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Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen.
Die ganzen Zahlen umfassen alle Zahlen
…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … und enthalten damit alle natürlichen Zahlen
sowie deren Gegenzahlen. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem Symbol
abgekürzt (das „Z“ steht für „Zahlen“). Das alternative Symbol ist
mittlerweile weniger verbreitet; ein Nachteil dieses Fettdruck-Symbols
ist die schwierige handschriftliche Darstellbarkeit.
Die obige Aufzählung der ganzen Zahlen gibt auch gleichzeitig in
aufsteigender Folge deren natürliche Anordnung wieder. Die Zahlentheorie
ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen
Zahlen beschäftigt.
Die Repräsentation ganzer Zahlen im Computer erfolgt üblicherweise durch
den Datentyp Integer.
Eigenschaften
Ring Die ganzen Zahlen bilden einen Ring bezüglich der
Addition und der Multiplikation, d. h. sie können ohne Einschränkung
addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln
wie das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für Addition und
Multiplikation, außerdem gelten die Distributivgesetze.
Durch die Existenz der Subtraktion können lineare Gleichungen der Form
a + x = b mit natürlichen Zahlen a und b stets gelöst werden: x = b − a.
Beschränkt man x auf die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist nicht
jede solche Gleichung lösbar.
Abstrakt ausgedrückt heißt das, die ganzen Zahlen bilden einen
kommutativen unitären Ring. Das neutrale Element der Addition ist 0, das
additiv inverse Element von n ist − n, das neutrale Element der
Multiplikation ist 1.
Anordnung Die Menge der ganzen Zahlen ist total geordnet,
in der Reihenfolge
d. h. man kann je zwei ganze Zahlen vergleichen. Man spricht von
positiven , nichtnegativen , negativen und nichtpositiven ganzen Zahlen.
Die Zahl 0 selbst ist weder positiv noch negativ. Diese Ordnung ist
verträglich mit den Rechenoperationen, d. h.
ist a < b und , dann ist a + c < b + d, ist a < b und 0 < c, dann ist ac
< bc. Wie die Menge der natürlichen Zahlen ist auch die Menge der ganzen
Zahlen abzählbar.
Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, denn z. B. ist die Gleichung 2x
= 1 nicht in lösbar. Der kleinste Körper, der enthält, sind die
rationalen Zahlen .
Euklidischer Ring Eine wichtige Eigenschaft der ganzen
Zahlen ist die Existenz einer Division mit Rest. Aufgrund dieser
Eigenschaft gibt es für zwei ganze Zahlen stets einen größten
gemeinsamen Teiler, den man mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen
kann. Mathematiker sagen, ist ein Euklidischer Ring. Hieraus folgt auch
der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in .