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Hans Walser, [20071124a]
Die vivianische Kurve in stereographischer Projektion – die Strophoide
Anregung: [Kroll 2007]
Die vivianische Kurve kann durch beschrieben werden.
Die vivianische Kurve
Von oben sieht das so aus:
Sicht von oben
Die vivianische Kurve erscheint als Kreis. TatsŠchlich kann die vivianische Kurve auch als Schnittfigur der Einheitskugel mit einem stehenden Zylinder durch Kugelmittelpunkt und einen Punkt auf dem €quator beschrieben werden.
Von der Seite sieht das so aus:
Sicht von der Seite
Die vivianische Kurve erscheint als liegende Standardparabel. Die vivianische Kurve kann also auch als Schnittfigur der Einheitskugel mit einem liegenden Zylinder mit parabolischem Profil beschrieben werden.
Fźr die stereographische Projektion (Zentralprojektion vom Nordpol auf die €quatorebene) arbeiten wir mit den Abbildungsgleichungen:
Wir erhalten die folgende Kurve, welche als Strophoide bezeichnet wird.
Die vivianische Kurve in stereografischer Projektion – die Strophoide
Interessant ist die Asymptote der Strophoide bei . Dies kann auf zwei Arten eingesehen werden.
Fźr die vivianische Kurve gilt , somit bis auf Vorzeichen:
Daraus ergibt sich:
Wir bringen den Krźmmungskreis der vivianischen Kurve im Nordpol ins Spiel. Dieser liegt auf der Kugel, da diese trivialerweise die Schmiegungskugel der vivianischen Kurve ist. Die Schmiegungsebene der vivianischen Kurve im Nordpol erscheint aus Symmetriegrźnden in der Sicht von der Seite als Tangente an die liegende Standardparabel und schneidet die x-Achse bei . Der Krźmmungskreis als Schnittkreis der Schmiegungskugel mit der Schmiegungsebene ist also ein Kleinkreis durch den Nordpol und erscheint in der stereografischen Projektion als Gerade .
Das stereografische Bild des Krźmmungskreises im Sźdpol entsteht durch Kreisspiegelung dieser Geraden am Hauptkreis (Bild des €quators, Einheitskreis).
Kurve, Hauptkreis und Krźmmungskreise in den Polen
Die Strophoide kann rein planimetrisch erzeugt werden:
Planimetrisches Vorgehen
Auf dem Thaleskreis źber wŠhlen wir einen Punkt und schneiden im Dreieck die innere und Šu§ere Winkelhalbierende des Winkels bei B mit der Gegenseite von B. Die beiden Schnittpunkte liegen auf der Strophoiden.
Der Beweis sei dem Leser źberlassen. Tipp: der Dreieckswinkel bei O ist .
Literatur:
[Kroll 2007] Kroll,
Wolfgang: RŠumliche Kurven und FlŠchen in phŠnomenologischer Behandlung. © 2007
by Wolfgang Kroll, Marburg. ISBN 978-3-00-021836-1
http://www.sciface.com/education/data/more/krollkuf/index.html