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Hans Walser
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Publiziert in: Mathematik Lehren. Heft 96, Oktober 1999. S. 47-50
Kurzfassung
Figurenfolgen entstehen entweder aufbauend durch schrittweises Ansetzen einer einfachen Grundfigur an eine bestehende Figur oder deduktiv durch Zerlegen einer Ausgangsfigur. Das Zerlegen kann dabei entweder rein geometrisch auf dem Zeichenpapier oder Bildschirm erfolgen oder aber durch wirkliches Zerschneiden oder Falten einer Papierfigur. Aus den Figurenfolgen entstehen Zahlenfolgen durch Auszhlen oder Ausmessen von Lngen. Die entstehenden Figuren sind Spiralen und Fraktale, die zugeordneten Zahlenfolgen hufig geometrische Folgen.
Auf dem Tisch von Jonathan, dem Trumer, fand ich eine aus Papierrechtecken zusammengesetzte Spirale (Abb. 1a).
Abb. 1: Aus Rechtecken zusammengesetzte Spirale. Bauteile
Die Rechtecke sind aus einem Papierblatt im Format DIN A4 durch sukzessives Halbieren herausgeschnitten (Abb. 1b) und dann ãber EckÒ neu angeordnet worden.
Die Flcheninhalte der Rechtecke in den Formaten DIN A5, DIN A6, DIN A7, ... bilden eine geometrische Folge mit dem Quotienten . Der gesamte Flcheninhalt der Spirale der Abbildung 1a ist der Flcheninhalt des ursprnglichen DIN A4 Papiers. Daraus wird ersichtlich, dass ist.
Wir werden einige weitere Beispiele kennenlernen, wie aus einfachen Ausgangsfiguren durch Zerschneiden und Zusammensetzen, oft auch nur durch Falten, eine neue Figur entsteht.
Als Arbeitsmaterialien brauchen wir wie Jonathan Papier im DIN A4 Format, aber auch quadratisches Papier. Dazu knnen wir Origami-Papier verwenden oder einfach DIN A4 Papier, das wir auf einer Schneidemaschine auf quadratisches Format zuschneiden. Zur Herstellung einiger Figuren, insbesondere der Fraktale, ist eine Graphiksoftware mit einer Rasterung (zum Beispiel ClarisDraw) hilfreich. Der Quotient der geometrischen Folge wird dann als Skalierungsfaktor eingesetzt.
Das DIN A4 Format — auch als Ostwaldsches Rechteck bezeichnet (Flachsmeyer 1990) — kann in verschiedener Hinsicht im Geometrieunterricht verwendet werden (Weber 1995) oder (Walser 1997). Es hat die Eigenschaft, dass sich beim Halbieren zwei zum Ausgangsrechteck hnliche Rechtecke ergeben (Abb. 2).
Abb. 2: Halbieren eines DIN A4 Papiers
Das gro§e Rechteck und die beiden kleinen haben daher dasselbe Seitenverhltnis. In Formeln hei§t das:
Daraus ergibt sich das Seitenverhltnis .
Wir falten nun ein DIN A4 Papier mehrfach und kreuzweise und falten dann das Papier wieder auf. Dadurch entsteht auf dem Papier ein Faltraster (Abb. 3a; wie oft ist dieses Papierblatt in jeder Richtung gefaltet worden?). In diesem Faltraster knnen wir nun mit einem Filzstift eine Baumfigur mit T-frmigen Verzweigungen einzeichnen (Abb. 3b).
Abb. 3: T-Fraktal im aufgefalteten DIN A4 Blatt
Wenn wir uns diese Verzweigungen bis ins Unendliche fortgesetzt denken, erhalten wir ein Fraktal, das wir das T-Fraktal nennen knnen. Diese Fortsetzung ins Unendliche ist eine Idealisierung, die in der Realitt nicht mglich ist. In der Abbildung 4a sind zwar einige weitere Schritte eingezeichnet, aber es sind immer noch nur endlich viele.
Abb. 4: Baumfraktal und ste
Wir halbieren nun das Blatt. In jeder Hlfte erscheint ein Ast – den lngs halbierten Stamm lassen wir weg – der je eine Kopie des ursprnglichen Baumes im Ma§stab ist (Abb. 4b). Auch dies gilt streng genommen nur, wenn wir uns die Figur ins Unendliche fortgesetzt denken.
Das DIN A Format hat die Eigenschaft, dass sich beim Halbieren zwei zum Ausgangsrechteck hnliche Rechtecke ergeben. Wie muss ein Rechteck aussehen, das in drei zum Ausgangsrechteck hnliche Rechtecke unterteilt werden kann (Abb. 5a)?
Abb. 5: Drei hnliche Teilrechtecke
Wenn wir die Schmalseite als Einheit whlen und die lange Seite mit x bezeichnen, ergibt sich die hnlichkeitsbedingung
und daraus . Wir knnen nun je zwei der drei Teilrechtecke weiter unterteilen (Abb. 5b), und dann ein Fraktal bauen, in welchem das unzerteilte Rechteck jeweils der Zweig ist, an den je zwei der nchsten Generation angeheftet werden (Abb. 6). Jeder der beiden ste ist eine Kopie des ganzen Baumes im Ma§stab .
