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Semaine 3: les polynômes
Cette semaine nous construisons l’algèbre des polynômes. Notre but est de montrer que l’évaluation des polynômes (en un nombre, ou une matrice par exemple) est un homomorphisme d’algèbres. Les propriétés de divisibilité des polynômes est ensuite mise en relation avec l’existence de racines.
Film 1: structure d’algèbre
Dans ce chapitre consacré aux polynômes nous construisons d’abord cette algèbre (de manière plus formelle qu’en première année) et en donnons une base qui permet de bien comprendre à la fois la structure d’espace vectoriel et celle d’anneau.
Film 2: terminologie
Un film plus léger d’une dizaine de minutes pour parler de degré, de divisibilité, etc.
Film 3: Le Théorème fondamental
Nous avions vu en première année que tout nombre entier naturel s’écrit comme produit de nombres premiers. On démontre dans ce film d’une douzaine de minutes que tout polynôme s’écrit comme produit de polynômes irréductibles.
Film 4: L’évaluation
Un film de 6 minutes seulement pour parler de l’évaluation. Nous avons l’habitude de considérer un polynôme comme une fonction réelle (la fonction polynomiale associée) et donc de remplacer l’indéterminée t par un nombre. Formellement l’évaluation est un homomorphisme d’algèbres qui prend ses valeurs dans R par exemple mais plus généralement dans n’importe quelle algèbre.
Film 5: les racines
Dans ce film de 9 minutes nous introduisons la notion de racine d’un polynôme et étudions la relation avec la divisibilité.
Film 6: la dérivée
Pour terminer cette troisième semaine, nous étudions la dérivation de polynômes dans un film de 14 minutes. L’un des buts est de comprendre la multplicité des racines.