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Service des problèmes (4/2020)
PROBLÈMES DU MOIS
Le service des problèmes est ouvert à tous les lecteurs. Certains problèmes peuvent avoir plusieurs solutions. Ces dernières seront données dans le prochain numéro. Un prix sera remis à l'une ou à l'un d'entre vous qui enverra les trois bonnes réponses à : <email-pii>.
Problème N° RP2020-4-a
De manière analogue au tableau périodique des éléments (cf la Revue POLYTECHNIQUE N° 1/2020), les mathématiciens utilisent volontiers des tableaux de nombres, comme les carrés magiques, diaboliques ou autres...
On considère les neuf premières puissances de 2 (1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 et 256).
Il s’agit de les disposer dans le tableau ci-dessous, de telle sorte que le produit des nombres figurant sur une même ligne, une même colonne ou sur une même diagonale soit constant.
Problème N° RP2020-4-b
La somme des cinq premières lignes est de 35 ; la somme des carrés des nombres des cinq premières lignes est de 105, donc trois fois plus grande.
Comparer de la même manière, les deux sommes obtenues pour tous les nombres des n premières lignes. Quelle relation obtient-on ?
Choisir un nombre quelconque du tableau ci-joint.
Eliminer tous les nombres qui se trouvent dans la même ligne et dans la même colonne que le nombre choisi. Puis, choisir un deuxième nombre parmi ceux qui restent ; éliminer de même ceux qui se trouvent dans la même ligne et dans la même colonne. Répéter encore deux fois la même opération. Il reste finalement un seul nombre dans le tableau ; ajouter ce nombre à la somme des quatre nombres choisis au hasard.
Mémoriser la somme obtenue et recommencer la procédure.
Expliquer pourquoi le hasard ne joue aucun rôle dans cette affaire ?