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Bis vor ca. 100 Jahren hat man gedacht, wenn man die Welt in ihre kleinsten Einheiten (Atome) zerlegt und deren Eigenschaften kennt, kann man die ganze Vielfalt der Welt damit beschreiben. Man hat geglaubt, dass diese Vielfalt einfach die Summe von Eigenschaften von unteilbaren Elementen ist.
In der Quantenphysik hat man aber erkannt, dass es gar keine Teilchen im eigentlichen Sinne gibt, die eine bestimmte Abmessung haben und an einem bestimmten Ort sitzen. Vielmehr ist das, was wir als Partikel bezeichnen eine mehr oder weniger lokale Störung in einem Energiefeld, welches das ganze Universum einnimmt. Jedes Teilchen ist also mit dem ganzen Universum verbunden und jedes Teilchen ist somit mit jedem anderen Teilchen verbunden! Jedes Teilchen beeinflusst damit jedes andere mehr oder weniger stark, je nach Abstand der Störung.
Diese Verbundenheit über das gemeinsame Energiefeld hat weitreichende Konsequenzen: So entsteht aus der Kombination zweier Partikel etwas, das mehr als die Summe der einzelnen Partikel ist. Ein Elektron zum Beispiel erzeugt ein elektrisches Feld, das zwar mit dem Abstand vom Elektron immer schwächer und schwächer wird, aber im Prinzip bis ins Unendliche reicht. Kommt nun ein zweites Elektron in seine Nähe, so beeinflussen sich die eletrischen Felder gegenseitig. Dabei entsteht etwas völlig Neues, was nicht existierte, wenn es nur ein einziges Elektron gäbe: eine abstossende Kraft zwischen den Elektronen!
So entstehen durch die Kombination von Eigenschaften mehrerer Elemente immer wieder neue Eigenschaften, die nicht existieren würden, wenn man nur ein Element isoliert betrachtet. Dies gilt nicht nur für Atom-Teilchen, sondern ist ein Naturprinzip, das sich auf allen Ebenen zeigen kann. So können höhere Strukturen wie Moleküle entstehen. Moleküle können sich zu komplexen Gebilden wie Zellen organisieren usw.
Wie kann man sich dieses Naturprinzip erklären? Existiert dieses Prinzip vielleicht auch in der Mathematik? Das müsste es eigentlich, denn es ist ja üblich, sich von der Realität ein mathematisches Modell zu machen, um die Eigenschaften quantifizieren und berechnen zu können. Also müsste es auch in einer Formel Mechanismen geben, sodass die Kombination zweier Formelelemente mehr als die Summe der Formel-Element ergibt.
Dies ist tatsächlich so! Auf diese Weise haben die Formeln der Quantenphysik zum Beispiel schon viele Teichen und Eigenschaften vorhergesagt, die man erst später in Experimenten gefunden hat.
Ich möchte hier am einfachsten Beispiel zeigen, wie man sich dieses Prinzip in der Mathematik vorstellen kann. Dazu benötige ich nur etwas Algebra.
Angenommen wir haben eine Eigenschaft X, die von einer Veränderlichen x abhängig ist und auf dieselbe Art sei Y von der Veränderlichen y abhängig. Man sagt das in der Mathematik so: X ist eine Funktion von x und schreibt: X = f(x). In diesem Beispiel sei die Funktion die Quadrat-Funktion (x2 auf dem Taschenrechner):
Würde man nun Einfach nur die Summe SAgg der Teile bilden, erhielte man:
Diese Art der Summe bezeichnet man als Aggregat oder Anhäufung. Die Elemente sind unabhängig voneinander und es entsteht nichts Neues.
Wenn wir hingegen statt der ganzen Formeln die Veränderlichen x und y Summieren und die Formal darauf anwenden, erhalten wir ein ganz anderes Resultat:
Hier habe ich also zuerst x und y addiert und dann die Funktion (f = x2) darauf angewandt. Dabei ist zunächst mal auch wieder die Summe SAgg = x2 + y2 herausgekommen, aber zusätzlich noch der Teil 2xy! Das Ganze SSys ist also mehr als die Summe der Einzelteile SAgg geworden! Und dies schon bei einer so einfachen Formel!
An einem Beispiel aus der Quantenphysik möchte ich nun dieses Prinzip zeigen. Die Formel ist in diesem Beispiel nur unwesentlich komplizierter. Man muss sie im Detail nicht verstehen, es ist im Prinzip der gleiche Fall wie oben gezeigt. [1]
Wir nehmen zwei Elektronen, beschreiben deren elektrische Felder und untersuchen was passiert, wenn sich die beiden Elektronen nahekommen. Dazu berechnen wir die Energie
Der Zusammenhang zwischen eletrischem Feld
Ich rechne den Faktor
Damit ist die Energiedichte einfach
und die gesamte Energie des Feldes ist dann das Integral der Energiedichte über das ganze Volumen (Universum). Für die beiden Elektronen gelten somit die folgende Energien:
Wenn wir untersuchen wollen was passiert, wenn wir das System aus beiden Elektronen kombinieren, so müssen wir die Felder
Wenn wir den Ausdruck in der Klammer ausmultiplizieren (Binom-Formel) erhalten wir:
Das Integral kann man nun auf jeden Term einzeln anwenden. Wir erhalten damit:
Die ersten beiden Terme (Grün und Blau) sind aber nichts anderes als die Summe der Einzelenergien
Aber es ist noch ein weiterer Term (Rot) entstanden:
Was hat dies nun zu bedeuten? Es bedeutet, dass wenn man zwei Elektronen zusammen tut, so ist die Gesamtenergie des kombinierten Feldes grösser als die Summe der Energien der einzelnen Felder!
Was heisst das konkret? Erstmal ist der rote Term abhängig vom Abstand der beiden Elektronen. Je grösser der Abstand, umso kleiner wird dieser Anteil. Im Grenzfall, wenn die beiden Elektronen sehr weit voneinander entfernt sind, wird dieser Anteil Null und wir haben nur noch eine Gesamtenergie von
Wenn wir den Energieverlauf aufzeichnen, während sich die beiden Elektronen nähern, so stellen wir fest, dass die Energie immer grösser wird, je näher sich die Elektronen kommen. Eine Energieänderung bedeutet nichts anderes als eine Kraft! Die Kraft zeigt immer in die Richtung des Endergieabfalls. In diesem Fall stossen sich die beiden Elektronen also ab!
Diese Formel sagt also voraus, dass sich zwei Elektronen abstossen. Man muss Energie aufwenden (der rote Term), um die beiden Elektronen einander näher zu bringen. Die Elektronen wehren sich dagegen mit einer abstossenden Kraft. Das Zusammenfügen zweier Elektronen hat etwas Neues hervorgebracht, eine Kraft, die beim Betrachten nur eines einzelnen Elektrons nicht existiert! Das Ganze ist mehr als die Summe der Teile!
Das Prinzip, dass das Ganze mehr als die Summe seiner Teile ist, gilt immer dann, wenn bestimmte Eigenschaften bei der mathematischen Beschreibung Nicht-Linear sind. Dies ist in der Natur sehr häufig der Fall!