sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: Determine all functions $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ satisfying $f\left(f(m)+n\right)+f(m)=f(n)+f(3m)+2014\quad(1)$ for all integers $m$ and $n$. The original answer is in the form of a function $n\longmapsto2n+1007$. Please provide the value of the function when $n = 1000$. Directly give the resulting integer value.

Answer: 3007
user: Consider all polynomials $P(x)$ with real coefficients that have the following property: for any two real numbers $x$ and $y$ one has $|y^2-P(x)|\leqslant2|x|$ if and only if $|x^2-P(y)|\leqslant2|y|$. Determines the positive integer value in the set of possible values for P(0).

Answer: 1
user: Find all functions $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ such that $$n^2+4f(n)=f(f(n))^2\quad(1)$$ for all $n \in \mathbb{Z}.$ Provide the number of distinct functional forms for $f(n)$.

Answer: 3
user: Let $n\geqslant2$ be an integer. Consider an $n \times n$ chessboard divided into $n^ 2$ unit squares. We call a configuration of n rooks on this board happy if every row and every column contains exactly one rook. Find the greatest positive integer $k$ such that for every happy configuration of rooks, we can find a $k \times k$ square without a rook on any of its $k ^2$ unit squares. Please provide the value of $k$ when $n = 10$. The answer should be a single integer.

Answer: 3
user: $A$ card deck consists of $1024$ cards. On each card, a set of distinct decimal digits is written in such a way that no two of these sets coincide (thus, one of the cards is empty). Two players alternately take cards from the deck, one card per turn. After the deck is empty, each player checks if he can throw out one of his cards so that each of the ten digits occurs on an even number of his remaining cards. If one player can do this but the other one cannot, the one who can is the winner; otherwise a draw is declared. Determine the number of possible first moves of the first player after which he has a winning strategy.What is the total number of possible moves

Answer: 1023
user: Let $n\geqslant 2$ be an integer, and let $A_n$ be the set
$$A_n=\{2^n-2^k\mid k\in\mathbb{Z},0\leqslant k<n\}.$$ Determine the largest positive integer that cannot be written as the sum of one or more (not necessarily distinct) elements of $A_n.$ Please provide the value when n = 9.

Answer: 3585
user: Find all triples $( p, x, y)$ consisting of a prime number $p$ and two positive integers $x$ and $y$ such that $x^p-1+y$ and $x+y^p-1$ are both powers of $p.$ Provide the sum of the elements in all triples when k=1.

Answer: 24
user: Determine all functions $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ with the property that $$f\big(x-f(y)\big)=f\big(f(x)\big)-f(y)-1\quad(1)$$ holds for all $x,y\in\mathbb{Z}.$ Please provide several such functions.

Answer: 2
user: Let $n$ be a fixed positive integer. Find the maximum possible value of $$\sum\limits_{1\leqslant r<s\leqslant2n}(s-r-n)x_rx_s,$$ where $-1\leqslant x_{i}\leqslant1$ for all $i=1,2,\cdots,2n.$ Please provide the value of the expression when $n$ is a specific integer, such as $n=5$. The answer should be given in integer form, which is the product of n and (n-1).

Answer: 20
user: 已知非负实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$, 则 $a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)$ 的最大值为 \(\frac{m+\sqrt{n}}{k}\) 的形式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 12
user: 有限项等差数列的公差为 4 ，第二项起各项之和加上首项的平方小于 100 ，则该数列可能有几项？请提供可能项数的最小值与最大值之和。

Answer: 9
user: 有限项等差数列的公差为 4 ，第二项起各项之和+首项的平方 <100 ，则该数列可能有几项？请给出可能项数的最大值与最小值之和。

Answer: 9
user: $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 为互不相等的正实数, $x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}, x_{i 4}$ 为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意顺序排列, $X=\max \left\{\min \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \min \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}, Y=\min \left\{\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \max \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right.\right.$, 求 x 大于 y 的概率。原始答案是\frac{m}{n}格式，请给出m+n的值。

Answer: 4
user: 定义 $x * y=\frac{x+y}{1+x y}$, 则 $(\cdots((2 * 3) * 4) \cdots) * 21=$. 原始答案是 \( \frac{m}{n} \) 格式，请给出 \( m + n \) 的值。

Answer: 231
user: 若一个 $k$ 项等差数列的公差是 4, 且首项的平方与除首项外的各项和小于 100 ，则 $k$ 的取值范围是哪些整数的集合？请提供该集合中所有元素的和。

