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A b h an d | u n ge n.
Theorie der überhitzten Wasser dämpfe.
Es ist schon oft darauf hingewiesen worden, daß die Anwendung der überhitzten Dämpfe, statt der gesättigten, bei den Dampfmaschinen mit wesentlichen Vortheilen verbunden sein müsse; die Beobachtungen und entsprechenden Versuche, unter denen die schönen und bekannten Versuche von Hirn*) obenan stehen, deuten auch entschieden darauf hin, daß die Dampfmaschinen mit überhitztem Dampfe der Vortheile wegen, welche sie hinsichtlich des Brennmaterialverbrauches bieten, mehr und mehr in Anwendung kommen werden. Seit länger als einem Jahrzehnt hat man, besonders in Amerika, Beobachtungen über die Vortheile der überhitzten Dämpfe gemacht und, wenn man die ganz außerordentlich günstigen Resultate betrachtet, welche Wethered mit gemischten Dämpfen (Mischung von gesättigtem und überhitztem Dampfe) gefunden haben will, hat man Grund zu erstaunen, daß die Ueberhitzung der Dämpfe für Dampfmaschinen nicht weit allgemeiner in Anwendung gekommen ist.*) Abgesehen von gewissen praktischen Schwierigkeiten, auf die man, wenigstens bei Anwendung hoch überhitzter Dämpfe stößt, findet das Gesagte aber eine Erklärung in dem Umstande, daß alle bisher angestellten Versuche zusammen genommen zwar auf Vortheile der Anwendung der überhitzten Dämpfe hindeuten, daß aber der Grad der Erhöhung des Nutzens überhitzter Dämpfe gegenüber gesättigten Dämpfen noch keinesweges festgestellt ist. Die Resultate der Versuche widersprechen sich in dieser Beziehung außerordentlich, und einzelne solcher Angaben sind nicht ohne gerechte Zweifel aufgenommen worden. Ueber solche Zweifel werden uns noch so zahlreiche Versuche nicht hinweghelfen; denn über derartige Fragen kann nur eine gründliche Kenntniß der physikalischen Eigenschaften der Dämpfe überhaupt entscheiden. Eine Theorie der überhitzten Dämpfe ist aber auch von hoher wissenschaftlicher Bedeutung; bis jetzt kannte man das Verhalten dieser Dämpfe nur für die beiden Grenzzustände, nämlich für ihren Condensationspunkt, wenn sie eben in den Sättigungszustand übergehen, oder für den Zustand höchster Ueberhitzung, in welchem ihre Eigenschaften vollständig mit denen der permanenten Gase übereinstimmen. Die Formeln, welche die mechanische Wärmetheorie für die beiden Grenzzustände der Luftarten hinstellt, sind der Ableitung und dem Baue nach ganz von einander verschieden, und es war bisher nicht möglich, aus den Gleichungen, welche
*) Sur la théorie de la surchauffe dans les machines à vapeur. Bulletin de la société industrielle de Mulhouse. t. XXVIII. 1857. **) Vergl. Dinse: Ueber die Verwendung des überhitzten Dampfes in den Dampfmaschinen (diese Zeitschrift, Bd. IX, S. 373).
sich auf gesättigte Dämpfe, sowie auf Dampf- und Flüssigkeitsmischungen beziehen, diejenigen für die permanenten Gase abzuleiten und umgekehrt, oder das Verhalten der Dämpfe auf dem Uebergange von einem in den anderen Grenzzustand darzulegen.
Theoretische Untersuchungen über das Verhalten der überhitzten Dämpfe wurden bis jetzt nur von Hirn*) angestellt und diese sind in neuerer Zeit von mir näher besprochen worden*). Hirn geht von einem gewissen Satze aus, den ich das „Hirn'sche Gesetz“ genannt habe und auf welchen ich im Folgenden ebenfalls zu sprechen kommen werde; in Verbindung mit Resultaten seiner Versuche löst dann Hirn einige der wichtigsten technischen Probleme. Die Rechnungsresultate werden aber auf großen Umwegen gewonnen, weil auch Hirn nicht auf die Fundamentalgleichung für überhitzte Wasserdämpfe gekommen ist, nämlich auf die Beziehung, welche zwischen Druck, Volumen und Temperatur stattfindet. Es ist mir nun gelungen, diese Beziehung festzustellen, und damit waren mir an der Hand der Grundformeln der mechanischen Wärmetheorie sofort die Mittel gegeben, hinsichtlich des Verhaltens der überhitzten Dämpfe, zunächst speciell der überhitzten Wasserdämpfe, alle Fragen zu lösen, die bis jetzt nur für permanente Gase und gesättigte Dämpfe gelöst werden konnten. In der vorliegenden Abhandlung will ich die Resultate meiner Untersuchungen mit gleichzeitiger Anwendung auf die wichtigsten technischen Aufgaben vorführen. Ich beschränke mich aber nur auf Untersuchung der Wasserdämpfe; es wird keinen Schwierigkeiten unterliegen, auf dem von mir angezeigten Wege auch überhitzte Dämpfe anderer Art der Untersuchung zu unterwerfen.
