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行列式
几何意义：二维和三维欧氏空间中的例子 > 三维向量组的行列式

在三维的有向空间中，三个三维向量的行列式是：
比如说，三个向量 \left(2,1,5\right)、 \left(6,0,8\right)和 \left(3,2,4\right)的行列式是：
当系数是实数时，行列式表示 X、 X'和 X''三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质：
行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面（三者线性相关），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。
三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右手定则来约定。比如右图中( u,v,w)所形成的平行六面体的体积是正的，而( u,w,v)所形成的平行六面体的体积是负的。这个定义和行列式的计算并不矛盾，因为行列式中向量的坐标都是在取好坐标系后才决定的，而坐标系的三个方向一般也是按照右手规则来设定的。如果计算开始时坐标系的定向反过来的话，有向体积的定义也要跟着反过来，这样行列式才能代表有向体积。
这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有 \det(aX+bY,X',X'')=a\det(X,X',X'')+b\det(Y,X',X'')\;，对第二、第三个向量也是如此。其几何意义和二维时基本相同，是指当生成两个平行六面体的每组三个向量中如果有两个是重合的，比如分别是：( u,v,w)和( u',v,w)，那么它们的体积之总和等于将 u和 u'加起来后的向量 u+u'和 v,  w所形成的平行六面体的体积，如右图所示。
几何意义：二维和三维欧氏空间中的例子 > 基底的选择

在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基（即直角坐标系）下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。这并不是说平行六面体的体积不唯一。恰恰相反，这说明体积的概念依赖于衡量空间的尺度，也就是基底的取法。用基底的变换可以看作线性映射对基底的作用，而不同基底下的行列式代表了基变换对“体积”的影响。可以证明，对于所有同定向的标准正交基，向量组的行列式的值在绝对值意义上是一样的。也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基之下，平行六面体的体积的绝对值是唯一的。
几何意义：二维和三维欧氏空间中的例子 > 线性变换

设E是一个一般的n维的有向欧几里得空间。一个线性变换把一个向量线性地变为另一个向量。比如说，在三维空间中，向量( x,y,z)被映射到向量( x',y',z')：
其中 a、 b、 c是系数。如右图，正方体（可以看作原来的一组基形成的）经线性变换后可以变成一个普通的平行六面体，或变成一个平行四边形（没有体积）。这两种情况表示了两种不同的线性变换，行列式可以将其很好地分辨出来（为零或不为零）。
更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。如果设左边的正方体体积是一，那么中间的平行六面体的（有向）体积就是线性变换的行列式的值，右边的平行四边形体积为零，因为线性变换的行列式为零。这里我们混淆了线性变换的行列式和向量组的行列式，但两者是一样的，因为我们在对一组基作变换。
行列式与空间定向

以上二维和三维行列式的例子中，行列式被解释为向量形成的图形的面积或体积。面积或体积的定义是恒正的，而行列式是有正有负的，因此需要引入有向面积和有向体积的概念。负的面积或体积在物理学中可能难以理解，但在数学中，它们和有向角的概念类似，都是对空间镜面对称特性的一种刻画。如果行列式表示的是线性变换对体积的影响，那么行列式的正负就表示了空间的定向。
如上图中，左边的黄色骰子（可以看成有单位的有向体积的物体）在经过了线性变换后变成中间绿色的平行六面体，这时行列式为正，两者是同定向的，可以通过旋转和拉伸从一个变成另一个。而骰子和右边的红色平行六面体之间也是通过线性变换得到的，但是无论怎样旋转和拉伸，都无法使一个变成另一个，一定要通过镜面反射才行。这时两者之间的线性变换的行列式是负的。可以看出，线性变换可以分为两类，一类对应着正的行列式，保持空间的定向不变，另一类对应负的行列式，颠倒空间的定向。
一般域上的行列式：严格的定义

由二维及三维的例子，可以看到一般的行列式应该具有怎样的性质。在 n维欧几里得空间中，作为“平行多面体”的“体积”的概念的推广，行列式继承了“体积”函数的性质。首先，行列式需要是线性的，这可以由面积的性质类比得到。这裡的线性是对于每一个向量来说的，因为当一个向量变为原来的 a倍时，“平行多面体”的“体积”也变为原来的 a倍。其次，当一个向量在其它向量组成的“超平面”上时， n维“平行多面体”的“体积”是零（可以想像三维空间的例子）。也就是说，当向量线性相关时，行列式为零。在一般系数域上的线性空间中，行列式也正是由这样的特性所刻划的：
一般域上的行列式：严格的定义 > 交替多线性形式（多重线性函数）

行列式是系数域为 K的有限维线性空间 E上射到 K的交替n-线性形式。
具体来说，设 E是一个系数在域 K上的有限维线性空间，维数为 n。一个 E上的交替 n-线性形式是指满足以下性质的函数 D:E^{n}\to K：
n重線性： D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n})
交替性： D(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=-D(a_{2},a_{1},\ldots ,a_{n})或者说，当 a_{i}=a_{j}的时候 D(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{j},\ldots ,a_{n})=0
所有E上的交替 n-线性形式的集合记作 A_{n}(E)。
：
A_{n}(E)的维度是1。也就是说，设 B=(e_{1},\dots ,e_{n})是 E的一组基，那么，所有的交替 n-线性形式 f:E^{n}\to K都可以写成
其中 a_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}e_{i}是在基 B下的展开。
：
对任一个 n-线性形式 D:E^{n}\to K，考虑将 D依照多线性性质展开，
这时，由交替性， D(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{n}})\neq 0当且仅当 i_{1},\dots ,i_{n}是 1,\dots ,n的一个排列，所以有
这裡， I_{n}=(e_{1},\dots ,e_{n})。
一般域上的行列式：严格的定义 > 向量组的行列式

设 B=(e_{1},\dots ,e_{n})是 E的一组基，根据上面的定理和线性形式的性质，可以定义 B下的行列式。
：
E上的一组基 {\mathit {B}}=(e_{1},\dots ,e_{n})的行列式是唯一一个满足：
的交替n-线性形式 \det {}_{\mathit {B}}:E^{n}\to K。
其中的唯一性是因为如果有两个交替 n-线性形式满足条件，则它们的差在一组基上为0，从而恒等于0。于是，一组基上的一个向量组的行列式就是：
：
确定了 E上的一组基 B后，向量组 a_{1},\dots ,a_{n}在 B下的行列式是：
可以见到这个定义与之前直观的定义是吻合的，它有时也被称作莱布尼兹公式。
一般域上的行列式：严格的定义 > 向量组的行列式 > 基变更公式

设 B与 B'是向量空间中的两组基，则将上面定理中的 f改为 \det {}_{B}就得到向量组在两组基下的行列式之间的关系：
一般域上的行列式：严格的定义 > 矩阵的行列式

設 \displaystyle {\mathit {M}}_{n}(K)為所有定義在系数域 K上的 n\times n矩陣的集合。將 n\times n矩陣 M（ M的元素记为 \displaystyle m_{i,j} )的 n列寫成 m_{1},\ldots ,m_{n}， \displaystyle m_{j}可以看作是 \mathbb {R} ^{n}的正则基上的向量。矩阵 M的行列式定义为向量组 m_{1},\ldots ,m_{n}的行列式。这裡的向量都在 \mathbb {R} ^{n}的正则基上展开，因此矩阵的行列式不依赖于基的选择。
：
矩阵 M的行列式
这样定义的矩阵 M的行列式与向量组的行列式有同样的性质。单位矩阵的行列式为1，若矩阵的某几行线性相关，则它的行列式为零。
由莱布尼兹公式，可以证明矩阵行列式的一个重要性质：
：
一个矩阵的行列式等于它的转置矩阵的行列式： \det M=\det \left({}^{t}{M}\right)，
也就是说矩阵的行列式既可以看作 n个行向量的行列式，也可以看作 n个列向量的行列式。因此也可以通过行向量组来定义矩阵行列式，并且得到的定义是等价的。
：
矩阵 A的转置矩阵的行列式是：
令 j=\sigma (i)，由于每个排列都是双射，所以上式变成：
令 \tau =\sigma ^{-1}，当 \sigma 取遍所有置换时， \tau 也取遍所有排列。另一方面， 1=\operatorname {sgn}(\sigma ^{-1}\sigma )=\operatorname {sgn}(\tau \sigma )=\operatorname {sgn}(\tau )\operatorname {sgn}(\sigma )，因此而且 \operatorname {sgn} \sigma =\operatorname {sgn} \tau 。所以
一般域上的行列式：严格的定义 > 线性变换的行列式

设 f是 n维线性空间 E到自身的线性变换（自同态），对于给定的一组基，可以定义线性变换在这组基下的行列式。
：
设 B是 E的一组基。设 f在 B的变换矩阵为 \left[f\right]_{B}，那么 f在 B下的行列式就是：
f的变换矩阵满足 \left[f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})\right]=\left[f\right]_{B}\cdot \left[x_{1},\dots ,x_{n}\right]
也就是说对所有的向量组 (x_{1},\dots ,x_{n})，
可以证明，f在E的任意一组基下的变换矩阵的行列式都是相等的。
：
考虑映射 d_{f,B}使得 (x_{1},\cdots ,x_{n})被映射到
d_{f,B}是一个交替n-线性形式，因此由前面证的定理， d_{f,B}和 det_{B}只相差一个系数。
而由变换矩阵的性质可以知道： \lambda =\det \left([f]_{B}\right)
也就是说
对于另外一组基 B'，运用基变更公式，可以得到：
从而可以得出 \det \left([f]_{B'}\right)等于 \det \left([f]_{B}\right)。于是 \det \left([f]_{B'}\right)是一个不依赖于基，只依赖于f的数。
因此线性变换的行列式定义可以修改为不依赖于基的形式：
：
设线性变换f在某组基B下的变换矩阵为 \left[f\right]_{B}，那么 f的行列式就是：
前一节里对正方体做线性变换时， (x_{1},\cdots ,x_{n})是原来的基， \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})=1，因此可以混淆向量组的行列式和线性变换的行列式。
特别地，行列式为1的线性变换保持向量组的行列式，它们构成一般线性群 GL(E)的一个子群 SL(E)，称作特殊线性群。可以证明， SL(E)是由所有的错切生成的，即所有具有如下形式的矩阵代表的线性变换：
其中 E_{ij}是只在第 i行第 j列处系数取1，其余系数为0的矩阵。也就是说，错切变换保持向量组形成的“平行多面体”的体积。同样，可以证明两个相似矩阵有相等的行列式。
系数的取值

以上的定义中都假设矩阵的系数取自域 \mathbb {K} 中，实际上矩阵的系数可以是任意的交换环 k，这时有限维线性空间变为以 B=(e_{1},\dots ,e_{n})为基的自由 k-模，而相应的关于行列式的定义和性质依然成立（在可定义的范畴内）。如果矩阵系数是非交换环的话，以上的行列式定义将不再唯一。1845年，阿瑟·凯莱首次开始研究非交换环上行列式定义的问题。他注意到，对于系数是四元数（不可交换）的二阶行列式
表达式 a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}和 a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}是不一样的。1926年，阿兰德·海廷和A.理查德森提出了非交换环上的行列式的不同定义。理查德森将二阶行列式定义为： (a_{11}-a_{12}a_{22}^{-1}a_{21})a_{22}，而海廷则提倡使用 (a_{11}-a_{12}a_{22}^{-1}a_{21})。两人都用归纳法定义了更高阶矩阵的行列式。1931年，奥斯丁·欧尔在一大类非交换环（后来命名为欧尔环）上定义了行列式的概念。最著名的非交换环上的行列式的定义当属让·迪厄多内的定义。迪厄多内是布尔巴基学派的代表成员之一，他将除环 \mathbb {K} 中的行列式定义在商域 \mathbb {K} /[\mathbb {K} ,\mathbb {K} ]上，而不是在 \mathbb {K} 中。这个定义下的行列式有接近交换环中行列式的性质。例如，迪尔多内的行列式可以保持行列式的乘法定理。而这种行列式与交换环中行列式的区别是：将矩阵的两行或两列互换后，行列式的值不变。之后菲列克斯·别列金（英语：）（）、佐藤幹夫等人对迪厄多内的定义进行了探究和扩展。
行列式的性質

行列式的一些基本性质，可以由它的多线性以及交替性推出。
在行列式中，一行（列）元素全為0，則此行列式的值為0。
在行列式中，某一行（列）有公因子 k，則可以提出 k。
在行列式中，某一行（列）的每個元素是兩數之和，則此行列式可拆分為兩個相加的行列式。
行列式中的兩行（列）互換，改變行列式正負符號。
在行列式中，有兩行（列）對應成比例或相同，則此行列式的值為0。
將一行（列）的 k倍加進另一行（列）裡，行列式的值不變。
將行列式的行列互換，行列式的值不變，其中行列互換相當於轉置。这个性质可以简单地记作
行列式的乘法定理：方块矩陣的乘積的行列式等於行列式的乘積。 \displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)。特别的，若将矩阵中的每一行每一列上的数都乘以一个常数 r，那么所得到的行列式不是原来的 r倍，而是 r^{n}倍：
以上的乘法公式还可以进一步推广为所谓柯西–比内公式，从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵，就有类似于以上的结果：假设 A是一个 m\times n矩阵，而 B是一个 n\times m矩阵。如果 S是 \left\{1,\cdots ,n\right\}中具有 m个元素的子集 \left\{S_{1},\cdots ,S_{m}\right\}，我们记 A_{S}为 A中列指标位于 S中的 m\times m子矩阵。类似地，记 B_{S}为 B中行指标位于 S中的 m\times m子矩阵。那么
若 A是可逆矩陣， \displaystyle \det(A^{-1})=(\det(A))^{-1}。
由行列式的乘法定理以及 \displaystyle \det(A^{-1})=(\det(A))^{-1}可以知道，行列式定义了一个从一般线性群 (GL_{n}(\mathbb {F} ),\times )到 (\mathbb {F} ^{*},\times )上的群同态。
若将方块矩阵中的元素取共轭，得到的是矩阵的共轭矩阵。共轭矩阵的行列式值等於矩阵行列式值的共軛： \det({\overline {A}})={\overline {\det(A)}}
若兩個矩陣相似，那麼它們的行列式相同。这是因为两个相似的矩阵之间只相差一个基底变换，而行列式描述的是矩阵对应的线性映射对体积的影响，而不是体积，所以基底变换并不会影响行列式的值。用数学语言来说，就是：
行列式是所有特徵值（按代数重数计）的乘积。這可由矩陣必和其若尔当标准型相似推導出。特殊地，三角矩阵的行列式等于其对角线上所有元素的乘积。
由于三角矩阵的行列式计算简便，当矩阵的系数为域时，可以通过高斯消去法将矩阵变换成三角矩阵，或者将矩阵分解成三角矩阵的乘积之后再利用行列式的乘法定理进行计算。可以证明，所有的矩阵 A都可以分解成一个上三角矩阵 U、一个下三角矩阵 L以及一个置换矩阵 P的乘积： A=P\cdot L\cdot U。这时，矩阵 A的行列式可以写成：
分块矩阵的行列式并不能简单地表示成每个分块的行列式的乘积组合。对于分块的三角矩阵，仍然有类似的结论：
矩阵的行列式和矩阵的迹数有一定的关联，当矩阵的系数为域时，在定义了矩阵的指数函数后，有如下的恒等式：
行列式的展开 > 餘因式

条目：子式和余子式
行列式的展开 > 代数余子式

M关于元素 m_{ij}的代数余子式记作 C_{ij}。 C_{ij}=(-1)^{(i+j)}\cdot M_{ij}。
行列式的展开 > 行列式关于行和列的展开

一个 n阶的行列式 M可以写成一行（或一列）的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行（或一列）的展开。
这个公式又称拉普拉斯公式，把 n维矩阵的行列式计算变为了 n个 n-1维的行列式的计算。另一方面，拉普拉斯公式可以作为行列式的一种归纳定义：在定义了二维行列式后， n维矩阵的行列式可以借助拉普拉斯公式用 n-1维的行列式来定义。这样定义的行列式与前面的定义是等价的。
行列式的计算

计算行列式的值是一个常见的问题。最简单的方法是按照定义 \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}计算或按照拉普拉斯公式进行递归运算。这样的算法需要计算 n!次的加法，复杂度是指数函数。在实际的计算中只能用于计算阶数很小的行列式。注意到拉普拉斯公式的性质，如果一行或一列里面有很多个0，那么就可以把行列式按这一行或一列展开，这时数值为零的系数所对应的代数余子式就不必计算了，因为最后要乘以0，这样就可以简化计算。然而更加简便的算法是利用高斯消去法或LU分解法，把矩阵通过初等变换变成三角矩阵或三角矩阵的乘积来计算行列式的值。这些算法的复杂度都是 n^{3}级别，远远小于直接计算的复杂度。
如果一个算法可以在 {\mathit {O}}(n^{s})时间内算出矩阵乘法，那么可以构造出一种 {\mathit {O}}(n^{s})时间内的行列式求值算法。这说明求矩阵的行列式的值和矩阵的乘法有相同的复杂度。于是，通过分治算法或者其它的方法，可以达到比 {\mathit {O}}(n^{3})更好的结果。比如，存在复杂度 {\mathit {O}}(n^{2.376})的行列式求值算法。
行列式函数

由行列式的一般表达形式中可以看出，矩阵 A的行列式是关于其系数的多项式。因此行列式函数具有良好的光滑性质。
行列式函数 > 单变量的行列式函数

设矩阵函数 t\mapsto A(t)为 {\mathcal {C}}^{k}（k阶连续可导）的函数，则由于行列式函数 t\mapsto \det A(t)只不过是矩阵 A(t)的某些系数的乘积，所以也是 {\mathcal {C}}^{k}的。其对t的导数为
行列式函数 > 矩阵的行列式函数

函数 A\mapsto \det A是连续的。由此，n阶一般线性群是一个开集，因为是开区间 \mathbb {R} -\left\{0\right\}的原像，而特殊线性群则是一个闭集，因为是闭集合 \left\{1,-1\right\}的原像。
函数 A\mapsto \det A也是可微的，甚至是光滑的（ {\mathcal {C}}^{\infty }）。它在某个矩阵 A处的展开为
也就是说，在装备正则范数的矩阵空间 M_{n}(\mathbb {R} )中，伴随矩阵是行列式函数的梯度
可逆矩阵的可微性说明一般线性群 GL_{n}(\mathbb {R} )是一个李群。
与外代数的关系

行列式与外代数有密切的关系，因为外代数正是在给定的交换环 \mathbb {K} 上的自由 \mathbb {K} -模 V上最“一般性”的有交替性质的结合代数，记为 \wedge (V)。外代数是由楔积构造而成的，而楔积在 V上的交替性质表现如下（定义）：
这表示
对三维欧几里得空间中 \mathbb {R} ^{3}可以建立一个线性同构 \phi :\Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{3})\rightarrow \mathbb {R} ^{3}如下：任取 \mathbb {R} ^{3}的右手的标准正交基 {\boldsymbol {i}}， {\boldsymbol {j}}， {\boldsymbol {k}}，规定 \phi 把 {\boldsymbol {i}}\wedge \mathbf {j} ， {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}， {\boldsymbol {k}}\wedge {\boldsymbol {i}}分别映射为 {\boldsymbol {k}}， {\boldsymbol {i}}， {\boldsymbol {j}}，则 \phi 的定义与右手的标准正交基如何选取无关。
不难看出，对任意向量 {\boldsymbol {u}}和 {\boldsymbol {v}}，这个线性同构把楔积 {\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}映射为叉积 {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}。这就是叉乘（向量积）的实质。叉积可以用带向量的行列式：
来表示，但要注意这个行列式形式并不代表一个“真正”的行列式，因为第一行的分量不是数，而是向量。这个计算之所以正确是得益于线性同构 \phi 。
历史

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间相差132年。
历史 > 早期研究

1545年，吉罗拉莫·卡尔达诺在著作《大术（英语：）》（）中给出了一种解两个一次方程组的方法。他把这种方法称为“母法”（regula de modo）。这种方法和后来的克莱姆法则已经很相似了，但卡尔达诺并没有给出行列式的概念。
1683年，日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。书中出现了 2\times 2、 3\times 3乃至 5\times 5的行列式，行列式被用来求解高次方程组。
1693年，德国数学家莱布尼茨开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵的概念，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：ij代表第i行第j列。莱布尼茨对行列式的研究成果中已经包括了行列式的展开和克莱姆法则，但这些结果在当时并不为人所知。
历史 > 任意阶数的行列式

1730年，苏格兰数学家科林·麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法，并给出了四元一次方程组的一般解的正确形式，尽管这本书直到麦克劳林逝世两年后（1748年）才得以出版。
1750年，瑞士的加布里尔·克莱姆首先在他的《代数曲线分析引论》给出了n元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。其中行列式的计算十分复杂，因为是定义在奇置换和偶置换上的。
此后，关于行列式的研究逐渐增多。1764年，法国的艾蒂安·裴蜀的论文中关于行列式的计算方法的研究简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。同是法国人的范德蒙德则在1771年的论著中第一个将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。这是数学家们开始对行列式本身进行研究的开端。
1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作裡面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，发展出子式的概念。一年后，约瑟夫·拉格朗日发现了 3\times 3的行列式与空间中体积的联系。他发现：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。
行列式在大部分欧洲语言中被称为“determinant”（某些语言中词尾加e或o，或变成s），这个称呼最早是由卡爾·弗里德里希·高斯在他的《算术研究》中引入的。这个称呼的词根有“决定”意思，因为在高斯的使用中，行列式能够决定二次曲线的性质。在同一本著作中，高斯还叙述了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，也就是现在的高斯消元法。
历史 > 行列式的现代概念

进入十九世纪后，行列式理论进一步得到发展和完善。奧古斯丁·路易·柯西在1812年首先将“determinant”一词用来表示十八世纪出现的行列式，此前高斯只不过将这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家（垂直线记法是阿瑟·凯莱在1841年率先使用的）。柯西还证明了行列式的乘法定理（实际上是矩阵乘法），这个定理曾经在雅克·菲利普·玛利·比内（英语：）（）的书中出现过，但没有证明。
十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等。
与此同时，行列式也被应用于各种领域中。高斯在二次曲线和二次型的研究中使用行列式作为二次曲线和二次型划归为标准型时的判别依据。之后，卡尔·魏尔斯特拉斯和西尔维斯特又完善了二次型理论，研究了 \lambda -矩阵的行列式以及初等因子。行列式被用于多重函数的积分大约始于十九世纪三十年代。1832年至1833年间卡尔·雅可比发现了一些特殊结果，1839年，欧仁·夏尔·卡塔兰（）发现了所谓的雅可比行列式。1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的论文，讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系。
应用 > 行列式与线性方程组

条目：线性方程组
行列式的一个主要应用是解线性方程组。当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时，方程组不一定总是有唯一解。对一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零。这也是行列式概念出现的根源。
当线性方程组对应的行列式不为零时，由克萊姆法則，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。但用克萊姆法則求解计算量巨大，因此并没有实际应用价值，一般用于理论上的推导。
应用 > 行列式与矩阵

条目：矩阵
矩阵的概念出现得比行列式晚，直到十九世纪中期才被引入，然而两者在本质上仍然有密切关系。通过矩阵，线性方程组可以表示为
其中 \mathbf {A} 是由方程组中未知数的系数构成的方块矩阵， x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{\mathbf {T} }是未知数，而 b=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})^{\mathbf {T} }。
在矩阵理论中，行列式也有各种用途。多項式 p(x)=\det(xI-A)称为方块矩陣 A的特徵值多項式。这是一个由行列式定义的多项式，它的解是矩阵所有的特征值。换句话说， x是矩阵 A的特征值当且仅当 xI-A不是可逆矩阵。特征值多项式在矩阵理论中有重要的应用。
应用 > 行列式与多项式

早在高斯的时代，行列式就和多项式的研究联系在一起。行列式的一个应用是在所谓的“结式”上。结式是两个多项式 \displaystyle p和 \displaystyle q的西尔维斯特矩阵的行列式。两个多项式的结式等于0当且仅当它们有高于或等于一次的公因子多项式。结式还可以判断多项式是否有重根：如果多项式 \displaystyle p和它的微分多项式 \displaystyle p^{\prime }的结式不为零，那么这个多项式没有重根，否则有重根。
行列式在多项式逼近理论中也有出现。给定一组插值点，判别插值多项式的存在性需要看所谓的范德蒙矩阵，而由于范德蒙矩阵的行列式不为零，因此根据克莱姆法则，插值多项式唯一存在（次数小于插值点个数）。
应用 > 朗斯基行列式

条目：朗斯基行列式
朗斯基行列式是函数矩阵的行列式，因此本身也是一个函数。给定n个n-1次连续可微函数，f1、...、fn，它们的朗斯基行列式W(f1, ..., fn)为：
可以证明，如果f1、...、fn线性相关，那么它们的朗斯基行列式恒等于零。
在线性微分动力系统理论中，朗斯基行列式用来判别若干个解的线性相关性。如果n个解f1、...、fn线性无关，那么它们的朗斯基行列式将总不为零。根据刘维尔定理，n维空间上的线性微分方程：
的基础解系所构成的朗斯基行列式 W(t)满足：
同样地，线性微分方程：
 y^{(n)}=a_{0}(t)y+a_{1}(t)y'+a_{2}(t)y''+...+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}\,的基础解系所构成的朗斯基行列式 W(t)满足：
应用 > 行列式与多重积分

