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Hans Walser, [20121227]
Symmetrische Matrix
Wir arbeiten mit der symmetrischen Matrix:
Eine symmetrische Matrix ist gleich ihrer transponierten Matrix:
Wir verwenden die Matrix A als Abbildungsmatrix und bilden den Einheitskreis ab.
Bild des Einheitskreises
Der Kreis wird zu einer schrgen Ellipse verzerrt.
Wir sehen etwas mehr, wenn wir den Einheitskreis durch den Smiley ersetzen.
Smiley
Der Einheitskreis hat die Parameterdarstellung:
Nun multiplizieren wir mit der Matrix A:
Rechts haben wir die Parameterdarstellung der Verzerrungsellipse.
Beim Smiley mssen die Augen und der Mund entsprechend bearbeitet werden.
Wir mssen mit der inversen Matrix arbeiten:
Nun setzen wir die Norm von , also:
Die Idee ist, dass die Rckabbildung in den Einheitskreis passt.
Die Abbildung zeigt die Situation in dieser impliziten Darstellung. Frs Auge natrlich kein Unterschied zur obigen Parameterdarstellung.
Implizite Darstellung
Wir bestimmen die Eigenwerte und Eigenvektoren der symmetrischen Matrix A: Wir erhalten die charakteristische Gleichung mit den beiden Lsungen und . Dies sind die Eigenwerte der Matrix A. Fr die Eigenvektoren erhalten wir zum Beispiel:
und
Die beiden Eigenvektoren sind orthogonal.
Allgemein gilt (ohne Beweis):
Die Abbildung zeigt die beiden Eigenvektoren.
Eigenvektoren
Wir vermuten, dass der Eigenvektor die Richtung der langen Hauptachse (lange Symmetrieachse) der obigen Verzerrungsellipse hat. Der Eigenvektor hat die Richtung der kurzen Hauptachse (kurze Symmetrieachse) der Verzerrungsellipse.
Fr den eingezeichneten Winkel ergibt sich:
Die Matrix
enthlt die Eigenwerte der Matrix A in der Diagonalen und sonst nichts. Die zugehrige Abbildung ist eine Streckung in der x-Richtung um den Faktor 7 und in der y-Richtung um den Faktor 2. Der Einheitskreis wird zu einer Ellipse mit den Hauptachsen 7 und 2 verzerrt.
Verzerrung
Das ist offenbar wieder unsere Verzerrungsellipse, aber um den Winkel zurckgedreht.
Die Drehmatrix T fr den Winkel ist:
Diese Matrix hat folgende Eigenschaften:
Die Spaltenvektoren sind zueinander orthogonal.
Die Spaltenvektoren haben die Lnge 1.
Die Spaltenvektoren (und ebenso die Zeilenvektoren) bilden also eine orthonormale Basis.
Es ist:
Eine Matrix mit diesen Eigenschaften wird als orthogonale Matrix bezeichnet.
Quadratische Matrix Q mit folgenden Eigenschaften:
Die Spaltenvektoren sind zueinander orthogonal.
Die Spaltenvektoren haben die Lnge 1.
Es ist .
Wir deine orthogonale Matrix als Abbildungsmatrix verwendet, bleiben Lngen und Winkel invariant. Die Abbildung ist also eine Kongruenzabbildung. Die Abbildung ist eine Drehung oder eine Spiegelung.
Der entsprechende Begriff bei komplexen Matrizen ist die unitre Matrix.
Wir machen nun folgendes: Wir drehen den Smiley um den Winkel zurck, dann verzerren wir mit der Matrix , also in der x-Richtung mit dem Faktor 7 und in der y-Richtung mit dem Faktor 2, und dann drehen wir um den Winkel vorwrts. Dann sollten wir dasselbe erhalten wie bei der Direktabbildung mit der Matrix A.
Die Figurenfolge zeigt, dass es klappt.
Zusammensetzung von Abbildungen
Wir sehen, dass der erste Schritt, also das Zurckdrehen des Smileys um den Winkel , wesentlich ist und nicht bersprungen werden kann.
Dem Zusammensetzen von Abbildungen entspricht die Multiplikation von Matrizen.
Gem§ unseren berlegungen muss gelten:
Kontrolle:
Die Sache ist also ok.
Umgekehrt gilt auch:
Eine symmetrische Matrix kann also ãdiagonalisiertÒ werden. In der Diagonalen stehen dann die Eigenwerte der Matrix.