Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03114.jsonl.gz/858

Hans Walser, [20180511]
Drachenkrper
Anregung: Werner Blum, Braunschweig
Ausgehend vom Wrfel werden mit der immer gleichen Technik zuerst das Rhombendodekaeder und anschlie§end der Deltoidvierundzwanzigflchner (Adam/Wyss 1994, S. 76) erarbeitet. Dabei spielen Kantenberhrkugeln eine zentrale Rolle.
Die Seitenflchen sind Drachenvierecke.
Wir arbeiten mit dem Wrfel mit den Eckpunktkoordinaten (Abb. 1a).
Abb. 1: Wrfel und Kantenmittenkugel
Der Wrfel hat eine Kantenmittenkugel (Abb. 1b) mit dem Radius . Die zwlf Berhrpunkte der Kantenmittenkugel mit den Wrfelkanten sind die Ecken eines Kuboktaeders.
Die quadratischen Seitenflchen des Wrfels sind Sonderflle von Drachenvierecken. Wir knnen den Wrfel also als Sonderfall eines Drachenkrpers verstehen, eines Polyeders also, das von kongruenten Drachenvierecken begrenzt ist.
Wir zeichnen nun die zwlf Tangentialebenen an die Kantenmittenkugel, welche diese in den Berhrpunkten mit den Wrfelkanten berhren. Diese zwlf Tangentialebenen begrenzen ein Rhombendodekaeder. Die Kantenmittenkugel des Wrfels ist nun die Inkugel des Rhombendodekaeders.
Die Abbildung 2a zeigt einen berhrenden Rhombus, die Abbildung 2b drei weitere.
Abb. 2: Tangentiale Rhomben
Die Abbildung 3a zeigt das fertige Rhombendodekaeder. Es kann auch als Sonderfall eines Drachenkrpers gesehen werden.
Abb. 3: Rhombendodekaeder. Kantenberhrkugel
Das Rhombendodekaeder hat 14 Eckpunkte. Acht davon sind die ehemaligen Wrfelecken mit den Koordinaten , die sechs zustzlichen Ecken haben die Koordinaten .
Das Volumen des Rhombendodekaeders ist doppelt so gro§ wie das Volumen des Startwrfels.
Das Rhombendodekaeder hat eine Kantenberhrkugel mit dem Radius (Abb. 3b). Die Berhrpunkte auf den Kanten dritteln diese.
Die Berhrpunkte auf den Kanten sind die Ecken eines Krpers mit sechs Quadraten (rot in Abb. 4a), acht gleichseitigen Dreiecken (zyan in Abb. 4a) und zwlf Rechtecken mit dem Seitenverhltnis (DIN-Format, vgl. Walser 2013) (gelb in Abb. 4a).
Abb. 4: Verschiedene Seitenflchen
Die gelben Seitenrechtecke liegen in den Seitenrhomben des Rhombendodekaeders (Abb. 4b).
Dieser Krper der Abbildung 4a gehrt nicht zu den archimedischen Krpern.
Hingegen gibt es einen verwandten archimedischen Krper, das Rhombenkuboktaeder (Abb. 5a, vgl. Adam/Wyss 1994, S. 57, Abb. C).
Abb. 5: Rhombenkuboktaeder
Das Rhombenkuboktaeder ist berandet von 18 Quadraten (sechs roten und zwlf blauen in Abb. 5a) sowie acht gleichseitigen Dreiecken. Die blauen Quadrate liegen ebenfalls in den Seitenrhomben des Rhombendodekaeders (Abb. 5b).
a) Die Tangentialebenen an die Kantenmittenkugel sind auch die u§eren Winkelhalbierendenebenen der Diederwinkel des Wrfels.
b) Dasselbe Spielchen ginge auch mit einem Oktaeder und seiner Kantenmittenkugel als Ausgangsfigur. Allerdings kann das Oktaeder nicht als Sonderfall eines Drachenviereckes gesehen werden.
Nun geht das Spielchen weiter. Wir zeichnen nun die 24 Tangentialebenen an die Kantenberhrkugel des Rhombendodekaeders, welche diese in den Berhrpunkten mit den Rhombendodekaederkanten berhren. Die Abbildung 6a zeigt ein Beispiel. Diese Ebenen sind auch die u§eren Winkelhalbierendenebenen der Diederwinkel des Rhombendodekaeders.
Diese 24 Tangentialebenen begrenzen einen Deltoidvierundzwanzigflchner (Abb. 6b). Die Seitenflchen sind Drachenvierecke (Deltoide). Die Kantenberhrkugelkugel des Rhombendodekaeders ist nun die Inkugel des Deltoidvierundzwanzigflchners.
Abb. 6: Deltoidvierundzwanzigflchner
Der Deltoidvierundzwanzigflchner hat 26 Eckpunkte. Zunchst die acht ehemaligen Wrfelecken mit den Koordinaten und die zustzlichen sechs Eckpunkte des Rhombendodekaeders mit den Koordinaten . Neu kommen dazu die zwlf Eckpunkte mit den Koordinaten , , .
Das Volumen des Deltoidvierundzwanzigflchners betrgt des Volumens des Rhombendodekaeders und des Wrfelvolumens.
Die Abbildung 7 zeigt ein Seiten-Drachenviereck mit Verma§ung gem§ unserer Wahl des Kooridnatensystems, die Abbildung 8 eine Abwicklung.
Abb. 7: Drachenviereck
Abb. 8: Abwicklung
Die Abbildung 9 zeigt einen der sechs fr das Flechtmodell bentigten Streifen. Jeder Streifen besteht aus acht Drachenvierecken plus zwei berlappungseinheiten.
Im Anhang findet sich Schnittmuster fr zwei Streifen.
Die Abbildung 10 zeigt das Flechtmodell. Es gengen drei Farben, eine Farbe fr je zwei Streifen.
Abb. 9: Streifen fr Flechtmodell
Abb. 10: Flechtmodell
Der Deltoidvierundzwanzigflchner hat keine Kantenberhrkugel. Zwar gibt es eine Kugel, welche alle langen Kanten der Drachenvierecke berhrt (Abb. 11a) und eine zweite Kugel, welche alle kurzen Kanten der Drachenvierecke berhrt (Abb. 11b).
Abb. 11: Keine ganzheitliche Kantenberhrkugel
Wenn wir gleichwohl mit Tangentialebenen in den Berhrpunkten arbeiten, ergeben sich wieder Drachenvierecke. Diese sind aber nicht mehr alle kongruent.
Ausgehend vom regulren Ikosaeder oder dem regulren Dodekaeder ergibt sich mit der Kantenmittenkugel das Rhombentriakontaeder. Dieses hat eine Kantenberhrkugel, womit wir zu einem Drachenkrper gelangen knnen.
Literatur
Adam, Paul und Wyss, Arnold (1994): Platonische und Archimedische Krper, ihre Sternformen und polaren Gebilde. 2. Auflage. Bern: Verlag Paul Haupt. ISBN 3-258-04943-2.
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.
Anhang