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Magnetkugeln
Magnetische Kügelchen führen spielerisch zur Kristallographie.
Als Basis können die gezeigten flachen Basisgitter gebildet werden. Die Pfeile zeigen die Orientierungen der Magnete. Wie man sieht,
ist die innere Spannung im Dreieck erheblich. Die Spannungen in den beiden Quadraten sind verschieden gross. Das linke Quadrat wird für den "Salz"-Würfel
benutzt. Es ist aber nur dann stabil, wenn eine weitere Umgebung hilft. Sowohl das Fünfeck als auch das Sechseck ist stabil. Im Sechseck entsteht eine
Lücke von Kugelgrösse. Wird diese gefüllt, so ist dort die Stabilität minimal.
Auf dieser Basis lassen sich das erste und dritte der kubischen Bravais Gitter (Translations-Gitter) herstellen.
Es sind dies das einfache kubische Gitter, das innenzentrierte kubische Gitter und das flächenzentrierte kubische Gitter.
Das erste entspricht der Auslieferung des Würfels mit einer Packungsdichte von 0.5236.
kubisch dichteste Kugelpackung
Das dritte Bravaisgitter (flächenzentrierte kubisch) ist identisch mit der kubisch dichtesten Kugelpackung (Packungsdichte 0.7405).
Um dies zu erkennen muss der Würfel über die Raum-Diagonale angeschaut werden, d.h. in Richtung der Trigyre.
Senkrecht dazu liegen die dichtesten Kugelebenen, (also auf der 111-Netzebene) wobei sich immer drei Schichten repetieren.
Isotrope Beispiele:Cu, Ag, Au, Ca, Al, Th, Pb, Nb, Ni, Rh, Pd, Ir und Pt.
Der Aufbau wird mit Spiralen, resp. Sechsecken gemacht. Die Stabilität ist je nach Richtung verschieden, also anisotrop, da die Polarität der Kugeln wirkt.
Die Formen sind:
Oktaeder (mangels Kugeln mit abgeschnittenen Fuss), Oktaeder nach Würfel oder Würfel nach Oktaeder, dito auf die Würfelfläche gekippt, Würfel und Tetraeder.
Der volle Würfel hätte 256 Kugeln mit einer Kantenlänge von 5 + 7*5/√2 = 29.749 mm (etwas kleiner als die 30 mm des gelieferten Würfels)
und einer Packungsdichte von 63.642%, da endlich gross.
Der Ausschnitt für einen unendlichen Würfel hätte 171.5 Kugeln mit einer Kantenlänge von 7*5/√2 = 24.74874 mm. Auf den Würfelflächen
sieht man mit den um 45° gedrehten Berührungsquadraten den Grund für die √2. Er erinnert damit auch an die Spaltflächen von Fluorit.
Wenn die Kugeln Kupferatome wären, wäre dies Abbildungen im Massstab 1:38.5 Millionen. Ein Globus im selben Masstab hätte 33 cm
Durchmesser, d.h. Atome sind wirklich sehr klein.
Mit den 216 Kugeln können problemlos die platonischen Körper mit Ausnahme des Pentagondodekaeders nachgebaut werden.
Hexagonal dichteste Kugelpackung
Es gibt noch eine zweite Art dichtester Kugelpackung, die hexagonale. Dabei repetieren sich nur zwei Schichten, was zur Folge hat,
dass man dort durch den ganzen Körper durchsehen kann, wo die dritte, grüne Schicht die Löcher decken würde.
Genug der Theorie; wieder Spiralen wickeln, aufeinander fügen und darauf achten dass jede zweite Schicht identisch ist. Notfalls prüfen mit einer langen Nähnadel.
Verblüffender Weise entstehen nun Körper mit "rauen" Oberflächen. Gedanklich sind dafür die Oberflächen der Kugeln jeder zweiten Schicht miteinander zu verbinden.
Die Körper sind:
hexagonale Säule mit Loch, dito ohne grosses Loch, dito gekippt und ein trigonaler Zweiender, der an Wurzit (ZnS), Kristallklasse 6mm erinnert.
Die Lücke (für die Nähnadel) zwischen den Kugeln führt durch beide Spitzen.
Beispiele: Be, Mg, Zn, Cd, Tl, Ti, Zr, Hf, Ru und Os.
Selbstverständlich existieren auch andere dichteste Kugelpackungen, denn es kann auch die Schichtfolge 1,2,3,2,1,2,1,2,3,2,3 auftreten.
Solch statistische Reihenfogen treten bei metallischem Kobalt auf. Die Packungsdichte ist dieselbe.
Das raumzentrierte kubische Gitter, das zweite der gezeigten Bravais-Gitter, hat eine Packungsdichte von nur 0.6802.
Graphit
Auch Graphit kann nachgebaut werden, dabei wären Sechserringe zu bilden, die versetzt aufeinander liegen:
Was entsteht ist allerdings ein Pseudo-Graphit, indem die Zentren der Sechserringe auch besetzt sind.
Die Abstände sind beim Graphit auch anders. Die Distanz zwischen zwei Atomen des Sechserrings ist 0.142 nm und zwischen den Ebenen 0.340 nm,
also proportional mehr als doppelt so gross wie im Foto.
Würfel
Die Versandform der Kugeln, der Würfel hält zusammen, weil 4 Kugeln der nächsten Umgebung (6 Kugeln) in die Gegenrichtung weisen.
Die Kristallform entspricht dem Kochsalz mit einem Massstab von etwa 1:18 Millionen. Allerdings handelt es sich hier um polarisierte
Kugeln und beim Kochsalz um zwei ineinander stehende flächenzentrierte Gitter, eines mit positiv geladenen Natrium-Ionen und das zweite mit negativ geladenen Chlor-Ionen.
Diese Ionen sind in erster Näherung kugelsymmetrisch. Daher sind die Kugeln ein gutes Modell. Die Felder zwischen den Kugeln sind aber verschieden (Elektrostatik versus Magnetismus).
Beim Würfel {100} ist es nicht klar, wohin er kristallographisch gehört. Es kommen alle 5 kubischen Klassen in Frage:
Tetraedrisch-pentagondodekaedrisch (23) oder Disdodekaedrisch (m3) oder Pentagonikositetraedrisch (432) oder Hexakistetraedrisch (4quer 3m) oder Hexakisoktaedrisch (m3m), resp.
wie ich in der Mittelschule gelernt habe Oh (Schoenflies).
Am Einfachsten lässt sich der Würfel aus 3 mal sechs 12er-Ringen zusammenbauen. Die Ringe werden um den kleinen Finger so gelegt,
dass jede zweite Lage in Gegenrichtung liegt. Dies ist erkennbar, indem Kugel über Kugel liegt. Nun werden sechs dieser Ringe zu einer 2 mal 6 mal 6-er-Schicht
zusammen gestossen. Der kritische Moment ist das anfügen der nächsten 6 Ringe. Wenn sich die Kugeln in die Zwischenräume fügen wollen, so ist der unterste Ring zu
entfernen und als oberster anzufügen. Dito für das dritte Zweierpack.
Die Anisotropie dieses Würfels ist leicht zu fühlen, wenn man leichten Druck auf gegenüberliegende Kanten ausübt.
Tetraeder
Der erste und einfachste der platonischen Körper, der Tetraeder, lässt sich auf viele verschiedene Arten realisieren. Die erste Art ist bei der
kubisch dichtesten Kugelpackung oben anzuschauen. Weitere sieben Arten sind hohl. Erst wird das Netz aus vier Dreiecken hergestellt und dann zum Tetraeder hochgeklappt.
Je löchriger das Netz ist, desto wackliger werden die Flächen des Tetraeders.
Oktaeder
Wie der Name sagt, handelt es sich dabei um einen Achtflächner, bestehend aus 8 gleichseitigen Dreiecken. Auch hier ist die erste Lösung bei den kubisch dichtesten
Kugelpackungen zu sehen. Weitere zwei Hohlformen mit ihrem Netz sind hier.
