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Sonnenuhren mit Lichtbrechung
Inhalt1. Abbildung des gesamten Himmels auf begrenzter ebener Fläche
2. Eine horizozontale Sonnenuhr im Wasser
3. Wie groß ist die Verzerrung bei gnomonisch-gebrochener Projektion?
4. Die durch Brechung veränderte Form der Stunden- und Deklinationslinien
4.1 Die durch Brechung veränderte Form der Stundenlinien
4.2 Die durch Brechung veränderte Form der Deklinationslinien
5. Zusammenfassung
6. Literatur
7. Anmerkungen
8. Anhänge
8.1 Die durch Brechung veränderte Form des Wendekreis des Krebses bei φ = 0°
8.2 Beispiel einer ausführlichen Konstruktion einer gnomonisch-gebrochenen Projektion
8.3 Ein weiterer Prototyp einer Sonnenuhr mit Lichtbrechung
1. Abbildung des gesamten Himmels auf begrenzter ebener Fläche
Bei einer Sonnenuhr mit schattenwerfendem Punkt oder lichtdurchlassendem Loch wird der Himmel in gnomonischer Projektion (das abbildende Element befindet sich im Mittelpunkt der Himmels-Sphäre) abgebildet. In der üblicherweise auf ein ebenes Zifferblatt erfolgenden Abbildung - z.B. in einer horizontalen Sonnenuhr - fehlen die Randteile des Himmels, weil sie außerhalb der Grenzen eines endlich großen Zifferblatts liegen.
Abb.1 Abbildung des Himmels mit
Die Zeitpunkte für Sonnenauf- und -untergang können von einer solchen Sonnenuhr nicht und ein bestimmter Zeitraum danach und davor auch nicht, angezeigt werden, weil das Zifferblatt eine "annehmbare" Größe nicht übersteigen soll (Anmerkung 1). In Abb.1 ist erkennbar, dass das Zifferblatt mindestens die etwa 7½-fache (2 · 3,73) Ausdehnung gemessen an der Höhe des Gnomons über dem Zifferblatt haben müsste, wenn der Himmel ab 15° über dem Horizont abgebildet werden soll.
2. Eine horizozontale Sonnenuhr im Wasser
Abb.2 Sonnenuhren-Zifferblatt
überlagert: Himmel und Erde
(φ=47° für z.B. Bern)
Schilt erwähnt lediglich:
In Abb.3 ist das Himmelsnetz einem Erd-Globus (Anmerkung 3) überlagert. Im von den beiden Wendekreisen gebildeten Gürtel hält sich am Himmel die Sonne und auf der Erde der Subsolare Punkt (die Sonne steht im Zenit) auf. Die Form des Gürtelbildes am Himmel ist vom Breitengrad des Beobachtungsorts abhängig. Dieser befindet sich wiederum in der Mitte des ebenen Erd-Bildes (kleiner roter Kreis bei Bern: φ= 47°).
Abb.4 verzerrtes Bild der Erde bei gebrochener (n=1,33 und n=1,50) gnomonischer Projektion (Anmerkung 5) und
3. Wie groß ist die Verzerrung bei gnomonisch-gebrochener Projektion?
Abb.5 Ermittlung der Verzerrung:
In Abb.5 sind zwei Projektionen von Meridian-Punkten (Nord-Süd-Mittagsbogen am Himmel) auf eine horizontale Ebene dargestellt. Die gnomonisch-gebrochene Projektion befindet sich unten links (siehe auch Abb.1) und die orthographische unten rechts.
Die gnomonisch-gebrochen projizierte Strecke (links: kleine schwarze Punkte) wurde zum Vergleich mit der Punkteverteilung in der orthographisch projizierten Strecke (rechts: schwarze Punkte) in Einheitslänge 1 ebenfalls auf diese Länge vergrößert (links: farbige Punkte). Schließlich wurde sie für einen einfach erkenbaren Vergleich nach rechts hinüber gespiegelt.
4. Die durch Brechung veränderte Form der Stunden- und Deklinationslinien
Abb.6 "Eine Sonnenuhr mit Stundenlinien in Erdgestalt" [2]
Im in Abschnitt 2. zitierten Aufsatz [2] wird für die mit einem Erde-Bild komplettierte Sonnenuhr von Schilt die Schlussfolgerung gezogen: "Damit stellt die Sonnenuhr die himmelsmechanische Beziehung zwischen Erde und Sonne praktisch selbsterklärend dar". Das erklärende Bindeglied ist der Subsolare Punkt, der in der bekannten HELIOS und in ähnlichen Sonnenuhren auf einem zugefügten Bild der Erde sichtbar wird. Der Autor erwähnt diesen Punkt aber nicht und zeigt auch keine für diese Funktion passende Zifferblatterweiterungen. Er begnügt sich damit, dass die mittels gnomonisch gebrochener Projektion erzeugten Stundenlinien gekrümmt sind und alle 24 zusammen (die in den Nachtstunden nicht gebrauchten eingeschlossen) an die Längengrade auf einem sonst leeren Globus erinnern (Abb.6). Die Stundenlinien seien elliptisch gekrümmt.
