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Travaux en mathématiquesFredholm est surtout connu pour ses travaux sur les équations intégrales et la théorie spectrale. Une grosse partie de ses recherches s'est faite en 1899, lorsqu'il est allé à Paris étudier le problème de Dirichlet avec Poincaré, Émile Picard, et Hadamard. Un premier rapport est apparu en 1900, intitulé Sur une nouvelle méthode pour la résolution du problème de Dirichlet. Riemann, Schwarz, Carl Neumann et Poincaré avaient étudié la question, qui était maintenant posée sous forme d'une équation intégrale.
Les apports de Fredholm furent rapidement connus des mathématiciens, après que Holmgren exposa en 1901 à l'Université de Göttingen la théorie de Fredholm. Hilbert comprend rapidement l'importance des travaux de Fredholm. Pendant le premier quart du XXe siècle, la théorie des équations intégrales reste un sujet de recherche essentiel. En 1903, Fredholm publie la version complète de sa théorie dans les Acta Mathematica. Hilbert généralise sa théorie pour y inclure la théorie des valeurs propres, ce qui le conduit à la notion d'espace de Hilbert.
En 1906, Fredholm obtient la chaire de mécanique et physique mathématique de Stockholm. En 1909-1910, il devient vice-doyen, puis doyen de l'Université de Stockholm. Le 31 mai 1911, il épouse Agnes Maria Liljeblad, fille de pasteurs protestants. Il a alors 45 ans.
Fredholm a reçu de nombreuses récompenses pour ses travaux en mathématiques, comme par exemple en 1903 le Prix V.-A.-Wallmark en 1908, l'Académie des sciences de Paris lui décerne le Prix Poncelet. En 1909, il est reçu Docteur honoris causa à l'Université de Leipzig.