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Planimeter
Planimeter sind mechanische Instrumente zur Bestimmung von Flächeninhalten auf Landkarten und Zeichnungen. Bei den integrierenden Planimetern erfolgt die Messung, indem man mit dem Fahrstift die Randlinien der Fläche einmal umfährt. Der Flächeninhalt wird dabei durch ein Messrad aufintegriert und kann anschliessend an einem Zählwerk abgelesen werden.
Die integrierenden Planimeter (Umfahrungsplanimeter) waren die ersten Planimeter, welche theoretisch in der Lage waren, die Fläche einer beliebigen ebenen Figur durch Umfahren exakt zu bestimmen. Bis zur Erfindung dieser Planimeter anfangs des 19. Jahrhunderts standen lediglich sogenannte nichtintegrierende Planimeter zur Verfügung. Bei diesen handelt es sich im Wesentlichen um Hilfsmittel für das Zerlegen einer Figur in einfache Formen sowie deren Ausmessen und Zählen.
Die nebenstehende Abbildung zeigt eine Einteilung der integrierenden Planimeter aufgrund ihrer Konstruktion (Orthogonalplanimeter, Polarplanimeter bzw. Lineraplanimeter) sowie des verwendeten Messprinzips (Rad, Kegel, Scheibe). Die Felder der Tabelle enthalten die von den verschiedenen Herstellern (insbesondere Amsler und Coradi) verwendeten Bezeichnungen für die jeweiligen Planimeter.
Bei den Orthogonalplanimetern, den ersten integrierenden Planimetern, war die Verwendung von Kegeln oder Scheiben, auf denen ein Reibrad abrollt, das zentrale Integrationselement. Erst mit Jakob Amslers Polarplanimeter war es möglich, das Messrad direkt auf dem Zeichenblatt abrollen zu lassen, was zu einer erheblichen Vereinfachung der Konstruktion führte. Scheiben und Kugelflächen wurde aber weiterhin zur Realisierung von Präzisionsplanimetern verwendet, da auf diesen eine viel genauere Gleit- und Rollbewegungen des Messrades möglich war als auf Zeichen- oder Kartenblätter, welche oft uneben, zerknittert oder gefaltet waren.
Orthogonalplanimeter
Die frühen integrierenden Planimeter, welche in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts entwickelt wurden, waren Orthogonalplanimeter. Diese orientieren sich an einem kartesischen Koordinatensystem, wobei die Bewegung des Fahrstiftes in zwei senkrecht zueinander stehende Anteile zerlegt wird, welche sich beide auf den Antrieb des Messrades auswirken. Beim Planimeter von Kaspar Wetli (1822-1889) verschiebt der eine Anteil das Messrad radial auf der rotierenden Scheibe, während der andere Anteil für die Drehung der Scheibe verantwortlich ist. Beides beeinflusst die Rotationsgeschwindigkeit des Messrades. Die Anzahl der Umdrehungen des Messrades ist proportional zur gemessenen Fläche. Andere Orthogonalplanimeter (z.B. von Johann Hermann oder Johannes Oppikofer) verwendeten anstelle der rotierenden Scheibe einen rotierenden Kegel. Die Funktionsweise von Orthogonalplanimetern ist verhältnismässig leicht verständlich, da sie die Idee von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) bzw. Berhard Riemann (1826-1866), welche den Flächeninhalt als Grenzwert der Summe vieler schmaler Rechtecke darstellen, direkt umsetzen. Mit solchen Orthogonalplanimetern waren durchaus gute Resultate mit Fehlern von wenigen Promille zu erzielen. Ihr grosser Nachteil lag darin, dass sie relativ unhandlich und teuer waren.
Polarplanimeter
Im Jahre 1856 veröffentlicht Jakob Amsler seine Erfindung des Polarplanimeters. Das Instrument besteht aus zwei mit einem Gelenk verbundenen Stäben, dem Polarm und dem Fahrarm. Das eine Ende des Mechanismus, der Pol, ist mit einer feinen Nadel versehen und bleibt während der Messung fest an einer geeigneten Stelle auf der Zeichnung. Mit dem anderen Ende, an welchem sich eine Spitze befindet, wird die Kontur der zu messenden Fläche abgefahren. Dabei wird die umfahrene Fläche mit Hilfe des Messwerkes aufsummiert. Dieses besteht aus dem Messrad mit Nonius-Ablesung und einem Umdrehungszähler. Die Differenz der Ablesung vor und nach der Messung ist proportional zur umfahrenen Fläche. Durch Multiplikation mit einem Faktor ergibt sich die tatsächliche Fläche, z.B. in Quadratmillimeter. Über eine Veränderung der Länge des Fahrarms kann das Planimeter zudem an verschiedene Kartenmassstäbe angepasst werden. Grundsätzlich kann der Pol beliebig ausserhalb oder innerhalb der zu messenden Figur positioniert werden, wobei er so liegen muss, dass die Figur komplett umfahren werden kann. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Funktion des Polarplanimeters mathematisch zu beweisen, z.B. über die Guldinsche Regel oder Green's Theorem. Für Details wird auf die entsprechende Literatur verwiesen.
