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Mathematik | Informatik
Simona Styger, 2004 | Flurlingen, ZH
Das Polarplanimeter, ein rein mechanisches Flächenmessgerät, ist völlig zu Unrecht in die Vergessenheit unserer Gesellschaft geraten. Denn das vor gut 150 Jahren von einem Schweizer Mathematiker erfundene Polarplanimeter, misst Flächen beliebiger Form in einem faszinierend einfachen und eleganten Messvorgang: Ein einziges rutschendes und rollendes Messrad reicht, um den Inhalt der umfahrenen Fläche zu berechnen, denn dessen Messwert ist proportional zum Flächeninhalt.
Fragestellung
Ein Polarplanimeter anzuwenden ist kinderleicht, der Kern der Arbeit besteht also daraus, das Funktionsprinzip zu verstehen. (I) Warum funktioniert das Polarplanimeter? (II) Gelingt es, ein funktionierendes Gerät selbst zu konstruieren? (III) Lässt sich mit dem Funktionsprinzip des Polarplanimeters die Isoperimetrische Ungleichung begründen? (IV) Gibt es konstante Abweichungen, wenn man gewisse Bestandteile der Konstruktion umbaut?
Methodik
Um die Fragestellung (I) zu beantworten, wurden zwei Methoden herangezogen. Einerseits sollte das Funktionsprinzip intuitiv mit geometrischen Mitteln verstanden werden. Andererseits sollte Integralrechnung eingesetzt werden. Der Bau eines eigenen Polarplanimeters konnte mit Hilfe von «Meccano», einem Metallbaukasten, realisiert werden. Zur Untersuchung seiner Funktionstüchtigkeit und Messgenauigkeit wurden mehrere Messungen durchgeführt. Dabei wurde der Messvorgang analysiert und die Messgenauigkeit ermittelt. In einer weiteren Messeinheit mit dem selbst gebauten Polarplanimeter und unter Berücksichtigung der geometrischen Erklärung des Funktionsprinzips wurde Frage (IV) untersucht.
Ergebnisse
Das Funktionsprinzip des Polarplanimeters beruht darauf, dass der Messwert, den ein am Gerät befestigtes Messrad anzeigt, proportional zur gesuchten Fläche ist. Diese Proportionalität und die isoperimetrische Ungleichung der Ebene sind mit der geometrischen Erklärung begründbar. Den strengen Beweis des Funktionsprinzips liefert der Integralsatz von Green, ein Spezialfall vom Satz von Stokes, und alle dazugehörenden mathematischen Konzepte, u.a. parametrisierte Kurven und Vektorfelder. Die Konstruktion eines eigenen Polarplanimeters ist gelungen, sodass ein einigermassen konstanter Korrekturfaktor von 1.091 bestimmt worden ist. Die Vermutung aus Frage (IV) ist widerlegt: während beim normalen Polarplanimeter die Achse des Messrades parallel zu dem Metallstab ist, mit welchem die gesuchte Fläche umfahren wird, wurde in diesem Experiment die Messradachse nicht parallel montiert. Aber diese Messwerte unterlagen in keiner Hinsicht einer konstanten Abweichung.
Diskussion
Die wichtigste Frage der Arbeit, warum das Polarplanimeter funktioniert, konnte auf zwei Arten beantwortet werden. Beim mathematischen Beweis hätte man sich allerdings noch mehr vertiefen können, indem man den Satz von Green selbst beweist, und nicht «nur» intuitiv nachvollzeiht und anwendet. Der Bau eines eigenen Polarplanimeters ist ebenfalls geglückt, auch wenn die Messgenauigkeit zu wünschen übriglässt. Dass die Konstruktion aus Metall war, war zwar gut für die Stabilität des Baus, allerdings wurde dadurch das Gerät etwas schwerfällig und war suboptimal ausbalanciert. Auch wenn die eigene Konstruktion bezüglich der Eleganz nicht mit dem Original-Polarplanimeter mithalten konnte, so hatte sie doch einen grossen Nutzen. Denn nur Dank der Variabilität einer eigenen Konstruktion konnte experimentell nachgewiesen werden, dass der Messwert nicht proportional zum Flächeninhalt ist, wenn die Achse des Messrades nicht parallel zu demjenigen Metallstab ist, mit dessen Ende die gesuchte Fläche umfahren wird.
Schlussfolgerungen
Es wurden alle Fragestellungen sehr zufriedenstellend beantwortet. Gelernt habe ich dank dieser Maturaarbeit viel im theoretischen, mathematischen Bereich. Aber auch durch den Bau eines eigenen Messgeräts hat sich mein Wissen erweitert. Denn ich habe gesehen, dass ein Messgerät nicht für Präzisionsmessungen verwendet werden kann, nur weil es vom Prinzip her funktioniert. Konkret in meinem Fall, hätte man ein anderes Material verwenden müssen, um ein noch präziseres Gerät anzufertigen. Alles in allem hat es aber meinen Ansprüchen genügt, zumal es auch das erste Mal war, dass ich ein Messinstrument gebaut habe.
Würdigung durch den Experten
Dr. Rolf Herb
Das Polarplanimeter – ein rein mechanisches Flächenmessgerät – wurde vor 150 Jahren von dem Schweizer Mathematiker J. Amsler-Laffon erfunden und misst Flächen beliebiger Form in einem faszinierend einfachen und eleganten Messvorgang. Die Proportionalität des Messwertes sind mit einer geometrischen Erklärung begründbar. Den strengen Beweis des Funktionsprinzips liefert der Integralsatz von Green, ein Spezialfall vom Satz von Stokes. Mit einem selbstgebauten Gerät («Meccano»-Baukasten) wurde der Messvorgang analysiert und Messgenauigkeit wie auch der zugehörige Umrechnungsfaktor ermittelt.
Prädikat:
sehr gut
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Kantonsschule Schaffhausen
Lehrer: David Stotz