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厉以宁
外界评价

北京大学党委书记郝平：“研究他的经济思想和理论，可以帮助我们深刻理解中国特色社会主义市场经济从哪里来、为什么成功、要怎样发展”。
许纪霖认为，厉以宁是只谈经济自由主义而不谈政治自由主义的发展主义经济学家代表。
任桂珍

任桂珍（1933年8月23日—2020年10月10日），女，山东临沂人，中華人民共和國女高音歌唱家，歌剧演唱家。歌剧《江姐》中第一代“江姐”的扮演者，也是《白毛女》《小二黑结婚》《红霞》《刘三姐》《洪湖赤卫队》《江姐》等歌剧中的女主角以及歌曲《唱支山歌给党听》《解放军同志请你停一停》的首唱歌手。
生平

1933年，任桂珍出生于山东临沂。1948年，任桂珍离开山東，随中國人民解放军南下渡過長江到上海，在华北人民艺术剧院歌舞团工作。1952年后，任上海歌剧院担任艺术指导。1960年代初和男高音歌唱家施鸿鄂合作，在上海等地举行独唱音乐会。先后在歌剧《白毛女》中饰喜儿、《小二黑结婚》中饰小芹、《红霞》中饰红霞、《洪湖赤卫队》中饰韩英、《刘三姐》中饰刘三姐、《江姐》中饰江姐（1965年）、《沙家浜》中饰阿庆嫂、《红珊瑚》中饰珊妹等。她也为电影《红日》配唱《谁不说俺家乡好》、为電影《聂耳》配唱《铁蹄下的歌女》和《塞外村女》，为《摩雅傣》配唱《摇篮曲》等。
1983年12月当选中国农工民主党第九届中央委员会候补委员。1984年12月递补为中央委员。1986年，因为丈夫饶余鉴被公派意大利深造，任桂珍也陪同旅居。她在意大利生活了十年，直到1996年返回上海。2010年加入中国共产党。
晚年因脑溢血住院。2020年10月10日在上海华山医院去世。
參考資料

↑  . 上观新闻. 2020-10-10  [2020-10-10]. （原始内容存档于2020-12-05）.
1 2  周卓傲. . 中国新闻网. 2020-10-10.
↑  张品兴. . 中国广播电视出版社. 1992: 151. ISBN 7504315133.
↑  . 人民日报. 1984-12-21: 4.
↑  楼伊菁. . 新民晚报. 2014-04-27  [2020-10-11]. （原始内容存档于2020-10-11）.
↑  吴桐. . 上观新闻. 2020-10-10  [2020-10-10]. （原始内容存档于2020-10-18）.
文明书局

文明书局是中国清朝末期光绪廿八年（1902年）由廉泉、俞复、丁宝书等人集股在上海创办的一家出版社，俞复任经理，地址为棋盘街河南路88、89号。商务印书馆成立前，文明书局是中国编辑和出版教科书最多的出版社。1915年，文明书局及其所属进步书局并入中华书局。
云红街道

| 云红街道 |
| --- | --- |
街道
坐标：37°43′59″N 117°14′51″E﻿ / ﻿37.73306°N 117.24754°E﻿ / 37.73306; 117.24754
国家:  中华人民共和国
上级行政区: 乐陵市
村级区划单位数:  18 0社区 18行政村 
时区: 北京时间（UTC+8）
行政区划代码: 37 14 81 003
电话区号: +86 
云红街道，是中华人民共和国山東省德州市乐陵市下辖的一个乡镇级行政单位。
行政区划

云红街道下辖以下地区：
匡家村、​任苏村、​朱桥村、​穆堰村、​四屯社区村、​枣园社区村、​和顺社区村、​结义社区村、​忠义社区村、​千红湖社区村、​月阳社区村、​三和社区村、​谭梁社区村、​东兴社区村、​昌盛社区村、​联谊社区村、​兴丰社区村和韩武举村。
参考资料

↑  . 中华人民共和国国家统计局. 2023-06-30 （中文（中国大陆））.
↑  . 中华人民共和国国家统计局. 2023-06-30 （中文（中国大陆））.
张桂兰

张桂兰（1934年—2001年），女，辽宁金县人，中国电影配音演员，中国儿童电影制片厂演员、导演。
参考资料

↑  张品兴, 殷登祥, 陈有进等主编. . 北京: 中国广播电视出版社. 1992. ISBN 9787504315137.
↑  中国妇女管理干部学院编. . 北京: 中国广播电视出版社. 1989.
↑  周行健主编. . 北京: 华夏出版社. 1988.
↑  何厚桢主编. . 北京: 中国学术期刊（光盘版）电子杂志社. 2007.
三角恒等式

在几何上依据以O为中心的单位圆可以构造角θ的很多三角函数
三角函數示意圖
幾個三角函數的圖形，分別為正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割和正矢。配色與上圖相同
单位圆的角度
在数学中，三角恒等式是对出现的所有值都为實变量，涉及到三角函数的等式。这些恒等式在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的。一个重要应用是非三角函数的积分：一个常用技巧是首先使用使用三角函数的代换规则，则通过三角恒等式可简化结果的积分。
符号

为了避免由于 \sin ^{-1}x的不同意思所带来的混淆，我們經常用下列兩個表格來表示三角函数的倒数和反函数。另外在表示余割函数時，' \csc '有时會寫成比較长的' \mathrm {cosec} '。
| 函数> 中文 | 函数> 全寫 | 函数> 簡寫 | 反函數> 中文 | 反函數> 全寫 | 反函數> 簡寫 | 倒数> 中文 | 倒数> 全寫 | 倒数> 簡寫 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 正弦 | sine | sin | 反正弦 | arcsine | arcsin | 餘割 | cosecant | csc |
| 餘弦 | cosine | cos | 反餘弦 | arccosine | arccos | 正割 | secant | sec |
| 正切 | tangent | tan | 反正切 | arctangent | arctan | 餘切 | cotangent | cot |
| 餘切 | cotangent | cot | 反餘切 | arccotangent | arccot | 正切 | tangent | tan |
| 正割 | secant | sec | 反正割 | arcsecant | arcsec | 餘弦 | cosine | cos |
| 餘割 | cosecant | csc | 反餘割 | arccosecant | arccsc | 正弦 | sine | sin |
不同的角度度量适合于不同的情况。本表展示最常用的系统。弧度是缺省的角度量并用在指数函数中。所有角度度量都是无单位的。另外在計算機中角度的符號為D，弧度的符號為R，梯度的符號為G。
| 角度單位 | 值 | 值 | 值 | 值 | 值 | 值 | 值 | 值 | 計算機中代號 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 轉 |  0 |  {\frac {1}{12}} |  {\frac {1}{8}} |  {\frac {1}{6}} |  {\frac {1}{4}} |  {\frac {1}{2}} |  {\frac {3}{4}} |  1 | 無 |
| 角度 |  0^{\circ } |  30^{\circ } |  45^{\circ } |  60^{\circ } |  90^{\circ } |  180^{\circ } |  270^{\circ } |  360^{\circ } | D |
| 弧度 |  0 |  {\frac {\pi }{6}} |  {\frac {\pi }{4}} |  {\frac {\pi }{3}} |  {\frac {\pi }{2}} |  \pi  |  {\frac {3\pi }{2}} |  2\pi  | R |
| 梯度 |  0^{g} |  33{\frac {1}{3}}^{g} |  50^{g} |  66{\frac {2}{3}}^{g} |  100^{g} |  200^{g} |  300^{g} |  400^{g} | G |
基本關係

畢達哥拉斯三角恒等式如下：
由上面的平方關係加上三角函數的基本定義，可以導出下面的表格，即每個三角函數都可以用其他五個表達。（严谨地说，所有根号前都应根据实际情况添加正负号）
| 函數 |  \sin  |  \cos  |  \tan  |  \cot  |  \sec  |  \csc  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  \sin \theta  |  \sin \theta \  |  {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }} |  {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}} |  {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}} |  {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }} |  {\frac {1}{\csc \theta }} |
|  \cos \theta  |  {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} |  \cos \theta \  |  {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}} |  {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}} |  {\frac {1}{\sec \theta }} |  {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }} |
|  \tan \theta  |  {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}} |  {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }} |  \tan \theta \  |  {\frac {1}{\cot \theta }} |  {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}} |  {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}} |
|  \cot \theta  |  {{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} \over \sin \theta } |  {\cos \theta  \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}} |  {1 \over \tan \theta } |  \cot \theta \  |  {1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}} |  {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}} |
|  \sec \theta  |  {1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}} |  {1 \over \cos \theta } |  {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} |  {{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta } |  \sec \theta \  |  {\csc \theta  \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}} |
|  \csc \theta  |  {1 \over \sin \theta } |  {1 \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}} |  {{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} \over \tan \theta } |  {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} |  {\sec \theta  \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}} |  \csc \theta \  |
基本關係 > 其他函數的基本關係

正矢、餘矢、半正矢、半餘矢、外正割用於航行。例如半正矢可以計算球體上的兩個點之間的距離，但它們不常用。
| 名稱 | 函數 | 值 |
| --- | --- | --- |
| 正矢, versine |  \operatorname {versin} \theta   \operatorname {vers} \theta   \operatorname {ver} \theta  |  1-\cos \theta  |
| 餘的正矢, vercosine |  \operatorname {vercosin} \theta  |  1+\cos \theta  |
| 餘矢, coversine |  \operatorname {coversin} \theta   \operatorname {cvs} \theta  |  1-\sin \theta  |
| 餘的餘矢, covercosine |  \operatorname {covercosin} \theta  |  1+\sin \theta  |
| 半正矢, haversine |  \operatorname {haversin} \theta  |  {\frac {1-\cos \theta }{2}} |
| 餘的半正矢, havercosine |  \operatorname {havercosin} \theta  |  {\frac {1+\cos \theta }{2}} |
| 半餘矢, hacoversine cohaversine |  \operatorname {hacoversin} \theta  |  {\frac {1-\sin \theta }{2}} |
| 餘的半餘矢, hacovercosine cohavercosine |  \operatorname {hacovercosin} \theta  |  {\frac {1+\sin \theta }{2}} |
| 外正割，exsecant |  \operatorname {exsec} \theta  |  \sec \theta -1 |
| 外餘割，excosecant |  \operatorname {excsc} \theta  |  \csc \theta -1 |
| 弦函數, chord |  \operatorname {crd} \theta  |  2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right) |
| 純虛數指數函數,  cosine and imaginary unit sine |  \operatorname {cis} \theta  |  \cos \theta +i\;\sin \theta  |
| 輻角,Argument |  \arg x |  \operatorname {Im} (\ln x) |
對稱、移位和周期

通過檢視單位圓，可確立三角函數的下列性質，這些性質也被稱為誘導公式：
维基教科书有诱导公式相关的教科书和手册
對稱、移位和周期 > 對稱

當三角函数反射自某个特定的 \theta 值，結果經常是另一个其他三角函數。這導致了下列恆等式：
| 反射於 \theta =0 | 反射於 \theta ={\tfrac {\pi }{4}} | 反射於 \theta ={\tfrac {\pi }{2}} | 反射於 \theta ={\tfrac {3\pi }{4}} |
| --- | --- | --- | --- |
|  {\begin{aligned}\sin(0-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(0-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(0-\theta )&=-\tan \theta \\\cot(0-\theta )&=-\cot \theta \\\sec(0-\theta )&=+\sec \theta \\\csc(0-\theta )&=-\csc \theta \end{aligned}} |  {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \end{aligned}} |  {\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \end{aligned}} |  {\begin{aligned}\sin({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=-\cos \theta \\\cos({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=-\sin \theta \\\tan({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\cot({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \\\sec({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=-\csc \theta \\\csc({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=-\sec \theta \end{aligned}} |
對稱、移位和周期 > 移位和周期

通過旋轉特定角度移位三角函數，經常可以找到更簡單的表達结果的不同的三角函數。例如通過旋轉 {\tfrac {\pi }{2}}、 \pi 和 2\pi 弧度移位函數。因爲這些函數的周期要麼是 \pi 要麼是 2\pi ，所以新函數和沒有移位的舊函數完全一樣。
| 移位 {\tfrac {\pi }{2}} | 移位 \pi >  \tan 和 \cot 的周期 | 移位 {\tfrac {3\pi }{2}} | 移位 2\pi >  \sin ,  \cos ,  \csc 和 \sec 的周期 |
| --- | --- | --- | --- |
|  {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \end{aligned}} |  {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \end{aligned}} |  {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=-\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=+\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=-\tan \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=+\csc \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=-\sec \theta \end{aligned}} |  {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \end{aligned}} |
角的和差恆等式

又稱做“和差定理”、“和差公式”或“和角公式”。最簡要的檢定方式是使用歐拉公式。
| --- | --- |
正弦:  \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,
余弦:  \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,
正切:  \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}
余切:  \cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}
正割:  \sec(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}
余割:  \csc(\alpha \pm \beta )={\frac {\csc \alpha \csc \beta }{\cot \beta \pm \cot \alpha }}
注意正負號的對應。  {\begin{aligned}x\pm y=a\pm b&\Rightarrow \ x+y=a+b\\&{\mbox{and}}\ x-y=a-b\end{aligned}}  {\begin{aligned}x\pm y=a\mp b&\Rightarrow \ x+y=a-b\\&{\mbox{and}}\ x-y=a+b\end{aligned}}
角的和差恆等式 > 正弦與余弦的無限多項和

這里的" |A|=k"意味著索引 A遍歷集合 \left\{1,2,3,\ldots \right\}的大小為 k的所有子集的集合。
在这两个恒等式中出现了在有限多项中不出现的不对称：在每个乘积中，只有有限多个正弦因子和餘有限多个余弦因子。
如果只有有限多项 \theta _{i}是非零，则在右边只有有限多项是非零，因为正弦因子将变为零，而在每个项中，所有却有限多的余弦因子将是单位一。
角的和差恆等式 > 正切的有限多项和

设 x_{i}=\tan \theta _{i}，对于 i=1,\ldots ,n。设 e_{k}是变量 x_{i}， i=1,\ldots ,n， k=0,\ldots ,n的 k次基本对称多项式。则
项的数目依赖于 n。例如，
并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。
多倍角公式

| --- | --- |
 T_{n}是 n次切比雪夫多项式:  \cos n\theta =T_{n}\cos \theta \,
 S_{n}是 n次伸展多项式:  \sin ^{2}n\theta =S_{n}\sin ^{2}\theta \,
棣莫弗定理， i是虚单位:  \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}\,
（這個 x的函數是狄利克雷核。）
多倍角公式 > n倍角公式

|  n倍角公式 |
| --- | --- |
 \sin n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left[{\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right]=\sin \theta \sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-1-k}{k}}~(2\cos \theta )^{n-1-2k} （第二类切比雪夫多项式）: 
 \cos n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left[{\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right]={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{k}{\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}~(2\cos \theta )^{n-2k} （第一类切比雪夫多项式）: 
 \tan n\theta ={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}(-1)^{k+1}{\binom {n}{2k-1}}\tan ^{2k-1}\theta }{\displaystyle \sum _{k=1}^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}(-1)^{k+1}{\binom {n}{2(k-1)}}\tan ^{2(k-1)}\theta }}: 
 n倍遞迴公式
 \tan \,n\theta ={\frac {\tan(n{-}1)\theta +\tan \theta }{1-\tan(n{-}1)\theta \,\tan \theta }}、 \cot \,n\theta ={\frac {\cot(n{-}1)\theta \,\cot \theta -1}{\cot(n{-}1)\theta +\cot \theta }}。(遞迴關係): 
参见正切半角公式，它也叫做“万能公式”。
多倍角公式 > 其他函數的倍半角公式

\operatorname {versin} 2\theta =2\sin ^{2}\theta ={\frac {(\sin 2\theta )(\sin \theta )}{\cos \theta }}=1-\cos 2\theta
\operatorname {cvs} 2\theta =(\sin \theta -\cos \theta )^{2}=1-\sin 2\theta
幂简约公式

从解余弦二倍角公式的第二和第三版本得到。
| 正弦 | 餘弦 | 其他 |
| --- | --- | --- |
|  \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}} |  \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}} |  \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}} |
|  \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}} |  \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}} |  \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}} |
|  \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}} |  \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}} |  \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}} |
|  \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}} |  \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}} |  \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}} |
|  | 餘弦 | 正弦 |
| --- | --- | --- |
| 如果 n是奇數 |  \cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {[(n-2k)\theta ]} |  \sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {[(n-2k)\theta ]} |
| 如果 n是偶數 |  \cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {[(n-2k)\theta ]} |  \sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {[(n-2k)\theta ]} |
常見的恆等式 > 积化和差与和差化积恆等式

數學家韋達在其三角學著作《應用於三角形的數學定律》給出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
| 积化和差 | 和差化积 |
| --- | --- |
 \sin \alpha \cos \beta ={\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \over 2}:  \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}
 \cos \alpha \sin \beta ={\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2}:  \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\alpha +\beta  \over 2}\sin {\alpha -\beta  \over 2}
 \cos \alpha \cos \beta ={\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \over 2}:  \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}
 \sin \alpha \sin \beta =-{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2}:  \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\alpha +\beta  \over 2}\sin {\alpha -\beta  \over 2}
常見的恆等式 > 平方差公式

\sin(x+y)\sin(x-y)=\sin ^{2}{x}-\sin ^{2}{y}=\cos ^{2}{y}-\cos ^{2}{x}\,
\cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{y}=\cos ^{2}{y}-\sin ^{2}{x}\,
(可藉由積化和差公式+2倍角公式推導而來)
常見的恆等式 > 其他恆等式 > 托勒密定理

（前三个等式是一般情况；第四个是本质。）
三角函數與雙曲函數的恆等式

利用三角恒等式的指數定義和雙曲函數的指數定義即可求出下列恆等式：
e^{ix}=\cos x+i\;\sin x,\;e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x
e^{x}=\cosh x+\sinh x\!,\;e^{-x}=\cosh x-\sinh x\!
所以
\cosh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x
\sinh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x
下表列出部分的三角函數與雙曲函數的恆等式：
| 三角函數 | 雙曲函數 |
| --- | --- |
 \sin \theta =-i\sinh {i\theta }\,:  \sinh {\theta }=i\sin {(-i\theta )}\,
 \cos {\theta }=\cosh {i\theta }\,:  \cosh {\theta }=\cos {(-i\theta )}\,
 \tan \theta =-i\tanh {i\theta }\,:  \tanh {\theta }=i\tan {(-i\theta )}\,
 \cot {\theta }=i\coth {i\theta }\,:  \coth \theta =-i\cot {(-i\theta )}\,
 \sec {\theta }=\operatorname {sech} {\,i\theta }\,:  \operatorname {sech} {\theta }=\sec {(-i\theta )}\,
 \csc {\theta }=i\;\operatorname {csch} {\,i\theta }\,:  \operatorname {csch} \theta =-i\csc {(-i\theta )}\,
其他恆等式：
线性组合

对于某些用途，知道同样周期但不同相位移动的正弦波的任何线性组合是有相同周期但不同相位移动的正弦波是重要的。在正弦和余弦波的线性组合的情况下，我们有
这里的
这个公式也叫辅助角公式或李善兰公式。更一般的说，对于任何相位移动，我们有
这里
而
反三角函数

条目：反三角函数
| --- | --- |
  \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}\,  \sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}  \cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}  :   \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}\,  \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}  \tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}
无限乘积公式

为了用于特殊函数，有下列三角函数無窮乘積公式：
| --- | --- |
  \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)  \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)  {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)  :   \cos x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)  \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)  |\sin x|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\tan \left(2^{n}x\right)\right|}}
微積分

正弦的微分
正弦（藍色）、正弦的微分（橘色），其中，正弦的微分正好是餘弦。
餘弦的微分
餘弦（藍色）、餘弦的微分（橘色），其中，餘弦的微分正好是正弦的對x軸的鏡射。
在微積分中，下面陳述的關係要求角用弧度來度量；如果用其他方式比如角度來這些關係會變得更加複雜。如果三角函數以幾何的方式來定義，它們的導數可以通過驗證兩個極限而找到。第一個是：
可以使用單位圓和夾擠定理來驗證。如果用洛必達法則來证明這個極限，那也就用這個極限證明了正弦的导数是餘弦，並因此在應用洛必達法則中使用正弦的導數是餘弦的事實，就是邏輯謬論中的循環論證了。第二個極限是：
使用恆等式 \tan {\frac {x}{2}}=1-{\frac {\cos x}{\sin x}}驗證。已經確立了這兩個極限，你可以使用導數的極限定義和加法定理來證明 \sin 'x=\cos x和 \cos 'x=-\sin x。如果正弦和餘弦函數用它們的泰勒級數來定義，則導數可以通過冪級數逐項微分得到。
結果的三角函數可以使用上述恆等式和微分規則來做微分。
在三角函數積分表中可以找到積分恆等式。
微積分 > 蘊涵

三角函數（正弦和餘弦）的微分是同樣兩個函數線性組合的事實在很多數學領域包括微分方程和傅立葉變換中是重要的基本原理。
指数定义

| 函数 | 反函数 |
| --- | --- |
 \sin \theta ={\frac {e^{{i}\theta }-e^{-{i}\theta }}{2{i}}}\,:  \arcsin x=-{i}\ln \left({i}x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,
 \cos \theta ={\frac {e^{{i}\theta }+e^{-{i}\theta }}{2}}\,:  \arccos x=-{i}\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,
 \tan \theta ={\frac {e^{{i}\theta }-e^{-{i}\theta }}{{i}(e^{{i}\theta }+e^{-{i}\theta })}}\,:  \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {{i}+x}{{i}-x}}\right)\,
 \csc \theta ={\frac {2{i}}{e^{{i}\theta }-e^{-{i}\theta }}}\,:  \operatorname {arccsc} x=-{i}\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,
 \sec \theta ={\frac {2}{e^{{i}\theta }+e^{-{i}\theta }}}\,:  \operatorname {arcsec} x=-{i}\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,
 \cot \theta ={\frac {{i}(e^{{i}\theta }+e^{-{i}\theta })}{e^{{i}\theta }-e^{-{i}\theta }}}\,:  \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {{i}-x}{{i}+x}}\right)\,

 \operatorname {cis} \,\theta =e^{{i}\theta }\,:  \operatorname {arccis} \,x=-{i}\ln x\,

 \sinh \theta ={\frac {e^{\theta }-e^{-\theta }}{2}}\,:  \operatorname {arcsinh} \,x=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}+1}}\right)\,
 \cosh \theta ={\frac {e^{\theta }+e^{-\theta }}{2}}\,:  \operatorname {arccosh} \,x=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)=\pm \ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,
 \tanh \theta ={\frac {\sinh \theta }{\cosh \theta }}={\frac {e^{\theta }-e^{-\theta }}{e^{\theta }+e^{-\theta }}}\,:  \operatorname {arctanh} \,x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\,
註釋

↑  由于欧拉公式的证明过程中使用了棣莫弗公式，而棣莫弗公式的证明过程中使用了和角公式，故使用欧拉公式证明和角公式会造成循环论证，故而此方法僅为檢定方法，而非严谨的证明方法。对于类似方法也应注意甄别。
參考文獻 > 引用

↑  Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147
1 2  苏学孟. . 中学数学教学. 1995, (6)  [2014-12-27]. （原始内容存档于2014-12-27）.
↑  Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90
↑  Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69
三角函數間的關係，可分成正函數和餘函數
正弦與餘弦的角和公式的圖形證明法。使用了相似三角形的性質與三角函數的定義，強調的線段是單位長度
正切的角和公式的圖形證明法。使用了相似三角形的性質與三角函數的定義，強調的線段是單位長度。
中国人民解放军海军第一职工中等专业学校

中国人民解放军海军第一职工中等专业学校，又名中国人民解放军海军安庆科技学校、安庆海天专修学院，位于安徽省安庆市宜秀区司空山路25号，隶属中国人民解放军海军装备部。
简介

1986年，在原海军四八一二工厂技工学校的基础上组建中国人民解放军海军第一职工中等专业学校，隶属中国人民解放军海军装备修理部。1989年，根据海军装备修理部关于海军职工学校调整的通知精神，该校转归海军四八一二工厂管理。2006年11月，根据中国人民解放军海军装备部装办〔2006〕400号《关于海军第一职工中等专业学校改变隶属关系事》通知精神，该校转隶海军装备部，成为海军装备部直属事业单位。
截至2008年，学校已为海军四八一二、四八一三、四三一〇、四八二〇、四八〇八、四八一〇、四三〇八、四三三〇、九〇二、四八〇六、四八〇七、四八〇二、四八〇四、四二一〇、四八一九、四三二八、四七二三、八〇二、四三〇六工厂等海军直属单位及海军各基地工厂输送4800多名中等专业技术人才，为军队系统的三四一九、九三〇六、三四〇五工厂、三二五医院、五九二六四、五九二八五、五九二八六部队培训了3600多名中等专业技术人才。
2016年，在深化国防和军队改革中，海军第一职工中等专业学校暂时移交海军第四八一二工厂代为管理，并实行机构精简、人员分流。
播川郡

播川郡，中国唐朝时设置的郡。
唐玄宗天宝元年（742年），改播州置播川郡。治所在遵义县（今贵州省遵义市红花岗区高桥镇）。下辖遵义县、带水县（今贵州省仁怀市坛厂镇）、芙蓉县（今贵州省遵义市播州区泗渡镇松坝站）。唐肃宗乾元元年（758年）复改为播州。
和守阳（开元年间）
皇甫惟明（746年）
拿破仑花园

拿破仑花园（意大利语：Giardini Napoleonici）是意大利威尼斯的一个公园，也是举办威尼斯双年展艺术节的主展区。花园位于主岛东部的城堡区，系拿破仑于19世纪初排干沼泽后开辟。
拿破仑花园有30个永久场馆，用作在威尼斯双年展期间的国家馆，展出不同国家的艺术品。其中有些展馆是由20世纪的顶级建筑师，例如卡洛·斯卡帕和阿尔瓦尔·阿尔托所设计。
拿破仑花园的入口是朱塞佩·加里波底雕像。
参考

La Biennale di Venezia Art Venues : Giardini
A brief history of I Giardini: Or a brief history of the Venice Biennale seen from the Giardini. (Vittoria Martini)
45°25′45″N 12°21′25″E﻿ / ﻿45.42917°N 12.35694°E﻿ / 45.42917; 12.35694
张议天

| 张议天> 男演员 |
| --- | --- |
国籍:  中华人民共和国
民族: 漢族
籍贯: 黑龙江省佳木斯市
出生:  (1986-02-08) 1986年2月8日（38歲）
职业: 歌手
语言: 漢語
教育程度: 黑龙江省艺术学院
张议天（1986年2月8日—）中國歌手，模仿达人。
生平

在2010年北京电视台春节晚会上模仿20位明星的声音演唱小沈阳的单曲《我只是个传说》而为观众熟知。2010年4月5日正式拜师赵本山，成为其门下的第52位弟子。
参考资料

↑  .   [2010-04-07]. （原始内容存档于2019-08-19）.
拉格比 (科羅拉多州)

| 拉格比 |
| --- | --- |
非建制地區

拉格比拉格比在科羅拉多州的位置
坐标：37°22′22″N 104°39′54″W﻿ / ﻿37.37278°N 104.66500°W﻿ / 37.37278; -104.66500
國家: 美国
州份: 科羅拉多州
縣: 拉斯阿尼馬斯縣
海拔: 1,974 公尺（6,476 英尺）
时区: 北美山区时区（UTC-7）
 • 夏时制: MDT（UTC-6）
電話區號: 719（英语：）
地名信息系统ID: 194440
拉格比（英語：）是位於美國科羅拉多州拉斯阿尼馬斯縣的一個非建制地區。該地的面積和人口皆未知。
地理

拉格比的座標為37°22′22″N 104°39′54″W﻿ / ﻿37.37278°N 104.66500°W﻿ / 37.37278; -104.66500，而該地的平均海拔高度為1974米（即6476英尺）。
參考文獻

1 2  . . United States Geological Survey.
仲鈞安

| Alfred George Jones 仲鈞安 |
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出生: (1846-07-23)1846年7月23日 New Ross, 爱尔兰
逝世: 1905年7月17日(1905歲—07—17)（58歲） 泰安府泰山
职业: 大英浸信会传教士
活跃时期: 28年
知名于: 传教士、赈灾慈善家、教育家
配偶: Minnie Crawford
仲钧安（英語：，1846年7月23日—1905年7月17日），爱尔兰浸礼会传教士。
仲钧安在家乡爱尔兰新罗斯镇有自己的生意，但为了去中国传教，把生意交给了一个经理人。1874年至1876年，他在兰开夏尔独立学院（Lancashire Independent College）就读，1876年抵达山东烟台。次年，他到青州协助李提摩太为1876-1879年中国北方大饥荒灾民的持续赈灾记账。除1889年至1896年期间在邹平居住外，他继续在青州居住。他在泰山上的一座庙宇里就寝时，建筑因暴风雨倒塌，仲钧安遇难。
排吾乡

| 排吾乡 |
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乡
坐标：28°22′47″N 109°24′42″E﻿ / ﻿28.37959°N 109.41158°E﻿ / 28.37959; 109.41158
国家:  中华人民共和国
上级行政区: 花垣县
村级区划单位数:  11 0社区 11行政村 
时区: 北京时间（UTC+8）
行政区划代码: 43 31 24 210
电话区号: +86 
排吾乡，是中华人民共和国湖南省湘西土家族苗族自治州花垣县下辖的一个乡镇级行政单位。
行政区划

排吾乡下辖以下地区：
董马村、​牛皮村、​大排吾村、​小排吾村、​夯采村、​子腊村、​竹子寨村、​龙门村、​大猫村、​磨子村和辽求村。
参考资料

↑  . 中华人民共和国国家统计局. 2023-06-30 （中文（中国大陆））.
↑  . 中华人民共和国国家统计局. 2023-06-30 （中文（中国大陆））.
企鹅唱片指南

《企鹅唱片指南》（英語：），原「企鹅激光唱片指南」（英語：）是由英国企鹅出版公司出版的广受欢迎的年度古典音乐唱片评价书籍。它是由伊万·马奇（英语：）、爱德华·格林菲尔德（英语：）、罗伯特·莱顿（英语：）三人编写而成。
指南主要評選歐、美的唱片品牌，包括Conifer、Decca、EMI，法國的Harmonia Mundi，東歐的Supraphon、Hungaroton，以及英國本地的Chandos、Hyperion等等。
企鹅唱片指南以星号作为分级标准，1至3颗星分别代表唱片演奏不错（Fair）、优秀（Good）、极佳（Outstanding）三个等级。特别出色的唱片在三颗星之外还会冠上一朵花，即「三星带花」。
作者

伊万·马奇（英语：）：音樂家，後轉職記者
爱德华·格林菲尔德（英语：）：《衛報》樂評
罗伯特·莱顿（英语：）：作家
評選標準

誠如前述，此份指南以三等星級對各錄音提出判准，同時也附上基本的情報，例如該唱片的市場定位與價位（中價位以及以下）等等。
關於其三等星級，作者群提出詳細的說明：
三星：演奏、錄製等各方面盡皆傑出的表現
二星：以當今的標準而言，堪稱優秀
一星：持平且可接受
以上的判準是基於唱片的整體表現而做出的評估，如果該張唱片收有一首以上的主要曲目，或者由不同的作曲家所著，像這樣的情況便會被提出，並特別予以評比。
至於所謂的「帶花」（Rosette，由一花環🏵表示），表示該錄音有其不可忽略的特色，使之冠於其於同類型的作品。此一標準獨立於前述的三等評比，更多地代表作者群的個人意見，但經常也能相當程度地反映大眾審美。
註釋

↑  依成書年代與市場狀況，「中價位」唱片的價格訂於英鎊2.75元至4.50元區間，此外也有更低價的選擇。
參考資料

↑  Greenfield, Edward; Layton, Robert; March, Ivan. . Harmondsworth: Penguin Books Ltd. 1984: xv. ... shows special illumination, a magic, or spiritual quality that places it in a very special class.
參見

古典音乐主题
拉索马尼亚斯

| 拉索马尼亚斯 Las Omañas |
| --- | --- |
市镇
拉索马尼亚斯在西班牙的位置
坐标：42°40′59″N 5°52′10″W﻿ / ﻿42.683055555556°N 5.8694444444444°W﻿ / 42.683055555556; -5.8694444444444
国家: 西班牙
自治区: 卡斯蒂利亚-莱昂
省: 莱昂省
面积
 • 总计: 33 平方公里（13 平方英里）
人口（2001）
 • 總計: 420人
 • 密度: 12.7人/平方公里（33人/平方英里）
时区: CET（UTC+1）
 • 夏时制: CEST（UTC+2）
拉索马尼亚斯（西班牙语：），是西班牙卡斯蒂利亚-莱昂莱昂省的一个市镇。 总面积33平方公里，总人口420人（001年），人口密度13人/平方公里。
捷克斯洛伐克广播电台之战

捷克斯洛伐克广播电台之战是1968年華約入侵捷克斯洛伐克期间，捷克斯洛伐克平民为阻止捷克斯洛伐克廣播電台落入蘇聯陸軍手中而与蘇聯陸軍发生的冲突。苏军试图冲入电台大楼时，守卫者们投掷石块（英语：），还用鹤嘴锄砸漏了坦克的外置柴油油箱，接着点燃了漏出来的燃料，摧毁了几辆坦克。最終有17名平民被苏军杀害。这起事件后来成为了布拉格市民在国家遭到入侵期间抵抗华沙条约组织军队的标志性事件。
于讷河畔圣莫里斯

| 于讷河畔圣莫里斯 Saint-Maurice-sur-Huisne |
| --- | --- |
 法國旧市镇 (今属于于讷河畔库尔莫日)

于讷河畔圣莫里斯的位置  
于讷河畔圣莫里斯显示法国的地图于讷河畔圣莫里斯显示奥恩省的地图
坐标：48°26′31″N 0°41′57″E﻿ / ﻿48.4419°N 0.6992°E﻿ / 48.4419; 0.6992
国家:  法國
大区:  
省:  奥恩省
市镇: 于讷河畔库尔莫日
面积1
 • 总计: 4.42 平方公里（1.71 平方英里）
人口（2013年）
 • 总计: 71人
 • 密度: 16.1人/平方公里（41.6人/平方英里）
时区: CET（UTC+01:00）
 • 夏时制: CEST（UTC+02:00）
邮政编码: 61110
INSEE: 61430 
省级选区: 布勒通塞勒县（英语：）
海拔: 127—233（417—764英尺） （平均：180米）
1法國統計部門在計算土地面積時，不計算面積大於1平方公里的湖泊、池塘、冰川和河口。 2「人口不重複計算」：擁有多重居住地的居民（如：學生和軍人）僅計算一次。
于讷河畔圣莫里斯（法語：，法语发音：[sɛ̃ moʁis syʁ ɥin] （File:Fr-Paris--Saint-Maurice-sur-Huisne.ogg））是法国奥恩省的一个旧市镇，位于该省东南部，属于莫尔塔涅欧佩什区。2016年1月1日，于讷河畔圣莫里斯和相邻的另外3个市镇合并为新市镇于讷河畔库尔莫日（）。
地理

于讷河畔圣莫里斯（48°26'31"N, 0°41'57"E）面积4.42 平方千米，位于法国诺曼底大区奧恩省，该省份为法国西北部内陆省份，北起顺时针与卡爾瓦多斯省、厄尔省、厄尔-卢瓦省、萨尔特省、马耶讷省和芒什省接壤。
与于讷河畔圣莫里斯接壤的市镇（或旧市镇、城区）包括：于讷河畔贝卢、科洛纳尔-科吕贝尔、库尔瑟罗、迈松莫日。
于讷河畔圣莫里斯的时区为UTC+01:00、UTC+02:00（夏令时）。
行政

于讷河畔圣莫里斯的邮政编码为61110，INSEE市镇编码为61430。
政治

于讷河畔圣莫里斯所属的省级选区为布勒通塞勒县（英语：）。
人口

于讷河畔圣莫里斯于2013时的人口数量为71人。
于讷河畔圣莫里斯的OSM定位图
1962-2008年间于讷河畔圣莫里斯人口变化图示