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Eine besonders große Bedeutung hat der Umkreis in der Dreiecksgeometrie.
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis, wie im Folgenden begründet wird.
Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu [AB] sind von A und B gleich weit
entfernt. Entsprechend haben die Punkte der Mittelsenkrechten zu [BC]
übereinstimmende Entfernungen von B und C. Der Schnittpunkt dieser
beiden Mittelsenkrechten ist also von allen drei Ecken (A, B und C)
gleich weit entfernt. Er muss also auch auf der dritten
Mittelsenkrechten liegen. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen
Kreis, der durch eine Ecke des Dreiecks geht, so müssen auch die anderen
Ecken auf diesem Kreis liegen.
Der Umkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten,
zählt zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks. Er trägt die
Kimberling-Nummer X3.
Sonderfälle [Bearbeiten] Für spitzwinklige Dreiecke liegt der
Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks. Beim rechtwinkligen Dreieck
ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich Umkreismittelpunkt (siehe
Satz des Thales). Im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks (mit einem
Winkel über 90°) befindet sich der Umkreismittelpunkt außerhalb des
Dreiecks.
Radius [Bearbeiten] Der Umkreisradius eines Dreiecks lässt sich mit
folgenden Formeln berechnen:
Dabei stehen die Bezeichnungen a, b, c für die Seitenlängen und α, β, γ
für die Größen der Innenwinkel. A bezeichnet den Flächeninhalt des
Dreiecks, der sich mit Hilfe der heronischen Formel berechnen lässt.
Koordinaten [Bearbeiten] Umkreismittelpunkt eines Dreiecks (X3)
Trilineare Koordinaten
Baryzentrische Koordinaten
Weitere Eigenschaften [Bearbeiten] Der Umkreismittelpunkt liegt wie der
Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden. Nach
dem Südpolsatz schneidet sich die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite
mit der Winkelhalbierenden des gegenüberliegenden Winkels stets auf dem
Umkreis. Die Entfernung zwischen Umkreismittelpunkt und
Inkreismittelpunkt beträgt , wobei R den Umkreisradius und r den
Inkreisradius bezeichnet (Satz von Euler). Die Summe der
vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den
Dreiecksseiten ist gleich der Summe aus Umkreis- und Inkreisradius
(siehe Satz von Carnot).