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Hans Walser, [20101114a]
Der Satz von Lehmann-Rosenbaum
Anregung: I. L., B.
Zu gegebenem unterteilen wir die Seiten eines Dreiecks mit den Teilpunkten und :
Situation
Dann gilt der Satz von Lehmann-Rosenbaum: Die zentrische Streckung mit dem Zentrum S und dem Faktor bildet das Dreieck auf das Dreieck ab:
Wir beweisen den Satz zunŠchst fźr rationales .
Den Beweis verdanke ich Felix, MSG-Schźler der Klasse 12, Berlin.
Es sei mit , und . Wir rastern das Dreieck in kanonischer Weise kongruente Teildreiecke. Die Abbildungen zeigen die FŠlle und der Reihe nach , also .
Im Sinne eines proof without words sehen wir fźr den Streckfaktor f:
Schlie§lich ist:
Fźr arbeiten wir mit dem dedekindschen Schnitt.
Die folgenden TeilverhŠltnisse lassen sich ebenfalls aus der Rasterung ablesen:
Der Punkt teilt die beiden Ecktransversalen und so dass:
Der Punkt teilt die Schwerlinie so dass:
Der Satz gilt fźr beliebige . Interessant sind die SonderfŠlle der Funktion:
Fźr hat die Funktion einen Pol. Die beiden Ecktransversalen und werden parallel. Fźr ist ; das Dreieck hat das Ausgangsdreieck als Seitenmittendreieck.
Fźr und erhalten wir Ecktransversalen, die sich decken. Die Abbildung zeigt die Situation fźr und .
KomplementaritŠt
Wegen
und
folgt:
Den Streckfaktor kšnnen wir vereinfachen: