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Résumé : Les illusions optiques sont relativement bien connues, mais il existe également des illusions acoustiques. La gamme de Shepard est particulièrement intéressante : en l’écoutant on a le sentiment que la hauteur des notes augmente indéfiniment. En réalité, ce sont toujours les mêmes ; en modifiant l’enveloppe on crée une illusion étonnante.
Mots-clés : Illusion. Son. Amplitude. Fréquence. Note. Enveloppe.
L’exercice s’inspire du livre Exploring Mathematics with Mathematica de Theodore W. Gray et Jerry Glynn, Addison-Wesley, 1991.
Lors d’une exposition à l’Exploratorium museum de San Francisco, les auteurs du livre ont assisté à l’expérience suivante : il y avait une petite cabine avec douze boutons disposés en cercle. En enfonçant un bouton, on obtient un son. Si l’on part du bouton disposé au sommet du cercle, et que l’on enfonce les autres boutons successivement dans le sens des aiguilles d’une montre, chaque bouton produit un son à chaque fois plus élevé que le précédent. L’aspect amusant réside dans le fait que le bouton du haut produit lui-même un son plus haut que précédemment.
Que se passe-t-il si l’on poursuit l’expérience en effectuant deux, trois ou quatre tours ? Le résultat est étonnant : le son est chaque fois plus élevé ; on peut commencer où l’on veut, si l’on va dans le sens des aiguilles d’une montre le son monte indéfiniment ; le nombre de tours est quelconque.
On peut voir une analogie avec les escaliers montant indéfiniment d’Escher. De la même manière qu’Escher a produit une illusion visuelle, on peut réaliser une illusion acoustique. R. N. Shepard est connu pour avoir développé une théorie complète sur les sons qui porte désormais son nom.
Pour comprendre l’illusion, il faut constater que les sons sont joués lentement. Si l’on joue plus rapidement l’illusion disparaît. Une note ou un son est composé de différentes fréquences mélangées. La hauteur d’un son dépend non seulement des fréquences des harmoniques, mais également de leur force relative.
Les sons de Shepard consistent en six harmoniques mélangées. L’harmonique la plus forte est au centre, alors que la plus haute et la plus basse sont plus douces. Le son suivant a toutes ses harmoniques décalées vers le haut en fréquences. Le son est plus haut. Au même instant les harmoniques les plus hautes sont rendues plus douces et les plus basses, plus fortes. Malgré ceci le son est plus haut. C’est l’astuce utilisée pour donner l’illusion acoustique.
Lorsque l’on passe d’un son au suivant, les harmoniques sont plus hautes, les harmoniques les plus élevées sont plus douces et les harmoniques les plus basses sont plus fortes. Après un cycle de douze sons, les harmoniques les plus hautes ont presque totalement disparu et une nouvelle est apparue au bas très doucement. On est au point de départ.
Le but du problème est de réaliser une illusion acoustique sur le modèle de Shepard. On peut également y trouver une analogie avec les cylindres qui tournaient devant les pharmacies (il y longtemps déjà).
Indications. La première décision à prendre concerne les six harmoniques : on part avec un do à f1 = 263Hz. La prochaine harmonique est f2 = 2 × f1 = 526Hz etc.
La deuxième décision à prendre concerne la façon dont l’amplitude des harmoniques varie lorsque la fréquence varie : les harmoniques basses doivent être faibles, celles du milieu fortes et les hautes faibles. On cherche donc une courbe en forme de bosse. Shepard suggère une enveloppe cosinusoïdale inversée dans un espace logarithmique. Plus simplement, une courbe ressemblant à un cosinus avec l’axe x en unités logarithmiques par rapport à la fréquence.
En observant un cosinus dans l’intervalle donné par les fréquences :
En prenant le logarithme de la fréquence, on trouve quelque chose qui n’oscille pas :
On se souvient que l’on veut une courbe qui vaut 0 lorsque la fréquence f est à 263Hz. On peut l’obtenir en soustrayant log(263) à l’intérieur du cos (on alors le cos à 1 lorsque f = 263Hz) et en l’enlevant de 1 :
La courbe ne descend pas suffisamment rapidement vers 0 lorsque la fréquence augmente. On doit multiplier par quelque chose qui donne comme argument du cos la valeur 2π lorsque la f = 8416. La solution est : 2π∕(log(8416) - log(263)).
En prenant un échelle logarithmique pour la fréquence f et en ajoutant les fréquences des harmoniques, on obtient alors :
Lorsque le son est créé, il reste à définir l’enveloppe pour l’amplitude de ce son (on veut entendre ce son relativement fort au début pendant un temps bref puis l’amplitude tend vers 0 pendant un temps plus long). On peut prendre, par exemple, une enveloppe comme suit : (log(t + 0.001) - log(0.001))e(-8t).
La solution actuellement proposée est donnée par les fichiers MatLab : ShepardDemo.m, harmonicAmplitude.m, envelope.m et tone.m.