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Hans Walser, [20150214]
Kegelverdoppelung
Wenn wir bei einem Kegel die Hhe verdoppeln, verdoppelt sich auch das Volumen. Wie lsst sich das durch Cavalieri-Zerlegung zeigen?
Bonaventura Cavalieri (1598-1647)
Es werden drei Varianten des Cavalieri-Prinzips vorgestellt.
Wir arbeiten jeweils mit zwei kongruenten Kegeln (rot und blau), welche volumenm§ig ãaddiertÒ werden sollen.
Die Cavalieri-Zerlegung wird meist erst im Achsenschnitt sichtbar und verstndlich.
Die beiden Kegel werden in horizontale Scheiben zerlegt. Der Scheibenradius nimmt linear mit der Positionshhe der Scheibe ab.
Grundvorstellung: Scheiben einer runden Frucht, etwa Apfelscheiben, Ananasscheiben ohne Loch.
Die Scheiben der beiden Kegel werden nun im Wechsel neu aufeinander geschichtet. Es entsteht ein doppelt so hoher Kegel mit gleicher Grundflche.
Die Abbildungen 1, 2 und 3 zeigen Ansicht, Frontalansicht und Achsenschnitt.
Abb. 1: Scheiben
Abb. 2: Frontalansicht
Abb. 3: Achsenschnitt
Das Verfahren funktioniert entsprechend fr die Addition von drei oder mehr Kegeln.
Die beiden Kegel werden in ineinandergeschobene Hohlzylinder zerlegt. Die Hohlzylinderhhe nimmt linear mit dem Radius ab.
Grundvorstellung: Kartonrolle einer aufgebrauchten WC-Rolle.
u§erlich besteht kein Unterschied zur Zerlegung in Scheiben.
Fr die Volumenaddition werden die Hohlzylinder des blauen Kegels ber die Hohlzylinder des roten Kegels gestlpt. Der rote Kegel bleibt also unverndert, verschwindet aber fast vollstndig im Innern des Summenkegels.
Die Abbildungen 4, 5 und 6 zeigen Ansicht, Frontalansicht und Achsenschnitt.
Abb. 4: Hohlzylinder
Abb. 5: Frontalansicht
Abb. 6: Achsenschnitt
Das Verfahren funktioniert entsprechend fr die Addition von drei oder mehr Kegeln.
Die beiden Kegel werden in Hohlkegel zerlegt. Hhe und Radius der Hohlkegel sind linear.
Grundvorstellung: Kartonhtchen bei ãWer schnappt den HutÒ.
Fr die Volumenaddition werden die Hohlkegel des blauen Kegels in umgekehrter Reihenfolge ber den roten Kegel gestlpt. Der rote Kegel bleibt unverndert, verschwindet aber fast vollstndig im Innern des Summenkegels.
Die Abbildungen 7, 8 und 9 zeigen Ansicht, Frontalansicht und Achsenschnitt.
Abb. 7: Hohlkegel
Abb. 8: Frontalansicht
Abb. 9: Achsenschnitt
Das Verfahren funktioniert auch fr die Addition von drei oder mehr Kegeln (Abb. 10 und 11).
Abb. 10: Addition von drei Kegeln
Abb. 11: Pagode
Die Cavalieri-Zerlegung ist keine echte geometrische Zerlegung, sondern lediglich eine Approximation der Volumina. Sie ist nur fr Volumenberlegungen brauchbar.
Fr die Oberflchenberechnung liefert die Cavalieri-Zerlegung falsche Resultate, wie das folgende Beispiel zeigt.
Ein Kegel mit dem Radius r und der Hhe h hat die Mantelflche (ohne Grundflche):
Wenn wir nun etwa mit der Scheiben-Zerlegung (Abb. 1) arbeiten, erhalten wir fr die ãMantelflcheÒ (ohne die Grundflche):
Dabei ist der Summand der waagerechte Anteil (Sonnenterrasse) der ãMantelflcheÒ.
Es ist . Die falsche Gleichsetzung von mit ist ein klassischer Schlerfehler (kommt auch bei Mathematikdoktoranden vor).
Scheibenmodelle aus Holz oder Kunststoff lassen sich einfach herstellen. Damit die Scheiben nicht seitlich abrutschen, werden sie in der Mitte gelocht und auf einen Dorn aufgeschichtet. Dabei besteht eine gewisse Verletzungsgefahr.
Hohlzylinder und Hohlkegel sind ohne technische Hilfsmittel schwierig herzustellen.
Statt fr Kreiskegel knnen die berlegungen auch fr Pyramiden gemacht werden. Die bentigten Hohlquader sind einfach herzustellen. Mit etwas Geschick und Geduld knnen auch Hohlpyramiden hergestellt werden.