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Hans Walser, [20130223]
Falscher Grenzwert
Anregung: Frhstcksgesprch in Paderborn.
In einer Stadt mit nur waagerechten und senkrechten Stra§en (Abb. 1) sind zwei Wege von A nach B eingezeichnet.
Abb. 1: Taxi Cab Geometry
Welcher der beiden Wege ist der krzere? Welches ist der berhaupt krzeste Weg von A nach B?
Schler haben nun den roten Weg als krzeren vorzuschlagen und als krzesten Weg berhaupt einen Treppenweg (Abb. 2), denn dieser ist am nchsten bei der Diagonalen.
Abb. 2: Treppenweg
Bei unendlich verkleinerter Maschenweite oder unendlich vergr§erter Stadt wird der Treppenweg zur Diagonalen, womit sich im Limes gegenber dem blauen Weg der Abbildung 1 eine Reduktion der Weglnge auf
ergibt.
Haha lacht nun der Lehrer, die Wege sind alle gleich lang, wie man durch senkrechte Projektion der waagerechten Weganteile nach unten und entsprechende Projektion der senkrechten Weganteile nach rechts erkennt. Der Grenzwert ist also falsch.
In Wirklichkeit fhrt niemand orthogonal durch die Stadt. In der Abbildung 3 sind die Stra§en mit einer gewissen Breite eingezeichnet und darin der blaue und der rote Weg der Abbildung 1. Dabei sind allerdings die folgenden Vereinfachungen getroffen:
(1) Die Autos fahren in der Stra§enmitte, was in der Realitt nicht empfehlenswert ist.
(2) Die Autos fahren in Viertelkreisen um die Kurve. In der Realitt tun sie das mit Klothoidenbgen.
Abb. 3: Annherung an die Realitt
Nun ist es so, dass wir bei jeder Kurve gegenber dem orthogonalen Weg eine Wegverkrzung herausfahren. Je mehr Kurven, umso krzer. Der rote Weg ist also krzer als der blaue. Der blaue Weg ist allerdings schneller, da mit hherem Tempo gefahren werden kann.
Die Abbildung 4 zeigt die beiden Minimalwege.
Abb. 4: Minimalwege
In einer idealen Stadt, die nur noch aus Stra§en besteht, ist ein optimaler Weg aus Viertelkreisen ohne geradlinige Zwischenstcke zusammengesetzt. Seine Lnge ist gleich der Lnge eines einzigen Viertelkreises von A nach B (Abb. 5). Warum?
Abb. 5: Schlangenweg
Das ist zwar lnger als die Diagonale, aber deutlich krzer als der blaue Weg der Abbildung 1.
In einer Fu§gngerzone gestaltet sich die Situation gem§ Abbildung 6.
Abb. 6: In der Fu§gngerzone
Der rote Weg ist krzer als der blaue. Wer Lust hat, kann das nachrechnen.
Die Abbildung 7 zeigt die beiden Minimalwege. Das ist nun schon fast die Diagonale.
Abb. 7: Minimalwege