時頻分析
應用 > 取樣方法

取樣點數(sampling points) = 時頻分析面積的總和 + 其餘額外參數
如何使時頻分布的面積更小?
將原本訊號切割成數個部分。
使用啁啾乘法(chirp multiplications)、啁啾卷積(chirp convolutions)、分數傅立葉轉換或線性標準轉換減小面積。
Step 1. 解析訊號轉換
轉換訊號到座標軸的同一邊(一般是取該訊號的實數區)
x(t)\rightarrow {\begin{alignedat}{2}x_{a}(t)&=x(t)+jx_{H}(t)\\x_{a}(f)&=x(f)+jH(f)x(f)\\\end{alignedat}},\ x_{H}(t):{\text{Hilbert  transform of }}x(t)
H(f)={\begin{cases}-j,&{\text{for }}f>0\\j,&{\text{for }}f<0\end{cases}},x_{a}(f)={\begin{cases}2x(f),&{\text{for }}f>0\\0,&{\text{for }}f<0\end{cases}}
Step 2. 訊號拆解
使用短時距傅立葉變換(因為訊號包含許多不同成分)來拆解訊號成許多部份。
Step 3. 使用斜推(shearing)或旋轉(rotation)使各個部分減少到最小"面積"
使用韋格納分布方程(Wigner distribution function, WDF; 因為此時訊號為單一成分且屬隨機程序)來斜推和翻轉各個部份。
Step 4. 使用傳統採樣理論採樣各個成份
傳統的取樣方式
x_{d}[n]=x(n\vartriangle _{t}),\vartriangle _{t}<1/F
重建
x(t)=\sum _{n}x_{d}[n]sinc({\frac {t}{\vartriangle _{t}}}-n)
新的取樣方式
x(t)\rightarrow x_{a}(t)=x(t)+jx_{H}(t),\ x_{H}(t):{\text{Hilbert  transform of }}x(t)
x(t)\rightarrow x_{a}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+...+x_{K}(t)
y_{k}(t)=exp(j2\pi a_{k}t^{2})x_{k}(t),k=1,2,...,K
{\begin{aligned}x_{d,k}[n]&=y_{k}(n\vartriangle _{t,k})\\&=exp(j2\pi a_{k}n^{2}\vartriangle _{t,k}^{2})x_{k}(n\vartriangle _{t,k}),k=1,2,...,K\\\end{aligned}}
重建
y_{k}(t)=\sum _{n}x_{d,k}[n]sinc({\frac {t}{\vartriangle _{t,k}}}-n)
x_{k}(t)=exp(-j2\pi a_{k}t^{2})y_{k}(t)
x_{a}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+...+x_{K}(t)
x(t)=\Re [x_{a}(t)]
嚴格來說，沒有任何一個訊號的時頻分布"面積"是有限的，但是我們可以選擇一個閾值Δ，使時頻分析  \left\vert X(t,f)\right\vert >\bigtriangleup 或是分布的面積是有限的。但若以"面積"來討論取樣點數，也會犧牲一些精確度。
理論
如果 x(t)是時間上有限的 (x(t)=0{\text{ for }}t<t_{1}{\text{ and }}t>t_{2}), 則頻率上則不可能是有限的。
如果 x(t)是頻率上有限的 (X(f)=0{\text{ for }}f<f_{1}{\text{ and }}f>f_{2}),則時間上則不可能是有限的。
只取 t\in [t_{1},t_{2}]和 f\in [f_{1},f_{2}]犧牲的能量所佔的比例， err={\frac {\int _{-\infty }^{t_{1}}|x(t)|^{2}dt+\int _{t_{2}}^{\infty }|x(t)|^{2}dt+\int _{-\infty }^{f_{1}}|X_{1}(f)|^{2}df+\int _{f_{2}}^{\infty }|X_{1}(f)|^{2}df}{\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt}}
X_{1}(f)=FT[x_{1}(t)],x_{1}(t)=x(t){\text{ for }}t\in [t_{1},t_{2}],x_{1}(t)=0{\text{ otherwise }}
韋格納分布方程 (Wigner distribution function, WDF)
|x(t)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)df,|X(f)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dt
\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dfdt=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt={\text{ energy of }}x(t)
{\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{t_{1}}|x(t)|^{2}dt+\int _{t_{2}}^{\infty }|x(t)|^{2}dt+\int _{-\infty }^{f_{1}}|X_{1}(f)|^{2}df+\int _{f_{2}}^{\infty }|X_{1}(f)|^{2}df\\&=\int _{-\infty }^{t_{1}}\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dfdt+\int _{t_{2}}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dfdt+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{f_{1}}W_{x_{1}}(t,f)dfdt+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{f_{2}}^{\infty }W_{x_{1}}(t,f)dfdt\\&=\int _{-\infty }^{t_{1}}\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dfdt+\int _{t_{2}}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dfdt+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{-\infty }^{f_{1}}W_{x_{1}}(t,f)dfdt+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{f_{2}}^{\infty }W_{x_{1}}(t,f)dfdt\\&\cong \int _{-\infty }^{t_{1}}\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dfdt{\text{ (A) }}+\int _{t_{2}}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dfdt{\text{ (B) }}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{-\infty }^{f_{1}}W_{x}(t,f)dfdt{\text{ (C) }}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{f_{2}}^{\infty }W_{x}(t,f)dfdt{\text{ (D) }}\end{aligned}}
err\cong 1-{\frac {\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{f_{1}}^{f_{2}}W_{x}(t,f)dfdt}{\int _{-\infty }{\infty }|x(t)|^{2}dt}}