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Serie26 du 28 mars
Dans cette série les exercices les plus difficiles sont ceux qui concernent la récurrence. L’exercice 9 doit être enlevé (déjà fait dans la série 25).
Exercice 13. On prétend qu’il faut f(n) = n(n+1)(2n+1)/6 cubes de pierre pour construire une pyramide de base carrée n x n. Vous avez sûrement tous vérifié que cette formule donne la bonne réponse pour n=1 (il faut 1 seul cube), n=2 (il faut 5 cubes, 4 pour la base et 1 pour le 1er étage) et n=3 ( il faut 14 cubes en tout, 9 pour la base, 4 pour le 1er étage et encore un au sommet).
Pour montrer par récurrence que la formule est vraie pour tout entier n, on suppose donc que la formule est vraie pour une pyramide d’au plus n étages et nous devons montrer qu’alors la formule est aussi vraie pour une pyramide de n+1 étages. Combien faut-il de cubes pour une telle pyramide?
Il en faut (n+1)2 pour la base et comme on pose sur cette base une pyramide de n étages, on déduit de l’hypothèse de récurrence que nous avons besoin du nombre suivant de cubes:
(n+1)2 + n(n+1)(2n+1)/6 = (n+1)[n+1 + n(2n+1)/6] = (n+1)[6n+6 +n(2n+1)]/6 = (n+1)(2n2 +7n + 6)/6
où nous avons d’abord mis au même dénominateur, puis développé l’expression polynomiale dans la grande parenthèse pour l’écrire sous forme réduite. Pour continuer nous devons factoriser cette expression. Comme nous savons ce que nous voulons prouver c’est plus facile! En effet nous remarquons que (n+2)(2n+3) = 2n2 +7n + 6. Ainsi, le nombre de cubes de pierre qu’il faut est égal à
(n+1)(n+2)(2n+3)/6 = f(n+1).
Nous avons donc utilisé l’hypothèse de récurrence (le nombre de cubes qu’il faut pour une pyramide de n étages) pour montrer que la formule est aussi valide pour une pyramide de n+1 étages. La formule est par conséquent toujours vraie!
Exercice 4. Pour vérifier qu’une relation est une relation d’équivalence, je ne demande pas de longues explications, mais une phrase qui montre que vous avez compris ce qu’il s’agit de prouver. Pour la relation d’équivalence des fractions par exemple, la réflexivité affirme que toute fraction est équivalente à elle-même. Autrement dit la fraction a/b est équivalente à a/b. Pour vérifier cela on applique directement la définition d’équivalence des fractions (les « produits croisés » sont égaux): comme ab = ba par commutativité de la multiplication la réflexivité est démontrée. Le plus difficile ici est de montrer la transitivité. On suppose que la fraction a/b est équivalente à c/d et que la fraction c/d est équivalente à e/f. Il faut alors montrer que a/b est équivalente à e/f, autrement dit que les produits croisés af et be sont égaux. Cela vous rappelle-t-il des souvenirs? Le truc est de calculer plutôt adf et de montrer que c’est égal à bde… On voudra ensuite simplifier par d (si on peut? justifie cela!).
Exercice 6. Comme dans l’exercice 1 de la série précédente il faut bien lire la définition des relations R et S pour découvrir laquelle est une fonction et laquelle n’en est pas une. Elles sont réciproques l’une de l’autre, mais comme la fonction n’est pas bijective, la réciproque n’est pas une fonction et il n’y a pas de formule pour la décrire (comme c’était le cas de la réciproque d’une fonction affine que nous avons étudiée en classe).
Pour préparer le test
Voici encore quelques équations paramétriques pour préparer le test du mercredi 3 avril. Dans chaque cas le nombre réel a est un paramètre en fonction duquel il faut discuter la valeur des solutions.
1. (1+a)x -3 = ax +7 -x
2. (1+a)x -3 = ax +7 +x
3. 5ax + 1 -x = 3ax + a + x -3
4. 5ax + 1 -x = 3ax + a + x
Les solutions se trouvent en bas de page.
Pour terminer voici deux relations que je vous demande de composer (les ensembles de départ et d’arrivée sont toujours R).
1. xRy si et seulement si x=|y| (la valeur absolue)
2. ySz si et seulement si y2=z3
Dessiner le graphe de R, calculer la composition SoR, déterminer le plus grand sous-ensemble de R auquel il faut se restreindre pour que ce soit une fonction, démontrer enfin que cette fonction est injective, mais pas surjective.
MiniSerie25 du 21 mars
Exercice 1, partie (b). Nous avons vu que l’élément (x, y) n’est pas égal à (y, x) dans le produit cartésien. Il est donc très important de faire la distinction entre les affirmations « x est la valeur absolue de y » et « x est en relation avec sa valeur absolue y« . Dans le premier cas la paire (4, -4) fait partie du graphe de la relation, alors que (-4, 4) fait partie du graphe de la seconde relation. Les deux relations dont nous discutons ici sont en fait réciproque l’une de l’autre, mais certainement pas égales! D’ailleurs l’une est une fonction, l’autre pas. En général je vous recommande de tracer d’abord la graphe de la relation pour visualiser bien la relation est pouvoir répondre plus facilement aux autres questions.
Exercice 5-6-7-8. Ce sont des problèmes de test, faites-les soigneusement, rédigez-les comme pour un test, mais vérifiez aussi vos solutions en relisant le cours, en en parlant entre vous, etc.
Cours 25 du 27 mars
Le film de cette semaine dure une douzaine de minutes et concerne le raisonnement par récurrence. Il faut prendre des notes sur l’Exemple 3.2 qui se trouve en page 81. Il est important de se familiariser avec cette nouvelle méthode de démonstration. Je ne reviendrai pas sur les exemples du film, mais nous en traiterons d’autres en classe.
Serie24 du 20 mars
Exercice 3 (c). Pour résoudre une équation paramétrique on ne se laissera pas déconcentrer par la présence d’une lettre, ici m. On utilise donc systématiquement les méthodes du cours pour d’abord réduire l’équation en rédigeant chaque étape soigneusement! On passe ensuite tous les x à gauche et tout le reste à droite. Ici on trouve finalement l’équation -(2m+1) x = 2m+1. Encore une fois je ne veux pas voir uniquement le résultat final dans votre série (ni au test d’ailleurs). Pour résoudre cette équation on a furieusement envie de diviser par 2m+1, ce qui nous amène à discuter deux cas. Le premier quand 2m+1=0, que se passe-t-il? Et le deuxième cas quand 2m+1 est non nul, on peut alors diviser par 2m+1. Quelle est la solution alors? Attention aux signes!
Exercice 5, partie 7. On étudie ici des fonctions et des équations affines, avec la complication supplémentaire de la présence d’un paramètre. Comme discuté en classe, un paramètre est un nombre réel, il ne faut pas le confondre avec une inconnue! Il s’agit donc de trouver les solutions d’une équation en fonction des valeurs de ce paramètre. Il peut y avoir des valeurs du paramètre pour lesquelles l’équation n’a aucune solution, d’autres pour lesquelles il y en a une infinité.
Dans la partie 7 par exemple on considère les fonctions f(x) = mx-1 et g(x) = x + √ 2. Pour comprendre quand les graphes de ces deux fonctions sont parallèles ou confondus on peut utiliser la notion de pente. Deux droites sont en effet parallèles ou confondues si elles ont la même pente. La pente de la droite donnée par f est égale à m. Pour comprendre quand les deux droites sont confondues il faut penser aussi à l’ordonnée à l’origine. L’ordonnée à l’origine de la droite y = mx-1 vaut -1, ce qui signifie que la droite coupe l’axe vertical des y à la hauteur -1.
Pour savoir quand les droites sont concourantes, il s’agit de trouver quand l’équation mx-1 = x + √ 2 a une solution. Pour résoudre cette équation de manière algébrique on suit pas à pas la méthode du cours. L’équation mx-1 = x + √ 2 est équivalente à l’équation mx-x = 1 + √ 2, autrement dit (m-1)x = 1 + √ 2. Pour résoudre cette équation on aimerait diviser par m-1. Peut-on le faire? Seulement si m-1 ≠ 0. On retrouve cette valeur du paramètre m=1 qui provoque des problèmes! Par contre si m ≠ 1, on peut tranquillement diviser et trouver la solution x= (1 + √ 2)/m-1. Géométriquement cela signifie qu’il n’y a qu’une valeur du paramètre ou les droites sont parallèles ou confondues (d’ailleurs sont-elles parallèles ou confondues?) et pour toutes les autres valeurs les droites se coupent en exactement un point dont l’abscisse est donnée par la solution trouvée ci-dessus.
Exercice 7. Cet exercice concerne l’ensemble de définition d’une équation. Rappelons que l’ensemble de définition d’une équation f(x) = g(x) est l’intersection des ensembles de définition des fonctions f et g. Avant de transformer cette équation pour la résoudre, il faut d’abord déterminer ED. Puis, pour trouver une équation équivalente plus facile à résoudre je propose de passer à gauche tous les termes qui sont ders quotients par x-2 et droite le terme qui est un quotient par 4x+6. Pour ensuite résoudre cette équation on prendra garde à travailler dans l’ensemble de définition. L’exemple fait en cours devrait vous aider!
Cours 24 du 20 mars
Le film de cette semaine dure un peu plus de 8 minutes et concerne les relations, plus précisément la composition de relations et la réciproque d’une relation (pages 72-74 du fascicule). Nous reviendrons sur ces notions en cours, en les approfondissant, et traiterons l’exemple 3.3 qui n’apparaît pas dans le film. Il est important de se familiariser déjà avant le cours avec ces concepts nouveaux et je vous demande de dessiner le graphe de la relation de l’exemple 3.5 et de sa réciproque au haut de la page 74. Il s’agit des dernières minutes de la vidéo.
Serie23 du 13 mars
Ex. 5, partie 2. On demande de résoudre l’équation x3 -2x2 -5x + 6=0 dans des ensembles de définition proposés. L’idée la plus simple est donc de tester les solutions potentielles et de regarder lesquelles sont des solutions. En classe nous avons aussi vu qu’une fois que l’on trouve une solution, par exemple x=1, cela signifie que l’on peut factoriser le polynôme x3 -2x2 -5x + 6 = (x-1)q(x) où q est un polynôme de degré 2. Lequel? Il doit forcément commencer par x2 et terminer par -6, les termes de plus haut et de plus bas degré l’imposent. Il nous manque encore le terme de degré 1, ce sera ax pour un certain nombre réel a. Comme
(x-1)(x2+ax-6) = x3 +(a-1)x2 -(6+a)x + 6
on conclut que a=-1. Ainsi x3 -2x2 -5x + 6 = (x-1)(x2 -x-6) = (x-1)(x+2)(x-3). C’est en effet le polynôme de degré 2 que nous avons déjà rencontré en classe! Les solutions de l’équation x3 -2x2 -5x + 6=0 sur R sont donc S={1, -2, 3}. Il ne reste plus qu’à voir lesquelles se trouvent dans les ensembles de définition proposés.
Ex.8. Pour vérifier si deux équations sont équivalentes je vous propose de les transformer d’abord systématiquement sous la forme h(x) = 0.
Ex. 11. Equations fruitées. Attention au nombre de bananes, le gros régime compte 4 bananes…
Cours 23 du 13 mars
Le petit film de cette semaine (8 minutes) vous aidera à compléter les pages 62 et 63 de votre fascicule. Il concerne le degré d’une équation polynomiale et l’ensemble de définition d’une équation. Avant de regarder le film, essayez vous-mêmes de résoudre les deux équations proposées dans les exemples 4.2 et 4.4! Revoyez aussi le film ci-dessous sur les opérations de fonctions au cas où vous vous êtes concentrés sur la préparation du test cette semaine. Vous pourrez poser vos questions au début de la première heure de cours.
Serie22 du 6 mars
Exercice 3. (c). La composition cherchée prend un nombre réel x et lui associe d’abord x+1, avant de l’inverser. Ainsi la fonction composée est donnée par la formule 1/(x+1). On demande de calculer le domaine de définition de cette fonction, c’est-à-dire le plus grand sous-ensemble de R pour lequel cette formule définit une fonction. Le seul problème est rencontré en -1, si bien que ED(gof) = R\{-1}.
Exercice 5. c. On demande de dessiner les graphes des trois relations 2), 4) et 6). Pour plus de clarté et pour faciliter la tâche des correcteurs on utilisera trois systèmes d’axes.
Exercice 6. Fais un dessin de la situation pour t’aider à calculer les distances qui interviennent dans cet exercice. Inspire-toi du cours pour calculer ces distances, l’une d’entre elles fera intervenir le Théorème de Pythagore, c’est pourquoi je conseille de calculer le carré de ces distances (pour éviter les racines), comme nous l’avons fait en cours pour une autre parabole.
Exercice 8. Il est demandé ici de représenter les données dans un diagramme cartésien. Il s’agit donc d’utiliser ce que nous avons appelé un système d’axes. On pourra indiquer les années sur l’axe des abscisses et le nombre d’accidents sur celui des ordonnées. N’oublie pas d’indiquer sur les axes, le nom de la variable et l’échelle.
Exercice 9, partie 6. On rencontre ici une droite sous une forme différente (2x -3y + 6 = 0) de ce que nous avons vu jusqu’ici. Pour cet exercice il n’est pas nécessaire de transformer cette équation en une forme plus familière, mais on pourrait isoler d’abord le terme en y et obtenir
3y = 2x + 6
puis diviser le tout par 3 pour se ramener à notre forme favorite
y = 2/3 x + 2
Pourquoi est-ce notre forme favorite? C’est qu’on voit ici cette droite comme le graphe de la fonction
f(x) = 2/3 x + 2
En fait, sans faire le raisonnement ci-dessus, on vérifie qu’un point de coordonnées (a; b) appartient à cette droite en introduisant ces coordonnées dans l’équation qui définit la droite, c’est-à-dire en vérifiant qu’on a bien l’égalité 2a -3b + 6 = 0. Par exemple le point (-6; -2) appartient à la droite car 2•(-6) -3•(-2) + 6 = 0.
Cours 22 du 6 mars
Le film de cette semaine dure 9 minutes et concerne les opérations sur les fonctions: somme, différence, produit et quotient. Certains exemples de la vidéo sont déjà dans le fascicule, mais vous pouvez prendre note des autres (la différence de f et g autour de la minute 3′ et le calcul de certains points du graphe de la fonction h de la fin du film). Ces notions, qui apparaissent pages 60 et 61 dans le fascicule (chapitre 6, section 3), seront utilisées pour manipuler et transformer des équations.
MiniSerie21 du 20 février
Exercice 3-7. Ce sont des problèmes de test, faites-les soigneusement et vérifiez vos solutions!
3. (1) Il s’agit d’une règle de trois. (spoiler: on trouve 20 minutes).
4. On trouve deux solutions, n’oubliez pas que l’un des chapitres de ce cours concerne les racines!
5. Utilisez les règles de commutativité, d’associativité, de distributivité et les identités remarquables pour avancer plus vite et sans faire de fautes d’inattention. Regardez aussi le degré des polynômes pour voir si le résultat final est cohérent avec la donnée (dans la partie (3) par exemple on voit au départ que la solution sera un polynôme de degré 4). Attention: Par convention le degré du polynôme nul vaut -∞, si bien que l’égalité deg(fg) = deg(f) + deg(g) est aussi valide lorsque f=0. En effet on pose -∞ + n = -∞ pour tout entier naturel n.
6. Souvenez-vous de la différence entre racines paires et impaires, relisez la théorie pour comparer vos démonstrations avec celles du cours.
Un autre problème de test. Le 14 septembre 2015 les chercheurs du LIGO annoncent avoir détecté des ondes gravitationnelles produites par la collision, puis la fusion de deux trous noirs, ce qui serait également la première preuve directe de l’existence des trous noirs. Les ondes gravitationnelles qui se propagent perpendiculairement à un cercle de particules déforment celui-ci par un facteur h. Ceci signifie qu’un cercle de diamètre se comprime et s’étire de r • h.
(1) (7 points) Sachant que le diamètre de la Terre est d’environ 13’000 km et qu’on estime que le facteur h = 10-20, calcule la déformation en millimètres que subirait un cercle de particules 13’000 fois plus grand que la Terre. Ecris toutes les étapes de ton raisonnement et de ton calcul en notation scientifique.
(2) (5 points) La masse du soleil est de 1,9984 · 1030 kg. Approxime 1,9984 au centième.
(3) (7 points) Les deux trous noirs, de respectivement 29 et 36 masses solaires, se trouvaient à 1,3 milliard d’années-lumière de la Terre. Lors de la collision, l’équivalent de trois masses solaires est alors converti en ondes gravitationnelles. Sachant que la masse de la Terre est environ un million de fois plus petite que trois masses solaires, calcule la masse de la Terre en kg. Utilise la notation scientifique et l’approximation trouvée en (2) pour les calculs.
Spoiler: (1) 1,69 · 10-6 (2) 2,00 (3) 6,00 · 1024
Cours 21 du 15 février
Retour sur l’injectivité et la surjectivité d’une fonction, du point de vue de la représentation graphique. Dessinez les graphes qu’on voit dans le film dans l’espace prévu de la page 44, je pense que cela aide bien visuellement pour comprendre la signification de ces droites horizontales dont je vous parle dans le film; nous ne reviendrons que rapidement sur ce sujet puisque nous avons déjà découvert ces caractérisations graphiques ensemble en classe!
Serie20 du 7 février
Exercice 3. L’association « traverse » prend une rivière d’Europe, disons le Rhône, et lui associe les villes d’Europe qu’elle traverse. Dans ce cas il s’agira de Brig, Sion, Genève, Montélimar, Valence, Avignon, etc… Est-ce que c’est une fonction? L’image d’une rivière n’est pas bien définie, il y a en général plusieurs villes traversées par une seule et même rivière.
Exercice 6. 2.2.9. Etant donné deux ensembles E et F, on demande de trouver toutes les fonctions f:E → F ou de les compter lorsque les ensembles sont « grands ». Commençons par un exemple qui n’est pas dans la liste de l’exercice, mais plus simple. Supposons que l’ensemble E est constitué d’un seul élément a, E={a}. Si F={g, h}, combien de fonctions y a-t-il de E vers F? Une fonction étant complétement déterminée par l’image de l’élément a, il y a exactement deux fonctions, celle qui envoie a sur g et celle qui envoie a sur h. D’accord?
Que se passe-t-il maintenant si E={a, b}? Une fonction de E vers F est la donnée de deux images, celle de a et celle de b. Or toutes deux peuvent prendre des valeurs arbitraires dans F, soit g, soit h. Il y a donc exactement quatre fonctions E → F. La première, f1 : E → F, est donnée par f1 (a) = g,
f1 (b) = g. La deuxième, f2 : E → F, est donnée par f2 (a) = g, f2 (b) = h. La troisième, f3 : E → F, est donnée par f3 (a) = h, f3 (b) = g. Et la quatrième?
Je vous laisse regarder ce qui se passe si on ajoute encore un élément c à l’ensemble {a, b}. Il y a trois éléments dans l’ensemble de départ qui peuvent prendre n’importe quelle valeur dans F. N’y aurait-il pas 23 fonctions?
Pour terminer l’exercice je vous propose de trouver d’abord une formule qui donne le nombre de fonctions de E vers F en fonction du nombre d’éléments de E et de F, puis de les écrire toutes lorsque cela est demandé. Plutôt que de rédiger un texte comme je le fais ici, je préfère que vous écriviez chaque fonction en notation mathématique, en indiquant par exemple pour la deuxième fonction ci-dessus
f2 : E → F
a ↦ g
b ↦ h
en faisant bien attention d’utiliser la flèche simple pour indiquer une fonction et la flèche précédée d’une barre pour indiquer un élèment et son image.
Exercice 9. C’est toujours mieux de justifier, car parfois on répond juste pour des raisons erronées, ou inexactes, ou un peu vagues, et cela vaut la peine de mettre le doigt sur une raison claire et précise. Ici quelques mots suffisent en général. Par exemple pour la première fonction on dira peut-être qu’elle n’est pas surjective car personne dans la classe n’a 346 ans, et qu’elle n’est pas injective non plus car vous êtes plusieurs à avoir 13 ans. Etc.
