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Hans Walser, [20130608a], Version 14. Juni 2013
Reuleaux-Dreieck-Triangulation
Anregung: R. V., S.
Gesucht ist eine ãschneÒ Triangulation des Reuleaux-Dreiecks (Abb. 1).
Abb. 1: Reuleaux-Dreieck
Wir zeichnen eine lineare Triangulation auf den Boden eines Tetraeders, projizieren vom Zentrum aus auf seine Umkugel (inverse gnomonische Projektion) und dann vom Nordpol aus auf eine Tangentialebene im Sdpol (stereografische Projektion).
Die Abbildung 2 zeigt eine lineare Triangulation in einem gleichseitigen Dreieck. Sie hat eine Zehner-Teilung: Jede Dreiecksseite ist in zehn Teile unterteilt. Insgesamt haben wir daher 100 Teildreiecke.
Abb. 2: Lineare Triangulation
Diese lineare Triangulation setzen wir nun auf den Boden eines regulren Tetraeders (Abb. 3).
Abb. 3: Tetraeder
Wir zeichnen und denken uns die Umkugel des Tetraeders (Abb. 4). Die Spitze des Tetraeders liegt in Nordpol, die drei Basispunkte sind auf dem Breitenkreis 19.47¡S.
Abb. 4: Umkugel des Tetraeders
Nun projizieren wir die lineare Triangulation auf dem Tetraederboden vom Kugelmittelpunkt aus auf die Kugeloberflche (Abb. 5). Auf der Kugeloberflche besteht die Triangulation aus Gro§kreisbgen.
Abb. 5: Projektion vom Kugelmittelpunkt aus
Da dies recht unbersichtlich ist, lassen wir die Kugel mal weg (Abb. 6).
Abb. 6: Ohne Bild der Kugel
Wir knnen auch noch die lineare Triangulation auf dem Tetraederboden weglassen (Abb. 7).
Abb. 7: Fischernetz am Tetraeder
Die Abbildung 8 zeigt dasselbe von der Seite.
Abb. 8: Spezielle Sicht
Wir projizieren nun vom Nordpol (das ist die Tetraederspitze) aus auf die Tangentialebene am Sdpol. Diese Abbildung hei§t stereografische Projektion. Sie ist winkeltreu (konform) und wird daher in der Kartografie gerne verwendet. Die Abbildung 9 zeigt das Vollbild.
Abb. 9: Stereografische Projektion
Die Abbildung 10 zeigt die Situation von der Seite.
Abb. 10: Sicht von der Seite
Die Abbildung 11 zeigt das Vollbild aus der Sicht von ãuntenÒ. Wir sehen auf den Sdpol.
Abb. 11: Sicht auf den Sdpol
Nun lassen wir die ganze Herleitung weg und sehen die gesuchte Triangulation (Abb. 12). Die Krmmungen der Triangulationslinien suggerieren eine Wlbung. In der Mitte haben wir einen Lupeneffekt.
Abb. 12: Triangulation des Reuleaux-Dreieckes
Die Projektion des regulren Tetraeders auf eine konzentrische Sphre unterteilt diese in vier kongruente regelm§ige sphrische Dreiecke mit Winkeln von 120¡.
Die stereografische Projektion ist winkeltreu und Mbiuskreis-treu. Wir erhalten daher in der Projektion genau das Reuleaux Dreieck.
Die zum Beispiel roten Kreise der Abbildung 12 sind unterschiedlich gekrmmt. Somit muss es einen ãDurchgang durch nullÒ ergeben. Krmmung null bedeutet aber eine Gerade. Dies wird sichtbar bei einer Teilungszahl, welche durch drei teilbar ist. Die Abbildung 13 zeigt die Situation mit einer Zwlfer-Teilung. Wir haben drei Geraden durch die Mitte.
Abb. 13: Geraden durch die Mitte
Wir untersuchen nun, wie die Triangulation des Reuleaux-Dreieckes rein elementar mit Zirkel und Lineal bewerkstelligt werden kann.
Fr die praktische Durchfhrung arbeiten wir im Folgenden mit der Teilungszahl fnf. Die Abbildung 14 zeigt die Triangulation des Reuleaux-Dreieckes mit der Teilungszahl fnf.
