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Ziele des Projekts
Der erste Teil des Projektes geht der Frage nach, wann die Geometrie zweier fraktaler Sphären, die jeweils durch die Dynamik einer bestimmten Art von Selbstabbildung der Sphäre (Expanding Thurston Maps) induziert sind, vergleichbar ist. Ein Theorem von Bonk und Meyer (2017) führt die Geometrie einer fraktalen Sphäre auf die analytischen Eigenschaften der zugrundeliegenden Thurston Map zurück. Ich werde an einer Variante dieses Theorems arbeiten, welche auf den kombinatorischen Eigenschaften der jeweiligen Thurston Maps abstellt.
Der zweite Teil des Projektes widmet sich der Wahrscheinlichkeit geometrischer Äquivalenzen zwischen fraktalen Objekten, die durch Zufallsprozesse generiert wurden. Ich werde der Frage nachgehen, mit wie grosser Wahrscheinlichkeit zwei zufällig generierte Schneeflockenkurven (oder Schneesphären) Bilpschitz-äquivalent sind.
Wissenschaftlicher Kontext
Eine kombinatorische Variante von Bonk-Meyers Theorem kann als eine Charakterisierung von rationalen Abbildungen im Sinne von Thurstons berühmter Charakterisierung aus den 1980ern verstanden werden. Zudem könnte diese auch Cannons Vermutung (1980er) über visuelle Sphären hyperbolischer Gruppen teilweise bestätigen.
Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit geometrischer Äquivalenzen von zufälligen Objekten ist eine eher junge Frage und gegenwärtig in vielen Bereichen der reinen und angewandten Mathematik von grossem Interesse. Die Methoden, die ich zur Beantwortung meiner Fragestellung ausarbeiten werde, könnten sich auch in einem breiteren Kontext als relevant herausstellen.