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Hans Walser, [20190418]
Oberflchengleiche Tetraeder und Wrfel
Anregung: Patrik G. K. Wiesner, BSc ETHZ, Davidgasse 42, A - 1100 Wien
Nach einem Satz von Dehn (1900) sind volumengleiche Tetraeder und Wrfel nicht zerlegungsgleich.
Flchengleiche ebene Polygone sind nach einem Satz von Hilbert aber immer zerlegungsgleich. Wir suchen eine gemeinsame Zerlegung der Oberflchen von Tetraeder und Wrfel. Dazu arbeiten wir in den Abwicklungen dieser Krper.
Die Abbildung 1 zeigt eine Gegenberstellung und eine Durchdringung der beiden Krper mit gleicher Oberflche.
Abb. 1: Tetraeder und Wrfel mit gleicher Oberflche
Abb. 2: Flchengleiche Abwicklungen
Die Abbildung 2 zeigt exemplarisch je eine Abwicklung von Tetraeder und Wrfel mit gleicher Gesamtflche.
Abb. 3: Zerlegungsgleiche Abwicklungen
In den beiden Zerlegungen der Abbildung 3 haben entsprechende Teile dieselbe Farbe und sind gleich orientiert. Sie knnen also durch eine Translation von der einen Abwicklung in die andere gebracht werden. Jedes Teil wird genau einmal verwendet.
Die Abbildung 4 zeigt eine andere Lsung. Die Teile werden mehrfach verwendet.
Abb. 4: Andere Lsung
Wir gehen aus von einem Wrfel der Kantenlnge 1. Seine Oberflche ist daher 6. Fr die Oberflche des Tetraeders mit der Kantenlnge s finden wir:
(1)
Aus S = 6 ergibt sich:
(2)
Weblink
Patrick Wiesner, Homepage