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(griech., »Erdmessung«)
bezeichnete ursprünglich s. v. w. Feldmeßkunst. Aber sehr bald wurde der Inhalt reicher, und bereits
Platon klagte, daß die »so herrliche und ausgedehnte Wissenschaft des Raums einen so ungeschickt gewählten Namen führe«. Gegenwärtig
verstehen wir unter Geometrie ganz allgemein die Lehre
[* 3] von den räumlichen Gebilden. Da nun aber diese sehr verschiedener Art sein
können, unterscheidet man verschiedene Unterabteilungen der geometrischen Wissenschaft; eine andre Reihe
von Unterscheidungen wird herbeigeführt durch die verschiedene Betrachtungsweise der räumlichen Objekte.
einmal in Bezug auf die Größe, das andre Mal in Bezug auf die Lage, so erhält man einerseits eine Geometrie des Maßes (der metrischen
Relationen), anderseits eine Geometrie der Lage. Erstere war bis ins 17. Jahrh. die einzig gepflegte, und erst von da ab begann man
auch den zweiten Zweig zu kultivieren, welcher wohl auch als neuere, projektivische, organische Geometrie bezeichnet
wird. In neuester Zeit pflegt man wohl auch eine besondere »Geometrie der
Anzahl« abzutrennen, zu deren Charakterisierung folgendes Beispiel dienen möge: in einer Ebene sind n willkürlich gezogene
gerade Linien gegeben, in wieviel Punkten durchschneiden sich dieselben? AlleFragen, welche sich auf den
Zusammenhang der räumlichen Gebilde beziehen, pflegen in eine besondere Disziplin vereinigt zu werden, die sogen. Analysis
situs.
Was die Einteilung der in eine niedere oder elementare und höhere betrifft, so ist dieselbe nicht prinzipiell, sondern nur
durch pädagogische Gründe gerechtfertigt. Erstere behandelt in der Ebene die gerade Linie und den Kreis,
[* 5] letztere alle übrigen krummen Linien. Im Raum sind analog die Ebene, die Kegel-, Cylinder- und Kugelfläche der elementaren Betrachtung
zugänglich, alle andern Oberflächen sowie die Kurven doppelter Krümmung aber Objekte der höhern Geometrie. Was nun schließlich
die Methoden anlangt, mit deren Hilfe man die Eigenschaften der Raumgrößen zu erforschen bestrebt ist,
so unterscheidet man eine synthetische und eine rechnende oder analytischeGeometrie. Die synthetische verwirft grundsätzlich
alle Hilfsmittel des Kalküls und bedient sich allein der Konstruktion; da sich auf diese Weise die von der Größe unabhängigen
Beziehungen besonders leicht studieren lassen, so trägt die Geometrie der Lage einen streng synthetischen Charakter.
Im Raum wird eine rein konstruktive Behandlung der komplizierten gestaltlichen Verhältnisse halber oft sehr schwierig,
und man bedient sich dann, um die Anschauung zu erleichtern, eines eignen geometrischen Wissenszweigs, der sogen. deskriptiven
(beschreibenden oder darstellenden) Geometrie oder Projektionslehre, welche die Betrachtung räumlicher auf
diejenige ebener Gebilde reduziert.
Hierher gehören: die Perspektive, die Projektion
[* 6] auf zwei senkrechte Ebenen (darstellende Geometrie im engern Sinn), die Axonometrie
etc. Die synthetische Geometrie kam besonders durch die klassischen Arbeiten der griechischen Mathematiker zu Ehren, welche ausschließlich
in diesem Sinn arbeiteten und sogar jeden arithmetischen Satz in geometrischer Form darzustellen liebten.
Ganz anders war das Verfahren der Inder, welche sich um Lagebeziehungen gar nicht kümmerten und die Geometrie als ein Anhängsel
der Arithmetik behandelten. Ihnen verdankt die rechnende Geometrie ihre Entstehung, welche, von den Arabern wesentlich gefördert,
im 16. und 17. Jahrh. die Synthese fast ganz verdrängte. - Man unterscheidet
in der Regel eine algebraische und eine analytischeGeometrie, obwohl dieser Unterschied ein rein konventioneller ist.
