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Hans Walser, [20121219]
Quadratische Ergnzung
Anregungen: M. H. und T. S., V.
Die so genannte quadratische Ergnzung (sprachlich korrekt: Ergnzung zum Quadrat) ist ein gerne gebrauchtes Vehikel zur Einfhrung in das Thema der quadratischen Gleichungen. In der Regel werden zwei oder drei Beispiele mit der quadratischen Ergnzung durchgerechnet, und dann wird mit Hilfe der quadratischen Ergnzung die Lsungsformel fr den allgemeinen Fall hergeleitet. Ab sofort ist dann die Anwendung der Lsungsformel gefragt, und die quadratische Ergnzung gert in Vergessenheit.
Im Folgenden wird ein Beispiel gezeigt, in welchem die quadratische Ergnzung unmittelbar zu einer einfachen Konstruktionsmethode fhrt.
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC in der blichen Beschriftung (Abb. 1) seien die Kathete a und der unterhalb der anderen Kathete liegende Hypotenusenabschnitt q gegeben. Gesucht ist der andere Hypotenusenabschnitt, also p.
Abb. 1: Situation
Der Kathentensatz liefert:
Das ist eine quadratische Gleichung fr p. Die allgemeine Lsungsformel ergibt:
Unsere Lsung muss positiv sein, also:
Es gibt verschiedene Methoden, eine quadratische Gleichung geometrisch zu lsen. In unserem Beispiel geht es am einfachsten mit der quadratischen Ergnzung.
Wir formen die durch den Kathetensatz gegebene Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergnzung um:
Diese Gleichung hat nun die Form des Satzes von Pythagoras fr ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und . Daraus ergibt sich unmittelbar eine Konstruktionsmethode fr p (Abb. 2).
Abb. 2: Lsung
Die Abbildung 2 erinnert an die klassische Konstruktion des Goldenen Schnittes. Fr den Sonderfall erhalten wir tatschlich:
Literatur
[Walser 2009] Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 5., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing ber populrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2009. ISBN 978-3-937219-98-1.