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Hans Walser, [20130101]
Bucklige Stra§e
Ein Kreis kann auf einem Quadrat abgerollt werden, wenigstens ein Stck weit. Kann umgekehrt ein Quadrat auf einem Kreis abgerollt werden? Die Abbildung 1 zeigt die Idee.
Abb. 1: Abrollen eines Kreises
Der Mittelpunkt des Quadrates bewegt sich auf einer horizontalen Geraden.
Leider sind die Bogenstcke keine Kreisbgen.
Dies kann wie folgt eingesehen werden: Zunchst muss der Winkel zweiter aufeinander folgender Bgen ein rechter sein. Bei einem spitzen Winkel htte die Quadratecke nicht Platz. Bei einem stumpfen Winkel wrde die Quadratecke im Scheitel drehen und der Mittelpunkt des Quadrates einen Kreisbogen beschreiben, im Widerspruch zur geforderten Bewegung auf einer horizontalen Geraden. Aus dieser Winkelberlegung folgt, dass die Kreisbgen Viertelkreise sein mssen (Abb. 2).
Abb. 1: Bucklige Stra§e aus Viertelkreisen
Fr die Rechnung nehmen wir an, das Quadrat habe die Seitenlnge 2. Dann muss auch der Boden eines Viertelkreises die Lnge 2 haben, woraus sich ein Radius ergibt.
Nun studieren wir das Quadrat in zwei speziellen Positionen (Abb. 3), einmal horizontal und einmal um 45¡ gedreht.
Abb. 3: Spezielle Positionen des Quadrates
Da die Gerade durch die Quadratmittelpunkte horizontal sein muss wie die Gerade durch die Zentren der Viertelkreise, erhalten wir:
Daraus ergibt sich fr r den Wert . Dies widerspricht dem vorhin gerechneten Wert .
Man kann es auch so sehen: aus der Gleichheit der beiden Werte fr r folgt:
Das ist zunchst schon numerische in Widerspruch, der Wert ist eine sehr schlechte Approximation fr . Weiter kann ¹ nicht durch ausgedrckt werden, denn ¹ ist eine transzendent irrationale Zahl, hingegen nur algebraisch irrational. Knnte ¹ durch ausgedrckt werden, wre ¹ mit Zirkel und Lineal konstruierbar (Quadratur des Kreises).
Die Idee mit den Kreisfrmigen Buckeln in der Stra§e ist also falsch. Hingegen kann mit einigem Rechenaufwand gezeigt werden, dass es mit Bgen aus dem Funktionsgrafen der hyperbolischen Kosinus-Funktion (so genannte Kettenlinien) klappt [1].
Link
[1] www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadratisches_Rad/Square_Wheel.htm (abgerufen 1. 1. 2013)