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Le Parachutiste
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Le but de cet article est de définir le temps de chute minimal d’un parachutiste, pour cela il doit ouvrir son parachute le plus tard possible et arriver au sol avec une vitesse inférieure à 10 m/s pour qu’il puisse se poser en toute sécurité.
Grâce à Stella, nous pouvons obtenir une représentation graphique de la position et de la vitesse en fonction du temps.
Nous pourrons alors résoudre ce problème.
Introduction
Lorsqu’un parachutiste effectue un saut, celui-ci est soumis à deux forces. Premièrement celle de la pesanteur (vers le bas), le parachutiste subit alors une accélération qui nous est donnée par :
a=force de pesanteur/masse
(la force de pesanteur est égale à m*g)
Deuxièmement, le parachutiste subit une autre force opposée à celle de la pesanteur, la force de frottement (vers le haut) qui dépend de plusieurs facteurs qui sont la masse volumique de l’air (rho), la section apparente du parachute (S), du coefficient de forme (C), ainsi que du carré de la vitesse du parachutiste.
Ainsi la force de frottement nous est donnée par la formule suivante :
Ffrot=0.5*rho*S*Cx*v^2
Donc l’accélération du parachutiste est définie par la différence entre la force de frottement et la force de pesanteur, le tout divisé par la masse :
a=(Ffrot-Fp)/m
Avec cela nous pouvons définir le modèle de base qui nous permettra de simuler la chute du parachutiste, nous retrouverons bien entendu les différentes formules ci-dessus décomposées en flux et réservoirs.
- modèle de base permettant de représenter graphiquement la position et la vitesse en fonction du temps
Nous obtenons un modèle plutôt simple, cependant il y a quelques petites manipulations à effectuer. Tout d’abord, les deux flux doivent être convertis en BIFLOW. De plus, il est nécessaire de cocher la case "non-negative" présente dans le réservoir de la position.
Maintenant, nous pouvons intégrer les valeurs suivantes :
(Le r n’est pas nécessaire dans le modèle de base, mais il nous sera utile dans le modèle final.)
Une fois les valeurs intégrées, nous pouvons obtenir le graphique de la vitesse (coube bleu) et de la position (courbe rouge) en fonction du temps.
- graphique du modèle de base permettant de simuler la chute libre d’un parachutiste.
Le graphique ci-dessus décrit la chute de notre parachutiste sans qu’il n’ait ouvert son parachute. On peut voir qu’il chute rapidement et que sa vitesse augmente considérablement.
Cependant, cette vitesse atteint une valeur limite (environ -27 m/s) qui est décrite sur le graphique par la droite bleue
parallèle à l’axe x. On peut voir aussi que notre parachutiste atteint le sol avec une vitesse beaucoup trop élevée.
Le parachute lui permettra de ralentir sa vitesse car l’ouverture du parachute augmentera fortement la force de frottement et diminuera, par conséquent, la vitesse de notre parachutiste.
Explication du problème
La suite de cet article se complique un petit peu. En effet, nous allons intégrer de nouvelles valeurs pour pouvoir simuler la chute du parachutiste combinée avec l’ouverture de son parachute. Pour cela, nous utiliserons de nouvelles fonctions.
Mais d’abord nous devons définir le nouveau modèle STELLA qui nous permettra de simuler la chute du parachutiste.
- modèle permettant de simuler la chute du parachutiste avec l’ouverture de son parachute.
Ce modèle est plus compliqué car nous avons intégré de nouvelles figures comportant de nouvelles fonctions qui sont STEP et SMTH.
Pour résumer, la fonction STEP, qui permet d’obtenir des marches, est utilisée dans le cas des variations brusques ; par exemple quand notre parachutiste ouvre son parachute.
La fonction SMTH, quant à elle, permet de lisser cette marche afin d’éviter des erreurs d’ordre numérique.
Nous avons également rajouté un rond nommé "grandeur de v" qui nous permet d’obtenir... la grandeur de la vitesse.
Les nouvelles valeurs intégrées se trouvent ci-dessous :
Ces valeurs nous permettent d’obtenir le graphique mais avant cela quelques modifications s’imposent. Tout d’abord, il faut décocher les cases non-négatives de x et v. Ensuite, il faut modifier quelques petits détails dans RUN SPECS pour pouvoir obtenir le résultat escompté.
Ces modifications se trouvent ci-dessous :
Ainsi toutes les conditions sont réunies pour que Stella puisse esquisser les courbes de la position et de la vitesse en fonction du temps :
- graphique résultant des nouvelles valeurs intégrées dans le modèle final
Durant la chute de notre parachutiste, nous obtenons à peu près les mêmes résultats que dans le premier graphique, c’est-à-dire que la vitesse de notre parachutiste accroît rapidement et que cette même vitesse arrive à une certaine limite (droite rouge parallèlle à l’axe x). On remarque que quand le parachute s’ouvre, au bout d’environ 35.50 secondes, il y a, comme prévu, une brusque diminution de la vitesse due, principalement, à l’augmentation de la force de frottement qui se traduira par une vitesse nettement moins importante que durant la phase de chute, cette vitesse diminuera jusqu’à une valeur limite soit environ 10 m/s.
Conclusion
Pour parvenir au sol avec un temps de chute minimal, le parachutiste doit ouvrir son parachute au bout d’environ 35.50 secondes, ainsi il arrivera au sol avec une vitesse inférieure à 10 m/s, ce qui veut dire que notre parachutiste atterrira bien en un seul morceau.
Notre parachutiste aura mis, à peu près, 42.75 secondes pour parcourir la distance totale de 1000 mètres.
N.B. : Pour obtenir le temps d’ouverture minimal, nous avons dû y aller par tâtonnements jusqu’à trouver une valeur d’atterrissage inférieure à 10 m/s et un temps de chute le plus court possible.