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Les zéros non triviaux de la fonction zêta n'ont pas fini de nous empêcher de dormir. Toujours irrésolue, l'hypothèse de Riemann, qui reste l'un des sept problèmes du millénaire, a bien failli récemment chuter de son piédestal, mais l'affaire a tourné court. Rappelons en gros en quoi consiste cette hypothèse, déjà abordée et résumée dans plusieurs billets de mon blog qu'on peut retrouver dans la section "mathématiques". Pour faire simple et concis, quitte à sauter des étapes par dizaines, la conjecture stipule que les zéros de la fonction zêta (somme infinie portant sur les inverses des nombres entiers avec des puissances en nombres complexes), c'est-à-dire les valeurs pour lesquelle cette fonction s'annule, contrôlent la répartition des nombres premiers. Si l'hypothèse était vraie, la fonction zêta permettrait alors d'estimer avec précision la distribution des nombres premiers. Vous avez à peu près suivi et surtout entrevu l'importance d'une telle démonstration, si elle a lieu un jour? En ce cas, la tentative récente pour en venir à bout peut vous intéresser.
Car, peut-être inspiré par le génie d'Andrew Wiles qui démontra Fermat il y a quelques années en passant par des outils de la théorie des nombres a priori sans grand rapport avec l'identité impossible laissée en marge d'un traité de Diophante par l'un des plus grands esprits scientifiques du XVIIe siècle, un groupe de mathématiciens a récemment repris une approche abandonnée pour démontrer Riemann. Une piste qui remonte à 1927. Cette année-là, un mathématicien hongrois avait établi une relation d'équivalence entre l'hypothèse de Riemann et un autre problème, soit l'hyperbolicité de certains polynômes dits de Jensen, qui se définissent par leur degré et leur décalage. Si leurs zéros étaient tous réels, alors ces polynômes seraient dits hyperboliques. Reste à prouver que c'est le cas. Et le souci, c'est qu'il existe une infinité de ces polynômes.
C'est donc récemment que quatre mathématiciens ont opéré une avancée en démontrant cette hyperbolicité pour une grande classe de polynômes de Jensen. Mais pas tous. Pas jusqu'à l'infini. Pire, leur approche est considérée comme trop difficile pour être généralisée et aboutir à une démonstration en bonne et due forme de l'hypothèse de Riemann. Ce qui nous ramène (presque) à la case départ. Rappelons que l'hypothèse de Riemann a été démontrée pour 10¹³ zéros non triviaux de la fonction zêta. Ces zéros ont tous pour partie réelle 1/2. Il suffirait malheureusement qu'on trouve un seul zéro non trivial avec une valeur différente pour que l'hypothèse de Riemann soit définitivement infirmée. En 2018, l'ex-médaillé Fields Michael Atiyah avait tenté une démonstration par l'absurde en supposant qu'un tel contre-exemple existe, justement. Mais il ne semble pas avoir convaincu la communauté mathématique. Pour la suite, rendez-vous dans cent ans, du moins pour la partie de l'humanité qui aura survécu.
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Les zéros non triviaux de la fonction zêta n'ont pas fini de nous empêcher de dormir. Toujours irrésolue, l'hypothèse de Riemann, qui reste l'un des sept problèmes du millénaire, a bien failli récemment chuter de son piédestal, mais l'affaire a tourné court. Rappelons en gros en quoi consiste cette hypothèse, déjà abordée et résumée dans plusieurs billets de mon blog qu'on peut retrouver dans la section "mathématiques". Pour faire simple et concis, quitte à sauter des étapes par dizaines, la conjecture stipule que les zéros de la fonction zêta (somme infinie portant sur les inverses des nombres entiers avec des puissances en nombres complexes), c'est-à-dire les valeurs pour lesquelle cette fonction s'annule, contrôlent la répartition des nombres premiers. Si l'hypothèse était vraie, la fonction zêta permettrait alors d'estimer avec précision la distribution des nombres premiers. Vous avez à peu près suivi et surtout entrevu l'importance d'une telle démonstration, si elle a lieu un jour? En ce cas, la tentative récente pour en venir à bout peut vous intéresser.
