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Société des enseignants
BULLETIN No 21 / Histoire

L'arithmétique d'Euler
Pierre Banderet, Université de Neuchâtel

Ce bref article présente tout d'abord la "Rechenkunst" puis offre une traduction de la présentation de l'ouvrage, due à Euler.
La "Rechenkunst"
Ayant pris la décision de donner à la jeunesse en Russie une formation en arithmétique, l'empereur de Russie, Pierre le Grand, a chargé son Académie de s'occuper du problème. Après mûre réflexion, Euler a entrepris la rédaction d'un livre d'arithmétique. C'est la "Rechenkunst" (1) probablement écrite en allemand, puis traduite en russe.
Le premier volume (1738) est consacré au calcul proprement dit, c'est-à-dire aux quatre opérations sur les entiers et les fractions. Dans le deuxième (1740), l'auteur traite les grandeurs (benannte Zahlen), c'est-à-dire les applications concernant les calculs relatifs au temps, aux monnaies, aux longueurs, aux poids, où l'on a affaire à des systèmes comportant différentes unités. A l'époque, ces problèmes étaient d'un emploi constant et de la plus haute importance: les tables publiées ici, où l'on trouve les monnaies et les poids en usage dans différentes villes d'Europe en donnent une idée. Ces questions ont perdu leur actualité sans avoir complètement disparu; peut-être sommes nous plus maladroits lorsque par exemple nous voulons savoir dans une unité particulière (jours, années, minutes) la durée de la vie d'un grand homme.
C'est la rigueur avec laquelle l'ouvrage est écrit qui en constitue l'originalité et la valeur. Aucune préoccupation pédagogique n'apparaît, en ce sens qu'on ne trouve pas la moindre allusion aux qualités du public visé. Pour Euler, il faut et il suffit de présenter son sujet sans rien laisser dans l'ombre et sans détours: autrement dit faire oeuvre de mathématicien. On commence alors à se rendre compte qu'il y a beaucoup à écrire: ainsi la méthode pour expliciter l'addition passe obligatoirement par l'établissement d'une table allant de 1 plus 1 égale 2 à 9 plus 9 égale 18. Au moment voulu, tout maître écrira quelque chose d'analogue au tableau noir. Quel que soit son sujet, le maître trouvera tout dans la Rechenkunst et n'éprouvera jamais le besoin d'y ajouter quoi que ce soit.
Ainsi l'écriture des très grands nombres est très nettement exposée. Euler emploie ce que Du Pasquier (2) appelle la règle germanique, où l'on découpe le nombre en tranches de six chiffres et l'on emploie les billions, trillions, etc. Des exemples avec un symbole particulier pour marquer la division en tranches complètent l'explication. J'ai le sentiment que bien des adultes n'ont pas des idées claires sur cette question; l'introduction du milliard contribue à une certaine confusion.
L'utilité du Rechenkunst pour un enseignant d'aujourd'hui est qu'elle constitue un ouvrage de référence incomparable. Il serait bon que les Ecoles normales la présentent aux futurs instituteurs-trices, et qu'elle soit aisément accessible à tous les maîtres. C'est un monument; on y trouve une structure concrète sur laquelle on peut s'appuyer pour tout problème de présentation qui peut se poser; elle ne laisse aucun point dans l'obscurité. Les exemples joints mettent en lumière tous les cas possibles.
(1) Léonard Euler, Opera Omnia Series III, Vol. II, 1942.
(2) Louis-Gustave Du Pasquier, Le développement de la notion de nombre, 1921.
La présentation d'Euler
Ce qui suit est la traduction de la "Vorrede" de la "Rechenkunst" par Euler.
Il existe actuellement sur le marché un grand nombre de livres d'arithmétique qui ont été publiés en Allemagne et ailleurs, de sorte que notre ouvrage pourra paraître à bien des gens inutile ou superflu. Cependant, lorsqu'il a été décidé sur ordre de sa Gracieuse Majesté l'Empereur de dispenser à la jeunesse de Russie une formation très complète en arithmétique comme en géométrie, de sérieuses difficultés se sont présentées dès que l'on a voulu utiliser dans ce but des introductions déjà existantes. Comme de plus, il faudra aussi répondre à la demande de livres en russe, il s'est avéré que la réédition en un si grand nombre d'exemplaires amènerait plus de problèmes que d'avantages; de même, prendre un ouvrage paru ailleurs et le traduire en russe nous a semblé peu souhaitable pour diverses raisons. En particulier, la plupart des livres étrangers présentent des défauts auxquels il nous paraît très important de remédier. Ou bien ils ne donnent que les règles accompagnées d'un grand nombre d'exemples; mais sans mention de la cause ni des raisons sur lesquelles se basent ces règles; ou bien, s'ils donnent quelques indications sur les bases de l'art du calcul, la présentation en est si fragmentaire que le lecteur ne l'assimile pas comme il le ferait en suivant la méthode d'enseignement des mathématiques. De plus, ces traités ignorent les avantages et les raccourcis permettant d'acquérir l'habileté et la rapidité du calcul, se bornant à les citer brièvement.
Comme l'apprentissage de l'art du calcul sans une base solide ne suffit, ni pour résoudre tous les problèmes qui peuvent se présenter, ni pour affiner l'esprit, on a fait dans le présent ouvrage, l'effort, pour chaque règle et pour chaque opération, d'en présenter et d'expliquer les raisons de manière que tout lecteur, même s'il n'a pas l'habitude de lire des traités, soit capable d'en faire le tour. Cela ne nous a pas empêché de décrire complètement les règles et avantages qui facilitent le calcul en les illustrant au moyen d'une quantité suffisante d'exemples.
Par cette méthode on espère obtenir que la jeunesse visée, tout en acquérant une bonne habileté technique dans le calcul, soit toujours consciente du sens de chaque opération, et s'habitue progressivement à réfléchir avec méthode. Si en pratiquant ainsi, on ne se borne pas à appliquer aveuglément les règles, mais si l'on reste toujours conscient de la raison pour laquelle on les applique, alors on sera bientôt en mesure d'en inventer de nouvelles, au moyen desquelles on deviendra capable de résoudre de nouveaux problèmes pour lesquels les anciennes règles ne suffisent pas. Il n'y a aucune raison de croire que cette manière d'enseigner l'arithmétique soit plus difficile et prenne plus de temps que celle où l'on donne les règles sans motivation. Chacun comprend et garde mieux en mémoire les faits pour lesquels il voit une raison et un motif, et il saura beaucoup mieux les utiliser dans la pratique.
Celui qui apprend à fond une science ou un art quelconque prend conscience, même sans explications, de bien des faits qu'on lui apprendrait à grand peine s'il n'était habitué à considérer les causes. En particulier, une introduction solide des jeunes gens à l'arithmétique sera d'autant plus utile et indispensable que pendant de longues périodes, ils subissent un enseignement des langues et d'autres branches pour lequel aucune étude fondamentale n'existe, où donc ils ne sont pas amenés à réfléchir profondément à une question; ce qui a pour conséquence logique qu'ils rencontreront de grosses difficultés dans leurs entreprises.
On ne peut pas mieux combattre cette erreur qu'en enseignant à fond l'arithmétique à la jeunesse, qui de toute manière doit apprendre à cet âge, afin qu'elle prenne l'habitude de penser juste. Aucun enseignement n'est comparable à celui des mathématiques pour atteindre ce but, parce que c'est là que tout se déduit à partir des principes fondamentaux de notre connaissance, de la manière la plus claire et la plus rigoureuse, tandis que dans les autres sciences, bien des choses restent imprécises ou inexactes, au point que même des affirmations fausses sont données comme des vérités. C'est pourquoi l'on a, dans le présent traité, déduit les règles et les opérations de l'arithmétique à partir de la nature même des nombres et des propriétés des chiffres usuels, en sorte que n'importe qui soit capable, sans introduction particulière, non seulement de comprendre les opérations et d'en acquérir la technique, mais aussi de se faire une idée des raisons qui y président. C'est pourquoi aussi le traité est présenté sous forme de propositions dans lesquelles on donne d'une manière brève et claire, soit une règle elle-même, soit une justification pour la faire comprendre. Ces propositions sont complétées par des explications dans lesquelles le contenu de la proposition ainsi que sa justification sont tirés au clair. Enfin pour chaque opération on trouvera des exemples permettant au lecteur d'en réaliser l'utilité et l'usage.
|(c) Pierre Banderet, 1998|