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Hans Walser, [20110204a]
Flchenzerlegung
Ein Quadrat soll mit kongruenten rechtwinkligen Dreiecken gem§ Abbildung so zerlegt werden, dass im Innern ein quadratisches Loch entsteht, das flchenm§ig halb so gro§ ist wie das Ausgangsquadrat.
Zerlegung des Quadrates
Wie gro§ sind die spitzen Winkel der rechtwinkligen Dreiecke?
Bearbeitung
Bezeichnung gem§ Abbildung.
Bezeichnungen
Es ist:
Daraus ergibt sich durch Elimination von b:
Fr die positive Lsung erhalten wir:
Daraus ergibt sich fr den Winkel :
Mein Taschenrechner gibt:
Das Resultat ist verdchtig. Knnte es 15¡ sein?
Wir kontrollieren mit dem guten alten Additionstheorem. Aus:
ergibt sich zunchst:
Damit erhalten wir:
Nun setzen wir die Quadrate neu zusammen gem§ Abbildung:
Neue Zusammensetzung
Wie gro§ ist der Flcheninhalt des neuen Quadrates?
Das neue Quadrat hat die Seitenlnge . Mein Taschenrechner gibt fr die Flche . Schon wieder verdchtig. Diesmal lassen wir uns nicht lumpen. Gem§ der ursprnglichen Aufgabe sind die vier rechtwinkligen Dreiecke zusammen flchenm§ig halb so gro§ wie das ursprngliche Quadrat, das in der neuen Position als wei§es Loch erscheint. Daher ist exakt .