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In Abschnitt 13.3 haben wir die Pauli-Matrizen , und kennengelernt. Wir geben an dieser Stelle eine Herleitung dieser Matrizen an.
Die Pauli-Matrix ergibt sich aus der Anwendung von auf die beiden Basiszustände und . Mit (13.12) ergibt sich
und somit in Übereinstimmung mit (13.25) für das folgende Resultat
Für die Bestimmung der Pauli-Matrizen und leiten wir die Eigenschaften und die Matrizendarstellung der in Abschnitt 13.3.1 eingeführten Leiteroperatoren und unabhängig von der Matrizendarstellung für die Spinmatrizen und her.
Die Leiteroperatoren und sind nach (13.28) und (13.29) gegeben durch
Wir geben als erstes ein paar Eigenschaften dieser beiden Operatoren an:
und in Analogie zu (11.15) gilt
Wir wenden nun den Operator auf die Zustände an und untersuchen damit den Einfluss der Leiteroperatoren auf die magnetische Spinquantenzahl . Wir erhalten
Somit erhöht (erniedrigt) der Operator () die Quantenzahl um 1. Auf analoge Weise untersuchen wir den Einfluss der Leiteroperatoren auf die Spinquantenzahl . Es gilt
Folglich bleibt die Spinquantenzahl unverändert bei der Anwendung der Leiteroperatoren .
Als nächstes betrachten wir die Norm der Zustände und erhalten mit (K.5), (K.6), (13.10) und (13.11)
wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass die Spinwellenfunktionen auf 1 normiert sind. Zusammen mit dem erhaltenen Verhalten der Quantenzahlen und unter der Anwendung der Leiteroperatoren erhalten wir damit die folgende Gleichung
Mit und ergibt sich daraus für die Anwendung der Leiteroperatoren auf die beiden Basiszustände und
Folglich lassen sich die beiden Leiteroperatoren durch die folgenden Matrizen darstellen
Damit folgt für die beiden Operatoren und
und somit in Übereinstimmung mit (13.25) für und das folgende Resultat