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Hans Walser, [20090214b]
Eine Rechtecksbedingung
In einem Parallelogramm wŠhlen wir einen beliebigen Punkt und verbinden ihn durch die Strecken p, q, r, s mit den Eckpunkten.
Ausgangsfigur
Das Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn
Wir arbeiten mit Vektoren gemЧ Figur.
Vektoren
Nun drźcken wird die Vektoren durch die Vektoren aus und bilden die Quadrate:
Fźr die alternierende Quadratsumme erhalten wir:
Daraus folgt die Behauptung.
Der vektorielle Beweis ist nicht an die Ebene gebunden. Wenn wir den Punkt oberhalb des Grundparallelogramms wŠhlen, ergibt sich eine Pyramide.
Pyramide
Eine Pyramide auf einer Parallelogrammbasis hat also genau dann eine rechteckige Basis, wenn die alternierende Quadratsumme der SchrŠgkanten verschwindet.