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Hans Walser
Ein namenloses Phnomen
Arbeitskreis Geometrie der GDM
Saarbrcken, 11. – 13. September 2015
Zusammenfassung
Ein Faltspiel und ein Spiel mit rechten Winkelhaken fhren beide zu einem symmetrischen Phnomen, welches im Lehrplan nicht kodifiziert ist. Der (asymmetrische) Strahlensatz erweist sich als Grenzfall.
Die berlegungen wurden angeregt durch einen didaktischen Fehler in einem Arbeitsblatt fr das 8. Schuljahr.
Auf der Rckseite eines Blattes (Querformat) tragen wir am unteren Rand zwei mal drei Marken ein (Abb. 1a). Dann wenden wir das Blatt und whlen einen Punkt (Abb. 1b).
Abb. 1: Zwei mal drei Marken. Punkt whlen
Nun falten wir die erste Markierung auf den Punkt ein und wieder zurck (Abb. 2).
Abb. 2: Erster Faltschritt
Nun falten wir die zweite, dritte, ... Markierung auf den Punkt ein und wieder zurck.
So erhalten wir zwei Scharen von je drei Faltlinien (Abb. 3a). Die wechselseitigen Schnittpunkte teilen jeweils auf jeder Schar im gleichen Verhltnis (Abb. 3b). Das ist auch das Verhltnis der ursprnglich gewhlten Marken (Abb. 1a).
Abb. 3: Faltlinien. Teilverhltnisse
Diese Situation erinnert an den Strahlensatz. In der Strahlensatzfigur haben wir aber einerseits eine Schar von parallelen Geraden und andererseits eine Schar von Geraden durch einen Punkt. Das sind begrifflich asymmetrische Vorgaben. Die Satzaussage ist aber symmetrisch: in beiden Geradenscharen sind je entsprechende Teilverhltnisse gleich. Die Faltfigur der Abbildung 3b ist begrifflich symmetrisch.
Ebenso erhalten wir eine begrifflich symmetrische Figur mit ãWinkeleisenÒ, wie sie von Handwerkern verwendet werden. Dazu beginnen wir beginnen mit einem Punkt F und einer nicht durch F verlaufenden Geraden t. Nun passen wir gem§ Abbildung 4 zwei Sets von je drei rechten Winkeln (rote und blaue ãWinkeleisenÒ) ein so, dass die Scheitel der rechten Winkel auf t liegen und jeweils ein Schenkel durch F verluft. Die anderen Schenkel schneiden sich wechselseitig.
Abb. 4: Winkeleisen
Diese Schnittpunkte unterteilen die roten Schenkel im gleichen Verhltnis. Im Beispiel der Abbildung 4 ist es das Verhltnis 2:1. Ebenso unterteilen sie die blauen Schenkel im gleichen Verhltnis. Im Beispiel der Abbildung 4 ist es das Verhltnis 5:2.
Wir sind geneigt in unserem Anschauungsraum die Figur rumlich zu interpretieren. Dann allerdings haben wir das Gefhl, dass die auf uns zukommende Ebene nach unten hngt. Das hngt damit zusammen, dass die Figur keine perspektivische Darstellung ist.
Fr den Beweis legen wir ein Koordinatensystem gem§ der Abbildung 5 zugrunde. Als x-Achse whlen wir die Gerade t. Der Punkt F habe die Koordinaten F(0, 1). Wir whlen exemplarisch einen roten Winkel mit dem Scheitelpunkt (a, 0) und einen blauen Winkel mit dem Scheitelpunkt (b, 0).
Abb. 5: Koordinaten
Der zweite rote Schenkel hat die Gleichung , der zweite blaue Schenkel die Gleichung . Fr den Schnittpunkt S der beiden Schenkel ergeben sich die Koordinaten . Summe und Produkt, die beiden einfachen Gottesgaben.
Die drei roten Winkel und die drei blauen Winkel der Abbildung 1 nummerieren wir mit beziehungsweise . Die Scheitel dieser Winkel seien bei beziehungsweise .
Der Punkt als Schnittpunkt des i-ten roten Schenkels mit dem j-ten blauen Schenkel hat die Koordinaten .
Nun berechnen wir das Teilverhltnis auf dem i-ten roten Schenkel:
Fr die Strecke erhalten wir:
Analog ergibt sich fr die Strecke :
Bei der Verhltnisbildung krzt sich der Wurzelfaktor heraus:
Wir sehen, dass das Teilverhltnis unabhngig vom Index i ist, das hei§t, es ist auf allen roten Schenkeln gleich. Es ist zudem gleich dem Teilverhltnis der Scheitel der drei blauen Winkel.
Aus Symmetriegrnden gilt das Analoge fr die Teilverhltnisse auf den blauen Schenkeln.
Wir modifizieren die Figur der Abbildung 4, indem wir mit dem Punkt F gegen die Gerade t streben.
Die beiden Winkelscharen behandeln wir aber ungleich, um die fr den Strahlensatz ntige Asymmetrie zu erreichen. Bei den blauen Winkeln lassen wir die Scheitelpunkte auf t fest. Diese Winkel werden also gedreht. Bei den roten Winkeln lassen wir die Richtungen fest. Diese Winkel werden parallel verschoben.
Da die Teilverhltnisse bei den Winkelscheiteln sich nicht verndern, bleiben auch die Teilverhltnisse auf den Schenkeln invariant.
Die Abbildung 6 illustriert diesen Modifikationsprozess in mehreren Schritten. Im Grenzfall mit F auf t stehen die blauen Schenkel senkrecht auf t, sind also untereinander parallel. Die roten Schenkel verlaufen durch F. Wir haben den gewhnlichen Strahlensatz.
Abb. 6: Modifikation
Auf einem Arbeitsblatt (8. Schuljahr) ist zu lesen:
Da wurde moniert, das sei zwar fachlich richtig, aber didaktisch falsch. Die erste Zeile sei definierend fr die Trapeze, die zweite Zeile gelte aber fr jedes Viereck (Abb. 12a). Vielleicht sollte hier speziell auf die Mittellinien hingewiesen werden, weil eine davon nachher fr die Flchenformel gebraucht wird.
Dieser didaktische ãFehlerÒ erwies sich als sehr anregend: was ist, wenn Mitte und halbieren durch Drittel und dritteln ersetzt wird?
Dritteln sich Drittellinien gegenseitig?
Der Sonderfall des Trapezes erweist sich als einfach, da wir den Strahlensatz anwenden knnen (Abb. 7a).
Abb. 7: Sonderfall Trapez. Allgemeines Viereck
Wir vermuten aufgrund der Zeichnung (Abb. 7b), dass sich auch im allgemeinen Fall die Drittellinien gegenseitig dritteln. Dies kann gem§ einer Mitteilung von Hans Humenberger, Wien, wie folgt gezeigt werden (Abb. 8).
Abb. 8: Beweisfigur
Wir fhren gem§ Abbildung 8a eine Diagonale und dazu parallele Strecken ein. Diese haben auf Grund des Strahlensatzes die angegebenen Lngenverhltnisse. Die Abbildung 8b zeigt, dass diese zur Drittelung beim angegebenen Punkt fhrt. Fr die anderen Schnittpunkte im Viereck kann analog berlegt werden. — Nun ist es allerdings so, dass diese Idee nicht auf Viertelung, Fnftelung, ... bertragen werden kann.
Wir teilen zwei gegenberliegende Seiten des Vierecks im Verhltnis λ, die beiden anderen Seiten im Verhltnis μ. Wir verbinden dann die Teilpunkte gegenberliegender Seiten. Zu zeigen ist: diese Verbindungslinien teilen sich gegenseitig in den Verhltnissen λ und μ. Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 9.
Abb. 9: Beweisidee
Fr die eingezeichnete blaue Strecke p erhalten wir die Parameterdarstellung:
Fr die eingezeichnete rote Strecke q erhalten wir die Parameterdarstellung:
Der Schnittpunkte ergibt sich offensichtlich fr und . Das war zu zeigen.
Bemerkung 1: Der Vektor misst die Abweichung des Viereckes vom Parallelogramm. Im Parallelogramm ist die Teilverhltniseigenschaft trivial.
Bemerkung 2: Die Einschrnkungen und beziehen sich auf die eingezeichneten Strecken, sind aber fr den Beweisgang unerheblich. Sie werden im Folgenden weggelassen.
Fr ganze Zahlen λ und μ erhalten wir ein Viereckraster wie folgt. Wir verlngern die Viereckseiten und tragen Vielfache der Seitenlngen ab (Abb. 10a).
Abb. 10: Erster Schritt. Ergnzung zum Viereckraster
Anschlie§end ergnzen wir zum Viereckraster (Abb. 10b). Jede Rasterlinie der einen Schar wird von den Rasterlinien der anderen Schar in gleichm§igen Abstnden geschnitten.
Wir sehen, dass sich beim berschneiden der Linien was Spannendes anbahnt.
Wenn wir das Viereckraster fortsetzen, berschneiden sich die Rasterlinien. Als Enveloppe entsteht eine Kurve (Abb. 11). Die Kurve sieht aus wie eine Parabel, es knnte aber auch eine Ellipse sein. Was nun?
Abb. 11: Parabel
Wir zeichnen zweimal drei Tangenten an eine Parabel und bestimmen exemplarisch die Teilverhltnisse zwischen den wechselseitigen Schnittpunkten (Abb. 12).
Abb. 12: Tangenten an Parabel
Wenn wir dasselbe Spielchen mit einem Kreis machen, erhalten wir keine konstanten Teilverhltnisse. Mit einer Ellipse kann es daher auch nicht funktionieren, das sich eine Ellipse mit einer affinen Abbildung unter Erhaltung der Teilverhltnisse auf einen Kreis abbilden lsst. Auch mit der Hyperbel ist nichts zu wollen.
Die Parabel, der Exot unter den Kegelschnitten, ist also der interessante Fall.
Die Kegelschnitte knnen punktweise mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Fr die Parabel bentigen wir eine Gerade (Leitlinie) und einen Punkt (Brennpunkt). Die Abbildung 13 illustriert exemplarisch die Konstruktionen von zwei Punkten. Die jeweils gleichfarbigen Abstnde sind gleich gro§. Die Tangenten ergeben sich als Mittelsenkrechte.
Abb. 13: Tangenten als Mittelsenkrechte
In unserem Beispiel aus der Faltgeometrie (Abb. 2) spielen der Punkt die Rolle des Brennpunktes und die untere Papierkante die Rolle der Leitlinie.
Die rechten Winkel in der Abbildung 13 liegen auf der Scheiteltangente der Parabel (Abb. 14). Dabei erkennen wir auch wieder die Winkeleisen der Abbildung 4.
Abb. 14: Scheiteltangente und Winkeleisen
Damit schlie§t sich der Gedankenkreis.
Last modified: 16. Juni 2015