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Räuber-Beute-Modell
- Je mehr Beutetiere vorhanden sind, desto mehr Räuber (Prädatoren) finden Nahrung. Die Population der Räuber nimmt daher zu.
- Durch die Vernichtung der Beutetiere sinkt auf Grund der fehlenden Nahrung die Anzahl der Räuber.
Zwischen Räuber und Beutetier entwickelt sich ein dynamisches Gleichgewicht. In der Natur stimmen Räuber und Beute ihr Verhalten immer stärker aufeinander ab, was im Modell nur durch eine Anpassung der Parameter nachvollzogen werden kann.
Die dynamischen Eigenschaften von Räuber-Beute-Beziehungen werden in der theoretischen Biologie mittels verschiedenen Variationen des Grundmodells untersucht. Am bekanntesten sind die Arbeiten des österreichischen Mathematikers Alfred James Lotka und des italienischen Mathematikers und Physikers Vito Volterra, die 1925 und 1926 unabhängig voneinander die heute nach ihnen benannten Lotka-Volterra-Gleichungen formulierten. Dieses System mit zwei nichtlinearen Differentialgleichungen stellt den quantitativen Aspekt der Populationsentwicklung unter interspezifischer Konkurrenz dar.
Schneehasen und Luchse
Je mehr Hasen es gibt, desto mehr Tiere stehen den Füchsen als Beute zur Verfügung. Je mehr Füchse es gibt, desto mehr Hasen werden den Füchsen zum Opfer fallen. Das Produkt aus Hasen und Füchsen kann daher als Mass dafür genommen werden, wie viele Hasen von den Füchsen gefressen werden. Jeder erlegte Hase bringt dem Fuchsbestand einen entsprechenden Gewinn und dem Hasenbestand einen Verlust. Der zugehörige Faktoren von 5 Hasen pro Fuchs ist anhand folgender Überlegungen bestimmt worden: bei einer mittleren Zahl von 500 Hasen und 50 Füchsen sollen die Füchse ihre Verluste von 50*0.1 = 5 ersetzen können. Wird nun angenommen, dass ein Fuchs die Biomasse von 5 Hasen hat, so entspricht der Gewinn von 5 Fuchseinheiten einem Verlust von 25 Hasen. Nun werfen die 500 Hasen mit der angenommenen Fruchtbarkeit gerade 25 Junge pro Woche. Damit bleibt das System stabil.
Die Lotka-Volterra-Gleichung, welche diese Räuber-Beute-Modell beschreibt, lässt sich mathematisch gut analysieren. Schreiben wir dazu das Gleichungssystem etwas kompakter
- [math]\dot H=k_1H-k_{12}HF=H(k_1-k_{12}F)[/math]
- [math]\dot F=k_{21}HF-k_2F=F(k_{21}H-k_2)[/math]
Das System bleibt stabil, falls beide Änderungsraten gleich Null sind. Aus dieser Gleichung folgt für die stabile Zahl von Hasen und Füchsen
- [math]H_s=\frac{k_2}{k_{21}}[/math] und [math]F_s=\frac{k_1}{k_{12}}[/math]
Dividiert man die Hasengleichung durch die Fuchsgleichung, folgt eine zeitfreie Darstellung, die sich gut separieren lässt. Ein beidseitig Integration liefert dann
- [math]k_{21}(H-H_0)+k_{12}(F-F_0)-k_2\ln\frac{H}{H_0}-k_1\ln\frac{F}{F_0}=0[/math]
Futterbegrenzung
- [math]spezZuwachspot=\frac{H_{max}-H}{H_{max}}[/math]
Liegt die Futtergrenze unterhalb der weiter oben bestimmten, stationären Hasenpopulation, sterben die Füchse aus. Ansonsten streben beide Populationen gegen einen Gleichgewichtszustand. Mit zunehmender Futtergrenze erträgt das System bei konstant bleibendem Mittelwert der Zahl von Hasen mehr Füchse. Gleichzeitig nehmen die Populatinsschwankungen wieder zu. Bei einer beliebig hohen Futtergrenze, erhalten wir wieder das nicht gedämpfte System mit 50 Füchsen bei 500 Hasen und einem Zyklus, der vom Anfangsbestand abhängt.