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Dreiecksarten
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Grundlagen zum Thema Dreiecksarten
Inhalt
Dreiecksarten
Die Welt der Dreiecke ist vielfältig! Im Video siehst du, dass man über ein bestimmtes Dreiecksmerkmal sogar einen Dieb überführen kann. Das geht natürlich nur, wenn sich ein Täter über eine ganz bestimmte Dreiecksart verraten hat. Du wirst sehen, dass man die unterschiedlichen Dreiecksarten nach ihren Winkeln und nach ihren Seiten unterscheiden kann. Zunächst erinnern wir uns daran, was ein Dreieck ist.
Definition – Dreieck
Ein Dreieck ist eine ebene geometrische Figur mit drei Ecken oder Eckpunkten $A$, $B$ und $C$ und drei Seiten $a$, $b$, $c$. Die Summe der drei Innenwinkel $\alpha$ (gesprochen: alfa), $\beta$ (gesprochen: beta) und $\gamma$
$\alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ$
Die Beschriftung eines Dreiecks erfolgt so, dass die Seite $a$ gegenüber dem Eckpunkt $A$ liegt, $b$ gegenüber $B$ und $c$ gegenüber $C$. An jedem Eckpunkt spannen zwei Seiten einen Winkel auf. Innenwinkel $\alpha$ befindet sich an dem Eckpunkt $A$, $\beta$ an $B$ und $\gamma$ an $C$.
Unterscheidung der Dreiecksarten
Klassifizierung der Dreiecksarten nach ihren Winkeln:
- Bei einem stumpfwinkligen Dreieck gibt es einen Winkel, der größer als 90° ist.
- Bei einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Winkel kleiner als 90°.
- Gleichseitige Dreiecke haben drei 60°-Winkel.
- Rechtwinklige Dreiecke haben einen 90°-Winkel.
Klassifizierung der Dreiecksarten nach ihren Seiten:
- Bei einem unregelmäßigen Dreieck sind alle Seiten verschieden lang.
- Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang.
- Bei einem gleichseitigen Dreieck sind drei Seiten gleich lang.
Wenn du dir die Unterscheidungsmerkmale für die Dreiecksarten genau anschaust, dann stellst du fest, dass bei einem Dreieck auch mehrere Kriterien gleichzeitig zutreffen können. So ist beispielsweise ein gleichseitiges Dreieck auch ein gleichschenkliges und dazu ein spitzwinkliges Dreieck.
Hier findest du die Dreiecksarten auf einem Bild:
Hinweise zum Video
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Dreiecke zu identifizieren und der jeweiligen Dreiecksart zuzuordnen.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du das Dreieck mit seinen Winkeln und Seitenlängen kennen.
Übungen und Arbeitsblätter
Du findest hier auch Übungen und Arbeitsblätter. Beginne mit den Übungen, um gleich dein neues Wissen über Dreiecksarten zu testen.
Ausblick
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Rechenregeln für Rechnungen an Dreiecken zu lernen.
Transkript Dreiecksarten
Ein neuer Fall für Sherlock Bones. Trudy Müller wurde auf offener Straße bestohlen. Alles ging so schnell, sie kann sich kaum an etwas erinnern. Nur ein Detail geht ihr nicht aus dem Kopf: eine Fläche mit 3 Seiten und 3 Winkeln. Bones, der Profi-Detektiv, weiß sofort, dass es sich hierbei um ein Dreieck handeln muss bei dem die Summe der Innenwinkel immer 180 Grad beträgt. Doch der Detektiv benötigt mehr Details, also...
Durch welche Merkmale unterscheiden sich Dreiecke?
...hypnotisiert Bones die alte Dame und entlockt ihr weitere Einzelheiten: Kein Winkel des Dreicks war größer als 90 Grad. Bones schlussfolgert, dass das gesuchte Dreieck nicht stumpfwinklig sein kann, denn stumpfwinklige Dreiecke haben einen Winkel größer als 90 Grad. Zusätzlich maß einer der Winkel exakt 90 Grad, also muss es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handeln. Zuletzt waren zwei der drei Seiten gleich lang. Das heißt, gesucht wird ein gleichschenkliges, kein gleichseitiges Dreieck. Reichen Bones diese Indizien, um den Fall zu lösen? In seinen Auftrag versunken, versucht sich Bones die Dreiecksarten und deren Eigenschaften ins Gedächtnis zu rufen. Lass uns dem Meisterdetektiv dabei auf die Sprünge helfen. Dreiecke kann man anhand ihrer Winkel klassifizieren. Bei stumpfwinkligen Dreiecken ist ein Winkel größer als 90°, bei spitzwinkligen alle Winkel kleiner als 90°. Gleichseitige Dreiecke haben drei 60°-Winkel. Rechtwinklige Dreiecke haben einen 90°-Winkel. Dreiecke können auch anhand ihrer Seitenlängen unterschieden werden. Je größer ein Innenwinkel ist, desto länger sind die Seiten. Bei einem unregelmäßigen Dreieck sind alle Seiten veschieden lang. Gleichschenklig bedeutet: zwei Seiten sind gleich; gleichseitig heißt, alle Seiten sind gleich lang. Schlechte Nachrichten für Bones: Das bedeutet, dass einige Dreiecke in mehr als eine Kategorie passen. Es gibt 5 Verdächtige, die auf Trudys Beschreibung passen. Kann Bones den Täter unter ihnen finden?
Analyse der "verdächtigen" Dreiecke
Per Ausschlussverfahren versucht Sherlock Bones den dreisten Dieb zu identifizieren. "Auf der Krawatte vom Verdächtigen Nr. 1 befindet sich ein Dreieck. Einer der Winkel misst 110° - damit ist es größer als 90 Grad und somit stumpfwinklig. Um ganz sicher zu gehen, überprüft Bones noch einmal die Beweislage. Das Dreieck auf der Krawatte kann den gesuchten 90°-Winkel nicht beinhalten: Die Summe der Innenwinkel wäre dann nämlich größer als 180°. Bei dem Dreieck sind 2 Seiten gleich lang, das Dreieck ist damit gleichschenklig und nicht gleichseitig. Aber da nicht alle Kriterien erfüllt sind, lässt Bones den Mann laufen. " Verdächtiger Nr. 2 trägt einen dreieckigen Spitzbart. Hierbei sind alle drei Seiten gleich lang, weshalb alle Winkel 60° messen. Das Dreieck ist also spitzwinklig, nicht stumpf- oder rechtwinklig. Außerdem ist es ein gleichschenkliges, aber auch gleichseitiges Dreieck. Unschuld bewiesen. Verdächtige Nr. 3 trägt einen dreieckigen Anhänger. Einer der Innenwinkel misst 50 Grad, die übrigen beiden sind gleich groß. Da die Summe der Innenwinkel 180 Grad betragen muss, sind alle Winkel kleiner als 90 Grad. Das Dreieck ist nicht stumpfwinklig, sondern spitzwinklig, aber nicht rechtwinklig. Die übrigen Winkel betragen je 65 Grad -- somit sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Der Anhänger ist also gleichschenklig. "Verdächtige Nr. 4 glänzt mit einem ..äh.. Haar...band. Kein Winkel ist GRÖSSER als 90 Grad, weil es einen RECHTEN Winkel gibt. Da alle Seiten unterschiedlich lang sind, ist es ein unregelmäßiges, also nicht gleichschenkliges Dreieck. Sie ist unschuldig." Beim letzten Verdächtigen guckt ein dreieckiges Taschentuch aus der Jacke. Bones denkt nach...zwei Winkel sind 45°, Winkel Nr 3 muss also 90° betragen. Das Dreieck ist rechtwinklig, nicht stumpfwinklig. 2 gleich große Winkel bedeuten 2 gleich lange Seiten. Das Dreieck ist also gleichschenklig, nicht gleichseitig. Unglaublich! DAS ist der entscheidende Beweis, der Täter ist gefasst .... Aber was hat er der alten Dame eigentlich gestohlen? ...Awwww, ihr Herz.
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Mega cool und lustig 🤣
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Hahahah xD Also Leudis: "Er hat ihr das Herz gestohlen." ist eine Redewendung. Es heißt nicht, dass er n Mörder ist. Genauso wenig heißt das, dass er ihr das Herz gebrochen hat. Es bedeutet einfach gesagt, dass sich die Frau in den Mann verliebt hat. Also quasi, dass der Mann, das Herz von der Frau erobert hat. Also mal wirklich, das kann doch nicht sein, dass das so viele nicht gecheckt haben xD
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Ich weiß nicht ob ihr das guckt, aber im Youtube steht ein Kanal der hat auch ein Junge der heißt Joshua. Und die kanal heißt Prestonplayz (es ist im englisch!)
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Wartet. Hier im Komentaren, sind 2 Joshua? Wow
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Sehr gut
Dreiecksarten Übung
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Gib die Eigenschaften von Dreiecken wieder.Tipps
Ein spitzer Winkel ist kleiner als $90^\circ$ und ein stumpfer größer als $90^\circ$.
Der Winkelsummensatz besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt.
Ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen Winkel größer als $90^\circ$. Da die Summe aller Winkel $180^\circ$ beträgt, müssen die beiden anderen Winkel spitze Winkel sein.
Gleichseitige Dreiecke sind Spezialfälle von gleichschenkligen Dreiecken.Lösung
In jedem Dreieck gilt, dass die Anordnung der Winkel genau der Anordnung der gegenüberliegenden Seiten entspricht. Das bedeutet: Je größer der Innenwinkel eines Dreiecks ist, desto länger ist die gegenüberliegende Seite.
Bei einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Innenwinkel spitze Winkel. Ein spitzer Winkel ist ein Winkel kleiner als $90^\circ$.
Der Winkelsummensatz gilt in jedem beliebigen Dreieck. Er besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ beträgt.
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist einer der drei Winkel ein stumpfer Winkel. Ein stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$. Da die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ beträgt, müssen die beiden verbleibenden Winkel spitze Winkel, also kleiner als $90^\circ$, sein.
Bei gleichschenkligen Dreiecken sind mindestens zwei Seiten gleich lang. Die beiden gleich langen Seiten werden Schenkel genannt. Gleichseitige Dreiecke sind ein Spezialfall von gleichschenkligen Dreiecken. Dort sind alle drei Seiten gleich lang. Das bedeutet, dass jedes gleichseitige Dreieck mit Sicherheit auch gleichschenklig ist. Umgekehrt gilt dies jedoch nicht.
Die Seite in einem gleichschenkligen Dreieck, welche nicht so lang ist wie die beiden Schenkel, heißt Basis. An dieser Seite liegen die sogenannten Basiswinkel an. Diese beiden Winkel sind gleich groß.
Insbesondere gilt in gleichseitigen Dreiecken, dass alle drei Winkel gleich groß sind, also $60^\circ$.
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Überprüfe, ob die verdächtige Person tatsächlich der Dieb ist.Tipps
Ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen stumpfen Winkel. Die beiden übrigen Winkel sind spitze Winkel.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen $90^\circ$-Winkel.
Wenn alle vier Hinweise erfüllt sind, ist der Dieb gefasst.Lösung
Wir schauen uns die vier Hinweise an und prüfen, ob der Anhänger all diese Hinweise erfüllt.
Hinweis 1: An der Kleidung des Diebs befindet sich irgendwo ein Dreieck.
Der Anhänger ist ein Dreieck. Dieser Hinweis ist erfüllt.
Hinweis 2: Das Dreieck an der Kleidung des Diebs ist nicht stumpfwinklig.
Die Winkel des Anhängers sind bekannt: Ein Winkel ist $50^\circ$ groß, die anderen beiden sind $65^\circ$ groß. Dieses Dreieck hat keinen stumpfen Winkel. Das bedeutet, dieser Anhänger passt zu dem Hinweis.
Hinweis 3: Das Dreieck des Diebs ist rechtwinklig.
Dies liegt bei dem Anhänger nicht vor, weil der Anhänger keinen Winkel von $90^\circ$ hat. Dieser Hinweis ist nicht erfüllt.
Hinweis 4: Das Dreieck des Diebes ist gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.
Das bedeutet, dass genau zwei Seiten gleich lang sind. Da bei dem Anhänger zwei Winkel gleich groß sind, sind auch die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Da nicht alle Winkel gleich groß sind, kann es sich nicht um ein gleichseitiges Dreieck handeln. Dieser Hinweis ist erfüllt.
Insgesamt sind drei der vier Hinweise erfüllt. Die Verdächtige kann nicht der Dieb sein.
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Entscheide mit Hilfe der Winkel, ob das Dreieck rechtwinklig, gleichschenklig oder gleichseitig ist.Tipps
Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt stets genau $180^\circ$.
Sind zum Beispiel die beiden Winkel $20^\circ$ und $80^\circ$ gegeben rechnen wir:
$180^\circ-20^\circ-80^\circ=80^\circ$
Somit haben wir zwei gleichgroße Winkel, also ein gleichschenkliges Dreieck.
Sind zum Beispiel die beiden Winkel $65^\circ$ und $25^\circ$ gegeben rechnen wir:
$180^\circ-65^\circ-25^\circ=90^\circ$
Somit haben wir ein Winkel der der $90^\circ$ groß ist, also ein rechtwinkliges Dreieck.Lösung
In dieser Aufgabe sind stets zwei Winkel gegeben. Mit Hilfe der Innenwinkelsumme kannst du sehr schnell ausrechnen, wie groß der dritte Winkel ist:
Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer exakt $180^\circ$.
Mit Hilfe der Winkel kannst du nun die jeweilige Dreiecksart bestimmen:
- Jedes rechtwinklige Dreieck hat genau einen $90^\circ$-Winkel.
- Jedes gleichseitige Dreieck hat immer 3 Winkel mit jeweils genau $60^\circ$.
- Jedes gleichschenklige Dreieck hat genau 2 gleich große Winkel.
- Du kannst den dritten Winkel berechnen: $180^\circ - 40^\circ - 100^\circ = 40^\circ$
- Das Dreieck hat zwei gleich große Winkel und ist somit gleichschenklig.
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Ermittle mit deinem Wissen über Dreiecke den Unterschlupf der Bankräuber.Tipps
Nach dem Winkelsummensatz beträgt die Summe der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$.
Ein stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$.
In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$.Lösung
Was wissen wir? Der Unterschlupf der Räuber ist ein Haus mit einem Dach in Form eines stumpfwinkligen Dreiecks. Das bedeutet, dass einer der drei Winkel ein stumpfer Winkel sein muss. Wir können bei den gegebenen Dreiecken jeweils den fehlenden Winkel berechnen, um zu prüfen, ob einer der Winkel ein stumpfer Winkel ist.
Nach dem Winkelsummensatz gilt, dass die Summe aller drei Innenwinkel stets $180^\circ$ beträgt.
Da in fast jedem der Dreiecke zwei Winkel gegeben sind, müssen wir diese Gleichung nach dem dritten, fehlenden Winkel umformen.
Dies machen wird nun für jedes der Dächer.
Dach A: Wir kennen den rechten Winkel und einen weiteren Winkel, nämlich $45^\circ$. Damit gilt für den fehlenden Winkel:
$180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ$
Keiner der drei Winkel ist größer als $90^\circ$. Dieses Dreieck kann nicht stumpfwinklig sein. Dieses Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig.
Dach B: Hier sind zwei Winkel gegeben $45^\circ$ und $50^\circ$.
Der dritte Winkel ergibt sich, wenn man die beiden Winkel von $180^\circ$ subtrahiert:
$180^\circ-45^\circ-50^\circ=85^\circ$
Alle drei Winkel sind spitze Winkel. Dieses Dreieck ist sicher nicht stumpfwinklig.
Dach C: Hier sind zwei gleich große Winkel gegeben $35^\circ$.
Wieder kann der dritte, fehlende Winkel berechnet werden, indem diese Winkel von $180^\circ$ subtrahiert werden;
$180^\circ-35^\circ-35^\circ=110^\circ$
Dies ist ein stumpfer Winkel. Dieses Dreieck ist stumpfwinklig und darüber hinaus auch gleichschenklig. Dies könnte der Unterschlupf der Räuber sein.
Dach D: Dies ist ein gleichseitiges Dreieck. Das bedeutet, dass auch alle drei Winkel gleich groß sind, nämlich $60^\circ$. Auch dieses Dreieck kann nicht stumpfwinklig sein.
Dach E: Gegeben sind die beiden Winkel $50^\circ$ sowie $65^\circ$. Es wird wieder der dritte Winkel berechnet.
$180^\circ-50^\circ-65^\circ=65^\circ$
Keiner der drei Winkel ist ein stumpfer Winkel. Alle drei Winkel sind spitze Winkel und zwei stimmen überein. Dieses Dreieck ist gleichschenklig und spitzwinklig.
Schließlich und endlich können wir feststellen, dass einzig Haus C die Bedingung erfüllt und deswegen der gesuchte Unterschlupf sein muss.
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Bestimme mit Hilfe der Beschreibungen, was du über die Art der Dreiecke sagen kannst.Tipps
Notiere dir die Eigenschaften der folgenden Dreiecke:
- spitzwinklige Dreiecke
- stumpfwinklige Dreiecke
- gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke
- rechtwinklige Dreiecke
Ein stumpfwinkliges Dreieck liegt vor, wenn einer der drei Innenwinkel größer ist als $90^\circ$.
Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang.Lösung
In dieser Übung sollst du dir einen Überblick über die verschiedenen Dreiecke erarbeiten:
Dreiecke können auf Grund ihrer Winkel eingeteilt werden: Jedes Dreieck hat mindestens zwei spitze Winkel. Ein spitzer Winkel ist kleiner als $90^\circ$. Der dritte Winkel unterscheidet die Dreiecke.
- Ist der dritte Winkel auch ein spitzer Winkel, so liegt ein spitzwinkliges Dreieck vor.
- Ist der dritte Winkel ein rechter Winkel, so liegt ein rechwinkliges Dreieckvor.
- Ist der dritte Winkel ein stumpfer Winkel, so liegt ein stumpfwinkliges Dreieck vor.
- Wenn mindestens zwei Seiten gleich lang sind, so liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor.
- Wenn sogar alle drei Seiten gleich lang sind, spricht man von einem gleichseitigen Dreieck.
- Eine Fläche mit drei Seiten und drei Ecken ist ein Dreieck. Die Summe der Innenwinkel dieses Dreiecks ist immer $180^\circ$.
- Wenn keiner der Winkel größer ist als $90^\circ$, dann kann es sich sicherlich nicht um ein stumpfwinkliges Dreieck handeln.
- Ist einer der drei Winkel ein rechter Winkel, also $90^\circ$, so spricht man von einem rechtwinkligen Dreieck.
- Wenn genau zwei Seiten gleich lang sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig.
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Finde die Fehler in den Aussagen der Polizistin zu Dreiecken.Tipps
Du kannst dir auch alle Eigenschaften der Dreiecke aufschreiben. Vergleiche die Eigenschaften dann mit den Aussagen der Polizistin.Lösung
- Ein stumpfwinkliges Dreieck besitzt einen stumpfen Winkel, also einen Winkel, der größer ist als $90^\circ$. Da die Summe aller Winkel $180^\circ$ beträgt, gilt für die beiden verbleibenden Winkel, dass deren Summe kleiner sein muss als $90^\circ$. Das bedeutet, dass diese beiden Winkel spitze Winkel sein müssen.
- In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Das bedeutet, dass auch zwei Seiten gleich lang sind. Damit ist jedes gleichseitige Dreieck auch gleichschenklig. Umgekehrt ist dies aber nicht richtig.
- Bei 1. haben wir bereits festgestellt, dass bei einem stumpfwinkligen Dreieck die beiden nicht-stumpfen Winkel spitze Winkel sein müssen.
- Der Winkelsummensatz besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel in jedem beliebigen Dreieck immer $180^\circ$ beträgt. Da gibt es auch keine Ausnahmen oder Sonderfälle.
- In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel $90^\circ$ groß. Da die Summe der beiden übrigen Winkel ebenfalls $90^\circ$ beträgt, muss jeder der beiden Winkel kleiner sein als $90^\circ$, also ein spitzer Winkel.
- In gleichschenkligen Dreiecken gilt zum einen, dass zwei Seiten gleich lang sind und zum anderen, dass die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind.
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