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Abhandlungen. Theorie der über hißten Wasserdämpfe.
Von Professor Dr. Gustav Zeuner.
(Hierzu Blatt 1.)
Es ist schon oft darauf hingewiesen worden, daß die Anwendung der überhigten Dämpfe, statt der gesättiga ten, bei den Dampfmaschinen mit wesentlichen Vortheilen verbinden sein müsse; die Beobachtungen und entsprechenden Versudje, unter denen die schönen und befannten Versuche von Hirn*) obenan stehen, deuten anch entschieden darauf hin, daß die Dampfmaschinen mit überhigtem Dampfe der Vortheile wegen, welche sie hinsichtlich des Brennmaterialverbrauches bieten, mehr und mehr in Anwendung kommen werden.
Seit länger als einem Jahrzehnt hat man, besonders in Amerifa, Beobadytungen über die Vortheile der überhigten Dämpfe gemacht und, wenn man die ganz außerordentlich günstigen Resultate betrachtet, welche Wethered mit gemischten Dimpfen (Mischung von gesättigtem und überhiktem Dampfe) gefunden haben wil, hat man Grund zit erstaunen, daß die Ueberhigung der Dämpfe für Dampfmaschinen nicht weit allgemeiner in Anwendung gefommen ist. **)
Abgesehen von gewissen praktischen Schwierigkeiten, auf die man, wenigstens bei Anwendung hoch überhigter Dämpfe stößt, findet das Gesagte aber eine Erklärung in dem Um: stande, daß alle bisher angestellten Versudie zusammen ges nommen zwar auf Vortheile der Anwendung der überhigten Dämpfe hindeuten, daß aber der Grad der Erhöhung des Nugens überbigter Dämpfe gegenüber gesättigten Dämpfen noch feinesweges festgestellt ist. Die Resultate der Versudje widerspredjen sich in dieser Beziehung außerordentlicy, und einzelne solcher Angaben sind nicht ohne gerechte Zweifel aufgenommen worden.
Ueber solche Zweifel werden uns nody so zahlreiche Vers suche nicht hinweghelfen; denn über derartige Fragen fann nur eine gründlid)e Kenntniß der physikalischen Eigenschaften der Dämpfe überhaupt entscheiden. Eine Theorie der überhizten Dämpfe ist aber auch von hoher wissenschaftlid) er Bedeutung; bis jept fannte man das Verhalten dieser Dämpfe nur für die beiden Grenzzustände, nämlich für ihren Condensationspunft, wenn sie eben in den Sättigungszustand übergehen, oder für den Zustand hödyster Ueberhizung, in welchem ihre Eigensdaften vollständig mit denen der permanenten Gare übereinstimmen.
Die Formeln, welche die mechanische Wärmetheorie für die beiden Grenzzustände der Luftarten binstellt, sind der Ableitung und dem Baue nadh ganz von einander verschieden, und es war bisher nicht möglich, aus den Gleichungen, welche
sich auf gesättigte Dämpfe, sowie auf Dampf- und Flüssigkeitsmischungen beziehen, diejenigen für die permanenten Gaje abs zuleiten und umgekehrt, oder das Verhalten der Dämpfe auf dem Uebergange von einem in den anderen Grenzzustand darzulegen.
Theoretische Untersudungen über das Verhalten der übers higten Dämpfe wurden bis jeßt nur von Hirn*) angestellt und diese find in neuerer Zeit von mir näher besprochen worden **). Şirn geht von einem gewissen Saße aus, den ich das „Hirn'sche Gesetz" genannt habe und auf weldient ich im Folgenden ebenfalls zu sprechen kommen werde; in Verbindung mit Resultaten seiner Versuche löst dann şirn einige der wichtigsten technischen Probleme. Die Rechnungsresultate werden aber auf großen Umwegen gewonnen, weil auch Qirn nicht auf die Fundamentalgleichung für überhigte Wafferdämpfe gekommen ist, nämlich auf die Beziehung, weldje zwischen Drud, Volumen und Temperatur stattfindet. Es ist mir nun gelungen, diese Beziehung festzustellen, und damit waren mir an der Sand der Grundforineln der mechanischen Wärmetheorie sofort die Mittel gegeben, hinsichtlid, des Verhaltens der überhiften Dämpfe, zunächst speciell der überhigten Wasserdämpfe, alle Fragen zu lösen, die bis ießt nur für permanente Gase und gesättigte Dämpfe gelöst werden fonnten. In der vorliegenden Abhandlung will ich die Res sultate meiner Untersuchungen mit gleichzeitiger Anwendung auf die wichtigsten tedynisden Aufgaben vorführen. Id bes schränke mich aber nur auf Untersuchung der Wasserdämpfe; es wird keinen Sdwierigkeiten unterliegen, auf dem von mir angezeigten Wege auch überhißte Dämpfe anderer Art der Untersuchung zu unterwerfen.
