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Interpretazioni dei numeri razionali
Nell’insieme dei numeri naturali ℕ si possono fare tutte le addizioni e tutte le moltiplicazioni, ma proprio tutte!
Queste due operazioni sono per questo dette interne all’insieme; ma per riuscire a fare tutte le sottrazioni, anche quelle che hanno il sottraendo minore del minuendo, del tipo 2 – 5, bisogna ampliare ℕ e passare a ℤ, ossia all’insieme dei numeri interi {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Questo insieme considera anche i numeri interi negativi, argomento intuito fin dalla scuola elementare per la presenza di tali numeri nel mondo reale (ascensore, temperatura), ma trattato aritmeticamente nella scuola media.
Resta però il problema di voler effettuare tutte le divisioni senza dover parlare di resto. Per riuscirci, occorre ampliare l’insieme ℕ e passare a ℚ, l’insieme dei numeri razionali; un nuovo mondo per gli allievi, che amplia il precedente. In questo nuovo insieme possiamo finalmente eseguire tutte le divisioni!
I numeri razionali, cioè gli elementi appartenenti all’insieme ℚ si possono rappresentare tramite diversi registri: figurale, aritmetico, algebrico ecc. Le forme aritmetiche più note per rappresentare questi numeri sono: le frazioni e i numeri decimali. Le frazioni e i numeri decimali sono quindi due forme di scrittura diverse per rappresentare i numeri razionali; ad esempio 0,5 e 1/2 rappresentano lo stesso numero razionale, ma non solo, vi sono infinite frazioni equivalenti che rappresentano lo stesso numero razionale (2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 6/12 ecc.), così come esistono molte altre rappresentazioni dello stesso concetto espresse in altri registri: figurali, pittorici, a parole ecc.
C’è una bella differenza quindi tra un numero razionale e una frazione, anche se spesso si confonde l’uno con l’altra.
Il numero razionale non è la frazione (per esempio 3/4), ma è la raccolta (infinita) di tutte le frazioni equivalenti a 3/4. Quindi, in un certo senso, il numero razionale 3/4 è la frazione 3/4, ma insieme a tutte le frazioni del tipo 6/8, 9/12, 15/20, 30/40 ecc. equivalenti a 3/4. Quando si parla di numeri razionali, naturalmente non è che uno si porti dietro infinite frazioni ogni volta; se ne sceglie una come rappresentante e si lavora su quella. Di solito si sceglie quella “ridotta ai minimi termini”, cioè quella con i numeri più piccoli.
L’insieme dei numeri razionali non è discreto come l’insieme dei numeri naturali, ma è denso: questo significa che, per quanto due frazioni si suppongano “vicine” l’una all’altra, tra esse vi sono infinite altre frazioni. Per questo motivo non esistono quindi in ℚ i concetti di precedente e successivo di un numero (si veda l’argomento Ordinamento).
Aspetti didattici
Fin da molto piccoli, i bambini si confrontano concretamente con i numeri razionali, quando ad esempio dividono una banana a metà per condividerla con un compagno o una barretta di cioccolata tra tre amici.
Dai primi mesi di scuola elementare è possibile indagare le concezioni spontanee dei bambini sul concetto di metà, o di altre intuitive frazioni, e sulla divisione di un tutto in parti, sia nel continuo sia nel discreto. È su queste concezioni intuitive che è possibile progettare significativi percorsi didattici fin dal primo ciclo.
Nel secondo ciclo tale apprendimento viene ulteriormente sviluppato grazie alla trattazione dei diversi modi di concepire questi numeri, approfondendo in particolare le diverse interpretazioni delle frazioni nei contesti di vita reale e le diverse rappresentazioni dello stesso numero razionale mettendole a confronto l’una con altra; per questa ragione abbiamo chiamato l’argomento “interpretazioni dei numeri razionali”.
In particolare, è importante far intuire agli allievi che la forma decimale e la forma frazionaria sono due modi diversi di rappresentare lo stesso numero, scoprendo così che 0,5 e 1/2 non sono numeri distinti, anche se le scritture sono differenti.
Vanno anche valutati con gli allievi i punti di forza e di debolezza di ciascuna rappresentazione e come questi variano in funzione del contesto: a volte risulta più intuitiva la rappresentazione frazionaria, come nel caso della probabilità tra casi favorevoli e casi possibili; altre volte la rappresentazione decimale, come quando si vuole posizionare un numero razionale su una retta numerica; altre ancora quella figurale ecc.
Nel secondo ciclo è importante mostrare agli allievi che l’insieme ℚ è denso, quindi non è possibile trovare il numero successivo di un numero razionale considerato, in quanto, anche se ne viene considerato uno, ce ne sarà sempre un altro più “vicino” rispetto a quello individuato. Ad esempio, il successivo di 0,6 non è certamente 0,7, perché ci sarebbe ad esempio 0,61, ma anche 0,601, o 0,6001, o 0,60001 e così via. Il successivo di un numero razionale non esiste, non c’è niente da fare!