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Berechnungen an Kreisen
Was ist ein Kreis? Und welche Besonderheiten hat ein Kreis? Kennst du Dinge aus deiner Umgebung, die kreisförmig sind?
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Themenübersicht in Berechnungen an Kreisen
Kreise
Der Begriff Kreis wird im Alltag und auch im Mathematikunterricht oft nicht einheitlich genutzt. Um dieses Problem zu lösen, unterscheiden wir die Begriffe Kreislinie und Kreisscheibe.
Die Kreislinie ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, die den gleichen Abstand $r$ zu einem gegebenen Punkt $M$ haben. Wir nennen $r$ den Radius und $M$ den Mittelpunkt des Kreises.
Die Kreisscheibe ist dann die Menge aller Punkte, die von der Kreislinie eingeschlossen werden.
Diese Unterscheidung sollte dir immer klar sein, damit du weißt, was genau gemeint ist, wenn der Begriff Kreis genutzt wird.
Man bezeichnet die Kreislinie auch als die Peripherie des Kreises.
Die Kreiszahl Pi
Sehr wichtig im Zusammenhang mit Berechnungen rund um Kreise ist die Kreiszahl $\pi$ (Pi).
Diese Zahl ist eine Dezimalzahl, die weder endet noch periodisch ist. Solche Zahlen werden irrational genannt. Die Zahl ist (Stand November 2016) bis auf $22,4$ Billionen Stellen nach dem Komma berechnet.
Hier siehst du die Kreiszahl $\pi$ mit $35$ Nachkommastellen:
$\pi\approx 3,14159265358979323846264338327950288$
Flächeninhalt und Umfang
Zur Berechnung von Flächeninhalt und Umfang eines Kreises benötigst du die Kreiszahl $\pi$.
Der Umfang eines Kreises lässt sich mit der Formel $u=2\cdot \pi\cdot r$ oder mit $u=\pi\cdot d$ berechnen, wobei $d=2r$ der Durchmesser des Kreises ist.
Für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises verwendest du die Formel $A=\pi\cdot r^{2}$ bzw. $A=\frac14\cdot \pi\cdot d^{2}$.
Winkel am Kreis
Winkel, deren Scheitelpunkt auf der Peripherie des Kreises liegen und deren Schenkel Sehnen des Kreises sind, heißen Peripheriewinkel oder Umfangswinkel. Eine Sehne ist dabei eine Strecke, deren beiden Endpunkte auf der Kreislinie liegen. Ist der Scheitelpunkt der Mittelpunkt des Kreises, so heißt der Winkel Zentriwinkel.
In der Abbildung ist $\alpha$ ein Zentriwinkel. Die beiden Winkel $\beta$ und $\gamma$ sind Peripheriewinkel.
Es gilt der Umfangswinkelsatz: Alle Peripheriewinkel (Umfangswinkel) zu dem gleichen Kreisbogen sind gleich groß. Dies bedeutet in der obigen Abbildung, dass $\beta=\gamma$ gilt.
Der Zentriwinkelsatz besagt, dass der Zentriwinkel zu einem Kreisbogen doppelt so groß ist wie ein Peripheriewinkel zu dem gleichen Kreisbogen. Es gilt also in der obigen Abbildung zum Beispiel $\alpha=2\beta$.
Kreisausschnitt, Kreisbogen und Kreisabschnitt
Der Kreisbogen eines Kreises ist ein Teil des Kreisrandes. Dieser wird in der Abbildung mit $b$ bezeichnet.
Die Länge dieses Kreisbogens $b$ hängt von dem Zentriwinkel $\alpha$ ab. Es gilt:
$b = \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi \cdot r$
Im Zusammenhang mit dem Kreisbogen kannst du dir überlegen, wie die eingeschlossene Fläche berechnet wird.
Ein Kreisausschnitt ist ein Teil der Kreisfläche. Die Fläche dieses Kreisausschnittes berechnest du mit dieser Formel:
$A= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^{2}$
Anwendungsaufgabe
Hier siehst du noch eine Anwendungsaufgabe zur Berechnung an Kreisen. Du hast einen kreisförmigen Schokoladenkuchen gebacken. Dieser hat den Radius $r=14~\text{cm}$. Nachdem der Kuchen abgekühlt ist, möchtest du eine Schokoladenschicht über den Kuchen verteilen. Auf der Verpackung steht, dass die Schicht für ungefähr $700~\text{cm}^{2}$ Fläche ausreicht. Du verwendest hier die Flächeninhaltsformel $A=\pi\cdot r^{2}$ und setzt den gegebenen Radius ein. So erhältst du $A=\pi\cdot (14~\text{cm})^{2}$. Das ergibt ungefähr $615,75~\text{cm}^{2}$. Also reicht eine Packung, um den Kuchen mit einer Schokoladenschicht zu überziehen.
Lass dir den Kuchen schmecken.