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Même si plusieurs écoles, une rue de Paris et un hôtel portent aujourd’hui son nom, Sophie Germain (1776 – 1831) eut en son temps toutes les peines du monde à s’imposer dans un univers d’hommes d’où les femmes étaient généralement exclues. Dès l’âge de treize ans, elle se passionne pour les mathématiques et étudie la nuit dans sa chambre à la lueur de bougies. Son père, ne comprenant pas que sa fille s’intéresse à une «profession masculine», les lui confisque. Mais elle s’obstine et il finit par la soutenir. Pour emprunter les cours de l’Ecole polytechnique, alors strictement réservée aux hommes, Sophie Germain se fait passer pour un ancien élève, Antoine Auguste Le Blanc. Séduit par ses travaux brillants, Lagrange (1776 – 1813), un mathématicien célèbre dont il sera bientôt question dans ce blog, la convoque et découvre l’imposture. Puis devient son ami et son mentor. C’est encore sous le nom de Le Blanc que Sophie Germain contacte Gauss (1777 – 1855), l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire, pour parler notamment de ses découvertes sur le dernier théorème de Fermat. S’ensuivra une longue correspondance entre les deux. Plus tard, elle sera la première femme autorisée à assister aux séances de l’Institut de France. Et sur les conseils de Gauss, elle reçoit en 1830 un titre honorifique à l’Université de Göttingen, mais décède d’un cancer du sein avant de le réceptionner.
Le génie de Sophie Germain est incontestable. Parmi ses travaux les plus célèbres, la démonstration de la véracité du dernier théorème de Fermat pour certains nombres, est l’un des plus importants. Pour en parler, il faut d’abord rappeler en quelques mots ce qu’est un nombre premier de Sophie Germain. Soit p, un nombre premier. Si 2p + 1 est à son tour un nombre premier, on dit alors que p est un premier de Sophie Germain. Exemples ? 3, 11 ou 29 sont des premiers de Sophie Germain (tout comme 2, 5 et 23 dans ce même intervalle), car
2 x 3 + 1 = 7
2 x 11 + 1 = 23
2 x 29 + 1 = 59
sont tous également premiers. On conjecture qu’il en existe une infinité, mais, tout comme la conjecture des nombres premiers jumeaux, celle-ci n’est pas davantage démontrée. On estime leur nombre, pour un entier inférieur à n, à
C est ici la constante des nombres premiers jumeaux, que les lecteurs attentifs de mon blog auront déjà rencontré dans mon billet consacré aux deux conjectures de Hardy-Littlewood (lire ici).
C’est durant ses recherches sur Fermat (né entre 1601 et 1610, décédé en 1665), dont le dernier théorème stipule qu’il n’existe aucune solution entière pour n > 2 à l’égalité
que Sophie Germain va démontrer que si n et 2n + 1 sont premiers, alors x, y ou z sont divisibles par n. Et que si n est impair et 2n + 1 premier, alors le théorème n’admet aucune solution si le produit xyz ne divise pas n. En d’autres termes, elle prouve que Fermat est vrai en tout cas pour tous les nombres de cette forme.
Sophie Germain aurait-elle pu aller plus loin, voire résoudre Fermat ? Rien ne l’exclut. En effet, des chercheurs ont relu récemment tous les manuscrits de la mathématicienne, et notamment sa correspondance avec Gauss. Il en ressort qu’elle avait un plan d’attaque très ambitieux pour résoudre Fermat, qui ne sera prouvé, pour rappel, qu’en 1994 par Andrew Wiles. Voici notamment ce qu’elle écrit dans une lettre adressée à Gauss en 1819 :
«Vous concevrez aisément, Monsieur, que j'ai dû parvenir à prouver que cette équation ne serait possible qu'en nombres dont la grandeur effraie l'imagination. (…) Mais tout cela n'est encore rien, car il faut l'infini et non pas le très grand.»
Le lecteur en tirera les conclusions nécessaires.