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Was ist das Ziel der Faktorenanalyse bzgl. der Abweichung von den beobachteten Werten?
Welche 2 Restriktionen gelten dei der Faktorextraktion?
Ziel: Xsi (Faktorwerte) und Lambda (Faktorladungen) müssen so gewählt sein, dass die vorhergesagten Werte möglichst gering von den beobachteten Werten abweichen
Vorgaben der Extraktion:
Faktoren sind wechselseitig unabhängig voneinander (d.h. unkorreliert)
Faktoren klären sukzessive maximale Varianz auf
Ziel der PCA?
Wie funktioniert die Hauptkomponentenanalyse (=PCA?) Was ist das Ziel? Wie werden die beiden Hauptkomponenten erklärt? (in Bezug auf Varianzaufklärung und Abhängigkeit voneinander?)
Ziel: Ziel: Datenreduktion (keine Modellannahmen, rein deskriptiv), Verwendung der Gesamtvarianz, man hat keine Idee, wie man das Ergebnis inhaltlich erklären kann/soll
Einfachster Fall:
Zwei Variablen z1 und z2 --> Die PCA zerlegt die beiden beobachteten Variablen wie folgt
��1=��11⋅��1+��12⋅��2
��2=��21⋅��1+��22⋅��2
--> man sieht, dass ei hier fehlt, d.h. die gesamte Varianz wird verwendet. Die beiden Hauptkomponenten werden so bestimmt, dass sie sukzessive maximal Varianz erklären (Ziel der Varianzmaximierung) und unabhängig voneinander sind
Geometrische Veranschaulichung des Extraktionsprinzips bei der PCA:
Ein kleiner Winkel bedeutet? (hohe oder niedrige Korrelation?)
Die Summe aller Winkel zu Faktor 1 sollte möglichst gering sein
Die beiden Hauptkomponenten werden so bestimmt, dass sie sukzessive maximal Varianz erklären (Ziel der Varianzmaximierung)
Generell: Die Anzahl extrahierter Hauptkomponenten entspricht der Anzahl an Variablen, die in die Analyse eingehen
Datenreduktion? --> Auswahl der Anzahl an Hauptkomponenten, mit denen die Variablen ohne großen Informationsverlust ersetzt werden können
Wie wird die Hauptachsenanalyse (PAF) durchgeführt?
In welche drei Bestandteile wird die Gesamtvarianz zerlegt?
Welche Varianz wird faktorisiert, d.h. zu Faktoren zusammengefasst?
Bei der Hauptachsenanalyse wird die Gesamtvarianz zerlegt in:
Gemeinsame Varianz: Varianzanteil, den sich die manifesten Variablen teilen
Spezifische Varianz: Spezifische Varianz einer manifesten Variablen, die sie mit keiner anderen Variable teilt
Fehlervarianz: Messfehlereinflüsse
Faktorisiert wird die gemeinsame Varianz, d.h. die gemeinsame Varianz stellt das dar, was die Variablen aufgrund der (unbekannten) zugrundeliegenden latenten Struktur miteinander teilen
Diese gemeinsame Varianz ist unbekannt (genauso wie der Anteil spezifischer Varianz und Fehlervarianz) Kommunalitätenproblem
Was ist das Kommunalitätenproblem? Wie geht man mit diesem um?
Die gemeinsame Varianz ist unbekannt (genauso wie die spezifische und die Fehlervarianz)
Lösung: Schätzung der Kommunalitäten --> iterative Schätzung (Kommunalitäteniteration)
Vorschläge für Startwerte des Iterationsverfahrens:
a) Quadrat der multiplen Korrelation der Variablen mit allen anderen Variablen (SPSS-Voreinstellung)
b) höchste bivariate Korrelation der Variablen mit einer anderen Variablen
Wie funktioniert das Prinzip der PAF (principal axis factor analysis) ?
Prinzip
(1)Durchführung einer Hauptkomponentenanalyse mit den Startwerten
(2)Ersetzen der Startwerte durch die mit der ersten Hauptkomponentenanalyse erhaltenen neuen Kommunalitätenschätzer
(3)Durchführung einer erneuten Hauptkomponentenanalyse
…
Wie funktioniert die Maximum-Likelihood-Schätzung?
Schätzung von Populationsparametern aus Stichprobenstatistiken
Verwendung eines Maximum-Likelihood-Schätzers zur Bestimmung der Ladungen und Fehlervarianzen
Prinzip: Finde Schätzer für die Modellparameter, für die die Differenz zwischen der modellimplizierten Korrelationsmatrix (meist aber Kovarianzmatrix) und der Stichprobenkorrelationsmatrix (bzw. Stichprobenkovarianzmatrix) minimal ist (ausführlicher in Kurs 3444 im Rahmen von Strukturgleichungsmodellen behandelt!)
Wie viele Faktoren sollten extrahiert werden?
In der FA werden q wechselseitig unabhängige Faktoren bestimmt, die sukzessiv maximale Varianz aufklären