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Hans Walser, [20160324]
Der Satz von Viviani im Raum
Der Satz von Viviani besagt, dass in einem gleichseitigen Dreieck die Summe der drei von einem beliebigen Punkt ausgehenden Abstnde zu den Dreieckseiten eine Konstante ist, nmlich die Dreieckshhe (Vargyas und Walser, 2015).
Abb. 1: Der Satz von Viviani in der Ebene
Ein einfacher Beweis geht so: Wir zerlegen das Dreieck in drei Teildreiecke. In der Abbildung 2 ist eines dieser Teildreiecke hervorgehoben.
Abb. 2: Teildreiecke
Die Teildreiecke haben eine Seite des Ausgangsdreiecks als Grundlinie und eine rote Abstandsstrecke als Hhe. Der Flcheninhalt eines Teildreiecks ist also die Hlfte des Produktes der Dreiecksseite mit der Abstandsstrecke. Die Summe der drei Flcheninhalte ist somit die Hlfte des Produkts der Dreiecksseite mit der Summe der drei roten Abstandsstrecken. Andererseits ist das die Gesamtflche des Dreiecks, also die Hlfte des Produkts der Dreiecksseite mit der Dreieckshhe. Somit ist die Summe der drei roten Abstandsstrecken gleich der Dreieckshhe. Dies war zu zeigen.
Der Satz gilt entsprechend im Raum: In einem regulren Tetraeder ist die Summe der vier von einem beliebigen Punkt ausgehenden Abstnde zu den Tetraederseitenflchen eine Konstante, nmlich die Tetraederhhe. Nachfolgend zunchst ein rechnerischer Beweis.
Die Punkte seien die vier Eckpunkte des Tetraeders. Das Tetraeder kann in den Einheitswrfel eingebettet werden (Abb. 3).
Abb. 3: Tetraeder im Einheitswrfel
Damit sind
(1)
die Normalformen der Ebenengleichungen der Seitenflchen des Tetraeders.
Wir bezeichnen mit die Summe der Abstnde eines Punktes von den vier Tetraederseitenflchen. Es ist:
(2)
Die Summe ist also unabhngig vom Punkt und konstant.
Wenn wir den Punkt P gegen eine Tetraederecke bewegen, wird einer der vier Abstnde gleich gro§ wie die Tetraederhhe und die drei anderen Abstnde werden null.
Dies war zu beweisen.
Der Beweis ist formal recht einfach, aber geometrisch nicht elegant.
Die Abbildung 4 illustriert die Situation. Die Lngensumme der vier blauen Strecken ist konstant und gleich gro§ wie die Tetraederhhe.
Abb. 4: Summe der Abstnde
Wir zerlegen das Tetraeder, vom blauen Punkt ausgehend, in vier Dreikant-Pyramiden mit je einer Seitenflche des Tetraeders als Grundflche. Die Abbildung 5 zeigt eine der vier Pyramiden.
Abb. 5: Pyramide
Die Pyramide hat eine der blauen Strecken als Hhe. Das Volumen ist also ein Drittel des Produktes der blauen Streckenlnge mit der Seitenflche des Tetraeders. Die Volumensumme der vier Pyramiden ist somit einerseits die ein Drittel des Produktes der Summe der blauen Streckenlngen mit der Seitenflche des Tetraeders. Andererseits ist das aber das gesamte Tetraedervolumen, also ein Drittel des Produktes der Tetraederhhe mit der Seitenflche des Tetraeders.
Daher ist die Tetraederhhe gleich der Summe der vier blauen Streckenlngen. Dies war zu zeigen.
Die roten Fu§punkte der vier blauen Strecken in den Abbildungen 4 und 5 liegen je in einer der vier Seitenflchen des Tetraeders. Wir zeichnen nun ausgehend von jedem roten Punkt die ebene Viviani-Figur im betreffenden gleichseitigen Dreieck (rot in Abb. 6).
Abb. 6: Viviani-Figuren in den Seitendreiecken
Die Abstandsfu§punkte der Viviani-Figuren auf benachbarten Seitendreiecken liegen im selben Punkt auf der gemeinsamen Tetraederkante. Dies muss so sein, da die beiden Abstandsstrecken in der Normalebene zur Tetraederkante durch den ursprnglichen blauen Startpunkt im Innern des Tetraeders liegen.
Wir knnen also orthogonal zu jeder Tetraederkante ein ebenes Viereck einzeichnen. Die Abbildung 7 zeigt ein solches Viereck.
Abb. 7: Viereck
Das Viereck ist von zwei blauen und zwei roten Kanten begrenzt. Eine blaue und die anschlie§ende rote Kante sind orthogonal zueinander. Das Viereck kann also in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden, was die Flchenberechnung sehr einfach macht.
Die Abbildung 8 zeigt alle sechs Vierecke.
Abb. 8: Die sechs Vierecke
Der Flchensatz von Viviani besagt nun, dass die Summe der sechs Viereckflchen unabhngig vom blauen Startpunkt im Tetraeder ist und daher konstant.
Fr den Beweis zerlegen wir die Vierecke in rechtwinklige Dreiecke. Die Abbildung 9 zeigt exemplarisch drei solcher Dreiecke, welche eine blaue Strecke als gemeinsame Kathete haben.
Abb. 9: Drei rechtwinklige Dreiecke
Die Flchensumme dieser drei rechtwinkligen Dreiecke ist die Hlfte des Produktes der gemeinsamen blauen Kathetenlnge mit der Summe der drei roten Kathetenlngen. Die Summe der drei roten Kathetenlngen ist aber nach dem Satz von Viviani in der Ebene gleich der Hhe eines Seitendreieckes.
Fr die Summe aller Viereckflchen erhalten wir somit die Hlfte des Produktes der Hhe eines Seitendreieckes mit der Summe der vier blauen Strecken. Die Summe der vier blauen Strecken ist aber nach dem Satz von Viviani im Raum die Tetraederhhe.
Die Summe aller Viereckflchen ist also die Hlfte des Produktes der Seitendreieckhhe mit der Tetraederhhe. Damit ist der Flchensatz bewiesen.
Literatur
Vargyas, Emese und Walser, Hans (2015): Verallgemeinerung des Satzes von Viviani. MI, Mathematikinformation Nr. 63, 15. September 2015. ISSN 1612-9156. S. 3-10.