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Didattica
300 anni fa nasceva a Basilea Leonhard Euler (Eulero)

Leonhard Euler (ritratto di Johann Georg Brucker)
La vita1
Nacque il 15 aprile 1707 a Basilea da Paul Euler, un pastore protestante, e Marguerite Brucker. Entrambi i genitori erano persone molto istruite e legate da amicizia con matematici importanti, in particolare con la famiglia Bernoulli. Il padre, che aveva studiato matematica con il grande Jakob Bernoulli (1654-1705), diede a Leonhard i primi rudimenti nella disciplina, anche se pensava di farne un teologo. Quando il tredicenne Eulero si iscrisse all'Università di Basilea — dapprima a Filosofia, disciplina nella quale si laureò a 16 anni, poi a Teologia — fu ritenuto degno di ricevere lezioni da Johann Bernoulli (1667-1749), uno dei più famosi matematici d'Europa. Grazie al talento e all'applicazione, divenne amico dei figli di Johann — Daniel e Nicolas (Nicolaus I), entrambi matematici — che già rivaleggiavano nella disciplina con il padre. Il marchese di Condorcet,2 cui si deve l'elogio funebre di Eulero, scrisse che Johann Bernoulli impartiva ad Eulero una lezione alla settimana «destinée à éclaircir les difficultés qui se présentoient à lui dans le cours de ses lectures et de ses travaux: les autres jours étoient employés par M. Euler à se mettre en état de profiter de cette faveur signalée. Cette méthode intelligente empêchoit son génie naissant de s'épuiser contre des obstacles invincibles, de s'égarer dans les routes nouvelles qu'il cherchoit à s'ouvrir; elle guidoit et secondoit ses efforts: mais en même temps elle l'obligeoit de déployer toutes ses forces, qu'il augmentoit encore par un exercice proportionné à son âge et à l'étendue de ses connoissances».3
Visto il talento del figlio, il padre si rassegnò ad avere in casa un matematico invece di un teologo: «on lui fit aisément entendre que son fils étoit né pour remplacer dans l'Europe Jean Bernoulli, et non pour être Pasteur de Riechen», scrisse Condorcet.
Nel 1727 Eulero raggiunse all'Accademia Imperiale delle Scienze di San Pietroburgo i fratelli Daniel e Nicolas Bernoulli, che vi insegnavano matematica e fisica. Nel 1730 divenne professore di fisica nella allora capitale russa e, tre anni più tardi, professore di matematica succedendo a Daniel; in quell'anno si sposò con Katharina Gsell, sua conterranea, figlia del primo direttore dell'Accademia di pittura di San Pietroburgo, da cui ebbe tredici figli (non tutti sopravvissuti). A San Pietroburgo ebbe inizio il primo importante periodo creativo nella vita di Eulero, segnatamente in collaborazione con Daniel Bernoulli, insieme a cui ottenne ben tredici premi dell'Accademia delle scienze.
Le incertezze della politica interna russa lo indussero ad accettare l'invito rivoltogli da Federico il Grande di Prussia di trasferirsi, nel 1741, all'Accademia delle Scienze di Berlino; vi fu direttore della Sezione di Matematica e Fisica di cui resse le sorti fino al 1766, quando dimissionò a causa di divergenze con Federico, che, tra l'altro, non l'aveva voluto come presidente dell'Accademia alla morte di Maupertuis. Nei 25 anni del suo soggiorno berlinese pubblicò moltissimi articoli e due delle sue opere principali. A Berlino si occupò anche dell'istruzione di una nipote di Federico il Grande; le scrisse 234 lettere riguardanti la fisica e la filosofia, lettere che vennero poi raccolte e pubblicate nel libro Lettres à une princesse d'Allemagne, che ebbe un enorme successo anche perché Eulero — che si rivolgeva ad un'adolescente — fece in modo da esporre in ogni lettera tutti gli elementi necessari alla comprensione dell'argomento: una grande lezione di didattica e un capolavoro di divulgazione scientifica.
Date le dimissioni dall'Accademia delle Scienze di Berlino, nel 1766 — su invito di Caterina di Russia — si recò nuovamente a San Pietroburgo, dove rimase fino alla morte. Cominciò in quell'anno a perdere la vista, prima a causa di una malattia poi di un'operazione. Durante il pauroso incendio che nel 1771 devastò la città, Eulero, ormai malato e quasi cieco, fu salvato per miracolo dal basilese Peter Grimm — «(dont le nom mérite sans doute d'être conservé)» secondo Condorcet — insieme ai suoi manoscritti, mentre la sua biblioteca andò distrutta. Morta la moglie nel 1773, tre anni dopo ne sposò la sorellastra Salome Abigail Gsell. Nonostante avesse perso quasi completamente la vista, la memoria prodigiosa, l'abilità nel calcolo mentale4 e il sostegno del maggiore dei tre figli che gli sopravvissero (Johann Albrecht, matematico, segretario a vita dell'Accademia di San Pietroburgo), del finlandese Anders Lowell e dello svizzero Nicolas Fuss gli permisero di rimanere creativo fino al momento della morte, sopraggiunta il 18 settembre 1783 all'età di 76 anni, momento ricordato dal marchese di Condorcet con « il cessa de calculer et de vivre».
Le opere
Eulero influenzò come nessun altro studioso o erudito la matematica e le scienze naturali matematiche del 18° secolo. I suoi lavori spaziano in molti campi della matematica — algebra, teoria dei numeri, analisi, geometria, trigonometria — e della fisica, con in particolare la meccanica dei fluidi e l'ottica, e nell'astronomia. Scrisse anche di costruzioni navali, di architettura, di artiglieria e balistica, di filosofia, di teoria della musica, di religione.
Se volessimo anche solo elencare per sommi capi i contributi che Eulero ha dato in tutti gli ambiti di cui si è occupato, riempiremmo troppe pagine: la Commissione Eulero, creata nel 1907 dalla Società Svizzera delle Scienze Naturali (oggi Accademia Svizzera delle Scienze Naturali) con l'unico compito di pubblicare integralmente le sue opere, ha cominciato il suo lavoro nel 1911 e non lo ha ancora terminato.
La pubblicazione, dal titolo Leonhardi Eulero Opera Omnia, prevede quattro serie:
- la Series prima: Opera mathematica, con una trentina di volumi,5 tutti pubblicati;
- la Series secunda: Opera mechanica et astronomica, pure con una trentina di volumi, quasi tutti pubblicati;
- la Series tertia: Opera physica, Miscellanea, con una dozzina di volumi, quasi tutti pubblicati;
- la Series quarta A: Commercium epistolicum, con soli 4 volumi pubblicati sui 10 previsti.
È in progetto anche una Series quarta B, che dovrebbe pubblicare in 7-8 volumi tutti i manoscritti di Eulero: gli originali sono conservati negli archivi dell'Accademia Russa delle Scienze a San Pietroburgo, mentre una copia è a Basilea, nell'Archivio Eulero (Euler-Archiv).
L'Euler Archive online propone i riferimenti relativi agli 866 documenti inventariati dallo storico della matematica Gustav Eneström (1852-1923): il suo lavoro è così importante che, dalla pubblicazione dell'elenco, tutti gli scritti di Eulero vengono caratterizzati dal “numero Eneström”, così come le opere di Mozart lo sono dal “numero Köchel”.
Eulero ha scritto in latino la maggior parte delle sue opere; molte sono in francese e alcune in tedesco. Se si considera che conosceva molto bene il russo e abbastanza bene l'inglese, possiamo ben dire di trovarci di fronte ad una persona eccezionale anche nelle lingue.
Nella sterminata produzione euleriana, la matematica — pura o applicata che sia (la distinzione venne fatta solo a partire dal 19° secolo) — la fa da padrone: una stima le attribuisce il 97% dell'intera opera.
Il risultato che più di ogni altro rese famoso Eulero, fu la risoluzione del cosiddetto “problema di Basilea”. Si trattava di trovare la somma di tutti i reciproci dei quadrati perfetti: La soluzione di Eulero del 1735, non certo rigorosa ma molto ingegnosa, fu pubblicata in tre versioni nel 1740. Il suo risultato, ovvero , sorprende ancora oggi coloro che lo vedono per la prima volta.

Introductio in analysin infinitorum. Autore Leonhardo Eulero, Professore Regio Berolinensi, & Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae Socio. Volume primo. Lausannae, Apud Marcum-Michaelem Bousquet & Socios. MDCCXLVIII.

Vollständige Anleitung zur Algebra von Hrn. Leonhard Euler. Erster Teil. Von den verschiedenen Rechen-Arten, Verhältnißen und Proportionen. St. Petersburg, 1802. Gedruckt bei der Kais. Akad. der Wissenschaften.
In questo testo, accessibile anche agli studenti liceali, Eulero pone il concetto di funzione alla base dell'analisi matematica. Prima di lui l'analisi era sempre stata trattata da un punto di vista geometrico e perciò la geometria vi occupava una parte preponderante. Eulero si discosta da questa tradizione e adotta l'algebra come strumento principale dell'analisi. L'algebra, con l'aggiunta di metodi per trattare le espressioni infinite, occupa infatti tutto il primo volume dell'Introductio. Nel secondo volume Eulero applica i metodi sviluppati nel primo volume allo studio e alla classificazione di curve e superfici.
In altri due testi Eulero si occupa di analisi: nelle Institutiones calculi differentialis, cum ejus usu in analysi finitorum ac doctrina serierum7 del 1755, presenta i suoi lavori sulle serie di funzioni (la parte preponderante), sulle derivate di funzioni (anche a più variabili) e sulle equazioni differenziali; nelle Institutiones calculi intégralis,8 sviluppa in tre volumi, pubblicati tra il 1768 e il 1770, il calcolo differenziale di Leibniz e il metodo delle flussioni di Newton, continua i lavori dei Bernoulli e introduce la nozione di equazione alle derivate parziali e il calcolo delle variazioni.
Un altro testo accessibile a chiunque abbia una preparazione matematica di media superiore è la Vollständige Anleitung zur Algebra,9 pubblicata la prima volta nel 1770, tradotta in inglese e in francese. Eulero presenta qui i suoi lavori sull'algebra elementare, tra cui la risoluzione di equazioni fino al quarto grado, di equazioni irrazionali e di equazioni a più incognite.
Con questi testi Eulero divenne, agli occhi delle successive generazioni di matematici, un vero maestro, non solo per la chiarezza della sua esposizione, ma anche perché propose un modello per le trattazioni sistematiche, che consentivano di partire dai fondamenti per giungere a problemi aperti della ricerca.
Un esempio significativo della sua straordinaria capacità di comunicare efficacemente argomenti di natura scientifica è dato dalle lettere che scrisse alla principessa di Anhalt-Dessau, nipote di Federico il Grande di Prussia, di cui abbiamo già detto. Un riconoscimento di questa sua preziosa abilità sta nelle parole di Frobenius10 riportate da un famoso storico della matematica — il basilese E. A. Fellmann11 — «Euler fehlte nur eine Eigenschaft zu einem vollkommenen Genie: nämlich unverständlich zu sein». (A Eulero mancava una sola delle caratteristiche di un genio universale: quella di essere incomprensibile).
Il grande merito di Eulero è stato quello di aver generalizzato il calcolo differenziale e integrale — sviluppato prima da Leibniz e Newton, poi ampliato dai fratelli Johann e Jakob Bernoulli — al punto da coprire quasi tutta la matematica e la fisica. La matematica che ancora oggi si insegna nei primi due anni di università è ampiamente dovuta a Eulero e la prova che i suoi lavori spaziano ben più lontano sta nelle numerose pubblicazioni, anche attuali, disseminate di termini legati al suo nome: angoli di Eulero, retta di Eulero, caratteristica di Eulero, costante di Eulero, equazioni di Eulero, ecc.
1 Indicazioni tratte prevalentemente dall'introduzione del prof. S.Chatterji al testo Lettres à une princesse d'Allemagne pubblicato nel 2003 sotto la sua direzione (ed. Presses polytechniques et universitaires romandes) e dall'elogio funebre scritto dal marchese di Condorcet e pubblicato nello stesso volume.
2 Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marchese di Condorcet (1743-1794), matematico, enciclopedista, uomo politico, filosofo, accademico di Francia; segretario dell'Accademia delle Scienze.
3 Eloge de M. Euler par le Marquis de Condorcet, in Lettres à une princesse d'Allemagne, op. cit.
4 Dall'elogio funebre già citato: «on l'a vu, dans l'intention d'exercer son petit-fils aux extractions de racines, se former la Table des six premières puissances de tous les nombres, depuis 1 jusqu'à 100, et la conserver exactement dans sa mémoire».
5 Ogni volume di formato in-quarto, con un numero di pagine compreso fra 300 e 700.
6 Esistono varie edizioni dell'Introductio, delle quali alcune “online”. Una copia della prima edizione in latino si trova nell'Euler Archive online. Una copia dell'edizione francese del 1796 così come una copia dell'edizione dall'Opera omnia del 1922 si trovano si trovano su Gallica, la sezione digitale della Biblioteca nazionale di Francia.
10 Frobenius, Ferdinand Georg (1849-1917), tedesco, docente di matematica e di didattica della matematica.
11 Scritto da Frobenius nel 1917 come riportato nell'opera di Fellmann Leonhard Euler, Rowolt, Hamburg, 1995, tradotta in inglese in occasione del trecentesimo della nascita di Eulero.