Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03301.jsonl.gz/10

Orthogonale Regression und Streuellipsen
Zu einem Dreieck gibt es unendlich viele Ellipsen, die die Dreiecksseiten von innen berhren. Die flchengr§te dieser Ellipsen ist die Steiner-Innenellipse1. Die dazu duale Umellipse ist die flchenkleinste Ellipse durch die Eckpunkte des Dreiecks:
Abb.1: Steiner-Innenellipse und -Umellipse eines Dreiecks
Es zeigt sich, dass die Steiner-Ellipsen zu einer Ellipsenschar gehren, die zu beliebigen ebenen Punktwolken durch Hauptachsentransformation berechnet werden kann. Die statistischen Begriffe Varianz und Kovarianz zeigen dabei eine geometrische Bedeutung.
Abb. 2: Punktwolke: PISA-Ergebnisse oder elliptische Galaxie?
Die Punktwolke sei (ohne Einfluss auf Varianz und Kovarianz) bereits so verschoben, dass der Schwerpunkt im Koordinatenursprung liegt: .
Die Punkte der Wolke seien in Polarkoordinaten gegeben:
Die Kovarianz sei , die Varianzen bzw. .
Wir betrachten eine Ursprungsgerade mit dem Steigungswinkel .
Fr jeden Punkt der Wolke gilt dann folgende berlegung:
Abb. 3: Projektion auf Ursprungsgerade
Es ist:
und analog:
Die Ursprungsgerade wird im folgenden so bestimmt werden, dass sie eine Extremaleigenschaft in Bezug auf Varianz und Kovarianz der Punktwolke erfllt.
Sie wird sich spter als Hauptachse der gesuchten Ellipsenschar erweisen.
Wir definieren nun die beiden Funktionen:
ist der mittlere Flcheninhalt "orthogonalen" Quadrate:
Abb. 4: Quadrate der Lote
Dazu analog ist ist die Varianz der auf der Gerade liegenden Punkte:
Abb. 5: Varianz der projizierten Punkte
Die Funktion stellt eine Verallgemeinerung der Varianz dar, denn es gilt:
und
Die Funktionen V und F sind um gegeneinander phasenverschoben: .
Wegen gilt:
Daraus ergibt sich . Einem Maximum der (nichtkonstanten) Funktion entspricht daher ein Minimum von und umgekehrt.
Berechnung der Extrema:
und daher (fr )
Fr erhlt man . Im folgenden gelte:
Im Intervall gibt es eine Maximumstelle und eine Minimumstelle.
Anders als bei den gebruchlichen Regressionsgeraden werden hier nicht die senkrecht bzw. waagerecht gemessenen Abstnde in der Quadratsumme zum Minimum gemacht sondern die orthogonal gemessenen. Man knnte daher von "orthogonaler Regression" sprechen.
Es bezeichne den Winkel
und
Der Test mit der zweiten Ableitung ergibt: ,
wobei das negative Vorzeichen fr gilt.
Man erhlt fr :
Anderenfalls gelten die umgekehrten Zuordnungen.
Beispiel: . Es gilt: , , , , und, da , ,
Die Extremwerte werden spter unter Verwendung des Matrizenkalkls berechnet.
Genau wie beim bergang von der Varianz zur Standardabweichung im Eindimensionalen sollte man auch bei und die Wurzel ziehen. Man erhlt dadurch Ma§stabsinvarianz und die richtigen Einheiten. In Polarkoordinaten und mit den Daten aus dem Beispiel ergibt sich:
Abb. 6: Graphen zu , und
Betrachten wir die Ursprungsgerade mit Steigungswinkel (wegen ), die durch die "Taille" der zu gehrigen Kurve und gleichzeitig durch die Scheitelpunkte von verluft. Der Winkel ist nunmehr so bestimmt, dass die Summe der in Abb. 4 dargestellten Abstandsquadrate der Punkte von dieser Gerade minimal ist: . Entsprechend liest man an der zu V gehrigen Kurve ab, dass die in Richtung der Geraden entsprechend gemessene Varianz maximal ist, d.h. .
Darstellung mit Quadratischen Formen
Die Kovarianzmatrix hat die Determinante .
Wegen der Ungleichung von Cauchy-Schwarz gilt ohnehin: .
Im Falle der Gleichheit wrde fr den Korrelationskoeffizienten folgen:
Daraus ergbe sich, dass alle Punkte auf einer (steigenden oder fallenden) Gerade lgen.
Fordert man, dass die Punktwolke aus Punkten besteht, die nicht alle auf einer Geraden liegen, ergibt sich als Mindestanzahl 3 sowie, dass .
Daraus folgt, dass die Kovarianzmatrix positiv definit ist.
Man erhlt dadurch die positiv definite quadratische Form
In Polarkoordinaten:
Gleichheit tritt nur fr bzw. ein. Hlt man den Winkel fest, so wachsen die Funktionswerte quadratisch mit . Die quadratische Form kann also als Paraboloid mit Scheitelpunkt im Koordinatenursprung dargestellt werden.
Jeder Schnitt mit einer Ebene, die die z-Achse enthlt, ist eine Parabel:
Abb. 7: Darstellung von
Hauptachsentransformation
Bei den Niveaulinien von handelt es sich um Ellipsen:
Beweis: Um den "gemischten" Term in zu eliminieren, fhrt man mit Hilfe der Drehmatrix
.
und der Substitution neue Koordinaten ein:
Das Produkt der in der Mitte stehenden drei Matrizen wird explizit ausgerechnet zu
(*)
Fr die Winkelund nimmt diese Matrix Diagonalgestalt an. Zur Vereinfachung der Darstellung sei im folgenden und vorausgesetzt. Man erhlt die Matrix
Die Berechnung der Extremwerte in der Hauptdiagonalen erfolgt nun nicht etwa numerisch ber das Einsetzen des berechneten Winkels in die trigonometrischen Funktionen sondern nach den Rechenregeln fr Determinanten. Es gilt nmlich einerseits, dass das Produkt der gesuchten Extremwerte bekannt ist:
Andererseits ergibt die Addition der in der Hauptdiagonale von (*) stehenden Terme
wegen die ebenfalls bekannte Summe
Die Werte , sind daher die Lsungen der quadratischen Gleichung
Es handelt sich um die charakteristische Gleichung der Kovarianzmatrix.
Die gesuchten Extremwerte sind also die Eigenwerte der Kovarianzmatrix:
Die Eigenwerte sind beide positiv und (falls ) voneinander verschieden.
Als Bezeichnung sei vereinbart. Die zugehrigen Eigenvektoren sind:
Die zum Wert gehrige Niveaulinie hat im gedrehten Koordinatensystem
die Gleichung:
Es handelt sich also – wie behauptet – um eine Ellipse. Ø
Whlt man speziell , so ergibt sich , also
Die Halbachsen haben die Lngen , . Normierung der Eigenvektoren und Multiplikation mit diesen Werten ergibt die Scheitelpunkte im ursprnglichen Koordinatensystem.
Die Ellipse berhrt den Graphen von von innen:
Abb. 8
Die Lage und die Ma§e ermglichen es, eine Koordinatengleichung der Ellipse direkt aus derjenigen von durch eine Inversion am Kreis zu bestimmen.
Abb. 9 Inversion am Kreis
Bei einer Inversion am Kreis muss das Produkt der Radien sein.
Aus folgt mit
dass
Ausmultplizieren ergibt eine Koordinatengleichung der Inversionskurve:
Also geht durch Inversion ber in die Ellipse:
Benutzt man wieder Matrizen, lsst sich diese Ellipsengleichung sehr knapp mit der inversen Kovarianzmatrix schreiben:
Wegen ist sie quivalent zu
Aus der Annahme folgt und dass die Mindestpunktanzahl 3 betrgt.
Die Ellipsen sind also wohldefiniert. Der Grenzfall Kreis tritt genau dann auf, wenn . Die Streuellipsen sind die geometrischen Orte der Punkte, die denselben Mahalanobis-Abstand bzw. vom Zentrum mit Ortsvektor haben. Sie sind bei bivariater Normalverteilung die Konturlinien gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte. Das Mahalanobis-Abstandsma§ geht den zu messenden Daten nicht voraus sondern entsteht gewisserma§en erst mit ihnen. Die (euklidische) Abstnde werden entsprechend der Varianz in der jeweiligen Richtung gewichtet.
Abb. 10 Beispiel fr Streuellipsen
Die eingezeichneten Geraden sind Translationen der Eigenrume der Kovarianzmatrix und Hauptachsen der Ellipsen. Man knnte sie als Dritte Regressionsgeraden bezeichnen. In diesem Beispiel wre eine Verwendung der blichen ersten oder zweiten Regressionsgerade wegen der Gleichartigkeit der dargestellten Daten ganz unangebracht, denn beide Komponenten des Datensatzes sind in gleicher Weise fehlerbehaftet. Die erste Regressionsgerade wrde hier etwa 18¡ flacher, die zweite etwa 30¡ steiler verlaufen als die Hauptachse.
Steiner-Ellipsen als spezielle Streuellipsen
Satz: Die Punktwolke bestehe aus den Punkten mit.
Dann gilt:
Die Streuellipse ist die Steiner-Innenellipse des Dreiecks.
Die Streuellipse ist die Steiner-Umellipse des Dreiecks.
Beweis:
a) Berechnung der Streuellipse:
Fr die Punktwolke ABC mit gilt:
.
Daher: , und
Die Streuellipsen sind also:
d.h.:
b) Berechnung der Steiner-Ellipse:
Jedes ebene Dreieck kann (zusammen mit seinen Steiner-Ellipsen) durch die umkehrbaren Abbildungen Verschiebung, Drehung, zentrische Streckung und Spiegelung auf ein geeignetes Dreieck mit abgebildet werden. Das Dreieck mit ist gleichseitig. Seine Steiner-Ellipsen sind daher bekannt: es handelt sich (aus Symmetriegrnden) um den Innenkreis: und um den Umkreis: .
Wenn man das gleichseitige Dreieck durch die affine Abbildung mit
auf das Dreieck abbildet, geht sein Innenkreis in die Steiner-Innenellipse ber. Denn eine affine Abbildung erhlt Teilverhltnisse, und die Innenellipse berhrt wie der Innenkreis die Dreiecksseiten in den Seitenmitten. Die Spaltenvektoren von M haben (als Bildvektoren der orthogonalen Kreisradien) konjugierte Richtung. Das legt zusammen mit dem Zentrum die Ellipse bereits fest. Sie sei durch die Koordinaten beschrieben.
Die Umkehrabbildung ist gegeben durch:
Durch Einsetzen in die Kreisgleichung erhlt man:
Daraus folgt:
Die Steiner-Innenellipse hat die Gleichung:
Der Vergleich zeigt: Fr ist die Streuellipse also die Steiner-Innenellipse.
Streckung mit dem Faktor 2 ergibt fr die Umellipse. Ø
Die Berechnung der Streuellipsen ist offenbar von der Anzahl der zugrunde liegenden Punkte unabhngig. Der Begriff der Steiner-Ellipse kann daher durch die im Satz genannte Charakterisierung allgemeiner gefasst werden.
Korollar: Zu jeder Punktwolke W gibt es Steiner-Ellipsen.
Der Extremaleigenschaft der Steiner-Ellipsen entspricht bei den Streuellipsen die Eigenschaft der "effektivsten Darstellung"2.
Die Exzentrizitt der Streuellipsen hngt vom Korrelationskoeffizienten und
vom Verhltnis der Varianzen ab:
Fr ( also ) gilt:
Fr gilt: fr und fr
Auch unkorrelierte Punktwolken haben also im Allgemeinen keine Kreise als Streuellipsen. Es gibt unkorrelierte Punktwolken mit Streuellipsen beliebiger Exzentrizitt. Dieser Feststellung enthlt eine Warnung vor zu gro§em Vertrauen in die Aussagekraft des optischen Eindrucks, den eine statistische Graphik erwecken kann. Falls mglich, sollte man Vx und Vy mit derselben Einheit darstellen.
Anwendung ergeben sich in Mustererkennung und Echtheitsprfung von Geldscheinen3. Elliptische Galaxien bestehen aus Milliarden von Sternen. Mit bivariater Statistik kann jeder Streuellipsen der jeweilige Anteil an der Gesamtzahl der Sterne zugeordnet werden.
Abbildungsverzeichnis:
[Abb. 2] PISA-Konsortium (Hrsg.) PISA 2003. Der zweite Vergleich der Lnder in Deutschland - Was wissen und knnen Jugendliche?, Mnster, New York, Mnchen, Berlin: Waxmann 2005. S. 253.
(Schwarz-wei§-invertiert) Abdruck mit freundlicher Genehmigung des Verlags.
[Abb. 10] Daten aus: A Handbook of Small Data Sets.
Ed. by D.J. Hand et al.. London: Chapman and Hall 1994.
Literaturverzeichnis:
Koecher, Max: Lineare Algebra und Analytische Geometrie/Berlin;Heidelberg;
New York;Tokyo: Springer 1983. [ISBN 3-540-12572-8 ]
Tack, Thomas: Die dritte, vierte und fnfte Regressionsgerade.
MNU, Mathematischer und naturwissenschaftlicher Unterricht
59/1 (15.1.2006), S. 7-13. [ISSN 0025-5866.]
Internetquellen [Stand: jeweils 6. April 2007]:
Empfehlenswerte Links:
Anschriften der Verfasser:
Thomas Tack, Kapitelshof 22, D-53229 Bonn
Hans Walser, Gerlikonerstrasse 29, CH-8500 Frauenfeld
last modified: 12. May 2007