Voruntersuchungen.
. Das Volumen der Gewichtseinheit (eines Kilogrammes) Dampf, mit p den specifiiden Druc (Druck in Kilogrammen pro Quadratmeter) und mit t die Temperatur nach Celsius, so läßt sid, wenn Drud und Volumen befannt sind, felir leicht entscheiden, ob man es in einem bestimmten Falle mit reinem gesättigten Dampfe, oder mit überhiftem Dampfe, oder mit der Gewichts: einheit Mischung von Dampf und Flüssigkeit zu thun bat. Bei dem gesättigten Dampfe, dessen Volumen wir speciell init
*) Hiti: Théorie mécanique de la chaleur. Première partie. Seconde édition. Paris, 1865.
**) Grundzüge der mechanischen Wärmetheorie. Zweite Auflage. Leipzig, 1866. S. 426 u. F.
Da in der Folge mehrfach auf diese Schrift verwiesen werden inuß. so soll die Abfürzung Gr. 8. m. W. fenugt werden.
*) Sur la théorie de la surchauffe dans les machines à vapeur. Bulletin de la société industrielle de Mulhouse. t. XXVIII. 1857.
**) Bergl. Dinse: Ueber die Verwendung des überhitten Dampfes in ben Dampfmaschinen (diese Zeitschrift, BD. IX, S. 373).
j
v, bezeichnen wollen, stehen bet einer gewissen Dampfart Druck und Volumen in einer bestimmten und bekannten Beziehung; wenigstens läßt sich nach den Lehren der mechanischen Wärmes theorie das dem Drude p entsprechende Volumen v, berechnen. Trägt man für reinen gesättigten Dampf (ohne Beimischung von Flüssigkeit) für verschiedene Pressungen das Volumen vi als Abscisse und den Drud p als Ordinate auf (Fig. 1), so erhält man eine Curve DD, welche ich die ,, Grenzcurve" nenne, und deren Verlauf für Wasserdämpfe unten weiter bes sprochen werden wird. Sedem Punkte der Curve oder jedem Drude entspricht eine bestimmte Temperatur t, oder, wenn wir die Temperatur, was in der Folge immer geschehen foll, vom absoluten Nullpunkte ab rechnen, die absolute Temperatur T, = 273 + t, und diese Temperatur ist auf Grund von Versuchen für jeden Druck bekannt. Trägt man nun in einem gegebenen Falle das Volumen (der Gewichtseinheit) als Abscisse und den Druc als Ordinate auf und fällt der Punkt in die Grenzcurve, so ist das ein Beweis, daß wir es mit reinem gesättigtem Dampfe zu thun haben; fält dagegen der Endpunkt a der Ordinate in den Raum zwischen Grenzcurve und Coordinatenaren, so ist bei gleidiem Drucke p die Temperatur T, die nämliche, das Volumen aber fleiner; die Gewichtseinheit Masse enthält neben Dampf aud Flüssigkeit. Der Dampf ist von gleicher Beschaffenheit, wie vorhin; ist x die specifische Dampfmenge, d. y. die Dampfmenge in der Ges wichtseinheit Mischung, so ist (1-x) das Gewicht der Flüffigkeit, und wenn o das specifische Volumen der Leşteren ist, so ist das Volumen v' der Mischung:
v=xV+(1-x), und hieraus berechnet sich leicht das Mischungsverhältniß x für das gegebene Volumen v'.