Voruntersuchungen,
Bezeichnen wir mit v das specifische Volumen, d. h. das Volumen der Gewichtseinheit (eines Kilogrammes) Dampf, mit p den specifischen Druck (Druck in Kilogrammen pro Quadratmeter) und mit t die Temperatur nach Celsius, so läßt sich, wenn Druck und Volumen bekannt sind, sehr leicht entscheiden, ob man es in einem bestimmten Falle mit reinem gesättigtem Dampfe, oder mit überhitztem Dampfe, oder mit der Gewichtseinheit Mischung von Dampf und Flüssigkeit zu thun hat. Bei dem gesättigten Dampfe, dessen Volumen wir speciell mit
*) Hirn: Théorie mécanique de la chaleur. Première partie. Seconde édition. Paris, 1865.
**) Grundzüge der mechanischen Wärmetheorie. Zweite Auflage. Leipzig, 1866. S. 426 u. F.
Da in der Folge mehrfach auf diese Schrift verwiesen werden muß, so soll die Abkürzung Gr. d. m. W. benutzt werden.
- v, bezeichnen wollen, stehen bei einer gewissen Dampfart Druck
und Volumen in einer bestimmten und bekannten Beziehung; wenigstens läßt sich nach den Lehren der mechanischen Wärmetheorie das dem Drucke p entsprechende Volumen v1 berechnen. Trägt man für reinen gesättigten Dampf (ohne Beimischung von Flüssigkeit) für verschiedene Pressungen das Volumen v, als Abscisse und den Druck p als Ordinate auf (Fig. 1 ), so erhält man eine Curve DD, welche ich die „Grenzeurve“ nenne, und deren Verlauf für Wasserdämpfe unten weiter besprochen werden wird. Jedem Punkte der Curve oder jedem Drucke entspricht eine bestimmte Temperatur t, oder, wenn wir die Temperatur, was in der Folge immer geschehen soll, vom absoluten Nullpunkte ab rechnen, die absolute Temperatur T = 273 +-t, und diese Temperatur ist auf Grund von Versuchen für jeden Druck bekannt. Trägt man nun in einem gegebenen Falle das Volumen (der Gewichtseinheit) als Abscisse und den Druck als Ordinate auf und fällt der Punkt in die Grenzcurve, so ist das ein Beweis, daß wir es mit reinem gesättigtem Dampfe zu thun haben; fällt dagegen der Endpunkt a der Ordinate in den Raum zwischen Grenzeurve und Coordinatenaxen, so ist bei gleichem Drucke p die Temperatur T1 die nämliche, das Volumen aber kleiner; die Gewichtseinheit Masse enthält neben Dampf auch Flüssigkeit. Der Dampf ist von gleicher Beschaffenheit, wie vorhin; ist x die specifische Dampfmenge, d. h. die Dampfmenge in der Gewichtseinheit Mischung, so ist (1 –x) das Gewicht der Flüssigkeit, und wenn o das specifische Volumen der Letzteren ist, so ist das Volumen v' der Mischung: v' = XV1 +- (1 –X) 0,
und hieraus berechnet sich leicht das Mischungsverhältniß x für das gegebene Volumen v'.
Fällt dagegen der Endpunkt der Ordinate in den Raum außerhalb der Grenzeurve DD, etwa nach T (Fig. 1 ), so ist das ein Beweis, daß die gegebene Dampfmasse überhitzt ist; in diesem Falle ist die entsprechende Temperatur T> T1 und nicht durch den Druck p allein bestimmt, sondern hängt auch noch vom Volumen v ab. Die Beziehung:
T= F (p, v) ist es eben, die bis jetzt für überhitzte Dämpfe unbekannt war, und die ich zunächst feststellen werde. Wir werden in der Folge nach dem Vorschlage Bauschinger's die im Vorstehenden angedeutete Beziehung die „Zustandsgleichung“ nennen. Bis jetzt vermuthete man von dieser Beziehung nur, daß sie in die Form pv = RT . . . . . . (1)
übergehe, die für permanente Gase gilt, und in welcher R eine von der Gasart abhängige Constante ist, wenn der Punkt T (Fig. 1) sehr weit von der Grenzeurve abliegt, d. h. der Dampf sehr stark überhitzt ist.
