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Hans Walser, [20210326]
Brennpunktkurve
Neue Sicht auf die Ellipse
Verallgemeinerung der Konchoide
So lernt man es in der Schule: An zwei festen Brennpunkten F und G (Abb. 1) befestigen wir die beiden Enden einer Schnur, welche lŠnger ist als der Abstand der beiden Brennpunkte. Nun ziehen wir mit dem Zeichenstift P die Schnur straff zum Dreieck FGP. Variation von P generiert die Ellipse.
Abb. 1: Ellipse
Wir halten den Punkt P fest, den Punkt F lassen wir auf einer beliebigen Leitkurve variieren. In der Abbildung 2a ist die Leitkurve ein Kreis. Im Punkt F ist drehbar das eine Ende eines Stabes (einer Strecke) befestigt. Ebenso ist im Punkt F das eine Ende einer Schnur befestigt, welche lŠnger als der Stab ist. Die Schnur ziehen wir durch eine …se im Punkt P und befestigen das zweite Ende der Schnur am Endpunkt G des Stabes (Abb. 2b) und ziehen straff. Von den beiden symmetrischen Lšsungen wŠhlen wir diejenige, bei der das Dreieck FGP einen positiven Umlaufsinn hat.
Nun liegt P auf der Ellipse mit den Brennpunkten F und G und der Abstandssumme der SchnurlŠnge (Abb. 2c).
Abb. 2: Fadenkonstruktion
Die Abbildung 3 zeigt die Bahnkurve des Brennpunktes G.
Abb. 3: Bahnkurve
Wenn wir auch den negativen Umlaufsinn fźr das Dreieck FGP zulassen, ergibt sich eine symmetrische Bahnkurve (Abb. 4).
Abb. 4: Symmetrische Bahnkurve
Im Beispiel der Abbildungen 1 bis 4 haben wir mit dem Brennpunktabstand 2 und der SchnurlŠnge 2.4 gearbeitet.
In der Abbildung 5 ist der Brennpunktabstand immer noch 2, die SchnurlŠnge variiert aber von 2 bis 8.
Abb. 5: Variation der SchnurlŠnge
Wir wŠhlen die SchnurlŠnge gleich dem Brennpunktabstand. Damit wird die Ellipse zum Grenzfall einer Strecke.
Die Bahnkurve des Punktes G ist die Konchoide mit dem Kreis, auf dem F variiert, als Leitlinie und dem Punkt P als Pol (Abb. 6).
Abb. 6: Konchoide
Literatur
Haftendorn, Dšrte (2017): Kurven erkunden und verstehen. Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen. Wiesbaden: Springer Spektrum. ISBN 978-3-658-14748-8.
Website
Hans Walser: Bananenkurve