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Hans Walser, [20160429]
Winkelaufgabe
Eine klassische Aufgabe besteht darin, in der Figur der Abbildung 1 den angegebenen Winkel zu bestimmen. Es wird eine bildorientierte Lsung vorgestellt.
Abb. 1: Wie gro§ ist der gesuchte Winkel?
Einige eigene Lsungsversuche sind ratsam, um den Schwierigkeitsgrad der Aufgabe zu erleben.
Natrlich kann man das Problem zeichnerisch angehen. Der gesuchte Winkel misst 30¡. Aber wie lsst sich das beweisen?
Nach Einzeichnen eines gleichseitigen Dreieckes (rot in Abbildung 2) sehen wir, dass wir die Figur in einen Stern mit neun Spitzen einpassen knnen. Der Schlssel dazu ist das gleichschenklige Dreieck (verfrbtes Blau) mit dem Spitzenwinkel 80¡ und den Basiswinkeln 50¡.
Abb. 2: Stern mit neun Spitzen
Hier zeigt sich auch, dass sich die Sache nicht mit Zirkel und Lineal angehen lsst, da ein regelm§iges Neuneck nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
Mit Hilfe zweier Rhomben (magenta in Abbildung 3) und eines gleichseitigen Dreiecks (grn) sowie einer Symmetrieberlegung zeigen wir, dass das braune Viereck ein Rechteck ist.
Abb. 3: Rechteck
Daraus folgt nun aber, dass das lila Dreieck in der Abbildung 4 rechtwinklig ist. Der eine der beiden spitzen Winkel misst 60¡. Daher muss der andere spitze Winkel 30¡ messen. Das ist aber unser gesuchter Winkel.
Abb. 4: Rechtwinkliges Dreieck
Wir konnten unsere Aufgabe mit einem Neuneck und einem zugehrigen Stern lsen. Das lag an den gegebenen Daten und ist leider nicht verallgemeinerungsfhig.
WerÕs nicht glaubt, versuche das leicht modifizierte Problem der Abbildung 5 zu lsen.
Abb. 5: Modifiziertes Problem
Das Resultat ist (Dynamische Geometrie Software) etwa 38.73789306893789¡.