Bei der Ableitung der Zustandsgleichung für überhitzte Wasserdämpfe gehe ich nun von folgendem Satze der Wärmetheorie aus, den ich a. a. O. abgeleitet habe.*) X
Sind für die Gewichtseinheit eines Körpers der Druck p, und das Volumen v2 gegeben, und dehnt sich derselbe ohne Zu- und Ableitung von Wärme aus oder wird derselbe com
primirt, ohne daß gleichzeitig eine Mittheilung oder Entziehung von Wärme erfolgt, so beschreibt der Endpunkt der Ordinate eine Curve A2A2 (Fig. 2), die ich mit Rankine die adiabatische Curve nenne. Befindet sich derselbe Körper im Zustande an, durch den Druck p, und das Volumen v1 gegeben, so entspricht dem Punkte a, eine zweite adiabatische Curve A, A1. Soll der Körper aus dem Zustande a2 in den Zustand a, übergeführt werden, so ist hierzu die Mittheilung einer gewissen Wärmemenge erforderlich; ist dQ die Wärmemenge für eine unendlich geringe Zustandsänderung, so habe ich nun a. a. O. bewiesen, daß das Integral
s d Q AT / in welchem A das Wärmeäquivalent der Arbeitseinheit ist, d. h. die Wärmemenge, welche der Arbeit von einem Meterkilogramm entspricht (A = zz), daß dieses Integral immer auf denselben Werth führt, wenn der Uebergang von einer bestimmten Curve A2 A2 nach einer zweiten vorgeschriebenen adiabatischen Curve A, A1 erfolgt, gleichgültig wie sich auf dem Uebergange a2 a der Druck p mit dem Volumen v ändert, d. h. welches auch die Uebergangscurve a, a sein mag, fernerhin gleichgültig, wo der Ausgangspunkt a, auf der ersten und der Endpunkt an auf der zweiten adiabatischen Curve liegt. Der Einfachheit wegen bezeichne ich den Werth des Integrales mit P; den Werth selbst nenne ich aus Gründen, die ich a. a. O. näher dargelegt habe*), das Wärmegewicht. Wir wollen nun das Wärmegewicht sogleich für eine Mischung von Wasser und Wasserdampf entwickeln.
Befinden sich in der Gewichtseinheit Mischung x Kilogrm. Dampf und beträgt der Druck p und ist t die Temperatur; ist ferner c die specifische Wärme des Wassers – nach Regnault ist zu setzen:
c = 1 + 0,00004 t + 0,0000009 t” . . . (2),
und ist r die Verdampfungswärme, welche nach Regnault sich nach der Gleichung
Unter Benutzung der Gleichungen (2), (3) und (4) habe ich den Werth p für eine Reihe von Werthen der Dampfspannung nach Gl. (7) berechnet und in der 3. Columne der auf Seite 47 folgenden Tabelle 1 aufgeführt.
Ich lege jetzt durch die beiden Punkte T2 und T, der Grenzcurve DD (Fig. 3) die beiden adiabatischen Curven A2 und A1; von beiden Curven ist, da sie sich nach dem Raume hin erstrecken, welcher den überhitzten Dämpfen entspricht, der Verlauf noch unbekannt; erwärme ich nun den gesättigten Dampf von der Temperatur T2 bei constantem Drucke p, = p so weit, bis die zweite adiabatische Curve im Punkte T erreicht ist, so beträgt das Wärmegewicht, wenn die specifische Wärme des Dampfes bei constantem Drucke mit c, bezeichnet und constant angenommen wird, und T die Temperatur des Dampfes am Ende des Ueberganges ist:
Diese Formel gilt allerdings nur unter der ausdrücklichen Annahme, daß die specifische Wärme c, bei constantem Drucke für Wasserdampf als constant angesehen werden darf; daß diese Annahme erlaubt ist, darauf deuten zunächst die Versuche von Regnault hin. Regnault findet durch 4 Versuchsreihen:
c, = 0,46881; 0,48111; 0,48080; 0,47963 und erklärt nur den ersten dieser Werthe für nicht ganz zuverlässig; als Mittel aus den übrigen findet sich Co = 0,4805,
und diesen Werth wollen wir ebenfalls als zuverlässig allen weiteren Untersuchungen zu Grunde legen; es wird sich unten zeigen, daß die obige Hypothese der Unveränderlichkeit des Werthes der specifischen Wärme bei constantem Drucke und die Annahme der Richtigkeit des Regnault'schen Versuchswerthes wohl gerechtfertigt sind.
