šsthetische Bedeutung, die Formeln werden dann einfacher)
und den Startvektor:
Damit bilden wir die geometrische Vektorfolge:
Zum Vergleich verwenden wir die Rekursionsformel
und die Startwerte und .
Dann gilt:
Beweis induktiv: ZunŠchst ist:
Induktionsschritt:
Eine Folge mit der Rekursion und den Startwerten und kann explizit dargestellt werden durch:
Dabei ist:
Beweis induktiv mit einiger Rechnung.
Wir haben also, ohne die Verwendung der Matrix Q, eine Linearkombination von zwei geometrischen Folgen mit den Basen und . Diese Basen sind aber genau die Eigenwerte der Matrix Q.