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Aufgabe 1. Ein Wurf erster Ordnung einer differenzierbaren Abbildung von nach ist ein Tripel , wobei der Wert und die Ableitung an der Stelle sind. Auf dem Raum aller Würfe sind Koordinatenfunktionen. Die Differentialform ist natürlich: die Kurve zu einer Funktion , die durch und definiert ist, ist tangent an der Distribution . Zeige, dass eine Volumenform auf ist.
Aufgabe 2. (Fortsetzung) Eine -Differentialform auf einer -Mannigfaltigkeit heisst Kontaktform, wenn eine Volumenform auf ist. Trägt , oder eine Kontaktform?
Aufgabe 3. (Satz von Gray) Sei eine differenzierbare Schar von Kontaktformen auf einer kompakten -Mannigfaltigkeit . Zeige, dass eine Schar von Diffeomorphismen existiert, derart, dass gilt.
Aufgabe 4. Zeige den Satz von Darboux: Kontaktformen auf -Mannigfaltigkeiten sind lokal diffeomorph.