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La rotation dans l’espace euclidien peut être décrite à l’aide d’une matrice, comme la transformation de Lorentz. Cette dernière peut s’interpréter comme une « rotation » dans un espace hyperbolique appelé espace de Minkowski.
Notions : changement de coordonnées lors d’une rotation et d’une transformation de Lorentz.
Interprétation de la transformation de Lorentz comme une rotation dans l’espace de Minkowski.
Rotation en géométrie euclidienne
En géométrie euclidienne, les coordonnées (x’, y’) d’un point dans le système ∑’ deviennent, dans un système ∑ qui a subi une rotation d’un angle θ :
Le passage inverse de ∑ à ∑’ s’obtient en changeant le signe de l’angle :
La tangente de l’angle θ est égale à la pente T d’un axe d’un des systèmes par rapport au même axe de l’autre système.
Exercice 1
a) Un point à les coordonnées 2, 1 dans un système de référence. Quelles sont ses coordonnées dans un autre système qui a subi une rotation de π/3 par rapport au premier ?
b) Un point à les coordonnées 4, 5 dans un système de référence qui a subi une rotation de π/5 par rapport au système d’origine. Quelles sont ses coordonnées dans le système d’origine ?
c) Vérifiez dans chaque cas qu’en appliquant la transformation inverse aux coordonnées obtenues, vous retrouvez les coordonnées de départ.
Transformation de Lorentz
La transformation de Lorentz peut s’interpréter comme une « rotation » dans la géométrie de Minkowski. Les coordonnées (x’, t’) d’un événement dans le système ∑’ en translation selon Ox à la vitesse β = = th θ deviennent, dans un système ∑ :
Le passage inverse de ∑ à ∑’ s’obtient en changeant le signe de l’angle :
La tangente hyperbolique de l’angle θ est égale au rapport de la vitesse relative des systèmes à celle de la lumière th θ = = β
Exercice 2
a) Deux événements se passent au même endroit dans un système lié au laboratoire, mais sont séparés par une durée de trois secondes. Quels sont les coordonnées de ces événements dans un système lié à un repère se déplaçant selon Ox si le rapport de la vitesse relative des systèmes à celle de la lumière vaut 4/5 ?
b) Un méson π a une durée de vie propre (durée de vie dans le référentiel lié à la particule) de 2.55 * s. Il se déplace à une vitesse égale au 12/13 de la vitesse de la lumière par rapport au laboratoire. Calculez la durée de vie de ce méson π dans le laboratoire.
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