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6.1. Zweiter (echter) Endlichkeitssatz für einfache 3-Mannigfaltigkei ten. In Lektion 4 wurde gezeigt, daß eine triangulierte 3-Mannigfaltigkeit nur endlich viele inkompressible geschlossene Flächen mit enthält, unter der Voraussetzung, daß es keine normalen Flächen mit gibt. Hier zeigen wir, daß der Satz für jede einfache 3-Mannigfaltigkeit mit Randmuster auch ohne diese Voraussetzung stimmt.
Satz 6.1. Sei eine triangulierte orientierbare 3-Mannigfaltigkeit mit Randmuster , das aus Kanten besteht. Nehmen wir an, daß irreduzibel, randirreduzibel und einfach ist. Dann gibt es für jedes eine endliche Menge von inkompressiblen randinkompressiblen Flächen in mit folgender Eigenschaft:
Jede inkompressible randinkompressible Fläche mit Kompliziertheit ist zu einer Fläche rein isotop (eine Isotopie heißt rein, wenn sie zu einer Isotopie erweitert werden kann).
Der Beweis stützt sich auf folgendes Lemma.
Lemma 6.1. Sei eine irreduzible randirreduzible normale Fläche in . Nehmen wir an, daß in der Form dargestellt werden kann, wobei ein unwesentlicher Torus oder ein reiner unwesentlicher Kreisring ist. Dann gilt: entweder ist zu einer Fläche mit dem kleineren Kantengrad rein isotop, oder hat eine Darstellung , wobei zu isotop ist und aus weniger Kurven als besteht.
Beweis. Erstens zeigen wir, daß das Ergebnis stimmt, wenn Scheiben- oder Halbscheibenflicken enthält. Das Verfahren dazu ist dasselbe wie in der algorithmischen Bestimmung des Geschlechts einer Randkurve (Lektion 3). Nehmen wir an, daß weder Scheiben- noch Halbscheibenflicken enthält. Dann sind alle Doppelkreise oder Doppelbögen auf nicht-trivial.
Sei ein Torus, der zu einem reinen Randtorus parallel ist.
1. Nehmen wir an, daß es in dem Raum zwischen beiden Tori einen Kreisringflicken gibt, der zu einem Kreisringflicken parallel ist. Es sind drei verschiedene Umschaltungen längs möglich (das vierte Paar von Umschaltungen produziert eine nicht zusammenhängende Fläche). Figur 1a zeigt, warum in zwei Fällen zu einer einfacheren Fläche rein isotop ist und in einem Fall eine einfachere Darstellung besitzt.
2. Nehmen wir an, daß aus Kreisringen besteht, die eine Randkomponente auf und die andere auf haben. Dann müssen die regulären Umschaltungen dieselbe Richtung haben, andernfalls bekommen wir eine nicht zusammenhängende Fläche. Figur 1b zeigt, warum zu der einfacheren Fläche rein isotop ist. Damit ist der Fall eines randparallelen Torus erledigt.
Die Fälle eines kompressiblen Torus und eines unwesentlichen Kreisrings lassen sich durch ein ähnliches Verfahren bearbeiten.
6.2. Der Aufbau von Scheidewänden fängt an.
Sei eine irreduzible randirreduzible 3-Mannigfaltigkeit. Fangen wir an, die charakteristische Menge von Hierarchien zu konstruieren.
Schritt 1. Wir beginnen mit .
Sei eine Kammer, die während der bisherigen Schritte erschienen war und die kein Vollring mit einem reinen Längskreis ist.
Schritt 2. Nehmen wir an, daß randreduzibel ist (wenn wie eine 3-Mannigfaltigkeit ohne Randmuster betrachtet wird). Dann wählen wir unter den randkomprimierenden Scheiben eine einfachste Scheibe, d. h. eine Scheibe , die die minimale Anzahl von Punkten in hat. Schritt 2 besteht darin, daß wir eine neue Scheidewand errichten.
Schritt 3. Nehmen wir an, daß randirreduzibel ist und einen wesentlichen Torus oder einen longitudinalen Kreisring enthält. Dann nehmen wir bzw als eine neue Scheidewand.
Schritt 4. Nehmen wir an, daß randirreduzibel ist und keine wesentlichen Kreisringe und Tori enthält. Dann ist einfach. Wir errichten eine einfachste Scheidewand, die nicht randparallel ist.
Die Schritte 2-4 müssen solange ausgeführt werden, wie es möglich ist (warum das Verfahren endlich ist, werden wir später sehen). Bei jedem Schritt vervielfältigen wir (zusammen mit dem entsprechenden teilweisen Gerüst in ) in so viele Exemplare, wie nötig ist, um alle Varianten zu realisieren. Am Ende bekommen wir eine endliche Menge von verschiedenen teilweisen Gerüsten in . Untersuchen wir die Struktur der Kammern, die man auf dieser Stufe sehen kann.
Satz 6.2. Es gilt:
Beweis: Zu 1: offensichtlich. Zu 2,3: folgt aus der Konstruktion, da andernfalls der Aufbau fortgesetzt werden könnte.
6.3. Der Aufbau von Scheidewänden geht weiter.
Es ist sehr leicht, die Vereinigung von Vollringen in Bälle zu zerlegen: es reicht eine Quersektion ein bißchen zu deformieren (Fig. 2a). Die Vereinigung von Kammern des zweiten Types besteht aus -Bündeln, Mannigfaltigkeiten und Quasi-Mannigfaltigkeiten von Stallings. Siehe Fig. 2b.
Die -Bündel lassen sich auch in Bälle zerlegen, da jedes solche Bündel nur endlich viele transversalen Kreisringe enthält (modulo Homöomorphismen ). Wir fügen diese Kreisringe ein. Für Mannigfaltigkeiten und Quasi-Mannigfaltigkeiten von Stallings arbeitet dasselbes Verfahren nicht, da ihre -Bündelkomponenten keinen freien Rand haben.
Schlußfolgerung. Das Homöomorphieproblem für
Mannigfaltigkeiten und Quasi-Mannigfaltigkeiten von Stallings muß
durch andere Methoden gelöst
werden.