Answer: 33
user: 已知 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 是两两不等的实数， $x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}, x_{i 4}$ 是 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意一个排列，若记 $X=\max \left\{\min \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \min \left(x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right\}, Y=\min \left\{\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \max \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right\}$ ，则 $X>Y$ 的概率是原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值。

Answer: 4
user: 若非负数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$ ，则 $a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)$ 的最大值是\n\n题目原始答案的格式为\(\frac{\sqrt{m}}{n}\)，请给出\(m + n + k\)的值，其中\(k = 0\)。

Answer: 21
user: 已知 $x^{2}=4 y, M(2,2)$ ，过 M 点的直线交抛物线于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 两点作抛物线的切线交与点 P ，求 $ riangle A B P$ 的最小面积。请给出最小面积的数值。

Answer: 4
user: 已知 $\operatorname{Re}(z) \geq 1$ ，求 $\left|\frac{1}{z}+1+i\right|_{\min }$ 的值. 原始答案是 \(\frac{\sqrt{m}-n}{k}\) 的形式，请给出 m + n + k 的值.

Answer: 16
user: 已知 $\mathrm{I}_{\mathrm{n}}=\left(1+\frac{\mathrm{i}}{2}\right)\left(1+\frac{\mathrm{i}}{4}\right)\left(1+\frac{\mathrm{i}}{16}\right) \cdots\left(1+\frac{\mathrm{i}}{2^{2 \mathrm{n}}}\right)$ ，求 $\left|\mathrm{I}_{\mathrm{n}}\right|$ 当 $n = 2$ 时，给出整数近似值。

Answer: 1
user: 已知 $x^{2}=4 y, M(2,2)$, 过 $M$ 点的直线交抛物线于 $A, B$ 两点, 过 $A, B$ 两点作抛物线的切线交与点 $P$, 求 $S_{\triangle A B P}$ 的最小值和 $P$ 的轨迹。请给出最小值。

Answer: 4
user: 椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=\lambda, F$ 为左焦点, $A, B$ 为椭圆上两点且 $|F A|=5,|F B|=8$, 求直线 $A B$ 的斜率 $k$ 的范围。请给出该范围上下限绝对值之和的近似整数值

Answer: 4
user: 已知 $\operatorname{Re}(z) \geq 1$, 求 $\left|\frac{1}{z}+1+\mathrm{i}\right|_{\text {min }}$ 的值。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}-n}{k}$ 的格式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 16
user: 已知 $a x^{3}+b x^{2}+x+1=0(a<0)$ 恰有两个零点, 求 $a+b$ 的取值范围。标准答案格式为$\left(-\infty, \frac{a}{b}\right)$，请给出区间端点a+b的和。

Answer: 5
user: 已知 $I_{n}=
\left(1+\frac{i}{2}\right)\left(1+\frac{i}{4}\right)\left(1+\frac{i}{16}\right) \cdots\left(1+\frac{i}{2^{2^{n}}}\right)$, 求 $\left|I_{n}\right|$.\n\n原始答案的格式为\sqrt{\frac{m}{n}\left(1-\frac{1}{2^{2^{n+2}}}\right)}, 请给出m + n的值。

Answer: 7
user: Evaluate the expression: $\tan \left(\arctan 2+\arctan \frac{2}{2^{2}}+\cdots+\arctan \frac{2}{12^{2}}\right)$. The original answer is in the form $-\frac{m}{n}$. Please provide the value of $m + n$.

Answer: 31
user: 将一枚均匀的硬币连续抛郑 $n$ 次, 以 $p_{n}$ 表示未出现连续 3 次正面的概率.\n(1) 求 $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$;\n(2) 探究数列 $\left\{p_{n}\right\}$ 的递推公式，并给出证明;\n(3) 讨论数列 $\left\{p_{n}\right\}$ 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。\n请给出(1)部分中$p_{3}$和$p_{4}$分子与分母之和的值。

Answer: 44
user: Given the functions $$ f(x)=\frac{x}{\ln x}, $$ and $g(x)=k(x-1)$ where $k \in \mathbf{R}$.
Prove that for any $k \in \mathbf{R}$, the line $y=g(x)$ is not a tangent to the curve $y=f(x)$;
If there exists $x \in[\mathrm{e}, \mathrm{e}^{2}]$, such that $$ f(x) \leqslant g(x)+\frac{1}{2}, $$ find the range of values for $k$. Please translate the following text into English.
And give the value of \(2k\) when \(k\) takes the minimum value.

