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Jeder Körper bei einer endlichen Temperatur emittiert elektromagnetische Strahlung. Typische Beispiele dafür sind heisse Körper, bei einigen 1000 K, wie die Sonne oder die Glühwendel einer Glühbirne, die Strahlung im sichtbaren Frequenzbereich emittieren. Aber auch kältere Objekte emittieren Strahlung: Zum Beispiel bei Raumtemperatur (300 K) vornehmlich Infrarotstrahlung oder nahe dem absoluten Nullpunkt der Temperaturskala ( 4 K) Mikrowellenstrahlung. Daher spielt die allgegenwärtige thermische Strahlung eine wichtige Rolle in Wissenschaft und Technik.
Die elektromagnetische Strahlung entsteht dabei durch thermisch angeregte Schwingungen von Ladungen (Elektronen, Atomkerne, Ionen) im betrachteten Körper. In einem Festkörper sind die Schwingungen der vielen Freiheitsgrade (Grössenordnung ) sehr stark gekoppelt, was zu einem kontinuierlichen Strahlungsspektrum führt. Die Form des Strahlungsspektrums hängt, wie wir sehen werden, in guter Näherung nur von der Temperatur und der Dimension (1D, 2D, 3D) des Körpers ab, nicht aber von seiner detaillierten Struktur oder seinen chemischen Eigenschaften. Um den Einfluss der Dimensionalität des Körpers auf das Spektrum zu untersuchen, werden wir zuerst relativ kalte eindimensionale (siehe Abschnitt 5.3) und dann heisse dreidimensionale Körper betrachten (siehe Abschnitt 5.4.7).
Zur Entwicklung der Quantenmechanik hat die Untersuchung der Wärmestrahlung wichtige Beiträge geliefert, da das charakteristische Spektrum der Strahlung mit klassischen Mitteln nicht korrekt beschrieben werden kann. Eine genaue Erklärung der Form des Spektrums wurde erst durch Max Planck um 1900 unter Beachtung der quantenmechanischen Eigenschaften des Lichts gefunden.
Wir betrachten einen Körper der Temperatur in einem abgeschlossenen Hohlraum, dessen Wände elektromagnetische Strahlung jeder Frequenz unter jedem Winkel verlustfrei reflektieren (ideale Spiegel) (siehe Abb. 5.1 mit geschlossenem Shutter).
Trifft ein vom Körper emittierter Strahl nach einigen Reflexionen wieder auf den Körper und wird dort ganz oder teilweise absorbiert, so ist die emittierte gleich der absorbierten Strahlungsleistung und der Körper verändert seine Temperatur nicht. Dieser stationäre Zustand1 wird als Strahlungsgleichgewicht bezeichnet. Dabei hat das elektromagnetische Feld im Hohlraum eine spektrale Energiedichte2 , die nur von der Temperatur abhängt. Für die Strahlungsenergie pro Volumen im Frequenzbereich zwischen und gilt (für genauere Ausführungen wird auf weiterführende Literatur [2] verwiesen)
wobei wir verwendet haben, dass für die elektrische Feldstärke , die elektrische Flussdichte , die magnetische Feldstärke und die magnetische Flussdichte (im Vakuum) die folgenden Zusammenhänge gelten , und . Weiter erfüllt die Hohlraumstrahlung die folgenden Eigenschaften:
Zusammenfassend können wir sagen:
Die spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung ist homogen und isotrop und hängt nur von der Frequenz und der Temperatur ab.
Ein idealer schwarzer Strahler ist ein Körper, der sämtliche auftreffende elektromagnetische Strahlung jeder Frequenz vollständig absorbiert (Absorptionskoeffizient ) und nichts reflektiert (Reflexionskoeffizient ). Diese idealisierte Betrachtung ist in der Natur nur näherungsweise realisiert, da bei realen Körpern die Absorption und Reflexion typischerweise eine merkbare Frequenzabhängigkeit zeigt. Trotzdem lassen sich die charakteristischen Eigenschaften von thermischen Strahlern unter dieser Näherung gut beschreiben.
