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Hans Walser, [20160527]
Sehnenvieleck
In (Kšchli 2016) wird eine elegante Konstruktion des Sehnenviereckes vorgestellt. Das wirft die Frage nach dem Sehnenvieleck mit beliebiger Eckenzahl auf. Wir besprechen eine MINT-Einschiebelšsung.
Zu gegebenen SeitenlŠngen soll das Sehnen-n-Eck konstruiert werden.
Wir zeichnen einen Kreis mit Mittelpunkt durch den Ursprung. Den Punkt setzen wir in den Ursprung und tragen die gegebenen Seiten sukzessive auf dem Kreis ab. So erhalten wir einen Streckenzug . Die Abbildung 1 zeigt die Situation fźr .
Abb. 1: Abtragen des Streckenzuges
Nun verŠndern (verkleinern) wir den Radius bis der Punkt mit zusammenfŠllt. In der Abbildung 2 sind Ausgangslage, eine Zwischenlage und die Endlage angegeben, ebenso in blau die Bahnkurven der einzelnen Punkte.
Abb. 2: Das Sehnenvieleck
Fźr Zirkel-und-Lineal-Fetischisten ist dieses Vorgehen natźrlich ein Horror. Die Konstruktion sei nicht ăexaktŇ.
Dem ist zu widersprechen. Mit dem Vorgehen ăbis der Punkt mit zusammenfŠlltŇ entsteht ein gedanklich exaktes Sehnenvieleck. Dass dieses Zusammenfallen in der Praxis nicht machbar ist, Šndert nichts an der Stimmigkeit der †berlegung.
Auch das Zeichnen einer Geraden durch zwei gegebene Punkte mit einem angelegten Lineal (ebenfalls ein Einschiebeverfahren) ist nur gedanklich exakt.
Qualitativ besteht also kein Unterschied zwischen unserem MINT-Verfahren und einem klassischen Zirkel-und-Lineal-Verfahren.
Wir kšnnen ăźberdrehenŇ und nach dem ersten Zusammenfallen von mit den Kreisradius weiter verkleinern, bis die beiden Punkte ein zweites Mal zusammenfallen (Abb. 3). Es entsteht ein Sehnenvieleck mit der Umlaufszahl 2. Und so weiter.
Abb. 3: Umlaufszahlen 1 und 2
Gibt es ein Sehnenviereck mit der Umlaufszahl 2?
Wann ist bezźglich Umlaufszahl die Zitrone ausgepresst?
Macht es Sinn, von der Umlaufszahl zu reden?
Bei gerader Eckenzahl ist die alternierende Winkelsumme null. Beweis? Ist dies kennzeichnend fźr ein Sehnenvieleck gerader Eckenzahl?
Isoperimetrisches Problem: Zu gegebenen SeitenlŠngen hat das Sehnenvieleck den grš§ten FlŠcheninhalt. Beweis?
Was kann źber die blauen Bahnkurven (Abb. 2) gesagt werden?
Literatur
Kšchli, Willi (2016): Einfache Konstruktion des Sehnenviereckes. VSMP-Bulletin, 131, Mai 2016, S. 22-23.