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Hans Walser, [20170831]
Dreiecksunterteilung und Binomialverteilung
Durch iterierte Unterteilung eines rechtwinkligen Dreiecks durch die Hhe kommen wir zu den Binomialkoeffizienten und der Binomialverteilung.
Ein Dreieck wird durch eine Ecktransversale in zwei Teildreiecke zerlegt (Hlzl 2017). Dabei knnen verschiedene Bedingungen an das Startdreieck und die beiden Teildreiecke gestellt werden.
Wir besprechen den Sonderfall eines rechtwinkligen Dreiecks, welches wir durch die Hhe in zwei Teildreiecke zerlegen. Die beiden Teildreiecke sind wieder rechtwinklig. Sie sind zueinander gleichsinnig hnlich und zum Startdreieck ungleichsinnig hnlich.
Dann iterieren wir den Zerlegungsvorgang.
Erster Schritt: Wir unterteilen das rechtwinklige Startdreieck mit der Hhe in zwei Teildreiecke (Abb. 1). In der blichen Notation fr das rechtwinklige Dreieck (Katheten und , Hypotenuse ) haben die beiden Teildreiecke gegenber dem Startdreieck die Lngenverkleinerungsfaktoren beziehungsweise . Die Flchenverkleinerungsfaktoren sind entsprechend und . Es wird sich bald als sinnvoll erweisen, mit den beiden Abkrzungen und zu arbeiten. Der Satz des Pythagoras liefert . Das am Rande.
Abb. 1: Unterteilung mit der Hhe. Teildreiecke
Zweiter Schritt: Und nun kommt das Entscheidende. Wir unterteilen auch die beiden Teildreiecke mit ihren Hhen (Abb. 2).
Abb. 2: Wiederholung des Unterteilens. Teildreiecke
Das gibt zunchst vier Teildreiecke. Allerdings ist aus Symmetriegrnden sofort klar, dass die beiden mittleren gleich gro§ sind. Das eine der beiden mittleren lila Dreiecke ist dabei das gro§e Teildreieck vom vorhergehenden kleinen Teildreieck, und das andere das kleine Teildreieck vom vorhergehenden gro§en Teildreieck.
Die Flchenverkleinerungsfaktoren sind der Reihe nach einmal , zweimal und schlie§lich einmal . Die zweimaligen Faktoren sind genau genommen einmal und einmal . Wer in der Schule einen Fensterplatz hatte, sieht, worauf das hinausluft. Fgen wir noch zwei weitere Schritte an.
Dritter Schritt: Die Abbildung 3 zeigt die nchste Unterteilung.
Abb. 3: Dritter Schritt
Die acht Teildreiecke lassen sich der Gr§e nach klassifizieren. Die Flchenverkleinerungsfaktoren sind einmal , dreimal , dreimal und einmal .
Vierter Schritt: Die Abbildung 4 illustriert die vierte Unterteilung.
Abb. 4: Vierter Schritt
Die Anzahlen der Dreiecke in den einzelnen Gr§enklassen sind die Binomialkoeffizienten. Fr die ersten vier Unterteilungsschritte haben wir diese Klassifizierung mit Symmetrie- und Kongruenzberlegungen nachgewiesen.
Fr den allgemeinen Fall gilt folgende Rekursionsberlegung. Jedes Teildreieck der Zerlegung nach Schritten wird im nchsten Schritt in ein kleines und ein gro§es Teildreieck zerlegt, wobei die beiden Faktoren und wechselseitig zum Tragen kommen. Daraus ergibt sich durch Zusammenfassen fr die Anzahlen gleich gro§er Teildreiecke die bliche Rekursionsformel:
Fr den Flchenanteil aller Dreiecke einer bestimmten Gr§enklasse gilt:
Dj-vu. Hat hier allerdings gar nichts mit Glcksspielen zu tun.
In der Schule werden die Binomialkoeffizienten oft mit Glcksspielen eingefhrt (Gltzner 2017). Man kann dann auch sehr einfach zur Binomialverteilung und zum Erwartungswert bergehen. Dabei kann auch das lebensweltliche Problem der Spielsucht thematisiert werden.
Literatur
Gltzner, Fabian (2017): Binomialverteilung erkunden. Beispiele untersuchen, systematisieren und erweitern. mathematik lehren 201 | 2017, 36-41.
Hlzl, Reinhard (2017): Dreiecke in Dreiecke zerlegen. Welche Eigenschaften und Zusammenhnge findest du? mathematik lehren 201 | 2017, 12-15.