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Réponses aux questions sur le champ magnétique d’un solénoïde.
par Bernard Vuilleumier
Réponses au questions
Question 1 (2 points)
Qu’est-ce qu’un solénoïde et quelle est l’utilité d’un solénoïde ?
- Un solénoïde est constitué d’un long fil enroulé sur un cylindre de longueur l et de rayon r tel que la longueur soit bien plus grande que le rayon (l>>r). On désigne par N le nombre de tours effectués par le fil. Un solénoïde permet de créer, en son intérieur, un champ magnétique uniforme.
Question 2 (2 points)
Comment modélise-t-on un solénoïde pour calculer le champ magnétique qu’il produit ?
- On considère le solénoïde comme l’assemblage de N spires et on calcule le champ en son centre en sommant les contributions de chaque spire en ce point.
Question 3 (2 points)
Quelle est la loi physique qui permet d’obtenir la valeur du champ magnétique à l’intérieur du solénoïde en un point de son axe ?
- C’est la loi de Biot et Savart :
L’élément infinitésimal de longueur parcouru par le courant I, crée le champ magnétique élémentaire au point P :
Question 4 (4 points)
Quelle est l’expression du champ magnétique B créé par une spire de courant de rayon R à une distance x de son centre, distance mesurée sur l’axe passant par ce centre et perpendiculaire au plan de la spire ?
Pour un conducteur en forme de boucle, l’angle entre et est un angle droit. La grandeur de vaut donc :
Seule la composante selon Ox contribue au champ $\vec B$ (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s’annulent). Exprimons la composante de selon Ox :
En additionnant tous les éléments ds du conducteur (intégrale de ds sur la spire) on obtient la circonférence de la spire. La grandeur du champ résultant vaut donc :
En exprimant r à l’aide de et de x, on obtient :
Question 5 (5 points)
Comment passe-t-on de cette expression à celle donnant la grandeur du champ magnétique au centre d’un solénoïde de N spires et de longueur l ?
En multipliant l’expression ci-dessus par le nombre de spires par mètre et en l’intégrant avec Mathematica de à :
mu0*n*i/(2 l)*Integrate[R^2/(R^2 + x^2)^(3/2), {x, -l/2, l/2}, Assumptions -> {R > 0, l > 0}]