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(Teil 1)
Spielend Mathematik erforschen
Würfel faszinieren. Auch die Kinder einer 5. Klasse sind gespannt, was sie in den dafür vorgesehenen zwei Lektionen mit Würfeln erwartet. Von Hansruedi Hediger.
Zufall oder nicht?
Zu Beginn würfelt jedes Kind einmal, und die Resultate der ganzen Klasse werden in einem Säulendiagramm auf der Tafel sichtbar gemacht: Es ist reiner Zufall, welche Zahl man würfelt, und somit auch, welche Zahl am meisten oder am wenigsten vorkommt. Ist es auch so, wenn 600-mal gewürfelt wird? Gemeinsam gehen die Schülerinnen und Schüler an die Arbeit. Mithilfe einer Tabelle werden die Resultate zusammengetragen. Deutlich wird in der Grafik die gleichmässigere Verteilung der gewürfelten Augen sichtbar. Das Fazit ist für alle klar: Je öfter man würfelt, desto mehr gleicht sich die Anzahl der gewürfelten Zahlen an. Der Zufall scheint einer Gesetzmässigkeit zu weichen.
Einen eigenen Würfel entwickeln
Würfeln zwei Personen gegeneinander, bestimmt natürlich wiederum der Zufall, wer die höhere Augenzahl würfelt. Nun soll aber ein eigener Würfel entworfen werden, der beim Würfeln andere Würfel schlägt. Dabei soll die Augensumme wie bei einem normalen Würfel 21 betragen. Dieser Auftrag löst Diskussionen und Fragen aus:
- Ist es besser, die 21 Augen möglichst gleich- mässig auf die sechs Würfelseiten zu verteilen?
- Ist es sinnvoll, Nuller zu setzen?
- Ist der «normale» Würfel der stärkste oder gibt es einen stärkeren?
- Welche Würfel sind stark und wie sieht man es ihnen vorher an? Antworten soll das Erproben der eigenen Würfel liefern.
- Wie oft soll man gegeneinander würfeln, damit das Resultat möglichst aussagekräftig wird und nicht vom Zufall abhängt?
Die Schüler und Schülerinnen schreiben die Überlegungen auf, mit denen sie zur persönlichen Verteilung der Augenzahlen kommen.
Yara: «Ich habe fünfmal die Vier und noch eine Eins genommen, weil die Vier zu den grösseren Zahlen von 1 bis 6 gehört.»
Fabio: «Ich habe viermal die Fünf gewählt, einmal die Eins und einmal die Null. Ich finde das recht gut. Ich habe probiert, dass es möglichst keine Null hat.»
Julian: «Ich habe gedacht, wenn man möglichst viele gleiche Zahlen hat, ist die Möglichkeit zu gewinnen grösser, als wenn man zum Beispiel zwei Sechser hat und eine paar kleine Zahlen.»
Laura: «Ich denke wegen den zwei Sechsern und dem Fünfer ist mein Würfel gut.»
Abel: «Wenn ich auf vier Seiten Fünfer setze, dann kommen beim Würfeln mehr Fünfer vor als Nuller oder Einer, mit denen ich andere Zahlen schlagen kann.»
Nun werden die eigenen Würfel hergestellt und anschliessend im Spiel getestet. Die Lehrperson spielt mit einem Normwürfel. Niemand sonst hat nämlich diesen gewählt. Die Spannung ist gross. Jedes Kind möchte mit seinem Würfel natürlich gegen die anderen gewinnen und somit den Beweis haben, dass seine Überlegungen die richtigen waren.
Fakten sammeln, Fragen stellen
Bald zeigt sich, dass es wirklich stärkere und schwächere Würfel gibt. Gesichert sind die Resultate aber nicht, dazu bräuchte man mehr Zeit und genügend Spiele, damit jeder Würfel gegen jeden getestet werden kann.
In der Schlussdiskussion wird trotzdem einiges geklärt:
- Der ganz unausgewogene Würfel mit drei Nullen, einer Acht, einer Sieben und einer Sechs hat gegen die meisten anderen verloren.
- Starke Würfel haben gegen viele gewonnen, aber auch gegen einzelne verloren.
- Der Normwürfel schnitt recht gut ab.
- Der Würfel mit der regelmässigsten Verteilung der Augenzahlen (3, 3, 3, 4, 4, 4) war nicht immer der stärkere.
Jeder Schüler und jede Schülerin darf zum Schluss eine Frage aufschreiben, die in der nächsten Lektion durch die Lehrperson beantwortet wird. Das Interesse ist geweckt, die Ausgangslage zum weiteren Erforschen ideal.
- Wieso sind auf dem gewöhnlichen Würfel Punkte und nicht Zahlen?
- Wann wurden Würfel erfunden?
- Hatten die immer sechs Flächen?
- Gibt es einen Würfel mit 50 Flächen?
- Kann man vorher wissen, ob ein Würfel gegen einen anderen gewinnt?
- Gibt es wirklich einen stärksten 21er-Würfel?