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Hans Walser, [20180529]
Zylinderstapel
Stehende Zylinder mit dem Radius und der Hhe 1 sollen so gestapelt werden, dass ihre Mittelpunkte ein flchenzentriertes kubisches Punktgitter ergeben.
Die Zylinder knnen als ãInzylinderÒ von Einheitswrfeln gesehen werden.
Die Abbildung 1 zeigt das Minimalmodell mit quadratischer Basis der Stapelung.
Abb. 1: Quadratische Basis
Die Bedingung fr ein flchenzentriertes kubisches Punktgitter verlangt, dass die Abstnde zwischen den Zylindermittelpunkten alle gleich lang sind.
Die durch die Abstnde x gebildete Pyramide hat die Hhe 1. Damit erhalten wir die Bedingung:
(1)
Dies fhrt zur positiven Lsung:
(2)
Wir sehen in der Abbildung 1, dass die Zylinder nicht eigentlich gestapelt sind. Der blaue Zylinder sitzt auf den Kanten der darunter liegenden Zylinder und wrde bei Wirken der Schwerkraft zwischen den roten und grnen Zylindern hinunterrutschen, es sei denn, man stelle einen Sttzzylinder darunter.
Die Abbildung 2 zeigt eine gr§ere Basis und die Pyramide.
Abb. 2: Pyramide
Die Abbildung 3 zeigt die Situation von vorne und von oben. Bei der Abbildung 3a meinen wir, eine Wand von aufgestapelten Dosen wie beim Dosenschie§en an der Geburtstagsparty zu sehen. Tatschlich liegt aber schon die zweitunterste Reihe nach hinten versetzt, wie aus der Abbildungen 2b und 3b ersichtlich ist.
Abb. 3: Von vorne und von oben
Wir legen um die Zylinder (Abb. 4a) die Umkugel (Abb. 4b).
Abb. 4: Umkugel
Das hat zur Folge dass die nun vergr§erten Figuren nicht mehr an den Kanten abrutschen knnen. Die Umkugeln haben den Durchmesser . Das hei§t dass sie sich gegenseitig berhren. Wir erhalten die dichteste Kugelpackung (Abb. 5).
Abb. 5: Dichteste Kugelpackung
Die Abbildung 6 zeigt das Minimalmodell fr den Fall einer dreieckigen Basis von oben. Die Zylinder sind nun echt aufeinandergestapelt.
Abb. 6: Dreieckige Basis
Die Zylindermittelpunkte mssen die Ecken eines regelm§igen Tetraeders bilden (Abb. 6b). Dieser Tetraeder hat die Hhe 1. Fr die rote Kantenlnge x des Tetraeders ergibt sich:
(3)
Wegen durchschneiden sich die Umkugeln der Zylinder. Fr eine Kugelpackung mssen wir mit kleineren Kugeln arbeiten, welche die Zylinder durchschneiden (Abb. 7).
Abb. 7: Kugel fr Kugelpackung
Die Abbildung 7 zeigt die Basis und den Tetraeder.
Abb. 7: Basis und Tetraeder
Die Abbildung 8 zeigt die Situation von der Seite und von oben.
Abb. 8: Von der Seite und von oben
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Hans Walser: Wrfelstapel (abgerufen 30.05.2018):