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Hans Walser, [20140107]
Parabel vierten Grades
Anregung, Idee und Hinweise: B. v. P., O.
Die Parabel vierten Grades mit zwei reellen Wendepunkten hat Schrgspiegelsymmetrie sowie einige Verhltniseigenschaften. Insbesondere kommen der Goldene Schnitt und das DIN-Format vor. Die beiden Wendepunkte spielen eine wichtige Rolle.
Die folgenden Abbildungen basieren auf der Parabel mit der Gleichung:
Die festgestellten Eigenschaften gelten aber fr alle Parabeln vierten Grades mit zwei reellen Wendepunkten.
Beweise im nchsten Abschnitt.
Die Parabel der Abbildung 1 hat auf den ersten Blick keine Symmetrie.
Abb. 1: Parabel vierten Grades
In der Abbildung 2 sind die beiden Wendepunkte eingetragen. Die Gerade durch die beiden Wendepunkte nennen wir Wendepunktgerade. Durch den Mittelpunkt der beiden Wendepunkte zeichnen wir eine zur y-Achse parallele Gerade.
Abb. 2: Wendepunkte
Die Abbildung 2 lsst vermuten, dass die Parabel eine Schrgspiegelsymmetrie hat. Die Achse ist die zur y-Achse parallele Gerade, die Spiegelrichtung ist durch die Wendepunktgerade gegeben.
In der Abbildung 3 ist zustzlich unten die Tangente eingetragen, welche die Parabel zwei Mal berhrt. Diese Tangente berbrckt die konkave Einbuchtung der Parabel. Die Tangente ist parallel zur Wendepunktgerade.
Abb. 3: Untere Tangente
Man beachte, dass die beiden Berhrungspunkte der unteren Tangente nicht die lokalen Tiefpunkte der Parabel sind.
In der Abbildung 4 ist weiter die innere Tangente eingezeichnet, welche durch den Schnittpunkt der Achse mit der Parabel verluft. Diese innere Tangente ist ebenfalls parallel zur Wendepunktgerade.
Abb. 4: Innere Tangente
Der Berhrungspunkt der inneren Tangente ist nicht der lokale Hochpunkt der Parabel.
Die Wendepunktgerade teilt den durch die untere und die innere Tangente gegebenen Streifen (Abb. 4) im Breitenverhltnis 4 : 5. Dies gilt nicht nur fr unser Beispiel, sondern fr alle Parabeln vierten Grades mit zwei reellen Wendepunkten.
Die vier in der Abbildung 5 eingezeichneten Punkte auf der Wendepunktgeraden, also die beiden Wendepunkte und die beiden u§eren Schnittpunkte der Wendepunktgeraden mit der Parabel, teilen im Verhltnis des Goldenen Schnittes, und zwar in der Reihenfolge Minor-Major-Minor (der Dicke in der Mitte). ber den Goldenen Schnitt vergleiche (Walser, 2013a).
Abb. 5: Goldener Schnitt
Wir knnen das mit Goldenen Rechtecken illustrieren (Abb. 6).
Abb. 6: Goldene Rechtecke
Der Abschnitt der inneren Tangente zwischen den beiden u§eren Schnittpunkten mit der Parabel ist mal so lang wie der Abschnitt der unteren Tangente zwischen den beiden Berhrungspunkten. Hier kommt das Seitenverhltnis des DIN-Formates ins Spiel. ber das DIN-Format vergleiche (Walser, 2013b). Die Abbildung 7 illustriert das mit einem Rechteck im DIN-Format.
Abb. 7: Rechtecke im DIN-Format
Natrlich lsst sich das auch mit rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecken illustrieren (Abb. 8).
Abb. 8: Rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke
Die beiden roten Flchen (Abb. 9) sind gleich gro§ und zusammen so gro§ wie die zyanfarbene Flche. Diese wird durch die Achse halbiert.
Abb. 9: Gleiche Flchen
Die beiden grnen Flchen (Abb. 10) sind gleich gro§ und zusammen mal so gro§ wie die gelbe Flche.
Abb. 10: Flchenfaktor Wurzel aus 2
Die in unseren Feststellungen verwendeten Begriffe Wendepunkt, Parallelitt, Teilverhltnis und Flchenverhltnis sind affin invariant. Bei einer affinen Abbildung, welche die Richtung der y-Achse invariant lsst, ist auch der Begriff Parabel vierten Grades invariant.
Wir standardisieren die Parabel vierten Grades mit einer affinen Abbildung so, dass die beiden Wendepunkte auf die Punkte mit den Koordinaten und zu liegen kommen. Ferner soll die Parabel durch den Punkt verlaufen. Wir beschreiben die Parabel also in dem in der Abbildung 11 angedeuteten blauen Koordinatensystem.
Abb. 11: Affin verzerrtes Koordinatensystem
Aus dem Ansatz
erhalten wir:
Dieses Gleichungssystem hat die Lsung:
In diesem blauen Koordinatensystem erhlt die Parabel also die standardisierte Gleichung:
Dies ist eine gerade Funktion, womit die Symmetrie durch die Schrgspieglung nachgewiesen ist.
Die Funktionsformel lsst sich faktorisieren:
Freude herrscht, weil erscheint.
In orthonormierten kartesischen Koordinatensystem sieht diese Parabel gem§ Abbildung 12 aus. Es sind auch die Koordinaten der relevanten Punkte eingetragen, ein Eldorado in Quadratwurzeln. Aus diesen Koordinaten lassen sich alle oben festgestellten Teilverhltnisse ablesen.
Abb. 12: Standardisierte Parabel
Die Abbildung 13 illustriert das erste Flchenverhltnis.
Abb. 13: Erstes Flchenverhltnis
Fr die rote Flche erhalten wir:
Fr die zyanfarbene Flche ergibt sich:
Damit haben wir die Flchenverhltnisse in der Reihenfolge 1 : 2 : 1.
Die Abbildung 14 illustriert das zweite Flchenverhltnis.
Abb. 14: Zweites Flchenverhltnis
Fr die grne Flche ergibt sich:
Fr die gelbe Flche ergibt sich:
Somit haben wir die Flchenverhltnisse in der Reihenfolge .
Literatur
Walser, Hans (2013a). Der Goldene Schnitt. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing ber populrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. 6. Auflage. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.
Walser, Hans (2013b): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.