Unter der Annahme, dass ein idealer schwarzer Strahler realisiert ist, gehen Materialeigenschaften nicht in dessen spektrale Energiedichte ein und hängt nur von der Temperatur ab und ist zudem homogen und isotrop.
Ein weitgehend idealer schwarzer Körper lässt sich gut durch den in Abschnitt 5.1 besprochenen Hohlraum realisieren. Wenn wir den Hohlraum mit einer kleinen Öffnung versehen (siehe Abb. 5.1), können wir die austretende Strahlung nutzen, um die Energiedichte der Strahlung innerhalb des Körpers zu charakterisieren. Dabei soll die Öffnung so klein sein, dass sich die Energiedichte im Hohlraum nicht oder nur sehr langsam ändert. Gleichzeitig kann von aussen eintretende Strahlung die Energie im Hohlraum nur geringfügig ändern.
Zunächst berechnen wir die spektrale Energiedichte eines eindimensionalen schwarzen Strahlers. Dieser Fall ist besonders einfach und lässt uns erste Einsichten in die Eigenschaften der thermischen Strahlung gewinnen.
Wir betrachten ein Rohr der Länge mit Durchmesser bei einer festen Temperatur (siehe Abb. 5.2). Alle Berechnungen, die wir im folgenden anstellen werden, sind nur solange korrekt, als dass die betrachteten Wellenlängen diese Bedingungen erfüllen. Ein solcher eindimensionaler schwarzer Strahler ist zum Beispiel realisiert, wenn man ein typisches Koaxialkabel mit und einigen Metern Länge auf Temperaturen von flüssigem Helium abkühlt. Am Ende eines solchen Kabels lässt sich dann das Schwarzkörperspektrum der thermischen Strahlung messen.
Die Energie innerhalb des eindimensionalen schwarzen Strahlers wird in elektromagnetischen Eigenschwingungen (Moden) gespeichert. Zur Berechnung der spektralen Energiedichte werden wir nun folgendermassen vorgehen: Wir bestimmen die Form der Eigenschwingungen (Moden), ihre Anzahl und die Energie pro Mode und daraus die spektrale Energiedichte.
Zur Bestimmung der Eigenschwingungen ist die Wellengleichung für die elektrische Feldstärke in einer Dimension zu lösen
Wir setzen für die elektrische Feldstärke stehende, harmonische Wellen an und erhalten daraus Lösungen der Form mit der Dispersionsrelation , wobei der Wellenzahl entspricht. Mit den Randbedingungen und erhalten wir die Resonanzbedingung
Mit Hilfe der Dispersionsrelation und den Beziehungen und ergibt sich
wobei die Wellenlänge mit dem Index versehen wird, um darauf hinzuweisen, dass die Wellenlänge vom Modenindex abhängt. Entsprechend erhalten wir für die j-abhängige Frequenz
Dabei ist der Frequenzabstand zwischen benachbarten Moden konstant
Das Modenspektrum (siehe Abb. 5.3(b)) besteht also aus einer unendlichen Folge von äquidistanten Moden.
Die Anzahl der Moden im Frequenzbereich zwischen zwischen und der maximalen Frequenz ergibt sich durch Division von durch den Frequenzabstand der Moden (5.6)
Die Anzahl der Moden ist also linear in der Frequenz . Daraus erhalten wir für die spektrale Modendichte ( ist die Anzahl der Moden im Frequenzbereich zwischen und )
Wir erhalten also in einer Dimension eine konstante spektrale Modendichte , d.h. gleich viele Moden in jedem Frequenzintervall.
Die spektrale Energiedichte lässt sich nun berechnen, indem die spektrale Modendichte mit der Energie pro Mode multipliziert und durch die Länge des Rohrs dividiert wird.
