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Hans Walser
Die geheime Ordnung in der totalen Unordnung
Zusammenfassung
In 3x3-Quadraten und 4x4-Quadraten konstruieren wir mit Farb- und Formkombinationen verschiedene Auslegeordnungen mit unterschiedlich hoher Ordnungsstruktur. Dabei sto§en wir auch auf unerwartete Ordnungsstrukturen.
Unter Verwendung zweistelliger Codierungen und dem Einsatz von Positions-Zahlensystemen mit angepasster Basis erhalten wir so genannte ãHexenhuschenÒ. Mit geeigneten Vertauschungen knnen wir diese in magische Quadrate umbauen.
Der Hintergrund ist ein berhmtes Anordnungsproblem am Hofe der russischen Zarin Katharina der Gro§en, ein Problem das auch der berhmte Mathematiker Leonhard Euler aus Basel nicht vollstndig lsen konnte. Es brauchte ber 150 Jahre, bis das Problem vollstndig verstanden wurde.
Last modified: 19. Dezember 2018
Wir haben drei Farben (rot, grn, blau) und drei Formen (Kreis, Dreieck, Quadrat). Ein ordentlicher Mensch stellt das so dar:
Ordnung
Nun versuchen wir es mit maximaler Unordnung. Das hei§t wohl: In jeder Zeile und in jeder Spalte jede Farbe und jede Form. Versuchen SieÕs. Beispiel:
Maximale Unordnung
Auweia: Jetzt sehen wir in der einen Diagonalen rot und in der anderen dreieckig.
Wenn wir die Quadrate repetitiv aneinander setzen, wird es noch schner:
Wiederholung
In der einen Schrgrichtung sehen wir gleiche Farben, in der anderen gleiche Formen. Eine fast bengstigende Ordnung.
Wir knnen mit einer Liste codieren.
Codierung
Damit ergibt sich aus der unordentlichen Darstellung:
Codierung
Wir erhalten in jeder Zeile und in jeder Spalte die gleiche Summe, nmlich 15. Warum ist das so? Wir werden dies mit einer Idee von Euler einsehen.
Allerdings stimmen die Diagonalen nicht. Wir haben kein magisches Quadrat. Wir knnen dies aber justieren, indem wir die ersten beiden Spalten vertauschen.
Beim Vertauschen zweier Spalten (oder zweier Zeilen) ndern sich weder die Zeilensummen noch die Spaltensummen. Warum ist das so?
Vertauschen von Spalten
Im Mathematikum in Gie§en gibt es eine erweiterte Version unseres Spiels. Links die ordentliche, rechts eine unordentliche Situation.
Erweiterung des Spiels
In einem Parkett aus der unordentlichen Situation erkennen wir Strukturen. Einerseits haben wir Diagonalen mit gleichen Formfiguren.
Diagonalen mit gleichen Formen
Die Figuren mit gleichen Farben, zum Beispiel rot, bilden ein Raster mit Quadraten und Rhomben. Analog mit den andren drei Farben.
Rote Quadrate
Wir codieren im unordentlichen Quadrat mit folgender Liste:
Codierliste
Codierung
Wir erhalten wiederum Quadrate mit konstanten Zeilen- und Spaltensummen. Und wiederum stimmen die Diagonalen nicht.
Mit einer zyklischen Vertauschung von drei Spalten knnen wir das regeln.
Zyklische Vertauschung von drei Spalten. Magisches Quadrat
Die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensumme 34 finden wir auch an anderen Orten.
Summe 34
Summe 34. Gibt es weitere Beispiele?
Mit einer zweistelligen Codierung erhalten wir Einsicht in die Invarianz der Zeilen- und Spaltensummen.
Wir codieren unser Einstiegsbeispiel zweistellig nach den Kriterien Farbe und Form.
Zweistellige Codierung
Das blaue Quadrat erhlt somit den Code (blau / Quadrat) = 21. Wir codieren entsprechend das ganze unordentliche Quadrat:
Zweistellig codiert
Wenn wir die Codierung als Dezimalzahlen interpretieren, haben wir in jeder Zeile und in jeder Spalte die Summe 33. Wir haben in jeder Zeile und in jeder Spalte jeden Einer aus {0, 1, 2} und jeden Zehner aus {00, 10, 20} genau einmal.
Nun codieren wir nochmals um: Wir fassen die ãZehnerÒ als ãDreierÒ auf. Statt
interpretieren wir:
Klartext: Wir interpretieren die Zahlen im Positionssystem zur Basis drei und rechnen ins Dezimalsystem um. Es ergibt sich der Schlssel:
Umrechnungsschlssel
Damit erhalten wir:
bersetzung ins Dezimalsystem
Wir haben nun in jeder Zeile und in jeder Spalte jeden ãEinerÒ und jeden ãDreierÒ genau einmal.
Und nun addieren wir noch 1, damit wir wie blich die Zahlen von 1 bis 9 erhalten.
Addition von 1
Jetzt haben wir eine ãHexenhuschenÒ (Ausdruck einer Schlerin): Zahlen von 1 bis 9; in jeder Spalte und in jeder Zeile gibt es die Summe 15.
Hexenhuschen
Mit irgend einem maximal unordentlichen Quadrat ergibt das zweitstellige Codierungsverfahren ein Hexenhuschen.
Hexenhuschen sind keine ãmagischen QuadrateÒ; in den Diagonalen stimmt es in der Regel nicht mit der Summe.
Wir arbeiten mit quadratischen 3×3-Zahlenschemas (Matrizen), deren Zeilen- und Spaltensummen jeweils konstant sind. Die Zahlen mssen nicht mehr aufenander folgend von 1 bis 9 laufen. Sie knnen auch negativ oder sogar reell sein.
Addition
Subtraktion
Summe und Differenz zweier Hexenhuschen ist wieder ein Hexenhaus. Die Zeilen- und Spaltensummen sind ebenfalls Summe beziehungsweise Differenz.
Nachweis trivial.
Skalare Multiplikation
Multiplizieren eines Hexenhuschens gibt wieder ein Hexenhaus. Die Zeilen- und Spaltensummen werden entsprechend multipliziert. Nachweis trivial.
Die Hexenhuschen bilden einen Vektorraum.
Matrixprodukt
Das Matrixprodukt zweier Hexenhuschen ist wieder ein Hexenhuschen. Nachweis eine umfangreiche Rechnerei mit Summen. Zeilen- und Spaltensummen sind zu multiplizieren.
Es wird berichtet, dass Leonhard Euler, der ab 1766 wieder in St. Petersburg lebte und arbeitete, von der Zarin Katharina der Gro§en folgende Aufgabe erhielt.
Zum Divisionsball ordnet jedes der sechs anwesenden Regimenter fr jeden der sechs Dienstgrade je einen Offizier ab: Diese sechsunddrei§ig Offiziere sollen zur Feier des Tages so im Quadrat aufgestellt werden, dass in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Offizier eines jeden Regiments und eines jeden Dienstgrades steht.
Die Abbildung zeigt schematisch die ordentliche Version.
Ordentliche Version
Wir haben ebenfalls zwei Kriterien, Regiment und Dienstgrad, und zu jedem Kriterium sechs Flle. Das Problem erwies sich als sehr schwierig.
Auch Euler fand keine Lsung fr die maximal unordentliche Situation.
Er versuchte es mit Quadraten anderer Gr§en, wo er Lsungen fand.
Euler verwendete fr die beiden Kriterien mit lateinischen und griechischen Buchstaben. Fr ein 5×5-Quadrat sieht das dann so aus:
Griechisch-lateinisches Quadrat. Codierung
Die griechischen Buchstaben sind senkrecht alphabetisch angeordnet, aber in jeder Spalte gegenber der vorhergehenden um 2 versetzt. In jeder Zeile und jeder Spalte kommt jeder griechische Buchstabe genau einmal vor.
Die lateinischen Buchstaben sind in den Zeilen mit jeweils einem Versatz von 1 alphabetisch angeordnet. In jeder Zeile und jeder Spalte kommt jeder lateinische Buchstabe genau einmal vor.
Jede der 25 mglichen Kombinationen eines griechischen Buchstabens mit einem lateinischen Buchstaben kommt genau einmal vor.
Wir knnen im Zahlensystem mit der Basis 5 ein Zahlenquadrat mit konstanten Zeilen- und Spaltensummen bauen.
Bei den Diagonalensummen stimmt nur eine. In [1] ergibt sich mit einer anderen Buchstabenanordnung direkt ein magisches Quadrat.
Wir versuchen, auch die andere Diagonalensumme (rot) zum Stimmen zu bringen.
Grundstzlich knnen wir zwei beliebige Zeilen oder Spalten vertauschen, ohne dass sich an den Zeilen- und Spaltensummen etwas ndert. Allerdings wird dabei in der Regel die Stimmigkeit in der blauen Diagonale zerstrt.
