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Box-Counting-Methode
Algorithmisches Denken in der Primarschule
|☑ Abstraktion||☑ Algorithmendesign||☑ Evaluation|
|☑ Generalisierung||☐ Informationsdarstellung||☑ Iterative Verbesserung|
|☐ Präzise Kommunikation||☐ Problemzerlegung|
Fachbereiche: Mathematik • Natur, Mensch und Gesellschaft
Zeitaufwand: ca. 4 bis 8 Lektionen
Zusammenfassung
Mit der Box-Counting-Methode kann die Komplexität natürlicher Fraktale ausgedrückt werden. Daher ist dieser Baustein eine Ergänzung zum Baustein fraktale Dimension. Beide Bausteine stehen wiederum in einem engen Zusammenhang mit dem Baustein fraktale Kurven. Mit diesen drei Bausteinen erhalten (angehende) Lehrpersonen einen Überblick zur fraktalen Geometrie, einen Einblick in den engen Bezug zum algorithmischen Denken und viele Ideen zur unterrichtlichen Umsetzung in unterschiedlichen Schulstufen. Lehrenden wird empfohlen, die Bausteine in der Reihenfolge fraktale Kurven – fraktale Dimension – Box-Counting-Methode zu studieren, da jeweils der eine Baustein wichtige Grundlagen für den folgenden Baustein enthält. Für eine Umsetzung der Thematik Fraktale im Unterricht können sich Lehrpersonen ebenfalls an diese Reihenfolge halten. Allerdings gibt es mehrere Möglichkeiten, sinnvolle Unterrichtseinheiten aus allen drei Bausteinen zusammenzustellen. Insbesondere muss für Schülerinnen und Schüler der Primarstufe eine stufengerechte Auswahl der Aufgaben vorgenommen werden.
Der Begriff fraktale Dimension wurde durch eine Verallgemeinerung der euklidischen Dimension abgeleitet. In der euklidischen Geometrie gilt: Wird ein Objekt im Verhältnis \(1:n\) verkleinert, so haben \(k=n^{\mathrm{dim}}\) verkleinerte Objekte im ursprünglichen Objekt Platz. Das wird in der Zusammenfassung des Bausteins fraktale Dimension an verschiedenen Objekten der euklidischen Geometrie veranschaulicht. Der Zusammenhang \(k=n^{\mathrm{dim}}\) wurde für die fraktale Dimension übernommen, für welche somit gilt: \[ \mathrm{dim} = \frac{\log k}{\log n}. \] Da in der obligatorischen Schulzeit der Logarithmus nicht behandelt wird, werden im Baustein fraktale Dimension einfache approximative Methoden für die Bestimmung des Exponenten \(\mathrm{dim}\) verwendet. Diese Näherungsverfahren können auch in den Aufgaben dieses Bausteins genutzt werden.
Für die Bestimmung der Dimension natürlicher Fraktale wie einer Küstenlinie oder einer Wolke funktioniert die im Baustein fraktale Dimension beschriebene Methode nicht, da die exakten Werte für \(n\) und \(k\) nicht bekannt sind. In diesen Fällen können Dimensionen mithilfe der Box-Counting-Methode näherungsweise bestimmt werden. Die Box-Counting-Dimension beruht ebenfalls auf einer Verallgemeinerung der euklidischen Dimension. Der Name dieser Dimension weist darauf hin, dass Boxes (kleine Quadrate) gezählt werden müssen. Ein Fraktal wird mit Quadratrastern unterschiedlicher Maschenbreite abgedeckt. Danach wird ausgezählt, wie viele Boxes jeweils zur Überdeckung des Fraktals notwendig sind. Aus der Anzahl der Boxes und der Maschenbreite wird die Box-Counting-Dimension berechnet.
