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Proportions, probabilités et inégalités
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Proportions, probabilités et inégalités
Considérons une urne contenant des boules de différentes couleurs et façonnées dans diverses matières. Admettons que chaque boule peut être caractérisée par deux propriétés, disons « blanche » et « en bois ». Ainsi, une boule décrite est blanche, en bois, ou blanche et en bois. Soit p1 la proportion de boules blanches dans l’urne, p2 celle de boules en bois et p12 celle de boules blanches et en bois. Si l’urne contient suffisamment de boules, ces proportions sont les probabilités d’obtenir par tirage une boule ayant une de ces propriétés. Les inégalités : 0≤p12≤p1≤1 et 0≤p12≤p2≤1 sont vérifiées par les proportions p1, p2 et p12 qui peuvent être considérées comme les probabilités de chaque événement et de leur réunion seulement si ces inégalités sont satisfaites. Mais ces inégalités sont insuffisantes : la probabilité de tirer une boule qui est, soit blanche soit en bois (p1+p2-p12), doit être comprise entre 0 et 1, ce qui fournit une autre inégalité : 0≤p1+p2-p12≤1. Les trois inégalités ci-dessus sont nécessaires et suffisantes pour que les nombres p1, p2 et p12 représentent dans l’ordre les probabilités de tirer de l’urne une boule blanche, une boule en bois, une boule blanche qui est en bois.
Expérimentation - Simulation
Vous disposez d’une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. n/q boules sont blanches, n/q sont en bois et n/(2q) sont blanches et en bois. Les boules portant les numéros allant de 1 à n/q sont blanches. Les boules portant les n/q premiers numéros pairs sont en bois.
Questions
- Calculez les probabilités p1, p2 et p12 de tirer respectivement une boule blanche, une boule en bois et une boule blanche et en bois de l’urne pour n=1200 et q=3.
- Tirez un échantillon (ou simulez le tirage) de k boules (k<n) de l’urne sans remise.
- Calculez les proportions p1 de boules blanches, p2 de boules en bois et p12 de boules blanches et en bois pour m échantillons.
- Les proportions moyennes p1, p2 et p12 obtenues pour les m échantillons vérifient-elles les trois inégalités ci-dessus ? Sont-elles compatibles avec les probabilités p1, p2 et p12 calculées au point 1 ?