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Travaux en mathématiquesEn 1806, alors qu'il tient une librairie à Paris, il publie une interprétation géométrique des nombres complexes comme points dans le plan, en faisant correspondre au nombre a + ib (où i est la racine carrée de -1) le point de coordonnées (a,b). Pour cette raison, le plan, vu comme ensemble des nombres complexes, est parfois appelé le "plan d'Argand".
Publié par un illustre inconnu, cet essai tombe très vite dans l'oubli. L'idée est reprise ensuite par Jacques puis François Français, professeur à l'école impériale de l'Artillerie et du Génie, qui développe la même notion et y ajoute une notation exploitable. Il reconnait que l'idée n'est pas de lui et en recherche son auteur. Il s'ensuit alors une correspondance entre les deux hommes, Argand cherchant en vain à donner une représentation algébrique de l'espace de dimension trois.
Cependant cette conception géométrique d'un outil algébrique heurte le sens logique de certains mathématiciens de l'époque qui n'y voient qu'un artifice de calcul. Entretemps d'autres mathématiciens développent de manière indépendante la même idée. Ce n'est que lorsque Gauss et surtout Cauchy, s'emparent de cette idée que cette conception acquiert ses lettres de noblesse et devient un tremplin qui permet à Hamilton de créer ses quaternions.