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Travaux en mathématiquesSes premières recherches mathématiques concernent les groupes et algèbres de Lie. On lui doit en 1894 une classification de ces dernières sur le corps des nombres complexes. Il se tourne ensuite vers la théorie des algèbres associatives. Vers 1910, il introduit la notion de spineur, vecteur complexe qui permet d'exprimer les rotations de l'espace par une représentation bidimensionnelle et ce, avant la découverte du spin des particules élémentaires en physique quantique.
Dès 1922, il contribue à affiner certains outils mathématiques de la relativité générale (tenseurs de Ricci notamment), étendant la géométrie riemannienne de la relativité générale, qui deviendra géométrie de Riemann-Cartan.
Il introduisit aussi la notion de groupe algébrique, développé sérieusement seulement dans la seconde moitié du vingtième siècle.
Théoricien de talent, Élie Cartan possède aussi une grande aptitude à faire comprendre à ses étudiants les concepts les plus difficiles. Son œuvre, très novatrice, n'est reconnue que tardivement.
Élie Cartan a classifié les espaces symétriques.