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Hans Walser, [20120401]
Schwerpunkte nach Archimedes
Wir konstruieren den Eckenschwerpunkt eines Vieleckes nach den Hebelgesetzen. Die Frage ist, auf wie viele Arten dies mglich ist.
Das Eineck besteht nur aus einem Punkt, und dieser ist sein eigener Schwerpunkt.
Bei zwei Punkten ist der Mittelpunkt ihrer Strecke der Schwerpunkt. Diese Konstruktion kann nur auf eine Art durchgefhrt werden (Abb. 1).
Abb. 1: Der Mittelpunkt ist Schwerpunkt
Wir verbinden zwei der drei Dreiecksecken. Deren Schwerpunkt ist der Mittelpunkt. In diesem Punkt hngen zwei Massen. Nun verbinden wir diesen (lokalen) Schwerpunkt mit der dritten Dreiecksecke, wir zeichnen also die Seitenhalbierende. Da wir an einem Ende (Seitenmitte) dieser Seitenhalbierenden zwei Massen haben, am anderen Ende (Dreiecksecke) aber nur eine, mssen wir fr den Schwerpunkt dritteln. Der Schwerpunkt ist ein Drittel von der Seitenmitte entfernt. Das ist dann auch der Schwerpunkt aller drei Dreiecksecken.
Diese Konstruktion kann auf drei Arten durchgefhrt werden (Abb. 2).
Abb. 2: Drei Konstruktionen des Schwerpunktes
Die berlagerung der drei Figuren ist von der Schule her bekannt (Abb. 3).
Abb. 3: berlagerung
Das gelb markierte Dreieck (Seitenmittendreieck) ist lngenm§ig halb so gro§ wie das Ausgangsdreieck. Es ergibt sich aus dem Ausgangsdreieck durch eine zentrische Streckung am Schwerpunkt mit dem Faktor . Der Flcheninhalt des gelben Dreiecks ist ein Viertel des Flcheninhaltes des Ausgangsdreieckes. Dies kann durch eine Parkettierung gezeigt werden.
Die Abbildung 4 zeigt ein Beispiel fr das Viereck. Zuerst wird halbiert (rot), dann gedrittelt (grn) und dann geviertelt (blau).
Abb. 4: Viereck
Es geht aber auch anders (Abb. 5). Da wird ausschlie§lich halbiert.
Abb. 5: Halbieren
Auf wie viele Arten kann im Viereck der Schwerpunkt nach Archimedes gefunden werden?
Fr Konstruktionen vom Typ der Abbildung 4 whlen wir zunchst einen Eckpunkt (4 Mglichkeiten) und verbinden mit einem anderen Eckpunkt (3 Mglichkeiten, rot). Dann zeichnen wir den Mittelpunkt dieser Strecke (rot) und verbinden mit einem weiteren Eckpunkt (noch 2 Mglichkeiten, grn. Diese Strecke dritteln wir. Der Drittelpunkt (grn) nher beim Mittelpunkt des ersten Konstruktionsschrittes ist der Schwerpunkt der bislang verwendeten Eckpunkte. Wir verbinden diesen grnen Schwerpunkt mit der verbleibenden Ecke (nur eine Mglichkeit, blau) und vierteln. Der Viertelpunkt (blau) nahe beim Schwerpunkt des zweiten Konstruktionsschrittes ist der Schwerpunkt der vier Eckpunkte.
Der erste Schritt (rot) wird bei dieser kombinatorischen Abzhlung allerdings doppelt gezhlt. Fr die Gesamtzahl der Konstruktionen nach dem Typ der Abbildung 4 ergeben sich somit Mglichkeiten. Die Abbildung 6 listet diese explizit auf.
Abb. 6: Die zwlf Beispiele
Fr die Konstruktionen vom Typ der Abbildung 5 mssen wir die 4 Eckpunkte in Paare aufteilen. Dazu gibt es Mglichkeiten. Der Mittelpunkt der Mittelpunkte der beiden Paare ist jeweils der Schwerpunkt der vier Ecken. Bei diesen Konstruktionen mssen wir lediglich halbieren. Die Abbildung 7 listet die drei Flle explizit auf.
