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Voraussetzung für das Verständnis der Differentialgeometrie und Mathematik gekrümmter Räume sind einige Kenntnisse der Differentialrechnung mit mehreren Variablen. Im Wesentlichen genügen partielle Ableitungen um die Grundgedanken gekrümmter Räume zu verstehen.
Ich verwende folgende Notationen in diesem Dokument:
Generell sind Tensoren keine Konstanten, sondern Funktionen des Ortes. Dies würde man wiefolgt schreiben:
Da jedoch impliziert wird, dass Tensoren Funktionen des Ortes sind, lasse ich (\vec x) in der Regel weg.
Tensoren haben einen Rang. Wenn im Text von einem Tensor die Rede ist, schreibe ich neben kursiven Buchstaben Dummy-Indizes hin, um den Rang anzuzeigen:
Eigentlich handelt es sich bei dieser Darstellung nicht um einen Tensor, sondern um Tensor-Komponenten. Dies muss in Formeln genauer unterschieden werden, da man nicht Tensoren und Tensor-Komponenten vermischen darf. Daher schreibe ich einen Tensor in einer Formel:
Ob die Indizes oben oder unten stehen spielt bei der Tensor-Bezeichnung keine Rolle. Die Indizes lassen sich mit Index-Manipulation per Metrik-Tensor verschieben.
In der Literatur werden Hochkommas für transformierte Tensoren verwendet. In meiner Beschreibung kommen jedoch oft explizit die zwei Koordinatensysteme X und Y vor. Um Anzuzeigen, bezüglich welchem Koordinatensystem eine Tensor-Komponente gemessen wird, schreibe ich, wo hilfreich, das Koordinatensystem als grossen aufrechten Buchstaben in Klammern hinter den Tensor: