黑塞矩陣
應用 > 函數的極值條件

對於一元函数 f(x)\,，在給定區間內某 x=x_{0}\,點處可導，並在 x=x_{0}\,點處取得極值，其必要條件是
即函數 f(x)\,的極值必定在駐點處取得，或者說可導函數 f(x)\,的極值點必定是駐點；但反過來，函數的駐點不一定是極值點。檢驗駐點是否為極值點，可以採用二階導數的正負號來判斷。根據函數 f(x)\,在 x=x_{0}\,點處的泰勒展開式，考慮到上述極值必要條件，有
若 f(x)\,在 x=x_{0}\,點處取得極小值，則要求在 x=x_{0}\,某一鄰域內一切點 x\,都必須滿足
即要求
亦即要求
f(x)\,在 x=x_{0}\,點處取得極大值的討論與之類似。於是有極值充分條件：
設一元函数 f(x)\,在 x=x_{0}\,點處具有二階導數，且 f'(x_{0})=0\,， f''(x_{0})\neq 0\,，則
當 f''(x_{0})>0\,時，函數 f(x)\,在 x=x_{0}\,處取得極小值；
當 f''(x_{0})<0\,時，函數 f(x)\,在 x=x_{0}\,處取得極大值。
而當 f''(x_{0})=0\,時，無法直接判斷，還需要逐次檢驗其更高階導數的正負號。由此有一个規律：若其開始不為零的導數階數為偶數，則駐點是極值點；若為奇數，則為拐點，而不是極值點。
對於二元函数 f(x_{1},x_{2})\,，在給定區域內某 x_{0}(x_{10},x_{20})\,點處可導，並在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,點處取得極值，其必要條件是
即
同樣，這只是必要條件，要進一步判斷 x_{0}(x_{10},x_{20})\,是否為極值點需要找到取得極值的充分條件。根據函數 f(x_{1},x_{2})\,在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,點處的泰勒展開式，考慮到上述極值必要條件，有
設 A=f_{x_{1}x_{1}}(x_{0})\,， B=f_{x_{1}x_{2}}(x_{0})\,， C=f_{x_{2}x_{2}}(x_{0})\,，則
或
若 f(x_{1},x_{2})\,在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,點處取得極小值，則要求在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,某一鄰域內一切點 x\,都必須滿足
即要求
亦即要求 A>0\,， AC-B^{2}>0\,
即
 \left.{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}\right|_{x_{0}}>0\,


 {\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}-({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}})^{2}\end{bmatrix}}_{x_{0}}>0\,
此條件反映了 f(x_{1},x_{2})\,在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,點處的黑塞矩陣 G(x_{0})\,的各階主子式都大於零，即對於
要求

 \left.{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}\right|_{x_{0}}>0\,
|G(x_{0})|={\begin{vmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}\end{vmatrix}}_{x_{0}}>0\,
f((x_{1},x_{2})\,在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,點處取得極大值的討論與之類似。於是有極值充分條件：
設二元函数 f(x_{1},x_{2})\,在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,點的鄰域內連續且具有一階和二階連續偏導數，又有 f_{x_{1}}(x_{0})=f_{x_{2}}(x_{0})=0\,，同時令 A=f_{x_{1}x_{1}}(x_{0})\,， B=f_{x_{1}x_{2}}(x_{0})\,， C=f_{x_{2}x_{2}}(x_{0})\,，則
當 A>0\,， AC-B^{2}>0\,時，函數 f(x_{1},x_{2})\,在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,處取得極小值；
當 A<0\,， AC-B^{2}>0\,時，函數 f(x_{1},x_{2})\,在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,處取得極大值。
此外可以判斷，當 AC-B^{2}<0\,時，函數 f(x_{1},x_{2})\,在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,點處沒有極值，此點稱爲鞍點。而當 AC-B^{2}=0\,時，無法直接判斷，對此，補充一個規律：當 AC-B^{2}=0\,時，如果有 A\equiv 0\,，那麼函數 f(x_{1},x_{2})\,在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,有極值，且當 C>0\,有極小值，當 C<0\,有極大值。
由線性代數的知識可知，若矩陣 G(x_{0})\,滿足
 \left.{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}\right|_{x_{0}}>0\,
則矩陣 G(x_{0})\,是正定矩陣，或者說矩陣 G(x_{0})\,正定。
若矩陣 G(x_{0})\,滿足
 \left.{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}\right|_{x_{0}}<0\,
則矩陣 G(x_{0})\,是負定矩陣，或者說矩陣 G(x_{0})\,負定。
於是，二元函數 f(x_{1},x_{2})\,在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,點處取得極值的條件表述為：二元函數 f(x_{1},x_{2})\,在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,點處的黑塞矩陣正定，則取得極小值；在 x_{0}(x_{10},x_{20})\,點處的黑塞矩陣負定，則取得極大值。
對於多元函數 f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\,，若在 x_{0}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\,點處取得極值，則極值存在的必要條件為
\nabla f(x_{0})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}_{x_{0}}^{T}=0\,
取得極小值的充分條件為
正定，即要求 G(x_{0})\,的各階主子式都大於零，即

 \left.{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}\right|_{x_{0}}>0\,
{\begin{vmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}\end{vmatrix}}_{x_{0}}>0\,


 \vdots 


 |G(x_{0})|>0\,

取得極大值的充分條件為
負定。