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Les mathématiques sont l'une des plus anciennes sciences; leur objet originel est l'étude de la quantité. Les pythagoriciens les divisèrent en quatre disciplines (arithmétique, géométrie, astronomie et musique), qui formèrent plus tard le quadrivium. Fondées d'abord sur des activités pratiques (compter, calculer et mesurer), elles se développèrent de telle façon qu'au début du XXe s., le mathématicien allemand David Hilbert a pu les définir comme la "science des systèmes formels". Les mathématiques modernes font abstraction du rôle premier des objets considérés; elles s'attachent surtout à étudier les structures résultant des relations définies dans un ensemble donné de n'importe quels objets. Habituellement, on distingue entre mathématiques pures et appliquées. Les premières comprennent notamment l'arithmétique, l'algèbre, l'analyse, la géométrie, la topologie, la théorie des nombres, celle des ensembles et celle des modèles; aux secondes appartiennent l'analyse numérique, la stochastique (statistique et théorie des probabilités), la théorie des classes de complexité et celle des algorithmes. Aujourd'hui comme autrefois, les mathématiques sont stimulées par les sciences naturelles, sociales et économiques, qui tentent de se les approprier comme outils; en sens inverse, elles imposent de plus en plus leurs théories dans ces sciences, du fait que, pour l'expérimentation, on remplace l'étude coûteuse de situations réelles par des simulations sur ordinateur.
Peu de pays ont fourni, proportionnellement à leur population, autant de mathématiciens que la Suisse; aucun autre n'a encore accueilli à trois reprises leur congrès international. Plusieurs savants suisses se sont illustrés à l'étranger (tels Jost Bürgi, Leonhard Euler, Jakob Steiner, Charles François Sturm). D'autre part, de nombreux étrangers ont travaillé en Suisse, notamment Richard Dedekind, Hermann Minkowski, Hermann Weyl, et quelques-uns en ont acquis la nationalité dès le XIXe s. (Joseph Ludwig Raabe, Ferdinand Rudio, Heinz Hopf).
Auteur(e): Erwin Neuenschwander / PM
Des manuscrits provenant des abbayes de Saint-Gall et d'Einsiedeln attestent de l'intérêt suscité par les questions mathématiques sur le territoire de la Suisse actuelle dès le haut Moyen Age. L'école abbatiale de Saint-Gall connut une période faste du IXe au XIe s., dans le sillage de la renaissance carolingienne. Les mathématiques s'enseignaient alors dans le cadre des sept arts libéraux (base des études médiévales), où elles constituaient le cycle du quadrivium. Parmi les écrits utilisés à Saint-Gall, on trouve non seulement des textes d'introduction aux disciplines du quadrivium, dus aux encyclopédistes de l'Antiquité tardive et du haut Moyen Age Martianus Capella, Cassiodore et Isidore de Séville, mais aussi des traités plus substantiels de Boèce et de Bède le Vénérable, qui parfois se réfèrent explicitement aux Eléments d'Euclide. Le Codex Sangallensis 248 contient le De institutione arithmetica de Boèce, les De natura rerum, De temporibus et De temporum ratione de Bède, ainsi que des tables détaillées de comput. Le Codex Sangallensis 830 donne des copies de plusieurs œuvres de Boèce et de la Geometria I du Pseudo-Boèce, accompagnée d'un assez long dialogue entre un maître et son élève (Altercatio duorum geometricorum) et de remarques d'Ekkehard IV. Selon ses propres dires, le moine Notker l'Allemand a traduit dans sa langue une initiation à l'arithmétique (sans doute d'après Boèce), qui ne nous est pas parvenue. Plus de vingt manuscrits de la bibliothèque abbatiale de Saint-Gall (datés du VIIIe au XIIe s.) abordent, sous forme de textes ou de tableaux, le comput, dont les règles, combinant l'astronomie et l'arithmétique, permettaient de calculer la date de Pâques et donc de toutes les fêtes mobiles de l'année. Pour sa part, la bibliothèque abbatiale d'Einsiedeln possède deux manuscrits du Xe s. (Codex 298 et 358) contenant la Geometria I du Pseudo-Boèce et l'Arithmetica de Boèce. Quelques manuscrits mathématiques médiévaux sont en outre conservés dans les bibliothèques universitaires suisses.
A la veille de l'époque moderne, le concile de Bâle (1431-1449) créa une institution dont sortit en 1460 l'université de Bâle. Grâce à cette fondation, la ville devint bientôt l'un des centres de l'humanisme et de l'imprimerie. Parmi les nombreux livres de mathématiques parus à Bâle, il faut citer l'édition intégrale en grec des Eléments d'Euclide (1533) par l'helléniste et théologien bâlois Simon Grynaeus, qui procura aussi l'Almageste de Ptolémée (1538), l'Hypotyposis astronomicarum positionum de Proclus Diadoque (1540) et de nombreux traités de et sur Aristote. L'editio princeps des œuvres d'Archimède en grec et en latin (1544), par Thomas Gechauff, dit Venatorius, eut aussi un grand retentissement, de même que les éditions d'Euclide et de Diophante dues à Wilhelm Holtzmann, dit Xylander. Bâle est le seul endroit de Suisse où il y eut en permanence, depuis le XVIe s., une chaire de mathématiques; parmi ses titulaires (au début chargés d'enseigner l'ensemble du quadrivium) figurent Glaréan, Christian Wurstisen, Peter Megerlin et pendant plus d'un siècle, à partir de 1687, des membres de la famille Bernoulli.
Dans les académies et collèges agrandis ou fondés après la Réforme à Zurich (1525), Berne (1528), Lausanne (1537), Genève (1559) et Fribourg (1582), on ne trouve pas, avant le début du XVIIIe s., de chaires de mathématiques. La branche était généralement enseignée par un philosophe ou un théologien, ou dans quelques leçons marginales. Elle suscitait néanmoins occasionnellement, dans ces villes aussi, un intérêt plus poussé de la part de savants, d'ingénieurs (Génie), de cartographes (Cartographie), d'arpenteurs, de faiseurs d'instruments, d'arquebusiers et de maîtres d'arithmétique. A Zurich, par exemple, Leonhard Zubler mit au point de nouveaux instruments de mesure géométriques; Johann Ardüser, ingénieur de la ville, rédigea les douze volumes de sa Geometriae theoricae et practicae (1627) et un ouvrage d'architecture resté inédit; le bailli Hans Heinrich Rahn publia une Teutsche Algebra […] (1659, trad. anglaise augmentée par John Pell en 1668). Mais la ville, en bannissant en 1661 le copernicien Michael Zingg, son maître de mathématiques depuis 1648, porta un coup à la culture locale de la discipline. A Bâle, plusieurs manuels élémentaires d'arithmétique et d'arpentage publiés après 1550 répondirent aux besoins croissants des professionnels du commerce, du bâtiment et de l'administration publique (Comptabilité, Cadastration). Ein Newes, Wolgegruendtes Kunst- und Nutzliches Rechebuechlein [...] du maître d'école Johann Fridolin Lautenschlager fut en 1598 l'un des premiers ouvrages édités à Fribourg. A Berne, Johann Rudolf von Graffenried publia ses Arithmeticae logisticae popularis libri IIII (1618). Quelques mathématiciens suisses s'illustrèrent à l'étranger, comme Konrad Dasypodius (édition d'Euclide, horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg), Jost Bürgi (logarithmes, Coss), Paul Guldin (théorèmes de Guldin), Barthélemy Souvey (théorie des indivisibles) ou Johann Baptist Cysat (Mathemata astronomica). Ces trois derniers étaient jésuites, comme une douzaine d'autres mathématiciens suisses qui enseignèrent quelques temps dans des institutions étrangères aux XVIIe et XVIIIe s. (surtout à Dillingen, Ingolstadt et Fribourg-en-Brisgau).
Auteur(e): Erwin Neuenschwander / PM
L'âge d'or des mathématiques suisses commença avec l'accession de Jacques Bernoulli à la chaire de Bâle en 1687. Bernoulli appliqua le calcul intégral et différentiel développé par Leibniz à des séries, à diverses courbes classiques et aux problèmes du calcul des variations. Son traité posthume Ars conjectandi (1713) eut un rôle fondamental pour le calcul des probabilités. Après sa mort (1705), sa chaire passa à son frère cadet Jean, qui mit au point une théorie générale de l'intégration des fonctions rationnelles, de nouvelles méthodes de résolution des équations différentielles et proposa de nombreuses applications du calcul infinitésimal en physique et en astronomie. Il compta parmi ses élèves ses trois fils, Daniel, Jean et Nicolas, ainsi que Leonhard Euler, encore plus fameux. Ce dernier, ne pouvant avoir à Bâle ni la chaire de mathématiques, déjà occupée, ni, vu son jeune âge, celle de physique quand elle se libéra en 1727, fit carrière à Saint-Pétersbourg et à Berlin.
Euler a durablement influencé par son œuvre monumentale tous les domaines des mathématiques et de la physique. Les manuels de sa "trilogie", Introductio in analysin infinitorum (1748), Institutiones calculi differentialis (1755) et Institutiones calculi integralis (1768-1770), présentent une synthèse magistrale des mathématiques supérieures de l'époque. Ses Elémens d'algèbre (2 vol., 1770; trad. franç., 1794-1795) furent l'un des plus grands succès de tous les temps, dans son domaine (100 000 exemplaires). L'académie pétersbourgeoise, où il travailla, sut attirer au XVIIIe s. d'autres mathématiciens et naturalistes suisses: citons Daniel, Nicolas et Jacques Bernoulli (deuxième et troisième générations), Johann Albrecht Euler, Niklaus Fuss et Jacob Hermann.
En 1724, l'académie de Genève institua une chaire de mathématiques, dont les premiers occupants furent Jean-Louis Calandrini et Gabriel Cramer (1704-1752). Le second ouvrit la voie à l'algèbre linéaire en exposant dans une annexe à son Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (1750) la règle, dite de Cramer, sur la résolution explicite des systèmes d'équations linéaires au moyen des déterminants inventés par Leibniz. Parmi ses successeurs, on compte Louis Necker, Louis Bertrand et Simon-Antoine L'Huillier. Le philosophe et mathématicien Jean-Pierre de Crousaz, professeur à l'académie de Lausanne, est l'auteur d'un traité sur la théorie des courbes et des surfaces (1718), d'un commentaire (1721) sur le calcul infinitésimal du marquis Guillaume de l'Hôpital et d'un Traité de l'algèbre (1726). Son petit-fils Jean Philippe Loys de Cheseaux fut une autorité en physique mathématique; en annexe de son Traité de la comète (1743-1744), il se demanda quatre-vingts ans avant Wilhelm Olbers pourquoi le ciel était sombre la nuit (paradoxe d'Olbers); dans un bref article intitulé Probabilités sur la longueur de la vie humaine, il anticipa certains aspects du calcul actuariel.
L'académie de Berne créa en 1736 une chaire extraordinaire de mathématiques, devenue ordinaire en 1749. Parmi les mathématiciens du XVIIIe s., il faut citer encore Thomas Spleiss et Christoph Jezler, maîtres au Collegium humanitatis de Schaffhouse, ainsi que Johann Heinrich Lambert, de Mulhouse, ville alliée. Esprit universel, auteur d'importantes contributions sur la géométrie non euclidienne et descriptive, précurseur du calcul logique de George Boole et de Gottlob Frege, Lambert prouva l'irrationalité de π. La plupart des savants mentionnés entretenaient d'étroites relations personnelles; souvent anciens élèves des Bernoulli à Bâle ou d'Euler, ils se soutenaient entre eux dans leurs carrières (ainsi Euler recommanda Lambert à Berlin) et, tel Cramer publiant les écrits des Bernoulli, s'occupaient d'éditer les œuvres complètes de leurs aînés.
Auteur(e): Erwin Neuenschwander / PM
Aux bouleversements politiques de la première moitié du XIXe s. correspondit dans le domaine des sciences le remplacement des anciennes structures par de nouvelles. Cette époque compte peu de mathématiciens importants; à l'instar du Bernois Jakob Steiner (1796-1863) et du Genevois Charles François Sturm, ils travaillèrent surtout à l'étranger. Les universités suisses à leurs débuts, pour autant qu'elles aient possédé une chaire de mathématiques (toujours unique), la confiaient souvent à des spécialistes des applications pratiques, telles que la triangulation qui se développait alors pour la cartographie. Aidé par Ferdinand Rudolf Hassler et Jean-Frédéric d'Ostervald, Johann Georg Tralles, professeur à Berne, mesura entre 1788 et 1803, au moyen de chaînes étalonnées et de piquets en fer, plusieurs lignes de base longues de 2 à 13 km, auxquelles furent ensuite rattachés les réseaux de triangulation des cantons de Berne et de Neuchâtel. De manière analogue, Daniel Huber, professeur à Bâle, réalisa entre 1813 et 1824 la mensuration du canton. Friedrich Trechsel, successeur de Tralles, et Johannes Eschmann, privat-docent à Zurich, participèrent à la triangulation fédérale conduite par le futur général Dufour.
Les recherches de haut niveau en mathématiques pures ne reprirent en Suisse qu'après la fondation du Polytechnicum de Zurich en 1855 (Ecoles polytechniques fédérales (EPF)). Celui-ci institua dès ses premières années cinq chaires de mathématiques (sur trente-cinq env.) pour la formation de base des futurs ingénieurs, occupées notamment par Joseph Wolfgang von Deschwanden (qui fut aussi le premier directeur de l'EPF) et Joseph Ludwig Raabe, qui enseignait auparavant au gymnase et à l'université de Zurich. Johann Karl Kappeler, deuxième président du conseil de l'EPF, développa systématiquement les activités de recherche et attira, pour assurer la relève, de nombreux savants allemands; plusieurs d'entre eux occuperont, en une succession rapide, la chaire de Raabe devenue vacante, certains s'en servant comme d'un tremplin pour une carrière en Allemagne: tel fut le cas de Richard Dedekind, Elwin Bruno Christoffel, Hermann Amandus Schwarz, Ferdinand Georg Frobenius. Parmi leurs collègues au XIXe s., il faut mentionner Friedrich Emil Prym, Heinrich Weber (1843-1913), Friedrich Hermann Schottky, Adolf Hurwitz, Hermann Minkowski et les Suisses Carl Friedrich Geiser, Wilhelm Fiedler et Ferdinand Rudio. Comme la plupart des étudiants avaient un niveau insuffisant à leur arrivée, Kappeler créa en 1866 une école normale pour maîtres de mathématiques et de sciences naturelles (division VI de l'EPF), qui devint la section pédagogique des sciences mathématiques et physiques (1909), puis la section de mathématiques et physique (1932).
L'université de Zurich, fondée en 1833, eut un professeur ordinaire de mathématiques dès 1837, en la personne d'Anton Müller, de Heidelberg, à peine connu internationalement, à qui succédèrent Arnold Meyer-Keyser, Heinrich Burkhardt et Ernst Zermelo (le corps enseignant comprit aussi, notamment, Karl Gräffe). En 1897, les mathématiciens zurichois organisèrent le premier congrès international de leur discipline. Après la fondation de l'EPF, qui n'obtint qu'en 1909 le droit de décerner le grade de docteur, les deux hautes écoles zurichoises entretinrent par moments une étroite collaboration (locaux communs et partage de l'enseignement de certains professeurs).
Hermann Weyl, professeur à l'EPF de Zurich, fut l'un des mathématiciens les plus importants et les plus complets de la première moitié du XXe s. Sous l'influence d'Einstein, son collègue à l'EPF, il écrivit un ouvrage pionnier sur la théorie de la relativité générale, Raum-Zeit-Materie (1918). Plus tard, il s'occupa de la théorie de la représentation linéaire de groupes de Lie et des aspects théoriques du rôle des groupes en mécanique quantique. George Pólya travailla sur l'analyse, la théorie analytique des nombres, les statistiques mathématiques et la stratégie à adopter pour résoudre un problème, Ferdinand Gonseth sur les fondements et la philosophie des mathématiques. Heinz Hopf, successeur de Weyl, fut l'un des pionniers de la topologie algébrique. A l'université de Zurich, Karl Rudolf Fueter enseigna la théorie des nombres et l'analyse dans le domaine des quaternions, Andreas Speiser la théorie des groupes ainsi que l'histoire et la philosophie des mathématiques, Paul Finsler la géométrie différentielle et les fondements des mathématiques. En 1932, les mathématiciens zurichois organisèrent le neuvième congrès international, qui réunit 667 participants de trente-cinq pays.
Ludwig Schläfli, auteur de contributions essentielles sur la géométrie algébrique et à n dimensions, ainsi que sur l'analyse, est le plus réputé des mathématiciens bernois du XIXe s. Faute d'un emploi convenablement rétribué, il devait compléter son revenu comme liquidateur auprès de la Caisse nationale suisse de prévoyance. On trouve à Fribourg Mathias Lerch et Michel Plancherel, futur recteur de l'EPF; à Genève, Dmitry Mirimanoff et Henri Fehr, cofondateur en 1899 et éditeur de la revue L'enseignement mathématique.
Pour les échanges d'idées, les sociétés de sciences naturelles (Sociétés savantes) jouèrent un rôle important au XIXe s. et dans la première moitié du XXe. Celle de Zurich, fondée en 1746 déjà, accueillait de temps en temps un mathématicien comme conférencier. La Société helvétique des sciences naturelles (SHSN, née en 1815) eut dès 1871 une éphémère section de mathématiques. Le lancement de l'édition des œuvres d'Euler en 1907 aviva le besoin d'une société spécifique. Fondée en 1910 à Bâle sous l'égide de la SHSN, la Société mathématique suisse comptait environ 500 membres en 2008; elle organise des colloques et publie, outre un bulletin hebdomadaire, les Commentarii mathematici helvetici (dès 1929) et la Revue de mathématiques élémentaires (dès 1946). La Société suisse des professeurs de mathématique et de physique (env. 1000 membres en 2008) naquit en 1901 comme association réunissant les maîtres de mathématiques des gymnases suisses. Hermann Kinkelin, mathématicien et conseiller national bâlois, fut le premier président, en 1905, de l'Association des actuaires suisses (Association suisse des actuaires dès 1989); il prit aussi part à la fondation de la Société suisse de statistique. Le développement du secteur des assurances privées et publiques aux XIXe-XXe s. offrit aux mathématiciens un nouveau champ d'activité professionnelle. Gottfried Georg Schaertlin, Christian Moser, Samuel Dumas et Arnold Bohren se firent un nom dans ce domaine.
Auteur(e): Erwin Neuenschwander / PM
Après la Deuxième Guerre mondiale, la recherche scientifique connut un développement rapide. L'évolution de la microélectronique, de l'automatisation, des télécommunications et de l'informatique fit passer la société de l'ère industrielle à celle des services. En même temps, l'ordinateur rendit possible des opérations d'un ordre de grandeur sans précédent et le recours à des méthodes de travail inédites dans la résolution des problèmes. La croissance ininterrompue des équipements électroniques, bientôt complétés par des réseaux d'échange de données (Internet), entraîna une informatisation toujours plus marquée de la production et de la société. En 1948 déjà, Eduard Stiefel (1909-1978) fondait à l'EPF de Zurich un institut de mathématiques appliquées qui expérimenta de nouvelles méthodes de calcul numérique, de nouveaux langages de programmation et son propre ordinateur (Ermeth). Vers 1970, de nouveaux domaines et instituts (informatique, recherche opérationnelle) se dessinèrent dans les mathématiques appliquées.
