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24/07/2016
Pourquoi les nombres de Liouville nous fascinent-ils?
A chaque langage ses conventions, ses symboles, son vocabulaire. Celui des maths n’y fait pas exception. Un exemple au hasard. Placé après un nombre (ou chiffre), le point d'exclamation exprime une factorielle. Le petit tableau ci-dessus permettra de comprendre la notion de factorielle sans qu'il soit nécessaire de l'assortir d'une longue explication. Produit de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à n, la factorielle n ! s'utilise en combinatoire, mais pas seulement. Sa stricte définition se traduit par la formule ci-dessous, où le Pi majuscule désigne un produit sur un intervalle donné, parfois infini (à l'instar du sigma majuscule pour l'addition).
Plus intéressant, observons les sommes des inverses des factorielles via cette forme générique :
Le cas x = 1 nous permet de retrouver une vieille connaissance :
Soit la constante e, nombre transcendant (mais n'anticipons pas) et base du logarithme naturel. Il est la somme de cette série, qui consiste en fait à décomposer la fonction logarithmique en série entière. On peut dès lors constater que les inverses des factorielles donnent les coefficients du développement de la fonction exponentielle. Plus simplement:Mais venons-en à Liouville. Dans un roman paru récemment, La Formule de Stokes, roman, que je vous conseille fortement, la Française Michèle Audin rappelle la beauté du plus connu des nombres de Liouville, parfois surnommé constante de Liouville. Célèbre mathématicien français, Joseph Liouville (1809 – 1882, portrait ci-contre) s’est en effet intéressé à des nombres relativement proches des séries logarithmiques vues ci-dessus. Leur forme générique est donnée par la formule
avec b plus grand que 1 et les ak compris entre 0 et b – 1.
Le plus fameux de ces nombres est donc la constante de Liouville :
Les positions des 1, de plus en plus espacés parmi les 0, y correspondent aux factorielles successives de l'ensemble des entiers naturels. Magnifique, non ? Il s’agit là d’un nombre réel mais surtout de l’un des premiers exemples de réel transcendant, c’est-à-dire, par opposition aux nombres algébriques, qu’il n’est racine d’aucune équation polynomiale. La chose se démontre aisément, et vous en trouverez facilement la preuve sur plusieurs sites, preuve que je ne reproduis pas ici afin de ne pas rallonger ce billet. La transcendance du nombre e ne sera quant à elle établie que plus tard, soit en 1873. L’ensemble des nombres de Liouville, qui se construisent tous sur le même modèle, a par ailleurs la puissance du continu. Autrement dit, il est équipotent à celui des nombres réels. J’avais déjà consacré un billet à ces passionnantes questions de cardinalité et de hiérarchie dans les infinis et y reviendrai d’ailleurs bientôt. Au XXe siècle, le grand mathématicien hongrois Paul Erdös (1913 – 1996) a démontré que tout nombre réel non nul peut s’écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville. Problème ardu sur lequel j’espère revenir dans un prochain billet.