Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03501.jsonl.gz/3056

Der rechte Winkel
Hans Walser
29.03.2015 – 02.04.2015
MNU – Deutscher Verein zur
Frderung des mathematischen
und naturwissenschaftlichen Unterrichts
Bundeskongress 2015 in Saarbrcken
Neben Gerade und Kreis ist der rechte Winkel der wichtigste geometrische Grundbegriff in Alltag und Schule.
Im Vortrag kommen verschiedene Aspekte des rechten Winkels integrativ zur Sprache: Kindliche Grundvorstellungen ber den rechten Winkel. Gerte und Techniken zur Konstruktion eines rechten Winkels. Der rechte Winkel in der Zellbauweise (ãau§enÒ) einerseits und der Gerstbauweise (ãinnenÒ) andererseits. Anwendung der Orthogonalitt in Optimierungsproblemen. Verallgemeinerung der Orthogonalitt und zugehriger Eigenschaften, etwa des Satzes von Pythagoras, in den Raum und hhere Dimensionen. Sprachliche und ethische Aspekte des ãRichtigseinsÒ.
In der Abbildung 1 ist eine Kinderzeichnung einer ãrichtigenÒ Zeichnung gegenbergestellt.
Abb. 1: Kinderzeichnung und ãrichtigeÒ Zeichnung
In der Kinderzeichnung ist der Kamin rechtwinklig zur Dachflche und nicht senkrecht im Sinne der Schwerkraft.
Der rechte Winkel siedet bei 90¡.
Die Ma§angabe 90¡ fr den rechten Winkel ist zwar richtig, aber die Definition des Gradma§es setzt den rechten Winkel (und Vielfache davon) voraus.
Ein Winkel von einem Grad kann nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Andernfalls knnte auch ein Winkel von 40¡ und damit ein regelm§iges Neuneck konstruiert werden. Dies widerspricht einem Satz von Gau§.
Rechter Winkel gleich linker Winkel.
Euklid: Der rechte Winkel ist gleich gro§ wie sein Nebenwinkel (Abb. 2). Hier kommt die Idee der Gleichm§igkeit, der Symmetrie also, zum tragen.
Abb. 2: Rechter Winkel
Es werden einige Beispiele mit zum Teil nur didaktischer Bedeutung vorgestellt.
In der Schule wird der rechte Winkel in der Regel nicht mit Zirkel und Lineal, sondern mit dem Geo-Dreieck als Makro gezeichnet.
Handwerker verwenden verschiedene Anschlagwinkel (Abb. 3).
Abb. 3: Anschlagwinkel. Spenglerwinkel
Die Abbildung 4a zeigt ein mechanisches Gert. Beim Punkt P ist ein Drehpunkt. Wenn der Gleiter G auf der Geraden g sich hin und her bewegt, bewegt sich der Schreibpunkt S auf einer zu g orthogonalen Geraden auf und ab. Die Abbildung 4b gibt die Einsicht mit der Ergnzung zum Rechteck.
Abb. 4: ãOrthogonalzirkelÒ
Frage: Was erhalten wir, wenn wir den Schreibpunkt S an einer anderen Stelle des Gertes festmachen?
Bei Lehrern beliebt ist die Zwlfknotenschnur (Abb. 5). Sie soll im alten gypten eingesetzt worden sein. Dies ist aber historisch nicht abgesichert. Die Zwlfknotenschnur ist wohl eine Erfindung der Schulmeister im 19. Jahrhundert, um eine ãAnwendungÒ des pythagoreischen Dreiecks zu haben.
Abb. 5: Zwlfknotenschnur
Die Anwendung ist unpraktisch, weil man jedes Mal die Knoten abzhlen muss. Zudem ist die Anwendung recht ungenau. Wer das nicht glaubt, soll selber eine Zwlfknotenschnur knpfen.
Einfacher ist eine Dreiknotenschnur. Auch eine solche ist natrlich ungenau, die Abbildung 6 zeigt ein recht ungenaues Beispiel. Durch spiegelbildliche Anwendung kann der Fehler aber ausgemittelt werden. Hier kommt wie bei der Definition Euklids die Symmetrie zum Tragen.
Abb. 6: Dreiknotenschnur. Ausmitteln des Fehlers
Die Abbildung 7 zeigt, wie aus einem unregelm§igen Papier durch zweimaliges Falten eine Ecke mit einem rechten Winkel entsteht. Wichtig ist beim zweiten Schritt des Falten ãKante auf KanteÒ.
Abb. 7: Papierfalten
Frage: Was ergibt sich, wenn wir das zweimal gefaltete und damit vierlagige Papier mit einer Lochzange lochen und dann auffalten?
Welche Vierecke im Haus der Vierecke (Abb. 8) haben mit rechten Winkeln zu tun?
Zunchst natrlich das Quadrat und das Rechteck. Diese haben einen rechteckigen Rahmen, sind also Zellen mit rechten Winkeln.
Frage: Ist diese rote Liste (Abb. 8a) vollstndig?
Abb. 8: Haus der Vierecke
Rechte Winkel finden wir aber auch als Diagonalenschnittwinkel bei Quadrat, Rhombus (Raute) und Drachenviereck. Wir haben ein rechtwinkliges Gerst oder Skelett.
In der blauen Liste (Abb. 8b) hat zunchst das Quadrat vier Symmetrieachsen, der Rhombus noch zwei, nmlich die beiden Diagonalen, und das Drachenviereck noch eine. Damit ist die blaue Liste unvollstndig. Es fehlen die Vierecke mit orthogonalen Diagonalen (Abb. 9a), welche keine Symmetrien aufweisen. Diese haben einige neckische Eigenschaften.
Genau bei Vierecken mit orthogonalen Diagonalen sind die Abstnde gegenberliegender Kantenmitten (in der Abbildung 9b die grne und die rote Strecke) gleich lang. Fr den Beweis ist das aus den Kantenmitten gebildete Viereck hilfreich.
Abb. 9: Orthogonale Diagonalen. Abstnde der Kantenmitten
Genau bei Vierecken mit orthogonalen Diagonalen kann in vier Schritten ein (asymmetrischer) Briefumschlag gefaltet werden (Abb. 10).
Abb. 10: Briefumschlag
Wir setzen den Seiten des Viereckes Quadrate auf, wie man das von der Pythagorasfigur her kennt (Abb. 11a). Dann ist die Summe der Flchen der grnen Quadrate gleich der Summe der Flchen der roten Quadrate. Dies kann mit Pythagoras leicht nachgerechnet werden.
Abb. 11: Angesetzte Quadrate
Die Verbindungsstrecken gegenberliegender Quadratmitten sind gleich lang und schneiden sich im Diagonalenschnittpunkt (Abb. 11b). Die so entstehenden Winkel sind alle gleich gro§ (45¡).
Wir knnen auch gleichseitige Dreiecke ansetzen (Abb. 12). Gegenberliegende Dreiecksflchen sind zusammen je gleich gro§.
Abb. 12: Angesetzte Dreiecke
Die Verbindungsstrecken gegenberliegender Dreiecksspitzen sind gleich lang. Sie schneiden sich allerdings nicht im Diagonalenschnittpunkt und sind untereinander nicht orthogonal.
Statt gleichseitiger Dreiecke kann man auch zueinander hnliche gleichschenklige Dreiecke mit den Basen an die Viereckseiten ansetzen.
Die Abbildung 13 zeigt zwei Wegenetze, welche die Eckpunkte eines Quadrates verbinden. Im Einheitsquadrat hat das rote Wegenetz mit den gleichm§igen Bifurkationswinkeln 120¡ die Gesamtlnge und ist damit krzer als das aus den Diagonalen bestehende Wegenetz mit der Gesamtlnge . Allerdings gibt es zwei Topologien fr das rote Wegenetz (Abb. 14). Die beiden roten Wegenetze haben natrlich die gleiche Gesamtlnge.
Abb. 13: Wegenetze
Abb. 14: Zwei Topologien
Nun verndern wir das Quadrat zu einem Rechteck (Abb. 15). Die Breite sei 1.125 und die Hhe 1. Das rote Wegenetz hat die Gesamtlnge , das magenta Wegenetz die gr§ere Gesamtlnge . Das rote Wegenetz ist das globale Minimum, das magenta Wegenetz ist minimal im Vergleich zu allen andern Wegenetzen mit derselben Topologie. Es ist also ein lokales Minimum.
Abb. 15: Rechtecke. Globales und lokales Minimum
Die Abbildung 16 zeigt die analoge Situation fr ein beliebiges Viereck. Relativ zur eingetragenen blauen Einheitsstrecke hat das rote Wegenetz die Gesamtlnge 25.91 und das magenta Wegenetz die Gesamtlnge 26. 59.
Abb. 16: Beliebiges Viereck
Die Frage ist nun, ob es au§er dem Quadrat weitere Vierecke gibt, in denen die beiden Topologien zu Wegenetzen gleicher Gesamtlnge fhren. Dies ist genau fr die Vierecke mit orthogonalen Diagonalen der Fall (Abb. 17). Fr den Beweis siehe (Haag 2003).
Abb. 17: Gleich lange Wegenetze
Bei der Frage nach dem (Singular!) Analogon zum Quadrat im Raum denkt man zunchst an den Wrfel (Abb. 18).
Abb. 18: Das Quadrat wird zum Wrfel
Das ist dann angebracht, wenn wir das Quadrat als Zelle mit vier rechten Winkeln interpretieren.
Sehen wir aber das Quadrat durch ein Gerst von zwei orthogonalen gleich langen und sich halbierenden Diagonalen aufgespannt, ist das rumliche Analogon das regelm§ige Oktaeder (Abb. 19).
Abb. 19: Das Quadrat wird zum Oktaeder
Es gibt also verschiedene Analoga zum Quadrat im Raum.
Wir knnen das Quadrat auch als Vektorzug von vier sukzessive orthogonalen Einheitsvektoren sehen (Abb. 20a). Wir beginnen mit einem Startvektor und bilden die weiteren Vektoren rekursiv:
Der Vektorzug schlie§t sich mit der Periodenlnge 4. Es ist .
Diese Sicht des Quadrates ist die weitaus wichtigste Anwendung des Quadrates, da sie schematisch fr alle Kreisprozesse der Periodenlnge 4 gebraucht werden kann. Der Klassiker sind die vier Jahreszeiten (Abb. 20b).
Abb. 20: Vektorzug. Jahreszeiten
Die Abbildung 21 zeigt das Funktionsschema eines Viertaktmotors.
Abb. 21: Viertaktmotor
In der Abbildung 22 sehen wir das Schema der Modellierung in der Zusammenarbeit von Ingenieuren und Mathematikern. Als junger Lehrer war ich der Meinung, die Kenntnis dieses Schemas erleichtere den SchlerInnen das Lsen von ãStzlirechnungenÒ.
Abb. 22: Modellierung
Wir verallgemeinern nun die Idee des Vektorzuges wie folgt. Wir beginnen mit zwei orthogonalen Startvektoren und der Lnge 1. Die weiteren Vektoren bilden wir rekursiv mit Hilfe des Vektorprodukts (cross product):
Die Abbildung 23 illustriert den Sachverhalt. Die schwarzen Wrfelchen sind als rumliche Orientierungshilfe eingezeichnet. Zwar ist und allgemein . Wir haben also ein periodisches Verhalten mit der Periodenlnge 3. Aber der Vektorzug schlie§t sich nicht. Es entsteht eine eckige Spirale. Die Spirale luft auf einem Dreikant mit den blauen Linien als Kanten. Der Querschnitt des Dreikants ist ein regelm§iges Dreieck.
