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Hans Walser, [20100417a]
Schwerpunkt beim Dreieck
Zwei Eigenschaften im Zusammenhang mit dem Schwerpunkt des Dreieckes.
Einem beliebigen Dreieck setzen wir auf den Seiten drei zueinander Šhnliche Dreiecke , und an. Die Dreiecke dźrfen nach au§en oder nach innen angesetzt werden.
Ansetzen Šhnlicher Dreiecke
Dann haben die beiden Dreiecke und denselben Schwerpunkt S.
Beweis
Wir interpretieren die Punkte als komplexe Zahlen in der Gau§schen Zahlenebene. ZunŠchst ist dann:
Weiter gilt wegen der €hnlichkeit der angesetzten Dreiecke:
Fźr den Schwerpunkt T des Dreieckes erhalten wir:
Der Sachverhalte und die Beweisfźhrung lassen sich auf ein beliebiges n-Eck und seinen Eckenschwerpunkt S verallgemeinern.
Situation im Viereck
Wir setzen einem beliebigen Dreieck gleichseitige Dreiecke auf und bezeichnen deren Mittelpunkt mit . GemЧ dem Satz von Napoleon-Barlotti ist das Dreieck gleichseitig. Sein Mittelpunkt ist der Schwerpunkt des Dreieckes . In diesem Sonderfall ist (vgl: [Coxeter/Greitzer 1983], S. 67f, S. 167f).
Sonderfall
Wir beginnen mit dem beliebigen Dreieck mit dem Schwerpunkt S. Wir drehen den Punkt um S um den Winkel und erhalten so den Punkt .
Dann ist das Dreieck gleichseitig.
Ein gleichseitiges Dreieck entsteht
Beweis
Wir arbeiten wieder in der Gau§schen Zahlenebene und setzen den Ursprung in den Schwerpunkt S. Dann ist zunŠchst . Weiter ist
Zu prźfen ist:
Einsetzen ergibt:
Der Sachverhalt lŠsst sich nicht auf n-Ecke verallgemeinern.
Literatur
[Coxeter/Greitzer 1983] Coxeter, H. S. M. / Greitzer, S. L.: Zeitlose Geometrie. Stuttgart: Klett 1983. ISBN 3-12-983390-0