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Die Einschränkung verhindert, daß die Gleichung singulär wird, die Bezeichnungen und wie in (1) werden im weiteren Verlauf dieses Textes auch für diese Parameter der elliptischen Kurve verwendet. Zusätzlich zu den Lösungen der Gleichung nimmt man noch einen weiteren Punkt hinzu, die elliptische Kurve ist somit eine Teilmenge der projektiven Ebene mit . Anders ausgedrückt ist eine elliptische Kurve eine Kurve vom Geschlecht mit einem festgelegten Ursprung . Weiterhin ist anzumerken, da die Gleichung (1) eine nichtsinguläre Gleichung dritten Grades ist, schneidet eine Gerade an genau drei Punkten.
Wir definieren uns nun eine Verknüpfung auf wie folgt: Seien und die Gerade, die und verbindet (bzw. die Tangente an , falls ). sei nun der dritte Schnittpunkt von mit und die Gerade, die und verbindet. Dann ist der Punkt, so daß die Kurve an , und schneidet, dies ist in Abb. 2 veranschaulicht. Für die geometrische Veranschaulichung mag es nützlich sein, sich den Punkt als ,,Punkt im Unendlichen`` (hier also: ,,unendlich weit oben``) vorzustellen.
Man rechnet nach, daß diese Verknüpfung wohldefiniert ist und damit eine abelsche Gruppe mit als Einheit bildet. Dieses Gruppengesetz kann man auch durch die entsprechenden Geradengleichungen explizit aufschreiben oder z.B. in [Sil86] III. §2 nachschlagen, so daß man nicht auf die graphische Veranschaulichung angewiesen ist.
Der Name ,,elliptische Kurve`` rührt daher, daß diese im Komplexen (d.h. ) die Riemannschen Flächen sind, die zu den Integralen der Bogenlängen von Ellipsen gehören, geometrisch haben sie wenig mit Ellipsen gemeinsam, Ellipsen haben Geschlecht und elliptische Kurven Geschlecht .
Stefan Röhrich <email-pii>