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Solution du problème de l’été
Manuel OJANGUREN
Voici la solution du problème proposé en dernière page du numéro 4.
Le plus simple c’est de prendre le cas d’un échiquier (carré, rectangulaire ou autre) de cases. Ashokavardhana et Balagangadhara s’accordent sur une bijection entre les cases et les sous-ensembles de
Considérons donc l’ensemble
Pourquoi ce choix ? Parce que ce sera celui d’Ashokavardhana et Balagangadhara.
Remarquons que retourner, dans une distribution , la pièce qui correspond à équivaut à additionner à la distribution .
Les prisonniers s’accordent ensuite pour associer à chaque distribution l’ensemble qui est la somme des ensembles correspondant aux pièces côté face. Ils remarquent que la fonction S est une application linéaire
munie d’une section ensembliste évidente :
déﬁnie par .
Lorsqu’Ashokavardhana entre chez le directeur, il voit une distribution de pièces côté pile ou côté face. Il calcule . Le directeur lui indique une case, qui correspond à un ensemble . Il retourne alors la pièce qui correspond à , autrement dit, il ajoute à la distribution . Lorsque Balagangadhara entre chez le directeur, il voit sur l’échiquier la distribution
et annonce le résultat au directeur, qui se demande comment ces deux hurluberlus ont-ils pu trouver une solution à un problème n’en ayant apparemment pas.
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