Abb. 6: Fraktal aus dem -Rechteck
Zunchst falten wir bei einem quadratischen Papier die vier Ecken in die Mitte hinein und falten das nun kleinere Quadrat mehrfach kreuzweise (Abb. 7).
Abb. 7: Falten des quadratischen Papiers
Auffalten liefert nun einen quadratischen Diagonalraster, in welchen wir ebenfalls ein Fraktal, diesmal nicht mit ãVer-zwei-gungenÒ wie bei der Abbildung 3b, sondern mit ãVer-drei-gungenÒ (Trifurkationen) eintragen knnen (Abb. 8). Hier ist es so, dass jeder der drei ste des Baum-Fraktals eine Kopie des ganzen Baumes im Ma§stab ist.
Abb. 8: Einzeichnen des Fraktals
Statt eines Linienfraktals knnen wir aus dem Quadrat aber auch ein Flchenfraktal herstellen. Dazu schneiden wir lngs einer Diagonale einmal eine Hlfte ab. Die restliche Hlfte zerlegen wir in vier rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke (Abb. 9a), von denen wir zwei an die Basisecken des gro§en Dreieckes legen (Abb. 9b). Die restlichen zwei Dreiecke zerlegen wir wieder in je vier kleinere Dreiecke, von denen wir je zwei an die Basisecken der vorhergehenden Dreiecke legen und so weiter und so fort.
Abb. 9: Zerlegen eines Quadrates
Das mehrfache Auftreten des kleinen Wrtleins ãjeÒ im obigen Satz hat zur Folge, dass die Anzahl der Dreiecke (und damit der Arbeitsaufwand) rasch anwchst. Bei jedem Schritt sind doppelt so viel Dreiecke zu behandeln wie im vorhergehenden. Fr die Anzahlen der Dreiecke ergibt sich die geometrische Folge der Potenzen mit der Basis 2. Wir haben ein exponentielles Wachstum.
Dafr sieht das Resultat schn aus. Die linke Hlfte der Abbildung 10 zeigt das Fraktal, die spiegelbildliche rechte Hlfte ist nur der sthetik halber zugefgt worden. Es gibt verschiedene Mglichkeiten, sich klar zu machen, dass sich in dieser Figur Schwarz und Wei§ die Waage halten.
Abb. 10: Quadratfraktal
Statt Quadrate zu zerlegen wollen wir nun Quadrate spiralfrmig um ein Startquadrat herum anordnen (Abb. 11a). Wir knnen natrlich ebensogut auf einem quadratischen Plattenboden durch Hpfen auf benachbarte Platten eine (ãeckigeÒ) Spirale beschreiben. Dabei zhlen wir die Anzahl der Schritte und schreiben diese Anzahlen auf die Platten. Die Startplatte erhlt die Nummer Null (Abb. 11b).
Abb. 11: Spiralfrmiges Ansetzen von Quadraten
Wir erkennen nun in den Spiralecken links oben die Folge der Quadrate der geraden Zahlen und rechts unten die ungeraden Quadratzahlen. Die Zahlen in den Ecken rechts oben und links unten sind das geometrische Mittel der beiden benachbarten Quadratzahlen. So ist zum Beispiel . Diese Zahlen sind also von der Form . Wenn wir statt nur einer Spirale vier gleiche Spiralen ansehen, welche simultan nach au§en laufen (Abb. 12), ergeben sich ausschlie§lich Quadratzahlen in den Ecken. Warum ist das so?
Abb. 12: Vier Spiralen
Statt aber immer nur ein Quadrat anzusetzen, was zu einer Spirale fhrt, knnen wir auch gleichzeitig auf allen vier Seiten je ein Quadrat anfgen. So entsteht ein Kreuz. Nun nehmen wir das mittlere Quadrat (also das Startquadrat) heraus und erhalten ein ãHohlkreuzÒ. Um dieses Hohlkreuz legen wir nun vier weitere Hohlkreuze und nehmen das mittlere Hohlkreuz wieder weg und so weiter (Abb. 13).
Abb. 13: Das Kreuz in der Mitte wird weggenommen
Die Anzahl der nach dem Entfernen des mittleren Hohlkreuzes noch vorhandenen Quadrate ist die Folge der Potenzen , also wiederum ein exponentielles Wachstum. Die Abbildung 14 zeigt, wie das einige Schritte spter aussieht.
Abb. 14: Hohlkreuz
Literatur
Flachsmeyer, Jrgen: Kniffliges am Ostwaldschen und goldenen Rechteck – Aus der Geometrie des Papierfaltens. - In: Didaktik der Mathematik, 18 (1990) 2, S. 90-105.
Walser, Hans: Ein Zusammenhang zwischen dem DIN-A-Format und dem goldenen Rechteck. - In: PM, Praxis der Mathematik, Kln 39 (1997) 5, S. 197-198.
Weber, Wolfgang: Inkommensurabilitt von Seite und Diagonale im Quadrat. - In: PM, Praxis der Mathematik, Kln 37 (1995) 5, S. 200-203.
Anschrift des Autors:
Dr. Hans Walser, Gerlikonerstrasse 29, CH 8500 Frauenfeld
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