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Hans Walser, [20090304a], [20131023]
Winkeldefizite bei konvexen Polyedern
Anregungen: [Heinrich 2009], J. P. und P. H.
Die Summe der ebenen Winkel in einer konvexen Polyederecke ist kleiner als 360¡. Zu jeder Polyederecke gibt es also ein Winkeldefizit als Ergnzung auf 360¡.
Die Summe dieser Winkeldefizite ist konstant, nmlich 720¡. Die Gedankengnge gehen auf Ren Descartes (1596-1650) zurck.
Ren Descartes (1596-1650). (Zeichnung B. S.)
Die Formel von Descartes ist quivalent zur Polyederformel von Euler (1707-1783).
Die Summe der ebenen Winkel in einer konvexen Polyederecke (das hei§t die Summe der Winkel, die zwischen den Kanten eine konvexen Ecke entstehen) ist kleiner als 360¡.
Wir bezeichnen mit E die Anzahl der Ecken, mit K die Anzahl der Kanten und mit F die Anzahl der Seitenflchen eines Polyeders.
Das totale Winkeldefizit scheint eine Invariante zu sein.
Ein weniger regelm§iges Beispiel: Wir setzen einem Wrfel eine Pyramide auf, deren Seitenflchen gleichschenklige Dreieck mit 36¡ an der Spitze sind.
Wrfel mit Pyramidendach
Das Polyeder hat vier Basisecken mit einem Winkeldefizit von je 90¡, vier Ecken an der Pyramidenbasis mit einem Winkeldefizit von je 36¡¡ und die Spitze mit einem Winkeldefizit von 216¡. Das totale Winkeldefizit ist .
Das totale Winkeldefizit eines konvexen Polyeders ist .
Wir denken uns zum Polyeder die u§ere ãParallelflcheÒ im Abstand 1. Das ist die Menge aller Punkte, welche im Au§enraum des Polyeders liegen und von der Oberflche des Polyeders den Abstand 1 haben. Die Abbildung zeigt links den Wrfel und rechts seine Parallelflche.
Wrfel und Parallelflche
Die folgende Abbildung zeigt allgemein eine Polyederecke und ihre Parallelflche.
Polyederecke und Parallelflche
Die Parallelflche besteht zunchst aus ebenen Flchenstcken, welche zu den ursprnglichen Seitenflchen kongruent sind. Den ursprnglichen Seitenflchen sind gerade Prismen der Hhe 1 aufgesetzt.
ber den ursprnglichen Kanten liegen Zylindersektoren. Solche Zylindersektoren kann man sich als Splten (Spaltholz) denken, welche beim Scheiten (Holzhacken) aus Trmeln (Rundholz) entstehen.
Zylindersektor
Die ursprnglichen Kanten des Polyeders sind die Zylinderachsen, die Sektorwinkel sind die Au§enwinkel des jeweiligen Winkels zwischen den Flchen an der betreffenden Kante. Die Abwicklungen der Mantelflchen dieser Zylindersektoren sind Rechtecke.
ber den ursprnglichen Ecken ergeben sich sphrische Vielecke. Die Abbildung zeigt ein sphrisches Viereck.
Sphrisches Vieleck
Die Innenwinkel dieser sphrischen Vierecke sind die Ergnzungswinkel der ansto§enden Seitenflchenwinkel auf , da wir im selben Punkt noch zwei rechte Winkel von den Zylindersektoren haben. Ein solches sphrisches Vieleck wird als sphrisches Bild der betreffenden Polyederecke bezeichnet. Je ãspitzerÒ die Ecke, um so gr§er das sphrische Bild.
Fr den Flcheninhalt dieser sphrischen Vielecke verwenden wir die Formel:
Dabei sind die Innenwinkel des sphrischen Vieleckes und n die Eckenzahl. Ist der ansto§ende Winkel der ebenen Seitenflche, so ist . Fr den Flcheninhalt des sphrischen Vieleckes erhalten wir:
Das ist aber das Winkeldefizit an der betreffenden Ecke.
Nun knnen wir — und das ist das entscheidende Argument in der Beweisfhrung —
die sphrischen Vielecke aller Ecken passgenau zur Einheitskugel zusammenfgen.
Diese hat den die Gesamtoberflche . Somit ist das totale Winkeldefizit .
An jeder Polyederecke ist das Winkeldefizit minus die Summe der ansto§enden Seitenflchenwinkel. Das totale Winkeldefizit ist somit minus die totale Summe aller Seitenflchenwinkel. Diese totale Winkelsumme berechnen wir nun ber die Seitenflchen. Fr eine Seitenflche erhalten wir die Winkelsumme als , wobei n die Eckenzahl und damit auch die Kantenzahl dieser Seitenflche ist. Da zu jeder Kante genau zwei Seitenflchen gehren, ist die totale Winkelsumme gleich . Fr das totale Winkeldefizit erhalten wir somit
Daher ist:
Die Aussage wird als Eulersche Polyederformel bezeichnet.
Leonhard Euler (1707-1783). (Zeichnung B. S.)
Zu einem ebenen konvexen Polygon zeichnen wir die u§ere ãParallelkurveÒ im Abstand 1. Diese besteht aus Strecken, welche kongruent zu den Polygonkanten sind sowie Kreissektoren ber den Ecken. Die Sektorenwinkel sind die Au§enwinkel des Polygons. Diese Sektoren knnen wir passgenau zum Einheitskreis zusammensetzen. Daher ist die Au§enwinkelsumme gleich 2¹.
Polygon, Parallelkurve und Eckenbild
Ein konvexes Polyeder mit kongruenten Ecken hei§t eckenregulres Polyeder. In diesem Fall haben alle Ecken dasselbe Winkeldefizit, dieses muss also ein Teiler von sein. Wir haben damit eine notwendige Bedingung, mit der wir rein rechnerisch gewisse Flle ausschlie§en knnen.
Im Folgenden besprechen wir ausfhrlich ein konkretes Beispiel.
Beispiel nach [Heinrich 2009, S. 56]: An jeder Ecke sollen ein Quadrat und zwei regulre Dreiecke zusammensto§en. Das Winkeldefizit ist . Das ist kein Teiler von 720¡. So geht es also nicht.
Natrlich kann das auch rein raumgeometrisch eingesehen werden: Wir beginnen gem§ Figur links mit einem roten Quadrat ABCD, einem grnen Dreieck BCE und einem blauen Dreieck CDE und bilden damit eine rumliche Ecke C. Nun sollten wir an der Ecke E ein Quadrat ansetzen, da wir schon zwei Dreiecke haben. Wir mssen also die drei Punkte DEB zu einem Quadrat DEBF ergnzen. An und fr sich geht das problemlos, nur schneidet dieses Quadrat das rote Quadrat ABCD. Das Problem ist also die Selbstdurchdringung.
Selbstdurchdringung
Wenn wir bei einem Polyeder eine Ecke abschneiden, erhalten wir als Schnittfigur die Eckenfigur der betreffenden Ecke. Tetraeder, Wrfel und Dodekaeder haben regelm§ige Dreiecke als Eckenfiguren, das Oktaeder hat Quadrate als Eckenfiguren und das Ikosaeder regelm§ige Fnfecke. Die Ecke C in der obigen Figur, welche durch ein Quadrat und zwei Dreiecke gebildet wird, hat als Eckenfigur ein Dreieck, das man mit Vorteil als gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck zeichnet.
Eckenfigur der Ecke C
Die Eckenfigur ist ein Polygon, dessen Seiten den Seitenflchen des Polyeders und dessen Ecken den Kanten des Polyeders entsprechen.
Nun machen wir aus der Not eine Tugend. Weil das Winkeldefizit von 150¡ nicht passt, machen wir es passend, indem wir das totale Winkeldefizit vergr§ern. Das kleinste gemeinsame Vielfache des Winkeldefizits 150¡ und des totalen Winkeldefizits 720¡ ist:
Die Koeffizienten 24 und 5 in der obigen Gleichung haben beide, wie wir sehen werden, eine geometrische Bedeutung.
Die Punkte A, B, C, D, E und F sind die Ecken eines regulren Oktaeders.
Oktaeder
Wir berlagern dieses Oktaeder mit einem neuen Polyeder: Das Oktaeder hat acht gleichseitige Dreiecke sowie im Innern drei Quadrate. Wir nehmen nun diese Flchenstcke je doppelt. Fr das neue Polyeder gilt also:
Die 16 Dreiecke und 6 Quadrate haben insgesamt einzelne Ecken. Da an jeder Polyederecke zwei Dreiecke und ein Quadrat, also drei Seitenflchen zusammensto§en, ergibt sich fr das neue Polyeder:
Das neue Polyeder hat also 24 Ecken. Diese Zahl 24 kam schon oben bei der Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen vor: . Damit das schn aufgeht, mssen wir also die 6 Ecken des Oktaeders je vierfach zhlen.
Die 16 Dreiecke und 6 Quadrate haben insgesamt auch einzelne Kanten. Da an jeder Kante 2 Seitenflchen zusammensto§en, ergibt sich fr das neue Polyeder:
Das neue Polyeder hat also 36 Kanten. Wir mssen die 12 Kanten des Oktaeders je dreifach zhlen.
Da wir jede Oktaederecke vierfach zhlen, haben wir dort vier Eckenfiguren oder oben dargestellten Art. Die viere Eckenfiguren durchdringen sich gegenseitig.
Eckenfiguren des neuen Polyeders, an einer Oktaederecke appliziert
Wir sehen, dass die Dreiecksseiten des Oktaeders je doppelt zu zhlen sind (ãRandlinienÒ der Figur) und ebenso die Quadrate im Innern (ãDiagonalenÒ der Figur). Die Kanten des Oktaeders sind je dreifach zu zhlen (ãEckenÒ der Figur).
Und wie steht es mit der Polyederformel von Euler? Wir erhalten:
Es ergibt sich das Fnffache des fr ein gewhnliches konvexes Polyeder geltenden Wertes 2. Diese Zahl 5 ist uns aber oben schon bei der Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfaches begegnet: . Aber wie ist diese Zahl 5 geometrisch zu verstehen? Dazu studieren wir die Analogie zu ebenen Polygonen.
Fr eine konvexes Polygon hatten wir die Au§enwinkelsumme 360¡. Bei einem eckenregulren Polygon muss also der Au§enwinkel ein Teiler von 360¡ sein. Beispiel: Beim regulren Fnfeck haben wir einen Innenwinkel von 108¡ und somit einen Au§enwinkel von 72¡, einem Fnftel der Au§enwinkelsumme von 360¡. Wie ist es nun mit einem eckenregulren Polygon mit einem Innenwinkel von 36¡? Wir haben in diesem Fall einen Au§enwinkel von 144¡, das ist aber kein Teiler von 360¡. Fr das kleinste gemeinsame Vielfache von 144¡ und 360¡ finden wir:
Das gesuchte Polygon hat also 5 Ecken. Eine mgliche Lsung ist das so genannte Pentagramm.
Pentagramm und ein Weg ins Freie
Ein Uruk-hai U, der sich aus dem Innern des Pentagramms ins Freie bewegen mchte, muss im Regelfall zwei Mal eine Polygonseite durchbrechen. Daher die Zahl zwei.
Fr einen Uruk-hai U im Zentrum unseres Polyeders ist es ein bisschen eng, weil dort drei Paare von wechselseitig orthogonalen Ebenen (die Quadrate, wir erinnern uns) durchlaufen. Der Uruk-hai sitzt also in einer infinitesimal kleinen kubischen Kiste, deren Wnde aber au§erhalb der Kiste weitergehen.
Ein Weg ins Freie muss daher im Regelfall drei der sechs Kistenwnde durchbrechen. Im Beispiel der Figur ist die Seitenwand rechts bereits durchbrochen. Als nchstes mssen die Ebene der rckwrtigen Kistenwand und schlie§lich die Bodenebene durchbrochen werden.
Der Weg aus der Kiste
Dann ist man aber noch nicht im Freien, sondern muss noch eine doppelt zu zhlende Dreiecksflche durchbrechen. Insgesamt also fnf Durchbrche. berzeugend, nicht?
Und nun die Abwicklung unseres Polyeders. Doppelt zu zhlende Flchen sind in der gleichen Farbe angegeben. Je die beiden Dreiecke gleicher Farbe erscheinen in dieser Abwicklung gleich orientiert. Je die beiden Quadrate gleicher Farbe erscheinen aber entgegengesetzt orientiert.
Abwicklung
Diese Abwicklung gibt Nachbarschaftsbeziehungen zwischen Flchenstcken wieder. Sie gestattet wegen der Selbstdurchdringungen aber nicht, das Polyeder als Modell zu bauen.
Die folgenden vier Bauteile fr unser Polyeder nehmen auf die Selbstdurchdringungen Rcksicht. (Im Anhang sind die vier Bauteile vergr§ert wiedergegeben.)
