Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03165.jsonl.gz/36

Hans Walser, [20180810]
Falsche Schraubenlinie
Anregung: Wunder (2018)
Der Handlauf eines Treppengelnders konstanter Steigung, das aber ãum die Ecke gehtÒ, kann an der Ecke durch einen Bogen abgerundet werden. Was kann ber die Steigung auf diesem Bogenstck gesagt werden?
Es zeigt sich, dass die Steigung auf dem Bogenstck gr§er ist als die konstante Steigung auf den geraden Stcken.
Es wird exemplarisch mit dem einfachsten Fall ausgehen von der Steigung 1, gearbeitet. Dabei treffen wir auf das DIN-Format und den kristallografischen Winkel.
Die Abbildung 1a zeigt eine echte Schraubenlinie mit der Steigung 1 (also dem Steigungswinkel 45¡). Die Schraubenlinie liegt auf einem Kreiszylinder.
Die Abbildung 1b zeigt die zugehrige Abwicklung.
Abb. 1: Schraubenlinie und Abwicklung
Die Abbildung 2 zeigt einen Wrfel mit einer bereck laufenden roten Linie.
Abb. 2: Wrfel mit roter Linie
Wenn wir vier solche Figuren der Abbildung 2 je um 90¡ verdreht aufeinandersetzen, erhalten wir eine eckige Schraubenlinie (Abb. 3a).
Abb. 3: Eckige Schraubenlinie. Abwicklung
Die Abbildung 3b zeigt die Abwicklung dieser eckigen Spirale. Sie ist wesentlich dieselbe Figur wie die Abwicklung der Schraubenlinie (Abb. 1b). Die Steigung ist ebenfalls konstant 1, der Steigungswinkel 45¡.
Die beiden roten Teilstrecken der Abbildung 2 schlie§en einen Winkel ein, allerdings keinen rechten Winkel. Um diesen Winkel zu bestimmen, ergnzen wir die Figur mit vier weiteren analogen Teilstrecken zu einem regelm§igen Sechseck (Abb. 4).
Abb. 4: Regelm§iges Sechseck
Das Sechseck ist die Schnittfigur des Wrfels mit der Mittelnormalebene der eingezeichneten Wrfeldiagonale.
Die Au§enwinkel des regelm§igen Sechsecks sind 60¡. Dies ist die Richtungsnderung zweier aufeinanderfolgender roten Strecken.
Wir knnen also die durch die beiden roten Teilstrecken der Abbildung 2 gebildete Ecke durch einen 60¡-Bogen abrunden. Der Radius dieses Bogens ist frei. Wir whlen ihn gem§ Abbildung 5.
In der Abbildung 5 sind zustzlich das Zentrum und die Grenzradien des Bogens eingezeichnet. Der Bogen ist nicht Teil des Inkreises des regelm§igen Sechseckes der Abbildung 4.
Abb. 5: Bogen
Wenn wir vier solche Figuren der Abbildung 5 je um 90¡ verdreht aufeinandersetzen, erhalten wir eine falsche Schraubenlinie (Abb. 6b). Sie ist aus vier 60¡-Bgen zusammengesetzt.
a) b)
Abb. 6: Falsche Schraubenlinie
In der Abbildung 6a ist in magenta die eckige Schraubenlinie der Abbildung 3 sichtbar. Die falsche Schraubenlinie ist krzer (sie luft der eckigen Schraubenlinie den Rank ab), schafft aber dieselbe Hhendifferenz. Sie hat daher im Mittel eine gr§ere Steigung als die eckige Schraubenlinie.
Die Abbildung 7 zeigt die Sicht von oben.
Abb. 7: Sicht von oben
Die falsche Schraubenlinie luft nicht mehr auf einem Kreiszylinder, sondern auf einem Zylinder, dessen Leitlinie durch vier Ellipsenbgen gebildet ist – die Normalprojektion eines ãschrgenÒ Kreisbogens ist ja ein Ellipsenbogen. Die zugehrigen Ellipsen haben das Achsenverhltnis . Solche Ellipsen treten in vielen Zusammenhngen auf und haben einige bemerkenswerte geometrische Eigenschaften [1] , [2] , [3].
Die Abbildung 8 zeigt die vier Ellipsen in extenso. Von blossem Auge ist die Innenfigur kaum von einem Kreis zu unterscheiden.
Abb. 8: Die vier Ellipsen
Fr die Berechnung des Umfanges der Leitlinie des Trgerzylinders bentigen wir daher elliptische Integrale. Dies macht die Konstruktion der Abwicklung zu einer spannenden Angelegenheit.
Die Abbildung 9b zeigt die Abwicklung des Trgerzylinders der falschen Schraubenlinie. Die falsche Schraubenlinie wird nicht auf eine Quadratdiagonale abgebildet. Ihre Steigung ist im Mittel gr§er als 1. Die Steigung ist nicht mehr konstant. Es geht wie beim Radetzky Marsch berÕs Waschbrett ab.
Abb. 9: Abwicklung der falschen Schraubenlinie
Die Abbildung 10 zeigt den in der Abbildung 9b etwas dunkler markierten Ausschnitt.
Am Anfang und am Ende haben wir die Steigung 1 und den Steigungswinkel 45¡. An der steilsten Stelle haben wir die Steigung und den zugehrigen Steigungswinkel:
(1)
Dies ist auch die Steigung einer Diagonale in einem DIN A4-Papier im Hochformat. ber das DIN-Format siehe Walser (2013).
Abb. 10: Abwicklung, Ausschnitt
Ein einzelner Bogen der falschen Schraubenlinie ist natrlich eine ebene Figur. Beim bergang von einem Bogen zum nchsten werden die Trgerebenen der Bogen verdreht (Abb. 11). Wir haben eine Torsion.
Der Torsionswinkel ist der Spitzenwinkel im gleichschenkligen Dreieck der Abbildung 11. Wir erhalten:
(2)
Dieser Winkel tritt auch im kristallografischen Kontext auf. Er ist auch der Diederwinkel im regulren Tetraeder. Ebenso ist es der Schnittwinkel der beiden Diagonalen in einem DIN A4-Papier.
Abb. 11: Torsion
Diese sprunghafte Torsion macht die falsche Schraubenlinie als Approximation der Schraubenlinie unbrauchbar. Die Schraubenlinie muss eine konstante Krmmung und eine konstante Torsion haben. Sonst klemmt es beim Schrauben.
Literatur
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.
Wunder, Michael A. (2018): Treppengelnder und analytische Geometrie. MNU Journal 4.2018, 233-237.
Websites
[1] Hans Walser: Orthogonale Gro§kreise in isometrischer Darstellung
[2] Hans Walser: Kreise und Ellipsen
[3] Hans Walser: Rochelle-Ellipse