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Hans Walser, [20210321]
Bananenkurve
Idee und Anregung: M. B., M.
Wir bezeichnen den Nullpunkt eines kartesischen Koordinatensystems mit A (Abb. 1). Unterhalb von A ist der Punkt B hšhenverstellbar auf der y-Achse festgemacht. In B ist ein Stab der LŠnge 1 gelenkig angemacht. Ebenfalls ist in B das eine Ende einer Schnur der LŠnge 1.2 befestigt. Diese Schnur wird durch eine …se im Punkt A durchgeschlauft und dann mit dem anderen Ende am zweiten Ende C des Stabes befestigt.
Abb. 1: Konstruktion
Geometrisch ist der Kreis um A mit der restlichen SchnurlŠnge als Radius zu schneiden mit dem Kreis um B mit dem Radius 1 (Abb. 2). Es gibt zwei zur y-Achse symmetrische Lšsungen.
Abb. 2: Geometrische Konstruktion
Wenn wir nun den Punkt B etwas in die Hšhe schieben (Abb. 3), wird das Teilstźck BA der Schnur kźrzer und das andere Teilstźck AC entsprechend lŠnger. Daher wird er Stab abgedreht.
Abb. 3: Der Punkt B wird hinaufgeschoben
Die Abbildung 4 illustriert die Kinematik.
Abb. 4: Kinematik
Die Sache mit der Schnur konstanter LŠnge 1.2 erinnert an die GŠrtnerkonstruktion (Abstandsdefinition) der Ellipse. TatsŠchlich sind B und C die Brennpunkte einer Ellipse mit der FadenlŠnge (Abstandssumme) 1.2. Die Ellipse verlŠuft in jeder Position von B durch den Punkt A (Abb. 5).
Abb. 5: Ellipse
Wir fragen nach der Bahnkurve von C beim Hinauf- und Hinabschieben des Punktes B. Man kann das mit dynamischer Geometrie Software sehr einfach zeichnen. Die Abbildungen 6 und 7 zeigen die Bahnkurve zusammen mit den Konstruktionsbeispielen der Abbildungen 1 respektive 3. Die Form der Kurve erinnert an den Umriss einer Banane.
Abb. 6: Bahnkurve
Abb. 7: Bananenkurve
Die Abbildung 8 zeigt die Kinematik der Situation.
Abb. 8: Bahnkurve
In der Abbildung 9 ist zusŠtzliche die Ellipse angegeben.
Abb. 9: Ellipse und Bahnkurve
Wir kšnnen die SchnurlŠnge zwischen 1 und unendlich variieren. In der Abbildung 10 variiert die SchnurlŠnge zwischen 1 und 3.
Abb. 10: Variation der SchnurlŠnge
Fźr die SchnurlŠnge 1 erhalten wir den von oben bis in die Mitte eingeschlitzte Einheitskreis (Abb. 11). Die Leserin oder der Leser ist eingeladen, sich die Kinematik dafźr zu źberlegen.
Abb. 11: Grenzfall SchnurlŠnge 1
Fźr den Grenzfall einer unendlich langen Schnur ergibt sich die Ellipse mit den Halbachsen 1 und 0.5 (Abb. 12). Der Mittelpunkt des Stabes verschiebt sich auf der langen Ellipsenachse.
Abb. 12: Unendlich lange Schnur