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Travaux en mathématiquesIl fit d’importantes contributions à la statistique, à la théorie des nombres, aux algèbres abstraites et à l'analyse.
Une grande partie de son travail fut perfectionné par d'autres: son travail sur les racines des polynômes inspira la théorie de Galois; le travail de Abel sur les fonctions elliptiques fut construit sur celui de Legendre; certains travaux de Gauss en statistique et en théorie des nombres complétèrent ceux de Legendre.
En 1825, il finalisa la preuve du dernier théorème de Fermat pour l'exposant n = 5 (voir démonstrations du dernier théorème de Fermat), à la suite des travaux de Dirichlet.
En arithmétique modulaire, il apporta des éléments de preuve à la loi de réciprocité quadratique, conjecturée par Euler et prouvée ultérieurement par Gauss. Il fit aussi un travail de pionnier sur la distribution des nombres premiers, et sur l'application de l'analyse dans la théorie des nombres. Sa conjecture de 1798 à propos du théorème des nombres premiers fut rigoureusement prouvée par Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896.
Legendre fit une quantité de travaux impressionnante sur les fonctions elliptiques, incluant la classification des intégrales elliptiques, mais il revient à Abel d'avoir le trait de génie d'étudier les inverses des fonctions de Jacobi et d'ainsi résoudre complètement le problème.