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Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.
Énoncés
Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes K[X1,…,Xn] par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de K[X1,…,Xn].
Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.
Théorème 1 (Lemme de Zariski). Soient K un corps et A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.
De façon équivalente : si A est un corps, alors c'est une extension finie de K.
Procédons par récurrence sur le nombre de générateurs de la K-algèbre A, supposée être un corps. Il faut montrer que ces générateurs sont algébriques sur K. S'il n'y a pas de générateur, il n'y a rien à démontrer. Suppo