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Combinatoria e probabilità
La combinatoria è quella parte della matematica che studia l’enumerazione, le combinazioni e le permutazioni di un insieme di elementi e le relazioni matematiche che descrivono le loro proprietà. Di solito si occupa di situazioni pratiche e di problemi i cui aspetti essenziali si possono esprimere con modelli discreti. Alcuni esempi di queste situazioni sono: le disposizioni delle persone intorno ad un tavolo circolare, le estrazioni di palline di colori diversi da un’urna, le diverse disposizioni di oggetti ecc.
Per parlare invece di probabilità è necessario chiarire che cosa si intende per evento. Un evento è un enunciato relativo a una prova, per il quale si possa stabilire se, dopo l’esecuzione della prova, tale enunciato sia vero o falso, cioè se l’evento associato si è verificato o no.
Un evento è detto certo se è sicuro che l’evento si verifichi; è invece detto impossibile se è sicuro che l’evento non si verifichi, indipendentemente dall’esecuzione della prova. Un evento è detto possibile se si può verificare ma non è né certo né impossibile. A un evento viene anche attribuito l’aggettivo probabile, che ha un significato un po’ diverso rispetto a possibile, dato che esprime non solo una possibilità, ma una possibilità con forte garanzia di esito. Ad esempio, l’evento “esce il 4 lanciando un dado con i numeri da 1 a 6” è possibile, ma non tanto probabile, invece l’evento “esce un numero pari o primo”, non è solo possibile, ma altamente probabile; infatti, i numeri che rendono vero l’enunciato sono: 2, 3, 4, 5, 6.
La misura della probabilità che individua il rapporto tra il numero dei casi favorevoli (m) e il numero dei casi possibili (n), è legata alla prima e più intuitiva definizione di probabilità di un evento, chiamata appunto classica.
Detto in altro modo, se A è l’enunciato che illustra l’evento, indichiamo con la scrittura p(A) [che si legge in matematica: “pi di A”] la probabilità di A; allora, possiamo scrivere che: p(A) = m/n. Di solito si dice che un evento certo ha probabilità 1 (o 100%) e che un evento impossibile ha probabilità 0 (o 0%). Di conseguenza, un evento possibile ha una probabilità compresa tra 0 e 1 (tra 0% e 100%). È dunque ovvio che p(A) è 0 se m = 0, cioè se non ci sono casi in cui A si verifica; p(A) = 1 quando m = n, cioè quando in tutti i casi possibili A si verifica; in tutti gli altri casi, cioè quando A è possibile: 0 < p(A) < 1.
La somma delle probabilità di tutte le uscite (c’è chi li chiama “eventi elementari”) di una certa prova è sempre 1.
Nella situazione “gettare una moneta”, le possibili uscite sono: testa o croce. La prima ha probabilità di verificarsi 1/2 e la seconda pure 1/2. La loro somma è 1. Nella situazione “gettare un dado a forma di cubo”, ogni uscita ha probabilità 1/6 di verificarsi e la somma di tutte le probabilità vale ancora 1.
Due eventi, relativi alla stessa prova, sono tra loro contrari quando il verificarsi dell’uno rende impossibile il verificarsi dell’altro e viceversa. La somma delle probabilità di due eventi contrari è 1. Ad esempio l’evento A = “Lancio il dado ed esce 6” e l’evento B = “Lancio il dado ed esce un numero minore o uguale a 5” sono due eventi contrari, p(A)=1/6 e p(B)=5/6.
Approfondimento
Un esempio di collezioni di oggetti studiate nell’ambito della combinatoria sono le permutazioni di n oggetti. Una permutazione è un modo di ordinare in successione oggetti distinti; un classico esempio è l’anagramma di una parola. Il numero delle permutazioni di n oggetti si individua tramite il fattoriale di n, che si indica con n!.
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1
Infatti, ci sono n modi di scegliere l’oggetto che occupa la prima posizione, n – 1 modi di scegliere l’oggetto che occupa la seconda posizione, n – 2 modi di scegliere l’oggetto nella terza posizione e così via, fino ad occupare tutte le posizioni.
Ad esempio, le permutazioni possibili della serie di quattro lettere “ABCD” sono le seguenti 24:
ABCD BACD CABD DABC
ABDC BADC CADB DACB
ACBD BCAD CBAD DBAC
ACDB BCDA CBDA DBCA
ADBC BDAC CDAB DCAB
ADCB BDCA CDBA DCBA
La definizione di probabilità classica si presta a diverse situazioni: lancio delle monete, dadi, uscita di numeri da un’urna ecc., ma non tutte le situazioni possono descriversi con la probabilità classica. Tale definizione presenta infatti alcuni limiti: è una definizione circolare, dato che richiede che i casi possiedano tutti la medesima probabilità, che è però ciò che si vuole definire; non definisce la probabilità in caso di eventi non equiprobabili; presuppone un numero finito di risultati possibili e di conseguenza non è utilizzabile in situazioni che coinvolgono il continuo.
Per sopperire a tali limiti in matematica si è passati alla definizione di probabilità frequentista come il limite cui tende la frequenza relativa dell’evento al crescere del numero degli esperimenti. Tale definizione risulta però poco applicabile nella scuola elementare.
Una definizione di probabilità più applicabile è invece quella soggettiva, che è applicabile a esperimenti casuali i cui eventi elementari non siano ritenuti ugualmente possibili e che non siano necessariamente ripetibili più volte sotto le stesse condizioni: la probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l’evento si verifica, 0 se l’evento non si verifica. Al fine di rendere concretamente applicabile la definizione, si aggiunge un criterio di coerenza: le probabilità degli eventi devono essere attribuite in modo tale che non sia possibile ottenere una vincita o una perdita certa. In tal modo è possibile ricavare dalla definizione soggettiva le stesse regole già viste.
