sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: 设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为四个有理数, 使得: $\left\{a_{i} a_{j} \mid 1 \leq i<j \leq 4\right\}=\left\{-24,-2,-\frac{3}{2},-\frac{1}{8}, 1,3\right\}$, 求 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$ 的值。原始答案是 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 13
user: 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(c, 0)$, 存在经过点 $F$的一条直线 $l$ 交粗圆于 $A, B$ 两点, 使得 $O A \perp O B$, 求该椭圆的离心率的取值范围。该取值范围两端点的和形如\frac{a\sqrt{b}+c}{d}。请求出a+b+c+d的值

Answer: 9
user: 设正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是单位正方形, 如果二面角 $A_{1}-B D-C_{1}$ 的大小为 \frac{\pi}{3}，则 $A A_{1}=$ 的原始答案是 \frac{\sqrt{m}}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 8
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F_{1} 、 F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的左、右焦点. 设不经过焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于两个不同的点 $A 、 B$, 焦点 $F_{2}$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$. 如果直线 $A F_{1} 、 l 、 B F_{1}$ 的斜率依次成等差数列，已知 $d$ 的取值范围形如$(\sqrt{m},n)$，求$m+n$

Answer: 5
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(c, 0)$,若存在经过点 $F$ 的一条直线 $l$ 交椭圆于 $A, B$ 两点，使得 $O A \perp O B$. 求该椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的取值范围。该取值范围两端点的和形如\frac{a\sqrt{b}+c}{d}。请求出a+b+c+d的值

Answer: 9
user: 设正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是单位正方形, 如果二面角 $A_{1}-B D-C_{1}$ 的大小是 $\frac{\pi}{3}$, 则 $A A_{1}=$ ？原始答案是 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 8
user: 已知 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的奇函数, $f(1)=1$, 且对任意 $x<0$, 均有 $f\left(\frac{x}{x-1}\right)=x f(x)$. 求
$$
f(1) f\left(\frac{1}{100}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) f\left(\frac{1}{99}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right) f\left(\frac{1}{98}\right)+\cdots+f\left(\frac{1}{50}\right) f\left(\frac{1}{51}\right)
$$
的值. The original answer is in the form of $\frac{2^{m}}{n!}$, please give the value of $m + n$.

Answer: 197
user: 设复数 $z, w$ 满足 $|z|=3,(z+\bar{w})(\bar{z}-w)=7+4 \mathrm{i}$, 其中 i 是虚数单位, $\bar{z}, \bar{w}$ 分别表示 $z, w$ 的共轭复数, 则 $(z+2 \bar{w})(\bar{z}-2 w)$ 的模的整数近似值为多少？

Answer: 8
user: 双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$, 左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 过点 $F_{2}$ 作一直线与双曲线 $C$ 的右半支交于点 $P, Q$, 使得 $\angle F_{1} P Q=90^{\circ}$, 则 $\triangle F_{1} P Q$ 的内切圆半径的原始答案为$\sqrt{m}+n$的形式，请给出$m+n$的值。

Answer: 6
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+2 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$. 求 $\sin C$ 的最大值。原始答案是 \frac{\sqrt{m}}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 10
user: 设实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2016}$ 满足 $9 a_{i}>11 a_{i+1}^{2}(i=1,2, \cdots, 2015)$. 求 \[ \left(a_{1}-a_{2}^{2}\right) \cdot\left(a_{2}-a_{3}^{2}\right) \cdots\left(a_{2015}-a_{2016}^{2}\right) \cdot\left(a_{2016}-a_{1}^{2}\right) \] 的最大值。原始答案是$\frac{m}{4^{n}}$的形式，请给出m + n的值。

Answer: 2017
user: In the Cartesian coordinate plane $xOy$, circle $C_{1}: x^{2}+y^{2}-a=0$ is symmetric about the line $l$, resulting in circle $C_{2}: x^{2}+y^{2}+2x-2ay+3=0$. Find the equation of line $l$. Please provide the sum of the coefficients of the line equation.

Answer: 3
user: 已知正四棱锥 $V-A B C D$ 的高等于 $A B$ 长度的一半， $M$ 是侧棱 $V B$ 的中点， $N$ 是侧棱 $V D$ 上点，满足 $D N=2 V N$ ，则异面直线 $A M, B N$ 所成角的余弦值为原始答案是\(\frac{\sqrt{m}}{n}\)格式，请给出m+n的值。

Answer: 22
user: 设复数 $z, w$ 满足 $|z|=3,(z+\bar{w})(\bar{z}-w)=7+4 \mathrm{i}$, 其中 i 是虚数单位, $\bar{z}, \bar{w}$ 分别表示 $z, w$ 的共轭复数, 则 $(z+2 \bar{w})(\bar{z}-2 w)$ 的模为 \sqrt{m}，请给出m的值。

Answer: 65
user: 设 $P$ 为一圆锥的顶点, $A, B, C$ 是其底面圆周上的三点, 满足 $\angle A B C=90^{\circ}$, $M$ 为 $A P$ 的中点. 若 $A B=1, A C=2, A P=\sqrt{2}$, 则二面角 $M-B C-A$ 的大小为 \arctan \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 5
user: 双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ 。过点 $F_{2}$ 作一直线与双曲线 $C$ 的右半支交于点 $P, Q$, 使得 $\angle F_{1} P Q=90^{\circ}$, 则 $\triangle F_{1} P Q$ 的内切圆半径是 \sqrt{m}+n$ 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 6
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+2 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$. 求 $\sin C$ 的最大值。原始答案为 \frac{\sqrt{m}}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 10
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-a=0$ 关于直线 $l$ 对称的圆为 $C_{2}: x^{2}+y^{2}+2 x-2 a y+3=0$, 请给出直线 $l$ 的方程中系数的和。

Answer: 3
user: 已知正四棱锥 $V-A B C D$ 的高等于 $A B$ 长度的一半， $M$ 是侧棱 $V B$ 的中点， $N$ 是侧棱 $V D$ 上的点，满足 $D N=2 V N$ ，则异面直线 $A M, B N$ 所成角的余弦值的原始答案是 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 22
user: 定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 有 $f(x+3) \cdot f(x-4)=-1$, 又当 $0 \leqslant x<7$ 时, $f(x)=\log _{2}(9-x)$, 则 $f(-100)$ 的值为 \frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值。

Answer: 1
user: 设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是非负实数, 满足 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$, 求 $(x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3})(x_{1}+\frac{x_{2}}{3}+\frac{x_{3}}{5})$的最小值和最大值。最大值的答案形式为 \frac{m}{n}，请计算最小值+m+n的值

Answer: 15
user: 若实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+2 \cos y=1$, 请给出 $x-\cos y$ 的取值范围端点和的平方的值。

Answer: 3
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 椭圆 $C$ 的方程为 \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{10}=1, F$ 为 $C$ 的上焦点, $A$为 $C$ 的右顶点, $P$ 是 $C$ 上位于第一象限内的动点, 则四边形 $O A P F$ 的面积的最大值为 \frac{m \sqrt{n}}{k} 的形式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 16
user: 正三棱锥 $P-A B C$ 中, $A B=1, A P=2$, 过 $A B$ 的平面 $\alpha$ 将其体积平分, 则棱 $P C$与平面 $\alpha$ 所成角的余弦值为。原始答案为 \frac{3\sqrt{5}}{10} 的格式，请给出 m + n + k 的值，其中答案格式为 \frac{m\sqrt{n}}{k}。

Answer: 18
user: 设两个严格递增的正整数数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足: $a_{10}=b_{10}<2017$ ，对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}, b_{n+1}=2 b_{n}$, 请给出 $a_{1}+b_{1}$ 的所有可能值的和。

Answer: 33
user: 设数列 \left\{a_{n}\right\} 定义为 a_{1}=1 ，\n\na_{n+1}= \begin{cases}a_{n}+n, & a_{n} \leqslant n, \\ a_{n}-n, & a_{n}>n,\end{cases}\n求满足 a_{r}<r \leqslant 3^{2017} 的正整数 r 的个数。\n\n原始答案为 \frac{3^{m}+k}{n} 格式，请给出 m + n+k 的值。

Answer: 0
user: 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, 对任意实数 $x$ 有 $f(x+3) \cdot f(x-4)=-1$. 又当 $0 \leqslant x<7$ 时, $f(x)=\log _{2}(9-x)$, 请计算 $f(-100)$ 的值。原始答案是以 $\frac{m}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 1
user: 设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是非负实数，满足 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$ ，求 $\left(x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}\right)\left(x_{1}+\frac{x_{2}}{3}+\frac{x_{3}}{5}\right)$的最小值和最大值。原始答案的最大值是以\frac{m}{n}的形式，请给出m+n+最小值的值。

Answer: 15
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 粗圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{10}=1, F$ 为 $C$ 的上焦点, $A$ 为 $C$ 的右顶点, $P$ 是 $C$ 上位于第一象限内的动点, 则四边形 $O A P F$ 的面积的最大值为 \frac{m}{n}\sqrt{k} 的形式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 16
user: 正三棱锥 $P-A B C$ 中, $A B=1, A P=2$, 过 $A B$ 的平面 $\alpha$ 将其体积平分, 则棱 $P C$ 与平面 $\alpha$ 所成角的余弦值为 \frac{m\sqrt{k}}{n} 的形式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 18
user: 设两个严格递增的正整数数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足: $a_{10}=b_{10}<2017$, 对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}, b_{n+1}=2 b_{n}$ ，请给出 $a_{1}+b_{1}$ 的所有可能值的和。

Answer: 33
user: Determine all rational numbers $a$ for which the matrix
$$
\left(\begin{array}{cccc}
a & -a & -1 & 0 \\
a & -a & 0 & -1 \\
1 & 0 & a & -a \\
0 & 1 & a & -a
\end{array}\right)
$$
is the square of a matrix with all rational entries. Provide the integer value of $a$.

Answer: 0
user: 设 $Q$ 为有理数集, $Z$ 为整数集. 在坐标平面上，对正整数 $m$ ，定义点集 
$$ 
A_{m}=\left\{(x, y) \mid x, y \in \mathbf{Q}, x y \neq 0, \frac{x y}{m} \in \mathbf{Z}\right\}. 
$$ 
对线段 $M N$, 定义 $f_{m}(M N)$ 为线段 $M N$ 上属于集合 $A_{m}$ 的点的个数. 求最小的实数 $\lambda$,使得对坐标平面上的任意直线 $l$, 均存在与 $l$有关的实数 $\beta(l)$ ，满足：对直线 $l$ 上任意两点 $M 、 N$,均有 
$f_{2016}(M N) \leqslant \lambda f_{2015}(M N)+\beta(l)$. 
给出原始答案的形式为\frac{m}{n}，请提供m + n的值。

Answer: 2021
user: 给定正整数 $k$. 若整数集 $\mathbf{Z}$ 的子集序列 $I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq \cdots \supseteq I_{k}$ 满足对 $i=1,2, \cdots, k, 168$ $\in I_{i}$ ，且对于任意的 $x 、 y \in I_{i}$ ，均有 $x-y \in I_{i}$ $\left(x 、 y\right.$ 可以相等），则称（ $\left.I_{1}, I_{2}, \cdots, I_{k}\right)$ 为 $\mathbf{Z}$ 上的一条 $k$ —链。问： $\mathbf{Z}$ 上共有多少条 $k$ —链？请说明理由，并给出结果值在k=5时的值。

Answer: 2016
user: 设复数 $z=(\omega+2)^{3}(\omega-3)^{2}$ 。求当 $\omega$取遍所有模长为 $1$ 的复数时， $z$ 的模长的最大值。原始答案形式为$a^{\frac{b}{c}}$求a+b+c的和。

Answer: 14
user: 给定整数 $n \geqslant 2$ 。设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 为任意实数. 求
$$ 
2 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left[x_{i} x_{j}\right]-(n-1) \sum_{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}\right] 
$$ 
的最大值，其中， $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。请给出当 n = 5 时的最大值。

Answer: 6
user: 求所有的正整数对 $(x, y)$ ，满足 $x^{y}=y^{x^{-y}}$ 。请给出所有满足条件的整数对中元素的和。

Answer: 24
user: 求方程组
$$\left\{\begin{array}{l}5\left(x+\frac{1}{x}\right)=12\left(y+\frac{1}{y}\right)=13\left(z+\frac{1}{z}\right) ,\\xy+yz+zx=1\end{array}\right.$$的所有实数解。请提供所有解中x, y, z的和。

Answer: 0
user: 求所有的正整数 $a$ ，使得对任意正整数 $n \geqslant 5$ ，均有 $\left(2^{n}-n^{2}\right) \mid\left(a^{n}-n^{d}\right)$. 请给出满足条件的所有正整数的和。

Answer: 6
user: 对数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ ，定义集合 $$ \begin{aligned} & A=\left\{a_{i} \mid 1 \leqslant i \leqslant m\right\}, \\ & B=\left\{a_{i}+2 a_{j} \mid 1 \leqslant i 、 j \leqslant m, i \neq j\right\}. \end{aligned} $$ 设 $n$ 为给定的大于 $2$ 的整数。对所有由正整数组成的严格递增的等差数列 $a_{1}, a_{2}$, $\cdots, a_{n}$ ，求集合 $A \triangle B$ 的元素个数的最小值，其中, $A \triangle B=(A \cup B) \backslash(A \cap B)$ 。请给出当 n = 3 和 n = 4 时，两个最小值的和。

Answer: 13
user: 定义 $n$ 元整数组的一次变换为
$$ 
\begin{aligned} 
& \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n-1}, a_{n}\right) \\ 
& \rightarrow\left(a_{1}+a_{2}, a_{2}+a_{3}, \cdots, a_{n-1}+a_{n}, a_{n}+a_{1}\right) 
\end{aligned} 
$$ 
求所有的正整数对 $(n, k)(n 、 k \geqslant 2)$ ，满足对任意的 $n$ 元整数数组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ ，在有限次变换后所得数组中每一个数均为 $k$ 的倍数。请提供满足条件的最小整数对的数字和。

Answer: 4
user: 给定整数 $m 、 n(2 \leqslant m<n,(m, n)=1)$ 。求最小的整数 $k$ ，满足对集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的任意 $m$ 元子集 $I$, 若 $\sum_{i \in I} i>k$, 则存在 $n$ 个实数 $a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{n}$, 使得
$$ \frac{1}{m} \sum_{i \in I} a_{i}>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i} $$ ，设m=2，n=3，求出k的值。

Answer: 3
user: The Imomi archipelago consists of $n \geqslant 2$ islands. Between each pair of distinct islands is a unique ferry line that runs in both directions, and each ferry line is operated by one of $k$ companies. It is known that if any one of the $k$ companies closes all its ferry lines, then it becomes impossible for a traveller, no matter where the traveller starts at, to visit all the islands exactly once (in particular, not returning to the island the traveller started at). Determine the maximal possible value of $k$ in terms of $n$. Please provide the value of $k$ when $n = 8$.

Answer: 3
user: Determine all positive, composite integers $n$ that satisfy the following property: if the positive divisors of $n$ are $1=d_{1}<d_{2}<\cdots<d_{k}=n$, then $d_{i}$ divides $d_{i+1}+d_{i+2}$ for every $1 \leqslant i \leqslant k-2$. Please provide the minimum value of $n $that meets the criteria.

