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Résumé : lorsqu’un avion survole un lieu et qu’il est repéré par un radar, comment l’indiquer à un deuxième radar ?
Mots-clés : coordonnée sphérique, coordonnée géocentrique, coordonnée géographique, géoïde, ellipsoïde, rotation, changement de repère.
Un système de contrôle par radars dans le contrôle du trafic aérien reçoit différentes informations de radars situés à différents endroits du globe. Cette information contient, entre autres, les coordonnées x,y,z (selon le système de coordonnées du radar qui émet l’information) d’un avion ”vu” par le radar.
Le problème peut être résumé comme suit : soit deux radars R1 et R2 situés aux points P1 et P2 du globe. Un avion A est ”vu” par le radar R1 dans son système local en coordonnées cartésiennes avec comme coordonnées (x1;y1;z1). Il est demandé de déterminer les coordonnées (x2;y2;z2) de l’avion dans le système de coordonnées cartésiennes du radar R2. Les points P1 et P2 sont donnés par les coordonnées géographiques (en degrés, minutes et secondes) (f1;l1) et (f2;l2), où f1,f2 sont les latitudes et l1,l2 les longitudes.
Pour résoudre ce problème, il faut résoudre quelques problèmes annexes : la conversion de degrés (minutes, secondes) en radians et la transformation de coordonnées géographiques en coordonnées géocentriques. Il est important, en effet, de se souvenir que les coordonnées géographiques ne sont pas des coordonnées sphériques : la latitude géographique est déterminée en mesurant l’angle d’un objet (soleil, lune, étoile) dans le ciel au-dessus de l’horizon, ou encore, l’angle entre un plan tangent à la surface du globe et l’objet.
Ce problème est tiré de Solving Problems in Scientific Computing Using Maple and Matlab de Walter Gander et Jiří Hřebíček chez Springer-Verlag, Berlin, 1993.
Pour la transformation des coordonnées géographiques (f,l) d’un point P en coordonnées géocentriques cartésiennes (xc,yc,zc), on considère C, le centre de la terre, l’axe zc, l’axe passant par les pôles terrestres avec orientation positive vers le pôle nord, l’axe xc, l’axe passant par le méridien zéro et le 180e avec orientation positive vers le méridien de Greeenwich et l’axe yc, l’axe perpendiculaire aux axes xc et zc avec orientation positive vers le 90e méridien.
La forme le la terre est un géoïde mais, pour ce problème, on utilisera une approximation décrite par un ellipsoïde circulaire. Les axes de révolution des deux corps sont les mêmes. La section d’un ellipsoïde est une ellipse (de KRASOVSKY), avec le demi grand axe A = 6378.245[km] et le demi petit axe B = 6356.863[km]. Pour obtenir les équations de la transformation, il est utile de passer à la représentation paramétrique d’une ellipse :
Pour relier l’angle f à x et z, il suffit de calculer le vecteur normal à (x;z) et d’en déduire une expression pour tan(φ), puis cos(φ) et sin(φ).
Pour résoudre le problème du radar, il suffit de passer du système de coordonnées pour lequel l’avion a été repéré (premier radar P1 = (f1;l1)) dans le système de coordonnées du deuxième radar P1 = (f1;l1). Pour effectuer cette transformation, il faut procéder successivement à une translation et à trois rotations :
En résumé, les coordonnées de l’avion exprimées du point de vue du deuxième radar s’obtiennent en combinant les transformations suivantes :
A titre d’exemple, on pourra prendre les coordonnées respectives des radars situés à Genève Cointrin et à Zurich (données aimablement fournies par l’aéroport de Genève Cointrin) : P1 = (46∘14′23′′;6∘6′37′′), P2 = (47∘27′34′′;8∘32′57′′).
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