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Comme l’explique Olivier Cahen dans son livre « l’image en relief », en angulant les caméras, on courbe le plan stéréo! Il nomme ce phénomène la déformation en proue de vaisseau. La courbure de l’espace varie en fonction de la focale, de la distance entraxe et de la distance du plan stéréo choisis (qui conditionne l’angulation des caméras).
Autrement dit, lorsque l’on filme une surface plane (figure 1) cette dernière va être reproduite de manière plus ou moins courbe en projection (figure 2 )
C’est une notion fondamentale à prendre en compte si on travaille avec l’angulation.
Outil de calcul
Nous avons créé un tableau excel (télécharger) qui permet de calculer l’importance de la déformation. Ce tableau compare la distance du plan stéréo (p) avec la distance reproduite AB calculée mathématiquement selon la formule démontrée ci-dessous. Une courbe graphique indique les pourcentages de déformation en fonction de la position du point par rapport au centre de l’image.
L’axe des X représente la distance du point mesuré par rapport au centre de l’image (0 = centre), l’axe des Y représente l’erreur de courbure. Plus cette erreur est grande, plus la courbure de l’espace est importante.
Voici quelques exemples de courbes:
Conséquences
On peut remarquer que la courbure du plan stéréo:
- est d’autant plus importante que l’on s’éloigne du centre de l’image.
- ne change pas avec la distance du plan stéréo p sauf pour des distances très faibles (et donc des angulations très fortes)
- augmente avec l’écartement entraxe t
- diminue avec l’augmentation de la focale f
Ce qui veut dire pratiquement que:
- L’utilisation de focale courte courbe fortement l’espace dans les bords de l’image
- Si la distance du plan stéréo est très petite, on évitera d’anguler les caméras
- On évitera d’utiliser une angulation trop forte avec un écartement (t) important
Démonstration mathématique
Grâce à la contribution de Dominique Corseaux, voici une explication géométrique du phénomène:
Le schéma ci-dessous va nous servir de support à la démonstration.
Cg et Cd : centres des capteur des caméras gauche, respectivement droite.
Og et Od : lieu de formation des l’images du point A sur le capteur droit, respectivement gauche.
p : distance du plan stéréo désirée
O et O’ : points noeudal des caméras gauche, respectivement droite.
Afin de placer le plan stéréo à une distance p, nous angulons chaque caméra d’un angle α correspondant à arctg t/(2*p) (voir Méthode Samuelson).
α reste inchangé pour tous les points de l’images.
Nous voulons connaître à quelle distance de la caméra sera restitué le point A’ placé sur le plan stéréo. Pour cela nous allons déduire mathématiquement la distance AB.
B étant le point qui se trouve à l’intersection de la droite passant par les deux points nœudals O et O’ et par la perpendiculaire au plan stéréo passant par le point A.
Déduire la distance AB
Premièrement, nous pouvons déterminer que l’angle β formé par l’axe de prise de vue et la droite reliant un point A à son image Og est égale à
ß=arctg CgOg / f
Nous constatons que géométriquement, plus le point A est éloigné du centre de l’image, plus β augmente.
Deuxièmement, grâce au théorème des sinus, on peut déduire que :
l’angle BÂO’ = α+β
Et que
l’angle BÂO = α-β
Explication géométrique:
Donc :
AO’ = OO’ * SIN (∏/2 – α + β ) / SIN (2 * α)
et
BO’ = AO’ * SIN (α + β)
Considérant le triangle rectangle formé par les points A,B et O’, nous pouvons déduire grâce au théorème de Pythagore que :
AO’² = BO’² + AB²
Donc
AB = √(AO’² – BO’² )
Nous savons que que les distances CdOd = CgOg ; nous pouvons donc conclure que le phénomène de courbure sera le même à droite et à gauche de l’image.