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Hans Walser, [20200104]
Spiegeln am Viereck
Auflistung von PhŠnomenen. Beweise nur angedeutet.
Wir beginnen mit einem Viereck ABCD in der źblichen Bezeichnungsweise (Abb. 1).
Abb. 1: Viereck
ZusŠtzlich wŠhlen wir einen Punkt P. Dieser Punkt kann beliebig sein, wenn wir ihn im Innern des Viereckes wŠhlen, werden die Folgezeichnungen źbersichtlicher.
Bemerkung: Die Frage ist, ob die folgenden †berlegungen auch spielen, wenn die Figur der Abbildung 1 als rŠumliches unregelmЧiges Tetraeder interpretiert wird.
Nun geht das gro§e Spiegeln los.
ZunŠchst spiegeln wir den Punkt P an den vier Seiten und an den beiden Diagonalen des Vierecks (Abb. 2). Mit bezeichnen wir den an der Geraden x gespiegelten Punkt P.
Abb. 2: Spiegeln an Geraden
Die farbig markierten Bildpunkte spiegeln wir weiter an den gleichfarbigen Eckpunkten des Viereckes. Mit bezeichnen wir den an der Ecke Y gespiegelten Punkt .
Abb. 3: Spiegeln an den Ecken
Die Strecke ist parallel zur Diagonalen e und doppelt so lang (zentrische Streckung von aus) (Abb. 4). Analog ist die Strecke parallel zur Diagonalen f und doppelt so lang. Die beiden Strecken verlaufen durch den Punkt P.
Abb. 4: Parallelen zu den Diagonalen
Wir zeichnen nun das Viereck (Abb. 5).
Abb. 5: Erstes Viereck
Dieses Viereck hat rechte Winkel an den Ecken und . Es ist daher ein Sehnenviereck (Abb. 6). Der Umkreis dieses Sehnenviereckes hat den Mittelunkt A. Er verlŠuft durch den Punkt P. (Das allgemeine Ausgangsviereck ABCD (Abb. 1) ist aber kein Sehnenviereck.)
Der Winkel an der Ecke ist gleich gro§ wie der Winkel an der Ecke A des Ausgangsviereckes.
Abb. 6: Sehnenviereck
Analog kšnnen wir drei weitere Sehnenvierecke zeichnen (Abb. 7).
Abb. 7: Sehnenvierecke
Die Abbildung 8 zeigt die Figur ohne Beschriftung.
Abb. 8: Figur
In der Abbildung 9 sind vier Kopien der Figur der Abbildung 8 zusammengesetzt. Zwei davon wurden punktgespiegelt. Dies ergibt die Basis eines FlŠchenornamentes.
Abb. 9: FlŠchenornament, Basisteil
In der Abbildung 10 sind vier Kopien des Basisteils der Abbildung 9 zusammengesetzt.
Abb. 10: FlŠchenornament
Auf Grund der oben festgestellten Winkeleigenschaften kšnnen die Sehnenvierecke bźndig um einen Punkt herum angeordnet werden (Abb. 11).
Abb. 11: Anordnung um einen Punkt
Wir ersetzen das allgemeine Viereck der Abbildung 1 durch spezielle Vierecke.
Abb. 12: Parallelogramm
Die schwarzen Strecken (gemЧ Abb. 7 die Strecken und ) verlaufen durch P und sind orthogonal zu den Parallelogrammseiten. Sie sind doppelt so lang wie die entsprechenden Hšhen des Parallelogramms.
Abb. 13: Rhombus
Die Vierecke sind zueinander Šhnliche Drachenvierecke. Die spitzen und stumpfen Winkel entsprechen denen des Rhombus.
Abb. 14: Rechteck
Die Sehnenvierecke sind zueinander und zum Ausgangsrechteck Šhnliche Rechtecke.
Die FlŠchensumme der beiden roten Rechtecke ist gleich gro§ wie die FlŠchensumme der beiden blauen Rechtecke.
Die beiden schwarzen Strecken (vgl. Abb. 12) sind Winkelhalbierende der Winkel zwischen der roten beziehungsweise blauen Strecke (vgl. Abb. 4). Diese rote beziehungsweise blaue Strecke ist gleich lang.
Abb. 15: Quadrat
Wir haben ausschlie§lich Quadrate.
Es gelten alle oben festgestellten Eigenschaften.