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La seguente storia è stata raccontata da Carl Sagan, nel libro: “Il mondo infestato dai demoni”.
Enrico Fermi, giunto negli Stati Uniti, fu presentato ai vertici dell’esercito americano. Qualcuno gli riferì che un certo personaggio era un grande generale ed egli volle sapere quale fosse la definizione di grande generale. Si trattava, risposero, di un generale che aveva vinto molte battaglie consecutive. Fermi non si accontentò del generico “molte” e volle conoscere “quante” battaglie consecutive era necessario vincere per guadagnarsi il titolo di grande generale. L’interlocutore, dichiarò che la vittoria di cinque battaglie consecutive ne rappresentava la condizione. Fermi chiese allora quanti generali americani potevano considerarsi “grandi”: seppe così che si trattava di una piccola frazione. Diciamo il due o il tre per cento. Ebbene, osservò allora Fermi, ammettiamo per un attimo che la vittoria in una battaglia dipenda esclusivamente dal caso e non dall’abilità del generale. La probabilità di vincere una battaglia sarebbe, in tal caso, pari a 1/2; quella di vincerne cinque consecutive sarebbe allora uguale a (1/2)^5, vale a dire al tre per cento. Dobbiamo aspettarci, dunque, che un certo numero di ufficiali americani abbia vinto cinque battaglie consecutive per puro caso. Davvero costoro sarebbero “grandi generali”?
La storia che segue si deve a Morris De Groot e affronta la questione con la limpida chiarezza, tipica dei racconti esemplificativi. Supponete che un sedicente esperto di finanza, desideroso di farsi strada, vi scriva una lettera in cui afferma di poter prevedere l’andamento della borsa. Piuttosto critici, pensate immediatamente che, se avesse realmente questo talento, se ne servirebbe egli stesso senza sentire la necessità di informarne il prossimo. Ammettiamo invece che subiate il fascino del mistero (o che siate semplicemente avidi) e decidiate di dargli retta. Nella lettera, recapitatavi il lunedì mattina, il nostro personaggio prevede che un certo titolo azionario il lunedì successivo aumenterà di valore. Non vi chiede nulla se non di verificare la correttezza della sua previsione. Supponete, ora, che effettivamente quel titolo azionario il lunedì successivo aumenti la quotazione. Immaginate anche che vi arrivi una seconda lettera, dove il nostro amico dichiara che lo stesso titolo il lunedì successivo subirà un calo ed effettivamente questo accada. Facciamo l’ipotesi che questa storia proceda per sette settimane consecutive: immaginate, intendo dire, che il nostro esperto di finanza vi invii gratuitamente per sette volte previsioni sull’andamento di un dato titolo azionario e queste previsioni si rivelino, a posteriori, tutte esatte. Quando vi invierà ancora una lettera, chiedendovi molto denaro per comunicarvi la sua ottava previsione, cosa farete? Vi sconsiglierei vivamente di dargli retta, nonostante le apparenze.
Valutiamo la probabilità che sette previsioni in sequenza siano corrette per puro caso. Si tratta di un conto molto semplice. Se le previsioni venissero formulate con il lancio di una moneta, la probabilità di indovinare una singola previsione sarebbe uguale a 1/2; in quell’ipotesi infatti si indovinerebbe in media una volta ogni due. La probabilità di indovinare, per caso, per sette volte consecutive l’andamento del titolo azionario è uguale al prodotto delle probabilità delle singole previsioni: vale a dire, un (1/2)^7 = 0,008. Siccome questa probabilità è estremamente piccola e voi avete assistito proprio a una sequenza di sette previsioni corrette, potreste erroneamente concludere che il vostro esperto non si affida affatto al caso ma possiede un potere che gli consente di prevedere il futuro. A differenza dei “grandi generali” di Fermi, forse egli è proprio un “grande indovino”. La sensazione, però, è che ci sia sotto qualcosa che non va: e il trucco è estremamente semplice. Il nostro presunto esperto ha ottenuto il risultato, all’apparenza sorprendente, di prevedere il futuro, utilizzando un’idea nota a chiunque abbia un’infarinatura di statistica. Una disciplina da non sottovalutare. La scienza ci insegna inoltre che non sempre, di fronte a uno strano fenomeno, noi disponiamo di tutte le informazioni necessarie per poterlo valutare correttamente.
Ragioniamo: l’esperto ha inviato, in quel famoso lunedì, ben 128 lettere simili a quella ricevuta da voi, eccetto un piccolo e importante particolare. In metà di quelle lettere infatti (64), la previsione relativa al titolo azionario era esattamente opposta a quella indicata nella vostra e nelle 63 rimanenti. A questo punto egli ha aspettato il lunedì successivo. Appena ha appreso come si era comportato il titolo azionario, egli ha abbandonato tutti i potenziali clienti a cui aveva inviato una previsione sbagliata e si è concentrato sui 64 che hanno ricevuto quella corretta. Il nuovo gruppo viene a questo punto suddiviso in due gruppi di 32 individui a cui inviare la seconda previsione; la quale, naturalmente, sarà ancora tale da coprire tutte le possibilità. Per metà il titolo aumenterà il suo valore, per l’altra metà lo diminuirà o resterà invariato. Procedendo in tal modo, per bisezioni successive, e scartando tutti i soggetti ai quali ha inviato previsioni sbagliate, egli otterrà il risultato desiderato con una persona (voi, diciamo). Se questa persona sarà disposta a pagare per conoscere l’andamento di quel titolo per l’ottava volta (e se verrà informata della crescita del valore di quel titolo), presumo che investirà del denaro sullo stesso con uguale probabilità di perdere o guadagnare. L’unico risultato sicuro è un guadagno per l’esperto imbroglione!
Fausto Intilla, 7 aprile 2020