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Den Ausdruck "Menge" verwende ich im Alltag sehr vielfältig und meine damit meistens ein nicht weiter spezifiziertes, oft volumenhaftes Ausmass, das ich auch mit viel oder sehr viel bezeichne. Ich spreche etwa von einer Menschenmenge oder sage, dass ich eine Menge Bier getrunken oder eine Menge Arbeit vor mir habe.
Den Ausdruck "Menge" verwende ich mathematisch zur Gruppierung von - im Prinzip (auch nicht)-zählbaren - Entitäten (Elemente). Ich sage etwa die Menge der Primzahlen, und kann dann sagen, welche Zahlen zur Menge gehören und welche nicht. Und ich kann über die Mächtigkeit der Menge sprechen, womit ich die Anzahl der Elemente bezeichne.
Diese Verwendung des Ausdruckes "Menge" begründet die Mengenlehre von G. Cantor.
"Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse (als Einzelne abgrenzbare) Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht „nichts“, sondern der Inhalt eines Behältnisses, das keine der für es als Inhalt vorgesehenen Dinge enthält. Das „Behältnis“ selbst verweist nur auf die bestimmte zu zählende Sorte und Art von Elementen.
Die leere Menge ... führt das "nicht" ein. Zwei Aepfel, ein Apfel, k(nicht)ein Apfel ...
Die "leere Sack-Vorstellung" taugt auch im Kindergartenunterricht.
Die Mengenlehre wurde kritisiert von B. Russell, in der Typentheorie, die Klasse und Menge unterschied (aber in der Mathe keinen Erfolg hatte) und durch zemalot, der heute allgemein gilt.
Beide erkannte eine Art Paradoxie, die sie mit einer Menge, die sich selbst (nicht) enthält verbunden haben - obwohl es in deren Theorie keine Menge, die sich selbst enthält.
Es gibt zahlreiche populäre Varianten der Russellschen Antinomie. Am bekanntesten ist das Barbier-Paradoxon, mit dem B. Russell selbst 1918 seinen Gedankengang veranschaulichte und und seine Typentheorie begründete: "Der Mann, der alle Männer im Dorf rasiert, die sich nicht selbst rasieren."
Das wird mithin als logisches Problem bezeichnet, aber es bleibt unklar, wovon die Rede ist, resp. was die bezeichnete Menge ist.
Den Ausdruck "Menge" verwende ich physikalisch - ganz unabhängig von der mathematischen Deutung - für die primäre Grösse Stoffmenge.
In der Physik wird der Ausdruck oft in umgangssprachlichen Verkürzungen verwendet. Es wird etwa von einer bestimmten "Menge Energie" gesprochen, statt von von einer bestimmten Anzahl Joule oder Kalorien.
siehe auch imaginäre Menge