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Sinussatz und Cosinussatz
Mit Sinussatz und Cosinussatz kannst du Winkel oder Seitenlängen in einem allgemeinen Dreieck berechnen.
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Inhaltsverzeichnis zum Thema
Dreiecke
Hier siehst du ein allgemeines Dreieck:
Die Eckpunkte sind mit Großbuchstaben gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet, die gegenüberliegenden Seiten werden mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben gekennzeichnet und die drei Winkel sind zu erkennen an den griechischen Buchstaben $\alpha$ (alpha) für a, $\beta$ (beta) für b und $\gamma$ (gamma) für $c$.
Es gibt spezielle Dreiecke:
- rechtwinklige Dreiecke - das Dreieck hat einen rechten Winkel ($90^\circ$)
- gleichschenklige Dreiecke - zwei Seiten des Dreiecks sind gleich lang
- gleichseitige Dreiecke - alle drei Seiten des Dreiecks sind gleich lang
In diesen Dreiecken kannst du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras oder den trigonometrischen Funktionen in der Trigonometrie – Sinus ($\sin$), Cosinus ($\cos$, auch als Kosinus bezeichnet) und Tangens ($\tan$) – fehlende Seiten oder Winkel berechnen. Dabei musst du sowohl in gleichschenkligen als auch in gleichseitigen Dreiecken jeweils mit Hilfslinien einzeichnen, so dass rechtwinklige Teildreiecke entstehen.
Trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens
In rechtwinkligen Dreiecken sind die Seitenbezeichnungen folgendermaßen:
- die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Kathete, die dem spitzen Winkel $\alpha$ gegenüber liegt
- die Ankathete von $\alpha$ ist die Kathete, die dem Winkel $\alpha$ anliegt
- die Hypotenuse ist stets die längste Seite im Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber
Die trigonometrischen Funktionen in einem rechtwinkligen Dreieck sind wie folgt definiert:
$\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$
In allgemeinen Dreiecken sind weder diese Definitionen, noch der Satz des Pythagoras direkt anwendbar.
Sinussatz und Cosinussatz
Im Gegensatz zu den trigonometrischen Funktionen sind der Sinus- und der Cosinussatz in jedem beliebigen Dreieck anwendbar.
Der Sinussatz beschreibt das Verhältnis der Winkel eines Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten.
Mit dem Cosinussatz können fehlende Seitenlängen berechnet werden.