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Mit Dezimalbrüchen rechnen
Dezimalzahl, Dezimalbrüche, Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, Nullen, anhängen, "Komma verschieben", Nachkommastellen, schriftlich, multiplizieren, dividieren
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Inhalt
- Was ist ein Dezimalbruch?
- Die Addition von Dezimalbrüchen
- Die Subtraktion von Dezimalbrüchen
- Die Multiplikation von Dezimalbrüchen
- Die Division von Dezimalbrüchen
- Rechnen mit Dezimalzahlen
- Wissenschaftliche Schreibweise
Was ist ein Dezimalbruch?
Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, bei welchem im Nenner eine Zehnerpotenz steht. Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz, in deren Basis die Zahl $10$ steht.
Hier siehst du Beispiele für Dezimalbrüche:
- $\frac3{10^{3}}=\frac3{1000}$
- $\frac1{10^{1}}=\frac1{10}$
Übrigens: Du kannst jeden Dezimalbruch auch als Dezimalzahl schreiben. Schau dir hierfür das obere der beiden Beispiele an. Du hast dort $3$ Tausendstel. Das kannst du so schreiben:
$\frac3{1000}=0,003$.
Im Folgenden wirst du lernen, wie du mit Dezimalbrüchen rechnen kannst.
Die Addition von Dezimalbrüchen
Dezimalbrüche sind insbesondere Brüche. Das bedeutet, dass du Dezimalbrüche nur dann addieren kannst, wenn sie gleichnamig sind. Die Brüche müssen also einen gemeinsamen Nenner haben.
Die Addition von gleichnamigen Dezimalbrüchen
Hier gehst du ebenso vor wie bei allgemeinen Brüchen. Du addierst die Zähler und behältst den Nenner bei:
$\frac3{100}+\frac8{100}=\frac{3+8}{100}=\frac{11}{100}$.
Die Addition von nicht gleichnamigen Dezimalbrüchen
Beim Addieren von ungleichnamigen Brüchen musst du beide Brüche vor der Addition zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dazu werden beide Brüche erweitert, bis unter dem Bruchstrich die gleiche Zahl steht. Zum Beispiel so:
$\frac3{100}+\frac8{1000}=\frac{3\cdot 10}{100\cdot 10}+\frac8{1000}=\frac{30+8}{1000}=\frac{38}{1000}$.
Die Subtraktion von Dezimalbrüchen
Die Subtraktion von Dezimalbrüchen verläuft vollkommen analog zu der Addition:
- Sind die Brüche gleichnamig, subtrahierst du die Zähler und den Nenner behältst du bei. Achte bei der Subtraktion auf die Reihenfolge: $\frac8{100}-\frac3{100}=\frac{8-3}{100}=\frac5{100}$.
- Sind die Brüche nicht gleichnamig, musst du die Brüche zunächst durch Erweitern gleichnamig machen: $\frac8{100}-\frac3{1000}=\frac{80}{1000}-\frac3{1000}=\frac{80-3}{1000}=\frac{77}{1000}$.
Die Multiplikation von Dezimalbrüchen
”Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.”
Das gilt so auch bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen.
Schau dir dieses Beispiel an:
$\frac3{10}\cdot \frac5{100}$.
$\frac3{10}\cdot \frac5{100}=\frac{3\cdot 5}{10\cdot 100}=\frac{15}{1000}$
Natürlich können in den jeweiligen Zählern auch größere Zahlen stehen. Dann bietet es sich an, dass du schriftlich multiplizierst.
Du kannst auch Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen multiplizieren. Du verschiebst das Komma in der Dezimalzahl um so viele Stellen nach rechts wie die Zahl im Exponenten der Zehnerpotenz: $0,123\cdot 10^{2}=12,3$.
Die Division von Dezimalbrüchen
„Durch einen Bruch wird geteilt, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.“
$\begin{array}{llllll} & \text{Ein Beispiel:} &\frac3{100}:\frac5{10} \newline & \text{Bilde den Kehrwert:} & \frac3{100}\cdot \frac{10}5 \newline & \text{Multipliziere:} & \frac3{100}\cdot \frac{10}5 = \frac{30}{500} \newline & \text{Du kannst mit 5 kürzen:} & \frac{30}{500} = \frac6{100} \end{array}$
Du kannst ebenso Dezimalzahlen durch Zehnerpotenzen dividieren. Auch hier verschiebst das Komma in der Dezimalzahl. Nur dieses Mal verschiebst du das Komma um so viele Stellen nach links wie die Zahl im Exponenten der Zehnerpotenz: $123,45: 10^{2}=1,2345$.
Rechnen mit Dezimalzahlen
Wenn du mit Dezimalzahlen rechnen möchtest, kannst du die Dezimalzahl als Dezimalbruch schreiben. Dies ist immer möglich, wenn die Dezimalzahl endlich viele Nachkommastellen hat.
Du kannst aber auch Dezimalzahlen schriftlich addieren oder subtrahieren. Hierfür schreibst du die Dezimalzahlen stellengenau untereinander. Insbesondere müssen dann die jeweiligen Kommata übereinander stehen. Dann addierst oder subtrahierst du schriftlich.
Ebenso kannst du Dezimalzahlen schriftlich multiplizieren oder dividieren.
Wissenschaftliche Schreibweise
Eine wichtige Anwendung von Zehnerpotenzen ist die wissenschaftliche Schreibweise von sehr großen Zahlen oder sehr kleinen Zahlen.
Solche Zahlen haben gemeinsam, dass sie sehr viele Nullen enthalten. Diese auszuschreiben bedeutet häufig viel unnötige Arbeit. Um die vielen Stellen abzukürzen, teilt man die Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise durch eine Zehnerpotenz. Anschließend schreibt man die Zahlen multipliziert mit dieser Zehnerpotenz.