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Hans Walser, [20170318]
Schubspiegelungen zusammensetzen
Die Zusammensetzung zweier Geradenspiegelungen mit nicht parallelen Speigelachsen ist eine Drehung. Der Drehwinkel ist das Doppelte des Winkels von der Achse der ersten Spiegelung zur Achse der zweiten Spiegelung. Das Drehzentrum ist der Schnittpunkt der beiden Spiegelachsen.
Bei der Zusammensetzung von zwei Schubspiegelungen Šndern die beiden beteiligten Schubvektoren nichts an der Verdrehung. Die Zusammensetzung zweier Schubspiegelungen mit nicht parallelen Schubspiegelachsen ist also nach wie vor eine Drehung. Der Drehwinkel ist nach wie vor das Doppelte des Winkels von der ersten Schubspiegelachse zur zweiten Schubspiegelachse. Wir fragen nach der Position des Drehzentrums.
Die Abbildung 1 zeigt die Zusammensetzung zweier Schubspiegelungen. Die erste Schubspiegelung hat die Achse b und den Schubvektor , die zweite die Achse e und den Schubvektor . Das Urbild ist grźn gezeichnet, das Zwischenbild nach der ersten Schubspiegelung gelb und das Endbild rot.
Abb. 1: Zusammensetzung zweier Schubspiegelungen
Wir fragen nach dem Zentrum der Rotation, welche grźn in rot źberfźhrt.
Wir finden das Drehzentrum Z wie folgt (Abb. 2). ZunŠchst sei B der Schnittpunkt der beiden Schubspiegelachsen b und e. Wir verschieben die beiden Schubvektoren so, dass B die Spitze von und auch der Anfangspunkt von ist.
Abb. 2: Konstruktion des Drehzentrums
Die Punkte A und C wŠhlen wir so, dass:
(1)
Das Zentrum Z des Kreises durch A, B, C ist das gesuchte Drehzentrum.
Fźr den Beweis verwenden wir Spiegelungsgeometrie (Abb. 3). Es sei a die Mittelsenkrechte der Strecke AB, c die Senkrechte zu b durch B, d die Senkrechte zu e durch B und f die Mittelsenkrechte der Strecke BC.
Mit bezeichnen wir die Spiegelung an der Geraden a.
Abb. 3: Beweisfigur
Wir kšnnen nun die beiden Schubspielelungen als Zusammensetzung von je drei Geradenspiegelungen darstellen.
Die erste Schubspiegelung ist (Schreibweise von rechts nach links), die zweite Schubspiegelung .
Fźr die Zusammensetzung der beiden Schubspiegelungen gilt also:
(2)
Die Zusammensetzung der beiden letzten Spiegelungen der ersten Schubspiegelung und der beiden ersten Spiegelungen der zweiten Schubspiegelung sind je die Punktspiegelung an B:
(3)
Somit erhalten wir fźr die Zusammensetzung (2) der beiden Schubspiegelungen:
(4)
Die Zusammensetzung der Punktspiegelung an B mit sich selber ist die identische Abbildung. Somit erhalten wir:
(5)
Die resultierende Abbildung ist die Drehung um den Schnittpunkt von a mit f um den doppelten Winkel von a nach f. Der Schnittpunkt ist das Zentrum Z des Kreises durch A, B, C. Der Winkel von a nach f ist auch der Winkel von b nach e.
Damit ist die Konstruktion des Drehzentrums validiert.