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Tensoren sind Grössen, mit deren Hilfe man Skalare, Vektoren und weitere Grössen analoger Struktur in ein einheitliches Schema zur Beschreibung mathematischer und physikalischer Zusammenhänge einordnen kann. Sie sind definiert durch ihre Transformationseigenschaften gegenüber orthogonalen Transformationen wie z.B. Drehungen. Es geht darum, was ändert sich, was ändert sich nicht, wenn man das Bezugssystem ändert? [1]
Die Besonderheit von Tensorgleichungen ist, dass sie transformations-invariant sind. Wenn es gelingt, einen physikalischen Sachverhalt in Tensorschreibweise zu formulieren, so kann man wegen der speziellen Art, wie Tensoren transformieren, sicher sein, dass die Gleichungen in jedem beliebigen Koordinatensystem gelten.
Tensoren haben Indizes. Die Anzahl der Indizes gibt den Rang oder die Stufe des Tensors an.
Die Indizes laufen entsprechend der Dimension
Beim Arbeiten mit den Tensoren muss die Reihenfolge der Indices immer klar sein. Das Element t12 eines Tensors ist in der Regel vom Element t21 verschieden.
Der einfachste Tensor ist ein Tensor mit Rang 0. Dabei handelt es sich einfach um einen Skalar. Ein Skalar hat eigentlich keine Komponenten, sondern ist nur ein einzelner Wert und benötigt somit keinen Index; daher der Rang 0.
Ein Tensor mit nur einem Index nennt man auch Vektor. Man sagt, der Vektor ist ein Tensor mit dem Rang 1. Der Index hat so viele Werte, wie die Dimension des Vektors. Bei einem 3-dimensionalen Vektor hat der Index also 3 Werte (z.B: 1, 2, 3), weil der Vektor 3 Komponenten hat:
Ein Tensor vom Rang 2 hat 2 Indizes und stellt eine quadratische Matrix dar usw.
Jede Tensor-Komponente kann eine Funktion oder eine Zahl sein. In der AR sind die Komponenten in der Regel Funktionen der Raumzeit.
Ein Vektor oder Tensor ist ein Objekt, welches Komponenten hat. Die Anzahl der Komponenten eines Vektors enstpricht der Dimension D des Raumes. Ein 3-dimensionaler Vektor besteht somit aus 3 Komponenten. Ein 3-dimensionaler Tensor der Stufe 2 besteht aus 3x3 Komponenten usw.
In der Anwendung steht das Tensorsymbol immer für eine bestimmte Bedeutung. Zum Beispiel den Ort eines Teilchens. Der Ort kann in verschiedenen Koordinatensystemen gemessen werden. Entsprechend haben die Komponenten des Tensors in jedem Koordinatensystem andere Werte. Doch der Tensor bleibt der Selbe, egal in welchem Koordinatensystem er gemessen wird. So ist z.B. die Länge eines Vektors in jedem Koordinatensystem dieselbe, auch wenn sich die Komponenten in den verschiedenen Koordinatensystemen unterscheiden.
Man unterscheidet bei Tensoren zwei Arten von Komponenten:
|Kontravariante Komponenten||Index oben||z.B. |
|Kovariante Komponenten||Index unten||z.B. |
Bei Tensoren ab Rang 2 können kontravariante und kovariante Komponenten gleichzeitig vorkommen. Ein solcher Tensor hat dann Indizes sowohl oben als auch unten:
Jeder Tensor kann sowohl in kontravarianten, als auch in kovarianten Komponenten dargestellt werden. Der Wechsel von einem Tensor in kontravarianter Darstellung zu einem Tensor in kovarianter Darstellung, wird "Index ziehen" oder Index Manipulation genannt. Die Umrechnung geht durch Multiplikation mit dem sog. Metrischen Tensor.
Ob die Indizes oben oder unten sind, es handelt sich jeweils um ein und denselben Tensor mit derselben physikalischen Bedeutung. Lediglich die Werte der Komponenten unterscheiden sich, weil sie sich auf verschiedene Koordinatensysteme beziehen.
Wenn Rang, Dimension und Komponenten-Arten (Anzahl Indizes oben und unten) von Tensoren übereinstimmen, dann sagt man, die Tensoren sind vom selben Typ. Dies muss bei der Tensor-Arithmetik beachtet werden.