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Exponentialfunktionen – Einführung 07:28 min
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Transkript Exponentialfunktionen – Einführung
Hallo! In diesem Video geht es um die Exponentialfunktionen. Dies ist eine Klasse von Funktionen der Form: f(x)=ax. Im Unterschied zu den Potenzfunktionen befindet sich die Variable bei Exponentialfunktionen im Exponenten. Deswegen heißen sie auch so. Bei den Potenzfunktionen befindet sich die Variable in der Basis. Wir beschränken uns hier auf die Exponentialfunktionen. Also die Basis a bleibt konstant und für den Exponenten x werden verschiedene Zahlen eingesetzt. Die Basis a muss dabei positiv sein. Denn wenn wir einen rationalen Exponenten, z. B. ¾, betrachten, so entspricht das dem Wurzelziehen. Also f(¾) ist a^¾ und das ist genau die vierte Wurzel aus a³. Wenn a eine negative Zahl ist, z. B. -2, so müssen wir die vierte Wurzel aus -8 ziehen. Das können wir nicht. Diese Operation ist nicht definiert. Deswegen muss die Basis a immer positiv sein. Was ist, wenn der Exponent irrational ist? Gibt es z. B. eine Zahl wie 2^?? Ja, die gibt es. Jede irrationale Zahl kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden. Für ? können wir z. B. folgende Folge betrachten: 3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415. In jedem Schritt nehmen wir einfach die nächste Zahl aus der Dezimaldarstellung von ? dazu. Diese Zahlen kommen immer näher an ? heran und sie sind alle rational. So kann z. B. 3,14 als 314/100 dargestellt werden. Das heißt mit allen diesen Zahlen können wir 2 potenzieren. Das sind dann ungefähr diese Zahlen: 8, 8,574, 8,815, 8,821, 8,824. Wir erkennen, dass sie sich immer weniger ändern. Sie streben einer bestimmten reellen Zahl zu. Und genau diese Zahl bezeichnen wir als 2^?. Diese Zahl existiert, ist eindeutig definiert und ist genau wie ? irrational. Mit dieser Verallgemeinerung können wir die Exponentialfunktion auf der gesamten Menge der reellen Zahlen definieren. Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion ist gleich der Menge der reellen Zahlen. Was ist mit dem Wertebereich? Wenn wir eine positive Zahl potenzieren, dann kommt immer eine positive Zahl heraus. Die Basis a unserer Exponentialfunktion ist laut Voraussetzung positiv. Das heißt: Der Wertebereich der Exponentialfunktion ist gleich der Menge der reellen positiven Zahlen. Wenn die Basis a größer 1 ist, so ist die Exponentialfunktion streng monoton steigend. Die Funktionswerte nehmen von links nach rechts ständig zu. Das heißt: Wenn x1 kleiner als x2 ist, so ist auch ax1 kleiner als ax2. Der Graph der Exponentialfunktion sieht in diesem Fall ungefähr so aus: Er geht immer durch den Punkt 0/1, da a0 immer 1 ist. Für alle a. Wenn man entlang der x-Achse nach rechts geht, so gehen die Funktionswerte gegen unendlich. Wenn man nach links geht, gehen die Werte gegen die x-Achse, das heißt gegen 0. Wenn die Basis a zwischen 0 und 1 liegt, so ist die Exponentialfunktion streng monoton fallend. Das heißt: Wenn x1 kleiner als x2 ist, so ist ax1 größer als ax2. Der Graph der Exponentialfunktion sieht in diesem Fall so aus: Er geht auch durch den Punkt 0/1 und ist einfach die Spiegelung des oberen Graphen bezüglich der y-Achse. Für die negativen x-Werte gehen die Funktionswerte gegen unendlich. Und für die positiven, größer werdenden x-Werte gehen die Funktionswerte gegen null.Exponentialfunktionen spielen in der Mathematik eine sehr wichtige Rolle.Wir betrachten nun ein Beispiel, wie es zur Modellierung der Wachstumsprozesse benutzt wird. Wir betrachten eine Bakterienkultur, die am Anfang genau 1000 Bakterien hat. Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien. Das heißt für t=0 haben wir 1000 Bakterien. Mit t bezeichnen wir hier die Zeit. In einer Stunde für t=1 sind es dann 2000 Bakterien. Wir rechnen das einfach als 1000×2 aus. Das lässt sich auch als 100×2¹ schreiben. Für t=2 sind es 4000 Bakterien. Das ist 1000×2×2. Und das lässt sich als 1000×2² schreiben. Für t=3 sind es 8000, also 1000×2×2×2 oder 1000×2³. Diese Argumentation können wir beliebig weit fortsetzen. Nach t Stunden besteht die Kultur aus einer großen Zahl Bakterien, die wir mit N bezeichnen. Und das ist 1000×2×2 und so weiter t-Mal oder 1000×2t. Das heißt der Wachstumsprozess einer Bakterienkolonie kann mithilfe der Exponentialfunktion 2t wie folgt beschrieben werden: N(t)=1000×2t. Wobei N(t) für die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t steht. Auch Zerfallsprozesse können mithilfe der Exponentialfunktion beschrieben werden. Als Beispiel betrachten wir den radioaktiven Zerfall. Wir nehmen an, dass es zum Zeitpunkt 0 genau 1000 Teilchen existieren. Und während jeder Stunde halbiert sich die Anzahl der Teilchen. Diesen Prozess kann man wie folgt beschreiben: Für t=0 sind es 1000 Teilchen oder 1000×½0.Für t=1 sind es 500 Teilchen oder 1000×½1.Für t=2 haben wir dann nur noch 250 Teilchen. Das ist 1000×½×½ oder 1000×½2. Für t=3 sind es 125 Teilchen. 1000×½×½×½. Das heißt 1000×½3.Auch diesen Prozess können wir natürlich beliebig weiter fortsetzen. Zum Zeitpunkt t haben wir dann N Teilchen. Das ist gleich 1000×½×½ und so weiter t-Mal oder 1000×½t. Dieser Verfallsprozess kann mit der Funktion N(t)=1000×½t beschrieben werden. N(t) steht dabei für die Anzahl von Teilchen zum Zeitpunkt t. Soviel zu den Exponentialfunktionen. Danke für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik.
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Gut, aber einen Tick langsamer wäre besser!
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astrein
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Hat mir weitergeholfen... Danke !
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Ich bin gerade zu Sofatutor dazugekommen und muss sagen das seine Videos einfach zu verstehen und kurz sind (etwas was die meisten Lehrer von Heute anscheinend verlernt haben). SUPER!! :)
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Prima!!!
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sehr gut