Answer: 4
user: Determine all pairs ( $a, p$ ) of positive integers with $p$ prime such that $p^{a}+a^{4}$ is a perfect square. Please provide the sum of all values of $a$ and $p$ for the pairs that satisfy the condition.

Answer: 30
user: Let $a_{1}, a_{2}, \\ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \\ldots, b_{n}$ be $2 n$ positive integers such that the $n+1$ products $$\begin{gathered} a_{1} a_{2} a_{3} \\cdots a_{n} \\ b_{1} a_{2} a_{3} \\cdots a_{n} \\ b_{1} b_{2} a_{3} \\cdots a_{n} \\ \vdots \\ b_{1} b_{2} b_{3} \\cdots b_{n} \end{gathered}$$ form a strictly increasing arithmetic progression in that order. Determine the smallest positive integer that could be the common difference of such an arithmetic progression.

Answer: 1
user: 求实数 $a$ 的取值范围，使得对任意实数 $x$ 和任意 $\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，恒有$$(x+3+2 \sin \theta \cos \theta)^{2}+(x+a \sin \theta+a \cos \theta)^{2} \geqslant \frac{1}{8}$$
若$a$的取值范围是$a\leq\sqrt{m}\text{或 }a\geqslant\frac{p}{q}$,求$m+p+q$.

Answer: 15
user: 曲线 $C$ 的极坐标方程是 $\rho=1+\cos \theta$, 点 $A$ 的极坐标是 $(2,0)$. 曲线 $C$ 在它所在平面内绕 $A$ 旋转一周, 则它扫过的图形的面积的原始答案为$\frac{m}{n}\pi$的格式，请给出$m + n$的值。

Answer: 19
user: 已知三棱雉 $S-A B C$ 的底面是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形， $S A=S B=S C=2, A B=2$ ，设 $S 、 A 、 B 、$ $C$ 四点均在以 $O$ 为球心的某个球面上，则点 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 。原始答案为$\frac{\sqrt{m}}{n}$的格式，请给出$m + n$的值。

Answer: 3
user: 设 $x \geq y \geq z \geq \frac{\pi}{12}$, 且 $x+y+z=\frac{\pi}{2}$, 求乘积 $\cos x \sin y \cos z$ 的最大值和最小值. 原始答案的最大值为 $\frac{a+\sqrt{b}}{c}$ 的形式，最小值为 $\frac{d}{e}$的形式，请给出 $a + b + c + d + e$ 的值.

Answer: 21
user: 已知三棱雉 $S-A B C$ 的底面是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形， $S A=S B=$ $S C=2, A B=2$, 设 $S 、 A 、 B 、 C$ 四点均在以 $O$ 为球心的某个球面上. 则点 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 形式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 6
user: 若椭圆 $x^{2}+4(y-a)^{2}=4$ 与抛物线 $x^{2}=2 y$ 有公共点，则实数 $a$ 的取值范围区间中包含几个整数点.

Answer: 4
user: $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle B=30^{\circ}, A C=2, M$ 是 $A B$ 的中点。将 $\triangle A C M$ 沿 $C M$ 折起,使 $A, B$ 两点间的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，此时三棱雉 $A-B C M$ 的体积等于$\frac{m \sqrt{n}}{k}$.求$m+n+k$.

Answer: 7
user: 已知复数 $z=1-\sin \theta+i \cos \theta\left(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\right)$, 求 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的辐角主值为$\frac{a\pi}{b}-\frac{c\theta}{d}$,求$a+b+c+d$.

Answer: 10
user: 在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$，$AC=2$，$M$是$AB$的中点。将$\triangle ACM$沿$CM$折起，使$A、B$两点间的距离为$2\sqrt{2}$，此时三棱锥$A-BCM$的体积等于$\frac{m\sqrt{n}}{k}$的形式，请给出$m + n+k$的值。

Answer: 7
user: 已知 $\theta=\arctan \frac{5}{12}$, 那么复数 $z=\frac{\cos 2 \theta+i \sin 2 \theta}{239+i}$ 的辐角主值是。原始答案为 $\frac{m\pi}{n}$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 5
user: 已知点 $P$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上, 并且 $P$ 到这条双曲线的右准线的距离恰是 $P$ 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么 $P$ 的横坐标是 $\qquad$. 原始答案为 $\frac{m}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 69
user: 给定 $A(-2,2)$, 已知 $B$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ 上的动点, $F$ 是左焦点, 当 $|A B|+\frac{5}{3}|B F|$ 取最小值时, $B$ 的坐标为$\left(-\frac{a \sqrt{b}}{c}, b\right)$.求$a+b+c+d$

Answer: 12
user: 已知点 $P$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上, 并且 $P$ 到这条双曲线的右准线的距离恰是 $P$ 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项。那么, $P$ 的横坐标的原始答案是 $\frac{m}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 69
user: 给定正整数 $n$ 和正数 $M$ 。对于满足条件 $a_{1}^{2}+a_{n+1}^{2} \leqslant M$ 的所有等差数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots$, 试求 $S=a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2 n+1}$ 的最大值.写出$M=10,n=5$时$S$的最大值。

Answer: 30
user: 一张台球桌形状是正六边形 $A B C D E F$ ，一个球从 $A B$ 的中点 $P$ 击出，击中 $B C$ 边上的某点 $Q$ ，并且依次碰击 $C D 、 D E 、 E F 、 F A$ 各边，最后击中 $A B$ 边上的某一点. 设 $\angle B P Q=\theta$ ， $\theta$ 的范围为$\theta\in[arc\mathrm{tan}\frac{a\sqrt{3}}{b}, arc\mathrm{tan}\frac{c\sqrt{3}}{d}]$,求$a+b+c+d$。
提示：利用入射角等于反射角的原理。

Answer: 24
user: 如图3，在直角坐标系 $x O y$中， $\\odot O: x^{2}+y^{2}=4$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A, \\odot A:(x-2)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 与 \\odot O 交于 $B 、 C$ 两点. (1) 求 \\overrightarrow{A B} \\cdot \\overrightarrow{A C} 的最小值; (2) 设 $P$ 为 \\odot O 上异于 $B 、 C$ 的任一点，直线 $P B 、 P C$ 与 $x$ 轴分别交于点 $M 、 N$, 求 $S_{\\triangle P O M} S_{\\triangle P O N}$ 的最大值。请提供两个部分答案之和。

Answer: 2
user: 如图3，在直角坐标系 $x O y$中， $\\odot O: x^{2}+y^{2}=4$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A, \\odot A:(x-2)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 与 $\\odot O$ 交于 $B 、 C$ 两点. (1) 求 $\\overrightarrow{A B} \\cdot \\overrightarrow{A C}$ 的最小值; (2) 设 $P$ 为 $\\odot O$ 上异于 $B 、 C$ 的任一点，直线 $P B 、 P C$ 与 $x$ 轴分别交于点 $M 、 N$, 求 $S_{\\triangle P O M} S_{\\triangle P O N}$ 的最大值。请给出这两个值的和。

Answer: 3
user: 令全集 $I=\{1,2, \cdots, 2020\}$, 称正整数集
$$
\begin{aligned}
& W=\left\{w(a, b)=(a+b)+a b \mid a 、 b \in \mathbf{Z}_{+}\right\}, \\
& Y=\left\{y(a, b)=(a+b) \cdot a b \mid a 、 b \in \mathbf{Z}_{+}\right\},
\end{aligned}
$$
分别为"吴"集合、"越"集合. 这两个集合的交集 $X$ 称为"西子数集"： $W \cap Y=X$ ，集 $X$ 中的元素皆称为 "西子数"。例如，
$$
\begin{aligned}
& 54=w(4,10)=y(3,3), \\
& 56=w(2,18)=y(1,7),
\end{aligned}
$$
即 54 与 56 皆为西子数。
求西子集中最大与最小的元素之和.
若数 $n$ 具有至少两种 $y(a, b)$ 表示，则称 $n$ 为 "卓越数" 。例如，30为卓越数，这是因为 $30=y(1,5)=y(2,3)$. 问:集合 $Y$ 中共有多少个卓越数？
请给出问题(1)与问题(2)的答案之和。

Answer: 2037
user: 设 $a 、 b 、 c 、 d$ 是非负整数, $S=a+b+c+d$.\n(1) 若 $a^{2}+b^{2}-c d^{2}=2022$, 求 $S$ 的最小值；\n（2）若 $a^{2}-b^{2}+c d^{2}=2022$ ，求 $S$ 的最小值。请提供两种情况下 $S$ 的最小值之和。

Answer: 74
user: 一项考试的可能得分为 $0,1,2, \cdots, 150$ ，有 100 名考生 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{100}$ 考完后依顺时针围成一圈交流成绩，记 $P_{i}$ 的得分为 $a_{i}$ 。每个考生 $P_{i}$ 比较自己与相邻两人 $P_{i-1}, P_{i+1}$ (下标按模 100 理解) 的得分，定义 $P_{i}$ 的激励值 $f_{i}$ 为: 
$f_{i}=\begin{cases}a_{i}(a_{i-1}+a_{i+1}-a_{i}),&a_{i}<\min\{a_{i-1},&a_{i+1}\},\\a_{i}(\max\{a_{i-1},a_{i},a_{i+1}\}-a_{i}),&a_{i}\geq\min\{a_{i-1},&a_{i+1}\}.\end{cases}$
记 $S=f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{100}$. 
求 $S$ 的最大值; 
求使得 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{100}$ 两两不等的 $S$ 的最大值。请给出这两个最大值的和。

Answer: 1147349
user: 设 $n$ 为正整数， $f(n)$ 表示满足以下条件的 $n$ 位数（称为波形数） $\overline{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ 的个数：
(i) 每一位数码 $a_{i} \in\{1,2,3,4\}$ ，且 $a_{i} \neq$ $a_{i+1}(i=1,2, \cdots)$;
(ii) 当 $n \geqslant 3$ 时， $a_{i}-a_{i+1}$ 与 $a_{i+1}-a_{i+2}$ $(i=1,2, \cdots)$ 的符号相反。
求 $f(10)$ 的值;
（2）确定 $f(2008)$ 被 13 除得的余数。
请给出问题(1)与问题(2)的答案之和。

Answer: 8018
user: 对任意的正整数 $n$, 记 $D_{n}$ 为 $n$ 的正约数全体， $f_{i}(n)(i=1,2)$ 为集合 $$ F_{i}(n)=\left\{a \in D_{n} \mid a \equiv i(\bmod 4)\right\} $$ 的元素个数. 求最小的正整数 $m$,使得 $2 f_{1}(m)-f_{2}(m)=2017$. $m$的形式满足$k \times p^{q}$,求$k+p+q$.

