Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03113.jsonl.gz/943

Hans Walser, [20080331b]
Punktraster
Wir arbeiten mit einem regulren Quadratraster oder Dreiecksraster.
Quadratraster und Dreiecksraster
Auf dieses Raster wenden darauf eine affine Abbildung an. Bildraster und Ursprungsraster werden berlagert dargestellt.
Eine kleine Translation fhrt zu einem Schatten.
Schatten
Eine kleine Drehung wird sichtbar.
Kleine Drehung
Wir stellen uns Urbildraster und Bildraster in parallelen, senkrecht stehenden Ebenen vor. Wenn wir das aus einem gewissen Abstand ansehen, erkennen wir infolge der Perspektive ein neues Muster. In den folgenden Figuren befinden wir uns vier mal den Abstand der beiden Ebenen vor der vorderen Ebene. Die vorderen Punkte sind entsprechend gr§er gezeichnet. Die Punkte sind durchscheinend gezeichnet. Die berlagerung von blau und rot ergibt magenta. Wir erkennen ein Quadratraster und ein Dreiecksraster aus berlagerten Punkten.
Perspektive
Perspektive
Bei einer Drehung um 45¡ ergibt sich au§erhalb des Drehzentrums keine exakte berlagerung von Punkten der beiden Raster, auch wenn es fast so aussieht. Das liegt daran, dass eine irrationale Zahl ist.
Drehung um 45¡
Weitere exakte berlagerungen ergibt es, wenn wir noch eine Streckung einbauen mit einem Faktor, welcher enthlt. Im folgenden Beispiel ist der Streckfaktor . Wir sehen ein quadratisches berlagerungsraster, welches bezogen auf das ursprngliche blaue Raster die Maschenweite 3 hat. Bezogen auf das rote Raster ist die Diagonalenlnge der Maschen nun 4.
Drehung mit kleiner Streckung. Streckfaktor
Direkt mit dem Streckfaktor ergibt sich:
Streckfaktor
Den analogen Effekt erhalten wir, wenn wir das Dreiecksraster um einen Rasterpunkt um 30¡ drehen.
Drehung um 30¡
Bei einer Streckung um , also etwa um 1%, gibt es au§erhalb des Zentrums exakte berlagerungen — wo sind diese?
Drehung und kleine Streckung. Streckfaktor
Es geht aber bereits mit dem — allerdings gr§eren — Streckfaktor .
Streckfaktor
Knnen wir auch ohne Streckung, also mit einer reinen Drehung, exakte berlagerungen erhalten? Im folgenden Bild ist der Drehwinkel .
Drehwinkel
Wir erkennen ein schrg liegendes quadratisches berlagerungsraster mit Maschenweite und einer Steigung gegenber der Horizontalen. Was steckt dahinter?
Wir alle kennen das rechtwinklige Dreieck mit den Kathetenlngen und sowie der Hypotenusenlnge . Der Witz ist, dass die Hypotenusenlnge c ebenfalls ganzzahlig ist, was bei beliebigen rechtwinkligen Dreiecken in der Regel nicht der Fall ist. Solche spezielle rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Kathetenlngen und ganzzahliger Hypotenusenlnge hei§en pythagoreische Dreiecke.
Unser Drehwinkel ist aber der Winkel dieses Dreieckes mit den Kathetenlngen und sowie der Hypotenusenlnge . In der Tat knnen wir ein solches Dreieck in unser Raster einpassen.
Pythagoreisches Dreieck 3:4:5
Die Kathete a ist horizontal und misst 3 Einheiten im blauen Raster, die Kathete b ist vertikal und misst 4 Einheiten ebenfalls im blauen Raster, whrend die schrge Hypotenuse 5 Einheiten im roten Raster misst. Da wir aber nur gedreht und nicht gestreckt haben, sind die Maschenweiten in beiden Rastern gleich.
Wir sehen, dass auch In- und Umkreis des Dreieckes durch mehrere Rasterpunkte verlaufen.
Wir knnen auch noch ein drittes Raster ins Spiel bringen, indem wir das rote Raster um drehen. Das Bild davon ist in der folgenden Figur grn gezeichnet.
