Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03200.jsonl.gz/1377

Aufgabe 1. Sei
die -Sphäre im Euklidischen -Raum. Zu einer Funktion auf
sei die radial konstante Funktion
auf
. Der Laplaceoperator
auf Funktionen
ist wie folgt definiert:
Zeige, dass ein -invarianter linearer, stetiger Operator ist.
Aufgabe 2. Beschreibe alle linearen, stetigen, -invarianten Operatoren , für die gilt .
Aufgabe 3. Seien die Karten . Berechne die Abbildung . Welche Strukturen kann man auf der Mannigfaltigkeit mit dem Atlas beschreiben?
Aufgabe 4. Zeige, dass die Gleichung nicht für jede Funktion eine Lösung hat.
Aufgabe 5. Sei die Funktion . Für welche hat die Gleichung eine Lösung? Berechne die Lösungen, so weit vorhanden.
Aufgabe 6. Zeige, dass für jede stetige Funktion auf genau ein existiert, derart dass die Gleichung eine Lösung hat.