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Hans Walser, [20201209]
Falsches Dodekaeder
Anregung: Walter Arn, Flawil
Approximationsmodelle fr das regulre Dodekaeder
Die Abbildung 1 zeigt ein Kantenmodell eines regulren Dodekaeders.
Abb. 1: Dodekaeder
Die Abbildung 2 zeigt ein Modell, das wie ein Dodekaeder aussieht.
Abb. 21: Dodekaeder?
Das Modell der Abbildung 2 ist aus einem Baukasten fr Chemie-Studierende gebaut.
Die Knotenelemente (Abb. 3a) haben eine Tetraedersymmetrie mit vier Andockbolzen, um welche Rhrchen als Verbindungsstcke aufgesteckt werden knnen (Abb. 3b).
Abb. 3: Eckverbindungen
Die Endpunkte der vier gleich langen Rhrchen bilden ein regulres Tetraeder. Das hei§t aber, dass zwei Rhrchen paarweise einen Winkel von einschlie§en. Dies ist der berhmte kristallografische Winkel. Er ist auch der stumpfe Schnittwinkel zweier Raumdiagonalen im Wrfel. Weiter ist er der Diederwinkel (Flchenwinkel) im regulren Oktaeder. Er kommt also bei den drei platonischen Krpern Tetraeder, Wrfel und Oktaeder vor, nicht aber beim regulren Dodekaeder oder Ikosaeder. Daher zeigt die Abbildung 2 eine ãFlschungÒ.
Die Seitenflchen des regulren Dodekaeders sind regulre Fnfecke. Diese haben Innenwinkel von 108¡. Der Fehler betrgt also etwa anderthalb Grad. Dieser Fehler wird durch die Elastizitt des Materials aufgefangen. Von Auge ist er nicht wahrnehmbar.
Alle folgenden Modelle weisen im Prinzip denselben Fehler auf.
Bemerkung: der kristallografische Winkel ist auch der stumpfe Schnittwinkel der Diagonalen in einem Rechteck im DIN-Format, also zum Beispiel bei einem DIN A4 Papier (Abb. 4, Walser 2013).
Abb. 4: Kristallografischer Winkel
Die Abbildung 5 zeigt eine Dodekaeder-Approximation aus abgestumpften Tetraedern. Das Modell wurde von Rahel Baumann, Flawil, gebaut. Jede Ecke des Dodekaeders besteht aus einem abgestumpften Tetraeder.
Abb. 5: Dodekaeder-Approximation (Foto Walter Arn)
Die Abbildungen 6 und 7 zeigen die Herstellung eines abgestumpften Tetraeders. An den Ecken des Tetraeders werden kleine Tetraeder abgeschnitten, deren Kantenlnge ein Drittel der Kantenlnge des Starttetraeders betrgt.
Abb. 6: Tetraeder im Wrfel
Durch das Abschneiden entsteht ein Krper, dessen Oberflche aus vier regulren Dreiecken und aus vier regulren Sechsecken besteht.
Abb. 7: Abgestumpftes Tetraeder
Im Modell der Abbildung 5 sind die abgestumpften Tetraeder an den Dreiecksflchen verklebt worden. Die (ausgedehnten) Ebenen dieser Dreiecke schneiden sich unter dem kristallografischen Winkel.
Fr den Bau eines abgestumpften Tetraeders braucht es zunchst vier gleichseitige Dreiecke aus Papier (Abb. 8a). Die u§eren Drittel-Ecken werden dann nach hinten gebogen. Je drei kleine Dreiecke von drei Bauteilen werden verklebt. An den blauen Sechseckkanten hat das Modell des abgestumpften Tetraeders einen Schlitz. Dies ist in der Abbildung 5 gut sichtbar.
Abb. 8: Bauteil
Die Abbildung 9 zeigt eine Dodekaeder-Approximation aus abgestumpften Wrfeln.
Abb. 9: Dodekaeder-Approximation
Die Abbildung 10 zeigt die Konstruktion der abgestumpften Wrfel. Der Wrfel wird an drei Ecken abgestumpft, welche je zwei Kantenlngen voneinander entfernt sind. Die Ecken wurden bis zur Kantenmitte abgestumpft. Man htte aber auch mehr oder weniger abstumpfen knnen. In der Abbildung 10a sehen wir drei von der Mitte ausgehende Halbdiagonalen, welche den kristallografischen Winkel einschlie§en.
Zwei benachbarte Bauteile werden an den Dreiecksflchen verklebt.
Abb. 10: Abgestumpfter Wrfel
Statt Ecken abstumpfen, knnen wir auch Ecken eindrcken (Abb. 11).
Abb. 11: Eingedrckte Ecke
Allerdings mssen dann an den einzelnen Wrfelchen unterschiedlich viele Ecken eingedrckt werden. Die Symmetrie ist ein bisschen im Eimer.
Die Abbildung 12 zeigt ein Dreistreifen-Flechtmodell eines Wrfels mit einer eingedrckten Ecke.
Abb. 12: Eingedrckte Ecke
Die Abbildung 13 zeigt das Schnitt- und Faltmuster der drei Streifen.
Abb. 13: Schnitt- und Faltmuster
Literatur
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.
Website
Hans Walser: Wrfel mit eingedrckten Ecken