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Die Summe dieser geradlinigen Teile auf eine und dieselbe Gerade gestreckt, gibt die Länge der Linie. Wir
nehmen dabei an, daß, in welcher Weise wir auch die Teilung vornehmen, die Länge sich nicht ändert. Wir sprechen dies auch
so aus: Jede Linie läßt sich, ohne zu zerreißen und ohne sich zu dehnen, geradlinig und somit auf jede andre gleicher Länge
biegen. Durch Biegung ohne Dehnung (Deformation) wird die Krümmung, d. h. die Art und Weise der Richtungsänderung,
beseitigt, während die Länge bleibt. Es treten als ausgezeichnete Linien hervor: die Gerade, deren Krümmung 0 ist, die Schraubenlinie
und der Kreis,
[* 5] deren Krümmung konstant ist, d.h. deren Richtung sich stets in derselben Weise ändert.
Die Teile dieser Linien sind wegen der Konstanz
[* 6] der Krümmung frei auf den Linien selbst beweglich. Die Länge
einer von A ausgehenden Linie AB ist demnach durch die Lage des Endpunktes B bestimmt, also die Länge abhängig von der Lage.
Da für jeden Punkt C der zwischen A und B liegt, auch die Länge AC kleiner als die von AB ist, und für
jeden Punkt D, der in der Fortsetzung der Linie über B hinaus liegt, auch die Länge AD größer als die von AB ist, so ist
das Abhängigkeitsverhältnis umkehrbar, d. h. zu jeder bestimmten Länge gehört ein bestimmter Punkt B auf der Linie. Mißt
man die Länge mit einer willkürlichen Maßstrecke e, so genügt die Angabe der Maßzahl X, um die Lage
des Punktes B zu bestimmen. Die Bestimmung selbst geschieht durch Biegung ohne Dehnung oder durch fortgesetztes Probieren.
Bei den entsprechenden Betrachtungen für die Flächen folgen wir den »Disquisitiones generales circa superficies curvas« von
Gauß, von denen Riemann ausgegangen ist. Wie jede Linie sich in geradlinige Elemente aufgelöst denken läßt, so muß sich,
abgesehen von Ausnahmestellen, wie Spitzen etc., jede Fläche in Elemente gleicher Stellung oder ebene aufgelöst denken lassen,
oder es müssen Tangentialebenen vorhanden sein. Der Auflösungsprozeß erfordert zu seiner Durchführung ein Dreiecksnetz,
wie es die beistehende
[* 7]
Fig. 1 zeigt.
Wie man auf der Linie einen Punkt annimmt, so nimmt man auf der Fläche eine Linie q0 ^[q0] an. In diese schreibt man von
einem festen Punkt 00 ^[00] einen Sehnenzug und denkt sich durch die Endpunkte der Sehnen 00 ^[00] 01 ^[01] etc.
je eine Linie p auf der Fläche gezogen. In jede p-Linie schreibt man, von der q0 ^[q0]-Linie an gerechnet, einen Sehnenzug.
Verbindet man auf je zwei benachbarten p-Linien die entsprechenden Endpunkte und je einen Punkt der einen mit dem folgenden
der andern (s. Figur), so entsteht ein Dreiecksnetz zwischen je zwei aufeinander
folgenden p-Linien, welches sich in eine Ebene ausbreiten läßt.
Indem man nun die Sehnenzüge sich mehr und mehr den p-Linien anschmiegen läßt, bis sie zuletzt in die p-Linien übergehen,
so geht auch jedes solche Netz zuletzt in eine bestimmte ebene Fläche über, deren Größe von der Art
des Überganges unabhängig ist. Geht dann schließlich der Sehnenzug in der q0 ^[q0]-Linie in die q0 ^[q0]-Linie über,
so hat auch die Summe dieser Grenzen
[* 8] wieder eine Grenze, das Feld oder der Flächeninhalt der betrachteten Fläche genannt.
Als p-Linien bedient sich Gauß der kürzesten Linien auf der Fläche, d. h. der Linien, welche auf der Fläche gespannte Fäden
bilden, und zwar derjenigen, welche in ihren Ausgangspunkten auf der q0 ^[q0]-Linie senkrecht stehen.
