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Hans Walser, [20180518]
Wrfelstapel
Wrfel sollen so gestapelt werden, dass ihre Mittelpunkte ein flchenzentriertes kubisches Punktgitter ergeben.
Die Abbildung 1 zeigt das Minimalmodell mit quadratischer Basis.
Abb. 1: Quadratische Basis
Die Bedingung fr ein flchenzentriertes kubisches Punktgitter verlangt, dass die Abstnde zwischen den Wrfelmittelpunkten (rot in Abb. 1b) alle gleich lang sind.
Wir arbeiten mit Wrfeln der Kantenlnge 1 und bezeichnen den roten Abstand mit x. Die durch die roten Abstnde gebildete Pyramide hat die Hhe 1. Damit erhalten wir die Bedingung:
(1)
Dies fhrt zur positiven Lsung:
(2)
Die Abbildung 2 zeigt ein Holzmodell.
Abb. 2: Holzmodell
Die Abbildung 3 zeigt eine gr§ere Basis und die Pyramide.
Abb. 3: Pyramide
Die Abbildung 4 zeigt die Situation von vorne und von oben.
Abb. 4: Von vorne und von oben
Die Wrfel einer Lage haben einen Zwischenraum von . Wir knnen sie daher um die senkrechte Achse um 45¡ verdrehen. Dann berhren sich die Wrfel einer Lage an den senkrechten Kanten (Abb. 5).
Abb. 5: Wrfelchen um 45¡ verdreht
Allerdings haben wir nun zwischen den Wrfelchen einer Lage wrfelfrmige Lcher. Die Pyramide der Abbildung 5b wrde ohne zustzliche Sttzwrfel in den Lchern in sich um die halbe Hhe zusammensacken.
Die Abbildung 6 zeigt die neue Situation von vorne und von oben.
Abb. 6: Von vorne und von oben
Die Abbildung 7 zeigt ein 3d-Schachbrett.
Abb. 7: 3d-Schachbrett
In einem 3d-Schachbrett haben Wrfel mit gemeinsamer Seitenflche ungleiche Farbe. Wrfel mit nur gemeinsamer Kante haben gleiche Farbe und Wrfel mit nur gemeinsamer Ecke ungleiche Farbe.
In der Situation der Abbildungen 5 und 6 haben Wrfel immer nur eine Kante gemeinsam.
Daher bilden in einem 3d-Schachbrett die Mittelpunkte der Wrfel gleicher Farbe, zum Beispiel die Mittelpunkte aller wei§en Wrfel, ein flchenzentriertes kubisches Gitter.
Die Abbildung 8 zeigt das Minimalmodell fr den Fall einer dreieckigen Basis.
Abb. 8: Dreieckige Basis
Die Wrfelmittelpunkte mssen die Ecken eines regelm§igen Tetraeders bilden (Abb. 8b). Dieser Tetraeder hat die Hhe 1. Fr die rote Kantenlnge x des Tetraeders ergibt sich:
(3)
Die Abbildung 9 zeigt die Basis und den Tetraeder.
Abb. 9: Basis und Tetraeder
Die Abbildung 10 zeigt die Situation von der Seite und von oben.
Abb. 10: Von der Seite und von oben