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Travaux en mathématiquesSes travaux mathématiques concernent la géométrie euclidienne non élémentaire (celle des transformations, en particulier la géométrie projective vue à travers ses homographies), et surtout la théorie des nombres. Sa principale contribution est celle faite aux test de primalité. Il a en particulier prouvé que le nombre de Mersenne 2127-1 est premier, ce qui reste le plus grand nombre premier découvert sans l'aide d'un ordinateur. Tombée dans un oubli relatif en France (où la théorie algébrique des nombres est reléguée au second plan, en attendant Weil), l'oeuvre de Lucas est reprise et enrichie par les anglo-saxons, et notamment par Lehmer, qui améliorera son test de primalité et prouvera totalement certains résultats de Lucas, pour obtenir le test de Lucas-Lehmer, qui est encore celui qui est utilisé aujourd'hui pour battre des records de grands nombres premiers. Ces travaux prennent une importance particulière depuis que l'avènement de l'informatique rend la cryptographie avide de très grands nombres premiers.
Lucas est aussi pour être l'inventeur de nombreuses récréations mathématiques. La plus répandue d'entre elles est le problème des tours de Hanoi, qu'il publia sous le pseudonyme de Claus de Siam, professeur au collège de Li-Sou-Tsiam (anagramme de Lucas d'Amiens, professeur à Saint-Louis).