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Travaux en mathématiquesIl est le père avec Hermann Grassmann de ce que l'on appelle l'algèbre géométrique, qui est un cas particulier d'algèbre de Clifford. Il est aussi le premier à envisager que la gravitation puisse être modélisée par un espace de courbure variable.
Ses contemporains le considèrent comme un homme d'une extraordinaire perspicacité et d'une grande originalité, doué d'une rapidité d'esprit, capable de s'exprimer dans un style efficace mais empreint de poésie. En géométrie, c'est un précurseur dans une forme de géométrie qui s'éloigne de la géométrie analytique pratiquée par ses collègues de Cambridge. Dans sa théorie des graphes, ou sa représentation géométrique des fonctions algébriques, il développe des idées qui seront reprises et exploitées par nombre d'autres. Il s'intéresse aussi à l'algèbre universelle, à la géométrie non-euclidienne et aux fonctions elliptiques. Ses publications sur les biquaternions (1873) et les surfaces de Riemann (1877) font autorité. Il publie aussi en 1878 une classification des lieux géométriques. Ses autres publications concernent les formes algébriques et la géométrie projective.
Il est à l'origine des mots "produit scalaire" et "produit vectoriel".