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Historique du mouvement brownien.
Le mouvement brownien a été découvert au début du 20ème siècle
par Robert Brown, un biologiste qui observe sous son microscope
le déplacement d’un grain de pollen minuscule qui flotte sur l’eau.
Il constate que ce grain de pollen décrit un mouvement très
irrégulier et inexplicable. En 1905 Albert Einstein reprend l’étude
du « mouvement brownien » de ce grain de pollen et démontre
qu’il est le résultat des chocs aléatoires des molécules d’eau
contre le grain de pollen. Pour la première fois dans l’histoire de la
science, Einstein mit en évidence l’existence physique des
atomes. Andrei Nicolaievitch Kolmogorov et Paul Lévy améliorent
l’approche du mouvement brownien du point de vue du calcul des
probabilités, ils définissent mathématiquement le mouvement
brownien standard et étudie sa distribution gaussienne. A cette
même époque, Bachelier, mathématicien français, propose
d’utiliser le mouvement brownien pour faire des prédictions
mathématiques sur la bourse du marché financier.
Il propose des formules mathématiques pour calculer les
probabilités des fluctuations du marché, donc de la variation du
cours de l’argent.
Variation du prix du baril de pétrole par jour:
Change du jour ( 3.10.2006) : avec 1 USD (US Dollar ) j’achète 1,29 Frs.
Nature fractale du relief
Historique du mouvement brownien. (suite)
Cette théorie du « mouvement brownien standard » a été utilisée
par les banques durant tout le 20ème siècle, mais aujourd’hui elle est
remise en question pour sa trop grande simplicité, ainsi que pour
son incapacité à prévenir l’arrivée d’un krach économique,
c’est-à-dire l’effondrement du système économique, événement
rare mais inévitable du marché financier.
Tre Cime di Lavaredo:
érosion…éboulements et avalanches sculptent le profil des montagnes.
C’est Benoît Mandelbrot, mathématicien inventeur du concept fractal,
qui a reprit l’étude du mouvement brownien standard dès 1970, et en a
déterminé la dimension fractale dont la valeur vaut 2. Il a démontré par
la suite que le marché financier est de dimension fractionnaire
(comprise entre 1 et 2). Ce fait confère au marché un comportement
plus sauvage, plus complexe que le mouvement brownien standard qui
est de dimension entière. Il nomme ce nouveau modèle le mouvement
brownien multifractionnaire qui simule la réalité avec une étonnante
exactitude.
Ce modèle est utilisé actuellement en précurseur, par les banques
suisses de Zürich pour mesurer et minimiser les risques de leurs
investissements en bourse.
Nature fractale du relief (suite)
Historique du mouvement brownien.
Pour produire un mouvement brownien fractionnaire à partir du
jeu de « pile ou face », il faut modifier les règles du jeu.
Tu ne vas plus répéter aveuglément la même règle ( pile = (+1) ou
face = (-1) ).
Après avoir tiré au hasard « pile » ou « face » avec la pièce, tu vas
tirer au hasard, hors partie avec une autre pièce, la valeur
attribuée à « pile » ou « face » :
pile = (+2) ou (+1) et face = ( -1) ou ( -2)
p(p) p(f) f(p) f(f)
Une loterie sur la loterie en quelque sorte qui produit une
interdépendance de deux probabilités. Cette nouvelle règle
transforme le mouvement brownien standard en un mouvement
brownien multifractionnaire avec une dimension fractale
fractionnaire et un profil plus mouvementé mais plus réaliste.
Les Dolomites:
Le profil des Dolomites italiennes, fragmenté en échelle, fracturé et
irrégulier, évoque une randonnée aléatoire de type mouvement
brownien multifractionnaire.
Nature fractale du relief (suite)
Mouvement brownien et relief
Le mouvement brownien dessine une courbe fragmentée et
irrégulière, constituée de pics et de creux qui suggèrent, à deux
dimensions, la coupe verticale d’un paysage alpin vu de profil.
Vue des Alpes :
La silhouette des Alpes dessine le profil d’une courbe fractale
de type mouvement brownien, randonnée aléatoire irrégulière
mais autorégulée par un attracteur.
L’interface fractale, entre la terre et le ciel, correspond à l’état
actuel d’une évolution autorégulée qui tend vers une stabilité
adaptative du paysage alpin.
Nature fractale du relief (suite)
Autosimilarité en échelle
Zoom fractal :
Aiguille de la Tza :
La structure fractale du relief est le résultat naturel de l’optimisation
de la résistance à l’érosion du sol rocheux provoquée par le climat.
La structure est fractale car son architecture présente, à trois
dimensions, l’autosimilarité en échelle d’une structure fragmentée.
La structure fractale du relief alpin est la meilleure solution naturelle
pour résister à l’érosion provoquée par le climat.
C’est ce qui lui confère sa structure irrégulière à toutes les échelles.
Il se trouve que la structure fractale de l’interface entre le ciel et la
terre est plus efficace pour lutter contre les assauts du climat qu’une
structure non-fractale du relief qui serait moins résistante à l’érosion
par la régularité de ces surfaces.
Entre une figure fractale géométrique tel le Napperon de Sierpinski
et une figure fractale naturelle comme l’image de « l’Aiguille de la
Tsa » , il réside une différence dans la multiplicité des échelles
présentes sur l’image fractale naturelle et l’échelle unique de la
figure fractale géométrique. Benoît Mandelbrot parle alors de
structure multifractale.
Les structures fractales sont en quelque sorte régulières et
« domestiquées » , alors que les structures multifractales restent
« sauvages » donc plus irrégulières et plus complexes.
Nature fractale du relief (suite)
Modélisation du relief.
Le mouvement brownien est utilisé en informatique, pour simuler
des images de montagnes sur les ordinateurs, construites par une
succession de plans verticaux et parallèles qui contiennent chacun
une randonnée brownienne. Un relief artificiel construit sur des
bases du mouvement brownien standard.
Afin d’améliorer la simulation du profil des montagnes, les
informaticiens profitent des découvertes de Mandelbrot et utilisent
le mouvement brownien multifractionnaire qui leurs permet
d’entrer dans le programme un paramètre exprimant la « dureté
de la roche ». L’ordinateur produit des profils étonnants de
réalisme, extrêmement proche des paysages montagneux
naturels.