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Hans Walser, [20180114]
Auf dem Wrfel der Abbildung 1a sind der Mittelpunkt einer Kante und der Mittelpunkt einer Seitenflche markiert. Der Wrfel habe die Kantenlnge 1.
Der krzeste Verbindungsweg der beiden Punkt ist natrlich der Tunnel durch den Wrfel (Abb. 1b).
Abb. 1: Der krzeste Weg ist ein Tunnel
Frage 1: Wie lang ist der Tunnel?
Die Abbildung 2a zeigt einen krzesten Verbindungsweg auf der Wrfelflche. Den bergangspunkt ber die Kante kann aus der Abwicklung (Abb. 2b) entnommen werden.
Abb. 2: Ein krzester Weg auf der Wrfeloberflche
Frage 2: Wie lang ist dieser Weg?
Wenn wir den bergangspunkt ber die Wrfelkante etwas variieren, wird der Weg lnger (Abb. 3a). Dies wird aus der Abwicklung (Abb. 3b) sofort ersichtlich. Der blaue Weg ist lnger als der rote Weg.
Abb. 3: Variation des bergangspunktes
Frage 3: In der Bildlegende zur Abbildung 2 ist von ãeinemÒ krzesten Weg die Rede. Warum dieser unbestimmte Artikel?
Frage 4: Gibt es einen krzesten Weg hinten herum? Wenn ja, wie lang ist dieser?
Die Abbildung 4 zeigt ein asymmetrisches Beispiel eines krzesten Weges auf der Wrfeloberflche. Der eine Punkt ist immer noch die Seitenmitte, die Position des anderen ergibt sich durch die Rasterung. Die Weglnge ist .
Abb. 4: Asymmetrisches Beispiel
Die Abbildung 5 zeigt einen anderen Weg. Dieser Weg hat die Lnge . Er ist somit lnger als der Weg der Abbildung 4. Trotzdem ist er krzer als alle Wege, die sich durch eine Variation der bergangspunkte auf der jeweiligen Wrfelkante ergeben. Er ist also lokal krzester Weg, aber nicht global.
Abb. 5: Variante
Frage 5: Was kann ber die beiden Wege der Abbildung 6 gesagt werden?
Abb. 6: Vergleich der Wegelngen
Frage 6: Wie viele krzeste Wege gibt es von einem Seitenflchenmittelpunkt eines Wrfels zu seinem diametral gegenberliegenden Punkt?
Frage 7: Wie viele krzeste Wege gibt es von einer Wrfelecke zur diametral gegenberliegenden Wrfelecke?
Frage 8: Wie ist es im allgemeinen Fall: Krzester Weg von einem Punkt auf der Wrfeloberflche zum diametral gegenberliegenden Punkt?
Bei den (lokal) krzesten Wegen luft dieser in der Abwicklung geradlinig ber die Kanten. Somit ist der Auftreffwinkel auf eine Kante jeweils gleich dem Abgangswinkel von der Kante (Abb. 7).
Abb. 7: Gleiche Winkel
Ein analoges Phnomen haben wir etwa beim Billard, nur luft dort der Weg wieder zurck ins gleiche Quadrat.
Wege auf der Wrfeloberflche welche die Kanten in der Abwicklung geradlinig schneiden, werden auch als geodtische Linien oder kurz Geodtische bezeichnet. Dabei ist zu unterscheiden zu einer ãGeodtenÒ. Dies ist eine weibliche Person, welche sich der Geodsie, also der Vermessungs- und Kartenkunde widmet.
Geschlossene Wege, also geschlossene geodtische Linien, ergeben sich durch Verschnren des Wrfels (Abb. 8).
Abb. 8: Geschlossene Wege
Geschlossene Wege lassen eine lokale Parallelverschiebung auf den Wrfelseiten zu. Dabei kann der Gesamtweg seine Form verndern (Abb. 8b). Die Gesamtlnge bleibt aber invariant. Was auf der einen Seite der Kante verloren geht, erscheint als Zugewinn auf der anderen Seite.
Eine geodtische Linie schneidet die Wrfelkanten immer unter einem der beiden Winkeln oder . Unter der Steigung m der geodtischen Linie verstehen wir den Wert .
Wir markieren auf einer geschlossenen geodtischen Linie einen beliebigen Punkt und wickeln lngs dieser geodtischen Linie ab, bis der markierte Punkt ein zweites Mal erscheint (Abb. 9).
Abb. 9: Abwickeln lngs des Weges
Dann hat das Steigungsdreieck ganzzahlige Katheten. Die Steigung m ist also rational.
Ein geschlossener Weg hat also notwendig eine rationale Steigung. Das hei§t aber auch, dass es zu einer irrationalen Steigung keinen geschlossenen Weg geben kann. So ist es zum Beispiel nicht mglich, dass ein geschlossener Weg die Wrfelkanten unter Winkeln von 60¡ oder 30¡ schneidet, da der Tangens dieser Winkel irrational ist.
Umgekehrt kann es bei einer rationalen Steigung Probleme geben. Wenn wir etwa in einem Seitenmittelpunkt mit dem Winkel 45¡, also mit , starten, fahren wir auf eine Ecke zu und wissen dort nicht mehr weiter. In diesem Fall muss der Startpunkt leicht verschoben werden.
Bearbeitung der Frage 1: Bei der Kantenlnge 1 des Wrfels hat der Tunnel die Lnge . Das ist gleich lang wie die Hhe im gleichseitigen Dreieck der Seitenlnge 1 (Abb. 51).
Abb. 51: Vergleich mit Dreieckshhe
Bearbeitung der Frage 2: Der Weg hat die Lnge . Am besten wird das auf Grund der Abwicklung gerechnet.
Bearbeitung der Frage 3: Es gibt noch eine zweite Lsung, die gleich lang ist (Abb. 52a). Sie entsteht durch eine andere Abwicklung (Abb. 52b).
Abb. 52: Zweite Lsung
Wir haben also zwei krzeste Lsungen. Sie sind krzer als jede Lsung, die sich durch Variation des bergangspunktes ergeben.
Bearbeitung der Frage 4: Die Abbildung 53a zeigt eine Lsung hinten herum. Die bergangspunkte ber die Kanten knnen in der begleitenden Abwicklung gefunden werden. Der Weg hat die Lnge .
Abb. 53: Hinten herum
Die Abbildung 54 zeigt einen Zickzack-Weg im vorderen (grnen) Seitenquadrat, der durch dieselben bergangspunkte festgelegt ist. Der Zickzack-Weg verluft im Quadrat wie bei einem Billard.
Abb. 54: Billard-Lsung
Es gibt noch viele andere Lsungen. So knnen wir etwa mehrfach um den Wrfel herumwickeln.
Bearbeitung der Frage 5: Die beiden Wege haben die gleiche Lnge ist (Abb. 55).
Abb. 55: Gleich lange Wege
Bearbeitung der Frage 6: Die einfachste Lsung luft orthogonal ber die Kanten (Abb. 56). Diese Wege haben die Lnge 2.
Abb. 56: Krzeste Wege zum gegenberliegenden Punkt
Es gibt allerdings weitere Lsungen, welche lokal, das hei§t im Vergleich mit Nachbarkurven, krzeste Wege darstellen. Die Abbildung 57a zeigt ein Beispiel der Lnge . Der Weg liegt nicht in einer Ebene, wie aus der Ergnzung zum geschlossenen Weg (Abb. 57c) ersichtlich ist. .
Abb. 57: Lokal krzester Weg
Die Abbildung 58 zeigt ein umfangreiches, sich selbst berkreuzendes Beispiel mit der fortgesetzten Abwicklung.
Abb. 58: Umfangreiches Beispiel
Bearbeitung der Frage 6: Die Abbildung 59a zeigt eine der sechs mglichen absolut krzesten Verbindungen. Diese sechs krzesten Wege sind die Kanten einer Sechskant-Doppelpyramide (Abb. 59b). Es gibt weitere nur noch relativ krzeste Wege zwischen zwei diametralen Eckpunkten (Abb. 59c).
Abb. 59: Von Ecke zu Ecke
Bearbeitung der Frage 7: Die Abbildung 60 zeigt unterschiedliche Lsungen mit den zugehrigen Abwicklungen.
Abb. 60: Unterschiedliche Lsungen