Answer: 1
user: 已知函数$f(x)=2 \cos x(\cos x+\sqrt{3} \sin x)-1(x \in \mathbf{R})$.(1) 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间;(2) 设点 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots$, $P_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right), \cdots$ 均在函数 $y=f(x)$ 的图像上, 且满足$x_{1}=\frac{\pi}{6}, x_{n+1}-x_{n}=\frac{\pi}{2}\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right)$.求 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{2018}$ 的值。请直接给出 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{2018}$ 的值。

Answer: 0
user: 两个半径都是 1 的球 $O_{1}$ 和球 $O_{2}$ 相切，且均与直二面角 $\alpha-l-\beta$ 的两个半平面都相切，另有一个半径为 $r(r<1)$ 的小球 $O$与这个二面角的两个半平面也都相切, 同时,与球 $O_{1}$ 和球 $O_{2}$ 都外切。则 $r$ 的值为原始答案为 $n-\sqrt{k}$ 的形式，请给出n + k的值。

Answer: 10
user: 设函数$$f(x)=\cos 2 x+2 \sqrt{3} \sin x^{\circ} \cos x(x \in \mathbf{R})$$的最大值为 $M$, 最小正周期为 $T$ 。(1) 求 $M 、 T$ 的值, 并写出函数 $f(x)$ 的单调递增区间；（2）若 10 个互不相等的正数 $x_{i}(i=1,2$, $\cdots, 10)$ 满足 $f\left(x_{i}\right)=M$ ，且 $x_{i}<10 \pi$ ，请给出满足条件的\frac{m\pi}{n}形式的答案中m+n的值。

Answer: 143
user: 设二次函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,4]$ 上的最大值为 12, 且关于 $x$ 的不等式 $f(x)<0$ 的解集为区间 $(0,5)$ 。(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;(2) 若对于任意的 $x \in \mathbf{R}$, 不等式$f(2-2 \cos x)<f(1-\cos x-m)$恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围。请提供不等式解集的区间端点之和。

Answer: -4
user: 设 $0<\alpha<\pi, \pi<\beta<2 \pi$. 若对任意的 $x \in \mathbf{R}$ ，都有
$$
\cos (x+\alpha)+\sin (x+\beta)+\sqrt{2} \cos x=0
$$
恒成立，试求 $\alpha, \beta$ 的值。答案为 $\frac{m\pi}{n}$ 的形式，请给出 $m+n$ 的值。

Answer: 11
user: 一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球。若这三个小球的半径均为 1 ，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径 $R=$。原始答案为\frac{3+\sqrt{21}}{3}，请给出m + n + k的值。

Answer: 27
user: 设动圆圆心在抛物线 $y=\frac{1}{4} x^{2}$ 上, 半径等于该圆圆心的纵坐标. 求所有这样的圆上点的集合的边界条件。请给出边界条件中最大y值的答案。

Answer: 2
user: 满足
$\frac{1-\sin \theta+\cos \theta}{1-\sin \theta-\cos \theta}+\frac{1-\sin \theta-\cos \theta}{1-\sin \theta+\cos \theta}=2$
的最大负角 $\theta$ 的弧度数为，原始答案为$-\frac{m\Pi}{n}$，请给出m + n的值。

Answer: 1
user: 设斜率为 \frac{\sqrt{2}}{2} 的直线 l 与椭圆 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0) 交于不同的两点 P 、 Q. 若点 P 、 Q在 x 轴上的射影恰好为植圆的两个焦点，则该椭圆的离心率是。原始答案为 \frac{\sqrt{m}}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 4
user: 在侧棱长和底面边长都是 4 的正四棱锥 $P-A B C D$ 的表面上与顶点 $P$ 的距离为 3的动点所形成的所有曲线段的长度之和为，请给出\pi系数的值。

Answer: 6
user: 设 $a 、 b$ 都是正实数, $A=\frac{a+b}{2}, B=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$. 若 $A+B=a-b$, 则 $\frac{a}{b}=$ 原始答案的形式为 $a+b\sqrt{c}$，请给出a+b+c的值。

