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Hans Walser, [20140728]
Kugeldarstellungen
Sehr oft finden sich in Schulbźchern und anderen Unterrichtmaterialien Kugeldarstellungen gemЧ Abbildung 1.
Abb. 1: Kugeldarstellung
In dieser Darstellung werden zwei Projektionsarten vermengt:
1. Die Darstellung des kartesischen Koordinatensystems lŠsst auf ein SchrŠgbild schlie§en.
2. Der kreisfšrmige Kugelumriss lŠsst auf eine Normalprojektion schlie§en.
Die Darstellung des Nullmeridians (durch die x-Achse) sieht oben ausgebuchtet aus. Wir sehen beide Pole auf dem Umriss. Wenn wir aber bei einer Parallelprojektion (Auge sehr weit weg) beide Pole auf dem Umriss sehen, ist die Projektionsrichtung parallel zur €quatorebene. Der €quator kann daher nicht als Ellipse gesehen werden, sondern nur als Strecke (Abb. 2).
Abb. 2: Spezielle Sicht
Dieses Bild ist zwar korrekt, aber nicht sehr anschaulich. Die Bilder der x-Achse und der y-Achse sind individuell schlecht wahrnehmbar.
Die Abbildung 1 ist eine Vermengung von Normalprojektion und SchrŠgbild. Wir werden die beiden Projektionsarten nun einzeln bearbeiten.
Die Abbildung 3 zeigt eine Normalprojektion der Situation. Die Darstellung sieht recht ănatźrlichŇ aus, alles sitzt. Die Kugel springt uns rund und plastisch entgegen wie der Apfel vom Baum der Erkenntnis.
Abb. 3: Normalprojektion
Der Kugelumriss ist ein Kreis. Das Bild des Nordpols ist nicht auf dem Kugelumriss, sondern auf der Vorderseite, wŠhrend das Bild des Sźdpols hinter dem Umriss sich auf der Rźckseite befindet.
Das Bild der y-Achse ist nicht horizontal und nicht rechtwinklig zum Bild der z-Achse.
Die Abbildung 4 zeigt die Situation im SchrŠgbild.
Abb. 4: SchrŠgbild
Das Bild des kartesischen Koordinatensystems ist nun so, wie in den SchrŠgbildern źblich: Bild der x-Achse schrŠg, Bild der y-Achse horizontal, Bild der z-Achse vertikal.
Hingegen sehen wir einige Unschšnheiten. Das Bild des €quators ist eine schrŠge Ellipse. Der Umriss der Kugel ist auch eine schrŠge Ellipse, die Kugel sieht wie eine Zwetschge aus.
Das muss aber bei einem SchrŠgbild so sein. Je schrŠger die Projektionsstrahlen zur Projektionsebene umso lŠnger wird die Umrissellipse.
Die Abbildung 5 illustriert den Sachverhalt am frźhen Morgen.
Abb. 5: SchrŠgbild einer Kugel
Offenbar ist das SchrŠgbild zur Kugeldarstellung wenig geeignet.
Eigentlich ist das SchrŠgbild auch zur Wźrfeldarstellung wenig geeignet (vgl. Webseite Quetschwźrfel)
Geometrie treiben hei§t an falschen Figuren richtig źberlegen.
Das menschliche Sehen ist eine komplizierte Angelegenheit. Daher ist die zweidimensionale Darstellung eines rŠumlichen Sachverhaltes letztlich immer ăfalschŇ. Man spricht daher vom ăVorstellungsraumŇ. Das ist eine mentale Angelegenheit, welche in den Kšpfen der Schźlerinnen und Schźler sukzessive aufgebaut wird. So gesehen sind auch Darstellungen in der Art der Abbildung 1 trotz des technischen Unvermšgens tolerierbar. Und solange der Oberlehrer mit dem Rotstift in der Zeichnung herumfuhrwerken kann, ist fźr ihn das Gemeinte immer noch erkennbar, die Abbildung also tauglich.
Andererseits ist die Darstellung von Sachverhalten in vielen LehrplŠnen als Bildungsziel aufgefźhrt. Nach dem Prinzip der didaktischen Redlichkeit sollte das aber von der Lehrperson vorgelebt werden.
Mit den heutigen elektronischen Werkzeugen ist eine schšne Kugeldarstellung ja ein Kinderspiel (Abb. 6).
Abb. 6: Welches ist die rundeste Kugel?
Websites
Quetschwźrfel (abgerufen 28. 7. 2014):