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Hans Walser, [20090120a]
Orthogonale Diagonalen
Fźr den Beweis verwenden wir die Bezeichnungen der Figur.
Bezeichnungen
Aus dem Kosinussatz ergibt sich:
Fźr die alternierende Quadratsumme folgt daraus:
Wir verwenden die Seitenvektoren , , , gemЧ Figur. Ferner seien und die beiden Diagonalvektoren.
Vektoren
Nun drźcken wir die Vektoren , , und durch die Vektoren , und aus:
Fźr die Quadrate erhalten wir:
Somit ergibt sich fźr die alternierende Quadratsumme:
Daraus folgt die Behauptung.
Der vektorielle Beweis ist nicht an die Ebene gebunden. Er gilt auch fźr vier Ecken im Raum, also fźr ein Tetraeder.
Tetraeder
Bei einem Tetraeder sind also zwei gegenźberliegende Kanten genau dann orthogonal, wenn die alternierende Quadratsumme der vier źbrigen Kanten verschwindet.
Bei einem Viereck mit orthogonalen Diagonalen lassen sich die Ecken auf den Diagonalenschnittpunkt einfalten, so dass ein ăBriefumschlagŇ entsteht (unter Weglassung der Klebefalze).
Briefumschlag