Bauteile
Da sich die Quadrate lngs der Diagonalen gegenseitig durchdringen, enthalten die Bauteile immer nur Viertelquadrate. Wir haben insgesamt zum Beispiel acht rote Viertelquadrate, weil das rote Quadrat doppelt vorkommen muss. Die Dreiecke sind immer nur zu zwei Dritteln vorhanden. Es hat zum Beispiel drei dunkelblaue Zweidritteldreiecke, weil das dunkelblaue Dreieck doppelt vorkommen muss.
Die Bauteile sind auszuschneiden und lngs der schwarzen Binnenkanten zu falten, smtliche Faltlinien gehen in dieselbe Richtung. Die folgenden Fotos beziehen sich auf das Bauteil 1.
Ausschneiden und Falten
Im Zentrum des Bauteils erkennen wir je einen Viertel eines der drei Quadrate. Anschlie§end finden sich drei Zweitdritteldreiecke derselben Farbe. Wir fgen nun diese drei Zweidritteldreiecke zu einem doppelt berlagerten Dreieck zusammen. Auf der Au§enseite sieht das dann aus gem§ der folgenden Foto.
Au§enseite mit einem zusammengefgten Dreieck
Wir sehen, dass das Dreieck drei Durchdringungslinien hat, je von der Mitte aus zu einer Ecke. Dies kann man sich wie folgt erklren.
Wir sind alle so sozialisiert worden, dass bei der komplexen Funktion das Bild die w-Ebene doppelt berlagert wird, wie dies auch bei unserem Dreieck der Fall ist. Und das wird in der Regel so illustriert, dass lngs eines vom Ursprung ausgehenden Strahls eine Durchdringungslinie zu denken ist.
Riemannsche Flche
Das ist aber willkrlich. Wir knnen eben so gut drei vom Ursprung ausgehende Durchdringungsstrahle nehmen.
Variante: Drei Durchdringungslinien
Damit haben wir die Situation der Selbstdurchdringung unserer Dreiecke.
Auf der Innenseite unseres Modells entsteht eine Dreikantpyramide mit drei verschiedenfarbenen Viertelquadraten als Seitenflchen. Die Pyramidenspitze wird spter zum Zentrum unseres Polyeders. Die Seitenflchen der Pyramide stellen einen Achtel der sich orthogonal durchdringenden Quadrate dar.
Innenseite
Wenn wir die u§ersten Dreiecke, welche Viertelquadrate sind, einbiegen, erkennen wir, wie sich die drei sich gegenseitig orthogonal durchdringenden Quadrate weiterentwickeln.
Teile der drei Quadrate
Wir bearbeiten die drei brigen Bauteile analog und fgen die Teile dann zusammen. Dabei knnen wir uns an den Farben orientieren. Im folgenden Bild sind drei der vier Teile zusammengefgt. Wir sehen immer noch in das Modell hinein. Insbesondere sehen wir schon fast die drei sich gegenseitig orthogonal durchdringenden Quadrate.
Drei der vier Teile sind zusammen
In der Schlussphase braucht es ein wenig sanfte Gewalt, Fingerspitzengefhl also.
Das fertige Modell ist von au§en gesehen wenig spektakulr, ein Oktaeder eben.
Das fertige Modell
Literatur
[Heinrich 2009] Heinrich, Frank: Existenz- und Eindeutigkeitsbetrachtungen bei rumlichen archimedischen Gebilden. MU Der Mathematikunterricht. Polyeder im Mathematikunterricht. Jahrgang 55. Heft 1. Februar 2009. Friedrich Verlag, Seelze. S. 48-60
[Walser 2011] Hans Walser: Winkeldefizite bei konvexen Polyedern. Mathematikinformation, Nr. 54, 15. Januar 2011, S. 44-51. ISSN 1612-9156.
Anhang
Im Folgenden sind die vier Bauteile in Gro§format wiedergegeben.
Tipp: Die vier Bauteile ausdrucken, die Figuren passgenau aufeinander legen und die vier Bltter au§erhalb der Figuren mit Stapelklammern fixieren. Dann braucht man nur das oberste Bauteil mit Lineal und Japanmesser auszuschneiden. Den Schnitt mglichst auf der Innenseite der schwarzen Randlinie durchfhren, damit wir beim Zusammenbau etwas Spielraum fr die Papierdicke haben.
Bauteil 1
Bauteil 2
Bauteil 3
Bauteil 4