Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03115.jsonl.gz/2548

Hans Walser
Reuleaux-Zweiecke
Arbeitskreis Geometrie der GDM
9. - 11. September 2016
Saarbrcken
Zusammenfassung: Analog zum Reuleaux-Dreieck, das sich in verschiedenen Positionen ins immer gleiche Quadrat einpassen lsst, gibt es Reuleaux-Zweiecke, die sich in ein gleichseitiges Dreieck einpassen lassen. Es werden zwei Beispiele vorgestellt sowie verschiedene Beweistechniken gezeigt: Rechnung, Einbinden in einen bergeordneten Zusammenhang, Dualitt, Kinematik. Ein wichtiger Aspekt ist die Beschreibung von Kurven in verschiedenen zueinander bewegten Referenzsystemen. Schlie§lich wird eine Verallgemeinerung auf Reuleaux-Vierecke besprochen. Dabei treffen wir auch im allgemeinen Fall auf invariante symmetrische Figuren. Na ja, und Konfekt gibt es auch noch, sogar franzsisches aus Aix-en-Provence.
Das Reuleaux-Dreieck (Reuleaux, 1875, S. 131f) besteht aus drei Kreisbogen ber den Seiten eines gleichseitigen Dreieckes. Die Zentren der Kreisbogen sind die jeweils dritte Ecke des Dreiecks. Das Reuleaux-Dreieck ist ein ãGleichdickÒ (Schlerausdruck). Es hat in jeder Richtung den gleichen Durchmesser und lsst sich daher berhrend in einen Streifen oder ein Quadrat einpassen.
Reuleaux-Dreieck im Streifen und im Quadrat
Das Reuleaux-Dreieck hat Winkel von 120¡. Es kann daher die Quadratecken nicht erreichen.
Wir knnen zwei der drei Bogen des Reuleaux-Dreiecks zu einem Reuleaux-Zweieck zusammenfgen. Dieses Zweieck wurde von Honsberger (1973, S. 56-58) beschrieben.
Reuleaux-Zweieck mit 60¡-Winkel
Aus solchen Zweiecken lsst sich eine Figur mit Bifurkationen bauen so dass die Randlinien glatt ineinander bergehen. Die folgende Abbildung zeigt den ãGoldenen BaumÒ (Walser, 2013, S. 31).
Goldener Baum
Die folgende Abbildung zeigt dieses Reuleaux-Zweieck im gleichseitigen Dreieck in zwei speziellen und einer allgemeinen Lage.
Reuleaux-Zweieck im Dreieck
Das Reuleaux-Zweieck ist kein Gleichdick. Es hat zwei Winkel von 60¡ und kann daher die Ecken des Dreieckes gerade noch erreichen. Die Sehnenlnge des Zweiecks ist die Hhe des Dreiecks.
Wir arbeiten in der Disposition der folgendenAbbildung.
Abb. 3: Situation im Koordinatensystem
Das gleichseitige Dreieck ABC hat die Seitenlnge 2 und die Hhe . Diese Hhe ist auch der Bogenradius und die Sehnenlnge des Zweiecks. Der untere Bogen (Fischbauch) hat sein Zentrum im Ursprung C. Die Dreieckseiten AC und BC haben die Gleichungen beziehungsweise .
In der schrgen Situation sei nun der Berhrungspunkt des unteren Bogens mit der Basislinie AB des Dreiecks. Der Trgerkreis dieses unteren Bogens hat daher den Mittelpunkt und die Gleichung . Der Schnitt mit den Dreiecksseiten AC und BC liefert die Schnittpunkte:
(1)
und
(2)
Daraus ergibt sich der Abstand . Wir knnen also genau unser Zweieck einpassen.
Wir beginnen mit dem Zweieck in der speziellen Lage mit horizontaler Sehne.
Eine der fundamentalen Ideen in der Mathematik besteht darin, ein Problem in ein bergeordnetes einzubinden, worin die Lsung sofort sichtbar wird. Daher binden wir das Dreieck mit dem Zweieck in spezieller Lage in ein regelm§iges Sechseck ein gem§ Abbildung. Jedes Zweieck liegt in ãseinemÒ Dreieck.
