sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: 已 知 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots$, $P_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right), \cdots$, 其中, $x_{1}=1, y_{1}=0, x_{n+1}=$ $x_{n}-y_{n}, y_{n+1}=x_{n}+y_{n}\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right)$. 若 $a_{n}=$ $\overrightarrow{P_{n} P_{n+1}} \cdot \overrightarrow{P_{n+1} P_{n+2}}$ ，则满足 $\sum_{i=1}^{n} a_{i}>1000$ 的最小正整数 $n=$

Answer: 10
user: $\cos18^{\circ}+2\cos36^{\circ}+\cdots+20\cos360^{\circ}$
=_______。

Answer: 10
user: 已知函数$f(x)=\log_{2}\frac{x-3}{x-2}+\cos\pi x$。若$f(\alpha)=10$，$f(\beta)=-10$，则$\alpha+\beta$=_______。

Answer: 5
user: 已知点$P(4,2)$，过点$P$的直线$l$与$x$轴、$y$轴的正半轴分别交于$A、B$两点，$O$为坐标原点。则$\triangle AOB$周长的最小值为_______。

Answer: 20
user: 李老师为学生购买纪念品，商店中有书签、明信片、笔记本、签字笔四种类型纪念品各10件（每种类型纪念品完全相同），李老师计划购买25件纪念品，且每种纪念品至少购买一件。则共有_______种不同的购买方案（用数字作答）。

Answer: 592
user: 设$a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}\left(k\in\mathbf{Z}_{+}\right)$均为大于1的整数，且满足$$\left(a_{1}!\right)\left(a_{2}!\right)\cdots\left(a_{k}!\right)\mid2017!$$。当$k$变化时，求$\sum\limits_{i=1}^{k}a_{i}$的最大值。

Answer: 5024
user: 已知$f:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{Z}$为偶函数，且$f(1)=1,f(2017)\neq1$。若对任意的$x、y\in\mathbf{Z}$均满足
$$2f(x+y)-f(x)-f(y)\leqslant|f(x)-f(y)|$$，求$f(2018)$的所有可能值。

Answer: 1
user: 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且
$a_{1}=3,S_{n}=2a_{n}+\frac{3}{2}\left((-1)^{n}-1\right)$。
若$\left\{a_{n}\right\}$中存在三项$a_{1}、a_{p}、a_{q}(p、q\in\left.\mathbf{Z}_{+},1<p<q\right)$成等差数列，则$q-p$=______。

Answer: 1
user: 已知不等式 $\left|a x^{2}+b x+a\right| \leqslant x$ 对 $x \in$ $[1,2]$ 恒成立. 则 $3 a+b$ 的最大值为 _____.

Answer: 3
user: 在数列 $\left[\frac{1^{2}}{2019}\right],\left[\frac{2^{2}}{2019}\right], \cdots,\left[\frac{2019^{2}}{2019}\right]$ 中，共含有_____个互不相等的整数（[x]表示不超过实数 $x$ 的最大整数)。

Answer: 1515
user: 若 $\forall x \in[1,5],\left|x^{2}+p x+q\right| \leqslant 2$, 则不超过 $\sqrt{p^{2}+q^{2}}$ 的最大整数是
$\qquad$.

Answer: 9
user: 设 $a_{n}$ 是与 $\sqrt{\frac{n}{2}}$ 的差最小的整数， $b_{n}$ 是与 $\sqrt{2 n}$ 的差最小的整数，记 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n},\left\{\frac{1}{b_{n}}\right\}$的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $2 T_{100}-S_{100}$ 。

Answer: 1
user: 三个互不相等的正整数最大公约数为 20, 最小公倍数为 20000, 那么这样的不同的正整数组的个数为 $\qquad$。

Answer: 104
user: 由 $\left[\frac{1^{2}}{2023}\right],\left[\frac{2^{2}}{2023}\right], \cdots,\left[\frac{2023^{2}}{2023}\right]$ 构成的集合元素的个数为 $\qquad$.

Answer: 1518
user: 已知正整数 $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{9}$ 且 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{9}=220$, 则在 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{5}$ 取得最大值的情况下， $x_{9}-x_{1}$ 的最大值为 $\qquad$.

Answer: 9
user: 由 50 个队伍进行排球单循环比赛，胜一局积 1 分，负一局积 0 分，且任取 27 支队伍能找到一个全部战胜其余 26 支队伍和一支全部负于其余 26 支队伍的，问这 50 支队伍总共最少有 $\qquad$种不同的积分。

Answer: 50
user: 十边形内任意三条对角线都不会在其内部交于同一点, 问这个十边形所有对角线可以把这个十边形划分为 $\qquad$个区域.

