Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03508.jsonl.gz/1227

Hans Walser, [20200510]
Monotone Krmmung
Kurven mit monoton wachsender Krmmung.
Insbesondere Klothoide.
Abb. 1: Zunehmende Richtungsnderung
Beim Gliederma§stab (Zollstock, Doppelmeter) der Abbildung 1 wurde beim ersten Gelenk, also bei 20 cm, eine Richtungsnderung (also ein Au§enwinkel) von 10¡ eingestellt, beim zweiten Gelenk eine Richtungsnderung von 20¡, und so weiter. Beim letzten Gelenk, also bei 180 cm, haben wir eine Richtungsnderung von 90¡. Wir erhalten eine einwrtslaufende eckige Spirale.
Frage 1: Wie kann die schrittweise zunehmende Richtungsnderung summarisch berprft werden?
Statt einer schrittweise wachsenden Richtungsnderung knnen wir mit einer kontinuierlich zunehmenden Richtungsnderung arbeiten. Damit kommen wir zum Konzept der Krmmung. Diese ist die momentane Richtungsnderung. Die Krmmung kann beide Vorzeichen haben. Linkskurven haben eine positive, Rechtskurven eine negative Krmmung.
Der Kreis, der sich in einem Kurvenpunkt am besten der Kurve anschmiegt, hei§t Krmmungskreis. Sein Radius ist der Kehrwert des Betrages der Krmmung. Je gr§er die Krmmung, umso schrfer die Kurve und entsprechend kleiner der Krmmungskreis.
Die Abbildung 2a zeigt die Klothoide. Die Krmmung der Klothoide wchst proportional zu deren Lnge. Im Wendepunkt ist sie null, im rechten Ast positiv, im linken Astnegativ.
Abb. 2: Klothoide
In der Abbildung 2b sind exemplarisch drei Krmmungskreise eingezeichnet. Die Krmmungskreise haben keine Punkte gemeinsam.
Ein Kreis ist gleichm§ig gekrmmt. Beim Durchfahren eines Kreises haben wir daher eine konstante Radialbeschleunigung. Wenn wir jedoch von einem geraden Stra§enstck abrupt in ein kreisfrmiges Stra§enstck einschwenken wrden, ergbe sich eine schlagartige Zunahme der Radialbeschleunigung. Um dies zu vermeiden, werden Stra§en und Eisenbahntrassen so gebaut, dass die Krmmung und damit die Radialbeschleunigung allmhlich zunehmen.
Frage 2: Welches war die kritische Stelle bei Gro§vaters Modelleisenbahn?
Die Krmmungskreise schneiden sich nicht (Abb. 2b und 3a). Wenn wir diese aber dichter zeichnen, nehmen wir sie nicht mehr als Einzelkreise wahr. Hingegen glauben wir die nicht gezeichnete Klothoide zu sehen.
Abb. 3: Optische Tuschung
Frage 3: Warum erscheint in der Abbildung 3 eine Gerade als Krmmungs-ãKreisÒ?
In allen drei Figuren der Abbildung 3 ist die Krmmung jeweils als lineare Funktion der Bogenlnge s mit dem Nullpunkt im Wendepunkt gewhlt worden. Mit der Schreibweise
(1)
wurde in den Abbildungen 3a), 3b) und 3c) fr a der Reihe nach 1, 2, und 3 gewhlt. Man kann zeigen, dass alle Klothoiden hnlich mit dem Skalierungsfaktor a sind.
Abb. 4: Die Klothoide
Die in der Abbildung 4 eingezeichneten so genannten Wickelpunkte sind durch gegeben.
Frage 4: Gibt es weitere geometrische Figuren, die jeweils zueinander hnlich sind?
Die Abbildung 5 zeigt ein aus Klothoiden gebautes Kleeblatt.
Abb. 5: Kleeblatt
Wir knnen (1) durch eine beliebige monotone Funktion ersetzen und erhalten dadurch jeweils eine Spirale.
In den Abbildungen 6a) und 6b) ist die Krmmungsfunktion eine Potenzfunktion in s vom zweiten beziehungsweise dritten Grad.
Abb.6: Krmmungsfunktionen zweiten und dritten Grades
In den Abbildungen 7a) und 7b) ist die Krmmungsfunktion exponentiell beziehungsweise logarithmisch. Der schwarze Punkt markiert den Nullpunkt der Streckenmessung.
Abb. 7: Krmmungsfunktion exponentiell und logarithmisch
Die Spirale der Abbildung 8b hat eine monoton wachsende Krmmung (Abb. 8a). Wir haben aber Stellen mit lokal konstanter Krmmung. Die Kurve ãeiertÒ.
Abb. 8: Monoton wachsende Krmmung
Die Kurve der Abbildung 9b hat eine Krmmung (Abb. 9a).
Abb. 9: Krmmungssprnge
Die Krmmung hat Sprnge. Sie ist zwar noch monoton wachsend, aber nicht mehr streng monoton wachsend. Die Kurve (Abb. 9b) besteht zunchst aus einem geraden Stck der Lnge . Dann folgt mit einem Krmmungssprung ein Viertelkreis-Bogen mit dem Radius 1 und damit ebenfalls der Lnge . Dann folgt ein Halbkreis-Bogen mit dem Radius und damit ebenfalls der Lnge . Dann folgt ein Dreiviertelkreis-Bogen mit dem Radius , dann ein sich schlie§ender voller Kreis mit dem Radius usw. Die Kurve ist keine Spirale mehr.
Bearbeitung der Frage 1: Es ist 10¡ + 20¡ + É + 90¡ = 450¡. Das letzte Gelenkglied muss also rechtwinklig zum ersten sein. Wir sehen, dass die Abbildung 1 nicht genau stimmt. Die Abbildung 10 zeigt die korrekte Situation. Zudem ist die Figur auch nach rckwrts gezeichnet. So ergibt sich eine Doppelspirale
Abb. 10: Verlngerung nach rckwrts
Bearbeitung der Frage 2: Im Gleisoval pflegte die Lok beim bergang vom geraden Gleisstck zum gebogenen Gleisstck (Abb. 11) aus den Schienen zu kippen.
Abb. 11: Gleisoval und Gefahrenpunkt
Beim bergang vom geraden Gleisstck zum gebogenen Gleisstck haben wir einen Krmmungssprung.
Bei Verwendung von Klothoidenbgen ndert die Krmmung stetig (Abb. 12).
Abb. 12: Kontinuierliche Krmmung
Bearbeitung der Frage 3: Im Wendepunkt haben wir die Krmmung null. Der zugehrige Krmmungskreis hat den Radius unendlich, ist also eine Gerade (nmlich die Wendetangente).
Bearbeitung der Frage 4: In der Ebene sind jeweils folgende Figuren zueinander hnlich: Geraden, Kreise, Quadrate, regelm§ige Vielecke gleicher Eckenzahl, quadratische Parabeln, gleichseitige Hyperbeln.
Websites
Hans Walser: Klothoide
Hans Walser: Krmmung
Hans Walser: Krmmungen
Hans Walser: Krmmung am Beispiel
Hans Walser: Krmmung der Krmmung