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En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'une structure quotient X/R dans un autre espace
Y à partir d'un morphisme de X vers Y, de façon à factoriser ce dernier par la surjection canonique de passage au quotient.Le cas des ensembles
Soit X un ensemble muni d'une relation d'équivalence R et s: X\to X/R la surjection canonique.
L'unicité de g est immédiate et guide la preuve de son existence, dont voici plusieurs variantes :
** Preuve « naïve » : pour tout élément z=s(x)\in X/R, on pose g(z)=f(x). Si z=s(x') pour un élément x' équivalent à x, on a f(x)=f(x') par hypothèse. Donc g est bien définie. Par construction, f = g∘s.
** Formalisation de la preuve « naïve », rendant plus manifeste l'utilisation de l'axiome du choi
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