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Hans Walser, [20130102]
Optimale Schachtel
Anregung: [Dodge/Viktora 2002], [Gchter 2012]
Eine klassische Schulaufgabe wird verallgemeinert. Dabei spielen Polygone mit einem Inkreis eine wichtige Rolle.
Bei einem Quadrat werden an den Ecken kleinere Quadrate abgeschnitten (Abb. 1a). Die verbleibenden Stcke werden hochgeklappt, so dass eine oben offene Schachtel entsteht (Abb. 1b). Fragen der Materialdicke und der Verbindungen an den Kanten (Klebelaschen) werden vernachlssigt.
Bei welcher Hhe hat die Schachtel das gr§te Volumen?
Abb. 1: Konstruktion der Schachtel
Es ist leicht nachzurechnen, dass die Hhe der optimalen Schachtel ein Sechstel der Seitenlnge des Ausgangsquadrates ist.
Die Aufgabe kann so verallgemeinert werden, dass die Lsung einem einheitlichen Muster folgt und bei geeigneter Formulierung immer dasselbe Resultat liefert.
Als Ausgangsfigur nehmen wir ein Polygon mit einem Inkreis, also ein so genanntes Tangentenpolygon. Die Abbildung 2 illustriert das Vorgehen fr ein unregelm§iges Fnfeck mit Inkreis.
Abb. 2: Verallgemeinerte Schachtel
Wenn wir bei einem Polygon, das einen Inkreis hat, an allen Rndern Parallelstreifen derselben Breite abschneiden, bleibt ein Restpolygon brig, das zum Ausgangspolygon hnlich ist (Abb. 3). Insbesondere hat es auch einen Inkreis.
Abb. 3: Die Sache mit dem Inkreis
Wir bezeichnen mit R den Inkreisradius des Ausgangspolygons, mit r den Inkreisradius des Restpolygons. Es hat gegenber dem Ausgangspolygon den Lngenreduktionsfaktor . Dieses Restpolygon wird dann zum Boden der Schachtel.
Die Differenz ist zunchst die Breite der Parallelstreifen und dann die Hhe der Schachtel.
Wir bezeichnen mit A den Flcheninhalt des Ausgangspolygons. Das Restpolygon, also der Schachtelboden, hat dann den Flcheninhalt:
Fr das Schachtelvolumen V ergibt sich:
Nun luft es weiter wie in der Schule:
Wir erhalten die beiden Lsungen (Minimum) und (Maximum). Die optimale Lsung ist also:
Die Lsung ist unabhngig von der Form des Ausgangspolygons und hngt nur vom Inkreisradius R ab.
Die Abbildung 4 zeigt die optimale Schachtel im Schrgbild mit dem Inkreis im Restpolygon am Boden.
Abb. 4: Optimale Schachtel
Der Abfall an den Ecken lsst sich zu einem weiteren hnlichen Polygon zusammenfgen (Abb. 5).
Abb. 5: Abfallsammelstelle
Im optimalen Fall hat diese Abfallfigur den Inkreisradius . Ihre Flche ist also . Die Oberflche der optimalen Schachtel ist .
Das Quadrat des Einfhrungsbeispiels hat die Seitenlnge 2R. Die optimale Hhe ist also ein Sechstel der Seitenlnge.
Die Sache funktioniert auch noch mit einem Kreis als Ausgangsfigur. Hier kommt die Vorstellung eines Vieleckes mit unendlich vielen Ecken zum Tragen. Das Einschneiden bei den Ecken braucht etwas Intuition (Abb. 6).
Abb. 6: Oben offener Kreiszylinder
Ich vermute, dass sich die Sache in den verallgmeinern lsst: Im beginnen wir mit einem Polytop (Verallgemeinerung von Punkt, Strecke, Polygon, Polyeder ... , vgl. [Coxeter 1973]), das eine Sphre mit dem Radius R als Insphre hat. Das Polytop habe das n-dimensionale Volumen A.
Nun reduzieren wir das Polytop mit dem Lngenfaktor (zentrische Streckung). Das reduzierte Polytop hat das n-dimensionale Volumen . Die fr mich offene Frage ist nun, wie das Ausschneiden an den Ecken zu verallgemeinern ist. Man muss wohl auch noch an Kanten etc. etwas wegschneiden. Jedenfalls klappen wir dann hoch in den . So entsteht eine oben offene Schachtel im mit dem reduzierten Polytop als Boden. Boden und Seiten der Schachtel sind n-dimensionale Hyperebenen im . Fr das -dimensionale Volumen V der Schachtel erhalten wir:
Es ist:
Das optimale Volumen erhalten wir fr und .
Wir biegen eine Strecke der Lnge 2R an beiden Enden rechtwinklig hoch (Abb. 7). Die optimale Flche erhalten wir fr . Anwendung: Querschnitt eines Kanals.
Abb. 7: Optimaler Fall
Bei diesem Beispiel muss nichts weggeschnitten werden, es entsteht kein Abfall.
Das Rechteck hat keinen Inkreis und passt daher nicht zu unseren Beispielen. In Sonderfllen passt es aber gleichwohl.
Abb. 8: Rechteck und quaderfrmige Schachtel
Wir arbeiten mit einer Schachtel der Lnge 2a und der Breite 2b (Abb. 8). In Abhngigkeit der Hhe h erhalten wir das Volumen V:
Fr die optimale Schachtel ergibt sich die Hhe:
Insbesondere ist . Das ist der Sonderfall des Quadrates.
Wenn wir b konstant halten, aber a immer gr§er werden lassen, muss sich der Fall des Querschnittes eines Kanals ergeben. Die Limesbildung ist etwas aufwndig (vgl. [Dodge/Viktora 2002]).
Dies entspricht tatschlich dem Fall des Kanalquerschnittes.
Literatur
[Coxeter 1973] Coxeter, H.S.M.: Regular Polytopes. Third Edition. New York: Dover 1973. ISBN 0-486-61480-8
[Dodge/Viktora 2002] Dodge, Walter and Viktora, Steve: Thinking out of the Box ... Problem. National Council of Teachers of Mathematics 2002.
[Gchter 2012] Gchter, Albert A.: Aufgabenkultur. Anregungen fr den Mathematikunterricht. St. Gallen: mefi-Verlag 2012. ISBN 978-3-9523962-1-6.