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La théorie de Galois vise à décrire les symétries algébriques des corps. Après avoir passé en revue la théorie de base (cours "Anneaux et Corps"), nous décrirons diverses applications à des problèmes classiques ainsi que des développements plus avancés.
Nous discuterons de la structure de base des groupes de Lie et des algèbres de Lie qui leur sont associées, ainsi que de leurs représentations en dimension finie, en mettant l'accent sur les groupes de Lie de matrices.
La théorie des nombres algébriques est l'étude des propriétés des solutions d'équations polynomiales à coefficients entiers. En partant de problèmes concrets, on introduit ensuite des notions plus générales : corps de nombres, entiers algébriques, unités, les groupes de classes d'idéaux...
Nous présenterons les travaux de James Maynard (MF 2022) sur l'existence d'écarts bornés entre les nombres premiers