Drei Raster
Die exakten berlagerungen aller drei Raster bilden ein schrg liegendes Quadratraster der Maschenweite 5 (dies ist im roten Raster nachprfbar). Dieses neue Raster hat die Steigung .
Somit ist das Hypotenusenquadrat des rechtwinkligen Dreieckes ein Rasterquadrat dieses neuen Rasters. Selbstverstndlich passt es auch in das rote Raster, da wir ein pythagoreisches Dreieck haben. Die beiden Kathetenquadrate passen in das ursprngliche blaue Raster.
Hypotenusenquadrat
Erinnerung: Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der beiden blauen Quadratflchen gleich der roten Quadratflche.
Im nchst gr§eren pythagoreischen Dreieck ist , und . Wir arbeiten den Drehwinkel .
Pythagoreisches Dreieck 5:12:13
Das schrg liegende quadratische berlagerungsraster hat die Machenweite und die Steigung (vgl. [Walser 1995], [Walser 1999], [Walser 2000]).
Das Analogon zu den pythagoreischen Dreiecken im Dreiecksraster sind Dreiecke mit ganzzahligen Seiten a, b, c und einem Winkel . Aus dem Kosinussatz gilt dann die Beziehung:
Das einfachste Beispiel dazu ist das Dreieck mit den Seiten , und . Dieses hat den Winkel . Im folgenden Bild die beiden Raster bei einer Drehung um .
Drehung um
Wir sehen ein schrg liegendes Dreiecksraster mit der Maschenweite .
Im folgenden Bild ist auch das zugehrige ãpythagoreischeÒ Dreieck eingezeichnet.
ãPythagoreischesÒ Dreieck
Die Seiten a und b messen 3 beziehungsweise 5 Einheiten im blauen Raster, die Seite c misst 7 Einheiten im gedrehten roten Raster.
Wenn wir nochmals drehen und ein drittes Raster zeichnen (grn), ergibt sich folgendes Bild.
Drei Raster
Wir erkennen deutlich ein Dreiecksraster, das aus der exakten berlagerung der drei Raster besteht.
Das gibt Anlass zur folgenden Figur. Wir setzen jeder Seite des ursprnglichen Dreieckes ein gleichseitiges Dreieck auf.
Aufgesetzte gleichseitige Dreiecke
Das erinnert irgendwie an die Figur des Pythagoras. Tatschlich gilt auch hier eine Flchenbeziehung: Die Summe der beiden blauen Dreiecksflchen plus die Flche des ursprnglichen (grnen) Dreieckes ist gleich der roten Dreiecksflche.
Dies kann mit dem Kosinussatz bewiesen werden oder einfacher, indem wir die beiden blauen Dreiecke flchengleich umformen.
Beweisfigur
Durch eine kleine Drehstreckung entsteht der Eindruck eines Wirbels. Im folgenden Beispiel ist der Drehwinkel und der Streckfaktor .
Wirbel
Durch geeignete Wahl der Drehstreckung ergeben sich rasterfrmig angeordnete Wirbel. Im folgenden Beispiel ist der Drehwinkel und der Streckfaktor
Mehrere Wirbelzentren
Im Dreiecksraster zunchst ein gewhnlicher Wirbelsturm. Im folgenden Beispiel ist der Drehwinkel und der Streckfaktor .
Sturm im Wasserglas
Auch hier sind mehrere Zentren mglich. Im folgenden Beispiel ist der Drehwinkel und der Streckfaktor .
Mehrere Wirbelzentren
Literatur
[Walser 1995] Walser, Hans: Pythagoreische Dreiecke in der Gittergeometrie. Didaktik der Mathematik (23), 1995, Seiten 193 - 205.
[Walser 1999] Walser, Hans: Pythagoreische Dreiecke und Gittergeometrie. Beitrge zum Mathematikunterricht 1999. Vortrge auf der 33. Tagung fr Didaktik der Mathematik vom 1. bis 5.3.1999 in Bern. Fr die GDM herausgegeben von Michael Neubrand. Hildesheim: Franzbecker, 1999. ISBN 3-88120-304-4. S. 575-577
[Walser 2000] Walser, Hans: Lattice Geometry and Pythagorean Triangles. ZDM Zentralblatt fr Didaktik der Mathematik. Jahrgang 32, April 2000, Heft 2, S. 32 - 35