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Iterationen in C
Sie haben gelernt, dass man Punkt in der Ebene als komplexe Zahlen auffassen kann. Sie sollen nun mit diesen Zahlen arbeiten. Keine Angst, es gibt nicht viel zu rechnen.
Steckt man einen Punkt der komplexen Ebene in eine Funktion, erhält man als Ergebnis einen anderen Punkt in der komplexen Ebene. Zeichnet man diese Abfolge von Punkten einer Iteration auf, erhält man ein Bild wie das obige.
Juliamengen
DIe Juliamengen sind Beispiele fraktaler Mengen, welche mit komplexen Zahlen erstellt werden. Man kann nicht für jeden Punkt die Bahn aufzeichnen. Einfacher ist es, diejenigen Punkte zu markieren, für welche sich die Iterationen immer weiter vom Koordinatenursprung entfernen.
Wir betrachten die folgende Iteration:
Die Konstante C sei gegeben. Nun setzen wir jeden Punkt der komplexen Zahlenebene in diese Iteration ein und betrachten das Ergebnis nach 50 Iterationen. Ist das Ergebnis weiter als 2 Einheiten vom Ursprung entfernt, so wird der Anfangspunkt weiss eingefärbt, ansonsten schwarz.
Die so entstehenden Mengen werden Juliamengen genannt und haben ein sehr komplexes Eigenleben.
Aufträge:
Finden Sie heraus, welche Zahlenmenge für ein gegebenes C entsteht. Das Programm Fraktale Strukturen steht ihnen zu diesem Zweck zur Verfügung. Benutzen Sie für die folgenden Aufträge das Unterprogramm Juliamengen. Experimentieren Sie mit dem Programm.
- Welche Rolle spielt die Wahl des Punktes C?
- Für welche Werte für C entstehen zusammenhängende Mengen?