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Hans Walser, [20111016b]
Wrfel und Oktaeder
Welches ist das gr§te Oktaeder, das einem Wrfel einbeschrieben werden kann? Wir beschreiben die Konstruktion in zwei Schritten.
Zunchst nehmen wir die Seitenflchenmitten des Wrfels als Eckpunkte des Oktaeders.
Oktaeder im Wrfel
Das Volumen des Oktaeders ist des Wrfelvolumens. Dieses Oktaeder ist das kleinste, das dem Wrfel so einbeschreiben werden kann, dass jede Oktaederecke die Wrfeloberflche berhrt.
Nun drehen wir das Oktaeder um eine Achse, welche einer Krperdiagonalen des Wrfels entspricht, um 60¡.
Gedrehtes Oktaeder
Anschlie§end strecken wir vom Zentrum aus mit dem Faktor . Natrlich htte man Drehung und Streckung zu einer Drehstreckung zusammenfassen knnen.
Gestreckt
Die Oktaederecken liegen auf Wrfelkanten und vierteilen diese. Das Oktaeder ist vollstndig verkeilt. Ich vermute, dass dies die optimale Lsung ist. Gegenber dem ursprnglichen Oktaeder sind die Lngen um den Faktor vergr§ert worden. Das Volumen ist also mit dem Faktor vergr§ert worden und betrgt nun des Wrfelvolumens.
Es gibt insgesamt vier solcher Positionen fr das Oktaeder, da es fr die erste Drehung vier mgliche Krperdiagonalen als Achsen gibt.
Vier Oktaeder im Wrfel
Die Oktaederkanten auf der Wrfeloberflche dritteln sich gegenseitig.
Wenn wir den Wrfel weglassen, ergibt sich ein Stern mit 24 Spitzen.
Stern
Die Schnittmenge der vier Oktaeder ist ein Kuboktaeder mit auf den Seitenquadraten aufgesetzten ziemlich flachen Pyramiden.
Durchdringung der vier Oktaeder
Welches ist der gr§te Wrfel, der einem Oktaeder einbeschrieben werden kann? Wir beschreiben die Konstruktion in zwei Schritten.
Zunchst nehmen wir die Seitenflchenmitten des Oktaeders als Eckpunkte des Wrfels. Das Volumen des so entstehenden Wrfels ist des Oktaedervolumens.
Wrfel im Oktaeder
Nun drehen wir den Wrfel um eine Krperdiagonale des Oktaeders (es gibt keine anderen Diagonalen im Oktaeder) um 45¡.
Gedrehter Wrfel
Nun Strecken wir mit dem Faktor .
Gestreckter Wrfel
Die Wrfelecken teilen die Oktaederkanten im Verhltnis . Das ist das Verhltnis der Seiten eines Rechtecks im DIN-Format.
Das Volumen des Wrfels ist nun des Oktaedervolumens.
Es gibt drei Positionen des Wrfels im Oktaeder.
Drei Wrfel im Oktaeder
Wrfelstern
Die Schnittmenge der drei Wrfel ist ein an den Ecken bis auf die Inkugel herab abgestumpftes Rhombendodekaeder.
Durchdringung der drei Wrfel
Wer Lust hat, kann das selbe Spielchen fr Ikosaeder und Dodekaeder durchfhren.