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Hans Walser, [20160411]
Viviani im Simplex
Der Satz von Viviani besagt, dass in einem gleichseitigen Dreieck die Summe der drei von einem beliebigen Punkt Lotstrecken zu den Dreieckseiten (Abb. 1) eine Konstante ist, nmlich die Dreieckshhe (Vargyas und Walser, 2015).
Abb. 1: Der Satz von Viviani in der Ebene
Wir bertragen den Satz in die Dimension n.
Fr eine Strecke ist die Sache trivial (Abb. 2). Die Summe der Abstnde von einem Punkt zu den Enden ist die Streckenlnge.
Abb. 2: Unterteilung einer Strecke
Der klassische Satz von Viviani in der Ebene kann bewiesen werden wie folgt. Wir zerlegen das gleichseitige Dreieck in drei Teildreiecke. In der Abbildung 3 ist eines dieser Teildreiecke hervorgehoben.
Abb. 3: Teildreiecke
Die Teildreiecke haben eine Seite des Ausgangsdreiecks als Grundlinie und eie Lostrecke als Hhe. Der Flcheninhalt eines Teildreiecks ist also die Hlfte des Produktes der Dreiecksseite mit der Lotstrecke. Die Summe der drei Flcheninhalte ist somit die Hlfte des Produkts der Dreiecksseite mit der Summe der drei Lotstrecken. Andererseits ist das die Gesamtflche des Dreiecks, also die Hlfte des Produkts der Dreiecksseite mit der Dreieckshhe.
Somit ist die Summe der drei Lotstrecken gleich der Dreieckshhe. Dies war zu zeigen.
Wesentlich fr den Beweis ist die Gleichheit der Dreiecksseiten. Dies folgt aus der Regelm§igkeit des Dreiecks.
Dem gleichseitigen Dreieck in der Ebene entspricht im Raum das regelm§ige Tetraeder.
Von einem Punkt im Innern des Tetraeders aus fllen wir die Lote auf die vier Seitendreiecke (Abb. 4).
Abb. 4: Summe der Abstnde
Der Satz von Viviani im Raum besagt nun, dass die Summe der vier Lotstrecken konstant ist, nmlich gleich der Tetraederhhe.
Fr den Beweis zerlegen das Tetraeder, vom Punkt im Innern ausgehend, in vier Dreikant-Pyramiden mit je einer Seitenflche des Tetraeders als Grundflche. Die Abbildung 5 zeigt eine der vier Pyramiden.
Abb. 5: Pyramide
Die Pyramide hat eine der Lotstrecken als Hhe. Das Volumen ist also ein Drittel des Produktes der Lotstrecke mit der Seitenflche des Tetraeders. Die Volumensumme der vier Pyramiden ist somit einerseits ein Drittel des Produktes der Summe der Lotstrecken mit der Seitenflche des Tetraeders. Andererseits ist das aber das gesamte Tetraedervolumen, also ein Drittel des Produktes der Tetraederhhe mit der Seitenflche des Tetraeders.
Daher ist die Tetraederhhe gleich der Summe der vier Lotstrecken. Dies war zu zeigen.
Wesentlich fr den Beweis ist die Gleichheit der Seitenflchen. Diese folgt aus der Regelm§igkeit des Tetraeders.
Der allgemeine Oberbegriff von Strecke, gleichseitiges Dreieck, regelm§iges Tetraeder hei§t regelm§iges Simplex. Fr ein Simplex im n-dimensionalen Raum wird auch die Bezeichnung n-Simplex verwendet. Das Dreieck ist das 2-Simplex, das Tetraeder das 3-Simplex.
Das n-Simplex hat Eckpunkte und den Eckpunkten gegenberliegende kongruente als Hyperseiten.
Von einem Punkt im n-Simplex aus gibt es Lotstrecken zu den Hyperseiten.
Es gilt der Satz von Viviani fr regem§ige n-Simplexe: Die Summe der Lotstrecken ist gleich der Hhe des n-Simplexes.
Der Beweis luft analog zu den Beweisen bei Dreieck und Tetraeder. Wir zerlegen das n-Simplex in Hyperpyramiden mit je einem als Grundhyperflche und der Lotstrecke als Hhe. Fr die Berechnung des n-Volumens muss mit dem Faktor gearbeitet werden.
Bemerkung: Bei der Kantenlnge 1 hat das n-Simplex die Hhe . Fr unseren Beweis ist das aber irrelevant.
Literatur
Vargyas, Emese und Walser, Hans (2015): Verallgemeinerung des Satzes von Viviani. MI, Mathematikinformation Nr. 63, 15. September 2015. ISSN 1612-9156. S. 3-10.