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Diese Knobelaufgabe sorgte 1980 für Verwirrung unter US-Schülern. Meistern Sie das Rätsel der zwei Pyramiden, die zu einem Körper zusammengesetzt werden sollen?
Es war eine Prüfung, über die viel diskutiert wurde: Im Oktober 1980 bearbeiteten Millionen High-School-Schüler in den USA einen Fragebogen des Preliminary Scholastic Aptitude Tests. Die erreichten Punktzahlen waren und sind bis heute ein wichtiger Faktor bei der Bewerbung um begehrte Uni-Stipendien. Zu den besonders kniffligen Aufgaben gehörte das folgende Geometrie-Problem:
Gegeben sind zwei Pyramiden.
Eine hat eine dreieckige Grundfläche, es handelt sich um ein sogenanntes regelmässiges Tetraeder mit vier Seitenflächen.
Bei der anderen Pyramide bildet ein Quadrat die Grundfläche, die vier dreieckigen Seitenflächen sind ebenfalls gleichseitig. Dieser Körper hat daher fünf Seitenflächen.
Sämtliche Kanten bei beiden Pyramiden sind gleich lang. Deshalb passt das Dreieck ABC des Tetraeders auch genau auf das Dreieck EFG der anderen Pyramide. Man kann beide Pyramiden daher genau so zusammenfügen, dass die beiden Flächen exakt aufeinanderstossen.
Nun die Frage: Wie viele Aussenflächen hat der dadurch entstandene Körper?
Sind es:
Viele Schüler hatten allerdings c angekreuzt – also 7 Flächen. Und das war auch die ursprünglich als richtig vorgegebene Lösung. Die Argumentation dafür geht so:
Wenn man die zwei Körper mit 5 und mit 4 Aussenflächen zusammenfügt, verschwinden zwei Seitenflächen im Innern des neu entstehenden Körpers. Also erhält man 5 + 4 - 2 = 7 Flächen.
Doch diese Lösung stimmt nicht, wie die Autoren des Tests später einräumen mussten. Denn an dem neuen Körper stossen zweimal jeweils zwei Dreiecke so aneinander, dass sie in einer Ebene liegen.
Am besten versteht man das, wenn die Pyramide mit der viereckigen Grundfläche kopiert und die Kopie genau neben das Original stellt. In der folgenden Zeichnung haben diese beiden Pyramiden transparent-weisse Aussenflächen.
In die Lücke zwischen den beiden weissen Pyramiden passt dann genau das rot gezeichnete Tetraeder. Es füllt den Raum zwischen den Spitzen der beiden Pyramiden von oben bis unten vollständig aus – die entstehende Figur erinnert an ein Zelt.
Nun kommt der entscheidende Punkt: Die eine rote und die zwei daran grenzenden weissen Seitenflächen liegen in einer Ebene – und zwar sowohl auf der Vor- wie auf der Rückseite des Zelts.
Jetzt können wir uns eine der weissen Pyramiden wieder wegdenken – übrig bleibt genau der Körper, um den es in diesem Rätsel geht. Die Zahl seiner Aussenflächen ist dann nicht 7, sondern 7 - 2 = 5. Denn zweimal liegen je zwei Dreiecke in einer Ebene und bilden jeweils eine gemeinsame Aussenfläche
Wie aber kommt man auf die Lösung von 8 Aussenflächen? Nun, man könnte das Tetraeder theoretisch ja auch so in die Pyramide mit quadratischer Grundfläche setzen, dass es diese durchdringt. Die Tetraederspitze würde dann die Aussenfläche der Pyramide durchstossen. Und weil die Spitze drei Seitenflächen hat, ergeben sich 5 + 3 = 8 Flächen.
Die Ergebnisse des Tests von 1980 mussten übrigens in Nachhinein korrigiert werden. Immerhin hatten 240'000 Schüler die Antwort a gewählt (5 Flächen). Die eigentlich falsche Antwort c (7) wurde aber weiterhin als richtig gewertet.
Die offenbar nur sehr selten gewählte, eher theoretische Variante d (8 Flächen) hingegen galt auch nach der Korrektur als falsch. Was einen Mediziner von der Columbia University zu einem lustigen Statement in der «New York Times» animierte: Die Antwort als falsch zu werten, klagte David Forrest, diskriminiere «künftige Internisten und Psychoanalytiker, die von Anfang an davon ausgegangen sind, dass alles eine Innenseite hat».