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1. Einführung
Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test ist ein nicht-parametrisches statistisches Verfahren und dient der Überprüfung, ob sich die zentrale Tendenz in zwei verbundenen Gruppen (oder Stichproben) unterscheidet. Die abhängige Variable soll mindestens ordinalskaliert sein. Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test kann dann eingesetzt werden, wenn bei intervallskalierten abhängigen Variablen die Voraussetzung der Normalverteilung zu stark verletzt wird und es nicht zulässig ist, einen t-Test durchzuführen.
Beim Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test basiert die Berechnung der Teststatistik auf die Rangreihe der Paardifferenzen der verbundenen Gruppe. Die Paardifferenzen werden gebildet, indem jedem Wert aus der ersten Gruppe der entsprechende Wert aus der zweiten Gruppe zugeordnet wird. Die beiden Gruppen müssen den gleichen Umfang aufweisen.
2. Vorgehensweise
Mit folgender Fragestellung wird im vorliegenden Kapitel die Vorhergehensweise beim Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test näher erläutert:
Hat ein angebotener Rabatt beim Online-Kauf eines Produkts einen Einfluss auf die Verkaufszahlen?
Der Ablauf des Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tests wird in der Literatur in drei Schritten zusammengefasst, die im Folgenden beschrieben werden.
2.1 Modellformulierung
Die Fragestellung wird anhand eines hypothetischen Datensatzes untersucht, der die fiktiven, täglichen Verkaufszahlen vor und nach der Einführung eines Rabattangebots bei 30 ansonsten identischen Online-Inseraten enthält. Zur Beantwortung der Fragestellung kann die Erstellung eines Modells hilfreich sein. Im vorliegenden Fall sieht das entsprechende Modell folgendermassen aus:
Im vorliegenden Beispiel werden die intervallskalierte Variablen „daily sales before discount offer“ und „daily sales after discount offer“ berücksichtigt. Eine der beiden Variablen („daily sales before discount offer“) ist nicht normalverteilt. Deswegen ist die Durchführung des Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tests anstelle des t-Tests für verbundene Stichproben angebracht.
2.2 Berechnung der Teststatistik
In diesem Abschnitt wird die Teststatistik berechnet. In Tabelle 1 sind die Beispieldaten dargestellt:
Die Berechnung der Teststatistik basiert auf die Berechnung der Paardifferenzen, die in Tabelle 2 dargestellt sind:
Relevant für die Berechnung der Teststatistik sind die Paardifferenzen, die ungleich Null sind. Im vorliegenden Beispiel sind 26 Paardifferenzen ungleich Null. Die Absolutwerte der Paardifferenzen werden in eine aufsteigende Rangreihe eingeordnet. Bei Bindungen (mehrfaches Auftreten gleicher Ränge) werden gemittelte Rangplätze zugeordnet:
Basierend auf die Rangreihe können die Rangsummen für alle negativen und für alle positiven Paardifferenzen berechnet werden, indem alle Rangplätze des jeweiligen Vorzeichens zusammengezählt werden. Im Folgenden werden die Rangsummen der Beispieldaten berechnet:
T- = 1.25 + 1.25 + 1.25 + 7.25 + 7.25 + 7.25 + 11.50 + 16.50 = 53.5
T+= 1.25 + 5.50 + 5.50 + 7.25 + 11.50 + 13.33 + 13.33 + 13.33 + 16.50 + 18.50 + 18.50 + 19.33 + 19.33 + 19.33 + 23 + 24.50 +24.50 + 26 = 280.5
Zwischen den beiden Rangsummen besteht folgender Zusammenhang:
wobei
n =Anzahl Paardifferenzen ungleich Null
Als Teststatistik w dient der kleinere der beiden Werte:
Im vorliegenden Beispiel beträgt die Teststatistik W 53,5 und entspricht dem Wert von T-.
Bei Nichtvorhandensein von Mittelwertsunterschiede wäre die Teststatistik gleich der Hälfte der Summe der Rangsummen und wird folgendermassen berechnet:
wobei
n =Anzahl Paardifferenzen ungleich Null
In den Beispieldaten wäre die Teststatistik bei Nichtvorhandensein von Mittelwertsunterschiede175.5.
2.3 Prüfung auf Signifikanz
In diesem Abschnitt wird die berechnete Teststatistik auf Signifikanz überprüft. Der berechnete W-Wert wird mit dem kritischen Wert auf der theoretischen W-Verteilung verglichen. Falls der Stichprobenumfang grösser als 25 ist (wie beim vorliegenden Beispiel), kann von einer Normalverteilung ausgehen. Die Teststatistik ist in diesem Fall normiert und wird mit dem kritischen Wert auf der z-Verteilung verglichen. In SPSS wird der Vergleich automatisch durchgeführt.
Die Arbeitshypothese des Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tests besagt, dass der Medianwert der Paardifferenzen der beiden Gruppen gleich Null ist. Im vorliegenden Beispiel wird in SPSS einen p-Wert von .004 angezeigt (siehe Kapitel 3: „Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test mit SPSS“). Da dieser Wert kleiner ist als das Signifikanzniveau von .050, kann davon ausgegangen werden, dass der Medianwert der Paardifferenzen der beiden Gruppen ungleich Null ist.
3. Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test mit SPSS
3.1 Bei älteren SPSS-Versionen (bis SPSS 18) oder bei „alte Dialogfelder“ in den neueren Versionen
SPSS gibt bei der Berechnung des Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tests folgende Abbildungen aus:
In Abbildung 5 sind die Rangsummen der beiden Gruppen angezeigt. Unter „Bindungen“ ist die Anzahl der Paardifferenzen angegeben, die gleich Null sind.
In Abbildung 6 sind die Teststatistik und der p-Wert angezeigt. Dieser Wert ist kleiner als das Signifikanzniveau von .050. Es kann davon ausgegangen werden, dass durch die Einführung des Rabattangebots bei 40 ansonsten identischen Online-Inseraten die tägliche Verkaufszahl des Produktes signifikant gesteigert wird.
3.2 Bei neueren SPSS-Versionen (ab SPSS 19)
In Abbildung 7 ist die „Modellanzeige“ des Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tests angezeigt, die sich in den neuen SPSS-Versionen durch da Doppelklicken von „Übersicht über Hypothesentest“ eröffnet.
4. SPSS-Befehle
SPSS-Datensatz: Verwendeter Beispieldatensatz zum Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test.sav
Klicksequenz: Analysieren > Nichtparametrische Tests > zwei verbundene Stichproben
Im Feld “Testpaare“ > zwei verbundene Gruppen („Stichproben“) definieren
5. Literatur
Field, A. (2009). Discovering Statistics Using SPSS. London: Sage.
Gravetter, F. J. & Wallnau, L. B. (2009). Statistics for the behavioral sciences. Belmont: Wadsworth Cengage Learning.