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Ce graphique coloré et séduisant est une représentation de la fonction zêta de Riemann dans le plan complexe. Fondamentale dans de nombreux développements mathématiques, et notamment en théorie des nombres, puisque la position de ses zéros a un rapport avec la répartition des nombres premiers, la fonction zêta touche, il faut bien l’avouer, à un domaine très ardu des maths. Je l’avais déjà mentionnée dans mon billet dédié au théorème des nombres premiers, consultable sur ce blog, et elle risque de réapparaître souvent dans des billets ultérieurs. Il existe en réalité plusieurs fonctions zêta. Celle d’Euler somme des puissances en nombres réels. Celle de Riemann des puissances en nombres complexes. La voici :
Les variables s désignent des nombres complexes (du corps des nombres complexes ℂ), soit des nombres de la forme a + bi avec i (pour imaginaire) désignant la racine carrée de – 1 (a et b étant des nombres réels, bien sûr). Le zêta est une lettre de l'alphabet grec, tout comme le sigma majuscule, qui représente ici une somme infinie. Cela étant, la fonction prolonge en fait la fonction somme d’une série de Dirichlet dont voici l’exemple, à titre purement informatif:
Ce sont là des séries qui interviennent en théorie analytique des nombres. Elles servent notamment à démontrer le théorème de la progression arithmétique.
L'Allemand Bernhard Riemann (1826 – 1866), l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire, reprenant les travaux du Suisse Euler, publie en 1859 un texte sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée. C’est à ce moment qu’il définit et introduit la fonction zêta, en étendant les travaux de ses prédécesseurs aux nombres complexes. Elle peut ainsi se définir comme une fonction analytique complexe (méromorphe). Précédemment, Euler avait entre autres calculé la valeur de la fonction pour les entiers s positifs pairs. En résultent des séries convergentes et infinies qui peuvent s’exprimer par des puissances paires de ∏. Voici quelques-uns de ces résultats :
Les choses se corsent, si j'ose dire, avec les nombres complexes, particulièrement ceux dont la partie réelle (notée Re(s)) est supérieure à 1. Euler est ainsi le premier à découvrir le lien entre la fonction zêta et un produit infini faisant intervenir tous les nombres premiers. Voici l’égalité - géniale - qu’il démontre, P désignant ici l’ensemble des nombres premiers :
Il remarque alors que la position des zéros de la fonction zêta de Riemann fournit la position des nombres premiers. C’est ce constat qui est à la base de l’hypothèse de Riemann, Graal absolu de la recherche en maths, et sur lequel je reviendrai dans un prochain billet. Pour faire simple, l’hypothèse de Riemann conjecture que les zéros non triviaux de la fonction zêta ont tous pour partie réelle ½. Elle n'est à ce jour toujours pas démontrée. Et le jour où elle le sera, la recherche en maths fera des bonds de géant.