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Hans Walser, [20070330a]
Verallgemeinerung des Thaleskreises
Wir schlagen in den Punkten A und B je einen Nagel ein so dass der Nagelhals noch vorsteht und schieben ein Geo-Dreieck ein. Wenn wir das Geo-Dreieck bewegen, beschreibt die Ecke mit dem rechten Winkel den Thaleskreis źber der Strecke AB.
Der Thaleskreis kann wie folgt sichtbar gemacht werden: wir bestreuen die Ebene (also das Brett, in welchem die beiden NŠgel stecken) leicht mit Sand und schieben den Sand mit dem Geo-Dreieck (mit Vorteil eines aus Holz, das eine gewisse Dicke aufweist) zur Seite.
Genesis des Thaleskreises
Frage 1: Was fźr eine Kurve beschreiben die beiden anderen Ecken des Geodreieckes?
Bei unserer Konstruktion gehen wir von ăidealenŇ NŠgeln der Dicke Null aus. Wie aber, wenn die NŠgel einen realen Durchmesser haben?
Bei echten NŠgeln kommen wir mit dem Geo-Dreieck nicht mehr bis zum Thaleskreis.
Das UnzulŠngliche, hier wirdŐs Ereignis
Was fźr eine Kurve beschreibt die Ecke des Geo-Dreieckes in diesem Fall?.
Zur Auffindung der Parameterdarstellung mag folgende Figur hilfreich sein:
Figur zum Nachdenken
Fźr die Kurve, welche die Ecke beim rechten Winkel des Geo-Dreieckes beschreibt, ergibt sich die Parameterdarstellung:
Fźr ergibt sich:
Der reale ăThaleskreisŇ
Das ist natźrlich kein Kreis mehr, sondern eine †berlagerung von zwei Kreisbewegungen mit unterschiedlicher Drehfrequenz. Man nennt das eine Epizykloide.
Wir sehen allerdings in unserer Figur, dass wir die Parametergrenzen nicht genau gefunden haben. Daher:
Man kann sich auch fragen, was bei einer Ausweitung des Parameterbereiches geschieht.
Die folgende Figur zeigt die Situation fźr und :
Erweiterter Parameterbereich
Wir erhalten eine Schlinge mit zwei UmlŠufen.
Und nun noch einige Bildchen mit verschiedenen Werten von r.
r = 0.5 und r = 1
r = Ă2 und r = 2
Was fźr eine Kurve beschreiben die beiden anderen Ecken des Geodreieckes?
Wo spaziert die Ecke ?
Fźr den Weg der Ecke erhalten wir die Parameterdarstellung:
Fźr ergibt sich die schwarze Kurve der folgenden Figur:
Sie ist etwas bescheiden, aber wenn man sich die Dynamik des Geo-Dreieckes vorstellt, stimmt es.
Fźr den erweiterten Parameterbereich ergibt sich eine geschlossene Kurve. Mit dem Geo-Dreieck ist das allerdings nur noch virtuell mšglich; die Katheten mźssen źber die Ecken hinaus verlŠngert werden.
Erweiterter Parameterbereich
Fźr den Grenzfall und den erweiterten Parameterbereich erhalten wir die so genannte Kardioide oder Herzkurve. Sie ist eine spezielle Epizykloide (Abrollkurve).
Herzkurve
Welches sind die sauberen Parametergrenzen?
Die Figur zeigt die Startsituation:
Startsituation
Der Startwinkel ist nicht Null, sondern . In unserer Parametrisierung beschreibt die Orientierung des Geo-Dreieckes. Fźr den Startparameter erhalten wir also:
Analoges gilt fźr die Endposition.
Somit erhalten wir die richtigen Intervallgrenzen: . Die folgenden Figur zeigt die Situation fźr :
OmaŐs Brille