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Résumé : comment les jongleurs parviennent-ils à lancer et à rattraper balles et anneaux avec tant d’adresse ? L’étude de leur activité est utile en psychomotricité, en robotique et en mathématiques. Une des méthodes utilisées est la notation d’échange de position qui représente l’ordre dans lequel les objets sont lancés et rattrapés dans chaque cycle de jonglerie.
Mots-clés : simulation, trajectoire, boucle.
« Pour livrer des munitions, un homme de 74 kilogrammes qui transporte trois boulets de canon de 500 grammes doit traverser un pont branlant qui ne supporte que 75 kilogrammes. S’il est pressé et s’il ne peut effectuer qu’un seul voyage, comment doit-il faire ? La solution de cette vieille devinette est que l’homme doit jongler avec les boulets de canon en traversant le pont. En fait, cette solution est mauvaise, car, pour lancer un boulent en l’air, le jongleur doit exercer une force qui s’ajoute à son poids et devient supérieure à la résistance du pont. L’homme finirait au fond du précipice. »
Cette citation est extraite de l’article La science de la jonglerie, Pour la science, No 219, janvier 1996. On y lit également :
« Bien qu’elle ne soit pas utile pour la traversée des ponts, la jonglerie est suffisamment complexe pour présenter des propriétés intéressantes et suffisamment simple pour permettre la modélisation des propriétés. Trois disciplines s’y intéressent. Les spécialistes de la psychomotricité, d’une part, l’étudient afin de mieux comprendre les mouvements humains et la coordination des membres. Les spécialistes de robotique, d’autre part, construisent des machines à jongler afin de développer et tester des techniques de contrôle mécanique en temps réel. Enfin, les mathématiciens analysent les surprenantes propriétés numériques des figures de jonglerie. »
L’une des méthodes utilisées par de nombreux jongleurs pour résumer les figures qu’ils exécutent est la notation d’échange de position inventée aux alentours de 1985 par Paul Klimek et Michael Day. L’échange de position est une notation compacte qui représente l’ordre dans lequel les objets sont lancés et rattrapés dans chaque cycle de jonglerie, partant du principe que les lancers surviennent selon les rythmes qui sont espacés de manière égale dans le temps.
Considérons, par exemple, la cascade à trois balles. La première balle est lancée aux temps 0, 3, 6,... la deuxième aux temps 1, 4, 7,... et la troisième 2, 5, 8,... La notation d’échange de position utilise le temps entre les lancers de chaque balle pour caractériser la figure. Dans cette cascade, le délai entre les lancers de toute balle est de trois temps, donc son échange de position est 3333..., ou juste 3. La notation de la figure nommée douche (première balle 0, 5, 6, 11, 12,... deuxième balle 1, 2, 7, 8, 13,... troisième balle 3, 4, 9, 10, 15,...) se compose de deux chiffres, 51, où 5 se rapporte à la durée du lancer haut, et 1 au temps nécessaire pour faire passer la balle d’une main à l’autre dans la partie inférieure de l’arc de cercle. D’autres échanges de position à trois balles sont 441, 45141, 531 et 504 (un 0 représente un repos, où aucun rattrapage ni aucun lancer n’est effectué).
La manière la plus aisée de développer l’échange de position pour comprendre la façon dont les balles sont véritablement lancées est de tracer un diagramme de demi-cercles sur une ligne de temps numérotée. Les points correspondant aux nombres pairs sur la ligne représentent les lancers de la main droite, les nombres impairs les lancers de la main gauche.
Par exemple, considérons l’échange de position 531. Ecrivons les nombres 5, 3 et 1 plusieurs fois de suite, chaque nombre étant inscrit sous le point suivant de la ligne numérotée en partant de 0. Le nombre situé au-dessous du point 0 est 5 ; à partir de là, on trace un demi-cercle de cinq unités dont le diamètre va jusqu’au point 5, qui représente un lancer assez haut pour passer cinq unités de temps en l’air. Le nombre au-dessous du point 5 étant un 1, on trace un demi-cercle de diamètre 1 du point 5 au point 6. Comme le point 6 correspond au nombre 5, le prochain demi-cercle va du point 6 au point 11. On obtient ainsi le trajet dans le temps de la première balle, qui est la même que la balle dans la figure douche 51, décrite précédemment. On répète le procédé à partir des points 1 et 2, afin de trouver le trajet des deux balles restantes. Le résultat est que les première et troisième balles se déplacent toutes les deux selon une figure douche, mais dans des directions opposées, et la deuxième balle serpente entre les deux douches dans un rythme correspondant à une cascade. Si l’on exclut cette dernière balle, on obtient le simple échange de position à deux balles.
Toutes les séquences de nombres ne peuvent pas être traduites en véritables figures de jonglerie. Par exemple, dans la séquence 21, les deux balles atterrissent simultanément dans la même main (bien que des variantes plus compliquées de notation d’échange de position permettent que plus d’une balle soit lancée ou rattrapée en même temps, une prouesse que les jongleurs appellent multiplexage).
La notation d’échange de position a permis l’invention de certaines figures qui deviennent progressivement populaires, parce qu’elles sont spectaculaires, comme la figure 441, ou parce qu’elles sont utiles pour la maîtrise d’autres tours, comme la figure à quatre balles 5551 en tant que prélude à l’apprentissage de la cascade à cinq balles.
On demande de construire un programme informatique permettant de visualiser les figures utilisant la notation d’échange de position. Il est également intéressant d’étudier les propriétés mathématiques des chaînes de nombres, comme, par exemple, le nombre de balles nécessaires pour une figure particulière.
Représentez des demi-cercles par deux points dont le diamètre est calculé en fonction de la durée du déplacement en l’air. Pour déterminez les coups, il suffit de construire un tableau de correspondances entre le temps et la position.
Il est intéressant d’utiliser les possibilités d’animation des logiciels pour réaliser cet exercice.
La solution actuellement proposée est donnée par les fichiers MatLab : jongler.m