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Hans Walser, [20160111]
Zweieck allgemein
Anregung: Renato Pandi
Ein Zweieck mit Winkeln kann in einem passenden gleichschenkligen Dreieck mit demselben Spitzenwinkel in einem geeigneten Bereich so gedreht eingepasst werden, dass alle drei Seiten des Dreiecks berźhrt werden. Die Abbildung 1 zeigt eine Basissituation und eine Auswahl von gedrehten Zweiecken. Der maximale Ausdrehwinkel gegenźber der Basissituation ist .
Abb. 1: Zweieck im gleichschenkligen Dreieck
Die Abbildung 2 illustriert den Beweis in mehreren Schritten.
Wir denken uns das Zweieck als Schaukel mit dem Drehpunkt in der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks.
Dann schaukeln wir um einen Winkel mit hinaus.
Wir passen nun kleine lila gleichschenklige Dreiecke hinein. Diese gleichschenkligen Dreiecke sollen Šhnlich zum Ausgangsdreieck sein. Die beiden lila Dreiecke sind kongruent. Je ein Schenkel der lila Dreiecke ist parallel zur Basis des Ausgangsdreieckes.
Wir schieben schlie§lich das Zweieck gemЧ diesen parallelen Schenkeln ins Ausgangsdreieck zurźck.
Abb. 2: Beweisfigur
Der untere Bogen des Zweieckes berźhrt bei diesem Prozess immer die Basis des Ausgangsdreieckes. Sobald das Zweieck aber um mehr als hinausgeschaukelt wird, hebt das Zweieck ab.
Fźr (gleichseitiges Dreieck) kšnnen wir nach Ausnźtzung des Bereiches [-60ˇ, 60ˇ] eine andere der drei Ecken als Drehpunkt wŠhlen. Somit kann ein Zweieck mit 60ˇ-Winkeln im gleichseitigen Dreieck rundherum gedreht werden.
Fźr ist der maximale Ausdrehwinkel noch . Der Beweis sei dem Leser źberlassen.