Answer: 2023
user: 对任意的正整数 $n$, 记 $D_{n}$ 为 $n$ 的正约数全体， $f_{i}(n)(i=0,1,2,3)$ 为集合 
$$ 
F_{i}(n)=\left\{a \in D_{n} \mid a \equiv i(\bmod 4)\right\} 
$$ 
的元素个数。求最小的正整数 $m$ ，使得 
$$ 
f_{0}(m)+f_{1}(m)-f_{2}(m)-f_{3}(m)=2017 . 
$$ 
答案的标准形式为$a^{b} \times c^d\times e^f \times g^h$，计算a+b+c+d+e+f+g+h的值。

Answer: 67
user: 对正整数 $n$ ，定义 $n!=1 \times 2 \times \cdots \times n$ 。求所有的正整数 $x 、 y$, 使得 $3^{x}+x^{4}=y!+2019$ 。请给出所有解的x + y的值。

Answer: 9
user: 求最大的正整数 $m$ ，使得存在集合 $\\{1,2, \\ldots, 100\\}$ 的 $m$ 个子集 $A_{1}, A_{2}$ ， $\\ldots, A_{m}$ 满足：对任意 $1 \\leq i<j \\leq m$ ，都有 $$ \\left|A_{i} \\bigcup A_{j}\\right| - \\left|A_{i} \\bigcap A_{j}\\right|=2.$$ 请给出该最大正整数的值。

Answer: 100
user: 有 $n$ 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 $n-2$ 个人之间通电话的次数相等, 都是 $3 k$ 次, 其中 $k$ 是自然数, 求 $n$ 的可能值的和.

Answer: 5
user: 一个球与正四面体的六条棱都相切。若正四面体的棱长为 $a$，则这个球的体积的原始答案是\frac{\sqrt{a}\pi a^b}{c}的格式，请给出a+b+c的值。

Answer: 29
user: 设 $S_{n}=1+2+3+\cdots+n, n \in \mathbf{N}$. 求 $f(n)=\frac{S_{n}}{(n+32) S_{n+1}}$ 的最大值。原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值。

Answer: 51
user: 若函数 $f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{13}{2}$ 在区间 $[a, b]$ 上的最小值为 $2 a$, 最大值为 $2 b$, 求 $[a, b]$. 标准答案格式为$[a,b]=[m,n]$ 或 $\Big[-a-\sqrt{b},\frac{c}{d}\Big]$，请提供区间 $[a, b]$ 的端点m+n+a+b+c+d和。

Answer: 40
user: 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列， $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，且 $b_{1}=a_{1}{ }^{2}, b_{2}=a_{2}{ }^{2}, b_{3}=a_{3}{ }^{2}\left(a_{1}<a_{2}\right)$ ，又 $\lim \limits_{n \rightarrow+\infty}\left(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}\right)=\sqrt{2}+1$. 试求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的2倍首项与公差的和.

Answer: -2
user: 椭圆 $\rho=\frac{1}{2-\cos \theta}$ 的短轴长以 \frac{m\sqrt{n}}{k} 的形式给出，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 8
user: 若复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $\left|z_{1}\right|=2,\left|z_{2}\right|=3,3 z_{1}-2 z_{2}=\frac{3}{2}-i$, 则 $z_{1} \cdot z_{2}$ 的原始答案是 $-\frac{a}{b} + \frac{c}{d} i$ 的形式，请给出a+b+c+d和的值。

Answer: 128
user: 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 1, 则直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $B D_{1}$ 的距离是 . 原始答案为 \frac{\sqrt{m}}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 12
user: 不等式 \left|\frac{1}{\log _{\frac{1}{2}} x}+2\right|>\frac{3}{2} 的解集为. 标准答案格式为$(a,b) \cup\left(c,d^{\frac{e}{f}}\right) \cup(g,+\infty)$，请给出所有区间端点a+b+c+d+e+f+g的和。

Answer: 19
user: $A$ 是半径为 1 的 $\odot O$ 上一定点, $l$ 是过点 $A$ 的 $\odot O$的切线. 设 $P$ 是 $\odot O$ 上不同于 $A$ 的一点 ,$P Q \perp$ $l$, 垂足为 $Q$. 当点 $P$ 在 $\odot O$ 上运动时, $\triangle P A Q$面积的最大值的原始答案为 \frac{m \sqrt{n}}{k}，请给出 m + n +k的值。

Answer: 14
user: 设集合 $X=\{(a, b, c) \mid a, b, c \in \mathbf{Z}\}$, $f$ 是从 $X$ 到 $X$ 的映射, 且满足 $f(a, b, c)=(a+b+c, a b+b c+c a, a b c)$.试求所有的三元数组 $(a, b, c)$ ，使得 $f(f(a, b, c))=(a, b, c)$. 当a=1时，请给出满足条件的三元数组和的和。