Fällt dagegen der Endpunkt der Ordinate in den Raum außerhalb der Grenzcurve DD, etwa nach T (Fig. 1), so ist das ein Beweis, daß die gegebene Dampfmasse überbißt ist; in diesem Falle ist die entsprechende Temperatur T>T, und nicht durch den Druck p allein bestimmt, sondern hängt auch noch vom Volumen v ab. Die Beziehung:
T=F(p, v) ist es eben, die bis jegt für überhigte Dämpfe unbekannt war, und die id; zunächst feststellen werde. Wir werden in der Folge nach den Vorschlage Bauschinger's die im Vorstehenden angedeutete Beziehung die „Zustandsgleichung“ nennen. Bio jekt vermuthete man von dieser Beziehung nur, daß fie in die Forin
(1) übergehe, die für permanente Gase gilt, und in welcher R eine von der Gasart abhängige Constante ist, wenn der Punkt T (Fig. 1) sehr weit von der Grenzcurve abliegt, d. h. der Dampf sehr stark überbißt ist.
Bei der Ableitung der Zustandsgleichung für überhifte Wasserdämpfe gehe ich nun von folgendem Saße der Wärmetheorie aus, den ich n. a. D. abgeleitet habe. *)
Sind für die Gewichtseinheit eines Körpers der Druc pa und das Volumen và gegeben, und dehnt sich derselbe ohne Zu- und Ableitung von Wärme aus oder wird derselbe com
primirt, ohne daß gleichzeitig eine Mittheilung oder Entziehung von Wärme erfolgt, so beschreibt der Endpunft der Ordinate eine Curve A, A, (Fig. 2), die ich mit Ranfine die adias batiche Gurbe nenne. Befindet fich derselbe Körper im Zustande an, durch den Druc p und das Volumen vi gegeben, fo entspricht dem Punfte an eine zweite adiabatische Gurve A, A. Soll der Körper aus dem Zustande ag in den Zustand a, übergeführt werden, so ist hierzu die Mittheilung einer gewissen Wärmemenge erforderlich); ist d Q die Wärmes meuge für eine unendlich geringe Zustandsänderung, To habe ich nun a. a. D. bewiesen, daß das Integral
dQ
AT! in welchem A das Wärmeäquivalent der Arbeitseinheit ist, d. h. die Wärmemenge, welche der Arbeit von einem Meters kilogramm entspricht (A=ata), daß dieses Integral immer auf denselben Werth führt, wenn der Uebergang von einer bestimmten Curve A,A, nach einer zweiten vorgeschriebenen adiabatischen Curve A, A, erfolgt, gleichgültig wie sich auf dem llebergange aga, der Drud p mit dem Volumen v ändert, d. 1). welches auch die Uebergangscurve a, a, sein mag, fernerhin gleichgültig, wo der Ausgangspunkt az auf der ersten und der Endpunkt a, auf der zweiten adiabatischen Curve liegt. Der Einfachheit wegen bezeichne id, den Werth des Integrales mit P; den Werth selbst nenne ich aus Gründen, die ich a. A. O. näher dargelegt habe *), das Wärmegewicht. Wir wollen nur das Wärmegewicht sogleich für eine Mischung von Wasser und Wasserdampf entwideln.
Befinden sich in der Gewichtseinheit Mischung x Kilogrm. Dampf und beträgt der Drud p und ist t die Temperatur; ist ferner c die specifische Wärme des Wassers —- nach Regnault ist zu seben: c=1+ 0,00004 t + 0,0000009 t
(2), und ist r die Verdampfungswärme, welche nach Regnaust sich nach der Gleichung r= 606,5 + 0,205 1 — so de
-jour . (3) berechnet, so findet sich nad) Glausius **) die Wärmemenge dQ für eine unendlich geringe Zustandsänderung:
dQ=cdt+Td"). Dividirt man diese Gleichung auf beiden Seiten mit AT, so ist die Integration ausführbar; Tezen wir der Einfachheit wegen J
(4),
PV=RT
t
cdt
T
T
0
*) Sr. 0. m. W. S. 68. **) Vergr. Gr. d. m. W. &. 300.
*) Gr. 0. m. W. S. 84.
X1 = X2 = 1, weil hier der Dampf gesättigt und ohne Beimischung von Flüssigkeit ist; ich erhalte daher für diesen Uebergang
AP=(1+1) – (19+) (6), und dieser Werth läßt fich fonach für gegebene Anfangs- und Endtemperatur leicht ermitteln.
Der Einfachheit wegen soll bis auf Weiteres die Bes zeichnung
9
(7)
Werthe der Temperatur T, für eine ganze Reihe von Punkten der durch T, gehenden adiabatischen Curve A, die Tempes ratur T des überhißten Dampfes berechnen. Damit wäre aber nicht viel gewonnen, und der wirkliche Verlauf der Curve A, dadurch noch keinesweges gegeben. Vielmehr handelt es fich zunächst um weitere Umformung der Gl. (9). Wird auf der linfen Seite dieser Gleichung c, logn T, addirt und fubtrahirt, so findet sich
T =41
(10).
T, Man fann also hieraus auch das Verhältniß der absos luten Temperaturen T:T, zweier Punkte berechnen, die auf der gleichen adiabatischen Curve A, (Fig. 3) liegen. Würde diese Curve einem permanenten Gase entsprechen, so würde zwischen Druck und Temperatur beider Punkte die Beziehung
c, logn 1
T
% - 1
eingeführt werden; wir haben dann: AP=4 - 42
(8). Unter Benußung der Gleichungen (2), (3) und (4) habe id den Werth y für eine Reihe von Werthen der Dampf spannung nach Gl. (7) berechnet und in der 3. Columne der auf Seite 47 folgenden Tabelle 1 aufgeführt.
Ich lege ießt durch die beiden Punkte T, und T, der Grenzcurve DD (Fig. 3) die beiden adiabatischen Curven Az und Al; von beiden Curven ist, da sie sich nach dem Raume hin erstrecken, welcher den überhißten Dämpfen ents spricht, der Verlauf noch unbekannt; erwärme ich nun den gejättigten Dampf von der Temperatur T, bei conftantem Drude pa =p so weit, bis die zweite adiabatische Curve im Punfte T erreicht ist, so beträgt das Wärmegewicht, wenn die fpecifische Wärme des Dampfes bei constantem Druce mit Cp bezeichnet und constant angenommen wird, und T die Temperatur des Dampfes am Ende des Ueberganges ist:
(11) T, gültig sein, in welcher Gleidung der Werth x constant ist und das Verhältniß der specifischen Wärme des Gases bei constantem Drude zu der bei constantem Volumen darstellt.
Ich stelle nun die Hypothese auf, daß für überhite Dämpfe, wenigstens zunächst für Wasserdämpfe die GI. (11) ebenfalls gültig ist, und daß auch hier der Werth x als constant angesehen werden darf. Nur die eben angeführte Bedeutung des Werthes x für Gase verlaffe ich vorlänfig bei der Anwendung der G1. (11) auf überhißte Dämpfe und überlasse es den Resultaten der weiter folgenden mathematischen Entwickelungen, die allgemeinere Bedeutung des Werthes x in's Licht zu legen.
Substituire ich GI. (11) in GI. (10) und beachte ich, daß nach der ganzen Entwicelung und nach Fig 3 der Druck p mit P, identisch ist, so folgt nach einigen leichten Reductionen:
T logn
T,
T
Li + Cologn = 4 + c, logn
т, und hieraus ist zu fchließen, daß im Falle der Richtigkeit meiner Hypothese allgemein der Werth
% -1
Da das Wärmegewicht für den Uebergang zwischen denselben adiabatischen Curven auf dem Wege T,T, nach dem oben angeführten Grundraße das gleiche ist, so erhalten wir in Berbindung mit Gl. (8) die Beziehung:
c, logn
(9). T, Diese Formel gilt allerdings nur unter der ausdrüdlichen Annahme, daß die specifische Wärme c, bei constantem Drucke für Wasserdampf als constant angesehen werden darf; daß diese Annahme erlaubt ist, darauf deuten zunächst die Verfuche von Regnault hin. Regnault findet durch 4 Verfuchsreihen:
Cp = 0,46881; 0,48111; 0,48080; 0,47963 und erflärt nur den ersten dieser Werthe für nicht ganz zu: verlässig; als Mittel aus den übrigen findet sich
Cp
0,4805, und diesen Werth wollen wir ebenfalls als zuverlässig allen weiteren Untersuchungen zu Grunde legen; es wird sich unten zeigen, daß die obige Hypothese der Unveränderlichkeit des Werthes der specifisden Wärme bei constantem Drude und die Annahme der Richtigkeit des Regnault'schen Versuchswerthes wohl gerechtfertigt sind.
