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"Wahrscheinlichkeitstheorie" ist ein Ausdruck mit diffuser Bedeutung, der oft synonym mit Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Probabilistik verwendet wird. Meistens ist der Gegenstand des Lehrbuches "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" von A. Kolmogorow von 1933 gemeint, welches gemeinhin als Anfang der modernen mathematischen Beschäftigung mit Wahrscheinlichkeit beobachtet wird.
Als Wahrscheinlichkeitstheorien bezeichne ich "Theorien" (in Anführungszeichen), also Lehren, die sich mit Wahrscheinlichkeiten befassen, die sie selbst definieren.
Die mathematische Disziplin, die Wahrscheinlichkeit behandelt, bezeichne ich als Stochastik. Relevant wurde die Wahrscheinlichkeit im Kontext der Statistik, worauf der Ausdruck Stochastik verweist. Statistische Argumente haben immer eine - zu kontrollierende - Wahrscheinlichkeit. A. Kolmogorow schrieb, dass sich Wahrscheinlichkeit (also das, war es als solche bezeichnet) ebenso wie Geometrie oder Algebra axiomisieren lasse und so Teil der Mathematik werde.
Zur Geschichte der Disziplin
Wenn ich von einer Autopoiese spreche, bezeichne ich in gewisser Hinsicht einen spezifischen Moment einer dort geteilten Entwicklung. Wenn ich beispielsweise von der Entwicklung des Menschen spreche, unterscheide ich in diesem Sinne eine naturhistorische Entwicklung innerhalb des Tierreiches, die mit dem Auftreten des Menschen abgeschlossen ist, und eine sozialhistorisch Entwicklung des Menschen, die mit dem Auftreten des Menschen beginnt und in welcher sich nicht mehr der Mensch, sondern dessen Lebensverhältnisse als Kultur entwickeln.
Die Geschichte der Wahrscheinlichkeit hat diesen Punkt 1933 mit dem Werk von A. Kolmogorow erreicht. Am naturwüchsigen Anfang stehen wohl Überlegungen zum Glücksspiel, die B. Pascal 1654 ins Spiel gebracht hat, und am Ende schliesst sich der Kreis mit der sogenannten Spielheorie, die ökonomische Verhältnisse als Spiel begreift. Die ökonomische Theorie hat schon vor der Spieltheorie Wahrscheinlichkeitsspiele hervorgebracht, beispielsweise durch J. Keynes. R. von Mises versuchte bereits 1919 in Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Definition der Wahrscheinlichkeit über den analytischen Grenzwertbegriff vorzunehmen.
Bis A. Kolmogorow seine Axiome vorlegte, hatte die Stochastik grosse Widerstände (bis hin zu Bertrand Russell) aus verschiedenen Gründen. Zum einen gibt es begriffliche Probleme, die oft als Paradoxien bezeichnet wurden, und zum andern ist der "Frequentismus" eben für Prozesse, die nicht wiederholt werden, nicht brauchbar. Damit verbunden sind Auffassungen, wie jene von T. Bayes, die Wahrscheinlichkeit als unsichere Erwartung oder als Bereitschaft eine Wette abzuschliessen operationalisieren. Auch philosophische Einwände gegen den Zufall wurden geltend gemacht (Gott würfelt nicht).
Viele dieser Probleme beruhen auf ungenauen Problembeschreibungen. Klassische Beispiel dafür sind das Bertrand-Paradox und das Ziegen-Problem.
Naive Geschichten zur Wahrscheinlichkeit
Das Glücksspiel ist so beliebt, dass kaum vorstellbar ist, dass es je eine Zeit ohne Glücksspiele hätte geben können. Also werden Würfel aus allen Vorzeiten gefunden. Und tautologischerweise werden Glücksspiele aus allen Zeiten als das beobachtet, was sie - wahrscheinlich - sind: Anlass zu Betrug, insbesondere auch durch Strategie. Wer einen fairen Würfel herstellt, will ja Betrug und Strategie ausschalten.
Ein ganz spezielles Glücksspiel ist die Wette auf zufällige Ereignisse, die nicht reproduzierbar sind. Euphemistisch wird dieses Spiel als Versicherung bezeichnet. Eine Lebensversicherung etwa ist eine Wette auf die Lebensdauer eines Menschen, die so gut oder so schlecht ist, wie die Wette auf den Sieg eines Rennpferdes. Versicherungen sind Glücksspiele und deshalb ist kaum vorstellbar, dass es sie nicht immer schon gegeben hätte.
In der Selbstdarstellung von Versicherungsgesellschaften treten diese nicht als Spielbanken auf, sondern als Institutionen, die den sozialen Zweck erfüllen, jemanden abzusichern. Die Spielbank als Organisation geht ja auch keine Wetten ein, sondern nimmt Gebühren für die Veranstaltung von Wetten und dafür, dass sie diese fair organisiert.
Versicherungen beruhen auf statistische Erwägungen, die in der Stochastik behandelt werden. Für die Lebensversicherung spielt keine Rolle, welcher der Versicherten wie alt werden, für die Versicherten dagegen spielt keine Rolle, welche Lebenserwartung statistisch gesehen gilt. Die Relevanz der Wahrscheinlichkeit ist also sehr ungleich verteilt.
Der Würfel und die Versicherung stehen für zwei verschiedene Auffassungen, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden. In der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie spielt diese Differenz keine Rolle, es geht vielmehr darum, was berechnet werden kann, weshalb ja auch von Wahrscheinlichkeitsrechnung gesprochen wird. Die Einführung dieses Rechnens wird B. Pascal zugeschrieben, der zwei Probleme erläutert, die beide auf das Glücksspiel mit einem Würfel bezogen sind. Der immer mitgemeinte Betrug kommt dabei als Gerechtigkeit ins Spiel.
C. Huygens propagierte 1657 den Erwartungswert und Johan de Witt diskutierte 1671 den Wert von Leibrenten verglichen mit Amortisationen aufgrund eines stochastischen Mortalitätsmodell.
Wahrscheinlichkeit als Wahrheit
Wissenschaftliche Aussagen sind sehr oft statistisch begründet. Die Stochastik entscheidet quasi, unter welchen Bedingungen eine wahrscheinliche Aussage als hypothetisch wahr angenommen werden kann. Das Falsifikationsprinzip von K. Popper ist eine gängige Formulierung dafür.