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Hans Walser, [20201016]
Kreisringe
Idee und Anregung: Thomas Jahre, Aufgabe 55-652
Eine Schar von Kreisringen mit invariantem Flcheninhalt. Animation
Wir zeichnen einen regelm§igen Polygonzug aus drei Strecken (Abb. 1a). ãRegelm§igÒ hei§t hier: die Strecken des Polygonzuges sind alle gleich lang und die Richtungsnderungen t alle gleich gro§.
Abb. 1: Polygonzug und Kreisring
Nun zeichnen wir den Au§enkreis (ãUmkreisÒ) des Polygonzuges und den Innenkreis, der die Mittelpunkte der drei Strecken berhrt. Die beiden Kreise haben aus Symmetriegrnden dasselbe Zentrum; es entsteht ein Kreisring (Abb. 1b).
Einen Sonderfall erhalten wir, wenn wir bei einem regelm§igen n-Eck Um- und Inkreis zeichnen. In diesem Sonderfall ist .
Wie gro§ ist der Flcheninhalt des Kreisringes?
Mit der Streckenlnge a erhalten wir den Au§enkreisradius R:
Fr den Innenkreisradius r ergibt sich:
Somit hat der Kreisring den Flcheninhalt A:
Der Flcheninhalt A ist unabhngig von der Richtungsnderung t. Er ist eine Invariante. Mathematik besteht im Finden von Invarianten.
Der Flcheninhalt ist gleich dem Flcheninhalt des Kreises mit a als Durchmesser.
Die Animation 1 illustriert die Situation.
Animation 1
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Chemnitzer Schulmodell
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