stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
現場總線
IEC 61158的現狀

在2008年國際電工委員會提出新的現場總線標準IEC 61158，將現場總線相關的標準分為15個通信行规族（Communication Profile Families, CPF）：
CPF01：Foundation现场总线（FOUNDATION Fieldbus）。
CPF02：通用工业协定（Common Industrial Protocol，簡稱CIP）。
CPF03：PROFIBUS及PROFINET。
CPF04：P-NET。
CPF05：WorldFIP（Factory Instrumentation Protocol（法语：），是法國標準的通訊協定）
CPF06：INTERBUS（INTERBUS）。
CPF07：CC-Link。
CPF08：HART（Highway Addressable Remote Transducer Protocol）。
CPF09：Vnet/IP（由日本橫河電機推動的通訊協定）。
CPF10：TCnet（全名為time-critical information and control network，由日本東芝推動的通訊協定）。
CPF11：EtherCAT。
CPF12：Ethernet POWERLINK。
CPF13：EPA（全名為Ethernet for Plant Automation，中國提出的即時工业以太网通訊協定）。
CPF14：MODBUS-RTPS（MODBUS实时发布与订阅）。
CPF15：SERCOS（英语：）。
外部連結

Fieldbuses for Process Control: Engineering, Operation, and Maintenance （页面存档备份，存于）
Fieldbus Book
Manufacturing Systems Integration Research Institute at Loughborough, UK （页面存档备份，存于）
The P-NET Fieldbus （页面存档备份，存于）
AS-Interface portal （页面存档备份，存于）
HART Communication Foundation （页面存档备份，存于）
Portal for SafetyBUS p （页面存档备份，存于）
SERCOS網站 （页面存档备份，存于）（英文）
PROFIBUS網站 （页面存档备份，存于）（英文）
PROFINET網站（英文）
WorldFIP （页面存档备份，存于）
现场总线的危机和机遇 （页面存档备份，存于）（需要付费下载）
IEC61158第四版国际标准的20种现场总线[永久]
參考資料

↑  . 國際電工委員會（IEC）.   [2010-12-14]. （原始内容存档于2008-12-28）.
↑  . 自动化网论坛.   [2010-12-14]. （原始内容存档于2016-03-04）.
↑  . 控制工程網.   [2010-12-14]. （原始内容存档于2019-08-23）.
三線佛州節蜱

| 三線佛州節蜱 |
| --- | --- |

科学分类 
界：: 动物界 Animalia
门：: 节肢动物门 Arthropoda
纲：: 蛛形纲 Arachnida
目：: 絨蟎目 Trombidiformes
科：: 瘿螨科 Eriophyidae
属：: 佛州节蜱属 Floracarus
种：: 三線佛州節蜱 F. trirectus
二名法
Floracarus trirectus Huang, 2001

三線佛州節蜱（学名：）为節蜱科佛州節蜱屬下的一个种。
三線南鰍

| 三線南鰍> 保护状况 |
| --- | --- |
 未予评估（IUCN 3.1）
科学分类 
界：: 动物界 Animalia
门：: 脊索动物门 Chordata
纲：: 綱 Actinopteri
目：: 鲤形目 Cypriniformes
科：: 条鳅科 Nemacheilidae
属：: 南鳅属 Schistura
种：: 三線南鰍 S. trilineata
二名法
Schistura trilineata Kottelat,2000

異名
 Oreias trilineatus,Nguyen, Nguyen & Hoang, 2010  Claea trilineatus,Nguyen, Nguyen & Hoang, 2010
三線南鰍（學名：）為輻鰭魚綱鯉形目條鰍科南鰍屬的其中一種。分布於亞洲越南淡水流域，體長可達3.8公分，棲息在洞穴底層水域，以昆蟲等為食，生活習性不明。
扩展阅读

維基物種上的相關：三線南鰍
和桥镇

和橋豆腐乾是当地的主要特产
和桥镇，舊稱鵝州，中國江蘇宜興四大鎮之一，位於宜興北部，有滬宜公路、錫宜高速公路，新長鐵路貫通南北。和橋是全國小城鎮試點鎮之一，著名特產有和橋豆腐乾。和橋高級中學是江蘇省重點中學。
前进街街道

前进街街道可以指：
前进街道 (武汉市)，中华人民共和国湖北省武汉市江汉区下辖的街道
前进街街道 (银川市)，中华人民共和国宁夏回族自治区銀川市兴庆区下辖的街道
维莱帕特拉

维莱尔帕特拉（法語：）是法国科多尔省的一个市镇，属于蒙巴尔区（Montbard）塞纳河畔沙蒂隆县（Châtillon-sur-Seine）。该市镇总面积6.3平方公里，2009年时的人口为93人。
人口

维莱尔帕特拉人口变化图示
和林格尔剪纸

| 剪纸（和林格尔剪纸） |
| --- | --- |
中华人民共和国 国家级非物质文化遗产
申报地区或单位: 内蒙古自治区和林格尔县
分类: 传统美术
序号: 315
编号项目: Ⅶ-16
登录: 2008
传承人: 段建珺
和林格尔剪纸是中華人民共和國内蒙古自治区呼和浩特市和林格爾縣當地的剪紙藝術。1998年7月，和林格尔剪纸学会成立。截至2017年，和林格尔剪纸的业余剪纸人员超过5000人。
參考資料

↑  . www.ihchina.cn. 中国非物质文化遗产网.   [2021-09-10]. （原始内容存档于2021-09-10）.
↑  . 新華網.   [2021-06-12]. （原始内容存档于2021-06-12）.
↑  . 内蒙古新闻网. []
↑  . 和林格尔县人民政府办公室.   [2021-06-12]. （原始内容存档于2021-06-12）.
補闕

補闕，唐代言官，職掌規諫朝政缺失。
沿革

武則天垂拱元年（685年）設置左補闕於門下省、右補闕於中書省，左、右各二人，位秩從七品上，官名來自「言國家有過闕而補正之」，職掌與拾遺相同，「掌供奉諷諫，扈從乘輿。凡發令奉事有不便於時，不合於道，大則廷議，小則上封。若賢良之遺滯於下，忠孝之不聞於上，則條其事狀而薦言之。」才能尚可就能授任補闕，不拘出身官階及銓敘。補闕也設有內供奉，無定員額，資格、俸祿與正官相同。
天授初年（690年），左、右補闕各增加三員，與原有四人合計為十人。神龍初年（705年），依舊改回左右各二員。
北宋改名為左右司諫。南宋沿置，隨後撤罷。
明初設左右司諫，不久即撤職，建文帝再設置補闕，明成祖即位後再度廢除。
參考文獻

《唐六典》卷八·門下省
《唐六典》卷九·中書省
二重港

| --- | --- |
二重港

表記
漢字: 
白話字: 
台語羅馬字: 

二重港是臺灣臺南市北門區的一個傳統地域名稱，位於該區東南部。對應於今行政區劃分，其範圍大致包含文山里一帶。為學甲十三庄之一。
臺南市學甲區二重港空拍圖2
臺南市學甲區二重港空拍圖3
名稱

二重港的命名，源頭已難以考證。傳二重港原謂「二條港」，意為「兩條溪的小港口」、「兩個小港口的庄頭」。在泉、漳發音的轉譯上，二條港逐漸唸做「二重港」。
歷史沿革

清領時期，二重港隸屬臺南廳學甲堡溪底寮庄。傳最早於南明永曆十五年（西元1661年），鄭成功登陸鹿耳門前一日，先遣陳一桂等將士押運糧船，入漚汪溪（今將軍溪）登陸頭前寮。其中陳一桂部將侯高居隨軍前來，卜居中洲西北部學仔內一帶。其子侯志贊，遷至庄北部塭子內；二子侯志聯遷至庄東北部竹圍，為二重港地區開發之始。
清康熙四十四年（西元1705年），福建南安縣侯啟流兄弟，來臺依親族開墾。兄侯啟流於庄中部建立三塊厝，弟侯雷公於庄南建七房。清乾隆五年（西元1740年），南安同族侯信佰來臺，卜居庄東南部，建後厝。侯姓親族逐漸於此地組成聚落。 清道光三年（西元1823年）七月，連數日雨勢猛烈，引發山洪，漚汪溪於麻豆港處（今麻豆區東側）襲奪灣裡溪（曾文溪古名）。漚汪溪因上游改道，溪水日益減少，自臺灣海峽前來的商船只能行至二重港前棧寮（今二重港南邊）。麻豆港經逐漸淤塞，終廢港，貿易漸止。原先為避開漚汪溪水勢而建庄較北的侯家，始往南遷，形成今日二重港風貌。
日治時期，二重港庄先於西元1896年隸屬臺南縣嘉義支廳學甲堡；後西元1897年改制，隸屬嘉義縣鹽水港辨務署學甲堡；西元1898年；改隸臺南縣鹽水港辨務署學甲堡。西元1901年，改隸於鹽水港廳北門嶼支廳學甲堡；1904年，地方實施街庄整併，北門地區整併為四庄，二重港庄與三藔灣庄、蘆竹溝庄、溪底藔庄合併為溪底藔庄。西元1909年，溪底藔庄改隸於臺南廳北門嶼支廳學甲堡。西元1920年，原先的堡里行政區廢除，廳改為郡，街庄改為大字。原隸屬學甲堡的北門嶼庄、蚵藔庄、渡仔頭庄、溪底藔庄等四庄合併為「北門庄」，改隸北門郡。庄內分北門、蚵寮、渡子頭、溪底寮等四個大字，溪底寮（大字）下有二重港、三寮灣兩地。第二次世界大戰期間（西元1945年），總督府曾計畫於二重港興建海軍機場及蘆竹溝軍港，後因日本戰敗而未施工。
戰後國民政府時期，行政劃分由州廳改為縣，街庄改為鄉鎮。此時的二重港隸屬於臺南縣北門鄉，因應村里制更名為仁里村。2010年臺南市升格為直轄市，經縣市合併後北門鄉改為北門區，仁里村改為仁里里。由於北門一帶居民已習慣透過聚落名稱稱呼居住地，故少使用仁里里，仍多使用二重港。
聚落

二重港為將軍溪畔高地，地勢較高。聚落宗族構成以侯氏為大家。庄內聚落多為侯家人建立。早期聚落為學仔內、三塊厝、七房、後厝等。其他聚落有：塭仔內、竹圍、崁頂等。
宗教

二重港庄廟為二重港仁安宮，建於民國49年（西元1960年），供奉李府千歲、廣澤尊王、中壇元帥。王爺由南鯤鯓代天府分靈、太子爺是學甲慈濟宮分靈、聖公是中國詩山鳳山寺分靈，虎爺是李府坐騎。
產業

