sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: 设 $\alpha, \beta$ 为实数，若对任意的实数 $x, y, z$ ，有 $\alpha(x y+y z+z x) \leqslant M \leqslant \beta\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 恒成立，其中 $M=\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}} \cdot \sqrt{y^{2}+y z+z^{2}}+\sqrt{y^{2}+y z+z^{2}} \cdot \sqrt{z^{2}+z x+x^{2}}+\sqrt{z^{2}+z x+x^{2}}$. $\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}}$. 求 $\alpha$ 的最大值和 $\beta$ 的最小值.

Answer: 3
user: 设集合 $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}, A=\left\{(x, y, z) \mid x, y, z \in M\right.$ ，且 $\left.9 \mid\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)\right\}$ ，则集合 $A$ 中元素的个数是 $\qquad$.

Answer: 243
user: 设集合 $M=\{1,2, 3, 4,5,6,7,8,9,10\}$ ，
$A=\{(x, y, z) \mid x, y 、 z \in M$, 且 $\left.9 \mid\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)\right\}$ 。
则集合 $A$ 中元素的个数为 $\qquad$.

Answer: 243
user: 设集合 $I=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ ，若 $I$ 的非空子集 $A, B$ 满足 $A \cap B=\varnothing$ ，就称有序集合对 $(A, B)$ 为 $I$ 的"隔离集合对"，则集合 $I$ 的"隔离集合对"的个数为 $\qquad$. (用具体数字作答)

Answer: 6050
user: 已知圆 $O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $O_{2}:(x-3)^{2}+y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 $A$, 过点 $A$ 的直线分别交圆 $O_{1}, O_{2}$ 于 $C, D$ 两点 $(C, D$ 异于点 $A$ ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$, 则直线 $C D$ 的斜率为 $\qquad$.

Answer: 5
user: 若存在实数 $a$ 及正整数 $n$ 使得 $f(x)=\cos 2 x-a \sin x$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有 $2022$ 个零点, 则满足条件的正整数 $n$ 的值有 $\qquad$个.

Answer: 5
user: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x, y, z$, 都有 
$\frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9}$, 求 $\sum\limits_{i=1}^{100}[i f(i)]$ 。其中 $[x]$ 代表不超过 $x$ 的最大整数.

Answer: 1650
user: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x 、 y 、 z$ 都有 
$\frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9},$
求 $\sum_{i=1}^{100}[i f(i)]$.其中, $[x]$表示不超过实数 x 的最大整数.

Answer: 1650
user: 已知 $\odot O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $\odot O_{2}:(x-3)^{2}+$ $y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 $A$, 过点 $A$ 的直线分别交 $\odot O_{1} 、 \odot O_{2}$ 于 $C 、 D$ 两点（ $C$ 、 $D$ 异于点 $A$ ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$. 则直线 $C D$ 的斜率是
$\qquad$.

Answer: 5
user: 若实数 $x, y$ 满足 $4 x^{2}-4 x y+2 y^{2}=1$ ，则 $3 x^{2}+x y+y^{2}$ 的最大值与最小值的和为 $\qquad$.

Answer: 3
user: 设 $f(x)$ 是二次函数, 且 $2 x^{2}-4 x+3 \leqslant f(x) \leqslant 3 x^{2}-6 x+4, f(3)=11$, 则 $f(5)=$ $\qquad$.

Answer: 41
user: 已知抛物线 $\Omega: y=x^{2}$, 动线段 $A B$ 在直线 $y=\sqrt{3} x-3$ 上 ( $B$ 在 $A$ 右侧), 且 $|A B|=2 \sqrt{3}$. 过 $A$ 作 $\Omega$的切线, 取左边的切点为 $M$. 过 $B$ 作 $\Omega$ 的切线, 取右边的切点为 $N$. 当 $M N / / A B$ 时, 求点 $A$ 的横坐标.

Answer: 0
user: 由 $1,2, \cdots, 9$ 这九个正整数构成的所有圆排列中, 任意相邻两数之积均不超过 $60$ 的圆排列的个数为 $\qquad$.

Answer: 21600
user: $\min \{\max \{\sqrt{x},|x-6|\}\}=$ $\qquad$.

Answer: 2
user: 现有 $6$ 人会英语， $4$ 人会日语， $2$ 人都会（共 $12$ 人），从其中选出 $3$ 人做翻译，若要求两种语言都有人翻译，则符合条件的选法共 $\qquad$种。

Answer: 196
user: 设 $k$ 是正整数, 且对任何正整数 $n \geqslant 2$, 如下不等式都成立: $\left[\frac{n}{\sqrt{3}}\right]+1>\frac{n^{2}}{\sqrt{3 n^{2}-k}}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。 
求 $k$ 的最大值。

Answer: 5
user: 求最小的正整数 $m$, 使得对任意整数 $A, B$, 存在多项式 $f(x)$, 满足 $f(-2)=$ $A, f(-3)=B$, 且 $f(x)$ 的各项系数都是不超过 $m$ 的非负整数.

Answer: 5
user: 已知复数 $z$ 的模为 1, 则 $|z-4|^{2}+|z+3 i|^{2}$ 的最小值为 $\qquad$.

Answer: 17
user: 设 $f(m)$ 是正整数 $m$ 的各位数字的乘积，求方程 $f(m)=m^{2}-10 m-36$ 的正整数解.

Answer: 13
user: 设圆 $O: x^{2}+y^{2}=5$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于点 $A\left(x_{0}, 2\right), A B$ 为圆 $O$ 的直径，过 $B$ 的直线与 $C$ 交于两不同点 $D, E$ ，则直线 $A D$ 与 $A E$ 的斜率之积为 $\qquad$.

Answer: 2
user: 设 $a_{i}(i=1,2,3,4)$ 均为实数, 若集合 $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ 的所有非空真子集的元素之和为 $28$, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.

Answer: 8
user: 有长为 $2^{n}(n=0,1, \cdots, 1009)$ 的线段各三条, 则由这 $3030$ 条线段能构成不全等的三角形的个数为 $\qquad$ (用数字作答).

Answer: 510555
user: 若实数 $x, y$ 满足 $2^{x}+4 x+12=\log _{2}(y-1)^{3}+3 y+12=0$, 则 $x+y=$ $\qquad$.

Answer: -2
user: 已知下列结论成立:
任意给定复平面 $\mathbb{C}$ 上的多项式 $f(z)$ 和 $g(z)$ ，以及实数 $r>0$ 。若不等式
$$
|g(z)|<|f(z)|
$$
对所有满足 $|z|=r$ 的复数 $z$ 都成立，则 $f(z)$ 与 $g(z)+f(z)$ 在区域 $\{z \in \mathbb{C}||z|<r\}$ 中有相同的零点个数（此处计算零点的重数）。
根据上述结论求多项式 $z^{9}+3 z^{5}-8 z^{3}+2 z+1$ 在区域 $\{z \in \mathbb{C}|1<|z|<2\}$ 中的零点个数（此处计算零点的重数).

Answer: 6
user: 记如下关于实数变量 $x, y$ 的函数
$$
f(x, y)=\sqrt{4 y^{2}-12 y+10}+\sqrt{18 x^{2}-18 x+5}+\sqrt{18 x^{2}+4 y^{2}-12 x y+6 x-4 y+1}
$$
的最小值为 $a$. 求取整 $\left[8 a^{2}\right]$ 的值.

Answer: 80
user: 求使得不等式
$$
2 x^{4}+m x^{3}+(m+6) x^{2}+m x+2>0
$$
对所有实数 $x$ 恒成立的正整数 $m$ 的最大值.

Answer: 9
user: 记
$$
f_{n}(x)=x^{n+1}-2 x^{n}+3 x^{n-1}-2 x^{n-2}+3 x-3, \quad n \geq 4.
$$
若 $f_{n}(x)=0$ 的互不相同的实根个数记为 $a_{n}$. 求 $a_{4}, a_{5}, \cdots, a_{2021}$ 中的最大值.

Answer: 2
user: 已知 $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3\end{array}\right]$, 且 $A^{10}=\left[\begin{array}{lll}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{array}\right]$. 求 $b_{22}$ 的值.

Answer: 524800
user: 记
$$
F(x)=16 \int_{\frac{\pi^{2}}{4}+\cos \left(3 x+\frac{\pi}{2}\right)}^{\frac{25 \pi^{2}}{4}+2 x^{2}} \sin \sqrt{t} d t
$$
$F^{\prime}(0)$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处的导数. 求取整 $\left[F^{\prime}(0)\right]$ 的值.

Answer: 48
user: 记
$$
a=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{1}{2}\left(2^{x}+3^{x}\right)\right]^{\frac{4}{x}}
$$
求取整 $[a]$ 的值.

Answer: 36
user: 记
$$
a=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{120}{\sqrt{n^{2}+k n}}
$$
求取整 $[a]$ 的值.

Answer: 90
user: 实对称矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}4 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 4\end{array}\right]$ 的四个特征值为 $\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3} \geq \lambda_{4}$.
记 $a=\left(\lambda_{1}\right)^{2}+\left(\lambda_{3}\right)^{2}+\left(\lambda_{4}\right)^{2}$. 求取整 $[a]$ 的值.

Answer: 67
user: 设 $t$ 是一个实数变量. 记矩阵
$$
\left[\begin{array}{cccc}
t^{2}+2 t+2 & 0 & 0 & t \\
0 & 2 t+1 & t & t \\
0 & t & 3 t+1 & t \\
t & t & t & 8 t+1
\end{array}\right]
$$
的行列式为 $f(t)$. 记 $a=f^{\prime}(0)$ 为 $f(t)$ 在 $t=0$ 处的导数. 求取整 $[a]$ 的值.

Answer: 28
user: 已知关于实数变量 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\
3 x_{1}+a x_{2}+4 x_{3}+3 x_{4}=0 \\
5 x_{1}+8 x_{2}+6 x_{3}+b x_{4}=0
\end{array}\right.
$$
的解空间的维数是 2. 这里 $a, b$ 是常数. 求取整 $[a+b]$ 的值.

Answer: 9
user: 已知二元函数
$f(x, y)$
$=\sqrt{4 y^{2}-12 y+10}+\sqrt{18 x^{2}-18 x+5}+\sqrt{18 x^{2}+4 y^{2}-12 x y+6 x-4 y+1}$
的最小值为 $a$ ，求 $\left[8 a^{2}\right]$ 的值.

Answer: 80
user: 已知 $\forall x \in R, f(x)=2 x^{4}+m x^{3}+(m+6) x^{2}+m x+2>0$, 求正整数 $m$ 的最大值.

Answer: 9
user: 已知矩阵
$$
\left[\begin{array}{cccc}
t^{2}+2 t+2 & 0 & 0 & t \\
0 & 2 t+1 & t & t \\
0 & t & 3 t+1 & t \\
t & t & t & 8 t+1
\end{array}\right]
$$
的行列式为 $F(t)$, 求 $F^{\prime}(0)$.

Answer: 28
user: 已知下列结论成立：在复平面上的多项式 $f(z), g(z)$ 和实数 $r>0$ ，若对 $|z|=r$ ，都有 $|g(z)|<|f(z)|$ ，则在 $\{z||z|<r\}$ 中， $f(z)$ 与 $f(z)+g(z)$ 的零点数相等 (计算重数)。现已知多项式 $z^{9}+2 z^{5}-8 z^{3}+3 z+1$, 求其在 $\{z|1<|z|<2\}$ 上的零点个数（计算重数）.

Answer: 6
user: 已知矩阵 
$$ 
\left[\begin{array}{llll} 
4 & 1 & 1 & 1 \\ 
1 & 4 & 1 & 1 \\ 
1 & 1 & 4 & 1 \\ 
1 & 1 & 1 & 4 
\end{array}\right] 
$$ 
的特征值为 $\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3} \geq \lambda_{4}$, 求 $\lambda_{1}^{2}+\lambda_{3}^{2}+\lambda_{4}^{2}$.

Answer: 67
user: 已知 $f(x)=16 \int_{\frac{\pi^{2}}{4}+\cos \left(3 x+\frac{\pi}{2}\right)}^{\frac{25}{4} \pi^{2}+2 x^{2}} \sin \sqrt{t} \mathrm{~d} t$, 求 $f^{\prime}(0)$.

Answer: 48
user: 已知 $f_{n}(x)=x^{n+1}-2 x^{n}+3 x^{n-1}-2 x^{n-2}+3 x-3, n \in N^{*}, n \geq 4$. 记 $f_{n}(x)=0$ 的实根 个数为 $a_{n}$, 求 $\max \left\{a_{4}, a_{5}, a_{6}, \cdots, a_{2021}\right\}$ 。

Answer: 2
user: 已知线性方程组 
$$ 
\left\{\begin{array}{l} 
a_{1}+2 a_{2}+a_{3}+a_{4}=0 \\ 
3 a_{1}+a a_{2}+4 a_{3}+3 a_{4}=0 \\ 
5 a_{1}+8 a_{2}+6 a_{3}+b a_{4}=0 
\end{array}\right. 
$$ 
的解空间维数是 $2$, 求 $[a+b]$ 的值.

Answer: 9
user: 记 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(1+\frac{x-t}{1!}+\frac{(x-t)^{2}}{1!}+\cdots+\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\right) e^{n t} d t \quad$ 当 $n=4$, 求 $\left.\frac{d^{4} F(x)}{d x^{4}}\right|_{x=0}$

Answer: 85
user: 考虑如下的递归序列 $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}, a_{0}=-1, \quad a_{1}=1, a_{n}=-6 a_{n-1}-a_{n-2}-8, n \geq 2$, 那么 $\left[a_{9}\right]=$ $\qquad$.

Answer: 9841
user: 考虑如下 $2021 \times 2021$ 的方阵 $M=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2021 \\ 1 & 0 & 3 & 4 & \cdots & 2021 \\ 1 & 2 & 0 & 4 & \cdots & 2021 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & \cdots & 2021 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 2021 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2021\end{array}\right)$, 这里 $M$ 的行通过依次地将行向量 $(1,2,3, \cdots, 2020,2021)$ 的某个位置替换为 $0$ 得到. 则 $\left[\frac{1}{2020!} \operatorname{det} M\right]=$ $\qquad$.

Answer: 4082420
user: 已知实数 $x$ 和 $y$ 满足 $5 x^{2}+6 x y+5 y^{2}-8 x-8 y=-3$. 记 $x+y-x^{2}-y^{2}$ 的最大值为 $I$ ，则 $[100 I]=$ $\qquad$.

Answer: 37
user: 已知 $f(x)=e^{\sin x^{2}}$, 则 $\left[-f^{(8)}(0)\right]=$ $\qquad$.

Answer: 5040
user: 设 $A$ 是一个 $2 \times 2$ 的可逆矩阵, 且方阵中每个位置的元素在模 $3$ 同余系 $\mathrm{Z} / 3 Z$ 中取值。那么满足 $A^{50} \equiv I_{2}(\bmod 3)$ 方阵 $A$ 的个数为 $\qquad$.

Answer: 14
user: $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\cos t)^{2}} d t$, 则 $[10 I]=$ $\qquad$.

Answer: 11
user: 如果实数 $k$ 使得关于 $x, y, z$ 的线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}k x+y+2 z=1 \\ 3 x+k y+4 z=1 \\ -x+2 y+z=2\end{array}\right.$ 无解, 则称其是一个 "好实数". 设所有好实数之和为 $I$, 则 $[I]=$ $\qquad$.

