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Mittelwert und Streuung
Ein Schweizer isst zwei Dutzend Cervelas im Jahr. Natürlich nur im Durchschnitt über alle Bürger des Landes, und damit sind wir schon mitten in der Statistik: Viele Schweizer essen überhaupt keine Cervelas, andere können nie genug davon bekommen. In der Summe ergibt das 160 Millionen. Diese Summe, geteilt durch die Zahl der Summanden, heisst auch arithmetisches Mittel; das ist für viele der Inbegriff von Durchschnitt überhaupt.
Für die meisten Zwecke reicht diese Art von Durchschnitt völlig aus. Aber zuweilen kann das arithmetische Mittel auch in die Irre führen: Angenommen, wir geben einem Vermögensverwalter 100 000 Franken. Nach einem Jahr werden daraus 160 000 Franken – ein Plus von 60 Prozent. Das Jahr darauf fällt unser Vermögen auf 80 000 Franken – ein Minus von 50 Prozent. Das arithmetische Mittel der beiden Renditen von einmal +60 und einmal –50 Prozent ist (+60 – 50) : 2 = + 5 Prozent. Anders gesagt: Wir haben am Ende weniger als am Anfang, aber im Durchschnitt nimmt der Wert unseres Vermögens in jeder Periode zu!
Profis wissen natürlich, dass man Wachstumsraten niemals arithmetisch mitteln darf. Der korrekte Durchschnitt ist hier jene jährliche Rendite, die in zwei Jahren aus 100 000 Franken 80 000 Franken macht, das sind (leicht gerundet) – 10,55 Prozent: Nach einem Jahr werden so aus den anfänglichen 100 000 Franken damit 10,55 Prozent weniger, das sind 89 450 Franken, das nächste Jahr werden aus diesen 89 450 Franken nochmals 10,55 Prozent weniger, das sind dann (bis auf Rundungsfehler) 80 000 Franken. Diese Durchschnittsrendite von – 10,55 Prozent findet man über das geometrische Mittel der beiden sogenannten Wachstumsfaktoren 1,6 und 0,5. Es wird errechnet, indem man die Wurzel aus 1,6 x 0,5 = 0,8 zieht, das ergibt 0,8945. Von diesem geometrischen Mittel der Wachstumsfaktoren ist dann noch 1 abzuziehen: 0,8945 – 1 = – 0, 1 055.
Regelmässige Proteste ruft das arithmetische Mittel bei Meldungen der Art hervor, dass etwa niedergelassene Ärzte in der Schweiz im Jahr im Durchschnitt 205 000 Franken Einkommen erzielen. «Stimmt überhaupt nicht, viel zu hoch!» hört man dann Ärztefunktionäre klagen. «Drei Viertel aller Ärzte verdienen weniger, der Durchschnitt beträgt nur 165 000 Franken!» Das ist auch so, nur haben diese Kritiker nochmals einen anderen Durchschnitt im Sinn, den sogenannten Zentralwert oder Median. Der Median ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn man alle Einkommen der Grösse nach sortiert. Bei drei Einkommen 1,3 und 8 ist der Zentralwert 3, das arithmetische Mittel aber grösser, nämlich 4, und das ist typisch für Merkmale wie Einkommen, Vermögen oder Grundbesitz, wo oft einige wenige sehr viel mehr haben als alle anderen. Hier liegt der Median in aller Regel unter dem arithmetischen Mittel; er ist unempfindlich gegen hohe Werte am rechten Rand, die wie ein Magnet das arithmetische Mittel nach oben ziehen. Statistiker sagen dazu auch «robust».
Und oft blenden natürlich Durchschnitte wichtige Informationen einfach aus: Wenn ich im Durchschnitt jeden Tag des Monats einen Viertel Rotwein trinke, aber alle am gleichen Tag, bekomme ich eine Alkoholvergiftung und bin tot. Trinke ich dagegen jeden Tag nur einen, lebe ich sogar länger als Leute, die nie Rotwein trinken. Der Durchschnitt ist in beiden Fällen gleich, aber die Abweichung vom Durchschnitt ist im ersten Fall erheblich grösser. Deshalb fügt man Durchschnitten am besten immer auch ein Mass für die Abweichung vom Durchschnitt bei, wie die Schwankungsbreite oder die Standardabweichung.
Die Schwankungsbreite ist einfach der Abstand zwischen dem grössten und dem kleinsten Wert; die Standardabweichung ist die «durchschnittliche» Abweichung vom Durchschnitt. Bei sogenannten normalverteilten Daten liegen 95 Prozent der Fälle weniger als zwei Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel entfernt. Wenn man Sätze hört wie «Ein erwachsener Mitteleuropäer hat einen IQ von 100 + / – 15», so ist in aller Regel das damit gemeint. «Normalverteilt» soll dabei heissen, dass sich sehr vieles – früher glaubte man sogar: fast alles –, was sich auf dieser Erde messen oder wiegen lässt, auf eine ganz bestimmte Weise um den Durchschnitt streut: Die Masse drängt sich dicht darum herum, aber mit wachsender Entfernung nimmt die Häufigkeit der Werte dann glockenförmig ab.
Korrelation und Kausalität
Oft ist bei den Objekten einer Untersuchung mehr als nur eine einzige Variable von Interesse: bei Immobilien die Lage, die Grösse und der Preis; bei Partnerschaftsinseraten in der NZZ das Geschlecht, das Alter, die Körpergrösse, der Beruf; bei Patienten in der Klinik der Blutdruck und die Dosis eines blutdrucksenkenden Medikaments. Da wüsste man oft gerne: hängen diese Variablen zusammen – und wenn ja, wie? Das führt in den Bereich der modernen Statistik, der sich mit Abhängigkeiten – sogenannten Korrelationen – und Kausalbeziehungen befasst.
Die Grafik «Korrelation und Kausalität» stellt die Lebenserwartung der Männer und das durchschnittliche Pro-Kopf-Einkommen in 25 Schweizer Kantonen einander gegenüber. Zusätzlich sind auch noch die beiden arithmetischen Mittelwerte eingetragen. Basel-Stadt ist nicht dabei, weil die Menschen dort zwar viel verdienen (im Durchschnitt 99 000 Franken jährlich, das ist Landesrekord), aber dennoch früher sterben als in den meisten anderen Kantonen. Solche Datenpunkte, die sich von allen anderen drastisch unterscheiden, heissen Ausreisser; die behandelt man besser getrennt (wobei wir das Spekulieren über diesen Ausreisser hier den Soziologen und Demographen überlassen wollen).
Im Grossen und Ganzen leben Männer in Kantonen mit hohem Durchschnittseinkommen länger (Punkte in der Grafik oben rechts); Männer in Kantonen mit tiefem Durchschnittseinkommen sterben früher (Punkte in der Grafik unten links). Dies ist ein Beispiel für eine positive Korrelation: je mehr vom einen, desto mehr auch vom andern. Eine negative Korrelation dagegen bedeutet: je mehr vom einen, desto weniger vom andern. (Je mehr Regenschirme verkauft werden, desto weniger Sonnencrème wird abgesetzt.) Das Mass der Abhängigkeit von zwei Variablen (Durchschnittseinkommen / Lebenserwartung) ist der sogenannte Korrelationskoeffizient. Er liegt zwischen minus eins (maximale negative Korrelation) und plus eins (maximale positive Korrelation) und drückt aus, wie sicher man zum Beispiel vom Durchschnittseinkommen auf die Lebenserwartung schliessen kann. In unserem Beispiel hat der Korrelationskoeffizient den Wert 0,49.
Oft wird aus einer positiven oder negativen Korrelation auf eine positive oder negative Kausalbeziehung geschlossen. Das ist nicht immer richtig. Es gibt zum Beispiel bei erwachsenen Männern eine bemerkenswerte negative Korrelation zwischen dem Einkommen und der Zahl der Haare auf dem Kopf. Aber weder sind die Haare für das Einkommen noch ist das Einkommen für die Haare verantwortlich zu machen – diese negative Korrelation kommt dadurch zustande, dass beide Variablen von einer dritten Variablen, dem Lebensalter, abhängen: mit wachsendem Alter nimmt das Einkommen zu, und die Haare fallen aus. Bei der Interpretation von Korrelationen ist also immer darauf zu achten, dass man keine dritte, eigentlich kausale Variable übersieht.
