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A partir de questions très simples, auxquelles nous ne savons pourtant pas toujours répondre, les mathématiciens tentent de comprendre le monde qui nous entoure et d’inventer le monde de demain. Car les mathématiques nous entourent: elles sont dans nos téléphones portables, nos ordinateurs, nos cartes bancaires comme sur les verres à mesure pour la farine de nos gâteaux.
Naissance des mathématiques
Les premières mathématiques ont certainement servi à cela: compter. Compter les doigts, les objets, les animaux d’un troupeau. Puis progressivement savoir mesurer. Comment mesurer la taille d’un terrain? Le temps qui passe? Le cycle de la lune et des saisons? Comment mesurer les quantités lors d’un troc? Peu à peu, les questions se sont faites plus complexes. Les mathématiques sont apparues dans toutes les civilisations, probablement avant l’apparition de l’écriture. De la civilisation de Sumer par exemple, on conserve des écrits mathématiques datant de plus de 2000 ans avant Jésus-Christ.
Les mathématiques sont utiles, elles servent à comprendre le monde. Les premières opérations, additions, multiplications, permettent par des systèmes de numérisation de décrire des nombres de plus en plus grands. Peu à peu les mathématiques se complexifient, avec la compréhension progressive des racines carrées, cubiques, des équations du second degré, de la géométrie et des extrapolations linéaires. Les mathématiques servent ainsi aux Égyptiens à construire des bâtiments, des systèmes d’irrigation, à gérer les récoltes et à établir les salaires. Sachant que la Terre est ronde, ils ont cherché à mesurer sa circonférence et ont établi une méthode pour y parvenir. Mais il faut attendre le VIIe siècle pour voir apparaître le chiffre zéro, en Inde. De par les échanges entre ce pays et le Moyen-Orient, la notion de zéro est ensuite reprise par l’Islam dans les mathématiques arabes, puis importée en Europe au Xe siècle. Il existe des témoignages de l’étude des nombres négatifs mais ils remontent seulement au XVIe siècle, où on les appelait d’ailleurs les nombres absurdes. Avec la montée des échanges internationaux au XVIIe siècle, l’algèbre issu des mathématiques arables se répand en Europe.
Comment les mathématiques ont-elles été conçues?
Au commencement étaient les nombres entiers positifs: 1, 2, 3, etc. Puis il a fallu partager: j’ai une galette, nous sommes trois, il faut 3 parts égales. C’est la naissance des fractions. On commence alors, voici plus de 4000 ans, à additionner pour ajouter des quantités (réunir des troupeaux, évaluer la nourriture tirée de plusieurs champs) et à multiplier en répétant les mêmes quantités. Les opérations se développent: la soustraction (longtemps limitée car on ne sait pas encore concevoir les nombres négatifs), la division, les équations. A terme, les nombres sont classés selon leurs propriétés.
Exemple
Imaginons une ligne continue. Les nombres 1, 2, 3, etc. sont comme des points sur cette ligne. On les appelle des entiers naturels. Il existe aussi les entiers relatifs, c’est à dire tous les entiers qui ont un signe positif ou négatif devant eux (1, 2, 3, mais aussi -1, -2, -3, etc.). Ce sont également des points sur la ligne, mais qui vont dans l’autre sens par rapport au zéro. Viennent ensuite les nombres rationnels, qu'on a pu découvrir avec les fractions. Ce sont des nombres qui ont un nombre entier au numérateur et un au dénominateur de la fraction (ex. ½, 1/3, 27/47, etc.). Ils se situent entre 2 nombres entiers sur la ligne continue qu’on imaginait. Mais il reste sur cette ligne plein de nombres qui ne sont ni des entiers, ni des rationnels. On les appelle les nombre réels. Ils repèrent tous les points de la ligne. Enfin, pour complexifier un peu, les nombres complexes, qui repèrent tous les points sur un plan. Et donc comme avec les poupées russes, les nombres complexes contiennent tous les nombres réels, qui contiennent tous les nombres rationnels, qui contiennent tous les entiers relatifs, qui contiennent tous les entiers naturels, la plus petite boîte de toutes! Bref, les maths, c’est sans complexe.
RTS Découverte, avec la collaboration de Dominique Arlettaz, mathématicien, recteur de l’Université de Lausanne