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Hans Walser, [20080327a], [20131224]
Kolbenkopf
Frage: Wo bewegt sich der Kolbenkopf eines Kolbenmotors (Abb. 1) am schnellsten beziehungsweise am langsamsten wenn das Schwungrad sich gleichm§ig dreht? (vgl. [Roth 2008]).
Abb. 1 Kolbenmotor
Eine naheliegende Antwort kann etwa so lauten: Bei der Auf- und Abwrtsbewegung (also fr ) ist die Bewegung am schnellsten, um die hchste und tiefste Lage herum am langsamsten.
Der erste Teil der Antwort ist wegen der unterschiedlichen Schrgstellung der Pleuelstange offensichtlich falsch. Der zweite Teil ist klar (ãtote PunkteÒ).
Wenn wir die Sache so normieren, dass sich der Punkt A auf dem Einheitskreis bewegt, bleibt noch die Lnge p der Pleuelstange als Parameter.
Die geneigte Leserin ist eingeladen, vor dem Weiterlesen sich die Dynamik fr verschiedene Lngen p der Pleuelstange vorzustellen (bewegliches Denken). Besonders interessant sind wie immer die Grenzflle und ihre Umgebung.
Fr die in der Abbildung 1 eingezeichnete Hhe finden wir:
Der Wurzelausdruck ist der Strefried. Gesucht sind die Extremstellen von , also die Nullstellen von .
In den folgenden Diagrammen sind fr verschiedene Werte von p jeweils die Grafen von rot, von blau und von grn eingezeichnet.
Fr erhalten wir die Diagramme:
Abb. 2
Die rote Kurve sieht zwar fast wie eine Kosinuskurve aus — der gute Lehrer Lmpel htte allerdings warnend seinen Zeigefinger erhoben. Schon bei der blauen Kurve wird der Irrtum offensichtlich.
Am schnellsten ist die Bewegung bei
und ,
also auf dem ãoberenÒ Teil der Kreisbewegung von A.
Dies ist nahe beim Grenzfall . Unten durch luft fast gar nichts.
Abb. 3 Fast toter unterer Halbkreis
Nach diesen Vorbereitungen knnen wir uns nun auch den Grenzfall mit dem toten unteren Halbkreis zu Gemte fhren. Die geneigte Leserin ist eingeladen, sich zu berlegen, ob das sinnvoll ist (bewegliches Denken). Was geschieht, wenn die Trgheit den Kolben durchschie§en lsst? Was geschieht bei ? Wie mssen Kurbelwelle und Pleuelstange modifiziert werden? Wie gro§ ist in diesem Fall der Kolbenhub?
Abb. 4 Toter unterer Halbkreis
Fr tendiert die Geschwindigkeitsfunktion gegen und fr die Punkte mit schnellster Bewegung gilt und . Das Unzulngliche, hier wirdÕs Ereignis.
Wie kam es zur falschen ãLsungÒ. Im Folgenden Mutma§ungen.
Es wurde die ãSchrgheitÒ der Pleuelstange vernachlssigt. Geometrisch: Verwechslung der Hypotenusenlnge mit einer Kathetenlnge. Der Satz des Pythagoras ist bekannt, aber sein Bildungsgehalt ist noch nicht angekommen.
Pythagoras war ein schrger Vogel. Die deutsche Seele ist senkrecht.
Fr sieht die Bewegungskurve, etwa generiert mit dynamischer Geometrie-Software, auf den allerersten Blick wie eine Kosinuskurve aus.
Diese Ungenauigkeit der Kurvenanalyse hat Tradition: Die Planetenbahnen wurden lange Zeit kreisfrmig gesehen, ebenso die Wurfparabel. Man sieht offenbar nur, was man schon kennt. Entdeckendes Lernen ist ein hartes Geschft.
Wie msste die Mechanik modifiziert werden, um und zu erhalten?
Gibt es einen geometrisch oder physikalisch einfachen Weg, das Problem zu lsen?
Literatur
[Roth 2008] Roth, Jrgen: Zur Entwicklung und Frderung Beweglichen Denkens im Mathematikunterricht. Eine empirische Lngsschnittuntersuchung. JMD, Journal fr Mathematik-Didaktik, 29 (2008) Heft 1, S. 20-45