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Als Barbier-Paradoxon bezeichne ich die Geschichte, mit welcher B. Russell (1918) seine Antinomie veranschaulich hat.
"Man kann einen Barbier als einen definieren, der all jene und nur jene rasiert, die sich nicht selbst rasieren.Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst?"
Beim Versuch, die Frage zu beantworten, ergibt sich ein Widerspruch. Denn angenommen, der Barbier rasiert sich selbst, dann gehört er zu denen, die er laut Definition nicht rasiert, was der Annahme widerspricht. Angenommen, es gilt das Gegenteil, und der Barbier rasiert sich nicht selbst, dann erfüllt er selbst die Eigenschaft derer, die er rasiert, entgegen der Annahme.
B. Russell hat dafür eine Lösung vorgeschlagen:
Es gibt keinen, der genau diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Die auf den ersten Blick sinnvoll erscheinende Barbier-Definition erzeugt also einen harmlosen leeren Begriff beziehungsweise eine leere Menge. Die Antinomie führt die Barbier-Definition ad absurdum. Russells Lösung zeigt nur den Definitionsfehler auf, gibt aber keine Lösung an, wie der Barbier eines Ortes sinnvoll zu definieren wäre. Das ist auch unwichtig, denn seine fiktive Barbier-Definition diente ihm nur zur Veranschaulichung seines abstrakten Gedankengangs für beliebige Relationen. Darin liegt die Bedeutung des Barbier-Paradoxons.
B. Russell interessierte sich ausschliesslich für den formalen Aspekt der Antinomie, also für die Grundlegung der Mengenlehre. Seine Lösung setzte sich nicht durch, sondern jene von Zermelo,
Russell löste das Paradoxon bereits 1903 durch seine Typentheorie; in ihr hat eine Klasse stets einen höheren Typ als ihre Elemente; Aussagen wie „eine Klasse enthält sich selbst“, mit der er seine Antinomie bildete, lassen sich dann gar nicht mehr formulieren. [Zermelo ]