Pentagondodekader
Ich habe es nicht geschafft, wobei mit {hk0}, {kh0} (resp. {120}, {210}) auch klar ist, weshalb. Gebrochene Indizes eignen sich schlecht für Körper mit wenig Kugeln.
Der Rhombendodekaeder wäre mit {110} noch ganz manierlich.
Ikosaeder
Besteht aus 20 gleichseitigen Dreiecken
Buckyball
Respektive das Buckminster Fulleren. Es ist auch in Wirklichkeit eine Hohlform und besteht aus gleichseitigen Fünf- und Sechsecken.
Am einfachsten kommt man dazu, wenn man es aus 12 Zehnerringen zusammensetzt, die je für ein Fünfeck stehen. Die
zugehörigen Sechsecke entstehen quasi gratis dazu. Diese Hohlform ist verblüffend stabil und lässt sich, wie der ähnlich konstruierte Fussball, rollen.
Der echte Buckyball hat nur 60 Atome. Als Symmetrieelement, das mit dem inneren Aufbau nichts zu tun hat, kommen Dekagyroiden dazu. Schon Pentagyren würden kein sinnvolles räumliches Gitter geben.
Zu den Pentagyren und Dekagyroiden siehe: http://www.uibk.ac.at/mineralogie/oemg/bd_149/149_257-262.pdf
Mit sehr viel Fantasie sieht man bei diesem "Buckyball" sogar etwas wie einen Pentagondodekaeder.
Robert Krickl, Wien: Mitt.Österr.Miner.Ges. 149 (2004), Geometrische Studien zu den pentagonalen und dekagonalen dreidimensionalen Punktgruppen
resp. Johann Jakob Burckhardt: Commentarii Mathematici Helvetici Vol.2, Nr.1, 91-98, Bemerkungen zur arithmetischen Berechnung der Bewegungsgruppen.
Die linke Form ist ein Würfel mit oktaedrischem Habitus, der aus Achterringen zusammengesetzt ist.
Er hat die Eigenschaft, dass einige Symmetrieelemente eine höhere Klasse vortäuschen.
Statt der dreizähligen Achsen scheinen hier sechszählige und statt zweizähliger vierzählige und statt vierzähliger achtzählige vorhanden zu sein.
Wobei die dreizählige Achse eigentlich eine Hexagyroide, d.h. eine sechszählige Dreh-Spiegelachse ist. Der Würfel ist mit Vorsicht anzufassen, da er leicht flach
gedrückt wird zu zwei mal (Sechszehnerring und darin ein Achterring). Er ist, wegen seiner inneren Spannung, auch nicht einfach zu bauen.
Nano tubes
Sie zeigen dieselben Schwierigkeiten wie beim Graphit oder Graphem, indem es beinahe unmöglich ist "leere" Sechsecke zusammenzufügen.
Trichter
Man kommt zu Trichtern, indem man beim flachen Sechseck einen Keil weglässt. Fibonacci Spiralen sind diesen Trichtern ähnlich.
Stress Formen
Stabile Formen können bis zu einem gewissen Grad auch deformiert werden. Links ist eine Verdrehung, rechts sind zwei "Kristallfehler".
Fancy Formen
Links oben: 24 geichseitige Dreiecke (Deckel 6, Boden 6 und Rand 12); Oben Mitte: Kissen aus flachem Sechseck; Oben rechts: Tetraeder aus flachem Sechseck.
Links unten Schlauch-Tetraeder (alte Milchpackung); unten Mitte: wie oben Mitte, von der anderen Seite; unten rechts: wie oben rechts, von der anderen Seite.
Links oben: Körbchen aus Dreieck; rechts oben: Doppeltetraeder
Links unten: Körbchen aus Dreieck; rechts unten: Ding mit Ohren aus 12 Sechsecken.
Flache Formen
Flache Formen sind sehr viele möglich, aber dies geht mehr in Richtung Parkettierung. Die mittlere Figur ist das Netz vom Körbchen links unten in der letzten Abbildung.
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