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德安德烈·威廉斯
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|  论 编台啤永豐雲豹2023–24年賽季T1聯盟總冠軍 |
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 0 陳孝榕  1 鄭瑋  5 高錦瑋  7 盧捷閔  10 朱億宗  12 林信寬  13 特威  14 蔣淯安  15 卡森斯（FMVP）  24 克羅馬  27 黃鎮  32 吳沛嘉  41 威廉斯  75 李啟瑋  82 劉元凱 
教練團:  查爾斯（總教練）  多塞德（助理教練）  劉文和（助理教練）  劉嘉發（球員發展兼技術顧問）  周俊三（球團顧問）  陳威志（防護組長）  程柏崴（防護員）  陳子毅（體能教練）  陳廷威（體能助理） 
 例行賽  季後賽
克利夫兰布朗

克里夫蘭布朗（英語：）是一支職業美式足球球隊，位於俄亥俄州克里夫蘭。
布朗隸屬於美國國家美式足球聯盟(NFL)的北區，主場位於第一能源體育場。球隊在1946年與AAFC聯盟一同成立，並在1946年到1949年連續四季拿下AAFC的冠軍，並在1948年球季擁有十四場全勝的記錄（由於AAFC聯盟並未提供相關的記錄和成績，故1946~1949年的成績並不計算在NFL歷史上）；1950年，AAFC聯盟與NFL聯盟合併，並與舊金山四九人轉至NFL聯盟；1970年賽季開打前，因應大聯盟合併的擴充計畫，與匹茲堡鋼人及巴爾的摩小馬（現印第安納波利斯小馬）改至美國聯會參戰；球隊曾在1996年到1998年消失，因為1996年前布朗搬往巴爾的摩，並改名為巴爾的摩烏鴉；直到1999年球季開打前，以擴編球隊的方式再次成立，並繼續以克里夫蘭布朗的名義繼續參加NFL比賽，同時繼承1995年以前球隊的歷史記錄。
在2018年時，球隊市值為19.5億美元，在世界前50名球隊中排在第50名，同時在NFL排名第29名。
職業美式足球名人堂

克里夫蘭布朗入選職業美式足球名人堂的球員數目為聯盟第四多。有16名球員是因為他們在布朗隊時的卓越表現入選名人堂，還有八名名人堂球員與教練曾經加盟布朗隊一年。1963年首次的名人堂名單中，沒有任何一名布朗隊球員入選。奧托·格雷厄姆在1965年成為布朗隊第一個入選名人堂球員，最近一個入選的則是傑納·希克森（2007年入選）。所有入選的球員都是在1996年前為布朗隊效力過，1999年後即無任何名人堂球員待過布朗隊。
| 克里夫蘭布朗名人堂名單> 入選年份 | 克里夫蘭布朗名人堂名單> 背號 | 克里夫蘭布朗名人堂名單> 球員姓名 | 克里夫蘭布朗名人堂名單> 在隊年份 | 克里夫蘭布朗名人堂名單> 位置 |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1965 | 60, 14 | 奧托·格雷厄姆 | 1946–1955 | QB |  |
| 1967 | — | 保羅·布朗 | 1946–1962 | 總教練 |  |
| 1968 | 76, 36 | 瑪麗恩·莫特利 | 1946–1953 | FB |  |
| 1971 | 32 | 吉姆·布朗 | 1957–1965 | FB |  |
| 1974 | 46, 76 | 盧·格羅扎 | 1946–1959 1961–1967 | OT K |  |
| 1975 | 56, 86 | Dante Lavelli | 1946–1956 | WR |  |
| 1976 | 53, 80 | Len Ford | 1950–1957 | DE |  |
| 1977 | 30, 45, 60 | Bill Willis | 1946–1953 | T, OG |  |
| 1977 | — | Forrest Gregg * | 1975–1977 | Head coach |  |
| 1981 | 77 | Willie Davis * | 1958–1959 | DE |  |
| 1982 | 83 | Doug Atkins * | 1953–1954 | DE |  |
| 1983 | 49 | Bobby Mitchell | 1958–1961 | WR, RB, HB |  |
| 1983 | 42 | Paul Warfield | 1964–1969 1976–1977 | WR |  |
| 1984 | 74 | Mike McCormack | 1954–1962 | OT |  |
| 1985 | 22, 52 | Frank Gatski | 1946–1956 | C |  |
| 1987 | 18 | Len Dawson * | 1960–1961 | QB |  |
| 1993 | 65 | Chuck Noll * | 1953–1959 | RG LB |  |
| 1994 | 44 | Leroy Kelly | 1964–1973 | RB |  |
| 1995 | 72 | Henry Jordan * | 1957–1958 | DT |  |
| 1997 | 96, 44 | Don Shula * | 1951–1952 | DB |  |
| 1998 | 29 | Tommy McDonald * | 1968 | WR |  |
| 1999 | 82 | Ozzie Newsome | 1978–1990 | TE |  |
| 2003 | 64 | Joe DeLamielleure | 1980–1984 | OG |  |
| 2007 | 66 | 傑納·希克森 | 1958–1960 1962–1973 | OG |  |
* Performance with Browns incidental to induction
職業美式足球名人堂 > 克里夫蘭布朗傳奇

克利夫蘭布朗傳奇旨在表彰前布朗隊球員，他們對球隊歷史做出了值得注意的貢獻。除了上面列出的所有名人堂球員外，傳奇名單還包括：
| 克里夫蘭布朗傳奇> 入選年份 | 克里夫蘭布朗傳奇> 背號 | 克里夫蘭布朗傳奇> 球員姓名 | 克里夫蘭布朗傳奇> 場上位置 | 克里夫蘭布朗傳奇> 效力年份 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2001 | 19 | Bernie Kosar | QB | 1985–1993 |
| 2001 | 92 | Michael Dean Perry | DE | 1989–1994 |
| 2001 | 34 | Greg Pruitt | RB | 1973–1981 |
| 2001 | 26 | Ray Renfro | WR | 1952–1963 |
| 2002 | 57 | Clay Matthews | LB | 1978–1993 |
| 2002 | 17 | Brian Sipe | QB | 1974–1983 |
| 2002 | 58/88 | Mac Speedie | WR | 1946–1952 |
| 2003 | 29 | Hanford Dixon | DB | 1981–1989 |
| 2003 | 74/79 | Bob Gain | DT | 1952–1964 |
| 2003 | 77/80 | Dick Schafrath | OT | 1959–1971 |
| 2004 | 86 | Gary Collins | WR | 1962–1971 |
| 2004 | 42/82 | Tommy James | DB/P | 1948–1955 |
| 2004 | 40/86 | Dub Jones | WR | 1948–1955 |
| 2004 | 43 | Mike Pruitt | RB | 1976–1984 |
| 2005 | 31 | Frank Minnifield | DB | 1984–1992 |
| 2005 | 13 | Frank Ryan | QB | 1962–1968 |
| 2005 | 72 | Jerry Sherk | DL | 1970–1981 |
| 2005 | 64/84 | Jim Ray Smith | OT | 1956–1962 |
| 2006 | 20/21/44 | Earnest Byner | RB | 1984–1988, 1994–1995 |
| 2006 | 73 | Doug Dieken | OT | 1971–1984 |
| 2006 | 82 | Jim Houston | LB | 1960–1972 |
| 2006 | 34 | Walt Michaels | LB | 1952–1961 |
| 2007 | 12 | Don Cockroft | K | 1968–1980 |
| 2007 | 59/84 | Horace Gillom | P | 1947–1956 |
| 2007 | 80 | Bill Glass | DE | 1962–1968 |
| 2007 | 34 | Kevin Mack | RB | 1985–1993 |
| 2008 | 71 | Walter Johnson | DT | 1965–1976 |
| 2008 | 24/80 | Warren Lahr | DB | 1949–1959 |
| 2008 | 21 | Eric Metcalf | RB | 1989–1994 |
| 2008 | 84/86 | Paul Wiggin | DE | 1957–1967 |
| 2010 | 63 | Cody Risien | OT | 1979–1989 |
| 2010 | 60 | John Wooten | OG | 1959–1967 |
| 2011 | 50 | Vince Costello | LB | 1957–1966 |
| 2011 | 54 | Tom DeLeone | C | 1974–1984 |
| 2012 | 22 | Clarence Scott | DB | 1971–1983 |
| 2012 | 48 | Ernie Green | RB | 1962–1968 |
| 2013 | 35 | Galen Fiss | LB | 1956–1966 |
| 2013 | 34/64 | Abe Gibron | G | 1950–1956 |
| 2014 | 68 | Robert Jackson | OG | 1975–1985 |
| 2014 | 89 | Milt Morin | TE | 1966–1975 |
| 2015 | 70 | Don Colo | DT | 1953–1958 |
| 2015 | 79 | Bob Golic | NT | 1982–1988 |
| 2016 | 52 | Dick Ambrose | LB | 1975–1983 |
| 2016 | 27 | Thom Darden | FS | 1972–1981 |
職業美式足球名人堂 > 職業盃

条目：克里夫蘭布朗職業盃球員列表
職業美式足球名人堂 > 退休背號

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克里夫蘭布朗退休背號 讨论 编辑

| 奧托·格雷厄姆 QB, 1946-55 | 吉姆·布朗 RB, 1957-65 | 厄尼·戴維斯 HB, 1962 | 唐·弗莱明 S, 1960-62 | 盧·格羅扎 OL/K, 1946-59, '61-67 |
職業美式足球名人堂 > 榮譽之環

在2010年時，布朗隊在主場第一能源體育場的上層看台設立榮譽之環，環上刻著過去布朗隊偉大的球員。榮譽之環在2010年9月19號主場揭幕戰時正式亮相，上面刻著在布朗隊時的卓越表現入選名人堂的16名球員。
特殊紀錄

僅管近年戰績不理想，但布朗在加入NFL之初可是NFL的強權之一，聯盟中僅有三支球隊有同時參與美聯冠軍賽（1986年）及國聯冠軍賽（1968年）的記錄，布朗隊是其中之一（另外兩支分別是西雅圖海鷹及印第安納波利斯小馬），可惜在80年代三度打入美聯冠軍賽，卻三次都敗在丹佛野馬，讓他們無緣進入超級盃。
目前有四支球隊仍未打進過超級盃，布朗隊是其中之一，其他三隊分別是傑克遜威爾美洲虎、底特律雄獅及休斯敦得州人。
自2002年休斯敦得州人加入改成8個分組後，聯盟僅剩兩支球隊在02年賽季後未拿過分組冠軍，布朗隊是其中一支（上一次分組冠軍已是1989年美聯中區的時候了），另外一隊是底特律雄獅（1993年，國聯中區）。
2017年常規賽第17週輸球後，也成為NFL1970年合併後第四支0勝的球隊，同時也是繼底特律雄獅之後，第二支單季0勝16敗的球隊。
外部連結

球隊官方網站 （页面存档备份，存于）
注釋

↑  . Pro Football Hall of Fame.   [2017-10-02]. （原始内容存档于2020-09-26）.
↑   (PDF). 2017 Official National Football League Record and Fact Book. National Football League. 2017-08-22  [2017-11-06]. （原始内容存档 (PDF)于2018-07-09）.
↑  . Cleveland Browns. 2015-02-23  [2016-06-11]. （原始内容存档于2015-02-24）.
↑  Rosenthal, Gregg. . National Football League. 2012-08-02  [2012-08-04]. （原始内容存档于2020-03-22）.
↑  Florjancic, Matt. . Cleveland Browns. 2012-10-16  [2016-04-01]. （原始内容存档于2012-10-18）.
↑  Cabot, Mary Kay. . The Plain Dealer (Cleveland, Ohio). 2012-08-02  [2012-08-02]. （原始内容存档于2018-09-12）.
↑  . Pro Football Hall of Fame.   [2007-04-02]. （原始内容存档于2007-03-17）.
↑  . www.americanownews.com.   [2014-05-02]. （原始内容存档于2014-05-03）.
↑  Davis, Nate. . USA Today. 2010-08-26  [2017-05-05]. （原始内容存档于2020-09-25）.
|  论 编克里夫蘭布朗 |
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 建立於1946年  基地位於俄亥俄州克里夫蘭  總部位於俄亥俄州伯里亞 
球團:  歷史  球員  總教練  賽季  標誌與隊服  首輪選秀  1999年擴增選秀  先發四分衛  職業盃球員  播報員 
主場:  克里夫蘭體育場（1946－1995）  克利夫兰布朗体育场（1999至今） 
重要人士:  擁有者: 吉米·哈斯拉姆  迪伊·哈斯拉姆  首席策略長: 保羅·德博德絲塔  總經理: 約翰·多西  總教練: Kevin Stefanski 
相關文化:  阿特·摩德爾  克里夫蘭體育詛咒  超級選秀日  扭轉時光機  Miracle at the Met  保羅·布朗  Red Right 88  搬遷爭議  The Drive  The Fumble  棕精灵 
世仇球隊:  巴爾的摩烏鴉  辛辛那提猛虎  匹茲堡鋼人 
季後賽 (30):  1946  1947  1948  1949  1950  1951  1952  1953  1954  1955  1957  1958  1964  1965  1967  1968  1969  1971  1972  1980  1982  1985  1986  1987  1988  1989  1994  2002  2020  2023 
分區冠軍 (12):  1946  1947  1948  1967  1968  1969  1971  1980  1985  1986  1987  1989 
聯會冠軍 (11):  1950  1951  1952  1953  1954  1955  1957  1964  1965  1968  1969 
聯盟冠軍 (8):  1946  1947  1948  1949  1950  1954  1955  1964 
退休背號:  14  32  45  46  76 
入選名人堂:  球員: 布朗  DeLamielleure  Ford  Gatski  Graham  Groza  Hickerson  Kelly  Lavelli  McCormack  Mitchell  Motley  Newsome  Warfield  Willis  教練: Brown 
目前所屬聯盟:  聯盟: 國家美式足球聯盟 (1950–現今)  聯會: 美國美式足球聯會  分區: 北區 
前所屬聯盟:  聯盟: 全美美式足球聯盟 (1946–1949) 
賽季(70):  1946  1947  1948  1949  1950  1951  1952  1953  1954  1955  1956  1957  1958  1959  1960  1961  1962  1963  1964  1965  1966  1967  1968  1969  1970  1971  1972  1973  1974  1975  1976  1977  1978  1979  1980  1981  1982  1983  1984  1985  1986  1987  1988  1989  1990  1991  1992  1993  1994  1995  1996  1997  1998  1999  2000  2001  2002  2003  2004  2005  2006  2007  2008  2009  2010  2011  2012  2013  2014  2015  2016  2017  2018  2019  2020  2021  2022  2023 
黑體代表當年度奪冠
快速傅里叶变换

「」至此。关于其他用法，请见「」。
一个五项余弦级数的时域信号。频率为  10{\sqrt {2}} 的倍数。振幅为 1, 2, 3, 4, 5。时间步长为 0.001 s
用FFT（~40,000次运算）五项余弦级数及用显式积分（~1亿次运算）得出的DFT。时间窗口是10秒。FFT是用FFTW3（ http://www.fftw.org/ （页面存档备份，存于） ）计算的。显式积分DFT是用 https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/ （页面存档备份，存于） 计算的。
缩放后的五项余弦级数的DFT。注意到显式积分更细的步长大小比FFT更精确地再现了峰值（4）和频率（56.569 Hz），代价是速度慢了上千倍。
快速傅里叶变换（英語：），是快速计算序列的离散傅里叶变换（DFT）或其逆变换的方法。傅里叶分析将信号从原始域（通常是时间或空间）转换到頻域的表示或者逆过来转换。FFT会通过把DFT矩阵分解为稀疏（大多为零）因子之积来快速计算此类变换。  因此，它能够将计算DFT的复杂度从只用DFT定义计算需要的  O(n^{2})，降低到  O(n\log n)，其中  n 为数据大小。
快速傅里叶变换广泛的应用于工程、科学和数学领域。这里的基本思想在1965年才得到普及，但早在1805年就已推导出来。 1994年美國數學家吉爾伯特·斯特朗把FFT描述为“我们一生中最重要的数值算法”，它还被IEEE科学与工程计算期刊列入20世纪十大算法。
定义和速度

用FFT计算DFT会得到与直接用DFT定义计算相同的结果；最重要的区别是FFT更快。（由于捨入誤差的存在，许多FFT算法还会比直接运用定义求值精确很多，后面会讨论到这一点。）
令 x0, ...., xN-1 為复数。DFT由下式定义
直接按这个定义求值需要 O(N^{2})次运算：Xk 共有 N 个输出，每个输出需要 N 项求和。直接使用DFT運算需使用N個複數乘法（4N個實數乘法）與N-1個複數加法（2N-2個實數加法），因此，計算使用DFT所有N點的值需要N2複數乘法與N2-N 個複數加法。FFT则是能够在 O(N\log {}N)次操作计算出相同结果的任何方法。更准确的说，所有已知的FFT算法都需要 O(N\log {}N)次运算（技术上O只标记上界），虽然还没有已知的证据证明更低的复杂度是不可能的。
要说明FFT节省时间的方式，就得考虑复数相乘和相加的次数。直接计算DFT的值涉及到 N2 次复数相乘和 N(N−1) 次复数相加（可以通过削去琐碎运算（如乘以1）来节省 O(N)次运算）。众所周知的基2库利-图基算法，N 为2的幂，可以只用 (N/2)log2(N) 次复数乘法（再次忽略乘以1的简化）和 Nlog2(N) 次加法就可以得到相同结果。在实际中，现代计算机通常的实际性能通常不受算术运算的速度和对复杂主体的分析主导，但是从 O(N^{2})到 O(N\log {}N)的总体改进仍然能够体现出来。
一般的簡化理論

假設一個M*N型矩阵S可分解成列向量以及行向量相乘：
\mathbf {S} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}
若 {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{m}\end{bmatrix}}^{T}有 M_{0}個相異的非平凡值（ a_{m}\neq \pm 2^{k},a_{m}\neq \pm 2^{k}a_{n} where  m\neq n）
{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}有 N_{0}個相異的非平凡值
則S共需要 M_{0}*N_{0}個乘法。
{\begin{bmatrix}Z[1]\\Z[2]\\\vdots \\Z[N]\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}X[1]\\X[2]\\\vdots \\X[N]\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X[1]\\X[2]\\\vdots \\X[N]\end{bmatrix}}
Step 1： Z_{a}=b_{1}X[1]+b_{2}X[2]+\cdots +b_{n}X[N]
Step 2： Z[1]=a_{1}Z_{a},Z[2]=a_{2}Z_{a},\cdots ,Z[N]=a_{m}Z_{a}
簡化理論的變型：
\mathbf {S} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}+\mathbf {S} _{1}
S_{1}也是一個M*N的矩陣。
若 S_{1}有 P_{1}個值不等於0，則 \mathbf {S} 的乘法量上限為 M_{0}+N_{0}+P_{1}。
快速傅立葉變換乘法量的計算

假設 N=P_{1}\times P_{2}\times \cdots \times P_{k}，其中 P_{1},P_{2},\cdots ,P_{k}彼此互質
\mathbf {P_{k}} 點DFT的乘法量為 \mathbf {B_{k}} ，則 \mathbf {N} 點DFT的乘法量為：
假設 \mathbf {N=P^{c}} ，P是一個質數。
若 \mathbf {N_{1}=P^{a}} 點的DFT需要的乘法量為 \mathbf {B_{1}}
且 n_{1}\times n_{2}當中（ n_{1}=0,1,\cdots ,N_{1}-1,\quad n_{2}=0,1,\cdots ,N_{2}-1）
有 D_{1}個值不為 {\frac {N}{12}}及 {\frac {N}{8}}的倍數，
有 D_{2}個值為 {\frac {N}{12}}及 {\frac {N}{8}}的倍數，但不為 {\frac {N}{4}}的倍數，
則N點DFT的乘法量為：
库利-图基算法

条目：库利－图基快速傅里叶变换算法
库利-图基算法是最常见的FFT算法。这一方法以分治法为策略递归地将长度为 N=N_{1}N_{2}的离散傅里叶变换分解为长度为 N_{1}的 N_{2}个较短序列的离散傅里叶变换，以及与 \mathrm {O} (N)个旋转因子的复数乘法。
这种方法以及FFT的基本思路在1965年J. W. Cooley和J. W. Tukey合作发表An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series之后开始为人所知。但后来发现，实际上这两位作者只是重新发明了高斯在1805年就已经提出的算法（此算法在历史上数次以各种形式被再次提出）。
库利-图基算法最有名的应用，是将序列长为N 的DFT分割为两个长为N/2 的子序列的DFT，因此这一应用只适用于序列长度为2的幂的DFT计算，即基2-FFT。实际上，如同高斯和Cooley与Tukey都指出的那样，Cooley-Tukey算法也可以用于序列长度N 为任意因数分解形式的DFT，即混合基FFT，而且还可以应用于其他诸如分裂基FFT等变种。尽管Cooley-Tukey算法的基本思路是采用递归的方法进行计算，大多数传统的算法实现都将显式的递归算法改写为非递归的形式。另外，因为Cooley-Tukey算法是将DFT分解为较小长度的多个DFT，因此它可以同任一种其他的DFT算法联合使用。
库利-图基算法 > 设计思想

下面，我们用N次单位根 W_{N}来表示 e^{-j{\frac {2\pi }{N}}}。
W_{N}的性质：
周期性， W_{N}具有周期 N，即 W_{N}^{k+N}=W_{N}^{k}
对称性： W_{N}^{k+{\frac {N}{2}}}=-W_{N}^{k}。
若 m是 N的约数， W_{N}^{mkn}=W_{\frac {N}{m}}^{kn}
为了简单起见，我们下面设待变换序列长度 n=2^{r}。根据上面单位根的对称性，求级数 y_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}W_{N}^{kn}x_{n}时，可以将求和区间分为两部分：
{\begin{matrix}y_{k}=\sum _{n=2t}W_{N}^{kn}x_{n}+\sum _{n=2t+1}W_{N}^{kn}x_{n}\\=\sum _{t}W_{\frac {N}{2}}^{kt}x_{2t}+W_{N}^{k}\sum _{t}W_{\frac {N}{2}}^{kt}x_{2t+1}\\=F_{even}(k)+W_{N}^{k}F_{odd}(k)&&&&&&(i\in \mathbb {Z} )\end{matrix}}
F_{odd}(k)和 F_{even}(k)是两个分别关于序列 \left\{x_{n}\right\}_{0}^{N-1}奇数号和偶数号序列N/2点变换。由此式只需计算出 y_{k}的前N/2个点，对于后N/2个点可以通过复指数函数的对称性快速求解。即，注意 F_{odd}(k)和 F_{even}(k)都是周期为N/2的函数，由单位根的对称性，有以下变换公式：
y_{k+{\frac {N}{2}}}=F_{even}(k)-W_{N}^{k}F_{odd}(k)
y_{k}=F_{even}(k)+W_{N}^{k}F_{odd}(k)。
这样，一个N点变换就分解成了两个N/2点变换。照这样可继续分解下去。这就是库利-图基快速傅里叶变换算法的基本原理。根据主定理不难分析出此时算法的时间复杂度为 \mathrm {O} (N\log N)
库利-图基算法 > 算法实现

蝶形结网络和位反转（Bit Reversal）：
库利-图基算法 > 算法复杂度

由于按蝶形结网络计算n点变换要进行log n层计算，每层计算n个点的变换，故算法的时间复杂度为 \mathrm {O} (n\log n)。
其他算法

在Cooley-Tukey算法之外还有其他DFT的快速演算法。对于长度 N=N_{1}N_{2}且 N_{1}与 N_{2}互质的序列，可以采用基于中国剩余定理的互质因子算法将N长序列的DFT分解为两个子序列的DFT。与Cooley-Tukey算法不同的是，互质因子算法不需要旋转因子。
Rader-Brenner算法是类似于Cooley-Tukey算法，但是采用的旋转因子都是纯虚数，以增加加法运算和降低了数值稳定性为代价减少了乘法运算。这方法之后被split-radix variant of Cooley-Tukey所取代，与Rader-Brenner演算法相比，有一样多的乘法量，却有较少的加法量，且不牺牲数值的准确性。
Bruun以及QFT演算法是不断的把DFT分成许多较小的DFT运算。（Rader-Brenner以及QFT演算法是为了2的指数所设计的演算法，但依然可以适用在可分解的整数上。Bruun演算法则可以运用在可被分成偶数个运算的数字）。尤其是Bruun演算法，把FFT看成是 z^{N}-1，并把它分解成 z^{M-1}与 z^{2M}+az^{M}+1的形式。
另一个从多项式观点的快速傅立叶变换法是Winograd算法。此演算法把 z^{N}-1分解成cyclotomic多项式，而这些多项式的系数通常为1，0，-1。这样只需要很少的乘法量（如果有需要的话），所以winograd是可以得到最少乘法量的快速傅立叶演算法，对于较小的数字，可以找出有效率的算方式。更精确地说，winograd演算法让DFT可以用 2^{k}点的DFT来简化，但减少乘法量的同时，也增加了非常多的加法量。Winograd也可以利用剩余值定理来简化DFT。
Rader演算法提出了利用点数为N（N为质数）的DFT进行长度为N-1的回旋摺积来表示原本的DFT，如此就可利用摺积用一对基本的FFT来计算DFT。另一个prime-size的FFT演算法为chirp-Z演算法。此法也是将DFT用摺积来表示，此法与Rader演算法相比，能运用在更一般的转换上，其转换的基础为Z转换（Rabiner et al., 1969）。
实数或对称资料专用的演算法

在许多的运用当中，要进行DFT的资料是纯实数，如此一来经过DFT的结果会满足对称性：
而有一些演算法是专门为这种情形设计的（e.g. Sorensen, 1987）。另一些则是利用旧有的演算法（e.g. Cooley-Tukey），删去一些不必要的演算步骤，如此省下了记忆体的使用，也省下了时间。另一方面，也可以把一个偶数长度且纯实数的DFT，用长度为原本一半的复数型态DFT来表示（实数项为原本纯实数资料的偶数项，虚数项则为奇数项）。
在Matlab上用一次N點FFT計算兩個N點實數信號x,y的FFT:
function [X,Y] = Real2FFT( x,y )

% N-point FFT is used for 2 real signals both with length N

N = length(x);

z = x+y*i ;

Z = fft(z);

X = 0.5*(Z+conj(Z(1+mod(0:-1:1-N,N))));

Y = 0.5*(Z-conj(Z(1+mod(0:-1:1-N,N))))/i;

end
一度人们认为，用离散哈特利转换（Discrete Hartley Transform）来处理纯实数的DFT会更有效率，但接着人们发现，对于同样点数的纯实数DFT，经过设计的FFT，可以比DHT省下更多的运算。Bruun演算法是第一个试着从减少实数输入的DFT运算量的演算法，但此法并没有成为人们普遍使用的方法。
对于实数输入，且输入为偶对称或奇对称的情形，可以更进一步的省下时间以及记忆体，此时DFT可以用离散余弦转换或离散正弦转换来代替（Discrete cosine/sine transforms）。由于DCT/DST也可以设计出FFT的演算法，故在此种情形下，此方法取代了对DFT设计的FFT演算法。
DFT可以应用在频谱分析以及做摺积的运算，而在此处，不同应用可以用不同的演算法来取代，列表如下：
用来做频谱分析的情况下，DFT可用下列的演算法代替：
DCT
DST
DHT
正交基底的扩展（orthogonal basis expantion）包括正交多项式（orthogonal polynomials）以及CDMA.
Walsh（Hadamard）转换
Haar转换
小波（wavelet）转换
时频分布（time-frequency distribution）
用来做摺积的情况下，DFT可用下列的演算法代替：
DCT
DST
DHT
直接做摺积（direct computing）
分段式DFT摺积（sectioned DFT convolution）
威諾格拉德快速傅立葉變換演算法
沃尔什（Walsh、Hadamard）转换
数论转换
單一路徑延遲迴授系統

單一路徑延遲迴授系統(英語：Single-path delay feedback，縮寫為SDF)是一種用於實現快速傅立葉轉換(Fast Fourier Transform)中運算的管線式架構(pipeline architecture)。此架構的特點是資料從輸入一直到最終的輸出只會通過單一的路徑，並使用蝶形結(butterfly diagram)做為資料的運算單元。經過蝶形結後的輸出資料會先暫存在系統的移位暫存器(shift registers)或是隨機存取記憶體(RAM)當中，而由於只有單一路徑的關係，對於每一級的蝶形結架構我們只需要一個複數乘法器來進行和FFT當中的旋轉因子(twiddle factor)的乘積運算。
SDF的優點在於其架構簡單並且利用硬體實現的成本較低，原因在於其單一路徑的設計，使得資料會依序進行處理並輸出，並不會在系統中加入多個複雜的運算單元以進行平行化的運算，事實上SDF的架構在管線式快速傅立葉轉換處理器(pipelined FFT processors)中具有最高的記憶體使用效率，而由於記憶體單元數量會隨快速傅立葉轉換的級數而指數增長，記憶體使用效率進而成為影響電路面積和功耗的主要因素之一。因此在實作大型快速傅立葉轉換處理器的情況下，SDF架構一直是被優先考量採用的選擇。然而其缺點也同樣來自於單一路徑的設計，導致其吞吐量(throughput)和多路徑延遲交換線路系統(英語：Multiple-path delay commutator，縮寫為MDC)相比較低。
接著我們將以8個點的基-2單一路徑延遲迴授系統(8-point R2SDF)為例進行其演算法細節的介紹，並且展示在硬體實作中每一個cycle的運算和中間結果的存儲位置。
首先考慮系統輸入為x0, x1, ..., x7，並在前8個cycle依序輸入。
Cycle 0~3: x0~x3依序存入第一級BF-2上方的暫存器中。
Cycle 4: x0和x4輸入第一級BF-2後輸出x0'和x4'，x0'存入第二級BF-2上方的暫存器中，x4'存入第一級BF-2上方的暫存器中。
Cycle 5: x1和x5輸入第一級BF-2後輸出x1'和x5'，x1'存入第二級BF-2上方的暫存器中，x5'存入第一級BF-2上方的暫存器中。
Cycle 6: x2和x6輸入第一級BF-2後輸出x2'和x6'，x6'存入第一級BF-2上方的暫存器中，x0'和x2'輸入第二級BF-2後輸出x0''和x2''，x0''存入第三級BF-2上方的暫存器中，x2''存入第二級BF-2上方的暫存器中。
Cycle 7: x3和x7輸入第一級BF-2後輸出x3'和x7'，x7'存入第一級BF-2上方的暫存器中，x1'和x3'輸入第二級BF-2後輸出x1''和x3''，x3''存入第二級BF-2上方的暫存器中，x0''和x1''輸入第三級BF-2後輸出x0'''和x1'''，x0'''直接輸出，x1'''存入第三級BF-2上方的暫存器中。(此為第一筆輸出，此後每一個cycle皆會輸出一筆資料。)
Cycle 8: x4'乘上W0後存入第二級BF-2上方的暫存器中，x2''乘上W0後存入第三級BF-2上方的暫存器中，x1'''直接輸出。
Cycle 9: x5'乘上W1後存入第二級BF-2上方的暫存器中，x3''乘上W2後和x2''輸入第三級BF-2後輸出x2'''和x3'''， x2'''直接輸出，x3'''存入第三級BF-2上方的暫存器中。
Cycle 10: x6'乘上W2後和x4'輸入第二級BF-2後輸出x4''和x6''，x6''存入第二級BF-2上方的暫存器中，x4''存入第三級BF-2上方的暫存器中，x3'''直接輸出。
Cycle 11: x7'乘上W3後和x5'輸入第二級BF-2後輸出x5''和x7''，x7''存入第二級BF-2上方的暫存器中，x4''和x5''輸入第三級BF-2後輸出x4'''和x5'''，x4'''直接輸出，x5'''存入第三級BF-2上方的暫存器中。
Cycle 12: x6''乘上W0後存入第三級BF-2上方的暫存器中，x5'''直接輸出。
Cycle 13: x7''乘上W2後和x6''輸入第三級BF-2後輸出x6'''和x7'''，x6'''直接輸出，x7'''存入第三級BF-2上方的暫存器中。
Cycle 14: x7'''直接輸出。(此為最後一筆輸出。)
此外，我們可以在蝶形結中的加法器和乘法器加上額外的暫存器(register)來降低系統的關鍵路徑(critical path)，來避免某些時刻不同級之間的繁重運算必須擠在同一個cycle中運算完成，進而嚴重影響整體電路在timing上的表現。但如此的管線式設計(pipeline design)也會增加整體電路的延遲(latency)和暫存器使用量。
單一路徑延遲迴授系統 > 相似架構之硬體實作比較

Radix-2 SDF: 2(log4N-1) 個乘法器、4log4N 個加法器、記憶體大小為 N-1。
Radix-4 SDF: log4N-1 個乘法器、8log4N 個加法器、記憶體大小為 N-1。
Radix-22 SDF: log4N-1 個乘法器、4log4N 個加法器、記憶體大小為 N-1。
Radix-2 MDC: 2(log4N-1) 個乘法器、4log4N 個加法器、記憶體大小為 1.5N-2。
Radix-4 MDC: 3(log4N-1) 個乘法器、8log4N 個加法器、記憶體大小為 2.5N-4。
Radix-4 SDC: log4N-1 個乘法器、3log4N 個加法器、記憶體大小為 2N-2。
複雜度以及運算量的極限

長久以來，人們對於求出快速傅立葉變換的複雜度下限以及需要多少的運算量感到很有興趣，而實際上也還有許多問題需要解決。即使是用較簡單的情形，即 2^{k}點的DFT，也還沒能夠嚴謹的證明出FFT至少需要 \Omega (N\log N)（不比 N\log N小）的運算量，目前也沒有發現複雜度更低的演算法。通常數學運算量的多寡會是運算效率好壞最主要的因素，但在現實中，有許多因素也會有很大的影響，如快取記憶體以及CPU均有很大的影響。
在1978年，Winograd率先導出一個較嚴謹的FFT所需乘法量的下限： \Theta (N)。當 N=2^{k}時，DFT只需要 4N-2\log _{2}^{2}N-2\log _{2}N-4次無理實數的乘法即可以計算出來。更詳盡，且也能趨近此下限的演算法也一一被提出（Heideman & Burrus, 1986; Duhamel, 1990）。很可惜的是，這些演算法，都需要很大量的加法計算，目前的硬體無法克服這個問題。
對於所需加法量的數目，雖然我們可以在某些受限制的假設下，推得其下限，但目前並沒有一個精確的下限被推導出來。1973年，Morgenstern在乘法常數趨近巨大的情形下（對大部分的FFT演算法為真，但不是全部）推導出加法量的下限： \Omega \left(N\log N\right)。Pan（1986）在假設FFT演算法的不同步的情形有其極限下證明出加法量的下限 \Omega (NlogN)，但一般來說，此假設相當的不明確。長度為 N=2^{k}的情形下，在某些假設下，Papadimitriou（1979）提出使用Cooley-Tukey演算法所需的複數加法量 N\log _{2}N是最少的。到目前為止，在長度為 N=2^{k}情況，還沒有任何FFT的演算法可以讓複數的加法量比 N\log _{2}N還少。
還有一個問題是如何把乘法量與加法量的總和最小化，有時候稱作"演算複雜度"（在這裡考慮的是實際的運算量，而不是漸近複雜度）。同樣的，沒有一個嚴謹下限被證明出來。從1968年開始， N=2^{k}點DFT而言，split-radix FFT演算法需要最少的運算量，在 N>1的情形下，其需要 4N\log _{2}N-6N+8個乘法運算以及加法運算。最近有人導出更低的運算量： {\frac {34}{9}}N\log _{2}N。（Johnson and Frigo, 2007; Lundy and Van Buskirk, 2007）
大多數嘗試要降低或者證明FFT複雜度下限的人都把焦點放在複數資料輸入的情況，因其為最簡單的情形。但是，複數資料輸入的FFT演算法，與實數資料輸入的FFT演算法，離散餘弦轉換（DCT），離散哈特列轉換（DHT），以及其他的演算法，均有很大的關連性。故任何一個演算法，在複雜度上有任何的改善的話，其他的演算法複雜度也會馬上獲得改善（Duhamel & Vetterli, 1990）。
快速演算法查表

當輸入信號長度為N時:
N = 1~60
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| N | 乘法數 | 加法數 | N | 乘法數 | N | 乘法數 | N | 乘法數 |
| 1 | 0 | 0 | 11 | 46 | 24 | 28 | 39 | 182 |
| 2 | 0 | 4 | 12 | 8 | 25 | 148 | 40 | 100 |
| 3 | 2 | 12 | 13 | 52 | 26 | 104 | 42 | 124 |
| 4 | 0 | 16 | 14 | 32 | 27 | 114 | 44 | 160 |
| 5 | 10 | 34 | 15 | 40 | 28 | 64 | 45 | 170 |
| 6 | 4 | 36 | 16 | 20 | 30 | 80 | 48 | 92 |
| 7 | 16 | 72 | 18 | 32 | 32 | 72 | 52 | 208 |
| 8 | 4 | 52 | 20 | 40 | 33 | 160 | 54 | 228 |
| 9 | 16 | 72 | 21 | 62 | 35 | 150 | 56 | 156 |
| 10 | 20 | 88 | 22 | 80 | 36 | 64 | 60 | 160 |
N < 1000
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| N | 乘法數 | N | 乘法數 | N | 乘法數 | N | 乘法數 |
| 63 | 256 | 96 | 280 | 192 | 752 | 360 | 1540 |
| 64 | 204 | 104 | 468 | 204 | 976 | 420 | 2080 |
| 66 | 284 | 108 | 456 | 216 | 1020 | 480 | 2360 |
| 70 | 300 | 112 | 396 | 224 | 1016 | 504 | 2300 |
| 72 | 164 | 120 | 380 | 240 | 940 | 512 | 3180 |
| 80 | 260 | 128 | 560 | 252 | 1024 | 560 | 3100 |
| 81 | 480 | 144 | 436 | 256 | 1308 | 672 | 3496 |
| 84 | 248 | 160 | 680 | 288 | 1160 | 720 | 3620 |
| 88 | 412 | 168 | 580 | 312 | 1324 | 784 | 4412 |
| 90 | 340 | 180 | 680 | 336 | 1412 | 840 | 4580 |
N > 1000
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| N | 乘法數 | N | 乘法數 | N | 乘法數 | N | 乘法數 |
| 1008 | 5356 | 1440 | 8680 | 2520 | 16540 | 4032 | 29488 |
| 1024 | 7436 | 1680 | 10420 | 2688 | 19108 | 4096 | 37516 |
| 1152 | 7088 | 2016 | 12728 | 2880 | 20060 | 4368 | 35828 |
| 1260 | 7640 | 2048 | 16836 | 3369 | 24200 | 4608 | 36812 |
| 1344 | 8252 | 2304 | 15868 | 3920 | 29900 | 5040 | 36860 |
参阅

离散傅里叶变换
并行快速傅里叶变换
快速數論變換
参考资料

↑  杨毅明. . 北京: 机械工业出版社. 2017年: 第95页. ISBN 9787111576235.
↑  Charles Van Loan, Computational Frameworks for the Fast Fourier Transform (SIAM, 1992).
↑  Heideman, M. T.; Johnson, D. H.; Burrus, C. S. . IEEE ASSP Magazine. 1984, 1 (4): 14–21. doi:10.1109/MASSP.1984.1162257.
↑  Strang, Gilbert. . American Scientist. May–June 1994, 82 (3): 253. JSTOR 29775194.
↑  Dongarra, J.; Sullivan, F. . Computing in Science Engineering. January 2000, 2 (1): 22–23. ISSN 1521-9615. doi:10.1109/MCISE.2000.814652.
↑  Johnson and Frigo, 2007
↑  Frigo & Johnson, 2005
↑  Shousheng He; Torkelson, M. . IEEE Comput. Soc. Press. 1996. ISBN 978-0-8186-7255-2. doi:10.1109/IPPS.1996.508145.
8-point R2SDF Architecture
唐林县 (山西)

唐林县，中国唐朝时设置的县。
景雲元年（710年）改武延县置，治所在今山西省原平市东南唐林岗。属代州。五代后梁开平二年（908年）改白鹿县，后唐同光初年，复为唐林县，后晋改广武县，后复改唐林县。北宋景德二年（1005年）废。
阿里普兰机场

阿里普兰机场（藏語：མངའ་རིས་སྤུ་ཧྲེང་གནམ་གྲུ་ཐང་，威利转写：mnga' ris spu hreng gnam gru thang；IATA代码：；ICAO代码：），位于中国西藏自治区阿里地区普兰县普兰镇仁贡村，为4C级军民合用支线机场，海拔4255米，南距普兰县县城约12千米。2023年12月27日正式通航。
机场占地4905亩，设有长4500米、宽50米的跑道和1条长4500米、宽30米的平行滑行道；受到国境线及地形限制，仅能实现传统程序的单向进近，主降方向设Ⅰ类精密进近系统。机场停机坪设有5个机位，航站楼面积4000平米，另设有1000平方米的航管楼，以及空管、供油、消防救援等配套设施。
沿革

2019年，民航局批复新建西藏普兰机场场址。
2020年，国务院、中央军委以国函［2020］130号文件《关于同意新建西藏普兰机场的批复》批复普兰机场立项。
2021年4月，新建西藏普兰机场获国家发改委批复。
2021年5月27日，新建西藏普兰机场正式开工，由西部机场集团援建，主要材料供应地为新疆喀什地区，距离1650公里。
2023年11月，新建西藏普兰机场校飞成功。
2023年12月1日，由中国国际航空以A319机型试飞成功。
2023年12月27日，阿里普兰机场正式通航，首条航线由中国国际航空A319机型执飞拉萨—普兰。
空中交通服务

机场周围空域位于乌鲁木齐飞行情报区内。
国内航线

| 航空公司 | 目的地 |
| --- | --- |
  中国国际航空（CA）:  成都/雙流、拉萨
俞长栋

俞长栋（1991年10月26日—），男，山东滕州人，中国篮球运动员。曾效力于新疆喀什古城队。現效力於北京紫禁勇士。他曾代表中国国家队参加2018年亚洲运动会男子篮球比赛，并获得金牌。
参考资料

↑  .
↑  . 搜狐体育.   [2019-06-20]. （原始内容存档于2019-06-20）.
無線介面層

無線介面層（英語：，縮寫為），是作業系統的一層介面，它負責提供介面，來控制行動電話的數據機（Modem）與無線電。
Windows Mobile RIL

RIL在微軟推出的行動作業系統Windows Mobile中佔有重要的地位。在Windows Mobile裝置中，RIL讓上層控制語音電話或資料傳輸的應用程式能夠與控制GSM/GPRS或CDMA2000 1X的數據機溝通。RIL提供系統介面，讓Windows Mobile作業系統中的CellCore層，能與與無線數據機硬體使用的無線通訊堆疊溝通。RIL也提供了抽象介面，容許OEM廠商將不同的數據機整合進他們的系統中。通過RIL，系統容許所有不同的無線電裝置都能夠在單一的CellCore元件下運作。
Android RIL

Android的RIL層主要分成兩個部分：RIL Daemon和Vendor RIL。
RIL Daemon由C/C++寫成，負責透過socket承接來自於電話框架(Telephony frameworks)的請求，並且將請求找到對應的函數後轉往Vendor RIL。另外也負責將來自Vendor RIL的回應回報給電話框架。
Vendor RIL為各數據晶片的供應商所提供。在RIL Daemon定義了各種不同的函式，而各晶片開發商（如：高通公司）則實做RIL Daemon定義的各種函式，再修改RIL Daemon匯入的函式庫以驅動自己的硬體。簡單來說，Vendor RIL負責承接來自於RIL Daemon的指令，將之做基本處理後傳遞給數據晶片做其他的控制。另外，Vendor RIL 也會同步監聽數據機以獲得數據機「主動回報」、或「處理完後回報」的指令，並將之做初步解析後經由RIL Daemon回傳到電話框架。
RIL可分成兩大指令：之一為RIL傳遞訊息給數據晶片並接收數據晶片執行完後的結果的指令(Solicited commands)，之二為數據晶片主動回報的指令(Unsolicited commands)。
外部連結

MSDN-Radio Interface Layer （页面存档备份，存于）
斯洛維尼亞國會大厦

斯洛維尼亞國會大厦（），是斯洛維尼亞首都盧比安納的一座建築，也是斯洛維尼亞國會的辦公地點，修築於1954年至1959年。這棟建築高三層，面積2,200 m2（24,000 sq ft），全年參觀者約1.3萬人。
外部連結

Slovene Parliament building. Virtual panoramas. Burger.si. Accessed 28 February 2011.
Palače Ljudske skupščine. 60. obletnica zgradbe // Republika Slovenija. Državni zbor
46°03′06″N 14°30′04″E﻿ / ﻿46.05167°N 14.50111°E﻿ / 46.05167; 14.50111
甲烈乡

甲烈乡，是中华人民共和国贵州省黔南布依族苗族自治州惠水县一个已撤销的乡级行政区。2014年2月14日，贵州省人民政府批复同意惠水县部分乡镇行政区划调整，撤销甲烈乡，将其所辖行政区域划归濛江街道。
参考资料

↑  省人民政府关于同意惠水县部分乡镇行政区划调整的批复（黔府函〔2014〕30号） 的存檔，存档日期2017-08-31.
1990年香港

| --- | --- |
: 香港歷史 | 香港歷史年表
世紀：: 19世紀香港 | 20世紀香港 | 21世紀香港
年代：: 1960年代香港 | 1970年代香港 | 1980年代香港 | 1990年代香港 | 2000年代香港 | 2010年代香港 | 2020年代香港
年份：: 1986年香港 | 1987年香港 | 1988年香港 | 1989年香港 | 1990年香港 | 1991年香港 | 1992年香港 | 1993年香港 | 1994年香港
紀年：: 庚午年（马年）、香港開埠149周年、香港重光45周年
政府

英国君主：伊丽莎白二世
香港總督：衛奕信
大事記 > 1月

1月1日：香港首富李嘉誠的妻子莊月明逝世。
1月10日：立法局提交《廣播事務管理局修訂條例1990》草案。
1月11日：油麻地德成街富裕臺命案。
1月13日：荔枝角公園建成。
1月19日：青衣島青泰苑寶泰閣兇殺案。
大事記 > 2月

2月5日，青年事務委員會成立。
2月6日：凌晨，立法局首席議員李鵬飛返回沙田九肚山寓所時，在門前遭5名男子持刀斬傷頭部，送院救治，幸傷勢不重。
2月10日：
慈雲山沙田療養院命案。
柴灣公園命案。
重修後的新田大夫第獲頒香港建築師學會的會長大獎。
2月13日：香港特別行政區基本法起草委員會召開最後一次大會。
2月14日：船民一日三宗大屠殺，造成36人傷，防暴隊入內施放51枚催淚彈，並檢獲800件武器。
2月20日：柴灣興華邨樂興樓19樓命案。
2月21日：
北角寶馬山道17號賽西湖商場卡拉OK酒廊，6名幫派暴徒襲擊5人，2人死亡。
荔枝角長坑村長坑路街坊福利會門外，債仔因無力還貴利，劫殺貴利。
2月24日：有17年歷史的警察少年訓練學校關閉前舉行最後一期結業禮。
大事記 > 3月

3月16日：九龍城寨首期工程完成。
3月20日：五名悍匪械劫油麻地金行與警爆發槍戰一死三人傷，入境處職員助捉賊慘遭槍擊殉職。
3月27日：消防員因工時問題絕食，千人不適消防工作陷半癱瘓，25間局不服務6消防船停航。