Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03434.jsonl.gz/2880

Hans Walser, [20150418]
Affine und projektive Kegelschnittbilder
Anregung: H. H., W.
Wir wollen zeigen, dass das affine Bild einer Ellipse wieder eine Ellipse, das affine Bild einer Parabel wieder eine Parabel und das affine Bild einer Hyperbel eine Hyperbel ist.
Das ist nicht trivial, da fr projektive Abbildungen dieser Sachverhalt nicht gilt. Dies wird exemplarisch gezeigt.
Eine regulre affine Abbildung hat lineare Abbildungsgleichungen
mit
.
Der Vektor
ist der Translationsanteil, der fr unsere berlegungen weggelassen werden kann. Somit bleiben die Abbildungsgleichungen:
Wir brauchen rechentechnisch im Folgenden die Umkehrabbildung:
(1)
Eine allgemeine Gleichung zweiten Grades ist von der Form:
(2)
In Gro§vaters Formelsammlung (DMK/DPK 1992, S. 71) finden wir folgende Klassifizierung:
(3)
sowie
Da eine affine Abbildung geradentreu ist, knnen wir den zweiten Fall fr unsere berlegungen weglassen.
Wir setzen (1) in (2) ein:
Die lsst sich umformen zu:
Mit
erhalten wir wiederum die Form (2).
Fr das entscheidende Kriterium gem§ (3) ergibt sich:
Dies lsst sich umformen zu:
Der Faktor ist das Quadrat der inversen Abbildungsdeterminante. Bei einer regulren Abbildung ist diese nicht null, das Quadrat davon also positiv. Daher haben die Determinanten und das gleiche Vorzeichen. Gem§ (3) ist also die Aussage im ersten Abschnitt bewiesen.
Wir werden exemplarisch zeigen, dass der Sachverhalt bei projektiven Abbildungen viel interessanter ist.
Eine projektive Abbildung hat gebrochen lineare Abbildungsgleichungen. Wir arbeiten mit dem Beispiel:
Diese Abbildung hat zunchst die x-Achse als Fixpunktgerade.
Nullsetzen des gemeinsamen Nenners in den Abbildungsgleichungen liefert die so genannte Verschwindungsgerade. In unserem Beispiel ist das die Gerade (Abb. 1).
Abb. 1: Fixpunktgerade und Verschwindungsgerade
Die Punkte auf dieser Geraden werden in unendlich ferne Punkte abgebildet (ãDivision durch nullÒ). Das Bild der Verschwindungsgeraden ist entsprechend die unendlich ferne Gerade.
Fr die Rechnungen bentigen wir wiederum die Abbildungsgleichungen der Umkehrabbildung. Diese sind:
Der Einheitskreis berhrt die Verschwindungsgerade. Dieser Punkt muss also verschwinden.
Rechnerisch erhalten wir:
Das ist die Gleichung einer Parabel (Abb. 2).
Abb. 2: Parabel
Der Kreis hat mit der Verschwindungsgeraden keinen Punkt gemeinsam. Da kann nicht viel passieren. Rechnerisch erhalten wir (die ãquadratische ErgnzungÒ ist immer wieder spannend):
Das ist die Gleichung einer Ellipse (Abb. 3).
Abb. 3: Ellipse
Wir sehen, dass Urbild (dunkelgrn) und Bild (rot) sich auf der Fixpunktgeraden schneiden.
Dass die rote Bildellipse die Verschwindungsgerade berhrt, hat nichts zu bedeuten, da die Verschwindungsgerade zum Urbildgehrt. Das ist also reiner Zufall. Wenn wir jetzt allerdings die rote Ellipse abbilden, erhalten wir eine Parabel, nmlich . Auch diese geht durch die gemeinsamen Fixpunkte.
Der Kreis schneidet die Verschwindungsgerade in zwei Punkten.
Rechnerisch erhalten wir:
Das ist die Gleichung einer Hyperbel (Abb. 4).
Abb. 4: Hyperbel
Der Urbildkreis und die Hyperbel schneiden sich auf der Fixpunktgeraden. Dass die Hyperbel und der Urbildkreis sich oben berhren, ist ein unglcklicher Zufall. Auf Grund der Abbildungsgleichungen ist nmlich .
Die Abbildung 5 illustriert, wie die Schnittpunkte des Urbildkreises mit der Fixpunktgeraden (das sind die Punkte, die ins Unendliche abrauschen) mit den Asymptoten der Hyperbel zusammenhngen. Sie legen die Richtungen der Asymptoten fest.
Abb. 5: Asymptoten
Das Bild eines Kreises als Sonderfall einer Ellipse kann bei ein und derselben projektiven Abbildung eine Parabel, eine Ellipse oder eine Hyperbel sein. Entscheidend ist, ob der Kreis die Verschwindungsgerade berhrt, meidet oder schneidet.
Was auf der Verschwindungsgeraden liegt, geht sozusagen dann hinter die Kulissen. Bei einer affinen Abbildung bleibt alles auf der Bhne, was auf der Bhne ist. Und alles, was hinter den Kulissen ist, bleibt dort. Die unendlich ferne Gerade ist bei affinen Abbildungen eine Fixgerade (zum Beispiel bei Drehungen) oder gar eine Fixpunktgerade (zum Beispiel bei Translationen oder zentrischen Streckungen).
Eine Parabel ist eine an sich geschlossene Kurve, die mal kurz hinter den Kulissen die unendliche ferne Gerade ksst.
Literatur
DMK/DPK (1992): Deutschschweizerische Mathematikkommission / Deutschschweizerische Physikkommission: Formel und Tafeln. Mathematik – Physik. 5. Auflage. Zrich: Orell Fssli. ISBN 3 280 02162 6.