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Hans Walser, [20140430]
Stochastische Matrizen
Anregung: R. S., C.
Wir untersuchen n,n-Matrizen mit positiven Eintrgen, deren Zeilen- und Spaltensummen 1 sind.
Formal:
Zeilensumme:
Spaltensumme:
Aus magischen Quadraten lassen sich durch Normierung mit der Zeilensumme doppelt stochastische Matrizen herstellen. Dabei sind dann zustzlich (das ãMagischeÒ) auch die Diagonalensummen 1.
Aus dem im Prinzip einzigen magischen 3,3-Quadrat erhalten wir:
Aus dem magischen Drer-Quadrat ergibt sich:
Eine Matrix mit Zeilensumme 1 hat den Eigenwert mit dem Eigenvektor
Beweis durch Nachrechnen. Es ist .
Wir arbeiten mit einer Abbildungsmatrix mit Spaltensumme 1.
Es sei ein Punkt in der Hyperebene H: . Wegen
erhalten wir fr den Bildpunkt :
Somit liegt auch der Bildpunkt in der Hyperebene H.
Die Hyperebene H hat den Normalvektor .
Bei einer doppelt stochastischen Abbildungsmatrix haben wir einerseits die Fixpunktgerade . Andererseits operieren alle anderen Punkte in einer Normalhyperebene dazu.
Wir arbeiten exemplarisch mit der Abbildungsmatrix:
In der Abbildung 1a sind im Einheitswrfel die Bilder der drei Einheitsvektoren eingetragen. Die Abbildung 1b zeigt das Bild des Einheitswrfels. Es entsteht ein Spat, der eine Raumdiagonale mit dem Einheitswrfel gemeinsam hat und sonst ganz im Innern des Einheitswrfels liegt.
Abb. 1: Situation im Einheitswrfel
Die in der Abbildung 2 markierten Punkte liegen jeweils in einer Ebene. Dies sind Normalebenen zur vom Ursprung ausgehenden Raumdiagonalen des Einheitswrfels.
Abb. 2: Normalebenen zur Raumdiagonalen des Wrfels
Die Abbildung 3 zeigt, wie die lineare Abbildung im unteren der beiden blauen Dreiecke operiert. Das ist das durch die Bilder der drei Einheitsvektoren aufgespannte Dreieck.
Abb. 3: Situation im unteren blauen Dreieck
Der Schwerpunkt des blauen Urbilddreiecks ist Fixpunkt, er ist auch Schwerpunkt des roten Bilddreiecks. Dieser Schwerpunkt hat im Raum die Koordinaten . Er liegt auf der Fixpunktgeraden.
Wird die Abbildung iteriert, ziehen sich die Bilder auf den Fixpunkt zusammen.
In der Abbildung 4 ist der nchste Schritt eingezeichnet.
Abb. 4: Nchster Schritt
Im Limes ergeben sich fr die Bilder der drei Einheitsvektoren die drei Vektoren
Somit ist:
Die Kontraktionseigenschaft und damit der Limes gelten fr beliebige doppelt stochastische 3,3-Matrizen.
Fr die Dimension n wird das gleichseitige Dreieck durch das regelm§ige n-Simplex ersetzt. Im vierdimensionalen Fall also das regelm§ige Tetraeder.
Der Schwerpunkt hat die Koordinaten .
Allgemein gilt daher fr eine doppelt stochastische n,n-Matrix A: