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Hans Walser, [20101226a]
Gleichschenkliges Gelenktrapez
Anregung: B. Z., V.
Aus zwei gegenberliegenden Seiten und den beiden Diagonalen eines Rechteckes bilden wir ein Gelenkmodell. Dieses lsst sich zu einem gleichschenkligen Trapez verformen.
Gelenktrapez
Im Folgenden werden einige Eigenschaften dieses Gelenktrapezes besprochen.
Wir normieren die Schenkellnge auf 1 und verwenden die Bezeichnungen der Abbildung.
Bezeichnungen
Fr (i) ist das Ausgangsrechteck im Hochformat, fr (ii) haben wir ein Quadrat als Ausgangsrechteck und fr (iii) ist das Ausgangsrechteck im Querformat. Wir werden diese zunchst rein geometrische Fallunterscheidung spter wieder antreffen.
Weiter ist . Fr ist das Trapez ãflachÒ, es hat keinen Flcheninhalt. Fr haben wir das Ausgangsrechteck.
Aus Symmetriegrnden ist der Flcheninhalt fr das Ausgangsrechteck extremal. Die Frage ist, ob es sich dabei um ein (lokales) Maximum oder ein lokales Minimum handelt.
Wir berechnen den Flcheninhalt in Abhngigkeit von p. Es ist:
Fr die Bestimmung der Extrema gengt es, den Radikanden zu untersuchen.
Aus ergibt sich:
Eine erste Lsung ist . Das ist der Fall des Ausgangsrechteckes. Fr weitere Lsungen muss gelten:
Das gibt Anlass zur schon bekannten Fallunterscheidung:
(i) : Wir haben drei reelle Lsungen. Es ist:
Fr (symmetrischer Fall des Ausgangsrechteckes) haben wir ein lokales Minimum, links und rechts davon je ein Maximum.
Die Abbildung zeigt die Situation fr .
Kamelhcker. Ausgangsrechteck Hochformat
(ii) : In diesem Fall ist . Wir haben eine dreifache Nullstelle der ersten Ableitung. Weiter ist . Wir knnen von da her keine Aussage ber die Art des Extremums machen. Es ist aber . Fr haben wir daher das Maximum.
Quadrat als Ausgangsrechteck
(iii) : In diesem Fall sind und rein imaginr. Die einzige reelle Extremalstelle ist . Wegen haben wir ein Maximum. Die Abbildung zeigt die Situation fr .
Maximum. Ausgangsrechteck Querformat
Wir fixieren die Punkte A und D des Ausgangsrechtecks. Dann bewegt sich der Diagonalenschnittpunkt S auf einer Ellipse.
Ellipse
Die Ellipse hat die Brennpunkte A und D und ist durch bestimmt. Die Tcke liegt im Detail: DGS (Cabri) kommt nicht ber den ãtoten PunktÒ hinweg. Daher msste die zweite Hlfte separat gezeichnet werden.
Es sei V der Mittelpunkt der Seite BC des Gelenktrapezes. Wo bewegt sich der Punkt V bei Fixierung der Punkte A und D?
DGS zeigt das Beispiel fr . Wiederum kann wegen des toten Punktes nur eine Hlfte generiert werden.
Noch eine Kurve
Wir knnen die Kurve parametrisieren, indem wir setzen. Dabei ist der Winkel des Gelenktrapezes an der Ecke A. Mit U als Mittelpunkt der Seite DA ist die Strecke UV die Mittellinie des Gelenktrapezes. Diese hat die Lnge:
Ferner hat die Mittellinie gegenber der Vertikalen den Winkel . Mit und ergibt sich fr die gesuchte Kurve die Parameterdarstellung:
Die Abbildungen zeigen der Reihe nach die Situationen fr . Es ist interessant, sich den Fall als Gelenkmodell vorzustellen.
Mittelpunktskurven