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美味的廣場
提名&獲獎列表

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| 年度 | 頒獎典禮 | 獎項 | 入圍者 | 結果 |
| 2019年 | 第13屆SBS演藝大獎（英语：） | 大賞 | 白種元 | 提名 |
| 2019年 | 第13屆SBS演藝大獎（英语：） | 功勞獎 | 白種元 | 獲獎 |
| 2019年 | 第13屆SBS演藝大獎（英语：） | SBS名譽社員獎 | 梁世炯 | 獲獎 |
| 2019年 | 第13屆SBS演藝大獎（英语：） | 真人秀類優秀獎 | 金希澈 | 獲獎 |
| 2019年 | 第13屆SBS演藝大獎（英语：） | Best Challenger獎 | 金桐俊 | 獲獎 |
| 2020年 | 第56屆百想藝術大獎 | 電視部門 綜藝節目作品獎 | 美味的廣場 | 提名 |
| 2020年 | 第47屆韓國廣播大獎 | 娛樂/綜藝 | 美味的廣場 | 獲獎 |
| 2020年 | 第14屆SBS演藝大獎（英语：） | 大賞 | 白種元 | 提名 |
| 2020年 | 第14屆SBS演藝大獎（英语：） | 大賞 | 梁世炯 | 提名 |
| 2020年 | 第14屆SBS演藝大獎（英语：） | 綜藝類節目作家獎 | 황보경(Hwang Bo-kyung) | 獲獎 |
| 2020年 | 第14屆SBS演藝大獎（英语：） | 真人秀類最優秀獎 | 金希澈 | 獲獎 |
| 2020年 | 第14屆SBS演藝大獎（英语：） | 製作人獎 | 梁世炯 | 獲獎 |
| 2020年 | 第14屆SBS演藝大獎（英语：） | 優秀節目獎 | 美味的廣場 | 獲獎 |
| 2021 | 韓國第一品牌獎 | 最佳烹飪類別 | 美味的廣場 | 獲獎 |
| 2021 | 第25屆亚洲电视大奖 | 最佳娛樂節目 | 美味的廣場 | 提名 |
參考資料

↑  . 韩娱汇. 2019-07-25  [2019-12-13]. （原始内容存档于2019-12-13） （中文）.
↑  . 韩娱汇. 2019-09-05  [2019-12-13]. （原始内容存档于2019-12-13） （中文）.
↑  . 韩娱汇. 2019-10-04  [2019-12-13]. （原始内容存档于2019-12-13） （中文）.
↑  .   [16 April 2020]. （原始内容存档于2021-05-16）.
↑  .   [October 29, 2019]. （原始内容存档于2020-08-11） （韩语）.
↑  .   [May 20, 2021]. （原始内容存档于2021-05-20） （韩语）.
↑  .   [August 9, 2020]. （原始内容存档于2021-05-16） （韩语）.
1 2 3   [每日收視數據表]. (NAVER).   [2019-12-13]. （原始内容存档于2021-11-04） （韩语）.
1 2 3   [每日收視數據表]. (AGB).   [2019-12-13]. （原始内容存档于2017-03-17） （韩语）.
外部連結

SBS官方網站 （页面存档备份，存于）
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对偶系统

数学中，域 \mathbb {K} 上的对偶系统或对偶对是指三元组 (X,Y,b)，包含 \mathbb {K} 上的2个向量空间X、Y，以及非退化双线性映射 b:X\times Y\to \mathbb {K} 。
对偶理论是对对偶系统的研究，在泛函分析中占有重要地位，并通过希尔伯特空间广泛应用于量子力学中。
定义、记号与惯例 > 配对

域 \mathbb {K} 上的配对（pairing或pair）是一个三元组 (X,Y,b)，也可以用 b(X,Y)表示， 包含 \mathbb {K} 上的两个向量空间X、Y及双线性映射 b:X\times Y\to \mathbb {K} ，称作与配对关联的双线性映射，或配对的映射，或其双线性形式。简单起见，本文只涉及 \mathbb {K} 是实数 \mathbb {R} 或复数 \mathbb {C} 的例子。
\forall x\subseteq X，定义
 {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}
 \forall y\subseteq Y，定义
 {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}
 \forall b(x,\,\cdot \,)是Y上的线性泛函， \forall b(\,\cdot \,,y)是X上的线性泛函。令
 b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}
其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。
通常记 \langle x,y\rangle 而非 b(x,y)，这样配对不必写成 (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )，而可以写成 \left\langle X,Y\right\rangle 。不过，本文将用 \langle \cdot ,\cdot \rangle 表示求值映射（定义见下），以避免混淆。
定义、记号与惯例 > 对偶对

若双线性形式b是非退化的，则称配对 (X,Y,b)是 \mathbb {K} 上的对偶系统或对偶对 ，满足下面两条分离公理：
Y分离（区分）X的点：若 x\in X使得 b(x,\,\cdot \,)=0，则 x=0；等价地，对所有非零的 x\in X，映射 b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} 不等同于 0（即 \exists y\in Y使得 \forall x\in X,\ b(x,y)\neq 0）；
X分离（区分）Y的点：若 y\in Y使得 b(\,\cdot \,,y)=0，则 y=0；等价地，对所有非零的 y\in Y，映射 b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} 不等同于 0（即 \exists x\in X使得 \forall y\in Y,\ b(x,y)\neq 0）。
这样b是非退化的，可以说b将X、Y置于（分离）对偶中（places in (separated) duality），b是三元组 (X,Y,b)的对偶配对（duality pairing）。
定义、记号与惯例 > 全子集

若 \forall x\in X,  b(x,s)=0\quad \forall s\in S能推出 x=0，则称 S\in Y为全集。
X的全子集定义相似（见脚注）。因此，当且仅当X是X的全子集，X分离Y中所有点，对Y亦然。
定义、记号与惯例 > 正交性

若 b(x,y)=0，称向量x、y正交，记作 x\perp y。若 b(R,S)=\{0\}，称两子集 R\subseteq X、 S\subseteq Y正交，记作 R\perp S；即 \forall r\in R、 s\in S， b(r,s)=0。子集正交于向量的定义与之类似。
子集 R\subseteq X的正交补或零化子是
 R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}.
于是，当且仅当 R^{\perp }=\{0\}，R是X的全子集。
定义、记号与惯例 > 极集

条目：极集
给定在 \mathbb {K} 上定义了对偶对的三元组 (X,Y,b)，子集 A\subseteq X的绝对极集或极集是集合 A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.对称地，子集 B\subseteq Y的绝对极集或极集记作 B^{\circ }，定义为
 B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.
为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记，子集 B\subseteq B的绝对极也可以称为B的绝对预极（absolute prepolar）或预极（prepolar），可表为 {}^{\circ }B。
极 B^{\circ }必然是凸集，包含 0\in Y，若B平衡，则 B^{\circ }也平衡；若B是X的向量子空间，则 B^{\circ }是Y的向量子空间。
若A是X的向量子空间，则 A^{\circ }=A^{\perp }，还等于A的实极。若 A\subseteq X，则A的双极（bipolar，记作 A^{\circ \circ }）是A正交补的极，即集 {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right)。相似地，若 B\subseteq Y，则B的双极是 B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }。
定义、记号与惯例 > 对偶的定义与结果

给定对 (X,Y,b)，定义新对 (Y,X,d)，其中 \forall x\in X,\ \forall y\in Y,\ d(y,x):=b(x,y)。
对偶理论有个一贯的主题：任何对 (X,Y,b)都有相应的对偶对 (Y,X,d)。
例如，若X分离Y的点（或者说S是Y的全子集）定义如上，则此约定立即产生了对偶定义：Y分离X的点（或者说S是X的全子集）。
下面的写法几乎无处不在，可让我们不用为d指定符号。
再比如，一旦定义了X上的弱拓扑 \sigma (X,Y,b)，则此对偶定义就会自动应用到配对 (Y,X,d)，从而得到Y上弱拓扑的定义—— \sigma (Y,X,b)而非 \sigma (Y,X,d)。
定义、记号与惯例 > 对偶的定义与结果 > (X,Y)及 (Y,X)的识别

虽然从技术上将这是不正确的，也是对符号的滥用，但本文将遵守几乎普遍的管理，及将配对 (X,Y,b)与 (Y,X,d)互换处理，并用 (Y,X,b)表示 (Y,X,d)。
例子 > 配对的限制

设 (X,Y,b)是配对，M是X的向量子空间，N是Y的向量子空间。则， (X,Y,b)对 M\times N的限制就是配对 \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)。若 (X,Y,b)是对偶，则限制就有可能不对偶（如，若 Y\neq \{0\}、 N=\{0\}）。
本文将使用通常做法，用 (M,N,b)表示限制 \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)。
例子 > 向量空间上的规范对偶

设X是向量空间，令 X^{\#}表示X的代数对偶空间（即，X上所有线性泛函的空间）。则有规范对偶 \left(X,X^{\#},c\right)，其中 c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)，称之为 X\times X^{\#}上的求值映射或自然/规范双线性泛函。
注意 \forall x^{\prime }\in X^{\#}， c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)只是表示 x^{\prime }的另一种方式，即 c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.
若N是 X^{\#}的一个向量子空间，则 \left(X,X^{\#},c\right)对 X\times N的限制称作规范配对。若此配对是对偶，则称为规范对偶。显然X总是分离N的点，因此当且仅当N分离X中的点，规范配对是对偶系统。
下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。
求值映射记作 \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)（而非c），将 (X,N,c)改为 \langle X,N\rangle 。
若N是 X^{\#}的向量子空间，则当且仅当N分离X的点（或等价地，N是全的， \forall n\in N,\ n(x)=0能推出 x=0），X分离N的点（或等价地， (X,N,c)是对偶），
例子 > 拓扑向量空间上的规范对偶

设X是拓扑向量空间，有连续对偶空间 X^{\prime }。
则，规范对偶 \left(X,X^{\#},c\right)对 X\times X^{\prime }的限制确定了配对 \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)，其中X分离 X^{\prime }的点。
若 X^{\prime }分离X的点（例如，若X是豪斯多夫局部凸空间，则恒为真），则此配对形成了对偶。
例子 > 拓扑向量空间的极与对偶

下列结果表明，拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。
定理 — 令X是拓扑向量空间，有代数对偶
 X^{\#}，并令 {\mathcal {N}}为X在原点邻域的基。
在规范对偶 \left\langle X,X^{\#}\right\rangle 下，X是连续对偶空间是所有 N^{\circ }的并，因为N的范围是 {\mathcal {N}}（其中极位于 X^{\#}）。
例子 > 内积空间与复共轭空间

预希尔伯特空间 (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )，当且仅当H是 \mathbb {R} 上的向量空间，或H是0维， (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )是对偶对。这里假定半双线性形式 \langle \cdot ,\cdot \rangle 在第二坐标上是共轭齐次的，在第一坐标上是齐次的。
若 (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )是实希尔伯特空间，则 (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )形成对偶系统。
若 (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )是复希尔伯特空间，则当且仅当 \operatorname {dim} H=0， (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )形成对偶系统。若H非平凡，则 (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )甚至不是配对，因为内积是半双线性的，而非双线性的。
设 (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )是复预希尔伯特空间，标量乘法用并列或 \cdot 表示。
定义映射
 \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,
其中右式使用了H的标量乘法。令 {\overline {H}}表示H的复共轭向量空间，其中 {\overline {H}}表示加群 (H,+)（所以 {\overline {H}}中的向量加法与H中的相同），但 {\overline {H}}中的标量乘法是映射 \,\cdot \,\perp \,\cdot \,（而非H被赋予的标量乘法）。
映射 b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} 定义为 b(x,y):=\langle x,y\rangle ，在两个坐标中都是线性的，因此 \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)形成对偶对。
例子 > 其他例子

设 X=\mathbb {R} ^{2},\ Y=\mathbb {R} ^{3},\ \forall \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,令 b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.则 (X,Y,b)是配对，使X区分Y的点，但Y不区分X的点。此外， X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.
令 0<p<\infty ,\ X:=L^{p}(\mu ),\ Y:=L^{q}(\mu )（其中q满足 {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1）， b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .则 (X,Y,b)是对偶系统。
令X、Y是同一域 \mathbb {K} 上的向量空间，则双线性形式 b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle 使 X\times Y与 X^{\#}\times Y^{\#}对偶。
序列空间X及其Beta-对偶空间 Y:=X^{\beta }，双线性映射定义为 \forall x\in X,\ y\in X^{\beta },\ \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}形成对偶系统。
弱拓扑

条目：弱拓扑和弱-*拓扑
设 (X,Y,b)是 \mathbb {K} 上一对向量空间。若 S\subseteq Y，则X上由S（和b）诱导的弱拓扑是X上最弱的拓扑向量空间拓扑，记作 \sigma (X,S,b)或 \sigma (X,S)，使y在S上取值时所有映射 b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} 连续。若S在语境中不明确，则应假定是Y的全部，这时称之为X上（由Y诱导的）的弱拓扑。
 X_{\sigma (X,S,b)},\ X_{\sigma (X,S)},或（若无混淆） X_{\sigma }用于表示赋有弱拓扑 \sigma (X,S,b)的X。
重要的是，弱拓扑完全取决于函数b、 \mathbb {C} 上的通常拓扑与X上的向量空间结构，而与Y的代数结构无关。
同样，若 R\subseteq X，则Y上由R（和b）诱导的弱拓扑的对偶定义记作 \sigma (Y,R,b)或 \sigma (Y,R)（细节见脚注）。
拓扑 \sigma (X,Y,b)是局部凸的，因为它由 p_{y}(x):=|b(x,y)|定义的半范数族 p_{y}:X\to \mathbb {R} 确定，其中y在Y上取值。
若 x\in X,\ \left(x_{i}\right)_{i\in I}是X中的网，则若 \left(x_{i}\right)_{i\in I}在 (X,\sigma (X,Y,b))中收敛到x， \left(x_{i}\right)_{i\in I} \sigma (X,Y,b)-收敛于x。网 \left(x_{i}\right)_{i\in I}，当且仅当 \forall y\in Y,\ b\left(x_{i},y\right)收敛到 b(x,y)， \sigma (X,Y,b)-收敛到x。
若 \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }是希尔伯特空间中的正交规范向量列，则 \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }弱收敛到0，但不会规范收敛（norm-convergence）到0（或任意向量）。
若 (X,Y,b)是配对，N是Y的一个适当的向量子空间，使得 (X,N,b)是对偶对，则 \sigma (X,N,b)比 \sigma (X,Y,b)严格粗。
弱拓扑 > 有界子集

子集 S\subseteq X，当且仅当 \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,，其中 |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}，称S \sigma (X,Y,b)-有界。
弱拓扑 > 豪斯多夫性

若 (X,Y,b)是配对，则下列条件等价：
X分离Y的点；
映射 y\mapsto b(\,\cdot \,,y)定义了Y到X的代数对偶空间的单射；
\sigma (Y,X,b)是豪斯多夫空间。
弱拓扑 > 弱表示定理

下列定理对对偶理论至关重要，因为它完全表征了 (X,\sigma (X,Y,b))的连续对偶空间。
弱表示定理 — 令 (X,Y,b)是域 \mathbb {K} 上的配对，则 (X,\sigma (X,Y,b))的连续对偶空间是 b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.另外，
若f是 (X,\sigma (X,Y,b))上的连续线性泛函，则 \exists y\in Y使 f=b(\,\cdot \,,y)；若这样的y存在，则当且仅当X分离Y的点时，这样的y是唯一的。
注意，X是否分离Y中的点并不取决于y的特定选择。
(X,\sigma (X,Y,b))的连续对偶空间可以视作商空间 Y/X^{\perp }，其中 X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0\ \ \forall x\in X\}。
无论X是否分离Y的点，或Y是否分离X中的点，这都是正确的。
因此， (X,\sigma (X,Y,b))的连续对偶空间是
 (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.
关于规范配对，若X是拓扑向量空间，其连续对偶空间 X^{\prime }分离X的点（即使 \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)豪斯多夫，这可推出X也必豪斯多夫），则 \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)的连续对偶空间等于x在X中取值时所有“点x处得值”的映射集合（即将 x^{\prime }\in X^{\prime }送到 x^{\prime }(x)的映射）。
通常写成
 \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.
这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果（如 X^{\prime }上的强对偶拓扑 \beta \left(X^{\prime },X\right)）能应用到原拓扑向量空间X的。例如，将X视作 \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }意味着 \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }上的拓扑 \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)可被视作X上的拓扑。
此外，若 X^{\prime }被赋予比 \sigma \left(X^{\prime },X\right)更细的拓扑，那么 X^{\prime }的连续对偶空间必然包含 \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }（作为子集）。
例如， X^{\prime }被赋予强对偶拓扑（于是记作 X_{\beta }^{\prime }），则
 \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X
这允许X被赋予由强对偶拓扑 \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)在X上诱导的子空间拓扑（此拓扑也称作强双对偶拓扑，见于自反空间理论：豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X，若 \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X则称其是半自反空间，若在此之外，其在X上的强双对偶拓扑 \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)还等于X的原/初拓扑，则称其是自反空间。
弱拓扑 > 正交、商与子空间

若 (X,Y,b)是配对，则对X的任意子集S：
S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }，且此集合是 \sigma (Y,X,b)-闭的；
S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)；
因此，若S是X的 \sigma (X,Y,b)-闭向量子空间，则 S\subseteq S^{\perp \perp }.
若 \left(S_{i}\right)_{i\in I}是X的 \sigma (X,Y,b)-闭向量子空间族，则
\left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).
若 \left(S_{i}\right)_{i\in I}是X的子集族，则
\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.
若X是赋范空间，则根据规范对偶性， S^{\perp }在 X^{\prime }中对范是封闭的， S^{\perp \perp }在X中对范是封闭的。
弱拓扑 > 子空间

设M是X的向量子空间，并令 (M,Y,b)表示 (X,Y,b)对 M\times Y的限制。
M上的弱拓扑 \sigma (M,Y,b)与M从 (X,\sigma (X,Y,b))继承的子空间拓扑相同。
另外， \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)是配对空间（paired space）（其中 Y/M^{\perp }是 Y/\left(M^{\perp }\right)），其中 b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} 定义为
 \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).
拓扑 \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)等于M继承自 (X,\sigma (X,Y,b))的子空间拓扑。 
此外，若 (X,\sigma (X,Y,b))是对偶系统，则 \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)也是。
弱拓扑 > 商

设M是X的向量子空间，则 \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)是配对空间，其中 b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} 定义为
 (x+M,y)\mapsto b(x,y).
拓扑 \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)等同于 (X,\sigma (X,Y,b))在 X/M上诱导的一般的商拓扑。
弱拓扑 > 极与弱拓扑

弱X是局部凸空间，且若H是连续对偶空间 X^{\prime }的子集，则当且仅当对X中某桶B，有 H\subseteq B^{\circ }时，H是 \sigma \left(X^{\prime },X\right)-有界的。
下列结果对定义极拓扑非常重要。
若 (X,Y,b)是配对， A\subseteq X,则
A的极 A^{\circ }是 (Y,\sigma (Y,X,b))的闭子集。
下列集合的极相同：(a) A；(b) A的凸壳；(c) A的平衡壳；(d) A的 \sigma (X,Y,b)-闭合；(e) A的凸平衡壳的 \sigma (X,Y,b)-闭合。
双极定理：A的双极 A^{\circ \circ }等于A的凸平衡壳的 \sigma (X,Y,b)-闭合。
双极定理“是处理对偶性时不可或缺的工具”。
当且仅当 A^{\circ }吸收于Y时，A是 \sigma (X,Y,b)-有界的。
若Y还分离X的点，则当且仅当A是 \sigma (X,Y,b)-全有界时，A是 \sigma (X,Y,b)-有界的。
若 (X,Y,b)是配对， \tau 是X上与对偶一致的局部凸拓扑，则当且仅当B是Y的某 \sigma (Y,X,b)-有界子集的极时， B\subseteq X是 (X,\tau )中的桶。
转置 > 线性映射关于配对的转置

参见：线性映射的转置和转置
令 (X,Y,b)和 (W,Z,c)是 \mathbb {K} 上的配对，并令 F:X\to W是线性映射。
\forall z\in Z,令 c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} 是由 x\mapsto c(F(x),z)定义的映射。
若满足以下条件，就可以说F的转置或伴随是良定的（well-defined）：
X分离Y中的点（或等价地，从Y抵达代数对偶 X^{\#}的映射 y\mapsto b(\,\cdot \,,y)是单射），且
c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),其中 c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\},\ b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.
这样， \forall z\in Z存在（由条件2）唯一的（由条件1） y\in Y，使 c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)，其中Y的这个元素将表为 {}^{t}F(z)。这定义了线性映射
 {}^{t}F:Z\to Y
称作F的转置或关于 (X,Y,b)和 (W,Z,c)的伴随（注意不要与厄米伴随混淆）。不难看出，上述两个条件（即“转置良定义”）也是 {}^{t}F良定的必要条件。
 \forall z\in Z， {}^{t}F(z)的定义条件是
 c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right), 
即，
 \forall x\in X,\ c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right).
根据本文开头提到的约定，这也定义了形式为 Z\to Y,
 X\to Z,
 W\to Y,
 Y\to W,等的线性映射的转置（见脚注）。
转置 > 转置的性质

(X,Y,b)和 (W,Z,c)是 \mathbb {K} 上的配对， F:X\to W是线性映射，其转置 {}^{t}F:Z\to Y是良定义的。
当且仅当F的范围在 \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right)中稠密时， {}^{t}F:Z\to Y是单射（即 \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}）。
若除了 {}^{t}F良定义外， {}^{t}F的转置也良定义，则 {}^{tt}F=F。
设 (U,V,a)是 \mathbb {K} 上的配对， E:U\to X是线性映射，其转置 {}^{t}E:Y\to V是良定义的，则 F\circ E:U\to W的转置 {}^{t}(F\circ E):Z\to V也是良定义的，且 {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.
若 F:X\to W是向量空间同构，则 {}^{t}F:Z\to Y是双射， F^{-1}:W\to X的转置 {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z是良定义的，且 {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}
令 S\subseteq X ， S^{\circ } 表示A 的绝对极，则
[F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)；
若 \forall T\subseteq W,\ F(S)\subseteq T，则 {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }；
若 T\subseteq W使得 {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }，则 F(S)\subseteq T^{\circ \circ }；
若 T\subseteq W， S\subseteq X是弱闭圆盘，则当且仅当 F(S)\subseteq T时， {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }；
\operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.
若X、Y是规范对偶下的赋范空间、 F:X\to Y是连续线性映射，则 \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|。
转置 > 转置的性质 > 弱连续性

线性映射 F:X\to W，若 F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))连续，则称其（关于 (X,Y,b)和 (W,Z,c)）弱连续。
下面的结果表明，转置映射的存在与弱拓扑密切相关。
命题 — 设X分离Y的点， F:X\to W是线性映射。
则下列条件等价：
F是弱连续的（即 F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))连续）；
c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)；
F的转置是良定义的。
若F是弱连续的，则
{}^{t}F:Z\to Y是弱连续的，即 {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))连续；
当且仅当Z分离W的点，转置 {}^{t}F良定义，这时 {}^{tt}F=F。
转置 > 弱拓扑与规范对偶

设X是向量空间， X^{\#}是其代数对偶。则X的所有 \sigma \left(X,X^{\#}\right)-有界子集包含于有限维向量子空间，X的所有向量子空间是 \sigma \left(X,X^{\#}\right)-闭的。
转置 > 弱拓扑与规范对偶 > 弱完备性

若 (X,\sigma (X,Y,b))是完备拓扑向量空间，例如X是 \sigma (X,Y,b)-完备或（若无歧义）弱完备的情形。
存在不弱完备的巴拿赫空间（尽管在其范拓扑中是完备的）。
若X是向量空间，则在规范对偶下， \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)是完备的。 
相反，若Z是豪斯多夫局部凸拓扑向量空间，且有连续对偶空间 Z^{\prime }，则当且仅当 Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}时， \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)是完备的；即，当且仅当将 z\in Z发送到z处求值映射（即 z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)）的映射 Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}是双射。
特别地，就规范对偶而言，若Y是 X^{\#}的向量子空间，使Y分离X中的点，则当且仅当 Y=X^{\#}， (Y,\sigma (Y,X))是完备的。
换句话说， X^{\#}不存在紧合向量子空间 Y\neq X^{\#}使得 (X,\sigma (X,Y))是豪斯多夫空间，且Y在弱-*拓扑（即逐点收敛的拓扑）中完备。
因此，若豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X的连续对偶空间 X^{\prime } 被赋以弱*-拓扑，当且仅当 X^{\prime }=X^{\#}（即X上所有线性泛函都连续）时， X_{\sigma }^{\prime }是完备的。
转置 > 弱拓扑与规范对偶 > Y与代数对偶的子空间的等同

若X分离Y的点、Z表示单射 y\mapsto b(\,\cdot \,,y)的范围，则Z是X的代数对偶空间的向量子空间，且配对 (X,Y,b)与规范配对 \langle X,Z\rangle （其中 \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)是自然求值映射）是规范等同（canonically identify）的。
特别地，这时我们将不失一般性地假设Y是X代数对偶的向量子空间，而b是求值映射。
完全类似的是，若Y分离X中的点，则X就有可能等同于Y的代数对偶空间的向量子空间。
转置 > 弱拓扑与规范对偶 > 代数伴随

在对偶是规范对偶 \left\langle X,X^{\#}\right\rangle 和 \left\langle W,W^{\#}\right\rangle 的特例下，线性映射 F:X\to W的转置总是良定义的。
此转置称作F的代数伴随，记作 F^{\#}；
即 F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}. 
这样， \forall w^{\prime }\in W^{\#},\ F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F其中 F^{\#}\left(w^{\prime }\right)的定义条件是
 \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad \forall >x\in X, 
或等价地 F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad \forall x\in X.
若对整数n， X=Y=\mathbb {K} ^{n}， {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}是X的基，其对偶基 {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},\ F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}是线性算子，F关于 {\mathcal {E}}的矩阵表示是 M:=\left(f_{i,j}\right)，则M的转置是 F^{\#}关于 {\mathcal {E}}^{\prime }的矩阵表示。
转置 > 弱拓扑与规范对偶 > 弱连续性与开性

设 \left\langle X,Y\right\rangle ， \langle W,Z\rangle 是对偶系统的规范配对（所以 Y\subseteq X^{\#},\ Z\subseteq W^{\#}），并令 F:X\to W是线性映射。则当且仅当 F:X\to W满足下列等价条件之一，F是弱连续的：
F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))连续；
F^{\#}(Z)\subseteq Y
F的转置 {}^{t}F:Z\to Y相对于 \left\langle X,Y\right\rangle 和 \langle W,Z\rangle 是良定义的。
若F是弱连续的，则 {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))是连续的，于是 {}^{tt}F=F
拓扑空间之间的映射 g:A\to B，若 g:A\to \operatorname {Im} g是开映射（ \operatorname {Im} g是g的范围），则称之是相对开的。
设 \langle X,Y\rangle ,\ \langle W,Z\rangle 是对偶系统， F:X\to W是弱连续线性映射。则下列条件等价：
F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))是相对开的；
{}^{t}F的范围在Y中 \sigma (Y,X)-闭；
\operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }
此外
当且仅当 {}^{t}F是满射（或双射）， F:X\to W是单射（或双射）；
当且仅当 {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))是相对开单射， F:X\to W是满射。
转置 > 弱拓扑与规范对偶 > 弱连续性与开性 > 拓扑向量空间之间映射的转置

当且仅当F是弱连续的，两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。
设 F:X\to Y是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射，则
若F连续，则其是弱连续的，且 {}^{t}F是麦基连续的，也是强连续的；
若F是弱连续的，则其是麦基连续的，也是强连续的（定义见下）。
若F是弱连续的，则当且仅当 {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }将 Y^{\prime }的等度连续子集映射到 X^{\prime }的等度连续子集时，F才是连续的。
若X和Y是赋范空间，则当且仅当F是弱连续的（这时 \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|），F连续。
若F连续，则当且仅当 F:X\to Y是弱相对开的（即 F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)是相对开的）、且 \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)的等度连续子集都是 Y^{\prime }的某等度连续子集的像时，F是相对开的。
若F是连续单射，则当且仅当 X^{\prime }的等度连续子集都是 Y^{\prime }的某等度连续子集的像， F:X\to Y是拓扑向量空间嵌入（或等价的拓扑嵌入）。
转置 > 弱拓扑与规范对偶 > 可度量化性与可分性

令X是局部凸空间，有连续对偶空间 X^{\prime }，并令 K\subseteq X^{\prime }。
若K是等度连续或 \sigma \left(X^{\prime },X\right)-紧的，且 D\subseteq X^{\prime }使得 \operatorname {span} D在X中稠密，则K从 \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)继承的子空间拓扑等同于K从 \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)继承的子空间拓扑。
若X是可分的、K是等度连续的，则K被赋予由 \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)诱导的子空间拓扑后是可度量化的。
若X是可分、可度量化的，则 \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)是可分的。
若X是赋范空间，则当且仅当给定由 \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)诱导的子空间拓扑，X的连续对偶空间的封闭单元（X的连续对偶空间）可度量时，X是可分的。
若X是赋范空间，其连续对偶空间可分（给定通常的范拓扑）时，X可分。
极拓扑与同配对相容的拓扑

条目：极拓扑
从弱拓扑开始，极基的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作极拓扑，弱拓扑是其中最弱的。
(X,Y,b)将是 \mathbb {K} 上的配对， {\mathcal {G}}将是X的 \sigma (X,Y,b)-有界子集的非空集合。
极拓扑与同配对相容的拓扑 > 极拓扑

