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Hans Walser, [20210113]
Pythagoras
Idee und Anregung: Rainer Kaenders, Bonn
Invarianz der FlŠchensumme a2 + b2 der Kathetenquadrate beim rechtwinkligen Dreieck ohne Verwendung der Hypotenusen-QuadratflŠche c2.
In der Schule ist es źblich, bei der Behandlung des Satzes des Pythagoras die Hypotenuse festzulassen und den Eckpunkt beim rechten Winkel auf dem Thaleskreis kreisen zu lassen (Abb. 1). Das entspricht einem Weltbild worin die Erde fest bleibt und die Sonne um die Erde kreist.
Abb. 1: Invariante FlŠchensumme
Wir kšnnen die Situation auch umgekehrt sehen: Die Sonne bleibt fest, und die Erde dreht ab. Also: Der Eckpunkt mit dem rechten Winkel bleibt fest, dafźr dreht sich die Hypotenuse um ihren Mittelpunkt (Abb. 2).
Abb. 2: Abdrehen der Hypotenuse
Wir drehen beim rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b (Abb. 3a) die Hypotenuse um ihren Mittelpunkt um den orange eingezeichneten Winkel (Abb. 3b). Zusammen mit der Ecke C entsteht so ein zweites rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten und . Der lila Winkel zwischen a und ist halb so gro§ wie der orange Drehwinkel (Peripheriewinkel und Zentriwinkel). Ebenso der lila Winkel zwischen b und .
Wir drehen nun das neu entstandene rechtwinklige Dreieck um den festen Punkt C um diesen lila Winkel zurźck. Dadurch kommen die rechten Winkel des Ausgangsdreieckes und des neuen Dreieckes aufeinander zu liegen (Abb. 3c).
Abb. 3: Drehungen
Die Zusammensetzung zweier Drehungen ist im Regelfall wieder eine Drehung. Wir suchen das Drehzentrum der Zusammensetzung.
Abb. 4: Drehzentrum der Zusammensetzung
Dieses Drehzentrum liegt auf den Mittelsenkrechten von zugeordneten Punkten (Abb. 4a und 4b).
Wir kšnnen zwei gleichschenklige Dreiecke mit der Spitze im neuen Drehzentrum einzeichnen (Abb. 4c). Der Winkel an der Spitze ist gleich dem lila Drehwinkel der zweiten Drehung. Die beiden gleichschenkligen Dreiecke sind also Šhnlich.
Das eine gleichschenklige Dreieck (links in Abb. 4c) hat die Basis und die Hšhe . Bei anderen Dreieck haben wir die Basis und die Hšhe . Aus der €hnlichkeit folgt:
(1)
Die FlŠchensumme der Kathetenquadrate ist invariant.
Die Abbildung 5 zeigt eine numerische Illustration. Der Thaleskreis ist der Einheitskreis, daher die FlŠchensumme 4.
Abb. 5: Invariante FlŠchensumme
Die Abbildung 6 zeigt eine standardisierte Anordnung.
Abb. 6: Standardisierte Anordnung
Abb. 7: Invariantes Zwiegespann
Website
Hans
Walser: Pythagoras
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagoras2/Pythagoras2.htm