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Gammes, corrigé
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Exercice 1
a) Selon la légende, Pythagore aurait établi que la hauteur du son produit par une corde tendue qui vibre était proportionnelle à la tension de la corde : en suspendant un poids à une corde, il obtenait une certaine note, et en doublant le poids (donc la tension de la corde), il obtenait une note située une octave au-dessus.
b) En doublant la tension de la corde du dispositif expérimental, on constate que le son obtenu ne se situe pas une octave au-dessus.
c) La hauteur du son produit par une corde qui vibre est proportionnelle à la racine carrée de la tension de la corde : pour obtenir un son situé à l’octave du son produit par une corde vibrante, il faut donc quadrupler la tension de la corde et pas seulement la doubler.
Exercice 2
a) Le rapport des fréquences de vibration de deux cordes produisant des notes situées à l’octave l’une de l’autre vaut 2. Par définition, l’intervalle entre ces deux notes vaut 2. Comme il y a douze intervalles égaux dans la gamme tempérée, l’intervalle entre deux notes consécutives (demi-ton) vaudra : $2^{\frac{1}{12}}$. Les fréquences des 13 notes s’obtiennent donc (dans Mathematica), avec l’instruction :
b) La différence relative en % entre le ton de la gamme de Pythagore et celui de la gamme tempérée vaut environ 0.23 % et est donné par :
Exercice 3
a) La moyenne harmonique de deux grandeurs a et b est donnée par $m_{harmonique}=\frac{2ab}{a+b}$. Si une corde de longueur 2l donne, en vibrant, le do et une corde de longueur l le do situé une octave au-dessus, le sol sera donné par une corde dont la longueur est la moyenne harmonique de ces deux longueurs : $\frac{4}{3}l$.
b) La moyenne arithmétique de deux grandeurs a et b est donnée par $m_{arithmétique}$=$\frac{a+b}{2}$. Si une corde de longueur 2l donne, en vibrant, le do et une corde de longueur l le do situé une octave au-dessus, le fa sera donné par une corde dont la longueur est la moyenne arithmétique de ces deux longueurs : $\frac{3}{2} l$.
c) Si la longueur de la corde donnant le do grave vaut 2l, les notes si, mi, la, ré sont données respectivement par des cordes ayant les longueurs :
$\frac{9}{8} l$, $\frac{27}{16} l$, $\frac{81}{64} l$, $\frac{243}{128} l$.
Exercice 4
Les longueurs de corde sont en rapport inverse des fréquences : pour augmenter une fréquence, il faut diminuer la longueur l de la corde vibrante qui la produit. On obtient donc les longueurs suivantes :
|l||8/9 l||64/81 l||3/4 l||2/3 l||16/27 l||128/243 l||1/2 l|
|l||8/9 l||4/5 l||3/4 l||2/3 l||3/5 l||8/15 l||1/2 l|
|l||l/21/6||l/21/3||l/25/12||l/27/12||l/23/4||l/211/12||l/2|
Exercice 5
L’intervalle entre deux notes vaut :
2 pour une octave dans toutes les gammes
$\frac{3}{2}$ pour une quinte pythagoricienne
$\frac{3}{2}$ pour une quinte de la gamme de Zarlino
$2^{\frac{7}{12}}$ pour une quinte de la gamme tempérée.
et l’intervalle entre deux notes situées à 12 quintes pythagoriciennes :
Le comma pythagoricien s’obtient en faisant le quotient des deux intervalles précédents :
L’équation p quintes pythagoriciennes = q octaves, où p et q sont des entiers s’écrit $\frac{3}{2}^p=2^q$. Elle ne possède pas d’autre solution que p=q=0.