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Eine Pyramide ist ein spezielles Polyeder (also ein Vielflächner). Sie
wird begrenzt von einem Vieleck (Polygon) beliebiger Eckenzahl (der
Grundfläche) und mindestens drei Dreiecken (Seitenflächen), die in einem
Punkt (der Spitze der Pyramide) zusammentreffen. Die Gesamtheit der
Seitenflächen bezeichnet man als Mantelfläche. Die Pyramide erfüllt die
allgemeine Definition eines Kegels.
Hat die Grundfläche einer Pyramide n Ecken, so ist die Anzahl der
(dreieckigen) Seitenflächen ebenfalls gleich n, sodass die Pyramide
insgesamt n+1 Flächen hat. In diesem Fall besitzt die Pyramide n+1
Ecken, nämlich n Ecken der Grundfläche und die Spitze, sowie 2n Kanten,
nämlich n Kanten der Grundfläche und n Kanten, welche die Ecken der
Grundfläche mit der Spitze verbinden. Damit ist der eulersche
Polyedersatz über die Anzahlen von Ecken (e), Flächen (f) und Kanten (k)
erfüllt:
e + f = (n + 1) + (n + 1) = 2n + 2 = k + 2. Für die Berechnung des
Pyramidenvolumens (siehe unten) ist der Begriff der Höhe wichtig. Man
versteht darunter den (kürzesten) Abstand der Spitze von der Ebene, in
der die Grundfläche liegt. Der Fußpunkt der Höhe muss dabei nicht
unbedingt im Inneren der Grundfläche liegen. Liegt er außerhalb, spricht
man von einer „schiefen Pyramide“.
Spezialfälle [Bearbeiten]
Tetraeder [Bearbeiten] Eine Pyramide, die als Grundfläche ein
gleichseitiges Dreieck hat und deren drei Seitenflächen ebenfalls
gleichseitige, zur Grundfläche kongruente Dreiecke sind, nennt man
(regelmäßiges) Tetraeder (Vierflächner). Wenn man sie umkippen würde,
würde sie noch genauso aussehen wie vorher.
Gerade Pyramide [Bearbeiten] Eine Pyramide heißt gerade, wenn alle
Seitenkanten (d. h. alle Kanten, die von der Spitze ausgehen) gleich
lang sind. Aus dieser Bedingung folgt, dass die Grundfläche einen
Umkreis besitzen muss. Es existiert also nicht zu jeder Grundfläche eine
gerade Pyramide.
Regelmäßige (reguläre) Pyramide [Bearbeiten] Von einer regelmäßigen oder
regulären Pyramide spricht man, wenn die Grundfläche ein regelmäßiges
Vieleck ist und der Mittelpunkt dieses Vielecks zugleich der Fußpunkt
der Pyramidenhöhe ist. Jede regelmäßige Pyramide ist daher auch gerade.
Zu den regelmäßigen Pyramiden zählen neben den schon erwähnten
regelmäßigen Tetraedern auch die quadratischen Pyramiden. Diese haben
ein Quadrat als Grundfläche, wobei die Verbindungsstrecke zwischen dem
Quadratmittelpunkt und der Pyramidenspitze senkrecht zur Grundfläche
verläuft.
Eigenschaften [Bearbeiten] Der Schwerpunkt einer regelmäßigen oder
regulären Pyramide liegt auf der Verbindungsstrecke zwischen dem
Schwerpunkt der Grundfläche und der Pyramidenspitze. Er teilt diese
Strecke im Verhältnis 1:3 und hat daher den Abstand von der Grundfläche.
Oberflächenberechnung (quadratische Pyramide) [Bearbeiten] Die
Oberfläche einer quadratischen Pyramide besteht aus der quadratischen
Grundfläche (G) und dem Mantel (M)
Ist die Seitenlänge (a) gegeben, ergibt sich folgende Formel: O = a2 + M
Mantelflächenberechnung (quadratische Pyramide) [Bearbeiten] Bei einer
regelmäßigen Pyramide mit quadratischer Grundfläche setzt sich die
Mantelfläche aus den vier Flächen kongruenter, gleichschenkliger oder
eventuell auch gleichseitiger Dreiecke zusammen. Siehe auch [1].
Sind die Seitenlänge (a) und die Pyramidenhöhe (h) gegeben, so ergeben
sich folgende Formeln beziehungsweise Lösungsgleichungen:
Die Fläche eines dieser Dreiecke ist: , alle vier Flächen also: , oder
nach Umformung:
Hierbei ist ha die Höhe der kongruenten Seitendreiecke.
Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich:
daraus folgt: und damit für die Mantelfläche insgesamt: oder nach
Umformung:
Längenberechnung der Steilkanten (quadratische Pyramide) [Bearbeiten]
Neben den vier Grundflächenkanten (a), die mit der Seitenlänge identisch
sind, besitzt die quadratische Pyramide noch vier gleich lange
Steilkanten auch Grate genannt (AS), (BS), (CS) und (DS), welche von den
Eckpunkten der Grundfläche ausgehen und nach oben ansteigend sich in der
Pyramidenspitze (S) treffen.
Sind die Seitenlänge (a) und die Pyramidenhöhe (h) gegeben, so ergeben
sich folgende Formeln beziehungsweise Lösungsgleichungen:
Zunächst muss die Länge der Grundflächendiagonale (d) berechnet werden.
Diese ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: d2 = a2 + a2 daraus
folgt:
Für die weitere Berechnung benötigt man die Hälfte von (d), also: ist
dann und das Quadrat davon ist nach Umformung
Zur Berechnung von AS verwendet man wieder den Satz des Pythagoras: und
daraus folgt dann für den Grat
Berechnung der Gesamtkantenlänge (quadratische Pyramide) [Bearbeiten]
Die Gesamtkantenlänge der quadratischen Pyramide (K) setzt sich aus den
vier Seitenlängen (a) und den vier gleich langen Graten (AS), (BS), (CS)
und (DS) zusammen. Sind wiederum die Seitenlänge (a) und die
Pyramidenhöhe (h) gegeben, ergibt sich für die Gesamtkantenläge folgende
Lösungsgleichung:
oder nach Umformung
Volumenberechnung [Bearbeiten]
Formel [Bearbeiten] Das Volumen V einer Pyramide errechnet sich aus dem
Inhalt der Grundfläche (G) und der Höhe (h) gemäß
Diese Formel gilt für alle Pyramiden. Es spielt also keine Rolle, ob die
Grundfläche ein Dreieck, Viereck, Fünfeck, ... ist. Die Formel ist auch
gültig, wenn der Höhenfußpunkt nicht mit dem Grundflächenmittelpunkt
übereinstimmt oder die Grundfläche gar keinen Mittelpunkt besitzt. Im
Spezialfall einer quadratischen Pyramide ergibt sich , wobei a die
Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ist und h die Höhe. Die
allgemeine Formel entspricht übrigens der Volumenformel für einen
Kreiskegel. Dies liegt daran, dass jede Pyramide die Definition eines
allgemeinen Kegels erfüllt.
Elementargeometrische Begründung [Bearbeiten] Die erwähnte Volumenformel
lässt sich elementargeometrisch in drei Schritten begründen:
1. Zwei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe stimmen im
Volumen überein.
Zum Beweis dieser Aussage kann man das Prinzip von Cavalieri und die
Gesetze der zentrischen Streckung heranziehen.
2. Für Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche gilt die Volumenformel .
Diese Behauptung ergibt sich aus der Möglichkeit, ein gerades
Dreiecksprisma mit der Grundfläche G und der Höhe h in drei
Dreieckspyramiden gleichen Volumens zu zerlegen.
3. Die Volumenformel gilt für jede beliebige Pyramide.
Zu einer gegebenen Pyramide gibt es nämlich eine Dreieckspyramide mit
gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, die nach 1. das gleiche Volumen
besitzt. Da nach 2. die Volumenformel für die Dreieckspyramide richtig
ist, muss diese Formel auch für die ursprüngliche Pyramide gelten.
Begründung mit Hilfe der Integralrechnung [Bearbeiten] Der Rauminhalt
einer Pyramide mit der Grundfläche G und Höhe h kann berechnet werden,
wenn man sich die Pyramide aus dünnen (infinitesimalen) Schichten der
Dicke dy parallel zur Grundfläche aufgebaut vorstellt. Eine y-Achse lege
man nun durch die Spitze der Pyramide, so dass die Höhe h mit der
y-Achse zusammenfällt. Bezeichnet man die Fläche der Schicht im Abstand
y von der Spitze mit A(y), so kann man aus den Gesetzen der zentrischen
Streckung eine Formel für A(y) herleiten:
Das Volumen einer Schicht ist dann dV = A(y)dy. Schließlich ist das
Volumen der Pyramide die Summe der Volumina aller einzelnen Schichten.
Diese Summe ergibt sich durch Integration von y=0 bis y=h.