Answer: 5
user: 令 $A=\left(\begin{array}{rrr}-\frac{2}{3} & 1 & 0 \\ -1 & \frac{4}{3} & 0 \\ 2 & -\frac{4}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right)$. 令 $M=A-A^{2}+A^{3}-A^{4}+\cdots+(-1)^{n-1} A^{n}+\cdots$, 则
$[2021 \operatorname{det} M]=$ $\qquad$.

Answer: 50
user: $I=\int_{1}^{9} \sqrt{(x-1)(9-x)} d t$, 则 $[I]=$ $\qquad$.

Answer: 25
user: 在模 $2520$ 的同余系里，满足方程 $a^{2} \equiv a(\bmod 2520)$ 的元素 $a$ 的个数为 $\qquad$.

Answer: 16
user: $I=\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n}{(2 n-k)(2 n+k)}$, 则 $[100 I]=$ $\qquad$.

Answer: 27
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，首项与公差均为正数，且 $a_{2}, a_{5}, a_{9}$ 依次成等比数列，则使得 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}>100 a_{1}$ 的最小正整数 $k$ 的值是 $\qquad$.

Answer: 34
user: 已知 $y=f(x)+x^{3}$ 为偶函数, 且 $f(10)=15$, 则 $f(-10)$ 的值为 $\qquad$.

Answer: 15
user: 已知 $y=f(x)+x^{3}$ 为偶函数, $f(10)=15$. 则 $f(-10)$ 的值为 $\qquad$.

Answer: 0
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个等差数列, 首项与公差均为正数, 且 $a_{2}, a_{5}, a_{9}$ 依次成等比数列，则使得 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}>100 a_{1}$ 的最小正整数 $k$ 的值是 $\qquad$.

Answer: 34
user: 已知 $f(x), g(x)$ 均为定义在 $R$ 上的函数, $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称, $g(x)$ 的图像关于点 $(1,-2)$ 中心对称, 且 $f(x)+g(x)=9^{x}+x^{3}+1$, 则 $f(2) g(2)$ 的值为 $\qquad$.

Answer: 2016
user: 已知复数 $z$ 满足 $z^{2}+2 z=\bar{z} \neq z$ ( $\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数)，则 $z$ 的所有可能值的积为 $\qquad$.

Answer: 3
user: 设 $A$ 是任意一个 11 元实数集合。令集合 $B=\{u v \mid u, v \in A, u \neq v\}$ 。求 $B$ 的元素个数的最小值.

Answer: 17
user: 设 正 整数 $n$ 满足 $n \leq 2016$, 且 $\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{4}\right\}+\left\{\frac{n}{6}\right\}+\left\{\frac{n}{12}\right\}=3$. 这 样的 $n$ 的个数为 $\qquad$. 这里 $\{x\}=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.

Answer: 168
user: 设 $A=\{a \mid-1 \leq a \leq 2\}$, 则平面点集 $B=\{(x, y) \mid x, y \in A, x+y \geq 0\}$ 的面积为 $\qquad$.

Answer: 7
user: 设 $A=\{a \mid-1 \leqslant a \leqslant 2\}$, 则平面点集 $B=\{(x, y) \mid x, y \in A, x+y \geqslant 0\}$ 的面积为 $\qquad$.

Answer: 7
user: 设正整数 $n$ 满足 $n \leqslant 2016$ ，且 $\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{4}\right\}+\left\{\frac{n}{6}\right\}+\left\{\frac{n}{12}\right\}=3$ 。这样的 $n$ 的个数为 $\qquad$。这里 $\{x\}=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。

Answer: 168
user: 已知复数 $z$ 满足 $z^{2}+2 z=\bar{z} \neq z(\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数 $)$ ，则 $z$ 的所有可能值的积为 $\qquad$.

Answer: 3
user: 将 $33 \times 33$ 方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等。若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为"分隔边"。试求分隔边条数的最小值。

Answer: 56
user: 若正整数 $a, b, c$ 满足 $2017 \geqslant 10 a \geqslant 100 b \geqslant 1000 c$, 则数组 $(a, b, c)$ 的个数为 $\qquad$.

Answer: 574
user: 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{20} \in\{1,2, \cdots, 5\}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{20} \in\{1,2, \cdots, 10\}$, 集合 $X=\{(i, j) \mid$ $\left.1 \leqslant i<j \leqslant 20,\left(a_{i}-a_{j}\right)\left(b_{i}-b_{j}\right)<0\right\}$, 求 $X$ 的元素个数的最大值.

Answer: 160
user: 若正整数 $a, b, c$ 满足 $2017 \geqslant 10 a \geqslant 100 b \geqslant 1000 c$ ，则数组 $(a, b, c)$ 的个数为

Answer: 574
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}: a_{1}=7, \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=a_{n}+2, n=1,2,3, \cdots$. 求满足 $a_{n}>4^{2018}$ 的最小正整数 $n$.

Answer: 12
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 直线 $l$ 通过原点, $\vec{n}=(3,1)$ 是 $l$ 的一个法向量.已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: 对任意正整数 $n$, 点 $\left(a_{n+1}, a_{n}\right)$ 均在 $l$ 上. 若 $a_{2}=6$, 则 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ 的值为 $\qquad$.

Answer: -32
user: 在平面直角坐标系中, 若以 $(r+1,0)$ 为圆心, $r$ 为半径的圆上存在一点 $(a, b)$ 满足 $b^{2} \geqslant 4 a$ ，则 $r$ 的最小值为 $\qquad$.

Answer: 4
user: 设整数 $n>4,(x+2 \sqrt{y}-1)^{n}$ 的展开式中 $x^{n-4}$ 与 $x y$ 两项的系数相等, 则 $n$ 的值为 $\qquad$.

Answer: 51
user: 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 $a$ 的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数 $\frac{m}{n}$ ，那么积 $m \cdot n$ 是 $\qquad$.

Answer: 6
user: 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 $a$ 的正三角形, 这样两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数 $\frac{m}{n}$ 。那么, 积 $m \cdot n$ 是
$\qquad$ $\cdot$

Answer: 6
user: 对正整数 $n$ 及实数 $x(0 \leqslant x<n)$ ，定义
$$
f(n, x)=(1-\{x\}) \cdot\binom{[x]}{n}+\{x\} \cdot\binom{[x]+1}{n}
$$
其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数， $\{x\}=x-[x]$ 。若整数 $m, n \geqslant 2$ 满足
$$
f\left(m, \frac{1}{n}\right)+f\left(m, \frac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(m, \frac{m n-1}{n}\right)=123,
$$
求 $f\left(n, \frac{1}{m}\right)+f\left(n, \frac{2}{m}\right)+\cdots+f\left(n, \frac{m n-1}{m}\right)$ 的值.

Answer: 74
user: 已知首项系数为 1 的五次多项式 $f(x)$ 满足: $f(n)=8 n, n=1,2, \cdots, 5$, 则 $f(x)$ 的一次项系数为 $\qquad$.

Answer: 282
user: 设 $f(x)=x^{3}+3\left(x^{2}+x+\sin \pi x\right)$, 则 $f(1-\pi)+f(\pi-3)=$ $\qquad$.

Answer: -2
user: 小明同学任选一个各项均为非零整数的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，随后他列出 2020 个关于 $x$ 的一元二次方程:
$$
E_{i}: a_{i} x^{2}+a_{i+1} x+a_{i+2}=0(i=1,2, \cdots, 2020)
$$
再将上述每个方程的根都写在黑板上。求此时黑板上两两不同的实根的个数的最大可能值。

Answer: 6
user: 设正整数 $a, b, c$ 中任意两个数不互素，且 $a+b+c$ 为素数。求 $a+b+c$ 的最小值。

Answer: 31
user: 有限项等差数列的公差为 $4$ ，第二项起各项之和+首项的平方 $<100$ ，则该数列可能有几项?

Answer: 8
user: 已知集合 $U=\{0,1,2, \cdots, 2021\}, S \subseteq U$, 且 $S$ 中任意两项相加不是 $5$ 的倍数, 求 $S$ 的元素个数最大值.

Answer: 810
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\sqrt{\frac{2 n-1}{4 n^{2}+1}}$, 前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 求与 $S_{128}-S_{32}$ 最接近的整数.

Answer: 8
user: $a_{n}$ 是离 $\sqrt{n}$ 最近的整数, 则 $S_{2021}=$

Answer: 60585
user: 记 $I=120 \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \mathrm{~d} x$, 则 $[I]=$ $\qquad$.

Answer: 68
user: 已知 $x_{0} \in\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 是方程 $x^{3}-3 x+1=0$ 的根, 则 $\left[100 x_{0}\right]=$ $\qquad$.

Answer: 34
user: 已知正实数 $a, b$ 满足 $a+2 b=1, I=\min \frac{b^{2}+a+2}{a b}$, 则 $[I]=$ $\qquad$.

Answer: 20
user: 求六个元素的置换群 $S_{6}$ 中 $6$ 阶元素的个数。

Answer: 240
user: 令 $B=\left(\begin{array}{rr}2 & -\frac{1}{2} \\ 3 & -\frac{1}{2}\end{array}\right), x=\binom{1}{1}$. 记 $I=\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} x^{T} B^{i} x$, 其中其中 $B^{i}$ 表示 $i$个 $B$ 相乘，则 $[I]=$ $\qquad$.

Answer: 6
user: $A$ 是 10 阶实矩阵, 且 $A^{5}=O$, 则 $\operatorname{rank}(A)$ 的所有可能值之和为 $\qquad$.

Answer: 36
user: 给定以正方形内的 2022 个点，且这 2022 个点以及正方形的顶点中任三点不共线。在这 2022 以及正方形的顶点之间连一些线段，将正方形划分为一些三角形，并要求这些线段之间只可以在端点处有公共点，则所连线段（不包含原正方形的边）的总数为 $\qquad$.

Answer: 6067
user: 记所有$2$阶实方阵构成的线性空间为 $M_{2}(\mathbb{R})$ ，已知 $A=\left(\begin{array}{cc}3 & 7 \\ 10 & 7\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right)$ ，定义线性变换 $T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}), T(X)=A X B$ ，则线性边换 $\operatorname{trace}(T)=$ $\qquad$.

Answer: 70
user: 记 $I=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \frac{1}{x^{2}}+\cos \frac{1}{x}\right)^{2 x^{2}}$, 则 $[10 I]=$ $\qquad$.

Answer: 27
user: 记 $I=\sum\limits_{m=1}^{+\infty} \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!n!+m!n!}$, 则 $[10 I]=$ $\qquad$.

Answer: 14
user: 给定平面直角坐标系内的四个点 $(0,0),(1,8),(3,8),(4,20)$. 已知实数 $k, b$ 使得表达式 $\sum\limits_{i=1}^{4}\left|y_{i}-\left(k x_{i}+b\right)\right|^{2}$ 取得最小值, 则 $[k]=$ $\qquad$.

Answer: 4
user: 函数 $f(x)=\frac{1-2 x}{\left(1-x+x^{2}\right)^{2}}$, 则 $\left[\frac{f^{(2022)}(0)}{2022!}\right]=$ $\qquad$.

Answer: 2023
user: 一个 $10 \times 10$ 的数表在初始状态下每个格内均填有数字1，现在对数表进行如下操作：选择某一行或某一列，并将该行（列）中所有格子内的数变为其相反数。对于非负整数 $N$ ，如果可经过有限次操作，使得最终数表中 -1 的个数恰为 $N$ ，则称 $N$ 是 "好的"，则好的 $N$ 的个数为 $\qquad$.

Answer: 29
user: 记 $I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sin x}$. 则 $[100 I]=$ $\qquad$.

Answer: 54
user: 记 $\omega_{n}=\exp \left(\frac{2 \pi \sqrt{-1}}{n}\right)$ 。已知 $n$ 阶傅里叶矩阵定义为 
$$ 
\left[\begin{array}{ccccc} 
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 
1 & \omega_{n} & \omega_{n}^{2} & \cdots & \omega_{n}^{n-1} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 
1 & \omega_{n}^{n-1} & \omega_{n}^{(n-1) \cdot 2} & \cdots & \omega_{n}^{(n-1) \cdot(n-1)} 
\end{array}\right] .
$$ 
若 $A$ 为 $2022$ 阶傅里叶矩阵，记其逆矩阵 $A^{-1}$ 中 $(338,2)$ 位置的元素的实部的绝对值为 $I$ ，则 $[100000 I]=$ $\qquad$.

Answer: 24
user: 设函数 $\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x)$ 并足 $\varphi_{i}^{\prime \prime}(x)-\ln (x+1) \varphi_{i}^{\prime}(x)+e^{x} \varphi_{i}(x)=0, i=1,2, x>-1$. 定义 $w(x)=\varphi_{1}^{\prime}(x) \varphi_{2}(x)-\varphi_{1}(x) \varphi_{2}^{\prime}(x)$. 若 $w(0)=1$, 则 $[w(2)]=$ $\qquad$ .

Answer: 3
user: 设 $A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]$ 为实对称矩阵，且其两个特征值分别为$1949$和$2023$. 记 $I$为 $a_{12}$ 的最大可能值，则 $[I]=$ $\qquad$ .

Answer: 37
user: 设取整 $\left[\frac{10^{2022}}{10^{100}-9}\right]$ 被 $10^{n}$ 整除, 则非负整数 $n$ 的最大可能值为 $\qquad$.

Answer: 22
user: 设 $V$ 为 $2022$ 维实线性空间, $f: V \rightarrow V$ 为线性变换.记 $W_{1}=\{x \in V \mid f(x)=$ $0\}, W_{2}=\{x \in V \mid \exists y \in V, x=f(y)\}$ ，则 $\left(\operatorname{dim} W_{1}\right) \cdot\left(\operatorname{dim} W_{2}\right)$ 的最大可能值为 $\qquad$,其中 $\operatorname{dim}$ 表示实线性空间的维数.

Answer: 1022121
user: 设正实数 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 使得对任意定义在 $[-\pi, \pi]$ 上的三次多项式 $f(x)$ 均有 $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) {d} x=$ $c_{1} f(-\pi)+c_{2} f(0)+c_{3} f(\pi)$, 则 $\left[\frac{c_{2}+c_{3}}{c_{1}}\right]$ 的最大可能值为 $\qquad$.

Answer: 5
user: 设 $a_{n}=\left(\frac{1+q}{1-q}\right) \cdot\left(\frac{1+q^{2}}{1-q^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot\left(\frac{1+q^{4}}{1-q^{4}}\right)^{\frac{1}{4}} \cdots\left(\frac{1+q^{2^{n}}}{1-q^{2^{n}}}\right)^{\frac{1}{2^{n}}}$, 其中 $q=\frac{11}{13}$ 。记 $a=\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}$ ，则 $[a]=$ $\qquad$.

Answer: 42
user: 设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的三个特征值分别为 $-1,-1,2$, 且 $(1,1,-1)^{T}$ 是特征值 2所对应的特征向量。记 $A$ 中所有元素的平方之和为 $I$, 则 $[I]=$ $\qquad$.

Answer: 6
user: 已知欧拉常数 $\gamma=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$ 约等于 0.5772156649 。记 $I=\frac{100}{\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right) \mathrm{d} x}$, 则 $[I]=$ $\qquad$.

Answer: 236
user: 已知下列不等式 $\frac{e^{22 x}+e^{-22 x}}{2} \leq e^{c x^{2}}$ 对所有实数 $x$ 均成立, 则 $[c]$ 的最小值为 $\qquad$.

Answer: 242
user: 设 $V$ 为关于 $x$ 的次数小于或等于 10 的实多项式构成的集合, 且 $a$ 为实数。定义 $V$ 到 $V$ 的线性映射 $F$ 为 $F(f)=\left(x^{2} f\right)^{\prime \prime}+f^{\prime}-a f$ 。记 $I$ 为使得 $F$ 不是满射的 $a$ 的所有可能值之和，则 $[I]=\qquad$.

Answer: 572
user: 满足方程 $\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}+\cdots+\frac{1}{k_{n}}=1, k_{1} k_{2} \cdots k_{n} \leq 200$ 的所有有序正整数组 $\left(n, k_{1}, \cdots, k_{n}\right)$的组数为 $\qquad$.

Answer: 12
user: 若三个正整数 $a, b, c$ 使得 $\sqrt{a+b}$, $\sqrt{b+c}, \sqrt{c+a}$ 是三个连续正整数, 则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 的最小值是 $\qquad$.

Answer: 1297
user: 用数字 $1,2,3$ 组成一个六位数, 且数字 1 不相邻的排法有多少种?

Answer: 448
user: 已知 $f(x)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 且满足 $f(1)=5, f(2)=10, f(3)=15$, 求 $f(8)+f(-4)$值。

Answer: 2450
user: 记 $S=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{Z}^{4} \mid 0 \leq x, y, z, w \leq 18, x^{2}+y^{2} \equiv z^{2}+w^{2}(\bmod 19)\right\}$,则 $S$ 中有 $\qquad$个元素.

Answer: 7201
user: $f(x)$ 是 $(0, \infty)$ 上非负的单调递减函数. 对于任意正实数 $t,\{x \in(0,+\infty) | f(x)>t\}$ 为区间, 且长度为 $\frac{\mathrm{c}^{-1}}{\sqrt{t}}$. 记 $I=\int_{0}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $[10 I]=\qquad$

Answer: 17
user: 对 $\mathbb{R}^{100}$ 中的点 $x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{100}\right)$ 和 $y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{100}\right)$ 定义函数 $f(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{100}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}}$. 当 $x \neq y$ 时，定义矩阵 $A_{x, y}=\left(a_{i j}\right)$ ，其中 $a_{i j}=$ $\frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{\partial}{\partial y_{j}} f(x, y)(i, j=1,2, \cdots, n)$. 则 $A_{x, y}$ 秩的最小可能值与最大可能值之和为 $\qquad$

Answer: 198
user: $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \cos (n x)$, 记 $A=\int_{0}^{2 \pi} f^{2}(x) \mathrm{d} x$, 则 $[10A]$=

Answer: 73
user: 设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的无穷次可微函数，满足方程 $f^{\prime \prime}(x)=x f(x)$ 。已知 $f(0)=18, f^{\prime}(0)=3$. 设 $f(x)$ 的考克劳林展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$, 则 $\left[\frac{a_{9}}{a_{10}}\right]=$ $\qquad$

Answer: 21
user: $S=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}+x^{4}} \mathrm{~d} x$, 则 $\left[100 S^{2}\right]=$ $\qquad$

Answer: 328
user: 记 $M_{100}(\mathbb{R})$ 为所有 100 阶实方阵的集合. 设 $S=\left\{A \in M_{100}(\mathbb{R}) \mid A^{4}+A^{2}=\right.$ $O\}$ ，则 $S$ 中最多可以选出 $\qquad$个互不相似的矩阵. (我们称 $A, B \in M_{100}(\mathbb{R})$ 相似,当且仅当 存在可逆的 $P \in M_{100}(\mathbb{R})$ ，使得 $P^{-1} A P=B$ )

Answer: 1326
user: 在空间直角坐标系 $x y z$ 中，先以 $z$ 轴为旋转轴旋转 $\frac{\pi}{3}$ ，再以 $x$ 轴为旋转轴旋转 $\frac{\pi}{3}$ ，两次操作后等效于绕某一轴旋转，旋转角为 $\theta(\theta \in(0, \pi])$ ，则 $\left[\tan ^{2} \theta\right]=$ $\qquad$

Answer: 63
user: $I=\int_{50}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$, 则 $[-\ln I]=$ $\qquad$

Answer: 2504
user: 令 $f(x)=[x]+[2 x]+[3 x]+[4 x]+[5 x]$, 当 $x$ 取遍 $[0,50]$ 中的实数时, $f(x)$ 可取到 $\qquad$个不同的整数值.

Answer: 501
user: 现有 20 盘红灯和 10 盘绿灯.初始时，所有灯都是亮着的.我们每次从所有亮着的灯中等可能地随机熄灭一角，直到某一种颜色的灯全部被熄灭为止.用 $a$ 表示停止后仍旧亮着的灯的数目的期望值，则 $[10 a]=$ $\qquad$

Answer: 22
user: 设 $V$ 是所有次数不超过 $100$ 的实系数多项式构成的线性空间.令 
$$ 
\begin{gathered} 
V_{1}=\left\{f \in V \mid f^{(2 k-1)}(0)=0, k=1,2, \cdots, 50\right\}, \\ 
V_{2}=\left\{f \in V \mid f^{(k)}(-1)=f^{(k)}(1)=0, k=70,71, \cdots, 98\right\}, 
\end{gathered} 
$$ 
则 $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=$ $\qquad$

Answer: 86
user: 我们称置换群 $S_{9}$ 中的两个元素 $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ 是共轭的，如果存在 $S_{9}$ 中的元素 $\tau$使得 $\tau^{-1} \sigma_{1} \tau=\sigma_{2}$ .设 $\sigma=(12345) (4567)$, 则 $S_{9}$ 中有 $\qquad$个元素与 $\sigma$ 共轭.

Answer: 15120
user: 对正整数 $n \geq 2$ ，定义 $n-1$ 阶 $\lambda$ 矩阵 
$$ 
M_{n}(\lambda)=\left(\begin{array}{ccccc} 
3-\lambda & -\lambda & -\lambda & \cdots & -\lambda \\ 
-\lambda & 8-\lambda & -\lambda & \cdots & -\lambda \\ 
-\lambda & -\lambda & 15-\lambda & \cdots & -\lambda \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 
-\lambda & -\lambda & -\lambda & \cdots & n^{2}-1-\lambda 
\end{array}\right) , 
$$ 
记 $\lambda_{n}$ 为最大的使得 $\operatorname{det}\left(M_{n}(\lambda)\right)=0$ 的实数 $\lambda$. 记 $I=\lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sup \lambda_{n}$, 则 $[100I]$ = $\quad$

Answer: 133
user: $A(x)=\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{m!\cdot x^{m} \cdot n!}{(m+n+1)!}$, 则 $\left[100 A\left(\frac{2}{3}\right)\right]=$ $\qquad$.

Answer: 109
user: $n \times n$ 矩阵 $A_{n}$ 的主对角元素为 $n$ ，其余元素为 $1$ .已知多项式 $f(x)$ 满足 $f\left(A_{n}\right)=O$对任意 $1 \leqslant n \leqslant 100$ 均成立, 则 $\operatorname{deg} f$ 的最小值为 $\qquad$.

Answer: 149
user: $5$ 级方阵 $A$ 满足: 第一行元素均为 $1$, 第二行元素从左至右依次为 $1,-1,1,-1,1$,且 $\operatorname{trace}\left(A A^{\prime}\right)=28$. 记 $\operatorname{det} A$ 的最大值为 $M$, 则 $[M]=$ $\qquad$.

Answer: 72
user: 正方体旋转群元素最多的两个共轭类的元素个数之和为 $\qquad$.

Answer: 14
user: $M_{n}=\{A \mid A$ 是 $n$ 级实对称矩阵, 且元素取自 $0, \pm 1, \pm 2\}$, 记 $a_{n}$ 为所有 $\operatorname{trace}\left(A^{6}\right)(A \in$ $\left.M_{n}\right)$ 的平均值, $a=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sup _{n \geqslant k} \frac{a_{n}}{n^{4}}$, 则 $[a]=$ $\qquad$.

Answer: 40
user: 设 $g(x)=\int_{x}^{\pi} \frac{(\sin t)^{5}}{t} \mathrm{~d} t$, 记 $S=\int_{0}^{\pi} g(x) \mathrm{d} x$, 则 $[100 S]=$ $\qquad$.

Answer: 106
user: 矩阵 
$$ 
\left(\begin{array}{cccccccc} 
10 & -9 & & & & & & -9 \\ 
-9 & 10 & -9 & & & & & \\ 
& -9 & 10 & -9 & & & & \\ 
& & -9 & 10 & -9 & & & \\ 
& & & -9 & 10 & -9 & & \\ 
& & & & -9 & 10 & -9 & \\ 
& & & & & -9 & 10 & -9 \\ 
-9& & & & & & -9 & 10 
\end{array}\right) 
$$ 
的特征值为 $\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{8}$ ，则 $\left[\lambda_{6}\right]=\quad.$

Answer: 22
user: 对 $n=5$, 令 $L_{n}=\frac{1}{n!} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} x^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n}, S=\int_{-1}^{1}\left|L_{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x$ ，则 $[|S|]=$ $\qquad$.

Answer: 186
user: 将方程 $(1+2+\cdots+k)-3(1+2+\cdots+t)=1$ 的全体正整数解 $(k, t)$ 按照从小到大的方式排列，得到序列 $\left\{\left(k_{n}, t_{n}\right)\right\}$ ，则 $k_{6}=$ $\qquad$.

Answer: 3196
user: 对矩阵 $M(t)$ ，定义其微分 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} M(t)=B(t)$ ，其中 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} M_{i j}(t)=B_{i j}(t)$ .矩阵微分方程 
$$ 
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} M(t)=A M(t) ,
$$ 
其中 
$$ 
A=\left(\begin{array}{lll} 
2 & 1 & 3 \\ 
1 & 3 & 2 \\ 
3 & 2 & 1 
\end{array}\right), \quad M(0)=\left(\begin{array}{lll} 
3 & 2 & 1 \\ 
2 & 1 & 3 \\ 
1 & 3 & 2 
\end{array}\right) , 
$$ 
令 $a=\ln |\operatorname{det} M(2)|$ ，则 $[|a|]=$ $\qquad$.

Answer: 14
user: 在透明的球袋中有 1 个黑球和 2 个白球.接下来从袋中摸球，每次摸出一个球，然后放回袋中，并继续往袋中再放入 2 个与摸出球同色的球.记 $S_{n}$ 为前 $n$ 次中摸出黑球的次数. 已知第 2 次摸出的球是黑球，记 $S_{100}$ 的期望为 $E$ ，则 $[E]=$ $\qquad$.

Answer: 60