Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03628.jsonl.gz/1977

Hans Walser, [20190803]
Kreisspiegelung
Anregung: Borges 2019
Variante zu einem Konstruktionsvorgang bei der Kreisspiegelung.
Wir wŠhlen ein allfŠlliges Koordinatensystem jeweils so, dass der Spiegelkreis k der Einheitskreis ist und der zu spiegelnde Punkt P auf der positiven x-Achse.
Ein Urbildpunkt P im Innern des Spiegelkreises k soll nach au§en gespiegelt werden.
Abb. 1: Konstruktion des Spiegelpunktes
Die Abbildung 1 zeigt ein mšgliches Konstruktionsverfahren. Die Senkrechte durch den Urbildpunkt P wird mit dem Spiegelkreis k geschnitten. Im Schnittpunkt Q zeichnen wir die Tangente an den Spiegelkreis k und schneiden diese mit der Geraden MP (also mit der x-Achse). Der Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt PŐ.
Das Verfahren funktioniert nur, wenn sich der Urbildpunkt P im Innern des Spiegelkreises k befindet. Es gibt Konstruktionsverfahren, welche keine solche EinschrŠnkung kennen (Abb. 2).
Abb. 2: Anderes Verfahren
Wir modifizieren das Verfahren der Abbildung 1, indem wir mit Mittelsenkrechten arbeiten (Abb. 3).
Abb. 3: Verfahren mit Mittelsenkrechten
Wir schneiden die Mittelsenkrechte von MP mit dem Spiegelkreis k. Dies ergibt den Schnittpunkt Q. Nun schneiden wir die Mittelsenkrechte von MQ mit der Geraden MP und erhalten so den Bildpunkt PŐ. Beweis folgt.
Dieses Verfahren hat eine grš§ere Reichweite. Der Urbildpunkt P kann jetzt auch au§erhalb des Spiegelkreises liegen, allerdings nur innerhalb des Kreises mit dem doppelten Radius des Spiegelkreises.
Oh je, oh je, der Begriff Drittelsenkrechte fehlt im Kanon von Lehrer LŠmpel. Zudem gibt es zwei Versionen (Abb. 4 und 5). Da ist Sprachkompetenz angesagt.
Abb. 4: Die eine Drittelsenkrechte
Abb. 5: Die andere Drittelsenkrechte
Wie steht es mit den Reichweiten dieser Konstruktionen?
Abb. 6: Allgemeiner Fall
Wir strecken den Urbildpunkt P vom Kreismittelpunkt M aus mit dem Faktor t. In der Abbildung 6 wurde exemplarisch t = 0.55 gewŠhlt. Der Faktor t kann aber auch grš§er als 1 oder negativ gewŠhlt werden. Durch diese Streckung erhalten wir den Punkt T. Die Senkrechte durch T schneiden wir mit dem Spiegelkreis k in Q. Nun strecken wir Q von M aus mit demselben Faktor t und zeichnen im Bildpunkt S die Senkrechte zu MQ. Diese schneiden wir mit der Geraden MP und erhalten so PŐ.
Wir mźssen nun zeigen, dass PŐ der Spiegelpunkt von P bei der Kreisspiegelung an k ist. Dazu zeichnen wir noch die Tangente in Q an k ein und schneiden diese mit MP in TŐ. GemЧ dem Verfahren der Abbildung 1 ist TŐ der Bildpunkt von T bei der Kreisspiegelung an k.
Die Geraden SPŐ und QTŐ sind beide senkrecht zu MQ und daher untereinander parallel. Wir kšnnen also die StrahlensŠtze anwenden.
Abb. 7: Beweisfigur
Der Beweis geht nun rechnerisch. Wir setzen . Wegen der Streckung ist . Wegen der Kreisspiegelung ist . Und wegen dem Strahlensatz schlie§lich . Damit ist PŐ tatsŠchlich das Spiegelbild von P bei der Kreisspiegelung an k.
Abb. 8: Viertelsenkrechte
Literatur
Borges, Florian 2019: Gro§es Sparpotenzial in der Mathematik wiederentdeckt: Geometrie mit dem Zirkel und ohne Lineal. MNU Journal – Ausgabe 04.2019 – ISSN 0025-5866.