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Russells Paradoxie wird häufig mit der Geschichte des gründlichen Bibliothekars erläutert. Eines Tages, während er zwischen den Regalen umhergeht, entdeckt der Bibliothekar eine Sammlung von Katalogen. Es gibt verschiedene Kataloge für Romane, Fachbücher, Lyrik und so weiter. Der Bibliothekar stellt fest, daß manche Kataloge sich selbst auflisten, während andere dies nicht tun. Um das System zu vereinfachen, stellt der Bibliothekar zwei weitere Kataloge zusammen, wobei der eine die Kataloge auflistet, die sich selbst auflisten, der andere, und interessantere, die Kataloge, die sich nicht selbst auflisten. Nach getaner Arbeit stößt der Bibliothekar auf ein Problem: Sollte der Katalog, der alle Kataloge auflistet, die sich nicht selbst auflisten, sich selbst auflisten? Wenn ja, darf er per Definition nicht aufgelistet werden. Wenn er allerdings nicht aufgelistet wird, muss er per Definition aufgelistet werden.
Der Bibliothekar steht vor einem unlösbaren Dilemma, das als Lügnerparadoxie bekannt ist. Epimenides war ein Kreter, der den Satz ausrief:
»Ich bin ein Lügner!«
Die Paradoxie wird deutlich, wenn wir zu bestimmen versuchen, ob diese Aussage wahr oder falsch ist. Sehen wir zunächst, was passiert, wenn wir annehmen, dass die Feststellung wahr ist. Dies bedeutet, dass Epimenides ein Lügner ist, doch sind wir ja davon ausgegangen, dass er einen wahren Satz gesagt hat, und deshalb ist er kein Lügner. Schauen wir nun, was geschieht, wenn wir annehmen, daß die Aussage falsch ist. Das hieße, Epimenides ist kein Lügner, doch haben wir vorausgesetzt, dass er eine falsche Aussage traf, und deshalb ist Epimenides ein Lügner – wir haben einen weiteren Widerspruch. Ob wir nun annehmen, dass die Aussage wahr oder falsch ist, wir stoßen in jedem Fall auf einen Widerspruch, und deshalb ist die Aussage weder wahr noch falsch. Gödel interpretierte die Lügnerparadoxie neu und führte den Begriff des Beweises ein. Das Ergebnis war eine Aussage über sich selbst, die etwa so lauten könnte: Diese Aussage kann nicht bewiesen werden. Wenn die Aussage falsch wäre, dann wäre sie beweisbar, doch dies würde ihr selbst widersprechen. Um den Widerspruch zu vermeiden, muss die Aussage daher wahr sein. Allerdings kann sie, obwohl sie wahr ist, nicht bewiesen werden, weil die Aussage (von der wir wissen, dass sie wahr ist) eben dies feststellt.
Quelle: Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels von Simon Singh