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Hans Walser, [20160609]
Gestalt der Erde
Im spten 17. Jahrhundert entspann sich ein wissenschaftlicher Streit um die Gestalt der Erde (Brotton 2012, S. 308): Die Anhnger von Descartes (1596-1650) befrworteten eine eifrmige lngliche Form (gestrecktes Ellipsoid, Abb. 1a), die Anhnger von Newton (1643-1727) eine hamburgerfrmige abgeplattete Form (abgeplattetes Ellipsoid, Abb. 1c). In der Abbildung 1 sind beide Formen stark bertrieben gezeichnet. Tatschlich waren die vorgeschlagenen Abweichungen von der Kugelgestalt (Abb. 1b) so gering, dass eine Antwort nicht auf der Hand lag.
Abb. 1: Welche Gestalt ist die richtige?
Es wird versucht, die geometrischen Grundlagen zur Entscheidung dieser Frage aufzuarbeiten.
In der Abbildung 2 sind zustzlich die Meridiane und Breitenkreise mit einem 15¡-Raster eingezeichnet.
Abb. 2: Meridiane und Breitenkreise
Auf dem Weg lngs eines Meridians vom quator zum Nordpol berschreiten wir auf einer Kugel (Abb. 2b) in regelm§igen Abstnden einen Breitengrad. Die gesamte Strecke ist 10'000 km (gem§ der historisch ersten Meterdefinition). Wir haben insgesamt 90¡. Somit ist der Abstand zwischen zwei Breitengraden:
(1)
Die Kugel der Abbildung 2b ist mit einem 15¡-Raster dargestellt. Der Sd-Nord-Abstand zwischen zwei gezeichneten Breitenkreisen ist somit je 1666.666... km. Selbstverstndlich hngt diese Lnge vom Radius der Erdkugel ab. Auf dem Mond oder dem Mars (beide kleiner als die Erde) wre sie kleiner, auf dem Jupiter, dem gr§ten Planeten des Sonnensystems, entsprechend gr§er. — Im 17. Jahrhundert wurde nicht mit dem metrischen System gearbeitet. Man verwendete andere Lngenma§e. Das ist aber fr unsere berlegungen unwesentlich.
Die Ellipsoide der Abbildungen 2a und 2c sind ebenfalls mit einem 15¡-Raster dargestellt. Wir haben allerdings das ãGefhlÒ, dass die Sd-Nord-Abstnde zwischen den gezeichneten Breitenkreisen nicht alle gleich sind. Bei der Abbildung 2a werden sie gegen den Nordpol hin krzer, bei der Abbildung 2c hingegen lnger.
Das muss erklrt werden.
Die Abbildung 3 zeigt ebenfalls in einem 15¡-Raster die Situation der Kugel in einem Achsenschnitt, wie das in der Schule gehandhabt wird. Die geografische Breite ist der Winkel im Kugelmittelpunkt zwischen vom quator hinauf auf den Breitenkreis. In der Abbildung 3 ist exemplarisch die geografische Breite eingetragen.
Abb. 3: Geografische Breite bei der Kugel
Diese Idee kann nicht auf ein reales Ellipsoid bertragen werden. Zunchst knnen wir auf der Erde ja gar nicht zu ihrem Mittelpunkt vordringen.
Weiter ist es so, dass die Lote auf einem Ellipsoid nicht auf seinen Mittelpunkt zeigen. Die Abbildung 4 illustriert dies fr den abgeplatteten Fall.
Abb. 4: Lote beim Ellipsoid
Wir knnen auf der Kugel aber die geografische Breite auch mit der Richtung zum Polarstern bestimmen (exemplarisch fr in Abb. 5). Diese Richtung ist parallel zur Erdachse.
Abb. 5: Geografische Breite mit Hilfe des Polarsterns
Analog knnen wir auf dem Ellipsoid vorgehen (exemplarisch fr in Abb. 6).
Abb. 6: Geografische Breite mit Hilfe des Polarsterns
In der Abbildung 6 sind die Punkte mit den geografischen nrdlichen Breiten 0¡, 15¡, 30¡, 45¡, 60¡, 75¡, 90¡ eingezeichnet, der 15¡-Raster also. Wir sehen, dass sich die Abstnde zwischen zwei solchen Punkten gegen den Nordpol zu vergr§ern. Um das zu verstehen, bentigen wir den Begriff des Krmmungskreises.
Der Krmmungskreis in einem Punkt einer Kurve, in unserem Fall der Meridianellipse, ist derjenige Kreis, der sich der Kurve am besten anschmiegt. Er ist also sozusagen eine kreisfrmige Tangente.
Die Abbildung 7 zeigt die Krmmungskreise an die Meridianellipse fr die geografischen Breiten 30¡ (orange) und 60¡ (lila).
Abb. 7: Krmmungskreise
Da die Krmmung der Ellipse gegen den Pol zu abnimmt, wird er Krmmungskreis entsprechend gr§er.
Lokal, das hei§t in einer Umgebung eines bestimmten Punktes, unterscheidet sich die Ellipse kaum vom Krmmungskreis. Fr die Frage der Bogenlnge von einem Breitengrad zum nchsten knnen wir also nherungsweise auf den Kreis abstellen. Da diese Bogenlnge aber vom Kreisradius abhngt, ist sie fr einen Punkt in der Nhe des Pols gr§er als fr einen Punkt in der Nhe des quators.
Dies gilt fr ein abgeplattetes Ellipsoid (Abb. 2c). Fr ein gestrecktes Ellipsoid (Abb. 2a) verhlt es sich umgekehrt.
Es gilt nun, die Lnge von einem Breitengrad zum nchsten einerseits in quatornhe und andererseits in Polnhe zu messen. Solche Messungen wurden 1735-1744 im heutigen Ecuador und 1736-1737 in Lappland durchgefhrt. Sie besttigten die Annahme Newtons ber die Abplattung der Erde.
Literatur
Brotton, Jerry (2012): A History of the World in Twelve Maps. Penguin Books. ISBN 978-0-141-03494-5.