sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: 已知 $x>0, y>0$, 且满足 $\left\{\begin{array}{l}\cos ^{2}(\pi x)+2 \sin (\pi y)=1 \\ \sin (\pi x)+\sin (\pi y)=0 \\ x^{2}-y^{2}=12\end{array}\right.$。请给出 x + y 的值。

Answer: 6
user: 设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是非负实数，满足 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$ ，求 $(x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3})(x_{1}+\frac{x_{2}}{3}+\frac{x_{3}}{5})$ 的最小值和最大值。最大值的原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值，并加上最小值。

Answer: 15
user: 在椭圆 $\Gamma$ 中, $F$ 为一个焦点, $A, B$ 为两个顶点. 若 $|F A|=3,|F B|=2$,求 $|A B|$ 的所有可能值。请提供所有可能值平方和的值。

Answer: 49
user: 给定正整数 $m(m \geq 3)$. 设正项等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与正项等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足: $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项等于 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比, $\left\{b_{n}\right\}$ 的首项等于 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差, 且 $a_{m}=b_{m}$ 。求 $a_{m}$ 的最小值, 并确定当 $a_{m}$ 取到最小值时 $a_{1}$ 与 $b_{1}$ 的比值。请给出当 $m = 3$ 时 $a_{1}$ 与 $b_{1}$ 的比值。

Answer: 4
user: 如图， $A B$ 是单位圆的直径，在 $A B$ 上任取一点 $D$ ，作 $D C \perp A B$, 交圆周于 $C$ 。若点 $D$ 的坐标为 $(x, 0)$,则当 $x \in$ $(a, b)$时，线段 $A D 、 B D 、 C D$ 可以构成锐角三角形。请给出a + b的值。

Answer: 0
user: 如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是 $B C$ 中点, $F$ 在 $A A_{1}$ 上, 且 $A_{1} F: F A=1: 2$. 求平面 $B_{1} E F$与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成的二面角。原始答案的形式为\arctan\frac{\sqrt{m}}{n}, 请给出m + n的值。

Answer: 40
user: 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若角 $A 、$ $B 、 C$ 的大小成等比数列，且 $b^{2}-a^{2}=a c$ ，则角 $B$ 的弧度为等于 $\qquad$. 原始答案为 $\frac{m}{n}\pi$ 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 9
user: 已知集合\n$$\n\begin{aligned}\n& A=\{(x, y)| | x|+|y|=\alpha, \quad \alpha>0\} \\n& B=\{(x, y)| | x y|+1=|x|+|y|\}\n\end{aligned}\n$$\n若 $A \cap B$ 是平面上正八边形的顶点所构成的集合， 请计算$\alpha$ 的值的所有可能值的和，形式为m+n\sqrt{k}，请最后给出m+n+k的值

Answer: 7
user: $(\sqrt{x}+2)^{2 n+1}$ 的展开式中, 给出$n=2$时$x$ 的整数次幂的各项系数之和 $\qquad$.

Answer: 122
user: 长为 $\sqrt{2}$, 宽为 1 的矩形, 以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周, 求得到的旋转体体积。原始答案为\frac{m \sqrt{p} \pi}{n}的格式，请给出m + n+p的值。

Answer: 98
user: 若 $\log _{a} \sqrt{2}<1$, 请给出$a$ 的取值范围。原始答案形式为$(a,b) \cup(\sqrt{c},+\infty)$,计算a+b+c的值。

Answer: 3
user: 一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 \(\qquad\) \(\cdot\)。请注意，原始答案是\(\frac{a+\sqrt{b}}{c}\)的形式，请给出a+b+c的值。

Answer: 6
user: 已知直线 $l_{1}: y=4 x$ 和点 $P(6,4)$, 在直线 $l_{1}$ 上求一点 $Q$, 使过 $P Q$ 的直线与直线 $l_{1}$ 以及 $x$ 轴在第 $ ext{I}$ 象限内围成三角形面积最小。请给出 $Q(x, y)$点 x+y 的和。

Answer: 10
user: 解方程: $5 x^{2}+x-x \sqrt{5 x^{2}-1}-2=0$. 原始答案为 $x = \pm \frac{\sqrt{m}}{n}$，请给出 $m+n$ 的值。

Answer: 15
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F_{1} 、 F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的左、右焦点。设不经过焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于两个不同的点 $A 、 B$, 焦点 $F_{2}$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ 。如果直线 $A F_{1} 、 l 、 B F_{1}$ 的斜率依次成等差数列，求 $d$ 的取值范围。请给出 $d$ 的最大值与最小值之和。答案格式为a+\sqrt{b}，求a+b的值

Answer: 5
user: 给定整数 $n \geq 2$. 设非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足 
$$ 
a_{1} \geq a_{2} \geq \cdots \geq a_{n}, \quad a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=n. 
$$ 
求 $a_{1}+a_{1} a_{2}+a_{1} a_{2} a_{3}+\cdots+a_{1} a_{2} \cdots a_{n}$ 的最小值。请给出当n=2时的答案。

Answer: 2
user: 试确定具有下述性质的最大正数 $M>1$ ：在区间 $[1, M]$ 中任意取 10 个不同的实数，均可从中选取三个数，从小到大记为 $a<b<c$ ，使得一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 无实根。答案格式为 a^{b} ，求a+b。

Answer: 259
user: 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2021}=a_{20}+a_{21}=1$，则 $a_{1}$ 的值为原始答案的格式为 \( \frac{m}{n} \)，请给出 m + n 的值。

Answer: 5982
user: 在平面直角坐标系中，函数 $y=\frac{x+1}{|x|+1}$ 的图像上有三个不同的点位于直线 $l$ 上，且这三点的横坐标之和为 0。求 $l$ 的斜率的取值范围。原始答案格式为 $0<k<\frac{m}{n}$，请给出 m + n 的值。

Answer: 11
user: 设函数 $f(x)$ 满足: 对任意非零实数 $x$, 均有 $f(x)=f(1) \cdot x+\frac{f(2)}{x}-1$, 则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值为 $\qquad$.答案格式为$\sqrt{a}-b$,求a+b的值

Answer: 4
user: 设函数 $f(x)=\cos x+\log _{2} x(x>0)$, 若正实数 $a$ 满足 $f(a)=f(2 a)$, 则 $f(2 a)-f(4 a)$ 的值为 m，其中m是一个整数。请给出m所有可能值的和。

Answer: -4
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=1, A C=2, B-C=\frac{2 \pi}{3}$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为 $\qquad$.答案格式为\frac{a \sqrt{b}}{c},求a+b+c的值

Answer: 20
user: 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数 $1,2,3,4,5,6$. 随机地抛掷该骰子三次 (各次抛掷结果相互独立), 所得的点数依次为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, 则事件 " $\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6$ " 发生的概率为 。原始答案为 $\frac{m}{n}$ 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 5
user: 已知复数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 满足: $$ z_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}, z_{n+1}=\overline{z_{n}}\left(1+z_{n} \mathrm{i}\right)(n=1,2, \cdots), $$ 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位. 求 $z_{2021}$ 的值。原始答案格式为$\frac{\sqrt a}{b}+(\frac{c}{d}+\frac{e}{f^{g^{h}}})\mathrm i$,求a+b+c+d+e+f+g+h的值。

Answer: 2033
user: 求具有下述性质的最小正数 $c$ ：对任意整数 $n \geq 4$,以及集合 $A \subseteq\{1,2, \cdots, n\}$, 若 $|A|>c n$, 则存在函数 $f: A \rightarrow\{1,-1\}$, 满足 
$$ 
\left|\sum_{a \in A} f(a) \cdot a\right| \leq 1. 
$$
The original answer is in \frac{m}{n} format, please give the value of m + n.

Answer: 5
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 求 $\cos B+\sqrt{2} \cos C$ 的取值范围，请提供该取值范围端点之和的整数部分。

Answer: 5
user: 在椭圆中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点. 若 $$ \overline{A F_{1}} \cdot \overline{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0 $$ 求 $\tan \angle A B F_{1} \cdot \tan \angle A B F_{2}$ 的值。答案为$-\frac{m}{n}$形式，请给出$m + n$的值。

Answer: 6
user: 设 $a, b$ 为不超过 12 的正整数，满足：存在常数 $C$ ，使得 $a^{n}+b^{n+9} \equiv C(\bmod 13)$ 对任意正整数 $n$ 成立. 求所有满足条件的有序数对 $(a, b)$. 请提供所有满足条件的数对中所有元素的和。

Answer: 54
user: 设 $A, B$ 为平面直角坐标系 $x O y$ 中的曲线 $x y=1(x, y>0)$ 上的两点, 向量 $\vec{m}=(1,|O A|)$ ，则数量积 $\vec{m} \cdot \overrightarrow{O B}$ 的最小值是多少。原始答案是 $a \sqrt[4]{b}$ 的形式，请给出$a + b$的值。

Answer: 4
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=(-1)^{n} n-a_{n}, n=1,2,3, \cdots$, 且 $a_{10}=a_{1}$, 则 $a_{n} a_{n+1}$ 的最大值为是多少，原始答案的格式为$\frac{m}{n}$，请计算 $m + n$ 的值。

Answer: 37
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $a=B C, b=C A, c=A B$. 若 $a^{2}+b^{2}=6, \cos (A-B) \cos C=\frac{2}{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的外接圆半径。原始答案为 $\frac{m \sqrt{n}}{p}$ 的形式，请给出 $m + n + p$ 的值。

Answer: 23
user: 已知集合 $A=\{1,5\}, B=\left\{x^{2}-3 x+1, x^{2}-4 x+5\right\}$ ，若集合 $A \cup B$ 的元素个数是 3 ，请给出可能的实数 $x$ 中的最大值与最小值之差。

Answer: 4
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $\cos A, \sin A, \tan B$ 依次构成以 $\frac{3}{4}$ 为公比的等比数列,则 $\cot C$ 的原始答案是以$-\frac{m}{n}$的形式给出，请给出$m + n$的值。

Answer: 149
user: 在平面直角坐标系中，椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ，点 $P$ 在椭圆 $\Gamma$ 内部，且在直线 $y=x$ 上移动。点 $K, L$ 在 $\Gamma$ 上，满足 $\overrightarrow{P K}, \overrightarrow{P L}$ 的方向分别为 $x$ 轴正方向与 $y$ 轴正方向，点 $Q$ 使得 $P K Q L$ 为矩形。是否存在平面上两点 $A, B$ ，使得当矩形 $P K Q L$ 变化时， $|Q A|-|Q B|$ 为非零常数？若存在，求出线段 $A B$ 的所有可能的长度；若不存在，请说明理由。请给出原始答案格式为$\frac{m\sqrt{3}}{n}$时，$m + n$的值。

Answer: 8
user: 在椭圆 $\Gamma$ 中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点. 若 $\overrightarrow{A F_{1}} \cdot \overrightarrow{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0$, 则 $\frac{|A B|}{\left|F_{1} F_{2}\right|}$ 的值为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 4
user: 已知非负实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$, 则 $a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)$ 的最大值为 $\frac{m+\sqrt{n}}{p}$的格式，请给出 $m + n + p$ 的值。

Answer: 12
user: 定义 $x * y=\frac{x+y}{1+x y}$, 则 $(\cdots((2 * 3) * 4) \cdots) * 21$结果的格式为$\frac{m}{n}$，给出$m + n$的值。

Answer: 231
user: 设不等式 $\left|2^{x}-a\right|<\left|5-2^{x}\right|$ 对所有 $x \in[1,2]$ 成立, 求实数 $a$ 的取值范围。请给出区间端点之和的值。

Answer: 8
user: 若非负数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$ ，则 $a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 21
user: 若一个 $k$ 项等差数列的公差是 4, 且首项的平方与除首项外的各项和小于 100 ，则写出 $k$ 的取值范围， 并给出这些可能取值的和。

Answer: 33
user: 已知矩形 $A B C D$ 中, $A B=2, B C=1$, 折叠使点 $A, C$ 重合, 折痕为 $M N$, 打开平面 $A D M N$, 使二面角 $A-M N-C$ 为 $\frac{\pi}{3}$, 求直线 $M N$ 与直线 $A C$ 的距离，原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 19
user: 已知四棱雉 $P-A B C D$ 中, $\angle A P B=\angle A P D=\angle P B C=\angle P D C=90^{\circ}, A P=$ $P B=P D=B C=C D=2$, 求四棱雉 $P-A B C D$ 的高。原始答案为 $\sqrt{m} - n$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 6
user: 已知在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是边 $B C$ 的中点, 且 $\angle D A C=15^{\circ}$, 求 $\angle A B C$ 的最大值。原始答案为 $\frac{m\pi}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 19
user: 在复平面上,复数 $z_{1}, 1+\mathrm{i}, 1+a \mathrm{i}(a \in \mathbf{R})$ 对应的点分别是 $A, B, C$, 点 $A$ 在线段 $B C$ 上运动, 复数 $z_{2}$ 满足 $\left|z_{2}\right|=1$. 若复数 $z_{1}+z_{2}$ 对应的点组成的图形的面积是 $\pi+4$ ，请给出 $a$ 可能的取值的和。

Answer: 2
user: 已知 $A, B$ 分别为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的左、右顶点, $P$ 是椭圆在第一象限内一点,满足 $|P A|=\lambda|P B|$ 且 $\angle P B A=2 \angle P A B$, 求 $\lambda$ 的值。原始答案的形式为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 33
user: 已知正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的棱长为 1, 点 $M, N$ 分别为线段 $A B^{\prime}, A C$ 上的动点, 点 $T$在屏幕 $B C C^{\prime} B^{\prime}$ 内，求 $|M T|+|N T|$ 的最小值。原始答案为 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ 格式，请给出 $a + b+c$ 的值。

Answer: 8
user: 已知 $\mathrm{I}_{\mathrm{n}}=\left(1+\frac{\mathrm{i}}{2}\right)\left(1+\frac{\mathrm{i}}{4}\right)\left(1+\frac{\mathrm{i}}{16}\right) \cdots\left(1+\frac{\mathrm{i}}{2^{2 \mathrm{n}}}\right)$ ，求 $\left|\mathrm{I}_{\mathrm{n}}\right|$的表达式，给出当$n=1$时该式整数部分的值。

Answer: 1
user: 求椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的内接六边形面积的最大值。已知原始答案的格式为$\frac{m\sqrt{3}}{n}$，请给出$m + n$的值。

Answer: 5
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，且 $S=n a+n_{n}(n-1)$，点 $\left(a_{n}, \frac{S_{n}}{n}\right)$ 所在的直线方程的斜率的形式为$\frac{n}{m}$，求$m+n$的值。

Answer: 3
user: 已知 $\operatorname{Re}(z) \geq 1$, 求 $\left|\frac{1}{z}+1+\mathrm{i}\right|_{\text {min }}$ 的值。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}-n}{k}$ 的格式，请给出 $m + n + k$ 的值。

Answer: 16
user: 已知 $x^{2}=4 y, M(2,2)$, 过 $M$ 点的直线交抛物线于 $A, B$ 两点, 过 $A, B$ 两点作抛物线的切线交与点 $P$, 求 $S_{\triangle A B P}$ 的最小值。请给出该最小值。

Answer: 4
user: 已知 $a x^{3}+b x^{2}+x+1=0(a<0)$ 恰有两个零点, 求 $a+b$ 的取值范围. 请给出区间右端点的整数部分。

Answer: 0
user: 椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=\lambda, F$ 为左焦点, $A, B$ 为椭圆上两点且 $|F A|=5,|F B|=8$, 求直线 $A B$ 的斜率 $k$ 的范围。请给出区间的和。

Answer: 0
user: 已知 $I_{n} = \left(1+\frac{i}{2}\right)\left(1+\frac{i}{4}\right)\left(1+\frac{i}{16}\right) \cdots\left(1+\frac{i}{2^{2^{n}}}\right)$, 求 $\left|I_{n}\right|$. The original answer is in the form \( \sqrt{\frac{m}{k}} \). Please provide the value of m + k when n = 1.

Answer: 9
user: 已知 $X^{\lg X} Y^{\lg Y} Z^{\lg Z}=5, X^{\lg Y} Y^{\lg Z} Z^{\lg X}=\sqrt{2}$, 求 $X Y Z$ 的可能取值. 请给出 X Y Z 可能取值的和的整数部分。

Answer: 10
user: 已知 $\{\sin \theta, \sin 2 \theta, \sin 3 \theta\}=\{\cos \theta, \cos 2 \theta, \cos 3 \theta\}$, 其中 $\theta$ 的原始答案为 $\frac{m}{n} \pi, k \in \mathbf{Z}$。请给出当 $k = 0$ 时 $m + n$ 的值。

Answer: 9
user: Evaluate the expression $\tan \left(\arctan 2+\arctan \frac{2}{2^{2}}+\cdots+\arctan \frac{2}{12^{2}}\right)$. The original answer is in the form of $-\frac{m}{n}$. Please provide the value of m + n.

Answer: 31
user: 四面体 $V-A B C$ 中, $V A=V B=2 \sqrt{2}, V C=3, C A=C B=4$, 求 $C A$ 与 $V B$ 所成角的余弦值的取值范围。请给出区间两端点和的整数部分的值。

Answer: 0
user: 12 个人围坐在一张圆桌旁参加一种游戏，主持人给每人发一顶帽子，帽子的颜色包括红、黄、蓝、紫四种颜色.每个人都可以看见其他 11 人帽子的颜色，但是不知道自己帽子的颜色.现在主持人让这 12 个人顺次来猜自己头上帽子的颜色.这 12 个人事先约定好一种策略，但是当游戏开始后就不能进行交流，他们的目标是使 12 个人同时回答正确的机会最大.假定主持人给每个人发的帽子的颜色是完全随机的，试给出一种策略，并分析在此策略下所有人都猜对的概率。原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值。

Answer: 5
user: 求 $\sin ^{4} 10^{\circ}+\sin ^{4} 50^{\circ}+\sin ^{4} 70^{\circ}$ 的值. 原始答案是 \frac{m}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 17
user: 设正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是单位正方形, 如果二面角 $A_{1}-B D-C_{1}$ 的大小为 $\frac{\pi}{3}$, 则 $A A_{1}=$? 原始答案为\frac{\sqrt{m}}{n}的格式，请给出m + n的值。

Answer: 12
user: 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(c, 0)$, 存在经过点 $F$的一条直线 $l$ 交粗圆于 $A, B$ 两点, 使得 $O A \perp O B$, 求该椭圆的离心率的取值范围。请给出该区间端点的和并将其四舍五入成整数。

Answer: 2
user: 正三棱雉 $P-A B C$ 的所有棱长均为 $1, L, M, N$ 分别为棱 $P A, P B, P C$ 的中点, 则该正三棱雉的外接球被平面 $L M N$ 所截的截面面积为 $\frac{\pi}{m}$ 的形式，请给出 $m$ 的值。

Answer: 3
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos B+\sqrt{2} \cos C$ 的取值范围的形式为$(a,b] \cup(c, \sqrt{d}]$，求$a+b+c+d$的值。

Answer: 8
user: 设 $a>0$, 函数 $f(x)=x+\frac{100}{x}$ 在区间 $(0, a]$ 上的最小值为 $m_{1}$, 在区间 $[a,+\infty)$ 上的最小值为 $m_{2}$, 若 $m_{1} m_{2}=2020$, 则 $a$ 的值为 $\qquad$。请提供所有可能的 $a$ 的值的和。

Answer: 101
user: 在椭圆 $\Gamma$ 中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点. 若 $\overrightarrow{A F_{1}} \cdot \overrightarrow{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0$, 求 $\tan \angle A B F_{1} \cdot \tan \angle A B F_{2}$ 的值。原始答案为 \frac{m}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 4
user: 已知一个正三棱柱的各条棱长均为 3, 则其外接球的体积为。原始答案为 \frac{m \sqrt{n} \pi}{k} 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 28
user: 设 $a, b \in \mathbf{R}$ 。若关于 $z$ 的方程\[\left(z^{2}+a z+b\right)\left(z^{2}+a z+2 b\right)=0\]有 4 个互不相等的复数根 $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$, 且它们在复平面上对应的点恰是一个边长为 1 的正方形的四个顶点，求 $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|+\left|z_{4}\right|$ 的值。原始答案为\sqrt{m} + n\sqrt{p}，请给出m + n + p + q的值。

Answer: 4
user: 数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 满足 \(a_{1}=1, a_{n}=\frac{1}{4 a_{n-1}}+\frac{1}{n}\) \((n \geq 2)\)，则 \(a_{100}\) 的值为 \(\frac{m}{n}\) 的形式，请给出 \(m + n\) 的值。

Answer: 399
user: 设正四棱雉 $P-A B C D$ 的底面边长与高相等, 点 $G$ 为侧面 $\triangle P B C$ 的重心,则直线 $A G$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值为\frac{\sqrt{m}}{n}的形式, 请给出m + n的值。

Answer: 385
user: 复数 $z_{1}, z_{2}, \\cdots, z_{100}$ 满足: $z_{1}=3+2 \\mathrm{i}, z_{n+1}=\\overline{z_{n}} \\cdot \\mathrm{i}^{n}(n=1,2, \\cdots, 99)$ （ i 为虚数单位), 请给出 $z_{99}+z_{100}$ 的实部和虚部之和。

Answer: 0
user: 函数 $f(x)=2 \sin ^{2} x-\tan ^{2} x$ 的最大值为原始答案的格式为3-2\sqrt{2}，请给出m+n的值。

Answer: 5
user: 设函数 $f(x)$ 满足: 对任意非零实数 $x$, 均有 $f(x)=f(1) \cdot x+\frac{f(2)}{x}-1$, 则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值为原始答案为\sqrt{3}-1的形式，请给出m + n的值。

Answer: 4
user: 设函数 $f(x)=\cos x+\log _{2} x(x>0)$, 若正实数 $a$ 满足 $f(a)=f(2 a)$, 则 $f(2 a)-f(4 a)$ 的值为原始答案中的两个可能整数之和。请给出该和的值。

Answer: -4
user: 已知复数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 满足: $$ z_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}, z_{n+1}=\overline{z_{n}}\left(1+z_{n} \mathrm{i}\right)(n=1,2, \cdots), $$ 其中 i 为虚数单位. 求 $z_{2021}$ 的值. 原始答案的形式为 $z_{2021}=\frac{\sqrt{a}}{2}+\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2^{2^{d}}}\right) \mathrm{i}$ ，求$a+b+c+d$的值。

Answer: 2025
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=1, A C=2, B-C=\frac{2 \pi}{3}$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为 \qquad. 该答案的形式为 \frac{m\sqrt{3}}{n}, 请给出m + n的值。

Answer: 17
user: 平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 夹角为 $\frac{\pi}{3}$, 若 $|\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{b}|,|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ 依次成等差数列, 求 $|\boldsymbol{a}|:|\boldsymbol{b}|:|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$. 请给出比例的和。

Answer: 15
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{n+1}=(n+1) a_{n}-n$, 请给出通项公式$a_{n}$的值。当$n=2$时，答案应为 $m+n$ 的值。

Answer: 3
user: 已知 $\alpha, \beta \geqslant 0, \alpha+\beta \leqslant 2 \pi$, 则 $\sin \alpha+2 \cos \beta$ 的最小值为。原始答案为$-\frac{m \sqrt{n}}{q}$的形式，请给出m+n+q的值。

Answer: 12
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=1, A C=2, \cos B=2 \sin C$, 则 $B C$ 的长为 \frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{k} 的形式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 18
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{1}=a_{2}=a_{3}=1$ 。令$$b_{n}=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$$若 $\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 3 的等比数列, 求 $a_{100}$ 的值。原始答案为$\frac{3^{t}+m}{n}$的格式，请给出$m + n+t$的值。

Answer: 123
user: 当 $\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ 时, $y=\sin ^{2} x+\sqrt{3} \sin x \cos x$ 的取值范围是 $[a, \frac{c}{b}]$。请给出$a + b+c$的值。

Answer: 6
user: 设实数 $k, l, m$ 满足：函数 $y=(x+1)\left(x^{2}+k x+l\right)$ 的图像有对称中心 $(1,0)$ ，且与函数 $y=x^{3}+m$ 的图像有公共点, 则 $k+l+m$ 的取值范围是$\left(-\infty, \frac{a}{b}\right]$，求$a+b$的值。

Answer: 37
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, $x$ 轴正半轴上的两个动点 $A 、 B$ 满足 $|O B|-|O A|=2022$ ，抛物线 $\Gamma: y^{2}=4 x$ 上一点 $P$ 满足 $P A \perp A B$ ，过点 $P$ 作 $\Gamma$ 的切线 $l$ ，记点 $B$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ 。 $d$ 的最小值为$a\sqrt{b}$, 当 $d$ 取到最小值时数量积 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的值$c$。请给出$a+b+c$的值。

Answer: 5050
user: 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$, 且当 $x \geq 0$ 时, $f(x)=|x-2|+a$ (其中 $a$ 为实数). 若 $f(x)$ 为奇函数, 则不等式 $f(x) \geq 1$ 的解集为$[a,b] \cup[c,+\infty)$，求$a+b+c$的值。

Answer: 1
user: 设正整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 同时具有以下两个性质：\n（i）对任意正整数 $k$ ，均有 $a_{2 k-1}+a_{2 k}=2^{k}$ ；\n(ii) 对任意正整数 $m$, 均存在正整数 $l \leq m$, 使得 $a_{m+1}=\sum_{i=l}^{m} a_{i}$。 $a_{2}+a_{4}+a_{6}+\cdots+a_{2022}$ 的最大值为$\frac{2^{m}-n}{t}$，求$m + n+t$的值。

Answer: 1021
user: 若 $\triangle A B C$ 满足 $\frac{\angle A}{3}=\frac{\angle B}{4}=\frac{\angle C}{5}$, 则 $\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}}{|B C|^{2}}$ 的值为$\frac{a+\sqrt{b}}{c}$，求$a+b+c$的值。

Answer: 10
user: 已知四面体 $A B C D$ 满足 $A B \perp B C, B C \perp C D, A B=B C=C D=2 \sqrt{3}$, 且该四面体的体积为 $6$ ，则异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成的角的大小可能为$x^{\circ}$ 或 $y^{\circ}$，求$x+y$的值

Answer: 105
user: 给定实数 $r$ ，甲、乙两人玩如下的游戏。黑板上写着一个含有三个绝对值的算式：$$ S=|\square-\square|+|\square-\square|+|\square-\square|, $$ 其中 6 个空格 "口"中尚未填数。每一回合，甲选取区间 $[0,1]$ 中的一个实数（不同回合中可以选相同的数），乙将该数填在某个空格之中。经过六个回合之后所有 6 个空格中均填了数， $S$ 的值也随之确定。若 $S \geq r$ ，则甲胜，否则乙胜。求使甲有获胜策略的最大 $r$ 值的 $m + n$ ，其中 $r$ 以 $\frac{m}{n}$ 的形式给出。

Answer: 23
user: 对任意正实数 $a$ ，记函数 $f(x)=|\lg x|$ 在 $[a,+\infty)$ 上的最小值为 $m_{a}$, 函数 $g(x)=\sin \frac{\pi x}{2}$ 在 $[0, a]$ 上的最大值为 $M_{a}$. 若 $M_{a}-m_{a}=\frac{1}{2}$, $a$ 的值可能为$\frac{a}{b}$ 或 $\sqrt{c}$，请给出 $a + b + c$ 的值。

Answer: 14
user: 已知 $\triangle A B C$ 及其边 $B C$ 上的一点 $D$ 满足： $A B=2 B D$ ， $A C=3 C D$ ，且以 $A 、 D$ 为焦点可以作一个椭圆 $\Gamma$ 同时经过 $B 、 C$ 两点，求 $\Gamma$ 的离心率。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$格式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 28
user: 若正数 $a, b$ 满足 $\log _{2} a+\log _{4} b=8, \log _{4} a+\log _{8} b=2$, 则 $\log _{8} a+\log _{2} b$ 的值为一个分数形式。请给出分子和分母的和。

Answer: 55
user: 设 $a$ 为实数. 若存在实数 $t$, 使得 $\frac{a-\mathrm{i}}{t-\mathrm{i}}+\mathrm{i}$ 为实数 ( i 为虚数单位), 则$a$ 的最大值为$-\frac{m}{n}$，求$m+n$的值。

Answer: 7
user: 给定整数 $n(n \geq 2)$. 对于一个 $2 n$ 元有序数组 
$$ 
T=\left(a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \cdots, a_{n}, b_{n}\right), 
$$ 
若 $T$ 的每个分量均为 0 或 1 ，且对任意 $p, q(1 \leq p<q \leq n)$ ，均有 $\left(a_{p}, b_{p}, b_{q}\right) \neq(1,0,1)$且 $\left(a_{q}, b_{q}, a_{p}\right) \neq(1,0,0)$, 则称 $T$ 为 "有趣数组"。求出有趣数组的个数的表达式，并计算当$n=3$时的个数。

Answer: 33
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为非负实数, 且满足：对任意整数 $n \geq 2$, 均有 $a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}+n$ 。若 $a_{2} a_{2022}=1$, 求 $a_{1}$ 的最大可能值。原始答案为 $\frac{m}{n}$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 6076
user: 对于和为 1 的九个非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}$, 令 
$$ 
\begin{aligned} 
& S=\min \left\{a_{1}, a_{2}\right\}+2 \min \left\{a_{2}, a_{3}\right\}+\cdots+8 \min \left\{a_{8}, a_{9}\right\}+9 \min \left\{a_{9}, a_{1}\right\}, \\ 
& T=\max \left\{a_{1}, a_{2}\right\}+2 \max \left\{a_{2}, a_{3}\right\}+\cdots+8 \max \left\{a_{8}, a_{9}\right\}+9 \max \left\{a_{9}, a_{1}\right\}, 
\end{aligned} 
$$ 
这里, $\min \{x, y\}$ 表示 $x, y$ 中的较小者, $\max \{x, y\}$ 表示 $x, y$ 中的较大者. 
记 $S$ 的最大可能值为 $S_{0}$ 。 当 $S=S_{0}$ 时, $T$ 最大值与最小值之和为$\frac{b}{a}$，求$a+b$的值。

Answer: 319
user: 若四棱雉 $P-A B C D$ 的棱 $A B, B C$ 的长均为 $\sqrt{2}$, 其他各条棱长均为 1, 则该四棱雉的体积为$\frac{\sqrt{m}}{n}$的形式，请给出$m + n$的值。

Answer: 8
user: 若复数 $z$ 满足: $\frac{z-3 i}{z+i}$ 为负实数 ( i 为虚数单位), $\frac{z-3}{z+1}$ 为纯虚数, 则 $z$ 的值为$\sqrt{m} \mathrm{i}$ 的形式，请给出 $m$ 的值。

Answer: 3
user: 若 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 满足 $\sin A=\cos B=\tan C$, $\cos ^{3} A+\cos ^{2} A-\cos A$ 的值为$\frac{n}{m}$，求$m+n$的值。

Answer: 3
user: 设函数 $f(x)=\frac{x^{2}+x+16}{x}(2 \leq x \leq a)$, 其中实数 $a>2$. 若 $f(x)$ 的值域为 $[9,11]$, 请给出 $a$ 的取值范围端点的和。

Answer: 12
user: 设正数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 满足: $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成公差为 $b_{1}$ 的等差数列, $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 成公比为 $a_{1}$ 的等比数列, 且 $a_{3}=b_{3}$. 求 $a_{3}$ 的最小值, 并确定当 $a_{3}$ 取到最小值时 $a_{2} b_{2}$ 的值。原始答案为$\frac{m\sqrt{n}}{k}$格式，请给出$m + n + k$的值。

Answer: 29
user: 在平面直角坐标系中, $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\Gamma: \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的两个焦点, $\Gamma$ 上一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=1$. 求点 $P$ 到 $\Gamma$ 的两条渐近线的距离之和。原始答案为 $\frac{m \sqrt{n}}{k}$ 格式，请给出 $m + n + k$ 的值。

Answer: 7
user: 若 $a, b$ 为实数, $a<b$, 函数 $y=\sin x$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的最大值与最小值之差为 1, $b-a$ 的最大值与最小值之和为$\frac{b}{a}\pi$，求$a+b$的值。

Answer: 7
user: 若正四棱雉 $P-A B C D$ 的各条棱长均相等, $M$ 为棱 $A B$ 的中点, 则异面直线 $B P$ 与 $C M$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出m + n的值。

Answer: 15
user: 已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$, 且 $\operatorname{Re} \frac{z+1}{\bar{z}+1}=\frac{1}{3}$, 则 $\operatorname{Re} \frac{Z}{\bar{z}}$ 的值为 \qquad. 原始答案为$-\frac{m}{n}$的形式，请给出$m + n$的绝对值。

Answer: 16
user: 设 $a=1+10^{-4}$ 。在 $2023 \times 2023$ 的方格表的每个小方格中填入区间 $[1, a]$ 中的一个实数。设第 $i$ 行的总和为 $x_{i}$ ，第 $i$ 列的总和为 $y_{i}$ ， $1 \leq i \leq 2023$ 。 用$a$表示$\frac{y_{1} y_{2} \cdots y_{2023}}{x_{1} x_{2} \cdots x_{2023}}$ 的最大值为$\frac{(m a+n)^{p}}{p^{p} a^{m}}$，求$m+n+p$的值。

Answer: 4046
user: 设 $a, b, c$ 为正数， $a<b$ 。若 $a, b$ 为一元二次方程 $a x^{2}-b x+c=0$ 的两个根，且 $a, b, c$ 是一个三角形的三边长，则 $a+b-c$ 的取值范围是$\left(\frac{m}{n}, \sqrt{p}-q\right)$，求$m+n+p+q$的值。

Answer: 21
user: 方程 $\sin x=\cos 2 x$ 的最小的 $20$ 个正实数解之和为$m\pi$, 请给出$m$的值。

Answer: 130
user: 若不小于 1 的实数 $t$ ：对任意 $a, b \in[-1, t]$, 总存在 $c, d \in[-1, t]$, 使得 $(a+c)(b+d)=1$，则实数 $t$ 满足$\frac{m}{n} \leq t \leq p$，求$m+n+p$的值。

Answer: 7
user: 将方程 $\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的所有正实数解从小到大依次记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots$ ， $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{20}$ 的值为 $m\pi$ 的形式，请给出 $m$ 的值。

Answer: 205
user: 设 $m, n$ 是给定的整数， $m \geq n \geq 3$ 。求具有下述性质的最小正整数 $k$ ：若将 $1,2, \cdots, k$ 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在 $m$ 个红色的数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}$ （允许相同），满足 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m-1}<x_{m}$ ，或者存在 $n$ 个蓝色的数 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ （允许相同），满足 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n-1}<y_{n}$ 。请给出 $m=5,n=4$时$k$ 的值。

Answer: 17
user: 设 $n$ 为正整数. 从 $1,2, \cdots, n$ 中随机选出一个数 $a$, 若事件 " $2<\sqrt{a} \leq 4$ "发生的概率为 $\frac{2}{3}$ ，请给出 $n$ 的所有可能的值之和。

Answer: 30
user: 求出所有满足下面要求的不小于 -1 的实数 $t$ ：对任意 $a \in[-2, t]$, 总存在 $b, c \in[-2, t]$, 使得 $a b+c=1$. 请给出满足条件的最小整数。

Answer: -1
user: 设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $\Omega$ 的焦点, 在 $\Omega$ 上取一点 $P$ (异于长轴端点), 记 $O$ 为 $\Delta P F_{1} F_{2}$ 的外心, 若 $\overrightarrow{P O} \cdot \overrightarrow{F_{1} F_{2}}=2 \overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$, 则 $\Omega$ 的离心率的最小值为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 10
user: 设复数 $z, w$ 满足 $z+w=2$, 求 $S=\left|z^{2}-2 w\right|+\left|w^{2}-2 z\right|$的最小可能值。原始答案为$a\sqrt{b}-c$的格式，请给出$a+b+c$的值。

Answer: 29
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\cos C=\frac{\sin A+\cos A}{2}=\frac{\sin B+\cos B}{2}$,求 $\cos C$ 的值. 该答案的原始形式为 \(\frac{\sqrt{m}}{n}\)，请给出 m + n 的值。

Answer: 11
user: 四面体 $A B C D$ 中, $A B \perp B C, B C \perp C D$, 且 $A B, B C, C D, D A$ 的长分别为 $1,2,3,4$,则四面体 $A B C D$ 的体积为。原始答案为\frac{k\sqrt{m}}{n}的形式，请给出m + n+k的值。

Answer: 7
user: 设 $S=\{1,2,3, \cdots, 100\}$. 求最大的整数 $k$ ，使得 $S$ 有 $k$ 个互不相同的非空子集，具有性质：对这 $k$ 个子集中任意两个不同子集，若它们的交集非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同。已知k形如m^{n}+k，求m+n+k的值

Answer: 100
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=\frac{\pi}{6}, a_{n+1}=\arctan \left(\sec a_{n}\right)\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)$ 。求正整数 $m$ ，使得 $$ \sin a_{1} \cdot \sin a_{2} \cdots \sin a_{m}=\frac{1}{100} $$ 请给出正整数 $m$ 的值。

Answer: 3333
user: Given that the line $y=kx+b$ intersects the curve $y=x^{3}-x$ at three distinct points $A, B, C$, and that $|AB|=|BC|=2$, find the integer value of $k$.

Answer: 1
user: 在椭圆 $\Omega$ 中 $F_{1}, F_{2}$ 为焦点, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, 若 $\angle F_{1} B F_{2}=\angle F_{1} A B$ ，则 $\Omega$ 的离心率为。原始答案为 \frac{\sqrt{m} - n}{k} 的格式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 6
user: 方程 $\cos \frac{X}{4}=\cos x$ 的通解是 $\qquad$ ，在 $(0,24 \pi)$ 内不相同的解有多少个？请给出不相同解的个数。

Answer: 20
user: 方程 $\cos \frac{x}{4}=\cos x$ 的通解是 $\qquad$, 在 $(0,24 \pi)$ 内不相同的解有多少个？请给出在 $(0,24 \pi)$ 内不相同的解的个数加1的值。

Answer: 21
user: 如图， $A B$ 是单位圆的直径，在 $A B$ 上任取一点 $D$ ，作 $D C \perp A B$, 交圆周于 $C$ 。若点 $D$ 的坐标为 $(x, 0)$,则当 $x \in$ $\qquad$时，线段 $A D 、 B D 、 C D$ 可以构成锐角三角形。请提供区间的两个端点之和。

Answer: 0
user: 如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是 $B C$ 中点, $F$ 在 $A A_{1}$ 上, 且 $A_{1} F: F A=1: 2$. 求平面 $B_{1} E F$与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成的二面角。原始答案为$\mathrm{arctan}\frac{\sqrt{m}}{n}$，请给出m + n的值。

Answer: 40
user: 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若角 $A 、$ $B 、 C$ 的大小成等比数列，且 $b^{2}-a^{2}=a c$ ，则角 $B$ 的弧度为等于 $\qquad$ 。原始答案为 $\frac{m\pi}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 9
user: 如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 在 $A A_{1}$ 上，且 $A_{1} F: F A=1: 2$, 求平面 $B_{1} E F$ 与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成的二面角。已知原始答案为\( \arctan \frac{\sqrt{m}}{n} \)的格式，请给出m + n的值。

Answer: 40
user: 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若角 $A 、 B 、 C$ 的大小成等比数列，且 $b^{2}-a^{2}=a c$ ，则角 $B$ 的弧度数为 \frac{m\pi}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 9
user: 设 $k$ 是大于 1 的整数， $a$ 是 $x^{2}-k x+1=0$ 的根，对于大于 10 的任意自然数 $n, a^{2^{n}}+a^{-2^{n}}$ 的个位数字总是 7 ，则 $k$ 的个位数字是哪些整数？请给出这些整数的和。

Answer: 15
user: 长为 $\sqrt{2}$ ，宽为 1 的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积。原始答案为 \frac{m}{n} \sqrt{k \pi} 的形式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 98
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\angle A=\alpha, C D 、 B E$ 分别是 $A B 、 A C$ 上的高, 则 $\frac{D E}{B C}=$ $\qquad$.#*请给出\alpha=\frac{\pi}{2}时的答案

Answer: 0
user: $(\sqrt{x}+2)^{2 n+1}$ 的展开式中, $x$ 的整数次幂的各项系数之和为 $\qquad$.请给出
n=2时的结果

Answer: 122
user: 长为 $\sqrt{2}$, 宽为 1 的矩形, 以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周, 求得到的旋转体体积的$\frac{24\sqrt{3}}{ \pi}$为多少。

Answer: 23
user: $(\sqrt{x}+2)^3$ 的展开式中， $x$ 的整数次幂的各项系数之和为

Answer: 14
user: 已知正三棱雉 $S-A B C$ 的高 $S O=3$ ，底面边长为 6 。过 $A$ 点向它所对的侧面 $S B C$ 作垂线，垂足为 $D$ ，在 $A D$ 上取一点 $P$ ，使 $\frac{A P}{P D}=8$ ，求经过 $P$ 点且平行于底面的截面的面积的平方是多少。

Answer: 3