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Hans Walser, [20150830]
Tangentenviereck als Gelenkmodell
Anregung: W. G., B und Chr. K., B.
Die Abbildung 1 zeigt zwei Positionen eines Gelenkmodells fr ein Tangentenviereck. Die jeweiligen Inkreise wurden nachtrglich eingezeichnet.
Abb. 1: Tangentenviereck
Ein Viereck mit den Seiten a, b, c, d ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn gilt:
(1)
Das kann mit Tangentenabschnitten eingesehen werden. Oft wird der halbe Umfang einer Figur mit s bezeichnet. Im Falle eines Tangentenviereckes ist dann:
(2)
Die Bedingung (1) kann auch in der Form
(3)
geschrieben werden. In Worten: Die alternierende Seitensumme ist null.
Eine weitere Form ist die Differenzenform:
(4)
Im Beispiel der Abbildung 1 ist a = 10, b = 8, c = 5 und d = 7. Als Ma§einheit dient der Lochabstand.
Ein Viereck ist durch seine vier Seiten aber noch nicht festgelegt. Zu gegebenen vier Seitenlngen mit der Bedingung (1) gibt es also unendlich viele Tangentenvierecke. Dies legt die Idee des Gelenkmodells nahe dessen Seiten die Bedingung (1) erfllen. In jeder Position erhalten wir ein Tangentenviereck. Die Gr§e des jeweiligen Inkreises variiert aber.
Die Abbildung 2a zeigt nochmals das Gelenkmodell mit a = 10, b = 8, c = 5 und d = 7, aber die beiden krzesten Seiten sind zustzlich nach au§en verlngert.
Abb. 2: Nicht konvex
Dieses Gelenkmodell kann in eine nicht konvexe Position gebracht werden (Abb. 2b). Es hat dann immer noch einen Inkreis, der aber teilweise die nun nach innen verlaufenden Verlngerungen der Seiten berhrt.
Man kann sich nun fragen, in welcher Position das Tangentenviereck mit gegebenen Seiten den gr§ten Inkreis hat. Dies ist gleichbedeutend mit der Frage nach dem gr§ten Flcheninhalt.
Allgemein hat ein beliebiges Viereck mit gegebenen Seitenlngen den gr§ten Flcheninhalt in der Position des Sehnenviereckes (isoperimetrisches Problem fr Vierecke). Beweis mit Differentialrechnung [1], [2]. Ein elementargeometrischer Beweis ist mir nicht bekannt.
Somit hat ein Tangentenviereck dann den gr§ten Inkreis, wenn es auch ein Sehnenviereck ist.
Wir knnen die Optimierung des Tangentenvierecks aber auch ohne Bezugnahme auf das Sehnenviereck bearbeiten. Dazu arbeiten wir mit den Bezeichnungen der Abbildung 3.
Abb. 3: Bezeichnungen
Zunchst ist:
(5)
Die Summe der halben Innenwinkel ist gleich :
(6)
Diese Gleichung (6) knnen wir mit CAS (Maple) nach r auflsen und erhalten so die Funktion deren Maximum wir nach dem blichen Verfahren finden:
restart:
glg:= arctan(r/x)+arctan(r/(a-x))+arctan(r/(b-a+x))+arctan(r/(c-b+a-x))=Pi;
sol:=solve(glg, r):
r=sol[1];
r:=x->sqrt(-(a+c)*(a^3-2*a^2*b+a^2*c-2*a^2*x+a*b^2-a*b*c+2*a*b*x-2*a*c*x+a*x^2+c*x^2))/(a+c):
xmax:=solve(diff(r(x), x)=0, x);
rmax:=simplify(r(xmax));
Flaechemax:=simplify((a+c)*rmax);
Wir erhalten:
Abb. 4: Ergebnisse
Wegen (1) und (2) ist:
(7)
(8)
(9)
Mit diesen Angaben ist das optimale Tangentenviereck mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Zu gegebenen Seiten a, b, c, d mit der Tangentenviereckbedingung (1) konstruieren wir zunchst in einer Nebenkonstruktion und und anschlie§end das optimale Tangentenviereck.
Die Nebenkonstruktionen verlaufen in einem Quadrat der Seitenlnge . Wir zeichnen dieses Quadrat und tragen auf der Deckgeraden die Strecken a und c sowie auf der Bodengeraden die Strecken b und d ab (Abb. 5). Die Abbildung 5a zeigt die Konstruktion von mit Hilfe des Strahlensatzes. Die Konstruktionsreihenfolge ist: schwarz (gegebene Daten), blau, grn, zyan, rot. Die Abbildung 5b zeigt die Konstruktion von . Verwendet werden dabei der Hhensatz im rechtwinkligen Dreieck und der Strahlensatz.
Die Daten fr a, b, c, d entsprechen dem Modell der Abbildung 1.
Abb. 5: Nebenkonstruktionen
Nun zeichnen wir die Strecke und unter Verwendung von und den Inkreis (Abb. 6a). Dann knnen wir zum gesuchten optimalen Tangentenviereck ergnzen (Abb. 6b).
Abb. 6: Das optimale Tangentenviereck
Wir knnen das Gelenkmodell der Abbildung 1 ber einen Kegel stlpen (Abb. 7). Wenn das Gelenkmodell festsitzt, hat es die optimale Position.
Abb. 7: Stlplsung
Das Gelenkmodell der Abbildung 1 kann auf zwei Arten zu einem Dreieck gestreckt werden (Abb. 8).
Abb. 8: Zum Dreieck gestreckt
Der Inkreis berhrt dann die gestreckte Seite genau im ãgestreckten EckpunktÒ also im Gelenkpunkt in welchem die beiden anschlie§enden Viereckseiten einen Winkel von 180¡ einschlie§en. Dies folgt aus (1) sowie dem Sachverhalt, dass in einem Dreieck der Tangentenabschnitt von einer Ecke zum Berhrungspunkt des Inkreises gleich der Differenz des halben Umfanges und der gegenberliegenden Seitenlnge ist.
Einfacher ist eine dynamische berlegung: Das Gelenkmodell hat ja in jeder Position einen Inkreis, also auch bei Annherung an die Sonderfallposition des Dreieckes. Die Tangentenabschnitte auf den vom zu streckenden Eckpunkt ausgehenden Seiten gehen dabei gegen Null. Also fallen die beiden auf diesen Seiten liegenden Berhrungspunkte zusammen und sind mit dem gestreckten Eckpunkt identisch.
Auch die beiden anderen Berhrungspunkte des Inkreises mit den Dreiecksseiten sind ganzzahlig. Dies folgt trivialerweise aus der ãGanzzahligkeitÒ unseres Modells.
Wird das Gelenkmodell eines beliebigen Vierecks zum Dreieck gestreckt haben wir keinen Berhrungspunkt im gestreckten Eckpunkt. Die Abbildung 9 zeigt ein Gegenbeispiel mit a = 10, b = 8, c = 7 und d = 4. Die Bedingung (1) fr das Tangentenviereck ist verletzt. Die Berhrpunkte der Inkreise sind weit daneben.
Abb. 9: Gegenbeispiel. Kein Tangentenviereck
Die Abbildung 10 zeigt ein ãberschlagenesÒ Viereck. Das Gelenkmodell in der Foto (Abb. 10b) ist allerdings kein Tangentenviereck, sondern das schon einmal (Abb. 9) verwendete Gegenbeispiel mit a = 10, b = 8, c = 7 und d = 4, wo die Bedingung (1) verletzt ist.
Abb. 10: berschlagenes Viereck. Kein Tangentenviereck
Tatschlich gibt es kein berschlagenes Viereck, das die Bedingung (1) fr ein Tangentenviereck erfllt.
Fr den Beweis arbeiten wir mit den Bezeichnungen der Abbildung 10a. Aus der Dreiecksungleichung fr die beiden Dreiecke mit dem Kreuzungspunkt als einem gemeinsamen Eckpunkt ergibt sich:
(10)
Das widerspricht der Bedingung (1).
Auf diesen Sachverhalt ist der Autor gesto§en, als er versuchte, aus dem Gelenkmodell fr das Tangentenviereck der Abbildung 1 ein berschlagenes Viereck zu machen. Dabei fand er auch die folgende Klappviereckeigenschaft.
Das Gelenkmodell eines Tangentenviereckes lsst sich zusammenklappen wie ein Taschenmesser (Abb. 11). Das zusammengeklappte Viereck ist so lang wie die lngste Viereckseite.
Abb. 11: Klappviereck
Genau die Tangentenvierecke sind Klappvierecke. Dies folgt aus (4) und der Struktur des zusammengeklappten Modells.
Fr den Fall des Rhombus funktioniert das Zusammenklappen nur, wenn wir die Gelenkbreite vernachlssigen.
Wir bauen nun ein Gelenkmodell eines Tangentenviereckes auf der Basis des Klappviereckes. Dazu kleben wir einen Papierstreifen zu einem geschlossenen Band zusammen (Abb. 12). Dieses Band drcken wir nun flach und zwar so, dass insgesamt vier Faltlinien quer zum Streifen entstehen. Damit ergibt sich ein Gelenkmodell eines Tangentenviereckes, weil sich die Bedingung (4) von selber einstellt. Die Papierstreifen haben eine Tendenz, sich nicht im Sinne des Erfinders zu krmmen.
Abb. 12: Flachdrcken des geschlossenen Bandes
Die Abbildung 13 zeigt eine weitere Art eines Gelenkmodells fr ein Tangentenviereck, inspiriert durch das Modell der Abbildung 12. Dazu schneiden wir von einem eher starken Karton zwei gleich breite und gleich lange Streifen ab, den einen fr a + c und den anderen fr b + d. Diese Streifen zerschneiden wir beliebig in je zwei Teile und erhalten so die Seiten a, b, c, d. Die Gelenke bauen wir mit beidseitig angebrachten Klebebndern.
Abb. 13: Gelenkmodelle aus Kartonstreifen
Dieses Modell lsst sich auch im Fall des Rhombus zusammenklappen. Einigerma§en wenigstens.
Mathematiker sind gro§ im Vernachlssigen und Idealisieren. Die Strecken im Gelenkmodell sind keine idealen Strecken. Sie haben eine gewisse Breite. Diese Breite wurde etwa in der Abbildung 10a gegenber dem realen Modell der Abbildung 10b schlicht vernachlssigt.
In Beispiel der Abbildung 1 wurde die Breite der Lochstreifen nicht vernachlssigt. Der Inkreis wurde nicht fr das ideale Viereck gezeichnet, sondern fr das Innenprofil (was die Fensterbauer das Licht nennen). Nun ist es allerdings so, dass das keine Rolle spielt, solange die Streckenbreite (gedacht als Streifenbreite) berall die gleiche ist (Abb. 14). Das Innenprofil, das ideale Tangentenviereck und auch das Au§enprofil haben je einen Inkreis. Diese drei Inkreise haben dasselbe Zentrum, ihre Radien differieren um die halbe Streifenbreite.
In der Abbildung 14a sind die Ecken auf Gehrung gezeichnet. Bei den meisten Metallbauksten sind sie rund (Abb. 14b). Das hat aber keinen Einfluss auf den Inkreis des Au§enprofils.
Abb. 14: Tangentenviereck mit Streifenbreite
Nebenbemerkung: Wir knnen die analoge Frage fr Sehnenvierecke stellen. Da in einem Sehnenviereck die Summe gegenberliegender Winkel je 180¡ ist, die Winkel bei Parallelstreifen sich aber nicht ndern, sind sowohl Innenprofil wie auch Au§enprofil je ein Sehnenviereck. Wo liegen die Zentren der Umkreise?
Wie ltere Semester schon lange festgestellt haben, sind die Gelenkmodelle der Abbildungen aus Lochstreifen aus Gro§vaters Metallbaukasten gebaut. Fr die Gelenke wurde allerdings systemwidrig mit Musterttenklammern gearbeitet. Das macht die Modelle zwar etwas wacklig, dafr tragen die Gelenke nur wenig auf.
Geht man im Modell der Abbildung 1 im positiven Sinn herum stellt man fest dass das jeweils folgende Lochband an drei Gelenkpunkten ber das vorhergehende gelegt ist. Wir haben also dreimal ãaufÒ. Am vierten Gelenkpunkt geht es dann stark hinunter. Der Niveauunterschied wurde beim vierten Gelenkpunkt mit mehreren Unterlagscheiben kompensiert. Vom sthetischen Standpunkt aus ist das unbefriedigend. Die Lsung ãauf-ab-auf-abÒ wre viel ausgeglichener. Dann htte aber das Klappviereck (Abb. 11) nicht funktioniert. Ein topologisches Problem.
Bei Metallbauksten werden die Lochbnder nach der Lochzahl klassifiziert. In unserem Kontext ist aber die Anzahl der Lochabstnde relevant. Diese ist um 1 kleiner als die Lochzahl. Allerdings macht es bei der Bedingung (1) nichts aus, wenn wir flschlicherweise mit der Lochzahl arbeiten. Die Fehler kompensieren sich.
Die oben skizzierte Problematik taucht in vielen Beispielen im Unterricht auf. Oft ist es aber so, dass der Fehler sich nicht ausgleicht. Das klassische und abgegriffene Beispiel dazu ist die Frage nach der Lnge einer Pappelallee, wenn die Anzahl der Pappeln und der Pappelabstand gegeben sind. Im Unterricht habe ich diesen Problemkreis etwas ironisch jeweils als ãPappelproblemÒ bezeichnet. Mit dem Erfolg, dass eine Schlerin an der mndlichen Maturittsprfung in einem kombinatorischen Problem leise lchelnd sagte es handle sich hier um das Pappelproblem. Keine Pappel weit und breit.
Die Pappelaufgabe soll sicher nicht als Sachproblem oder als authentische Modellierungsaufgabe behandelt werden. Es geht darum, einem oft auftretenden Abzhlproblem eine Ikone zu geben.
Wenn Sie in Ihrem Leben in n Wohnungen gelebt haben, wie oft sind Sie dann umgezogen?
Websites
[1] Flchenoptimierung im Viereck:
[2] Isoperimetrische Vierecke mit gegebenen Seitenlngen: