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Aufwickeln und Abwickeln
Hans Walser
Zusammenfassung: Beispiele von wenig bekannten Abwicklungen. Diskussion zum Begriff ãNetzÒ. Minimale Anzahl Klebelaschen. Aufwickeln zu Kreis und Dreieck. Mechanische Modelle. Das Rad auf dem Rad und die Fourier-Entwicklung. Hundekurve und Parametertransformation. Winkeldrittelung. Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal. Aufwickeln zum Wrfel. Roboter mit fnf bewegten Drehachsen.
Die Abbildung 0 zeigt Szenen aus einem Auf- und Abwickel-Beweis fr den Satz des Pythagoras.
Abb. 0: Aufwickeln und Abwickeln
Animation 1: Aufwickeln und Abwickeln
Die Abbildung 1a zeigt eine Wrfelabwicklung.
Abb. 1: Abwicklungen
Die fnfmal so lange Abwicklung der Abbildung 1b knnte entsprechend fnffach um den Wrfel gewickelt werden – was allerdings Probleme mit der Kartondicke gbe. Gibt es einen Krper mit der einfachen Abwicklung der Abbildung 1b? (Lsung siehe Abb. 7).
Mein Enkel hat mir krzlich unter die Nase gerieben, er habe neun von den elf Wrfelnetzen (Abb. 2) selber herausgefunden. Er sagte Wrfelnetz, so stehe es im Schulbuch.
Abb. 2: Wrfelabwicklungen
Die Bezeichnung ãNetzÒ fr Polyederabwicklungen ist zwar in Schulbchern gelufig, ist aber ein semantischer Ausrei§er. Im Bedeutungsumfeld ãNetzÒ geht es immer um Knoten und deren Verbindungen. In den Abwicklungen der Abbildung 2 gibt es aber oft zwei oder gar drei Knoten, welche zur selben Wrfelecke gehren. (Warum gibt es kein Beispiel, wo sogar vier Knoten zur selben Wrfelecke gehren?) – Das widerspricht der Vorstellung eines Netzes. Man stelle sich einen Verkehrsnetzplan vor, in welchem der Hauptbahnhof zweimal vorkommt.
Die Abbildung 3 zeigt ãechteÒ Beispiele von Wrfelnetzen.
Abb. 3: Wrfelnetze
Fr die Anordnung der Klebelaschen einer Polyederabwicklung gibt es eine einfache Regel. Bei jeder zweiten Kante auf dem Rand muss eine Klebelasche angebracht werden. Damit erhalten wir eine Vollverklebung.
Die Frage nach der Minimalverklebung ist spannender. Mit wie wenigen Klebelaschen hlt das Polyeder gerade noch?
Bei den Wrfelabwicklungen gengen in der Regel zwei Klebelaschen (exemplarisch in Abb. 4). Gleichfarbig markierte Kanten mssen mit einer Klebelasche verbunden werden. Bei zweien der elf Abwicklungen (rechts unten) gengt sogar eine Klebelasche.
Abb. 4: Minimale Klebelaschen
Die Abbildung 5 zeigt ein Beispiel-Modell mit nur einer Klebelasche.
Abb. 5: Fahnenwrfel
Die Abwicklung der Abbildung 1b besteht aus fnf Abwicklungen der Abbildung 1a, welche an der einzigen ntigen Klebelasche zusammengeklebt sind. Solche verlngerte Abwicklungen knnen als Transmissionsketten verwendet werden (Abb. 6b). Die Zahnrder sind Wrfel, welche auf einer Krperdiagonalen als Achse drehen (Abb. 6a).
Mein Enkel ist der Meinung, auf diese Weise knne man keine bersetzungen bauen. Hat er recht?
Abb. 6: Transmission
Die Abwicklung der Abbildung 1b passt auf ein aus sieben Wrfeln zusammengesetztes dreidimensionales Kreuz (Abb. 7). Ausprobieren!
Abb. 7: Dreidimensionales Kreuz
Wird ein gespannter Faden auf eine Spule aufgewickelt, beschreibt das Fadenende eine Evolvente (Abb. 8).
Abb. 8: Aufwickeln auf einen Kreis. Evolvente
Wir knnen aber auch so verfahren, dass der Faden gleichm§ig gekrmmt wird (Abb. 9).
Abb. 9: Gleichm§ig gekrmmt
Das Fadenende beschreibt eine Kurve mit der Polargleichung:
(0)
Die Kurve kann zu einer Herzkurve ergnzt werden (Abb. 10a). Diese ist etwas gr§er als die klassische Kardioide (Abb. 10b).
Abb. 10: Herzkurve. Vergleich mit Kardioide
Beim Aufwickeln mit gespanntem Faden auf ein Dreieck luft das Fadenende auf einer Folge von Kreisbgen mit schrittweise abnehmendem Radius (Abb. 11).
Abb. 11: Folge von Kreisbgen
Nun wickeln wir so auf, dass wir den Faden gleichm§ig knicken (Abb. 12). An den Knickstellen sollen die Au§enwinkel gleichm§ig zunehmen.
Abb. 12: Gleichm§ig geknickt
Wir knnen das sehen wie das Schlie§en einer flachen Hand zur Faust. Bei der Hand haben wir allerdings – vom Handrcken aus gezhlt – vier Teile, und diese sind nicht von gleicher Lnge.
Abb. 13: Kreisberlagerung
Die erste Knickstelle ist ortsfest. Die zweite Knickstelle luft auf einem Kreis. Der Endpunkt des u§ersten Schenkels luft auf einer Kurve, welche eine Kreisberlagerung darstellt. Auf dem ersten Kreis luft der Mittelpunkt des zweiten Kreises, der mit doppelter Geschwindigkeit dreht.
Im eingezeichneten Koordinatensystem kann die entstehende Kurve parametrisiert werden wie folgt (1).
(1)
Wir sehen eine Fourier-Folge, die nach zwei Schritten abbricht.
Die Abbildung 14 zeigt ein mechanisches Modell mit Zahnrdern.
Das ganz gro§e Zahnrad sitzt im Leerlauf auf einer gertefesten Achse und wird von unten (kleines Zahnrad) angetrieben. Es dient dem Anheben des ersten bewegten Schenkels. Auf derselben Achse sitzt vorne ein ortsfestes Zahnrad. Dieses dreht sich also gegenber dem Gert nicht. Durch das Anheben des beweglichen Schenkels wird aber ber zwei kleine Zwischenzahnrder das u§erste Zahnrad angetrieben. Dieses dreht doppelt so rasch wie der bewegliche Schenkel (bergang von t zu 2t in der Parameterdarstellung). Dieses u§erste Zahnrad bewegt den u§eren Schenkel des Gertes. Die Bewegung des u§ersten Punktes dieses Schenkels entspricht der Kreisberlagerung der Abbildung 13.
Die beiden kleinen Zwischenzahnrder dienen nur zur Verlngerung des ersten beweglichen Schenkels. Fr die Kinematik sind sie unerheblich und knnten weggelassen werden.
Abb. 14: Mechanisches Modell
Die Kurve der Abbildung 13 ist eine ãHundekurveÒ. Wir legen die Wurst in den Doppelpunkt. Wenn nun die Madame mit dem Fiffi an der roten Einheitsleine auf dem blauen Kreis spazieren geht, bewegt sich der Fiffi auf der inneren Schleife der grnen Kurve (Abb. 15). Der zweite Hund der Madame, der Veggi, bewegt sich auf der u§eren Schleife.
Abb. 15: Fiffi und Veggi
Bevor wir das beweisen, zwei mechanische Modelle. In beiden Modellen stellt die blaue Kreisscheibe die Madame dar, die rote Kreisscheibe den Fiffi, die grne Kreisscheibe den Veggi und die orange Kreisscheibe die Wurst.
Im Modell der Abbildung 16 ist eine Fhrungsstange sichtbar, welche den Fiffi zur Wurst leitet. Allerdings haben wir dort einen Anschlag, und es geht nicht mehr weiter.
Abb. 16: Fhrungsstange mit Anschlag
Im Modell der Abbildung 17 sind Fhrungsstange und Wurst eine Ebene nach vorne verlegt. Daher kann, wenn der Fiffi die Wurst erreicht hat, weitergedreht werden. Der Fiffi entfernt sich dann auf der u§eren Schleife von der Wurst. Als nchstes erreicht die Madame die Wurst. Das ist der ãtote PunktÒ des Modells. Die beiden Hunde knnten in dieser Situation vertauscht werden. Das Weiterdrehen funktioniert aber ber diesen toten Punkt hinweg. Nun nhert sich der Veggi der Wurst und erreicht sie. Anschlie§end bewegt er sich auf der inneren Schleife, bis er wieder die Wurst erreicht. Durch Weiterdrehen erhalten wir schlie§lich die Ausgangsposition mit dem Fiffi auf der inneren und dem Veggi auf der u§eren Schleife.
Abb. 17: Fhrungsstange nach vorn verlegt
Wir haben zu zeigen, dass die Kurve der Abbildung 13 mit der Parametrisierung (1) tatschlich eine Hundekurve ist.
Wir bezeichnen wie schon frher mit t den Parameter des blauen Kreises, also fr die Bewegung der Madame. Im gelb eingezeichneten gleichschenkligen Dreieck ist dies der Au§enwinkel des Spitzenwinkels. Die beiden Basiswinkel sind je halb so gro§.
Abb. 18: Parametrisierung der Hundekurve
Mit Hilfe des parallel verschobenen Basiswinkels kann nun die Bewegung des Veggi parametrisiert werden. Es ist:
(2)
Der Vergleich der Parametrisierungen (1) und (2) ist zunchst irritierend. Die ersten beiden Summanden sind (scheinbar) identisch, im letzten Summanden haben wir einmal das Doppelte und einmal die Hlfte des Parameters.
Das Problem lst sich mit einer Parametertransformation. Wenn wir in (1) den Parameter durch einen doppelt so gro§en substituieren und den zweiten und dritten Summanden vertauschen, ergibt sich (2). Auch die Parameterbereiche stimmen dann wieder berein. Damit ist der Beweis erbracht.
Der Autor gesteht, dass nicht nur seine Studierenden, sondern auch er selber Probleme mit solchen Parametertransformationen hat. Man muss mit einer Hilfsvariablen arbeiten, die man am Schluss dann umbenennt.
Ein Diskussionspunkt ist die Frage, ob zwei durch verschiedene Parametrisierungen beschriebene, aber identische Punktmengen als dieselbe Kurve bezeichnet werden knnen. Fundamentalisten verneinen dies. Fr eine Kurve ist die Parametrisierung essentiell, so wie der Definitionsbereich zum Funktionsbegriff gehrt. Geometer und Kartografen haben da weniger Skrupel. Wien bleibt Wien, egal ob auf der Plattkarte oder der Mercator-Karte.
Die Parametrisierung (2) gibt Anlass zu einem weiteren mechanischen Modell fr die Kurve (Abb. 19).
Abb. 19: Ein weiteres Modell fr die Hundekurve
Die Wurst ist hier mechanisch vllig isoliert. Das Modell funktioniert mit einem Kettengetriebe. Das u§ere Kettenrad ist doppelt so gro§ wie das innere. Es dreht daher halb so schnell. Dies liefert den halben Parameter im letzten Summanden von (2). Das Rdchen mit dem schwarzen Gummireifen ist nur ein Kettenspanner. Er ist erforderlich, damit das Modell przis genug arbeitet. ber Hundekurven und verwandte Kurven siehe Haftendorn (2017), S. 38-78.
Die Parametrisierungen (1) und (2) ergeben global dieselben Punkte, aber nicht punktweise. Fr einen bestimmten Parameterwert ergeben sich zwei verschiedene Punkte, die aber beide auf der Kurve liegen (Abb. 20).
Abb. 20: Verschiedene Punkte
Bis zum Punkt auf dem blauen Kreis unterscheiden sich die beiden Parameterdarstellungen nicht. Mit der Parametrisierung (1) erhalten wir dann aber gegenber der Horizontalen einen Winkel von 2t und fr denselben Parameterwert mit der Parametrisierung (2) einen Winkel von . Die Differenz ist , also das Dreifache des kleinen Winkels . Damit ergibt sich eine Mglichkeit zur Winkeldrittelung.