Erstere hat die allgemeine Aufgabe zu lösen, aus den bekannten Stücken einer
[* 4]
Figur die noch nicht bekannten zu berechnen
und die Bedingungen festzustellen, unter welchen eine solche Berechnung möglich ist. Befinden sich unter
diesen StückenWinkel,
[* 7] so muß auf eine Hilfswissenschaft, die Trigonometrie
[* 8] (s. d.), zurückgegriffen werden, welche in einem
vorbereitenden Teil, der sogen. Goniometrie, die Beziehungen normiert, nach welchen Winkel und Längen verglichen werden können.
Was die Trigonometrie für das Dreieck
[* 9] ist, das sind Polygonometrie und Polyedrometrie für das ebene Polygon und für
das Polyeder.
[* 10] Die algebraische Geometrie
besitzt zur Auflösung der ihr gestellten Probleme allerdings gewisse ein für allemal feststehende
Formeln, nicht aber einen unveränderlichen Mechanismus, welchem sich jeder spezielle Fall ohne weiteres einordnen ließe. Einen
solchen hat aber die analytische in ihren Koordinatensystemen (vgl. Koordinaten).
[* 11] Sie eignet sich besonders zur
Untersuchung der krummen Linien und Oberflächen, so daß man häufig die Begriffe »analytischeGeometrie der Ebene« und Kurvenlehre
als identisch betrachtet.
Der theoretischen Geometrie steht die praktische gegenüber, welche sich mit der Anwendung auf wirklich vorhandene
Gegenstände beschäftigt. Gewöhnlich rechnet man die Ausmessung und Berechnung von Flächen und Körpern nicht
zur praktischen Geometrie, sondern bezieht jene ausschließlich auf solche Objekte, welche in Einer Ebene liegen. Sobald jedoch die
auszumessenden Flächen eine Größe erreichen, welche es nötig macht, die Krümmung der Erdoberfläche zu berücksichtigen,
tritt an die Stelle der gewöhnlichen praktischen Geometrie die höhere, die Geodäsie (s. d.).
Geschichte der Geometrie.
Die Erfindung der Geometrie verliert sich in die vorhistorische Zeit. Jedenfalls war sie zunächst ausschließlich
empirisch betriebene Feldmeßkunst, und erst allmählich sah man die Notwendigkeit ein, ihr ein theoretisches Fundament zu geben.
Über die Art und Weise, wie sich dieser Fortschritt vollzog, gibt uns in interessantester Weise die Geometrie der Ägypter
Aufschluß, welche wir teils aus Denkmalsinschriften, teils aus überlieferten Papyrusrollen (darunter besonders der hochwichtige
Papyrus Rhind, das vollständige Vademekum eines Feldmessers des 4. Jahrtausends v. Chr.) ziemlich genau kennen.
Neben dieser praktischen Geometrie bildete sich in den Priesterschulen des Nillandes eine wissenschaftliche Raumlehre
heran, wie denn von verschiedenen alten Autoren die geometrische Richtung des ägyptischen im Gegensatz
zu der arithmetischen des babylonischen Volkes ausdrücklich hervorgehoben wird. Als dann in den griechischen Stämmen der
wissenschaftliche Trieb erwachte, stellte sich die Notwendigkeit heraus, die benachbarten orientalischen Kulturländer zu besuchen
und dort sich so viel Wissen anzueignen, als nationale Engherzigkeit gestatten wollte. So lernte im 7. Jahrh.
v. Chr. Thales von Milet in Ägypten
[* 12] Sonnenfinsternisse vorherbestimmen und eignete sich eine Reihe elementarer geometrischer
Lehrsätze an, mit deren Hilfe er für den Hafen seiner Vaterstadt einen einfachen Distanzmesser konstruierte.
