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Diagonalenabschnitte im Parallelogramm
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Grundlagen zum Thema Diagonalenabschnitte im Parallelogramm
Einführung: Wie viele Diagonalen hat ein Parallelogramm?
Eine Diagonale ist eine Strecke, die zwei Eckpunkte einer Figur verbindet, die nicht bereits durch eine Seitenlinie der Figur miteinander verbunden sind. Ein Parallelogramm hat, wie jedes Viereck, zwei Diagonalen, die jeweils gegenüberliegende Ecken miteinander verbinden.
Du siehst hier das Parallelogramm $ABCD$ mit den Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$. Den Punkt, in dem sich die beiden Diagonalen schneiden, bezeichnen wir mit $M$.
Diagonalenabschnitte im Parallelogramm
Der Diagonalenschnittpunkt $M$ teilt jede der Diagonalen in zwei Teilstrecken. Diese nennen wir Diagonalenabschnitte.
Im Parallelogramm von oben hat demnach die Diagonale $\overline{AC}$ die Diagonalenabschnitte $\overline{AM}$ und $\overline{MC}$. Die Diagonale $\overline{BD}$ wird durch $M$ in die Abschnitte $\overline{BM}$ und $\overline{MD}$ geteilt.
Wenn wir die Längen der Diagonalenabschnitte in einem beliebigen Parallelogramm messen, dann stellen wir fest, dass die beiden Abschnitte einer Diagonalen stets gleich lang sind. Warum ist das so?
Gleich lange Diagonalenabschnitte im Parallelogramm
Beweis
Betrachten wir noch einmal das Parallelogramm $ABCD$. Wir sehen den Diagonalenschnittpunkt $M$ und die Diagonalenabschnitte $e$, $f$ und $g$, $h$.
Wir wissen, dass in einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten parallel verlaufen und gleich lang sind. Es gilt also $a = c$ und $a \parallel c$.
Daher sind $\sphericalangle BAM$ und $\sphericalangle DCM$ sowie $\sphericalangle MBA$ und $\sphericalangle MDC$ Wechselwinkel zueinander:
$\sphericalangle BAM = \sphericalangle DCM$
$\sphericalangle MBA = \sphericalangle MDC$
Damit haben wir bewiesen, dass die Dreiecke $\triangle ABM$ und $\triangle CDM$ nach dem Kongruenzsatz $WSW$ kongruent zueinander sind. Das bedeutet, sie stimmen in allen Winkeln und Seiten überein. Daraus folgt direkt:
$e = f$ und $g = h$
Merke:
In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.
Hinweis:
Die Diagonalen in einem Parallelogramm sind im Allgemeinen nicht gleich lang. Ein Parallelogramm, in dem beide Diagonalen gleich lang sind, ist immer ein Rechteck. Auch in den speziellen Parallelogrammen Raute, Rechteck und Quadrat gilt immer, dass sich die Diagonalen halbieren.
Zusammenfassung: Diagonalenabschnitte im Parallelogramm
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zu Diagonalenabschnitten im Parallelogramm zusammen.
- Eine Diagonale ist eine Strecke, die zwei Eckpunkte einer Figur verbindet.
- Ein Parallelogramm hat zwei Diagonalen, die die gegenüberliegenden Eckpunkte miteinander verbinden.
- Der Diagonalenschnittpunkt $M$ teilt jede der Diagonalen eines Parallelogramms in zwei Teilstrecken, die wir Diagonalenabschnitte nennen.
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Diagonalenabschnitte im Parallelogramm.
Transkript Diagonalenabschnitte im Parallelogramm
Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler! Herzlich willkommen zum Video „Geometrie, Teil 26‟. Auch in diesem Video werden wir uns mit dem Parallelogramm beschäftigen. Das Unterthema des Videos heißt: (d) Diagonalenabschnitte.
Wir nehmen uns wie immer ein Modell für ein Parallelogramm. Ich bezeichne die Eckpunkte mit den Großbuchstaben A, B, C und D. Die Seiten erhalten die kleinen Buchstaben a, b, c und d. Nehmen wir jetzt die beiden Diagonalen zwischen den Punkten A und C und B und D. Wenn ich die Diagonalen einzeichne, erhalte ich einen Diagonalenschnittpunkt M. Wir wollen uns nun mit den Diagonalenabschnitten befassen. Zunächst messe ich die Diagonalenabschnitte der Diagonale AC aus. Für AM erhalte ich 18,8 Zentimeter. Für MC ergeben sich ebenfalls 18,8 Zentimeter. Nun messe ich die Diagonalenabschnitte der Diagonale BD aus. Für BM erhalte ich 10,7 Zentimeter. Für MD messe ich 10,5 Zentimeter. Was haben wir erhalten? Im ersten Fall sind die Diagonalenabschnitte genau gleich lang. Es ergibt sich somit: AM = MC. Die beiden anderen Diagonalenabschnitte sind fast gleich lang. Ich schreibe: BM = MD. Hinter die Gleichung setzte ich ein Fragezeichen in eine Klammer. Ergeben sich tatsächlich gleich lange Diagonalenabschnitte? Wir wollen unsere Zeichnung erweitern. Ich bezeichne die Abschnitte der Diagonale AC mit e und f und die Abschnitte der Diagonale BD mit g und h.
Behauptung: e = f und g = h.
Beweis: Wir wollen die beiden Dreiecke ABM und CDM betrachten. Die Winkel MBA unten und MDC oben sind gleich groß. Das folgt daraus, weil es sich bei diesen Winkeln um Wechselwinkel an parallelen Geraden handelt. Die Winkel MAB unten und MCD oben sind ebenfalls gleich groß. Denn auch hier handelt es sich um Wechselwinkel an parallelen Geraden. Die Seiten AB und CD sind gleich lang, denn es sind gegenüberliegende Seiten des Parallelogramms und somit gleich lang. Wir können hier den Kongruenzsatz WSW, „Winkel Seite Winkel‟, für Dreiecke anwenden. Dieser Kongruenzsatz wurde ausführlich im Video „Geometrie, Teil 20‟, besprochen. Somit sind die Dreiecke ABM und CDM kongruent zueinander. Ich kennzeichne nun in den beiden Dreiecken jene Bestandteile, die übereinstimmen. Das ist ein Winkel, mit einem Bogen gekennzeichnet, der zweite Winkel, mit zwei Bögen gekennzeichnet, und es ist schließlich die Seite a beziehungsweise c. Die Seiten a und c sind im Parallelogramm gleich lang. Aus der Kongruenz der beiden Dreiecke folgt: Strecke AM ist gleich Strecke MC. Oder, wir erinnern uns: e ist gleich f.
Genauso folgt aus der Kongruenz: Strecke DM ist gleich Strecke MB. Wir erinnern uns: DM = g und MB = h. Also g = h. Damit wurde der Beweis erfolgreich erbracht. Wir haben also bewiesen, dass e gleich f und g gleich h ist.
Könnt ihr einen kurzen und klaren Merksatz formulieren? Vielleicht den: Der Schnittpunkt der Diagonalen in einem Parallelogramm halbiert die Diagonalen. So, das wär's schon wieder für heute! Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!
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gut!
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echt cool