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Hans Walser, [20220109]
Quadrat im Viertelkreis
Einem Viertelkreis-Sektor soll ein Quadrat einbeschrieben werden.
Lösung mit Rastergeometrie.
Einem Viertelkreis-Sektor mit dem Radius 1 (Abb. 1a) soll ein Quadrat einbeschrieben werden.
Abb. 1: Zwei Lösungen
Es gibt zwei unterschiedlich große Lösungen (Abb. 1b und 1c mit Angabe der Flächeninhalte).
Beide Lösungen lasen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren.
Abb. 2: DIN-Format und Goldener Schnitt
Das Quadrat der größeren Lösung (Abb. 1b) lässt sich zu einem Rechteck im DIN-Format hochziehen (Abb. 2a). Über das DIN-Format siehe Walser 2013b.
Wird die kleinere Lösung (Abb. 1c) am senkrechten Radius gespiegelt, entsteht an der Basis eine Unterteilung im Goldenen Schnitt (Abb. 2b). Siehe dazu Walser 2013a sowie [1].
Sowohl das DIN-Format wie auch der Goldene Schnitt sind irrational. In einer Welt mit nur Verhältnissen von ganzen Zahlen (Schule des Pythagoras) existiert keine der beiden Lösungen. Wir können die Lösungen also nicht ein einen Quadratraster einpassen.
Hänschen klein bekam in der gesamten Primarschule nie einen Zirkel zu sehen. Entsprechend hat er sich die ganze Zeit den Kopf zerbrochen, wie man einen Kreis macht. Seine geometrische Welt bestand aus einem Lineal mit Messskala sowie Karopapier.
Notlösungen:
· Eine Tasse umgekehrt aufs Papier legen und mit dem Stift nachfahren. Oder mit einer Münze als Kreisschablone. Da ist allerdings der Radius vorgegeben, also „fremdbestimmt“.
· Eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung mit Abtragen der immer gleichen Distanz von einem festen Punkt aus.
· Mit dem Taschenmesser bei einem Vierkant-Stab die Kanten abschrägen, so dass eine Achtkant-Stab entsteht. Weiter zum 16-Kant-Stab und so weiter.
Beim Eintritt in die Sekundarstufe erhielt er von seinem Vater dessen Reißzeug. Ein schmales Etui, das man vorsichtig aufklappen musste. Da lag er, in dunkelblauen Samt gebettet: der Zirkel.
Wir erfinden den Viertelkreis neu (Abb. 3).
Abb. 3: Viertelkreis im Karoraster
Im Karoraster suchen wir Punkte, deren Abstand von der Ecke links unten möglichst bei eins liegt. Wir verbinden diese Punkte mit einem Polygonzug. Die Maschenweite des Rasters wird von Schritt zu Schritt halbiert. Die Maschenweite ist also eine Potenz von einem Halben, in unseren Beispielen ein Halb, ein Viertel, ein Achtel, ein Sechzehntel, ein Zweiunddreissigstel und beim letzten Bild die hundertste Potenz von einem Halben. Der Polygonzug sieht aus wie ein Kreis. Ist aber erst im „Grenzfall“ ein Kreis.
Es ist aber abgesehen von den Endpunkten kein Rasterpunkt auf dem Grenzkreis. Auch der Fall eines pythagoreischen Tripels ist ausgeschlossen, da bei einem solchen die Seite c keine reine Zweierpotenz sein kann.
Die Abbildung 4 zeigt die ersten sechs Schritte mit Angabe des Rasters, nachher ohne.
Abb. 4: Schrittweises Vorgehen
Das Quadrat hat eine Ecke links unten und zwei weitere Ecken auf den Radien des Viertelkreises. Die vierte Ecke liegt auf dem Viertelkreis.
Wir passen die Quadrate entsprechend in den Raster ein. Allerdings haben wir bei jedem ungeraden Schritt nur ein Rechteck.
Abb. 5: Einpassen des „Quadrates“
Abb. 6: Einpassen des „Quadrates“
Die Abbildung 7 zeigt nur die Folge der Rechtecke.
Abb. 7: Die Grenzfigur ist ein Quadrat
Bei der zweiten Lösung (Abb. 1c) haben wir ausschließlich Rechtecke. Die Abbildung 8 zeigt die ersten 8 Schritte einzeln und schließlich den hundertsten Schritt.
Abb. 8: Diagonale Rechtecke
Abb. 9: Der unruhige Grenzübergang
Websites
[1] Hans Walser: Goldener Schnitt im Kreuz
Literatur
Walser, H. (2013a): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.
Walser, H. (2013b): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.