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Travaux en mathématiquesLa qualité extraordinaire de ses travaux scientifiques était déjà reconnue par ses contemporains. Dès 1856, le roi de Hanovre fit graver des pièces commémoratives avec l'image de Gauss et l'inscription Mathematicorum Principi ("prince des mathématiciens" en latin). Gauss n'ayant publié qu'une partie infime de ses découvertes, la postérité découvrit la profondeur et l'étendue de son oeuvre uniquement lorsque son journal intime, publié en 1898, fut découvert et exploité.
Considéré par beaucoup comme distant et austère, Gauss détestait enseigner et collabora rarement avec d'autres mathématiciens. Malgré cela, plusieurs de ses étudiants devinrent de grands mathématiciens, notamment Richard Dedekind et Bernhard Riemann.
Gauss étudia pratiquement tous les domaines des mathématiques : probabilités, géométrie, algèbre, théorie des nombres, etc.
Dans le domaine des probabilités, son nom demeure attaché à la loi normale, dite aussi loi de Laplace-Gauss, dont la répartition est décrite par la fameuse courbe en cloche, appelée également courbe de Gauss. Cette loi statistique intervient dans les processus aléatoires continus.
En géométrie, Gauss se distingua dans plusieurs domaines. En 1796, il découvrit une solution au problème de construction d'un polygone régulier de 17 côtés, à la règle et au compas. Poursuivant ses investigations, il démontra que la construction, à la règle et au compas, d'un polygone régulier comportant un nombre impair de côtés n'était possible que pour un nombre égal à l'un des nombres premiers 3, 5, 17, 257 ou 65 537, ou à un produit de ces nombres. Par ailleurs, il s'intéressa à la géométrie des surfaces courbes, développée en termes de coordonnées intrinsèques, dites gaussiennes. Cette géométrie particulière, qui ne tient pas compte de l'espace dans lequel se trouve la figure géométrique à étudier, fut à l'origine d'une réflexion plus vaste sur les premiers espaces courbes non-euclidiens.
En algèbre, il proposa une première démonstration du théorème fondamental de l'algèbre, qui stipule que le nombre des racines d'une équation algébrique est égal au degré de cette équation. Ce théorème, dont la démonstration avait résisté aux mathématiciens les plus célèbres, est aussi appelé aujourd'hui le théorème de d'Alembert-Gauss (voir Algèbre ; Équations, théorie des). Gauss étudia également certaines séries particulières, les séries hypergéométriques, dont il donna des conditions rigoureuses de convergence.
En théorie des nombres, Gauss se révéla très précoce. Encore étudiant, il retrouva de manière rigoureuse les principaux résultats connus depuis Euclide. Puis, il proposa une représentation géométrique des nombres complexes comme points du plan, utilisant ce résultat pour traiter l'équation complexe.
Gauss publia peu de son vivant, mis à part un traité d'arithmétique Disquisitiones arithmeticae (1801), un ouvrage de géométrie Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827) et une Théorie générale du magnétisme terrestre (1839). Bon nombre de ses idées, comme celles relatives à la géométrie non-euclidienne, ne figurent ainsi que dans sa correspondance.