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Hans Walser, [20210106]
Al-Sijzi
Kinematische Beispiele
Nach dem Satz des Pythagoras bleibt beim rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadratflchen ber den beiden Katheten invariant, wenn der Eckpunkt beim rechten Winkel auf dem Thaleskreis bewegt wird.
In einem beliebigen Dreieck ABC bleibt die Summe a2 + b2 invariante, wenn die Ecke C auf dem Kreis um den Mittelpunkt der Strecke AB und dem Radius sc (von C ausgehende Schwerlinie) bewegt wird (Satz von al-Sijzi). Alternativ knnen wir auch sc festlassen und die Strecke AB um ihren Mittelpunkt drehen (Abb. 1).
Abb. 1: Propeller. Invariante Quadratflchensumme
Es funktioniert auch mit einem dreiteiligen (oder n-teiligen) Propeller (Abb. 2).
Abb. 2: Dreiteiliger Propeller
Wir lassen zwei Propeller synchron, aber phasenversetzt rotieren.
Die Flchensumme der angesetzten Quadrate ist invariant (Abb. 3).
Abb. 3: Zwei Propeller
Beweis: Wir bezeichnen die Radien der beiden Propeller mit a beziehungsweise b. Im Standbild der Abbildung 4 ist nur eines der beiden Quadrate eingezeichnet, die folgende berlegung gilt aber auch fr das andere Quadrat.
Wir verschieben das Quadrat (rot) so, dass eine Ecke in das Drehzentrum des ersten Propellers zu liegen kommt. Der Verschiebungsvektor hat die Lnge a. Das verschobene Quadrat ist grn gezeichnet. Der violett eingezeichnete Winkel ist die Phasenversetzung.
Abb. 4: Verschieben eines Quadrates
Das grne Quadrat hat nun die linke untere Ecke fest. Die rechte untere Ecke rotiert mit dem Propellerarm s. Dieser lsst sich aus a und b sowie der Phasenversetzung berechnen.
Das grne Quadrat ist also in der Situation der Abbildung 1.
Entsprechend kann das andere rote Quadrat verschoben werden. Aus dem Satz von al-Sijzi gem§ Abbildung 1 folgt daher die Invarianz der Flchensumme der Abbildung 3.
Wir knnen in die beiden rechten oberen Quadratecken der Abbildung 3 und ebenso in die beiden linken oberen Ecken je einen weiteren Propeller einpassen (Abb. 5).
Abb. 5: Zwei weitere Propeller
Somit haben wir nun vier Propeller. Ihre Drehzentren bilden ein Quadrat. Fr die zu den Propellern gehrenden Drehkreise gilt: Die alternierende Summe der Kreisflchen ist null. Es ist also dunkelblau = hellblau.
Um dies einzusehen ergnzen wir zunchst die Abbildung 4 durch die beiden neuen Zentren (Abb. 6). Die Radien der beiden zustzlichen Propeller bezeichnen wir mit c beziehungsweise d.
Abb. 6: Die vier Drehzentren
Die blauen Strecken der Abbildung 6 lassen sich zu einem Quadrat zusammenfgen (Abb. 7a). Ein dieses Quadrat passen auch die vier Radien a, b, c und d. Dies wird durch die Abbildung 7b illustriert.
Abb. 7: Kleines Quadrat mit Radien
Aus der Figur 7a lsst sich eine Beziehung fr die vier Radien herleiten. Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 8b.
Abb. 8: Radien und Quadrat
Fr die Quadrate der Radien ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras:
(1)
Daraus ergibt sich, dass die alternierende Summe der Quadrate der Radien verschwindet:
(2)
Damit verschwindet aber auch die alternierende Summe der Kreisflchen in der Abbildung 5.
Die Summe der fnf roten Quadratflchen (Abb. 9) ist invariant. Die alternierende Summe der vier Fnfeckflchen ist null.
Abb. 9: Quadrate und Fnfecke
Die Summe der drei roten Dreiecksflchen (Abb. 10) ist invariant.
Abb. 10: Dreiecke und Dreiecke
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