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Travaux en mathématiquesMichel Plancherel s’est occupé principalement d’analyse, de physique mathématique et d’algèbre. Dans une série de travaux datant des années 1910,
il s’est consacré à transmettre des résultats de l’analyse de Fourier classique à des espaces fonctionnels généraux (espaces de Hilbert) en étudiant la sommation, la représentation de fonctions par des séries de Fourier resp.
des intégrales de Fourier tout comme les transformations intégrales (transformations de Fourier et Laplace) de différents systèmes de fonctions orthogonales (polynômes de Legendre, s´eries de Fourier entre autre). Il obtint des résultats fondamentaux, parmi lesquels le théorème de Plancherel, le résultat plus connu comme théorème fondamental de l’analyse harmonique.
Ces résultats, parmi tant d’autres, il les appliqua à l’étude d’équations différentielles partielles hyperboliques et paraboliques, de l’équation intégrale singulière, à la solution de problàmes de variation avec le procédé de Ritz tout comme à la théorie ergodique. Il donna par exemple en 1913 une preuve pour l’impossibilité de systèmes ergodiques mécaniques. En algèbre, il obtint surtout des résultats dans la théorie des formes quadratiques et leurs
applications, dans la résolution de systèmes d’équation avec une infinité de
variables et à la théorie des algèbres de Hilbert commutatives (théorème de
Plancherel-Godemet).