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Hans Walser, [20201110]
Inkreis
Alternative Methode zur Konstruktion des Inkreises eines Dreiecks. Mit DGS durchfhrbar. Bentigt werden implementierte Makros fr Kegelschnitte und fr Tangenten.
Fragen der Arbeitskonomie, der logischen Schlssigkeit und der sthetik.
In einem Dreieck ABC mit den Seiten a, b, c (mit in unserem Beispiel a < c < b) zeichnen wir die Hyperbel mit den Brennpunkten A und B durch C (Abb. 1.1). Die Software liefert mit dem Button ãHyperbel aus den beiden Brennpunkten und einem HyperbelpunktÒ beide Hyperbelste. Wir bentigen nur den durch C verlaufenden Ast h.
Abb. 1.1: Hyperbel
Wir schneiden den Hyperbelast h mit der Seite AB (Abb. 2). Der Schnittpunkt D ist einer der Scheitelpunkt des Hyperbelastes h. Er ist auch der Berhrungspunkt des Inkreises mit der Seite AB. Dies kann wie folgt eingesehen werden: Der Hyperbelast h ist der Ort aller Punkte, deren Abstandsdifferenz zu A beziehungsweise B gleich b – a ist. Somit ist:
(1)
Andererseits ist:
(2)
Daraus ergibt sich:
(3)
Das ist aber auch der Abstand des Berhrungspunktes von der Ecke B.
Abb. 1.2: Schnittpunkt D
In D zeichnen wir die Tangente nc an den Hyperbelast h (Abb. 1.3). Aus Symmetriegrnden ist diese Tangente normal zur Dreiecksseite AB. Wir htten also ebensogut das Lot zu c in D zeichnen knnen.
Der Mittelpunkt I des gesuchten Inkreises liegt auf nc.
Abb. 1.3: Tangente in D
Nun zeichnen wir in C die Tangente wC an h (Abb. 1.4). Diese Tangente ist Winkelhalbierende des Dreieckswinkels bei C. Dies folgt daraus, dass bei einem Kegelschnitt mit zwei Brennpunkten die Winkelhalbierenden der Abstandsstrecken von einem Kegelschnittpunkt die Tangente und die Normale zum Kegelschnitt sind.
Der Mittelpunkt I des gesuchten Inkreises liegt auf dieser Winkelhalbierenden.
Abb. 1.4: Tangente in C
Der Schnittpunkt I von nc und wC ist der Mittelpunkt des Inkreises (Abb. 1.5).
Abb. 1.5: Mittelpunkt des Inkreises
Der gesuchte Inkreis des Dreiecks hat das Zentrum I und verluft durch D (Abb. 1.6).
Abb. 1.6: Inkreis
Wir brauchen also sechs Schritte (ãHandgriffeÒ) fr die Konstruktion des Inkreises. Die Methode ist allerdings stark asymmetrisch, da sie zum Beispiel die drei Eckpunkte oder die drei Seiten des Dreiecks ganz unterschiedlich verwendet.
Analog kann auch ein Ankreis des Dreiecks konstruiert werden. Anstelle der Hyperbel wird mit einer Ellipse gearbeitet (Abb. 2).
Abb. 2: Ankreis
In der Schule wird der Inkreis traditionellerweise mit den Winkelhalbierenden konstruiert. Man beginnt mit zwei Winkelhalbierenden und deren Schnittpunkt (Abb. 3.1 bis 3.3).
Abb. 3.1: Erste Winkelhalbierende
Abb. 3.2: Zweite Winkelhalbierende
Abb. 3.3: Schnittpunkt der beiden Winkelhalbierenden
Nun wird vom Schnittpunkt aus das Lot auf eine Seite gefllt und der Schnittpunkt mit dieser Seite festgelegt (Abb. 3.4 und 3.5).
Abb. 3.4: Lot auf eine Seite
Abb. 3.5: Schnittpunkt
Jetzt kann der Inkreis gezeichnet werden (Abb. 3.6).
Abb. 3.6: Inkreis
Wir bentigen ebenfalls sechs Schritte zur Konstruktion des Inkreises. Auch diese Methode ist asymmetrisch bezglich der Bercksichtigung der Dreieckselemente.
Die beiden hier geschilderten Verfahren zur Konstruktion des Inkreises sind also vom Arbeitsaufwand her gesehen gleichwertig wenn auf die Anzahl der Schritte abstellt wird. Beide Methoden sind asymmetrisch bezglich der Dreieckselemente.
Der Kognitionsaufwand der beiden Methoden ist unterschiedlich. Das Verfahren der Abbildung 1 bentigt zum Verstndnis Kenntnisse ber Kegelschnitte.
