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Les nombres ne sont-ils pas déjà définis correctement ?
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Arguments contre le nombre défini en tant que concept permettant de compter des objets ou événements.
Frege argumente contre certaines définitions des nombres. L’origine des questions de Frege sur les fondements de l’arithmétique est la détermination de la nature des équations : sont-elles analytiques ou synthétiques, a priori ou a posteriori ? L’analyse de Frege montre qu’elles sont analytiques et a priori. Dont acte.
Ce que nous recherchons n’est pas la nature des équations ou propositions mathématiques, mais la nature des nombres. Frege considère les arguments des différents courants cherchant à fonder les nombres cardinaux de son époque.
La lecture de Frege de la vision de Cantor est qu’il pose le nombre comme le résultat d’une observation. Schröder, selon le texte de Frege, pense aussi que le nombre est abstractisé en associant un à chaque unité décomptée. C’est une vision courante des nombres.
Néanmoins elle a trois contre-arguments majeurs :
1. Il faut déterminer ce que l’on compte pour compter
Frege oppose à cette vision celle de Baumann qui faire remarquer que les choses ne nous offrent pas d’elles-mêmes l’unité permettant de les compter. Autrement dit, il faut déterminer l’unité de ce que l’on compte ; si l’unité est la base de la construction des nombres, alors le nombre est premier et le décompte est compris à partir de la compréhension des nombres et non le contraire.
L’argument est faible et n’attaque que la position de Schröder. Certes, il est possible de considérer des objets complexes selon plusieurs unités différentes ; Frege donne l’exemple d’un paquet de cartes à jouer. Mais que certains objets complexes puissent être décomptés de manière différente n’enlève pas la possibilité de décompter de manière simple des objets simples, par exemple des cailloux blancs de formes similaires, des moutons ou des jarres de grains.
2. Le résultat d’une observation est toujours soumis à la contrainte ceteris paribus
Nous pouvons opposer un autre argument plus fort à la constitution des nombres par le décompte de cailloux ou d’événements : 2 litres d’eau et 5 litres d’eau font, une fois réunis, 7 litres d’eau, ceteris paribus ; par contre 2 + 5 ne font pas 7 selon des conditions externes constantes. Contrairement aux mesures des sciences, les nombres ne sont pas soumis à la restriction du « toutes choses étant égales par ailleurs », autrement dit ce n’est pas le résultat d’une expérience soumis à la contrainte ceteris paribus, car aucune condition physique ne peut faire que 2 + 5 = 7,0001 ; seule une imprécision de la mesure peut y concourir. La sémantique des nombres n’est donc pas empiriste, il ne suffit pas de décompter des objets pour fonder les nombres.
3. Il faut savoir compter pour observer la différence entre les nombres
Si les nombres sont le résultat d’un comptage ou d’un décompte, ils se présupposent eux-mêmes, car il n’est pas possible de compter ou de décompter sans les nombres. Certes, on peut apparier un troupeau de chèvres avec un autre troupeau de chèvre, tant que le nombre de chèvres est égal ; mais dès qu’il est différent, comment savoir combien de chèvre ajouter pour trouver l’égalité, sans le recours aux nombres ? Pire, comment savoir combien il en manque au troupeau le plus petit ?
Compter est-ce trouver le successeur du prédécesseur ?
Une autre approche consiste, sur les pas de Peano, à considérer que le nombre permet de compter car chacun d’eux est défini sur la base du nombre précédent. Cette approche sous-entend que la relation entre chaque nombre est égale car fondée sur l’identité de l’unité.
Néanmoins, il est possible de comprendre un nouveau nombre une fois le principe de constitution des nombres acquis, sans pour autant devoir dérouler la série des nombres le précédent. Par exemple, un enfant peut apprendre les nombres de 1 à 100, puis 101 et 102 ; mais devant le nombre 106, il comprend de quoi il s’agit sans élaborer les concepts des nombres 103, 104 et 105. Sa compréhension de 106 n’est donc pas basée sur la suite des nombres entre 102 et 106. Il suffit de penser à 4 millions 444 mille 444 pour déterminer qu’il n’est pas compris en tant que suivant les 4 millions 444 mille 443 nombres précédents.
Arguments contre le nombre en tant que caractéristique d’une quantité.
Pour les arguments de types ensemblistes, Frege cite Mill : « Un nom de nombre désigne une propriété qui appartient à l’agrégat des choses que nous dénommons par ce nom ; cette propriété, c’est la manière caractéristique dont l’agrégat est composé ou peut être partagé. » Par exemple, le nom du nombre 6 désigne une propriété, soit la quantité d’éléments qui appartient à l’agrégat -ou à l’ensemble- des choses que nous décomptons par 6 -du fait qu’elles sont 6. Autrement dit, tout ensemble ayant 6 éléments a une propriété spécifique qui est d’avoir 6 éléments ; c’est cette propriété qui donne la caractéristique propre à cet ensemble de pouvoir être partagé en 6 éléments.
Frege relève des contre arguments qui portent sur le qualificatif de caractéristique ; ce terme signifie dans ce contexte « standard » ; en effet, il n’y a pas de manière caractéristique ou standard de constituer des agrégats ou de se positionner à un niveau ou un autre de la construction scientifique des objets. La position de Frege est pourtant proche de celle de Mill, excepté l’aspect empirique de la construction du nombre telle que pensée par Mill.
Mais d’autres arguments peuvent être avancés, dont certains resteront d’actualité contre la théorie de Frege et les thèses ensemblistes.
Le premier, spécifiquement tourné contre la position de Mill est que la caractéristique considérée, soit la capacité d’être divisé par 6 ou sommé jusqu’à 6, relève du résultat des opérations d’addition et de division, clairement nommées dans la citation suivante : « dont l’agrégat est composé ou peut être partagé ». Il est difficile de comprendre comment on peut aborder ces opérations sans le concept de nombre, y compris de manière peu formelle : additionner, soustraire, multiplier ou diviser sans comprendre ce qu’est un nombre n’est pas une approche qui peut être retenue : c’est mettre la charrue avant les bœufs .
Arguments contre les théories ensembliste des nombres
Par ailleurs, un autre argument relève que pour déterminer que l’agrégat a 6 éléments, il est nécessaire de les compter pour les mettre en relation avec les autres ensembles ou agrégats ayant 6 éléments afin de déterminer le concept unique à tous ces agrégats et fixer la sémantique de 6. La compréhension et l’usage du nombre précède donc la constitution bien constituée de l’agrégat.
Non seulement il est nécessaire de comprendre ce qu’est un nombre pour former un agrégat ou un ensemble ayant une quantité donnée, mais il l’est également pour apparier cet ensemble à un autre ensemble ayant la même quantité ; sauf à mettre des cailloux ou des moutons par paire ; mais nous sommes alors très loin de pouvoir utiliser les nombres comme arguments d’opérations et autres usages des mathématiques, car nous sommes contraints à nous cantonner aux paires.
Néanmoins, d’autres contre-arguments peuvent être établis montrant que la vision ensembliste ne peut définir la sémantique du nombre : si la sémantique de 10 est une relation biunivoques avec tous les ensembles de 10 éléments, elle présuppose la compréhension du critère 10 éléments pour retenir les bons ensembles dans le crible ; or la sémantique du critère « 10 éléments » est indissociable de la sémantique de « 10 », sauf à vouloir dénombrer les éléments à partir d’un pattern topologique ou autre, ce qui revient à défendre une position empirique.
Si je dois m’assurer que seuls les ensembles ayant 10 éléments ont une relation biunivoque avec l’ensemble étalon, dois-je comparer l’ensemble à tous les autres ensemble étalons : le singleton, la paire, le triplé, le quadruplé, l’ensemble ayant 101 éléments, etc. à l’infini ou ai-je une méthode pour le faire, sans pour autant que cette méthode fasse appel au concept de nombre ?
Finalement, comment peut-on parler d’un agrégat vide pour définir le zéro ? Une relation biunivoque entre des ensembles vides n’est pas une relation, elle n’a aucun terme. Comment apparier bijectivement un ensemble vide lorsque la définition de la bijection nécessite justement de faire correspondre un élément d’un ensemble à un élément de l’ensemble entretenant une relation bijective ? Sans éléments dans aucun des deux ensembles, aucun appariement n’est possible, donc aucune bijection.
