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Frege geht der Frage nach, wie eigentlich eine Zahl zu definieren ist. Die Antwort: Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des Begriffes “gleichzahlig dem Begriffe F”. So, wer das nicht versteht, der soll gefälligst das Buch lesen.
Nein, natürlich nicht. Ich versuche, Freges Definition mit meinen eigenen Worten auszudrücken. Dabei wird wahrscheinlich einiges verloren gehen und die Definition ist nichts mehr wert, und vielleicht habe ich das ganze auch gar nicht verstanden, aber mit diesem Risiko muss ich umgehen können. Nun denn..
Eine Zahl kann nicht einem konkreten Gegenstand zugeordnet werden, das gäbe zu viele Probleme, sondern einem Begriff. Ein Begriff “ist ein Ausdruck, den wir von einem oder mehreren Gegenständen aussagen”, beispielsweise eine Eigenschaft. Ein Beispiel: Der Mond umkreist die Erde. Eine Eigenschaft des Mondes ist also “die Erde umkreisend”. Dem Begriff “die Erde umkreisend” weisen wir die Anzahl 1 zu, da wir unter diesem Begriff uns den einen Mond vorstellen. (Und dass jetzt nicht der Einwand kommt, es gäbe auch andere Dinge die die Erde umkreisen! Dann müssten wir den Begriff halt weiter einschränken.)
Weisen wir nun dem Begriff “die Erde umkreisend” eine Zahl zu? Nein! Wir benötigen ein zweites Beispiel.
Ich lebe an der Metzgergasse 15 im zweiten Stock. Ein Begriff um mich zu beschreiben ist also “an der Metzgergasse 15 im zweiten Stock lebend”. Wenn wir Zahlen Begriffen zuordnen würden, dann bekämen beide Begriffe je die Anzahl 1. Dann hätten wir aber das Problem, dass es verschiedene 1en geben würde, was nicht sein darf. Was kann man tun? Man fasst die beiden Begriffe zusammen und gibt diesem Meta-Begriff eine Anzahl! Diese Menge an Begriffen nennt Frege den Umfang (man bedenke, das war vor über 100 Jahren).
Zurück zu Freges Satz: Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist die Menge aller Begriffe, die zu F gleichzahlig sind. Oder mit einem Beispiel: “Die Anzahl 5, welche dem Begriffe “Finger einer Hand” zukommt, ist die Menge aller Begriffe, die gleichzahlig zu “Finger einer Hand” ist.”
Eine Zahl ist also eine Menge aller Begriffe, die diese Anzahl haben.
Nun, ich hoffe das war irgendwie nachvollziehbar. Falls jemand eine einfachere Erklärung findet, bitte mich wissen lassen. Abschliessen möchte ich mit einem Zitat aus dem Buch, und zwar “dass wir ohne sinnliche Eindrücke dumm wie ein Brett wären”.
6 comments on “Gelesen: Die Grundlagen der Arithmetik”
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