Das Verfahren der Abbildung 1 mit der Hyperbel hat bei der Verwendung von dynamischer Geometrie Software eine weitere interessante Tcke. In der Abbildung 1 habe ich mit dem Button ãHyperbel aus Brennpunkten und einem HyperbelpunktÒ gearbeitet und mir weiter nichts berlegt. Es hat funktioniert.
Nun lernt man aber in der Schule eine Abstandsdefinition fr die Hyperbel. In unserem Kontext hei§t das:
(4)
Punkte mit der Bedingung (5) knnen (mit Zirkel und Lineal) wie folgt konstruiert werden.
Wir tragen die Seitenlnge a von C aus auf AC ab (Abb. 4.1). Teilpunkt sei E.
Abb.4.1: Abtragen der Seite a
Nun zeichnen wir einen Kreis k um A durch E (Abb. 4.2).
Dieser Kreis hat den Radius b – a. Er wird manchmal als Leitkreis bezeichnet.
Abb. 4.2: Leitkreis k
Auf dem Leitkreis k whlen wir einen beliebigen Punkt Q und zeichnen den Strahl q von A aus ber Q (Abb. 4.3).
Abb. 4.3: Beliebiger Punkt Q
Wir schneiden den Strahl q mit der Mittelsenkrechten m von EB. Der Schnittpunkt sei P (Abb. 4.4).
Abb. 4.4: Punkt P
Fr P gilt folgendes. Zunchst ist:
(5)
Daraus ergibt sich:
(6)
Der Punkt P liegt wegen (4) auf dem Hyperbelast. Wir erhalten nun diesen Hyperbelast mit dynamischer Geometrie Software als Ortslinie von P bei Variation von Q (Abb. 4.5). Als Zugabe ergibt die Mittelsenrechte m als Hyperbeltangente in P.
Abb. 4.5: Hyperbelast
Damit sind wir also gleich weit wie in der Abbildung 1.1.
Und nun kommt der gro§e Frust: das System weigert sich, den Schnittpunkt D (Abb. 1.2) oder die Tangente wC (Abb. 1.4) anzugeben.
Ortslinien sind Sackgassen (Zskutca). Wir knnen damit nicht weiterarbeiten. Der Hintergrund liegt wohl darin, dass Ortslinien eine Punkt fr Punkt Konstruktion mit Interpolation sind. Dies sieht auf dem Bildschirm gut aus, ist aber nicht exakt. Ortslinien sind also nur Visualisierungen, keine geometrische Elemente.
Wir knnen die Ortslinie umgehen, indem wir die relevanten Positionen von Q selber whlen. Also sozusagen hndisch. Wenn wir Q1 auf AB whlen, wird m1 = nc (Abb. 5). Wenn wir Q2 = E whlen, wird m2 = nc und wir knnen den Inkreis zeichnen.
Abb. 5: Arbeiten mit Sonderfllen
Die einzelnen Arbeitsschritte sind:
(1) Kreis um C mit Radius a.
(2) Schnittpunkt E
(3) Leitkreis k
(4) Schnittpunkt Q1
(5) Mittelsenkrechte m1
(6) Punkt D
(7) Mittelsenkrechte m2
(8) Schnittpunkt I
(9) Umkereis
Gemeinsame Schnittpunkte von drei Linien werden in der Geometrie immer besonders gefeiert. In der Dreiecksgeometrie kennen wir den Seitenhalbierenden-Schnittpunkt, den Winkelhalbierenden-Schnittpunkt, den Hhen-Schnittpunkt und den Mittelsenkrechten-Schnittpunkt. Neben diesen vier Klassikern gibt es allerdings noch viele weitere Schnittpunkte (Walser 2012).
Der Legende nach war Hans Freudenthal (1905-1990) von solchen Schnittpunkten derart betroffen, dass er sich entschloss, sein Leben der Mathematik und ihrer Didaktik zu widmen.
Abb.6: Hans Freudenthal
Gemeinsame Schnittpunkte von zum Beispiel drei Geraden sind ein beliebtes Tummelfeld fr die Anwendung dynamischer Geometrie Software. Meist geht es darum, vermutete Schnittpunkte entweder zu falsifizieren oder aber ãempirischÒ zu erhrten. Technisch werden zwei der drei Geraden miteinander geschnitten, und dann wird untersucht, ob der so erhaltene Schnittpunkt auf der dritten Geraden liegt. Dafr gibt es einen eigenen Button. Da allerdings der Test nur numerisch arbeitet, ist er rein geometrisch nicht schlssig.
Falls der Schnittpunkt verneint wird, knnen so lange hineinzoomen, bis die drei betrachteten Linien auseinanderdriften und ein Dreieck bilden.
