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Hans Walser, [20080517a]
Kubische Parabel
Anregung: [Kalman 2008]
Bei der Besprechung der Nullstellenbestimmung nach dem Approximationsverfahren von Newton-Raphson stellt sich im Unterricht die Frage, zu welcher Nullstelle ein gewhlter Startwert fhrt.
Um dies auszutesten, whlte Jrg genau das arithmetische Mittel zweier Nullstellen einer kubischen Parabel als Startwert. Zu seinem und auch meinem Erstaunen fhrte gleich der erste Approximationsschritt exakt zur dritten Nullstelle.
Was steckt dahinter?
Statt mit einer Tangente knnen wir auch mit Sekanten arbeiten.
Die kubische Parabel habe die Nullstellen , , . Die Parabel hat also die Gleichung:
Ferner sei das arithmetische Mittel zweier Nullstellen, zum Beispiel:
Nun whlen wir zwei Werte, welche symmetrisch zu (und damit auch zum Nullstellenpaar , ) liegen, also:
und
Schlie§lich sei die Sektante durch die beiden Parabelpunkte und . Dann verluft diese Sekante durch die dritte Nullstelle, das hei§t durch den Punkt .
Fr den Grenzfall erhalten wir den oben geschilderten Sonderfall mit der Tangente.
Den Beweis organisieren wir rckwrts, indem wir mit einer Geraden durch die dritte Nullstelle beginnen und dann die Schnittpunkte mit der Parabel berechnen. Die Gerade hat die Gleichung:
Schnitt mit der Parabel fhrt auf:
Eine Lsung dieser kubischen Gleichung ist natrlich . Fr die anderen beiden Lsungen dividieren wir durch den zugehrigen Linearfaktor und erhalten die quadratische Gleichung:
Diese hat die beiden Lsungen:
und
Diese beiden Lsungen liegen tatschlich symmetrisch zu .
Fr ergibt sich mit der Wendepunkt der kubischen Parabel.
Beweis: Wir mssen die zweite Ableitung null setzen:
Literatur
[Kalman 2008] Kalman, Dan: The Most Marvelous Theorem in Mathematics. Math HORIZONS, Published by the Mathematical Association of America. 16 April 2008. P. 16-17