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Drei-Türen-Problem
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Grundlagen zum Thema Drei-Türen-Problem
Beim Ziegenproblem oder auch das Drei-Türen-Problem geht es darum, dass ein Kandidat in einer Fernsehshow eine von drei Türen wählen kann und der Moderator diese Tür nicht öffnet, dafür aber eine andere Tür öffnet hinter der eine Ziege ist. Danach hat der Kandidat die Möglichkeit, die Tür zu wechseln. Sollte er das tun? Das Ziegenproblem ist eines der bekannteren mathematischen Probleme, an denen sich immer wieder die Geister scheiden, aber damit ist jetzt vorbei, denn du bekommst jetzt die Erklärung.
Transkript Drei-Türen-Problem
Hallo, das Ziegenproblem oder auch das Drei-Türen-Problem ist eines der bekannteren mathematischen Probleme, an denen sich immer wieder die Geister scheiden, aber damit ist jetzt vorbei, denn du bekommst jetzt die Erklärung. Worum geht es dabei? Ein Kandidat nimmt an einem mehr oder weniger sinnvollen Gewinnspiel im Fernsehen teil. Gezeigt werden dem Kandidaten 3 geschlossene Türen, von denen er weiß, dass sich hinter einem ein Auto befindet, hinter den anderen beiden befindet sich jeweils eine Ziege. Er darf sich nun für eine der Türen entscheiden und das mit nach Hause nehmen, was dahinter ist. Angenommen er entscheidet sich für Tür 1, dann sagt der Moderator, dass er nun eine Tür öffnet, hinter der sich eine Ziege befindet. Er öffnet Tür 3. Danach hat der Kandidat abermals die Chance eine Tür zu wählen. Dieses Mal Tür 1 oder 2. Was soll er tun? Bei seiner anfänglichen Entscheidung für Tür 1 bleiben oder soll er sich umentscheiden und Tür 2 wählen. Wenn wir das Problem ein kleines bisschen anders formulieren, können wir leichter erkennen, was der Kandidat tun sollte, falls er das Auto haben möchte. Angenommen der Kandidat weiß, dass im Verlauf des Spiels vom Moderator eine Ziegentür geöffnet wird, dann stellt sich für ihn die Situation so dar: Er darf zunächst die 3 Türen in 2 Gruppen teilen, in 1 Einer-Gruppe und 1 Zweier-Gruppe. Danach darf er noch mal wählen, und zwar eine der beiden Gruppen. Wenn in der gewählten Gruppe das Auto ist, darf er es mit nach Hause nehmen. Ob der Moderator zwischendurch eine Ziegentür öffnet oder nicht, ist vom Ergebnis her gesehen egal, denn wenn das Auto in der Zweier-Gruppe ist, gewinnt der Kandidat es auch. Egal wie der Kandidat zunächst die Einer- und Zweier-Gruppe wählt, er sollte sich beim 2. mal Wählen für die Zweier-Gruppe entscheiden, denn die Wahrscheinlichkeit, dass dort das Auto ist, ist gleich 2/3, während für die Einer-Gruppe nur eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 übrig bleibt. Um die Sache noch deutlicher zu machen, können wir uns die Situation mit 10 Türen vorstellen. Der Kandidat hat Tür 1 gewählt. Nun wird eine Tür mit einer Ziege gestrichen. Tür 4 ist gestrichen. Warum hat er nicht 7 genommen? Ich könnte mir vorstellen, dass dahinter das Auto ist. Ah, er hat Tür 8 gestrichen, er ist knapp an der 7 vorbeigegangen. Ob da wirklich das Auto ist? Aha! Jetzt haben wir schon viel über die verbliebenen Türen erfahren, denn sie waren bei 3 Streichungen nicht dabei. Über Tür 1 haben wir aber nichts weiter erfahren, denn die ist beim Streichen tabu. Ah, schon wieder nicht die 7. Bevor Türen gestrichen wurden, hätte ich mit 1:10 auf die 7 gewettet, aber jetzt ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich dort das Auto befindet, schon viel höher geworden. Warum hat er die Türen 5, 6 und 7 übrig gelassen? Vielleicht weil dort das Auto ist? Also die 7. Entweder er hat sich deswegen 8× gegen die 7 entschieden, weil dort das Auto ist oder das Auto ist bei 1, aber die Chance ist nur 1/10. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 9/10 ist das Auto hinter einer der Türen 2-10. Also hat sich der Moderator mit einer Wahrscheinlichkeit von 9/10 deswegen immer gegen das Streichen von Tür 7 entschieden, weil dort das Auto ist. Wir können uns die Sache auch so vorstellen: Hier ist die gesamte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit ist 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto bei Tür 1 ist, beträgt 1/3, die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto bei 2 ist, ist auch 1/3 und das Gleiche gilt für 3. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Auto bei 1 ist und der Moderator Tür 2 öffnet, ist die ½ des 1/3, also 1/6. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Auto bei 1 ist und der Moderator Tür 3 öffnet, ist auch 1/6. Ist das Auto bei 2, öffnet der Moderator Tür 3 und wenn es bei 3 ist, öffnet der Moderator die 2. Hat der Moderator bereits Tür 3 geöffnet, ist das unsere gesamte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Auto bei Tür 2 ist, ist nun 2/3 der Gesamtwahrscheinlichkeit und nur 1/3 entfällt auf Tür 1. Der Kandidat sollte also besser wechseln.
3 Kommentare
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Dieses Video ist nicht fehlerhaft. Wenn Du es nicht glaubst, dann führe den Versuch - oder einen einfacheren, der genauso aufgebaut ist - mehrmals durch. (Vielleicht nicht gerade mit Pistolen.) Du wirst schnell merken, dass man viel mehr Gewinne erzielt, wenn man die Tür wechselt.
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er schließt ja nicht aus, weil er eine Aussage über Pistole 7 nur treffen kann und 1 nicht, sondern er schließt für BEIDE die 8 Möglichkeiten aus.
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Ich finde dieses Video samt Theorie fehlerhaft. Auch wenn man die Ziege ausschließt und die Tür 7 nicht ausgeschlossen wird bis zum Ende, bleiben die Informationen für die Tür 1 und Tür 7 identisch. Natürlich wählen wir ohne Vorwissen die Tür 1 und können zur Tür 1 nichts sagen, der Moderator weiß aber alles über alle Türen. Trotzdem MUSS er 8 Türen entfernen. Gefühlt ist eine Entscheidung des Moderators für eine Tür (für eine Ziege) eine Erhöhung der Wahrscheinlichkeit für Tür 7, doch Tür 1 profitiert von der Ziegenentscheidung des Moderators auch. Dieser Profit wird vernachlässigt. Hier wird Immunität der Tür 1 als Stagnation und Wissen des Moderators als "gefühlte Eigen- "Information angenommen.
Hier ein Gegenbeispiel: Muss jemand russisches Roulette mit 10 Waffen spielen, mit 9 geladenen und 1 ungeladenen Waffe und wählt eine Pistole und ist ein anderer verpflichtet, 8 geladene Pistolen zu entfernen, bleiben die gewählte Pistole und Pistole 7. Der Entferner hat nur die Information preis gegeben, dass die Pistolen 2,3,4,5,6,8,9,10 geladen waren. Das er die Pistole 7 übergelassen hat, weil es die ungeladene ist, ist eine falsche Information, sondern weil er 8 auswählen musste, die geladen sind. Ein Nichtauswählen erhöht zwangsläufig auch die eigene Wahl, da es sich hier um ein Laplace-Experiment handelt und die Aufteilung in Bernoulli-Verteilung und Mehrfachstufung einer Teilfolge unlogisch ist.
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