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Hans Walser
DIN-Format und Raum
Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie der GDM
12. – 14. September 2014
Saarbrcken
Tagungsthema: Raumgeometrie
Unterthemen:
á Grundvorstellungen von Krpern,
á Raumvorstellung,
á Einfluss von Werkzeugen und Medien (klassische wie digitale) zur Erzeugung und Manipulation geometrischer Objekte auf die Entwicklung von Begriffsbildern.
Zusammenfassung
á Didaktische Schwierigkeiten in der Raumgeometrie
á Das DIN-Format als Hilfsmittel in der dreidimensionalen Geometrie.
á Verallgemeinerung der Idee des DIN-Formates in den Raum.
Zum Verstndnis der didaktischen Schwierigkeiten in der Raumgeometrie ist es naheliegend sich zunchst das zweidimensionale Analogon vor Augen zu halten.
Was wir im Schulunterricht als ebene Geometrie bezeichnen ist zwar zweidimensional aber die Schlerinnen und Schler sitzen im Schulzimmer und dieses ist dreidimensional. Die ebene Geometrie wird sozusagen aus der Feldherrenperspektive prsentiert. Man nennt das Bildung. Ganz anders sah es der Landsknecht im Dreck oder der Fahrer eines Jagdpanzers durch seinen Sehschlitz.
Ein Beobachter direkt in der Bildebene (Bildschirmbewohner, Einwohner von Flatland, vgl. (Abbott, 1884) und (Burger, 1978)) sieht zum Beispiel lediglich das folgende eindimensionale Bild.
Was ist denn das?
Dabei handelt es sich um eine sehr bekannte ebene Figur, wie die Sicht eines Beobachters zeigt, der vor dem Bildschirm sitzt. Er sieht im Bildschirm das Auge des Bildschirmbewohners und die Zentralprojektion der zweidimensionalen Figur.
Pythagoras
Ein Bildschirmbewohner kann das Puzzle nicht vollenden. Um das fehlende Eckstck einzufgen, msste er es in die dritte Dimension anheben.
Puzzle
Fr die Raumgeometrie sind wir nun in der Situation der Bildschirmbewohner. Da wir keine 4d-Hypermenschen sind, fehlt uns die Sicht von au§en auf die dreidimensionale Geometrie.
Vielleicht gibt es schne Eigenschaften der Raumgeometrie welche unsichtbar und daher unbekannt sind. Das ist aber reine Spekulation und hnlich irrelevant wie die Frage ob es ein Leben nach dem Tod gibt oder ob das Licht im Khlschrank wirklich ausgeht wenn wir die Tr schlie§en.
Wenn wir ein DIN A4 Papier lngs der kurzen Mittellinie falten, ergibt sich ein doppellagiges DIN A5 Papier. Dieses hat nun dieselbe Form (hnlichkeit), also dieselben Seitenverhltnisse wie das DIN A4 Papier, wie durch Anlegen an eine gemeinsame Diagonale nachgeprft werden kann.
DIN A4 und DIN A5
Mit der Schmalseite 1 und der Langseite x fr das DIN A4 Rechteck erhalten wir aus der hnlichkeit:
Dieses Seitenverhltnis kann durch Falten nachgeprft werden. Dabei bentzen wir den Sachverhalt, dass im Quadrat die Diagonalen-Lnge das der Seitenlnge ist.
Kontrolle durch Falten
Das Falten setzt einen dreidimensionalen Raum voraus. In einem zweidimensionalen Raum sind Kulturtechniken wir Falten oder Weben nicht mglich.
Zwei diametrale Wrfelkanten spannen ein Rechteck im DIN-Format auf. Daher knnen mit Papieren oder Karten im DIN-Format Wrfelmodelle gebaut werden.
Die Abbildung zeigt ein Modell aus sechs A6-Karten. Schnittmuster und Bauanleitung siehe (Walser, 2009).
Wrfelmodell aus sechs A6 Karten
Als Baumaterial dient Papier im DIN A6-Format. Geeignet ist Papier der Strke 80 g/m2, das vom Format A4 auf A6 zugeschnitten wird.
Fr jede Kante braucht es ein Papier.
Fr den Faltprozess verwenden wir eine etwas festere A6-Karte als Faltlehre. Wir legen diese Faltlehre diagonal auf ein A6-Papier und falten die vorstehenden Ecken des darunterliegenden Papiers nach vorne ber die Faltlehre. Dann entfernen wir die Faltlehre. Der Umriss des Papiers ist nun ein Rhombus mit dem spitzen Winkel .
Faltvorgang
Nun falten wir die untere Spitze des Rhombus nach hinten unter die obere Spitze. Diese letzte Faltlinie wird zu einer Kante des Wrfels. Was an dieser Kante noch vorsteht, kann zurckgebogen oder abgeschnitten werden. Damit haben wir unser Bauteil. Es hat die Form eines doppellagigen gleichschenkligen Dreiecks mit zwei Verbindungslaschen zum Einschieben in die Nachbarteile.
Die folgende Abbildung zeigt ein geffnetes Bauteil von innen. Die Spitzen der beiden Rhomben-Hlften mssen vor dem Zusammenbau des Modells noch aufeinander gelegt werden. Diese Spitzen kommen alle in den Mittelpunkt des Wrfels zu liegen. Die Seiten der Rhomben werden zu halben Raumdiagonalen des Wrfels.
Wir bentigen 12 Bauteile. Beginnend mit drei verschieden farbigen A4-Papieren, die wir zu A6-Papieren vierteln, erhalten wir drei Stze von je vier gleichfarbigen Bauteilen. Damit knnen wir den jeweils vier parallelen Wrfelkanten dieselbe Farbe zuordnen.
Bauteil
Und nun kommt das Interessante, der Zusammenbau. Wir schieben jeweils eine Verbindungslasche zwischen die beiden gleichschenkligen Dreiecke des Nachbarbauteils. Dabei achten wir darauf, dass an jeder halben Raumdiagonale des Wrfels drei Bauteile in den drei verschiedenen Farben zusammen kommen. Parallele Wrfelkanten haben dieselbe Farbe.
Kantenmodell des Wrfels
Es empfiehlt sich, den Zusammenbau schrittweise mit Broklammern zu fixieren. An jeder Ecke des Wrfels ergeben sich schlie§lich drei Broklammern.
Wenn alles sitzt, knnen die Broklammern schrittweise entfernt und durch eine Heftklammer mit dem Tacker ersetzt werden. Dabei hat man den Ehrgeiz, dass die Klammern symmetrisch eingebracht werden.
Beim regelm§igen Tetraeder haben wir den Ergnzungswinkel von auf 180¡, also 109.4712¡, als Winkel zwischen den vom Zentrum aus zu den Ecken verlaufenden Strecken. Daher kann analog zum Kantenmodell des Wrfels ein Kantenmodell des Tetraeders gebaut werden. Der Rhombus muss lngs der langen Diagonalen gefaltet werden.
Kantenmodell des Tetraeders
Wir knnen mit einem Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... ein A0-Rechteck ausschpfen. Die Rechtecke sind im Wechsel im Quer- und Hochformat.
Ausschpfung des A0-Rechteckes
Wenn wir die Mitten aufeinanderfolgender Rechtecke verbinden, ergibt sich eine Zickzack-Linie, welche in den Grenzpunkt rechts oben mndet.
Wir knnen das Set von Rechtecken A1, A2, A3, ... aber auch spiralfrmig anordnen.
Spiralfrmige Anordnung
Der Grenzpunkt ergibt sich durch Einzeichnen geeigneter Halbdiagonalen.
Der Grenzpunkt hat ãDrittelkoordinatenÒ.
Drittel bei den Koordinaten
Das kann wie folgt eingesehen werden: Wenn auf der Hhe des Grenzpunktes von links her einfahren, treffen wir nur Hochformat-Rechtecke, und zwar der Reihe nach A4, A8, A12, A16, ... . Diese haben im angegebenen Koordinatensystem die Breiten , , , , ... . Fr die x-Koordinate des Grenzpunktes ergibt sich daher die geometrische Reihe:
Gibt es andere Figuren, die in zwei kongruente, zur Ausgangsfigur hnliche Teilfiguren zerlegbar sind?
Die Frage ist allgemein gehalten, es ist nicht von Halbieren die Rede, sondern nur von Zerlegen.
Wir knnen die DIN-Rechtecke zu Parallelogrammen verscheren.
Parallelogramme
Die Teilparallelogramme sind ungleichsinnig hnlich zum Startparallelogramm.
Das naheliegende Beispiel ist das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck. Bei der einfachsten Zerlegung gibt es einen Grenzpunkt unten rechts.
Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck
Es gibt im rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck ebenfalls eine spiralfrmige Anordnung. Der Grenzpunkt fhrt zu Fnfteln.
Spiralfrmige Anordnung
Die Figur kann auch aus einem halben Origami Papier durch fortlaufendes Falten erreicht werden. Fr das Falten bentigen wir den Raum.
Faltprozess
Faltmodell
Die Thaleskreise der Teildreiecke verlaufen durch den Grenzpunkt, ebenso eine Art ãHalbdiagonalenÒ.
Thaleskreise. Halbdiagonalen
Wird ein Quader mit dem Kantenverhltnis halbiert, ergeben sich zwei Quader mit dem Kantenverhltnis . Diese sind hnlich zum ursprnglichen Quader.
Die folgende Abbildung zeigt eine Anordnung eines DIN-Quader-Sets analog zur klassischen Anordnung eines Sets von DIN-Rechtecken.
Anordnung
Whrend bei Rechtecken nur zwischen Querformat und Hochformat unterschieden werden kann, brauchen wir hier drei Anaordnungsformate. Dazu dient das beigefgte Koordinatensystem. Der erste Quader hat seine lngsten Kanten in der x-Richtung, der zweite Quader hat seine lngsten Kante in der y-Richtung und der dritte Quader in der z-Richtung. Der vierte Quader hat seine lngsten Kanten wiederum in der x-Richtung.
Die Quader sind in einer Art rumlicher Spirale wie bei einer Schnecke angeordnet.
Schnecke
Schnecke
Als Stimmungsbild reale DIN-Quader.
DIN-Kisten
Im vierdimensionalen Raum ergeben sich durch
oder in anderer Schreibweise
die Kanten zweier aufeinanderfolgender 4d-DIN-Hyperquader. George Plya (1887-1985) htte in dieser Situation allerdings von einer Verallgemeinerung durch Verwsserung gesprochen.
George Plya
Wir verwssern weiter zum 12d-DIN-Hyperquader.
Das haben wir zwar noch nie gesehen, aber schon gehrt. Es sind die Frequenzverhltnisse der gleichtemperierten 12-Ton-Stimmung.
Und ihm trumte; und siehe, eine Leiter stand auf der Erde,
die rhrte mit der Spitze an den Himmel, und siehe,
die Engel Gottes stiegen daran auf und nieder.
Gen 28, 11
Die Abbildung a) zeigt die ersten Sprossen der Jakobsleiter.
Jakobsleiter
Auf der einen Seite der Leiter steigen die Engel hinauf, auf der anderen Seite hinunter. Damit sie sich nicht gegenseitig auf den F§en herumtreten, haben sie festgelegt, dass die aufsteigenden Engel nur die Sprossen mit ungeraden Nummern verwenden, die absteigenden nur die Sprossen mit geraden Nummern (Abb. b). Damit zerfllt die Jakobsleiter in zwei Teil-Jakobsleitern, die zur ursprnglichen Jakobsleiter hnlich sind (Abb. c) und d). Wir haben also das Prinzip des DIN-Formates.
Der Reduktionsfaktor ist 2. Das Wort Reduktionsfaktor ist syntaktisch richtig, semantisch falsch, da Sprossenhhne nicht reduziert, sondern verdoppelt wird. Unter dem Aspekt eines Fraktals ergibt sich die Mandelbrot-Dimension D (fraktale Dimension):
Literatur
Abbott, Edwin A. (1884): Flatland. A Romance of Many Dimensions. London: Seeley.
Burger, Dyonis (1978): Silvestergesprche eines Sechsecks. Kln: Aulis. ISBN 3-7614-0085-3.
Walser, Hans (2009): Steckmodelle. MU Der Mathematikunterricht. Polyeder im Mathematikunterricht. Jahrgang 55. Heft 1. Februar 2009. Friedrich Verlag, Seelze. S. 38-47.
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.