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Les fluides visqueux incompressibles font partie de notre vie quotidienne sans que nous en prenions nécessairement conscience. L’exemple le plus évident est celui de l’eau, qui accompagne nos gestes les plus ordinaires : le café ou le thé que nous buvons, les bains, la pluie qui nous mouille, etc. L’eau est omniprésente : aussi bien dans la nature (océans, rivières, lacs) que dans les applications techniques comme les turbines hydrauliques, les conduites forcées, la conception des bateaux. Aux yeux du mécanicien des fluides, elle est l’exemple typique du fluide visqueux newtonien incompressible. Ce caractère newtonien est explicité dans la suite.
Certains fluides incompressibles ont des comportements rhéologiques spécifiques différents de celui de l’eau, comme par exemple, le sang, les polymères fondus, les fluides agro-alimentaires, les boues, les sédiments, etc. Ce sont les fluides non newtoniens. Certains d’entre eux sont viscoélastiques et présentent des effets de mémoire comme le fluage, c’est-àdire une déformation permanente induite par une force constante dans le temps, et la relaxation de contraintes, c’est-à-dire un effort qui s’atténue exponentiellement au cours du temps pour maintenir une déformation constante.
Les fluides visqueux incompressibles conduisent à un modèle mathématique décrit par les équations de Navier-Stokes qui sont des équations aux dérivées partielles du second ordre. Ces équations sont non linéaires au sens où la combinaison linéaire de deux solutions n’est pas elle-même une solution. Du point de vue physique, on peut montrer que les équations de Navier-Stokes constituent pour le fluide visqueux l’extension de la mécanique de Newton qui énonce le principe de conservation de la quantité de mouvement : la masse fois l’accélération est égale à la somme des forces appliquées. Pour le fluide, l’accélération se compose de deux termes : l’accélération locale et le terme convectif ou advectif. Ce dernier représente le transport du champ de vitesse par lui-même; il est responsable de la non-linéarité des équations, source des instabilités d’écoulements et des phénomènes turbulents. Les forces appliquées comprennent le gradient de pression, la diffusion visqueuse et les forces de volume telle que la gravité.
Afin d’obtenir les équations de Navier-Stokes, on se fonde sur les concepts de la mécanique des milieux continus qui sont exposés par exemple dans la monographie de Botsis et Deville. La notion d’équation de comportement ou équation constitutive est centrale car elle relie le tenseur des contraintes, c’est-à-dire les forces par unité de surface à la pression et au gradient de vitesse. Le fluide newtonien se caractérise par une relation linéaire du tenseur des contraintes en fonction du tenseur des gradients de vitesse. Dès que cette relation se présente sous forme non linéaire, on se trouve dans le domaine des fluides non newtoniens. Dans l’équation constitutive newtonienne, apparaît le coefficient de viscosité qui qualifie le frottement des couches fluides entre elles. On notera que contrairement à ce qui se passe pour les fluides compressibles comme l’air, où la pression est une variable thermodynamique, la pression du fluide incompressible résulte de l’imposition au champ de vitesse d’effectuer un mouvement isochore (à volume constant). Ceci revient à écrire que la divergence de la vitesse est nulle. La pression est le champ scalaire qui va assurer que la vitesse est solénoïdale.
Les concepts et techniques indispensables à la modélisation numérique du comportement des fluides incompressibles
L’ouvrage de Mejdi Azaïez, Michel Deville et Ernest Mund est dédié à la résolution des équations de Stokes et de Navier-Stokes, stationnaires et instationnaires, pour les fluides incompressibles, à l’aide de la méthode des éléments finis. Il repose sur divers enseignements ainsi que sur les travaux de ses auteurs dans leurs institutions universitaires respectives. Le public auquel il s’adresse est principalement composé d’étudiants ingénieurs au niveau du master et en préparation de doctorat. Il s’adresse aussi aux ingénieurs travaillant dans l’industrie ou dans des centres de recherche, qui utilisent des logiciels de mécanique des fluides appliquant des méthodes d’éléments finis. L’ouvrage a été conçu en supposant que le lecteur possède des connaissances de base en analyse mathématique, en mécanique des fluides – d’un point de vue physique – et en méthodes numériques. Dans ce domaine cependant, le lecteur trouvera dans le chapitre 2 du livre un exposé résumant les notions fondamentales d’algèbre linéaire ainsi que les algorithmes les plus utilisés pour la résolution de grands systèmes algébriques. Cet exposé a été placé en tête de l’ouvrage afin de ne pas rompre le fil conducteur du sujet proprement dit. Mais aussi, afin de faire prendre conscience au lecteur de l’importance de ces algorithmes et des notions qui les accompagnent.
La mécanique des fluides numérique est devenue un instrument essentiel pour l’analyse du comportement des fluides qui nous entourent que ce soit dans l’environnement ou à travers les activités industrielles, lorsque ces fluides sont soumis à des contraintes. La place de cet instrument en tant qu’outil de connaissance ne fera qu’augmenter dans les années à venir grâce aux progrès constants des moyens de calcul permettant de repousser sans cesse les limites du savoir, ainsi qu’à la diversité toujours croissante des besoins et des applications. Les fluides incompressibles (tels l’eau, le sang, le verre fondu, la pâte dentifrice ou la lave en fusion) constituent à eux seuls une classe très variée de milieux à modéliser par voie numérique. Chacun de ces fluides possède des lois de comportement qui lui sont propres. C’est spécifiquement aux fluides newtoniens que ce livre s’intéresse. Les fluides non newtoniens et viscoélastiques constituent un vaste domaine qui pourrait être l’objet d’une autre monographie.
Eléments finis, fluides incompressibles et l’articulation entre les deux, forment le cœur de l’ouvrage. La méthode des éléments finis constitue un puissant outil de calcul dont les bases théoriques sont très solides. Elle est abordée ici sous un angle pratique et avec une présentation des algorithmes les plus simples à mettre en œuvre. Bien que s’adressant à un public soucieux d’applications, les auteurs ont souhaité ne pas faire trop de concessions à la facilité. Ils ont voulu profiter de cette occasion pour « apprivoiser » un public d’étudiants ingénieurs (et les ingénieurs engagés dans la vie professionnelle) en ce qui concerne les concepts abstraits couramment utilisés en éléments finis, qui envahissent la littérature mathématique et ne sont plus réservés qu’aux seuls initiés.
L’ouvrage se veut autonome. Il est articulé grosso modo en trois parties. Une première partie introduit les fluides incompressibles (chap. 1) et, comme annoncé plus haut, présente un condensé de notions et d’algorithmes d’algèbre linéaire numérique (chap. 2). La deuxième partie introduit la méthode des éléments finis (chap. 3 et 5) et les méthodes d’intégration dans le temps pour les problèmes instationnaires (chap. 4 et 6). Enfin, la dernière partie est consacrée à la résolution des équations de Stokes et de Navier-Stokes stationnaires et instationnaires avec de nombreuses applications aux fluides newtoniens incompressibles (chap. 7-9).
Le fil conducteur est le suivant : on traite d’abord les problèmes unidimensionnels (variable spatiale, puis variable temps) qui permettent de pousser les détails relativement loin avec une certaine économie de notations. Ensuite vient le traitement des cas multidimensionnels (variable spatiale, puis variable temps) pour lesquels on profite au maximum des acquis du cas unidimensionnel. Plusieurs chapitres comportent des exercices. Ceux-ci constituent un élément important de l’aspect didactique. Certains exercices amènent le lecteur à pousser la réflexion méthodologique un peu plus loin et à se prouver à eux-mêmes qu’ils en ont saisi les bases. D’autres exercices sont plutôt conçus dans le but de mettre la méthodologie en pratique sur un cas concret. Ces exercices-là sont au moins aussi importants, si pas plus que les premiers.
On peut adopter différentes façons de lire cet ouvrage. Ainsi, par exemple, la lecture du chapitre 2 n’a rien de prioritaire et peut être repoussée après celle des chapitres formant la partie éléments finis de l’ouvrage. Dans le chapitre 3, la section 3.12 consacrée aux concepts avancés peut être hardiment mise de côté par les lecteurs peu désireux d’entrer dans les détails de la théorie. Ceux d’entre les lecteurs qui maîtrisent suffisamment les bases de la méthode des éléments finis à une dimension spatiale pourront passer directement au chapitre 5. En définitive, il revient à chacun de choisir en fonction de ses connaissances et de ses besoins, le chemin à suivre pour parcourir le « domaine ». Après avoir lu l’ouvrage jusqu’au bout, un lecteur devrait pouvoir construire à partir du début, un code éléments finis pour résoudre un problème concret dans une géométrie tridimensionnelle relativement simple, dont la solution pourrait être comparée à une valeur de référence. Nous ne pourrions pas avoir de plus grande satisfaction que celle d’apprendre par la suite que la promenade fut non seulement instructive et utile, mais aussi agréable.
Extrait du titre Eléments finis pour les fluides incompressible de Mejdi Azaïez, Michel Deville, Ernest Mund.
Publié aux Presses polytechniques et universitaires romandes