Abb. 23: Eckige Spirale
Der Dreikant mit Spirale kann als Modell aus einer DIN A4 Folie (Abb. 24) gebaut werden. Wir zeichnen eine Diagonale auf die Folie und falten parallel zur kurzen Seite auf Achtel, alle Faltlinien in derselben Richtung, zum Beispiel alles ãTalfaltÒ. Dann wird aufgefaltet, zu einem Dreikant aufgewickelt und mit Broklammern fixiert.
Abb. 24: Modell
Die Abbildung 25 zeigt eine handfeste Form der eckigen Spirale (vgl. [Eckige Spirale]). Die blaue Linie ist die Spiralachse.
Abb. 25: Eckige Spirale
Die Analogie zwischen dem Drehen der Vektoren um 90¡ in der Ebene und dem Vektorprodukt im Raum begreift sich aus Folgendem.
In der Ebene konstruieren wir zu einem Vektor
die formale Matrix A:
Die Eintrge in der ersten Spalte von A sind die Komponenten des Vektors , die Eintrge in der zweiten Spalte sind keine Zahlen, sondern die beiden Einheitsvektoren eines ebenen kartesischen Koordinatensystems. Nun berechnen wir formal die Determinante dieser Matrix A:
Diese Determinante ist ein Vektor, und zwar der um +90¡ gedrehte Vektor .
Im Raum konstruieren wir analog zu zwei Vektoren
die formale Matrix A:
Fr die formale Determinante erhalten wir mit der Entwicklung nach Laplace nach der dritten Spalte:
Diese Determinante ist ein Vektor, und zwar das Vektorprodukt der beiden Vektoren und .
Diese Analogie lsst sich in beliebige Dimensionen n verallgemeinern. Zu Vektoren
berechnen wir formal die Determinante:
Die Schreibweise , gesprochen ãcross(...)Ò, ist an die Schreibweise des Vektorproduktes angelehnt.
Die Determinante ist ein Vektor mit folgenden Eigenschaften:
á Er ist orthogonal zu jedem der Inputvektoren .
á Seine Lnge hat (bis auf das Vorzeichen) dieselbe Ma§zahl wie das -dimensionale Volumen des durch aufgespannten Spates.
á Die Zuordnung ist antikommutativ. Vertauschen zweier Inputvektoren stellt die Richtung um.
Die Beweise sind eine schne bung in linearer Algebra, insbesondere der Determinantenberechnung (vgl. [Vektorprodukt]).
In der Ebene erhielten wir einen geschlossenen Vektorzug der Lnge 4, eben ein Quadrat. Im Raum ergab sich zwar eine Periodizitt mit der Periodenlnge 3, aber der Vektorzug schlie§t sich nicht, sondern bildet eine unendlich lange eckige Spirale.
Dies lsst sich verallgemeinern:
Fr gerade Dimensionen n erhalten wir nach 2n Schritten einen geschlossenen Vektorzug. Wir haben eine Periodizitt der Periodenlnge 2n.
Fr ungerade Dimensionen n ergibt sich eine unendliche lange eckige Spirale der Ganghhe n. Wir haben fr die Vektoren eine Periodizitt der Periodenlnge n.
Nachweis durch Rechnen und Induktion.
Der Grund fr diese Parittsunterschiede liegt im alternierenden Vorzeichen bei der Laplace-Entwicklung der Determinante.
Der musste ja kommen.
In der Schule lernen wir in der Standardbezeichnung:
Sehr oft wird allerdings der Satz nur in einer Richtung bewiesen, nmlich von links nach rechts. Die meisten Anwendungen beruhen ja auch auf dem Satz in dieser Richtung.
Mein Schler hat mich wochenlang mit der Frage gelchert, warum man bei der Berechnung der Hypotenusenlnge c (mit der Formel ) den Umweg ber die Quadratflchen brauche.
Seine Frage bezog sich nicht darauf, ob und warum es mit dieser Formel funktioniert, sondern darauf, warum es nicht einfacher nur mit Lngen geht, also problemkonform.