Mini-Série 21. Prenez le temps de déjà regarder les exercices de test 3, 4, 5, 6 et 7, ceci pour pouvoir poser vos questions le 20 février puisque le prochain test aura lieu le 6 mars.
Bon travail!
Cours 20 du 8 février
Le film de 12 minutes de cette semaine concerne les notions d’injectivité et de surjectivité des fonctions. Nous étudierons encore les fonctions et leur représentation en classe avant de revenir sur ces notions peut-être un peu abstraites et nouvelles. Les trois premières minutes reviennent sur ce que nous avons vu en cours. L’exemple (3’00-3’30 ») est à écrire au bas de la page 34 (exemple 1.5). Les exemples des minutes 5′-7′ ressemblent à ceux dont nous parlerons en classe, il ne sont pas à recopier. Familiarisez-vous par contre avec la notion d’injectivité et de surjectivité grâce à ces exemples qui sont repris dès la minute 8’30 » et jusqu’à la fin de la vidéo.
Serie19 du 1er février
Exercice 6 (b). Pour écrire la preuve de cette affirmation je vous propose de commencer par écrire ce que cela signifie pour un polynôme f d’être inversible. Par définition (de l’inverse) il existe un polynôme g tel que f •g = 1. Puisque le degré d’un produit de deux polynômes est égal à la somme des degrés de ces polynômes (Proposition 3.2), je vous laisse en déduire que le degré de f doit être égal à zéro. Je vous laisse aussi relire la Définition 1.8 (du degré) pour conclure que f est un nombre.
Exercice 6 (c) et (d). Je rappelle que deux polynômes sont égaux si et seulement si, sous forme réduite, ils ont les mêmes coefficients. Ainsi pour la partie c) page 4, on calculera d’abord h2 sans oublier le double produit, puis on comparera les coefficients monôme par monôme.
Exercice 12. On demande de remplir des murs de briques de polynômes, tout comme vous avez rempli par le passé des murs de briques de nombres (entiers, rationnels ou réels). Regardons par exemple le dernier mur. La recette est donnée par la formule 2P-M. Si deux briques adjacentes contiennent les polynômes P=2x2 et M=x2 -1 de gauche à droite, alors on calcule simplement
2P-M = 2 . 2x2 -(x2 -1) = 3x2 +1
Un peu plus difficile: si on connaît le résultat, par exemple 0 dans ce mur et qu’on voit en-dessous à droite le polynôme 2x2 alors on cherche le polynôme P tel que 2P-2x2 = 0. Autrement dit P vaut la moitié de 2x2.
Exercice supplémentaire. C’est un problème d’un test d’une année précédente. Je ne peux que vous conseiller d’être systématiques et attentif aux opérations et aux signes. Attention aux plus qui deviennent des fois, aux moins qui disparaissent! Si c’est de la distraction due à la fatigue en fin d’après-midi après deux heures de cours intensives, ce n’est peut-être pas grave, mais il ne faut pas se laisser impressionner par la présence de toutes ces indéterminées, vous savez multiplier des sommes de nombres! La consigne est d’écrire le polynôme suivant sous forme réduite, de donner le degré et la partie littérale de chaque terme:
(x+y2z)xyz(2x -2zx) + 2(x2y3z3 – x2yz)
Si cela peut vous aider, sortez de la grande formule la partie par laquelle vous souhaitez commencer, cela pourrait être ici
(x+y2z)xyz
que vous allez développer d’abord par distributivité, puis simplifier par commutativité, pour obtenir une expression réduite.
Je vous laisse finir ce calcul et l’exercice. Bon travail!
Serie18 du 30 janvier
Exercice 3.(1) Voici un autre exemple que celui que nous avons vu en classe. Nous avons vu en cours que la racine carrée d’un nombre réel existe si et seulement si celui-ci est positif (ou nul). Ainsi la racine carrée de ab existe si le produit ab est positif (ou nul). Il faut et il suffit donc que les nombres a et b aient le même signe.
Exercice 6, partie 5. La question n’est pas très bien posée dans ce manuel. On aimerait comparer les nombres a+b et la racine carrée de a2 + b2 . Je vous propose de plutôt regarder des nombres réels a et b strictement positifs ici! Il s’agit donc de dire laquelle des deux expressions est plus grande (strictement?).
Exercice 8, partie 16. Pour rendre rationnels un dénominateur d’une fraction comme la troisième (« 1 sur racine cinquième de 4 »), nous avons appris à amplifier la fraction par le bon nombre. Dans le cas présent il s’agira du seul nombre ayant la propriété de donner 4 lorsqu’on le multiplie par 41/5, c’est-à-dire 44/5 puisque les puissances s’ajoutent lorsqu’on multiplie des puissances d’un même nombre:
41/5 • 44/5 = 45/5= 4
N’oubliez pas de simplifier la réponse si c’est possible! N’oubliez pas non plus, avant de vous lancer dans de longs calculs, de regarder si on ne peut pas avant toute chose effectuer des simplifications à l’aide des propriétés des racines, comme c’est le cas de la partie (6): quotient de racines cubiques = racine cubique du quotient.
Exercice 10, partie 21. On propose ici de transformer chaque racine de puissance ou puissance de racine par une puissance fractionnaire. Ainsi dans (3) on a d’abord a•a1/2 = a3/2 car les puissances s’additionnent. On doit calculer la racine cubique de ceci, c’est-à-dire: (a3/2)1/3 = a1/2. On peut alors retourner si souhaité à l’écriture sous forme de racine puisqu’il s’agit ici de la racine carrée de a.
Exercice 12 (i). Si n est un nombre naturel, quels sont les deux nombres naturels consécutifs? Il s’agit de n+1 et de n+2. La phrase en question traduit par conséquent l’expression mathématique n+ (n+1) + (n+2). J’aimerais encore que vous réduisiez cette expression polynomiale!
Cours 18 du 30 janvier
Le cours de cette semaine définit et étudie les puissances rationnelles. Le film de 14 minutes démarre avec les rappels de notation pour les puissances et les racines et introduit la notion de puissance rationnelle, où l’exposant peut être un nombre rationnel. La démonstration centrale du résultat expliqué autour de la minute 4 est à recopier dans vos cahiers à la page 21!
Serie17 du 23 janvier
Exercice 1. NO196: Pour la première partie je pense que l’inventeur de cet exercice pensait à la mise en évidence de la puissance la plus petite (et la distributivité donc). Ainsi pour calculer 33+32 on met en évidence 32 pour obtenir 32(3+1) = 32 • 4. Les autres parties font appel à des propriétés des puissances entières que nous avons vues en cours.
NO197 (k): Je propose de modifier en ajoutant des parenthèses pour que la priorité des opérations soit claire: (22)3. Comparez ce calcul à celui demandé en (l). Lisez bien la donnée et n’oubliez pas d’écrire les réponses sous la forme demandée, proprement, pour votre correcteur.
Exercice 3. On corrigera les égalités fausses. Par exemple la dernière est fausse car il manque le double produit. On pourrait donc corriger en écrivant l’égalité vraie: 42 + 2 • 4 • 3 + 32= 72 ou aussi (4 + 3)2= 72.
Exercice 8, partie 5. On demande de démontrer que les fractions de nombres réels peuvent aussi être simplifiées. On considère donc une « fraction » dont le numérateur est nombre réel x et le dénominateur un nombre réel non nul y. En divisant chacun d’eux par un troisième nombre z, non nul, on obtient une nouvelle fraction de nombres réels. Pour montrer que ces deux nombres sont égaux, il suffit de vérifier que les produits croisés coïncident: Est-ce que (x:z) . y = (y:z) . x? Je vous demande de vérifier cela en n’utilisant que des propriétés des opérations dans R. Il pourra être utile de se souvenir que diviser c’est multiplier par l’inverse!
Cours 17 du 23 janvier
Le film de cette semaine, de quatorze de minutes, introduit les puissances entières et concerne les pages 15-. Les trois premiers exemples sont à inscrire au bas de la page 15 et les suivants (puissances impaires) sur le haut de la page 16. Nous ferons en cours la démonstration des propriétés (1) et (5) de la Proposition 1.3 et ne reviendrons pas sur la propriété (4) qui est montrée dans le film. L’exemple qui suit est l’Exemple 1.4 que je ne referai pas non plus et vous recopierez en dessous les exemples suivants. Enfin la fin de la vidéo concerne les identités remarquables, Proposition 1.5, écrivez la preuve de (2) dans l’espace prévu au bas de la page 17. Regardez donc attentivement cette vidéo et posez vos questions au début du cours avant que nous n’allions plus loin.
Serie16 du 16 janvier
Exercice 5. Dans cet exercice et dans d’autres on demande de choisir judicieusement l’un des axes de symétrie parmi les deux symétries qui composent une rotation. Qu’avons-nous vu en cours? On peut choisir le premier axe de manière arbitraire, pourvu bien sûr qu’il passe par le centre de rotation O. Disons que nous avons choisi un axe a. Comment trouver ensuite l’axe de la deuxième symétrie? Il suffit pour cela de choisir un point A sur a différent de O, de construire (avec le compas et la règle) l’image A’ de ce point par la rotation. L’axe b sera alors nécessairement la médiatrice du segment [AA’] puisque la composition des deux symétries Sb o Sa emmène A sur A’.
Et si on préfère choisir le deuxième axe d’abord, disons b? Il faut alors choisir pour a la médiatrice de [B’B] où B est un point de b différent de O et B‘ est la préimage de B par R, c’est-à-dire que R(B’) = B.
Enfin, pour comprendre pourquoi R’o R est une rotation, il faut justement bien choisir les axes des symétries qui permettent de décrire l’une des deux rotations, par exemple R’. En effet si on écrit R’o R = Sd o Sc o Sb o Sa on ne voit rien… Par contre choisissons b comme axe de la première symétrie, si bien qu’il existe une droite e, passant également par O, telle que R’ = Sd o Sb . Je vous laisse calculer R’o R!
Exercice 10. On demande de démontrer que la racine carrée de 3 n’est pas un nombre rationnel. Ne lisez pas ceci si vous préférez trouver par vous-même le lemme qui permettra d’adapter la démonstration du cours! Au lieu de concerner des nombres pairs et impairs, c’est-à-dire des multiples de 2 ou non, il s’agit ici de travailler avec des multiples de 3. Il faut donc démontrer préalablement que si a2 est un multiple de 3, alors le nombre entier a est aussi un multiple de 3. Pour le démontrer je vous propose de vous baser sur un résultat qui suit du Théorème Fondamental de l’arithmétique: si un nombre premier p divise un produit ab, alors p divise forcément soit a, soit b.
Une autre manière de dire les choses est que si a s’écrit comme produit de nombre premiers a=p1p2…pk alors a2 possède les mêmes facteurs premiers.
Cours 16 du 16 janvier, partie 2
Voici une vidéo de 15 minutes pour démontrer que la racine carrée de 2 n’est pas un nombre rationnel. La preuve se fait par l’absurde et repose sur un lemme que nous démontrons par contraposition. La film se termine avec une explication sur les lacunes de Q. Je ne vous demande pas de prendre de notes, les preuves seront rédigées en classe. Par contre il est important de déjà avoir pris connaissance de ces preuves, elles sont très importantes, non seulement à cause du résultat mathématique, mais aussi pour les techniques de démonstration qu’elles illustrent.
Attention
Les indications qui suivent datent de 2018! Elles vont être actualisées cette année!
Solutions des exercices de préparation
1. S={5}
2. S=Ø
3. Si a=1 alors S=Ø, sinon S={(a-4)/(2a-2)}
4. Si a=1 alors S=R, sinon S={1/2}
Relation. Le graphe de la relation R a été vu en cours, c’est le symétrique par rapport à la diagonale de la fonction valeur absolue, attention de ne pas mélanger x et y! Pour composer R et S, on remarque qu’un nombre négatif x n’est en relation avec personne, mais que pour un nombre positif x on a xRx et xR(-x). On se demande maintenant avec qui x et -x sont en relation pour la relation S. Par définition xSz si x2=z3 et (-x)Sz si (-x)2=z3 . Dans les deux cas z est la racine cubique de x2. Autrement dit x négatif n’est en relation avec personne, mais x positif ou nul est en relation avec x3/2. C’est une fonction sur R+. Nous connaissons cette fonction injective, qui ne prend que des valeurs positives et n’est donc pas surjective.