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Seien eine Henkelzerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit , und eine 2-normale Fläche in . Schneiden wir längs auf. Wir bekommen eine neue 3-Mannigfaltigkeit . Da jeden Henkel in Henkel von demselben Index aufschneidet, induziert eine Henkelzerlegung von .
Lemma 9.1. .
Beweis. Da 2-normal ist, geht nicht durch Balken mit Valenz . Sei ein Balken der Valenz , der mittels Streifen in Balken aufgeschniffen ist. Dann gilt:
9.2. Aufschneiden und Durchlöchern.
Seien ein Homologieball mit einer reduzierten Henkelzerlegng und eine 2-normale Sphäre. Dann besteht aus zwei Teilen: einem Homologieball und einer 3-Mannigfaltigkeit , die zu homologisch äquivalent ist. Wir finden in eine Platte , so daß und in verschiedenen Randkomponenten von liegen. Wenn wir enfernen (d.h. durchlöchern), bekommen wir zwei Homologiebälle, die dann und nur dann echt sind, wenn ein echter Ball ist. Nach der Reduzierung (9.2) bekommen wir eine endliche Menge von Homologiebällen . Die so bekommene Henkelzerlegung von wird mit bezeichnet.
Satz 9.1.
Beweis. Offensichtlich, da bei der Reduzierung mindestens ein Balken, der Valenz in einen Balken von kleinerer Valenz verwandelt wird.
9.3. Rubinstein-Thompson Theorem und der Algorithmus.
Eine Henkelzerlegung heißt nicht-trivial, wenn sie aus mehr als einem Henkel besteht. Die triviale Zerlegung besteht aus einem Ball (keine Balken und Platten sind vorhanden).
Satz 9.2. In jeder nicht-trivialen reduzierten Henkelzerlegung eines echten Balls gibt es eine nicht-randparallele 2-normale Sphäre.
Nehmen wir an, daß dieser Satz richtig ist. Dann kann man den Erkennungsalgorithmus leicht konstruieren: wir zerlegen den gegebenen Homologieball in Henkel. Dann reduzieren wir die Henkelzerlegung und verwenden die Transformationen des Aufschneidens und Durchlöcherns solange möglich. Der Prozess iet endlich, da jeder Schritt die Kompliziertheit der Zerlegung vermindert. Falls wir zu einer Menge von trivial zerlegten Bällen kommen, dann ist ein echter Ball. Falls der Prozess früher versagt, ist von dem echten Ball verschieden.
Um Satz 9.2 zu beweisen, brauchen wir eine Abschweifung.
9.4. Dünne Lage von Verkettungen.
Sei der untere Halbraum von . Eine Verkettung in ist eine Vereinigung von disjunkten properen Bögen. Eine Ebene heißt singulär (bezüglich ), wenn nicht transversal zu ist. ist in allgemeiner Lage, wenn das folgende gilt:
Seien eine Verkettung in allgemeiner Lage und die singulären Ebenen. Die Menge aller Intervalle in wird mit bezeichnet.
Definition. Die Weite von ist die Anzahl von Intervallen in , d.h. . Siehe Fig. 1a.
Die Weite kann durch Isotopie von geändert werden. ist in dünner Lage, wenn unter allen zu isotopen Verkettungen die minimale Weite hat.
Definition. Seien eine Verkettung in allgemeiner Lage und eine reguläre Ebene. Eine Scheibe heißt eine obere komprimierende Scheibe für , wenn das folgende gilt:
Die Definition einer unteren komprimierenden Scheibe ist analog.
Lemma 9.2. Nehmen wir an, daß eine obere bzw untere komprimierende Scheibe (bezüglich ) zuläßt. Sei , ein Bogen, der nur ein lokales Maximum bzw lokales Minimum enthält, so daß es zwischen den Ebenen und keine weiteren singulären Ebenen gibt ( ist der Höhenwert des Maximums bzw Minimums). Dann ist nicht größer als , wobei . Sieh Fig. 1c.