Abb. 14: Teilungszahl 5
Die Abbildung 15 zeigt zunchst nochmals das rumliche Vollbild mit der Teilungszahl fnf, aber aus einer sehr speziellen Sicht.
Abb. 15: Sehr spezielle Sicht
Wir gucken in Richtung einer Bodenkante des Tetraeders. In dieser Sicht erscheinen die blauen Gro§kreisbogen auf der Kugel als Strecken (Abb. 16).
Abb. 16: Blaue Gro§kreise erscheinen als Geraden
Mehr noch: Wenn wir diese Strecken verlngern, schneiden sich alle in einem Punkt (Abb. 17).
Abb. 17: Schnittpunkt
Die scheinbaren blauen Geraden sind in Wirklichkeit Gro§kreisbgen auf der Kugel, nach der Verlngerung sogar halbe Gro§kreise, die in zwei diametralen Punkten auf dem quator enden. In unserer Sicht knnen die Winkel zwischen den Halbkreisen direkt abgelesen werden.
Weiter unterteilen die blauen Strecken die magenta Bodenlinie des Tetraeders in fnf gleiche Teile. Genau genommen: es wird die Hhe des Bodendreieckes in fnf gleiche Teile geteilt. Unsere gewhlte Teilungszahl fnf wird also sichtbar.
Schlie§lich – und das ist verblffend – passen zwischen Tetraederboden und quator genau drei Rechtecke mit dem Seitenverhltnis des DIN-Formates hinein (Abb. 18). Dies ist unabhngig von unserer Teilungszahl fnf.
Abb. 18: Das DIN-Format erscheint
Wenn wir nun noch bedenken, dass die stereografische Projektion, welche ja schlie§lich die Triangulation geliefert hat, winkel- und kreistreu ist, wird folgende Konstruktion plausibel. Der Nachweis der Korrektheit ist etwas aufwndig.
Wir beginnen mit drei im Querformat aneinandergefgten DIN-Rechtecken gem§ Abbildung 19 und unterteilen die obere Gesamtseite gem§ der gewhlten Teilungszahl, in unserem Beispiel also in fnf Teile. Wir haben eine so genannte regulre Skala.
Abb. 19: Drei DIN-Rechtecke. Regulre Skala
Nun projizieren wir die regulre Skala ber den in der Abbildung 19 eingezeichneten blauen Punkt auf die linke senkrechte Gerade (Abb. 20). Wir erhalten eine so genannte projektive Skala. Sie ist nicht mehr quidistant, auch die Reihenfolge der Zahlen ist nicht die bliche. Die Sache hat noch eine Tcke. Wenn wir mit einer durch drei teilbaren Teilungszahl arbeiten, ergibt sich ein magenta Punkt auf der regulren Skala, der in der projektiven Skala nicht erscheint. Bei der Teilungszahl zwlf ist es der Punkt mit der Nummer vier. Dies ist ein so genannter Verschwindungspunkt. Es ist ein ãunendlich fernerÒ Punkt.
Abb. 20: Projektive Skala
Die Punkte der projektiven Skala verwenden wir nun als Zentren von Kreisbgen gem§ Abbildung 21. Falls wir einen unendlich fernen Punkt als Zentrum im Spiel haben, wird der zugehrige Kreisbogen zur horizontalen Strecke.
Abb. 21: Kreisbgen
Wir kopieren diese Kreisbgen zwei Mal, frben um, drehen um 120¡ beziehungsweise 240¡ und berlagern (Abb. 22).
Abb. 22: Triangulation
Zwischen den schwarz markierten Punkten erkennen wir das triangulierte Reuleaux-Dreieck der Abbildung 14.
Wir knnen die in der Abbildung 19 eingefhrte regulre Skala links ber 0 in die negativen Zahlen und rechts ber fnf hinaus vergr§ern. Das fhrt dann zu einer Triangulation der Kreisscheibe (Abb. 23). Wo ist unser ursprngliches Reuleaux-Dreieck?
Abb. 23: Triangulation des Kreises. Teilungszahl 5
Die Abbildung 24 zeigt das Beispiel mit der durch drei teilbaren Teilungszahl zwlf. Es gehen drei Durchmesser durch das Kreiszentrum.
Abb. 24: Teilungszahl 12