Platon (429-348), welcher keinen der Geometrie. Unkundigen zu seinen Vorlesungen zulassen wollte, suchte der jungen
Disziplin die ihr noch fehlende systematische Grundlage zu geben und schuf oder förderte doch wesentlich die Lehre vom Irrationalen
und von den Kegelschnitten. Unter seinen unmittelbaren Nachfolgern ragen besonders hervor Hippias, der
für die Aufgabe von der Kreisquadratur eine eigne transcendente Kurve, die Quadratrix, ersann, sowie Menächmos und Aristäos.
Das 3. Jahrh. v. Chr. ist die eigentliche Blütezeit der hellenischen
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Geometrie, ihm gehört das glänzende Dreigestirn Eukleides (um 300), Apollonios (um 200) und Archimedes (287-212) an. Der erstgenannte
verfaßte die uns erhaltenen »Elemente der Geometrie«, welche bis auf die neueste Zeit als Muster eines Lehrbuches galten. Außerdem
erweiterte er die Wissenschaft durch mehrere selbständige Werke, von denen wir die »Data« noch besitzen,
während die »Porismen« (nach Chasles' Auffassung die analytische Geometrie der Alten) verloren sind. Apollonios bereicherte die noch
junge Lehre von den Kegelschnitten durch eine Reihe der schönsten Erfindungen.
Von den dem Mittelalter angehörenden griechischen Geometern nennen wir Psellos, Moschopulos und Pediasimos, welch letzterer
einen Lehrbegriff der elementaren Geometrie abfaßte. Bei den Römern fand die Geometrie nur insoweit Beachtung, als
man ihrer für die Bedürfnisse des täglichen Lebens unmittelbar bedurfte. Statt wissenschaftlicher Mathematikergab es demnach
ausschließlich Feldmesser, deren uns erhaltene Schriften den handwerksmäßigen Standpunkt der Mehrzahl klar hervortreten
lassen. Eine rühmliche Ausnahme macht allein der HydrotechnikerJuliusFrontinus. Auf einem höhern Standpunkt steht die (allerdings
in ihrer Echtheit vielfach angefochtene) Geometrie des Boethius (gest. 524), der letzte Schlußstein römisch-griechischer
Kulturvor der hereinbrechenden Barbarei des Mittelalters.
Die folgenden fünf Jahrhunderte können wir völlig aus der Geschichte der Geometrie streichen; was man allenfalls noch wußte,
ersehen wir aus der von Alkuin für Karls d. Gr. Schulen verfaßten Beispielsammlung, die womöglich noch
unter den römischen Standpunkt heruntergeht. Erst in der Geometrie des FranzosenGerbert (gest. 1002) finden wir wieder Spuren selbständigen
Denkens. Bald darauf begannen mit Atelhart von Bath und Gerhard von Cremona (1114-1187) die Übersetzungen der griechischen Geometrie. Einen
höchst wesentlichen Fortschritt bekundet die »Practica geometriae« des
LeonardoFibonacci (1220),
Im Osten besaßen die Chinesen schon in der Zeit vor Christo tüchtige geometrische Kenntnisse, wie sie
denn ein auf das rechtwinkelige Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 basiertes Meßinstrument kannten. An sie schließen sich die
Inder an, deren erster bekannter Astronom, Aryabhatta (um 450 n. Chr.), bereits als tüchtiger Mathematiker gerühmt
wird. Der hervorragendste indische Geometer ist aber Brahmegupta, dessen um 628 erschienene in einer Reihe eleganter Betrachtungen
über solche Vierecke gipfelt, welche sich aus rationalen Zahlen bilden lassen.
Den wichtigsten Fortschritt bezeichnet jedoch Descartes (1596-1650), der eigentliche Schöpfer der analytischen in dessen
Fußstapfen nun fast alle zeitgenössischen Gelehrten traten, von denen wir besonders den Niederländer
Huygens (1629-95) namhaft machen, den seine Untersuchungen über die Pendeluhr auf die Lehre von den Evoluten leiteten. Die
höhere Kurvenlehre bildeten noch Wallis
(1616-1703), Barrow (1630-77), Tschirnhaus (1651-1708) weiter aus und legten so denGrund zu
der nun
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