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Hans Walser
Universitt Basel
Gleichgewicht
Thales, Pythagoras und Archimedes
SLA-Tagung, St. Gallen
Samstag, 17. November 2012
Zusammenfassung
Der Kreis des Thales und Satz des Pythagoras lassen sich auf nahe liegende Weise verallgemeinern. Die zugehrigen Figuren haben eine Gleichgewichtseigenschaft, sie sind in sich ruhend. Damit kommen als Querbezug zur Physik die Hebelgesetze des Archimedes ins Spiel. Eine zentrale Rolle spielt die Summe von Quadraten von Abstnden, die wir auch in der Stochastik (Durchschnitt, Varianz) antreffen. Bei der Organisation der Hebelmechanismen treten Fragen der Topologie und der Kombinatorik auf.
Auf der Kreislinie sind fnf gleiche Punktmassen in unregelm§igen Abstnden verteilt (Abb. 1). Rollt der Kreis ab?
Abb. 1: Rollt der Kreis ab?
Die Frage ist, ob der Schwerpunkt der fnf Massen mit dem Kreismittelpunkt zusammenfllt. Wir knnen diesen Schwerpunkt mit den Hebelgesetzen von Archimedes bestimmen. Zunchst fassen wir je zwei und zwei Punkte mit einer Sehne zusammen (Abb. 2). Deren Mittelpunkt ist der lokale Schwerpunkt des jeweiligen Punktepaares. Nun schlie§en wir den fnften Punkt zu einer Sehne an. Dazu verbinden wir diesen Punkt mit dem Mittelpunkt der Sehne und dritteln. Der Drittelpunkt nher beim Mittelpunkt der Sehne ist nun lokaler Schwerpunkt der beteiligten drei Punkte. Das ist natrlich nichts anderes als die Schwerpunktskonstruktion im Dreieck. Schlie§lich verbinden wir diesen Dreiecksschwerpunkt (an welchem drei Punktmassen angreifen) mit dem Mittelpunkt der anderen Sehne (an dem zwei Punktmassen angreifen). Diese Strecke teilen wir im Verhltnis , wobei der Teilpunkt nher beim drei-Massen-Schwerpunkt zu whlen ist. So erhalten wir den Schwerpunkt aller fnf Massen. In unserem Beispiel fllt dieser Schwerpunkt mit dem Kreismittelpunkt zusammen. Die Figur ist also in sich ruhend.
Eine solche Figur nennen wir eine Gleichgewichtsfigur. Sie besteht aus n Punktmassen auf einem Kreis so, dass deren Schwerpunkt mit dem Kreismittelpunkt zusammen fllt.
Abb. 2: Schwerpunkt im Mittelpunkt.
Im folgenden arbeiten wir mit dem Einheitskreis und spter mit der Einheitskugel.
Das einfachste Beispiel einer Gleichgewichtsfigur besteht aus zwei diametralen Punkten und . Wir haben also einen Thaleskreis.
Nun whlen wir zustzlich einen beliebigen Punkt C auf dem Kreis (Abb. 3).
Abb. 3: Kreis des Thales
Das Dreieck ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel in C, und nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Quadrate der Abstnde von C zu den Punkten und konstant, nmlich 4.
Bei zwei Paaren diametraler Punkte , beziehungsweise , erhalten wir ein Rechteck (Abb. 4) und durch zweimalige Anwendung des Satzes von Pythagoras die Summe der Quadrate der Abstnde von einem beliebigen Punkt C auf dem Umkreis den Wert 8.
Abb. 4: Rechteck
Entsprechend ergibt sich fr ein beliebiges punktsymmetrisches Sehnen-2n-Eck bei n-facher Anwendung des Satzes von Pythagoras die invariante Summe . Das ist eine Verallgemeinerung des in [Stoeter / Wohlrabe 2011] vorgestellten Sachverhaltes.
Was erhalten wir nun fr einen Punkt C auf dem Umkreis eines gleichseitigen Dreieckes (Abb. 5)? Wir haben jetzt sozusagen ein gleichseitiges Dreieck als ãHypotenuseÒ und drei von C aus laufende ãKathetenÒ. Dabei stehen zwei Fragen im Raum: Ist die Summe der Quadrate der Abstnde von C eine Invariante, und wenn ja, wie gro§ ist diese.
Abb. 5: Gleichseitiges Dreieck
Die zweite Frage knnen wir anhand von symmetrischen Sonderfllen angehen.
Im Sonderfall der Abbildung 6 ist und , also .
Abb. 6: Symmetrischer Sonderfall
Wenn wir den Punkt C in die Ecke legen (Abb. 7), erhalten wir und , also wiederum .
Abb. 7: Sonderfall
Bei einem regelm§igen n-Eck ergibt sich entsprechend die Summe . Dies ist eine Verallgemeinerung des Ergebnisses von [Stoeter / Wohlrabe 2009].
