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Travaux en mathématiquesPartisan du mouvement du Risorgimento et convaincu de la nécessité de régénérer l'université et en particulier l'enseignement scientifique et technique sur le modèle de la Révolution française, Brioschi fut impliqué dans les émeutes de 1848, et fut incarcéré à la prison du Castello. Il fut relaxé à la suite des Cinq journées (18-22 mars 1848), qui virent l'encerclement par la foule de la garnison autrichienne de Milan et sa reddition.
Au cours de la période d'unification de l'Italie, il se consacra à la mise en place d'un nouveau système éducatif, d'abord par l'élaboration de la loi Casati, puis en tant que premier secrétaire de Francesco De Sanctis, Ministre de l'Instruction Publique.
Il fut le principal fondateur du Politecnico de Milan, et dirigea la publication de deux nouvelles revues scientifiques : les Annali di matematica pura e applicata et Il Politecnico, pour lesquelles il s'assura la collaboration de chercheurs tels que Enrico Betti et Luigi Cremona. Il s'impliqua largement dans le fonctionnement des institutions scientifiques milanaises, et encouragea la carrière de jeunes scientifiques brillants qui n'avaient pu obtenir de diplômes du fait des événements politiques ou de leur statut social, comme Eugenio Beltrami.