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Hans Walser, [20090703b]
Eine Konstruktion des Goldenen Schnittes
Idee von J. N., S.
Es wird eine Konstruktion des Goldenen Schnittes mit einem freien Parameter besprochen.
Konstruktion
Auf der y-Achse wŠhlen wir einen beliebigen Punkt ; p ist also ein freier Parameter fźr die Konstruktion. Fźr eine reelle Konstruktion muss sein.
Kreis k um M schneiden mit dem Einheitskreis e; Schnittpunkt S. Gerade g durch Ursprung O und S. Kreis K um M durch Einheitspunkt auf der x-Achse. Schnitt von K mit g gibt T. Die Strecke OT hat die LŠnge des Goldenen Schnittes.
Einheitskreis e:
Kreis k:
Schnittpunkt S:
Wir nehmen den positiven Wert und erhalten:
Gerade g:
Oder in anderer Darstellung:
Radius R des Kreises K:
Kreis K:
Schnittpunkt T mit der Geraden g:
Dies ist die Gleichung des goldenen Schnittes fźr . Es ist also (wir nehmen die positive Lšsung):
Weiter ist:
Somit haben wir:
Fźr den Abstand vom Ursprung ergibt sich:
Dies war zu beweisen.
Fźr fŠllt die Gerade g mit der y-Achse zusammen und wir erhalten eine klassische Konstruktion. Der kleine Kreis k ist nur zur Verdeutlichung eingezeichnet, fźr die Konstruktion ist er nicht erforderlich.
Die Figur lŠsst sich mit einem Quadrat und einem gleichseitigen Dreieck der SeitenlŠngen 1 ergŠnzen.
Konstruktion fźr
Damit kann die Konstruktion einfacher dargestellt werden.
Vereinfachte Darstellung