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Hans Walser, [20160110]
Duale Zweiecke
Anregung: Renato Pandi
Es wird ein DualitŠtsprinzip zwischen Zweiecken mit 60ˇ-Winkeln und solchen mit 120ˇ-Winkeln besprochen.
Ein Zweieck mit 60ˇ-Winkeln lŠsst sich auf beliebig viele Arten in ein gleichseitiges Dreieck einpassen. Die Abbildung 1 zeigt zwei spezielle und eine allgemeine Lage. In der allgemeinen Lage berźhren die beiden Ecken je eine Dreiecksseite und einer der beiden Kreisbšgen ist tangential an die dritte Dreiecksseite.
Abb. 1: Zweieck mit 60ˇ-Winkeln
Ebenso lŠsst sich ein Zweieck mit 120ˇ-Winkeln auf beliebig viele Arten in ein gleichseitiges Dreieck einpassen. Die Abbildung 2 zeigt zwei spezielle und eine allgemeine Lage. In der allgemeinen Lage berźhrt eine Ecke eine Dreiecksseite. Die beiden Kreisbšgen sind tangential an je eine der beiden weiteren Dreiecksseiten.
Abb. 2: Zweieck mit 120ˇ-Winkeln
Die Abbildung 3 zeigt ein Zweieck mit 60ˇ-Winkeln und ein Zweieck mit 120ˇ-Winkeln in einer †berlagerung. Die Ecken des einen Zweiecks sind die Zentren der Bogen des anderen Zweiecks und umgekehrt. Wir bezeichnen Zweieck in dieser Situation als duale Zweiecke.
Abb. 3: Duale Zweiecke
Die Figur der Abbildung 3 kann aber auch gesehen werden als teilweise †berlagerung zweier Reuleaux-Dreiecke. Die beiden Reuleaux-Dreiecke haben zwei Ecken gemeinsam. Der Durchschnitt der beiden Reuleaux-Dreiecke ist das Zweieck mit den 60ˇ-Winkeln, die Vereinigung das Zweieck mit den 120ˇ-Winkeln.
Die Abbildung 4 zeigt eine †berlagerung der beiden Abbildungen 1 und 2.
Abb. 4: †berlagerung
Wir vermuten, dass sich die Figur der Abbildung 3 in doppeltem Sinne in ein gleichseitiges Dreieck einpassen lŠsst: Das Zweieck mit 120ˇ-Winkeln ist in das gro§e gleichseitige Dreieck eingepasst, das Zweieck mit den 60ˇ-Winkeln in das blaue Seitenmittendreieck. Die Abbildung 5 zeigt die Situation fźr den allgemeinen Fall vergrš§ert, damit wir die Details besser sehen. Es ist zudem der durch die horizontale Dreiecksseite und die dazu parallele Mittellinie definierte Streifen gelb hervorgehoben.
Abb. 5: Allgemeine Lage
Wir sehen, dass eines der beiden Reuleaux-Dreiecke darin operiert. Der Ecke des Zweiecks mit 120ˇ-Winkeln auf der Dreiecksseite liegt im Streifen gegenźber der Berźhrungspunkt des einen Bogens des Zweiecks mit 60ˇ-Winkeln mit der Mittellinie.
Analog finden wir ein Reuleaux-Dreieck in jedem der beiden anderen Parallelstreifen des Dreiecks. Hier korrespondiert der Berźhrungspunkt des Bogens des Zweiecks mit 120ˇ-Winkeln der Ecke des Zweiecks mit 60ˇ-Winkeln.
Das hei§t, dass aus der Einpass-Eigenschaft der Zweiecke mit 60ˇ-Winkeln die Einpass-Eigenschaft der Zweiecke mit 120ˇ-Winkeln folgt und umgekehrt.
Im vorhergehenden Abschnitt haben wir drei Paare korrespondierender Punkt festgestellt. Je ein Punkt eines Paars gehšrt zum Zweieck mit 60ˇ-Winkeln, der andere zum Zweieck mit 120ˇ-Winkeln. Einer der beiden Punkte eines Paares ist ein Eckpunkt eines Zweiecks, der andere der Berźhrungspunkt eines Zweieckbogens mit einer Dreiecksseite. Korrespondierende Punkte liegen in einem Streifen einander gegenźber, also auf einer Streifennormale.
In der Abbildung 6 sind die drei Streifennormalen lila eingezeichnet. Wir sehen, dass die drei Normalen einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
Abb. 6: Schnittpunkt der drei Normalen
Das lŠsst sich nach (Reuleaux, 1875) mit einer kinematischen †berlegung einsehen. Die rote Figur ist drehbar im Dreieck wobei der Drehpunkt andauernd wechselt. Die Normalen in den momentanen Berźhrpunkten verlaufen alle durch den momentanen Drehpunkt, sie sind also kopunktal.
Die Abbildung 7 schlie§lich zeigt die lila Ortslinie der momentanen Drehpunkte beim Drehen der Zweiecke in den Dreiecken. Diese Ortslinie ist ihrerseits ein Reuleaux-Dreieck.
Abb.7: Ortslinie der momentanen Drehpunkte
Fźr den Beweis benštigte der Autor einige Rechnung.
Literatur
Reuleaux, F. (1875): Lehrbuch der Kinematik.
Erster Band: Theoretische Kinematik. Braunschweig: Vieweg.
e-Version: https://ia700409.us.archive.org/29/items/lehrbuchderkine01reulgoog/lehrbuchderkine01reulgoog.pdf