Beweis. Wir zerlegen die Menge in zwei Teile und . Die Menge besteht auch aus zwei Teilen und .
Es gibt eine surjektive Abbildung , die durch die Bedingung definiert ist. Daraus folgt . Da mindestens zwei und genau zwei Intervalle enthält, bekommen wir und damit .
Es sei bemerkt, daß jede nicht-triviale Verkettung sowohl eine obere als auch eine untere komprimierende Scheibe zuläßt.
Definition. Eine obere und eine untere Scheibe , die sich auf dieselbe Ebene stützen, bilden ein unabhängiges Paar, wenn ihre Basisbögen keine gemeinsamen inneren Punkte haben.
Lemma 9.3. Eine Verkettung in dünner Lage läßt keine unabhängigen Paare zu.
Beweis. Nehmen wir an, daß ein unabhängiges Paar von komprimierenden Scheiben zuläßt. Dann verwenden wir Lemma 9.2 zweimal, um durch eine isotope Verkettung zu ersetzen. läßt zwei komprimierende Scheiben zu: eine obere Scheibe und eine untere Scheibe , wobei aus den Bögen besteht. Falls , stellen wir das Maximum von mit das Minimum von durch Isotopie von um und vermindern damit . Falls , dann besteht aus einem gemeinsamen Endpunkt von . Wir vernichten das Maximum und das Minimum mit demselben Resultat. Siehe Fig. 2a. Da nicht größer als ist, haben wir somit einen Widerspruch zur Voraussetzung bekommen.
9.5. Invertierte Zylinder.
Sei eine Verkettung in . Ein Zylinder für ist das Bild einer Einbettung , so daß das folgende gilt:
Die Krone von ist durch die Formel gegeben, wobei die untere Basis von ist. Seihe Fig. 2b.
Beschreiben wir zwei Transformationen von Verkettungen mit dem Zylinder. Die erste Transformation schiebt einen Bogen aus der Krone durch . Die zweite Transformation schiebt einen Teil von durch einen anderen Teil von . Beide Transformationen sind fix außerhalb eines Balles, der die betrachteten Fragmente enthält.
Lemma 9.4. Beide Transformationen lassen sich durch Isotopien von realisieren.
Beweis. Betrachten wir . Seien ein großer Ball, der zu längs einer Scheibe anliegt und der enthält. Wählen wir einen konzentrischen Ball , so daß und sehr nah zu liegt. Bohren wir von einen Teil von aus, so daß in dem Ball, wo die Transformation ausgeführt wird, enthaltet ist. Der bekommene Ball wird mit bezeichnet. Wir können annehmen, daß der bewegende Bogen vor und nach der Transformation mit dem Bogen bzw identisch ist, siehe Fig. 3a. Da der Kreis eine Scheibe in disjunkt zu berandet, läßt sich durch eine Isotopie von realisieren.
Im Fall der Transformation taugt derselbe Beweis.
Lemma 9.5. Seien die Zylinder für zwei Verkettungen , so daß und isotop sind. Dann sind auch isotop.
Beweis. Wir können annehmen, daß die Kronen identisch sind. Es gibt dann eine Folge von Transformationen und Isotopien mit unbeweglicher Krone, die in überführt. Bei Lemma 9.3, lassen sich die Transformationen auch durch eine Isotopie mit unbeweglicher Krone realisieren.
Ein Zylinder für die Verkettung heißt invertiert, wenn in einer regulären Ebene liegt und sich von unten nähert.
Folgerung 9.5. Wenn die Verkettung in dünner Lage ist, dann läßt keine invertierten Zylinder zu.
Beweis. Nehmen wir an, daß es einer invertierten Zylinder gibt. Wenn wir die Krone bei 180 Grad umdrehen und einen Zylinder, der streng nach oben geht, zusetzen, bekommen wir nach Lemma 9.4 eine isotope Verkettung mit kleinerer Weite. Das widerspricht der Annahme. Siehe Fig. 3b.