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Hans Walser, [20180602]
Tangenten an Kegelschnitt
Von einem Punkt P aus sollen die Tangenten an einen Kegelschnitt gelegt werden.
Die Parabel p sei durch den Brennpunkt F und die Leitlinie l gegeben (Abb. 1a).
Abb. 1: Parabel. Erster Schritt
Wir schneiden den Kreis k um P durch F und mit der Leitlinie l in Q1 und Q2 (Abb. 1b).
Die Mittelsenkrechten der Strecken FQ1 und FQ2 sind die gesuchten Tangenten t1 beziehungsweise t2 (Abb. 2a).
Abb. 2: Parabeltangenten
Die Berźhrungspunkte liegen auf den Loten zur Leitlinie l durch Q1 und Q2.
Diese Konstruktion folgt aus der Abstandsdefinition und der Reflexionseigenschaft der Parabel.
Das Viereck PQ1B1F ist ein Drachenviereck mit der Tangente t1 als Symmetrieachse (Abb. 3a). Der Diagonalenschnittpunkt D1 liegt auf der Scheiteltangente tS der Parabel. Analog fźr die andere Tangente (Abb. 3b).
Abb. 3: Drachenvierecke
Die Tangentenkonstruktion fźr die Ellipse geht im Prinzip analog. Von einer Ellipse e seien die beiden Brennpunkte F1 und F2 sowie die LŠnge 2a der langen Achse bekannt (Abb. 4a).
Abb. 4: Ellipse
Als ersten Schritt zeichnen wir einen Kreis l mit dem Zentrum F2 und dem Radius 2a (dieser Kreis entspricht der Leitlinie der Parabel) sowie einen Kreis k um P durch den anderen Brennpunkt F1. Die Schnittpunkte der beiden Kreise bezeichnen wir mit Q1 und Q2 (Abb. 4b).
Die Mittelsenkrechten der Strecken F1Q1 und F1Q2 sind die gesuchten Tangenten t1 beziehungsweise t2 (Abb. 5a). Die Berźhrungspunkte liegen auf den Strecken F2Q1 und F2Q2 (Abb. 5b).
Abb. 5: Ellipsentangenten
Wieder gibt es Drachenvierecke (Abb. 6). Deren Diagonalenschnittpunkte liegen auf dem Thaleskreis kS źber der langen Ellipsenachse. Dieser Kreis berźhrt die Ellipsen in den beiden spitzen Scheiteln.
Abb. 6: Drachenvierecke bei der Ellipse
Bemerkung 1: Die Konstruktion ist asymmetrisch, indem die beiden Brennpunkte unterschiedlich verwendet werden. Die Abbildung 7a zeigt die Konstruktion mit vertauschten Rollen der beiden Brennpunkt, die Abbildung 7b die †berlagerung der beiden Lšsungswege.
Abb. 7: Vertauschte Rollen. †berlagerung
Bemerkung 2: Die in der Schule źbliche Konstruktion der Ellipsentangente benutzt die AffinitŠt. Die Ellipse wird affin zu einem Kreis aufgeblasen (Abb. 8a), dabei wird der Punkt P mitgenommen. Dann werden die Kreistangenten gezeichnet und anschlie§end das Ganze rźckwŠrts abgebildet (Abb. 8b).
Unsere Konstruktion verwendet keine AffinitŠt.
Abb. 8: Konstruktion mit AffinitŠt
Bemerkung 3: Wenn der Brennpunkt F2 (nach links) ins Unendliche abrauscht ergibt sich aus der Abbildung 5 die Situation der Parabel.
Die Konstruktion geht všllig analog zur Ellipse. Die Abbildungen 9, 10 und 11 zeigen den Konstruktionsablauf.
Abb. 9: Hyperbel
Abb. 10: Hyperbeltangenten
Abb. 11: Drachenvierecke bei der Hyperbel
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Hans Walser: Tangente an Kegelschnitt (abgerufen 03.06.2018):