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Wie in Kapitel 13 angedeutet, befassen wir uns in diesem Kapitel mit der Wechselwirkung zwischen dem Elektronspin und dem Bahndrehimpuls des Elektrons. Diese Wechselwirkung wird Spin-Bahn-Kopplung genannt und liefert die Erklärung der im Experiment beobachteten Feinstruktur. D.h. sie erklärt z.B. die Aufspaltung der ersten Linie der Balmer-Serie () des Wasserstoffatoms oder die Aufspaltung der Natrium-D-Linie in zwei Linien.
Wir beginnen mit einer klassischen Beschreibung und geben eine Abschätz-ung der Grössenordnung der Spin-Bahn-Kopplung an. Anschliessend erfolgt ein kurzer Abriss der quantenmechanischen Behandlung und zum Abschluss des Kapitels befassen wir uns mit dem Einfluss eines externen Magnetfelds auf das Energiediagramm eines Atoms unter Einbezug des Elektronspins, d.h. dem sogenannten anomalen Zeeman-Effekt.
Wir zeigen in einem semiklassischen Modell wie man die Aufspaltung der Energieniveaus mit Bahndrehimpulsquantenzahl bei Einelektronenatomen und damit insbesondere beim Wasserstoffatom, mit der Hilfe der Hypothese des Elektronspins erklären kann. Dazu betrachten wir eine Momentaufnahme eines Atoms mit einem Elektron, das den Kern der Ladung umkreist einerseits aus der Sicht eines Beobachters im Ruhesystem des Kerns (siehe Abb. 14.1(a)) und andererseits aus der Sicht eines Beobachters im Ruhesystem des Elektrons (siehe Abb. 14.1(b)). In diesem rotierenden Bezugssystem des Elektrons erzeugt die Bahnbewegung des positiv geladenen Kerns ein Magnetfeld . Dieses wechselwirkt mit dem magnetischen Moment des Elektronspins und daher erhält das Elektron die zusätzliche potentielle Energie , welche nach Abschnitt 13.2 gegeben ist durch
D.h. jeder elektronische Zustand in einem Einelektronensystem mit nichtverschwindendem Bahndrehimpuls spaltet aufgrund der Spin-Bahn-Kopplung in zwei Zustände mit unterschiedlicher Energie auf. Auf die Begründung und die Bestimmung des Magnetfelds, welches ein Beobachter im Ruhesystem des Elektrons wahrnimmt und die daraus resultierende Aufspaltung der Energieniveaus gehen wir nun etwas genauer ein.
Im Ruhesystem xyz des Kerns (siehe Abb. 14.1(c)) befinde sich das Elektron im betrachteten Augenblick im Ursprung. Einfachheitshalber nehmen wir an, dass die Geschwindigkeit des Elektrons in diesem Moment entlang der x-Achse gerichtet sei. Ein in diesem System xyz ruhender Beobachter sagt dann, dass der Kern ein elektrisches Feld erzeugt, das im Ursprung parallel zur y-Achse gerichtet ist und den Betrag hat, wobei der Abstand zwischen Kern und Elektron ist. In dieser Betrachtung vernachlässigen wir das (kleine) magnetische Moment des Kerns und deshalb nimmt der Beobachter im Ruhesystem des Kerns kein Magnetfeld wahr.
Wir wechseln nun zu einem Beobachter im Ruhesystem xyz des Elektrons (siehe Abb. 14.1(d)) und fragen uns, welche elektromagnetischen Felder dieser wahrnimmt. Die Anwendung der Transformationsformeln der speziellen Relativitätstheorie ergeben für die Komponenten des Magnetfelds , und , welches der Beobachter im Ruhesystem xyz des Elektrons feststellt
wobei und wir im letzten Schritt die Näherung getroffen haben. Der Beobachter im Ruhesystem xyz des Elektrons stellt also ein Feld fest, das senkrecht steht auf und . Allgemein können wir dies durch ein Vektorprodukt ausdrücken. Es gilt
wobei wir die Geschwindigkeit durch den Impuls ausgedrückt haben. Das elektrische Feld im System xyz ist in der Näherung identisch mit dem elektrischen Feld im System xyz, denn es gilt
Das Magnetfeld , welches das Elektron aufgrund seiner Relativbewegung zum Kern wahrnimmt, hat zur Folge, dass das Elektron in den beiden Spinzuständen, die durch die Quantenzahl charakterisiert sind, verschiedene Energie hat. Die Aufspaltung ist nach (13.17) gegeben durch
Mit (14.5), und erhalten wir
Dieser Ausdruck ist nicht ganz korrekt, da wir angenommen haben, dass sich das Elektron geradlinig bewege. Da das Elektron aufgrund des Spins einen kleinen Kreisel darstellt, spielt es eine Rolle, ob es geradeaus läuft oder den Atomkern umkreist, wie von Llewellyn Thomas um 1926 gezeigt wurde. Die Berücksichtigung dieser sogenannten Thomas-Präzession reduziert die Aufspaltung um einen Faktor zwei1. Demzufolge lautet die korrekte Formel2
Die Energiedifferenz wird Spin-Bahn-Aufspaltung genannt, weshalb wir den Index SB hinzugefügt haben. Den oberen Index s haben wir durch den oberen Index semi ersetzt, der andeuten soll, dass unsere Herleitung semiklassisch erfolgte. Diese Spin-Bahn-Aufspaltung erklärt insbesondere die Aufspaltung der Spektrallinien beim Wasserstoffatom und die Aufspaltung der Natrium-D-Linie.
Ausgehend von der Formel (14.5) für die Spin-Bahn-Aufspaltung schätzen wir die Grössenordnung der Spin-Bahn-Kopplung auf der Grundlage des Bohrschen Atommodells (siehe Kapitel 8) für ein Einelektronenatom ab. D.h. wir nehmen an, dass das Elektron den Kern (Ladung ) auf einer Kreisbahn mit Radius (8.27) umkreist und einen Bahndrehimpuls (11.47) besitzt. Damit ergibt sich für die Spin-Bahn-Aufspaltung die folgende Abschätzung
Einsetzen von und ergibt
wobei wir verwendet haben, dass , die Feinstrukturkonstante (siehe Gl. (8.50)) und die Rydberg-Energie eV (siehe Abschnitt 11.2.3). Da man die Spin-Bahn-Aufspaltung Feinstruktur nennt, ergibt sich in diesem Zusammenhang die Begründung des Namen Feinstrukturkonstante für .
Die bisherigen Betrachtungen beruhen im Wesentlichen auf dem Bohrschen Atommodell. Jedoch ist dieses Modell und daher auch die Ausführungen in Abschnitt 14.1 zur Spin-Bahn-Kopplung nur begrenzt gültig (siehe Abschnitt 8.6). Abhilfe schafft nur die rein quantenmechanische Beschreibung, auf die wir nun in diesem Abschnitt eingehen werden. Wir beschränken uns dabei auf die Behandlung des Wasserstoffatoms (Einelektronenatom mit Kernladungszahl ).
Zur Bestimmung des Hamilton-Operators der Spin-Bahn-Kopplung des Wasserstoffatoms stellen wir als erstes die entsprechende Hamilton-Funktion auf. Sie ist gegeben durch die Energie des magnetischen Moments (in Analogie zu Gl. (12.8))
des Elektronspins im Magnetfeld (siehe Gl. (14.5))
welches das Elektron in seinem Ruhesystem wahrnimmt. Damit ergibt sich mit , und für die Hamilton-Funktion den folgenden Ausdruck
wobei Vs/(Am) die magnetische Feldkonstante ist. Analog zu Abschnitt 14.1 reduziert die Berücksichtigung der Thomas-Präzession diesen Ausdruck um zwei und wir erhalten für den Hamilton-Operator der Spin-Bahn-Kopplung
Damit ergibt sich für den Hamilton-Operator des Wasserstoffatoms unter Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung
wobei wir den Hamilton-Operator ohne Spin-Bahn-Kopplung mit bezeichnet haben.
Ein Elektron mit Spin wird durch die Ortsvariablen , und , sowie die klassisch nicht deutbare, abstrakte Spinvariable beschrieben (siehe Kapitel 13). Diese kann nur zwei verschiedene Werte annehmen, die wir mit „“ und „“ bezeichnen. Diese Eigenschaft widerspiegelt sich auch in den Eigenwerten des Operators , welche gegeben sind durch und .
Wie zu den Ortsvariablen , und die Ortswellenfunktion gehört, ist der Spinvariablen die abstrakte Spinwellenfunktion zugeordnet. Es stellt sich nun die Frage, wie diese beiden bisher unabhängig voneinander betrachteten Systeme (Ort und Spin) kombiniert werden können. Oder in anderen Worten: Das Ziel ist, dass wir den Zustand eines Elektrons, welches durch die Variablen , , und beschrieben wird, durch eine Gesamtwellenfunktion charakterisieren können, die die Spinvariable enthält und folgendermassen zu deuten ist:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Elektron zur Zeit im Volumenelement am Ort () mit dem Wert der Spinvariablen antrifft. Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass man das Elektron zur Zeit im besagten Volumenelement antrifft entweder mit dem Wert „“ oder „“ der Spinvariablen gegeben durch
Dieser Ausdruck erfüllt die Normierungsbedingung, d.h. das Integral über den gesamten Ortsraum ergibt 1.
Im Zusammenhang mit der Verknüpfung der Spinvariablen mit der Ortswellenfunktion ergeben sich wie zum Teil schon angedeutet die folgenden Fragen:
Wir werden hier auf diese Fragen eingehen. Wie in Kapitel 11 wechseln wir dazu von den kartesischen Ortskoordinaten , und zu den Kugelkoordinaten , und , d.h. das Elektron des Wasserstoffatoms wird durch die Ortskoordinaten , und und die Spinvariable charakterisiert.
Wir vernachlässigen in einem ersten Schritt die Spin-Bahn-Kopplung und werden sie erst in den nächsten Abschnitten wieder in unsere Betrachtungen einbinden. Damit ist die Frage 1 beantwortet, da in diesem Fall die Spinvariable von den Ortsvariablen , und unabhängig ist. Wir kommen nun zu den Fragen 2 und 3.
Wie erwähnt ist unser Ziel, die Wellenfunktion als Funktion der Ortswellenfunktion und der Spinwellenfunktion des Wasserstoffatoms auszudrücken. Die Frage, die sich nun stellt, ist nach welchen Kriterien wir dabei vorgehen müssen. Dabei wird sich die Tatsache, dass bei vernachlässigter Spin-Bahn-Kopplung die beiden Spinoperatoren und einzeln mit den Ortsoperatoren , und kommutieren, als entscheidend erweisen.
Zur Festlegung eines Kriteriums betrachten wir das Ort- und Spinsystem nochmals einzeln und untersuchen, durch was ein Zustand im jeweiligen System eindeutig bestimmt ist. Im Ortssystem gibt es verschiedene Möglichkeiten einen Zustand eindeutig festzulegen:
Analog ergeben sich für das Spinsystem die folgenden Möglichkeiten einen Zustand eindeutig festzulegen:
Daraus wird ersichtlich, dass die den Zustand beschreibende Wellenfunktion Eigenfunktion eines vollständigen Satzes kommutierender Operatoren ist. Wir haben nun also ein Kriterium gefunden, mit dem wir die Gesamtwellenfunktion in Verbindung mit der Ortswellenfunktion und der Spinwellenfunktion bringen können.
Der naheliegendste Ansatz für einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren für das Gesamtsystem (Ort und Spin) ist, den vollständigen Satz der kommutierenden Operatoren des Ortssystems , und mit dem des Spinsystems und zusammenzufügen. Tatsächlich ist dies bei vernachlässigter Spin-Bahn-Kopplung der richtige Ansatz, da in diesem Fall das Ort- und Spinsystem zwei unabhängige Systeme darstellen und daher die Spinoperatoren und einzeln mit den Ortsoperatoren , und kommutieren. Folglich ist die Gesamtwellenfunktion so durch die Ortswellenfunktion und Spinwellenfunktion auszudrücken, dass diese gleichzeitig Eigenfunktion der Operatoren , , , und ist.
Aufgrund der Unabhängigkeit von Ort- und Spinsystem ist nun auch dieser letzte Schritt einfach. Wir werden zeigen, dass sich sich die Gesamtwellenfunktion als Produkt von Ortswellenfunktion und Spinwellenfunktion schreiben lässt, d.h. dass
Wir überprüfen die Richtigkeit dieser Darstellung, indem wir die Operatoren , , , und auf die durch (14.20) definierte Funktion anwenden:
Aufgrund der vernachlässigten Spin-Bahn-Kopplung ist der Hamilton-Operator nach (11.6) gegeben durch
und hängt folglich nicht von der Spinvariable , sondern nur von den Ortsvariablen , und ab. Daher wirkt nur auf den ortsabhängigen Teil der Wellenfunktion , d.h. wir erhalten mit (11.85)
Analog erhalten wir mit (11.93)
Analog erhalten wir mit (11.94)
Analog erhalten wir mit (13.11)
Analog erhalten wir mit (13.10)
Somit ist die Richtigkeit der Darstellung (14.20) der Gesamtwellenfunktion gezeigt: Die Gesamtwellenfunktion ist das Produkt aus Ortswellenfunktion und Spinwellenfunktion . Dies ist die Antwort auf die Frage 2. Diese Begründung der Gesamtwellenfunktion zeigt zudem, dass Erwartungswerte, Eigenwerte und Eigenfunktionen von Operatoren für das Gesamtsystem Ort und Spin sich aufgrund der Tatsache berechnen lassen, dass Spinoperatoren nur auf die Spinwellenfunktion wirken und die Ortsoperatoren nur auf die Ortswellenfunktion .
Es wird sich im Hinblick auf die quantenmechanische Behandlung der Spin-Bahn-Kopplung (siehe Abschnitt 14.2.4) und die Betrachtung von Mehrelektronenatomen (siehe Kapitel 16) als hilfreich erweisen, den Gesamtdrehimpuls einzuführen:
Definition 14.1 Der Gesamtdrehimpuls eines Einelektronensystems ist definiert als Summe von Bahndrehimpuls und Spin
Der entsprechende Gesamtdrehimpulsoperator ergibt sich analog zu
Die im letzten Abschnitt 14.2.2 kennengelernten Produktwellenfunktionen sind zwar auch Eigenfunktionen der z-Komponente des Gesamtdrehimpulsoperators zum Eigenwert , jedoch nicht vom Quadrat des Gesamtdrehimpulsoperators , da
Jedoch ist es für die zu Beginn erwähnten Fragestellungen von Vorteil mit Zuständen zu rechnen, die auch Eigenfunktion von sind. Wir wechseln daher vom bisherigen vollständigen Satz kommutierender Operatoren , , , und zum neuen ebenfalls vollständigen Satz kommutierender Operatoren , , , und und suchen die entsprechenden Eigenfunktionen mit den Eigenwerten , , , und . D.h. unsere Aufgaben sind:
Wir verzichten hier auf eine ausführliche Herleitung und geben direkt die Lösung für das Wasserstoffatom an3:
dabei haben wir für eine bessere Übersichtlichkeit auf das Aufführen der unabhängigen Variablen , , , und verzichtet.
Wir betrachten als Beispiel den -Zustand, d.h. und . Die Quantenzahl kann dann die beiden Werte und annehmen. Die entsprechenden Eigenfunktionen sind in Tab. 14.1 dargestellt und Abb. 14.2 zeigt die graphische Darstellung der entsprechenden Gesamtdrehimpulsvektoren im Bezug zur z-Achse.
Bevor wir auf die rein quantenmechanische Behandlung eingehen werden, befassen wir uns mit einem weiteren semiklassischen Modell der Spin-Bahn-Kopplung.
Als erstes drücken wir den Hamilton-Operator , welcher die Spin-Bahn-Kopplung beschreibt, durch den Gesamtdrehimpulsoperator aus und zeigen, dass die Wellenfunktionen Eigenfunktionen von sind. Da die Operatoren und kommutieren, gilt
und damit
Einsetzen in (14.17) liefert
und damit
Damit sind die Eigenfunktionen Eigenfunktionen des Hamilton-Opera-tors mit den Eigenwerten
wobei die Spin-Bahn-Kopplungskonstante gegeben ist durch
Indem wir den klassischen Bahnradius stehengelassen und in die Spin-Bahn-Kopplungskonstante integriert haben, sind wir an dieser Stelle von der rein quantenmechanischen Behandlung abgekommen und zu einer semiklassischen Betrachtung übergegangen.
Die Wellenfunktionen sind Eigenfunktionen des Hamilton-Opera-tors zum Eigenwert . Mit (14.37) ergibt sich somit für die Eigenwerte des Gesamt-Hamilton-Operators und damit für die Energiewerte des Wasserstoffatoms unter Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung
wobei wir für die Energiewerte neu die Indizes und eingeführt haben. Wir werden als nächstes diese semiklassische Betrachtung fortsetzen und die daraus abgeleiteten Konsequenzen für das Energiediagramm des Wasserstoffatoms betrachten.
