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Interpolationsverfahren
Die Interpolation ist ein Art der Approximation: die betrachtete Funktion wird durch die
Interpolationsfunktion in den Stützstellen (durch die Pixel in den SRTM-Daten, welche eine
Zahl beinhalten) exakt wiedergegeben und in den restlichen Punkten (Pixel mit dem Eintrag "NaN")
immerhin näherungsweise. Die Approximationsgüte hängt vom Ansatz ab. Um sie zu schätzen, werden
Zusatzinformationen über die Funktion f benötigt. Diese ergeben sich auch bei Unkenntnis von f
meist in natürlicher Weise: Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit lassen sich
häufig voraussetzen.
Lineare Interpolation
Am einfachsten und wohl auch in der Praxis am häufigsten benutzt wird die lineare Interpolation,
bei der zwei gegebene Datenpunkte f0 und f1 durch eine
Strecke verbunden werden. Als Faustregel merkt man sich
Dies entspricht einer Konvexkombination der Endpunkte (x0, f0)
und (x1, f1).
Stückweise Interpolation
Da Polynome mit zunehmendem Grad immer instabiler werden (d.h. sie schwingen stark zwischen den
Interpolationspunkten), werden in der Praxis Polynome mit Grad > 5 kaum eingesetzt. Stattdessen
interpoliert man einen grossen Datensatz stückweise. Im Fall der linearen Interpolation wäre das
ein Polygonzug, bei Polynomen vom Grad 2 oder 3 spricht man üblicherweise von Spline-Interpolation.
Bei abschnittsweise definierten Interpolanten ist die Frage der Stetigkeit und Differenzierbarkeit
an den Stützstellen von grosser Bedeutung.
Abb. 8 Stückweise lineare Interpolation
Höhergradige Polynome Interpolation
Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass man zu n+1 Datenpunkten genau ein
Interpolationspolynom n-ten Grades finden kann. Die Bestimmung der Koeffizienten erfordert
die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Man erhält das Interpolationspolynom z.B. mit
Hilfe der Formel von Lagrange:
Abb. 9 Interpolationspolynom 7. Grades
Hermite-Interpolation
Sind zusätzlich zu den Stützstellen (fi, xi) auch noch die k-Ableitungen
zu interpolieren, so spricht man von einem Hermite-Interpolationsproblem. Die Lösung dieses
Problems lässt sich analog zum Lagrange-Verfahren ebenfalls in geschlossener Form angeben.
Trigonometrische Interpolation
Wählt man als Ansatzfunktion ein trigonometrisches Polynom, so erhält man eine trigonometrischer
Interpolation. Die Interpolationsformel
entspricht einer Fourier-Entwicklung der unbekannten Interpolanten. Die Fourier-Koeffizienten
ak und bk berechnen sich zu
Dabei wird angenommen, dass die Stützstellen xi im Intervall [0; 2Pi] äquidistant verteilt
sowie ausserhalb dieses Intervalls periodisch sind. Die Koeffizienten können effizient mit
Hilfe der schnellen Fourier-Transformation berechnet werden.