Aspetti didattici
Fin dal primo ciclo è importante abituare l’allievo ad affrontare con interesse e piacere situazioni combinatorie intese a elencare, in casi adeguati e legati prevalentemente al gioco o al quotidiano, tutti e solo gli oggetti in questione.
In tale tipo di esperienze assume una forte importanza il processo di competenza Esplorare e provare. Tali attività vanno anche accompagnate alla produzione di ragionamenti e argomentazioni che dimostrino e sostengano la completezza dell’elenco eseguito. Non si tratta dunque di elencare a caso, ma di seguire un criterio sistematico in modo tale che sia possibile mostrare la completezza dell’elenco.
Nella ricerca di tale elencazione, oltre ai registri linguistico e aritmetico, assume molta importanza anche quello figurale, che gli allievi sperimentano spontaneamente o che ricevono come supporto dai docenti, come la tabella a doppia entrata e l’albero combinatorio.
Un esempio in ambito aritmetico che ben si addice ad attività combinatorie è la scomposizione additiva (o moltiplicativa) di un dato numero in due, tre, … addendi (fattori). Nella discussione sulla completezza dell’elenco, nasce il tema della proprietà commutativa. Per esempio: “2 + 3” e “3 + 2” rappresentano la stessa composizione additiva, oppure no? La risposta non è unica: in certe occasioni i due casi sono palesemente diversi, mentre in altre, no. In una situazione puramente matematica, valendo la proprietà commutativa, le due espressioni risultano equivalenti.
Altre tipiche attività sono lo studio degli anagrammi di una parola con lettere diverse, i diversi allineamenti possibili di un certo numero di oggetti dati, i diversi percorsi minimi possibili tra due vertici opposti lungo gli spigoli di un cubo o di un parallelepipedo scheletrato ecc.
Parallelamente alle prime indagini combinatorie è possibile far vivere agli allievi le prime intuitive esperienze legate all’ambito probabilistico. Esse possono essere affrontate mettendo in campo semplici ma significative attività legate principalmente al mondo reale che si basano su giochi, sulla raccolta/esplorazione di dati, sull’incertezza e sulla casualità, con l’obiettivo di sviluppare le competenze che caratterizzano l’alfabetizzazione probabilistica: produrre giudizi probabilistici, interpretare giudizi probabilistici di altri, decidere in situazioni di incertezza.
Non si tratta di affrontare questi argomenti da un punto di vista formale, quanto piuttosto di far vivere esperienze di ragionamento probabilistico che consentano di affrontare con consapevolezza situazioni della vita quotidiana caratterizzate da incertezza, ponendo le basi per sviluppare e consolidare competenza in questo ambito. Si tratta di proporre giochi e situazioni con dadi, mazzi di carte, estrazione di oggetti ecc. attraverso le quali familiarizzare con situazioni caratterizzate da incertezza e con alcuni termini propri del linguaggio probabilistico, come ad esempio “dati” e “insieme di dati”, “evento”, “certo”, “possibile”, “impossibile”, “numero di possibilità”, “poco probabile”, “equiprobabile”, “molto probabile” ecc.
Si tratta in sostanza di consolidare un bagaglio di esperienze vissute, sufficientemente ricco, su cui sviluppare ulteriori competenze nel ciclo successivo.
Cenni storici
Problemi combinatori sono stati studiati fin dall’antichità, ma la combinatoria come branca della matematica è stata riconosciuta solo negli ultimi cinquant’anni. Il suo riconoscimento è avvenuto grazie al contributo di diversi matematici come Netto, MacMahon, König, Hall, Rota, Schützenberger e Erdős.
Anche nell’ambito della probabilità, tentativi di calcolarla in modo ingenuo sono antichissimi, nati soprattutto dal volere prevedere l’esito di giochi, originariamente soprattutto d’azzardo. Che ci fosse un sentimento diffuso di ricerca in tal senso è testimoniato nella Divina Commedia di Dante Alighieri, nei primi versi del Canto VI del Purgatorio, dove il poeta racconta del gioco della zara, molto diffuso ai suoi tempi per le strade. Si tratta di un gioco d’azzardo di origine araba che si faceva gettando tre dadi e puntando somme altissime per l’uscita di determinate combinazioni.
Luca Pacioli (XV secolo) fu considerato uno dei primi matematici ad occuparsi di questo tema: egli trattò il problema di dividere equamente la posta fra due giocatori nel caso in cui la partita venisse interrotta prima della fine. Un altro importante spunto venne nel XVII secolo da Antoine Gombaud cavaliere di Méré, famoso per aver proposto problemi inerenti al gioco dei dadi all’amico Pascal. Un risultato considerato evidente dal cavaliere era il seguente: l’uscita di un 6 in 4 lanci di un dado ha la stessa probabilità dell’uscita di un doppio 6 in 24 lanci di due dadi. A prima vista la cosa appare ragionevole… ma qualche calcolo mostra che le cose non stanno così: nel lungo periodo le vincite di un 6 in 4 lanci superano leggermente le vincite dell’uscita di un doppio 6 in 24 lanci di due dadi. Questo e altri problemi furono posti all’amico Pascal, che li risolse scambiandosi lettere con de Fermat, e fondò le basi di una teoria della probabilità che rientrerà nella matematica moderna. La natura di questi problemi, ovvero l’indagine rigorosa sui possibili accadimenti casuali, è un ponte gettato dal mondo della matematica pura al mondo quotidiano, con l’obiettivo di prevedere gli eventi casuali con razionalità. Furono poi altri i matematici che se ne occuparono, come Gauss, Laplace, de Moivre e Bayer e tanti altri in seguito.