stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
库利-图基快速傅里叶变换算法
蝶形結 > Gentleman-Sande 蝶形運算:

組成：一個加法器、一個減法器、和一個乘法器。
輸入順序：以正常順序(normal order)輸入資料。
輸出順序：產生以位元反轉順序(bit-reversed order)輸出的結果，對應到分頻快速傅立葉轉換(Decimation-in-Frequency FFT)。
使用時機：由於輸入會按照正常順序，輸入端資料流控制較DIT-FFT更為簡單。
而Utsav Banerjee等人在2019年發表的〈An Energy-Efficient Configurable Lattice Cryptography Processor for the Quantum-Secure Internet of Things〉提出了一個整合式蝶形運算單元的架構，同時包含了Cooley-Tukey蝶形結和Gentleman–Sande蝶形結的運算，以滿足在硬體實作上同時兼顧兩者的需求。
蝶形結 > 整合式蝶形運算:

組成：兩個加法器、兩個減法器、一個乘法器、和四個數據多工器(MUX)。
原理：藉由數據多工器(MUX)使得每次只有其中一個加法器和一個減法器的輸出會被使用，以此呈現原先Cooley-Tukey蝶形結和Gentleman–Sande蝶形結中的運算，在Cooley-Tukey蝶形結中會跳過前半部分的加法器和減法器，使得乘法器放置在有效的加法器和減法器之前，而Gentleman–Sande蝶形結則正好相反，跳過後半部分的加法器和減法器，使得乘法器放置在有效的加法器和減法器之後。而至於是要呈現哪一個運算單元的特性就可以根據當下輸入輸出等情況做選擇，藉此彌補硬體實作上和軟體設計相比缺乏彈性的問題，同時避免硬體資源的浪費。
優點：
節省資源：通過整合 Cooley-Tukey 和 Gentleman–Sande 的蝶形結構，減少硬體面積。
提升效能：避免處理位元反轉(bit reversal)等複雜操作，提升運算效率。
高度彈性：支援兩種變換類型以適用於多種不同應用情境。
缺點：
由於蝶形運算單元的組成變得複雜而使得其電路面積(area)和延遲(latency)增加，但文章中指出由於關鍵路徑不在該蝶形運算單元之內，因此並不會影響系統的整體表現，此外其造成的額外面積負擔在系統中也是微乎其微的。
時域/頻域抽取法

在FFT演算法中，針對輸入做不同方式的分組會造成輸出順序上的不同。如果我們使用時域抽取（Decimation-in-time），那麼輸入的順序將會是位元反轉排列（bit-reversed order），輸出將會依序排列。但若我們採取的是頻域抽取（Decimation-in-frequency），那麼輸出與輸出順序的情況將會完全相反，變為依序排列的輸入與位元反轉排列的輸出。
時域/頻域抽取法 > 時域抽取法

我們可以將DFT公式中的項目在時域上重新分組，這樣就叫做時域抽取（Decimation-in-time），在這裡 e^{-j(2\pi {\frac {nk}{N}})}將會被代換為旋轉因子（twiddle factor） W_{N}^{nk}。
X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j(2\pi {\frac {nk}{N}})}\qquad k=0,1,\ldots ,N-1
=\sum _{n\ even}x[n]W_{N}^{nk}+\sum _{n\ odd}x[n]W_{N}^{nk}
=\sum _{r=0}^{(N/2)-1}x[2r]W_{N}^{2rk}+\sum _{r=0}^{(N/2)-1}x[2r+1]W_{N}^{(2r+1)k}
=\sum _{r=0}^{(N/2)-1}x[2r]W_{N}^{2rk}+W_{N}^{k}\sum _{r=0}^{(N/2)-1}x[2r+1]W_{N}^{2rk}
=\sum _{r=0}^{(N/2)-1}x[2r]W_{N/2}^{rk}+W_{N}^{k}\sum _{r=0}^{(N/2)-1}x[2r+1]W_{N/2}^{rk}
=G[k]+W_{N}^{k}H[k]
在這邊我們要注意的是，我們所替換的G[k]與H[k]具有週期性：
{\begin{cases}G[k+{\frac {N}{2}}]=G[k]\\H[k+{\frac {N}{2}}]=H[k]\end{cases}}
还注意到系数具有对称性：
W_{N}^{k+N/2}=-W_{N}^{k}
上述的推導可以劃成下面的圖：
劃紅框處所示的 {\frac {N}{2}}點DFT架構如下圖所示：
劃紅框處所示的 {\frac {N}{4}}點DFT架構如下圖所示：
下圖是一個8點DIT FFT的完整架構圖。
時域/頻域抽取法 > 頻域抽取法

我們可以將DFT公式中的項目在頻域上重新分組，這樣就叫做頻域抽取（Decimation-in-frequency）。
首先先觀察在頻域上偶數項的部分：
X[2r]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]W_{N}^{n(2r)}\ r=0,1,\cdots ,{\frac {N}{2}}-1
=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}x[n]W_{N}^{2nr}+\sum _{n={\frac {N}{2}}}^{N-1}x[n]W_{N}^{2nr}
=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}x[n]W_{N}^{2nr}+\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}x[n+{\frac {N}{2}}]W_{N}^{2r[n+{\frac {N}{2}}]}
{\color {Gray}\because W_{N}^{2r[n+{\frac {N}{2}}]}=W_{N}^{2rn}W_{N}^{rN}=W_{N}^{2rn}}
=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}x[n]W_{N}^{2rn}+\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}x[n+{\frac {N}{2}}]W_{N}^{2rn}
=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}(x[n]+x[n+{\frac {N}{2}}])W_{\frac {N}{2}}^{rn}
=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}g[n]W_{\frac {N}{2}}^{rn}
再觀察在頻域上奇數項的部分：
X[2r+1]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]W_{N}^{n(2r+1)}\ r=0,1,\cdots ,{\frac {N}{2}}-1
=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}x[n]W_{N}^{n(2r+1)}+\sum _{n={\frac {N}{2}}}^{N-1}x[n]W_{N}^{n(2r+1)}
=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}x[n]W_{N}^{n(2r+1)}+\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}x[n+{\frac {N}{2}}]W_{N}^{(2r+1)[n+{\frac {N}{2}}]}
{\color {Gray}\because W_{N}^{(2r+1)[n+{\frac {N}{2}}]}=W_{N}^{(2r+1)n}W_{N}^{(2r+1){\frac {N}{2}}}=-W_{N}^{(2r+1)n}}
=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}x[n]W_{N}^{(2r+1)n}-\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}x[n+{\frac {N}{2}}]W_{N}^{(2r+1)n}
=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}(x[n]-x[n+{\frac {N}{2}}])W_{N}^{n(2r+1)}
=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}(x[n]-x[n+{\frac {N}{2}}])W_{N}^{n}W_{\frac {N}{2}}^{nr}
=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}(h[n]W_{N}^{n})W_{\frac {N}{2}}^{rn}
上述的推導可以畫成下面的圖：
更進一步的拆解 {\frac {N}{2}}-point DFT的架構
下圖為8點FFT下 {\frac {N}{4}}-point DFT的架構
總結上述架構，完整的8點DIF FFT架構圖為
單一基底

利用库利－图基演算法進行離散傅立葉拆解時，能夠依需求而以2, 4, 8…等2的冪次方為單位進行拆解，不同的拆解方法會產生不同層數快速傅里葉變換的架構，基底越大則層數越少，複數乘法器也越少，但是每級的蝴蝶形架構則會越複雜，因此常見的架構為2基底、4基底與8基底這三種設計。
單一基底 > 2基底

2基底-快速傅立葉演算法（Radix-2 FFT）是最廣為人知的一種库利－图基快速傅立葉演算法分支。此方法不斷地將N點的FFT拆解成兩個'N/2'點的FFT，利用旋轉因子 W^{nk},W^{\frac {N}{2}}的對稱性藉此來降低DFT的計算複雜度，達到加速的功效。
而其實前述有關時域抽取或是頻域抽取的方法介紹，即為2基底的快速傅立葉轉換法。以下展示其他種2基底快速傅立葉演算法的連線方法，此種不規則的連線方法可以讓輸出與輸入都為循序排列，但是連線的複雜度卻大大的增加。
單一基底 > 4基底

4基底快速傅立葉變換演算法則是承接2基底的概念，在此裡用時域抽取的技巧，將原本的DFT公式拆解為四個一組的形式：
X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j(2\pi {\frac {nk}{N}})}\qquad k=0,1,\ldots ,N-1
=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{4}}-1}x[4n+0]W_{N}^{(4n+0)k}+\sum _{n=0}^{{\frac {N}{4}}-1}x[4n+1]W_{N}^{(4n+1)k}
+\sum _{n=0}^{{\frac {N}{4}}-1}x[4n+2]W_{N}^{(4n+2)k}+\sum _{n=0}^{{\frac {N}{4}}-1}x[4n+3]W_{N}^{(4n+3)k}
=W_{N}^{0}\sum _{n=0}^{{\frac {N}{4}}-1}x[4n+0]W_{\frac {N}{4}}^{nk}+W_{N}^{1k}\sum _{n=0}^{{\frac {N}{4}}-1}x[4n+1]W_{\frac {N}{4}}^{nk}
+W_{N}^{2k}\sum _{n=0}^{{\frac {N}{4}}-1}x[4n+2]W_{\frac {N}{4}}^{nk}+W_{N}^{3k}\sum _{n=0}^{{\frac {N}{4}}-1}x[4n+3]W_{\frac {N}{4}}^{nk}
W_{N}^{0}F_{0}(k)+W_{N}^{k}F_{1}(k)+W_{N}^{2k}F_{2}(k)+W_{N}^{3k}F_{3}(k)
在這裡再利用 W^{nk+{\frac {N}{4}}}=-W^{nk+{\frac {3N}{4}}}=-jW^{nk}的特性來進行與2基數FFT類似的化減方法，以降低演算法複雜度。
單一基底 > 8基底

在库利－图基算法裡，使用的基底（radix）越大，複數的乘法與記憶體的存取就越少，所帶來的好處不言而喻。但是隨之而來的就是實數的乘法與實數的加法也會增加，尤其計算單元的設計也就越複雜，對於可應用FFT之點數限制也就越嚴格。在表中我們可以看到在不同基底下所需的計算成本。
| 動作 | 2基底 | 4基底 | 8基底 |
| --- | --- | --- | --- |
| 複數乘法 | 22528 | 15360 | 10752 |
| 實數乘法 | 0 | 0 | 8192 |
複數加法: 49152
| 實數加法 | 0 | 0 | 8192 |
| 記憶體存取 | 49152 | 24576 | 16384 |
在DFT的公式中，我們重新定義x=[x(0),x(1),…,x(N-1)]T, X=[X(0),X(1),…,X(N-1)]T，則DFT可重寫為X=FN‧x。FN是一個N×N的DFT矩陣，其元素定義為[FN]ij=WNij(i,j ∈ [0,N-1])，當N=8時，我們可以得到以下的F8矩陣並且進一步將其拆解。
在拆解成三個矩陣相乘之後，我們可以將複數運算的數量從56個降至24個複數的加法。底下是8基底的SFG。要注意的是所有的輸出與輸入都是複數的形式，而輸出與輸入的排序也並非規律排列，此種排列方式是為了要達到接線的最佳化。
混合基底 > 2/8基底

在2/8基底的演算法中，我們可以看到我們對於偶數項的輸出會使用2基底的分解法，對於奇數項的輸出採用8基底的分解法。這個做法充分利用了2基底與4基底擁有最少乘法數與加法數的特性。當使用了2基底的分解法後，偶數項的輸出如下所示。
C_{2k}=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}(x_{2n}+x_{{\frac {N}{2}}+n})W^{2nk}
奇數項的輸出則交由8基底分解來處理，如下四式所述。
C_{8k+1}=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{8}}-1}{\begin{Bmatrix}[(x_{n}-x_{n+{\frac {N}{2}}})-j(x_{n+{\frac {N}{4}}}-x_{n+{\frac {3N}{4}}})]+W^{\frac {N}{8}}[(x_{n+{\frac {N}{8}}}-x_{n+{\frac {5N}{8}}})-j(x_{n+{\frac {3N}{8}}}-x_{n+{\frac {7N}{8}}})]\end{Bmatrix}}W^{8nk}W^{n}
C_{8k+5}=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{8}}-1}{\begin{Bmatrix}[(x_{n}-x_{n+{\frac {N}{2}}})-j(x_{n+{\frac {N}{4}}}-x_{n+{\frac {3N}{4}}})]-W^{\frac {N}{8}}[(x_{n+{\frac {N}{8}}}-x_{n+{\frac {5N}{8}}})-j(x_{n+{\frac {3N}{8}}}-x_{n+{\frac {7N}{8}}})]\end{Bmatrix}}W^{8nk}W^{5n}
C_{8k+3}=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{8}}-1}{\begin{Bmatrix}[(x_{n}-x_{n+{\frac {N}{2}}})+j(x_{n+{\frac {N}{4}}}-x_{n+{\frac {3N}{4}}})]+W^{\frac {3N}{8}}[(x_{n+{\frac {N}{8}}}-x_{n+{\frac {5N}{8}}})+j(x_{n+{\frac {3N}{8}}}-x_{n+{\frac {7N}{8}}})]\end{Bmatrix}}W^{8nk}W^{3n}
C_{8k+7}=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{8}}-1}{\begin{Bmatrix}[(x_{n}-x_{n+{\frac {N}{2}}})+j(x_{n+{\frac {N}{4}}}-x_{n+{\frac {3N}{4}}})]-W^{\frac {3N}{8}}[(x_{n+{\frac {N}{8}}}-x_{n+{\frac {5N}{8}}})+j(x_{n+{\frac {3N}{8}}}-x_{n+{\frac {7N}{8}}})]\end{Bmatrix}}W^{8nk}W^{7n}
以上式子就是2/8基底的FFT快速演算法。在架構圖上可化為L型的蝴蝶運算架構，如下圖所示。
而下圖表示的是一個64點的FFT使用2/8基底的架構圖。雖然2/8基底的演算法縮減了 W^{\frac {N}{8}},W^{\frac {3N}{8}}的乘法量，但是這種演算法最大的缺點是跟其他固定基底或是混合基底比較起來，他的架構較為不規則。所以在硬體上比4基底或是2基底更難實現。
混合基底 > 2/4/8基底

為了改進Radix 2/8在架構上的不規則性，我們在這裡做了一些修改，如下圖4.。此修改可讓架構更加規則，且所使用的加法器與乘法器數量更加減少，如下表所示。
| N=8n | 2基底 | 4基底 | 2/4混合基底 | 2/4/8基底 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 8 | 2 | - | 2 | 0 |
| 64 | 98 | 76 | 72 | 48 |
| 512 | 1538 | - | 1082 | 824 |
| 4096 | 18434 | 13996 | 12774 | 10168 |
在這裡我們最小的運算單元稱為PE（Process Element）,PE內部包含了2/8基底、2/4基底、2基底的運算，簡化過的信號處理流程與蝴蝶型架構圖可見下圖
混合基底 > 22基底

基底的選擇越大會造成蝴蝶形架構更加複雜，控制電路也會複雜化。因此Shousheng He和Mats Torkelson在1996提出了一個2^2基底的FFT演算法，利用旋轉因子的特性： W_{\frac {N}{4}}=-j。而–j的乘法基本上只需要將被乘數的實部虛部對調，然後將虛部加上負號即可，這樣的負數乘法被定義為'簡單乘法'，因此可以用很簡單的硬體架構來實現。利用上面的特性，22基底FFT能用串接的方式將旋轉因子以4為單位對DFT公式進行拆解，將蝴蝶形架構層數降到log4N，大幅減少複數乘法器的用量，而同時卻維持了2基底蝴蝶形架構的簡單性，在效能上獲得改進。22基底DIF FFT演算法的拆解方法如下列公式所述：
N點DFT公式：
 X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{nk},0\leqq k<N
利用線性映射將n與k映射到三個維度上面
{\begin{cases}n=<{\frac {N}{2}}n_{1}+{\frac {N}{4}}n_{2}+n_{3}>_{N}\\k=<k_{1}+2k_{2}+4k_{3}>_{N}\end{cases}}
然後套用Common Factor Algorithm（CFA）
X(k_{1}+2k_{2}+4k_{3})=\sum _{n_{3}=0}^{{\frac {N}{4}}-1}\sum _{n_{2}=0}^{1}\sum _{n_{1}=0}^{1}x({\frac {N}{2}}n_{1}+{\frac {N}{4}}n_{2}+n_{3})W_{N}^{({\frac {N}{2}}n_{1}+{\frac {N}{4}}n_{2}+n_{3})(k_{1}+2k_{2}+4k_{3})}
=\sum _{n_{3}=0}^{{\frac {N}{4}}-1}\sum _{n_{2}=0}^{1}{\begin{Bmatrix}B_{\frac {N}{2}}^{k_{1}}W_{N}^{({\frac {N}{4}}n_{2}+n_{3})k_{1}}\end{Bmatrix}}W_{N}^{({\frac {N}{4}}n_{2}+n_{3})(2k_{2}+4k_{3})}
而蝴蝶型架構會變成以下形式
B_{\frac {N}{2}}^{k_{1}}=x({\frac {N}{4}}n_{2}+n_{3})+(-1)^{k_{1}}x({\frac {N}{4}}n_{2}+n_{3}+{\frac {N}{2}})
利用旋轉因子 W_{\frac {N}{4}}=-j的特性，可以觀察出
W_{N}^{({\frac {N}{4}}n_{2}+n_{3})(k_{1}+2k_{2}+4k_{3})}=W_{N}^{Nn_{2}n_{3}}W_{N}^{{\frac {N}{4}}n_{2}(k_{1}+2k_{2})}W_{N}^{n_{3}(k_{1}+2k_{2})}W_{N}^{4n_{3}k_{3}}
=(-j)^{n_{2}(k_{1}+2k_{2})}W_{N}^{n_{3}(k_{1}+2k_{2})}W_{N}^{4n_{3}k_{3}}
再將此公式帶入原式中可以得到
X(k_{1}+2k_{2}+4k_{3})=\sum _{n_{3}=0}^{{\frac {N}{4}}-1}[H(k_{1},k_{2},n_{3})W_{N}^{n_{3}(k_{1}+2k_{2})}]W_{N}^{4n_{3}k_{3}}
H(k_{1},k_{2},n_{3})={\begin{matrix}\underbrace {{\begin{matrix}BF2I\\\overbrace {[x(n_{3})+(-1)^{k_{1}}(n_{3}+{\frac {N}{2}})]} \end{matrix}}{\begin{matrix}\\\\+(-j)^{k_{1}+2k_{2}}\end{matrix}}{\begin{matrix}BF2I\\\overbrace {[x(n_{3}+{\frac {N}{4}})+(-1)^{k_{1}}(n_{3}+{\frac {3N}{4}})]} \end{matrix}}} \\BF2II\end{matrix}}
如上述公式所示，原本的DFT公式會被拆解成多個 H(k_{1},k_{2},n_{3})，而 H(k_{1},k_{2},n_{3})又可分為BF2I與BF2II兩個階層，分別會對應到之後所介紹的兩種硬體架構。
一個16點的DFT公式經過一次上面所述之拆解之後可得下面的FFT架構
可以看出上圖的架構保留了2基底的簡單架構，然而複數乘法卻降到每兩級才出現一次，也就是 log_{4}N次。而BF2I以及BF2II所對應的硬體架構下圖：
其中BF2II硬體單元中左下角的交叉電路就是用來處理-j的乘法。
一個256點的FFT架構可以由下面的硬體來實現：
其中圖下方的為一7位元寬的計數器，而此架構的控制電路相當單純，只要將計數器的各個位元分別接上BF2I與BF2II單元即可。
下表將2基底、4基底與22基底演算法做一比較，可以發現22基底演算法所需要的乘法氣數量為2基底的一半，加法棄用量是4基底的一半，並維持一樣的記憶體用量和控制電路的簡單性。
|  | 乘法數 | 加法數 | 記憶體大小 | 控制電路 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| R2SDF | 2(log4N-1) | 4log4N | N-1 | 簡單 |
| R4SDF | log4N -1 | 8log4N | N-1 | 中等 |
| R22SDF | log4N -1 | 4log4N | N-1 | 簡單 |
混合基底 > 23基底

如上所述，22演算法是將旋轉因子 W^{\frac {N}{4}}=-j視為一個簡單乘法，進而由公式以及硬體上的化簡獲得硬體需求上的改進。而藉由相同的概念，Shousheng He和Mats Torkelson進一步將旋轉因子 W^{\frac {N}{8}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-j)的乘法化簡成一個簡單乘法，而化簡的方法將會在下面講解。
混合基底 > 23基底 > {\frac {\sqrt {2}}{2}}乘法化簡

在2基數FFT演算法中的基本概念是利用旋轉因子 W^{nk},W^{\frac {N}{2}}的對稱性，4基數演算法則是利用
 W^{nk+{\frac {N}{4}}}=-W^{nk+{\frac {3N}{4}}}=-jW^{nk}
的特性。但是我們會發現在這些旋轉因子的對稱特性中─
W^{\frac {N}{8}}=-W^{\frac {5N}{8}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-j),W^{\frac {3N}{8}}=-W^{\frac {7N}{8}}=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+j)
─並沒有被利用到。主要是因為 {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-j)的乘法運算會讓整個FFT變得複雜，但是如果藉由近似的方法，我們便可以將此一運算化簡為12個加法。
{\frac {\sqrt {2}}{2}}=0.70710678=2^{-1}+2^{-3}+2^{-4}+2^{-6}+2^{-8}+2^{-9}
我們可以從上式注意到， {\frac {\sqrt {2}}{2}}可以被近似為五個加法的結果，所以 {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+j)就可以被簡化為只有六個加法，再算入實部與虛部的計算，總共只需12個加法器就可以運用到此一簡化特性。
經由與22基底類似的推導，並用串接的方式將旋轉因子以8為單位對DFT公式進行拆解，23基底FFT演算法進一步將複數乘法器的用量縮減到log8N，並同時維持硬體架構的簡單性。
　　
推導的方法與22基底相當類似。藉由這樣的方法，23基底能將乘法器的用量縮減到2基底的1/3，並同時維持一樣的記憶體用量以及控制電路的簡單性。
一般性分解

除了常在應用中見到與 2相關基底的拆解法，對於更加一般性的 N=N_{1}N_{2}點離散傅立葉變換問題，
我們也有辦法在理論上進行拆解，將問題化為數個 N_{1}與 N_{2}點離散傅立葉變換問題，並可對計算量進行估計。
而特別的是，透過互質在數論上的特性，對於 N_{1}與 N_{2}互質的情況，可以進一步節省一些運算，
在下面會特別分開討論。
一般性分解 > N_{1}N_{2}非互質

為了避免之後的符號混淆，我們先將 N_{1}N_{2}置換為 P_{1}P_{2}，也就是說接著要將 N=P_{1}P_{2}點離散傅立葉變換，
想辦法拆解為數個 P_{1}與 P_{2}點離散傅立葉變換問題。
接著定義要拆分的問題，要拆分的問題為 N點離散傅立葉變換，將 f[n]轉換至 F[m]：
直觀地說，這個 N點離散傅立葉變換，將由 n作為參數的函數 f[n]，轉換成由 m作為參數的函數 F[m]，
並且 m,n都有 N個可能的數值。
待定義好要拆分的問題，便可以開始討論如何進行拆分，基本概念是將有 N個可能的數值的 m,n，
分別化為個使用兩個參數進行描述的函數 m=[m_{1},m_{2}],n=[n_{1},n_{2}]，並藉此將原問題化為二維度離散傅立葉變換，
便可使用數個較小的離散傅立葉變換問題描述整個過程。
而一種很直覺的轉換方式，便是透過將 m,n分別除以 P_{2},P_{1}，
以商數與餘數來做為參數描述 m,n的值：
其中 n_{1}作為將 n除以 P_{1}的商數，與作為 m除以 P_{2}的餘數的 m_{1}相同，
具有 P_{2}個可能數值，同理 n_{2}與 m_{2}有 P_{1}個可能數值。
將上述的參數代換及 N=P_{1}P_{2}帶入原式，可以得到：
將右式的指數部分乘開並分項化簡可以得到：
最後透過 e^{-i2\pi }=1與 P_{1}P_{2}=N，可以得到：
觀察上式，並加上括號輔助釐清運算順序我們可以得到：
最內層的運算可以視為將雙參數函數 f[n_{1},n_{2}]中的一個參數 n_{1}，透過離散傅立葉變換取代為由 m_{1}描述，
得到一個新函數 G_{1}[m_{1},n_{2}](這步因為對每個不同 n_{2}，都需要做一次將 n_{1}取代為 m_{1}的轉換，
共需要 P_{1}個 P_{2}點離散傅立葉變換)：
下一層的運算則可視為單純的乘法，將 G_{1}[m_{1},n_{2}]與 e^{-i{\frac {2\pi }{N}}m_{1}n_{2}}相乘，得到 G_{2}[m_{1},n_{2}]
(這步需要的計算量視 {\frac {m_{1}n_{2}}{N}}的特殊性而會有變化)：
最後的運算可以視為將函數 G_{2}[m_{1},n_{2}]中 n_{2}，透過離散傅立葉變換取代為由 m_{2}描述，
得到一個新函數 G_{3}[m_{1},m_{2}](這步因為對每個不同 m_{1}，都需要做一次將 n_{2}取代為 m_{2}的轉換，
共需要 P_{2}個 P_{1}點離散傅立葉變換)：
就成功僅使用 P_{1}與 P_{2}點離散傅立葉變換，描述了原先的 N點離散傅立葉變換。
而在這樣的分解下，我們使用了 P_{1}個 P_{2}點離散傅立葉變換與 P_{2}個 P_{1}點離散傅立葉變換與一些額外的乘法，
並且這些額外使用的複數乘法 G_{1}[m_{1},n_{2}]\times e^{-i{\frac {2\pi }{N}}m_{1}n_{2}}，
在電腦的運算架構中，如果 {\frac {m_{1}n_{2}}{N}}是 {\frac {1}{4}}的倍數則不需要使用乘法，
如果 {\frac {m_{1}n_{2}}{N}}是 {\frac {1}{8}},{\frac {1}{12}}的倍數則僅需兩個實數乘法，
其他則需三個實數乘法，所以總運算量可以如下方式表示：
其中 B_{1}是 P_{1}傅立葉所需乘法數， B_{2}是 P_{2}傅立葉所需乘法數，
 D_{3}是需三個實數乘法 m_{1}n_{2}組合個數， D_{2}是需兩個實數乘法 m_{1}n_{2}組合個數。
而常見以 2為基底的分解則是為了使離散傅立葉變換所需乘法數為零，這樣就僅需考慮上面提到的額外乘法，可以提高效率也有較簡單的結構。
一般性分解 > N_{1}N_{2}互質

在 N_{1}N_{2}互質的情況下，仍是採取和上面相近的思路來將問題進行拆分，首先，為了避免之後的符號混淆，我們同樣將 N_{1}N_{2}置換為 P_{1}P_{2}。
接著同樣定義要拆分的問題：
接著就是和上面的算法有最大差異的部分，在將 m,n化為個使用兩個參數進行描述的函數 m=[m_{1},m_{2}],n=[n_{1},n_{2}]時，
最直覺的作法便是使用商數和餘數，但在 P_{1},P_{2}互質的情況下，可以有一些其他更具技巧性的選擇。
當 P_{1},P_{2}互質，對所有 n=0,1,\ldots ,N-1我們可以找到唯一且不重複的一組 n_{1},n_{2}使得：
其中 ((a))_{N}=a\mod N，代表取餘數的意思， c_{1}是一個整數。
例如假設 N=15,P_{1}=3,P_{2}=5，則 n=1對應到的 (n_{1},n_{2})就是 (2,2)，
有 2\times 3+2\times 5\mod 15=16\mod 15=1。
並且對所有 n_{1},n_{2}的組合(有 P_{1}\times P_{2}=N組)，都對應到一個特定不重複的 n。
同理我們可以把 m=0,1,\ldots ,N-1表示為 m_{1},m_{2}的雙參數函數：
將上述的參數代換及 N=P_{1}P_{2}帶入原式，可以得到：
接著透過一次的展開化簡及應用 e^{-i2\pi }=1可得：
再將 N=P_{1}P_{2}帶入並再透過一次的展開化簡及應用 e^{-i2\pi }=1可得：
觀察上式，並加上括號輔助釐清運算順序我們可以得到：
內層的運算可以視為將雙參數函數 f[((n_{1}P_{1}+n_{2}P_{2}))_{N}]中的一個參數 n_{1}，
透過離散傅立葉變換取代為由一個與 m_{1}有關的變數 m_{3}=((m_{1}P_{1}))_{P_{2}}描述，
得到一個新函數 G_{1}[m_{3},n_{2}](這步因為對每個不同 n_{2}，都需要做一次將 n_{1}取代為 m_{3}的轉換，
共需要 P_{1}個 P_{2}點離散傅立葉變換)：
外層的運算可以視為將函數 G_{1}[m_{3},n_{2}]中的參數 n_{2}，
透過離散傅立葉變換取代為由一個與 m_{2}有關的變數 m_{4}=((m_{2}P_{2}))_{P_{1}}描述，
得到一個新函數 G_{2}[m_{3},m_{4}](這步因為對每個不同 m_{3}，都需要做一次將 n_{2}取代為 m_{4}的轉換，
共需要 P_{2}個 P_{1}點離散傅立葉變換)：
最後透過 F與 G_{2}在不同 m_{1},m_{2}時的點點數值對應關係，
就成功僅使用 P_{1}與 P_{2}點離散傅立葉變換，描述了原先的 N點離散傅立葉變換。
而這個方法透過聰明的選取表達 m,n的方式，使得拆解的過程中完全不需要多餘的乘法運算，
總運算量可以簡單表示為：
其中 B_{1}是 P_{1}傅立葉所需乘法數， B_{2}是 P_{2}傅立葉所需乘法數。
雖然這個方法可以較上面的方法節省運算量，
但這個方法也牽涉較為複雜的 m,n與 m_{1},m_{2},n_{1},n_{2}轉換，較為不直覺且不易理解，
也會遇到許多需要取餘數的運算，可能會需要較大的空間建表進行查表法。
最後關於實際上要如何求得 n與 n_{1},n_{2}的轉換關係，
可以先透過輾轉相除法取得一對特定的 n_{11},n_{21}使得：
然後我們可以知道對於任意整數 0\leq k<N有：
然後就可以得到：
滿足：
參考資料

↑  程佩青. . 清华大学出版社. 2001. ISBN 9787900631671.
↑  Banerjee, Utsav; Pathak, Abhishek; Chandrakasan, Anantha P. . IEEE. 2019-02. ISBN 978-1-5386-8531-0. doi:10.1109/ISSCC.2019.8662528.
↑  Banerjee, Utsav; Ukyab, Tenzin S.; Chandrakasan, Anantha P. . IACR Transactions on Cryptographic Hardware and Embedded Systems. 2019-08-09. ISSN 2569-2925. doi:10.46586/tches.v2019.i4.17-61.
↑  Jian-Jiun Ding. . 高等數位訊號處理課程網頁.   [2022-06-16]. （原始内容存档于2020-05-08）.
Widhe, T., J. Melander, et al. (1997). Design of efficient radix-8 butterfly PEs for VLSI. Circuits and Systems, 1997. ISCAS '97., Proceedings of 1997 IEEE International Symposium on.
Lihong, J., G. Yonghong, et al. (1998). A new VLSI-oriented FFT algorithm and implementation. ASIC Conference 1998. Proceedings. Eleventh Annual IEEE International.
Duhamel, P. and H. Hollmann (1984). "Split-radix FFT algorithm." Electronics Letters 20(1): 14-16.
Vetterli, M. and P. Duhamel (1989). "Split-radix algorithms for length-pm DFT's." Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Transactions on 37(1): 57-64.
Richards, M. A. (1988). "On hardware implementation of the split-radix FFT." Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Transactions on 36(10): 1575-1581.
Shousheng, H. and M. Torkelson (1996). A new approach to pipeline FFT processor. Parallel Processing Symposium, 1996., Proceedings of IPPS '96, The 10th International.
Shousheng, H. and M. Torkelson (1998). Designing pipeline FFT processor for OFDM (de)modulation. Signals, Systems, and Electronics, 1998. ISSSE 98. 1998 URSI International Symposium on.
Cooley–Tukey Butterfly
Gentleman–Sande Butterfly
陸鎮默

| 陸鎮默 |
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大明刑部员外郎
籍貫: 浙江紹興府餘姚縣
原名: 陸部
字號: 字厚躬
出生: 嘉靖甲寅三月十三日（官年） 
逝世: 卒年不詳 
配偶: 娶胡氏
出身
 隆慶元年丁卯科舉人  萬曆十一年癸未科進士 
陸鎮默（1554年—？），字厚躬，號淡源，浙江紹興府餘姚縣人，民籍，明朝政治人物。
生平

本名陸部。隆慶元年（1567年）丁卯科浙江鄉試第二十三名，萬曆十一年（1583年）癸未科會試第六十一名，登二甲第十五名進士。通政司觀政，本年官汝州知州，十六年升刑部员外郎，十八年恤刑山东，二十一年京察浮躁免。
家族

曾祖陸淵；祖父陸憲；父陸文華。母鄒氏。永感下。從兄陸夢熊（南京工部郎中）；陸位。
共同漁業政策

面積25萬平方公里，歐洲聯盟專屬經濟區是世界上最大的。
共同漁業政策是歐洲聯盟的漁業政策。政策允許每成員國對每一類型魚類的捕獲量實施配額，以及鼓勵捕魚業進行各種市場干預，來養護歐盟專屬經濟區內各魚類供應。2004年的預算為9.3億歐元，約百分之0.75的歐盟預算。
里斯本條約內表明這套漁業養護政策的未來變化，將獨家保留給歐盟部長理事會，以決定多數（英语：）方式表決。
共同漁業政策的機制

共同漁業政策的機制目前由四個組成部分：
生產、質量、分級、包裝、和標籤的管制
鼓勵生產組織，保護漁民任何突然的市場變化影響
規定最低魚的價格，融資收購未售出的魚
制定與非歐盟國家漁類貿易規則
歷史

共同漁業政策是為了整體歐洲聯盟管理魚類種群的政策。1957年歐洲經濟共同體（現歐洲聯盟）在羅馬條約第38條指出應該要成立一個共同的漁業政策。
第一條創建於1970年，漁業政策最初成立的目的是建立一個自由貿易區，在魚和魚產品的共同規則。與會者一致認為，任何國家的漁民應獲得所有水域，例外是在沿海地帶是保留給當地漁民捕魚誰傳統的領域，由此制定政策以協助建立現代化的漁船和岸上設施。1976年，歐盟因應國際變化擴大了漁業水域從沿海12英里至200英里（22.2公里至370.4公里）。對此需要額外的管制和金融理財等規劃政策創建于1983年。現在有四個活動領域：保護股、船只和設施、市場控制和外部協議與其他國家。
1992年的審查確定，有過度的捕魚船和捕撈數目，水產上岸的人數正在減少。審查確定了需要改進符合規定。這導致了加息的規定和更好地監測個別船只。1995年，要有效管制龐大的註冊船隊規模，歐洲聯盟發出許可證限額制度，來限制漁船獲准捕魚時間及地點。被委托的科學研究更好地確定現有魚類供應和未來分配捕魚許可證限額制度。2009年歐洲委員會的一系列公共諮詢，收集公共對共同漁業政策的意見。
捕魚重要性

在歐盟境內釣魚是一個相對不重要的經濟活動。它有助于國民生產總值百分之一以下。1995年雇用26萬漁民捕撈800萬噸魚，共有向歐盟註冊漁船隊伍大小不同97000艘，但同年出口160萬噸的魚類，及同時進口430萬噸魚類。另外，有八萬五千人的養魚業養殖100萬多噸魚類和貝類。漁獲量和需求的差額各有不同，但歐盟加工魚產品的貿易赤字約30億歐元。
釣魚代表不超過任何歐盟境內各地區的本地就業率百分之十，但它通常在就業機會有限的地方。由於這因素，歐盟推出社會資金給於漁業，作為鼓勵區域發展的手段。
水產養殖

養魚業是世界糧食生產增長最快的領域。由于養殖魚的需求經常波動，養魚業界受到影響。1995年，養魚業生產全球魚類和貝類生產生產價值的三分之一。歐盟境內主要的水產養殖品種是鱒魚、鮭魚、貽貝和牡蠣，此外市場感興趣的魚種包括鱸魚、鯛魚和大比目魚。歐洲共同體在1971年開始支持內陸魚類養殖。歐盟支持的領域包括養魚業的土地設施，特別集中關注於魚類養殖場周圍，所造成的技術和環境問題。
參閱

共同農業政策
歐盟漁業事務專員（英语：）
歐盟預算
伯格，阿斯特麗德（1999年）實施和執行歐洲漁業法。馬蒂納斯尼吉霍夫。國際標准書號9041112634
注釋

↑  EU Glossary （页面存档备份，存于） europa.eu
↑  Article 3 (d) of the Consolidated Treaty on the functioning of the European Union  （页面存档备份，存于）
↑  Article 4 (d) of the Consolidated Treaty on the functioning of the European Union
↑   （页面存档备份，存于） Common Fisheries Policy Reform
外部連結

共同漁業政策 （页面存档备份，存于）
OCEAN2012 （页面存档备份，存于）
Fishsubsidy.org
EU financial report 2004
Smart Investments - Promoting Sustainable Fishing Initiatives under the European Fisheries Fund（页面存档备份，存于）, by Markus Knigge. Published in 2007 by the WWF - European Policy Office （页面存档备份，存于）
Costs of Illegal, Unreported and Unregulated (IUU) Fishing in EU Fisheries （页面存档备份，存于）. Report by eftec (Economics for the Environment Consultancy Ltd), November 2008.
陳恆輝

陳恆輝（英語：，1945年4月14日—），现任特速集團有限公司，以及新加坡特速置地有限公司主席。
生平

出生在香港。他擁有豐富金融、旅遊、投資等經驗之一。他在1981年成功收購美國太平洋銀行股權。1995年成功收購建煌新記（特速集團前身）。
現在他擁有日本、美國、英國、新加坡等資產。
相關連結

豆腐也能做出肉价来 陈恒辉专爱“破”公司 新加坡聯合早報網 （页面存档备份，存于）
逃獄兄弟2

| 逃獄兄弟2  |
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電影海報
基本资料
导演: 麥浩邦
监制: 伍健雄 黃子桓
動作指導: 鄧瑞華
编剧: 黃子桓 林百威
主演: 譚耀文 張繼聰 吳卓羲 栢天男 張建聲 黃德斌
配乐: 戴偉
摄影: 張大偉
: 周啟邦
制片商: 本地製作 東方影業
片长: 85分鐘
产地: 香港
语言: 粵語  
上映及发行
上映日期:  2021年12月24日 (2021-12-24)（中國大陸）  2022年1月13日 (2022-01-13)（新加坡、澳門）  2022年1月20日 (2022-01-20)（馬來西亞）  2022年4月28日 (2022-04-28)（香港）  
发行商: 東方影業
票房: $481,945
前作与续作
前作: 《逃獄兄弟》
续作: 《逃獄兄弟3》
《逃獄兄弟2》（英語：）是一部以監獄為題材的香港喜劇電影，由麥浩邦執導，譚耀文、張繼聰、吳卓羲、栢天男、張建聲、黃德斌領銜主演。電影原定於2022年1月13日在香港上映，基於政府收緊防疫措施關閉戲院至2022年4月20日，電影公司宣佈押後至2022年4月28日上映。
系列第3集終極篇《逃獄兄弟3》宣佈於6月2日在香港上映。網上平台愛奇藝和Disney+可以觀看。
演員

| 0 | 1 | 2 |
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| 演员 | 角色 | 备注 |
| 譚耀文 | 林国龙 | 滚筒、滚筒哥 被賀俊以妻子和女兒的人生安全威脅而被迫協助逃獄 |
| 張繼聰 | 陈浩正 | 盜竊罪刑滿出獄，出獄後在外備車協助逃獄 |
| 吳卓羲 | 賀俊 | 因「教唆謀殺」案件的證人作證，不願被判重刑而心生逃獄念頭 林国龙，陈浩正，麦建天，黎石泉之天敌 |
| 栢天男 | 麥建天 | 囚犯 |
| 張建聲 | 黎石泉 | 刀疤 林国龙，陈浩正，麦建天之天敌，后和好并成为好友 贺俊之死敌 |
| 黃德斌 | 鄧瀚宗 | 邓狱长 懲教事務總監督 謄雞强、张源、何志威之上司 于结局因贪污被判监十年 |
| 泰臣 | 謄雞强 | 一級懲教助理 邓瀚宗、张源、何志威之下属 |
| 鄒文正 | 張源 | 總懲教主任 邓瀚宗之下属 胆鸡强、何志威之上司 |
| 駱振偉 | 何志威 | 懲教主任 邓瀚宗、张源之下属 胆鸡强之上司 |
| 黃長興 | 鄒志榮 | 囚犯 麦建天之天敌，后和好 |
| 伍詠薇 |  | 林国龙之妻 |
| 鄧月平 | 雜貨店店員 | 被贺俊挟持，最后被警方获救 |
歌曲

歌名: 打爆個地板、跑馬仔
作曲、編曲、監製: 戴偉
填詞、主唱: Jonnic Lee Thompsett
製作

2021年3月，東方影業宣佈將會於同年夏天開拍《逃獄兄弟》續集，並由原班人馬回歸主演。同年12月16日，劇組在網上發佈預告片，並宣佈吳卓羲將會出演本作反派 。
奬項

| 年份 | 颁奖典礼 | 奖项 | 入圍者 | 结果 |
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| 2022 | 第十四屆澳門國際電影節 | 最佳編劇 | 黃子桓 | 提名 |
註釋

↑  電影直接在網上平台愛奇藝上架
參考資料

↑  . 明報. 2021-12-16  [2021-12-17]. （原始内容存档于2021-12-17）.
↑  . 頭條日報. 2021-12-17  [2021-12-17]. （原始内容存档于2021-12-17）.
↑  . 明報. 2022-05-19  [2022-05-19]. （原始内容存档于2022-05-23） （中文（繁體））.
↑  . Topick. 2021-12-16  [2021-12-17]. （原始内容存档于2021-12-17）.
↑  . 明報. 2021-03-15  [2021-12-17]. （原始内容存档于2021-12-17）.
↑  . 巴士的報. 2021-12-17  [2021-12-17]. （原始内容存档于2021-12-17）.
外部連結

香港影庫上《逃獄兄弟2》的資料（繁體中文）
豆瓣电影上《逃獄兄弟2》的資料 （简体中文）
互联网电影数据库（IMDb）上《逃獄兄弟2》的资料（英文）
逃獄兄弟2的Facebook專頁
|  论 编麥浩邦執導電影 |
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 《古宅（粵语：）》（2018）  《逃獄兄弟》（2020）  《逃獄兄弟2》（2021）  《逃獄兄弟3》（2022）  《忽然心動》（2022）  《無間一戰》（2023） 
|  论 编2020年代警匪／黑幫／特務／監獄／戰爭華語電影（2020年至今） |
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2020年:  肥龍過江  死因無可疑  墮落花  無間行者之生死潛行  除暴  逃獄兄弟 
2021年:  拆弹专家2  角頭—浪流連  金錢帝國：追虎擒龍  悬崖之上  手捲煙  逃獄兄弟2  怒火  长津湖  智齒  G風暴 
2022年:  長津湖之水門橋  狙击手  少年吔  邊緣行者  逃獄兄弟3    神探大戰 
2023年:  无名  風再起時  命案  掃毒3人在天涯  孤注一掷  暗殺風暴  绝地追击  無間一戰  女子監獄  第八个嫌疑人  坚如磐石  莫斯科行動  紮職2  周處除三害  困獸  爆裂點  怒潮  金手指 
2024年:  潛行  臨時劫案  盜月者  反貪風暴之加密危機  第二十条  破戰  九龍城寨之圍城  海關戰線  角頭—大橋頭  紮職3  餘燼 
待上映:  內幕  臥底的退隱生活  衝鋒  守闕者  怒火漫延  神探大戰2 
2010年代 ← 2020年代 → 2030年代
隋振江

隋振江（1963年8月—），辽宁大洼人。男，汉族。1985年8月参加工作，1984年加入中国共产党。中华人民共和国政治人物。
生平

曾任中共西城区区委常委、区政府副区长，北京市人民政府副秘书长，北京市住房和城乡建设委员会党组书记、主任。2011年5月6日，中共北京市委任命他为中共海淀区委副书记。次日，海淀区人大常委会任命他为区人民政府副区长、代理区长。同年12月24日，隋振江当选海淀区区长。他还曾任海淀区北部地区开发建设委员会主任等职务。2012年4月，任中共海淀区委书记。2015年5月，任北京市人民政府副市长、中共海淀区委书记。2015年6月，不再兼任中共海淀区委书记。2019年1月，出任新成立的北京城市副中心党工委书记、管委会主任。
2023年1月，北京市人民政府换届后，隋振江不再担任市人民政府副市长，但继续担任市人民政府党组成员。
马兆祥

马兆祥（1919年8月28日—2014年9月28日），陕西省子长县人。中华人民共和国政治人物。
早年参加革命，第一次国共内战期间，担任陕北苏区秀延县少共书记，红一军团二师政治部干事、政治协理员。抗日战争初期，担任中共甘肃西峰镇县委组织部长、县委书记。1942年，赴延安中央党校学习。1944年，随八路军359旅南下支队进军中原。1934年，担任新四军第五师政治部组织科科长。后任中原野战军第十二纵队直属炮兵团政治委员，江汉第一专区专员。中华人民共和国成立后，任湖北省财经委员会副主任兼工业厅厅长，中南行政委员会工业部部长，黄河三门峡工程副总指挥，湖北省计委主任。1977年，任中华人民共和国教育部副部长兼办公厅主任。2014年9月28日去世。
参考

↑  . 华商报.   [2015-03-29]. []
↑  中共湖北省委党史资料征集编研委员会; 湖北省档案馆. . 湖北人民出版社. 1991: 469.
↑  China. 国务院. . 中国民主法制出版社. 2001: 665.
↑  . 彭阳网.   [2015-03-29]. （原始内容存档于2015-04-02）.  （页面存档备份，存于）
↑  . 中共庆阳地委党史资料征集办公室. 1990: 142.
↑  . 中华人民共和国教育部.   [2015-03-29]. （原始内容存档于2015-04-02）.  （页面存档备份，存于）
張治中

与「」標題相近或相同的条目页，請見「」。
| 張治中 |
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 中华人民共和国第三届全国人民代表大会常务委员会副委员长
任期 1965年1月5日－1969年4月10日
 中华人民共和国国防委员会副主席
任期 1954年9月27日－1969年4月10日
主席: 毛泽东 → 刘少奇
 西北军政长官公署军政长官
任期 1948年8月12日—1949年6月12日
继任: 馬步芳
 第7任新疆省政府主席
任期 1946年4月1日—1947年5月21日
前任: 吳忠信
继任: 麥斯武德
 第4任湖南省政府主席
任期 1937年11月20日—1939年1月21日
前任: 何鍵
继任: 薛岳
 
个人资料
性别: 男
出生: (1890-10-27)1890年10月27日（光緒十六年9月14日）  大清安徽省廬州府巢縣洪家疃
逝世: 1969年4月10日(1969歲—04—10)（78歲）  中华人民共和国北京市
籍贯: 安徽省巢縣
国籍:  大清（1890年－1911年）   中華民國（1912年－1925年）  中華民國（1925年－1949年）  中华人民共和国（1949年－1969年）
政党:  中國國民黨（？年－1949年6月）投共 中國國民黨革命委員會 （？年－1969年）
获奖: 中华民国青天白日勋章 美国总统自由勋章 中华人民共和国一级解放勋章
军事背景
效忠:  中華民國
服役:  中華民國陸軍
军衔: 二級上將
指挥: 國民革命軍第五軍
参战: 淞滬會戰

 学历  保定陸軍軍官學校第三期畢業  上海大學攻讀社會科學 
 经历  行政院政務委員 (1949年3月21日-)  大本營航空局局長  革命軍總司令部副官長 (1926年7月-)  總司令部軍政廳廳長 (1928年1月-)  中央陸軍軍官學校教育長 (1929年5月-1937年4月)  陸海空軍總司令武漢行營主任 (1937年1月-)  中國國民黨第五屆中央執行委員 (1935年11月-)  国民政府軍事委員會管理部部長 (1937年-)  湖南省政府主席 (1937年11月-1939年1月)  湖南省保安司令 (1937年12月-)  国民政府軍事委員會政治部部長 (1940年9月-)  国民政府軍事委員會委員長西北行轅主任 (1946年3月-)  新疆省政府主席 (1946年3月-1947年5月)  西北軍政長官公署長官 (1948年8月-)  制憲國民大會代表 (1946年)  第一屆國民大會代表 (1947年11月-) 
 
張治中（1890年10月27日—1969年4月10日），字文白，安徽廬州府巢縣人，國民革命军二級上將，曾任湖南省政府主席、国民政府軍事委員會政治部部長兼三民主义青年团书记长、新疆省政府主席，曾主導参與多次國共和談。1947年在原籍安徽省巢縣當選為第一屆國民大會代表。原为中國國民黨黨员，與政學系關係密切。1949年6月宣布脫離中國國民黨，后加入中國國民黨革命委員會，任民革中央副主席。中華人民共和國成立後，历任中央人民政府委员、西北军政委员会副主席、中华人民共和国国防委员会副主席，于第三届全国人大常委会副委员长任上病逝。
生平 > 早年經歷

張治中生于安徽省廬州府巢縣洪家疃（今合肥市巢湖市黄麓鎮洪家疃）。1916年畢業於保定軍校3期步兵科，同期畢業有何鍵、夏威、葉琪、白崇禧、汪强 等。之後曾參加護法，並在滇軍、桂軍、川軍中任連長、營長。
生平 > 國民革命軍經歷

1924年，部分舊桂系部隊離開根據地離開廣東投靠中華民國陸海軍大元帥大本營改編為建國桂軍，由劉震寰主導在廣州開辦建國桂軍軍官學校，張治中任該校大隊長，負責學官訓練與教育。而後蔣中正招攬張治中到黃埔軍校治學，由於建國桂軍軍官學校尚需主事者，因此初期張治中僅擔任黃埔軍校軍事研究委員。在1924年底建國桂軍軍官學校停辦，學生在1925年初併入黃埔軍校第三期後，張治中正式轉換職務，成為黃埔軍校第二期、第三期、第四期入伍生團上校團長，兼任前三期畢業生組建的國民革命軍官團團長。除軍校職務，張治中也是黃埔軍校部隊征伐中的重要參謀。1925年2月國民革命軍東征戰役中，張治中擔任東征軍總部上校參謀，替作戰獻策。東征勝利後，以黃埔軍校軍官畢業生為核心組建的國民革命軍第二師成立，師長蔣中正，張治中任該師參謀長兼廣州衛戍司令部參謀長，得到蔣中正的器重。
1926年5月由蔣中正結合國民黨內反中國共產黨勢力在國民黨第二屆二中全會整理黨務決議案，成為中國國民黨主席，6月任命為國民革命軍總司令，張治中擔任國民革命軍總司令部副官處處長，主導國民革命軍人事、編制，行政事務。
1926年北伐開始後，設立學兵團及黃埔軍校武漢分校，張任學兵團長及分校教育長。1927年四一二事件以後，張治中從武漢到南京，協助南京國民政府建立軍事訓練處，後此單位擴編為軍事委員會軍事訓練總監部；8月13日蔣介石下野後，張治中也隨之失勢辭職，1927年底出國考察5個月。
隨著蔣中正在1927年底重回國民政府權力核心，1928年中考察回國的張治中也重新復出，起先擔任軍政廳廳長，隨後出任遷校到南京的中央陸軍軍官學校教育長，並擔任此職務到1937年。
在擔任中央軍校教育長期間，張治中也曾多度重返前線擔任軍隊司令官，也是在南京國民政府時代蔣中正倚重的高級將領之一。在1928年馮玉祥率領的第二集團軍反抗南京政府時，張治中擔任武漢行營主任，擔負軍事行政上的全盤業務。中原大戰時，張任教導第二師師長，率部進攻開封馮玉祥部。1933年閩變，張任第四路軍指揮平亂。與其他國民黨將領不同，每次戰事完結後張治中都會主動交出兵權，回到軍校。