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Hans Walser, [20170827a]
Wrfel auf Ecke
Anregung und Idee: B. K., Z.
Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Spielwrfel auf einer Ecke stehenbleibt (Abb. 1)?
Abb. 1: Wrfel auf Ecke
Der Autor gesteht, dass er den Wrfel sehr sorgfltig so hingestellt hat.
Ein Spielwrfel ist nicht einfach ein regelm§iges Hexaeder (Kubus, Wrfel im geometrischen Sinn) mit allenfalls leicht abgerundeten Ecken und Kanten. Das ãAbrundenÒ der Ecken geschieht systematisch wie folgt.
Wir beginnen mit einem regelm§igen Hexaeder zusammen mit seiner Kantenmittenkugel (Abb. 2a). Die Kantenmittenkugel berhrt, wie der Name sagt, die Kantenmitten des Hexaeders. Sie liegt also zwischen der Inkugel und der Umkugel des Hexaeders.
Abb. 2: Hexaeder mit Kantenmittenkugel
Der Spielwrfel ist nun geometrisch die Schnittfigur des Hexaeders mit seiner Kantenmittenkugel (Abb. 2b).
Wenn nun der Spielwrfel sorgfltig auf einen inneren roten Punkt der Oberflche in der Abbildung 2b auf eine horizontale Ebene abgelegt wird, befindet sich sein Schwerpunkt senkrecht oberhalb des Auflagepunktes. Der Spielwrfel bleibt stehen.
Die Wrter Wrfel und wrfeln kommen von Wurf oder werfen. Beim Wrfeln erhlt der Spielwrfel einen Impuls, der ihn, falls er auf einem roten Punkt auftrifft, weiterrollen lsst, bis er auf eine grne Seitenflche einschnappt.
Eigentlich ist es falsch, ein regulres Hexaeder (Kubus) als ãWrfelÒ zu bezeichnen. Der Spielwrfel ist vielmehr eine Kugel mit sechs abgeschnittenen Kugelkalotten.
Die englischen Bezeichnungen sind differenziert: das Hexaeder (der Kubus) wird als cube bezeichnet, der Spielwrfel als dice.
Fr die Berechnungen nehmen wir an, das regulre Hexaeder habe die Kantenlnge 2. Die Kantenmittenkugel hat damit den Radius und die Oberflche . Die sechs Kugelkalotten (Hauben) der Abbildung 2a haben je die Hhe und damit den Flcheninhalt . Der Anteil der sechs Kugelkalottenflchen an der Oberflche der Kantenmittenkugel ist daher:
(1)
Der Flchenanteil der acht roten Dreiecke der Abbildung 2b an der Kantenmittenkugel ist daher etwa 12.132%. Das ist auch die Wahrscheinlichkeit dafr, dass der Spielwrfel bei sorgfltigem, will sagen impulslosem Absetzen auf einen roten Punkt stehen bleibt.
Die acht roten Dreiecke der Abbildung 2b sind von Kleinkreisen begrenzt. Sie sind keine Eulersche sphrische Dreiecke, da diese von Gro§kreisen begrenzt sein mssen. Die berhmte Flchenformel mit dem sphrischen Exzess ist daher nicht anwendbar.
Die sechs grnen Kreisflchen der Abbildung 2b haben insgesamt einen Flcheninhalt 6¹. Ihr Flchenverhltnis zur Oberflche der Kantenmittenkugel ist daher . Fr unsere berlegungen ist das aber nicht relevant.