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Hans Walser, [20160615]
Orthodiagonale Vierecke
Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen
Orthodiagonale Vierecke haben orthogonale Diagonalen.
In der blichen Bezeichnung (Abb. 2) knnen orthodiagonale Vierecke charakterisiert werden durch:
(1)
Die alternierende Seitenquadratsumme ist null.
Es wird versucht, diesen Sachverhalt auf verschiedene Weisen zu illustrieren.
Dazu wird (1) in der Form:
(2)
verwendet (Abb. 1).
Abb. 1: Rot = Blau
Fr das rechnerische Vorgehen verwenden wir die Bezeichnungen gem§ Abbildung 2.
Abb. 2: Bezeichnungen
Nach dem Satz von Pythagoras ist:
(3)
Alternierende Addition in (3) ergibt (1). Wenn die Diagonalen nicht orthogonal sind, ist entweder rot < blau oder rot > blau. Daher die Charakterisierung.
Diese rechnerische Lsung kann auch visualisiert werden. Die Abbildung 3 zeigt fr das grne rechtwinklige Dreieck die berlagerung der beiden Kathetenquadrate und des Hypotenusenquadrates.
Abb. 3: Visualisierung des Satzes von Pythagoras
In der Abbildung 4 sind entsprechend fr alle vier rechtwinkligen Teildreiecke unseres orthodiagonalen Viereckes die Kathetenquadrate eingetragen, wobei aber die Hypotenusenquadrate weggelassen wurden. Offensichtlich ist nun rot = blau.
Abb. 4: Rot = blau
Die folgenden Zerlegungsbeweise gehen auf Henry Perigal (1801-1898) zurck. Es sind ãSchaufelrad-BeweiseÒ.
Fr die Zerlegungsbeweise ist eine etwas mhsame Fallunterscheidung gem§ der gr§enm§igen Anordnung der Diagonalenabschnitte p, q, r, s erforderlich.
Zunchst nehmen wir an, dass alle Diagonalenabschnitte verschieden lang sind.
Wir bezeichnen den krzesten Diagonalenabschnitt mit p (piccolo).
(i) r ist der zweitkleinste Diagonalenabschnitt. Dann sind q und s die beiden gr§ten Diagonalenabschnitte. Diese beiden Unterflle sind berlegungsm§ig symmetrisch.
(ii) r ist der zweitgr§te Diagonalenabschnitt
(iii) r ist der gr§te Diagonalenabschnitt
Falls gleich lange Diagonalenabschnitte vorhanden sind, ergeben sich Sonderflle. Bei drei oder vier gleich Langen Diagonalenabschnitten haben wir ein Drachenviereck oder im Sonderfall ein Quadrat. Da ist keine Zerlegung mehr erforderlich. Falls zwei gleich lange Diagonalenabschnitte auf derselben Diagonalen liegen, haben wir ebenfalls ein Drachenviereck. Noch offen sind somit die Flle, wo zwei gleich lange Diagonalenabschnitte orthogonal sind.
(I) Die beiden gleich langen Diagonalenabschnitte sind krzer als die beiden anderen
(II) Die beiden gleich langen Diagonalenabschnitte liegen lngenm§ig zwischen den beiden anderen
(III) Die beiden gleich langen Diagonalenabschnitte sind lnger als die beiden anderen
(IV) Wir haben zwei mal zwei gleich lange Diagonalenabschnitte
Im Folgenden Beispiele.
Abb. 5: Fall (i)
Wir sehen sehr schne die ãSchaufelrderÒ.
Wir haben einen kleinen optischen Tuschungseffekt. Das rote und das blaue Quadrat in der oberen Bildhlfte der Abbildung 5 scheinen gr§er zu sein als die entsprechenden Quadrate in der unteren Bildhlfte. Sie sind aber je gleich gro§. Vor allem beim roten Quadrat ist der Effekt stark. Das hngt damit zusammen, dass das ãUmfeldÒ in der unteren Bildhlfte gr§er ist und das zentrale Quadrat daher kleiner erscheinen lsst.
Die Abbildung 6 zeigt den bergang vom einen Quadratpaar zum anderen. Die zentralen Quadrate (blau und rot) werden vertikal, die Schaufelrder horizontal verschoben.
Abb. 6: Flchengleichheit
Abb. 7: Fall (ii)
Das blaue zentrale Quadrat ist leicht angeknabbert.
Abb. 8: Fall (iii)
Abb. 9: Fall (I)
Abb. 10: Fall (II)
Abb. 11: Fall (III)
Abb. 12: Fall (IV)
Obwohl der Umriss der Gesamtfigur symmetrisch ist, sind es die Zerlegungen nicht.
Wir verwenden die Gedankengnge von Euklid (Euklid 1980, S. 32, Erstes Buch, ¤47).