Sie geht so: Wir zeichnen gem§ Abbildung 21 ein gleichschenkliges Dreieck mit dem zu drittelnden Winkel als Spitzenwinkel. Dieses Dreieck passen wir dann so ein, dass auch die zweite Basisecke auf der Kurve liegt. Der Winkel zur Horizontalen durch die Dreiecksspitze ist dann ein Drittel des Ausgangswinkels.
Abb. 21: Winkeldrittelung
In der Abbildung 13 sehen wir, dass der u§ere Schenkel die Dreiecksspitze zunchst berhrt und dann berschneidet. Bei welchem Parameterwert t findet die Berhrung (Abb. 22) statt?
Abb. 22: Berhrung
Wir machen eine Au§enwinkelberlegung im blau eingezeichneten gleichschenkligen Dreieck. Der gesuchte Parameterwert t ist der Au§enwinkel der Basiswinkel. Der Spitzenwinkel hat den Au§enwinkel t + 60¡. Die Summe der drei Au§enwinkel ist also 3t + 60¡. Da umgekehrt in jedem Vieleck die Summe der Au§enwinkel 360¡ betrgt, ergibt sich t = 100¡.
Ich habe in meinem bisherigen Leben noch nie einen Winkel von 100¡ angetroffen. Dies liegt wohl daran, dass ein solcher Winkel nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Der Beweis dazu verluft indirekt. Angenommen, ein Winkel von 100¡ sei mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Dann lie§e sich ein Winkel von 60¡ subtrahieren und wir erhielten einen Winkel von 40¡, alles mit Zirkel und Lineal. Dies ist der Zentriwinkel eines regelm§igen Neunecks, welches damit ebenfalls mit Zirkel und Lineal konstruierbar wre. Das widerspricht aber einem Satz von Gau§ ber die Konstruierbarkeit regelm§iger Vielecke.
Das rechnerische Vorgehen fhrt auf kubische Gleichungen.
Das analoge Problem beim Aufwickeln auf ein Quadrat (Abb. 23) fhrt nicht auf einen ãschnenÒ Winkel. Die zugehrigen Gleichungen sind vom Grad 12.
Abb. 23: Auf ein Quadrat aufwickeln.
Wir wickeln nun die Abwicklung der Abbildung 1a gleichm§ig geknickt auf den Wrfel. Die Abbildung 24 zeigt die Startlage und den ersten Schritt mit einer Drehung um 5¡. Das vorderste Quadrat bleibt ortsfest. Dann wird um jede Kante, welche zwei Quadrate verbindet, je um 5¡ gedreht. Das hei§t, dass zwar die erste Drehachse auch ortsfest bleibt, aber schon die zweite Drehachse und mit ihr alle folgenden Drehachsen verdreht werden. Wir haben dieselbe Situation wie bei einem Roboter, der mehrere Drehachsen hat, welche sukzessive verdreht werden.
Abb. 24: Start und Drehung um 5¡
Die Abbildung 25 zeigt die Situation nach Drehungen um 40¡ und um 45¡.
Abb. 25: Drehungen um 40¡ beziehungsweise 45¡
In der Abbildung 26 haben wir die Situation nach der Drehung um 85¡ und schlie§lich die Endlage des Wrfels.
Abb. 26: Drehung um 85¡ und geschlossener Wrfel
Analog zu den Abbildungen 22 und 23 interessiert die Frage, ob und wo der einzupackende Wrfel berhrt wird. Ich bin diese Frage nur experimentell angegangen. Die Abbildung 27 zeigt die Startposition mit dem Wrfel und die erste feststellbare Durchschneidung bei einer Drehung von etwa 70¡.
Abb. 27: Start und Beginn der Wrfeldurchdringung bei etwa 70¡
In der Abbildung 28 sehen wir die beiden Folgeschritte.
Abb. 28: Drehungen um 75¡ respektive 80¡
Literatur
Haftendorn, Drte (2017): Kurven erkunden und verstehen. Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen. Wiesbaden: Springer Spektrum. ISBN 978-3-658-14748-8.
Websites
Hans Walser: Fahnenwrfel