傅里叶变换
常用傅里叶变换表 > 函数关系

下表列出的常用的傅里叶变换对可以在Erdélyi (1954)或Kammler (2000，appendix)中找到。
|  | 函数 | 傅立叶变换   么正，普通的频率 | 傅立叶变换   么正，角频率 | 傅立叶变换   非么正，角频率 | 注释 |
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|  |  \displaystyle f(x)\, |  \displaystyle {\hat {f}}(\xi )=    \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx |  \displaystyle {\hat {f}}(\omega )=    \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx |  \displaystyle {\hat {f}}(\nu )=    \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx | 基本定义 |
| 101 |  \displaystyle a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\, |  \displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )\, |  \displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega )\, |  \displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\nu )+b\cdot {\hat {g}}(\nu )\, | 线性性质 |
| 102 |  \displaystyle f(x-a)\, |  \displaystyle e^{-2\pi ia\xi }{\hat {f}}(\xi )\, |  \displaystyle e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )\, |  \displaystyle e^{-ia\nu }{\hat {f}}(\nu )\, | 时域平移 |
| 103 |  \displaystyle e^{2\pi iax}f(x)\, |  \displaystyle {\hat {f}}\left(\xi -a\right)\, |  \displaystyle {\hat {f}}(\omega -2\pi a)\, |  \displaystyle {\hat {f}}(\nu -2\pi a)\, | 频域平移，变换102的频域对应 |
| 104 |  \displaystyle f(ax)\, |  \displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\, |  \displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\, |  \displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)\, | 在时域中定标。如果 \displaystyle |a|\,值较大，则 \displaystyle f(ax)\,会收缩到原点附近，而 \displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,会扩散并变得扁平。当 \displaystyle |a|\,趋向无穷时， \displaystyle f(ax)\,成为狄拉克δ函数。 |
| 105 |  \displaystyle {\hat {f}}(x)\, |  \displaystyle f(-\xi )\, |  \displaystyle f(-\omega )\, |  \displaystyle 2\pi f(-\nu )\, | 傅里叶变换的二元性性质。这里 {\hat {f}}的计算需要运用与傅里叶变换那一列同样的方法。通过交换变量 x和 \xi 或 \omega 或 \nu 得到。 |
| 106 |  \displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}\, |  \displaystyle (2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi )\, |  \displaystyle (i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )\, |  \displaystyle (i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )\, | 傅里叶变换的微分性质 |
| 107 |  \displaystyle x^{n}f(x)\, |  \displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}\, |  \displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}} |  \displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}} | 变换106的频域对应 |
| 108 |  \displaystyle (f*g)(x)\, |  \displaystyle {\hat {f}}(\xi ){\hat {g}}(\xi )\, |  \displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )\, |  \displaystyle {\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )\, | 记号 \displaystyle f*g\,表示 f和 g的卷积—这就是卷积定理 |
| 109 |  \displaystyle f(x)g(x)\, |  \displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\xi )\, |  \displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\, |  \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}({\hat {f}}*{\hat {g}})(\nu )\, | 变换108的频域对应。 |
| 110 | 当 \displaystyle f(x)是实变函数 |  \displaystyle {\hat {f}}(-\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\, |  \displaystyle {\hat {f}}(-\omega )={\overline {{\hat {f}}(\omega )}}\, |  \displaystyle {\hat {f}}(-\nu )={\overline {{\hat {f}}(\nu )}}\, | 埃尔米特对称。 \displaystyle {\overline {z}}\,表示复共轭。 |
| 111 | 当 \displaystyle f(x)是实偶函数 |  \displaystyle {\hat {f}}(\omega ),  \displaystyle {\hat {f}}(\xi )和 \displaystyle {\hat {f}}(\nu )\,都是实偶函数。 |  \displaystyle {\hat {f}}(\omega ),  \displaystyle {\hat {f}}(\xi )和 \displaystyle {\hat {f}}(\nu )\,都是实偶函数。 |  \displaystyle {\hat {f}}(\omega ),  \displaystyle {\hat {f}}(\xi )和 \displaystyle {\hat {f}}(\nu )\,都是实偶函数。 |  |
| 112 | 当 \displaystyle f(x)是实奇函数 |  \displaystyle {\hat {f}}(\omega ),  \displaystyle {\hat {f}}(\xi )和 \displaystyle {\hat {f}}(\nu )都是虚奇函数。 |  \displaystyle {\hat {f}}(\omega ),  \displaystyle {\hat {f}}(\xi )和 \displaystyle {\hat {f}}(\nu )都是虚奇函数。 |  \displaystyle {\hat {f}}(\omega ),  \displaystyle {\hat {f}}(\xi )和 \displaystyle {\hat {f}}(\nu )都是虚奇函数。 |  |
| 113 |  \displaystyle {\overline {f(x)}} |  \displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\xi )}} |  \displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\omega )}} |  \displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\nu )}} | 复共轭，110的一般化 |