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Felix Lau

Die Darstellung des Indikationenkalküls begann George Spencer Brown mit der Einführung der Ideen der Anzeige und der Unterscheidung und er fordert nun konstruktiv anweisend die Lesenden auf:
„Triff eine Unterscheidung. Nenne sie die erste Unterscheidung.“ (SPENCER BROWN 1997: 3)
Wie George Spencer Brown durch die Erwähnung der Methode von Befehl und Betrachtung hervorhebt, sind sowohl Unterscheidung als auch Anzeige nichts, was an sich vorhanden wäre, also ohne jemanden, der sie trifft und gebraucht. Dies betonend schreibt George Spencer Brown entgegen dem üblichen mathematischen Sprachgebrauch nicht „Es sei eine Unterscheidung“. Vielmehr manifestiert sich in dem Gebrauch des Imperativs, mit dem George Spencer Brown startet, auch sprachlich die erkenntnistheoretische Umstellung von Beobachtung von Dingen auf Beobachtung von Differenzen, die ein Beobachter gebraucht. Nichts wird als unabhängig vom Beobachter angesehen. Vom Standpunkt des Kalküls, also ohne Berücksichtigung des Vorwortes zur Methode von Befehl und Betrachtung, ist diese Einsicht hier allerdings noch latent und wird erst im 12. Kapitel der Laws of Form explizit (vgl. den Abschnitt I. 5., S.102ff.).
Da wir etwas weiter unten feststellen werden, dass die Form der Unterscheidung für jede Unterscheidung identisch ist, stellt sich die Frage, warum die erste von allen anderen unterschieden wird, indem sie als einzige einen speziellen Namen bekommt. Was ist mit der ersten Unterscheidung, die allen anderen vorausgeht, gemeint? Diese Frage wird im 12. Kapitel der Laws of Form wieder aufgegriffen. An dieser Stelle dient die Auszeichnung lediglich als Bezugspunkt: man kann auf die erste Unterscheidung verweisen. Im Folgenden wird es die „erste Unterscheidung“ sein, die den Wert hervorbringt, mit dem im Kalkül gerechnet wird (vgl. den Abschnitt „Ausdruck und Wert“, S. 55f.).
„Nenne den Raum, in dem sie [die Unterscheidung; F. L.] getroffen wird, den Raum, der durch die Unterscheidung geteilt oder gespalten wird.“ (SPENCER BROWN 1997: 3)
Eine Unterscheidung teilt immer eine Einheit, sie wird hier Raum genannt.
„Nenne die Teile des Raumes, der durch die Teilung oder Spaltung gebildet wird, die Seiten der Unterscheidung oder wahlweise die Räume, Zustände oder Inhalte, die durch die Unterscheidung unterschieden werden.“ (SPENCER BROWN 1997: 3)
Die Teile oder Seiten der Unterscheidung werden auch wieder Räume genannt. Ein Raum ist also dadurch gegeben, dass eine Unterscheidung getroffen wird. Eine Unterscheidung bringt zunächst einmal zwei Räume hervor: den angezeigten und den unangezeigten – eben die beiden Seiten einer Unterscheidung. Zudem wird die Unterscheidung in einem weiteren Raum getroffen.
Unter Vorgriff auf die Idee einer Markierung, die erst ein paar Sätze später als Markierung einer Unterscheidung eingeführt wird, kommt George Spencer Brown zu dem Begriff des Zwecks, der für den ersten Kanon, den wir schon kennen gelernt haben, notwendig ist.
„Lass jegliche Markierung, jegliches Token oder Zeichen zusammen mit der, oder in Bezug auf die Unterscheidung als ein Signal aufgefasst werden. Nenne die Verwendung eines jeglichen Signals dessen Zweck.“ (SPENCER BROWN 1997: 3)
Jedes Zeichen ist ein Signal, wenn man seine Bedeutung kennt bzw. wenn man ihm Bedeutung zuschreiben kann. Buchstaben oder Wörter sind Beispiele für Signale, deren Verwendung selbstverständlich für uns ist; wir wissen, was gemeint ist. Die Verwendung eines Signals ist der Zweck eines Signals. Mit diesem Zeichen bezwecke ich dies, mit einem anderen anderes. Und dann lässt sich auch beschreiben, dass in bestimmten Situationen die Nicht-Verwendung eines Zeichens zweckhaft sein kann.
„Lass den Zweck eines Signals auf dessen erlaubte Verwendung beschränkt sein. (...) Was nicht erlaubt ist, ist verboten.“ (SPENCER BROWN 1997: 3)
Dieser Kanon wurde oben schon erwähnt. Im Grunde ist er trivial und selbstverständlich für eine jede präzise mathematische Abhandlung. Ein Signal darf nur für den Zweck gebraucht werden, für den es eingeführt und erlaubt wurde. Wir könnten den Kanon auch „Gesetz der Präzision“ nennen. Er ist fundamental für jede Mathematik, wenngleich zumeist nur implizit, indem er unerwähnt verwandt wird. Er ist die Regel, die notwendig ist, um zu verhindern, dass vage oder abhängig von Meinung wird, welche Rechen- und Beweisschritte zulässig sind. Man wüsste ohne den ersten Kanon nicht, was möglich, was erlaubt ist – alles Mögliche und Unmögliche wäre erlaubt. Für uns, die wir den Kalkül erkunden, bedeutet das: Man darf nur tun, was eingeführt und erlaubt wurde. Solange etwas nicht erlaubt ist, weil man es (noch) nicht rechtfertigen kann, ist es verboten.
Den markierten Zustand oder Raum identifizieren wir mit dem Vorhandensein der Markierung und damit mit dem Getroffensein der Unterscheidung, den unmarkierten mit der Abwesenheit von beidem.
Der Grund dafür, dass bisherige Mathematik ihren Ursprung nicht finden konnte (mehr dazu im „Exkurs in den mathematik-geschichtlichen Zusammenhang“ in Kapitel II., S. 114ff.), scheint in der Tat zu sein, dass bislang stets zwei Namen für die beiden (gegensätzlichen) Zustände herangezogen wurden: a und non-a. In den Laws of Form ist eine Seite markiert (hat einen Namen), die andere bleibt unmarkiert und hat zwar den Namen „unmarkiert“, so dass darüber geredet werden kann, hat jedoch innerhalb des Kalküls kein Symbol. Die Abwesenheit eines Symbols wird als der Name des unmarkierten Zustandes gebraucht. Wenn man (an einer Stelle) in einem Ausdruck keinen Namen findet, weiß man, dass dort der unmarkierte Zustand ist. Das heißt, man benötigt kein zweites Symbol.
Da sich der Begriff der Form in den Laws of Form über den Begriff der Unterscheidung erschließt, haben wir zunächst die Unterscheidung betrachtet. Nun wird der Formbegriff bestimmt. Für ihn gilt: Haben wir eine Unterscheidung getroffen, können wir ihre „Struktur“ als Form bezeichnen:
„Nenne den Raum, der durch jedwede Unterscheidung gespalten wurde, zusammen mit dem gesamten Inhalt des Raumes die Form der Unterscheidung. Nenne die Form der ersten Unterscheidung die Form.“ (SPENCER BROWN 1997: 4)
Das heißt, dass von Form gesprochen wird, wenn eine Unterscheidung getroffen wird. Im ersten Kapitel der Laws of Form hatte George Spencer Brown die Form als die Form der Unterscheidung statt als Form der Anzeige bestimmt. Nun findet diese Entscheidung Ausdruck in der Benennung der Form.
Die Form ist der Raum, der durch jedwede Unterscheidung gespalten wurde, zusammen mit dem gesamten Inhalt, den beiden Seiten und der Grenze zwischen ihnen.
Entsprechend heißt es bei George Spencer Brown:
„Lass jedes Token der Markierung so verstanden werden, dass es den Raum, in den es kopiert wird, spaltet. Das heißt, lass jedes Token eine Unterscheidung in seiner eigenen Form sein.“ (SPENCER BROWN 1997: 5)
Das meint, dass nur eine Art (Form) der Unterscheidung angenommen wird, denn jede Unterscheidung hat nach dieser Anweisung die Form der ersten Unterscheidung. Des Weiteren ergibt sich, dass wir zu dem Begriff der Form (zunächst) kein Gegenüber, keine andere Seite finden können, da wir dazu eine Unterscheidung gebrauchen müssten und diese nach der Definition wieder in der Form wäre. Jede Unterscheidung ist eine Trennung der Welt in zwei Seiten und jedes Treffen einer Unterscheidung erzeugt Form. Mit jeder Gegenüberstellung würde man wieder eine Form schaffen, die Form von Form und Nicht-Form, wie auch immer Nicht-Form benannt würde.
Der Formbegriff des Indikationenkalküls umfasst den Raum, in dem die beiden Seiten der dort getroffenen Unterscheidung stehen. Insofern ist der Begriff des Mediums als Ergänzungsbegriff – statt als Gegensatzbegriff – zu Form zu verstehen, der die Beschreibung von Form und insbesondere von konkreten Formen in ihrem Zusammenhang erleichtert (in dem erkenntnistheoretischen Teil wird „Leere“ (empty space) als Gegenbegriff zu Form erprobt).
Unter einem Arrangement verstehen wir die Form einer Anzahl von cross, die der Bedingung genügt, dass verschiedene cross aufeinander bezogen werden bzw. zusammen stehen. Das heißt, dass Markierungen ineinander oder nebeneinander stehen. Wenn wir also ein Blatt Papier mit Kreisen versehen haben und in die Form der Markierung der Unterscheidung ( ) bringen, nennen wir dies ein Arrangement.
Dies führt zu einem zentralen Konzept eines jeden Kalküls, der Leitunterscheidung der Berechnungen: dem Wert. Den Wertbegriff hatten wir im Zusammenhang mit dem Nennen des Namens und dem Kreuzen der Grenze kennen gelernt (vgl. in I. 1. den Abschnitt „Die Axiome“, S. 41f.). Nun wird die Verbindung des Wertes mit beliebigen Ausdrücken hergestellt.
„Nenne einen Zustand, der durch einen Ausdruck bezeichnet [angezeigt; F. L.] wird, den Wert des Ausdrucks.“ (SPENCER BROWN 1997: 4)
Der Wert eines Ausdruckes ist damit entweder markiert oder unmarkiert. Das heißt für den Mathematiker oder Logiker vor allem: Der Indikationenkalkül startet zweiwertig. Die Anzeige eines Zustandes kann mit dem Wert des Zustandes identifiziert werden, und daher meint der Begriff Ausdruck, dass das Arrangement in Bezug auf seinen Wert betrachtet wird, also daraufhin, ob der Ausdruck mit dem markierten oder mit dem unmarkierten Zustand identifiziert werden kann. Die Unterscheidung zwischen „markiert“ und „unmarkiert“ geht einher mit der ersten Unterscheidung. Wäre die erste Unterscheidung beispielsweise die zwischen „gut“ und „schlecht“, würden alle folgenden im Lichte dieser Unterscheidung betrachtet, wobei soweit noch unbestimmt wäre, welche Seite mit welchem Wert identifiziert wird. Für den Indikationenkalkül unterscheidet die erste Unterscheidung ganz allgemein zwischen dem markierten und unmarkierten Zustand oder Wert, weshalb wir im Folgenden bezüglich des Wertes gelegentlich auf die erste Unterscheidung zurückkommen.
Dass ein beliebiges Arrangement überhaupt mit einem der beiden Zustände identifiziert werden kann, ist bis zu dieser Stelle im Kalkül noch nicht erwiesen. Zu diesem Zweck werden die Axiome herangezogen und in eine dem Kalkül angepasste Form gebracht.
Mit der Einführung einer Markierung für einen (durch eine Unterscheidung) unterschiedenen Zustand und der Einführung von Ausdrücken, die wir als die Form einer Anzahl von zusammenstehenden Markierungen der Unterscheidung auffassen, die als Anzeige beabsichtigt sind, können die beiden Axiome, die im ersten Kapitel entdeckt wurden, formalisiert werden. Dabei wird der Begriff der Äquivalenz für Gleichungen benötigt, in denen die Ausdrücke auf beiden Seiten des Äquivalenzzeichens den gleichen Wert haben. Die zwei Seiten einer Gleichung, die beiden äquivalenten Ausdrücke, sind unterschiedlich, können aber miteinander gleich gesetzt werden, weil sie den gleichen Wert haben. Äquivalenz bezieht sich auf den Wert eines Ausdruckes.