Die Bestimmung der Fläche von Figuren auf Zeichnungen und Plänen war sowohl in der Kartographie als auch im Maschinen- oder Schiffbau eine wichtige Aufgabe. In der Messtechnik wurden Planimeter zur Auswertung von Messdiagrammen eingesetzt, um beispielsweise den Stromverbrauch oder die Wasserdurchflussmenge einer Maschine für einen bestimmten Zeitraum zu bestimmen. Bei der Einstellung von Dampmaschinen diente das Planimeter zum Ausmessen der Druck-Weg-Diagramme (Indikatordiagramme).
Die Vorteile des Polarplanimeters waren der günstige Preis, die geringe Grösse und die einfache Bedienung. Amslers Planimeter wurde ab etwa 1856 kommerziell vertrieben und verdrängte alle früheren Planimeterkonstruktionen innert weniger Jahre.
Kompensations-Polarplanimeter
Ungefähr im Jahre 1893 verbesserte Gottlieb Coradi seine Polarplanimeter, welche bis anhin dem Amsler'schen Polarplanimeter sehr ähnlich waren, dadurch, dass sich der Polarm sowohl links wie rechts des Fahrarms positionieren liess. Messfehler, welche durch mechanische Ungenauigkeiten bedingt sind, tragen so entweder mit positivem oder mit negativem Vorzeichen zum gesamten Messergebnis bei. Misst man die gesuchte Fläche nun mit beiden Planimeterstellungen und bestimmt den Mittelwert der beiden Resultate, so lässt sich der Fehler, der aufgrund von Konstruktionsungenauigkeiten entsteht, deutlich reduzieren. Gottlieb Coradi liess diese Konstruktionsneuheit in verschiedenen Ländern patentieren.
Linearplanimeter
Linearplanimeter wurden entwickelt, um auch grössere Figuren, zum Beispiel Diagramme von registrierenden Messinstrumenten, in einem einzigen Arbeitsschritt zu vermessen. Beim Linearplanimeter bewegt sich das hintere Ende des Fahrstabes nicht, wie beim Polarplanimeter, auf einem Kreis sondern auf einer Geraden, was gegenüber dem Polarplanimeter in einer Richtung einen grösseren Arbeitsbereich ermöglicht. Die lineare Bewegung erfolgt bei Jakob Amsler mittels einer Schiene, auf der sich ein Wagen bewegt, an welchem der Fahrarm des Planimeters mit dem Messwerk befestigt ist. Beim Linearplanimeter von Gottlieb Coradi wird das gesamte Planimeter auf zwei Rädern über die Zeichnung gezogen.
Eine andere Form des Linearplanimeters stellt das Schlittenplanimeter von Simens & Halske dar, welches aus einer Einspannvorrichtung für Registrierpapiere sowie dem Fahrarm eines Polarplanimeters besteht. Beim Ausmessen von Kurven wird dabei die Linearbewegung durch Umspulen des Registrierpapiers erzeugt, während gleichzeitig mit der Spitze des Planimeterarmes dem Verlauf der Kurve gefolgt wird. Mit diesem Planimeter lassen sich fast beliebig lange Diagramme auswerten.
Scheiben- und Kugelplanimeter
Das Ziel bei der Entwicklung von neuen Planimetern lag darin, die Genauigkeit der Messungen weiter zu steigern. Mit Scheiben- und Kugelplanimetern wird die Qualität der Messresultate insbesondere bei schlechter Messunterlage wie gefalteten oder abgegriffenen Karten und Plänen dadurch verbessert, dass das Messrad nicht auf der Kartenoberfläche selbst, sondern auf einer Hilfsoberfläche, d.h. einer Scheibe oder Kugel, abrollt. Dabei versetzt eine Rotation des Fahrstifts um den Planimeterpol die Scheibe oder Kugel in Drehung, während eine radiale Bewegung den Abstand des Messrades von der Rotationsachse der Scheibe bzw. Kugelfläche verändert.
Sowohl Jakob Amsler wie auch Gottlieb Coradi haben Scheiben- bzw. Kugelplanimeter hergestellt. Bei den Scheibenplanimetern erfolgt der Antrieb des Messrades über eine mit Papier überzogenen Scheibe. Bei Amsler überträgt ein Kegelrad, welches auf der Unterlage rollt, die Bewegung auf die Achse der Papierscheibe.Beim Kugelplanimeter von Coradi wird eine Kugelfläche über eine Mikroverzahnung auf dem Aussenrand der grossen Polscheibe angetrieben.
Verschiedene Bauformen für Planimeter mit Scheiben- oder Kugelantrieb:

