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La planche de Galton
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En sciences et en sciences humaines on est conduit à s’intéresser à l’évolution de grandeurs au cours du temps où le « hasard » intervient à chaque instant : évolution du débit d’une rivière, évolution de l’effectif d’une population, propagation d’une maladie, évolution de la demande d’un bien par une clientèle, variation du nombre de personnes dans une file d’attente, etc. Le modèle de la « marche au hasard » permet d’illustrer des évolutions où le hasard intervient à chaque étape : un mobile se déplace sur un axe
Ox par pas d’une unité chaque fois dans l’un ou l’autre sens avec des probabilités égales. S’il fait un pas par unité de temps en partant de O à l’instant t=0, il sera, à l’instant n, en un point Pn tel que CPn=xn=U1+U2+...+Un où les Ui sont des variables aléatoires indépendantes, chacune prenant les valeurs +1 ou -1 avec des probabilités égales. Francis Galton (1822-1911), explorateur, naturaliste et écrivain anglais a imaginé un dispositif expérimental permettant de réaliser des marches au hasard et d’étudier leur évolution au cours du temps. Il s’agit d’une planche verticale dans laquelle sont plantées de nombreuses rangées horizontales de clous. Par un entonnoir placé au haut de la planche, on fait dévaler des billes sur ce réseau de clous. Des tubes placés au bas de la planche recueillent les billes au terme de leur chute. Chaque fois qu’une bille heurte un clou, elle se déplace aléatoirement à gauche ou à droite. Le chemin suivi par chaque bille est impossible à prévoir, mais la distribution finale des billes dans les tubes se fait selon une loi statistique avec d’autant plus d’exactitude que le nombre de clous et de billes est grand.
Pour en savoir plus
Ian Stewart. Abrogeons la loi des moyennes
Expérimentation - Simulation
Vous lâchez m billes sur une planche de Galton comportant n rangées de clous.
Questions
- Expliquez comment le modèle de la « marche au hasard » peut être utilisé pour obtenir la distribution finale des billes dans les tubes de la planche de Galton.
- Le modèle de la « marche au hasard » permet-il de prévoir dans quel tube une bille arrivera ?
- Lâchez m billes sur les n rangées de clous d’une planche de Galton (ou simulez ce lâcher) et établissez l’histogramme donnant la distribution des billes dans les tubes du dispositif.
- Définissez la moyenne et l’écart type d’une liste de valeurs. Calculez ces grandeurs pour la distribution obtenue. Comparez l’histogramme à une distribution normale ayant même moyenne et même écart type.