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Hans Walser, [20110609a]
Im rechtwinkligen Dreieck
Eine Spielerei im rechtwinkligen Dreieck.
Zu einem rechtwinkligen Dreieck zeichnen wir die beiden Kathetenquadrate und verbinden Ecken gemЧ Abbildung 1.
Dann sind die beiden roten Strecken gleich lang.
Abb. 1: Rote Strecken gleich lang
Wir ergŠnzen die beiden roten Strecken zum Quadrat. Dann liegt die vierte Ecke auf der Hypotenuse (Abb. 2).
Abb. 2: Quadratecke auf Hypotenuse
Wir verwenden die fźr die rechtwinkligen Dreiecke źblichen Bezeichnungen und ergŠnzen gemЧ Abbildung 3. Die Beweise laufen nun mit StrahlensŠtzen und VerhŠltnissen.
Abb. 3: Bezeichnungen
Auf Grund der StrahlensŠtze ist . Wegen folgt . Analog (und schon aus formalen Symmetriegrźnden) wird . Es ist also .
Wir zeichnen nun eine Parallele zu AC durch R. Diese schneidet die Hypotenuse in einem Punkt , fźr den gilt:
Analog erhalten wir durch eine Parallele zu BC durch S einen Schnittpunkt mit:
Somit ist .
Wir passen das rote Quadrat ins rechtwinklige Dreieck ein und strecken von A aus auf das Kathetenquadrat źber der Seite a (Abb. 4).
Abb. 4: Strecken des roten Quadrates
Analog verfahren wir mit dem zweiten Kathetenquadrat.
Wir setzen einem beliebigen Dreieck auf den Seiten a und b Rhomben mit dem Winkel gemЧ Abbildung 5 auf.
Abb. 5: Aufsetzen von Rhomben