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Hans Walser, [20080908a], [20131229]
Hhenabschnitte
Wir beweisen einen Satz (Satz von Segner) ber Hhenabschnitte im Dreieck.
Am 29. Januar 1763 schrieb Segner in einem Brief an Euler:
ã... das schÏne Problem, welches Er Wohlgb. mir mitzutheilen die Geneigt[heit] haben ist einige Probe davon. Ich will bey Gelegenheit die AuflÏsung versuchen; aber ich muss Zeit haben; denn es war mir so gar neu, da§ bey einem Dreyecke die intersectio trium perpendiculorum ein eintziges Punct sey. Als ich diesem nachdachte, fand ich zugleich, da§ die geraden Linien, welche von diesem Punct an die Ecken des Dreyecks gezogen werden kÏnnen, sich wie die Cosinus dieser Ecken oder Winckel verhalten. Er Wohlgb. haben dieses ohnfehlbar auch bemercket.Ò
In einem Dreieck mit Hhenschnittpunkt H seien die Hhenabschnitte (Fig. 1).
Fig. 1: Hhenabschnitte
Mit den Dreieckswinkeln gilt die Behauptung:
Das Viereck hat bei und je einen rechten Winkel und bei den Winkel . Daher hat es bei H den Winkel . Als Scheitelwinkel ist dann auch .
Fig. 2: Spiegeln des Hhenschnittpunktes
Das Viereck ist daher ein Sehnenviereck. Sein Umkreis ist aber der Umkreis u des Dreieckes (Fig. 3).
Fig. 3: Spiegelpunkte auf dem Umkreis
Wenn wir H an den beiden anderen Dreiecksseiten spiegeln, erhalten wir entsprechend die Punkte und , welche ebenfalls auf dem Umkreis u des Dreieckes liegen .
Das Sehnensechseck hat folgende Eigenschaften: Die mit der Ecke inzidenten Seiten messen . An der Ecke misst der Innenwinkel .
Wir teilen nun das Sechseck vom Umkreismittelpunkt U aus mit Radien in sechs gleichschenklige Dreiecke auf (Fig. 4).
Fig. 4: Aufteilung in gleichschenklige Dreiecke
Dann sind zum Beispiel die beiden Dreiecke und kongruent. Sie haben die Schenkellnge r des Umkreisradius, die Basislnge und die Basiswinkel . Daher ist . Analog folgt fr .
Somit haben wir
,
also die Behauptung von Segner.
Auffallend ist die formale hnlichkeit zum Sinussatz.