悖论
定义

斯坦福哲学百科全书“悖论”条目认为，所谓“悖论”通常是指一种命題，声称某项内容超出（甚至反对）“通常的见解”（通常被认为，或持有）。
抛开悖论的各种含义，通常所说的导致矛盾的悖论，应当满足如下条件：
有一個命題A，稱為悖論命題。
有一個邏輯系統L，稱為相關系統。
有一組命題E, 稱為背景命題。背景命題都是相關系統中的真命題。相關系統被簡化為背景命題，背景命題成為悖論證明的依據。
相關系統存在两个证明可以获得悖論命題A的真值，其中一个证明A为真，而另一个证明A为假，从而出现矛盾。
因此，要判断一个悖论是否真的逻辑悖论，就是要确定要素A、L和E，特别是要确认E中的命题都是真命题，而且所给出的两个证明都是正确合规的证明。如果E中的命题不真，或者所给出的证明是错的，则这不是一个逻辑悖论，而是一个逻辑错误。许多逻辑悖论最终都可以归结为一个命题A⇔¬A，称为悖论情形（paradox situation），是进一步推出矛盾的依据。根据悖论情形，可以有证明1：假设A为真，可以推出A为假，矛盾，因此A为假。但同时也可以有证明2：假设A为假，可以推出A为真，矛盾，因此A为真。证明1和证明2都是正确合规的证明。因此问题就是，A⇔¬A在相关系统中是不是一个真命题。如果是真命题，悖论成立，是相关系统有问题，需要改进。而且改进相关系统以消除悖论的思路也就在于如何避免这一悖论情形。如果不是真命题，那就不能由它推出矛盾，而且该悖论实际上就是一个逻辑错误：把一个假命题当作了真命题，并用它进行推理。
背景命题是根据悖论的描述归纳出来的，比较原始并接近悖论的描述。悖论情形是根据背景命题推理而得到的，进一步就可直接推出矛盾。因此，只有当所有背景命题中的命题都为真时，悖论情形才是一个真命题。所谈论的悖论才是一个真正的逻辑悖论。
例如罗素悖论，A=(R∈R)，L=「朴素集合论」，E只有一个命题：R∈R⇔R∉R。背景命题为真是因为朴素集合论有一个概括公理：对任意性质P(x)，存在集合S，使得对任意对象x，x∈S⇔P(x)成立。即存在集合S，它刚好包含所有具备性质P(x)的对象，而且只包含具备性质P(x)的对象。令P(x)=(x∉x)，即x为不包含自己的集合，大多数集合都不包含自己，包含自己的集合很难想象，只是理论上不排除它的存在而已，则根据概括公理有：x∈R⇔x∉x。又因为R本身也是一个对象，令x=R，则得到背景命题R∈R⇔R∉R，背景命题为真因为它是推出来的。因为R∉R=¬(R∈R)，所以背景命题就是悖论情形A⇔¬A。所以罗素悖论是朴素集合论的一个悖论。
因为有罗素悖论，所以现代的集合论去掉了概括公理，而且将集合限制在一个很小的范围内，从而解决了悖论的问题。尽管集合被限制在一个很小的范围内，但已足以表示数学的基本要素，如数、形等，所以现代集合论仍可以作为数学的基础。
再举一个理发师悖论的例子，小城里的理发师放出豪言：他要为，而且只为，小城里所有不为自己刮脸的人刮脸。但问题是，理发师该给自己刮脸吗？在这里A=「理发师给自己刮脸」，L=「普通逻辑」，就是大家根据常理而使用的逻辑，E有两个命题，一个是E1=「理发师给理发师刮脸」⇔「理发师给自己刮脸」，这是个真命题因为「理发师」就是「自己」，也说明我们不区分“理发师在家里的水房里给自己刮脸”和“理发师在他的营业厅里给理发师刮脸”。另一个命题是E2=「理发师给小城里的任意一人刮脸」⇔（¬「该任意一人给自己刮脸」），该命题被认为是真的因为它是理发师的豪言，而且一般也认为它可以为真。因为理发师是小城里的某人，因此由E2将「理发师」代入「小城里的任意一人」，可得「理发师给理发师刮脸」⇔（¬「理发师给自己刮脸」），再根据E1修改等价关系的左边可得「理发师给自己刮脸」⇔(¬「理发师给自己刮脸」)，这就是最终归结出的A⇔¬A的悖论情形。
