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Résumé : les amphithéâtres sont des signes de la romanité mais comment étaient-ils construits. Il y a peu de monument aussi spectaculaire (spectacula signifie amphithéâtre en latin) que le Colisée de Rome avec son arène et son enveloppe restées intactes. On a pu observer que les arènes étaient elliptiques mais les enveloppes étaient circulaires, pour quelle raison? Les architectes romains ne disposaient pas d'ordinateur pour délimiter les arènes mais on peut imaginer leur façon de travailler et l'ordinateur peut devenir une aide pour comprendre comment ils procédaient.
Mots-clés : amphithéâtre, arène, ellipse, foyer, méthode du jardinier.
Solutions :
La solution actuellement proposée est donnée en Geogebra : ellipseAmphitheatre.ggb
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L'exercice s'inspire de l'article L'amphithéâtre romain, une architecture optimale de Jean-Claude Golvin, architecte et archéologue, directeur émérite au CNRS, Pour la Science n°429, juillet 2013.
L'auteur explique qu'il y a plus de 150 amphithéâtres romains connus (Fréjus, Arles, Nîmes, Rome, Pompéi, Saintes, Leptis Magna, etc.). On y voyait des combats spectaculaires (le mot spectacula en latin signifie amphithéâtre): luttes, batailles, massacres, combats de gladiateurs. La zone de combat était recouverte de sable pour éviter les glissades et, est devenue l'arène. Avec la fréquence des combats et l'augmentation du nombre de spectateurs, des lieux ont été aménagés. Les premiers amphithéâtres étaient en bois et avaient une forme avec deux demi-cercles; ensuite, les architectes ont imaginé une arène de forme elliptique.
Le Colisée, l'amphithéâtre de Rome qui approchait de la perfection, avait une capacité de 50'000 places et une longueur de 188 mètres. La façade a une hauteur de 50 mètres. L'étude des amphithéâtres a révélé l'ingéniosité des architectes romains. Ils savaient tracer des ellipses, formes données à l'arène probablement en faisant appel à la méthode du jardinier: on plante deux piquets en deux points appelés foyers auxquels on attache une corde, puis on déplace un troisième piquet en tenant la corde tendue tout en faisant le tour complet. La courbe obtenue est une ellipse.
Il reste toutefois un problème impossible à résoudre: celui de tracer une ellipse parallèle à une ellipse existante tout en conservant les mêmes foyers. Pour contourner cette impossibilité, les architectes ont eu une idée originale: ils ont raccordé des segments de cercles dont les centres sont les sommets de quatre triangles posés sur les axes de l'arène. Avec un simple cordeau, un architecte pouvait dessiner de façon précise le plan de l'amphithéâtre, nous explique Jean-Claude Golvin.
Le but de l'exercice est de reproduire la méthode des architectes romains pour dessiner les plans de l'amphithéâtre idéal.
Indications
Appolonius de Perge mentionnait déjà l'ellipse au IIIe siècle av. J.-C. L'auteur de l'article pense que les architectes romains savaient tracer des ellipses selon la technique appelée méthode du jardinier: on plante deux piquets en F1 et F2, les foyers de l'ellipse, auxquels on attache une corde, puis on déplace un piquet $M$ en conservant la corde tendue au bout de tous les angles possibles. L'équation est alors MF1+MF1=2p.
Les architectes plantaient ensuite quatre piquets supplémentaires en P1, P2, P3 et P4 avec P1P2 = 8d, P3P4 = 6d, d=p/5. On peut observer que la longueur focale F1O = 4d permet le tracé d'une ellipse de grand axe 5d et de petit axe 3d.
Les architectes traçaient l'enveloppe en raboutant des arcs de cercles de centres P1, P2, P3 et P4. Le tracé des travées et des gradins était alors simplifié.
On peut tester la solution avec l'applette GeoGebra ci-dessous.