Zur Grafik
Stichproben und Umfragen
Bevor man Mittelwerte, Standardabweichungen oder Korrelationskoeffizienten ausrechnet, muss man die Daten natürlich erst einmal haben. Dafür behilft man sich oft mit Stichproben; sie reichen für viele Zwecke völlig aus. Wie bei einer Polizeikontrolle, wo man aus einer winzigen Stichprobe unseres Blutes den gesamten Alkoholanteil problemlos abliest, lässt sich auch aus einer Stichprobe von 1000 oder 2000 befragten Bürgern recht präzise hochrechnen, wie viele Schweizer insgesamt einen EU-Beitritt ablehnen oder sonntags in die Kirche gehen.
Vorausgesetzt, die Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe kommt, wird wie ein Kartenspiel oder der Inhalt einer Urne vorher gut gemischt. Unser Blut besorgt dieses Mischen mit Hilfe physikalisch-chemischer Gesetze von allein. Bei der Bevölkerung der Schweiz wird das Durchmischen nur simuliert. Das Standardverfahren dafür ist eine sogenannte einfache Zufallsstichprobe: alle Schweizer haben die gleiche Chance, in die Stichprobe zu kommen. Wir verteilen quasi Nummern, für jeden erwachsenen Schweizer Bürger eine, notieren diese Nummer auf einer Lottokugel, legen die Kugeln in eine grosse Urne, schütteln kräftig und ziehen tausend Kugeln zufällig heraus. Aufgrund dieser Stichprobe wissen wir mit grosser Zuverlässigkeit, welcher Anteil der erwachsenen Schweizer nicht in die EU will oder sonntags in die Kirche geht.
In der Praxis kann man natürlich nur versuchen, diesem Ideal des Ziehens aus einer Urne möglichst nahe zu kommen. Die Repräsentativität der Stichprobe lässt sich verbessern, wenn man getrennte Urnen für Männer und Frauen oder für die Bürger verschiedener Kantone vorsieht. Solche «geschichteten» Stichproben garantieren, dass die landesweiten Geschlechter- oder kantonalen Proportionen in der Stichprobe erhalten bleiben. Bei einfachen Zufallsstichproben ist das nicht notwendig der Fall.
Abweichungen von diesem zentralen Zufallsprinzip führen zu verzerrten Stichproben – mit zuweilen desaströsen Folgen. Man stelle sich vor, wir fragten zum Sonntagskirchgang nur die Teilnehmer des Hochamts in der Zürcher Liebfrauenkirche. Dann würden hochgerechnet vielleicht 90 Prozent aller Schweizer regelmässig sonntags in die Kirche gehen. Die bisher grösste derartige Pleite widerfuhr der amerikanischen Wochenzeitschrift «Literary Digest» im Jahr 1936: Sie hatte vor der Präsidentenwahl mehrere Millionen US-Bürger befragt (eine nach heutigen Massstäben gewaltige Stichprobe), wen sie zu wählen gedächten. Es siegte mit grossem Vorsprung der Republikaner Landon. Die Wahl gewann jedoch Roosevelt mit über 60 Prozent der Stimmen. Warum die Fehlprognose? Die Stichprobe war aus Telefonregistern und Fahrzeugzulassungen gezogen worden – die meisten Wähler Roosevelts hatten damals aber weder ein Auto noch ein Telefon.
Zusätzliche Verzerrungen drohen ferner immer dann, wenn man die gewünschten Informationen nicht wie die Körpergrösse oder den Stromverbrauch einfach misst oder abliest, sondern erfragt. Aus den USA weiss man, dass mündliche Interviews zu den Themen Abtreibung, Todesstrafe oder Sozialhilfe andere Ergebnisse haben, je nachdem, ob der Interviewer ein Schwarzer oder ein Weisser ist. Auch die Reihenfolge der Fragen und natürlich die konkrete Formulierung sind für das Ergebnis von erheblicher Bedeutung. So fragte etwa die Forscherin Elisabeth Noelle-Neumann einmal eine repräsentative Stichprobe von Arbeitern: «Finden Sie, dass in einem Betrieb alle Arbeiter in der Gewerkschaft sein sollten?» Resultat: dafür 44 Prozent; dagegen 20 Prozent; unentschieden 36 Prozent.
Dann legte sie einer anderen, gleich grossen und ebenfalls repräsentativen Stichprobe die gleiche Frage vor, nur mit der Ergänzung «…oder muss man es jedem einzelnen überlassen, ob er in der Gewerkschaft sein will oder nicht?». Ergebnis: dafür 24 Prozent; selbst überlassen 70 Prozent; unentschieden 6 Prozent. Der scheinbar unschuldige Zusatz halbiert die Anhängerschaft der Gewerkschaften von 44 auf nur noch 24 Prozent; zugleich lässt er die Gegner von 20 auf 70 Prozent anwachsen – eine mehr als dreifach grössere Opposition nur wegen eines kleinen Nebensatzes.
Einen grossen Unterschied macht es auch, ob man etwas «verbieten» oder «nicht erlauben» soll. 54 Prozent der Befragten in einer amerikanischen Umfrage meinten, dass die USA öffentliche Angriffe auf die Demokratie verbieten sollten. Erheblich mehr, nämlich 75 Prozent, waren der Meinung, die USA sollten öffentliche Angriffe auf die Demokratie nicht erlauben.
Diese Abhängigkeit der Ergebnisse von der Art der Fragestellung lädt natürlich zur bewussten Irreführung ein. Nach einer Umfrage einer deutschen Gewerkschaft lehnen 95 Prozent der bundesdeutschen Arbeitnehmer das Arbeiten am Samstag ab. Nach einer zeitgleichen Umfrage eines eher unternehmernahen Instituts dagegen sind 72 Prozent aller Arbeitnehmer auch zum Arbeiten am Wochenende bereit. Der Widerspruch erklärt sich durch die jeweiligen Fragebogen. «Votum für das freie Wochenende» steht bei der Gewerkschaft in grossen Lettern obenan. Es folgt eine lange Erläuterung der Mühen, die das Durchsetzen der 5-Tage-Woche die Gewerkschaften gekostet habe, und eine Aufzählung aller Vorteile, die der freie Samstag für die Familie, die Gesellschaft, den Frieden und die Menschheitszukunft bringe, die dann zu der eigentlichen Frage überleitet: «Was entspricht Deiner/Ihrer Meinung? (I) Nach meiner Ansicht wäre die Abschaffung des freien Wochenendes ein schwerer Schlag für Familie, Freundschaften, Partnerschaften, für Geselligkeit, Vereine, den Sport und das Kulturleben; (II) Ich halte den gemeinsamen Freizeitraum des Wochenendes für nicht so wichtig; (III) Weiss nicht / keine Angabe.» Dass hier fast alle wie gewünscht die erste Antwort wählen, sollte niemanden erstaunen.
Genauso suggestiv, wenn auch mit umgekehrter Absicht, fragte das Unternehmerinstitut. Auf die Frage: «Inwieweit wären Sie bereit, samstags zu arbeiten, wenn es für die wirtschaftliche Situation Ihres Unternehmens gut wäre?» bietet es folgende Auswahlmöglichkeiten an: (I) gelegentlich, wenn dafür an einem anderen Tag arbeitsfrei ist; (II) häufiger, wenn dafür ein Zusatzurlaub herauskommt; (III) abwechselnd und (IV) nicht bereit. Auch hier waren die wenigen Kreuze bei «nicht bereit» schon im Fragebogen und in der Art der Fragen angelegt. Solche Umfragen, ob von einem Automobilclub zum Thema Tempolimit, ob von Greenpeace zum Atomausstieg oder von der katholischen Kirche zur Frage der Abtreibung, belügen uns in aller Regel über die wahre Meinung der befragten Menschen.
Was heisst eigentlich «signifikant»?
Zurück zu unserem Ausgangspunkt, dem Cervelas. Im Sommer 2005 liess NZZ-Folio zehn Sorten dieser Wurst von vier Prüfern auf einer Skala von 1 bis 20 benoten; das Ergebnis war im Heft 7/2005 zu lesen. Der beste Cervelas erreichte im Durchschnitt über alle Prüfer 15,5 Punkte, der schlechteste 12,75. Aber ist der am schlechtesten bewertete Cervelas auch wirklich schlechter? Oder können solche Unterschiede auch zufällig zustande kommen? Schliesslich schmeckt ja auch ein und derselbe Cervelas nicht jedem Prüfer immer gleich, seine Bewertungen weichen zufällig, aufgrund der Reihenfolge der Verkostung, aufgrund von unterschiedlichem Appetit und Dutzenden weiterer Faktoren, von der für ihn «wahren» Note mehr oder weniger nach oben und nach unten ab.
Nehmen wir also einmal an, alle Cervelas wären von der gleichen Qualität; jeder Prüfer hätte für diese Qualität seine eigene «wahre» Bewertung, der Prüfer A zum Beispiel 13,5; diese Note wäre bei Prüfer A für alle Würste gleich und nur durch eine Zufallskomponente überlagert. Dann lässt sich mit einigen Rechenregeln zu Wahrscheinlichkeiten zeigen, dass in der Tat das in NZZ-Folio 7/2005 gemeldete Ergebnis auch durch reinen Zufall erklärt werden könnte. Oder in der Sprache der Statistik: Die beobachteten Unterschiede sind nicht signifikant.
Signifikant dagegen heisst: Ein in den Daten sichtbares Muster ist nur schwer durch Zufall zu erklären. Also, so der Umkehrschluss, steckt ein System dahinter. «Nur schwer durch Zufall zu erklären» meint dabei im Allgemeinen: Wenn wirklich nur der Zufall wirken würde, hätte das beobachtete Muster eine Wahrscheinlichkeit von höchstens
5 Prozent. (Diese Grenze, auch Signifikanzniveau genannt, ist natürlich willkürlich, wenn auch in den meisten Wissenschaften üblich. Mit dem gleichen Recht könnte man auch 1 Prozent oder 10 Prozent verwenden.)
Diese heute in allen Wissenschaften übliche Methode zur Trennung von Zufall und System hat aber einen grossen und auch von den Wissenschaftern gern übersehenen Pferdefuss: Die statistischen Verfahren zur Trennung von Zufall und System zeigen selbst bei Abwesenheit jedes systematischen Einflusses in immerhin 5 Prozent der Fälle dennoch eine Signifikanz an – so sind die Verfahren ja gerade konstruiert. Auch wissenschaftliche Fachzeitschriften und ihre Herausgeber vergessen das nur allzu gerne.
Und so können wir dann in den Medien lesen, dass neun Monate nach einem Stromausfall in X dort die Geburten angestiegen sind, dass Katholiken dümmer sind als Protestanten, dass Knoblauchesser länger leben, dass Manager lieber Fluggesellschaft A als B benutzen, dass die Todesstrafe abschreckt, dass die Todesstrafe nicht abschreckt (je nach Weltanschauung), dass Schwarze krimineller sind als Weisse, dass Chemiefabriken (Starkstromleitungen, Müll deponien) Leukämie erzeugen. Selbstverständlich alles wissenschaftlich abgesichert und hoch signifikant.
Wir lesen jedoch nicht, wie viele andere Studien und Stichproben ohne signifikante Resultate es ausserdem gegeben hat. Wir lesen nicht, in wie vielen Studien Katholiken genauso klug sind wie Protestanten oder Manager lieber Fluglinie B als Linie A benutzen oder Industriebetriebe keine Leukämie erzeugen. Und ehe wir das nicht wissen, lässt sich auch die wahre Bedeutung der angeblich so signifikanten Resultate nicht ermessen.
Walter Krämer ist Professor für Wirtschafts- und Sozialstatistik an der Universität Dortmund. Zu seinen populären Büchern gehören «So lügt man mit Statistik» und «Statistik verstehen: eine Gebrauchsanweisung» (beide als Taschenbuch bei Piper).
Wieso haben reiche Männer wenig Haare auf dem Kopf? Wie viele Schweizer gehen zur Kirche? Was ist das geometrische Mittel?
- Von Walter Krämer
Mittelwert und Streuung