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Hans Walser, [20191111], [20200102]
Sehnenquadrate
Verallgemeinerung des Thaleskreises und des Satzes von Pythagoras
Die Abbildung 1a zeigt die klassische Figur.
Abb. 1: Rot = blau
In der Abbildung 1b ist das Hypotenusenquadrat in zwei stehende Rechtecke mit dem Seitenverhltnis 2:1 unterteilt. Das ist zunchst eine Referenz an den Mittelpunkt des Thaleskreises.
Und nun machen wir folgendes. Wir halten den Thaleskreis horizontal und biegen die beiden Kathetenquadrate senkrecht nach oben (Abb. 2a). Die beiden Hypotenusenrechtecke lassen wir senkrecht nach unten fallen.
Die Abbildung 2b zeigt ein Kartonmodell dazu.
Die Abbildung 3 zeigt eine aus der Figur der Abbildung 2 abgeleitete etwas unbliche Abwicklung der Figur in die Ebene. Die beiden Hypotenusenrechtecke sind propellerartig angeordnet.
Abb. 2: Positionieren im Raum. Kartonmodell
Abb. 3: Abwicklung in die Ebene
Abb. 4: Rot = blau
In der Abbildung 4a haben wir nun drei Kathetenquadrate und drei Hypotenusenrechtecke. Die Abbildung 4b zeigt ein Kartonmodell dazu.
Die Abbildung 5a zeigt die Situation von oben.
Abb. 5: Sicht von oben. Abwicklung in Ebene
Es ist folgendes gemacht worden. Die Hypotenuse wurde ersetzt durch einen 3-Stern (Mercedes-Stern). Auf dem Umkreis, den wir immer noch Thaleskreis nennen, wurde ein beliebiger Punkt gewhlt. Dieser wurde mit den drei Enden des 3-Sternes verbunden. Die drei Verbindungssehnen schneiden sich unter 60¡.
ber den Sehnen errichten wir Quadrate, unter den Radien des 3-Sterns hngen wir Rechtecke mit dem Seitenverhltnis 2:1 an.
Wir haben nach wie vor die Flchenbeziehung rot = blau. Die Summe der Kathetenquadrate entspricht der Summe der Hypotenusenrechtecke.
Die Abbildung 5b zeigt eine Abwicklung der Figur der Abbildung 4 in die Ebene. Die drei Hypotenusenrechtecke sind propellerartig angeordnet.
Abb. 6: Rot = blau
Die Beziehung rot = blau ergibt sich bei vier Kathetenquadraten (Abb. 6) unmittelbar aus dem gewhnlichen Satz des Pythagoras, der hier zweimal angewendet werden kann.
Abb. 7: Rot = blau
Fr die folgenden berlegungen nehmen wir den Einheitskreis als Thaleskreis.
Den Mittelpunkt des Thaleskreises verbinden wir mit n Radien mit n gleichm§ig auf dem Kreis verteilten Punkten (n-Stern). Unter diese Radien hngen wir je ein Rechteck (blau) mit der Lnge des Radius und der doppelten Hhe. Sie haben also je den Flcheninhalt 2. Die Gesamtflche der Rechtecke ist also 2n.
Von einem beliebigen Punkt P des Thaleskreises aus zeichnen wir nun die Sehnen zu den n gleichm§ig verteilten Punkten. ber jeder Sehne errichten wir ein Quadrat (rot).
Dann gilt:
Die Summe aller Flchen der roten Quadrate ist gleich der Summe der Flchen aller blauen Rechtecke, also 2n.
Wir fhren den Beweis rechnerisch unter Verwendung folgender Schreibweisen.
Die n gleichm§ig verteilten Punkte sind:
(1)
Der frei auf dem Thaleskreis gewhlte Punkt P ist:
(2)
Wir haben zu zeigen, dass die Summe der Quadratflchen ber den Sehnen, also die Summe der Quadrate der Sehnenlngen, 2n betrgt.
Fr das Quadrat einer Sehnenlnge gilt:
(3)
Die Summe der Quadratflchen ist also:
(4)
Somit ist die Summe der Quadratflchen gleich der Summe der Rechteckflchen.
Wir haben zu zeigen: ein Punkt P in der Ebene, fr den die Summe der Quadrate der Verbindungsstrecken zu den n regelm§ig auf dem Einheitskreis verteilten Punkten 2n ist, liegt auf dem Einheitskreis.
Wir bezeichnen den Punkt P mit . Damit erhalten wir fr unsere Bedingung:
(5)
Umgeformt:
(6)
Dies war zu beweisen.
Der Punkt P liegt also genau dann auf dem Kreis, wenn rot = blau ist.
Es gibt allerdings auch Lsungen im Raum, die nicht auf dem Einheitskreis liegen.
Beispiel: Es sei n = 3. Der Einheitskreis mit den drei regelm§ig verteilten Punkten liege in der x,y-Ebene. Der Punkt hat von den drei Punkten je den Abstand .
Die Summe der Quadrate der Abstnde ist also 6, womit die Bedingung (5) erfllt ist. Smtliche Punkte auf der Einheitskugel erfllen die Bedingung (5).
Weblinks
Hans Walser: Kreis
Hans Walser: Al-Sijzī
Hans Walser: Al-Sijzi