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Hans Walser, [20180708]
Rohre und Pizze
Anregung: Herget 2018
Wir gehen exemplarisch der Frage nach, was bei der Verdoppelung des Durchmessers geschieht.
Wie verndert sich die Kapazitt eines Rohres bei Verdoppelung des Durchmessers?
Die schulm§ige Antwort besteht darin, dass sich die Querschnittflche und damit im Wesentlichen auch die Kapazitt vervierfachen. Stimmt das?
Dieser berlegung liegt das Modell zugrunde, dass die Flssigkeit in einer Art Monoblock mit berall gleicher Strmung durch die Rhre rauscht.
Die Durchflussmenge pro Zeiteinheit ist dann ein Zylinder (rot in Abb. 1a), dessen Volumen sich bei Verdoppelung des Durchmessers vervierfacht (Abb. 1b).
Abb. 1: Homogene Strmung
Dieses Modell ist falsch, wie man sofort merkt, wenn man den Rhein bei Basel schwimmend berqueren will. Am Ufer ist die Strmung nicht fhlbar, nimmt dann aber mit der Entfernung vom Ufer dramatisch zu.
Warnung: Es ist verboten, den Rhein schwimmend zu queren. Ein Aufprall auf einen mittleren Brckenpfeiler ist lebensgefhrlich. Auch sind die Frachter zu trge, um zeitgerecht ausweichen zu knnen. Zudem ist von der Kommandobrcke aus die unmittelbare Umgebung der Wasseroberflche um das Schiff nicht einsehbar.
Man muss sich als Schwimmer innerhalb der blauen Bojen halten. Aber auch dieser kleine Abstand vom Ufer ist hinreichend um die Zunahme der Strmung zu spren.
Leonhard Euler verbrachte seine Schul- und Studienjahre in Basel, die Uni stand direkt am Rhein. Er arbeitete daher mit dem Modell einer Strmung, die linear mit dem Abstand vom Rand zunimmt. Damit haben wir durchaus eine Proportionalitt im Sinne von Herget (2018).
Nach diesem Modell ist in einem Rohr die Durchflussmenge pro Zeiteinheit ein Kegel (rot in Abb. 2a). Verdoppelung des Durchmessers bewirkt eine Verachtfachung des Volumens (Abb. 2b).
Abb. 2: Lineare Zunahme der Strmung
Man kann diskutieren, ob dieses Modell tragfhig ist. Jedenfalls ist es besser als das Modell mit der homogenen Strmung. Ich halte das Modell der homogenen Strmung im Unterricht fr gemeingefhrlich. Dies gilt insbesondere fr die vielen Vektorgeometrieaufgaben, wo ein Schwimmer mit einem konstanten Strmungsvektor konfrontiert wird. Man muss immer damit rechnen, dass Schlerinnen und Schler fr bare Mnze nehmen, was in der Schule erzhlt wird.
Wie verndert sich der Preis einer Pizza bei Verdoppelung des Durchmessers (Abb. 3)? Der schulm§ige Kommentar wre ein Preisverhltnis von 1:4.
Ein reales Beispiel: Eine 5-inch-Pizza kostet $13, eine 10-inch-Pizza $16. Und der Pizzaiolo meint, die kleinen Pizzen seien ein Verlustgeschft. Wie das?
Abb. 3: Kleine und gro§e Pizza
Der Geschftsfhrer: Die Hauptkosten sind Lokalmiete, Versicherungen, Personalkosten, Reinigung und Werbung. Diese Kosten sind unabhngig von der Pizza-Gr§e. Die Materialkosten sind marginal.
Literatur
Herget, Wilfried (2018): Accelerated Learning – unglaublich wirtschaftlich. ml mathematik lehren 208 | 2018. S. 48-49.