Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03517.jsonl.gz/1639

Hans Walser, [20200315]
Rhombendodekaederstumpf
Anregung: F. R., L.
Frage nach Inkugel, Kantenberhrkugel und Umkugel beim Rhombendodekaederstumpf.
Wir arbeiten mit einem Rhombendodekaeder und einem Wrfel (Abb. 1).
Abb. 1: Rhombendodekaeder und Wrfel
Die Abbildung 2 zeigt den Durchschnitt der beiden Krper.
Abb. 2: Durchschnitt
Dieser Krper kann als Rhombendodekaederstumpf gesehen werden, indem beim Rhombendodekaeder diejenigen Ecken, an denen vier spitze Rhombenwinkel zusammenkommen, abgestumpft werden.
Der Krper kann aber auch als abgeschrgter Wrfel gesehen werden. Beim Wrfel werden ãdie Kanten gebrochenÒ das hei§t in einem Winkel von 45¡ abgeschrgt.
Im Folgenden wird mit dem Konzept des Rhombendodekaederstumpfs gearbeitet.
Zu einem rumlichen Polyeder kann es drei spezielle Kugeln geben.
á Die Inkugel berhrt alle Seitenflchen. Beim Wrfel mit der Kantenlnge 2 hat die Inkugel den Radius 1.
á Die Kantenberhrkugel berhrt, wie der Name sagt, alle Kanten. Beim Wrfel mit der Kantenlnge 2 hat die Kantenberhrkugel den Radius . Sie berhrt die Kanten in den Kantenmitten.
á Die Umkugel verluft durch alle Polyederecken. Beim Wrfel mit der Kantenlnge 2 hat die Umkugel den Radius .
Wir fragen nun, unter welchen Bedingungen eine dieser Kugeln beim Rhombendodekaederstumpf existiert.
Bemerkung: Da es zu einem ebenen Polygon nur die Begriffe Inkreis und Umkreis gibt, geht in der schulischen Raumgeometrie der Begriff Kantenberhrkugel oft unter.
Abb. 3: Bedingung fr Inkugel
Eine Inkugel gibt es genau dann, wenn die Kanten des Rhombendodekaeders im Verhltnis geteilt werden. Beweis durch Nachrechnen.
Die Abbildungen 1 und 2 basieren auf diesem Teilverhltnis.
Die Abbildung 4a zeigt den Rhombendodekaederstumpf transparent und die Inkugel. Die Abbildung 4b zeigt die hintere Hlfte des Rhombendodekaederstumpfs und die Inkugel. Die Halbierungsebene schneidet aus dem Rhombendodekaederstumpf ein regelm§iges Achteck heraus. Dies erklrt das Auftreten von in der Abbildung 3.
Abb. 4: Rhombendodekaederstumpf mit Inkugel
Abb. 5: Bedingung fr Kantenberhrkugel
Eine Kantenberhrkugel gibt es genau dann, wenn die Kanten des Rhombendodekaeders im Verhltnis geteilt werden. Beweis durch Nachrechnen.
Die Abbildung 6a zeigt den Durchschnitt; in der Abbildung 6b ist die Kantenberhrkugel eingezeichnet. Wir erhalten eine sphrische Kugelpackung von zwlf gro§en und sechs kleinen Kreisen.
Abb. 6: Durchschnitt und Kantenberhrkugel
Abb. 7: Bedingung fr Umkugel. Durchschnitt
Eine Umkugel gibt es genau dann, wenn die Kanten des Rhombendodekaeders im Verhltnis 1:2 geteilt werden (Abb. 7a). Beweis durch Nachrechnen. Die Abbildung 7b zeigt den Durchschnitt.
Die Abbildung 8 zeigt den Rhombendodekaederstumpf und die Umkugel in zwei verschiedenen Darstellungen.
Abb. 8: Umkugel