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Gauß’sche Zahlenebene
Bisher konnten wir unsere Zahlmengen, die natürlichen, ganzen,
rationalen oder reellen Zahlen immer auf einem Zahlenstrahl linear ihrer
Größe entsprechend anordnen. Die schrittweise
Erweiterungen des Zahlensystems diente dazu ,,Lücken” in diesem
Zahlenstrahl auszufüllen. Mit den komplexen Zahlen gelingt dies nicht mehr.
Die imaginäre Einheit lässt sich nicht mehr so in den Zahlenstrahl
einordnen, dass unser gewohnter Ordnungsbegriff mit den arithmetischen
Operationen verträglich bleibt. Wir haben eine neue Dimension erhalten.
Zur graphischen Darstellung komplexer Zahlen
benutzt man nun die (x,y)-Ebene, wobei man die Zahl z=x+iy mit dem
Punkt (x,y) identifiziert. Diese Interpretation der Ebene als
komplexe Zahlen nennt man die Gauß’sche Zahlenebene.
Diese Idee ist sehr nützlich. Man kann dies dadurch rechtfertigen, dass
i ja sicher von jeder reellen Zahl verschieden ist. Man kann also die
Menge der rein imaginären Zahlen i· x für die x ∈ ℝ,
als eigenen Zahlenstrahl ansehen, der sich nur im Nullpunkt mit der
reellen Achse schneidet. Die weiteren Zahlen liegen dann entprechend ihrer
reellen und imaginären Koordinaten in der komplexen Ebene.
Dabei sind geometrische Überlegungen oft sehr nützlich, um das
"Verhalten"
der komplexen Zahlen zu verstehen.
Besonders bei den Polarkoordinaten hilft eine geometrische
Sicht auf die Zusammenhänge.
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HEVEA.