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Spiegel
Algorithmisches Denken in der Primarschule
|☑ Abstraktion||☑ Algorithmendesign||☐ Evaluation|
|☑ Generalisierung||☑ Informationsdarstellung||☑ Iterative Verbesserung|
|☐ Präzise Kommunikation||☐ Problemzerlegung|
Fachbereiche: Mathematik
Zeitaufwand: ca. 2 Lektionen
Zusammenfassung
Eine Vorgehensweise (ein Algorithmus) zum Aufhängen eines Spiegels wird entwickelt und zwar so, dass sich Personen ganz im Spiegel sehen können. Die Strategie muss sich bei unterschiedlichen Körpergrössen anwenden lassen.
Beispielsequenz
Ein Spiegel wird (senkrecht) an einer Wand so aufgehängt, dass sich eine Person ganz sehen kann. Wie muss der Spiegel aufgehängt werden, wie gross muss er mindestens sein?
Aufgabe 1
Notieren Sie Vermutungen dazu, wie und wo der Spiegel aufgehängt werden muss.
Aufgabe 2
Prüfen Sie Ihre Vermutungen mit dem Spiegel, und notieren Sie die Erkenntnisse.
Aufgabe 3
Formulieren Sie eine möglichst allgemein anwendbare Strategie zum Aufhängen des Spiegels.
Lösungen zu den Aufgaben
Aufgabe 1
Es handelt sich um eine offene Aufgabenstellung, welche unterschiedliche Vermutungen zulässt. Diese können die Körpergrösse, die Raumgrösse, den Abstand der Person zum Spiegel oder die Grösse des Spiegels betreffen.
Aufgabe 2
Nachdem die Lernenden ihre Vermutungen schriftlich festgehalten haben, versuchen sie durch Experimentieren mit einem realen Spiegel Lösungen zu finden, welche zu ihren eigenen Körpergrössen passen (Gruppenarbeit). Dazu kann ein grosser Spiegel aufgehängt und Teile des Spiegels können mit Klebebänder abgedeckt werden, bis die Schüler oder Schülerinnen sich gerade noch ganz sehen können. (Wenn mehrere Gruppen gleichzeitig arbeiten, können Klebebänder unterschiedlicher Farbe oder allenfalls Whiteboardfarben verwendet werden.) Die Lernenden notieren ihre Erkenntnisse aus diesem konkreten Lösungsprozess. Mögliche Erkenntnisse, welche anfänglich auch noch falsch sein können, sind:
- Der Spiegel muss erhöht aufgehängt werden.
- Der Abstand zwischen Person und Spiegel ist nicht von Bedeutung (oder ist von Bedeutung).
- Die Grösse der vor dem Spiegel stehenden Person spielt eine Rolle.
Aufgabe 3
Damit eine von der Körpergrösse unabhängige Strategie formuliert werden kann, müssen die Erkenntnisse begründet werden. Bei der Reflexion von Lichtstrahlen stimmen Einfallswinkel und Ausfallswinkel überein. Abbildung 2 zeigt, dass ein Spiegel (mindestens) halb so gross sein muss wie die betreffende Person. Zudem muss der Spiegel so aufgehängt werden, dass dessen unterer Rand auf halber Höhe zwischen Boden und Augenhöhe liegt. Der Abstand der Person vom Spiegel ist irrelevant.
Abbildung 2. Reflexion der Lichtstrahlen
Didaktischer Kommentar
Aus mathematikdidaktischer Sicht handelt es sich um eine Aufgabe zur mathematischen Modellierung. Um eine passende Strategie zu finden, können mehrere Durchgänge des Kreislaufs notwendig sein.
Abbildung 1. Mathematischer Modellierungskreislauf
- Abstraktion.
Der erste Schritt im mathematischen Modellierungskreislauf beinhaltet die Abstraktion. Das Problem wird auf wesentliche Aspekte reduziert wie beispielsweise die Körpergrösse einer Person. Möglicherweise wird bei bestimmten Aspekten erst im Verlauf der Arbeit entdeckt, dass sie nicht relevant sind. Dies trifft möglicherweise auf den Aspekt Abstand vor dem Spiegel zu.
- Algorithmendesign.
Es muss eine Stratgie entwickelt werden, welche auf beliebige Personen anwendbar ist.
- Iterative Verbesserung.
Das Formulieren der Strategie passend für beliebige Personen kann mehrere Durchgänge im mathematischen Modellierungskreislauf erfordern. Dadurch kann die Strategie iterativ optimiert werden.
- Generalisierung.
Die Strategie des Aufhängens eines Spiegels wird sich vorerst auf konkrete Personen beziehen (zum Beispiel die Mitglieder der Arbeitsgruppe). Diese Vorgehensweise kann in weiteren Arbeitsschritten auf beliebige Personen ausgeweitet werden.
- Informationsdarstellung.
Die Darstellung des Reflexion von Lichtstrahlen fördert das Verständnis für die passende Strategie.
Quellenangaben und Weiterführende Literatur
Die Idee das Aufgabe stammt aus dem folgenden Buch.
- Günter Krauthausen: Einführung in die Mathematikdidaktik. 3. Auflage. Springer Spektrum, Heidelberg, 2007.
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