Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03214.jsonl.gz/814

Hans Walser, [20061002a]
Dynamische Schneeflocke
Es geht darum, die Konstruktion, welche zur Schneeflocke von Helge van Koch fhrt, zu dynamisieren.
Auf einer Strecke AB whlen wir einen Punkt C. Wir definieren dass Verhltnis:
Dann zeichnen wir einen Streckenzug ACFDB so dass die Teilstrecken AC, CF, FD, DB alle gleich lang sind.
Basiskonstruktion
Nun bauen wir die Sache zum Fraktal aus.
Fraktal
Nun knnen wir C bewegen, das hei§t, p variieren.
Fr ergibt sich ein Drittel des Randes der Schneeflocke von Helge van Koch. Die aufgesetzten Dreiecke sind gleichseitig.
Rand der Schneeflocke
Die folgende Abbildung zeigt die Schneeflocke als Ganzes.
Schneeflocke
Diese Schneeflocke basiert auf der Sternfigur .
Sternfigur
Das minimale p ist ; in diesem Fall erhalten wir eine Strecke.
Strecke
Fr erhalten wir rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke aufgesetzt.
Halbe Quadrate aufgesetzt
Dies lsst sich einbauen in die Sternfigur .
Sternfigur
Wir erhalten die folgende Schneeflocke.
Schneeflocke
Fr erhalten wir goldene Dreiecke aufgesetzt.
Goldene Dreiecke
Dies lsst sich ins Pentagramm einbetten.
Pentagramm
Wir erhalten die folgende Schneeflocke.
Schneeflocke
Fr sieht die Sache merkwrdig aus.
Merkwrdig
Die Figur , ein simples Kreuz
Als ãSchneeflockeÒ ergibt sich ein Quadrat welches berall dicht mit Fraktallinien besetzt ist.
Quadrat als Schneeflocke
Fr die fraktale Dimension D der Randkurven erhalten wir:
Also:
Der Funktionsgraph von sieht fr die relevanten Werte so aus:
Funktionsgraph
Fr ergibt sich eine Strecke. Die fraktale Dimension ist 1. Fr ergibt sich ein ausgeflltes Quadrat; die fraktale Dimension ist 2. Fr ergeben sich Schneeflocken. Die fraktalen Dimensionen ihrer Rnder liegen zwischen 1 und 2.
Wir setzen im Folgenden voraus.
Der Zentriwinkel eines regelm§igen n-Eckes ist . Wenn wir nun die Sternfigur in den Einheitskreis einzeichnen, erhalten wir:
Sternfigur
Es ist dann:
Wegen
erhalten wir:
Wegen ergibt sich:
Daraus ergibt sich fr D:
Die Figur zeigt den Funktionsgraphen fr .
Insbesondere ist und . Fr wird das Fraktal zum Umkreis.