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Hans Walser, [20160931]
Rhombenfiguren
Es wird ein Beispiel einer Rhombenfigur vorgestellt, bei der im grafentheoretischen Sinne jeder Punkt den Grad 4 hat.
Die Abbildung 1 zeigt eine klassische Rhombenfigur.
Abb. 1: Klassische Rhombenfigur
Im Zentrum haben wir einen Punkt vom Grad 14. Es kommen dort 14 Kanten zusammen. Die Punkte im nŠchsten Ring haben den Grad 3.
Dann kommen mehrere Ringe mit Punkten vom Grad 4.
Die Šu§ersten Punkte haben nur den Grad 2.
Die Frage ist nun, ob es eine Rhombenfigur gibt, bei welcher sŠmtliche Punkte den Grad 4 haben.
Das einfachste Beispiel dazu ist das ins Unendliche ausgedehnte Schachbrettmuster.
Wir geben ein Beispiel mit nur endlich vielen Rhomben.
In einem Quadratraster zeichnen wir 16 Punkte ein (Abb. 2).
Abb. 2: 16 Punkte im Quadratraster
Diese Punkte verwenden wir als Eckpunkte von Rhomben (Abb. 3). Jeder Knoten hat den Grad 4. Die Figur ist endlich.
Die blauen Rhomben haben ein DiagonalenverhŠltnis 2:1. Die roten Rhomben haben ein DiagonalenverhŠltnis 3:1.
Das Umriss-Achteck ist zwar gleichseitig, aber nicht gleichwinklig. Es ist also nicht regelmЧig.
Abb. 3: Rhomben
Da die Rhomben sich źberlappen, kšnnen wir nicht mehr von einer Zerlegung oder einem Parkett sprechen.
Die Abbildung 4 zeigt die †berlappung aller Rhomben.
Abb. 4: †berlappung der Rhomben
Die †berlappungen versuchen wir rŠumlich darzustellen. Dazu denken wir uns verschiedene Hšhen zu den einzelnen Knoten. Wir verwenden das Niveau 0 und die Niveaus +a und –a. Die Abbildung 5 zeigt die mit Hšhen versehenen Knoten.
Abb. 5: Niveaus
Bei jedem Rhombus ist eine Diagonale auf dem Niveau null, also horizontal. Die andere Diagonale steigt vom Niveau –a auf das Niveau +a an. Damit ist sichergestellt, dass die vier Eckpunkte in einer Ebene liegen und der Rhombus nach wie vor als ebene Figur existiert.
Das Niveau a kann beliebig gewŠhlt werden. In den folgenden Abbildungen 6 und 8 ist .
Die Abbildung 6 zeigt die Sicht von oben sowie eine allgemeine Ansicht. Aus den †berlappungen werden gegenseitige Durchdringungen. Die Rhomben also solche sind nicht mehr gut erkennbar.
Abb. 6: RŠumliches Modell
Die Abbildung 7 zeigt eine andere Mšglichkeit die Niveaus zu setzen.
Abb. 7: Andere Niveausetzung
Die Abbildung 8 zeigt das zugehšrige rŠumliche Modell.
Abb. 8: RŠumliches Modell
In der Abbildung 4 erkennen wir auch acht Quadrate. Allerding sehen wir in den Abbildungen 5 und 7, dass die vier Eckpunkte dieser Quadrate nicht in einer Ebene liegen. Wir kšnnen sie also nicht als ebene Rhomben in unsere Modelle einbauen.
Wegen dem Grad 4 ist der Graf der Abbildung 4 ein geschlossener Euler-Weg. Jede Strecke kann als Ršsselsprung auf einem Schachbrett gesehen werden (Abb. 9).
Abb. 9: Ršsselsprung
Unsere Figur hat 16 Knoten, 32 Kanten und 16 Rhomben. Die Eulersche Charakteristik ist also null, wie beim Torus. Unser Modell ist aber kein Torus.
Die Abbildung 4 enthŠlt im Zentrum die Knauthsche Figur (Abb. 10a) (Hoehn und Walser 2003).
Abb. 10: Knauthsche Figur
Die Knauthsche Figur enthŠlt das pythagoreische Dreieck mit dem SeitenverhŠltnis 3:4:5 in verschiedenen Grš§en (Abb. 10b).
Das grš§te dieser Dreiecke finden wir auch in der erweiterten Knauthschen Figur der Abbildung 4.
Die Abbildung 11 zeigt eine isometrische Projektion des vierdimensionalen Hyperwźrfels. Das Umriss-Achteck ist nun regelmЧig. Alle Rhomben sind kongruent.
Viele unserer †berlegungen hŠtten wir auch an diesem Grafen durchfźhren kšnnen.
Abb. 11: Vierdimensionaler Hyperwźrfel
Literatur
Hoehn, Alfred und Walser, Hans (2003): Gittergeometrie und pythagoreische Dreiecke. Praxis der Mathematik (5/45), 215-217.