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Fundamentalsatz der Algebra
CHFR
CHFR012
Résumé, summary
Der Fundamentalsatz der Algebra lautet: "Jedes Polynom besitzt in der komplexen Ebene mindestens eine Nullstelle". Der Beweis vollzieht sich in mehreren Schritten:
1) Das Polynom f(z)=a*zn bildet den Kreis z(r,t) = r*eit auf einen Kreis mit Radius rn ab, der den Ursprung n-mal umläuft. Dies kann durch eine Mathematica-Animation einsichtig gemacht werden.
2) Ist f(z) ein beliebiges Polynom, so muss ein hinreichend grosser Radius R existieren, so dass das Bild des Kreises z(R,t) bei der Abbildung f(z) eine geschlossene Schlinge ist, welche den Ursprung genau n-mal umschlingt.
Dieser Teil erfordert etwas Rechnen (ca. 10 Zeilen). Durch Animation mit Mathematica wird der Kreis z(R,t) abgebildet und die Spur des Bildpunktes verfolgt. Dabei entsteht die Schlinge.
3) Ähnlich wird gezeigt, dass für einen hinreichend kleinen Radius r das Bild des Kreises z(r,t) eine geschlossene Kurve ist, die den Ursprung nicht umschlingt.
4) Vergrössert man nun den Radius r stetig bis zum Radius R, muss sich auch die Kurve in 3) stetig zur Kurve in 2) verändern. Dabei muss sie einmal den Ursprung überstreichen. Dieser Vorgang wird wiederum durch eine Mathematica-Animation sichtbar gemacht.
Selbstverständlich muss das Stetigkeitsargument auf dieser Stufe intuitiv eingesetzt werden. Der Beweisvorgang an sich ist aber streng.
Ich stelle die vollständigen Unterlagen (Texte, Mathematica-Files) interessierten Kolleginnen und Kollegen gerne zur Verfügung.
Discipline, subject : mathématiques
mathematik
mathematics
mathematica
Public : postobligatoire
Weiterführende Schulen
upper high school
postobligatorio
Contacts :
Anderes, Michael
Collège Ste-Croix, rte des Fougères 4
1700
FRIBOURG
Tel : 037/82.41.91
Mail :
Fax : 037/24.00.53
Pédagogie, pedagogy : Es geht darum, einen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra "Jedes Polynom besitzt in der komplexen Ebene mindestens eine Nullstelle" dem Schüler verständlich zu machen, indem schwierige Teile mit Hilfe der Software Mathematica visualisiert werden. Das Vorstellungsvermögen der Schüler wird durch die Visualisierung unterstützt. Ohne die Visualisierungshilfe wäre der Beweis wohl nur besonders begabten Schülern zugänglich
Apprentissage, learning : Der Computer wird für eine Simulation/Demonstration eingesetzt. Der informatische Anteil, den der Schüler zu leisten hat, ist gering. Er braucht lediglich den Bildschirm aufmerksam zu beobachten und kann eventuell gewisse Parameter verändern. Das Entstehen von Kurven auf dem Bildschirm kann dynamisch verfolgt werden, so dass deren Eigenschaften eher einsichtig werden, als wenn sie der Schüler nur statisch (z.B. auf gedrucktem Papier) vor sich sieht. Das Selbstzeichnen der Kurven durch den Schüler wäre zu aufwendig
Enseignement, teaching : Die Animationsfähigkeit der Software Mathematica wird eingesetzt, um Kurven dynamisch entstehen zu lassen. Zuerst wird eine Folge von Bildern zu erzeugen, welche Momentaufnahmen einer stetigen Deformation einer Kurve in der komplexen Ebene darstellen. Durch anschliessende Animation dieser Bilder kann ein Film erzeugt werden, welcher einen quasi-stetigen Vorgang simuliert.
Die Unterrichtseinheit war erfolgreich, eine Mehrheit der Schüler hat den vorgeführten Beweis verstanden
Technique : Software Mathematica und entsprechende Hardware (z.B. Macintosh 68030 oder PC 80486 mit Coprozessor, genügend RAM). Projektionsmöglichkeit (LCD-Panel) von Vorteil
Société, society :
Culture : Der Fundamentalsatz der Algebra ist ein wichtiges Beispiel eines reinen Existenzsatzes in der Mathematik. Dem Schüler sind solche Existenzsätze oft nicht einsichtig
Institution : Die erforderliche Hard- und Software muss mindestens für Projektionsmöglichkeiten zur Verfügung stehen. Die Einarbeitung in Mathematica erfordert vom Lehrer ziemlich viel Zeit
Logistique : Die Schüler müssen mit dem Rechnen mit komplexen Zahlen und der (Parameter-)Darstellung von Kurven in der komplexen Ebene vertraut sein. Ebenso gehört die elementare Funktionenlehre und der Grenzwertbegriff zum Vorwissen
Remarques, remarks : Zum Zeitpunkt der Durchführung dieser Unterrichtseinheit stand lediglich eine Projektionseinheit zur Verfügung, so dass die Schüler die Animationen relativ passiv über sich ergehen lassen mussten. Es wäre zu prüfen, ob die Animationen eventuell mit einer einfacheren Software nachvollzogen werden könnten (z.B. HyperCard), um den Schülern mehr Variationsmöglichkeiten (Verändern der Parameter usw.) zu ermöglichen