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Lead
Viele Anwendungen der Mathematik beinhalten heutzutage grosse Mengen hochdimensionaler Daten, in denen wir Strukturen finden möchten. Während den letzten Jahren wurde deutlich, dass solche Strukturen in vielen Fällen Symmetrien enthalten und von algebraisch-geometrischer Natur sind. Ziel dieses Projektes ist es, hochdimensionale Daten aus dieser Perspektive zu untersuchen.
Lay summary
Ziele des Forschungsprojekts
Algebraische Geometrie basiert auf der Tatsache, dass jede abgeschlossene Teilmenge eines endlich dimensionalen Vektorraums durch endlich viele Gleichungen beschrieben wird. Vor kurzem hat Draisma bewiesen, dass dies auch für abgeschlossene Teilmengen eines polynomialen Funktors der Fall ist. Während eine abgeschlossene Teilmenge eines endlich dimensionalen Vektorraums eine Struktur von Objekten fester Dimension darstellt, repräsentieren abgeschlossene Teilmengen eines polynomialen Funktors eine symmetrische Struktur von Objekten unbegrenzter Dimension. Wenn also die Grösse der zu untersuchenden Objekte nicht im Voraus bestimmt werden kann, ist die Geometrie von polynomialen Funktoren die natürlichere Untersuchungsumgebung. Das erste Ziel meines Projektes ist die Weiterentwicklung der Theorie dieser Geometrie.
Diese Entwicklung hat bereits in Zusammenarbeit mit Draisma, Eggermont und Snowden begonnen. Wir haben gezeigt, dass das Verständnis von Rangfunktionen auf (strukturierten) Tensoren von grundlegender Bedeutung ist, wenn wir die geometrische Struktur von polynomialen Funktoren verstehen wollen. Das zweite Ziel dieses Projektes ist die Untersuchung solcher Rangfunktionen. Insbesondere die Stärke von Polynomen, die in letzter Zeit viel verwendet, aber noch nicht gut verstanden wird.
Wissenschaftlicher und gesellschaftlicher Kontext des Forschungsprojekts
Die Untersuchung geometrischer Aspekte von polynomialen Funktoren ist sehr neu und hat bereits mehrere Anwendungen gefunden. Zum Beispiel wurden Draismas Ergebnisse verwendet, um eine berühmte Vermutung von Stillman über die Existenz einer von der Anzahl Variablen unabhängigen oberen Grenze der projektiven Dimension von homogenen Idealen in Polynomringen zu beweisen. Die Verbindung zwischen Rangfunktionen und der Geometrie von polynomialen Funktoren kann auch verwendet werden, um die Ergebnisse von Erman, Sam und Snowden an grossen Polynomringen zu erklären. Fortschritte in diesem Bereich würden ein besseres Verständnis solcher Zusammenhänge ermöglichen.