凱萊表
構造凱萊表 > 填充單位元構架

一旦特定的單位元構架確定，就有可能開始填充出凱萊表。例如，選取上述第二種類型的 6 階群的單位元構架:
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e |  |  |  |  |  |
| a |  | e |  |  |  |  |
| b |  |  | e |  |  |  |
| c |  |  |  | e |  |  |
| d |  |  |  |  |  | e |
| f |  |  |  |  | e |  |
明顯的，e 行與 e 列可以立即填充。完成后，可能需要(在這里是必須的)做一個假定，它可能在后來導致一個矛盾，簡單的意味著最初的假定是錯的。我們假定 ab = c。那么:
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | c |  |  |  |
| b | b |  | e |  |  |  |
| c | c |  |  | e |  |  |
| d | d |  |  |  |  | e |
| f | f |  |  |  | e |  |
左乘 a 於 ab = c 得到 b = ac。再右乘 c 得到 bc = a。右乘 b 於 ab = c 得到 a = cb。左乘 b 於 bc = a 得到 c = ba，再右乘 a 得到 ca = b。在填充這些乘積入表格之后，我們發現 ad 和 af 在 a 行中仍未觸及；因為我們知道群的每個元素必須在每行中精確的出現一次，只有 d 和 f 還未處理，我們知道 ad 必須等于 d 或 f；但是它不能等于 d，因為如果這樣將蘊含 a 等于 e，而它們是不同的。因此我們有了 ad = f 和 af = d。
進一步的，因為 d 的逆元是 f，右乘 f 於 ad = f 得出 a = f2。再左乘 d 得出 da = f。再右乘 a 得出 d = fa。
填充入所有這些乘積，凱萊表變為:
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | c | b | f | d |
| b | b | c | e | a |  |  |
| c | c | b | a | e |  |  |
| d | d | f |  |  |  | e |
| f | f | d |  |  | e | a |
由于每行都必須出現群的所有元素精確的一次，容易看出在 b 行的兩個空位必須被 d 或 f 占據。但是，如果你檢查包含這兩個空位的列，也就是 d 和 f 列，就會法相 d 和 f 已經在二者中被填充過了，這意味著無論如何 d 和 f 都不能放入行 b 中，它們總是違反置換規則。由于我們的代數演繹直到此時都是可靠的，我們只能得出早先基礎假定 ab = c 事實上是錯誤的的結論。本質上，我們猜測并猜測錯了。但我們知道了: ab ≠ c。
唯一剩下的兩種可能性是 ab = d 或 ab = f；我們期望這兩個猜測有相同結果，即不別同構之異時，因為 d 和 f 是互逆的，表示它們的字母固然的可以互換。所以不失去一般性的假定 ab = d。如果我們再次導致一個矛盾，那么我們就要假定沒有 6 階群有這種單位元構架了，因為我們窮盡了所有可能性。
下面是它的凱萊表:
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d |  |  |  |
| b | b |  | e |  |  |  |
| c | c |  |  | e |  |  |
| d | d |  |  |  |  | e |
| f | f |  |  |  | e |  |
左乘 a 於 ab = d 得到 b = ad。右乘 f 得 bf = a，左乘 b 得到 f = ba。右乘 a 得到 fa = b，左乘 d 得到 a = db。把這些乘積填入凱萊表中(新增加的為紅色):
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d |  | b |  |
| b | b | f | e |  |  | a |
| c | c |  |  | e |  |  |
| d | d |  | a |  |  | e |
| f | f | b |  |  | e |  |
因為 a 行缺少 c 和 f 并且因為 af 不能等于 f(否則 a 就會等于 e，而它們是不同的)，我們可以得出 af = c。左乘 a 得出 f = ac，右乘 c 得出 fc = a。左乘 d 得出 c = da，右乘 a 得出 ca = d。類似的，右乘 d 於 af = c 得到 a = cd。更新表格，新加入的使用藍色:
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | f | e |  |  | a |
| c | c | d |  | e | a |  |
| d | d | c | a |  |  | e |
| f | f | b |  | a | e |  |
因為 b 行缺少 c 和 d，并且因為 bc 不能等于 c，得出 bc = d，因此 bd 必須等于 c。右乘 f 得出 b = cf，左乘 c 得到 cb = f。通過類似的方式還可得出 c = fb 和 dc = b。填充入表格(最新增的使用綠色):
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | f | e | d | c | a |
| c | c | d | f | e | a | b |
| d | d | c | a | b |  | e |
| f | f | b | c | a | e |  |
因為 d 行只缺少 f，我們得知 d2 = f，因此 f2 = d。我們已經設法填充了整個表格而沒有得到任何矛盾，我們已經發現了一個 6 階群: 檢查顯示它是非阿貝爾群。這個群事實上是最小的非阿貝爾群，二面體群 D3:
| * | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | f | e | d | c | a |
| c | c | d | f | e | a | b |
| d | d | c | a | b | f | e |
| f | f | b | c | a | e | d |