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Aufgabe 1. Bald wird das Skifahren durch Raumskifliegen im Euklidischen -Raum abgelöst werden. Die Grundausrüstung besteht aus Skiern und Seilen. Der Ski ist eine starre geradlinige Verbindungsstrecke seiner Endpunkte . Genauso für die Skier und . Die Seile verbinden paarweise die Endpunkte, die nicht bereits durch einen Ski verbunden sind. Der geübte Skifahrer beeinflusst mit seinem Können und Körper die Zugspannungen in den Seilen und zwar so, dass nie zwei Skier in eine Ebene geraten. Das Drachenfliegen ist dafür eine gute Vorbereitung. Mittels Änderungen der Zugspannungen wird das Fortbewegen bewirkt und beeinflusst. Die Beschichtung der Skier ist so, dass Gravitationswellen eingefangen und umdirigiert werden. Die Skier eines Tripels sind Meter lang, und die bevorzugte Startposition ist so, dass das mittlere Fünftel jedes Skis Kanten eines Einheitskubus bilden. Berechne für die Startposition die Zugspannung in den Seilen. Die Summe aller Spannungen betrage 12 Newton.
Aufgabe 2. Die Haltung eines Raumskifliegers ist umso besser je grösser der Inhalt des mitfliegenden Parallelepipeds, das drei seiner Kanten auf den Skiern hat, ist. Gibt es für einen Raumskiflieger mit Skiern von Meter Länge eine optimale Haltung? (Ein Parallelepiped ist ein Raumkörper mit Seitenoberflächen, die Parallelogramme sind.)
Aufgabe 3. Ein Seil platzt! Kann man die Skier auch mit Seile so anhalten, dass nie zwei Skier in eine Ebene geraten.
Aufgabe 4. Seien Punkte in der Euklidischen Ebene . Seien die Standardkoordinatenfunktionen. Es gelten und Der Kantenzug berandet je nach -Wert ein Viereck oder zwei Dreiecke, die in entgegengesetzter Richtung umlaufen werden. Sei die die Oberfläche des Vierecks oder die Summe der signierten Oberflächen der Dreiecke. Die signierte Summe kann man auf Arten bilden (sprich: , , oder ). Für Arten ist die Funktion stetig. Die signierte Summe soll sogar so gebildet werden, dass die Funktion differenzierbar ist. Zeige, dass Minima und Maxima hat. Zeige, dass an der Stelle genau dann minimal oder maximal ist, wenn die Punkte auf einem Kreis liegen. Formuliere den Satz von Ptolemäus.
Aufgabe 5. Ein Osterei läßt sich (bald) mit Fingern einklemmen. Ist das Ei glatt und rutschig, dann ist es nur bei größter Vorsicht möglich, ein Ei fest im Griff zu haben. Ist keine Reibung zwischen Fingern und Eioberfläche möglich, dann übertragen die Finger die Kräfte senkrecht zur Eioberfläche. Zeige, dass man das Ei im Euklidischen -Raum nur dann fest im Griff hat, wenn die Normalen am Ei durch die Berührungsstellen mit den Fingern im folgenden Sinne klamm-heimlich zusammenpassen. Wir sagen, daß vier Geraden in zusammenpassen, wenn sie paarweise nicht in einer Ebene liegen, und wenn es mindestens Geraden gibt, die und schneiden.
Mit den besten Wünschen für den Frühling und die vorösterliche Zeit.
Abgabe der Aufgaben bis Donnerstag, den Frühling 2001.