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Ce symbole, parfois appelé lemniscate, représente l’infini. Ce n’est pas à proprement parler un nombre, mais plutôt un concept dont la réalité mathématique est indéniable. Il est au cœur des recherches du mathématicien allemand Georg Cantor (1845 – 1918, photo ci-dessous), connu pour avoir notamment créé la théorie des ensembles. Mais aussi les nombres transfinis et une conjecture célèbre plus connue sous le nom d’hypothèse du continu. Celle-ci est même le premier problème de la fameuse liste de Hilbert, qui en compte 23. L’hypothèse du continu stipule qu’il n’existe pas d’ensembles dont la «taille» se situe entre celle de l’ensemble des entiers naturels et celle de l’ensemble des nombres réels.
Pour mieux la comprendre, il faut rappeler ici différentes notions. L’ensemble des entiers naturels est simple à définir. Il désigne l’ensemble des nombres entiers positifs et s’écrit généralement comme suit :
ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,…}. Il compte un nombre infini d’éléments, ce qui est aisé à démontrer, puisqu’on peut toujours, pour tout n ∈ ℕ, déterminer un élément n + 1 qui se trouve à son tour dans ℕ. Et ainsi de suite à l’infini.
L’ensemble des nombres réels, noté ℝ, regroupe tous les nombres pouvant être représentés par une partie entière et une partie (finie ou non) de décimales. Il inclut aussi bien les nombres rationnels et irrationnels que les nombres transcendants comme π ou e (base du logarithme naturel). Ses éléments sont évidemment en nombre infini et on remarque très vite que ℕ ⊂ ℝ (ce qui signifie que ℕ est inclus dans ℝ).
Leur taille se déduit de leur cardinalité. Le cardinal d’un ensemble désigne le nombre d’éléments que compte cet ensemble. Dans le cas de ℕ et ℝ, ce cardinal est clairement infini. Pourtant, ℝ compte de toute évidence davantage d’éléments que ℕ. Comme s’il y avait, en gros, différentes sortes d’infinis selon la taille des objets que l’on observe. Mais la différence entre ℕ et ℝ, c’est aussi que le premier est dénombrable et pas le second. Qu’est-ce à dire ?
Pour faire simple, un ensemble dénombrable est un ensemble dont on peut compter et ordonner les éléments. Et un ensemble infini est dit dénombrable s’il est en bijection avec l’ensemble des entiers naturels ℕ. Une bijection est une fonction f d’un ensemble A dans un ensemble B pour laquelle à chaque élément de A correspond exactement un et un seul élément de B. Exemple simple : ℕ peut être mis en bijection avec l’ensemble des nombres pairs, via la fonction f (x) = 2x pour laquelle on fait correspondre, à chaque élément de départ dans ℕ, son double. On dit dans ce cas que les deux ensembles sont équipotents. En revanche, ℝ n’est pas dénombrable et aucune bijection avec ℕ n’est possible. Aussi petit soit-il, n’importe quel intervalle de la droite des nombres réels contient en effet d’autres nombres.
Mais revenons à Cantor. Ce dernier s’interrogea sur les cardinaux respectifs de ℕ et ℝ. Il appela le cardinal de ℕ aleph-zéro et le nota , du nom de la première lettre de l’alphabet hébraïque. Et comme tous les éléments de ℝ couvraient en continu la droite des réels, il nomma son cardinal le continu, l’abrégeant simplement par la lettre c. Puis s’en vint à se demander s’il existait un ensemble dont le cardinal était compris entre ces deux-là. C’était l’hypothèse du continu, qui peut se résumer par cette magnifique formule :
Elle fait du reste appel aux propriétés liées à l’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble, dont je parlerai dans un futur billet, et à l’axiome du choix.
En 1963, Paul J.Cohen, un mathématicien américain, parvint à résoudre l’hypothèse du continu en montrant qu’elle était indécidable. Autrement dit qu’on ne pouvait prouver ni sa vérité ni sa fausseté. La question n’est pas pour autant fermée aujourd’hui. Et certains pensent que de nouveaux axiomes pourraient rendre l’hypothèse vraie. La suite dans le courant du XXIe siècle ?