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Hans Walser, [20080111b]
Go West, Young Man
Ein Explorer konstruiert einen Polygonzug, indem er jeweils genau nach Westen visiert und auf der Visierlinie immer dieselbe Strecke a abtrgt.
Wohin gelangt er schlie§lich?
Bearbeitung
Der Explorer bewegt sich nicht auf einen Breitenkreis.
Die folgenden berlegungen gelten fr einen Startpunkt auf der nrdlichen Halbkugel. Wenn der Explorer jeweils genau nach Westen visiert und auf der Visierlinie eine Strecke c abtrgt, liegt diese Strecke auf einem Gro§kreis mit dem nrdlichsten Punkt im Standort des Explorers. Der Explorer bewegt sich sukzessive nach Sden und nhert sich dem quator. Der sphrische Polygonzug ist aus Gro§kreisbgen zusammengesetzt.
Fr den Schritt von auf rechnen wir im sphrischen Dreieck mit diesen beiden Punkten und dem Nordpol.
Schritt
Dieses Dreieck ist rechtwinklig an der Ecke des aktuellen Standortes des Explorers. Die eine Kathete ist a, die andere die Poldistanz . Somit folgt aus dem ãsphrischen PythagorasÒ:
Fr den Winkel am Nordpol erhalten wir aus dem Seiten-Kosinus-Satz:
Also:
Das Minuszeichen darum, weil unser junger Mann westwrts geht.
Damit knnen wir die Eckpunkte des sphrischen Polygonzuges rekursiv berechnen.
Beispiele
Zunchst ein Beispiel auf der Einheitskugel. Fr , und einer Kantenzahl ergibt sich nachfolgendes Bild.
a = 0.1, n = 1000
Wir sehen, wie die Kurve asymptotisch gegen den quator luft.
Das Beispiel ist allerdings nicht realistisch, weil a viel zu gro§ ist; die Visierlinie wrde durch die Erdkrmmung unterbrochen. Bei einer Instrumentenhhe von einem Meter haben wir einen Horizont von ca. 3.5 km. Wenn auch das Empfangsinstrument ein Meter ber Boden ist, knnen wir mit einer Visierdistanz von max. 7 km arbeiten.
Einer Visierdistanz von 6.366 km entspricht auf der Einheitskugel . Im folgenden Beispiel ist , und (wow!).
a = 0.001, n = 3141
Das sieht jetzt so aus, wie wenn unser junger Mann genau auf dem Breitenkreis um die Erde herumgegangen ist. In Wirklichkeit befindet er sich aber nach dem ersten Umgang etwa 17 km sdlich des Ausgangspunktes.