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Was ist das Ziel der EFA?
Wie werden die Faktoren konstruiert? D.h. was sollen die Faktoren gut repräsentieren?
Ziel der explorativen/exploratorischen Faktorenanalyse (EFA) ist die Beschreibung der Zusammenhänge zwischen einer Reihe von beobachteten (manifesten) Variablen mittels einer möglichst kleinen Anzahl an Faktoren (latenten Variablen) --> Datenreduktion
Faktoren werden mathematisch so konstruiert, dass sie die gemeinsame Varianz (Korrelationen zwischen) einer größeren Zahl an (beobachteten) Variablen gut repräsentieren
Die Bedeutung synthetischer Variablen:
„Synthetische“ Variable = Variable, die wechselseitig korrelierten Variablen zugrunde liegt
Partialisiert man den Faktor aus den Variablen heraus, verringern sich die wechselseitigen Korrelationen bedeutsam
Der Faktor „erklärt“ also den wechselseitigen Zusammenhang zwischen Variablen (wobei die inhaltliche Interpretation der Faktoren dem/der ForscherIn --> im rein explorativen Fall
Partialisiert man einen Faktor aus den Variablen heraus, bleibt (meist) Restvarianz übrig
Diese Restvarianz kann wiederum durch einen neuen „synthetischen“ Faktor erklärt werden
Faktorenanalyse ist ein Daten reduzierendes Verfahren Es werden weniger Faktoren als Variablen benötigt, um den wechselseitigen Zusammenhang der Variablen (ausreichend gut) zu erklären
Was bedeutet Faktorwert?
Was bedeutet Faktorladung?
Faktorwerte
Der Faktorwert ������ einer Person v kennzeichnet die Position dieser Person auf dem Faktor q
Messwerte der Personen auf den latenten Variablen
Faktorladung
Eine Faktorladung ������ entspricht der Korrelation einer Variablen i und einem Faktor q im Falle unkorrelierter Faktoren
Im Falle korrelierter Faktoren handelt es sich bei den Faktorladungen um semipartielle standardisierte Regressionsgewichte
Er gibt an, wie viel von der Varianz aller Variablen durch diesen Faktor erfasst wird
Welche drei gängigen Methoden der Faktorenanalyse werden unterschieden? Was ist die Besonderheit der PCA?
Hauptkomponentenanayse (PCA)
Hauptachsenanaylse (PAF)
Maximum-Likelihood-Faktorenanalyse
Was ist das Ziel der PCA? Kann man die Daten inhaltlich interpretieren?
Was ist das alleinige Ziel der PCA? Kann man die Daten nach der PCA inhaltlich interpretieren?
Ziel ist die reine Datenreduktion, man kann damit aber keine inhaltlich interpretierbaren latenten Variablen identifizieren, da immer die komplette Varianz (auch die Fehlervarianz) für die Schätzung der Ladungen verwendet wird
Man hat auch nicht das Ziel, das Ergebnis inhaltlich zu erklären, es geht rein um die Datenreduktion
Welche Varianz wird betrachtet
a) bei der Hauptkomponentenanalyse (PCA)?
b) bei der Hauptachsenanalyse und der Maximum-Likelihood-Schätzung?
a) Hauptkomponentenanalyse --> Gesamte Varianz wird verwendet
b) Hauptachsenanalyse und Maximum-Likelihood-Faktorenanalyse
--> Nur gemeinsame (wahre) Varianz wird verwendet
Was ist das Ziel der Faktorenanalyse bzgl. der Abweichung von den beobachteten Werten?
Welche 2 Restriktionen gelten dei der Faktorextraktion?
Ziel: Xsi (Faktorwerte) und Lambda (Faktorladungen) müssen so gewählt sein, dass die vorhergesagten Werte möglichst gering von den beobachteten Werten abweichen
Vorgaben der Extraktion:
Faktoren sind wechselseitig unabhängig voneinander (d.h. unkorreliert)
Faktoren klären sukzessive maximale Varianz auf
Ziel der PCA?
