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Welches sind die Gefangenen?
Sie haben gelernt, dass man Punkte in der Ebene als komplexe Zahlen auffassen kann. Sie sollen nun mit diesen Zahlen arbeiten. Keine Angst, es gibt nicht viel zu rechnen.
Wir nehmen an, dass die Punkte Gefangene in einem mathematischen Gefängnis sind. Das Gefängnis sei der Kreis um den Ursprung mit Radius 2.
Wie jeder normale Gefangene versuchen die Punkte zu flüchten. Komplexe Zahlen machen dies, indem sie sich in eine Iteration einfügen und versuchen durch genügend Iterationen weit weg vom Gefängnis zu kommen. Unsere Fluchtiteration sei die folgende:
Die Konstante C sei der flüchtende Gefangene, Z sei beim Start der Iteration Null. Der Gefangene kann in unserem Beispiel maximal 50 Iterationen durchführen. Dann wird entschieden ob er geflohen ist oder nicht.
Die Iterationen eines erfolgreichen Flüchtlings
Mathematisch exakter muss der Gefange natürlich auch nach einer beliebig langen Zeit noch nicht geflüchtet sein. Alle Gefangenen bekommen lebenslänglich, d.h. auch nach beliebig vielen Iterationen befinden sich die Punkte in der Umgebung des Koordinatenursprungs.
Gefangenenmenge
Sie sollen herausfinden, welche Zahlen (Gefangenen) nicht aus dem Gefängnis flüchten können. Das Programm Fraktale Strukturen steht Ihnen zu diesem Zweck zur Verfügung. Experimentieren Sie mit dem Programm.
- Definieren Sie die "Gefangenenmenge": Welche Zahlen werden das Gefängnis nie verlassen.
- Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem ein, welche Punkte zur Gefangenenmenge gehören.
- Welche geometrischen Eigenschaften hat diese Menge?
Falls Sie einen Verdacht haben, wie diese Menge heisst, so können Sie versuchen die Menge im Programm einzeichnen zu lassen. Dazu brauchen Sie den Vornamen des Entdeckers dieser Menge.
Hinweise:
Ein Startpunkt soll zur Gefangenenmenge gehören, wenn der Punkt nach 50 Iterationen noch nicht aus den Gefängniskreis heraus gekommen ist.