理发师悖论是否逻辑悖论取决于E2在普通逻辑中是否为真。理发师的豪言是一个全称命题。全称命题为真当且仅当将所有小城里的人逐个代入命题中「小城里的任意一人」时都为真，否则为假。现将理发师代入时得到A⇔¬A。我们正在验证A⇔¬A是否为真，而并没有推出A⇔¬A为真，因此普通逻辑并没有保证A⇔¬A为真。当逻辑系统不能证明A⇔¬A为真时，它是个假命题，因为等价关系两边不一致（如果逻辑系统可以证明，那就是逻辑系统有问题，因为它推出了一个应该是假的命题）。因此，理发师的豪言实际上是一个假命题，是由于理发师忽略了他的豪言对自己不成立造成的。所以理发师悖论不是一个逻辑悖论。或者说普通逻辑在这里并没有问题，还是可靠的。
那为什么一般会认为E2可以为真呢？这其实是一种由于忽略而造成的错觉。有一种命题，没有确定的真值，可真可假，叫做自由命题。例如，「某人给自己刮脸」，它的真值取决于该某人的意愿，因此可真可假。另一个例子是「命题M」，而没有具体说明M是什么，它也是一个自由命题。对于一个等价关系命题F⇔G，如果命题F和命题G都不是自由命题，而有确定的真值，那么该等价关系是否为真取决于F和G的真值。如果它们的真值一致，则该等价关系命题为真，否则为假。但如果F和G中至少有一个为自由命题，则该等价关系命题总为真，因为无非是其中的一个自由命题失去了它的自由度，不再自由了。如果F和G都是自由命题，则只剩下一个自由度了。
在理发师悖论里，F=「理发师给小城里的任意一人刮脸」和G=（¬「该任意一人给自己刮脸」）都是自由命题，因此人们习惯地就接受理发师的豪言E2=「理发师给小城里的任意一人刮脸」⇔（¬「该任意一人给自己刮脸」）为真命题了，无非是理发师牺牲了他的自由度而已。人们忽略的情况是，F和G可能出现反相关的情况，即在某种情况下会发生F⇔(¬G)的可能性。而这正是将「理发师」代入「小城里的任意一人」所发生的情况。如果F和G反相关，等价命题F⇔G是不能成立的，因为等价关系两边不一致。因此，人们是在忽略了一种特殊情况后根据习惯接受了一个假命题，所以才以为这是一个悖论。
当然，认为理发师悖论是一个真正的悖论的观点还有一种理由：理发师的豪言无非是定义了一个性质f(x)=“x是由理发师给他刮脸的”；而性质g(x)=“x是自己给自己刮脸的”是一个按常理可能被定义的性质，例如，做一个调查，将每个人是否给自己刮脸确定下来就可以了；理发师的豪言所定义的f(x)是：f(x)⇔(¬g(x))；该定义是用一个性质定义另一个性质，也没有什么问题；因此，理发师悖论也是一个关于定义的悖论。的确，人们目前对如何进行正确的定义还没有透彻的认识。还存在另一些关于性质定义的悖论就是证明。但是，理论上对于用以定义的命题都必须是可以被证明的真命题这一点还是有共识的。如果含不能被证明的命题，则不应当以定义的形式进行定义，而应以公理的形式进行定义。集合论中关于集合相等的定义不是由一个定义给出，而是由一个叫做外延公理的公理给出的就是一个例子。而理发师的豪言用一个似乎可能为真，但实际上却为假的命题来进行定义，这自然就不合规了。
悖论情形A⇔¬A中的A是一个自由命题，但由于等价关系两边的命题是反相关的，所以等价关系不能成立。
理发师悖论的教训是：在作出等价关系命题时，一定要检查等价关系的两边是否存在反相关的情况，或者附加上当等价关系的两边不存在反相关的条件。这就像在做除法时，一定要检查除数不为0一样。在一个逻辑系统中，公理和定义经常带有等价关系命题，忽略了相关性检查，就可能导致悖论。罗素悖论的直接原因就是由于概括公理的等价关系出现了反相关。说谎者悖论也是因为语义定义中的等价关系出现了反相关。
那么是否可以不去掉概括公理，而只对概括公理中的性质加以限制，保证不出现反相关的情况，从而解决罗素悖论呢？这样做确实可以消除罗素悖论，但并不足以解决集合论的问题。矛盾仍然可能由集合运算而产生。因此，集合论的问题有更深层的原因，而人们还不知道是什么原因。这是为什么现代集合论除了去掉概括公理，还要把集合限制在很小范围内的原因。