Die Box-Counting-Dimension muss bei euklidischen Objekten mit der euklidischen Dimension übereinstimmen. Das gilt entsprechend für die fraktale Dimension künstlicher Fraktale. Wird also die Box-Counting-Methode auf ein euklidisches Objekt wie eine Strecke oder eine Kreislinie angewendet, so muss sich die Dimension 1 ergeben. In Abbildung 1 werden eine rote und eine blaue Strecke durch Quadratraster unterschiedlicher Maschenbreite überdeckt. Das gesamte Raster hat stets die gleiche Breite, welche gleichmässig unterteilt wird, in diesem Fall in 12, 24 und 48 kleine Quadrate (Boxes). Bei der roten Strecke ist ersichtlich, dass bei der Unterteilung im Verhältnis \(1:12\) genau 12 Boxes für die Überdeckung notwendig sind, beim Verhältnis \(1:24\) sind es 24 Boxes und bei \(1:48\) sind es 48 Boxes. Dies entspricht exakt dem Zusammenhang \(k=n^{\mathrm{dim}}\) bei der euklidischen Dimension, weil bei einer Unterteilung eines euklidischen Objekts im Verhältnis \(1:n\) stets \(k=n^{\mathrm{dim}}\) verkleinerte Objekte entstehen (siehe oben), also gilt für eine Strecke \(k=n\).
Abbildung 1. Box-Counting-Dimension von Strecken
Für die Maschenbreiten \(1/12\) und \(1/48\) ergibt sich \[ \mathrm{dimB} = \frac{\log(64/16)}{\log(48/12)}=\frac{\log 4}{\log 4}=1, \] was exakt der euklidischen Dimension entspricht.
Die Anwendung des zweiten Logarithmengesetzes bei der Definition von \(\mathrm{dimB}\) ist hier sinnvoll, da sich daraus Möglichkeiten zur näherungsweisen Berechnung ohne Kenntnis von Logarithmen eröffnen, wie sie bereits im Baustein fraktale Dimension genutzt wurden. Es gilt nämlich \[ \frac{k_2}{k_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^{\mathrm{dimB}}. \]
Wir werden nachfolgend vor allem die Aufteilung in 12 und 24 Boxes der Rasterbreite nutzen. In diesen Fällen gilt \(n_2/n_1=2\). Dies vereinfacht die Approximation von \(\mathrm{dimB}\) zusätzlich und beim Vergleich verschiedener Fraktale kann bereits aus dem Wert des Quotienten \(k_2/k_1\) auf Unterschiede in den Dimensionen geschlossen werden. Weitere Hinweise auf eine möglichst einfache Anwendung von Rastern in der obligatorischen Schule folgen im Abschnitt didaktischer Kommentar.
In Aufgabe 1 werden die Box-Counting-Dimensionen der Küstenlinie von Island (als natürliches Fraktal), der Kochinsel (als artifizelles Fraktal) und einer Kreisperipherie (als euklidisches Objekt) bestimmt. In Aufgabe 2 wird am Beispiel von Grossbritannien untersucht, welche Bedeutung die Dimension einer Küstenlinie für die Küsteform hat. Weitere Aufgaben können leicht selbst entwickelt werden, wie etwa für die Dimension von Flussufern, der Grenze der Schweiz, oder auch nur der Grenze zwischen Italien und der Schweiz, der Grenze eines Kantons und so weiter.
Beispielsequenz
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Box-Counting-Dimension
- der Küstenlinie von Island,
- der Kochinsel (siehe Abbildung 2),
- einer Kreislinie.
Abbildung 2. Kochinsel
Aufgabe 2
Bestimmen Sie anhand von Abbildung 3 die Box-Counting-Dimension
- der Küstenlinie von Grossbritannien (ohne Nordirland),
- einem Ausschnitt aus der Ostküste,
- einem Ausschnitt aus der Westküste.
Welche Folgerungen können aus den Ergebnissen gezogen werden? Was bedeuten grössere bzw. kleinere Werte der Box-Counting-Dimension?
