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Ist nun die Gleichung richtig, so muß sie auch für jeden anderen Druck das specifische Volumen des gesättigten Dampfes ergeben; wie weit sich das bestätigt, zeigt die folgende Tabelle 2 auf Seite 51.
Die 2. Columne giebt das specifische Volumen des gesättigten Dampfes für verschiedene Preffungen, berechnet nach den Grundformeln der mechanischen Wärmetheorie; die 3. Columne ist nach Gl. (24) berechnet, wobei nur zu bemerken ist, daß die oben gegebenen Werthe von B und C für den Fall gelten, daß der Druck p in Kilogrammen pro Quadratmeter substituirt wird. Seßen wir bei numerischen Rechnungen p in Atmosphären, so haben wir in der Formel:
A
1)
(vdp +×pdv) + ~ ~ 1. dp
x
T
dp (23),
Die Tabelle enthält in der legten Columne noch die Werthe VP, von denen in der Folge noch mehrfach Gebrauch gemacht wird.
Man ersieht, daß die Uebereinstimmung der Werthe beider Zahlenreihen eine sehr befriedigende ist, und daß man obige Gleichung zugleich auch für reine gesättigte Dämpfe in AnNur für Dampfspannungen von wendung bringen fann. (25) weniger als einer Atmosphäre treten Abweichungen auf, die schon zu groß erscheinen können. Ich glaube jedoch, daß für solche Preffungen auch die Werthe, auf welche die mecha
berechnet. Für überhizte Wasserdämpfe war nach Obigem cp=0,4805 und x 1,333; man hat daher für diese Dämpfe
6
to
0,3064
0,3060
59,640
nische Wärmetheorie führt, nicht ganz sicher sind. Durch die geringste Aenderung in den eingeführten Constanten hätte übrigens für solche Dämpfe eine bessere Uebereinstimmung hervorgebracht werden können; man brauchte nur in ähnlicher Weise, wie es Regnault mit seinen Formeln gethan hat, welche die Beziehung zwischen Druck und Temperatur darstellen, Dampf von mehr als einer Atmosphäre von dem zu unterscheiden, deffen Druck geringer als eine Atmosphäre ist. Für unsere weiteren Zwecke genügen jedoch die oben gewählten Constanten vollständig; da ich vor Allem die Bedürfnisse der Technik im Auge habe, und bei Dampfmaschinen jederzeit höherer Dampfdruck in Anwendung kommt, so sollen an den angenommenen Constanten keine Aenderungen vorgenommen werden.
Berechnet man für gleichen Druck und gleiche Temperatur das specifische Volumen v' von atmosphärischer Luft, so giebt das Verhältniß v': v das specifische Gewicht des Dampfes in Hinsicht der Luft; so erhält man z. B. für die Temperaturen 100°, 150o, 200° bei einer Atmosphäre Druck beziehungsweise 0,6401, 0,6316 und 0,6250, also mit stärker werdender Ueberhizung abnehmend. *)
Zu näherer Prüfung der Zuverlässigkeit unserer Zustandsgleichung für Dämpfe mag nun auch der Ausdehnungscoefficient für überhißten Dampf bestimmt werden.
Ist a der Ausdehnungscoefficient, so schreibt sich für Gase das Gesez von Mariotte und Gay-Lussac in folgender bekannten Form:
t=100o v = 1,6506 Cbkmtr. t=160° v = 1,9468 Cbkmtr.
und für Druckänderung:
1
α=
dt
p
dp
(28).
Für ein vollkommenes Gas geben beide Formeln den gleichen Werth a=0,003665; nicht so bekanntlich bei einem wirklichen Gase oder bei Dämpfen.
Erseßen wir in Gl. (24) T durch a+t, wobei a=273
*) Gr. d. m. W. S. 442.
Beide Werthe find also verschieden, und zwar ist der legtere Werth, weil ×>1 ist, immer etwas kleiner als der erstere, was mit Regnault's Beobachtungen an Gasen übereinstimmt; dann ist auch a stets größer als 1: a=0,003665, was in gleicher Art die Beobachtung bestätigt. Ferner erscheint ɑ um so größer, je größer der Druck p ist; auch dieses Resultat wird durch das Experiment bestätigt. Hat doch Regnault selbst beim Wasserstoffgas, welches in seinem Verhalten einem permanenten Gase am nächsten steht, bei verschie denem Drucke etwas von einander abweichende Werthe für den Ausdehnungscoefficienten gefunden.
Nach Gl. (29) und (30) sind die folgenden Werthe für einige Werthe des Druckes p für überhißte Wasserdämpfe berechnet; da p in Atmosphären gilt, so wurde von den bei Gl. (26) angegebenen Constanten Gebrauch gemacht, überdies wie bisher *—1—1 geseßt.
Die vorstehenden Formeln bestätigen alle Säße, auf welche bis jezt die Versuche, betreffend den Ausdehnungscoefficienten von Gasen und Dämpfen, geführt haben; ich darf daher das Gegebene als einen weiteren Beweis der Zuverlässigkeit der neuen Zustandsgleichung ansehen. Ein neues Resultat geht aber noch aus den Gleichungen (29) und (30) hervor, daß nämlich der Ausdehnungscoefficient a nur vom Drucke p, nicht aber vom Volumen und dem Grade der Uebers higung abhängt. Es existirt feine Beobachtung, welche diesen Saz widerlegt; will man ihn nicht in voller Allgemeinheit annehmen, so muß man nach den obigen Entwickelungen wenigstens zugeben, daß er für überhißte Wafferdämpfe in der Nähe des Condensationspunktes als genau genug angesehen werden darf.
Es mag nun endlich die specifische Wärme des überhigten Wasserdampfes bei constantem Volumen (c,) näher bestimmt werden. Bei einem vollkommenen Gase ist der oben
Mit Hülfe dieser Formel findet sich nun für jeden gegebenen Zustand des überhigten Dampfes das Verhältniß c, c, und hieraus, weil c, bekannt ist, der Werth c.. Schon aus der Formel ist zu entnehmen, daß mit zunehmender Ueberhigung der Werth c, c, sich dem Werthe x nähert; bei kleinem Drucke und sehr großer Ueberhizung würde daher bei Wasserdampf c,: c, =} und hiernach c, = 0,8604 sein, und den lezteren Werth betrachte ich als die specifische Wärme des Wafferdampfes bei constantem Volumen, wenn der Dampf durch starke Ueberhigung bei geringem Drucke ganz in den Zustand eines permanenten Gases übergegangen ist. Die Gleichung lehrt ferner, daß das Verhältniß c, c, zunimmt und c, abnimmt, je mehr sich der Dampf dem gesättigten Zustande nähert. So ergiebt z. B. Gl. (31) für gesättigten Wasserdampf von 0,1, 0,5, 1 und 5 Atmosphären Druck folgende Resultate: 0,5 1 5
p= 0,1
J。 bedeutet eine noch zu bestimmende Constante und J giebt nun an, wie viel Wärme im überhißten oder gesättigten Dampfe vom Drucke p und Volumen v mehr enthalten ist, als im Wasser von 0° Temperatur. Ich nenne J kurz die Dampfwärme.
Die Formel muß für überhißte und gesättigte Dämpfe gleichzeitig gelten; für die leztere Art von Dämpfen kann man aber nach den Grundsäßen der mechanischen Wärmetheorie die Dampfwärme ermitteln, und daher bietet sich ein Mittel, nicht nur die Constante J, zu bestimmen, sondern auch zu erproben, ob die Gl. (34) zunächst für gesättigte Dämpfe von beliebigem Drucke gilt.
Denkt man sich 1 Kilogrm. Wasser unter dem Drucke p von 0° auf to erwärmt, so erfordert das eine Wärmemenge:
4
606,81
606,97
5
608,73
608,81
6
610,39
610,38
7
611,86
611,74
8
613,18
612,96
9
614,38
614,05
10
Man erkennt die befriedigende Uebereinstimmung der Werthe beider Zahlenreihen und kann hierin einen neuen Beweis der Zuverlässigkeit der für das Verhalten überhizter Dämpfe hingestellten Säße finden.
Die Gl. (34) spricht das „Hirn'sche Gesez" aus. Durch Betrachtungen ganz anderer Art kam Hirn zu dent Resultate, daß, wenn man von einem gewissen Anfangszustande ausgeht, der Mehrbetrag dermeren Arbeit oder, wie wir es nennen, die Dampfwärme, dem Producte pv proportional sei, und dieses Resultat legt Hirn dann seinen Untersuchungen zu Grunde. *)
Zu sehr bemerkenswerthen Resultaten, die zu weiterer Bestätigung der Richtigkeit der von mir aufgestellten Zustandsgleichung der überhigten Dämpfe führen, gelangt man, wenn man Gl. (24) in Gl. (34) benugt. Es folgt dann:
*) In meiner Besprechung des Hirn'schen Saßes (Gr. d. m. W., S. 435) habe ich auf Grund der Resultate numerischer Rechnungen den Sah nur als näherungsweise richtig hingestellt. Ich halte jedoch den Sat jetzt für streng richtig und suche die Abweichungen, auf welche die dort angestellten Rechnungen führten, in dem Umstande, daß ich mich in der Anwendung der Regnault'schen Formeln allzu stark den Versuchsgrenzen näherte, an welchen die empirischen Formeln von Regnault unsicher werden. Fernerhin nahm ich dort an, wie es bis jetzt allgemein geschehen ist, Wafferdampf von jedem Drucke nähere sich mit zunehmender Ueberhitung im Verhalten bald einem permanenten Gase, während ich mich jezt der Ansicht zuneige, daß der Wafferdampf nur bei sehr geringem Drucke und größer werdender Ueberhißung in den Zustand eines vollkommenen Gases übergeht.
hingestellt hat. Es ist das diejenige Wärmemenge, welche erforderlich ist, um die Gewichtseinheit Waffer bei constantem, der Dampftemperatur t entsprechendem Drucke vollständig in gesättigten Dampf zu verwandeln.
Gehen wir weiter, indem wir uns überhigten Dampf vom Volumen v unter den gleichen Verhältnissen erzeugt denken, so ist bei der Bildung die Arbeit p (vo) verrichtet worden und die Wärmemenge A p (v—o) verschwunden, wenn wir mit o das Volumen der Gewichtseinheit Wasser bezeichnen. Man kann aber ohne Bedenken o gegen v vernachlässigen und erhält daher für die Gesammtwärme 2:
C x
wobei wie oben J。=476,11 zu seßen ist.
(39),
Da diese Gleichung auch für gesättigte Dämpfe gültig ist, so würde, im Falle solche sich wie permanente Gase verhielten, C=0 sein, und dann wäre:
und der Vergleich mit der Regnault'schen Formel ergäbe dann für die specifische Wärme des Wasserdampfes bei constantem Drucke c, 0,805, ein Resultat, auf welches ich unter denselben Voraussetzungen auch früher*) gekommen bin, das aber vorher schon von Rankine auf anderem Wege erhalten wurde. Gl. (39) erklärt jezt deutlich den Grund der Abweichung von dem richtigen Werthe c, = 0,4805.
Die nach Gl. (39) berechneten Werthe von 2 für gesättigten Dampf stimmen ganz befriedigend mit denen der Regnault'schen Formel überein. Man erhält z. B. für: 0,5 1 5 Atmosphären, λ nach Gl. (39) 631,15 637,02 653,05 Regnault 2= 631,42 637,00 652,98.
Unsere Gl. (39) hat aber den Vorzug, daß sie allgemein auch für überhigte Wasserdämpfe gilt.
Anwendungen.
Betrachtet man die von mir aufgestellte Zustandsgleichung der überhigten Dämpfe, zunächst der Wasserdämpfe, als richtig. (und ich glaube, daß durch das oben Gegebene die hohe Wahrscheinlichkeit ihrer Richtigkeit wenigstens für die gewöhnlich vorkommenden Dampfpreffungen nachgewiesen ist), so ist nun das Mittel gegeben, eine ganze Reihe von Fragen zu lösen, deren Beantwortung bis jezt unmöglich war. Bor Allem find es diejenigen Probleme, die zugleich von technischer Bedeutung sind, welche mit Leichtigkeit gelöst werden können, und eine Theorie der Dampfmaschinen mit überhigtem Dampfe unterliegt nun feiner Schwierigkeit mehr. Es sollen hier nur einige der wichtigsten Fälle untersucht werden, von denen mehrere, weil entsprechende Versuche vorliegen, als weitere Bestätigung des oben Gegebenen dienen sollen.
Adiabatische Curve. Ist die Gewichtseinheit übers higter Dampf von Druck p2 und Volumen v2 gegeben, und dehnt sich derselbe arbeitsverrichtend ohne Mittheilung und Entziehung von Wärme aus, so giebt die adia batische Curve das Gesez der Aenderung des Druckes p mit dem Volumen v an; diese Curve giebt auch das Gesez an, nach welchem bei Dampfmaschinen mit überhißtem Dampfe die Expansionscurve im Indicatordiagramm verläuft. Ist der Anfangszustand durch die Werthe P2, V2, T2 und der Endzustand durch P1, V1, Ti gegeben (Fig. 4), so läßt sich nach den Gleichungen (32) leicht die Beziehung zwischen den einzelnen Größen finden; sezt man dort in den 3 Gleichungen dQ=0, so folgt durch Integration:
1