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Hans Walser, [20141116]
Linearitt
Es werden Visualisierungen zum Thema Linearitt gesucht.
Wir arbeiten mit Histogrammen konstanter Breite 1.
Die Abbildung 1 zeigt die klassische Treppendarstellung auf der Basis eines Karorasters.
Abb. 1: Treppendarstellung
Die Staffelhhen wachsen linear.
Natrlich htte die Farbgebung einfacher gemacht werden knnen, etwa mit einer Schachbrettfrbung.
Das Funktionsdiagramm einer linearen Funktion ist eine Ursprungsgerade, in unserem Beispiel mit der Steigung 1.
Wir knnen die Treppe zu einer Figur mit Schrglinien umbauen (Abb. 2). Der Ursprung ist eine halbe Einheit links vom ersten schwarzen Trapez.
Die Trapeze, auch wenn es nicht so scheint, haben alle denselben Flcheninhalt 1. Jede Staffel hat die Breite 1.
Eine schachbrettartige Frbung ist nicht mehr mglich.
Abb. 2: Abgeschrgte Figur
Die Abbildung 3 zeigt eine Kreisdarstellung. Alle Ringsektoren haben denselben Flcheninhalt. Allerdings gehrt das Loch in der Mitte nicht zur Figur.
Abb. 3: Kreisdarstellung
Die Kreise haben der Reihe nach die Radien . Die Kreisringe haben daher die Breite 1.
In der Abbildung 2 ist der Versatz des Ursprunges vielleicht strend, in der Abbildung 3 das wei§e Loch in der Mitte. Beides kann behoben werden, wenn wir auf gleiche Breiten verzichten.
Die Abbildung 4 zeigt ein abgeschrgtes Staffelbild.
Abb. 4: Abnehmende Breiten
Das Dreieck links unten und die Trapeze haben alle denselben Flcheninhalt.
Die Tabelle 1 gibt die Breiten der ersten Staffeln.
Tab. 1: Staffelbreiten
Die n-te Staffel hat die Breite:
Die Breiten nehmen ab, das ist von Auge aber kaum wahrnehmbar.
Die Frage ist, ob es einen Grenzwert fr die Staffelbreiten gibt. Ich vermute:
Beweis:
Zunchst ist:
Wir fhren nun folgende Termumformung durch:
Somit ist:
Der vermutete Grenzwert ist offensichtlich.
Ende des Beweises.
Die Abbildung 5 zeigt die entsprechende Kreisdarstellung.
Abb. 5: Kreisdarstellung
Wir haben jetzt kein schwarzes Loch mehr. Die Kreise haben die Radien:
Der n-te Kreis hat den Radius:
Die Kreisbreiten entsprechen den Staffelbreiten der Abbildung 4.