Die Energiewerte des Wasserstoffatom hängen neu zusätzlich von den Quantenzahlen und ab. Für feste Quantenzahlen und ergibt sich mit Ausnahme für die -Zustände () damit eine Aufspaltung in zwei Energiewerte und . Die Energiedifferenz dieser beiden Zustände ist gegeben durch
Wir führen nun eine neue in der Literatur übliche Symbolik für die Benennung der Zustände ein:
Ein Zustand mit Hauptquantenzahl , Bahndrehimpulsquantenzahl , Spinquantenzahl und Gesamtdrehimpulsquantenzahl erhält folgende Bezeichnung
wobei für jeweils der entsprechende Buchstabe , , ... einzusetzen ist.
In Tab. 14.2 sind die Zustände und die entsprechenden Energiewerte des Wasserstoffatoms () für die Hauptquantenzahlen = 1, 2 und 3 zusammengestellt. Das entsprechende Energiediagramm (siehe Abb. 14.3) lässt die Spin-Bahn-Kopplung-Aufspaltung für Zustände mit Bahndrehimpulsquantenzahl erkennen.
Da wir die wesentlichen Merkmale der Spin-Bahn-Kopplung und deren Auswirkungen auf das Energiediagramm des Wasserstoffatoms bereits mit unserem semiklassischen Modell beschreiben konnten, werden wir nur einen kurzen Überblick über die wesentlichen Schritte und Resultate der quantenmechanischen Berechnung geben und für genauere Ausführungen auf weiterführende Literatur [11] verweisen.
Die rein quantenmechanische Behandlung erfolgt innerhalb der Rayleigh-Schrödinger-Störungstheorie indem man vom Hamilton-Operator ausgeht und den Hamilton-Operator der Spin-Bahn-Kopplung als Störung einführt. Die Energieverschiebung in 1. Ordnung ist dabei durch den Erwartungswert gegeben4. Mit (14.17) und erhalten wir
Wir verzichten auf die Berechnung des Erwartungswerts und geben hier nur das Resultat wider. Es ergibt sich
Einsetzen in (14.42) liefert
Es sei bemerkt, dass dieser Ausdruck für divergiert und daher nur für gilt. Für verschwindet . Damit ergeben sich unter Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung die folgenden Energiewerte für das Wasserstoffatom
Wir haben bisher davon gesprochen, dass die Spin-Bahn-Kopplung für die Fein-struktur verantwortlich ist. Um genau zu sein, ist dies nicht ganz korrekt, da neben der Energiekorrektur , bewirkt durch die Spin-Bahn-Kopplung, noch zwei weitere Korrekturterme existieren. Alle drei Korrekturen werden unter dem Namen relativistische Korrekturen zusammengefasst und bewirken die Feinstrukturaufspaltung. Wir geben als nächstes eine kurze Auflistung der beiden zusätzlichen Korrekturterme an und gehen dann auf die Gesamtlösung für die relativistisch korrigierten Energiewerte des Wasserstoffatoms ein.
Bisher haben wir das Elektron als nicht-relativistisches Teilchen betrachtet. Entwickelt man jedoch den relativistischen Ausdruck für die Energie für kleine Werte von ergibt sich
Terme höherer Ordnung können vernachlässigt werden, wenn , d.h. , was beim Wasserstoffatom für kleine Werte der magnetischen Quantenzahl gegeben ist. Damit ergibt sich zum Hamilton-Operator als Störung der relativistische Hamilton-Operator
Die entsprechende Energiewertkorrektur 1. Ordnung ist gegeben durch
Das Elektron des Wasserstoffatoms ist nicht genau lokalisiert sondern schwankt bzgl. seiner Position im Bereich von . Diese „Zitterbewegung“ wird durch den zusätzlichen Hamilton-Operator berücksichtigt, welcher gegeben ist durch
wobei den Diracschen Deltaoperator in drei Dimensionen bezeichnet. Damit ergibt sich in 1. Ordnung der folgende Korrekturterm
D.h. der Darwin-Term liefert nur einen Beitrag für .