Answer: 8
user: 现代社会对破译密码的要求越来越高。在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码。有一种密码将英文的 26 个字母 $a, b, \cdots, z$ （不论大小写）依次对应 $1,2, \cdots, 26$ 这 26 个自然数，见表1.\n| $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | $e$ | $f$ | $g$ | $h$ | $i$ | $j$ | $k$ | $l$ | $m$ |\n| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |\n| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |\n| $n$ | $o$ | $p$ | $q$ | $r$ | $s$ | $t$ | $u$ | $v$ | $w$ | $x$ | $y$ | $z$ |\n| 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |\n给出明码对应的序号 $x$ 和密码对应的序号 $y$ 的变换公式：\n$$\ny= \begin{cases}\frac{x+1}{2}, & x \text { 为奇数,且 } 1 \leqslant x \leqslant 26 ; \\ \frac{x}{2}+13, & x \text { 为偶数,且 } 1 \leqslant x \leqslant 26.\end{cases}\n$$\n利用它可将明码转换成密码，如 $5 \rightarrow$ $\frac{5+1}{2}=3$, 即 $e$ 变成 $c ; 8 \rightarrow \frac{8}{2}+13=17$, 即 $h$ 变成 $q$ 。\n按上述公式，若将某明码译成的密码是\n$s h x c$ ，请提供原始明码中每个字母对应数字的和。

Answer: 54
user: 设 $P$ 为直线 $y=x-2$ 上的动点，过 $P$ 作抛物线 $y=\frac{1}{2} x^{2}$ 的切线，切点分别为 $A 、 B$.
证明: 直线 $A B$ 过定点;
求 $\triangle P A B$ 面积 $S$ 的最小值，以及取得最小值时点 $P$ 的坐标。请提供点P的坐标之和。

Answer: 0
user: 设点 $P 、 Q$ 分别在直线 $3 x-y+5=0$ 和 $3 x-y-13=0$ 上运动, 线段 $P Q$ 的中点为 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 且 $x_{0}+y_{0} \geqslant 4$. 求 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的取值范围的端点之和.

Answer: 4
user: 设不经过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 交于不同的两点 $P 、 Q$. 若直线 $P Q$ 的斜率是直线 $O P$ 和 $O Q$ 斜率的等比中项,求 $ riangle P O Q$ 面积 $S$ 的取值范围。请给出区间两端点之和的整数值。

Answer: 0
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{0}=\sqrt{6}, a_{n+1}=\left[a_{n}\right]+\frac{1}{\left\{a_{n}\right\}}$ (其中 $\left[a_{n}\right]$ 和 $\left\{a_{n}\right\}$ 分别表示实数 $a_{n}$ 的整数部分与小数部分), 求 $a_{2020}$ 的整数部分

Answer: 3
user: 已知正实数 $x, y$ 满足: $\frac{1}{x+3 y}+\frac{1}{2 x+y}=1$, 则 $x+y$ 的最小值是。原始答案是 \frac{m+2\sqrt{n}}{k} 的格式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 9
user: 设 $\triangle A B C$ 的外接圆圆心为 $O$, 且 $3 \overrightarrow{O A}+4 \overrightarrow{O B}+5 \overrightarrow{O C}=\mathbf{0}$, 则 $\angle C$ 的大小是？请提供 $\angle C$ 的度数的2倍值。

Answer: 90
user: 正四面体的 4 个表面上分别写有数字 $1,2,3,4$, 将 4 个这样的密度均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的和能被 4 整除的概率是 。请给出答案为\(\frac{m}{n}\)形式时，m + n的值。

Answer: 5
user: 已知正实数 $x, y$ 满足: $\frac{1}{x+3 y}+\frac{1}{2 x+y}=1$, 则 $x+y$ 的最小值是 \( \frac{3+2\sqrt{2}}{5} \) 的形式。请给出 \( m + n + k \) 的值，其中原始答案为 \( \frac{m+n\sqrt{2}}{k} \)。

Answer: 10
user: 已知函数
$f(x)=x^{3}-m x^{2}-x+1(m \in \mathbf{R})$.
求函数 $f(x)$ 的单调区间;
若对一切实数 $x$, 有
$f^{\prime}(x) \geqslant|x|-\frac{7}{4}$
成立，请给出 $m$ 的取值范围的区间端点之和。

Answer: -1
user: 已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两顶点为 $A(-2,0), B(2,0)$, 离心率为 $\frac{1}{2}$. 点 $P($ 不同于 $A 、 B)$ 在椭圆 $\Gamma$ 上, 点 $D(-4,0)$, $\overrightarrow{D E}=\frac{3}{5} \overrightarrow{D P}$, 直线 $A P$ 与 $B E$ 交于点 $Q$. 求点 $Q$ 的轨迹方程。请给出方程形式为 $( x + m )^{2} + \frac{n}{k}y^{2} = 1$ 中 m + n + k 的值。

Answer: 8
user: 过抛物线 $y=x^{2}$ 上两点 $A\left(1, y_{1}\right)$ 、 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 分别作抛物线的切线 $l_{1} 、 l_{2}, l_{1}$ 与 $l_{2}$交于点 $C$. 若 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}=0$, 则 $x_{2}$ 的原始答案为 $-\frac{m}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 5
user: 在三棱雉 $D-A B C$ 中, $\angle B A D=30^{\circ}$, $\angle A C B=\angle A B D=90^{\circ}, C A=C B$. 若点 $C$ 在平面 $A B D$ 上的射影恰在 $A D$ 上, 则二面角 $C$ $A B-D$ 的平面角的正弦值大小为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出m + n的值。

Answer: 9
user: 设函数 $f(x)=x-\ln (a x+2 a+1)+2$. 若对于任意的 $x \geqslant-2$, 均有 $f(x) \geqslant 0$, 请给出实数 $a$ 的取值范围 $[p, q]$ 中 $p + q$ 的值。

Answer: 1
user: 设 $P(0, a)$ 是 $y$ 轴上异于原点的任意一点, 过点 $P$ 且平行于 $x$ 轴的直线与曲线 $y=$ $\frac{1}{a} \ln x$ 交于点 $Q$, 曲线 $y=\frac{1}{a} \ln x$ 在点 $Q$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $R$. 则 $\triangle P Q R$ 的面积的最小值是 $\qquad$。原始答案为 \(\frac{\sqrt{m\mathbf{e}}}{n}\) 格式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 4
user: 给定正整数 $n(n \geqslant 2)$. 已知 $2 n$个正实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2 n}$ 满足: $\sum_{k=1}^{n} a_{2 k-1} \sum_{k=1}^{n} a_{2 k}=\prod_{k=1}^{n} a_{2 k-1}+\prod_{k=1}^{n} a_{2 k}$. 求 $S=\sum_{k=1}^{2 n} \frac{a_{k}^{n-1}}{a_{k+1}}$ 的最小值，其中 $a_{2 n+1}=a_{1}$ 。请给出当 n = 2 时的 S 的最小值。

Answer: 8
user: 给定正整数 $a 、 b(a \leqslant b)$. 数列 $\left\{f_{n}\right\}$ 满足: $f_{1}=a, f_{2}=b, f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}(n=1,2, \cdots)$. 若对任意的正整数 $n$, 都有 $\left(\sum_{k=1}^{n} f_{k}\right)^{2} \leqslant \lambda f_{n} f_{n+1}$, 求实数 $\lambda$ 的最小值。原始答案的形式为 $m + \sqrt{n}$，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 7
user: 设 $A 、 B 、 C$ 是 $\triangle A B C$ 的三个内角. 则 $3 \cos A+2 \cos 2 B+\cos 3 C$ 的取值范围是 $\qquad$. 请给出该区间的端点和。

Answer: 2
user: 已知三棱雉 $S-A B C$ 的底面是以 $A B$为斜边的等腰直角三角形, 且 $S A=S B=S C=$ $A B=2$. 设 $S 、 A 、 B 、 C$ 四点均在以 $O$ 为球心的某个球面上. 则点 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为$\qquad$. 原始答案的形式为\frac{\sqrt{m}}{n}，请给出m + n的值。

Answer: 6
user: 已知
$$
(1+\sqrt{3})^{n}=a_{n}+b_{n} \sqrt{3},
$$
其中, $a_{n}, b_{n}$ 为整数. 则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=$ $\qquad$. 
请提供形式为$\sqrt{m}$时m + 1的值。

Answer: 4
user: 已知直线 $y=k x+1$ 与双曲线 $x^2-y^2=1$ 的左支交于点 $A 、 B$, 直线 $l$ 经过点 $(-2,0)$ 和 $A B$ 的中点。当 $k=2$ 时，设直线 $l$ 在 $y$ 轴的截距为 $b$ ，将 $b$表示为 $\frac{m}{n}$ 的形式（其中 $m$ 、 $n$ 为整数且 $\operatorname{gcd}(m$ ， $n)=1）$ ，请提供 $m+n$ 的值。