Les méthodes mathématiques servaient déjà aux anciens Babyloniens pour calculer le cours des corps célestes (Astronomie); depuis l'Antiquité (Archimède) et dans une mesure croissante depuis la Renaissance (Galilée, Newton), elles interviennent aussi en physique. De nombreux mathématiciens des XVIIIe et XIXe s. (Euler, Joseph Louis de Lagrange, Carl Friedrich Gauss) apportèrent d'importantes contributions à ces deux sciences. Cette évolution culmina dans l'institutionnalisation d'une nouvelle discipline, la physique théorique, que l'on ne saurait maîtriser sans de profondes connaissances mathématiques. Parallèlement, les mathématiques pénétraient de plus en plus le monde de la technique. Aujourd'hui, méthodes et procédés mathématiques sont une nécessité pour presque toutes les sciences et techniques: modèles numériques en hydrodynamique, en météorologie ou pour le pilotage des satellites, calcul scientifique pour la simulation sur ordinateur de processus complexes dans le but d'éviter de coûteuses expériences réelles, programmation mathématique et théorie de l'approximation pour l'implémentation efficace de fonctions sur des ordinateurs et pour l'approche de solutions optimales, conception assistée par ordinateur en design industriel, théorie des nombres pour le codage et la compression dans la transmission de données, théorie des probabilités pour l'analyse des risques dans le domaine des assurances et pour le développement de nouveaux instruments financiers, statistique pour la mise en valeur de données en tous genres, géométrie pour la compréhension de l'univers.
Cette extension s'est reflétée dans les aménagements de l'enseignement des mathématiques au niveau des écoles supérieures, dans les nouveaux emplois offerts aux mathématiciens et dans le soutien du Fonds national (créé en 1952) à des activités de recherche en plein essor. Entre 1945 et 2008, le nombre des chaires de mathématiques dans les hautes écoles suisses a quintuplé. En 1964, Beno Eckmann fonda à l'EPF de Zurich l'institut de recherches en mathématiques, dirigé ensuite par Armand Borel et Jürgen Moser. Depuis 1968, un troisième cycle romand de mathématiques est organisé pour les diplômés de la discipline. Le RiskLab (institut spécialisé en mathématiques financières) a été fondé en 1994 à l'EPF de Zurich en collaboration avec les grandes banques suisses, le Centre interfacultaire Bernoulli à l'EPF de Lausanne en 2002 et la Zurich Graduate School in Mathematics en 2003, dans le sillage de la réforme de Bologne. Zurich vit affluer 2536 participants au congrès international des mathématiciens de 1994 et plus de 3000 au sixième congrès international de mathématiques industrielles et appliquées, en 2007.
Parmi les mathématiciens les plus éminents du XXe s., il faut mentionner Paul Bernays (logique et fondements des mathématiques) et Walter Saxer (sciences actuarielles, conseiller de l'AVS) à l'EPF de Zurich; Rolf Nevanlinna (analyse complexe) et Bartel Leendert van der Waerden (algèbre, géométrie algébrique, histoire des sciences) à l'université de Zurich; Alexander M. Ostrowski (théorie de la valuation, analyse numérique) et Martin Eichler (analyse complexe, formes quadratiques) à Bâle; Hugo Hadwiger (fondement algébrique de la théorie de la mesure et de la capacité) à Berne; Georges de Rham (variétés différentiables) à Lausanne; Michel Kervaire et André Häfliger (topologie algébrique) à Genève.
Auteur(e): Erwin Neuenschwander / PM