Answer: 246
user: 已知 $f(x)=x^{2}-53 x+196+\left|x^{2}-53 x+196\right|$, 求 $f(1)+f(2)+\cdots+$ $f(50)$ 的值。

Answer: 660
user: 求 $k$ 的最小值，使得 $7 \times 7$ 方格表中挖去 $k$ 个格后，不存在 $T$ 字型 $(T$ 字型指一个方格及三个与其有公共边的方格构成的图形)。

Answer: 15
user: In the additive group of ordered pairs of integers $(m,n) [$with addition defined componentwise: $\left.(m,n)+\left(m^{\prime},n^{\prime}\right)=\left(m+m^{\prime}, n+n^{\prime}\right)\right]$ consider the subgroup $H$ generated by the three elements$$(3,8),\quad(4,-1),\quad(5,4).$$Then $H$ has another set of generators of the form$$(1,b),\quad(0,a)$$for some integers $a,b$ with $a>0$. Find $a$. 
[Elements $g_{i},\ldots,g_{k}$ are said to generate a subgroup $\boldsymbol H$ if $\mathrm{(i)}$ each $g_{i}\in\boldsymbol H$, and $\mathrm{(ii)}$ every $h \in\boldsymbol H$ can be written as a sum $h=n_{1}g_{1}+\cdots+n_{k}g_{k}$ where the $n_{i}$ are integers (and where, for example, $3g_{1}-2g_{2}$ means $\left.\left.g_{1}+g_{1}+g_{1}-g_{2}-g_{2}\right).\right]$

Answer: 7
user: Find positive integers $n$ and $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ such that
$$
a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=1979
$$
and the product $a_{1} a_{2} \cdots a_{n}$ is as large as possible.

Answer: 660
user: Let $p(x)=2+4x+3x^{2}+5x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+2x^{6}$. For $k$ with $0<k<5$, define $$I_{k}=\int_{0}^{\infty} \frac{x^{k}}{p(x)} d x$$ For which $k$ is $I_{k}$ smallest?

Answer: 2
user: What is the units (i.e., rightmost) digit of $\left[\frac{10^{20000}}{10^{100}+3}\right]$? Here $[x]$ is the greatest integer $\leqslant x$.

Answer: 3
user: How many primes among the positive integers, written as usual in base $10$, are such that their digits are alternating $1'$s and $0'$s, beginning and ending with $1$?

Answer: 1
user: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x 、 y 、 z$都有 
 
$$ 
\begin{aligned} 
& \frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9} , 
\end{aligned} 
$$ 
 
求 $\sum_{i=1}^{100}[i f(i)]$.其中, $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。

Answer: 1650
user: 在区间 $(0, n \pi)$ 内恰有 2022 个零点，则满足条件的正整数 $n$ 的值有 $\qquad$个。

Answer: 5
user: 已知 $\odot O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $\odot O_{2}:(x-3)^{2}+$ $y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 A, 过点 A 的直线分别交 $\odot O_{1} 、 \odot O_{2}$ 于 C 、 D 两点（ C 、 D 异于点 A ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$. 则直线 C D 的斜率是$\qquad$.

Answer: 5
user: 设 $f(x)$ 是二次函数, 且 $2 x^{2}-4 x+3 \leqslant f(x) \leqslant 3 x^{2}-6 x+4, f(3)=11$, 则 $f(5)=$?.

Answer: 41
user: 若实数 $x, y$ 满足 $4 x^{2}-4 x y+2 y^{2}=1$ ，则 $3 x^{2}+x y+y^{2}$ 的最大值与最小值的和为？

Answer: 3
user: 已知抛物线 $\Omega: y=x^{2}$, 动线段 A B 在直线 $y=\sqrt{3} x-3$ 上 ( B 在 A 右侧), 且 $|A B|=2 \sqrt{3}$. 过 A 作 $\Omega$的切线, 取左边的切点为 M. 过 B 作 $\Omega$ 的切线, 取右边的切点为 N. 当 $M N / / A B$ 时, 求点 A 的横坐标.

Answer: 0
user: Define a sequence $\left\{a_{1}\right\}$ by $a_{1}=3$ and $a_{t+1}=3^{a_{i}}$ for $i \geqslant 1$. Which integers between $00$ and $99$ inclusive occur as the last two digits in the decimal expansion of infinitely many $a_{t}$?

Answer: 87
user: Let $k$ be the smallest positive integer with the following property:
There are distinct integers $m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4}, m_{5}$ such that the polynomial
$$
p(x)=\left(x-m_{1}\right)\left(x-m_{2}\right)\left(x-m_{3}\right)\left(x-m_{4}\right)\left(x-m_{5}\right)
$$
has exactly $k$ nonzero coefficients.
Find, with proof, a set of integers $m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4}, m_{5}$ for which this minimum $k$ is achieved.

Answer: 3
user: Alice drew a regular 2021-gon in the plane. Bob then labelled each vertex of the 2021-gon with a real number, in such a way that the labels of consecutive vertices differ by at most 1. Then, for every pair of non-consecutive vertices whose labels differ by at most 1, Alice drew a diagonal connecting them. Let $d$ be the number of diagonals Alice drew. Find the least possible value that $d$ can obtain.

Answer: 2018
user: We say a $2023$-tuple of nonnegative integers $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots a_{2023}\right)$ is sweet if the following conditions hold: 
- $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{2023}=2023$, 
- $\frac{a_{1}}{2^{1}}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\ldots+\frac{a_{2023}}{2^{2023}} \leqslant 1$. 

Determine the greatest positive integer $L$ such that 
$$ 
a_{1}+2 a_{2}+\ldots+2023 a_{2023} \geqslant L 
$$ 
holds for every sweet 2023 -tuple $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2023}\right)$.

Answer: 22228
user: Every positive integer is marked with a number from the set $\{0,1,2\}$, according to the following rule: 
if a positive integer $k$ is marked with $j$, then the integer $k+j$ is marked with 0. 
Let $S$ denote the sum of marks of the first 2019 positive integers. Determine the maximum possible value of $S$.

Answer: 2021
user: 设圆 $O: x^{2}+y^{2}=5$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于点 $A\left(x_{0}, 2\right), A B$ 为圆 $O$ 的直径，过 $B$ 的直线与 $C$ 交于两不同点 $D, E$ ，则直线 $A D$ 与 $A E$ 的斜率之积为 ?

Answer: 2
user: 若实数 $x, y$ 满足 $2^{x}+4 x+12=\log _{2}(y-1)^{3}+3 y+12=0$, 则 $x+y= ?$

Answer: -2
user: 有长为 $2^{n}(n=0,1, \cdots, 1009)$ 的线段各三条, 则由这 3030 条线段能构成不全等的三角形的个数为 (用数字作答).

Answer: 510555
user: 已知 $a_{1} 、 a_{2} 、 a_{3} 、 a_{4}$ 均为实数。若集合 $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ 的所有非空真子集的元素之和为 28, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ .

Answer: 4
user: 已知 $\odot O: x^{2}+y^{2}=5$ 与抛物线 $C$ : $y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于点 $A\left(x_{0}, 2\right), A B$ 为 $\odot O$ 的直径，过点 $B$ 的直线与抛物线 $C$ 交于两点 $D$ 、 $E$ 。则 $A D$ 与 $A E$ 的斜率之积为 .

Answer: 2
user: 若实数 $x 、 y$ 满足
$2^{x}+4 x+12=\log _{2}(y-1)^{3}+3 y+12=0$,则 $x+y=$ .

Answer: -2
user: 有长为 $2^{n}(n=0,1, \cdots, 1009)$ 的线段各三条，则由这 3030 条线段能构成不全等的三角形的个数为 （用数字作答）。

Answer: 510555
user: For a positive integer $a$, define a sequence of integers $x_{1},x_{2},\ldots$ by letting $x_{1}=a$ and $x_{n+1}=2x_{n}+1$. Let $y_{n}=2^{x_{n}}-1$. Determine the largest possible $k$ such that, for some positive integer $a$, the numbers $y_{1},\ldots,y_{k}$ are all prime.

Answer: 2
user: 长为正整数 $l$ 的木棒每次都可锯成长均为正整数的 2 段，可连续进行这种操作，但要求任何时刻所有木棒中的最长者长小于最短者长的 2 倍。例如，一根长为 6 的木棒只能截成长均为 3 的两段；一根长为 7 的木棒只能截成长分别为 $2,2,3$ 的三段。试问:长为 30 的木棒最多可锯成多少段?

Answer: 6
user: 现有 6 人会英语， 4 人会日语， 2 人都会（共 12 人），从其中选出 3 人做翻译，若要求两种语言都有人翻译，则符合条件的选法共 种。

Answer: 196
user: $x \&(y \& z)=x \& y+z, x \& x=0$, 求 $2000 \& 2022$

Answer: -22
user: 对于三个正整数 $a, b, c$ ，有 $\sqrt{a+b}, \sqrt{b+c}, \sqrt{c+a}$ 三个连续正整数，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 的最小值为 .

Answer: 1297
user: 若三个正整数$a,b,c$使得$\sqrt{a+b}$，$\sqrt{b+c}$，$\sqrt{c+a}$是三个连续正整数，则$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的最小值是 ？

Answer: 1297
user: 若运算“&”满足$x\&(y\&z)=x\&y+z,x\&x=0$，则$2000\&2002$= ？

Answer: -22
user: 若定义在 $\mathbb{R}$ 上的光滑函数 $h(x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开为 $c_{k} x^{k}+c_{k+1} x^{k+1}+\cdots$,其中 $c_{k} \neq 0$ ，则定义 $\operatorname{ord}(h)=k$ ，若 $h(x)$ 在 $x=0$ 处泰勒展开系数均为 0 ，则定义 $\operatorname{ord}(h)=\infty$ ，令 $S=\left\{f(x) \mid f(x)\right.$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的光滑奇函数，满足 $\left.f^{\prime}(0)=1\right\}$ ，设
$$
m=\min \{\operatorname{ord}(f(g(x))-g(f(x))) \mid f(x) \in S, g(x) \in S\}
$$
求 $m$;
对于 $f(x), g(x) \in S$ ，设 $f^{(i)}(0)=a_{i}, g^{(i)}(0)=b_{i}, i=2,3, \ldots$ ，求 $f(g(x))-g(f(x))$在 $x=0$ 处泰勒展开式中 $x^{m}$ 的系数关于 $a_{i}, b_{i}$ 的表达式。

Answer: 7
user: 对非负实数 $x$ 令 $\pi(x)$ 为不超过 $x$ 的素数个数，如 $\pi(1)=0, \pi(2)=1$ ，再令 $f(x)$为第 $\left[\frac{x}{4}\right]+1$ 个素数, 求 $\int_{0}^{100}\left(\pi(x)+\frac{1}{4} f(x)\right) \mathrm{d} x$ 的值。

Answer: 2500
user: 得分去掉一个最高分 30 ，一个最低分 0 ，剩下个得分平均数为 10 ，方差为 1 ，则求不去掉时的平均分和方差分别为多少？

Answer: 11
user: 已知实数 x 和 y 满足 $5 x^{2}+6 x y+5 y^{2}-8 x-8 y=-3$. 记 $x+y-x^{2}-y^{2}$ 的最大值为 I ，则 $[100 I]=$？

Answer: 37
user: $I=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(2 n-k)(2 n+k)}$, 则 $[100 I]=$？

Answer: 27
user: $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\cos t)^{2}} d t$, 则 $[10 I]=$？

Answer: 11
user: $I=\int_{1}^{9} \sqrt{(x-1)(9-x)} d t$, 则 $[I]=$？

Answer: 25
user: 已知 $f(x)=e^{\sin x^{2}}$, 则 $\left[-f^{(8)}(0)\right]=$？

Answer: 5040
user: 已知 $f(x)=\ln (1+x)(x>0)$. 定义函数序列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$, 满足 $f_{n}(x)=\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f(x)(n \in N)}_{n \uparrow}$
求所有的 $x$, 使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f(x)$ 存在, 并求出该极限.

Answer: 2
user: 向量 $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)=(1,2,3,4)$, 求行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
-a_{1} & -a_{2} & -a_{3} & -a_{4} \\
-a_{2} & a_{1} & -a_{4} & a_{3} \\
-a_{3} & a_{4} & a_{1} & -a_{2} \\
-a_{4} & -a_{3} & a_{2} & a_{1}
\end{array}\right|
$$

Answer: -900
user: 记 $F(x)=\int_{0}^{x}(1+\frac{x-t}{1!}+\frac{(x-t)^{2}}{1!}+\cdots+\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}) e^{n t} d t \quad$当 $n=4$, 求 $\left.\frac{d^{4} F(x)}{d x^{4}}\right|_{x=0}$

Answer: 85
user: 考虑如下 $2021 \times 2021$ 的方阵 $M=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2021 \\ 1 & 0 & 3 & 4 & \cdots & 2021 \\ 1 & 2 & 0 & 4 & \cdots & 2021 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & \cdots & 2021 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 2021 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2021\end{array}\right)$, 这里 $M$ 的行通过依次地将行向量 $(1,2,3, \cdots, 2020,2021)$ 的某个位置替换为 0 得到. 则 $\left[\dfrac{1}{2020!} \operatorname{det} M\right]=$ ？

Answer: 4082420
user: 令 $A=\left(\begin{array}{rrr}-\frac{2}{3} & 1 & 0 \\ -1 & \frac{4}{3} & 0 \\ 2 & -\frac{4}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right)$. 令 $M=A-A^{2}+A^{3}-A^{4}+\cdots+(-1)^{n-1} A^{n}+\cdots$, 则 
$[2021 \operatorname{det} M]=$ ？

Answer: 50
user: 如果实数 $k$ 使得关于 $x, y, z$ 的线性方程组 $\begin{cases}k x+y+2 z=1 \\ 3 x+k y+4 z=1 \\ -x+2 y+z=2\end{cases}$ 无解, 则称其是一个“好实数”. 设所有好实数之和为 $I$, 则 $[I]=$ ？

Answer: 5
user: 设 $A$ 是一个 $2 \times 2$ 的可逆矩阵, 且方阵中每个位置的元素在模 3 同余系 $\mathrm{Z} / 3 Z$ 中取值。那么满足 $A^{50} \equiv I_{2}(\bmod 3)$ 方阵 $A$ 的个数为 ？

