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Hans Walser, [20080319a], [20180906]
Siebeneck im Raum
Anregung: Heinz Schumann, Weingarten
Wie gro§ sind die Seiten und Winkel des Siebeneckes ABCDEFG mit den folgenden Eckpunktkoordinaten?
(1)
Das Siebeneck ist gleichseitig (SeitenlŠnge 1) und gleichwinklig (rechtwinklig), aber nicht eben.
Die Koordinaten kšnnen mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, dies im Unterschied zum ebenen regulŠren Siebeneck, welches nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.
Die Abbildung 1 zeigt eine Ansicht des Siebeneckes im Vergleich mit dem Einheitswźrfel. Vier der sieben Ecken des Siebeneckes sind die vier Basisecken des Wźrfels.
Abb. 1: Siebeneck
Die Abbildung 2a zeigt ein Gelenkmodell.
Abb. 2: Gelenkmodelle
Die Abbildung 2b zeigt eine zweite Lšsung fźr ein gleichseitig rechtwinkliges Siebeneck. Dazu gehšren die Koordinaten:
(2)
Gegenźber (1) ist lediglich ein Vorzeichen bei A geŠndert. Die Abbildung 3 zeigt die Situation.
Abb. 3: Zweite Lšsung
Die Modelle der Abbildung 2 sind beweglich. Dabei bleiben die KantenlŠngen und die rechten Winkel erhalten, aber die Torsion (Verdrehung) lŠngs der Kanten wird verŠndert.
Es gibt also unendlich viele verschiedene gleichseitig rechtwinklige Siebenecke.
Die Abbildung 4 zeigt tordierte Varianten der Abbildung 2. Im Unterschied zu den Beispielen der Abbildung 2 gibt es keine parallelen Kanten.
Abb. 4: Tordierte Beispiele
Interessanterweise ist es aber nicht mšglich, dass Modell der Abbildungen 2a oder 4a durch Verdrehen (Tordieren) lŠngs der Kanten in das Modell der Abbildungen 2b oder 4b źberzufźhren. Die beiden Modelle sind echt verschieden.
Man ist versucht, ein geschlossenes gleichseitig gleichwinkliges Polygon als regelmЧig zu bezeichnen, dies im Anschluss an die Nomenklatur in der Ebene. Dies ist aber nicht sinnvoll. Im Raum kommt als drittes Kriterium die Torsion ins Spiel. Fźr ein regelmЧiges Polygon mźsste diese lŠngs jeder Kante gleich und gleich orientiert sein.
Ein gleichseitiges, gleichwinkliges und gleichtordiertes Polygon mit einer von null verschiedenen Torsion ist aber eine eckige Schraubenlinie. Diese kann nicht geschlossen sein.
Das berźhmte Sechseck lŠngs der Wźrfelkanten (Abb. 5, Petrie-Polygon) ist zwar gleichseitig und rechtwinklig, aber die Torsion ist abwechslungsweise +90ˇ und –90ˇ.
Abb. 5: Nicht regelmЧiges Polygon