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輾轉相除法
数学上的应用 > 主理想和相关问题

贝祖等式提供了另一种定义 a和 b的最大公约数 g的方法。考虑形如 ua+vb（其中 u和 v是整数）的数的集合。因为 a和 b都可以被 g整除，所以这个集合中的所有元素都可以被 g整除。也就是说这个集合中的数都可以表示成 g的倍数，或者 a和 b的其他公约数的倍数。但是，只有最大公约数才是这个集合的元素。根据贝祖等式，有 g=sa+tb。換言之，当 u=s、 v=t时得出 g。任何其他的公约数都不是这个集合的元素，因为它们都不能被比它们大的 g整除。相反地， g的任何倍数都属于这个集合，只要令 u=ms、 v=mt，便有：
所以，形如 ua+vb的数的集合等于 g的整数倍的集合。也就是说，任意两个数的线性和的集合等同于它们最大公约数的整数倍的集合。 a和 b的最大公约数叫做 a和 b的理想的生成元素。这个最大公约数的定义导出了兩個现代抽象代数的概念：主理想（由单个元素生成的理想）以及主理想整环（其每一理想都是主理想的整环）。
这个结果可以解决某些實際问题。例如，考虑两个容积分别为 a和 b的量杯，其中 a和 b為正整數。通过加入或倒去 u倍第一个量杯的体积以及 v倍第二个量杯的体积的液体，任何体积为 ua+vb的液体都可以被量出（只要 ua+vb為正數）。根據贝祖等式，凡是可以被量出的液体，其体积一定是 a和 b的最大公约数 g的倍數。
数学上的应用 > 扩展欧几里得算法

条目：扩展欧几里得算法
贝祖等式的整数s和t可以通过扩展欧几里得算法算出。这个扩展算法在原有辗转相除法的基础上增加了两个递归等式：
算法开始时：
加上这兩个递归式后，当算法终止于 r_{N}=0，贝祖等式的整数 s和 t分别由 s_{N}和 t_{N}给出。
这个算法的正确性可以用数学归纳法来证明。假设递归至第 k-1步是正确的，也就是假设：
在 j小于 k時皆成立。则第 k步运算得出以下等式：
因为 r_{k-2}和 r_{k-1}被假定是正确的，所以可以用 s和 t表示：
整理后得到第 k步的结果，和我们期望得到的结果一致：
数学上的应用 > 矩阵法

整数 s和 t也可以用矩阵运算得出。辗转相除法的计算过程：
可以写作2×2的商矩阵乘以一个2维余数向量：
令 \mathbf {M} 表示所有商矩阵的乘积：
这使辗转相除法化简为：
如要用 a和 b的线性和表示 g，可將等式两边同时乘以矩阵 \mathbf {M} 的逆矩阵。 \mathbf {M} 的行列式等于 (-1)^{N+1}，因为它等于商矩阵的行列式的乘积，而每一个的行列式都是−1。因为 \mathbf {M} 的行列式不为零，最终的余数向量可以利用 \mathbf {M} 的逆矩阵解出：
由上式可以得出 g=(-1)^{N+1}(m_{22}a-m_{12}b)。
贝祖等式中的两个整数分别是 s=(-1)^{N+1}m_{22}、 t=(-1)^{N}m_{12}。矩阵法的效率可前文描述的辗转相除法的递归算法是相同的，每一步都有两次乘法和两次加法。
数学上的应用 > 欧几里得引理和唯一分解

贝祖等式对辗转相除法的很多应用都很重要，如证明自然数的唯一分解性质假设数字L可以写成两个因数 u和 v的乘积，即 L=uv。如果另一个数 w与 u互素的数也能整除 L，那么 w必须整除 v，证明如下：如果 u和 w的最大公约数是1，则根据贝祖等式存在 s和 t使
两边都乘以 v：
因为 w整除等式右边，所以也应整除等式左边的 v。这个结果叫做欧几里得引理。如果一个素数整除 L那么它至少整除 L的一个因数。如果一个数 w互素于数列 a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n} 中的每一个数，则w也一定互素于它们的乘积 a_{1}\times a_{2}\times \ldots \times a_{n}。
欧几里得引理足以证明每一个自然数的素数分解是惟一的。我们用反证法来证明，假设 L可以分别分解成 m个素数和 n个素数，即：
根据假设，每个素数 p都能整除 L，因此它必须能够整除某個 q；因为 q也是一个素数，所以 p=q。同理，对于每一个 p都存在一个 q与它相等。所以两种分解除了顺序不同以外是完全相同的。整数分解的惟一性在数学证明中有很多应用，下文将会提到。
数学上的应用 > 线性丢番图方程

丢番图方程是以亚历山大数学家丢番图的名字命名的一类方程，它的解被限制在整数范围。关于整数 x和 y的线性丢番图方程形如：
其中 a、 b、 c是已知整数。这个方程可以写成关于 x的同余式：
令 g为 a和 b的最大公约数， a、 b都能被 g整除，故 ax+by能够被 g整除。所以， c一定能够被 g整除，不然方程就无解。方程两边若同时除以  {\frac {c}{g}}，方程就变成了贝祖等式：
其中 s和 t可以用扩展欧几里得算法求解。所以这个丢番图方程的一个解即是：
总体而言，丢番图方程如果有解，就一定有无数个解。只需要考虑两个解 (x_{1},y_{1}) 和 (x_{2},y_{2})：
或者可以写成：
所以相邻两个解的 x之间的差是 {\frac {b}{g}}， y之间的差是 {\frac {a}{g}}。这样，所有的解都可以表示成：
当 t取遍所有整数时，方程所有的解都可以从 (x_{1},y_{1})计算出来。如果限制為正整数解 ( x>0,  y>0) 的话，那么解的数量就可能是有限的。有時候，这种对解的限制使丢番图方程在未知数個數比方程數更多的情况下仍然能有唯一解，而在允許實數解的线性方程组中，这種情況是不可能的。
数学上的应用 > 乘法逆和RSA算法

有限域是一个支持四种运算的数集。这四种运算也通稱為加法、减法、乘法、除法，跟一般的四則運算有相同的性质，如交换律、结合律和分配律。举例来说，使用同余可以让13个数字的集合  \{0,1,2,\cdots ,12\} 构成一个有限域。在这个域中，任何数学运算（加减乘除）都归约成13的模，例如  5\times 7=35{\bmod {1}}3=9。对于任意素数 p，都可以定义这种有限域；使用更复杂的方法，也可以对素数 p的 m次方定义这样的有限域。有限域也叫做伽罗瓦域，其缩写為  \mathrm {GF} (P) 或 \mathrm {GF} (P^{m})。
在这样一个有 m个数的域中，任何非零元素 a都存在惟一乘法逆  a^{-1}使 aa^{-1}=a^{-1}a\equiv 1{\bmod {m}}。这可以通过解同余式 ax\equiv 1{\bmod {m}}得出，或者也可以解与之等价的丢番图方程
这个方程可用扩展欧几里得算法解出（参见上文）。在RSA算法中，寻找乘法逆是非常重要的一步，它决定了使用哪个数来解密信息。虽然RSA算法不使用域而是使用环，扩展欧几里得算法仍然可以用来求乘法逆。欧几里得算法也被应用于纠错码，例如，它可以代替伯利坎普－梅西算法解基于有限域的BCH码和里德-所罗门码。
数学上的应用 > 中国剩余定理

辗转相除法也可以用來解线性丢番图方程组。如在中国剩余定理中，整数可以表示成被 N个互素的数 m_{i}除留下的余数：
为了从 x的 N个余数 x_{i}中确定 x的值，我们将这些式子组合成单个线性丢番图方程，其中模数 M是所有模数 m_{i}的乘积，然后定义 M_{i}如下：
也就是， M_{i}是除了 m_{i}以外所有模数的乘积。接着是关键的一步，寻找 N个数 h_{i}使：
有了这些数 h_{i}之后，整数 x可以用下式从余数 x_{i}中解出：
因为 h_{i}是 M_{i}的乘法逆，所以可以使用扩展欧几里得算法求出（见上一节）。
数学上的应用 > 连分数

辗转相除法和连分数有着紧密的关系。计算连分数的过程如下：
其中每个式子的右边最后一项都等于下一个式子的左边项的倒数。所以前两个式子可以组合成：
第三个式子可以代入分母中的 {\frac {r_{1}}{r_{0}}}：
每一步中，最后一项 {\frac {r_{k}}{r_{k-1}}}都可以用下一个式子代换，直至最后一个式子，结果是：
在上文的例子中计算了 \gcd(1071,462)，其中商 q_{k}分别是2、3、7，所以分数  {\frac {1071}{462}} 可以写成如下连分数形式：
数学上的应用 > 整数分解算法

计算最大公约数是很多整数分解算法的重要步骤，如Pollard's rho算法（英语：）、Shor算法、Dixon分解法（英语：）以及Lenstra椭圆曲线分解（英语：）。用辗转相除法算最大公约数效率非常高。而连分数分解法由于用到了连分数，所以也需要使用辗转相除法。
算法效率

辗转相除法的计算效率已经被彻底研究过了。一个算法的效率可以用计算所需步数乘以每步计算的开销表示。加百利·拉梅于1884年指出，用辗转相除法计算两个数的最大公约数所需的步数不会超过其中较小数十進制下的位数 h的5倍。因为每一步的计算开销通常也是 h数量级的，所以辗转相除法的复杂度是 h^{2}。
算法效率 > 计算步数

计算两个自然数 a和 b的最大公约数所需的步数可以表示为 T(a,b)。如果 a和 b的最大公约数是 g， a=mg， b=ng，而 m和 n是两个互素整数，那么：
这可以通过在辗转相除法的计算过程中的每一步都除以 g来证明。同样，当 a和 b同时乘以 w时，计算步数不变： T(a,b)=T(wa,wb)。所以，对于数值上相近的数，如 T(a,b)和 T(a,b+1)，计算步数可能相差很大。
根据辗转相除法的递归性质可以得出另一个公式：
其中，根據定义有 T(x,0)=0。
算法效率 > 计算步数 > 最差情况

假设用辗转相除法求自然数 a和 b（ a>b>0）的最大公约数需要 N步，那么满足这一条件的 a和 b的最小值分别是斐波那契数 F_{N+2}和 F_{N+1}。这可以用数学归纳法证明。假设 N=1， b整除 a，满足这一条件的 a和 b最小是 b=1、 a=2，正是 F_{2}和 F_{3}。现在假设这一规律对 M-1有效。一个需要 M步的算法的第一步是 a=q_{0}b+r_{0}，第二步是 b=q_{1}r_{0}+r_{1}。因为算法是递归的，它需要 M-1步才能算出 \gcd(b,r_{0})，其中 b和 r_{0}的最小值是 F_{M+1}和 F_{M}。所以 a的最小值是当 q_{0}=1的时候，此时  q=b+r_{0}=F_{M+1}+F_{M}=F_{M+2}。1844年，加百利·拉梅发现这个证明标志着计算复杂性理论的诞生。这也是斐波那契数列的第一个实际应用。
这个结果也证明了辗转相除法的运算步骤不会超过较小数十进制下的位数的五倍。因为如果算法需要 N步，那么 b一定大于或等于 F_{N+1}，也就是一定大于或等于 \varphi ^{N-1}，其中 \varphi 是黄金分割比。因为 b\geq \varphi ^{N-1}，所以 N-1\leq \log _{\varphi }b。因为 \log _{10}\varphi >{\frac {1}{5}}， {\frac {N-1}{5}}<\log _{10}\varphi \log _{\varphi }b=\log _{10}b，所以 N\leq 5\log _{10}b。所以，辗转相除法不会进行超过O(h)次除法，其中 h是较小数 b在十进制下的位数。
算法效率 > 计算步数 > 平均情况

辗转相除法的平均步骤数有三种不同的定义。第一种定义是计算已知自然数 a和从0到 a-1范围内随机选取的自然数 b的最大公约数所需的时间 T(a)：
但是因为 T(a,b)在连续整数间变化非常剧烈，所以 T(a)的值也会显得很杂乱。
为了解决这个问题，第二种定义规定 \tau (a)只要取遍其中所有和 a互素的数即可：
在小于 a的数中，有 \varphi (a)个数与 a互素，其中 \varphi 是欧拉函数。在这个定义中， \tau (a)的函数值增长得平稳很多。
誤差項的增長率為 O(a^{-{\frac {1}{6}}+\varepsilon })，其中 \varepsilon 是无穷小量。公式中的常数 C等于：
其中 \gamma 是欧拉-马歇罗尼常数， \zeta '是黎曼ζ函数的导数。公式最左边的 {\frac {12}{\pi ^{2}}}\ln 2由两个独立的方法确定。
因为第一种定义可以通过用第二种定义的求和来完成：
所以也可以由以下公式近似：
其中 \Lambda (d)是冯·曼戈尔特函数。
第三种定义 Y(n)定义为从1到 n间随机选取 a和 b（均勻分佈）时计算它们的最大公约数所需的平均步骤数：
将 T(a)的近似公式代入，得到 Y(n)的近似：
算法效率 > 每一步的计算开销

在辗转相除法的每一步中，商 q_{k}和余数 r_{k}都通过 r_{k-2}和 r_{k-1}求出：
所以每一步的计算开销主要与计算商 q_{k}的算法有关，因为余数 r_{k}可以很迅速地从 r_{k-2}、 r_{k-1}和 q_{k}计算出来：
而计算一个 h位整数的除法的算法复杂度是O(h(ℓ+1))，其中ℓ l是商的位数。
作为对比，辗转相除法原先的版本使用的是减法，因此效率要慢很多。进行一次除法等同于进行 q次减法（其中 q是商）。如果 a和 b的比很大，计算出的商也很大，也就需要进行很多次减法。但在另一方面，计算出来的商在大多数情况下都是非常小的，除法中得出一个确定的商 q的概率大约是 \log _{2}\left({\frac {u}{u-1}}\right)。其中 u=(q+1)^{2}。比如，商是1、2、3、4的可能性分别是大约41.5%、17.0%、9.3%、5.9%。因为计算机计算减法要快于除法，特別是对于很大的数字，所以减法版本的辗转相除法的性能可以比得上除法版本。这也被运用于二进制最大公约数算法。
综合考虑算法需要的步数和每一步的计算开销，辗转相除法随两个数字 a和 b的平均位数成平方级的速度增长（ h^{2}）。设 h_{0},h_{1},\cdots ,h_{N-1}表示计算过程中的余数 r_{0},r_{1},\cdots ,r_{N-1}的位数，因为算法的步数 N随 h线性增长，所以算法的运算时间为：
算法效率 > 其他算法的效率

因为辗转相除法的高效率，它在实践中被广泛使用。作为对比，本段中介绍以下辗转相除法以外的其他最大公约数算法的效率。
计算两数 a和 b的最大公约数有一个效率很慢的算法：将 a除以从2到 b之间的每一个整数以计算出它们所有的公约数，其中最大的一个即是最大公约数。在这个算法中，步骤数随 b线性增长，也就是随输入数字的位数呈指数级增长。另一个很低效的算法是计算出两个数的所有素因数（见上文），最大公约数等于所有公共素因数的乘积。但是整数分解算法效率极低，很多现代的加密系统甚至依靠这种低效率来防止资料被破解。
除了辗转相除法之外，也有一些高效的算法存在，如二进制最大公约数算法将除法操作替换成了二进制的移位，以进一步提高用计算机运算时的效率。但是，这种改变并没有降低算法的复杂度（仍然是O(h²)），虽然它在计算机上确实比辗转相除法快些。也可以通过只检視 a和 b的前几位数来进一步提高效率，不过效果并不明显。二进制版的算法还可以扩展到其它进制，效率最多可以提升五倍。
对于超过25,000位数的大数，有一种改进使算法复杂度降低至平方级以下，如Schönhage、Stehlé、Zimmermann等人提出的算法。这些算法利用2×2的矩阵（见上文）。这些亚平方级的算法复杂度通常是 O(h(\log h)^{2})(\log \log h)。
其他数系

如上文所述，辗转相除法最早用来寻找两自然数的最大公约数，但其实它也可以被推广至实数，甚至是多项式、二次整数和赫尔维茨四元数。在这些数系中，辗转相除法甚至被用来證明一个重要特性：惟一分解，即这些数系中的数能够被惟一地分解成不可約元素（素数在这些数系的对应物）。惟一分解是数论中很多证明的基础。
其他数系 > 有理数和实数

辗转相除法可以被应用至实数，如欧几里得在几何原本第10卷中所说的那样。算法的目的是计算出实数 g，使已知实数 a和 b是它的整数倍： a=mg、 b=ng，其中 m和 n是整数。这也就找到了 a和 b的整数关系，即找到整数 s和 t使 sa+tb=0。欧几里得使用辗转相除法来处理不可通约的长度。
实数的辗转相除法和整数的算法有两个区别。第一，余数 r_{k}是实数，虽然商 q_{k}仍然是整数。第二，算法不能保证在有限步内结束。如果能在有限步内结束，那么分数 {\frac {a}{b}}是一个有理数，即：
于是我们可以写出它的有限连分数形式： [q_{0};q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}]。如果算法无法结束，那么 {\frac {a}{b}}是无理数，可以写成无限的连分数形式： [q_{0};q_{1},q_{2},\cdots ]。无限连分数的一个例子是：黄金分割比 \varphi =[1;1,1,\cdots ]和2的算術平方根： {\sqrt {2}}=[1;2,2,\ldots ]。通常，算法能够结束的可能性是很低的，因为对于实数 a和 b，几乎所有 {\frac {a}{b}}都是无理数。
如果算法不结束，也可以在第 k步时终止计算，得到近似连分数 [q_{0};q_{1},q_{2},\cdots ,q_{k}]。终止时的 k越大，则近似越准确。连分数 {\frac {m}{n}}的分子和分母互素并满足下式：
其中递归的初始值是 m_{-1}=n_{-2}=1,  m_{-2}=n_{-1}=0。 {\frac {m_{k}}{n_{k}}}是 {\frac {a}{b}}在分母是 n_{k}的数中最精确的有理数近似值：
其他数系 > 多项式

只含有一个变量 x的多项式可以和整数一样进行加法、乘法和分解為不可約多项式（也就是多项式中的“素数”）。两个多项式 a(x)和 b(x)的最大公约数 g(x)定义为它们分解之后共有的不可約因式的乘积，这可以用辗转相除法进行计算。对于多项式的算法和整数的算法很相似，在每个步骤 k，计算出满足以下递归式的商多项式 q_{k}(x)和余数多项式 r_{k}(x)：
其中 r_{-2}(x)=a(x)， r_{-1}(x)=b(x)。所选择的商式必须能使 q_{k}(x)r_{k-1}(x)的首项系數和 r_{k-2}(x)的相等，这样才能保证每个余数的次数小于前一个余数（ \deg[r_{k}(x)]<\deg[r_{k-1}(x)]）。因为非零多项式的次数是非负整数，并且在每一步都减小，所以辗转相除法的计算一定能在有限步内结束。最后一个非零余数即是两个多项式 a(x)和 b(x)的最大公约数。
例如，有如下两个四次多项式，都可以分解成两个二次多项式的乘积：
和
a(x)除以 b(x)得到余数：
在下一步中， b(x)除以 r_{0}(x)得到 r_{1}(x)=x^{2}+x+2。最终， r_{0}(x)除以 r_{1}(x)得到的余数为0，所以 r_{1}(x)是 a(x)和 b(x)的最大公约数，这和它们因式分解的结果相符合。
上文所述的很多应用也适用于多项式。辗转相除法可以解多项式的线性丢番图方程和中国剩余定理，也可以用来定义多项式的连分数展开式。
多项式的辗转相除法也有其他应用，如施图姆定理，一个用于计算多项式在给定区间内的实根个数的方法。这被应用于其他领域，如控制论的劳斯-赫尔维茨稳定性判据。
最后，多项式的系数不必局限于整数、实数、甚至复数。这些系数可以是其他域中的元素，如上文所述的有限域 \mathrm {GF} (p)。从辗转相除法得出的结论也可以直接推广至这类多项式。
其他数系 > 高斯整数

高斯整数是满足 \alpha =u+vi的复数，其中 u和 v是普通整数， i是虚数单位（-1的平方根）。通过在高斯整数中定义辗转相除法，根据上文贝祖等式可以证明高斯整数的惟一分解。高斯整数的惟一分解性质在很多应用中都很重要，如计算勾股数或者证明费马平方和定理。辗转相除法用于这些应用很方便，但并非必不可少，一些定理也可以由其他方式证明。
对于两个高斯整数 \alpha 和 \beta 的辗转相除法和普通整数只有两个区别。像整数一样，算法的第 k步计算出商 q_{k}和余数 r_{k}：
其中 r_{k-2}=\alpha ， r_{k-1}=\beta ，每个余数都严格地小于前一个余数， |r_{k}|<|r_{k-1}|。第一个区别即是：商和余数都是高斯整数，也就是复数，所以商 q_{k}是透過對實際比例（如複數 \alpha / \beta ）的实部和虚部取最近似整數來找出的。第二个区别就是需要定义复数比较大小的方法。所以我们定义一个范数函数 f(u+vi)=u^{2}+v^{2}，以将高斯整数 u+vi转换成普通整数来比较大小。在每个步骤 k中，余数的范数 {\ce {f(r_k)}}必须小于前一个余数的范数 f(r_{k-1})。因为范数是非负整数并且在每一步都减小，所以辗转相除法在有限步内一定能结束。最后一个非零余数即是 \alpha 和 \beta 的最大公约数，即能同时整除 \alpha 和 \beta 的整数中范数最大的一个。若把乘以 \pm 1或 \pm i的所得結果考慮在內，那麼可以說 \alpha 和 \beta 的最大公约数是唯一的。
很多其他应用如线性丢番图方程、中国剩余定理都適用于高斯整数，高斯整数的连分数也可以用辗转相除法定义。
其他数系 > 欧几里得整环

如果一个支持两种二元运算（+ 和 ·）的元素的集合形成一个交换环R并且可以使用辗转相除法求最大公约数，那么这个集合叫做欧几里得整环。这两个二元运算不必是平常算数中的加法和乘法，它们可以是更广泛的概念，如群或幺半群中的运算。但是这些运算仍然需要遵守交换律、结合律、分配律。
推广之后的辗转相除法需要一个欧几里得函数，即一個将 R映射到非负整数集合的函數 f，使得对于 R中非零元素 a和 b， R中存在 q和 r满足 a=qb+r， f(r)<f(b)。例如上文中用于高斯整数的范数函数。这个函数 f可以是数的绝对值或模，也可以是多项式的次数，只要辗转相除法计算过程中它的值不断减小就行，这样算法便能在有限步内结束。这非常依赖于非负整数的良序性，即每个非空的非负整数集合都有一个最小数。
任何欧几里得整环都满足算数基本定理：欧几里得整环中的数可以惟一分解。所以任何欧几里得整环都是惟一分解整环，但反之不然。欧几里得整环是GCD整环（任意两元素都存在最大公约数的整环）的子类。也就是说，在某些整环中，两元素存在最大公约数但却不能用辗转相除法计算。欧几里得整环都是主理想环，即其中每一个理想都是主理想，但并不是每个主理想环都是欧几里得整环。
欧几里得整环的惟一分解性质在很多场合都非常有用。例如，高斯整数的惟一分解性质可以方便地导出勾股数的公式，或者证明费马平方和定理。惟一分解性质也是加百利·拉梅于1847年基于约瑟夫·刘维尔的建议发表的证明费马最后定理的尝试中的关键部分。拉梅的尝试需要形如 x+\omega y的数的惟一分解性质，其中 x和 y是整数， \omega =e^{\frac {2i\pi }{n}}是1的 n次方根，即 \omega ^{n}=1。虽然这对于某些 n成立（如 n=3时的艾森斯坦整数），但在其他情况下并非总是正确的。惟一分解性质在分圆域的失效使恩斯特·库默尔发明了理想数的概念，随后理查德·戴德金创造了理想的概念。[來源請求]
其他数系 > 欧几里得整环 > 二次整数的惟一分解

二次整数环对于解释欧几里得整环很有帮助。二次整数是高斯整数的推广，高斯整数中的虚数单位i被替换成一个复数ω。二次整数的形式是 u+v\omega ，其中 u和 v是整数， \omega 有两种形式，取决于参数 D。如果 D不等于四的倍数加一，那么：
如果 D等于四的倍数加一，那么：
如果二次整数环有像上文用来比较高斯整数的那样的范数函数，那么它就是规范欧几里德整环。只有当 D= −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57或73时，二次整数环才是规范欧几里德整环。 D= −1和−3时的二次整数分别叫作高斯整数和艾森斯坦整数。
但如果范数函数 f可以是任何欧几里得函数，那么使二次整数环是欧几里得整环的 D的可能值到目前为止还不确定。是欧几里得整环但不是规范欧几里德整环的第一个例子（ D=69）发表于1994年。温伯格於1973年证明，在广义黎曼猜想成立的前提下， D>0时的二次整数环是欧几里得整环，當且僅當它是一个主理想环。
其他数系 > 非交换环

辗转相除法也可以应用至非交换环，如赫尔维茨四元数。令 \alpha 和 \beta 表示这样一个环中的两个元素。他们有右公约数 \delta 如果 \alpha =\xi \delta ,  \beta =\eta \delta （ \xi 和 \eta 是环中的元素）。同样，他们有左公约数 \delta 如果 \alpha =\delta \zeta ,  \beta =\delta \eta （ \xi 和 \eta 是环中的元素）。因为乘法不符合交换律，也就有两个版本的辗转相除法，一个计算右公约数，一个计算左公约数。例如对于右公约数，辗转相除法求最大公约数的第一步可以写成：
其中 \psi _{0}是商， \rho _{0}是余数。对于左公约数，第一步过程是：
不管是哪一种，这个过程都会重复到最大左公约数或者最大右公约数计算出，像在欧几里得整环中一样， \rho _{0}的“大小”一定小于 \beta ，并且對於 \rho _{0}只有有限种的可能大小，这样才能保证算法能够结束。
由辗转相除法得出的大多数结果都适用于非交换环。例如，贝祖等式表明最大右公约数可以表示成α的倍数和β的倍数的和，即，存在 \sigma 和 \tau 使：
对于最大左公约数，等式如下：
贝祖等式可以用来解非交换环的丢番图方程。
推广至其他数学结构

辗转相除法有三个性质保证它不会永远进行下去。第一，它可以写成一系列递归式：
其中每一个余数都比前一个余数小， |r_{k}|<|r_{k-1}|。第二，余数的大小有嚴格下限，如 |r_{k}|\geq 0。第三，小于 |r_{k}|的数的数量是有限的。辗转相除法推广至其他数学结构，如纏結（英语：）和超限序数时仍保持这种性质。
辗转相除法的一个重要推广是代数几何中格罗布纳基的概念。像前文所述， a和 b的最大公约数 g是它们的理想的生成元素。也就是说，对任何整数 s和 t，存在另一个整数 m使：
虽然这对一元多项式也成立，但是对多元多项式就不成立了。在多元多项式的情况下，生成元素的有限集合 g_{1},g_{2},\cdots 可以定义如下：
其中 s、 t和 m_{k}是多元多项式。任何这样的多元多项式 f可以表示成生成多项式的和加上惟一的余数多项式 r, 通常叫做多项式 f的一般形式。
虽然商多项式 q_{k}可能不惟一。这些生成多项式的集合就叫做格罗布纳基。
一个24×60的长方形正好被十个12×12的方格填满，其中12是24和60的最大公约数。一般地，当且仅当 c是 a和 b的公约数时， a\times b尺寸的长方形可被边长c的正方形正好填满。
算法的演示动画。最初的绿色矩形的长和宽分别是 a=1071、 b=462，从中不断铺上462×462的正方形直到剩下部分面积是462×147；然后再铺上147×147的正方形直至剩下21×147的面积；最后，铺上21×21的正方形时，绿色部分就没有了。即21是1071和462的最大公约数。
辗转相除法可能在欧几里得之前几个世纪就已经有了。图为使用两脚规进行测量。
线性丢番图方程： 9x+12y=483的图像，它的解用蓝点表示。
用辗转相除法求 GCD(x,y) 时所需的步数。红点表示所需步骤较少（快），黄、绿、蓝点所需步骤依次增加（慢）。
高斯素数u + vi在复平面的分布，其中u2 + v2小于500。
艾森斯坦素数 u+v\omega 在复平面的分布（范数小于500， \omega 等于1的立方根）。
辗转相除法可以推广至纽结理论。
成都琉璃厂窑

| 琉璃厂窑址> 成都市文物保护单位 |
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地址: 四川省成都市锦江区
分类: 古遗址
时代: 五代-明
编号: 7-1
认定时间: 2020年7月5日
成都琉璃厂窑，又名华阳窑，位于中华人民共和国四川省成都市锦江区柳江街道琉璃村6组、包江桥村1组，始烧于五代时期，停烧于明代，共历时700余年，是成都平原著名的官办古窑场之一。2018年成都文物考古研究院对该遗址进行了考古发掘，发现了众多五代至两宋时期的窑炉和作坊建筑，以及大量陶瓷器。成都地区前蜀永陵、明代朱悦燫墓中也曾出土过该窑烧制的陶瓷器。2020年该遗址以“琉璃厂窑址”的名义被列入成都市文物保护单位。其所在地的地名“琉璃场”，以及临近的成都地铁琉璃场站均因琉璃厂窑而得名。
图片

酱釉双系瓷罐，宋，成都隋唐窑址博物馆藏
青釉瓷注壶，宋，成都隋唐窑址博物馆藏
褐釉白彩瓷钵，宋，成都隋唐窑址博物馆藏
青釉绿彩瓷罐，五代，成都隋唐窑址博物馆藏
褐釉瓷罐，宋，成都隋唐窑址博物馆藏
武士俑，宋，成都隋唐窑址博物馆藏
羊俑，宋，成都隋唐窑址博物馆藏
丹麥的提拉公主 (1853-1933)

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提拉·愛美莉·卡羅琳·夏洛特·安娜（Thyra Amalie Caroline Charlotte Anna，1853年9月29日—1933年2月26日），為丹麦公主，是丹麦國王克里斯蒂安九世和路易丝王后的第五個孩子和第三個女兒，漢諾威王儲妃、坎伯兰和特维奥特戴尔公爵夫人。
1878年12月22日，提拉在哥本哈根与远房表哥漢諾威王儲恩斯特·奧古斯特结婚，婚后有三子三女。
称号及头衔

1853年9月29日-1878年12月21日：丹麦的提拉公主殿下（HKH Prinsesse Tira af Danmark）
1878年12月21日-1923年11月14日：坎伯兰和特维奥特戴尔公爵夫人殿下（HRH The Duchess of Cumberland and Treviotdale）
1878年12月21日-1923年11月14日：汉诺威王储妃殿下（HRH Kronprinzessin Hannover）
1923年11月14日-1933年2月26日：汉诺威王妃殿下（HRH Princess of Hannover）
參考資料

（页面存档备份，存于） - DIS-Forum :: AneEfterlysning :: Prinsesse Thyras uægte barn
|  论 编 英国王妃  |
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英王乔治一世正式使用“王子”与“公主”来称呼英国王室成员，故英国王妃从乔治一世的儿媳妇那一代开始算起。
第1代:  勃兰登堡-安斯巴赫的卡罗琳（王后） 
第2代:  薩克森-哥達-阿爾滕堡的奧古絲塔（威尔士王妃） 
第3代:  梅克伦堡-施特雷利茨的夏洛特（王后）  瑪麗亞·沃波爾（格洛斯特及爱丁堡公爵夫人）  安妮·霍爾頓（坎伯蘭和斯特拉森公爵夫人） 
第4代:  不伦瑞克-沃尔芬比特尔的卡罗琳（王后）  普魯士的弗蕾德里克·夏洛特（约克及奥尔巴尼公爵夫人）  薩克森-邁寧根的阿德萊德（王后）  萨克森-科堡-萨尔费尔德的维多利亚（肯特及斯特拉森公爵夫人）  梅克倫堡-施特雷利茨的弗蕾德里克（汉诺威王后）  黑森-卡塞爾的奧古斯塔（剑桥公爵夫人）  大不列颠的玛丽（格洛斯特及爱丁堡公爵夫人）* 
第5代:  薩克森-阿爾滕堡的瑪麗（汉诺威王后） 
第6代:  丹麦的亚历山德拉（王后）  瑪麗亞·亞歷山德羅夫娜（薩克森-科堡-哥達公爵夫人）  普魯士的路易絲·瑪格麗塔（康诺特及斯特拉森公爵夫人）  瓦爾德克和皮爾蒙特的海倫（奥尔巴尼公爵夫人）  丹麦的提拉（汉诺威王储妃） 
第7代:  特克的玛丽（王后）  法夫的亚历山德拉（法夫女公爵）*  石勒苏益格-荷尔斯泰因的维多利亚·阿德莱德（薩克森-科堡-哥達公爵夫人）**  普鲁士的维多利亚·路易丝（不伦瑞克公爵夫人）** 
第8代:  伊丽莎白·鲍斯-莱昂女勋爵（王后）  爱丽斯·蒙塔古-道格拉斯-斯科特女勋爵（格洛斯特公爵夫人）  希腊及丹麦的玛丽娜（肯特公爵夫人） 
第9代:  比哲特·范·德烏爾斯·亨里克森（格洛斯特公爵夫人）  凯瑟琳·和斯利（肯特公爵夫人）  瑪麗·克里斯蒂·馮·雷尼茨女男爵（肯特迈克尔王妃） 
第10代:  戴安娜·斯宾塞女勋爵（威尔士王妃）**  卡米拉·尚德（王后）  莎拉·费格逊（约克公爵夫人）**  苏菲·惠斯-钟斯（爱丁堡公爵夫人） 
第11代:  凯瑟琳·密道顿（威尔士王妃）  梅根·马克尔（萨塞克斯公爵夫人） 
* 原先即为英国公主 ** 丈夫失去资格或离婚的王妃
|  论 编坎伯蘭和特維奧特戴爾公爵夫人 |
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 梅克倫堡－施特雷利茨的弗雷德里卡（英语：）（1815年－1841年）  薩克森－阿爾滕堡的瑪麗（英语：）（1843年－1878年）  丹麥的提拉（1878年－1919年） 
|   |
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国际:  VIAF  WorldCat 
各地:  德国 
人物:  德意志传记 
其他:  SNAC
陇海东路站

陇海东路站是郑州地铁2号线的地铁车站，位于中华人民共和国河南省郑州市管城回族区陇海路与紫荆山路交叉口南侧，在2016年8月19日随着郑州地铁2号线一期的开通而投入使用。
車站結構

陇海东路站的主体结构设于陇海东路与紫荆山路交叉口南侧的紫荆山路地下，呈南北走向。车站为地下二层车站，B1层为站厅层，B2层为站台层。
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
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| 1F | 地面 | 所有出入口 | 所有出入口 | 所有出入口 |
| B1F | 站厅 | 客服中心、自动售票机、行李检查、闸机、车站控制室 | 客服中心、自动售票机、行李检查、闸机、车站控制室 | 客服中心、自动售票机、行李检查、闸机、车站控制室 |
| B2F |  █ 2号线 |  往贾河方向（东大街） |  往贾河方向（东大街） |  往贾河方向（东大街） |
| B2F | 岛式站台 |  卫生间 |  至站厅 |  |
| B2F |  █ 2号线 |  往南四环/城郊线郑州航空港站方向（二里岗） |  往南四环/城郊线郑州航空港站方向（二里岗） |  往南四环/城郊线郑州航空港站方向（二里岗） |
車站結構 > 站厅与装饰

陇海东路站的站厅位于B1层，设有客服中心、自动售票机、行李检查等设施。站厅由闸机和栏杆分隔为付费区和非付费区，付费区内设有自动扶梯、步梯和无障碍电梯连接站台层。车站控制室设于站厅北端近D口通道处。
该站為2號線一期工程6座設有文化牆的車站之一，在站厅設有名為《祈·佑》的文化牆，主題為石刻文化。該作品由鄭州市雕塑壁畫院設計，總長15米，高3.2米
。作品由黄金麻石材浮雕製作而成，糅合了中國著名的石窟藝術和石刻精品，進行重新疊加、組合，同時充分表現了本地石刻元素。文化牆最大的面積留給了龍門石窟。構圖上，作者趙靜利用佛教畫中常見的升騰煙霧，對畫面進行分割、分層，讓人有種「撥開雲霧見月明」的感覺。處於作品視覺中心的是敦煌的彩色壁畫。整件作品從左到右分別是樂山大佛、鄭州博物館的武士雕像、滎陽大海寺菩薩、雲岡石窟、麥積山石窟、大足石刻、鞏縣石窟、敦煌石窟、敦煌石窟蓮座、龍門石窟。
車站結構 > 站台

陇海东路站设一座岛式站台，位于B2层，安装有高站台门。站台呈南北向，西侧站台面由2号线下行（南四环/城郊线郑州航空港站方向）列车使用，东侧站台面由2号线上行（贾河方向）列车使用。在站台北端设有卫生间。
車站結構 > 出入口

陇海东路站设A、B、C、D共4个出入口，连接地面与站厅的非付费区。其中A、D口位于紫荆山路东侧，B、C口位于紫荆山路西侧，D口设有无障碍电梯。
该站各出入口信息如下表所示。
參考資料

1 2 3 4 5  . 郑州地铁集团.   [2019年5月29日]. （原始内容存档于2021年5月16日）.
↑  . 河南日报. 2016-08-19  [2016-08-19]. （原始内容存档于2016-08-20）.
↑  . 大河网-河南商报 . 2016-06-22  [2017-03-15]. （原始内容存档于2020-04-05）.
1 2  . 大河网. 2016-08-15  [2017-03-15]. （原始内容存档于2020-04-05）.
余子明

| 余子明 |
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2021年11月6日，余子明出席ViuTV劇集《940920》開鏡拜神儀式
男演员
罗马拼音: Yu Chi Ming
昵称: 大眼雞 子明叔（後輩尊稱）
别名: 凌平
国籍:  中华人民共和国（香港）
籍贯: 廣東澄海
出生: 1944年12月9日  日佔香港
逝世: 2022年11月10日(2022歲—11—10)（77歲）  香港跑馬地
死因: 中風後遺症（特發性肺纖維化）
职业: 演員、主持人、歌手
语言: 粵語、英語、普通話、潮州話
教育程度: 中學
母校: 西南中學
宗教信仰: 佛教
配偶: 馮素雲 （1972年结婚—2022年結束）
儿女: 長子：余天佑（Elvin） 次子：余天寶 幼女：余天欣
亲属: 姨姐：馮素波 小舅：馮克安 小姨：馮寶寶
出道地点:  英屬香港
出道日期: 1960年代
出道作品: 《歡樂今宵》之單吊西與大眼雞
代表作品: 電視劇：《烈火雄心》 《封神榜》 《水髮胭脂》 《940920》 電視節目：《歡樂今宵》
著名角色: 大眼雞 —《歡樂今宵》之單吊西與大眼雞 司徒根德 —《烈火雄心》 姜子牙 —《封神榜》 田錦富 —《水髮胭脂》 林彥秋 —《940920》
活跃年代: 1960年代至2022年
经纪公司: 麗的電視（1974年至1976年） 無綫電視（1976年至1986年；1997年至2020年）
相关团体: 1966年（歌手） 1974年（演員）

余子明（英語：，1944年12月9日—2022年11月10日），香港男性甘草演員，前無綫電視基本藝人合約藝員，是前香港演員馮克安和馮寶寶的姐夫及馮素波妹夫，妻子是馮素雲（馮素波的妹妹）。其最著名的角色為在1970至1980年代於無綫綜藝節目《歡樂今宵》內《單吊西與大眼雞》趣劇單元中所飾演的「大眼雞」（夏雨飾「單吊西」），以及先後於1981年無綫電視劇《封神榜》以及2001年的《封神榜》中所飾演的姜子牙。余子明自1990年代末起曾擔任大量電視劇的甘草角色，擅演長者、潮州人、太監等角。余子明進入電視界前師承聲樂老師、女高音韋秀嫻。
生平 > 早年生活

余子明生於香港，成長於於小康之家，其父在香港島干諾道西三角碼頭一帶經營類似客棧的接待生意，負責招待來自越南、泰國等地的採購客人。他在讀小學時因為被學校的壞學生誤導而誤入歧途。不但沒有上學，而且花費學費到處遊玩。另一方面卻獲老師選中在學校（中學）校慶或其他校內活動場合表演話劇，又在朗誦比賽中得到冠軍獎項。當年，他在西南中學完成學業後，曾在香港商人羅康瑞父親羅鷹石位於上環文咸西街的南北行公司工作了一年，後來因為被其他同事欺負而決定辭職。
余子明在17至18歲時，經一個朋友介紹到位於馬師道的報館任職校對員，由於其姐夫在當時的《南華晚報》報社任職編輯主任，於是便轉職到該處工作。此前，他到處吃喝玩樂，沒有正職在身。余子明當了報館職員一段時間後轉任南華晚報港聞組見習記者。事緣他的同事跟進小童被巴士撞倒的新聞，但礙於難以與肇事現場的潮州人溝通，氏毛遂自薦到事發地點進行採訪。此後他在數年間同時負責為《天天日報》和《南華晚報》的一些新聞撰寫報道，也兼寫影評。
生平 > 演藝事業

自小喜歡唱歌的余子明同期開始與馮素波和歌手鄭錦昌等人一同在香港的潮僑中學與其他場所唱歌演出。1966年，他參加《星島晚報》舉辦的「第七屆全港業餘歌唱比賽」，以《好姑娘》一曲入圍國語時代曲組決賽。翌年，他再以《告訴羅娜我愛她》一曲取得前述比賽的季軍獎項。1968年則再度用「凌平」的筆名參加同一個賽事，並且以黃清元《蔓莉》一曲奪得冠軍金牌。另外也有兩份獎品，分別為一張來回泰國的機票和一份EMI唱片公司的歌手合約。翌年他以記者身份到北角一間新開業、名為「銷金窩」的夜總會（花園餐廳所在地）進行採訪。當時他在台上唱了一首歌後獲夜總會的經理邀請到「銷金窩夜總會」當歌手唱歌。由於酬勞吸引，余子明便答應演出。在當歌手的數個月內，他曾與徐小鳳同台演出，獲得聽眾好評。其後夜總會林立，他到過不同的夜總會、新加坡以及印尼演出。不過基於當時香港不少夜總會沒有歌舞廳牌照，所以令余子明無法再在這些地方唱歌，輾轉到戲院演出。
而在1960至1970年代，余子明簽過一份新加坡歌手合約（長約），這使他在結婚之後留在當地居住。其後因為新加坡政府推行非本地居民不能夠在當地工作超過1年的政策，致使余子明被迫返回香港《南華晚報》報社工作，負責撰寫娛樂版新聞，時維1974年。同期仍夥拍台灣藝人林沖等人到外地演唱，且接演本地小型歌劇。不久，女演員錢蓉蓉與他開始合演文明戲（即上世紀初曾在上海一帶流行無正式劇本的話劇。）直至1976年5月，電視台綜藝科高層馮吉隆致電余子明，說周梁淑怡有意找他演出《歡樂今宵》。當年他正在麗的電視出演文明戲節目，電視台高層有意與他續約，惟余子明沒有答允續約，後正式加入無綫電視至1984年2月為止。約滿後他於新加坡一間戲院負責台前幕後工作，同年年尾與劉天賜及何家聯洽談重返無綫電視條件，結果雙方達成共識，合約期至1986年9月30日屆滿。他約滿後首兩年在泰國經營生意，往後轉往其他地方從事貿易活動。其時因香港樓價高昂，為了讓家人擁有更好的生活，他選擇舉家移民加拿大溫哥華，留加期間曾前往新加坡登台唱歌。到了1997年6月1日才重返無綫電視。
及後於2000年，余子明在杭州拍攝劇集《尋秦記》期間不慎從馬車跌下撞傷頭部，經檢查後發現腦積血，並且到養和醫院留醫，接受腦部手術。2020年8月，他因不願被無綫改簽一年一騷合約而離巢，《踩過界2》為其告別作；翌年為ViuTV拍攝電視劇《940920》，此劇為余子明最後作品。2022年1月，他在家跌倒而引發缺血性腦中風，令左半身一時癱瘓和需以輪椅代步。隨後他因中風後而導致患上特發性肺纖維化，同年11月10日在醫院逝世，享壽78歲。生前曾在無綫電視2011年醫療資訊節目《健康奇案錄》中，表示自己晩年曾患上了心臟病，偶爾參與客串演出香港及海外發展電視和電影界等等。
個人生活

余子明於1960年代尾一次和演員馮素波到印尼演出時，結識了馮素波的妹妹馮素雲。後有馮素波和余子明的母親及姊姊牽紅線，加上馮峰（馮素波與馮素雲的父親）對氏的印象好，余子明與馮素雲便於1972年年初訂婚，繼而於同年4月12日結為夫妻。兩人婚後育有兩子一女。
余子明曾被人誤會與馮素波成婚。這是由於馮素波與馮素雲的樣貌相似所致。女演員陳齊頌和監製梅小青等娛樂圈人士亦曾有所誤會。當余子明成婚派發喜帖時，記者朋友以為他弄錯帖上自己妻子的姓名。直至後來，仍然有人以為他的妻子是馮素波。他要多番解釋才能釋除誤會。
另外於1982年元旦，余子明於北角錦屏街歸家途中，遭劫匪打劫以致受傷住院。
演出作品

*以下列表只記錄子明演出過的電影及電視劇作品，若有遺漏，請協助補充相關資料。
演出作品 > 電視劇（ViuTV）

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| 首播 | 名稱 | 角色 | 備註 |
| 2022年 | 940920 | 林彥秋 | 此劇是他逝世前最後一部參演及播出的劇集。 |
演出作品 > 電影

1973年：阿福正傳
1976年：溫拿與教授
1976年：失魂炳與綽頭王 飾 明仔
1978年：愛慾狂潮
1978年：鬼馬狂潮
1978年：大搶特腸
1978年：鬥串
1978年：大林巴
1979年：大鬥大
1979年：出貓
1979年：各師各法
1979年：戇居仔與牛咁眼
1979年：打籐
1979年：掃黃奇趣錄
1981年：財神到
1982年：小生怕怕
1984年：最佳拍檔女皇密令 飾 售貨員
1985年：福星高照
1985年：恭喜發財
1985年：歡場
1986年：開心鬼撞鬼 飾 醫生
2003年：低一點的天空
2009年：金錢帝國 飾 楊咩
2010年：美麗密令 飾 老馮
2014年：賭城風雲 飾 華叔
2019年：家和萬事驚 飾 魚販
演出作品 > 電視電影（J2）

2018年：網戰（粵语：）
演出作品 > 電視節目

1976年至1984年2月、1984年尾至1986年：歡樂今宵（主持、無綫電視）
1983年至1984年：歡樂今宵之泰禾米養百樣人 飾 雷堅（與廖偉雄所飾演的雷強共同主持）
1991年：向每顆星致敬（嘉賓、亞洲電視）
1998年至2000年：週日青春派（第1輯演出、無綫電視）
2011年：健康奇案錄（第22集嘉賓、無綫電視）
2017年：我愛EYT（第1集嘉賓、無綫電視）
2020年：流行經典50年（第4集嘉賓、無綫電視）
演出作品 > 音樂錄像

2009年：郭偉亮《WOW!》
演出作品 > 演唱會

2019年12月30日：素仰大明演唱會
注釋

↑  根據余子明在香港電台第二台廣播節目《守下留情》於2017年1月10日播放的訪問錄音中提及，「凌平」是他任職報館記者時使用的筆名，亦是他第一個想追求的對象的真實名字。
↑  根據無綫電視「東張+」網站報道，2022年11月17日為余子明的農曆生日。以此日子對照萬年曆所得，其生日為農曆十月廿四日。余子明生於1944年，而該年的農曆十月廿四日為新曆12月9日。因此，余子明的新曆出生日子為12月9日。另外，余子明兒子為余子明開設的Instagram以「yuchiming1944」命名。
↑  余子明是正宗潮州人，加上他小時候住在潮州人流連的地區。所以他懂得聽和講不同部分的潮汕片方言。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  關於余子明家庭背景、校園與早年生活、於南北行公司以及任職報館的內容取自香港電台第二台廣播節目《守下留情》於2017年1月9日播放的余子明訪問錄音。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18  關於余子明任職報館時經歷、參加唱歌比賽以及展開歌唱事業的內容取自香港電台第二台廣播節目《守下留情》於2017年1月10日播放的余子明訪問錄音。
↑  由余子明翻唱的《蔓莉》曾收錄於黑膠碟當中。
↑  有關賽事報道可見於1968年8月出版的第41期《婦女生活》月刊，報導題為〈青年樂壇：玉喉金嗓響遏行雲〉。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15  關於余子明於電視業界發展前後經過、首次約滿無綫電視及移居加拿大生活前後經過的內容取自香港電台第二台廣播節目《守下留情》於2017年1月11日播放的余子明訪問錄音。
↑  內容取自1992年無綫電視清談節目《鄭裕玲星夜傾情。》
1 2  關於余子明重返無綫電視的內容取自香港電台第二台廣播節目《守下留情》於2017年1月13日播放的余子明訪問錄音。
1 2 3 4  關於余子明與馮素雲相識至結婚的內容取自香港電台第二台廣播節目《守下留情》於2017年1月12日播放的訪問錄音。
參考來源

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↑  . 華僑日報. 1969-02-14: 20  [2022-11-12].
↑  . 明報周刊. 2020-03-04  [2020-03-04]. （原始内容存档于2020-09-18）.
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1 2 3 4  . 香港蘋果日報. 2000-10-13  [2022-11-12]. （原始内容存档于2022-11-12）.
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↑  鄺狄. . 《香港電視》. 1984-01-12, (845): 47.
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↑  . 星島日報. 2020-01-02  [2020-03-04]. （原始内容存档于2020-09-16）.
外部連結

余子明的Instagram帳戶
余子明在互联网电影资料库（IMDb）上的資料（英文）（英文）
余子明在香港影庫上的簡介
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1968年8月第41期《婦女生活》月刊，題為〈青年樂壇：玉喉金嗓響遏行雲〉之報導 （页面存档备份，存于）
華盛頓鎮區 (印第安納州帕特南縣)

| 華盛頓鎮區 Washington Township |
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行政鎮區

華盛頓鎮區華盛頓鎮區在印第安納州的位置
坐标：39°32′35″N 86°57′19″W﻿ / ﻿39.54306°N 86.95528°W﻿ / 39.54306; -86.95528
國家: 美国
州份: 印第安納州
縣: 普特南縣
面积
 • 总计: 138.00 平方公里（53.28 平方英里）
 • 陸地: 137.20 平方公里（52.97 平方英里）
 • 水域: 0.80 平方公里（0.31 平方英里）
海拔: 217 公尺（712 英尺）
人口（2010）
 • 總計: 2,493人
 • 密度: 18.1人/平方公里（46.8人/平方英里）
时区: 北美东部時區（UTC-5）
 • 夏时制: EDT（UTC-4）
電話區號: 765
GNIS ID: 454015
華盛頓鎮區（英語：）是位於美國印第安納州普特南縣的一個行政鎮區。
地方資料

根據2010年美國人口普查的數據，華盛頓鎮區的面積為138.00平方千米，當中陸地面積為137.20平方千米，而水域面積為0.80平方千米。當地共有人口2493人，而人口密度為每平方千米18.07人。
參考文獻

↑  . 美国人口调查局.   [2011-05-14]. （原始内容存档于2013-09-11）.
↑  .   [2020-08-17]. （原始内容存档于2020-04-22）.
Template:普特南縣 (印第安納州)
2023年台灣企業甲級足球聯賽

| 賽季資料 |
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: 2023
屆數: 第7屆
賽季成績總結
賽季統計
比賽場數: 56場
入球總數: 154球（每場2.75球）
觀眾人數: 6,898人（每場123人） 
賽季紀錄
: 8球   Jhon Miky Benchy Estama   Marco Fenelus
最長連勝: 5場 南市台鋼 (2023/4/30-2023/5/21)
最長不敗: 9場 南市台鋼 (2023/4/30-2023/6/4)
最長連敗: 9場 臺北龍(2023/4/23-2023/6/4)
最長不勝: 14場 臺北龍 (2023/4/16-2023/7/8)
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2023年台灣企業甲級足球聯賽，是第七屆台灣企業甲級足球聯賽，為中華民國足球協會主辦的台灣足球最高層級賽事。聯賽於2023年4月16日開幕，並維持三循環賽事，今年碰上112年全國運動會以及杭州亞運，因此在賽程安排上較為緊湊，部分場次也移至平日舉行，本賽季採取主客場制，在外援政策上也改成5+1，各隊能夠擁有6名外援。

本季參賽球隊為南市台鋼、FUTURO、台灣電力、新北航源FC、台灣石虎、台北競技、銘傳大學及臺北龍。
參賽隊伍

| 球隊 | 英文名稱 | 地區 | 主場 | 首次參賽 |  2022 成績 |
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| 南市台鋼 | Tainan City Taiwan Steel（英语：） | 台南市 | 台南市立足球場（永華足球場） | 2017 | 冠軍 |
| FUTURO | FUTURO Football Academy（英语：） | 台中市 | 台中太原足球場 | 2019 | 亞軍 |
| 台灣電力 | Taiwan Power Company（英语：） | 高雄市 | 高雄國家體育場 | 2017 | 季軍 |
| 新北航源FC | New Taipei City Hang Yuan F.C.（英语：） | 新北市 | 輔大足球場 | 2017 | 第四名 |
| 台灣石虎FC | Leopard Cat F.C.（英语：） | 台北市 | 臺北田徑場 | 2017 | 第五名 |
| 台北競技 | Athletic Club Taipei（英语：） | 台北市 | 台北大學足球場 | 2022 | 第六名 |
| 銘傳大學 | Ming Chuan Univercity F.C.（英语：） | 桃園市 | 銘傳龜山足球場 | 2017 | 第七名 |
| 臺北龍 | Taipei Deva Dragons（英语：） | 台北市 | 無 | 2018 | 台乙冠軍 |
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升級自台灣乙級足球聯賽
臺北龍
比賽場地

| 場地 | 地點 | 容納人數 |
| --- | --- | --- |
| 台北田徑場 | 台北市 | 20,000 |
| 輔大足球場 | 新北市 | 3,000 |
| 台北大學足球場 | 新北市 |  |
| 銘傳大學足球場 | 桃園市 | 5,000 |
| 國立體育大學 | 桃園市 | 3,000 |
| 台中太原足球場 | 台中市 | 600  |
| 台南市立足球場（永華足球場） | 台南市 | 2,000 |
| 新營體育場 | 台南市 | 30,000 |
| 國家體育場 | 高雄市 | 55,000 |
| 楠梓足球場 | 高雄市 | 4,200 |
| 宜蘭運動公園複合式田徑場 | 宜蘭縣 | 1000 |