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Hans Walser, [20180210]
Wrfelhalbierung mit hyperbolischem Paraboloid
Der Wrfel mit den Eckpunktkoordinaten wird durch das hyperbolische Paraboloid aus Symmetriegrnden halbiert (Abb. 1).
Abb.1: Halbierung des Wrfels
Die Abbildung 2a zeigt einen Ausschnitt, die Abbildung 2b denselben Ausschnitt um 90¡ gedreht. Die Krmmung der Flche ist in dieser Ansicht nicht mehr so gut erkennbar. Der kleine Wrfel des Ausschnittes wird natrlich nicht mehr durch das hyperbolische Paraboloid halbiert.
Abb. 2: Ausschnitt
Die Abbildung 3 zeigt einen anderen Ausschnitt.
Abb. 3: Anderer Ausschnitt
Die beiden Ausschnitte ergnzen sich gegenseitig zum kleinen Wrfel.
In der Abbildung 4 sind diese beiden Ausschnitte neu im Wrfel angeordnet.
Abb. 4: Anordnung im Wrfel
Wir drehen nun Kopien dieser Konfiguration um die Wrfeldiagonale von hinten unten nach vorne oben um ±120¡ (Abb. 5).
Abb. 5: Drehen um eine Wrfeldiagonale
Um die rumliche Situation besser zu erkennen, drehen wir die Gesamtkonfiguration um eine senkrechte Achse um 90¡ (Abb. 6).
Abb. 6: Andere Sicht
Wir sehen, dass ein Wrfelchen ãfehltÒ. Das ist auch richtig, denn wir haben insgesamt sechs kleine Wrfel verarbeitet. Links unten und rechts oben fehlt ein Wrfelchen. Das rechts oben ist in den Wolken, aber den links unten knnen wir ergnzen (Abb. 7).
Abb. 7: Ergnzung zum gro§en Wrfel
Wir haben nun erneut eine Wrfelhalbierung. Die Trennflche ist aus sechs kongruenten Stcken von hyperbolischen Paraboloiden zusammengesetzt.
Wir kleben nun acht Exemplare des Krpers der Abbildung 7 Rcken an Rcken, das hei§t an den blauen Flchen zusammen. Dadurch entsteht ein Stern mit zwlf Spitzen (Abb. 8).
Abb. 8: Stern mit zwlf Spitzen
Der Stern passt in einen doppelt so gro§en Wrfel. Die Spitzen sind an den Kantenmitten. Der Stern halbiert den gro§en Wrfel.
Der Stern ist ein Raumfller. Wir knnen den Raum lckenlos und berlappungsfrei mit solchen Sternen auffllen. Die Packung ist kubisch raumzentriert.
Die Abbildung 9 zeigt eine kubische Anordnung.
Abb. 9: Sternenpackung
Die Abbildung 10 zeigt eine pyramidale Anordnung.
Abb. 10: Pyramide