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Hans Walser, [20090524b]
Schnecke von Fibonacci
Die Fibonacci-Rekursion wird verallgemeinert und auf Vektoren in der Ebene angewandt. Es entstehen Kreise und logarithmische Spiralen.
Da die Fibonacci-Rekursion (auch die von uns verwendete verallgemeinerte Rekursion) linear ist, sind alle Folgevektoren Linearkombinationen der beiden Startvektoren. Die Figur liegt also in der durch die beiden Startvektoren aufgespannten Ebene. Daher knnen wir uns auf Vektoren in der Ebene beschrnken.
Beispiel: Wir arbeiten mit der Rekursion:
Mit den Startvektoren und ergeben sich die folgenden Vektoren, deren Spitzen auf einer logarithmischen Spirale liegen:
Logarithmische Spirale
Warum geht das so?
Wir whlen zwei beliebige Ortsvektoren und gleicher Lnge als Startvektoren. Weiter sei:
Dieser Wert p ist also der Kosinus des Zwischenwinkels der beiden Startvektoren. Nun bilden wir eine Vektorenfolge mit der verallgemeinerten Fibonacci-Rekursion:
Wir whlen und . Damit ist , und wir haben die Rekursion:
Es sei der Endpunkt des Ortsvektors . Das sieht dann so aus:
Die ersten sieben Vektoren
Offensichtlich sind die Vektoren gleich lang und haben gleiche Zwischenwinkel.
Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus folgender Figur.
Beweisfigur
In der Regel geht es aber nicht ãaufÒ:
Es geht nicht auf
ãAufgehenÒ tut es genau dann, wenn der Zwischenwinkel in einem rationalen Verhltnis zu steht.
Wir whlen und . Es ist also . Damit erhalten wir ein regelm§iges Siebeneck.
Regelm§iges Siebeneck
Wir whlen und . Es ist also . Damit erhalten wir einen regelm§igen Siebenstern.
Siebenstern
Wir whlen und . Es ist also . Damit erhalten wir einen anderen regelm§igen Siebenstern.
Ein anderer Siebenstern
Wir whlen und . Es ist also . Damit erhalten wir einen regelm§igen Siebenstern, der zwar gleich aussieht, aber einen anderen Eckendurchlauf hat.
Ecken in anderer Reihenfolge durchlaufen
Was ergibt sich, wenn die beiden Startvektoren und nicht die gleiche Lnge haben?
Wir versuchen es mit den Startvektoren und . Gegenber dem Eingangsbeispiel ist nun auch der Zwischenwinkel und damit das p verndert. Das sieht dann so aus:
Versuch
Wir wetten ein Linsengericht, dass das nun eine Ellipse ist. Allerdings sehen wir, dass es in diesem Beispiel nicht ãaufgehtÒ.
Wir normieren die beiden Startvektoren auf die Lnge 1. Wir machen das mit einer linearen Abbildung, welche die beiden Startvektoren als Eigenvektoren und deren Lngen als Kehrwerte der zugehrigen Eigenwerte hat. Nun sind wir in der Lage gleich langer Startvektoren, wo sich ein Kreis (nun sogar der Einheitskreis) ergibt. Rckabbildung ergibt eine Ellipse, da die Rekursion linear und damit affin invariant ist.
Man beachte, dass der ma§gebliche Winkel zwischen den Startvektoren nicht verndert wird, wohl aber die anderen Zwischenwinkel.
ãAufgehenÒ tut es also nach wie vor genau dann, wenn der Winkel zwischen den Startvektoren in einem rationalen Verhltnis zum vollen Winkel steht.
Wir verwenden die Startvektoren und . Fr den Zwischenwinkel finden wir:
Somit ist , und es sollte nach 8 Schritten aufgehen. Wir erhalten die Figur:
Affin regulres Achteck
Eine Figur, die mit einer linearen Abbildung aus einem regelm§igen Achteck hervorgeht, wir als affin regulres Achteck bezeichnet.
Wir ndern die Rekursion etwas ab. Beginnen tun wir wieder mit zwei beliebigen Startvektoren und . Damit berechnen wir die Werte:
Wir verwenden nun die Rekursion:
Mit den Startvektoren und erhalten wir folgende Figur.
Spirale
Es drfte sich um eine logarithmische Spirale handeln.
Wenn wir den Startvektor mit dem Faktor auf die Lnge des zweiten Startvektors normieren, erhalten wir mit der eingangs verwendeten Rekursion
einen weiteren Fchervektor gleicher Lnge im gleichen Winkelabstand (Situation des Kreises). Nun multiplizieren wir diesen Vektor mit dem Faktor . Damit haben wir drei aufeinander folgende Vektoren mit dem gleichen Winkelabstand, aber exponentiell wachsender Lnge. Die Spitzen liegen auf einer logarithmischen Spirale. Fr die Rekursion hei§t das:
Die Frage des ãAufgehensÒ ist wieder eine Frage des Zwischenwinkels. Mit den Startvektoren und , welche den Zwischenwinkel 45¡ haben, ergibt sich:
Schnecke