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Hans Walser, [20180918]
Petrie-Polygon des Wźrfels
Die Abbildung 1 zeigt das Petrie-Polygon des Wźrfels (John Flinders Petrie, 1907-1972, Mitarbeiter von Coxeter).
Abb. 1: Petrie-Polygon des Wźrfels
Es hat sechs gleich lange Seiten und sechs rechte Winkel.
Ein Diskussionspunkt ist, ob man das Polygon als ăregelmЧigŇ bezeichnen kann. Dazu betrachten wir zuerst das ebene Analogon.
Abb. 2: RegelmЧiges Sechseck in der Ebene
Wir denken uns das Sechseck als starres Kantenmodell und bewegen nun eine Kopie davon, so dass zwei aufeinanderfolgende Kanten je auf ihre Nachfolgerin zu liegen kommen, also zum Beispiel die bewegte rote Kante auf die alte grźne Kante und die bewegte grźne Kante auf die alte blaue Kante. Dies geschieht durch eine Drehung um 60ˇ.
Abb. 3: Sechseck und verdrehtes Sechseck
In der Abbildung 3 ist das Bild absichtlich etwas verrutscht dargestellt, damit die Farben nachkontrolliert werden kšnnen.
Jedes Paar aufeinanderfolgender Kanten wird auf das nachfolgende Paar bewegt.
Die Figur ist regelmЧig.
Die Abbildung 4 zeigt nochmals das Petrie-Polygon.
Abb. 4: Petrie-Polygon
Wir denken uns dieses Sechseck als starres Kantenmodell und bewegen eine Kopie davon so im Raum, dass die bewegte rote Kante auf die alte grźne Kante und die bewegte grźne Kante auf die alte blaue Kante zu liegen kommen (Abb. 5).
Abb. 5: Petrie-Polygon und bewegtes Petrie-Polygon
Wir sehen, dass die restlichen Kanten nicht mitspielen. Es brŠuchte noch eine Ebenenspiegelung dazu. Diese Šndert aber die rŠumliche Orientierung und ist bei einem starren Modell nicht zulŠssig.
Der Hintergrund ist folgender: ein Tripel von drei aufeinanderfolgenden Kanten lŠsst sich nicht auf das nachfolgende Tripel bewegen.
Das Petrie-Polygon des Wźrfels ist daher nicht regelmЧig.
In einem geeigneten Koordinatensystem (Abb. 6) kšnnen wir die aufeinanderfolgenden Kanten als Vektoren darstellen.
Abb. 6: Im Koordinatensystem
Es ist (in der Reihenfolge rot, grźn, blau, zyan, magenta, gelb der Abb. 6):
(1)
Weiter ist:
(2)
Das erste Vektortripel ist also positiv orientiert.
Hingegen ist:
(3)
Das zweite Vektortripel ist negativ orientiert.
Wir haben also keine konstante Orientierung. Die Orientierung alterniert lŠngs des Petrie-Polygons.
Das ebene Analogon dazu ist eine (unendlich lange) Zickzacklinie (Abb. 7). Wir haben zwar gleiche Seiten und betragsmЧig gleiche Winkel, aber die Orientierung der Winkel alterniert.
Abb. 7: Nicht regelmЧiger Polygonzug
Mit den Vektoren
(4)
ist:
(5)
Jedes Tripel aufeinanderfolgender Vektoren ist gleich orientiert. Der Vektorzug ist regelmЧig.
Wir erhalten eine eckige Schraubenlinie im Raum. Die Abbildung 8 zeigt einen Ausschnitt.
Abb. 8: RegelmЧiger Vektorzug im Raum