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Hans Walser, [20201003]
Bewegte Kreise
Gemeinsamer Hintergrund von Zykloide, Schraubenlinie, Kosinus-Kurve und weiteren Kurven.
Der Mittelpunkt eines Einheitskreises wird mit der Geschwindigkeit p = 1 bewegt. Ein Kreispunkt bewegt sich ebenfalls mit der Geschwindigkeit 1 relativ zum Kreis.
Wir arbeiten im Raum in einem kartesischen Koordinatensystem. Die drei positiven Achsen sind in den Farben cyan, magenta und gold dargestellt. Sie bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
Der Mittelpunkt bewegt sich auf der cyan-Achse. Der Kreis liegt in der cyan-gold-Ebene (Animationen 1 und 2).
Animation 1: Zykloide, 3d-Ansicht
Animation 2: Zykloide, 2d-Ansicht
Ist die Kreisebene orthogonal zur cyan-Achse, ergibt sich die Standard-Schraubenlinie (Animation 3).
Animation 3: Schraubenlinie
Die direkte Sicht auf die cyan-gold-Ebene zeigt eine Wellenlinie (gespiegelte Kosinus-Kurve).
Animation 4: Wellenlinie
Wenn wir in einem Winkel von 45ˇ auf die cyan-gold-Ebene blicken, sehen wir in Richtung der untersten Schraubenlinientangenten. Als 2d-Bild ist das eine gestauchte Zykloide. Die untere Spannweite ist mit dem Faktor verkźrzt (Animation 5).
Animation 5: Gestauchte Zykloide
Der Autor war zunŠchst versucht, diese Stauchung durch Vergrš§ern der Mittelpunkt-Geschwindigkeit p zu kompensieren. Allerdings muss man dann noch schrŠger gucken, so dass wir wieder das Bild einer gestauchten Zykloide erhalten. Lediglich fźr den Grenzfall ergŠbe sich das Bild der Standard-Zykloide.
Wir zeichnen die Kreise in parallelen Ebenen, gegen welche die cyan-Achse einen festen Neigungswinkel hat. In den Animationen 6 und 7 ist dieser Winkel 60ˇ.
Animation 6: SchrŠge Kreisebene
Animation 7: SchrŠge Kreisebene, besondere Sicht
Wir bewegen den Kreismittelpunkt auf einem gro§en grźnen Kreis, lassen aber die Ebenen der bewegten blauen Kreise parallel. Damit erhalten wir automatisch verschiedene Neigungswinkel der bewegten Kreisebene zum gro§en TrŠgerkreis. Wir haben in derselben Figur angenŠherte Zykloiden, angenŠherte Schraubenlinien sowie deren †bergangsfiguren.
In den Animationen 8 bis 11 hat der gro§e grźne Kreis den Radius 12. Die Animation 8 gibt eine Ansicht.
Animation 8: Ansicht
In der Animation 9 sehen wir vorne eine źbliche Zykloide und hinten eine hŠngende Zykloide. Links haben wir eine Linksschraube, rechts eine Rechtsschraube.
Animation 9: Sicht von vorne
Animation 10: Wellenlinien
In der Sicht von oben (Animation11) haben wir links Linksschrauben, rechts Rechtsschrauben, oben die Spitze einer hŠngenden Zykloide und unten den Buckel einer stehenden Zykloide.
Animation 11: Sicht von oben
Fźr ganzzahlige Radien des gro§en grźnen Kreises ergeben sich einfach geschlossene Kurven (Animation 12 fźr Radien von 1 bis 12).
Animation 12: Einfach geschlossene Kurven