Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03109.jsonl.gz/2546

Hans Walser, [20150318]
Brennpunkte der Ellipse
Eine Ellipse sei durch fźnf Punkte gegeben (Abb. 1).
Abb. 1: Eine Ellipse durch fźnf Punkte
Gesucht sind die Brennpunkte der Ellipse. Gibt es ein Verfahren ohne Rechnen?
Bemerkung 1: durch fźnf Punkte kann auch eine Hyperbel oder eine Parabel gegeben sein. Wir konzentrieren uns zunŠchst auf den Fall der Ellipse. Wie es bei Hyperbeln oder Parabeln geht, wei§ ich nicht.
Bemerkung 2: In den Abbildungen ist jeweils die Ellipse magenta eingezeichnet. Dies hat aber rein dekorative Bedeutung. Die Ellipse wird fźr die Konstruktionen nicht verwendet.
Bemerkung 3: Im Folgenden wird das Konstruktionsverfahren beschrieben. Die Beweise źberlassen wir dem der Lust hat.
GemЧ dem Satz von Pappos-Pascal kann zu den fźnf gegebenen Punkten auf beliebig viele Arten ein sechster Ellipsenpunkt konstruiert werden. Das geht so (Abb. 2).
Abb. 2: Sechster Punkt
sei der Schnittpunkt der Geraden und . Durch legen wir eine beliebige Gerade q (hier haben wir einen Freiheitsgrad). sei der Schnittpunkt von mit q. sei der Schnittpunkt von mit q. Die Geraden und schneiden sich in einem Punkt , und dies ist ein weiterer Ellipsenpunkt.
In unserer Konstruktion war die Gerade q beliebig durch gewŠhlt worden.
Die Abbildung 3 zeigt eine Modifikation.
Abb. 3: Modifikation
Wir wŠhlen durch eine beliebige Gerade (in Abb. 3 blau gezeichnet). sei nun der Schnittpunkt dieser blauen Geraden mit . Weiter sei der Schnittpunkt von mit . Der Schnittpunkt von (das ist die blaue Gerade) mit ist nun der sechste Ellipsenpunkt.
Wir kšnnen also zu einem der fźnf Startpunkte in beliebiger Richtung einen sechsten Ellipsenpunkt finden.
Wir zeichnen durch und zwei parallele Geraden und darauf je einen weiteren Ellipsenpunkt beziehungsweise (Abb. 4, die Detailkonstruktionen sind nicht angegeben). und seien die Mittelpunkte der Strecken respektive . Die Gerade ist eine Achse der Ellipse, das hei§t, eine Gerade, welche durch den Mittelpunkt der Ellipse verlŠuft. Hintergrund: affines Bild eines Kreises.
Abb. 4: Achse
Wir konstruieren nun noch eine zweite Achse (Abb. 5). Der Schnittpunkt der beiden Achsen ist der Mittelpunkt M der Ellipse.
Abb. 5: Mittelpunkt
Durch den Mittelpunkt M legen wir eine Parallele zu den Richtungen, welche wir bei der Konstruktion der ersten Achse verwendet haben (Abb. 6). Diese Parallele und die erste Achse haben konjugierte Durchmesserrichtungen.
Abb. 6: Konjugierte Durchmesserrichtungen
Leider haben wir nur die Richtungen der konjugierten Durchmesser und nicht die Durchmesser selbst. Wir sind also noch nicht źber dem Berg.
Um die Endpunkte der konjugierten Durchmesser zu finden, verfahren wir wie folgt. Wir starten mit der Konfiguration mit der Achse c der Abbildung 7, welche auf der Abbildungen 4 und 6 basiert.
Abb. 7: Ausgangslage
Es sei Q der Schnittpunkt der Achse c mit der Geraden . Zur Strecke QM zeichnen wir den Thaleskreis (Abb. 8).
Abb. 8: Thaleskreis
Weiter sei nun N der Mittelpunkt der Strecke und R der Schnittpunkt des Lotes in N auf c mit dem Thaleskreis (Abb. 9).
Abb. 9: Schnittpunkt mit Lot
In errichten wir ebenfalls das Lot auf c und schneiden dieses mit der Geraden QR. Das gibt den Schnittpunkt S (Abb. 10).
Abb. 10: Schnittpunkt
Die beiden Schnittpunkte und des Kreises um M durch S mit der Achse c sind Ellipsenpunkte und daher die Endpunkte des Ellipsendurchmessers auf der Achse c
(Abb. 11).
Abb. 11: Ellipsendurchmesser
Wir ergŠnzen nun gemЧ Abbildung 12.
Abb. 12: ErgŠnzung
Damit kšnnen wir analog die LŠnge des konjugierten Durchmessers bestimmen (Abb.13).
Abb. 13: Konjugierte Durchmesser
Nun kšnnen wir mit dem Verfahren von Rytz die Halbachsen konstruieren (Abb. 14).
Abb. 14: Halbachsen
Damit finden wir schlie§lich die Brennpunkte und (Abb. 15).
Abb. 15: Brennpunkte