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Hans Walser, [20210109]
Alternierende Summe von Abstandsquadraten
Zu 2n gegebenen Punkten Ai(xi,yi), i = 1 .. 2n suchen wir die Punktmenge:
(1)
Die alternierende Summe der Quadrate der Abstnde soll konstant sein.
Bemerkung: Wenn wir statt der alternierenden Summe die gewhnliche Summe nehmen, ist H ein Kreis um den Schwerpunkt der gegebenen Punkte (Satz von al-Sijzi).
Bei zwei Punkten ist die Lsung fr die Konstante null die Mittelsenkrechte dieser beiden Punkte (Abb. 1).
Abb. 1: Rot = blau
Fr andere Konstanten ergeben sich zur Mittelsenkrechten parallele Geraden.
Der Autor ist wohl eine Erklrung schuldig, weshalb er die beiden Quadrate nicht spiegelbildlich gezeichnet hat. Ist doch die Mittelsenkrechte der Archetyp der Geradenspiegel-Symmetrie. Der Grund ist folgender: Ich habe das Quadrat so gezeichnet, dass die Umlaufsorientierung beginnend bei P ber Ai immer positiv ist. Dies im Hinblick auf Beispiele mit mehr als zweien Punkten Ai (vergleiche Beispiel 2.2).
Gegeben sind vier Punkte gem§ Abbildung 2. Die Punkte sind alternierend gefrbt. Die schwarze Gerade ist die gesuchte Punktmenge gem§ (1) fr die Konstante null. Sie wurde mit implicitplot gezeichnet. Der schwarze Punkt ist der Schwerpunkt der vier gegebenen Punkte. Die Gerade verluft (im allgemeinen) nicht durch den Schwerpunkt. Die Gerade ist also nicht so etwas wie eine Regressionsgerade in der beschreibenden Statistik.
Abb. 2: Konstante null
Die Abbildung 3 illustriert den Sachverhalt mit Quadraten.
Abb. 3: Rot = blau
Die Gleichheit der roten Summe mit der blauen kann mit dem Autostereogramm-Trick berprft werden. Man schaut durch das Bild hindurch, bis die beiden ãSummeÒ-Wrter zur Deckung kommen. Dann sehen wir, dass auch die Zahlenangaben sich decken.
In der Abbildung 4 haben wir die Geradenschar fr die natrlichen Zahlen als Konstanten. Es ist eine Schar von quidistanten parallelen Geraden.
Abb. 4: Parallelenschar
Die vier Punkte A1, A2, A3 und A4 bilden ein Rechteck (Abb. 5.1).
Abb. 5.1: Rechteck
Wenn wir nun mit implicitplot die Menge H fr die Konstante null zeichnen, erhalten wir etwas Merkwrdiges (Abb. 5.2).
Abb. 5.2: Was ist denn hier los?
Fr die Konstante 1 erhalten wir gar nichts, also nur die Abbildung 5.1.
Es ist:
(2)
Wegen den alternierenden Vorzeichen fallen alle x2 und alle y2 weg. Somit ist die Summe ein linearer Ausdruck in x und y. Die Punktmenge H also eine Gerade. Wenigstens im Regelfall.
Bemerkung: Wenn wir statt der alternierenden Summe die gewhnliche Summe nehmen, ergeben sich 2nx2 und 2ny2. Daraus folgt, dass die Punktmenge ein Kreis ist.
Wenn in (2) einer der beiden Koeffizienten von x beziehungsweise y verschwindet, ergibt sich eine achsenparallele Gerade. Wenn beide verschwinden, gibt es entweder keine Lsung oder die ganze Ebene als Lsung. Letzteres ist im Beispiel der Abbildung 5.2 der Fall. Es sollte eigentlich die ganze Ebene schwarz sein.
Beim Rechteck der Abbildung 5.1 ist also fr jeden Punkt P der Ebene die alternierende Summe der Quadrate der Abstnde null.
Weitere solche singulre Beispiele mit der Konstanten null sind zwei aufeinander fallende Punkte A1 = A2 sowie alle regelm§igen 2n-Ecke. Es gibt aber noch weitere singulre Beispiele.
In hheren Dimensionen funktioniert die Sache analog. Im Regelfall erhalten wir eine Schar von parallelen Hyperebenen.
Websites
Hans Walser: Al-Sijzi
Hans
Walser: Alternierende Quadratsummen
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Alternierende_Quadratsummen/Alternierende_Quadratsummen.htm
Hans Walser:
Autostereogramm
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Autostereogramm/Autostereogramm.htm