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Estimation de l’incertitude sur la position d’un point sur une sphère lorsque cette position est donnée par les deux coordonnées angulaires « latitude » et « longitude ».
par Bernard Vuilleumier
La position d’un point sur une sphère, ou d’une ville sur Terre, peut être donnée par sa latitude et sa longitude. Ces deux grandeurs angulaires s’expriment en degré. La latitude se mesure depuis l’équateur vers les pôles Nord et Sud. La longitude se mesure depuis le méridien de Greenwich vers l’Est et vers l’Ouest.
Pour placer sur la sphère les différentes villes de longitudes et latitudes données, vous avez fait usage de proportions : 360° correspondent à la circonférence mesurée C de la sphère, comme la longitude et la latitude correspondent respectivement aux longueurs x et y :
longitude $\rightarrow$x
latitude $\rightarrow$y
ce qui permet d’écrire :
$y=\frac{latitude}{360°}\times C$
La mesure de la circonférence C est entachée d’une incertitude ΔC que vous devez estimer et qui permet d’obtenir les incertitudes sur x et sur y :
$\Delta y=\frac{latitude}{360°}\times \Delta C$
Un point de coordonnées angulaires (latitude, longitude) se trouvera donc dans un petit rectangle de 2Δx de largeur (près de l’équateur) et de 2Δy de hauteur :
- Localisation d’un point sur une sphère
- Lorsqu’il y a une incertitude Δx sur la longitude et Δy sur la latitude, le point peut se trouver dans un petit rectangle de largeur 2Δx et de hauteur 2Δy.
N. B. 2Δx est la largeur maximale du petit rectangle. Cette largeur diminue lorsqu’on s’approche des pôles, mais sa hauteur 2Δy reste constante.
Lorsque vous mesurez la longueur du fil qui sépare deux points sur la sphère, vous devez donc tenir compte des incertitudes sur les positions de chacun de ces points :
L’incertitude Δl sur la longueur du fil séparant les deux points est la somme des incertitudes sur chacun des points. À la circonférence de votre sphère correspond celle de la Terre (calculée avec un rayon RT=6370 Km). À votre incertitude Δl sur la longueur du fil correspond l’incertitude Δd en Km sur la distance séparant deux villes. Si vous avez estimé correctement l’incertitude ΔC sur la circonférence et si vous avez travaillé soigneusement, vous devriez obtenir, pour des distances supérieures à 10’000 Km, des incertitudes relatives Δd/d inférieures à 5%.