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朴奎利
影视作品 > 音樂劇

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| 年份 | 劇目 | 角色 | 時間 | 地點 | 備註 |
| 2011 | 《美女也煩惱（朝鲜语：）》 | 姜韓星 | 2011年10月8日－11月6日 | 日本 大阪松竹座 |  |
| 2011 | 《美女也煩惱（朝鲜语：）》 | 姜韓星 | 2011年11月26－2012年2月29日 | 韓國 CJ藝術中心 |  |
| 2021 | 《我愛你》 | 金恩珠 | 2021年8月14日－2021年10月30日 | 光林藝術中心BBCH大廳 |  |
| 2022 | 《歌謠 TOP10》 | 美善 | 2022年3月25日 | 雞龍文化藝術殿堂 |  |
| 2022 | 《歌謠 TOP10》 | 美善 | 2022年4月23日 | 咸安文化藝術會館 |  |
| 2022 | 《歌謠 TOP10》 | 美善 | 2022年8月30日－8月31日 | 巨濟文化藝術會館 |  |
| 2022 | 《歌謠 TOP10》 | 美善 | 2022年10月5日 | 慶尚南道咸陽郡 文化藝術中心 |  |
| 2022 | 《歌謠 TOP10》 | 美善 | 2022年10月26日 | 平昌文化藝術中心 |  |
| 2022 | 《歌謠 TOP10》 | 美善 | 2022年12月19日 | 旌善阿里郎中心 阿里郎館 |  |
| 2023 | 《Dream High》 | 尹白熙 | 2023年5月10日－2023年7月23日 |  |  |
音樂作品 > 原聲帶 (OST)

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| 發行日期 | 專輯名稱 | 曲目 | 備註 |
| 2010年12月16日 | 《大物OST Part.7》 | My love | 與姜知英、Soundtrack for Daemul |
| 2011年6月23日 | 《城市獵人OST Part.5》 | 그대만 봐요（只看著你） |  |
| 2011年7月22日 | 《愛情萬萬歲OST Part.1》 | 갈팡질팡（猶豫不決） | 與趙賢榮 |
| 2012年6月8日 | 《美味人生OST Part.2》 | I love you more than the soul |  |
| 2012年10月10日 | 《大風水OST Part.1》 | 운명을 깨고(打破命運) |  |
| 2013年5月10日 | 《美甲店ParisOST Part.1》 | 기다릴 거에요(我會等你) |  |
| 2013年7月22日 | 《破案天才伽利略第二季 OST》 | 至愛/Saiai（最偉大的愛）  KISSしテ/Kissshite（吻我） |  |
| 2014年9月10日 | 《鋼鐵人OST》 | Hello | 與韓昇延 |
| 2014年10月15日 | 音樂劇《菊花香》OST》 | 那時的你 | 與導慪（朝鲜语：） |
| 2014年12月15日 | 《Secret Love》OST》 | 初戀 | 與韓昇延 |
| 2016年4月8日 | 《兩個戀愛（朝鲜语：）OST》 | 春雪 |  |
| 2017年12月27日 | 《在你背上扣球OST Part.1》 | Universe |  |
音樂作品 > 合作歌曲

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| 發行日期 | 專輯名稱 | 曲目 | 歌手 |
| 2010年2月4日 | 洪京民 10輯《Special Edition》 | Day After | 洪京民（Feat. 奎利） |
| 2017年2月7日 | From The Airport 2輯  《The Boy Who Jumped》 | Night & Day | From the Airport（英语：）（Feat. 奎利） |
音樂作品 > 作詞

2012年 《Daydream》
2014年 《故事》(收錄於Kara迷你6輯Day & Night，與奎利、荷拉三人共同作詞)
電台主持

2010年 MBC Radio《深深打破》（）與神童共同主持（2010年5月6日－2011年10月2日）
綜藝節目 > 固定綜藝

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| 日期 | 節目名稱 | 備註 |
| 2007年8月8日－2007年12月12日 | KARA Mnet self camera 1 | 共5集 |
| 2008年8月19日-2008年10月17日 | KARA Mnet self camera 2 | 共8集 |
| 2009年4月2日－2009年4月30日 | 偶像軍團 Season 4 | MC |
| 2009年5月26日－2009年6月30日 | Kara's Meta Friends |  |
| 2009年11月25日－2010年1月13日 | Kara Bakery |  |
| 2010年11月20日－2010年11月27日 | Kara Special Day |  |
| 2011年9月7日－2013年9月21日 | KARA Channel | KARA Live On YouTube Channel |
| 2011年12月11日- 2012年2月19日 | Lululala | 固定成員 (9集) |
| 2012年6月17日- 2012年8月1日 | 無計畫家族 S1 |  |
| 2013年10月8日－2014年5月27日 | THE SHOW | MC (with 昇延) |
| 2014年6月9日－2014年6月23日 | 首先放飛SNS遠征隊 |  |
| 2017年3月29日－2017年4月20日 | tong by travel 日本佐賀篇 |  |
| 2018年2月6日－2018年4月10日 | The Beauty a Week |  |
| 2018年5月3日－2018年7月26日 | 狐狸們的隱密聊天S/S | MC |
| 2018年11月28日－2019年1月23日 | What Women Want | MC |
| 2020年3月31日－2020年8月20日 | Beaut & View | MC (with 咸𤨒晶) |
| 2023年6月30日－2023年9月1日 | R U Next? | 评委 |
獎項與提名

關於kara的相關獎項，請見Kara獎項。
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| 年度 | 頒獎典禮 | 獎項 | 作品 | 結果 | 備註 |
| 2017 | 第10屆 韓國電視劇節 | 韓流明星賞 | 無窮花開了 | 獲獎 |  |
| 2020 | 第十七屆摩納哥國際電影節 | 科幻奇幻電影獎 | Revive by TOKYO24 | 獲獎 |  |
参考资料

1 2  . 미래를 보는 신문 - 전자신문. 2024-01-26  [2024-01-29]. （原始内容存档于2024-01-29） （韩语）.
↑  . popnews. 2020-03-02  [2022-12-07]. （原始内容存档于2022-12-06）.
外部連結

奎利的Instagram帳戶
奎利的X（前Twitter）帳戶 （）
奎利的新浪微博 （简体中文） （）
朴奎利在NAVER上的资料（）
比流王

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比流王
諺文: 
汉字: 

文观部式: 
马-赖式: 
 
三国史记中的百济世系
比流王（？—344年）是百濟的第11代國王，304年至344年在位。據《三國史記》記載，他是仇首王的次子，沙伴王的弟弟。304年10月，汾西王被樂浪太守派人暗殺。因汾西王的兒子（即後世的契王）年幼，比流王遂被臣民推上了國王的寶座。
比流王在位期間曾試圖恢復百濟的軍事實力。312年，比流王任命解仇掌握軍權。320年在宮殿的西側建立射台，每月兩次進行軍事訓練。327年，內臣佐平優福（比流王的庶弟）在北漢山城（今京畿道廣州市）發動叛亂，被鎮壓。331年，百濟大旱。337年，新羅遣使訪問百濟。344年10月病逝。在位41年。
死後，由汾西王之子契王繼位。
參考文獻

《三国史記》第2卷 金富軾撰 井上秀雄譯注、日本平凡社〈東洋文庫425〉、1983 ISBN 4-582-80425-X
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| 前任： 汾西王 | 百濟國王 304年—344年 | 繼任： 契王 |
纖恙蟎

| 纖恙蟎 |
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科学分类 
界：: 动物界 Animalia
门：: 节肢动物门 Arthropoda
纲：: 蛛形纲 Arachnida
目：: 絨蟎目 Trombidiformes
科：: 恙蟎科 Trombiculidae
属：: 鈎恙蟎屬 Leptotrombidium
种：: 纖恙蟎 L. deliense
二名法
Leptotrombidium deliense 

纖恙蟎（學名：），又名地里恙蟎，俗稱沙蚤，是一種恙蟎科的蟎，屬於寄蟎總目的恙蟎目恙蟎科鉤恙蟎屬。牠們主要在濃密的灌木叢植被生活。纖恙蟎是恙蟲病的載體，其唾液帶有恙蟲東方體（），並透過咬野生的囓齒類動物或人類來傳播疾病。
參考文獻

↑  王錫杰.  (PDF). 衛生署疾病管制局研究檢驗中心. 2012-05-22  [2021-09-27]. （原始内容存档 (PDF)于2021-09-27） （中文（繁體））.
1 2  Pedro N. Acha; Boris Szyfres. . Pan American Health Org. 2003: 40–  [2010-04-13]. ISBN 9789275119921.
↑  Tseng BY, Yang HH, Liou JH, Chen LK, Hsu YH. . Kaohsiung J. Med. Sci. 2008-02, 24 (2): 92–8  [2010-09-19]. PMID 18281226. doi:10.1016/S1607-551X(08)70103-7. （原始内容存档于2012-02-15）.
參看

沙蚤病
外部連結

維基物種上的相關：纖恙蟎
比利时兄弟

| 比利时兄弟 |
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幕后
出生: 迪米特里·蒂瓦奥斯 迈克尔·蒂瓦奥斯  (1981-05-16) 1981年5月16日（43歲）（迪米特里）  (1985-12-03) 1985年12月3日（38歲）（迈克尔）  比利时维勒布鲁克
职业: DJ 唱片制作人
音乐类型: Electro house 大空间浩室（英语：） 漸進浩室 EDM Trap 電子浩室 硬派音樂 迷幻出神 未来浩室 蒙巴顿 未来贝斯 深度浩室 chillout（英语：） 流行舞曲
演奏乐器: 键盘 混音 合成器
活跃年代: 2007年至今
唱片公司: Smash the House（英语：） 斯宾尼唱片 Axtone Armada Music（英语：） 史诗唱片 Orchard（英语：） 索尼音樂娛樂
网站: dimitrivegasandlikemike.com
相关团体: W&W 哈德威爾 Ummet Ozcan（英语：） 3 Are Legend（英语：） 馬汀·蓋瑞克斯 史蒂夫·青木 Vinai（英语：） 艾佛傑克 提雅斯多 Tara McDonald（英语：） 大衛·庫塔 Nervo（英语：） KSHMR Steve Angello（英语：） Bassjackers（英语：） Wolfpack（英语：） 迪波洛 Fedde Le Grand（英语：） 尼歐 (歌手) GTA（英语：） Moguai（英语：）
现任成员
 迪米特里·蒂瓦奥斯（Dimitri Vegas）  迈克尔·蒂瓦奥斯（Like Mike） 
比利时兄弟（Dimitri Vegas & Like Mike）是希腊裔比利时籍唱片制作及DJ双人组，包括迪米特里·蒂瓦奥斯（Dimitri Thivaios）和迈克尔·蒂瓦奥斯（Michael Thivaios）兄弟。他们在2015年和2019年《DJ杂志》百大DJ排名中排名第一，2014年、2016年、2017年及2018年2020年排名第二。
获奖与提名

本表是動態列表，或許永遠不會完結。歡迎您參考可靠來源來。
获奖与提名 > DJ奖项

| 年份 | 类别 | 作品 | 结果 | Ref>  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2014 | Best Electro House DJ | 不適用 | 提名 |  |
| 2015 | Best Electro/Progressive House DJ | 不適用 | 提名 |  |
| 2015 | Best International DJ | 不適用 | 提名 |  |
| 2016 | Best Big Room House DJ | 不適用 | 提名 |  |
| 2016 | Best International DJ | 不適用 | 提名 |  |
| 2017 | Best Big Room House DJ | 不適用 | 提名 |  |
获奖与提名 > DJ杂志百大DJ

| 年份 | 排名 | 备注 | Ref>  |
| --- | --- | --- | --- |
| 2011 | 79 | New Entry |  |
| 2012 | 38 | Up 41 |  |
| 2013 | 6 | Up 32 |  |
| 2014 | 2 | Up 4 |  |
| 2015 | 1 | Up 1 |  |
| 2016 | 2 | Down 1 |  |
| 2017 | 2 | No Change |  |
| 2018 | 2 | No Change |  |
| 2019 | 1 | Up 1 |  |
获奖与提名 > International Dance Music Awards > Pre-2016

| 年份 | 类别 | 作品 | 结果 | Ref>  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2013 | Best Breakthrough DJ | 不適用 | 獲獎 |  |
| 2014 | Best European DJ | 不適用 | 獲獎 |  |
| 2014 | Best Group | 不適用 | 獲獎 |  |
| 2015 | Best European DJ | 不適用 | 獲獎 |  |
| 2015 | Best Group | 不適用 | 提名 |  |
| 2016 | Best R&B/Urban Dance Track | "Higher Place" | 提名 |  |
| 2016 | Best Electro/Progressive House Track | "Higher Place" | 提名 |  |
| 2016 | Best Electro/Progressive House Track | "The Hum" | 提名 |  |
| 2016 | Best European DJ | 不適用 | 獲獎 |  |
| 2016 | Best Group | 不適用 | 獲獎 |  |
获奖与提名 > International Dance Music Awards > 2018–present

| 年份 | 类别 | 作品 | Result | Ref>  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2020 | Best Male (Dance / Electronic) | 不適用 | 獲獎 |  |
获奖与提名 > MTV Europe Music Awards

| 年份 | 类别 | 作品 | 结果 | Ref>  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2014 | Best Belgian Act | Dmitri Vegas & Like Mike | 獲獎 |  |
| 2015 | Best Belgian Act | Dmitri Vegas & Like Mike | 獲獎 |  |
| 2018 | Best Belgian Act | Dmitri Vegas & Like Mike | 獲獎 |  |
获奖与提名 > NRJ Music Awards

| 年份 | 类别 | 作品 | 结果 | Ref>  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2016 | Best Collaboration of the Year | 不適用 | 提名 |  |
| 2016 | DJ Award D'Honneur | 不適用 | 獲獎 |  |
获奖与提名 > WDM Radio Awards

| 年份 | 类别 | 作品 | 结果 | Ref>  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2017 | Best Party DJ | 不適用 | 提名 |  |
| 2018 | Best Bass Track | "Complicated" | 提名 |  |
获奖与提名 > YouTube创作者奖

Dimitri Vegas & Like Mike （页面存档备份，存于）  (4.47 million subscribers - May 2020)
毛叶玉兰

| 毛叶玉兰 |
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科学分类 
界：: 植物界 Plantae
演化支：:  Tracheophyta
演化支：: 被子植物 Angiosperms
演化支：: 木兰类植物 Magnoliids
目：: 木兰目 Magnoliales
科：: 木兰科 Magnoliaceae
属：: 木兰属 Magnolia
种：: 毛叶玉兰 M. globosa
二名法
Magnolia globosa Hook. f. et Thoms.

毛叶玉兰（学名：）为木兰科木兰属的植物。分布在缅甸、锡金以及中国大陆的四川、云南、西藏等地，生长于海拔1,900米至3,300米的地区，一般生于山地林中，目前尚未由人工引种栽培。
异名

Magnolia globosa Hook. f. et Thomson ssp. wilsonii (Finet et Gagnep.) J. Li
Magnolia nicholsoniana Rehder et E. H. Wilson
Magnolia parviflora Sieb. et Zucc. var. wilsonii Finet et Gagnep.
Magnolia taliensis W. W. Smith
Magnolia wilsonii (Finet et Gagnep.) Rehd. f. taliensis (W. W. Smith) Rehd.
沙普利-福克曼引理

此處以四個集合的閔可夫斯基和為沙普利-福克曼引理的例證。在左邊，四個非凸集中的點(+)之和，就是右邊，其閔氏和凸包中的點(+)。左邊四點之中，有兩點位於相應的非凸集中，另有兩點位於非凸集的凸包中。各凸包以淺粉紅色畫出。原來的集合各只有兩點（以紅點表示）。
沙普利-福克曼引理是凸幾何（英语：）的一條引理，其於数理经济学有應用。引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的閔可夫斯基和，即從各集合分別取一個元素相加，組成的集合：例如，將整數 0和 1組成的集合，與自身相加，得到由 0,\ 1,\ 2組成的集合，以符號可寫成：
「許多個集合的閔氏和，是否必定近似凸集？」沙普利-福克曼引理和相關的結果表明，問題的答案為肯定。集合稱為凸，意思是連接其中任意兩點的线段，必為該集合的子集：舉例，實心圓盤  \bullet  為凸集，但圓  \circ  則不然，因為連接相異兩點的線段  \oslash  並不是圓的子集。沙普利-福克曼引理大致斷言，若求和項的數目超出向量空間的維數，則其閔氏和將近凸。
沙普利-福克曼引理引入時，是作為證明沙普利-福克曼定理的一步，該定理斷言閔氏和與其凸包的距離不超過某個上界。所謂集合 Q的凸包，是包含 Q的最小凸集。而當且僅當和為凸時，上述距離為零。定理中，距離的上界取決於維數 D及求和項的形狀，但不取決於求和的項數 N，而只需 N>D。只要其中 D個求和項的形狀，就足以確定 N個集合的閔可夫斯基平均集
與其凸包的距離的上界。當 N趨向無窮時，該上界遞減至零（需要各求和項的大小一致有界）。斯塔（Starr）的推论將沙普利-福克曼定理的上界壓得更低，故又稱為沙普利-福克曼-斯塔定理。
劳埃德·沙普利和強·福克曼（英语：）的引理，最先由經濟學家羅斯·斯塔（英语：）發表，其時斯塔正在肯尼斯·阿罗門下，研究經濟均衡的存在性。斯塔在論文中，研究凸化（convexified）經濟體，即將非凸集換成其凸包。斯塔證明，凸化之後，有些均衡由原經濟體的「準均衡」（quasi-equilibria）逼近；還證明，每個準均衡都具有真均衡的許多最優性質，而凸經濟體中則必定存在真均衡。斯塔1969年的論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結果得到廣泛應用，用作證明（凸）經濟理論的若干核心結果，儘管不適用於有非凸部分的大經濟體，但在此等經濟體中，仍是良好的近似。羅歇·蓋內里（英语：）評論：「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集（英语：），除了前述的劳埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸集（英语：）」，除以上得主著重外，還有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。
沙普利-福克曼引理在優化論和概率论皆有應用。優化論中，可以引理解釋，在求多個函数之和的最小值時，為何一些解法可以成功。概率論中，引理適用於證明隨機集（英语：）的「大數定律」。此定理先前僅在凸集的情況得證。
簡單例子

考慮凸的實數區間 [0,1]，其包含整數子集 \{0,1\}，且是其凸包（添加了兩點所連線段上的所有點）。僅得兩個元素的集合 \{0,1\}，複製成三份，並按元素求和，得到
（此處集合的和，是從各集合分別取一個元素相加，得到的可能結果的集合，稱為閔氏和。）和集的凸包則為區間 [0,3]。
區間 [0,3]中，每個數 x都可以寫成區間 [0,1]中某三個實數（允許重複）之和，例如將 x等分成三份即可。但使用沙普利-福克曼引理，則有更強的結論： [0,3]的每個數，都可以寫成 \{0,1\}中某兩個整數（允許重複），與 [0,1]中某一個實數之和。
凸包 [0,1]中的點，到 \{0,1\}的距離，至多為 1/2：
然而，考慮三個區間 [0,1]的閔氏平均
與其凸包 [0,1]的距離，僅為 1/6，即未平均前 \{0,1\}與 [0,1]距離（ 1/2）的三分之一。越多個集合相加，其閔氏平均就將凸包填得越滿：由閔氏平均至凸包的最遠距離，隨被加項數增加，而趨向於零。此為沙普利-福克曼定理的結論。
前置概念

沙普利-福克曼引理需要用到凸幾何（英语：）的若干定義和定理，本節將作簡介。
前置概念 > 實向量空間

二維的實向量空間上，有笛卡兒坐標系，將每點視為一對實數，稱為「坐標」，按慣例記為 x,\ y。笛卡兒平面上的兩點，可以逐個坐標相加：
此外，點也可以逐個坐標與實數 \lambda 相乘：
更一般而言，任何 D維（有限維）實向量空間，均可視為 D個實數組成的D元組的集合 \{(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{D})\}，並配備兩種運算：向量加法和標量乘法。有限維實空間的此兩種運算，皆定義成逐個坐標運算，與笛卡兒平面上的運算類似。
前置概念 > 凸集

凸集中，連接任意兩點的線段仍是的子集。
非凸集中，連接某兩點的線段上，有一點不再是的元素。
用線段可以檢驗某集合是否凸集。
實向量空間中，非空子集 Q稱為凸集，意思是，對於 Q的任意兩個點，連接兩點成一線段，其上的所有點仍在 Q中。例如，實心圓盤  \bullet  為凸，但圓  \circ  則不然，因為連接相異兩點的線段  \oslash  並不是圓的子集。三個整數的集合 \{0,1,2\}非凸，但其為區間 [0,2]的子集，而該區間為凸。又例如，實心立方體為凸，然而任何空心或凹陷的圖形，如彎月形（英语：），則非凸。空集也是凸集，視乎作者偏好，這可能是專門的定義，也可能是因為要滿足的條件是空真命題（英语：）。
更嚴謹而言，集合 Q稱為凸，意思是，對 Q中任意兩點 v_{0},v_{1}，和單位區間 [0,1]中的任意實數 \lambda ，點
仍是 Q的元素。
由數學歸納法，集合 Q為凸，當且僅當其任意多個元素的凸組合仍在 Q中。所謂向量空間子集 \{v_{0},v_{1},\ldots ,v_{D}\}的凸組合，是其元素的任意加權平均 \lambda _{0}v_{0}+\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{D}v_{D}，而各 \lambda _{i}可以是總和為 1的任意非負實數，即只需 \lambda _{0}+\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{D}=1。
凸集的定義推出，兩個凸集的交集仍是凸集。更甚者，任意一族凸集的交也是凸集。作為特例，若取兩個不交的凸集，則其交集為空集，故應當稱空集為凸。
前置概念 > 凸包

對於實向量空間的每個子集 Q，其凸包 \mathrm {Conv} (Q)是包含 Q的最小凸集。所以， \mathrm {Conv} (Q)是所有覆蓋 Q的凸集的交。等價地，可以將 \mathrm {Conv} (Q)定義成 Q的點的所有凸组合的集合。作為例子，整數集合 \{0,1\}的凸包，是實數閉區間 [0,1]，其兩端為原有的整數 0,1。单位圆的凸包則是閉单位圆盘，其包含單位圓。
前置概念 > 閔可夫斯基和

在任何向量空間（或有定義加法的代數結構） X中，兩個非空子集 A,B\subseteq X的閔可夫斯基和，定義為其元素之和的集合，即  A+B:=\{x+y\mid x\in A,~y\in B\}（參見)。例如：
此運算定義在非空子集族上，且滿足結合律和交換律。既然有結合律和交換律，就可以遞歸定義多個被加項的運算結果 \sum _{n=1}^{N}Q_{n}=Q_{1}+Q_{2}+\cdots +Q_{N}。由數學歸納法，可見
前置概念 > 閔可夫斯基和的凸包

閔可夫斯基和與凸包運算可以交換。具體而言，對實向量空間 X的任意子集 A,B\subseteq X，其閔氏和的凸包等於其凸包的閔氏和。換言之，
故由數學歸納法得
對任意 N\in \mathbb {N} 和非空子集 Q_{n}\subseteq X（ 1\leq n\leq N）成立。
各命題的敍述

由前一段的恆等式，對和的凸包中的每點 x\in \mathrm {Conv} \left(\sum _{n=1}^{N}Q_{n}\right)，都存在各凸包的 q_{n}(x)\in \mathrm {Conv} (Q_{n})（ n取遍 1至 N），使得 \sum _{n=1}^{N}q_{n}(x)=x。各點 q_{n}(x)的位置取決於 x。
各命題的敍述 > 引理

有了以上背景，沙普利-福克曼引理斷言， x的表示法
中，僅需要不多於 D個被加項 q_{n}(x)取自凸包，而其他被加項，則只需取自原來的集合 Q_{n}。以符號復述，即有以上方法表示 x，且滿足 |\{l\leq n\leq N\mid q_{n}(x)\in \mathrm {Conv} (Q_{n})\setminus Q_{n}\}|\leq D。不妨將下標重新排序，然後就有
其中對 1\leq n\leq D，有 q_{n}\in \mathrm {Conv} (Q_{n})，而對 D+1\leq n\leq N，則有 q_{n}\in Q_{n}。注意，倘若重排，則排序的方式也取決於點 x。再精簡，沙普利-福克曼引理可以寫成
舉例，集合 [0,2]=[0,1]+[0,1]=\mathrm {Conv} (\{0,1\})+\mathrm {Conv} (\{0,1\})中的每個點，根據引理，必定可以寫成 \{0,1\}的某個元素，與 [0,1]的某個元素之和。
各命題的敍述 > 引理 > 實向量空間的維數

反之，沙普利-福克曼引理刻劃了有限維實向量空間的維數。具體而言，若某向量空間，對於某個自然數 D滿足引理的結論，但對小於 D的數不滿足，則其維數恰好為 D。引理僅對有限維向量空間成立。
各命題的敍述 > 沙普利-福克曼定理及斯塔的推論

沙普利與福克曼運用其引理，證明沙普利-福克曼定理，給出集合的閔氏和與其凸包（稱為凸化（convexified）和）的距離上界。定理的敍述如下：
凸化和 \mathrm {Conv} \left(\sum Q_{n}\right)的任一點，到（未凸化）和集 \sum Q_{n}的歐氏距離平方，不超過各集合 Q_{n}的外接半徑中，最大 D個的平方和。(所謂外接半徑，定義為包圍該集合的最小球面的半徑。）此上界與求和項數 N無關（但要求 N>D，且集合不能越來越大）。
上述定理給出閔氏和及其凸包之間距離的上界。當且僅當閔氏和為凸集時，此距離為零。該上界取決於維數 D及各被加項的形狀，但只要 N>D，就不取決於項數 N。
通常，外接半徑會大於內半徑，而無論如何，外接半徑總不能小於內半徑。集合 Q_{n}的內半徑定義為：
最小的正實數 r，滿足：若 q在 Q_{n}凸包中，則 q在 Q_{n}若干點的凸包中，而該些點皆在同一個半徑為 r的球內。
斯塔將沙普利-福克曼定理中的外接半徑換成內半徑，從而壓低沙普利-福克曼定理的上界：
沙普利-福克曼定理的斯塔推論：
凸化和 \mathrm {Conv} \left(\sum Q_{n}\right)的任一點，到（未凸化）和集 \sum Q_{n}的歐氏距離平方，不超過各集合 Q_{n}的內半徑中，最大 D個的平方和。
斯塔的推論確定， N個集合的閔氏和與其凸包之間，歐氏距離的上界。此距離可以衡量閔氏和非凸的程度，故為簡單起見，下文稱為非凸度。於是，斯塔對非凸度的上界，僅取決於 D個最大內半徑之值，但不取決於求和的項數 N（假設 N>D）。
例如，非凸集 \{0,1,2\}的非凸度為 1/2，因為與其凸包（區間 [0,2]）的距離為
{\frac {1}{2}}=\left|1-{\frac {1}{2}}\right|=\left|0-{\frac {1}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|=\left|1-{\frac {3}{2}}\right|.
所以，既然 \sum Q_{n}的非凸度有不取決於項數 N的上界，就知平均集
非凸度上界，會隨 N增加而遞減。例如，平均集
和其凸包 [0,1]的距離僅為 1/4，等於被加項 \{0,1\}與其凸包 [0,1]的距離（ 1/2）之半。僅要最大 D個求和項的形狀，已足以計算和集與凸包的距離的上界，故除以 N後，平均集與凸包的距離，在 N趨向無窮時，會遞減至零（對均勻有界的求和項成立，即各個求和項的大小需有同一個上界）。若使用斯塔的上界，則前一句結論的條件可以放寬，只需各求和項的內半徑有同一個上界。
各命題的敍述 > 證明和計算

沙普利-福克曼引理的原證明，僅確定存在該種表示法，而無說明如何構造。阿羅與哈恩、蓋士利（英语：）、斯奈德（Schneider）和其他人都曾給出類似的證明。阿特斯泰因（Artstein）擴展了埃科蘭德（英语：）的簡潔抽象證明。也有未經出版的另證。1981年，斯塔發表一種疊代法，可以計算給定點的表示法，然而，此計算方法給出的上界，較非構造性證明的上界差。博赛卡斯的書有講述有限維空間沙普利-福克曼引理的初等證明，並將引理應用於估計可分優化（separable optimization）問題與零和賽局的對偶間隙。
應用

有沙普利-福克曼引理，學者就得將有關凸集閔氏和的結果，套用到（無需凸的）一般集合之和。此種和見於經濟學、最优化理論、概率論。此三領域的應用中，非凸性起到重要作用。
應用 > 經濟學

經濟學中，消費者對每一「籃子」商品（basket，即商品的組合）有其偏好程度。每籃子可用一個非負向量表示，其坐標為籃中各商品的量。所有籃子組成的集合中，每個消費者有自己的一族无差异曲线，滿足：在同一條曲線上的各籃子，對該消費者是等價的，即消費者並不覺該曲線上有籃子勝於另一個籃子。每籃子恰好處於一條無差異曲線上。消費者相對於一條無差異曲線的偏好集，定義為該無差異曲線與其更偏好的區域的並集。稱消費者的偏好為凸，意思是其所有偏好集皆為凸。
如圖所示，消費者認為的最優籃子，是在預算線支撐某個偏好集時取到，因為此時，所選的籃子是整條預算線上，達到最高的無差異曲線的一點。所謂預算線，是由商品的價格向量與消費者的收入計算得出的限制，消費者無足夠收入購買高於此線的籃子。所以，最優籃子的集合是各價格的函數，稱為消費者的需求。若偏好集為凸，則不論價格為何，消費者認為的最優籃子總是組成凸集，例如可能是單元集，或是一條線段。
應用 > 經濟學 > 非凸偏好

然而，若有偏好集非凸，則某些價格確定的預算線，可能在兩個分開的最優籃子支撐該偏好集。例如，可以設想，動物園購買獅子或鷹的價錢一樣，且其預算恰好夠買一隻獅子或一隻鷹。此外，假設園主亦認為兩隻動物價值相同，則動物園有可能買獅子，也可能買鷹，但當然不可能買半隻獅子加半隻鷹（狮鹫）。所以，園主的偏好非凸：買兩隻動物中的任一隻，勝於兩者的嚴格凸組合。
若消費者有非凸偏好集，則對於某些價格，需求不連通。不連通的需求，會導致消費者的行為出現不連續的間斷。引述哈羅德·霍特林的話（宜配合所附動圖理解）：
若考慮波浪形的無差異曲線，即在某些區域向原點凸，而在其他區域向原點凹，則我等被迫推論，僅有向原點凸的部分需要理會，因為幾乎不可能觀測到其他部分。要偵測該些部分，唯一方法是，觀察價格之比率變化時，需求的不連續變化。此變化的效果是，當直線旋轉時，切點會突然躍過某凹陷。雖然此種不連續的表現，揭示有凹陷，但卻不可能量度缺口的深度。倘若無差異曲線，或其高維推廣，有凹陷部分，則定必因永遠無法測量，而不為人知。
瓦爾特·迪韋爾特（英语：）書中，稱赫爾曼·沃爾德（英语：）有強調研究非凸偏好的困難，也引述保羅·薩繆爾森稱凹陷處「被永恆的黑暗遮蔽」。
儘管有上述困難，《政治經濟期刊（英语：）》（JPE）在1959年至1961年間，刊登一系列的論文，解明非凸偏好。投稿人包括：法雷爾（Farrell）、巴托爾（英语：）、科普曼斯、羅森博格（Rothenberg）。其中，羅森博格討論非凸集和的近似凸性。該些JPE論文，促使劳埃德·沙普利和马丁·舒比克也合著論文，研究凸化的消費者偏好，並引入「近似均衡」（approximate equilibrium）的概念。JPE論文和沙普利-舒比克論文又啟發了罗伯特·奥曼提出另一個概念，稱為「準均衡」（quasi-equilibrium）。
應用 > 經濟學 > 斯塔1969年的論文與當代經濟學

肯尼斯·阿罗收集前人研究經濟學中的非凸集（英语：）的文獻，列成表，並加入註解，交給羅斯·斯塔（英语：）。斯塔當時仍是本科生，但已在修讀阿羅開設的高等數理經濟學（研究生）課程。斯塔在學期論文中，考慮將非凸偏好換成其凸包所得的假想經濟體，研究其一般均衡。凸化經濟體中，在每個價位，總需求皆是各消費者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引數學家劳埃德·沙普利和強·福克曼（英语：）參與，兩人「在私人通信中」證明現以兩人命名的引理和定理，到1969年，斯塔才於論文報告此事。
斯塔1969年的論文中，應用沙普利-福克曼-斯塔定理，證明「凸化」經濟體有一些一般均衡，只要參與者足夠多，能以原經濟體的「準均衡」近似。具體而言，斯塔證明，至少存在一個價格向量為 p_{\mathrm {opt} }的準均衡，滿足下列條件：
對每個準均衡 p_{\mathrm {opt} }，所有消費者都可以選到其最優的籃子（在預算限制內，且最偏好）。
在該價格 p_{\mathrm {opt} }，凸化經濟體中，每種商品的市場皆均衡，即供給等於需求。
每個準均衡的價格，皆「幾乎出清」原經濟體的市場：凸化經濟體均衡組成的集合，與原經濟體的準均衡集合，兩者的距離有上界。此結論是根據沙普利-福克曼定理的斯塔推論得到。
斯塔確立以下結論：
「總體中，［取各消費及生產集的凸包］所得的假想經濟體的分配，與真實經濟體的某個分配，兩者的差異，有不取決於參與者數目的上界。因此，當參與者數目趨向無窮時，平均參與者感受到，與擬作行動的偏差，近乎可以忽略不計。」
斯塔1969年論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟理論獲廣泛應用。羅歇·蓋內里（英语：）如此總結該結論對經濟學的意義：「假設凸性，所得的若干重要結果，在不具凸性的情況下，仍（近似）適用。例如，若經濟體具有大消費側，則偏好的非凸性不影響適用標準結果」，還稱「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集（英语：），除了前述的劳埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸集（英语：）」，除以上得主著重外，還有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。
沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟學各分支的文獻都經常出現，包括微观经济学、一般均衡理論、公共經濟學（包括市场失灵）、博弈论、数理经济学、經濟學中的应用数学。沙普利-福克曼-斯塔的結論，也使經濟學更多使用測度論和积分理論。
應用 > 最優化理論

沙普利-福克曼引理可以解釋，為何大規模的最小化問題，即使非凸，仍可用迭代法近似求解（僅對於凸問題，有證明疊代法收斂到最優解）。沙普利-福克曼引理，促使學者將凸優化方法，用於優化多個（無需凸的）函數之和。
應用 > 最優化理論 > 最優化理論的前置概念

非线性规划依賴下列有關函數的若干定義：
函數 f（定義在集合 D上）的圖像，是所有參數 x與相應取值 f(x)組成的二元組的集合：
實值函數（英语：） f的蓋圖（英语：）是圖像上方的點的集合：
實值函數稱為凸函数，意思是其蓋圖為凸集。
舉例，二次函数 f:x\mapsto x^{2}為凸，而绝对值函數 g:x\mapsto |x|亦然，但正弦函數 \sin （如圖）則不然，因為在區間 (0,\pi )的蓋圖非凸（而有向上的凹陷）。
應用 > 最優化理論 > 加性優化問題

許多優化問題中，目標函數 f可分離變數（可分），即 f是多個函數之和，而各個函數的參數不同，如：
又例如，线性规划問題就可分離變數。考慮一個可分問題，及一個最優解
在該點取到最小值 f({\boldsymbol {x}}_{\mathrm {min} })。對此可分問題，同時考慮其「凸化問題」的最優解，即將每個求和項 f_{n}的圖像換成其凸包。此種最優解，會是凸化問題的某點列 ({\boldsymbol {x}}_{j},f({\boldsymbol {x}}_{j}))_{j=1}^{\infty }的極限，其中
當然，因為此點是 N個圖像凸包的點之和，由沙普利-福克曼引理，就可以寫成原圖像的點與少數圖像凸包的點之和。
以上分析，1974年由埃科蘭德（英语：）發表，以解釋為何可分問題有許多項時，即使各項非凸，總問題仍看似凸。對非線性最小值問題而言，對偶問題的解，不一定就是原問題的解（但若已知原問題為凸，且滿足特定条件，則兩者的的最優解相等），但是，1973年，青年數學家克勞德·勒馬雷沙爾（英语：）詫異，對已知非凸的問題使用凸問題的方法，竟然也成功。勒馬雷沙爾的問題，正是上段加性可分離變數的形式，而每個和項皆非凸函數，但對偶問題的解，仍近似原問題的最優解。埃科蘭德的分析說明，「大而可分」的最小值問題，即使各和項有凹陷，仍可運用凸優化的方法。埃科蘭德及其後的作者主張，因為變數可以加性分離，所得的總問題近似凸。該等著作以沙普利-福克曼引理為關鍵一步。沙普利-福克曼引理促使學者將凸優化方法，應用到目標函數為多個函數之和的情況。
應用 > 概率與測度論

凸集常與概率论一同研究。卡拉西奧多里定理（英语：）說明， d維空間的（非空）子集 Q凸包中的點，是取值於 Q的簡單隨機向量（英语：）的期望值，而所謂簡單，意思是僅在不多於 d+1個點處有非零概率。所以，對非空集 Q，取值自 Q的簡單隨機向量組成的集合，等於 Q的凸包。由此便可在概率論中，套用沙普利-福克曼-斯塔的結果。反之，藉期望值與凸包之間的聯繫，概率論亦能用作研究凸集，尤其可用作分析沙普利-福克曼-斯塔的結果。沙普利-福克曼-斯塔的結果，廣泛用於隨機集的概率論（英语：），例如證明隨機集的大數定律、中央極限定理、大離差原理（英语：）。要證明前列概率極限定理，可以使用沙普利-福克曼-斯塔的結果，來避免假設隨機集為凸。
概率测度是有限的测度，而沙普利-福克曼引理還可以應用到非概率的測度論，如体积或向量测度的理論。沙普利-福克曼引理可以加強布倫-閔可夫斯基不等式（英语：）。該不等式斷言，閔氏和的體積，相較於各和項的體積不能太大，即閔氏和的體積有上界，以各和項的體積的表示。歐氏空間子集的體積，此處定義為其勒贝格测度。
高等測度論中，沙普利-福克曼引理適用於證明李亞普諾夫定理，即向量测度的值域為凸。值域（或像集）是函數所有可能取值的集合，而向量測度則將測度推廣到允許取向量值。例如，若某测度空間有兩種概率测度 p_{1}和 p_{2}，則可定義一個向量測度 (p_{1},p_{2})，是對每個事件 \omega ，將其兩個概率結合為一個二元組，即
李亞普諾夫定理在經濟學、(砰砰)控制論、統計理論（英语：）皆有應用。李亞普諾夫定理是沙普利-福克曼引理的連續版，而沙普利-福克曼引理是李亞普諾夫定理的離散類比。
參考文獻

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外部鏈結

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紅色集的凸包中，每個藍點都是若干個紅點的凸組合。
集合的閔可夫斯基和。兩個小正方形 Q_{1}=[0,1]^{2}和 Q_{2}=[1,2]^{2}的和，是大正方形 Q_{1}+Q_{2}=[1,3]^{2}。
閔氏和及凸包。右圖的十六個紅點，組成左圖四個非凸集的閔氏和。左圖每個非凸集由兩個紅點組成，其凸包（淺粉紅色）包含標記加號（+）的點，而右圖中的加號等於左圖各個標加號的點之和。
劳埃德·沙普利，2012年諾貝爾經濟學獎得主。他與強·福克曼（英语：）一同證明沙普利-福克曼引理。
某點集（深紅）的凸包以淺紅虛線圍起。點集的內半徑（綠色）必定小於其外接圓半徑（藍色），除非所有點共圓，此時兩個半徑相等。
消費者偏好位於無差異曲線 I_{3}上的任意籃子，勝過位於 I_{2}上的籃子。籃子 (Q_{x},Q_{y})，是預算線（藍色）支撐 I_{2}的位置，所以是最優而又可行。相反，雖然消費者更偏好 I_{3}上的任意籃子，但無足夠預算，所以並不可行。
若消費者的偏好有凹陷，則消費者的決定可以不連續，從一個籃子跳到另一個隔開的籃子。
肯尼斯·阿罗（1972年诺贝尔獎得主）幫助羅斯·斯塔（英语：）研究非凸經濟體（英语：）。
函數稱為凸，意思是圖像上方的區域為凸集。
正弦函數並非凸函数。
缨鳃虫属

| 缨鳃虫属 |
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科学分类 
界：: 动物界 Animalia
门：: 環節動物門 Annelida
纲：: 多毛綱 Polychaeta
目：: 缨鳃虫目 Sabellida
科：: 缨鳃虫科 Sabellidae
亚科：: 缨鳃虫亚科 Sabellinae
属：: 缨鳃虫属 Sabella Linnaeus, 1767

种
 见正文
異名
 Penicillus (Rondelet, 1555) 1554-1555  Sabellata Quatrefages, 1850  Spirographa Bosc, 1819  Spirographis Viviani, 1805
缨鳃虫属（学名：Sabella）为缨鳃虫科的一个属。