Wie funktioniert die Hauptkomponentenanalyse (=PCA?) Was ist das Ziel? Wie werden die beiden Hauptkomponenten erklärt? (in Bezug auf Varianzaufklärung und Abhängigkeit voneinander?)
Ziel: Ziel: Datenreduktion (keine Modellannahmen, rein deskriptiv), Verwendung der Gesamtvarianz, man hat keine Idee, wie man das Ergebnis inhaltlich erklären kann/soll
Einfachster Fall:
Zwei Variablen z1 und z2 --> Die PCA zerlegt die beiden beobachteten Variablen wie folgt
��1=��11⋅��1+��12⋅��2
��2=��21⋅��1+��22⋅��2
--> man sieht, dass ei hier fehlt, d.h. die gesamte Varianz wird verwendet. Die beiden Hauptkomponenten werden so bestimmt, dass sie sukzessive maximal Varianz erklären (Ziel der Varianzmaximierung) und unabhängig voneinander sind
Geometrische Veranschaulichung des Extraktionsprinzips bei der PCA:
Ein kleiner Winkel bedeutet? (hohe oder niedrige Korrelation?)
Die Summe aller Winkel zu Faktor 1 sollte möglichst gering sein
Die beiden Hauptkomponenten werden so bestimmt, dass sie sukzessive maximal Varianz erklären (Ziel der Varianzmaximierung)
Generell: Die Anzahl extrahierter Hauptkomponenten entspricht der Anzahl an Variablen, die in die Analyse eingehen
Datenreduktion? --> Auswahl der Anzahl an Hauptkomponenten, mit denen die Variablen ohne großen Informationsverlust ersetzt werden können
Wie wird die Hauptachsenanalyse (PAF) durchgeführt?
In welche drei Bestandteile wird die Gesamtvarianz zerlegt?
Welche Varianz wird faktorisiert, d.h. zu Faktoren zusammengefasst?
Bei der Hauptachsenanalyse wird die Gesamtvarianz zerlegt in:
Gemeinsame Varianz: Varianzanteil, den sich die manifesten Variablen teilen
Spezifische Varianz: Spezifische Varianz einer manifesten Variablen, die sie mit keiner anderen Variable teilt
Fehlervarianz: Messfehlereinflüsse
Faktorisiert wird die gemeinsame Varianz, d.h. die gemeinsame Varianz stellt das dar, was die Variablen aufgrund der (unbekannten) zugrundeliegenden latenten Struktur miteinander teilen
Diese gemeinsame Varianz ist unbekannt (genauso wie der Anteil spezifischer Varianz und Fehlervarianz) Kommunalitätenproblem
Was ist das Kommunalitätenproblem? Wie geht man mit diesem um?
Die gemeinsame Varianz ist unbekannt (genauso wie die spezifische und die Fehlervarianz)
Lösung: Schätzung der Kommunalitäten --> iterative Schätzung (Kommunalitäteniteration)
Vorschläge für Startwerte des Iterationsverfahrens:
a) Quadrat der multiplen Korrelation der Variablen mit allen anderen Variablen (SPSS-Voreinstellung)
b) höchste bivariate Korrelation der Variablen mit einer anderen Variablen
Wie funktioniert das Prinzip der PAF (principal axis factor analysis) ?
Prinzip
(1)Durchführung einer Hauptkomponentenanalyse mit den Startwerten
(2)Ersetzen der Startwerte durch die mit der ersten Hauptkomponentenanalyse erhaltenen neuen Kommunalitätenschätzer
(3)Durchführung einer erneuten Hauptkomponentenanalyse
…
Wie funktioniert die Maximum-Likelihood-Schätzung?
