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Seil
Wirkweise
Ein Seil verhält sich wie eine Pendelstütze, die nur auf Zug belastet werden kann. Das Seil kann weder unter Druck, Biegung oder Torsion stehen. Orientiert man die x-Achse in Seilrichtung und die beiden andern Achsen normal dazu, fliesst im gespannten Seil nur x-Impuls in negative x-Richtung. Das so orientierte Seil transportiert weder y- noch z-Impuls. Ein Seil ist auch nicht in der Lage, direkt Drehimpuls zu übertragen.
Seilkraft
Steht das Seil schief zum raumfesten Koordinatensystem, werden gleichzeitig mehrere Impulskomponenten transportiert. Das Verhältnis der drei Impulsströme ist durch die Orientierung des Seils im Raum festgelegt:
- Die Stromstärken der drei Impulsströme verhalten sich zueinander wie die drei Komponenten des zugehörigen Seilabschnittes.
Legt man quer zum Seil eine Schnittfläche, zeigen die beiden Schnittkräfte in Seilrichtung (ein Impulsstrom, der durch eine Schnittfläche tritt, ergibt entsprechend den beiden Orientierungen der Fläche zwei Kraftpfeile). Die beiden Schnittkräfte nennt man pauschal Seilkraft F, wobei das Vorzeichen Konvention ist. Mit Seilkraft bezeichnet man also nicht die Impulsstromstärke bezüglich eines Körpers (allgemein übliche Definition der Kraft), sondern die Impulsstromstärke bezüglich einer Schnittfläche.
Im Anfängerunterricht werden Kräfte mittels Seilen materialisiert (Seilpolygon). Obwohl mit dieser Idee aus der Hochblüte der Statik die Vektoreigenschaft der Kraft sehr schön gezeigt werden kann, wird mehr verschüttet als geklärt. Die Schülerinnen und Schüler glauben nach diesen Ausführungen, dass eine Kraft eine objektivierbare Grösse sei, die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet ist. Zudem zeigt der Kraftvektor nur in Seilrichtung, weil das Seil weder Biege- noch Torsionssteif ist, weil es keinen Drehimpus zu transportieren vermag.
Impulsströme
Das globale Koordinatensystem, das Weltsystem, teilt sowohl den Impuls als auch den Drehimpuls in seine drei Komponenten ("Sorten") auf. Nachfolgend wird gezeigt, wie die drei Impulsströme bei beliebiger Orientierung des Seils mit der "Seilkraft" zusammenhängen?
Um die Beziehung zwischen "Seilkraft" und Impulsstromstärke mathematisch zu formulieren, zeichenet man als erstes einen Bezugspfeil in Seilrichtung ein (zwei Möglichkeiten). Die Seilkraft F entspricht dann einer der beiden Schnittkräfte auf den Seilquerschnitt. Die Seilkraft soll bei einem belasteten Seil (Zug) kleiner Null sein (verläuft das belastete Seil parallel zu einer Achsen des Weltsystems, ist die Seilkraft damit gleich der Impulsstromstärke bezüglich des Weltsystems). Bei einer beliebigen Orientierung des Seils bestimmt man die drei Winkel zwischen je einer Koordinatenrichtungen und dem Bezugspfeil. Danach berechnet man den Cosinus der drei Winkel (Richtungscosinus). Die Stärken der drei Impulsströme berechnen sich dann aus der "Seilkraft" wie folgt
- [math]I_{pi} = F cos(\varphi_i)[/math] (i = x, y, z)
Die "Seilkraft" beschreibt die Belastung des Seils, die Impulsströme zeigen, wie die Primärgrösse Impuls durch ein Bauwerk transportiert wird.
Beispiele
- Aus einem aufgehängten Körper fliesst der gravitativ zugeführte z-Impuls durch ein Seil nach oben weg.
- Die Beschreibung impliziert eine nach unten weisende z-Achse.
- Wählen wir den Bezugspfeil nach unten, ist die Stromstärke des z-Impulses negativ. Wir wissen ja, dass der der Impuls nach oben, also gegen den Pfeil, durch das Seil wegfliesst. Da der Winkel zwischen Bezugspfeil und z-Achse gleich Null ist, wird auch die Schnittkraft negativ, was der herrschenden Zugbelastung entspricht.
- Zeigt der Bezugspfeil nach oben, wird die Stromstärke des z-Impulses positiv. Die Schnittkraft F bleibt aber negativ, weil nun der Cosinus des Winkels zwischen Bezugspfeil und Koordinatenrichtung den Wert minus eins annimmt.
- Die z-Achse zeige nun nach oben. Folglich fliesst der Impuls von oben in den aufgehängten Körper und von dort ans Gravitationsfeld weg.
- Zeigt nun der Bezugspfeil nach unten, wird die Stromstärke des z-Impulses positiv und der Cosinus des Zwischenwinkels gleich minus eins. Folglich ist die Schnittkraft F kleiner als Null.
- Orientiert man den Bezugspfeil nach oben, wird die die Stromstärke des z-Impulses negativ. Weil der Zwischenwinkel nun gleich Null ist, bleibt F negativ.
- Die Beschreibung impliziert eine nach unten weisende z-Achse.
- Eine Strassenlampe ist über eine kurzes Seil an einem quer über die Strasse gespannten Drahtseil aufgehängt. Der z-Impuls fliesst vom Gravitationsfeld in die Lampe hinein und von dort über das Seilwerk weg. Wählt man die drei Bezugspfeile in Richtung des z-Impulsstromes, können für die Stromverzweigung die beiden Knotensätze aufgestellt werden:
- x-Impulsstrom: [math]F_2 \cos \varphi_{2x} + F_3 \cos \varphi_{3x} = 0[/math]
- z-Impulsstrom: [math]F_1 \cos 180^o + F_2 \cos \varphi_{2z} + F_3 \cos \varphi_{3z} = 0[/math]
- Die erste Seilkraft entspricht bis auf das Vorzeichen (Zug) der Quellenstärke des z-Impulses (Gewichtskraft) [math]F_1 = -mg[/math]
- Löst man das Gleichungssystem auf, erhält man die beiden andern Seilkräfte. Der nach oben abliessende z-Impuls induziert im Drahtseil einen in negative Richtung strömenden x-Impulsstrom.