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Hans Walser, [20090324a]
Kreisumfang. Wo steckt der Fehler?
Wir rollen einen Kreis ab und verfolgen den Weg eines Punktes auf der Kreisperipherie. Die Figurenfolge illustriert den Bewegungsablauf in acht Schritten.
Start
Erster Schritt
Zweiter Schritt
Dritter Schritt
Halbzeit
Fźnfter Schritt
Sechster Schritt
Siebter Schritt
Uff — geschafft
Die rote Kurve beschreibt den Weg eines Punktes bei einer vollen Umdrehung des Rades. Ihre LŠnge entspricht daher dem Umfang des Rades. — Stimmt das?
Bearbeitung
Stimmt nicht. In der †berlegung wurde die VorwŠrtsbewegung des Rades au§er Acht gelassen.
Bemerkungen
Die Kurve hei§t Zykloide. Wenn wir mit dem Kreisradius 1 arbeiten, ist die abgerollte horizontale Strecke ; dies ist der Kreisumfang. Die Zykloide ist offensichtlich lŠnger.
Zykloide
Zur Berechnung der ZykloidenlŠnge s gehen wir aus von der Parameterdarstellung:
Damit wird:
Nun verwenden wir die Substitution und erhalten:
Die ZykloidenlŠnge ist grš§er als der Kreisumfang. †berraschenderweise ist es eine ganze Zahl. Der Kreisumfang ist eine irrationale Zahl.