三維點群
七類軸向點群

有七列軸向點群。每列有無窮多個群，各可用正整數 n標示。每列第 n個群，含繞某軸的 n重旋轉，即旋轉 360^{\circ }/n，故 n=1對應轉一整圈，即不旋轉。七列軸向點群中，四列無其他旋轉軸（稱循環對稱（英语：）），另三列有其他二重旋轉軸（稱二面對稱（英语：））。該些群可以視為二維點群（英语：）添加軸向坐標和關於軸的反射而成，也與帶群（英语：）相關。 可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複 n次。
下表列出點群的幾種記號：晶體學的赫爾曼–莫甘記號、分子對稱性的熊夫利記號（英语：）、軌形記號（英语：）、考克斯特記號（英语：）。後三者不僅方便讀出群的性質，還與群的階數密切相關。軌形記號同時通用於牆紙群（英语：）與帶群（英语：）。晶體群的 n僅能取 1,2,3,4,6（晶體學限制定理），而若移除該限制，則 n可取任意正整數。七列軸向點群為：
| 赫－莫>  n偶 | 赫－莫>  n奇 | 熊夫利（英语：） | 軌形（英语：） | 考克斯特（英语：） | 帶群（英语：）> （圓柱） | 抽象結構 （群階（英语：）） | 例子 | 備註 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  n |  n |  C_{n} |  nn |  [n]^{+}  | p1 | 循環群 Z_{n} （ n） |  |  n重旋轉對稱 |
|  {\overline {2n}} |  {\overline {n}} |  S_{2n} |  n\times  |  [2n^{+},2^{+}]  | p11g |  Z_{2n} （ 2n） |  |  n重旋轉反射對稱 勿與 2n次抽象對稱群混淆 |
|  n/\mathrm {m}  |  {\overline {2n}} |  C_{n\mathrm {h} } |  n^{*} |  [n^{+},2]  | p11m |  Z_{n}\times Z_{2} （ 2n） |  |  |
|  n\mathrm {mm}  |  n\mathrm {m}  |  C_{n\mathrm {v} } |  {}^{*}nn |  [n]  | p1m1 | 二面體群 \mathrm {Dih} _{n} （ 2n） |  | 稜錐對稱 生物學又稱雙輻射狀對稱 |
|  n22 |  n2 |  D_{n} |  22n |  [n,2]^{+}  | p211 |  \mathrm {Dih} _{n} （ 2n） |  | 二面體對稱（英语：） |
|  {\overline {2n}}2\mathrm {m}  |  {\overline {n}}\mathrm {m}  |  D_{n\mathrm {d} } |  2^{*}n |  [2n,2^{+}]  | p2mg |  \mathrm {Dih} _{2n} （ 4n） |  | 反稜柱對稱 |
|  n/\mathrm {mmm}  |  {\overline {2n}}2\mathrm {m}  |  D_{n\mathrm {h} } |  {}^{*}22n |  [n,2]  | p2mm |  \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2} （ 4n） |  | 稜柱對稱 |
對奇數 n，有抽象群同構 Z_{2n}\cong Z_{n}\times Z_{2}及 \mathrm {Dih} _{2n}\cong \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}。
群 C_{n}（包括平凡群 C_{1}）及 D_{n}有手性，其他則無手性。
術語水平（）與豎直（）描述反射面的方向，以旋轉軸為豎直，故反射面水平即垂直於與旋轉軸，反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。
最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群 Z_{2}，但是 O(3)的不同子群（即不共軛）：
C_{\mathrm {i} }（等同 S_{2}）——點反演對稱
C_{2}——二重旋轉對稱
C_{\mathrm {s} }（等同 C_{1\mathrm {h} }和 C_{1\mathrm {v} }）——反射對稱，生物學（英语：）又稱兩側對稱（英語：）。
第一組單軸循環群中， C_{n}的階為 n（二維情況同樣適用），是由單一個角度為 360^{\circ }/n的旋轉生成。若向此群加入一個與軸垂直的鏡面（的反射），則生成 C_{n\mathrm {h} }，階為 2n。若不加入與軸垂直的鏡面，但加入 n塊通過軸的鏡面，則得到 C_{n\mathrm {v} }，階亦為 2n。後者是正 n稜錐的對稱群。具 C_{n}或 D_{n}的典型物體是螺旋槳。
若上述兩種鏡面皆加入，則水平鏡面與豎直鏡面相交得到 n條軸，而鏡射的複合生成繞該些軸的 180^{\circ }旋轉，故群不再單軸。新群的階為 4n，記為 D_{n\mathrm {h} }。其旋轉子群為 2n個元素的二面體群 D_{n}，仍有與主（ n重）旋轉軸垂直的二重旋轉軸，但不再有鏡面。
注意，在二維， D_{n}包括鏡射，但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維，鏡射與翻轉不再相同：群 D_{n}有翻轉但無鏡射。
餘下一類是 D_{n\mathrm {d} }（或 D_{n\mathrm {v} }），其有包含主旋轉軸的豎直鏡面，但沒有水平鏡面，取而代之的操作是先水平鏡射，再旋轉 180^{\circ }/n。 D_{n\mathrm {h} }是正 n棱柱和雙稜錐的對稱群。 D_{n\mathrm {d} }則是正 n角反棱柱的對稱群，亦是正 n方偏方面體的對稱群。最後， D_{n}是稍稍扭過的正 n棱柱的對稱群。
D_{2}及 D_{2\mathrm {h} }較特殊，因為並無特別的主旋轉軸：三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。 D_{2}是下節所有多面體對稱群的子群，而 D_{2\mathrm {h} }則是多面體群 T_{\mathrm {h} }與 O_{\mathrm {h} }的子群。 D_{2}可以作為下列化學品的對稱群：
刀豆蛋白A等同四聚體（英语：）、
四個相同具手性配位基（英语：）的四面體形配合物、
四個同手性氟氯甲基的四(氟氯甲基)甲烷。
D_{2}的元素，與利普希茨四元數（英语：）的可逆元表示的旋轉，有一對二的關係。
群 S_{n}由「先關於水平面作鏡射，再旋轉 360^{\circ }/n」生成。對於奇數 n，是等於前述兩個操作分開執行，生成的群 C_{n\mathrm {h} }，階為 2n，故不必用到記號 S_{n}。然而，對偶數 n，兩個群有差異，且 S_{n}僅有 n個元素。與 D_{n\mathrm {d} }類似，其包含若干瑕旋轉，但不包含對應的旋轉。
七列軸向群的元素僅有下列四對重複：
C_{1\mathrm {h} }及 C_{1\mathrm {v} }：階數為 2，由獨一個鏡射生成。又稱 C_{\mathrm {s} }。
D_{1}與 C_{2}：階數為 2，由獨一個 180^{\circ }旋轉生成。
D_{1\mathrm {h} }與 C_{2\mathrm {v} }：階數為 4，由一個鏡射與鏡面上一條軸的 180^{\circ }旋轉生成。
D_{1\mathrm {d} }與 C_{2\mathrm {h} }：階數為 4，由一個鏡射與一條垂直於鏡面的軸的 180^{\circ }旋轉生成。
S_{2}是由獨一個點反演生成的 2階群，又記為 C_{\mathrm {i} }。
此處「重複」是指作為 O(3)的子群共軛，是強於作為抽象群代數同構的條件。例如，前一種意義下，有三個不同的 2階群，但祇有一個 2階抽象群。類似，也有 S_{2n}與 Z_{2n}抽象同構。
群的構造亦可描述如下：
C_{n}是由獨一個元素生成，生成元亦稱為 C_{n}，是繞軸轉 2\pi /n。群的元素是： E（單位元）， C_{n},C_{n}^{2},\ldots ,C_{n}^{n-1}，對應旋轉角 0,\ 2\pi /n,\ 4\pi /n,\ \ldots ,\ 2(n-1)\pi /n。該軸視為豎直軸。
S_{2n}由獨一個元素 C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }生成，其中 \sigma _{\mathrm {h} }是水平面的鏡射。群的元素是 C_{n}的元素，另加 C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }。
C_{n\mathrm {h} }由 C_{n}與反射 \sigma _{\mathrm {h} }生成。群的元素是 C_{n}的元素，另加 \sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {h} }。
C_{n\mathrm {v} }由 C_{n}與豎直鏡面的反射 \sigma _{\mathrm {v} }生成。群的元素是 C_{n}的元素，另加 \sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {v} }。
D_{n}是由 C_{n}與繞水平面上某軸 180^{\circ }的旋轉 U=\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }，其元素是 C_{n}的元素，另加 U,\ C_{n}U,\ C_{n}^{2}U,\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}U。
D_{n\mathrm {d} }由元素 C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }與 \sigma _{\mathrm {v} }生成。元素是 C_{n}的元素，加上 S_{2n}與 C_{n\mathrm {v} }的額外元素，再加上 C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }。
D_{n\mathrm {h} }由元素 C_{n},\ \sigma _{\mathrm {h} },\ \sigma _{\mathrm {v} }生成。其元素為 C_{n}的元素，再加上 C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ D_{n}的所有額外元素。
取 n趨向 \infty 的極限，則得到連續軸向群（或無窮階軸向群）：
| 赫－莫 | 熊夫利（英语：） | 軌形（英语：） | 考克斯特（英语：） | 考克斯特（英语：） | 是何序列的極限 | 抽象群 | 抽象群 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  \infty  |  C_{\infty } |  \infty \infty  |  [\infty ]^{+} |  |  C_{n} |  Z_{\infty } |  SO(2) |
|  {\overline {\infty }},\ \infty /\mathrm {m}  |  C_{\infty \mathrm {h} } |  \infty ^{*} |  [2,\infty ^{+}] |  |  C_{n\mathrm {h} },\ S_{2n} |  Z_{2}\times Z_{\infty } |  Z_{2}\times SO(2) |
|  \infty \mathrm {m}  |  C_{\infty \mathrm {v} } |  {}^{*}\infty \infty  |  [\infty ] |  |  C_{n\mathrm {v} } |  \mathrm {Dih} _{\infty } |  O(2) |
|  \infty 2 |  D_{\infty } |  22\infty  |  [2,\infty ]^{+} |  |  D_{n} |  \mathrm {Dih} _{\infty } |  O(2) |
|  {\overline {\infty }}\mathrm {m} ,\ \infty /\mathrm {mm}  |  D_{\infty \mathrm {h} } |  {}^{*}22\infty  |  [2,\infty ] |  |  D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} } |  Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{\infty } |  Z_{2}\times O(2) |