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Hans Walser, [20180115]
Doppelpyramide im Wrfel
Eine Sechskant-Doppelpyramide im Wrfel steht sowohl volumenm§ig wie auch oberflchenm§ig im selben rationalen Verhltnis zu den entsprechenden Wrfeldaten.
Die Abbildung 1a zeigt die sechs krzesten Wege welche auf der Wrfeloberflche zwei diametrale Eckpunkte verbinden. Die sechs bergangspunkte ber die Wrfelkanten bilden ein regelm§iges Sechseck (Abb. 1b).
Abb. 1: Krzeste Wege
Wir ergnzen zu einer Sechskant-Doppelpyramide (Abb. 2).
Smtliche Kanten dieser Pyramide liegen auf der Wrfeloberflche. Beim Einheitswrfel haben die roten Schrgkanten die Lnge . Die blauen Sechseckseiten haben die Lnge .
Abb. 2: Sechskant-Doppelpyramide
Obwohl die Lngen der Pyramidenkanten und der Sechseckseiten irrationale Zahlen sind, ergeben sich ãschneÒ Werte fr Volumen und Oberflche der Doppelpyramide.
Fr die Grundflche (Sechseckflche) G erhalten wir:
(1)
Jede der beiden Teilpyramiden hat die Hhe . Somit erhalten wir fr das Volumen V der Doppelpyramide:
(2)
Das Volumen der Doppelpyramide ist drei Viertel des Wrfelvolumens.
Die Oberflche der Doppelpyramide besteht aus zwlf gleichschenkligen Dreiecken der Schenkellnge und der Basislnge . Ein einzelnes Dreieck hat somit die Hhe :
(3)
Daraus erhalten wir die gesamte Oberflche S:
(4)
Der Wrfel hat die Oberflche 6. Die Doppelkegeloberflche ist also drei Viertel der Wrfeloberflche.
Wir haben sowohl beim Volumen wie bei der Oberflche im Vergleich zum Wrfel den Faktor drei Viertel.
Jedes zweite gleichschenklige Dreieck der Doppelpyramide liegt in einer Wrfelseite gem§ Abbildung 3.
Abb. 3: Dreieck im Quadrat
Da sieht man sofort, dass die wei§e Ergnzungsflche im Quadrat ausmacht. Die Dreiecksflche misst also der Quadratflche. Der Rest ist Rechnung.