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Hans Walser, [20100523a]
Falten im Rechteck
Anregungen: E.-R. M., S. und H. S., S.
In einem Hochformat-Rechteck falten wir die rechte untere Ecke auf die obere Kante. Dann falten wir wieder zurźck.
Faltlinie
Wir fragen nun, wie die Faltlinie die senkrechten Rechtecksseiten teilt.
Das Rechteck habe die Breite 1 und die Hšhe . Bezeichnungen gemЧ Figur.
Bezeichnungen
Fźr die folgenden †berlegungen verwenden wir b als freien Parameter.
In welchem VerhŠltnis teilt der Punkt B die rechte Rechtecksseite?
Es ist zunŠchst . Aus dem blauen rechtwinkligen Dreieck ABC ergibt sich:
Aus und erhalten wir:
Daraus ergibt sich:
Satz 1
Beispiel: (DIN-Format). Mit erhalten wir am rechten Rand ein rationales TeilverhŠltnis.
Falls , dann ist auch .
Mit , und , erhalten wir fźr das blaue rechtwinklige Dreieck ABC:
Das Dreieck ABC ist also ein pythagoreisches Dreieck.
Satz 2
Beispiele:
1. Origami-Papier. Es ist . Mit erhalten wir ein pythagoreisches Dreieck.
2. US-Letter-Format. Es ist . Mit erhalten wir ebenfalls ein pythagoreisches Dreieck.
Wir ergŠnzen die Bezeichnungen:
Bezeichnungen
In welchem VerhŠltnis teilt der Punkt F die linke Rechtecksseite?
ZunŠchst ist . Daraus ergibt sich:
Da die Dreiecke BAD (magenta) und BFG (orange) Šhnlich sind, folgt:
Fźr g erhalten wir:
Fźr h ergibt sich:
Es ist also:
Satz 3
Beispiel: DIN-Format und .
Fźr die LŠnge i erhalten wir:
Wegen der Wurzel ist i in der Regel nicht rational.
Wir arbeiten mit quadratischem Papier, also .
Fźr ergibt sich:
Wir erhalten mit das einfachste pythagoreische Dreieck.
Pythagoreisches Dreieck
Am linken Bildrand haben wir das TeilverhŠltnis . Die Figur passt in ein Schachbrett.
Fźr ergibt sich:
Wir erhalten das pythagoreische Dreieck mit . Weiter ist:
Und schlie§lich gilt in diesem Beispiel:
Es sind also alle beteiligten Strecken (inklusive i) in einem rationalen VerhŠltnis.
Situation im Raster
Allgemein ergibt sich fźr :
Somit ist:
Das sind die źblichen Formeln zur Generierung der pythagoreischen Zahlentripel.
Nun ist . Wir erhalten die Formeln:
Ebenso:
Und:
Fźr ergibt sich . Dieses Beispiel verdanke ich H. S. .
b = 1
Das Beispiel findet sich in
und
http://www.wissenschaftsreisen.de/quiz.php (Lšsung des PreisrŠtsels vom Juli 2008)
In diesem Beispiel erhalten wir aus :
Es sind also — mit Ausnahme von b — alle Zahlen in einem rationalen VerhŠltnis zu einander. Die Figur passt in ein DIN-Raster.
DIN-Raster
Das Beispiel ist etwas subtil, indem wir fźr die Oberkante des Rechteckes nach links verlŠngern mźssen. Wir erhalten:
Mit Ausnahme von b stehen alle Zahlen in einem rationalen VerhŠltnis zueinander.
Die verlŠngerte Oberkante
Wir wŠhlen nun . Damit ergibt sich:
Wir haben am rechten Rand ein rationales TeilverhŠltnis, am linken Rand nicht.
Kombination mit gleichseitigem Dreieck
Nun sei . Wir erhalten:
Wir haben keine rationalen VerhŠltnisse auf der linken und der rechten Rechtecksseite.
Goldenes Rechteck
Statt zwei diametrale Ecken aufeinander zu falten, kšnnen wir auch lŠngs der Diagonalen falten.
Wir arbeiten mit und . Das ergibt:
Mit Ausnahme von b stehen alle Zahlen (inklusive i) in einem rationalen VerhŠltnis zueinander.
Gleichseitiges Dreieck
Statt zwei diametrale Ecken aufeinander zu falten, kšnnen wir auch lŠngs der Diagonalen falten. Dann kšnnen wir zum gleichseitigen Dreieck ergŠnzen. Das TeilverhŠltnis am rechten Rand entspricht dem TeilverhŠltnis der Schwerlinien.