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Hans Walser, [20080303a], [20131216b]
Sehnenviereck
Diese Studie wurde angeregt durch die Frage, wie sich ein Sehnenviereck aus den vier Seiten konstruieren lsst.
Sehnenviereck gem§ Figur.
Sehnenviereck
Aus Peripheriewinkelstzen folgt
Wie lsst sich ein Sehnenviereck aus seinen vier Seiten a, b, c, d bestimmen?
Es gengt, wenn wir noch einen Winkel kennen.
Der Kosinussatz im Dreieck ABC liefert:
Der Kosinussatz im Dreieck CDA liefert:
Wegen ist und daher . Durch Gleichsetzen erhalten wir:
Damit lsst sich der Winkel konstruieren, sofern ; dies kann durch allflliges Umbezeichnen der Daten erreicht werden.
Durch zyklische Vertauschung ergibt sich die Formelgruppe:
Einsetzen von in liefert:
Somit ist:
Analog:
Auch diese Diagonalen lassen sich konstruieren.
Wir multiplizieren die beiden Diagonalen:
Das ist der Satz des Ptolemus:
Sonderfall: In einem Rechteck ist , , und daher:
Der Satz von Ptolemus enthlt also den Satz des Pythagoras.
Wir berechnen die Flcheninhalte der Dreiecke ABC und CDA separat nach der Formel ãSeite mal Seite mal Sinus des Zwischenwinkels durch 2Ò.
Aus ergibt sich . Wegen ist . Damit erhalten wir fr den Flcheninhalt des Sehnenviereckes:
Der Radikand ist scheinbar nicht symmetrisch in a, b, c, d; durch Expandieren erhalten wir aber:
Mit kann dieser Term umgeschrieben werden zu:
Damit erhalten wir:
Wie kann geprft werden, ob vier durch Koordinaten gegebene Punkte auf einem Kreis liegen, also die Ecken eines Sehnenviereckes sind?
Wir nehmen an, die vier Punkte A, B, C, D liegen in zyklischer Reihenfolge auf dem Kreis. Wir interpretieren die vier Punkte als komplexe Zahlen und bilden die komplexen Seiten:
Dann ist:
Damit wird:
Das Produkt ist also reell und negativ.
Beispiel: , , ,
Beispiel
Wir erhalten: , , , und weiter:
Beispiel: Es sei B zwischen A und D und C zwischen D und A.
ãberschlagenes SehnenviereckÒ
Aus Peripheriewinkelstzen folgt . Damit erhalten wir:
Das Produkt ist reell und positiv.
Beispiel: , , , . Damit wird: , , , und weiter:
Wenn umgekehrt D nicht auf dem Umkreis des Dreieckes ABC liegt, stimmen obige Relationen nicht.
Vier Punkte A, B, C, D sind genau dann kozyklisch, wenn . Als Sonderfall knnen die vier Punkte auf einer Geraden liegen.