Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03164.jsonl.gz/305

Hans Walser, [20171223]
Schwalbenschwanz und andere Zinken
Aus sechs kongruenten Platten soll ein Wrfel gebaut werden. Probleme stellen sich bei einer Schwalbenschwanzverzinkung.
Es sei d die Plattendicke. Wir arbeiten mit sechs rechteckigen Platten, deren Breite b um 2d kleiner ist als die Lnge a (Abb. 1a). Die Platten setzen wir zu einem Wrfel zusammen (Abb. 1b).
Abb. 1: Rechteckige Platten
An jeder der acht Ecken des Wrfels bleibt eine Lcke in Form eines Wrfelchens der Kantenlnge d. Da es acht Wrfelchens sind, knnen wir sie nicht regelm§ig auf die sechs Platten verteilen.
Wie steht es mit den Symmetrien der Figur der Abbildung 1b?
Die Platte der Abbildung 2a hat zustzlich Zinken (Zhne). Beim Wrfelmodell fehlen auch hier die acht kleinen Wrfelchen an den Ecken.
Abb. 2: Verzinkung
Abb. 3: Schwalbenschwanzverzinkung
Bei der Schwalbenschwanzverzinkung der Abbildung 3 passen die sechs Platten exakt ineinander.
Das Modell hat aber eine Tcke: Wir knnen die sechs Platten nicht ineinanderpassen. Wir knnen sogar nicht einmal eine Ecke aus drei Platten bilden. Zwar knnen wir problemlos zum Beispiel die hellblaue und die rote Platte zusammenfgen (Abb. 4b). Dann aber ist es nicht mehr mglich, die gelbe dritte Platte (Abb. 4a) einzufgen.
Abb. 4: Die dritte Platte geht nicht hinein
Die Abbildung 5 zeigt eine Variante zur Schwalbenschwanzverbindung.
Abb. 5: Schwalbenschwanz, Variante
Wiederum ist es nicht mglich, zuerst zwei Platten zusammenzufgen und anschlie§end die dritte einzufgen (Abb. 6).
Abb. 6: Versuch, eine Ecke zu bilden
Hingegen funktioniert es, wenn wir die drei Platten simultan zusammenfgen. Dazu starten wir in der Position der Abbildung 7 und schieben dann die drei Platten gleichzeitig nach innen. Man braucht drei Hnde dazu.
Abb. 7: Start
Die Abbildung 8 zeigt eine Zwischenposition auf halbem Wege.
Abb. 8: Zwischenposition
Entsprechend mssen wir fr den Zusammenbau aller sechs Platten vorgehen und diese simultan einschieben.
Um das Problem der acht fehlenden kleinen Wrfelchen an den Wrfelecken zu lsen, mssen wir auf Gehrung arbeiten. Die einzelnen Platten sind je ein Pyramidenstumpf (Abb. 9). Die Pyramidenspitze ist der Mittelpunkt des zuknftigen Wrfels.
Abb. 9: Pyramidenstumpf
Der Neigungswinkel der Seitenflchen der Pyramide gegenber der Grundebene ist 45¡. Der Winkel zwischen zwei Seitenflchen der Pyramide ist 120¡. Dies kann mit der Sicht ber eine Seitenkante eingesehen werden (Abb. 10).
Abb. 10: Spezielle Sicht
Die Abbildung 11a zeigt eine Eckkonfiguration mit drei Seitenplatten, die Abbildung 11b den Wrfel.
Abb. 11: Auf Gehrung
Die Abbildung 11a zeigt eine Kombination der Rechteckplatten (Abb. 1) mit den auf Gehrung zugeschnittenen Platten (Abb. 9). Den Rechteckplatten sind seitlich kleine Pyramiden angesetzt gem§ Abbildung 13.
Abb. 12: Kombination
Diese kleinen Pyramiden haben eine quadratische Grundflche, welche in der Abbildung 13b senkrecht sichtbar ist. Die Spitze ist nicht ber der Mitte der Grundflche, sondern ber einer Ecke. Die Pyramide passt in ein kleines Wrfelchen. Ihr Volumen ist ein Drittel des Volumens des Wrfelchens.
Abb. 13: Kleine Pyramiden
Nun knnen wir eine Kontrollrechnung machen. Pro Platte haben wir vier Drittel des Wrfelchenvolumens angefgt. Auf alle sechs Platten sind das 24 Drittel, also acht Wrfelchenvolumina. Das sind genau die acht Wrfelchen, welche in den Ecken der Abbildung 1b fehlen.