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Hans Walser, [20190421]
Goldberg
Idee: Patrik G. K. Wiesner, BSc ETHZ, Davidgasse 42, A - 1100 Wien
Beispiel einer Zerlegungsgleichheit eines gleichseitigen Dreieckes und eines regelm§igen Fnfeckes (Abb. 1) nach Michael Goldberg (1952). Die Zerlegung bentigt sechs Teile. Kinematische Realisierung.
Abb. 1: Dreieck und regelm§iges Fnfeck
Wir normieren die Flchen der beiden Polygone auf 1.
Fr die Seitenlnge des Dreieckes erhalten wir damit:
(1)
Fr die Seitenlnge des Fnfeckes erhalten wir:
(2)
Das Seitenverhltnis ist:
(3)
Die Seitenlnge des Dreieckes ist also fast doppelt so gro§ wie jene des Fnfeckes. Allerdings darf man nicht mit dem Nherungswert 2 arbeiten, weil sonst die Zerlegung sichtbar ungenau wird (eigene Erfahrung).
Wir beginnen mit dem regelm§igen Fnfeck und zeichnen die horizontale Diagonale (Abb. 2a).
Abb. 2: Erste drei Schritte
Durch den Mittelpunkt dieser Diagonalen zeichnen wir eine Parallele zur linken Topfseite des Fnfeckes (Abb. 2b). Somit erhalten wir das gelbe und das dunkelgrne Teilstck.
Bis jetzt haben wir uns ausschlie§lich in der Fnfeckgeometrie bewegt.
Nun kommt das Dreieck ins Spiel.
Wir tragen von der linken unteren Ecke des Fnfeckes aus die halbe Dreieckseite auf die Diagonale ab (Abb. 2c). Wegen (3) ist die entstehende Strecke (magenta) nicht parallel zur rechten Topfseite des Fnfeckes.
Abb. 3: Fortsetzung der Konstruktion
Die magenta Strecke ergnzen wir zum gleichseitigen Dreieck (Abb. 3a). So erhalten wir das rote Viereck.
Durch die Spitze des gleichseitigen Dreiecks zeichnen wir eine Parallele zur magenta Strecke (Abb. 3b). Wir haben an dieser Spitze jetzt drei Winkel von 60¡. Diese werden in die Ecken des gleichseitigen Dreiecks kommen.
Wir knnen nun noch das dunkelblaue und das hellgrne Dreieck sowie das hellblaue Viereck markieren. Das hellblaue Viereck ist dem Anschein zum Trotz kein Parallelogramm. Lediglich bei beiden kurzen Seiten sind parallel.
Die sechs Teile knnen nun gem§ Abbildung 1 ins gleichseitige Dreieck eingepasst werden.
In der Abbildung 4 ist im Fnfeck zustzlich zu den Farben eine senkrechte Schraffur angebracht worden.
Abb. 4: Orientierungen
Die Teile werden nun unter Beibehaltung der Schraffur ins Dreieck eingepasst. Bei den Teilen, die sich im Fnfeck unterhalb der Diagonale befinden, ist die Schraffur nach wie vor senkrecht. Diese Teile werden also entweder verschoben (dunkelblau und hellgrn) oder um 180¡ gedreht (rot und himmelblau). Bei den beiden Teilen oberhalb der Fnfeckdiagonale (gelb und grn) kommt noch eine Verdrehung um ein Vielfaches von 36¡ dazu.
Der bergang vom Fnfeck zum Dreieck und zurck lsst sich durch ein kinematisches Modell visualisieren. Dieses Modell geht auf Patrik G. K. Wiesner, BSc ETHZ, Davidgasse 42, A - 1100 Wien, zurck und ist patentiert.
Die Abbildung 5 zeigt die Startposition des Fnfeckes. Die beiden blauen, der gelbe und der grne Punkt sind ortsfeste Drehpunkte. Die beiden roten Punkte sind Gelenkpunkte. Sie bilden zusammen mit den beiden blauen Punkten ein Parallelogramm. An den Parallelogrammseiten sind der Reihe nach das hellblaue, das dunkelblaue, das rote und das hellgrne Teilstck befestigt. Sie drehen mit diesen Seiten. Im Detail hei§t das, dass das hellgrne Dreieck ortsfest bleibt, das hellblaue und das hellrote Viereck je um einen blauen Punkt drehen und das dunkelblaue Dreieck unter Beibehaltung der Orientierung (also ohne Verdrehen) herumschaukelt.
Das gelbe Dreieck dreht um den gelben Punkt, und zwar gegengleich zum Parallelogramm und nur mit einem Fnftel der Drehgeschwindigkeit.
Das dunkelgrne Viereck dreht um den dunkelgrnen Punkt im gleichen Sinn wie das Parallelogramm, aber nur mit vier Fnfteln der Drehgeschwindigkeit.
Abb. 5: Startposition
Die Abbildung 6 zeigt den kinematischen Prozess in Schritten von 30¡.
Abb. 6: Kinematik
Auf meiner Homepage findet sich eine GeoGebra-Animation (Animation3) dazu. Der Prozess geht hin und zurck. Man kann ihn auch endlos vorwrts laufen lassen, wegen der unterschiedlichen Drehgeschwindigkeiten dauert es dann ein bisschen, bis die Startposition wieder erreicht ist (Animation4).
Weitere Animationen hier.
Wie lsst sich dies mechanisch realisieren?
Weblinks
DITOH, Spezieller platonischer Krper
Animationen
Hans Walser: Dudeney
Hans Walser: Dudeney
Hans Walser: Quadrat und Fnfeck