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Der Natürliche Logarithmus zur Basis e ist in den Naturwissenschaften sehr oft anzutreffen und wird im Zusammenhang mit den Exponentialfunktionen verwendet. Die Zahl e, welche in der Infinitesimalrechnung eine wichtige Bedeutung hat wurde im Jahr 1728 von Leonard Euler bestimmt, aber erst 14 Jahre später veröffentlicht; sie wird als Eulersche Zahl bezeichnet. Wie Leonard Euler auf diese Zahl gekommen ist, was die Triebfeder sie zu finden war, ist wahrscheinlich nicht einfach zu beantworten. Wie die Zahl gefunden werden kann, wenn man weiss, dass es sie gibt und einige wichtige Eigenschaften dieser Zahl lassen sich immerhin nachvollziehen.
Leonard Euler wurde am 18. April 1707 als ältester Sohn des Parrers Paul Euler und Margaretha Euler-Brucker in Basel geboren. Er studierte ab 1720 im Alter von 13 Jahren an der Universität Basel und entwickelte sich zu einem der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten. Euler verfasste – von Gustav Eneström registrierte und verzeichnte – 866 Schriften mit mathematischen Inhalten. Nach Euler werden Gleichungen, Formeln, Theorien, mathematische Verfahren wie auch die von ihm gefundenen Zahlen e – als die Eulersche Zahl – und c – als Eulersche Konstante – benannt. Zu seinen Ehren werden ein Mondkrater und ein Asteroid mit seinem Namen bezeichnet. Nicht nur die Schweiz brachte zwei Briefmarken mit dem Porträt von Leonard Euler heraus, sondern auch die einstige DDR und die Sowjetunion brachten welche in Umlauf. In der sechsten Banknotenserie (1975 bis 1995) der SNB zeigte die 10-Franken-Note auf der Vorderseite das Porträt von Leonard Euler. Auf der Rückseite war das Sonnensystem – wie es der grosse Mathematiker zu seinen Lebzeiten gezeichnet hat -, eine Wasserturbine und ein Linsensystem mit Strahlengang dargestellt. Leonard Euler starb, erblindet, am 18. September 1783 in Sankt Petersburg, wo er auf dem Friedhof »Alexander-Nevskij-Klosters« beigesetzt wurde.
Die Eulersche Zahl e ist der Grenzwert einer Folge beziehungsweise einer Funktion und kann auch als Summe einer Reihe berechnet werden. Die Zahl e weist unendlich viele Kommastellen nichtperiodischer Zahlen auf und kommt so der Kreiszahl π gleich; beide sind irrationale transzendente Zahlen. Eine Möglichkeit die Zahl e zu finden ist, wenn man von der Zinseszinsrechnung ausgeht:
Sei das auf einer Bank angelegte Startkapital = K0, z sei der jährliche Zinsatz und n die Anzahl der Verzinsungen Gehen wir davon aus, dass wir eine Bank finden, die einen Zinssatz von 100% p.a. gewährt, dann ist das Kapital K1 bei einer Verzinsung am Ende des Jahres:
K1 = K0 · (1 + z) = K0 · (1 + 1) = 2,00 · K0
Nach n Jahren bei gleichen Konditionen beläuft sich das verfügbare Kapital gemäss der Zinseszinsrechnung auf:
Kn = K0 · (1 + z)n
Diese Zinseszinsrechnung kann natürlich auch in Anspruch genommen werden, wenn es eine Bank gäbe, welche die Verzinsung pro Jahr mehrmals anteilmässig vornehmen würde; d.h. beispielsweise in unserem Beispiel: nach einem halben Jahr zahlt die Bank die Hälfte des Jahreszinses, also 50% aus, und am Ende des Jahres nochmals 50%, jedoch nicht nur auf das Startkapital K0, sondern auch auf die nach einem halben Jahr erzeiletn Zinsen. Dies führt zu einem Kapital K2 von:
K2 = K0 · (1 + ½)2 = 2.25 · K0
Für n Verzinsungen mit einem anteilmässigen Zinssatz von 1/n erhält man allgemein für das mit Zinseszinsen verzinste Kapital K0:
Kn = K0 · (1 + 1/n)n
Würde sich eine Bank dazu bewegen lassen den Zins anteilmässig jeden Tag zu begleichen, erhielte man für das am Ende des Jahres zur Verfügung stehende verzinste Kapital K365 etwa 2,714567 · K0. Wenn dies in unendlich kleinen Zeitabschnitten geschehen würde, so wird n unendlich gross. Als Resultat für den Term (1 + 1/n)n erhält man dann die Eulersche Zahl e, welche Leonard Euler selber auf 23 Stellen nach dem Komma genau berechnet hat.
limn→∞ (1 + 1/n)n = e
Die derzeit aktuelle Anzahl errechneter Nachkommastellen von e liegt bei Tausend Milliarden; sie wurden von Shigeru Kondo – natürlich auf einem Rechner – bestimmt. Vielleicht hat aber Leonard Euler auch jene Funktion gesucht, deren Ableitung f'(x) und Integral ∫ f(x) dx gleich der Funktion f(x) sind. Es wird einiges zu Rechnen, zu Probieren und zu Analysieren geben, wenn man darauf kommen will, dass die Steigung einer Kurve in jedem Punkt gleich dem Funktionswert y = f(x) entsprichen soll.
Bild-Quellen:
Bild A: »Mathematiker-Lexikon« von Herbert Meschkowski