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Hans Walser, [20151227]
Reuleaux-Zweieck
Idee und Anregung: Renato Pandi
Das Reulaux-Zweieck ist ein Kreisbogen-Zweieck mit 60ˇ-Winkeln (Abb. 1).
Abb. 1: Reuleaux-Zweieck
Fźr die folgenden †berlegungen arbeiten wir mit einem Reuleaux-Zweieck der SehnenlŠnge .
†ber Reuleaux-Zweiecke mit 120ˇ-Winkeln siehe (Reuleaux 1875, S. 120f).
Ein Reuleaux-Zweieck der SehnenlŠnge kann auf beliebig viele Arten in ein gleichseitiges Dreieck der SeitenlŠnge 1 gelegt werden. Dabei berźhrt es immer alle drei Seiten (Abb. 2a).
Abb. 2a: Reuleaux-Zweieck im Dreieck
Die Abbildung 2b zeigt mehrere Reuleux-Zweiecke im Dreieck. Die Zweiecke sind untereinander verdreht. Sie werden aber nicht im Dreieck abgerollt.
Abb. 2b: Reuleaux-Zweiecke im Dreieck
Fźr das Reuleaux-Dreieck gilt ein analoger Sachverhalt, indem es auf beliebig viele Arten in ein Quadrat gelegt werden kann und immer alle vier Quadratseiten berźhrt.
Fźr den Beweis gehen wir umgekehrt vor: Wir lassen ein Zweieck fest und umschreiben verschiedene kongruente gleichseitige Dreiecke.
Im Folgenden das schrittweise Vorgehen.
Wir beginnen mit einem Kreisbogen BC mit dem Zentrum A, dem Zentriwinkel 60ˇ und dem Radius . Dieser Bogen entspricht einem der beiden Au§enbogen des Reuleaux-Zweieckes.
Abb. 3: Start mit einem Kreisbogen
Wir zeichnen den Kreis durch die drei Punkte A, B und C (Abb. 4). Dieser Kreis ist Ortsbogen fźr Peripheriewinkel von 60ˇ źber jeder der drei Strecken AB, BC und CA.
Abb. 4: Ortsbogen fźr 60ˇ
Auf dem Ortsbogen wŠhlen wir einen Punkt D gemЧ Abbildung 5.
Abb. 5: Punkt auf dem Ortsbogen
Wegen der Ortsbogeneigenschaft ist:
(1)
Und ebenso:
(2)
Wegen (2) kšnnen wir ein gleichseitiges Dreieck DEF der SeitenlŠnge 1 mit einer Seite durch B und einer Seite durch C einpassen (Abb. 6).
Abb. 6: Geleichseitiges Dreieck
Im gleichseitigen Dreieck DEF ist:
(3)
Wegen (1) und (3) sind die Geraden AD und EF parallel. Die Breite des Parallelenstreifens ist die Hšhe des Dreiecks DEF, also . Das hei§t, dass der Lotfu§punkt G von A auf die Gerade EF auch auf dem Bogen BC liegt (Abb. 7).
Abb. 7: Streifenbreite
Somit berźhrt das zum Bogen BC gehšrende Reuleaux-Zweieck alle drei Seiten des gleichseitigen Dreiecks. Dies war zu zeigen.
Die Abbildung 8 zeigt die Bahnkurve des Mittelpunktes eines Reuleaux-Zweieckes beim Abdrehen im Dreieck.
Abb. 8: Bahnkurve des Mittelpunktes
Die Abbildung 9 zeigt die Bahnkurve der beiden Viertelpunkte auf der Sehne des Reuleaux-Zweieckes.
Abb. 9: Viertelpunkt
Die geneigte Leserin ist eingeladen zu prźfen, ob das fźr das Reuleaux-Viereck im regelmЧigen Fźnfeck auch hinhaut.
Literatur