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1.4 Turbulenz
Turbulenzen treten überall in der Natur auf (Luftströmungen, Lava, Um-spülungvonSteinen, Wetterkatastrophen) und stellen die Menschen oft vor grosseProbleme. Bei gleichmässig fliessendem Wasser entstehen stabile Wirbel, die einen punktförmigen Attraktor haben und nach Störungen zum gleichen Grundmuster zurückkehren. Bei zunehmender Strömungs-geschwindigkeit werden die Wirbel instabil, fransen aus (Grenzzyklus),und zuletzt scheint jedes Wasserteilchen (Wirbel im Wirbel im Wirbel) sich zufällig und chaotisch zu bewegen (seltsamer Attraktor).
1.5 Iteration, Rückkoppelung
Von at. «iterare» = gebrochen. Rückkoppelung durch Wiederaufnahme und Wiedereinbeziehung von allem, was vorher war (Bsp.: Erneuerung aller Körperzellen in etwa 7 Jahren, künstliche Intelligenz, Wettersysteme). Wiederholte Anwendung einer Rechenvorschrift, wobei jedes Ergebnis als Ausgangspunkt für den nächsten Schritt dient. Negative (hemmende) und positive (verstärkende) Rückkoppelungen entdeckte man bei Mikrophonen, die zu nahe am Lautsprecher sind und durch das Rückschicken des aufgefangenen Tones auf den Verstärker ein chaotische Geräuschproduziert. Rückkoppelung ist Spannung zwischen Ordnung und Chaos. Rückkoppelungen kommen überall auf vor: Auf allen Ebenen de Lebendigen, in psychologischen Abläufen, in der Evolution des ökologische Gesamtsystemes und in mathematischen, nichtlinearen Gleichungen.
1.6 Beispiele Iterationen
- Zahlenverdoppelung (exponentielles Wachstum). x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4; 8, 16, 32, x1 = 1.5, x2 = 3, x3 = 6; 12, 24, 48,
- Verdoppelung der Zahlen mit Weglassen des ganzzahligen Anteils x1 = 0.9134, 2xn = 1.9134 > 0.9134; x1 = 0.707070; 0.414141; 0.828282; 0.656565; 0.313131; 0.626262; 0.252525; 0.505050; 0.010101; 0.020202; 0.040404; 0.080808; 0.161616; 0.323232; 0.646464; 0.292929; 0.585858; 0.707070. Nach 17 Iterationen landen wir bei der Ausgangszahl.
- x1 = 0.707070; Wenn wir in der 4. Dezimalstelle einen kleinen Fehler machen > 0.707170 bläht sich der Fehler bis zur 11. Iteration so auf, dass sich die Zahlenfolge vollständig von der ursprünglichen entfernt. 0.707170; 0.414341; 0.828682; 0.657365; 0. 314731; 0.629462; 0.258924; 0.517849; 0.035698; 0.071396; 0.142792; 0.285584
- Nicht nur Gleichungen haben eine extreme Empfindlichkeit gegenüber ihren Anfangsbedingungen. Forscher beobachten dieselbe Dynamik in Flüs-sigkeiten. Bsp. Kleine Wirbel im Blutstrom, in dem bebachbarte Punkte nebeneinanderherfliessen oder in völlig anderen Bereichen der Flüssigkeit landen können (Schmetterlingseffekt).
- Das Dehnen und Falten im Teig eines Bäckers zeigt bildhaft die Bewegungen, wie sie in nichtlinearen Iterationen vorkommen. Benachbarte Punkte des Teigs geraten auseinander, und es entsteht ein komlipziertes , unvorhersagbares Muster.
- Seltsame Attraktoren und Iterationen sind mitten in Ordnungen anzutreffen und können Phänomene wie einen Herzanfall bewirken.
1.7 Beispiel algebraische Iteration
Eine Iteration liegt vor, wenn mit einer Zahl eine Rechnung ausgeführt wird, dann mit dem Resultat als Ausgangspunkt dieselbe Rechnung, mit dem neuen Resultat wiederum dieselbe, usw. Die Iteration und die damit verbundene Rückkopplung stellt eines der wichtigsten «Werkzeuge» bei der Entwicklung mathematischer Fraktale dar. Das Prinzip der Rückkopplung und der Iteration ist sehr alt. Es war bereits den sumerischen Mathematikern vor rund 4000 Jahren bekannt (beispielsweise benutzten diese iterative Schritte zur Berechnung der Quadratwurzel einer Zahl).
