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Die Logik ist nichts Statisches sondern etwas Dynamisches. Oder die lehre des Seins.
Unter Logik an und für sich verstehe ich auch die Vorgehensweise mit einer vernünftigen Schlusslösung.
Zwischenresultate einer Untersuchung oder die Argumentation eines Plädoyers vor Gericht sollen zum vernünftigen Entscheid führen. Aus der früheren Philosophie ist Aristoteles wohl der erste Philosoph dem die Logik auf der Stirn geschrieben stand.
Logik ist demnach die Lehre von den Prinzipien des Richtigen, d. h. schlüssigen Denkens und Beweisführens.
Die Mathematik ist eine für unser Leben unentbehrliche Wissenschaft. Sie hilft uns,
zu vielen Fragen und Problemen Lösungen zu finden und ist für zahlreiche weitere
Wissenschaften unersetzlich.
Aus der Jurisprudenz:
Einem Unterfach der Philosophie.
Als logisch richtig wird diejenige Beziehung zwischen Voraussetzungen und Schluss angesehen, bei der wahre Voraussetzungen zu einem wahren Schluss führen.
Zwischen der Gültigkeit einer Beweisführung und der Richtigkeit eines Schlusses muss allerdings unterschieden werden.
Wenn eine oder mehrere Voraussetzungen einer Schlussfolgerung falsch sind, kann der Schluss einer in sich formal gültigen Beweisführung falsch sein. So zum Bsp. geht die gültige Beweisführung „Alle Menschen sind Vierfüsser, alle Menschen sind Säugetiere, also sind alle Menschen Vierfüsser“ von einer falschen Voraussetzung aus und führt deshalb zu einer falschen Aussage.
Andererseits kann ein ungültiger Schluss unter Umständen zu einer wahren Aussage führen: „Einige Tiere sind Zweifüsser, alle Menschen sind Tiere, daher sind alle Menschen Zweifüsser“.
Die logische Gültigkeit einer Schlussfolgerung hängt demzufolge von der Art der Beweisführung und nicht von ihrem Inhalt ab. Wäre die Beweisführung gültig, könnten die darin verwendeten Begriffe beliebig ausgetauscht werden, ohne die Gültigkeit zu beeinträchtigen. Indem nun „Vierfüsser“ durch „Zweifüsser“ ersetzt wurde, wird offensichtlich, dass von richtigen Voraussetzungen ausgehend, ein falscher Schluss erzielt werden kann. Somit ist die Beweisführung ungültig, obwohl sie zu einer richtigen Aussage führt.
Aus dem Alltag für Hungrige:
1. Prämisse: Lebensmittel mit hohem Zuckergehalt sind ungesund.
2. Prämisse: Manche Johgurtsorten haben einen hohen Zuckergehalt.
3. Darum ist jedes Joghurt ungesund.
Konklusion daraus, darum sind manche Johurtsorten ungesund.
Aus der Mathematik:
Ebenfalls der Philosophie angesiedelt.
Eine Aussage kann wahr oder falsch sein.
Ein Beispiel:
– 4 minus 2 ergibt 2 dann ist das wahr.
– 7 minus 5 ergibt 6, dann ist das falsch.
Oder kurz zusammengefasst, einen anderen Zustand als wahr oder falsch (fasilogik) gibt es nicht.
Das Ziel, die gesamte Mathematik auf eine widerspruchsfreie und vollständige logische Basis zu stellen, gelingt aber nicht.
Kurt Gödel konnte 1931 zeigen, dass es in einem widerspruchsfreien, die Arithmetik umfassenden Axiomensystem stets Aussagen gibt, die sich mit den gebotenen Mittel des Systems weder beweisen noch wiederlegen lassen
(1. Gödelscher Unvollständigkeitssatz).
Im April 2006 konnte man in der FAZ dies lesen.
Auch benötigt man zum Nachweis der Widerspruchsfreiheit eines Axiomensystems selbst stets Mittel, die über das Axiomensystem hinaus gehen (2. Gödelscher Unvollständigkeitssatz).
Für einige Menschen besitzt sie sogar einen Wert ansich. Dabei ist die Frage, was Mathematik ist, gar nicht leicht zu beantworten. Was macht also die Mathematik aus und womit beschäftigt sie sich? Diese Fragen nach ihrem Wesen und ihrem Inhalt wollen wir versuchen zu beantworten. Mathematik ist eine Wissenschaft, die auf einigen wenigen Grundannahmen aufbaut.
Diese Grundannahmen nennt man Axiome, welche ohne Beweis als wahre
Aussagen angesehen werden.
Die gesamte Mathematik wird durch Herleitungen (wie komme ich zu diesem Resultat?) aus diesen Axiomen gewonnen. Jede mathematische Theorie besitzt dabei ihre eigenen Axiome. Theorien bauen auch oftmals aufeinander auf, indem sie die Axiome einer Theorie um neue erweitern. Ob die Theorie dabei in sich stimmig ist, also keine Widersprüche erzeugt, zeigt sich erst im Laufe ihrer Entwicklung. Innerhalb einer Theorie werden aus den Axiomen weitere Aussagen hergeleitet, die man Theoreme
oder Sätze nennt.
Aus der Politik und der Tierwelt:
Eher lustig gemeint
1. Pramisse: Alle Minister sind Politiker.
2. Pramisse: Einige Politiker sind kriminell.
Konklusion: Einige Minister sind kriminell.
1. Pramisse: Alle Tiere sind Baume.
2. Pramisse: Einige Hunde sind keine Baume.
Konklusion: Einige Hunde sind keine Tiere.
Links:
– 3-Sat Sendung
Worterklärungen:
– Prämisse: Voraussetzung, Annahme
– Konklusion: Die Schlussfolgerung aus verschiedenen Prämissen