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Numeri decimali
Un numero razionale espresso in notazione decimale, ossia secondo il nostro sistema numerico decimale, viene detto numero decimale (in lingua comune: “numero con la virgola”). La notazione decimale è quindi uno dei modi di rappresentare un numero razionale. Se si vuole passare da una rappresentazione espressa in frazione di un numero razionale alla notazione decimale, basta dividere il numeratore per il denominatore, ad esempio 2/5 diventa 2 : 5 = 0,4.
2/5 e 0,4 sono quindi due modi diversi di scrivere lo stesso numero razionale.
Nel numero decimale si individua una parte intera, prima della virgola, e una parte decimale, dopo la virgola. Nel passare dalla forma frazionaria a quella decimale si può verificare solo uno dei seguenti tre casi:
- si ottiene un numero naturale, se il numeratore è multiplo del denominatore; ad esempio 12/3 è uguale a 4 (i numeri naturali sono casi particolari di razionali);
- si ottiene un numero decimale con un numero finito di cifre dopo la virgola, ad esempio 2/5 dà luogo alla scrittura 0,4;
- si ottiene un numero decimale periodico, cioè costituito da infinite cifre dopo la virgola in cui vi è un periodo (cioè alcune di queste cifre si ripetono all’infinito); ad esempio 41/90 dà luogo alla scrittura 0,4555555…, con il 5 che si ripete infinite volte. 0 è la parte intera, 4 si chiama antiperiodo e 5 si chiama periodo. Tale numero si scrive 0,4(5) oppure 0,45.
È anche possibile fare il viceversa, ossia passare da un numero decimale a uno espresso in forma frazionaria. Ad esempio, 6,54 diventa la frazione 654/100, che semplificata ai minimi termini è la frazione 327/50. Il procedimento è più complesso quando il numero decimale di partenza è periodico.
Un numero decimale costituito da infinite cifre non periodiche dopo la virgola è detto irrazionale, argomento che non rientra nella trattazione della scuola elementare. Per un numero irrazionale non esiste un corrispettivo espresso in forma frazionaria.
I numeri decimali con un numero finito di cifre nella parte decimale hanno la caratteristica che gli zeri aggiunti nella parte più a destra, non cambiano la grandezza del numero: 1,30 è come dire 1,3. Questo risulta poco intuitivo per gli allievi che hanno acquisito l’esperienza che aggiungendo uno 0 “in fondo” ad un numero lo si moltiplica per 10.
Approfondimenti
La scrittura polinomiale di un numero è una rappresentazione basata su un’addizione dei prodotti di ogni cifra del numero moltiplicata per un’opportuna potenza di 10, così da rappresentarne il valore (si veda l’argomento Sistema numerico decimale). Questa rappresentazione mette dunque in risalto il valore di ogni cifra in base alla posizione che occupa.
Tale forma di rappresentazione dei numeri si presta, oltre che per i numeri naturali, anche per i numeri decimali. Ad esempio, il numero 341,235 in forma polinomiale diventa:
Moltiplicando la cifra dei millesimi per 0,001, la cifra dei centesimi per 0,01, quella dei decimi per 0,1, quella delle unità per 1 e via così avremo:
5 × 0,001 + 3 × 0,01 + 2 × 0,1 + 1 × 1 + 4 × 10 + 3 × 100
che corrisponde a:
5 × 10-3 + 3 × 10-2 + 2 × 10-1 + 1 × 100 + 4 × 101 + 3 × 102.
Effettuando i calcoli è possibile verificare che tale scrittura corrisponde proprio al numero 341,235.
Aspetti didattici
Abbiamo già anticipato come i bambini fin dall’ingresso della scuola elementare possiedono diverse interessanti convinzioni sul concetto di metà, espresse in diverse forme di rappresentazione figurali, e come da queste si possa partire per introdurre fin dal primo ciclo i più intuitivi numeri razionali. Va considerato che la rappresentazione in forma decimale di tale concetto (0,5) risulta poco evidente, sicuramente molto meno rispetto a quelle figurali e anche a quella frazionaria (1/2).
Allo stesso tempo i numeri decimali possono far parte dell’esperienza quotidiana dei bambini soprattutto in relazione all’ambito Grandezze e misure, ad esempio maneggiando le monete potrebbero già conoscere i centesimi o aver sentito utilizzare i numeri decimali per la loro altezza o per il contenuto di una bibita.
Queste esperienze spontanee possono essere valorizzate dal docente già nel primo ciclo, ma è nel secondo ciclo che i numeri decimali vengono presentati e approfonditi cogliendone le caratteristiche matematiche e gli usi anche nel contesto reale. In certi contesti è più diffusa, o risulta più conveniente, la rappresentazione di un numero razionale in notazione decimale, rispetto a quella frazionaria, in altri succede l’inverso. La quantità di acqua contenuta in una bottiglietta è di solito espressa in notazione decimale 0,33 cl; l’ordinamento su una retta numerica di alcuni numeri razionali, dal più piccolo al più grande, risulta più facilmente gestibile nella forma decimale; la probabilità di un evento è espressa in modo più intuitivo in forma frazionaria ecc.
