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Heureka!
Die bekannte Geschichte: Ein Goldschmied soll für den Herrscher Hieron II. einen Ehrenkranz schmieden, dazu erhält er einen Barren Gold, den er verarbeiten soll. Nach einiger Zeit erhält Hieron den fertigen Kranz zurück, er ist wirklich schön geworden, aber Hieron hegt einen Verdacht gegenüber dem Goldschmied: Was, wenn dieser etwas Gold vom Barren abgezweigt und das fehlende Gewicht einfach mit Silber kompensiert hat? Eine solche Silber–Gold–Legierung wäre äusserlich nicht von reinem Gold zu unterscheiden. Hieron beauftragt also den berühmten Archimedes, den Reinheitsgrad des Ehrenkranzes zu bestimmen, ohne das gelungene Werk zu zerstören. Zum Vergleich bekommt Archimedes einen gleichen Barren Gold, den auch der Goldschmied erhalten hat. Die Aufgabe ist im Grunde einfach: eine Silber–Gold–Legierung hat eine kleinere Dichte als reines Gold, deshalb müsste der (gleich schwere) Kranz ein grösseres Volumen als der Goldbarren haben, falls der Goldschmied nicht ehrlich gearbeitet hat. Das Problem liegt in der Bestimmung des Volumens des Kranzes, ohne ihn einzuschmelzen. Bei einem Bad stösst der grübelnde Archimedes schliesslich auf die Lösung. Euphorisch rennt er auf die Strasse und ruft das berühmte Wort: „Heureka!“. Er hat die Idee, den Ehrenkranz und den Barren nacheinander in einen bis zum Rand mit Wasser gefüllten Behälter zu geben und dann das Volumen des übergeschwappten Wassers zu messen, das dem Volumen des eingelassenen Körpers entsprechen sollte. Schwappt beim Einlassen des Kranzes mehr Wasser über als beim Einlassen des Barrens, so ist der Goldschmied überführt – einfach in der Theorie, in der Praxis jedoch nicht umsetzbar.
Die Rechnung
Eine kurze Überschlagsrechnung: Der Kranz habe einen Durchmesser von 17.5 cm (durchschnittlicher Durchmesser des menschlichen Kopfs) und ein Gewicht von 1 kg. Es soll untersucht werden, ob der Goldschmied 100 g des Goldes abgezweigt und mit Silber ersetzt hat. Dazu legt Archimedes nacheinander den Ehrenkranz und den Goldbarren in einen runden Eimer mit einem Durchmesser von 20 cm (der Kranz muss ja Platz haben). Mit der Dichte von Gold (19.3 g/cm³) lässt sich das Volumen des Goldbarrens ausrechnen: 51.8 cm³. Ist der Kranz rein, so hat er das selbe Volumen, ist er mit 100 g Silber (10.5 g/cm³) gestreckt, so weist er ein Volumen von 56.2 cm³ auf. Der Unterschied beträgt dann 4.4 cm³. Im Eimer (mit der Grundfläche von πr² = 314 cm²) entspricht dies einem Anstieg von 0.01 cm. Nicht gerade viel. Störeffekte wie Wellen, die beim Einlassen des Kranzes und des Goldbarrens im Wasser entstehen oder die Oberflächenspannung des Wassers machen eine präzise Messung unmöglich. Die Messmethode muss verworfen werden – schliesslich hängt wohl das Leben des Goldschmieds davon ab.
Die Lösung
Wie kann aber das Problem gelöst werden? Mit einer einfachen Waage unter Wasser. Der Goldbarren und der Ehrenkranz verdrängen ja entsprechend ihrem Volumen Wasser. Dadurch wirkt eine Auftriebskraft auf sie, die proportional zum Volumen ist. Haben der Ehrenkranz und der Goldbarren das gleiche Volumen, so sind auch die Auftriebskräfte (und natürlich auch die Gravitationskräfte) auf beiden Seiten der Waage gleich, die Waage bleibt ausgeglichen und der Goldschmied verschont. Hat der Kranz jedoch ein grösseres Volumen, so ist auch die Auftriebskraft auf dieser Seite grösser und die Waage schlägt zum Goldbarren aus. Mit den vorhin verwendeten Zahlen würde der Kräfteunterschied ungefähr 0.044 N (entspricht auf der Erde etwa 4.4 g) betragen, dies ist mit einer guten Waage zweifelsfrei messbar. Somit kann dem Goldschmied ein gerechter Prozess gemacht werden.
Quellen