sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: 在 $100 \times 25$ 的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第 $i$ 行第 $j$ 列中填入的数为 $x_{i, j}$ （ $i=1$ ， $2 ， \ldots ， 100 ; j=1,2 ， \ldots, 25 ） （$ 如表1）。然后将表1每列中的数按由小到大的次序从上到下重新排列为 $x_{1}^{\prime}$ ， $j \geq x^{\prime}{ }_{2, j} \geq \ldots \geq x^{\prime}{ }_{100, j}(j=1,2, \ldots, 25)$ 。（如表2）
求最小的自然数 $k$ ，使得只要表 1 中填入的数满足 $\sum_{j=1}^{25} x_{i}, j \leq 1 （ i=1,2, \ldots, 100 ）$ ，
则当 $i \geq k$ 时，在表2中就能保证 $\sum_{j=1}^{25} x_{i, j}^{\prime} \leq 1$ 成立。
表 1
| $x_{1,1}$ | $x_{1,2}$ | $\ldots$ | $x_{1,25}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $x_{2,1}$ | $x_{2,2}$ | $\ldots$ | $x_{2,25}$ |
| $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| $x_{100,1}$ | $x_{100,2}$ | $\ldots$ | $x_{100,25}$ |

表 2
| $x^{\prime}{ }_{1,1}$ | $x^{\prime}{ }_{1,2}$ | $\ldots$ | $x^{\prime}{ }_{1,25}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $x^{\prime}{ }_{2,1}$ | $x^{\prime}{ }_{2,2}$ | $\ldots$ | $x^{\prime}{ }_{2,25}$ |
| $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| $x^{\prime}{ }_{100,1}$ | $x^{\prime}{ }_{100,2}$ | $\ldots$ | $x^{\prime}{ }_{100,25}$ |

Answer: 97
user: 设复数 $z=\cos \theta+i \sin \theta\left(0 \leqslant \theta \leqslant 180^{\circ}\right)$ ，复数 $z ，(1+i) z, 2 \bar{z}$ 在复平面上对应的三个点分别是 $P, Q, R$ 。当 $P, Q, R$ 不共线时，以线段 $P Q, P R$ 为两边的平行四边形的第四个顶点为 $S$ ，点 $S$ 到原点距离的最大值是 $\qquad$。

Answer: 3
user: 设复数 $z=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta\left(0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 180^{\circ}\right)$, 复数 $z 、(1+\mathrm{i}) z 、 2 \bar{z}$ 在复平面上对应的三个点分别是 $P 、 Q 、 R$ 。当 $P 、 Q 、 R$ 不共线时，以线段 $P Q 、 P R$ 为两边的平行四边形的第四个顶点为 $S$. 则点 $S$ 到原点距离的最大值是 $\qquad$.

Answer: 3
user: 如果: (1) $a, b, c, d$ 都属于 $\{1,2,3,4\}$;
$a \neq b, b \neq c, c \neq d, d \neq a$;
$a$ 是 $a, b, c, d$ 中的最小值,
那么，可以组成的不同的四位数 $\overline{a b c d}$ 的个数是 $\qquad$

Answer: 28
user: 如果: 
$a 、 b 、 c 、 d$ 都属于 $\{1,2,3,4\}$; 
$a \neq b, b \neq c, c \neq d, d \neq a$; 
$a$ 是 $a 、 b 、 c 、 d$ 中的最小值. 
那么，可以组成的不同的四位数 $\overline{a b c d}$ 的个数是 $\qquad$.

Answer: 28
user: 设 $n \in \mathbf{Z}_{+}$. 当 $n>100$ 时, $\sqrt{n^2+3 n+1}$的小数部分的前两位数为 $\_\_\_\_$ .

Answer: 49
user: 设函数

$f(x)= \begin{cases}\frac{1}{p}, & x=\frac{q}{p} ; \\ 0, & x \neq \frac{q}{p},\end{cases}$

其中, $p 、 q$ 互质, 且 $p \geqslant 2$. 则满足 $x \in[0,1]$,且 $f(x)>\frac{1}{5}$ 的 x 值的个数是 $\qquad$.

Answer: 5
user: 若对任意的 $x \in\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$, 有 $\frac{x}{1+x-2 x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$, 则 $a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.

Answer: -2
user: 设$M=1^{4}+2^{4}+\cdots+2013^{4}$. 则 $M$ 的个位数字为 $\qquad$.

Answer: 1
user: 已知三个互不相等的整数 $x 、 y 、 z$ 之和介于 40 与 44 之间. 若 $x, y, z$ 依次构成公差为 $d$ 的等差数列， $x+y 、 y+z 、 z+x$ 依次构成公比为 $q$ 的等比数列, 则 $d q=$.

Answer: 42
user: 若正方体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}-B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ 的棱长为 1 ，则集合 
$\left\{x \mid x=\overrightarrow{A_{1} B_{1}} \cdot \overrightarrow{A_{i} B_{j}}, i, j \in\{1,2,3,4\}\right\}$ 中元素的个数为 $\qquad$.

Answer: 1
user: 设正六边形 $A B C D E F$ 的边长为 1. 则 $(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C}) \cdot(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E})=$

Answer: -3
user: 用 $[x]$ 表示不超过实数 x 的最大整数, 若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{n}=\left[(2+\sqrt{3})^{2^{n}}\right](n \in$
$\left.\mathbf{N}^{*}\right)$ ，则 $a_{2020}$ 的末尾两位数字是 $\qquad$.

Answer: 53
user: 在平面直角坐标系中$,A(1,2)$,

$B(3,0),P$ 为圆$(x-3)^2+(y-2)^2=1$上任

意一点.设

$$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}(\lambda,\mu\in\mathbf{R}).$$
则 11$\lambda+9\mu$的最小值为

Answer: 12
user: 在平面直角坐标系中, $A(1,2)$, $B(3,0), P$ 为圆 $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=1$ 上任意一点. 设
$\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}(\lambda, \mu \in \mathbf{R})$.
则 $11 \lambda+9 \mu$ 的最小值为 $\qquad$.

Answer: 12
user: 设函数

$$f(\:x\:)=\sqrt{2x^2\:+2x\:+41}\:-\sqrt{2x^2\:+4x\:+4}\:(\:x\:\in\:\mathbf{R}\:)\:.$$
则$f(x)$的最大值为

Answer: 5
user: 设函数
$f(x)=\sqrt{2 x^{2}+2 x+41}-\sqrt{2 x^{2}+4 x+4}(x \in \mathbf{R})$.则 $f(x)$ 的最大值为 $\qquad$.

Answer: 5
user: 已知实数 $x, y$ 满足
$3|x+1|+2|y-1| \leqslant 6$.
则 $2 x-3 y$ 的最大值是\_\_\_\_\_\_

Answer: 4
user: 集合的容量是指集合中元素的和。则满足条件 “$A \subseteq \{1, 2, \ldots, 7\}$ 且若 $a \in A$ 时，必有 $8-a \in A$” 的所有非空集合 $A$ 的容量的总和是\_\_\_\_\_\_（用具体数字作答）。

Answer: 224
user: 在 $3\times3$ 方格表中 ， 若九个格中的 每一个均被染成红 、 黄、 蓝 、 紫 四种颜色之一 ,任意 两个有公共边 的 格 的 染色均不相同 ,且该方格表 中 恰有两个格染蓝色 , 则符合条件的染色方法种数为$\qquad$ (用具体数字作答） ．

Answer: 3816
user: 在凸五边形 $A B C D E$ 中, $D E / / A C$, $\angle A D C=90^{\circ}, A C=12, C D=6, A C$ 平分 $\angle D A B, \angle B C E=60^{\circ}$. 则 $\triangle B C E$ 面积的最小值为 $\qquad$.

Answer: 27
user: 已知函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上严格单调递减，对任意的 $x \in(0,+\infty)$ ，均有
$$
f(x) f\left(f(x)+\frac{2}{x}\right)=\frac{1}{3}.
$$
记 $g(x)=f(x)+4 x^{2}(x \in(0,+\infty))$. 则函数 $g(x)$ 的最小值是 $\qquad$.

Answer: 3
user: 已知函数 $f:\{1,2, \cdots, 10\} \rightarrow\{1,2, \cdots, 5\}$ ，且对一切 $k=1,2, \cdots, 9$ ，有
$|f(k+1)-f(k)| \geqslant 3$.
则符合条件的函数 $f$ 的个数是 $\qquad$.

Answer: 288
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足:
$$
\begin{aligned}
& a_{1}=1, a_{2}=2, a_{2 k+1}=\frac{a_{2 k}^{2}}{a_{2 k-1}} \\
& a_{2 k+2}=2 a_{2 k+1}-a_{2 k}\left(k \in \mathbf{Z}_{+}\right)
\end{aligned}
$$
则 $a_{2022}$ 的末两位数字是 $\qquad$.

Answer: 32
user: 设 $x$ 为实数, 定义 $\lceil x\rceil$ 为不小于实数 $x$ 的最小整数 (如 $\rceil\rceil=4,\lceil-\pi\rceil=-3$ ). 则关于实数 $x$ 的方程
$\lceil 3 x+1\rceil=2 x-\frac{1}{2}$
的全部实根之和等于\_\_\_\_\_\_

Answer: -4
user: 已知 $m > 0$。若函数

\[
f(x) = x + \sqrt{100 - mx}
\]

的最大值为 $g(m)$，求 $g(m)$ 的最小值。

Answer: 10
user: $\left(x^{2}+x-\frac{1}{x}\right)^{6}$ 的展开式中的常数项是 $\qquad$ (用具体数字作答).

Answer: -5
user: 设等比数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n,$满足 $S_{n}=\frac{(a_{n}+1)^{2}}{4}.$则 $S_{20}$的值为$\qquad$.

Answer: 0
user: 设 $x \in \mathbf{R}$. 则函数
$$
f(x)=|2 x-1|+|3 x-2|+|4 x-3|+|5 x-4|
$$
的最小值为 $\qquad$.

Answer: 1
user: 设方程 $x y=6(x+y)$ 的全部正整数解为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right)$, 则 $\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}+y_{k}\right)=$
$\qquad$ $\cdot$

Answer: 290
user: 设方程 $x y=6(x+y)$ 的全部正整数解为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right)$ . 则
$\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}+y_{k}\right)=\qquad$.

Answer: 290
user: 设方程 $x y=6(x+y)$ 的全部正整数解为 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right), \cdots,\left(x_n, y_n\right)$. 则

$$
\sum_{k=1}^n\left(x_k+y_k\right)=
$$

Answer: 290
user: 若正整数 $m 、 n$ 满足 $\frac{(m+n)!}{n!}=5040$,则 $m!n$ 的值为 $\qquad$。

Answer: 144
user: 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{4}=1, a_{11}=9$, 且任意连续三项的和都是 15, 则 $a_{2016}=$ $\qquad$.

Answer: 5
user: The sequence of digits $1~2~3~4~5~6~7~8~9~1~0~1~1~1~2~1~3~1~4~1~5~1~6~1~7~1~8~1~9~2~0~2~1 \ldots$ 
is obtained by writing the positive integers in order. If the $10^{n}$ th digit in this sequence occurs in the part of the sequence in which the $m$-digit numbers are placed, define $f(n)$ to be $m$. For example, $f(2)=2$ because the 100 th digit enters the sequence in the placement of the two-digit integer 55. Find, with proof, $f(1987)$.

Answer: 1984
user: Find the smallest positive integer $j$ such that for every polynomial $p(x)$ with integer coefficients and for every integer $k$, the integer

$$
p^{(j)}(k)=\left.\frac{d^j}{d x^j} p(x)\right|_{x=k}
$$

(the $j$-th derivative of $p(x)$ at $k$ ) is divisible by 2016.

Answer: 8
user: A grasshopper starts at the origin in the coordinate plane and makes a sequence of hops. Each hop has length 5, and after each hop the grasshopper is at a point whose coordinates are both integers; thus, there are 12 possible locations for the grasshopper after the first hop. What is the smallest number of hops needed for the grasshopper to reach the point $(2021,2021)$ ?

Answer: 578
user: Let $a_0=1, a_1=2$, and $a_n=4 a_{n-1}-a_{n-2}$ for $n \geq 2$. Find an odd prime factor of $a_{2015}$.

Answer: 181
user: Compute

$$\log_2\left(\prod\limits_{a=1}^{2015}\prod\limits_{b=1}^{2015}(1+e^{2\pi iab/2015})\right)$$

Here $i$ is the imaginary unit (that is, $i^2=-1)$

Answer: 13725
user: Find the smallest positive integer $n$ such that for every integer $m$,
with $0<m<1993$, there exists an integer $k$ for which
$$\frac{m}{1993}<\frac{k}{n}<\frac{m+1}{1994}.$$

Answer: 3987
user: $\operatorname{Let}\left(x_{1},y_{1}\right)=\left(0.8,0.6\right)$and let $x_{n+1}=x_{n}\cos y_{n}-y_{n}\sin y_{n}$ and $y_{n+1}=x_{n}\sin y_{n}+$ $y_{n}$cos$y_n$ for $n=1,2,3,\ldots.$ For each of $\lim_{n\to\infty} x_n$ and $\lim_{n\to\infty }y_n$, prove that the limit exists and find it or prove that the limit does not exist.

Answer: -1
user: Let $p(x)$ be a nonzero polynomial of degree less than 1992 having no noncon-
stant factor in common with $x^3-x.$ Let

$$\frac{d^{1992}}{dx^{1992}}\left(\frac{p(x)}{x^3-x}\right)=\frac{f(x)}{g(x)}$$

for polynomials $f(x)$ and $g(x).$ Find the smallest possible degree of $f(x)$.

Answer: 3984
user: For a positive integer $n$, define $d(n)$ to be the sum of the digits of $n$ when written in binary (for example, $d(13)=1+1+0+1=3).$Let 
$$S=\sum_{k=1}^{2020}(-1)^{d(k)}k^3.$$ 
Determine $S$ modulo 2020.

Answer: 1990
user: Suppose that a positive integer $N$ can be expressed as
the sum of $k$ consecutive positive integers
$$N=a+(a+1)+(a+2)+\cdots+(a+k-1)$$
for $k=2017$ but for no other values of $k>1.$ Considering all positive integers $N$ with this property, what is the smallest positive integer $a$ that occurs in any of these expressions?

Answer: 16
user: For each positive integer $n$, let $k(n)$ be the number of ones in the binary representation of 2023·n. What is the minimum value of $k(n)?$

Answer: 3
user: For a nonnegative integer $n$ and a strictly increasing sequence of real numbers $t_0,t_1,\ldots,t_n$, let $f(t)$ be the corresponding real-valued function defined for $t\geq t_0$ by the
following properties:
(a) $f(t)$ is continuous for $t\geq t_0$,and is twice differentiable for all $t>t_0$ other than $t_1,\ldots,t_n;$
(b)$f( t_0) = 1/ 2;$
(c) $\lim _{r\to t_{k}^{+ }}f^{\prime }( t) = 0$ for $0\leq k\leq n;$
(d) For $0\leq k\leq n-1$, we have $f^{\prime\prime}(t)=k+1$ when
$t_k<t<t_{k+1}$, and $f^{\prime\prime}(t)=n+1$ when $t>t_n.$

Considering all choices of $n$ and $t_0,t_1,\ldots,t_n$ such that $t_k\geq t_{k-1}+1$ for l$\leq k\leq n$,what is the least possible value of $T$ for which $f(t_0+T)=2023?$

Answer: 29
user: Let $P_n$ be the number of permutations $\pi$ of $\{1,2,\ldots,n\}$
such that
$|i-j|=1$ implies $|\pi(i)-\pi(j)|\leq2$
for all $i,j$ in $\{1,2,\ldots,n\}.$ Show that for $n\geq2$,the quantity
$$P_{n+5}-P_{n+4}-P_{n+3}+P_n$$
does not depend on $n$, and find its value.

Answer: 4
user: How many primes among the positive integers, written as usual in base 10, are such that their digits are alternating 1's and 0's, beginning and ending with 1?

Answer: 0
user: The sequence of digits
is obtained by writing the positive integers in order. If the $10^{n}$ th digit in this sequence occurs in the part of the sequence in which the $m$-digit numbers are placed, define $f(n)$ to be $m$. For example, $f(2)=2$ because the 100 th digit enters the sequence in the placement of the two-digit integer 55. Find, with proof, $f(1987)$.

Answer: 5
user: Define $C(\alpha)$ to be the coefficient of $x^{1992}$ in the power series expansion about $x=0$ of $(1+x)^{\alpha}$. Evaluate 
$$ 
\int_{0}^{1} C(-y-1)\left(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{y+3}+\cdots+\frac{1}{y+1992}\right) d y. 
$$

Answer: 1992
user: Let $f$ be an infinitely differentiable real-valued function defined on the real numbers. If
$$
f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}, \quad n=1,2,3, \ldots
$$
compute the values of the derivatives $f^{(k)}(0), k=1,2,3, \ldots$.

Answer: 0
user: Let $p(x)$ be a nonzero polynomial of degree less than 1992 having no nonconstant factor in common with $x^{3}-x$. Let

$$
\frac{d^{1992}}{d x^{1992}}\left(\frac{p(x)}{x^{3}-x}\right)=\frac{f(x)}{g(x)}
$$

for polynomials $f(x)$ and $g(x)$. Find the smallest possible degree of $f(x)$.

Answer: 3984
user: 我们称 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 为集合 $A$ 的一个 $n$ 分划，如果 
$A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}=A$; 
$A_{i} \cap A_{j} \neq \varnothing, 1 \leqslant i<j \leqslant n$. 
求最小正整数 $m$ ，使得对 $A=\{1,2, \cdots, m\}$ 的任意一个 14 分划 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{14}$ ，一定存在某个集合 $A_{i}(1 \leqslant$ $i \leqslant 14)$ ，在 $A_{1}$ 中有两个元素 $a 、 b$ 满足 $b<a \leqslant \frac{4}{3} b$ 。

Answer: 3
user: 一个$100\times100$方格表的左上角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有一块奶酪。老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）。现在在一些小方格的边上放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板。称一种放置隔板的方式是“仁慈的”，如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪。求最小的正整数$n$，使得对任意一种“仁慈的”放置2023个隔板的方式，老鼠都能通过不超过$n$次移动吃到奶酪。

Answer: 2220
user: 某个国家有2023个岛和2022座桥，任意一座桥连接两个不同的岛，任意两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任何岛。若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接，则称这三个岛组成“岛群”.已知任两个“岛群”中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？

Answer: 1011
user: 设正整数$a, b, c, d$满足$a>b>c>d$，且
$$ab+bc+ca+d^{2}\mid(a+b)(b+c)(c+a)$$
求$ab+bc+ca+d^{2}$的素因子个数的最小值。（素因子的个数计重数，如12的素因子个数为3）。

Answer: 3
user: 将 $1,2,3,4,5,6,7,8$ 分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于 10 。求每一个面上四个数之和的最小值。

Answer: 16
user: 求所有的整数 $n$ ，使得 $n^{4}+6 n^{3}+11 n^{2}+3 n+31$ 是完全平方数.

Answer: 10
user: 求满足下述条件的最小正实数 $k$ ：对任意不小于 $k$ 的 4 个互不相同的实数 $a 、 b$ 、 $c 、 d$ ，都存在 $a 、 b 、 c 、 d$ 的一个排列 $p 、 q 、 r 、 s$ ，使得方程 $\left(x^{2}+p x+q\right)\left(x^{2}+r x+s\right)=0$ 有 4个互不相同的实数根。

Answer: 4
user: 给定整数$n\geqslant3$。求最小的正整数$k$，使得存在一个$k$元集合$A$和$n$个两两不同的实数$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$，满足$x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3}, \cdots, x_{n-1}+x_{n}, x_{n}+x_{1}$均属于$A$。

Answer: 3
user: 有 $n(n>12)$ 个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得 1 分，不答或答错得 0 分。分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意 12 个人得分之和不少于 36 分，则这 $n$ 个人中至少有 3 个人答对了至少三道同样的题. 求 $n$ 的最小可能值。

Answer: 911
user: 对每个正整数 $n$ ，定义集合 $P_{n}=\left\{n^{k} \mid k=0,1, \cdots\right\}$ 。 对于正整数 $a 、 b 、 c$, 若存在某个正整数 $m$ ，使得 $a-1 、 a b-12 、 a b c-2015$ 这三个数 （不必两两不等）均属于集合 $P_{m}$ ，则称正整数组 $(a, b, c)$ 为"幸运的". 求所有幸运的正整数组的个数。

Answer: 25
user: 集合 $A 、 B$ 定义如下: 
$A=\left\{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c \mid a 、 b 、 c \in \mathbf{N}\right\} ,$ 
$B=\{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \mid a 、 b 、 c \in \mathbf{N}\}.$ 
设集合 $P=\{n \mid n \in A \cap B, 1 \leqslant n \leqslant 2016\}$ . 求 $P$ 的元素个数.

