sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: 设 $a 、 b$ 均为正实数. 则 $(a+b)\left(2+\frac{1}{a b}\right)$的最小值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 6
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, $Rt \triangle A B C$ 的三个顶点均在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a>b>0)$ 上, 其中, $A(0, b)$ 为直角顶点. 
若 $b=1$, 该三角形的面积的最大值为 $\frac{27}{8}$ ，求实数 $a$ 的值; 
求该三角形面积的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 在梯形 $A B C D$ 中, $B C / / A D, A B=A D$, $\angle A B C=\frac{2 \pi}{3}, \angle B C D=\frac{\pi}{2}$. 将 $\triangle A B D$ 沿 $B D$翻折，点 $A$ 在面 $B C D$ 上的投影为点 $P$. 已知 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 。则 $B P$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 3
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足:
$a_{1}=a_{2}=2019, b_{1}=b_{2}=2017$ ，
且对于一切正整数 $n \geqslant 2$ ，均有
$$
\begin{aligned}
& a_{n+1}=\left(a_{n-1}-1\right)\left(b_{n}+1\right) \\
& b_{n+1}=a_{n} b_{n-1}-1
\end{aligned}
$$
求 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\left(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n+3}}\right)$ 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 8148685
user: 使得 $\frac{x+3}{x^{2}-2 x+2}$ 为正整数的所有实数 $x$的和为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 133
user: 有五张分别写有 $1 、 2 、 3 、 4 、 5$ 数字的卡片，每次从中抽取一张，记下卡片上的数字，然后放回。这样抽取了四次，则抽到的最大数与最小数的差小于 4 的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 1056
user: 已知$x_{1},x_{2},\cdots,x_{50}\in\mathbf{R}$，且$\sum\limits_{i=1}^{50}\frac{x_{i}}{k+i}=\frac{2021}{2k+1}$对于任意$k\in\{1,2,\cdots,50\}$成立。求$\sum\limits_{i=1}^{50}\frac{x_{i}}{4042i+2021}$的值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 12751
user: 已知双曲线$\Gamma:\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$，点$A_{1}(2,0)$，$A_{2}(3,0)$，过点$A_{1}$的直线与双曲线交于点$B_{1}、C_{1}$，过点$A_{2}$的直线与双曲线交于点$B_{2}、C_{2}$，且$k_{B_{1}C_{1}}k_{B_{2}C_{2}}=\frac{1}{2}$。分别以$B_{1}C_{1}$、$B_{2}C_{2}$为直径的圆交于点$X、Y$。求原点到直线$XY$的最大距离。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 8
user: 已知$x、y\in[0,+\infty)$，且满足$x^{3}+y^{3}+6xy=8$。
则$2x^{2}+y^{2}$的最小值为_______。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 11
user: 利用24小时制计时，可得到某一时刻的四个数字之和比时刻$20:21$的四个数字之和小的概率为_______。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 301
user: 设复数$a、z$满足$|a|<1,|z|<1$。
若$|a|=|z|=\frac{1}{2}$，求$\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|$的最大值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 9
user: 已知抛物线$\Gamma:y^{2}=2px(p>0)$在第一象限与单位圆交于点$A,\Gamma$在$A$处的切线为$l$，过原点的$\odot M$与$l$切于点$A$。当$p$变化时，求$\odot M$的半径$R$的最小值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 设函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(x-1)$为偶函数，$f(x-2)$为奇函数。当$x\in[1,2]$时，$f(x)=ax^{2}+bx$。若$f(0)+f(3)=-1$，则$f\left(\frac{9}{2}\right)=\qquad.$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: 已知复数 $z$ 、w 满足:
$z+\frac{20 \mathrm{i}}{w}=5+\mathrm{i}, w+\frac{12 \mathrm{i}}{z}=-4+10 \mathrm{i}$ 。
则 $|z w|$ 的最小值是 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 12
user: 已知正数 $a 、 b 、 c$ 满足 $a b+b c+c a+2 a b c=1$.
求 $\sqrt{a b}+\sqrt{b c}+\sqrt{c a}$ 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 已知边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 在平面 $\beta$ 内，其余顶点均在平面 $\beta$ 的同侧，且 $B 、 D$ 两点到平面 $\beta$ 的距离分别为 $1 、 2$ 。若平面 $A B C D$ 与平面 $\beta$ 的夹角为 $30^{\circ}$, 则 $a=$
$\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 7
user: 已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足:
$$
\left|\overline{z_{1}}\right|=3,\left|\overline{z_{2}}\right|=4,\left|z_{1}+z_{2}\right|=6.
$$
则 $\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}+\frac{z_{1}}{z_{2}}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 27
user: 从 $1 \sim 9$ 这九个正整数中任选三个,则这三个数两两互素的概率是 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 121
user: 已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a 、 b>0)$的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$, 双曲线 $C$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 的一个交点为 $P$ 。若 $\frac{\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|}{r}$ 的最大值为 $4 \sqrt{2}$, 则双曲线 $C$的离心率为 $\qquad$。原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 4
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=3, A C=4, B C=5, I$为 $\triangle A B C$ 的内心， $P$ 为 $\triangle I B C$ （包括边界）内一点. 若 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}(\lambda, \mu \in \mathbf{R})$ ，则 $\lambda+\mu$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 19
user: 设点 $A(2,0)$, 点 $B$ 在曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$上, $\triangle A B C$ 是以 $A$ 为直角顶点的等腰直角三角形. 则 $|O C|$ 的最大值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 5
user: 某所中学共开设了六门选修课： $A 、 B$ 、 $C$ 三门为第一类选修课， $D 、 E 、 F$ 为第二类选修课，要求每名同学选三门课，其中，第一类选修课至少选两门。现有甲、乙、丙三人选课，则任意一名同学与其他两名同学均至少有两门选修课相同的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 329
user: 记$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数，$\{x\}=x-[x]$。则
$\left\{\frac{2015!}{2017}\right\}=$______。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 2018
user: 从集合$\{1,2,\cdots,105\}$中任取一个元素$a$，使得$x^{2}+ax+6a=0$只有整数解的概率为_______。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 22
user: 若二次函数
$$f(x)=ax^{2}+bx+c(a、b、c>0)$$
有零点，求$\min\left\{\frac{b+c}{a},\frac{c+a}{b},\frac{a+b}{c}\right\}$的最大值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 9
user: 一只小虫在正八面体的表面上爬行，每秒从某一个顶点等可能地爬往四个相邻顶点之一。则小虫在第8秒爬回初始位置的概率为_______。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 299
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, $A$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 上一点， $M$ 为线段 $O A$ 上的动点，过 $M$ 作直线与椭圆交于 $P 、 Q$ 两点. 若 $\overrightarrow{P M}=2 \overrightarrow{M Q}$, 求四边形 $O P A Q$ 面积的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 两圆均经过点 $(1,1)$, 且与直线 $y=\frac{4}{3} x$ 及 $x$ 轴均相切.则该两圆的半径之和为 _____.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$. 若 $a^{2}+2\left(b^{2}+c^{2}\right)=2 \sqrt{2}$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为_____.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 在正四面体 $P-A B C$ 中, 点 $E 、 F$ 分别在棱 $P B 、 P C$ 上. 若 $P E \neq P F$ ，且 $A E=A F=2$ ， $E F=\sqrt{3}$, 则四面体 $P-A E F$ 的体积为 _____.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 9
user: 若 $a, b, c, d \in[2,4]$, 则 $\frac{(a b+c d)^{2}}{\left(a^{2}+d^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)}$ 的最大值与最小值的和为 $\qquad.$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 66
user: 若正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 1, 中心为 $0, \overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{B F}, \overrightarrow{A_{1} A}=$ $4 \overrightarrow{A_{1} E}$ ，则四面体 $O E B F$ 的体积为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 97
user: 设 $O$ 是 $\triangle A B C$ 内一点, 满足 $S_{\triangle O A B}: S_{\triangle O B C}: S_{\triangle O C A}=4: 3: 2, \overrightarrow{A O}=\lambda \overrightarrow{A B}+$ $\mu \overrightarrow{A C}$, 则 $\lambda+\mu=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: Evaluate$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1}\cos^{2}\left\{\frac{\pi}{2n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots x_{n}\right)\right\}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}.$$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 3
user: Evaluate the infinite product $$\prod_{n=2}^{\infty}\frac{n^{3}-1}{n^{3}+1}$$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 5
user: Express $$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{2}n+mn^{2}+2mn}$$as a rational number.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 11
user: Evaluate the double series
$$
\sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} 2^{-3 k-j-(k+n)^{2}}
$$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 7
user: 将一个色子连续投掷五次，则事件 "五次出现的点数既不全相同也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数"的概率是 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 167
user: 设集合 $\left\{\left.\frac{5}{x}+y \right\rvert\, 1 \leqslant x \leqslant y \leqslant 5\right\}$ 中的最大元素与最小元素分别为 $M, N$, 则 $M N=$ $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 25
user: 一只蚂蚁在正方体 $A B C D-E F G H$ 的顶点 A 处，每次等概率地爬行到相邻三个顶点中的一个，那么六次爬行之后回到顶点 A 的概率为?.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 304
user: 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 的左、右焦点分别为 $A, B, P$ 是双曲线上一点, 若 $\triangle P A B$ 的内切圆圆心为 $(3,1)$, 则 $\triangle P A B$ 外接圆的半径为 ?原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 77
user: 棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ 中, 已知 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A Q}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A R}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}$, 若点 K 为 $\triangle B C D$ 的重心, 则四面体 $K P Q R$ 的体积为 ?原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 37
user: Let $A$ be the area of the region in the first quadrant bounded by the line $y=\frac{1}{2} x$, the $x$-axis, and the ellipse $\frac{1}{9} x^{2}+y^{2}=1$. Find the positive number $m$ such that $A$ is equal to the area of the region in the first quadrant bounded by the line $y=m x$, the $y$-axis, and the ellipse $\frac{1}{9} x^{2}+y^{2}=1$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 11
user: 将正九边形的每个顶点等概率地涂上红、蓝两种颜色之一, 则存在三个同色的顶点构成锐角三角形的概率为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 503
user: 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 设 $P$ 是第一象限内 $\Gamma$ 上一点, $P F_{1}, P F_{2}$ 的延长线分别交 $\Gamma$ 于点 $Q_{1}, Q_{2}$ 。设 $r_{1}, r_{2}$ 分别为 $\triangle P F_{1} Q_{2}, \Delta P F_{2} Q_{1}$ 的内切圆半径。求 $r_{1}-r_{2}$ 的最大值。 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 4
user: 在三角形 $A B C$ 中, $B C=4, C A=5, A B=6$, 则 $\sin ^{6} \frac{A}{2}+\cos ^{6} \frac{A}{2}=$ $\qquad$. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 107
user: 若平面上非零向量 $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ 满足 $\vec{\alpha} \perp \vec{\beta}, \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}=2|\vec{\alpha}|, \vec{\gamma} \cdot \vec{\alpha}=3|\vec{\beta}|$, 则 $|\vec{\gamma}|$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 5
user: 一个不均匀的骰子，掷出 $1,2,3,4,5,6$ 点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为 $a, b$ .若事件 " $a+b=7$ " 发生的概率为 $\frac{1}{7}$ ，则事件 " $a=b$ "发生的概率为 $\qquad$. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 25
user: 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=2, A D=1$, 边 $D C$ 上（包含点 $D 、 C$ ）的动点 $P$ 与 $C B$ 延长线上 (包含点 $B$ ) 的动点 $Q$ 满足 $|\overrightarrow{D P}|=|\overrightarrow{B Q}|$, 则向量 $\overrightarrow{P A}$ 与向量 $\overrightarrow{P Q}$ 的数量积 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P Q}$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 设一条动直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma: y^{2}=4 x$ 相切，且与双曲线 $\Omega: x^{2}-y^{2}=1$ 交于左、右两支各一点 $A 、 B$ 。求 $\triangle A O B$ 的面积的最小值。原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 7
user: 在正方体中随机取 3 条棱, 它们两两异面的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 57
user: 对有限非空实数集 $X$, 记 $X$ 的元素个数为 $|X|$ ，均有 
$f(X)=\frac{1}{|X|} \sum\limits_{a \in X} a$. 
集合对 $(A, B)$ 满足 
$A \cup B=\{1,2, \cdots, 100\}, A \cap B=\varnothing$, 
且 $1 \leqslant|A| \leqslant 98$. 
任取 $p \in B$ ，令 
$A_{p}=A \cup\{p\}, B_{p}=\{x \mid x \in B, x \neq p\}$. 
对所有满足上述条件的集合对 $(A, B)$ 与 $p \in$ $B$ ，求 $\left(f\left(A_{p}\right)-f(A)\right)\left(f\left(B_{p}\right)-f(B)\right)$ 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 821
user: 设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单调函数, 对任意 $x>0$ 有 $f(x)>-\frac{4}{x}, f\left(f(x)+\frac{4}{x}\right)=3$,则 $f(8)= ?$ 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 9
user: 设 $f(x)$ 为定义在区间 $(0,+\infty)$ 上的单调函数. 对于任意的 $x>0$ ，均有
$f(x)>-\frac{4}{x}, f\left(f(x)+\frac{4}{x}\right)=3$.
则 $f(8)= ?$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 9
user: 若 $x 、 y$ 为实数, 则 $|2 x+y| 、|x-y|$ 、 $|1+y|$ 这三个数中的最大数的最小值为 .原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 3
user: 对于四面体 $A B C D, A B \perp B C, C D \perp$ $B C, B C=2$ ，且异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$. 若四面体 $A B C D$ 的外接球半径为 $\sqrt{5}$,则四面体 $A B C D$ 的体积的最大值为 .原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 5
user: 过抛物线 $E: y^{2}=2 x$ 的焦点 F 作两条斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$, 其中 $l_{1}$ 交 $E$ 于 $A, C$ 两点, $l_{2}$ 交 E 于 $B, D$ 两点, 则 $|A C|+2|B D|$ 的最小值为 .原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 16
user: 过抛物线 $E: y^{2}=2 x$ 的焦点 F 作两条斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1} 、 l_{2}$, 其中, $l_{1}$ 与抛物线 E 交于 $A 、 C$ 两点, $l_{2}$ 与抛物线 E 交于 $B 、 D$两点。则 $|A C|+2|B D|$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 16
user: 12 个人围坐在一张圆桌旁参加一种游戏，主持人给每人发一顶帽子，帽子的颜色包括红、黄、蓝、紫四种颜色。每个人都可以看见其他 11 人帽子的颜色，但是不知道自己帽子的颜色。现在主持人让这 12 个人顺次来猜自己头上帽子的颜色。这 12 个人事先约定好一种策略，但是当游戏开始后就不能进行交流，他们的目标是使 12 个人同时回答正确的机会最大。假定主持人给每个人发的帽子的颜色是完全随机的，试给出一种策略，并分析在此策略下所有人都猜对的概率。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 有一人进行投篮训练，投篮 5 次，失误一次扣 1 分，进一次得 1 分，连进 2次得 3 分，连进 3 次得 5 分. 若投篮的命中率为 $\frac{2}{5}$ ，则投篮 3 次恰好得 2 分的概
率为 .原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 149
user: 已知 $a x+b y=1, a x^{2}+b y^{2}=2, a x^{3}+b y^{3}=7, a x^{4}+b y^{4}=18$, 则 $a x^{5}+b y^{5}=$ .原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 166
user: 对于 $x \in R, f(x)$ 满足 $f(x)+f(1-x)=1, f(x)=2 f\left(\frac{x}{5}\right)$, 且对于 $0 \leq$ $x_{1} \leq x_{2} \leq 1$, 恒有 $f\left(x_{1}\right) \leq f\left(x_{2}\right)$, 则 $f\left(\frac{1}{2022}\right)=$ .原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 33
user: 若复数$z$满足$\left|z\right|=1$，则$\left|(z-2)(z+1)^{2}\right|$的最大值是 ？原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 6
user: 若函数$f(x)$满足$\forall x\in\mathbf{R}$，$f(x)+f(1-x)=1$，$f(x)=2f\left(\frac{x}{5}\right)$，且当$0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant1$时，恒有$f\left(x_{1}\right)\leqslant f\left(x_{2}\right)$，则$f\left(\frac{1}{2022}\right)$= ？原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 33
user: 求满足方程 $\cos x+\cos 2 x-\cos 3 x=1$, $x \in R$ 的所有 $\cos x$ 的平方和。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 13
user: $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 为互不相等的正实数， $x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}, x_{i 4}$ 为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意顺序排列, $X=\max \left\{\min \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \min \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}, Y=\min \left\{\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \max \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right.\right.$, 求 x 大于 y 的概率.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 4
user: 定义 $x * y=\frac{x+y}{1+x y}$, 则 $(\cdots((2 * 3) * 4) \cdots) * 21=$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 231
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $D, E$ 分别为 $B C, A C$ 的中点, $A D=1, B E=2$, 则 $S_{\triangle A B C}$ 的最大 值为原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: Let $PQR$ be an equilateral triangle with sides of length three units. $U$, $V$, $W$, $X$, $Y$, and $Z$ divide the sides into lengths of one unit. Find the ratio of the area of the shaded quadrilateral $UWXY$ to the area of the triangle $PQR$. The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 13
user: In the figure, $ABCD$ is a square, $P$, $Q$, $R$, and $S$ are midpoints of the sides $AB$, $BC$, $CD$ and $DA$ respectively. Find the ratio of the shaded area to the area of the square $ABCD$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 6
user: Replace the letters $a$, $b$, $c$ and $d$ in the following expression with the numbers $1$, $2$, $3$ and $4$, without repetition:
$a+\cfrac{1}{b+\cfrac{1}{c+\cfrac{1}{d}}}$
Find the difference between the maximum value and the minimum value of the expression.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 1270
user: On a given circle, six points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, and $F$ are chosen at random, independently and uniformly with respect to arc length. Determine the probability that the two triangles $ABC$ and $DEF$ are disjoint, i.e., have no common points.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 13
user: 设整数 $n(n>3)$ ，非负实数 $a_{1}, a_{2}$ ， $\cdots, a_{n}$ 满足 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=2$ 。
求 $\frac{a_{1}}{a_{2}^{2}+1}+\frac{a_{2}}{a_{3}^{2}+1}+\cdots+\frac{a_{n}}{a_{1}^{2}+1}$ 的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 求所有整数对 $(a, b)$ ，使得存在大于 1的整数 $d$ ，满足对任意的正整数 $n, a^{n}+b^{n}+1$都是 $d$ 的倍数.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 对有限非空实数集 $X$, 记 $X$ 的元素个数为 $|X|$ ，均有
$f(X)=\frac{1}{|X|} \sum_{a \in X} a$.
集合对 $(A, B)$ 满足
$A \cup B=\{1,2, \cdots, 100\}, A \cap B=\varnothing$,
且 $1 \leqslant|A| \leqslant 98$.
任取 $p \in B$, 令
$A_{p}=A \cup\{p\}, B_{p}=\{x \mid x \in B, x \neq p\}$.
对所有满足上述条件的集合对 $(A, B)$ 与 $p \in$ $B$, 求 $\left(f\left(A_{p}\right)-f(A)\right)\left(f\left(B_{p}\right)-f(B)\right)$ 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 821
user: 已知实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2018}$ 满足：对任意的 $1 \leqslant i<j \leqslant 2018$, 均有 $x_{i}+x_{j} \geqslant(-1)^{i+j}$. 求 $\sum_{i=1}^{2018} i x_{i}$ 的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 2037173
user: 已知 $0<x 、 y<1$. 求
$$
\frac{x y(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}
$$
的最大值.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 9
user: 设 $x 、 y 、 z \in(0,1)$ ，满是
$\sqrt{\frac{1-x}{y z}}+\sqrt{\frac{1-y}{z x}}+\sqrt{\frac{1-z}{x y}}=2$.
求 $x y z$ 的最大值。
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 91
user: 已知实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2018}$ 满足：对任意的 $1 \leqslant i<j \leqslant 2018$, 均有 $x_{i}+x_{j} \geqslant(-1)^{i+j}$. 求 $\sum\limits_{i=1}^{2018} i x_{i}$ 的最小值. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 2037173
user: 设 $x 、 y 、 z \in(0,1)$ ，满足 $\sqrt{\frac{1-x}{y z}}+\sqrt{\frac{1-y}{z x}}+\sqrt{\frac{1-z}{x y}}=2$. 求 $x y z$ 的最大值. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 91
user: 求最大的实数 $k$, 使得对于任意的正数 $a 、 b$ ,均有 
$$ 
(a+b)(a b+1)(b+1) \geqslant k a b^{2}. 
$$ 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 31
user: 设 $\triangle A B C$ 的三边长分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $a+b+c=3$. 求 
$$ 
f(a, b, c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{4}{3} a b c 
$$ 
的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 16
user: 对 $n$ 个实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$, 令
$$
b_{k}=\frac{a_{k}+a_{k+1}}{2}, c_{k}=\frac{a_{k-1}+a_{k}+a_{k+1}}{3},
$$
其中， $k=1,2, \cdots, n, a_{0}=a_{n} ; a_{n+1}=a_{1}$. 求最大的正实数 $\lambda$ ，使得对于任意正整数 $n \geqslant 3$ ，以及任意实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ ，均有
$$
\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-b_{k}\right)^{2} \geqslant \lambda \sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-c_{k}\right)^{2}
$$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 25
user: 对区间 $[0,1]$ 上的实数 $x 、 y 、 z$, 记 $M$ 为 $x-x y-x z+y z 、 y-y x-y z+x z 、 z-z x-z y+x y$中的最小数. 求 $M$ 的最大可能值. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 已知集合
$T=\left\{n \mid n=5^{a}+5^{b}, 0 \leqslant a \leqslant b \leqslant 30, a 、 b \in \mathbf{Z}\right\}$ 。
若从集合 $T$ 中随机取出一个数，则该数是 $9$ 的倍数的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 36
user: 方程 $x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{35}{12}$ 的所有实数根的和为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 47
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $3 A B=2 A C, E 、 F$ 分别为 $A C 、 A B$ 的中点. 若 $B E<t C F$ 恒成立, 则 $t$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 15
user: 已知正数 $a 、 b 、 c$ 满足 $a^{2}+b^{2}+2 c^{2}=1$ .则 $\sqrt{2} a b+2 b c+7 a c$ 的最大值为 $\qquad$. 原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 4
user: 一个盒中有 9 个正品和 3 个废品, 每次取一个产品, 取出后不再放回。则在取出 2个正品前已取出 3 个废品的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 56
user: 已知 $x^{2}-y^{2}+6 x+4 y+5=0$, 则 $x^{2}+y^{2}$ 的最小值是 $\qquad$. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 3
user: 已知 $x^{2}-y^{2}+6 x+4 y+5=0$, 则 $x^{2}+y^{2}$ 的最小值是 $\qquad$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 3
user: 若实数 $a 、 b 、 c$ 满足
$a+2 b+3 c=6, a^{2}+4 b^{2}+9 c^{2}=12$,
则 $a b c=$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: 设集合 
$T=\left\{(a, b, c) \mid a 、 b 、 c \in \mathbf{Z}_{+}\right.$，且 $a 、 b 、 c$可构成某个三角形的三边长\}。 
则 $\sum_{(a, b, c) \in T} \frac{2^{a}}{3^{b} \times 5^{c}}$ 的值为 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 38
user: 已知正实数 $a, b$ 满足 $a^{b}=(8 a)^{9 b}$, 则 $\log _{a}\left(4 a^{2}\right)$ 的值为 $\qquad$. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 65
user: 已知正实数 $a 、 b$ 满足 $a^{b}=(8 a)^{9 b}$ 。则 $\log _{a}\left(4 a^{2}\right)=$ $\qquad$. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 65
user: 在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $A B=1, B C=C C_{1}=\sqrt{3}, \angle A B C=90^{\circ}$, 点 $P$ 是平面 $A B C$上一动点, 则 $A_{1} P+\frac{1}{2} P C$ 的最小值为 $\qquad$. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: 设复数 $x, y, z$ 满足: $|x+2 y+3 z|=1$ 。 
求 $|x|^{2}+|y|^{2}+|z|^{2}+\left|x^{2}+y^{2}+z^{2}\right|$ 的最小值. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 8
user: 求最大的正实数 $\alpha$, 对于满足 $a+b+c \mid a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 的不全相等的正整数 $a, b, c$, 都有方程 
$$ 
(x+b)^{2}=(x+c)(x+a) 
$$ 
在区间 $(0, \alpha)$ 内没有解.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 3
user: 设 $M_{n}=\left\{(\right.$ 十进制 $) n$ 位纯小数 $0. \overline{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}} \mid a_{i}$ 只取 0 或 $1(i=1,2, \cdots, n-1)$, $\left.a_{n}=1\right\}, T_{n}$ 是 $M_{n}$ 中元素的个数, $S_{n}$ 是 $M_{n}$ 中所有元素的和, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n}}{T_{n}}=$
$\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 19
user: 在锐角三角形 $A B C$ 中, $A B$ 上的高 $C E$ 与 $A C$ 上的高 $B D$ 相交于点 $H$, 以 $D E$ 为直径的圆分别交 $A B 、 A C$ 于 $F 、 G$ 两点, $F G$ 与 $A H$ 相交于点 $K$, 已知 $B C=25, B D=20, B E=7$, 求 $A K$ 的长。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 241
user: 设正数 $a 、 b 、 c 、 x 、 y 、 z$ 满足 $c y+b z=a, a z+c x=b, b x+a y=c$ 。求函数 $f(x, y, z)=\frac{x^{2}}{1+x}+\frac{y^{2}}{1+y}+\frac{z^{2}}{1+z}$的最小值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 将编号为 $1,2,3, \cdots, 9$ 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为 $S$ ，求使 $S$ 达到最小值的放法的概率。（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 316
user: 袋内有 8 个白球和 2 个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回一个白球，则第 4 次恰好取完所有红球的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5217
user: 若函数 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ 且 $f^{(n)}(x)=\underbrace{f[f[f \cdots f(x)]]}_{n}$, 则 $f^{(99)}(1)=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 11
user: 若函数 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ 且 $f^{(n)}(x)=\underbrace{f[f[f \cdots f(x)]}_{n}$, 则 $f^{(99)}(1)=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 11
user: 某情报站有 $A, B, C, D$ 四种互不相同的密码, 每周使用其中的一种密码, 且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。设第1周使用 $A$ 种密码, 那么第 7 周也使用 $A$ 种密码的概率是 $\qquad$. (用最简分数表示) 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 304
user: 一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字 $1,2, \cdots, 6$ ，每次投掷这样两个相同的股子，规定向上的两个面上的数字之和为这次投掷的点数. 那么，投掷 3 次所得 3 个点数之积能被 14 整除的概率是 $\qquad$. (用最简分数表示) 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 4
user: 已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0), A 、 B$ 是抛物线上不同于顶点 $O$ 的两个动点, 记 $\angle A O B=\theta$ $\left(\theta \neq 90^{\circ}\right)$ 。若 $S_{\triangle A O B}=m \tan \theta$, 试求当 $m$ 取得最小值时 $\tan \theta$ 的最大值. 原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 0
user: 某情报站有 $A, B, C, D$ 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。设第1周使用 $A$种密码，那么第7周也使用 $A$ 种密码的概率是 $\qquad$ (用最简分数表示)。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 304
user: 设 $x, y, z \in[0,1]$, 则 $M=\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}$ 的最大值是 $\qquad$. 原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 4
user: 设 $a, b$ 为实数，函数 $f(x)=a x+b$ 满足：对任意 $x \in[0,1]$ ，有 $|f(x)| \leqslant 1$ 。则 $a b$ 的最大值为 $\qquad$. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 从 $1,2, \cdots, 20$ 中任取 5 个不同的数, 其中至少有两个是相邻数的概率为 $\qquad$. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 555
user: 设 $a, b$ 为实数，函数 $f(x)=a x+b$ 满足：对任意 $x \in[0,1]$ ，有 $|f(x)| \leqslant 1$ 。则 $a b$ 的最大值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 从 $1,2, \cdots, 20$ 中任取 5 个不同的数, 其中至少有两个是相邻数的概率为原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 555
user: 若从 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 中随机地取出四个两两互异的数，分别记为 $a, b, c, d$ ，则 $a+b$ 与 $c+d$ 奇偶性相同的概率是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 32
user: 现有 7 把钥匙和 7 把锁。用这些钥匙随机开锁，则 $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ 这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 172
user: 现有 7 把钥匙，用这些钥匙随机开锁，则 $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ 这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 172
user: 已知 $a, b \in \mathbb{R}, z_{1}=5-a+(6-4 b) \mathrm{i}, z_{2}=2+2 a+(3+b) \mathrm{i}, z_{3}=3-a+(1+3 b) \mathrm{i}$,当 $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|$ 最小时, $3 a+6 b=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 40