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Riemann wurde 1826 in Breselenz in der Nähe von Hannover geboren.
Er war das Zweite von sechs Kindern von Friedrich Riemann,
einem protestantischen Pfarrer, und Charlotte Ebell.
Bis 13 wurde er von seinem Vater und dem Dorflehrer unterrichtet.
Wegen seiner mathematischen Begabung wurde er 1840 nach Hannover
zu seiner Großmutter geschickt, um dort ein Gymnasium zu besuchen.
Nach dem Tod seiner Großmutter im Jahr 1842 führte er seine Schulausbildung in Lüneburg fort.
1846 begann er seine Studien an der Universität von Göttingen.
Zuerst beabsichtigte er, wie sein Vater, Theologie zu studieren,
wechselte aber schon bald mit väterlicher Erlaubnis zur Mathematik.
Zu dieser Zeit konnte Göttingen für Studenten der Mathematik nicht viel bieten:
Selbst Gauß, der gerade Professor an der Universität war, hielt nur
Grundvorlesungen. Deshalb ging Riemann nach einem Jahr nach Berlin,
wo Jacobi, Dirichlet, Steiner und Eisenstein tätig waren.
Dort freundete er sich mit den um drei Jahren älteren Eisenstein an,
und lernte viel von Dirichlet.
1849 kehrte Riemann nach Göttingen zurück, und erhielt 1851 das Doktorat.
In seiner Doktorarbeit führte er den Begriff der Riemannschen Flächen ein.
Kurz darauf veröffentlichte er einen Essay das Konzept des Riemann-Integral.
Um die Position einer Privatdozent zu erreichen, mußte er außerdem noch Vortrag halten.
Zu diesem Zweck nannte er der Fakultät drei Titeln.
Gauß wählte den dritten Titel und Riemanns Vortrag
"Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen"
wurde ein Klassiker der Mathematik. In diesem Vortrag kreierte er die wichtigsten
Konzepte der moderenen Differentialgeometrie: den n-dimensionalen Raum und die
Begriffe der Metrik und Krümmung. Außerdem erkannte er, auf welche Weise
die Krümmung geometrische Eigenschaften des Raumes beeinflußte.
Riemann wurde Privatdozent in Göttingen.
In den nächsten Jahren entwickelte er die Grundkonzepte der algebraischen Geometrie,
und veröffentlichte diese 1857 unter dem Titel "Theorie der Abel'schen Funktionen".
Einer seiner Studenten zu dieser Zeit war Richard Dedekind,
der später die Riemann'sche Theorie in eine bessere algebraische Form brachte.
Seine Stellung als Privatdozent brachte ihm nur ein sehr kleines Gehalt.
Außerdem litt er schwer unter dem Tod seines Vater und seiner Schwester Clara.
Hinzu kam ein Nervenzusammenbruch wegen Überarbeitung.
Als 1855 Gauß starb, folgte diesem Dirichlet nach.
Damals bekam Riemann ein ordentliches Gehalt von Universität,
aber der Versuch, Riemann die Stellung eines außerordentlichen Professors zu verschaffen, mißlang.
1859 wurde Riemann nach dem Tod von Dirichlet zu dessen Nachfolger bestellt.
Im Jahr 1862 ehelichte er Elise Koch, und ein Jahr später wurde deren Tochter Ida geboren.
Aus gesundheitlichen Gründen machte Riemann zu dieser Zeit mehrere Reisen nach Italien.
In den nächsten Jahren verbrachte er viel Zeit in Italien,
und inspirierte dort die Arbeit von Enrico Betti und Eugenio Beltrami auf den Gebieten
der Topologie und Differentialgeometrie.
1866 starb Bernhard Riemann in Selasca am Lago Maggiore.
Heute, mehr als 130 Jahre nach seinem Tod, ist die Riemannsche Vermutung
eines der größten Probleme der reinen Mathematik,
und es bedarf wohl einem neuen "Riemann", um dieses Problem zu lösen.
Riemann verwendete in seinen Arbeiten Analysis und Funktionentheorie,
um Probleme in der Zahlentheorie, Geometrie und Topologie zu beleuchten.
Seine wichtigsten Werke sind:
"Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse", 1851
"Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen", 1854
"Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe", 1854
"Theorie der Abel'schen Funktionen", 1857
"Elliptische Funktionen", 1858
"Vorlesung über die hypergeometrische Reihe", 1858/9
"Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", 1859