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Hans Walser, [20161207]
†berlappung
Es wird eine unendlich gro§e FlŠche in einen begrenzten Bereich gepackt. Die Figur hat eine fraktale Struktur.
Wir beginnen mit einem leicht transparenten roten Quadrat der SeitenlŠnge 1. Diesem setzen wir links und rechts oben je ein blaues Quadrat an, deren SeitenlŠngen je um den Faktor verkźrzt sind (Abb. 1). Die beiden blauen Quadrate haben zusammen den gleichen FlŠcheninhalt wie das rote Quadrat.
Abb. 1: Erster Schritt
Den beiden blauen Quadraten setzen wir nun je zwei entsprechend verkleinerte rote Quadrate an (Abb. 2). Zwei der vier neuen Quadrate berźhren sich.
Abb. 2: Zweiter Schritt
Die vier neuen roten Quadrate sind flŠchenmЧig insgesamt gleich gro§ wie die beiden blauen zusammen und damit auch gleich gro§ wie das rote Startquadrat.
Im dritten Schritt setzen wir insgesamt acht kleine blaue Quadrate an (Abb. 3). Teilweise berźhren sie sich. Die FlŠchensumme dieser acht kleinen blauen Quadrate entspricht dem FlŠcheninhalt des roten Startquadrates.
Abb. 3: Dritter Schritt
Im vierten Schritt erscheinen nun †berlappungen (Abb. 4). Sie sind am dunkleren Rot erkennbar.
Abb. 4: †berlappungen
Die Abbildung 5 gibt eine Idee des fertigen Fraktals. Wir haben immer mehr †berlappungen.
Abb. 5: AnnŠherung an das Fraktal
Jeder horizontale Farbstreifen hat bei MehrfachzŠhlung infolge †berlappung den gleichen FlŠcheninhalt wie das Startquadrat.
Da das Fraktal unendlich viele horizontale Farbstreifen hat, ist die GesamtflŠche unendlich. Die Figur hat aber in einem endlichen Bereich Platz.
In der Abbildung 6 ist die Startfigur ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck.
Abb. 6: Dreieck als Startfigur
Wir kšnnen die Figur zu einem Quadrat ergŠnzen (Abb. 7).
Abb. 7: ErgŠnzung zum Quadrat