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Hans Walser, [20120706]
Das FIN-Rechteck
Einem DIN-Rechteck setzen wir an der Schmalseite ein Quadrat an oder schneiden ein Quadrat ab.
Ansetzen oder abschneiden
Im ersten Fall entsteht ein Gesamtrechteck mit dem Seitenverhltnis , im zweiten Fall bleibt ein Restrechteck mit dem Seitenverhltnis brig. Dieses Restrechteck erhalten wir auch, wenn wir Papier im DIN-Format zu quadratischem Origami-Papier zuschneiden. Wegen
sind die beiden Rechtecke hnlich. Wir bezeichnen ein Rechteck mit diesem Seitenverhltnis als FIN-Rechteck.
Wenn wir bei einem FIN-Rechteck zwei Quadrate abschneiden, bleibt wieder ein FIN-Rechteck brig.
Abschneiden zweier Quadrate
Dieses Abschneiden von zwei Quadraten kann iteriert werden.
Iteration
Nun knnen wir zum Beispiel mit Spiralen verzieren, welche aus Viertelkreisen zusammengesetzt sind.
Spiralen
Natrlich htten wir auch je zwei Quadrate ansetzen knnen. In der folgenden Abbildung wurden zunchst einfach einmal zwei Einheitsquadrate nebeneinander gesetzt. Dann wurden je zwei Quadrate angesetzt. So erhalten wir eine Folge von Rechtecken.
Bottom up
Fr die Seitenlngen der Quadrate erhalten wir die Folge:
1, 2, 5, 12, 29, 70, ...
Dies sind die so genannten Pell-Zahlen mit der Rekursion:
Fr deren Quotientenfolge erhalten wir den Grenzwert . Die Rechtecke nhern sich also dem Format des FIN-Rechtecks an.
Die beiden Diagonalen im FIN-Rechteck schneiden sich unter einem spitzen Winkel von 45¡.
Diagonalenschnittwinkel 45¡
Dies kann zunchst rechnerisch eingesehen werden: Fr den spitzen Diagonalenschnittwinkel erhalten wir zunchst:
Damit wird:
Einfacher ist eine geometrische berlegung (mitgeteilt von Renato Pandi): Die Verbindungslinie der beiden Diagonalenschnittpunkte des Quadrates und des FIN-Rechtecks ist die halbe Langseite des DIN-Rechteckes, im Format also und damit gleich lang wie die halbe Quadratdiagonale. Somit ergeben sich die zwei in der Abbildung eingezeichneten gleichschenkligen Dreiecke mit dem Spitzenwinkel 45¡.
Zwei gleichschenklige Dreiecke
Die Basiswinkel dieser Dreiecke messen daher . So erhalten wir im FIN-Rechteck den stumpfen Diagonalenschnittwinkel 135¡.
Mit dem 45¡-Winkel haben wir einen Link zum regelm§igen Achteck.
Link zum regelm§igen Achteck
Das regelm§ige Achteck hat den doppelten Flcheninhalt des FIN-Rechtecks. Dies kann auf verschiedene Weise eingesehen werden.
Zunchst einige Zerlegungsbeweise.
Zerlegungsbeweis mit 16 Puzzle-Teilen
Mit dem Stern aus Kindertagen geht es natrlich auch.
Stern
Es geht auch mit nur 8 Puzzle-Teilen.
Zerlegungsbeweis mit 8 Puzzle-Teilen
Wir die Symmetrie eingeschrnkt, geht es sogar mit nur 7 Puzzle-Teilen.
Zerlegungsbeweis mit 7 Puzzle-Teilen
Aus acht FIN-Rechtecken ergibt sich ein Achteck mit vierfachem Flcheninhalt.
Zerlegungsbeweis
Bei Verzicht auf Axialsymmetrie kommen wir mit weniger Puzzle-Teilen durch.
Zerlegungsbeweis
Und nun noch eine Kombination von Zerlegungsbeweis und Ergnzungsbeweis.
Stimmt es?
Die beiden in der Abbildung eingezeichneten gleichschenkligen Dreiecke machen flchenm§ig zusammen genau ein Viertel des DIN-Rechtecks aus.
DIN-Rechteck und Achteck
Wir knnen daher zu einem Achteck ergnzen, welches zum DIN-Rechteck flchengleich ist.
Die folgende Abbildung zeigt einen Zerlegungsbeweis.
Zerlegung
Die klassische Halbierung des DIN-Rechteckes geschieht durch die kurze Mittelparallele. Dadurch entstehen zwei Rechtecke wieder im DIN-Format.
Klassische Halbierung
Es geht aber auch anders. Wir beschreiben dem DIN-Rechteck ein Rechteck mit zwei diametralen Ecken in den Mittelpunkten der Schmalseiten des DIN-Rechteckes ein. Die beiden anderen Ecken finden wir mit dem Thaleskreis.
Einbeschriebenes Rechteck
Welches Format hat das einbeschriebene Rechteck? In einem DIN-Rechteck der Langseite und der Schmalseite 1 hat der Thaleskreis den Radius . Damit ergibt sich das in der Abbildung eingezeichnete rechtwinklig gleichschenklige Dreieck mit der Schenkellnge . Weiter sehen wir daraus, dass das einbeschriebene Rechteck den Diagonalenschnittwinkel 45¡ hat. Es ist also ein FIN-Rechteck.
Ma§e
Fr seine Seiten berechnen wir mit etwas Pythagoras:
Daraus ergibt sich fr den Flcheninhalt . Das Rechteck ist also flchenm§ig halb so gro§ wie das ursprngliche DIN-Rechteck.
Das lsst sich auch durch Zerlegung zeigen.
Zerlegung
Das einbeschriebene FIN-Rechteck lsst sich auch durch einen Faltvorgang herstellen. Dabei spielt der 45¡-Winkel eine wichtige Rolle.
Wir nehmen ein DIN-Papier, das auf der Vorderseite gelb und auf der Rckseite blau ist. Zur Vorbereitung fhren wir die drei ersten Faltschritte des ãSchiffchensÒ oder der ãMweÒ durch und falten dann auf.
Faltvorbereitung
Nun knnen wir die Ecken des DIN-Rechteckes einfalten.
FIN-Rechteck
Das FIN-Rechteck ist berall zweilagig, es hat also den halben Flcheninhalt des ursprnglichen DIN-Rechteckes.
Der Umriss eines gngigen 2d-Bildes des 4d-Hyperwrfel ist ein regelm§iges Achteck. Daher finden wir das FIN-Rechteck an mehreren Orten.
4d-Hyperwrfel
Das Seitenmittenviereck des FIN-Rechtecks ist ein Rhombus mit Spitzenwinkeln 45¡. Dies ist der kleinst-mgliche Rhombus, der einem FIN-Rechteck einbeschrieben werden kann.
Kleinster 45¡-Rhombus
Den gr§t-mglichen Rhombus erhalten wir durch Abschneiden zweier diametraler Ecken.
Gr§ter 45¡-Rhombus