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Il termine pendenza è usato per indicare il grado di ripidità (o di inclinazione) di una strada, ed è indicata dalla segnaletica verticale con cartelli di pericolo che ne indicano la pendenza con una percentuale. Un valore maggiore della pendenza corrisponde a una maggiore ripidità del tratto di strada.
Un tratto orizzontale ha una pendenza che vale 0% (tangente = 0), un tratto di strada in salita che forma un angolo di 45° con l'orizzontale ha una pendenza del 100% (tangente = 1); cioè ad ogni spostamento orizzontale di 100 metri, ne corrisponde uno verticale di pari valore.
La pendenza della strada è definita come la tangente dell'angolo θ di inclinazione:
m = tan θ
Se si vuole risalire al valore dell'angolo θ a partire dal valore della pendenza m, basta applicare la formula di conversione: θ = arctan m
In trigonometria, l’arcotangente (che viene indicata con arctan o atan) è definita come inversa della funzione tangente.
In un triangolo rettangolo l'ampiezza di un angolo acuto equivale all'arcotangente del rapporto fra il cateto opposto e il cateto adiacente.
William Shanks, nel 1873, calcolò il valore di pi greco con 707 cifre decimali, facendo uso della formula di John Machin del 1706:
Questo risultato fu in seguito controllato da D.F.Ferguson e J.W.Wrench jr. avvalendosi rispettivamente della formula di Machin e della seguente formula di Sidney Luxton Loney:
Calcolarono entrambi 808 cifre decimali ottenendo lo stesso risultato. Si è avuta così la conferma che le ultime cifre del valore ricavato da Shanks (a partire dalla 528a) erano errate.
E ora una bella formula ricavata dal grande matematico Eulero nel 1738:
Formula di Eulero
Da quest’ultima (utilizzando la prima formula di questo post) si può ricavare:
Una bella dimostrazione grafica di questa elegante formula consiste nel mostrare che la somma degli angoli rosso, verde e blu è proprio pi greco (N.B. nella seconda immagine, il triangolo blu-verde è isoscele e quindi simile al triangolo piccolo rosso-nero della prima immagine).
|https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities|