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Dans une description probabiliste de l'incertitude des paramètres d'entrée, nous cherchons à développer des techniques numériques efficaces pour calculer, la solution moyenne de l'EDP en temps, les marges d'incertitude associées voire une approximation de la loi de probabilité de la solution à chaque instant temporel.
La méthode étudiée s'appuye sur le fait que l'observation de la collection de toutes possibles solutions de l'EDP, correspondant aux possibles valeurs des paramètres d'entrée, est souvent bien approchée par un sous-espace de faible dimension (approximation de faible rang) qui, pourtant, peut varier considérablement en temps. Nous allons développer des algorithmes qui permettent de construire ce sous-espace de faible dimension et de le faire évoluer dynamiquement en temps, en exploitant la structure de l'équation différentielle.
On appliquera cette technique à des phénomènes de diffusion et réaction non-linéaires ; phénomènes de propagation d'ondes ou des problèmes en dynamique de fluides incompressibles.
Notre but est de comprendre les propriétés mathématiques des équations différentielles décrivant l'évolution dynamiques du sous-espace de faible dimension, d'étudier leurs propriétés d'approximation, développer des stratégies adaptatives basées sur des indicateurs d'erreur a-posteriori permettant d'augmenter ou diminuer automatiquement la dimension du sous-espace à un coût de calcul au plus bas.
La méthodologie qu'on propose est potentiellement très puissante pour
l'approximation d'une classe de EDP dépendantes du temps avec
paramètres aléatoires, dont la solution a essentiellement un faible
rang. Mise à parte la problématique de la quantification de
l'incertitude, cette méthodologie pourrait avoir aussi un impact très
forte dans le domaine de l'assimilation des donnée pour des systèmes
dynamiques en dimension infinie.