Schätzung von Populationsparametern aus Stichprobenstatistiken
Verwendung eines Maximum-Likelihood-Schätzers zur Bestimmung der Ladungen und Fehlervarianzen
Prinzip: Finde Schätzer für die Modellparameter, für die die Differenz zwischen der modellimplizierten Korrelationsmatrix (meist aber Kovarianzmatrix) und der Stichprobenkorrelationsmatrix (bzw. Stichprobenkovarianzmatrix) minimal ist (ausführlicher in Kurs 3444 im Rahmen von Strukturgleichungsmodellen behandelt!)
Wie viele Faktoren sollten extrahiert werden?
In der FA werden q wechselseitig unabhängige Faktoren bestimmt, die sukzessiv maximale Varianz aufklären
Vorgehen: (1)aus einer Population, in der die Variablen unkorreliert sind, wird eine Zufallsstichprobe gezogen (hinsichtlich i und Personenanzahl selber Umfang wie in der tatsächlichen Stichprobe) (2)die Korrelations-Matrix dieser Stichprobe (alle Zusammenhänge zwischen den Variablen sind nur zufällig) wird einer EFA unterzogen (3)Der Verlauf der Eigenwerte dieser Analyse („Zufallseigenwerte“) wird in einem Diagramm mit den Eigenwerten der EFA der tatsächlichen Stichprobe abgetragen
Kriterium: Diejenigen Faktoren sind bedeutsam (über Zufallsniveau), deren Eigenwerte über dem Schnittpunkt der beiden Eigenwertverläufe liegen.
Einwand: Warum werden Faktoren, die knapp über der Linie liegen, extrahiert und diejenigen, die knapp unter der Linie liegen, nicht?
Aber: Führt in den meisten Fällen zu einer angemessenen Extraktion, insgesamt zu empfehlen (Fabrigar et al., 1999).
Praktische Durchführung: Die Zufallsdaten können selbst erzeugt werden, dies ist jedoch zunächst noch nicht in SPSS verfügbar, sondern erfordert ein Makro (s. Tutorial)
Wie funktioniert/läuft der MAP-Test (ab)? Minimum-Average-Partial-Test
Nach Durchführung einer PCA wird die erste Hauptkomponente aus der Korrelationsmatrix herauspartialisiert Residualmatrix
Berechnung der mittleren quadrierten Partialkorrelation --> Mittel aus den quadrierten Korrelationen der Residualmatrix (so heißt, die, die noch verbleibt, quasi der Rest vom Schützenfest)
Schritt 2:
Aus der Residualmatrix wird die zweite Hauptkomponente herauspartialisiert#
Berechnung der mittleren quadrierten Partialkorrelation berechnet
Weitere Schritte:
Wiederholung dieser Schritte bis die mittlere quadrierte Partialkorrelation ein Minimum erreicht --> Extraktion der Anzahl der Komponenten an diesem Minimum (die mittlere quadrierte Partialkorrelation erreicht ein Minimum, steigt dann aber wieder an und alles am Minimum wird extrahiert)
Vorgehen bei der Maxmimum-Likelihood-Faktorenanaylse
Modelltestung unter Verwendung eines Likelihood-Quotienten-Tests (Χ2−Test)
Probleme der Interpretierbarkeit einer "Anfangslösung" (d.h. erstes Ergebnis der PCA oder PAF)
Oftmals sind die Ergebnisse einer Faktorenanalyse, unabhängig von dem verwendeten Verfahren (z.B. PCA oder PAF), inhaltlich nicht interpretierbar
Zum Beispiel ist in Folge der Eigenschaft der Vorgabe, dass die extrahierten Faktoren sukzessiv maximale Varianz erklären, dass viele Variablen hoch auf dem ersten Faktor laden und niedrig(er) auf allen weiteren Faktoren
Aus diesem Grund folgt in der Regel nach Extraktion der Faktoren eine erneute Rotation dieser Faktoren, um die Lösung zu optimieren
warum ist eine Rotation der Anfangslösung zulässig?
