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Résolution de quelques problèmes balistiques à l’aide des équations paramétriques de la trajectoire.
Les équations paramétriques de la trajectoire d’un tir parabolique permettent de répondre aux questions suivantes : 1° Quel est le sommet de la parabole ? 2° Quelle est la portée du tir ? 3° Quel est, pour une vitesse initiale de grandeur donnée, l’angle de tir qui donne la plus grande portée ? 4° Que vaut la portée maximale ? 5° Quelle valeur faut-il donner à l’angle de tir pour que le projectile atteigne un point P fixé d’avance dans le plan Oxy ? 6" Quelle est l’expression de l’enveloppe des tirs ?
- Parabole de sûreté
- Les points situés au-dessus de la parabole de sûreté ne peuvent pas être atteints, quel que soit l’angle de tir.
Equations du mouvement
Les équations caractérisant le mouvement peuvent se donner sous forme de listes. Le premier élément d’une liste correspond à la composante du vecteur selon Ox et le second à la composante selon Oy :
a={0, gy)
v={v0*Cos[alpha], v0*Sin[alpha]+gy*t}
r={v0*Cos[alpha]t, v0*Sin[alpha]t+1/2gy*t^2}
N. B. Les équations paramétriques de la trajectoire sont celles qui donnent le vecteur position r du mobile en fonction du paramètre t.
- Au sommet S de la parabole, la composante vy de la vitesse est nulle. En posant y=0, en résolvant l’équation donnant cette composante de la vitesse par rapport à t et en introduisant le résultat dans les équations paramétriques de la trajectoire, on obtient le temps cherché et les coordonnées du sommet.
- La portée du tir (distance entre le point de départ et le point où le projectile touche le sol, supposé horizontal) s’obtient en posant y=0 dans l’équation paramétrique donnant y, en résolvant par rapport à t et en introduisant la solution retenue dans l’équation donnant x.
- La grandeur de la vitesse initiale étant fixée, la portée est maximale lorsque sin(2$\alpha$) prend sa plus grande valeur, c’est-à-dire lorsque 2$\alpha$=90°, donc lorsque $\alpha$=45°.
- La portée maximale vaut v02/g.
- Pour qu’un point P de coordonnées (xP, yP) soit atteint lorsque la grandeur v0 de la vitesse initiale est donnée, il faut que ce point se trouve sur la trajectoire. Les coordonnées du point doivent donc satisfaire l’équation de la trajectoire. Pour obtenir une équation du second degré en tg($\alpha$) et la résoudre par rapport à tg($\alpha$) nous opérons la substitution. sec2($\alpha$)=1+tg2($\alpha$). Nous obtenons alors une équation du second degré et deux solutions pour tg($\alpha$).
- La solution qui donne des angles positif peut, selon la valeur du discriminant v04xP2-gy2xP4+2gy v02xP2yP, fournir 0, 1 ou 2 solutions réelles pour l’angle. Les points (xP, yP) qui conduisent à une valeur négative du discriminant sont inaccessibles avec une vitesse de projectile égale à v0, ceux qui annulent le discriminant ne peuvent être atteints que sous un seul angle de tir et ceux pour lesquels le discriminant est positif peuvent être atteints sous deux angles de tir.
N. B. Les points qui ne peuvent être atteints que sous un seul angle de tir définissent la parabole de sûreté donnée par :
yP=(gy2xP2-v04)/(2gy v02)