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Hans Walser, [20191126]
Kuboktaeder-Kantenmodell
Es wird ein Kantenmodell des Kuboktaeders vorgestellt. Als Baumaterial dienen Rechtecke aus Papier mit dem Seitenverhltnis . Fr jede Kante braucht es ein Papier, die Bauteile reprsentieren die Kanten des Modells.
Wenn wir bei einem Wrfel alle Ecken bis zur Kantenmitte hin abschneiden entsteht ein Kuboktaeder (Abb. 1a).
Abb. 1: Kuboktaeder
Die Oberflche des Kuboktaeders besteht aus sechs Quadraten und acht gleichseitigen Dreiecken. Der Umkugelradius ist gleich gro§ wie die Kantenlnge. Wir knnen jede der zwlf Ecken mit dem Mittelpunkt verbinden und erhalten so eine Figur aus 24 gleichseitigen Dreiecken (Abb. 1b). Im Mittelpunkt treffen sich die Spitzen von acht hohlen Tetraedern und sechs hohlen Pyramiden, welche je ein halbes hohles Oktaeder sind.
Unser Kantenmodell besteht nun aus 24 doppelwandigen gleichseitigen Dreiecken, welche alle eine Spitze im Mittelpunkt haben. Fr jedes Dreieck brauchen wir ein Bauteil.
Jedes der 24 Bauteile entsteht aus einem Papierrechteck mit dem Seitenverhltnis (Abb. 2a). In den Abbildungen ist aus didaktischen Grnden ein Papier angenommen, das auf der Vorderseite hellblau und auf der Rckseite gelb ist. Papierstrke etwa 70-90 g/m2.
Wir legen eine Faltschablone mit denselben Ausma§en aus etwas strkerem Papier diagonal darber (Abb. 2b). Es ist egal, welche der beiden Diagonalen wir whlen, aber wir mssen es bei allen Bauteilen gleich machen.
Abb. 2: Rechteck und Faltschablone
Nun falten wir die vorstehenden Ecken des Papiers ber die Faltschablone (Abb. 3). Die beiden Papierecken treffen sich genau in der Mitte der Faltschablone (warum?).
Abb. 3: Ecken einfalten
Die Faltschablone knnen wir nun herausziehen (Abb. 4a). Es entsteht ein Rhombus der aus zwei gleichseitigen Dreiecken besteht.
Abb. 4: Fertigstellung des Bauteils
Nun falten wir den einen Teil des Rhombus nach hinten (Abb. 4b). Diese letzte Faltkante wird dann zu einer Kante des Kuboktaeders. Wir haben nun ein Bauteil mit zwei Verbindungslaschen (gelb in Abb. 4b) zum Einschieben in die Nachbarteile. Eine Verbindungslasche ist vorn, die andere hinten.
Die Abbildung 5 zeigt zwei Ansichten eines Bauteils.
Abb. 5: Bauteil
Und nun kommt das Interessante, der Zusammenbau. Wir schieben jeweils eine Verbindungslasche zwischen die beiden gleichseitigen Dreiecke des Nachbarbauteils. Es empfiehlt sich, den Zusammenbau zunchst schrittweise mit Broklammern zu fixieren. An jeder Ecke des Kuboktaeders hat es dann vier Broklammern, da an jeder Ecke vier Kanten zusammenkommen. Wenn alles sitzt, knnen die Broklammern schrittweise entfernt und durch eine Heftklammer mit dem Tacker ersetzt werden. Dabei hat man den Ehrgeiz, dass die Klammern symmetrisch eingebracht werden. Die Abbildungen 6 und 7 zeigen das fertige Modell. Es ist ãdnnÒ und hat kein Volumen. In der Abbildung 6 steht das Modell auf einem Vierkant-Trichter (wie bei der Abb. 1b). Entsprechend haben wir auch oben einen Vierkant-Trichter. Er hat eine Pyramidenform, mit der Spitze nach unten.
Abb. 6: Modell
In der Abbildung 7 steht das Modell auf einem Dreikant-Trichter. Er hat die Form eines regelm§igen Tetraeders.
Abb. 7: Andere Position des Modells
In den Abbildungen 8 bis 10 wurde mit farbigen Bauteilen gearbeitet. Es sind je sechs Bauteile in den Farben orange, gelb, lila und hellblau. Da an jeder Ecke des Modells vier Bauteile zusammenkommen, kann man es so einrichten, dass sich an jeder Ecke zwei Farben kreuzen.
In der Abbildung 8 steht das Modell auf einem Vierkant-Trichter (wie bei den Abb. 1b und 6). Entsprechend haben wir auch oben einen Vierkant-Trichter. Er hat eine Pyramidenform, mit der Spitze nach unten. Jede Seitenflche des Vierkant-Trichters hat eine andere Farbe.
Abb. 8: Farbiges Modell
In der Abbildung 9 steht das Modell auf einem Dreikant-Trichter (analog Abb. 7). Er hat die Form eines regelm§igen Tetraeders.
Abb. 9: Andere Position
In der Abbildung 10 wurde die Situation der Abbildung 9 so aufgenommen, dass wir alle orangen Bauteile sehen. Sie bilden ein regelm§iges Sechseck.
Abb. 10: Regelm§iges Sechseck
Insgesamt haben wir vier regelm§ige Sechsecke in unserer Figur, je eins in jeder Farbe.
Bei jeder Vierseit-Pyramide kommen alle vier Farben vor, aber jedes Mal in einer andren zyklischen Reihenfolge. In der Abbildung 8 ist oben sichtbar die zyklische Reihenfolge orange-gelb-lila-hellblau.
Bei vier Farben gibt es zyklische Reihenfolge (Abb. 11). In unserem Modell kommt jede dieser sechs zyklischen Reihenfolgen genau einmal vor.
Abb. 11: Zyklische Reihenfolgen von vier Farben
Bei jedem Tetraeder kommen drei der vier Farben vor. Dazu gibt es Mglichkeiten. Zu jeder Mglichkeit gibt es zwei zyklische Reihenfolgen (Abb. 12). Wir haben also insgesamt acht Flle. In unserem Modell kommt jeder dieser acht Flle genau ein Mal vor.
Abb. 12: Farbverteilungen bei den Tetraedern
An jeder der zwlf Ecken des Modells sehen wir zwei sich kreuzende Farben. Das gibt zunchst Mglichkeiten. Die zugehrigen Sechsecke schneiden sich unter dem kristallografischen Winkel:
(1)
Unter Bercksichtigung des (von au§en gesehenen) Drehsinns gibt es nun zwlf Mglichkeiten (Abb. 13). In unserem Modell kommt jeder dieser zwlf Flle genau ein Mal vor.
Abb. 13: Situationen an den Ecken
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Hans Walser: Kantenmodell des Wrfels und des Tetraeders