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Der Inkreis
Hans Walser
37. Fortbildungstagung fr Geometrie
10. bis 12. November 2016
Bundesinstitut fr Erwachsenenbildung St. Wolfgang
Mit einfachen Modellen und/oder dynamischer Geometriesoftware lassen sich verschiedene klassische Berhrprobleme verblffend einfach angehen.
Zur Sprache kommen Inkreise, das Problem des Apollonius, Tangentenvierecke in der Ebene und im Raum, Parittsfragen.
Der Inkreis wird mit Winkelhalbierenden konstruiert.
Winkelhalbierende und Inkreis
Dass sich in einem Dreieck die drei Mittelsenkrechten (oder die drei Winkelhalbierenden oder die drei Hhen) in einem Punkt schneiden, hat Hans Freudenthal (1905-1990) derart getroffen, dass er sich entschloss, sein Leben der Mathematik und ihrer Didaktik zu widmen.
Hans Freudenthal (1905-1990)
Der Inkreis wird in der Schule mit Winkelhalbierenden konstruiert.
Winkelhalbierende und Inkreis
Kann der Inkreis auch ohne Winkelhalbierende gefunden werden?
Wir stlpen eine Lochschablone des Dreiecks ber einen geraden Kreiskegel. Am Anschlag zeigt sich der Inkreis.
Kegel und Lochschablone
Wir zeichnen Kreisbgen ins Dreieck. Die Figur schlie§t sich nach sechs Schritten.
Schlie§ungsfigur
Die sechs Punkte auf den Dreiecksseiten liegen auf einem Kreis. Dieser ist konzentrisch zum Inkreis.
Sechspunktekreis
Wir verschieben den Startpunkt etwas.
Die Knigskinder kommen sich nher
Nach drei Schritten haben wir dieselbe Verschiebung in der entgegengesetzten Richtung. Die beiden Punkte nhern sich an.
Beim Startpunkt in der Mitte schlie§t sich die Figur schon nach drei Schritten. Es ergeben sich die Berhrpunkte des Inkreises.
Diese Denkweise wurde von Adam Ries (1492/93-1559) als regula falsi (Regel des falschen Ansatzes) kultiviert.
Optimaler Startpunkt. Inkreis
Wir zeichnen eine Hyperbel mit zwei Dreiecksecken als Brennpunkte, welche durch die dritte Ecke verluft. Dies geht auf drei Arten. Die drei Hyperbeln schneiden sich in einem Punkt und durchsetzen die Dreiecksseiten rechtwinklig. Die Schnittpunkte mit den Dreiecksseiten sind die Berhrpunkte des Inkreises. Beweise als bungsaufgabe.
Hyperbeln
Der Schnittpunkt der drei Hyperbeln ist allerdings nicht das Zentrum des Inkreises, aber das Zentrum des Kreises, der die drei Kreisbgen der frheren Konstruktion berhrt.
Inkreis und Innenkreis
Apollonius von Perge (ca. 262 v. Chr. – ca. 190 v. Chr.): Zu drei Kreisen ist ein vierter Kreis gesucht, der die drei gegebenen Kreise berhrt.
Dazu zeichnen wir erst die Mittelpunkte der drei Minimalabstnde. Ein geeigneter Kreis um einen solchen Mittelpunkt berhrt zwei der drei gegebenen Kreise. Wir der Kreisradius etwas vergr§ert, wandert der Mittelpunkt auf der Hyperbel mit den Brennpunkten in den Zentren der beiden berhrten Kreise.
Minimalabstnde. Hyperbel
Die drei nach dieser berlegung konstruierten Hyperbeln schneiden sich in einem Punkt. Dieser ist der Mittelpunkt des gesuchten Kreises.
Problem des Apollonius
Diese Konstruktion geht auf Adriaan van Roomen (1561-1615) zurck.
Puritaner werden bei dieser Konstruktion die Nase rmpfen. Sie ist nicht mit Zirkel und Lineal durchfhrbar. Allerdings ist da zu bemerken, dass Konstruktionen mit ãZirkel und LinealÒ auch nur in unserer Vorstellung exakt sind. Die Konstruktion von van Roomen ist aber rein logisch vllig exakt. Mit heutigen technischen Mglichkeiten (DGS) ist auch ein hinreichend gute Zeichnung mglich.
Wenn wir bei einem beliebigen Viereck Bgen einzeichnen und den Startpunkt verschieben, verschiebt sich der Endpunkt um gleich viel in der gleichen Richtung. Die Knigskinder kommen also nicht zusammen.
Die Knigskinder kommen sich nicht nher
Wenn wir umgekehrt in einem Tangentenviereck Bgen einzeichnen, schlie§t sich die Bogenfigur bei beliebigen Startwerten nach vier Schritten.
Tangentenviereck
Da die von einer Ecke ausgehenden Tangentenabschnitte jeweils gleich lang sind, erhalten wir fr ein Tangentenviereck die notwendige Bedingung, dass die Summe der Gegenseiten konstant ist.
Summe der Gegenseiten konstant
Es gilt:
(1)
quivalent dazu verschwindet die alternierende Seitensumme:
(2)
Schlie§lich gibt es auch eine Differenzengleichheit:
(3)
Man kann zeigen, dass diese notwendigen Bedingungen fr ein Tangentenviereck auch hinreichend sind. Die Bedingungen legen allerdings das Tangentenviereck noch nicht fest.
Wir verbinden gegenberliegende Berhrungspunkte des Inkreises. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungslinien liegt auf dem Diagonalenschnittpunkt. Beweis siehe (F. G.-M. (Frre Gabriel-Marie) 1920, p. 573).
