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Hans Walser, [20200125]
KugeloberflŠche
Anregung: H. A. und M. L., L.
Animation zur Illustration der Kugeloberflache
Wir vergleichen die Kugel mit dem Radius r mit dem Kreis mit dem doppelten Radius, also mit dem Radius 2r (Abb. 1).
Abb. 1: Kugel und Kreis
Die Kugel mit dem Radius r hat die OberflŠche:
(1)
Der Kreis mit dem Radius 2r hat den FlŠcheninhalt:
(2)
Die beiden FlŠcheninhalte sind gleich.
Die Idee ist nun, ein Seil einmal auf dem Kreis als archimedische Spirale und einmal auf der Kugel aufzuwickeln. Die Abbildung 2a zeigt die archimedische Seilspirale auf dem Kreis, die Abbildung 2b die entsprechende Spirale auf der Kugel.
Abb. 2a: Archimedische Seilspirale
Abb. 3b: Seilspirale auf der Kugel
Wir kšnnen nun von der archimedischen Spirale ab- und auf die Kugel aufwickeln. Die Abbildungsfolge 3 illustriert dies mit Standbildern.
Abb. 3a
Abb. 3b
Abb. 3c
Die Animation 1 illustriert das Vorgehen.
Animation 1: Von der archimedischen Spirale zur Kugel
Der Zylinder mit dem Radius r und der Hšhe 2r hat die MantelflŠche:
(3)
Wir haben also wiederum eine FlŠchengleichheit zur KugeloberflŠche (Abb. 4).
Abb. 4: Kugel und Zylinder
Die Animation 2 illustriert den Sachverhalt.
Animation 2: Vom Zylinder zur Kugel
Abb. 5: Kreis und Zylinder
NatŸrlich kšnnen wir auch vom Kreis zum Zylinder Ÿberwickeln (Animation 3).
Animation 3: Vom Kreis zum Zylinder
Websites
Hans Walser: Aufwickel-Pythagoras