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Hans Walser, [20180714]
Minimalellipse
Zu zwei kongruenten sich berhrenden Kreisen ist die flchenm§ig kleinste Ellipse zu bestimmen, welche die beiden Kreise umfasst (Abb. 1).
Abb. 1: Problemstellung
Aus Symmetriegrnden hat die gesuchte Ellipse dieselben Achsen wie die Konfiguration aus den beiden gegebenen Kreisen.
Wir whlen auf einem der beiden Kreise mit dem Mittelpunkt M1 einen laufenden Punkt P (Abb. 2a) und konstruieren die Ellipse, welche den Kreis in P berhrt.
Abb. 2: Erste Schritte der Konstruktion
Dazu schneiden wir die Gerade PM1 mit der senkrechten Achse und erhalten so den Punkt Q.
Die Mittelsenkrechte der Strecke PQ schneiden wir ebenfalls mit der senkrechten Achse und erhalten den Punkt Z.
Den Kreis z um Z durch P (und Q) schneiden wir mit der waagerechten Achse in den beiden Punkten F1 und F2 (Abb. 3a).
Abb. 3: Brennpunkte und Ellipse
Diese beiden Punkte sind die Brennpunkte der gesuchten Ellipse. Zusammen mit P haben wir die ntigen Informationen fr die Ellipse.
Die Stimmigkeit dieser Konstruktion ergibt sich aus [1].
Wir verwenden die Symmetrieachsen als Achsen des kartesischen Koordinatensystems. Die Einheit sei der Radius der beiden gegebenen Kreise. Den Punkt P parametrisieren wir mit:
(1)
Damit rechnen wir die Konstruktion gem§ den Abbildungen 2 und 3 durch und erhalten den Flcheninhalt der Ellipse als Funktion von t. Schlie§lich muss noch die Ableitung dieser Funktion null gesetzt werden. Mit CAS erhalten wir im relevanten Bereich die Lsung:
(2)
Die Abbildung 4 zeigt rot den Funktionsgrafen der Flchenfunktion und blau die Ableitung. Das Minimum ist bei .
Abb. 4: Flchenfunktion und Ableitung
Die Abbildung 1 zeigt den optimalen Fall.
Im optimalen Fall, also fr erhalten wir die Ellipsenachsen:
(3)
Der Flcheninhalt der Ellipse ist:
(4)
Die Abbildung 5 zeigt nochmals die Minimallsung. Der Punkt Z (vgl. Abb. 3) ist nun im Zentrum der Figur. Die Figur lsst sich weitgehend in ein regulres Dreiecksraster einpassen.
Abb. 5: Minimallsung
In der Abbildung 6 ist zustzlich ein schrges gelbes Rechteck eingezeichnet. Es hat genau den Flcheninhalt 3. Zudem finden wir Winkel von 45¡.
Abb. 6: Schrges Rechteck
Die beiden gegebenen Kreise brauchen sich nicht zu berhren (Abb. 7). Die Minimallsung liefert dann allerdings keine ãschnenÒ Resultate.
Abb. 7: Allgemeiner Fall
Weblinks
[1] Hans Walser, Dreiecksaufgabe (15.07.2018):