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Hans Walser, [20080409a]
Eine Visualisierung des Kosinussatzes
Es wird eine zum Pythagoras-Piktogramm analoge Figur fr nicht rechtwinklige Dreiecke besprochen. Dabei werden hnliche gleichschenklige Dreiecke mit Basiswinkel oder aufgesetzt.
Der relevante Winkel im grnen Dreieck ist stumpf; die gleichschenkligen Dreiecke haben den Basiswinkel :
blau + blau + grn = rot
Der relevante Winkel im grnen Dreieck ist spitz; dies ist auch der Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke:
blau + blau = grn + rot
Dies erinnert an das Piktogramm fr den Satz des Pythagoras, in welchem allerdings der Flcheninhalt des Dreieckes keine Rolle spielt:
blau + blau = rot
Wir arbeiten mit dem Au§enwinkel
In dieser Situation gilt der Flchensatz:
Es ist:
Zu prfen ist:
Die letzte Zeile ist wegen der Kosinus-Satz.
Beweisidee: Wolfgang Kroll, Marburg
Wir spiegeln das Dreieck an AB, das Bilddreieck sei . Dann gilt:
Die Punkte liegen also auf demselben Ortsbogen ber AB.
Spiegelung und Ortsbogen
Weiter gelten folgende Winkelbeziehungen:
Wegen und ist (gleiche Peripheriewinkel ber gleich langen Sehnen). Da das Dreieck gleichschenklig ist, folgt sogar . Analog kann gezeigt werden; das Viereck ist also ein Parallelogramm.
Parallelogramm
Daher ist:
Also gilt:
Damit ist der Flchensatz bewiesen.
Da die drei gleichschenkligen Dreiecke hnlich sind, haben wir ein festes Verhltnis zwischen der Schenkellnge und der Basislnge. (Es ist , wir bentigen diese Formel im folgenden aber nicht.)
Nun ergnzen wir die drei Punkte zum Parallelogramm (Figur).
Ergnzung zum Parallelogramm
Dann gilt:
Die beiden neuen Dreiecke und sind in der folgenden Figur magenta eingezeichnet.
Flchengleiche Dreiecke
Wir vermuten, dass . Dies kann wie folgt eingesehen werden: Aus Symmetrie- und Parallelittsgrnden ist . Somit ist mit dem hnlichkeitsfaktor . Daher ist . Analog kann nachgewiesen werden. Damit ist unsere Vermutung bewiesen. Daraus folgt aber der Flchensatz.
Bei einem Dreieck ABC mit spitzem Winkel setzen wir auf allen drei Seiten je ein gleichschenkliges Dreieck mit der betreffenden Dreieckseite als Basis und dem Basiswinkel auf.
Aufgesetzte gleichschenklige Dreiecke
Dann gilt:
Es ist:
Zu prfen ist:
Die letzte Zeile ist aber der Kosinus-Satz.
Wir spiegeln die Dreiecke und an den Seiten b beziehungsweise a. Dies liefert die Bilddreiecke und . Aus Winkelberlegungen analog zum stumpfwinkligen Fall folgt, dass die fnf Punkte auf einem Kreis liegen und weiter das Viereck ein Parallelogramm ist.
Kreis und Parallelogramm
Daher ist:
Daraus folgt:
Dies war zu beweisen.
Zunchst verschieben wir — um den berblick nicht zu verlieren — die Dreiecke und um die respektiven Vektoren und . Wir erhalten die Bilddreiecke und , die sich allerdings berlappen.
Verschiebung
Nun ergnzen wir die drei Punkte zum Parallelogramm ; dies ist in der folgenden Figur dargestellt.
Ergnzung zum Parallelogramm
Mit erhalten wir flchengleiche Dreiecke:
Die beiden neuen Dreiecke und sind in der Figur magenta eingezeichnet.
Wir vermuten, dass die Vierecke und kongruent sind (Punktsymmetrie).
Kongruente farbige Vierecke?
Zunchst ist das Dreieck kongruent zum Dreieck . Weiter ist mit dem Streckfaktor (in diesem Fall ist ). Daher ist . Analog kann gezeigt werden. Damit ist die Vermutung bewiesen.
Der Kosinus-Satz enthlt fr als Sonderfall den Satz des Pythagoras. Leider knnen wir in unserem Flchensatz den Winkel nicht als rechten Winkel whlen, da die gleichschenkligen Dreiecke sonst zu Halbstreifen mit unendlich gro§em Flcheninhalt ausarten wrden. Zudem wre die Frage, auf welcher Seite die Dreiecksflche nun zu rechnen wre, da als Grenzfall sowohl eines stumpfen wie eines spitzen Winkels zu sehen wre. Allerdings kann man sagen, dass eine endliche Dreiecksflche im Vergleich zu den unendlichen Halbstreifen ohnehin quantit ngligeable ist. Aber statt ber das Unendliche zu philosophieren, bleiben wir bei den Leuten und stutzen die gleichschenkligen Dreiecke. Wir schneiden sie bei relativ gleicher Hhe durch, so dass gleichschenklige Trapeze der respektiven Hhen , , mit frei whlbarem brig bleiben. Als Referenz an das bliche Pythagoras-Piktogramm whlen wir .
Die Frage ist, wie wir das zentrale Dreieck stutzen mssen, damit der Flchensatz wieder gilt. Das sehen wir, wenn wir die abgeschnittenen Teile der gleichschenkligen Dreiecke neu zusammensetzen. Es entsteht dann ein kleines zentrales Dreieck, das zum ursprnglichen Dreieck hnlich ist und von diesem abgeschnitten werden muss. Es bleibt ein (im allgemeinen nicht gleichschenkliges) Trapez brig.
Trapeze als gestutzte Dreiecke. Rest neu zusammengesetzt
Wir erhalten so einen Flchensatz mit Trapezen:
blau + blau + grn = rot
Fr einen spitzen Winkel gilt ein analoger Flchensatz:
blau + blau = grn + rot
In beiden Fllen werden fr die blauen und das rote Trapez zu Quadraten und das grne Trapez verschwindet. Es entsteht das Pythagoras-Piktogramm.
Die Figur zeigt ein Zerlegungspuzzle. Es handelt sich hier allerdings um einen Sonderfall mit . Es ist dann . Gibt es andere einfache Puzzles?
Zerlegungspuzzle