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Ich möchte hier einen alternativen Beweis für die Existenz von Jordanbasen für nilpotente Endomorphismen angeben.
Den ursprünglichen Satz und Beweis habe ich aus „Lineare Algebra“ von Theo de Jong.
Er benutzt dort eine äusserst knappe Formulierung, die ich hier ausführlicher machen möchte.
Notation und Definitionen
Diese sind identisch zu den Definitionen im Post über den Spaltungssatz.
Im weiteren Verlauf sei ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem beliebigen Körper und eine lineare Abbildung.
Mit wird das normierte Polynom minimalen Grades bezeichnet, welches erfüllt. Hier ist mit die Nullabbildung gemeint. Es heisst „Minimalpolynom von “.
Weil endlich-dimensional ist, existiert dieses Polynom. (Beweis weggelassen)
Definition: Normierte Polynome
Ein Polynom vom Grad heisst normiert, falls .
In anderen Worten: der Koeffizient mit höchstem Grad hat den Wert 1.
Jordanbasen für nilpotente Endomorphismen
Sei für ein . In diesem Fall sagt man, sei nilpotent.
Dann gibt es eine Jordanbasis von für .
Das heisst, eine Basis von mit oder für alle .
Beweis
Für gilt: . Also ist und die leere Basis ist eine Jordanbasis.
Für .
Es gibt , so dass für jede Basis von , die Menge eine Basis von ist.
(Nimm eine beliebige Basis von und ergänze.)
Behauptung: Diese sind Teil einer Jordanbasis für . Beweis durch Induktion nach .
Verankerung für :
Es gilt: und , also ist .
Und die sind bereits eine (Jordan-)Basis von .
Induktionsschritt :
Induktionsannahme: Sei ein beliebiger Vektorraum mit und linear mit . Sei und eine Liste von Vektoren, die jede Basis von zu einer Basis von ergänzen.
Dann sind diese Teil einer Jordanbasis von für .
Behauptung:
Sei für gewisse .
Dann ist .
Also ist .
Aber die Menge rechts ist nach Konstruktion der genau .
Also ist und weil die linear unabhängig sind, müssen alle sein.
Behauptung: Die sind linear unabhängig.
Sei .
Also ist .
Und deshalb . Wieder weil die linear unabhängig sind, sind die .
Behauptung: Es gibt so dass mit jeder Basis von eine Basis von ergeben.
Nimm dazu eine beliebige Basis von und ergänze zu einer Basis von .
Wende nun die Induktionsannahme an, mit , , und .
Das heisst, es gibt so dass in geeigneter Reihenfolge eine Jordanbasis von für ist.
Letzte Behauptung: Die Menge ist (in geeigneter Reihenfolge) eine Jordanbasis von für .
Diese Menge ist sicher eine Basis. Nach vorheriger Aussage ist die Bedingung eine Jordanbasis zu sein, für alle Vektoren ausser die erfüllt. Aber jeden dieser Vektoren können wir in der Reihenfolge vor das entsprechende stellen und erfüllen so die Bedingung.
Also sind tatsächlich die Vektoren Teil einer Jordanbasis für , wie am Anfang behauptet.
Quellennachweis
- Jong, Theo de. Lineare Algebra. 1st ed. München: Pearson, Higher Education, 2013. Print. ISBN 978-3-86894-113-5 (print).