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Im folgenden nehmen wir an, daß der Punkt eine Untergruppe der Ordnung erzeugt. Weiterhin sei fest. Ferner notieren wir mit einen lokalen Parameter am Punkt (dessen Koordinaten seien, falls ). Wenn nicht die Ordnung besitzt und auch nicht ist, dann sei . Falls von Ordnung ist (dann hat die Koordinaten ), dann sei . Schließlich sei .
Abkürzend wird oft die Schreibweise (analog für andere Funktionen) verwendet.
Beweis: Sei die Bewertung am Punkt und . Setze nun , wobei regulär im Punkt , .
Zuerst betrachten wir den Fall, daß nicht im Divisor der Funktion ist, d.h. hat weder Ordnung noch gilt . Also ist . Die Funktion ist im Punkt regulär ([Sil86]). Dann ist mit .
Sei nun von Ordnung , dann gilt
Als letztes betrachten wir nun . Dann ist
Sei nun . Wir wir gerade gesehen haben, ist ein nichtnegativer Divisor, da aber andererseits , ist ein Hauptdivisor. Somit gilt und die Behauptung ist bewiesen.fill
ist wohldefiniert und eine (injektive) Einbettung von in die additive Gruppe von .
Beweis: Zuerst zeigen wir, daß wohldefiniert ist. Seien linear äquivalente Divisoren. Also gibt es nach der Definition
von linearer Äquivalenz bei Divisoren (Def. 8) und
der Definition von Hauptdivisor (Def. 7) eine Funktion
, so daß
. Wenn nun also ,
dann ist ; denn
Nun kann man immer rational über wählen und so erhält man , da als Punkt der elliptischen Kurve rational über ist.
Um nun zu zeigen, daß ein Homomorphismus ist, sei
und
. Wir setzen außerdem
. Nun ist
Da auf nicht verschwindet, ist es injektiv und somit ein Monomorphismus. Die Konstruktion dieses Monomorphismus kann auch aus einem allgemeinen Ergebnis von Serre ([Ser58, S. 40-41]) ableiten.fill
Stefan Röhrich <email-pii>