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Résumé : le premier jour de l’an 2000 sera un samedi. Christophe Colomb a découvert l’Amérique un vendredi. Le 29 février de l’an 2000 est un mardi. Il n’y a pas eu de 29 février en 1900. Pour déclarer avec assurance ce type d’information, il faut maîtriser le fonctionnement du calendrier (julien et grégorien). C’est le but de cet exercice.
Mots-clés : calendrier, résidu, reste.
L’exercice s’inspire du livre Récréations arithmétiques de Emile Fourrey, Librairie Vuibert, Paris, 1899.
L’énoncé est en réalité très simple : à quel jour de la semaine correspond une date donnée ? Un bref historique des réformes subies par le calendrier est nécessaire.
L’année tropique contient 365 jours et, 242217 millionièmes de jour, ou encore, 365j,242217. C’est l’année tropique qui règle le retour des saisons, c’est elle qui doit servir de base à l’année civile et au calendrier.
En prenant une année civile qui comprend seulement 365 jours, comme le faisaient les Egyptiens, on commet une erreur qui, au bout d’un certain nombre d’années, peut devenir importante. En 100 ans, les dates avanceraient sur les véritables de
Les Romains conservèrent longtemps cette division de l’année en 365 jours. Mais, au temps de Jules César, les saisons se trouvant complètement déplacées, le dictateur décida que dans une période de 4 années consécutives, les trois premières années renfermeraient 365 jours et la quatrième 366. L’année julienne est donc égale à 365j,1∕4 = 365j,25.
Les évêques, réunis en concile à Nicée, en 325, s’occupèrent entre autres choses, de régler la date de la fête de Pâques d’une façon précise. A cet effet, ils conservèrent le calendrier julien, donnèrent le nom de bissextile à la 4e année et décidèrent que les années bissextiles seraient celles dont le millésime serait divisible par 4.
Mais l’année julienne étant trop longue de 365j,25 - 365j,242217 = 0j,007783, soit d’environ , l’équinoxe de printemps arrivait en 1582 le 11 mars (au lieu du 21 mars). Cette année-là, le pape Grégoire XIII supprima 10 jours au calendrier et décida que le lendemain du jeudi 4 octobre serait le vendredi 15 octobre et qu’afin d’éviter le retour de pareil état de choses, on retrancherait au calendrier 3 jours en 400 ans ; pour cela, les seules années séculaires qui resteraient bissextiles seraient celles dont le millésime indique un nombre de siècles divisible par 4. Ainsi, 1600 a été bissextile, 1700, 1800 et 1900 ne l’ont pas été, mais 2000 le sera.
L’expression
qui donne la valeur de l’année grégorienne, fait voir en même temps les réformes successives subies par le calendrier.
Le calendrier grégorien laisse bien encore subsister une légère erreur, mais elle n’est que d’environ 1 jour en 4000 ans. On peut donc admettre, sans erreur sensible, que la durée de l’année est celle indiquée par le calendrier grégorien, soit 365j2425.
En effectuant sa réforme, le pape Grégoire XIII avait surtout pour but de replacer la fête de Pâques à l’époque fixée par le concile de Nicée. Il rétablit donc la date du 15 octobre 1582 en supposant exactes les dates de l’année 325. Or elles ne l’étaient pas, car les années 100, 200, 300 n’auraient pas dû être bissextiles. Il a donc dû s’écouler entre les années 1 et 325 un nombre de jours plus grand que celui indiqué par le calendrier grégorien actuel, dont le point de départ, au lieu d’être comme on pourrait le croire, à l’an 1 de notre ère, est en réalité l’année 325.
En effet, les 324 années comprises entre le commencement de notre ère et l’an 325 ont contenu
Si le calendrier grégorien avait été appliqué à partir de l’an 1, elles n’auraient contenu que
Soit une différence de 2j,43. Ainsi, il s’est écoulé réellement 2j43 de plus que le calendrier grégorien n’en compte depuis le commencement de notre ère, c’est-à-dire que toutes les dates — par rapport aux jours de la semaine — devraient être avancées en conséquence. Par exemple, le dimanche 1er janvier 1899 aurait dû s’appeler 3 janvier.
Depuis le commencement de notre ère, les jours de la semaine se sont succédé sans interruption dans leur ordre naturel. Lors de la réforme grégorienne, seuls les quantièmes furent modifiés : le lendemain du jeudi 4 octobre 1582 fut le vendredi 15 octobre.
Les Russes et les grecs ont conservé le calendrier julien. Pour les autres nations européennes, le calendrier julien doit être appliqué, en général, depuis l’an 1 jusqu’au 4 octobre 1582 inclusivement et le calendrier grégorien, à partir du 15 octobre 1582.
Le but du problème consiste à chercher le jour de la semaine, quelle que soit la date, et à construire, par la même occasion, un calendrier perpétuel.
Emile Fourrey donne de précieuses indications qui permettront de résoudre aisément ce problème :
Afin de réduire au maximum les calculs et les chances d’erreurs, quelques règles simples dûes à l’astronome français Delambre (un des inventeurs du système métrique) méritent d’être signalées :
Le tableau est le suivant :
C’est de cette façon que l’on peut démontrer les règles permettant de déterminer le jour dans les calendriers grégorien et julien, ainsi que de construire le calendrier perpétuel.
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