Wir knnen sogar in den Raum gehen. Wir legen das gleichseitige Dreieck in die quatorebene der Einheitskugel und den Punkt C in den Nordpol. Dann ist und wiederum .
Abb. 8: In der Einheitskugel
Wenn wir allerdings den Punkt C in allgemeiner Lage auf der Kugel whlen, gibt es keinen trivialen Zugang zur Summe der Quadrate der Abstnde (Abb. 9).
Abb. 9: Und?
Wir gehen aus von einer Gleichgewichtsfigur mit n Punkten. Wir haben also n gleiche Massenpunkte auf dem Einheitskreis oder der Einheitssphre, so dass deren Schwerpunkt der Kreis- bzw. Kugelmittelpunkt M ist.
Wir fhren eine Koordinatensystem mit dem Ursprung in M ein. Es sei:
Da der Kreis- bzw. Kugelradius 1 ist, haben wir , und wegen der Gleichgewichtseigenschaft ist der Ursprung der Schwerpunkt, also .
Nun sei C mit dem Ortsvektor ein beliebiger Punkt. Damit ist und:
Wegen und folgt:
Damit ist:
Die Summe der Quadrate der Abstnde ist also genau dann , wenn sich der Punkt C auf dem Einheitskreis oder der Einheitssphre befindet.
Wir ersetzen die Abstnde durch Kreisbgen auf dem Einheitskreis oder der Einheitskugel.
Abb. 10: Kreisbgen
Im einfachsten Fall der Abbildung 10 ist und damit:
Wir werden sehen, dass die Summe der Kosinuswerte der Bgen allgemeine Null ist.
Zunchst einige Beispiele:
Wir legen ein regelm§iges Sechseck in die quatorebene und whlen den Punkt C beliebig auf der nrdlichen Hemisphre (Abb. 11). Wir erhalten sechs Kreisbgen. Da sich je zwei Kreisbgen zu einem Halbkreis ergnzen, haben wir drei mal die Situation der Abbildung 10. Damit ist .
Abb. 11: Die rote Spinne
Wenn wir allerdings mit einem regelm§igen Fnfeck beginnen (Abb. 12), haben wir keinen trivialen Zugang zu den Kosinuswerten der fnf Kreisbgen.
Abb. 12: Summe der Kosinuswerte?
Die Gleichgewichtsfigur selber kann auch rumlich sein, zum Beispiel ein regulres Tetraeder (Abb. 13). Auch hier ist die Summe der Kosinuswerte der vier Bgen nicht direkt ablesbar.
Abb. 13: Rumliche Gleichgewichtsfigur
Wir knnen aber leicht beweisen, dass allgemein gilt:
Zunchst ist . Daraus ergibt sich:
In der Ebene sind alle regelm§igen Vielecke, das Zweieck eingeschlossen, Beispiele von Gleichgewichtsfiguren. Wir knnen aber auch zwei verschiedene Gleichgewichtsfiguren mit demselben Umkreisradius berlagern und erhalten so eine neue, nicht mehr regelm§ige Gleichgewichtsfigur. Die Abbildung 14 zeigt zwei verschiedene Gleichgewichtsfiguren mit je 5 Punkten, das regelm§ige Fnfeck (Abb. 14a) und eine berlagerung eines gleichseitigen Dreieckes mit einem Zweieck (Abb. 14b).
Abb. 14: Gleichgewichtsfiguren
Gleichgewichtsfiguren im Raum sind etwa die platonischen Krper, die archimedischen Krper sowie Doppelpyramiden mit einem regelm§igen Vieleck in der quatorebene als Basis und je einer Spitze in den Polen. Wie in der Ebene knnen wir zwei Gleichgewichtsfiguren berlagern oder einen Konstruktionsalgorithmus anwenden.
Die Abbildung 15 zeigt eine recht unregelm§ige Gleichgewichtsfigur mit fnf Punkten.
Abb. 15: Hebelmechanismen
Die Figur der Abbildung 15a wird wie folgt konstruiert: Wir beginnen mit einem beliebigen Punkt auf dem Kreis und zeichnen dann den Punkt so, dass der Kreismittelpunkt M die Strecke im Verhltnis 4:1 teilt. Das Teilverhltnis ist durch die gelben Hilfspunkte angedeutet. Hier kommen die Hebelgesetze ins Spiel, denn an wird die Gesamtmasse der vier restlichen Punkte angreifen. Nun whlen wir auf dem Kreis und konstruieren derart, dass der Punkt die Strecke im Verhltnis 3:1 teilt. Dann whlen wir auf dem Kreis und bestimmen so, dass die Strecke im Verhltnis 2:1 teilt.
Schlie§lich zeichnen wir und so, dass Mittelpunkt der Strecke wird. Dies geschieht zum Beispiel mit einer Spiegelung des Kreises an .
Dieser allgemeine Konstruktionsalgorithmus lsst sich entsprechend der Eckenzahl n verallgemeinern und auch auf den Raum bertragen.
Die Abbildung 15b (entspricht der Abbildung 2) zeigt dieselben fnf Punkte mit einer anderen Hebeltopologie. Wie viele Hebeltopologien gibt es zu einer Gleichgewichtsfigur mit n Punkten?
Wir bezeichnen mit die Anzahl der Hebeltopologien beim n Punkten.
Die Tabelle 1 gibt einige Beispiele, welche allenfalls von Hand ausgezhlt werden knnen. Das erste Beispiel, also , ist allerdings nicht sinnvoll, da es keine Gleichgewichtsfigur mit nur einem Punkt geben kann. Allerdings passt diese Festlegung zu den nachfolgenden Formeln. Sie ist also zu verstehen wie etwa die ãunsinnigeÒ Definition .
Tab. 1: Beispiele
Wir gehen nun davon aus, dass wir fr kennen und suchen eine Rekursionsformel fr .
Dazu unterteilen wir die n in zwei nichtleere disjunkte Teilmengen von k und Punkten. Dies geht auf Arten. Zur Teilmenge von k Punkten knnen wir auf Arten den Schwerpunkt konstruieren, zur Komplementrmenge auf Arten. Nun unterteilen wir die Verbindungsstrecke der Schwerpunkte der beiden Teilmengen im Verhltnis und erhalten so den Schwerpunkt der n Punkte. Somit ist:
Der Faktor ist erforderlich, weil die Teilmengen fr j Punkte sowohl fr wie auch fr bercksichtigt werden. Die Summe luft von 1 bis , weil die Teilmengen mindestens 1 und hchstens Elemente enthalten.
Mit Hilfe dieser Rekursionsformel und dem Startwert erhalten wir die Werte der Tabelle 2, Spalte 2.
Tab. 2: Beispiele. Zerlegung
Die Zahlen werden rasch gro§. Aus der dritten Spalte der Tabelle 2 ergibt sich die Vermutung fr eine explizite Formel:
Fr den Beweis der expliziten Formel arbeiten wir mit den Catalan-Zahlen. Die Anregung dazu erhielt ich von P. W. in A..
Eugne Charles Catalan, (1814 in Brgge – 1894), belgischer Mathematiker
Definition der Catalan-Zahlen:
Numerisch:
Fr die Catalan-Zahlen gilt die Rekursion von Segner 1758 (Johann Andreas von Segner, 1704 in Pressburg (Bratislava) – 1777 in Halle):
Mit Hilfe der Catalan-Zahlen knnen wir die vermutete explizite Formel umschreiben:
Zu zeigen ist: erfllt die Rekursion
mit dem Startwert .
Startwert: ok.
Rekursion:
Linke Seite:
Rechte Seite:
Nun verwenden wir die Rekursion von Segner:
Zunchst ist:
Durch Umindizieren ergibt sich:
Somit erhalten wir fr die rechte Seite:
Dies ist gleich der linken Seite. — Die explizite Formel ist damit bewiesen.
Die Abbildung 16 zeigt den Konstruktionsalgorithmus fr regelm§ige Vielecke.
Abb. 16: Konstruktionsalgorithmus in regelm§igen Vielecken
Es zeichnet sich eine Grenzfigur ab. Die Abbildung 17 zeigt die Situation fr und .
Abb. 17: Eine Grenzfigur zeichnet sich ab
Die Grenzfigur ist ein halbes Herz. Es kann zu einem ganzen Herz erweitert werden (Abb. 18).
Abb. 18: Herz
Die Herzkurve hat die Parameterdarstellung:
Es handelt sich also nicht um die bliche Kardioide. Die Abbildung 19 zeigt unsere Herzkurve (rot) und die Kardioide (blau).
Abb. 19: Herzkurve und Kardioide
Die Kardioide hat nmlich die Parameterdarstellung:
Literatur
[Stoeter / Wohlrabe 2009] Stoeter, Carsten und Wohlrabe, Klaus: Vergessene Lngen. Besondere Eigenschaften regulrer Vielecke. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 62/1 (15. 1. 2009), S. 10-14, ISSN 0025-5866, © Verlag Klaus Seeberger, Neuss.
[Stoeter / Wohlrabe 2011] Stoeter, Carsten und Wohlrabe, Klaus: Zu: Vergessene Lngen. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 64/1 (15. 1. 2011), S. 56, ISSN 0025-5866, © Verlag Klaus Seeberger, Neuss.
[Walser 2011] Walser, Hans: Gleichgewichtsfiguren: Thales, Pythagoras und Archimedes. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 64/7 (15. 10. 2011), S. 442-443, ISSN 0025-5866.
Hans Walser
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