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Manche Zahlen haben kuriose Eigenschaften: Multiplizierst du eine solche Zahl mit 6, dann tauschen die Ziffern die Positionen. Ist das wirklich möglich?
Das Tankstellen-Problem aus der vergangenen Woche war im Vergleich zu den übrigen Rätseln der Woche richtig schwer. Fast die Hälfte der Vote-Teilnehmer gab an, dass sie es nicht lösen konnte.
Die neue Aufgabe wird dir wahrscheinlich nicht ganz so viele Schwierigkeiten bereiten. Sie stammt von der ersten Mathematikolympiade der DDR im Jahr 1961. Gestellt wurde sie Schülern im Alter von 16 Jahren, die es bis in die dritte von vier Runden des Mathewettbewerbs geschafft hatten – die Bezirksstufe.
Das Problem ist schnell beschrieben:
Gibt es eine natürliche Zahl n (n grösser als 0), die mit 6 multipliziert ein Produkt ergibt, das die gleichen Ziffern enthält wie die Ausgangszahl n – aber in umgekehrter Reihenfolge?
Ein Beispiel: Wenn 139 eine Lösung für n wäre, müsste 139*6 genau 931 ergeben, was aber nicht der Fall ist – das Ergebnis lautet vielmehr 834. 139 erfüllt die Forderung der Aufgabe deshalb nicht.
Es gibt keine Lösung! Das zu beweisen, ist nicht besonders kompliziert. Wenn es eine Lösung n gäbe, könnte sie auf keinen Fall einstellig sein, die Zahl muss vielmehr mindestens zwei Ziffern haben.
Nun schauen wir uns die erste Ziffer von n genauer an: Dabei muss es sich zwingend um eine 1 handeln. Steht ganz vorn nämlich eine 2 oder eine grössere Ziffer, würde das Ergebnis der Multiplikation mit 6 ein Produkt ergeben, das eine Stelle mehr hat als n. Beispiel: 21*6 = 126.
Ausgangszahl n und das Produkt 6*n müssen aber zwingend die gleiche Stellenzahl haben. Nur dann kann 6*n die gleichen Ziffern wie n enthalten, nur in umgekehrter Reihenfolge.
Wenn die Zahl n aber mit 1 beginnt, muss die Zahl 6*n auf 1 enden, denn die Ziffern treten ja in umgekehrter Reihenfolge auf. 6*n wäre dann eine ungerade Zahl, weil sie auf 1 endet.
Da in 6*n = 2*3*n der Faktor 2 steckt, müsste 6*n aber auch eine gerade Zahl sein. Gerade und ungerade zugleich? Das geht natürlich nicht. Daher gibt es keine Lösung für die Aufgabe.