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Hans Walser, [20131019]
Wrfelpuzzle
Wir unterteilen ein Quadrat durch seine Diagonalen in vier Dreiecke (Abb. 1) und frben diese mit genau vier Farben, zum Beispiel schwarz, rot, gelb und blau.
Abb. 1: Unterteilung des Quadrates
Auf wie viele Arten kann das geschehen?
Die Reflexantwort ist . Das ist dann richtig, wenn das Quadrat sozusagen fest am Zeichenpapier orientiert ist. Die vier Beispiele der Abbildung 2 sind in diesem Sinne verschieden und je einzeln zu zhlen.
Abb. 2: Verschiedene Lsungen?
Die Lsungen gehen offensichtlich durch Drehungen auseinander hervor.
Wenn nun aber die Lage auf dem Papier unwesentlich ist, haben wir in allen vier Beispielen der Abbildung 2 dieselbe zyklische Anordnung der vier Farben.
Allgemein gibt es zyklische Anordnungen von n Elementen.
In unserem Beispiel gibt es also 3! = 6 zyklische Anordnungen der vier Farben (Abb. 3).
Abb. 3: Die sechs zyklischen Anordnungen
Wir whlen eine standardisierte Darstellung (ãunten schwarzÒ) und knnen dann noch die drei restlichen Farben permutieren. Die Abbildung 4 illustriert den kombinatorischen Sachverhalt mit dem blichen Baumdiagramm.
Abb. 4: Baum der Erkenntnis
Wir mchten nun die sechs Quadrate der Abbildung 3 zu einem Wrfel zusammensetzen unter der Nebenbedingung, dass an jeder Wrfelkante jeweils gleiche Farben zusammensto§en. Wir suchen also ein Quadromino auf der Wrfeloberflche.
Geht das, und wenn ja, auf wie viele Arten?
Die Abbildung 5a zeigt ein leeres Schnittmuster (Abwicklung, Wrfelnetz) des Wrfels, das nun gem§ unseren Vorgaben zu fllen ist. Wir legen das erste Quadrat der Abbildung 3 in den ãKopfÒ (Abb. 5b). Das ist eine Normierung, aber keine Beschrnkung der Allgemeinheit. Wir knnen ja bei einem fertigen Wrfel das Schnittmuster immer so hinlegen, dass dieses Quadrat in dieser Position in den Kopf zu liegen kommt.
Und jetzt ist rumliches Vorstellungsvermgen gefragt, um die restlichen fnf Quadrate richtig unterzubringen.
Abb. 5: Abwicklung. Puzzle-Start
Mit einigem Knobeln finden wir die beiden Lsungen der Abbildung 6.
Vielleicht ist es sinnvoll, die sechs Quadrate der Abbildung 3 auf Karton aufzuziehen, auszuschneiden und als Spielmaterial auf einer Abwicklungsvorlage zu benutzen.
Abb. 6: Zwei Lsungen
Bei diesen Lsungen befinden sich jeweils das zweite beziehungsweise das dritte Quadrat der Abbildung 3 (von links her gezhlt) unter dem Kopf im Kreuzungspunkt des Schnittmusters. Die restlichen drei Quadrate sind in dieser Lage nicht mglich.
Wir zeigen das exemplarisch, indem wir das vierte Quadrat (schwarz-gelb-blau-rot) der Abbildung 3 unter den Kopf setzen (Abb. 7). Im grau getnten Quadrat bruchten wir nun ein Quadrat mit zwei roten Teildreiecken. Das widerspricht unseren Vorgaben ber die Frbungen. Analog knnen wir die anderen Flle ausschlie§en.
Abb. 7: Quadrat der Unmglichkeit
Interessant ist nun, dass die beiden Lsungen der Abbildung 6 zu spiegelbildlichen Wrfeln fhren. Das ist deshalb so, weil mit dem einer Lsung entsprechenden Wrfel auch der dazu spiegelbildliche Wrfel zu einer Lsung fhrt. Da die Wrfel selber keine Symmetrieebene haben, treten die Lsungen paarweise auf. Wir haben aber nur zwei Lsungen, also sind diese beiden spiegelbildlich.
Wer das nicht nur im Kopf sondern auch mit Augen und Hnden erleben will kann aus den Schnittmustern der Abbildungen 8 und 9 die beiden Wrfel als Papiermodelle basteln. Der Autor hat das wirklich getan, weil er seinen berlegungen nicht ganz traute.
Abb. 8: Schnittmuster fr die Lsung der Abbildung 6a
Abb. 9: Schnittmuster fr die Lsung der Abbildung 6b
Bei der Vorgabe einer Abwicklung mit dem Umriss eines lateinischen Kreuzes (Abb. 5a) ergeben sich somit 48 Lsungen: Zunchst haben wir zwei Wrfel-Lsungen. Auf jeder der sechs Wrfelseiten knnen wir den Kopf des lateinischen Kreuzes auf vier Arten hinlegen (Drehungen um 90¡). Somit gibt es Lsungen.
Die Abbildungen 10 und 11 zeigen Variationen.
Abb. 10: Variation
Abb. 11: Variation
Die Abbildung 12 zeigt ein noch leeres Schnittmuster, das nicht geht. Warum?
Abb. 12: Unmgliches Schnittmuster
Wir knnen zunchst beginnen gem§ Abbildung 10a und das Quadrat links abtrennen (Abb. 13). Nun ist es aber nicht mglich, das abgetrennte Quadrat im grauen Quadrat gem§ unseren Farbvorgaben unterzubringen.
Abb. 13: Untauglicher Versuch
Wir kopieren die Lsung der Abbildung 6a, stellen die Kopie auf den Kopf und fgen sie passend gem§ unseren Farbvorgaben an das Original an (Abb. 14).
Abb. 14: Anfgen einer Kopie
Das wei§e Loch knnen wir allerdings nicht fllen, es msste schwarz sein. Die Gesamtfigur ist natrlich kein Schnittmuster fr einen Wrfel mehr, wir knnen aber auf mehrere Arten ein funktionierendes Schnittmuster herausschneiden. Die Abbildung 15 zeigt ein Beispiel dazu.
Abb. 15: Schnittmuster
Die Abbildung 16 schlie§lich zeigt ein ausfhrlicheres durchlchertes Parkett.
Abb. 16: Gro§es durchlchertes Parkett