L’appariement des ensembles vides, pose en plus la question du nombre d’ensembles vides qui peuvent être appariés : soit une infinité car chaque ensemble vide est vide de quelque chose qu’il devrait contenir et ne contient pas, dès lors les ensembles vides ne sont pas de même nature selon ce qu’ils devraient contenir et c’est le contenant inexistant qui est apparié entre les ensembles, conduisant à considérer une relation n’ayant aucun des deux termes la caractérisant ; soit il n’y a qu’un seul ensemble vide quel que soit le contenu, et nous cherchons à apparier l’ensemble lui-même sans pour autant considérer ses éléments, qui, en l’occurrence, n’existent pas. Nous avons un problème supplémentaire, mais n’avons pas non plus résolu la question d’une relation ne mettant en relation aucun élément. Pas plus qu’auparavant, une relation définie comme un lien entre au moins deux termes peut être un lien entre aucun terme ?
Contre une vision intuitive des nombres
D’autres positions considèrent la sémantique de « 10 » comme étant intuitive, mais c’est passer à côté de la question du cadre considéré : 10 en base 10 ou en base 8 ? Ce changement de base serait-il intuitif ?
En conclusion sur la thèse des nombres en tant que terme signifiant une multiplicité des objets réels, il suffit de considérer que l’affirmation du nombre d’objets virtuels ou réels ne dépend pas des conditions de l’expérience mais du cadre conceptuel fixé. Sur la thèse des nombres définis sur une identité de multiplicité, si les enfants apprennent bien les nombres à partir de l’équivalence quantitative d’objets, il faut se résoudre à accepter que la signification du nombre ne s’y restreint pas : le zéro n’est pas définissable bijectivement ; sans compter qu’il faudrait pouvoir définir l’ensemble bijectif correspondant à la partie i du nombre complexe.
Arguments contre la vision psychologique du nombre
Frege traite ensuite du fait que s’opposer à la sémantique du nombre en tant qu’entité objective semble amener à considérer que le nombre est psychologique, au sens où il dépendrait de la psychologie d’un individu ou de ses croyances personnelles.
Il est certain que Frege n’avait pas une définition aussi claire qu’actuellement du terme « psychologique ».
Si un nombre est conceptuel et non sensible, alors il est d’une manière ou d’une autre psychologique. Par contre, il faut différencier la psychologie particulière d’un individu de la psychologie en tant que ce qui ne peut être mesuré physiquement. Bien qu’aujourd’hui nous puissions mesurer certains états psychiques d’un individu, voire l’image qu’il se fait d’objets perçus, nous ne pouvons réduire les mécanismes psychologiques à des mécanismes physicalistes. Dans ce sens, nous parlerons du mental opposé au physique. Dans cet article, pour la clarté du propos, nous réservons le terme « psychologique » aux croyances propres à un individu ainsi qu’à ses processus propres non physicalistes. Pour être clair, l’intelligence artificielle produite par un ordinateur von Neumann n’a ni processus mentaux, ni psychologie. Par contre, les humains partagent des processus mentaux, dont la capacité à réguler des productions hormonales ou à exprimer des sentiments, à communiquer et à compter ; par contre, les sociopathes partagent en commun un trait psychologique qui est l’absence de considération des émotions d’autrui. En conclusion, nous avons vu ci-dessus qu’un nombre est mental et non physicaliste.
Il reste à démontrer que la signification des nombres ne dépend pas des croyances particulières d’un individu ni de ses processus psychologiques : 2+2 font 4 pour une personne ayant des traits sociopathes autant que pour une personne n’en ayant pas. Certes, l’usage des nombres, en particulier dans des fonctions avancées, peut dépendre de la capacité de compréhension d’un individu, qui elle est psychologique ; néanmoins, que l’individu comprenne ou pas le nombre ne change rien à la sémantique du nombre lui-même : la majorité des humains n’a pas étudié i et donc ne le comprenne pas ; il n’en découle pas pour autant que le nombre i n’a pas de sémantique : il est la partie imaginaire de la racine paires d’un nombre négatif.
