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Hans Walser, [20071228e], [20131230a]
Bart des Archimedes
Anregung: [Netz/Noel 2007]
Archimedes pflegte seine gelehrten Besucher mit der Frage zu nerven, wie gro§ der rote Anteil an der gesamten Kreisflche sei.
Wie gro§ ist der rote Anteil am Kreis?
Die blaue Trennkurve zwischen den Farben ist eine so genannte archimedische Spirale. Der Abstand vom Kreiszentrum nimmt gleichm§ig zu.
Wir knnen das Problem des Archimedes auf verschiedene Weisen angehen.
Wir frben die von der Mitte ausgehenden Radien rot und grn ein.
Farbige Radien
Jetzt brauchen wir nur noch den Rotanteil auf den Radien zu bestimmen. Dazu stellen wir die Radien nebeneinander. Wir sehen nochmals sehr schn, wie der Abstand vom Mittelpunkt, der Rotanteil also, gleichm§ig wchst. Die archimedische Spirale ist also so zu sagen eine aufgewickelte schrge Gerade.
Rot-grner Lattenzaun
Die Hlfte ist rot — das kannÕs wohl nicht sein. Richtig, wir haben bersehen, dass im Kreisfcher die Zwischenrume von innen nach au§en zunehmen: im Lattenzaun haben wir berall gleiche Zwischenrume.
Statt mit Radien mssen wir mit Sektoren arbeiten.
Rot-grne Sektoren
Wenn wir die nun aufreihen, sieht das so aus:
Sektoren in Reih und Glied
Wir sehen qualitativ deutlich, dass der rote Anteil weniger als die Hlfte ist.
Wir knnen die roten Spitzen umgekehrt in die Spalten des grnen Feldes versenken, die Spitze ganz rechts in das Loch ganz links und so weiter. Das geht schn auf, und am Schluss haben wir ein Dreieck, dessen Basislnge der Umfang des Kreises ist, also , und dessen Hhe der Kreisradius r. Somit hat das Dreieck den Flcheninhalt ; das ist — rot und grn zusammen — auch der Flcheninhalt des Kreises. Das habe wir aber eh schon in der Schule gelernt, und fr die Frage des Archimedes, wie gro§ der Rotanteil nun wirklich ist, hilft es nicht weiter.
Wir drehen nun die Sektoren um ihre senkrechte Symmetrieachse um 90¡. Ich stelle mir das vor wie stehende Lamellen, welche um die senkrechte Mittelachse drehbar sind. Solche Lamellen finden sich als Windschutz entlang von deutschen Autobahnen.
Wir verlassen damit die Ebene und haben eine rumliche Figur. Die rot-grnen Sektoren stehen wie Dominosteine hintereinander.
Gestaffelte Sektoren
Wir haben nun ein Dreikant-Prisma.
Dreikant-Prisma
Das Dreikant-Prisma ist durch eine schrge Ebene in zwei Teile geteilt, der obere, offensichtlich kleinere, Teil ist rot, der untere grn. Unsere Aufgabe besteht jetzt noch darin, den Volumenanteil des roten Teils am ganzen Dreikant-Prisma zu bestimmen.
Wenn wir das Prisma in irgend eine Richtung auseinander ziehen oder zusammenpressen (das sind so genannte affine Verzerrungen), ndern sich zwar die Volumina, nicht aber die Volumenanteile. Wir knnen daher das Prisma so verzerren, dass es zu einem halben Wrfel wird.
Halber Wrfel
Der rote Teil ist ein unregelm§iges Tetraeder, der restliche grne Teil eine Pyramide, deren Spitze sich senkrecht ber einer Ecke der quadratischen Grundflche befindet. Nun zerlegen wir das Dreikant-Prisma. Zunchst entfernen wir das rote Tetraeder.
Das rote Prisma wird entfernt
Dann halbieren wir die verbleibende Pyramide durch die senkrechte Symmetrieachse. Es entstehen zwei gleichgro§e symmetrische grne Tetraeder.
Halbierung der Pyramide
Schlie§lich entfernen wir noch eines der beiden grnen Tetraeder.
Entfernung eines grnen Tetraeders
Wenn wir das rote Tetraeder wieder zurckschieben, erkennen wir, dass es spiegelbildlich zum verbliebenen grnen Tetraeder ist.
Wir haben also drei kongruente Tetraeder; das Volumen des roten Tetraeders ist also ein Drittel des Volumens des Prismas.
Daher ist der rote Spiralflchenanteil ein Drittel der Kreisflche.
Wir haben somit das Problem des Archimedes gelst, ohne etwas ber die Kreisflche zu verwenden. Insbesondere brauchten wird nirgends die Kreiszahl ¹. Es ist auch berraschend, dass sich ein Flchenproblem ber eine Volumenbetrachtung lsen lsst.
Im Anhang sind Schnittmuster fr die in unseren berlegungen verwendeten Tetraeder angegeben.
Beispiel eines Schnittmusters. Rotes Tetraeder
Das Basteln geht so: Ausschneiden und an allen Innenlinien krftig vorfalten. Die vier satt gefrbten Dreiecke sind die Au§endreiecke des Tetraeders. Die drei hell getnten funktionieren als Stecklaschen. Sie knnen auch krzer geschnitten und als Klebelaschen verwendet werden.
Mit dem ersten roten und den beiden grnen Schnittmustern knnen die Bauteile fr unsere berlegungen gebaut werden. Mit dem zweiten roten und den beiden blauen Schnittmustern kann eine analoge spiegelbildliche Figur gebaut werden. Die beiden Figuren lassen sich zum Wrfel ergnzen. Mit zwei weiteren Tetraedern kann eine Pyramide gebaut werden, deren Hhe die Hlfte der Grundkante ist.
Wrfel und Pyramide
Wenn die archimedische Spirale schneller nach au§en geht, ist der rote Flcheninhalt ein Drittel der zugehrigen Kreissektorflche.
Variante
Wenn die archimedische Spirale mehr als eine Runde macht, mssen wir entsprechend mit berlappungen arbeiten.
Wir knnen die Flche der archimedischen Spirale auch mit Kreisbgen frben.
Da die Zwischenrume zwischen den Bgen gleichm§ig sind, knnen wir die Bgen direkt zur Flchenmessung nutzen (linkes Bild). Wir stellen zunchst fest, dass die roten Bogenlngen au§en und innen klein sind, in der Mitte aber gro§.
Jeder Kreis ist zuerst grn und dann rot. Der Farbwechsel erfolgt proportional zum Radius des betreffenden rot-grnen Kreises. Der grne Bogen entspricht , der rote Bogen daher . Da ein rot-grner Kreis vom Radius den vollen Umfang hat, ist die Lnge des roten Bogens darauf .
Wenn wir die rot-grnen Kreise oberhalb der horizontalen blauen Linie abrasieren und alles nach unten fallen lassen, ergibt sich das rechte Bild. Die Kreisflche wird zu einem rechtwinkligen Dreieck, dessen kurze Kathete der Kreisradius r ist und dessen lange Kathete der Kreisumfang . Die Dreiecksflche — und damit auch die Kreisflche — ist also .
Der rote Bart im Dreieck
Uns interessiert aber der rote Bart. Sein Umriss scheint eine Parabel zu sein. Wir habe oben festgestellt, dass ein rotes Barthaar die Lnge hat. Das ist tatschlich eine quadratische Funktion in . Das lngste Barthaar ist in der Mitte fr ; seine Lnge ist , also gerade ein Viertel des Kreisumfanges. Das knnen wir auch unmittelbar geometrisch einsehen: der mittlere rote Kreisbogen ist genau ein Halbkreis und hat den halten Radius wie der Kreis.
Fr die Bartflche knnen wir jetzt handfeste Integrationsrechnung anwenden:
Das ist ein Drittel der Kreisflche.
Soweit so gut. Schner ist es geometrisch: Wir schneiden im Dreieck, das der Kreisflche entspricht, auf halber Hhe waagerecht durch und setzen das unten abgeschnittene Teil mit Spitze nach oben links an. Dann haben wir ein Rechteck, das doppelt so hoch ist wie die Lnge des lngsten Barthaares (linkes Bild). Wir knnen auch die untere Hlfte, die rein grn ist, abschneiden (rechtes Bild).
Parabel im Rechteck
Archimedes hat mit subtilen berlegungen gezeigt, dass eine Parabelflche, die so in ein Rechteck eingepasst werden kann wie auf dem rechten Bild, genau zwei Drittel der Rechtecksflche ausmacht. Bezogen auf das linke Bild ist das ein Drittel der Rechtecksflche und somit ein Drittel der Kreisflche.
Vor Jahrzehnten hat mich einmal eine Schlerin whrend einer Klausurarbeit gefragt: ãIst es egal, was man fr einsetzt?Ò In unseren berlegungen wre es wirklich egal gewesen; der Anteil der Spiralenflche an der Kreisflche ist immer ein Drittel, unabhngig vom Zahlwert fr ¹.
Wir setzen den Bart in die Mitte und zwirbeln ihn dann hlftig links und rechts wieder auf. Der Schnurrbart bedeckt einen Drittel der Kreisflche.
Schnurrbart
Literatur
[Netz/Noel 2007] Netz, Reviel und Noel,William: Der Kodex des Archimedes. Das berhmteste Palimpsest der Welt wird entschlsselt. Aus dem Englischen von Thomas Filk. 2. Auflage. Mnchen: Verlag C. H. Beck 2007. ISBN 978 3 406 56336 2
Anhang: Schnittmuster fr Tetraeder
Rotes Tetraeder
Spiegelbildliches rotes Tetraeder
Grnes Tetraeder
Spiegelbildliches grnes Tetraeder
Blaues Tetraeder
Spiegelbildliches blaues Tetraeder
Magenta Tetraeder
Spiegelbildliches magenta Tetraeder