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Travaux en mathématiquesDe 1800 à 1803, Poinsot est affecté à Paris sans projet précis : le Consulat manque d'argent et l'ingénieur en chef Pierre-Simon Girard essaie à ce moment d'obtenir une décision politique pour la canalisation de l'Ourcq. Dans l'intervalle, Poinsot s'occupe à des recherches sur la résolution des équations algébriques, et à une mise au propre de ses notes de cours sur la statique. Le résultat de ce dernier travail est couronné de succès : les Éléments de statique (1803) sont d'emblée salués comme un livre aux qualités didactiques exceptionnelles ; ils se substituent dans l'enseignement technique à la Statique de Charles Bossut et seront réédités onze fois (1811, 1821, 1824, 1830, 1834, 1837, 1842, 1848, 1861, 1873, 1877) jusqu'à ce que la discipline elle-même, devenue une simple conséquence de la Dynamique, tombe en désuétude dans l'enseignement.
Reprenant les observations d'Adrien-Marie Legendre sur les polyèdres, il décrivit deux polyèdres réguliers étoilés non encore examinés, et montra par un argument combinatoire qu'il n'y en a pas d'autres (1809).
Dans son effort pour géométriser la mécanique, Poinsot mit en évidence l'importance de la notion de moment, montrant comment réduire à un torseur un système de forces agissant sur un solide. Dans sa Théorie nouvelle de la rotation des Corps (1834), il démontre que le mouvement d'un solide se décompose en une rotation instantanée autour d'un axe et une translation instantanée parallèle à cet axe ; puis que le mouvement d'un solide autour d'un point fixe (mouvement à la Poinsot), peut être illustré par le roulement d'un cône solidaire du solide, sur un cône fixe. Son étude sur le mouvement du cône généralise celle d'Euler sur la toupie (cône en rotation autour d'un axe fixe).