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Hans Walser, [20190523]
Rollkurven und Evolute
Verallgemeinerung der Kardioide und der zugehšrigen Evolute. Illustrationen.
Wird auf einem Kreis ein gleich gro§er Kreis abgerollt, beschreibt ein Peripheriepunkt des rollenden Kreises relativ zum Koordinatensystem des Standkreises eine Kardioide (Abb. 1). Siehe auch Animation ăA1_KardioideŇ.
Abb. 1: Kardioide
Abb. 2: Evolute der Kardioide
In der Abbildung 2 sind die Kurvennormalen der Kardioide eingezeichnet. Diese hźllen die Evolute der Kardioide ein. Die Animation ăA2_EvoluteŇ illustriert den Sachverhalt.
Die Evolute ist ebenfalls eine Kardioide, gegenźber der ursprźnglichen Kardioide mit dem Faktor ein Drittel verkleinert und um 180ˇ gedreht.
Wir kšnnen den Prozess des Evolutenbildens iterieren (Abb. 3).
Abb. 3: Folge von Evoluten
Wenn wir den Radius des Rollkreises halbieren, ergeben sich zwei Spitzen nach innen, weil der Rollkreis doppelt so viele Drehungen braucht, um auf dem Standkreis abzurollen. Bei Dritteln des Rollradius ergeben sich drei Spitzen usw. (Abb. 4).
In der Animation ăA3_n_SpitzenŇ kann die Anzahl n der Spitzen an einem Schieber eingestellt werden.
Abb. 4: Mehrere Spitzen nach innen
Die Evoluten sind ebenfalls Rollkurven (Abb. 5 fźr n = 6).
Der Verkleinerungsfaktor ist und der Verdrehungswinkel .
Abb. 5: Evolute
Entsprechend kann iteriert werden (Abb. 6).
Abb. 6: Iteration
In ăA4_p_qŇ hat es zwei Schieber. Die Leserin mag selber herausfinden, was es damit auf sich hat. Die Abbildung 7 zeigt die Situation fźr p = 3 und q = 2.
Abb. 7: 3/2 ist rational
Weblinks
Hans Walser: Kardioide und regelmЧige Vielecke
Hans Walser: Al-Sijizi
Hans Walser: Die Herzkurve und die Mšndchen des Hippokrates
Hans Walser: Herzkurve als Enveloppe
Hans Walser: Kardioide als Spiegelbild der Parabel bei Kreisspiegelung
Hans Walser: Kardioide und Goldener Schnitt
Hans Walser: Umkreis bei regelmЧigen Vielecken