Mit dem Taschenrechner und dem Begriff Quadratzahl können wir einen ersten Einblick gewinnen. Es wird eine reelle Zahl c als Konstante gewählt und nun eine Zahlenfolge hergestellt.
a0= 0 Mit der Ausganszahl a0, hier der 0, beginnend, wird eine Rechenoperation a1= a02 + c ausgeführt, mit dem Resultat dieselbe, usw. Kurz: Es wird eine Folge von a2 = a12 + c Iterationen berechnet. Im allgemeinen strebt die Folge gegen ƒ oder einen durch c bestimmten Grenzwert,den wir g(c) nennen. So erhalten wir z.B. g (0,2) ª 0,28 und g (-0,5) ordf;-0,37. Trägt man g(c) über c in ein Koordinatensystem ein, ergibt sich so zunächst eine Kurve. Geht man aber zu kleineren (c) über, dann tritt etwas überraschendes ein. Bei (c) -1,1 etwa pendeln sie Folgenglieder, die mit geradem Index streben gegen eine andere Zahl, als die mit ungeradem Index. Man nennt diese Zahlen Attraktoren, weil sie die Zahlen der Folge gleichsam anziehen. Im Achsenkreuz verzweigt sich die Kurve nach links. Zu einem c gehören nun zwei Zahlen g(c). Bei übergängen zu noch kleineren c-Werten zeigt sich, dass sich auch diese Zwei wieder verzweigen. Wir erhalten dann 4 Attraktoren, danach 8, S . Bei etwa c ‚ -1,5 ergibt sich eine völlig neue Situation. Nun ist überhaupt keine Struktur zu erkennen. Man spricht von der Strukturlosigkeit des Chaos. Der Mathematiker Feigenbaum stellte dies in seinem «Feigenbaumdiagramm» dar (siehe Werkstattposten Chaos, Bifurkation). Wir untersuchen nun, was kleine änderungen im Rechenprozess (an+1=an2+c) bewirken, wenn wir für a = (0.5/1.5/ und C= (1/-1/) einsetzen. Das Ergebnis der zweiten Iteration (a = 0,5; C = -1) ist überraschend. Es entstehen zwei Folgen mit verschiedenen Grenzwerten, nämlich -1 und 0. Man nennt diese beiden Zahlen Attraktoren (attrahere = heranziehen). Bei der Ausgangszahl a = 1,5 führt zu den gleichen Attraktoren, aber die Ausgangszahl 2 strebt gegen ƒ.
Die Entdeckung, dass zwei sich beliebig wenig voneinander unterscheidende Zahlen
sich bei der Iteration völlig verschieden verhalten, also zu gänzlich
anderen Ergebnissen führen, kann mit bestimmten Situationen in der
Natur verglichen werden. So können zwei eng benachbarte Regentropfen
über einer Wasserscheide in die Nordsee oder in das Mittelmeer gelangen
(Schmetterlingseffekt).
1.8 Die geometrische Iteration
Fraktale kann man auch rein geometrisch gewinnen, indem man von einer einfachen Punktmenge M0 ausgeht. An ihr werden nun gleichzeitig mehrere Abbildungen vorgenommen und die Bilder zu einer neuen Punktmenge M1 vereinigt. Im nächsten
Schritt wird mit M1 ebenso verfahren.
1. M0 wird um 0 im Verhältnis 1:÷2 zentrisch gestreckt und um
0 um 45° gedreht.
2.M0 wird in derselben Weise gestreckt, aber nun um 0 um 135° gedreht
und um 1 nach rechts verschoben.
1.9 Bifurkation
Wenn die Geburtenrate einer Tierpopulation unter 1 ist, wird die ganze Population
auf 0 abfallen und erlöschen. Ist sie aber grösser, wir sie zunächst
abfallen, um sich dann auf einem konstanten Wert (ca. 2/3 der ursprünglichen
Grösse) einpendeln. Es scheint, dass 66% ein Attraktor geworden ist.
Bei einer Erhöhung der Geburtsrate auf den kritischen Wert 3,0 passiert
etwas Neues. Der Attraktor 0,66 wird instabil und spaltet sich in zwei,
d.h. die Population nähert sich nun nicht mehr einem Wert, sondern
schwankt zwischen zwei stabilen Werten hin und her. Bei einer weiteren
Erhöhung über 3,4495 ergibt sich eine neue Spaltung (4 Werte)
und ab 3.56 haben wir Bifurkation in acht Fixpunkten (Periodenverdoppelung).
