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Hans Walser, [20061210d]
Eine Schlie§ungsfigur mit Schnittpunkt
Auf die folgende Figur bin ich gesto§en, indem ich bei drei paarweise sich berhrenden Kreisen von einem Kreispunkt ber den Berhrungspunkt zu einem Nachbarkreis gegangen bin.
Die Figur
Ausgangslage
Nun konstruieren wir Punkte wie folgt.
Aus der Figur lesen wir folgende Vermutungen ab:
a) , wir haben eine so genannte Schlie§ungsfigur.
b) (Orthogonalitt)
c) sind kopunktal, den gemeinsamen Schnittpunkt nennen wir S. Ebenso sind kopunktal (in der Figur nicht eingezeichnet).
Die Zentren der drei Kreise bilden ein Dreieck, dessen Seiten durch verlaufen. Aus Peripheriewinkelstzen ergeben sich die eingezeichneten Winkel.
Winkel
Zunchst ergeben sich folgende Winkel:
Den Winkel knnen wir ber die Winkelsumme des Sechseckes berechnen. Nun aber Vorsicht: dieses Sechseck ist selbstberkreuzend. Es hat die Umlaufszahl 2, daher ist die Summe der Au§enwinkel = . Zusammen mit der Innenwinkelsumme muss das ergeben, nmlich ¹ pro Eckpunkt. Somit ist in unserem Fall: . In unserem Fall hei§t das:
Der Punkt Q liegt somit auf dem Ortsbogen . Damit ist die Schlie§ungseigenschaft bewiesen. Wir drfen also mit folgender Figur weiterarbeiten:
Schlie§ungsfigur und Winkel
Wir zeigen exemplarisch . Im Viereck haben wir die Innenwinkelsumme:
Fr den Beweis der Schnittpunktseigenschaft bentigen wir den Inkreis des Dreieckes ABC. Dieser berhrt die Dreiecksseiten in den Punkten (berlegung: gleich lange Tangentenabschnitte). Sein Mittelpunkt sei I.
Figur mit Inkreis
Wir zeigen, dass der vermutete Schnittpunkt S existiert und auf dem Inkreis liegt.
Es sei zunchst . Das rechtwinklige Dreieck hat bei den Winkel . Nun ist aber , der obere Inkreisbogen ED ist also Ortsbogen fr den Winkel . Daher liegt auf dem Inkreis.
Weiter sei . Das rechtwinklige Dreieck hat bei den Winkel . Nun ist aber , der linke Inkreisbogen FE ist also Ortsbogen fr den Winkel . Daher liegt ebenfalls auf dem Inkreis.
Damit ist die Schnittpunktseigenschaft beweisen.
Bemerkung: Den zweiten Schnittpunkt, als den gemeinsamen Punkt von , erhalten wir, indem wir S am Inkreismittelpunkt I spiegeln. Der Beweis sei der Leserin berlassen. Der Thaleskreis lsst schn gr§en.