sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}=\frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+2}}\left(n \in N^{*}\right)$, 若 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{6} a_{7}=3$, 则 $a_{2024}=$. 请给出原始答案为frac{m}{n}格式时m + n的值。

Answer: 2035
user: 设 $x_{1}=3, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+14}-\sqrt{x_{n}+2}\left(n \in N^{*}\right)$, 求 $\left[x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right]$ 的值，其中 $n \geq 2$。若$n =5$，请给出 $\left[x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right]$ 的值。

Answer: 10
user: 已知复数 $z$ 使得 $z-\frac{4}{z}$ 为纯虚数, 请给出 $|z-1-i|$ 的最小值的整数近似值。

Answer: 1
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B A}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$, 则 $\triangle A B C$ 最大角的正弦值为。原始答案为$\frac{m\sqrt{n}}{k}$的格式，其中$m,n,k$均为正整数，请给出$m + n+k$的值。

Answer: 23
user: 将一枚均匀的硬币连续抛掷 $n$ 次，以 $p_{n}$ 表示未出现连续 3 次正面的概率. 求数列 $\left\{p_{n}\right\}$ 的其极限.

Answer: 0
user: 已知一个圆柱形水杯的质量为 $a \mathrm{~g}$, 其重心在圆柱轴的中点处 (杯底厚度及质量均忽略不计，且水杯直立放置）。质量为 $b \mathrm{~g}$ 的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处. 若 $b=3 a$, 求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值，化为最简分数的形式后求分子加分母的值是多少。

Answer: 27
user: 把某公司的 $9$ 男 $3$ 女共 $12$ 名员工平均分配到甲、乙、丙三个部门。求甲、乙、丙三个部门各有 $1$ 名女员工的概率.用分数表示，写出分子加分母的值。

Answer: 71
user: 已知 $x^{2}+(y-4)^{2}=12$ 与 $x^{2}=k y$ 有 $A, B, C, D$ 四个交点.
求 $k$ 的取值范围所在的区间长度。

Answer: 4
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 已知 $2 \sin ^{2} \frac{A+B}{2}=1+\cos 2 C$.若 $c^{2}=2 b^{2}-2 a^{2}$, 求 $\cos 2 A-\cos 2 B$ 的值. 原始答案为 $\frac{m}{n}$, 请给出 $m + n$ 的值.

Answer: 7
user: 已知两点 $A(-2,0), B(2,0)$, 动点 $P$ 在 $y$ 轴上的射影是 $H$, 且 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=$ $2|\overrightarrow{P H}|^{2}$ 。 已知过点 $B$ 的直线交曲线 $C$ 于 $x$ 轴下方不同的两点 $M, N$. 设 $M N$ 的中点为 $R$, 过 $R$ 与点 $Q(0,-2)$ 作直线 $R Q$, 若直线 $R Q$ 斜率是一个整数，求这个整数值.

Answer: 0
user: 抛物线 $y=\frac{1}{2} x^{2}$ 与直线 $l: y=x+4$ 所围成区域中有一个矩形 $A B C D$, 且点 $A, B$ 在抛物线上, 点 $D$ 在直线 $l$ 上, 其中点 $B$ 在 $y$ 轴右侧, 且 $|A B|=2 t(t>0)$. 
当边 $C D$ 在直线 $l$ 上时,求矩形 $A B C D$ 面积的最大值.

Answer: 8
user: 设 $G(V, E)$ 是连通的简单图. 称 $E$ 的子集 $H$ 为 $G$ 的"偶度子图"，如果对任何 $x \in V, H$ 中共有偶数条边以 $x$ 为顶点. 设 $|V|=v,|E|=e$ ，问： $G$ 有多少个"偶度子图"？（注： $\emptyset$ 也是一个"偶度子图".）给出 $v=2$时的值。

Answer: 2
user: 给定正整数 $n$, 求最大的正整数 $k$, 使得如下命题成立: 对每个 $1 \leq i \leq 2 n$,设 $A_{i}$ 是若干个相邻的整数构成的集合（即每个 $A_{i}$ 都形如 $\{a+1, a+2, \cdots, a+r\}$ ，其中 $a$ 是整数, $r$ 是正整数），如果对任何 $1 \leq i \leq n, n+1 \leq j \leq 2 n$ 都有 $A_{i} \cap A_{j} \neq \emptyset$ ，则存在整数 $x$ ，使得集合 $\left\{1 \leq i \leq 2 n \mid x \in A_{i}\right\}$ 包含至少 $k$ 个不同的元素. 请给出当n=5时的k值.

Answer: 6
user: For a sequence $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$ of integers, a pair ( $a_{i}, a_{j}$ ) with $1 \leq i<j \leq n$ is called interesting if there exists a pair $\left(a_{k}, a_{l}\right)$ of integers with $1 \leq k<l \leq n$ such that $$ \frac{a_{l}-a_{k}}{a_{j}-a_{i}}=2. $$ For each $n \geq 3$, find the largest possible number of interesting pairs in a sequence of length $n$. Please provide the value of the expression when n = 3.

Answer: 2
user: Let $n = 10$. There are $n$ points in the plane, no three of them collinear. Each day, Tom erases one of the points, until there are three points left. On the $i$-th day, for $1 \leqslant i \leqslant n-3$, before erasing that day's point, Tom writes down the positive integer $v(i)$ such that the convex hull of the points at that moment has $v(i)$ vertices. Finally, he writes down $v(n-2)=3$. Find the greatest possible value that the expression $$ |v(1)-v(2)|+|v(2)-v(3)|+\ldots+|v(n-3)-v(n-2)| $$ can obtain among all possible initial configurations of $n$ points and all possible Tom's moves, when n is 10.

Answer: 12
user: 已知复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 使得 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为纯虚数, $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=1,\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=1$, 则 $\left|z_{3}\right|$ 的最小值是以 $\sqrt{m}-n$ 的形式给出，请提供m+n的值。

Answer: 3
user: 已知 \triangle A B C 为椭圆 \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 的内接三角形，且 A B 过点 P(1,0) ，则 \triangle A B C 的面积的最大值为 \frac{m\sqrt{q}}{n} 的形式，请给出 m + n + q 的值。

Answer: 21
user: 函数 $f(x)=(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-3)\left(\sqrt{1-x^{2}}+1\right)$ 的最小值为 $m$, 最大值为 $M$, 则原始答案为 \frac{m-\sqrt{n}}{q} 的格式，请给出 m + n +q的值。

Answer: 7
user: 已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=3,|\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}|=6, \boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{b}^{2}=-9$, 则 $|b|=$ 的原始答案为 $\sqrt{m}$ 的形式，请给出 m 的值。

Answer: 7
user: 求 $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{120}{\sqrt{n^{2}+k n}}$. 原始答案为 $m(\sqrt{n}-q)$ 的形式，请给出m+n+q的值。

Answer: 243
user: Given the function $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{a} \sin \left(\frac{1}{x^{3}}\right) & x>0, a \in N_{+} \\ 0 & x \leq 0\end{array}\right.$, determine the minimum value of $a$ such that: 
$f(x)$ is differentiable everywhere; 
$f(x)$ is continuously differentiable and $f^{\prime}(x)$ is continuous everywhere. 
Please provide the sum of the minimum values of $a$ for both conditions.

Answer: 7
user: $v_{1}=(3,1,-1,1), v_{2}=(1,-1,1,1), u=(3,5,1,-1)$, 求 $u$ 到 $\operatorname{spn}\left\{v_{1}, v_{2}\right\}$ 的距离。原始答案是以 $6 \sqrt{\frac{m}{n}}$ 的形式给出，请给出 m + n 的值。

Answer: 17
user: 若函数 $f(x)=x^{3}-3 x^{2}-t x-1, x \in R$ 有重根, 求 $t$ 的所有可能的值。答案为一个整数，基于原始答案$t=-3$ 或者 $\frac{m}{n}$，请给出-3 + m + n的值。

Answer: 16
user: 二阶实矩阵 $X$ 满足 $X^{3}=I_{2}$, 请提供 $ ext{tr}(X)$ 的所有可能整数解之和。

Answer: 1
user: Compute the limit: $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1}(\sin x+2) x^{n-1} d x$. Provide the final integer value of the expression when simplified.The answer is \sin(m)+n,please give the sum of m and n.

Answer: 3
user: 求最小的正实数 $c$ ，使得存在二阶连续可微的函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ，满足 $f(0)=f(c)=0$ ，且对任意 $0<x<c$ ，有 $f({x})>0$ 和 $f^{\prime \prime}(x)+2021 f(x) \ge 0$. 原始答案为 \frac{m\pi}{\sqrt{n}}，请给出 m+n的值。

Answer: 2022
user: 求所有复数 $t$ ，使得关于 $x, y, z$ 的多项式 $x^{3}+y^{3}+z^{3}+t x y z$ 能分解为三个与 $x, y, z$ 的复系数一次多项式的乘积. 请提供所有可能的 $t$ 值的和。

Answer: -9
user: 设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为四个有理数, 使得: $\left\{a_{i} a_{j} \mid 1 \leq i<j \leq 4\right\}=\left\{-24,-2,-\frac{3}{2},-\frac{1}{8}, 1,3\right\}$, 求 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$ 的值。原始答案为\pm \frac{m}{n}格式，请给出m + n的值。

Answer: 13
user: 已知复数数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 满足 $z_{1}=1, z_{n+1}=\overline{z_{n}}+1+n \mathrm{i}(n=1,2,3 \cdots)$ ，其中 i 为虚数单位， $\overline{z_{n}}$ 表示 $z_{n}$ 的共轨复数。请计算 $z_{2015}$ 的实部和虚部的和。

Answer: 4022
user: 设 $\omega$ 为正实数, 若存在 $a, b(\pi \leqslant a<b \leqslant 2 \pi)$, 使得 $\sin \omega a+\sin \omega b=2$, 则 $\omega$的取值范围是. 请提供满足条件的区间所有整数分子分母的和。

Answer: 37
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(c, 0)$,若存在经过点 $F$ 的一条直线 $l$ 交粗圆于 $A, B$ 两点，使得 $O A \perp O B$ 。求该粗圆的离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的取值范围。答案为$\left[\frac{\sqrt{m}-n}{p}, q\right)$的形式，请给出m+n+p+q的值。

Answer: 9
user: 设正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是单位正方形, 如果二面角 $A_{1}-B D-C_{1}$ 的大小是 $\frac{\pi}{3}$, 则 $A A_{1}=$ 的原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 格式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 8
user: 已知 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的奇函数, $f(1)=1$, 且对任意 $x<0$, 均有 $f\left(\frac{x}{x-1}\right)=x f(x)$. 求
$$
f(1) f\left(\frac{1}{100}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) f\left(\frac{1}{99}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right) f\left(\frac{1}{98}\right)+\cdots+f\left(\frac{1}{50}\right) f\left(\frac{1}{51}\right)
$$
的值。答案的形式为 $\frac{2^{m}}{n!}$，请给出 m + n 的值。

Answer: 197
user: 双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$, 左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 过点 $F_{2}$ 作一直线与双曲线 $C$ 的右半支交于点 $P, Q$, 使得 $\angle F_{1} P Q=90^{\circ}$, 则 $\triangle F_{1} P Q$ 的内切圆半径的原始答案为 $\sqrt{m} - n$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 8
user: 设 $P$ 为圆锥的顶点, $A, B, C$ 是其底面圆周上的三点, 满足 $\angle A B C=90^{\circ}, M$ 为 $A P$的中点. 若 $A B=1, A C=2, A P=\sqrt{2}$, 则二面角 $M-B C-A$ 的大小为 $\arctan \frac{m}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 5
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+2 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$。求 $\sin C$ 的最大值。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 10
user: 已知正四棱雉 $V-A B C D$ 的高等于 $A B$ 长度的一半， $M$ 是侧棱 $V B$ 的中点， $N$ 是侧棱 $V D$ 上点，满足 $D N=2 V N$ ，则异面直线 $A M, B N$ 所成角的余弦值为\(\frac{\sqrt{m}}{n}\)的格式，请给出m + n的值。

Answer: 22
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-a=0$ 关于直线 $l$ 对称的圆为 $C_{2}: x^{2}+y^{2}+2 x-2 a y+3=0$, 则直线 $l$ 的方程为 ax + by + c = 0。请给出 a + |b| + c 的值。

Answer: 11
user: 已知 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数, $f(1)=1$, 且对任意 $x<0$, 均有 $f\left(\frac{x}{x-1}\right)$ $=x f(x)$ 。 求 $f(1) f\left(\frac{1}{100}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) f\left(\frac{1}{99}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right) f\left(\frac{1}{98}\right)+\cdots+f\left(\frac{1}{50}\right) f\left(\frac{1}{51}\right)$ 的值。原始答案为 \frac{m^{n}}{k!} 格式，请给出 m + n+k 的值。

Answer: 199
user: 设实数 $a$ 满足 $a<9 a^{3}-11 a<|a|$, 则 $a$ 的取值范围是一个区间，区间的两端点和形如\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{e}，请给出a+b+c+d+e

Answer: 13
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+2 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$。求 $\sin C$ 的最大值。原始答案的形式为$\frac{\sqrt{m}}{n}$，请给出m + n的值。

Answer: 10
user: 双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ 。过点 $F_{2}$ 作一直线与双曲线 $C$ 的右半支交于点 $P, Q$, 使得 $\angle F_{1} P Q=90^{\circ}$, 则 $\triangle F_{1} P Q$ 的内切圆半径的原始答案为 \sqrt{m} + n的形式，请给出m+n的值。

Answer: 6
user: 设 $P$ 为一圆锥的顶点, $A, B, C$ 是其底面圆周上的三点, 满足 $\angle A B C=90^{\circ}$, $M$ 为 $A P$ 的中点. 若 $A B=1, A C=2, A P=\sqrt{2}$, 则二面角 $M-B C-A$ 的大小以 \arctan \frac{m}{n} 的形式表示，请给出 m + n 的值。

Answer: 5
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-a=0$ 关于直线 $l$ 对称的圆为 $C_{2}: x^{2}+y^{2}+2 x-2 a y+3=0$, 请给出直线 $l$ 的方程系数之和。

Answer: 3
user: 已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{50}, a_{51}$ 是方程 $100 \lg ^{2} x=\lg (100 x)$的两个不同的解。求 $a_{1} a_{2} \cdots a_{100}$ 的值。已知原始答案为$\sqrt{m}$的形式，请给出m的值。

Answer: 10
user: 设两个严格递增的正整数数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足: $a_{10}=b_{10}<2017$ ，对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}, b_{n+1}=2 b_{n}$, 请给出 $a_{1}+b_{1}$ 的所有可能值之和。

Answer: 33
user: 正三棱雉 $P-A B C$ 中, $A B=1, A P=2$, 过 $A B$ 的平面 $\alpha$ 将其体积平分, 则棱 $P C$与平面 $\alpha$ 所成角的余弦值的原始答案是 \(\frac{\sqrt{m} + n}{k}\) 的形式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 18
user: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 定义为 $a_{1}=1$ ，$$a_{n+1}=\begin{cases}a_n+n,&a_n\leqslant n,\\[2ex]a_n-n,&a_n>n,\end{cases}n=1,2,\cdots.$$求满足 $a_{r}<r \leqslant 3^{2017}$ 的正整数 $r$ 的个数。原始答案是 \frac{a^{b}-c}{d} 的形式，请给出a+b+c+d的值。

Answer: 4041
user: 定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 有 $f(x+3) \cdot f(x-4)=-1$, 又当 $0 \leqslant x<7$ 时, $f(x)=\log _{2}(9-x)$, 则 $f(-100)$ 的值为分数形式，请给出分子与分母之和。

Answer: 1
user: 设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是非负实数, 满足 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$, 求 $\left(x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}\right)\left(x_{1}+\frac{x_{2}}{3}+\frac{x_{3}}{5}\right)$的最小值和最大值。已知最小值为整数，最大值为\frac{m}{n}的格式，请给出m + n+最小值的值。

Answer: 15
user: 若实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+2 \cos y=1$, 则 $x-\cos y$ 的取值范围是。请给出区间端点的和的平方。

Answer: 3
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{10}=1, F$ 为 $C$ 的上焦点, $A$为 $C$ 的右顶点, $P$ 是 $C$ 上位于第一象限内的动点, 则四边形 $O A P F$ 的面积的最大值为 \qquad。原始答案为\frac{\sqrt{m} + n}{k}的格式，请给出m + n + k的值。

Answer: 16
user: 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, 对任意实数 $x$ 有 $f(x+3) \cdot f(x-4)=-1$. 又当 $0 \leqslant x<7$ 时, $f(x)=\log _{2}(9-x)$, 则 $f(-100)$ 的值为 \qquad. 原始答案是以-\frac{m}{n}的形式给出的，请提供m + n的值。

Answer: 1
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{10}=1, F$ 为 $C$ 的上焦点, $A$为 $C$ 的右顶点, $P$ 是 $C$ 上位于第一象限内的动点, 则四边形 $O A P F$ 的面积的最大值为。原始答案为\frac{m\sqrt{n}}{k}的格式，请给出m + n + k的值。

Answer: 16
user: 设两个严格递增的正整数数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足: $a_{10}=b_{10}<2017$ ，对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}, b_{n+1}=2 b_{n}$, 则 $a_{1}+b_{1}$ 的所有可能值为多少？请提供所有可能值的和。

Answer: 33
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_{1}: y^{2}=4 x$, 曲线 $C_{2}:(x-4)^{2}+y^{2}=8$. 经过 $C_{1}$上一点 $P$ 作一条倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$, 与 $C_{2}$ 交于两个不同的点 $Q, R$, 求 $|P Q| \cdot|P R|$的取值范围。请给出所有区间上下限值之和。

Answer: 220
user: 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, 若 $f(x)+x^{2}$ 是奇函数, $f(x)+2^{x}$ 是偶函数,则 $f(1)$ 的值为 \qquad. 原始答案为 $-\frac{m}{n}$ 的格式，请给出 $|m + n|$ 的值。

Answer: 11
user: 设不等式 $\left|2^{x}-a\right|<\left|5-2^{x}\right|$ 对所有 $x \in[1,2]$ 成立, 求实数 $a$ 的取值范围。请给出区间端点的和。

Answer: 8
user: 设 $a$ 为非零实数，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次曲线 $x^{2}+a y^{2}+a^{2}=0$ 的焦距为 4 ，则 $a$ 的值为 $\qquad$。已知原始答案为 $\frac{m-\sqrt{n}}{k}$ 的格式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 20
user: 设复数 $z$ 满足 $|z|=1$, 使得关于 $x$ 的方程 $z x^{2}+2 \bar{z} x+2=0$ 有实根, 则这样的复数 $z$ 的和为 $-\frac{m}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 5
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 设 $A B$ 是抛物线 $y^{2}=4 x$ 的过点 $F(1,0)$ 的弦, $\triangle A O B$ 的外接圆交抛物线于点 $P$ (不同于点 $O, A, B$ ). 若 $P F$ 平分 $\angle A P B$, 求 $|P F|$ 的所有可能值。原始答案为$\sqrt{m}-n$格式，请给出$m+n$的值。

Answer: 14
user: 设 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心, 若 $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}$, 则 $\sin \angle B A C$ 的值为多少。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$的形式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 14
user: 设 $f(x)$ 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数, 在区间 $[0,1]$ 上严格递减, 且满足 $f(\pi)=1, f(2 \pi)=2$, 不等式组 $\left\{\begin{array}{l}1 \leqslant x \leqslant 2 \\ 1 \leqslant f(x) \leqslant 2\end{array}\right.$ 的解集为$[\pi-a,b-c \pi]$的形式，求$a+b+c$的值。

Answer: 12
user: 已知定义在 $\mathrm{R}^{*}$ 上的函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\left|\log _{3} x-1\right|, 0<x \leqslant 9 \\ 4-\sqrt{x}, x>9\end{array}\right.$ 设 $a, b, c$ 是三个互不相同的实数，满足 $f(a)=f(b)=f(c)$ ，求 $a b c$ 的取值范围。请提供区间端点的和。

Answer: 225
user: 设集合 $A=\{1,2, \cdots, n\}, X, Y$ 均为 $A$ 的非空子集（允许 $X=Y$ ）。 $X$ 中的最大元与 $Y$ 中的最小元分别记为 $\max X, \min Y$ 。求满足 $\max X>\min Y$ 的有序集合对 $(X, Y)$ 的数目。请计算当 $n=8$ 时的结果。

Answer: 63232
user: 设 $f(x)$ 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 $[1,2]$ 上严格递减，且满足 $f(\pi)=1, f(2 \pi)=0$, 则不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0 \leqslant f(x) \leqslant 1\end{array}\right.$ 的解集为为$[a\pi-b,c- \pi]$的形式，求$a+b+c$的值。

Answer: 12
user: 已知圆锥的顶点为 $P$, 底面半径长为 $2$, 高为 $1$. 在圆锥底面上取一点 $Q$, 使得直线 $P Q$与底面所成角不大于 $45^{\circ}$ ，满足条件的点 $Q$ 所构成的区域的面积为 $m\pi$ 的形式，请给出 $m$ 的值。

Answer: 3
user: 已知复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 满足 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1,\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=r$, 其中 $r$ 是给定实数,则 $\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{3}}+\frac{z_{3}}{z_{1}}$ 的实数是$\frac{r^{2}-a}{b}$的形式，求$a+b$的值。

Answer: 5
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $B C=a, C A=b, A B=c$. 若 $b$ 是 $a$ 与 $c$ 的等比中项, 且 $\sin A$ 是 $\sin (B-A)$ 与 $\sin C$ 的等差中项, 求 $\cos B$ 的值。原始答案的形式为$\frac{\sqrt{m} - n}{k}$，请给出 $m + n + k$ 的值。

Answer: 8
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $\Omega$ 与抛物线 $\Gamma: y^{2}=4 x$ 恰有一个公共点, 且圆 $\Omega$ 与 $x$轴相切于 $\Gamma$ 的焦点 $F$ 。求圆 $\Gamma$ 的半径。原始答案为 $\frac{m \sqrt{3}}{n}$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 13
user: 平面直角坐标系中, $\vec{e}$ 是单位向量, 向量 $\vec{a}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{e}=2$, 且 $|\vec{a}|^{2} \leqslant 5|\vec{a}+t \vec{e}|$对任意实数 $t$ 成立，求 $|\vec{a}|$ 的取值范围. 请给出该区间端点之和的整数部分。

Answer: 6
user: 设三棱雉 $P-A B C$ 满足 $P A=P B=3, A B=B C=C A=2$, 则该三棱雉的体积的最大值是多少。原始答案的格式为 $\frac{\sqrt{m} + n}{k}$ ，请给出 $m + n + k$ 的值。

Answer: 11
user: 称一个复数数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 为"有趣的"，若 $\left|z_{1}\right|=1$ ，且对任意正整数 $n$ ，均有 $4 z_{n+1}^{2}+2 z_{n} z_{n+1}+z_{n}^{2}=0$ 。存在最大的常数 $C$ ，使得对一切有趣的数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 及正整数 $m$ ，均有 $\left|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{m}\right| \geqslant C$，若$C=\frac{\sqrt{a}}{b}$，则$a+b$的值是多少。

Answer: 6
user: 对任意闭区间 $I$ ，用 $M_{I}$ 表示函数 $y=\sin x$ 在 $I$ 上的最大值。若正数 $a$ 满足 $M_{[0, a]}=2 M_{[a, 2 a]}$ ，则 $a$ 的值为 $\frac{m \pi}{n}$ 或 $\frac{p \pi}{q}$ 的形式，请给出 $m + n + p + q$ 的值。

Answer: 36
user: 在六条棱长分别为 $2,3,3,4,5,5$ 的所有四面体中, 最大的体积是多少，原始答案为$\frac{m \sqrt{2}}{n}$，请给出$m + n$的值。

Answer: 11
user: 给定整数 $n \geqslant 3$, 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2 n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{2 n}$ 是 $4 n$ 个非负实数, 满足$$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2 n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{2 n}>0$$且对任意 $i=1,2, \cdots, 2 n$, 有 $a_{i} a_{i+2} \geqslant b_{i}+b_{i+1}$ （这里 $a_{2 n+1}=a_{1}, a_{2 n+2}=a_{2}$, $b_{2 n+1}=b_{1}$ ), 求 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2 n}$ 的最小值。请提供当 $n=3$ 和 $n\geqslant 4$ 时最小值的和。

Answer: 28
user: 在粗圆 $\Gamma$ 中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点, 若 $\overrightarrow{A F_{1}} \cdot \overrightarrow{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0$, 则 $\frac{|A B|}{\left|F_{1} F_{2}\right|}$ 的值为多少，原始答案的格式为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ ，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 4
user: Let the *taxicab distance* between points $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ in the coordinate plane be given by $|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$. For how many points $P$ with integer coordinates is the taxicab distance between $P$ and the origin less than or equal to $20$?

Answer: 841
user: How many digits are in the base-ten representation of $8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$?

Answer: 18
user: Let \(ABC\) be an equilateral triangle. \(D\) and \(E\) are midpoints of \([AB]\) and \([AC]\). The ray \([DE\) cuts the circumcircle of \(\triangle ABC\) at \(F\). The original answer is in the form \(\frac{\sqrt{k} - m}{n}\). Please find the value of \(k + m + n\).

Answer: 8
user: The equiangular convex hexagon $ABCDEF$ has $AB = 1$, $BC = 4$, $CD = 2$, and $DE = 4$. Find the area of the hexagon. The original answer is in the form \frac{m}{n}\sqrt{k}, where \frac{m}{n} is a simplified fraction. Please provide the value of m + n + k.

Answer: 50
user: Given \( 1 \le n \le 455 \) and \( n^3 \equiv 1 \pmod{455} \), find the number of solutions.

Answer: 9
user: The numbers from 1 to 1996 are written sequentially as follows: 12345678910111213... up to 1996. Find how many zeros appear in this sequence.

Answer: 489
user: For how many positive integers $n$ is $n^3 - 8n^2 + 20n - 13$ a prime number? Provide your answer as an integer.

Answer: 3
user: A big $L$ is formed as shown. Find its area.

\[ \text{[asy]} \text{unitsize}(4\text{mm}); \\
\text{defaultpen}(\text{linewidth}(0.8\text{pt})+\text{fontsize}(12\text{pt})); \\
\text{draw}((0,0)--(5,0)--(5,2)--(2,2)--(2,8)--(0,8)--\text{cycle}); \\
\text{label}("5",(2.5,0),S); \\
\text{label}("2",(5,1),E); \\
\text{label}("2",(1,8),N); \\
\text{label}("8",(0,4),W); \]

Answer: 22
user: For all positive integers $n$ less than $2002$, let
\[
a_n = \begin{cases} 
11 & \text{if } n \text{ is divisible by } 13 \text{ and } 14 \\
13 & \text{if } n \text{ is divisible by } 11 \text{ and } 14 \\
14 & \text{if } n \text{ is divisible by } 11 \text{ and } 13 \\
0 & \text{otherwise} \end{cases}
\]
Calculate $\sum_{n = 1}^{2001} a_n$.

Answer: 448
user: Given distinct straight lines $OA$ and $OB$. From a point on $OA$, a perpendicular is drawn to $OB$; from the foot of this perpendicular, a line is drawn perpendicular to $OA$. From the foot of this second perpendicular, a line is drawn perpendicular to $OB$; and so on indefinitely. The lengths of the first and second perpendiculars are $a$ and $b$, respectively. Find the limit of the sum of the lengths of the perpendiculars as the number of perpendiculars grows beyond all bounds. The original answer is in the form \frac{k \cdot a^2}{k \cdot a - m \cdot b}, please give the value of k + m.

Answer: 2
user: The sum of the base-\( 10 \) logarithms of the divisors of \( 10^n \) is \( 792 \). What is the value of \( n \)?

Answer: 11
user: Chloé chooses a real number uniformly at random from the interval \([0, 2017]\). Independently, Laurent chooses a real number uniformly at random from the interval \([0, 4034]\). Find the probability that Laurent's number is greater than Chloé's number. The original answer is in \(\frac{k}{m}\) format, please give the value of k + m.

Answer: 7
user: Triangle $ABC$ with $AB=50$ and $AC=10$ has area $120$. Let $D$ be the midpoint of $\overline{AB}$, and let $E$ be the midpoint of $\overline{AC}$. The angle bisector of $\angle BAC$ intersects $\overline{DE}$ and $\overline{BC}$ at $F$ and $G$, respectively. What is the area of quadrilateral $FDBG$?

Answer: 75
user: Each of 2010 boxes in a line contains a single red marble, and for $1 \le k \le 2010$, the box in the $k^{th}$ position also contains $k$ white marbles. Isabella begins at the first box and successively draws a single marble at random from each box, in order. She stops when she first draws a red marble. Let $P(n)$ be the probability that Isabella stops after drawing exactly $n$ marbles. Find the smallest value of $n$ for which $P(n) < \frac{1}{2010}$.

Answer: 45
user: Jane and Jena sit at non-adjacent chairs of a four-chair circular table. In a turn, one person can move to an adjacent chair without a person. Jane moves in the first turn, and alternates with Jena afterwards. After nine moves, in how many ways can Jena be adjacent to Jane?

Answer: 32
user: A rectangle with perimeter $176$ is divided into five congruent rectangles as shown in the diagram. What is the perimeter of one of the five congruent rectangles?

Answer: 80
user: If $\sin 2x \sin 3x = \cos 2x \cos 3x$, then one value for $x$ is $x^\circ$. What is the value of $x$?

Answer: 18
user: What is the sum of the last two digits of $7^{42} + 7^{43}$ in base $10$?

Answer: 11
user: Let $N = 123456789101112\dots4344$ be the $79$-digit number obtained by writing the integers from $1$ to $44$ in order, one after the other. Find the remainder when $N$ is divided by $45$.

Answer: 9
user: A baseball is dropped on top of a basketball. The basketball hits the ground, rebounds with a speed of $4.0 \, \text{m/s}$, and collides with the baseball as it is moving downward at $4.0 \, \text{m/s}$. After the collision, the baseball moves upward as shown in the figure, and the basketball is instantaneously at rest right after the collision. The mass of the baseball is $0.2 \, \text{kg}$ and the mass of the basketball is $0.5 \, \text{kg}$. Ignore air resistance and any changes in velocities due to gravity during the very short collision times. If the speed of the baseball right after colliding with the upward-moving basketball is $x \, \text{m/s}$, what is the value of $x$?

Answer: 6
user: How many distinct four-tuples $(a, b, c, d)$ of rational numbers are there such that:

$$a \log_{10} 2 + b \log_{10} 3 + c \log_{10} 5 + d \log_{10} 7 = 2005$$

Find the number of such distinct four-tuples.

Answer: 1
user: A circle is inscribed in a triangle with side lengths $8$, $13$, and $17$. Let the segments of the side of length $8$, made by a point of tangency, be $r$ and $s$, with $r < s$. What is the ratio $r:s$? Express your answer in the form of $x:y$ where $x$ and $y$ are integers. Please give the value of x + y.

Answer: 4
user: What is the sum of all real numbers $x$ for which the median of the numbers $4, 6, 8, 17,$ and $x$ is equal to the mean of those five numbers? Provide your answer as an integer.

Answer: -5
user: In triangle $ABC$, point $F$ divides side $AC$ in the ratio $1:2$. Let $E$ be the point of intersection of side $BC$ and $AG$, where $G$ is the midpoint of $BF$. Find the ratio in which point $E$ divides side $BC$. The answer is in the form a:b, please give the value of a + b.

Answer: 4
user: Consider the set of complex numbers $z$ satisfying $|1+z+z^{2}|=4$. The maximum value of the imaginary part of $z$ can be written in the form $\frac{\sqrt{m}}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find the value of $m+n$.

Answer: 21
user: In triangle $\triangle ABC$ with $|BC| > |BA|$, $D$ is a point inside the triangle such that $\angle ABD = \angle DBC$, $\angle BDC = 150^\circ$, and $\angle DAC = 60^\circ$. If the measure of $\angle BAD$ is $x^\circ$, what is the value of $x$?

Answer: 60
user: Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle with the following properties:
- $\angle BAC = 70^{\circ}$
- $\angle ADB = 40^{\circ}$
- $AD = 4$
- $BC = 6$

What is the length of $AC$?

Answer: 6
user: Find the number of real numbers which satisfy the equation $x|x-1|-4|x|+3=0$.

Answer: 3
user: Triangle $ABC$ is inscribed in a circle. The measure of the non-overlapping minor arcs $AB$, $BC$, and $CA$ are, respectively, $x+75^\circ$, $2x+25^\circ$, $3x-22^\circ$. Find one interior angle of the triangle, in degrees, as an integer.

Answer: 61
user: $A, B, C$ are playing a backgammon tournament. Initially, $A$ plays against $B$. The winner of this game then plays against $C$. The tournament continues such that the last winner plays against the player who did not play in the previous game. The tournament concludes when a player wins two consecutive games. If each player has an equal chance of winning a game, what is the probability that $C$ wins the tournament? The original answer is in \(\frac{k}{m}\) format, where the fraction is in simplest form. Please provide the value of k + m.

Answer: 9