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In einer Box macht eine Spinne Jagd auf eine Fliege. Als diese müde wird, kann die Spinne zuschlagen. Doch welcher ist der kürzeste Weg zu ihrem Opfer?
Eine Spinne und eine Fliege sind zusammen in einer Box gefangen. Der Quader hat eine Höhe und Tiefe von 12 Zentimetern und eine Breite von 30 Zentimetern. Die Spinne jagt die Fliege, doch im letzten Moment kann diese immer entkommen.
Das Fliegen ist jedoch anstrengend und viele Stunden später hat sich die Fliege vollkommen ermüdet niedergelassen – möglichst weit entfernt von der Spinne. Die Jägerin sitzt mittig an einer Kante der Box, die Gejagte mittig auf der gegenüberliegenden (siehe Abbildung oben).
Das ist die Chance für die Spinne: Wenn sie nun schnell genug ist, kann sie die Fliege erwischen. Doch ihr bleibt nicht viel Zeit, bevor ihr Opfer wieder zu Kräften kommt. Die Spinne muss daher den kürzesten Weg nehmen. Doch welcher ist es?
Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt ein erster Tipp.
Achtung: Nach der zweiten Spoiler-Warnung folgt die Lösung.
Der kürzeste Weg ist folgender:
Intuitiv ersichtlich ist dieser Weg wohl nicht; er führt über drei Wände. Besser sieht man es, wenn man die Box auseinanderklappt:
Aber ist dieser Weg auch wirklich der kürzeste? Bekanntlich ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten eine Gerade. Doch den Weg durch die Luft kann die Spinne nicht nehmen. Sie braucht eine Route entlang der Wände.
Aber auch hier hilft die Regel, wenn man in Gedanken die Wände auseinanderklappt und sodann nach der direkten Verbindung zwischen den beiden Positionen sucht – also einer Geraden.
Wenn man die Box auf verschiedene Weisen auffaltet, entdeckt man fünf verschiedene Wege, die als Lösung infrage kommen, wobei sich zwei davon als gleich lang entpuppen. Hinzu kommen weitere symmetrische Variationen sowie einige Routen, die augenscheinlich viel länger sind. Die Spinne startet am roten Punkt (rechts beziehungsweise oben). Drei Wege kann sie gehen, wenn sie zuerst über die lange Seitenfläche läuft (A-C), zwei weitere Wege gibt es, wenn sie zuerst entlang der quadratischen Wand läuft (D-E). Wenn man genau hinschaut, sieht man, dass die Wege B und E einander entsprechen:
Faltet man die Box wieder zusammen, wirken die Wege nicht mehr ganz so intuitiv.
Nun könnte man die Länge der fünf Wege berechnen, um durch Vergleich den kleinsten zu bestimmen. Es gibt aber auch eine grafische Lösung: Legt man alle obigen Skizzen übereinander, kann man die Wege auf einen Blick miteinander vergleichen. Der Kreis zeigt an, welcher Weg der kürzeste ist – alle anderen Strecken reichen über den Kreis hinaus.
Laut Satz des Pythagoras entspricht die Strecke WURZEL (30^2 + (6+12+6)^2) = 38,4 Zentimeter.
Einige mögen übrigens einen Weg entlang der Kanten bedacht haben, auf denen die Tiere sitzen. Doch anhand der Skizzen kann man leicht sehen, dass dies ein ineffektiver Weg ist.