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Im Prinzip wird aber die relativistische Bewegungsgleichung wie die Newtonsche Bewegungsgleichung gelöst. Nur sind die Formeln einiges komplizierter.
In der Regel sind Bewegungsgleichungen so kompliziert, dass sie nur mit numerischen Verfahren [2] gelöst werden können. Das Beispiel einer konstant beschleunigten Rakete ist jedoch einfach genug, sodass die Bewegungsgleichung algebraisch gelöst werden kann.
Zur Herleitung der relativistischen Bewegungsgleichung muss ich zunächst Vierervektoren und deren Ableitung erklären.
Im dreidimensionalen Raum hat ein Vektor [3] bekanntlich drei Komponenten wie hier zum Beispiel der Vektor
Ein Vektor hat in einem Koordinatensystem
Was aber in beiden Koordinatensystemen gleich bleibt, ist die Länge
|(1)|
Die Länge eines Vektors ist invariant bezüglich Rotations-Transformationen oder allgemeiner bezüglich Galilei-Transformationen.
Ein Vierervektor ist ein Vektor mit einer Zeit und drei Raumdimensionen und hat ein sog. indefinites Längenquadrat (Intervall) [4]. Letzteres bedeutet, dass auch ein Vierervektor eine invariante Grösse hat, ähnlich der Länge eines 3-D-Vektors. Dieses Längenquadrat ist invariant unter der sog. Lorentz-Transformation [5]. In zwei gegeneinander bewegten Inertialsystemen [6] hängen die Komponenten des Vierervektors durch eine Lorentz-Transformation miteinander zusammen.
Um Vierervektoren von 3-dimensionalen Vektoren unterscheiden zu können, verwendet man griechische Buchstaben als Index (z.B.
Dies ist ein kontravarianter Vierervektor. Die Vierervektoren gibt es in zwei Varianten, kontravariant und kovariant [7]. Beim kovarianten Vektor stehen die Indizes unten. Ein kovarianter Vektor wird zur Unterscheidung oft als Zeilenvektor geschrieben:
Die Komponenten zwischen kovarianten und kontravarianten Vektoren werden über den sog. Metrik-Tensor [8]
Hinweis: In Texten werden beide Vektorarten meist als Zeilenvektoren geschrieben. Anhand der Position des Index kann ja ein kontravarianter von einem kovarianten Vektor unterschieden werden.
Das invariante Längenquadrat
|(2)|
Im Gegensatz zu 3-D-Vektoren gehen bei den Vierervektoren die Quadrate der drei Raumkoordinaten mit einem Minuszeichen in das Längenquadrat ein!
Nur wenn das Längenquadrat eines 4-dimensionalen Vektors invariant gegenüber der Lorentz-Transformation ist, handelt es sich um einen echten Vierervektor.
Die erste Komponente eines Orts-Vierervektors ist die Zeitkoordinate, multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit
Die kontravariante Darstellung des Orts-Vierervektors ist:
|(3)|
Was dieses Längenquadrat aussagt ist folgendes: Jedes Ereignis findet in einem Inertialsystem
|(4)|
Aus dem Orts-Vierervektor
Die Vierergeschwindigkeit ist definiert als:
|(5)|
|(6)|
|(7)|
|wobei'||

Zunächst wird in (5)
Ich muss sicher sein, dass die abgeleitete Vierergeschwindigkeit ein Vierervektor ist, das heisst, dass das Längenquadrat des Vektors in allen Inertialsystemen denselben Wert hat, also invariant unter der Lorentz-Transformation ist. Ich berechne daher das Längenquadrat
|(8)|
Beachte, dass oben das Skalarprodukt [9] des kovarianten mit dem kontravarianten Vektor berechnet wird. Die Terme in der letzten Klammer bilden also keinen Vektor, sondern eine Zahl. Die letzten drei Terme in der Klammer ergeben gerade die negative Länge des räumlichen Geschwindigkeitsvektors im Quadrat:
|(9)|
Also kann ich (8) auch schreiben:
|(10)|
Wenn ich jetzt noch
|(11)|
Das Längenquadrat
Auch jeder andere Vierervektor, der so abgeleitet wird, muss ein Vierervektor sein! Das nütze ich nun aus:
Der klassische Impuls ist definiert als
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|wobei'||

Beachte: Weil
Wie beim Viererimpuls kann eine Viererkraft, auch Minkowski-Kraft genannt, analog zur entsprechenden Newton-Kraft
|(13)||

Bewegungsgleichung der speziellen Relativitätstheorie
|wobei'||

Da der Impuls
Im nächsten Abschnitt werde ich diese Bewegungsgleichung am Beispiel einer gleichförmig beschleunigten Rakete lösen.