In der Schule wird dann fr die Raumdiagonale d eines Quaders mit den Kantenlngen a, b und c die Formel
als ãrumlicher PythagorasÒ angeboten. Bei Lichte besehen ist es allerdings nur eine zweimalige Anwendung des ebenen Pythagoras. Und gilt nur in der einen Richtung wie das Beispiel der Abbildung 26a illustriert. Es handelt sich um den pythagoreischen Quader mit den Kantenlngen 2, 1, 2 und der Diagonalenlnge 3. Diese Lngen garantieren aber nicht, dass es sich um eine Quader mit rechten Winkeln handelt. Wir knnen zu diesen Daten sogar eine ebene Figur bauen (Abb. 26b).
Abb. 26: Quader und flache Figur
Wir nehmen eine Raum-Ecke eines Wrfels als Analogon des ebenen rechten Winkels (Abb. 27).
Abb. 27: Raum-Ecke
Es handelt sich um ein unregelm§iges Tetraeder mit drei rechten Winkeln an einer Ecke.
Nun bezeichnen wir als Kathetenflchen die drei an die rechte Raum-Ecke ansto§enden Dreiecksflchen des Tetraeders (Abb. 28) und als Hypotenusenflche H die vierte Dreiecksflche.
Abb. 28: Kathetenflchen und Hypotenusenflche
Damit gilt das Analogon zum ebenen Satz des Pythagoras:
Allerdings gilt auch hier die Umkehrung nicht.
Da Flchen quadriert werden, operiert dieser Satz im vierdimensionalen Raum.
Beweis mit Rechnen (vgl. [Pythagoras]).
Als Beispiel ein Sonderfall, das Analogon zum rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck (Abb. 29).
Abb. 29: Sonderfall
Es ist:
Funktioniert auch in hheren Dimensionen. Die Abbildung 30 illustriert den vierdimensionalen Fall. Wir haben es jetzt mit Kathetenvolumina und einem Hypotenusenvolumen zu tun.
Abb. 30: Vierdimensionaler Fall
Die Formel
ist eine sechsdimensionale Aussage.
Die letzte Mark ist die teuerste.
Senkrecht ber die Stra§e ist der krzeste Weg.
Der minimale Abstand ist orthogonal. Die Abbildung 31 illustriert das in der Theorie. Wir schlaufen eine doppelte Schlinge durch das Loch und ziehen nach unten. Dann stellt sich der minimale Abstand ein.
Abb. 31: Der minimale Abstand ist orthogonal
In der Praxis funktioniert das nicht ganz (Abb. 32). Am Schluss ist offenbar die Reibung strker als die Kraft entlang der Rechteckkante.
Abb. 32: Praxis
Die stille Schnheit der Plattenbauten
Der rechte Winkel erlaubt ein optimales Bewirtschaften von vielen Materialien. Die Plattenbauten der Abbildung 33 stammen aus DDR-Zeiten (Berlin Marzahn).
Abb. 33: Plattenbauten
Bauten unter Betonung der Orthogonalitt und insbesondere der Vertikalen und Horizontalen entstanden oft in Notzeiten. So entstand in England nach der Pestepidemie 1349/50 der Perpendicular Style.
Weben und Flechten gehren wohl zu den ltesten Kulturtechniken. In diesen Techniken haben wir zwei orthogonale Scharen von Fden (Schuss und Kette) beziehungsweise Ruten (Abb. 34).
Abb. 34: Geflecht
Aber erst musst du mir selber gebaut sein, rechtwinklig an Leib und Seele.
Nietzsche, Zarathustra
Die Rechtwinkligkeit wird in der Sprache oft mit einem ethischen Konnex versehen. Als Beispiel etwa der ãschrge VogelÒ.
Auch die bauliche Korrektheit wird mit dem rechten Winkel in Beziehung gebracht: Etwas ist im Winkel oder aber nicht im Winkel. Oder: Die Sache ist im Lot, eine Formulierung, die meist im bertragenen Sinn gebraucht wird.