Answer: 0
user: 两个半径都是 $1$ 的球 $O_{1}$ 和球 $O_{2}$ 相切，且均与直二面角 $\alpha-l-\beta$ 的两个半平面都相切，另有一个半径为 $r(r<1)$ 的小球 $O$与这个二面角的两个半平面也都相切, 同时,与球 $O_{1}$ 和球 $O_{2}$ 都外切。若原始答案的形式为 $m - \sqrt{n}$，请给出 m + n 的值。

Answer: 10
user: 若实数 $x$、$y$ 满足 $x^2+y^2=1$,则$\frac{2xy}{x+y-1}$的最小值是。请给出答案中$a-\sqrt{b}$的a+b之和。

Answer: 3
user: 有 20 张卡片上分别写有数字1,2,…,20, 将它们放入一个盒子内.有4个人从中不放回地各抽取一张卡片,抽到两个较小数字的两人在同一组,抽到两个较大数字的两人在同一组.现其中有两人抽到5、14,则此两人在同一组的概率等于___。原始答案为最简分数形式\frac{m}{n}，请给出m + n的值。

Answer: 58
user: 设 $0<\alpha<\pi, \pi<\beta<2 \pi$. 若对任意的 $x \in \mathbf{R}$ ，都有 $$ \cos (x+\alpha)+\sin (x+\beta)+\sqrt{2} \cos x=0 $$ 恒成立，试求 \alpha, \beta 的值。给出 \alpha 和 \beta 的形式为 \frac{m\pi}{n} 和 \frac{p\pi}{q}，请给出 m+n+p+q 的值。。

Answer: 18
user: 一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球。若这三个小球的半径均为 1 ，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径 $R=$ 的原始答案是 $\frac{m+\sqrt{n}}{k}$，请给出m + n + k的值。

Answer: 27
user: 对于 $n \in \mathbf{N}_{+}$，若 $2^{n} n+1$ 是 3 的整数倍，则 $n$ 被 6 除所得余数构成的集合是_____. 请给出集合中所有元素的和。

Answer: 3
user: 如图1，在第一象限内,矩形 $A B C D$ 的三个顶点 $A 、 B 、 C$分别在函数 $y=\log _{\frac{\sqrt{2}}{2}} x 、 y=x^{\frac{1}{2}} 、y=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{x}$ 的图像上, 且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点 A的纵坐标为 2, 则点 D 的横、纵坐标之和为$\frac{b}{a}$ ，求$a+b$的值。

Answer: 33
user: 现代社会对破译密码的要求越来越高。在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码将英文的26 个字母$a,b,\cdots,z$( 不论大小写 ) 依次对应 $1, 2, \cdots , 26$这 26 个自然数，见表1. 
 
$$\begin{gathered}\textbf{表 1}\\\boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}a&b&c&d&e&f&g&h&i&j&k&l&m\\\hline1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\\hline n&o&p&q&r&s&t&u&v&w&x&y&z\\\hline14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26\\\end{array}}\end{gathered}$$ 
 
 
给出明码对应的序号x和密码对应的序号y的变换公式： 
$y=\begin{cases}\frac{x+1}{2},&x\text{为奇数，且 1 x26};\\\frac{x}{2}+13,&x\text{为偶数，且 1 x26.}\end{cases}$ 
 
利用它可将明码转换成密码，如 $5\rightarrow\frac {5+ 1}2= 3$, 即e变 成c; $8\rightarrow \frac 82+ 13= 17$ , 即h变成q. 
 
按上述公式，若将某明码译成的密码是shxc,则原来的明码所对应的自然数之和是多少。

Answer: 54
user: 满足 
 
$\frac{1-\sin \theta+\cos \theta}{1-\sin \theta-\cos \theta}+\frac{1-\sin \theta-\cos \theta}{1-\sin \theta+\cos \theta}=2$ 
 
的最大负角 $\theta$ 的弧度数为 $-\frac{\pi}{a}$，求$a$的值。

Answer: 2
user: 在侧棱长和底面边长都是 4 的正四棱锥 $P-A B C D$ 的表面上与顶点 $P$ 的距离为 3的动点所形成的所有曲线段的长度之和为$m \pi$，求$m$的值。

Answer: 6
user: 设 $P$ 为直线 $y=x-2$ 上的动点，过$P$作抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}$的切线，切点分别为$A,B$. 
$\triangle PAB$ 面积的最小值为$m \sqrt{m}$，此时点 $P(n,-n)$，求$m+n$的值。

Answer: 4
user: 设 $a 、 b$ 都是正实数, $A=\frac{a+b}{2}, B=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$. 若 $A+B=a-b$, 则 $\frac{a}{b}=m+n\sqrt{m}$，求$m+n$的值。

Answer: 5
user: 已知两条直线 $l_{1}: y=2, l_{2}: y=4$, 设函数 $y=3^{x}$ 的图像与 $l_{1} 、 l_{2}$ 分别交于点 $A 、 B$, 函数 $y=5^{x}$ 的图像与 $l_{1} 、 l_{2}$ 分别交于点 $C 、 D$. 则直线 $A B$ 与 $C D$ 的交点的横、纵坐标之和是多少。

Answer: 0
user: 已知集合 $M=\{1,3,5,7,9\}$. 若非空集合 $A$ 满足: $A$ 中各元素都加 4 后构成 $M$ 的一个子集， $A$ 中各元素都减 4 后也构成 $M$ 的一个子集。请给出集合 $A$ 的元素之和。

Answer: 5
user: 设不经过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 交于不同的两点 $P 、 Q$. 若直线 $P Q$ 的斜率是直线 $O P$ 和 $O Q$ 斜率的等比中项, $\triangle P O Q$ 面积 $S$ 的取值范围是$(a,\frac{b}{c})$，求$a+b+c$的值。

Answer: 3
user: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\} 、\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} 、 T_{n}$, 且对于一切正整数 $n$, 均有 $\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{2 n-1}{3 n+1}$.则 $\frac{S_{6}}{T_{5}}$的 结果为分数形式，请给出分子与分母之和。

Answer: 43
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{n}=\left[(2+\sqrt{5})^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right]\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数. 设 $C$ 为实数, 且对任意的正整数 $n$, 都有 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k+2}} \leqslant C$, 则 $C$ 的最小值是以$\frac{m}{n}$的形式表示，请给出$m+n$的值。

Answer: 289
user: 已知正四棱雉 $\Gamma$ 的高为 3, 侧面与底面所成角为 $\frac{\pi}{3}$ 。先在 $\Gamma$ 内放入一个内切球 $O_{1}$, 然后依次放入球 $O_{2}, O_{3}, O_{4}, \cdots$, 使得后放入的各球与前一个球及 $\Gamma$ 的四个侧面均相切，则放入的所有球的体积之和的原始答案为$\frac{m\pi}{n}$，请给出$m + n$的值。

Answer: 31
user: 已知函数 $f(x)=x \ln x-a x^{2}, a \in \mathbf{R}$，设函数 $F(x)=|f(x)|(x \in[1, \mathrm{e}])$ 有极小值, $a$ 的取值范围是$\left(a, \frac{b}{\mathrm{e}}\right) \cup\left(\frac{b}{\mathrm{e}}, \frac{b}{c}\right)$，求$a+b+c$的值。

Answer: 3
user: 设集合 $T=\{\left(a,b,c\right)|a,b,c\in\mathbf{Z}_{+}$,且 $a、b、c$ 可构成某个三角形的三边长\}.则$\sum_{(a,b,c)\in T}\frac{2^a}{3^b\times5^c}$的值为一个分数，分子和分母分别为$m$和$n$，请给出$m + n$的值。

Answer: 38
user: 用 $6$ 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计。设此框架能容纳得下的最大球的半径为 $R_{1}$,能包容此框架的最小球的半径为 $R_{2}$ 。则 $\frac{R_{1}}{R_{2}}$等于。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 格式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 6
user: 已知 $a$ 为实数, 且对任意 $k \in[-1,1]$, 当 $x \in(0,6]$ 时, $6 \ln x+x^{2}-8 x+a \leqslant k x$ 恒成立, 则 $a$的最大值是$m-m \ln m$，求$m$的值。

Answer: 6
user: 设点 $A$ 的坐标为 $(0,3)$, 点 $B, C$ 为圆 $O: x^{2}+y^{2}=25$ 上的两动点, 满足 $\angle B A C=90^{\circ}$. $\triangle A B C$ 面积的最大值为$\frac{a+b \sqrt{c}}{d}$，求$a+b+c+d$的值。

Answer: 71
user: 已知正四棱雉 $\Gamma$ 的高 $h=3$, 侧面与底面所成角 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 。先在正四棱雉 $\Gamma$ 内放人一个内切球 $O_{1}$, 然后依次放人球 $O_{2}, O_{3}, \cdots$, 使得后放入的各球均与前一个球及正四棱雉 $\Gamma$的四个侧面都相切。则放入所有球的体积之和为$\frac{m \pi}{n}$，求$m+n$的值。

Answer: 31
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{0}=\sqrt{6}, a_{n+1}=\left[a_{n}\right]+\frac{1}{\left\{a_{n}\right\}}$ (其中 $\left[a_{n}\right]$ 和 $\left\{a_{n}\right\}$ 分别表示实数 $a_{n}$ 的整数部分与小数部分), 则 $a_{2020}=a+\sqrt{b}$，求$a+b$的值。

Answer: 6066
user: 已知正实数 $x, y$ 满足: $\frac{1}{x+3 y}+\frac{1}{2 x+y}=1$, 则 $x+y$ 的最小值是$\frac{a}{b}(c+d \sqrt{d})$，求$a+b+c+d$的值。

Answer: 11
user: $设$\triangle ABC$ 的外接圆圆心为 $O$,且 $3\overrightarrow {OA}+ 4$ $\overrightarrow {OB}+ 5$ $\overrightarrow {OC}= \mathbf{0} .$则$\angle C$ 的大小为$(\frac{b}{a})^{\circ}$，求$a+b$的值。

Answer: 49
user: 已知数列$\left\{a_n\right\}$满足：$$a_0=\sqrt{6}\:,a_{n+1}=\left[\:a_n\:\right]+\frac{1}{\left\{\:a_n\:\right\}}\:,$$其中，$[a]$表示不超过实数 $a$ 的最大整数，$\{$ $a$ $\} = a$ -[ $a$ ].则 $a_{2\:020}=$. 请给出整数部分与根号下数值的和。

Answer: 6066