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Written by Johannes Kapfhammer.
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\newcommand{\a}{\vec{a}} \newcommand{\b}{\vec{b}} \newcommand{\A}{\vec{A}} \newcommand{\B}{\vec{B}} \newcommand{\v}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\c}[2]{\begin{pmatrix}#1\\#2\end{pmatrix}}
Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke, er hat eine Richtung und eine Länge. Typischerweise stellt man sich unter ihm die Verschiebung eines Punktes vor.
Hier wird Punkt um Vektor verschoben, was anschliessend Punkt ergibt. Man schreibt auch . Es macht einen Unterschied, ob ich von zu gehe oder von zu – ich laufe ich unterschiedliche Richtungen. Die Vektoren und sind deshalb verschieden.
Ein Punkt ist streng genommen zwar kein Vektor, aber fast. Typischerweise betrachten wir Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem, welches einen Nullpunkt hat. Dieser wird oft mit (für Origin) bezeichnet.
Da bekannt ist, enthält der Vektor also alle Informationen um den Punkt auszurechnen. Anstatt schreibt man deshalb oft .
Vektoren haben einen grossen Vorteil: Man kann mit ihnen rechnen! Punkte addieren hat keine richtige Bedeutung. Vektoren addieren hingegen schon. Mit bezeichnen wir das Aneinanderhängen der Verschiebung um mit der Verschiebung um .
Wenn wir Addition definiert haben, können wir auch Multiplikation um eine natürliche Zahl definieren. ist ja gerade das Aneinanderhängen drei Verschiebungen um .
Wir können es aber auch als Streckung von um Faktor 3 vorstellen. Genau das ist die Skalarmultiplikation auch: ist gestreckt um Faktor , wobei eine beliebige reelle Zahl sein kann.
Multiplikation mit entspricht einer Streckung um Faktor . Das entspricht der Umkehrung des Vektors.
Subtraktion kann man sich als vorstellen (da ), dann wäre dieser Abschnitt erledigt.
Alternativ kann man sich vorstellen: Wenn , dann muss . Also malt man einmal beide Vektoren und vom gleichen Punkt aus auf …
… und sieht, dass die Verbindung oben die Differenz sein muss.
Was ist also Vektor vom Bild ganz am Anfang?
, also . Oben steht, dass und nicht gleich sind. Das ist klar, weil . Aber es ist .
Richtig praktisch werden Vektoren erst, wenn sie keine abstrakten Konzepte mehr sind, sondern Zahlen. Erinnern wir uns noch einmal daran, dass ein Punkt und ein Vektor fast gleich sind.
Der Vektor entspricht den Punkt . Also schreiben wir . Man nennt diese Schreibweise Komponentendarstellung. Die erste Komponente, in dem Beispiel ist die -Komponente, die zweite die -Komponente. In einem Punkt würde man statt Komponente Koordinate sagen.
Was ist dann die Addition ? Schauen wir uns zuerst nur die -Richtung an. Zuerst verschieben wir um und dann um . Also insgesamt um . Ebenso in -Richtung: Insgesamt wird um verschoben. Also:
Jetzt müssen wir noch die Skalarmultiplikation definieren. Die erste Idee ist auch die richtige:
Das ist auch konsistent mit unserer Addition. Kurzer Check:
Das Kreuzprodukt wird üblicherweise in 3D definiert, für die SOI ist aber hauptsächlich 2D interessant. Die einfachste Definition des Kreuzproduktes zweier Vektoren und ist als Fläche des Parallelogramms, welches von und aufgespannt wird.
Die Fläche des Parallelogramms ist . Setzen wir die Dreiecke zusammen, ergeben sich Rechtecke. Also können wir sie einfach berechnen, nämlich , , und . Also: