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Hans Walser, [20160109]
Reuleaux-Zweieck
Anregung: Renato Pandi
Ein Zweieck mit Winkeln von 60ˇ kann auf verschiedene Weise in ein gleichseitiges Dreieck eingepasst werden. Die Abbildung 1 zeigt zwei spezielle und eine allgemeine Lage des Zweiecks.
Abb. 1: Spezielle und allgemeine Lage
Wir beginnen mit dem Zweieck in der speziellen Lage mit horizontaler Sehne (Abbildung 1 links).
Eine der fundamentalen Ideen in der Mathematik besteht darin, ein Problem in ein źbergeordnetes einzubinden, darin die Lšsung sofort sichtbar wird. Daher binden wir das Dreieck mit dem Zweieck in spezieller Lage in ein regelmЧiges Sechseck ein gemЧ Abbildung 2. Jedes Zweieck liegt in ăseinemŇ Dreieck.
Abb. 2: Spezielle Lage im Sechseck
Nun drehen wir den Zweieck-Kranz um den Sechseckmittelpunkt um einen beliebigen Winkel (Abb. 3 fźr den Drehwinkel 15ˇ). Jedes Zweieck ragt jetzt teilweise in das Nachbardreieck.
Abb. 3: Verdrehung des Zweieck-Kranzes
Wir zeichnen nun blaue gleichseitige Stźtzdreiecke ein gemЧ Abbildung 4.
Abb. 4: Stźtzdreiecke
Nun kšnnen wir jedes einzelne Zweieck parallel zur berźhrten Sechseckseite um die SeitenlŠnge der blauen Stźtzdreiecke zurźckverschieben. Die Abbildung 5 zeigt diesen Prozess bei Halbzeit. Der Zweieck-Kranz ist nun aufgelšst.
Abb. 5: Halbzeit der Rźckschiebung
Die Abbildung 6 zeigt die Schlusssituation.
Abb. 6: Schlusssituation
Jedes Zweieck ist nun wieder in ăseinemŇ Dreieck, aber in allgemeiner Lage (Abb. 7).
Abb. 7: Jedes Zweieck in seinem Dreieck