明清時期，二重港因鄰漚汪溪，以港口商業為主要產業結構。後漚汪溪改道，河流淤塞，主要商港麻豆港廢港後，二重港商業亦衰敗。
二重港的基本產業型態以農業為主，養殖漁業零星分布。農業以蔥、蒜為大宗。雖然與北門其他聚落同屬鹽分地帶，但因鄰近將軍溪，具備灌溉水源與耕地，除耐鹹、耐旱作物外，亦可種植穀物等農作，是北門地區重要農產地。耕地分布為：
頭前園、崁頂（大圳邊）：位於二重港南部，臨將軍溪，地勢較高，排水流暢，故土質肥沃適中，適宜作物生長。除旱作外，亦產稻米。為二重港主要產區。
溪埔園：為二重港最南部，近將軍溪邊，沙質土壤不易保持水分，故難以種植稻米，但適合種植甘薯、甘蔗、玉米、花生等作物。近年來蔥、蒜種植成功，雖產量不及頭前園、崁頂，但仍為本庄作物主要產區。
後壁園：位於二重港北部，距離將軍溪較遠，且地勢低，排水不佳，故土壤鹽分高，為典型的鹽分地帶，故耕作收成不易，僅能種植耐旱作物，如蔥、蒜等。後農地漸改為鹹淡水混合魚塭，養殖虱目魚、白蝦等。又因超抽地下水，地層下陷嚴重。
二重港亦是臺南幫重要領導者侯雨利的出身地。
交通

二重港位於北門、學甲、將軍三區交界，為交通樞紐。明清時期，二重港為漚汪溪（今將軍溪）港口，對外貿易盛行。
日治時期，臺灣南部糖業盛行，日本明治製糖株式會社興建隆田線輕便鐵路，於西元1909年營業。自隆田出發，沿線經過今日官田區、麻豆區、佳里區、學甲區、北門區，至終點即為二重港。戰後國民政府時期，由臺灣糖業股份有限公司麻豆糖廠與佳里糖廠接手經營。時可至番子田車站（今隆田車站）轉乘臺鐵。1980年7月，隆田線全線結束客運，全線已無載客、運貨功能，僅殘一段有不定期觀光列車行駛。
現有南北向臺17線，往北至永華、北門；往南過將軍溪至將軍區。東西向市道174號，與南9線交會於二重港中心，往西至溪底寮、三寮灣、蘆竹溝；往東至學甲區中洲、學甲市區。周邊有臺61線與臺84線快速公路。
人物

侯雨利（1900－1989），臺灣企業家。以臺南紡織共同創辦人聞名。為南臺灣商業界「臺南幫」的領導人之一，與臺塑集團創辦人王永慶齊名，有「南侯北王」之稱。
相關條目

學甲十三庄
北門區
參考來源

↑  臺南市北門區公所. . 區公所-北門區.   [2022-12-05]. （原始内容存档于2022-12-05）.
↑  黃文博. . 臺灣，臺南: 臺南縣立文化中心. 1998. ISBN 9789860174823.
↑  . 財團法人二重港仁安宮暨侯氏宗祠聯合官網.   [2022-11-23]. （原始内容存档于2021-09-21）.
1 2 3 4 5 6 7 8  . 財團法人二重港仁安宮暨侯氏宗祠聯合官網.   [2022-11-23]. （原始内容存档于2022-11-21）.
↑  二重港侯氏族譜 世系圖
↑  小喬流水. . PeoPo公民新聞.   [2022-11-23]. （原始内容存档于2022-11-23） （中文（繁體））.
1 2 3 4 5 6  葉高華. . 地圖會說話. 2010-02-02  [2022-12-05]. （原始内容存档于2022-12-05）.
↑  . 台灣總督府. 1904.
↑  臺灣總督府, 臺灣日日新報社 (編). . 成文出版社. 1921.
1 2 3  臺南市北門區公所. . 區公所-北門區.   [2022-11-23]. （原始内容存档于2022-11-23）.
↑  . 文化資源地理資訊系統.   [2022-11-23]. （原始内容存档于2022-11-23） （中文（臺灣））.
↑  . 財團法人二重港仁安宮暨侯氏宗祠聯合官網.   [2022-11-23]. （原始内容存档于2021-10-20）.
↑  .   [2022-12-05].
↑  . www.tmitrail.org.tw. 2017-12-25  [2022-12-05]. （原始内容存档于2022-12-05） （中文（繁體））.
侯雨利位於二重港的故居
和平使命-2021

和平使命-2021是上海合作组织全部成员国家在陆上武装力量上进行的第八次联合反恐军事演习，此次演习时间由2021年9月11日至25日，在俄罗斯奥伦堡州东古兹靶场举行。
演习目的

此次演习是上合组织框架内的例行性演习，旨在深化各成员国防务安全合作，提高应对新挑战新威胁能力，共同维护地区和平与安全，在实兵演练中密切协同，与参与国共同提升应对国际恐怖主义的能力。
参演国家

中华人民共和国：北部战区共派出550余人，出动车辆（装备）130辆。
俄羅斯：中部军区派兵参与演习，为军演提供场地及物资运输保障。
巴基斯坦
印度
伯仲钝头蛇

| 伯仲钝头蛇 |
| --- | --- |


科学分类 
界：: 动物界 Animalia
门：: 脊索动物门 Chordata
纲：:  Reptilia
目：: 有鳞目 Squamata
亚目：: 蛇亚目 Serpentes
科：: 鈍頭蛇科 Pareidae
属：: 钝头蛇属 Pareas
种：: 伯仲钝头蛇 P. geminatus
二名法
Pareas geminatus Ding, Chen, Suwannapoom, Nguyen, Pogarkov & Vogel，2020

伯仲钝头蛇（学名：Pareas geminatus），一种分布于泰国西北部、老挝北部及中国云南省南部等地的爬行动物，隶属于钝头蛇科钝头蛇属。模式产地为中国云南普洱市江城哈尼族彝族自治县。本种系从缅甸钝头蛇（Pareas hamptoni）复合体中分出，因形态上和其他几种类似的钝头蛇之间很难区分，难分伯仲，故名。
保护

本种于2023年被收录入《有重要生态、科学、社会价值的陆生野生动物名录》。
乘法算法

乘法算法是计算两个数值相乘乘積的算法。为了提高运算效率，不同大小的数字适用不同的乘法算法。自十进制数字系统诞生以来，就已开始发展乘法算法。
网格法

条目：网格式乘法
网格法（英语：） （或盒式法）是一种用于给小学生进行乘法计算启蒙的简单乘法算法。自1990年代后期以来，它一直是英格兰和威尔士公立小学数学课程的标准部分。
将两个乘数分解（“划分”）为百位、十位或个位的部分，然后在相对简单的乘法步骤中直接算出这些部分的乘积，再将其一一相加以算出最终结果。用这种方法计算  34\times 13，可以画出如下网格：
300
   40
   90
 + 12
 ————
  442
| × | 30 | 4 |
| --- | --- | --- |
| 10 | 300 | 40 |
| 3 | 90 | 12 |
最后再通过一次求和或逐行累加得到结果（见右），实质是计算了  (300+40)+(90+12)=340+102=442。
这种计算方法（尽管不一定显式地用网格排列乘数）也称为「部分乘积算法」。它的本质是分别计算简单的个位乘法，所有加法都留到最后的「加總」阶段。
尽管随着位数的增加，伴随的中间过程越来越繁琐，但网格方法原则上可以应用于任何大小的乘数。一般认为此方式是引入多位乘法概念時，有用的显式方法，而在当今利用计算器或电子表格就能完成大多数计算的时代，它可能是某些学生唯一需要的乘法算法。
長乘法

位值制数字系统在人类社会的垄断性地位，使得長乘法成为最自然的乘法算法，世界各地的学校都会教学生使用这种算法完成日常的乘法计算。其内容是：将一个乘数乘以另一个乘数的每位数字，然后将所有数字按照适当的位置相加得出结果。这需要预先记住所有个位数字两两相乘后的结果，即华人世界常见的乘法表。长乘法又被称为教科书乘法或标准乘法。
若在十進制下，人工計算較大的數字加乘，长乘法是常見的算法。電腦在二進制下，也有類似的算法「移位和相加」，不少現代的處理器已設計最佳化的乘法線路，以進行快速的乘法計算，但其代價是硬體會變的更加複雜。若是在紙上計算長乘法，會先將所有數字寫下，然後相加，若是使用珠算，會在計算完每一個乘積後，直接和已計算的和加總。
長乘法 > 示例

此例用長乘法計算23,958,233（被乘數）乘以5,830（乘數），結果是139,676,498,390（積）。
23958233
  ×         5830
  ———————————————
        00000000 ( =      23,958,233 ×     0)
       71874699  ( =      23,958,233 ×    30)
     191665864   ( =      23,958,233 ×   800)
  + 119791165    ( =      23,958,233 × 5,000)
  ———————————————
    139676498390 ( = 139,676,498,390        )
以下的虛擬碼描述上述乘法的步驟。此作法會持續的更新乘積，在乘完所有數字後，乘積即為結果。其中+=運算子用來表示將某變數原有的值加上其他的值，再存回該變數中（類似在Java及C語言中的用法），以讓程式緊湊。
multiply(a[1..p], b[1..q], base)                            // index 1對應數字的個位數
  product = [1..p+q]                                        // 先預留乘積的空間
  for b_i = 1 to q                                          // 針對b的每一位數
    carry = 0
    for a_i = 1 to p                                        // 針對a的每一位數
      product[a_i + b_i - 1] += carry + a[a_i] * b[b_i]
      carry = product[a_i + b_i - 1] / base
      product[a_i + b_i - 1] = product[a_i + b_i - 1] mod base
    product[b_i + p] = carry                               // 最高位數是最後一次計算乘法的進位
  return product
長乘法 > 优化空间复杂度

假設在基數为 D，令  n 为两个输入数字位數長度的總和，若其结果需保存在存储器中，则其空间复杂度通常为 \Theta (n)。然而在某些应用中，不需要把整个结果保存在内存中，而可以在计算时将数字以字元流的方式输出（例如输出到系统终端或文件中）。在这些情况下，长乘法的优势在于可以将其轻松表示为对数空间算法——也就是说，只需要一个工作空间与输入中位数的对数成正比的算法（ \Theta (\log n)），这是乘数之积的雙重对数（ \log \log N）。注意，乘数本身仍保留在内存中，并且在此分析中忽略其  \Theta (n) 的空间。
只要知道之前乘積產生的進位，就可以由最低位起，一位一位的計算乘積的每一位數字，這是優化空間複雜度的關鍵。令ai和bi分別是被乘數及乘數的第i位數字，a和 b的最高位都已補0，補到n位數，而ri是乘積的第i位，而ci是計算ri後產生的進位（i=1表示是個位），則
or
簡單的推論可以證明進位不會超過n，ri的總和不會超過D * n：第一欄的進位是0，其他欄最多有n個數字，最多也只會從前一欄進位n。總和最多是D * n，進位到下一位的最多是D * n / D或n。因此這些數字都可以用O(log n)位數儲存。
偽代碼下的對數空間演算法為
：
multiply(a[1..p], b[1..q], base)                  // Operands containing rightmost digits at index 1
    tot = 0
    for ri = 1 to p + q - 1                       //For each digit of result
        for bi = MAX(1, ri - p + 1) to MIN(ri, q) //Digits from b that need to be considered
            ai = ri − bi + 1                      //Digits from a follow "symmetry"
            tot = tot + (a[ai] * b[bi])
        product[ri] = tot mod base
        tot = floor(tot / base)
    product[p+q] = tot mod base                   //Last digit of the result comes from last carry
    return product
長乘法 > 在计算机中的用法

有些集成电路會實現乘法，可能是用硬件或是微程序，可能針對各種整數及浮點數。在高精度计算中，在乘比較小的數字時，用底數為2w的長乘法，其中w為字元的位元數。
若要用此方式乘二個n位數數字，約需要n2次的運算。若用比較型式的方式表示，用數字位數這個自然的數字大小度量，用長乘法乘二個n位數數字的時間複雜度是Θ(n2)。
若要用軟體實現，長乘法演算法需要處理在加法時會出現的溢位問題，可能會很耗成本。典型的作法是用比較小的基底來進行運算，例如b，而讓8b為機器中表示的整數大小。這樣可以進行幾次運算之後才會溢位。若數字太大，可以只加數字的一部份到結果中，或是進位，將剩下的數字映射為一個小於b的較小數字。此作法稱為「正規化」。Richard Brent有在其Fortran軟體包MP中使用此一作法。
格子乘法

条目：格子乘法
格子乘法在演算法上和長乘法等效。需要在紙上劃格子，以引導計算，並且將乘法和加法分為二個步驟進行。這是在1202年在斐波那契的《計算書（英语：）》中引進到歐洲。斐波那契用此方式心算，用左手和右手處理計算的中間值。16世紀的馬特拉克·那西（英语：）在《Umdet-ul Hisab》書籍上列出了此演算法六種不同的變體。在奧斯曼帝國的恩德倫學校中，廣為使用此一演算法。納皮爾的骨頭（Napier's bones）或稱為納皮爾算籌（Napier's rods）也是用此方式，是約翰·納皮爾過世的1617年發表。
如圖所示，被乘數和乘數寫在格子的上方和右邊，此方法在花拉子米的《算數》（Arithmetic）書中有提到，這是斐波那契的來源之一，曾被Sigler在2002年的《Fibonacci's Liber Abaci》中提到[來源請求]。
在乘法階段，格子中會填上其對應行和列上所寫，被乘數和乘數的位數相乘後的二位數乘積：格子中左上方的三角形會列十位數字，格子中右下方的三角形會列個位數字。
在加法階段，會延著斜線將數字相加，將相加後的個位數寫在格子的最下方，對應斜線，若有進位，將進位寫在下一個斜線區域格子的右方或上方。
下方的數字即為兩數字相乘的積。
格子乘法 > 示例

考慮以下較複雜的計算，考慮23,958,233乘以5,830，結果是139,676,498,390。不過以下計算中，其中的23,958,233是寫在格子的上方，5,830寫在右方。將乘積寫在格子的二個三角形中，將和寫在左邊和下方。結果條列如下：
| --- | --- |
      2   3   9   5   8   2   3   3    +---+---+---+---+---+---+---+---+-    |1 /|1 /|4 /|2 /|4 /|1 /|1 /|1 /|    | / | / | / | / | / | / | / | / | 5  01|/ 0|/ 5|/ 5|/ 5|/ 0|/ 0|/ 5|/ 5|    +---+---+---+---+---+---+---+---+-    |1 /|2 /|7 /|4 /|6 /|1 /|2 /|2 /|    | / | / | / | / | / | / | / | / | 8  02|/ 6|/ 4|/ 2|/ 0|/ 4|/ 6|/ 4|/ 4|    +---+---+---+---+---+---+---+---+-    |0 /|0 /|2 /|1 /|2 /|0 /|0 /|0 /|    | / | / | / | / | / | / | / | / | 3  17|/ 6|/ 9|/ 7|/ 5|/ 4|/ 6|/ 9|/ 9|    +---+---+---+---+---+---+---+---+-    |0 /|0 /|0 /|0 /|0 /|0 /|0 /|0 /|    | / | / | / | / | / | / | / | / | 0  24|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|    +---+---+---+---+---+---+---+---+-      26  15  13  18  17  13  09  00:   01  002  0017  00024  000026  0000015  00000013  000000018  0000000017  00000000013  000000000009  0000000000000  —————————————   139676498390 
      2   3   9   5   8   2   3   3    +---+---+---+---+---+---+---+---+-    |1 /|1 /|4 /|2 /|4 /|1 /|1 /|1 /|    | / | / | / | / | / | / | / | / | 5  01|/ 0|/ 5|/ 5|/ 5|/ 0|/ 0|/ 5|/ 5|    +---+---+---+---+---+---+---+---+-    |1 /|2 /|7 /|4 /|6 /|1 /|2 /|2 /|    | / | / | / | / | / | / | / | / | 8  02|/ 6|/ 4|/ 2|/ 0|/ 4|/ 6|/ 4|/ 4|    +---+---+---+---+---+---+---+---+-    |0 /|0 /|2 /|1 /|2 /|0 /|0 /|0 /|    | / | / | / | / | / | / | / | / | 3  17|/ 6|/ 9|/ 7|/ 5|/ 4|/ 6|/ 9|/ 9|    +---+---+---+---+---+---+---+---+-    |0 /|0 /|0 /|0 /|0 /|0 /|0 /|0 /|    | / | / | / | / | / | / | / | / | 0  24|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|    +---+---+---+---+---+---+---+---+-      26  15  13  18  17  13  09  00:  = 139,676,498,390
二進制或農夫演算法

