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矩阵
方块矩阵 > 对称

条目：对称矩阵
转置等于自己的矩阵，即满足 \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }的方块矩阵 \mathbf {A} 叫做对称矩阵。满足 \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }的矩阵称为反对称矩阵。在复系数矩阵中，则有埃尔米特矩阵的概念：满足 \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{*}的方块矩阵称为埃尔米特矩阵，其中的 \mathbf {A} ^{*}表示 \mathbf {A} 的共轭转置矩阵。
根据谱定理，实对称矩阵和复埃尔米特矩阵拥有特征基，即由矩阵的特征向量组成的基底。因此任何向量都能表示成矩阵特征向量的线性组合。此外，这两类矩阵的特征值都是实数。
方块矩阵 > 正定性

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 矩阵表达式 |  {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}} |
| 正定性 | 不定矩阵 | 正定矩阵 |
| 对应二次型 |  Q(x,y)={\frac {1}{4}}(x^{2}-y^{2}) |  Q(x,y)={\frac {1}{4}}(x^{2}+y^{2}) |
取值图像: 
说明: 正定矩阵对应的二次型的取值范围永远是正的， 不定矩阵对应的二次型取值则可正可负
条目：正定矩阵
n\times n的实对称矩阵 \mathbf {A} 如果满足对所有非零向量 \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}，对应的二次型
函数值都是正数，就称 \mathbf {A} 为正定矩阵。类似地还有半正定矩阵、负定矩阵、不定矩阵等概念。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。
矩阵的计算

矩阵在许多学科领域中都有应用，在很多时候，除了需要知道矩阵的理论性质以外，还需要计算矩阵的数值。为了矩阵的计算能够足够精确与快捷，数值线性代数中专门有研究矩阵的数值计算方法。与其它的数值计算一样，矩阵的数值计算注重的主要也是算法的复杂度和数值稳定性。矩阵的数值计算可以使用直接计算，也可以用迭代算法，例如在计算方块矩阵的特征值时，可以从一个非零向量 x_{0}开始，通过特定迭代方法得到一个逼近某个特征向量的向量序列。
测量一个算法的复杂度是指估计此算法需要的基本运算如数字的加法和乘法的次数，或者找出它的一个上界。例如按照定义计算的话，两个 n阶方阵的乘法需要 n^{3}次数字乘法计算，因为其乘积是一个 n阶方阵，有 n^{2}个元素，计算每个元素需要 n次数字乘法。如果使用施特拉森算法的话，可以将数字乘法的次数减低到大约 n^{2.8}次。此外，编程语言或环境本身对算法的复杂度也会有影响。
某些特殊类型的矩阵携带的数据量比一般矩阵要少，同时带来的信息量比一般矩阵多。一个重要的例子是稀疏矩阵，这类矩阵中绝大部分的元素是零。有关稀疏矩阵的计算，如计算稀疏矩阵 \mathbf {A} 的线性方程组 \mathbf {Ax} =\mathbf {b} 时，可以使用一些专用于稀疏矩阵的特殊算法（比如共轭梯度法），减低计算复杂度。
算法的数值稳定性是指输入值的小变化不会让计算结果产生很大偏差。例如计算矩阵的逆时，可以用以下的算法（其中 \mathrm {adj} (\mathbf {A} )表示 \mathbf {A} 的伴随矩阵， \mathrm {det} (\mathbf {A} )表示 \mathbf {A} 的行列式）
这个算法在 \mathbf {A} 的行列式接近0的时候会引起很大的舍入误差。而如果使用全选主元的高斯消去法求逆，则在复杂度降低的同时能够避免舍入误差，保证数值稳定性。
矩阵的计算 > 矩阵分解

条目：矩阵分解、对角化、高斯消去法和巴莱斯算法
矩阵研究的一大方向是将一般的矩阵用一些比较“简单”的矩阵来表示。这种表示方式称为矩阵的变换与分解。矩阵变换与分解的方法有很多，它们的目的都是希望化简后的矩阵保持原矩阵的某些性质，比如行列式、秩或逆矩阵，而形式相对简单，因而能用容易地进行讨论和计算，或者能使得某些算法更易执行。
LU分解将矩阵分解为一个下三角矩阵 \mathbf {L} 和一个上三角矩阵 \mathbf {U} 的乘积。分解后的矩阵可以方便某些问题的解决。例如解线性方程组时，如果将系数矩阵 \mathbf {A} 分解成 \mathbf {A} =\mathbf {LU} 的形式，那么方程的求解可以分解为求解 \mathbf {Ly} =\mathbf {b} 和 \mathbf {Ux} =\mathbf {y} 两步，而后两个方程可以十分简洁地求解（详见三角矩阵中“向前与向后替换”一节）。又例如在求矩阵的行列式时，如果直接计算一个矩阵 \mathbf {A} 的行列式，需要计算大约 (n+1)!次加法和乘法；而如果先对矩阵做 \mathbf {LU} 分解，再求行列式，就只需要大约 n^{3}次加法和乘法，大大降低了计算次数。这是因为做 \mathbf {LU} 分解的复杂度大约是 n^{3}次，而后注意到 \mathbf {L} 和 \mathbf {U} 是三角矩阵，所以求它们的行列式只需要将主对角线上元素相乘即可。
高斯消去法也是一种矩阵分解方法。通过初等变换操作，可以将任何矩阵变为阶梯形矩阵，而每个操作可以看做是将矩阵乘上一个特定的初等矩阵。奇异值分解则是另一种分解方法，将一个矩阵表示成3个矩阵的乘积： \mathbf {A} =\mathbf {UDV} 。其中 \mathbf {U} 和 \mathbf {V} 是酉矩阵， \mathbf {D} 是对角矩阵。
特征分解是将一个矩阵 \mathbf {A} 写成 \mathbf {PDP} ^{-1}的形式，其中 \mathbf {P} 是一个可逆矩阵， \mathbf {D} 是对角矩阵。如果 \mathbf {A} 的特征分解存在，就称它是可对角化的矩阵。不能对角化的矩阵，也有类似的分解方式。任意的矩阵 \mathbf {A} 都可以写成 \mathbf {PJP} ^{-1}的形式，其中的矩阵 \mathbf {J} 是若尔当标准型。若尔当标准型是矩阵的一种，它与对角矩阵类似，只不过主对角线上的元素不是数值，而是若尔当块：主对角线上为同一元素 \lambda _{i}，主对角线右上一行的次对角线上都是1，其它元素都是0的矩阵（见右图）。特征分解可以方便计算矩阵的幂次和多项式，如要计算 \mathbf {A} ^{n}：
而其中对角矩阵的幂次 \mathbf {D} ^{n}要比 \mathbf {A} ^{n}容易计算得多。同理还可计算矩阵指数： e^{\mathbf {A} }（在线性微分方程中有应用）、矩阵对数和矩阵的平方根。为了提高算法的数值稳定性，还有舒尔分解等矩阵分解方法。
矩阵的推广

矩阵的元素除了可以是实数和复数以外，也可以任意环或域中元素。在线性代数中，矩阵的性质可以经由有限维的线性空间中的线性变换定义。更广泛的，无限维空间中的线性算子，则可以定义更广泛的无穷维矩阵。矩阵的另一种推广是张量。标量可以看成零维方式排列的数据（只有一个“点”），向量可以看成是一维方式排列的数据（若干个“点”排成的“线段”），矩阵可以看成是二维方式排列的数据（若干个“线段”排成的“矩形”），而张量的概念则包括了这几种排列方式。在张量的概念中，标量是零维张量，向量是一维张量，矩阵是二维張量，而更高维方式排列的数据方式就是高维张量。
矩阵的推广 > 一般域和环上的矩阵

矩阵的元素除了可以是实数和复数以外，还可以是任何能够使得矩阵的运算律成立的元素。首先，矩阵的元素可以是任意一个域（即能够进行“加减乘除”运算的集合）中元素。例如编码理论中会出现系数为有限域中元素的矩阵，以及有理数系数的矩阵。如果矩阵的系数所在域 \mathbf {K} 不是代数闭域，那么在求矩阵的特征值时，由于特征值是相应的特征多项式的根，可能不在系数域 \mathbf {K} 中，而是在系数域的某个扩域L中。反过来，如果考虑扩域 \mathbf {L/K} ，以及 \mathbf {L} 中的一个元素 \alpha ，以及 \mathbf {L} 中线性变换 m_{\alpha }:\,x\mapsto \alpha x，那么由于 m_{\alpha }也是一个 \mathbf {K} -线性变换，它可以表示成一个 n\times n的 \mathbf {K} 系数矩阵 X_{\alpha }，其中的 n是扩域 \mathbf {L/K} 的阶数。 \alpha 是这个矩阵的特征值，这个矩阵的特征多项式 p_{X_{\alpha }}是 \alpha 在 \mathbf {K} 中的最小多项式 \operatorname {min} _{\mathbf {K} }(\alpha )的幂次：
更一般的情况是矩阵的元素属于某个环 \mathbf {R} 。环是比域更广泛的概念，只要求其中元素能够进行加减法和乘法运算（不一定能定义除法）。给定一个环 \mathbf {R} ， {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )中的矩阵之间可以相互加减以及相乘，所以 {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )关于矩阵的加法和乘法也构成一个环，称为矩阵环。 n维方阵的环 {\mathcal {M}}(n,\mathbf {R} )與左 \mathbf {R} -模 \mathbf {R} ^{n}的自同態環同構。
若 \mathbf {R} 是交换环，則 {\mathcal {M}}(m,\mathbf {R} )是一个帶單位元的 \mathbf {R} -代數，满足结合律，但不满足交换律。其中的矩阵仍然可以用莱布尼兹公式定義行列式。一个矩阵可逆当且仅当其行列式为环 \mathbf {R} 中的可逆元（域上的矩阵可逆只需行列式不等于0）。
矩阵的推广 > 矩阵与线性变换

前面已经提到，所有 \mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}的线性变换都对应着一个 {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )中的矩阵。更一般地，给定了基底后，任意两个有限维线性空间之间的线性映射 f:\mathbf {V} \rightarrow \mathbf {W} 也对应着一个矩阵 \mathbf {A} _{f}=(a_{ij})。设空间 \mathbf {V} 和 \mathbf {W} 的基底分别是 \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}和 \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}，那么
矩阵 \mathbf {A} _{f}实际上“记录”了 \mathbf {V} 中每个基底向量经过变换后得到的 \mathbf {W} 中的像在基底 (\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m})下的形式。要注意矩阵的内容取决于基底的选择。可以说，矩阵是线性变换f在特定“角度”（基底）下的“素描”。不同的“角度”下，描述 f的矩阵是不同的，但这些矩阵都是相似矩阵。与矩阵有关的基本概念都可以用线性变换的层面来解释，比如一个矩阵的转置可以用f的对偶变换 f^{*}:\mathbf {W} ^{*}\rightarrow \mathbf {V} ^{*}来表示。
当矩阵的元素是带单位元的环 \mathbf {R} 中的元素时， m\times n的 \mathbf {R} -矩阵对应的则是 \mathbf {R} -自由模 \mathbf {R} ^{m}和 \mathbf {R} ^{n}之间的 \mathbf {R} -线性变换。 n=m的时候，这些 \mathbf {R} -线性变换可以相互复合，因此 n维的 \mathbf {R} -矩阵环能够与 \mathbf {R} -自同态环 \mathbf {R} ^{n}同构。
矩阵的推广 > 矩阵群

条目：矩阵群
群是比环更宽泛的代数结构，只需要集合配备一个满足结合律的二元运算，即将两个群内元素映射到群内一元素的运算。矩阵群是指矩阵关于矩阵乘法组成的群。显然，只有方块矩阵才能构成乘法群。所有 n维的可逆方阵构成一个群，称为 n阶一般线性群。由于群内每个元素都必须是可逆的，任意的矩阵群都必然是一般线性群的子群。
能够在矩阵乘法和求逆矩阵运算下保持的性质都可以用来刻画一定的矩阵群。例如所有行列式为1的矩阵可以构成一个群，称为 n阶特殊线性群。所有 n维的正交矩阵，即满足：
的矩阵 \mathbf {M} 也构成一个群，称为 n阶正交群。正交矩阵得名于它在 \mathbf {R} ^{n}中对应的线性变换具有保角性，也就是说对基本的点积，满足
每个有限群都同构于一个矩阵群。实际上，每个有限群都同构于某个置换群的子群，而每个置换群都同构于一个矩阵群（见置换群的正则群表示）鉴于矩阵群的性质可以通过与矩阵相关的更多手段更好地理解，常常通过研究矩阵群来研究一个有限群。相关的理论称为群表示论。
矩阵的推广 > 无限维矩阵

条目：无限维矩阵
无穷维矩阵可以指行数或列数无穷大，或两者都是无穷大的矩阵。尽管这样的矩阵无法完整写出，但只要知道每行每列的元素的值，仍然可以对它进行矩阵操作和运算。这里矩阵的行数和列数甚至不一定需要是可数集。需要注意的是，无穷维矩阵的乘法涉及到无穷级数求和，因此只有在相关的无穷级数收敛的时候，才能定义矩阵的乘积。无限维矩阵也可以是方块矩阵，定义为行标记集合与列标记集合相同的矩阵（如 \mathbb {N} \times \mathbb {N} ）。
无限矩阵无法定义通常意义上的行列式，因此可逆矩阵不一定是方块矩阵，同理，酉矩阵也不一定要是方块矩阵。
矩阵的推广 > 空矩阵

条目：空矩阵
空矩阵是指行数或列数为零的矩阵。空矩阵的定义可以完善一些关于零维空间的约定。包括约定一个矩阵与空矩阵相乘得到的也是空矩阵，两个 n\times 0和 0\times p的空矩阵相乘是一个 n\times p的零矩阵（所有元素都是零的矩阵）。0×0的空矩阵的行列式约定为1，所以它也可以有逆矩阵，约定为它自己。
矩阵的推广 > 分塊矩陣

分塊矩陣是指一個大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣
可分割成4個2×2的矩陣
应用

矩阵在许多领域都应用广泛。有些时候用到矩阵是因为其表达方式紧凑，例如在博弈论和经济学中，会用收益矩阵来表示两个博弈对象在各种决策方式下的收益。文本挖掘和索引典汇编的时候，比如在TF-IDF方法中，也会用到文件项矩阵来追踪特定词汇在多个文件中的出现频率。
复数可以用实系数的2×2矩阵表示：
这种表示法与复数的加减法、乘法都相兼容。比如，2×2的旋转矩阵可以用来表示模长为1的复数，一个向量乘以此旋转矩阵可以视作一个复数乘以该模长为1的复数。对四元数也有类似的矩阵表达。
早期的密码技术如希尔密码也用到矩阵。然而，矩阵的线性性质使这类密码相对容易破解。计算机图像处理也会用到矩阵来表示处理对象，并且用放射旋转矩阵来计算对象的变换，实现三维对象在特定二维屏幕上的投影。多项式环上的矩阵在控制论中有重要作用。
化学中也有矩阵的应用，特别在使用量子理论讨论分子键和光谱的时候。具体例子有解罗特汉方程时用重叠矩阵和福柯矩阵来得到哈特里－福克方法中的分子轨道。
应用 > 图论

图论中可以用矩阵描述一个有限图。这个矩阵叫做相关矩阵的邻接矩阵，记录了图的每两个顶点之间是否有边连接。对简单图来说，邻接矩阵的元素只取两个值：0和1,第 i第 j上取值为0，表示没有从第 i个顶点连到第 j个顶点的边，取值为1则说明有。如果是一般情况的话，第 i第 j 上的取值是从第 i个顶点连到第j个顶点的边的数目。距离矩阵则是表示图中各顶点之间距离的矩阵。在研究互联网等复杂网络的时候，邻接矩阵常常会是稀疏矩阵。因此网络理论中有专门研究稀疏矩阵的方面。
应用 > 数学分析

在多元函数微积分学中，对二阶偏导数存在的函数 f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ，可以定义其海森矩阵：
严格来说，仅当函数在某一点上的二阶偏导数存在，才能定义这一点上的海森矩阵。海森矩阵给出了函数在这一点的变化率方面的信息。当给定的点 \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})是函数平稳点（即函数 f在这一点上的一阶偏导数 {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}都是0）时，就需要利用海森矩阵来查看函数在这一点周围的增长特性。多元函数在点 \mathbf {x} 的泰勒展开是：
如果函数在点x的一阶偏导数都是0，那么 \nabla f=0，所以函数在x附近的变化率取决于海森矩阵 H(f)(x)的性质。如果 H(f)(x)是正定矩阵，那么函数在点x取得局部最小值，如果是负定矩阵，则函数在x取得局部最大值。在这类情况下，关于函数f的条件最优化问题可以转变为关于海森矩阵的二次规划问题。
矩阵在多元函数微积分中的另一个应用是雅可比矩阵。函数 f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}在某一点x上的一阶偏导数存在时，可以定义它在这点上的雅可比矩阵：
偏微分方程理论中，二阶拟线性偏微分方程可以根据最高次偏导项系数构成的矩阵的正定性分类。假设有一个二阶拟线性偏微分方程：
记矩阵 \mathbf {A} =\left[a_{ij}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}。如果矩阵 \mathbf {A} 是正定或负定矩阵，那么就称方程 (\mathbf {E} )为椭圆形偏微分方程；如果 \mathbf {A} 不可逆，就称 (\mathbf {E} )为抛物形偏微分方程，如果 \mathbf {A} 可逆而且恰有 n-1个特征值同号，就称 (\mathbf {E} )为双曲型偏微分方程。其它情况下也称 (\mathbf {E} )为超双曲形偏微分方程。不同类型的方程解的形式也不一样。
用数值方法解偏微分方程时更需要用到矩阵。一个重要的方法是有限元方法，在求解各种物理中遇到的偏微分方程时广泛使用。有限元方法的基本思想是用一系列“简单”函数的线性组合来“逼近”偏微分方程的精确解。这些“简单”函数通常是指将求解区域分割成一定数量的“小块”后，仅在某一“小块”上非零的分段线性函数。选定了网格和“简单”函数后，可以求解关于刚度矩阵的方程得到近似解。有限元理论中证明了在满足一定的条件下，近似解将随着网格趋于精细而弱收敛到精确解。
应用 > 概率论与统计

概率论中常用到随机矩阵，即向量是概率向量（即所有的元素都在0和1之间，并且加起来等于1的向量）的矩阵。随机矩阵可用来定义有限概率空间中的马尔可夫链。设随机变量 X_{n}是某个马尔可夫链在 t=n时刻的状态，所有可能的状态 S=\left\{s_{1},s_{2},\cdots ,s_{m}\right\}称为状态空间，那么随机矩阵 M_{n}^{n+1}则记录了假设已知 X_{n}的可能情况下 X_{n+1}做各种取值的可能性。 M_{n}^{n+1}的第 i第 j上的元素表示当 X_{n}=s_{j}的时候， X_{n+1}=s_{i}的可能性。 M_{n}^{n+1}的第 j记录了从 X_{n}=s_{j}转移到 X_{n+1}各种状态的可能性。所以 M_{n}^{n+1}叫做 t=n时刻的转移矩阵。如果马尔可夫链的转移矩阵不随时刻变化，则称为齐次马尔可夫链。这时马尔可夫链的吸引态可以通过计算转移矩阵的特征向量得到。
统计学中也会用到各种不同的矩阵。描述统计学中常常需要用矩阵的形式来描述数据样本，显得更为紧凑。几个随机变量的协方差矩阵表示它们之间的协方差关系，在某种程度上表示了它们相互间的关联程度（但不绝对）。
统计学中用到矩阵的另一个地方是线性回归中的最小二乘法分析。当观测到随机样本 (Y_{i},X_{i1},\ldots ,X_{ip}),\,i=1,\ldots ,n时，线性回归法的目标是希望找到以下的线性关系：
即将变量 \mathbf {Y} 表示成 \mathbf {X} 的分量的线性组合与一个已知的随机误差的和。这个表示可以写成矩阵的形式，并利用矩阵的奇异值分解来分析。
另一种随机矩阵（）是指每个元素都是随机变量的矩阵，这些随机变量可以都遵循同一个分布，或各自遵循不同的分布。一个常见的例子是全部元素都是相互独立的标准正态分布随机变量的随机矩阵。这种随机矩阵在数论和物理中也有应用。
应用 > 物理学上的对称性及线性变换

更多：对称性 (物理学)
线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。描述最轻的三种夸克时，需要用到一种内含特殊酉群SU(3)的群论表示；物理学家在计算时会用一种更简便的矩阵表示，叫盖尔曼矩阵，这种矩阵也被用作SU(3)规范群，而强核力的现代描述──量子色动力学的基础正是SU(3)。还有卡比博-小林-益川矩阵（CKM矩阵）：在弱相互作用中重要的基本夸克态，与指定粒子间不同质量的夸克态不一样，但两者却是成线性关系，而CKM矩阵所表达的就是这一点。
应用 > 量子态的线性组合

1925年海森堡提出第一个量子力学模型时，使用了无限维矩阵来表示理论中作用在量子态上的算子。这种做法在矩阵力学中也能见到。例如密度矩阵就是用来刻画量子系统中“纯”量子态的线性组合表示的“混合”量子态。
另一种矩阵是用来描述构成实验粒子物理基石的散射实验的重要工具。当粒子在加速器中发生碰撞，原本没有相互作用的粒子在高速运动中进入其它粒子的作用区，动量改变，形成一系列新的粒子。这种碰撞可以解释为结果粒子状态和入射粒子状态线性组合的标量积。其中的线性组合可以表达为一个矩阵，称为S矩阵，其中记录了所有可能的粒子间相互作用。
应用 > 简正模式

矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。
应用 > 幾何光學

在幾何光學裏，可以找到很多需要用到矩陣的地方。幾何光學是一種忽略了光波波動性的近似理論，這理論的模型將光線視為幾何射線。採用近軸近似，假若光線與光軸之間的夾角很小，則透鏡或反射元件對於光線的作用，可以表達為2×2矩陣與向量的乘積。這向量的兩個分量是光線的幾何性質（光線的斜率、光線跟光軸之間在主平面（英语：）的垂直距離）。這矩陣稱為光線傳輸矩陣，內中元素編碼了光學元件的性質。對於折射，這矩陣又細分為兩種：「折射矩陣」與「平移矩陣」。折射矩陣描述光線遇到透鏡的折射行為。平移矩陣描述光線從一個主平面傳播到另一個主平面的平移行為。
由一系列透鏡或反射元件組成的光學系統，可以很簡單地以對應的矩陣組合來描述其光線傳播路徑。
应用 > 電子學

在電子學裏，傳統的網目分析（英语：）或節點分析會獲得一個線性方程組，這可以以矩陣來表示與計算。
很多種電子元件的電路行為可以用矩陣來描述。設定 A為輸入向量，其兩個分量為輸入電壓 v_{1}與輸入電流 i_{1}。設定 B為輸出向量，其兩個分量為輸出電壓 v_{2}與輸出電流 i_{2}。這電子元件的電路行為可以描述為 B=H\cdot A；其中， H是2×2矩陣，內有一個阻抗元素 h_{12}、一個導納元素 h_{21}、兩個無量綱元素 h_{11}與 h_{22}。這樣，電路的計算可以約化為矩陣計算。
注释与参考

阿瑟·凯莱被认为是矩阵论的奠基人
矩阵A和B相乘得到AB的示意图
R2裡的一个线性变换f将蓝色图形变成绿色图形，面积不变，而顺时针排布的向量x1和x2的变成了逆时针排布。对应的矩阵行列式是-1.
若尔当矩阵，其中灰色框内的是若尔当块
一个无向图的邻接矩阵 {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}。
n=2时，海森矩阵 {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}的特征值一正一负，说明函数 f(x,y)=x^{2}-y^{2}在 (x=0,y=0)处有一个鞍点（红色点）
敦迪宾·沙拉布

敦迪宾·沙拉布（？—？），蒙古人民共和国外交官。
生平

1959年，敦迪宾·沙拉布接替索诺曼·鲁布桑出任蒙古人民共和国驻中华人民共和国大使。1959年9月30日，为庆祝中华人民共和国建国十周年，社会主义国家驻华大使给毛泽东致贺信，联名致信的有匈牙利人民共和国大使诺格拉第、朝鲜民主主义人民共和国大使李永镐、捷克斯洛伐克共和国大使布希尼亚克、德意志民主共和国大使汪戴尔、保加利亚人民共和国大使潘切夫斯基、罗马尼亚人民共和国大使查哈勒斯库、蒙古人民共和国大使沙拉布、越南民主共和国大使陈子平、阿尔巴尼亚人民共和国大使帕里夫蒂、苏维埃社会主义共和国联盟临时代办安东诺夫、波兰人民共和国临时代办傅拉托。
1959年10月4日晚间，中共中央副主席、中华人民共和国国务院总理周恩来同蒙古人民革命党中央委员会第一书记、蒙古人民共和国部长会议主席尤睦佳·泽登巴尔会谈并共进晚餐，在座的蒙方人员有蒙古人民共和国党政代表团全体团员：蒙古人民共和国部长会议副主席巴达民·拉姆苏伦，蒙古人民共和国人民军事务部第一副部长布塔勒·朝格，蒙古人民共和国外交部副部长占巴林·班扎尔，蒙古人民共和国驻中国大使敦迪宾·沙拉布。
1960年5月31日，中华人民共和国和蒙古人民共和国在蒙古人民共和国首都乌兰巴托缔结《中华人民共和国和蒙古人民共和国友好互助条约》。1960年10月12日，两国在中华人民共和国首都北京交换条约批准书，在互换条约批准书的证书上签字的，中方是姬鹏飞，蒙方是驻华大使沙拉布。
1961年7月，为庆祝蒙古人民革命胜利40周年，蒙古驻华大使沙拉布在北京人民大会堂举办招待会，中华人民共和国主席刘少奇、国务院总理周恩来、朝鲜最高领导人金日成出席。
1960年代初，中国共产党和苏联共产党分歧公开，中苏交恶，蒙方在意识形态争论中站在苏联共产党一方，中国遂开始向蒙方大规模抱怨蒙古人民共和国公民、干部、军警、企业、机关等侮辱、殴打、非法逮捕援蒙中国工人的问题。中方认为，近年来援蒙中国工人在蒙古遭到巨大的不公平甚至非人道对待。1962年5月8日，中华人民共和国国务院总理周恩来驳回了蒙古驻华大使沙拉布对中国援蒙工人罢工问题的意见，并称“如果你们不需要，可以把他们送回来，但不要侮辱殴打他们。”蒙方则指责中方改变了在援蒙中国工人问题上的政策，“利用这些细小的摩擦来制造所谓蒙古对中国不友好的证据，以证明蒙古对中方不友好”。1963年4月到12月，中蒙两国就中国派遣劳工援蒙问题先后举行47次会谈，但无果而终。
利國偉

| 利國偉爵士 The Hon>  Sir Quo-wei Lee |
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出生: 1918年8月5日  葡屬澳門
逝世: 2013年8月10日(2013歲—08—10)（95歲）  香港沙田威爾斯親王醫院
籍贯: 廣東開平
职业: 銀行家、政治家、教育家
| 附錄：主要經歷 |
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  甲、財金工作    國華銀行見習生 （1937年－1940年）  恒生銀號會計 （1946年－1950年）  恒生銀號助理經理 （1950年－1953年）  恒生銀行副經理 （1953年－1957年）  恒生銀行經理 （1957年－1964年）  恒生銀行副總經理 （1964年－1967年）  恒生銀行總經理 （1967年－1987年）  恒生銀行副董事長 （1976年－1983年）  滙豐銀行非執行董事 （1978年－1984年）  恒生銀行執行董事長 （1983年－1996年）  滙豐銀行董事局顧問 （1984年－1992年）  香港聯合交易所主席 （1988年－1991年）  香港銀行學會會長 （1991年－1997年）  滙豐控股董事局顧問 （1991年－1997年）  總督商務委員會成員 （1992年－1997年）  金融管理局外匯基金諮詢委員會委員 （1993年－1995年）  恒生銀行非執行董事長 （1996年－1997年）  恒生銀行名譽董事長 （1998年－2004年）  恒生銀行名譽資深顧問 （2004年－2013年）    乙、政治公職    立法局非官守議員 （1968年7月－1978年8月）  行政局非官守議員 （1976年－1978年8月）  行政局非官守議員 （1983年8月－1988年）  港事顧問 （1994年－1997年）  香港特別行政區第一屆政府推選委員會委員 （1996年）    丙、教育與學術公職    香港中文大學校董會司庫兼財務委員會主席 （1963年－1982年）  教育委員會主席 （1976年－1983年）  香港教育透視國際顧問團特別顧問 （1981年－1982年）  香港中文大學校董會主席 （1982年－1997年）  教育統籌委員會主席 （1984年－1988年）  亞洲協會香港中心主席 （1990年－1994年）  香港李寶椿聯合世界書院校董會主席 （1992年－2000年）  尤德學者協會名譽顧問 （1992年－2013年）  香港中文大學終身校董 （1994年－2013年）  香港李寶椿聯合世界書院校董會名譽主席 （2000年－2013年）  
利國偉爵士，大紫荊勳賢，CBE，JP（英語：，1918年8月5日—2013年8月10日），香港銀行家、政治家及教育家，1983年至1997年任恒生銀行董事長，1968年和1976年先後獲香港政府委任為行政及立法兩局非官守議員，1978年退出兩局後，於1983年至1988年再仕行政局，並於1982年至1997年任香港中文大學校董會主席。
1946年，利國偉在何添招攬下加入恒生，由低做起，拾級而上，1964年當上副總經理，後於1967年和1983年分別獲委任為總經理和董事長，服務滿51年，到1997年才告引退。在恒生工作多年的他曾於1965年銀行擠提風潮期間，代表恒生與英資滙豐銀行談判，達成恒生賣盤予滙豐的協議，從而避過結業倒閉的下場；1969年，他又倡導向外界推出恒生指數，該指數從此成為香港股市表現的參考指標，兩個決定對恒生均具深遠影響。
利國偉在政商界也甚具影響力，除了擔任兩局非官守議員以外，更在1988年至1991年受港府所託出任香港聯合交易所主席，對交易所實行大刀闊斧的改革。此外，在八十年代中英兩國展開香港前途談判期間，他曾協助財政司彭勵治爵士在1983年推出聯繫匯率制度，設法保住港元幣值以穩住香港人對前途的信心；他後來又於1984年隨兩局議員代表先後奔走中英兩國，拜會過中共領導人鄧小平和英國首相戴卓爾夫人，向他們表達港人對前途問題的看法。踏入九十年代，香港主權移交步入倒數階段，受中方重視的他還先後獲委任為港事顧問和香港特別行政區第一屆政府推選委員會委員等職。
利國偉也十分重視香港的教育發展，與中文大學的關係尤其密切，在擔任中文大學校董會主席以前，他早自1963年起出任該校校董會的首任司庫，多年來一直支持該校的發展。另外，在他的支持下，恒生商學書院和香港李寶椿聯合世界書院分別得以在1980年和1992年創校。利國偉在1976年到1989年間又先後擔任過港府教育委員會主席和教育統籌委員會主席，參與制定香港的教育政策，任內曾經歷1978年的金禧事件，以及在1988年富爭議性地落實港府提出中文大學「四改三」的方案。
憑藉其在政商界和教育界的表現，利國偉曾屢獲英廷授勳，並在1988年獲冊封爵士。1997年，他再獲新成立的香港特區政府頒授大紫荊勳章。儘管未曾接受大學教育，但包括中文大學和香港大學在內的多家本地和海外專上院校均曾向他頒授榮譽博士學位，對他的成就予以肯定。
生平 > 早年生涯

利國偉籍貫廣東開平赤水鎮水井坑村，1918年8月5日生於澳門，父母分別名利樹培（1893年－1964年）和梁蕙卿。利樹培字耀世、號植庭，曾經在港經商，是香港著名鴉片煙商利希慎的堂弟，因此利希慎也是利國偉的堂伯。利希慎之子利銘澤為利國偉的疏堂兄，曾任行政立法兩局非官守議員；而利國偉的另一位疏堂兄利孝和同樣是利希慎之子，跟利銘澤一樣在港經商，於1967年參與創立香港電視廣播有限公司。利樹培家族雖與利希慎家族具血緣關係，但雙方交往不多。
利國偉是家中長子，有三弟一姊，分別名利錦桓、利錦光、利錦輝和利婉雲。利國偉自幼隨家人返回香港生活，少時入讀敦梅學校，後升讀聖若瑟書院。1937年至1940年，尚未畢業的他加入在港開設分行的國華銀行任職見習生，由低做起。他在國華銀行刻苦工作，更練得單憑手指便可分辨偽鈔的技巧。1941年12月8日，日軍隨太平洋戰爭爆發而揮軍香港，觸發香港保衞戰。同月25日，香港失守淪陷，為持續三年零八個月的日治時期揭開序幕。香港淪陷期間，利國偉主要在澳門和中國大陸活動，至1945年香港重光，英國恢復對香港的管治後，他才返港生活。
生平 > 恒生銀行

参见：恒生銀行、何善衡和何添
1946年，利國偉在何添引薦下加入恒生銀號，擔任會計，又負責處理海外黃金買賣。恒生銀號由林炳炎、何善衡、梁植偉和盛春霖四名華商在1933年出資創立於上環永樂街，而何添則在同年加入銀號擔任要職，從事法定貨幣和黃金方面的業務。事實上，早在國華銀行任職期間，利國偉已經因為工作關係認識何添，並得到他的賞識。及至香港淪陷期間，在何添向何善衡等恒生創辦人大力舉薦下，身在澳門的利國偉雖未正式加入恒生，但已獲邀在當地協助處理恒生業務，到戰事結束後再正式加入恒生。此外，利國偉的胞弟利錦桓後來也獲招攬到何善衡創辦的大昌行擔任董事，另一胞弟利錦輝則同樣在恒生擔任要職。
憑藉其銀行業背景，再加上通曉英語，利國偉加入恒生後甚得何善衡和何添等倚重。恒生最初只屬小型的找換店，並不是正式銀行，但利國偉加入恒生的時候，正值中國大陸政局動盪和經濟紊亂的時期，當時中華民國在二戰結束後濫發金圓券，造成貨幣大幅貶值；恒生即看準時機，大力開拓外幣兌換業務，成功使業務乘時急速擴張。1952年，恒生向港府註冊成為私人有限公司，由何善衡任董事長、何添任總經理，正式開展商業銀行業務。翌年，恒生總行由1945年以來使用的皇后大道中181號自置物業，遷入位於皇后大道中163號的全新總行大廈。
這時期的利國偉在恒生拾級而上，他在1950年升任助理經理、1953年出任副經理、1957年任經理、以及在1964年任副總經理。何善衡每每到歐美考察，均必帶同利國偉隨行翻譯。1960年，恒生銀號改組為公共有限公司，並正式易名為恒生銀行，利國偉即獲委任為該行首批董事之一。除了恒生的工作，利國偉還開始身兼美麗華酒店企業等多家公司的董事職務，並在日後進一步出任希慎興業副主席，以及新世界發展、邵氏兄弟（香港）、上海實業控股和九巴控股等多家公司的董事。
自改組為公共有限公司後，恒生步入六十年代初繼續穩步發展。1962年，位於德輔道中77號的恒生大廈落成啟用，作為恒生全新的總行大廈，該座大廈樓高22層，一度是全香港最高的摩天大廈，標誌著恒生在本地華資銀行界佔一重要席位。可是，緊隨著風光繁華而來的，卻是恒生歷史上最嚴峻的挑戰。1965年1月，香港發生明德銀號擠提倒閉事件，雖然明德銀號只屬於小規模的華資銀行，但事件卻造成公眾恐慌，引起漣漪效應，使擠提風潮席捲多家華資銀行。繼明德銀號後，另一家華資的廣東信託銀行在2月出現擠提，最終被接管，而恒生等多家華資銀行也首當其衝，相繼出現擠提。
局面平復一段短時間後，坊間在1965年4月初再度傳出對恒生不利的流言，人心虛怯下，恒生出現大規模的擠提潮。4月5日，恒生在一天內被客戶提走8,000萬港元存款，佔上存款總額的六分之一，銀行累積損失2億港元，陷入破產邊緣。4月8日，董事長何善衡迫於無奈下，在緊急董事會會議上決定把恒生賣給自擠提風潮以來便一直給予支持的英資滙豐銀行，並指派通曉英語、時任副總經理的利國偉全權負責洽談。賣盤建議在翌日得到時任財政司郭伯偉（後為爵士）首肯後，利國偉立即與滙豐方面展開談判，終促成恒生在4月12日作價5,100萬港元售出51%股權予滙豐，滙豐隨後進一步把控股權增持至62.14%。
恒生賣盤予滙豐的決定，使之避過了結業倒閉的下場，但何善衡等痛失恒生的控股權，使之從此成為滙豐的附屬銀行，這對何善衡、何添和利國偉等而言，是經營恒生多年以來最悲痛且無可奈何的決定。雖然如此，滙豐入主恒生後，繼續保留恒生的華資銀行色彩，滙豐主席桑達士（後為爵士）除了只派出四名董事入局外，還讓何善衡、何添和利國偉等繼續打理恒生，主持大局，造就了滙豐與恒生之間微妙的從屬關係。
1967年，利國偉接替何添出任恒生銀行總經理，1976年進一步兼任副董事長，以及在1983年接替退休的何善衡兼任恒生執行董事長。他在1987年卸下總經理的職務，但仍繼續擔任執行董事長到1996年，後再留任非執行董事長到1997年為止。在擔任總經理和董事長任內，利國偉積極拓展銀行業務，較重要的舉措包括在1969年倡導和向外界推出恒生指數，使該指數從此成為香港股市表現的參考指標，和在1972年促成恒生在股份超額認購近29倍的情況下於香港交易所上市。此外，他又於1981年成功取得在地鐵車站開設分行的專營權、在1984年收購永安銀行、以及大幅擴充本地的分行網絡。1992年，位於德輔道中83號、規模更大的全新總行大廈，也在他的見證下落成啟用。隨著中國大陸在八十年代實施「改革開放」，恒生在利國偉的主持下還部署重返大陸，1985年率先在深圳開設代表處，後來也相繼在廣州和上海開立分行。
1997年底，服務恒生滿51年、年近80歲的利國偉卸任董事長一職，由艾爾敦接任，正式退下火線，但仍留任董事，並旋於1998年初獲委任為名譽董事長。2004年，利國偉正式退出董事局及辭任名譽董事長，但有見他多年來對恒生發展影響深遠，因此再獲委任為名譽資深顧問，足見與恒生銀行關係匪淺。除恒生以外，利國偉也曾在1978年至1984年兼任滙豐銀行非執行董事、1984年至1992年改任滙豐銀行董事局顧問、和在1991年至1997年任滙豐控股董事局顧問。
生平 > 公職生涯 > 香港前途

参见：香港前途談判
早在六十年代初，在銀行界嶄露頭角的利國偉已開始受到香港政府注意，委以公職，當中包括租務法庭委員、民航諮詢委員會委員、香港彩票管理委員會委員和主席、旅遊業協會董事、以及公務員薪俸委員會委員等，並曾多次率領貿易代表團外訪。1968年7月，利國偉獲香港總督戴麟趾爵士委任為立法局非官守議員，任內關注金融和經濟事務，而且順應當時「中文運動」的興起，在1970年率先在局內提出中文應該和英文一樣成為香港的法定語文。除此之外，他在局內供職期間又擔任過香港心臟基金會主席、香港腎臟基金會主席和亞洲防盲基金會副主席等多個與醫療健康事務相關的公職。曾經多次暫任行政局非官守議員的利國偉，在1976年進一步獲時任港督麥理浩爵士正式任命入行政局，惟到1978年8月，利國偉以健康理由辭任兩局議員職務。
1983年8月，利國偉獲港督尤德爵士邀請第二度返回行政局擔任非官守議員，是少有兩度加入行政局的非官守議員。他的第二段任期正值中英兩國政府就香港前途問題展開談判，面對談判和香港前景不明朗，香港人信心受到動搖，引發信心危機。1983年9月，港元兌美元匯率急跌，引發市民恐慌，市面更出現搶購白米等日用品的情況。在得到利國偉協助下，時任財政司彭勵治爵士迅速採取行動，在同年10月宣佈實施聯繫匯率制度，將港元跟美元掛勾，從而穩住港元幣值。
另外，利國偉還與時任行政局首席非官守議員鍾士元爵士和立法局首席非官守議員鄧蓮如（後為女男爵）一同被中方視作私下就香港前途問題斡旋的對象之一。在時任香港中文大學校長馬臨教授穿針引線下，利國偉隨鍾士元和鄧蓮如兩人自1983年8月起定期密會中方的新華社香港分社社長許家屯，就前途問題交換意見，及探討三人訪問北京的可行性，而密談內容均由鍾士元負責向港督尤德匯報。連串的密談，促成三人後來在1984年6月底應邀訪京，反映港人意見。期間，他們首先會晤國務院港澳辦秘書長魯平，隨後於6月23日在人民大會堂拜會中共領導人鄧小平、港澳辦主任姬鵬飛、副主任李後、李鍾英和魯平。
然而，利國偉一行三人的訪京之旅並不順利，首先，中方最初反對三人以兩局非官守議員名義訪京，幾經交涉，三人最後只好單方面宣佈以有關名義訪京；其次，鄧小平一接見三人的時候，若有所指地對他們以個人身份訪京表示歡迎，但鍾士元隨即強調他們是以行政立法兩局議員的身份訪京，言詞間雙方顯得針鋒相對；其三，三人向鄧小平表達港人對香港前途感受到的憂慮後，於6月25日返港召開記者會。會上，三人表示鄧小平在會晤中不相信他們真正反映香港人的意見，也不相信香港出現信心危機，有關言論旋即引起軒然大波。中方除了反駁鍾士元等的說法，澄清鄧小平沒有說過不相信香港人有信心危機的言論外，還斥責鍾士元等是「孤臣孽子」。兩局與中方一度就事件爭持不下，雙方最後在報章同時發表各自記錄的會談內容，由公眾自行判斷。
步入中英談判尾聲，利國偉在1984年11月30日隨兩局議員代表團前赴英國，首先拜會外交大臣賀維爵士，然後於12月5日會見首相戴卓爾夫人，設法敦促英方與中方就香港前途問題達成協議時，務必保障港人利益。12月5日和12月10日，兩局議員代表團還先後出席國會下議院和上議院有關香港前途問題的辯論，以了解上下兩院的立場，然後才啟程回港。12月19日，英國首相戴卓爾夫人與中國總理趙紫陽在北京人民大會堂正式簽署《中英聯合聲明》，香港主權在1997年移交中國遂成定局。可是《中英聯合聲明》當時未能向港人提供充足信心，從民意調查顯示，只有16%受訪者對《聯合聲明》感到放心，76%受訪者持保留態度，另有三成受訪者認為鄧小平提出的「一國兩制」行不通，反映港人對中英協議抱有懷疑。
雖然曾經遭中方斥責，但利國偉在香港步入主權移交前的過渡期當中，始終與中方維持良好關係。1994年5月，他獲中方委任為第三批港事顧問之一；到1996年11月，他進一步獲委任到香港特別行政區第一屆政府推選委員會，代表「工商及金融界」，成為400名推選委員的其中之一。儘管缺乏廣泛代表性，但推選委員會仍舊在同年12月選出董建華為香港特別行政區首任行政長官，並選出臨時立法會的60名議員。1997年7月1日，香港主權由英國移交中國、特區政府正式成立，標誌著香港150多年的英國殖民地管治謝幕。
生平 > 公職生涯 > 金融改革

参见：香港聯合交易所和香港金融管理局
1988年再一次退出行政局後，利國偉繼續參與社會公職，並把焦點投放到他本身專長的金融事務。1987年10月，香港爆發股災，期間香港聯合交易所宣佈停市四日，引起廣泛爭議。事後，港督衛奕信爵士（後為勳爵）委任英國金融業專家戴維森（Ian Hay Davison）來港研究改革證券業，隨後發表的《戴維森報告書》除了促成港府於1989年設立證券及期貨事務監察委員會以外，還提出對聯交所作出大幅改革。
在這個背景下，利國偉在1988年10月至1991年12月受任空降接掌聯交所主席一職，著手應港府指示改革聯交所。當時，本地證券行大多以「T+1」作為交收日數，與海外證券行的「T+3」不同；因此，為聯交所訂定一個中外經紀都接受的交收日數安排，成為他上任後的其中一項重要改革。有見及此，他曾經多番前往英國與當地業界展開談判和遊說，最終成功爭取聯交所無需跟隨國際做法，以中間落墨的形式採用「T+2」作為交收日數。此外，利國偉在改革聯交所架構的過程中，又確立了聯交所在處理新股上市申請方面的監管權和審批權，經過與時任證監會主席區偉賢（Robert Owen）的多番交涉，利國偉最終還成功為聯交所爭取從證監會取得上市申請的最終否決權。
1993年4月，港府設立金融管理局，負責強化監管香港日益成熟的金融市場。在金融界具相當聲望的利國偉旋獲委任為金融管理局轄下外匯基金諮詢委員會其中一名委員，就港府外匯基金資產方面的管理提供意見，對金融管理局的初年運作提供支持。利國偉在外匯基金諮詢委員會供職兩年有多，到1995年9月才告退任。另外，由1991年到1997年間，利國偉曾任香港銀行學會會長，並在1992年至1997年應末任港督彭定康（後為勳爵）的邀請，擔任總督商務委員會成員。
為表彰他在擔任眾多公職方面的表現，利國偉除了早於1964年11月20日獲港府奉委為非官守太平紳士外，還屢獲英廷授勳，當中包括在1969年獲授OBE勳銜、1977年獲授CBE勳銜、以及在1988年獲勳爵士勳銜。1997年7月1日香港特別行政區成立後翌日，他更成為首批獲特區政府頒授大紫荊勳章的人士之一，以肯定他在推動香港主權移交方面的表現。
生平 > 教育工作 > 高等教育發展

参见：香港中文大學
在本身的金融和銀行事務以外，利國偉多年來還特別關注香港的高等教育發展。憑藉其恒生銀行背景，他早於1963年獲港府委任為香港中文大學校董會首任司庫兼財務委員會主席，為當時一切都尚待規劃的中文大學管理財政和制訂財務政策，對中文大學的初年發展起重要影響。此外，他還兼任過中文大學的校址籌建委員會委員、大學聯合薪俸委員會委員和大學合辦電腦計算中心管理委員會主席等職，負責跟進沙田馬料水校址的發展計劃、處理富爭議性的大學教職員薪酬改革、以及主導大學合辦電腦計算中心的工作等。利國偉在任大學司庫近20年之久，到1982年10月獲港府任命接替簡悅強爵士出任中文大學校董會主席兼榮譽學位委員會委員。他在校董會主席任內經歷馬臨教授、高錕教授和李國章教授三任校長，見證中文大學的急速擴展，到1997年10月才告卸任。
在利國偉的推動下，中文大學與恒生銀行建立起密切的關係，大學校園內的多項設施均與恒生銀行及其元老有關，當中包括何添樓、何善衡工程學大樓和2006年草創的中文大學新成員善衡書院等。利國偉自己為中文大學捐建的設施，也包括以父親命名的崇基學院學生宿舍利樹培堂、善衡書院內的學生宿舍利國偉堂、以及利國偉法律圖書館等。1994年11月，利國偉還進一步獲委任為中文大學終身校董，以表揚他自大學創校以來不斷給予的支持和擔任各項要職方面的表現。
除了中文大學的工作，利國偉還自1970年起長年擔任香港大學校董、1972年出任香港理工學院（香港理工大學前身）創校校董及首任司庫、1987年出任以推廣教育和研究為宗旨的尤德爵士紀念基金信託委員會首任主席、以及在1992年為新成立的尤德學者協會擔任名譽顧問。此外，利國偉在1976年獲時任港督麥理浩爵士委任接替胡百全出任教育委員會主席，任內就港府於1978年落實九年免費教育提供意見，並曾協助港府處理在同一年發生的金禧事件。事件中，利國偉支持教育司署對被指內部管理混亂的天主教金禧中學採取「封校」的決定，但認為署方不應解僱揭露校方管理問題和率領學生罷課抗爭的16名老師。
生平 > 教育工作 > 教統會主席

参见：教育統籌委員會
1981年4月，港府應經濟合作發展組織的建議，宣佈成立一個以英國文化協會前會長呂衛倫爵士為首的四人國際顧問團，負責全盤檢討香港的教育制度。在一年時間當中，國際顧問團詳細審視香港的教育情況，並兩度訪問香港會見各界人士和實地視察，了解學生的學習情況，而身兼教育委員會主席的利國偉，則兼任國際顧問團的特別顧問。1982年11月，國際顧問團正式發表《呂衞倫報告書》，對香港的整體教育政策、考試制度、高等教育、中小學、幼稚園、持續教育、特殊教育、教師組織和人力需求等各方面均作出分析和提出意見。其中，報告的最直接影響，是促使港府按報告書的建議，在1984年2月設立教育統籌委員會，作為原有教育委員會之上政府最重要的教育諮詢組織，就整體教育政策的發展向政府提出實質建議。
本身在1983年卸任教育委員會主席的利國偉，旋於1984年4月獲港府委任為教統會首任主席。在教統會主席任內，他先後在1984年10月、1986年8月和1988年6月發表教統會第一號、第二號和第三號報告書，內容參考了《呂衞倫報告書》的建議，除了提出研究推動母語教學，又促成香港公開進修學院（香港公開大學前身）在1989年成立。不過，利國偉在教統會任內最大的爭議，要算他在《教統會第三號報告書》中支持港府提出香港中文大學「四改三」的建議。
有關「四改三」的爭議，由來已久。中文大學自1963年創校以來，一直採用「四年制」學制，與香港大學的「三年制」不同。早於1977年，港府已首度建議中文大學由「四年制」改為「三年制」，認為此舉可以擴充大學學額，以及簡化及統一中文大學與香港大學的收生政策。然而，「四改三」方案在當時遭到中大師生的強烈反對，迫使港府在翌年承諾擱置計劃。
可是，中文大學「四改三」的爭論踏入八十年代始終揮之不去。到1988年6月，利國偉發表《第三號報告書》，支持港府的「四改三」方案後，港府對中文大學落實「四改三」的態度顯得更為堅決。鑑於利國偉同時身兼教統會主席和中文大學校董會主席，因此角色顯得相當尷尬，有輿論更批評他未有捍衛中文大學的核心價值。面對輿論壓力，他解釋落實「四改三」不單是出於財政原因，另一原因是港大與中大學制不同，而中大又實施「暫取生制度」，把好的中六學生優先取錄，對只招收中七畢業生的港大不公。不過，他也坦言「建議有政治、財政、社會、教育理由」，暗示報告書受到港府的壓力而支持「四改三」。
雖然利國偉嘗試遊說中大師生接受「四改三」，但建議依舊引起師生的強烈反響。就在《第三號報告書》發表後不久，約3,000名中大師生在1988年6月26日於校園本部的邵逸夫堂舉行大會，反對《第三號報告書》，並要求港府撤回「四改三」方案；同年10月，約千名中大師生又趁立法局辯論報告書，前往中環遮打花園集會請願；到12月2日，中大師生還在首學期最後一個上課日發起罷課，在校園本部的林蔭大道舉行露天的反對「四改三」大會，以示堅決反對大學學制更迭。該次集會逾4,000人參加，更是中文大學創校以來最多人參與的集會。
面對中文大學師生的強烈反對，港府始終不為所動。1989年1月，行政局正式接納《第三號報告書》的建議，意味中文大學「四改三」勢在必行。經過一番糾纏，大學及理工教育資助委員會以停止撥款為要脅，迫使中文大學就範，中大校方結果只好在同年接受把大學學制由「四年制」縮減為「三年制」的安排，而在利國偉爭取下，港府又同意延至1990年才正式落實「四改三」。中文大學「四改三」塵埃落定後，利國偉終告在1989年12月卸任教統會主席一職，由范徐麗泰接任，但諷刺的是，「四改三」爭議沒有因為中文大學改制而止息。在改制後多年，中文大學師生一直有聲音要求「三改四」，爭取重新引入「四年制」學制。經過多年發展，特區政府在2009年實施「新高中學制」後，包括中文大學在內的所有本地全日制大學終在2012年由「三年制」學制統一改為「四年制」學制。
生平 > 教育工作 > 興學與推動學術

参见：恒生管理學院、香港李寶椿聯合世界書院和亞洲協會
另一方面，利國偉不單參與香港的高等教育發展，還著手興辦學校，他在七十年代響應恒生銀行董事長何善衡的號召，與其他恒生元老促成恒生商學書院在1980年創校，以培育工商管理專才為目標，而位於沙田小瀝源的校址，更是由利國偉向港府爭取得來。利國偉在書院創校後旋獲委任為創校校監兼校董會副主席，多年以後，書院於2010年起由恒生管理學院取代。
此外，利國偉早在七十年代初已支持聯合世界書院運動，捐款資助香港學生入讀海外的聯合世界書院。踏入八十年代，他與殷商李寶椿後人李兆增於1987年至1988年進一步倡議聯合世界書院在香港建校，幾經斡旋，終獲得港府批出馬鞍山西沙路一處土地作為校址，促成香港李寶椿聯合世界書院在1992年創校。利國偉一直關注任李寶椿聯合世界書院的發展，並自1992年起擔任首任校董會主席，至2000年卸任，同年改任校董會名譽主席。
1990年，本身喜愛收藏古玩的利國偉還促成美國的亞洲協會在香港設立中心，是該會首個設於美國國土以外的分會，以促進中西學術文化交流為宗旨。亞洲協會香港中心設立後，利國偉即任中心首任主席，為中心的早年運作奠定基礎，至1994年才由殷商陳啟宗接任。利國偉此後繼續關注和支持中心的發展，中心在2012年遷入屬於歷史建築的金鐘正義道前域多利軍營軍火庫作為新會址後，除了邀請他到新會址參觀，又特別把會址其中一個展廳命名為利國偉廳，以酬謝他多年來對中心的支持和影響。
儘管未曾接受過大學教育，利國偉憑藉他在推動香港高等教育發展方面的表現，以及在金融和政商界方面的深重地位，使他先後獲得多家本地和海外高等院校頒授榮譽博士學位。其中，曾向他頒授榮譽博士學位的本地高等院校包括香港中文大學、香港大學、香港城市理工學院（香港城市大學前身）、香港理工學院、香港浸會學院（香港浸會大學前身）、以及香港公開進修學院等。
生平 > 晚年生涯

晚年的利國偉積極參與慈善事業，他除了與妻子利易海倫共同成立以他們的名字命名的偉倫基金會，並自任主席外；還於1994年與恒生銀行元老何善衡、梁銶琚和何添共同成立以四人姓氏命名的何梁何利基金，兩個基金都以推動香港、中國大陸和海外的學術發展為宗旨。他歷年來又對家鄉五邑捐款達2.2億港元，當中祖居地開平佔上近1.5億元人民幣。
2002年2月，利國偉因中風被送入瑪麗醫院，一度在深切治療部留醫；他後來雖然出院，但身體健康卻是每況愈下，出入都要依賴輪椅代步。儘管如此，他仍舊偶爾在家人陪同下出席公開場合，其後還於2007年立法會補選期間，與妻子聯名向曾任政務司司長的泛民主派候選人陳方安生捐出25萬港元助選。2012年，利國偉應邀到亞洲協會香港中心新會址參觀，這也是他最後一次出席公開場合。
2013年8月10日，中風多年的利國偉在沙田威爾斯親王醫院以95歲高齡病逝，時任行政長官梁振英、財政司司長曾俊華、金融管理局總裁陳德霖、前任總裁任志剛和香港交易所主席周松崗爵士等均發聲明致哀，而恒生銀行更由8月13日起一連三日全線下半旗哀悼。利國偉身後，遺屬於8月21日在香港殯儀館設靈，到場致悼的知名人士包括前任澳門行政長官何厚鏵、長和系主席李嘉誠爵士、東亞銀行主席李國寶爵士、前布政司鍾逸傑爵士、前政務司司長陳方安生、前行政局召集人王䓪鳴女爵士、全國人大常委范徐麗泰、以及多名現任和前任滙豐銀行和恒生銀行高層等各界人士，合共約1,400人出席。曾為何梁何利基金主持頒獎禮的前任中國國務院總理朱鎔基雖然未有親身出席，但也有致送花圈。
利國偉的靈柩在2013年8月22日出殯，同日恒生銀行、港交所及希慎興業三家企業再一次下半旗致哀。出殯儀式首先由前香港最高法院首席大法官楊鐵樑爵士宣讀其生平事略，隨後再由香港首任行政長官董建華、已屆95歲高齡的行政會議前召集人鍾士元爵士、滙豐控股前主席浦偉士爵士、金管局前總裁任志剛、楊鐵樑爵士、前行政立法兩局議員羅保爵士、港交所主席周松崗爵士、恒生銀行副董事長李慧敏、已故恒生銀行前董事長何善衡之子何子樑醫生、以及香港中文大學校長沈祖堯教授10人扶靈。10人之中有五人與利國偉一樣都擁有爵士頭銜，擁有大紫荊勳章的也有五人。悼念儀式過後，利國偉的遺體旋於同日移奉往哥連臣角火葬場火化，家屬籌得帛金則撥捐香港復康會利國偉日間復康護理中心。
人物描寫

利國偉雖然出身大家族，但他憑藉自己的努力，從「紅褲子」出身，由低做起，結果得到恒生銀行高層何善衡和何添等賞識，從此拾級而上，並屢屢獲委以重任。在多年的銀行和公職生涯中，他面對過多場危機，但均由他一一化解，當中包括在1965年臨危受命，成功與匯豐銀行達成收購恒生銀行的協議，使恒生銀行避過結業倒閉的命運；1983年香港前途談判期間，港元幣值急跌，財政司彭勵治爵士在他的協助下得以在短時間內宣佈推出聯繫匯率制度穩住民心；翌年，他又先後奔走北京和英國，向兩國領導人表達香港人對香港前途的立場；1988年，他獲指派空降被指千瘡百孔的香港聯合交易所，對聯交所展開大刀闊斧的改革；同一年，儘管同時身兼教育統籌委員會主席和香港中文大學校董會主席兩個被指互有衝突的公職，但他設法平衡各方利益，成功在一遍爭議聲中落實港府提出中文大學「四改三」的方案。
利國偉本身沒有接受大學教育或出國留學，只有中學學歷的他算不上是高學歷人士。不過，憑藉個人成就，他不單歷任恒生銀行董事長、行政立法兩局議員、聯交所主席和金融管理局外匯基金諮詢委員會委員等重要職務，而且還擔任過中文大學校董會主席、港府教育委員會主席、教統會主席和香港大學校董等與教育相關的公職，負責統籌香港的高等教育規劃，在香港殖民地時代的政商界和教育界均享有深重的地位。也正正是這個原因，他先後獲中文大學和香港大學等多家海內外專上院校頒授榮譽博士學位，以資肯定；他與簡悅強爵士、鍾士元爵士和張奧偉爵士等人也是在七、八十年代少有獲英廷冊封爵士的華人，作為對他多年來在公職方面表現的嘉許。
名成利就的利國偉也時刻不忘何善衡和何添等的提攜，並常以何善衡的教導「話到口中留半句，理從是處讓三分」為座右銘之一，強調「雖然認為自己是對的，亦切勿強將意見加於別人」。晚年的利國偉還與恒生元老組成何梁何利基金，再加上自己的偉倫基金會，致力行善，香港和海外多家教育機構，均曾得到有關基金會的捐助。利國偉身後得到輿論的普遍讚揚，時任行政長官梁振英認為他「貢獻良多」，在多個範疇「作出卓越貢獻」；時任財政司司長曾俊華認為他「不但對香港銀行業和金融業的發展影響深遠，貢獻良多，在推動教育等社會公益事業方面，也不遺餘力，恩澤社群」；在教育統籌司任內曾與利國偉共事的前公務員事務局局長王永平，則讚揚他是「港人典範」，且「當之無愧」。