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圓周率
历史 > 无穷级数

16及17世紀時，開始改用無窮级数的方式去計π。無窮级数是一組無窮數列的和。無窮级数讓數學家可以計算出比阿基米德以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。雖然詹姆斯·格雷果里及戈特弗里德·莱布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算π而使得该方法为大家所知，但这种方法最早是由印度科學家在大約1400到1500年之間發現。第一個记载用無窮级数計算π的人是约西元1500年左右时，印度天文學家尼拉卡莎·薩默亞士（英语：）在他的著作《系統匯編（英语：）》中用梵語詩所記錄。當時沒有這數列對應的證明，而證明出現在另一本較晚的印度作品《基本原理》，年代約在西元1530年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家桑加馬格拉馬的馬德哈瓦（英语：）（1350–1425）。相關的無窮级数有許多，包括有關 \sin 、 \tan 及 \cos 的，現在稱為馬德哈瓦數列（英语：）或π的莱布尼茨公式。瑪達瓦在1400年用無窮级数計算π到第11位小數，但在1430年一位波斯數學家卡西利用多邊形算法否定了他算的結果。
歐洲發現的第一條無窮項圓周率公式是無窮乘積（和一般用來計算π的無窮級數不同），由法國科學家弗朗索瓦·韦达在1593年發現：
約翰·沃利斯在1655年發現了沃利斯乘积，是歐洲發現的第二條無窮項圓周率公式：
微积分学由英國科學家艾萨克·牛顿及德國數學家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代發明，許多計π的無窮級數出現。牛頓自己就用反正弦（ \arcsin ）數列在1655年或1666年將π近似到第15位小數，後來寫到「我很羞愧告訴你我為了計算它用了多少數字，我當時沒有做其他事。」
蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷果里在1671年發現了馬德哈瓦公式，莱布尼茨也在1674年發現：
這公式即為格雷果里－莱布尼茨公式，在 z=1時數值為 {\frac {\pi }{4}}。1699年時英國數學家亚伯拉罕·夏普用格雷果里－莱布尼茨公式，在 z={\frac {1}{\sqrt {3}}}時計算，計算到π的第71位小數，打破由多邊形算法得到的第39位小數的记录。格雷果里－莱布尼茨公式在 z=1時非常簡單，但收斂到最終值的速度非常慢，現在不会再用此公式來計π。
約翰·梅欽在1706年用格雷果里－莱布尼茨級數產生了可以快速收斂的公式：
梅欽用這公式計到π第100位小數後來其他數學家也發展了一些類似公式，現在稱為梅欽類公式，創下了許多計算π位數的紀錄。在進入電腦時代時，梅欽類公式仍然是耳熟能详可以計算π的公式，而且在约250年的时间里，很多有關π位數的紀錄都是梅欽類公式所得，比如在1946年時由達尼爾·弗格森（）用這類公式計到第620位小數，是沒有計算設備輔助的最佳紀錄。
1844年，計算天才扎卡里亞斯·達斯（英语：）在德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯的要求下以梅欽類公式心算了π的200位小數，並創下紀錄。英國數學家威廉·謝克斯（英语：）花了15年的時間計算π到小數707位，不過第528位小數出錯，後面的小數也都不正確。
历史 > 无穷级数 > 收敛速度

有些π的無窮級數收斂的比其他級數要快，數學家一般會選用收斂速度較快的級數，可以在較少的計算量下計算π，且達到需要的準確度。以下是π的莱布尼茨公式：
隨著一項一項的值加入總和中，只要項次夠多，總和最後會慢慢接近π。不過此數列的收斂速度很慢，要到50萬項之後，才會精確到π的第五位小數。
尼拉卡莎在15世紀發展了π的另一條無窮級數，收斂速度比格雷果里－萊布尼茨公式快很多：
以下比較兩條級數的收斂速率：
| π的無窮級數 | 第1項 | 前2項 | 前3項 | 前4項 | 前5項 | 收斂到 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}\cdots . | 4.0000 | 2.6666… | 3.4666… | 2.8952… | 3.3396… | 3.1415… |
|  \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}\cdots . | 3.0000 | 3.1666… | 3.1333… | 3.1452… | 3.1396… | 3.1415… |
計算前五項後，格雷果里－萊布尼茨級數的和跟π的誤差為0.2，而尼拉卡莎級數和的誤差為0.002。尼拉卡莎級數收斂快很多，也甚為適合用來計π的值。收斂更快的級數有梅欽類公式及楚德诺夫斯基算法，後者每計一項就可以得到14位正確的小數位。
历史 > 无理与超越性

参见：林德曼-魏尔斯特拉斯定理
并非所有和π有关的研究都旨在提高计算它的准确度。1735年，欧拉解决了巴塞尔问题，建立了所有平方数倒数和与π的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式，得到了π、素数的重要關聯，對日後黎曼ζ函數的研究影響深遠。
1761年，瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯用正切函数的无穷连分数表达式证明了π是無理數。1794年，法国数学家阿德里安－马里·勒让德证明了 \pi ^{2}也是无理数。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数 \alpha ， e^{\alpha }都是超越数，该结论后来由魏尔斯特拉斯推广为林德曼－魏尔斯特拉斯定理。据此定理和欧拉公式，π只能是超越數，進而证实了勒让德和欧拉提出的π超越性猜想。哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出後，經過希尔伯特、施瓦兹和其他一些人化简过。
历史 > 引入π符号

在用π专指“圆周率”之前，希腊字母即已用於幾何概念中。威廉·奥特雷德在1647年起在《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）就已經用 \pi 及 \delta （對應p和d的希臘字母）來表示圓的周長及直徑的比例。
威廉·琼斯在他1706年出版的《新數學導論》（）提到了 \pi ，是目前已知最早专门用希臘字母 \pi 表示圓周和其直徑比例的人。這希臘字母第一次出现是在书中討論一塊半徑1的圓時提到「其圓周長一半（ \pi ）」。琼斯選用 \pi 可能因它是希臘文“周边”一词“”的首字母。不過琼斯提到，他那些有關 \pi 的算式出自「真正聰明的約翰·梅欽先生」，人们推測在瓊斯之前，約翰·梅欽就已开始用 \pi 表示圓周率。
瓊斯在1706年開始使用此希臘字母，但直到萊昂哈德·歐拉在其1736年出版的《力學（英语：）》中開始使用之后，其他数学家才纷纷开始用 \pi 指代圆周率。在此之前，數字家可能用像c或p之類的字母代表圓周率。歐拉與歐洲其他數學家间时常互相写信来往， \pi 的用法迅速傳播开来。1748年歐拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了 \pi ，写道：「簡潔起見，我們將此數字寫為 \pi ， \pi 等於半徑為1的圓周長的一半。」这表示方式之後也推展到整片西方世界。
现代数值近似 > 计算机时代与迭代算法

高斯－勒让德算法
：
一開始設定
迭代計算: \scriptstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}
則π的估計值為
二十世紀中期计算机技术发展、革新再次引发了計算π位數的熱潮。美國數學家约翰·伦奇及李維·史密斯在1949年用桌上型計算機計算到1120位。同年，喬治·韋斯納（George Reitwiesner）及约翰·冯·诺伊曼帶領的團隊利用反三角函数（arctan）的無窮級數，用ENIAC計算到了小數後2037位，花了70小時的電腦工作時間。這紀錄後來多次由其他透過arctan級數计算出的結果打破（1957年到7480位小數，1958年到第一萬位數，1961年到第十萬位小數），直到1973年，小数点后第一百萬位小數經已算出。
1980年代有两项發明加速計算了π。第一项是發现了新的迭代法去计π的值，計算速度比無窮級數快很多；另一项是發现了可以快速計算大數字乘積的乘法演算法。電腦大部分的工作時間都是在計乘法，這類演算法對現代計π格外重要。這類演算法包括嘉良對馬（Karatsuba）算法、譚曲（Toom－Cook）乘法及以傅里叶变换為基礎的乘法演算法（傅里叶乘法）。
迭代演算法最早是在1975年至1976年间分别由美國物理學家尤金·薩拉明（英语：）及奧地利科學家理查·布蘭特（英语：）独立提出。這两條演算法没有依赖無窮級數來計算。迭代會重覆特定計算，将前一次的計算結果作为這一次的輸入值，使得計算結果漸漸的趨近理想值。此方式的原始版本其實是在160年前由卡爾·弗里德里希·高斯提出，現在稱為算术－几何平均数算法（AGM法）或高斯－勒让德算法。薩拉明及布蘭特都曾修改之，这算法也稱為薩拉明－布蘭特演算法。
迭代演算法收斂速度比無窮級數快很多，在1980年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加，一般來說正確的位數也會增加幾位，但迭代演算法每計算多一次，正確位數會呈几何级数增长。例如薩拉明－布蘭特演算法每計算多一次，正確位數會是之前的二倍。1984年加拿大人喬納森·波温（英语：）及彼得·波温（英语：）提出迭代演算法，每計算多一次，正確位數會是之前的四倍，1987年時有另一條迭代演算法，每計算多一次，正確位數會是之前的五倍。日本數學家金田康正使用的演算法在1955年及2002年間創下了若干項紀錄。不過迭代演算法的快速收斂也有其代價，需要的記憶體明顯比無窮級數多。
现代数值近似 > 计算π的意义

一般而言，π值并不需要过于精确便能够满足大部分数学运算的需求。按照約·安（Jörg Arndt）及古里斯佗夫·希奴（）的计算，39位精確度已可将可觀測宇宙圆周的精确度準確至一粒原子大小，足以運算絕大多數宇宙学的计算需求。尽管如此，和π有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條；部分人出于對破紀錄的冲动，依然奋力算出π小数点后上千甚至上百萬位。此外也有測試超级计算机、測試数值分析算法（包括高精度乘法算法（英语：））等實際好處。純粹數學這领域也能计算π的位数评定其隨機度。
现代数值近似 > 快速收敛级数

现代计算π的程序不仅局限于迭代算法。20世纪80与90年代，出现了可用来计算π的新无穷级数，其收敛速度可与迭代算法媲美，而又有着复杂度、内存密集度更低的优势。印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金是这方面的先驱，他在1914年发表了许多与π相关的公式，这些公式十分新颖，极为优雅而又颇具数学深度，收敛速度也非常快。下式即为一例，其中用到了模方程：
这无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列，包括梅钦公式。第一位使用拉马努金公式计算π并取得进展的是比尔·高斯珀（英语：），他在1985年算得了小数点后一千七百万位。拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河，此后波尔文兄弟和楚德诺夫斯基兄弟（英语：）进一步发展了这类算法。后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式，如下所示：
此公式每计算一项就能得到π的约14位数值，因而用於突破圆周率的数位的计算。利用这公式，楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得π小数点后10亿（109）位，法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿（2.7×1012）位，亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿（1013）位。类似的公式还有拉马努金-佐藤级数（英语：）。
2006年，加拿大数学家西蒙·普勞夫利用PSLQ整数关系算法（英语：）按照以下模版生成了几條计算π的新公式：
q为e \pi ， k是奇数， a,b,c是普勞夫计算出的有理常数。
现代数值近似 > 統計模擬法

布豐投針問題，多枚长度为的针随机地抛掷向平面。
随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点。
蒙特卡洛方法基于随机试验结果计算的近似值
統計模擬法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的计数方法，經大量重复试验计算事件发生频率，按照大数定律（即当试验次数充分大时，频率充分接近概率）可以求得 \pi 的近似值。 布芬（Buffon）投針問題就是其中一項實例：长度 l的针随机往画满间距 t\left(l\leq t\right)的平行线的平面上抛掷 n次， 如果针与平行直线相交 m次， n充分大就可根据以下公式算出 \pi 的近似值：
用統計模擬法计 \pi 的另一例子是随机往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量点，落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似于





π
4




{\textstyle {\frac {\pi }{4}}}

。
此外还可用随机游走试验，并用統計模擬法计算 \pi 值，如抛掷一枚均匀的硬币 N次，并记录正面朝上的次数，所得结果中，正面朝上的次数 n_{N}服从二項分佈且
因为硬币均匀，所以N次试验中每次试验结果相互独立。由此可定义一系列独立的随机变量 X_{k}\left(k=1,2,\ldots \right)，当抛掷结果为正面时 X_{k}=1否则为-1，且 X_{k}=\pm 1且取何值有相同概率（即，正面朝上和背面朝上的概率相同）。对随机变量 X_{k}\left(k=1,2,\ldots ,N\right)求和可得
设k为“硬币正面朝上的次数”减去“硬币反面朝上的次数”，即可得到 m-\left(N-m\right)=k。变换式子，得 m={\frac {N+k}{2}}，因此
可证明，
并且当N变大时，



E

(

|

W

N


|

)



{\textstyle E\left(\left\vert W_{N}\right\vert \right)}

的值会渐近于







2
N

π





{\textstyle {\sqrt {\frac {2N}{\pi }}}}

，因此当N充分大时可根据以下公式算出 \pi 的近似值：
和其他计算 \pi 值的方法相比，蒙特卡洛方法收敛速度很慢，而且无论实验多少次，都无从得知 \pi 的估值已经精确到第几位。因此，当追求速度或精度时，蒙特卡洛方法不适合用来估计 \pi 。
现代数值近似 > 阀门算法

1995年引入的兩條算法开辟了研究 \pi 的新途径。因为每计算出一位数字，該數就会像流过阀门的水一样不会再出现在后续的计算过程中，这种新進算法叫阀门算法（英语：）。这就与无穷级数及迭代算法形成对比——无穷级数和迭代算法自始至终的每一步计算都会涉及到之前所有步骤计算出的中间值。
1995年，美國數學家斯坦·瓦格纳（英语：）和斯坦利·拉比諾維茨（）发明了一种簡單的阀门算法，其運算速度類似arctan演算法，但速度比迭代算法慢。
贝利－波尔温－普劳夫公式（BBP）是另一條阀门算法，屬於一种位數萃取演算法（英语：）。1995年，西蒙·普勞夫等人發現
這公式和其他公式不同，可以計算 \pi 的任何十六进小數位，而不用計算前面全部小數位。十六进数位可计算得到特定二进数位；想要得到八进制数位的话，计算一、两位十六进小數即可。目前也已發現一些這種演算法的變體，不過還沒有发现針對十進制、可以快速生成特定小數位的位數萃取演算法。位數萃取演算法的一項重要用途是用來確認聲稱是計算到 \pi 小數位數的新紀錄：若有聲稱是新紀錄的計算結果出現，先將十進制的數值轉換到十六進制，再用贝利－波尔温－普劳夫公式去確認最後一些位數（用亂數決定），若這些位數都對，就能有一定把握认为此計算結果是对的。
1998年到2000年間，分布式计算計畫PiHex（英语：）用貝拉公式（贝利－波尔温－普劳夫公式的一種變體）計算 \pi 第1015位，結果是0。2010年9月，有雅虎員工用公司的Apache Hadoop應用程式在上千台電腦計算π在2×1015位开始往后256位，其第2×1015位剛好也是0。
现代数值近似 > 利用伽瑪函數計算

伽瑪函數， \Gamma (n)=(n-1)!，可以被用作計算圓周率。
\pi =\Gamma ({\frac {1}{2}})^{2}
證明如下：
利用歐拉反射公式
\Gamma (z)*\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}
令  z={\frac {1}{2}}
\Gamma ({\frac {1}{2}})*\Gamma (1-{\frac {1}{2}})={\frac {\pi }{\sin({\frac {\pi }{2}})}}
因為  \sin({\frac {\pi }{2}})
\Gamma ({\frac {1}{2}})^{2}=\pi
用途

\pi 与圆密切相关，出现在许多几何学和三角学的公式中（特别是与圆、椭圆和球体相关的那些）。 此外， \pi 也出现在其他学科的重要公式中，比如统计学、物理学，傅立叶分析和数论的公式。
用途 > 几何学与三角学

\pi 出现在基于圆的几何图形（如椭圆、球、圆锥与环面）的面积、体积公式中。下面是一些用到π的常见公式：
半径 r的圆周长 2\pi r。
半径 r的圆面积 \pi r^{2}。
半径 r的球体积





4
3


π

r

3




{\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}

。
半径 r的球面面积 4\pi r^{2}。
上述公式是n维球的体积与其边界（（n−1）维球的球面）的表面积的特殊情况，具体将在后文给出解释。
描述由圆生成的图形的周长、面积或体积的定积分常涉及π。例如，表示半径为1的半圆的面积的积分为
1
−

x

2






{\textstyle {\sqrt {1-x^{2}}}}

的积分表示上半圆（此处的平方根由勾股定理得出），从-1到1的积分




∫

−
1


x




{\textstyle \int _{-1}^{x}}

可用来计算计算半圆与x 轴间的面积。
三角函数要用到角，而数学家常用弧度作角度单位。π在弧度制起重要作用，数学家将周角，即360度定义为2π度。由这条定义可得，180度＝π弧度，1度＝





π

180

∘






{\textstyle {\frac {\pi }{180^{\circ }}}}

弧度。因此，常用的三角函数的周期为 \pi 的倍数；例如，正弦和余弦周期为π，任何角度 \theta 和任何整数 k都有
用途 > 拓扑学

常数 \pi 出现在将平面微分几何（英语：）及其拓扑学联系起来的高斯－博内定理中。具体来说，如果紧曲面Σ的高斯曲率为 K，那么有
其中 \chi (\Sigma )是该曲面的欧拉示性数，是整数。例如，曲率为1（也就是说其曲率半径也为1，对于球面而言此时的曲率半径与半径重合）的球面 S的表面积。球面的欧拉特征数可以通过其同源组计算，其结果为2。于是，便得出
即为半径为1的球面的表面积公式。
常数 \pi 还出现在拓扑学的许多其他的积分公式中，特别是那些涉及通过陈－韦伊同态的特征类。
用途 > 向量分析

向量分析是与向量場的性质有关的微积分的分支，并有许多物理用途，例如用在电磁学中。位于三维笛卡尔坐标系原点的点源 Q的牛顿位势（英语：）为
表示位于距原点 \left\vert {\boldsymbol {x}}\right\vert 的单位质量（或电荷）的势能，而 k是维度常数。在这里由 \mathrm {E} 表示的场可以是（牛顿）引力場或（库仑）電場，是位势的负梯度：
特殊情况有库仑定律和牛顿万有引力定律。高斯定律表明，通过包含原点的任何平滑、简单、封闭、可定向曲面 S的场的向外通量等于 4\pi kQ：
标准形式会将 4\pi 的这因子吸收到常数 k中，但这种说法表明了它必须出现在“某处”。此外， 4\pi 是单位球面的表面积，但並没有假设 S是球面。然而，作为散度定理的结果，由于远离原点的区域是真空（无源的），只有 \mathrm {R} ^{3}\setminus \left\{0\right\}中的表面 S的同调类与计算积分有关，因此可以由相同同调类中的任何方便的表面代替，特别是球形，因为球面坐标可以用于计算积分。
高斯定律的结果之一是位势 V的负拉普拉斯算子等于狄拉克δ函数的 4\pi kQ倍：
通过卷积就能得到物质（或电荷）的更一般分布，给出泊松方程
其中 \rho 是分布函数。
常数 \pi 在与爱因斯坦场方程中的四维势起类似的作用，爱因斯坦方程是形成廣義相對論基础的一條基本公式，并且把引力的基本相互作用描述为物质和能量引起的时空弯曲的结果：
R_{\mu v}是里奇曲率張量， R是数量曲率， g_{\mu v}是度量张量， \Lambda 是宇宙學常數， G是万有引力常数， c是真空中的光速，而 T_{\mu v}是應力－能量張量。爱因斯坦方程的左边是度量张量的拉普拉斯算子的非线性模拟，並化簡（reduce）至在弱域的極限，而右边是分布函数的模拟乘以 8\pi 。
用途 > 柯西积分公式

在复分析中，沿复平面若尔当曲线的围道积分是研究解析函数的重要手段之一。简化版的柯西積分公式表明，对任何若尔当曲线 \gamma 内任一点 z_{0}，以下围道积分给出 2\pi i：
该命题是柯西积分定理的直接推论，后者表明上述围道积分在围道的同伦变换下保持不变，因而沿任一曲线的积分和沿以 z_{0}为圆心的圆周积分的结果相同。更为一般地，该公式对不通过 z_{0}点的任意可求长曲线都成立，但等式右边要乘以曲线关于该点的卷绕数。
一般形式的柯西積分公式建立了全纯函数 f(z)在若尔当曲线 \gamma 上的值与曲线内任意点 z_{0}处值的关系：
柯西积分定理是留数定理的一項特例。根据留数定理，在区域内除去有限个点解析的亚纯函数 g(z)在边界上的围道积分与函数在这些点的留数之和满足：
用途 > Γ函数与斯特灵公式

阶乘函数 n!的值等于所有小于等于 n的正整数之积，它的定义域只包含非负整数。Γ函数则是階乘的推广。它在复平面的右半平面定义为：
再利用解析延拓可以将它的定义域扩展到除去非正整数的整塊复数域。当自变量 z=n取正整数时， \Gamma 函数给出阶乘 \left(n-1\right)!；当自变量取半整数时，计算结果含有 \pi 。例如



Γ
(
1

/

2
)
=


π




{\textstyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}

，



Γ
(
5

/

2
)
=



3


π



4




{\textstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}

。
根据魏尔施特拉斯分解定理， \Gamma 函数可分解为如下的无穷乘积：
\gamma 是歐拉－馬斯刻若尼常數。利用该分解公式和 \Gamma 函数在



z
=


1
2




{\textstyle z={\frac {1}{2}}}

的值



Γ


(


1
2


)


2


=
π


{\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=\pi }

，亦可以证明沃利斯乘积式。 \Gamma 函数和黎曼ζ函數、函数行列式（英语：）的恒等式存在关联，其中 \pi 扮演着重要的角色。
\Gamma 函数常用于计算 n维欧氏空间中n 维球的体积和n 维球面的表面积。对 n维欧氏空间中半径为 r n维球，其体积 V_{n}(r)和表面积 S_{n-1}(r)满足：
两者还满足如下的关系式：
当 n很大，用 \Gamma 函数可得到阶乘 n!的近似公式 n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}，稱斯特靈公式，等价于：
斯特灵近似的几何应用之一是埃尔哈特体积猜想（英语：）。将 n维欧几里得空间的单纯形记作 \Delta _{n}， \left(n+1\right)\Delta _{n}则表示该单纯形的所有面扩大 n+1。于是
这是仅含一點晶格点之凸体体积的（最佳）上界。
用途 > 数论与黎曼ζ函数

黎曼ζ函数 \zeta (s) 在数学的许多领域均有应用。当自变量 s=2 ，可写作
找到这无穷级数的解析解是数学界著名的“巴塞尔问题”。1735年，欧拉解决了这问题，他得到该无穷级数等于 {\frac {\pi ^{2}}{6}}。欧拉的结论可推导出数论中一項结果，即两随机整数互质（无公因数）的概率为 {\frac {6}{\pi ^{2}}} 。整数可由质数 p整除的概率為 {\frac {1}{p^{2}}}（例如，连续7个正整数只有一个可以7整除），任取两随机整数都能以质数 p整除的概率为 {\frac {1}{p^{2}}}，至少有一數不能整除的概率则为 1-{\frac {1}{p^{2}}}。又，一随机整数能否以两不同质数整除是相互独立事件，两随机整数互质的概率可以表示成关于所有质数 p的无穷乘积
这结论可结合随机数生成器，用統計模擬法计 \pi 的近似值。
﻿巴塞尔问题的结论意味着几何导出量 \pi 的数值与质数的分布有着深刻的关联。巴塞尔问题是谷山－志村定理的一種特殊情况，是安德烈·韦伊对玉河数的猜想（英语：）的一項特例，即猜想一个这种形式的算术量关于所有质数 p的无穷乘积能够等于一个几何量——某局部对称空间（英语：）体积的倒易。巴塞尔问题中，这空间是双曲3-流形（英语：）SL2(R)/SL2(Z)（英语：）。
\zeta 函数同样满足黎曼方程的公式，其中用到了 \pi 和伽玛公式：
除此之外，
 \zeta 函数导数也满足
最终的结果是 \pi 可以从谐振子泛函行列式（英语：）中求得。这泛函行列式可以无穷乘积展开式计算，而且这种方法等价于沃利斯乘积公式。这种方法可用于量子力学，尤其是玻尔模型中的变分。
用途 > 傅里叶级数

周期函数的傅里叶级数很自然出现了 \pi 。周期函数即实数的小数部分所构成群



T
=


R
Z




{\textstyle T={\frac {R}{Z}}}

上的函数。傅里叶分解指出， T上的复值函数 f可表示为无穷多个 T的酉特征（英语：）的线性叠加之和。也就是说， T到圓群 U(1)（模为1的复数组成的乘法群）的映射是连续群同態。 T的特征都有 e_{n}(x)=e^{2\pi inx}的形式，是一條定理。
T有唯一的特征值，直到复共轭，那是一群同态。在圆群用哈尔测度，常数 \pi 是这特征值的拉东－尼科迪姆导数值的一半。其他的特征值的导数值为 2\pi 的正整数倍。因此，常数 \pi 是独特的数字，以至于配备了其哈尔测度的群 T，有对于 2\pi 整数倍的点阵的庞特里亚金对偶性。这是泊松和公式（英语：）的一维版本。
用途 > 模形式与𝜃函数

常數 \pi 與模形式和Θ函數密切相关——比如，椭圆曲线中的j变量（英语：）就很大程度涉及楚德诺夫斯基算法（一种快速计算π的方法）。
模形式是以在上半平面的全純函數的在模群（英语：） SL_{2}(\mathbb {Z} )（或其子群， SL_{2}(\mathbb {Z} )是 SL_{2}(\mathbb {R} )的一格）下的變換特性歸納。Θ函數便是一例：
它是一種名為雅可比形式（英语：）的模形式，有時以諾姆（英语：） q=e^{\pi i\tau }表達。
常數 \pi 是特殊常數，它會使雅可比 \Theta 函數形成自守形式，即該函數會以特定方式變換。有若干恆等式在所有自守形式下成立。，例如：
它使得 \theta 必然在離散海森伯群下以表示（representation）變換。一般模形式和其他 \Theta 函數也包含 \pi ，這也是根據史東–馮紐曼定理（英语：）。
用途 > 柯西分布与位势论

积分




∫

−
∞


∞




1


x

2


+
1




d
x
=
π


{\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi }

，柯西分布



g
(
x
)
=


1
π


⋅


1


x

2


+
1





{\textstyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}}

是概率密度函数，总概率等于1。
柯西分布的香农熵等于 \log(4\pi )，也含 \pi 。
柯西分布在位势论中扮演着重要的角色因为它是最简单的福斯坦堡测度（英语：）和与在半平面上做布朗运动相关联的经典泊松核。共轭谐波函数（英语：）以及希尔伯特变换与泊松核的渐近线有关。希尔伯特变换 H是由奇异积分的柯西主值给出的积分变换
常数 \pi 是唯一的（正）归一化因子因此 H定义了一个在实数轴上的平方可积分实值函数的希尔伯特空间上的线性复结构（英语：）。 和傅里叶变换一样，希尔伯特变换就其在希尔伯特空间 L^{2}(R)的变换特性而言可以完全特征化。直到归一化，它是唯一的与正膨胀对易且与实数轴的所有反射反对易有界线性算子。常数 \pi 是唯一能使这变换幺正的归一化因子。
用途 > 複變動態系統

大衛·波（David Boll）在1991年發現在曼德博集合分形也有π出現。他檢查在曼德博集合在 (-0.75,0)位置的特性。若考慮坐標在「頸部」 (-0.75,\varepsilon )的點，而 \varepsilon 趨近零，在發散之前迭代的次數和 \varepsilon 相乘，會趨近 \pi 。若是在右側尖點處附近的點 (0.25,\varepsilon )也會有類似的特性：在發散之前迭代的次數和 \varepsilon 的平方根相乘，也會趨近 \pi 。
数学之外的π > 描述物理现象

\pi 与圆以及球坐标系关系密切，即使 \pi 不是物理常数，也常出现在描述宇宙的基本原则方程中。比方说，经典力学领域的简单公式给出长L的单摆小幅摆动的近似周期



T
≈
2
π



L
g





{\textstyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}

， g为地球引力加速度常数。
海森堡不確定性原理是量子力学的基本公式，表明测量粒子时，其位置不确定度（ \Delta x）与动量不确定度（ \Delta p）不可能同时达到任意小（ h为普朗克常数）：



Δ
x

Δ
p
≥


h

4
π





{\textstyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}

。
\pi 近似三这特性，和电子偶素的半衰期相對較長有密切的联系。其半衰期的倒數和精细结构常数 \alpha 的關係為





1
τ


=
2




π

2


−
9


9
π



m

α

6




{\textstyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m\alpha ^{6}}

， m為電子質量。
許多結構工程的公式也有 \pi ，例如歐拉推導的挫曲公式說明了長度為 L、截面二次轴矩為I的細長形物體，在不挫曲的條件下可以承受的最大軸向負載 F：
流體動力學的斯托克斯定律中也有 \pi 。斯托克斯定律是半径约为 R的小球體在黏度 \eta 的流體中以速度 v運動時會受到的阻力满足：
在理想状态下，河的曲折程度（河道本身的长度与源头到入海口的比值）随着时间的推移逐渐趋向于 \pi 。河流外边缘的快速水流弯曲会使河流内边缘加倍侵蚀，河道变得更弯曲，整條河弯折更厉害。然而，这股弯折劲儿最终会导致河流折回一开始弯折的地方，导致“短路”，并形成河迹湖。这两种相反因素使河道长度与源头到入海口的比值的平均值为π。
数学之外的π > π的记忆技巧

条目：π文字学
π文字學（或譯作圆周率的语言学）是指記住 \pi 的大量位值，并将其世界紀錄載於健力士世界紀錄大全的做法。維爾·美拿（Rajveer Meena）於2015年3月21日在印度於9小時27分鐘內背誦了7萬位的π，创下健力士世界紀錄大全認證的世界紀錄。2006年，日本退休工程師原口證在千葉縣於官員見證下背誦了十萬位小數，但他未獲健力士世界紀錄大全認證。
常用於記憶π的一項技巧是背誦以單詞長度代表 \pi 數值的故事或詩歌：第一單詞有三字母，第二單詞有一字母，第三單詞有四字母，第四單詞有一字母，第五單詞有五字母，如此類推。早期例子是英國科學家詹姆士·金斯設計的詩歌：「」這類詩歌有時在英文中稱為「」。除了英文，用於記憶π的詩歌亦有不同語言的版本。但是，記憶 \pi 的人一般並不以詩歌記憶 \pi 來創下紀錄，而是用如記憶數字規律或軌跡法（英语：）的方法。
有好幾位作家仿照上述记忆技巧，用 \pi 的數值創作了新型的約束寫作（英语：）方式，當中單詞長度須符合 \pi 的數值。《The Cadaeic Cadenza（英语：）》以上述技巧包含了 \pi 前3835位的值，一本標準長度的書《Not a Wake》有一萬單詞，其中各單詞亦代表了 \pi 的一位。
数学之外的π > 大众文化

也許因為 \pi 的公式很簡短而且四處可見，  \pi 比其他數學常数在流行文化中更常見。
在2008年由英國公開大學及英國廣播公司聯合制作的記錄片《数学的故事（英语：）》于2008年十月由英國廣播公司第四台播放。影片讲述了英國數學家马库斯·杜·索托伊在到訪印度研究當地三角學的貢獻時，展示出歷史上π最精確的計算公式的信息图形。
巴黎的科学博物馆發現宮有間圓形房間叫「 \pi 房」，牆上刻有 \pi 的707位數，數字貼在圓頂狀的天花板上，由大型的木製字符組成。數值是1853年由英國數學家威廉·尚克思（英语：）計算出來，但是该结果於第528位后開始出現謬誤，在1946年發現，1949年修正。
卡尔·萨根的小说《接觸未來》中则暗示说，宇宙的创造者在π的数字中暗藏了一则信息。π的数字也用在凱特·布希所出的专辑Aerial（英语：）中的《Pi》的歌词里。
美国人在3月14日庆祝圓周率日，此节日在学生中很流行。一些自称“数学极客”的人常常用 \pi 与其数位来创作一些数学或技术圈内人士才能领会到的笑话。麻省理工学院则有几句包含“3.14159”的大学歡呼口號（英语：）。2015年的圆周率日格外重要，按照美式写法，当天的日期时间3/14/15 9:26:53较其他圆周率日包含更多位数的 \pi 。
在北电网络于2011年举行的技术专利拍卖会上，谷歌用了一些包含 \pi 在内的数学或科学常数來竞价。
在1958年，阿尔伯特·伊格尔（英语：）提议将 \pi 换成τ（tau）以便简化公式。 \tau 在此定义为 \pi 的兩倍。然而，没有任何其他作者曾这样使用过 \tau 。有些人使用不同的值， \tau =2\pi =6.283185\ldots 。这些人称 \tau 不论是作为弧度制下圆周长的1转还是作为弧长与半径的比值（而不是与直径的比值）都比 \pi 自然，也能因此简化许多公式。有媒体报道称，因为 \tau 的值大小约为6.28，現已有人在6月28日庆祝“ \tau 节”，并吃“两个派”；然而，主流数学界还并未使用 \tau 。
1897年，有业余美国数学家试图藉印第安纳州议会来通过後世所謂印第安纳圆周率法案的法案。这法案试图以法律命令强制规定数学常数之值而臭名远播。该法案描述化圆为方的方法，并间接提到了 \pi 的错误值，例如3.2。该法案通过了印第安纳州众议院的表决，但参议院否决之。
參考資料 > 書籍

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Ayers, Frank. . McGraw-Hill. 1964. ISBN 978-0-070-02653-7.
Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan; Borwein, Peter. . Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-0-387-20571-7.
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Borwein, Jonathan; Borwein, Peter. . Wiley. 1987. ISBN 978-0-471-31515-5.
Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C.  2. Wiley. 1991. ISBN 978-0-471-54397-8.
Bronshteĭn, Ilia; Semendiaev, K. A. . Verlag Harri Deutsch. 1971. ISBN 978-3-871-44095-3.
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Thompson, William, , Nature series: Popular lectures and addresses (MacMillan and Company), 1894, II: 571–592
布拉格河

布拉格河（法語：，发音：[bʁaɡ]）位于法国的滨海阿尔卑斯省和普罗旺斯-阿尔卑斯-蓝色海岸大区这一区域。布拉格河发源于格拉斯新堡，终止于靠近昂蒂布的地中海。
在瓦尔博讷和比奥之间，沿着此河，有一条长9km的小路。布拉格河的一部分包含在布拉格省级公园（Parc Départemental de la Brague）内。
布拉格河全长21km。
布拉格河
參照

（页面存档备份，存于）
印度巨松鼠

| 印度巨松鼠 |
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保护状况
 无危（IUCN 3.1）
科学分类 
界：: 动物界 Animalia
门：: 脊索动物门 Chordata
纲：: 哺乳纲 Mammalia
目：: 啮齿目 Rodentia
科：: 松鼠科 Sciuridae
属：: 巨松鼠屬 Ratufa
种：: 印度巨松鼠 R. indica
二名法
Ratufa indica (Erxleben, 1777)

亞種
 R. i. indica  R. i. centralis  R. i. dealbata  R. i. maxima

分佈範圍
印度巨松鼠（学名：Ratufa indica）是一種巨型树栖松鼠。成鼠身長達14吋，重約2公斤。晝行，主食花、果和樹皮。特點是牠近乎紫色的毛。
种名indica意为印度的。
参考资料

↑  . The IUCN Red List of Threatened Species 2010.   [22 June 2012].
↑  Thorington, R.W. Jr.; Hoffmann, R.S. . Wilson, D.E.; Reeder, D.M  (编).  3rd. The Johns Hopkins University Press. 2005: 754–818  [2019-04-21]. ISBN 0-8018-8221-4. OCLC 26158608. （原始内容存档于2013-06-20）.
↑  . 國家地理雜誌中文網.   [2019-05-05]. （原始内容存档于2020-10-26）.
| 分類單元識別碼 |
| --- | --- |
Ratufa indica:  维基数据: Q2668978  維基物種: Ratufa indica  ADW: Ratufa_indica  ARKive: ratufa-indica  BioLib: 35046  EoL: 326223  GBIF: 2437565  iNaturalist: 46030  IRMNG: 10238641  ITIS: 632412  IUCN: 19378  MSW: 12400025  NCBI: 1639871  Species+: 9376 
Sciurus indicus:  维基数据: Q109647472  GBIF: 11002972  ZooBank: ED2D4996-5454-45ED-AE75-B4D77A4BE98B
杜氏扁鲨

| 杜氏扁鲨 |
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保护状况
 无危（IUCN 3.1）
科学分类 
界：: 动物界 Animalia
门：: 脊索动物门 Chordata
纲：: 软骨鱼纲 Chondrichthyes
亚类：: 鲨总目 Selachimorpha
目：: 扁鯊目 Squatiniformes
科：: 扁鯊科 Squatinidae
属：: 扁鯊屬 Squatina
种：: 杜氏扁鲨 S. dumeril
二名法
Squatina dumeril Lesueur（英语：）, 1818


杜氏扁鲨的分布范围
杜氏扁鲨（学名：）是一种分布于大西洋西北部的扁鲨，其分布范围包括美国东海岸、墨西哥湾北部，亦可能分布于加勒比海部分海域。杜氏扁鲨为底栖鱼类，夏秋两季生活于海岸线附近，而在冬春两季会迁徙至离岸水域。该鱼体型扁平，胸鳍和腹鳍较长，故而外貌形似鳐鱼。杜氏扁鲨背部有一排大刺，有暗色斑点，体色为灰色或棕色，体长1.2−1.5米。
杜氏扁鲨为伏击掠食者，主要以小型真骨鱼类和鱿鱼为食。该鱼为卵胎生：即受精卵在母鲨体内依靠卵黄发育完全后再诞生。杜氏扁鲨数年交配一次，母鲨的孕期为12月，后在春季或孟夏产下4−25条幼鲨。杜氏扁鲨性格温和，但被激怒时会尝试啮咬对方。虽然杜氏扁鲨没有商业价值，但会被拖网渔船意外捕获。
物种命名

杜氏扁鲨在被正式描述前学界将其视作扁鲨的亞種。1818年法国生物学家夏尔-亚历山大·勒叙厄尔（法语：）在《费城博物学会期刊》上首次描述该物种，正模标本为一条捕获于美国东海岸、体长1.2米的雄性。他将dummeril作为种加词，以向另一位法国生物学家安德烈·马里·康斯坦·迪梅里致敬。
种间关系

2010年柏林洪堡大学的科学家对扁鲨属的物种进行了系统发生学分析，发现杜氏扁鲨与加州扁鲨（英语：）同属一个演化支，为姐妹群。分子钟显示二者于约6100万年前分离。鉴于分割大西洋和太平洋的巴拿马地峡亦形成于该时期，科学家推测可能是该地峡将两种扁鲨的祖先彼此分割，因此演化成了不同的物种。
外貌

杜氏扁鲨身体相对较窄，胸鳍和腹鳍非常大。其头部周围的皮肤有褶皱，边缘光滑，无明显的叶片。鱼眼宽大，后方有一对喷水孔（英语：）。该种鱼鼻孔旁有扁而尖的鱼须，鱼须边缘光滑或略呈穗状。杜氏扁鲨嘴极大，位于头部末端，上颚有10排牙齿，下颚则有9排，其牙齿宽大，牙冠光滑而尖锐，头部两侧共有鳃裂五对。
杜氏扁鲨胸鳍宽大，在边缘逐渐收窄，后部与头部分离，形成三角形的叶片。该种鱼两对背鳍大小、形状均相似，位于身体极后方。该鱼臀鳍退化，尾鳍上部小于下部。杜氏扁鲨鱼鳞根部为圆形，有三道水平隆起，背部有一组自颈部延伸至尾部的大刺。杜氏扁鲨的背部颜色为红褐色至绿灰色，有黑色的小黑点，偶有不规则的斑点，腹部则为纯白色。成年杜氏扁鲨体长1.3−1.5米，体重最少16千克
杜氏扁鲨外貌类似鳐鱼，体色为灰棕色，有许多小黑点
腹部
颚
颚
中部牙齿
下部牙齿
物种分布

杜氏扁鲨分布于西北大西洋，自马萨诸塞州到佛罗里达礁岛群均颇为常见，亦见于墨西哥湾北部。此外，古巴、牙买加、尼加拉瓜和也有该鱼未经确认的出现记录，而在委内瑞拉的目击记录则实际是2016年被发现的新物种戴氏扁鲨。由于常与墨西哥扁鲨等同属物种混淆，杜氏扁鲨分布的南缘尚不清楚。由于其多生活于深海且经济价值很低，目前对杜氏扁鲨的研究和调查极少，故学界默认其分布海域中间没有间断，但也有可能杜氏扁鲨仅分布于几片彼此隔离的海域之中。
杜氏扁鲨为底栖鱼类，常出没于40−250米水深的大陆架和大陆坡的泥质或沙质海床上，但最深也有出现于1290米的深海中的记录。
物种分布 > 迁移习性

美国沿海的杜氏扁鲨有迁移的习性。它们会在春夏两季游至浅水区。有猜测认为这一行为可能是为了分娩幼鲨，并在秋冬两季返回较深的海域。
生态 > 食性

杜氏扁鲨为伏击掠食者，常将自己掩埋于海床的沉积物中等候猎物靠近。杜氏扁鲨昼夜均会进食。其主要猎物为底栖的真骨鱼类，像是石首鱼、须鲷和鲳。然而，杜氏扁鲨鲜少捕食行动敏捷、能快速逃脱的底栖鱼类，例如鲹鱼。此外，鱿鱼也是其重要的食物来源。杜氏扁鲨亦偶尔会捕食螃蟹、虾、螳螂虾、鳐鱼和贝类。相比成年杜氏扁鲨，幼鲨往往会捕食更多样的猎物。。杜氏扁鲨的猎物体长通常为其嘴尺寸的50−60%，这符合最优觅食理论（英语：）关于捕食者会选择能效最高的猎物的预期。杜氏扁鲨在秋季进食最多，而在冬季进食最少。此外，杜氏扁鲨在不同季节捕获猎物的比例亦不同。例如，杜氏扁鲨会在冬季捕食更多的鱿鱼，这可能是因为鱿鱼的数量在冬季最大。
生态 > 寄生虫

目前杜氏扁鲨有一种已知的寄生虫，为桡脚类动物Eudactylina spinula。
生态 > 繁殖

杜氏扁鲨同其他种类的扁鲨一样为卵胎生物种，即受精卵会留在母鲨体内依靠卵黄发育一段时间。该种鱼的繁殖季为春季。成年母鲨拥有一个位于身体左侧的卵巢和两个子宫。公鲨的胸鳍前端长有倒刺，这有助于在射精时紧抓住配偶。杜氏扁鲨繁殖频率不超过两年一次，孕期一般为12月，每胎生下4−25胎幼鲨不等，平均每胎则为7.4只幼鲨。幼鲨出生时体长约为25−30厘米。
杜氏扁鲨成年时的平均体长为雄性93厘米，雌性86厘米，是少数雄性体长大于雌性的鲨鱼物种。
种群现状

目前，杜氏扁鲨的种群总体状况良好，有学者认为杜氏扁鲨的数量自1970年代至2000年代的数十年间增长了6倍，但实际拖网采样的数据认为自1988年起杜氏扁鲨的数量就趋于稳定。然而，杜氏扁鲨的种群目前仍然面临基因过于单一的问题。
同人类之间的关系

虽然杜氏扁鲨性情温顺、一般无害，但在被激怒或感受到威胁的情况下仍然能对人类造成严重的咬伤。因其即便离开水仍然会扑咬渔民的习性，在美国该鱼得名“沙中恶魔”（Sand devil）。
由于是伏击捕食者，杜氏扁鲨鲜少被延绳捕鱼所兼捕，但和其他底栖鱼一样其容易被拖网捕获。即便杜氏扁鲨可做食用鱼，其极少在市场上出售，而在美国更是完全禁止出售该鱼。
參考資料

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分類單元識別碼:  维基数据: Q756873  ADW: Squatina_dumeril  BioLib: 138815  BOLD: 92275  EoL: 46560324  FishBase: 731  Fossilworks: 246593  GBIF: 2417800  iNaturalist: 113052  IRMNG: 10836012  ITIS: 160787  IUCN: 197087  NCBI: 303946  OBIS: 158525  WoRMS: 158525 
同卵黄相连的杜氏扁鲨胚胎
假面騎士GEATS×REVICE MOVIE Battle Royale

| 假面騎士GEATS×REVICE MOVIE Battle Royale > 基本资料 |
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副标题: 「來吧，邁向英雄的頂點。」
导演: 柴崎貴行
编剧: 高橋悠也   木下半太
原著: 石之森章太郎
主演: 簡秀吉（日语：）   前田拳太郎   木村昴（聲演）
配乐: 佐橋俊彦   中川幸太郎
主題曲: 《Change my future》
制片商: 東映   tv asahi
片长: 97分鐘
产地:  日本
语言: 日語   國語
上映及发行
上映日期:  2022年12月23日 (2022-12-23)（日本）  2023年3月30日 (2023-03-30)（馬來西亞）  2023年4月13日 (2023-04-13)（香港、澳門）  2023年4月14日 (2023-04-14)（台灣）  2023年4月15日 (2023-04-15)（新加坡）  
发行商:  東映  木棉花國際   新映影片
前作与续作
前作: 《假面騎士Beyond Generations》(聯動劇場版前作) 《劇場版 假面騎士REVICE Battle Familia》(獨立劇場版前作)
续作: 《電影 假面騎士GEATS 四人的ACE與黑狐》(獨立劇場版續作) 《假面騎士THE WINTER MOVIE GOTCHARD & GEATS 最強克米☆GOTCHA大作戰》(聯動劇場版續作)
各地片名
香港: 
臺灣: 
《假面騎士GEATS×REVICE MOVIE Battle Royale》（日语：），是日本特攝節目《假面騎士GEATS》和《假面騎士REVICE》聯動劇場版，日本於2022年12月23日上映。口號為「來吧，邁向英雄的頂點。（日語：）」。
本作特色

本作一改過往聯動劇場版的題名，亦是繼《假面騎士×假面騎士 Ghost & Drive 超MOVIE大戰 Genesis》後首次改回新平成假面騎士的「本年登場假面騎士×上一年登場假面騎士」和以「MOVIE」為題名的風格，亦是同時繼《假面騎士×假面騎士 Drive & 鎧武 MOVIE大戰 Full Throttle》後回歸將該作系列的內容分隔成兩個各自的物語，作爲最大亮點。
本作繼《假面騎士平成Generations FINAL Build & EX-AID with 傳說騎士》后，兩部騎士作品的編劇擔任聯動劇場版的共同脚本。
本作因爲采用「大逃殺遊戲」作爲關鍵主題，不僅與首次采用該主題的《假面騎士龍騎》首次跨時代聯動，就連本作的題名「MOVIE Battle Royale」更是致敬2000年由東映製作的小説改編電影——《大逃殺》。
在東映釋出的正式預告中，也延用了原作《假面騎士龍騎》中的宣傳標語「不戰鬥，就無法生存」來作為本次劇場版的宣傳口號。
因逢本年度為《假面騎士龍騎》20週年，而本作也實際邀請了於原作中飾演「城戶真司/假面騎士龍騎」、「鏡像城戶真司/假面騎士龍牙」、「秋山蓮/假面騎士夜騎」、「淺倉威/假面騎士王蛇」該角色的演員須賀貴匡及松田悟志和萩野崇（日语：）三人於本作劇場版中客串演出，三人亦是繼《RIDER TIME 假面騎士龍騎》後，再度同台演出。
本作繼《假面騎士×假面騎士 鎧武 & Wizard 天下決勝之戰國MOVIE大合戰》《假面騎士×假面騎士 Drive & 鎧武 MOVIE大戰 Full Throttle》《假面騎士×假面騎士 Ghost & Drive 超MOVIE大戰 Genesis》《假面騎士x超級戰隊 超 超級英雄大戰》及《假面騎士平成Generations FINAL Build & EX-AID with 傳說騎士》後，再度出現於劇中角色短暫復活的設定。
本作繼《假面騎士×假面騎士 Fourze & OOO MOVIE大戰MEGA MAX》、《假面騎士×假面騎士 Wizard & Fourze MOVIE大戰Ultimatum》、《假面騎士平成Generations Dr.Pac-Man對EX-AID&Ghost with 傳說騎士》、《假面騎士平成Generations FINAL Build & EX-AID with 傳說騎士》和《假面騎士平成Generations Forever》後，第六次出現其他系列作的主要角色於聯動劇場版做為前輩客串演出；亦是最後一部有歴代騎士的角色客串登場的聯動劇場版。
本作為首次也是最後一次出現「前作假面騎士使用本作假面騎士的變身腰帶和道具來變身」的設定。
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