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Hans Walser, [20191003]
Kollineare und kozyklische Punkte
Bearbeitung einer Schulaufgabe (Lehrmittel des Kantons Zrich, Klasse 6, Keller 2016).
Wir beginnen mit einem regelm§igen Zwlfeck und einem beliebigen Punkt (Abb. 1).
Abb.1: Zwlfeck und Punkt
Wir zeichnen einen Kreis mit einer Ecke des Zwlfecks als Zentrum durch diesen Punkt (Abb. 2).
Abb. 2: Kreis
Wir zeichnen auch mit allen anderen Ecken des Zwlfecks einen entsprechenden Kreis (Abb. 3). Wir haben nun zwlf Kreise. Sie bilden ein Netz, das aus Kreisvierecken besteht.
Abb. 3: Zwlf Kreise
In der Figur der Abbildung 3 entdecken wir exemplarisch sechs kollineare Punkte (Abb. 4). Die Gerade durch diese Punkte geht zustzlich durch den anfangs gewhlten Punkt. Die Gerade ist Diagonale von bereck angeordneten Kreisvierecken.
Abb. 4: Kollineare Punkte
Es gibt insgesamt zwlf Geraden durch kollineare Punkte (Abb. 5). Die Geraden schneiden sich unter Winkeln von 15¡ und Vielfachen davon.
Abb. 5: Geraden durch kollineare Punkte
Wir haben weiter sechs Punkte, die auf einem Kreis liegen (Abb. 6). Der Kreis hat den Mittelpunkt des Zwlfecks als Zentrum und verluft zustzlich durch den anfangs gewhlten Punkt. Der Kreis ist Kreisdiagonale von bereck angeordneten Kreisvierecken.
Abb. 6: Kozyklische Punkte
Die sechs kozyklischen Punkte bilden ein regelm§iges Sechseck (Abb. 7).
Abb. 7: Sechseck
In der Abbildung 8 sind zwei der sechs Kreise mit ihren Mittelpunkten hervorgehoben. Sie schneiden sich in zwei Punkten. Der eine Schnittpunkt ist der anfangs gewhlte Punkt. Der andere Schnittpunkt ist sein Spiegelbild bei der Spiegelung an der durch die beiden Kreiszentren verlaufenden Geraden.
Abb. 8: Spiegelpunkte
In der Abbildung 9 sind die Spiegelachsen fr smtliche der sechs in Frage kommenden Schnittpunkte eingetragen. Da diese Spiegelachsen parallel sind und die sechs in Frage kommenden Schnittpunkte Spiegelbilder desselben anfnglich gewhlten Punkte sind, liegen sie auf einer zu den Spiegelachsen senkrechten Geraden durch den anfnglich gewhlten Punkt. Damit ist die Kollinearitt nachgewiesen.
Abb. 9: Parallele Spiegelgeraden
Die mglichen Spiegelachsen sind Seiten und Diagonalen des Zwlfecks und schlie§en daher Winkel von 15¡ und Vielfachen davon ein. Daher tun das auch die Geraden der Abbildung 5.
Die Abbildung 10 zeigt die Spiegelgeraden fr die sechs kozyklischen Punkte der Abbildung 6. Diese speziellen Spiegelgeraden sind kopunktal und schlie§en untereinander Winkel von 30¡ und Vielfachen davon ein. Daher knnen die sechs Punkte durch Drehungen um 60¡ und Vielfache davon aufeinander abgebildet werden. Sie sind somit Eckpunkte eines regelm§igen Sechsecks.
Abb. 10: Kozyklische Punkte und kopunktale Spiegelgeraden
Nachdem wir den Trick heraus haben, knnen wir weitere kozyklische Punkte finden.
Die Abbildung 11 zeigt drei kopunktale Diagonalen im Zwlfeck, die aber nicht durch den Mittelpunkt verlaufen (Walser 2012, S. 29). Die Kopunktalitt ergibt sich aus Symmetriegrnden. Die drei Diagonalen schneiden sich unter Winkeln von 45¡ und Vielfachen davon. Wir fokussieren nun auf diejenigen blauen Kreise, die ihre Zentren in den Endpunkten dieser Diagonalen haben. Die beiden Kreise mit dem Zentrum in je einem Ende einer Diagonale schneiden sich im anfangs gewhlten Punkt sowie seinem Spiegelpunkt bei Spiegelung an dieser Diagonalen. So erhalten wir zustzlich zum anfangs gewhlten Punkt drei weitere Punkte.
Abb. 11: Kopunktale Diagonalen im Zwlfeck
Diese insgesamt vier Punkte sind kozyklisch (Abb. 12). Das zugehrige Kreiszentrum ist der Schnittpunkt der kopunktalen Diagonalen, also nicht der Mittelpunkt des Zwlfecks. Die vier Punkte sind die Ecken eines Quadrates.
Abb. 12: Kreis und Quadrat
Die Abbildung 13 zeigt vier kopunktale Diagonalen im Zwlfeck. Die Kozyklizitt ist nicht mehr aus Symmetriegrnden trivial (Walser 2012, S. 28). Die Diagonalen schneiden sich unter verschiedenen Winkeln.
Wir erhalten zusammen mit dem eingangs gewhlten Punkt fnf kozyklische Punkte. Sie bilden allerdings kein regelm§iges Fnfeck.
Abb. 13: Fnf kozyklische Punkte
Die Situation kann auf beliebige regelm§ige Vielecke bertragen werden.
Bei gerader Eckenzahl ist der Sachverhalt vllig analog zum Zwlfeck. Die Abbildung 14 zeigt exemplarisch die Situation im regelm§igen Achteck.
Abb. 14: Regelm§iges Achteck
Die Abbildung 15 zeigt ein Beispiel von vier kozyklischen Punkten im der Figur.
Abb. 15: Vier kozyklische Punkte
Bei ungerader Eckenzahl gibt es ebenfalls kollineare Punkte und kopunktale Geraden (Abb. 16 exemplarisch mit einem regelm§igen Siebeneck).
Abb. 16: Regelm§iges Siebeneck
Hingegen gibt es keine kozyklischen Punkte. Der Kreis (magenta in Abb. 17) um das Zentrum des Siebenecks durch den anfangs gewhlten Punkt verluft zwischen den Schnittpunkten der blauen Kreise. Das hngt damit zusammen, dass sieben nicht durch zwei teilbar ist.
Abb. 17: Magenta Kreis zwischen den Schnittpunkten
Die sieben Schnittpunkte des magenta Kreises mit den blauen Kreisen bilden aber ein regelm§iges Siebeneck (Abb. 18).
Abb. 18: Regelm§iges Siebeneck
Literatur
Keller, Bernhard & Keller, Roland & Diener, Marion (2016): Mathematik 6. Lehrmittelverlag Zrich.
Walser, Hans (2012): 99 Schnittpunkte. Beispiele – Bilder – Beweise. 2. Auflage. EAGLE, Edition am Gutenbergplatz: Leipzig. ISBN 978-3-937219-95-0
Websites
Hans Walser: Schlussstriche
Hans Walser: Schnittpunkte