Senkrecht und waagerecht, sowohl im Sinne der Schwerkraft wie auch im Sinne des Schreibpapiers, werden oft als Orientierungsmuster verwendet. Dies kann sogar zu unterschiedlichen Begriffen fhren (Abb. 35). Das auf Spitz stehende Quadrat wird nicht mehr als Quadrat angesprochen, sondern als Raute. Falsch ist es nicht.
Abb. 35: Quadrat und ãRauteÒ
Frage: Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? (vgl. Mason, Burton, & Stacey, 1982/2010) (vgl. [Schachbrett] ). Diese Frage wurde in einer Untersuchung von Fnftklsslern verwendet (Lange, 2014 und Rott, 2014).
Interessanterweise wurden von den SchlerInnen nur Quadrate gefunden, die sich eng an den Raster des Schachbrettes anschlossen: Eckpunkte mssen Rasterpunkte sein, Seiten parallel zum Raster (Abb. 35a). Die Anzahl solcher Quadrate ist:
Abb. 36: Bodenstndiges und spitzstndiges Quadrat
Spitzstndige Quadrate (Abb. 36b) wurden nicht gefunden. Die Anzahl solcher Quadrate ist:
Nimmt man Bezug auf die Regeln fr die Schachfiguren, knnen auch Quadrate durch die Schachfiguren generiert werden. Die Abbildung 37a zeigt ein von einem wei§en Lufer gezeichnetes Quadrat. Die Eckpunkte solcher Quadrate sind Feldermitten. Fr die Anzahl solcher Quadrate gilt:
Abb. 37: Lufer und Springer
Ein Springer kann in vier Zgen ein Quadrat der Abbildung 37b absolvieren. Fr die Anzahl solcher Quadrate erhalten wir:
Ein Springer kann auch einen Wrfel generieren (Abb. 38a, 48 Mglichkeiten) und sogar einen vierdimensionalen Wrfel (Abb. 38b, 4 Mglichkeiten).
Abb. 38: Wrfel und 4d-Hyperwrfel
Den Hyperwrfel kann der Springer in einem Durchgang absolvieren, beim Wrfel muss er einige Kanten zweimal durchlaufen.
Alle bis jetzt gefundenen Quadrate sind in irgend einer Art am Schachbrett und den Spielregeln orientiert. Es ist sehr schwer, davon loszukommen.
Wenn wir ein Origami-Papier auf das Schachbrett legen (Abb. 39), erkennen wir sofort, dass es unendlich viele Quadrate im Schachbrett gibt.
Abb. 39: Quadrat im Schachbrett
Literatur
Euklid (1980): Die Elemente. Nach Heibergs Text aus dem Griechischen bersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. ISBN 3-534-01488-X.
Haag, Wilfried (2003): Wege zu geometrischen Stzen. Stuttgart: Klett. ISBN 3-12-720120-6.
Lange, Diemut (2014): Kooperationsarten in mathematischen Problemlseprozessen. J Math Didakt 35. 173-204.
Mason, J, Burton, L., & Stacey, K. (1982/2010): Thinking mathematically (2nd Ed. 2010). Dorchester: Pearson.
Rott, Benjamin (2014): Mathematische Problembearbeitungsprozesse von Fnftklsslern – Entwicklung eines deskriptiven Phasenmodells. J Math Didakt 35. 252-282.
Schfke, Werner (1985): Englische Kathedralen. Eine Reise zu den Hhepunkten englischer Architektur von 1066 bis heute. 2. Aufl. Kln: DuMont. ISBN 3-7701-1313-6.
Websites
[Eckige Spirale], abgerufen 6. 1. 2015
[Pythagoras], abgerufen 6. 1. 2015
[Schachbrett], abgerufen 6. 1. 2015
[Vektorprodukt], abgerufen 7. 1. 2015
Adresse des Autors:
Hans Walser
hwalseratbluewin.ch
www.walser-h-m.ch/hans/