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Konstruktion eines Quadrates
Zwei benachbarte Punkte sind gegeben
Gegeben seien die Punkte A und B (Abb. 1). Konstruiere die
zwei fehlenden Ecken des Quadrates mit Seitenlänge AB.
Mache dazu je einen Kreis mit Radius AB
um die Punkte A und B. Diese Kreisbögen schneiden sich in C und F. Trage dann
von C aus mit Radius AB zwei weitere Bögen ab, die den Kreis in D und E
schneiden (wie schon in einem früheren Beispiel gezeigt wurde, liesse sich auch
an dieser Stelle der Umweg über D vermeiden). Nimm nun CF
in den Zirkel und trage von A und E aus je einen Bogen ab, woraus Schnittpunkt G
hervorgeht. Danach machst du um A und B je einen Kreisbogen mit Radius BG,
geschnitten mit den beiden anfänglichen Kreisen ergeben sich die Punkte H und
I. Diese zwei Punkte sind die gesuchten Eckpunkte des zu konstruierenden
Quadrates (grau unterlegt).

Damit haben wir bewiesen, dass BG die Diagonale des Quadrates mit Seitenlänge r sein muss.
Gegeben seien die Punkte A und B, welche die Diagonale
eines gesuchten Quadrates bilden (Abb. 2). Mache als erstes einen Kreis mit
Mittelpunkt B und Radius AB.
Trage mit demselben Radius von A aus die Punkte C, D und E auf dem Kreis ab.
Trage zudem zwei Kreisbögen mit Radius AD
von A und E ab. Der Schnittpunkt dieser beiden Bögen ist Punkt F (Aufgepasst:
Im Mathematischen Zirkus von Martin
Gardner ist dieser Punkt falsch eingezeichnet). Der Kreis mit Radius BF
und Mittelpunkt E schneidet den Kreis mit Radius AB
und Mittelpunkt A in Punkt G. Als nächstes trägst du von B und A aus je einen
Kreisbogen mit Radius BG ab. H
und I sind die Schnittpunkte dieser beiden Kreise. A, I, B und H bilden die
Eckpunkte des gesuchten Quadrates, welches grau unterlegt ist.

Die Strecke AB sei r und GB = x. Winkel GBE ist α, da die Punkte A, B und E auf einer Geraden liegen, ist Winkel GBA (180° - ). Mit dem Cosinussatz lässt sich für das Dreieck BEG folgende Gleichung aufstellen:
Das Dreieck AB(BG/2) ist rechtwinklig. Für den Winkel (180° - ) gilt also folgendes:
Wir setzen (II) in (I) ein und erhalten:
Wenn die Seiten des Quadrates die Länge besitzen, muss die Diagonale d = r sein.