Klassisch ist die Energie pro Mode statistisch durch das Äquipartitionsprinzip bestimmt, das besagt, dass im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur im Mittel jeder Freiheitsgrad die Energie besitzt. Wenn wir pro Mode 2 Freiheitsgrade (horizontale und vertikale Polarisation der elektromagnetischen Strahlung) betrachten, ergibt sich pro Mode eine Energie von
Somit ergibt sich mit (5.8) und (5.9) eine konstante frequenzunabhängige Energiedichte
Dies ist das Rayleigh-Jeans-Gesetz in einer Dimension. Es steht jedoch im Widerspruch mit den experimentellen Beobachtungen: Das Integral über das gesamte Spektrum, d.h. die Gesamtenergiedichte, divergiert. Dieses theoretische Phänomen wurde von Paul Ehrenfest als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet. Man kann zeigen, dass die Ultraviolettkatastrophe nicht eine spezifische Eigenschaft des Modells ist, das wir hier betrachtet haben. Der Grund der Ultraviolettkatastrophe liegt vielmehr in der Annahme der Äquipartition, die aus der klassischen Mechanik folgt und zum Beispiel für die Moleküle eines Gases im thermischen Gleichgewicht gilt.
Schon um 1896 herum existierten genaue Messungen der spektralen Energiedichte, die von heissen Körpern emittiert wird (Otto Lummer und Wilhelm Wien). Das Rayleigh-Jeans-Gesetz stimmt mit den Resultaten für sehr tiefe Frequenzen gut überein, versagt aber für hohe Frequenzen.
In den Jahren unmittelbar vor der Jahrhundertwende gelangte Planck zu einer Theorie, welche die von Lummer gemessene spektrale Energiedichte erklären konnte. Sie beruht auf zwei grundlegenden Erkenntnissen:
Die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion gilt, wie wir später erklären werden, für Bosonen, d.h. Teilchen mit ganzzahligem Spin, zu denen das Photon gehört.
Für die quantenmechanische Energie pro Mode erhalten wir daher
Daraus ergibt sich nun die spektrale Energiedichte , das Plancksche Strahlungsgesetz in einer Dimension (siehe Abb. 5.4(b))
Als nächstes betrachten wir Grenzfälle der spektralen Energiedichte bei kleinen Frequenzen bzw. hohen Temperaturen () und bei hohen Frequenzen bzw. kleinen Temperaturen ().
Unter der Bedingung lässt sich die Exponentialfunktion in eine Taylorreihe entwickeln
Daraus erhalten wir die für eindimensionale Körper charakteristische konstante Energiedichte
Wir erhalten also für kleine Frequenzen bzw. hohe Temperaturen aus dem Planckschen Strahlungsgesetz das bekannte Rayleigh-Jeans-Gesetz (1D) zurück. Offenbar ist die klassische Theorie als Grenzfall in der Planckschen Theorie enthalten.
Für gilt , was zur folgenden Näherung führt (Wiensches Strahlungsgesetz (1D))
D.h. die Energiedichte fällt exponentiell mit steigender Frequenz. Dieser Effekt ist durch die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion begründet, die die Besetzung von Moden bei hohen Frequenzen exponentiell unterdrückt, was insbesondere das Auftreten der Ultraviolettkatastrophe verhindert.
In Abb. 5.5(a) ist das Plancksche Strahlungsgesetz zusammen mit den Grenz-fällen Rayleigh-Jeans-Gesetz und Wiensches Strahlungsgesetz für einen eindimensionalen schwarzen Strahler dargestellt.
Die Gesamtenergiedichte des schwarzen Strahlers pro Länge erhalten wir durch Integration der spektralen Energiedichte über das Spektrum, d.h. über den gesamten Frequenzbereich. Mit (5.13) ergibt sich:
wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass . Wir erhalten somit für die Gesamtenergiedichte ein Ergebnis, das nur von der Temperatur abhängt. Dieses Gesetz wird Stefan-Boltzmann-Gesetz (1D) genannt. In Abb. 5.5(b) ist die charakteristische quadratische Abhängigkeit der Gesamtstrahlungsleistung von der Temperatur des Körpers dargestellt. Man bemerke, dass die Gesamtstrahlungsleistung ausser von der Temperatur nur von Naturkonstanten abhängt.
Analog zum eindimensionalen schwarzen Strahler (siehe Abschnitt 5.3) berechnen wir nun die spektrale Energiedichte für den dreidimensionalen Fall. Der dreidimensionale Fall beschreibt alle Körper deren Abmessungen in allen drei Raumrichtungen viel grösser sind als die betrachteten Wellenlängen. Dieser Fall ist bei Temperaturen oberhalb der Raumtemperatur quasi für alle Objekte erfüllt. Insbesondere beschreiben die in diesem Abschnitt berechneten Eigenschaften des dreidimensionalen schwarzen Strahlers das Spektrum der Sonne und anderer heisser Objekte.
Wir betrachten einen würfelförmigen Hohlraum der Kantenlänge (siehe Abb. 5.6). Die Vorgehensweise ist analog zu der im eindimensionalen, weshalb wir auf einige Herleitungen verzichten werden.
Analog zum eindimensionalen Fall erhalten wir als Resonanzbedingung für eine stehende Welle entlang einer der drei Raumrichtungen mit Modenindex und , wobei der Wellenzahl entlang einer Dimension entspricht. Für eine stehende Welle entlang einer beliebigen Richtung ergibt sich die Resonanzbedingung3
wobei der Wellenvektor ist und wir analog zum eindimensionalen Fall zur Umformung die Beziehungen (Dispersionsrelation), und verwendet haben.
Zur Berechnung der Anzahl der möglichen Moden betrachten wir den Raum der ganzen positiven Zahlen , , (siehe Abb. 5.7). Der Abstand des Gitterpunktes (, , ) vom Ursprung beträgt unter Verwendung von (5.18)
Die Anzahl Moden deren Frequenz zwischen und liegt, entspricht somit der doppelten4 Anzahl der Gitterpunkte innerhalb eines Kugeloktanten5 vom Radius . Für den grössten Teil der von einem schwarzen Körper emittierten Strahlung sind die Frequenzen sehr gross im Vergleich zur Kantenlänge , d.h. .
Die Zahlen , , sind damit so gross, dass das Zahlengitter als Kontinuum betrachtet werden kann. Damit erhalten wir für die Anzahl der Moden im Frequenzbereich zwischen und
Daraus ergibt sich für die spektrale Modendichte ( ist die Anzahl der Moden im Frequenzbereich zwischen und )
Wir erhalten somit in drei Dimensionen eine spektrale Modendichte, die quadratisch von der Frequenz abhängt (siehe Abb. 5.8(a)). Je höher die betrachtete Frequenz wird, desto grösser wird die Anzahl der Moden. Die zusätzlichen Moden liegen im Raum der Modenindizes auf eine Kugelschale deren Oberfläche quadratisch mit der Frequenz steigt und so die charakteristisch anwachsende Modenzahl bestimmt.
Die spektrale Energiedichte , d.h. das Plancksche Strahlungsgesetz in drei Dimensionen, ergibt sich nun aus der Multiplikation der spektralen Modendichte mit der Energie pro Mode dividiert durch das Volumen des Körpers . Unter Verwendung von (5.12) und (5.21) ergibt sich (siehe Abb. 5.8(b))
Wie im eindimensionalen Fall untersuchen wir das Grenzverhalten der spektralen Energiedichte bei kleinen Frequenzen bzw. hohen Temperaturen () und bei hohen Frequenzen bzw. kleinen Temperaturen ().
Mit der Entwicklung (5.14) erhalten wir aus (5.22) das Rayleigh-Jeans-Gesetz (3D)
Hier zeigt sich der charakteristische quadratische Anstieg der Energiedichte mit bei niedrigen Frequenzen.
