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Die mathematische Strategie bei Mastermind ist wirkungsvoll. Beachtet man sie, kann man ein Mastermind Spiel in rund 5 Reihen gewinnen.
Zum Mastermind-Spiel
Das Erfolgsspiel Mastermind wurde 1970 erfunden. Obwohl zuerst von den Verlagen verschmäht, wurde es 1973 unter dem Namen Mastermind von der British Association of Toy Retailers zum Spiel des Jahres ausgezeichnet.
Im deutschsprachigen Raum kannte man es auch als SuperHirn, Super Code, Variablo, LogikTrainer.
Hier befassen wir uns nur mit dem 64-Mastermind, d.h. 6 Farben und 4 Plätze.
Spielregeln
Ein Spieler (der Codierer) legt zu Beginn einen vierstelligen geordneten Farbcode fest, der aus sechs Farben ausgewählt wird; eine Farbe kann auch mehrmals verwendet werden. Der andere Spieler (der Rater) versucht, den Code herauszufinden. Dazu setzt er einen gleichartigen Farbcode als Frage; beim ersten Zug blind geraten, bei den weiteren Zügen mit Hilfe der Antworten zu den vorangegangenen Zügen.
Auf jeden Zug hin bekommt der Rater die Information, wie viele Stifte er in Farbe und Position richtig gesetzt hat und wie viele Stifte zwar die richtige Farbe haben, aber an einer falschen Position stehen. Ein Treffer in Farbe und Position wird durch einen schwarzen Stift angezeigt, ein farblich richtiger Stift an falscher Stelle durch einen weißen Stift. Es gibt auch Versionen mit roten statt schwarzen Stiften zur Anzeige von Treffern in Farbe und Position. Alle Fragen und Antworten bleiben bis zum Ende des Spiels sichtbar.
Ziel des Raters ist es, den Farbcode mit möglichst wenigen Fragen zu erraten. Es gibt auch Varianten mit zwei Spielbrettern, wo jeder zugleich auf einem Brett Rater und auf dem anderen Brett Codierer ist und beide abwechselnd fragen. Die Aufgabe des Codierers nach dem Festlegen des Farbcodes ist vollkommen vorherbestimmt; er hat keinerlei Wahl. (Wikipedia)
Wie beginnt das Spiel?
Wer den Code knacken will, muss einen ersten Vorschlag machen. Wie aber setze ich meinen ersten Vorschlag am vorteilhaftesten?
Legen wir fest, dass die 6 Farben mit ABCDEF und die Treffer in einer 2-stelligen Zahl vermerkt werden:
1. Ziffer sind die schwarzem Stecker (richtige Farbe am richtigen Platz)
2. Ziffer sind die weissen Stecker (richtige Farbe aber am falschen Platz)
Wir überlegen uns nun, welche Antworten nach dem 1. Rateversuch theoretisch möglich sind.
Theoretisch gibt es 5 verschiedene Eröffnungen. Wir bezeichnen sie mit
AAAA das sind 4 gleiche Farben
AAAB das sind 3 gleiche Farben und eine andere
AABB das sind 2 und 2 gleiche Farben
AABC das sind 2 gleiche Farben und je zwei andere Farben
ABCD das sind je 4 verschiedene Farben
Als Antwort gibt es beim 64-Mastermind nur 14 mögliche Antworten:
00 kein richtiger Platz und keine richtige Farbe
01 kein richtiger Platz aber 1 richtige Farbe
02 kein richtiger Platz aber 2 richtige Farben
03 kein richtiger Platz aber 3 richtige Farben
04 kein richtiger Platz aber 4 richtige Farben
10 1 richtiger Platz und keine richtige Farbe
11 1 richtiger Platz und 1 richtige Farbe
12 1 richtiger Platz und 2 richtige Farben
13 1 richtiger Platz und 3 richtige Farben
20 2 richtige Plätze und keine richtige Farbe
21 2 richtige Plätze und 1 richtige Farbe
22 2 richtige Plätze und 2 richtige Farben
30 3 richtige Plätze und keine richtige Farbe
40 alle Plätze sind richtig
Für Jeden Rateversuch müssen wir nun die verbleibenden Codes berechnen.
Bei 00 zum Beispiel ist klar, dass die Farbe A nicht vorkommt. Also haben wir nur noch 54-Möglichkeiten.
Bei 01 als Antwort ist die Farbkombination AAAA nicht möglich, da wenn eine Farbe stimmt, müsste sie ja auch irgendwo richtig sein. Also: n.m. = nicht möglich
|1. Rateversuch|
|Antwort||AAAA||AAAB||AABB||AABC||ABCD|
|00||625||256||256||81||16|
|01||n.m.||308||256||276||152|
|02||n.m.||61||96||222||312|
|03||n.m.||n.m||16||44||136|
|04||n.m.||n.m.||1||2||9|
|10||500||317||256||182||108|
|11||n.m.||156||208||230||252|
|12||n.m.||27||36||84||132|
|13||n.m.||n.m.||n.m.||4||8|
|20||150||123||114||105||96|
|21||n.m.||24||32||40||48|
|22||n.m.||3||4||5||6|
|30||20||20||20||20||20|
|40||1||1||1||1||1|
Insgesamt gibt es am Anfang 1’296 Kombinationen, wie die 6 Farben mit Wiederholungen gesetzt werden können. Die Möglichkeiten verringern sich bei jedem Rateversuch.
Wir lesen in der obigen Tabelle, dass der Rateversuch mit AABB die grösste Verringerung der Code-Möglichkeiten bewirkt:
|1. Rateversuch||Grösste Zahl|
|AAAA||625|
|AAAB||317|
|AABB||256|
|AABC||276|
|ABCD||312|
Fazit: Unser erster Rateversuch besteht aus 2-er Gruppen.
Wie kommt man zum zweiten optimalen Rateversuch?
Hier eine Tabelle zum zweiten Rateversuch, falls wir vorher die Variante AABB gewählt haben. In der rechten Spalte finden wir die verbleibenden Möglichkeiten.
|1. Rateversuch||Antwort||2. Rateversuch||verbleibende Codes|
|AABB||00||CCDE||46|
|01||BCDD||44|
|02||BCDD||18|
|03||ABAC||4|
|04||BBAA||fertig|
|10||ACDD||44|
|11||AACD||38|
|12||ABAC||7|
|13||n.m.||–|
|20||ABCD||20|
|21||ABBC||6|
|22||ABAC||1|
|30||ABBC||5|
|40||fertig|