Wir zerlegen die Quadrate der Abbildung 1 in Rechtecke (Abb. 13).
Abb. 13: Zerlegung in Rechtecke
Wir zeigen nun, dass jeweils zwei komplementr gefrbte und komplementr getnte Rechtecke mit gemeinsamer Ecke den gleichen Flcheninhalt haben. Beispiel: Das fette rote Rechteck unten links ist flchengleich zum mageren blauen Rechteck rechts unten.
Dazu verwandeln wir die Rechtecke in flchengleiche Parallelogramme gem§ Abbildung 14.
Abb. 14: Parallelogramme
Je zwei komplementre gefrbte und komplementr getnte Parallelogramme haben eine gemeinsame Grundlinie. Diese ist eine der vier Diagonalenabschnitte.
Aus der Quadrateinbettung gem§ Abbildung 15 geht hervor, dass zwei Parallelogramme mit gemeinsamer Grundlinie auch gleiche Hhen haben, und zwar ebenfalls den Diagonalenabschnitt.
Abb.15: Einbettung in Quadrate
Wir knnen also die Parallelogramme der Abbildung 12 in vier Paare von kongruenten Quadraten verwandeln (Abb. 16). Damit ist rot = blau bewiesen.
Abb. 16: Rot = Blau
Die Abbildung 16 ist verwandt mit der Abbildung 4.
Wir lassen in einem orthodiagonalen Viereck eine Seite und damit zwei Diagonalenabschnitte gegen null gehen. Als Grenzlage erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck und die rot = blau – Flchengleichheit ist der Satz des Pythagoras.
Da wir in den Abschnitten 3 und 4 den Satz des Pythagoras nicht verwendet haben, ergeben sich zwei Beweise fr diesen Satz des Pythagoras.
Ein Polyeder mit drei paarweise orthogonalen Diagonalen durch einen gemeinsamen Punkt ist ein (unregelm§iges) Oktaeder.
Wir knnen die achte Seitendreiecke abwechslungsweise rot und blau frben.
Dann ist die Summe der Quadrate der roten Seitenflchen gleich der Summe der Quadrate der blauen Seitenflchen.
Man beachte: ãQuadrat einer SeitenflcheÒ hat die Dimension vier. Das liegt au§erhalb des Vorstellungsraumes des Autors. Bleibt nur noch Rechnen.
Fr den Beweis studieren wir zunchst ein Tetraeder mit drei paarweise orthogonalen Kanten der Lngen p, q, r durch eine gemeinsame Ecke (Abb. 17).
Abb. 17: Tetraeder
Die drei paarweise orthogonalen Seitendreiecke des Tetraeders haben die Flcheninhalte:
(4)
Fr die Berechnung des Seitendreieckes ABC berechnen wir das Tetraedervolumen auf zwei Arten. Zunchst ist:
(5)
Wir denken uns nun ein Koordinatensystem eingepasst mit dem Ursprung in O so dass:
(6)
Die Ebene ABC hat somit die Gleichung:
(7)
ber die Hessesche Normalform finden wir den Abstand vom Ursprung und damit die auf die Dreiecksflche ABC bezogene Tetraederhhe:
(9)
Wir vergleichen nun das Tetraedervolumen
(10)
mit (5) und erhalten:
(11)
Somit ist:
(12)
Wegen (4) hei§t das in Worten:
In unserem Tetraeder ist das Quadrat der Seitenflche ABC gleich der Summe der Quadrate der drei brigen (paarweise orthogonalen) Seitenflchen.
Wir haben somit eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras in den Raum. Er operiert allerdings mit vierdimensionalen Begriffen und kann daher nicht visualisiert werden.
Zurck zu unserem Oktaeder mit drei paarweise orthogonalen Diagonalen durch einen gemeinsamen Punkt. Wir zerlegen dieses Oktaeder mit Hilfe der Diagonalen in acht Tetraeder mit je drei paarweise orthogonalen Kanten, schreiben obigen Satz fr jedes Tetraeder auf und addieren rot-blau-alternierend.
So erhalten wir: Die Summe der Quadrate der roten Seitenflchen ist gleich der Summe der Quadrate der blauen Seitenflchen.
Literatur
Euklid (1980): Die Elemente. Nach Heibergs Text aus dem Griechischen bersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. ISBN 3-534-01488-X
Websites
Abgerufen 16. 06. 2016
Adrian Christen: Beweise des Satzes von Pythagoras
Martin Josefsson: Characterizations of Orthodiagonal quadrilaterals:
Hans Walser: Viereck mit orthogonalen Diagonalen
Hans Walser: Miniaturen Pythagoras
Hans Walser: Miniaturen Optische Effekte