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Hans Walser, [20190115]
Kepler-Stern-Abwicklung
Anregung: B. K., Z.
Die Abbildung 1 zeigt eine Abwicklung (in der Schule sagt man auch Netz) eines Krpers.
Abb. 1: Abwicklung
Um welchen Krper handelt es sich?
Eine heuristische Schler-berlegung vermutet auf Grund des Titels, dass es sich um den Kepler-Stern (Abb. 2) handelt.
Allerdings glaubte ich zunchst nicht, dass es fr den Kepler-Stern eine zusammenhngende Abwicklung gibt. Der Kepler-Stern hat nmlich Ecken (sogenannte hyperbolische Ecken), bei denen acht gleichseitige Dreiecke zusammensto§en. Wir htten dann in der Abwicklung acht Winkel von 60¡, zusammen also 480¡. Das ist mehr als der volle Winkel von 360¡, so dass es berlappungen gbe.
Trotzdem zeigt die Abbildung 1 eine korrekte Abwicklung.
Abb. 2: Kepler-Stern
In der Abbildung 2 sind die konvexen Kanten des Kepler-Sterns blau und die Hohlkanten rot gezeichnet. In der Abbildung 3 wurde die entsprechende Frbung in die Abwicklung bernommen.
Abb. 3: Kantendifferenzierung
In der Abbildung 4 sind A, B, C, D, E, F, G, H die Ecken des dem Kepler-Stern umbeschriebenen Wrfels. Bei ihnen sto§en je drei gleichseitige Dreiecke zusammen. Die Ecken I, K L, M, N, O sind die hyperbolischen Ecken des Kepler-Sterns. Bei ihnen sto§en je acht gleichseitige Dreiecke zusammen. Diese Ecken, fr sich allein genommen, bilden zusammen mit den roten Kanten ein regelm§iges Oktaeder.
Abb. 4: Bezeichnung der Ecken
Abb. 5: Bezeichnung der Ecken in der Abwicklung
Ganz links in der Abbildung 5 kommt zweimal der Punkt K vor. Diese beiden Punkte sind zu identifizieren. So erhalten wir ein gleichseitiges Dreieck KMO. Dieses bildet das Bodendreieck des Tetraeders mit der Spitze F. Dieses Tetraeder ist in der Abbildung 5 gut erkennbar.
Der Kepler-Stern kann als Durchdringungsfigur zweier regelm§iger Tetraeder gesehen werden. Damit sind insgesamt acht Ebenen im Spiel. Diese sind in den Abbildungen 6 und 7 je mit einer Farbe gekennzeichnet. Fr das eine Tetraeder wurden die Farben rot, grn, blau und hellgrau verwendet, fr das zweite Tetraeder die Farben hellblau (zyan), magenta, gelb und dunkelgrau.
Abb. 6: Farbige Ebenen
Die Abwicklung der Abbildung 7 ist entsprechend gefrbt.
Abb. 7: Farben in der Abwicklung
Die Abbildung 8 gibt das prinzipielle Schnittmuster fr den Keplerstern. Es fhrt allerdings bei Verwendung von DIN A4 Papier zu einem recht kleinen Modell.
Abb. 8: Schnittmuster
Wir knnen das Schnittmuster aber auch aus mehreren Teilen zusammensetzen.
Die Abbildung 9 gibt einen Drittel des Schnittmusters, ohne Farbe.
Abb. 9: Drittel-Schnittmuster
Ein solcher Drittel, fr sich allein genommen, ist ein Schnittmuster des regelm§igen Oktaeders.
Wir schneiden drei Kopien der Abbildung 9 aus, kleben sie passend zusammen, so dass das Schnittmuster der Abbildung 8 entsteht und frben entsprechend. Dann falten wir gem§ der Kantendifferenzierung der Abbildung 3.
Fr ein noch gr§eres Modell knnen je drei Teilschnittmuster der Abbildungen 10a und 10b verwendet werden.
Abb. 10a: Sechstel-Schnittmuster
Abb. 10b: Sechstel-Schnittmuster
Diese beiden Schnittmuster sind bezglich der Anordnung der Klebelaschen spiegelbildlich, sonst aber gleich. Fr sich allein genommen ist es je ein Schnittmuster des regelm§igen Tetraeders.
Beim Zusammenkleben bin ich vorgegangen wie folgt. Zunchst habe ich aus den Dreiecken des Mittelbandes der Abbildung 8 eine Folge von Tetraedern ohne Boden geklebt. Die Abbildungen 11 und 12 zeigen diesen Zwischenschritt.
Abb. 11: Zwischenschritt
Abb. 12: Realer Zwischenschritt
Die Abbildung 13 zeigt das Papiermodell des Kepler-Sterns.
Abb. 13: Papiermodell