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Hans Walser, [20160531]
Gleiche Sehnen
Idee und Anregung: W. K., F.
Zu zwei Kreisen k1(M1, r1) und k2(M2, r2) soll eine Gerade g durch einen gegebenen Punkt P gefunden werden, welche aus den beiden Kreisen gleich lange Sehnen herausschneidet (Abb. 1).
Abb. 1: Gleich lange Sehnen
Wir zeichnen von P aus einen Strahl, welcher den Kreis k2 schneidet, und tragen die SehnenlŠnge von P aus auf dem Strahl ab (Abb. 2).
Abb. 2: SehnenlŠnge
So entsteht eine Kurve mit einer Spitze. Aus Liebe zur Symmetrie spiegeln wie sie an P. Damit erhalten wir einen Propeller (Abb. 3).
Abb. 3: Propeller
Wir zeichnen nun fźr beide Kreise je den Propeller (Abb. 4). Die gesuchte Gerade geht durch deren Schnittpunkt. In unserem Beispiel gibt es zwei Lšsungen.
Abb. 4: Lšsungen
Mit S bezeichnen wir die Mitte zwischen den zwei gleich langen Sehnen (Abb. 5). Der Punkt S hat gegenźber beiden Kreisen die gleiche Potenz, er liegt also auf der Potenzgeraden h der beiden Kreise.
Abb. 5: Potenzgerade
Die Normale in S auf die Gerade g ist Mittelparallele der beiden Mittelsenkrechten der gleich langen Sehnen (Abb. 6). Diese Normale verlŠuft also auch durch den Mittelpunkt O der Strecke M1M2 (StrahlensŠtze). Daher liegt der Punkt S auf dem Thaleskreis t źber der Strecke OP.
Abb. 6: Mittelparallele und Thaleskreis
Wir finden S also als Schnittpunkt der Potenzgeraden h mit dem Thaleskreis t (Abb. 7). Damit kann g gezeichnet werden. In unserem Beispiel gibt es zwei Lšsungen.
Abb. 7: Lšsung
Gesucht ist eine Gerade g, welche aus beiden Kreisen gleich lange Sehnen herausschneidet und zu einer gegebenen Geraden p parallel ist.
Die Lšsung sei der geneigten Leserin źberlassen.