Scheibenpolarplanimeter
Scheibenpolarplanimeter bestehen aus einem schweren Sockel, um welchen sich das ganze Planimeter dreht. Dabei wird die Drehung in eine Rotation der Scheibe übertragen, auf welcher das Messrad abrollt. Bei Amsler erfolgt die Rotation der Scheibe über zwei verzahnte Kegelräder, von denen das eine auf der Zeichenfläche rollt. Coradi dagegen verwendet eine feine Verzahnung auf dem Rand der Sockelplatte. Bei beiden Herstellern verändert eine Auslenkung des Fahrarms die Position des Messrades auf der rotierenden Scheibe.

Kugelpolarplanimeter
Das Kugelpolarplanimeter besteht aus einem schweren Sockel (Polscheibe), um den sich das Planimeter dreht. Mit Hilfe einer Mikroverzahnung auf dem Rand der Polscheibe wird diese Drehung in eine Rotation der Kugelfläche übertragen. Auf dieser rollt das Messrad ab, wobei die Position von der Auslenkung des Fahrarms abhängt.

Scheibenlinearplanimeter
Beim Scheibenlinearplanimeter bewegt sich ein Wagen mit rotierender Scheibe und Messwerk auf einer Stahlschiene. Diese ist mit einer Verzahnung versehen, über welche die Scheibe in Rotation versetzt wird, sobald sich der Wagen bewegt. Durch eine Auslenkung des Polarms verändert sich der Abrollort des Messrades auf der Scheibe.

Scheibenrollplanimeter
Ein Scheibenrollplanimeter lässt sich mit Hilfe von zwei Rollen in Längsrichtung bewegen. Diese Fahrbewegung wird über ein Getriebe in eine Rotation der mit Papier überzogenen Scheibe umgesetzt. Auf dieser bewegt sich ein Messrad mit Skala. Die Auslenkung des Fahrarmes bestimmt die Position des Messrades auf der Scheibe. Je grösser die Auslenkung ist, desto weiter aussen auf der Scheibe befindet sich das Messrad.

Kugelrollplanimeter
Beim Kugelrollplanimeter bewirkt die Fahrbewegung über eine Mikroverzahnung auf dem einen Rad eine Rotation der Kugelfläche. Diese treibt ihrerseits einen kleinen Zylinder an, der starr mit dem Messgetriebe verbunden ist. Je nach Auslenkung des Fahrarms ändert sich der Abstand des Abrollpunktes von der Rotationsachse der Kugelfläche. Je grösser die Auslenkung ist, desto grösser ist der Abstand des Abrollpunktes von der Rotationsachse.
Referenzen
|[1]||

S. StampferUeber das neue Planimeter des Kaspar Wetli. In: Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, mathematisch naturwissenschaftliche Classe, Jahrg. 1850, II. Heft (Februar), Wien (1850).
|[2]||

C. M. BauernfeindDie Planimeter von Ernst, Wetli und Hansen, welche den Flächeninhalt ebener Figuren durch das Umfahren des Umfangs angeben. München (1853).
|[3]||

J. AmslerUeber die mechanische Bestimmung des Flächeninhalts, der statischen Momente und der Trägheitsmomente ebener Figuren insbesondere über einen neuen Planimeter. Abgedruckt aus der Vierteljahresschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich, Schaffhausen (1856).
|[4]||

E. SchinzÜber das Polar Planimeter von Prof. Amsler in Schaffhausen. Vorgetragen den 28. November 1857. Separatabdruck aus den Mitteilungen der Naturforschenden Gesellschaft in Bern, Bern (1857).
|[5]||

F.J. BramwellOn Amsler's Planimeter. In: Report of the British Association for the Advancement of Science (1872), S. 401-412.
|[6]||

F. KleinUeber Scheiben-Planimeter. Separatabdruck aus der Wochenschrift Nr. 5, 6 und 7 des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereines. Wien (1884).
|[7]||

J. Y. WheatleyThe Polar Planimeter and its Use in Engineering Calculations together with Tables, Diagrams and Factors. Keuffel & Esser Co. New York (1903).
|[8]||

G. CoradiPolarplanimeter. Patent Nr. CH 7303. Eidgenössisches Amt für geistiges Eigtentum (1893).
|[9]||

O. LangDer Compensations-Polarplanimeter von G. Coradi in Zürich. Zeitschrift für Vermessungswesen, Band 23/1894, Seiten 353-367. Separat-Abdruck, Verlag des technischen Versandgeschäfts R. Reiss, Liebenwerda (1894).
|[10]||

A. AmslerDas Planimeter und seine Erfindung. Zeitschrift des Vereins Schweizer. Konkordatsgeometer, Band 5/1907, Heft 7/8, Seiten 117-122/125-132. Winterthur (1907).