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Hans Walser, [20210115]
Kardioide und Thaleskreis
Die Menge der Punkte, von denen aus die Kardioide unter einem rechten Winkel gesehen werden kann, ist ein Kreis.
FŸr die Kardioide verwenden wir die Parameterdarstellung:
(1)
Die Kardioide ist eine †berlagerung von Kreisbewegungen.
FŸr einen beliebigen Parameterwert t zeichnen wir die Kardioidenpunkte mit den Parameterwerten t und ein (Abb. 1a).
Bemerkung: Die beiden Punkte sind im Parameterbereich um ¹ versetzt. In einem Kreis mit der Ÿblichen Parametrisierung wŠren das diametrale Punkte, ihre Verbindung ein Durchmesser.
Abb. 1: Kardioide mit Sehne
Nun gilt folgendes:
á Die durch die beiden Punkte aufgespannte Sehne geht durch die EinwŠrts-Spitze.
á Die Sehne hat (in unserer Parametrisierung) die LŠnge 1. Wir haben also eine Invariante.
á Der Mittelpunkt der Sehne liegt auf einem Kreis (Abb. 1b).
Diese Sachverhalte gehen zurŸck auf ƒtienne Pascal (1488-1651, Vater von Blaise Pascal).
Wir zeichnen nun in den beiden Endpunkten der Sehne die Tangenten an die Kardioide (Abb. 2a). Diese Tangenten schneiden sich unter einem rechten Winkel. Beweis mit Methoden der Differentialgeometrie.
Bemerkung: GeoGebra ¨ verneint diese OrthogonalitŠt. Das dŸrfte wohl eine Folge der Verwendung der Kreisfunktionen Kosinus und Sinus in (1) sein. Ein didaktisch interessantes Beispiel.
Abb. 2: Tangenten und Thaleskreis.
Der Schnittpunkt der beiden Tangenten liegt auf einem Kreis gemЧ Abbildung 2b. Also eine Art Verallgemeinerung des Begriffs des Thaleskreises. Nachweis rechnerisch mit CAS.
Die Abbildung 3 illustriert den Sachverhalt.
Abb. 3: Kardioide und Thaleskreis
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Walser: Al-Sijizi
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Walser: Die Herzkurve und die Mšndchen des Hippokrates
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Walser: Herzkurve als Enveloppe
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Walser: Kardioide
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Walser: Kardioide
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Walser: Kardioide als Spiegelbild der Parabel bei Kreisspiegelung
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Walser: Kardioide und Goldener Schnitt
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Walser: Kardioide und regelmЧige Vielecke
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Walser: Umkreis bei regelmЧigen Vielecken
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