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Interrogations, conjectures, suppositions, mystères. Même si leur infinitude est prouvée depuis des millénaires, les nombres premiers continuent à faire de la résistance. Existe-t-il une fonction qui les engendre tous, si possible dans l’ordre ? Une équation polynomiale simple ne comportant que des premiers comme solutions ? Comment se comportent leurs écarts successifs lorsqu’ils tendent vers l’infini ? Toutes ces questions sont à ce jour sans réponses. Le graphique ci-contre présente deux courbes, l'une régulière, l'autre moins. La rouge désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à x. La bleue correspond à la courbe d’équation de la fonction logarithmique x/log(x). On remarque qu’elles sont très proches l’une de l’autre. Qu’elles se touchent presque par endroits.
On sait que les nombres premiers se raréfient à l’approche de l’infini (encore que leur apparition, dans de très grands intervalles, demeure souvent aléatoire), ce qui peut sembler logique. En clair, plus un nombre est grand et moins il y a de chances qu’il soit premier. La question de leur fréquence et de leur répartition est depuis longtemps un point essentiel de la recherche en théorie des nombres. C’est au XIXe siècle qu’a été démontré, à la fois (et indépendamment) par le Français Jacques Hadamard (1865 - 1963) et le Belge Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962), le théorème des nombres premiers, lequel permet une approche assez précise et fiable de leur distribution asymptotique. Il illustre exactement ce qu’établit le graphique ci-dessus et s’énonce par la formule qui suit:
Ici, le symbole Pi ne désigne pas le célèbre nombre transcendant que tout le monde connaît, mais le nombre de premiers inférieurs à n, et ln est la fonction logarithmique naturelle (courbe bleue ci-dessus). On peut également formuler le théorème en disant que pour un P premier assez grand, l’intervalle {1,…, P} contient environ P/log (P) nombres premiers. D’autres formulations encore plus précises font appel à un symbolisme mathématique qui viendrait sans doute alourdir ce billet en m’obligeant à expliquer des notions que je n’aborde pas pour cette fois.
Cela étant, l’observation graphique ne constitue pas une preuve, même si la formule est «aisément» déductible du comportement de nos deux courbes. Pour établir cette égalité, il a donc fallu la démontrer. Je ne vais pas tenter de résumer cette démonstration, trop complexe pour ce billet, mais me contenter de dire qu’elle fait appel à plusieurs égalités ou fonctions fondamentales en mathématiques. A commencer par la célèbre fonction zêta de Riemann que voici :
qui est une somme infinie (comme l’indique le Sigma majuscule) dans laquelle les n désignent les entiers naturels de 1 à l’infini alors que les s sont des nombres complexes de la forme a + bi avec i désignant le nombre imaginaire, soit la racine carrée de – 1. A priori, on peut se demander ce qu’elle a de commun avec les nombres premiers. Enormément de choses, et c’est le Suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) qui va le démontrer en établissant que la fonction de Riemann est équivalente au produit infini ci-dessous :
Vous suivez ? Si vous êtes arrivés jusque là, je suppose que la réponse est oui. Le Pi majuscule désigne là un produit infini, et ce qu’il y a de remarquable, c’est que ce dernier s’établit cette fois pour tous les p premiers et non pour les n entiers. Cette merveilleuse égalité relie tout simplement les deux. Montre un lien entre les entiers et les premiers. Ce qui est aussi miraculeux qu’inouï. En résumé, la démonstration du théorème des nombres premiers va faire avancer d’un bond énorme la théorie des nombres. Et laisser entrevoir la perspective d’une possible répartition logique des nombres premiers sur la droite menant à l’infini. Mais pour cela, il sera nécessaire de se pencher sur la célèbre hypothèse de Riemann, Graal absolu des mathématiques, puisque toujours irrésolue, et ce sera dans un billet futur.