sungyub/dapo-math-17k-verl huggingface dataset:
user: Four points are chosen uniformly and independently at random in the interior of a given circle. Find the probability that they are the vertices of a convex quadrilateral. The original answer is in the format $1-\frac{m}{n\pi^2}$, please provide the value of m + n.

Answer: 47
user: Find the volume of the region of points $(x,y,z)$ such that $$(x^2+y^2+z^2+8)^2\leq36(x^2+y^2).$$ The original answer is in the format $m\pi^{n}$, please give the value of m + n.

Answer: 8
user: For each continuous function $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, let $I(f)=$ $\int _{0}^{1}x^{2}f( x)$ $dx$ and $J( x) = \int _0^{1}x\left ( f( x) \right ) ^{2}$ $dx.$ Find the maximum value of $I(f)-J(f)$ over all such functions $f.$ The original answer is in the format \frac{m}{n}, please give the value of m + n.

Answer: 17
user: Let $k$ be an integer greater than 1. Suppose $a_0>0$, and define $$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sqrt[k]{a_n}}$$ for $n>0.$ Evaluate $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n^{k+1}}{n^k}.$$ The original answer is in \left(\frac{k+1}{k}\right)^{k} format, please give the value of m + n where m/n is the simplified fraction form of the original answer when k = 1.

Answer: 2
user: Let $n$ be a positive integer. Find the number of pairs $P,Q$ of polynomials with real coefficients such that $$(P(X))^2+(Q(X))^2=X^{2n}+1$$ and $\deg P>\deg Q.$ Provide the value when $n=3$. The answer should be an integer.

Answer: 16
user: What is the largest possible radius of a circle contained in a 4-dimensional hypercube of side length 1? The original answer is in the format $\frac{\sqrt{m}}{n}$, please provide the value of m + n.

Answer: 4
user: 求出所有的正整数 $n$, 使得关于 $x 、 y$的方程 $$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n} $$ 恰有 2011 组满足 $x \leqslant y$ 的正整数解 $(x, y)$。已知答案为p^{m}的形式，给出m 的值。

Answer: 2010
user: 给定正整数 $n \geqslant 2$ ，设方格表 
$$ 
\begin{aligned} 
& A=\left(\begin{array}{cccc} 
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} 
\end{array}\right), \\ 
& B=\left(\begin{array}{cccc} 
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\ 
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 
b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n n} 
\end{array}\right) 
\end{aligned} 
$$ 
满足 $\left\{a_{i j} \mid 1 \leqslant i 、 j \leqslant n\right\}=\left\{b_{i j} \mid 1 \leqslant i 、 j \leqslant n\right\}$ 
$$ 
=\left\{1,2, \cdots, n^{2}\right\} 
$$ 
对 $A$ 可以进行如下操作：选取位于同一 行或同一列的两个数，交换它们的位置，其余 $n^{2}-2$ 个数保持不动。这种操作称为一次对换. 求最小正整数 $m$ ，使得对任意的 $A 、 B$ ，可以经过不超过 $m$ 次对换，把 $A$ 变成 $B$ 。请给出当 n = 2 时的 m 值。

Answer: 4
user: 求所有的三元正整数组 $(a, b, c)$ 满足 $\frac{a}{2^{a}}=\frac{b}{2^{b}}+\frac{c}{2^{c}}$ 。请给出所有满足条件的三元组的元素乘积之和。

Answer: 288
user: 设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{22}$ 满足对任意 $1 \leqslant i \leqslant$ 22, 有 $2^{i-1} \leqslant x_{i} \leqslant 2^{i}$ 。 求
$$
\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{22}\right)\left(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{22}}\right)
$$
的最大值。原始答案为$(2^{12}-1-\frac{1}{2^{11}})^{2}$，请给出近似整数值。

Answer: 16769021
user: 设平面上有 $n(n \geqslant 4)$ 个点 $V_{1}, V_{2}, \cdots$, $V_{n}$ ，任意三点不共线，某些点之间连有线段。把标号分别为 $1,2, \cdots, n$ 的 $n$ 枚棋子放置在这 $n$ 个点处，每个点处恰有一枚棋子。现对这 $n$ 枚棋子进行如下操作：每次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置。若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这 $n$ 枚棋子，总能经过有限次操作
后，使每个标号为 $k(k=1,2, \cdots, n)$ 的棋子在点 $V_{k}$ 处，则称这种连线段的方式为 ""和谐的"". 求在所有和谐的连线段的方式中，当$n=3$时，线段数目的最小值。

Answer: 4
user: 给定整数 $n(n \geqslant 3)$ ，设 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2 n}$是集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的两两不同的非空子集，记 $A_{2 n+1}=A_{1}$. 求 当$n=7$时，
$$ 
\sum_{i=1}^{2 n} \frac{\left|A_{i} \cap A_{i+1}\right|}{\left|A_{i}\right| \cdot\left|A_{i+1}\right|} 
$$ 
的最大值.

Answer: 7
user: 给定正整数 $n(n \geqslant 3)$ 。对于 $1,2, \cdots, n$的任意一个排列 $P=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$, 若 $i<j<k$, 则称 $x_{j}$ 介于 $x_{i}$ 和 $x_{k}$ 之间（如在排列（ $1,3,2,4$ ）中，3 介于 1 和 4 之间， 4 不介于 1 和 2 之间）。设集合 $S=\left\{P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{m}\right\}$的每个元素 $P_{i}$ 是 $1,2, \cdots, n$ 的排列. 已知 \{1,2, \cdots, n\} 的任意三个不同数中都有一个数，它在每个 $P_{i}(1 \leqslant i \leqslant m)$ 中都不介于另外两个数之间。求 $m$ 的最大值。请给出当 $n = 5$ 时，$m$ 的最大值。

Answer: 16
user: 求所有的整数 $k$, 使得存在正整数 $a$和 $b$, 满足 $$ \frac{b+1}a+\frac{a+1}b=k.$$ 请给出所有满足条件的整数 $k$ 的和。

Answer: 7
user: 给定正整数 $n$ ，设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为非负整数序列，若其中连续若干项（可以只有一项）的算术平均值不小于 1 ，则称这些项组成一条"龙"，其中第一项称为"龙头"，最后一项称为"龙尾"。已知 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 中每一项均为龙头或者龙尾。求 \sum_{i=1}^{n} a_{i}$的最小值。请给出该值在n = 2时的结果。

Answer: 2
user: 定义 $n$ 元整数组的一次变换为 
$$ 
\begin{aligned} 
& \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n-1}, a_{n}\right) \\ 
& \rightarrow\left(a_{1}+a_{2}, a_{2}+a_{3}, \cdots, a_{n-1}+a_{n}, a_{n}+a_{1}\right) 
\end{aligned} 
$$ 
求所有的正整数对 $(n, k)(n 、 k \geqslant 2)$ ，满足对任意的 $n$ 元整数数组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ ，在有限次变换后所得数组中每一个数均为 $k$ 的倍数。请给出最小的n和k的和。

Answer: 4
user: 已知 $A=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3<0, x \in R\right\}$, 
$$ 
B=\left\{x \mid 2^{1-x}+a \leqslant 0, \quad x^{2}-2(a+7) x+5 \leqslant 0, \quad x \in \mathbf{R}\right\} 
$$ 
若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 。请给出该区间两个端点的和。

Answer: -5
user: 将关于 $x$ 的多项式 $f(x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots-x^{19}+x^{20}$ 表为关于 $y$ 的多项式 $g(y)=a_{0}+a_{1} y+a_{2} y^{2}+\cdots$ $+a_{19} y^{19}+a_{20}{ }^{20}$, 其中 $y=x-4$, 则 $6(a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{20})=$ $\qquad$

Answer: 476837158203126
user: 设 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 满足 $0<\alpha<\beta<\gamma<2 \pi$, 若对于任意 $x \in \mathbf{R}, \cos (x+\alpha)+\cos (x+\beta)+\cos (x+\gamma)=0$, 则 $\gamma-\alpha=$ ? 请给出答案的分子和分母之和。

Answer: 7
user: 若对一切 \(\theta \in \mathbf{R}\)，复数 \(z=(a+\cos \theta)+(2 a-\sin \theta) i\) 的模不超过 2 ，则实数 \(a\) 的取值范围为\([-p, q]\)。请给出 \(p + q\) 的值。

Answer: 0
user: 已知过点 $(0,1)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C: y=x+\frac{1}{x}(x>0)$ 交于两个不同点 $M$ 与 $N$, 求曲线 $C$ 在点 $M 、 N$ 处切线的交点轨迹。请提供这两个交点坐标的所有整数部分之和。

Answer: 8
user: 已知 $p, q(q \neq 0)$ 是实数, 方程 $x^{2}-p x+q=0$ 有两个实根 $\alpha, \beta$,数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=p, a_{2}=p^{2}-q, \quad a_{n}=p a_{n-1}-q a_{n-2}(n=3,4, \cdots)$\n若 $p=1, q=\frac{1}{4}$, 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。请给出 $s_n$ 当 $n=2$ 时的值，并计算出结果为 $\frac{m}{n}$ 格式，给出 $m+n$ 的值。

Answer: 4
user: 已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为 0 的等差数列, $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列, 其 中 $a_{1}=3, b_{1}=1, a_{2}=b_{2}, 3 a_{5}=b_{3}$, 且存在常数 $\alpha, \beta$ 使得对每一个正整数 $n$ 都有 $a_{n}=\log _{\alpha} b_{n}+\beta$, 则 $\alpha+\beta-\sqrt[3]{3}=$.

Answer: 3
user: 函数 $f(x)=a^{2 x}+3 a^{x}-2(a>0, a \neq 1)$ 在区间 $x \in[-1,1]$ 上的最大值为 8, 则它在这个区间上的最小值是 。已知原始答案的形式为$\frac{m}{n}$，请给出m + n的值。

Answer: 5
user: 正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的 9 条棱长都相等, $P$ 是 $C C_{1}$ 的中点, 二面角 $B-A_{1} P-B_{1} = \alpha$, 则 $\sin \alpha = \frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 14
user: 求所有三元整数组 $(x, y, z)$, 使其满足\n$$\n\left\{\begin{array}{l}\nx^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z=2011, \\nx \geq 15, \\ny \geq 15.\n\end{array}\right.\n$$\n请提供满足条件的所有三元组的元素之和。

Answer: 5361
user: 已知 $x>0, y>0$, 且满足 \(\left\{\begin{array}{l}\cos ^{2}(\pi x)+2 \sin (\pi y)=1 &\quad①\\ \sin (\pi x)+\sin (\pi y)=0&\quad ②, \\ x^{2}-y^{2}=12&\quad③\end{array}\right.\) 
求有序数对 \((x, y)\) 中的 x + y 的值。

Answer: 6
user: 已知函数 $f(x)=a \sin x-\frac{1}{2} \cos 2 x+a-\frac{3}{a}+\frac{1}{2}, a \in \mathbf{R}, a \neq 0$.\n（1）若对任意 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $f(x) \leqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围;\n（2）若 $a \geqslant 2$ ，且存在 $x \in \mathbf{R}$ ，使得 $f(x) \leqslant 0$ ，求 $a$ 的取值范围。\n请提供所有区间端点的和。

Answer: 6
user: 复平面上，非零复数 $z_{1}, z_{2}$ 在以 $i$ 为圆心， 1 为半径的圆上， $\overline{z_{1}} z_{2}$ 的实部为零， $z_{1}$ 的辐角主值为 $\frac{\pi}{6}$ ，则 $z_{2}=$。请注意，$z_{2}$ 的原始答案为$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i$，请给出虚部分子和分母之和。

Answer: 5
user: 曲线 $C$ 的极坐标方程是 $\rho=1+\cos \theta$, 点 $A$ 的极坐标是 $(2,0)$, 曲线 $C$ 在它所在的平面内绕 $A$ 旋转一周，则它扫过的图形的面积是。原始答案为$\frac{m}{n}\pi$的形式，请给出m + n的值。

Answer: 19
user: 当 $\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ 时, $y=\sin ^{2} x+\sqrt{3} \sin x \cos x$ 的取值范围是 \qquad. 标准答案格式为[a,\frac{b}{c}]，请给出区间两端点a+b+c的和。

Answer: 6
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=1, A C=2, \cos B=2 \sin C$, 则 $B C$ 的长为。原始答案的格式为 $\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{k}$，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 18
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{1}=a_{2}=a_{3}=1$ 。令 $$ b_{n}=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)。 $$ 若 $\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 3 的等比数列, 求 $a_{100}$ 的值。原始答案是 $a_{100}=\frac{m^{n}+a}{b}$的形式，请给出 m + n +a+b的值。

Answer: 126
user: 对任意三个两两不同的非负实数 $a, b, c$ ，定义
$$
S(a, b, c)=\frac{3 b+4 c}{|a-b|}+\frac{3 c+4 a}{|b-c|}+\frac{3 a+4 b}{|c-a|} ,
$$
并设 $S(a, b, c)$ 能取到的最小值为 $m_{0}$ .
求所有非负实数组 $(x, y, z)$ ，使得 $S(x, y, z)=m_{0}$ . 当t=1时，请给出这些数组中每个数组元素之和的总和。

Answer: 9
user: 在平面直角坐标系中, 圆 $\Omega$ 的方程为 $x^{2}+y^{2}-20 x-22 y-2022=0$, 则圆 $\Omega$ 的面积为。原始答案包含 $\pi$，请给出整数部分的值。

Answer: 2243
user: 设 \(\alpha, \beta \in \mathbf{R}\), 若 \(\tan (\alpha+\beta)=2, \tan (\alpha+2 \beta)=3\), 则 \(\tan \alpha\) 的值为\(\frac{m}{n}\)的格式，请给出\(m + n\)的值。

Answer: 22
user: 设实数 $k, l, m$ 满足：函数 $y=(x+1)\left(x^{2}+k x+l\right)$ 的图像有对称中心 $(1,0)$ ，且与函数 $y=x^{3}+m$ 的图像有公共点。已知 $k+l+m$ 的取值范围为一个区间。请给出区间上限的分子与分母之和。

Answer: 37
user: 若 \(\triangle A B C\) 满足 \(\frac{\angle A}{3}=\frac{\angle B}{4}=\frac{\angle C}{5}\), 则 \(\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}}{|B C|^{2}}\) 的值为 \(\frac{m+\sqrt{n}}{k}\) 的形式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 10
user: 对任意正实数 $a$ ，记函数 $f(x)=|\lg x|$ 在 $[a,+\infty)$ 上的最小值为 $m_{a}$, 函数 $g(x)=\sin \frac{\pi x}{2}$ 在 $[0, a]$ 上的最大值为 $M_{a}$. 若 $M_{a}-m_{a}=\frac{1}{2}$, 求 $a$ 的所有可能值。已知原始答案形式为 \frac{m}{n} 或 \sqrt{m}，请给出 m + n 的最大值。

Answer: 10
user: 设实数 $a, b, c, d$ 满足 $a \geq b, c \geq d$ ，且 
$$ 
|a|+2|b|+3|c|+4|d|=1. 
$$ 
记 $P=(a-b)(b-c)(c-d)$ .求 $P$ 的最小值与最大值. 
原始答案是$\frac{m}{n}$的形式，请给出最小值和最大值的m + n的和。

Answer: 328
user: 给定实数 $r$ ，甲、乙两人玩如下的游戏. 黑板上写着一个含有三个绝对值的算式： $$ S=|\square-\square|+|\square-\square|+|\square-\square|, $$ 其中 6 个空格 "$\square$"中尚未填数.每一回合，甲选取区间 $[0,1]$ 中的一个实数（不同回合中可以选相同的数），乙将该数填在某个空格之中.经过六个回合之后所有 6 个空格中均填了数， $S$ 的值也随之确定.若 $S \geq r$ ，则甲胜，否则乙胜. 求所有的实数 $r$ ，使得甲有获胜策略. 原始答案为 $\frac{m}{n}$ 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 23
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为非负实数, 且满足：对任意整数 $n \geq 2$, 均有 $a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}+n$. 若 $a_{2} a_{2022}=1$, 求 $a_{1}$ 的最大可能值。原始答案为\frac{m}{n}格式，请给出m + n的值。

Answer: 6076
user: 给定整数 $n(n \geq 2)$. 对于一个 $2 n$ 元有序数组 $$ T=\left(a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \cdots, a_{n}, b_{n}\right), $$ 若 $T$ 的每个分量均为 0 或 1 ，且对任意 $p, q(1 \leq p<q \leq n)$ ，均有 $\left(a_{p}, b_{p}, b_{q}\right) \neq(1,0,1)$ 且 $\left(a_{q}, b_{q}, a_{p}\right) \neq(1,0,0)$, 则称 $T$ 为 "有趣数组". 求有趣数组的个数。请提供当 n = 2 时的答案。

Answer: 12
user: 若正数 $a, b$ 满足 $\log _{2} a+\log _{4} b=8, \log _{4} a+\log _{8} b=2$, 则 $\log _{8} a+\log _{2} b$ 的值为。请给出原始答案中分子与分母绝对值之和的值。

Answer: 55
user: 设 $a$ 为实数. 若存在实数 $t$, 使得 $\frac{a-\mathrm{i}}{t-\mathrm{i}}+\mathrm{i}$ 为实数 ( $\mathrm{i}$为虚数单位), 则 $a$ 的取值范围是 $\qquad$. 求出4a的最大值。

Answer: -3
user: 设 $k, l, m$ 为实数, $m \neq 0$, 在平面直角坐标系中, 函数 $y=f(x)=k+\frac{m}{x-l}$的图像为曲线 $C_{1}$, 另一函数 $y=g(x)$ 的图像为曲线 $C_{2}$, 且满足 $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 关于直线 $y=x$ 对称。若点 $(1,4),(2,3),(2,4)$ 都在曲线 $C_{1}$ 或 $C_{2}$ 上, 则 $f(k+l+m)$ 的值为整数，直接给出整数部分的值。

Answer: 1
user: 对于和为 1 的九个非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}$, 令
$$
\begin{aligned}
& S=\min \left\{a_{1}, a_{2}\right\}+2 \min \left\{a_{2}, a_{3}\right\}+\cdots+8 \min \left\{a_{8}, a_{9}\right\}+9 \min \left\{a_{9}, a_{1}\right\}, \\
& T=\max \left\{a_{1}, a_{2}\right\}+2 \max \left\{a_{2}, a_{3}\right\}+\cdots+8 \max \left\{a_{8}, a_{9}\right\}+9 \max \left\{a_{9}, a_{1}\right\},
\end{aligned}
$$
这里, $\min \{x, y\}$ 表示 $x, y$ 中的较小者, $\max \{x, y\}$ 表示 $x, y$ 中的较大者.
记 $S$ 的最大可能值为 $S_{0}$ . 当 $S=S_{0}$ 时, 求 $T$ 的所有可能值. 计算区间两端分子分母之和的值。

Answer: 76
user: 设函数 $f(x)=\frac{x^{2}+x+16}{x}(2 \leq x \leq a)$, 其中实数 $a>2$. 若 $f(x)$ 的值域为 $[9,11]$, 则 $a$ 的取值范围是一个区间$[p, q]$. 请给出$p + q$的值。

Answer: 12
user: 不等式 $\frac{20}{x-9}>\frac{22}{x-11}$ 的解集为 $\qquad$，标准答案格式为$(-\infty,a) \cup(b,c)$请给出解集的区间端点a+b+c和的值。

Answer: 9
user: 设正数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 满足: $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成公差为 $b_{1}$ 的等差数列, $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 成公比为 $a_{1}$ 的等比数列, 且 $a_{3}=b_{3}$. 求 $a_{3}$ 的最小值, 并确定当 $a_{3}$ 取到最小值时 $a_{2} b_{2}$ 的值。原始答案分别为$\frac{m\sqrt{n}}{k}$的形式，请给出m+n+k的和。

Answer: 40
user: 一枚不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率为 \frac{1}{2} ，则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率的近似整数值是多少？

Answer: 0
user: 已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$, 且 $\operatorname{Re} \frac{z+1}{\bar{z}+1}=\frac{1}{3}$, 请给出 \operatorname{Re} \frac{Z}{\bar{z}} 的值为 -\frac{m}{n} 时的 m+n 的值。

Answer: 16
user: 若正四棱雉 $P-A B C D$ 的各条棱长均相等, $M$ 为棱 $A B$ 的中点, 则异面直线 $B P$ 与 $C M$ 所成的角的余弦值为 \qquad。已知原始答案为 \frac{\sqrt{m}}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 15
user: 在平面直角坐标系中, $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\Gamma: \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的两个焦点, $\Gamma$ 上一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=1$. 求点 $P$ 到 $\Gamma$ 的两条渐近线的距离之和。原始答案为 $\frac{m \sqrt{2}}{n}$ 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 5
user: 给定正实数 $a, b, a<b$. 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2022} \in[a, b]$,求
$$
\frac{\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|x_{2}-x_{3}\right|+\cdots+\left|x_{2021}-x_{2022}\right|+\left|x_{2022}-x_{1}\right|}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2022}}
$$
的最大值. 题目原始答案为 \frac{m}{n} 形式，当a=b=1,请给出 m +n的值。

Answer: 2
user: 求出所有满足下面要求的不小于 1 的实数 $t$ ：对任意 $a, b \in[-1, t]$, 总存在 $c, d \in[-1, t]$, 使得 $(a+c)(b+d)=1$. 答案标准形式为\frac{a}{b},请给出满足条件的 $t$ 的区间两端点a+b之和。

Answer: 8
user: 方程 $\sin x=\cos 2 x$ 的最小的 20 个正实数解之和的原始答案是 $m \pi$ 的形式，请给出 $m$ 的值。

Answer: 130
user: 设 $a=1+10^{-4}$ . 在 $2023 \times 2023$ 的方格表的每个小方格中填入区间 $[1, a]$ 中的一个实数. 设第 $i$ 行的总和为 $x_{i}$ ，第 $i$ 列的总和为 $y_{i}$ ， $1 \leq i \leq 2023$. 求 \frac{y_{1} y_{2} \cdots y_{2023}}{x_{1} x_{2} \cdots x_{2023}} 的最大值。原始答案为\frac{m}{n}的形式，当a=1时请给出m+n的值。

Answer: 2
user: 将方程 $\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的所有正实数解从小到大依次记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots$ . 求 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{20}$ 的值。请给出答案的整数部分。

Answer: 205
user: 设 $m, n$ 是给定的整数， $m \geq n \geq 3$ 。求具有下述性质的最小正整数 $k$ ：若将 $1,2, \cdots, k$ 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在 $m$ 个红色的数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}$ （允许相同），满足 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m-1}<x_{m}$ ，或者存在 $n$ 个蓝色的数 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ （允许相同），满足 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n-1}<y_{n}$。请提供当 $m = 3, n = 3$ 时的答案。

Answer: 7
user: 设无穷等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比 $q$ 满足 $0<|q|<$ 1 。若 $\left\{a_n\right\}$ 的各项和等于 $\left\{a_n\right\}$ 各项的平方和，将公比 $q$ 表示为 $\frac{m}{n}$ 的形式（其中 $m, n$ 为整数且 $\operatorname{gcd}(m, n)=1$ ), 设 $a_2$ 的取值范围是两个区间，将这两个区间的端点分别表示为 $\frac{a_1}{b_1}$ （左区间左端点）、 $\frac{a_2}{b_2}$ （左区间右端点）、 $\frac{a_3}{b_3}$ （右区间左端点）、 $\frac{a_4}{b_4}$ （右区间右端点），且所有分数都是既约分数（分子分母只有公因数1）。请提供 $a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3+a_4+b_4$ 的值。

Answer: 8
user: 设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $\Omega$ 的焦点, 在 $\Omega$ 上取一点 $P$ (异于长轴端点), 记 $O$ 为 $\Delta P F_{1} F_{2}$ 的外心, 若 $\overrightarrow{P O} \cdot \overrightarrow{F_{1} F_{2}}=2 \overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$, 则 $\Omega$ 的离心率的最小值为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 10
user: 在 \(\triangle A B C\) 中, 已知 \(\cos C=\frac{\sin A+\cos A}{2}=\frac{\sin B+\cos B}{2}\), 求 \(\cos C\) 的值。原始答案为 \(\frac{\sqrt{m}}{n}\) 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 11
user: 在平面直角坐标系中，将圆心在 $y$ 轴上，且与双曲线 $\Gamma: x^2-y^2=1$ 的两支各恰有一个公共点的圆称为 "好圆"。已知两个好圆外切于点 $P(2,0)$ ，存在常数 $\lambda=2$ 及 $x$ 轴上的定点 $A(0,0)$ ，满足若两个好圆外切于点 $P$ ，则它们的圆心距 $d=\lambda|P A|$ 。求 $\lambda$ 和 $A$ 的坐标绝对值之和。

Answer: 2
user: 设 $a, b$ 为实数, 若一元二次不等式 $x^{2}+b<a x$ 的解集为 $(1,5)$, 请计算一元二次不等式 $x^{2}-a>b x$ 的解集的区间端点和。

Answer: 5
user: 在椭圆 $\Omega$ 中 $F_{1}, F_{2}$ 为焦点, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, 若 $\angle F_{1} B F_{2}=\angle F_{1} A B$ ，则 $\Omega$ 的离心率为 \frac{\sqrt{m}-n}{k} 的形式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 6
user: 设无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q$ 满足 $0<|q|<1$. 若 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项和等于 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项的平方和, 求 $a_{2}$ 的取值范围。请给出该范围端点和的整数值。

Answer: 1
user: 给定正整数 $a$. 求函数 $f(x)=\min \{\|x\|,\|a x\|\}$ 的最大值.（$\|x\|$ 表示实数 $x$ 到与它最近整数的距离： $\min \{s, t\}$ 表示实数 $s, t$ 中较小的数.）请提供当 $a = 3$ 时，最大值的形式为 \frac{m}{n}，请给出 m + n 的值。

Answer: 5
user: 方程 $\cos \frac{x}{4}=\cos x$ 的通解是\qquad, 在 $(0,24 \pi)$ 内不相同的解有 \qquad 个。请给出所有不相同解的数量。

Answer: 16
user: Consider the equation $\cos \frac{x}{4}=\cos x$. Determine the number of distinct solutions in the interval $(0,24 \pi)$. Please provide the number of distinct solutions as an integer.

Answer: 16
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 设 $A B$ 是抛物线 $y^{2}=4 x$ 的过点 $F(1,0)$ 的弦, $\triangle A O B$ 的外接圆交抛物线于点 $P$ (不同于点 $O, A, B)$. 若 $P F$ 平分 $\angle A P B$, 求 $|P F|$ 的所有可能值。原始答案为\sqrt{m}-n的格式，请给出m - n的值。

Answer: 4
user: 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 $[0,1]$ 上严格递减，且满足 $f(\pi)=1, f(2 \pi)=2$ ，则不等式组 $\left\{\begin{array}{l}1 \leqslant x \leqslant 2, \\ 1 \leqslant f(x) \leqslant 2\end{array}\right.$ 的解集为。请提供解集区间左端点的两倍与右端点之和的值。

Answer: 4
user: 设复数 $z$ 满足 $|z|=1$ ，使得关于 $x$ 的方程 $z x^{2}+2 \bar{z} x+2=0$ 有实根，则这样的复数 $z$ 的和为以分数形式表示，请给出分子与分母的和。

Answer: -1
user: 设 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心, 若 $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}$, 则 $\sin \angle B A C$ 的值为 $\qquad$. 原始答案为\frac{\sqrt{m}}{n}的格式，请给出m + n的值。

Answer: 8
user: 已知定义在 $\mathbf{R}^{+}$上的函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left|\log _{3} x-1\right|, & 0<x \leqslant 9, \\ 4-\sqrt{x}, & x>9.\end{array}\right.$ 设 $a, b, c$ 是三个互不相同的实数，满足 $f(a)=f(b)=f(c)$ ，求 $a b c$ 的取值范围。请给出区间的两个端点之和。

Answer: 225
user: 设 $\alpha, \beta$ 满足 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=-3, \tan \left(\beta-\frac{\pi}{6}\right)=5$, 则 $\tan (\alpha-\beta)$ 的值是一个分数 $\frac{m}{n}$，请给出 m + n 的值。

Answer: -3
user: $[2 \pi-6,4-\pi]$

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的以 2 为周期的偶函数, 在区间 $[1,2]$ 上严格递减, 且满足 $f(\pi)=1, f(2 \pi)=0$, 则不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0 \leqslant f(x) \leqslant 1\end{array}\right.$ 的解集为. 请给出区间左端点与两倍右端点之和的值。

Answer: 2
user: 已知复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 满足 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1,\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=r$ ，其中 $r$ 是给定实数。求 $\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{3}}+\frac{z_{3}}{z_{1}}$ 的实部，并请给出答案中m + n + k的值，其中原始答案为\frac{kr^{2}+m}{n}的形式。

Answer: 0
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $\Omega$ 与抛物线 $\Gamma: y^{2}=4 x$ 恰有一个公共点, 且圆 $\Omega$ 与 $x$轴相切于 $\Gamma$ 的焦点 $F$ 。已知原始答案为 \( \frac{4 \sqrt{3}}{9} \) 的格式，请给出 $m + n + k$ 的值。

Answer: 17
user: 称一个复数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 是"有趣的"，若 $\left|z_{1}\right|=1$ ，且对任意正整数 $n$ ，均有 $4 z_{n+1}^{2}+$ $2 z_{n} z_{n+1}+z_{n}^{2}=0$ 。求最大的常数 $C$ ，使得对一切有趣的数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 及任意正整数 $m$ ，均有 $\left|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{m}\right| \geqslant C$ 。原始答案为\frac{\sqrt{m}}{n}的形式，请给出m + n的值。

Answer: 6
user: 若实数集合 $\{1,2,3, x\}$ 的最大元素和最小元素之差等于该集合的所有元素之和, 则 $x$的值为 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: -1
user: 在平面直角坐标系中，设$\vec{e}$是一个单位向量，向量$\vec{a}$满足$\vec{a} \cdot \vec{e}=2$，并且$|\vec{a}|^{2} \leqslant 5|\vec{a}+t \vec{e}|$对任意实数$t$成立。请提供$|\vec{a}|$的取值范围左端点的两倍与右端点之差。

Answer: 0
user: 对任意区间 $I$, 用 $M_{I}$ 表示函数 $y=\sin x$ 在 $I$ 上的最大值. 若正实数 $a$ 满足 $M_{[0, a]}= 2 M_{[a, 2 a]}$, 请提供所有情况中m+n的值的总和，其中原始答案的形式为\frac{m\pi}{n}。

Answer: 36
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $B C=a, C A=b, A B=c$. 若 $b$ 是 $a$ 与 $c$ 的等比中项, 且 $\sin A$ 是 $\sin (B-A)$ 与 $\sin C$ 的等差中项, 求 $\cos B$ 的值。原始答案为 \(\frac{\sqrt{m} - n}{k}\) 的格式，请给出 m + n + k 的值。

Answer: 8
user: 设三棱锥 $P-A B C$ 满足 $P A=P B=3, A B=B C=C A=2$, 则该三棱锥的体积的最大值为 \frac{m\sqrt{n}}{k} 的形式，请给出m + n + k的值。

Answer: 11
user: 在椭圆 $\Gamma$ 中, $F$ 为一个焦点, $A, B$ 为两个顶点. 若 $|F A|=3,|F B|=2$, 求 $|A B|$ 的所有可能值。请给出所有可能值的整数部分之和。

Answer: 11
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $\Omega$ 与抛物线 $\Gamma: y^{2}=4 x$ 恰有一个公共点, 且圆 $\Omega$ 与 $x$ 轴相切于 $\Gamma$ 的焦点 $F$ 。求圆 $\Omega$ 的半径。原始答案为\frac{m\sqrt{n}}{k}的格式，请给出m + n + k的值。

Answer: 16
user: 称一个复数数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 为"有趣的"，若 $\left|z_{1}\right|=1$ ，且对任意正整数 $n$ ，均有 $4 z_{n+1}^{2}+2 z_{n} z_{n+1}+z_{n}^{2}=0$ 。求最大的常数 $C$ ，使得对一切有趣的数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 及正整数 $m$ ，均有 $\left|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{m}\right| \geqslant C$ 。原始答案为\frac{\sqrt{m}}{n}的格式，请给出m + n的值。

Answer: 6
user: 若实数集合 $\{1,2,3, x\}$ 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 $x$ 的值为。原始答案为 \frac{m}{n} 格式，请给出 m + n 的值。

Answer: -1
user: 对于任意闭区间 $I$ ，用 $M_{I}$ 表示函数 $y=\sin x$ 在 $I$ 上的最大值。若正数 $a$ 满足 $M_{[0, a]}=2 M_{[a, 2 a]}$ ，则 $a$ 的值为\frac{m\pi}{n}。请给出m + n的值。

Answer: 36
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $B C=a, C A=b, A B=c$. 若 $b$ 是 $a$ 与 $c$ 的等比中项, 且 $\sin A$是 $\sin (B-A)$ 与 $\sin C$ 的等差中项，求 $\cos B$ 的值。已知原始答案为\frac{\sqrt{m}-n}{p}，请给出m+n+p的值。

Answer: 8
user: 设三棱锥 $P-A B C$ 满足 $P A=P B=3, A B=B C=C A=2$ ，则该三棱锥体积的最大值为. 原始答案为\frac{m\sqrt{n}}{q}的形式，请给出m + n + q的值。

Answer: 11
user: 在椭圆 $\Gamma$ 中, $F$ 为一个焦点, $A, B$ 为两个顶点. 若 $|F A|=3,|F B|=2$,求 $|A B|$ 的所有可能值. 请提供所有可能值整数部分的和。

Answer: 12
user: 在在六条棱长分别为 $2,3,3,4,5,5$ 的所有四面体中, 最大体积是多少? 证明你的结论. 原始答案为\frac{m}{n} \sqrt{2}的形式，请给出m + n的值。

Answer: 11
user: 在六条棱长分别为 $2,3,3,4,5,5$ 的所有四面体中, 最大的体积是多少? 证明你的结论。原始答案的形式为 $\frac{m \sqrt{q}}{n}$，请给出 m + n+q 的值。

Answer: 13
user: 在粗圆 $\Gamma$ 中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点, 若 $\overrightarrow{A F_{1}} \cdot \overrightarrow{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0$, 则 $\frac{|A B|}{\left|F_{1} F_{2}\right|}$ 的值为 \frac{\sqrt{m}}{n} 的格式，请给出m + n的值。

Answer: 4
user: 设 $a>0$, 函数 $f(x)=x+\frac{100}{x}$ 在区间 $(0, a]$ 上的最小值为 $m_{1}$, 在区间 $[a,+\infty)$ 上的最小值为 $m_{2}$, 若 $m_{1} m_{2}=2020$, 则 $a$ 的值为。请提供两个可能值的和。

Answer: 101
user: 正三棱雉 $P-A B C$ 的所有棱长均为 $1, L, M, N$ 分别为棱 $P A, P B, P C$ 的中点, 则该正三棱雉的外接球被平面 $L M N$ 所截的截面面积为 $rac{m\pi}{n}$ 的形式, 请给出 $m + n$ 的值。

Answer: 4
user: 在椭圆中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点. 若 $$ \overline{A F_{1}} \cdot \overline{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0, $$ 求 $\tan \angle A B F_{1} \cdot \tan \angle A B F_{2}$ 的值。原始答案为\frac{m}{n}的形式，请给出m + n的值。

Answer: 4
user: 设 $a, b$ 为不超过 12 的正整数，满足：存在常数 $C$ ，使得 $a^{n}+b^{n+9} \equiv C(\bmod 13)$ 对任意正整数 $n$ 成立. 求所有满足条件的有序数对 $(a, b)$. 请提供所有满足条件的数对中所有整数的和。

Answer: 54
user: 在平面直角坐标系中，椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ，点 $P$ 在椭圆 $\Gamma$ 内部，且在直线 $y=x$ 上移动.点 $K, L$ 在 $\Gamma$ 上，满足 $\overrightarrow{P K}, \overrightarrow{P L}$ 的方向分别为 $x$ 轴正方向与 $y$ 轴正方向，点 $Q$ 使得 $P K Q L$ 为矩形.是否存在平面上两点 $A, B$ ，使得当矩形 $P K Q L$ 变化时， $|Q A|-|Q B|$ 为非零常数？若存在，求出线段 $A B$ 的所有可能的长度，原始答案为 \frac{m\sqrt{n}}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 8
user: 已知集合 $A=\{1,5\}, B=\left\{x^{2}-3 x+1, x^{2}-4 x+5\right\}$ ，若集合 $A \cup B$ 的元素个数是 3 ，请给出所有可能的实数 $x$ 的和。

Answer: 4
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $\cos A, \sin A, \tan B$ 依次构成以 $\frac{3}{4}$ 为公比的等比数列。请给出 $\cot C$ 的值，其原始答案为 \frac{m}{n} 格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 43
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=(-1)^{n} n-a_{n}, n=1,2,3, \cdots$, 且 $a_{10}=a_{1}$, 则 $a_{n} a_{n+1}$ 的最大值是以\frac{m}{n}的形式给出，请给出m + n的值。

Answer: 37
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $a=B C, b=C A, c=A B$. 若 $a^{2}+b^{2}=6, \cos (A-B) \cos C=\frac{2}{3}$,求 $\triangle A B C$ 的外接圆半径。原始答案为 \frac{m\sqrt{n}}{p} 的形式，请给出 m + n + p 的值。

Answer: 23
user: 在椭圆 $\Gamma$ 中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点. 若 $\overrightarrow{A F_{1}} \cdot \overrightarrow{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0$, 则 $\frac{|A B|}{\left|F_{1} F_{2}\right|}$ 的值为 $\frac{m}{n}$ 的格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 4
user: 设 $a>0$, 函数 $f(x)=x+\frac{100}{x}$ 在区间 $(0, a]$ 上的最小值为 $m_{1}$, 在区间 $[a,+\infty)$上的最小值为 $m_{2}$ .若 $m_{1} m_{2}=2020$ ，则 $a$ 的值为何？请给出可能值之和。

Answer: 101
user: 正三棱锥 $P-A B C$ 的所有棱长都为 $1, L, M, N$ 分别为棱 $P A, P B, P C$ 的中点，则该三棱锥的外接球被平面 $L M N$ 所截的截面面积为。原始答案为 $\frac{\pi}{n}$ 格式，请给出 m + n 的值。

Answer: 4
user: 设 $a, b \in \mathbf{R}$ .若关于 $z$ 的方程 
$$ 
\left(z^{2}+a z+b\right)\left(z^{2}+a z+2 b\right)=0 
$$ 
有 4 个互不相等的复数根 $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$, 且它们在复平面上对应的点恰是一个边长为 1 的正方形的四个顶点，求 $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|+\left|z_{4}\right|$ 的值。原始答案为\sqrt{m} + n\sqrt{p}的形式，请给出m + n + p的值。

Answer: 10
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n}=\frac{1}{4 a_{n-1}}+\frac{1}{n}(n \geq 2)$, 则 $a_{100}$ 的值为 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 301
user: 设正四棱锥 $P-A B C D$ 的底面边长与高相等, 点 $G$ 为侧面 $\triangle P B C$ 的重心,则直线 $A G$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值的原始答案为 \(\frac{\sqrt{m}}{n}\) 的形式，请给出 m + n 的值。

Answer: 57
user: 若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}-a_{2}=3, a_{1}-a_{3}=2$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 \qquad. 原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m和n的和。

Answer: 2
user: 函数 $f(x)=2 \sin ^{2} x-\tan ^{2} x$ 的最大值为 $\qquad$。原始答案为 $m - n\sqrt{q}$ 的形式，请给出m+n+q的值。

Answer: 7
user: 复数 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{100}$ 满足: $z_{1}=3+2 \mathrm{i}, z_{n+1}=\overline{z_{n}} \cdot \mathrm{i}^{n}(n=1,2, \cdots, 99)$ （ i 为虚数单位), 请给出 $z_{99}+z_{100}$ 的实部与虚部之和的值。

Answer: 0
user: 已知 $\triangle A B C$ 满足 $A B=1, A C=2, \cos B+\sin C=1$, 求 $B C$ 边的长。原始答案为 \frac{m+n\sqrt{k}}{p} 的形式，请给出 m + n + k + p 的值。

Answer: 31
user: 设 $i=\sqrt{-1}$ 为虚数单位, 则 $i+2 i^{2}+3 i^{3}+\cdots+2013 i^{2013}$ 的实部与虚部的和为多少。

Answer: 2013
user: 已知正三棱锥 $P-A B C$ 的底面边长为 1, 高为 $\sqrt{2}$, 则其内切球半径是一个分数，形式为 \frac{m}{n}。请给出 m + n 的值。

Answer: 8
user: 定义在实数上的函数 $f(x)=\frac{\sin \pi x}{\sqrt{1+x+x^{2}}}$ 的最小值是原始答案为$-\frac{m\sqrt{n}}{q}$的形式，请给出m + n+q的值。

Answer: 8