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Hans Walser, [20160117]
Kreisfigur im Quadrat
Anregung: Renato Pandi
Eine Kreisfigur im Quadrat wird durch Tangenten zu einem Stern erweitert. Die relevanten Punkte lassen verschiedene Dreiecke zu. Es werden insbesondere die gleichschenkligen Dreiecke besprochen.
ZunŠchst zeichnen wir im Quadrat Viertelkreise gemЧ Abbildung 1.
Abb. 1: Viertelkreise im Quadrat
Nun zeichnen wir die Tangenten an die Viertelkreise in deren Schnittpunkten und erhalten so einen achtzackigen Stern mit den Symmetrien des Quadrates (Abb. 2).
Abb. 2: Stern mit acht Spitzen
Nun wŠhlen wir aus den insgesamt 16 Punkten (Eckpunkte des Quadrates, Eckpunkte des Bogen-Viereckes, Sternspitzen) jeweils drei Punkte aus, die ein gleichschenkliges Dreieck bilden. Der Autor hofft, dass er alle Beispiele gefunden hat. Sie werden im Folgenden gemЧ den Winkeln an der Spitze aufgelistet. Wegen der vierteiligen Symmetrie werden jeweils immer vier Beispiele miteinander vorgestellt. Falls sich die Dreiecke źberlappen, sind nicht alle vier gezeichnet, sondern nur zwei oder nur eines.
Fast alle vorkommenden Spitzenwinkel sind Vielfache von 30ˇ. Es gibt aber zwei Ausnahmen.
Bei einem Spitzenwinkel von 30ˇ messen die beiden Basiswinkel je 75ˇ. Die Abbildung 3 zeigt die vom Autor gefundenen Beispiele.
Abb. 3: Spitzenwinkel 30ˇ
Gleichseitige Dreiecke (Abb. 4).
Abb. 4: Gleichseitige Dreiecke
Das sind halbe Quadrate (Abb. 5).
Abb. 5: Spitzenwinkel 90ˇ
Abb. 6: Spitzenwinkel 120ˇ
Abb. 7: Spitzenwinkel 120ˇ
Fźr den Spitzenwinkel des Beispiels der Abbildung 8 finden wir:
Abb. 8: Spitzenwinkel etwa 19.79218ˇ
Fźr den Spitzenwinkel des Beispiels der Abbildung 9 finden wir:
Abb. 9: Spitzenwinkel etwa 47.58795ˇ
Die folgenden Fotos zeigen ein Nagelbrett (Geobrett) mit NŠgeln in den Positionen der Punkte der Abbildung 2. Mit GummibŠndern werden Dreiecke aufgespannt.
Abb. 10: Spitzenwinkel 30ˇ
Abb. 11: Gleichseitige Dreiecke
Abb. 12: Spitzenwinkel 120ˇ