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Aufgabe 1. Sei eine offene Teilmenge in . Seien beliebig oft differenzierbare Vektorfelder auf , so dass für die Vektoren und linear unabhängig sind. Konstruiere auf eine -Differentialform , die auf nirgendwo verschwindet, und mit für .
Aufgabe 2. (Fortsetzung) Zeige für , dass genau dann gilt, wenn die Vektoren und linear abhängig sind. Hier ist die Liesche Klammer.
Aufgabe 3. (Fortsetzung) Wir setzen auf voraus. Konstruiere auf eine -Differentialform , für die gilt. Gilt die Bedingung von Frobenius: ?
Aufgabe 4. (Fortsetzung) Wir behalten die Voraussetzung auf bei. Sei . Zeige, dass die -Differentialform wie in Aufgabe lokal um geschlossen gewählt werden kann. Konstruiere lokal um eine Funktion ohne kritische Punkte mit den Eigenschaften und .
Aufgabe 5. Sei . Seien auf die Vektorfelder, die tangent an sind, und durch gegeben sind. Hier . Berechne . Existiert lokal auf eine Funktion mit und ?
Aufgabe 6. Konstruiere auf Tangentialvektorfelder die punktweise linear unabhängig sind, derart, dass lokal auf reguläre Funktionen mit existieren. Zeichne die von und definierte Blätterung auf .