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Travaux en mathématiquesLiouville publia dans divers domaines des mathématiques, dont la théorie des nombres, l'analyse complexe, la géométrie différentielle et la topologie différentielle, mais aussi la physique mathématique et même l'astronomie.
Il est particulièrement célèbre pour son théorème de Liouville, de nos jours un résultat plutôt simple en analyse complexe. Dans la théorie des nombres, il fut le premier à prouver l’existence des nombres transcendants par une construction utilisant les fractions continues (nombres de Liouville).
En physique mathématique, la théorie Sturm-Liouville, travail conjoint avec Charles-François Sturm, est maintenant une procédure habituelle pour résoudre certains types d’équations intégrales. Il existe un second théorème de Liouville dans les dynamiques hamiltoniennes. Il s'est intéressé au problème des valeurs au bord des solutions d'équations différentielles. En ce qui concerne les intégrales elliptiques, il prouve notamment que les fonctions abéliennes sont transcendantes.