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2000年国家领导人列表
欧洲

阿布哈茲
总统 — 弗拉季斯拉夫·格里戈里耶维奇·阿尔金巴（1990年－2005年）
总理 — 维亚切斯拉夫·楚格巴（英语：）（1999年－2001年）
阿尔巴尼亚
总统 － 雷杰普·切马尔·迈达尼（1997年－2002年）
总理 － 伊利尔·梅塔（1999年1－2002年）
安道尔
安道尔親王
1. 祖安·马丁·艾兰尼斯（1971年–2003年）
2. 雅克·希拉克（1995年–2007年）
首相 － 马克·弗内·莫内（1994年－2005年）
亞美尼亞
总统 － 罗伯特·科恰良（1998年－2008年）
总理
阿拉姆·萨尔基相（1999年－2000年）
安德拉尼克·马尔加良（2000年－2007年）
阿尔察赫
总统 — 阿尔卡迪·古卡斯扬（英语：）（1997年－2007年）
奥地利
总统 — 托马斯·克莱斯蒂尔（1992年－2004年）
总理
维克托·克利马（1997年－2000年）
沃尔夫冈·许塞尔（2000年-2007年）
总统 － 盖达尔·阿利耶夫（1993年－2003年）
总理 - 阿尔图尔·拉西扎德 （1996年－2003年8月4日，2003年11月4日－2018年）
白俄羅斯
总统 － 亚历山大·格里戈里耶维奇·卢卡申科（1994年－至今）
总理
谢尔盖·林格（1997年－2000年2月18日）
弗拉基米尔·叶尔莫申（代理总理：2000年2月18日－2000年3月14日；总理：2000年3月14日－2001年10月1日）
比利时
国王 － 阿尔贝二世（1993年－2013年）
首相 - 居伊·伏思达（1999年—2008年）
高级代表—沃尔夫冈·佩特里奇（英语：）（1999年－2002年）
保加利亚
总统 － 彼得·斯托扬诺夫（1997年－2002年）
总理 － 伊万·科斯托夫（1997年－2001年）
总统
弗拉特科·帕夫莱蒂奇（英语：）（代理总统，1999年－2000年2月2日）
兹拉特科·托姆契奇（英语：）（代理总统，2000年2月2日－2000年2月18）
斯捷潘·梅西奇（2000年2月18日－2010年）
总理
兹拉特科·马泰沙（英语：）（1995年－2000年1月27日）
伊维察·拉昌（英语：）（2000年1月27日－2003年）
賽普勒斯
总统 － 格拉夫科斯·克莱里季斯（1993年－2003年）
捷克
总统 － 瓦茨拉夫·哈维尔（1993年－2003年）
总理 － 米洛什·泽曼（1998年－2002年）
丹麦
女王 － 玛格丽特二世（1972年－现今）
首相 － 波尔·尼鲁普·拉斯穆森（1993年－2001年）
爱沙尼亚
总统 － 伦纳特·梅里（1992年－2001年）
总理 － 马尔特·拉尔（1992年—1994年；1999年—2002年）
芬兰
总统
马尔蒂·阿赫蒂萨里（1994年－2000年3月1日）
塔里娅·哈洛宁（2000年3月1日－2012年）
总理 － 帕沃·利波宁（1995年－2003年）
法國
总统 － 雅克·希拉克（1995年－2007年）
总理 － 利昂内尔·若斯潘（1997年—2002年）
烏克蘭
总统 － 列昂尼德·丹尼洛维奇·库奇马（1994年－2005年）
总理 － 维克多·安德烈耶维奇·尤先科（1999年－2001年,2005年－2010年）
英国
女王 － 伊丽莎白二世（1952年－2022年）
首相 － 安东尼·查尔斯·林顿·布莱尔爵士（1997年－2007年）
梵蒂冈
教宗 － 若望保禄二世（1978年–2005年）
委员会主席 － 埃德蒙·斯佐卡（英语：）（1997年-2006年）
宗座
国务枢机卿 － 安杰洛·索达诺（1991年-2006年今）
南美洲

阿根廷
总统 － 费尔南多·德拉鲁阿（1999年－2001年）
玻利维亚
总统 - 乌戈·班塞尔（1997年－2001年）
巴西
总统 － 费尔南多·恩里克·卡多佐（1995年－2003年）
智利
总统
帕特里西奥·艾尔温（1994年－2000年）
里卡多·拉戈斯（2000年－2006年）
哥伦比亚
总统  － 安德烈斯·帕斯特拉纳（1998年－2002年）
总统
哈米尔·马瓦德（1998年－2000年）
古斯塔沃·诺沃亚（2000年－2003年）
福克蘭群島 （英国海外領土）
总督（兼任 南乔治亚和南桑威奇群岛專員 ）
唐纳德·亚历山大·拉蒙特（英语：）（1999年－2002年）
行政长官 － 迈克尔·布兰奇（英语：）（2000年－2003年）
总统 - 巴拉特·贾格迪奥（1999年-2011年）
总理 - 塞缪尔·海因兹（1999年－2015年）
巴拉圭
总统 － 路易斯·冈萨雷斯·马基（1999年—2003年）
秘魯
总统
阿尔韦托·藤森（1990年－2000年）
巴伦廷·帕尼亚瓜（2000年－2001年）
总理
阿尔韦托·布斯塔曼特·贝朗德（西班牙语：）（1999年10月10日－2000年7月29日）
费德里科·萨拉斯（西班牙语：）（2000年7月29日－2000年11月21日）
哈维尔·佩雷斯·德奎利亚尔（2000年－2001年）
苏里南
总统
尤勒斯·韦登博斯（1996年-2000年）
罗纳德·韦内蒂安（2000年－2010年）
乌拉圭
总统
胡利奥·玛丽亚·桑吉内蒂（1995年－2000年）
豪尔赫·巴特列（2000年－2005年）
委內瑞拉
总统 － 乌戈·查韦斯（1999年－2013年）
大洋洲

马来西亚首相马哈迪·莫哈末
2016年夏季奥林匹克运动会赛事焦点

2016年夏季奥林匹克运动会赛事焦点列出2016年巴西奥运会举行期间（包括开幕式前的赛事）的所有赛事项目的焦点。比赛日期以当地时间作准，当中内容的第一天是指开幕典礼后的第一天比赛日。
8月5日

南韓的金優鎮在男子個人賽以700環打破世界紀錄，也是本屆奧運會的首個世界紀錄。
南韓的崔美善在女子個人賽以669環打破世界紀錄。
开幕式将于当地时间晚上8点在马拉卡纳体育场举行。
8月6日

男子團體決賽，南韓以6-0擊敗美國贏得金牌。
男子公路賽的金牌由比利時的格雷格·范·阿韦马特所得，其完成時間為6小時10分鐘05秒。
女子個人重劍決賽，匈牙利的萨斯·埃迈谢以15:13擊敗意大利對手萝塞拉·菲亚明戈封后。
男子60公斤級決賽，俄羅斯的別斯蘭·穆德拉諾夫戰勝哈薩克選手叶尔多斯·斯梅托夫贏得金牌。
女子48公斤級決賽，葆拉·帕雷托力克南韓的鄭普涇為阿根廷取得本屆奧運的第一面金牌。
女子10米氣步槍決賽，來自美國的維珍尼亞·卓華舒雅以208環获得本屆奧運的首面金牌，中国的杜丽和易思玲分别获得银牌和铜牌。
男子10米氣步槍決賽，越南的黃春榮以202.5環贏得該國首面的奧運金牌。
男子400米自由泳決賽，澳洲的麥克·霍爾頓以0.13秒之差力壓衛冕冠軍孫揚，事隔8年後再次替澳洲贏得此賽事的金牌。
男子400米混合泳決賽，日本的萩野公介以破該國紀錄的4分06秒05贏得金牌。
女子400米混合泳決賽，匈牙利的卡廷卡·霍斯祖以破世界紀錄的4分26秒36掄元。
女子4X100米自由泳決賽，澳洲隊以破世界紀錄的3分30秒65奪金。
男子100米蛙泳初賽，英國的亞當·佩蒂以57.55秒完成賽事，刷新自己於一年前創下的世界紀錄。
女子48公斤級決賽，泰國的梭披达·塔那讪以總成績200公斤的成績摘下金牌。
8月7日

女子團體決賽，南韓以局數5-1擊敗俄羅斯，問鼎金牌。
女子公路賽，荷蘭的安娜·范德布雷亨率先到達終點，贏得金牌。
女子雙人3米彈板決賽的冠軍由中國組合吳敏霞/施廷懋所得，這是吳敏霞的第5面奧運金牌。
男子個人花劍決賽，意大利的達尼埃萊·加羅佐以15:11戰勝美國對手亚历山大·马西亚拉斯為意大利再增添一面金牌。
男子66公斤級決賽，意大利的法比奧·巴西萊通過一本獲勝，摘下金牌。
科索沃在首次參與奧運即取得金牌，該國的瑪琳達·開爾門蒂在女子52公斤級決賽獲勝。
女子10米氣手槍決賽，中國的張夢雪以199.4環拿下金牌。
女子不定向飛靶決賽，澳洲的凯瑟琳·斯金纳取得12分下加冕。
英國的亞當·佩蒂改寫於1日前創下的世界紀錄，他在男子100米蛙泳決賽以57秒13完成賽事，替英國贏得本屆奧運的第一金。
男子4x100米自由泳決賽，美國以3分09秒92贏得金牌。這同時是米高·菲比斯個人第19面奧運金牌。
女子400米自由泳決賽，美國的姬蒂·雷德基以破世界紀錄的3分56秒46封后。
女子100米蝶泳決賽，瑞典的莎拉·斯約史卓姆以破世界紀錄的55秒48掄元。
男子56公斤級決賽，2008年奧運金牌得主、中國的龍清泉以總成績307公斤稱霸。
女子53公斤級決賽，中華台北的許淑淨以總成績212公斤奪下金牌。這是繼2004年雅典奧運後中華台北的首面金牌。
8月8日

男子雙人10米高台決賽，中國的陳艾森/林躍組合以39分的差距力壓美國組合奪冠。
俄羅斯包辦女子個人佩劍的金牌和銀牌，亚娜·叶戈良在決賽以15-14擊敗索菲娅·韦莉卡娅。
男子團體賽，日本以274.094分封王，是繼2004年雅典奧運後再次在此項目取得金牌。
男子73公斤級決賽，日本的大野將平以一本獲勝，贏得金牌。
女子57公斤級決賽，東道主巴西的拉斐拉·席爾瓦以一個「技有」擊敗蒙古對手，奪得巴西於本屆奧運的首金。
女子組決賽，澳洲以24-17戰勝新西蘭，取得這新增項目的金牌。
男子10米氣步槍決賽，意大利的尼科洛·坎普里亞尼以破奧運紀錄的206.1環為意大利取得本屆奧運的第三面金牌。
男子不定向飛靶決賽，克羅地亞的约瑟普·格拉斯诺维奇經4次附加槍後終鎖定金牌。
男子200米自由泳決賽，中國的孫揚以1分44秒65奪金。
男子100米背泳決賽，美國的瑞安·墨菲力壓中國的徐嘉余贏得金牌。
女子100米背泳決賽，匈牙利的卡廷卡·霍斯祖以58秒45率先完成賽事，這是她在今屆奧運的第二面金牌。
女子100米蛙泳決賽，美國的莉莉·金以1分4秒93問鼎金牌，並打破塵封8年的奧運紀錄。
男子62公斤級決賽，上屆銀牌得主、哥倫比亞的奧斯卡·菲格羅亞以總成績318公斤稱霸。賽前大熱諶利軍未能完成賽事。
女子58公斤級決賽，泰國的素甘亚·斯里素拉以總成績240公斤奪魁。
8月9日

男子單人划艇激流迴旋(C-1)決賽，法國的德尼·加尔戈·沙尼以1分34秒17最快完成賽事，拿下金牌。
女子雙人10米高台決賽，中國組合陳若琳/劉蕙瑕以354分贏得金牌，這是陳若琳個人的第5面奧運金牌。
個人三項賽，德國的米夏埃尔·容以40.90分取得金牌。
團體三項賽，法國以169.0分問鼎金牌。
男子個人重劍決賽，南韓的朴相泳後來居上，反勝匈牙利的伊姆赖·盖佐為南韓增添一面金牌。伊姆雷·蓋佐則事隔20年後再次取得奧運獎牌。
女子團體決賽，美國以8分之差力壓俄羅斯衛冕金牌。
男子81公斤級決賽，俄羅斯的哈桑·哈尔穆尔扎耶夫以一本擊敗美國的特拉維斯·史蒂文斯贏得金牌。
女子63公斤級決賽，斯洛文尼亞的蒂娜·特尔斯泰尼亚克力壓法國對手克拉丽丝·阿格贝涅努，奪得該國於本屆奧運的第一金。
女子25米手槍決賽，希臘的安娜·科拉卡基取得8分獲勝，這是她於本屆奧運的第2面獎牌。
美國泳手米高·菲比斯在男子200米蝶泳決賽再下一城，以1分53秒36掄元。
男子4X200米自由泳決賽，美國以3秒的優勢力壓英國，問鼎金牌。
女子200米自由泳決賽，美國的姬蒂·雷德基以1分53秒73完成加冕。
女子200米混合泳決賽，匈牙利的卡廷卡·霍斯祖以破奧運紀錄的2分06秒58封后，這也是她在本屆奧運的第3面金牌。
男子69公斤級決賽，中國的石智勇以1公斤之微險勝土耳其的達尼亞爾·伊斯馬伊洛夫，贏得金牌。
女子63公斤級決賽，中國的鄧薇以破世界紀錄的262公斤摘下金牌。
8月10日

男子單人划艇激流迴旋(K-1)決賽，英國的乔·克拉克以88秒53的成績拿下金牌。
男子公路計時賽，2008年北京奧運金牌得主、瑞士的法比安·坎切拉拉以1小時12分15秒42再次在此賽事封王。
女子公路計時賽，美國的克麗斯廷·阿姆斯特朗以44分26秒42加冕，實現三連冠。
男子雙人10米高台決賽，英國組合克里斯·米爾斯/傑克·勞格赫以454.32分掄元，是英國歷史性首奪奧運跳水金牌，也令中國的秦凱無法三度稱霸。
男子個人佩劍決賽，匈牙利的斯拉奇·阿倫以15-8擊敗美國的达里尔·霍默，成功衛冕金牌。
女子個人花劍決賽，俄羅斯的因娜·德里格拉佐娃以12-11小勝，為俄羅斯取得第4面金牌。
男子個人全能決賽，日本的內村航平僅以0.099分險勝烏克蘭的奥列格·维尔尼亚耶夫，這是他的第3面奧運金牌。
男子90公斤級決賽，日本的貝克茉秋戰勝格魯吉亞的瓦爾連·李帕鐵利亞尼，替日本取得本屆奧運的第2面柔道金牌。
女子70公斤級決賽，日本的田知本遙擊敗世界排名第1的尤麗·阿爾韋亞爾奪取金牌。
男子50米手槍決賽，南韓的秦鐘午以193.7環染指金牌，這是他的第4面奧運金牌。
男子雙向飛靶決賽，以個人身份參賽的费海德·代哈尼以26中的成績取得金牌。
男子100米自由泳決賽，澳洲的凱爾·查默斯以47秒58最先到達終點，是48年来首位在賽事獲得金牌的澳洲運動員。
男子200米蛙泳決賽，哈薩克的德米特里·巴蘭京力壓美國的喬許·普雷諾特贏得金牌。
女子200米蝶泳決賽，西班牙的米芮亞·貝蒙特·加西亞以2分4秒85拿下金牌。
女子4X200米自由泳決賽，美國以7分43秒03獲奪金牌。
女子單人決賽，中國的李曉霞以局數4-3擊敗丁寧，首奪奧運金牌。
男子77公斤級決賽，哈薩克的尼加特·拉希姆夫（英语：）和中國的呂小軍同樣舉到379公斤的成績，但由於前者的體重較輕而問鼎金牌。後來拉希姆夫因違反反禁藥劑條例而被取消成績。
女子69公斤級決賽，中國的向艷梅以總成績261斤奪得金牌。
8月11日

女子個人決賽，南韓的張惠珍以局數6-2戰勝德國對手莉萨·翁鲁獲得金牌，這是自1972年慕尼黑奧運加入射箭項目後南韓第8次奪得此殊榮。
男子雙人划艇激流迴旋(C-2)決賽，斯洛伐克的拉吉斯拉夫·什坎塔尔/彼得·什坎塔尔組合以101秒58最快完成賽事，拿下金牌。
女子單人划艇激流迴旋(K-1)決賽，西班牙的玛亚伦·乔劳特以98.65秒最快完成賽事，摘下金牌。
男子團體競速賽決賽，英國以破奧運紀錄的42秒440擊敗澳洲拿下金牌。
女子團體重劍決賽，羅馬尼亞以44-38挫下中國，奪得金牌。
女子個人全能決賽，美國的西蒙·拜爾斯以62.198分稱后，這是她於本屆奧運的第2面金牌。兩日前，她奪得女子團體賽金牌。
男子100公斤級決賽，捷克的盧卡斯·克帕勒克利用一本力克阿塞拜疆對手埃爾馬·加西莫夫，染指金牌。
女子78公斤級決賽，美國的凱拉·哈里森戰勝法國的奥德蕾·特舍梅奥，成功衛冕。
男子雙人單槳無舵手決賽，紐西蘭以6分59秒71率先完成賽事，拿下金牌。
男子雙人雙槳決賽，克羅地亞以6分50秒28的成績獲取金牌。
男子四人雙槳決賽，德國以6分6秒81實現衛冕。
女子雙人雙槳決賽，波蘭以7分40秒10贏得金牌。
女子四人雙槳決賽，德國以6分49秒39奪得金牌。
男子組決賽，斐濟以43-7大勝英國稱霸，是該國自1956年參與夏季奧運起首次獲得獎牌。
女子50米三姿步槍決賽，德國的芭芭拉·恩格利德以0.2環小勝中國的張彬彬獲取金牌。
男子200米背泳決賽，美國的瑞安·墨菲以1分53秒62的時間拿下金牌。美國已連續6屆奧運奪得此比賽的冠軍。
男子200米混合泳決賽，美國的米高·菲比斯以1分54秒66掄元。
女子100米自由泳決賽，美國的西蒙娜·曼努埃尔和加拿大的佩妮·奥莱克夏克均以破奧運紀錄的52秒70問鼎金牌。其中，席夢·曼紐成為首位贏得個人奧運游泳金牌的非裔美國人。
女子200米蛙泳決賽，日本的金藤理繪以2分20秒30的成績戰勝所有對手，獲得個人首面奧運金牌。
男子單人決賽，中國的馬龍以局數4-0輕取張繼科，首次贏得奧運男單金牌。
8月12日

男子個人決賽，南韓的具本粲以局數7-3奪冠，確立南韓一舉拿下本屆奧運中所有射箭項目的金牌。
男子20公里競步，上屆銅牌得主、中國的王鎮以1小時19分14秒取得金牌。
女子10000米，埃塞俄比亞的阿爾馬茲·阿雅娜以29分17秒45的成績奪取金牌，並打破塵封23年的世界紀錄。
女子鉛球決賽，美國的蜜雪兒·卡特擲出20米63加冕冠軍。
男子團體爭先賽，於初賽中打破世界紀錄的英國隊在決賽再次打破紀錄並贏得金牌，時間為3分50秒570。
女子團體爭先賽決賽，於初賽中打破世界紀錄的中國組合宮金傑/钟天使擊敗俄羅斯獲得金牌，是該國首次在奧運會單車比賽中取得金牌。
盛裝舞步團體決賽，德國以總分81.936摘下金牌，是兩德統一後德國第6度贏得此項目的金牌。
男子團體花劍決賽，俄羅斯以45-41戰勝法國，這是他們於本屆奧運的第3面劍擊金牌。
女子彈床決賽，加拿大的羅西·麥克琳南以56.465分衛冕金牌。
男子100公斤級以上決賽，法國的特迪·里內力克日本對手，拿下金牌。
女子78公斤級以上決賽，法國的埃米莉·昂代奥尔以一本勝出，替法國再奪一面金牌。
男子輕量級雙人雙槳決賽，法國最先沖線拿下金牌。
男子四人無舵手決賽，英國以5分58秒61問鼎金牌。
女子雙人無舵手決賽，英國以7分18秒29贏得金牌。
女子輕量級雙人雙槳決賽，荷蘭以7分04秒73獲取金牌。
男子三姿步槍決賽，德國的亨利·容黑内尔以1.3環之差力壓南韓的金鐘鉉贏得金牌。
女子定向飛靶決賽，意大利的迪亚娜·巴科西以1發的差距擊敗同國的基婭拉·卡伊內羅獲得金牌。
男子50米自由泳決賽，美國的安東尼·歐文以35歲之年贏得金牌，是年紀最大的個人游泳項目奧運金牌得主。
男子100米蝶泳決賽，新加坡的以50.39秒擊敗米高·菲比斯獲得金牌，這是新加坡史上首面奥運金牌。
女子800米自由泳決賽，美國的姬蒂·雷德基以破世界紀錄的8分04秒79摘金。
女子200米背泳決賽，美國的玛雅·迪拉多以0.06秒之差力壓匈牙利的卡廷卡·霍斯祖奪得金牌。
男子85公斤級決賽，伊朗的基亞努什·羅斯塔米以破世界紀錄的396公斤掄元。
女子75公斤級決賽，北韓的林貞心以總成績274公斤實現衛冕。
8月13日

男子10000米決賽，英國的莫·法拉赫在半途絆倒仍能後來居上，終以27分05秒17贏得金牌。
男子跳遠決賽，美國的傑夫·亨德森憑最後一跳達8.38米的成績而拿下金牌。
男子鐵餅決賽，德國的克里斯托夫·哈丁以68.37米的成績奪得金牌。
女子100米決賽，牙買加的伊萊恩·湯普森以10秒71首先沖線，首度獲得奧運金牌。
女子七項全能，比利時的纳菲萨图·蒂亚姆以6810分問鼎金牌。
女子凱林賽決賽，荷蘭的艾利斯·利特里打敵英國的麗貝卡·詹姆斯封后。
女子團體追逐賽，於初賽和首圈兩度打破世界紀錄的英國隊在決賽又以破世界紀錄的4分10秒236贏得金牌。
女子團體佩劍決賽，俄羅斯以45-30大勝烏克蘭奪魁，這是俄羅斯第4面劍擊金牌。
男子彈床決賽，白俄羅斯的乌拉季斯拉乌·汉查罗以61.745分力壓中國的董棟和高磊染指金牌。
男子單人雙槳決賽，紐西蘭的马埃·德赖斯代尔和克羅地亞的达米尔·马丁同樣以6分41秒34到達終點。最終在衝線快照下，裁判決定德賴斯代爾快千分之一秒而奪得金牌。
男子八人艇決賽，英國以5分29秒63掄元。
女子單人雙槳決賽，澳洲的金·布倫南以7分21秒54拿下金牌。
女子八人艇決賽，美國以6分1秒49摘下金牌。
男子25米快槍決賽，德國的克里斯蒂安·赖茨以34中的成績取得金牌。
男子定向飛靶決賽，意大利的加布里埃莱·罗塞蒂以16發全中的成績掄元。
男子1500米自由泳決賽，意大利的格雷戈里奧·帕特里尼耶里以14分34秒57稱霸。
男子4X100米混合泳決賽，美國以3分27秒95封王，米高·菲比斯奪得他個人生涯的第23面奧運金牌。
女子50米自由泳決賽，丹麥的佩妮莱·布卢默以24秒07摘金。
女子4X100米混合泳決賽，美國以3分53秒13贏取金牌。
女子單人決賽，世界排名34位的波多黎各球手莫妮卡·普格以局數2-1擊敗應屆澳洲網球公開賽冠軍得主安潔莉克·克伯，這是波多黎各的首面奧運獎牌。
男子94公斤級決賽，伊朗的索赫拉卜·莫拉迪以總成績403公斤封王。
8月14日

