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Der Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion. In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle
In arithmetischer Sprache gibt die Ableitung einer Funktion
In einer klassischen physikalischen Anwendung liefert die Ableitung der Orts- oder Weg-Zeit-Funktion nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens und die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit liefert die Beschleunigung.
Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung. Gesucht sei die Steigung einer Funktion
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Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch Differenzenquotient genannt. Mit der Kurznotation
Um eine Tangentensteigung zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl
Eine Funktion heisst differenzierbar an der Stelle
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Dieser Grenzwert heisst Differentialquotient oder Ableitung von
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Gesprochen: «f Strich», «d f von x nach d x an der Stelle x gleich x null», «d f nach d x von x null» respektive «d nach d x von f von x null».
Die Ableitung der Funktion
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Die Ableitungsfunktion ist im Normalfall eine andere als die ursprüngliche, einzige Ausnahme ist die Exponentialfunktion
Ist die Ableitung stetig, dann heisst
In der Physik ist für Zeit-Ableitungen die Notation
Das Berechnen der Ableitung einer Funktion wird Differentiation genannt; sprich, man differenziert diese Funktion.
Um die Ableitung elementarer Funktionen (z. B.