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Hans Walser, [20080507a]
Dreiecksketten
Wir zeichnen eine Kette von Dreiecken gem§ Figur. In der Figur ist . Es entsteht ein gleichseitiger Polygonzug. Wie lsst sich das Verhalten dieses Polygonszuges beschreiben?
Der Verhalten des Polygonszuges hngt wesentlich vom Winkel ab. Fr spitze Winkel ergibt sich eine (regelm§ige) Grenzfigur, fr einen rechten Winkel erhalten wir eine archimedische Spirale und fr stumpfe Winkel eine logarithmische Spirale.
Fr spitze Winkel tendiert der Polygonzug gegen ein gleichseitiges Sehnenvieleck mit Zentriwinkeln . Falls eine Teiler von 360¡ ist, ergibt sich ein regelm§iges Polygon mit Innenwinkel als Grenzfigur. Wenn in einem rationalen Verhltnis zu 360¡ steht, aber kein Teiler von 360¡ ist, erhalten wir als Grenzfigur einen Stern, der sich aus Diagonalen gleicher Lnge eines regelm§igen Vieleckes zusammensetzt. An den Sternspitzen haben wir ebenfalls Innenwinkel . Bei irrationalem Verhltnis zu 360¡ ergibt sich ein berall dicht belegter Kreisring.
Im Folgenden einige Beispiele mit jeweils .
Fr oder ergeben sich als Grenzfigur ein regelm§iges Dreieck beziehungsweise ein Quadrat.
Fr erhalten wir als Grenzfigur ein regelm§iges Fnfeck, fr auf Anhieb das regelm§ige Sechseck.
Fr und ergeben sich Achteck und Neuneck.
Fr ist ; wir erhalten als Grenzfigur ein Pentagramm, das aus einem regelm§igen Fnfeck durch berspringen jeder zweiten Ecke entsteht. Fr ist ; wir erhalten eine Grenzfigur, welche aus einem regelm§igen Neuneck durch berspringen jeder zweiten Ecke entsteht.
Wir whlen nun im Bogenma§, also . Dieser Winkel steht nicht in einem rationalen Verhltnis zu 360¡. In der folgenden Abbildung sind der Reihe nach 10, 100 und 1000 Dreiecke gezeichnet.
Beweisskizze: Falls einer der grnen Radien die Lnge htte, dann auch alle folgenden Radien. Wir htten eine Folge von gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis und den Basiswinkeln . Dies wre der stabile Fall. Dieser stabile Fall tritt exakt ein fr oder fr . (Gibt es weitere stabile Flle?)
Wenn nun zum Beispiel ist, dann haben wir im Vergleich zum stabilen Fall die Situation der Skizze:
Auf Grund der Dreiecksungleichung ist
Die folge der Radien ist monoton fallend. Es ist sogar . Fr erhalten wir entsprechend eine monoton wachsende Folge von Radien.
Somit ist ; die Figur strebt gegen den stabilen Fall.
Fr entsteht eine Figur mit aufgesetzten rechtwinkligen Dreiecken. Bei erhalten wir fr die Radien die Werte . Der Polygonzug tendiert gegen eine archimedische Spirale (vgl. [Walser 2004]).
Fr erhalten wir einen Polygonzug, der eine logarithmische Spirale als Grenzkurve hat. Dies ist nicht trivial, da die Dreiecke ja nicht hnlich sind; wir haben keine Schneckenhaus-Situation.
Die Figurenfolge zeigt die Situation fr und ; es sind 10, 100 und 1000 Dreiecke gezeichnet.
Zum Beweis verwenden wir die Bezeichnungen der Figur:
Da konstant ist, wchst der Radius r nach au§en, und der Winkel geht gegen null. ãWeit au§enÒ sind also die Radien nahezu parallel, und es gilt:
Daraus erhalten wir:
Wir arbeiten nun differenziell weiter:
Dies ist die Polargleichung einer logarithmischen Spirale.
Literatur
[Walser 2004] Walser, Hans: Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation von ¹. Praxis der Mathematik (6/46), 2004, S. 287-288