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Hans Walser, [20171112]
Goldene Pyramiden
Anregung: R. Q., W.
Durch eine geeignete Anordnung von zwei Goldenen Pyramiden kommen wir zum Ikosaeder und zum Dodekaeder.
Die Goldene Pyramide hat ein regelm§iges Fnfeck als Grundflche und als Seitenflchen fnf gleichschenklige Dreiecke, deren Schenkel zur Basis im Verhltnis des Goldenen Schnittes (Walser 2013) stehen (Abb. 1).
Abb. 1: Goldene Pyramide
Die Abbildung 2 zeigt zwei verschiedene Abwicklungen (Schnittmuster) der Goldenen Pyramide.
Abb. 2: Schnittmuster der Goldenen Pyramide
R. kam etwas verstrt von der Schule nach Hause. An sich ging sie gerne in die Schule und liebte ihre Lehrerin.
In der Schule seien die Pyramiden behandelt worden. Ihre Frage, ob es auch Pyramiden mit fnf Seitenflchen gebe, sei verneint worden. Dabei knne sie, R., sich das sehr gut vorstellen.
Nach dem Mittagessen wurde aus Karton mit dem Schnittmuster der Abbildung 2b eine Pyramide wie Abbildung 1a gebaut. R. erklrte, so habe sie sich das vorgestellt und ging damit zur Schule.
Auf Rckfrage sagte sie am Abend, das sei ein Missverstndnis gewesen. Die Lehrerin habe die Frage so verstanden, ob auch Pyramiden mit fnf Seitenflchen gebaut worden seien.
Existiert, was man ãsich sehr gut vorstellenÒ kann?
Wir fgen der Goldenen Pyramide eine zweite kongruente Pyramide mit selber Achse, aber der Spitze nach unten bei. Dabei soll die zweite Pyramide um die gemeinsame Achse um 36¡ verdreht sein. Ihr Boden soll die Hhe der ersten Pyramide im Goldenen Schnitt teilen. Der Abstand zwischen den beiden Pyramidenbden sei dabei der Major. Die Abbildung 3 zeigt die Situation.
Abb. 3: Zweite Pyramide
Nun gilt folgendes:
á Die konvexe Hlle der Figur ist das regulre Ikosaeder (Abb. 4).
á Die Schnittfigur der beiden Pyramiden ist das regulre Dodekaeder (Abb. 5).
Beweise durch Nachrechnen oder Einsicht.
Abb. 4: Konvexe Hlle ein Ikosaeder
Abb. 5: Schnittfigur ein Dodekaeder
Wir fassen ein regulres Tetraeder als Pyramide auf und setzen zwei kongruente Tetraeder mit umgekehrter Orientierung auf dieselbe Achse. Die beiden Tetraeder sollen um 60¡ zueinander verdreht sein. Der Pyramidenboden des einen Tetraeders soll die Pyramidenhhe des anderen halbieren.
Die entstehende Figur ist der Kepler-Stern. Die konvexe Hlle ist der Wrfel. Die Schnittfigur der beiden Tetraeder ist das regulre Oktaeder.
Literatur
Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing ber populrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.