Nun drehen wir den Zweieck-Kranz um den Sechseckmittelpunkt um einen beliebigen Winkel (Abbildung fr den Drehwinkel 15¡). Jedes Zweieck ragt jetzt teilweise in das Nachbardreieck.
Startsituation und Verdrehung
Wir passen blaue gleichseitige Sttzdreiecke ein. Nun knnen wir jedes einzelne Zweieck parallel zur berhrten Sechseckseite um die Seitenlnge der blauen Sttzdreiecke zurckverschieben. Der Zweieck-Kranz wird aufgelst.
Sttzdreiecke und Zurckschieben
Jedes Zweieck ist nun wieder in ãseinemÒ Dreieck, aber in allgemeiner Lage.
Die Abbildung zeigt das 120¡-Zweieck (Reuleaux, 1875, S. 120f).
120¡-Zweieck
Die folgenden Abbildungen zeigen die Einpassung ins gleichseitige Dreieck. Die Breite des Zweiecks und damit auch der Radius der Bgen ist die halbe Dreieckshhe.
Horizontale Lage
Schrge und senkrechte Lage
Wegen des 120¡-Winkels sind die Dreiecksecken nicht erreichbar.
Wir arbeiten wieder im Sixpack. Die blauen Punkte sind die Zentren der Au§enbgen der Zweiecke. Wir drehen nun jedes Zweieck um je diesen blauen Punkt um je denselben Winkel. Dabei schleift je eine Spitze des einen Zweiecks auf dem Innenbogen des nachfolgenden Zweiecks.
Sixpack
Dies wird einsichtig durch den in der folgenden Figur eingezeichneten Rhombus, den man sich als Gelenkmodell vorstellen muss. Die nicht eingezeichnete Rhomben-Kante steht dabei senkrecht zur Trennlinie der beiden Hintergrunddreiecke. Die Tangente an das rechte Zweieck im Berhrungspunkt der beiden Zweiecke ist daher parallel zu dieser Trennlinie.
Beweglicher Rhombus
Die folgende Abbildung zeigt ein mechanisches Modell in Vorderansicht (Rhombus im Vordergrund) und Rckansicht.
Mechanisches Modell
Wir knnen nun wiederum kleine gleichseitige Dreiecke einzeichnen und dann die Zweiecke zurckschieben.
Zurckschieben
Wir zeichnen in das 120¡-Zweieck zustzlich ein 60¡-Zweieck ein. Die Eckpunkte des einen Zweiecks sind nun die Zentren der Bgen des anderen Zweiecks und umgekehrt.
Duale Zweiecke
In der Figur erkennen wir zustzlich zwei Reuleaux-Dreiecke. Die Vereinigung (im Sinne der Mengensprache) der beiden Reuleaux-Dreiecke ist das 120¡-Zweieck, der Durchschnitt das 60¡-Zweieck.
Wir passen nun die Figur ins Dreieck ein. Dabei stellen wir fest, dass das 60¡-Zweieck offenbar ins Seitenmittendreieck des gro§en Dreiecks eingepasst ist. Um dies einzusehen, denken wir uns drei Streifen je zwischen einer Seite des gro§en Dreiecks und der dazu parallelen Seite des Seitenmittendreiecks. In jedem dieser Streifen funktioniert ein Reuleaux-Dreieck.
Dreieck und duales Dreieck
Aus der Einpass-Eigenschaft des 120¡-Zweiecks folgt daher die Einpass-Eigenschaft des dualen 60¡-Zweiecks und umgekehrt.
Drei Geraden verlaufen in der Regel nicht durch denselben Punkt. Wenn sie das trotzdem tun, ist das bemerkenswert. Klassische Beispiele im Schulunterricht sind die drei Schwerlinien, die drei Winkelhalbierenden, die drei Mittelsenkrechten der Seiten oder die drei Hhen eines beliebigen Dreiecks. Es gibt aber im Zusammenhang mit einem Dreieck noch viele andere Schnittunkte von drei Geraden, vgl. (Walser, 2012).
Wir nehmen nun eine allgemeine Lage des 120¡-Zweiecks im Dreieck und zeichnen in den Berhrpunkten die Normalen auf die Dreiecksseiten.