Un autre argument est que si nous pouvons avoir une représentation personnelle du nombre pi, par exemple, en tant que valant 3.1415926, d’autres peuvent avoir une représentation valant 3.14, d’autres encore 3.1415926535897; néanmoins pi vaut exactement la circonférence d’un cercle divisée par son diamètre, même si nous ne pouvons pas nous représenter cette grandeur avec toute l’exactitude nécessaire. Nous pouvons l’approximer par 3.1415, selon le besoin, voir par 3 si nous nous contentons d’un résultat moins précis, mais la valeur de pi ne dépend pas de ma représentation psychologique ni de son approximation.
Pour expliciter ces différences, le mieux est de faire appel à la double distinction de Searle, bien postérieure à Frege, entre objectif et subjectif d’une part et ontologique et épistémique de l’autre.
La première, entre objectif et subjectif distingue entre ce qui est accepté par l’ensemble des observateurs observant un phénomène opposé aux croyances personnelles d’un observateur donné.
La seconde, entre épistémique et ontologique distingue entre ce qui relève de notre savoir sur le monde et ce qui appartient au monde lui-même.
Trois lumières apparaissant dans le ciel nocturne formant un triangle isocèle sont observées par Paul, Marie, Jules et Françoise.
Paul, Marie et Françoise décrivent 3 lumières apparues soudainement après le coucher du soleil, à la tombée de la nuit, forment un triangle isocèle vers le sud-est.
Jules décrit un OVNI qui va atterrir dans la cour du château voisin.
La première description est objective, chaque personne étant en mesure de voir le phénomène peut en faire la même description ; de plus, un phonème très proche vu ailleurs peut être rapproché et la similitude peut être analysée.
La seconde description est subjective, Jules croit que les trois lumières sont émises par un objet non identifié par la tour de contrôle et il croit que cet objet va se poser dans la cour du château. Il n’a ni perception ni preuve de ce fait à venir.
Autant Paul que Marie, Françoise et Jules admettent qu’il y a bien 3 lumières formant un triangle isocèle ; les 3 lumières ne passent pas loin d’eux et une parcelle de blé brûle : un fait ontologique existe permettant aux 4 observateurs de le percevoir et d’en rendre compte ; ils vont voir la parcelle et constatent qu’elle a brûlé.
Paul et Françoise sont d’avis qu’il s’agit d’un appareil de la base militaire voisine ; ils estiment avoir suffisamment de connaissance pour déterminer ce qu’est l’objet ; par contre Marie et Jules demandent que cette connaissance soit vérifiée le lendemain matin car il pourrait s’agir d’extra-terrestres. Les deux couples ont donc un désaccord épistémique : ils ne construisent pas le même savoir sur la base de la même observation ; ils ont également un désaccord épistémologique : la méthode de Paul et Françoise pour déterminer ce dont il s’agit s’arrête à l’analyse d’un contexte connu ; la méthode de Marie et Jules cherchent également à trouver des sources d’autorité pour vérifier l’analyse.
Et les nombres, alors ?
Selon les arguments sur la nature des nombres énoncées ci-dessus, les nombre ne sont pas ontologique mais épistémique, ils sont néanmoins objectifs et non subjectifs. On peut dire que le nombre est mental, mais n’est pas psychologique, autrement dit, il a un fondement épistémique et objectif ; il n’est pas ontologique, nous ne le trouvons pas en sortant de chez nous pour une promenade, comme un lièvre qui passe ; il n’appartient pas à des objets, comme la rugosité ; il n’est donc pas physicaliste. Il n’est pas subjectif ou psychologique : nous concevons tous les mêmes nombres, nous ne pouvons pas chacun imaginer nos nombres, sans quoi, fait remarquer Frege, il serait impossible de partager la preuve d’une démonstration basée sur un calcul.
Nous apporterons un autre argument, basé sur l’affirmation frégéenne suivante « en demandant qu’on reconnaisse l’indépendance du nombre, nous ne voulons pas dire qu’un terme numérique désigne quelque chose en dehors du contexte d’une proposition. » Pour Frege, une équation est un type de proposition et il suffit dès lors d’admettre que l’égalité, ou de manière plus forte, l’identité, est prouvée par ls substitution d’un nombre par un autre en préservant la vérité (ou le résultat) pour démontrer que les nombres ne sont pas personnels. S’ils l’étaient, les substitutions identiques ne seraient pas les mêmes pour chacun.Lire le chapitre suivant