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Questions sur la rotation de solides rigides autour d’un axe fixe.
par Bernard Vuilleumier
Champ : dynamique du solide rigide
Documents autorisés : Tables numériques CRM. Calculette.
Énoncé
Un dispositif formé de deux sphères reliées par une tige horizontale peut tourner librement sans frottement autour d’un axe vertical.
- Dispositif
- Les deux sphères et la tige cylindrique qui les relie sont pleines. L’axe de rotation est un cylindre creux à paroi mince.
Question 1 (8 points)
- Exprimez le moment d’inertie de chaque composant par rapport à l’axe.
- Donnez l’expression du moment d’inertie total du dispositif.
- Calculez ces moments d’inertie ainsi que le moment d’inertie total.
Question 2 (9 points)
On exerce un couple de force constant de moment \mathcal{M} sur l’axe vertical du dispositif initialement immobile.
- Exprimez l’accélération angulaire du dispositif.
- Calculez cette accélération angulaire. [1]
- Exprimez la vitesse angulaire \omega en fonction du temps.
- Calculez cette vitesse angulaire après 1 seconde.
- Exprimez l’angle de rotation \theta en fonction du temps.
- Calculez l’angle décrit par le dispositif après 1 seconde.
Question 3 (8 points)
On associe un ressort spiral qui exerce un couple de rappel de moment \mathcal{M}_{rappel}=-C\theta sur l’axe lorsqu’il a tourné d’un angle \theta. On écarte le dispositif d’un angle \theta_{max} de sa position d’équilibre avant de livrer le système à lui-même.
- Exprimez l’évolution de l’écart angulaire \theta(t).
- Donnez la période d’oscillation du dispositif.
- Calculez cette période pour C=8.68 \times 10^{-3} Nm.
- Exprimez la vitesse angulaire maximale \omega_{max} du dispositif.
- Calculez cette vitesse \omega_{max} pour une amplitude angulaire \theta_{max}=90°.
Données numériques
rayon des sphères r_s=2 cm
masse volumique des sphères \rho_s=7.86 g/cm3
longueur de la tige reliant les deux sphères 2{h}=10 cm
masse volumique de la tige \rho_{tige}=7.1 g/cm3
masse de l’axe de rotation m_{axe}=300 g
rayon de la tige et rayon de l’axe r= 3 mm
moment du couple exercé sur l’axe \mathcal{M}=2 \times 10^{-3} Nm