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Hans Walser
Viereck mit orthogonalen Diagonalen
Wir setzen den Seiten eines beliebigen Vierecks Šhnliche gleichschenklige Dreiecke an.
€hnliche gleichschenklige Dreiecke
Die rote und die blaue Strecke sind genau dann gleich lang, wenn die Diagonalen des Viereckes orthogonal sind.
Fźr den Beweis mźssen wir etwas ausholen.
Einem Dreieck ABC setzen wir Šhnliche gleichschenklige Dreiecke mit den Basiswinkeln an, zwei nach au§en und eins nach innen.
Ansetzen von gleichschenkligen Dreiecken
Dann ist das Viereck ein Parallelogramm.
Beweis: Das Dreieck ist das Bild des Dreiecks CAB bei einer Drehstreckung um C mit dem Drehwinkel im Uhrzeigersinn und dem Streckfaktor . Die Strecke ist das Bild der Strecke AB bei einer Drehstreckung um A, ebenso mit dem Drehwinkel im Uhrzeigersinn und dem Streckfaktor . Daher sind die Strecken und gleich lang und parallel. Damit ist der Hilfssatz bewiesen.
Bemerkung 1: Fźr ergibt sich der Sonderfall mit den Seitenmitten.
Sonderfall mit Drehwinkel null
Bemerkung 2: Fźr gibt es sechs Kombinationen innen / au§en bezźglich des Ansetzens der gleichschenkligen Dreiecke und damit auch sechs Parallelogramme.
Sechs Parallelogramme
Wir setzen einem beliebigen Viereck Šhnliche gleichschenklige Dreiecke abwechslungsweise nach au§en und nach innen auf. Ebenso setzen wir an der Diagonalen e ein solches Dreieck auf.
Anwendung im Viereck
Nun wenden wir den Hilfssatz einerseits fźr das Dreieck ABC und andererseits fźr das Dreieck ACD an. Daraus ergibt sich, dass die Vierecke und Parallelogramme sind. Daher ist auch das Viereck ein Parallelogramm (vgl. [Haag 2003]). Die SeitenlŠngen dieses Parallelgramms entsprechen den SchenkellŠngen der den Diagonalen e und f aufgesetzten gleichschenkligen Dreiecke.
Parallelogramm
Die Seiten und sind parallel zu der um den Winkel im Gegenuhrzeigersinn gedrehten Diagonalen e. Analog kšnnen wir einsehen, dass die Seiten und parallel sind zur der um den Winkel nun im Uhrzeigersinn gedrehten zweiten Diagonalen f. Den spitzen Schnittwinkel der beiden Diagonalen bezeichnen wir mit . Damit erhalten wir in unserem Parallelogramm die folgenden Winkel:
Winkel
Nun vertauschen wir innen und au§en beim Aufsetzen der gleichschenkligen Dreiecke. Wir erhalten ein Parallelogramm . Seine Seiten entsprechen den SchenkellŠngen der den Diagonalen e und f aufgesetzten gleichschenkligen Dreiecke, sind also gleich lang wie die Seiten des Parallelogramms
.
Zweites Parallelogramm
Im Parallelogramm haben wir aber die Winkel:
Genau bei haben wir:
Die beiden Parallelogramme sind kongruent und zwar so, dass und . Daraus folgt die Behauptung.
Literatur
[Haag 2003] Haag, Wilfried: Wege zu geometrischen SŠtzen. Stuttgart: Klett 2003. ISBN 3-12-720120-6