Die drei Korrekturen , und führen zusammen zu folgendem Ausdruck für die Energiewerte des Wasserstoffatoms unter Berücksichtigung relativistischer Korrekturen
D.h. die Energiewerte des Wasserstoffatoms hängen nur von den Quantenzahlen und , aber nicht von der Bahndrehimpulsquantenzahl ab5. Die Berücksichtigung aller drei relativistischen Korrekturen liefert also eine Korrektur gegenüber dem Ausdruck (14.45) für die Energiewerte des Wasserstoffatoms unter Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung. Die korrigierten Energiewerte zu den Zuständen des Wasserstoffatoms für die Hauptquantenzahlen = 1, 2 und 3 sind in Tab. 14.3 zusammengestellt. Das entsprechende Energiediagramm (siehe Abb. 14.4) gibt die Feinstrukturaufspaltung beim Wasserstoffatom wieder.
Neben diesen relativistischen Korrekturen, welche für die Feinstrukturaufspaltung des Wasserstoffatoms verantwortlich sind, ergeben sich noch weitere Korrekturen, wenn man noch zusätzlich den Kern-Spin berücksichtigt. Diese Korrekturen bestimmen die sogenannte Hyperfeinstruktur.
In Kapitel 12 haben wir den sogenannten normalen Zeeman-Effekt besprochen, d.h. den Effekt eines homogenen externen Magnetfelds auf die Energieniveaus und damit das Spektrum des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung des Elektronspins. Wir berücksichtigen nun den Elektronspin, d.h. wir betrachten den Effekt eines homogenen externen Magnetfelds auf die Energieniveaus (siehe Gl. (14.51)) des Wasserstoffatoms.
Der Gesamt-Hamilton-Operator setzt sich nun aus den drei relativistischen Korrekturen , und , sowie dem Zeeman-Term zusammen. Mit , (13.16) und (13.18) ist gegeben durch
wobei wir angenommen haben, dass . Wir beschränken uns hier auf den Fall kleiner Magnetfelder, d.h. T. In diesem Fall können wir den Zeeman-Term als Störung gegenüber dem Hamilton-Operator betrachten und die durch das homogene externe Magnetfeld bewirkte Energieverschiebung mittels Rayleigh-Schrödinger-Störungstheorie berechnen. Dann ist gegeben durch den Erwartungswert des Zeeman-Terms6 und wir erhalten mit (14.52)
Wir verzichten hier auf die Berechnung des Erwartungswerts und geben direkt das Resultat für an
Für genaue Ausführungen verweisen wir auf weiterführende Literatur [11]. Einsetzen in (14.53) liefert
wobei der Landé-Faktor gegeben ist durch
Wir fassen zusammen:
Für die Energiewerte des Wasserstoffatoms unter Berücksichtigung relativistischer Korrekturen im homogenen externen Magnetfeld ergibt sich das folgende Schlussresultat
wobei der Landé-Faktor gegeben ist durch
Abb. 14.5 zeigt die durch den anomalen Zeeman-Effekt bewirkte Aufspaltung der Zustände , und des Wasserstoffatoms.
Das Modell zeigt damit in Übereinstimmung mit dem Experiment, dass die Spin-Bahn-Aufspaltung mit steigender Kernladungszahl zunimmt und für den Wert null für die Bahndrehimpulsquantenzahl verschwindet. Zudem liefert es die Grössenordnung für die Spin-Bahn-Aufspaltung. Für den -Zustand des Wasserstoffatoms erhalten wir zum Beispiel einen Wert von der Grössenordnung eV.
D.h. für feste Quantenzahlen und ergibt sich mit Ausnahme für die -Zustände () eine Aufspaltung in zwei Energiewerte.
D.h. die Energiewerte des Wasserstoffatoms hängen nur von den Quantenzahlen und , aber nicht von der Bahndrehimpulsquantenzahl ab. Diese Aussage gilt nur für das Wasserstoffatom bzw. für Einelektronenatome und nicht für Mehrelektronenatome. Dort haben Zustände mit verschiedenen Werten für aber gleichem und unterschiedliche Energien.
wobei der Landé-Faktor gegeben ist durch
Das bedeutet, dass durch ein homogenes externes Magnetfeld die durch die Quantenzahl bewirkte Entartung der Energiewerte aufgehoben wird. Dieser Effekt wird anomaler Zeeman-Effekt genannt.