Mittels weniger einfacher Betrachtungen zeigt er, daß jede Linie, welche die Punkte gleicher Koordinate p verbindet, alle p-Linien
senkrecht durchschneidet. Man erhält so zugleich auf jeder Fläche ein System von auf den p-Linien senkrechten q-Linien, die
Fläche wird so in unendlich kleine Rechtecke zerschnitten, welche, einzeln betrachtet, von einem gewöhnlichen
ebenen Rechteck nur um einen unmerkbaren Bruchteil desselben verschieden sind. Als q0 ^[q0]-Linie wird zur Vereinfachung
der Formeln auch ein Kreis mit unendlich kleinem Radius angewandt. Daß der Flächeninhalt, bezogen auf ein beliebiges Maßquadrat,
nicht ausreicht, die Lage auf der Fläche zu bestimmen, folgt daraus, daß er von p und q abhängt
und ein kleineres p durch ein größeres q ausgewogen werden kann und umgekehrt. Außerdem tritt noch ein zweiter sehr wesentlicher
Unterschied zwischen Flächen und Linien hervor. Während der geradlinige Streckenzug sich in jeder Phase des Auflösungsprozesses
strecken läßt, und somit auch die Linie selber, und deshalb jede Linie auf jeder andern abwickelbar ist,
ist das Entsprechende für das Vielecksnetz der Flächen keineswegs der Fall. Bei der hier gegebenen Erzeugung läßt sich
zwar jede von den Teilsummen zwischen zwei aufeinander folgenden p-Linien auf einer Ebene ausbreiten; aber es ist im allgemeinen
nicht möglich, auch nur zwei benachbarte Elementarstreifen längs einer Linie zusammenhängend auf dieselbe
Ebene zu biegen.
Keineswegs läßt sich daher jede Fläche auf jede andre biegen. Von bekannten Flächen lassen sich Kegel und Cylinder zur Ebene
»deformieren«, für Kugel und Ellipsoid
[* 10] ist dies unmöglich. Keine Flächt welche auf der Kugel abwickelbar ist, ist auf der
Ebene abwickelbar, und umgekehrt. In der gegenseitigen Abwickelbarkeit ist also für die Flächen ein Einteilungsprinzip
gewonnen, da, wie man sofort einsieht, eine kürzeste Linie auch nach der Deformation kürzeste Linie bleibt, daher auch ein
unendlich kleines Dreieck
[* 11] seine Form nicht ändert und somit alle Winkel
[* 12] erhalten bleiben.
Die ganze Geometrie der aus kürzesten (oder geradesten) Linien gebildeten Figuren ist für die Flächen
derselben Klasse dieselbe. Das Kennzeichen der Zusammengehörigkeit zweier Klassen besteht in der Übereinstimmung der sämtlichen
von entsprechenden Punkten ausgehenden Linienelemente auf den Flächen, welche, da sie geradlinig gedacht werden müssen, auch
zugleich die Elemente der von den betreffenden Punkten ausgehenden kürzesten Linien sind. Die Identität
der Linienelemente zieht die Gleichheit des Gaußschen Krümmungsmaßes nach sich, ein Zusammenhang, der für Flächen konstanter
Krümmung umkehrbar ist. Flächen konstanter und gleicher Krümmung lassen sich ineinander deformieren. Ausgezeichnet sind die
Klassen der Ebene, Kugel (und, mit einer gewissen Einschränkung, der Pseudosphäre Beltramis), auf welcher die Flächenstücke
frei verschiebbar sind.
Dieser Fläche Q0 werde eins ihrer Dreiecksnetze eingeschrieben
[* 9]
(Fig. 2). Durch jede Seite jedes dieser
Dreiecke werde im Raum eine Fläche P gelegt, z. B. durch O2 O3, die Fläche P1. Diese Flächen schneiden
sich in Linien, P2 und P3 z. B. in 11, den Linien werden von Q0 aus Sehnenzüge eingeschrieben, deren Endpunkte der Reihe
nach
mit 11, 12, l3 2c., 21, 22, 23 2c. bezeichnet werden. Man verbinde dann 11, mit 01, 02, 03 zu einem Tetraeder
(dreiseitige Pyramide), dann i2 mit O1, O2, O3 desgleichen, dann 13 mit 11, 12, 13 desgl.,
so entsteht ein von drei Tetraedern begrenzter, einfach zusammenhängender, prismaartiger Raum mit den sechs Ecken O1, O2,
O3, i1, i2, i3. Indem man dann die Vordermarke 0 durch 1 und 1 durch 2 ersetzt 2c, erhält man
einen
Tetraederzug. Wir sehen, im Raum tritt an die Stelle des Dreiecknetzes ein Tetraedernetz.
Wie die Dreiecke mit der Vordermarke O schließlich die Fläche Q0 stetig erfüllen, so geben die mit der Marke s die Fläche
Qs, es bedarf einer besondern Abmessung, um die Fläche Qs zu bestimmen, auf der dann der besondere Punkt
bestimmt wird. Die Ortsbestimmung im Körper verlangt drei voneinander unabhängige Abmessungen, sie ist dreidimensional. Es
ist nun von allen Hypothesen die uns geläufigste, daß wir Art und Weisen angeben können, bei denen drei solcher voneinander
unabhängiger Abmessungen genügen, um die Lage jedes Ortes im Raum zu bestimmen.
