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Hans Walser, [20131014]
Normalaxonometrie im Raster
Es wird eine normalaxonometrische Wrfeldarstellung im Quadratraster gesucht. Die Grundidee arbeitet mit dem pythagoreischen Dreieck mit den Seitenlngen 3, 4, 5, also dem klassischen Lehrerdreieck.
Abb. 1: Der Wrfel
Die Darstellung ist exakt, bentigt aber viel Platz. Auf einem 4mm-Raster ist es auf einem DIN A4 Papier aber gerade noch zu machen.
Die Abbildung 2 zeigt die Situation im Kontext der Einheitskugel.
Abb. 2: Einheitskugel
Wir arbeiten wie in der Schule mit den Eulerschen Winkeln und . Die Abbildung 3 zeigt die Situation im Kontext der Einheitskugel in Auf- und Kreuzriss, das hei§t von vorne und von der Seite. Die Beschriftungen sind problemangepasst und weichen von den in der darstellenden Geometrie blichen geringfgig ab.
Abb. 3: Auf- und Kreuzriss
Wir whlen nun als den kleineren der beiden spitzen Winkel im Lehrerdreieck mit den Seiten 3, 4, 5 und als den gr§eren (Abb. 4).
Abb. 4: Winkel im Lehrerdreieck
Es ist dann
Fr die Einheitsvektoren erhalten wir im in der Abbildung 3 angegebenen kartesischen -Koordinatensystem:
Es lsst sich alles auf den gemeinsamen Nenner 25 bringen. Entsprechend knnen wir mit einem Fnfundzwanzigstel-Raster arbeiten.
Fr den zeichnerisch relevanten Aufriss erhalten wir:
Damit ergibt sich die Rasterlsung der Abbildung 5.
Abb. 5: Rasterkoordinaten
Die durch die Projektion weggelassenen dritten Komponenten der Einheitsvektoren liefern die kurzen Halbachsen der in der Abbildung 2 eingezeichneten Ellipsen (Meridiane fr 90¡E und 0¡ sowie quator).
Wenn wir in den Einheitsvektoren die mittleren Komponenten ausblenden, liefern die restlichen eine zweite Rasterlsung (Abb. 6).
Abb. 6: Zweite Lsung
Durch Ausblenden der ersten Komponenten in den Einheitsvektoren erhalten wir eine dritte, etwas spezielle Rasterlsung (Abb. 7). Wir erkennen mehrfach das Lehrerdreieck.
Abb. 7: Dritte Lsung
Das htte man auch einfacher haben knnen (Abb. 8).
Abb. 8: Einfachere Lsung
Die Spaltenvektoren der Matrix
haben die Lnge 1 und sind paarweise orthogonal. Wenn nun und Winkel von pythagoreischen Dreiecken (allenfalls auch zwei verschiedenen pythagoreischen Dreiecken) sind, werden alle Matrixeintrge rational. Durch Erweitern auf gemeinsamen Nenner und geeignete Projektion (Weglassen einer Zeile der Matrix) ergibt sich eine Rasterlsung.