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Hans Walser, [20161205]
Wo steckt der Fehler?
Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen
Die Abbildung 1 zeigt einen (angefangenen) Pythagoras-Baum. Das gr§te grne rechtwinklige Dreieck beschriften wir in der schulblichen Weise mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c.
Abb. 1: Pythagoras-Baum
Nach dem Stamm teilt sich der Baum in zwei ste, einen kleinen Ast ber der Kathete a und einen gro§en Ast ber der Kathete b.
Beide ste sind hnlich zur Gesamtfigur. Der kleine Ast hat gegenber der Gesamtfigur den Lngenverkrzungsfaktor , der gro§e Ast hat gegenber der Gesamtfigur den Lngenverkrzungsfaktor .
Die ste berlappen sich. Fr die folgende Flchenberechnung wollen wir die berlappenden Teile entsprechend mehrfach zhlen.
Wir bezeichnen mit x den Flcheninhalt der Gesamtfigur, wobei wir bei berlappungen entsprechend mehrfach zhlen.
Zur Berechnung des Flcheninhaltes x zerlegen wir die Gesamtfigur in drei Teile.
Der erste Teil sei der Stamm (Flcheninhalt ) mit dem gro§en grnen Dreieck (Flcheninhalt ).
Der zweite Teil sei der kleine Ast. Wegen dem Lngenverkrzungsfaktor hat er den Flcheninhalt .
Der dritte Teil sei der gro§e Ast. Er hat den Flcheninhalt .
Die drei Teile haben zusammen den Flcheninhalt x. Also ist:
(1)
Daraus erhalten wir:
(2)
Und schlie§lich nach Subtraktion von x:
(3)
Das kannÕs nicht sein. Wo ist der Fehler?
Die beiden Stmme der beiden ste (Quadrate der ersten Tochtergeneration) sind zusammen flchengleich zum Stamm (Quadrat) der Gesamtfigur. Ebenso sind die beiden grnen rechtwinkligen Dreiecke der ersten Tochtergeneration zusammen flchengleich dem gro§en grnen rechtwinkligen Dreieck.
Iteration dieses Gedankengangs auf nachfolgende Tochtergenerationen zeigt, dass die Gesamtflche x linear mit der Anzahl der Generationen wchst und damit divergiert.
Der Schritt von Gleichung (2) zu Gleichung (3) ist daher nicht zulssig.
Die oben geschilderte Methode zur Flchenberechnung kann durchaus funktionieren.
In der Figur der Abbildung 2 ist der linke Ast lngenm§ig halb so gro§ wie die Gesamtfigur, der rechte Ast lngenm§ig ein Viertel so gro§ wie die Gesamtfigur.
Abb. 2: Zwei ste
Fr die Berechnung des Flcheninhaltes x zerlegen wir wieder in drei Teile: Das Startdreieck mit dem Flcheninhalt d, den linken Ast mit dem Flcheninhalt und den rechten Ast mit dem Flcheninhalt . Dadurch erhalten wir:
(4)
Diese Gleichung knnen wir problemlos nach x auflsen. Es wird:
(5)