Answer: 980
user: 一次会议共有 24 名代表参加，每两名代表之间要么握手一次，要么不握手。会议结束后发现，总共出现了 216 次握手，且对任意相互握过手的两名代表 $P 、 Q$ ，在剩下的 22 名代表中，恰与 $P 、 Q$ 之一握过手的代表不超过 10 名。一个""朋友圈""指的是会议中三名两两之间握过手的代表所构成的集合. 求这 24 名代表中朋友圈个数的最小可能值。

Answer: 0
user: 甲、乙两人从 $0,1, \cdots, 81$ 中轮流挑选互不重复的数，甲先选，每次每人从剩下的数中选一个数。当这 82 个数被选完之后，记 $A$ 、 $B$ 分别为甲、乙选择的所有数之和。在挑选数
的过程中, 甲希望 $A$ 与 $B$ 的最大公约数越大越好，而乙希望 $A$ 与 $B$ 的最大公约数越小越好。在甲、乙各自的最佳策略下, 求挑选完毕之后 $A$ 与 $B$ 的最大公约数.

Answer: 41
user: 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{17}$ 是 $1,2, \cdots, 17$ 的一个排列，且满足
$\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right) \cdots\left(a_{16}-a_{17}\right)\left(a_{17}-a_{1}\right)$ $=n^{17}$.
求正整数 $n$ 的最大值。

Answer: 6
user: 集合 $I=\{1,2, \cdots, 2020\}$. 称
$$
\begin{aligned}
& W=\{w(a, b)=(a+b)+a b \mid a, b \in I\} \cap I, \\
& Y=\{y(a, b)=(a+b) \cdot a b \mid a 、 b \in I\} \cap I, \\
& X=W \cap Y,
\end{aligned}
$$
分别为"吴"集合、"越"集合、"西子"集合. 试求西子集合中最大数与最小数之和。

Answer: 2020
user: 今有 $n$ 个人排成一个横队, 从左到右按 $1,2, \cdots, n$ 报数，凡报奇数者退出队伍；剩下的人再从右到左按 $1,2, \cdots$ 重新报数，凡报奇数者退出队伍；然后剩下的人又从左到右重新报数。如此进行，使得最后队伍中只剩下一人. $f(n)$ 表示最后剩下的这个人在第一次报数时的号码。求 $f(n)$ 的表达式，并给出 $f(2022)$ 的值。

Answer: 1016
user: 若 $x_{i}$ 是大于 1 的正整数，记 $f\left(x_{i}\right)$ 是 $x_{i}$的最大素因数。令 $x_{i+1}=x_{i}-f\left(x_{i}\right)(i \in \mathbf{N})$ 。
（2）令 $V\left(x_{0}\right)$ 是 $f\left(x_{0}\right), f\left(x_{1}\right), \cdots, f\left(x_{k\left(x_{0}\right)}\right)$中不同数的个数, 求 $V(2), V(3), \cdots, V(2022)$
中的最大数，并说明理由.

Answer: 5
user: 小陶同学玩如下游戏：取定大于 1 的常数 $v$ ；对正整数 $m$ ，游戏的第 $m$ 轮与第 $m+1$ 轮间隔为 $2^{-m}$ 单位时长；第 $m$ 轮在平面上有策略地取一个半径为 $2^{-m+1}$ 的圆形安全区域（含边界，取圆时间忽略不计）；每轮取定的圆形安全区域将在整个游戏剩余时间内保持圆心不动，半径以速率 $v$ 匀速减小（半径减小到零时，去掉该圆形安全区域）；若可在第 100 轮之前（含第 100 轮）的某轮将圆形安全区域取在剩余的安全区域的并集内，则取得游戏胜利。若小陶同学有必胜策略，求 $\left[\frac{1}{v-1}\right]$ 的最小值.

Answer: 18
user: 求满足
$$
\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-u}{z+u}+\frac{u-x}{u+x}>0
$$
且 $1 \leqslant x 、 y 、 z 、 u \leqslant 10$ 的所有四元有序整数组
$(x, y, z, u)$ 的个数.

Answer: 3924
user: 给定正整数 $n, A$ 和 $B$ 玩如下游戏：有 2023 枚硬币首尾相连排成一圈，标号为 $1,2, \ldots, 2023$ (标号按模2023理解)。每枚硬币有正反两面，一开始所有硬币都是正面朝上， $A$ 的目标是让尽可能多的硬币反面朝上。在每一轮操作中， $A$ 选择标号为 $k$ 和 $k+3$ 的两枚正面朝上的硬币（若无法选取则游戏结束）；然后 $B$ 选择标号为 $k+1$ 或 $k+2$ 的一枚硬币，并将这枚硬币翻面。若某一个时刻有 $n$ 枚硬币反面朝上，则 $A$ 获胜.
求最大的 $n$ 使得 $A$ 有必胜策略。

Answer: 675
user: 在一个圆周上给定十二个红点. 求 $n$的最小值，使得存在以红点为顶点的 $n$ 个三角形，满足以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边。

Answer: 24
user: 设 $1,2, \cdots, 9$ 的所有排列 $X=(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{9})$ 的集合为 $A$ 。对任意的 $X \in A$ ，记
$$
\begin{aligned}
& f(X)=x_{1}+2 x_{2}+\cdots+9 x_{9}, \\
& M=\{f(X) \mid X \in A\}.
\end{aligned}
$$
求 $|M|$ ( $|M|$ 表示集合 $M$ 的元素个数)。

Answer: 121
user: 设正整数 $a 、 b$ 满足 $1 \leqslant a<b \leqslant 100$ 。若存在正整数 $k$ ，使得 $a b \mid\left(a^{k}+b^{k}\right)$ ，则称数对 $(a, b)$ 是"好数对". 求所有好数对的个数.

Answer: 96
user: 如果非负整数 $m$ 及其各位数码之和均为 6 的倍数，则称 $m$ 为 "六合数". 求小于 2012 的非负整数中六合数的个数。

Answer: 168
user: 求正整数 $n$ 的最小值, 使得
$$
\begin{aligned}
& \sqrt{\frac{n-2011}{2012}}-\sqrt{\frac{n-2012}{2011}} \\
& <\sqrt[3]{\frac{n-2013}{2011}}-\sqrt[3]{\frac{n-2011}{2013}}.
\end{aligned}
$$

Answer: 4024
user: 设 $m$ 是正整数, $n=2^{m}-1$, 数轴上 $n$个点所成的集合为 $P_{n}=\{1,2, \cdots, n\}$ 。
一只蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点. 求 $m$ 的最大值, 使得对任意 $x 、 y \in P_{n}$, 从点 $x$ 跳 2012 步到点 $y$ 的跳法种数为偶数（允许中途经过点 $x 、 y$ ）。

Answer: 10
user: 已知奇素数 $x 、 y 、 z$ 满足
$$
x\left|\left(y^{5}+1\right), y\right|\left(z^{5}+1\right), z \mid\left(x^{5}+1\right)
$$
求乘积 $x y z$ 的最小值。

Answer: 2013
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}:$
$a_{n}=2^{n}+3^{n}+6^{n}+1\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right)$.
是否存在整数 $k \geqslant 2$ ，使得 $k$ 与数列 $\left\{a_{n}\right\}$中的所有数均互素？若存在，找出最小的整数 $k$ ；若不存在，说明理由.

Answer: 23
user: 青青草原上生活着编号为 $1,2, \cdots, 7$的 $7$ 只羊和编号为 $1,2, \cdots, 2017$ 的 $2017$ 匹狼。在该草原上有如下奇怪的规则： 
（1）定义 $P(n)$ 为小于 $n$ 的素数个数，仅当 $P(i) \equiv j(\bmod 7)$ 时，编号为 $i$ 的狼可以吃掉编号为 $j$ 的羊（也可以不吃）； 
（2）若编号为 $i$ 的狼吃了编号为 $j$ 的羊，则它会立刻变成编号为 $j$ 的羊； 
（3）每匹狼在确保不会被吃的前提下都非常想体验作为一只羊的生活。 
假设每匹狼都很聪明，求最后草原上会剩下多少匹狼？

Answer: 2016
user: 求能被209 整除且各位数字之和等于 209 的最小正整数。

Answer: 22099999999999998951424
user: 平面上有 $n(n \geqslant 4)$ 条直线，对于直线 $a 、 b$, 在余下的 $n-2$ 条直线中, 若至少存在两条直线与直线 $a 、 b$ 都相交，则称直线 $a 、 b$ 是 "相合的直线对"，否则，称其是"相离的直线对". 若 $n$ 条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多 2012, 求 $n$ 的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）。

Answer: 72
user: 设 $x_{k} \in[-2,2](k=1,2, \cdots, 2013)$ ， 
且 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2013}=0$. 试求 
$$M=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots+x_{2013}^{3}$$ 
的最大值.

Answer: 4026
user: 求最大的实数$C$，使得不等式
$$\sum_{k=1}^{100}\frac{1}{x_{k}}\cdot\sum_{k=1}^{100}\left(x_{k}^{3}+2x_{k}\right)-\left(\sum_{k=1}^{100}\sqrt{x_{k}^{2}+1}\right)^{2}\geq C$$
对任意100个两两不同的正整数$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{100}$成立。

Answer: 33340000
user: 已知 $n$ 次实系数多项式 $f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 满足:对任意 $x \in[0,1] \cup[99,100]$ ，都有 $-1 \leq f(x) \leq 1$ 。
当 $n=2$ 时, 求 $f(50)$ 的最大可能值;
当 $n=100$ 时, 求 $f(50)$ 的最大可能值.

Answer: 49
user: 已知平面直角坐标系中的点集 
$$ 
L=\{(x, y) \mid x, y \in\{1,2, \ldots, 100\}\}. 
$$ 
设 $A$ 是由平面上若干个凸多边形组成的集合，满足： $A$ 中每个凸多边形的所有顶点均属于 $L$, 并且 $L$ 中的每个点都恰好是 $A$ 中一个凸多边形的顶点. 
求 $A$ 中所有凸多边形的面积之和的最小可能值。

Answer: 1667
user: 若集合 $X \subseteq\{1,2, \cdots, n\}$ 满足: 在 $X$ 的任意五元子集 $A$ 中都可以找到两个元素 $a 、 b(a<b)$ 使得 $a \mid b$, 则记 $|X|$ 的最大可能值是 $f(n)$ （ $|X|$ 表示集合 $X$ 中的元素个数）。求$f(2023)+f(3000)+f(10000)$.

Answer: 128
user: 已知$a、b、c$是三个互异实数。若在二次方程 
$$\begin{aligned} 
&x^{2}+ax+b=0,\quad\quad\quad\quad\quad\text{①}\\ 
&x^{2}+bx+c=0,\quad\quad\quad\quad\quad\text{②}\\ 
&x^{2}+cx+a=0,\quad\quad\quad\quad\quad\text{③} 
\end{aligned}$$ 
中任意两个均恰有一个公共根，求$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的值。

Answer: 6
user: 某国足协规定：在联赛中比赛双方胜一场得$a$分，平一场得$b$分，负一场得0分，其中，实数$a>b>0$。若一支球队经过$n$场比赛后总得分恰有2015种可能，求$n$的最小值。

Answer: 62
user: 已知$n$个正整数$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$的和为2016。若这$n$个数既可分为和相等的32个组，又可分为和相等的63个组，求$n$的最小值。

Answer: 94
user: 已知集合
$A=\left\{n^{2}+1\mid n\in\mathbf{Z}_{+}\right\}, B=\left\{n^{3}+1\mid n\in\mathbf{Z}_{+}\right\}$。
将$A\cap B$中的所有元素从小到大排列，得到数列$a_{1}, a_{2}, \cdots$。则$a_{99}$的个位数字为_______。

Answer: 2
user: 考虑正 60 边形的 60 个顶点，将其中 10 个染红色， 20 个染黄色，其余 30 个染蓝色. 求最小的正整数 $m$ ，使得总能找到不过任何顶点的 $m$ 条直线将平面分成若干区域，满足每个区域中所有点的颜色相同。

Answer: 30
user: 已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足:
$x_{1}=a, x_{2}=b, x_{n+2}=3 x_{n+1}+2 x_{n}$.
若存在整数 $k \geqslant 3$, 使得 $x_{k}=2019$, 则这样的有序正整数对 $(a, b)$ 的个数为 $\_\_\_\_$.

Answer: 370
user: 长春嘉年华 $G$ 共有 101 个景点，任意两个景点之间总可以通过一些栈道相连，且每条栈道恰连接两个景点，每两个景点之间至多有一条栈道. 若从某个景点出发，沿一系列不同栈道经过不同景点之后回到了该景点, 则把这样的一系列栈道称为 "环线", 并将环线中所含的栈道条数定义为环线的"长度". 若该嘉年华 $G$ 的每条栈道都落在一个长度至多为 $c(G)$ 的环线上, 且栈道总数为 $e(G)$, 求 $c(G)+e(G)$ 的最小可能值.

Answer: 121
user: 已知集合 $A=\{1,2, \cdots, 10\}$. 定义函数 $f: A \rightarrow A$ 满足: 
对于任意的 $x 、 y \in A$, 若 $x \leqslant y$, 则 
$f(x) \leqslant f(y)$; 
$f(3)=4$. 
这样的函数 $f$ 的个数为 $\qquad$.

Answer: 17160
user: 已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$. 则 
$$ 
f(z)=\left|z^{5}+\bar{z}^{3}+6 z\right|-2\left|z^{4}+1\right| 
$$ 
的最小值为 $\qquad$.

Answer: 3
user: 已知正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: 
$a_{1}=1$, 
$(n+1) a_{n}^{2}-2 n a_{n+1}^{2}+\sqrt{n^{2}+n} a_{n} a_{n+1}=0$, 
$z_{n}=\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1-\frac{\mathrm{i}}{a_{k}}\right)$ ( $\mathrm{i}$ 为虚数单位). 
求 $\left|z_{2019}-z_{2020}\right|$ 的值.

Answer: 1
user: 定义运算 $a * b=a b-5\left[\frac{a b}{5}\right]$ ，其中， [ $x$ ] 表示不超过实数 $x$ 的最大整数, 集合 $A=$ $\{0,1,2,3,4\}$ ，双射 $f: A \rightarrow A$ 满足 $f(a * b)=$ $f(a) * f(b)$. 则满足条件的 $f$ 共有 $\qquad$个.

Answer: 2
user: 设
$$
\begin{aligned}
f(x)= & a_{2020} x^{2020}+a_{2019} x^{2019}+\cdots+ \\
& a_{2018} x^{2018}+a_{1} x+a_{0},
\end{aligned}
$$
其中， $a_{i} \in \mathbf{Z}, i=0,1, \cdots, 2020$. 求有序数对 $(n, p)$ ( $p$ 为素数) 的个数，满足 $p^{2}<n<2020$ ，且对于任意的 $i=0,1, \cdots, n, \mathrm{C}_{n}^{i}+f(i)$ 模 $p$ 同余。

Answer: 8
user: 设方程 $x y z=900$ 的全部正整数解为 $\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)(1 \leqslant i \leqslant n)$. 则 $\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k c}+y_{k}+z_{k}\right)=\qquad$.

Answer: 22572
user: 已知集合 $A=\{1,2, \cdots, 6\}$, 映射 $f: A \rightarrow A$ 为一一映射,
$$
\begin{aligned}
& f^{(2)}(x)=f(f(x)), \\
& f^{(n+1)}(x)=f\left(f^{(n)}(x)\right)(x \geqslant 1).
\end{aligned}
$$
则满足对于任意的 $x \in A, f^{(12)}(x)=x$的映射 $f$ 的个数为 $\qquad$.

Answer: 576
user: 有 2023 个顶点的完全图
(即任意两个点之间均有连线), 现将每条边进行染色，有公共点的任意两条边颜色不同，定义每个点所连出的边的颜色为一个颜色集。求不同颜色集个数的最小值。

Answer: 3
user: 由数字 $1,2, \cdots, 6$ 组成无重复数字的六位数 $N=\overline{a_{1} a_{2} \cdots a_{6}}$ ，满足条件 $\left|a_{k+1}-a_{k}\right| \neq 1$ $(k \in\{1,2, \cdots, 5\})$. 则这样的六位数的个数为 $\qquad$.

Answer: 90
user: 无锡市有100个景点，各景点每接待1名游客则景点在旅游局积1分。现在共有100名游客在100天的旅游季内参观这些景点。每天若干人出门参观互不相同的景点，且每名游客自行决定参观一个景点或休息不参观。在旅游季结束时，旅游局发现任何一名游客未曾在不同的两天里参观同一个景点，且任何两名曾在同一天出门的游客均未曾参观过同一个景点。求各景点该旅游季在旅游局获得的最大可能积分总和。

Answer: 1000
user: 设$\boldsymbol{u}=\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$和$\boldsymbol{v}=$$\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right)$是空间向量，满足$u_{i}、v_{i}(i=1,2,3)$均为整数，且
$0.9999<\cos\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle<1$。
记$S=\left|u_{1}\right|+\left|u_{2}\right|+\left|u_{3}\right|+\left|v_{1}\right|+\left|v_{2}\right|+\left|v_{3}\right|$。求$[\sqrt{S}]$的最小可能值，其中，$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数。

Answer: 4
user: 已知 $M=\{1,2, \cdots, 8\}, A 、 B$ 是集合 $M$的两个不同子集，满足： 
（1） $A$ 的元素个数比 $B$ 的元素个数少； 
（2） $A$ 中的最小元素比 $B$ 中的最大元素大。 
则所有满足条件的有序集合对 $(A, B)$ 的个数为$\qquad.$

Answer: 321
user: 小明在两个 $3 \times 3$ 方格表 $A 、 B$ 中随机填入 $1,2, \cdots, 9$ ，使得每个数字恰在每个方格表中出现一次。对于 $1 \leqslant i<j \leqslant 9$ ，若 $i 、 j$ 在 $A$中位于同一行或同一列，且在 $B$ 中位于同一行或同一列，则称 $(i, j)$ 为"紧密数对"。紧密数对个数的数学期望是$\qquad.$

Answer: 9
user: 已知多项式
$$
f(z)=z^{3}+a z^{2}+b z+c(a, b. c \in \mathbf{Z})
$$
的所有根的模都是 20 或 15. 则这样的多
项式有 $\qquad$个。

Answer: 572
user: 记数列 $\left\{\frac{1}{(n+1) \sqrt{n}+n \sqrt{n+1}}\right\}$ 的前 $n$项和为 $S_{n}$. 则数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的前 2016 项中有理数的个数为 $\qquad$.

Answer: 43
user: 全集 $U=\{1,2, \cdots, 50\}, A=\{a, b\}$ 。若集合 $C_{U} A$ 中所有元素之和等于 $a b$, 则 $a b=$
$\qquad$.

Answer: 1204
user: 已知曲线 $C_{1}: y=\sqrt{-x^{2}+10 x-9}$ 及点 $A(1,0)$. 若曲线 $C_{1}$ 上存在相异的两点 $B 、 C$,其到直线 $l: 3 x+1=0$ 的距离分别为 $|A B|$ 、 $|A C|$, 则 $|A B|+|A C|=$

Answer: 8
user: 若函数 $f(x)=\frac{a+\sin x}{2+\cos x}+b \tan x$ 的最大值与最小值之和为 4, 则 $a+b=$

Answer: 3
user: 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{18}$ 都是非零实数。试求下式的最小可能值: 
$$ 
S=\sum_{i=1}^{18} \sum_{j=1}^{18} \frac{\left(a_{i}+a_{j}\right)^{2}\left(1+a_{i}^{2} a_{j}^{2}\right)}{a_{i}^{2} a_{j}^{2}} 
$$

Answer: 1296
user: 将两个相同的白球、三个相同的红球、四个相同的黑球全部放入三个不同的袋子 
中. 则没有空袋的放法数为 $\qquad$.

Answer: 723
user: 设 $p$ 为素数. 若存在正整数 $n$ ，使得 $p \mid\left(n^{2}+7 n+23\right)$ ，则 $p$ 的最小值为 $\qquad$。

Answer: 11
user: 已知 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，规定 $S_{0}=0$ 。若对任意的 $n \in \mathbf{Z}_{+}$，均有 
$$ 
\begin{aligned} 
& \frac{a_{n}}{2017}=-\frac{2017+S_{n-1}}{n}, \\ 
& \text { 则 } \sum_{n=1}^{2017} 2^{n} a_{n}= 
\end{aligned} 
$$

Answer: -4034
user: 定义在集合 $\left\{x \in \mathbf{Z}_{+} \mid 1 \leqslant x \leqslant 12\right\}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 
$$ 
|f(x+1)-f(x)|=1(x=1,2, \cdots, 11), 
$$ 
且 $f(1) 、 f(6) 、 f(12)$ 成等比数列。若 $f(1)$ $=1$ ，则满足条件的不同函数 $f(x)$ 的个数为 
$\qquad$。

Answer: 155
user: 求使得关于 $x 、 y 、 z$ 的方程 $2^{x}+3^{y}-5^{z}=2 m$ 
无正整数解的最小正整数 $m$.

Answer: 11