林德布拉德方程
推导

对于开放量子系统，不仅要关注系统本身（ S），还应考虑所处环境( B)对系统的影响。从而整体希尔伯特空间 {\mathcal {H}}应为系统 {\mathcal {H}}_{S}与环境 {\mathcal {H}}_{B}希尔伯特空间的张量积，即： {\mathcal {H}}_{S}={\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{B}。因此总系统的哈密顿量可写为：
H=H_{S}\otimes I_{B}+I_{S}\otimes H_{B}+H_{I}
其中 H_{S}， H_{B}和 H_{I}分别表示系统、环境以及系统与环境相互作用的哈密顿量。 I是单位矩阵。
设初始时刻整体系统（量子系统与环境）的密度算符为 \rho (0)=\rho _{S}(0)\otimes \rho _{B}。这里 \rho _{S}(0)表示量子系统的初态， \rho _{B}为环境的密度矩阵，假设其不随时间变化。此时总系统的动力学演化仍是幺正的，于是在相互作用表象下，刘维尔方程可写为（以下 \hbar 均取1）：
{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\rho (t)=-i[H_{I}(t),\rho (t)]
其积分形式为：
\rho (t)=\rho (0)-i\int _{0}^{t}{\text{d}}\tau [H_{I}(\tau ),\rho (\tau )]
将积分形式带入原式中：
{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\rho (t)=-i[H_{I}(t),\rho (0)]-[H_{I}(t),\int _{0}^{t}{\text{d}}\tau [H_{I}(\tau ),\rho (\tau )]]
将上式两边同时对环境部分自由度求偏迹，假设量子系统与环境的耦合较弱，便可采用玻恩近似： {\text{tr}}_{B}[H_{I}(t),\rho (0)]=0，可得：
{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\rho _{S}(t)=-\int _{0}^{t}{\text{d}}\tau {\text{tr}}_{B}[H_{I}(t),[H_{I}(\tau ),\rho (\tau )]]
根据量子系统与环境的耦合较弱的假设，可以认为： \rho (t)\approx \rho _{S}(t)\otimes \rho _{B}，带入上式得到：
{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\rho _{S}(t)=-\int _{0}^{t}{\text{d}}\tau {\text{tr}}_{B}[H_{I}(t),[H_{I}(\tau ),\rho _{S}(\tau )\otimes \rho _{B}]]
为进一步简化上述方程，采用马尔可夫近似（英語：），即 t时刻系统状态仅与当前时刻有关，从而可将被积函数 \rho _{S}{\tau }替换为 \rho _{S}{t}，同时将 \tau 变换为 t-\tau ，并把积分上限拓展到无穷（当环境的弛豫时间尺度远大于所研究的时间范围尺度时，上述操作是合理的），最终得到玻恩-马尔科夫主方程：
{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\rho _{S}(t)=-\int _{0}^{\infty }{\text{d}}\tau {\text{tr}}_{B}[H_{I}(t),[H_{I}(t-\tau ),\rho _{S}(t)\otimes \rho _{B}]]
在薛定谔表象下，系统与环境相互作用哈密顿量可写为：
H_{I}=\sum _{\alpha }A_{\alpha }\otimes B_{\alpha }
其中 A_{\alpha }表示系统算符， B_{\alpha }表示环境算符，定义系统的跃迁算符：
A_{\alpha }(\omega )=\sum _{\xi '-\xi =\omega }\Pi (\xi )A_{\alpha }\Pi (\xi ')
这里 \xi 是系统的本征能量。于是在相互作用表象下，系统与环境相互作用的哈密顿量可写为：
H_{I}(t)=\sum _{\beta ,\omega }e^{-i\omega t}A_{\beta }(\omega )\otimes B_{\beta }(t)=\sum _{\alpha ,\omega '}e^{i\omega 't}A_{\alpha }^{\dagger }(\omega ')\otimes B_{\alpha }^{\dagger }(t)
将其带入玻恩-马尔科夫主方程中，忽略掉快速震荡项，并定义 \Gamma _{\alpha \beta }(\omega )：
\Gamma _{\alpha \beta }(\omega )=\int _{0}^{\infty }{\text{d}}\tau e^{i\omega \tau }\langle B_{\alpha }^{\dagger }(t)B_{\beta }(t-\tau )\rangle
基于玻恩近似，假设环境处于稳态，则 [H_{B},\rho _{B}]=0，那么 \langle B_{\alpha }^{\dagger }(t)B_{\beta }(t-\tau )\rangle =\langle B_{\alpha }^{\dagger }(\tau )B_{\beta }(0)，这表明 \Gamma _{\alpha \beta }(\omega )不依赖于时间。
最后得到相互作用表象下的林德布拉德方程：
{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\rho _{S}(t)=-i[H_{LS},\rho _{S}(t)]+{\mathcal {D}}(\rho _{S}(t))
其中 {\mathcal {D}}(\rho _{S}(t))可表示为：
{\mathcal {D}}(\rho _{S}(t))=\sum _{\alpha \beta }\sum _{\omega }\gamma _{\alpha \beta }(\omega )\left(A_{\beta }(\omega )\rho _{S}(t)A_{\alpha }^{\dagger }(\omega )-{\frac {1}{2}}{A_{\alpha }^{\dagger }(\omega )A_{\beta }(\omega ),\rho _{S}(t)}\right)
H_{LS}、 S_{\alpha \beta }(\omega )、 \gamma _{\alpha \beta }(\omega )分别为：
H_{LS}=\sum _{\alpha \beta }\sum _{\omega }S_{\alpha \beta }(\omega )A_{\alpha }^{\dagger }(\omega )A_{\beta }(\omega )
S_{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{2i}}(\Gamma _{\alpha \beta }(\omega )-\Gamma _{\beta \alpha }^{*}(\omega ))
\gamma _{\alpha \beta }(\omega )=\Gamma _{\alpha \beta }(\omega )+\Gamma _{\beta \alpha }^{*}(\omega )