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Hans Walser, [20080214b]
Ecktransversalen im Dreieck
In einem Dreieck werden alle drei Seiten gedrittelt und dann die Ecktransversalen gem§ Figur eingezeichnet.
Ecktransversalen
Dann entsteht in der Mitte ein Dreieck, dessen Flche der gro§en Dreiecksflche ist.
Das Problem soll zum ersten Mal 1912 in St. Petersburg in einer Prfung gestellt worden sein (vgl. [Alexanderson/Ross 2007], S. 279).
Wir betten das kleine Dreieck in einen Dreiecksraster ein.
Dreiecksraster
Dann sehen wir, dass das gro§e Dreieck genau 7 kleine Dreiecke enthlt. Aus Symmetriegrnden knnen wir nmlich die Teile na und nb, , jeweils zu einem kleinen Dreieck zusammenfgen.
Das Problem ist affin invariant, wir knnen uns also auf ein regulres Dreieck in der angegebenen Disposition beschrnken.
Standardisierte Version
Das Dreieck hat die Eckpunktskoordinaten . Wir fhren nun ein allgemeines Teilverhltnis ein. Im Eingangsbeispiel war .
Die Idee ist nun folgende: Das kleine Dreieck ist wiederum ein regulres, der Abstand der Transversale ist der Inkreisradius dieses Dreiecks. Damit sind die Flchenverhltnisse berechenbar.
Die Transversale hat die Gleichung:
und damit die Hessesche Normalform:
Fr den Abstand vom Ursprung und damit fr den Inkreisradius des kleinen Dreieckes erhalten wir daraus:
Das gro§e Ausgangsdreieck hat den Inkreisradius ; das Radienverhltnis ist also:
und das Flchenverhltnis das Quadrat davon:
Beispiele:
Weiter ist:
Dies ist auch geometrisch klar.
Funktionsgraf:
Literatur:
[Alexanderson/Ross 2007] Alexanderson, Gerald L. and Peter Ross: The Harmony of the World. 75 Years of Mathematics Magazine. The Mathematical Association of America. 2007. ISBN 978-0-88385-560-7