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Raggruppamenti
Con raggruppamenti intendiamo la creazione di gruppetti formati da un numero fisso di elementi di un insieme. I gruppi di due elementi si chiamano duine (o coppie), quelli di tre elementi terzine, di quattro quartine e così via.
L’idea di raggruppamento porta alla concezione della base di un sistema numerico (che può essere interpretata come il numero di elementi di ogni singolo gruppetto). Ad esempio, il nostro sistema numerico decimale è basato sul raggruppamento in decine.
Aspetti didattici
Il tema dei raggruppamenti può essere introdotto partendo da vari contesti di gioco, proposti all’aperto o al chiuso, motori o da tavolo, e da situazioni legate al contesto di vita reale.
Il materiale proposto può favorire un certo tipo di raggruppamento o un altro: le scarpe sono adatte per fare gruppi formati da 2 elementi, dato che si presentano a coppie; i contenitori delle uova si prestano per fare raggruppamenti di 4, 6, 10, 12 elementi; le scatole di pennarelli possono essere adatte per raggruppamenti di 12 o 24 elementi ecc.
Anche il numero totale e la disposizione degli elementi possono spingere ad effettuare un certo tipo di raggruppamento oppure un altro; risulta quindi importante cambiare le variabili per osservare e confrontare le diverse scelte effettuate dagli allievi. A parità di elementi è interessante osservare come cambia il numero di gruppi che si formano a seconda del numero di elementi che si decide di inserire in ogni gruppo. I raggruppamenti risultano funzionali anche per effettuare conteggi a due a due, a tre a tre ecc.
Quando gli allievi acquisiscono un po’ di competenza, risulta importante portarli a effettuare raggruppamenti di 10 elementi, come le dita delle mani, così da avvicinarsi presto al nostro sistema numerico. È importante ricordare che non occorre apprendere prima tutte le basi fino alla 9, per concepire il nostro sistema numerico in base 10.
Cenni storici
Il primo ritrovamento storico in cui è presente l’idea di raggruppamento è il famoso radio di lupo nel quale si trovano 55 tacche suddivise in due serie di gruppi di cinque, rinvenuto nel 1937, in mezzo a sedimenti risalenti al 32'000 a. C. Esso rappresenta senza dubbio uno dei più antichi documenti aritmetici giunti fino a noi, in cui è presente il principio della base, dato che le tacche sono raggruppate in gruppi di cinque come le dita di una mano.
Fu Aristotele a ipotizzare che proprio il numero delle dita di una mano fosse stato scelto come base per gli antichi sistemi di numerazione e questo oggetto sembra confermare tale ipotesi. La conta a cinque a cinque è citata anche nell’Odissea, a proposito di Proteo, custode del gregge delle foche e di altre bestie marine del Dio del mare Poseidone. Dunque, il conteggio in base 5 è notevolmente antico.
Altrettanto interessante è anche un osso di renna a forma di cono trovato alcuni decenni fa in Dordogna, risalente al periodo che va tra il 19'000 e il 12'000 a. C., conservato nel museo d’Aquitania a Bordeaux, in Francia. In questo osso vi è un intaglio longitudinale che separa due successioni di tacche trasversali regolarmente spaziate, ognuna suddivisa in due gruppi distinti (3 e 7 tratti da una parte, 9 e 5 dall’altra).
Oltre al ritrovamento di tacche realizzate su ossa, ci sono pervenute raccolte di oggetti con cui i nostri progenitori facevano mucchi per effettuare conteggi.
Anche in lingue moderne si rintracciano ancora antiche aritmetiche basate su raggruppamenti diversi dal dieci. In danese, 40 è detto fyr re (quattro decine), ma 80 è detto firs (quattro volte, con venti sottointeso); in irlandese 2 è da, 20 è fiche e 40 è da fiche (2 x 20); in suomi 2 è kah, 10 è san e 8 è kah dek san (due manca a dieci, ossia 10 – 2).
In diverse culture e in specifici contesti si sono diffuse anche altre basi, impostate su altri raggruppamenti, come la base dodici, comoda per le divisioni, o la base sessagesimale, utilizzata ancora oggi per il tempo o le ampiezze degli angoli. Ma sono proprio le dieci dita della mano ad aver imposto all’uomo l’idea dei raggruppamenti per insiemi di dieci, di cinque (per chi considera una sola mano) o di venti (per chi considera sia le mani sia i piedi) ed è per questo che tali basi hanno avuto il sopravvento su tutte le altre.