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Hans Walser, [20140202]
Kurven im Viereck
Wir unterteilen die Seiten eines grźnen Vierecks im gleichen VerhŠltnis. Dies kann auf zwei Arten geschehen.
Die Abbildung 1 zeigt eine ăgegengleicheŇ Unterteilung. Die vier Teilpunkte bilden ein diagonalenparalleles blaues Parallelogramm.
Abb. 1: Gegengleiche Unterteilung
Die Abbildung 2 zeigt eine gleichorientierte Unterteilung. Die vier Teilpunkte bilden ein unregelmЧiges blaues Viereck.
Abb. 2: Gleichsinnige Unterteilung
Der Ort der Mittelpunkte der blauen Parallelogramme (Abb. 1) ist eine Gerade durch die Mittelpunkte der beiden Diagonalen des grźnen Viereckes (Abb. 3).
Abb. 3: Ort der Mittelpunkte
Nachweis rechnerisch. Es seien die Ortsvektoren der Ecken des grźnen Viereckes. Fźr die Eckpunkte des blauen Parallelgramms gilt dann der Reihe nach:
Fźr den Mittelpunkt des blauen Parallelogramms genźgt es, den Mittelpunkt zweier gegenźberliegender Ecken zu nehmen, also:
Das ist eine Geradengleichung. Die Gerade verlŠuft fźr beziehungsweise fźr durch je einen Diagonalen-Mittelpunkt. Fźr erhalten wir den Eckenschwerpunkt des grźnen Viereckes.
Dieser Fall ist spannender. Beim grźnen Viereck kšnnen wir nicht mehr von einem ăMittelpunktŇ reden sondern mźssen prŠzisieren.
Der Ort der Eckenschwerpunkte der blauen Vierecke ist ein fester Punkt, nŠmlich der Eckenschwerpunkt des grźnen Viereckes.
Nachweis wiederum rechnerisch. Fźr die Ecken des blauen Viereckes gilt der Reihe nach:
Fźr den Eckenschwerpunkt erhalten wir daraus:
Die Abbildung 4 zeigt den Ort der Diagonalen-Schnittpunkte der blauen Vierecke.
Abb. 4: Ort der Diagonalen-Schnittpunkte
Wir erhalten eine Kurve die ich nicht kenne. Sie hat im Diagonalen-Schnittpunkt des grźnen Viereckes einen Doppelpunkt. Auch scheint sie an beiden Enden sich derselben Geraden asymtotisch anzunŠhern.