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Hans Walser, [20180112]
Brotkruste
Anregungen: Sebastian Baader, Bern, und Anselm Lambert, Saarbrcken
In einigen Gegenden der Schweiz gibt es ein annhernd kugelfrmiges Brot, das so genannte St. Galler-Brot (Abb. 1).
Abb. 1: St. Galler-Brot
Da bei gut gebackenem Brot die Kruste als Leckerbissen gilt, ist die Frage, wie aus Gerechtigkeitsgrnden das Brot in Scheiben zu schneiden ist so dass alle Scheiben gleich viel Kruste enthalten.
Die Antwort ist einfach: Die Brotscheiben mssen gleich dick sein.
Wir modellieren das St. Galler-Brot als Kugel. Die Kruste einer Scheibe ist eine Kugelzone.
In der Formelsammlung finden wir fr den Flcheninhalt A einer Kugelzone:
(1)
Dabei ist R der Kugelradius und h die Hhe, also die Scheibendicke. Wie kann diese Formel hergeleitet werden?
Archimedes (Archimedes von Syrakus, um 287 v. Chr. – 212 v. Chr.) schlug vor, eine Weltkarte wie folgt zu zeichnen. Um den quator der Erdkugel legt er einen Zylinder, der gleich hoch ist wie die Erde (Abb. 2a). Dann projiziert er einen Kugelpunkt (grn in Abb. 2b) von der Erdachse aus horizontal auf den Zylinder (roter Bildpunkt in Abb. 2b).
Das gelbe Dreieck ist rechtwinklig. Seine Hypotenuse ist der Erdradius R, seine horizontale Kathete ist der Radius r des Breitenkreises, auf dem sich der grne Kugelpunkt befindet.
Nach der Projektion wird der Zylinder lngs einer Mantellinie (Bild eines Meridians) aufgeschnitten und in die Ebene abgerollt. Das gibt ein Rechteck der Lnge (Lnge des quators) und der Hhe (Hhe von Pol zu Pol).
Abb. 2: Vorschlag von Archimedes
Die Abbildung 3 zeigt die nach diesem Verfahren hergestellte Weltkarte. Sie wird als Karte von Archimedes-Lambert bezeichnet (Johann Heinrich Lambert, 1728-1777). Kartendaten aus [1] .
Abb. 3: Karte von Archimedes-Lambert
Die Flche des Rechteckes mit der Lnge und der Hhe ist , also gleich gro§ wie die Kugeloberflche.
Zudem ist es so — und das ist das Raffinierte an dieser Karte — dass nicht nur die globale Flche bereinstimmt, sondern dass auch jedes Detail flchenm§ig bereinstimmt. So ist zum Beispiel jeder Kontinent auf der Karte in der richtigen Gr§e angegeben. Allerdings werden die Formen der Kontinente verzerrt.
Um zu zeigen, dass jede Detailflche in der richtigen Gr§e wiedergegeben wir, denken wir uns auf der Erdkugel ein kleines, nach Norden ausgerichtetes Quadrat der Seitenlnge s.
In der Sd-Nord-Richtung wird diese Seitenlnge bei der Projektion von Archimedes gestaucht (Abb. 4). Die gestauchte Lnge bezeichnen wir mit .
Abb. 4: Stauchen in Sd-Nord-Richtung
Da die beiden in der Abbildung 4 eingezeichneten Dreiecke hnlich sind, gilt:
(2)
In der West-Ost-Richtung wird die Seitenlnge aber gespreizt. Die Abbildung 5 zeigt die Situation in der Sicht von oben. Die gespreizte Lnge bezeichnen wir mit .
Abb. 5: Spreizen in der West-Ost-Richtung
Wir sehen zwei teilweise bereinander liegende Sektoren. Der kleine Sektor (gelb) hat den Radius r und den Bogen s. Der gro§e Sektor (hellblau) hat den Radius R und den Bogen . Aus der hnlichkeit der beiden Sektoren folgt:
(3)
Das kleine Quadrat mit der Seitenlnge s wird also auf ein Rechteck mit den Seiten und abgebildet (Abb. 6). Da sehen wir nochmals, dass die Form verzerrt wird.
Abb. 6: Aus dem Quadrat wird ein Rechteck
Fr den Flcheninhalt dieses Rechteckes erhalten wir aus (2) und (3):
(4)
Das kleine Quadrat und sein rechteckiges Bild auf der Karte haben also den gleichen Flcheninhalt. Wenn wir also zum Beispiel Australien in kleine Quadrate zerlegen, ergibt sich auf der Karte eine Zerlegung in kleine Rechtecke mit derselben Flche.
Zum Nachdenken: Kann man wirklich Australien in kleine Quadrate zerlegen?
Wir projizieren nun eine Kugelzone nach dem Verfahren von Archimedes (Abb. 7 und 8).
Abb. 7: Kugelzone
Abb. 8: Kugelzone in der Karte
Fr den Flcheninhalt A der gelben Kugelzone erhalten wir wie in (1).
Bei unserer Flchenberlegung mit dem ãkleinenÒ Quadrat sind wir darber hinweggegangen, dass auch ein kleines Quadrat auf der Kugel nicht eben ist. Die Flchenberlegungen gelten daher nur nherungsweise. Allerdings wird diese Nherung immer besser, je kleiner das Quadrat ist. Das fhrt zum Konzept eines ãunendlich kleinenÒ oder infinitesimal kleinen Quadrates. Solche berlegungen gehen auf Leibniz (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) zurck und markieren den Beginn der formalen Infinitesimalrechnung. Wir haben aber gesehen, wie dies bereits Archimedes implizit gehandhabt hat.
Abb. 9: Welches ist die rundeste Kugel?
In der Regel wird die Kugel der Abbildung 9b als rundeste oder schnste Kugel bezeichnet. Eine Minderheit gibt der Kugel der Abbildung 9a den Vorzug. Ein einziges Mal habe ich erlebt dass jemand (ein Knstler, der nebenbei Mathematik fr das Lehramt studierte) die Kugel der Abbildung 9c als schnste ansah.
Die Meridiane sind in allen drei Bildern gleich eingezeichnet. Unterschiede bestehen lediglich in der Darstellung der Breitenkreise.
Bei der Kugel der Abbildung 9a wurde die bliche Parametrisierung mit geografischer Breite und geografischer Lnge mit einer Maschengr§e (Schrittlnge) von 15¡ verwendet. Diese Darstellungstechnik soll bereits den Phniziern bekannt gewesen sein. Die Netzvierecke sind, auf der Kugeloberflche gemessen, alle gleich hoch, in unserem Beispiel 15¡. Die Breitenkreise bilden 12 Kugelzonen.
Bei der Kugel der Abbildung 9b haben alle Netzvierecke dieselbe Form. Sie sind annhernd quadratisch. Wir haben unendliche viele Breitenkreise, die sich in Richtung der Pole hufen. Damit haben wir auch unendlich viele Kugelzonen.
Bei der Kugel der Abbildung 9c haben alle Netzvierecke (inklusive die Netzdreiecke an den Polen) denselben Flcheninhalt. In unserem Beispiel ist der Flcheninhalt eines Netzviereckes der gesamten Kugeloberflche. Die Breitenkreise bilden acht Kugelzonen.
Offenbar wird unser sthetisches Empfinden viel mehr durch Formen als durch Flcheninhalte bestimmt.
Kugel der Abbildung 9a:
(5)
Kugel der Abbildung 9b:
(6)
Kugel der Abbildung 9c:
(7)
Die Abbildung 10 zeigt die zugehrige Kugeldarstellung von der Seite. Wir sehen die acht gleich dicken Scheiben.
Abb. 10: Gleich dicke Scheiben
Websites
[1] Kartenprojektionen (abgerufen 13.01.2018):