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Hans Walser, [20160630]
Inkreise von Bogendreiecken
Ein Bogendreieck hat Kreisbgen als Seiten.
Bei drei beliebigen Kreisen mit nicht leerem Durchschnitt der drei Kreisscheiben ergeben sich acht Bogendreiecke (Abb. 1).
Abb. 1: Acht Bogendreiecke
Das innerste Bogendreieck ist konvex, die drei anschlie§enden habe eine konkave Seite, die nchsten drei sogar je zwei konkave Seiten und die als Bogendreieck interpretierte Au§enflche hat drei konkave Seiten.
Die Abbildung 2 zeigt eine Situation mit leerem Durchschnitt der drei Kreisscheiben. Wo sind hier die Dreiecke?
Abb. 2: Leerer Durchschnitt
Im Folgenden beschrnken wir uns auf die Situation der Abbildung 1.
Zu zwei Kreisen zeichnen wir die Hyperbel, welche die beiden Kreiszentren als Brennpunkte hat und durch einen Schnittpunkt der beiden Kreise verluft (Abb. 3). Aus Symmetriegrnden geht die Hyperbel auch durch den anderen Schnittpunkt. Die Punkte dieser Hyperbel haben von den beiden Kreislinien je denselben Abstand (magenta in Abb. 3). Dies ergibt sich unmittelbar aus der Abstandsdefinition der Hyperbel. Die Hyperbel hat also dieselbe Abstandseigenschaft wie die Winkelhalbierende in der Lineargeometrie. Tatschlich halbiert sie auch den Schnittwinkel der beiden Kreise.
Abb. 3: Hyperbel
Wir zeichnen nun auch die Hyperbeln der beiden anderen Kreispaare (Abb. 4). Die nunmehr drei Hyperbeln haben einen gemeinsamen Schnittpunkt. Dies ergibt sich aus der Abstandseigenschaft. Der Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des Inkreises des zentralen Bogendreieckes.
Abb. 4: Drei Hyperbeln und ein Inkreis
Nun haben wir in der Schule gelernt, dass eine Hyperbel aus zwei ãstenÒ besteht. Die bildhafte Stimmigkeit dieser Bezeichnung hat sich mir nie erschlie§en wollen, aber die Eltern sind ja frei in der Namensgebung ihrer Kinder.
In der Abbildung 5 sind die zweiten ste unserer Hyperbeln eingezeichnet.
Abb. 5: Zweite Hyperbelste
Diese zweiten Hyperbelste haben auch einen gemeinsamen Schnittpunkt, und der ist der Mittelpunkt des Inkreises des Au§endreiecks.
In der Abbildung 6 wird die Konstruktion von zwei weiteren Inkreisen dargestellt. Die Mittelpunkte sind die gemeinsamen Schnittpunkte eines Hyperbelastes und zweier Ellipsen. Die Ellipsen haben wie die Hyperbeln zwei Kreiszentren als Brennpunkte und verlaufen durch die Schnittpunkte der zugehrigen Kreise.
Abb. 6: Konstruktion mit einer Hyperbel und zwei Ellipsen
In der Abbildung 7 sind alle Kegelschnitte mit den Kreiszentren als Brennpunkten durch Schnittpunkte der Kreise dargestellt. An gemeinsamen Schnittpunkten sind entweder drei Hyperbeln oder eine Hyperbel und zwei Ellipsen beteiligt. Alle drei Ellipsen haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Auch zwei Hyperbeln und eine Ellipse haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Die Anzahl der an einem Schnittpunkt beteiligten Hyperbeln ist ungerade, die Anzahl der beteiligten Ellipsen gerade.
Abb. 7: Kegelschnitte
In der Abbildung 8 sind die acht Inkreise eingezeichnet.
Abb. 8: Die acht Inkreise
Die Abbildung 9 enthlt nur noch die Inkreise.
Abb. 9: Inkreise
Die Aufgabe, zu drei gegebenen Kreisen einen vierten Kreis zu finden, der die drei gegebenen Kreise berhrt, geht auf Apollonius (Apollonius von Perge, ca. 262 BC – ca. 190 BC) zurck.
Das Problem ist mit Zirkel und Lineal lsbar, allerdings recht aufwndig.
Die hier vorgestellte einfache Lsung mit Kegelschnitten stammt von Adrian van Roomen (1561-1615).
Kreise mit Radius ãunendlichÒ sind Geraden. Die Abbildung 10 zeigt eine Situation mit zwei Kreisen (schwarz) und einer Geraden (schwarz).
Abb. 10: Zwei Kreise und eine Gerade
Die blaue Kurve ist eine Hyperbel mit den Zentren der beiden Kreise als Brennpunkten, welche durch die Schnittpunkte der beiden Kreise verluft.
Die lila Kurven sind Parabeln. Sie haben das Zentrum eines der beiden Kreise als Brennpunkt, die Symmetrieachse senkrecht zur Geraden und verlaufen durch die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden.
Die magenta Kurve ist eine Ellipse mit den Zentren der beiden Kreise als Brennpunkten, welche durch die Schnittpunkte der beiden Kreise verluft.
Der Inkreis im Dreieck links hat sein Zentrum als Schnittpunkt der Hyperbel und zweier Parabeln.
Der Inkreis im Dreieck rechts hat sein Zentrum als Schnittpunkt zweier Parabeln und der Ellipse.
Die Abbildung 11 zeigt die volle Situation mit den acht Inkreisen.
Abb. 11: Acht Inkreise