Wenn allerdings der numerische Test ein positives Ergebnis liefert auch dem Zug-Modus standhlt, fllt es schwer, an der Existenz des Schnittpunktes zu zweifeln. Schlerinnen und Schlern sind berzeugt von der Stimmigkeit des Schnittpunktes und sind schwer zu motivieren, noch einen ãBeweisÒ dazu zu suchen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein logisch korrekter Beweis doch irgendwo einen logischen Fehler oder eine Lcke enthlt, drfte deutlich gr§er sein als die Wahrscheinlichkeit der Nichtexistenz eines numerisch und mit dem Zug-Modus empirisch erhrteten Schnittpunktes.
Doch zurck zu unseren Hyperbeln.
Wir zeichnen im Dreieck alle drei Hyperbelste gem§ (vgl. Abb. 1.1) ein. Jede Hyperbel hat zwei der drei Dreiecksecken als Brennpunkte und verluft durch die jeweilige dritte Ecke (Abb. 7).
Abb. 7: Drei Hyperbelste
Die Figur mutet etwas surrealistisch an und ist gewhnungsbedrftig.
Unabhngig von der Frage nach dem vermuteten Schnittpunkt haben wir nun aber eine weitere Methode zur Konstruktion des Inkreises gefunden (Abb. 8).
Abb. 8: Inkreis
Die Fu§punkte der drei Hyperbelbgen sind die Berhrungspunkte des Inkreises. Wir brauchen also nur noch den Kreis durch diese drei Punkte zu zeichnen.
Diese Methode braucht allerdings sieben Handgriffe statt nur sechs: je drei Mal die Hyperbel und den Schnittpunkt mit der Dreiecksseite. Dann den Kreis durch die drei Schnittpunkte. Dafr ist diese Methode vollstndig symmetrisch bei der Bercksichtigung der Dreieckselemente. Vom sthetischen Standpunkt her ist sie die schnste.
Und nun zur Frage der Existenz des Schnittpunktes der drei Hyperbelste.
Wenn wir die Hyperbeln mit dem Button ãHyperbel aus Brennpunkten und einem HyperbelpunktÒ zeichnen, knnen wir problemlos den Schnittpunkt zweier Hyperbelste generieren. Der numerische Test, ob dieser Punkt auch auf dem dritten Hyperbelast liegt, verluft positiv. So weit so gut.
Wenn wir die Hyperbeln nach der Abstandsdefinition mit Hilfe des Leitkreises als Ortslinien generieren, weigert sich das System, einen Schnittpunkt festzulegen.
Existiert der Schnittpunkt also doch nicht?
Interessanterweise ist es nun gerade die bei dynamischer Geometrie Software unbrauchbare Abstandsdefinition, welche einen Beweis gestattet, der wohl auch die Gralshter der reinen Lehre pdagogisch befriedigt. Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 9.
Abb. 9: Bezeichnungen
Es ist:
(7)
Es sei nun Q der Schnittpunkt von ha und hb. Wegen den ersten beiden Zeilen von (7) gilt daher:
(8)
Addition der beiden Zeilen von (8) ergibt:
(9)
Damit liegt Q auch auf hc. Dies war zu zeigen.
Nachdem der Schnittpunkt also existiert, stellt sich die Frage nach seiner geometrischen Bedeutung. Dazu zeichnen wir das Kreisbogendreieck der Abbildung 10. Jeder Bogen hat eine Dreiecksecke als Zentrum und beginnt und endet bei einem Hyperbelfu§punkt. Der Schnittpunkt der drei Hyperbelste ist das Zentrum des Inkreises dieses Kreisbogendreieckes. Der Beweis arbeitet mit der Abstandseigenschaft der Hyperbeln.
Die Konstruktion dieses Inkreises ist ein Sonderfall des Problems des Apollonios.
Abb. 10: Kreisbogendreieck
Die berlegungen mit den Kegelschnitten im Dreieck gehen auf den flmischen Mathematiker und Mediziner Adriaan van Roomen (1561-1615) zurck. Er lste das an sich mit Zirkel und Lineal lsbare Problem des Apollonius (zu drei gegebenen Kreisen einen vierten berhrenden Kreis zu finden) mit Hilfe von Kegelschnitten.
Literatur
Walser, Hans (2012): 99 Schnittpunkte. Beispiele – Bilder – Beweise. 2. Auflage. EAGLE, Edition am Gutenbergplatz: Leipzig. ISBN 978-3-937219-95-0.
Weblink
Hans Walser: Der Inkreis. Vortrag
Hans Walser: Inkreise von Bogendreiecken