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Hans Walser, [20140506]
Winkelhaken
Es wird ein Einschiebe-Verfahren gezeigt, wie zu einer natrlichen Zahl n und einer positiven reellen Zahl c mit Hilfe von n Winkelhaken die n-te Wurzel bestimmt werden kann. Der Winkel des Winkelhakens kann beliebig gewhlt werden. Zur Thematik Winkelhaken siehe (Stowasser, 1981).
Pour fixer les ides whlen wir und oder einfacher komplex und . Ebenso whlen wir einen Winkel fr den Winkelhaken.
Es wird im Folgenden exemplarisch der Fall n = 5 dargestellt.
Wir zeichnen einen n-Fcher mit dem Scheitel O und dem Fcherwinkel so, dass der Start-Strahl durch verluft (Abb. 1).
Abb. 1: Fcher
Wir zeichnen auf dem letzten Strahl den Punkt C im Abstand des Radikanden c von O ein (Abb. 2).
Abb. 2: Radikand c
Auf dem Strahl whlen wir einen Punkt und passen einen Winkelhaken gem§ Abbildung 3 ein. Er hat seine Spitze in und einen Schenkel durch
Abb. 3: Winkelhaken
Und nun passen wir weitere Winkelhaken ein gem§ Abbildung 4.
Abb. 4: Weitere Winkelhaken
Es wre nun schn gewesen, wenn wir mit (in unserem Beispiel also ) gerade den Punkt C getpft htten.
Wir haben einen Fehlschuss getan wie der Vikari, der beim Mittagessen meinte, die Leute seien wegen seiner Predigt so zahlreich in die Kirche gekommen. Worauf die Pfarrerstochter bemerkte, die Leute seien gekommen, um die junge Frau des Jakobli Jowger zu besichtigen.
Wir versuchen, den Fehlschuss zu justieren, indem wir bewegen. Hier kommt das Einpassen ins Spiel.
Wir haben also verschoben (Abb. 5). Der Abstand zu O wurde verkleinert.
Abb. 5: Zweiter Versuch
Au weia, jetzt sind wir auf der anderen Seite falsch.
Beim Vorgehen mit realen Winkelhaken, etwa aus Papier herausgeschnittenen Sektoren, bentigen wir n Hnde (fr jeden Winkelhaken eine) sowie Augen, um die Punkte zu beobachten.
Unter Verwendung von DGS (dynamische Geometrie-Software) mssen wir nur noch den einen Punkt bewegen (eine Hand an der Maus) und unser Augenmerk auf richten. Ein Lob auf die DGS.
Es gibt auch mechanische Modelle (Gleit- und Gelenkgeometrie) zur Darstellung des Sachverhaltes. Auch dort haben wir einen freien Justierparameter.
Der nchste Versuch sieht besser aus (Abb. 6).
Abb. 6: Zielschuss?
Wenn jetzt tatschlich wre, dann htten die Punkte von O den Abstand:
Insbesondere wre .
Da allerdings nur optisch eingepasst ist und nicht eingerastet, ist die Sache nicht exakt im Sinne euklidischer Puristen.
Das Einrasten, also die Identifizierung mit C, ist in DGS nicht mglich, da DGS ein Abbild der euklidischen Geometrie ist. Wenn manÕs trotzdem versucht, kommt eine Fehlermeldung.
Die Punkte liegen auf einer logarithmischen Spiralen.
Mit der Bezeichnung ist in komplexer Schreibweise:
Weiter ist . Aus der Identifizierung ergbe sich:
Alles im Konjunktiv, da nicht ãexaktÒ im Euklidischen Sinne.
Das Einschiebe-Verfahren kann also Probleme lsen, welche mit Zirkel und Lineal und damit auch mit DGS nicht lsbar sind.
Andererseits sind die Einschiebe-Verfahren au§er in einfachen Fllen ohne die Hilfe von DGS nicht praktikabel.
In unserem Beispiel leistet DGS wenigstens die Vorwrtskonstruktion von auf . Wir bruchten eigentlich die Rckwrtskonstruktion von auf . Das Einpass-Verfahren ist eine Probierverfahren, das aber dank DGS technisch erleichtert wird.
Literatur
Stowasser, R. J. K. (1981): Erkundung eines geometrischen Problemfeldes – mit den Augen eines Lehrers. In B. Artmann (Hrsg.), Beitrge zum Mathematikunterricht 1981, S. 96.