Mit Hülfe der Gl. (9) fönnte man, wenn die Temperaturen T, und T, gegeben sind, sehr leicht die Temperatur T des überbigten Dampfes, entsprechend dem Punfte p, v, T der Fig. 3 berechnen oder auch durch Einführung verschiedener
x-1
рх 4 + c, logn
T für gesättigte Wasserdämpfe eine constante Größe sein müßte; bezeichne ich diese Constante mit for so fände sich statt der früher gegebenen Gl. (7) auch die Formel
T
(12).
рх Daß diese Formel bei richtiger Wahl der Constanten x und 8 wirklich die Werthe von y mit großer Genauigkeit wiedergiebt, wird fich durch die Ergebnisse der folgenden Red)nungen zeigen.
See id x=y=1,8333, fonach *==0,25 und 90 1,0933, sowie statt des natürlichen den Brigg'schen Logarithmus, so ergiebt sich zur Berechnung von op die Formel:
h =
- 1,9166;
h = 0, -0.11.
(16).
pdt Diese Formel läßt sich nun ebenfalls zur Prüfung meiner Hypothese verwenden.
So beredyniet fich z. B. bei Wasserdampf für die Temperaturen 0°, 100° und 200° beziehungsweise:
- 1,1838; – 0,6766. Ferner findet sid) aus den Regnault'schen Formeln, weldie die Beziehung zwischen Druck und Temperatur geben *), beziehungsweise:
Tdp
19,520; 13,344; 9,851.
pdt Seße ich diese Werthe in Gl. (16) ein und seße id) zuerst voraus, es sei cp constant und zwar und) Regnault 0,4805, fo findet fid für die angenommenen Temperaturwerthe:
x= 1,3434; 1,3362; 1,3234. Seße ich dagegen, wie es im Weiteren wie oben gedeben soll, %= = 1,3333, fo berechnet sich aus SI. (16) umgefehrt:
C =0,49397; 0,48514; 0,46255 und das Mittel aus den legteren Werthyen ist 0,4805, also sonderbarer Weise ganz genau mit Regnault's Mittelwerth in Uebereinstimmung.
Aus dem Vorstehenden ist zu schließen, daß fich die Größen x und Cp, im Falle fid) eine davon oder beide durch spätere genauere Untersuchungen als Veränderliche herausstellen sollten, was wahrideinlic) ist, nur selyr langsam ändern und daß es bis auf Weiteres erlaubt ist, sie als constant anzus sehen. Die Resultate der folgenden Untersuchungen werden diese Annahme weiter rechtfertigen.
1,9548 1,8929 1,8116 1,7519
1,9538 1,8912 1,8111
0,5
1
1,7520
81,71 100,00 120,60 133,91
2
3
Ableitung der Zustandsgleichung für überhikte
Wasserdämpfe. Die Zustandsgleichung stellt die Beziehung zwischen dent Größen p, v und t oder T=273 tot dar. Betrachtet man die absolute Temperatur als eine Function des Druces und Volumens gegeben, so ist:
Die hohe Wahrscheinlichkeit der Richtigkeit der Hypothese, welde vorstehenden Formeln zu Grunde liegt, läßt fich auch in folgender Art darlegen.
Differentiirt man Gl. (12), so folgt:
oder audy, weil man dT durd) dt ersegen fann,
T
Differentiirt man dagegen Gl. (7), indem man die Bes deutung von t nach Gl. (4) beachtet, so folgt:
= Der Ausdruck in der Klammer ist aber eine Function, deren Werth sidy leicht berechnen läßt, und die ich a. A. D. die Clausius'sche Temperaturfunction*) genannt habe. Bes zeichnen wir diese Function, welche in der Theorie der gesättigten Dämpfe eine sehr merkwürdige Rolle spielt, mit b, so folgt aud) dg=dt.
(15). Die Verbindung mit Gl. (14) giebt dann die Bez ziehung:
Die beiden partiellen Differentialquotienten laffen fidy nun aber darstellen, wenn man von den Hauptgleidjungen der mechanischen Wärmietheorie Gebrauch madt. Behalten wir die bisherige Bezeichnung bei und reßen wir die specifische Wärme bei constantem Volumen Co, fo find diese Gleidungen für irgend einen Körper, vorausgeseßt, derselbe ändere während der Wärmemittheilung seinen Aggregatzustand nidyt, folgende**):
*) Or. D. m. W. Tab. 1. **) Gr. 6. m. W. S. 543.
*) Gr. D. m. W. S. 312.