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Hans Walser, [20141105]
Winkelhalbierende Kreise
Anregung und Idee: U. H.-J., W.
Im Dreieck werden die Zentren des Inkreises und der Ankreise traditionellerweise mit winkelhalbierenden Geraden konstruiert. Es geht aber auch mit ãwinkelhalbierendenÒ Kreisen (rot und blau in Abb. 1).
Abb. 1: Inkreis und Ankreise
Die Frage ist natrlich, warum das ãwinkelhalbierendeÒ Kreise sind, das hei§t, welchen Winkel sie halbieren, und wie sie konstruiert werden knnen.
Zu einem Dreieck ABC mit der blichen Notation zeichnen wir den Umkreis mit dem Mittelpunkt D sowie die Bogenmitten und . Diese Bogenmitten liegen auf der Mittelsenkrechten (Abb. 2). Nun zeichnen wir den blauen Kreis mit dem Zentrum durch A. Aus Symmetriegrnden verluft er auch durch B.
Ferner zeichnen wir in A das Lot auf die Seite c. Dann sind die in der Abbildung 2 eingezeichneten zyanfarbenen und magentafarbenen Winkel alle gleich gro§, nmlich .
Abb. 2: Winkelhalbierender Kreis
Der blaue Kreis halbiert also den Winkel zwischen der Seite c und dem durch verlaufenden Bogen des Umkreises. Der kurze Bogen des blauen Kreises ist Ortsbogen ber c fr den Winkel . Der lange Bogen des blauen Kreises ist Ortsbogen ber c fr den Ergnzungswinkel . Daher liegen (Winkelberlegungen mit blichen Winkelhalbierenden) auch die Mittelpunkte der Ankreise an a und an b auf dem langen Bogen des blauen Kreises.
Weiter zeichnen wir den roten Kreis mit dem Zentrum durch A (Abb. 3). Fr diesen roten Kreis knnen wir analog zum blauen Kreis berlegen, wobei der Dreieckswinkel durch den Au§enwinkel zu ersetzen ist.
Abb. 3: Zweiter winkelhalbierender Kreis
Der kurze Bogen des roten Kreises ist Ortsbogen ber c fr den Winkel . Daher liegt (Winkelberlegungen mit blichen Winkelhalbierenden) der Inkreismittelpunkt auf diesem kurzen Bogen . Der lange Bogen des roten Kreises ist Ortsbogen ber c fr den Winkel . Daher liegt der Mittelpunkt des Ankreises an c auf diesem Bogen.
Durch zyklische Vertauschung erhalten wir daher:
Die drei roten Kreise schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises.
Je zwei blaue und ein roter Kreis schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt eines Ankreises.
Die Abbildung 4 zeigt nochmals die Abbildung 1, nun aber mit Konstruktionsinformationen.
Abb. 4: Konstruktion