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Hans Walser, [20080105a]
Berge
Eine Figurenfolge im Einheitsquadrat. Wir beginnen mit einem Dreieck.
Start
Weitere Spitzen
Immer mehr Spitzen
Alpenglźhn
Dasselbe in Blaurot. Wie gro§ ist der rote FlŠchenanteil?
Blaurot
Wir listen schrittweise die blauen und roten FlŠchenanteile auf.
Schrittweises Vorgehen
Wir lesen — mit einigem Bruchrechnen — aus den Figuren ab:
Die GesetzmЧigkeit ist offensichtlich.
Fźr den roten Anteil erhalten wir:
Aus der Formel (Herleitung unten) erhalten wir einen roten Anteil von . Der blaue Anteil ist entsprechend .
Herleitung der Formel:
Fźr eine geometrische Reihe gilt:
Durch Ableiten auf beiden Seiten erhalten wir:
Multiplikation mit liefert die gewźnschte Formel.