Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03644.jsonl.gz/1531

Hans Walser, [20120528]
Viereck
Es werden einige Spielereien am Viereck untersucht. Daraus ergeben sich interessante Eigenschaften fr spezielle Vierecke, die im blichen Kanon des Hauses der Vierecke nicht enthalten sind.
Wir setzen einem beliebigen Viereck auf den Seiten halbe Quadrate in Form gleichschenklig rechtwinkliger Dreiecke an gem§ Abbildung 1.
Abb. 1: Viereck mit aufgesetzten halben Quadraten
Dann sind die beiden roten Strecken gleich lang und orthogonal.
Wir bearbeiten einen allgemeinen Fall, indem wir den Vierecksseiten hnliche gleichschenklige Dreiecke aufsetzen. Die roten Strecken sind dann weder gleich lang noch orthogonal.
Fr den Beweis arbeiten wir mit Vektoren gem§ Abbildung 2.
Die Indizes sind mod 3 zu rechnen.
Es seien die Seitenvektoren und die um gedrehten Vektoren .
Die beiden Diagonalvektoren bezeichnen wir mit und .
Weiter sei . In der Abbildung 1 ist (die Vektoren schauen nach innen), in der Abbildung 2 ist .
Abb. 2: Bezeichnungsfigur
Die fr unsere berlegungen relevanten Vektoren sind und .
Mit einiger Rechnung erhalten wir:
Daraus ergibt sich: Fr sind die beiden Vektoren , und damit die roten Strecken gleich lang und orthogonal. Die Abbildung 1 gehrt zum Fall . Fr mssen wir die Dreiecke nach innen ansetzen, wobei sie sich teilweise berlappen (Abb. 3).
Abb. 3: Halbe Quadrate nach innen
Die Abbildung 4 zeigt die berlagerung der Abbildungen 1 und 3. Diese Figur lsst auch eine Interpretation als Gelenkmodell zu: Vier Quadrate werden an je gegenberliegenden Ecken gelenkig zu einer geschlossenen Figur verbunden. Die restlichen Quadratecken knnen zu zwei orthogonalen Kreuzen mit je gleich langen Kreuzbalken verbunden werden.
Abb. 4: Gelenkmodell
Wir haben gesehen, dass in einem beliebigen Viereck die Beziehungen gelten:
Damit drngen sich Sonderflle von Vierecken auf, in denen die Diagonalen entweder senkrecht oder gleich lang oder beides sind.
Aus der Beziehung
folgt, dass die beiden roten Strecken gleich lang sind (Abb. 5).
Abb. 5: Orthogonale Diagonalen
Die roten Strecken sind nicht mehr orthogonal, aber wir sehen, dass ihre Richtungen spiegelbildlich zu den Diagonalen liegen.
Fr den Beweis setzen wir die Diagonalen auf die Koordinatenachsen und verwenden die Eckpunktskoordinaten:
Damit erhalten wir:
Daraus lsst sich die Spiegelbildlichkeit der Richtungen ablesen.
Fr erhalten wir die Verbindungen der Kantenmitten. Diese sind somit gleich lang und liegen richtungsm§ig spiegelbildlich zu den Diagonalen. Dies ist allerdings nicht so umwerfend, weil diese Verbindungen ihrerseits die Diagonalen des Kantenmittenparallelogramms sind, welches in unserem Fall ein Rechteck ist (Abb. 6).
Abb. 6: Kantenmittenrechteck
Fr erhalten wir wie oben halbe aufgesetzte Quadrate. Die roten Strecken sind orthogonal. Wir sehen, dass sie sich im Diagonalenschnittpunkt schneiden.
Abb. 7: Kopunktale Geraden
Uff, auch das mchten die Schulmeister bewiesen haben. Fr die Koordinatendisposition
erhalten wir:
Diese Punkte liegen auf den Geraden .
Aus
ergibt sich, dass die roten Strecken orthogonal sind.
Abb. 8: Gleich lange Diagonalen
Nun sind die Richtungen der Diagonalen spiegelbildlich zu den Richtungen der roten Strecken. Das war ja zu erwarten, daher habe ich die Diagonalen mit symmetrischen Richtungen zu den Achsen disponiert. Mit der Koordinatendisposition
ergibt sich diese symmetrische Disposition. Wir erhalten:
Diese Vektoren stehen waagerecht und senkrecht.
Die Vierecke mit orthogonalen Diagonalen und die Vierecke mit gleich langen Diagonalen verhalten sich dual zu einander. Das Aufsetzen von gleichschenkligen Dreiecken bei einem Typ fhrt jeweils zum anderen Typ. Es sind jeweils nur die Diagonalen gezeichnet, die Vierecke selber fehlen.
Das einfachste Beispiel zu dieser Dualitt sind Rhombus und Rechteck. Das nchste Beispiel sind Drachenviereck und gleichschenkliges Trapez.
Die Abbildung 9 zeigt ein iteratives Aufsetzen von gleichschenkligen Dreiecken. Die schwarz gezeichneten Diagonalen sind jeweils orthogonal, die roten gleich lang.
Wir sehen, dass in diesem Beispiel mit der Zeit nicht konvexe Vierecke entstehen. Die Sache luft aus dem Ruder.
Abb. 9a: Ausgangsviereck mit orthogonalen Diagonalen
Abb. 9b: Erster Schritt: Viereck mit gleich langen Diagonalen
Abb. 9c: Zweiter Schritt: Viereck mit orthogonalen Diagonalen
Abb. 9d: Dritter Schritt
Abb. 9e: Vierter Schritt
Abb. 9f: Fnfter Schritt. Viereck nicht mehr konvex
Abb. 9g: Sechster Schritt
Abb. 9h: Siebenter Schritt
Wenn wir halbe Quadrate aufsetzen, entsteht als Limesfigur ein Quadrat (Abb. 10). Die Dreiecke berlappen sich teilweise.
Die Diagonalen sind jeweils orthogonal. Mit Ausnahme der Startfigur haben alle Vierecke auch gleich lange Diagonalen. Die Figuren sind selbstdual. Das einfachste Beispiel dazu ist das Quadrat.
Abb. 10a: Erster Schritt
Abb. 10b: Zweiter Schritt. berlappung
Abb. 10c: Dritter Schritt
Abb. 10d: Vierter Schritt
Abb. 10e: Siebenter Schritt
Abb. 10f: Elfter Schritt. Beinahe ein Quadrat