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Hans Walser, [20161021]
Reflexion am Kreis
Die Aufgabe ist so alt wie die Spiegelungsgeometrie. ãEin Reiter hat von A nach B zu reiten und mchte dazwischen sein Ross am linearen Bache k trnkenÒ. Die optimale Lsung mit der krzesten gesamten Wegelnge finden wir mit einer Spiegelung.
Abb. 1: Das Ross und der Reiter
Wir ersetzen den Bach durch einen kreisrunden Teich (Abb. 2).
Abb. 2: Der Teich
Diese Aufgabe ist mir weder als Schler noch als Lehrer je begegnet. Offenbar ist sie mit konventionellen schulischen Methoden nicht lsbar.
Die folgenden Methoden sind Einschiebelsungen. Also Suchlsungen.
Wir verschieben den Punkt P auf dem Kreis k so, dass die beiden in der Abbildung 3 angegebenen Winkel und gleich gro§ werden.
Abb. 3: Gleiche Winkel
Handwerkliches: Wir zeigen die Differenz der beiden Winkel an, zoomen bei P hinein und verschieben P, bis die Differenz hinreichend nach bei null ist.
Wir whlen einen Punkt P auf k und zeichnen die Ellipse mit den Brennpunkten A und B durch P (Abb. 4). Q sei der zweite Schnittpunkt der Ellipse mit k.
Abb. 4: Ellipse
Dann verschieben wir den Punkt P auf k bis Q und P zusammenfallen (Abb. 5). Dies liefert die Lsung.
Abb. 5: Zusammenfallende Schnittpunkte
Wir verwenden ein kartesisches Koordinatensystem, in welchem der Kreis k der Einheitskreis ist. Den Punkt P parametrisieren wir mit P(cos(t), sin(t)). Wir beschreiben die gesamte Wegelnge als Funktion von t:
(1)
Fr diese Funktion suchen wir die Extremstellen.
Es kann bis zu vier verschiedene Lsungen geben.
Neben den Minimallsungen gibt es auch Maximallsungen. Diese knnen ebenfalls als Reflexion am Kreis verstanden werden.
Die Abbildung 6 gibt einige Beispiele.
Abb. 6: Beispiele