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Unter Logik versteht man die Lehre vom richtigen Schließen. Wer Wörter wie ”also“ und ”folglich“ braucht, gibt seinem Gesprächspartner zu verstehen, daß er argumentiert, nicht bloß Behauptungen aneinanderreiht. Allerdings bürgt der Gebrauch dieser Wörter noch lange nicht für die Schlüssigkeit der Argumentation. Dafür sind zuverlässige Kriterien erforderlich. Die Logik vermag diese Kriterien zu definieren.
Die Logik dient als Grundlage zu einer klaren Beweistheorie für die Mathematik. Aber nicht nur für Mathematiker sind Kenntnisse der Logik wichtig. Auch andere Wissenschaftszweige – z.B. die Sozialwissenschaften – setzen zunehmend ein mathematisches Rüstzeug voraus. Kenntnisse der Logik erleichtern den Zugang zu mathematischen Theorien und deren Anwendungen. Mathematisches Denken verwendet logische Schlußregeln – jedoch ohne explizit auf sie zu verweisen. Die Logik erlaubt es, die entsprechenden Gedankengänge verständlich zu machen und zu thematisieren.
Kenntnisse in formaler Logik eröffnen den Zugang zur Funktionsweise von Theorien. Sinn und Nutzen einer Theorie bestehen darin, daß auf der Grundlage von gewissen Rahmenbedingungen Voraussagen über künftige Ereignisse gemacht werden können. Der Zusammenhang zwischen den Sätzen, die die Rahmenbedingungen beschreiben, und der Theorie einerseits und den Voraussagen andererseits besteht in logischen Ableitungen.
Das Studium der Logik vermittelt ein Bild über die Grundlagen und Grenzen formaler Systeme. Eine präzise Auffassung dessen, was unter Axiomen, Theoremen, Definitionen und Regeln zu verstehen ist und welche Rolle sie in der Theoriebildung spielen, ist durch das Studium der formalen Logik mit geringem Aufwand zu erlangen.
Logik ist einfacher als Mittelschulalgebra. Die vorliegende Einführung richtet sich an Studierende, die sich selten oder nie mit mathematischen Problemen befassen. Aus diesem Grund kommt der praktischen Anwendung besondere Bedeutung zu. Im ersten Teil dieser Einführung sollen die Techniken für die Überprüfung der Gültigkeit von aussagenlogisch korrekten Argumenten anhand von einfachen Beispielen erläutert und geübt werden. In einem zweiten Teil dann wird die Aussagenlogik systematisch vorgestellt. Zugleich wird ein kurzer philosophischer Ausblick geboten, denn die Beurteilung von Argumenten sollte sich auf eine Begründung der Beurteilungskriterien stützen können. Im dritten Teil wird das logische Instrumentarium durch die Einführung der Prädikatenlogik vervollständigt. Auch hier wird mit Hilfe möglichst vieler praktischer Beispiele vorgegangen. Am Beispiel der Mengenlehre wird in einem letzten Teil gezeigt, wie die Logik in mathematischen Beweisen verwendet wird.
Information für Insider
In dieser Einführung liegt das Hauptgewicht auf der klassischen, formalen Logik. Die traditionelle Logik und abweichende Logiksysteme werden lediglich gestreift. Zunächst wird ein System des ”Natürlichen Schließens“ eingeführt, das im wesentlichen von Gerhard Gentzen (1934-1935) entwickelt wurde. Die vorliegende Darlegung geht auf E.J. Lemmon (1965) zurück, wobei oft dessen formalen Beispiele verwendet werden. Bei der Prädikatenlogik wird in Abweichung von Lemmon die üblichere Formulierung einer wohlgebildeten Formel gebraucht, wobei die Regeln entsprechend umformuliert werden. Im weiteren wird ein Einblick in die axiomatische Methode vermittelt und deren Beziehungen zum Natürlichen Schließen aufgezeigt. Die Syntax und die Semantik der Sprache der Aussagen- und Prädikatenlogik, sowie die Konsistenzbeweise für die Aussagenlogik und die Prädikatenlogik werden ausführlich behandelt. Für die Aussagenlogik ist ein Vollständigkeitsbeweis aufgeführt. Der letzte Teil entwickelt einige Grundbegriffe der axiomatischen Mengenlehre, wobei das Zermelo-Fraenkel-System verwendet wird. Dieser Ausblick soll die Beziehungen zwischen Logik, Mengenlehre und Mathematik verdeutlichen. Den Abschluß bildet eine detaillierte Darstellung der semantischen Wahrheitsdefinition.
Mein besonderer Dank geht an Herrn Dr. Stephan Hottinger, Oberassistent am Institut für Philosophie in Bern, der die vorliegende Arbeit mehrmals aufmerksam durchsah. Die Verantwortung für verbleibende Fehler liegt ausschließlich bei mir. Dank schulde ich auch Herrn Alain Heuerding, Assistent am Institut für Informatik der Universität Bern, der die aussagenlogischen Beweise (”Natürliches Schließen“) mit Hilfe eines Programmes auf ihre Korrektheit hin überprüfte, und Herrn Dr. Urs Martin Künzi, Zürich, der eine frühere Fassung lektorierte. Zu Dank verpflichtet bin ich auch Bruno Montani, Vercorin, der mir bei Problemen mit der Textverarbeitung half. Danken möchte ich im weiteren Frau Dr. Christine Holliger für die stilistische Überarbeitung des Manuskripts. Schließlich möchte ich den aufmerksamen Teilnehmerinnen und Teilnehmern von universitären Veranstaltungen und Erwachsenenbildungskursen herzlich danken, die durch ihre Fragen viel zu dieser Einführung in die formale Logik beigetragen haben.