Abb. 7: Drei Flle mit Halbieren
Es gibt also insgesamt 15 Flle. Die Abbildung 8 zeigt die berlagerung dieser 15 Flle.
Abb. 8: berlagerung
Die drei in der Abbildung 9 markierten Viereck sind Parallelogramme. Das erste ist ein Ladenhter der Schulgeometrie.
Abb. 9: Drei Parallelogramme
Das in der Abbildung 10 markierte gelbe Viereck ist hnlich zum Ausgangsviereck. Es ergibt sich aus dem Ausgangsviereck durch eine zentrische Streckung am Schwerpunkt mit dem Faktor .
Abb. 10: hnliches Viereck
Flchenm§ig ist das gelbe Viereck ein Neuntel des Ausgangsviereck. Ein Versuch, dies durch eine Parkettierung zu zeigen, scheitert (Abb. 11). An den Ecken des Ausgangsviereckes erscheinen Parallelogramme, welche nicht gleich gro§ sind.
Abb. 11: Keine Parkettierung
Wenn wir doch parkettieren (man kann mit jedem Viereck ein Parkett bauen), ergibt sich eine Umrissfigur mit neun Ecken, welche Flchengleich zum Ausgangsviereck ist (Abb. 12).
Abb. 12: Parkettierung
Die Flchengleichheit der beiden Figuren kann auch mit einem Zerlegungsbeweis gezeigt werden (Abb. 13).
Abb. 13: Zerlegungsbeweis
Die Abbildung 14 zeigt zwei verschiedene Beispiele fr das Fnfeck. Die gefllten Punkte illustrieren die bentigten Teilverhltnisse. Der Schwerpunkt ist schwarz gezeichnet.
Abb. 14: Fnfeck
Wer Lust hat, kann sich berlegen, wie viele Flle es beim Fnfeck insgesamt gibt.
Wir bezeichnen mit die Anzahl der Flle beim n-Eck.
Aus unseren Beispielen erhalten wir die Tabelle 1.
Tab. 1: Beispiele
Wir gehen davon aus, dass wir fr kennen und suchen eine Rekursionsformel fr .
Dazu unterteilen wir die n in zwei nichtleere disjunkte Teilmengen von k und Punkten. Dies geht auf Arten. Zur Teilmenge von k Punkten knnen wir auf Arten den Schwerpunkt konstruieren, zur Komplementrmenge auf Arten. Nun unterteilen wir die Verbindungsstrecke der Schwerpunkte der beiden Teilmengen im Verhltnis und erhalten so den Schwerpunkt der n Punkte. Somit ist:
Der Faktor ist erforderlich, weil die Teilmengen fr j Punkte sowohl fr wie auch fr bercksichtigt werden. Die Summe luft von 1 bis , weil die Teilmengen mindestens 1 und hchstens Elemente enthalten.
Mit Hilfe dieser Rekursionsformel und dem Startwert erhalten wir die Werte der Tabelle 2, Spalte 2.
Tab. 2: Beispiele. Zerlegung
Die Zahlen werden rasch gro§. Aus der dritten Spalte der Tabelle 2 ergibt sich die Vermutung fr eine explizite Formel:
Fr den Beweis dieser expliziten Formel arbeiten wir mit den Catalan-Zahlen. Die Anregung dazu erhielt ich von P. W. in A..
Eugne Charles Catalan, (1814 in Brgge – 1894), belgischer Mathematiker
Definition der Catalan-Zahlen:
Numerisch:
Fr die Catalan-Zahlen gilt die Rekursion von Segner 1758 (Johann Andreas von Segner, 1704 in Pressburg (Bratislava) – 1777 in Halle):
Mit Hilfe der Catalan-Zahlen knnen wir die vermutete explizite Formel umschreiben:
Zu zeigen ist: erfllt die Rekursion
mit dem Startwert .
Startwert: ok.
Rekursion:
Linke Seite:
Rechte Seite:
Nun verwenden wir die Rekursion von Segner:
Zunchst ist:
Durch Umindizieren ergibt sich:
Somit erhalten wir fr die rechte Seite:
Dies ist gleich der linken Seite.
Die explizite Formel ist bewiesen.