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3.1. Irreduzible 3-Mannigfaltigkeiten und inkompressible Flächen.
Sei eine Fläche in einer 3-Mannigfaltigkeit . Dann heißt kompressibel in , wenn es eine Scheibe in gibt, die nur längs ihres Randes berührt, und wenn auf nicht trivial ist. heißt eine komprimierende Scheibe für . Eine proper Fläche in ist randkompressibel, wenn sie eine komprimierende Halbscheibe zuläßt, siehe Fig. 1. Nach dieser Definition sind jede Sphäre und projektive Ebene inkompressibel, und jede propere Scheibe ist inkompressibel und randinkompressibel. Manchmal nennt man eine Sphäre nur dann inkompressibel, wenn sie nicht einen Ball berandet, aber wir bevorzugen das nicht zu machen.
Eine 3-Mannigfaltigkeit heißt irreduzibel, wenn jede Sphäre in einen 3-Ball berandet. ist randirreduzibel, wenn inkompressibel ist.
Kriterium. Sei eine zwei-seitige Fläche. ist genau dann inkompressibel, wenn der Homomorphismus injektiv ist.
Beispiel. Kleben wir an ( ist die Kleinsche Flasche) eine Platte entlang eine eingach geschlossene Kurve , so daß die Projektion von auf nicht zu dem Meridian oder Längskreis isotop ist. Dann ist die Mittenfläe inkompressibel (weil ihre einzige einfache Kurven und nicht nullhomotop werden), aber nicht injektiv in .
Satz 3.1. Sei eine triangulierte irreduzible 3-Mannigfaltigkeit mit inkompressiblem Rand. Dann ist jede inkompressible randinkompressibe Fläche isotop zu einer normalen Fläche.
Beweis. Man muß nur kleine Kreise und propere Bögen im Innern der Dreiecke vernichten. Sei der kleinste Kreis, der keine weitere Kreise enthält. Dann berandet er eine Kreisscheibe in dem Dreieck. Da inkompressibel ist, berandet auf eine andere Scheibe . Da irreduzibel ist, gibt es einen Ball mit . Jetzt können wir durch isotopieren und dadurch vernichten.
Was propere Bögen im Innern der Dreicke betrifft, machen wir dasselbe, aber statt absoluter Bedingungen verwenden wir entsprechende Randbedingungen.
3.2. Zwei Endlichkeitssätze von Haken.
Erster Satz.(Kneser). Sei eine orientierbare triangulierte irreduzible 3-Mannigfaltigkeit, und sei eine Menge von orientierbaren geschlossenen Flächen in , so daß das folgende gilt:
Beweis. Nehmen wir an, daß die Anzahl der Flächen größer als ist. Da die Flächen inkompressibel sind, kann man annehmen, daß sie normal sind. Sie zerlegen jedes Tetraeder in Teile. Der Teil eines Tetraeders heißt schlecht, wenn er nicht homöomorph zu ist. Jeder Tetraeder kann nur schlechte Teile enthalten. Die zusammenhängenden Komponenten des Durchschnitts von Flächen mit Tetraedern sind Flicken genannt. Ein Flicken heißt schlecht, wenn er im Rand eines schlechten Teils liegt. Die Anzahl der schlechten Flicken ist nicht größer als , da jedes Tetraeder höchstens 10 schlechte Flicken enthält (siehe Fig.2). Falls die Anzahl der Flächen größer als ist, dann enthält mindestens eine Fläche keine schlechten Flicken . Dann bilden die guten Tetraederteile, die an angrenzen, zwei -Bündel. Falls diese Bündel nicht trivial sind, d. h. haben die Form für einer einseitigen Fläche , dann ist die einzige Fläche in . Falls die Bündel trivial sind, d. h. haben die Form , bekommen wir einen Widerspruch zu der Annahme, das die Flächen paarwise nicht parallel sind.
Zweiter Satz. Sei eine triangulierte orientierbare 3-Mannigfaltigkeit. Nehmen wir an, daß keine normalen Sphären oder Tori enthält. Dann gibt es für jeders eine endliche Menge von inkompressiblen geschlossenen Flächen mit folgender Eigenschaft:
Jede geschlossene inkompressible Fläche mit ist zu einer Fläche isotop.
