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Dans un groupe G, un sous-groupe H est dit
*caractéristique lorsqu'il est stable par tout automorphisme de G :
strictement caractéristique lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme surjectif de G ;
*pleinement caractéristique, ou encore pleinement invariant, lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme de G :
Propriétés
Un sous-groupe H de G est sous-groupe caractéristique de G si et seulement si \forall\sigma\in Aut(G)\quad\sigma(H)= H.
*Un sous-groupe caractéristique de G est en particulier stable par tout automorphisme intérieur de G : c'est donc un sous-groupe distingué de G.
Tout sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe caractéristique d'un groupe G est sous-groupe caractéristique de G.
Tout sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal d'un groupe G est sous-groupe normal de G.
Exemples
Le sous-groupe dérivé D(G) d'un groupe G est un sous-groupe (pleinement) car
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