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Hans Walser, [20161220]
Steiner-Netz
Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen
Es wird ein Konstruktionsalgorithmus skizziert, um zu n beliebig vorgegebenen Punkten ein Steiner-Netz zu finden.
Der Konstruktionsalgorithmus wird fźr ein Beispiel mit n = 7 gezeigt.
Das Verfahren erinnert an die Organisation eines K.-o.-Turniers.
Wir beginnen mit n vorgegebenen Punkten (Abb. 1).
Abb. 1: Sieben gegebene Punkte
Wir errichten auf je zweien der Punkte ein gleichseitiges Dreieck (rot in Abb. 2). Bei einer ungeraden Punktzahl n geht das nicht auf. Da lassen wir einfach einen Punkt au§en vor und beziehen ihn erst in der nŠchsten Runde mit ein. Bei einem K.-o.-Turnier macht man das ja auch so.
Abb. 2: Erste Runde: Drei rote Dreiecke
Nun verfahren wir mit den jeweils dritten Punkten der roten Dreiecke sowie allenfalls einem noch nicht verarbeiteten Startpunkt genau so. Auf je zweien wird ein gleichseitiges Dreieck errichtet (blau in Abb. 3).
Abb. 3: Zweite Runde: Zwei blaue Dreiecke
Nun haben wir noch zwei dritte Punkte. Diese verbinden wir mit einer Strecke (magenta in Abb. 4). Wir werden sehen, dass diese Strecke so lang ist wie das gesamte zukźnftige Steiner-Netz.
Abb. 4: Magenta Strecke.
Zu den zuletzt gezeichneten Dreiecken zeichnen wir die Umkreise und schneiden mit der magenta Strecke (Abb. 5). Dies sind die innersten Verzweigungspunkte. Wir verbinden sie mit den dritten Punkten der roten Dreiecke (orange in Abb. 5).
Abb. 5: Erste Verzweigungspunkte
Nun zeichnen wir die Umkreise der roten Dreiecke und schneiden mit den orangen Strecken (Abb. 6). Diese Punkte sind die Verzweigungspunkte zweiter Ordnung. Wir verbinden sie mit den schwarzen Basispunkten der roten Dreiecke.
Abb. 6: Verzweigungspunkte zweiter Ordnung
In unserem Beispiel sind wir nun durch. Die Abbildung 7 zeigt das Steiner-Netz ohne die konstruktiven Hilfsfiguren.
Bei einer grš§eren Anzahl von gegebenen Punkten mźssen entsprechend mehr Runden durchgespielt werden.
Abb. 7: Steiner-Netz
Falls am Schluss des Dreiecke-Zeichnens drei Punkte źbrigbleiben (zum Beispiel bei 5 oder 9 Startpunkten), zeichnen wir zu diesen drei Punkten den Fermat-Punkt und fahren sinnvoll weiter.
Die Anzahl der benštigten Runden geht mit dem Zweierlogarithmus der Anzahl Startpunkte.
Der Beweis, dass die magenta Strecke der Abbildung 4, also die erste gezeichnete Strecke, gleich lang ist wie die GesamtlŠnge des Steiner-Netzes, geht induktiv mit van SchootenŐs Theorem [1].
Durch die Auswahl der jeweiligen Punktepaare fźr die aufzusetzenden Dreiecke wird die Topologie des Netzes festgelegt. Netze unterschiedlicher Topologien haben in der Regel unterschiedliche GesamtlŠngen.
Was geschieht, wenn wir die Dreiecke nach innen zeichnen?
Website
[1] Hans Walser: Van SchootenŐs Theorem: