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Hans Walser, [20190928]
9-Eck
Anregung: Jšrg Meyer, Hameln, und Hartmut Mźller-Sommer, Vechta
Mit Hilfe einer Hyperbel wird ein regelmЧiges 9-Eck konstruiert. Schlźssel zur Konstruktion ist die Winkeldrittelung nach Bolyai.
Nach einem Satz von Gau§ ist ein regelmЧiges 9-Eck nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Wir beginnen mit der Hyperbel (Abb. 1). Es genźgt der Ast im ersten Quadranten.
Abb. 1: Hyperbel
Die Hyperbel schneiden wir mit dem Kreis mit dem Ursprung O als Zentrum dem Radius 2 (Abb. 2). Die beiden Schnittpunkte nennen wir und .
Abb. 2: Schnitt mit Kreis mit Radius 2. Gleichseitiges Dreieck
Zwischenbemerkung: Die beiden Schnittpunkte bilden zusammen mit dem Ursprung ein gleichseitiges Dreieck.
Um zeichnen wir einen Kreis mit dem Radius 4 und schneiden diesen Kreis mit der Hyperbel in gemЧ Abbildung 3.
Abb. 3: Kreis mit Radius 4
Den Mittelpunkt der Strecke verbinden wir mit dem Ursprung O (Abb. 4).
Abb. 4: Mittelpunkt
Nun wiederholen wir spiegelbildlich das Prozedere mit dem Punkt (Abb. 5).
Abb. 5: Spiegelbildliches Vorgehen
Der Winkel misst exakt 40ˇ und ist der Zentriwinkel des gesuchten regelmЧigen 9-Ecks (Abb. 6).
Abb. 6: RegelmЧiges 9-Eck
GemЧ der Zwischenbemerkung źber das gleichseitige Dreieck und einer Symmetrieźberlegung hat die Strecke gegenźber der x-Achse einen Steigungswinkel 75ˇ. Das weitere Vorgehen ist die Winkeldrittelung nach Bolyai. Daher hat die Strecke gegenźber der x-Achse einen Steigungswinkel 25ˇ. Analog hat die Strecke gegenźber der y-Achse einen Winkel 25ˇ. Dazwischen bleiben 40ˇ.
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Hans Walser: Gleichseitiges Dreieck?