Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03182.jsonl.gz/5

Hans Walser, [20210529]
Dreitafelprojektion
Idee und Anregung: Hans-Jrgen Elschenbroich
Frage: Kann man aus den Dreitafel-Ansichten eines Krpers den Krper rekonstruieren?
Die Antwort ist nein. Es werden Gegenbeispiele gezeigt. Ein Gegenbeispiel handelt von Polyedern.
Die Ansicht der Kugel ist in allen drei Rissen (Grund-, Auf- und Seitenriss) ein Kreis. Die Umkehrung gilt nicht. Es gibt noch andere Krper mit je einem Kreis in den drei Rissen.
Als Beispiel starten wir mit einer Kugel und bringen nun in jedem Oktanten eine kleine Delle an (Abb. 1). Die Dellen treffen also weder den quator noch die Meridiane fr 0¡, 90¡, 180¡, 270¡.
Man denkt dabei unwillkrlich an ãKugelnÒ aus Knetmaterial oder an einen Gummiball, der nicht mehr gut aufgepumpt ist.
Die Dellen sollen so klein sein, dass in einem Punkt auf der Oberflche (ausgenommen Punkte auf dem quator oder den Meridianen fr 0¡, 90¡, 180¡, 270¡) die Tangentialebene weder erst-, noch zweit- noch drittprojizierend ist. Daher entstehen in den drei Rissen keine zustzlichen sichtbare Kanten.
Abb. 1: Kugel mit Dellen
In der Abbildung 2 wird der Krper gedreht.
Abb. 2: Rotation
Die Abbildung 3 zeigt nun die drei Risse. Der Umriss ist in allen Rissen ein Kreis. Wir sehen zwar die Dellen, aber die Umrisse sind berall Kreise.
Abb. 3: Risse
Die Abbildung 4 zeigt drei Rotations-Hyperboloide mit gleichseitigen Hyperbeln mit Kehlkreisradius 1 als Meridiankurven. Die Drehachsen sind paarweise orthogonal.
Abb. 4: Rotations-Hyperboloide
In der Abbildung 5 sind die drei Hyperboloide mit gemeinsamem Zentrum gezeichnet. Die Koordinatenachsen sind auch die Rotationsachsen
Abb. 5: Gemeinsames Zentrum
Wir bilden nun den Durchschnitt aller drei Hyperboloide (Abb. 6). Es entsteht ein Stern. Er erinnert an den Kepler-Stern (stella octangula).
Abb. 6: Hyperboloid-Stern
Die Abbildung 7 gibt die drei Risse.
Abb. 7: Risse
Bei einem Wrfel entfernen wir von jeder Seitenflche aus eine Pyramide, deren Spitz der Wrfelmittelpunkt ist. Die Abbildung 8 illustriert die ersten drei von sechs Schritten.
Abb. 8: Pyramiden entfernen
Das Restpolyeder hat das Volumen null. Es besteht nur noch aus den Pyramidenwnden.
Die Abbildung 9 zeigt ein Papiermodell, gebaut aus gefalteten DIN A6 Papieren und Broklammern.
Abb. 9: Papiermodell
Die drei Risse (Abb. 10) sind identisch mit den Rissen der Abbildung 7, obwohl es sich um ganz verschiedene Figuren handelt.
Abb. 10: Risse
Die Abbildung 11 gibt einen halben Wrfel, wie in der Abbildung 12 illustriert wird.
Abb. 11: Halber Wrfel
Abb. 12: Andere Sichten des halben Wrfels
Zwei solche halbe Wrfel knnen zu einem ganzen Wrfel zusammengefgt werden.
Bei den Rissen (Abb. 13) sehen wir dieselben Umrisse wie bei den Abbildungen 7 und 10.
Abb. 13: Risse
Der Vergleich der Beispiele der Abbildungen 10 und 13 zeigt, dass auch verschiedene Polyedern gleiche Risse haben knnen.
Dieses Beispiel verdanke ich Hans-Jrgen Elschenbroich.
Die Abbildungen 14 und 15 zeigen das Konoid.
Abb. 14: Konoid
Abb. 15: Drehen des Konoides
Beim Konoid ist die Oberflche (vom Bodenkreis abgesehen) eine Regelflche (ruler surface), hat also eine negative Gau§sche Flchenkrmmung und ist nicht in die Ebene abwickelbar. Ein Papiermodell ist nicht mglich. Die approximative Herstellung aus homogenem Material braucht eine CNC-Frse. Die horizontalen Querschnitte sind Ellipsen. Die lange Halbachse ist dabei konstant, die kurze Halbachse nimmt nach oben linear ab von der Lnge der langen Halbachse bis zu null. Daher kann das Volumen nach dem Prinzip von Cavalieri sehr einfach berechnet werden. Wie gro§ ist es? Vergleich mit Zylinder und Kegel?
Die Abbildung 16 zeigt die drei Risse. Die Umrisse sin ein Kreis, ein gleichschenkliges Dreieck und ein Quadrat.
Abb. 16: Risse
Die Abbildungen 17 und 18 zeigen den sogenannten Allzweckstpsel (Bezeichnung von George Plya).
Abb. 17: Allzweckstpsel
Abb. 18: Drehen des Allzweckstpsels
Beim Allzweckstpsel sind alle Oberflchen eben oder zylindrisch, also in die Ebene abwickelbar (Gau§sche Flchenkrmmung null). Er ist daher mit Drehbank und Kreissge machbar. In der Heimwerker-Werkstatt kann man den Stpsel aus einem alten Besenstiel herausschneiden. Das Papiermodell ist recht einfach. Das ãDach" ist eine gefaltete Ellipse. Der obere Rand des abgewickelten Mantels ist aus Sinuskurven zusammengesetzt.
Die Abbildung 19 zeigt die drei Risse.
Abb. 19: Risse
Die Risse der Abbildungen 16 und 19 haben zwar entsprechend dieselben Umrisse, aber im Seitenriss des Allzweckstpsels ist zustzlich eine elliptische Kante sichtbar.
Beide Krper passen sowohl in ein rundes, ein quadratisches und ein dreieckiges Loch.
Websites
Hans-Jrgen Elschenbroich: Konoid
Hans-Jrgen Elschenbroich: Konoid 2
Hans-Jrgen Elschenbroich: Konoidmantel
Hans Walser: Hyperboloid-Stern