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Hans Walser, [20080910a]
Doppelter Schnittpunkt
Wir beginnen mit einem Sehnensechseck mit der Eigenschaft, dass die an einer Ecke ansto§enden Seiten jeweils gleich lang sind, also:
Abb. 1 Sechseck und Schnittpunkt
Dieser Schnittpunkt P kann auf zwei Arten als ãbesonderer PunktÒ gesehen werden.
Im Dreieck ist der Punkt P der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, also der Inkreismittelpunkt (Abb. 2).
Abb. 2 Inkreismittelpunkt
Die Winkel und sind nmlich Peripheriewinkel ber gleich langen Sehnen und daher gleich gro§. Die Gerade halbiert also den Dreieckswinkel bei . Entsprechendes gilt fr die beiden anderen Geraden.
Damit ist auch bewiesen, dass die drei Geraden , tatschlich kopunktal sind.
Abb. 3 Hhenschnittpunkt
Dies ist tatschlich der Fall.
Die Winkel und sind als Peripheriewinkel ber gleich langen Sehnen gleich gro§; dasselbe gilt fr die Winkel und . Die beiden Dreiecke und sind daher spiegelbildlich bezglich der Seite . Somit steht die Gerade , also die Gerade , senkrecht auf der Seite und ist eine Hhe des Dreieckes . Analog fr die beiden anderen Geraden.