Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03120.jsonl.gz/1066

Hans Walser, [20100207a]
Krmmung
In einem gekrmmten Eisenbahngeleise ist die u§ere Schiene lnger als die innere. Diese Differenz hngt natrlich von der Spurweite ab. Bei Breitspur ist sie gr§er als bei Schmalspur. Diese Differenz hngt aber auch von der Geleiselnge ab. Bei einem vollen Kreis ist sie doppelt so gro§ wie bei einem Halbkreis. Wir werden diese Differenz als Ma§ fr die totale Krmmung verwenden.
Quer zu einer Kurve zeichnen wir in regelm§igen Abstnden Schwellen, auf denen wir nach links und nach rechts je eine halbe Einheit abtragen. Darauf montieren wir die Schienen. Die Abbildung zeigt das Vorgehen am Beispiel der Parabel:
Parabel
Fr das obige Beispiel knnen numerisch folgende Daten bestimmt werden:
Trasselnge = 11.30527944
Spurweite = 1
Schienenlnge rechts = 12.55432521
Schienenlnge links = 10.05623367
Mittlere Schienenlnge = 11.30527944
Totale Krmmung = 2.498091545 = 143.1301024¡
Mittlere Krmmung = 0.220966811
Die Schienenlnge rechts ist lnger, die Schienenlnge links krzer als die Trasselnge. Die Trasselnge ist offenbar der Mittelwert der beiden Schienenlngen. Die Differenz der beiden Schienenlngen wird hier offenbar als totale Krmmung bezeichnet. Dafr besteht Erklrungsbedarf, ebenso fr die Angabe der totalen Krmmung als Winkel und den Begriff der mittleren Krmmung.
Unter der totalen Krmmung einer Trasse mit Spurweite 1 verstehen wir die Differenz der Schienenlnge rechts minus der Schienenlnge links. ãRechtsÒ und ãlinksÒ sind im Sinne des Kurvendurchlaufes zu verstehen. Die Schienenlnge rechts kann durchaus die krzere sein, wir haben dann eine negative totale Krmmung.
Wenn wir die totale Krmmung als Winkel im Bogenma§ (oder umgerechnet ins Degree-Ma§) verstehen, erhalten wir den Schnittwinkel zwischen den Trgergeraden der ersten und der letzten Schwelle.
Winkel-nderung
Da die Schwellen orthogonal zur Kurve sind, hei§t das aber auch, dass die totale Krmmung die Richtungsnderung der Kurve zwischen Startpunkt und Endpunkt angibt.
Die mittlere Krmmung schlie§lich ist die totale Krmmung dividiert durch die Trasselnge.
Bei vorgegebener Spurweite 1 kriegen wir nicht jede Kurve. Bei der Parabel macht die innere Schiene seltsame Kapriolen.
Probleme mit der inneren Schiene
Auch die berechneten Daten machen stutzig:
Trasselnge = 4.646783762
Spurweite = 1
Schienenlnge rechts = 5.972601426
Schienenlnge links = 3.792890953
Mittlere Schienenlnge = 4.88274619
Totale Krmmung = 2.179710473 = 124.8882107¡
Mittlere Krmmung = 0.4690793858
Die mittlere Schienenlnge ist etwas gr§er als die Trasselnge. Das Problem ist, dass die innere Schiene ein Stck weit rckwrts geht, aber das Computerprogramm diese Strecke trotzdem additiv behandelt. Als Folge sind auch die totale und die mittlere Krmmung falsch angegeben.
Wir knnen die Probleme angehen, indem wir die Spurweite verkleinern. Dabei wird allerdings die Differenz der Schienenlngen und entsprechend kleiner. Das knnen wir aber kompensieren, indem wir diese Differenz durch die Spurweite dividieren. Somit haben wir eine erweiterte Definition der totalen Krmmung:
Wenn wir die Parabel mit der Spurweite bearbeiten, sieht das so aus:
Trasselnge = 4.646783762
Spurweite = 1/2
Schienenlnge rechts = 5.309692594
Schienenlnge links = 3.983874931
Mittlere Schienenlnge = 4.646783762
Totale Krmmung = 2.651635327 = 151.9275131¡
Mittlere Krmmung = 0.5706388468
Die mittlere Schienenlnge entspricht nun der Trasselnge. Allerdings sieht das Gleisbild immer noch etwas merkwrdig aus, indem die innere Schiene einen Knick hat.
Innere Schiene hat einen Knick
Wir verringern nun die Spurweite auf .
Trasselnge = 4.646783762
Spurweite = 1/4
Schienenlnge rechts = 4.978238178
Schienenlnge links = 4.315329347
Mittlere Schienenlnge = 4.646783762
Totale Krmmung = 2.651635327 = 151.9275131¡
Mittlere Krmmung = 0.5706388468
Wir sehen, dass sich die totale Krmmung nun nicht mehr ndert. Auch die innere Schiene sieht recht ordentlich aus.
Verkleinerte Spurweite
Es ist nahe liegend, die beiden Gleiskurven als Parallelkurven zur ursprnglichen Kurve zu bezeichnen. Allerdings ist es so, dass diese Parallelkurven in der Regel komplizierter sind als die ursprngliche Kurve. In den obigen Beispielen sind die Gleiskurven keine Parabeln.
Die Lngenberechnungen von Kurven fhren hufig zu Integralen, die formal nicht einfach zu bearbeiten sind. Das gilt schon fr die ursprnglichen Kurven, insbesondere aber fr die Parallelkurven, also die Gleiskurven. Man muss sich hier mit numerischer Integration behelfen, was wiederum zu einem Verlust an Genauigkeit fhren kann.
Beim Kreis ist die totale Krmmung , und dies unabhngig vom Radius r. Beim Kreis sind die Parallelkurven ebenfalls Kreise. Wenn wir die Spurweite mit bezeichnen, erhalten wir fr die totale Krmmung :
In dieses Umfeld gehrt die Frage, um wie viel sich eine um die Erdkugel gelegte Schnur verlngert, wenn wir sie berall einen Meter abheben, so wie die Zusatzfrage, wie sich das auf dem Mond verhlt.
Fr die mittlere Krmmung erhalten wir beim Kreis den vom Radius abhngigen Wert:
Eine totale Krmmung erhalten wir allerdings auch bei deformierten Kreisen.
Als Beispiel eine Ellipse:
Ellipse
Trasselnge = 19.37689644
Spurweite = 1/2
Schienenlnge rechts = 20.94769277
Schienenlnge links = 17.80610011
Mittlere Schienenlnge = 19.37689644
Totale Krmmung = 6.283185307 = 360.0¡
Mittlere Krmmung = 0.3242616962
Eigentlich versteht es sich von selbst, dass alle einfach geschlossenen Kurven dieselbe totale Krmmung wie der Kreis haben. Nach einem Umlauf hat sich die Richtung ja um genau 360¡ verndert.
Gleisoval
Im klassischen der Modelleisenbahn lsst sich wie beim Kreis elementar berechnen. Der Krmmungsanteil der geraden Teilstcke ist null.
Bei einer Achterbahn erhalten wir aus Symmetriegrnden die totale Krmmung null.
Achterbahn
Trasselnge = 37.71772519
Spurweite = 0.75
Schienenlnge rechts = 37.71772519
Schienenlnge links = 37.71772519
Mittlere Schienenlnge = 37.71772519
Totale Krmmung = 0 = 0¡
Mittlere Krmmung = 0
Bei einer ãDoppelachtÒ ergibt sich wieder die totale Krmmung .
Doppelacht (Schwellen nicht gezeichnet)
Trasselnge = 104.5233401
Spurweite = 0.25
Schienenlnge rechts = 105.3087383
Schienenlnge links = 103.7379419
Mittlere Schienenlnge = 104.5233401
Totale Krmmung = 6.283185307 = 360¡
Mittlere Krmmung = 0.06011274899
Bei einer Schlinge ergibt sich .
Schlinge
Trasselnge = 29.06534466
Spurweite = 0.3
Schienenlnge rechts = 30.95030025
Schienenlnge links = 27.18038907
Mittlere Schienenlnge = 29.06534466
Totale Krmmung = 12.56637061 = 720¡
Mittlere Krmmung = 0.4323489283
Beim Kleeblatt ergibt sich .
Kleeblatt
Trasselnge = 48.4422411
Spurweite = 0.4
Schienenlnge rechts = 52.21215229
Schienenlnge links = 44.67232992
Mittlere Schienenlnge = 48.4422411
Totale Krmmung = 18.84955592 = 1080¡
Mittlere Krmmung = 0.3891140354
Bei geschlossenen Kurven ist offenbar die totale Krmmung ein Vielfaches von . Das ist anschaulich klar. Nach einem vollen Durchlauf schaut die Lok wieder in derselben Richtung, hat sich also insgesamt um einen Winkel gedreht, welche einem Vielfachen von entspricht.
Bei einer Wendeschleife lsst sich elementar berechnen. Wir haben einen Viertelkreis mit negativer Krmmung, welcher einen Viertelkreis mit positiver Krmmung annulliert.
Wendeschleife
Das Programm ergibt kleine Ungenauigkeiten in der Berechnung.
Trasselnge = 9.28
Spurweite = 0.2
Schienenlnge rechts = 9.59399552
Schienenlnge links = 8.966006066
Mittlere Schienenlnge = 9.280000793
Totale Krmmung = 3.13994727 = 179.9057265¡
Mittlere Krmmung = 0.3383563869
Bei den bisherigen Beispielen wurde, eher als Ballast, jeweils auch die mittlere Krmmung, also die totale Krmmung dividiert durch die Trasselnge, angegeben.
Wenn wir die Trasselnge sukzessive verkrzen, nhert sich die mittlere Krmmung einem Grenzwert, der Momentankrmmung. Im folgenden nennen wir diese Momentankrmmung einfach Krmmung.
Wir nehmen die Parabel des Eingangsbeispieles und verkrzen sie durch . Wir nhern uns also dem Scheitelpunkt im Ursprung.
Fr erhielten wir die Mittlere Krmmung = 0.220966811.
Fr ergibt sich:
Verkrzte Parabel
Trasselnge = 2.295587149
Spurweite = 1
Schienenlnge rechts = 3.080985313
Schienenlnge links = 1.510188986
Mittlere Schienenlnge = 2.295587149
Totale Krmmung = 1.570796327 = 90¡
Mittlere Krmmung = 0.6842677819
Nun verkrzen wir weiter:
: Mittlere Krmmung = 0.9950306193
: Mittlere Krmmung = 0.9999500031
: Mittlere Krmmung = 0.9999995
: Mittlere Krmmung = 0.999999995
Wir haben offensichtlich den Grenzwert 1. Unsere Parabel hat mit Ursprung die Krmmung 1.
Fr ergibt sich:
Anderer Ausschnitt
Trasselnge = 4.504846145 = 0.7169685319*2*PI
Spurweite = 1
Schienenlnge rechts = 4.73666995
Schienenlnge links = 4.273022341
Mittlere Schienenlnge = 4.504846145
Totale Krmmung = 0.463647609 = 26.56505118¡
Mittlere Krmmung = 0.1029219632
Nun verkrzen wir weiter:
: Mittlere Krmmung = 0.0895680425
: Mittlere Krmmung = 0.08944397131
: Mittlere Krmmung = 0.08944273162
: Mittlere Krmmung = 0.08944271923
Es zeichnet sich wieder ein Grenzwert ab, aber ein anderer. Mit Methoden der Differenzialgeometrie kann dieser Grenzwert exakt berechnet werden. Er ist .
Unsere Parabel hat im Punkt die Krmmung . Diese Krmmung ist kleiner als die Krmmung im Ursprung, was auch anschaulich klar ist.
Um die Steigung in einem Punkt auf einem Funktionsgrafen zu bestimmen, nehmen wir ein Kurvenstck auf dem Funktionsgrafen, das diesen Punkt enthlt. Wir verbinden die Endpunkte dieses Kurvenstckes mit einer Sehne. Die Steigung dieser Sehne ist die mittlere Steigung des Kurvenstckes. Nun lassen wir das Kurvenstck zu unserem Punkt zusammenschrumpfen. Der Grenzwert der mittleren Steigung ist die Steigung in fokussierten Kurvenpunkt. Geometrisch ist des die Steigung der Kurventangente in diesem Punkt.
Wir arbeiten mit einem Kreis mit Radius r. Wir haben oben schon gesehen, dass seine mittlere Krmmung der Kehrwert ist.
Zur Bestimmung der Krmmung in einem Kreispunkt arbeiten wir nun mit einem Kreissektor, der diesen Punkt enthlt. Bei einem Sektorwinkel (im Bogenma§) und der Spurweite ergeben sich die Bogenlnge , die beiden Gleislngen und und somit die totale Krmmung:
Fr die mittlere Krmmung folgt daraus:
Diese mittlere Krmmung hngt nur vom Radius r ab und ist konstant fr alle Kreisbogen. Daher ist dies auch der Grenzwert.
Der Kreis mit Radius r hat also in jedem Punkt die Krmmung . Je gr§er der Radius, umso kleiner die Krmmung.
Qualitativ sehen wir sofort, wo eine Kurve stark gekrmmt ist und wo beinahe gerade. Es ist aber — fr mich wenigstens — nicht einfach, den Wert der Krmmung in den verschiedenen Kurvenpunkten abzuschtzen.
Die Krmmung kann aber wie folgt visualisiert werden: Zunchst zeichnen wir die Kurve in eine x,y-Ebene. Dann tragen wir in jedem Kurvenpunkt die Krmmung senkrecht dazu ab, also in den Raum hinein.
Wir nehmen wieder die Parabel .
Krmmung der Parabel
Wir sehen, dass die Krmmung im Scheitel am gr§ten ist und den Wert 1 hat und dann rasch abnimmt.
Wir visualisieren einige der oben vorgestellten Beispiele.
Der Kreis hat die Krmmung . Wir visualisieren im selben Bild die Krmmungen der Kreise mit den Radien .
Kreise mit verschiedenen Radien
Obwohl alle Kreise hnlich sind, ist dies bei den Krmmungsbildern nicht der Fall.
Ellipse
Die Krmmung ist in den so genannten ãspitzen ScheitelnÒ m gr§ten. Die senkrechte magenta Flche entspricht der totalen Krmmung .
Gleisoval
Wir sehen die abrupten Krmmungssprnge beim bergang von geraden zu gekrmmten Schienen. Das sind die Orte, wo die Lok jeweils entgleist, wenn man zu scharf darber fhrt.
Achterbahn
Im linken Teil ist die Krmmung negativ, daher ist die totale Krmmung null.
Doppelacht
Wir haben positive und negative Krmmungen. Die positiven Krmmungen berwiegen. .
Schlinge
Nur positive Krmmungen.
Kleeblatt
Nur positive Krmmungen.
Wendeschleife
Wiederum Krmmungssprnge.
Um abrupte Krmmungssprnge wie bei der aus Kreisbgen und Geradenstcken gebauten Wendeschleife zu vermeiden, wird bei der Trassierung von Verkehrstrgern mit Klothoidenbgen gearbeitet. Bei einer Klothoide wchst die Krmmung gleichm§ig.
Klothoide
In der Visualisierung sehen wir das gleichm§ige Wachstum der Krmmung.
Klothoide
Das Trasse ist zusammengesetzt aus einem geraden Stck, einem Klothoidenbogen und einem Kreisbogen.
Zusammensetzung
Die stetige Vernderung der Krmmung sehen wir in der Visualisierung.
Stetige Vernderung der Krmmung