Die Anfangslösung stellt eine von (unendlich) vielen möglichen Lösungen dar
Dies liegt daran, dass das Modell nicht identifiziert ist und man bestimmte (und eben unterschiedliche) Festlegungen (Restriktionen) vornehmen muss (Identifikationsproblem)
Eine solche Festlegung ist durch das Kriterium der sukzessiven maximalen Varianzaufklärung (und auch Orthogonalität der Faktoren) vorgenommen worden
Ausgehend von dieser Anfangslösung kann aber nun nach besser interpretierbaren, aber (mathematisch) äquivalenten Lösungen gesucht werden
Welche alternative Lösung ist besser interpretierbar? (nach Roation)
Ziel der Rotation ist eine sog. Einfachstruktur Ladung der Variablen auf den Faktoren ist hoch oder nahezu Null
Diese rotierte Lösung stellt eine mathematisch äquivalente Rotationstransformation dar, die allerdings besser zu interpretieren ist
Zwei generelle Klassen von Rotationstechniken
Orthogonale Rotationen (Unabhängigkeit der Faktoren wird beibehalten)
Oblique (schiefwinklige) Rotationen (Korrelationen zwischen den Faktoren werden zugelassen)
Unabhängig von der Rotationsart gilt: Zwar ändern sich die Faktorladungen, die erklärte Gesamtvarianz bleibt jedoch gleich
Transformation der Faktoren, die gewährleistet, dass die Faktoren auch nach der Rotation noch unkorreliert sind
Wenn die Faktoren tatsächlich unkorreliert sind, lässt sich das neue Ladungsmuster gut interpretieren
Verschiedene Rotationstechniken: VariMax, QuartiMax, EquaMax
VariMax-Rotation
Gebräuchlichste orthogonale Rotationstechnik
Hintergrund: das Einfachstrukturkriterium verlangt, dass pro Faktor einige Variablen möglichst hoch u. die anderen möglichst niedrig laden
dies ist mit der Forderung gleichzusetzen, dass die Varianz der quadrierten Faktorladungen pro Faktor möglichst groß ist
Zielkriterium:
die Faktoren werden orthogonal so rotiert, dass die Varianz der quadrierten Faktorladungen pro Faktor maximal ist
Weitere orthogonale Rotationsverfahren
QuartiMax: Summe der vierten Potenzen der Faktorladungen wird maximiert, was einen generellen, dominierenden Faktor eher zulässt
EquaMax: Kombination aus VariMax und QuartiMax.
Prinzip der obliquen Rotation
Oblique (schiefwinklige) Rotation
Transformation, die korrelierte Faktoren zulässt
Dadurch wird oftmals eine Einfachstruktur der Ladungen (noch) besser erreicht und die Interpretierbarkeit erleichtert
Zudem ist die Annahme der Korreliertheit oft theoretisch plausibel
Da die Faktorladungen nicht mehr den Korrelationen zwischen einem Faktor und Item entsprechen, stellt die Lösung zwei Matrizen bereit:
Mustermatrix (Ladungsmatrix): enthält die Faktorladungen zur Interpretation
Strukturmatrix: enthält die Korrelationen zw. den Faktoren u. Items
Nach obliquer Rotation sollten zusätzlich die Korrelationen zwischen den Faktoren angegeben werden
zentrale Techniken: Oblique Rotation
Benötigen Richtwerte für die Stärke der Faktorenkorrelationen.
ProMax: Transformation der Lösung einer orthogonalen VariMax-Rotation unter Zulassung von Korrelationen zwischen Faktoren
ObliMin, direkt: Die Kovarianz der quadrierten Ladungen, die zu verschiedenen Faktoren gehören, wird minimiert
QuartiMin, direkt: Spezialfall der ObliMin-Rotation (Delta-Parameter wird auf 0 gestellt); hat vorteilhafte Eigenschaften, ist insgesamt als Technik der obliquen Rotation zu empfehlen (Fabrigar et al., 1999)