男子100米決賽，牙買加的尤塞恩·保特以9秒81蟬聯冠軍，成為首位連續三度贏得此賽事的選手。
男子400米決賽，南非的韋德·范·尼凱克以43.03秒打破美國傳奇名將米高·約翰遜於17年前創下的世界紀錄問鼎金牌。
女子馬拉松，肯亞的潔米瑪·蘇姆恭以2小時24分04秒最快抵達終點拿下金牌。
女子三級跳決賽，當屆世界田徑錦標賽冠軍、哥倫比亞的卡特琳·伊巴古恩以15米17的成績奪得金牌。
男子49公斤級決賽，烏茲別克的哈桑博伊·杜斯马托夫擊敗哥倫比亞對手，為該國取得本屆奧運的第一金。
男子個人爭先賽決賽，英國的賈森·肯尼力克隊友卡勒姆·斯金纳奪獲金牌。
女子個人3米彈板決賽，中國的施廷懋以406.05分獲得金牌。
男子團體重劍決賽，法國以45-31狂勝意大利，贏得本屆奧運最後一面劍擊金牌。
男子組賽事，英國球手賈斯汀·羅斯以268桿拿下金牌。
男子自由體操決賽，英國的馬克斯·惠特洛克以15.633分掄元。
男子鞍馬決賽，英國的馬克斯·惠特洛克再下一城以15.966分問鼎金牌。
女子跳馬決賽，美國的西蒙·拜爾斯以15.966分獲取金牌。
女子高低槓決賽，俄羅斯的阿莉婭·穆斯塔芬娜以15.900分加冕。
男子RS:X帆板獎牌輪，荷蘭的多利安·范萊索貝瑞赫以25分成功衛冕金牌。
女子RS:X帆板獎牌輪，法國的沙利納·皮康以64分取得金牌。
男子三姿步槍決賽，意大利的尼科洛·坎普里亞尼以458.8環奪得他在本屆奧運的第二面金牌。此前，他已在50米空步槍獲勝。
男子單打決賽，英國的安迪·梅利以局數3-1擊敗阿根廷的胡安·马丁·德尔波特罗封王，是首位兩度奪得單打奧運金牌的球手。
女子雙打決賽，俄羅斯組合葉卡捷琳娜·馬卡洛娃/葉連娜·韋斯寧娜以局數2-0戰勝瑞士的玛蒂娜·辛吉斯/迪美雅·芭辛丝姬，為俄羅斯再添一金。
混雙決賽，美國的比丹妮·瑪迪克-辛特斯/傑克·索克打擊同國的雲露絲·威廉絲/拉傑夫·拉姆稱霸。
女子75公斤級決賽，中國的孟蘇平以總成績307公斤贏得金牌。
男子59公斤級古典式決賽，古巴的伊斯梅爾·博雷羅擊敗日本的太田忍，贏取金牌。
男子75公斤級古典式決賽，俄罗斯的罗曼·弗拉索夫打敗丹麦對手獲勝。
8月15日

男子800米決賽，肯亞的大衛·魯迪沙以1分42秒15的成績奪得金牌。
男子撐竿跳決賽，代表東道主的蒂亚戈·布拉兹造出6米03的成績力壓世界紀錄保持者、法國的雷諾·拉維勒尼問鼎金牌。
女子800米決賽，巴哈馬的肖娜·米勒在終點線前忽然飛撲搶先壓線，壓過美國的愛麗森·費利克斯，取得該國歷史上第5面奧運金牌。
女子3000米障礙賽決賽，巴林的露絲·傑貝特以近6秒的優勢首先完成賽事，拿下金牌。
女子鏈球決賽，波蘭的安妮塔·沃達爾奇克擲出82.96米以破世界紀錄的方式贏得金牌。
男子91公斤級決賽，俄羅斯的葉甫根尼·季先科擊敗哈薩克選手掄元。
男子全能賽，意大利的埃利亚·维维安尼以207分奪冠。
個人盛裝舞步決賽，英國的夏洛特·杜雅爾丹力壓兩名德國代表取5得金牌。
男子跳馬決賽，2015年世界競技體操錦標賽冠軍得主、北韓的李世光以15.691分替該國贏取本屆奧運的第2面金牌。
男子吊環決賽，希臘的埃萊夫塞里奧斯·佩特魯尼亞斯以16.000分取得其生涯首面奧運金牌。
女子平衡木決賽，荷蘭的桑內·韋弗斯取得15.466分問鼎金牌，她是繼1928年阿姆斯特丹奧運後第二位取得奧運體操獎牌的女運動員。
女子馬拉松游泳，荷蘭的莎龙·范劳文达尔以1小時56分32秒1摘下金牌。
男子105公斤級決賽，烏茲別克的魯斯蘭·努魯丁諾夫以總成績431公斤獲得金牌。
男子85公斤級古典式決賽，俄羅斯的达维特·恰克韦塔泽戰勝烏克蘭對手封王。
男子130公斤級古典式決賽，古巴的米哈因·洛佩斯戰勝士耳其對手取得金牌。
8月16日

男子110米欄決賽，牙買加的奧馬爾·麥克勞德以13秒05贏得金牌。
男子跳高決賽，加拿大的德里克·德勞因跳出2米38的成績掄元。
女子1500米決賽，肯尼的菲斯·基皮耶貢以4分8秒92拿下金牌。
女子鐵餅決賽，克羅地亞的桑德拉·佩爾科維奇以69米21封后。在六次投擲中，她只得一次成功是成功的。
男子60公斤級決賽，巴西的羅布松·孔塞桑力克法國對手，染指金牌。
男子單人1000米(C-1)決賽，德國的塞巴斯蒂安·布伦德尔以3分56秒926首先沖線，衛冕金牌。
男子單人1000米(K-1)決賽，西班牙的马库斯·瓦尔茨以3分31秒44奪取金牌。
女子單人200米(K-1)決賽，紐西蘭的麗莎·卡林頓以39秒864奪魁。
女子雙人500米(K-2)決賽，匈牙利以1分43秒68獲得金牌。
男子凱林賽決賽，英國的賈森·肯尼擊敗荷蘭的马蒂尔斯·布赫利贏得他第6面奧運金牌。
女子全能賽，英國的勞拉·特洛特以230分衛冕金牌。
女子爭先賽決賽，德國的克里斯蒂娜·沃格尔力壓英國的麗貝卡·詹姆斯奪得金牌。
男子個人3米彈板決賽，中國的曹緣以547.60分摘下金牌。
男子雙槓決賽，烏克蘭的奧列格·維爾尼亞耶夫以16.041分問鼎金牌。
男子單槓決賽，德國的法比安·漢布钦以15.766分首度奪取奧運金牌。
女子自由操決賽，美國的西蒙·拜爾斯以15.966分拿下她的5面奧運金牌。
男子芬蘭人型獎牌輪，英國的贾尔斯·斯科特以36分輕取金牌。
男子雷射型獎牌輪，澳洲的湯姆·伯頓以2分險勝取得金牌。
女子雷射輻射型獎牌輪，荷蘭的瑪麗特·鮑梅斯特以61分加冕。
男女混合的Nacra17型獎牌輪，阿根廷以1分之差獲勝。
男子馬拉松游泳，荷蘭的費利·威特曼和希臘的斯皮里宗·揚尼奧蒂斯以同一時間完全賽事，裁判經觀看衝線快照後確定前者為金牌得主。
雙人賽決賽，俄羅斯以2分之差力壓中國奪金。自2000年悉尼奧運後，俄羅斯就未有把這面金牌旁落到他國手中。
女子團體決賽，中國以局數3-0戰勝德國，衛冕金牌。
男子105公斤級以上決賽，格魯吉亞的拉沙·塔拉哈泽以總成績473公斤奪取金牌外更打破世界紀錄。
男子66公斤級古典式決賽，塞爾維亞的達沃爾·斯特凡內克以較高得分勝出，替塞爾維亞得到本屆奧運的首面金牌。
男子98公斤級古典式決賽，阿美尼亞的阿圖爾·阿列克薩尼揚以較高得分勝出，這是阿美尼亞於本屆奧運的首面金牌。
8月17日

男子3000米障礙賽，肯亞的肯瑟拉斯·基普魯托以8分3秒28問鼎金牌。自1984年洛杉磯奧運後，男子3000米障礙賽一直是肯亞的囊中物。
女子200米決賽，牙買加的伊萊恩·湯普森以21秒78封后，這是她繼早前舉行的100米後又一面金牌。
女子100米欄決賽，美國包辦所有獎牌。當中，美國的布麗安娜·羅林斯以12秒48拿下金牌。
女子跳遠決賽，美國的緹亞娜·巴爾托雷塔以7米17贏得金牌。
混雙決賽，印尼的通托維·艾哈邁德/利利亞納·納西爾擊敗馬來西亞的陳炳順/吳柳螢贏得印尼首面奧運羽毛球混雙金牌。
男子69公斤級決賽，哈薩克的達尼亞爾·葉列烏西諾夫戰勝烏茲別克的謝克蘭·伊索夫獲取金牌。
個人障礙超越決賽，法國僅被扣3分的情況下奪得金牌。
男子團體決賽，中國以局數3-1擊敗日本，連續三屆奧運贏取金牌。
男子58公斤級決賽，中國的趙帥以6-4力克泰國對手特温·汉巴，奪得金牌。這是中國自參與奧運以來首個男子跆拳道冠軍。
女子49公斤級決賽，南韓的金昭熙以1分險勝塞爾維亞的蒂亚娜·波格丹诺维奇取得南韓於本屆奧運的第7面金牌。
女子組決賽，德國組合以局數2-0戰勝東道主巴西問鼎金牌。
女子48公斤級自由式決賽，日本的登坂繪莉勝出染指金牌。
女子58公斤級自由式決賽，日本的伊調馨獲勝，連續四屆奧運均奪得金牌。
女子69公斤級自由式決賽，日本的土性沙羅力克對手奪魁，
8月18日

男子200米決賽，牙買加的尤塞恩·保特以19秒78蟬聯金牌。
男子400米欄決賽，美國的克倫·克萊蒙特以47秒73問鼎金牌。
男子鉛球決賽，美國的瑞安·克勞澤以破奧運紀錄的22米52掄元。
男子十項全能，美國的阿什頓·伊頓以平奧運紀錄的8893分衛冕金牌。
女子400米欄決賽，美國的达莉拉·穆罕默德以53秒13摘下金牌。
女子標槍決賽，克羅地克的莎拉·科拉克擲出66米18封后。
女子雙打決賽，日本組合松友美佐紀/高橋禮華以局數2-1戰勝丹麥的克里斯汀娜·彼德森/卡米拉·呂特·尤爾，替日本首奪奧運羽毛球項目金牌。同時，這也是丹麥在奧運女子羽毛球比賽中取得的最佳成績。
男子81公斤級決賽，古巴的胡利奥·塞萨尔·拉克鲁斯獲勝獲得金牌。
男子單人200米(C-1)決賽，烏克蘭的尤里·切班以破奧運紀錄的39秒279衛冕金牌。
男子雙人200米(K-2)決賽，西班牙以32秒075摘下金牌。
男子雙人1000米(K-2)決賽，德國以3分10秒781稱王。
女子單人500米(K-1)決賽，匈牙利的科扎克·达努塔以1分52秒494衛冕金牌。
女子個人10米高台決賽，出生於2001年、來自中國的任茜以439.25分染指金牌，她是中國首位贏得奧運金牌的「二千後」。
男子組決賽，阿根廷以4-2擊敗比利時，這是阿國首度奪得男子曲棍球奧運金牌。
男子470型獎牌輪，克羅地亞以43分得到金牌。
女子470型獎牌輪，英國以44分奪取金牌。
男子49人型獎牌輪，紐西蘭以35分輕取金牌。
女子49人型FX獎牌輪，巴西以48分拿下金牌。
男子68公斤級決賽，約旦的艾哈邁德·阿布賈努殊以10-6力克對手阿列克谢·杰尼先科，贏得約旦史上首面奧運金牌。
英子57公斤級決賽，英國的潔蒂·瓊斯以16-7大勝對手衛冕金牌。這項賽事的其中一面銅牌由伊朗的基米雅·阿里萨德所得，是首位取得奧運獎牌的中東女運動員。
男子組賽事，英國的布朗里兄弟（阿利斯泰尔·布朗利/乔纳森·布朗利）分別以1小時45分01秒及1小時45分07秒奪得金牌和銀牌。
男子組決賽，巴西以局數2-0取勝，贏得本屆奧運的第5面金牌。
女子53公斤級自由式決賽，美國的海伦·马洛里斯以4-1戰勝三屆金牌得主、日本的吉田沙保里加冕。
女子63公斤級自由式決賽，日本的川井梨紗子以3-0獲勝贏得金牌。
女子75公斤級自由式決賽，加拿大的艾麗卡·韋博以6-0大勝，贏得她的首面奧運金牌。
8月19日

男子4X100米決賽，牙買加以37秒27奪得金牌，令尤塞恩·保特連續三屆奧運中均贏得男子100米、200米和接力的金牌。此外，日本取得銀牌，是亞洲於奧運田徑接力賽事中最好的成績。
男子50公里競步，斯洛伐克的马泰·托特以3小時40分58秒率先到達終點，拿下金牌。
男子鏈球決賽，塔吉克的迪爾肖德·納扎羅夫以78米68奪得金牌。
女子5000米決賽，肯亞的維維安·切魯伊約特以破奧運紀錄的14分26秒17取得金牌。
女子4X100米決賽，美國以41秒01力壓牙買加問鼎金牌。
女子20公里競步，中國的劉虹以1小時28分35拿下她首面奧運金牌。
女子撐槓跳決賽，在世界紀錄保持者葉蓮娜·伊辛芭耶娃缺席下，希臘的艾克特瑞妮·斯蒂芬尼迪以4米85加冕。
男子雙打決賽，中國的傅海峰/張楠以局數2-1反勝馬來西亞的吳蔚昇/陳蔚強奪取金牌。
女子單打決賽，西班牙卡羅列娜·馬琳同樣以局數2-1反勝印度的普薩拉·文卡塔·辛杜贏取金牌，成為首位於奧運羽毛球女單賽事奪冠的非亞洲球手。
女子60公斤級決賽，法國的埃丝特勒·莫瑟利擊敗中國的尹軍花為法國再添一面金牌。
男子BMX決賽，美國的康納·菲爾茲以34秒642最先沖線，贏得金牌。
女子BMX決賽，哥倫比亞的玛丽安娜·帕洪以34秒093成功衛冕金牌。
場地障礙賽決賽，英國的尼克·斯凯尔顿以零罰分兼最快完成賽事的情況下贏得金牌。
女子組決賽，德國以2-1小勝瑞典封后。
女子組決賽，英國於發定時間以3-3賽和後通過互射定點球擊敗荷蘭，首度奪得奧運女曲金牌。
女子組賽事，澳洲的克洛伊·埃斯波西托以破奧運紀錄的1372分拿下金牌。
團體決賽，俄羅斯以197.030分奪冠，成就五連霸業。
男子80公斤級決賽，科特迪瓦的謝赫·西塞在最後一秒成功擊中對方頭部，以6-4反勝掄元。這是科特迪瓦歷史上首面奧運金牌。
女子67公斤級決賽，南韓的吳慧麗以1分險勝拿下該國於本屆奧運的第2面跆拳道金牌。
女子組決賽，美國以12-5狂勝意大利衛冕金牌。
男子57公斤級自由式決賽，格魯吉亞的弗拉迪米尔·欣切加什维利戰勝日本的樋口黎贏得金牌。
男子74公斤級自由式決賽，伊朗的哈桑·雅兹丹尼擊敗俄羅斯對手阿尼乌阿尔·格杜耶夫摘下金牌。
8月20日

男子1500米決賽，美國的馬修·森特羅維茲以3分50秒00奪得金牌，這是美國事隔108年後再次贏得訛項目的金牌。
男子5000米決賽，英國的莫·法拉以13分03秒30衛冕金牌。
男子4X400米決賽，美國以2分57秒30第十六度問鼎該項目的金牌。
男子標槍決賽，德國的托馬斯·羅勒爾以90.30米贏得金牌，是德國繼1972年慕尼黑奧運後再次在這項目稱霸。
女子800米決賽，南非的薩美雅以1分55秒28封后，銀牌由布隆迪的弗朗辛·妮揚莎芭所得，這是布隆迪自1996年阿蘭特大奧運後再次摘下獎牌。
女子4X400米決賽，美國以3分19秒06首先沖線，連續六屆奪冠。
女子跳高決賽，西班牙的露特·貝蒂亞以1米97拿下金牌。
男子單打決賽，中國的諶龍以局數2-0擊敗馬來西亞的李宗偉首奪奧運金牌。
女子組決賽，美國以101-72戰勝西班牙第八度加冕金牌。
男子56公斤級決賽，古巴的拉米雷斯·卡拉札納力克美國對手再奪奧運金牌。
男子75公斤級決賽，古巴的阿倫·洛佩斯戰勝烏茲別克首奪奧運金牌。
女子51公斤級決賽，英國的尼古拉·亞當斯挫下法國對手成功衛冕金牌。
男子雙人1000米(C-2)決賽，德國以3分43秒912掄元。
男子單人200米(K-1)決賽，英國的利亚姆·希思以35秒19染指金牌，是英國於奧運賽艇項目中的最佳成績。
男子四人1000米(K-4)決賽，德國以3分02秒143贏取金牌。
女子四人500米(K-4)決賽，匈牙利以1分34秒482獲取金牌。
女子越野賽，世界排名第6、來自瑞典的燕妮·里斯韦德斯以1小時30分15取得金牌。
男子10米高台決賽，中國的陳艾森以585.30分拿下金牌。
東道主巴西通過互射十二碼擊敗德國首奪奧運男子足球項目金牌。
女子組賽事，南韓的朴仁妃以268桿摘下金牌。
個人決賽，俄羅斯的瑪加麗塔·馬蒙以74.383分封后。
女子組決賽，俄羅斯以22-19打敗法國，自蘇聯解體後俄國首次於奧運贏得手球金牌。
男子組賽事，俄羅斯的亞歷山大·列松以破奧運紀錄的1479分獲得金牌。
男子80公斤級決賽，阿塞拜疆的拉季克·伊萨耶夫以6-2擊敗尼日爾的阿卜杜勒·拉扎克·优素福奪得金牌。同時，這是尼日爾繼1972年慕尼黑奧運會後再次取得獎牌。
女子67公斤級決賽，中國的鄭姝音以5-1取勝拿下金牌。
女子組賽事，美國的格溫·喬根森以1小時56分56秒收獲金牌，此前美國從未在這項目取得金牌。
女子組決賽，中國以局數3-1擊敗塞爾維亞摘下金牌，這是中國女排繼2004年雅典奧運後事隔12年再奪奧運女子排球項目金牌。
男子組決賽，塞爾維亞以11-7戰勝克羅地亞首次奪得奧運水球金牌。
男子自由式86公斤級決賽，俄羅斯的阿布杜勒拉希德·萨杜拉耶夫以3-0獲勝，贏得金牌。
男子自由式125公斤級決賽，土耳其的塔哈·阿克居尔以3-1勝出，斬獲金牌。
8月21日

男子馬拉松，肯亞的埃利烏德·基普喬蓋以2小時8分44最先完成賽事，拿下金牌。
男子組決賽，美國隊以96-66大勝塞爾維亞，第十六次稱霸。
男子52公斤級決賽，烏茲別克的夏柯畢·佐瑞夫擊敗俄羅斯對手問鼎金牌。
男子64公斤級決賽，同樣來自烏茲別克的法茲利丁·蓋布納扎洛夫取勝，收獲金牌。
男子91公斤級決賽，法國的托尼·約卡勝出，奪得金牌。
女子75公斤級決賽，美國的克勞瑞莎·希爾茲得勝，染指金牌。
男子越野賽，瑞士的尼諾·舒爾特以1小時33分28秒首先沖線掄元。
團體決賽，俄羅斯以36.233分加冕，連續5屆封后。
男子組決賽，丹麥以2分險勝法國摘下金牌，粉碎法國三連霸美夢。
男子組決賽，東道主巴西以局數3-0擊敗意大利贏得金牌。
男子65公斤級自由式決賽，俄羅斯的索斯蘭·拉莫諾夫以4-0取勝，斬獲金牌。
男子97公斤級自由式決賽，美國的凯尔·斯奈德以3-1獲勝，取得金牌。
数学归纳法

数学归纳法（英語：，縮寫：MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个或者局部自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非逻辑上不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事實上，所有數學證明都属于演繹推理方法。
定义

最简单和常见的数学归纳法是证明当 n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：
证明 “当 n=1时命题成立。”（选择数字1因其作为自然数集合中的最小值）
证明 “若假设在 n=m时命题成立，可推導出在 n=m+1时命题成立。（ m代表任意自然数）”
这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺骨牌效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：
证明 「第一张骨牌会倒。」
证明 「只要任意一张骨牌倒了，其下一张骨牌也会因為前面的骨牌倒而跟著倒。」
则可下结论：所有的骨牌都会倒下。
例子 > 例子1

证明下这个给定公式（命题）为真：
1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}
其中 n为任意自然数。这是用于计算前n个自然数的和的简单公式。
例子 > 例子1 > 证明 > 第一步-起始步骤

第一步是验证这个公式在 n=1时成立。左边 =1，而右边 ={\frac {1(1+1)}{2}}=1，所以这个公式在 n=1时成立。第一步完成。
例子 > 例子1 > 证明 > 第二步-推递步骤

第二步证明假设 n=m时公式成立，则可推理出 n=m+1时公式也成立。 证明步骤如下。
假设 n=m时公式成立。即
1+2+\cdots +m={\frac {m(m+1)}{2}}【等式 P(m)】
然后在等式等号两边分别加上 m+1得到
 1+2+\cdots +m+(m+1)={\frac {m(m+1)}{2}}+(m+1)【等式 P(m+1)】
这就是 n=m+1时的等式。
现在需要根据等式等式 P(m+1)演绎出等式 P(m)的符号形式。（需要注意的是如果给定公式不为真，则做不到）通过因式分解合并(形式变换/字符操纵)，等式 P(m+1)的右手边
={\frac {m(m+1)}{2}}+{\frac {2(m+1)}{2}}={\frac {(m+2)(m+1)}{2}}={\frac {(m+1)(m+2)}{2}}={\frac {(m+1)[(m+1)+1]}{2}}.
也就是说
1+2+\cdots +(m+1)={\frac {(m+1)[(m+1)+1]}{2}}
这样便证明了从等式 P(m)成立可推理出等式 P(m+1)也成立。证明至此完成，结论：对于任意自然数 n， P(n)均成立。
例子 > 例子1 > 解释

在这个证明中，推理的过程如下：
首先证明命题 P(1)成立，即公式在 n=1时成立。
然后证明从命题 P(m)成立可以推演出命题 P(m+1)也成立。【此部实际属于演绎推理法。技术方法是基于命题 P(m+1)的符号形式变换出命题 P(m)的符号形式。】
根据上两条从命题 P(1)成立可以推理出命题 P(1+1)，也就是命题 P(2)成立。
继续推理，可以知道命题 P(3)成立。
从命题 P(3)成立可以推导出命题 P(4)也成立。
不断的重复推導下一命題成立的步驟。（这就是所谓“归纳”推理的地方）
我们便可以下结论：对于任意自然数 n，命题 P(n) 成立。
例子 > 例子2

证明对于Fibonacci数列，定義 F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}，且 F_{0}=0,F_{1}=1，則 F_{0}+F_{1}+F_{2}+\cdots +F_{n}=F_{n+2}-1。
例子 > 例子2 > 证明

首先，我们先使得 n=0的情况成立， F_{0}=F_{2}-1,0=1-1=0
然后，我们假定 n=k的情况下的成立的， F_{0}+F_{1}+...+F_{k}=F_{k+2}-1
然后我们使得 n=k+1的情况也成立，（这是为了表明，如果有任意数k使得其成立，则有其+1也成立）
 F_{0}+F_{1}+...+F_{k}+F_{k+1}=F_{k+2}-1+F_{k+1}=F_{k+3}-1
于是我们得证，即从 n=0，到 n=0+1,1+1,2+1到所有正实数都成立，就像多米诺骨牌的第一块 n=0成立而且每一块的下一块都成立（ k,k+1)
数学归纳法的变体

在应用中，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
数学归纳法的变体 > 从0以外的自然数开始

第一种情况：
如果欲证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：
第一步，证明当 n=b时命题成立。
第二步，证明如果 n=m（ m\geq b） 成立，那么可以推导出 n=m+1也成立。
用这个方法可以证明诸如“当 n\geq 5时， 2^{n}>n^{2}这一类命题。
第二种情况：
如果欲证明的命题针对全部自然数，但仅当大于等于某个数字b时比较容易证明，则可参考如下步骤：
第一步，证明当 n=0,1,2,\cdots ,b时命题成立。
第二步，证明如果 n=m（ m\geq b）成立，那么可以推导出 n=m+1也成立。
用这种方法可以证明一些需要通过放缩来证明的不等式。
数学归纳法的变体 > 只針對偶数或只針對奇数

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：
奇数方面：
第一步，证明当 n=1时命题成立。
第二步，证明如果 n=m成立，那么可以推导出 n=m+2也成立。
偶数方面：
第一步，证明当 n=0或 n=2时命题成立。
第二步，证明如果 n=m成立，那么可以推导出 n=m+2也成立。
或調整命題表述，使之變為對所有正整數成立，例如
数学归纳法的变体 > 遞迴歸納法

又名递降归纳法。数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的 n”这样的命题。对于形如“对任意的 n=0,1,2,\cdots ,m”这样的命题，如果对一般的 n比较复杂，而 n=m比较容易验证，并且我们可以实现从 k到 k-1的递推， k=1,\cdots ,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的 n=0,1,2,\cdots ,m，原命题均成立。
数学归纳法的变体 > 完整归纳法

另一个一般化的方法叫完整归纳法（也称第二数学归纳法或强归纳法），在第二步中我们假定式子不仅当 n=m时成立，当 n小于或等于 m时也成立。这样可以设计出这样两步:
证明当 n=0时式子成立.
证明当 n\leq m时成立，那么当 n=m+1时式子也成立.
例如，这种方法被用来证明：
其中  \mathrm {fib} (n)是第 n个斐波纳契数和 \Phi ={\frac {1+5^{\frac {1}{2}}}{2}}（即黄金分割）。如果我们可以假设式子已经在当 n=m和 n=m-1时成立，从 \mathrm {fib} (m+1)=\mathrm {fib} (m)+\mathrm {fib} (m-1)之后可以直截了当地证明当 n=m+1时式子成立.
这种方法也是第一种形式的特殊化：
定义 \mathrm {P} (n)是我们将证的式子,
\mathrm {P} (0)和 \mathrm {P} (1)成立
\mathrm {P} (m+1)在 \mathrm {P} (m)和 \mathrm {P} (m-1)成立时成立。
结论： \mathrm {P} (n)对一切自然数 n成立。
数学归纳法的变体 > 超限归纳法

条目：超限歸納法
最后两步可以用这样一步表示：
实际上这是数学归纳法的大多数通式，可以知道他不仅对表达自然数的式子有效，而且对于任何在良基集（也就是一个偏序的集合，包括有限降链）中元素的式子也有效（这里" <"被定义为 a<b 当且仅当 a\leq b和 a\neq b）。
这种形式的归纳法当运用到序数（以良序的和一些的良基类的形式）时被称为超限归纳法，它在集合论、拓扑学和其他领域是一種重要的方法。
要区别用超限归纳法证明的命题的三种情况：
m是一个极小元素，也就是没有一个元素小于 m
m有一个直接的前辈，比 m小的元素有一个大的元素
m没有任何前辈，也就是 m是一个界限序数.
参见数学归纳法的三种形式。
形式寫法 > 使用二階邏輯

二階邏輯可捕捉數學歸納法這概念，表達成如下邏輯式：
P(.)是容納一自然數的述詞變元，遍歷所有述詞而非個別數字，為二階量詞（是故此式與二階邏輯有關）， k與 n則是自然數變元，遍歷所有自然數。
白話解釋此式，此式說：起始步驟 P(0)與推遞步驟（即歸納假設， P(k)蘊涵  P(k+1)） 兩步成立會導出對任一自然數 n，  P(n)成立之結論。通常，我們為了證明第二步，會假設 P(n)成立（歸納假設），再進一步證明 P(n+1)。此牽涉到條件證法，將條件句之前件作為假設，假定其正確以便於證明。
形式寫法 > 使用一階邏輯

若用一階邏輯將數學歸納法公設化，則須採用公設模式，替每一個可能存在的述詞設下針對其的獨立公設。舉例而言，我們僅允許三個一階述詞存在，分別名為 P_{1}、 P_{2}、 P_{3} ，則原先以二階邏輯描述的公設可改寫為：
。然而其強度與以二階邏輯描述之邏輯式不同，前者較後者弱。理由為一階邏輯述詞之數量為可數，而二階邏輯量限所迭代的集合為不可數。
此外，二階邏輯所表示的歸納公設綜合其它皮亞諾公設為同疇(categorical)，且所得之自然數模型無限大。根據勒文海姆-斯科倫定理，用一階邏輯表達的理論若有可數無限大的模型，則其有不可數大的模型，是故無法前頭將所述的模型公設化。亦即，用二階邏輯表達的公設僅允許一群模型彼此同構，而一階邏輯模型則因前述定理，並非每個模型都同構。
形式寫法 > 使用一階ZFC集合論

一階ZFC集合論不允許述詞被遍歷， 但我們可以藉由遍歷集合，繞過一階邏輯之限制，描述歸納法：
A 本身是集合，但可視作命題——只要命題在這數下成立，數字就會收入集合。別於皮亞諾公設，將數學歸納法定為公設，ZFC集合論直接定義自然數，使得歸納法本身是定理而非公設。
数学归纳法的合理性

皮亞諾公理視數學歸納法不證自明，設作公理，而於策梅洛-弗兰克尔集合论，數學歸納法可从良序定理推导出来。 需要注意的是数学归纳法只能判定给定命题的真，而不能证伪，因为在形式变换这一过程需要一定技巧与灵感。抽象的概念如自然数，可通过抽象的工具去处理。通过有限的步骤处理无限的对象如证明质数的无穷。
參見

归纳推理
演绎推理
结构归纳法
完整归纳法
參考文獻

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↑  Matt DeVos.  (PDF). 西門菲莎大學 （英语）.
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↑  Derek Goldrei. . Springer-Verlag London. 2005: 286-287. ISBN 1-85233-921-7 （英语）.
↑   (PDF).   [2019-02-03]. （原始内容 (PDF)存档于2017-11-19） （英语）.
骨牌一个接一个倒下，就如同一个值到下一个值的过程
1985年國家領導人列表

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各年份国家领导人列表: 1980年－1981年－1982年－1983年－1984年－1985年－1986年－1987年－1988年－1989年－1990年
下表列出1985年各国的国家元首、政府首脑和最高领导人，包括作为社会主义国家中党和国家最高领导人的执政党领袖。
非洲

