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Definition:
Sei W eine ebene Punktwolke aus mindestens drei Punkten, die nicht alle auf einer Geraden liegen. Die Ellipsen mit der Gleichung ( Kovarianzmatrix) sowie ihre Trans-lationen hei§en Streuellipsen von W. Die Ellipse mit hei§t "Standardstreuellipse".
Aus der Definition folgt, dass . Die Ellipsen sind also wohldefiniert.
Satz: Die Steiner-Ellipsen eines Dreiecks sind Streuellipsen.
Beweis:
Jedes ebene Dreieck kann mit hnlichkeitsabbildungen auf ein Dreieck mit den Eckpunkten mit abgebildet werden. Es gengt also, die Behauptung fr dieses Dreieck zu zeigen. Sein Schwerpunkt ist. Es gilt:
, , .
Fr ist das Dreieck gleichseitig. Seine Steiner-Innenellipse ist aus Symmetriegrnden der Innenkreis: . Die Umellipse ist: .
Die durch gegebene affine Abbildung bildet das gleichseitige Dreieck auf
das Dreieck ab. Der Innenkreis geht dabei in die Steiner-Innenellipse ber.
Die Umkehrabbildung ist gegeben durch: .
Einsetzen in die Kreisgleichung ergibt:
Diese Ellipsengleichung wird umgeformt:
Andererseits gilt fr die Streuellipsen:
Der Vergleich zeigt: Die Streuellipse fr ist die Innenellipse.
Streckung mit dem Faktor 2 ergibt fr die Umellipse. Ø
Korollar: Zu jeder Punktwolke W gibt es Steiner-Ellipsen.
Streuellipsen sind die Ortskurven der Punkte mit Mahalanobis-Abstand vom Zentrum.