sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点集 $K=\{(x, y) \mid x, y=-1,0,1\}$. 在 $K$ 中随机取出三个点, 则这三个点两两之间的距离不超过 2 的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 19
user: 将 $1,2,3,4,5,6$ 随机排成一行, 记为 $a, b, c, d, e, f$, 则 $a b c+\operatorname{de} f$ 是偶数的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 19
user: 将 $1,2,3,4,5,6$ 随机排成一行, 记为 $a, b, c, d, e, f$, 则 $a b c+d e f$ 是奇数的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 11
user: 设抛物线 $C: y^{2}=2 x$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $A$, 过点 $B(-1,0)$ 作一直线 $l$ 与抛物线 $C$相切于点 $K$, 过点 $A$ 作 $l$ 的平行线, 与抛物线 $C$ 交于点 $M, N$, 则 $\triangle K M N$ 的面积为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 3
user: 求 $\sin ^{4} 10^{\circ}+\sin ^{4} 50^{\circ}+\sin ^{4} 70^{\circ}$ 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 17
user: 设函数 $f(x)=a x^{2}+b x+c \quad(a \neq 0)$ 满足 
$|f(0)| \leq 2, \quad|f(2)| \leq 2, \quad|f(-2)| \leq 2$, 
求当 $x \in[-2,2]$ 时 $y=|f(x)|$ 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: 从正九边形中任取三个顶点构成三角形, 则正九边形的中心在三角形内的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 19
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $\sin ^{2} A+\sin ^{2} C=2018 \sin ^{2} B$, 则 $\frac{(\tan A+\tan C) \tan ^{2} B}{\tan A+\tan B+\tan C}=\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 2019
user: 设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单调函数, 对任意 $x>0$ 有 $f(x)>-\frac{4}{x}, f\left(f(x)+\frac{4}{x}\right)=3$,则 $f(8)=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 9
user: 四面体 $A B C D$ 中, $A B \perp B C, C D \perp B C, B C=2$, 且异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 。若四面体 $A B C D$ 的外接球半径为 $\sqrt{5}$, 则四面体 $A B C D$ 体积的最大值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 5
user: 若 $x 、 y$ 为实数, 则 $|2 x+y| 、|x-y|$ 、 $|1+y|$ 这三个数中的最大数的最小值为
$\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 3
user: 对于四面体 $A B C D, A B \perp B C, C D \perp$ $B C, B C=2$ ，且异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$. 若四面体 $A B C D$ 的外接球半径为 $\sqrt{5}$,则四面体 $A B C D$ 的体积的最大值为 $\qquad$ .原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 5
user: 过抛物线 $E: y^{2}=2 x$ 的焦点 $F$ 作两条斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$, 其中 $l_{1}$ 交 $E$ 于 $A, C$ 两点, $l_{2}$ 交 $E$ 于 $B, D$ 两点, 则 $|A C|+2|B D|$ 的最小值为$\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 16
user: 过抛物线 $E: y^{2}=2 x$ 的焦点 $F$ 作两条斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1} 、 l_{2}$, 其中, $l_{1}$ 与抛物线 $E$ 交于 $A 、 C$ 两点, $l_{2}$ 与抛物线 $E$ 交于 $B 、 D$两点.则 $|A C|+2|B D|$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 16
user: 将一枚骰子连续投掷五次，则事件 "五次出现的点数既不全相同，也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数"的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 167
user: 已知 $a_{1}=1, a_{n+1}=\lambda a_{n}^{2}+2\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$, 若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 有上界, 即存在常数 $M$, 使得 $a_{n} \leqslant M$ 对 $n \in \mathbf{N}^{*}$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的最大值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 9
user: 将一个色子连续投掷五次，则事件 "五次出现的点数既不全相同也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数"的概率是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 167
user: 已知 $a_{1}=1, a_{n+1}=\lambda a_{n}^{2}+2\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right)$.若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 有上界，即存在常数 $M>0$ ，使得 $a_{n} \leqslant M$ 对 $n \in \mathbf{Z}_{+}$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的最大值是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 9
user: 设集合 $\left\{\left.\frac{5}{x}+y \right\rvert\, 1 \leqslant x \leqslant y \leqslant 5\right\}$ 中的最大元素与最小元素分别为 $M, N$, 则 $M N=\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 25
user: 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 的左、右焦点分别为 $A, B, P$ 是双曲线上一点, 若 $\triangle P A B$ 的内切圆圆心为 $(3,1)$, 则 $\triangle P A B$ 外接圆的半径为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 77
user: 棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ 中, 已知 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A Q}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A R}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}$, 若点 $K$ 为 $\triangle B C D$ 的重心, 则四面体 $K P Q R$ 的体积为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 37
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}=\frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+2}}\left(n \in N^{*}\right)$, 若 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{6} a_{7}=3$, 则 $a_{2024}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 2035
user: 一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生：有 $p(0 \leq p \leq 1)$ 的概率消失，有 $\frac{1-p}{3}$的概率保持不变，有 $\frac{1-p}{3}$ 的概率分裂成两个，有 $\frac{1-p}{3}$ 的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过 $\frac{1}{2}$ ，则 $p$ 至多为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 22
user: Find the maximum value of
$$
\int_{0}^{y} \sqrt{x^{4}+\left(y-y^{2}\right)^{2}} d x
$$
for $0 \leq y \leq 1$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 4
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}=1$, 则 $\tan \frac{C}{2}$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: 某人抛掷一枚硬币，出现正面向上和反面向上的概率均为 $\frac{1}{2}$. 构造数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，使 
$a_{n}= \begin{cases}1, & \text { 第 } n \text { 次正面向上; } \\ -1, & \text { 第 } n \text { 次反面向上. }\end{cases}$ 
记 $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. 则 $S_{2} \neq 0$, 且 $S_{8}=2$的概率为 $\qquad$ （用最简分数作答）.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 141
user: 设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $A-C=\frac{\pi}{2}, a, b, c$ 成等差数列, 则 $\cos B$的值是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: 设 $\triangle A B C$ 的内角 $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 且 $\angle A-\angle C=\frac{\pi}{2}, a 、 b 、 c$ 成等差数列. 则 $\cos B$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: 已知实数 $x 、 y$ 满足 $x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=1$. 则 $x \sqrt{2+y^{2}}$ 的最大值是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 13
user: 已知点 $P(x, y)$ 满足 $|x|+|y| \leqslant 2$. 则到 $x$ 轴的距离 $d \leqslant 1$ 的点 $P$ 的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: Today, Ivan the Confessor prefers continuous functions $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying $f(x)+f(y) \geq|x-y|$ for all pairs $x, y \in[0,1]$. Find the minimum of $\int_{0}^{1} f$ over all preferred functions. The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 5
user: Evaluate the product 
$$ 
\prod_{n=3}^{\infty} \frac{\left(n^{3}+3 n\right)^{2}}{n^{6}-64} 
$$ The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 79
user: $\cos ^{2} 10^{\circ}+\cos ^{2} 50^{\circ}-\sin 40^{\circ} \sin 80^{\circ}=$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 7
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知三个角 $A 、 B 、 C$ 成等差数列, 假设它们所对的边分别为 $a, b, c$, 并且 $c-a$ 等于 $A C$ 边上的高 $h$, 则 $\sin \frac{C-A}{2}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 3
user: 设正三棱锥 $P-A B C$ 的高为 $P O, M$ 为 $P O$ 的中点, 过 $A M$ 作与棱 $B C$平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 25
user: $\cos ^{2} 10^{\circ}+\cos ^{2} 50^{\circ}-\sin 40^{\circ} \sin 80^{\circ}=\qquad$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 7
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知三个角 $A, B, C$ 成等差数列, 假设它们所对的边分别为 $a, b, c$, 并且 $c-a$ 等于 $A C$ 边上的高 $h$, 则 $\sin \frac{C-A}{2}=\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 3
user: 实数 $x, y$ 满足 $4 x^{2}-5 x y+4 y^{2}=5$, 设 $S=x^{2}+y^{2}$, 则 $\frac{1}{S_{\max }}+\frac{1}{S_{\min }}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 13
user: 实数 $x 、 y$ 满足 $4 x^{2}-5 x y+4 y^{2}=5$ ，设 $S=x^{2}+y^{2}$ ，则 $\frac{1}{S_{\max }}+\frac{1}{S_{\min }}$ 的值为$\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 13
user: 给定曲线族 $2(2 \sin \theta-\cos \theta+3) x^{2}-(8 \sin \theta+\cos \theta+1) y=0, \theta$ 为参数，求该曲线在直线 $y=2 x$ 上所截得的弦长的最大值。原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 13
user: 给定曲线族 $2(2 \sin \theta-\cos \theta+3) x^{2}-(8 \sin \theta+\cos \theta+1) y=0, \theta$ 为参数。求该曲线族在直线 $y=2 x$ 上所截得的弦长的最大值。原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 13
user: 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 35
user: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{n}=a_{n+1} a_{n+2}-a_{n}^{2}, n=1,2, \cdots$ 。
（2）设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的公差均是 $d \neq 0$ ，并且存在正整数 $s, t$ ，使得 $a_{s}+b_{t}$ 是整数，求 $\left|a_{1}\right|$ 的最小值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 19
user: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足: $b_{n}=a_{n+1} a_{n+2}-a_{n}^{2}, n=1,2, \cdots$ 。
（2）设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的公差均是 $d \neq 0$ ，并且存在正整数 $s, t$ ，使得 $a_{s}+b_{t}$是整数，求 $\left|a_{1}\right|$ 的最小值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 19
user: The pairs of numbers $(a, b)$ such that $\left|a+b t+t^{2}\right| \leq 1$ for $0 \leq t \leq 1$ fill a certain region in the $(a, b)$-plane. What is the area of this region?The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 29
user: What is the average straight line distance between two points on a sphere of radius 1?The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 7
user: Evaluate
$$\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1}\cos^2 \{\frac{\pi}{2n}(x_{1}+x_{2}+\cdots x_{n})\}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}$$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 3
user: Express

$$\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^{2} n+m n^{2}+2 m n}$$

as a rational number.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 11
user: Let exp(t) denote e' and

$F( x) = \frac {x^{* }}{\exp ( x^{3}) }\int _{0}^{x}\int _{0}^{x- u}\exp ( u^{3}+ v^{3})$ $dv$ $du.$

Find lim $_{x\to\infty}F(x)$ or prove that it does not exist.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 11
user: Evaluate
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} \cos ^{2}\left\{\frac{\pi}{2 n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots x_{n}\right)\right\} d x_{1} d x_{2} \cdots d x_{n}
$$
#*The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 3
user: Let $E(n)$ denote the largest integer $k$ such that $5^k$ is an integral divisor of the product $1^12^23^3\cdots n^n.$ Calculate
$$\lim_{n\to\infty}\frac{E(n)}{n^{2}}$$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 9
user: Evaluate the infinite product
$$\prod_{n=2}^{\infty} \frac{n^{3}-1}{n^{3}+1}.$$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 5
user: Let $C$ be a fixed unit circle in the Cartesian plane. For any convex polygon $P$ each of whose sides is tangent to $C$. let $N(P, h, k)$ be the number of points common to $P$ and the unit circle with center at ( $h, k$ ). Let $H(P)$ be the region of all points $(x, y)$ for which $N(P, x, y) \geq 1$ and $F(P)$ be the area of $H(P)$. Find the smallest number $u$ with
$$
\frac{1}{F(P)} \iint N(P, x, y) d x d y<u
$$
for all polygons $P$, where the double integral is taken over $H(P)$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 11
user: Let $\exp (t)$ denote $e^{\prime}$ and
$$
F(x)=\frac{x^{4}}{\exp \left(x^{3}\right)} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x-u} \exp \left(u^{3}+v^{3}\right) d v d u
$$
Find $\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)$ or prove that it does not exist.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 11
user: For each continuous function $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, let $I(f)=$ $\int _{0}^{1}x^{2}f( x)$ $dx$ and $J( x) = \int _0^{1}x\left ( f( x) \right ) ^{2}$ $dx.$ Find the maximum value of $I(f)-J(f)$ over all such functions $f.$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 17
user: 在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A E F$ 中, $B$ 是 $E F$ 中点, $A B=E F=1, B C=6, C A=\sqrt{33}$, 若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A E}+\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A F}=2$, 则 $\overrightarrow{E F}$ 与 $\overrightarrow{B C}$ 的夹角的余弦值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 两人轮流投掷股子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗股子点数和大于 6 者为胜，否则轮由另一人投郑。先投郑人的获胜概率是原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 29
user: 已知函数 $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d(a \neq 0)$, 当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时, $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$, 试求 $a$ 的最大值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 11
user: 已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0), A, B$ 是抛物线上不同于顶点 $O$ 的两个动点. 记 $\angle A O B=\theta\left(\theta \neq 90^{\circ}\right)$. 若 $S_{\triangle A O B}=m \tan \theta$, 试求当 $m$ 取得最小值时 $\tan \theta$ 的最大值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 0
user: 一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字 $1,2, \cdots, 6$ ，每次投掷这样两个相同的骰子，规定向上的两个面的数字之和为这次投掷的点数.那么投郑 3 次所得 3 个点数之积能被 14 整除的概率是 $\qquad$.(用最简分数表示)原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 4
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 记 $B C=a, C A=b, A B=c$, 若 $9 a^{2}+9 b^{2}-19 c^{2}=0$, 则 $\frac{\cot C}{\cot A+\cot B}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 14
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 记 $B C=a, C A=b, A B=c$. 若 $9 a^{2}+9 b^{2}-19 c^{2}=0$, 则 $\frac{\cot C}{\cot A+\cot B}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 14
user: 设 $S_{n}=1+2+3+\cdots+n, n \in \boldsymbol{N}^{*}$, 求 $f(n)=\frac{S_n}{(n^2+32)S_n^{+}1}$的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 51
user: 等比数列 $a+\log _{2} 3, a+\log _{4} 3, a+\log _{8} 3$ 的公比是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 4
user: 设 $\triangle A B C$ 的内角 $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 且 $\angle A-\angle C=\frac{\pi}{2}, a 、 b 、 c$ 成等差数列. 则 $\cos B$ 的值为\_\_\_\_\_\_.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: 从 $1,2, \cdots, 10$ 这 $10$ 个号码中任意抽取 $3$ 个号码，其中至少有两个号码是连续整数的概率是\_\_\_\_\_\_.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 23
user: 从 $1,2, \cdots, 10$ 这 10 个号码中任意抽取 3 个号码, 其中至少有两个号码是连续整数的概率是 $\_\_\_\_.$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 23
user: 有 20 张卡片上分别写有数字1,2,…,20, 将它们放入一个盒子内.有4个人从中不放回地各抽取一张卡片,抽到两个较小数字的两人在同一组,抽到两个较大数字的两人在同一组.现其中有两人抽到5、14,则此两人在同一组的概率等于___(用最简分数作答)原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 58
user: 有 20 张卡片上分别写有数字 1,2, $\cdots, 20$, 将它们放入一个盒子内。有 4 个人从中不放回地各抽取一张卡片，抽到两个较小数字的两人在同一组，抽到两个较大数字的两人在同一组。现其中有两人抽到 $5 、 14$, 则此两人在同一组的概率等于 $\qquad$ （用最简分数作答).原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 58
user: 从一个正方体的八个顶点中取出三个. 则以这三个点为顶点构成直角三角形的概率是 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 13
user: 从一个正方体的八个顶点中取出三个.则以这三个点为顶点构成直角三角形的概率是$\underline{\quad}$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 13
user: 矩形 $O A B C$ 的四个顶点的坐标依次为 $(0,0) 、(2 \pi, 0)$ 、 $(2 \pi, 2) 、(0,2)$,记边 $B C$ 与函数$y=1+\cos x(0 \leqslant x \leqslant 2 \pi)$ 的图像围成的区域 （图中阴影部分）为 $\Omega$. 若向矩形 $O A B C$ 内任意投一点 $M$ ，则点 $M$ 落在区域 $\Omega$ 内的概率是$\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 3
user: 在正三棱锥$P-ABC$中,已知侧棱与底面所成的角为$45°$.则相邻两侧面所成角的余弦值为$\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 6
user: 在一个圆上随机取三点, 则以此三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 在正三棱锥 $P-A B C$ 中, 已知侧棱与底面所成的角为 $45^{\circ}$ 。则相邻两侧面所成角的余弦值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 6
user: 将一颗均匀的正方体色子连续掷两次，先后出现的点数分别为 $a 、 b$, 则关于 $x$ 的方程 $x^{2}+a x+b=0$ 有实根的概率为 $\qquad$ （用最简分数作答).原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 55
user: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\} 、\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} 、 T_{n}$, 且对于一切正整数 $n$, 均有 $\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{2 n-1}{3 n+1}$.则 $\frac{S_{6}}{T_{5}}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 43
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{n}=\left[(2+\sqrt{5})^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right]\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数. 设 $C$ 为实数, 且对任意的正整数 $n$, 都有 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k+2}} \leqslant C$, 则 $C$ 的最小值是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 289
user: 设 $a, b, c \in(0,1]$, $\lambda$ 为实数, 使得 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+b+c}} \geqslant 1+\lambda(1-a)(1-b)(1-c)$ 恒成立, 求 $\lambda$ 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 91
user: 设 $a 、 b 、 c \in(0,1], \lambda$ 为实数,使得
$$
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+b+c}} \geqslant 1+\lambda(1-a)(1-b)(1-c).
$$
求入的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 91
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足
$$
a_{n}=\left[(2+\sqrt{5})^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right]\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right),
$$
其中， $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。设 $C$ 为实数，且对于任意的正整数 $n$ ，均有
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k+2}} \leqslant C
$$
则 $C$ 的最小值为 $\qquad$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 289
user: 正四面体的 4 个表面上分别写有数字 $1,2,3,4$, 将 4 个这样的密度均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的和能被 4 整除的概率是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 5
user: 设集合 $T=\left\{(a, b, c) \mid a, b, c \in \mathbf{N}^{*}\right.$ ，且 $a, b, c$ 可构成某个三角形的边长 $\}$ 。则 $\sum_{(a, b, c) \in T} \frac{2^{a}}{3^{b} \cdot 5^{c}}$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 38
user: 设集合
$T=\left\{(a, b, c) \mid a 、 b 、 c \in \mathbf{Z}_{+}\right.$，且 $a 、 b 、 c$可构成某个三角形的三边长\}。
则 $\sum_{(a, b, c) \in T} \frac{2^{a}}{3^{b} \times 5^{c}}$ 的值为 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 38
user: 设集合 $T=\{\left(a,b,c\right)|a,b,c\in\mathbf{Z}_{+}$,且 $a、b、c$
可构成某个三角形的三边长}.则$\sum_{(a,b,c)\in T}\frac{2^a}{3^b\times5^c}$的值为$\_$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 38
user: 已知正实数 $a, b$ 满足 $a^{b}=(8 a)^{9 b}$, 则 $\log _{a}\left(4 a^{2}\right)$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 65
user: 已知正实数 $a 、 b$ 满足 $a^{b}=(8 a)^{9 b}$ 。则 $\log _{a}\left(4 a^{2}\right)=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 65
user: 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, 且对任意实数 $x$, 均有 $2 f(x)+f\left(x^{2}-1\right)=1$, 则 $f(\sqrt{ 2})$ 的值为 $\qquad$。
#*原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 4
user: 设复数 $x, y, z$ 满足: $|x+2 y+3 z|=1$ 。
求 $|x|^{2}+|y|^{2}+|z|^{2}+\left|x^{2}+y^{2}+z^{2}\right|$ 的最小值.
#*原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 8
user: 袋中装有 2 个红球、 3 个白球、 4 个黄球，从中任取 4 个球，则其中三种颜色的球都有的概率是 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 11
user: 如图, 已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 准线为 $l$, 过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A, B$两点，且 $|A B|=3 p$ 。设点 $A, B$ 在 $l$ 上的投影分别为 $A^{\prime}, B^{\prime}$ ，今向四边形 $A A^{\prime} B^{\prime} B$ 内任投一点 $M$ ，则点 $M$ 落在 $\triangle F A^{\prime} B^{\prime}$ 内的概率是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 4
user: 在$\triangle ABC$中，若$\tan\dfrac{A}{2}+\tan\dfrac{B}{2}=1$，则$\tan\dfrac{C}{2}$的最小值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: 某人抛郑一枚硬币，出现正面向上和反面向上的概率均为 $\frac{1}{2}$. 构造数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，使
$a_{n}= \begin{cases}1, & \text { 第 } n \text { 次正面向上; } \\ -1, & \text { 第 } n \text { 次反面向上. }\end{cases}$
记 $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. 则 $S_{2} \neq 0$, 且 $S_{8}=2$的概率为 $\qquad$ （用最简分数作答）.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 141
user: 某人抛郑一枚硬币，出现正面向上和反面向上的概率均为 $\frac{1}{2}$. 构造数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，使
$a_{n}= \begin{cases}1, & \text { 第 } n \text { 次正面向上; } \\ -1, & \text { 第 } n \text { 次反面向上. }\end{cases}$
记 $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. 则 $S_{2} \neq 0$, 且 $S_{8}=2$的概率为 $\qquad$ （用最简分数作答）。
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 141
user: 设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $A-C=\frac{\pi}{2}, a, b, c$ 成等差数列, 则 $\cos B$的值是 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: 设$\triangle ABC$的内角$\angle A、\angle B、\angle C$的对边分别为$a、b、c$,且$\angle A-\angle C=\frac{\pi}{2},a、b、c$ 成等差数列.则$\cos B$ 的值为_.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: Let $a_0=5/2$ and $a_k=a^2_{k-1}-2$ for $k\geq1.$ Compute

$$\prod\limits_{k=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{a_k}\right)$$

in closed form.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 10
user: Determine the greatest possible value of $\sum_{i=1}^{10}\cos(3x_i)$ for real numbers $x_1,x_2,\ldots,x_{10}$ satisfying $\sum_{i=1}^{10}\cos(x_i)=0.$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 529
user: Suppose $X$ is a random variable that takes on only nonnegative integer values, with $E\left[X\right]=1,E\left[X^2\right]=2$,and $E\left[X^{3}\right]=5.$(Here $E\left[y\right]$denotes the expectation of the random variable $Y.)$ Determine the smallest possible value of the probability of the event $X=0.$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 4
user: Find the smallest constant C such that for every real polynomial $P(x)$ of degree 3 that has a root in the interval $[0,1]$,
$$\int_{0}^{1} \left\vert P(x)\right\vert\, {\rm d}x\leq C\max _{x \in[0,1]} \left\vert P(x) \right\vert$$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 11
user: Determine the maximum value of the sum
$$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{1/n}$$
over all sequences $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\$ of nonnegative real numbers satisfying
$$\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=1.$$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 5
user: Let $n$ be a positive integer, and let $V_n$ be the set of intger$\left(2n+1\right)$-tuples $\mathbf{v}=(s_0,s_1,\cdots,s_{2n-1},s_{2n})$ for which$s_{0}=s_{2n}=0$ and $|s_j-s_{j-1}|=1$ for $j=1,2,\cdots,2n.$ Define
$$q(\mathbf{v})=1+\sum_{j=1}^{2n-1}3^{s_{j}},$$
and let $M(n)$ be the average of $\frac1{q(\mathbf{v})}$ over all v$\in V_n.$ Evaluate $M(2020).$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.

Answer: 4041
user: 求所有的实数 $k$, 使得不等式 
$$ 
a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+1 \geqslant k(a+b+c+d) 
$$ 
对任意 $a 、 b 、 c 、 d \in[-1,+\infty)$ 都成立。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 7
user: 实数 $a 、 b$ 使得方程 
$x^{3}-a x^{2}+b x-a=0\quad①$ 
有三个正实根. 求 $\frac{2 a^{3}-3 a b+3 a}{b+1}$ 的最小值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 12
user: 假设一个圆周上任意排列着 $n(n \geqslant 5)$个不同的点，标号为 $1,2, \cdots, n$ ，并记该排列为 $S$. 对于一个排列，它的一个""下降链""是指圆周上连续相邻的若干个点，它的标号是顺时针递减数列（数列项数至少为 2 ），且无法将该下降链延伸至更长；称该链中标号最大的点为""下降起始点""，该链中其余点为""非下降起始点"". 例如：顺时针排列的 $5,2,4,1$ ， 3 中有两个下降链 5,2 与 4,1, 且 $5 、 4$ 分别为它们的下降起始点，2、1为非下降起始点。
考虑如下操作：寻找排列 $S$ 中所有的下降链，删去所有非下降起始点，然后对余下的点组成的排列重复此操作，直至无法再找到下降链为止。
记 $G(S)$ 为排列 $S$ 在操作中出现过的所有下降链的个数， $A(n)$ 为所有可能的 $n$ 元排列 $S$ 的 $G(S)$ 的平均值。
试计算 $A(5)$ ；原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 97
user: 设 $x 、 y 、 z 、 w \in \mathbf{R}$, 且 $x+2 y+3 z+4 w=1$. 求 $s=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+(x+y+z+w)^{2}$的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 11
user: 如果三个正实数 $x 、 y 、 z$ 满足$x^{2}+x y+y^{2}=\frac{25}{4}, y^{2}+y z+z^{2}=36$ , $z^{2}+z x+x^{2}=\frac{169}{4}$ . 求 $x y+y z+z x$ 的值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 13
user: 正整数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=111$.求 $S=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$的最大可能值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 25
user: 已知非负实数$a、b、c、x、y、z$满足$a+b+c=x+y+z=1$。
求$\left(a-x^{2}\right)\left(b-y^{2}\right)\left(c-z^{2}\right)$的最大值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 17
user: 若正实数$x、y$满足$y=2016x$，且$x^{y}=y^{x}$，则$\log_{2016}x+\log_{2016}y$=_______。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 4032
user: 若离散型随机变量$X、Y$满足 
$2\leqslant X\leqslant3$，且$XY=1$， 
则$\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)$的最大值为$\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值

Answer: 49
user: 已知正实数 $x 、 y 、 z$ 满足 $(x+y+z) x y z=4$.
求 $(x+y)^{2}+2(y+z)^{2}+3(z+x)^{2}$ 的最小值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 19
user: 已知向量 $\boldsymbol{a}=(x, 1), \boldsymbol{b}=(2, y), \boldsymbol{c}=$ $(1,1)$ ，且 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 共线. 则 $|\boldsymbol{a}|+2|\boldsymbol{b}|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。

Answer: 8