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Le Chapitre 3 concerne les polynômes. On commence par une approche intuitive et on formalise ensuite les définitions de monômes, de polynômes, de somme et de produit. La notion de degré est centrale à la compréhension de ce sujet et on met en pratique le calcul littéral.
Les monômes
Un film de 13 minutes pour parcourir ensemble les pages 25 et 26, les exemples à compléter et les premières définitions. On ne travaille ici qu’avec des monômes qu’on apprend à réduire.
Les polynômes
Une vidéo de 11 minutes qui commence avec la définition d’un polynôme, bas de la page 26, et continue avec des exemples à compléter aux page 27-28.
Vocabulaire sur les polynômes
On introduit ici tout le vocabulaire lié à ces objets et les propriétés essentielles (les polynômes forment un anneau commutatif). Film de 7 minutes.
Les opérations sur les polynômes
Dans cette vidéo de 8 minutes on commence par quelques rappels, puis on donne des exemples de calculs de somme et de produit de polynômes, à recopier à la page 30.
Un exemple attribué à Gauss
Un long calcul à recopier à la page 31. La vidéo dure 7 minutes et nous aide à mettre en pratique la somme, la multiplication, la distributivité, la réduction. A vos crayons!
Propriétés du degré
Un film de 10 minutes pour montrer que le degré d’un produit de polynômes est égal à la somme des degrés de ces polynômes. On discute ensuite de la somme et des conséquences de ces propriétés par rapport à l’existence d’un inverse ou d’une racine du monôme x.
Deux exemples
On termine ce chapitre avec une vidéo de 8 minutes et deux exemples à recopier à la page 33.
Serie20 du 3 février
Exercice 1 (b). Pour écrire la preuve de cette affirmation je vous propose de commencer par écrire ce que cela signifie pour un polynôme f d’être inversible. Par définition (de l’inverse) il existe un polynôme g tel que f •g = 1. Puisque le degré d’un produit de deux polynômes est égal à la somme des degrés de ces polynômes (Proposition 3.2), je vous laisse en déduire que le degré de f doit être égal à zéro. Je vous laisse aussi relire la Définition 1.8 (du degré) pour conclure que f est un nombre.
Exercice 1 (c) et (d). Je rappelle que deux polynômes sont égaux si et seulement si, sous forme réduite, ils ont les mêmes coefficients. Ainsi pour la partie c) page 4, on calculera d’abord h2 sans oublier le double produit, puis on comparera les coefficients monôme par monôme.
Exercice 8. C’est un problème d’un test d’une année précédente. Je ne peux que vous conseiller d’être systématiques et attentif aux opérations et aux signes. Attention aux plus qui deviennent des fois, aux moins qui disparaissent! Si c’est de la distraction due à la fatigue en fin d’après-midi après deux heures de cours intensives, ce n’est peut-être pas grave, mais il ne faut pas se laisser impressionner par la présence de toutes ces indéterminées, vous savez multiplier des sommes de nombres! La consigne est d’écrire le polynôme suivant sous forme réduite, de donner le degré et la partie littérale de chaque terme:
(x+y2z)xyz(2x -2zx) + 2(x2y3z3 – x2yz)
Si cela peut vous aider, sortez de la grande formule la partie par laquelle vous souhaitez commencer, cela pourrait être ici
(x+y2z)xyz
que vous allez développer d’abord par distributivité, puis simplifier par commutativité, pour obtenir une expression réduite.
Je vous laisse finir ce calcul et l’exercice. Bon travail!