Ab 3,56999 wird die Anzahl der Attraktoren unendlich gross und endet im
Chaos.
2.Fraktale
Von lateinischen « frangere, fractum» = brechen, gebrochen. Mit
Hilfe der fraktalen Geometrie lassen sich Ordnungsprinzipien im Chaos zeigen.
Der Begriff wurde 1975 vom Mathematiker Benoit Mandelbrot geprägt.
Fraktale sind oft selbstähnliche Gebilde, deren Ränder nicht
glatt, sondern unendlich rauh sind. Jede Vergrösserung zeigt wiederum
neue, ähnliche Strukturen (Apfelmännchen). Das Aussehen im Detail
wird in immer kleineren Skalen beibehalten. Fraktale Gebilde haben eine
gebrochene Dimension (Würfel = 3 Dimensionen). Viele natürlichen
Formen und nichtlineare Systeme haben fraktale Eigenschaften oder verhalten
sich fraktal (Wolken, Gebirge, Bronchien, Pflanzen, Galaxien, Küstenlinien,
Lunge, Wetter, Blutkreislauf, Gehirne). Die Anziehungskraft der Fractale
liegt vermutlich darin, dass in jedem seiner «Teile» ein Bild
des Ganzen enthalten ist.
2.1 Beispiele von Fraktalen
Z2+C= irgend eine beliebige Zahl. Diese Formel schickt der Computer auf eine Reise in die Mandelbrot-Menge. Z ist eine komplexe Zahl, die sich ändern kann, und C ist eine feste komplexe Zahl. Der Computer muss das Ergebnis der Addition in der nächsten Runde für Z einsetzen.
Nach Mandelbrot zeigt sich die fraktale Struktur von Turbulenzen, dass sie in Böen auftritt. In einer stürmischen Nacht wird der Wind plötzlich nachlassen, dann wieder aufleben, Blätter kreisen lassen, bis sie wieder niedersinken.. Diese Turbulenzen wiederholen sich in immer kleinerem Massstab.
Auch die von Lorenz als chaotisch erkannten Verhaltensmuster des Wetters hält man heute für fraktal. Die Verzweigungen eines lebenden Baumes sind offensichtlich fraktal. äste haben Zweige, diese haben wieder kleinere Zweige, und die Details wiederholen sich bis zum kleinsten Zweiglein. Leonardo da Vinci stellte dazu schon fest, dass die äste bei fortschreitender Verzweigung gerade so dünner werden, dass die Gesamtdicke (alle äste zusammengepackt) insgesamt gleich bleibt.
Fraktale acht- bis 30fache Verzweigungsstruktur der Venen und Arterien zur Blutversorgung. Fraktale Selbstähnlichkeit durchzieht die Körper der Organismen. Der Körper ist eine Vernetzung von lauter selbstähnlichen Systemen. Kunst: Labyrinthe, iterative Sprachspiele, Gesangsmuster, raffiniert verflochtene keltische Zeichnungen, archetypische Muster auf rituellen, alten Gefässen rufen in uns oft das Gefühl des Wiedererkennens (des schon Gesehenen) hervor und hängt mit Fraktalen und Attraktoren zusammen. Auch die Kunst geht der Spannung zwischen Ordnung und Chaos nach.
2.2 Selbstähnlichkeit bei fraktalen Gebilden
Schon um 1900 fand der Mathematiker Koch ein fraktales Gebilde, indem er eine
gegebene Strecke drittelte und über dem mittleren Drittel ein gleichseitiges
Dreieck errichtete. Mit den entstandenen vier gleich langen Strecken machte
er nun dasselbe wie mit der Ausgangsstrecke, usw. Wenn man von einem gleichseitigen
Dreieck ausgeht, entsteht ein schneeflockenähnliches Gebilde (Schneeflockenkurve)
das, obwohl geschlossen, unendlich lang ist.
Die entstehenden Formen sind selbstähnlich. Ein Figur heisst selbstähnlich,
wenn Teile der Figur kleine Kopien der ganzen Figur sind. Farne zeigen
z.B. als Ganzes, in den Verstrebungen und den Unter-Verstrebungen ebenfalls
Selbstähnlichkeit. Ein mit einem Fraktal-Programm auf dem Bildschirm
gezeichnetes Farnblatt lässt sich kaum von einem echten unterscheiden.
Andere Beispiele aus der Natur: Blumenkohl, die Zweige eines Baumes, …
|«Sie
werden es riskieren, ihre kindlichen Vorstellungen von Wolken, Galaxien,
Blättern, Federn, Blumen, Felsen, Bergen, Sturzbächen, Teppichen,
Steinen und vielen anderen Dingen zu verlieren. Es wird kein Zurück
zu ihrer alten Auffassung dieser Dinge mehr geben.» (Michael F. Barnsley)

2.3 Wie lang ist die Küste Grossbritanniens?
ähnliche Erscheinungen haben wir, wenn wir die Länge einer Küste berechnen
wollen und die Feinheit bis auf die Grösse eines Sandkornes wählen.
Misst man die Länge mit Stäben in Metergrösse, könnte
man sagen, die Anzahl der Stäbe, die ich benötige, um sie einmal
der Küste entlang auszulegen, entspricht der Küstengrösse
Grossbritanniens. Doch wenn man dasselbe noch einmal mit kürzeren
Stäben macht, könnte man feineren Kurven der Küstenlinie
folgen. Würde diese Länge addiert, würde eine grössere
Küstengrösse herauskommen. Je kleiner die Stäbe, desto feiner
die Verästelungen, denen sie folgen können. Die Küstenlänge
wächst ins Unendliche. Diese Gebilde, wie die genannte Küste,
werden Fraktal genannt und ihre Länge wird in der fraktalen Dimension
angegeben. Vorstellbar ist diese Zahl nicht, denn in der gewohnten Sicht
der Welt kommt sie nicht vor. Es gibt keine drei Dimensionen, sondern fraktale
Gebilde haben einen Bruch (=fractus) als Zahl ihrer Dimension. Die Küste
besteht aus weiter Ferne betrachtet aus einigen grossen Buchten - je genauer
man die Küste fokussiert, desto mehr kleinere Buchten in den grossen
Buchten tun sich auf.
2.4 Nichtlineare Fraktale (Mandelbrot- und Julia-Mengen)
2.4.1 Mandelbrot-Mengen
Die
berühmtesten Vertreter dieser Gruppe von Fraktalen sind zweifelsohne
die Mandelbrot-Menge (auch M-Menge genannt) und die Julia-Mengen (Gaston
Julia, 1893-1978). Diese Mengen haben, seitdem sie Mandelbrot Ende der
70er Jahren vorgestellt und somit der öffentlichkeit zugänglich
gemacht hat, einiges an Aufsehen erregt. Sie sind die Geburtsstätten
der berühmtesten und schönsten Fraktal-Bilder der Welt. Bis heute
haben sie viele Künstler inspiriert, die Wissenschaftler vor immer
neue Fragen gestellt und die öffentlichkeit durch ihre faszinierende
Farbenpracht und anmutig wirkende Formenvielfalt magisch angezogen.
Die
Mandelbrot-Menge ist das klassische Fraktal. Es ist einfach ein Graph in
der kom-plexen Zahlenebene. Die x-Achse repräsentiert den Realteil,
die y-Achse den Imginärteil einer komplexen Zahl. Es gibt keine isolierten
Punkte in der komplexen Zahlenebene: Die Mandelbrotmenge ist zusammenhängend.
Die obere und untere Hälfte der Bilder sind achsensymmetrisch zueinander.
Die Hauptmotive scheinen sich zu wiederholen (aber nie genau gleich) bei
Vergrösserungen. Die Ordnung im Chaos: Fraktale ähneln einander
immer wieder selbst. Die Menge aller komplexen Zahlen c, für die die
Folge
nicht gegen ƒ strebt, bilden die sog. Mandelbrotmenge (Apfelmännchen).
Der Mathemaiker Mandelbrot dehnte die Untersuchungen Feigenbaums auf die Menge
der komplexen Zahlen aus und öffnete damit das Tor zur Welt der Fraktale.
Einem c entspricht nun ein Punkt der komplexen Zahlenebene. Diesen Punkt
färbte Mandelbrot genau dann schwarz, wenn die zugehörige Iterationsfolge
nicht dem Betrage gegen ƒ strebt. Die Menge der so entstehenden schwarzen
Punkte heisst Mandelbrotmenge oder wegen ihrer Form «Apfelmännchen».
Wenn man dem Rand der scheinbaren Kurve entlang wandert, muss man sogar
in den kleinsten Abschnitten laufend seinen Kurs ändern, weshalb Mandelbrot
in Anlehnung an das Wort brechen (frangere, fractus) von einem Fraktal
spricht