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(lat.), in der Geometrie jede krumme Linie. Man unterscheidet ebene und doppelt gekrümmte oder gewundene
Kurven. Die Kegelschnitte (s. d.) gehören zu den ebenen, die Schraubenlinie ist eine
gewundene Kurve. Drückt man die Lage eines Punktes in der Ebene durch zwei, im Raum durch drei Koordinaten aus, so wird eine ebene
Kurve durch eine einzige Gleichung, eine gewundene aber durch zwei Gleichungen zwischen den Koordinaten dargestellt,
weil sie als Durchschnitt zweier Flächen erscheint. Wenn
mehr
diese Gleichungen algebraisch sind, also die Koordinaten nur in Form von Summen, Differenzen, Produkten, Quotienten und Potenzen
enthalten, so nennt man die Kurven algebraische; im entgegengesetzten Fall heißen sie transcendente oder auch mechanische
Kurven. Die Kegelschnitte sind z. B. algebraische Kurven, die Cykloide aber ist eine mechanische Kurve. Die algebraischen Kurven
benennt man nach dem Grad ihrer Gleichung und sagt also, ein jeder Kegelschnitt sei eine ebene Kurve zweiten Grades. Der Grad der
Gleichung drückt aber zugleich die Anzahl der Punkte aus, in denen eine ebene Kurve von einer Geraden oder eine gewundene Kurve von
einer Ebene geschnitten wird, und diese Zahl gibt die Ordnung der an. Außerdem teilt man die ebenen algebraischen
Kurven in Klassen ein nach der Zahl der Tangenten, die man von einem Punkt aus an sie legen kann. Die Kegelschnitte sind von
zweiter Ordnung und Klasse; im allgemeinen ist eine Kurve nter Ordnung von der Klasse n (n-1).
(lat.), jede krumme Linie im Gegensatz zur geraden Linie (s.
Linie). Die Punkte einer Kurve können einer einzigen Ebene angehören und bilden dann eine sog.
ebene Kurve oder Kurve von einfacher Krümmung. Wenn es dagegen nicht möglich ist, durch alle Punkte einer
Kurve eine einzige Ebene zu legen, so hat man eine Kurve von doppelter Krümmung oder Raumkurve (s. d.) vor sich. Die ebenen Kurve können
definiert werden 1) als geometr. Örter (s. Geometrischer
Ort), 2) durch eine vorgeschriebene kinematische Bewegung eines Punktes oder einer Linie, 3) nach der
Methode der analytischen Geometrie (s. d., Bd.
7, S. 814 b) durch eine Gleichung zwischen Koordinaten (s. d.), 4) als Schnitt einer Ebene
mit einer krummen Fläche.
Die Ellipse (s. d.) z. B. kann auf alle vier
genannten Arten dargestellt werden:
1) als geometr. Ort aller Punkte, für welche die Summe der Abstände von 2 gegebenen Punkten (den Brennpunkten)
konstant ist, 2) auf kinematische Weise durch den Ellipsenzirkel (s. d.), 3) durch eine Gleichung zweiten Grades und 4) durch
den Schnitt eines Kegels mit einer Ebene. Die Betrachtung der Kurve als geometr. Örter beruht auf
den Grundlagen der Euklidischen Geometrie und ist die älteste Art, Kurve zu untersuchen und neue
Gestalten zu entdecken. Weit fruchtbarer und rascher zum Ziele führend sind die Methoden der analytischen Geometrie (1637
von Descartes begründet), namentlich unter Anwendung der Differential- und Integralrechnung.
Auf diese
Weise lassen sich die Eigenschaften der auf rein rechnerischem Wege untersuchen, und andererseits
bietet die analytische Geometrie der Funktionentheorie ein Mittel, die Funktionen als Kurve darzustellen und dadurch ein übersichtliches
Bild von ihrem Verlauf zu geben. Je nach der Beschaffenheit der zu Grunde liegenden Gleichung heißt die Kurve algebraisch oder
transcendent. Die algebraischen Kurve unterscheidet man nach dem Grade der Gleichung. So hat man Kurve zweiten
Grades oder die Kegelschnitte (s. d.), Kurve dritten Grades, vierten Grades u. s. w. Die analytische Untersuchung einer Kurve richtet
sich namentlich auf die Eigenschaften ihrer Tangenten (s. d.) und Normalen (s. d.),
auf die Krümmung (s. d.) sowie auch auf etwa vorhandene Asymptoten (s. d.), Durchmesser (s. d.)
und ausgezeichnete Punkte (s. Singularitäten).
Man kann Kurve auch definieren, indem man ihren Tangenten oder Normalen oder auch ihrer Krümmung bestimmte Eigenschaften vorschreibt,
aus denen sich die Gleichung der betreffenden Kurve ableiten läßt. Ein häufiger, hierher gehörender Fall ist der, daß die
Kurve als Einhüllende (s. d.) ihrer Tangenten betrachtet wird, wodurch z. B. die Brennlinien (s.
Diakaustische Flächen und Linien), die Trajektorien (s. d.) und Traktorien (s. d.) gewonnen werden. Auch durch Untersuchung
der Fußpunktkurve (s. d.) und der Evolute (s. d.)
ergeben sich mannigfache Formen von und Beziehungen zwischen bekannten Kurvenarten.
Die Anzahl der Punkte, in denen eine Kurve von einer beliebigen Geraden im allgemeinen geschnitten
wird, heißt ihre Ordnung; die Zahl der Tangenten, die sich im allgemeinen von einem beliebigen Punkte aus an eine Kurve legen
lassen, wird ihre Klasse genannt. Zwischen Ordnung, Klasse und der Zahl ihrer ausgezeichneten Punkte und Tangenten (Doppelpunkte,
Rückkehrpunkte, Doppeltangenten, Wendetangenten) bestehen eine Reihe von stets gültigen Beziehungen (Plückersche
Formeln). Z.B. ist jede Kurve 3. Ordnung ohne Doppelpunkt von der 6. Klasse, mit Doppelpunkt von der 4. Klasse, mit Rückkehrpunkt
von der 3. Klasse. Außer den analytischen Methoden zur Untersuchung der Kurve hat man auch neuere synthetische, die besonders
von Poncelet, Steiner und von Staudt durchgebildet wurden. Namentlich hat sich die projektive Geometrie
für die Untersuchung der Kegelschnitte als fruchtbar erwiesen.
Auf den Tafeln: Kurven Ⅰ und Ⅱ sind einige der wichtigern Kurve abgebildet.
Fig. 1 der Tafel: Kurven I zeigt eine Ellipse
(s. d.) mit ihrer Evolute (s. d.);
Fig. 2 eine Parabel (s. d.) als Einhüllende (s. d.);
Fig. 3 eine gleichseitige Hyperbel (s. d.) mit Fußpunktkurve (s. d.);
Kurve 3. Grades zeigen
Fig. 4‒6:
Fig. 4 die Cissoide (s. d.),
Fig. 5 das Folium Cartesii (Cartesianische
Blatt) mit der Gleichung x3+y3-3axy=0;
in
Fig. 7 ist eine Kardioide (s. d.) als Brennlinie
dargestellt;
in
Fig. 8 Pascals Schnecke (s. d.);
Fig. 9 zeigt eine Ellipse mit Parallelkurven (s. d.);
Fig. 10 verschiedene Konchoiden (s. d.);
Fig. 11 K. 4. Grades, deren drei verschiedene Gestalten durch Abänderung der Koefficienten
derselben Gleichung erhalten sind;
Fig. 12 zwei Scharen konfokaler Kegelschnitte (Ellipsen und Hyperbeln), d. h. Kegelschnitte
mit gemeinsamen Brennpunkten, die zugleich Trajektorien (s. d.) sind;
Fig. 13 Hyperbeln als orthogonale Trajektorien;
Fig. 14 verschiedene
Cassinische Linien (s. d.).
Die Tafel: Kurven Ⅱ zeigt in
Fig. 1‒3 Beispiele der
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