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Hans Walser, [20130119a]
Schlinge um Kreis
Anregung: R. S., Z.
Um einen Kreis mit Radius r wird eine Schlinge im Abstand 1 gelegt (Abb. 1). Wie lang ist die Schlinge im Vergleich zum Kreisumfang?
Abb. 1: Schlinge um Kreis im Abstand 1
Rechnung ergibt:
Die Differenz ist vom Kreisradius r unabhngig.
Ursprnglich wurde diese Aufgabe allerdings in der inversen Form serviert: Die Schlinge ist um 1 lnger als der Kreisumfang. Wie weit ist sie vom Kreis entfernt?
Wir machen dasselbe mit einem konvexen Polygon (Abb. 2).
Abb. 2: Abstandskurve um Polygon
Wir zerlegen die Schlinge in gerade Stcke und Kreisbgen (Abb. 3).
Abb. 3: Zerlegung
Die geraden Stcke haben insgesamt die gleiche Lnge wie der Umfang des Polygons. Die Kreisbgen machen insgesamt den Einheitskreis aus. Damit ist , unabhngig von Form und Gr§e des Polygons.
Den Kreis knnen wir als Grenzfall eines regelm§igen n-Ecks mit sehen.
Frage 1: Wie ist das bei nicht-konvexen Polygonen?
Frage 2: Gesucht ein Beispiel mit .
Frage 3: Wie gro§ ist beim Kreisring (Abb. 4).
Abb. 4: Kreisring
Die Schlinge wird gem§ Abbildung 5 ausgelegt. Die Strecken der eckigen Schlinge sind parallel zu den Polygonseiten mit dem Abstand 1.
Frage 4: Haben die Punkte der eckigen Schlinge immer noch den Abstand 1 vom Polygon?
Frage 5: Ist die eckige Schlinge hnlich zum Polygon?
Abb. 5: Eckige Schlinge
Wie lang ist die eckige Schlinge im Vergleich zum Umfang des Polygons?
Natrlich knnen wir wieder an den Ecken ausschneiden und die Schnipsel neu zusammenfgen (Abb. 6).
Abb. 6: Ecken einschneiden und neu zusammenfgen
Die Eckenfigur hat einen Inkreis mit dem Radius 1. Der Umfang dieser Eckenfigur, also unser , ist keine Konstante mehr, sondern hngt von den Winkeln des Polygons ab. Immerhin haben wir eine Abschtzung: . Zwei Polygone mit denselben Winkeln haben dasselbe .
Frage 6: Sind Polygone mit denselben Winkeln hnlich?
Zur Berechnung von bentigen wir also die Winkel des Polygons. Es ist technisch einfacher, mit den Au§enwinkeln (fr ein Polygon mit n Ecken) zu arbeiten. Mit etwas Trigonometrie ergibt sich:
Frage 7: Wie lautete diese Formel fr ein regelm§iges n-Eck? Was geschieht bei ?
Frage 8: Hat Magellan wirklich die Erde umrundet?
Die Schlingenaufgabe wird oft im Zusammenhang mit der Erdkugel formuliert: Wie viel lnger als der Erdumfang ist die Schlinge im Abstand 1m von der Erde? Dabei wird stillschweigend vorausgesetzt, dass die Schlinge als Abstandskurve von einem Gro§kreis der Erdkugel genommen wird, zum Beispiel vom quator. In diesem Fall ist natrlich .
Frage 9: Wie ist es, wenn die Schlinge 1m senkrecht oberhalb eines Breitenkreises um die Erde gelegt wird? Vorstellung: Auf Pfhlen in der Hhe 1m. In der Abbildung 7 ist die Situation fr die geografische Breite dargestellt, allerdings ist die Erdkugel viel zu klein gezeichnet. Eher der Planet des Petit Prince.
Abb. 7: Schlinge um die Kugel auf 60¡ Nord und 1m Hhe
Frage 10: Wie ist es, wenn die Schlinge 1m sdlich des Breitenkreises auf der Erdoberflche um die Erde gelegt wird? In der Abbildung 8 ist die Situation fr die geografische Breite dargestellt, allerdings ist die Erdkugel viel zu klein gezeichnet.
