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Bohrsches Atommodell
Inhaltsverzeichnis
Modell
Im Bohrschen Atommodell umkreist ein Elektron auf Kreisbahnen den Kern (Proton, Heliumkern). Da gemäss den Gesetzen der Elektrodynamik eine beschleunigte Ladung elektromagnetische Strahlung aussendet, müsste das Elektron in kürzester Zeit auf den Kern abstürzen. Bohr postulierte deshalb, dass das Elektron auf den zugelassenen (stabilen) Bahnen nicht strahlt und nur beim Übergang von einer Bahn auf die andere ein Lichtteilchen (Photon) aussenden oder absorbiert.
Bohrsche Postulate
Bohr formulierte sein Modell, indem er das Rutherfordsches Atommodell um drei Postulate erweiterte:
- Elektronen bewegen sich auf stabilen Kreisbahnen um den Atomkern ohne elektromagnetische Strahlung zu emittieren.
- Der Radius der Elektronenbahn ändert sich nicht kontinuierlich, sondern sprunghaft. Bei diesem Quantensprung wird ein Photon abgegeben oder aufgenommen.
- Elektronenbahnen sind stabil, falls der Bahndrehimpuls des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantums [math]\hbar[/math] ist. Dieses Postulat wird häufig auch Auswahlbedingung genannt.
Bahnradius
Im Bohrschen Atommodell wird das Elektron (Masse m, Ladung -e) durch die elektrostatische Kraft des Atomkerns auf einer Kreisbahn gehalten (1. Postulat)
- [math] F_E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}=ma_n={mv^2\over r }[/math]
Der Bahndrehimpuls des Elektrons L ist nach dem 3. Postulat quantisiert
- [math]L=mvr=n\hbar \Leftrightarrow\ v={n\hbar\over mr}[/math].
Setzt man die so gewonnene Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Radius ins Grundgesetz der Mechanik (Impulsbilanz) ein, erhält man für den Radius r:
- [math]{1 \over 4\pi\varepsilon_0}{e^2 \over r^2 }={m({n\hbar\over mr})^2\over r} \Leftrightarrow {e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 r^2}={m n^2 \hbar^2 \over m^2r^3 } \Leftrightarrow[/math]
- [math] r=n^2{4 \pi\varepsilon_0\hbar^2\over m e^2 }[/math].
Der kleinste Radius wird als Bohrscher Atomradius bezeichnet
- [math] r_0 = { 4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2 \over m e^2 } \approx 5.29 \cdot 10^{-11}m[/math].
Energie
- [math]W_E=-{1\over 4\pi\varepsilon_0}{e^2\over r}[/math]
Für die kinetische Energie gilt
- [math]W_{kin} = {1\over 2}mv^2 ={1\over 8\pi\varepsilon_0}{ e^2\over r}= -{1 \over 2}W_E[/math],
Demnach ist die Gesamtenergie des Elektrons im Feld des Protons gleich
- [math]W=W_{kin}+W_E={1\over 2}W_{pot}=-{1\over 8\pi\varepsilon_0}{ e^2\over r}[/math].
Setzt man nun die durch die Quantisierung des Bahndrehimpulses erlaubten Radien ein, erhält man die möglichen Energieniveaus
- [math]W={1\over 2}W_{pot}=-{1\over 8\pi\varepsilon_0}{e^2\over {n^2{4 \pi\varepsilon_0\hbar^2\over m e^2 }}}=-{m e^4\over 32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2}{ 1\over n^2}[/math].
Die Energiedifferenz beim Übergang vom [math]n_1[/math]-ten in den [math]n_2[/math]-ten Zustand ist damit gleich
- [math]\Delta W = W_{n_2}-W_{n_1}={m e^4\over 32\pi^2 \varepsilon_0^2 \hbar^2}\left( {1 \over n_1^2 }-{1 \over n_2^2}\right)={m e^4\over 8 \varepsilon_0^2 h^2}\left( {1 \over n_1^2 }-{1 \over n_2^2}\right)[/math]
Bei der letzten Umformung ist das Drehimpulsquantum [math]\hbar[/math] durch das um 2π grössere Wirkungsquantum h ersetzt worden. Diese Formel wurde bereits 1888 von Johannes Rydberg ohne Kenntnis eines Atommodells allein aufgrund von beobachteten Linienspektren aufgestellt.
Für das vom Elektron beim Übergang absorbierte oder emittierte Photon gilt der von Albert Einstein postulierte Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz f
- [math]W=hf[/math].
Springt das Elektron vom [math]n_1[/math]-ten in den [math]n_2[/math]-ten Zustand, ist die Frequenz des emittierten oder absorbierten Photons gleich
- [math]f= {{m e^4}\over {8\epsilon_0^2 h^3} }\left({1\over n_2^2}-{1\over n_1^2}\right)[/math].
Lässt man [math]n_1[/math] gegen Unendlich gehen, erhält man die Energie, die nötig ist, um ein Elektron aus dem Unendlichen bis zum Zustand [math]n_2[/math] zu bewegen, also die Gesamtenergie des Zustands [math]n_2[/math].
Exaktere Werte erhält man, wenn man berücksichtigt, dass sich sowohl das 1836 Mal schwerere Protons als auch das Elektrons um den gemeinsamen Massenmittelpunkt bewegen. Um den Einfluss des sich bewegenden Protons zu korrigieren, sind die Energie- und Frequenzwerte mit folgendem Faktor zu korrigieren
- [math] { 1 \over 1 + { m_{\mathrm{Elektron}} \over m_{\mathrm{Kern}} } } \approx { 1 \over 1{,}00055 } [/math].
Bestätigungen
Das bohrsche Atommodell konnte eine Reihe von physikalischen Messergebnissen der im Entstehen begriffenen Atomphysik erklären. In nachfolgenden mit höherer Genauigkeit durchgeführten Experimenten zeigten sich allerdings auch deutliche Abweichungen zwischen Modell und Wirklichkeit.
Grösse der Atome
Der mit den wenigen Grundannahmen des Modells berechnete Durchmesser von Atomen liegt für viele Elemente in der richtigen Grössenordnung. Insbesondere stimmten sie grob mit den zur gleichen Zeit von Max von Laue und William Henry Bragg erstmals durchgeführten Experimenten zur Röntgenbeugung überein. Die kleine, aber endliche Grösse war eine Schlüssel-Eigenschaft der Atome in den noch vagen Vorstellungen zum Aufbau der Materie. Daher wurde die Fähigkeit des Bohr-Modells, die Grösse aus allgemeinen Annahmen abzuleiten, als Erfolg angesehen.
Spektrale Übergänge
Schon 1885 wurden spektrale Linien beim Wasserstoff-Atom entdeckt (Balmer-Serie, später Lyman-Serie, Paschen-Serie und weitere). Für die Position der Linien innerhalb der jeweiligen Serie konnte Johannes Rydberg anhand von gemessenen Linienspektren bereits 1888 eine numerische Formel angeben. Der physikalische Hintergrund dieser Formel blieb jedoch zwanzig Jahre lang ein Rätsel. Die von Bohr eingeführten spektralen Übergänge der Elektronen von einer Schale auf die andere erlaubten, die Rydberg-Formel aus allgemeinen Prinzipien abzuleiten.
Franck-Hertz-Versuch
Eine weitere Bestätigung des Bohrschen Atommodells erfolgte 1913/1914 mit dem Franck-Hertz-Versuch. In dem Versuch konnte gezeigt werden, dass die Abgabe von Energie nur in bestimmten, diskreten Paketen möglich ist. Damit war der Quantenaspekt des Bohrschen Atommodells bestätigt.
Mängel
Das Atommodell von Bohr steht in vielen Punkten im Widerspruch zu der durch Messung zugänglichen Realität. Einige dieser Widersprüche waren bereits zur Zeit der Entstehung des Modells bekannt. Andere wurden später mit verbesserten Experimenten und weiter ausgearbeiteter Theorie der Quantenmechanik offensichtlich:
- Die Bewegung des Elektrons (Beschleunigung auf einer Kreisbahn) widersprecht der klassischen Elektrodynamik.
- Ein Atom, das nur aus einem Proton und einem mit festem Bahndrehimpuls kreisenden Elektron besteht, ist scheibenförmig und nicht wie das Wasserstoffatom im Grundzustand kugelförmig.