Answer: 1
user: 已知点 $B(0,1), P 、 Q$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$上异于点 $B$ 的任意两点, 且 $B P \perp B Q$.\n(1) 若点 $B$ 在线段 $P Q$ 上的射影为 $M$, 求 $M$ 的轨迹方程；\n(2) 求线段 $P Q$ 的中垂线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距的取值范围.\n请给出第一个部分的答案格式为 x^2 + (y - \frac{1}{5})^2 = (\frac{4}{5})^2 ，直接给出 m + n 的值。

Answer: 16
user: 已知函数\n$$\nf(x)=\sin ^{2} \omega x+\sqrt{3} \sin \omega x \cdot \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right)\n$$\n的最小正周期是 $\frac{\pi}{2}$, 其中, $\omega>0$. 求 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值与最小值。请给出最大值与最小值的分子与分母之和。

Answer: 12
user: 已知函数 $f(x)=\frac{x^{3}+3 x}{3 x^{2}+1}$, 数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=2, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$. 记 $b_{n}=\log _{3}\left(\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}+1}\right)\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$. （1）证明: $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列, 并求数列 $\left\{b_{n}\right\}$的通项公式； (2) 记 $c_{n}=-n b_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$, 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$的前 $n$ 项和公式 $T_{n}$ 。请提供 $T_{n}$ 的值当 $n = 1$ 时。答案应为整数形式。

Answer: 3
user: 已知对一切的 $x \in \mathbf{R}$ 恒有 $3 \sin ^{2} x-\cos ^{2} x+4 a \cos x+a^{2} \leqslant 31$. 求实数 $a$ 的取值范围。请提供区间端点的和。

Answer: 0
user: 过椭圆 $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 的右焦点 $F$ 作两条垂直的弦 $A B 、 C D$. 设 $A B 、 C D$ 的中点分别为 $M 、 N$.\n（1）证明：直线 $M N$ 必过定点，并求此定点；\n(2) 若弦 $A B 、 C D$ 的斜率均存在, 求 $\triangle F M N$面积 $S$ 的最大值。\n对于问题(2)，假设原始答案为\frac{m}{n}，请给出m + n的值。

Answer: 9
user: 设 $x 、 y 、 z$ 为正实数. 求
$$
\left(x+\frac{1}{y}+\sqrt{2}\right)\left(y+\frac{1}{z}+\sqrt{2}\right)\left(z+\frac{1}{x}+\sqrt{2}\right)
$$
的最小值。请给出整数部分和非整数部分系数的和。

Answer: 34
user: 在三棱雉 $P-A B C$ 中, 三条棱 $P A$ 、 $P B 、 P C$ 两两垂直，且 $P A=1, P B=P C=2$ 。若 $Q$ 为三棱雉 $P-A B C$ 外接球的球面上任一点, 则 $Q$ 到面 $A B C$ 距离的最大值为。原始答案为$\frac{m}{n} + \frac{\sqrt{k}}{d}$的格式，请给出m + n + k + d的值。

Answer: 17
user: Let $a_{1}, a_{2} \ldots, a_{51}$ be non-zero elements of a field. We simultaneously replace each element with the sum of the 50 remaining ones. In this way we get a sequence $b_{1} \ldots, b_{51}$. If this new sequence is a permutation of the original one, what can be the characteristic of the field? Please provide the sum of all possible characteristics.

Answer: 9
user: Let $A$ be a real $4 \times 2$ matrix and $B$ be a real $2 \times 4$ matrix such that $$ A B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ Find $B A$. Provide the sum of all elements in the resulting matrix.

Answer: 4
user: Find all polynomials $P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\left(a_{n} \neq 0\right)$ satisfying the following two conditions: (i) $(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n})$ is a permutation of the numbers $(0,1, \ldots, n)$ and (ii) all roots of $P(x)$ are rational numbers. Please provide the sum of all coefficients of these polynomials.

Answer: 17
user: Find all $r>0$ such that whenever $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ is a differentiable function such that $|\operatorname{grad} f(0,0)|=1$ and $|\operatorname{grad} f(u)-\operatorname{grad} f(v)| \leq|u-v|$ for all $u, v \in \mathbb{R}^{2}$, then the maximum of $f$ on the disk $\left\{u \in \mathbb{R}^{2}:|u| \leq r\right\}$ is attained at exactly one point. $\left(\operatorname{grad} f(u)=\left(\partial_{1} f(u), \partial_{2} f(u)\right)\right.$ is the gradient vector of $f$ at the point $u$. For a vector $\left.u=(a, b),|u|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.\right)$ The original answer is in \frac{m}{n} format, please give the value of m + n.

Answer: 3
user: Find the number of positive integers $x$ satisfying the following two conditions: 1. $x<10^{2006}$; 2. $x^{2}-x$ is divisible by $10^{2006}$. Please provide the sum of all such positive integers.

Answer: 12
user: Call a polynomial $P\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)$ good if there exist $2 \times 2$ real matrices $A_{1}, \ldots, A_{k}$ such that $$ P\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=\operatorname{det}\left(\sum_{i=1}^{k} x_{i} A_{i}\right) $$ Find all values of $k$ for which all homogeneous polynomials with $k$ variables of degree 2 are good. Please provide the sum of all possible values of $k$.

Answer: 3
user: How many nonzero coefficients can a polynomial $P(z)$ have if its coefficients are integers and $|P(z)| \leq 2$ for any complex number $z$ of unit length? Please provide the sum of all possible values.

Answer: 3
user: Determine the value of
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \cdot \ln \left(1+\frac{1}{2 n}\right) \cdot \ln \left(1+\frac{1}{2 n+1}\right)
$$
The original answer is in the form of \frac{m}{n} \ln^3(2). Please provide the value of m + n.

Answer: 3
user: Consider the following sequence \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}=(1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1, \ldots)\). Find all pairs \((\alpha, \beta)\) of positive real numbers such that \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} a_{k}}{n^{\alpha}}=\beta\). Please provide the integer value of \(\alpha + \beta\).

Answer: 6
user: Determine all pairs $(a, b)$ of real numbers for which there exists a unique symmetric $2 \times 2$ matrix $M$ with real entries satisfying $\operatorname{trace}(M)=a$ and $\operatorname{det}(M)=b$. Please provide the value of $a + b$ for the unique pair $(a, b)$.

Answer: 4
user: Let $\left\{b_{n}\right\}_{n=0}^{\infty}$ be a sequence of positive real numbers such that $b_{0}=1$, $b_{n}=2+\sqrt{b_{n-1}}-2 \sqrt{1+\sqrt{b_{n-1}}}$. Calculate the sum of $b_{n} 2^{n}$ from $n=1$ to $\infty$. The original answer includes a constant term and a logarithmic term. Please provide the integer part of the answer.

Answer: 2
user: An $n \times n$ complex matrix $A$ is called $t$-normal if $A A^{t}=A^{t} A$ where $A^{t}$ is the transpose of $A$. For each $n$, determine the maximum dimension of a linear space of complex $n \times n$ matrices consisting of t-normal matrices. Please provide the value of the dimension when $n = 10$. The answer should be in the format \frac{m}{n}, directly give the value of m + n.

Answer: 56
user: Determine whether there exist an odd positive integer $n$ and $n \times n$ matrices $A$ and $B$ with integer entries, that satisfy the following conditions:
$\operatorname{det}(B)=1$;
$A B=B A$;
$A^{4}+4 A^{2} B^{2}+16 B^{4}=2019 I$.
Give the sum of all possible values of n.
(Here $I$ denotes the $n \times n$ identity matrix.)
Proposed by Orif Ibrogimov, ETH Zurich and National University of Uzbekistan
Consider the determinants modulo 4.

Answer: 0
user: Let $n, k \geq 3$ be integers, and let $S$ be a circle. Let $n$ blue points and $k$ red points be chosen uniformly and independently at random on the circle $S$. Denote by $F$ the intersection of the convex hull of the red points and the convex hull of the blue points. Let $m$ be the number of vertices of the convex polygon $F$ (in particular, $m=0$ when $F$ is empty). Find the expected value of $m$. The original answer is in the form of a fraction; please provide the sum of the numerator and denominator.

Answer: 2
user: Let $p$ be a prime number and let $k$ be a positive integer. Suppose that the numbers $a_{i}=i^{k}+i$ for $i=0,1, \\ldots, p-1$ form a complete residue system modulo $p$. What is the set of possible remainders of $a_{2}$ upon division by $p$? Please provide the sum of the possible remainders.

Answer: 5
user: We say that a real number $V$ is good if there exist two closed convex subsets $X, Y$ of the unit cube in $\mathbb{R}^{3}$, with volume $V$ each, such that for each of the three coordinate planes (that is, the planes spanned by any two of the three coordinate axes), the projections of $X$ and $Y$ onto that plane are disjoint. Find $\sup \{V \mid V$ is good $\}$. The original answer is in \frac{m}{n} format, please give the value of m + n.

Answer: 5
user: For $n=1,2, \ldots$ let
$$
S_{n}=-\log \left(\sqrt[n^{2}]{1^{1} \cdot 2^{2} \cdot \ldots \cdot n^{n}}\right)+\log (\sqrt{n})
$$
where $\log$ denotes the natural logarithm. Find $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$.
 If the value can be expressed in the form $\frac{p}{q}$ for relatively prime positive integers $p$ and $q$, find $p+q$.

Answer: 5
user: Let for $j=0, \ldots, n, a_{j}=a_{0}+j d$, where $a_{0}, d$ are fixed real numbers. Put
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{0} & a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n} \\
a_{1} & a_{0} & a_{1} & \ldots & a_{n-1} \\
a_{2} & a_{1} & a_{0} & \ldots & a_{n-2} \\
\ldots & \ldots & \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_{0}
\end{array}\right)
$$
Calculate $\operatorname{det}(A)$, where $\operatorname{det}(A)$ denotes the determinant of $A$. Please provide the value of $\operatorname{det}(A)$ when $a_0 = 0$, $a_n = 1,n=4$, and $d = 0$

Answer: 8
user: Let $A_{n}=\{1,2, \ldots, n\}$, where $n \geq 3$. Let $\mathcal{F}$ be the family of all non-constant functions $f: A_{n} \rightarrow A_{n}$ satisfying the following conditions:\n(1) $f(k) \leq f(k+1)$ for $k=1,2, \ldots, n-1$,\n(2) $f(k)=f(f(k+1))$ for $k=1,2, \ldots, n-1$.\nFind the number of functions in $\mathcal{F}$. for $n=3$

Answer: 1
user: 已知 $A=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3<0, x \in \mathbf{R}\right\}, B=\left\{x \mid 2^{1-x}+a \leqslant 0, x^{2}-2(a+7) x+5 \leqslant\right.$ $0, x \in \mathbf{R}\}$ 。若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是一个区间，请给出该区间的端点之和。

Answer: -5
user: 已知过点 $(0,1)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C: y=x+\frac{1}{x}(x>0)$ 交于两个不同点 $M$ 与 $N$, 求曲线 $C$ 在点 $M 、 N$ 处切线的交点轨迹。请给出该轨迹线段两个端点坐标的和，该和为\frac{m}{n}形式，请给出m+n的值。

Answer: 19
user: 求所有三元整数组 $(x, y, z)$, 使其满足
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z=2011 \\
x \geq 15 \\
y \geq 15.
\end{array}\right.
$$
。The original answer provides pairs of (p, q, r) that satisfy the condition. We can calculate $\sum pqr$.Please provide the value of $\sum pqr$.

Answer: 903635700
user: 设集合 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$, 若 $A$ 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 $B=\{-1,3,5,8\}$, 请给出集合 $A$ 中元素的积。

Answer: -120
user: 已知函数 $f(x)=a \sin x-\frac{1}{2} \cos 2 x+a-\frac{3}{a}+\frac{1}{2}, a \in \mathbf{R}, a \neq 0$.\n（1）若对任意 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $f(x) \leqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围;\n（2）若 $a \geqslant 2$ ，且存在 $x \in \mathbf{R}$ ，使得 $f(x) \leqslant 0$ ，求 $a$ 的取值范围。\n请给出所有满足条件的区间端点之和。

Answer: 3
user: 已知函数 $f(x)=a \sin x-\frac{1}{2} \cos 2 x+a-\frac{3}{a}+\frac{1}{2}, a \in \mathbf{R}, a \neq 0$.\n（1）若对任意 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $f(x) \leqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围;\n（2）若 $a \geqslant 2$ ，且存在 $x \in \mathbf{R}$ ，使得 $f(x) \leqslant 0$ ，已知$a$的范围是一个区间，区间两个端点的和为分数$\frac{p}{q}$的形式，请求出$p+q$

Answer: 37