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Hans Walser, [20070130a]
Fortlaufende Spiegelung an den Seiten eines Sehnenvieleckes mit gerader Eckenzahl
In einem Vieleck mit Umkreis (Sehnenvieleck) wird fortlaufend an den Seiten gespiegelt. Bei gerader Eckenzahl entsteht eine Translation, bei ungerader Eckenzahl eine Schubspiegelung.
Stichworte:
Evolvente, Geradenspiegelungen, Paritt, Peripheriewinkel, Regelm§ige Vielecke, Rotationen, Sehnenviereck, Symmetrie, Translationen, Zusammensetzung von Abbildungen.
Fr ist und .
Fr ergibt sich ein Sehnenviereck. Die Sehnen sind verlngert gezeichnet, um die Spiegelungen besser sichtbar zu machen.
Sehnenviereck
Das allgemeine Viereck liefert ein Gegenbeispiel.
Gegenbeispiel
Fr ergibt sich ein Sehnensechseck.
Sehnensechseck
Noch fr das Sehnenachteck.
Sehnenachteck
Fr das Sehnenviereck ist die Sache einfach. Es sei der Au§enwinkel und der Eckpunkt zwischen und der Folgeseite . Dann zerfllt in zwei Rotationen, nmlich und . Nun hat aber das Sehnenviereck die Winkeleigenschaft: (und auch ). Somit ist die Abbildung insgesamt eine Rotation (mit einem unbekannten Drehzentrum) und dem totalen Drehwinkel , also eine Translation.
Die Frage ist nun, ob sich die Winkeleigenschaft des Sehnenviereckes geeignet verallgemeinern lsst, um die Feststellung ber die Abbildung zu beweisen.
Dazu exemplarisch und experimentell ein Sehnensechseck.
Sehnensechseck mit Au§enwinkeln
Im Beispiel ist
Da die Auenwinkelsumme 360¡ ist, haben wir auch .
Wir vermuten:
Fr (Sehnenviereck) gilt die Beziehung.
Induktionsannahme: Die Beziehung gelte fr Eckenzahlen kleiner als 2n. Wir zerlegen nun das Sehnenvieleck mit der Diagonalen in das Sehnenvieleck und das Sehnenviereck gem§ Figur.
Beweisfigur
Dann ist nach Induktionsvoraussetzung
und
.
Addition liefert
.
Nun ist aber . Damit erhalten wir
.
Wegen der Au§enwinkelsumme ist dann aber auch:
Damit ist die Vermutung ber die Winkeleigenschaft im Sehnenviereck mit gerader Eckenzahl bewiesen.
Die Winkelbeziehung lsst sich auch durch eine dynamische berlegung nachweisen.
Bewegen eines Punktes
Wenn wir einen Punkte mit zum Beispiel ungeradem Index auf dem Kreis bewegen, ndert der zugehrige Au§enwinkel nicht (Peripheriewinkel). Die brigen Winkel mit ungeradem Index bleiben unangetastet. Damit bleibt bei diesem Prozess die Summe fr die ungeraden Indizes unverndert und damit auch die Summe fr die geraden Indizes, obwohl die beiden zum bewegten Punkt benachbarten Winkel verndert werden, aber eben gegengleich.
Nun bewegen wir die Punkte des 2n-Eckes, bis wir ein regelm§iges 2n-Eck haben. Dort ist die Winkeleigenschaft aus Symmetriegrnden erfllt. Damit gilt sie auch fr das unregelm§ige 2n-Eck. Ich finde diesen Beweis schner als den Induktionsbeweis.
Wir zerlegen in n Paare . Das macht insgesamt eine Rotation um , also eine Translation.
Fr ein Sehnenvieleck mit ungerader Eckenzahl ist eine Schubspiegelung und erst eine Translation. Wir brauchen zwei Umgnge.
Sehnenfnfeck
Beim allgemeinen Sehnenviereck mit gerader Eckenzahl ist der Translationsvektor von der Verteilung der Eckpunkte auf dem Umkreis abhngig. Bei regelm§igen Vielecken hngt der Translationsvektor nur von der Eckenzahl 2n ab. Bei regelm§igen 2n-Ecken haben wir einen konstanten Au§enwinkel .
Im folgenden sei der Umkreis jeweils der Einheitskreis. Dann gilt:
Beweis: Wir fassen die Spiegelungen paarweise zusammen:
Damit ist:
Der Drehwinkel ist der Au§enwinkel des regelm§igen n-Eckes , das entsteht, wenn wir aus dem ursprnglichen 2n-Eck jede zweite Ecke auswhlen.
Nun bilden wir exemplarisch einen Punkt ab; da wir schon wissen, dass die Gesamtabbildung eine Translation ist, gengt das, um den Translationsvektor zu bestimmen. Wir whlen den Urbildpunkt .
Wenn wir ãdurchspiegelnÒ, erhalten wir mit .
Wenn wir ãdurchdrehenÒ, erhalten wir mit .
Die folgende Figur zeigt dieses ãDurchdrehenÒ fr den Fall , also dem regelm§igen Zehneck mit dem regelm§igen Fnfeck als Hilfsfigur.
berlegungsfigur
Bei der ersten Drehung (um ) erhalten wir . Bei der Drehung um erhalten wir und so weiter und so fort, und schlie§lich bei der letzten Drehung (um ) den gesuchten Endpunkt . Die Drehradien nehmen bei jeder Drehung um die Seitenlnge des regelm§igen n-Eckes zu. Somit erhalten wir :
Die Lnge des Translationsvektors ist gleich dem Umfang des regelm§igen n-Eckes . Der Translationsvektor kann also nicht beliebig lang werden, vielmehr gilt:
Bei den in der berlegungsfigur eingezeichneten Bahnkurven handelt es sich um so genannte Wlzkurven oder Evolventen des regelm§igen n-Eckes .
Die folgende Figur zeigt die Evolvente des Kreises.
Evolvente