Abbildung 3. Küstenlinie von Grossbritannien
Lösungen zu den Aufgaben
Aufgabe 1
Die Schülerinnen und Schülern entnehmen die Küstenlinie Islands einer hinreichend exakten Karte oder erhalten diese von der Lehrperson. Wurde im Unterricht die Kochinsel zuvor nicht thematisiert, so braucht es dazu eine entsprechende Einführung (siehe Baustein fraktale Kurven). Im Abschnitt didaktischer Kommentar findet sich eine Anleitung, wie Vorlagen einer Küstenlinie oder eines anderen Objekts mit entsprechenden Quadratrastern erzeugt werden können. In den vorliegenden Lösungshinweisen ist die Rasterbreite jeweils in 12 und 24 Quadrate unterteilt. Um Werte zu überprüfen können ergänzend Raster mit der Breite 48 (oder einer beliebigen anderen Anzahl) verwendet werden. Sind die Quadrate sehr klein, kann deren Auszählung allerdings (zu) zeitaufwendig werden.
- Die Auszählung der von der Küstenlinie betroffenen
Quadrate ergibt bei Rasterbreite 12 genau 60 und bei Rasterbreite 24 genau 142
Quadrate (siehe Abbildung 4). Ergänzend wurde für diese
Lösungshinweise auch mit der Rasterbreite 48 gearbeitet und 340 Boxes
gezählt.
Abbildung 4. Islandkarten mit Maschenbreiten im Verhältnis 1:2 und 1:4
- Die Auszählung bei den Rasterbreiten 12 und 24 (siehe Abbildung 5)
ergibt die Anzahlen 80 und 192 und demzufolge
\[ \mathrm{dimB}=\frac{\ln(192/80)}{\ln 2}\approx 1.26. \]
Abbildung 5. Kochinsel mit Maschenbreiten im Verhältnis 1:2
- Die Auszählung der Quadrate in Abbildung 6 ergibt für
die Rasterbreite 12 genau 39, für die Rasterbreite 24 genau 78 und für die
Rasterbreite 48 genau 156 Quadrate. Aus diesen Zahlen ist ohne zu rechnen
ersichtlich, dass für alle Rasterkombinationen erwartungsgemäss
\(\mathrm{dimB}=1\) gilt.
Abbildung 6. Kreislinine mit Maschenbreiten im Verhältnis 1:2 und 1:4
Die Ergebnisse dieser Aufgabe sind ein Hinweis darauf, dass die Definition der Box-Counting-Dimension sinnvoll ist und das Verfahren bei euklidischen Objekten und artifiziellen Fraktalen gute Näherungswerte der euklidischen bzw. der fraktalen Dimension liefert.
Aufgabe 2
Die folgenden Werte der Box-Counting-Dimension beruhen auf der Auszählung von Quadraten wie dies in Abbildung 3 erkennbar ist, wobei der Verhältniswert \(n_2:n_1\) stets gleich 2 ist (vgl. Hinweise zu den Rastern im didaktischen Kommentar). Es ergeben sich folgende Werte:
- \(\mathrm{dimB}=\frac{\ln(236/95)}{\ln 2}\approx 1.31\)
- \(\mathrm{dimB}=\frac{\ln(42/19)}{\ln 2}\approx 1.14\)
- \(\mathrm{dimB}=\frac{\ln(71/25)}{\ln 2}\approx 1.51\)
Eine eher glatte Küstenlinie hat einen Dimensionswert nahe bei 1. Je zerklüfteter die Küste ist, desto grösser ist der Dimensionswert. In diesem Zusammenhang ist auch die Bestimmung der Länge einer Küste eine spannende Herausforderung. Dazu finden sich weitere Informationen im didaktischen Kommentar.
Didaktischer Kommentar
Bereits in der Zusammenfassung wurde auf verschiedene Möglichkeiten der unterrichtlichen Umsetzung der Inhalte der drei Bausteine fraktale Kurven, fraktale Dimension und Box-Counting-Dimension hingewiesen. Falls die Schülerinnen und Schüler sich vor einer Beschäftigung mit der Box-Counting-Methode nicht mit den beiden erstgenannten Bausteinen auseinandersetzen konnten, so müssen die wichtigsten Begriffe (Fraktal, Selbstähnlichleit, Iteration, Limesbild, euklidische und fraktale Dimension etc.) in einem Klassengespräch eingeführt werden. Liegt eine entsprechende Beschäftigung mit diesen Themen bereits länger zurück, so sollte dieses Vorwissen aktiviert werden. Allerdings können Lehrende auch dem Niveau ihrer Schülerinnen und Schüler entsprechende Lerneinheiten mit Aufgaben aus allen drei Bausteinen zusammenstellen. So kann beispielsweise eine sinnvolle Lerneinheit aus der Kochkurve und der Kochinsel aus dem Baustein fraktale Kurven, der Bestimmung der entsprechenden Dimension gemäss dem Baustein fraktale Dimension und der Bestimmung der Box-Counting-Dimension der Küstenlinie von Island oder von Grossbritannien bestehen. Eine derartige Lerneinheit könnte ergänzt werden mit einem weiteren Aspekt aus dem Baustein fraktale Kurven, nämlich mit der Tatsache, dass die Küstenlinie der Kochinsel unendlich lang ist. Mit den Folgerungen dieser Erkenntnis für natürliche Küstenlinien hat sich bereits der als Begründer der fraktalen Geometrie geltende Mathematiker Benoît Mandelbrot auseinandergesetzt. Er erkärt in seinem 1977 erschienenen Werk (deutsche Ausgabe 1987) die fraktale Geometrie der Natur, weshalb auch die Länge einer Küste wie beispielsweise diejenige Grossbritanniens unendlich ist. Stellen Sie sich vor, Sie bestimmen approximativ die Länge der britischen Küstenlinie mithilfe eines Streckenzugs. Sie nehmen zum Beispiel eine Streckenlänge von 500km und berechnen einen ersten Näherungswert durch die Multiplikation von 500km mit der Anzahl der Strecken, welche für den ganzen Streckenzug um Britannien herum erforderlich sind. Danach verkürzen Sie die Strecke auf 400km, 300km, ..., 10cm, 1cm etc. und berechnen jeweils die Produkte aus der Streckenlänge und der Anzahl der notwendigen Strecken. Sie werden feststellen, dass die Küstenlinie unendlich lang wird. Schon allein mit Karten unterschiedlichen Massstabs lässt sich dieser Effekt erzielen. Je grösser der Massstab, umso mehr Details der Küstenlinie kommen zum Vorschein. Wird zudem die Streckenlänge des Polygonszugs kürzer, wirken sich diese Details zunehmend stärker auf die Gesamtlänge aus: Umso kürzer die Streckenlänge gewählt wird, desto besser lassen sich die Details einer Küstenlinie nachbilden. Wenden Sie dasselbe Verfahren bei einer euklidischen Linie an, so bleibt die Länge endlich. Beispielsweise konvergiert die Länge einer Kreisperipherie mit dem gleichen Verfahren gegen den Wert \(2π r\). Das entspricht der in der Schulmathematik üblichen Approximation von \(π\) durch einen Kreis ein- und umbeschriebene regelmässige Vielecke.
In der Primarstufe könnte der Baustein auch ohne einen konkreten Bezug zur fraktalen Geometrie unter der Thematik Küstenlinien aufgegriffen werden. Die Schülerinnen und Schüler charakterisieren unterschiedliche Küstentypen und euklidische Objekte wie Strecken oder Kreislinien durch die Werte der Verhältnisse \(k_2:k_1\) und entwickeln so ein Mass für die Komplexität von Küsten. Anstatt mit Küsten könnten auch Flussläufe oder Grenzen genommen werden.
Zur Bestimmung der Box-Counting-Dimension braucht es mindestens zwei Raster mit unterschiedlicher Maschenbreite. Das Verhältnis der Maschenbreite kann beliebig sein. Im Baustein wurde mit \(1:2\), manchmal ergänzend mit \(1:4\) gearbeitet. Bereits in der Zusammenfassung wurde darauf hingewiesen, dass durch das Beibehalten des Verhältnisses \(n_2:n_1\) für unterschiedliche Objekte bereits aus dem Verhältnis der Anzahlen der Boxes \(k_2:k_1\) vergleichende Rückschlüsse auf die Dimensionen ohne weitere Berechnungen möglich sind.
Für die Unterrichtspraxis gibt es mehrere Möglichkeiten, um die notwendigen Vorlagen bereitzustellen:
- Die Lernenden beschaffen die Vorlagen der einzelnen Objekte selbst. Sie entnehmen beispielsweise die Umrisse Islands aus einem Schüleratlas und zeichnen darüber die entsprechenden Raster.
- Die Raster werden den Lernenden auf Klarsichtfolien zur Verfügung gestellt, welche sie über die Objekte legen können. So können die Raster auch direkt auf eine bereits vorhandene Karte gelegt werden.
- Die Objekte und Raster werden den Lernenden zur Verfügung gestellt, wobei die Objekte oder die Raster sich auf einer Klarsichtfolie befinden können.
- Im vorliegenden Baustein wurden alle Vorlagen für die Bestimmung
der Dimensionen und für die Abbildungen mit Microsoft Word erstellt. Dazu
klicken Sie auf den Reiter Einfügen und wählen im Menü
Formen das Rechteck aus. Erzeugen Sie das Rechteck und
wählen Sie mit einem Rechtsklick den Befehl
Formen formatieren.
Wählen Sie unter Füllung die Variante
Bild- oder Textfüllung aus und fügen Sie das gewünschte Bild ein. Stellen
Sie den Schieber für die Transparenz auf (ungefähr) 50% ein.
Nachfolgend wählen Sie im Reiter Seitenlayout den Befehl
Gitternetzlinien anzeigen und stellen die von Ihnen gewünschte
Maschenbreite in den Rastereinstellungen ein.
Für die Lösungswege der Aufgaben dieses Bausteins wurde mit einem Rechteck der Breite 12cm gearbeitet. Mit den Rastereinstellungen von 1cm horizontal und vertikal ergibt sich ein Raster mit 12 Boxes in der Beite. Wählen Sie Rastereinstellungen mit 0.5cm bzw. 0.25cm, so erzeugen Sie 24 bzw. 48 kleine Quadrate in einer Rechteckbreite. Für den Ausdruck wurden die jeweiligen Grafiken mit dem Snipping-Tool kopiert. Die so erzeugten Vorlagen können beliebig gross ausgedruckt werden, da sich die Anzahl der für die Überdeckung des Objekts notwendigen Boxes nicht mehr verändern kann. So ermöglicht ein vergrösster Ausdruck insbesondere bei den engmaschigen Rastern ein exaktes Auszählen. (Für das Auszählen bei den Rasterbreiten 12 und 24 eignen sich Kartenvorlagen von circa A5-Grösse, für die Rasterbreite 48 wird ein grösserer Ausdruck benötigt, zum Beispiel A4.)
Mehrere Raster unterschiedlicher Maschenbreite verbessern die Qualität der Approximationen. Für das Verständnis der Methode sind die in den Lösungen verwendeten Raster ausreichend. Beim Auszählen selbst wurden jeweils Quadrate, welche von den Linien berührt wurden, mitgezählt.
- Abstraktion.
Durch die Box-Counting-Methode kann – so wie diese im vorliegenden Baustein verwendet wird – die Komplexität jeder beliebigen Linie mit einem Wert charakterisiert werden. Dabei fliesst zwar das Erscheinungsbild der Linie in diesen Wert ein, für die Anwendung der Methode selbst sind jedoch lediglich die Anzahlen der gezählten Boxes von Bedeutung. Dabei spielt es auch keine Rolle, ob es sich um eine Kreislinie, eine Küstenlinie, ein Flussufer oder ein anderes Objekt handelt.
- Generalisierung.
Die Box-Counting-Methode wird in diesem Baustein als Verallgemeinerung der fraktalen Dimension eingeführt. An die Stelle des Verkleinerungsverhältnisses tritt das Verhältnis der Maschenbreiten der Raster und die Anzahl verkleinerter Objekte wird durch den Verhältniswert der ausgezählten Boxes ersetzt.
Das Verfahren wird im Baustein auf euklidische Linien und Küstenlinien angewendet. Es kann auch bei Flussläufen oder Grenzverläufen genutzt werden. Zudem ist eine Verallgemeinerung auf Objekte mit Dimensionen kleiner als 1 oder grösser als 2 möglich.
Falls die Schülerinnen und Schüler bereits approximative Strategien zur Bestimmung der fraktalen Dimension aus dem gleichnamigen Baustein kennen, so können sie diese auf die Bestimmung der Box-Counting-Dimension übertragen.
- Algorithmendesign.
Die Box-Counting-Methode selbst entspricht der Anwendung eines Algorithmus. Diesen müssen die Lernenden zwar nicht selbst entwickeln, jedoch ist das Verständnis dieser Methode ein Ziel des Bausteins. Eigene Algorithmen müssen die Schülerinnen und Schüler entwerfen und anwenden, wenn es um die approximative Bestimmung der Dimension geht.
- Iterative Verbesserung.
Die Bestimmung der Box-Counting-Dimension im vorliegenden Baustein ist in zweierlei Hinsicht approximativ. So ist die Methode selbst ein Näherungsverfahren. Zudem sind den Lernenden in der obligatorischen Schule Logarithmen nicht vertraut und sie bestimmen daher den Exponenten \(\mathrm{dimB}\) näherungsweise. Für beide Aspekte ist die iterative Verbesserung von Bedeutung. Betreffend dem ersten Aspekt kann die Genauigkeit des Dimensionswertes durch die Hinzunahme weiterer Raster erhöht werden. Erfahrungen zu diesem Aspekt können die Schülerinnen und Schüler bei der Arbeit mit euklidischen Linien und artifiziellen Fraktalen sammeln, da in diesen Fällen die exakten Werte bereits bekannt sind. Beim zweiten Aspekt arbeiten die Lernenden mit Tabellen und können dabei die Genauigkeit ihrer ersten Näherungswerte durch kleinere Abstände zwischen den Werten in der Spalte für den Exponenten \(\mathrm{dimB}\) erhöhen. Nutzen die Schülerinnen und Schüler ein Computerprogramm, so kann der Startwert für \(\mathrm{dimB}\) so vorgegeben werden, dass die Approximation in der gewünschten Genauigkeit möglichst schnell gefunden wird. Bei beiden Aspekten sind erste Erfahrungen und ein zunehmend tieferes Verständnis der Box-Counting-Dimension wichtig.
- Evaluation.
Die Evaluation von Algorithmen und Ergebnissen sind ein wesentliches Element bei den iterativen Verbesserungen sowohl der in Programmiersprachen oder Tabellen umgesetzten Algorithmen, als auch bei den gefundenen Dimensionswerten.
Quellenangaben und Weiterführende Literatur
- Paul S. Addison: Fractals and Chaos. An Illustrated Course. IOP Publishing Ltd., London, 1997.
- Kristin Dahl und Sven Nordqvist: Zahlen, Spiralen und magische Quadrate. Mathe für jeden. Oetinger Verlag, Hamburg, 1996.
- Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. Birkhäuser, Basel, 1987.
- Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens und Dietmar Saupe: Chaos and Fractals. New Frontiers of Science. Springer, New York, 1992.
- Thomas Schweingruber: Auf zum MATHerhorn. Spannende Mathematik für Kinder. Pestalozzianum Zürich, 2. Auflage, 2006.
Abbildungsverzeichnis
Alle Abbildungen wurden durch den Autor erzeugt.
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