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Le problème
Notons h la hauteur du triangle rectangle, R le rayon du demi-cercle noir et r le rayon du demi-cercle rouge.
Exprimer le rapport r/R en fonction de R et h.
Indication: le rayon R du cercle inscrit dans un triangle (quelconque) est donné par R = 2S/p où S est la surface du triangle et p son périmètre.
La solution
Nous voulions vous présenter une solution semblable à celle de que propose Gery Huvent (), mais la solution proposée par un de nos internautes étant très élégante, nous avons décidé de publier la sienne.
On trace le segment A’B’, parallèle à AB et passant par le point de tangence entre les deux demi-cercles. La hauteur h correspond au segment AB et on note h’ la longueur du segment A’B’. On note de plus C’ et C les centres des demi-cercles rouge et noir respectivement.
Ainsi, les triangles A’B’C’ et ABC sont semblables et donc, par le Théorème de Thalès, nous avons :
r / R = h’ / h
Il reste donc à exprimer h’ en fonction de R et h.
Notons T le point de tangence entre le demi-cercle noir et l’hypoténuse du grand triangle. On remarque que le segment CT est de longueur R et donc les triangles rectangles ABC et ATC sont isométriques (les longueurs de leurs côtés et leurs angles sont les mêmes). Ainsi le segment AT est de longueur h.
De la même manière, les triangles rectangles A’TC et A’B’C sont aussi isométriques et donc le segment A’T est de longueur h’.
Traçons une parallèle à la base du grand triangle et passant par A’. On note H l’intersection entre cette parallèle et le segment AB.
Considérons le triangle rectangle A’HA : nous pouvons maintenant exprimer toutes ses dimensions en fonction de h, h’ et R. En effet : la longueur A’H vaut 2R, la longueur AH vaut h - h’ et la longueur A’A vaut h + h’.
Donc par le Théorème de Pythagore, nous pouvons écrire :
(h’ + h) = (h – h’) + (2R)
D’où l’on tire que R2 = hh’, autrement dit : h’ = R2 / h.
En remplaçant dans la première équation, il vient : r / R = R2 / h2.