stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
林正峰 (香港)
參考來源

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外部連結

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胡厝寮

胡厝寮（臺灣話：），原寫為胡厝藔，是臺灣臺南市善化區的一個傳統地域名稱，位於該區西部略偏南。相較於今日行政區，其範圍大致包括胡厝里不含北部凸出部分的西北側、胡家里南部、南關里西部邊界地帶北段，與麻豆區的安業里南端、謝厝寮里東南，以及安定區的蘇林里北端及東部邊界地帶南側一小段。
本地區境內主要聚落為胡厝藔、崁頭、百二甲、西衛，設有陽明國小。
歷史

台灣日治初期，胡厝寮地區為一街庄，稱為「胡厝藔庄」（舊制街庄），隸屬於安定里東堡。該庄昔日西北及北隔曾文溪與謝厝藔庄、安業庄、磚仔井庄、溝仔墘庄為界，東北一小段及東邉北至中段與曾文庄為鄰，東邊南段及南邊一小段與灣裡街為鄰，西南邊為蘇厝庄。
1901年（日治明治三十四年）11月11日，全台廢縣廳改設二十廳，該庄隸屬於臺南廳。1904年（明治三十七年）3月31日，該庄編入「安定里東區」，隸屬於臺南廳。1909年（明治四十二年）10月25日，全台合併二十廳為十二廳，安定里東區仍隸屬於臺南廳。1920年（大正九年）10月1日，全台地方制度大改正，廢十二廳改設五州二廳，該庄改制並雅化為「胡厝寮」大字，隸屬於臺南州新化郡安定庄（新制街庄）。
戰後安定庄改制為安定鄉，隸屬於臺南縣，大字亦改制為村。1948年（民國三十七年），胡厝寮地區改劃歸同縣善化鎮，村亦改制為里。1950年（民國39年）10月25日，雲、嘉、南分治，善化鎮仍隸屬於臺南縣。
2010年（民國九十九年）12月25日，臺南縣、市合併為直轄臺南市，善化鎮改制為善化區。
聚落

本地區發展較早的聚落為胡厝藔、崁頭、百二甲、西衛、九間厝（已消失），在日治初期的官方地圖上已有記載。
信仰

本聚落內信仰中心:
胡厝寮:胡厝寮代天府
崁頭:崁頭普安宮
百二甲:百二甲天甲殿
西衛:西衛開元宮
交通

市道178號是安南區中崙（實際起點長安）至大內區大匏崙的道路，經過本地區中南部。由該道路西行（大方向）可前往安定區安定市區、安南區東北部，並止於省道台17甲線路口；東行可前往善化區、山上區西北端、大內區，並止於省道台84線（東西向快速公路－北門玉井線）二溪交流道西北側。
區道南122線是蘇厝至東勢寮的道路，經過本地區西衛、崁頭、胡厝藔三個聚落。
區道南128線是胡厝寮至善化的道路，其西側端點（起點）位於本地區東北部胡厝藔聚落的區道南122線路口。
區道南128-1線是白二甲至烏橋的道路，全線位於本地區境內，其北側端點（起點）位於本地區東部邊界地帶北側的區道南128線路口，南側端點位於本地區中部偏東南的市道178號路口，中途會經過百二甲聚落。
學校

陽明國小
名人

胡龍寶：政治人物，第三四屆民選臺南縣長。
胡炳三：醫師,神靖丸事件生還者,戰後在千葉縣勝浦市行醫
胡婉玲：媒體界著名主播
侯水盛：政治人物，曾代表民主進步黨出任第五，六屆立法委員
胡民祥：台語文學運動的重要推手和作家，推動「用台語寫出台語文學的典範」
胡忠一：行政院農業部政務次長
胡忠信：政治媒體界，政治評論家
胡木源：曾任前國安局副局長，前台中市警察局長
胡歐蘭：淡江大學著名教授
胡富文：陶喜建設有限公司董事長
參考文獻

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↑  . 明治三十七年臺灣總督府公文類纂. 1904-03-31: 0018–0020.
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↑  台灣總督府、台灣日日新報社合編 (编). . 成文出版社. 1921年.
↑  張勝柏等 (编). . 臺南縣安定鄉公所. 2010-12: 118. ISBN 978-986-02-6081-6.
↑  王世慶. . 臺灣省文獻委員會. 1991-06-30.
↑  . 臺灣百年歷史地圖. 中央研究院人文社會科學研究中心地理資訊科學研究專題中心. （原始内容存档于2019-06-30）.
|  论 编昔日新化郡（1920年-1945年） |
| --- | --- |
新化街: 新化 · 𦰡拔林 · 礁坑子 · 大坑尾 · 知母義 · 竹子腳 · 洋子 · 唪口 · 北勢 · 崙子頂 · 頂山腳
善化街: 善化 · 曾文 · 六分寮 · 東勢寮 · 北子店 · 茄拔 · 小新營 · 坐駕
新市庄: 新市 · 新店 · 社內 · 番子寮 · 三舍 · 道爺 · 看西 · 橋頭 · 大洲 · 港子墘 · 大營
安定庄: 安定 · 胡厝寮 · 蘇厝 · 港子尾 · 港口 · 六塊寮 · 管寮 · 海寮 · 新吉
山上庄: 山上 · 大社 · 北勢洲 · 牛稠埔 · 潭頂
玉井庄: 玉井 · 鹿陶 · 竹圍 · 沙子田 · 三埔 · 芒子芒 · 九層林 · 口宵里
楠西庄: 密枝 · 楠西 · 灣丘 · 鹿陶洋 · 龜丹 · 𦬬萊宅
南化庄: 南化 · 中坑 · 菁埔寮 · 西阿里關 · 西大邱園 · 竹頭崎 · 北寮
左鎮庄: 左鎮 · 石子崎 · 菜寮 · 內庄子 · 山豹 · 岡子林 · 草山
馬里昂高地 (印第安納州)

| 馬里昂高地 Marion Heights |
| --- | --- |
非建制地區
馬里昂高地馬里昂高地在印地安納州的位置
坐标： 39°29′41″N 87°26′45″W﻿ / ﻿39.49472°N 87.44583°W﻿ / 39.49472; -87.44583
國家: 美国
州份: 印地安納州
縣: 維哥縣
海拔: 151 公尺（495 英尺）
时区: 北美东部时区（UTC-5）
 • 夏时制: EDT（UTC-4）
郵區編號: 47885
電話區號: 765
GNIS ID: 438617
馬里昂高地（英語：）是位於美國印地安納州維哥縣的一個非建制地區。該地的面積和人口皆未知。
地理

馬里昂高地所處的海拔為高於海平面151米（即495英呎），而該地所採用的時區為UTC-5，即北美東部時區（EST）。同時該地設有夏令時間，為UTC-5調快一小時，即UTC-4（EDT）。
參考文獻

↑  . . United States Geological Survey.
|  论 编维戈縣行政區劃 |
| --- | --- | --- |
：特雷霍特
| 都市 |  特雷霍特  |  |
| 市鎮 |  里利  西利維爾  西特雷霍特  |  |
| 行政鎮區 |  費耶爾  哈里森  哈尼克里克  林頓  洛斯特克里克  內文斯  奧特克里克  皮爾遜  普雷里克里克  普雷里頓  赖利  舒格克里克  |  |
| 人口普查指定地區 |  德雷瑟  方塔內特  新戈申  北特雷霍特  聖瑪麗伍茲  謝潑茲維爾  特庫姆塞  托德霍普  |  |
| 非建制地區 |  艾倫代爾  阿瑟頓  巴恩哈特市  布萊克霍克  布朗賈格角  伯內特  切里瓦爾‡  科爾布拉夫  科布  德明伍茲  杜威  杜安亞茲  東格倫  厄曼代爾  費古森山  格倫艾爾  戈斯佩爾格羅夫  格蘭奇角  哈里森  希科里島‡  哈頓  凱勒  拉里默山  劉易斯‡  利柏提維爾‡  利格特  馬里昂高地  馬克爾斯  奧特克里克章克森  帕克維尤  皮門托  派恩里奇  普雷里克里克  普雷里頓  普雷斯頓  桑德卡特  桑德福德  舍基維爾  紹斯伍德  斯佩爾特維爾  斯普林希爾  州界  斯沃爾斯  塔伯敦  泰勒維爾  特雷市  十二點  维戈  西新戈申  懷特康姆高地  伍德蓋特  揚斯敦  |  |
| 備註 |  ‡該聚居地有部分隸屬其他縣份  |  |
黎曼ζ函數

複平面中一矩形區域之黎曼ζ函數 \zeta (z)；此圖用Matplotlib程式繪圖產生，使用到定義域著色方法。
黎曼泽塔函數 ，写作ζ(s) 的定義如下：
設一複數 s 使得 Re(s) > 1，則定義：
它亦可以用积分定义：
在区域 {s : Re(s) > 1} 上，此无穷级数收敛并为一全纯函数。欧拉在1740年考虑过 s 为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到 s > 1。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析延拓，把定義域扩展到幾乎整個复数域上的全纯函数 ζ(s)。这也是黎曼猜想所研究的函数。
虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学（参看齊夫定律和齊夫-曼德爾布羅特定律（英语：））、物理，以及调音的数学理论中。
历史 > 奥里斯姆

ζ函数最早出现于1350年左右，尼克尔·奥里斯姆发现了调和级数发散，即：
 \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...\to \infty
历史 > 欧拉

之后的一次进展来自莱昂哈德·欧拉，他给出了调和级数呈对数发散。
除此之外，他还在1735年给出了巴塞尔问题的解答，得到
 \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}
的结果。欧拉最初的证明可以在巴塞尔问题#欧拉的錯誤證明中看到，然而那是他的第一个证明，因而广为人知。
事实上，那个证明虽有不严谨之处，但是欧拉仍然有自己的严格证明。
欧拉在1737年还发现了欧拉乘积公式：
 \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}(1-{\frac {1}{p^{s}}})^{-1}
这是ζ函数与素数的联系的朦胧征兆，其证明可以在证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中看到。
通过这条公式，容易证明当   {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)>1\end{smallmatrix}}  时， {\begin{smallmatrix}\zeta (s)>0\end{smallmatrix}}
条目：1 + 2 + 3 + 4 + …
1749年，欧拉通过大胆的计算發現了(以下公式當中存在定義域謬誤，後由黎曼透過解析延拓証明以下公式只適用於 Re(s) > 1)
 \zeta (-1)=1+2+3+4+5+...=-{\frac {1}{12}}
 \zeta (-2)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+...=0
 \zeta (-3)=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+...={\frac {1}{120}}
发现ζ(s)与ζ(1-s)之间存在某些关系。
历史 > 黎曼

将欧拉所做的一切牢牢地置于坚石之上的是黎曼，他在1859年的论文论小于给定数值的素数个数（英语：）以及未发表的手稿中做出了多项进展：
第一积分表示：     \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x
完备化的ζ，即黎曼ξ函数：     \xi (s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)  ，满足函数方程   \xi (s)=\xi (1-s)
第二积分表示：     \varphi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-\pi n^{2}x}  ，则   \xi (s)=\int _{0}^{\infty }\varphi (x)x^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} x
黎曼 - 冯·曼戈尔特公式（英语：）：以 {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量，则   N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+\mathrm {O} (\log T)
黎曼猜想：ζ函数的所有非平凡零点的实部非常有可能均为 {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}
第三积分表示：     \zeta (s)={\frac {1}{2\pi i}}\Gamma (1-s)\oint _{\gamma }{\frac {{z^{s-1}}{e^{z}}}{1-{e^{z}}}}\,\mathrm {d} z  ，其中围道γ逆时针环绕负实轴
黎曼-西格尔公式：给出计算ξ函数的数值的方法
零点的计算：计算了虚部介于0与100的所有零点的数值
素数的分布公式：引入黎曼素数计数函数，给出了它与ζ函数的关系
历史 > 阿达马与普森

1896年，雅克·阿达马与普森几乎同时地证明了 {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}的所有非平凡零点的实部均小于1，即 {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)=1\end{smallmatrix}}上无非平凡零点，从而完成了素数定理的证明。
历史 > 希尔伯特

1900年，希尔伯特在巴黎的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23道最重要的数学问题，黎曼假设在其中作为第8题出现。
之后，希尔伯特提出了希尔伯特－波利亚猜想，具体时间及场合未知。
历史 > 玻尔与兰道

1914年，哈那德·玻爾和愛德蒙·蘭道证明了玻爾-蘭道定理：含有临界线的任意带状区域都几乎包含了ζ的所有非平凡零点，表明了临界线为零点汇聚的“中心位置”。
历史 > 哈代与李特尔伍德

1921年，哈代和李特尔伍德证明了存在常数T，使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为 {\begin{smallmatrix}KT\end{smallmatrix}}。
历史 > 塞尔伯格

1942年，阿特勒·塞尔伯格更进一步，证明了存在常数T，使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为 {\begin{smallmatrix}KT\log T\end{smallmatrix}}，这意味着ζ函数在临界线上的非平凡零点在所有零点中占有一个正密度，而临界线 {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)={\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}对于临界带 {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {Re} (s)<1\end{smallmatrix}}的测度为0。
解析延拓

ζ函数原本定义在右半平面 {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} s>1\end{smallmatrix}}上，并且在此区域内为全纯函数
解析延拓后在全局具有积分表达式
满足函数方程
特别地，如果考虑正规化的ζ，即黎曼ξ函数
那么它满足函数方程
和数论函数的关系

黎曼ζ函数可看做是具有如下形式的级数的一个特例：
这种类型的级数被称作狄利克雷级数。当f为狄利克雷特征时，又称作狄利克雷L函数，也有与黎曼猜想相应的广义黎曼猜想
为了方便对数论函数作讨论，此处引入狄利克雷卷积  {\begin{smallmatrix}f*g\end{smallmatrix}}：
 (f*g)(n)=\sum _{{\text{pq}}=n}f(p)g(q)
设   \operatorname {F} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}  ，   \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}
于是显然   \operatorname {F} (s)\operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}
于是，如果数论函数 {\begin{smallmatrix}h=1*g\end{smallmatrix}}，亦即     h(n)=\sum _{d\|n}g(d)    (此时， {\begin{smallmatrix}h(n)\end{smallmatrix}}与 {\begin{smallmatrix}g(d)\end{smallmatrix}}可通过默比乌斯反演公式相互转换)
那么   \operatorname {H} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}
通常两侧的求和有一个是相对简单的函数，或是和 {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}直接相关的函数
如果对 {\begin{smallmatrix}g(n)\end{smallmatrix}}的求和较简单，可以将 {\begin{smallmatrix}h(n)\end{smallmatrix}}与 {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}相联系，反之可以将 {\begin{smallmatrix}g(n)\end{smallmatrix}}与 {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}相联系
即   \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}={\frac {\operatorname {H} (s)}{\zeta (s)}} ，
如下表所示：
| 目标函数名 | g(n) | h(n) | G(s)或H(s) | g(n)或h(n)与ζ函数的联系 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 莫比乌斯函数 |  \mu (n)=\mu (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{k}^{a_{k}})={\begin{cases}(-1)^{k}&a_{1}=a_{2}=...=a_{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}} |  \left\lfloor {\frac {1}{n}}\right\rfloor  |  \operatorname {H} (s)=1 |  \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}} |
| 欧拉函数 |  \varphi (n)=\operatorname {Card} \{k\,\,|k<n,\,(k,n)=1\}\quad  |  n |  \operatorname {H} (s)=\zeta (s-1) |  \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}} |
| 除数函数 |  n^{\alpha } |  \sigma _{\alpha }(n)=\sum _{d|n}d^{\alpha } |  \operatorname {G} (s)=\zeta (s-\alpha ) |  \operatorname {H} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{\alpha }(n)}{n^{s}}}=\zeta (s-\alpha )\zeta (s) |
| 刘维尔函数 |  \mu (n)=\mu (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{k}^{a_{k}})=a_{1}+a_{2}+...+a_{k} |  {\begin{cases}1&n=m^{2}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}} |  \operatorname {H} (s)=\zeta (2s) |  \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}} |
| 冯·曼戈尔特函数 |  \Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}} |  \log n |  \operatorname {H} (s)=\zeta '(s) |  \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}} |
佩龙公式

ζ函数与数论函数存在的联系可以通过佩龙公式转化为它和数论函数的求和的关系：设
则由佩龙公式，
其中右上角的'表示如果x是整数，那么求和的最后一项要乘以 {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}。
这样做的其中一个结果就是ζ函数和素数分布的关系。
和素数的关系 > 欧拉乘积

条目：證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式
此函数和素数的关系已由欧拉所揭示：
这是一个延展到所有的质数p的无穷乘积，被称为欧拉乘积。这是几何级数的公式和算术基本定理的一个结果。
如果对上式取对数，则可得到
和素数的关系 > 更进一步的联系 > 黎曼阶梯素数计数函数

可以使用黎曼素数计数函数 {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}建立 {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}与素数分布的进一步联系，这也是黎曼在他的论文论小于给定数值的素数个数（英语：）中使用的函数，定义如下：
其中 \kappa (n)={\begin{cases}{\frac {1}{k}}&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}
那么可以建立 {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}与 {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}的零点ρ的联系，称为黎曼显式公式（英语：）
而 {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}与 {\begin{smallmatrix}\pi (x)\end{smallmatrix}}的联系可以通过莫比乌斯反演公式完成。
 \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {J} (x)=\operatorname {J} (x)+\mathrm {O} ({\sqrt {x}}\log \log x)
然而 {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}的表达式过于复杂，如下的切比雪夫函数更为常用。
和素数的关系 > 更进一步的联系 > 切比雪夫函数

第一切比雪夫函数 {\begin{smallmatrix}\vartheta (x)\end{smallmatrix}}定义为
而更常用的第二切比雪夫函数 {\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}定义为
其中，如前文定义的   \Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}
第二切比雪夫函数与第一切比雪夫函数的关系，可看做“等同于”黎曼素数计数函数与素数计数函数的关系。
第二切比雪夫函数 {\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}与 {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}的零点ρ有如下的联系
而 {\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}与 {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}的联系可以通过阿贝尔求和公式：
其中κ如前文所定义，则由阿贝尔求和公式
零点

解析延拓之后的ζ函数具有零点，他们分别是分布有序的平凡零点（所有负偶数），以及临界带 {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {Re} s<1\end{smallmatrix}}内的非平凡零点。
以 {\begin{smallmatrix}\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量，则 {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}遵循黎曼 - 冯·曼戈尔特公式（英语：）： N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+\mathrm {O} (\log T)。
函数值

ζ函数满足如下函数方程：
对于所有C\{0,1}中的s成立。这裡，Γ表示Γ函数。这个公式原来用来构造解析连续性。在s = 1，ζ函数有一个简单极点其留数为1。上述方程中有sin函數， \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)的零點為偶數s = 2n，這些位置是可能的零點，但s為正偶數時， \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)為不為零的規則函數（英语：），只有s為負偶數時，ζ函数才有零點，稱為平凡零點。
函数值 > 当s为正整数

欧拉计算出ζ（2k），对于偶整数2k，使用公式
其中B2k是伯努利数。从这个，我们可以看到ζ(2) = π2/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945等等。（OEIS中的序列A046988（页面存档备份，存于）/A002432（页面存档备份，存于））。这些给出了著名的π的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。
 s\,为正偶数时的函数值公式已经由欧拉计算出。但当 s\,为正奇数时，尚未找到封闭式。
函数值 > s趨近於1

其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數= 0.577215...
函数值 > 负整数

同样由欧拉发现，ζ函数在负整数点的值是有理数，这在模形式中发挥着重要作用，而且ζ函数在负偶整数点的值為零。
事實上
Bn是白努利數。
因為 B2n+1 =0，故ζ函数在负偶整数点的值為零。
函数值 > 临界线上的数值计算

临界线上的数值计算可以通过黎曼-西格尔公式完成。
与之相关的，林德勒夫猜想：对于任意给定的實数 {\begin{smallmatrix}\epsilon >0\end{smallmatrix}}，
相關條目

黎曼猜想
狄利克雷级数
狄利克雷卷积
黎曼ξ函數
參考資料

↑  .   [2015-01-17]. （原始内容存档于2015-03-20）.
↑  Devlin, Keith. . New York: Barnes & Noble. 2002: 43–47. ISBN 978-0760786598.
↑   Tom M.Apostol. . 北京: 世界图书出版公司北京公司. 2012年1月: 55 – 56. ISBN 978-7-5100-4062-7 （英语）. Theorem 3.2 If  x ≥ 1  we have :  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
↑  御坂01034. .   [2015-01-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.
↑   加藤和也  黑川信重  斎藤毅. . 北京: 高等教育出版社. 2009年6月: 197–199. ISBN 978-7-04-026360-2 （中文）. 短暂的沉默被打破了...  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
↑   加藤和也  黑川信重  斎藤毅. . 北京: 高等教育出版社. 2009年6月: 209–210. ISBN 978-7-04-026360-2 （中文）. Riamann对ζ研究的全部内容...  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
↑  C. S. Ogilvy & J. T. Anderson Excursions in Number Theory, pp. 29–35, Dover Publications Inc., 1988 ISBN 978-0-486-25778-5
|  论 编數論中的L函數 |
| --- | --- |
解析例子:  黎曼ζ函數  狄利克雷L函數  赫克特徵的L函數（英语：）  自守L函數（英语：）  塞爾伯格類（英语：） 
代數例子:  戴德金ζ函數（英语：）  阿廷L函數（英语：）  哈斯-韋伊L函數（英语：）  動形L函數（英语：） 
定理:  類數公式  黎曼-馮·曼戈爾特公式（英语：）  韋伊猜想（英语：） 
解析猜想:  黎曼猜想  广义黎曼猜想  林德勒夫猜想  拉馬努金-皮特森猜想（英语：）  阿廷L函數猜想（英语：） 
代數猜想:  贝赫和斯维讷通-戴尔猜想  L函數的特殊值（英语：）  朗蘭茲猜想 
p進L函數（英语：）:  岩澤理論的主猜想（英语：）  塞爾瑪群（英语：）  歐拉系統（英语：） 
|   |
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国际:  FAST 
各地:  西班牙  法国  BnF data  德国  日本 
其他:  IdRef 
第n个调和数（蓝点）与Log(n)+γ(红线)的图像
波恩哈德·黎曼对ζ解析延拓，用于素数的分布理论
第三积分表示的围道γ
ζ(1+it)的图像，蓝色为实部，黄色为虚部
虚部介于0与T的零点数量（蓝点）与黎曼-冯·曼格尔特公式（红线）的图像
对ζ函数解析延拓时使用的围道
黎曼素数计数函数（蓝色）J(x)与对数积分（金色）Li(x)的图像，x<300
黎曼素数计数函数（蓝点）J(x)与对数积分（红线）Li(x)的图像，x<1 000 000
第二切比雪夫函数（蓝线）ψ(x)与y=x（金线）的图像,x<300
第二切比雪夫函数（蓝点）ψ(x)与y=x（红线）的图像,x<1 000 000
黎曼函数在s > 1的情况
PTC (軟體公司)

| PTC (Parametric Technology Corporation) |
| --- | --- |

公司類型: 上市公司
股票代號: NASDAQ：PTC
ISIN: US69370C1009
成立: 1985年5月
代表人物: Donald K. Grierson (董事長) James E. Heppelmann (總裁暨執行長)
總部:  美国马萨诸塞州尼德姆
产业: CAD/CAM/CAE/ PLM Software/ ALM/ SLM/ IOT
產品: PTC Creo, PTC Windchill, PTC Mathcad, PTC Integrity, PTC Servigistics, PTC Arbortext, ThingWorx
營業額: ▼ $1.3 billion USD (2015)
: ▼ $41.6 million USD (2015)
: ▼ $48 million USD (2015)
員工人數: 5,982 (2015)
网站: www.ptc.com
PTC（NASDAQ: PTC）是一家電腦軟體及服務公司，創立於1985年，總部設立於美國麻州波士頓市郊，於1988年率先開發參數固態電腦輔助設計模型軟體（CAD）並在1998年推出有關產品生命週期管理（PLM）Internet-based產品。PTC為合作夥伴及開發人員打造產品、服務及物聯網（IoT）與擴增實境（AR）平台。
產品

PTC擁有六項核心系列產品：Creo（英语：）、Windchill（英语：）、MathCad、PTC Integrity（英语：）、Servigistics、ThingWorx，公司的技術主要協助離散型製造業者用於設計、營運與維護複雜產品；PTC的技術也能用於連網產品，以獲取與分析產品的資訊。
產品 > PTC Creo

PTC的CAD產品提供一系列電腦輔助設計功能，包含多種2D與3D產品設計軟體，用於製作、分析與瀏覽產品設計。PTC Creo軟體於2011年6月推出，取代PTC過去的Pro/ENGINEER、CoCreate與ProductView（英语：），其他產品包括：
CREO parametric – 前版為 Pro/ENGINEER
CREO simulate – 前版為Pro/MECHANICA
CREO direct – 前版為 CoCreate OneSpace Modeling
CREO options modeler
CREO illustrate schematics
CREO view
CREO illustrate
PTC　Mathcad - 工程師可運用這套工程計算軟體，處理、記錄與分享產品設計時所用的算式。
產品 > PTC Windchill

這套web-based資料庫軟體能提供如MCAD與ECAD（英语：）資料檔案、製程文件、軟體工程資訊等各項產品資訊，PTC Windchill亦提供多項产品生命周期管理（PLM）能力，包含以下產品：
Windchill PDMLink
Windchill product analytics – 前版為Materials Compliance
Windchill quality solutions – 前版為Relex and NetRegulus
Windchill workgroup manager
Windchill projectlink
Windchill part classification
PTC FlexPLM
產品 > PTC Integrity

PTC Integrity產品提供一系列軟體生命週期管理（ALM）與系統工程（Systems Engineering）能力，包含以下產品：
PTC Integrity Asset Library
PTC Integrity Lifecycle Manager –前版為 MKS
PTC Integrity Modeler –前版為 Atego
PTC Integrity Process Check
PTC Integrity Process Consumer
PTC Integrity Process Director
PTC Integrity Process Perspective
PTC Integrity Requirements Connector
PTC AgileWorx
產品 > PTC Servigistics

製造商使用這套服務生命週期管理(SLM)軟體後，可藉由服務規劃、客戶服務、退貨產品資料分析，改善產品生命週期的服務價值，PTC提供的產品組合包括：
Servigistics Inservice – 前版為 Enigma
Servigistics Arbortext – 前版為 Arbortext without Servigistics
Servigistics Connected Field Services
Servigistics Predictive Serice
Servigistics Remote Services
Servigistics Parts Pricing
Servigistics Arbortext Editor
Servigistics Arbortext Isodraw
Servigistics Arbortext Isoview
Servigistics Service Network Management
Servigistics Service Parts Management
產品 > ThingWorx

此平台適用於智慧連網感測器、裝置與產品，或是物聯網(IoT)的快速開發應用。
Axeda是一款可管理連網產品與機器，並落實機器對機器(M2M)與物聯網應用的雲端服務與軟體。
產品 > Vuforia

Vuforia是一款運用在行動裝置上的擴增實境軟體開發套件(SDK)，可實現擴增實境(AR)應用的製作。
歷史

1985- 由Samuel Geisberg及Prime Computer（英语：）、Computervision（英语：）、Applicon（英语：）的前任員工Mike Payne共同創辦此公司
1988- Steve Walske出任執行長，推出Pro/ENGINEER，此產品被視為是業界首創的參數模型（英语：）設計軟體，並讓PTC成為電腦輔助設計產品CAD的領導品牌，直至九零年代中期，新一代的低成本競爭品牌才進入市場。
1989- 公開上市（NASDAQ: PMTC（页面存档备份，存于））
1992- Caterpillar Inc（英语：）.成為PTC最大的客戶
1996- PTC收購Reflex（英语：）專案建模與管理軟體技術，並於隔年出售給Beck Group（英语：）。
1998- PTC Windchill出貨，成為市場上唯一internet-based的產品生命週期管理(PLM)解決方案。
1999- PTC宣布已累積2.5萬家客戶，包含航太、零售／鞋類／服飾、汽車、工業設備、消費品、電子、高科技等產業。
1999- 收購Division Group (Division Ltd, Bristol Uk, Division Inc)虛擬實境事業，包括dVision頭戴式顯示器與軟體
2002- PTC推出首款支援網路web-based服務的電腦輔助設計系統 — Pro/ENGINEER Wildfire。
2005- 收購Arbortext以取得技術出版（英语：）科技；同時也收購Aptavis，發展佈局零售、鞋類及服飾技術
2006- 收購Mathsoft（英语：）以取得工程計算軟體，以及收購ITEDO以取得其3D技術繪圖（英语：）軟體
2007- 收購CoCreate的直接建模技術
2008- 收購Synapsis的效能分析技術，以改善產品環境效能
2009- 收購Relex Software的可靠性工程（英语：）軟體
2010- James E. Heppelmann於2010年10月1日就任執行長，同年PTC將Pro/ENGINEER更名為PTC Creo（英语：），提供具備規模彈性、開放與使用簡易等優點的產品設計軟體
2011- 收購4CS的保固、服務、支援與服務元件技術；收購適用於所有軟體開發流程的MKS（英语：）應用生命週期管理（英语：）技術。
2012- 收購Servigistics的服務生命週期管理系列軟體
2013- 收購NetIDEAS主機代管供應商，提供更多技術建置選項；收購Enigma為售後服務環境提供技術內容；收購物聯網(IoT)平台開發商ThingWorx，以取得可連接與追蹤網路產品的軟體應用。
2013- 收購位於賓州Exton的ThingWorx，該公司的獲獎平台可應用於物聯網的製作製作與運作
2014- 收購Axeda Corporation
2014- 收購模組系統工程(MBSE)工具領導品牌ATEGO Software，這項工具常用於航太、運輸、汽車產業，如Alstom Transport與Rolls-Royce Defence
2015- 向高通子公司Qualcomm Connected Experiences, Inc.收購Vuforia事業。Vuforia平台是業界最先進、最普及的擴增實境技術平台
2015- 收購軟體開發公司Kepware，為工業自動化環境提供通訊連網
2019 年 - PTC收購總部位於荷蘭的增強現實服務公司 Twnkls。
2019 - PTC簽署協議收購 Onshape。
2020 年 - PTC簽署了收購 Arena Software 的協議。
PTC併購公司清單

1992年，收購Prime Computer（英语：）
1995年4月12日，以33,507,000美元向Evans & Sutherland收購CDRS與3Dpaint技術
1995年5月，以1.8億美元收購設計優化與模擬軟體MECHANICA開發商Rasna Corp.
1996年7月，PTC以3,000萬美元收購Reflex專案建模與管理軟體技術
1998年，收購CADDS（英语：）、MEDUSA（英语：）與MPDS廠房設計系統（英语：）開發商Computervision（英语：）
收購Division Group的dVisor虛擬實境頭戴式顯示器
2005年，收購Polyplan的製造流程管理技術
2005年，以1.9億美元收購Arbortext（英语：）
2005下半年，以1千萬美元收購DENC AG與Cadtrain Inc.。DENC採德式顧問模式，擅長結合PTC應用與企業資源規劃軟體；Cadtrain位於加州爾灣，提供PTC軟體線上網路訓練模組
2005年6月，收購以Windchill技術為基礎的零售、鞋類及服飾技術的Aptavis Technology Corp
2006年4月，以6,300萬美元收購Mathcad（英语：）開發商Mathsoft（英语：）
2006年10月，以1,700萬美元收購開發技術繪圖軟體ITEDO Software GmbH。ITEDO開發技術繪圖軟體，在德國與美國共有34名員工。
2007年5月，收購NC Graphics（英语：），總額未公開
2007年11月，收購醫療裝置企業研究與品質管理軟體NetRegulus, Inc
2007年12月，以2.5億美元收購CoCreate
2008年12月，收購Synapsis Technology，總額未公開
2009年6月，以2,500萬美元收購Relex Software
2010年1月，收購Planet Metrics，總額未公開
2011年5月，收購MKS Integrity製造商MKS Software（英语：）
收購保固管理與服務生命週期管理軟體開發商4CS Software Solutions Inc，總額未公開
2012年8月，收購Servigistics
2013年7月，收購Enigma
2013年9月，收購NetIDEAS
2014年1月，收購ThingWorx
2014年7月，以5,000萬美元收購Atego（英语：），該公司設於英國查特罕，開發模型系統與軟體工程應用
2014年8月，以1.7億美元收購設於麻州福克斯伯勒（Foxborough）的機器對機器(M2M)/物聯網領域領導品牌Axeda Corporation
2015年，收購Coldlight
2015年，收購Vuforia
2015年，以1億美元收購Kepware，另依據特定策略計劃與財務結果最多外加1,800萬元
支援STEM（科學、科技、工程、數學）教育

PTC於1999年成立支援STEM(科學、科技、工程、數學)的全球學術教育計畫。此計畫目的希望企業與學校合作，協助學生培養在製造業、科技業及其他相關領域職場所需的實用技能 。這項計畫也包括直接招募活動，並希望安排學生進入PTC的商業客戶任職。
除了支援STEM，PTC從2008年便成為FIRST(For Inspiration and Recognition of Science and Technology)活動企業贊助商，提供參賽學生使用PTC軟體，競賽項包括FIRST科技挑戰賽、FIRST機器人競賽、FIRST樂高聯盟（英语：）、FIRST世界冠軍賽（英语：）等
獲獎紀錄

第四屆年度Postscapes物聯網(IoT)大獎
外部連結

官方网站（页面存档备份，存于）
官方網站（台灣）（页面存档备份，存于）
妖怪午飯

| 妖怪午飯 |
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  《妖怪午飯》遊戲PC版通關後的主選單畫面，登場角色從左至右依序為犬嶌詠、犬嶌謠、朱音凜、伊吹荻之介（次右下）、芹野真夏（次右上）、木邑淺蔥（最右下）、花蘇芳（最右上）


類型: 女性向恋爱冒险 文字冒險遊戲
遊戲：女性向戀愛AVG
遊戲類型: 恋爱冒险
使用平台: Windows Vista/7/8 PlayStation Vita
開發團隊: Honeybee
發行商: Honeybee
美術: カズアキ、あやのもち
音樂: MANYO
遊戲人數: 1
發售日: PC2014年8月29日 PSVita2015年10月8日 Fan Disc2015年11月25日
對象年齡: [PC]全年齢対象 [PSVita]   Ｂ   12歲以上對象
動漫主題－電子遊戲主題－ACG專題－模板說明
妖怪午飯（あやかしごはん）為日本遊戲公司Honeybee（页面存档备份，存于）於2014年8月29日發行的女性向戀愛冒險遊戲。2015年10月8日發行PSVita移植版《妖怪午飯～再來一份》（あやかしごはん～おかわりっ！），2015年11月25日發行番外片《妖怪午飯～再來一份》（あやかしごはん～おかわりっ！）。描述少女朱音凜在高中時返回童年時期曾經生活一段時間，妖怪與人類共存的紅葉村，與當地人類和妖怪居民建立羈絆，和協助當地居民解決各種疑難雜症的故事。
遊戲概要

「只要吃了美味的飯菜，大家將會幸福」。
很久從前，某個妖怪和人類共存的村莊－紅葉村的角落，有間歡迎任何妖怪和人類顧客上門光顧的食堂。作為店主的狐森吟秉持著這樣的理念經營著這間食堂，日復一日的準備料理招待前來光顧食堂的顧客。
直至某個夏末秋初交際的日子，作為吟的恩人朱音堇的外孫女－朱音凜，因為母親忙於工作，被堇帶來紅葉村暫時居住一段時間，凜在這段期間和外祖母與吟相處和睦，但在一次機緣中，凜在遭遇危機之際，親眼目擊前來搭救自己的吟現出妖怪的原型而深受衝擊，也因為這次事件從此影響她對妖怪們的觀感和往後的性格。
多年後，原本居於都市的凜因為母親病故，被接受病逝外祖母的委託的吟，接回曾經短暫居住的紅葉村生活。吟安排雙胞胎狛犬兄弟作為凜的護衛，讓凜轉進當地的高中就讀，凜也在過程中陸續邂逅紅葉村當地的人類和妖怪居民，逐漸發掘紅葉村的秘密。一場動人的妖怪與人類的物語就此展開序幕。
遊戲系統

遊戲屬於文字冒險遊戲，共有兩個篇幅（人類篇和妖怪篇）與六名可攻略角色。遊戲本傳除木邑淺蔥擁有一壞一好的結局以外，其餘角色各有一壞、一好、最佳的結局。故事起始時依據玩家在女主角朱音凜童年時期經歷的選擇，決定朱音凜日後成年時期的個性，及其可進行的劇情篇章和攻略角色路線。
人類篇的攻略角色為犬嶌謡、伊吹萩之介、花蘇芳；妖怪篇的攻略角色為犬嶌詠、芹ケ野真夏、木邑淺蔥。當玩家通關完人類篇的所有角色劇情線、妖怪篇的犬嶌詠及芹野真夏劇情線後，將會開啟解謎所有劇情線未提及的幕後真相的木邑淺蔥劇情線；當玩家完成淺蔥劇情線好結局後，返回主選單再進入個別攻略角色劇情線，所有攻略角色的結局將會隨之改變（淺蔥劇情線例外）。
番外Fan Disk《妖怪午飯～再來一份》攻略限制與結局同本傳系統，淺蔥劇情線則更改為和其他攻略角色同樣有一壞、一好、最佳的結局。
角色介紹 > 主要角色

下述主要角色事件以遊戲本傳真結局（淺蔥線好結局）為主，個別角色路線事件另外記述。
主題曲

OP 『その残響は、憧憬』
ED『おかえり。ただいま。』
相關商品 > 廣播劇CD

あやかしごはん もぐもぐCDシリーズvol.1『謡くんとチキン南蛮もぐもぐCD』（2014年5月30日發售）
あやかしごはん もぐもぐCDシリーズvol.2『詠くんと肉じゃがもぐもぐCD』（2014年5月30日發售）
あやかしごはん もぐもぐCDシリーズvol.3『萩之介くんとお弁当もぐもぐCD』（2014年6月27日發售）
あやかしごはん もぐもぐCDシリーズvol.4『真夏くんと朝ごはんもぐもぐCD』（2014年6月27日發售）
あやかしごはん もぐもぐCDシリーズvol.5『蘇芳くんとシフォンケーキもぐもぐCD』（2014年7月25日發售）
あやかしごはん もぐもぐCDシリーズvol.6『浅葱くんとシチューもぐもぐCD』（2014年7月25日發售）
あやかしごはん もぐもぐCDシリーズvol.7『吟さんと綴くんとハンバーグもぐもぐCD』（2014年8月29日發售）
相關商品 > 遊戲音樂集

あやかしごはん 音楽集（2014年9月26日發售）
あやかしごはん 歌曲集（2014年11月28日發售）
あやかしごはん 歌曲集 其の二（2016年3月25日發售）
外部連結

あやかしごはん ポータルサイト（页面存档备份，存于）
あやかしごはん～おおもりっ！～ PSVita版公式サイト（页面存档备份，存于）
あやかしごはん～おかわりっ！～ ファンディスク公式サイト（页面存档备份，存于）
妖怪午飯的X（前Twitter）
參考資料

備註
↑  番外《妖怪午飯～再來一碗～》的劇情起始係承接此結局發展。
注解
1 2  遊戲本傳  犬嶌謠&犬嶌詠劇情線，芹野真夏劇情線，木邑淺蔥劇情線
1 2  遊戲本傳  木邑淺蔥劇情線，犬嶌謠&犬嶌詠 第二輪劇情線
1 2  遊戲本傳  伊吹萩之介劇情線
↑  遊戲本傳  木邑淺蔥劇情線，伊吹萩之介 第二輪劇情線
1 2  番外《妖怪午飯～再來一份》花蘇芳線
↑  遊戲本傳  花蘇芳劇情線
↑  遊戲本傳  木邑淺蔥劇情線，花蘇芳 第二輪劇情線
1 2  遊戲本傳  芹野真夏劇情線
↑  遊戲本傳  木邑淺蔥劇情線，芹野真夏 第二輪劇情線
1 2 3  遊戲本傳  木邑淺蔥劇情線
1 2  番外《妖怪午飯～再來一份》木邑淺蔥劇情線
1 2  遊戲本傳  芹野真夏劇情線＆木邑淺蔥劇情線
↑  遊戲本傳人類篇共同劇情線
↑  遊戲本傳   人類篇共同劇情線
↑  遊戲本傳妖怪篇共同劇情線
↑  番外《妖怪午飯～再來一份》芹野真夏劇情線
坎提登 (加利福尼亞州)

| 坎揚登 |
| --- | --- |
人口普查指定地區

坎揚登坎揚登在加利福尼亞州的位置
坐标：40°10′12″N 121°04′32″W﻿ / ﻿40.17000°N 121.07556°W﻿ / 40.17000; -121.07556
國家: 美国
州份: 加利福尼亞州
縣: 普盧默斯縣
面积
 • 总计: 2.009 平方公里（0.776 平方英里）
 • 陸地: 2.009 平方公里（0.776 平方英里）
 • 水域: 0.000 平方公里（0.000 平方英里）
海拔: 1,400 公尺（4,593 英尺）
人口（2010年美國人口普查）
 • 總計: 31人
 • 密度: 15.4人/平方公里（40人/平方英里）
时区: 太平洋时区（UTC-8）
 • 夏时制: PDT（UTC-7）
美國郵區編號: 95923
電話區號: 530
地名信息系统ID: 1658212
坎揚登（英語：）是位於美國加利福尼亞州普盧默斯縣的一個人口普查指定地區。
地理

坎揚登的座標為40°10′12″N 121°04′32″W﻿ / ﻿40.17000°N 121.07556°W﻿ / 40.17000; -121.07556，而該地最高點為海拔高度1400米（即4593英尺）。
人口

根據2010年美國人口普查的數據，坎揚登的面積為2.009平方千米，當中陸地面積為2.009平方千米，而水域面積為0.000平方千米。當地共有人口31人，而人口密度為每平方千米15人。