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Animation sonorisée d’une particule décrivant l’attracteur de Lorenz. La tonalité (mineure ou majeure) et la fréquence du son renseignent respectivement sur la localisation (aile gauche ou aile droite) et sur la vitesse de la particule.
Chaque fois que nous cherchons à visualiser des systèmes complexes, nous sommes confrontés au même problème : le nombre de paramètres de ces systèmes dépasse celui que les techniques standard de visualisation peuvent prendre en compte. Si nous considérons l’évolution d’un ensemble de données relatives à l’atmosphère par exemple, les paramètres typiques à représenter simultanément pourraient être la température, la pression et la vitesse. Dans une représentation à deux dimensions, la couleur peut être utilisée pour la température, des lignes de niveau pour la pression et des vecteurs pour la vitesse. Et l’évolution temporelle peut être rendue à l’aide d’une animation. Mais si nous souhaitons en plus faire figurer la composition de l’atmosphère sur l’image, ou obtenir une représentation en trois dimensions, les informations visuelles qu’il faudrait rajouter rendraient l’image confuse et n’élucideraient pas le problème. L’usage du son comme outil d’analyse complémentaire à la visualisation peut apporter une aide précieuse [1] [2].
Le modèle de Lorenz
Lorsqu’une couche horizontale de fluide d’extension infinie est chauffée dans sa partie inférieure, le fluide subit des mouvements convectifs et son comportement peut être décrit, après quelques hypothèses simplificatrices, par trois équations différentielles ordinaires, appelées équations de Lorenz :
Paramètres
Pr est le nombre de Prandtl qui exprime le rapport de la viscosité cinématique à la diffusivité thermique. Lorsque Pr=1, le taux d’échange de quantité de mouvement par diffusion entre filets fluides est égal au taux d’échange de chaleur. r est directement lié à la différence de température appliquée au fluide en convection et constitue le paramètre de bifurcation. b est lié aux dimensions de la couche de fluide, plus précisément au rapport hauteur/largeur de la couche. De nombreux travaux ont été effectués avec les valeurs initialement adoptées par Lorenz, soit Pr=10, b=8/3 et r positif variable.
Nous avons réalisé avec Mathematica une animation donnant la trajectoire suivie par une particule décrivant l’attracteur de Lorenz. Le son, également généré avec Mathematica, renseigne sur la localisation de la particule - tonalité mineure lorsqu’elle se trouve sur l’aile gauche et majeure lorsqu’elle est sur l’aile droite. La « hauteur » de la « mélodie » renseigne sur la vitesse de la particule.
{x0, y0, z0} = {-5.72, -9.86, 14.49};
tinit = 0; (* temps initial *)
tfinal = 19.4;(* durée de la simulation *)
Δt = 0.1;(* pas *)
b = 8/3;
Pr = 10;
r = 28.75;
Activités proposées
Résolvez les équations de Lorenz.
Dessinez la trajectoire correspondant à la solution.
Réalisez une animation sur cette trajectoire.
Construisez un son qui renseigne sur le mouvement obtenu.
Voir aussi : Lorenz Attractor from Wolfram Demonstrations Project.