Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/06999.jsonl.gz/748

On la retrouve sur des tee shirts. Elle se décline sur des sacs.
Et même des coques de smartphones.
Et sur toutes sortes d’autres objets comme ici sur ce "gobelet" à café.
Elle, c’est l’identité d‘Euler, l’une des formules les plus célèbres et les plus belles de toute l’histoire des maths. La voici en dehors de tout support:
C’est le Bâlois Leonhard Euler (1707 – 1783) qui l’a découverte et l’a mentionnée dans un ouvrage paru en 1748, sans vraiment la démontrer. Ce qu’il y a évidemment de remarquable dans cette égalité a priori très simple, c’est la coprésence de cinq constantes mathématiques fondamentales. Voyons plutôt.
0 et 1 sont les éléments neutres respectifs de l’addition et de la multiplication.
Pi ou π est un nombre transcendant désignant le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. Rappelons qu’un nombre est dit transcendant s’il n’est racine d’aucun polynome à coefficients entiers.
e est la base du logarithme naturel et se caractérise par la relation ln(e) = 1. Tout comme π, il s’agit d’un nombre transcendant.
Quant à i, racine carrée de – 1, c’est l’unité imaginaire servant de base à la construction des nombres complexes.
La relation qu’établit Euler entre ces cinq nombres utilise par ailleurs trois opérations fondamentales, l’addition, la multiplication et l’exponentiation. L’identité d’Euler peut se démontrer de plusieurs manières et bizarrement de façon assez aisée. En géométrie, on peut l’établir par la juxtaposition de triangles rectangles. En analyse complexe, on déduit qu'elle est un cas particulier de la formule suivante (dans laquelle apparaissent les fonctions trigonométriques sinus et cosinus)
et, grâce à différentes égalités déductibles des séries de Taylor, dont voici un exemple,
on peut démontrer l'identité via des calculs et injections que je ne reproduirai pas ici pour ne pas alourdir ce billet.
D’Euler, déjà mentionné dans plusieurs billets maths (et notamment dans celui dédié au théorème des nombres premiers), il sera évidemment fréquemment question dans de futurs billets. Il reste l’un des scientifiques les plus grands et les plus prolifiques de tous les temps. Son apport dans des branches aussi variées que le calcul infinitésimal, l’analyse mathématique, la théorie des graphes ou, en physique, la dynamique des fluides et l’astronomie, font de lui l’un des Suisses les plus célèbres à travers l’histoire. Et vous l’avez tous tenu entre vos mains. Souvenez-vous de nos anciens billets de dix francs. C’est Euler qui est dessus.