sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: Let $n$ be a positive integer. We arrange $1+2+\cdots+n$ circles in a triangle with $n$ rows, such that the $i^{\text {th }}$ row contains exactly $i$ circles. The following figure shows the case $n=6$. In this triangle, a ninja-path is a sequence of circles obtained by repeatedly going from a circle to one of the two circles directly below it. In terms of $n$, find the largest value of $k$ such that if one circle from every row is coloured red, we can always find a ninja-path in which at least $k$ of the circles are red. Please provide the smallest value of $n$ for which $k = 11$.

Answer: 1024
user: Determine all pairs $(a, p)$ of positive integers with $p$ prime such that $p^{a}+a^{4}$ is a perfect square. Please provide the sum of all elements in these pairs.

Answer: 30
user: 给定正整数 $n(n \geqslant 2)$. 求最大的实数 $\lambda$, 使得不等式 $a_{n}^{2} \geqslant \lambda\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}\right)+2 a_{n}$ 对任何满足 $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$ 的正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 均成立。原始答案是 \frac{2n - 4}{n - 1} 的形式，请给出 m + n 的值，当 n = 3 时。

Answer: 1
user: 如果存在 $1,2, \cdots, n$ 的一个排列 $a_{1}, a_{2}, \cdots$, $a_{n}$, 使得 $k+a_{k}(k=1,2, \cdots, n)$ 都是完全平方数，则称 $n$ 为'好数'. 在集合 $\{11,13,15,17,19\}$ 中，哪些是'好数'，哪些不是'好数'？请提供'好数'和'不是好数'的个数之和。

Answer: 5
user: 设 $a 、 b 、 c$ 为正实数. 求
$\frac{a+3 c}{a+2 b+c}+\frac{4 b}{a+b+2 c}-\frac{8 c}{a+b+3 c}$
的最小值。标准答案格式为m+n\sqrt{k}的形式，给出结果为m+n+k的值。

Answer: -3
user: 求方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
5\left(x+\frac{1}{x}\right)=12\left(y+\frac{1}{y}\right)=13\left(z+\frac{1}{z}\right) \\
x y+y z+z x=1
\end{array}\right.
$$
的所有实数解。请提供所有解中各个变量的分数之和。

Answer: 0
user: 求出所有的正实数 $a$, 使得存在正整数 $n$ 个互不相交的无限整数集合 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 满足 $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \mathbb{Z}$, 而且对于每个 $A_i$ 中的任意两数 $b > c$, 都有 $b-c \geq a^i$。请给出该范围内的正整数之和的值。

Answer: 1
user: 给定实数 $a 、 b(a>b>0)$ ，将长为 $a$ 、宽为 $b$ 的矩形放入一个正方形内（包含边界)。问正方形的边至少为多长? 若 $a \geqslant(\sqrt{2}+1) b$, 则原始答案的形式为$\frac{\sqrt{m}}{n}(a+b)$，请给出m+n的值。

Answer: 4
user: $n$ 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局. 规定：胜者得 1 分，负者得 0 分，平局各得 0.5 分。如果赛后发现任何 $m$ 个棋手中都有一个棋手胜了其余 $m-1$ 个棋手，也有一个棋手输给了其余 $m-1$ 个棋手，就称此赛况具有性质 $P(m)$ 。对给定的 $m(m \geqslant 4)$ ，求 $n$ 的最小值 $f(m)$ ，使得对具有性质 $P(m)$ 的任何赛况，都有所有 $n$ 名棋手的得分各不相同。请提供当m=10时，f(m)的值。

Answer: 17
user: 求最小常数 $a(a>1)$, 使得对正方形 $A B C D$ 内部任一点 $P$, 都存在 $\triangle P A B 、 \triangle P B C$ 、 $\triangle P C D 、 \triangle P D A$ 中的某两个三角形，其面积之比属于区间 $\left[a^{-1}, a\right]$. 原始答案为 $\frac{a+\sqrt{b}}{c}$ 的形式，请给出a+b+c的值。

Answer: 8
user: 给定正整数 $m, n(2 \leq m \leq n)$, 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 是 $1,2, \cdots, n$ 中任取 $m$ 个互不相同的数构成的一个排列，如果存在 $k \in\{1,2, \cdots, m\}$ 使得 $a_{k}+k$ 为奇数，或者存在整数 $k, l(1 \leq k<l \leq m)$ ，使得 $a_{k}>a_{l}$ ，则称 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 是一个 "好排列"，试确定所有好排列的个数。当m=4, n=6时，请给出答案。

Answer: 355
user: 求最小常数 $a(a>1)$, 使得对正方形 $A B C D$ 内部任一点 $P$, 都存在 $\triangle P A B 、 \triangle P B C$ 、 $\triangle P C D 、 \triangle P D A$ 中的某两个三角形，其面积之比属于区间 $\left[a^{-1}, a\right]$. 请给出答案形式为 \frac{m + \sqrt{n}}{p}，并提供 m + n + p 的值。

Answer: 8
user: 已知一个有限图 G, 设 $f(\mathrm{G})$ 为图 G 中三角形的个数， $g(\mathrm{G})$ 为图 G 中的边数，求最小的常数 $c$ ，使得对于每个图 G, 均有 $f^{2}(\mathrm{G}) \leq c \cdot g^{3}(\mathrm{G})$. 已知原始答案的形式为 \frac{m}{n}, 请给出 m + n 的值。

Answer: 11
user: 在凸四边形 $A B C D$ 的外部分别作正 $\triangle A B Q 、 \triangle B C R 、 \triangle C D S 、 \triangle D A P$, 记四边形 $A B C D$ 的对角线的和为 $x$, 四边形 $P Q R S$ 的对边中点连线的和为 $y$. 求 $\frac{y}{x}$ 的最大值。原始答案为 $\frac{a+\sqrt{b}}{c}$ 的格式，请给出 a + b + c的值。

Answer: 6
user: 设正数列 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, \cdots$ 满足
$(8 x_{2}-7 x_{1}) x_{1}^{7}=8$
及 $x_{k+1} x_{k-1}-x_{k}^{2}=\frac{x_{k-1}^{8}-x_{k}^{8}}{(x_{k} x_{k-1})^{7}}(k \geqslant 2)$ 。
求正实数 $a$, 使得当 $x_{1}>a$ 时, 有单调性 $x_{1}>x_{2}>\cdots>x_{n}>\cdots$ ；当 $0<x_{1}<a$ 时，不具有单调性。标准答案格式为k^{\frac{m}{n}}，请给出k+m+n的值。

Answer: 17
user: 设正数列 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, \cdots$ 满足
$(8 x_{2}-7 x_{1}) x_{1}^{7}=8$
及 $x_{k+1} x_{k-1}-x_{k}^{2}=\frac{x_{k-1}^{8}-x_{k}^{8}}{(x_{k} x_{k-1})^{7}}(k \geqslant 2)$ 。
求正实数 $a$, 使得当 $x_{1}>a$ 时, 有单调性 $x_{1}>x_{2}>\cdots>x_{n}>\cdots$ ；当 $0<x_{1}<a$ 时，不具有单调性。请给出 $a$ 的值在 $\frac{m}{n}$ 格式下的 m + n 的值。

Answer: 9
user: 给定一个 $2008 \times 2008$ 的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同。在棋盘的每一个小方格中填人 $C 、 G 、 M 、 O$ 这 4 个字母中的一个, 若棋盘中每一个 $2 \times 2$ 的小棋盘中都有 $C 、 G 、 M 、 O$ 这 4 个字母，则称这个棋盘为"和谐棋盘"。问有多少种不同的和谐棋盘？答案标准格式为$a \times b^{c}+d$，求出a+b+c+d的值。

Answer: 1998
user: 给定一个 $2008 \times 2008$ 的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同。在棋盘的每一个小方格中填人 $C 、 G 、 M 、 O$ 这 4 个字母中的一个, 若棋盘中每一个 $2 \times 2$ 的小棋盘中都有 $C 、 G 、 M 、 O$ 这 4 个字母，则称这个棋盘为"和谐棋盘"。标准答案的格式为$a\times b^{c}-d$，计算出a+b+c+d的值。

Answer: 2046
user: 在平面直角坐标系中，设点集
$\{P_{1},P_{2},\cdots,P_{4n+1}\}$
$=\left\{(x,y)|x,y\text{ 为整数},|x|\leq n,|y|\leq n,xy=0\right\}$,
其中$n\in\mathbf{N}_+.$求
$$(P_{1}P_{2})^{2}+(P_{2}P_{3})^{2}+\cdots+(P_{n}P_{4n+1})^{2}+(P_{4n+1}P_{1})^{2}$$
的最小值。请提供当 $n=1$ 时的最小值。

Answer: 8
user: 给定正整数 $n(n \geqslant 3)$. 对于 $1,2, \cdots, n$的任意一个排列 $P=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$, 若 $i<j<k$, 则称 $x_{j}$ 介于 $x_{i}$ 和 $x_{k}$ 之间（如在排列（ $1,3,2,4$ ）中，3 介于 1 和 4 之间， 4 不介于 1 和 2 之间）。设集合 $S=\left\{P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{m}\right\}$的每个元素 $P_{i}$ 是 $1,2, \cdots, n$ 的排列. 已知 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的任意三个不同数中都有一个数，它在每个 $P_{i}(1 \leqslant i \leqslant m)$ 中都不介于另外两个数之间. 求 $m$ 的最大值。当 $n = 11$ 时，请给出答案。

Answer: 1024
user: 设集合 $S$ 是 $\{0,1, \cdots, 98\}$ 的 $m(m \geqslant 3)$元子集，满足对任意的 $x, y \in S$ ，均存在 $z \in$ $S$, 使得 $x+y \equiv 2 z(\bmod 99)$. 求 $m$ 的所有可能值。请给出所有可能值之和。

Answer: 155
user: 记 [ $x$ ] 表示不超过实数 $x$ 的最大整数. 设 $x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \in \\mathbf{R}$, 且 $\left[x_{1}\right],\left[x_{2}\right], \\cdots,\left[x_{n}\right]$ 为 1, $2, \\cdots, n$ 的一个排列, 其中, $n \geqslant 2$ 为给定整数. 求 $\\sum_{i=1}^{n-1}\left[x_{i+1}-x_{i}\right]$ 的最大值的2倍和最小值的和。

Answer: 0
user: 给定整数 $n \geqslant 2$. 黑板上写着 $n$ 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合 $A 、 B$ ，擦掉它们，然后写上 $A \cap B$ 与 $A \cup B$. 这称为一次操作. 如此操作下去，直到任意两个集合中均有一个包含另一个为止. 对所有的初始状态与操作方式, 当n=5时，求操作次数的最大可能值。

Answer: 10
user: 设 $Q$ 为有理数集, $Z$ 为整数集. 在坐标平面上，对正整数 $m$ ，定义点集 $$A_{m}=\left\{(x, y) \mid x, y \in \mathbf{Q}, x y \neq 0, \frac{x y}{m} \in \mathbf{Z}\right\}.$$ 对线段 $M N$, 定义 $f_{m}(M N)$ 为线段 $M N$ 上属于集合 $A_{m}$ 的点的个数. 求最小的实数 $\lambda$,使得对坐标平面上的任意直线 $l$, 均存在与 $l$有关的实数 $\beta(l)$, 满足: 对直线 $l$ 上任意两点 $M 、 N$,均有 $f_{2016}(M N) \leqslant \lambda f_{2015}(M N)+\beta(l)$. 原始答案是以 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 2021
user: 给定素数 $p \geqslant 5$. 若 $p =7$，求三个连续正整数的乘积模 $p$ 的不同余数的个数。

Answer: 5
user: 求最大的实数 $C$ ，使得对任意的正整数 $n$ 和满足 $0=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=1$ 的数列 $\left\{x_{k}\right\}$ ，均有$$\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\left(x_{k}-x_{k-1}\right)>C$$。原始答案是\frac{m}{n}的形式，请给出m+n的值。

Answer: 4
user: 设复数 $z=(\omega+2)^{3}(\omega-3)^{2}$ 。求当 $\omega$取遍所有模长为 1 的复数时, $z$ 的模长的最大值。原始答案为$m^{\frac{p}{q}}$的形式，其中$p,q$互质，请给出$m+p+q$的值。

Answer: 14
user: 给定正整数 $k$. 若整数集 $\mathbf{Z}$ 的子集序列 $I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq \cdots \supseteq I_{k}$ 满足对 $i=1,2, \cdots, k, 168$ $\in I_{i}$ ，且对于任意的 $x 、 y \in I_{i}$ ，均有 $x-y \in I_{i}$ $\left(x 、 y\right.$ 可以相等），则称 $\left(I_{1}, I_{2}, \cdots, I_{k}\right)$ 为 $\mathbf{Z}$ 上的一条 $k$ —链。问： $\mathbf{Z}$ 上共有多少条 $k$ —链？请说明理由。请计算当k=5时的答案。请给出计算出的整数值。

Answer: 2016
user: 请给出正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{18}$, 使得 $a_{1}=1$, $a_{2}=2, a_{18}=2019$, 且对任意的 $k(3 \leqslant k \leqslant 18)$,均存在 $i 、 j(1 \leqslant i<j<k)$ 使得 $$ a_{k}=a_{i}+a_{j} $$ 请提供这些整数的和。

Answer: 5304
user: 给定整数 $n \geqslant 2$. 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 为任意实数. 求
$$
2 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left[x_{i} x_{j}\right]-(n-1) \sum_{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}\right]
$$
的最大值，其中， $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。请给出当 n = 4 时的最大值。

Answer: 4
user: 求满足下面两个条件的所有实数序列 $\left\{b_{n}\right\} 、\left\{c_{n}\right\}(n \geqslant 1):$(1) 对于任意的正整数 $n$ ，均有 $b_{n} \leqslant c_{n}$ ；(2) 对于任意的正整数 $n$,均有 $b_{n+1} 、 c_{n+1}$为一元二次方程 $x^{2}+b_{n} x+c_{n}=0$ 的两根。若已知这两个数列是常数列，写出该常数值。

Answer: 0
user: 求所有的三元正整数组 $(a, b, c)$ 满足 $\frac{a}{2^{a}}=\frac{b}{2^{b}}+\frac{c}{2^{c}}$. 请提供满足条件的三元组元素和的总和。

Answer: 49
user: 设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{22}$ 满足对任意 $1 \leqslant i \leqslant$ 22, 有 $2^{i-1} \leqslant x_{i} \leqslant 2^{i}$. 求
$$
\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{22}\right)\left(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{22}}\right)
$$
的最大值.已知最终答案形式为$\frac{m}{n)^{2}$，其中$m,n$互质.求$m+n$.

Answer: 8388607
user: 求所有的正整数对 $(x, y)$ ，满足 $x^{y}=y^{x-y}$. 请给出所有满足条件的整数对的所有数字之和。

Answer: 24
user: 设集合 $S$ 是 $\{0,1, \cdots, 98\}$ 的 $m(m \geqslant 3)$元子集，满足对任意的 $x, y \in S$ ，均存在 $z \in$ $S$, 使得 $x+y \equiv 2 z(\bmod 99)$. 求 $m$ 的所有可能值的和.

Answer: 155
user: 给定整数 $n \geq 2$. 在 $n \times n$ 方格表的每个小方格中各填入一个不超过 $n$ 的正整数, 使得每一行填入的数从左至右不减, 每一列填入的数从上至下不减。若两个有公共边的小方格填入的数相同，则称这两个（无序的）小方格为一个"好对"。求好对个数的最小可能值。当 $n = 4$ 时，求最小可能的好对个数。

Answer: 4
user: 求所有的整数 $k$, 使得存在整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$, 同时满足:(1) 对任意正整数 $n, a_{n+1}=a_{n}^{3}+k a_{n}+1$ ；(2) 存在正实数 $M$ ，使得对任意正整数 $n,\left|a_{n}\right| \leq M$ 。请提供所有满足条件的整数 $k$ 的和。

Answer: -6
user: 给定整数 $n \geq 2$. 设 $a_{i j}(1 \leq i, j \leq n)$ 是 $n^{2}$ 个和为 1 的非负实数. 对 $1 \leq i \leq n$, 记 $R_{i}=\max _{1 \leq k \leq n} a_{i k}$; 对 $1 \leq j \leq n$, 记 $C_{j}=\min _{1 \leq k \leq n} a_{k j}$. 求
$$
C_{1} C_{2} \cdots C_{n}\left(R_{1}+R_{2}+\cdots+R_{n}\right)
$$
的最大可能值.若$n = 2$，答案为$\frac{m}{n}$的形式，且$m,n$互质，求$m+n$.

Answer: 10
user: 已知凸六边形 $P$ 的所有顶点在一个单位正方形的边上, 且所有内角相等. 求 $P$ 的最短边长度的最大可能值。原始答案为$a-\frac{\sqrt{m}}{n}$的最简格式，请给出$a+m+n$的值。

Answer: 7
user: 称形如 $\{x, 2 x, 3 x\}$ 的集合为"好的"。对于给定的整数 $n(n \geqslant 3)$，问：由 $n$ 个正整数构成的集合最多能有多少个好子集？请提供当 n = 10 时的答案。

Answer: 6
user: 设 $n(n \geqslant 2)$ 为给定的整数。求最小的实数 $\lambda$ ，使得对于任意实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in$ $[0,1]$ ，存在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n} \in\{0,1\}$ ，满足：对
于任意的 $1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n$ ，均有
$$
\left|\sum_{k=i}^{j}\left(\varepsilon_{k}-x_{k}\right)\right| \leqslant \lambda. 
$$
若$n=3$，答案写为$\frac{m}{n}$，其中$m,n$互质，求$m+n$.

Answer: 7
user: 给定正整数 $n 、 k$, 其中, $n$ 为偶数, $k \geqslant 2$,且 $n>4 k$. 在圆周上有 $n$ 个点, 若 \frac{n}{2} 条在圆内互不相交的弦的端点恰为这 $n$ 个点，则称这些弦为一个"匹配"。求最大的整数 $m$ ，满足对任意一个匹配，均存在圆周上连续 $k$ 个点，使得这个匹配中至少有 $m$ 条弦的所有端点均在这 $k$ 个点中. 请给出当$ k = 7$ 时 $m$ 的值.

Answer: 3
user: 已知实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2018}$ 满足：对任意的 $1 \leqslant i<j \leqslant 2018$, 均有 $x_{i}+x_{j} \geqslant(-1)^{i+j}$. 求 $\sum_{i=1}^{2018} i x_{i}$ 的最小值。原始答案为$\frac{m}{n}$的格式，请给出m + n的值。

Answer: 2037173
user: 给定整数 $n \geqslant 2$. 求最小的正实数 $c$, 使得对任意复数 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}$, 均有
$$
\left|\sum_{i=1}^{n} z_{i}\right|+c \sum_{1 \leq i<j \leqslant n}\left|z_{i}-z_{j}\right| \geqslant \sum_{i=1}^{n}\left|z_{i}\right|
$$
若$n=5$，答案写为$\frac{a}{b}$，其中$a,b$互质，求$a+b$.

Answer: 7
user: 给定整数 $m 、 n(2 \leqslant m<n,(m, n)=1)$.求最小的整数 $k$ ，满足对集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的任意 $m$ 元子集 $I$, 若 $\sum_{i \in I} i>k$, 则存在 $n$ 个实数 $a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{n}$, 使得
$$
\frac{1}{m} \sum_{i \in I} a_{i}>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i}
$$
若$m=3,n=5$，求$k$.

Answer: 7
user: 给定整数 $n \geqslant 2$ ，设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 满足:
$\sum_{i=1}^{n} x_{i}=0$;
$\left|x_{i}\right| \leqslant 1(i=1,2, \cdots, n)$.
求 $\min _{1 \leqslant i \leqslant n-1}\left|x_{i}-x_{i+1}\right|$ 的最大值.
若 $n = 4$，最大值的形式为 $\frac{a}{b}$，其中$a,b$互质，求$a+b$.

Answer: 13
user: 给定正整数 $n$ ，设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为非负整数序列，若其中连续若干项 (可以只有一项) 的算术平均值不小于 1 ，则称这些项组成一条 "龙"，其中第一项称为"龙头"，最后一项称为"龙尾"。已知 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 中每一项均为龙头或者龙尾。求 $\sum_{i=1}^{n} a_{i}$的最小值.若$n=5$，

Answer: 3
user: 求所有的正整数 $a$ ，使得对任意正整数 $n \geqslant 5$ ，均有 $\left(2^{n}-n^{2}\right) \mid\left(a^{n}-n^{a}\right)$ 。请提供所有满足条件的正整数 $a$ 的和。

Answer: 6
user: 已知 $0<x 、 y<1$. 求\(\frac{x y(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}\)的最大值。原始答案为\(\frac{m}{n}\)的格式，请给出m + n的值。

Answer: 9
user: 求所有的整数 $k$, 使得存在正整数 $a$和 $b$, 满足
$$\frac{b+1}{a}+\frac{a+1}{b}=k.$$ 请给出所有满足条件的整数 $k$ 的和。

Answer: 7
user: 实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geqslant 3)$ 满足
$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0$,
且 $2 a_{k} \leqslant a_{k-1}+a_{k+1}(k=2,3, \cdots, n-1)$.
求最小的 $\lambda(n)$, 使得对所有的 $k \in\{1$, $2, \cdots, n\}$ ，都有
$\left|a_{k}\right| \leqslant \lambda(n) \cdot \max \left\{\left|a_{1}\right|,\left|a_{n}\right|\right\}$。若$n=5$，答案格式为\frac{p}{q}，其中$p,q$互质，求$p+q$。

Answer: 5
user: 设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{1} \in\{5,7\}$ 及当 $k \geqslant 1$时，有 $x_{k+1} \in\left\{5^{x_{k}}, 7^{x_{k}}\right\}$ 。试确定 $x_{2009}$ 的末两位数字的所有可能值，并给出这些可能值的和。

Answer: 75
user: "设 $n$ 为给定的正整数。求最大的正整数 $k$ 。使得存在三个由非负整数组成的 $k$ 元集
$$\begin{aligned}& A=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\right\} \\& B=\left\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}\right\} \\& C=\left\{z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{k}\right\}\end{aligned}$$
满足对任意的 $j(1 \leqslant j \leqslant k)$ ，都有
$x_{j}+y_{j}+z_{j}=n$."
已知答案的形式为\(\frac{m}{n}\pi+p\)，求m+n+p的值。

Answer: 6
user: 设 $x 、 y 、 z \in(0,1)$ ，满是
$\sqrt{\frac{1-x}{y z}}+\sqrt{\frac{1-y}{z x}}+\sqrt{\frac{1-z}{x y}}=2$.
求 $x y z$ 的最大值。
已知答案的形式为\(\frac{m}{n}\pi+p\)，求m+n+p的值。

Answer: 91
user: 在等腰 Rt $\triangle A B C$ 中, $C A=C B=1, P$是 $\triangle A B C$ 边界上任意一点. 求 $P A \cdot P B \cdot P C$ 的最大值。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 6
user: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=a_{2}=1$, 且 $a_{n+2}=\frac{1}{a_{n+1}}+a_{n}, n=1,2, \cdots$. 求 $a_{2004}$. 原始答案是 \(\frac{m!!}{n!!}\) 格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 4005
user: 设 $n \in \mathbf{N}_{+}$，用 $d(n)$ 表示 $n$ 的所有正约数的个数, $\varphi(n)$ 表示 $1,2, \cdots, n$ 中与 $n$ 互质的数的个数. 求所有的非负整数 $c$, 使得存在正整数 $n$, 满足$$d(n)+\varphi(n)=n+c,$$且对这样的每一个 $c$, 求出所有满足上式的正整数 $n$ 。请给出所有满足条件的正整数 $n$ 的和。

Answer: 23
user: 求所有的实数 $k$, 使得不等式
$$
a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+1 \geqslant k(a+b+c+d)
$$
对任意 $a 、 b 、 c 、 d \in[-1,+\infty)$ 都成立. 原始答案为 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 7
user: 求所有的正整数 $n$, 使得 $n^{4}-4 n^{3}+22 n^{2}-36 n+18$ 是一个完全平方数。请给出这些正整数之和。

Answer: 4
user: 求所有的实数 $x$,使得 $\left[x^{3}\right]=4 x+3$. 这里 $[y]$表示不超过实数 $y$ 的最大整数。原始答案包含一个分数形式，请给出分数形式的分子与分母之和。

Answer: -1
user: 求所有的正整数 $a$ ，使得对任意正整数 $n \geqslant 5$ ，均有 $\left(2^{n}-n^{2}\right) \mid\left(a^{n}-n^{a}\right)$ 。请给出所有满足条件的正整数$a$的和。

Answer: 6
user: 给定整数 $m \geqslant 3, n \geqslant 3$. 设集合
$$
S=\{(a, b) \mid a \in\{1,2, \cdots, m\}, b \in\{1,2, \cdots, n\}\}
$$
$A$ 为 $S$ 的子集. 若不存在正整数 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3} 、 y_{1} 、$ $y_{2} 、 y_{3}$ ，使得 $x_{1}<x_{2}<x_{3}, y_{1}<y_{2}<y_{3}$ ，且 $\left(x_{1}, y_{2}\right)$ 、 $\left(x_{2}, y_{1}\right) 、\left(x_{2}, y_{2}\right) 、\left(x_{2}, y_{3}\right) 、\left(x_{3}, y_{2}\right) \in A$ ，求集合 $A$ 元素个数的最大值。请给出 m = 5, n = 8 时，集合 $A$ 元素个数的最大值。

Answer: 11
user: 已知实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2018}$ 满足：对任意的 $1 \leqslant i<j \leqslant 2018$, 均有 $x_{i}+x_{j} \geqslant(-1)^{i+j}$. 求 $\sum\limits_{i=1}^{2018} i x_{i}$ 的最小值. 原始答案为 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值.

Answer: 2037173
user: 给定正整数 $n 、 k$, 其中, $n$ 为偶数, $k \geqslant 2$,且 $n>4 k$. 在圆周上有 $n$ 个点, 若 $\frac{n}{2}$ 条在圆内互不相交的弦的端点恰为这 $n$ 个点，则称这些弦为一个"匹配".求最大的整数 $m$ ，满足对任意一个匹配，均存在圆周上连续 $k$ 个点，使得这个匹配中至少有 $m$ 条弦的所有端点均在这 $k$ 个点中. 请给出当 $k = 5$ 时，最大整数 $m$ 的值。

Answer: 2
user: 已知凸六边形 $P$ 的所有顶点在一个单位正方形的边上，且所有内角相等. 求 $P$ 的最短边长度的最大可能值。请给出m + n的值，其中原始答案格式为1-\frac{\sqrt{m}}{n}。

Answer: 6
user: 给定整数 $n \geq 2$ 。在 $n \times n$ 方格表的每个小方格中各填入一个不超过 $n$ 的正整数，使得每一行填入的数从左至右不减，每一列填入的数从上至下不减。若两个有公共边的小方格填入的数相同，则称这两个（无序的）小方格为一个"好对"。求好对个数的最小可能值。请计算当 $n=4$ 和 $n=5$ 时好对个数的最小可能值之和。

Answer: 20
user: 设 $x 、 y 、 z \in(0,1)$ ，满足 $\sqrt{\frac{1-x}{y z}}+\sqrt{\frac{1-y}{z x}}+\sqrt{\frac{1-z}{x y}}=2$. 求 $x y z$ 的最大值. 原始答案为 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值.

Answer: 91
user: 设 $n$ 为给定的正整数. 求最大的正整数 $k$ , 使得存在三个由非负整数组成的 $k$ 元集 \begin{aligned} & A=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\right\} ,\\ & B=\left\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}\right\}, \\ & C=\left\{z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{k}\right\} \end{aligned} 满足对任意的 $j(1 \leqslant j \leqslant i)$ ，都有 $x_{j}+y_{j}+z_{j}=n$. 请提供当 n = 33 时的最大正整数 k 。

Answer: 23
user: 求最大的实数 $k$, 使得对于任意的正数 $a 、 b$ ,均有 
$$ 
(a+b)(a b+1)(b+1) \geqslant k a b^{2}. 
$$ 
原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值。

Answer: 31
user: 现有 $n$ 个人排成一行, 从左至右按 $1,2, \cdots, n$ 的顺序报数, 凡序号为平方数者退出队伍; 剩下的人从左至右再次按 $1,2, \cdots$ 的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出. 用 $f(n)$ 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求 $f(2019)$ 的值。

Answer: 1981
user: Given integers $m, n \geqslant 2$. Color each cell of an $m$-row by $n$-column grid $S$ with either red or blue such that the following condition is satisfied: For any two cells in the same row, if both are colored red, then one column must have all cells colored red, and the other column must have at least one cell colored blue. Find the number of different coloring methods. Please provide the value when $m = 2$ and $n = 3$.

Answer: 34
user: 已知不等式
$$
\begin{aligned}
& \sqrt{2}(2 a+3) \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{6}{\sin \theta+\cos \theta}-2 \sin 2 \theta \\
& <3 a+6
\end{aligned}
$$
对于 $\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 恒成立. 已知a的范围是a>m，求m的值

Answer: 3
user: 给定大于 2004 的正整数 $n$ ，将 $1,2, \cdots$, $n^{2}$ 分别填入 $n \times n$ 棋盘（由 $n$ 行 $n$ 列方格构成）的方格中，使每个方格都有 1 个数。如果 1个方格中填的数大于它所在行至少 2004 个方格内所填的数，且大于它所在列至少 2004 个方格内所填的数，则称这个方格为"优格"。求棋盘中"优格"个数的最大值。请给出 n = 2010 时的结果。

Answer: 12060
user: 求方程
$$
\frac{\sqrt{3}+2 \sin 2 x}{\sqrt{3}+2 \sin x}=\sqrt{3} \sin x+\frac{\cos 2 x}{2 \cos x}
$$
在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内的解.解得形式均为\frac{m\pi}{n}的形式，请给出所有解m+n的和

Answer: 15
user: 设 $n(n \geqslant 3)$ 是正整数，集合 $M=$ $\{1,2, \cdots, 2 n\}$ 。求最小的正整数 $k$, 使得对于 $M$ 的任何一个 $k$ 元子集，其中必有 $4$ 个互不相同的元素之和等于 $4 n+1$ 。请提供当 n = 48 时的 k 的值。

Answer: 51
user: 已知直线 $l$ 与单位圆 $\odot O$ 相切于点 $P$, 点 $A$ 与 $\odot O$ 在直线 $l$ 的同侧, 且 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 $h\left(h>2\right)$, 从点 $A$ 作 $\odot O$ 的两条切线，分别与直线 $l$ 交于 $B 、 C$ 两点。求线段 $P B$ 与线段 $P C$ 的长度之乘积。请给出h=9时答案中分子与分母的和

Answer: 16
user: 设 $a_{i}= ext{min} \left\{k+i / k \mid k \in N^{*}\right\}$ ，试求 $S_{n^{2}}$ $=\left[a_{1}\right]+\left[a_{2}\right]+\cdots+\left[a_{n^{2}}\right]$ 的值，其中 $n \geq 2,[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。请提供当 n = 6 时的 S_{n^{2}} 值，

Answer: 282
user: 求所有的正整数 $n$,使集合 $M=\{1,2, \cdots, 50\}$ 的任意 $35$ 元子集至少存在两个不同的元素 $a 、 b$ 满足 $a+b=n$ 或 $a-b=n$ 。请给出所有满足条件的n值的总和。

Answer: 2415
user: 已知 $a 、 b 、 c$ 为两两互质的正整数，且满足 
a^{2}\left|\left(b^{3}+c^{3}\right), b^{2}\right|\left(a^{3}+c^{3}\right), c^{2} \mid\left(a^{3}+b^{3}\right). 
求 $a 、 b 、 c$ 的值。请给出所有满足条件的三元组的元素和的总和。

Answer: 39
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足1 $1=a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$ ，如果存在实数 $m$ ，使得 $\sum\limits_{i=1}^{n-1} \sqrt[3]{\frac{a_{i+1}-a_{i}}{\left(2+a_{i}\right)^{4}}} \leq m$. 对任意正整数 $n (n \geqslant 2)$ 成立, 求 $m$ 的最小值. 原始答案为$\frac{\sqrt[a]{b}}{c}$的形式，请给出a+b+c的值。

Answer: 7
user: 设 $\alpha 、 \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. 求
$$ 
A=\frac{\left(1-\sqrt{\tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\beta}{2}}\right)^{2}}{\cot \alpha+\cot \beta} 
$$ 
的最大值。原始答案为m+n\sqrt{k}的形式，请给出m+n+k的值

Answer: 3
user: 设 $\triangle A B C$ 的三边长分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $a+b+c=3$. 求 
$$ 
f(a, b, c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{4}{3} a b c 
$$ 
的最小值。原始答案为\frac{m}{n}的形式，请给出m + n的值。

Answer: 16
user: 设 $a 、 b 、 c$ 为直角三角形的三边长，其中， $c$ 为斜边长。求使得 $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a b c}$ $\geqslant_{k}$ 成立的 $k$ 的最大值。原始答案为m+n\sqrt{k}的形式，请给出m+n+k的值。

Answer: 5
user: 设 $n$ 是正整数, 整数 $a$ 是方程 $x^{4}+3 a x^{2}+2 a x-2 imes 3^{n}=0$ 的根。求所有满足条件的数对 $(n, a)$. 请给出所有数对中 n + a 的总和。

Answer: 1
user: 求最大的实数 $C$, 使得不等式 
$$ 
\left.\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{x_{k}} \cdot \sum_{k=1}^{100}\left(x_{k}^{3}+2 x_{k}\right)-\sum_{k=1}^{100} \sqrt{x_{k}^{2}+1}\right)^{2} \geq C 
$$ 
对任意 $100$ 个两两不同的正整数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{100}$ 成立。

Answer: 33340000
user: 给定正整数 $n \geqslant 2, n$ 个实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$满足: \[ \begin{aligned} & \min _{1 \leqslant k \leqslant n}\left\{\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k}}{k}\right\}=0 \\ & \max _{1 \leqslant k \leqslant n}\left\{\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k}}{k}\right\}=1 \end{aligned} \] 记 $M=\max \limits_{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{x_{i}\right\}, m=\min\limits _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{x_{i}\right\}$ 。 求 $\min \{M-m\}, \max \{M-m\}$ 。请给出n=2时最大值和最小值的和

Answer: 4
user: 设 $x_{1} \geqslant x_{2} \geqslant \cdots{ }_{x_{n}} \geqslant 0$, 且 $\sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}=1$. 记 $M(n) 、 m(n)$ 分别是 $\sum\limits_{k=1}^{n} k^{2} \sqrt{\sum\limits_{j=1}^{k} x_{j}^{2}}$ 的最大值、最小值. 求实数 $\alpha 、 \beta 、 \gamma 、 \delta$, 使得 $\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{M(n)}{n^{\alpha}}=\beta$, $\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{m(n)}{n^{r}}=\delta$, 其中, $\beta 、 \delta \neq 0$. 请给出 \alpha 加上 \beta, \gamma, \delta 的分子和分母之和。

Answer: 23
user: 集合\n$$\nA=\left\{(x, y)\left|(x-t)^{2}+y^{2} \leqslant\left(1-\frac{t}{2}\right)^{2},|t| \leqslant 2\right\}\right.\n$$\n所表示平面区域的面积为。原始答案为 $a \sqrt{b}+\frac{c \pi}{d}$，请给出a+b+c+d的值

Answer: 18
user: 已知复数 $z_{1} 、 z_{2}$ 满足 $\left|z_{1}\right|<1$, $\left|z_{2}\right|<1, z_{1}+z_{2}$ 为实数，且 $z_{1}+z_{2}+z_{1} z_{2}=0$ 。求 $z_{1} z_{2}$ 的取值范围。请给出区间端点的倒数的和。

Answer: -1
user: 已知集合 $A=\left\{x \mid \log _{a}(a x-1)>1\right\}$ 。若 $3 \in A$, 请给出 a 的取值范围中所有有限端点的和的6倍。

Answer: 11
user: 给定正整数 $n$, 设实数 $a_{1}$, $a_{2}, \cdots, a_{n}$ 与正实数 $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 使得 $\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \geqslant 8$ 且 $\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i} \leqslant 4$. 求 $\prod\limits_{i=1}^{n} \mathrm{e}^{\frac{\left(\max \left|0, a_{i}\right|\right)^{2}}{b_{i}}}$ 的最小值。请提供最小值的指数部分。

Answer: 16
user: 若存在实数 $r$, 使得圆周 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上恰好有 $n$ 个整点, 则 $n$ 可以等于多少？请给出所有可能的n值之和。

Answer: 24
user: 已知存在实数 $r$, 使得圆周 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上恰好有 $n$ 个整点, 则 $n$ 可以等于（）。请提供所有满足条件的n值之和。

Answer: 24
user: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 若对任意的正整数 $n$ ，总存在正整数 $m$ ，使得 $S_{n}=a_{m}$ ，则（）。请给出所有正确选项的和。

Answer: 2
user: 在四面体 $A B C D$ 中, $\triangle A B D$ 为等边三角形， $\angle B C D=90^{\circ}, B C=C D=1, A C=\sqrt{3}, E$ 、 $F$ 分别为 $B D 、 A C$ 的中点. 则直线 $A E$ 与 $B F$ 所成角的余弦值为原始答案是\frac{\sqrt{m}}{n}的形式，请给出m + n的值。

Answer: 5
user: 已知正整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: 
$a_{1}=a, a_{2}=b$, 
$a_{n+2}=\frac{a_{n}+2018}{a_{n+1}+1}(n \geqslant 1)$. 
求 $a+b$ 的所有可能取值. 请提供所有可能的取值之和。

Answer: 3030
user: 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A B=$ $A A_{1}=2, A D=2 \sqrt{3}, M$ 为平面 $B A_{1} C_{1}$ 内一点.则 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M C}$ 的最小值为。原始答案为 \frac{m}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 23
user: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{1}<0, a_{90} \geqslant 74, a_{200}<200$, 且该数列在区间 $\left(\frac{1}{2}, 8\right)$ 中的项比在区间 $\left[14, \frac{43}{2}\right]$ 中的项数少 ,则$a_{4$的值为多少？

Answer: 2
user: 求平面区域$\left\{（x，y）：\sqrt{1-x^{2}\sqrt{1-y^{2}\geqslant xy\right\}$的面积。原始答案的格式为$\frac{\pi}{a}+b$，请提供a+b的值。

Answer: 4
user: 已知两条直线 $l_{1}: y=2, l_{2}: y=4$, 设函数 $y=3^{x}$ 的图像与 $l_{1} 、 l_{2}$ 分别交于点 $A 、 B$, 函数 $y=5^{x}$ 的图像与 $l_{1} 、 l_{2}$ 分别交于点 $C 、 D$. 请计算直线 $A B$ 与 $C D$ 的交点坐标和 $x + y$ 的值。

Answer: 0
user: 如图 1, Rt $\triangle A B C$的三个顶点都在给定的抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$上, 且斜边 $A B / / x$ 轴. 则斜边上的高 $|C D|=$。请给出$|C D|$在$p=1$时的值。

Answer: 2
user: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\} 、\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} 、 T_{n}$, 且对于一切正整数 $n$, 均有 $\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{2 n-1}{3 n+1}$. 请给出 $\frac{S_{6}}{T_{5}}$ 的原始答案形式为 \frac{m}{n}，请计算 m + n 的值。

Answer: 43
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{n}=\left[(2+\sqrt{5})^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right]\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数. 设 $C$ 为实数, 且对任意的正整数 $n$, 都有 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k+2}} \leqslant C$, 则 $C$ 的最小值是。原始答案为 \frac{a}{b} 格式，请给出 a + b 的值。

Answer: 289
user: 已知正四棱雉 $\Gamma$ 的高为 3, 侧面与底面所成角为 $\frac{\pi}{3}$ 。先在 $\Gamma$ 内放入一个内切球 $O_{1}$, 然后依次放入球 $O_{2}, O_{3}, O_{4}, \cdots$, 使得后放入的各球与前一个球及 $\Gamma$ 的四个侧面均相切，则放入的所有球的体积之和的原始答案为\frac{m\pi}{n}，请给出m + n的值。

Answer: 31
user: 设 $a, b, c \in(0,1]$, $\lambda$ 为实数, 使得 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+b+c}} \geqslant 1+\lambda(1-a)(1-b)(1-c)$ 恒成立, 求 $\lambda$ 的最大值。已知原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值。

Answer: 91
user: 已知 $a$ 为实数, 且对任意 $k \in[-1,1]$, 当 $x \in(0,6]$ 时, $6 \ln x+x^{2}-8 x+a \leqslant k x$ 恒成立, 则 $a$的最大值是 $\qquad$.原始答案形式为$a-b \ln c$，求a+b+c的值。

Answer: 18
user: 设点 $A$ 的坐标为 $(0,3)$, 点 $B, C$ 为圆 $O: x^{2}+y^{2}=25$ 上的两动点, 满足 $\angle B A C=90^{\circ}$. 求 $\triangle A B C$ 面积的最大值。原始答案为 \frac{m + n \sqrt{k}}{p} 格式，请给出 m + n + k + p 的值。

Answer: 71
user: 已知正四棱雉 $\Gamma$ 的高 $h=3$, 侧面与底面所成角 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 。先在正四棱雉 $\Gamma$ 内放入一个内切球 $O_{1}$, 然后依次放入球 $O_{2}, O_{3}, \cdots$, 使得后放入的各球均与前一个球及正四棱雉 $\Gamma$的四个侧面都相切。则放入所有球的体积之和的原始答案为$\frac{m\pi}{n}$的格式，请给出m + n的值。

Answer: 31
user: 设点 $A(0,3), \odot O: x^{2}+y^{2}=$ 25 上的两动点 $B 、 C$ 满足 $\angle B A C=90^{\circ}$. 求 $\triangle A B C$ 面积的最大值。原始答案为 $\frac{m + n \sqrt{k}}{2}$ 格式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 71
user: 已知在三棱锥 $D-A B C$ 中, $\angle A C B=\angle A B D=90^{\circ}, C A=C B, \angle B A D=30^{\circ}$.若点 $C$ 在平面 $A B D$ 上的射影恰好在 $A D$ 上, 则二面角 $C-A B-D$ 的平面角的正弦值大小为$\frac{\sqrt{m}}{n}$形式，请给出m + n的值。

Answer: 9
user: 设集合 $T=\left\{(a, b, c) \mid a, b, c \in \mathbf{N}^{*}\right.$ ，且 $a, b, c$ 可构成某个三角形的边长 $\}$ 。则 $\sum_{(a, b, c) \in T} \frac{2^{a}}{3^{b} \cdot 5^{c}}$ 的值为 \frac{m}{n} 格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 38