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Solution générale, constante d’intégration, conditions initiales et conditions aux limites. Solution particulière et représentation d’une solution d’une équation ou d’un système d’équations différentielles ordinaires.
par Bernard Vuilleumier
Problème 1
a) Donnez la solution générale de l’équation :
Résolvons l’équation par rapport à :
Examinons la solution pour :
b) Sachant qu’en , , dessinez la solution pour .
Problème 2
a) Donnez la solution de l’équation :
satisfaisant la condition initiale .
b) Représentez graphiquement cette solution pour -4 4.
Résolvons l’équation par rapport à et représentons la :
Problème 3
a) Donnez la solution générale de l’équation :
Résolvons l’équation par rapport à
b) Déterminez la valeur des constantes d’intégration sachant qu’en , et .
Examinons la solution pour :
Nous en déduisons que est égal à 1. Introduisons cette valeur dans la solution, dérivons la par rapport à et remplaçons par 0 :
Nous en déduisons que est égal à 2.
c) Dessinez la solution satisfaisant ces conditions pour variant de 0 à 2.
d) Dessinez, pour variant de 0 à 2, la solution correspondant aux valeurs aux limites et .
Résolvons l’équation en fixant les conditions aux limites et dessinons la solution particulière qui leur correspond :
Problème 4
a) Établissez l’équation du mouvement sans frottement d’un pendule à partir d’un schéma sur lequel vous indiquerez toutes les forces qui agissent. Donnez les lois et relations utilisées. Expliquez votre démarche.
b) Lorsque le pendule est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse angulaire , l’équation du mouvement est donnée par :
Résolvez numériquement cette équation sachant qu’en =0, la vitesse angulaire du pendule est nulle et qu’il forme un angle de avec la verticale.
c) Dessinez la solution pour variant de 0 à 10.