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Lead
Molti fenomeni fisici sono descritti da sistemi composti da molte particelle interagenti. Questi modelli sono molto complessi e tipicamente molto difficili da studiare perché il numero di particelle è molto grande.L'idea di base delle teorie cinetiche è che colui che osserva il fenomeno fisico non sia interessato al comportamento della singola componente, quanto al comportamento collettivo del sistema.Tale comportamento collettivo emerge su scale di spazio e tempo più grandi rispetto a quelle che caratterizzano la dinamica microscopica. È proprio su questa scala macroscopica che il sistema può essere descritto da un'equazione alle derivate parziali, la cui analisi qualitativa è molto più semplice. Il progetto in questione è incentrato sul dimostrare che, nel caso di gas classici e quantistici, la descrizione macroscopica è una buona approssimazione della dinamica microscopica.
Lay summary
L'equazione di Boltzmann è stata introdotta da Boltzmann e Maxwell alla fine del XIX secolo per cercare di dare una descrizione del comportamento di un gas rarefatto su scala macroscopica a partire dalle leggi microscopiche della meccanica classica, fornendo pertanto la prima giustificazione del secondo principio della termodinamica.
La correttezza di tale descrizione è ad oggi largamente accettata dalla comunità scientifica, come manifestato dall'utilizzo dell'equazione di Boltzmann in molte applicazioni. Nonostante ciò, una comprensione matematica completa della validità dell'equazione di Boltzmann come approssimazione di un sistema di particelle interagenti in un opportuno limite di scala è ad oggi assente.
Questo progetto ha lo scopo di affrontare alcuni tra i problemi aperti nel campo, tra cui la modellizzazione di interazioni a lunga portata, di domini con bordo e di effetti quantistici. Particolare attenzione è dedicata ai metodi quantitativi, in grado di fornire stime esplicite sull'errore commesso quando si approssima la dinamica di particelle interagenti su scala macroscopica con l'equazione di Boltzmann a livello macroscopico.