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Urbilder im Mikro- und Makrokosmos
Die Zahlen Fünf und Zwölf in Kombination ergeben im Raum das Dodekaeder, auch Pentagondodekaeder genannt. Zwölf Fünfecke, Pentagone, vereinigen sich zu einer völlig regelmässigen Figur. Verlängert man die Seiten der Fünfecke, ergibt sich eine Sternfigur aus zwölf Pentagrammen, Fünfsternen. Eine Beschreibung dieses Dodekaeder-Sterns wurde zum ersten Mal im Jahre 1619 in der Weltharmonik von Johannes Kepler veröffentlicht. Eines der Ziele Keplers war, nachzuweisen, dass am Grunde der Schöpfung geometrische Urbilder liegen. In seinen religiös geprägten Worten drückte er es so aus: «Die Geometrie nämlich, … ewig wie Gott und aus dem göttlichen Geist hervorleuchtend, hat … Gott die Bilder zur Ausgestaltung der Welt geliefert.»¹
In diesem Artikel geht es nun um die Vereinigung der Fünf und Zwölf in der Ebene. Dabei spielen die ebenen Sternfiguren eine besondere Rolle. Fünf mal Zwölf ergibt Sechzig und so finden wir ein erstes gemeinsames Auftreten der beiden Zahlen als Sternfiguren im 60-Stern. In diesem sind die beiden Figuren Nachbarn. Der Zwölfstern ist etwas grösser als der Fünfstern.
Für mathematisch Interessierte: Dieser 60-Stern ist ein {60/27}-Stern. Fünf und Zwölf beziehungsweise ihre Sternfiguren zu vereinigen, ist nicht nur ein rein geometrisches Vergnügen und eine Herausforderung. Wir werden sehen, dass diese Vereinigung auch im Kosmos zu finden ist und sie und ihre beiden Komponenten, ohne Übertreibung, zu den Grundvoraussetzungen der Materie und des Lebens gehören.
Stern aus Umkreis und Inkreis
Für ein tiefergehendes Verständnis des Kommenden werde ich zunächst einige Grundlagen der Sternfiguren im Allgemeinen aufzeigen. Die erste dieser Figuren ist der Fünfstern, in einem Viereck oder Dreieck ist noch kein Stern möglich, dann folgt der Sechsstern, der Siebenstern und so weiter, theoretisch bis zum Unendlichkeitsstern.
Jeder regelmässige Stern entsteht aus dem Kreis. Dieser wird in n gleichmässige Abschnitte geteilt (n ist die Zahl des Sterns, zum Beispiel 5). Verbindet man benachbarte Punkte, formt sich eine Eckfigur. Überspringt man beim Verbinden mindestens einen Punkt, erhält man eine Sternfigur. Um zum Beispiel einen Achtstern zu erzeugen, verbindet man jeden dritten Punkt auf dem achtfach unterteilten Kreis.
Jede Sternfigur zeichnet in ihrem Inneren die zu ihr gehörige Eckfigur, also im Beispiel vom Achtstern das Achteck oder Oktagon. Jede Sternfigur hat einen Umkreis, aus dem sie entsteht und einen Inkreis. Der Umkreis berührt alle Sternspitzen, der Inkreis die Mittelpunkte der Seiten des inneren Polygons. Die Radien und Flächen von Umkreis und Inkreis stehen für jede Zahl n in einem charakteristischen Verhältnis. Beim Sechsstern (n = 6) zum Beispiel ist der Umkreisradius exakt doppelt so gross wie der des Inkreíses, das Verhältnis der Flächen beträgt demnach 4:1.
Weiterhin sehen wir, dass die Linien des Achtsterns im mittleren Bereich zusätzlich eine Sternfigur aus zwei Quadraten zeichnen. Neun- und Zehnstern zeichnen bereits drei Sternfiguren plus das Polygon ganz innen, Elf- und Zwölfstern vier und so weiter.
Verhältnis des Goldenen Schnitts
Um auch die Sternfiguren verschiedener Zahlen miteinander vergleichen zu können, bietet es sich an, sie alle auf den gleichen Inkreis zu beziehen und dessen Radius ri = 1 zu setzen. Zum Beispiel steht dann der Umkreisradius des Fünfsterns zu dem des Sechssterns im Verhältnis des Goldenen Schnitts. Diesen findet man also nicht nur im Fünfstern, sondern auch in der Beziehung zwischen der ersten ungeraden und der ersten geraden Sternfigur.
Fünfstern
Wir kommen nun zu den beiden Bestandteilen der Vereinigung, um die es hier geht: dem Fünfstern und dem Zwölfstern. Der Erstere ist in der Natur im Frühling allgegenwärtig. In tausenden Blumen wird uns dieses geometrische Urbild vor Augen geführt. Manchmal ist er auch nur im Verborgenen tätig. Ohne selbst in die Sichtbarkeit zu treten, gibt er die Proportionen in der Blütenform vor, zum Beispiel zwischen dem Umkreis der gesamten Blüte und deren inneren Bereich mit den Staubgefässen.
«In tausenden Blumen wird uns dieses geometrische Urbild vor Augen geführt.»
Hartmut Warm
Unendlichkeit
Geometrisch ist der Fünfstern etwas ganz Besonderes, denn er ist nach dem Goldenen Schnitt gebaut. Hier will ich nur kurz erläutern, dass die Seite des Pentagramms durch seine Schnittpunkte in diesem einzigartigen Verhältnis geteilt wird. Der längere Teil steht zur ganzen Seite im gleichen Verhältnis wie der kürzere zum längeren Teil. Dies lässt sich im Prinzip unendlich fortsetzen, indem im Inneren eines Fünfsterns ein weiterer eingezeichnet wird. Die Abbildung mit zugehörigem Text verdeutlicht das auf eine bildhafte und etwas poetische Weise.
Es ist die Unendlichkeit. Nichts, kein Mikromillimeter, der nicht davon erfüllt wäre. Es geht nach innen und nach aussen, wer sollte eine Grenze setzen? Und doch, man weiss, nichts ist unendlich in der Welt. Es soll kleinste Teilchen geben, das Universum soll eine gewisse Grösse haben. Doch weiss man das wirklich, was weiss man wirklich? Im Geiste gibt es diese Grenzen nicht. Es kann sich immer weiter ausdehnen und immer kleiner werden. Und vielleicht, ja vielleicht mag das sein, berühren sich die zwei Unendlichkeiten irgendwo in einem Punkt. Und alles steht in Verbindung über diese Proportion, die man die Göttliche nannte; das Ganze, der kleine und der grosse Teil. Und es ist schön.
Es ist gut.
Zwölfstern
Den Zwölfstern treffen wir auf der sichtbaren Erde und im Pflanzenreich relativ selten an. Seine Domäne ist das Kosmische, sowohl der Mikro- als auch der Makrokosmos. Im Mikrokosmos sehen wir ihn hier als strukturgebenden Spitzenstern (eine Sternfigur mit langen Spitzen) in der Anordnung der Atome auf einer Kristallecke aus Wolfram. Die Wolfram-Atome wurden in 1.200.000-facher Vergrösserung mit dem Feldionen-Mikroskop nach E. W. Müller aufgenommen und die Zwölfsternfigur hinzugefügt.
Als geometrische Figur ist der Zwölfstern etwas so Besonderes, so voller überraschender harmonischer Eigenschaften, dass ich ihm in meinem neuen Buch Der Sternenorganismus ein ganzes Kapitel gewidmet habe. An dieser Stelle möchte ich nur die in diesem Zusammenhang wichtigste Eigenschaft vorstellen. Sie kennzeichnet den Zwölfstern als die geometrische Figur mit der grössten Ausgewogenheit. In gewisser Weise steht er in der Mitte aller Sternfiguren.
Maximales Gleichgewicht
Beim Achtstern haben wir gesehen, dass die Linien des Achtsterns zusätzlich eine Sternfigur aus zwei Quadraten erzeugen. Diese Figur, die zweitgrösste Sternfigur des Achtsterns, können wir auch aussen in den Umkreis einzeichnen, wie wir in der nebenstehenden Abbildung links oben im Achtstern sehen. Entsprechend sind in dieser Abbildung für alle gezeigten Figuren von Acht- bis Sechzehnstern der jeweils grösste und zweitgrösste Stern zusammen dargestellt.
In Schwarz wurde zum einen jeweils eine Eckfigur in den grössten Stern eingezeichnet. Es ist diejenige um den zweitgrössten Stern im inneren Bereich, welche, vergrössert und in Rot, sich auch im Umkreis des grössten Sterns befindet. Eine von dessen Seiten wurde jeweils ebenfalls schwarz dargestellt. Die Lage von Eckfigur und Seite zueinander verändert sich kontinuierlich, wenn wir die Reihe der Sternfiguren durchgehen. Zunächst verläuft die Seite ausserhalb der Eckfigur, später innerhalb. In Richtung kleinerer Zahlen (bis hin zur Fünf) liegt die schwarze Linie noch weiter ausserhalb, in Richtung Unendlichkeit geht sie immer mehr nach innen.
Nur bei der Zwölf liegt die Seite des zweitgrössten Sterns genau auf dem schwarzen Zwölfeck. Damit wird dieses vom zweitgrössten Stern selber hervorgebracht und daher rot-schwarz gestrichelt dargestellt, während es bei allen anderen Figuren zusätzlich eingezeichnet werden muss. Die Dreizehn stellt hier eine Ausnahme dar, da gerade und ungerade Sternfiguren sich etwas unterschiedlich verhalten. Die Seite verläuft gerade noch aussen und berührt den Eckpunkt nicht, auch wenn es so scheint.
Die Zwölf steht also da, wo sich etwas nach innen wendet oder aus einem anderen Blickwinkel: nach aussen. Dies ist keine esoterische oder sonstige subjektive Zuordnung, sondern wird uns eindeutig von der Geometrie gezeigt. So passt es aus diesem Grund ausgezeichnet, dass der Tierkreis, der zwischen der Unendlichkeit des Kosmos und dem Sonnensystem steht, zwölf Abschnitte aufweist. Wir können weiterhin sagen, dass der Zwölfstern die Figur des maximalen Gleichgewichts ist. Die Kräfte, die von aussen kommen und die von innen ausgehen, sind sozusagen in der Waage. Die Zwölf scheint auch die geeignetste Zahl, wenn es darum geht, etwas auszubalancieren.
Einmalige Übereinstimmung
Und nun kommen wir zur geometrischen Einzigartigkeit des Paares Fünf und Zwölf. Diese finden wir, wenn wir die beiden Sternfiguren und die beiden Eckfiguren kombinieren.
Das Verhältnis der Umkreise von Zwölf- und Fünfstern ist identisch mit dem Verhältnis der Umkreise der Eckfiguren von Fünf und Zwölf. Das erste Verhältnis hatten wir bereits beim 60-Stern weiter vorne vor Augen, das zweite sehen wir rechts in der Abbildung. Wie gesagt ist diese Übereinstimmung von Stern- und Polygonumkreise zweier Sterne einmalig. Es gibt keine andere Kombination der Figuren zweier Zahlen, bei der das noch der Fall wäre.² Erstaunlicherweise wird dieses Phänomen, zumindest teilweise, auch kosmisch zum Ausdruck gebracht. Und zwar finden wir es in den Bewegungsverhältnissen der beiden mächtigsten Planeten unseres Sonnensystems, Jupiter und Saturn, verborgen.
Jupiter
Die Kombination von Fünf und Zwölf (5 * 12 = 60) spielt im Verhältnis dieser beiden Planeten auch rein rechnerisch in ihrem Ausgleichsrhythmus eine Rolle. Denn in 60 Saturnjahren (oder -umläufen) finden mit sehr grosser Genauigkeit 89 (= 7 * 12 + 5) Konjunktionen statt und Jupiter legt 149 Umläufe zurück (= 12 * 12 + 5). Dieser Zeitraum entspricht 1767,4 Erdjahren.³
Die eigentlichen kosmischen Manifestationen von Zwölfstern und Fünfstern finden wir jedoch in den Raumgeradenfiguren. Dabei werden die Verbindungslinien, Raumgeraden, zwischen jeweils zwei Planeten in einem bestimmten Rhythmus gezeichnet. Diese Art von Figuren stellen geometrische Gesamtabdrücke der gravitativen Wechselwirkungen zwischen den Planeten dar. Über lange Zeiträume können diese Interaktionen die Stabilität der Planetenbahnen und damit das Gesamtsystem beeinflussen.
Bewegungsfigur Jupiter-Saturn-Neptun in 14.894 Jahren.
Grafik aus: Hartmut Warm Die Signatur der Sphären, S. 263, Keplerstern Verlag
Bewegungsfigur Venus-Erde in 8 Jahren: Raumgeraden zeichen eine kosmische Blume. Trägt man die Konjunktionen der beiden Planeten auf und verbindet ihre Positionen fortlaufend, ergibt sich der Fünfstern direkt.
Grafik aus: Hartmut Warm Die Signatur der Sphären, S. 419, (siehe Fünfstern S. 38) Keplerstern Verlag 2001
Jupiter-Saturn-Neptun
Der Zwölfstern zeigt sich in der Beziehung der drei massereichsten Planeten Jupiter, Saturn und Neptun. Die Raumgeraden Jupiter-Neptun werden immer dann aufgetragen, wenn Jupiter und Saturn in Konjunktion sind, im Mittel alle 19,86 Jahre. Siehe Abbildung Bewegungsfigur Jupiter-Saturn-Neptun. Das Verhältnis der drei massereichsten Planeten ist für die langfristige Stabilität des Planetensystems, die nicht selbstverständlich ist,
und damit auch für unsere eigene Existenz von grosser Wichtigkeit. Wie wir weiter vorne gesehen haben, ist der Zwölfstern die optimale Figur, wenn es um Balance und Ausgewogenheit geht. Die Kräfte, die einst unser Planetensystem in Form gebracht haben, konnten mithin keine geeignetere geometrische Konfiguration wählen.
Der Zwölfstern ist die Hauptfigur im äusseren Bereich. Im inneren Sonnensystem, dort wo es auf dem dritten Planeten zur Entstehung des Lebens und dessen Entwicklung bis hin zum Menschen gekommen ist, finden wir als markanteste Figur den Fünfstern. Er offenbart sich im Verhältnis von Venus und Erde. Deren Raumgeraden zeichnen in acht Jahren eine fünfzählige kosmische Blume, die im Inneren ein Pentagramm andeutet. Auch dies passt ausgezeichnet. Weiterhin lässt sich aufzeigen, wie der aussen auftretende Zwölfstern und die im Inneren gebildete fünfzählige Blume geometrisch zusammenhängen. Dies geschieht über weitere Planetenkonfigurationen, an denen Uranus und Mars beteiligt sind. Das ist allerdings eine etwas längere Geschichte, für die hier nicht der Platz ist.⁴
Auch in der Seele
Ein Pentagondodekaeder schmückt den Einband der Weltharmonik Johannes Keplers. Die fünfeckigen Seiten dieses Platonischen Körpers werden wiederum von Sonne, Mond und Sternen geschmückt. Nach uralten Vorstellungen entsprechen die Platonischen Körper den Elementen Feuer, Erde, Wasser, Luft und der fünfte, das Dodekaeder, dem Kosmos oder der kosmischen Ordnung. Dieser universellen Ordnung liegen nach Kepler geometrische Urbilder zugrunde. Für Kepler waren das vor allem Polygone. Wie wir gesehen haben, sind die Polygone in den Sternfiguren enthalten. Letztere sind also umfassender, wir finden sie in der Natur, im Mikrokosmos und im Makrokosmos.
Nach Keplers Vorstellungen tragen wir die Archetypen, Urbilder, auch in unserer Seele, sonst könnten wir von ihnen nicht berührt werden. In unserer kosmischen Heimat, dem Sonnensystem, ist es vor allem das Zusammenwirken von Zwölfstern aussen und Fünfstern innen, nach denen sich die Beziehungen der Bewegungen gestalten. Wir können davon ausgehen, dass sich der langfristige Bestand des Planetensystems (nicht nur, aber auch) dieser Wohlordnung verdankt. Johannes Keplers Grundidee einer geometrisch fundierten Weltharmonik hat sich in neuem Gewand auf das Schönste bestätigt.
Anmerkungen
1 Johannes Kepler Weltharmonik, S. 98
2 Mathematische Beweisführung in Hartmut Warm Der Sternenorganismus, S. 199, Keplerstern Verlag 2022
3 Ausführlich wird dieser Rhythmus behandelt in Signatur der Sphären, S. 259 f., Keplerstern Verlag 2001
4 Dargestellt auf der DVD Linien und Formen im Raum mit einem Vortrag von Hartmut Warm
Praxis-Tipp von Hartmut Warm
Achten Sie auf Sterne, auf die Sternfiguren. Wo finden wir welche? In der Natur, in der Menschenwelt, in der Kunst, im Alltag? Und welche Sterne sind das? Zählen Sie die Spitzen, wenn es nicht sofort klar ist. Wenn Sie abends Ruhe haben, rufen Sie sich die wahrgenommenen Sterne in Erinnerung.
Waren die Wahrnehmungen mit einem Eindruck, einem Gefühl, einem Gedanken verbunden? Sind sie es jetzt? Versuchen Sie dann, sich das Urbild, die reine geometrische Form vorzustellen. Betrachten Sie sie. Fragen Sie sich, wo sie herkommt. Dabei geht es nicht um die Antwort, sondern um den Prozess des Fragens. Vielleicht können Sie ein Dankgefühl, dass es Sterne gibt in sich wachrufen, bevor Sie in die Alltagswelt zurückkehren.
Autor
Hartmut Warm
DE-22767 Hamburg
<email-pii>
keplerstern.de
Ingenieur, Autor, Dozent
für bewusstes Musikhören
und freier Forscher, langjährige Studien zur Geschichte der Idee der Sphärenharmonie
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