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Wir geben hier eine Definition des Dehnfaktor und erklären (aber beweisen nicht) seine Eigenschaften.
Sei eine Fläche. Wählen wir eine Riemannsche Metrik auf . Für eine wesentliche Kurve wird die minimale Länge der Kurven, die zu isotop sind, durch bezeichnet.
Definition. Sei
ein pseudo-Anosov Homöomorphismus, d.h. ein Homöomorphismus, der
keine wesentlichen periodischen Kurven zuläßt. Wählen wir eine wesentliche
Kurve auf . Dann ist der Dehnfaktor durch
die folgende Formel gegeben:
Es stellt sich heraus, daß von der Wahl von und unabhängig ist.
Um zu kalkulieren, betrachten wir eine Henkelzerlegung von in Inseln und Brücken. Wir können annehmen, daß Inseln nach Inseln abbildet. Sei ein Mittelgraph von . Die Eckpunkte von sind die Zentren von Inseln, die Kanten von entsprechen den Brücken .
Es ist leicht, so isotop zu deformieren, daß das Bild jeder Kante eine "fast normale" Kurve ist, d. h. hat keine Umkehrungen (wir haben "fast" gesagt, weil eine unpropere Kurve ist und darum der Definition der normalen Kurve nicht völlig entspricht). Wir können auch annehmen, daß für jede Kante nicht nur , sondern alle Kurven fast normal sind. Das ist etwas schwieriger, dann um dies zu erreichen, müssen wir nicht nur , sondern auch ändern.
Jetzt schreiben wir die Matrix , wobei die Anzahl der Strecken in ist. Die Elemente von sind nicht-negativ. Jede solche Matrix bestimmt eine lineare Abbildung , die den positiven Quadrant auf sich selbst abbildet. Jede solche Abbildung hat einen einzigen Eigenvektor mit Eigenwert (falls es zwei solche Vektoren göbe, würde periodische Kurven haben). Dieses ist der Dehnfaktor.
Um dies zu erklären, betrachten wir die induzierte Abbildung , wobei das Simplex mit Eckpunkten ist. Man kann so beschreiben: , wenn der Strahl auf den Strahl abbildet. Die Abbildung ist komprimierend. Daraus folgt, daß für große das Bild in einer sehr engen Umgebung des Strahles liegt. Siehe Fig.1.
Es sei bemerkt, daß die Elemente der Matrix wie wachsen. Dies bedeutet, daß die Anzahlen von Strecken in auch wie wachsen. Dasselbe gilt für Längen von Kanten in jeder Metrik und darum für allen wesentlichen Kurven. Dies bedeutet, daß die Wurzeln vom Grad von diesen Längen den konstanten Wert zustreben.
8.1. Theorie der normalen Flächen (bezüglich Henkelzerlegungen).
Diese Version der Normalflächentheorie ist bequemer für die Erkennung der 3-Sphäre. Man muß bemerken, daß alle Flächen in kompressibel sind. Deshalb können wir die bisherige Technik nicht anwenden. Wir werden auch nicht , sondern (den Ball) erkennen.
Die Henkelzerlegung einer berandeten 3-Mannigfaltigkeit besteht aus Kugeln, Balken und Platten., d. h. aus Henkeln vom Index 0, 1 und 2. Auf dem Rand jeder Kugel liegen Inseln, Brücken und Seen, die eine Henkelzerlegung von bilden.
Sei eine Henkelzerlegung von .
Definition. Eine geschlossene Fläche heißt 2-normal, wenn folgendes gilt:
Die Strategie der Erkennung von besteht darin, daß wir die Henkelzerlegungen einer gegebenen 3-Mannigfaltigkeit zu vereinfachen versuchen werden. Dazu ist ein Begriff von Kompliziertheit nötig.
Die Kompliziertheit eines Balkens ist die Zahl , vobei die Valenz von ist. Die Kompliziertheit einer Henkelzerlegung ist die Summe der Kompliziertheiten von allen Balken.
8.2. Reduzieren der Henkelzerlegung. Sei eine Henkelzerlegung eines Homologieballs . Wir beschreiben einige Transformationen von Henkelzerlegungen, die auch ändern können.
1. Entfernen eines Balkens mit Valenz 0. Wenn eine Balke existiert, an der keine Platten angeklebt sind, entfernen wir diesem Balken. Dabei wird in zwei Komponenten zerlegt. ist ein echter Ball sind echte Bälle.
2. Vernichtung einer Balke mit Valenz 1 und der entsprechenden Platte. Wenn an einer Balke nur eine Platte angeklebt ist, dann entfernen wir beide.
3. Aufschneiden einer Kugel. Nehmen wir an, daß eine Kugel von eine propere Scheibe enthält, so daß in einem See liegt und jede Komponente von mindestens eine Insel enthält. Wir schneiden entlang dieser Scheibe auf. Dabei wird wieder in zwei Komponenten zerlegt. ist ein echter Ball sind echte Bälle.
4. Entfernen einer trennenden Brücke. Nehmen wir an, daß eine Kugel von eine propere Scheibe enthält, so daß nur eine Insel nur einmal quer schneidet. Wir verwandeln in zwei Bälle, die mit einen Balken verbunden sind, so daß die trennende Brücke durch den neuen Balken geht. Dann hat des neue Balken Valenz 1, und wir entfernen sie zusammen mit der anliegenden Platte.
5. Entfernen einer trennenden Insel. Nehmen wir an, daß eine Insel einen properen Bogen enthält, so daß das folgende gilt:
Eine Henkelzerlegung heißt reduziert, wenn die Transformationen 1-5 nicht angewandt werden können. Jede Zerlegung eines Homologieballes läßt sich zu einer Zerlegung in etliche Homologiebälle reduzieren. Es gilt:
1. für alle ;
2. .