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Hans Walser, [20210207]
Rhomben
Eine Schlie§ungsfigur mit Šhnlichen Rhomben
Wir zeichnen zwei Šhnliche rote Rhomben, welche eine spitze Ecke in U (U ist der Nullpunkt des x-y-Koordinatensystems) gemeinsam haben. Die €hnlichkeit der Rhomben legen wir durch das DiagonalenverhŠltnis v (kurze Diagonale zu lange Diagonale) fest.
Die Abbildung 1 zeigt die Situation fźr v = ½.
Abb. 1: Zwei Šhnliche Rhomben
Nun passen wir zwischen die stumpfen Ecken der roten Rhomben zwei weitere Rhomben (blau) ein, welche Šhnlich sind zu den roten (Abb. 2).
Abb. 2: Zwei weitere Rhomben
Die beiden neu eingefźgten Rhomben haben eine Ecke gemeinsam. Wir haben eine Schlie§ungsfigur. Die Schlie§ungsfigur ist struktursymmetrisch.
Natźrlich kšnnten wir auch zwei stumpfe Ecken in U legen und entsprechend dual weiterfahren.
Der Beweis ist eine idyllische RechenaffŠre. Fźr den Start verwenden wir die Bezeichnungen der Abbildung 3.
Abb. 3: Bezeichnungen
Die Situation der beiden Rhomben ist durch v sowie P1 und P2 gegeben. Wir setzen:
Damit lassen sich die Koordinaten der Punkte Q1 und Q2 sowie R1 und R2 berechnen:
Nun setzen wir oben einen blauen Rhombus ein (Abb. 4).
Abb. 4: Eingesetzter Rhombus
Fźr die freien Ecken erhalten wir:
Wir hŠtten ebenso gut den unteren Rhombus einsetzen kšnnen (Abb. 5).
Abb. 5: Unterer Rhombus
Fźr dessen freie Ecken ergibt sich:
Wir sehen, dass S1 und S2 źbereistimmen. Damit ist die Schlie§ungseigenschaft gezeigt.
Die Abbildung 6 zeigt eine Iteration des Vorgehens.
Abb. 6: Iteration
Ohne Beweis einige weitere Eigenschaften.
Die beiden Diagonalen (Abb. 7) sind orthogonal. Ihr LŠngenverhŠltnis ist v.
Abb. 7: Diagonalen
Die beiden schwarzen Verbindungen der Gelenkpunkte (Abb. 8) sind gleich lang. Ihr Schnittwinkel ist gleich dem Rhombenwinkel.
Abb. 8: Verbindungslinien
Die Mittelpunkte der vier Rhomben sind Eckpunkte eines weiteren Rhombus (Abb. 9). Dieser ist Šhnlich zu den vier schon vorhandenen Rhomben.
Abb. 9: Weiterer Rhombus
Im Sonderfall v = 1 erhalten wir Quadrate (Abb. 10). In diesem Sonderfall ist die FlŠchensumme der roten Quadrate gleich der FlŠchensumme der blauen Quadrate.
Abb. 10: Quadrate