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Was für ein hübsches Muster aus schwarzen Dreiecken und gelben Sechsecken! Man könnte die ganze Welt damit kacheln. Nur: Wie hoch wäre dann wohl der Anteil schwarzer Flächen?
Die folgende Knobelaufgabe stammt aus einem Mathetest, an dem im Februar mehr als 200'000 britische Schüler teilgenommen haben. Die 13- bis 16-Jährigen hatten für die insgesamt 25 Aufgaben genau eine Stunde Zeit. Organisiert wird der Intermediate Challenge genannte Test vom United Kingdom Mathematics Trust.
Der Schwierigkeitsgrad variierte. Während es in den ersten Aufgaben vor allem um elementare Fähigkeiten wie Bruchrechnung oder räumliches Denken ging, waren die Aufgaben im zweiten Teil deutlich anspruchsvoller. Besonders gut gefallen hat mir Frage 25, in der es um eine zweifarbig gekachelte Fläche geht.
Stell dir vor, du stehst in einem unendlich grossen Raum. Der Boden ist mit sechseckigen und dreieckigen Fliesen ausgelegt. Die Dreiecke sind schwarz, regelmässig und alle gleich gross, die Sechsecke sind gelb, regelmässig und ebenfalls alle gleich gross. Die Seitenlänge der Dreiecke ist exakt halb so lang wie jene der Sechsecke – siehe folgende Zeichnung:
Wenn du den gekachelten Boden von oben betrachtest: Welchen Anteil hat dann die Farbe Schwarz an der Gesamtfläche?
Hinweis: Wir gehen der Einfachheit halber davon aus, dass die Fugen zwischen den Fliesen vernachlässigt werden, also eine Breite von Null haben.
Auf dem Boden liegen genau doppelt so viele schwarze Kacheln wie gelbe. Das erkennt man, wenn man eine sechseckige und zwei dreieckige Kacheln gedanklich zu einer achteckigen Kachel zusammenfügt, wie in der folgenden Zeichnung geschehen:
Der Boden ist dann vollständig von achteckigen Kacheln gleicher Form und Grösse bedeckt. Wenn wir den Anteil schwarzer Flächen herausfinden wollen, reicht es deshalb aus, den Anteil beim unregelmässigen Achteck zu berechnen.
Darin befinden sich zwei schwarze Dreiecke und ein gelbes Sechseck. Wir können das Sechseck zerlegen – zunächst in sechs gleichseitige Dreiecke und diese sechs Dreiecke wiederum in je vier regelmässige Dreiecke. Diese 6*4 = 24 Dreiecke sind genauso gross wie jede der schwarzen Kacheln – siehe Zeichnung oben.
Das unregelmässige Achteck besteht also aus 24 gelben und 2 schwarzen Dreiecken gleicher Grösse. Der Schwarzanteil liegt deshalb bei 2/(24+2) = 2/26 = 1/13.