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In diesem Kapitel befassen wir uns mit den quantenmechanischen Eigenschaften eines der grundlegenden Modelle der Physik, dem harmonischen Oszillator. Ein harmonischer Oszillator ist ein physikalisches System in dem eine charakteristische Grösse, wie z.B. die Koordinate eines Teilchens, eine sinusförmige Zeitabhängigkeit zeigt, d.h. eine harmonische Schwingung ausführt. Diese Oszillationen werden durch eine in dieser charakteristischen Grösse linearen Rückstellkraft im Zusammenspiel mit der Trägheit des Systems verursacht. In der Natur gibt es sehr viele physikalische Systeme, die in guter Näherung als ein solches lineares Schwingungssystem betrachtet werden können: Mechanische Oszillatoren, z.B. das Federpendel, elektrische Oszillatoren, z.B. der LC-Schwingkreis, die Schwingungen zweiatomiger Moleküle oder Gitterschwingungen in einem Festkörper, um nur einige zu nennen.
Hier beginnen wir mit der klassischen Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators, die wir für das Beispiel des Federpendels formulieren. Es folgt dann die quantenmechanische Behandlung des harmonischen Oszillators, bei der wir die zugehörige Schrödinger-Gleichung lösen. Zum Abschluss des Kapitels vergleichen wir den klassischen mit dem quantenmechanischen Oszillator.
Wir betrachten ein Federpendel (siehe Abb. 10.1), d.h. ein Teilchen der Masse , welches an einer Feder mit Federkonstante befestigt ist und Oszillationen um die Ruhelage ausführt.
Diese Schwingung um die Ruhelage kommt aufgrund der durch die Feder bewirkten linearen Kraft zustande. Diese Kraft wird Rückstellkraft genannt, da sie in jedem Punkt auf der x-Achse in Richtung Ruhelage zeigt und somit bei einer Auslenkung das Teilchen wieder in Richtung der Ruhelage zwingt. Für ein Federpendel ist diese Rückstellkraft durch das sogenannte Hookesche Gesetz gegeben
Sie ist wie bereits erwähnt linear in der Auslenkung aus der Ruhelage. Die klassische Bewegungsgleichung lautet demzufolge
Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine harmonische Schwingung bei der Kreisfrequenz
mit Amplitude und der Phase , die von den Anfangsbedingungen abhängen. Die Lösung verdeutlicht noch einmal, dass bei einem harmonischen Oszillator die Frequenz unabhängig von der Amplitude ist.
Diese grundlegenden Eigenschaften, die wir am Beispiel des Federpendels kennengelernt haben, liegen allen Systemen, welche durch ein Oszillatormodell beschrieben werden können, zugrunde. Jedes solche System führt eine Oszillation um eine Ruhelage, bewirkt durch eine lineare Rückstellkraft, aus, wobei die Oszillationsfrequenz für genügend kleine Auslenkungen unabhängig von der Amplitude ist.
Wie zu Beginn erwähnt, lassen sich zahlreiche physikalische Systeme angenähert als harmonische Oszillatoren beschreiben. Jedoch sind in realen Systemen die Rückstellkräfte häufig bei grösseren Auslenkungen nicht linear. Diese Nichtlinearität führt zu anharmonischen Oszillationen, bei denen das System Schwingungen bei einer Reihe von Frequenzen ausführt. In anderen Worten ein idealer harmonischer Oszillator, bei dem die Rückstellkraft für beliebig grosse Auslenkungen linear in der Auslenkung aus der Ruhelage ist, existiert nicht. Dennoch kann die Rückstellkraft auch für solche Systeme für genügend kleine Auslenkungen aus der Ruhelage linearisiert werden. Mathematisch bedeutet diese Linearisierung, dass die Rückstellkraft um die Ruhelage bis zum linearen Term (Taylor-)entwickelt wird
wobei wir verwendet haben, dass in der Ruhelage keine Kraft auf das Teilchen wirkt, d.h. . Wenn alle anderen Terme in dieser Entwicklung ausreichend klein sind, so lässt sich das System in guter Näherung als harmonischer Oszillator beschreiben.
Die Schrödinger-Gleichung lautet
Das Potential (siehe Abb. 10.2) ergibt sich dabei aus der Integration über die Rückstellkraft
Wir sehen, dass das Potential zeitunabhängig ist und betrachten deshalb die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Diese Differentialgleichung lässt sich z.B. mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes lösen (siehe Anhang E).
Hier betrachten wir jedoch eine häufig verwendete Lösungsmethode, bei der zunächst sogenannte Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren eingeführt werden. Dazu schreiben wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung um, indem wir die beiden Operatoren
einführen, wobei die Oszillatoramplitude normiert.