- Atome mit mehreren Elektronen und chemische Bindungen zwischen Atomen können mit dem Bohrschen Modell nicht befriedigend erklärt werden.
- Der Bahndrehimpuls des Elektrons müsste nach dem Bohrschen Modell im Grundzustand gleich [math]\hbar[/math] sein, tatsächlich ist er aber gleich Null.
- Die Aufspaltung der Spektrallinien unter dem Einfluss von Magnetfeldern (Zeeman-Effekt) kann mit dem Bohrschen Atommodell nicht erklärt werden.
- Durch die geringen Abmessungen des Atoms verletzt die Vorstellung einer definierten Bahn des Elektrons um den Atomkern die 1927 entdeckte Heisenbergsche Unschärferelation.
- Das Bohrsche Atommodell ist ein Relikt aus der Frühzeit der Quantenphysik und sollte aus den Lehrplänen der Mittel- und Hochschulen gestrichen werden.
Die Quantenmechanik zeigt ein grundsätzlich anderes Bild vom Atom: die Elektronen bewegen sich nicht auf irgend welchen Bahnen, sondern befinden sich in bestimmten Zuständen.
Ausblick
Das bohrsche Atommodell fand im Bohr-Sommerfeldsches Atommodell verschiedene Erweiterungen. So wurde unter anderem eine zweite und dritte Quantenzahl eingefügt, um Feinstruktur-Aufspaltungen zu erklären. Der Stern-Gerlach-Versuch erweiterte das Modell abermals um den Spin. Mit der Quantenmechanik ist eine umfassendere Theorie entstanden, die auch die Bohrschen Postulate vollständig begründet. Die Bohrsche Auswahlbedingung kann durch zwei grundlegende quantenmechanische Prinzipien - den Materiewellen bzw. die Heisenbergsche Unschärferelation - plausibel erklärt werden
De BroglieMateriewellen) und zeigte mithilfe einer relativistischen Argumentation, dass ein Elektron mit dem Impuls die folgende Wellenlänge (λ) besitzt
- [math]\lambda = { h \over p }[/math]
Modelliert man das umlaufende Elektrons als stehende Welle, muss der Umfang so gewählt werden, dass ein ganzzahliges Vielfaches der Länge der zugehörigen Materiewelle auf die Kreisbahn passt:
- [math]2\pi r=n\lambda \Leftrightarrow 2 \pi r=n{h\over p} \Leftrightarrow pr =n\hbar \Leftrightarrow L=n \hbar;[/math]
Damit folgt die Bohrsche Auswahlbedingung aus der Forderung, dass die Elektronen im Atom stehende Wellen ausbilden.
Heisenberg
Eine häufig gebrauchte Formulierung der heisenbergschen Unschärferelation besagt, dass für die Ortsunschärfe [math]\Delta x[/math] und die Impulsunschärfe [math]\Delta p[/math] stets gilt
- [math] \Delta x \Delta p \ge h [/math].
Gleichartige Relationen gelten aber auch unter anderem für Energie und Zeit und für Drehimpuls L und Drehwinkel [math]\varphi[/math]:
- [math] \Delta L \Delta \varphi \ge h [/math].
Nun kann man bei der Messung eines Drehwinkels maximal einen Fehler von [math]2\pi[/math] (360°) machen
- [math]\Delta \varphi_{max} = 2\pi[/math]
Folglich gilt für die Unschärfe des Drehimpulses
- [math]\Delta L\Delta \varphi_{max} \ge h\Rightarrow \Delta L \ge \frac{h}{2\pi} = \hbar [/math].
Für minimale Unschärfe von L gilt dann:
- [math] \Delta L_{min} = \hbar [/math]
Man kann also sagen, dass der Drehimpuls infolge der Unschärferelation einen Bereich von [math]\hbar[/math] für sich beansprucht. Drehimpulse müssen also, um unterscheidbar zu sein, mindestens diesen Abstand oder ein Vielfaches davon haben. Folglich gilt
- [math] L = n \hbar.[/math]
Dies ist genau die Auswahlbedingung von Bohr.