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Hans Walser, [20150809]
Isoperimetrische Vielecke mit gegebenen Seitenlngen
Anregung: Chr. K., B.
Unter allen n-Ecken mit gegebenen Seitenlngen hat dasjenige den gr§ten Flcheninhalt, dessen Ecken auf einem Kreis liegen (Sehnen-n-Eck).
Es sind also, im Unterschied zu den blichen isoperimetrischen Problemstellungen, nicht nur der globale Umfang, sondern auch die einzelnen Seitenlngen gegeben.
Der Beweis geht in zwei Schritten. Zunchst wird der Sachverhalt fr das Viereck bewiesen, und anschlie§end verallgemeinert.
Zu zeigen ist: Unter allen Vierecken mit gegebenen Seiten hat das Sehnenviereck den gr§ten Flcheninhalt.
Fr den Beweis zerlegen wir das Viereck (Abb. 1) mit der Diagonalen in zwei Dreiecke und .
Abb. 1: Unterteilung
Fr den Flcheninhalt A des Viereckes gilt daher:
Nach dem Kosinussatz gilt fr die Diagonale :
Somit haben wir die Nebenbedingung:
Wir haben die Funktion unter der Nebenbedingung zu optimieren.
Nach dem blichen Verfahren bilden wir die Hilfsfunktion
und setzen deren Gradienten null:
Die ersten beiden Gleichungen lauten vereinfacht:
Aus folgt . Wir haben ein Sehnenviereck.
Fr den allgemeinen Fall setzen wir die Existenz einer Lsung voraus. Jakob Steiner hat das auch so gemacht.
Nun zeigen wir, dass der Flcheninhalt eines nicht-Sehnen-n-Ecks vergr§ert werden kann.
Dazu zeichnen wir zunchst den Kreis durch die drei Punkte (Abb. 2). Da das n-Eck kein Sehnen-n-Eck ist, gibt es mindestens einen Punkt , der nicht auf diesem Kreis liegt.
Abb. 2: Beweisfigur
Wir unterteilen nun das n-Eck in das Viereck (orange) und die beiden Vielecke und (grn). Die beiden grnen Vielecke knnen in Sonderfllen Strecken sein.
Nun denken wir uns die beiden grnen Vielecke starr, aber im Punkt gelenkig verbunden. Das orange Viereck denken wir uns als Gelenkfigur. Da es kein Sehnenviereck ist, vergr§ert sich sein Flcheninhalt, wenn wir es unter Beibehaltung der Seitenlngen in ein Sehnenviereck bewegen.
Da die grnen Vielecke starr sind, hat sich deren Flcheninhalt nicht verndert. Wegen der Vergr§erung des orangen Vierecks ist der gesamte Flcheninhalt des n-Ecks gr§er geworden.
Somit gilt allgemein, dass der Flcheninhalt genau fr ein Sehnen-n-Eck maximal ist.
Zu gegebenen vier Seiten ist ein Viereck bei Kenntnis eines Winkels bestimmt.
Wenn wir nun in die Nebenbedingung einsetzen, erhalten wir:
Die Abbildung 3 zeigt das zu den Seitenlngen des Viereckes der Abbildung 1 gehrende Sehnenviereck.
Abb. 3: Sehnenviereck
Fr weitere Berechnungen im Sehnenviereck siehe [Weblink 1].
Fr mich offene Frage: Gibt es eine direkte einfache Konstruktion?
Die Bestimmung des Sehnen-n-Ecks aus den n Seitenlngen ist fr mich eine offene Frage, ebenso die direkte Berechnung des Umkreisradius und des Flcheninhaltes.
Weblinks