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neuerdings ist auch hier eine geologische
Landesanstalt gegründet worden, deren erste
Publikationen im
Maßstab von 1:25,000 1886 erschienen sind. In
Bayern
[* 4] besteht
seit 1869 ein geognostischesBüreau, welches einige Musterwerke nebst
Karten im
Maßstab von 1:100,000
veröffentlicht hat.
Besonders ausgezeichnet sind die bayrischen Untersuchungen durch den großen
Maßstab (1:5000) der zu
den
Aufnahmen verwendeten Meßtischblätter.
Österreich
[* 5] besitzt seit 1849 die geologische Reichsanstalt, welche
»Verhandlungen«,
»Abhandlungen« und ein »Jahrbuch«
herausgibt. Die Kartenaufnahmen erfolgen in den verschiedenen Landesteilen auf Blättern im
Maßstab von
1:28,800, 1:144,000 und 1:288,000, die kartographischen Veröffentlichungen als teilweise vollendete Detailblätter (1:144,000
und 1:288,000) und als vollständig erschienene Übersichtskarte (1:576,000). Außerdem liegt eine große Anzahl Spezialkarten
einzelner Landesteile vor.
Seit 1869 hat sich die ungarische geologische Landesanstalt als selbständiges
Institut abgelöst, und in
Prag
[* 6] besteht ein
Komitee zur naturwissenschaftlichen Durchforschung von
Böhmen.
[* 7]
England hat in dem Geological survey of the
United Kingdom und
den mit diesem eng verbundenen Mining record office, Government school of mines und
Museum of practical geology die älteste
geologische Landesanstalt. Sie besteht seit 1835 und besitzt Zweiganstalten für
Irland,
Schottland und die
meisten
Kolonien.
Die englischen, schottischen und irischen
Aufnahmen erfolgen auf
Karten von 1:21,120, die
Publikationen im
Maßstab von 1:63,360.
Für
Frankreich liegt als offizielles Werk die
Carte géologique de la
France (1:500,000) vollendet vor, ferner eine Anzahl
von Departementskarten (1:80,000), welche von den einzelnen
Departements durch verschiedene Geologen und ohne
gemeinsamen
Plan herausgegeben wurden. Seit 1867 ist eine einheitliche geologische Kartierung des
Landes auf
Grund der
Generalstabskarten
(1:80,000) vorgesehen, welche als
Carte géologique detaillée bis 1890 vollendet werden soll.
Daneben geben Vasseur und
Carey als Privatunternehmen eine auf 48
Sektionen geplante
Karte im
Maßstab 1:500,000 heraus, von der
bis jetzt 18
Sektionen erschienen sind. Über
Belgien
[* 8] existieren eine ältere
Karte (1:160,000) und eine
Übersichtskarte (1:833,333), deren zeitgemäße Umarbeitung gegenwärtig Gegenstand von
Verhandlungen in den Regierungskreisen
ist. Die
Niederlande
[* 9] besitzen eine offizielle geologische
Karte (1:200,000) und sind mit neuen, an die preußischen sich anschließenden
Aufnahmen beschäftigt. In
Portugal
[* 10] publiziert eine Comissão geologico, in
Spanien eine Comision del mapa
geologica d'España
geologische Karten, für ersteres Land im
Maßstab von 1:100,000 (Übersichtskarte 1:500,000), für letzteres
1:200,000 (einzelne Landesteile auch im
Maßstab von 1:25,000). Für
Italien
[* 11] besteht seit 1861 ein Comitato geologico, welches
ein Bülletin und
Memoiren publiziert und mit der
Kartierung aufGrund der zum Teil noch herzustellenden
Generalstabskarten (1:50,000) beschäftigt ist.
die vorgebliche
Kunst, aus den Zeichen der
Erde, namentlich aus gewissen
ohne Absicht in den
Sand gezeichneten
Punkten, die
man in besondere
Figuren bringt, zu wahrsagen, vorzüglich in
Arabien ausgebildet.
(griech., »Erdmessung«)
bezeichnete ursprünglich s. v. w.
Feldmeßkunst. Aber sehr bald wurde der
Inhalt reicher, und bereits
Platon klagte, daß die »so herrliche und ausgedehnte
Wissenschaft des
Raums einen so ungeschickt gewählten
Namen führe«. Gegenwärtig
verstehen wir unter Geometrie ganz allgemein die
Lehre
[* 18] von den räumlichen Gebilden. Da nun aber diese sehr verschiedener Art sein
können, unterscheidet man verschiedene Unterabteilungen der geometrischen
Wissenschaft; eine andreReihe
von Unterscheidungen wird herbeigeführt durch die verschiedene Betrachtungsweise der räumlichen
Objekte.
einmal in Bezug auf die Größe, das andre Mal in Bezug auf die Lage, so erhält man einerseits eine Geometrie des Maßes (der metrischen
Relationen), anderseits eine Geometrie der Lage. Erstere war bis ins 17. Jahrh. die einzig gepflegte, und erst von da ab begann man
auch den zweiten Zweig zu kultivieren, welcher wohl auch als neuere, projektivische, organische Geometrie bezeichnet
wird. In neuester Zeit pflegt man wohl auch eine besondere »Geometrie der
Anzahl« abzutrennen, zu deren Charakterisierung folgendes Beispiel dienen möge: in einer Ebene sind n willkürlich gezogene
gerade Linien gegeben, in wieviel Punkten durchschneiden sich dieselben? AlleFragen, welche sich auf den
Zusammenhang der räumlichen Gebilde beziehen, pflegen in eine besondere Disziplin vereinigt zu werden, die sogen. Analysis
situs.
Was die Einteilung der in eine niedere oder elementare und höhere betrifft, so ist dieselbe nicht prinzipiell, sondern nur
durch pädagogische Gründe gerechtfertigt. Erstere behandelt in der Ebene die gerade Linie und den Kreis,
[* 20] letztere alle übrigen krummen Linien. Im Raum sind analog die Ebene, die Kegel-, Cylinder- und Kugelfläche der elementaren Betrachtung
zugänglich, alle andern Oberflächen sowie die Kurven doppelter Krümmung aber Objekte der höhern Geometrie. Was nun schließlich
die Methoden anlangt, mit deren Hilfe man die Eigenschaften der Raumgrößen zu erforschen bestrebt ist,
so unterscheidet man eine synthetische und eine rechnende oder analytische Geometrie. Die synthetische verwirft grundsätzlich
alle Hilfsmittel des Kalküls und bedient sich allein der Konstruktion; da sich auf diese Weise die von der Größe unabhängigen
Beziehungen besonders leicht studieren lassen, so trägt die Geometrie der Lage einen streng synthetischen Charakter.
Im Raum wird eine rein konstruktive Behandlung der komplizierten gestaltlichen Verhältnisse halber oft sehr schwierig,
und man bedient sich dann, um die Anschauung zu erleichtern, eines eignen geometrischen Wissenszweigs, der sogen. deskriptiven
(beschreibenden oder darstellenden) Geometrie oder Projektionslehre, welche die Betrachtung räumlicher auf
diejenige ebener Gebilde reduziert.
Hierher gehören: die Perspektive, die Projektion
[* 21] auf zwei senkrechte Ebenen (darstellende Geometrie im engern Sinn), die Axonometrie
etc. Die synthetische Geometrie kam besonders durch die klassischen Arbeiten der griechischen Mathematiker zu Ehren, welche ausschließlich
in diesem Sinn arbeiteten und sogar jeden arithmetischen Satz in geometrischer Form darzustellen liebten.
Ganz anders war das Verfahren der Inder, welche sich um Lagebeziehungen gar nicht kümmerten und die Geometrie als ein Anhängsel
der Arithmetik behandelten. Ihnen verdankt die rechnende Geometrie ihre Entstehung, welche, von den Arabern wesentlich gefördert,
im 16. und 17. Jahrh. die Synthese fast ganz verdrängte. - Man unterscheidet
in der Regel eine algebraische und eine analytische Geometrie, obwohl dieser Unterschied ein rein konventioneller ist.
