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170 Gramm wiegt eine Billardkugel, so will es die Norm, jedenfalls beim Poolbillard. Stell dir vor, du hast neun Kugeln vor dir – und eine davon ist geringfügig leichter als die anderen.
Du musst herausfinden, welche es ist. Alles, was dir dafür zur Verfügung steht, ist eine einfache Balkenwaage, mit der du Gewichte vergleichen kannst.
Schaffst du es, die leichtere Kugel in nur zwei Wägevorgängen zweifelsfrei zu bestimmen?
Zuerst teilst du die neun Billardkugeln in drei Gruppen (nennen wir sie A, B und C) zu je drei Kugeln ein.
Du vergleichst das Gewicht von Gruppe A mit Gruppe B, die restlichen drei Kugeln von Gruppe C lässt du zunächst auf der Seite. Es gibt zwei Möglichkeiten:
• Die Waage ist im Gleichgewicht.
Die Kugeln von Gruppe A und B sind daher alle gleich schwer. Die gesuchte Kugel muss sich also in Gruppe C befinden.
• Die Waage ist nicht im Gleichgewicht.
Die gesuchte Kugel muss sich daher, da sie leichter ist, in derjenigen Waagschale befinden, die nach oben gegangen ist. Hier im Beispiel ist sie also eine der Kugeln von Gruppe A.
Falls die Waage beim ersten Wägen im Gleichgewicht war, nimmst du zwei Kugeln aus Gruppe C (nennen wir sie C1 und C2) und vergleichst deren Gewicht auf der Waage; die dritte (C3) lässt du auf der Seite. Auch hier gibt es zwei Möglichkeiten:
• Die Waage ist im Gleichgewicht.
Kugel C1 und C2 sind gleich schwer; die gesuchte Kugel muss C3 sein.
• Die Waage ist nicht im Gleichgewicht.
Die gesuchte Kugel ist mithin jene, die sich in der oberen Waagschale befindet. Hier im Beispiel also Kugel C1.
Falls die Waage beim ersten Wägevorgang nicht im Gleichgewicht war, nimmst du zwei Kugeln aus jener Gruppe, die sich in der oberen Waagschale befand und gehst ansonsten vor wie oben mit Gruppe C beschrieben.
Auch dieses Rätsel beleidigt deine Intelligenz, weil es viel zu leicht ist? Gut, du hast es nicht anders gewollt! Nimm dies:
Du hast zwölf Billardkugeln vor dir. Eine davon weicht im Gewicht geringfügig von den anderen ab – du weisst aber nicht, ob sie leichter oder schwerer ist. Wieder steht dir eine einfache Balkenwaage zur Verfügung. Diesmal hast du drei Wägeversuche. Welche Kugel hat ein anderes Gewicht – und ist sie leichter oder schwerer?
Die Lösung für dieses Rätsel findest du entweder in den Kommentaren (zahlreiche korrekte Lösungswege sind dort inzwischen gepostet worden) oder gleich hier:
Erneut bildest du drei Gruppen: A, B und C. Diesmal enthält jede 4 Kugeln.
Du vergleichst das Gewicht von Gruppe A mit Gruppe B, die restlichen vier Kugeln von Gruppe C lässt du zunächst auf der Seite. Es gibt drei Möglichkeiten:
1. Die Waage ist im Gleichgewicht.
Die Kugeln von Gruppe A und B sind also alle gleich schwer. Die gesuchte Kugel muss sich daher in Gruppe C befinden. Sie kann leichter oder schwerer sein.
2. Die A-Kugeln sind oben.
Falls die gesuchte Kugel leichter ist, muss sie sich in Gruppe A befinden. Falls sie dagegen schwerer ist, befindet sie sich in Gruppe B. Die Kugeln von Gruppe C sind auf jeden Fall normalgewichtig.
3. Die A-Kugeln sind unten.
Hier gilt dasselbe wie unter 2., aber mit vertauschten Rollen. Diesen Fall verfolgen wir deshalb nicht weiter; der Lösungsweg ist ja derselbe wie unter 2.
• Nach Fall 1 (die Waage war beim ersten Wägen im Gleichgewicht) nehmen wir 3 Kugeln der Gruppe C und vergleichen sie mit 3 Kugeln der Gruppe A oder B. Die restliche C-Kugel (C4) lassen wir auf der Seite. Es gibt drei Möglichkeiten:
1.1. Die Waage ist im Gleichgewicht.
Die gewogenen 3 C-Kugeln sind also normalgewichtig. Die gesuchte Kugel ist C4. Wir wissen aber noch nicht, ob sie schwerer oder leichter ist.
1.2. Die 3 C-Kugeln sind oben.
Die gesuchte Kugel ist unter den 3 C-Kugeln. Zugleich wissen wir jetzt, dass sie leichter ist.
1.3. Die 3 C-Kugeln sind unten.
Die gesuchte Kugel ist unter den 3 C-Kugeln. Zugleich wissen wir jetzt, dass sie schwerer ist.
• Nach Fall 2 (die A-Kugeln waren oben) gehen wir anders vor: Wir nehmen 3 Kugeln von Gruppe A plus 1 Kugel von Gruppe B (B1). Diese 4 Kugeln vergleichen wir mit 3 normalgewichtigen C-Kugeln und der restlichen A-Kugel (A4). 3 B-Kugeln lassen wir auf der Seite. Wir wissen dabei, dass die A-Kugeln potenziell leichter, die B-Kugeln dagegen potenziell schwerer sind. Es gibt drei Möglichkeiten:
2.1. Die Waage ist im Gleichgewicht.
Die gesuchte Kugel muss sich unter den 3 B-Kugeln auf der Seite befinden. Wir wissen jetzt auch, dass sie schwerer sein muss.
2.2. Die 3 A-Kugeln plus B1 sind oben.
In diesem Fall muss sich die gesuchte Kugel unter den 3 A-Kugeln befinden. Damit wissen wir auch, dass sie leichter ist. B1 kann es nicht sein, weil sie nur schwerer sein könnte; A4 kann es nicht sein, weil sie nur leichter sein könnte.
2.3. Die 3 A-Kugeln plus B1 sind unten.
In diesem Fall ist die gesuchte Kugel entweder B1 oder A4.
• Nach Fall 1.1. müssen wir nur noch bestimmen, ob C4 leichter oder schwerer ist. Wir vergleichen sie zu diesem Zweck mit einer beliebigen anderen Kugel.
• Nach Fall 1.2. nehmen wir 2 der 3 C-Kugeln und vergleichen sie miteinander. Bei Gleichgewicht ist es die 3., restliche Kugel. Wir wissen bereits dass sie leichter ist. Bei Ungleichgewicht ist es die leichtere der beiden Kugeln.
• Nach Fall 1.3. gehen wir genau gleich vor, aber diesmal ist die gesuchte Kugel natürlich schwerer.
• Nach Fall 2.1. tun wir dasselbe mit den 3 B-Kugeln, von denen wir bereits wissen, dass eine von ihnen schwerer ist.
• Nach Fall 2.2. gehen wir mit den 3 A-Kugeln so vor. Hier ist die gesuchte Kugel leichter, wie wir wissen.
• Nach Fall 2.3. vergleichen wir A4 mit einer beliebigen anderen Kugel (ausser B1). Bei Gleichgewicht ist die gesuchte Kugel B1 und damit schwerer. Bei Ungleichgewicht ist es A4, die leichter ist.