Beweis. Seien fundamentale Flächen. Da keine normalen Sphären und Tori enthält (und folglich keine projektiven Ebenen und Kleinschen Flaschen), sind die Eulerschen Charakteristiken negativ. Es gibt nur endlich viele Kombinazionen , die nicht größer als sind. Deshalb ist die Anzahl der normalen Flächen mit endlich.
3.3. Haken 3-Mannigfaltigkeien. Eine 3-Mannigfaltigkeit heißt hinreichend groß, wenn sie eine zweiseitige geschlossene inkompressible Fläche enthält. Die Klasse der hinreichend großen 3-Mannigfaltigkeiten ist "hinreichend groß". Zum Beispiel ist jede irreduzible 3-Mannigfaltigkeit mit nicht-leerem Rand entweder hinreichend groß oder homöomorph zu einem Brezel. Eine hinreichend große 3-Mannigfaltigkeit ist Haken, wenn sie irreduzibel und randirreduzibel ist.
Eine Homotopieäquivalenz zwischen Mannigfaltigkeiten heißt randtreu, wenn und Homotopieäquivalenzen sind.
Lemma 4.1. Sei , wobei Flächen sind, eine randtreue Homotopieäquivalenz. Dann läßt sich stetig in einen Homöomorphismus deformieren.
Beweis. Man kann annehmen, daß simplizial ist, und daß schon ein Homöomorphismus ist. Wählen wir eine Kollektion von Bögen in , die zu einer Scheibe aufschneiden und eckpunktfremd sind. Dann ist das Urbild jedes Bogens die Vereinigung von einen Bogen , der entsprechende Randpunkte verbindet, und einigen Kreisen, die unwichtig sind. läßt sich so deformieren, daß es nachher auf homöomorph abbildet, and dann kann man diese Deformation zu einer homotopen Deformation von erweitern. Die Bögen schneiden auch zu einer Scheibe auf. Deshalb kann die Kegelkonstruktion verwendet werden, um schließlich auf den Scheiben homöomorph zu machen.
Satz 3.2. (Waldhausen). Sei , wobei Haken 3-Mannigfaltigkeiten sind, eine randtreue Homotopieäquivalenz. Dann läßt sich stetig in einen Homöomorphismus deformieren.
Beweis. Nach Lemma 4.1 kann man annehmen, daß schon ein Homöomorphismus ist. Wie verwenden dieselbe Idee wie für Flächen, aber anstatt Bögen werden inkompressible, randinkompressible Flächen betrachtet. Also ist der Prozeß mehrstufig, da die Randkurven der nächsten Flächen auf den vorigen Flächen liegen können. Sei eine nächste Fläche in . Wir können annehmen, daß nicht durch die Eckpunkte geht. Dann ist das Urbild eine Fläche, deren Rand homöomorph auf abgebildet wird. kann kompressibel sein. Wir komprimieren nicht-triviale Rohre in durch eine Homotopie von . Beschreiben wir diese Prozedur ausführlicher.
Sei eine komprimierende Scheibe für . Erstens kann man so deformieren, daß es nachher auf den Rand einer kleinen Scheibe homöomorph abbildet. Die Deformation kann zu einer Deformation von erweitert werden. Zweitens kann man so deformieren, daß auf einer kleinen Umgebung von fix bleibt und daß die neue Abbildung (wie früher genannt) auf eine komprimierende Scheibe homöomorph abbildet. Die Scheiben und beranden einen Ball . Jetzt ersetzen wir durch das Produkt , wobei die Abbildung außer einer engen Umgebung von fix ist und durch auf die andere Seite von zieht. Siehe Figur 3. Das Ergebnis besteht darin, daß längs komprimiert ist zu einer neuen Fläche .
Falls schon inkompressibel ist, dann ist eine Homotopieäquivalenz . Sie läßt sich in einen Homöomorphismus deformieren (Lemma 4.1).
Letzten Endes bekommen wir eine Vereinigung von Flächen in und eine Vereinigung von Flächen in , so daß das folgende gilt: