sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: 四个半径为 1 的球两两相切，则它们的外切正四面体的棱长为多少？答案的形式为k(1+\sqrt{m})，请给出k+m的值。

Answer: 8
user: 实系数方程 $x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0$ 的根都不是实数, 其中两个根的和为 $2+i$, 另两根的积为 $5+6 i$,则 $b$ 等于多少？

Answer: 15
user: 圆内接四边形 $A B C D$ 中, $A B=136, B C=80, C D=150, D A=102$, 求它的外接圆直径的值。

Answer: 170
user: 在正方体的八个顶点中任取 3 个构成三角形，求所构成的三角形是等腰三角形的概率。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。

Answer: 11
user: 令 $a_{n}$ 表示距离 $\sqrt{n}$ 最近的正整数，其中 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，若 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}= 2016$，求正整数 $n$ 的值。

Answer: 1017072
user: $\triangle A B C$ 的三个顶点分别对应复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, 已知 $\frac{z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}=1+2 \mathrm{i}$。求 $\triangle A B C$ 的面积与其最长边的长的平方的比。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。

Answer: 6
user: 实系数方程 $x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0$ 的根都不是实数，其中两个根的和为 $2+\mathrm{i}$, 另两个根的积为 $5+6 \mathrm{i}$。求 $b$ 的值。

Answer: 15
user: 四个半径为 1 的球两两相切, 则它们外切正四面体的棱长为多少？请以 $k(1+\sqrt{m})$ 的形式给出答案，并求出k和m的和。

Answer: 8
user: 设 $A$ 是以 $B C$ 为直径的圆上的一点, $D, E$ 是线段 $B C$ 上的点, $F$ 是 $B C$ 延长线上的点,已知 $B F=4, B D=2, B E=5, \angle B A D=\angle A C D, \angle B A F=\angle C A E$, 求 $B C$ 的长。

Answer: 11
user: $f(x)$ 是一个定义在实轴 $R$ 上的函数，满足 $2 f(x)+f\left(x^{2}-1\right)=1, \forall x \in R$ ，求 $f(-\sqrt{2})$ 的值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。

Answer: 4
user: 若方程 $x^{2}-3 x-1=0$ 的根也是方程 $x^{4}+a x^{2}+b x+c=0$ 的根, 则 $a+b-2 c$ 的值为多少？

Answer: -13
user: 已知 \(k \neq 1\)，则等比数列 \(a+\log _{2} k, a+\log _{4} k, a+\log _{8} k\) 的公比为多少？答案应为 \(\frac{m}{n}\) 的形式，请给出 \(m+n\) 的值。

Answer: 4
user: 方程 $\left(\frac{x^{3}+x}{3}\right)^{3}+\frac{x^{3}+x}{3}=3 x$ 的所有实根的平方和等于多少？

Answer: 4
user: 设 $A B, C D$ 是圆 $O$ 的两条垂直直径，弦 $D F$ 交 $A B$ 于点 $E, D E=24, E F=18$，求 $O E$ 的值。原始答案的形式为 $k\sqrt{m}$，请给出 $k + m$ 的值。

Answer: 8
user: 从一个正 9 边形的 9 个顶点中选 3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是多少？

Answer: 30
user: 在圆内接四边形 $A B C D$ 中, $B D=6, \angle A B D=\angle C B D=30^{\circ}$，求四边形 $ABCD$ 的面积。答案的形式为$n \sqrt{m}$，请给出$m + n$的值。

Answer: 12
user: 实数 $a, b$ 满足 $\left(a^{2}+4\right)\left(b^{2}+1\right)=5(2 a b-1)$, 求 $b\left(a+\frac{1}{a}\right)$ 的值乘以10后的结果。

Answer: 35
user: 已知正方形 \(A B C D\) 的边长为 \(1\)，\(P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}\) 是正方形内部的 \(4\) 个点，使得 \(\triangle A B P_{1}, \triangle B C P_{2}, \triangle C D P_{3}\) 和 \(\triangle D A P_{4}\) 都是正三角形。求四边形 \(P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}\) 的面积。答案的形式为 \(a-\sqrt{b}\)，请给出a和b的和。

Answer: 5
user: 已知某个三角形的两条高的长度分别为 10 和 20 ，求它的第三条高的长度的取值区间。如果该区间为 \((\frac{c}{d}, e)\)，请给出 \(c + d + e\) 的值。

Answer: 43
user: 设整数 $a, m, n$ 满足 $\sqrt{a^{2}-4 \sqrt{5}}=\sqrt{m}-\sqrt{n}$, 求这样的整数组 $(a, m, n)$ 的个数。

Answer: 2
user: 设 $S=\frac{1}{\log _{\frac{1}{2}} \pi}+\frac{1}{\log _{\frac{1}{3}} \pi}+\frac{1}{\log _{\frac{1}{5}} \pi}+\frac{1}{\log _{\frac{1}{7}} \pi}$, 求不超过 $S$ 且与 $S$ 最接近的整数。

Answer: -5
user: 函数 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)$ 的最小值为多少？

Answer: -1
user: 整数 $p, q$ 满足 $p+q=218, x^{2}+p x+q=0$ 有整数根，求满足这样条件的整数对 $(p, q)$ 的个数。

Answer: 4
user: 已知正整数 $n$ 满足 $n \neq 2017$ ，且 $n^{n}$ 与 $2017^{2017}$ 有相同的个位数字，则 $|2017-n|$ 的最小值为多少？

Answer: 6
user: 一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试。已知有 100 名学生参加了数学考试，50 名学生参加了物理考试，48 名学生参加了化学考试。学生总数是参加至少两门考试学生的两倍，也是参加三门考试学生数的三倍。求学生总数。

Answer: 108
user: 单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的长度的平方和的最大值为多少？

Answer: 25
user: Find the value of $\left(1+\cos \frac{\pi}{7}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{7}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{7}\right)$. The original answer is in the form \frac{k}{m}, where k and m are integers. Please provide the value of k + m.

Answer: 15
user: 已知存在正整数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=407,10^{n} \mid a b c$ ，则 $n$ 的最大值是多少？

Answer: 6
user: 正整数 $9+95+995+\cdots+\underbrace{99 \cdots 9}_{2016} 5$ 的十进制表示中数值 $1$ 的个数为多少？

Answer: 2014
user: 一个三位数等于它的个位数字的阶乘之和，则此三位数的个位数字之和为多少？

Answer: 10
user: 设 $a, b, c$ 和 $\left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{c}\right)\left(c-\frac{1}{a}\right)$ 均为正整数，求 $2a + 3b + 5c$ 的最大值和最小值之差。

Answer: 9
user: $O$ 是凸四边形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 和 $B D$ 的交点。已知三角形 $A O B, B O C, C O D, D O A$ 的周长相同，且三角形 $A O B, B O C, C O D$ 的内切圆半径分别为 $3, 4, 6$。求三角形 $D O A$ 的内切圆半径。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。

Answer: 11
user: 假设三角形三边长为连续的三个正整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，求这个三角形的三边长。答案的形式为k, m, n，请给出k + m + n的值。

Answer: 15
user: 若 $a, b, c$ 和 $\left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{c}\right)\left(c-\frac{1}{a}\right)$ 均为正整数，求 $2 a+3 b+5 c$ 的最大值和最小值之差。

Answer: 9
user: 一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加数学、物理、化学中的一门学科考试. 已知有 $100$ 名学生参加了数学考试，$50$名学生参加了物理考试， $48$ 名学生参加了化学考试.若学生总数是参加至少两门考试的学生的 $2$ 倍，也是参加三门考试学生的 $3$ 倍，则学生总数为多少？

Answer: 108
user: 已知正整数 $n$ 满足 $n \neq 2017$ ，且 $n^{n}$ 与 $2017^{2017}$ 有相同的个位数字，求 $|2017-n|$ 的最小值。

Answer: 6
user: 若存在正整数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=407,10^{n} \mid a b c$ ，求 $n$ 的最大值。

Answer: 6
user: 已知 $O$ 是凸四边形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 和 $B D$ 的交点, $\triangle A O B, \triangle B O C$, $\triangle C O D, \triangle D O A$ 的周长相等. 若 $\triangle A O B, \triangle B O C, \triangle C O D$ 的内切圆半径分别为 3, 4, 6, 则 $\triangle D O A$ 的内切圆半径的答案为\(\frac{k}{m}\)的形式，请给出k+m的值。

Answer: 11
user: 满足 $p+q=218$ 且关于 $x$ 的方程 $x^{2}+p x+q=0$ 有整数根的有序整数对 $(p, q)$ 的对数为多少？

Answer: 4
user: 若实数 $x, y$ 满足 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ，则 $|3 x+4 y-12|$ 的取值范围是 $[c, d]$。请分别求出 $c$ 和 $d$ 的值，并给出 $c + d$ 的值。

Answer: 24
user: 满足 \(\left(y^{2}+4 x^{2}-1\right)\left(x^{2}+4 y^{2}-4\right) \leqslant 0\) 的所有点 \((x, y)\) 组成的平面图形的面积是多少？请以\(\pi\)为单位给出答案。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k和m的和。

Answer: 5
user: 已知三个复数 $z_{1}=(5-a)+(6-4 b) \mathrm{i}, z_{2}=(2+2 a)+(3+b) \mathrm{i}, z_{3}=(3-a)+(1+3 b) \mathrm{i}(a, b \in$ $\mathbf{R})$. 若 $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|$ 取最小值, 则 $3 a+6 b$ 的结果为 \frac{k}{m} 的形式，请给出 $k+m$ 的值。

Answer: 40
user: 若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=12, a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3+a_{n}+\right.$ $\left.3 \sqrt{1+2 a_{n}}\right)\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则与 $a_{10}$ 最接近的整数是 ______。

Answer: 4
user: 已知数列 $\left\{a_{k}\right\}_{1 \leqslant k \leqslant 5}$ 的各项均为正整数，且 $\left|a_{i+1}-a_{i}\right| \leqslant 1(i=1,2,3,4)$ 。若数列 $\left\{a_{k}\right\}_{1 \leqslant k \leqslant 5}$ 中存在一项是3，则数列 $\left\{a_{k}\right\}_{1 \leqslant k \leqslant 5}$ 可能的个数是多少？

Answer: 211
user: 若复数 \(z\) 满足 \(\frac{z}{2}\) 与 \(\frac{2}{z}\) 的实部、虚部均在区间 \([-1,1]\) 上取值，则 \(z\) 在复平面上形成轨迹的面积是多少？答案的形式为 \(a-b\pi\)，请给出\(a+b\)的值。

Answer: 14
user: 所有满足条件 $\frac{\overline{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}}{\overline{f_{4} d_{5} d_{6}}}=\left(1+\overline{y_{1} y_{2} f_{3}}\right)^{2}$ 的六位数 $\overline{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}$ 之和是多少？

Answer: 2065020
user: 用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，比如 [1.2] $=1$, $[-1.2]=-2$. 若 $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, 求 $\left[\alpha^{12}\right]$ 的值。

Answer: 321
user: 若二次函数 $f(x)$ 满足 $\forall x \in \mathbf{R}, 2 x \leqslant f(x) \leqslant \frac{x^{2}+4}{2}$ 及 $f(-2)=0$ ，求 $f(10)$ 的值。

Answer: 36
user: 已知 \(m, n, k \in \mathbf{N}^{*}\)，若 \(f(x)=(1+x)^{m}+(1+x)^{n}+(1+x)^{k}\) 的展开式中 \(x\) 的系数是 10，则 \(f(x)\) 的展开式中 \(x^{2}\) 系数的最大值与最小值之和是多少？

Answer: 40
user: 满足正整数 $n \leqslant 2022$ 且 $2n+1$ 与 $3n+1$ 均为完全平方数的 $n$ 的个数是 _______.

Answer: 1
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{1}=\frac{5}{2}, a_{n+1}=a_{n}^{2}-2$, 求 $\left[a_{2023}\right]$ 除以 7 的余数。

Answer: 2
user: 若 $\triangle A B C$ 的三边长分别是 $2,3,4$, 其外心为 $O$, 求 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{B C}+$ $\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C A}$ 的值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。

Answer: -27
user: 从正 15 边形的顶点中选出 3 个连成钝角三角形，不同的选法有多少种？

Answer: 315
user: 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, A D=A A_{1}=1$，求点 $A$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。

Answer: 5
user: 过 \(\triangle ABC\) 的重心作直线将 \(\triangle ABC\) 分成两部分，求这两部分的面积之比的最小值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。

Answer: 9
user: $\triangle A B C$ 的三边长是 $2,3,4$, 其外心为 $O$。求 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C A}$ 的值。答案的形式为-\frac{m}{n}，请给出m+n的值。

Answer: 31
user: 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B=2, A D=A A_{1}=1$。求点 $A$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离。如果答案是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m+n$ 的值。

Answer: 5
user: 若从 $0,1,2, \cdots, 9$ 中选取 $5$ 个两两互异的数字依次排成一个五位数（包括 $0$ 在首位的五位数，其大小就是把 $0$ 去掉后的四位数），求它能被 $396$ 整除的概率。答案的形式为\frac{a}{b}，请给出a+b的值。

Answer: 316
user: 若空间向量 $\boldsymbol{a} ,\boldsymbol{b} ,\boldsymbol{c}$ 满足 $|\boldsymbol{a}| \leqslant 1,|\boldsymbol{b}| \leqslant 1, \mid \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}+$ $\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}|$ ，求 $| \boldsymbol{c} \mid$ 的最大值。答案的形式为 $k\sqrt{m}$，请给出 $k+m$ 的值。

Answer: 7
user: 若 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1(x y \in \mathbf{R})$, 求 $x^{2}+x y-y^{2}$ 的最大值与最小值所组成的区间。答案形如 \left[-\frac{\sqrt{k}}{m}, \frac{\sqrt{k}}{m}\right]，请给出k + m的值。

Answer: 7
user: 若 $A, B, C \subseteq\{1,2,3, \cdots, 2020\}, A \subseteq C, B \subseteq C$ ，求有序集合组 $(A, B, C)$ 的组数。原始答案的形式为 $k^m$，请给出 $k + m$ 的值。

Answer: 2025
user: Evaluate \(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \arctan \frac{2}{k^{2}}\). The answer is in the form of \(\frac{k}{m}\), where \(\frac{k}{m}\) is a simplified fraction. Please provide the value of \(k + m\).

Answer: 7
user: 函数 $f(x)=\frac{2 e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}+\sin x(-2 \leqslant x \leqslant 2)$ 的最大值与最小值之和是多少？

Answer: 2
user: 已知 $P(X=k)=\frac{1}{2^{k}}(k=1,2,3, \cdots)$，若 $Y$ 为 $X$ 除以 $3$ 所得的余数，则求随机变量 $Y$ 的期望。原始答案的形式为 \frac{k}{m}，请给出 $k + m$ 的值。

Answer: 15
user: 若某个正四棱锥的相邻两个侧面所成二面角的大小为 \(\alpha\)，侧棱与底面所成线面角的大小为 \(\beta\)，求满足条件的表达式的值。答案应为 \(k \sec \alpha + m \tan^2 \beta = n\) 的形式，请给出 \(k + m + n\) 的值。

Answer: 2
user: 如图 2 所示, 已知 $\triangle A B C$ 的面积为 $2$, $D, E$ 分别为边 $A B, A C$ 上的点, $F$ 为线段 $D E$ 上的点，设 $\frac{A D}{A B}=x, \frac{A E}{A C}=y, \frac{D F}{D E}=z$ ，若 $y+z-x=1$ ，求 $\triangle B D F$ 面积的最大值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。

Answer: 43
user: 若数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_{n}=n^{2} a_{n}\)，且 \(a_{1}=2019\)，求 \(a_{2018}\) 的值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。

Answer: 1010
user: 若正数 \(a, b\) 满足 \(a+b=1\)，求 \(\frac{1}{a}+\frac{27}{b^{3}}\) 的最小值。原始答案的形式为\(\frac{k+m \sqrt{3}}{n}\)，请给出k+m+n的值。

Answer: 62
user: 若函数 $f(t)=t^{2}+2 t$ ，则点集 $\left\{(x, y) \left\lvert\,\left\{\begin{array}{l}f(x)+f(y) \leqslant 2 \\ f(x) \geqslant f(y)\end{array}\right\}\right.\right.$ 所构成图形的面积是 $k\pi$，求 $k$ 的值。

Answer: 2
user: 若把无理数 $(5+3 \sqrt{3})^{2018}$ 写成十进制小数，则其十分位、百分位、千分位上的数字之和为多少？

Answer: 27
user: 若 $a^{2}(b+c)=b^{2}(a+c)=1(a \neq b)$ ，则 $(a+b) c^{2}-a b c$ 的值为多少？

Answer: 2
user: 若 $x \in\left[-\frac{5 \pi}{12},-\frac{\pi}{3}\right]$, 则 $y=\tan \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)-\tan \left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的最大值是 $\frac{a}{b} \sqrt{c}$。求 $a+b+c$ 的值。

Answer: 20
user: 设三位数 $n=abc$，若以 $a, b, c$ 为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数 $n$ 有多少个？

Answer: 165
user: 顶点为 $P$ 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形， $A$ 是底面圆周上的点， $B$ 是底面圆内的点， $O$ 为底面圆圆心， $A B \perp O B$ ，垂足为 $B, O H \perp P B$ ，垂足为 $H$ ，且 $P A=4, C$ 为 $P A$ 的中点，求当三棱锥 $O-H P C$ 的体积最大时， $O B$ 的长。答案的形式为 \frac{k \sqrt{m}}{n}，请给出k + m + n的值。

Answer: 11
user: 已知 $M=\left\{(x, y) \mid x^{2}+2 y^{2}=3\right\}, N=\{(x, y) \mid y=m x+b\}$ 。若对于所有 $m \in \mathbf{R}$,均有 $M \bigcap N \neq \varnothing$ ，求 $b$ 的取值范围。答案的形式为\left[-\frac{\sqrt{k}}{m}, \frac{\sqrt{k}}{m}\right]，请给出k+m的值。

Answer: 8
user: 求不等式 $\sqrt{\log _{2} x-1}+\frac{1}{2} \log _{\frac{1}{2}} x^{3}+2>0$ 的解集。解集的形式为 [a, b)，请给出 a + b 的值。

Answer: 6
user: 如图，顶点为 $P$ 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，$A$ 是底面圆周上的点，$B$ 是底面圆内的点，$O$ 为底面圆的圆心，$AB \perp OB$，垂足为 $B$，$OH \perp PB$，垂足为 $H$，且 $PA=4$, $C$ 为 $PA$ 的中点。当三棱锥 $O-HPC$ 的体积最大时，求 $OB$ 的长度。原始答案的形式为\frac{k \sqrt{m}}{n}，请给出k + m + n的值。

Answer: 11
user: 记集合 $T=\{0,1,2,3,4,5,6\}, M=\left\{\left.\frac{a_{1}}{7}+\frac{a_{2}}{7^{2}}+\frac{a_{3}}{7^{3}}+\frac{a_{4}}{7^{4}} \right\rvert\, a_{i} \in T, i=1,2,3,4\right\}$ ，将 $M$ 中的元素按从大到小排列，求第 2005 个数。原始答案的形式为 \frac{b_1}{7}+\frac{b_2}{7^{2}}+\frac{b_3}{7^{3}}+\frac{b_4}{7^{4}}，请给出b_1 + b_2 + b_3 + b_4的值。

Answer: 6
user: 记集合 \(T=\{0,1,2,3,4,5,6\}, M=\left\{\left.\frac{a_{1}}{7}+\frac{a_{2}}{7^{2}}+\frac{a_{3}}{7^{3}}+\frac{a_{4}}{7^{4}} \right\rvert\, a_{i} \in T, i=1,2,3,4\right\}\)。将 \(M\) 中的元素按从大到小的顺序排列，求第 2005 个数。答案的形式为 \(\frac{k}{7}+\frac{m}{7^{2}}+\frac{n}{7^{3}}+\frac{p}{7^{4}}\)，请给出k+m+n+p的值。

Answer: 6
user: 使关于 $x$ 的不等式 $\sqrt{x-3}+\sqrt{6-x} \geqslant k$ 有解的实数 $k$ 的最大值是多少？请以$\sqrt{m}$的形式给出答案，并求出m的值。

Answer: 6
user: 数码 \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{2006}\) 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 \(\overline{2 a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{2006}}\) 的个数是多少？答案的形式为\(\frac{a^{2006} - b^{2006}}{c}\)，其中c不能被2整除。请计算a+b+c的值。

Answer: 20
user: 已知集合 $A=\{x \mid 5 x-a \leqslant 0\}, B=\{x \mid 6 x-b>0\}, a, b \in \mathbf{N}$, 且 $A \bigcap B \cap \mathbf{N}=\{2,3,4\}$ ，求整数对 $(a, b)$ 的个数。

Answer: 30
user: 在直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1}-A B C$ 中, $\angle B A C=\frac{\pi}{2}, A B=A C=A A_{1}=1$. 已知 $G$与 $E$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ 和 $C C_{1}$ 的中点, $D$ 与 $F$ 分别为线段 $A C$ 和 $A B$ 上的动点 (不包括端点). 若 $G D \perp E F$ ，求线段 $D F$ 的长度的取值范围。答案的格式为 \left[\frac{\sqrt{m}}{n}, a\right)，请给出m+n+a的值。

Answer: 11
user: 在正四棱锥 $P-A B C D$ 中, $\angle A P C=60^{\circ}$, 求二面角 $A-P B-C$ 的平面角的余弦值。答案的形式为-\frac{k}{m}，其中k和m为正整数，并且该分数是最简分数。请计算k+m的值。

Answer: 8
user: 设实数 $a$ 使得不等式 $|2 x-a|+|3 x-2 a| \geqslant a^{2}$ 对任意实数 $x$ 恒成立，求满足条件的 $a$ 所组成的集合的区间端点。如果区间为 $[m, n] = \left[\frac{k}{l}, \frac{p}{q}\right]$，请给出k+l+p+q的值。

Answer: 6
user: 以 $\sqrt{2}$ 和 $1-\sqrt[3]{2}$ 为两个根的有理系数多项式的次数最低是____。

Answer: 5
user: 若复数 $z_{1}, z_{2}$ 分别满足 $\left|z_{1}-3 \mathrm{i}\right|=2,\left|z_{2}-8\right|=1$ ，则在复平面上所有由复数 $z_{1}-z_{2}$ 对应的点围成的面积是 $x \pi$。求 $x$ 的值。

Answer: 8
user: 已知 $x, y \in \mathbf{Z}$ ，若 $\left(x^{2}+x+1\right)^{2}+\left(y^{2}+y+1\right)^{2}$ 为完全平方数，则数对 $(x, y)$ 的对数是多少？

Answer: 0
user: 已知点 \(A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) 关于 \(y=k x\) 的对称点 \(A^{\prime}\) 落在圆 \((x-2)^{2}+y^{2}=1\) 上，求 \(k\) 的值。答案的形式为\(\frac{\sqrt{a}}{b}\)，请给出a+b的值。

Answer: 6
user: 从 6 名男员工和 4 名女员工中各抽取 2 人，组成羽毛球混合双比赛，一共有多少组合方式？

Answer: 180
user: 满足 $n^{3}+2 n^{2}+8 n-5=a^{3}$ 的自然数组 $(n, a)$ 的对数是 _______。

Answer: 2
user: $1 \times 1!+2 \times 2!+\cdots+672 \times 672!$ 被 $2019$ 除的余数是多少？

Answer: 2018
user: $n$ 是任意自然数，$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}$ 的个位数不可能是______。

Answer: 2
user: 已知 \(x, y, z>0\)，则 \(f(x, y, z)=\frac{x y z}{(4 x+1)(9 x+y)(4 y+z)(z+9)}\) 的最大值为多少？答案的形式为 \(\frac{k}{m^2}\)，请给出 \(k + m\) 的值。

Answer: 25
user: $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ 的取值范围是 $(-2, y]$，其中$y$的原始答案是以\frac{k}{m}的形式给出，请计算k+m的值。

Answer: 17
user: 金字塔（正四棱锥）的底座为边长 \(200 \, \text{m}\) 的正方形。如果一个游客处于底面且距离底座中心 \(200 \, \text{m}\) 的圆周上，求游客可以同时看见金字塔两塔侧面的概率。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。

Answer: 4
user: 满足正整数 $y \leqslant 2022$ 且 $100 \mid 2^{y}+y$ 的 $y$ 的个数是多少？

Answer: 20
user: 满足 $A B=1, B C=2, C D=4, D A=3$ 的凸四边形 $A B C D$ 的内切圆半径的取值范围是 $(a, \frac{k \sqrt{m}}{n}]$。请找出 a, k, m, n 的值并计算 a + k + m + n。

Answer: 13
user: 内接于椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的菱形周长的最大值与最小值之和是多少？请用$\sqrt{13}$的倍数表示答案。答案的形式为$\frac{k}{m} \sqrt{13}$，请给出k+m的值。

Answer: 113
user: 设非负实数 $x, y$ 满足 $2 x+y=1$, 求 $x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 的最小值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。

Answer: 9
user: 已知 $A=\{-1,0,1\}, B=\{2,3,4,5,6\}$, 若由 $A$ 到 $B$ 的映射 $f: x \rightarrow y$ 满足 $x+f(x)+x f(x)$ 为奇数, 求映射 $f$ 的个数。

Answer: 50
user: 若 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in\{1,2,3,4\}, N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 中不同数字的种类，如 $N(1,1,2,3)=3, N(1,2,2,1)=2$ ，则所有的 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 的排列 （共 $4^{4}=256$ 个）所得的 $N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 的平均值的答案是一个分数。请将其表示为\frac{k}{m}的形式，并给出k+m的值。

Answer: 239
user: 在四面体 $P A B C$ 中, 若 $\triangle A B C$ 是边长为 3 的正三角形, 且 $P A=3, P B=4$, $P C=5$ ，求该四面体的体积。答案的形式为\(\sqrt{k}\)，请给出k的值。

Answer: 11
user: 在 \(\triangle ABC\) 中，求 \(\sin A + \sin B \sin C\) 的最大值。答案的形式为 \(\frac{k + \sqrt{m}}{n}\)，请计算k + m + n的值。

Answer: 8
user: 不定方程 $x+2 y+3 z=100$ 的非负整数解的组数是多少？

Answer: 884
user: 已知 $\omega=\cos \frac{2 \pi}{5}+\operatorname{isin} \frac{2 \pi}{5}, f(x)=x^{2}+x+2$, 求 $f(\omega) f\left(\omega^{2}\right) f\left(\omega^{3}\right) f\left(\omega^{4}\right)$ 的值。

Answer: 11
user: 若 \(z, w \in \mathbf{C},|z+w|=1,\left|z^{2}+w^{2}\right|=4\)，则 \(|z w|\) 的最大值可以表示为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。

Answer: 7
user: 已知 \(z, w \in \mathbf{C},|z+w|=1,\left|z^{2}+w^{2}\right|=4\)，求 \(|z w|\) 的最大值。原始答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。

Answer: 7
user: 在四面体 $P A B C$ 中, $\triangle A B C$ 为等边三角形, 边长为 $3, P A=3, P B=4, P C=5$, 求四面体 $P A B C$ 的体积。答案的形式为\(\sqrt{x}\)，请给出x的值。

Answer: 11
user: 在 $\triangle A B C$ 中，求 $\sin A+\sin B \sin C$ 的最大值。答案的形式为\frac{k+\sqrt{n}}{m}，请给出k+m+n的值。

Answer: 8
user: 已知 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in\{1,2,3,4\}, N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 中不同数字的种类, 如 $N(1,1,2,3)=3, N(1,2,2,1)=2$, 求所有的 256 个 $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 的排列所得 $N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 的平均值。答案的形式为$\frac{k}{m}$，请给出$k+m$的值。

Answer: 239
user: 设复数 \(z, w\) 满足: \(|w+z|=1,\left|w^{2}+z^{2}\right|=4\)，求 \(|w z|\) 的最小值。答案应以 \(\frac{k}{m}\) 的形式给出，其中 \(\frac{k}{m}\) 为最简分数。请计算 \(k+m\) 的值。

Answer: 5
user: 设 $A, B, C$ 是三角形的三个内角，求 $\sin A+\sin B \sin C$ 的最大值。答案的形式为 \(\frac{k+\sqrt{n}}{m}\)，请给出k + n + m的值。

Answer: 8
user: 方程 $x+2 y+3 z=100$ 的非负整数解的个数是多少？

Answer: 884
user: 设 $\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}$ 是两个单位向量, $x, y$ 是实数. 若 $\left\langle\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}\right\rangle=\frac{\pi}{3},\left|x \vec{e}_{1}+y \vec{e}_{2}\right|=1$, 求 $x$ 的最大值。答案的形式为 \frac{k \sqrt{n}}{m}，请给出k+m+n的值。

Answer: 8
user: 已知三棱锥 $P-A B C$ 的底面是边长为 3 的正三角形, 且 $P A=3, P B=4, P C=5$, 求 $P-A B C$ 的体积。答案的形式为\sqrt{m}，请给出m的值。

Answer: 11
user: 设 $w=\cos \frac{2 \pi}{5}+\mathrm{i} \sin \frac{2 \pi}{5}, P(x)=x^{2}+x+2$, 求 $P(w) P\left(w^{2}\right) P\left(w^{3}\right) P\left(w^{4}\right)$ 的值。

Answer: 11
user: 已知集合 $M=\{-1,0,1\}, N=\{2,3,4,5,6\}$ 。设映射 $f: M \rightarrow N$ 满足：对任意的 $x \in M, x+f(x)+x f(x)$ 是奇数。求这样的映射 $f$ 的个数。

Answer: 50
user: 设整数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 满足 $1 \leqslant a_{k} \leqslant 24(k=1,2,3)$ ，且对任意整数 $x, 2 a_{1} x^{2}+3 a_{2} x+4 a_{3}$ 是 24 的倍数。求满足条件的有序数组 $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ 的个数。

Answer: 24
user: 设 \(a_{k} \in\{1,2,3,4\}(k=1,2,3,4)\)，对于有序数组 \(\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\)，记 \(N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\) 为 \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\) 中所包含的不同整数的个数，例如 \(N(1,1,2,2)=2, N(1,2,3,1)=3\)。当 \(\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\) 取遍所有的 \(4^{4}\) 个有序数组时，求 \(N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\) 的平均值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k + m的值。

Answer: 239
user: 设 $V=\{(x, y, z) \mid x+2 y+3 z \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\}$, 求 $V$ 的体积。原始答案是一个最简分数形式 \frac{k}{m}，请给出k+m的值。

Answer: 37
user: 在 Rt \(\triangle A B C\) 中, \(\angle A B C=\frac{\pi}{2}, A B=\sqrt{3}, B C=1, \frac{\overrightarrow{P A}}{|\overrightarrow{P A}|}+\frac{\overrightarrow{P B}}{|\overrightarrow{P B}|}+\frac{\overrightarrow{P C}}{|\overrightarrow{P C}|}=\mathbf{0}\)。若\(\angle A P B = x \pi\)，原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k + m\)的值。

Answer: 5
user: 设复数 \(z\) 满足 \(|3z-7i|=3\)，求 \(\left|\frac{z^{2}-2z+2}{z-1+i}\right|\) 的最大值。答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。

Answer: 11
user: 已知集合 $A, B, C \subseteq\{1,2,3, \cdots, 2020\}$, 且 $A \subseteq B \subseteq C$, 求有序集合组 $(A, B, C)$ 的个数。答案的形式为x^y，请给出x+y的值。

Answer: 2024
user: 设多项式 \(f(x)\) 的各项系数都是非负实数，且 \(f(1)=f^{\prime}(1)=f^{\prime \prime}(1)=f^{\prime \prime \prime}(1)=1\)。已知原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k + m的值。求 \(f(x)\) 的常数项的最小值。

Answer: 4
user: 设 $A, B$ 分别是 $x$ 轴, $y$ 轴上的动点, 若以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $2 x+y-4=0$ 相切，则圆 $C$ 面积的最小值为 $\pi \times x$。已知答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。

Answer: 9
user: 将号码分别为 \(1, 2, \cdots, 9\) 的九个小球放入一个袋中, 这些小球仅号码不同, 其余完全相同。甲从袋中摸出一个小球，其号码为 \(a\)，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为 \(b\)。求使得不等式 \(a-2b+10>0\) 成立的事件发生的概率。答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出 \(k+m\) 的值。

Answer: 142
user: 设 $A=[-2,4), B=\left\{x \mid x^{2}-a x-4 \leq 0\right\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围。答案的形式为 $[b,c)$，请给出 $b+c$ 的值。

Answer: 3
user: 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止。设甲在每局中获胜的概率为 \(\frac{2}{3}\)，乙在每局中获胜的概率为 \(\frac{1}{3}\)，且各局胜负相互独立。求比赛停止时已打局数 \(\xi\) 的期望 \(E \xi\)。答案形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。

Answer: 347
user: 函数 $f(x)=\frac{5-4 x+x^{2}}{2-x}$ 在 $(-\infty, 2)$ 上的最小值是多少？

Answer: 2
user: 已知函数 \(f(x)=x^{2}-2 t x+t\)，当 \(x \in[-1,1]\) 时，记 \(f(x)\) 的最小值为 \(m\)，求 \(m\) 的最大值。原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。

Answer: 5
user: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足： $a_{1}=6, a_{n+1}=\left[\frac{5}{4} a_{n}+\frac{3}{4} \sqrt{a_{n}^{2}-2}\right], n \in \mathbf{N}^{*}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数， $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。求 $S_{2016}$ 的个位数字。

Answer: 1
user: 对任意正整数 $n$ 与 $k(k \leqslant n), f(n, k)$ 表示不超过 $\left[\frac{n}{k}\right]$ ，且与 $n$ 互质的正整数的个数，则求 $f(100,3)$ 的值。

Answer: 14
user: 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆和双曲线的公共焦点, $P$ 是它们的一个公共点, 且 $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$。求该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值。原始答案的形式为\(\frac{k\sqrt{3}}{m}\)，请给出k+m的值。

Answer: 3
user: 已知函数 \(f(x)=x^{2}-2 t x+t\)。当 \(x \in [-1,1]\) 时，记 \(f(x)\) 的最小值为 \(m\)。求 \(m\) 的最大值。原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。

Answer: 5
user: 对任意正整数 $n$ 与 $k(k \leqslant n), f(n, k)$ 表示不超过 $\left[\frac{n}{k}\right]$ （ $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数）且与 $n$ 互素的正整数的个数。求 $f(100,3)$ 的值。

Answer: 14
user: 在 $(x+y+z)^{8}$ 的展开式中，求所有形如 $x^{2} y^{a} z^{b}(a, b \in \mathbf{N})$ 的项的系数之和。

Answer: 1792
user: 已知 \(\alpha, \beta \in(0, \pi), \tan \alpha, \tan \beta\) 是方程 \(x^{2}+3 x+1=0\) 的两个根, 求 \(\cos (\alpha-\beta)\) 的值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。

Answer: 5
user: 已知在 $\triangle A B C$ 中, $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{A B}$, 求 $\frac{|\overrightarrow{A C}|+|\overrightarrow{A B}|}{|\overrightarrow{B C}|}$ 的最大值。答案的形式为$\sqrt{k}$，请给出k的值。

Answer: 3
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=(\sqrt{2}+1)^{n}-(\sqrt{2}-1)^{n}(n \in \mathbf{N})$ ，用 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，则 $\left[a_{2017}\right]$ 的个位数字是 ______。

Answer: 2
user: 在 \(\triangle A B C\) 中, \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{A B}\)。求 \(\frac{|\overrightarrow{A C}|+|\overrightarrow{A B}|}{|\overrightarrow{B C}|}\) 的最大值。答案的形式为\(\sqrt{m}\)，请给出m的值。

Answer: 3
user: 在 $(x+y+z)^{8}$ 的展开式中，所有形如 $x^{2} y^{a} z^{b}(a 、 b \in \mathbf{N})$ 的项的系数之和为多少？

Answer: 1792
user: 设 $F_{1} 、 F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，该椭圆上存在两点 $A 、 B$ ，使得 $\overrightarrow{F_{1} A}=3 \overrightarrow{F_{2} B}$. 求该椭圆的离心率的取值范围 $(m, n)$，其中 $0 < m < n < 1$。答案形式为 $(\frac{k}{l}, p)$，其中 $k$ 和 $l$ 互质且 $l$ 不能为零。请给出 $k + l + p$ 的值。

Answer: 4
user: 已知 $\alpha, \beta \in(0, \pi), \tan \alpha 、 \tan \beta$ 为方程 $x^{2}+3 x+1=0$ 的两个根。求 $\cos (\alpha-\beta)$ 的值。答案的形式为$\frac{k}{m}$，请给出$k+m$的值。

Answer: 5
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足
$a_{n}=(\sqrt{2}+1)^{n}-(\sqrt{2}-1)^{n}(n \in \mathbf{N})$.
记 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数.求 $\left[a_{2017}\right]$ 的个位数字。

Answer: 2
user: 设多项式 $f(x)=x^{12}-x^{6}+1$ 除以 $x^{2}+1$ 的商式为 $q(x)$ ，余式 $r(x)=a x+b$ ，其中 $a, b$ 为实数。求 $b$ 的值。

Answer: 3
user: 已知方程 $1+x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots-\frac{x^{2018}}{2018}=0$ 的所有实数根都在区间 $[a, b]$ 内（其中 $a, b \in \mathbf{Z}$,且 $a<b$ ), 求 $b-a$ 的最小值。

Answer: 3
user: 在正四棱锥 $P-A B C D$ 中, $M, N$ 分别为 $P A, P B$ 的中点, 若侧面与底面所成二面角的正切值为 $\sqrt{2}$ ，求异面直线 $D M$ 与 $A N$ 所成角的余弦值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。

Answer: 7
user: 若向量 \(\boldsymbol{a}=(0,1), \boldsymbol{b}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right), \boldsymbol{c}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right), x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}=(1,1)\)，求 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\) 的最小值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。

Answer: 7
user: 若复数 \(z\) 满足 \(|z|<1\) 且 \(\left|\bar{z}+\frac{1}{z}\right|=\frac{5}{2}\)，求 \(|z|\) 的值。答案应为\(\frac{k}{m}\)的形式，请给出k+m的值。

Answer: 3
user: 若 $A B$ 为过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ 的弦, $O$ 为坐标原点, 且 $\angle O F A=135^{\circ}$, $C$ 为抛物线的准线与 $x$ 轴的交点, 求 $\angle A C B$ 的正切值。原始答案的形式为 $k \sqrt{m}$，请给出 k + m 的值。

Answer: 4
user: 已知向量 \(\vec{a}=(0,1), \vec{b}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right), \vec{c}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)\)，且 \(x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}=(1,1)\)，求 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\) 的最小值。原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。

Answer: 7
user: 已知函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}-2 x+1$ 的一条切线经过点 $(-1,1)$ 且点 $(-1,1)$ 不是切点，求这条切线的斜率。

Answer: -1
user: $A B$ 为过抛物线 $y^{2}=4 x$ 焦点 $F$ 的弦, $O$ 为坐标原点, 且 $\angle O F A=135^{\circ}, C$ 为抛物线准线与 $x$ 轴的交点，求 $\angle A C B$ 的正切值。答案的形式为 $k \sqrt{m}$，请给出 k + m 的值。

Answer: 4
user: 在正四棱雉 $P-ABCD$ 中，$M、N$ 分别为 $PA、PB$ 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为 $\sqrt{2}$。求异面直线 $DM$ 与 $AN$ 所成角的余弦值。答案的格式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。

Answer: 7
user: 若 $A+B=\frac{2 \pi}{3}$，求 $\cos ^{2} A+\cos ^{2} B$ 的最小值 $m$ 和最大值 $M$。请分别给出 $m$ 和 $M$ 的值。答案的形式为：最小值为\frac{m}{n}，最大值为\frac{p}{q}，请计算m+n+p+q的值。

Answer: 8