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Hans Walser, [20200516]
Wźrfelverdoppelung
Idee und Anregung: Jo Niemeyer, Berlin
Einpassverfahren zur volumenmЧigen Verdoppelung eines Wźrfels.
Wir beginnen mit einem 3×3-Quadrat (Abb.1a) und markieren darin ein 2×3-Rechteck (Abb. 1b).
Abb. 1: Quadrat und Rechteck
Nun bewegen wir das Rechteck, und zwar so, dass die obere Kante durch den oberen der beiden schwarz markierten Punkte verlŠuft und die rechte Kante durch den unteren. Die Abbildung 2 zeigt zwei Positionen.
Abb. 2: Bewegen des Rechteckes
Das machen wir so lange, bis die untere linke Ecke des Rechteckes an der linken Wźrfelkante ankommt (Abb. 3a).
Abb. 3: Anschlag und Wźrfel
Nun haben wir die Daten fźr das KantenverhŠltnis der beiden Wźrfel mit dem gesuchten VolumenverhŠltnis 1:2 (Abb. 3b).
Verifikation mit DGS
Formaler Beweis mit CAS
Die rechten oberen Ecken der Rechtecke bewegen sich auf dem Thaleskreis źber den beiden schwarz markierten Punkten (Abb. 4a).
Abb. 4: Thaleskreis und Schnittpunkt
Die eingezeichneten blauen Rechteckdiagonalen verlaufen alle durch einen gemeinsamen Punkt (Abb. 4b). Dieser Punkt liegt ebenfalls auf dem Thaleskreis. Nachweis mit KreiswinkelsŠtzen.
Die Bahnkurve der linken unteren Rechteckecken sieht aus wie ein Kreis (Abb. 5), es ist aber kein Kreis.
Abb. 5: Bahnkurve
Die Bahnkurve verlŠuft durch die vier eingezeichneten Gitterpunkte. Diese liegen aber nicht auf einem Kreis.
Mit quadratischen Fliesen legen wir ein 6×4-Schachbrett aus (Abb. 6) als Basis.
Abb. 6: Schachbrett als Basis
Wir ersetzen neun Fliesen so, dass ein 3×3-Quadrat sichtbar wird (Abb. 7).
Abb. 7: 3×3-Quadrat
In einer zweiten Ebene setzen wir ein 2×3-Rechteck zusammen (Abb. 8).
Abb. 8: Rechteck
In derselben Ebene kleben wir zwei schwarze Platten an die Basis (Abb. 9). Diese benštigen wir spŠter als Fźhrungselemente.
Abb. 9: Fźhrungselemente
Nun passen wir das Rechteck so ein, dass zwei Seiten an je einem Fźhrungselement ansto§en und eine Ecke am Rand des 3×3-Quadrats (Abb. 10).
Abb. 10: Einpassen des Rechteckes
Die Abbildung 11 zeigt die Situation von oben.
Abb. 11: Sicht von oben
Nun haben wir die KantenlŠngen von zwei Wźrfeln mit dem VolumenverhŠltnis 1:2. Die Abbildung 12 zeigt die Situation von oben. Die beiden Wźrfel erscheinen als Quadrate.
Abb. 12: Die beiden Wźrfel. Sicht von oben
Die Abbildung 13 zeigt eine Ansicht.
Abb. 13: Die beiden Wźrfel
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Hans Walser: Wźrfelverdoppelung
Hans Walser: Wźrfelverdoppelung mit Stern und Spirale