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Hans Walser, [20080202b]
Die Cantor-Menge im n-dimensionalen Hyperwrfel
Die bliche Cantor-Menge kann generiert werden, indem wir mit den beiden Endpunkten und des Intervalls beginnen. Anschlie§end wird eine Punktfolge mit dem Startpunkt rekursiv definiert:
Dabei ist r eine Zufallszahl aus {0, 1}. Die Punkte fhren zur Cantor-Menge.
Die Cantor-Menge hat die fraktale Dimension .
Im Einheitsquadrat mit den vier Eckpunkten fhrt das entsprechende Vorgehen zu folgendem Fraktal:
Die fraktale Dimension ist , das Doppelte der fraktalen Dimension der Cantor-Menge.
Fr das entsprechende Fraktal im Wrfel verwenden wir die so genannte isometrische Projektion.
In dieser Projektion fallen zwei diametrale Wrfelecken in der Bildmitte aufeinander.
Das der Cantor-Menge entsprechende Fraktal sieht nun so aus:
ber die fraktale Dimension dieses Dings kann diskutiert werden. Die Frage ist, ob das mittlere Stck doppelt oder einfach gezhlt werden soll.
Die Doppelzhlung entspricht der Situation im dreidimensionalen Raum.
Wir erhalten dann die fraktale Dimension , das Dreifache der fraktalen Dimension der Cantor-Menge.
Bei Einfachzhlung des mittleren Stckes ergibt sich .
Dieses Fraktal kann auch mit konventionellen Methoden gebaut werden:
Die wei§en Lcher sind KochÕsche Schneeflocken.
Wir verwenden den vierdimensionalen Hyperwrfel in isometrischer Darstellung.
Fr das entsprechende Fraktal erhalten wir:
Es sind hier 10000 Punkte gezeichnet, trotzdem ist die Auflsung nicht besonders gut.
Literatur
[Zeitler 2007] Zeitler, Herbert: Dimensionsnderung bei der Projektion von Fraktalen. MNU, Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht. 60/8, 1.12.2007, S. 464-470