Abb. 8: Schlinge 1m sdlich des Breitenkreises 60¡ Nord
Wir ersetzen die Schlinge um die Kugel durch einen Sack (im Abstand 1) um die Kugel. In der Abbildung 9 ist der halbe Sack gezeichnet.
Abb. 9: Die Kugel im Sack
Wie gro§ ist die Flchendifferenz zwischen der ganzen Sackflche und der Kugeloberflche? Wir erhalten:
hngt linear von r ab.
Frage 11: Wie ist es in der nchsten Dimension?
Bearbeitung der Frage 1: Bei nicht-konvexen Polygonen gibt es keine Konstante fr .
Abb. 10: Nicht-konvexe Beispiele
Im Beispiel der Abbildung 10a) ist .
Im Beispiel der Abbildung 10b) ist .
Bearbeitung der Frage 2: Es gibt viele Lsungen. Die Abbildung 11 zeigt ein Beispiel. In diesem Beispiel ist .
Abb. 11: Schlingenlnge = Umfang
Bearbeitung der Frage 3: Es sei R der Au§enradius und r der Innenradius (Lochradius) des Kreisringes. Fallunterscheidung bezglich r:
(I) : In diesem Fall ist .
(II) : Wir erhalten . Dies ist abhngig von r.
Bemerkung: Die ãhsslichenÒ Flle der Abbildungen 10b) und 11 knnen umgangen werden, wenn wir den kanonischen Abstand 1 durch den Abstand ersetzen und dann den Grenzwert
bestimmen. Fr den Fall des Kreises ergibt sich , also soweit nichts neues.
Allgemein kommen wir so zum Konzept der integralen Krmmung.
Bearbeitung der Frage 4: Im Bereich der Ecken ist der Abstand vom Polygon gr§er als 1.
Bearbeitung der Frage 5: Das eckige Schlingenpolygon ist genau dann hnlich zum Ausgangspolygon, wenn dieses einen Inkreis hat. Im Beispiel der Abbildung 5 ist dies nicht der Fall.
Bearbeitung der Frage 6: Nein. Gegenbeispiel: Zwei Rechtecke mit ungleichen Seitenverhltnissen. Lediglich bei Dreiecken kann aus der Gleichheit der Winkel die hnlichkeit gefolgert werden.
Bearbeitung der Frage 7: Fr ein regelm§iges n-Eck ergibt sich:
Fr erhalten wir geometrisch einen Kreis. Rechnerisch knnen wir die Sau herauslassen: mit der Regel von Bernoulli-de lÕHpital ergibt sich:
Nun ja, das wissen wir schon lange.
Bearbeitung der Frage 8: Magellan selber starb whrend der Reise auf den Philippinen. Lediglich 18 Mnner der ursprnglichen 237 Mnner kehrten mit einem von ursprnglich 5 Schiffen in den spanischen Ausgangshafen zurck. Dabei wurden etwa 69'000 km zurckgelegt (fr den Seemann im Ausguck einige Meter mehr), jedenfalls weit mehr als der Erdumfang. Die Erdumrundung geschah jedoch nicht auf einem Gro§kreis, was schon aus topografischen Grnden nicht mglich gewesen wre.
Die sophistische Frage ist, ob etwa eine Rundreise streng auf einem Breitenkreis als Erdumrundung zhlen kann. Man geht zwar um die Erdachse herum, aber der zurckgelegte Weg ist krzer als der Erdumfang. Ein kleiner Spaziergang um den Nordpol ist wohl noch keine Erdumrundung.
Bearbeitung der Frage 9: Es sei r der Erdkugelradius. Damit wird:
hngt von der geografischen Breite ab.
Bearbeitung der Frage 10: Wir erwarten nach Bearbeitung der Frage 9 natrlich in diesem Fall . Das ist, cum grano salis, richtig. Exakt gilt:
Um die Situation fr die Erdkugel mit zu klren, machen wir den Grenzbergang . Es sind die beiden r-haltigen Terme und zu untersuchen. Mit Bernoulli-de lÕHpital ergibt sich:
und
Somit ist:
Fr gilt daher .
Bearbeitung der Frage 11: Wir behandeln die Sache gleich allgemein. Im hat die eingebettete Sphre die Oberflche:
Somit ist:
Das ist eine Polynomfunktion in r vom Grad . Genau im Fall des Kreises der Uraltaufgabe ergibt sich eine von Null verschiedene Konstante.