Ordinare i numeri decimali dal più piccolo al più grande risulta abbastanza complesso per gli allievi; per farlo è importante riprendere le considerazioni proposte nel primo ciclo sul valore posizionale delle cifre, allo scopo di far cogliere anche per la parte decimale di tali numeri il fondamentale ruolo del valore delle cifre legato alla loro posizione. In questo modo è possibile far comprendere agli allievi che ad esempio 1,2 è più grande di 1,15, pur essendo 2 più piccolo di 15 nell’insieme dei numeri naturali, focalizzando l’attenzione sul valore e la posizione di ciascuna cifra. Va prima di tutto confrontata la parte intera dei due numeri e, a parità di grandezza numerica, si passa a confrontare la parte decimale. Ciò che va inizialmente confrontato è il valore delle prime cifre dopo la virgola dei due numeri, in questo caso il 2 e l’1 e va valutato se ce n’è uno maggiore dell’altro o no, nel primo caso il numero con la cifra maggiore dopo la virgola sarà il più grande dei due. Se anche queste due cifre dopo la virgola risultano uguali, si passa al confronto delle seconde cifre dopo la virgola e così via.
Per cogliere in profondità il valore che assumono le cifre in base alla posizione nella parte decimale è importante confrontare numeri decimali che hanno dopo la virgola un numero diverso di cifre, come 2,7 e 2,619, così da favorire un confronto basato sulla posizione di ciascuna cifra, piuttosto che sulla quantità di cifre dei numeri considerati. Nel confronto della grandezza di numeri come 1,2 e 1,19, non risulta vincente la strategia di scrivere 1,2 nella forma equivalente 1,20, in quanto diventerebbe troppo immediato riconoscere che 20 è maggiore di 19, dato che ciò avviene anche nei numeri naturali, ma è importante far cogliere agli allievi che 1,2 è maggiore di 1,19, anche se 19 è maggiore di 2, per il valore delle prime cifre dopo la virgola. Occorre poi lavorare didatticamente sul fatto che non esiste il successivo di un numero razionale e ciò emerge in particolare quando si mostra il numero in notazione decimale. Il successivo di 0,7 non è 0,8 come inizialmente ci si illude, ma neppure 0,71, né 0,701 o 0,7001… per quanto ci si ostini a cercarlo, tale numero non esiste (si veda l’argomento Ordinamento).
Osserviamo inoltre che la scrittura polinomiale di un numero è unica se si considerano come coefficienti delle potenze di 10 le nostre 10 cifre, ma ce ne sono moltissime altre se si esce da questo vincolo (si veda l’argomento Sistema numerico decimale). Come per i numeri naturali, anche per i numeri decimali sarà opportuno considerare con gli allievi anche altre scomposizioni possibili del numero, quantificando in modo diverso migliaia, centinaia, decine, unità, decimi, centesimi, millesimi ecc. Questo per evitare che i bambini interiorizzino che, ad esempio, il numero 5,61 contiene solo 6 decimi, mentre in 5,61 ci sono 56 decimi.
Inoltre, risulta importante mostrare ai bambini esempi di numeri decimali le cui cifre decimali vadano oltre ai millesimi (con i decimi di millesimi, centesimi di millesimi e così via), così come si va oltre alle migliaia per la parte intera del numero decimale. Tutto ciò per evitare che si formi nei bambini la misconcezione che i numeri decimali si arrestino alla cifra dei millesimi.
Cenni storici
La forma decimale è molto antica. Già gli Assiri e i Babilonesi, pur non creando simboli appositi per le frazioni, considerarono l’analogo dei nostri numeri decimali, che nel loro caso erano numeri sessagesimali, dato che lavoravano in base 60.
La rappresentazione usata oggi dei numeri decimali è dovuta all’opera di Simone di Bruges, detto Stevin (1548-1620), che visse a cavallo tra il XVI e XVII secolo e faceva uso di tutt’altro simbolismo rispetto al nostro, non considerando la virgola. Ad esempio, 34,652 veniva scritto nel seguente modo:
34⓪6①5②2③.
Il simbolo della virgola “,” per separare la parte intera da quella decimale è stato proposto da John Wallis (1616-1703), il maestro di Isaac Newton, e fu definitivamente generalizzato in Italia e in Francia alla fine del XVIII secolo, quando venne introdotto il sistema metrico decimale. La derivazione etimologica del termine decimale è invece latina e deriva da “decimalis”, cioè “ripartito” (o “ordinato”) “a dieci a dieci”.