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Wird ein Tensor von einem Koordinatensystem in ein anderes Transformiert, so nimmt man implizit an, dass man in beiden Systemen jenen Tensor vergleicht, der an einer gemeinsamen Stelle im Raum steht.
Bei der Transformation eines Tensors ändern sich im Allgemeinen sowohl die Komponenten des Tensors selbst, als auch seine Positions-Koordinaten. Bei der Tensor-Rechnung interessiert jedoch nicht die Position des Tensors, sondern wie sich seine Komponenten von einem System ins andere Transformieren.
Trotz der unterschiedlichen Komponenten beschreibt der Tensor in jedem Koordinatensystem dasselbe Objekt. Dieses Objekt verändert sich durch die Transformation nicht. So bleibt z.B. die Länge eines Vektors in jedem System gleich, man sagt, die Länge ist invariant bezüglich Koordinatentransformation.
Ein Skalar ist die einfachste Form eines Tensors. Der Skalar ist ein Tensor mit Rang 0. Der Wert eines Skalars hängt nicht vom gewählten Koordinatensystem ab.
Ein Beispiel für einen Skalar ist die Temperatur. An jedem Punkt des Raumes kann eine andere Temperatur herrschen, aber diese Temperatur ist unabhängig davon, in welchem Koordinatensystem sie gemessen wird.
Man sagt: Ein Skalar ist invariant bezüglich Koordinatentransformationen.
Mathematisch kann man die Transformation eines Skalars wiefolgt darstellen:
|(1)|
Der Skalar
Hinweis: Die Koordinaten des Punktes
Um zu untersuchen, wie ein Vektor transformiert wird, betrachten wir einen infinitesimal kleinen Vektor
Dieser Vektor hat im X-Koordinatensystem die Komponenten:
|(2)|
Derselbe physikalische Vektor kann auch in Koordinaten des Y-Koordinatensystems beschrieben werden:
|(3)|
Jedes einzelne
Wir suchen nun den Zusammenhang der Koordinaten zwischen dem X- und Y-Koordinatensystem. Konzentrieren wir uns zunächst auf eine einzelne Y-Komponente, sagen wir
|(4)|
Wir sehen, dass
Die anderen Koordinaten erhält man einfach, indem man 1 durch 2, 3 usw. ersetzt. Dies kann man elegant wiefolgt zusammenfassen:
|(5)||

Beachte, dass über den Dummy-Index
Die Formel (5) sagt uns also, wie sich der kleine Vektor
Diese Formel gilt nicht nur für infinitesimale Vektoren, sondern für beliebige Vektoren:
|(6)||

Transformation kontravarianter Vektoren
|wobei'||

Definition: Vektoren, die auf diese Weise (6) zwischen Koordinatensystemen transformiert werden, nennt man Tensoren. Wenn die Indizes oben sind, spricht man von kontravarianten Komponenten und Vektoren, wenn die Indizes unten sind von kovarianten Komponenten und Vektoren.
Einen Tensor von Rang 2 kann man sich nicht so leicht vorstellen. Eine mögliche Vorstellung ist, dass es sich um ein Ding handelt, das mehrere Richtungen pro Raumpunkt hat.
Ein Tensor
|(7)|
Wir wissen aus (6) wie ein Tensor von Rang 1 transformiert wird. Wenden wir dieses Wissen auf das Produkt der Vektoren
|(8)|
Da es sich bei jedem Term in (8) um eine einfache Zahl handelt, dürfen die Terme beliebig umgestellt werden.
Eretzen wir nun
|(9)||

Transformation kontravarianter Tensoren von Rang 2
Definition: Eine Matrix, deren Komponenten sich wie in (9) transformieren, ist ein Tensor von Rang 2.
|(10)|
Beispiel eines Tensors mit Rang 3:
|(11)||

Die Komponenten von Tensoren müssen nicht nur einfache Zahlen sein, sondern sind in der Regel Funktionen der Position, also Felder: