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Hans Walser
Halbe Wrfel
Tag der Mathematik
Donnerstag, 7. Februar 2019
Karl-Franzens-Universitt Graz
Ein Wrfel kann nicht mit Zirkel und Lineal in einen volumenm§ig halb so gro§en Wrfel verwandelt werden. Hingegen gibt es eine Vielzahl von einfach zu konstruierenden Figuren, welche das Wrfelvolumen halbieren. Dabei spielen Symmetrieberlegungen eine wichtige Rolle. Mit diesen Figuren kann der Raum lckenlos und berlappungsfrei aufgefllt werden. Dabei zeigt sich der Unterschied zwischen dem statischen ãPassenÒ und dem kinematischen ãEinpassenÒ. Die berlegungen spielen in den Dimensionen zwei, drei und vier.
Fr die Herstellung der Figuren wird unter anderem der ãAffensattelÒ verwendet. Weiter arbeiten wir virtuell mit 3d-Origami.
Beim Stichwort ãWrfelhalbierungÒ denken wir zunchst an das Problem, zu einem gegebenen Wrfel einen volumenm§ig halb so gro§en Wrfel zu finden. Dieses Problem – es handelt sich um das Pendant zur ãWrfelverdoppelungÒ – kann nicht mit Zirkel und Lineal gelst werden. Hingegen knnen sehr einfach Figuren mit dem halben Wrfelvolumen gefunden werden, welche selber keine Wrfel sind (Abb. 1). Zu dieser Art der Wrfelhalbierung siehe Walser (2018), S. 93-108.
Abb. 1: Halbes Wrfelvolumen
Im zweiten und vierten Beispiel der Abbildung 1 sind der untere rote Teil und der obere wei§e Ergnzungsteil ungleichsinnig kongruent.
Die Abbildung 2 zeigt den sogenannten Affensattel sowie einen auf eine Ecke gestellten Wrfel.
Abb. 2: Affensattel und Wrfel
Der Affensattel mit der Gleichung hat bezglich der z-Achse eine dreiteilige Drehsymmetrie. Dies gilt aber auch fr den Wrfel, wenn eine Krperdiagonale auf der z-Achse liegt.
Wir schneiden nun mit Hilfe des Affensattels den oberen Teil des Wrfels weg (Abb. 3). Somit erhalten wir einen halben Wrfel. Das blau eingezeichnete Gegenstck liegt dazu punktsymmetrisch.
Abb. 3: Schnitt des Wrfels mit dem Affensattel
Der Affensattel kann als Graf einer Funktion in x und y mit Funktionswerten in der z-Richtung gesehen werden. Daher schneidet jede Parallel zur z-Achse den Affensattel genau einmal. Wir knnen also die beiden halben Wrfel der Abbildung 3 in der z-Richtung friktionslos auseinanderheben und kollisionsfrei wieder zusammenfgen (Abb. 4).
Abb. 4: Bewegen der beiden halben Wrfel
Wir legen nun einen der beiden halben Wrfel so ins kartesische Koordinatensystem dass eine Ecke auf den Ursprung zu liegen kommt und drei Wrfelkanten auf die Koordinatenachsen (Abb. 5).
Abb. 5: Einpassen ins kartesische Koordinatensystem
Anschlie§end spiegeln wir die Figur an den Koordinatenebenen und erhalten so einen Zwlff§ler oder Dodekapus (Abb. 6).
Abb. 6: Spiegelung an den Koordinatenebenen. Zwlff§ler
Der Zwlff§ler ist ein sogenannter Raumfller. Wir knnen mit kongruenten Zwlff§lern den Raum lckenlos und durchdringungsfrei ausfllen. Allerdings muss man dabei richtig vorgehen.
Der Versuch, zunchst vier Zwlff§ler in einer Ebene quadratisch auszulegen (Abb. 7, linkes Bild) und dann von oben einen fnften in die Lcke zu schieben, scheitert. Der blaue Zwlff§ler kollidiert mit den anderen.
Abb. 7: Falsches und richtiges Vorgehen fr das Einpassen
Wir mssen vielmehr die fnf Zwlff§ler zunchst rumlich so positionieren, dass ihre Mittelpunkte eine quadratische gerade Pyramide bilden, deren Hhe halb so lang ist wie die Grundkante (Abb. 7, rechtes Bild). Die Schrgkanten haben dann die Richtung der Wrfeldiagonalen, lngs derer das Zusammenschieben wie in der Abbildung 4 kollisionsfrei mglich ist. Das Zusammenschieben der fnf Zwlff§ler erfolgt dann durch simultanes Einpassen. Dazu sind fnf Hnde erforderlich. Die Abbildung 8 zeigt das Ergebnis sowie eine gr§ere Version.
Abb. 8: Pyramiden aus Zwlff§lern
Bei der raumfllenden pyramidalen Packung der Abbildung 8 kommen wir mit vier Farben aus, so dass nirgends zwei benachbarte gleichfarbige Zwlff§ler eine ebene oder gekrmmte Seitenflche gemeinsam haben. Hingegen knnen sehr wohl gleichfarbige Zwlff§ler eine Kante oder eine Ecke gemeinsam haben. Diese Vierfarbeneigenschaft ist nicht trivial, da der ebene Vierfarbensatz im Raum nicht gilt.
Im Beispiel der Abbildung 8 ist die Pyramide aus horizontalen Schichten aufgebaut, welche alternierend ein rot-grnes oder ein blau-gelbes Schachbrettmuster bilden. Zudem sind zum Beispiel zwei aufeinanderfolgende rot-grne Schichten farbversetzt. Daher knnen sich nirgends zwei gleiche Farben berhren.
Die Vierfarbeneigenschaft gilt analog fr alle in diesem Beitrag vorkommenden Raumpackungen.
Die Abbildung 9 zeigt eine Wrfelhalbierung durch einen ãkantigenÒ Affensattel.
Abb. 9: Kantiger Affensattel
Die Konstruktion ist folgende. Wir knnen einen Wrfel vom Mittelpunkt aus in sechs Pyramiden aufteilen, welche je eine Seitenflche des Wrfels als Grundflche haben und die Wrfelmitte als Spitze. In der Abbildung 9 sind drei der sechs Pyramiden so eingefgt, dass jede mit den beiden anderen je ein Seitendreieck gemeinsam hat. Die Figur hat eine dreiteilige Drehsymmetrie bezglich der blau eingezeichneten Wrfeldiagonale. Der Flchenwinkel an den Kanten des Affensattels ist 120¡.
Durch Spiegeln erhalten wir einen Stern mit zwlf Spitzen (Abb. 10). Er ist wiederum ein halber Wrfel.
Abb. 10: Stern
Dieser Stern ist ein Raumfller (Abb. 11). Das Zusammenschieben ist problemlos mglich. Wir sehen wieder die Struktur mit den vier Farben.
Abb. 11: Sternpyramide
Die Abbildung 12 zeigt zunchst einen Affensattel mit rechtwinkligen Kanten. Durch Spiegeln erhalten wir ein 3d-Kreuz. Auch dieses Kreuz kann als halber Wrfel gesehen werden.
Abb. 12: Halber Wrfel und Kreuz
Das 3d-Kreuz ist ein Raumfller (Abb. 13). Das Zusammenschieben der einzelnen Kreuze ist problemlos mglich.
Abb. 13: Pyramide aus Kreuzen
Nun drehen wir den Sattel der Abbildung 12 um, so dass wir ihn von hinten sehen (Abb. 14). Durch Spiegeln erhalten wir eine Figur, welche das Kreuz der Abbildung 12 zum Wrfel ergnzt.
Abb. 14: Komplementre Situation
Diese Figur ist ebenfalls ein Raumfller (Abb. 15). Sie fllt den Raum im Innern der Pyramide lckenlos und durchdringungsfrei aus. Allerdings sind die einzelnen Bauteile vllig verkettet. Es ist nicht mglich, aus einzelnen losen Bauteilen die Pyramide zu bauen, ohne die Teile aufzurei§en. Die Teile passen zwar ineinander, lassen sich aber nicht einpassen.
Abb. 15: Passt. Lsst sich aber nicht einpassen.
Die Figur der Abbildung 14 fhrt zu einer Variante des Menger-Schwamms. Die Abbildung 16 zeigt die ersten beiden Fraktalisierungsschritte.
Abb. 16: Variante zum Menger-Schwamm
Diese Variante hat im Unterschied zum originalen Mengerschwamm eine rationale fraktale Dimension, nmlich:
In der Abbildung 15 sahen wir den Unterschied zwischen dem statischen Passen und dem kinematischen Einpassen. Im Folgenden weitere Beispiele.
Das Puzzle der Abbildung 17 ist beinahe fertig. Das fehlende Element rechts oben knnen wir aber nicht in der Ebene des Puzzles einpassen. Wir mssen es abheben und von oben her einpassen. Wir bentigen den Raum.
Abb. 17: Noch die Ecke einpassen
Im Beispiel der Abbildung 18 passt das Eckteil zwar in die Lcke, lsst sich aber nicht hineinschieben.
Abb. 18: Passt die Ecke in die Lcke?
Im vierdimensionalen Raum lie§e sich das Problem sehr einfach lsen. Wir knnten die dreidimensionale Ecke in die vierte Dimension abheben und dann hineinschieben.
Die Abbildung 19 zeigt drei Nsse je in zwei Ansichten. Das erste Beispiel ist eine bliche Nuss mit einer zweiteiligen Drehsymmetrie. Im zweiten Beispiel haben wir eine dreiteilige und im dritten Beispiel gar eine vierteilige Drehsymmetrie. Um Herauszufinden, ob die Kerne ebenfalls entsprechende Drehsymmetrien aufweisen, mssten die Nsse geknackt werden. Das wre aber schade um die seltenen Nsse.
Abb. 19: Nsse
Im vierdimensionalen Raum lie§e sich das Problem sehr einfach lsen. Wir knnten den Kern einfach in die vierte Dimension herausheben. Die Abbildung 22 illustriert die Situation eine Dimension tiefer. Zweidimensionale Nusskerne erhalten wir durch Herausheben aus der zweidimensionalen Schale.
Abb. 20: Einbetten der 2d-Nuss in den Raum
Im Folgenden einige Beispiele fr Faltprozesse mit dem blichen zweidimensionalen Origami-Papier.
Die Abbildung 21 zeigt einen Origami-Wrfel, der aus sechs Bauteilen besteht.
Abb. 21: Origami-Wrfel. Bauteil
Die Abbildung 22 zeigt als einfachen Faltprozess, wie die Ecke links oben auf die Ecke rechts unten gefaltet wird. Wir nehmen an, das Papier sei auf einer Seite gelb und auf der anderen hellblau. Aus einem Quadrat erhalten wir ein zweilagiges halbes Quadrat.
Abb. 22: Ecke links oben auf die Ecke rechts unten
Ein weiterer einfacher Faltprozess besteht darin, sukzessive die Kantenmitten oder die Ecken in die Quadratmitte einzufalten (Abb. 23). In beiden Fllen entsteht ein Quadrat.
Abb. 23: Einfalten in die Quadratmitte
Wir bertragen diese Faltprozesse auf ein virtuelles 3d-Origami.
Wie ist ein 3d-Origami zu verstehen? Dazu denken wir uns als Spielmaterial einen Wrfel, den wir im vierdimensionalen Raum falten. Das Material fr diesen Wrfel muss noch erfunden werden. In der Abbildung 24 wird die Ecke links oben auf die diametrale Ecke rechts unten gefaltet.
Abb. 24: 3d-Origami
Natrlich kann dieser Faltprozess auch rein dreidimensional beschrieben werden. Wir halbieren den Wrfel mit der Mittelnormalebene einer Krperdiagonalen und spiegeln die eine Hlfte auf die andere Seite.
Durch das Einfalten der Seitenflchenmitten auf den Wrfelmittelpunkt erhalten wir nach sechs Schritten einen kleineren Wrfel (Abb. 25). Er hat gegenber dem Ausgangswrfel halbe Kantenlnge und damit einen Achtel des Volumens. Dafr hat er die achtfache Materialdichte. Natrlich ist dieser Wrfel ein Raumfller.
Abb. 25: Einfalten der Seitenflchenmitten in den Wrfelmittelpunkt
Beim Einfalten der Kantenmitten in den Wrfelmittelpunkt bentigen wir insgesamt zwlf Faltschritte. Nach den ersten vier Schritten ergibt sich ein Haus mit quadratischem Grundriss und einem Pyramidendach (Abb. 26).
Abb. 26: Einfalten der Kantenmitten in den Wrfelmittelpunkt.
Nach weiteren vier Schritten erhalten wir wiederum ein Gebude mit quadratischem Grundriss. Es hat ein Rhombendach (Abb. 27).
Abb. 27: Was geschieht zwischen dem zweiten und dem dritten Bild?
Solche Rhombendcher wurden als Turmhelme bei romanischen und neoromanischen Kirchen gebaut (Abb. 28).
Abb. 28: Kirche Krefeld
Die letzten vier Faltschritte schlie§lich fhren zum Rhombendodekaeder (Abb. 29). Das Volumen des Rhombendodekaeders ist ein Viertel des ursprnglichen Wrfelvolumens.
Abb. 29: Rhombendodekaeder
Das Rhombendodekaeder ist ebenfalls ein Raumfller. In der Abbildung 30 ist eine Kugel durch eine Rhombendodekaeder-Packung approximiert.
Abb. 30: Rhombendodekaeder approximieren eine Kugel
Durch Einfalten der Wrfelecken in die Wrfelmitte ergibt sich ein abgestumpftes Oktaeder (Abb. 31). Sein Volumen ist die Hlfte des Wrfelvolumens. Der ãAffensattelÒ ist jetzt ein Hocker mit einem ebenen regelm§igen Sechseck als Sitzflche.
Abb. 31: Einfalten der Ecken in die Wrfelmitte
Das abgestumpfte Oktaeder ist ebenfalls ein Raumfller (Abb. 32).
Abb. 32: Pyramide aus abgestumpften Oktaedern
Literatur
Walser, Hans (2018): Der Wrfel. Ansichten – Dimensionen – Modelle. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2018. ISBN 978-3-95922-102-3.