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Hans Walser, [20160810]
Schnittpunkt im Wrfelbild
In einem normalaxonometrischen Wrfelbild (orthografische Projektion, senkrechte Parallelprojektion) finden wir planimetrisch einen Schnittpunkt von drei Thaleskreisen.
Sonderflle sind interessant.
Abb. 1: Spielwrfel
Ein guter Spielwrfel (ãgutÒ nicht im Sinne der Wahrscheinlichkeit (Laplace-Wrfel) sondern im Sinne des Rollverhaltens) ist die Schnittmenge eines geometrischen Wrfels mit seiner Kantenmittenkugel. Die Kantenmittenkugel ist die Kugel, welche die Kantenmitten des Wrfels berhrt (Abb. 2, perspektivische Darstellung). Im Einheitswrfel hat die Kantenmittenkugel den Radius .
Abb. 2: Kantenmittenkugel
Die Abbildung 3 zeigt in perspektivischer Darstellung die Schnittmenge von Wrfel und Kugel, also den geometrischen Spielwrfel. Die Ecken des geometrischen Wrfels sind kugelfrmig abgerundet.
Abb. 3: Schnittmenge
Die Abbildung 4 zeigt in Normalaxonometrie den Wrfel mit den Schnittkreisen auf der Oberflche.
Abb. 4: Wrfel in Normalaxonometrie
Rein planimetrisch gesehen erscheinen die drei sichtbaren Wrfelseiten als Parallelogramme. Der Umriss der Gesamtfigur ist ein punktsymmetrisches Sechseck. Die Schnittkreise erscheinen als Ellipsen, welche die Kantenmitten der Parallelogramme berhren (Steinersche Inellipsen). In der Abbildung 4 sind auch die Brennpunkte dieser Ellipsen eingezeichnet.
Wir zeichnen nun die Thaleskreise ber den drei Brennpunktstrecken (Abb. 5).
Abb. 5: Thaleskreise
Die drei Thaleskreise schneiden sich ein einem Punkt.
Abb. 6: Zentrum des Umrisssechseckes
Der Schnittpunkt ist zudem das Symmetriezentrum des Umrisssechseckes (Abb. 6). Das hei§t, dass die drei nicht gezeichneten Thaleskreise fr die Ellipsen auf der rumlichen Rckseite ebenfalls durch diesen Punkt gehen.
Im Einheitswrfel hat die Kantenmittenkugel wie schon erwhnt den Radius . Die Schnittkreise mit den Wrfelseiten haben den Radius . Die Ebenen dieser Schnittkreise haben vom Mittelpunkt den Abstand .
Wir zeichnen nun in Normalaxonometrie auf der Kugel mit dem Radius einen Kleinkreis mit dem Radius (Abb. 7). Seine Ebene hat vom Kugelzentrum den Abstand .
Abb. 7: Kleinkreis auf Kugel
Die Bildellipse des Kleinkreises hat die Halbachsen und , wobei der Neigungswinkel der Kleinkreisebene (im Raum) zur Projektionsebene ist.
Weiter sei c der planimetrische Abstand des Ellipsenmittelpunktes vom Zentrum des Kugelumrisses. Es ist . Also ist:
(1)
Somit ist c auch die halbe Brennpunktweite der Kleinkreisellipse. Der Thaleskreis ber der Brennpunktstrecke verluft daher durch das Zentrum des Kugelumrisses.
Interessant ist ein Zusatzresultat: Der Thaleskreis schneidet den Kugelumriss in den Berhrungspunkten der Kleinkreisellipse mit dem Kugelumriss.
Die einfachste Figur ist oft die schwierigste. Stimmt die Figur der Abbildung 8?
Abb. 8: Frontalansicht
Die Abbildung 9 zeigt einen Schulbuchklassiker im Karoraster. Welchen?
Abb. 9: Ein Klassiker
Die Abbildung 10 zeigt die Situation in isometrischer Darstellung.
Abb. 10: Isometrische Darstellung
Aus der Abbildung 10 ergibt sich unmittelbar, dass die Brennpunkte der Steiner-Inellipse im 60¡-Rhombus zusammen mit den stumpfen Ecken ein Quadrat bilden (Abb. 11).
Abb. 11: Quadrat im 60¡-Rhombus
Dies kann direkt durch Nachrechnen verifiziert werden.