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Hans Walser, [20080110a]
Mbiusbnder
Anregung: E. A. F., B. und [Kroll 2007]
Das Mbiusband wird so modifiziert, dass es (mit Selbstdurchdringung) in der Einheitskugel liegt.
Wendelflche im Zylinder
Die Wendelflche hat drei ãDoppeltwistsÒ.
Wir biegen den Zylinder zum Torus
Die ãverbogeneÒ Wendelflche hat die Parameterdarstellung:
In unserem Beispiel ist ; das ist der Radius des Kreises in der Torusseele. Weiter ist . Dies sehen wir daran, dass wir drei ãDoppeltwistsÒ haben.
Wir variieren nun die Werte und .
Fr ergibt sich ein halber Doppeltwist, also ein einfacher Twist. Das ist das so genannte Mbius-Band.
Mbiusband,
Das Mbiusband ist nicht orientierbar, wie aus dem brutalen Farbwechsel links unten ersichtlich ist.
Fr erhalten wir eine orientierbare Flche.
Orientierbare Flche,
Fr ergibt sich wiederum eine nicht orientierbare Flche, also ein verallgemeinertes Mbiusband.
Verallgemeinertes Mbiusband,
Wie ist es bei ?
, es geht nicht auf
Nach zwei Umgngen geht es dann auf. Wir erhalten ein Super-Mbiusband mit kreuzfrmigem Querschnitt. Es ist nicht orientierbar.
, mit zwei Umgngen
Fr braucht es drei Umgnge; die Flche ist orientierbar. Der Querschnitt der Figur sieht aus wie die drei Mittelpunktsdiagonalen eines regelm§igen Sechseckes.
, mit drei Umgngen
Allgemein gilt fr eine gekrzte rationale Zahl : nach einem Umgang haben wir vor Ort eine Verdrehung im . Falls q ungerade ist, schlie§t sich die Flche nach q Umgngen und ist orientierbar. Falls q gerade ist, schlie§t sich die Figur nach Umgngen, ist aber nicht orientierbar.
Wir setzen in der Parameterdarstellung ; wir arbeiten also mit:
Dann liegt die Flche in der Einheitskugel.
Fr ergibt sich:
Mbiusband in der Kugel
Das ãBandÒ ist nicht orientierbar, wie der Frbung glauben drfen, welche aus der Parametrisierung der Flche hervorgeht. Wenn wir allerdings das Zentrum entfernen, bleibt eine zusammenhngende orientierbare Flche brig. Einen analogen Sachverhalt kennen wir vom gewhnlichen Mbiusband, wenn wir es lngs der Mittellinie entzweischneiden wollen.
Zentrum entfernt
Fr mit zwei Umgngen erhalten wir:
, zwei Umgnge
Fr ergibt sich der so genannte vivianische Kegel ([Kroll 2007], S. 16).
, vivianischer Kegel
Schlie§lich noch fr und in je zwei Ansichten.
Literatur
[Kroll 2007] Kroll,
Wolfgang: Rumliche Kurven und Flchen in phnomenologischer Behandlung. © 2007
by Wolfgang Kroll, Marburg. ISBN 978-3-00-021836-1
http://www.sciface.com/education/data/more/krollkuf/index.html