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Du nimmst eine natürliche Zahl, bildest ihr Quadrat und ziehst davon 81 ab. Kann das Ergebnis durch 100 teilbar sein?
Zahlen beschäftigen uns von klein auf. Schon Babys erkennen den Unterschied zwischen einem Punkt und zwei Punkten. In der Schule büffeln wir das Einmaleins – später kommen rationale und irrationale Zahlen hinzu wie zum Beispiel Pi oder e.
Doch die natürlichen Zahlen werden uns Menschen immer am vertrautesten bleiben. Und es ist verblüffend, dass so manches alte Rätsel über sie bis heute nicht geklärt ist. Etwa die Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Das sind Paare von Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt wie zum Beispiel 11 und 13 oder 17 und 19.
Das neue Rätsel fällt zum Glück nicht in diese Kategorie – aber es erfordert zumindest den einen oder anderen Trick:
Finde alle natürlichen Zahlen n<100, für die
n2 - 81
durch 100 teilbar ist!
Wenn n2 - 81 durch 100 teilbar sein soll, dann muss die Zahl n2 auf 81 enden. Für welche Zahlen n zwischen 10 und 99 trifft das zu? Wir könnten einfach stumpf von allen diesen Zahlen das Quadrat berechnen – aber das wäre ziemlich umständlich.
Eleganter zum Ziel kommen wir, wenn wir die Fragestellung erst einmal vereinfachen:
Für welche Zahlen n endet n2 auf 1?
Weil n kleiner als 100 ist, können wir n auch darstellen als 10k + m, wobei k und m einstellige natürliche Zahlen sind. n2 entspricht dann 100k2 + 20km + m2. Benutzt haben wir dafür die binomische Formel (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.
Wenn n2 auf 1 enden soll, muss logischerweise auch 100k2 + 20km + m2 auf 1 enden. Das ist nur der Fall, sofern die letzte Stelle von m2 eine 1 ist. Denn sowohl 100k2 als auch 20km sind Vielfache von 10 und haben daher keinen Einfluss auf die letzte Stelle von n2.
Wir kommen voran: Weil m eine einstellige natürliche Zahl ist, hat m2 nur dann als letzte Ziffer eine 1, wenn gilt m=1 oder m=9.
Wir untersuchen nun diese beiden Fälle einzeln:
Es gilt n = 10k + 1 und somit n2 = 100k2 + 20k + 1.
100k2 ist durch 100 teilbar. Um die Bedingungen der Aufgabe zu erfüllen, muss 20k + 1 auf 81 enden. Da k eine einstellige natürliche Zahl ist, kommen als Lösungen nur k=4 und k=9 in Frage. Das ergibt für n die beiden Lösungen 41 und 91.
Es gilt n = 10k + 9 und somit n2 = 100k2 + 180k + 81.
Damit die Bedingungen der Aufgabe erfüllt sind, muss 180k ein Vielfaches von 100 sein. Wir können das vereinfachen zu: 9k muss ein Vielfaches von 5 sein. Dies ist nur möglich, wenn gilt k=0 und k=5. Damit ergeben sich als einzige Lösungen n=9 und n=59.
Fazit:
Die Aufgabe hat 4 Lösungen: 9, 41, 59, 91. Die Quadrate dieser Zahlen sind 81, 1681, 3481 und 8281.
Entdeckt habe ich dieses Zahlenrätsel übrigens beim Mathematikwettbewerb Känguru, an dem jedes Jahr im März Hunderttausende deutsche Schüler teilnehmen.