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Aufgabe 1. Sei ein homogener Differentialoperator zweiter Ordnung, wobei stetige Funktionen auf den Ball sind. Wir nehmen an, dass gilt, und dass für die Matrix definit ist. Sei eine stetige Funktion, die auf zweimal differenzierbar ist und die auf und auf erfüllt. Zeige auf . Hinweis: es existieren beliebig kleine Linearformen so dass eine Morsefunktion auf ist. Führe die Annahme zum Widerspruch mit , wobei Morsefunktion ist, gilt und ein Maximum oder Minimum von ist.
Aufgabe 2. Sei ein nicht konstantes Polynom. Zeige, dass holomorph ist. Zeige, dass die Funktionen Realteil und Imaginärteil harmonisch sind.
Aufgabe 3. Sei ein Polynom. Seien und . Sei . Zeige, dass und Graphen mit den Ecken in und mit differenzierbaren Kantenzügen sind. Ist oder eine beschränkte Teilmenge in ? Kann oder eine beschränkte Zusammenhangskomponente haben? Bestimme und für und gross.
Aufgabe 4. (Fortsetzung) Zeige, dass in jeder Ecke von oder gerade viele Kanten anstossen.
Aufgabe 5. (Fortsetzung) Zeige, dass und keine Zykeln haben.
Aufgabe 6. (Fortsetzung) Zeige, dass und sich schneiden. Schliesse, dass in eine Nullstelle hat und beweise somit den Fundamentalsatz der Algebra.
Aufgabe 7. Sei bijektiv und stetig. Zeige, dass die Umkehrabbildung stetig ist.
Aufgabe 8. Sei bijektiv und differenzierbar. Ist die Umkehrabbildung differenzierbar?
Aufgabe 9. Sei bijektiv und holomorph. Ist die Umkehrabbildung holomorph?