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Hans Walser, [20160808]
Stereografische Projektion
Wir projizieren die Erde (Geodaten) vom Nordpol aus auf die Tangentialebene im Sźdpol. Die Abbildung 1 zeigt die Projektion exemplarisch fźr zwei partikulŠre aber nicht spezielle Punkte, die Sźdspitze Indiens und die Nordspitze Madagaskars.
Abb. 1: Stereografische Projektion
Der Projektionsstrahl geht vom Nordpol aus durchs Innere der Erdkugel bis zum abzubildenden Punkt, dann au§erhalb der Erdkugel weiter bis zur Projektionsebene.
Die stereografische Projektion ist also ein Sonderfall einer Zentralprojektion. Projektionszentrum ist in unserem Beispiel der Nordpol.
Die Abbildung 2 zeigt die Bildebene (Ausschnitt).
Abb. 2: Projektionsebene
Die Abbildung 3 zeigt die Projektionsebene entzerrt (Draufsicht).
Abb. 3: Entzerrte Situation
Am Beispiel von Afrika (wo ist Afrika) sehen wir, dass die Situation spiegelbildlich ist gegenźber unseren Sehgewohnheiten. Warum ist das so?
Wir spiegeln also und drehen noch ein bisschen, bis wir die uns gewohnte Situation haben (Abb. 4).
Abb. 4: Gewohnte Situation
Im Folgenden zwei zentrale Eigenschaften der stereografischen Projektion. Die Beweise sind aufwŠndig und werden hier weggelassen. Man kann aber, wenn man eine der beiden Eigenschaften bewiesen hat, die zweite daraus leicht herleiten.
á Die stereografische Projektion ist winkeltreu (konform).
á Die stereografische Projektion bildet Kreise entweder auf Kreise oder auf Geraden ab. Man fasst Kreise und Geraden zusammen unter dem Begriff Mšbiuskreise. Vorstellung dahinter: Eine Gerade ist ein Kreis mit der Krźmmung null und dem Radius unendlich. Die stereografische Projektion bildet Kreis auf Mšbiuskreise ab.
Mit der stereografischen Projektion kann jeder Kugelpunkt mit Ausnahme des Nordpols abgebildet werden. Die Bilder von Punkten in der NŠhe des Nordpols sind sehr weit au§en.
Die Abbildung 5 zeigt die stereografische Projektion des gesamten Landanteils (Festland, inklusive Inseln, exklusive Meer) der Erde.
Abb. 5: Landanteil
Der Šu§erste Kreis ist der Breitenkreis fźr 75ˇN. Was au§erhalb liegt, ist nŠher am Nordpol. Die Verzerrungen sind gigantisch: Gršnland, das am nŠchsten an den Nordpol heranreicht, erscheint grš§er als Afrika, Asien und Europa zusammen.
Sehr oft wird das Zentrum der Zentralperspektive auf dem €quator gewŠhlt und die Projektionsebene entsprechend gegenźber.
In der Abbildung 6 ist das Projektionszentrum auf dem €quator bei 180ˇE. Es ist nur ein Ausschnitt des Bildes angegeben.
Abb. 6: Stereografische Projektion
Elementargeometrisch haben wir folgende Situation: Die Meridiane bilden ein Kreisbźschel durch die beiden Pole. Die Breitenkreise bilden ein Bźschel von Apolloniuskreisen zu den beiden Polen. Die Kreise der beiden Kreisbźschel schneiden einander orthogonal.
In der Abbildung 7 ist das Projektionszentrum auf dem €quator bei 0ˇE. Wie hei§t der gewaltige rote Erdteil, der am linken und oberen Rand ins Bild guckt? Wo ist das Kap der guten Hoffnung?
Abb. 7: Stereografische Projektion
Sehr oft beschrŠnkt man sich auf die beiden in den Abbildungen 6 und 7 angegebenen zentralen blauen Kreise (Abb. 8). Wir haben es jetzt mit zwei Karten zu tun, die insgesamt die ganze Erdkugel abbilden.
Bereits Rumold Mercator, der Sohn von Gerhard Mercator, hat die Erdkugel auf diese Weise dargestellt. Er hat aber eine andere Disposition der Projektionszentren auf dem €quator gewŠhlt, so dass die alten Erteile Afrika, Asien und Europa auf der einen Scheibe und die neuen Erdteile Amerika und Australien auf der anderen Scheibe erscheinen.
Abb. 8: Stereografische Doppelkarte
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Geodaten (08.08.2016)
Rumold Mercator (08.08.2016)