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Hans Walser, [20080103b]
Rekursiv definierte Parabeln
Anregung: Archimedes. [Netz/Noel 2007]
Es werden rekursiv Punkte definiert, welche auf Parabeln liegen.
Wir unterteilen das Einheitsintervall fortlaufend durch Halbieren.
Fortlaufendes Unterteilen
Das kann mit den Startwerten und mit folgender Rekursion geschehen:
Dabei sind und das Ab- beziehungsweise Aufrundungssymbol. In MuPAD sieht das so aus:
x[0,0]:=0: x[0,1]:=1:
for i from 1 to n do
for k from 0 to 2^i do
x[i,k]:=1/2*(x[i-1,floor(k/2)]+x[i-1,ceil(k/2)]):
end_for:
end_for:
Fr gerade k-Indizes ist und daher:
Fr gilt folgende explizite Formel:
Dies ist eigentlich klar aus dem fortlaufenden Halbieren, kann aber auch induktiv aus der Rekursionsformel bewiesen werden:
(I) Fr stimmt die explizite Formel mit den Startwerten berein.
(II) Induktionsvoraussetzung: . In die Rekursionsformel eingesetzt, ergibt dies
In analoger Weise definieren wir nun y-Werte. Wir beginnen mit den Startwerten und und legen ein ãStichma§Ò fest. Auf die geometrische Bedeutung dieses ãStichma§esÒ kommen wir spter zurck. Dann arbeiten wir mit der Rekursion:
Wir haben also gegenber der Rekursion bei den x-Werten einen Zusatzterm
,
der jeweils nur bei den ungeraden k-Indizes eine Rolle spielt. Fr gerade k-Indizes ist:
Der Zusatzterm enthlt das Stichma§ s als Faktor und nimmt mit wachsendem i ab. In MuPAD:
y[0,0]:=0: y[0,1]:=1:
for i from 1 to n do
for k from 0 to 2^i do
y[i,k]:=1/2*(y[i-1,floor(k/2)]+y[i-1,ceil(k/2)])
+(k mod 2)*s*(1/4)^(i-1):
end_for:
end_for:
Die folgende Figur lsst vermuten, dass die Punkte auf der grn eingezeichneten Parabel liegen, dass also gilt:
Parabel
Das kann induktiv bezglich i bewiesen werden. Im Beweis arbeiten wir fr mit der expliziten Formel .Wegen ist fr :
(I) Fr stimmt die Vermutung auf Grund der Startwerte.
(II) Induktionsvoraussetzung: .
Fallunterscheidung:
a) k gerade
In diesem Fall ist und:
b) k ungerade
Es ist und:
Nebenrechnung:
Somit ergibt sich:
Damit ist die Vermutung bewiesen.
Der Ausdruck kommt aus der Bauhtte. In unserem Kontext verstehen wir das Stichma§ gem§ Figur.
Stichma§
Wir denken uns eine Sehne AB mit deren Mittelpunkt M. Senkrecht unter oder ber M befindet sich der Kurvenpunkt C. Der Abstand von M nach C ist des Stichma§. Dieses ist positiv, wenn C oberhalb von M liegt.
Das Stichma§ ist die gr§te senkrechte Abweichung der Kurve von der Sehne. Das Stichma§ ist eine Art Krmmungsparameter.
Fr die Standardparabel mit und ist das Stichma§ .
Fr die Parabel in der ãSchulformÒ knnen wir mit den Startwerten und sowie dem Stichma§ arbeiten. Die folgende Figur illustriert den Fall .
Parabel
Fr die Parabelpunkte und sowie das Stichma§ s knnen wir mit den Startwerten und sowie und arbeiten. Die folgende Figur illustriert den Fall , und .
Zwei Parabelpunkte und Stichma§
Wir zeichnen in den Parabelbogen das durch die beiden Endpunkte und das Stichma§ definierte Dreieck ein.
Dreieck
Der Flcheninhalt dieses Dreieckes ist gegeben durch die horizontale Ausdehnung sowie das Stichma§ s, nmlich:
Nun zeichnen wir zwei weitere Dreiecke und ein:
Zwei weitere Dreiecke
Die gr§te Ausdehnung dieser beiden Dreiecke in der senkrechten Richtung ist noch ein Viertel des Stichma§es. Dies geht aus der Rekursionsformel fr hervor. Die gesamte horizontale Ausdehnung ndert sich nicht. Die Gesamtflche dieser beiden Dreiecke ist also:
Wir haben fr diese beiden Dreiecke gesamthaft nur noch einen Viertel der Flche des ersten Dreieckes.
Im nchsten Schritt erhalten wir vier zustzliche Dreiecke.
Vier zustzliche Dreiecke
Sie haben gesamthaft den Flcheninhalt:
In der folgenden Figur sind noch einige weitere Generationen von Dreiecken eingezeichnet. Wir sehen, dass die Dreiecke das Parabelsegment von innen ausschpfen. Die eigentlich ãeckigeÒ Randlinie ist von einer glatten Kurve optisch nicht unterscheidbar.
Ausschpfung des Parabelsegmentes
Die Flchen aller dieser Dreiecke bilden insgesamt eine geometrische Reihe:
Die von innen ausgeschpfte Flche des Parabelsegmentes misst also vier Drittel der Flche des ersten Dreieckes.
Durch eine leichte Modifikation (rot) der Rekursionsformel fr erhalten wir die kubische Standardparabel:
Der Faktor k im Zusatzterm macht diesen asymmetrisch und unsympathisch. Er verunmglicht eine einfache Flchenberechnung nach obigem Muster.
Das folgende Bild bezieht sich auf Die Startwerte und sowie und und das ãStichma§Ò .
Kubische Parabel
Rekursiv kann gezeigt werden, dass in dieser Situation gilt: .
Literatur
[Netz/Noel 2007] Netz, Reviel und Noel, William: Der Kodex des Archimedes. Das berhmteste Palimpsest der Welt wird entschlsselt. Aus dem Englischen von Thomas Filk. 2. Auflage. Mnchen: Verlag C. H. Beck 2007. ISBN 978 3 406 56336 2