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Regelungstechnik mit Smith-Prädiktor: die Crux mit der Totzeit
Will man ein System regeln, das mit Totzeit behaftet ist, das also stets verspätet reagiert, kann das sehr frustrierend sein.
Standard-PID-Regler versagen oder müssen derart passiv eingestellt werden, dass am Ende von Prozess-Dynamik keine Rede mehr sein kann. Ein Smith-Prädiktor entschärft das Problem erheblich.
Ein klassischer Regelkreis ist in Abb. 1 dargestellt. Der Regler H treibt den Prozess bzw. die Strecke oder das System G an. Am Ausgang der Strecke G wirkt die Störgrösse z, sodass sich der Ausgang y des Systems oft nicht exakt so verhält, wie es der Sollwert r verlangt. Aus diesem Grund wird aus Soll- und Istwert der Regelfehler e = r—y berechnet, den der Regler zu null machen soll. Beinhaltet G nun eine Totzeit, wie das typischerweise bei thermischen Prozessen, bei Transport- und Abfüllanlagen, aber auch bei vielen Antriebsanwendungen mit Spiel oder Elastizität und Reibung der Fall ist, so reagiert die Strecke G immer verzögert. Das heisst, dass der Fehler e aus Werten gebildet wird, die zeitlich gar nicht zusammengehören. Oder anders ausgedrückt: Der Regler versucht jeweils einen Fehler auszuregeln, den er noch gar nicht kennt, weil er erst später auftritt. Dadurch neigt das Gesamtsystem zu Instabilität, was bedeutet, dass der Regler sehr schwach eingestellt werden muss, was wiederum dazu führt, dass der Prozess nur langsam reagiert. Das ist in Abb. 2 dargestellt. Oft ist H ein PID-Regler. Die Vorteile davon sind primär, dass dessen Verhalten leicht verständlich und nachvollziehbar ist, dass es für gutmütige Strecken einfache Einstellregeln gibt und dass seine (beschränkten) Fähigkeiten für moderate Anforderungen oft ausreichen. Mit Totzeit sieht das etwas anders aus, und es gilt folgende Faustregel für PID-Regler (dabei ist T die Totzeit und S die Zeitkonstante des Systems):
T 0,25 × S — Der Regler für diese Strecke ist schwer einstellbar, und die Resultate sind oft nicht befriedigend.
Versucht man einen geeigneten Regler für eine Strecke mit Totzeit zu finden, so stellt man bald fest, dass der Regler die Fähigkeit haben müsste, in die Zukunft zu sehen. Das ist natürlich nicht möglich, aber mithilfe eines Modells kann man das zukünftige Verhalten eines System mindestens im Voraus schätzen. Der Smith-Prädiktor tut genau das.
Das Blockschaltbild eines Reglers mit Smith-Prädiktor ist in Abb. 3 dargestellt. H bezeichnet wiederum den Regler, zum Beispiel einen PID-Regler. G·T ist das Verhalten der Strecke, wobei wir jetzt davon ausgehen, dass sich die Totzeit T und das reine Verhalten der Strecke G ohne Totzeit separieren lassen. Für die Realisierung des Reglers verwendet Smith nun mathematische Modelle für G und T. Um anzuzeigen, dass es sich um Modelle handelt, sind sie in Abb. 3 mit G* bzw. T* bezeichnet. Die Modelle findet man durch System-Identifikation und entsprechende Übertragungsfunktionen. Mit diesen Modellen lässt sich die Totzeit umgehen, denn mit H und G* lässt sich ein Regelkreis ohne Totzeit bilden (linke Hälfte von Abb. 3). Der Regler H für diesen Kreis lässt sich demnach leicht nach den üblichen Regeln einstellen.
Wir simulieren an dieser Stelle den ursprünglichen Regelkreis, aber ohne die Totzeit. Folglich ist y0* eine Vorhersage des wahren Streckenausgangs y. Da das Modell G* und die geschätzte Totzeit T* in der Regel nicht perfekt sind, wird mithilfe von H und G* × T* noch eine Schätzung von y gemacht. Wir nennen sie y*. Mit y—y* erhält man schliesslich den verbleibenden Regelfehler, der auf Grund des Modellfehlers und der Störgrösse z resultiert (rechte Seite von Abb. 3). Dieser Restfehler wird ebenfalls auf den Regler H zurückgeführt.
Es zeigt sich (siehe Abb. 4), dass mit dieser Topologie deutlich bessere Resultate erzielt werden als mit dem einfachen PID-Regler gemäss Abb. 1. Die Modell-basierte Regelung mit Smith-Prädiktor ist ziemlich robust gegenüber Modellfehlern. Dennoch gilt natürlich: Je besser das Modell, desto besser die Regelgüte. Darin besteht auch die Herausforderung bei der Realisierung.