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Hans Walser, [20150915]
Tangententetraeder
In einem Tangententetraeder ist jede der sechs Kanten tangential an dieselbe Kugel. In einem Tangententetraeder ist die Summe der Lngen gegenberliegender Kanten invariant.
Jedes Tetraeder hat eine Umkugel und eine Inkugel. Das regulre Tetraeder hat aber auch eine Kugel, welche smtliche Kanten berhrt (innere Kantenkugel, Abb. 1).
Abb. 1: Tetraeder mit Umkugel, innere Kantenkugel, Inkugel
Fr ein Tetraeder der Kantenlnge 1 ergeben sich:
(1)
Ein regulres Tetraeder hat noch vier weitere Kugeln, welche drei Kanten (die ein Seitendreieck bilden) und die Verlngerungen der drei anderen Kanten berhren. Die Abbildung 2 zeigt ein Beispiel. Die u§ere Kantenkugel sitzt in einem Tetraederstumpf.
Abb. 2: Eine u§ere Kantenkugel
Nun hat aber nicht jedes Tetraeder eine (innere) Kantenkugel. Das Tetraeder der Abbildung 3 hat offensichtlich keine Kantenkugel.
Abb. 3: Keine Kantenkugel
Wir suchen Kriterien dafr, dass ein Tetraeder eine Kantenkugel hat.
Wir gehen von einem Tetraeder mit Kantenkugel aus und verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 4. Die Frbung und Bezeichnung ist so gewhlt, dass gegenberliegende Tetraederkanten dieselbe Farbe und denselben lateinischen Bezeichnungsbuchstaben haben.
Abb. 4: Bezeichnungen
Mit x bezeichnen wir die drei von der Ecke X ausgehenden Tangentenabschnitte an die Kantenkugel. Die drei von einer Ecke ausgehenden Tangentenabschnitte sind alle gleich gro§. Somit ist:
(2)
Daraus erhalten wir:
(3)
In Worten hei§t das, dass die Summe gegenberliegender Kantenlnge eine Konstante ist. Diese Konstante ist ein Drittel der integralen Kantenlnge. Die Bedingung (3) ist eine notwendige Bedingung fr die Existenz eines Tangententetraeders. Um zu zeigen, dass sie auch hinreichend ist, bentigen wir einen Hilfssatz ber das ebene Tangentenviereck.
Zunchst zerlegen wir ein beliebiges ebenes Viereck mit einer Diagonalen in zwei Dreiecke und zeichnen in jedem Teildreieck den Inkreis. Die beiden Inkreise berhren die Diagonale in der Regel in verschiedenen Punkten (Abb. 5). Man muss sich wieder klar machen, dass die Abbildungen 5 bis 7 ebene Figuren zeigen.
Abb. 5: Inkreise in Teildreiecken
Wir vermuten, dass die Distanz zwischen den beiden Berhrungspunkten unabhngig davon ist, mit welcher Diagonale wir das Viereck unterteilt haben.
Zur Berechnung dieser Distanz verwenden wir die Bezeichnungen der Abbildung 6.
Abb. 6: Bezeichnungen
Wir berechnen die alternierende Seitensumme des Viereckes ABCD:
(4)
Somit ist:
(5)
Die Distanz ist also unabhngig von der zur Unterteilung gewhlten Diagonale.
In einem Tangentenviereck ist nun die alternierende Seitensumme null. Daher ist auch , und die beiden Inkreise in den Teildreiecken haben den Berhrungspunkt mit der Diagonalen gemeinsam (Abb. 7).
Abb. 7: Tangentenviereck
Die Abbildung 8 zeigt die Abwicklung eines Teteraeders, das die Bedingung (3) erfllt. Bezeichnung und Farbe entsprechen der Abbildung 4. Die Spitze S kommt in der Abwicklung dreimal vor, als , und . Das Bodendreieck PQR liegt in der Mitte.
Abb. 8: Abwicklung
Wegen der Bedingung (3) ist das ebene Viereck ein Tangentenviereck. Es wird durch die Diagonale in zwei Dreiecke unterteilt. Gem§ dem Hilfssatz in Abschnitt 3 berhren sich die Inkreise der beiden Dreiecke auf (Abb. 9). Entsprechend berlegen wir fr die weiteren in der Abbildung 9 eingezeichneten Kreise und Berhrungspunkte. Wir haben nun fr jedes Seitendreieck des Tetraeders den Inkreis.
Abb. 9: Inkreise der Seitendreiecke des Tetraeders
Natrlich gilt das auch fr die Berhrungspunkte in den im Tetraeder ãschrgenÒ Tetraederkanten PS, QS und RS, welche in der Abbildung 9 wegen der Abwicklung zweimal gezeichnet sind (Abb. 10).
Abb. 10: Berhrungspunkte auf den schrgen Kanten
Die Abbildung 11 zeigt die Situation im rumlichen Schrgbild auf dem Tisch ausgebreitet.
Abb. 11: Schrge Ansicht
So, und nun klappen wir die seitlichen Dreiecke hoch in den Raum. Da die Inkreise sich paarweise berhren, knnen wir genau eine Kugel einpassen, eben die Kantenkugel (Abb. 12).
Abb. 12: Tetraeder mit innerer Kantenkugel
Es sei der Leserin berlassen, sich ein Schnittmuster fr die au§enliegenden Kantenkugeln zu machen.
Die Bedingung (3) fr das Tangententetraeder entspricht der Bedingung fr ein ebenes Tangentenviereck. Ein Tangentenviereck ist aber durch seine vier Seiten nicht fest gegeben. Die vier Seiten lassen ein Gelenkmodell zu. Das Tangententetraeder ist aber durch seine Kantenlnge bis auf Spiegelung eindeutig gegeben.
Werden zwei Seitendreiecke des Tangententetraeders mit gemeinsamer Kante in die Ebene abgewickelt, entsteht ein ebenes Tangentenviereck. Da wir sechs Kanten haben, gibt es sechs Mglichkeiten dazu. Die folgenden Abbildungen zeigen die sechs Mglichkeiten je mit Inkreis des Tangentenvierecks. Es sind pro Abbildung die beiden Mglichkeiten gezeichnet, die zu Gegenkanten des Tetraeders gehren. Der eine der beiden Inkreise wird zerschnitten dargestellt. Die beiden Kreissegmente sind im Regelfall keine Halbkreise.
Abb. 13: Tangentenvierecke mit roter Diagonale
Abb. 14: Tangentenvierecke mit grner Diagonale
Abb. 15: Tangentenvierecke mit blauer Diagonale
Die Abbildung 16 zeigt die berlagerung aller Mglichkeiten.
Abb. 16: berlagerung
Obwohl es so aussieht, berhren sich die verschiedenen Inkreise im Regelfall nicht. Die Figur gibt also nicht so viel her wie man zuerst meint.