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Aufgabe 1. Sei
eine beschränkte offene
Teilmenge. Sei
eine Norm auf
und sei die
duale Operatornorm auf dem Raum der Linearformen von
.
Sei der Vektorraum aller stetig differenzierbaren
Funktionen
mit der Eigenschaft, dass
Aufgabe 2. (Fortsetzung) Zeige, dass die Inklusion kompakt ist. ( ist der Banachraum aller stetigen Funktionen mit der Eigenschaft, dass die Norm eine reelle Zahl ist. Die stetige und lineare Abbildung heisst kompakt, wenn in das Bild einer beschränkten Teilmenge von in einen kompakten Abschluss hat.)
Aufgabe 3. Seien beschränkte offene Teilmengen in , derart dass der Abschluss von in eine Teilmenge von ist. Sei eine beschränkte Menge von harmonischen Funktionen. Sei die Menge der Einschränkungen der Funktionen in auf . Zeige, dass der Abschluss von in kompakt ist.
Aufgabe 4. Sei offen und sei holomorph, d.h., ist differenzierbar und für ist das Differential -linear. Sei auf die -Differentialform . Zeige .
Aufgabe 5. Für welche gilt: ?
Aufgabe 6. Auf
ist die Funktion
differenzierbar. Das Differential schreibt sich als Linearkombination
Berechne und . Berechne .
Aufgabe 7. Zeige, dass auf
die Reihensumme
Aufgabe 8. (Fortsetzung) Berechne für als rationale Funktion, d.h. als wobei und Polynome sind.
Aufgabe 9. Sei für
die Funktion durch
gegeben. Zeige, dass die Funktion
sich für
als Reihe
darstellen lässt. Zeige
Für
sei