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Hans Walser, [20090214a]
Briefumschlag
Wenn wir bei einem Papier-Rhombus die vier Ecken in die Mitte einfalten, entsteht ein Briefumschlag (von den Klebefalzen wird abgesehen).
Rhombus und Briefumschlag
Gibt es andere Papier-Vierecke, mit denen sich berlappungsfrei und lckenlos ein Briefumschlag herstellen lsst?
Ist dies insbesondere mit einem Rechteck mglich?
Zunchst ist nicht gesagt, dass das Briefumschlag-Viereck ein Rechteck sein soll. Es ist lediglich ein dem ursprnglichen Papier-Viereck einbeschriebenes Viereck. Da das Einfalten aber lckenlos und berlappungsfrei geschehen soll, haben wir an jeder Ecke des Briefumschlag-Viereckes die Situation der folgenden Figur.
Situation an einer Ecke des Briefumschlages
Da die ursprngliche Papierkante glatt ist, haben wir und daher . Der Briefumschlag wird also rechteckig.
Es gibt nun zwei Flle je nachdem, ob alle vier Ecken des Papier-Viereckes nach dem Einfalten in einem Punkt zusammen kommen, oder ob das nur jeweils zwei im Papier-Viereck benachbarte Ecken tun.
Wenn zwei benachbarte Ecken des Papier-Viereckes nach dem Einfalten zusammen kommen, wird der Mittelpunkt der Papierkante zwischen diesen Ecken eine Ecke des Briefumschlag-Rechteckes.
Dies ist genau dann mglich, wenn die Diagonalen des ursprnglichen Papier-Viereckes orthogonal sind.
Viereck mit orthogonalen Diagonalen
berlegung: Dass es geht, ist offensichtlich. Die Ecken des Papier-Viereckes kommen im Diagonalenschnittpunkt zusammen. Die Frage ist, ob es auch ginge, wenn die Diagonalen nicht orthogonal sind. Dies kann wie folgt ausgeschlossen werden: Da alle Ecken des Papier-Viereckes in einem Punkt zusammenkommen, sind die Ecken des Briefumschlag-Rechteckes jeweils die Kantenmitten des Papier-Viereckes. Das Kantenmittenviereck eines beliebigen Viereckes ist ein Parallelogramm, dessen Seiten parallel zu den Diagonalen sind. Da unser Briefumschlag-Rechteck ein Rechteck ist, mssen die Diagonalen des Papier-Viereckes orthogonal sein.
Es geht sogar mit einem Viereck, das nicht konvex ist, aber orthogonale Diagonalen hat (Figur). Der Diagonalenschnittpunkt ist dann nur noch ãvirtuellÒ. Wir falten zunchst die drei konvexen Ecken zum virtuellen Diagonalenschnittpunkt. Dann steht etwas von der Gr§e des vierten, virtuellen Dreieckes (gelb) vor, was wir nach hinten falten.
Nicht konvexes Viereck
Wir illustrieren die Situation an einem Beispiel.
Im Trapez
In ein Papier-Trapez passen wir ein Rechteck ein, von welchem zwei gegenberliegende Ecken auf den Mitten der Schrgkanten des Trapezes liegen und die zwei restlichen Ecken auf den Parallelen. Dieses Rechteck wird das Briefumschlag-Rechteck. Nun knnen wir die Ecken des Papier-Trapezes einfalten gem§ Figur. Es geht lckenlos und berlappungsfrei. Ausprobieren!
Wenn beim Einfalten je zwei benachbarte Ecken paarweise in einem Punkt zusammenkommen, ist der Mittelpunkt der Papierkante zwischen diesen beiden Ecken eine Ecke des Briefumschlag-Rechteckes. Die Winkel des Papierviereckes in diesen beiden Ecken ergnzen sich auf 180¡ Grad, somit haben wir zwei parallele Papierkanten. Das Papier-Viereck muss also ein Trapez sein.
Das Briefumschlag-Rechteck hat zwei diametrale Ecken in den Endpunkten der Mittelparallelen des Papier-Trapezes. Die beiden anderen Ecken finden wir als Schnittpunkte des Thaleskreises ber der Mittelparallele mit den parallelen Seiten des Papier-Trapezes. Damit diese Schnittpunkte existieren, muss die Trapezhhe kleiner oder gleich der Lnge der Mittelparallele sind. Aber auch da kann es noch Probleme geben, wenn die Schrgseiten des Trapezes zu schrg sind.
Zu schrge Trapezseiten
In diesem Fall schneidet der Thaleskreis die eine Parallelkante des Papier-Trapezes nicht. Eine Ecke des Briefumschlag-Rechteckes wird ãvirtuellÒ. Trotzdem geht es aber; man muss einen hnlichen Trick mit mehrfachem Falten wie oben beim nicht konvexen Viereck anwenden. Ausprobieren!
Mit einem Papier-Rechteck, etwa einem DIN-Blatt, geht es problemlos.
DIN-Blatt
Das Briefumschlag-Rechteck hat allerdings nicht mehr das DIN-Format.