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Hans Walser, [20110313b], [20131230g]
Andocken
Anregung: A. G., R.
Aus vier stumpfen Rhombenhexaedern mit dem Diagonalenverhltnis lsst sich das Rhombendodekaeder zusammenbauen.
Rhombendodekaeder . Vier Rhombenhexaeder
Die Frage ist, wie die vier Rhombenhexaeder gekuppelt werden knnen. Insbesondere interessiert, ob die vier Rhombenhexaeder inklusive Kupplung kongruent und gleich orientiert sein knnen. Dabei stellen wir die Bedingung, dass irgend zwei zusammensto§ende Seitenflchen zweier Rhombenhexaeder gekuppelt sein mssen; es darf also keine Brcken geben.
Bei einer einfachen Modelleisenbahn mit einer Ring-Haken-Kupplung (vorne Ring, hinten Haken) hat den Nachteil, dass die Wagen zunchst richtig aufgegleist werden mssen. Wenn dann aber das Gleisnetz eine Kehrschleife oder ein Gleisdreieck enthlt, also nicht orientierbar ist, kann es trotzdem im Betriebsverlauf vorkommen, dass zwei Haken oder zwei Ringe aufeinander treffen. Die europischen Bahnen, welche immer noch diese primitive Kupplung (Schraubenkupplung) verwenden, haben daher an beiden Wagenenden sowohl einen Ring wie auch einen Haken, wobei immer nur die Hlfte der Installation im Einsatz ist. Der geometrische Grund fr diesen Nachteil liegt darin, dass die Ring-Haken-Kupplung keine senkrechte Symmetrieachse hat.
Anders bei automatischen Kupplungen, etwa der amerikanischen Janney-Kupplung, der russischen SA-3-Kupplung oder der Scharfenberg-Kupplung, welche bei Hochgeschwindigkeitszgen Standard ist. Wir knnen uns durch die Mitte der beiden Kupplungen eine senkrechte Symmetrieachse (Drehachse zu einer 180¡-Drehung) denken.
Ebenfalls zu diesem Symmetrietyp gehrt die nostalgische Mittelpuffer-Kupplung der rhtischen Bahn und der Furka-Oberalp-Bahn.
Die Kupplung sollte also der Symmetrie der zu kuppelnden Objekte angepasst sein.
Die Abbildung zeigt ein Explosionsbild des Rhombendodekaeders mit seinen vier Rhombenhexaedern.
Explosionszeichnung der vier Rhombenhexaeder
In der folgenden Abbildung sind die in der Endmontage zusammenfallenden Rhomben durch grne Linien verbunden. Wir haben sechs Paare von zu kuppelnden Rhomben, brauchen also sechs Kupplungen. Da wir nur vier Rhombenhexaeder haben, ist es bei einer simplen Ring-Haken-Kupplung nicht mglich, die sechs Ringe beziehungsweise die sechs Haken gleichm§ig aufzuteilen.
Nachbarschaftsrelationen
Keine kohrente Orientierung der Kanten
Anders formuliert: Die vier Rhombenhexaeder bilden die Eckpunkte eines Tetraeders. Es ist nicht mglich, die sechs Kanten des Tetraeders so zu orientieren, dass an jeder Ecke gleich viele Kanten auslaufen oder einlaufen. Wir mssen mit Doppelpfeilen arbeiten. Die Doppelpfeile mssen so organisiert sein, dass sie die dreizhligen Drehsymmetrien des Tetraeders respektieren.
Doppelpfeile
Damit haben wir aber auch das Prinzip der Kupplung gefunden. Die Pfeile ersetzen wir durch Bolzen (die natrlich krzer sind als die gezeichneten Pfeile), die Pfeilspitzen markieren die Aufnahmelcher fr die Bolzen. Bolzen und Lcher sind orthogonal zu den jeweiligen Rhombenflchen.
Die Abbildung zeigt schematisch die Position von Bolzen (blau) und Loch (rot) auf einem Rhombus. Die Kupplung erinnert an die Kupplung der rhtischen Bahn und der Furka-Oberalp-Bahn.
Loch und Bolzen
Nach diesem Schema ergeben sich vier kongruente und gleich orientierte Rhombenhexaeder mit Kupplungen.
Rhombenhexaeder mit Bolzen und Lchern
Set von vier Rhombenhexaedern
Die folgende Abbildung zeigt das zusammengesteckte Rhombendodekaeder.
Assembling
Beim Zusammenfgen ergibt sich eine symmetrische simultane Zwangsbewegung der vier Teile. Es muss die ãExplosionÒ der Explosionszeichnung invertiert werden.
Die Lcher an der Oberflche des Modells sind herstellungstechnisch bedingt. Man knnte auch auf der Au§enseite Kupplungen anbringen.
Die Rhombenhexaeder sind aus Papierstreifen geflochten. Die Bolzen sind Rei§ngel, deren Kpfe sich zwischen der Au§enlage und der Innenlage des Geflechts befinden. Zur Flechttechnik siehe [Walser 1987], [Walser 1994], [Walser 2009, S. 122f]
Unsere Andockkupplung mit einem Bolzen und einem Loch lst das Problem mit dem Rhombendodekaeder, ist aber nicht verallgemeinerungsfhig, da sie nicht der Symmetrie eines Rhombus entspricht. Wir knnen nicht um 180¡ drehen.
Dazu ist die Verallgemeinerung der folgenden Abbildung erforderlich.
Schema der Bolzen und Lcher
Dabei ist wesentlich, das auf allen Rhomben die Orientierung der Lcher bezglich der Rhombendiagonalen dieselbe ist. Also bei Querformat die Bolzen links oben. Im Rhombenhexaeder der folgenden Abbildung sind allseitig Bolzen und Lcher nach diesem Schema angebracht.
Porcospino
Damit haben wir ein vielseitig verwendbares Bauelement.
Verwenden wir Rhomben mit dem Diagonalenverhltnis des goldenen Schnittes, knnen wir mit stumpfen und/oder spitzen Rhombenhexaedern das Rhombendodekaeder zweiter Art, das Rhombenikosaeder, das Rhombentriakontaeder oder auch den nachfolgenden Stern zusammenbauen. Details (allerdings ohne die Idee der Kupplungen) siehe [Walser 2009, S. 122-134].
Rhomben-Stern
Literatur
[Walser 1987] Walser, Hans: Flechtmodelle. Didaktik der Mathematik (15), 1987, 1-17
[Walser 1994] Walser, Hans: Geometrie zum Anfassen. Mathematik Lehren, Heft 65, August 1994, S. 56-59.
[Walser 2009] Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 5., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing ber populrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2009. ISBN 978-3-937219-98-1
[Walser 2013] Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing ber populrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-85-1