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Plus d'un an après la démonstration de Zhang, rendue publique en avril 2013, il est temps de faire le point. Le tableau ci-contre donne la liste de tous les nombres premiers strictement inférieurs à 2000. C'est-à-dire tous les nombres qui ne se divisent que par eux-mêmes ou par 1. Ou, pour prendre une autre définition, tous ceux dont le nombre de diviseurs est égal à 2. Ce qui exclut bien sûr 1, qui n'est pas premier. On sait depuis Euclide (au moins) qu'il existe une infinité de nombres premiers. Et le démontrer prend à peine quelques minutes. Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant qu'il y a un nombre fini de premiers. On désigne alors P comme étant le dernier. On effectue ensuite le produit de tous les premiers le précédant (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x...x P) et on y ajoute 1. Le nouveau nombre obtenu est soit non factorisable, donc premier. Soit factorisable mais par des premiers supérieurs à tous les nombres apparaissant dans la multiplication. Dans les deux cas, cela prouve qu'il existe un ou des premiers supérieurs à P. Et donc que leur liste est infinie.
Dans la liste ci-dessus, un certain nombre de paires de nombres ont été entourées en rouge. Il s'agit là de nombres premiers jumeaux, c'est-à-dire de premiers qui ne diffèrent que de 2. (Si P et Q sont jumeaux, alors Q = P + 2.) On ignore s'il en existe une infinité. Et autant l'infinitude des premiers est aisée à démontrer (comme vu plus haut), autant celle des jumeaux résiste depuis des lustres à toute démonstration. Mais intuitivement, on suppose que c'est le cas et qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux. La conjecture figure dans la liste des problèmes de Hilbert (établie en 1900) et y porte le numéro 8, qu'elle partage avec l'hypothèse de Riemann et la conjecture de Goldbach (sur lesquelles je consacrerai de prochains billets).
Mais au printemps 2013, un Chinois inconnu au bataillon (de la communauté mathématique), Yitang Zhang (photo), a fait un pas de géant vers la démonstration de la conjecture. Plus précisément de la version faible de la conjecture, qui stipule qu'il existe une infinité de premiers dont la différence (appelons-là k) est égale à 2. Zhang a ainsi démontré (dans un article depuis accepté dans la prestigieuse revue Annals of Mathematics) qu'il existe une infinité de nombres premiers dont l'écart est inférieur à 70 millions ou, en d'autres termes, que la conjecture est vraie pour k = 70 millions. Evidemment, de 70 millions à 2, il y a une certaine distance. Certes, mais pas si énorme aux yeux de l'infini. Pour la communauté mathématique, il s'agissait alors de plancher pour réduire cet écart de 70 millions. Un projet collaboratif a été lancé, sur la plateforme Polymath8.
Quelques mois plus tard, James Maynard, un jeune étudiant d'Oxford, annonçait qu'il avait réduit cet écart, le ramenant à 700 puis à 600, le tout en modifiant la méthode de crible utilisée par Zhang. C'est sans conteste un progrès énorme pour les mathématiques. L'espoir de réduire encore l'écart pour atteindre 2, ce qui prouverait définitivement la conjecture, commence à devenir palpable. Devra-t-on pour cela affiner les cribles de Zhang ou Maynard? Ou, à l'instar d'Andrew Wiles et de sa démonstration, après plus de trois siècles de recherches, du dernier théorème de Fermat en 1994, passer par des domaines mathématiques très éloignés de la théorie des nombres? Rien ne l'exclut. A suivre, bien entendu.