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Lineare Algebra
Die letzten beiden Male habe ich diesen Kurs in einer Klasse unterrichtet, die vorher schon in den Genuss des Algebrakurses zu Körpern, Ringen und Gruppen gekommen ist. Daher werden oft auch die Körper Zp und die entsprechenden Matrizenringe als Beispiele verwendet. Exotische Beispiele wie etwa der Vektorraum aller supermagischen Quadrate der Kantenlänge 3 über Z7 machen nicht nur Spass, sondern sie fordern auch das Abstraktionsvermögen heraus. Und die Matrizenrechnung eröffnet ein weites Feld von möglichen selbständigen Schülerarbeiten.
Ein grosser Dank gebührt wiederum Alfred Hepp, der meine Skripte in vielen Stunden Arbeit via LaTeX in saubere pdf-Dokumente umgewandelt hat !
Vektorräume - Definition und Beispiele Download: LinAlg_01.pdf
Nach der axiomatischen Definition folgt als Hauptteil eine umfangreiche Sammlung von Beispielen von Vektorräumen. Schliesslich wird noch gezeigt, dass in den Rechengesetzen für Vektorräume die Strahlensätze enthalten sind, aus welchen ja die Ähnlichkeitssätze und die Satzgruppe des Pythagoras leicht abzuleiten sind.
Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Download: LinAlg_02.pdf
Wie üblich werden Basen als (geordnete) Mengen von Vektoren definiert, welche linear unabhängig und erzeugend sind. Für Vektorräume, die endliche erzeugende Mengen besitzen, wird dann gezeigt, dass zwei Basen immer gleich viele Vektoren enthalten, und die Dimension des Vektorraumes kann definiert werden. Schliesslich wird noch die Idee des Unterraumes eingeführt. Wieder lebt der Text von vielen Beispielen.
Lineare Abbildungen und Matrizen Download: LinAlg_03.pdf
Lineare Abbildungen von einem Vektorraum auf einen anderen werden eingeführt, es wird gezeigt, dass diese definiert sind, wenn die Bilder einer Basis festgelegt sind, und die eindeutige Zuordnung einer Darstellungs-matrix (über zwei gewählten Basen) wird besprochen. Die Begriffe "Kern" und "Bildraum" werden eingeführt und der Satz "dim(Kern) + dim(Bild) = dim(V)" wird bewiesen. Es tauchen auch die Begriffe "Isomorphismus" und "Automorphismus" zum ersten mal auf. Schliesslich wird noch untersucht, in welcher Beziehung Matrizen stehen, welche denselben Endomorphismus über zwei verschiedenen Basen darstellen.
Rang und Determinante Download: LinAlg_04.pdf
Der Rang einer Matrix wird eingeführt, es wird gezeigt, dass der Zeilenrang und der Spaltenrang gleich sind und mit dim(Bild) übereinstimmen. Für n = 1, 2, 3 wird die Determinante einer Matrix eingeführt und es wird gezeigt, dass eine lineare Abbildung genau dann bijektiv ist, wenn die Matrix quadratisch und ihre Determinante von null verschieden ist. Schliesslich wird noch gezeigt, wie mit dem Gauss-Algorithmus die Determinante einer beliebigen Matrix berechnet werden kann. Nicht bewiesen wird die Gültigkeit von det(A⋅B) = det(A)⋅det(B), nur schon weil die allgemeine Definition der Determinante fehlt.
Eigenwerte, Eigenvektoren und die Spur Download: LinAlg_05.pdf
Es werden die Begriffe 'Eigenwert' und 'Eigenvektor' eingeführt. Wir machen Gebrauch vom 'charakteristischen Polynom' einer Abbildung und fragen uns, wann eine Matrix diagonalisierbar ist. Zudem werden die bemerkenswerten Eigenschaften der Spur einer Matrix untersucht. Die Dimension des Unterraumes zu einem Eigenwert ist die 'geometrische Vielfachheit' der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
Lineare Abbildungen der euklidischen Ebene Download: LinAlg_06.pdf
Lineare (oder auch affine) Abbildungen der euklidischen Ebene auf sich selber haben einige besondere Eigenschaften. Insbesondere lassen sie sich immer als Produkt einer Rotation und einer Euler-Streckung schreiben. Zuerst zeigen wir, dass jede lineare Abbildung als Produkt einer Rotation und einer symmetrischen Matrix geschrieben werden kann, dann folgt der Satz von Euler über den 'invarianten rechten Winkel'. Offen bleibt die Frage, welche dieser Resultate sich wie auf den n-dimensionalen Raum übertragen lassen.
Affine Abbildungen Download: LinAlg_07.pdf
Nun werden auch noch Translationen gestattet. Die affinen Abbildungen des n-dimensionalen Raumes werden durch (n+1)-dimensionale Matrizen beschrieben, was das Rechnen enorm erleichtert, wenn man wie wir einen leistungsfähigen Taschenrechner einsetzt. Die verschiedenen relevanten Untergruppen der Affinitäten werden in einem netten Diagramm vorgestellt und zueinander in Beziehung gesetzt. Es folgen Hinweise auf die wichtigen kristallographischen Gruppen in 2d und 3d.
Die Aufgaben befassen sich mit Fixpunkten und Fixgeraden. Es wird noch der Begriff der 'Hyperebene' eingeführt, und viele Aufgaben befassen sich mit 'perspektiven Affinitäten', das sind diejenigen, die eine Hyperebene punktweise fix lassen.
Die letzte Seite enthält eine Liste von möglichen Anwendungen der Matrizenrechnung. Diese Themen sind alle schon erfolgreich von ehemaligen Schülern bearbeitet worden.