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Hans Walser, [20180908]
Invarianzbeweis fźr den Satz des Pythagoras
Idee: Rainer Kaenders, Bonn
Wir gehen aus von der berźhmten ăLeiter an der WandŇ. Die Abbildung 1 zeigt zwei Positionen A1B1 und A2B2. Die beiden Strecken A1B1 und A2B2 sind also gleich lang.
Abb. 1: Leiter an der Wand
Da die beiden Strecken A1B1 und A2B2 gleich lang sind, kšnnen sie durch eine Drehung ineinander źbergefźhrt werden. Das Drehzentrum D finden wir als Schnittpunkt beiden Mittelsenkrechten zu den Strecken A1A2 beziehungsweise B1B2 (Abb. 2).
Abb. 2: Drehzentrum
Die beiden Dreiecke A1A2D und B1B2D sind gleichschenklig. Dies folgt aus dem Prinzip der Drehung. Zudem haben sie denselben Spitzenwinkel, nŠmlich den Drehwinkel. Sie sind also Šhnlich. Mit der źblichen Bezeichnung fźr die beiden rechtwinkligen Dreiecke A1B1C und A2B2C hat das Dreieck A1A2D die Basis und die Hšhe . Das Dreieck B1B2D hat dies Basis und die Hšhe . Auf Grund der €hnlichkeit der beiden Dreiecke ist:
(1)
Daraus folgt:
(2)
Die dritte binomische Formel liefert:
(3)
Die Summe der Kathetenquadrate ist also beim Verschieben der Leiter invariant. Die Grš§e dieser Invariante finden wir durch den Grenzfall einer waagerechten oder senkrechten Leiter.
Damit ist der Satz des Pythagoras einmal mehr bewiesen.
Das Folgende hat nichts mit dem Satz des Pythagoras zu tun und ist blo§ eine geometrische Spielerei.
Wir bezeichnen den Schnittpunkt der beiden gleich langen Strecken A1B1 und A2B2 mit S (Abb. 3). Die Umkreise der beiden Dreiecke A1A2S und B1B2S schneiden sich orthogonal.
Abb. 3: Umkreise
Die Abbildung 4 liefert den Beweis dazu.
Abb. 4: Beweisfigur
Wie ist es, wenn wir bei C keinen rechten, sondern einen beliebigen Winkel haben?