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Hans Walser, [20210208]
Varignon
Variationen um den Satz von Varignon
Nach dem Satz von Varignon bilden die Seitenmitten eines beliebigen Viereckes ein Parallelogramm(Abb. 1). Die Seiten des Parallelogramms sind parallel zu den Diagonalen und halb so lang. Beweis mit StrahlensŠtzen.
Die Winkel des Varignon-Parallelogramms sind gleich den Diagonalenschnittwinkeln.
Abb. 1: Satz von Varignon
Wir setzen den Seiten des Viereckes Šhnliche gleichschenklige Dreiecke an, alternierend nach innen und au§en (Abb. 2).
Abb. 2: €hnliche gleichschenklige Dreiecke
Die Spitzen der gleichschenkligen Dreiecke bilden nun ebenfalls ein Parallelogramm (Abb. 3).
Abb. 3: Neues Parallelogramm
Wir vergleichen unser Viereck C0C1C2C3 mit dem Varignon-Parallelogramm B0B1B2B3 (Abb. 4).
Abb. 4: Beweisfigur
Wir kšnnen die Strecke B0B3 mit einer Drehstreckung auf die Strecke C0C3 abbilden. Das Zentrum der Drehstreckung ist A0, der Drehwinkel ist der Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke und der Streckfaktor ist das SeitenverhŠltnis der Strecken A0C0 zu A0B0, also . Analog kšnnen wir die źbrigen drei Seiten des Viereckes C0C1C2C3 durch Drehstreckungen aus den Seiten des Varignon-Parallelogramm B0B1B2B3 erhalten. Die Seiten des Viereckes C0C1C2C3 sind also proportional zu denen des Varignon-Parallelogramms. Das Viereck C0C1C2C3 ist daher auch ein Parallelogramm. Dies war zu zeigen.
Der spitze Winkel C0C3C2 ist um kleiner als der entsprechende Winkel B0B3B2 des Varignon-Parallelogramms und damit auch um kleiner als der spitze Diagonalenschnittwinkel.
Der stumpfe Winkel des neuen Parallelogramms ist entsprechend grš§er als der stumpfe Winkel des Varignon-Parallelogramms.
Durch Vertauschen der Begriffe innen und au§en erhalten wir mit denselben gleichschenkligen Dreiecken ein zweites Parallelogramm (Abb. 5).
Abb. 5: Zweite Lšsung
Die beiden Lšsungen haben dieselben SeitenlŠngen, aber im Regelfall nicht dieselben Winkel. Die Winkel unterscheiden sich um .
Die SonderfŠlle ergeben sich durch spezielle gleichschenklige Dreiecke.
Bei gleichseitigen Dreiecken ist und damit der Streckfaktor . Die Seiten des neuen Parallelogramms sind also doppelt so lang wie jene des Varignon-Parallelogramms und damit gleich lang wie die Diagonalen des Ausgangsviereckes (Abb. 6). Wir kšnnen die Diagonalen direkt mit einer Drehung um 60ˇ (ohne Streckung) auf die Seiten des neuen Parallelogramms abbilden.
Abb. 6: Gleichseitige Dreiecke
Wir setzen rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke an, halbe Quadrate also, und zeichnen die beiden FŠlle, die sich durch Vertauschen von innen und au§en ergeben (Abb. 7).
Abb. 7: Kongruente Parallelogramme
In diesem Sonderfall ist und damit die Winkeldifferenz der beiden Parallelogramme . Dies hat zur Folge, dass die beiden Parallelogramme kongruent sind und durch eine Drehung im 90ˇ auseinander hervorgehen.
Wir zeichnen im Ausgangsviereck die Diagonalen und dann die vier Kreise, die je durch zwei benachbarte Ecken und den Diagonalenschnittpunkt verlaufen (Abb. 8).
Abb. 8: Vier Kreise
Und nun passen wir gleichschenklige Dreiecke ein gemЧ Abbildung 9. Aus KreiswinkelsŠtzen (Sehnenvierecke) folgt, dass der Basiswinkel dieser gleichschenkligen Dreiecke die HŠlfte des (in unserer Abbildung spitzen) Diagonalenschnittwinkels ist.
Abb. 9: Gleichschenklige Dreiecke
Die gleichschenkligen Dreiecke sind also Šhnlich. Ihre Spitzen sind die Ecken eines Parallelogramms. Der spitze Winkel dieses Parallelogramms ist der um reduzierte Diagonalenschnittwinkel. Also null. Das Parallelogramm klappt zu einer Strecke zusammen (Abb. 10). Die vier Spitzen der gleichschenkligen Dreiecke liegen auf einer Geraden. Diese Gerade hat die Richtung der Winkelhalbierenden des spitzen Diagonalenschnittwinkels.
Abb. 10: Zusammengeklapptes Parallelogramm
Auf Grund der Abbildung 10 vermuten wir, dass auch der Diagonalenschnittpunkt auf dieser Geraden liegt. Dies kann wie folgt eingesehen werden.
Wir ergŠnzen die Kreisfigur der Abbildung 8 neu gemЧ Abbildung 11 mit gleichschenkligen Dreiecken. Diese sind wieder Šhnlich, allerdings nicht Šhnlich zu den Dreiecken der Abbildungen 9 und 10. Ihr Basiswinkel ist nun nŠmlich die HŠlfte des stumpfen Diagonalenschnittwinkels.
Analog wie oben folgt nun, dass die vier Spitzen der gleichschenkligen Dreiecke ebenfalls ein zusammengeklapptes Parallelogramm bilden. Sie liegen auf einer Geraden in der Richtung der Winkelhalbierenden des stumpfen Diagonalenschnittwinkels.
Abb. 11: Noch ein zusammengeklapptes Parallelogramm
Die Geraden der beiden zusammengeklappten Parallelogramme sind also orthogonal. Bei jedem der vier Kreise verlaufen sie durch je zwei diametrale Punkte. Ihr Schnittpunkt muss daher auf jedem der vier Kreise liegen, mithin im gemeinsamen Punkt der vier Kreise, also dem Diagonalenschnittpunkt.
Die beiden Geraden sind die Winkelhalbierenden der beiden Diagonalenschnittwinkel. Wir haben zwei Fźnfpunkte-Geraden. Etwas fźr die Sammlung der kollinearen Punkte.
Websites
Hans Walser: Schlussstriche
Hans Walser: Varignon
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Varignon3/Varignon3.htm
Hans Walser: Varignon
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Varignon/Varignon.htm