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Hans Walser, [20130912a]
Hyperbolisches Paraboloid und die Ableitung der Quadratfunktion
Anhand eines rumlichen Hyperbolischen Paraboloid-Modells wird die Ableitung der Quadratfunktion hergeleitet.
Beat lernt in der Schule, dass durch die Gleichung ein hyperbolisches Paraboloid beschrieben wird (Abb. 1).
Abb. 1: Hyperbolisches Paraboloid
Sofort sieht er, dass es in der Ebene eine nach oben offene Parabel gibt (Abb. 2). Die Parabel hat die Gleichungen .
Abb. 2: Konturparabel
Entsprechend gibt es eine nach unten offene Parabel mit den Gleichungen und (Abb. 3).
Abb. 3: Untere Konturparabel
In der Abbildung 4 sind die beiden Parabeln schwarz eingezeichnet.
Abb. 4: Die beiden Parabeln
Nun denkt sich Beat folgendes Modell aus: Er biegt zwei Lochstreifen parabelfrmig und schraubt sie in der Mitte orthogonal zusammen so dass eine Parabel nach oben und die andere nach unten offen ist. Dann verbindet er mit Bindfden (Abb. 5).
Abb. 5: Modell von Beat
Die Abbildung 6 zeigt einen elektronischen Nachbau des Modells.
Abb. 6: Modell von Beat
Die Abbildung 7 zeigt wiederum die obere Profilparabel.
Abb. 7: Profilparabel
Nun interpretiert Beat die Figur zweidimensional in einem x,z-Koordinatensystem. Die blauen und gelben Bindfden sind offensichtlich Tangenten an die Parabel . Die Tangente im Berhrpunkt schneidet die z-Achse aus Symmetriegrnden im Punkt . Sie hat also die Steigung . Daraus ergibt sich, dass die Funktion die Ableitung hat.