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Hans Walser, [20171001]
Konjugierte Kegelschnitte
Zwei Kegelschnitte nenne ich konjugiert, wenn die Brennpunkte des einen auf dem anderen liegen und umgekehrt.
Es werden einige Beispiele vorgestellt und einige Eigenschaften festgestellt. Verifikation jeweils mit DGS.
Wir beginnen mit einem beliebigen Parallelogramm. Dazu zeichnen wir eine Ellipse, welche zwei diametrale Ecken des Parallelogramms als Brennpunkte hat und durch die beiden anderen Ecken verluft (rot in Abb. 1a).
Abb. 1: Konjugierte Ellipsen
Nun zeichnen wir eine zweite Ellipse (grn in Abb. 1b) mit vertauschten Rollen der vier Parallelogrammecken.
Die beiden Ellipsen sind in unserem Sinn konjugiert.
Die Abbildung 2a zeigt eine dritte Ellipse (blau), die je zu den beiden anderen konjugiert ist. Wir haben also drei paarweise konjugierte Ellipsen.
Abb. 2: Dritte konjugierte Ellipse
Die Abbildung 2b zeigt eine andere Lsung fr eine dritte konjugierte Ellipse. Die beiden Lsungen sind aber nicht zueinander konjugiert.
Liegt das an der fehlenden Symmetrie?
Die Abbildung 3a zeigt eine symmetrische Lsung von drei paarweise konjugierten Ellipsen so dass einem das Herz im Leibe lacht. Welches Achsenverhltnis haben die Ellipsen?
Abb. 3: Symmetrische Lsungen
Allerdings gibt es auch da eine weniger symmetrische dritte Ellipse (Abb. 3b).
In der Abbildung 4a ist grn mit rot konjugiert, weiter rot mit blau und blau mit violett und violett mit grn. Wir haben eine geschlossene Kette von aufeinanderfolgenden konjugierten Ellipsen. Hingegen ist grn nicht mit blau konjugiert und rot nicht mit violett. Wir haben also keine paarweise Konjugation.
Abb. 4: Symmetrische Ketten von konjugierten Ellipsen
Wie steht es mit den Ellipsen der Abbildung 4b?
Wir vermuten: Es gibt hchstens drei paarweise konjugierte Ellipsen. Beweis?
Wir haben einen analogen Sachverhalt in der elementaren Geometrie: Es gibt hchstens drei Punkte mit paarweise gleichem Abstand.
Kehren wir zum asymmetrischen Beispiel der Abbildung 2a zurck. Wir vermuten schon lange, dass die Figur einen Umkreis hat (Abb. 5a). Die konjugierten Ellipsen haben alle dieselbe lange Achse. Verifikation mit DGS.
Abb. 5: Umkreis und weitere Ellipsen
Das Sechseck der sechs Brennpunkte hat eine Umellipse (Abb. 5b). Das ist trivial, da jedes punktsymmetrische Sechseck als affin regulres Sechseck eine Umellipse hat.
In der Abbildung 5b haben wir aber noch sechs weitere Schnittpunkte, welche auf einer Ellipse liegen. Dies ist nicht trivial, da eine Ellipse schon durch fnf Punkte festgelegt ist. Verifikation mit DGS.
Wir knnen eine beliebig lange geschlossene Kette von aufeinanderfolgend konjugierten Ellipsen zeichnen.
Wir beginnen mit einer beliebigen Ellipse (rot in Abb. 6a) und whlen auf ihr zwei diametrale Punkte. Diese verwenden wir als Brennpunkte fr die zweite Ellipse (grn in Abb. 6b), welche auch noch durch die Brennpunkte der ersten Ellipse verlaufen soll.
Abb. 6: Start und erster Schritt
Nun whlen wir zwei diametrale Schnittpunkte (wir haben eine dichotomische Wahl) der beiden Ellipsen (blau in Abb. 7a) als Brennpunkte der nchsten Ellipse, welche durch die Brennpunkte der ersten Ellipse laufen soll. Sie verluft dann automatisch auch durch die Brennpunkte der zweiten Ellipse.
Abb. 7: Zweiter und dritter Schritt
Wir whlen nun diejenigen Schnittpunkte der neuen Ellipse mit der ersten Ellipse, welche nicht Brennpunkte er vorhergehenden Ellipse waren, als Brennpunkte der folgenden Ellipse. Diese soll durch die Brennpunkte der ersten Ellipse gehen. Sie geht dann automatisch auch durch die Brennpunkte der unmittelbar vorhergehenden Ellipse.
Allgemein: es sei e1 die erste Ellipse, und die Ellipsen bis en seien gezeichnet. Von den vier Schnittpunkten von en mit e1 whlen wir diejenigen beiden, welche nicht schon Brennpunkte von en–1 waren, als Brennpunkte von en+1. Die Ellipse en+1 soll durch die Brennpunkte von e1 verlaufen. Sie verluft dann automatisch auch durch die Brennpunkte von en.
Zwei aufeinanderfolgende Ellipsen und die Ellipse e1 sind dann paarweise konjugiert, aber die mittelbar aufeinanderfolgenden Ellipsen en–1 und en+1 sind nicht konjugiert.
Wir knnen also jederzeit abbrechen und haben eine geschlossene Kette von aufeinanderfolgend konjugierten Ellipsen. Zudem sind alle Ellipsen mit e1 konjugiert.
Die Abbildung 8 zeigt die beiden folgenden Schritte.
Abb. 8: Folgende Schritte
Die Ellipsen werden immer schmaler und hufen sich gegen die lange Achse von e1.
Mit Hyperbeln geht es analog. Die Abbildung 9 zeigt drei paarweise konjugierte Hyperbeln. Statt einem Umkreis haben wir nun einen Inrkreis.
Abb. 9: Paarweise konjugierte Hyperbeln
In der Abbildung 10 sind abwechslungsweise Ellipsen und Hyperbeln konjugiert. Die beiden Ellipsen sind aber nicht konjugiert, auch die beiden Hyperbeln sind nicht konjugiert.
Wir haben weder Umkreis noch Inkreis.
Es ist mir nicht gelungen, ein Tripel aus zwei Ellipsen und einer Hyperbel paarweise zu konjugieren. Offenbar haben wir da so etwas wie ein Parittsproblem.
Abb. 10: Ellipsen und Hyperbeln