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La dérivation, cours de mathématiques
La dérivation est une branche fondamentale du calcul différentiel et intégral. Elle est utilisée pour calculer la pente ou la tangente d’une courbe à un point donné. La dérivation est également utile pour trouver le maximum et le minimum d’une fonction, ce qui est important dans de nombreux domaines, notamment en économie, en physique et en ingénierie.
Avant de parler de fonction “dérivée”, définissons déjà ce qu’est une fonction
Pour commencer, examinons ce qu’est une fonction. Une fonction est une relation mathématique qui associe à chaque élément d’un ensemble de départ, appelé ensemble de départ ou domaine, un unique élément d’un autre ensemble appelé ensemble d’arrivée ou de codomaine. En d’autres termes, une fonction prend une entrée et renvoie une sortie.
La notation standard pour une fonction est la suivante : f(x), où f est le nom de la fonction et x est l’entrée. Par exemple, si f(x) = x^2, cela signifie que si nous donnons une valeur à x, la fonction renverra le carré de cette valeur.
Maintenant, considérons la pente ou la tangente d’une courbe. La pente d’une courbe est la mesure de la raideur de la courbe à un point donné. La tangente est une ligne droite qui touche la courbe à un point et qui a la même pente que la courbe à ce point. Pour calculer la pente ou la tangente, nous avons besoin de dériver la fonction.
La dérivation
La dérivation est le processus mathématique qui nous permet de trouver la pente ou la tangente d’une fonction à un point donné. Pour dériver une fonction, nous prenons sa dérivée, qui est une autre fonction qui décrit comment la première fonction change à chaque point.
La notation standard pour la dérivée de f(x) est f'(x). La dérivée de f(x) représente la pente de la courbe de f(x) à un point donné. Plus précisément, f'(x) représente la limite de la variation de f(x) divisée par la variation de x, lorsque la variation de x tend vers zéro.
La dérivée de f(x) est calculée en utilisant les règles de dérivation. Il existe plusieurs règles de dérivation, mais les plus courantes sont les suivantes :
- Règle de la puissance : si f(x) = x^n, alors f'(x) = nx^(n-1)
- Règle de la somme : si f(x) = g(x) + h(x), alors f'(x) = g'(x) + h'(x)
- Règle du produit : si f(x) = g(x)h(x), alors f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
- Règle du quotient : si f(x) = g(x)/h(x), alors f'(x) = (g'(x)h(x) – g(x)h'(x))/[h(x)]^2
Il est important de noter que la dérivation est un processus itératif. Cela signifie que nous pouvons dériver une fonction autant de fois que nécessaire. La deuxième dérivée de f(x) est notée f”(x), la troisième dérivée est notée f”'(x), etc.