Die bei weitem gebräuchlichsten verdanken wir dem Licht
[* 13] und der Schwere. Die durch das Auge
[* 14] gegebenen heißen Polarkoordinaten,
welche als Bestimmung eines Punktes auf der Erdoberfläche durch Erdradius, geographische Länge und Breite, hinlänglich bekannt
sind. Als Grundeinheiten dienen dabei eine Strecke und zwei Bogen,
[* 15] den Drehungen der Augen entsprechend.
Der Schwere danken wir das rechtwinkelige dreiachsige Koordinatensystem, Länge, Breite, Tiefe oder Höhe.
Die Schwere gibt die Vertikalachse, da sie uns durch den Reiz, welchen sie auf unsre Nerven
[* 16] übt, aufrecht zu gehen zwingt.
Die Horizontalkoordinaten werden gegeben durch den Schnitt der Symmetrieebene längs des Nasenrückens
mit der Ebene, aus der wir stehen, und durch den Schnitt der vertikalen Ebene der Drehpunkte unsrer Arme mit der Fußebene. Wir
tragen somit unser dreiachsiges rechtwinkeliges Koordinatensystem beständig mit uns herum, und deshalb ist es uns so geläufig.
Oder auch: die Gerade ist durch eine Strecke, die Ebene durch ein Dreieck, der Raum durch ein Tetraeder völlig bestimmt. In der
Geraden und der Ebene ist jeder Teil frei beweglich. Weil keine Krümmung vorhanden, d. h. keine Richtungsänderung,
so kehrt ein gleichmäßig verschobener Teil nie in seine Anfangslage zurück, worin der Hauptunterschied zwischen Gerader
und Ebene einerseits und Kreis und Kugel anderseits liegt. Ganz ebenso ist in »unserm« Raum jeder Teil frei beweglich, und auch
so, daß der gleichmäßig verschobene Körper nie wieder in seine Anfangslage zurückkehrt. Hier liegt
der Ausgangspunkt der mehr als dreidimensionalenGeometrieRiemanns. Er erkannte scharf die besondern Beziehungen unsers Raumes
zur Geraden und Ebene, den besondern Linien und Flächen, und damit wurde derselbe nur zum ebenen Raum; der Gedanke einer Mannigfaltigkeit
von Räumen, ebenen und krummen, entsprechend der Fülle der Linien und Flächen, wurde möglich. Ganz besonders
nahe lag der kugelförmige Raum, da auch in diesem jeder Teil
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mehr
frei verschiebbar ist, nur daß er in seine Anfangslage zurückkehrt, wie ein im Innern unsrer Kugel mit gleichmäßiger Richtungsänderung
bewegter Körper. Wie die Fülle der Flächen nur in der Tiefe Platz hat, so bedarf eine Fülle von Räumen einer vierten Dimension (das
Wort als Art und Weise der Ausdehnung gebraucht), innerhalb derer der einzelne Raum durch eine vierte Abmessung
bestimmt wird. Die Mehrheit vierdimensionalerRäume macht eine fünfte nötig 2c. Die Aufstellung einer Mannigfaltigkeit von
n-Dimensionen oder der »n-fach ausgedehnten Größe« wurde unvermeidlich.
Besonders wichtig wurde in dieser Hinsicht der Vortrag von Helmholtz: Ȇber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen
Axiome«, von 1870. Helmholtz ist wohl der erste, welcher ernsthaft die Möglichkeit einer vierdimensionalen
Anschauung erwogen hat. In seinem Vortrag zeigt er zuerst an dem Beispiel der Flächenwesen, welches Beispiel von Fechner herrührt,
wie wenig aus unsrer Unfahigkeit einer vierdimensionalen Anschauung auf deren Unmöglichkeit an sich geschlossen werden kann.
Ein Wesen, das in die Oberfläche eines Ellipsoids (Eifläche) gebannt wäre, müßte auch auf die Kongruenz
verzichten. Es tritt der Anteil, welchen die Erfahrung an der Geometrie hat, scharf hervor. Die Lücke, welche Helmholtz läßt
(er hat die Grundzüge der vierdimensionalen Geometrie nicht entworfen), ist namentlich von den Italienern im letzten Jahrzehnt
ausgefüllt. Es macht nicht die geringste Schwierigkeit, sich eine zwar nicht notwendige, aber doch mögliche
Geometrie der ebenen Räumenn vierdimensionalen Raum auszumalen. Die beiden wichtigsten Sätze lauten: Es können vier und nicht
mehr als vier Gerade gegenseitig aufeinander senkrecht stehen, und: Zwei Ebenen zweier (dreidimensionaler) Räume können auch
nur einen Punkt gemein haben. Auf diesem Satz beruht die Möglichkeit kreuzender Ebenen, d. h. Ebenen, welche
weder parallel sind, noch sich schneiden, wodurch die Geometrie sehr wesentlich erweitert wird.