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Hans Walser, [20200523]
Zwei Quadrate
Spiel mit zwei gelenkig verbundenen Quadraten.
Wir arbeiten mit zwei Quadraten der Seitenlngen a und b mit a > b, welche an einer Ecke gelenkig verbunden sind. Die Abbildung 1 zeigt drei verschiedenen Positionen.
Abb. 1: Grundfigur in verschiedenen Positionen
Wir passen nun zwei weitere Quadrate diagonal ein.
Aus der Position der Abbildung 1a) ergibt sich die Figur der Abbildung 2.
Abb. 2: Diagonal eingepasste Quadrate
Nun gilt: Die rote Flchensumme ist gleich der grnen Flchensumme. Rot = Grn.
Die Abbildung 3 zeigt einen Zerlegungsbeweis.
Abb. 3: Zerlegungsbeweis
Fr den rechnerischen Beweis eine Vorbemerkung: Der Flcheninhalt eines Quadrates mit der Seitenlnge s ist s2. Der Flcheninhalt eines Quadrates mit der Diagonalen d ist (Abb. 4).
Abb. 4: Quadratflche
Frage 1: Warum kann die Rechteckflche nicht aus den Diagonalen berechnet werden? Bei welchen Vierecken kann der Flcheninhalt sehr einfach als halbes Produkt aus den Diagonalen berechnet werden?
Die grnen Quadrate der Abbildung 2a) haben die Seiten a beziehungsweise b. Die roten Quadrate der Abbildung 2b) haben die Diagonalen beziehungsweise . Fr ihre Flchensumme ergibt sich daher:
(1)
Die rote Flchensumme ist also gleich der grnen Flchensumme.
Aus der Position der Abbildung 1b) ergibt sich die Figur der Abbildung 5. Die roten Quadrate werden diagonal an denjenigen Ecken der grnen Quadrate eingepasst, welche an den Gelenkpunkt anschlie§en. Das war schon bei der Abbildung 2 so, aber dort sieht man es nicht so gut.
Interessant ist bei der Abbildung 5b), dass auch die beiden roten Quadrate einen Eckpunkt gemeinsam haben. Wir werden das im allgemeinen Beispiel wieder antreffen und beweisen.
Wiederum ist die rote Flchensumme gleich der grnen Flchensumme.
Abb. 5: Rot = Grn
Rechnerischer Beweis mit dem Satz des Pythagoras: Fr die Diagonalen d der roten Quadrate gilt:
(2)
Somit gilt fr die rote Flchensumme:
(3)
Die Abbildung 6 visualisiert die zweimalige halbe Anwendung des Satzes des Pythagoras.
Abb. 6: Satz des Pythagoras
Aus der allgemeinen Position der Abbildung 1c) ergibt sich die Figur der Abbildung 7. Wird dies mit einer dynamischen Geometrie-Software gezeichnet, lsst sich leicht verifizieren, dass die rote Flchensumme wiederum gleich der grnen Flchensumme ist. Und wiederum haben die beiden roten Quadrate eine Ecke gemeinsam.
Abb. 7: Rot = Grn
Fr den Beweis der Flchensummeneigenschaft berechnen wir die Diagonalen d und e der beiden roten Quadrate (Abb. 8). Dazu verwenden wir das rechtwinklige orange Dreieck.
Abb. 8: Diagonalen
Es ist:
(4)
Daraus ergibt sich:
(5)
Fr die rote Flchensumme erhalten wir:
(6)
Damit ist die rote Flchensumme gleich der grnen Flchensumme.
Nun berechnen wir die Position des rechten unteren Eckpunktes des kleinen roten Quadrates (Abb. 9).
Abb. 9: Position der Ecke des kleinen roten Quadrates
Das gelbe rechtwinklige Dreieck hat die lange Kathete und die kurze Kathete . Daraus ergibt sich:
(7)
Analog berechnen wir die Position des linken oberen Eckpunktes des gro§en roten Quadrates (Abb. 10).
Abb. 10: Position der Ecke des gro§en roten Quadrates
Das rechtwinklige Dreieck hat hier die lange Kathete und ebenfalls die kurze Kathete . Daraus ergibt sich:
(8)
Aus (7) und (8) folgt:
(9)
Das hei§t aber, dass die betrachteten Eckpunkte der beiden roten Quadrate zusammenfallen.
Unsere Figur ist also strukturell symmetrisch (Abb. 11a). Wir knnen jetzt ebenso gut sagen, dass die roten Quadrate an einer Ecke verbunden sind und die grnen diagonal eingespannt.
Abb. 11: Symmetrie. Spirale
Frage 2: Wie ist die Spirale der Abbildung 11b) entstanden?
Einige weitere Eigenschaften der Figur der Abbildung 11a), ohne Beweise.
Die Abbildung 12a) enthlt die Verbindungsstrecken der Au§enecken der Quadrate. Diese Strecken sind gleich lang und rechtwinklig. Sie verlaufen durch die Gelenkpunkte der Gegenfarbe und werden durch diese halbiert.
Abb. 12: Verbindungsstrecken
In der Abbildung 12b) sind weitere Verbindungsstrecken eingezeichnet. Sie sind untereinander gleich lang und orthogonal und schneiden sich im Schnittpunkt der Verbindungsstrecken der Abbildung 12a). Sie schlie§en zu diesen Verbindungsstrecken Winkel von 45¡ ein. Die Lnge der Verbindungsstrecken der Abbildung 12a) ist das der Lnge der schwarzen Verbindungsstrecken der Abbildung 12b).
Die Umkreise der vier Quadrate verlaufen durch einen gemeinsamen Punkt (Abb. 13a), nmlich durch den Schnittpunkt der Verbindungsstrecken der Abbildung 12.
Abb. 13: Umkreise
Die Zentren der Umkreise bilden ein Quadrat (Abb. 13b).
Bearbeitung der Frage 1: Genau bei Vierecken mit rechtwinkligen Diagonalen ist der Flcheninhalt das halbe Produkt der Diagonalenlngen. Die Abbildung 14 zeigt Beispiele. Dazu gehren die Raute und das Drachenviereck, aber noch weitere Vierecke.
Abb. 14: Vierecke mit rechtwinkligen Diagonalen
Bearbeitung der Frage 2: Das dritte grne Quadrat verhlt sich zum zweiten wie dieses zum ersten. Und so weiter.
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Hans Walser: Im rechtwinkligen Dreieck
Hans Walser: Orthodiagonale Vierecke
Hans Walser: Orthogonale Diagonale
Hans Walser: Zwei Quadrate