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Als Beispiel: Zentrische Streckung eines Vierecks
Von einem Streckungszentrum S führen Strahlen zu den Eckpunkten einer Fläche. Soll diese Fläche vergrössert werden, müssen die Strahlen verlängert werden um einen gegebenen Faktor. Dieser Faktor heisst k = Streckungsfaktor.
Der Streckungsfaktor k
Der Streckfaktor k ist definiert wie folgt:
Das heisst: der Streckungsfaktor k ist definiert durch das Verhältnis der Bildstrecke zur Originalstrecke. In der obigen Abbildung könnte das zum Beispiel ZA’ : ZA sein.
Folgendes gilt für den Streckungsfaktor:
k > 1 Vergrösserung zu einem ähnlichen grösseren Bild
k = 1 identisches Bild
k < 1 Verkleinerung zu einem ähnlichen kleineren Bild
k = 0 Verkleinerung zu einem Punkt
k nagativ Punktspiegelung zu einem ähnlichen Bild auf der anderen Seite von S.
Eigenschaften von Original und Bildfigur
- Die Seiten von Bildfigur und Original sind immer parallel.
- Die entsprechenden Punkte von Bildfigur und Original liegen immer auf einer Gerade, die durch das Streckzentrum führt.
- Die Strecken der Bildfigur sind um k grösser bzw. kleiner als die Strecken des Originals.
- Die Fläche der Bildfigur ist um k2 grösser bzw. kleiner als die Fläche des Originals
Aufgabentypen
Um Aufgaben der Zentrischen Streckung zu lösen, muss ein grosser Lineal und ein (Geo-)Dreieck oder zwei Dreiecke vorhanden sein.
Gegeben eine Originalfigur, das Streckungszentrum S und ein Streckungsfaktor.
Gesucht die Bildfigur
Gegeben ein Original und ein Bildfigur.
Gesucht das Streckungszentrum S und Streckungsfaktor k.
Gegeben ein Punkt der Bildfigur, alle Punkte des Originals und Streckungszentrum S.
Gesucht Bildfigur und Streckungsfaktor.