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Hans Walser, [20110920a]
Reuleaux-Dreiecke
Anregung: J. R., K.-L.
Die Abbildung zeigt ein Reuleaux-Dreieck.
Reuleaux-Dreieck
Es entsteht aus einem gleichseitigen Dreieck, das durch Kreisbogen ergnzt wird. Das Reuleaux-Dreieck hat einen konstanten Durchmesser, ist also wie der Kreis ein ãGleichdickÒ. Zylinder (Walzen) mit einem Reuleaux-Dreieck als Querschnitt knnen also zum Abrollen eines Rollgutes benutzt werden, wobei der Abstand des Rollgutes vom Boden konstant ist.
Der Mittelpunkt des Reuleaux-Dreieckes (mit Mittelpunkt ist der Flchenschwerpunkt gemeint, oder gleichbedeutend das Zentrum der dreistrahligen Drehsymmetrie) mit dem Durchmesser 2 beschreibt beim Abrollen folgende Kurve.
Rollkurve
In der Abbildung ist die untere schwarze Linie der Boden, die obere schwarze Linie die Unterkante des Rollgutes.
Die Mittelpunkts-Rollkurve setzt sich aus Kreisbgen (rot, grn, blau) und verkrzten Zykloidenbgen (gelb, cyan, magenta) zusammen. Der rote Kreisbogen entsteht durch Abrollen im den roten Punkt, der gelbe verkrzte Zykloidenbogen durch Abrollen auf dem gelben Kreisbogen des Reuleaux-Dreieckes. Entsprechend die brigen Teile der Rollkurve.
Die folgende Abbildung zeigt die roten Kreisbogen zum Kreis ergnzt und ebenso die gelben verkrzten Zykloidenbogen zur verkrzten Zykloide ergnzt, das Ganze ber drei Periodenlngen.
Ergnzung der Bgen
Wir sehen, dass ein Zykloidenbogen jeweils erst nach einer Doppelperiode wieder aktiv wird.
a) Die Rollkurve ist also nicht symmetrisch. Das ist schwer einzusehen, da doch Boden und Unterkante des Rollgutes vertauscht werden knnen.
b) Zudem ist es so, dass die Kreisbgen mit Zirkel und Lineal gezeichnet werden knnen, die Zykloidenbgen nicht. (Letzteres folgt daraus, dass bei der gewhnlichen Zykloide die Spannweite dem Umfang des abgerollten Kreises entspricht, der Kreisumfang kann aber nicht mit Zirkel und Lineal gezeichnet werden).
Die Frage b) kann sofort beantwortet werden: Auch die Kreise knnen nicht mit Zirkel und Lineal gezeichnet werden. — Wie bitte? — Die Mittelpunkte der roten Kreise zum Beispiel haben einen horizontalen Versatz von , das kann nicht mit Zirkel und Lineal gezeichnet werden. Wir knnen also den rot-grn-blauen Teil der Rollkurve zwar bogenweise mit Zirkel und Lineal zeichnen, nicht aber als Gesamtheit. — Wir werden im folgenden sehen, dass die Kreis Sonderflle von verlngerten Zykloiden sind.
Auf einem Rad mit Radius r bringen wir einen Zeichenstift an, der vom Radmittelpunkt den Abstand s hat. Wir das Rad abgerollt, beschreibt der Zeichenstift eine Zykloide, und zwar:
Die Abbildung zeigt rot die gewhnliche Zykloide, grn die verkrze Zykloide mit und blau die verlngerte Zykloide mit . Es sind drei Periodenlngen gezeichnet.
Gewhnliche, verkrzte und verlngerte Zykloide
Die gewhnliche Zykloide hat Umkehrpunkte auf dem Boden. Die verkrzte Zykloide berhrt den Boden nicht. Die verlngerte Zykloide hat Schlaufen, die unterhalb des Bodens reiche. Eine verlngerte Zykloide mit ist ein Kreis mit Radius s.
Die folgenden Reuleaux-Dreiecke haben alle den Durchmesser 2 und damit den Umfang . Mit dem Parameter p bezeichnen wir den Radius der drei kleinen Bgen (rot, grn, blau). In der folgenden Abbildung ist .
Verallgemeinertes Reuleaux-Dreieck mit
Fr erhalten wir das gewhnliche Reuleaux-Dreieck, fr den Kreis.
Gewhnliches Reuleaux-Dreieck und Kreis
Fr erhalten wir das Marktbreit-Dreieck. Die kleinen Kreisbgen (rot, grn, blau) sind Teil der kanonischen Kreisrosette.
Marktbreit-Dreieck. Kreisrosette
Fr erhalten wir im Prinzip dasselbe wie fr , aber mit vertauschten Farben.
und
Fr ergibt sich ein nicht konvexes Gleichdick. Der konstante Durchmesser muss als Innenma§ mit den ãkleinenÒ Messschenkeln der Schublehre (Messschieber) verifiziert werden.
Nicht konvexes Gleichdick fr
Bei stark negativem p erkennen wir, dass das Reuleaux-Dreieck ein Mbius-Band (konstanter Breite) ist. Die folgende Abbildung zeigt den Fall .
Mbiusband ()
Fr lassen sich die gro§en Kreisbgen (cyan, magenta, gelb) in die kanonische Kreisrosette einbetten.
Nochmals Kreisrosette
So weit so gut. Und nun die Mittelpunkts-Rollkurven. Vorerst aber noch eine Zwischenbemerkung.
