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Die Einflusslinie
ein Arbeitsmittel bei Festigkeits- und Verformungsuntersuchungen in der Baustatik
Einer der ersten Schritte bei Festigkeits- und Verformungsuntersuchungen in der Baustatik ist die Ermittlung der Beanspruchung an einem Ort des Bauteils (Schnittstelle) infolge seiner äußeren Belastung. Bei schlanken Bauteilen (Stäbe und Balken), wie sie im Bauwesen häufig vorkommen, ist das relativ einfach möglich und ebenfalls einfach darstellbar.
Man trägt die Beanspruchungen (Längskraft,(Biege-)Moment und Querkraft) an einer Schnittfläche z.B. eines Balkens fortlaufend über die Balkenlänge in einem Diagramm auf (wobei sich dessen Abszisse mit dem Balken, genauer mit einer seiner Längsfasern decken kann). Der Abszissen-Nullwert ist der Balkenanfang, oder wenn es sich beispielsweise um einen horizontalen Balken auf zwei Traglagern (Brückensteg) handelt, eine der beiden Lagerstellen.
Die Kurven im Diagramm nennt man Zustandslinien. Sie zeigen den Zustand der Beanspruchung, der von einer oder mehreren ortsfesten Lasten auf dem Balken abhängt, an jeder Stelle des Balkens an.. Aus dem über die Balkenlänge verschiedenen Beansprungs-Zustand kann auf die unterschiedlich notwendige Dimensionierung des Balkens geschlossen werden (unterschiedlich großer Balkenquerschnitt über die Balkenlänge).
Abb. 1 Balken auf 2 Stützlagern (A und B)
oben: Zustandslinien
Biegemoment M(x), verursacht
von einer einzelnen Last (1N)
unten: Einflusslinie ηMS(x), Größe des
Biegemomentes an der Stelle S in Abhängigkeit
vom Belastungsort x der Last
Konstruktion mit Hilfe der obigen Zustandslinien
Mit Hilfe einer sogenannten Einflusslinie stellt man die Beanspruchung an einer ausgewählten Stelle (S) dar, die vom veränderlichen Angriffspunkt einer "Wanderlast" abhängt. Die Form der Einflusslinie ist nicht von der Größe der Wanderlast abhängig. Um aber die Größe der Beanspruchung aus der Einflusslinie ablesen zu können, muss die Ordinate dimensionsbehaftet skaliert sein.
a) Eine Möglichkeit ist, als Ordinate η den Quotienten aus Beanspruchung und Wanderlast F aufzutragen. Nach dem Ablesen ist mit F zu multiplizieren:
Beanspruchung = ηS(x) · F.
Bei Biegebeabspruchung hat η die Dimension einer Länge, bei Längs- und Querkraftbeanspruchung ist es dimensionslos.
b) Eine andere oft benutzte Möglichkeit ist, als Wanderlast die Einheitslast 1N einzusetzen. Dann hat η bereits die zur Beanspruchungsart gehörende Dimension. Nach dem Ablesen ist mit dem Quotienten aus tatsächlicher Wanderlast und Einheitslast zu multiplizieren (s. Anmerkung).
Abb. 2 Balken auf 2 Stützlagern (A und B)
oben: Zustandslinien
Querkraft Q(x), verursacht
von einer einzelnen Last (1N)
unten: Einflusslinie ηQS(x), Größe der
Querkraft an der Stelle S in Abhängigkeit
vom Belastungsort x der Last
Konstruktion mit Hilfe der obigen Zustandslinien
Mit Hilfe der beiden Abbildungen ist der Zusammenhang zwischen Zustands- und Einflusslinie dargestellt. Für Biege- (Abb.1) und Querkraft-Beanspruchung (Abb.2) sind je 3 Zustandslinien für je 3 Orte einer einzelnen vertikalen Last gezeichnet. Die jeweiligen Beanspruchungen an einer untersuchten Stelle S des Balkens sind alle im gleichen Maßstab in das zugehörende Einflusslinien-Diagramm an der jeweiligen Stelle der Last übertragen worden. Die Verbindung dieser Werte stellt die jeweilige Einflusslinie dar.
Beide Linien bestehen aus 2 geraden Stücken. Würde der Balken nicht statisch bestimmt, sondern überbestimmt gelagert, wären die Einflusslinien gekrümmte Kurven.
Der gewählte kleine Umweg über je 3 Zustandslinien ist gleichzeitig eine Konstruktions-Methode für das Finden der Einflusslinien. Sie ist anschaulicher als in der Literatur oft angegebene diverse Konstruktions-Rezepte.
Anmerkung: In den beiden Abbildungen hat der Balken die Einheitslänge 1m. Die Größe der Momenten-Beanspruchung ändert sich mit der tatsächlichen Länge.
Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf, May 2017
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