Mit ergibt sich aus (5.22) das Wiensche Strahlungsgesetz (3D)
das auch in diesem Fall auf Grund der Bose-Einstein-Verteilung eine für hohe Frequenzen exponentiell abfallende Energiedichte zeigt.
In Abb. 5.9(a) ist das Plancksche Strahlungsgesetz zusammen mit den Grenz-fällen Rayleigh-Jeans-Gesetz und Wiensches Strahlungsgesetz für einen dreidimensionalen schwarzen Strahler dargestellt.
Nun berechnen wir wie im eindimensionalen Fall aus der spektralen Energiedichte das Stefan-Boltzmann-Gesetz in drei Dimensionen. Die Gesamtenergiedichte des schwarzen Strahlers pro Volumen erhalten wir dabei wieder durch Integration der spektralen Energiedichte über das Spektrum, d.h. über den gesamten Frequenzbereich. Mit (5.22) ergibt sich (siehe Abb. 5.9(b))
wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass . Somit erhalten wir, dass die Gesamtenergiedichte eines dreidimensionalen schwarzen Strahlers proportional zu ist und wie bereits diskutiert von keinen weiteren Eigenschaften des Körpers abhängt.
Das Wiensche Verschiebungsgesetz gibt an bei welcher Wellenlänge ein nach dem Planckschen Strahlungsgesetz (5.22) strahlender schwarzer Körper in Abhängigkeit seiner Temperatur die maximale Strahlung emittiert. Wir haben bisher die Energiedichte eines schwarzen Strahlers als Funktion der Frequenz betrachtet. Zur Bestimmung von benötigen wir die Energiedichte als Funktion der Wellenlänge. Zur Umschreibung nutzen wir die Beziehung und erhalten aus (5.22) für die Energiedichte , d.h. die Strahlungsenergie pro Volumen im Wellenlängenbereich zwischen und
Das Maximum erhalten wir nun aus der Bedingung
Für die Ableitung nach der Wellenlänge erhalten wir
Nullsetzen und Multiplikation mit ergibt
Mit der Abkürzung folgt
Diese transzendente Gleichung hat neben der Lösung die für uns interessante Lösung . Daraus ergibt sich das Wiensche Verschiebungsgesetz
In analoger Weise kann man das Wiensche Verschiebungsgesetz auch für die Frequenz berechnen, d.h. die Frequenz bestimmen für die ein nach dem Planckschen Strahlungsgesetz (5.22) strahlender schwarzer Körper in Abhängigkeit seiner Temperatur die maximale Strahlung emittiert
In Abb. 5.10 ist das Plancksche Strahlungsgesetz gemeinsam mit seinen Grenz-fällen (Rayleigh-Jeans-Gesetz und Wiensches Strahlungsgesetz) aufgetragen (siehe Abb. 5.9) und zusätzlich dazu das Wiensche Verschiebungsgesetz, das das Maximum des Planckschen Strahlungsgesetzes angibt.
Bisher haben wir die spektrale Energiedichte des elektromagnetischen Feldes in einem schwarzen Strahler betrachtet und dafür das Plancksche Strahlungsgesetz (5.22) erhalten. Das Ziel ist es nun die gesamte von einem schwarzen Strahler emittierte Strahlungsleistung zu bestimmen. Dazu repetieren wir kurz die Definition der spektralen Energiedichte und definieren darauf aufbauend weitere Begriffe und schlussendlich die Strahlungsleistung .
Definitionen (siehe Abb. 5.11).
