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5.1. 3-Mannigfaltigkeiten mit Randmuster.
Eine 3-Mannigfaltigkeit mit Randmuster ist eine 3-Mannigfaltigkeit mit einem Graphen . Jede 3-Mannigfaltigkeit kann als eine 3-Mannigfaltigkeit mit leerem Randmuster betrachtet werden. Sei eine 3-Mannigfaltigkeit mit dem Randmuster . Eine Fläche heißt proper, wenn und die Kurve in allgemeiner Lage ist, d.h sie geht nicht durch die Eckpunkte von und schneidet die Kanten transversal. Wir sagen, daß eine Untermenge rein ist, wenn . Eine Isotopie ist rein, wenn für jedes rein ist.
Sei die Menge aller inkompressiblen Tori in , und sei die Menge aller reinen inkompressiblen, randinkompressiblen Kreisringe in .
Definition. Eine reine Fläche heißt grob, wenn jede andere Fläche zu einer mit disjunkten Fläche rein isotop ist.
Ein endliches System von disjunkten Flächen aus heißt maximal, wenn das folgende gilt:
Satz 5.1. Jede irreduzible randirreduzible 3-Mannigfaltigkeit mit Randmuster enthält ein maximales System von disjunkten groben Tori und Kreisringen. Das maximale System ist eindeutig bestimmt (modulo reiner Isotopie).
Beweis. Die Existenz eines maximalen Systems folgt aus dem ersten Endlichkeitssatz. Wir fangen mit einer groben Fläche an. Dann fügen wir neue disjunkte nicht-parallele grobe Flächen hinzu, solange es möglich ist. Nach dem Endlichkeitssatz ist dieser Prozeß endlich.
Eindeutigkeit. Seien und zwei maximale Systeme. Rücken wir von allen Flächen ab. Da das System maximal ist, ist parallel zu einer Fläche . Und so weiter.
5.2. Elementare Bewegungen.
Es scheint, daß der Beweis beendet ist, aber es geht nicht so leicht. Warum kann man gleichzeitig von allen Flächen abschieben? (Man kann sich an die Borromäischen Ringe erinnern). Um dieses Problem zu lösen, führen wir elementare Bewegungen ein. Seien zwei Flächen aus .
1. Scheibenverschiebung. Nehmen wir an, daß eine geschlossene Kurve enthält, die eine Scheibe auf berandet. Wir können annehmen, daß eine innerste Scheibe ist, d.h. sie keine weitere Kurven enthält. Da inkompressibel ist, berandet auf auch eine Scheibe . ist irreduzibel, deher berandet die Sphäre einen Ball . Wir schieben durch auf die andere Seite von , siehe Fig. 1.
2. Halbscheibenverschiebung. Dasselbe, aber ist eine äußerste Halbscheibe.
Bewegungen 1,2 lassen uns alle triviale Kreise und Bögen beseitigen. Um nicht-triviale Kreise zu eliminieren, brauchen wir zwei weitere Bewegungen.
3. Innere Kreisringsverschiebung. Nehmen wir an, daß keine triviale Kreise und Bögen enthält. Sei ein Kreisringsflicken von , so daß zu einem Kreisring parallel ist. Wir schieben auf die andere Seite von durch den Vollring , der von und berandet ist.
4. Externe Kreisringsverschiebung. Dasselbe, aber hat eine Randkomponente auf .
Nicht-triviale Bögen in werden durch die letzte Bewegung beseitigt.
5. Bandverschiebung. Nehmen wir ein, daß einen Bandflicken besitzt (ein Bandflicken ist ein Scheibenflicken, der zwei Bögen auf und zwei Bögen auf hat). Die Verschiebung besteht aus einer Isotopie, die durch hindurch deformiert.
Satz 6.2. Seien zwei Flächen aus , so daß zu einer disjunkten Fläche isotop ist. Dann existiert eine Folge von Bewegungen 1-5, die disjunkt zu macht.
Beweis. SCHRITT 1. Nehmen wir an, daß es eine Fläche gibt, die zu disjunkt und zu parallel ist. Dann ist der Raum zwischen und zu homöomorph. Wir können annehmen, daß alle mögliche Bewegungen 1,2 schon gemacht sind. Dann sind alle Flicken von entweder Kreisringe oder Bänder. Jeder Kreisring in , der beide Randkurven auf hat, ist parallel zu einem entprechenden Kreisring auf . Deshalb sind wir imstande, Bewegung 3 auszufüren. Eine ähnliche Prozedur ist möglich, wenn wir einen Kreisring mit nur einer Randkurve auf haben oder ein Band: man kann Bewegung 4 oder 5 anwenden. Da jede Bewegung die Anzahl der Schnittkurven in vermindert, bekommen wir schließlich disjunkte Flächen.
SCHRITT 2. Nehmen wir an, daß es eine Fläche gibt, die zu parallel ist und von der durch Bewegungen 1-5 getrennt werden kann. Die Spur jeder Bewegung, die einen Flicken von durch schiebt, ist entweder ein Ball oder ein Vollring. Wir verwenden anstatt oben, um vorher von durch ähnliche Bewegungen zu befreien (siehe Fig. 2) und vollenden erst danach unsere Bewegung.
SCHRITT 3. Seien isotope Flächen. Dann gibt es eine Folge von Flächen, so daß und für jedes , parallel zu ist.
Sei eine Isotopie, die nach überführt. Wir zerlegen in so kleine Strecken , daß für die Fläche sich im Innern einer regulären Umgebung von befindet. Bezeichnen wir durch und eine Randkomponente von durch . Dann sind sowohl die Flächen parallel für jedes , als auch die Flächen . Siehe Fig. 3. Die gewünschten Flächen sind .
Die Schritte 1-3 lassen uns einen offensichtlichen Induktionsbeweis für Satz 5.2 vorschlagen, da jede elementare Bewegung von durch keine anderen Flächen berührt, die zu disjunkt sind.
5.3. Drei Typen von JSJ-Kammern.
Die Tori und Kreisringe des maximalen JSJ-Systems für zerlegen in Teile, die JSJ-Kammern genannt werden. Jede Kammer hat ein Randmuster, das aus dem vererbten Randmuster von und den Rändern von Kreisringen des Systems besteht. So ist jede Kammer eine 3-Mannigfaltigkeit mit Randmuster. Es stellt sich heraus, daß genau drei Type von Kammern existieren können.
Wir sagen, daß ein Kreisring halbrein ist, wenn aus einigen Kopien des Mittelkreises besteht. Ein inkompressibler Kreisring ist wesentlich, wenn er nicht zu einem halbreinen Kreisring auf parallel ist. Ein wesentlicher Torus in ist inkompressibel und nicht parallel zu einem reinen Torus in .
Hier sind die drei Typen:
Ein wesentlicher Kreisring in heißt longitudinal (oder randgrob), wenn der Rand jedes anderen Kreisrings von durch eine Isotopie abgeschoben werden kann. Alle andere wesentliche Kreisringe heißen transversal.
Bemerkung. Seien Kreisringe, so daß longitudinal ist und . Nach der Eliminierung aller trivialen Kreise und Bögen in bekommen wir zwei Kreisringe, die sich nur längs der Mittelkreise schneiden. Falls transversal ist, gibt dieselbe Prozedur radiale Strecken in dem Durchschnitt. Das erklärt die gewählte Terminologie.
Satz 5.3. Wenn einen wesentlichen Torus oder einen longitudinalen Kreisring enthält, dann ist eine Seifertsche 3-Mannigfaltigkeit. Enthält einen transversalen Kreisring , dann ist sie ein -Bündel.
Beweis. Da nicht grob ist, gibt es einen Torus bzw. Kreisring , der nur längs nicht-trivialer Kreise oder Bögen schneidet. Dann besitzt eine natürliche Faserung in Kreise bzw. in Strecken. Es folgt, daß eine reguläre Umgebung eine ähnliche Faserung hat. Betrachten wir den inneren Rand Int von . Er besteht aus Tori und Kreisringen. Wir erweitern zu einer größeren gefaserten 3-Mannigfaltigkeit , indem wir alle kompressiblen inneren Randkomponenten von mit Vollkreisen bzw. Zylinder füllen, und auch die randparallelen Komponenten von durch entsprechende Teile von ersetzen. Der innere Rand von besteht nur aus inkompressiblen Tori und Kreisringen, die nicht grob sind. Das bedeutet, daß die Prozedur fortgesetzt werden kann. Nach dem ersten Endlichkeitssatz von Kneser und Haken ist die Prozedur endlich, und letzten Endes bekommen wir .
Folgerung. Jede irreduzible randirreduzible 3-Mannigfaltigkeit enthält nur eine endliche Anzahl von wesentlichen Tori und longitudinalen Kreisringen (modulo Isotopien ).
Beweis. Offensichtlich, da jede JSJ-Kammer diese Eigenschaft besitzt, dank der einfachen topologischen Structur der Seifertschen Faserräume und -Bündel.