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In vielen Bereichen wird die Monte-Carlo Simulation erfolgreich eingesetzt, wobei insbesondere die naturwissenschaftlichen Disziplinen diesen Ansatz beherrschen. Mit dem Einzug von Simulationen als Excel Add-In erfreuen sich auch mit wirtschaftlichen Analysen betraute Personen an der enormen Flexibilität und der Fähigkeit, Entscheidungen mit Simulationen zu vereinfachen.
Trotz des mit Simulationen einhergehenden Erkenntnisgewinns wird gerade im betriebswirtschaftlichen Umfeld die Monte-Carlo Technik «nur» als Instrument des Risikomanagements aufgefasst. Wir finden, dass diese Einschränkung unangebracht ist.
Mit der Flexibilität von Excel, Formeln auf verschiedener Ebene zu verknüpfen und treiberbasierte Logiken aufzubauen, können Sie beliebige Fragestellungen aus allen erdenklichen Blickwinkeln erfassen und so eine fundierte Entscheidungsunterstützung mit MC FLO erwarten. Ob bei der Unternehmensplanung, der Logistik oder bei der Berechnung der Wirtschaftlichkeit einer Investition stellen Simulationen ein Instrument zur Entscheidungsfindung dar.
Begriffe wie «Risiko», welche im Kontext mit Simulationen häufig in den Mund genommen werden und welche bei vielen Menschen ein negatives Gefühl auslösen, sollten entsprechend ausgelassen werden. Dies auch, weil in vielen Unternehmen das Risikomanagement als eine nach dem Entscheid abgeleitete Einheit verstanden wird, welches «nur» die Risiken eines bereits getroffenen Entscheides bewirtschaftet. Die Monte-Carlo Simulation ist hingegen eine Technik, die in allererster Linie als Entscheidungsinstrument aufgefasst werden muss, welches nebenbei die möglichen Abweichungen vom Zielwert (definiert als Chance oder Risiko) offenbart. Dies gilt bei unternehmerischen Fragestellungen oder bei naturwissenschaftlichen Experimenten gleichermassen.
Und auch hier wieder ein Beispiel zur Vertiefung, wobei wir uns auf das mit MC FLO mitgelieferte Beispielprogramm fokussieren. Die Grundfragestellung des Modells lautet, ob es sinnvoll ist in eine neue Anlage zu investieren. Während Sie bei der Beurteilung eines solchen Sachverhaltes mit den Mitteln der klassischen Investitionsrechnung eine Aussage zum Barwert («NPV») und möglicher Auswirkungen auf diese Kenngrösse mittels punktueller Variation der «Treiber» treffen können, stellt die Monte-Carlo Simulation durch die Berücksichtigung von vielen erdenklichen Variationen und unter Einbezug von Korrelationen ein Bouquet möglicher zukünftiger Realisationen zur Verfügung, welches überhaupt erst eine fundierte Entscheidung ermöglicht. Garniert kann die Entscheidungsfindung durch das Heranziehen von tiefer gehenden Sensitivitätsanalysen, welche wir hier vorstellen wollen.
In einem ersten Schritt möchten wir die im Beispiel hinterlegte Störvariable auf den Erwartungswert (Mittelwert) fixieren, was anhand von MC FLO mit der im Menü enthaltenden Funktion «Sperre/Entsperre» vollzogen werden kann. Dies erlaubt uns die anderen Treiber im Modell stärker ans Licht rücken zu lassen. Zudem erhöhen wir den Korrelationskoeffizienten zwischen den nicht aktivierbaren Investitionen «NAI» und den Projektkosten auf 0.99. Wir führen eine Simulation mit 1'000 Iterationen unter Einschluss von Korrelationen zwischen den einzelnen Treibern durch.
Aus dem Vorschaumodus der Simulation wird ersichtlich, dass der Treiber «Projektkosten», gefolgt von der «Menge», den grössten Einfluss auf die gesuchte Grösse «NPV» ausübt. Auch zeigt uns die Simulation auf, dass wir mit einer ca. 80%-igen Sicherheit (Sicherheitsniveau) davon ausgehen können, dass der «NPV» positiv ist (anhand der Werte unter «Z_Quantile» sehen wir, dass bis zum 20% Perzentil der NPV negativ ist). Falls wir diese Sicherheit als genügend gross erachten, sollten wir die Investitionen in die neue Anlage empfehlen. Ist die Sicherheit hingegen zu erhöhen, wären in erster Linie die Projektkosten – etwa durch die Vereinbarung eines Festpreises – zu senken. Erst im Anschluss sollten andere Faktoren untersucht werden. Auch beim Vergleich verschiedener Investitionsmöglichkeiten sind Simulationen für eine fundierte Entscheidung prädestiniert. Stellen Sie sich vor, dass neben dem hier vorgestellten Investitionsprojekt eine alternative Investition mit gleichen erwarteten «NPV» und Projektkosten zur Verfügung steht, Sie aber nur finanzielle Mittel oder die Zeit für die Durchführung eines Projektes haben. Je nach Präferenz können Sie nun anhand der Sicherheitsniveaus eine begründete Entscheidung treffen; eine solche wäre hingegen unter Beizug der klassischen Mittel der Investitionsrechnung nicht möglich gewesen. Diese ist im Gegensatz zur Simulation auf einen «Punktwert» beschränkt und erlaubt nur einfache Sensitivitätsanalysen ohne Berücksichtigung der im Modell und Realität vorkommenden Abhängigkeiten (Korrelationen).
