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Hans Walser, [20090207a]
Folgen im Schachbrett
Wir beginnen mit Gitterpunkten im Schachbrett und zeichnen eine Zickzack-Linie, deren Ecken zu harmonischen Folgen fźhren.
Start
Die folgende Figur zeigt den ersten Schritt der Konstruktion der Zickzack-Linie.
Erster Schritt
Nun folgen weitere Schritte. An den RŠndern sind die relativen Hšhen der Eckpunkte der Zickzack-Linie im Vergleich zur SeitenlŠnge des Schachbrettes vermerkt. Diese Hšhen lassen sich mit einem geeigneten Koordinatensystem berechnen.
Weitere Schritte
Am linken Rand erkennen wir die klassische harmonische Folge . Der Beweis lŠsst sich induktiv fźhren.
Was hat es mit den Zahlen am rechten Rand auf sich?
Unter dem harmonischen Mittel h zweier Zahlen a und b verstehen wir:
Beispiel: Ein Autorennfahrer fŠhrt die erste Runde (der LŠnge s) mit der Geschwindigkeit und die zweite Runde mit der Geschwindigkeit . Wie gro§ ist die Durchschnittsgeschwindigkeit in diesen ersten beiden Runden zusammen?
Bearbeitung: Fźr die erste Runde ist ein Zeitaufwand erforderlich, entsprechend fźr die zweite Runde . Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also:
Wir erhalten das harmonische Mittel der beiden einzelnen Geschwindigkeiten. Die LŠnge s des Rennringes spielt keine Rolle.
In der klassischen harmonischen Folge ist jedes Folgenglied das harmonische Mittel der beiden Nachbarglieder. Wir reden nun allgemein von einer harmonischen Folge , wenn . Unter diesem Aspekt bilden auch die Zahlen am rechten Rand eine harmonische Folge, ebenso die Folge, dies sich aus der Vereinigung der beiden Folgen ergibt:
Aus der Definitionsbedingung ergibt sich die Rekursionsformel:
Wegen dem Minuszeichen im Nenner kann es zu einer Division durch Null kommen. Bei den Startwerten und etwa muss man mit Gefźhl arbeiten:
Bei den Startwerten und tritt der Pol nicht auf:
Wir beginnen mit Gitterpunkten im Schachbrett und zeichnen eine Zickzack-Linie, deren Ecken zu geometrischen Folgen fźhren.
Erster Schritt
Weitere Schritte
Es entsteht eine geometrische Folge. Der Beweis ergibt sich aus den StrahlensŠtzen.