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Hans Walser, [20150440]
Quadratunterteilung
Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen
Die Abbildung 1 zeigt das unterteilte Quadrat.
Es ist eine infinite Unterteilung.
Wie gro§ sind die einzelnen Farbanteile?
Abb. 1: Unterteiltes Quadrat
Mit Hilfe der Beziehung
lassen sich die Farbanteile rechnerisch bestimmen.
Es geht aber auch mit geometrischen berlegungen.
In der Abbildung 2 ist ein schrger Streifen eingezeichnet. Der Flcheninhalt des Streifens ist die Hlfte der Quadratflche. Innerhalb des Streifens gibt es zu jedem roten Dreieck ein flchengleiches gelbes Dreieck. Der rote und auch der gelbe Flchenanteil innerhalb des Streifens sind also je ein Viertel der Quadratflche.
Abb. 2: Schrger Streifen
Das gelbe Dreieck oberhalb des Streifens hat auch einen Viertel der Quadratflche.
Somit ist der gelbe Anteil genau die Hlfte der Quadratflche.
Der nicht gelbe Anteil macht also insgesamt die andere Hlfte der Quadratflche aus.
Nun arbeiten wir mit dem Viertelquadrat links unten (Abb. 3). Dieses Viertelquadrat ist im Wesentlichen eine Kopie des Ausgangsquadrates.
Abb. 3: Viertelquadrat
Im schrgen Streifen in diesem Viertelquadrat macht der rote Anteil einen Viertel der Viertelquadratflche aus also der ursprnglichen Quadratflche. Das rote rechtwinklige Dreieck unten rechts ist ebenfalls der ursprnglichen Quadratflche. Somit erhalten wir fr den gesamten roten Anteil der ursprnglichen Quadratflche.
Der anschlie§ende magenta Anteil ist eine lngenm§ig halbierte Kopie des roten Anteils und daher flchenm§ig der ursprnglichen Quadratflche.
So geht das weiter.
Kontrolle fr den nicht gelben Anteil: