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Les équations différentielles décrivant les oscillations d’un circuit électrique constitué d’une bobine, d’un condensateur et d’une résistance en série et d’un oscillateur harmonique mécanique sont établies à partir du principe de conservation de l’énergie.
par Bernard Vuilleumier
La décharge d’un condensateur de capacité C sur une bobine d’inductance L en série avec une résistance R est un phénomène où intervient un renversement périodique du courant analogue à la vibration mécanique d’un oscillateur harmonique. Le principe de conservation de l’énergie permet de traiter en parallèle les deux oscillateurs. Si W est l’énergie totale contenue dans chaque système - sous forme électrique et magnétique pour l’oscillateur électrique, potentielle et cinétique pour l’oscillateur mécanique - il suffit d’exprimer que la variation d’énergie au cours du temps est égale à l’énergie dissipée par les frottements pour obtenir les équations différentielles de ces deux systèmes.
Oscillateur mécanique
Considérons un oscillateur harmonique constitué d’une masse m accrochée à un ressort de raideur k. Désignons par x l’écart entre la position d’équilibre et la position de la masse. La force de rappel exercée par le ressort sur la masse vaut alors :
L’énergie potentielle élastique du ressort est donnée par :
Et l’énergie cinétique de la masse par :
L’énergie totale de l’oscillateur harmonique mécanique vaut donc :
Si l’oscillateur est soumis à une force de frottement dont la grandeur est proportionnelle à la vitesse :
L’énergie dissipée par unité de temps vaudra :
L’équation différentielle de l’oscillateur mécanique s’obtient en égalant la variation d’énergie totale à la dissipation d’énergie :
Oscillateur électrique
Dans un circuit électrique constitué d’une bobine d’inductance L, d’un condensateur de capacité C et d’une résistance R en série, c’est l’inductance L qui joue le rôle de la masse et c’est l’inverse de la capacité qui correspond à la raideur du ressort k. La charge Q portée par le condensateur correspond à l’écart par rapport à l’équilibre. Cette correspondance permet d’exprimer l’énergie potentielle électrique du condensateur :
Ainsi que l’énergie magnétique dans la bobine :
L’énergie totale de l’oscillateur électrique vaut donc :
Si le condensateur se décharge à travers une résistance R, la dissipation d’énergie (effet Joule) par unité de temps vaudra :
L’équation différentielle de l’oscillateur électrique s’obtient en égalant la variation d’énergie totale à la dissipation d’énergie :
En simplifiant et en regroupant tous les termes dans le même membre, nous obtenons finalement les équations différentielles suivantes :
|Cas mécanique||Cas électrique|
|Énergie totale|
|Variation|
|Dissipation|
|Équation différentielle|
Activités
Résolvez symboliquement ces équations à l’aide de Mathematica.
Dessinez les cartes Stella correspondant à ces équations.
Intégrez numériquement ces équations.
|Oscillateur mécanique||Oscillateur électrique|
|m=1 kg||L=10 Hy|
|μ=0.1 kg/s||R=10 Ω|
|k=20 N/m||C=10 μF|
|x0=0.2 m||Q0=1 mC|
|v0=0 m/s||I0 =0 A|
Représentez graphiquement en fonction du temps :
- la position et la vitesse pour l’oscillateur mécanique
- la charge et le courant pour l’oscillateur électrique.
Donnez la période d’oscillation dans chaque cas.