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Tensoren mit zwei Indizes wie der Metrik-Tensor können als Matrizen dargestellt werden:
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Der Metrik-Tensor ist symmetrisch, d.h.
Wenn es zu einer Matrix
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In der Tensor-Schreibweise wird die Einheitsmatrix mit dem Kronecker-Delta
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Man kann den Metrik-Tensor
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Definition: Die Invers-Matrix
Diese Art der Index-Kontraktion stellt also eine Matrix-Multiplikation dar. Das Resultat ist wiederum eine Matrix, ein Tensor mit zwei Indizes.
Die Inverse des Metrik-Tensors ist also definiert als jenes Matrix-Objekt mit kontravarianten Komponenten, welches multipliziert mit dem Metrik-Tensor mit kovarianten Komponenten auf die in (4) gezeigte Art als Resultat das Kronecker-Delta ergibt.
Da der Metrik-Tensor
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Die beiden Metrik-Tensoren
Am Beispiel von Polarkoordinaten wollen wir die Inverse des Metrik-Tensors berechnen. Siehe Metrik-Tensor eines 2D-Polarkoordinatensystems für die Herleitung der Metrik und des Metrik-Tensors.
Die Metrik in 2D-Polarkoordinaten ist definiert als:
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Der zugehörige Metrik-Tensor ist:
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Die Inverse dieser Matrix kann praktisch abgelesen werden:
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Multipliziert man diese beiden Matrizen, so erhält man die Einheitsmatrix bzw. das Kronecker-Delta:
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