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Bonjour,
Etant tombé sur vos réflexions à propos de l’indépendance linéaire des zéros de la fonction zêta, je me permets une question. Vous me pardonnerez mes approximations de béotien car je ne comprends pas tous vos développements. En étudiant:
F(n):=n^{-1/2}\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}-n^{1/2}\sum_{k=1}^{n}\frac{\lambda_{k}}{k}
où \lambda est la fonction de Liouville. Je suis frappé par le fait que F(n) reste visiblement en O(1) (j’ai conscience de la limite de l’expérimentation mais j’ai utilisé un méthode de comparaison pour m’en assurer). On peut donc imaginer que les 2 sommes n^{-1/2}\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k} et n^{1/2}\sum_{k=1}^{n}\frac{\lambda_{k}}{k} sont chacune en O(1).
Or ceci impliquerait une certaine dépendance entre les zéros (d’après Grosswald notamment qui a spécifiquement émis un théorème d’oscillation sur la fonction sommatoire de Liouville moyenne une hypothèse d’indépendance C_0).
Ma question est donc de savoir si l’hypothèse d’une dépendance des zéros serait si farfelue que ça? Et très trivialement est ce que le fait que les zéros non triviaux \Im\rho>0 vont de pair avec ceux \Im\rho<0 ne constitue pas justement une relation de dépendance qui expliquerait cette possibilité?
Cordialement,
Benoit Cloitre
Reply
J’ai trouvé dans vos articles une partie de la réponse. L’indépendance linéaire concerne les zéros du plan supérieur et ma remarque à la fin n’a pas d’intérêt. Reste que de plus amples expérimentations confirment le fait que F(n) est en O(1) ce qui, en première analyse, serait l’indication d’une certaine dépendance des zéros sur Q. Cela va-t-il à l’encontre de toute intuition raisonnable?