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Aufgabe 1. Seien drei zweimal stetig differenzierbare Funktionen, deren Differentiale punktweise und paarweise linear unabhängig sind, und so dass für ein einziges Konstanten mit und existieren. Zeige, dass positive differenzierbare Funktionen mit und existieren.
Aufgabe 2. (Fortsetzung.) Für wobei hinreichend klein vorausgesetzt wird, betrachten wir einen stetigen Polygonzug , der aus differenzierbaren Abschnitten besteht.
Zeige, dass für jedes
der Grenzwert
Aufgabe 3. (Fortsetzung.) Seien differenzierbare Funktionen ohne kritische Punkte, deren Niveaus lokal mit den Niveaus der Funktionen übereinstimmen. Zeige: .
Aufgabe 4. (Fortsetzung.) Berechne für .
Eine Aufteilung der Ebene in Linienscharen, die sich lokal als Niveaulinien von Funktionen ohne kritische Punkte mit paarweise linear unabhängigen Differentialen beschreiben lassen, heisst -dimensionales -Gewebe. Ein -dimensionales -Gewebe heisst infinitesimal schliessend, wenn die Funktion identisch ist. Für ein weiteres Studium der Gewebe ist das Gründerbuch dieser Theorie sehr zu empfehlen:
Wilhelm Blaschke und G. Bol, Geometrie der Gewebe: Topologische Fragen der Differentialgeometrie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 49, Berlin : Springer, 1938.
Aufgabe 5. Sei eine ebene kubische Kurve. Wir setzen voraus, dass die Kurve glatt ist und aus zwei Komponenten besteht. Zum Beispiel . Es existiert eine offene Teilmenge derart, dass für durch genau Tangentiallinien an existieren. Zeige, dass auf ein -Gewebe existiert, dass punktweise tangent an Tangentiallinien an ist. Berechne die -Funktion für dieses Gewebe. Ist das Gewebe (infinitesimal) schliessend?