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Binärsystem
Im Binärsystem stellen wir Zahlen mit nur zwei Ziffern dar. An Stelle der zehn Ziffern (
|Binär||Dezimal|
Aufgabe
Erkennst du das Muster in der Liste? Kannst du diese weiterführen?
Schreibweise
Um Missverständnisse zu vermeiden, schreiben wir – wenn nicht eindeutig klar ist, in welchem System wir uns bewegen – bei Binärzahlen die Basis 2, und bei Dezimalzahlen die Basis 10 hin:
Stellenwert
Im Dezimalsystem nimmt der Wert der Stelle von rechts nach links immer um den Faktor 10 zu. So ist
Beispiel:
Die Zahl
Wir können den Wert der Stelle auch als 10er-Potenz schreiben:
Zehn ist die Basis des Dezimalsystems.
Das Binärsystem hat die Basis 2. Der Wert der Stelle nimmt demnach immer um den Faktor 2 zu. Wir können also die Werte der Stellen als Zweierpotenz schreiben. Für die Binäre Zahl
Aufgabe
Wie viele verschiedene Dezimal-Zahlen lassen sich mit 4 Stellen darstellen?
Wie viele verschiedene Binärzahlen lassen sich mit 8 Stellen darstellen?
Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnen
Wir addieren die Stellen mit ihren Werten, also der Zweierpotenz.
Wie gross ist
Die Reihe beginnt mit dem Spezialfall
Die ersten Elemente lauten also:
Aufgabe
Löse die Aufgabe A des Arbeitsblattes.
Dezimalzahlen in Binärzahlen umrechnen
Variante A – «nach Rezept»
Um eine Dezimalzahl ins Binärsystem umzurechnen, wird die Zahl wiederholt ganzzahlig durch 2 dividiert. Dabei wird jeweils der Rest festgehalten.
Beispiel
Hier wird die Umrechnung am Beispiel
Das Ergebnis erhält man, indem die Reste in umgekehrter Reihenfolge aufgeschrieben werden:
Zur Sicherheit kontrollieren wir das Ergebnis:
Hinweis : Erläuterung
Der Rest der ganzzahligen Division durch 2 ist genau dann 0, wenn die Zahl durch 2 dividierbar ist. (Dann geht die Division nämlich auf, es bleibt kein Rest.)
Wenn wir also eine gerade Zahl durch 2 dividieren, kommt immer der Rest 0 raus. Alle geraden Zahlen enden mit dem Bit
Bei einer ungeraden Zahl bleibt der Rest 1 – also haben ungerade Zahlen die binäre Darstellung:
Diese Erkenntnis machen wir uns im Verfahren zunutze. Durch wiederholte Anwendung auf das Ergebnis der vorherigen Division, erhalten wir von links nach rechts alle Bits der binären Darstellung.
Variante B – «mit Hirn»
Dieses Verfahren ist für kleinere Zahlen wohl schneller – man sollte aber die Zweierpotenzreihe kennen.
Wir gehen wie folgt vor:
- Nächstkleinere Zweierpotenz finden
- Diese von der Zahl abziehen, eine 1 notieren
- Kann die nächstkleinere Zweierpotenz abgezogen werden?
- ja: abziehen und 1 notieren
- nein: eine 0 notieren
- Ab Schritt 3 wiederholen bis kleinste Zweierpotenz erreicht ist
Beispiel
|Dezimalzahl||Überlegung||Binärzahl|
|nächstkleinere Zweierpotenz ist 16|
|8 kommt nicht vor|
|4 kommt nicht vor|
|2 kommt vor|
|1 kommt vor|
Wir wissen jetzt, welche Zweierpotenzen vorkommen. Für diese notieren wir eine
Aufgabe
Löse die restlichen Aufgaben des Aufgabenblattes.