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高月型護衛艦
相關條目

日本護衛艦列表
日本海上自衛隊
自衛隊
|  论 编 海上自衛隊各级别作战舰艇 |
| --- | --- |
DDH 直升机護衛舰: 出雲級  · 日向級  · 白根級  · 榛名級
DDG 导弹護衛舰: 摩耶級  · 愛宕級  · 金剛級  · 旗風級  · 太刀風級  · 天津風級
DD 護衛舰: 朝日級（二代）  · 秋月级（二代）  · 高波級  · 村雨級（二代）  · 朝霧級  · 初雪級  · 秋月级（一代）  · 春風級（日语：）  · 有明級（日语：）  · 朝風級（日语：）
DDA 通用護衛舰: 高月級  · 村雨級（一代）
DDK 護衛舰: 峯雲級  · 山雲級（日语：） · 綾波級（日语：）
DE 护航護衛舰: 阿武隈級  · 夕張級  · 石狩級  · 筑後級（日语：）  · 五十鈴級（日语：）  · 若葉  · 雷級（日语：）  · 曙（日语：）  · 朝日級（一代）（日语：）
FFM 護衛艦: 最上级  · 6FFM多機能護衛艦
PF 护卫舰: 楠級
OPV 巡邏艦: 1900噸級巡邏艦（日语：）
PG 飛彈快艇: 隼級  · 1号型导弹快艇（日语：）
SS 潜舰: 大鲸级  · 苍龙级  · 亲潮级  · 春潮级  · 汐潮级  · 渦潮級（日语：）  · 朝潮級（日语：）  · 大潮（日语：）  · 夏潮级（日语：）  · 早潮级（日语：）  · 亲潮（一代）（日语：）  · 黑潮（日语：）
LST 兩棲運輸艦: 大隅級 · 三浦級（日语：）
海上自衛隊船舶艦艇命名慣例
周夔 (正德進士)

与「」標題相近或相同的条目，請見「」。
| 周夔 |
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大明
籍貫: 湖廣武昌府嘉魚縣
出生: 十月初四日 
逝世: 卒年不詳 
配偶: 娶李氏
出身
 正德十六年辛巳科同進士出身 
周夔（1481年—？），字公遜，湖廣武昌府嘉魚縣人，軍籍，明朝政治人物。
生平

湖廣鄉試第五十三名舉人，正德十六年（1521年）中式辛巳科會試第一百五十七名，三甲第一百七十六名進士。嘉靖二年（1523年）任四川富顺县知县，建社學六处，其一为西湖书院。重建明伦堂，修濬泮池，又重修治署左右六房抱厦。嘉靖四年（1525年）鄰邑曾玙作《泮池颂》赞美他。
家族

曾祖周東；祖父周懋；父周賓，曾任訓導。母仵氏。永感下。
玛丽亚皇后级战列舰

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玛丽亚皇后级战列舰 
概况
建造者:   尼古拉耶夫61公社社员船厂（英语：）  尼古拉耶夫黑海船廠 
使用者:    俄羅斯帝國海軍   紅軍海軍   德意志帝國海軍  白軍海軍 
前级:  甘古特级战列舰
次级:  皇帝尼古拉一世号战列舰
亚型:  叶卡捷琳娜二世级
建造期:  1912–17
 服役期:  1915–20
规划数:  4
完成数:  3
损失数:  2
退役数:  1
技术数据
船型:  無畏艦
排水量:  23,413長噸（23,789公噸）
船長:  168米（551英尺）
型宽:  27.43米（90英尺）
吃水:  8.36米（27.4英尺）
動力輸出:  26,000 shp（19,388 kW）
動力來源:   4-shaft Brown-Curtis steam turbines  20 Yarrow water-tube boilers 
船速:  21節（24英里每小時；39每小時）
續航力:  1,640海里（3,037） at 21節（24英里每小時；39每小時）
乘員:  1,154–1,213
武器裝備:   4 × 3 – 12-英寸（305-）/52 guns  20 × 1 – 130-（5.1-英寸） guns  3–4 – anti-aircraft guns  2 × 2 – 17.7-英寸（450-） submerged torpedo tubes 
装甲:   Waterline belt: 125—262.5 mm（4.92—10.33英寸）  Deck: 9—50 mm（0.35—1.97英寸）  Turrets: 250 mm（9.8英寸）  Barbettes: 250 mm（9.8英寸）  Conning tower: 300 mm（11.8英寸） 
玛丽亚皇后级战列舰 (俄語：)是沙皇俄国海军为黑海舰队建造的第一种无畏舰。三舰都在尼古拉耶夫船厂建造。两艘是在后改名61公社社员船厂的船坞建造，第三艘在黑海船厂 (俄语：)建造。头两艘于1915年完工并和德国海军赠与土耳其海军的战列舰交战，第三艘二月革命时未完工。
玛丽亚皇后号由于弹药库爆炸1916年沉于塞瓦斯托波尔。叶卡捷琳娜女皇号被于1917年重新命名为“自由俄罗斯号”1918年为免被德军按布列斯特条约俘获于新罗西斯克自沉，亚历山大三世号改名为“自由号”转交给德军，仅进行了一次出海训练就因德国战败转交给协约国。英国于1920年将她转交俄国白军，重命名为阿列克谢耶夫将军号。此时 她只有一座炮塔能用，但是在白军失利后转到克里米亚，加入弗兰格尔的海军并被法国拘留，1930年代解体以支付停泊费。
參考書目

Gardiner, Robert; Gray, Randal (编). . Annapolis: Naval Institute Press. 1984. ISBN 0-85177-245-5.
McLaughlin, Stephen. . Annapolis, MD: Naval Institute Press. 2003. ISBN 1-55750-481-4.
外部連結

Information about the class （页面存档备份，存于） （俄文）
Data on Imperatritsa Mariya （页面存档备份，存于） （俄文）
Data on Imperatritsa Ekaterina Velikaya （页面存档备份，存于） （俄文）
Data on Imperator Aleksander III （页面存档备份，存于） （俄文）
Data on Imperator Nikolai I （页面存档备份，存于） （俄文）
Specifications
|  论 编一戰俄羅斯海軍艦船 |
| --- | --- | --- |
| 水上飛機母艦 |  鑽石（英语：）SV  鷹女（俄语：）SV  皇帝亞歷山大一世（俄语：）SV  皇帝尼古拉一世（俄语：）SV  羅馬尼亞SV  達契亞SV  卡爾SV  圖拉真（俄语：）SV  瑪麗亞皇后（俄语：）SV  塔季揚娜（俄语：）SV  公社（俄语：）SV  |  |
| 无畏舰 |  甘古特  瑪麗亞皇后  皇帝尼古拉一世SX  |  |
| 前無畏艦 |  葉卡捷琳娜二世（英语：）  皇帝亞歷山大二世  彼得羅巴甫洛夫斯克  三聖徒S  羅斯季斯拉夫S  佩列斯韋特  皇太子S  博羅季諾  普譚金S  葉夫斯塔菲  首召者安德列  |  |
| 戰鬥巡洋艦 |  博羅季諾（英语：）X  |  |
| 輕巡洋艦 |  穆拉維約夫·阿穆爾斯基G  斯韋特蘭娜（英语：）C  納希莫夫海軍上將（英语：）C  |  |
| 裝甲巡洋艦 |  俄羅斯（英语：）S  格羅莫鮑伊（英语：）S  巴揚（英语：）  留里克（英语：）S  |  |
| 防護巡洋艦 |  帕拉達  瓦良格SJ  阿斯科爾德（英语：）S  博加特里（英语：）  伊祖姆魯德（英语：）  普魯特河（英语：）SO  |  |
| 通報艦 |  卡扎爾斯基（俄语：）  阿布雷克（俄语：）S  |  |
| 驱逐舰 |  隼（俄语：）  鯨魚（俄语：）  鱒魚（德语：）  狂暴（俄语：）  格羅茲尼（俄语：）  普辛中尉（俄语：）  布拉科夫中尉（俄语：）  堅毅（俄语：）  機械工程師茲韋列夫（俄语：）  活潑（俄语：）  芬恩（俄语：）  騎士（俄语：）  獵人（德语：）  烏克蘭（波兰语：）  舍斯塔科夫中尉（德语：）  諾維克（俄语：）M  |  |
| 魚雷艇 |  狗魚  改巴統  奧布  鷹S  阿納克里亞  比爾克  達戈（英语：）  派爾努夫（英语：）  謝斯特羅列茨克  改松花江  旋風  |  |
| 内河重炮舰 |  暴風（俄语：）  |  |
| 炮艇 |  格羅扎西  勇敢（英语：）S  吉利亞克人  卡爾斯  |  |
| 潛艇 |  海豚S  鯰魚  虎鯨G  鯉魚G  七鰓鰻S  凱門鱷  鯊魚S  海象G  螃蟹S  獨角鯨  雪豹  A (AG)（英语：）C  聖佐治（俄语：）S  B-1X  V-1X  G-1X  Z-1X  |  |
 S僅建一艘 C戰後完成 G被德國扣押 J從日本買回 M此艦級由多個艦級組成 O俘獲 V改裝 X計劃取消
天主教加普教區

| 天主教加普教區  |
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教会管区
 
加普主教座堂
基本
教座位置: 法國
管轄範圍: 上阿爾卑斯省
禮儀形式: 拉丁禮
主保聖人: 聖阿努爾夫
所屬教省: 馬賽
創設時間: 5世紀
主教座堂: 加普主教座堂
首長職銜: 主教
教務首長
教區主教: 安德肋·馬索
統計資料
教友人數: 114,000
聯絡資訊
網址: 官方網頁
天主教加普教區（拉丁語：、法語：）是法國一個羅馬天主教教區，屬馬賽總教區。
教區成立於5世紀，首位主教是君士坦丁，2007年加銜昂布蘭。教區位於上阿爾卑斯省，2006年有教友114,000人（佔轄區總人口89.9%）、202個堂區、七十二名司鐸。現任教區主教為安德肋·馬索。
|  论 编法國天主教教區 |
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貝桑松總教區: 貝爾福-蒙貝利亞爾教區 | 南錫教區 | 聖克洛德教區 | 聖迪耶教區 | 凡爾登教區
波爾多總教區: 阿讓教區 | 艾爾教區 | 巴約訥教區 | 佩里格教區
克萊蒙總教區: 勒皮教區 | 穆蘭教區 | 聖弗盧爾教區
第戎總教區: 桑斯總教區 | 歐坦教區 | 訥韋爾教區 | 法國傳教團自治監督區
里爾總教區: 康布雷總教區 | 阿拉斯教區 
里昂總教區: 尚貝里總教區 | 阿訥西教區 | 貝萊-阿爾教區 | 格勒諾布爾-維埃納教區 | 聖艾蒂安教區 | 瓦朗斯教區 | 維維耶教區
馬賽總教區: 艾克斯總教區 | 阿維尼翁總教區 | 阿雅克肖教區 | 迪涅教區 | 弗雷瑞斯-土倫教區 | 加普教區 | 尼斯教區
蒙彼利埃總教區: 卡爾卡松教區 | 芒德教區 | 尼姆教區 | 佩皮尼昂-埃爾恩教區
巴黎總教區: 克雷泰伊教區 | 埃夫里-科爾贝伊-埃松教區 | 莫城教區 | 楠泰爾教區 | 蓬圖瓦茲教區 | 聖但尼教區 | 凡爾賽教區
普瓦捷總教區: 昂古萊姆教區 | 拉羅謝爾教區 | 利摩日教區 | 蒂勒教區
蘭斯總教區: 亞眠教區 | 博韋教區 | 沙隆教區 | 朗格勒教區 | 蘇瓦松教區 | 特魯瓦教區
雷恩總教區: 昂熱教區 | 拉瓦勒教區 | 勒芒教區 | 呂松教區 | 南特教區 | 坎佩爾教區 | 聖布里厄教區 | 瓦訥教區
魯昂總教區: 巴約教區 | 庫唐斯教區 | 埃夫勒教區 | 勒阿弗爾教區 | 塞鎮教區
土魯斯總教區: 阿爾比總教區 | 歐什總教區 | 卡奧爾教區 | 蒙托邦教區 | 帕米耶教區 | 羅德茲教區 | 塔布-盧爾德教區
圖爾總教區: 布爾日總教區 | 布盧瓦教區 | 沙特爾教區 | 奧爾良教區
聖座直屬: 斯特拉斯堡總教區 | 梅斯教區 | 法國武裝部隊教區 | 馬龍尼禮天主教巴黎黎巴嫩聖母教區 | 亞美尼亞禮天主教巴黎聖十字教區 | 烏克蘭希臘禮天主教巴黎聖大符拉基米爾教區 | 拜占庭禮天主教法國教長區
參見：法國天主教 · 法國天主教教區列表 · 歐洲天主教教區列表 · 東儀天主教會
|   |
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国际:  VIAF 
各地:  法国  BnF data  德国  以色列  美国 
其他:  IdRef
愚者之夜

| 愚者之夜 |
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類型: 反烏托邦、末日幻想、科幻驚悚
漫画
作者: 安田佳澄
出版社:  小學館  尖端出版社
連載雜誌: Big Comic Superior
叢書: Big Comics
連載期間: 2020年23号—連載中
出版期間: 2020年11月13日—出版中
冊數: 共9卷
動漫主題－電子遊戲主題－ACG專題－模板說明
《愚者之夜》（日語：）是日本漫畫家安田佳澄創作的日本漫畫作品。於《Big Comic Superior》2020年23號開始連載。
出版書籍

尖端出版社於2024年4月開始代理出版。
| 卷數 |  小學館> 發售日期 |  小學館> ISBN |  尖端出版社> 發售日期 |  尖端出版社> ISBN |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2021年3月30日 | ISBN 978-409-860866-9 | 2024年4月16日 | ISBN 978-626-377-783-5 |
| 2 | 2021年8月30日 | ISBN 978-409-861132-4 | 2024年7月26日 | ISBN 978-626-377-975-4 |
| 3 | 2022年1月28日 | ISBN 978-4-09-861239-0 | 2024年10月17日 | ISBN 978-626-403-206-3 |
| 4 | 2022年6月30日 | ISBN 978-4-09-861319-9 |  |  |
| 5 | 2022年11月30日 | ISBN 978-4-09-861473-8 |  |  |
| 6 | 2023年4月28日 | ISBN 978-4-09-861696-1 |  |  |
| 7 | 2023年9月28日 | ISBN 978-4-09-862527-7 |  |  |
| 8 | 2024年3月29日 | ISBN 978-4-09-862693-9 |  |  |
| 9 | 2024年9月30日 | ISBN 978-4-09-863036-3 |  |  |
迴響

本作獲得2020年下一部人氣漫畫大賞的提名。於這本漫畫真厲害！2023年版男生篇，與《庫吉馬唱歌的家》、《日本三國》並列第12名。在2023年舉辦的第50屆安古蘭國際漫畫節中，獲得「最佳漫畫」的提名。
來源

↑  . Comic Natalie. 2020-11-13  [2024-12-12].
↑  Akito. . 巴哈姆特電玩資訊站. 2024-04-01  [2024-12-19].
↑  Morrissy, Kim. . Anime News Network. June 23, 2022  [October 14, 2023]. （原始内容存档于April 23, 2023）.
↑  Pineda, Rafael. . Anime News Network. December 12, 2022  [October 13, 2023]. （原始内容存档于December 14, 2022）.
↑  Pineda, Rafael. . Anime News Network. January 30, 2023  [December 30, 2023]. （原始内容存档于March 27, 2023）.
外部連結

Big Comic Bros官網 （日語）
愚者之夜在動畫新聞網百科全書中的資料（英文）
岡本站 (香川縣)

岡本站（日语：／ Okamoto eki */?）是位於日本香川縣高松市、屬於高松琴平電氣鐵道（琴電）琴平線的鐵路車站，車站編號為K10，本站是琴平線於高松市內最後一個車站，自此再下行起便離開了高松市。
月台（2010年8月）
車站結構 > 站房

本站為單層木製站房，前端為半開放式候車室，並設有1部簡易式自動售票機及公眾電話，經過通道後，再通過已停用的驗票窗口及開放式閘口進入2號月台；前往1號月台者，則可利用橫越路軌的平交道前往。男、女共用式的獨立洗手間建於站房外。
車站結構 > 月台

設有2座側式月台，長約80米，可容納4輛長度的列車停靠。列車與陶站一樣、採用右側進站，是琴電內較少採用的進站方式。月台靠下行一端均設置了上蓋，其中1號月台約為30米、2號月台更接近70米。
| 月台 | 路線 | 方向 | 目的地 | 備註 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | ■ 琴平線 | 下行 | 瀧宮、琴電琴平方向 |  |
| 2 | ■ 琴平線 | 上行 | 高松築港方向 |  |
歷史

1926年12月21日：開業。
使用狀況

| 1日上落人數推斷> 年度 | 1日上落人數推斷> 1日平均人數  |
| --- | --- |
2011: 782
2012: 826
2013: 829
2014: 869
2015: 855
2016: 860
2017: 873
2018: 851
2019: 841
2020: 677
2021: 677
2022: 637
註釋

↑  日本《官報》「地方鐵道運輸開始」 （页面存档备份，存于），大蔵省印刷局：1926年12月28日。
↑  国土数値情報(駅別乗降客数データ)  （页面存档备份，存于） - 国土交通省、2018年3月13日閲覧
↑  国土数値情報(駅別乗降客数データ)  （页面存档备份，存于） - 統計情報リサーチ、2020年8月28日閲覧
外部連結

高松琴平電鐵岡本站資訊 （页面存档备份，存于）（日語）
南方大語系

| 南方大語系 |
| --- | --- |
有争议
地理分佈: 臺灣、東南亞、南亞、馬達加斯加、大洋洲
谱系学分类: 世界主要語系之一（有爭議）
分支:  澳台語系 南亚语系 苗瑤語系（有爭議） 漢藏語系（有爭議） 阿伊努語（有爭議） 尼哈利語（有爭議） 日琉語系（有爭議）             
–
 南方大語系分布圖
南方大語系（英語：），又稱南方语系、南方語門，或音譯為奥斯垂克諸語，是一個有爭議的構想大語系，其認為位在東亞的臺灣、非洲的馬達加斯加，以及東南亞、大洋洲的南島語系，以及位於東南亞、南亞的南亞語系、中國西南的壯侗語系彼此間有關聯，屬於一個更大的語系。在一些學者版本中，還包含了中國西南的苗瑤語系，甚至還包含東亞的漢藏語系，還有孤立語言阿伊努語跟尼哈利语。
历史

南方大语系的假设首先由德国传教士威廉·施密特（Wilhelm Schmidt）于1906年提出。他试图用音系学、词法学和词汇语义的证据证明南亚语系和南岛语系属于一个南方大语系。施密特的假设在东南亚语言专家间的接受度参差不齐，在接下来几个十年收获的关注微乎其微。
南方大语系的研究在20世纪晚期重新受到关注，臻极于La Vaughn H. Hayes的一系列论文，他给出了原始南方语词表和原始南方语音系；Lawrence Reid则专注于形态证据。
证据

Reid (2005)列出原始南亚语和原始南岛语下列“可能的”同源词。
| 词义 | 灰 | 狗 | 蛇 | 腹 | 目 | 父 | 母 | 腐烂 | 买 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 原始南亚语 | *qabuh | *cu(q) | *[su](l̩)aR | *ta?al/*ti?al | *mə(n)ta(q) | *(qa)ma(ma) | *(na)na | *ɣok | *pə[l̩]i |
| 原始南岛语 | *qabu | *asu | *SulaR | *tiaN | *maCa | *t-ama | *t-ina | *ma-buRuk | *beli |
在語言形態學证据中，他比较了一些构拟的词缀：
前缀*pa-“使役”(原始南亚语、原始南岛语)
中缀*-um-“施事格”(原始南亚语、原始南岛语)
中缀*-in-“工具格”(原始南亚语)、“名词化”(原始南岛语)
分類

南方大語系中最廣泛使用的分法為白保羅版本：[來源請求]
谢尔盖·阿纳托利耶维奇·斯塔罗斯金採用了另一個分法，將南方大語系分為兩大分支，並認為南方大語系和得内-高加索语系組成更大的一個語系「得內-傣超語系」。
2015年亞歷山大·沃溫（英语：）在其建構了原始日語後，認為日琉語系與南方大語系的語言有密切關係，並擬構出了以下的分類。
分布圖

苗瑶语系分布
南亞語系分布
壯侗語系分布
南島語系分布
日本－琉球語系分布
阿伊努語分布
尼哈利語分布
漢藏語系分布
註釋

↑  “南亚语系”和“南岛语系”其实都是施密特创造的。以前通用的名称“孟高棉”和“马来-波利尼西亚”虽然仍在使用，但适用范围比“南亚语系”和“南岛语系”小得多。
腳註

↑  Schmidt (1906).
↑  Blust (2013).
↑  Shorto (1976), Diffloth (1990), Diffloth (1994).
↑  Hayes (1992), Hayes (1997), Hayes (1999), Hayes (2000), Hayes (2001).
↑  Reid (1994), Reid (1999), Reid (2005).
1 2  Reid (2005).
↑  van Driem, George.  (PDF). Yadava, Yogendra P.  (编). . Linguistic Society of Nepal. 2005: 285–338  [2016-11-08]. ISBN 978-99946-57-69-8. （原始内容 (PDF)存档于2011-07-26）.
↑  Alexander Vovin. . Current Issues in Linguistic Theory.   [2017-01-16]. （原始内容存档于2018-05-11）.
參見

漢-南島語系
澳台語系
| --- | --- |
：各地 :  德国
Ӛ

Ӛ, ӛ 是一个在汉特语（）使用的西里尔字母，由 Ә, ә 加上分音符而成。
音值

通常為 /ɘ/。
計算代碼

|  | Ӛ | Ӛ | ӛ | ӛ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Unicode名称 | 西里爾大寫字母 Schwa 加上分音符 | 西里爾大寫字母 Schwa 加上分音符 | 西里爾小寫字母 Schwa 加上分音符 | 西里爾小寫字母 Schwa 加上分音符 |
编码: 
| Unicode | 540 | U+04DA | 541 | U+04DB |
| UTF-8 | 211 154 | D3  9A | 211 155 | D3  9B |
| UTF-16 | 1242 | 04DA | 1243 | 04DB |
| 字符值引用 | &#1242; | &#x4DA; | &#1243; | &#x4DB; |
参看

Ә ә（西里尔字母）
Unicode中的西里爾字母
外部連結

Буква Ӛ （页面存档备份，存于） на сайте graphemica.com
Буква ӛ （页面存档备份，存于） на сайте graphemica.com
| 汉特语字母 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| А | а | Ӓ | ӓ | Ӑ | ӑ | (Б | б) | В | в | Г | г | Д | д | Е | е | Ё | ё | Ә | ә | Ӛ | ӛ | (Ж | ж) | (З | з) | И | и | Й | й |
| К | к | Қ | қ | Л | л | Ӆ | ӆ | Ԓ | ԓ | М | м | Н | н | Ң | ң | Ӈ | ӈ | О | о | Ӧ | ӧ | Ө | ө | Ӫ | ӫ | П | п | Р | р |
| С | с | Т | т | У | у | Ӱ | ӱ | Ў | ў | (Ф | ф) | Х | х | Ҳ | ҳ | Ц | ц | (Ч | ч) | Ҷ | ҷ | Ш | ш | (Щ | щ) | Ъ | ъ | Ы | ы |
| Ь | ь | Э | э | Є | є | Є̈ | є̈ | Ю | ю | Ю̆ | ю̆ | Я | я | Я̆ | я̆ |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |
|  论 编Ә 延伸字母 |
| --- | --- |
附加符號字母:  Ә́  ә́ (尖音符)  Ə̀, ə̀ (重音符)  Ə̂, ə̂ (揚抑符)  Ə̌, ə̌ (抑揚符)  Ә̄  ə̄ (長音符)  Ә, ǝ̋ (雙銳音符)  Ӛ  ӛ (分音符)  Ә̃ ә̃ (波浪號) 
西里爾字母 · 附加符号
斯利亞奇

斯利亞奇是斯洛伐克的城鎮，位於該國中部赫龍河畔，由班斯卡-比斯特里察州負責管轄，面積39.83平方公里，海拔高度305米，2005年人口4,812，其中五成居民信奉羅馬天主教。該鎮以其具有治愈作用的溫泉和一個用於軍事和民用目的的斯利亞奇機場而聞名。
外部連結

Official website of the municipality （页面存档备份，存于） （斯洛伐克文）
Sliač dnes: Website about events in Sliac （页面存档备份，存于） （斯洛伐克文）
Health Spa Sliač
Sliač International Airport
History, present and comparison of spa Sliač （页面存档备份，存于） （斯洛伐克文）
克利福德代数

數學上，克利福德代数（Clifford algebra）是由具有二次型的向量空間生成的單位結合代數。作為域上的代數，其推廣實數系、複數系、四元數系等超複數系，以及外代数。此代數結構得名自英國數學家威廉·金顿·克利福德。
研究克里福代数的理論有時也稱為克里福代數，其與二次型論和正交群理論緊密聯繫。其在几何、理論物理、數碼圖像處理中有很多应用。其主要贡献者有：威廉·哈密顿（四元数），赫尔曼·格拉斯曼（外代数），威廉·金顿·克利福德，David Hestenes（英语：）等。
最常見的克里福代數是正交克里福代數，又稱（偽）黎曼克里福代數。另一類是扭對稱克里福代數。
定義及基本性質

