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so ist mit um so größerer Genauigkeit σ = RP . τ = RP' . τ, je kleiner PP' ist, und daher RP = σ/τ, wobei σ als Bogen
eines Kreises vom Halbmesser A ausgedrückt ist (180° = π, 1° = π/180 etc., s.
Kreis). Daher ist der Krümmungshalbmesser ρ gleich dem Grenzwert, den σ/τ annimmt, wenn σ und τ in
Null übergehen. Die Berechnung dieses Wertes ist Gegenstand der Differentialrechnung.
[* 7] Da die Krümmung eines Kreises um so geringer
ist, je größer sein Halbmesser, so betrachtet man als Maß der Krümmung einer ebenen Kurve die Einheit, dividiert durch den Krümmungshalbmesser.
Handelt es sich um eine Kurve im Raum, deren Punkte nicht in einer Ebene liegen, so kann man durch drei Punkte derselben eine
Ebene und in dieser einen Kreis legen. Läßt man die drei Punkte zusammenfallen, so geht die Ebene in die Oskulations- oder Schmiegungsebene,
der Kreis in den Krümmungskreis über; der reciproke Wert des letztern ist das Krümmungsmaß für die
erste Krümmung der Kurve. Eine solche Kurve hat aber noch eine zweite Krümmung: denken wir uns für zwei benachbarte Punkte P und P' die
Oskulationsebenen konstruiert, welche einen Winkel τ' einschließen, so ist der Wert, dem τ'/(PP') sich unbegrenzt
nähert, wenn Zähler und Nenner zugleich in Null übergehen, das Maß für die zweite Krümmung oder für die Torsion (Windung). Deshalb
heißen auch solche Kurven gewundene Kurven oder Kurven doppelter Krümmung. - Die Krümmung der krummen Flächen endlich beurteilt man nach
der Krümmung ihrer Normalschnitte, d. h. der Schnitte, deren Ebenen senkrecht auf der Tangentialebene eines Punktes
P der Fläche stehen. Unter diesen Schnitten hat einer in P den größten Krümmungsradius ρ, der darauf rechtwinkelige aber
den kleinsten ρ'; Krümmungsmaß für die Fläche ist dann nach Gauß 1/(ρρ').