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Hans Walser, [20150801]
Sphrische Vielecke
Anregung: H. E., P.
Die Flchenformel fr sphrische Vielecke, insbesondere sphrische Dreiecke, lsst sich einfach und konsistent mit Hilfe der Au§enwinkel herleiten.
Die Abbildung 1 zeigt ein sphrisches Dreieck mit der blichen Bezeichnung.
Abb. 1: Sphrisches Dreieck
Ein sphrisches Dreieck ist durch drei Gro§kreise begrenzt (Abb. 2).
Abb. 2: Drei Gro§kreise
Die drei Gro§kreise begrenzen insgesamt acht sphrische Dreiecke, darunter insbesondere das Gegendreieck zum ursprnglichen Dreieck (Abb. 3). Das Gegendreieck ist punktsymmetrisch zum ursprnglichen Dreieck. Symmetriezentrum ist der Kugelmittelpunkt. Das Gegendreieck ist also kongruent und insbesondere flchengleich zum ursprnglichen Dreieck. Es hat – fr unsere berlegungen aber nicht relevant – ungleiche Orientierung zum ursprnglichen Dreieck. Dies liegt daran, dass die Punktspiegelung im Raum die Orientierung umkehrt.
Abb. 3: Gegendreieck
Und nun trennen wir auf jedem Gro§kreis einen Bogen heraus (Abb. 4). brig bleiben das Dreieck, sein Gegendreieck sowie drei zu den Au§enwinkeln gehrende sphrische Zweiecke.
Abb. 4: Dreieck, Gegendreieck und drei Zweiecke
Die Abbildung 5 zeigt die Vorderseite in Farbe und mit den Beschriftungen der Au§enwinkel.
Abb. 5: Die drei Zweiecke
Und nun zur Flchenberechnung. Auf einer Kugel mit dem Radius r hat das zum Au§enwinkel gehrende Zweieck den Flchenanteil:
Die gesamte Kugeloberflche wir genau zugedeckt durch das Dreieck, sein flchengleiches Gegendreieck und die drei Au§enwinkelzweiecke. Somit ist:
Daraus ergibt sich die Flchenformel:
(1)
Die Dreiecksflche ist also bis auf den Faktor die Ergnzung der Au§enwinkelsumme auf den vollen Winkel .
In der sphrischen Geometrie ist die Au§enwinkelsumme kleiner als der volle Winkel .
Wer es aus Traditionsgrnden doch lieber mit den Innenwinkeln hat, setzt , und in (1) ein und erhlt die bliche Formel:
(2)
Die Abbildung 6 zeigt ein Modell aus Halbkarton. Es besteht aus drei Kreisscheiben, welche lngs eines Durchmessers zu einem Zweieck gefaltet werden.
Abb. 6: Modell
Die drei Zweiecke werden mit Broklammern verheftet. Dazwischen entsteht als Loch das sphrische Dreieck.
Mit dieser Technik kann stufenlos jedes beliebige sphrische Dreieck dargestellt werden.
ber dem sphrischen Dreieck haben wir nach innen eine Pyramide mit der Spitze im Kugelzentrum. ber dem Gegendreieck gibt es eine punktgespiegelte Gegenpyramide.
Dies ist Anlass zu einer kleinen Volumenrechnerei. Fr das Volumen des zum Au§enwinkel gehrenden Zweieck-Schnitzes gilt:
Die ganze Kugel setzt sich zusammen aus der Pyramide, der Gegenpyramide und den drei Au§enwinkelschnitzen:
Daraus ergibt sich:
Wegen (1) ist:
Das war zu erwarten.
Fr ein sphrisches n-Eck geht die Flchen-berlegung analog zum sphrischen Dreieck. Die Abbildung 7 zeigt die Situation fr ein sphrisches Fnfeck.
Abb. 7: Sphrisches Fnfeck
Mit den Au§enwinkeln gilt:
Daraus erhalten wir:
(3)
Die Vieleckflche ist also bis auf den Faktor die Ergnzung der Au§enwinkelsumme auf den vollen Winkel .
Umrechnen auf Innenwinkel ergibt:
(4)
Nach meiner Erfahrung ist die direkte Flchenberechnung mit den Innenwinkeln schon beim Dreieck recht kompliziert, weil man mit berlagerungen der Innenwinkelzweiecke arbeiten muss. Die Verallgemeinerung auf das n-Eck ist dann nur noch rechnerisch durch Anfgen von Dreiecken induktiv machbar. Eine direkte geometrische berlegung ist nicht mglich.
Die Au§enwinkelformeln (1) und (3) sind konsistent. Die Innenwinkelformeln (2) und (4) enthalten einen Zusatzfaktor, in welchen die Eckenzahl n eingeht.
Einen analogen Sachverhalt haben wir ja schon in der ebenen Geometrie: Die Au§enwinkelsumme eines n-Ecks ist unabhngig von der Eckenzahl n die Konstante . Fr die Innenwinkelsumme gilt eine Formel, die ich mir schon als Schler nie habe merken knnen.