設有域 K上的向量空間 V，且其上有二次型 Q:V\to K。克里福代數 \mathrm {Cl} (V,Q)是由 V生成的「最自由（英语：）」的單位結合代數，但須滿足
其中左邊的平方是該代數中的乘法，而右邊的 1為其乘法單位元。所謂「最自由」，可以用泛性質嚴格定義，詳見下節。
若 V為有限維實向量空間，且 Q非退化，则 \mathrm {Cl} (V,Q)可記為 \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )，表示 V有一組正交基，其中 p個基元 e_{i}滿足 e_{i}^{2}=+1，另有 q個基元滿足 e_{i}^{2}=-1，而 \mathbb {R} 指明該克里福代數定義在實域上，即該代數的元素系數皆為實數。此組正交基可藉正交對角化（英语：）找出。
由 V生成的自由代數是張量代數 \bigoplus _{n\geq 0}\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} _{n}。換言之，其為 V自身的 n重張量積，對所有 n的直和。故相應的克里福代數會是該張量代數對元素 v\otimes v-Q(v)1（ v取遍 V的元素）生成的雙邊理想的商。張量積導出在商代數的乘積以串接表示（例如 uv）。其結合律由張量積的結合律推出。
克里福代數有指明的子空間 V，即嵌入的像。若只得與克里福代數同構的 K代數，則一般無法唯一確定該子空間。
若底域 K的特徵不為 2，則可將基本恆等式 v^{2}=Q(v)1\ \forall v\in V重寫成
其中
定義的對稱雙線性形式與二次型 Q之間有極化恆等式。
特徵為 2的二次型與克里福代數為特例。具體而言，若 \mathrm {char} (K)=2，則對於二次型 Q，式 Q(v)=\langle v,v\rangle 未必唯一確定某個對稱雙線性型 \langle \bullet ,\bullet \rangle ， Q也未必有正交基。本條目不少命題的條件皆要求特徵不為 2，而若允許特徵為 2，則命題不再成立。
定義及基本性質 > 作為外代數的量子化

克里福代數與外代數密切相關。外代數是克里福代數的特例：若在克里福代數的定義中，取 Q=0，則克里福代數 \mathrm {Cl} (V,Q)就是外代數 \wedge (V)。即使 Q非零，只要基域 K的特徵非 2， \wedge (V)和 \mathrm {Cl} (V,Q)之間仍有典範的線性同構。換言之，兩者作為向量空間自然地同構，但其上的乘法有分別。特徵為 2時，兩者仍線性同構，然而該同構並非自然。克里福代數的乘法和指定的子空間是比外代數更豐富的結構，因為用到 Q提供的額外資訊。
克里福代數為濾套代數（英语：），而相伴的分次代數（英语：）為外代數。
具體而言，克里福代數可視為外代數的「量子化」（見量子群），正如外爾代數（英语：）為對稱代數（英语：）的量子化。
外爾代數和克里福代數還具有*-代數的結構，並能整合成某個超代數的偶次和奇次項，見典範對易與反對易關係代數（英语：）。
泛性質與構造

設 V為域 K上的向量空間， Q:V\to K為 V上的二次型。多數情況下，域 K是實域 \mathbb {R} 或複域 \mathbb {C} ，或有限域 \mathbb {F} _{q}。
克里福代數 \mathrm {Cl} (V,Q)定義為有序對 (A_{0},i)，其中 A_{0}為 K上的單位結合代數，而線性映射 i:V\to \mathrm {Cl} (V,Q)滿足對任意 v\in V，皆有 i(v)^{2}=Q(v)1，且 (A_{0},i)滿足下列泛性質：給定 K上任何單位結合代數 A和線性映射 j:V\to A令
（其中 1_{A}表示 A的乘法單位元），必有唯一的代數同態 f:\mathrm {Cl} (V,Q)\to A使得以下圖表可交換（即 f\circ i=j：
二次型 Q可換成滿足 \langle v,v\rangle =Q(v)的（無需對稱的）雙線性形式 \langle \bullet ,\bullet \rangle ，此時 j需滿足的條件等價於
當基域的特徵非 2時，以上條件也等價於：
其中雙線性型不妨限定為對稱雙線性型。
以上描述的克里福代數必定存在，能藉以下一般方法構造：先選取由 V生成的最自由的代數，即張量代數 T(V)，然後藉取商，保證基本恆等式成立。對於克里福代數，所需 T(V)的雙邊理想 I_{Q}是由所有形如
的元素生成，其中 v取遍 V的元素，隨後便可定義 \mathrm {Cl} (V,Q)為商代數 T(V)/I_{Q}。
商承繼的環乘積有時稱為克里福積，以免與外代數的外積 \wedge 或純量積 \,\cdot \,混淆。
有上述 \mathrm {Cl} (V,Q)的構造後，可以直接驗證 \mathrm {Cl} (V,Q)包含 V，且滿足所需的泛性質。而由泛性質，可知 \mathrm {Cl} 在唯一同構的意義下唯一，故在此意義下，可當克里福代數必定由上述構造給出。從構造可知， i是單射，故通常隱藏 i而視 V為 \mathrm {Cl} (V,Q)的線性子空間。
因為克里福代數可由泛性質定義，所以 \mathrm {Cl} (V,Q)的構造具函子性，即 \mathrm {Cl} 為函子，其定義域為具有二次型的 K-向量空間組成的範疇（其態射為保二次型的線性映射），陪域為結合 K-代數範疇。泛性質保證，向量空間之間保二次型的線性映射，唯一擴展成相應的克里福代數的代數同態。
基與維數

由於 V已配備二次型 Q，在特徵非 2時， V有一組正交基，即其元素 e_{i}滿足
基本克里福恆等式推出，對於正交基，有
此關係使正交基元間的運算很容易。給定 V中兩兩互異的正交基元的乘積 e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}} ，可以將各因子按順序排好，而僅需依照置換的奇偶性在前面加上正負號。
若 V在 K上的維數為 n，且 \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}為 (V,Q)的正交基，則 \mathrm {Cl} (V,Q)為 K上的向量空間，其一組基為
在上式中，空乘積（ k=0）定義為乘法單位元。由於每個 e_{i}可以出現或不出現在乘積中， \mathrm {Cl} (V,Q)的維數（即基的大小）為
例子：實域上與複域上的克里福代數

克里福代數的重要例子源自實或複向量空間及其上非退化的二次型給出。
本節的例子 \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )和 \mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {C} )皆同構於某個 A或 A\oplus A，其中 A為 \mathbb {R} 、 \mathbb {C} 或 \mathbb {H} 上的全個矩陣環。此類代數的完整分類，見克里福代數的分類（英语：）。
例子：實域上與複域上的克里福代數 > 實域上

条目：幾何代數
克里福代數有時稱為幾何代數，尤其定義在實域上時。
有限維實向量空間上的非退化二次型必等價於某個標準對角型：
其中 n=p+q為向量空間的維數。非負整數對 (p,q)稱為二次型的符號（英语：）。配備此二次型的實向量空間一般記為 \mathbb {R} ^{p,q}，而 \mathbb {R} ^{p,q}生成的克里福代數則記為 \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )。 \mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {R} )可能表示 \mathrm {Cl} _{n,0}(\mathbb {R} )或 \mathrm {Cl} _{0,n}(\mathbb {R} )，視乎作者偏好二次型正定抑或負定。
\mathbb {R} ^{p,q}的標準基 \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}由 n=p+q支兩兩正交的向量組成，其中 p支的平方為 +1，其餘 q支的平方則為 -1。於是，代數 \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )中，也有該 p支向量的平方為 +1，該 q支向量的平方為 -1。
低維的例子有：
例子：實域上與複域上的克里福代數 > 複域上

也可以研究複域上的克里福代數。 n維複向量空間上，每個非退化二次型都等價於標準對角型
由此，對每個維數 n，在同構意義下，恰有一個克里福代數定義在配備非退化二次型的 n維複向量空間上，記為 \mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {C} )。
最小的幾個例子為：
例子：構造四元數與二元四元數 > 四元數

本節將會構造哈密頓的四元數系，作為克里福代數 \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )的偶子代數。
設 V為實三維向量空間 \mathbb {R} ^{3}，二次型 Q為歐氏度量的相反數，則對於 v,w\in \mathbb {R} ^{3}，相應的純量積（雙線性型）由
給出。
現引入向量 v,w的克里福積 vw，使其滿足
（此處有負號，以使該代數與四元數的聯繫更清晰。）
設 e_{1},e_{2},e_{3}為 \mathbb {R} ^{3}的一組正交單位基，則由上式可知，其兩兩的克里福積滿足
且
克里福代數 \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )的任意元素可以表示成
若只考慮偶次項，則得到偶子代數 \mathrm {Cl} _{0,3}^{[0]}(\mathbb {R} )，其任意元素可表示成
若定義四元數的基元 i,j,k為
則可知 \mathrm {Cl} _{0,3}^{[0]}(\mathbb {R} )與哈密頓的實四元數代數同構，理由是：
且
與四元數的運算法則一致。
例子：構造四元數與二元四元數 > 二元四元數

本節構造二元四元數系（英语：），作為配備退化二次型的實四維向量空間的偶克里福代數。
設向量空間 V為實四維空間 \mathbb {R} ^{4}，並設二次型 Q為源自 \mathbb {R} ^{3}上歐氏度量的退化型，即相應的雙線性型 d滿足：對任意 v,w\in \mathbb {R} ^{4}，
換言之，此退化純量積只考慮將 \mathbb {R} ^{4}投影到 \mathbb {R} ^{3}後的像。
向量 v,w的克里福積 vw由下式定義：
同上節，負號是為了明確該代數與四元數系的對應關係。
記 \mathbb {R} ^{4}的標準基元為 e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}，則其克里福積滿足關係
及
克里福代數 \mathrm {Cl} (\mathbb {R} ^{4},d)也記為 \mathrm {Cl} _{0,3,1}(\mathbb {R} )（下標分別表示平方為 +1,-1,0的基元個數），其一般元素有16項，而僅取偶次項時，得到偶子代數 \mathrm {Cl} ^{[0]}(\mathbb {R} ^{4},d)，其一般元素形如
於是，可分別定義四元數基元 i,j,k和二元數基元 \varepsilon 為
從而給出 \mathrm {Cl} (\mathbb {R} ^{4},d)與二元四元數（英语：）代數的同構。
要驗證二元四元數的乘法法則，可以計算
和
後者的計算中， e_{1}和 e_{4}的換位將符號改變了偶數次（即無改變）。同樣的方法能證明，二元數基元 \varepsilon 可與全部四元數基元 i,j,k交換。
低維例子

設 K為特徵非 2的域。
低維例子 > 一維

對於 \dim V=1的情況，若 Q有對角化 \mathrm {diag} (a)，即存在非零向量 v\in V令 Q(v)=a，則 \mathrm {Cl} (V,Q)代數同構於 K[x]/(x^{2}-a)，即由滿足 x^{2}=a的單一個元素 x生成的 K-代數。
更具體而言，有三種情況：
若 a=0（即 Q為零二次型），則 \mathrm {Cl} (V,Q)代數同構於 K上的二元數代數。
若 a非零，且為 K中的平方數，則 \mathrm {Cl} (V,Q)\cong K\oplus K。
其餘情況下， \mathrm {Cl} (V,Q)同構於 K的二次域擴張 K({\sqrt {a}})。
低維例子 > 二維

對於 \dim V=2的情況，若 Q有對角化 \mathrm {diag} (a,b)，其中 a,b皆非零（ Q非退化時必然存在），則 \mathrm {Cl} (V,Q)同構於由 x,y生成的 K-代數，其中 x,y滿足 x^{2}=a,\ y^{2}=b,\ xy=-yx。
於是 \mathrm {Cl} (V,Q)同構於（廣義）四元數代數（英语：） (a,b)_{K}。在 a=b=-1且 K=\mathbb {R} 時，該代數化歸為哈密頓的四元數代數，即 \mathbb {H} =(-1,-1)_{\mathbb {R} }。
作為特殊情況，若有某個 x\in V使得 Q(x)=1，則 \mathrm {Cl} (V,Q)\cong M_{2}(K)是二階方陣的代數。
性質 > 與外代數的關係

給定向量空間 V，可以構造外代數 \wedge (V)，其定義不取決於 V上任何二次型。事實上，若 K的特徵非 2，則 \wedge (V)與 \mathrm {Cl} (V,Q)作為向量空間自然同構（而在特徵 2時，仍有同構，但不一定自然）。該自然同構當且僅當 Q=0時為代數同構。所以，可以將克里福代數 \mathrm {Cl} (V,Q)視為 V的外代數額外配備取決於 Q的乘法。（準確而言是外代數的「量子化」，見#作為外代數的量子化。）原有的外積仍有不取決於 Q的定義。
描述以上同構的簡單方法是：先取 V的正交基 \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}，並擴展成 \mathrm {Cl} (V,Q)的基（如#基與維數所述）。定義映射 f:\mathrm {Cl} (V,Q)\to \wedge (V)使
並線性擴展。注意此處用到 \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}正交。可以證明，映射 f的定義無關正交基的選擇，故為自然同構。
若 K的特徵為 0，則也可以藉反對稱化（antisymmetrizing）定義以上同構：定義一列映射 f_{k}:\underbrace {V\times \cdots \times V} _{k}\to \mathrm {Cl} (V,Q)使
其求和符號中， \sigma 取遍 k階對稱群 S_{k}的元素。由於 f_{k}反對稱，其導出獨一個映射 f_{k}':\wedge ^{k}(V)\to \mathrm {Cl} (V,Q)。該些映射的直和（英语：）為 \wedge (V)至 \mathrm {Cl} (V,Q)的線性映射。可以證明該映射為同構，且是自然同構。
也可以從更高等的觀點，在 \mathrm {Cl} (V,Q)上構造濾過（英语：），以看待兩者的關係。注意張量代數 T(V)有自然濾過 F^{0}\subset F^{1}\subset F^{2}\subset \cdots ，其中 F^{k}含所有階不高於 k的張量。將此濾過投射到克里福代數上，就得到 \mathrm {Cl} (V,Q)上的濾過。與此濾過相伴的分次代數（英语：）
與外代數 \wedge (V)自然同構。由於濾過代數的相伴分次代數總與原濾過代數作為濾過向量空間同構（藉選取 F^{k}在 F^{k+1}中的補集），可知克里福代數與外代數在任何特徵（包括 2）下皆同構（儘管不一定自然）。
性質 > 分次

本節假設特徵非 2。
克里福代數為 \mathbb {Z} /2-分次代數（英语：）（又稱為超代數），以下說明原因。在 V上，線性映射 v\mapsto -v（關於原點對稱）保持二次型 Q，故由克里福代數的泛性質，該線性映射延拓成代數自同構
由於 \alpha 為對合（即其平方為恆同映射），可以將 \mathrm {Cl} (V,Q)分解成 \alpha 的正和負特徵空間：
其中
由於 \alpha 是自同構，有：
其中方括號上標的運算模 2，故上式賦予 \mathrm {Cl} (V,Q)作為 \mathbb {Z} /2-分次代數（英语：）的結構。子空間 \mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)為 \mathrm {Cl} (V,Q)的子代數（英语：），稱為偶子代數。而子空間 \mathrm {Cl} ^{[1]}(V,Q)則稱為奇部（其不為子代數）。此 \mathbb {Z} /2-分次在克里福代數的分析和應用上很重要。自同構 \alpha 稱為主對合（main involution）或次數對合（grade involution）。此 \mathbb {Z} /2-分次中的純元素，即偶部或奇部的元素，分別稱為偶元和奇元。
當特徵非 2時，由於 \mathrm {Cl} (V,Q)與外代數 \wedge (V)有典範同構， \mathrm {Cl} (V,Q)作為向量空間，承繼 \wedge (V)的 \mathbb {N} -分次和 \mathbb {Z} -分次。然而，該分次僅為向量空間分次，而非代數分次。換言之，克里福乘積並不遵守該 \mathbb {N} -分次或 \mathbb {Z} -分次，僅遵守上段的 \mathbb {Z} /2-分次：例如，若 Q(v)\neq 0，則 v\in \mathrm {Cl} ^{1}(V,Q)，但 v^{2}\in \mathrm {Cl} ^{0}(V,Q)，而不在 \mathrm {Cl} ^{2}(V,Q)中。不過此等分次之間有自然的聯繫： \mathbb {Z} /2\cong \mathbb {N} /2\mathbb {N} \cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} 。更甚者，克里福代數有 \mathbb {Z} -濾過（英语：）：
克里福數的次數通常指 \mathbb {N} -分次的次數。
克里福代數的偶子代數 \mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)本身亦同構於某個克里福代數。若 V為具有非零範數 Q(a)的向量 a與子空間 U的正交直和，則 \mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)同構於 \mathrm {Cl} (U,-Q(a)Q)，其中 -Q(a)Q為二次型 Q乘上 -Q(a)，並限制到 U。作為例子，以上結論在實域上推出：
在 Q負定的情況下，上式給出包含關係 \mathrm {Cl} _{0,n-1}(\mathbb {R} )\subset \mathrm {Cl} _{0,n}(\mathbb {R} )，延伸序列
類似可證，在複域上,  \mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {C} )的偶子代數同構於 \mathrm {Cl} _{n-1}(\mathbb {C} )。
性質 > 反自同構

除自同構 \alpha 外，克里福代數的分析中，還有兩個重要的反自同構（英语：）。記得張量代數 T(V)有將全部乘法次序反轉的反自同構：
由於理想 I_{Q}在該反轉下不變，該反轉也定義 \mathrm {Cl} (V,Q)\cong T(V)/I_{Q}上的反自同構，稱為轉置或反轉，記為 x\mapsto x^{\mathrm {t} }。轉置為反自同構，即有 (xy)^{\mathrm {t} }=y^{\mathrm {t} }x^{\mathrm {t} }。上述定義中，並未用到 \mathrm {Z} /2-分次，故可複合自同構 \alpha 與轉置，而得另一個反自同構。新的反自同構稱為克里福共軛，記為 x\mapsto {\overline {x}}。以符號表示：
兩個反自同構中，轉置更本質。
此三種運算皆是對合。此外，其對 \mathbb {Z} -分次純元的作用皆是乘上 \pm 1，且符號僅取決於次數 {\bmod {4}}。換言之，若 x是 k次純元，則
其中符號載於下表：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  k{\bmod {4}} |  0 |  1 |  2 |  3 | … |
|  \alpha (x)\, |  + |  - |  + |  - |  (-1)^{k} |
|  x^{\mathrm {t} }\, |  + |  + |  - |  - |  (-1)^{k(k-1)/2} |
|  {\overline {x}} |  + |  - |  - |  + |  (-1)^{k(k+1)/2} |
性質 > 克里福純量積

當特徴非 2時， V上的二次型 Q可以延拓成 \mathrm {Cl} (V,Q)上的二次型（同樣記為 Q）。該延拓可用以下不取決於基的方式定義：
其中 \langle a\rangle _{0}表示 a的純量部分（ \mathbb {Z} -分次的零次項）。可以證明，對於 V的元素 v_{i}，有
但上式對 \mathrm {Cl} (V,Q)的其他元素不一定成立。
在 \mathrm {Cl} (V,Q)上，與 Q相伴的對稱雙線性型由下式定義：
可以驗算，若限制在 V上，則該雙線性型化為 V上原有的雙線性型。在 \mathrm {Cl} (V,Q)上，該雙線性型非退化當且僅當其限制在 V上非退化。
關於此純量積，左（右）乘 a^{\mathrm {t} }與右（左）乘 a互為伴隨。換言之，
且
克里福代數的結構

本節假設域的特徵非 2，向量空間 V為有限維，且二次型 Q非退化。若矩陣代數的系數取自某個中心為 K的有限維除代數（英语：），則該矩陣代數稱為 K上的中心單代數（英语：）。例如，實域上的中心單代數可能是實域上的矩陣代數，也可能是四元數代數上的矩陣代數。有下列結論：
若 V的維數為偶數，則 \mathrm {Cl} (V,Q)是 K上的中心單代數。
若 V的維數為偶數，則偶子代數 \mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)或是 K的二次擴張上的中心單代數，或是 K上兩個同構的中心單代數的直和。
若 V的維數為奇數，則 \mathrm {Cl} (V,Q)或是 K的二次擴張上的中心單代數，或是 K上兩個同構的中心單代數的直和。
若 V的維數為奇數，則偶子代數 \mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)是 K上的中心單代數。
克里福代數的結構可從以下結果推導出：假設 U有偶數維，且有非退化的雙線性型，其行列式為 d，又設 V為另一個向量空間，亦配備二次型，則 U+V的克里福代數同構於 U的克里福代數與 (-1)^{\dim(U)/2}dV的克里福代數的張量積。（後者仍是向量空間 V，但其上的二次型要乘上因子 (-1)^{\dim(U)/2}d。）在實域上，上述結果推出：
該些公式可用作找出所有實克里福代數和複克里福代數的結構，詳見克里福代數的分類（英语：）。
值得注意，克里福代數的森田等價類（即其整個表示論：該代數上的模範疇（粵语：）的加性等價類）只取決於其符號 (p-q)\ \mathrm {mod} \ 8。此為一種代數形式的博特周期性。
利普希茨群

利普希茨群（又稱為克里福群或克里福－利普希茨群）由魯道夫·利普希茨發現。
本節中，設 V為有限維向量空間，而二次型 Q非退化。
克里福代數的可逆元群以「扭轉共軛」的方式作用在克里福代數上：所謂 x扭轉共軛作用在 y上，結果便是 \alpha (x)yx^{-1}，其中 \alpha 是上文定義的主對合。
利普希茨群 \Gamma 定義為所有滿足
的可逆元 x的集合。換言之，要求 x的扭轉共軛穩定化所有向量組成的集合。
上式說明，該群作用可以限制成向量空間 V上的群作用，且其保持二次型 Q，故給出利普希茨群到正交群的同態。利普希茨群包含所有令 Q(r)在 K中可逆的元素 r\in V，而此等元素作用在 V上的效果為反射
（特徵為 2時，此種映射稱為錯切而非反射。）
若 V為有限維實向量空間，並配備非退化二次型（英语：），則利普希茨群滿射到 V關於該二次型的正交群（根據嘉當－迪厄多內定理），且核恰好包含 K的所有非零元，故有下列短正合列
其中 \Gamma ^{0}是 \Gamma 的偶子群。
其他域上，或當二次型退化時，該映射未必滿，而旋量範數描述其不滿程度。
利普希茨群 > 旋量範數

更多：旋量範數
對任意特徵，利普希茨群上的旋量範數 Q由下式定義：
其為由利普希茨群射去非零元素的乘法群 K^{\times }的同態。當 V視為克里福代數的子空間時， Q在 V上等於與 V原有的二次型。若干作者採用不同的定義，以致在 \Gamma ^{1}上，其定義與上述定義相差 -1、 2、 -2倍。只要特徵不為 2，此差異並不重要。
K中的非零元素的旋量範數是在非零平方子群 (K^{\times })^{2}中，所以，若 V有限維且其上的二次型非退化，則有同態從 V的正交群映去 K^{\times }/(K^{\times })^{2}，亦稱為旋量範數。對任意向量 r，關於 r^{\perp }（ \perp 是關於二次型而言）反射的旋量範數在 K^{\times }/(K^{\times })^{2}中的像為 Q(r)。此性質唯一確定正交群上的旋量範數。故有正合列：
注意在特徵為 2時，群 \{\pm 1\}只有一個元素。
若從代數群的伽羅瓦上同調考慮，旋量範數是上同調的連接同態。其含義是，以 \mu _{2}表示1的平方根組成的代數群（英语：）（若域的特徵不為 2，則該群大致就是二元群，且其伽羅瓦作用平凡），則短正合列
給出上同調層面的長正合列，其起始一段為
代數群的 K系數零階伽羅瓦上同調即其 K值點旳群： H^{0}(G;K)=G(K)，而  H^{1}(\mu _{2};K)\cong K^{\times }/(K^{\times })^{2}，故也能從長正合列推導出上段的正合列
其中旋量範數為連接同態 H^{0}({\mbox{O}}_{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K)。
旋量群與Pin群

更多：旋量群、Pin群和旋量
本節假設 V有限維，且其雙線性型非退化。
Pin群 \mathrm {Pin} _{V}(K)為利普希茨群 \Gamma 中，旋量範數為 1的元素組成的子群。類似地，旋量群 \mathrm {Spin} _{V}(K)為 \mathrm {Pin} _{V}(K)中，迪克森不變量為 0的元素組成的子群。當特徵非 2時，該些元素即行列式為 1的元素。旋量群在Pin群的指數通常為 2。
前一節說明，利普希茨群有到正交群的滿同態。定義特殊正交群為 \Gamma ^{0}的像。若 K的特徵非 2，則特殊正交群就是正交群中，行列式為 1的元素的子群。若 K的特徵為 2，則正交群所有元素的行列式皆為 1，而特殊正交群為迪克森不變量為 0的元素的子群。
也有從Pin群到正交群的同態。其像由旋量範數為 1\in K^{\times }/(K^{\times })^{2}的元素組成，而核則由 +1和 -1組成（故其階為 2，除非特徵為 2）。類似有由 V的旋量群到其特殊正交群的同態。
當 V為實正定或負定空間時，旋量群有滿同態射到特殊正交群上，且在 V至少 3維時，旋量群單連通。更甚者，此滿同態的核為 \{\pm 1\}。故此時，旋量群 \mathrm {Spin} (n)為 \mathrm {SO} (n)的二重覆疊。然而，旋量群在一般情況下未必單連通：若 V為 \mathbb {R} ^{p,q}，其中 p,q皆至少為 2，則旋量群並不單連通。此情況下，代數群 \mathrm {Spin} _{p,q}作為代數群仍然單連通，但其實值點群 \mathrm {Spin} _{p,q}(\mathbb {R} )則不再單連通。
旋量

在 p+q=2n為偶時，克里福代數 \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {C} )可表示成 2^{n}維的（複）矩陣代數。限制到群 \mathrm {Pin} _{p,q}(\mathbb {R} )，則得到同一維數的Pin群的複表示，稱為旋量表示（英语：）。若再限制到旋量群 \mathrm {Spin} _{p,q}(\mathbb {R} )上，則該表示分解成兩個半旋量表示（half spin representations，又稱外爾表示，Weyl representations）的直和，每個半旋量表示有 2^{n-1}維。
若 p+q=2n+1為奇，則克里數代數 \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {C} )為兩個矩陣代數的直和，每個有 2^{n}維，且皆為Pin群 \mathrm {Pin} _{p,q}(\mathbb {R} )的表示。限制到旋量群 \mathrm {Spin} _{p,q}(\mathbb {R} )時，兩個矩陣代數變得同構，故旋量群有 2^{n}維的複旋量表示。
更一般而言，任何域上的旋量群和Pin群都有相似的表示，其結構取決於對應的克里福代數的結構（英语：）：每當克里福代數有因子為某個除代數上的矩陣代數，其Pin群和旋量群就有該除代數上的對應表示。在實域的例子，參見旋量條目。