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Énergie mécanique d’un oscillateur harmonique
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Une masse accrochée à un ressort constitue un oscillateur harmonique. Dans ce système, l’énergie est présente sous trois formes : énergie cinétique et potentielle de gravitation de la masse, énergie potentielle élastique du ressort. Par un choix judicieux de l’origine de l’axe qui repère la position de la masse, il est possible de « neutraliser » la contribution de l’énergie potentielle de gravitation. L’expression de l’énergie mécanique du système se simplifie et l’étude des oscillations se ramène alors à celle des échanges entre énergie cinétique de la masse et énergie potentielle élastique emmagasinée par le ressort.
Considérons un ressort accroché au plafond. Suspendons une masse à l’extrémité libre du ressort et lâchons-la. Nous avons un oscillateur harmonique.
Repérons la position de la masse depuis deux systèmes de référence.
- l’origine 0 du premier système coïncide avec l’extrémité libre du ressort « à vide » et l’axe Oy est vertical orienté vers le haut.
- l’origine 0 de second système coïncide avec la position d’équilibre de la masse accrochée au ressort et l’axe Oh est vertical orienté vers le haut.
Pour un tel oscillateur, l’énergie mécanique se conserve, ce qui signifie que c’est une constante. Écrivons l’énergie mécanique dans le système (1) en fonction de y :
La somme de ces trois termes est une constante. Remarquons que dans cette expression, les trois termes dépendent de la position y de la masse (la vitesse v qui figure dans l’expression de l’énergie cinétique dépend de la position y).
Écrivons l’énergie mécanique dans le système (2) en fonction de h :
En développant l’expression ci-dessus, on obtient :
Le dernier terme ne dépend pas de la position h de la masse : c’est une constante. Comme l’énergie mécanique se conserve, c’est aussi une constante. En retranchant une constante à une constante, on obtient encore une constante. Le dernier terme peut donc être omis. Son abandon n’a aucune incidence sur le principe de conservation de l’énergie mécanique.
Conclusion
Par un choix judicieux de l’origine de l’axe qui repère la position de la masse oscillante, il est possible de simplifier l’expression de l’énergie mécanique qui ne fait alors plus qu’intervenir deux termes : l’énergie cinétique de la masse et l’énergie élastique du ressort.
Voir aussi :
L’oscillateur harmonique
Rotation et oscillation
Oscillateur harmonique
Le saut à l’élastique
Saut à l’élastique, cas général
Circuit électrique et oscillateur harmonique
Oscillations
Exercices sur les oscillations harmoniques