Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03501.jsonl.gz/2322

Hans Walser
Das DIN-Format
36. Fortbildungstagung fr Geometrie
5. bis 7. November 2015
Bundesinstitut fr Erwachsenenbildung St. Wolfgang
Strobl am Wolfgangsee
Zusammenfassung
Das DIN-Format ist mehr als ein Stck Papier und die Quadratwurzel aus Zwei.
Wir treffen auf Spiralen, Grenzpunkte, Fragen der Abzhlbarkeit, das Delische Problem, die gleichtemperierte 12-Ton-Stimmung, Jakobs Himmelsleiter, das Silberne Rechteck, Faltprobleme und Legespiele nach Frbel.
Wenn wir ein DIN A4 Papier lngs der kurzen Mittellinie falten, ergibt sich ein doppellagiges DIN A5 Papier. Dieses hat nun dieselbe Form (hnlichkeit), also dieselben Seitenverhltnisse wie das DIN A4 Papier, wie durch Anlegen an eine gemeinsame Diagonale nachgeprft werden kann.
DIN A4 und DIN A5
Mit der Schmalseite 1 und der Langseite x fr das DIN A4 Rechteck erhalten wir aus der hnlichkeit:
Dieses Seitenverhltnis kann durch Falten nachgeprft werden. Dabei bentzen wir den Sachverhalt, dass im Quadrat die Diagonalen-Lnge das der Seitenlnge ist.
Kontrolle durch Falten
Beim Abschneiden eines Quadrates vom DIN-Rechteck (etwa beim Zuschneiden von Origami-Papier) bleibt unten ein Rechteck mit dem Seitenverhltnis brig. Dies ist das so genannte Silberne Rechteck. Es hat hnliche Eigenschaften wie das Goldene Rechteck (vgl. Walser 2013).
Wir knnen mit einem Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... ein A0-Rechteck ausschpfen. Die Rechtecke sind im Wechsel im Quer- und Hochformat.
Ausschpfung des A0-Rechteckes
Wenn wir die Mitten aufeinanderfolgender Rechtecke verbinden, ergibt sich eine Zickzack-Linie, welche in den Grenzpunkt rechts oben mndet.
Wir knnen das Set von Rechtecken A1, A2, A3, ... aber auch spiralfrmig anordnen.
Spiralfrmige Anordnung
Der Grenzpunkt ergibt sich durch Einzeichnen geeigneter Halbdiagonalen.
Der Grenzpunkt hat ãDrittelkoordinatenÒ.
Drittel bei den Koordinaten
Das kann wie folgt eingesehen werden: Wenn auf der Hhe des Grenzpunktes von links her einfahren, treffen wir nur Hochformat-Rechtecke, und zwar der Reihe nach A4, A8, A12, A16, ... . Diese haben im angegebenen Koordinatensystem die Breiten , , , , ... . Fr die x-Koordinate des Grenzpunktes ergibt sich daher die geometrische Reihe:
Ein violettes Rechteck der vorstehenden Abbildung hat das Seitenverhltnis des DIN-Formates. Es bedeckt einen Neuntel des A0-Rechteks. Welchen DIN-Code hat es?
Dazu vergleichen wir mit den Flchenanteilen im DIN-System.
Wir sehen, dass unser violettes Rechteck zwischen A3 und A4 liegt, gefhlsm§ig nher an A3. Rechnerisch erhalten wir:
Jeder Punkt im Innern oder auf dem Rand des A0-Rechteckes kann Grenzpunkt werden. Dazu verwenden wir folgenden Algorithmus (ãDie Katze schleicht um den hei§en BreiÒ): Wir fllen das A0-Rechteck mit einem Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... so auf, dass der anvisierte Grenzpunkt nie ins Innere eines Set-Rechteckes gelangt. Die folgende Abbildung zeigt die ersten fnf Schritte und die Grenzfigur.
Beliebiger Grenzpunkt
Natrlich wird der Algorithmus ambivalent, wenn der anvisierte Grenzpunkt auf den Rand eines Set-Rechteckes zu liegen kommt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die x-Koordinate und/oder die y-Koordinate modulo eine abbrechende Dualbruchentwicklung haben.
In diesem Fall entscheiden wir uns fr ãuntenÒ beziehungsweise ãlinksÒ. Dieser Entscheid ist von derselben Qualitt wie der Entscheid, ein Halbes im Dezimalsystem durch 0.5 und nicht durch 0.4999... darzustellen.
Die folgende Abbildung zeigt die Situation mit dem Grenzpunkt in der Mitte des A0-Rechtecks.
Grenzpunkt in der Mitte
Die Figur ist asymmetrisch, muss es sein, da bei einer Symmetrie im A0-Rechteck jedes Teil doppelt oder vierfach erscheinen msste.
Ein Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... ist abzhlbar (es ist ja bereits nummeriert). Es hat die Mchtigkeit . Da jeder Punkt eines Din A0-Rechteckes Grenzpunkt sein kann, haben wir fr diese Punkte nach unserem Algorithmus die Mchtigkeit , da es fr jedes Set-Rechteck zwei Positionsmglichkeiten gibt.
Gibt es andere Figuren, die in zwei kongruente, zur Ausgangsfigur hnliche Teilfiguren zerlegbar sind?
Die Frage ist allgemein gehalten, es ist nicht von Halbieren die Rede, sondern nur von Zerlegen.
Wir knnen die DIN-Rechtecke zu Parallelogrammen verscheren.
Parallelogramme
Die Teilparallelogramme sind ungleichsinnig hnlich zum Startparallelogramm.
Das naheliegende Beispiel ist das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck. Bei der einfachsten Zerlegung gibt es einen Grenzpunkt unten rechts.
Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck
Es gibt im rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck ebenfalls eine spiralfrmige Anordnung. Der Grenzpunkt fhrt zu Fnfteln.
Spiralfrmige Anordnung
Die Figur kann auch aus einem halben Origami Papier durch fortlaufendes Falten erreicht werden.
Faltprozess
Faltmodell
Die Thaleskreise der Teildreiecke verlaufen durch den Grenzpunkt, ebenso eine Art ãHalbdiagonalenÒ.
Thaleskreise. Halbdiagonalen
Wird ein Quader mit dem Kantenverhltnis halbiert, ergeben sich zwei Quader mit dem Kantenverhltnis . Diese sind hnlich zum ursprnglichen Quader. Die folgende Abbildung zeigt einen DIN-Quader mit dem Kantenverhltnis im Vergleich zum Einheitswrfel.
DIN-Quader und Einheitswrfel
Die folgende Abbildung zeigt eine Anordnung eines DIN-Quader-Sets analog zur klassischen Anordnung eines Sets von DIN-Rechtecken.
Anordnung
Whrend bei Rechtecken nur zwischen Querformat und Hochformat unterschieden werden kann, brauchen wir hier drei Anaordnungsformate. Dazu dient das beigefgte Koordinatensystem. Der erste Quader hat seine lngsten Kanten in der x-Richtung, der zweite Quader hat seine lngsten Kante in der y-Richtung und der dritte Quader in der z-Richtung. Der vierte Quader hat seine lngsten Kanten wiederum in der x-Richtung.
Die Quader sind in einer Art rumlicher Spirale wie bei einer Wasserschnecke angeordnet.
Wasserschnecke
Als Stimmungsbild reale DIN-Quader.
DIN-Kisten
Im vierdimensionalen Raum ergeben sich durch
oder in anderer Schreibweise
die Kanten zweier aufeinanderfolgender 4d-DIN-Hyperquader. George Plya (1887-1985) htte in dieser Situation allerdings von einer Verallgemeinerung durch Verwsserung gesprochen.
George Plya
Wir verwssern weiter zum 12d-DIN-Hyperquader mit den Kantenlngen
Das hat man im Prinzip schon oft gesehen. Diese Zahlen stecken nmlich in den abnehmenden Abstnden von Gitarrenbnden und in den Lngen von Orgelpfeifen.
Und man kann es darber hinaus auch hren. Es sind die Frequenzverhltnisse der von Andreas Werckmeister (1645-1706) angeregten und in Bachs Werk Das Wohltemperierte Klavier demonstrierten gleichstufig temperierten Stimmung. Es ist das ãdemokratischsteÒ aller Stimmsysteme, da es alle Tonarten gleich behandelt und so Modulationen erleichtert.
Fr das Stimmen eines Klaviers ist diese Theorie gut. Aber nur in erster Nherung. Ein so gestimmtes Instrument klingt nmlich noch keineswegs optimal. Das liegt daran, dass die Klaviersaitenschwingungen generell keine harmonischen Schwingungen sind. Die Rckstellkraft der Saite ist nmlich nicht proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage. Die daraus entstehende ãInharmonizittÒ hat nichts mit fehlerhafter Fertigung zu tun, sondern entsteht durch die Saitensteifigkeit.
Sie fhrt dazu, dass beispielsweise der erste Oberton des Kammertons a' = 440 Hz nicht mit 880 Hz schwingt, sondern etwas schneller, nmlich beinahe 881 Hz. Man wrde es als zu tief und matt empfinden, wenn man die Oktave mathematisch nur auf a'' = 880 Hz stimmen wrde. Der Diskant muss je hher, desto strker ãgespreiztÒ werden, damit der Klang brilliant wird. Der hchste Klavierton wird etwa 40 Cent hher gestimmt, als es der mathematischen Theorie entspricht. Der Bass hingegen wird abgesenkt. Auch bei einem guten Instrument ist Klavierstimmung ein Stck weit Geschmacksache.
Die Intervallgr§e von einem Cent entspricht dabei dem Faktor .
Und ihm trumte; und siehe, eine Leiter stand auf der Erde,
die rhrte mit der Spitze an den Himmel, und siehe,
die Engel Gottes stiegen daran auf und nieder.
Gen 28, 11
Die Abbildung a) zeigt die ersten Sprossen der Jakobsleiter.
Jakobsleiter
Auf der einen Seite der Leiter steigen die Engel hinauf, auf der anderen Seite hinunter. Damit sie sich nicht gegenseitig auf den F§en herumtreten, haben sie festgelegt, dass die aufsteigenden Engel nur die Sprossen mit ungeraden Nummern verwenden, die absteigenden nur die Sprossen mit geraden Nummern (Abb. b). Damit zerfllt die Jakobsleiter in zwei Teil-Jakobsleitern, die zur ursprnglichen Jakobsleiter hnlich sind (Abb. c) und d). Wir haben also das Prinzip des DIN-Formates.
Der Reduktionsfaktor ist 2. Das Wort Reduktionsfaktor ist syntaktisch richtig, semantisch falsch, da Sprossenhhne nicht reduziert, sondern verdoppelt wird. Unter dem Aspekt eines Fraktals ergibt sich die Mandelbrot-Dimension D (fraktale Dimension):
Wir knnen zu einem DIN-Rechteck an der Schmalseite ein Quadrat ansetzen oder von einem DIN-Rechteck ein Quadrat abschneiden.
Quadrat ansetzen oder Quadrat abschneiden
Die folgende Abbildung zeigt das Summen- und das Differenzrechteck.
Summenrechteck und Differenzrechteck
Wir erhalten ein Summenrechteck mit dem Seitenverhltnis beziehungsweise ein Differenzrechteck mit dem Seitenverhltnis .
Wegen haben diese beiden Rechtecke dasselbe Seitenverhltnis. Ein solches Rechteck wird mit dem leicht esoterischen Namen Silbernes Rechteck bezeichnet, da es einige Eigenschaften hnlich denen des Goldenen Rechtecks mit dem Seitenverhltnis des Goldenen Schnittes hat. ber den Goldenen Schnitt siehe Walser, Hans (2013).
Wir knnen zum Beispiel vom Silbernen Rechteck zwei Quadrate abschneiden. Es bleibt ein Silbernes Restrechteck brig.
Zwei Quadrate abschneiden
Der Prozess kann iteriert werden, theoretisch ad infinitum.
Iteration des Abschneidens
Wir knnen die Quadrate mit Viertelkreisen fllen. So entstehen zwei Spiralen.
Spiralen
Wir knnen vier rechtwinklige-gleichschenklige Dreiecke (Geo-Dreiecke) so auslegen, dass ein Silbernes Umrissrechteck und ein Silbernes Lochrechteck entstehen.
Silberne Rechtecke als Umriss und als Loch
Auch dies kann iteriert werden.
Iteration
Die folgende Abbildung zeigt einen Beweis ohne Worte fr den Sachverhalt, dass sich die Diagonalen im Silbernen Rechteck unter einem Winkel von 45¡ schneiden.
Diagonalenschnittwinkel im Silbernen Rechteck
Der 45¡-Winkel ist aber auch der Zentriwinkel im regelm§igen Achteck. Daher erscheint das Silberne Rechteck im regelm§igen Achteck.
Silbernes Rechteck im regelm§igen Achteck
Flchenm§ig macht das Silberne Rechteck genau die Hlfte des Achtecks aus. Dies kann mit einem Zerlegungsbeweis eingesehen werden.
Teile-Ganzes-Beziehung
In der folgenden Zerlegung sind beide Silberne Rechtecke gleicherma§en zugeschnitten.
Zerlegungsbeweis
Der Zerlegungsbeweis kann noch subtiler gemacht werden, so dass ein Stern erscheint. Die Zerlegung des Achteckes hat von der Farbe abgesehen dieselben Symmetrien wie das Achteck selber.
Zerlegungsbeweis mit Stern
Das Beispiel erinnert an die Legespiele nach Frbel.
Frbel-Stern
Weitere Zerlegungsbeweise zu diesem Thema siehe Link.
Wenn wir beim Stern zustzlich zwei rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke ansetzen passt die Figur in ein DIN-Rechteck.
Einpassen ins DIN-Rechteck
Auf Grund dieser Figur kann aus einem DIN-Rechteck ein regelm§iges Achteck durch Falten hergestellt werden. Die folgende Abbildung illustriert den Faltprozess.
Falten eines Achteckes
Faltmodell
Natrlich knnen wir auch mit einem anderen Papier-Rechteck diesen Faltprozess durchfhren. Wir erhalten dann ein zwar gleichwinkliges, aber nicht gleichseitiges Achteck. Die folgende Abbildung zeigt die Situation fr das US Letter Format.
US Letter
Literatur
Walser, Hans (6. Auflage). (2013). Der Goldene Schnitt. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.
Link
Zerlegungsbeweise: