sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: 设 (a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots,(a_{100},b_{100}) 是不同的非负整数对. 用 N 表示满足 1\leq i<j\leq100 且 |a_ib_j-a_jb_i|=1 的数对 (i,j) 的个数. 求 N 的最大可能值.

Answer: 197
user: 设数列 \{a_n\} 满足：(1) a_1 是完全平方数；(2) 对任意正整数 n，a_{n+1} 是使 2^na_1+2^{n-1}a_2+\cdots+2a_n+a_{n+1} 为完全平方数的最小的正整数. 若存在正整数 s，使得 a_s=a_{s+1}=t，求 t 的最小可能值.（1a2b3c）

Answer: 31
user: 设 A 是平面内 6 个点组成的集合，记 n(A) 为经过 A 中至少 3 个点的单位圆的个数. 求 n(A) 的最大可能值.

Answer: 8
user: 设 P 是一个凸 2019 边形，任意三条对角线在形内不交于一点. 称 P 的对角线在形内的交点为"结点"，问：最多可以选取多少个结点，使得它们之间不存在一个圈？这里一个圈的任意两个相邻结点必须位于同一条对角线上，且在每条对角线上最多有一个圈上的两个结点.

Answer: 2035151
user: 设 p 是质数且 \df{28^p-1}{2p^2+2p+1} 是整数. 求 2p^2+2p+1 的正因数个数的所有可能值.

Answer: 2
user: 在一个 3\times3 的方格表中，若 9 个小方格中的每一个均被染成红、黄、蓝、紫四种颜色之一. 任意两个有公共边的小方格的染色均不相同，且该方格表中恰有 2 个小方格染蓝色，则符合条件的染色方法数种数为__________.（用具体数字作答）

Answer: 3816
user: 关于 x,y 的方程 x^2+y^2=2023 的整数解所构成的集合 \{x,y\} 的个数为__________.

Answer: 0
user: 若 z=\df{(3i-4)^2(i-\sqrt{7})^8}{(i-1)^{12}}，则 |z|=__________.

Answer: 1600
user: 设函数 f(x)=(x^2+ax+1)\ln x，过点 (1,0) 作其切线 y=g(x). 若对任意 x\geq 1，均有 f(x)\geq g(x)，则实数 a 的最小可能值为__________.

Answer: -2
user: 记集合 A=\{1,2,\cdots,2023\}，存在集合 B\subseteq A，且 B 中任意两个元素之和不是 5 的倍数；存在集合 C\subseteq B，且 C 中元素均为完全平方数. 则 |C| 的最大值为__________.

Answer: 19
user: 求最小的正整数 n，使得对至少两个奇质数 p，有\ds{k=1}{n}(-1)^{\nu_p(k!)}<0.

Answer: 229
user: 有 8 块不同的积木，每块积木的形状为方形或者圆形，颜色为红色或者黄色，印有城市名为南昌或者北京. 从 8 块不同的积木中按顺序任取 n 块积木（2\leq n\leq 8），D_n 表示后一次与前一次取出的积木在形状、颜色、城市名三个方面恰好有两个相同的所有不同取法总数，则 \displaystyle\max_{2\leq n\leq 8}D_n=__________.

Answer: 240
user: 求最小的正整数 k，使得对集合 S=\{1,2,\cdots,2012\} 的任意一个 k 元子集 A，都存在 S 的三个不同的元素 a,b,c，使得 a+b, b+c, c+a 均在 A 中.

Answer: 1008
user: 设 P 是正 2006 边形. 如果 P 的一条对角线的两端将 P 的边界分成两部分，每部分都包含 P 的奇数条边，那么称该对角线为"好边". 规定 P 的每条边均为好边. 问：在 P 的任意一个三角剖分中，最多有多少个有两条好边的等腰三角形？

Answer: 1003
user: 设多项式 f(x)=x^{2020}+\ds{i=0}{2019}c_ix^i，其中 c_i\in\{-1,0,1\}. 记 N 为 f(x) 的正整数根的个数（含重根）. 若 f(x) 无负整数根，求 N 的最大值.

Answer: 10
user: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{17} 是 1, 2, \cdots, 17 的一个排列，且满足(a_1-a_2)(a_2-a_3)\cdots(a_{16}-a_{17})(a_{17}-a_1)=n^{17}.求正整数 n 的最大值.

Answer: 6
user: 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x^3-ax 有两条互相平行的切线. 若这两条切线的斜率均为 1，且两条切线之间的距离为 8，则实数 a 的值为__________.

Answer: 5
user: 十进制六位数 \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6} 中，每个数码 a_i(1\leq i\leq 6) 都是奇数，且其中出现的数码 1 不允许相邻（例如，135131，577797 满足条件，而 311533 不满足条件），则这种六位数的个数是__________.

Answer: 13056
user: 求最小的整数 t>3，使得存在两个正整数 m,n，满足：m,n 都恰有 t 个正约数，且若将 m 的正约数从小到大排列为 c_1, c_2, \cdots, c_t（其中 c_1=1, c_t=m），将 n 的正约数从小到大排列为 d_1, d_2, \cdots, d_t（其中 d_1=1, d_t=n），则存在一个整数 2\leq r\leq t-2，使得(-1)^i(c_i-d_i)\begin{cases} >0,&i=2,\cdots,r,\\ <0,&i=r+1,\cdots,t.\end{cases}

Answer: 9
user: 某班有 47 个学生，所用教室有 6 排，每排有 8 个座位，用 (i,j) 表示位于第 i 排第 j 列的座位. 新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为 (i,j)，如果调整后的座位为 (m,n)，则称该生作了移动 [a,b]=[i-m,j-n]，并称 a+b 为该生的位置数. 所有学生的位置数之和记为 S，求 S 的最大值与最小值之差.

Answer: 24
user: 在桌子上放着一排空盒子 B_1,B_2,\cdots,B_{60} 以及无限供应的鹅卵石. 对正整数 n，甲乙两人进行如下的游戏.初始时甲取出 n 块鹅卵石并将它们任意分配到 60 个盒子中. 接下来的每个回合都由以下两步组成：(a) 乙选择一个整数 1\leq k\leq59，并将盒子分成两组：B_1, \cdots, B_k 和 B_{k+1},\cdots,B_{60}；(b) 甲选择其中一组，向其中的每个盒子中都放入一块鹅卵石，并从另外一组的每个盒子中取出一块鹅卵石.若在某个回合结束时，某个盒子中没有鹅卵石，则乙获胜. 求最小的 n，使得甲能够使乙永远不获胜.

Answer: 960
user: 设有理数 r=\df{p}{q}\in(0,1)，其中 p,q 为互质的正整数，且 pq 整除 3600. 这样的有理数 r 的个数为__________..

Answer: 112
user: 对实数 x，记 \{x\}=x-[x]. 令S=\int_0^{2024}\min\left(\left\{\df{x}{8}\right\},\left\{\df{x}{4}\right\}\right)\dd x,则 [S]=__________.

Answer: 759
user: 已知圆锥面 x^2+y^2=\df{z^2}{3}，记沿该圆锥面从 P(-\sqrt{3},3,6) 到 Q(\sqrt{3},0,3) 的曲线长度的最小值为 I，则 [10I]=__________.

Answer: 60
user: 令 A,B,C,D,E,F 是三阶实方阵，且\begin{pmatrix} I_3& A& C\\ &I_3& B\\ &&I_3\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} I_3& D& F\\ &I_3& E\\ &&I_3\end{pmatrix}.已知A=\begin{pmatrix} 2&&\\ &3&\\ &&4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 1&&2\\ &2&\\ 5&&1\end{pmatrix},且 C=A+B-I，则 [|\det F|]=__________.

Answer: 60
user: 令S=\ds{m=1}{\infty}\ds{n=1}{\infty}\df{m^2n}{2^m(n2^m+m2^n)},则 [100S]=__________.

Answer: 200
user: \displaystyle\prod_{k=1}^6(x^5-5x+k)=0 有__________个实根.

Answer: 13
user: 对矩阵 P，定义 e^P=I+\ds{m=1}{\infty}\df{1}{m!}P^m. 设 20 阶实矩阵 A 满足 e^A=I_{20}，且特征值的模长不超过 20，则这样的互不复相似的 A 有__________个.

Answer: 286
user: 对于有理数加群 (\bQ,+)，记所有分母不超过 10 有理数对应的象构成的集合是 A. 设包含 A 的最小群是 G，则 G 的阶为__________.

Answer: 2520
user: 设 V 是 10 维列向量构成的内积空间，其中对 v=(v_1,v_2,\cdots,v_{10})^T, w=(w_1,w_2,\cdots,w_{10})^T，v,w 的内积 \langle v,w\rangle=\ds{i=1}{10}v_iw_i.对 u\in V，定义 V 上的线性变换 P_u 如下：P_u:V\rightarrow V,\quad x\mapsto x-\df{2\langle x,u\rangle u}{\langle u,u\rangle}.给定 v,w\in V，满足0<\langle v,w\rangle<\sqrt{\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle}.记 Q=P_v\circ P_w，则所有满足 P\circ Q=Q\circ P 的线性变换 P:V\rightarrow V 构成的线性空间的维数是__________.

Answer: 66
user: 设 5\times5 矩阵 A 的元素均取自 \{0,1,\cdots,14\}，满足 (\det A,15)=1 的矩阵 A 的个数记为 N，则 \nu_2(N)=__________.

Answer: 23
user: 给定 3\times3 整数元矩阵M=\begin{pmatrix} 11&11&20\\ 10&10&-8\\ -10&2&8\end{pmatrix},已知存在整数元矩阵 P,Q，满足 \det P, \det Q\in\{-1,1\}，且 PMQ 为对角矩阵，则 PMQ 的最大元素为__________.

Answer: 288
user: 令 I=\displaystyle\sqrt{\df{2}{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{x-10\cosh(2x)}\dd x，则 [|\ln I|]=__________.

Answer: 11
user: 已知椭球体 \df{x^2}{6}+\df{y^2}{9}+z^2\leq 1，记过 (0,0,1) 的平面与该椭球的截面积最大值为 I，则 \left[\df{100I^2}{\pi^2}\right]=__________.

Answer: 1152
user: 一次会议共有 24 名代表参加，每两名代表之间要么握手一次，要么不握手. 会议结束后发现，总共出现了 216 次握手，且对任意相互握过手的两名代表 P,Q，在剩下的 22 名代表中，恰与 P,Q 之一握过手的代表不超过 10 名. 一个"朋友圈"指的是会议中三名两两之间握过手的代表所构成的集合. 求这 24 名代表中朋友圈个数的最小值.

Answer: 864
user: 无锡市有 100 个景点，各景点每接待 1 名游客则景点在旅游局积 1 分. 现在共有 100 名游客在 100 天的旅游季内参观这些景点. 每天若干人出门参观互不相同的景点，且每名游客自行决定参观一个景点或休息不参观. 在旅游季结束时，旅游局发现任何一名游客未曾在不同的两天里参观同一个景点，且任何两名曾在同一天出门的游客均未曾参观过同一个景点. 求各景点该旅游季在旅游局获得的最大可能积分总和.（董子超供题）

Answer: 1000
user: 求最小的正整数 n，使得存在 n 个不同的正整数 s_1, s_2, \cdots, s_n，满足\left(1-\df{1}{s_1}\right)\left(1-\df{1}{s_2}\right)\cdots\left(1-\df{1}{s_n}\right)=\df{51}{2010}.

Answer: 39
user: 若存在正整数 a,b，使得 \df{k}{2023}(a+b)=[a,b]，则整数 k 的个数为__________.

Answer: 1011
user: 对一个立方体，T 为连接两个顶点的线段的集合. 则 T 中垂直线段对的个数减去平行线段对的个数等于__________.

Answer: 108
user: 某马戏团有 n 个小丑，他们每个人均用 12 种不同颜色中的至少 5 种装扮自己. 一天，马戏团经理要求任意两个小丑所用的颜色不能完全相同，并且每种颜色最多只能由 20 个小丑使用. 在满足经理要求的情况下，求 n 的最大值.

Answer: 48
user: 某次会议共有 30 人参加，已知每个人在其余人中至多有 5 个熟人，且任 5 人中存在两人不是熟人. 求最大的正整数 k，使得在满足上述条件的 30 人中总存在 k 个两两不是熟人.

Answer: 6
user: 设非负实数 a_1,a_2,\cdots,a_{100} 满足对任意 2\leq i\leq 99，有 \max\{a_{i-1}+a_i,a_i+a_{i+1}\}\geq i. 求 a_1+a_2+\cdots+a_{100} 的最小值.

Answer: 1683
user: 一个 100\times100 方格表的左上角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有一块奶酪. 老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）. 现在在一些小方格的边上放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板. 称一种放置隔板的方式是"仁慈的"，如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪. 求最小的正整数 n，使得对任意一种"仁慈的''放置 2023 个隔板的方式，老鼠都能通过不超过 n 次移动吃到奶酪.

Answer: 2220
user: 求最大的正整数 k，使得存在正整数 a，满足 2^{x_1}-1, 2^{x_2}-1, \cdots, 2^{x_k}-1 都是质数，其中数列 \{x_n\} 定义为： x_1=a，x_{n+1}=2x_n+1,n\geq1.

Answer: 2
user: 展览馆中有 2015 幅画在展出. 每位观众选择一对画，并将它们的名字写在同一张纸上. 一个艺术家从这张纸中选择一些画对，并评判每对中哪幅画更好. 之后助手按下述规则继续评判：在每一步中，如果对某个正整数 n，在画对 (A_1,A_2) 中 A_1 比 A_2 好，在画对 (A_2,A_3) 中 A_2 比 A_3 好，\cdots\cdots，在画对 (A_{n-1},A_n) 中 A_{n-1} 比 A_n 好，则助手可以在画对 (A_1,A_n) 中评判 A_1 比 A_n 好. 求最小的正整数 k，使得无论纸上写了哪些画对，艺术家都可以对其中的 k 对评判，使得助手能在有限步内对余下所有的画对评判.

Answer: 2014
user: 某国有 36 座城市和 5 家航空公司，任意两座城市之间恰由一家航空公司执行双向飞行的航班. 如果一家航空公司在城市 A, B 与 B, C 之间均执行航班，则称三元组 (A,B,C) 是"恰当连通的". 求最大的正整数 k，使得至少有 k 个三元组是恰当连通的.

Answer: 3780
user: 设实数 a,b,c,d 满足 b-d\geq5，实数 x_1,x_2,x_3,x_4 是多项式 P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 的根，求 (x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1) 的最小值.

Answer: 16
user: 设集合 X=\{1,2,\cdots,100\}，函数 f:X\rightarrow X 满足(1) 对任意 x\in X，f(x)\neq x；(2) 对 X 的任意一个 40 元子集 A，A\cap f(A)\neq\emptyset；求最小的正整数 k，使得对任意满足上述条件的函数 f，都存在 X 的 k 元子集 B，使得 B\cup f(B)=X.

Answer: 69
user: 已知一个凸 2010 边形的任意三条对角线不在其内部交于一点. 考虑经过 2010 边形的每个顶点恰一次的闭折线，求该闭折线自交点的数目的最大值.注：闭折线是指由点 P_1,P_2,\cdots,P_n 及线段 P_1P_2, P_2P_3, \cdots,P_nP_1 构成的图形.

Answer: 2016031
user: 有 10 个互不相同的正实数，考虑它们两两的和与积（各 45 个）. 已知这些和中有 5 个相等，求最大的正整数 k，使得这些积中有 k 个相等.

Answer: 4
user: 若正实数 x,y 满足 x-2\sqrt{y}=\sqrt{2x-y}，则 x 的最大值为__________.

Answer: 10
user: 设 x_1,x_2,x_3,x_4 均是正整数，且 \{x_ix_jx_k\ |\ 1\leq i<j<k\leq 4\}=\{18,36,54\}. 则 x_1+x_2+x_3+x_4=__________.

Answer: 14
user: 已知四次多项式 x^4-25x^3+ax^2+61x-2024 的四个根中有两个根的乘积是 -253，则实数 a=__________.

Answer: -221
user: 设数列 \{x_n\} 满足 x_1=2001，x_{n+1}=x_n+y_n，其中 y_n 等于 x_n 的个位数，则 x_{2024}=__________.

Answer: 12108
user: 设 A 为数集 \{1,2,3,\cdots,2024\} 的 n 元子集，且 A 中的任意两个数既不互素又不存在整除关系. 求 n 的最大值.

Answer: 506
user: 用 [x] 表示不超过 x 的最大整数. 设数列 \{x_n\} 满足：x_1=1, x_{n+1}=4x_n+[\sqrt{11}x_n]. 求 x_{2024} 的个位数.

Answer: 3
user: 设 G=(V,E) 是一个 2019 阶简单图，已知：(1) G 中不含三角形，但是在任意两个不相邻顶点之间添一条边后均有三角形；(2) |E|\geq2019.求 |E| 的最小可能值.

Answer: 4033
user: 设 a,b 是实数，二次三项式 x^2+ax+b 与 x^2+bx+a 均有两个不同的实根，且它们的积恰有三个不同的实根. 求这三个不同的根的和的所有可能值.

Answer: 0
user: 一块 41\times41 的战场分成 1681 个单位正方形. 某个单位正方形内隐藏着一辆坦克. 一架轰炸机对战场进行轰炸，每次轰炸一个单位正方形. 若某次轰炸坦克所在正方形没有被炸到，则坦克保持在原地不动；若被炸到，则坦克要转移到与其相邻（有公共边）的单位正方形内. 摧毁坦克需要击中其两次，整个过程中轰炸机的飞行员完全不知道坦克的位置及是否被击中. 求可确保摧毁这辆坦克所需要的轰炸次数的最小值.

Answer: 2521
user: 求最大的正整数 E，使得存在一个有 60 个顶点、E 条边的简单图 G，并且可以将 G 的边红蓝二染色，满足没有长度是 3 或 5 的同色圈.

Answer: 1350
user: 从 1,2,\cdots,2024 中任取两个数 a,b(a\leq b)，则 3^a+7^b 的值中，个位数字为 8 的数有__________个.

Answer: 384307
user: 设多项式 f(x)=x^{2024}+\ds{i=0}{2023}c_ix^i，其中 c_i\in\{-1,0,1\}. 记 N 为 f(x) 的正整数根的个数（含重根）. 若 f(x) 无负整数根，N 的最大值是__________.

Answer: 10
user: 数列 \{a_n\} 定义如下：设 \df{(2n)!}{n!(n+2024)!} 写成既约分数后的分母为 A(n)，a_n 等于 2A(n) 的最大质因数，则 a_n 的最大值等于__________.

Answer: 4027
user: 已知集合 A=\{1,2,\cdots,6\}，映射 f:A\rightarrow A 为一一映射. 则满足对于任意的 x\in A，f^{(12)}(x)=x 的映射 f 的个数为__________.

Answer: 576
user: 将有 2023 个顶点的完全图的每条边染色，使得有公共点的任意两条边颜色不同. 定义每个点所连出的边的颜色为一个颜色集，求不同颜色集个数的最小值.

Answer: 3
user: 设数列 \{a_n\} 满足 a_1=8，且对任意正整数 n，均有a_{n+1}=\left(1+\df{3}{n}\right)a_n+\left(1-\df{3}{n}\right)\cdot 2^n,则 a_{2023} 除以 5 的余数是__________.（李纪琛供题）

Answer: 3
user: 在 3\times3 的方格表的每格内填上一个 1 到 9 之间的整数，且不同格内所填的数也不同，还需满足若两数 a,b 所在格相邻，则必有 (2a-3\log_2b)(2b-3\log_2a)\leq0. 则共有__________种不同的满足条件的填法.（旋转后能互相得到的填法视为不同的）（王正供题）

Answer: 288
user: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{100} 是 1, 2, \cdots, 100 的排列. 求下式的最大可能值：S=\ds{i=1}{100}\min\{a_i,a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3},a_{i+4}\},这里约定 a_{101}=a_1, a_{102}=a_2, a_{103}=a_3, a_{104}=a_4.（董子超、吴茁、徐子健供题）

Answer: 4660
user: 某学校在不同时段开设了三门选修课，要求每位学生至少选择其中一门，则 A, B, C 三位学生可能的选法有__________种.

Answer: 343
user: 考虑 \ln(1+x+x^2+x^3) 在 x=0 处的泰勒展开，设 x^{2024} 项的系数为 a. 求 [|a|^{-1}].

Answer: 674
user: 设 f(x)\in C^{\infty}(\bR)，满足 f''(x)=xf(x)，且 f(0)=18，f'(0)=3. 设 f(x) 的泰勒展开式为 \ds{n=0}{\infty}a_nx^n，求 \left[\df{a_9}{a_{10}}\right].

Answer: 21
user: 设 f(x)=\ds{n=0}{\infty}2^{-n}\cos nx，记 A=\int_0^{2\pi}|f(x)|^2\dd x，求 [10A].

Answer: 73
user: 设 S=\int_{-\infty}^{+\infty}\df{\dd x}{1+x^2+x^4}，求 [100S^2].

Answer: 328
user: 在 9 阶置换群 S_9 中，称两个元素 \sigma_1,\sigma_2 是共轭的，如果存在 \tau\in S_9，使得 \tau^{-1}\sigma_1\tau=\sigma_2. 记 \sigma=(12345)(4567)\in S_9，求 S_9 中与 \sigma 共轭的元素个数.

Answer: 15120
user: 令 f(x)=[x]+[2x]+[3x]+[4x]+[5x]，当 x 取遍 [0,50] 中的实数时，求 f(x) 能取到的整数值的个数.

Answer: 501
user: 记 M(100,\bR) 是所有 100 阶实方阵的集合，设 S=\{A\in M(100,\bR)\ |\ A^4+A^2=0\}. 称 A,B\in S 是相似的，如果存在可逆的 100 阶实方阵 P 使得 P^{-1}AP=B. 求 S 中互不相似的矩阵个数的最大值.

Answer: 1326
user: 设S=\{(x,y,z,w)\in\bZ^4\ |\ x,y,z,w\in[0,18],x^2+y^2\equiv z^2+w^2\pmod{19}\},求 |S|.

Answer: 7201
user: 考虑 n-1 阶方阵M_n(\lambda)=\begin{bmatrix} 3-\lambda&-\lambda&-\lambda&-\lambda&\cdots&-\lambda\\ -\lambda&8-\lambda&-\lambda&-\lambda&\cdots&-\lambda\\ -\lambda&-\lambda&15-\lambda&-\lambda&\cdots&-\lambda\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-\lambda&-\lambda&-\lambda&-\lambda&\cdots&(n^2-1)-\lambda\end{bmatrix}.设 \lambda_n 是最大的实数 \lambda，使得 \det M(\lambda)=0. 记 I=\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}\lambda_n，求 [100I].

Answer: 133
user: 设 f(x) 是 (0,+\infty) 上的单调递减非负函数，满足对任意 t>0，\{x\in(0,+\infty)\ |\ f(x)>t\} 的长度为 \df{e^{-t}}{\sqrt{t}}. 求 [10\int_0^{\infty}f(x)\dd x].

Answer: 17
user: 设 I=\int_{50}^{\infty}e^{-x^2}\dd x，求 [-\ln I].

Answer: 2504
user: 设 V 为所有次数不超过 100 的实系数多项式构成的线性空间，令V_1=\{f\in V\ |\ f^{(2k-1)}(0)=0,k=1,2,\cdots,50\},V_2=\{f\in V\ |\ f^{(k)}(-1)=f^{(k)}(1)=0,k=70,71,\cdots,98\}.求 \dim(V_1+V_2).

Answer: 86
user: 有 20 盏红灯、10 盏绿灯，每次随机灭掉一盏灯，直到某种颜色的灯全部灭掉. 设 a 为剩下的灯的数目的平均值，求 [10a].

Answer: 22
user: 对空间直角坐标系 xyz，先以 z 轴为中心轴旋转 \df{\pi}{3}，再以 x 轴为中心轴旋转 \df{\pi}{3}，得到一个以某条直线为中心轴的旋转. 设新的旋转角为 \theta\in(0,\pi]. 求 [\tan^2\theta].

Answer: 63
user: 对 \bR^{100} 中的点 x=(x_1,x_2,\cdots,x_{100}), y=(y_1,y_2,\cdots,y_{100})，令 f(x,y)=\sqrt{\ds{i=1}{100}(x_i-y_i)^2}. 对 x\neq y，定义 100 阶方阵 A_{x,y}=(a_{ij})，其中 a_{ij}=\df{\partial}{\partial x_i}\df{\partial}{\partial y_j}f(x,y). 求 A_{x,y} 的秩的最小可能值与最大可能值之和，即\min\{\text{rank}(A_{x,y})\ |\ x,y\in\bR^{100},x\neq y\}+\max\{\text{rank}(A_{x,y})\ |\ x,y\in\bR^{100},x\neq y\}.

Answer: 198
user: 求最小的实数 \lambda，使得对任意满足 \ds{i=1}{20}ix_i=0 的实数 x_1, x_2, \cdots, x_{20}，都有\left|\ds{i=1}{20}i^2x_i\right|\leq\lambda\displaystyle{\max_{1\leq i\leq 20}|x_i|}.（张端阳供题）

Answer: 840
user: 已知实数 a_1,a_2,\cdots,a_{2018} 两两不同，满足a_1+\df{1}{a_2}=a_2+\df{1}{a_3}=\cdots=a_{2018}+\df{1}{a_1}=t.求实数 t 的可能取值的个数.

Answer: 1008
user: 设函数 f(x)=\ln|x|+|x|-2 的零点都在区间 [a,b] (a,b\in\bZ, a<b) 内，则 b-a 的最小值为__________.

Answer: 4
user: 用 f(X,\Gamma) 表示点 X 与曲线 \Gamma 上任意一点距离的最小值. 已知 \odot O:x^2+y^2=1 及 \odot O_1:(x-4)^2+y^2=4. 设 P 为 \odot O 上的动点，则 f(P,\odot O_1) 的最大值为__________.

Answer: 3
user: 若 T=\ds{k=1}{100}2^{99+k}\cdot3^{101-k}，则 T 的末尾数字 0 的个数为__________.

Answer: 3
user: 记 I=\{1,4,5,6\},U=\{1,2,3,\cdots,25\}，集合 U 的子集 A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}，满足 |a_i-a_j|\not\in I (\forall 1\leq i<j\leq 5). 则符合条件的集合 A 的个数为__________.（用具体数字作答）

Answer: 717
user: 求方程 |x|+|x+1|+\cdots+|x+2018|=x^2+2018x-2019 的根的个数.

Answer: 2
user: 设实数列 \{x_n\} 满足：x_0=0, x_2=\sqrt[3]{2}x_1，x_3 是正整数，且 x_{n+1}=\df{1}{\sqrt[3]{4}}x_n+\sqrt[3]{4}x_{n-1}+\df{1}{2}x_{n-2}, n\geq2. 问：\{x_n\} 中至少有多少个整数项？

Answer: 5
user: 9^{2022} 的末三位数是__________.

Answer: 881
user: 求最小的实数 k，使得对任意两两不等的实数 a,b,c，均有\left(\df{2a}{a-b}\right)^2+\left(\df{2b}{b-c}\right)^2+\left(\df{2c}{c-a}\right)^2+k\geq4\left(\df{2a}{a-b}+\df{2b}{b-c}+\df{2c}{c-a}\right).

Answer: 8
user: 设 A,B 为函数 f(x)=3-x^2 的图像上在 y 轴两侧的点，则 f(x) 在 A, B 的切线与 x 轴围成的区域面积的最小值为__________.

Answer: 8
user: 设 n,m 是不同奇偶的正整数，满足 n>m. 求所有的整数 x，使得 \df{x^{2^n}-1}{x^{2^m}-1} 是一个完全平方数.

Answer: 0
user: 称 A_1,A_2,\cdots,A_n 为集合 A 的一个 n-分划，如果(1) A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=A；(2) 对任意 1\leq i<j\leq n，A_i\cap A_j=\emptyset.求最小的正整数 m，使得对集合 A=\{1,2,\cdots,m\} 的任意一个 14-分划 A_1,A_2, \cdots,A_{14}，一定存在某个集合 A_i(1\leq i\leq14)，在 A_i 中有两个元素 a,b，满足 b<a\leq\df{4}{3}b.

Answer: 56
user: 有一个 2024\times2024 的方格表，初始时所有格都是白色的. 一次操作可以选择每个格都是白色的一行或一列，将其中 1000 个格染为红色. 求有限次操作后，红格个数的最大可能值.

Answer: 3048000
user: 设 a,b,c 是方程 x^3-3x^2-2x+1=0 的三个根，则 \left[\df{1}{a^4}+\df{1}{b^4}+\df{1}{c^4}\right]=__________.

Answer: 74
user: 设正实数 a,b 满足 a+2b=1，令 I 为 \df{b^2+a+2}{ab} 的最小值，则 [I]=__________.

Answer: 20
user: 正方形内给定 2022 个点，这些点以及正方形的顶点中任意三点不共线. 在这 2022 个点以及正方形的顶点之间连一些仅可能在端点处相交的线段，将正方形划分为一些三角形，则所连线段（不包含正方形的边）的总数为__________.

Answer: 6067
user: 设 x_0\in\left[0,\df{1}{2}\right] 为方程 x^3-3x+1=0 的根，则 [100x_0]=__________.

Answer: 34
user: 设函数 f(x)=\df{1-2x}{(1-x+x^2)^2}，则 \left[\df{f^{(2022)}(0)}{2022!}\right]=__________.

Answer: 2023
user: 记 I=120\displaystyle\int_0^1\sqrt{\df{1-x}{1+x}}\ \dd x，则 [I]=__________.

Answer: 68
user: 记 I=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sin\df{1}{x^2}+\cos\df{1}{x}\right)^{2x^2}，则 [10I]=__________.

Answer: 27
user: 平面上给定四个点 (x_i,y_i)，分别是 (0,0), (1,8), (3,8), (4,20). 已知实数 k,b 使得 \ds{i=1}{4}|y_i-(kx_i+b)|^2 取得最小值，则 [k]=__________.

Answer: 4
user: 记 I=\ds{m=1}{\infty}\ds{n=1}{\infty}\df{1}{n!n!+m!n!}，则 [10I]=__________.

Answer: 14
user: 一个 10\times10 的数表初始每个位置的数字均为 1，现在做有限次操作，每次把某行或某列的所有数换成相反数. 称非负整数 N 是好的，如果最终数表中 -1 的个数恰为 N. 则好的 N 的个数为__________.

Answer: 29
user: 设 B=\begin{bmatrix} 2&-\df{1}{2}\\ 3&-\df{1}{2}\end{bmatrix},x=\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}. 记 I=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\df{1}{n}\ds{i=0}{n-1}x^TB^ix，则 [I]=__________.

Answer: 6
user: 设 A 是正交矩阵（即 AA^T=A^TA=I），且 A 的每个矩阵元均为 \df{1}{2} 或 -\df{1}{2}. 则这样的 A 的个数为__________.

Answer: 768
user: 已知 10 阶实方阵 A 满足 A^5=0，则 A 的秩的所有可能值之和为__________.

Answer: 36
user: 将所有 2 阶实方阵构成的线性空间记为 M_2(\bR). 记 A=\begin{bmatrix} 3&7\\ 10&7\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 2&3\\ 4&5\end{bmatrix}. 定义线性变换 T:M_2(\bR)\rightarrow M_2(\bR), T(X)=AXB. 则线性变换 T 的迹为__________.

Answer: 70
user: 6 阶置换群 S_6 中的 6 阶元素的个数为__________.

Answer: 240
user: 设实数 x_1,x_2,\cdots,x_{1997} 满足：(1) -\df{1}{\sqrt{3}}\leq x_i\leq\sqrt{3},i=1,2,\cdots,1997；(2) x_1+x_2+\cdots+x_{1997}=-318\sqrt{3}.求 x_1^{12}+x_2^{12}+\cdots+x_{1997}^{12} 的最大值.

Answer: 189548
user: 设 x_1,x_2,\cdots,x_{60}\in[-1,1]，求\ds{i=1}{60}x_i^2(x_{i+1}-x_{i-1})的最大值，其中脚标按模 60 理解.

Answer: 40
user: 若实数列 \{a_n\} 满足：(1) a_0\in\bN_+；(2) 对任意非负整数 i，a_{i+1}=2a_i+1 或 a_{i+1}=\df{a_i}{a_i+2}；(3) 存在正整数 k，使得 a_k=2014，则称数列 \{a_n\} 为"好的".求最小的正整数 k，使得存在一个好的实数列 \{a_n\}，满足 a_k=2014.

Answer: 60
user: 集合 A=\{n\ |\ n^3<2022<3^n,n\in\bZ\} 的所有元素之和为__________.

Answer: 57
user: 在平面直角坐标系中，双曲线 \Gamma:\df{x^2}{3}-y^2=1. 对平面内不在 \Gamma 上的任意一点 P，记 \Omega_P 为过点 P 且与 \Gamma 有两个交点的直线的全体. 对任意直线 l\in\Omega_P，记 M, N 为 l 与 \Gamma 的两个交点，定义 f_P(l)=|PM|\cdot|PN|. 若存在一条直线 l_0\in\Omega_P 满足：l_0 与 \Gamma 的两个交点位于 y 轴异侧，且对任意直线 l\in\Omega_P，l\neq l_0，均有 f_P(l)>f_P(l_0)，则称 P 为"好点". 求所有好点所构成的区域的面积.

Answer: 4
user: 设非负整数 a_1,a_2,\cdots,a_{2022} 的和为 2022. 用 x 表示满足 a_i+a_{i+1}\geq3 的 i 的个数；用 y 表示满足 a_i\neq a_{i+1} 的 i 的个数，其中 i\in\{1,2,\cdots,2022\}，a_{2023}=a_1. 求 x+y 的最大可能值.（张端阳供题）

Answer: 3032
user: 在一个圆周上有 12 个红点. 求最小的正整数 n，使得存在以红点为顶点的 n 个三角形，满足以红点为端点的每条弦都是其中某个三角形的一条边.

Answer: 24
user: 设由 1,2,\cdots,9 的所有排列 X=(x_1,x_2,\cdots,x_9) 构成的集合为 A. 对 X\in A，记 f(X)=x_1+2x_2+\cdots+9x_9，M=\{f(X)\ |\ X\in A\}. 求 |M|.

Answer: 121
user: 设 \{a_i\}_{i=0}^{\infty} 是正整数数列，满足 a_0=1，且对任意正整数 n，a_n 是最小的正整数，使得 a_n>1 且\sigma(a_0a_1\cdots a_{n-1})\mid\sigma(a_0a_1\cdots a_n).问：2024^{2024} 有多少个因数在数列中出现？

Answer: 36
user: 设 x_1,x_2,\cdots,x_{2019} 是实数，满足 x_1+x_2+\cdots+x_{2019}\in\bZ. 求\ds{1\leq i<j\leq 2019}{}\{x_i+x_j\}的最大值.（王永喜供题）

Answer: 2036162
user: 设 \left[\df{10^{2022}}{10^{100}-9}\right] 能被 10^n 整除，则非负整数 n 的最大可能值为__________.

Answer: 22
user: 设 a_n=\left(\df{1+q}{1-q}\right)\cdot\left(\df{1+q^2}{1-q^2}\right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left(\df{1+q^4}{1-q^4}\right)^{\frac{1}{4}}\cdot\cdots\cdot\left(\df{1+q^{2^n}}{1-q^{2^n}}\right)^{\frac{1}{2^n}}，其中 q=\df{11}{13}. 记 a=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n，则 [a]=__________.

Answer: 42
user: 满足方程 \df{1}{k_1}+\df{1}{k_2}+\cdots+\df{1}{k_n}=1，k_1k_2\cdots k_n\leq 200 的所有有序正整数组 (n,k_1,\cdots,k_n) 的个数为__________.

Answer: 12
user: 已知不等式 \df{e^{22x}+e^{-22x}}{2}\leq e^{cx^2} 对所有实数 x 均成立，则 [c] 的最小可能值为__________.

Answer: 242
user: 记 I=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\df{\dd x}{\sin x}，则 [100I]=__________.

Answer: 54
user: 设函数 \varphi_1(x),\varphi_2(x) 满足\varphi_i''(x)-\ln(x+1)\varphi_i'(x)+e^x\varphi_i(x)=0,i=1,2,x>-1.定义 w(x)=\varphi_1'(x)\varphi_2(x)-\varphi_1(x)\varphi_2'(x)，若 w(0)=1，则 [w(2)]=__________.

Answer: 3
user: 已知欧拉常数\gamma=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\df{1}{2}+\df{1}{3}+\cdots+\df{1}{n}-\ln n\right)约等于 0.5772156649. 记 I=\df{100}{\displaystyle\int_0^1\left(\df{1}{x}-\left[\df{1}{x}\right]\right)\dd x}，则 [I]=__________.

Answer: 236
user: 设 A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} 为实对称矩阵，且其两个特征值分别为 1949 和 2023. 记 I 为 a_{12} 的最大可能值，则 [I]=__________.

Answer: 37
user: 设 V 为 2022 维实线性空间，f:V\rightarrow V 为线性变换. 记W_1=\{x\in V\ |\ f(x)=0\},W_2=\{x\in V\ |\ \exists y\in V,x=f(y)\}.则 (\dim W_1)\cdot(\dim W_2) 的最大可能值为__________.

Answer: 1022121
user: 记 \omega_n=\exp\left(\df{2\pi\sqrt{-1}}{n}\right). 已知 n 阶傅里叶矩阵定义为\begin{bmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 1&\omega_n&\omega_n^2&\cdots&\omega_n^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&\omega_n^{n-1}&\omega_n^{(n-1)\cdot2}&\cdots&\omega_n^{(n-1)\cdot(n-1)}\end{bmatrix}. 若 A 为 2022 阶傅里叶矩阵，记其逆矩阵 A^{-1} 中 (338,2) 位置的元素的实部的绝对值为 I，则 [100000I]=__________.

Answer: 24
user: 设 3 阶实对称矩阵 A 的三个特征值分别为 -1,-1,2，且(1,1,-1)^{T} 是特征值 2 所对应的特征向量. 记 A 中所有元素的平方和为 I，则 [I]=__________.

Answer: 6
user: 设 V 为关于 x 的次数小于或等于 10 的实多项式构成的集合，且 a 为实数. 定义 V 到 V 的线性映射 F 为 F(f)=(x^2f)''+f'-af. 记 I 为使得 F 不是满射的 a 的所有可能值之和，则 [I]=__________.

Answer: 572
user: 对正整数 n，考虑含有 n 阶元的有限非交换群，记 a_n 为这些群的阶的最小可能值，则 a_1+a_2+a_3+a_4 的值为__________.

Answer: 26
user: 在由单位方格组成的 2011\times2011 的正方形桌子上放了有限条餐巾，每条餐巾覆盖了 52\times52 的正方形. 在每个单位方格内写上覆盖它的餐巾的数目，记写着相同非零数的方格个数的最大值为 k. 对于所有可能的餐巾的配置，求 k 的最大值.

Answer: 3986729
user: 已知 m,a,b,c 为正整数，且 a\log_m2+b\log_m3+c\log_m5=2024，则 m+a+b+c 的最小值是__________.

Answer: 6102
user: 已知 x>0,y>0，-\log_3y+3^x=\sqrt{y}-2x=15\cdot\df{3^{2x-1}}{y}，则 \sqrt{y}+x=__________.

Answer: 11
user: 设 n 是正整数，3^n-1 没有 12 以上的质因子，则所有满足条件的 n 的和是__________.

Answer: 12
user: 已知四面体 PABC，点 A_1 在 \triangle PBC 内，满足 \triangle A_1BP, \triangle A_1CP, \triangle A_1BC 的面积之比为 3:2:1. G 在线段 AA_1 上，直线 PG 交平面 ABC 于点 M，且 \df{AG}{GA_1}=\df{PG}{GM}，则四面体 PABC 与 A_1AMB 的体积之比为__________.

Answer: 12
user: 若方格 P 的左右两侧分别有 a,b 个方格，上下两侧分别有 c,d 个方格，其中 a,b,c,d 是正整数，且满足 (a-b)(c-d)=0，则称由这些方格所组成的图形为一个"十字星".现有一张由 2014 个方格所组成的 38\times53 方格表，求该方格表中十字星的个数.

Answer: 13483236
user: 已知 f(x)=\df{10}{x+1}-\df{\sqrt{x}}{3}，则集合 M=\{n\in\bZ\ |\ f(n^2-1)\geq0\} 的元素个数为__________.

Answer: 6
user: 已知 a_k 为 \log_2k, \log_3k, \cdots, \log_{2018}k 中整数项的个数，则 \ds{k=1}{2018}a_k=__________.

Answer: 4102
user: 设 P(z)=z^4-(6i+6)z^3+24iz^2-(18i-18)z-13. 求 P(z)=0 的四个根在复平面上对应的四个点所围成凸四边形的面积.

Answer: 2
user: 求所有的质数 p，使得存在正整数 n,u,v，满足 n 的正约数的个数等于 p^u，且这 p^u 个正约数之和等于 p^v.

Answer: 2
user: 已知 f(x) 和 g(x) 是两个二次项系数均为 1 的二次函数. 若 g(6)=35，\df{f(-1)}{g(-1)}=\df{f(1)}{g(1)}=\df{21}{20}，则 f(6)=__________.

Answer: 35
user: 若关于 x 的不等式 (x-2)e^x<ax+1 有且仅有三个不同的整数解，则整数 a 的最小值为__________.

Answer: 3
user: 若正实数 x,y 满足 x(x+2y)=9，则 x^5y 的最大值为__________.

Answer: 54
user: 若整数 a,b,c 满足：0\leq a\leq 10, 0\leq b\leq 10, 0\leq c\leq 10，10\leq a+b+c\leq 20，则满足条件的有序数组 (a,b,c) 共有__________.

Answer: 891
user: 满足下述条件的最小正实数 k：对任意不小于 k 的 4 个互不相同的实数 a,b,c,d，都存在 a,b,c,d 的一个排列 p, q, r, s，使得方程 (x^2+px+q)(x^2+rx+s)=0 有 4 个互不相同的实根.

Answer: 4
user: 记数集 A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\} 中所有元素的算术平均值为 P(A). 若 B 是 A 的非空子集，且 P(B)=P(A)，则称 B 是 A 的一个"均衡子集". 求数集 M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} 的均衡子集的个数.

Answer: 51
user: n 支球队进行主客场双循环比赛（即每两支球队比赛两场，其中各有一场主场比赛）. 已知每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛，但如果某周内某球队有主场比赛，那么在这一周内不能安排该球队的客场比赛. 若 4 周内能够完成全部比赛，求 n 的最大值.

Answer: 6
user: 求满足 \df{x-y}{x+y}+\df{y-z}{y+z}+\df{z-u}{z+u}+\df{u-x}{u+x}>0，且 1\leq x,y,z,u\leq10 的四元有序整数组 (x,y,z,u) 的个数.

Answer: 3924
user: 已知实系数多项式 f(x)=x^3+bx^2+cx+d 有复根 z_1, z_2, z_3，且满足 f(2)\geq f(-3)+45. 则 \displaystyle\prod_{k=1}^3(z_k^2+z_k+1) 的最小值为__________.（树懒）

Answer: 3
user: 已知曲线 \Gamma:2023x^2+2023y^2+x^2y^2=20230206. 过点 K(\frac{1}{985},\frac{1}{211}) 作四条直线 l_1, l_2, l_3, l_4 分别平行于 x 轴、y轴、直线 y=x 和直线 y=-x. 将四条直线与 \Gamma 的八个交点逆时针标记为 P_1, P_2, \cdots, P_8，约定 P_9=P_1. 记线段 KP_i,KP_{i+1} 与 \Gamma 的弧 P_iP_{i+1} 围成的面积为 S_i，则 \ds{i=1}{8}(-1)^iS_i 的值为__________.（小猫）

Answer: 0
user: 二月，冬去春来，银杏树的枝头已隐约萌发了几株绿芽. 爸爸赏得此景，大快，烙得一张半径为 1 的圆形大春饼，欲分给鸡、狗、螃蟹、树懒们共品，以不负大好春光.大春饼香气逼人，引得鸡先人一步，一刀便将大饼划为两块. 鸡正欲将饼偷走之际，狗见了，生怕没了自己的，吠叫两声，忙也奔至饼旁，故意与鸡垂直地将大饼又切一刀，分为四块. 鸡、狗正欲争执，谁知螃蟹横行霸道，竟径直将鸡、狗拱出此地，又与狗所切垂直地切了一刀. 三人争相竞食，狼吞虎咽，谁奈还未吃完，人却均已饱了，六块春饼止剩得周长最小的一块无人肯吃.树懒闻得爸爸分饼，这才赶到，拾得最后一块春饼，徐徐吃下，更兼春光融融，阳光懒人，不觉心满意足.当鸡、狗、螃蟹的分法使树懒的饼周长最大时，记其周长为 C，记此时恰含一个直角内角的那一块饼的直线段部分周长为 T，则 15\left[\frac{(3C-2T-2\sqrt{2}\sin(C-T+\frac{\pi}{4}))^{\pi}}{15}\right] 的值为__________. 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数.（树懒）

Answer: 30
user: 将 33\times33 的方格表中每个格染成三种颜色之一，使得每种颜色的格的个数相等. 若相邻两格的颜色不同，则称其公共边为"分隔边". 求分隔边条数的最小值.

Answer: 56
user: 梦境国有 2016 座城市，星程航空公司希望在若干座城市对之间开通单向航线，使得每座城市恰有一班飞离的航线. 求最小的正整数 k，使得该公司无论怎样开通航线，总能将 2016 座城市分成 k 组，满足每组中任意一座城市不可能用不超过 28 次飞行到达这一组中的另一座城市.

Answer: 57
user: 若数列 \{a_n\}_{n=1}^{+\infty} 的通项公式为a_n=\df{n^2+1000}{n}\ln\df{n^2+n+1000}{n^2+1000},则使得 a_n 取最小值的 n=__________.

Answer: 32
user: 在数列 \{x_n\}_{n=1}^{+\infty} 中，x_1=1，且对任意正整数 n，x_{n+1}=x_n+[\sqrt{x_n}]，这里 [x] 表示不超过 x 的最大整数. 则满足 x_n\geq2019 的最小正整数 n 为__________.

Answer: 95
user: 设 m,n\in\bN，且 m,n\geq2，若 \df{2^3-1}{2^3+1}\cdot\df{3^3-1}{3^3+1}\cdot\cdots\cdot\df{n^3-1}{n^3+1}=\df{m^3-1}{m^3+2}, 则 m^2+n^2 的值为__________.

Answer: 20
user: 设 a,b 都是正整数，且 a-b\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^{100}，则 ab 的个位数字是__________.

Answer: 2
user: 设正整数 a_1,a_2,\cdots,a_{31},b_1,b_2,\cdots,b_{31} 满足：(1) a_1<a_2<\cdots<a_{31}\leq2015, b_1<b_2<\cdots<b_{31}\leq 2015；(2) a_1+a_2+\cdots+a_{31}=b_1+b_2+\cdots+b_{31}.求 S=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_{31}-b_{31}| 的最大值.

Answer: 30720