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Nichtlineare Programmierung
Die Optimization Toolbox enthält gebräuchliche Optimierungsalgorithmen zur Lösung von Problemen aus der nichtlinearen Programmierung mit MATLAB. Die Toolbox bietet dazu Solver für nichtlineare Optimierungen mit und ohne Nebenbedingungen sowie Solver für kleinste Quadrate-Optimierungen.
Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen
Die Optimization Toolbox enthält drei Methoden zur Lösung nichtlinearer Minimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen:
- Der Quasi-Newton-Algorithmus nutzt ein gemischtes quadratisches und kubisches Liniensuchverfahren sowie die BFGS-Formel (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) zur Aktualisierung der Näherung der Hesse-Matrix.
- Der Nelder-Mead-Algorithmus (auch als Downhill-Simplex bezeichnet) ist eine direkte Suchmethode, die nur Funktionswerte verwendet (also keine Ableitungen berechnet) und für diskrete Zielfunktionen eingesetzt wird. Die Global Optimization Toolbox enthält weitere ableitungsfreie Optimierungsalgorithmen für die nichtlineare Optimierung.
- Der Trust Region-Algorithmus wird für umfangreiche Probleme verwendet, bei denen eine besondere Problemstruktur oder eine dünne Matrizenbesetzung ausgenutzt werden kann.
Ermittlung der optimalen Effizienz in einem Motorkennfeld durch nichtlineare Programmierung ohne Nebenbedingungen.
Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen
Nichtlineare Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen bestehen aus nichtlinearen Zielfunktionen und können linearen oder ebenfalls nichtlinearen Nebenbedingungen unterliegen. Die Optimization Toolbox bietet vier Verfahren zur Lösung dieser Probleme:
- Der Interior-Point-Algorithmus wird für die allgemeine nichtlineare Optimierung verwendet und eignet sich besonders für umfangreiche und komplexe Probleme. Er basiert auf einer Barrierefunktion und kann so gesteuert werden, dass alle Iterationswerte im Optimierungsverlauf streng in den zulässigen Grenzen bleiben.
- Der SQP-Algorithmus wird für allgemeine nichtlineare Optimierungen verwendet. Er hält bei allen Iterationen immer die Grenzen ein und toleriert Berechnungsfehler anwenderdefinierter Ziel- und Beschränkungsfunktionen.
- Die Active-Set-Methode wird für allgemeine nichtlineare Optimierungen verwendet.
- Der Trust-Region-Reflective-Algorithmus kann nur für Probleme mit oberen und unteren Schranken oder für lineare Gleichungen als Nebenbedingungen verwendet werden. Er eignet sich besonders für Probleme mit sehr vielen Variablen.
Mit den Interior Point- und Trust-Region-Reflective-Algorithmen lassen sich Hesse-Matrizen mithilfe unterschiedlicher Verfahren berechnen.
Der Interior-Point-Algorithmus ermöglicht die näherungsweise Berechnung von Hesse-Matrizen durch die folgenden Verfahren:
- BFGS (dicht besetzt)
- Speicherreduziertes BFGS (für umfangreiche Probleme)
- Hesse-Multiplikationsfunktion
- Explizite Hesse-Matrix (dünn oder dicht besetzt)
- Endliche Gradienten-Differenz, die Besetzungsstruktur muss nicht bekannt sein
Der Trust-Region-Reflective-Algorithmus verfügt über die Optionen:
- Endliche Gradienten-Differenz, für Hesse-Matrizen mit bekannter Besetzungsstruktur
- Explizite Hesse-Matrix (dünn oder dicht besetzt)
- Hesse-Multiplikationsfunktion
Mit den Trust-Region- und Interior-Point-Verfahren lassen sich außerdem Produkte aus Hesse-Matrizen und Vektoren von Funktionen berechnen, ohne dass die Hesse-Matrix explizit formuliert werden muss.
Die Optimization Toolbox enthält des Weiteren eine Schnittstelle zu den KNITRO®-Bibliotheken von Ziena Optimization, die zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme mit und ohne Nebenbedingungen eingesetzt werden.
Optimierung einer Fahrwerksaufhängung durch nichtlineare Programmierung unter Nebenbedingungen.