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Travaux en mathématiquesDans ses travaux mathématiques, la théorie des invariants et les équations algébriques et les groupes de substitution qui y sont associés ont été les principaux centres d'intérêt de Gordan.
Sa très riche collaboration avec Clebsch culmina dans la publication d'un ouvrage commun sur la théorie des fonctions abéliennes (1866). Le livre repose sur le mémoire fondamental de Riemann sur les fonctions abéliennes (1857) et privilégie les méthodes algébriques pour faire progresser la théorie. À la suite de leurs travaux est née une école allemande de géométrie algébrique, dirigée surtout par A. W. von Brill et M. Noether.
Gordan démontra, en 1868, que les invariants de systèmes de formes binaires possèdent une base finie, résultat qui fut étendu, en 1888, par Hilbert aux systèmes de formes d'un ordre quelconque. L'intérêt général pour la théorie commença alors à diminuer un peu.
En théorie des fonctions algébriques, Gordan étudia en collaboration avec Felix Klein (1874-1875) les rapports entre les groupes icosaédriques et les équations du cinquième degré. Il étudia également l'équation du septième degré et le groupe d'ordre 168 et, vers la fin de sa carrière, l'équation du sixième degré et le groupe d'ordre 360.
Paul Gordan dirigea la thèse de Emmy Noether, sa plus éminente élève.