Bevor wir die Schrödinger-Gleichung umschreiben, gehen wir zuerst auf einige wichtige Eigenschaften der Operatoren und ein:
Dass die Relation (10.10) für die Operatoren und erfüllt ist, zeigt folgende Rechnung
Partielle Integration für den zweiten Summanden liefert
Einsetzen in (10.11) ergibt
D.h. es gilt . Analog folgen
Wir kommen nun zurück zu unserem ursprünglichen Ziel, der Formulierung der Schrödinger-Gleichung (10.7) mit Hilfe der Operatoren und . Wir berechnen dazu den Ausdruck . Es ergibt sich mit (siehe Berechnung (10.14))
Damit hat die Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators ausgedrückt in den Operatoren und die folgende Form
Wir gehen noch einen Schritt weiter und schreiben
D.h. die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators sind Eigenfunktionen des Operators zum Eigenwert . Später werden wir erkennen, dass der Erwartungswert des Operators der Anzahl der Quanten des harmonischen Oszillators entspricht.
Unser nächstes Ziel ist nun die Bestimmung der Eigenfunktionen und der entsprechenden Eigenwerte des Operators . Die Eigenfunktionen sind identisch mit denen des Hamilton-Operators und die entsprechenden Energieeigenwerte ergeben sich dann zu
Dabei haben wir die Quantenzahl für die Eigenfunktionen und die Energieeigenwerte eingeführt.
Wir bestimmen den Grundzustand des Operators , d.h. die Eigenfunktion zum niedrigst möglichen Eigenwert . Dazu müssen wir als erstes den niedrigst möglichen Eigenwert bestimmen. Da der Operator der adjungierte Operator von ist, gilt
Demzufolge ist der niedrigstmögliche Eigenwert . Nach (10.22) muss dann für die entsprechende Eigenfunktion gelten , d.h. wir erhalten folgende Differentialgleichung zur Bestimmung des Grundzustands
Wir wählen den Ansatz und erhalten für die Bestimmung der Konstanten die Gleichung mit der Lösung . Damit ergibt sich
Die Konstante ergibt sich aus der Normierungsbedingung
zu . Damit erhalten wir für den Grundzustand den folgenden Ausdruck (siehe Abb. 10.3)
Zur Bestimmung der weiteren Eigenfunktionen zeigen wir zwei kleine Sätze.
Satz 10.1 Ist Eigenfunktion von zum Eigenwert , so ist eine Eigenfunktion von zum Eigenwert , d.h. der Operator erniedrigt den Eigenwert um 1. Daher wird Vernichtungsoperator genannt. Für die normierte Eigenfunktion gilt
Beweis:
Wir wenden den Operator auf die Eigenwertgleichung (10.20) an
Mit und (10.15) erhalten wir
Mit
folgt für die normierte Eigenfunktion
Der entsprechende Satz für den Operator lautet:
Satz 10.2 Ist Eigenfunktion von zum Eigenwert , so ist eine Eigenfunktion von zum Eigenwert , d.h. der Operator erhöht den Eigenwert um 1. Daher wird Erzeugungsoperator genannt. Für die normierte Eigenfunktion gilt
Beweis:
Wir wenden den Operator auf die Eigenwertgleichung (10.20) an
Mit und (10.14) erhalten wir
Mit
folgt für die normierte Eigenfunktion
Nach Satz 10.2 ergeben sich nun die Eigenfunktionen zu den Eigenwerten = 1, 2, 3, ... durch Anwendung von auf
Wir zeigen nun, dass wir damit alle Eigenfunktionen gefunden haben, d.h. wir beweisen den folgenden Satz:
Satz 10.3 Mit , , haben wir alle Eigenfunktionen des Operators gefunden.
Widerspruchsbeweis:
Wir nehmen an, dass ein Eigenwert mit und existiert und zeigen, dass diese Annahme auf einen Widerspruch führt. Die Eigenwertgleichung lautet
Mit (10.27) folgt
Dies steht im Widerspruch zur Positivität der Eigenwerte von .
Fassen wir die Abschnitte 10.2.2 und 10.2.3 zusammen:
Die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators des harmonischen Oszillators lauten (siehe Abb. 10.4)
mit den Energieeigenwerten (siehe Tab. 10.1)
Insbesondere sind die Eigenfunktionen reell und je grösser die Anzahl der Nullstellen der Eigenfunktionen ist, umso höher liegt der entsprechende Energieeigenwert. Diese Regel gilt allgemein bei eindimensionalen Problemen.
Die Eigenfunktionen lassen sich durch die sogenannten Hermite-Poly-nome ausdrücken (siehe Anhang I.1). Es gilt
wobei die Hermite-Polynome gegeben sind durch (siehe Tab. 10.1)
Die niedrigste Energie des harmonischen Oszillators ist klassisch , quantenmechanisch , d.h. im Gegensatz zur klassischen Mechanik erhalten wir in der Quantenmechanik eine endliche Grundzustandsenergie, auch Nullpunktsenergie genannt. In diesem Abschnitt gehen wir nun genauer auf diese Nullpunktsenergie ein.
Wir bestimmen als erstes die Orts- und Impulsunschärfe und . Für den Erwartungswert des Ortes erhalten wir
Demzufolge ergibt sich für die Ortsunschärfe
Analog erhalten wir für den Erwartungswert des Impulses und die Impulsunschärfe
Damit erhalten wir im Grundzustand für die Orts- und Impulsunschärfe
Somit ist das Teilchen im Grundzustand nicht bei lokalisiert, sondern ist über einen endlichen Bereich „verschmiert“, verbunden mit einem endlichen Impuls. Diesen Sachverhalt wird Nullpunktsschwankung genannt.
Wir leiten zusätzlich eine Ungleichung für die Nullpunktsenergie ausgehend von der Unschärferelation
her. Die Wellenfunktion werden wir dazu nicht explizit berechnen. Aus Symmetriegründen gilt für den Grundzustand und somit
Damit erhalten wir für die Energie die folgende Ungleichung
Wir bestimmen das Minimum der rechten Seite der Ungleichung indem wir die Ableitung nach null setzen
Auflösen nach ergibt
Damit lautet die Ungleichung für die Energie
Somit wird klar, dass die Nullpunktsenergie der kleinste Energiewert ist, der mit der Unschärferelation vereinbar ist.
Für die stationären Lösungen gilt nach (10.46) , d.h. in diesen stationären Zuständen führt der harmonische Oszillator einzeln keine Oszillation aus. Sie haben daher insbesondere nichts mit der klassischen Oszillationsbewegung gemeinsam. Das Ziel ist es nun Lösungen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung zu bestimmen, die eine periodische Oszillation darstellen, d.h. Zustände in denen der Erwartungswert des Ortes nicht verschwindet, sondern bzgl. der Zeitabhängigkeit mit der klassischen Oszillationsbewegung übereinstimmt. Wir gehen dazu von den Eigenzuständen des Vernichtungsoperators aus
Wir entwickeln diese Zustände nach den stationären Zuständen . Nach Abschnitt 9.5.7 erhalten wir
wobei für die Entwicklungskoeffizienten mit (9.278), (10.38), (10.58) und der Eigenschaft, dass der adjungierte Operator von ist, gilt
Damit folgt
Die Konstante ergibt sich aus der Normierungsbedingung
Damit erhalten wir
Einsetzen in (10.61) liefert für die Zustände die folgende Entwicklung
Die Zustände erhalten wir durch die Zeitentwicklung der stationären Zustände
Mit ergibt sich
Die Zustände werden kohärente Zustände1 genannt und sind Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung. Für den Erwartungswert ergibt sich mit
D.h. der Erwartungswert des Ortes führt eine periodische Oszillation aus. Wir haben also mit diesen kohärenten Zuständen, Zustände des harmonischen Oszillators gefunden, in denen der Erwartungswert des Ortes die selbe Zeitabhängigkeit wie die klassische Schwingung zeigt.
Zum Abschluss dieses Kapitels vergleichen wir den quantenmechanischen mit dem klassischen harmonischen Oszillator. Die klassische Bewegung ist beschrieben durch
wobei die Amplitude der Schwingung bezeichnet. Die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit das Teilchen im Intervall anzutreffen, ist gegeben durch
wobei die Aufenthaltsdauer in und die Periode ist. Mit (10.68) erhalten wir für den Ausdruck
Einsetzen in (10.70) ergibt
Abb. 10.5 zeigt die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit für die Quantenzahlen und zusammen mit der entsprechenden klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit : Die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit nimmt gegen die Umkehrpunkte monoton zu (da sie umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit ist). Die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit oszilliert, wobei die Höhe der Maxima gegen die klassische Umkehrpunkte zunimmt. Quantenmechanisch existiert zusätzlich eine endliche Wahrscheinlichkeit das Teilchen bei Amplituden grösser als den klassischen Umkehrpunkten anzutreffen. Für sehr hohe Quantenzahlen nähert sich die quantenmechanische der klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit an. Die Oszillationen werden immer schwächer und die Wahrscheinlichkeit das Teilchen bei Amplituden grösser als den klassischen Umkehrpunkten anzutreffen sinkt.
Daraus folgen die Eigenzustände
wobei und die Energieeigenwerte