Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03349.jsonl.gz/2506

Hans Walser, [20140927], [20140928]
Verallgemeinerung des Strahlensatzes
Anregung: A. K., V.
In der Schule lernen wir den Strahlensatz.
Wir schneiden ein Geradenbźschel mit einer Schar paralleler Geraden (Abb. 1).
Dann sind die TeilverhŠltnisse auf den roten Bźschelgeraden gleich.
Ebenso sind die TeilverhŠltnisse auf den blauen parallelen Geraden gleich.
Abb. 1: Strahlensatz
Umkehrungen:
Wenn wir auf zwei Bźschelgeraden gleiche TeilverhŠltnisse haben, sind die Verbindungsgeraden der Teilpunkte parallel.
Wenn wir auf zwei parallelen Geraden gleiche TeilverhŠltnisse haben, sind die Verbindungsgeraden der Teilpunkte kopunktal.
Wir zeichnen drei rote und drei blaue Tangenten an eine Parabel (Abb. 2) und scheiden diese Tangenten wechselseitig.
Abb. 2: Tangenten an Parabel
Dann sind die TeilverhŠltnisse auf den roten Tangenten gleich. Ebenso sind die TeilverhŠltnisse auf den blauen Tangenten gleich.
Fźr den Beweis arbeiten wir mit der Standardparabel y = x2. Das ist keine EinschrŠnkung der Allgemeinheit, da alle Parabeln Šhnlich sind.
Die Parabeltangente im Punkt hat die Gleichung:
Wir arbeiten mit den vier Tangenten der Abbildung 3.
Abb. 3: Beweisfigur
Fźr diese vier Tangenten verwenden wir die Gleichungen:
Fźr die Schnittpunkte A, B und C ergeben sich daraus die Koordinaten:
Fźr die AbstŠnde dieser Punkte erhalten wir:
Somit ist:
Dieses VerhŠltnis ist unabhŠngig vom Parameter d, es ist also fźr alle roten Tangenten gleich. Aus Symmetriegrźnden sind ebenso die TeilverhŠltnisse auf den blauen Tangenten gleich.
Den Link zwischen dem schulmЧigen Strahlensatz und der VerhŠltnisgleichheit bei Parabeltangentenabschnitten finden wir wie folgt.
Wir denken uns die Parabel gegeben durch Brennpunkt F und Leitlinie l. Eine Parabeltangente finden wir nun, indem wir auf der Leitlinie l einen Punkt wŠhlen. Die Mittelsenkrechte zwischen diesem Punkt und dem Brennpunkt F ist dann eine Tangente an die Parabel. Die Abbildung 4 illustriert das an zwei Beispielen.
Man beachte, dass der Mittelpunkt zwischen dem Punkt auf der Leitlinie l und dem Brennpunkt F auf der Scheiteltangente der Parabel liegt.
Abb. 4: Parabeltangenten
Und nun machen wir einen Grenzźbergang, indem wir den Brennpunkt F an die Leitgerade l annŠhern. Dadurch wird die Parabel immer schmaler und steiler. Im Limes haben wir eine doppelt durchlaufene Halbgerade vom Lotfu§punkt von F auf l nach oben.
Die Tangenten behandeln wir unterschiedlich.
Bei den blauen Tangenten lassen wir den Punkt auf der Leitlinie l unverŠndert. Dadurch werden die blauen Tangenten aufgestellt und sind im Limes senkrecht zur Leitlinie l also untereinander parallel.
Bei den roten Tangenten lassen wir die Richtung unverŠndert. Im Limes verlaufen alle roten Tangenten durch den Lotfu§punkt von F auf l.
Die Abbildung 5 zeigt die ersten Schritte mit je einer blauen und einer roten Tangente.
Abb. 5: Der Brennpunkt nŠhert sich der Leitlinie an
Die Abbildung 6 zeigt, was sich aus der Figur der Abbildung 2 nach diesem Grenzźbergang ergibt. Das ist der klassische Strahlensatz.
Die TeilverhŠltnisse auf den roten beziehungsweise auf den blauen Tangenten sind in den Abbildung 2 und 6 die gleichen.
Abb. 6: Strahlensatz
Wir kšnnen uns eine Variante der Strahlensatz-Verallgemeinerung ausdenken, indem wir mit rechten Winkeln arbeiten (Abb. 7). Der Beweis sei der Leserin źberlassen.
Abb. 7: Winkeleisensatz