Abb.7 Die Koordinaten-Kreise am Himmel
Im als sphärische Fläche angenommenen Himmel sind die Stundenlinien (τ =konst.) halbe Großkreise (rot in Abb.7) und die Deklinationslinien (δ =konst.) Kleinkreise (blau) oder Teile von ihnen (je nach geographischer Breite φ).
In orthogonaler Projektion auf eine Ebene sind sie halbe Ellipsen bzw. ganze Ellipsen oder Stücke von ihnen (Abb.3). Ob sie das in gnomonischer Projektion mit Brechung auch oder näherungsweise auch sind, ist zu untersuchen.
4.1 Die durch Brechung veränderte Form der Stundenlinien
Die Stundenkreise sind Großkreise. Weil sie alle gleich groß sind und sich ihre Mittelpunkte im gnomonischen Projektionszentrum befinden, ist zu erwarten, dass sich ihre Abbildung - auch gnomonisch-gebrochen - als einfacher verständlich als die der Deklinationskreise erweist. Die Mittelpunkte der Deklinationskreise (Ausnahme: der Himmelsäquator) befinden sich abseits des Projektionszentrums (lediglich alle auf der Himmelsachse). Erwartet werden kann auch, dass die Formänderung der Großkreise beim Abbilden milder ausfällt als die der Kleinkreise mit abseits liegenden Mittelpunkten und zusätzlich noch veränderlichen Durchmessern.
Abb.8 gnomonisch-gebrochene Projektion (n=1,5)
Die von einem Stundenkreis kommenden, alle in einer Ebene (Stundenebene) verlaufenden Lichtstrahlen werden im Projektionszentrum beim Übergang ins optisch dichtere Medium gebrochen. Danach befinden sie sich auf der Mantelfläche eines Kegels mit elliptischem Querschnitt. Auf einer gedachten, die ebene Bildfläche (zur Trennfläche zwischen den beiden optisch verschieden wirkenden Stoffen parallel) der Einfachheit halber berührenden sphärischen Bildfläche wird der Stundenkreis als Ellipse abgebildet. Diese ist gemäß Snellius'schem Brechungsgesetz lediglich verkleinert ähnlich derjenigen Ellipse, die bei orthographischer Projektion auf der Bildebene entsteht (Zwischenbild). Die gnomonisch-gebrochene Abbildung ist von der gedachten sphärischen Bildfläche aus weiter bis zur Bildebene zu verfolgen. Dabei werden alle vom Ellipsen-Mittelpunkt ausgehenden, zu Ellipsen-Punkten zeigenden Vektoren mit dem Faktor tanα / sinα (α = Austrittswinkel der Lichtstrahlen am brechenden Punkt / Gnomon) verlängert. Dieser Faktor ist zwar nicht konstant, die Ellipsenform bleibt aber erhalten. Das kann daraus gefolgert werden, dass bei φ = 0° und
4.2 Die durch Brechung veränderte Form der Deklinationslinien
Abb.9 gnomonisch-gebrochene Projektion (n=1,5)
Im Unterschied zu den Stundenkreisen haben die Deklinationskreise keine besondere Lage relativ zum Gnomon: Ihre Mittelpunkte decken sich nicht mit dem Gnomon. Die von einem Deklinationskreis zum Gnomon gehenden Lichtstrahlen befinden sich bereits auf einem Kreiskegel-Mantel (Deklinationskegel) und nachher im optisch dichteren Medium auf dem Mantel eines elliptischen Kegels. Unterschiedslos zu den Stundenkreisen werden die Deklinationskreise in der gedachten sphärischen Bildfläche ebenfalls als Ellipsen abgebildet. Ein Unterschied tritt erst bei der Weiterverfolgung dieses Zwischenbildes hin zur ebenen Bildfläche auf. Die tanα/sinα-Verlängerung betrifft hier nicht die regulären Ellipsenpunkt-Radien (vom Ellipsen-Mittelpunkt ausgehende Vektoren) sondern von einem exzentrischen Punkt ausgehende Vektoren. Der variierende Verlängerungsfaktor ist nur noch für je 2 Punkte gleich. Die Ellipse wird in eine geschlossene Kurve verzerrt, die nur noch aus zwei spiegelbildlich gleichen Teilen besteht (Abb.9).
5. Zusammenfassung
Mein erster Eindruck bei der neuerlichen Erwähnung [2] von Schilt's Sonnenuhr im Wasser, eine annähernd gleichwertige Alternative z.B. zur HELIOS kennen gelernt zu haben, hat sich nicht bestätigt. Das bei gnomonisch-gebrochener Projektion zu verwendende Zifferblattnetz ähnelt nur schwach dem Netz aus orthographisch projizierten Längen- und Breitengraden der Erde. Im Vergleich zur einfachen gnomonischen Projektion dieser Linien und der Grenzen zwischen Festland und Meeren der Erde ist der Gewinn deutlich. Es verbleibt aber immer noch eine erhebliche Irritation, wenn man sich anhand dieser Darstellung der Erde orientieren, z.B. den Subsolaren Punkt verfolgen will. Das Erdebild ist noch zu stark verzerrt. Am stärksten sind die Breitengrade (Deklinationslinien) betroffen, sie weichen deutlich von elliptisch geformten Linien ab. Die Längengrade (Stundenlinien) sind weniger verzerrt. Sie sind sogar elliptisch
Die "Sonnenuhr mit Stundenlinien in Erdgestalt" [2] ist eine bemerkenswerte kompakte Sonnenuhr (Abb.10, links). Sie hat die Form eines flachen Würfels (Würfelsonnenuhr), an den nicht wie sonst üblich ein Polstab oder eine Gnomon vorgebaut ist. Die dadurch fehlende Sperrigkeit ist ein Vorteil für solche auf einer Fensterbank, einer Balkonbrüstung oder auf einem Gartentisch aufzustellende Sonnenuhren. Die zum Vergleich rechts in Abb.10 gezeigte, auch von der Rückseite ablesbare tragbare Vertikalsonnenuhr ist wegen des durchgehenden Polstabs noch etwas sperriger, aber mit dem Vorteil, dass auf diese Weise zusätzlich das Ablesen der frühen Morgen- und späten Abendstunden im Sommer möglich ist.
Abb.10 "Eine Sonnenuhr mit Stundenlinien in Erdgestalt" [2]
6. Literatur[1] Heinz Schilt: Ebene Sonnenuhren, Eigenverlag, 8. Auflage, 1994, Seiten 30 bis 32
[2] Joachim Heierli: Eine Sonnenuhr mit Stundenlinien in Erdgestalt, Deutsche Gesellschaft für Chronometrie,
Jahresschrift 2020, Band 59, Seiten 181 bis 189
A sundial with hour lines portraying the Earth, American Journal of Physics 87 (12), 2019
[3] Siegfried Wetzel: Der Subsolare Punkt auf einer Globus-Sonnenuhr, 4. Die HELIOS, eine .. Globus-Sonnenuhr
[4] Siegfried Wetzel: Eine Reflex-Globus-Sonnenuhr, 3. Eine Reflex-Globus-Sonnenuhr
7. AnmerkungenAnmerkung 1:
Bei Verwendung eines Polstabes ist das im Prinzip gleich. Der Polstab enthält aber unendlich viele Gnomone in unendlich vielen Höhen. Sonnenauf- und -untergang werden vom Schatten eines Punktes nahe beim Stabfußpunkt, also von einem sehr niedrigen Gnomon angezeigt. Der Schatten befindet sich relativ zu dieser kleinen Gnomonhöhe ebenfalls am Rand eines sehr großen, absolut aber "annehmbar" großen Zifferblatts. Je höher die Sonne steht, ein umso höher liegender Bereich des Stabes - im Extrem seine Spitze, der Gnomon - wird zur Anzeige benutzt, und die ausgelegte Breite des Zifferblattes reicht dafür aus, ist "angemessen".
Anmerkung 2:
Der Sonnenuhr von Schilt könnte ohne weiteres ein annähernd passendes Bild der Erde überlagert werden. Die Funktion, mit dem Lichtzeiger zusätzlich den Subsolaren Punkt anzuzeigen, wird im zitierten Aufsatz [2] aber gar nicht behandelt. und es heißt fälschlicherweise: Auf der Sonnenuhr von Schilt " wäre ... das Abbild der Erde spiegelverkehrt erschienen."
Anmerkung 3:
Abb.3 enhält ein Foto meiner Reflex-Globus-Sonnenuhr. Diese Kugel ist mit langer Brennweite aufgenommen, so dass das Bild mit guter Näherung eine orthographische Projektion darstellt (Bildwinkel der Kugel nur etwa 2,5°).
Anmerkung 4:
Die Verzerrung (vergl. Längen der roten Striche für einen 30° breiten Gürtel über dem Äquator) ist auch bei n=1,50 (Acrylglas) noch nicht wesentlich kleiner. Selbst bei exotischen Werkstoffen bleibt der Brechungsindex kleiner als n=2, was dennoch nicht ausreichen würde, um auf das Anpassen des Erde-Bildes an das verzerrte Himmelsbild verzichten zu können. Die Anpassung ist im Wesentlichen für die Ablesegenauigkeit des Subsolaren Punktes erforderlich, Abstriche bei der Genauigkeit des Bildes außerhalb des Gürtels zwischen den Wendekreisen könnte man hingegen leicht hinnehmen. Diese Bereiche haben nur die Funktion, die Sonnenuhr zu schmücken, ihr einen Globus überzustülpen, der nicht besonders genau sein muss.
Anmerkung 5:
Die Abbildungen sind zu klein, um die Auswirkung der Verzerrung auf die Längen- und insbesondere auf die Breitenkreise beurteilen zu können.
8. Anhänge
8.1 Die durch Brechung veränderte Form des Wendekreis des Krebses bei φ = 0
Abb.Anhg.1
Anstatt der erwarteten Gerade ist das Bild des Wendkreises eine deutlich gebogene Linie.
8.2 Beispiel einer ausführlichen Konstruktion einer gnomonisch-gebrochenen Projektion