Wir denken uns eine Walze mit dem Einheitskreis als Querschnitt sowie verschiedene Walzen mit allgemeinen Reuleaux-Dreiecken mit gleichem Durchmesser 2 als Querschnitt. ber diese (parallel ausgerichteten) Walzen legen wir eine Platte und rollen so ab, dass sich der Einheitskreis gleichm§ig dreht. Die Frage ist, ob sich auch die Reuleaux-Dreiecke gleichm§ig drehen.
Die Frage ist nicht trivial. Es ist ja auch zum Beispiel so, dass sich bei einem angewinkelten Kardangelenk eine gleichm§ige Drehbewegung nicht gleichm§ig bertrgt.
Die Frage konnte ich nur differenziell angehen. Wenn sich der Einheitskreis um dreht, bewegt sich die Platte um . Es sei nun die Drehgeschwindigkeit eines Reuleaux-Dreiecks mit dem Parameter p. Zum kleinen Radius p gehrt der gro§e Gegenradius . Somit ist:
Es ist also ; die beiden Drehgeschwindigkeiten sind gleich. Wir knnten daher den fr den Einheitskreis gltigen Drehparameter t auch fr die Reuleaux-Dreiecke verwenden.
Die folgende Abbildung zeigt die Mittelpunkts-Rollkurve fr . Es sind zwei Perioden dargestellt.
Mittelpunkts-Rollkurve fr
In der folgenden Abbildung sind der erste rote Bogen und der erste gelbe Bogen in extenso gezeichnet.
Bogen in extenso fr
Die rote Kurve ist eine (knapp) verlngerte Zykloide, die gelbe Kurve eine verkrzte Zykloide. Erschreckend sind aber die unterschiedlichen Periodenlngen. Die rote Kurve hat die Periodenlnge , die gelbe Kurve die Periodenlnge .
Dazu ein zweites Beispiel, nmlich .
Wir haben fr die rote Kurve die Periodenlnge , fr die gelbe Kurve die Periodenlnge . Beide Kurven sind verkrzte Zykloiden.
Fr die Periodenlngen gilt:
Das ergibt sich daraus, dass p und die Radradien der beiden Zykloiden sind.
Wenn p irrational ist, wird eine Zykloide keinen weiteren Bogen mehr abdecken.
Fr erhalten wir das Marktbreit-Dreieck. Die rote Kurve seiner Mittelpunkts-Rollkurve ist eine exakte gewhnliche Zykloide. Das ergibt sich daraus, dass der Mittelpunkt des Dreiecks auf den kleinen Kreisen liegt. Es ist also der Stiftradius gleich dem Radradius. Die Kurven passen genau in den Zwischenraum zwischen Boden und Rollgutunterkante.
Gewhnliche Zykloide
Wie kann das Abrollen eines nicht konvexen Reuleaux-Dreiecks mechanisch realisiert werden?
Die folgende Figur zeigt die Mittelpunkts-Rollkurve fr den Fall . Wir haben die Periodenlngen fr die rote Kurve und fr die gelbe Kurve.
Bis jetzt hatten wir alles in einem ortsfesten (bodenfesten) Koordinatensystem beschrieben. Als Illustration nochmals den Fall des gewhnlichen Reuleaux-Dreiecks im ortsfesten Koordinatensystem. Wir haben unten Kreise und oben verkrzte Zykloiden.
Ortsfest
Nun lassen wir das Koordinatensystem mit der Geschwindigkeit nach rechts wandern.
Vorstellung: Wir bewegen eine Kamera.
Durch das Bewegen der Kamera wird die Vorschubgeschwindigkeit bei den Zykloiden verndert. Geometrisch hei§t das, dass der Radradius verndert wird und die Abrollgerade entsprechend verschoben. Die Kurven bleiben also nach wie vor Zykloiden.
Fr bewegt sich die Kamera mit dem Rollgut. Fr das gewhnliche Reuleaux-Dreieck sehen wir ãvom Schiff ausÒ nun oben die Kreise (magenta, cyan, gelb) und unten die verkrzten Zykloiden.
Vom Schiff aus
Fr haben wir den Mittelpunkt des Reuleaux-Dreiecks im Fokus. Die folgende Abbildung zeigt die Situation fr das gewhnliche Reuleaux-Dreieck. Die drei oberen und die drei unteren Kurven berlagern sich. Sie sind symmetrisch.
Bewegung des Mittelpunktes
Gezoomt (Faktor 10) erhalten wir die folgende Abbildung.
Bewegung des Mittelpunktes
Der Mittelpunkt des Reuleaux-Dreieckes eiert also nicht nur auf und ab, sondern im Vergleich mit der gleichm§igen Bewegung des Mittelpunktes des Einheitskreises auch vor und zurck.
Die folgende Abbildung zeigt die Situation fr , die Kamera bewegt sich halb so schnell wie der Mittelpunkt des Einheitskreises.
Die Kreise unten (rot, grn, blau) werden zu verlngerten Zykloiden verschmiert.
Zum Schluss das Marktbreit-Dreieck (), aufgenommen von einer Kamera mit .
Marktbreit-Dreieck mit
Wir haben wie beim gewhnlichen Reuleaux-Dreieck unten Kreise und oben verkrzte Zykloiden, aber die Kurven passen genau in den Zwischenraum zwischen Boden und Rollgutunterkante. Die Periodenlnge ist nicht in einem rationalen Verhltnis zu , da p irrational ist.