Vertauschen zweier Zeilen
Die blau unterlegten Felder sind die Ecken eines Quadrates, dessen beide diametrale Summen mit 25 gleich gro§ sind. Wir knnen daher die zugehrigen Zeilen vertauschen, ohne dass die Stimmigkeit in der blauen Diagonale gestrt wird. In der roten Diagonale haben wir neu die Summe 90. Besser, aber noch nicht gut.
Vertauschen zweier Spalten
Wir knnen denselben Trick nochmals anwenden und die beiden markierten Spalten vertauschen. In der roten Diagonale haben wir nun die Summe 60. Das ist zu wenig.
Nochmals Vertauschen zweier Spalten
Nach einer weiteren Vertauschungsaktion erhalten wir (zufllig?) die rote Diagonalensumme 65. Wir haben ein magisches Quadrat fr n = 5 gefunden.
Magisches Quadrat
Dass es fr n = 2 nicht geht, ist sofort klar. Wenn wir links oben mit anfangen, folgt:
Versuch
Im Feld links unten msste wieder stehen, das ist aber bereits rechts oben gesetzt.
Euler vermutete auf Grund seiner Arbeiten, dass es fr alle Zahlen eine Lsung gibt au§er fr 2, 6, 10, 14, ... . Einen Beweis fand er nicht. Tatschlich ist die Vermutung der Nichtexistenz einer Lsung nur richtig fr 2 und 6. Erst 1901 wurde vom franzsischen Mathematiker Gaston Tarry die Nichtexistenz einer Lsung fr n = 6 bewiesen. Und erst 1959 fanden die amerikanischen Mathematiker Bose und Shrikhande mit Hilfe von Computern ein Gegenbeispiel (also eine Lsung) fr n = 10.
Ordentlich
Unordentlich
Schlie§lich bewiesen 1960 Parker, Bose und Shrikhande, dass Eulers Vermutung falsch ist fr alle Zahlen gr§er oder gleich 10.
ãIch habe mit dieser Methode eine sehr grosse Zahl derartiger umgeformter Quadrate untersucht, ohne ein einziges anzutreffen, das nicht denselben Fehler aufgewiesen htte: dass es nmlich kein System von ÒKonstruktionsformelnÓ gab, bei dem nicht die eine oder andere vertikale Reihe eine Zahl zweimal enthielt. Ich zgere nicht, daraus zu schliessen, dass man kein vollstndiges Quadrat von 36 Feldern herstellen kann, und dass dieselbe Unmglichkeit sich auf die Flle n = 10, n = 14 und allgemein auf alle Òungerade geradenÓ Zahlen [d.h. Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 haben] erstreckt.Ò
Ç JÕai examin par cette mthode un trs grand nombre de quarrs transforms semblables, sans en rencontrer un seul qui n'ait eu le mme inconvnient, de ne fournir aucun Systme de directrices dont lÕune ou l'autre bande verticale ne renfermt un nombre deux fois, et je n'ai pas hsit d'en conclure qu'on ne sauroit produire aucun quarr complet de 36 cases, et que la meme impossibilit s'tende aux cas de n = 10, n = 14 et en gnral tous les nombres impairement pairs. È (Euler 1782).
Literatur
Euler, Leonhard (1782) : E 530, Recherches sur une nouvelle espce de quarrs magiques, Vlissingen 1782 - Opera I 7, p. 291-392.
Walser, Hans (2018): Magische Symmetrie. MI,
Mathematikinformation Nr. 69, 15. September 2018. ISSN 1612-9156. 25-33.
Bei der Analyse magischer Quadrate ungerader Seitenlnge treten verschiedene Symmetrien auf. Umgekehrt ist fr die Konstruktion magischer Quadrate ein symmetrisches modulo-Rechnen problemadquat. Ebenso brauchen wir ein angepasstes symmetrisches Positionssystem.
[1] Hans Walser: Magische Quadrate ungerader Seitenlnge
[2] Hans Walser: Magisches Fraktal
[3] Hans Walser: Magische Kreise
[4] Hans Walser: Magische Quadrate quadrieren
[5] Hans Walser: Magische Quadrate berlagern
[6] Hans Walser: Magisches Puzzle
[7] Hans Walser: Muster in magischen Quadraten
[8] Hans Walser: Magische Symmetrie (Vortrag)