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Hans Walser, [20100923a]
Kreisfunktionen als Folgen
Frage: Welche beiden Folgen und ergeben sich aus den Startwerten und sowie der gekoppelten Rekursionsformel:
Bearbeitung
In der Abbildung sind die Punkte in blau und die Punkte in rot eingetragen.
Visualisierung der beiden Folgen
Wir vermuten, dass die Kosinus- und die Sinusfunktionen hinter den beiden Folgen stecken.
Das kann wie folgt eingesehen werden. Wir definieren:
Es ist also . Wegen ist dann .
Mit dieser Bezeichnung gilt:
Beweis induktiv: ZunŠchst ist und .
Es sei nun:
Aus der Rekursion folgt:
Mit den Additionstheoremen ergibt sich:
Verallgemeinerung: Mit und , den Startwerten und sowie der gekoppelten Rekursionsformel:
ergibt sich fźr analog:
Wir kšnnen die beiden Folgen entflechten. Aus der Rekursionsformel folgt zunŠchst:
Die erste Zeile liefert: . Damit erhalten wir:
Das ist eine Rekursionsformel vom verallgemeinerten Fibonacci-Typ. Wir benštigen zwei Startwerte. Mit den beiden Startwerten und erhalten wir dieselbe Folge wie oben. In der Abbildung sind zusŠtzlich die Punkte nach dieser neuen Berechnungsart hellblau eingezeichnet.
Kontrollzeichnung