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Hans Walser, [20210318]
Falscher Lsungsweg
Anregung: F. E., V.
Beispiel einer Aufgabe, bei der ein falscher Lsungsweg zur richtigen Lsung fhrt
Ein Gleis wird durch die Funktion
(1)
beschrieben. Es endet an der Station und soll bis zur Station fortgesetzt werden (Abb. 1). Die Fortsetzung soll durch eine Polynomfunktion dritten Grades beschrieben werden. Bestimme diese Polynomfunktion. Bedenke, dass die beiden Funktionen an der Station A keinen Unterbruch (Stetigkeit) sowie gleiche Steigung (kein ãKnickÒ) und gleiche Krmmung (kein ãRuckÒ) haben sollen.
Abb. 1: Situation
Aus (1) ergibt sich:
(2)
Fr die Polynomfunktion dritten Grades machen wir den Ansatz:
(3)
Wegen dem glatten und ruckfreien bergang in A erhalten wir aus (2) und (3) durch Vergleich:
(4)
Da der Graf der Polynomfunktion f durch verlaufen muss, gilt zustzlich:
(5)
Die Bedingungen (4) und (5) bilden ein nichtlineares Gleichungssystem fr a, b, c, d. Es ist allerdings sehr einfach zu lsen:
(6)
Die Nichtlinearitt entsteht durch die Gleichheit der Krmmung im bergangspunkt.
Die Abbildung 2 zeigt den Grafen der Lsung (rot).
Abb. 2: Lsung
Die Abbildung 3 zeigt zustzlich (blau) den gemeinsamen Krmmungskreis im bergangspunkt A.
Abb. 3: Krmmungskreis
Nach einer nicht reprsentativen Umfrage bei meinen Geomatik-Studierenden an der ETH Zrich war etwa ein Viertel der falschen Meinung, die Krmmung sei die zweite Ableitung (analog zur Steigung, die durch die ersten Ableitung gegeben ist). Als (Gegen-)Beispiel dient die Parabel mit der Gleichung . Die zweite Ableitung ergibt die Konstante 2. Eine Kurve mit einer konstanten Krmmung ist aber ein Kreis.
(Bemerkung: Bei einer durch ihre eigene Bogenlnge parametrisierten Kurve ist die Lnge des zweiten Ableitungsvektors tatschlich betragsm§ig die Krmmung. Ein Funktionsgraf (mit Ausnahme der konstanten Funktion) ist aber nicht durch seine Bogenlnge parametrisiert.)
Diese Fehlvorstellung ist nicht die Folge einer Fehlberlegung, sondern einer Fehlinstruktion.
Wie wirkt sich diese Fehlvorstellung bei unserer Aufgabe aus?
Statt der Krmmung der beiden Kurven mssen wir nun die zweiten Ableitungen gleichsetzen. Anstelle von (4) erhalten wir:
(4Õ)
Zusammen mit (5) erhalten wir nun ein lineares Gleichungssystem, das ebenfalls die Lsung (6) hat. Trotz der Fehlvorstellung ergibt sich die richtige Lsung.
Aus der Krmmungsformel
(7)
folgt unmittelbar, dass bei bereinstimmung der ersten und der zweiten Ableitung auch die Krmmung bereinstimmt. Wir knnen dann mit dem aus (4Õ) und (5) bestehenden linearen Gleichungssystem arbeiten.
In unserem Beispiel haben wir sowohl in der Station A wie auch in der Station B eine Gleiskrmmung und damit gekrmmte Bahnsteige.
Ein Beispiel zu gekrmmten Bahnsteigen sind die Bahnsteige an den Geleisen 11 bis 16 im Obergeschoss des Berliner Hauptbahnhofes. Als Folge der durch die Gleiskrmmung erforderlichen Schrgstellung der Trasse sind die Bahnsteige gegenschrg, so dass bei nicht gesicherten Kinderwagen oder Rollkoffern ein Wegrollen auf das Geleise mglich ist.
Leider kann bei einer gekrmmten Gleisanlage im Bahnhof nicht einfach ein gerades Gleisstck eingebaut werde, da sich dadurch sowohl bei der Einfahrt wie bei der Ausfahrt in den Bahnhof ein Krmmungssprung ergbe. Um dies zu vermeiden, msste bei der Verwendung von Grafen von Polynomfunktionen mit Polynomfunktionen mindestens vierten Grades gearbeitet werden, so dass die Wendepunkte (dort haben wir keine Krmmung) in die Bahnhofsein- und -ausfahrten gelegt werden knnten.
In der Realitt wird beim Gleisbau nicht mit Grafen von Polynomfunktionen gearbeitet sondern mit Klothoidenbgen. Klothoiden sind Kurven, bei denen die Krmmung proportional zur Bogenlnge zu- oder -abnimmt.
Die Abbildung 4 zeigt ein aus Klothoidenbgen zusammengesetztes Gleisoval.
Abb. 4: Klothoidenbgen