Nun werden die beiden Axiome aus dem ersten Kapitel der Laws of Form in die folgenden Formen der „Kondensation“ und der „Aufhebung“ gebracht. Die damit bezeichneten Äquivalenzen von zwei Ausdrücken sind allgemeingültige Formen, die der ursprünglichen Form der Unterscheidung entnommen sind. Für die formale Darstellung der Axiome ist zu beachten, dass das Nennen als Nebeneinander und das Kreuzen als Ineinander der zwei cross interpretiert werden.
„Nun folgt aus Axiom 1: =
Nenne dies die Form der Kondensation.“ (SPENCER BROWN 1997: 4)
Die Form der Kondensation ist das Resultat der formalen (und symbolischen) Umsetzung von „Wieder-Nennen ist Nennen“.
„Lass jedes Token als Anweisung beabsichtigt sein, die Grenze der ersten Unterscheidung zu kreuzen.“ (SPENCER BROWN 1997: 5)
Das Token, also das Zeichen für die Markierung einer Unterscheidung, steht einerseits als Name für den markierten Zustand und andererseits als Anweisung für die Kreuzung der Grenze der ersten Unterscheidung. Wir hatten diese doppelte Bedeutung des cross schon im Zusammenhang der Rechtfertigung der Axiome des ersten Kapitels der Laws of Form betrachtet. Nun wird sie formal ausgedrückt. Es betrifft die Grenze der ersten Unterscheidung, weil wir nur eine Form haben; jedes cross ist eine Kopie dieser Form.
Das Kreuzen hat auch eine Richtung:
„Lass die Kreuzung von dem Zustand weg erfolgen, der auf der Innenseite des Tokens bezeichnet [angezeigt; F. L.] ist. Lass die Überschreitung in den Zustand erfolgen, der durch das Token bezeichnet [angezeigt; F. L.] wird.“ (SPENCER BROWN 1997: 5)
Haben wir eine Unterscheidung getroffen und ein cross geschrieben, bedeutet das, dass wir die Grenze der Unterscheidung in Richtung auf den Raum kreuzen, der durch den markierten Zustand angezeigt ist, das heißt von der Innenseite des cross auf seine Außenseite, das ist der Raum, in dem das cross steht.
„Nun folgt aus Axiom 2: = .
Nenne dies die Form der Aufhebung.“ (SPENCER BROWN 1997: 5)
Die Form der Aufhebung ist das Resultat der formalen Umsetzung von: „Wieder-Kreuzen ist nicht Kreuzen.“ Im Allgemeinen meint eine Unterscheidung zu treffen (hier also: ein cross zum Zwecke der Anzeige zu gebrauchen), die Grenze der Unterscheidung in Richtung auf die Außenseite zu kreuzen, so dass die Unterscheidung getroffen ist. Wird die Grenze erneut gekreuzt, ist sie nicht mehr getroffen; das meint, dass das wiederholte Kreuzen den Wert des Zustandes ändert. Durch die Wiederholung kommt man wieder in den unmarkierten Raum, in den das erste cross geschrieben wurde.
In den Anmerkungen zum zweiten Kapitel der Laws of Form gibt George Spencer Brown eine Ableitung des zweiten Axioms an, die sehr einleuchtend ist, für die aber die Form der Substitution benötigt wird, die bisher noch nicht gerechtfertigt wurde (siehe SPENCER BROWN 1969: 71f.). Im Haupttext kommt diese Erläuterung deshalb nicht vor. Ganz allgemein gilt, dass immer eine Seite einer Grenze markiert und die andere unmarkiert ist. Wenn wir das mit einer Markierung m veranschaulichen, ergeben sich die beiden folgenden Möglichkeiten: Wenn der Raum innerhalb eines cross der markierte ist, so ist der Raum außerhalb der unmarkierte, und umgekehrt: Wenn der Raum außerhalb des cross markiert ist, ist der Raum innerhalb unmarkiert. Das heißt (indem wir m für markiert stehen lassen): m = . und = m. Aus dem Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste folgt das zweite Axiom.
Die beiden Formen der Kondensation und der Aufhebung ergeben sich aus dem Treffen einer zweiten Unterscheidung auf entweder der Außen- oder der Innenseite einer ersten Unterscheidung. Diese Formen werden in dem Indikationenkalkül als primitive Gleichungen bezeichnet, da sie ursprünglich aus der Idee der Unterscheidung abgeleitet wurden und die grundlegendsten und einfachsten sind. In diesem Text werden sie „Grundgleichungen“ genannt. Aus oder mit ihnen werden später kompliziertere Gleichungen gefunden.
Der markierte und der unmarkierte Zustand werden als die beiden einzigen einfachen (oder primitiven) Ausdrücke bezeichnet. Da ein komplizierterer Ausdruck auch eindeutig mit einem Wert identifiziert werden kann, können wir jeden beliebigen Ausdruck als eine (komplizierte) Unterscheidung auffassen.
Die Markierung der Unterscheidung erhält einen Namen, den wir in diesem Text schon verwendet haben und der wegen seiner Doppeldeutigkeit dem Umstand gerecht wird, dass die Markierung auch als Anweisung verstanden wird, die Grenze zu kreuzen.
„Wir sehen nun, dass, wenn ein Zustand bezeichnet [angezeigt; F. L.] werden kann, indem man ein Token als Namen gebraucht, er bezeichnet [angezeigt; F. L.] werden kann, indem man das Token als Anweisung vereinbarungsgemäß gebraucht. Jedes Token kann daher als Anweisung für die Operation einer Absicht aufgefasst werden und ihm kann selbst ein Name gegeben werden, cross, um zu bezeichnen [anzuzeigen; F. L.], was beabsichtigt ist.“ (SPENCER BROWN 1997: 6)
Das Treffen einer Unterscheidung – und damit der Gebrauch einer Anzeige oder eines Namens und das Kreuzen einer Grenze – ist damit die einzige Operation, die im Kalkül verwendet wird. Die Form der Unterscheidung ist die einzig zugelassene, und innerhalb des Kalküls finden wir keinen Weg, die Form zu verlassen, wir stoßen immer wieder auf die Form. Deshalb ist Be-Inhaltung die einzige Relation, die der Kalkül benötigt:
„Nachdem wir entschieden haben, dass die Form jedes Tokens, das cross genannt wird, vollkommen in sich selbst enthalten sein muss, haben wir nur eine Art der Relation zwischen Kreuzen gestattet: Be-Inhaltung. Lass den Zweck dieser Relation so eingeschränkt sein, dass es heißt, ein cross beinhalte das, was auf seiner Innenseite ist, und beinhalte das nicht, was auf seiner Außenseite ist.“ (SPENCER BROWN 1997: 6)
Durch das Kopieren von cross in und neben andere werden komplizier¬tere Ausdrücke erzeugt. Die Markierung legt fest, was beinhaltet ist und was nicht.
Der tiefste Raum dieses Ausdruckes hat die Tiefe vier, der seichteste Raum eines jeden Ausdruckes hat die Tiefe null. Der Raum der Tiefe Null ist der Raum, in dem der Ausdruck als ganzer steht.
Mit Hilfe des Konzeptes der Tiefe kann auch formuliert werden, was die ganze Zeit schon gewusst und benutzt wurde: Eine Unterscheidung wird in einem Raum getroffen, der wiederum eine Seite einer weiteren Unterscheidung darstellt. Diese ist nicht sichtbar, weil sie nicht mitgeschrieben wird. Man könnte auch nie alle mitschreiben, weil jede Unterscheidung wieder in einem Raum stehen müsste etc. Insofern liegt jedem Ausdruck ein ungeschriebenes cross zugrunde. Die Frage, die sich aufdrängt, ist dann aber: Was ist die erste Unterscheidung? In welchem Raum wird sie getroffen? (Vgl. I. 5. „Der re-entry der Form in die Form“, S. 102ff., bzw. das 12. Kapitel der Laws of Form).