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Algèbre
Cours de 2e année de la Section de mathématiques
Semestre d'été 2004
Prof. Kathryn Hess Bellwald
SB-IGAT
Assistants: Jérôme Chaubert, Giordano Favi et Lucille Torrent
"L'algèbre n'est qu'une géométrie écrite;
la géométrie n'est qu'une algèbre figurée."
Sophie Germain
En algèbre, on étudie différentes classes de structures algébriques, c'est-à-dire, des ensembles dotés d'une ou plusieurs opérations binaires, lesquelles vérifient des axiomes, tels que l'associativité ou l'existence d'inverses. Les choix que l'on fait d'axiomes à imposer sont motivés par l'existence de multiples exemples concrets et importants. Ainsi la définition abstraite d'un groupe, qui est un ensemble doté d'une multiplication associative telle que chaque élément ait un inverse, reflète la structure multiplicative de l'ensemble des matrices réelles et inversibles ou celle de l'ensemble des permutations d'un ensemble donné ou celle, tout simplement, des nombres réels nonnuls. De même la définition d'un anneau, qui possède une multiplication et une addition, est motivée par la structure additive et multiplicative de l'ensembles des entiers. Enfin des exemples fondamentaux de corps--anneaux où la multiplication est commutative et où tout élément nonnul ait un inverse multiplicatif--sont connus depuis des siècles: le corps des réels et le corps des complexes.
Le but de ce cours est d'étudier en profondeur les bases des théories de groupes, d'anneaux et de corps, en essayant à tout moment d'illustrer les propos théoriques par des exemples parlants.
Cours: les lundis et mardis de 8h à 10h
Exercices: les lundis et mardis de 10h à 12h
Salle: MA/11
I. La théorie des groupes
A. Groupes, sousgroupes et groupes cycliques
B. Homomorphismes de groupes
C. Sousgroupes normaux et groupes quotient
D. Groupes de permutations
E. Groupes abéliens finis
F. Actions de groupe
G. Sousgroupes de Sylow
II. La théorie des anneaux
A. Anneaux, sousanneaux et anneaux intègres
B. Idéaux
C. Homomorphismes d'anneaux et anneaux quotient
D. Corps de fractions
E. Anneaux principaux et factoriels
F. Anneaux euclidiens
G. Anneaux de polynômes
H. Le "Nullstellensatz" de Hilbert
III. La théorie des corps
A. Extensions de corps
B. Corps de rupture
C. Eléments de la théorie de Galois
M. Artin, Algebra, Prentice Hall, 1991.
I. Herstein, Topics in Algebra (Second Edition), Wiley, 1975.
S. Lang, Undergraduate Algebra (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1990.
J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra (Second Edition), Prentice Hall, 2000.
Ce cours sera basé principalement sur le livre de Lang.
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