Neben den erwähnten fundamentalen Analysen einer Simulation können anhand der einzelnen Iterationsresultate weitere statische Kennzahlen gewonnen und zusätzlich als Entscheidungskriterium herangezogen werden. Als Paradebeispiel gilt die Regressionsanalyse, welche die (lineare) Abhängigkeit zwischen zwei Grössen aufzeigt. Anhand der Regressionsanalyse sind wir in der Lage anhand einer absoluten Veränderung des Treibers eine Aussage zu der erwarteten Veränderung der gesuchten Grösse vorzunehmen.
Mit MC FLO wird eine einfache lineare Regressionsanalyse und dessen visuelle Darstellung standardmässig als Bestandteil der Sensitivitätsanalyse einer Simulation zur Verfügung gestellt. Typische Fragestellung einer Regressionsanalyse ist die Bestimmung des Trends innerhalb von gegebenen Grenzen und die Ermittlung eines Schätzwertes. Oder einfacher im Fall einer einfachen Beziehung zwischen der gesuchten Grösse und einer unabhängigen Variablen ausgedrückt: Was passiert mit dem «NPV», wenn die erwarteten Projektkosten um eine Einheit erhöht werden oder wie hoch ist der erwartete «NPV», wenn die Projektkosten 150'000 Geldeinheiten betragen? Obwohl Simulationen immer als eine Stichprobe einer unbekannten Grundgesamtheit aufgefasst werden müssen und daher die ermittelten Werte der Regressionsgleichung wiederum einer Streuung unterworfen sind, wollen wir hier auf diese Feinheit verzichten und sodann die Antwort der ersten Frage zur Verfügung stellen: Werden die Projektkosten um eine Einheit erhöht wird, sinkt der «NPV» und 1.01 Geldeinheiten. Wie kommen wir zu diesem Wert?
Die ermittelte Regressionsgleichung für den «NPV» lautet: «NPV» = 401’843 – 1.01x, was anhand der Regressionsparameter oder analog der Gleichung aus der Graphik entnommen werden kann. Geben Sie für das x die Projektkosten in Spalte I4 ein (im Sensitivitätsblatt ist als Standard der Mittelwert hinterlegt) und erhöhen Sie den Wert um eine Einheit. Wie Sie leicht feststellen werden, sinkt der NPV um genau 1.01 Einheiten, was genau der Steigung -1.01x gemäss der Korrelationsgleichung entspricht. Wenn Sie die klassische Sensitivitätsanalyse durchführen und im Modell die Projektkosten um genau eine Einheit erhöhen, sinkt der NPV um genau eine Einheit. Obwohl die Differenz zwischen beiden Verfahren in diesem Fall gering ist, kann diese durchaus grössere Ausmasse einnehmen. Die Regressionsanalyse berücksichtigt im Gegensatz zur klassischen Sensitivitätsanalyse mehrere Stichprobenergebnisse unter Einschluss der Variation aller Treiber und der Korrelationen untereinander, was eine höhere Aussagekraft bewirkt.
Analog der Projektkosten können auch die anderen Treiber des Modells mittels Regressionsgleichungen ausgewertet werden, wobei zu berücksichtigen ist, dass mit abnehmenden Korrelationskoeffizient eine einfache lineare Regression immer mehr an Aussagekraft verliert. Dies drückt sich in «R^2» der Regressionsgleichung aus, dem Bestimmtheitsmass. Es beschreibt, welcher Anteil der Streuung der Punkte um die Regressionsgerade durch die Regressionsgleichung (oder besser anhand des x) erklärt werden kann und welcher nicht. Das R^2 beträgt in unserem Fall 50.6%, also kann über die Hälfte der Streuung durch die Regressionsgleichung aufgefangen werden. Der Rest ist gemäss Regressionsanalyse auf andere Faktoren zurückzuführen, welche wir hier nicht betrachtet haben, da wir ja für die Bestimmung des «NPV» nur auf den Treiber «Projektkosten» fokussiert haben. Würden im Rahmen einer multiplen Regressionsanalyse noch die anderen Treiber (etwa die Stückkosten, Menge etc.) hingenommen werden, würde das R^2 sich laufend erhöhen, bis es sich dem Wert von 1 annähert.
Wie sieht die Regressionsgleichung und deren Interpretation beim Treiber «Menge» aus? Auch hier vorab die MC FLO automatisch erstellte Lösung:
Das Bestimmtheitsmass beträgt 46.3% (Nebenbemerkung: Die Wurzel aus dem Bestimmtheitsmass ergibt den [linearen] Korrelationskoeffizienten). Bezogen auf den Treiber «Menge» ist die Erklärungskraft des linearen Modells somit geringer als wenn auf den Treiber «Projektkosten» abgestützt werden würde. Wir erinnern uns, dass im Beispielmodell eine negative Korrelation zwischen der Menge und den Stückkosten postuliert wird. Je höher die Menge, desto geringer die Stückkosten. Eine hohe Menge führt augenscheinlich zu einem hohen NPV (hohe Mengen bedeuten einen hohen Umsatz). Da mit einer hohen Menge aber auch die Stückkosten sinken und geringere Stückkosten wiederum zu einem hohen «NPV» beitragen, wird anhand des Treibers «Menge» nun klar, warum das Bestimmtheitsmass in diesem Fall gegenüber dem Treiber «Projektkosten» schlechter ausfällt.
Info: Für die Regressionsanalyse wird in MC FLO die Excel eigene Funktion «RGP» verwendet (die Funktion ist im Tabellenblatt «Sensitivity» ab Zelle D52 hinterlegt), für anspruchsvollere Aufgaben können Sie das mit Excel mitgelieferte Add-In «Datenanalyse» verwenden.
Zur Beantwortung der zweiten Frage, wie hoch der geschätzte NPV zu liegen kommt, wenn die Projektkosten 150'000 betragen, haben wir auch hier die Antwort parat: 249’754. Geben Sie die Zahl 150'000 einfach in Zelle I4 ein, das Resultat kann der Zelle I5 entnommen werden. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass der geschätzte Wert aufgrunď der Streuung der Regressionsparameter ebenfalls einer Streuung unterworfen ist. Wollen wir sicher sein, dass der Schätzwert in 95% der Fälle alle möglichen Konstellationen einfängt, ist eine Bandbreite (Intervall) anzugeben, welche sich aus dem geschätzten Wert und dem Standardfehler in Kombination mit der gesuchten Bandbreite zusammensetzt. Die Ergebnisse können Sie der Zellen k5 und L5 unter «95% Bereich» entnehmen. Dabei unterstellen wir, dass Simulationen immer eine grosse Stichprobe umfassen und daher zur Bestimmung des Intervalls vereinfachend auf die Normalverteilung statt der Student-T Verteilung zurückgegriffen werden kann und die Standardabweichung des Prognosefehlers nahezu dem Standardfehler der Regression beträgt. Das Intervall ist folglich als Approximation einzustufen.
Hierbei ist jedoch eine gewisse Vorsicht zu walten. Einem Schätzer und dem Intervall anhand einer Regressionsgleichung sollten Sie nur dann vertrauen, wenn die Residuen (Differenz zwischen tatsächlichem und geschätztem Wert) unabhängig und über den gesamten Verlauf normalverteilt mit Erwartungswert 0 bei konstanter Varianz sind. Zudem können die einzelnen Treiber untereinander korreliert sein (wie in unserem Fall), was wiederrum zu einer Verzerrung der Schätzung führt.
Die lineare Regression eignet sich folglich dann, wenn Sie ad-hoc Auswertungen auf deskriptiver Basis durchführen und nicht jedes Mal auf eine Simulation beharren möchten. Eine Regression ist aber nicht dazu geeignet, Voraussagen in Bezug auf nicht beobachtete Werte zu treffen. Was heisst dies genau? Stellen Sie sich vor, dass die möglichen Projektkosten gegenüber der ursprünglichen Annahme um 20% erhöht sind, die erhöhten Projektkosten Einfluss auf andere Treiber im Modell haben (was uns hier nicht im Detail interessiert) und Sie den «NPV» für Projektkosten von 500'000 Geldeinheiten schätzen müssen. Die Regression würde nun den linearen Trend einfach fortschreiben, obwohl – wie angedeutet – die Beziehung zwischen den Projektkosten und dem «NPV» bei Projektkosten ab 450'000 Geldeinheiten einem anderen, sogar nichtlinearen, Verlauf einnehmen kann. Es ist besser, wenn Sie die erhöhten Projektkosten erst im Simulationsmodell abbilden und dann im Anschluss mittels einer Regression eine ad-hoch Auswertung durchführen.
Wir beharren darauf, dass bei Entscheidungen eine Simulation einer Regressionsanalyse vorzuziehen ist. Schliesslich möchten wir für Sie und Ihre Kunden das Beste.