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Ce n'est pas la Syracuse de la chanson. Mais elle comporte de la poésie quand même - exemple dans le graphe ci-dessus -, comme dans tout ce qui résiste en mathématiques. C'est à l'université américaine de Syracuse que la conjecture, diffusée par l'algébriste Helmut Hasse, prit son nom. Exposée à l'origine par un mathématicien allemand passionné par les itérations dans les nombres entiers, Lothar Collatz, elle s'appele également conjecture de Collatz, conjecture d'Ulam, conjecture tchèque ou problème 3n + 1. Il s'agit d'une hypothèse qui stipule que pour n'importe quel entier positif, la suite de Syracuse finit par atteindre 1. Regardons de plus près. D'abord en expliquant ce qu'est la suite de Syracuse, qui se définit par récurrence de manière extrêmement simple. Soit un entier u, strictement supérieur à 0. La suite de Syracuse de ce nombre (son successeur, si vous préférez) se définit dès lors ainsi, pour tout entier naturel n.
En d'autres termes, si le nombre est pair, on le divise par deux. Et s'il est impair, on le multiplie par 3 en y ajoutant 1. Puis on répète ce processus itératif autant de fois que nécessaire. Jusqu'à atteindre le nombre 1, après lequel une même boucle se répète indéfiniment en un cycle de valeur 3 qu'on surnomme le cycle trivial. (1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2,...). Mais finit-on toujours par atteindre le nombre 1? Toujours, c'est-à-dire tôt ou tard? Il semble bien que oui. Réponse insatisfaisante en mathématiques. La conjecture est vraie ou fausse, à la rigueur indécidable. Dans le cas de celle de Syracuse, on a tenté de tester assez loin, jusqu'à des nombres de six milliards de milliards de chiffres. Qui tous finissent par déboucher sur le cycle trivial. Ce qui tend à prouver la véracité de la conjecture, sans toutefois la... démontrer. Il suffirait en effet d'un seul contre-exemple pour établir sa fausseté. La concernant, le célèbre mathématicien Paul Erdös affirmait: "Les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes".
C'est que le défi, qui porte sur tous les nombres jusqu'à l'infini, semble hors de portée. Même lorsqu'on tente de l'approcher par un algorithme inverse, c'est-à-dire en partant de 1 pour tenter de rejoindre tous les nombres. Même en passant par l'écriture binaire. Un vocabulaire spécifique adapté à la suite de Syracuse permet d'observer graphiquement le comportement de certains nombres et le temps qu'ils mettent, ou prennent, avant d'atterrir, littéralement, sur le nombre 1. On parle ainsi de temps de vol, d'altitude maximale et de temps de vol en altitude (certaines trajectoires sont d'ailleurs spectaculairement longues), ce qui permet parfois de formuler différemment la conjecture.
Pour que la conjecture soit fausse, il faudrait soit tomber sur un cycle autre que le cycle trivial mentionné plus haut, soit aboutir à une suite qui diverge à l'infini. Ce qui est malheureusement fort improbable (mais donc pas exclu), comme certains arguments probabilistes nous l'enseignent. Reste le cas d'un autre cycle que (1, 4, 2) pour le moment non détecté, sinon que son existence hypothétique serait une suite composée de plus de 17 milliards d'éléments! Ces deux sous-problèmes étant tout autant insolubles, nous voici revenus au point de départ. Face à une conjecture désarmante de simplicité lorsqu'on l'énonce, des dizaines de mathématiciens se sont arrachés les cheveux depuis des décennies. Et cela risque bien de continuer.
