Document ID: /fineweb-2-swissfilter-quality_10-filterrobots/filtered/03301.jsonl.gz/864

Das Geld ist erbeutet und liegt in einer Truhe. Doch die zehn Räuber trauen einander nicht. Wie müssen sie die Truhe verschliessen, damit niemand mit dem Geld verduften kann?
Ganoven, Geld, Schlüssel und Schlösser – das sind gängige Zutaten für eine Knobelaufgabe. Eine besonders schöne Variante möchte ich euch hier vorstellen:
Zehn Männer haben gemeinsam einen Safe geknackt und verstauen das gestohlene Geld in einem Versteck in einer grossen Truhe.
Die Räuber misstrauen einander. Daher beschliessen sie, die Truhe so zu verschliessen, dass nur vier beliebige Räuber gemeinsam die Truhe öffnen können. Sind weniger als vier Räuber anwesend, darf sich die Truhe nicht aufschliessen lassen.
Wie viele verschiedene Vorhängeschlösser müssen an der Truhe angebracht werden, damit das gelingt? Und wie viele Schlüssel werden benötigt?
Hinweis: Zwei Schlösser sind offenbar zu wenig, weil dann ja nicht ausgeschlossen werden kann, dass zwei zufällig ausgewählte Räuber gemeinsam die beiden erforderlichen Schlüssel besitzen und zu zweit an das Geld kommen.
Man benötigt 120 verschiedene Schlösser mit je sieben Schlüsseln – also insgesamt 840 Schlüssel.
Laut Aufgabenstellung dürfen drei zufällig ausgewählte Räuber die Truhe nicht aufkriegen. Das gelingt, wenn es ein Schloss gibt, für das keiner der drei Räuber einen Schlüssel hat. Dafür besitzen aber alle anderen abwesenden sieben Räuber den passenden Schlüssel. Kommt ein beliebig ausgewählter vierter Räuber zu den drei Anwesenden hinzu, lässt sich das Schloss auf jeden Fall sofort öffnen.
Dieses Prinzip muss für alle denkbaren Räubertrios gelten. Wenn drei Ganoven zusammenkommen, fehlt ihnen ein Schlüssel, den alle sieben abwesenden Räuber besitzen.
Jetzt kommt die Kombinatorik ins Spiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei Räuber aus zehn auszuwählen? Die Lösung lautet 10 über 3 = 10!/(3! • 7!) – auch Binomialkoeffizient genannt.
Wir können diese Zahl auch direkt ausrechnen. Es gibt 10 • 9 • 8 = 720 Varianten, drei natürliche Zahlen im Bereich von 1 bis 10 auszuwählen. Diese Auswahl enthält aber noch Vertauschungen (Permutationen). Beispielsweise gelten 2,5,7 und 5,2,7 noch als unterschiedliche Varianten.
Das soll natürlich so nicht sein. Deshalb teilen wir die 720 durch die Zahl möglicher Vertauschungen von drei Zahlen und kommen auf 720/3 • 2 = 120.
120 ist die Anzahl verschiedener Schlösser, die gebraucht werden. Nur dann existiert für jede Auswahl von drei Räubern genau ein Schloss, das dieses Trio nicht öffnen kann. Kommt ein vierter Räuber hinzu, ist der noch fehlende Schlüssel da.
Für jedes der 120 Schlösser werden daher genau sieben Schlüssel benötigt. Also gibt es insgesamt 7 • 120 = 840 Schlüssel. Jeder der zehn Ganoven bekommt 84 Schlüssel.
Das sind ziemlich viele – und auch eine Truhe mit mehr als 100 Vorhängeschlössern erscheint ein wenig unrealistisch. Aber wenn die Räuber einander so misstrauen, haben sie keine andere Wahl.