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10 exercices avec réponses sur le mouvement harmonique
par Bernard Vuilleumier
Exercices extraits de l’ouvrage « Mécanique » de J.-A. Monard. Editeur : centrale d’achats de la ville de Bienne, Rennweg 62, 2501 Bienne, 1977.
Exercice 1
Un ressort de constante k, disposé horizontalement, a une extrémité fixe et une extrémité libre. Un wagonnet de masse m vient buter contre cette dernière avec une vitesse v. Quelle est la déformation maximale du ressort ? Quelle est la durée du contact du wagonnet avec le ressort ? Combien faut-il de temps pour que la vitesse du wagonnet passe de la valeur v à la valeur u ?
Valeurs numériques : k=100 N/m, m=0.5 kg, v=1 m/s, u=0.8 m/s.
Rép. 7.07 cm, 0.22 s, 0.05 s.
Exercice 2
Un wagonnet est placé sur une voie horizontale sur laquelle on suppose le frottement négligeable. Sa masse est de 120 g. Il est lié par un ressort à un point fixe. Une force de 1 N appliquée sur le wagonnet parallèlement à la voie détermine un déplacement de 5 cm. Calculez la fréquence f de cet oscillateur. On place de l’autre côté du wagonnet un ressort identique au premier. Calculez la nouvelle fréquence f2. Le système étant dans cette situation, on donne au mouvement une amplitude de 10 cm. Quelle est la vitesse maximale du wagonnet ?
Rép. 2.05 Hz, 2.91 Hz, 1.83 m/s.
Rép. 99.4 cm.
Exercice 4
On a un pendule de longueur L. Une tige horizontale est fixée sous le point d’attache, à une distance d de celui-ci. Elle est perpendiculaire au plan dans lequel oscille le pendule. Les angles formés par le fil avec la verticale lorsque le pendule est aux extrémités de sa trajectoire sont désignés par α et β (α < β). Exprimez β en fonction de α, L et d. Calculez la période de ce pendule boiteux.
Valeurs numériques : L=2.2 m, d=1 m.
Rép. , 2.59 s.
Rép. Elle diminue de 22.5 %.
Exercice 6
Un oscillateur harmonique a une constante de rappel k et une masse m. Son mouvement a une amplitude A. En quel point et à quel moment son énergie cinétique est-elle égale à son énergie potentielle élastique ?
Rép. En et en , avec
Exercice 7
Calculez la vitesse maximale qu’aurait un objet qui traverserait la Terre dans un tunnel rectiligne passant par son centre, en admettant qu’il n’y ait pas de frottement et que l’objet soit lâché depuis la surface de la Terre.
Rép. 7910 m/s.
Rép. 31.8 cm.
Exercice 9
Un petit objet de masse m est fixé à deux fils. Ces fils ont une même longueur L. Ils ont une masse négligeable et sont disposés selon une même droite, de part et d’autre du petit objet. Leurs extrémités sont attachées à deux points fixes et le système est tendu par une force de grandeur F. Le petit objet peut ainsi se déplacer dans le plan médiateur des deux points d’attache. Montrez que c’est un oscillateur harmonique et calculez sa fréquence propre. Vous supposerez la pesanteur négligeable et vous vous limiterez à des oscillations de faible amplitude de manière que la tension des fils puisse être considérée comme constante.
Valeurs numériques : m=100 g, L=80 cm, F=50 N.
Rép. 5.63 Hz.
Rép. , 1.71 s.
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