Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03634.jsonl.gz/204

Beweis (Induktion über die Anzahl der Ecken)
Induktionsverankerung
Der Graph des einfachsten Polyeders, der dreiseitigen Pyramide, erfüllt den Eulerschen Polyedersatz.
Induktionsschritt
Gehen wir davon aus, dass wir ein Polyeder P vor uns haben, welches den Eulerschen Polyedersatz erfüllt. Der Graph des Polyeders P sei G.
Es gilt:
Nun erweitern wir den Polyeder indem wir über einer Fläche eine weitere Ecke einfügen. Im Polyeder würde dies bedeuten, dass wir auf eine Fläche eine Pyramide stellen, wobei die Grundfläche der Pyramide mit der ursprünglichen Polyederfläche übereinstimmt.
Im Graphen fügen wir einen Knoten hinzu. oBdA (Ohne Beschränkung der Allgemeinheit), können wir den neuen Knotenpunkt ins innere des Graphen setzen.
- ein Eckpunkt kommt hinzu
- k Kanten müssen gezeichnet werden (Seitenkanten der Pyramide)
- die Anzahl der Flächen nimmt um k-1 zu (Anzahl Seitenflächen einer Pyramide mit k Seitenkanten abzüglich der Grundfläche).
Es gilt somit für den erweiterten Graphen G':
Spezialfall
Es bleibt noch zu zeigen, dass der neue Eckpunkt auch auf einer bestehenden Kante gewählt werden kann. Vom ursprünglichen Graphen ausgehend, fügen wir einen Eckpunkt auf einer Kante hinzu. Im Graphen ist diese Kante gepunktet dargestellt.
Was geschieht mit den Ecken, Kanten und Flächen?
-
wie bisher (einen Eckpunkt dazu)
-
die bisherige Kante wird in zwei Teile geteilt(+1) und es werden k weitere Kanten hinzugefügt, um mit den bestehenden Ecken zu verbinden.
-
Jede neue Kante erzeugt eine neue Fläche.
Es gilt somit für den neuen Polyeder (Graphen):
Mit diesem letzten Argument ist gezeigt, dass der Eulersche Polyedersatz für alle Polyeder bewiesen ist, welche sich auf solche Weise konstruieren lassen.
Es ist eine schöne Aufgabe, sich zu überlegen, wie sich die Ecken, Kanten und Flächen ändert, wenn man neue Polygone oder Kanten anfügt. Es ist aber leicht gezeigt, dass sich hierbei nichts wesentlich neues ergibt.
Bemerkung
Es gibt durchaus Polyeder für welche der Eulersche Polyedersatz ein wenig anders aussieht. Durchbohrt man den Polyeder, verändert sich der Wert des Termes E-K+F.
Der Wert des Termes gibt an, wie viele "Löcher" der Polyeder hat. Man nennt dies in der Mathematik das "Geschlecht" des Körpers.