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Hans Walser, [20070326a]
In einem Dreieck werden die drei Seiten zyklisch im gleichen Verhltnis unterteilt. Die drei Teilpunkte bilden ein neues Dreieck, mit dem ebenso verfahren wird. Und so weiter.
Die Figur zeigt ein Ausgangsdreieck und den ersten und den zweiten Schritt bei einem Teilverhltnis von .
Schritte eins und zwei
Im folgenden Bild sind die ersten 50 Schritte eingezeichnet. Zustzlich ist blau der Schwerpunkt des Ausgangsdreieckes markiert.
50 Schritte, Schwerpunkt
Wir vermuten: Die drei ãSpiralenÒ (in Wirklichkeit Polygone) streben zum Schwerpunkt. Wie lsst sich das beweisen?
Fr das regulre Dreieck ist die Aussage aus Symmetriegrnden klar. Der bergang von einem Dreieck zum nchsten kann durch eine Drehstreckung mit Zentrum im Ursprung beschreiben werden. Die Spiralen sind daher logarithmische Spiralen.
Regulres Dreieck
Wir knnen nun das regulre Dreieck affin auf ein allgemeines Dreieck abbilden. Die Teilverhltnisse bleiben dabei erhalten. Da unsere Spiralen wie auch der Schwerpunkt mit Teilverhltnissen definiert sind, bleibt die Eigenschaft erhalten, dass die Spiralen in den Schwerpunkt einmnden. Allerdings sind die affin verzerrten logarithmischen Spiralen im allgemeinen keine logarithmische Spiralen mehr.
Im affin verzerrten Fall sind die Dreiecke nicht mehr hnlich. Hingegen haben alle Dreiecke denselben Schwerpunkt:
Es sei der Schwerpunkt im Dreieck .
Es ist also:
Die Ecken des nachfolgenden Dreieckes erhalten wir mit dem Faktor durch:
Fr den Schwerpunkt ergibt sich:
Der Schwerpunkt ist also invariant.
Ein n-Eck mit kann im allgemeinen nicht affin auf ein anderes n-Eck mit abgebildet werden. Unser Beweis ist in diesem Fall nicht anwendbar.
Hingegen ist die berlegung mit dem gemeinsamen Schwerpunkt auf ein n-Eck mit verallgemeinerungsfhig.
Die Sache mit den Spiralen scheint auch fr zu stimmen.
Viereck
Mehr noch: die ãkleinenÒ Vierecke scheinen sich je einem Parallelogramm anzunhern. Wir sehen das, wenn wir in der Mitte ein Loch offen lassen.
Parallelogramm in der Mitte?
So berraschend ist das nicht. Wenn wir in einem beliebigen Ausgangsviereck die Seitenmitten verbinden, erhalten wir auf Anhieb ein Parallelogramm.
Ein Parallelogramm ist nun aber ein affin verzerrtes Quadrat. Damit knnten wir, wenn die Sache mit dem Parallelogramm wirklich stimmt, wohl mit der berlegung der affinen Verzerrung eines Quadrates arbeiten.
Auch beim Sechseck ergibt sich in der Mitte ein annhernd affin-regulres Sechseck.
Affin-regulres Sechseck in der Mitte?