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Hans Walser, [20110228a]
Herzkurve
Ein Algorithmus zur Konstruktion des Eckenschwerpunktes von regelm§igen Vielecken fhr zu einer Herzkurve. Es handelt sich dabei nicht um die Kardioide.
Die Abbildung 1 illustriert einen Algorithmus zur Konstruktion des Eckenschwerpunktes am Beispiel des regelm§igen Fnfecks. Das Verfahren funktioniert analog fr irgend ein Vieleck, es braucht nicht regelm§ig zu sein.
Abb. 1: Eckenschwerpunkt
Wir beginnen mit der Ecke und setzen . Dann sei der Mittelpunkt der Strecke . Den Punkt konstruieren wir so, dass er die Strecke im Verhltnis 1:2 teilt. Das Teilverhltnis ist durch einen gelben Punkt angedeutet. Allgemein sei nun derjenige Punkt, der die Strecke im Verhltnis teilt. Auf Grund der Hebelgesetze ist der Schwerpunkt der Punkte , also der ersten j Punkte. Der Punkt ist dann der Schwerpunkt S smtlicher n Punkte.
Dieses schrittweise Konstruieren des Schwerpunktes scheint etwas mhsam, vor allem, wenn man bedenkt, dass der rechnerische Weg ber die Koordinatendurchschnitte auf Anhieb und unabhngig von der Eckenzahl funktioniert. Doch der Schein trgt: Bei der Durchschnittsberechnung mssen wir zunchst die Zahlen addieren. Doch niemand kann zum Beispiel fnf Zahlen auf einen Streich addieren. Der tatschliche Rechenweg geht etwa so:
Wir addieren zunchst zwei Zahlern, zur Summe davon die dritte Zahl und so weiter. Das entspricht genau unserem Konstruktionsalgorithmus.
Die Abbildung 2 zeigt die Konstruktion fr regelm§ige Vielecke mit den Eckenzahlen . Der Schwerpunkt ist natrlich der Mittelpunkt. Ohne die Schwerpunktberlegung wre es aber nicht direkt einsehbar, dass es zum Beispiel beim Quadrat mit den Verhltnissen so schn aufgeht.
Abb. 2: Beispiele
Die Abbildung 3 zeigt das regelm§ige 16-Eck, die Abbildung 4 das 32-Eck.
Abb. 3: 16-Eck
Abb. 4: 32-Eck
Im Lichtraum zeigt sich eine halbe Herzkurve. Was fr eine Kurve ist das?
Fr ergibt sich aus den regelm§igen Vielecken als Grenzfigur der Kreis. Da die magenta Punkte jeweils Schwerpunkte der ersten Ecken dies Vieleckes sind, ergeben sich die Punkte der Herzkurve als Schwerpunkte von Kreisbgen.
Im folgenden arbeiten wir im Einheitskreis.
Wir berechnen den Ortsvektor des Schwerpunktes des Kreisbogens:
Dieser Bogen hat die Lnge T. Fr den Bogenschwerpunkt muss gelten:
Dabei ist das Bogenelement und wegen ist . Fr das Integral erhalten wir:
Somit ist:
Das lsst sich noch etwas umformen, um eine schne Polarform zu erhalten. Mit der Substitution erhalten wir:
Wegen ist .
Die halbe Herzkurve wird also beschrieben durch:
Die Abbildung 5 zeigt das 32-Eck der Abbildung 4 zusammen mit der halben Herzkurve als Grenzkurve. Die Approximation ist schon recht gut.
Abb. 5: Halbe Herzkurve
Fr ergibt sich die ganze Herzkurve. In der Abbildung 6 ist im Einheitskreis in rot die ganze Herzkurve eingezeichnet, zustzlich in grn die Kardioide. Offensichtlich ist unsere Herzkurve nicht die Kardioide.
Abb. 6: Herzkurve und Kardioide
Die Abbildung 7 zeigt das Herz.
Abb. 7: Rotes Herz