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Wenn bei einem beliebigen Tensor
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Null-Tensor
Die Komponenten des Null-Tensors sind in allen Koordinatensystemen Null. Dies folgt aus der Art wie Tensoren transformiert werden:
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Wenn also hier alle Komponenten des Tensors
Wenn zwei Tensoren in einem bestimmten Koordinatensystem gleich sind, d.h. vom selben Typ sind und identische Komponenten haben, so sind sie in allen Koordinatensystem gleich. Wenn also gilt dass:
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dann kann man auch schreiben:
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Rechts steht
Beachte: Die Komponenten von
Wenn in einer Tensor-Gleichung für ein bestimmtes Koordinatensystem bewiesen ist, dass die linke Seite des Gleichheitszeichens gleich der rechten Seite des Gleichheitszeichens ist, dann gilt diese Gleichheit für alle Koordinatensysteme!
Dies ist eine der wichtigsten Eigenschaften von Tensoren und Tensor-Gleichungen! Die Gleichheit von Tensoren ist eine geometrische Eigenschaft, die nicht von einem Koordinatensystem abhängig ist! Die Komponenten von Tensoren jedoch sind abhängig vom gewählten Koordinatensystem.
Zwei Tensoren können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie vom selben Typ sind. Der Tensor-Typ bestimmt Rang, Dimension und Komponenten-Art eines Tensors.
Wenn zum Beispiel
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Die Reihenfolge der Addition spielt keine Rolle (Kommutativgesetz).
Die Subtraktion folgt denselben Regeln wie die Addition. Die entsprechenden Tensoren müssen also auch bei der Subtraktion vom selben Typ sein:
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Um zwei Tensoren miteinander zu multiplizieren, werden sie einfach zu einem neuen Tensor zusammengefügt, indem alle unabhängigen Indizes in ihrer entsprechenden Position kombiniert werden:
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Achtung: Die Reihenfolge der Multiplikation von Tensoren spielt eine Rolle. Bei der Tensor-Multiplikation gilt das Kommutativgesetzt generell nicht. Ausnahme: Multiplikation mit einem Skalar!
Die Division eines Tensors durch einen anderen ist nicht generell möglich. Die einzige Ausnahme ist die Division eines Tensors durch einen Skalar. In diesem Fall wird der Tensor einfach neu skaliert, indem jede Komponente des Original-Tensors durch den Skalar dividiert wird.
Die Addition und Multiplikation von Tensoren sind assoziativ:
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Tensoren kommutieren generell nicht. Ausnahme: Multiplikation mit einem Skalar.
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Das Kommutativgesetz gilt jedoch für die Addition:
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