Schnittpunkt. Ort der Schnittpunkte relativ zum Dreieck
Wir stellen fest, dass die drei Normalen durch denselben Punkt verlaufen. Fr den Nachweis der Schnittpunkteigenschaft bentigen wir eine kinematische berlegung, vgl. (Honsberger, 1973, S. 62) und (Reuleaux, 1875, S. 119). Wenn sich eine Figur, welche eine andere berhrt, berhrend rotativ bewegen lsst, muss das momentane Drehzentrum auf der Berhrungsnormalen liegen. Daher mssen in unserem Beispiel smtliche drei Normalen durch denselben Punkt, eben das momentane Drehzentrum, verlaufen.
Das momentane Drehzentrum ist variabel, es bewegt sich sowohl relativ zum Dreieck wie auch relativ zum 120¡-Zweieck.
Relativ zum Dreieck bewegt es sich auf einem Reuleaux-Dreieck.
Relativ zum 120¡-Zweieck bewegt es sich auf einem 120¡-Zweieck.
Ort der Schnittpunkte relativ zum Zweieck
Im gleichseitigen Dreieck gibt es nur das 60¡-Zweieck und das 120¡-Zweieck so dass sie berhrend gedreht werden knnen. Allenfalls kann man noch das 180¡-Zweieck, den Inkreis also, dazu nehmen.
Reuleaux-Zweiecke im gleichseitigen Dreieck
Fr den Ausschluss weiterer Bogen-Zweiecke verfahren wir wie folgt.
Das Bogen-Zweieck habe den Bogenradius 1 und den Zentriwinkel fr jeden der beiden Bgen. Es gelten dann die in der Abbildung eingetragenen Beziehungen.
Das Zweieck
An den beiden Ecken hat das Bogen-Zweieck dann die Innenwinkel . (Der Innenwinkel ergibt sich durch die Tangenten an die Kreisbgen in der Ecke des Zweiecks.)
Wir unterscheiden folgende drei Flle bezglich des Winkels :
1. (ãZahnstocherÒ)
2. (ãmittleres ZweieckÒ)
3. (ãdicke ZweieckeÒ)
Die Fallunterscheidungen sind nicht disjunkt, sondern haben gemeinsame Grenzen.
In jedem der drei Flle zeichnen wir das Bogen-Zweieck im Querformat und im Hochformat und umschreiben ein gleichseitiges Dreieck. Falls das zur Diskussion stehende Bogen-Zweieck sich in einem gleichseitigen Dreieck berhrend drehen lsst, mssen die beiden umbeschriebenen Dreiecke dieselbe Hhe haben. Damit haben wir eine notwendige Bedingung fr die zulssigen Winkel .
Es ist also . Die Abbildung 2 zeigt das Beispiel fr .
Abb. 2: Zahnstocher. beta = 15¡
Fr den Zahnstocher im Querformat erhalten wir die Dreieckshhe:
(3)
Fr den Zahnstocher im Hochformat erhalten wir die Dreieckhhe:
(4)
Die Bedingung liefert die Gleichung:
(5)
Die Gleichung (5) hat im Intervall die Lsung:
(6)
Das ist die Rand-Lsung.
Es ist: . Die Abbildung 3 zeigt das Beispiel fr .
Abb. 3: beta = 45¡
Beim Bogen-Zweieck im Querformat ergibt sich die Dreieckshhe wie bei (3):
(7)
Fr das Hochformat berechnen wir zunchst die Hilfsgr§e x:
(8)
Damit erhalten wir die Dreieckshhe:
(9)
Gleichsetzen der beiden Hhen liefert:
(10)
Die Gleichung (10) hat im Intervall die beiden Lsungen:
und (11)
Das sind die beiden Rand-Lsungen.
Es ist . Die Abbildung 4 zeigt das Beispiel fr .
Abb. 4: Dickes Zweieck. beta = 75¡
Beim Querformat erhalten wir die Dreieckshhe:
(12)
Fr das Hochformat bentigen wir wiederum die Hilfsgr§e (8) und erhalten die Dreieckshhe wie bei (9):
(13)
Gleichsetzen liefert:
(14)
Die Gleichung (14) hat im Intervall die beiden Rand-Lsungen:
und (15)
Somit haben wir als einzige Lsungen die Bogen-Zweiecke mit Innenwinkeln von 60¡, 120¡ und 180¡. Letzteres ist der Inkreis des Dreiecks.
