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Grundsätzlich muss eine Maturaarbeit bzw. ein Thema für eine
Maturaarbeit im Fach Mathematik ein wichtiges Kriterium erfüllen:
Eine Eigenleistung muss klar erkennbar sein. Meist wird diese in
einem praktischen Teil erbracht. Möglich sind
z.B.:

- Erstellung und Auswertung einer Statistik
- ein Computerprogramm schreiben
- Erläuterung einer Theorie, einer Definition oder eines
Beweises mit Hilfe von Beispielen oder Erklärungen
- selbst Übungsaufgaben erfinden
- Lösen von Übungsaufgaben
konkrete Themenvorschläge:
- Das Parallelenaxiom
Gibt es ein geometrisches System, in dem es durch einen Punkt zwei oder
sogar unendlich viele Parallelen zu einer gegebenen Geraden gibt?
Kann das Parallelenaxiom Zu einer gegebenen Gerade g und einem Punkt P
gibt es höchstens eine Gerade g' auf der P liegt, sodass g und g'
keinen
gemeinsamen Punkt haben. Diese Gerade g' nennt man parallel zu g durch
P
aus den anderen Axiomen der Euklidischen Geometrie hergeleitet werden?
Programm: Axiome der Euklidischen Geometrie (eines der 15 Axiome ist z.B.:
Durch je zwei Punkte geht eine Gerade); Definieren des
Poincaré-Modells
der hyperbolischen Ebene; Nachprüfen der Axiome im neuen
Poincaré-Modell;
Beweis bzw. Widerlegen, dass das Parallelenaxiom aus den anderen Axiomen
folgt.
Vorkenntnisse über komplexe Zahlen wäre schön.
- Befreundete, vollkommene und andere Zahlen
In der Zahlentheorie gibt es eine Vielzahl von unbewiesenen Vermutungen,
die
nicht einmal mit den heutigen Supercomputern gelöst wurden. Wie gross
ist die
grösste bekannte Primzahl? Gibt es ein Programm, das uns Primzahlen
erzeugt?
Gibt es zum Beispiel unendlich viele Primzahlzwillinge? (Dies sind
Primzahlenpaare mit der Differenz 2.) Gibt es unendlich viele vollkommene
Zahlen?
(Solche Zahlen sind die Summe ihrer Teiler.) Wieviele Primzahlen gibt es
überhaupt?
Programm: Definieren Sie die Begriffe wie vollkommene Zahl usw. Finden Sie
Beispiele.
Bei bewiesenen Sätzen sollen Sie zum Teil die Beweise erklären.
Schildern Sie historische Hintergründe und den momentanen Stand der
Forschung.
Vorkenntnisse: Im Prinzip keine ausser Freude an Zahlenspielereien.
- Themen aus der Kombinatorik
Programm: Formulieren Sie die Probleme und Behauptungen. Finden Sie
anschauliche Beispiele.
Sie sollen (wo möglich) die Beweise verstehen und zusammenfassen.
Keine Vorkenntnisse erforderlich.
- Die zwölf Wege: Wieviele injektive, surjektive und bijektive
Abbildung gibt
es zwischen zwei Mengen mit unterscheidbaren oder nicht
unterscheidbaren Elementen?
Anwendungen: Auf wieviele Arten kann ich 15 Münzen auf 4 Personen
verteilen?
Auf wieviele Arten kann ich 15 Bohnen in 4 Häufchen aufteilen?
Auf wieviele Arten kann ich aus 15 Personen 4 Gruppen bilden?
Diese Fälle sind total verschieden.
- Ein- und Ausschaltformel: n Paare sollen sich so setzen, dass
niemand neben
seiner Dame zu sitzen kommt.
- Heiratssatz: Kennen von k Burschen jeder mindestens k verschiedene
Mädchen,
so kann jedem Burschen ein Mädchen zugeordnet werden, das er
kennt.
- Bäume mit n Knoten: ein Beispiel für Codierung.
- Kryptologie und Verschlüsselung
z.B. im Internet und bei E-Mails. Wann und wo werden
Verschlüsselungen gebraucht? Wie
funktionieren diese für den Anwender? Was ist die Mathematik hinter
diesen
Methoden? Keine Vorkenntnisse erforderlich.
- Fibonacci-Zahlen und der goldene Schnitt
Die Zahlenfolge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 usw. kennt fast jede(r). Doch was
steckt noch dahinter? Finden Sie Bezüge zur Ästhetik,
insbesondere zum goldenen Schnitt. Finden Sie Beispiele aus der
(Kunst-)geschichte. Keine Vorkenntnisse erforderlich.
- Computertomographie
Wie funktioniert Computertomographie?
Beleuchten Sie den mathematischen Aspekt, insbesondere das Lösen von
linearen Gleichungssystemen. Beschreiben Sie, wie der Computer solche
(riesige) Gleichungssysteme löst. Erfinden Sie Beispiele.
Vorkenntnisse: Lösen von linearen Gleichungssystemen, etwas
Programmieren.
- Kugelgeometrie
Wie soll ein Flugzeug auf schnellstem Weg von Kloten nach New York
fliegen? Welche Fehler machen wir, wenn wir grosse Distanzen auf der Erde
mit Hilfe von ebener Geometrie statt Kugelgeometrie lösen? Wieso gibt
es Zweiecke auf der Kugel? Wieso haben Dreiecke auf der Kugel eine
Winkelsumme grösser als 180°? Trigonometrie auf der Kugel.
Vorkenntnisse: ebene Trigonometrie, insbesondere Sinus- und Cosinussatz.
- n-dimensionale Vektoren
Was machen 5-dimensionale Vektoren
für einen Sinn? Was ist eine 6-dimensionale Kugel? Wie misst man
Längen im 7-dimensionalen Raum? Ist eine dreidimensionale Fläche
im 4-dimensionalen Raum das gleiche wie eine zweidimensionale Fläche
im 3-dimensionalen Raum? Finden Sie Längen- und Volumenmessmethoden
in n-dimensionalen Rämen. Vorkenntnisse:
Längen- und Winkelmessung bei Vektoren genügt. Differential-
oder Integralrechnung erweitern die Anwendungsmöglichkeiten.
- künstliche Intelligenz
Was ist das? Berichten Sie
über Alan Turing. Programmieren Sie eine Turing-Maschine, die menschliche
Intelligenz vorspiegelt. Oder analysieren Sie Science-Fiction-Filme
oder -Literetur auf Wissenschaftlichkeit. Oder bauen Sie eine mechanische
Rechenmaschine. Vorkenntnisse: Programmieren
wäre hilfreich.
- Chaostheorie
Viele Pseudowissenschaftliche Fernsehsendungen
oder Bücher berichten darüber. Was steckt wirklich dahinter?
Zeichnen Sie Fraktale (Programmieren und komplexe Zahlen erforderlich)
oder berichten Sie über chaotisches Verhalten im Strassenverkehr, bei
Wetterprognosen und einfachen physikalischen Modellen (Pendel usw.)
(Differentialrechnung erforderlich).
- Abstimmungen und Wahlen
Vergleichen Sie verschiedene Wahl-
und Abstimmungsmethoden in verschiedenen Staaten. Wie werden
Hochrechnungen und Vorhersagen ermittelt? Wie muss man Wahlverfahren
anpassen, wenn über mehr als zwei Alternativen abgestimmt wird?
Keine Vorkenntnisse nötig.
- Gruppentheorie
Gibt es eine Zahlmenge, bei der ausser
die Eins auch nach andere Zahlen ihr eigenes Quadrat sind? Wieso sind
die Eins und die Null spezielle Zahlen? Was passiert, wenn die
Mathematiker Zahlen und Zahlensysteme in Klassen einzuteilen
versuchen? Vorkenntnisse: Freude an abstrakter Mathematik.
- 2-Personen-Spiele am Computer
Wie denkt ein Computer,
wenn er gegen Sie Vier gewinnt spielt? Erklären Sie
Spielbäme, Bewertungssysteme und Feldbewertungen. Finden Sie
selbst Beispielsituationen in 2-Personen-Spielen wie Schach, Tic-Tac-Toe,
NIM usw. Programmieren Sie eventuell eine einfaches Compueterprogramm.
Vorkenntnisse: keine (eventuell Programmieren).
- Casino vs. Lotto
Untersuchen Sie gängige
Glücksspiele auf die Gewinnchancen. Erfinden Sie selbst ein nach
Ihren Kriterien optimales Glücksspiel. Untersuchen Sie Systeme,
bei denen man todsicher gewinnt. Keine Vorkenntnisse
nötig.
- statistische Tests
Falls ein Dopingtest einmal
versagt hat, sind dann tausende unschuldige Sportler
fälschlicherweise gesperrt? Mit
welcher Wahrscheinlichkeit kann man diese Tests als sicher bezeichnen?
Stellen Sie verschiedene stat. Tests
vor und führen Sie selbst ein praktisches Beispiel durch.
- Räuber-Beute-Modelle und vernetzte Systeme
stellen
Sie diese an einem selbst ausgesuchten Beispiel vor. Führen Sie
eine Computersimulation durch und bestimmen Sie die Parameter in den
Zusammenhängen vom Fressen und Gefressen-werden.
Natürlich kann man die Themen auch abwandeln oder ein eigenes Thema
wählen. Auf jeden Fall ist eine Absprache mit mir nötig.