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Matrizen
Matrizen wirst du in verschiedenen Bereichen finden. Hier lernst du, wie du mit Matrizen rechnen kannst.
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Themenübersicht in Matrizen
Was ist eine Matrix?
Eine Matrix ist eine Tabelle von Einträgen, welche in der Regel in großen Klammern dargestellt werden.
Hier siehst du ein Beispiel für eine Matrix:
$A=\left(\begin{array}{rrr} 2&-1&5 \\ 1&4&-3 \end{array}\right)$
Diese Matrix hat $2$ Zeilen und $3$ Spalten. Die Anzahl an Zeilen und Spalten (in dieser Reihenfolge) gibt die Ordnung der Matrix an. Hier haben wir eine Matrix der Ordnung $(2\times 3)$. Deshalb nennen wir sie auch eine $(2\times 3)$-Matrix.
Allgemein betrachtest du $(n\times m)$-Matrizen, also Matrizen mit $n$ Zeilen und $m$ Spalten.
Die Anzahl an Zeilen und Spalten kann auch übereinstimmen. Diese nennen wir quadratische Matrizen oder auch $(n\times n)$-Matrizen.
Rechnen mit Matrizen
Du kannst auch mit Matrizen rechnen.
Die Addition sowie Subtraktion von Matrizen ist nur dann möglich, wenn die Matrizen von der gleichen Ordnung sind. Du addierst beziehungsweise subtrahierst dann die einander entsprechenden Einträge.
Du kannst eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren. Ein Skalar ist eine Zahl. Hierfür multiplizierst du jeden Eintrag mit dem Skalar.
Die Multiplikation zweier Matrizen $A\cdot B$ ist nicht immer möglich. Nur wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix $A$ mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix $B$ übereinstimmt, kannst du sie miteinander multiplizieren.
Die Matrizenmultiplikation ist außerdem nicht kommutativ. Das heißt für zwei Matrizen $A$ und $B$, dass $A\cdot B$ meistens etwas anderes als $B\cdot A$ ist.
Determinante einer Matrix
Die Determinante einer Matrix lässt sich direkt aus der Matrix berechnen und ist ein Skalar. Sie wird als det$(A)$ oder auch $|A|$ bezeichnet. Determinanten lassen sich nur von $(n\times n)$-Matrizen berechnen.
Wie kannst du die Determinante einer Matrix berechnen?
- Bei $(2\times 2)$-Matrizen multiplizierst du die Elemente auf der Hauptdiagonalen und subtrahierst von dem Ergebnis das Produkt der Nebendiagonalelemente.
- Bei $(3\times 3)$-Matrizen verwendest du die Sarrus-Regel.
- Allgemein kann die Determinante einer Matrix mit Hilfe des Laplace'schen Entwicklungssatzes berechnet werden.
Und wozu brauchen wir Determinanten? Ein Beispiel ist das Lösen von linearen Gleichungssystemen. In der Cramer'schen Regel werden hierfür Determinanten verwendet.
Übergangsmatrizen
Mit Hilfe von Übergangsmatrizen können Bewegungen dargestellt werden. So kannst du zum Beispiel das Wechselverhalten von Kunden bezüglich ihrer Telefonanbieter darstellen oder die Wanderbewegungen von Elefanten von einem Reservat in ein anderes.
Wenn du die Verteilung der Kunden oder auch der Elefanten zu einem Zeitpunkt kennst, kannst du mit Hilfe einer Übergangsmatrix die Verteilung nach einer bestimmten Zeitspanne berechnen.