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Hans Walser, [20060415a]
Rechteckszerlegung
Die Idee ist, ein Rechteck in eine spiralfrmige Folge von zueinander hnlichen Rechtecken zu zerlegen, wobei die Rechtecke dieser Folge jeweils durch eine Drehstreckung auseinander hervorgehen.
Beispiel
Wir gehen zunchst davon aus, dass das Format der Teilrechtecke gegeben ist; ferner sei f der Faktor der Drehstreckung. Es ist .
Ma§e
Aus der Figur lesen wir die Beziehung ab:
Bei gegebenem x ist das eine quadratische Gleichung fr f; es interessiert nur die positive Lsung:
Diese Funktion hat folgenden Graphen:
Es ist (Goldener Schnitt) und .
Nun sei das zu zerlegende Recheck geben mit den Ma§en , .
Gro§es Rechteck gegeben
Dann ist zunchst:
Auflsen nach x liefert:
Die Funktion hat den Graphen:
Es ist: . Ferner ist:
Falls das zu zerlegende Rechteck ein Goldenes Rechteck ist, erfolgt die bliche Zerlegung in Quadrate.
Abschneiden von Quadraten im Goldenen Rechteck
Abschneiden von Goldenen Rechtecken
Im DIN Recheck ist zunchst . Dann ist und wegen ist auch . Es sind also simultan das gro§e zu zerlegende Rechteck wie die abzuschneidenden Rechtecke solche mit dem DIN Verhltnis. Daher gibt es im Unterschied zum Goldenen Rechteck (und auch allen brigen Rechtecken) nur eine Figur.
DIN Rechteck
Das folgende Bild zeigt eine Zerlegung in vier Vierecke, welche je durch eine Drehstreckung auseinander hervorgehen. Die Zerlegung geht allerdings nicht auf. Die vier Vierecke sind Sehnenvierecke.
Zerlegung (mit Rest) in Sehnenvierecke
Die Figur kann auch mit nur zwei Farben gezeichnet werden.
Zerlegung in zwei Farben
In der folgenden Figur ist das Umrissrechteck eine Goldenes Rechteck. Ebenso ist das grne Rechteck ein Goldenes Rechteck. Links neben dem grnen Rechteck steht ein nicht sichtbares Quadrat.
Wo ist das Goldene Rechteck?
In der folgenden Figur ist das links neben dem grnen Rechteck stehende nicht eigentlich sichtbare Rechteck ein Goldenes Rechteck.
Beim DIN Rechteck gibt es wiederum nur eine Variante, die hat es aber in sich.
DIN Rechteck
Die Sehnenvierecke sind in diesem Fall sogar Drachenvierecke.
DIN Drachen