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Aufgabe 1. Sei
. Zeige, dass
mit
Aufgabe 2. (Fortsetzung) Eine zusammenhängende offene Teilmenge in heisst Holomorphiebereich in einer holomorphen Funktion wenn keine holomorphe Funktion mit existiert, derart dass die Einschränkung von auf mit übereinstimmt und zusammenhängend ist. Zeige, dass Holomorphiebereich in für aber nicht für ist.
Aufgabe 3. Sei eine zusammenhängende offene Teilmenge in . Seien holomorphe Funktionen, deren Einschränkungen auf einer nichtleeren offenen Teilmenge übereinstimmen. Zeige: .
Aufgabe 4. Sei
und sei
die holomorphe
Funktion, gegeben durch
Aufgabe 5. (Fortsetzung) Zeige, dass auf keine differenzierbare Funktion mit existiert.
Aufgabe 6. (Fortsetzung) Zeige, dass kein Holomorphiebereich in für ist.
Aufgabe 7. (Fortsetzung) Zeige, dass für eine zusammenhängende offene Teilmenge mit und eine holomorphe Funktion mit auf existieren.
Aufgabe 8. (Fortsetzung) Zeige, dass keine holomorphe Funktion mit auf existiert.
Hinweis: Aus Aufgabe folgt, dass, wenn es doch eine solche Funktion gäbe, die holomorphen Funktionen und auf übereinstimmen würden. Für würde dann gelten . Berechne das Wegintegral von über den geschlossenen Weg . Stelle einen Widerspruch mit der Annahme der Existenz der Funktion fest.
Aufgabe 9. Definiere auf mittels einer Potenzreihe eine holomorphe Funktion mit und . Konstruiere auf eine holomorphe Funktion mit und .
Aufgabe 10. (Fortsetzung) Zeige, dass Holomorphiebereich in der Funktion ist.
Aufgabe 11. Ein generisches Kunstwerk ist eine endliche
Vereinigung von Geraden in der Ebene, derart dass die
Anzahl von Doppelpunkten endlich und maximal ist. Eine generisches
Kunstwerk bestehend aus
Geraden hat
Doppelpunkten.
Ein generisches Kunstwerk bestehend aus oder mehr Geraden
kann man kostengünstig mit
Nägeln stabil an der Wand befestigen, indem man
durch Doppelpunkte Nägel treibt, derart dass
durch jede Gerade genau zwei Nägel gehen.
Sei die Anzahl möglicher kostengünstiger stabiler
Befestigungen eines generisches Kunstwerkes von Geraden mit Nägeln.
Offensichtlich gilt und wegen der Stabilität .
Zeige für