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Welche Beziehung besteht zwischen der YTM und der Verzinsungsfrequenz? Halte dabei bei der Berechnung der Rendite auf Verfall die Laufzeit, den Nennwert und den Preis (=Barwert) konstant.
Eine höhere Verzinsungsfrequenz führt zu einer tieferen äquivalenten Rendite. Somit führt eine tiefere Rendite bei höherer Verzinsungsfrequenz zum selben Barwert des Bonds.
Wie berechnet man den Preis einer Anleihe bei halbjährlicher Verzinsung?
\(Price=\frac{cN}{\frac{y_s}{2}}*(1-\frac{1}{(1+\frac{y_s}{2})^{2T}})+\frac{N}{(1+\frac{y_s}{2})^{2T}}\)
ys = Zinssatz bei halbjährlicher Verzinsung (s für semi-annual)
Was ist die modifizierte Duration?
Die modifizierte Duration D∗ ist eine normierte Version der Dollar-Duration.
\(D^*(y)=\frac{DD(y)}{P(y)}=-\frac{P^´(y)}{P(y)}\)
Wie berechnet man den Preis einer ewigen Anleihe?
\(P_\infty(y)=\frac{cN}{y}\)
cN = Coupon
y = Diskontierungssatz
Wie berechnet man den Preis einer Obligation / Anleihe bei jährlicher Verzinsung ?
\(Price=\frac{cN}{y}*(1-\frac{1}{(1+y)^T})+\frac{N}{(1+y)^T}\)
Es kann die Annuitätsformel verwendet werden, dies macht es einfacher, wenn viele Cash Flows anfallen sollten. Die obige Formel kann leicht modifiziert werden für periodische Verzinsung und Cash Flows.
Wie lassen sich Dollar-Duration (DD ), modifizierte Duration (D∗) und Macaulay-Duration ins Verhältnis setzen ?
\(DD=-P^´(y)=-\frac{dP}{dy}=D^**P(y)\)
Die Modifizierte Duration berechnet sich dabei wie folgt:
\(D^*=\frac{1}{1+y}*\frac{1}{P(y)}(\sum^T_{t=1}\frac{t*cN}{(1+y)^t}+\frac{T*N}{(1+y)^T})\)
Die Macaulay Duration ist:
\(D_{Macaulay}=\frac{1}{P(y)}(\sum^T_{t=1}\frac{t*cN}{(1+y)^t}+\frac{T*N}{(1+y)^T})\)
Folglich:
\(D^*=\frac{1}{1+y}*D_{Macaulay}\)
Was bezeichnet die Dollar-Konvexität ?
\(convexity=\frac{1}{P(y)}\sum^T_{t=1}\frac{t(t+1)*cN}{(1+y)^{t+2}}+\frac{T(T+1)*N}{(1+y)^{T+2}}\)
Die Dollar Konvexität ist die zweite Ableitung des Anleihenpreises nach dem Zinssatz.
Was gilt es zu beachten bei der Approximation der Wertänderung mittels Duration ?
Die Duration unterschätzt den Preis der Obligation nach der Zinsänderung und ist deshalb immer pessimistisch. Bei einem Zinsanstieg wird die Preisänderung überschätzt und bei einer Zinssenkung wird die Preisveränderung unterschätzt.