Erstere hat die allgemeine Aufgabe zu lösen, aus den bekannten Stücken einer
[* 19]
Figur die noch nicht bekannten zu berechnen
und die Bedingungen festzustellen, unter welchen eine solche Berechnung möglich ist. Befinden sich unter
diesen StückenWinkel,
[* 22] so muß auf eine Hilfswissenschaft, die Trigonometrie
[* 23] (s. d.), zurückgegriffen werden, welche in einem
vorbereitenden Teil, der sogen. Goniometrie, die Beziehungen normiert, nach welchen Winkel und Längen verglichen werden können.
Was die Trigonometrie für das Dreieck
[* 24] ist, das sind Polygonometrie und Polyedrometrie für das ebene Polygon und für
das Polyeder.
[* 25] Die algebraische Geometrie
besitzt zur Auflösung der ihr gestellten Probleme allerdings gewisse ein für allemal feststehende
Formeln, nicht aber einen unveränderlichen Mechanismus, welchem sich jeder spezielle Fall ohne weiteres einordnen ließe. Einen
solchen hat aber die analytische in ihren Koordinatensystemen (vgl. Koordinaten).
[* 26] Sie eignet sich besonders zur
Untersuchung der krummen Linien und Oberflächen, so daß man häufig die Begriffe »analytische Geometrie der Ebene« und Kurvenlehre
als identisch betrachtet.
Der theoretischen Geometrie steht die praktische gegenüber, welche sich mit der Anwendung auf wirklich vorhandene
Gegenstände beschäftigt. Gewöhnlich rechnet man die Ausmessung und Berechnung von Flächen und Körpern nicht
zur praktischen Geometrie, sondern bezieht jene ausschließlich auf solche Objekte, welche in Einer Ebene liegen. Sobald jedoch die
auszumessenden Flächen eine Größe erreichen, welche es nötig macht, die Krümmung der Erdoberfläche zu berücksichtigen,
tritt an die Stelle der gewöhnlichen praktischen Geometrie die höhere, die Geodäsie (s. d.).
Geschichte der Geometrie.
Die Erfindung der Geometrie verliert sich in die vorhistorische Zeit. Jedenfalls war sie zunächst ausschließlich
empirisch betriebene Feldmeßkunst, und erst allmählich sah man die Notwendigkeit ein, ihr ein theoretisches Fundament zu geben.
Über die Art und Weise, wie sich dieser Fortschritt vollzog, gibt uns in interessantester Weise die Geometrie der Ägypter
Aufschluß, welche wir teils aus Denkmalsinschriften, teils aus überlieferten Papyrusrollen (darunter besonders der hochwichtige
Papyrus Rhind, das vollständige Vademekum eines Feldmessers des 4. Jahrtausends v. Chr.) ziemlich genau kennen.
Neben dieser praktischen Geometrie bildete sich in den Priesterschulen des Nillandes eine wissenschaftliche Raumlehre
heran, wie denn von verschiedenen alten Autoren die geometrische Richtung des ägyptischen im Gegensatz
zu der arithmetischen des babylonischen Volkes ausdrücklich hervorgehoben wird. Als dann in den griechischen Stämmen der
wissenschaftliche Trieb erwachte, stellte sich die Notwendigkeit heraus, die benachbarten orientalischen Kulturländer zu besuchen
und dort sich so viel Wissen anzueignen, als nationale Engherzigkeit gestatten wollte. So lernte im 7. Jahrh.
v. Chr. Thales von Milet in Ägypten
[* 27] Sonnenfinsternisse vorherbestimmen und eignete sich eine Reihe elementarer geometrischer
Lehrsätze an, mit deren Hilfe er für den Hafen seiner Vaterstadt einen einfachen Distanzmesser konstruierte.
Platon (429-348), welcher keinen der Geometrie. Unkundigen zu seinen Vorlesungen zulassen wollte, suchte der jungen
Disziplin die ihr noch fehlende systematische Grundlage zu geben und schuf oder förderte doch wesentlich die Lehre vom Irrationalen
und von den Kegelschnitten. Unter seinen unmittelbaren Nachfolgern ragen besonders hervor Hippias, der
für die Aufgabe von der Kreisquadratur eine eigne transcendente Kurve, die Quadratrix, ersann, sowie Menächmos und Aristäos.
Das 3. Jahrh. v. Chr. ist die eigentliche Blütezeit der hellenischen
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