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Hans Walser, [20071228d], [20130922]
Die Kreisflche
In den folgenden berlegungen gehen wir davon aus, dass wir die Formel fr den Kreisumfang kennen, nicht aber die Formel fr den Flcheninhalt des Kreises.
Hingegen ist aus hnlichkeitsberlegungen klar, dass diese die Form mit vorlufig unbekanntem Faktor p haben muss.
Es werden drei Beispiele vorgestellt, wie der Faktor p bestimmt werden kann.
Wir denken uns einen Kreis, der aus vielen konzentrischen Ringen zusammengesetzt ist. Man kann sich auch den Querschnitt einer Papierrolle denken.
Der Kreis
Nun schneiden wir den Kreis von oben her bis in die Mitte ein und lassen die einzelnen Bltter links und rechts auf den Tisch herunterfallen. Die Figurensequenz zeigt das in Zeitlupe.
Die Bltter fallen, fallen wie von weit. (Rilke)
Wir haben schlie§lich ein Dreieck; seine Hhe ist der Kreisradius r, seine Grundseite der Umfang des ursprnglichen Kreises. Fr den Flcheninhalt erhalten wir also:
Das ist aber auch der Flcheninhalt des Kreises.
Wir knnen die Bltter auch noch weiter herunterfallen lassen.
berdreht
Am Schluss ist die rote Flche gleich gro§ wie die wei§e Kreisflche.
Rotkppchen
Da ich nach P... verreisen wollte, riet man mir, Toilettenpapier mitzunehmen. So packte ich eine Rolle in den Rucksack. Als ich sie vor Ort dringend brauchte und aus dem Rucksack holte, war sie zusammengedrckt (Abbildung rechts).
Klorolle, neu und zusammengedrckt
Nun kann folgende berlegung angestellt werden.
Die Formel fr den Kreisumfang kennen wir:
Die Formel fr den Flcheninhalt sieht so aus: , mit einem noch unbekannten Faktor p.
Fr die Klorolle haben wir einen Au§enradius und einen Innenradius und damit eine Querschnittsflche:
Der Querschnitt der zusammengedrckten Rolle setzt sich aus zwei Halbkreisen mit dem Radius und einem Rechteck zusammen. Dieses Rechteck hat die Hhe und die Lnge ; das ist der halbe Umfang des Innenkreises. Fr die Querschnittsflche der zusammengedrckten Rolle erhalten wir somit:
Die beiden Querschnittsflchen sind gleich, also:
Somit ist:
Wir unterteilen den Kreis in einen Teil.
Ein Teil
Meine Mutter gab bei allen passenden und unpassenden Gelegenheiten zum Besten, sie htte einmal einen Kuchen gebacken und mir erlaubt, etwas davon abzuschneiden. Ich htte dann von der Mitte her bis zum Rand geschnitten, und das Stck gegessen.
Nun unterteilen wir in vier flchenm§ig gleich gro§e Teile:
Vier gleich gro§e Teile
Dass die vier Teile flchenm§ig gleich gro§ sind, kann so eingesehen werden: Der innere Kreis hat den halben Durchmesser wie der gro§e Kreis. Hat eine Figur die gleiche Form wie eine andere, ist aber lngenm§ig nur halb so gro§, dann ist ihr Flcheninhalt nur ein Viertel des Flcheninhaltes der anderen Figur. Der u§ere Kreisring hat also noch den dreifachen Flcheninhalt des inneren Stckes; durch Dritteln des Ringes ergeben sich zusammen mit dem inneren Stck vier flchengleiche Teile.
In den folgenden beiden Figuren sehen wir eine Unterteilung in neun beziehungsweise 16 gleiche Teile. Diese sind in drei beziehungsweise vier Ringen angeordnet.
Neun beziehungsweise 16 gleich gro§e Teile
Die Ringe enthalten von innen nach au§en Teile, und insgesamt ergeben sich flchenm§ig gleich gro§e Teile.
In den beiden folgenden Figuren hat es 100 respektive 400 gleich gro§e Teile, angeordnet in 10 beziehungsweise 20 Ringen.
100 respektive 400 gleich gro§e Teile
Die Teile im u§ersten Ring sind praktisch Rechtecke. Sie haben eine Breite von (r ist der Kreisradius). Fr die Lnge machen wir eine Mittelrechnung: die u§ere Lnge ist , die innere Lnge ist . Damit ergibt sich eine mittlere Lnge l:
Fr ein einzelnes Rechteck erhalten wir somit den Flcheninhalt:
Der Kreis setzt sich aus flchengleichen Teilen zusammen, somit ist: