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Polarkoordinaten.
Wir sind es gewohnt, Punkte in der Ebene durch ihre karthesischen
Koordinaten zu beschreiben. Es gibt aber auch eine andere sehr effektive
Form, mit der man jeden Punkt in der Ebene eindeutig bestimmen kann.
Wir messen vom Nullpunkt1 die Richtung, also den Winkel zur positiven
x-Achse bzw. zur positiven rellen Achse, wobei wir den Winkel in
positivem Drehsinn (gegen den Uhrzeiger)
messen2.
Danach messen wir den Abstand zum Nullpunkt.
Den Nullpunkt selbst stellen wir durch die 0 dar. Er hat keine
Richtung.3 Ist r > 0 der
Abstand des Punktes vom Nullpunkt und ϕ mit 0≤ϕ<2π sein
Winkel zur positiven x-Achse im Bogenmaß4, so schreiben wir die
Koordinaten
Diese Darstellung der Ebene nennt man Polarkoordinaten. Sie sind
besonders bei komplexen Zahlen sehr nützlich.
Haben wir eine komplexe Zahlen z = x + iy ≠ 0 in unserer Ebene,
so schreiben wir
| z = |z| (||+ i ||)
= |z| (u + iv).

Wegen u2+v2=1 liegt dann der Punkt (u,v) auf dem
Einheitskreis der Gaußschen Zahlenebene. Es gibt also eine
– bis auf Vielfache von 2π –
eindeutig bestimme Zahl ϕ, so dass
ist. Damit haben wir die Richtung und Abstand unserer komplexen
Zahl bereits berechnet (fast).
In der Darstellung
mit Polarkoordinaten (r,ϕ), nennen wir ϕ
das Argument von
z und r den Betrag von z.
Berechnung von ϕ.
Ganz haben wir das Argument ϕ noch nicht berechnet. Wir haben
die Richtung durch einen Punkt auf dem Einheitskreis eindeutig angegeben,
aber noch nicht den Winkel. Wir können unter Beachtung der Vorzeichen
von x folgende Rechnung durchführen.
Falls x > 0 ist, setzen wir
Falls x < 0 ist, setzen wir
Falls x = 0 ist, so liegt der Punkt auf der y-Achse. Ist y > 0, so ist
und für y < 0 gilt
Eulerdarstellung:
Für z=x +iy mit x,y∈ℝ definiert man die
komplexe Exponentialfunktion durch
|ez = ex+iy = ex eiy := ex(cos y + i sin y). |
Es gilt also

eiy = cos y + isin y, y∈ℝ.
(1)|
Nun können wir die Darstellung in Polarkoordinaten noch weiter abkürzen und
schreiben einfach
Die komplexe Exponentialfunktion wird ihrer Aufgabe gerecht. Für ihre
Ableitung gilt
| (eix)′ = (cos x + i sin x)′ = −sin x + i cos x
= i(i sin x + cos x) = i eix.

Wir haben also eine Erweiterung der e-Funktion auf komplexe Zahlen
gefunden, bei der sie weiter ihre eigene Ableitung ist.
Für das Umrechnen der Polarkoordinaten in karthesische Koordinaten und
umgekehrt verwenden wir die Beziehung (1). Es ist hilfreich, wenn
man daran denkt, dass die komplexe e-Funktion eiϕ
nur eine abkürzende
Schreibweise für cosϕ + isinϕ ist.
Multiplikation in Polarkoordinaten.
Aus der Eulerdarstellung und den
Rechenregeln für Potenzen sieht man sofort, dass sich die Multiplikation
erheblich vereinfacht. Für
z1 = r1 eiφ1, z2 = r2 eiφ2
gilt
| z1z2
= r1 eiφ1 r2 eiφ2
= r1r2 ei(φ1+φ2).

Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert
und die Argumente addiert.
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HEVEA.