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Pour démontrer la conjecture des premiers jumeaux, tenter l’approche philosophique sans aucun calcul, même si elle n’a pas valeur de preuve, a le mérite de clarifier certaines notions et de simplifier le chemin pour y parvenir. Supposons que la conjecture soit fausse. Ce qui signifierait qu’il existe une ultime paire de premiers (p,q) telle que leur différence, en valeur absolue, soit égale à 2. Notons que cela invaliderait également la conjecture de Polignac, dont il ne sera pas ici question. Cette ultime paire de jumeaux serait alors suivie par des paires non jumelles dont la différence (en valeur absolue toujours) resterait de la forme 2k, mais avec k strictement plus grand que 1. On sait, sans en faire grand-chose en l’état, que les écarts entre premiers successifs croissent. Ce qui peut sembler logique. Sauf que cette croissance n’est pas tout à fait inutile à observer, puisque, parmi n écarts dans un intervalle donné, on en trouve toujours un qui domine les autres. En d’autres termes qui apparaît plus souvent. Les premiers écarts qui s’imposent sont 2, 6, 30, 210, puis 2310, et ainsi de suite. On reconnaîtra là aisément la suite des primorielles (c’est-à-dire le produit de tous les premiers inférieurs au nombre servant de borne). Mais la domination des uns ne sous-entend pas la disparition des autres. Je m’explique. Si la valeur 2 (primorielle de 2) est fréquente au début, elle est ensuite supplantée par 6 (primorielle de 3), mais sans que 2 disparaisse de la liste pour autant.
Ainsi, la suite de ces écarts se comporte avec une tolérance qui nous arrange. Si la conjecture des jumeaux est vraie, cela signifie que la valeur 2 continuera à apparaître lorsqu’on tend vers l’infini, quitte à se faire attendre un temps immensément long. Si la conjecture est fausse, il arriverait dès lors un moment où ladite valeur ne surgirait plus, et cela dans un intervalle borné à l’infini. Il faut se pencher sur la première hypothèse et ce temps immensément long que peut mettre une valeur pour apparaître. Et l’entendre au sens strict.
Qu’est-ce qu’un temps immensément long ? Ce serait par exemple le temps d’une vie. Imaginons une personne qui vivrait jusqu’à cent ans et qui depuis sa naissance, compterait les entiers à partir d’un point p dans l’espoir de trouver une paire de jumeaux. Et qui n’en trouverait aucune. Et rendrait son dernier souffle sans qu’aucune paire de jumeaux ne soit venue tromper sa quête. Ce temps-là n’est pas encore immensément long. Il faut l’étendre, par exemple à un milliard d’années. Se peut-il qu’en comptant tous les entiers, et en supposant résolus les critères de divisibilité qui s'ensuivraient, on (en l’occurrence, des milliers, voire des millions de générations d’individus) ne trouve plus aucune paire de jumeaux durant ce milliard d’années ? Malheureusement oui. Mais selon la logique gouvernant la suite des écarts, une telle paire devrait pourtant finir par apparaître.
Par analogie, comparons cela à la suite des décimales de Pi (possible nombre univers, même si ce n’est pas prouvé). Quelle est la probabilité pour que la Recherche de Proust y apparaisse cryptée mais dans l’ordre et en entier ? Elle est infime, mais pas nulle. En l’occurrence, elle existe bel et bien. Tôt ou tard, la Recherche de Proust, tout comme votre date de naissance, une infinité de fois, apparaît bien dans les décimales de Pi. Sans doute après un temps immensément long et donc non quantifiable, mais en aucun cas infini. L’infini, limite et concept, reste pourtant l’obstacle majeur à toute démonstration irrésolue, de Riemann à Hodge. Dans l’harmonie des premiers, supposer la conjecture des jumeaux fausse pourrait sembler paradoxal, d’autant plus que le travail a déjà été fait pour des valeurs de 2k avec k supérieur à 1. Car si l’occurrence avec k = 1 se mettait à ne plus apparaître, invalidant les jumeaux, y aurait-il une raison valable pour que les autres occurrences de 2k elles aussi continuent à surgir ? Non, toutes finiraient par se raréfier et par se dissoudre dans le grand bain de l’infini, jetant le discrédit sur des travaux précédemment validés. Dès lors, l’intuition prend le pas sur la démonstration.
Supposer qu’une valeur d’écart minimale, soit 2k avec k = 1, n’apparaisse plus jamais au-delà d’un certain point (ou borne), c’est nier la confiance qu’on peut placer dans cette harmonie qui semble sous-tendre la théorie des nombres, même lorsque la fonction zêta s’entête à résister (chez Riemann ou Euler). Supposer que cette valeur d’écart minimale ne puisse jamais être atteinte, et qu’il en existe toujours une autre pour déjouer la précédente et défier la concaténation des entiers naturels qu’on ne peut même plus formuler comme des sommes de puissances plus 1 lorsque ceux-ci tendent vers l’infini, c’est faire fi des calculs et du rigorisme démonstratif dont la recherche mathématique a besoin. Il faudra pourtant s’en contenter. Si la conjecture des jumeaux est vraie, c’est parce qu’elle ne peut pas être fausse, et encore moins indécidable (contrairement par exemple à l’hypothèse du continu, qui ne l’est peut-être d’ailleurs pas non plus). Et si la conjecture des jumeaux était fausse, la liste des premiers finirait par s’arrêter. Ce qui est impossible, comme on le sait depuis Archimède.