Mit Hülfe der Gl. (9) könnte man, wenn die Temperaturen T1 und T2 gegeben sind, sehr leicht die Temperatur T des überhitzten Dampfes, entsprechend dem Punkte p, v, T der Fig. 3 berechnen oder auch durch Einführung verschiedener
= () * . . . . . (11) gültig sein, in welcher Gleichung der Werth x constant ist und das Verhältniß der specifischen Wärme des Gases bei constantem Drucke zu der bei constantem Volumen darstellt. Ich stelle nun die Hypothese auf, daß für überhitzte Dämpfe, wenigstens zunächst für Wasserdämpfe die Gl. (11) ebenfalls gültig ist, und daß auch hier der Werth x als constant angesehen werden darf. Nur die eben angeführte Bedeutung des Werthes x für Gase verlasse ich vorläufig bei der Anwendung der Gl. (11) auf überhitzte Dämpfe und überlasse es den Resultaten der weiter folgenden mathematischen Entwickelungen, die allgemeinere Bedeutung des Werthes x ins Licht zu setzen. Substituire ich Gl. (11) in Gl. (10) und beachte ich, daß nach der ganzen Entwickelung und nach Fig3 der Druck p mit p2 identisch ist, so folgt nach einigen leichten Reductionen: 2 - 1 - 3e p1 + C logn Po 3f = p2 + C logn – P T 2 P T /
. 2 und hieraus ist zu schließen, daß im Falle der Richtigkeit meiner Hypothese allgemein der Werth
peratur t nach Celsius den Tabellen von Regnault zu entnehmen ist. Wie gut diese Formel den Werth von p wiedergiebt, zeigt folgende Tabelle 1, welche in der 4. Columne p nach Gl. (13) und in Columne 3 nach Gl. (7) berechnet angiebt. Ich hätte die Uebereinstimmung sogar noch etwas erhöhen können, wenn ich den Werth x nur wenig verschieden von angenommen hätte; ich ziehe jedoch vor, diesen runden Werth zu adoptiren, weil dadurch die numerischen Rechnungen im Weiteren außerordentlich vereinfacht werden.
Tabelle 1. 1 2 3 4 Druck Temperatur i t (C – – – – – P Test = +F nach Gl. (13) P Regnault 0,1 46,21 1,9548 1,9538 0,2 60,45 1,8929 1,89 12 0,5 81,71 1,81 16 1,8 1 11 1 100,00 1,7519 1,7520 2 120,60 1,6940 1,6946 Z 133,91 1,66 12 1,661 9 4 144,00 1,6384 1,6391 5 152,22 1,6209 1,62 17 6 159,22 1,6071 1,6076 7 165,34 1,5955 1,5958 8 170,81 1,5856 1,5858 9 175,77 1,5769 1,5769 10 180,31 1,5691 1,5691 4 1 184,5o 1,5625 1,5621 12 188,41 1,5563 1,5557 1 Z 192,08 1,5506 1,5503 14 195,53 1,54 54 1,5445
Setze ich dagegen, wie es im Weiteren wie oben geschehen soll, x = = 1,3333, so berechnet sich aus Gl. (16) umgekehrt:
c, = 0,49397; 0,48514; 0,46255
und das Mittel aus den letzteren Werthen ist 0,4805, also sonderbarer Weise ganz genau mit Regnault’s Mittelwerth in Uebereinstimmung.
Aus dem Vorstehenden ist zu schließen, daß sich die Größen x und c, im Falle sich eine davon oder beide durch spätere genauere Untersuchungen als Veränderliche herausstellen sollten, was wahrscheinlich ist, nur sehr langsam ändern und daß es bis auf Weiteres erlaubt ist, sie als constant anzusehen. Die Resultate der folgenden Untersuchungen werden diese Annahme weiter rechtfertigen.
*) Gr. d. m. W. Tab. 1. **) Gr. d. m. W. S. 543.