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Hans Walser, [20181003]
Zylinder
Vereinigung und Durchschnitt von mehreren symmetrisch liegenden Zylindern. Die Zylinder haben endliche Hšhen.
Eine Bildergalerie.
Die Abbildung 1 zeigt drei paarweise orthogonale Zylinder. Sie orientieren sich an den Diagonalen eines Oktaeders.
Abb. 1: Drei Zylinder
Die Abbildung 2 zeigt ebenfalls die drei paarweise orthogonalen Zylinder. Der Zylinderdurchmesser ist gleich der Zylinderhšhe. Die Zylinderkanten berźhren sich.
Abb. 2: Drei Zylinder
Die Abbildung 3 zeigt den Durchschnitt dieser drei Zylinder.
Abb. 3: Durchschnitt der drei Zylinder
Wir haben sozusagen 12 krumme Rhomben. Ein gekrźmmtes Rhombendodekaeder also. Die Figur hat in den drei Blickrichtungen der Oktaederdiagonalen, also von vorne, von der Seite und von oben, je einen kreisfšrmigen Umriss.
Die Figur kann auch additiv gesehen werden: einem Wźrfel werden sechs Kreuzgewšlbe auf gesetzt. Die Abbildung 4 zeigt den Wźrfel mit dem oben aufgesetzten Kreuzgewšlbe.
Abb. 4: Wźrfel mit aufgesetztem Kreuzgewšlbe
Die Abbildung 5 gibt die Sicht der Abbildung 3 von oben. Den grźnen, senkrechten Zylinder der Abbildungen 1 bis 3 sehen wir jetzt projizierend, das hei§t nicht mehr.
Wer da eine Kugel sieht, sieht falsch.
Abb. 5: Sicht von oben
In der Abbildung 6 ist der Zylinderradius um den Faktor vergrš§ert. Die Zylinderkanten schneiden sich, je drei in einem Punkt.
Abb. 6: Vergrš§erter Radius
Der Durchschnitt dieser drei Zylinder ist ein Wźrfel (Abb. 7).
Abb. 7: Der Durchschnitt ist ein Wźrfel
Die vier Zylinder der Abbildung 8 orientieren sich an den Raumdiagonalen eines Wźrfels. Die vier Raumdiagonalen des Wźrfels schneiden sich paarweise unter demselben spitzen Winkel, nŠmlich arccos(1/3), etwa 70.53ˇ.
Abb. 8: Vier Zylinder als Wźrfeldiagonalen
In der Abbildung 9 berźhren sich die Zylinderkanten.
Abb. 9: Vier Zylinder
Die Abbildung 10 zeigt den Durchschnitt der vier Zylinder. Wir haben 24 gekrźmmte Drachenvierecke. Die Figur hat in den vier Blickrichtungen der Wźrfeldiagonalen einen kreisfšrmigen Umriss. Der Autor gesteht, dass es diese Figur war, um derentwillen er die vorliegende Studie gemacht hat.
Abb. 10: Durchschnitt der vier Zylinder
Die Figur besteht aus 12 einem Rhombendodekaeder aufgesetzten schiefwinkligen Kreuzgewšlben. Die Abbildung 11 zeigt das Rhombendodekaeder mit einem aufgesetzten Kreuzgewšlbe.
Abb. 11: Rhombendodekaeder mit aufgesetztem Kreuzgewšlbe
Die Abbildung 12 zeigt die Sicht der Abbildung 10 lŠngs einer Wźrfeldiagonale. Es ist in der Abbildung 8 die Wźrfeldiagonale mit dem grźnen Zylinder, den wir jetzt projizierend sehen.
Wer da eine Kugel sieht, sieht falsch.
Abb. 12: Sicht lŠngs einer Wźrfeldiagonalen
In der Abbildung 13 ist der Zylinderradius verdoppelt. Die Zylinderkanten schneiden sich.
Abb. 13: Verdoppelung des Radius
Als Durchschnitt ergibt sich ein Oktaeder (Abb. 14).
Abb. 14: Durchschnitt ein Oktaeder
Die sechs Zylinder der Abbildung 15 orientieren sich an den Raumdiagonalen durch den Mittelpunkt eines Ikosaeders. Die Raumdiagonalen schneiden sich paarweise unter demselben Winkel, nŠmlich arctan(2), also etwa 63.43ˇ.
Abb. 15: Sechs Zylinder als Diagonalen im Ikosaeder
In der Abbildung 16 berźhren sich die Zylinderkanten.
Abb. 16: Sechs Zylinder
Die Abbildung 17 zeigt den Durchschnitt der sechs Zylinder. Wir haben 60 gekrźmmte Drachenvierecke.
Die Figur kann auch gesehen werden als Rhombentriakontaeder mit 30 aufgesetzten schiefen Kreuzgewšlben.
Die Figur hat in den sechs Blickrichtungen der Ikosaederdiagonalen einen kreisfšrmigen Umriss.
Abb. 17: Durchschnitt der sechs Zylinder
In der Abbildung 18 sehen wir in Richtung der magenta Ikosaederdiagonalen der Abbildung 15.
Wer da eine Kugel sieht, sieht falsch.
Abb. 18: Sicht in Richtung einer Ikosaederdiagonalen
In der Abbildung 19 schneiden sich je drei Zylinderkanten.
Abb. 19: Je drei Zylinderkanten schneiden sich
Als Durchschnitt ergibt sich ein regulŠres Dodekaeder (Abb. 20).
Abb. 20: RegulŠres Dodekaeder
Die zehn Zylinder der Abbildung 21 orientieren sich an den Raumdiagonalen durch den Mittelpunkt eines Dodekaeders.
Die zehn Diagonalen schneiden sich nicht paarweise unter je dem gleichen Winkel. Es gibt Diagonalen, zum Beispiel rot und zyanfarben, die sich unter einem spitzen Winkel von arcsin(2/3), also etwa 41.81ˇ schneiden, und solche, zum Beispiel rot und grźn, die einen spitzen Schnittwinkel von arccos(1/3), etwa 70.53ˇ haben (wie beim Wźrfel).
Abb. 21: Die zehn Mittelpunktdiagonalen des Dodekaeders
In der Abbildung 22 berźhren sich die Zylinderkanten.
Abb. 22: Die Zylinderkanten berźhren sich
Die Abbildung 23 zeigt den Durchschnitt der zehn Zylinder. Wir haben nun zwei verschiedene Vierecktypen.
Abb. 23: Durchschnitt der zehn Zylinder
Die Abbildung 24 gibt die Sicht lŠngs der (hell-)roten Diagonale der Abbildung 21. Der Umriss der Figur ist in dieser Sicht ein Kreis.
Wer da eine Kugel sieht, sieht falsch.
Abb. 24: Spezielle Sicht. Umriss ein Kreis
Vergrš§erung des Zylinderradius fźhrt zum Ikosaeder (Abb. 25). Wer hŠtte das gedacht!
Abb. 25: Ikosaeder