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Lösung zu Volumenänderungsrate
Aus SystemPhysik
Volksschule
- Der Abwart kennt die Füllzeit des Brunnens aus seiner Erfahrung. Er ist der Praktiker und wir sind die Theoretiker.
- 80% eines Kubikmeters sind 800 Liter.
- Pro Minute fliessen 5 Liter und 7 Deziliter in den Trog hinein. Die Volumenänderungsrate beträgt also 5.714 Liter pro Minute.
- Der Brunnentrog ist nach 175 Minuten oder zwei Stunden und 55 Minuten voll.
Mittelschule
- Der Inhalt ändert sich quadratisch mit der Zeit. Folglich ist die Änderungsrate der Füllhöhe, die Geschwindigkeit des Wasserspiegels, eine lineare Funktion der Zeit.
- Die Lösung der quadratischen Gleichung liefert für h=0 eine Zeit von 50s.
- Nach zwanzig Sekunden ist das Gefäss noch 57.6 cm hoch gefüllt.
- Die Sinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels ist die Änderungsrate der Füllhöhe [math]\dot h = -a + 2bt[/math]. Setzt man in diese Funktion eine Zeit von zwanzig Sekunden ein, erhält man -3.84 cm/s. Wer die Ableitungsregeln für Polynome noch nicht beherrscht, berechnet den Füllstand ein wenig vorher und kurz nachher, bestimmt die Differenz und dividiert diese durch den Zeitunterschied.
- Die Stärke des ausfliessenden Stromes ist gleich der Volumenänderungsrate, also gleich der Geschwindigkeit des Wasserspiegels mal den Querschnitt des Gefässes. In Zahlen ausgedrückt ist die Volumenstromstärke bezüglich des Gefässes gleich -7.68 Liter pro Sekunde.
- Die Änderungsrate ist definiert als Volumen nachher minus Volumen vorher dividiert durch die benötigte Zeit.
- Die Änderungsrate entspricht der Steigung der Kurve im V-t-Diagramm. Die Steigung kann mit Hilfe der Tangente an diesen Punkt elegant bestimmt werden.
- Bei Tabellen wendet man die Definition der Änderungsrate direkt auf die gegebenen Werte an.
- Der Füllstand verhält sich wie ein Guthaben mit negativem Zins.
- [math]h_n = (0.98)^n h_0[/math]
- [math]\dot h_n = \frac {0.98^{n-1}(0.98-1)}{\Delta t}= -0.02*0.98^{n-1}\frac {h_0}{\Delta t}[/math]
Hochschule
- Die Volumenänderunsrate-Zeit-Funktion ist gleich Querschnitt mal Füllstandsänderungsrate-Zeit-Funktion, also gleich [math]\dot V = k\cos(\omega t)[/math] mit k = ωAk1.
- Lösung folgt.