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Chute du parachutiste et ouverture de son parachute
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Ce travail nous explique ce qui se passe quand un parachute saute et ce qui se passe quand il ouvre brusquement son parachute. Dans notre cas l’objectif du parachutiste est d’atteindre le temps de chute le plus court possible en retardant le plus possible l’ouverture de son parachute.
1. Situation initiale
Un parachutiste de 80kg monte dans un avion pour sauter en parachute à une hauteur de 1000 mètres au dessus du sol. Quel est le moment idéal pour ouvrir son parachute s’il veut arriver au plus vite au sol, à une vitesse inférieure à 10 mètres par seconde.
2. Introduction
Un parachutiste qui chute est soumis à deux forces :
1. La force de son propre poids, dirigée vers le bas. P=mg .
2. La force de frottement, due à l’air, qui est dirigée vers le haut.
F frott = ½* ?*Cx*S*V²
Cx est le coefficient de pénétration dans l’air de l’objet, ρ est la masse volumique de l’air et S c’est la section apparente définie par la formule d’aire d’un disque, la section apparente du parachute est un disque.
Cette surface va dépendre du rayon du parachute ( S= π*r² ).
La relation fondamentale de la dynamique nous dit que Σ F =ma
De là on trouve que a=Σ F /m ainsi l’accélération subie par le parachutiste qui chute peut s’écrire sous la forme : a= (Ffrott-P) / m, on remarque que la force de frottement s’oppose à la force de son propre poids.
3. Données et construction Stella ( modélisation ).
Cx= 1
S= π*r²
ρ= 1.293 kg/m^3
Fy= ½*ρ*Cx*S*V^2
m= 80 kg
g= 9.81 m/s^2
P= mg
Ay= (Ffrott-P) / m
Vy ( la vitesse initiale )= 0
Flux Vy= Vy
y=y0= 1000m, ce qui correspond à la hauteur de la chute.
r= 0.75 + SMTH3 ( STEP ( 1.25, t ), 3).
Il faut savoir que cette fonction STEP simule l’ouverture du parachute, ceci en augmentant d’une façon brusque le rayon du parachute.
La fonction SMTH3, qui veut dire lissage, permet de l’étaler sur un intervalle de 3 secondes.
Voici le modèle obtenu.
Ce modèle permet d’obtenir la position ( altitude ) et la vitesse en intégrant l’accélération.
4. Représentation graphique
On donne la vitesse limite d’atterrissage du parachutiste ( 80 kg ) à 10 m/s. Si la vitesse est plus importante que 10 m/s il y aura des dégâts. Comme le parachute du parachutiste fait deux mètres de rayon cela stabilise la vitesse de chute à 10 m/s.
Maintenant il nous faut créer un graphique et représenter l’altitude ( y ) et la vitesse ( Vy ) pour trouver le temps ( t ) d’ouverture.
L’échelle et le trait rouge signifient l’altitude ou position alors que le trait bleu et l’échelle bleue signifient la vitesse de chute du parachutiste.
On remarque d’après le graphique que le temps limite d’ouverture du parachute pour ne pas s’écraser est de 35.5 secondes. Il faut dire que le graphique n’est pas extrêmement précis alors le temps peut quelque peu varier mais le parachutiste ne doit surtout pas ouvrir son parachute après 36 secondes car la vitesse sera à ce moment là de plus de 10 m/s.
5. Conclusion
Grâce à Stella on arrive à résoudre et à simuler un problème de chute avec un changement brutal d’une variable et à trouver le temps optimal. Le temps optimal dans notre cas n’est valable qu’avec les données qu’on a choisies. Si on modifie les données le résultat sera différent, il y aura des modifications pour les forces et l’accélération qui va influencer la vitesse de chute.