扎伊爾
總統：蒙博托·塞塞·塞科（1965年－1997年）
亞洲

阿富汗
總書記：巴布拉克·卡爾邁勒（1979年－1986年）
總理：蘇丹·阿里·基什特曼德（1981年－1988年）
孟加拉
總統：海珊·穆罕默德·艾爾沙德（1983年－1990年）
總理：阿塔爾·拉赫曼·汗（1984年－1986年）
汶萊
蘇丹兼首相：哈桑納爾·博爾基亞（蘇丹：1967年－現今；首相：1984年－現今）
柬埔寨
人民革命委員會主席：韓桑林（1981年－1992年）
總理：洪森（1985年－1993年）
人民革命黨總書記：韓桑林（1981年－1991年）
中華人民共和國
中共中央總書記：胡耀邦（1980年－1987年）
中共中央軍委主席：鄧小平（1981年－1989年）
國家主席：李先念（1983年－1988年）
國務院總理：趙紫陽（1980年－1987年）
中華民國
總統：蔣經國（1978年－1988年）
行政院長：俞國華（1984年－1989年）
印度
總統：宰爾·辛格（1982年－1987年）
總理：拉吉夫·甘地（1984年－1989年）
印尼
總統：蘇哈托（1967年－1998年）
日本
天皇：昭和天皇（1926年－1989年）
內閣總理大臣：中曾根康弘（1982年－1987年）
大韓民國
總統：全斗煥（1980年－1988年）
國務總理：
陳懿鍾（1983年－1985年）
盧信永（1985年－1987年）
朝鮮民主主義人民共和國
朝鮮勞動黨總書記：金日成
國家主席：金日成
馬來西亞
最高元首：蘇丹馬末·依斯干達（1984年－1989年）
首相：马哈迪·莫哈末（1981年－2003年）
馬爾代夫
總統：穆蒙·阿卜杜勒·加堯姆（1978年－2008年）
蒙古
總書記：姜巴·巴特蒙赫（1984年－1990年）
總理：杜馬·索德諾姆（1984年－1990年）
尼泊爾
國王：比蘭德拉（1972年－2001年）
首相：洛肯德拉·巴哈杜爾·昌德（1983年－1986年）
巴基斯坦
總統：穆罕默德·齊亞·哈克（1978年－1988年）
總理：
穆罕默德·齊亞·哈克（1977年－1985年）
穆罕默德·汗·居內久（1985年－1988年）
菲律賓
總統：費迪南德·馬科斯（1965年－1986年）
新加坡
總統：
蒂凡那（1981年－1985年）
黃金輝（1985年－1993年）
總理：李光耀（1959年－1990年）
歐洲

丹麥
女王：瑪格麗特二世（1972年－）
首相：保羅·施呂特（1982年－1993年）
芬蘭
總統：毛諾·科伊維斯托（1982年－1994年）
總理：卡萊維·索爾薩（1982年－1987年）
法國
總統：弗朗索瓦·密特朗（1981年－1995年）
總理：洛朗·法比尤斯（1984年－1986年）
聯邦德國（西德）
總統：里夏德·馮·魏茨澤克（1984年－1994年）
聯邦總理：赫爾穆特·科爾（1982年－1998年）
民主德國（東德）
國務委員會主席：埃里希·昂納克（1976年－1989年）
部長會議主席：維利·斯多夫（1976年－1989年）
希臘
總統：
康斯坦蒂诺斯·卡拉曼利斯（1980年－1985年）
伊奧安尼斯·阿萊夫拉斯（署任，1985年）
赫里斯托斯·薩采塔基斯（1985年－1990年）
總理：安德烈亞斯·帕潘德里歐（1981年－1989年）
匈牙利
中央第一書記：卡達爾·亞諾什（1956年－1988年）
人民共和國主席團主席：洛松齊·帕爾（1967年－1987年）
部長會議主席（總理）：拉扎爾·捷爾吉（1975年－1987年）
冰島
總統：維格迪絲·芬博阿多蒂爾（1980年－1996年）
總理：斯坦格里姆·赫爾曼松（1983年－1987年）
愛爾蘭
總統：帕特里克·希勒里（1976年－1990年）
總理：加勒特·菲茨傑拉德（1982年－1987年）
意大利
總統：
亞歷山德羅·佩爾蒂尼（1978年－1985年）
弗朗切斯科·科西加（1985年－1992年）
總理：貝蒂諾·克拉克西（1983年－1987年）
列支敦士登
大公：弗朗茨·約瑟夫二世（1938年－1989年）
首相：漢斯·布律納爾（1978年－1993年）
盧森堡
大公：讓（1964年－2000年）
首相：雅克·桑特（1984年－1995年）
馬耳他
總統：阿加莎·芭芭拉（1982年－1987年）
總理：卡爾梅努·米夫蘇德·邦尼奇（1984年－1987年）
摩納哥
親王：蘭尼埃三世（1949年－2005年）
首相：
Jean Herly（1981年－1985年）
Jean Ausseil（1985年－1991年）
荷蘭
女王：貝婭特麗克絲（1980年－2013年）
首相：呂德·呂貝爾斯（1982年－1994年）
挪威
國王：奧拉夫五世（1957年－1991年）
首相：卡雷·維洛赫（1981年－1986年）
波蘭
國務委員會主席：
亨利克·雅布翁斯基（1972年－1985年）
沃伊切赫·雅魯澤爾斯基（1985年－1990年）
部長會議主席：
沃伊切赫·雅魯澤爾斯基（1981年－1985年）
茲比格涅夫·梅斯內爾（1985年－1988年）
葡萄牙
總統：（1976年－1986年）
總理：
馬里奧·蘇亞雷斯（1983年－1985年）
阿尼巴尔·卡瓦科·席尔瓦（1985年－1995年）
羅馬尼亞
共產黨總書記：尼古拉·壽西斯古（1965年－1989年）
總統：尼古拉·壽西斯古（1974年－1989年）
總理：康斯坦丁·德斯克列斯庫（1982年－1989年）
聖馬力諾
執政官：
馬里諾·博利尼和朱塞佩·阿米奇（1984年－1985年）
恩佐·科隆比尼和西維爾諾·圖拉（1985年）
皮埃爾·保羅·加斯佩羅尼和烏瓦爾多·比奧爾蒂（1985年－1986年）
蘇聯
蘇共中央總書記：
康斯坦丁·乌斯季诺维奇·契尔年科（1984年－1985年）
（1985年－1991年）
最高蘇維埃主席團主席：
康斯坦丁·乌斯季诺维奇·契尔年科（1984年－1985年）
瓦西里·库兹涅佐夫（署理，1985年）
安德烈·葛罗米科（1985年－1988年）
西班牙
國王：胡安·卡洛斯一世（1975年－）
首相：費利佩·岡薩雷斯（1982年–1996年）
瑞典
國王：卡爾十六世·古斯塔夫（1973年－）
首相：奧洛夫·帕爾梅（1982年–1986年）
英國
君主：伊利沙伯二世（1952年－）
首相：戴卓爾夫人（1979年－1990年）
梵蒂岡
教宗：若望·保祿二世（1978年－2005年）
委員會主席：塞巴斯蒂亞諾·巴喬（1984年－1990年）
宗座
國務樞機卿：阿戈斯蒂諾·卡薩羅利（1979年－1990年）
南斯拉夫
中央委員會主席團主席：
阿利·舒克里亞（1984年－1985年）
維多耶·扎爾科維奇（1985年－1986年）
聯邦共和國主席團主席：
韋塞林·久拉諾維奇（1984年－1985年）
拉多萬·弗拉伊科維奇（1985年－1986年）
聯邦執行委員會主席（總理）：米爾卡·普拉寧茨（1982年－1986年）
中東

以色列
總統：Chaim Herzog（1983年－1993年）
總理：希蒙·佩雷斯（1984年－1986年）
沙地阿拉伯
國王：法赫德（1982年－2005年）
首相：法赫德（1982年－2005年）
北美洲

加拿大
君主：伊利沙伯二世（1952年－）
總督：让娜·索韦（1984年－1990年）
總理：马丁·布赖恩·马尔罗尼（1984年－1993年）
古巴
古共中央第一書記：菲德尔·卡斯特罗（1965年－2011年）
國務委員會主席：菲德尔·卡斯特罗（1976年－2008年）
部長會議主席：菲德尔·卡斯特罗（1976年－2008年）
墨西哥
總統：米格尔·德拉马德里（1982年－1988年）
美國
總統：罗纳德·里根（1981年－1989年）
大洋洲

澳洲
君主：伊麗莎白二世（1952年－現今）
總督：尼尼安·斯蒂芬（1982年－1989年）
總理：鮑勃·霍克（1983年－1991年）
新西蘭
君主：伊麗莎白二世（1952年－現今）
總督：
戴维·贝蒂（1980年－1985年）
保羅·里夫斯（1985年－1990年）
總理：戴維·朗伊（1984年－1989年）
南美洲

阿根廷
總統：劳尔·阿方辛（1983年－1989年）
智利
總統：奥古斯托·皮诺切特（1974年－1990年）
巴拉圭
總統：阿尔弗雷多·斯特罗斯纳（1954年－1989年）
委內瑞拉
總統：海梅·盧辛奇（1984年－1989年）