条目：雅可比矩阵
行列式体现了线性变换对于空间体积的作用，对于非线性的函数，其对体积的影响更为复杂，但对于足够“良好”的函数，在一个微小的范围内，比如说在空间中一点的附近，可以将函数的效果近似地用线性的变换来代替。由此，对于某些函数，也可以将它在某一点附近的作用效果用它在这一点上的偏导数构成的矩阵（称为雅可比矩阵）来表示。这类行列式被称为“雅可比行列式”，即是雅可比矩阵的行列式，只对连续可微的函数有定义。
在计算“体积”的多重积分中，雅可比行列式应用于换元积分的时候。积分的思想是将空间割成许多个微小的体积元，称为积分元素，再将每个体积元上的函数值乘以体积元的体积后相加。将一个积分元素换为另一个积分元素时，实际上作了一次对空间中体积的度量方式的改变：分划体积元的方式不同了。譬如在二维空间中，将直角坐标积分换为极坐标积分时，面积元素由方块区域变成扇形区域。因此，要测量这种体积度量方式的改变，可以将这种变换看成一个非线性的变换函数（实际上是一个微分同胚）： \varphi :\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}。而它在每一点的影响可以通过雅可比行列式来体现。
应用 > 行列式与非线性方程组及分枝理论

条目：牛顿法和分枝理论
运用雅可比行列式的还有非线性方程组的数值求解。对于一般的非线性方程组，不存在求解公式，能够用数值分析的方法求近似解。求近似解的基本思想也是将非线性问题在局部的地方逐步线性化，化归为线性方程组来求解。设有方程组：
其中 f=(f_{1},\cdots ,f_{n})是连续可微函数，并在解的附近雅可比行列式不为零，那么可以用牛顿法迭代求得近似解。迭代程序为：
其中的 x^{(k)}=(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},\cdots ,x_{n}^{(k)})是第 k次迭代时的解的近似数值。每次迭代时先求解关于线性方程组
然后计算新的近似值
在实际应用中，还需要考虑带有参数的非线性方程组：
其中的 \lambda 可以代表温度、外力等环境因素。当环境改变时，方程解上的雅可比行列式可能从非零变为零。雅可比行列式为零的点称为临界点或分支点，是方程的解改变性质的地方。和线性方程组类似，当雅可比行列式的值为零时，方程组会出现局部多值的情况。寻找分支点和分支方向的研究是非线性方程求解的一大问题。
外部連結

Online Matrix Calculator線上行列式計算器
Online Matrix Calculator （页面存档备份，存于）線上矩陣計算器
《新理解矩阵5》：体积=行列式 （页面存档备份，存于）来自科学空间
|  论 编线性代数的相关概念 |
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重要概念:  标量  向量  向量空间  向量子空间 线性生成空间  线性映射  投影  線性無關  线性组合 基  標記  列空间  行空间  零空间  对偶空间  正交  特征值  特征向量 数量积  内积空间  点乘  轉置  格拉姆-施密特正交化  线性方程组  克萊姆法則 
矩阵:  矩阵  矩陣乘法  矩阵分解  行列式  子式和余子式  矩阵的秩  克萊姆法則  逆矩阵  高斯消去法  线性变换  分块矩阵 
数值线性代数:  浮点数  数值稳定性  基础线性代数程序集  稀疏矩阵 
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：各地 :  法国  BnF data  德国  以色列  美国  日本  捷克 
三阶矩阵的行列式为每条红线上的元素的乘积之和，减去蓝线上元素乘积之和。
行列式是向量形成的平行四边形的面积
行列式
两个相邻平行六面体的体积之和
经线性映射后的正方体
皮埃尔-西蒙·拉普拉斯
关孝和在《解伏题之法》中首次运用行列式的概念
约瑟夫·拉格朗日
詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特
雅可比行列式是把一个体积元（蓝色）变换成另一个（红色）时两者的体积之比
阿里安娜·西盖尔

| 阿里安娜·西盖尔 |
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出生: 1996年2月9日、1996年9月2日  （28歲） 特伦托 
职业: 短道速滑运动员 
家族: 彼得罗·西盖尔 
阿里安娜·西盖尔（義大利語：，1996年9月2日—），意大利女子短道速滑运动员，2021年世界短道速滑锦标赛女子3000米接力铜牌得主、2023年世界短道速滑锦标赛混合2000米接力铜牌得主、2024年世界短道速滑锦标赛混合2000米接力银牌得主。
参考资料

↑  .   [2024-04-25]. （原始内容存档于2024-03-18）.
西二旗站

西二旗站是北京地铁13号线和昌平线的一个地铁换乘站，位于中国北京市海淀区上地街道、清河街道与西北旺地区交界上地东路、上地十街交叉口东南侧，有新旧两个站址。
西二旗站原站址于2002年9月28日13号线西段线路开通时投入使用。为了配合昌平线开通，在原站址移北侧建立新址，以便于换乘。新站于2010年12月25日开通，同时老站关闭。老站停运初期改作商铺，2020年被拆除，以为昌平线南延提供空间。昌平线一期工程完工后，路轨暂时到西二旗站为止，直至2021年继续向南延伸。
位置及名称

这个站位于上地科技园区信息路東北面，西临上地东路以及高架的G7京新高速公路，东临京包铁路。昌平线与13号线与京新高速公路、京包铁路平行，呈西北-东南走向布置。
西二旗在明代嘉靖年间称“二旗营”，是北京西边的两个旗营驻军之地。
车站構造

原有西二旗站由于设计规模过小，无法满足与昌平线换乘需求，同时对既有站进行改造的风险较大，因此配合昌平线建设，在老站北侧增建了新站。新站与老站相距38.7米。
西二旗新站结构为地上两层，半地下一层，四柱五跨车站，总建筑面积16669.6平方米。利用13号线与周边既有高差设置半地下层为设备和管理用房；地上一层西侧为站厅、进出站通道，东侧为13号线站台；二层西侧站厅上方为昌平线站台，东侧13号线站台上空为13号线换向天桥暨换乘通道。两线均采用侧式站台设计，昌平线西侧站台宽7米，东侧站台宽5.2米；13号线西侧站台宽4.8米，东侧站台宽4.5米。为了避免影响13号线运营，13号线站台采用了悬挑结构。
由于车站东侧是京张高铁(原京包铁路)，出站口均设在西侧，因此，13号线东直门方向站台须经过二层天桥跨过13号线路轨经西直门方向一侧站台后经站厅进出站。
车站構造 > 车站楼层

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地上二層 昌平线站台层: 侧式站台，右侧开门
| 地上二層 昌平线站台层 |  |   昌平线往蓟门桥（清河站） |
| 地上二層 昌平线站台层 |  |   昌平线往昌平西山口（生命科学园） |
地上二層 昌平线站台层: 侧式站台，右侧开门
| 地上半层 站厅层 13号线站台层 | 站廳 | 票务服务、自动售票机、一卡通充值 |
地上半层 站厅层 13号线站台层: 側式站台，右側開門
| 地上半层 站厅层 13号线站台层 |  |   13号线往西直门（清河站） |
| 地上半层 站厅层 13号线站台层 |  |   13号线往东直门（龙泽） |
地上半层 站厅层 13号线站台层: 側式站台，右側開門
| 地面层 | 出入口 |      出入口、安全检查、自动售票机 |
车站構造 > 外观

西二旗站外形顶部用的膜结构覆盖，外立面采用PTFE索膜结构，模仿手风琴状起伏褶皱的外观效果。
车站構造 > 站台

西二旗站13号线往东直门方向的站台（2021年3月摄）
西二旗站13号线往西直门方向的站台（2021年3月摄）
西二旗站昌平线往清河站方向的站台，暂时只用于落客（2021年11月摄）
西二旗站13号线站台位于地上一层，属于侧式站台，2014年1月加装半高安全门。昌平线站台位于地上二层13号线站台西侧，同属侧式站台；2021年11月14日前，所有昌平线列车使用北端一条渡线进行站前折返，仅开放东侧站台，西侧站台则于2021年11月14日西二旗-清河站区间跑图试运行时开放，供落客使用，昌平线南延段开通后，西侧站台成为昌平线南行站台。
昌平线站台全景图（2019年9月摄）
车站構造 > 出入口

现在使用的西二旗站共建有5个出入口：北 (A1、A2)、南 (B1、B2、B3) 口。A口有无障碍设施。
原有的西二旗站有1個出入口：A（西）。
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| 编号 | 指示 | 建议前往的目的地 | 图片 |  |
连通  13号线   昌平线站厅
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|   | 上地东路 |  |  |  |
|    | 上地东路 |  |  |  |
註： 設有
运营

高峰时昌平线输送的大客流挤满西二旗站13号线站台的情景（2017年11月摄）
西二旗站早高峰上下客的情况（2019年12月摄）
早高峰时段西二旗站北侧出闸的通勤客流（2022年4月摄）
由于13号线西二旗站在高峰时段需要承载昌平线输送而来的大规模通勤客流，同时又有大量通勤乘客在本站下车，因此早高峰十分拥挤，经常有下车乘客被上车的人群挤回车厢。2013年西二旗站早高峰的视频被上传至YouTube，一天之内获得点击量超过33万次，登上热门视频排行首位。
现时由于昌平线南延，本站的换乘客流大幅下降，但本站是中关村软件园地区的主要联外轨道交通车站，进出站量仍然极其庞大，更是北京地铁全网于早高峰出站量的首位，且与排名第二的朝阳门站有一万人左右的领先。
历史

原西二旗站2002年9月28日随13号线西段投入使用，但在昌平线投入运营前，原西二旗站因设计规模过小，无法满足换乘需求，而于2010年12月25日关闭，旧站北侧的新西二旗站也于2010年12月25日启用13号线部分，昌平线部分则于2010年12月30日启用。昌平线南延工程2010年开始调研时已有将西二旗老站拆除的规划，但新站启用后老站并未被立即拆除，而是被用作地铁办公用房。2019年2月，由于昌平线南延工程已经开工，原西二旗站轨行区上方在13号线西段暂时停运期间搭建起防护棚，西二旗老站的拆除工作由此启动。2020年8月25日，老西二旗站的拆除工作正式开始，拆除完毕后，老站房原址用于建设昌平线南延的高架区段。
2021年11月14日，昌平线列车开始在本站与清河站间空载跑图试运行，本站昌平线西侧站台因此启用，供落客使用。
2023年12月14日，因昌平线列车追尾事故，本站于14日晚间起临时封站停止运营、13号线列车不停站通过，至15日清晨恢复运营。15日全天，本站作为昌平线西土城-西二旗段临时终点站。16日首班车起，该车站恢复正常中途站运营。
轶事

2020年9月7日和9月8日，微博粉丝超24万的两名博主发布同一个视频称视频里的地铁站是位于日本东京的新宿站。“新宿站是全世界最繁忙的车站，每天客流量达363万人次，秩序井然，互不指责，先下后上是必须的。”之后有细心的网友发现，两名博主所发布的所谓“日本地铁”视频，地点并非东京的新宿站，而是北京的西二旗地铁站。随后，其中一名博主辩解，称该车站为位于日本东京的西二旗站（），结果该博主因相关回复沦为笑柄，最后两名博主道歉并删除相关博文。
图集

西二旗新站外观（2012年12月摄）
西二旗站外立面（2013年1月摄）
西二旗站南侧进出站口（2013年1月摄）
西二旗站, 二层为昌平线站台, 一层为13号线站台（2014年1月摄）
西二旗站13号线站台（2013年8月摄）
西二旗站昌平线站台（2013年1月摄）
西二旗站外（北）线路（2013年1月摄）
昌平线南延预留接口（2016年3月摄）
世园会期间的昌平线站台（2019年9月摄）
昌平线南段跑图试运行期间通往西侧站台的上行扶梯暂时禁止乘客使用（2021年11月摄）
昌平线南段跑图试运行期间，西侧站台关于清河站的指示全部用白色贴纸覆盖（2021年11月摄）
图集 > 旧西二旗站

13号线列车经过（西二旗站南侧）西二旗老站（2013年1月摄）
西二旗站老站外观（2013年1月摄）
西二旗站老站站台（2010年5月摄）
已搭起防护棚但尚未开拆的老站房（2019年9月摄）
拆除中的老站房（2020年9月摄）
老站房拆除后建设的昌平线南延高架（2021年3月摄）
老站房位置上已建成的昌平线南延桥墩（2021年8月摄）
参考资料

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↑  . 北京日报客户端. 2021-02-21  [2021-03-03]. （原始内容存档于2021-02-21）.
↑  . 2020-09-10  [2023-08-03]. （原始内容存档于2023-08-03）.
西二旗站大堂（2022年1月摄）
我和尋回犬的十個約定

| 我和尋回犬的十個約定  |
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基本资料
导演: 本木克英（日语：）
监制: 吉田繁暁
编剧: 川口晴 澤本嘉光
主演: 田中麗奈 加瀨亮 福田麻由子 高島禮子 豐川悅司
配乐: 赵成禹（日语：）
摄影: 藤澤順一
: 川瀬功
制片商: 松竹
片长: 117分
产地:  日本
语言: 日語
官方网站: http://www.inu10.jp/
上映及发行
上映日期: 2008年3月15日 2008年9月11日 2008年9月12日
票房:  14.8億日圓
各地片名
中国大陆: 
香港: 
臺灣: 
新加坡: 
马来西亚: 
《我和尋回犬的十個約定》（日语：），是導演本木克英（日语：）根據《愛犬十戒（日语：）》改編的日本電影。日本上映日期為2008年3月15日，票房達14.8億日圓。
故事簡介

在明莉12歲的時候，最疼愛她的媽媽因病入院。年紀輕輕的明莉努力的想要振作精神。這時，一隻可愛的小狗來到了明莉的家，貼心的狗狗很快的得到了明莉的喜愛，也和她成為最好的朋友，因為小狗狗的腳掌看起來就像是有穿襪子一樣，所以明莉幫牠起了個有趣的名字—「襪子」；每一天都是「襪子」陪伴著明莉度過失去媽媽的日子，而明莉也是對襪子呵護倍至。然而，當明莉開始長大後，她開始認識新的朋友和有了新的興趣，也因為求學的關係而搬離了家裡，於是她和襪子之間的距離越來越遠……不過有一天，她突然想起了她和「襪子」之間的10個承諾……
故事中的十個約定為：
請給我一點時間，讓我瞭解你對我的要求
請信任我，這是我幸福的泉源
請不要忘記，我也是有血有肉的
在責罵前，請先試著瞭解我
請偶爾對我說說話，雖然我聽不懂，但我懂你的心
請不要打我，別忘了，我認真起來是比你還強壯的
請好好照顧我，當我逐漸變老時
請記住，你有你的工作、娛樂和朋友，但我就只有你
請想想，我的生命有10~15年，遺棄我會是對我最大的傷害
請在我最終離去前陪著我，這是我最後的心願。最後，請記得，我愛你。
演員

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| 演員 | 角色 | 粵語配音 |
| 田中麗奈 童年：福田麻由子 | 齊藤あかり | 王菀之 童年：文詠珊 |
| 加瀨亮 童年：佐藤祥太 | 星進 | 周柏豪 童年：張裕東 |
| 豐川悅司 | 齊藤祐市 | 高翰文 |
| 高島禮子 | 齊藤芙美子 | 曾慶珏 |
| 池脇千鶴 | 井上優子 | 何璐怡 |
製作人員

導演：本木克英（日语：）
編劇：澤本嘉光（日语：）、川口晴
音樂：赵成禹（日语：）
主題歌：BoA《be with you.（日语：）》
香港上映

香港於2008年9月11日上映此電影，女主角的名字譯為亞嘉莉，由歌手王菀之配音。男主角由香港歌手周柏豪配音。
外部連結

日本官方網站 （页面存档备份，存于）
互联网电影数据库（IMDb）上《我和尋回犬的10個約定》的资料（英文）
谢赫·哈西娜

| 謝赫·哈西娜  |
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 第10任總理
任期 2009年1月6日—2024年8月5日辭職
总统: 亚杰丁·艾哈迈德 齐勒·拉赫曼 阿卜杜勒·哈米德 穆罕默德·謝哈布丁
前任: 法赫尔丁·艾哈迈德（代理）
继任: 穆罕默德·尤努斯（代理）
任期 1996年6月23日—2001年7月15日
总统: 阿卜杜勒·拉赫曼·比斯瓦斯 薩哈丁·艾哈邁德（英语：）
前任: 卡莉达·齐亚
继任: 卡莉达·齐亚
 
个人资料
出生:  (1947-09-28) 1947年9月28日（77歲）  巴基斯坦自治領東孟加拉邦（英语：）汤基帕拉乌帕齐拉
国籍:  
政党:  人民联盟
其他政党: 大聯盟（2008年起）
配偶: M·A·瓦吉德·米亞（英语：） （1968年结婚—2009年丧偶）
儿女: 萨吉布（英语：） 赛玛
父母: 謝赫·穆吉布·拉赫曼（父） 謝赫·法齊拉圖內薩·穆吉布（英语：）（母）
居住地:  東孟加拉邦（英语：）（1947年—1955年）  東巴基斯坦（1955年—1971年）  （1971年—2024年）  印度（2024年起）
母校: 伊甸女子學院（英语：） 达卡大学
签名: 
谢赫·哈西娜·瓦吉德（孟加拉語：，羅馬化：Śēkh Hāsinā Ōẏājēd；1947年9月28日—），孟加拉国政治人物、第10任孟加拉国总理。其父谢赫·穆吉布·拉赫曼為孟加拉国国父兼首任总统。
政治生涯

1975年8月15日，哈西娜其父穆吉布及其亲属15人在首都达卡被政变军人杀害，哈西娜当时在西德，倖免于难。1981年2月，她出任人民联盟主席，領導和艾尔沙德軍政府展開斗争。1996年首次贏得大選，出任孟加拉国总理，與卡莉达·齐亚的民族主義黨輪流執政。
哈西娜1996年當選孟加拉國總理後，撤銷當年赦免政變人員的法律，開始追究當年政變領導人的刑事責任。同年10月，穆吉布總統私人助手穆希特正式向法院提出起訴，經過兩年的審理，1998年，孟加拉國首都達卡一法庭判處15名參與殺害穆吉布‧拉赫曼事件的青年軍官死刑。2001年，孟加拉國高等法院宣布裁決結果，判處其中12人死刑、3人無罪。5名在押凶手2007年向最高法院提出上訴，2009年11月19日，孟加拉国最高法院做出裁决，维持对参与谋杀穆吉布的5名前军人的死刑原判。當時這12名凶手中，有5人在押，6人在逃，1人已經死亡。2010年1月28日凌晨，位於孟加拉國首都達卡的中央監獄對殺害國父穆吉布的5名在押兇手執行絞刑。
2006年，在齊亞的任期結束後，任期達兩年的看守政府成立。2008年12月29日举行的议会大选中，哈西娜率领的人民联盟取得压倒性胜利，再次获得组阁权。2014年，哈西娜在齊亞的民族主義黨抵制參與大選的情況下取得压倒性胜利，再次获得组阁权。2018年12月30日，哈西娜在選舉以嬴取壓倒性多數國會議席連任，而大選被反對黨以及人權觀察、《紐約時報》等國際媒體或機構批評為「荒謬」，指哈西娜領導的政府創造對在野黨極不利的環境來確保執政權。
2018年，哈西娜政府通过了备受争议的《2018年数字安全法案》，根据该法案，任何被政府认为在互联网或其他媒体上發佈的不恰当的批评都可能被判监禁，警方被赋予权力，在怀疑公民触犯《数字安全法》的情况下，无需搜查令即可搜查任何人或任何场所。该法案在孟加拉国内外都遭到严厉批评，被指鉗制人民的言论自由，并破坏了孟加拉国的新闻自由。
2021年7月，哈西娜被无国界记者宣布為2021年的新聞自由掠奪者之一，與時任香港特別行政區行政長官林鄭月娥同時成為首批被列在名單上的國家或地區女性領導人。
政治生涯 > 民眾示威與下台

参见：2024年孟加拉国公职配额改革运动
2024年7月，孟加拉國內因公職配額問題而爆發示威。哈西娜称抗议者的祖辈就是在她父亲赢得的独立战争中背叛了孟加拉国的那群人，这一言论彻底激怒了学生。她派出其政党下属的青年组织来攻击曾经和平的抗议者，並派出了警察、军队以及反恐部队——快速行动营对抗议人群进行镇压。在同月下旬的数场衝突中，導致了300名抗議者死亡、20,000多人受伤、10,000多人遭到监禁。政府关闭了互联网服务并实行宵禁。最终，最高法院同意改革配额制度。該抗議隨後演變成爲要求哈西娜下臺的運動。
2024年8月5日，迫于示威者的压力，哈西娜宣佈辭去總理職務並乘坐直升机离开达卡逃至印度特里普拉邦阿加爾塔拉，之後又逃到德里附近。
2024年8月22日，哈西娜及部分國會議員的外交護照被臨時政府註銷。
參見

谢赫·穆吉布·拉赫曼
參考文獻

1 2  孟加拉国总理称如能达成共识可重新举行议会选举 （页面存档备份，存于），亚太日报，2014年1月7日
1 2  孟加拉政坛女强人归来 前国父之女赢得大选，新华网，2008年12月31日
↑  Manik, Julfikar Ali; Abi-Habib, Maria. . The New York Times. 2018-12-31  [2019-02-08]. ISSN 0362-4331. （原始内容存档于2019-02-09） （美国英语）.
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↑  Yee, Isaac; Ripon, Tanbirul Miraj. . CNN. 2024-08-05  [2024-08-05]. （原始内容存档于2024-08-07）.
↑  . 路透社. 2024-08-05  [2024-08-05]. （原始内容存档于2024-08-06）.
↑  . THE TIMES OF INDIA. 2024-08-22  [2024-08-22].
外部連結

谢赫·哈西娜在互联网电影资料库（IMDb）上的資料（英文）
. Prime Minister's Office.   [2024-08-10]. （原始内容存档于2024-07-12） （孟加拉语）.
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国际:  FAST  ISNI  VIAF  WorldCat 
各地:  挪威  法国  BnF data  德国  美国 
学术:  CiNii 
人物:  德意志传记 
其他:  IdRef
民主社会主义者联盟

民主社会主义者联盟（德語：，缩写为BDS）是奥地利历史上的一个不可能主义政党。该党的意识形态是不可能主义、社会主义、古典马克思主义、反列宁主义。该党是大不列颠社会党领导的世界社会主义运动的成员。
最佳台語男歌手獎 (金曲獎)

| 金曲獎最佳台語男歌手獎 |
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 第35屆金曲獎
授予对象: 演唱者在參賽作品之整體表現，且該演唱者應於報名作品曲數三首以上（含三首）
国家／地区:  中華民國（臺灣）
主办单位: 文化部影視及流行音樂產業局
首次颁发: 2003年
最近颁发: 2024年
應屆得主: 詳見得獎暨入圍名單
官方网站: tavis.tw/gma/35th/GMA/default.htm
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金曲獎最佳台語男歌手獎是由文化部影視及流行音樂產業局在臺灣舉辦的金曲獎現行頒發獎項。1990年首屆設立「最佳男演唱人獎」後，台語男歌手便可報名角逐。獎項於1991年（第3屆）及2003年（第14屆）兩度依演唱語言劃分後便獨立設獎，並於2007年（第18屆）更名為「最佳台語男歌手獎」迄今。在歷屆獲獎及入圍者中，蕭煌奇獲獎4次居冠，洪榮宏獲獎3次居次，蔡振南、陳建瑋、謝銘祐和蘇明淵則各獲獎2次；王識賢共獲提名11次，居入圍次數之首位。
沿革

1990年，首屆金曲獎設立「最佳男演唱人獎」。
1991年，第3屆起，演唱人獎始依照演唱語言劃分為「國語歌曲」及「方言歌曲」兩類。
2003年，第14屆時，方言演唱人獎再依方言分別設立：台語男演唱人、台語女演唱人、客語演唱人以及原住民語演唱人四個獎項；其中「最佳台語男演唱人獎」
2007年，第18屆起，更名為「最佳台語男歌手獎」迄今。
歷屆獲獎暨入圍名單

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: 獲獎者
歷屆獲獎暨入圍名單 > 最佳男演唱人獎（第2屆）

1990年	第1屆：設立「最佳男演唱人獎」
首兩屆演唱人獎尚未依演唱語言劃分。非以台語專輯獲獎或入圍者，以「†」符號標示。
| 年份 （屆次） | 入圍名單 | 備註 |
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| 1990 （第2屆） | 洪榮宏 《風風雨雨這多年》 新笛唱片有限公司 |  |
| 1990 （第2屆） | 張雨生†／《想念我》／飛碟企業有限公司 |  |
| 1990 （第2屆） | 張信哲†／《忘記》／滾石有聲出版社有限公司 |  |
| 1990 （第2屆） | 鄧百成†／《我自遠方來》／漢興傳播有限公司 |  |
| 1990 （第2屆） | 童安格†／《夢開始的地方》／寶麗金唱片股份有限公司 |  |