農夫演算法（英语：）是廣為在農民中使用的算法，其中不需要像長乘法一樣記憶乘法表[與來源不符]。此演算法曾在古埃及使用，農夫演算法的優點是可以快速教授、不需要記憶、若沒有紙筆的話，也可以用其他東西輔助計算（例如籌碼），缺點是步驟比長除法要長，在計算大數字的乘法時不方便，
二進制或農夫演算法 > 說明

在紙上，寫下被乘數，被乘數的下方寫下被乘數反覆除二（且無條件捨去小數）的結果，被乘數的旁邊寫下乘數，乘數下方寫上乘數反覆乘二的結果。一直到被乘數那一欄為1為止。將乘數那一欄的數字相加，但若被乘數那一欄為偶數，跳過此數字不累加，所得結果即為乘積。
二進制或農夫演算法 > 示例

以下用農夫演算法計算11乘以3 。
十進制:     二進制:
11   3       1011  11
5    6       101  110
2   12       10  1100
1   24       1  11000
    ——         ——————
    33         100001
說明上述的步驟：
二欄的最上方分別是11和3。
11除以2（5.5）無條件捨去，變成5，3乘以2（6）。
5除以2（2.5）無條件捨去，變成2，6乘以2（12），這一行的最左邊（2）是偶數，因此12要劃掉，不能累加到乘積中。
2除以2（1），12乘以2（24）
將沒有劃掉的數字相加：3 + 6 + 24 = 33.
此作法有效的原因是因為乘法滿足分配律，因此：
以下是一個複雜的例子，仍用之前用過的範例（23,958,233 and 5,830）：
Decimal:             Binary:
5830  23958233       1011011000110  1011011011001001011011001
2915  47916466       101101100011  10110110110010010110110010
1457  95832932       10110110001  101101101100100101101100100
728  191665864       1011011000  1011011011001001011011001000
364  383331728       101101100  10110110110010010110110010000
182  766663456       10110110  101101101100100101101100100000
91  1533326912       1011011  1011011011001001011011001000000
45  3066653824       101101  10110110110010010110110010000000
22  6133307648       10110  101101101100100101101100100000000
11 12266615296       1011  1011011011001001011011001000000000
5  24533230592       101  10110110110010010110110010000000000
2  49066461184       10  101101101100100101101100100000000000
1  98132922368       1  1011011011001001011011001000000000000
  ————————————          1022143253354344244353353243222210110 （進位前）
  139676498390         10000010000101010111100011100111010110
電腦中的二進制乘法

這是農夫演算法的變體。
二進制下，長乘法會變成很簡單的處理，針對每一個被乘數位數的1，將乘數往左位移適當的位元數，將乘數各次位移的結果相加，即為乘積。在一些中央處理器中，加法和位移的速度會比乘法要快，尤其被乘數不大，或是幾乎是定值的情形。
移位和相加

以往的電腦會用「移位和相加」的乘法來計算小整數的乘法。二進制的長乘法和農夫演算法都可以簡化到相同的演算法。
在二進制下，將數字和二進制的一個位元相乘，可以簡化為各位元的逻辑与運算。會將算出來的部份和相加。，大部份目前的微處理器都會以此方式或是其他類似方式（例如布斯乘法算法）實現不同整數以及浮點長度的乘法，，可能是用乘法器中或是微程序。
目前的處理器，位元的移位運算會比乘法要快很多，因此可以用往左移位代替乘以2的次幂。乘以常數的乘法也可以用一連串的移位和加減法來代替。例如，以下是只有移位及相加來表示乘以10的演算法。
((x << 2) + x) << 1 # 此處是用 (x*2^2 + x)*2 來計算 10*x
(x << 3) + (x << 1) # 此處是用 x*2^3 + x*2 來計算 10*x
有時的移位和加減法的組合會比硬體乘法器還快。
若電腦沒有乘法的運算，需要用上述方式來進行計算，若將向左移位表示為相同的數加二次（兩者在邏輯上等價），也可以延伸到浮點數。
平方的四分之一乘法

可以用平方的算式，計算二個數的乘積，有些來源的算式中會包括取整函数，此方式源自於巴比伦数学（西元前2000-1600年）。
x和y為整數，若x+y和x−y中有一個為奇數，另一個也一定會是奇數，因此上式中若有一項在取整數之前有分數，另一項也會有，兩者會相消，不會影響所得的結果。以下是從0到18計算平方的四分之一取整數的對照表，可以計算9×9以內的乘法：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n   |   0 |   1 |   2 |   3 |   4 |   5 |   6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| ⌊n2/4⌋ | 0 | 0 | 1 | 2 | 4 | 6 | 9 | 12 | 16 | 20 | 25 | 30 | 36 | 42 | 49 | 56 | 64 | 72 | 81 |
若要計算9乘3，其和以及差分別是12以及6，根據上式可得36和9，兩者的差是27，這就是9乘3的乘積。
Antoine Voisin在1817年有出版一個平方的四分之一的表，從1列到1000，可以幫助乘法的運算。Samuel Laundy在1856年有出版過1到100000的表，Joseph Blater在1888年出版了1到200000的表。
平方的四分之一乘法曾用在模拟计算机上，以形成二訊號相乘的模擬信號。二個輸入電壓的和或差可以用运算放大器達到。電壓平方可以用分段線性（英语：）電路達成。最後二個平方的四分之一以及兩電壓的差以及再用运算放大器實現。
Everett L. Johnson在1980年時提出將此方式應用在數碼乘法器中。為了產生8位元整數的乘積，數位裝置計算兩數的和以及差，查表計算平方，計算差值，再往右移位二個位元。
平方的四分之一乘法對8位元的系統有益，可以在沒有硬體乘法器的情形下實現乘法。Charles Putney有將此演算法實現在MOS 6502中。
複數乘法演算法

複數乘法包括四個實數乘法以及二個加法。
或
不過有辦法將實數乘法由四個減少到三個
乘積(a + bi) · (c + di)可以用以下方式計算。
此演算法只用了三個乘法，比原來的四個乘法少一個，但加減法由原來的二個增加到五個。假如乘法的成本遠大於計算加減法的成本，此演算法的速度會比原來的演算法快。在現代先進的電腦上，乘法和加法花的時間可能相同，那麼此演算法就沒有速度上的優勢。若使用浮點數計算，此演算法可能會有精準度下降的問題，因此需要取捨。
在FFT（或是其他的线性映射），若是乘以固定係數（c + di，在FFT中稱為旋轉因子）的複數乘法，其中二個加法（d−c和c+d）可以事先計算，需要即時計算只剩三個乘法以及三個加法。不過若是配合有浮点运算器的處理器，加法的速度和乘法相當，因此減少乘法，增加加減法的演算法，沒有速度上的優勢。
大數字的快速乘法演算法

針對二個位數數字的乘法，哪個乘法演算法的速度最快？
大數字的快速乘法演算法 > Karatsuba乘法

条目：Karatsuba算法
若需要計算到上千位數字相乘的系統，例如計算機代數系統或高精度计算函式庫，長乘法的速度太慢。因此會使用Karatsuba算法，此乘法演算法是Anatoly Karatsuba（英语：）在1960年發現的，在1962年出版。此乘法演算法的精神在於觀察到二位數的乘法可以不用傳統四個乘法的作法，可以只用三個乘法完成。這是分治法的例子。假設要將二個二位數m進位數字 x1 m + x2和y1 m + y2相乘：
計算x1 · y1，稱此結果是F
計算x2 · y2，稱此結果是G
計算(x1 + x2) · (y1 + y2)，稱此結果是H
計算H − F − G，稱此結果是K，此數字等於x1 · y2 + x2 · y1
計算F · m2 + K · m + G.
若要計算三個m進位數字的乘積，又可以用上述的技巧，使用递归的方式進行（但需要改為其他的進位），此方式。只要計算出乘積數字，再將數字相加，需要n個步驟。
Karatsuba算法的時間複雜度是O(nlog23) ≈ O(n1.585)，此方式明顯的比長乘法要快。因為递归產生的額外計算，若n較小時，Karatsuba算法會比長乘法慢，因此在n較小時，會切換回長乘法進行計算。
Karatsuba算法是第一個時間複雜度漸進的比長乘法快的演算法，也可以視為是快速乘法理論的基礎。
1963年時，Peter Ungar建議將m改為i，以產生快速複數乘法的演算法。若要計算 (a + b i) · (c + d i)，可依以下步驟進行：
計算b · d，稱結果為F
計算a · c，稱結果為G
計算(a + b) · (c + d)，稱結果為H
結果的實部是 K = H − F − G = a · d + b · c
結果的虛部是 G − F = a · c − b · d
如同上述複數乘法演算法所述的一樣，需要三個乘法以及五個加減法。
大數字的快速乘法演算法 > Toom-Cook 算法

条目：Toom-Cook算法
另一種乘法的演算法是Toom-Cook算法，或稱為Toom-3算法。Toom-Cook算法將每一個要相乘的數字切成幾部份，是Karatsuba算法的推廣。三路的Toom-Cook演算法可以針對大小為 3N的被乘數和乘數進行乘法，其成本是大小為 N的被乘數和乘數乘法的5倍，因為運算加速的係數是 9/5，Karatsuba算法的加速係數是 4/3。
若用遞迴的方式將數字分成更多份，可以再縮減計算時間，但位數管理以及加法的成本也會增加。若位數到上千位數，一般會使用傅立葉轉換，速度多半會比較快，若位數更多，傅立葉轉換的優勢更加明顯。
大數字的快速乘法演算法 > 傅立葉變換法

Strassen（1968年）曾提出用快速多項式乘法來計算快速整數乘法的基本概念。後來在1971年由Strassen和Schönhage（英语：）找到理論和實務的確認，所得的就是Schönhage-Strassen演算法。
下限

若用單一處理器將二個n進位的數字相乘，時間複雜度有一個trivial的下界Ω(n) ，沒有更接近實際應用的下界。乘法在AC0[p]（英语：）以外（p為任意整數），意思是不存在固定深度，多項式（甚至是次指數）大小，以AND、OR、NOT、MODp電路組合成的電路可以計算乘法。。
多項式乘法

上述的乘法演算法也可以用來計算多項式的乘法。例如Strassen演算法就可以用來計算多項式的乘積。而
Kronecker替代（英语：）也可以將多項式的乘法轉換為二個整數的乘法。
以下是用長乘法來計算多項式乘法的例子：
14ac - 3ab + 2 乘以 ac - ab + 1
14ac  -3ab   2
   ac   -ab   1
 ————————————————————
 14a2c2  -3a2bc   2ac
        -14a2bc         3 a2b2  -2ab
                 14ac           -3ab   2
 ———————————————————————————————————————
 14a2c2 -17a2bc   16ac  3a2b2    -5ab  +2
 =======================================
相關條目

乘法器
除法器
对数
心算
積化和差（英语：）
计算尺
特拉亨伯格速算系统（英语：）
秦九韶算法，計算多項式的演算法
Dadda乘法器（英语：）
Wallace樹（英语：）
參考資料

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延伸閱讀

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Savard, John J. G. . quadibloc. 2018 [2006]  [2018-07-16]. （原始内容存档于2018-07-03）.
外部連結 > 基本運算

The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics （页面存档备份，存于）
A Powerpoint presentation about ancient mathematics （页面存档备份，存于）
Lattice Multiplication Flash Video （页面存档备份，存于）
外部連結 > 進階演算法

Multiplication Algorithms used by GMP （页面存档备份，存于）
首先先劃網格，行和列分別對應要乘二個數字的各位數。接下來，將乘完結果乘積的十位數字放在方格中的上三角形，個位數字放在下三角形。
最後，將斜線上的三角形數字相加，再進位，即可以得到答案
說明用快速傅立葉變換（FFT）計算1234 × 5678 = 7006652的作法。其中有使用模數為337的數論轉換，選擇85為1的8次方根。
趙氏孤兒

關於改編作品，請見赵氏孤儿 (消歧义)。關於類似名稱，請見邵氏孤兒案。
《趙氏孤兒》，元朝雜劇，作者紀君祥。本劇全名或作《趙氏孤兒大報仇》（見於明人臧懋循所編《元曲選》），或作《冤報冤趙為楚》（見於《元刊雜劇三十种》），簡稱《冤報冤》。
此部悲劇內容取材自春秋時代發生在晉國的「下宮之難」事件，但並非按照歷史事實撰寫，大幅度改變了歷史上的人物關係。
劇情簡介

元雜劇《趙氏孤兒》是一部歷史劇，相關的歷史事件記載最早見於《左傳》，情節較略；到司馬遷《史記·趙世家》，劉向《新序》、《說苑》才有詳細記載。戲劇情節敘春秋時期晉貴族趙氏被奸臣屠岸賈陷害而慘遭滅門，幸存下來的趙氏孤兒趙為楚長大後為家族復仇的故事。
本劇的《元曲選》本與元刊本曲文有較大差異，情節也有一些不同。
《元曲選》本的題目正名：
《元刊雜劇三十种》本的題目正名：
本戲忠臣、義士、節婦、孝子，無不凜然如生；忠憤之氣，貫徹全篇
劇情簡介 > 原曲 > 楔子

晉國大夫趙盾被奸人屠岸賈陷害，誣告謀反，遂被夷滅宗族。趙盾之子趙朔為晉靈公駙馬，被屠岸賈假傳君命逼其自盡。趙朔自盡前囑咐公主，若生下兒子，則名為趙氏孤兒，使其長大后為全家報仇。
劇情簡介 > 原曲 > 第一折

公主將趙氏孤兒托付給程嬰，自縊而死。屠岸賈派下將軍韓厥把守駙馬府門，以防有人帶出趙氏孤兒。程嬰將孤兒藏在藥箱中帶出，被韓厥搜出。但韓厥不忍心趕盡殺絕，於是自刎而死。
劇情簡介 > 原曲 > 第二折

屠岸賈發覺趙氏孤兒被救出，下令若不獻出趙氏孤兒，則殺盡國中半歲以内的小兒。程嬰與公孫杵臼商議，欲以自己兒子冒充，以拯救趙氏孤兒。最終決定由程嬰出首，而公孫杵臼將程嬰之子冒充為趙氏孤兒。
劇情簡介 > 原曲 > 第三折

程嬰向屠岸賈告發公孫杵臼藏匿趙氏孤兒。屠嚴刑審問，並且命令程嬰拷問之。屠手下士兵在公孫家中搜出假趙氏孤兒，並將其殺死，公孫杵臼也撞階自盡。趙氏孤兒被程嬰冒充為自己的兒子，起名程勃，並被屠收為義子，故又名屠成。
劇情簡介 > 原曲 > 第四折

改名換姓的孤兒長成以後，程嬰告知其身世，趙氏孤兒悲憤交加，決意為程嬰及公孫杵臼向屠岸賈報仇。
劇情簡介 > 臧氏 > 第五折

（元刊本雜劇無此折，疑為臧懋循所增添）
趙氏孤兒向晉悼公申訴己族之慘禍。由上卿魏絳傳令，將屠岸賈滅族，趙氏孤兒恢復趙姓，改名趙武。
评价

王國維認爲《趙氏孤兒》一劇“即列之于世界大悲剧中，亦无愧色也。”
影視版本

《趙氏孤兒》 〔華新公司1962年出品〕
赵氏孤儿 (电影)（2010年）
忠孝節義 - 萬古流芳（台視2019年）
歌剧版本

赵氏孤儿 (国家大剧院歌剧) （国家大剧院歌剧于2011年创作演出的歌剧）
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邵氏孤兒案
引用

↑  葉慶炳《中國文學史》下冊頁247引鄭騫言：「元刊雜劇三十種本則僅四折，至趙孤立志報仇為止，未實敘其事。然自十二月帶堯民歌以下數曲，將報仇情形用想像語寫出，劇情已完。此正手法高妙處。今第五折用實寫，轉蛇成足。文筆既不相纇，結構上亦嫌多餘。其為後人所添無疑。」
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