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Hans Walser, [20131206]
Orthoschem im Wrfel
Anregung: A. L., S.
Wir whlen im Wrfel der Kantenlnge 1 drei aufeinanderfolgende paarweise orthogonale Kanten aus (Abb. 1a). Nun nehmen wir von diesen drei Kanten die konvexe Hlle (Abb. 1b).
Abb. 1: Orthoschem
So entsteht das Orthoschem, ein unregelm§iges Tetraeder. Drei Kanten, nmlich die drei ausgewhlten Wrfelkanten, haben die Lnge 1, zwei weitere Kanten ins Seitenflchendiagonalen der Lnge und die lngste Kante ist die Wrfeldiagonale mit der Lnge . Zwei der Seitenflchen sind rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke (in der Abbildung 1c ist eines davon in Blau sichtbar), also lngs einer Diagonalen halbierte Quadrate, die beiden anderen Seitenflchen sind rechtwinklige Dreiecke mit den Kathetenlngen 1 und (in der Abbildung 1c) ist eines davon in Cyan sichtbar), also lngs einer Diagonalen halbierte Rechtecke im DIN-Format. Das Volumen des Orthoschems ist ein Sechstel des Wrfelvolumens.
Das Orthoschem gibt es in zwei zueinander spiegelbildlichen Varianten (Abb. 2).
Abb. 2: Spiegelbildliche Varianten
Wir werden im Folgenden die Version der Abbildung 2a verwenden.
Das Orthoschem kann auf 12 verschiedene Arten in den Wrfel eingepasst werden: Anlegen der langen Kante an eine der vier Wrfeldiagonalen, dann Dritteldrehungen. Die Abbildung 3 zeigt die 12 Positionen.
Abb. 3: Die 12 Positionen
Die drei Orthoscheme der obersten Reihe der Abbildung 3 knnen simultan und durchdringungsfrei in den Wrfel gepackt werden (Abb. 4a). Sie haben eine Wrfeldiagonale gemeinsam. Die Zwischenrume sind drei zu den bereits verbauten Orthoschemen spiegelbildliche Orthoscheme.
Abb. 4: Lngs einer Wrfeldiagonale
Die Abbildung 4b entsteht aus der Situation der Abbildung 4a durch Weglassen der rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke.
Die Abbildung 4b gibt Anlass zu einem Wrfelmodell wie folgt.
Wir falten eine DIN A6 Karte lngs einer der beiden Diagonalen so dass die beiden Teile einen Schnittwinkel von 60¡ einschlie§en. Technisch geht das so: wir falten lngs der Diagonalen, falten auf, drcken von der Rckseite (Bergfalt-Seite) her eine oder zwei Stapelklammern (Tacker-Klammern) quer ber die Faltlinie in die Karte und biegen dann die Klammern zu einem Winkel von 60¡ zurecht. Die konvexe Hlle der gefalteten Karte ist ein Orthoschem.
Wir bauen nun sechs solche Orthoscheme, drei linke und drei rechte (Faltdiagonalen austauschen). Diese heften wir provisorisch mit Broklammern zum Wrfelmodell zusammen (Abb. 5).
Abb. 5: Modell aus DIN A6 Karten
Wenn alles sitzt, knnen die Broklammern durch Stapelklammern ersetzt werden.
Zunchst eine theoretische Vorbereitung.
Wir vierteln zwei gegenberliegende rechte Winkel des Origami-Quadrates (Abb. 6a).
Abb. 6: Winkelhalbierende
Dann knnen wir ein Rechteck mit dem Seitenverhltnis (DIN-Format) einspannen (Abb. 6b).
In der Abbildung 6b sehen wir an den Quadratecken im Wechsel zwei gro§e und zwei kleine rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke. Wir falten nun die zwei kleinen hinein (Abb. 7a).
Abb. 7: Gleichseitiges Sechseck mit Winkeln 90¡ und 135¡
Der Umriss der Figur ist ein gleichseitiges Sechseck. Dieses ist aber nicht gleichwinklig, sondern hat zwei rechte Winkel und vier Winkel von 135¡. Das Sechseck ist also nicht regelm§ig.
Nun falten wir Linien gem§ Abbildung 7b. Diese Faltlinien sind als ãTalfaltenÒ zu verstehen. Damit erhalten wir die Abwicklung eines (unregelm§igen) Tetraeders. Dieses Tetraeder ist aber unser Orthoschem.
Nun zur Praxis.
Wir falten das Origami-Papier wie im Origami-Grundkurs lngs der beiden Mittellinien. Dann Zerschneiden wir lngs einer Mittellinie und bearbeiten jedes Teilstck einzeln weiter. (Abb. 8).
Abb. 8: Start
Wir falten die untere und die obere Hlfte in die Mitte hinein und erhalten so wieder ein kleines Quadrat (Abb. 9). Es ist doppellagig mit Schlitzen links und rechts. Dieses kleine Quadrat bearbeiten wir nun gem§ Abbildungen 6 und 7. Dabei unterscheiden sich dann die fertigen Modelle spiegelbildlich je nachdem, ob im kleinen Quadrat mit der Quadratdiagonalen von links oben nach rechts unten (wie in Abbildung 9 dargestellt) oder aber mit der Quadratdiagonalen von rechts oben nach links unten gearbeitet wird.
Abb. 9: Weiteres Vorgehen
Nun falten wir lngs der magenta Faltlinien hoch und formen das Orthoschem. Die kleinen rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke knnen seitlich in die Schlitze der gro§en eingesteckt werden und dienen so als Verbindungslaschen. Das Modell hlt ohne Leim. Eine der Kanten, nmlich die mittlere der drei kurzen Kanten, ist offen.
Die Abbildung 10 zeigt zwei spiegelbildliche Modelle.
Abb. 10: Orthoscheme
Drei linke und drei rechte Orthoscheme knnen zum Wrfel gepackt werden (Abb. 11). Dabei knnen die Einzelteile mit einem Gummiband fixiert werden. Dieses luft als regelm§iges Sechseck in der Normalebne zur gemeinsamen Wrfeldiagonale der sechs Bauteile.
Abb. 11: Wrfel aus sechs Orthoschemen
Die Abbildung 12 zeigt denselben Wrfel mit (beinahe) projizierender Wrfeldiagonale.
Abb. 12: ber Eck
Vier linke und vier rechte Orthoscheme knnen zu einer Pyramide zusammengestellt werden (Abb. 13).
Abb. 13: Pyramide