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Celles et ceux qui goûtent les palindromes, ces mots qui se lisent dans les deux sens, apprécieront peut-être les constructions mathématiques qui vont suivre. D'autant plus qu'elles débouchent sur l'un de ces problèmes ouverts qui semblent nous défier pour l'éternité et qu'on peut résumer en une seule question: les nombres de Lychrel existent-ils? Mais de quoi s'agit-il? De nombres théoriques mis au jour par un certain Wade VanLandingham, qui leur a donné ce nom pour créer un presque anagramme avec le prénom de sa fiancée (Cheryl). Pour faire simple, un nombre de Lychrel est un nombre naturel qui ne peut pas former un palindrome lorsqu'on le soumet au processus itératif consistant à l'additionner à son miroir, c'est-à-dire au nombre formé par ses chiffres inversés. Un exemple clarifiera immédiatement l'affaire. Prenons un nombre au hasard: 59. Additionnons-le à son miroir, soit 95 :
59 + 95 = 154
Sur ce, on répète l'opération :
154 + 451 = 605
Jusqu'à obtenir un joli palindrome :
605 + 506 = 1111
Pour ce nombre, seules trois itérations ont été nécessaires avant d'atterrir sur un palindrome. Ce qui signifie que ni 59 ni 95 ne sont des nombres de Lychrel - ni 154, 451, 605 et 506. Mais il en faut parfois davantage (d'itérations). Avec le nombre 89, cela va un peu moins vite, puisqu'il en faut vingt-quatre. Quant au record du nombre d'itérations, ou plutôt du palindrome le plus retardé, il est détenu en ce moment par 1 186 060 307 891 929 990, qui nécessite 261 itérations avant de tomber sur un beau palindrome formé de 119 chiffres. Paradoxe, c'est un algorithme qui a permis de le découvrir, alors qu'il n'existe aucun algorithme permettant de contourner les opérations d'addition et d'inversion. Notons encore que 80 % des nombres en dessous de 10 000 aboutissent à un palindrome en moins de 4 itérations, et environ 90 % en moins de 7.
Mais tout cela ne nous amène pas pour autant à un nombre de Lychrel. Mieux, on n'en connaît à ce jour aucun. En revanche, il y a des candidats. Soit des nombres pour lesquels cela ne marche pas. C’est-à-dire pour lesquels le processus d'itération ne semble jamais s'arrêter. Le plus petit de ces candidats est le nombre 196, qui mérite qu'on s'y attarde quelques instants. Suspecté d'être un Lychrel, 196 attire l'attention de plusieurs mathématiciens. Le 12 août 1987, John Walker lance une recherche via un programme qui vérifie les itérations et produit un rapport toutes les deux heures. Trois ans plus tard, le 24 mai 1990, le programme s'arrêtait après 2 415 836 itérations sur un nombre d'un million de chiffres. Et sans trace de palindrome.
En 1995, un certain Tim Irvin prend le relais. En trois mois, il obtient un nombre de deux millions de chiffres. Qui n'est pas un palindrome, on s'en doute. Jason Doucette continue sur la même lancée. En mai 2000, il débouche sur un nombre de 12,5 millions de chiffres. Toujours pas de palindrome en vue. C'est là qu'intervient Wade VanLandingham, bien décidé à continuer les investigations. Avec le même programme, il passe le cap des 13 millions, et le 1er mai 2006, atteint même la barre impressionnante des 300 millions de chiffres. Evidemment sans palindrome en vue. En d'autres termes, 196 a tout du parfait candidat. C'est le cas d'autres nombres, comme 887, 1495, 1497, 1945, 1947 ou 1997. Pour le moment, tous les candidats de moins de 17 chiffres ont été identifiés.
Actuellement, on est incapable de montrer pourquoi le processus d'itération ne s'arrête pas pour ces nombres-là. Du moins en base 10. Car pour certaines bases, il est prouvé que des Lychrel existent. Des tentatives de démonstration de l'existence des Lychrel en base dix fleurissent ici ou là, dont une fort intéressante qui stipule que celle-ci est due à une brisure de symétrie dans l'espace des nombres analogue à celle que l'on retrouve en physique des particules. Aucune des conjectures liées aux nombres de Lychrel n’est pour l’instant mise à prix.