Die beiden Bgen des Selbstkontrolle-Signets haben unterschiedliche Krmmungen. Der obere Bogen ist strker gekrmmt.
Selbstkontrolle
Franzsisches Konfekt aus Aix-en-Provence.
Calissons de Provence
Die Form der Calissons ist ein Bogen-Zweieck mit einem nicht speziellen Winkel.
ãAllgemeinesÒ Zweieck
Wir beginnen mit einem beliebigen Rhombus der Seitenlnge 1 und einem Winkel .
Nun zeichnen wir zwei duale Zweiecke ein gem§ Abbildung. Der Winkel des Rhombus bertrgt sich (im Bogenma§) auf die Seitenlnge des Zweieckes.
Duale Zweiecke
Diese Figur hat einige bemerkenswerte Eigenschaften.
In die Situation der vier Rhomben-Ecken und der vier Schnittpunkte der beiden Zweiecke lassen sich gleichseitige Dreiecke einzeichnen.
Gleichseitige Dreiecke
Der Beweis ergibt sich aus folgendem. Zunchst haben wir ein offensichtlich gleichseitiges Dreieck (zyan), das wir in einen Sektorbogen umwandeln.
Dreieck und Sektor
Den Bogen knnen wir als Ortsbogen fr einen Winkel von 150¡ interpretieren. Dann ist alles klar.
Ortsbogen
Die Schnittfigur der beiden dualen Zweiecke ist ein Bogen-Viereck.
Bogen-Viereck
Es zeigt sich, dass dieses Bogenviereck eine von der Form des Ausgangsrhombus unabhngigen Umfang hat. Zur Berechnung der Seitenbogen-Lngen ergnzen wir die Figur mit zwei Dreiecken (zyan). Diese Dreiecke sind gleichseitig. Der gro§e blaue Bogen hat daher die Lnge . Da der rote Bogen die Lnge hat, bleibt fr den kurzen Bogen die Lnge .
Ergnzung der Figur mit gleichseitigen Dreiecken
Dies ist aber auch die Lnge eines langen Seitenbogens des Bogen-Viereckes.
Bogenlnge im Bogen-Viereck
Entsprechend hat ein kurzer Seitenbogen des Bogen-Viereckes die Lnge .
Fr den Umfang des Bogen-Viereckes finden wir:
(16)
Wegen (Winkel im Rhombus) erhalten wir den Umfang . Dies ist ein Drittel des Umfanges des Einheitskreises.
Das Bogen-Viereck lsst sich ebenfalls auf verschiedene Arten in ein gleichseitiges Dreieck einpassen, so dass immer alle drei Dreiecksseiten berhrt werden. Der Beweis luft im Prinzip analog wie bei den Zweiecken.
Einpassen ins Dreieck
Und ebenfalls schneiden sich die Berhrungspunkt-Normalen in einem Punkt. Dies ist der momentane Drehpunkt.
Schnittpunkt
Wird das Bogen-Viereck im gleichseitigen Dreieck verdreht, bewegt sich der Schnittpunkt relativ zum Dreieck auf einer Kurve, welche dieselben Symmetrien hat wie das gleichseitige Dreieck.
Bewegung relativ zum Dreieck
Wenn wir das Bogen-Viereck festhalten und das Dreieck darum herum bewegen, ergibt sich fr den Schnittpunkt eine Kurve mit den Symmetrien des Bogen-Vierecks (Kleinsche Vierergruppe).
Relativ zum Bogen-Viereck
Dank
Der Autor dankt Renato Pandi fr viele Ideen und Anregungen.
Literatur
Honsberger, Ross (1973): Mathematical Gems. From Elementary Combinatorics, Number Theory, and Geometry. The Mathematical Association of America.
Reuleaux, Franz (1875): Lehrbuch der
Kinematik. Erster Band: Theoretische Kinematik. Braunschweig: Vieweg.
e-Version: https://ia700409.us.archive.org/29/items/lehrbuchderkine01reulgoog/lehrbuchderkine01reulgoog.pdf
Walser, Hans (2012): 99 Schnittpunkte. Beispiele – Bilder – Beweise. 2. Auflage. EAGLE, Edition am Gutenbergplatz: Leipzig. ISBN 978-3-937219-95-0
Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing ber populrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.