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Hans Walser, [20200212]
S-Korbbogen
Anregung: P. H. und A. G., G.
Zwei Halbgeraden (Abb. 1) sind mit einem S-Korbbogen zu verbinden, wobei die beiden Bšgen denselben Radius haben sollen.
Konstruktionsverfahren. Mit DGS verifiziert. Beweisskizze.
Es gibt zwei Lšsungen.
Abb. 1: Problemstellung
Die Abbildung 2 zeigt die Lšsung.
Abb. 2: Lšsung
Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 3.
Abb. 3: Bezeichnungen
Wir zeichnen die Winkelhalbierende w der TrŠgergeraden von a und b (Abb. 4).
Abb. 4: Winkelhalbierende
Weiter seien M der Mittelpunkt und m die Mittelsenkrechte der Strecke AB (Abb. 5). Die Mittelsenkrechte m schneiden wir mit der Winkelhalbierenden w in N. Um N zeichnen wir den Kreis k durch A und B.
Abb. 5: Mittelsenkrechte und Kreis
Durch M zeichnen wir das Lot l zu w und schneiden mit dem Kreis k. Dies liefert den †bergangspunkt † (Abb. 6).
Abb. 6: †bergangspunkt
Die Zentren der Korbbšgen finden wir mit Senkrechten und Mittelsenkrechten gemЧ Abbildung 7.
Abb. 7: Konstruktion der Korbbšgen
Der Trick ist natŸrlich die etwas mysterišse Konstruktion des †bergangspunktes †. Man beachte, dass das Lot l parallel ist zur zweiten Winkelhalbierenden der TrŠgergeraden von a und b.
ZunŠchst folgt aus der allgemeinen Theorie der Korbbšgen, dass der †bergangspunkt † auf dem Kreis k liegen muss (vgl. [1] ). Bei einer beliebigen Wahl des †bergangspunktes auf dem Kreis k haben die beiden Korbbšgen nicht den gleichen Radius. FŸr † = A hat der bei A beginnende Bogen den Radius null und der andere Bogen einen positiven Radius, fŸr † = B ist es umgekehrt. Da sich die Radien bei Variation des Punktes † auf dem Bogen AB monoton verŠndern, gibt es genau eine Stelle mit gleich gro§en Radien.
FŸr die gleichen Radien ergibt sich eine Zickzacklinie (schwarz in Abb. 8) von A nach B, deren Knoten auf den grŸnen Normalen liegen und deren MittelstŸck doppelt so lang ist wie die EndstŸcke. Der Mittelpunkt ist dann der †bergangspunkt †.
Abb. 8: Zickzacklinie
Wir variieren die Zickzacklinie wie folgt (Abb. 9). Zu einem Parameter t wŠhlen wir auf den beiden grŸnen Normalen je einen Knotenpunkt im Abstand t von A beziehungsweise B. Wir verbinden diese beiden Knotenpunkte. So entsteht eine Zickzacklinie, deren MittelstŸck im Allgemeinen nicht doppelt so lang ist wie die beiden EndstŸcke. Wir fragen nach der Ortslinie des Mittelpunktes P des MittelstŸckes bei Variation des Parameters t. Auf dieser Ortslinie liegt auch der †bergangspunkt †.
Abb. 9: Variation der Zickzacklinie
In einer vektoriellen Notation sieht man, dass die Sache linear ist. Die Ortslinie ist eine Gerade. Ihr Richtungsvektor ist das arithmetische Mittel der Einheitsrichtungsvektoren der beiden grŸnen Normalen und damit parallel zur Winkelhalbierenden dieser grŸnen Normalen und weiter orthogonal zu w. Schlie§lich erhalten wir fŸr t = 0 den Punkt M. Die Ortslinie ist also das Lot l (Abb. 6).
Damit ist der †bergangspunkt † der Schnittpunkt des Lotes l mit dem Kreis k. Dies war zu beweisen.
Der zweite Schnittpunkt des Lotes l mit dem Kreis k liefert analog die zweite Lšsung (Abb. 10).
Abb. 10: Zweite Lšsung
Websites
[1] Frank Rolfdieter und Walser Hans: Korbbšgen – wie kriegen wir die Kurve?