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Lösung zu Badewanne auf Rutsche
Beschleunigung der Wanne
Die Badewanne kann, falls man die Relativbewegung des Wasser vernachlässigt, als Klotz angesehen werden, der auf einer schiefen Ebene nach unten gleitet. Obwohl die Lösung dieses Problems praktisch in jeder Formelsammlung steht, soll sie hier nochmals hergeleitet werden. Wir folgen dabei der Lösungsmethode der Ingenieure:
- Freischneiden: in einem ersten Schritt zeichnet man alle Körper einzeln auf und gibt für jeden Körper alle Kräfte an, die auf ihn einwirken. An der Badewanne greifen eigentlich nur zwei Kräfte an, die Gewichtskraft und die Unterlagskraft. Die Skizze zeigt, wie diese beiden Kräfte auf einen ruhenden Klotz einwirken. Beide Kräfte (Vektoren) dürfen nun in je zwei Komponenten zerlegt werden. Die beiden Komponenten der Unterlagskraft heissen Normalkraft und Reibungskraft (Haftreibung beim ruhenden Körper und Gleitreibung beim bewegten). Die parallel zur schiefen Ebene gerichtete Komponente der Gewichtskraft nennt man auch Hangabtriebskraft. Dieser Name ist nicht falsch, aber eigentlich überflüssig. Dass die Normalkomponente der Gewichtskraft oft Normalkraft genannt wird, ist ein eher düsteres Kapitel der Schulphysik. Beim gleitenden Körper ist die Gleitreibung kleiner als die Parallelkomponente der Gewichtskraft.
- Nun führt man ein der Situation angepasstes Koordinatensystem ein. Mit der Zerlegung der Kräfte haben wir die Achsen des Koordinatensystems eigentlich schon festgelegt. Weil die Reibungskraft die Parallelkomponente der Gewichtskraft nicht mehr vollständig kompensieren kann, wird die Wanne beschleunigt.
- Nun formuliert man die Impulsbilanz (Grundgesetz der Mechanik) für beide Koordinatenrichtungen
- [math]F_G\sin\alpha-F_R=ma_B[/math]
- [math]F_G\cos\alpha-F_N=0[/math]
Aus der Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung folgt, dass die Normalkraft gleich der Normalkomponente der Gewichtskraft ist
- [math]F_N=F_G\cos\alpha[/math]
Diese Formel gilt nur im einfachsten Spezialfall und sollte nicht dazu benutzt werden, die Normalkomponente der Gewichtskraft als Normalkraft zu bezeichnen. Mit Hilfe des Gleitreibungsgesetzes [math]F_R=\mu F_N[/math] und des Gravitationsgesetzes [math]F_G=mg[/math] lässt sich die Impulsbilanz in x-Richtung nach der Beschleunigung auflösen
- [math]a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)[/math]
Ohne Reibung wäre die Beschleunigung der Wanne gleich der Parallelkomponente der Gravitaionsfeldstärke. Im konkreten Fall beträgt die Beschleunigung 1.5 m/s2.
Neigung der Wasseroberläche
Im Ruhezustand richtet sich jede Wasseroberfläche normal zur lokal nachweisbaren Gravitationsfeldstärke aus (die Oberfläche von ruhendem Wasser zeigt an, was unter horizontal zu verstehen ist). Das Gravitationsfeld im beschleunigten Bezugssystem erhält man durch Überlagerung (Superposition) von zwei Gravitationsfeldern (das Trägheitsfeld überlagert das Gravitationsfeld des ursprügnlichen Bezugssystem). Wird das zweite Bezugssystem linear gegen das erste beschleunigt, ist das Trägheitsfeld homogen und seine Stärke gleich minus die Relativbeschleunigung. Demnach setzt sich das in der Badewanne nachweisbare Gravitationsfeld aus dem Gravitationsfeld der Erde und einem gegen die Beschleunigung gerichteten Trägheitsfeld zusammen. Bezüglich des gewählten Koordinatensystems können folgende Komponenten angegeben werden
- [math]g_x=g\sin\alpha+g_t=g\sin\alpha-a_B=g\sin\alpha-g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)=-g\mu\cos\alpha[/math]
- [math]g_y=g\cos\alpha[/math]
Ohne Reibung würde das lokale Gravitationsfeld in der Wanne normal zur Gleitebene stehen und der Wasserspiegel würde sich parallel dieser Ebene ausrichten. Weil im konkreten Fall eine Reibung vorhanden ist, gilt für den Winkel zwischen Wasseroberfläche und schiefer Ebene
- [math]\gamma=\arctan\mu[/math] = 11.3°
Die Wasseroberfläche ist weniger stark geneigt, als die schiefe Ebene, wobei die Abweichung nur von der Gleitreibungszahl und nicht von Neigung der Ebene selber abhängt. Der Winkel gegen die Horizontale ist gleich Neigungswinkel minus Winkel zwischen Wasseroberfläche und schiefer Ebene
- [math]\beta=\alpha-\gamma[/math] = 8.7°.
Anzeige des Beschleunigungssensors
Ein Beschleunigungssensor misst nicht etwa die Beschleunigung eines Körpers sondern das im Körper nachweisbare Gravitationsfeld. Skaliert man einen Beschleunigungssensor in horizontaler Lage auf Null, zeigt er +/-9.8 m/s2 an, sobald man ihn vertikal ausrichtet. Im konkreten Fall würde ein Beschleunigungssensor, der parallel zur Rutsche ausgerichtet ist, folgenden Wert anzeigen
- [math]a_{Sensor}=-g_x=g\mu\cos\alpha[/math] = 1.84 m/s2
Rutscht ein Körper praktisch reibungsfrei eine schiefe Ebene hinunter, gibt ein parallel zur Ebene ausgerichteter Beschleunigungssensor den Wert Null an. Ein in horizontaler Lage auf Null skalierte Beschleunigungssensor zeigt auch dann keine Beschleunigunbg an, wenn man sich schwerelos fühlt (fallender Lift, Parabelflug oder Satellit).