Als erstes berechnen wir die emittierte Energie aus der Energiedichte . Der Zusammenhang ist der folgende
wobei für das projizierende Flächenelement gilt
Dies folgt aus dem Lambertschen Gesetz, das besagt, dass die unter einem Winkel von einem Flächenelement emittierte Energie proportional zu ist oder in anderen Worten ausgedrückt: Nur die zur Ausbreitungsrichtung senkrechte Komponente des Flächenelements ist relevant (siehe Abb. 5.11). Daraus ergibt sich für die emittierte Leistung
Um nun die gesamte Strahlungsleistung eines Flächenelement zu berechnen, integrieren wir über den gesamten Frequenzbereich und den Raumwinkel. Ein Flächenelement kann nicht in den vollen, sondern nur in den halben Raumwinkel strahlen, weshalb nur über den halben Raum integriert wird. Dabei verwenden wir, dass der Raumwinkel gegeben ist durch .
Somit haben wir aus der Energiedichte die totale pro Flächenelement des schwarzen Strahlers abgestrahlte Leistung erhalten. Diese ergibt sich im Wesentlichen durch Multiplikation des Stefan-Boltzmann-Gesetzes (5.25) mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts und einem Geometriefaktor .
Wir berechnen nun die gesamte Strahlungsleistung der Sonne und daraus die Strahlungsintensität6 , die wir auf der Erde wahrnehmen. Dabei nehmen wir an, dass die Sonne näherungsweise einem kugelsymmetrischen schwarzen Strahler entspricht. Dass diese Annahme gut erfüllt ist, ist aus dem Vergleich aus dem gemessenen Strahlungsspektrum der Sonne mit dem berechneten Strahlungsspektrum eines schwarzen Strahlers derselben Temperatur zu entnehmen (siehe Abb. 5.12). Hier zeigt sich, dass das auf der Erde wahrgenommene Spektrum im Wesentlichen durch die in der Atmosphäre vorkommende Reflexion und Absorption des Lichts verändert ist.
Wir erhalten mit (5.36) für die gesamte von einem kugelsymmetrischen schwarzen Strahler mit Radius ausgesandte Strahlungsleistung
Nun berechnen wir daraus die Strahlungsintensität , die wir auf der Erde wahrnehmen. Mit (5.37) ergibt sich
wobei dem Abstand zwischen der Sonne und der Erde entspricht. Mit den in Tab. 5.1 aufgelisteten Daten zur Sonne, erhalten wir für die Gesamtstrahlungsleistung der Sonne und für die Intensität der Sonne auf der Erde mit (5.37) und (5.38)
Die in Abschnitt 5.4.6 hergeleitete Formel (5.36) für die Strahlungsleistung eines Körpers gilt nur für schwarze Strahler. In der Realität besitzen jedoch die wenigsten Materialien die Eigenschaften eines schwarzen Strahlers. Für einen realen Strahler gilt für die emittierte Strahlungsleistung
wobei die Emissivität ist und Werte zwischen und annehmen kann (für einen schwarzen Strahler gilt ). ist die Stefan-Boltzmann-Konstante und die Fläche des Strahlers.
Typische Werte der Emissivität für verschiedene Materialien sind in Tab. 5.2 zusammengestellt.
|Material||Temperatur [C]||Emissivität|
|Buchenholz||70||0.91|
|Wasser||10 - 50||0.91|
|Eis||-9.6||0.918|
|Papier||95||0.89|
|Eisen (poliert)||-73 - 727||0.06 - 0.25|
|Gold (oxidiert)||-173 - 827||0.013 - 0.070|
|Kupfer (oxidiert)||130||0.725|
Wir haben gesehen, dass bei der Berechnung der spektralen Energiedichte für einen schwarzen Strahler die klassische Physik versagt (Ultraviolettkatastrophe) und die quantenmechanischen Eigenschaften des Lichts benötigt werden, was zum Planckschen Strahlungsgesetz führt. Jedoch ist die klassische Theorie als Grenzfall (kleine Frequenzen) in der Planckschen Theorie enthalten (Rayleigh-Jeans-Gesetz). Zum Abschluss des Kapitels hier nochmals die wichtigsten Resultate:
Eindimensionaler schwarzer Strahler
Dreidimensionaler schwarzer Strahler