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Hans Walser, [20150119]
Verallgemeinerung des Vektorprodukts
Anregung: G. G., B.
In der Schule lernt man, dass das Vektorprodukt nur fźr Raumvektoren funktioniert. Das ist eine falsche Sicht.
Wir konstruieren zu zwei Raumvektoren
die formale Matrix A:
Die EintrŠge in den ersten beiden Spalten von A sind die Komponenten der Vektoren und , die EintrŠge in der dritten Spalte sind keine Zahlen, sondern die drei Einheitsvektoren eines rŠumlichen kartesischen Koordinatensystems.
Fźr die formale Determinante erhalten wir mit der Entwicklung nach Laplace nach der dritten Spalte:
Diese formale Determinante ist ein Vektor, und zwar das Vektorprodukt der beiden Vektoren und .
In der Ebene konstruieren wir analog zu einem Vektor
die formale Matrix A:
Die EintrŠge in der ersten Spalte von A sind die Komponenten des Vektors , die EintrŠge in der zweiten Spalte sind keine Zahlen, sondern die beiden Einheitsvektoren eines ebenen kartesischen Koordinatensystems. Nun berechnen wir formal die Determinante dieser Matrix A:
Diese Determinante ist ein Vektor, und zwar der um +90ˇ gedrehte Vektor .
Wir verallgemeinern in beliebige Dimensionen n. Zu Vektoren
bilden wir die formale Matrix A:
Nun berechnen wir formal die Determinante:
Die Schreibweise , gesprochen ăcross(...)Ň, ist an die Schreibweise des Vektorproduktes angelehnt.
Die Determinante ist ein Vektor mit folgenden Eigenschaften:
á Er ist orthogonal zu jedem der Inputvektoren .
á Seine LŠnge hat bis auf das Vorzeichen dieselbe Ma§zahl wie das -dimensionale Volumen des durch aufgespannten Spates.
á Die Zuordnung ist antikommutativ. Vertauschen zweier Inputvektoren stellt die Richtung um.
Fźr die Beweise verwenden wir die Bezeichnung:
Zu einer quadratischen Matrix B bezeichnen wir mit die Determinante der Untermatrix, die sich aus B durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ergibt.
Auf Grund der Berechnung einer Determinante nach der Entwicklung der letzten Spalte ist daher:
Wir ersetzen in der Matrix A die letzte Spalte, also die Spalte mit den Einheitsvektoren, durch die Komponenten eines Vektors , :
Weil der Spaltenvektor nun doppelt vorkommt, ist . Andererseits liefert die Entwicklung nach der letzten Spalte:
Der Vektor ist also orthogonal zu jedem der Inputvektoren .
Fźr die LŠnge des Vektors gilt zunŠchst (die Vorzeichen verschwinden durch das Quadrieren):
Nun ersetzen wir in der Matrix A die letzte Spalte, also die Spalte mit den Einheitsvektoren, durch die Komponenten eines Vektors :
Die Determinante der Matrix ist also das n-dimensionale Volumen des durch die n Vektoren aufgespannten Spates. Wegen der im vorangehenden Abschnitt festgestellten OrthogonalitŠt ist dieser Spat aber ein gerades Prisma mit dem durch die Vektoren aufgespannten -dimensionalen Spat als Grundfigur. Das -dimensionale Volumen dieses Spates bezeichnen wir mit G, in Anlehnung an die GrundflŠche im rŠumlichen Fall. Es gilt also unter Berźcksichtigung allfŠlliger Vorzeichen:
Andererseits ist (Entwicklung nach der letzten Spalte):
Somit ist .
Die AntikommutativitŠt ist eine Folge der VorzeichenŠnderung beim Vertauschen zweier Spalten in einer Determinantenberechnung.