Satz von Newton
Wir zerlegen das Tangentenviereck mit einer Diagonalen in zwei Dreiecke. Die beiden Inkreise der Teildreiecke berhren sich.
Kissing circles
Dies ist genau bei Tangentenvierecken der Fall. Warum?
Ein Gelenkmodell, das einer dieser Bedingungen gengt, kann verformt werden. In jeder Situation ergibt sich ein Tangentenviereck.
Den gr§ten Inkreis und damit auch den gr§ten Flcheninhalt erhalten wir fr dasjenige Viereck, das auch einen Umkreis hat (Sehnentangentenviereck). Es handelt sich hier um eine Variante des isoperimetrischen Problems.
Die folgende Abbildung zeigt ein echtes Gelenkmodell in zwei verschiedenen Positionen. Die Tangentenviereckbedingung kann durch Abzhlen der Lochabstnde verifiziert werden.
Gelenkmodell
Die optimale Position finden wir, indem wir das Modell ber einen Kegel stlpen.
Optimale Lsung
Die Bedingung (2) (Verschwinden der alternierenden Seitensumme) gestattet, das Gelenkmodell wie ein Taschenmesser zusammenzuklappen.
Klappviereck
Die Bedingung (3) fhrt zu einer Konstruktion mit einer Hyperbel. Die beiden Brennpunkte und zwei Hyperbelpunkte bilden ein Tangentenviereck.
Konstruktion mit einer Hyperbel
Die folgende Abbildung zeigt ein Tetraeder mit einer Kugel, welche alle sechs Kanten des Tetraeders berhrt.
Tangententetraeder
Einzeichnen der Berhrungspunkte und Weglassen der Kantenberhrkugel fhrt zur Einsicht dass die Summen der Gegenkanten konstant sind.
Summen der Gegenkanten konstant
In einem beliebigen Fnfeck zeichnen wir die Eckenbogen ein.
Im Fnfeck
Wir haben im Prinzip dieselbe Situation wie beim Dreieck. Trotzdem hat das Fnfeck nicht automatisch einen Inkreis. Es ist sozusagen erst die notwendige Bedingung dafr automatisch erfllt.
Die folgende Abbildung zeigt die Bgen fr ein Gelenkfnfeck. Es sind zustzlich die erwarteten Berhrungspunkte mit einer Musterttenklammer markiert. Diese Klammern sind also keine Gelenke.
Gelenkmodell
Erst wenn wir das Gelenkmodell ber den Kegel strammstlpen, ergibt sich das Tangentenfnfeck.
Tangentenfnfeck
Mit denselben Bauteilen des Gelenkmodells in derselben Reihenfolge und denselben Berhrungspunkten, aber mit doppeltem Umlauf, ergibt sich ein Tangentenpentagramm.
Weihnachten kommt bestimmt
Wir fhren die Berechnungen exemplarisch am Fnfeck durch.
In einem ersten Schritt berechnen wir die Tangentenabschnitte, also die Radien der violetten Bgen.
Im zweiten Schritt berechnen wir den Inkreisradius des Tangentenfnfeckes.
Wir verwenden die Bezeichnungen der folgenden Figur.
Bezeichnungen
Es ist:
(7)
Durch alternierendes Addieren der Zeilen von (7) ergibt sich:
(8)
Mit zyklischer Vertauschung erhalten wir:
(9)
Das Gleichungssystem (7) hat die Koeffizientenmatrix:
(10)
Fr die Determinanten der quadratischen Matrix links erhalten wir exemplarisch:
(11)
Es ergibt sich eine Fallunterscheidung gem§ der Paritt von n:
Fr ungerades n erhalten wir die Determinante 2. Dies kann zum Beispiel mit der Entwicklung nach der ersten Spalte gezeigt werden. Das Gleichungssystem ist regulr und hat genau eine Lsung.
Fr gerades n erhalten wir die Determinante 0. Die alternierende Zeilensumme verschwindet. Wir sind im singulren Fall. Wenn die alternierende Summe der Koeffizienten nicht verschwindet, haben wir keine Lsung. Sonst unendlich viele Lsungen.
Fr die Berechnung des Inkreisradius r arbeiten wir gem§ der folgenden Abbildung.
Berechnung des Inkreisradius r
Es ist zunchst:
(11)
Analog fr die brigen Sektoren. Da jeder Winkel zweimal vorkommt, ist:
(12)
Somit erhalten wir fr den Inkreisradius r die Bestimmungsgleichung:
(13)
Im Beispiel unseres Gelenkmodells hei§t das:
(14)
Mit CAS erhalten wir die Lsung:
(15)
Das Pentagramm-Gelenkmodell hat die doppelte Umlaufszahl. Anstelle der Gleichung (14) erhalten wir daher:
(16)
Diese Gleichung hat die Lsung:
(17)
Literatur
F. G.-M. (Frre
Gabriel-Marie) (1920): Exercices de gomtrie. Comprenant lÕexpos de mthodes
gomtriques et 2000 questions rsolues. Sixime dition. Tours: Maison A. Mame
et fils / Paris: J. de Gigord.
Rimpression: 1991, Edition Jacques Gabay, Sceaux. ISBN 2-87647-083-7
Websites
[Tangentenfnfeck], abgerufen 20. 11. 2015
[Tangentensiebeneck], abgerufen 20. 11. 2015
[Tangententetraeder], abgerufen 20. 11. 2015
[Tangentenviereck als Gelenkmodell], abgerufen 20. 11. 2015
[Tangentenviereck mit Mnzen], abgerufen 20. 11. 2015
[Tangentenvierecke], abgerufen 20. 11. 2015
Adresse des Autors:
Hans Walser
www.walser-h-m.ch/hans/