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Hans Walser, [20190925]
Winkeldrittelung nach Archimedes und nach Bolyai
Idee und Anregung: Jšrg Meyer, Hameln, sowie Hartmut Mźller-Sommer, Vechta
Die Verfahren zur Winkeldrittelung von Archimedes und von J‡nos Bolyai haben einen gemeinsamen Beweishintergrund.
Wir verlŠngern einen Schenkel des zu drittelnden Winkels rźckwŠrts źber den Scheitel hinaus (Abb. 1).
Abb. 1: Der zu drittelnde Winkel
Dann zeichnen wir einen Kreis mit dem Zentrum im Scheitel (Abb. 2). Der Radius ist beliebig, spielt aber im Folgenden eine wichtige Rolle.
Wir schneiden den zweiten Schenkel mit dem Kreis.
Abb. 2: Kreis
Nun bauen wir ein Lineal, auf dem wir zwei Marken im Abstand des Kreisradius anbringen (Abb. 3).
Abb. 3: Lineal mit zwei Marken
Dieses Lineal schieben wir so ein, dass die Startmarke auf dem nach rźckwŠrts verlŠngerten Winkelschenkel liegt, die zweite Marke auf dem Kreis liegt und das Lineal durch den Schnittpunkt des Kreises mit dem anderen Schenkel verlŠuft (Abb. 4). Wir mźssen also unser Augenmerk auf drei Orte richten. Das kommt bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal nicht vor.
Abb. 4: Einschieben des Lineals
Der Winkel zwischen dem nach rźckwŠrts verlŠngerten Schenkel und dem Lineal ist nun ein Drittel des Startwinkels.
Das Verfahren funktioniert fźr Startwinkel bis 135ˇ.
Wir ergŠnzen die Figur gemЧ Abbildung 5. Dabei kommt mehrere Male der Kreisradius vor. Es entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke.
Allgemein ist bei einem gleichschenkligen Dreieck der Au§enwinkel an der Spitze doppelt so gro§ wie ein Basiswinkel. Dies fźhrt zu der Winkelkonfiguration der Abbildung 5, aus der die Winkeldrittelung unmittelbar hervorgeht.
Abb. 5: Beweisfigur
Die Idee der Winkeldrittelung nach Archimedes liegt dem mechanischen GerŠt der Abbildung 6 zugrunde.
Das GerŠt hat ein Gelenk an der Spitze links. Dort kann der Drittelwinkel abgelesen werden. Weiter hat das GerŠt drei gleich lange schwarze Stangen, welche den drei zickzackfšrmig angeordneten Kreisradien der Abbildung 5 entsprechen. Das eine Ende der ersten Stange ist im Gelenk links. Das andere Ende liegt auf dem oberen GerŠteteil, welcher dem Lineal mit den zwei Marken entspricht. Dort ist auch das eine Ende der zweiten Stange gelenkig befestigt. Das andere Ende ist auf einem Gleitgelenk auf dem unteren GerŠteteil, wo auch das eine Ende der dritten Stange festgemacht ist. Das andere Ende der dritten Stange schlie§lich ist auf einem Gleitgelenk des oberen GerŠteteils.
Der zu drittelnde Winkel muss zischen dem unteren GerŠteteil und der dritten Stange eingepasst werden.
Abb. 6: Mechanisches GerŠt
Das Verfahren von J‡nos Bolyai arbeitet mit einer gleichseitigen Hyperbel (Abb. 7). Die Asymptoten einer gleichseitigen Hyperbel sind orthogonal (dies definiert eine gleichseitige Hyperbel).
Abb. 7: Gleichseitige Hyperbel
Wir passen den zu drittelnden Winkel so ein, dass der Scheitel im Asymptotenschnittpunkt liegt und ein Schenkel auf einer Asymptoten (Abb. 8). Den anderen Schenkel scheiden wir mit der Hyperbel.
Abb. 8: Einpassen des Winkels
Nun zeichnen wir einen Kreis um den Schnittpunkt des zweiten Schenkels mit der Hyperbel mit einem Radius, der doppelt so gro§ ist wie der Abstand des Schnittpunktes vom Scheitel (Abb. 9). Diesen Kreis schneiden wir ebenfalls mit der Hyperbel, und zwar ărechtsŇ (bezogen auf die Abbildung 9).
Abb. 9: Doppelt so gro§er Kreis
Nun haben wir zwei Punkte auf der Hyperbel. Diese ergŠnzen wir zu einem asymptotenparallelen Rechteck (Abb. 10).
Abb. 10: ErgŠnzung zum Rechteck
Und nun kommt der Gag (Abb. 11).
Erstens: die zweite Diagonale dieses Rechtecks verlŠuft durch den Asymptotenschnittpunkt. Beweis folgt.
Zweitens: die Zweite Diagonale schlie§t mit dem ersten Schenkel des Startwinkels den gesuchten Drittelwinkel ein. Beweis folgt.
Abb. 11: Die zweite Diagonale
Die Konstruktion lŠsst sich vereinfachen. Wir brauchen das Rechteck gar nicht zu zeichnen. Nach dem Eintragen des doppelt so gro§en Kreises mźssen wir nur die Sehne zwischen den beiden Hyperbelpunkten halbieren und den Mittelpunkt mit dem ursprźnglichen Winkelscheitel verbinden (Abb. 12).
Der ursprźngliche Winkel und sein Drittel haben den Scheitelpunkt und einen Schenkel gemeinsam.
Das Verfahren funktioniert fźr Winkel < 90ˇ.
Abb. 12: Vereinfachung
Zu ăerstensŇ: Fźr eine beliebige Hyperbel gilt: Wenn wir auf einer Hyperbel zwei Punkte wŠhlen und zu einem asymptotenparallelen Parallelogramm ergŠnzen, verlŠuft die Gerade durch die beiden anderen Punkte durch den Asymptotenschnittpunkt (Abb. 13).
Abb. 13: Diagonale trifft Asymptotenschnittpunkt
Fźr den Beweis siehe Website Hans Walser, Kollineare Punkte. In unserm Fall haben wir es mit einem Sonderfall dieses allgemeinen Sachverhaltes zu tun.
Zu ăzweitensŇ: Die Abbildung 14 zeigt die Beweisfigur.
Die Beweisfigur entspricht der Beweisfigur der Abbildung 5 fźr das Verfahren von Archimedes.
Fźr die Beweisfigur der Abbildung 14 ist das Rechteck erforderlich.
Abb. 14: Beweisfigur
Websites
Hans Walser: Kollineare Punkte
Hans Walser: Winkeldrittelung mit Zykloiden
Hans Walser: Winkeldrittelung mit Hyperbel
Hans Walser: Winkeldrittelung mit Lemniskate
Hans Walser: Winkeldrittelung
Hans Walser: Winkeldrittelung
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Hans Walser: Winkeldrittelung
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