sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=3, A D=4, P$为矩形 $A B C D$ 所在平面上一点，满足 $P A=2$ ， $P C=\sqrt{21}$. 则 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=$ $\qquad$。

Answer: 0
user: 设集合 $I=\{1,2, \cdots, 8\}$ 。若 $I$ 的非空子集 $A 、 B$ 满足 $A \cap B=\varnothing$ ，则称有序集合对 $(A, B)$ 为 $I$ 的"隔离集合对"。那么，集合 $I$ 的隔离集合对的个数为 $\qquad$ （用具体数字作答)。

Answer: 6050
user: 设直线 $y=k x+b$ 与曲线 $y=x^{3}-x$ 有三个不同的交点 $A 、 B 、 C$, 且 $|A B|=|B C|=2$ 。则 $k$ 的值为 $\qquad$.

Answer: 1
user: Let $P(x)=x^{2}-1$. How many distinct real solutions does the following equation have:
$$
\underbrace{P(P(\ldots(P}_{2004}(x)) \ldots))=0? \quad[20 \text { points }]
$$

Answer: 2005
user: There are $2 n$ students in a school $(n \in \mathbb{N}, n \geq 2)$. Each week $n$ students go on a trip. After several trips the following condition was fulfilled: every two students were together on at least one trip. What is the minimum number of trips needed for this to happen?

Answer: 6
user: We colour all the sides and diagonals of a regular polygon $P$ with 43 vertices either red or blue in such a way that every vertex is an endpoint of 20 red segments and 22 blue segments. A triangle formed by vertices of $P$ is called monochromatic if all of its sides have the same colour. Suppose that there are 2022 blue monochromatic triangles. How many red monochromatic triangles are there?

Answer: 859
user: 求满足下列关系式组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=2 z^{2} \\
z<y \leq z+50
\end{array}\right.
$$
的正整数解组 $(x, y, z)$ 的个数.

Answer: 131
user: 对于集合 $\{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$ ，我们把 $b-a$ 称为它的长度。设集合 $A=\{x \mid a \leqslant x \leqslant$ $a+1981\}, B=\{x \mid b-1014 \leqslant x \leqslant b\}$ ，且 $A, B$ 都是集合 $U=\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 2012\}$的子集，则集合 $A \cap B$ 的长度的最小值是 $\qquad$ 。

Answer: 983
user: 设 $V$ 是空间中 2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面。某些点之间连有线段，记 $E$ 为这些线段构成的集合。试求最小的正整数 $n$ ，满足条件：若 $E$ 至少有 $n$ 个元素，则 $E$ 一定含有 908 个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集。

Answer: 2795
user: 设整数 $n>4,(x+2 \sqrt{y}-1)^{n}$ 的展开式中 $x^{n-4}$ 与 $x y$ 两项的系数相等, 则 $n$的值为 $\qquad$.

Answer: 51
user: 给定凸 20 边形 $P$ 。用 $P$ 的 17 条在内部不相交的对角线将 $P$ 分割成 18 个三角形。所得图形称为 $P$ 的一个三角剖分图。对 $P$ 的任意一个三角剖分图 $T, P$ 的 20 条边以及添加的 17 条对角线均称为 $T$ 的边。 $T$ 的任意 10 条两两无公共端点的边的集合称为 $T$的一个完美匹配。当 $T$ 取遍 $P$ 的所有三角剖分图时, 求 $T$ 的完美匹配个数的最大值。

Answer: 89
user: $\frac{1}{1-\log _{2} 20}+\frac{1}{1-\log _{5} 50}$ 的值为 $\qquad$.

Answer: -1
user: 已知集合 $S=\{1,2,3, \cdots, N\}$ 的四个500元子集 $A_{1}, A_{2}$, $A_{3}, A_{4}$ 满足：对任意 $x, y \in S$ ，均存在某个 $i \in\{1,2,3,4\}$ ，使得 $x, y \in A_{i}$ 。求正整数 $N$ 的最大可能值。

Answer: 833
user: 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{100}$ 是非负整数，同时满足以下条件：
（1）存在正整数 $k \leq 100$ ，使得 $a_{1} \leq a_{2} \leq \cdots \leq a_{k}$ ，而当 $i>k$ 时 $a_{i}=0$ ；
（2） $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{100}=100$ ；
$a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots+100 a_{100}=2022$ 。
求 $a_{1}+2^{2} a_{2}+3^{2} a_{3}+\cdots+100^{2} a_{100}$ 的最小可能值.

Answer: 40940
user: 已知集合
$$
M=\{x, xy, \mathrm{l}g(xy)\}
$$

及
$$
N=\{0, |x|, y\},
$$
并且 $M=N$ ，那么$(x+\frac{1}{y})+(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})+(x^{3}+\frac{1}{y^{3}})+\ldots+(x^{2001}+\frac{1}{y^{2001}})$的值等于
$\qquad$ $\cdot$

Answer: -2
user: 已知集合 $M=\{x, y, \lg (x y)\}$ 及 $N=\{0,|x|, y\}$ ，并且 $M=N$ ，那么 $\left(x+\frac{1}{y}\right)+\left(x^{2}+\frac{1}{y^{2}}\right)+\left(x^{3}+\frac{1}{y^{3}}\right)+\cdots+\left(x^{2001}+\frac{1}{y^{2001}}\right)$ 的值等于 $\qquad$

Answer: -2
user: 设集合 $A=\{1,2, m\}$ ，其中 $m$ 为实数。令 $B=\left\{a^{2} \mid a \in A\right\}, C=A \cup B$ 。若 $C$ 的所有元素之和为 6, 则 $C$ 的所有元素之积为 $\qquad$.

Answer: -8
user: 有四所学校的学生参加一项数学竞赛，每所学校派出 3 名选手.组委会要抽选其中若干名选手做一项调研，要求任意两所学校被抽中的选手数之和至少为 1 、至多为 3 ，则不同的抽选方式数为 $\qquad$ （结果用数值表示）.

Answer: 837
user: 在 $5 \times 5$ 矩阵中, 每个元素都为 0 或 1, 且满足：五行的元素之和都相等,但五列的元素之和两两不等.这样的矩阵的个数为 $\qquad$ （答案用数值表示）.

Answer: 26400
user: 已知集合 $S=\{1,2,3, \cdots, N\}$ 的四个500元子集 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ 满足：对任意 $x, y \in S$ ，均存在某个 $i \in\{1,2,3,4\}$ ，使得 $x, y \in A_{i}$. 求正整数 $N$ 的最大可能值.

Answer: 833
user: 圆周上依次有 100 个点 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{100}$ （其中 $P_{100}$ 与 $P_{1}$ 相邻）. 现有 5 种颜色，要求 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{100}$ 中每个点染 5 种颜色之一，每种颜色至少染一个点. 若对任意这样的染色方式， $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{100}$ 中总存在 $t$ 个连续的点含有至少 3 种颜色，求 $t$ 的最小值.

Answer: 26
user: 若三个正整数 $a, b, c$ 的位数之和为 8, 且组成 $a, b, c$ 的 8 个数码能排列为 $2,0,2,4,0,9,0,8$ ，则称 $(a, b, c)$ 为 "幸运数组"，例如 $(9,8,202400)$ 是一个幸运数组. 满足 $10<a<b<c$ 的幸运数组 $(a, b, c)$ 的个数为 $\qquad$.

Answer: 591
user: 若三个正整数 $a, b, c$ 的位数之和为 8, 且组成 $a, b, c$ 的 8 个数码能排列为 $2,0,2,4,0,9,0,8$, 则称 $(a, b, c)$ 为 "幸运数组"，例如 $(9,8,202400)$ 是一个幸运数组. 满足 $10<a<b<100$ 的幸运数组 $(a, b, c)$ 的个数为 $\qquad$

Answer: 291
user: 设集合 $A=\{1,2, \cdots, 99\}, X, Y$ 均为 $A$ 的非空子集（允许 $X=Y$ ）。 $X$ 中的最大元与 $Y$ 中的最小元分别记为 $\max X, \min Y$ 。求满足 $\max X>\min Y$ 的有序集合对 $(X, Y)$ 的数目。

Answer: 24
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}: a_{1}=7, \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=a_{n}+2, n=1,2,3, \cdots$ 。求满足 $a_{n}>4^{2018}$ 的最小正整数 $n$.

Answer: 12
user: 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 $a$ 的正三角形, 这样两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数 $\frac{m}{n}$ .那么, 积 $m \cdot n$ 是 $\qquad$ .

Answer: 6
user: 设 $a, b>0$, 满足关于 $x$ 的方程 $\sqrt{|x|}+\sqrt{|x+a|}=b$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$,且 $x_{1}<x_{2}<x_{3}=b$, 则 $a+b$ 的值为 $\qquad$.

Answer: 144
user: 给定整数 $n \geqslant 3$, 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2 n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{2 n}$ 是 $4 n$ 个非负实数, 满足 
$$ 
a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2 n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{2 n}>0, 
$$ 
且对任意 $i=1,2, \cdots, 2 n$, 有 $a_{i} a_{i+2} \geqslant b_{i}+b_{i+1}$ （这里 $a_{2 n+1}=a_{1}, a_{2 n+2}=a_{2}$, $b_{2 n+1}=b_{1}$ ), 求 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2 n}$ 的最小值.

Answer: 16
user: 给定凸 20 边形 $P$ .用 $P$ 的 17 条在内部不相交的对角线将 $P$ 分割成 18 个三角形.所得图形称为 $P$ 的一个三角剖分图.对 $P$ 的任意一个三角剖分图 $T, P$ 的 20 条边以及添加的 17 条对角线均称为 $T$ 的边. $T$ 的任意 10 条两两无公共端点的边的集合称为 $T$的一个完美匹配.当 $T$ 取遍 $P$ 的所有三角剖分图时, 求 $T$ 的完美匹配个数的最大值.

Answer: 89
user: 设 9 元集合 $A=\{a+b \mathrm{i} \mid a, b \in\{1,2,3\}\}$, i 是虚数单位. $\alpha=\left(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{9}\right)$ 是 $A$ 中所有元素的一个排列, 满足 $\left|z_{1}\right| \leqslant\left|z_{2}\right| \leqslant \cdots \leqslant\left|z_{9}\right|$, 则这样的排列 $\alpha$ 的个数为 $\qquad$.

Answer: 8
user: 设 $f(x)=x^{3}+3\left(x^{2}+x+\sin \pi x\right)$, 则 $f(1-\pi)+f(\pi-3)=\qquad$.

Answer: -2
user: 设正整数 $a, b, c$ 中任意两个数不互素，且 $a+b+c$ 为素数. 求 $a+b+c$ 的最小值.

Answer: 31
user: 小明同学任选一个各项均为非零整数的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，随后他列出 2020 个关于 $x$ 的一元二次方程:
$$
E_{i}: a_{i} x^{2}+a_{i+1} x+a_{i+2}=0(i=1,2, \cdots, 2020),
$$
再将上述每个方程的根都写在黑板上.求此时黑板上两两不同的实根的个数的最大可能值.

Answer: 6
user: 对正整数 $n$ 及实数 $x(0 \leqslant x<n)$, 定义 
$$ 
f(n, x)=(1-\{x\}) \cdot C_{n}^{[x]}+\{x\} \cdot C_{n}^{[x]+1}, 
$$ 
其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数， $\{x\}=x-[x]$ .若整数 $m, n \geqslant 2$ 满足 
$$ 
f\left(m, \frac{1}{n}\right)+f\left(m, \frac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(m, \frac{m n-1}{n}\right)=123, 
$$ 
求 $f\left(n, \frac{1}{m}\right)+f\left(n, \frac{2}{m}\right)+\cdots+f\left(n, \frac{m n-1}{m}\right)$ 的值.

Answer: 74
user: 设 $a, b>0$ ，满足：关于 $x$ 的方程 $\sqrt{|x|}+\sqrt{|x+a|}=b$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, 且 $x_{1}<x_{2}<x_{3}=b$, 则 $a+b$ 的值为 $\qquad$.

Answer: 144
user: 设 $A=\{1,2,3\}, B=\{2 x+y \mid x, y \in A, x<y\}, C=\{2 x+y \mid x, y \in A, x>y\}$ ，则 $B \cap C$ 的所有元素之和为 $\qquad$.

Answer: 12
user: 设正整数 $n$ 满足 $n \leq 2016$, 且 $\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{4}\right\}+\left\{\frac{n}{6}\right\}+\left\{\frac{n}{12}\right\}=3$. 这样的 $n$ 的个数为 $\qquad$. 这里 $\{x\}=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.

Answer: 168
user: 已知复数 $z$ 满足 $z^{2}+2 z=\bar{z} \neq z$ ($\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数) ，则 $z$ 的所有可能值的积为 $\qquad$.

Answer: 3
user: 已知 $f(x), g(x)$ 均为定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称, $g(x)$ 的图像关于点 $(1,-2)$ 中心对称, 且 $f(x)+g(x)=9^{x}+x^{3}+1$, 则 $f(2) g(2)$ 的值为 $\qquad$.

Answer: 2016
user: 设正整数 $n$ 满足 $n \leqslant 2016$ ，且 $\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{4}\right\}+\left\{\frac{n}{6}\right\}+\left\{\frac{n}{12}\right\}=3$ . 这样的 $n$ 的个数为 $\qquad$. 这里 $\{x\}=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.

Answer: 168
user: 设整数数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{10}$ 满足 $a_{10}=3 a_{1}, a_{2}+a_{8}=2 a_{5}$, 且 $a_{i+1} \in\left\{1+a_{i}, 2+a_{i}\right\}, i=$ $1,2, \cdots, 9$, 则这样的数列的个数为 $\qquad$.

Answer: 80
user: 已知复数 z 的模为 1, 则 $|z-4|^{2}+|z+3 i|^{2}$ 的最小值为 $\qquad$.

Answer: 17
user: 设 $f(m)$ 是正整数 m 的各位数字的乘积，求方程 $f(m)=m^{2}-10 m-36$ 的正整数解.

Answer: 13
user: 设 $a_{i}(i=1,2,3,4)$ 均为实数, 若集合 $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ 的所有非空真子集的元素之和为 28, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.

Answer: 8
user: 有长为 $2^{n}(n=0,1, \cdots, 1009)$ 的线段各三条, 则由这 3030 条线段能构成不全等的三角形的个数为 $\qquad$ (用数字作答).

Answer: 510555
user: 已知 $a_{1} 、 a_{2} 、 a_{3} 、 a_{4}$ 均为实数。若集合 $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ 的所有非空真子集的元素之和为 28, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.

Answer: 4
user: 已知 $\odot O: x^{2}+y^{2}=5$ 与抛物线 $C$ : $y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于点 $A\left(x_{0}, 2\right), A B$ 为 $\odot O$ 的直径，过点 $B$ 的直线与抛物线 $C$ 交于两点 $D$ 、 $E$ 。则 $A D$ 与 $A E$ 的斜率之积为 $\qquad$.

Answer: 2
user: 若实数 $x 、 y$ 满足
$2^{x}+4 x+12=\log _{2}(y-1)^{3}+3 y+12=0$,则 $x+y=$ $\qquad$.

Answer: -2
user: 有长为 $2^{n}(n=0,1, \cdots, 1009)$ 的线段各三条，则由这 3030 条线段能构成不全等的三角形的个数为 $\qquad$ （用数字作答）。

Answer: 510555
user: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x, y, z$, 都有
$\frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9}$, 求 $\sum_{i=1}^{100}[i f(i)]$.其中 [x] 代表不超过 x 的最大整数.

Answer: 1650
user: 若存在实数 $a$ 及正整数 $n$ 使得 $f(x)=\cos 2 x-a \sin x$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有 2022 个零点, 则满足条件的正整数 $n$ 的值有 $\qquad$个.

Answer: 5
user: 已知圆 $O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $O_{2}:(x-3)^{2}+y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 $A$, 过点 $A$ 的直线分别交圆 $O_{1}, O_{2}$ 于 $C, D$ 两点 $(C, D$ 异于点 $A$ ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$, 则直线 $C D$ 的斜率为$\qquad$.

Answer: 5
user: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x 、 y 、 z$ 都有 
$$\frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9},$$
求 $\sum\limits_{i=1}^{100}[i f(i)]$. 其中, $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数.

Answer: 1650
user: 已知 $\odot O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $\odot O_{2}:(x-3)^{2}+$ $y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 $A$, 过点 $A$ 的直线分别交 $\odot O_{1} 、 \odot O_{2}$ 于 $C 、 D$ 两点（ $C$ 、 $D$ 异于点 $A$ ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$. 则直线 $C D$ 的斜率是 $\qquad$.

Answer: 5
user: 设 $f(x)$ 是二次函数, 且 $2 x^{2}-4 x+3 \leqslant f(x) \leqslant 3 x^{2}-6 x+4, f(3)=11$, 则 $f(5)=\qquad$.

Answer: 41
user: 由 $1,2, \cdots, 9$ 这九个正整数构成的所有圆排列中, 任意相邻两数之积均不超过 60 的圆排列的个数为 $\qquad$.

Answer: 21600
user: Find the smallest positive integer $n$ such that for every integer $m$, with $0<m<1993$, there exists an integer $k$ for which
$$
\frac{m}{1993}<\frac{k}{n}<\frac{m+1}{1994}
$$

Answer: 3987
user: 设单调递增数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正整数，且 $a_{7}=120, a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right)$.则 $a_{8}=\qquad.$

Answer: 194
user: 若正整数 $m 、 n$ 满足 $\frac{(m+n)!}{n!}=5040$,则 $m!n$ 的值为 $\qquad$.

Answer: 144
user: 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{4}=1, a_{11}=9$, 且任意连续三项的和都是 15, 则 $a_{2016}=\qquad$.

Answer: 5
user: 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中， $a_{4}=1, a_{11}=9$ ，且任意连续三项的和均为 15. 则 $a_{2016}=$

Answer: 5
user: 设方程 $x y=6(x+y)$ 的全部正整数解为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right)$, 则 $\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}+y_{k}\right)=\qquad$.

Answer: 290
user: 设方程 $x y=6(x+y)$ 的全部正整数解为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right)$. 则
$\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}+y_{k}\right)=\quad.$

Answer: 290
user: 设 $n$ 是正整数, 当 $n>100$ 时, $\sqrt{n^{2}+3 n+1}$ 的小数部分的前两位数是 $\qquad$.

Answer: 49
user: 已知 i 是虚数单位. 若
$z=1+\mathrm{i}+\cdots+\mathrm{i}^{2013}$,
将复数 $z$ 的共轭复数记为 $\bar{z}$, 则 $z \cdot \bar{z}=$

Answer: 2
user: 设 $(1-2 x)^{7}=\sum\limits_{k=0}^{7} a_{k} x^{k}$. 则
$2 a_{2}+3 a_{3}+4 a_{4}+5 a_{5}+6 a_{6}+7 a_{7}=$

Answer: 0
user: 设在 $5 \times 5$ 的方格表的第 $i$ 行第 $j$ 列所填的数为 $a_{i j}\left(a_{i j} \in\{0,1\}\right), a_{i j}=a_{j i}(1 \leqslant i、j \leqslant 5)$ .则表中共有五个 1 的填表方法总数为 $\qquad$ （用具体数字作答).

Answer: 326
user: 设 $a 、 b$ 为实数，对任意满足 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 的实数 $x$ 均有 $|a x+b| \leqslant 1$.则 $|20 a+14 b|+|20 a-14 b|$的最大值为 $\qquad$.

Answer: 80
user: 设 $x+\sin x \cdot \cos x-1=0$ ,$2 \cos y-2 y+\pi+4=0$ . 则 $\sin (2 x-y)$ 的值为 $\qquad$.

Answer: -1
user: 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=3, A D=4, P$为矩形 $A B C D$ 所在平面上一点，满足 $P A=2$ ， $P C=\sqrt{21}$. 则 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=$ $\qquad$.

Answer: 0
user: 对任意正整数 $n$ ，定义函数 $\mu(n)$ ： 
$\mu(1)=1$ ， 
且当 $n=p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{t}^{\alpha_{t}} \geqslant 2$ 时, 
$$ 
\mu(n)= \begin{cases}(-1)^{t}, & \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{t}=1 ; \\ 0, & \text { 否则, }\end{cases} 
$$ 
其中， $t \geqslant 1, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{t}$ 为不同的素数. 
若记 $A=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\right\}$ 为 12 的全部不同正因数的集合，则 $\sum\limits_{i=1}^{k} \mu\left(x_{i}\right)=\qquad$.

Answer: 0
user: 设直线 $y=k x+b$ 与曲线 $y=x^{3}-x$ 有三个不同的交点 $A 、 B 、 C$, 且 $|A B|=|B C|=2$. 则 $k$ 的值为 $\qquad$.

Answer: 1
user: 设集合 $I=\{1,2, \cdots, 8\}$. 若 $I$ 的非空子集 $A 、 B$ 满足 $A \cap B=\varnothing$ ，则称有序集合对 $(A, B)$ 为 $I$ 的"隔离集合对". 那么，集合 $I$ 的隔离集合对的个数为 $\qquad$ （用具体数字作答).

Answer: 6050
user: Let $P(x)=x^{2}-1$. How many distinct real solutions does the following equation have: 
$$ 
\underbrace{P(P(\ldots(P}_{2004}(x)) \ldots))=0? 
$$

Answer: 2005
user: Find the number of positive integers $x$ satisfying the following two conditions:
$x<10^{2006}$;
$x^{2}-x$ is divisible by $10^{2006}$.

Answer: 3
user: Find all prime numbers $p$ for which there exists a unique $a \in\{1,2, \ldots, p\}$ such that $a^{3}-3 a+1$ is divisible by $p$.

Answer: 3
user: Let $V$ be a 10 -dimensional real vector space and $U_{1}$ and $U_{2}$ two linear subspaces such that $U_{1} \subseteq U_{2}, \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} U_{1}=3$ and $\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} U_{2}=6$. Let $\mathcal{E}$ be the set of all linear maps $T: V \longrightarrow V$ which have $U_{1}$ and $U_{2}$ as invariant subspaces (i.e., $T\left(U_{1}\right) \subseteq U_{1}$ and $T\left(U_{2}\right) \subseteq U_{2}$ ). Calculate the dimension of $\mathcal{E}$ as a real vector space.

Answer: 67
user: 对任意正整数 $n$, 连结原点 $O$ 与点 $A_{n}(n, n+3)$, 用 $f(n)$ 表示线段 $O A_{n}$ 上的整点个数(不计端点), 试求 $f(1)+f(2)+\cdots+f(1990)$.

Answer: 1326
user: 在坐标平面上, 横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点, 对任意正整数 $n$, 连接原点 $O$ 与点 $A_{n}(n, n+3)$, 用 $f(n)$ 表示线段 $O A_{n}$ 上除端点外的整点个数,则 $f(1)+f(2)+\cdots+f(1990)=$ $\qquad$.

Answer: 1326
user: $1991^{2000}$ 除以 $10^{6}$ ，余数是 $\qquad$.

Answer: 880001
user: 设 复 数 $z_{1}, z_{2}$ 满 足 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|=3,\left|z_{1}-z_{2}\right|=3 \sqrt{3}$ ，则$\log _{3}\left|\left(z_{1} \overline{z_{2}}\right)^{2000}+\left(\overline{z_{1}} z_{2}\right)^{2000}\right|=$ $\qquad$.

Answer: 4000
user: 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|=3,\left|z_{1}-z_{2}\right|=3 \sqrt{3}$, 则 $\log _{3}\left|\left(z_{1} \overline{z_{2}}\right)^{2000}+\left(\overline{z_{1}} z_{2}\right)^{2000}\right|=$ $\qquad$.

Answer: 4000
user: 将正奇数集合 $\{1,3,5, \cdots\}$ 由小到大按第 $n$ 组有 $(2 n-1)$ 个奇数进行分组:
$\{1\}, \quad\{3,5,7\}, \quad\{9,11,13,15,17\}, \cdots$
（第一组）（第二组）（第三组）
则 1991 位于第 $\qquad$ 组.

Answer: 32
user: 整数 $\left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]$ 的末两位数是 $\qquad$.

Answer: 8
user: 三位数 $(100,101, \ldots, 999)$ 共 900 个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如 198 倒过来看是 861 ；有的卡片则不然，如 531 倒过来看是,因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印 $\qquad$张卡片.

Answer: 34
user: 整数 $\left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]$ 的末尾两位数字是$\qquad$.（先写十位数字，后写个位数字，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）

Answer: 8
user: 已知点集 $A=\left\{(x, y) \left\lvert\,(x-3)^{2}+(y-4)^{2} \leq\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\right.\right\}, B=\left\{(x, y) \left\lvert\,(x-4)^{2}+(y-5)^{2}>\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\right.\right\}$, 则点集 $A \cap B$ 中的整点 （即横、纵坐标均为整数的点）的个数为 $\qquad$.

Answer: 7
user: 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第 1000 项.

Answer: 2186
user: 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列, 试求出这个数列的第 1000 项.

Answer: 2186
user: 已知点集 $A=\left\{(x, y) \left\lvert\,(x-3)^{2}+(y-4)^{2} \leqslant\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\right.\right\}$,
$B=\left\{(x, y) \left\lvert\,(x-4)^{2}+(y-5)^{2}>\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\right.\right\}$. 则点集 $A \cap B$ 中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数是 $\qquad$.

Answer: 7
user: 直角坐标平面上, 满足不等式组 $\left\{\begin{array}{c}y \leqslant 3 x, \\ y \geqslant \frac{x}{3}, \\ x+y \leqslant 100\end{array}\right.$ 的整点个数是 $\qquad$.

Answer: 2551
user: 设 $M=\{1,2,3, \cdots, 1995\}, A$ 是 $M$ 的子集且满足条件：当 $x \in A$ 时， $15 x \notin A$ ，则 $A$ 中元素的个
数最多是 $\qquad$.

Answer: 1870
user: 求一切实数 $p$ ，使得三次方程 $5 x^{3}-5(p+1) x^{2}+(71 p-1) x+1=66 p$ 的三个根均为正整数。

Answer: 76
user: 在直角坐标平面上, 满足不等式组 $\left\{\begin{array}{l}y \leqslant 3 x, \\ y \geqslant \frac{1}{3} x, \\ x+y \leqslant 100\end{array}\right.$ 的整点 (即横、纵坐标均为整数的点）的个数是 $\qquad$.

Answer: 2551
user: 求一切实数 $p$ ，使得三次方程 $5 x^{3}-5(p+1) x^{2}+(71 p-1) x+1=66 p$ 的三个根均为自然数。

Answer: 76
user: For what integer $a$ does $x^{2}-x+a$ divide $x^{13}+x+90$?

Answer: 2
user: Let $p(x)=2+4x+3x^2+5x^3+3x^4+4x^5+2x^6$. For $k$ with $0<k<5$, deline
$$I_k=\int_{0}^{\infty}\frac{x^k}{p(x)}dx$$.
For which $k$ is $I_k$ smallest.

Answer: 2
user: It is well known that the value of the polynomial $(x+1)(x+2) \cdots(x+n)$ is exactly divisible by $n$ for every integer $x$. Given $n$, let $k=k(n)$ be the minimal degree of any monic integral polynomial
$$
f(x)=x^{k}+a_{1} x^{k-1}+\cdots+a_{k}
$$
(with integer coefficients and leading coefficient 1) such that the value of $f(x)$ is exactly divisible by $n$ for every integer $x$.
Find the relationship between $n$ and $k=k(n)$. In particular, find the value of $k$ corresponding to $n=1000000$.

Answer: 25
user: In the additive group of ordered pairs of integers ( $m, n$ ) [with addition defined componentwise: $\left.(m, n)+\left(m^{\prime}, n^{\prime}\right)=\left(m+m^{\prime}, n+n^{\prime}\right)\right]$ consider the subgroup $H$ generated by the three elements
$$
(3,8), \quad(4,-1)
$$
Then $H$ has another set of generators of the form
$$
(1, b), \quad(0, a)
$$
for some integers $a, b$ with $a>0$. Find $a$.
[Elements $g_{i}, \ldots, g_{k}$ are said to generate a subgroup $H$ if (i) each $g_{i} \in H$, and (ii) every $h \in H$ can be written as a sum $h=n_{1} g_{1}+\cdots+n_{k} g_{k}$ where the $n_{i}$ are integers (and where, for example, $3 g_{1}-2 g_{2}$ means $\left.\left.g_{1}+g_{1}+g_{1}-g_{2}-g_{2}\right)\right]$

Answer: 7
user: Call a set of positive integers "conspiratorial" if no three of them are pairwise relatively prime. (A set of integers is "pairwise relatively prime" if no pair of them has a common divisor greater than 1.) What is the largest number of elements in any "conspiratorial" subset of the integers I through 16?

Answer: 11
user: Call a set of positive integers "conspiratorial" if no three of them are pairwise relatively prime. (A set of integers is "pairwise relatively prime" if no pair of them has a common divisor greater than 1.) What is the largest number of elements in any "conspiratorial" subset of the integers 1 through 16?

Answer: 11
user: Find positive integers $n$ and $a_1, a_2,…,a_n$ such that
$$a_1+a_2+…+a_n=1979$$
and the product $a_1a_2…a_n$ is as large as possible.

Answer: 660
user: It is well known that the value of the polynomial $(x+1)(x +2) \dots (x + n)$ is exactly divisible by n for every integer x. Given n, let $k=k(n)$ be the minimal degree of any monic integral polynomial.

$$f(x)=x^k+a_1x^{k-1}+\dots +a_k$$

(with integer coefficients and leading coefficient 1) such that the value of f(x) is exactly divisible by n for every integer x.

Find the relationship between n and $k=k(n)$. In particular, find the value of k corresponding to n=1 000 000.

Answer: 25
user: How many positive integers $n$ are there such that $n$ is an exact divisor of at least one of the numbers $10^{40}, 20^{30}$?

Answer: 2301
user: Two distinct squares of the 8 by 8 chessboard C are said to be adjacent if they have a vertex or side in common. Also, g is called a C-gap if for every numbering of the squares of C with all the integers $1,2,\ldots,64$ there exist two adjacent squares whose numbers differ by at least g. Determine the largest C-gap g.

Answer: 9
user: Suppose that $G$ is a group generated by elements $A$ and $B$, that is, every element of $G$ can be written as a finite "word" $A{ }^{{ }^{1}} B^{n_{2}} A^{n_{3}} \cdots B^{n_{k}}$, where $n_{1}, \ldots, n_{k}$ are any integers, and $A^{\prime \prime}=B^{\prime \prime}=1$ as usual. Also, suppose that $A^{4}=B^{7}=A B A^{-1} B=1, A^{2} \neq 1$, and $B \neq 1$.

(a) How many elements of $G$ are of the form $C^{2}$ with $C$ in $G$?

(b) Write each such square as a word in $A$ and $B$.

Answer: 8
user: Let $V$ be the collection of all quadratic polynomials $P$ with real coefficients such that
$$\sup\{\mid P^{\prime}(0)\mid:P\in V\}.$$

Answer: 8
user: Find
$$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{n^{5}}\sum_{h=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}(5h^{4}-18h^{2}k^{2}+5k^{4})\right].$$

Answer: -1
user: Find
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^{5}} \sum_{h=1}^{n} \sum_{k=1}^{n}\left(5 h^{4}-18 h^{2} k^{2}+5 k^{4}\right)\right].
$$

Answer: -1
user: Consider polynomial forms $ax^2-bx+c$ with integer coefficients which have two distinct zeros in the open interval $0\lt x\lt1$. Exhibit with a proof the least positive integer value of a for which such a polynomial exists.

Answer: 5
user: Two distinct squares of the 8 by 8 chessboard $C$ are said to be adjacent if they have a vertex or side in common. Also, $g$ is called a $C$-gap if for every numbering of the squares of $C$ with all the integers $1,2, \ldots, 64$ there exist two adjacent squares whose numbers differ by at least $g$. Determine the largest $C$-gap $g$.

Answer: 9
user: Find the largest $A$ for which there exists a polynomial
$$
P(x)=A x^{4}+B x^{3}+C x^{2}+D x+E
$$
with real coefficients, which satisfies
$$
0<P(x)<1 \text { for }-1<x<1
$$

Answer: 4
user: How many positive integers n are there such that n is an exact divisor of at least one of the numbers $10^{40}$, $20^{30}$?

Answer: 2301
user: Find the length of the longest sequence of equal nonzero digits in which an integral square can terminate (in base 10) and find the smallest square which terminates in such a sequence.

Answer: 1444
user: Consider polynomial forms $ax^2-bx+c$ with integer coefficients which have two distinct zeros in the open interval $0<x<1$. Exhibit with a proof the least positive integer value of a for which such a polynomial exists.

Answer: 5
user: What is the units (i.e., rightmost) digit of $\left[\frac{10^{20000}}{10^{100}+3}\right]$ ? Here $[x]$ is the greatest integer $\leqslant x$.

Answer: 3
user: 求同时满足下列两个条件的多项式 $f(x)=a x^{3}+b x$ 的个数:
$a, b \in\{1,2, \cdots, 2013\} ;$
$f(1), f(2), \cdots, f(2013)$ 中任意两数之差不是 2013 的倍数。

Answer: 7200
user: 某班有 47 个学生，所用教室有 6 排，每排有 8个座位，用 $(i, j)$ 表示位于第 $i$ 排第 $j$ 列的座位。新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为 $(i, j)$ ，如果调整后的座位为 $(m, n)$ ，则称该生作了移动 $[a$, $b]=[i-m, j-n]$ ，并称 $a+b$ 为该生的位置数。所有学生的位置数之和记为 $S$ 。求 $S$ 的最大可能值与最小可能值之差。

Answer: 24
user: 在一个 $10 \times 10$ 的方格表中有一个由 $4 n$ 个 $1 \times 1$ 的小方格组成的图形，它既可被 $n$个"田"型的图形覆盖，也可被 $n$ 个"田"或 "吅"型（可以旋转）的图形覆盖。求正整数 $n$ 的最小值。

Answer: 4
user: 试求满足下列条件的大于 5 的最小奇数 $a$ ：存在正整数 $m_{1} 、 n_{1} 、 m_{2} 、 n_{2}$ ，使得 
$$ 
\begin{aligned} 
& \quad a=m_{1}^{2}+n_{1}^{2}, a^{2}=m_{2}^{2}+n_{2}^{2}, \\ 
& \text { 且 } \quad m_{1}-n_{1}=m_{2}-n_{2}. 
\end{aligned} 
$$

Answer: 261
user: 求同时满足下列两个条件的多项式 $f(x)=a x^{3}+b x$ 的个数: 
$a, b \in\{1,2, \cdots, 2013\} ;$ 
$f(1), f(2), \cdots, f(2013)$ 中任意两数之差不是 2013 的倍数。

Answer: 7200
user: 求最小的正整数 $m$, 使得对于任意大于 3 的质数 $p$ ，都有 $1051\left(9^{p^{2}}-29^{p}+m\right)$ 。

Answer: 20
user: 求满足下列关系式组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=2 z^{2}, \\
z<y \leq z+50,
\end{array}\right.
$$
的正整数解组 $(x, y, z)$ 的个数.

Answer: 131
user: 双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的右半支与直线 $x=100$ 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是

Answer: 9800
user: 方程 $x+y+z=2010$ 满足 $x \leq y \leq z$ 的正整数解（ $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} ）$ 的个数是

Answer: 336675
user: 对于集合 $\{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$ ，我们把 $b-a$ 称为它的长度.设集合 $A=\{x \mid a \leqslant x \leqslant$ $a+1981\}, B=\{x \mid b-1014 \leqslant x \leqslant b\}$ ，且 $A, B$ 都是集合 $U=\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 2012\}$的子集，则集合 $A \cap B$ 的长度的最小值是 $\qquad$.

Answer: 983