Answer: 14
user: 在模 2520 的同余系里，满足方程 $a^{2} \equiv a(\bmod 2520)$ 的元素 a 的个数为 ？

Answer: 16
user: 考虑如下的递归序列 $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}, a_{0}=-1, \quad a_{1}=1, a_{n}=-6 a_{n-1}-a_{n-2}-8, n \geq 2$, 那么 $\left[a_{9}\right]=$ ？

Answer: 9841
user: 已知下列结论成立：在复平面上的多项式 $f(z), g(z)$ 和实数 $r>0$ ，若对 $|z|=r$ ，都有 $|g(z)|<|f(z)|$ ，则在 $\{z||z|<r\}$ 中， $f(z)$ 与 $f(z)+g(z)$ 的零点数相等 (计算重数)。现已知多项式 $z^{9}+2 z^{5}-8 z^{3}+3 z+1$, 求其在 $\{z|1<|z|<2\}$ 上的零点个数（计算重数）。

Answer: 6
user: 已知线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{1}+2 a_{2}+a_{3}+a_{4}=0 \\
3 a_{1}+a a_{2}+4 a_{3}+3 a_{4}=0 \\
5 a_{1}+8 a_{2}+6 a_{3}+b a_{4}=0
\end{array}\right.
$$
的解空间维数是 $2$, 求 $[a+b]$ 的值.

Answer: 9
user: 已知 $\forall x \in R, f(x)=2 x^{4}+m x^{3}+(m+6) x^{2}+m x+2>0$, 求正整数 $m$ 的最大值。

Answer: 9
user: 已知二元函数
$f(x, y)=\sqrt{4 y^{2}-12 y+10}+\sqrt{18 x^{2}-18 x+5}+\sqrt{18 x^{2}+4 y^{2}-12 x y+6 x-4 y+1}$
的最小值为 $a$ ，求 $\left[8 a^{2}\right]$ 的值。

Answer: 80
user: 求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{1}{2}\left(2^{x}+3^{x}\right)\right]^{\frac{4}{x}}$.

Answer: 36
user: $\sum\limits_{k=0}^{8}(-1)^{k}\dbinom{8}{k} k^{8}$ 的值为_____.

Answer: 0
user: 求最小的正实数 c, 使得存在二阶连续可微的函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, 满足 $f(0)=f(c)=0$, 且对任意 $0<x<c$ ，有 $f(x)>0$ 何 $f^{\prime \prime}(x)+2021 f(x) \geq 0$.

Answer: 720
user: 已知关于实数变量 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\
3 x_{1}+a x_{2}+4 x_{3}+3 x_{4}=0 \\
5 x_{1}+8 x_{2}+6 x_{3}+b x_{4}=0
\end{array}\right.
$$
的解空间的维数是 $2$. 这里 $a, b$ 是常数. 求取整 $[a+b]$ 的值.

Answer: 9
user: 记$$F(x)=16 \int_{\frac{\pi^{2}}{4}+\cos \left(3 x+\frac{\pi}{2}\right)}^{\frac{25 \pi^{2}}{4}+2 x^{2}} \sin \sqrt{t} d t$$$F^{\prime}(0)$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处的导数. 求取整 $\left[F^{\prime}(0)\right]$ 的值.

Answer: 48
user: 已知矩阵
$$
\left[\begin{array}{cccc}
t^{2}+2 t+2 & 0 & 0 & t \\
0 & 2 t+1 & t & t \\
0 & t & 3 t+1 & t \\
t & t & t & 8 t+1
\end{array}\right]
$$
的行列式为 $F(t)$, 求 $F^{\prime}(0)$ 。

Answer: 28
user: 已知矩阵
$$
\left[\begin{array}{llll}
4 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 4 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 4
\end{array}\right]
$$
的特征值为 $\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3} \geq \lambda_{4}$, 求 $\lambda_{1}^{2}+\lambda_{3}^{2}+\lambda_{4}^{2}$.

Answer: 67
user: A rectangle $ABCD$ is made up of five small congruent rectangles as shown in the given figure. Find the perimeter, in cm, of $ABCD$ if its area is $6750 cm^2$.

Answer: 330
user: How many paths from $A$ to $B$ consist of exactly six line segments (vertical, horizontal or inclined)?

Answer: 26
user: Each of the three diagrams in the image show a balance of weights using different objects. How many squares will balance a circle?

Answer: 6
user: Two squares of different sizes overlap as shown in the given figure. What is the difference between the non-overlapping areas?

Answer: 20
user: Evaluate 
 
$$\begin{aligned}
&\begin{aligned}&~~~~\quad1\left(\frac11+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}\right)\end{aligned} \\
&+\quad3\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\right) \\
&+\quad5\left(\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}\right) \\
&+\quad7\left(\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}\right) \\
&\begin{array}{cc}+&9\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}\right)+11\left(\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}\right)\end{array} \\
&\begin{array}{cc}+&13\left(\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}\right)+15\left(\frac18+\frac19+\frac1{10}\right)\end{array} \\
&+\quad17\left(\frac19+\frac1{10}\right)+19\left(\frac1{10}\right)
\end{aligned}$$

Answer: 55
user: Color the surfaces of a cube of dimension $5\times 5\times 5$ red, and then cut the cube into smaller cubes of dimension $1\times 1\times 1$. Take out all the smaller cubes which have at least one red surface and fix a cuboid, keeping the surfaces of the cuboid red. Now what is the maximum possible volume of the cuboid?

Answer: 96
user: Given that $A^4=75600\times B$. If $A$ and $B$ are positive integers, find the smallest value of $B$.

Answer: 25725
user: A box contains $4000$ to $6000$ candies. When the candies are evenly distributed to $5$, $6$, $7$, $8$, or $9$ children, there is always one candy left. If the candies are packaged into small bags each having the same number of candies, what is the largest number of candies below $4000$ in each bag so that no candies are left?

Answer: 71
user: There are positive integers $k, n, m$ such that $\frac{19}{20}<\frac{1}{k}+\frac{1}{n}+\frac{1}{m}<1$. What is the smallest possible value of $k+n+m$?

Answer: 12
user: A long string is folded in half eight times, then cut in the middle. How many pieces are obtained?

Answer: 257
user: The sum of the two three-digit integers, $6A2$ and $B34$, is divisible by $18$. What is the largest possible product of $A$ and $B$?

Answer: 36
user: Let $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2005}$, where $a$ and $b$ are different four-digit positive integers (natural numbers) and $c$ is a five-digit positive integer (natural number). What is the number $c$?

Answer: 12030
user: Let $x$ be a fraction between $\frac{35}{36}$ and $\frac{91}{183}$. If the denominator of $x$ is $455$ and the numerator and denominator have no common factor except $1$, how many possible values are there for $x$?

Answer: 136
user: $$\begin{aligned}
1+2 & =3 \\
4+5+6 & =7+8 \\
9+10+11+12 & =13+14+15\\
\vdots
\end{aligned}$$ 

If this pattern is continued, find the last number in the $80$th row (e.g. the last number of the third row is $15$).

Answer: 6560
user: An isosceles right triangle is removed from each corner of a square piece of paper so that a rectangle of unequal sides remains. If the sum of the areas of the cut-off pieces is $200$ and the lengths of the legs of the triangles cut off are integers, find the area of the rectangle.

Answer: 56
user: For distinct positive integers $a$, $b < 2012$, define $f(a,b)$ to be the number of integers $k$ with $1 \le k < 2012$ such that the remainder when $ak$ divided by $2012$ is greater than that of $bk$ divided by $2012$. Let $S$ be the minimum value of $f(a,b)$, where $a$ and $b$ range over all pairs of distinct positive integers less than $2012$. Determine $S$.

Answer: 502
user: $P(x)$ is a polynomial of degree $3n$ such that 
$$\begin{array}{rcl}P(0)=P(3)=\cdots&=&P(3n)=2,\\P(1)=P(4)=\cdots&=&P(3n-2)=1,\\P(2)=P(5)=\cdots&=&P(3n-1)=0,\quad and\\&&P(3n+1)=730.\end{array}$$ 
Determine $n$.

Answer: 4
user: Let $a_1,a_2,a_3,\cdots$ be a non-decreasing sequence of positive integers. For $m\ge1$, define $b_m=\min\{n: a_n \ge m\}$, that is, $b_m$ is the minimum value of $n$ such that $a_n\ge m$. If $a_{19}=85$, determine the maximum value of $a_1+a_2+\cdots+a_{19}+b_1+b_2+\cdots+b_{85}$.

Answer: 1700
user: What is the smallest integer $n$, greater than one, for which the root-mean-square of the first $n$ positive integers is an integer? 
The root-mean-square of $n$ numbers $a_1, a_2, \cdots, a_n$ is defined to be 
$\left[\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}n\right]^{1/2}$

Answer: 337
user: 设 A=\{1,2,3\}, B=\{2x+y\ |\ x,y\in A,x<y\}, C=\{2x+y\ |\ x,y\in A,x>y\}，则 B\cap C 的所有元素之和为__________.

Answer: 12
user: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{21} 为 1,2,\cdots,21 的排列，满足|a_{20}-a_{21}|\geq|a_{19}-a_{21}|\geq\cdots\geq|a_1-a_{21}|.这样的排列的个数为__________.

Answer: 3070
user: 设函数 f(x)=|2-\log_3x|，正实数 a,b,c 满足 a<b<c，且 f(a)=2f(b)=2f(c). 求 \df{ac}{b} 的值.

Answer: 9
user: 平面上的 4027 个点称为一个哥伦比亚式点集，如果其中任意三点不共线，且有 2013 个点是红色的，2014 个点是蓝色的. 在平面上画出一组直线，可以将平面分成若干区域. 如果一组直线对于一个哥伦比亚式点集满足下述两个条件，我们就称这是一个好直线组：(1) 这些直线不经过该哥伦比亚式点集中的任何一个点；(2) 每个区域中都不会同时出现两种颜色的点.求 k 的最小值，使得对于任意的哥伦比亚式点集，都存在由 k 条直线构成的好直线组.

Answer: 2013
user: 定义在 \bR 上的奇函数 f(x) 同时是以 2 为周期的周期函数，并且在 x\in(0,1) 时，f(x)=\ln(x^2-2x+\frac{3}{2}). 则函数 f(x) 在 [0,10] 上的零点个数为__________.（李纪琛供题）

Answer: 21
user: 求最小的正整数 n，使得对任意有 1000 个顶点且每个顶点度均为 4 的简单图 G，都一定可以从中去掉 n 条边，使 G 变为二部图.（王正供题）

Answer: 800
user: 求最大的正整数 n，使得存在 n 个互不相同的正整数 x_1,x_2,\cdots,x_n，满足x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=2017.

Answer: 16
user: 若存在实数 a 及正整数 n 使得 f(x)=\cos2x-a\sin x 在 (0,n\pi) 内恰有 2022 个零点，则满足条件的正整数 n 的值有__________个.

Answer: 5
user: 已知 \odot O_1:x^2+y^2=2 和 \odot O_2:(x-3)^2+y^2=5 在第一象限内的公共点为 A，过点 A 的直线分别交 \odot O_1、\odot O_2 于 C,D 两点（C,D 异于点 A），且 \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}，则直线 CD 的斜率为__________.

Answer: 5
user: 已知函数 f:\bR\rightarrow\bR，若对任意实数 x,y,z 都有\df{1}{3}f(xy)+\df{1}{3}f(xz)-f(x)f(yz)\geq\df{1}{9},求 \ds{i=1}{100}[if(i)]，其中 [x] 代表不超过 x 的最大整数.

Answer: 1650
user: 设 A 是一个 11 元实数集，令集合 B=\{uv\ |\ u,v\in A,u\neq v\}. 求 B 的元素个数的最小值.

Answer: 17
user: 给定整数 n\geq3. 求最小的正整数 k，使得存在 k 元集合 A 和 n 个两两不同的实数 x_1,x_2,\cdots,x_n，满足 x_1+x_2, x_2+x_3, \cdots, x_{n-1}+x_n, x_n+x_1 都属于 A.

Answer: 3
user: 有 n(n>12) 个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得 1 分，不答或答错得 0 分. 分析每一种可能的得分情况，发现只要其中任意 12 个人得分之和不少于 36 分，则这 n 个人中至少有 3 个人答对了至少三道同样的题. 求 n 的最小可能值.

Answer: 911
user: 对于一个由至少两个正整数构成的集合，若每个元素均与其他至少一个元素不互质，则称该集合为"芳香集".设 P(n)=n^2+n+1. 求最小的正整数 b，使得存在非负整数 a，满足集合 \{P(a+1),P(a+2),\cdots,P(a+b)\} 是芳香集.

Answer: 6
user: 在黑板上写有方程 (x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016). 求最小的正整数 k，使得可以在等号两边擦去这 4032 个一次因式中的 k 个，满足等号两边均至少留下一个一次因式，且所得的方程没有实根.

Answer: 2016
user: 有八个盒子，每个盒子中有 6 个球，每个球均被染成 n 种颜色中的一种. 已知同一个盒子中的球均不同色，且任意两个盒子中的球至多有一种相同颜色，求 n 的最小可能值.

Answer: 23
user: 在一个 100\times100 的方格表中，有 300 个格被染为蓝色，每行每列各有 3 个. 求最大的正整数 k，使得总可以将其中 k 个蓝格重染为红色，满足不存在红色的 2\times2 正方形.

Answer: 250
user: 设实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=8，求20(a^2+b^2+c^2+d^2)-\ds{\text{sym}}{}a^3b的最小值，其中求和有 12 项.

Answer: 112
user: 平面上有 101 条不同的射线，任两条不共线、没有相同的端点，任三条不共点. 求无序射线对 (a,b) 个数的最大值，使得 a, b 相交，且若交点为 C，则 C 到 a, b 端点的距离相等.

Answer: 2550
user: 称正整数 n 是"有趣的"，如果对任意 1\leq k\leq9，都有\left\{\df{n}{10^k}\right\}>\df{n}{10^{10}}.求有趣的正整数的个数.

Answer: 999989991
user: 求最小的正整数 m，使得对任意大于 3 的质数 p，都有105\mid 9^{p^2}-29^p+m.

Answer: 20
user: 设数列 \{a_n\} 满足 a_0=\df{1}{2}, a_{n+1}=a_n+\df{a_n^2}{2012}, n\geq0. 求所有的整数 k，使得 a_k<1<a_{k+1}.

Answer: 2012
user: 记各项均不为 0 的等差数列 \{a_n\} 的前 n 项和为 S_n，若 \df{S_{2023}}{a_{2023}}=2023，则 \df{S_{20}}{a_{23}} 的值为__________.

Answer: 20
user: 已知向量 \overrightarrow{m}=(2023,910), \overrightarrow{a}=(1,2), \overrightarrow{b}=(2,3), \overrightarrow{c}=(3,1). 将 \overrightarrow{m} 表示成 \overrightarrow{m}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c} 的形式，其中 x, y, z 均为非负整数，则这样的表示方法的种数为__________.

Answer: 21
user: 已知数列 \{a_n\} 中，a_1=1, a_2=2, a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=1. 设 T_n 为数列 \left\{\df{8}{a_n}\right\} 的前 n 项和，则 [T_{2023}]=_________.（符号 [x] 表示不超过 x 的最大整数）

Answer: 14
user: 设整数 n\geq 4，A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\} 是整数集，满足 2023\in A，且 A 中任意两个元素的差的绝对值是素数. 则这样的集合 A 共有_________个.

Answer: 4
user: 设有序数组 A=(a_1,a_2,\cdots,a_{10}) 同时满足以下 4 个条件：(1) a_1,a_2,\cdots,a_{10} 是 1,2,\cdots,10 的一个排列；(2) a_1<a_2,a_3<a_4,a_5<a_6,a_7<a_8,a_9<a_{10}；(3) a_2>a_3,a_4>a_5,a_6>a_7,a_8>a_9；(4) 不存在 1\leq i<j<k\leq 10，使得 a_i<a_k<a_j.求这样的有序数组 A 的个数.

Answer: 42
user: 设 A 是有限集，且 |A|\geq2. A_1,A_2,\cdots,A_n 是 A 的子集，满足：(1) |A_1|=|A_2|=\cdots=|A_n|=k, k>\df{|A|}{2}；(2) 对任意 a,b\in A，存在 1\leq r<s<t\leq n，使得 a,b\in A_r\cap A_s\cap A_t；(3) 对任意 1\leq i<j\leq n，|A_i\cap A_j|\leq3.求当 k 取最大值时 n 的值.

Answer: 11
user: 正整数 n 的分拆 P=(x_1,x_2,\cdots,x_n) 是一个非负整数组，满足 \ds{k=1}{n}kx_k=n. 正整数 m(m\leq n) 的分拆 Q=(y_1,y_2,\cdots,y_m) 称为与 P 相容，如果 y_i\leq x_i, i=1,2,\cdots,m.记 S(n) 为 n 的满足下述要求的分拆 P 的个数：对每个小于 n 的正奇数 m，m 恰有一个与 P 相容的分拆；对每个小于 n 的正偶数 m，m 恰有两个与 P 相容的分拆. 求 S(2010) 的值.

Answer: 13
user: 设 n_1,n_2,\cdots,n_{26} 是 26 个互不相同的正整数，满足：(1) 每个 n_i 在十进制表示中的数码均属于集合 \{1,2\}；(2) 对任意的 i,j，在 n_i 的末位后添加若干个数码，不能得到 n_j.求 \ds{i=1}{26}S(n_i) 的最小值，其中 S(m) 表示正整数 m 在十进制表示下的各位数码之和.

Answer: 179
user: 已知四个整数 a,b,c,d 都是偶数，且 0<a<b<c<d，d-a=90. 若 a, b, c 成等差数列，b, c, d 成等比数列，则 a+b+c+d=__________.

Answer: 194
user: 设 \mathcal{A} 是所有关于 x,y,z 的整系数多项式构成的集合. 设 \mathcal{B} 是由可以表示为如下形式的多项式构成的 \mathcal{A} 的子集：(x+y+z)P(x,y,z)+(xy+yz+zx)Q(x,y,z)+xyzR(x,y,z),其中 P,Q,R\in\mathcal{A}. 求最小的非负整数 n，使得对任意满足 i+j+k\geq n 的非负整数 i,j,k，均有 x^iy^jz^k\in\mathcal{B}.

Answer: 4
user: 设 S 是集合 \{1,2,\cdots,108\} 的一个非空子集，满足：(1) 对 S 中任意两个数 a,b（可以相同），存在 c\in S，使得 (a,c)=(b,c)=1；(2) 对 S 中任意两个数 a,b（可以相同），存在 c'\in S，c' 不同于 a,b，使得 (a,c')>1, (b,c')>1.求 S 中元素个数的最大可能值.

Answer: 76
user: 设整数 n>4，(x+2\sqrt{y}-1)^n 的展开式中 x^{n-4} 与 xy 两项的系数相等，则 n 的值为________.

Answer: 51