条目：极拓扑
给定X子集的集合 {\mathcal {G}}，Y上由 {\mathcal {G}}（与b）定义的极拓扑（或Y上的 {\mathcal {G}}-拓扑）是Y上唯一的拓扑向量空间拓扑，其中
 \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}
形成了原点邻域的子基。
Y被赋予这 {\mathcal {G}}-拓扑时，就表示为 Y_{\mathcal {G}}。极拓扑都需要是局部凸的。
 {\mathcal {G}}是关于子集包含的有向集合时（即若 \forall G,K\in {\mathcal {G}}， \exists K\in {\mathcal {G}}使得 G\cup H\subseteq K），则此0处的邻域子基实际上形成了0处的邻域基。
下面列出了一些较重要的极拓扑。
|  {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {P}}X  （“…上一致收敛的拓扑”） | 记作 | 名称（“…的拓扑”） | 又称 |
| --- | --- | --- | --- |
| X的有限子集 （或X有限子集的 \sigma (X,Y,b)-闭圆盘化壳） |  \sigma (X,Y,b)  s(X,Y,b) | 逐点/简单收敛 | 弱/弱-*拓扑 |
|  \sigma (X,Y,b)-紧圆盘 |  \tau (X,Y,b) |  | 麦基拓扑 |
|  \sigma (X,Y,b)-紧凸子集 |  \gamma (X,Y,b) | 紧凸收敛 |  |
|  \sigma (X,Y,b)-紧子集 （或平衡 \sigma (X,Y,b)-紧子集） |  c(X,Y,b) | 紧收敛 |  |
|  \sigma (X,Y,b)-有界子集 |  b(X,Y,b)  \beta (X,Y,b) | 有界收敛 | 强拓扑 最强的极拓扑 |
极拓扑与同配对相容的拓扑 > 极拓扑 > 与极拓扑有关的定义

连续性
若 F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))连续，则线性映射 F:X\to W是（关于 (X,Y,b)和 (W,Z,c)）麦基连续的。
若 F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))是连续的，则线性映射 F:X\to W是（关于 (X,Y,b)和 (W,Z,c)）强连续的。
极拓扑与同配对相容的拓扑 > 有界子集

X的子集，若在 (X,\sigma (X,Y,b))（或 (X,\tau (X,Y,b))、 (X,\beta (X,Y,b))）中有界，则称X是弱有界（或麦基有界、强有界）。
极拓扑与同配对相容的拓扑 > 同配对相容的拓扑

弱 (X,Y,b)是 \mathbb {K} 上的配对， {\mathcal {T}}是X上的向量拓扑，则 {\mathcal {T}}是配对的拓扑，且若其局部凸、 \left(X,{\mathcal {T}}\right)的连续对偶空间 =b(\,\cdot \,,Y)，则称之与配对 (X,Y,b)相容或一致。 
若X分离Y的点，则Y可视作X的代数对偶的向量子空间，定义条件变为 \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.有人（如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999]）要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的，若Y分离X的点（这些学者假设），则必须是豪斯多夫的。
弱拓扑 \sigma (X,Y,b)同配对 (X,Y,b)相容（如弱表示定理所示），事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑，即麦基拓扑。
若N是非自反的赋范空间，则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶 \left(N^{\prime },N\right)不相容。
极拓扑与同配对相容的拓扑 > 同配对相容的拓扑 > 麦基–阿伦定理

条目：麦基–阿伦定理、麦基拓扑和麦基空间
下面是对偶理论中最重要的定理之一。
麦基–阿伦定理 I — 令 (X,Y,b)是配对，使X分离Y的点，并令 {\mathcal {T}}是X上的局部凸拓扑（不必豪斯多夫）。
则，当且仅当 {\mathcal {T}}是由某覆盖了Y的 \sigma (Y,X,b)-紧圆盘集合 {\mathcal {G}}确定的极拓扑时，称 {\mathcal {T}}与配对 (X,Y,b)相容。
由此可见，麦基拓扑 \tau (X,Y,b)是由Y中所有 \sigma (X,Y,b)-紧圆盘生成的极拓扑，是X上与配对  (X,Y,b)相容的最强局部凸拓扑。
给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作麦基空间。
上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。
麦基–阿伦定理 II — 令 (X,Y,b)是配对，使得X分离Y的点，并且 {\mathcal {T}}是X上的局部凸拓扑。则，当且仅当 \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b)， {\mathcal {T}}与配对相容。
极拓扑与同配对相容的拓扑 > 麦基定理、桶与闭凸集

若X是（ \mathbb {R} 或 \mathbb {C} 上的）拓扑向量空间，则半空间（half-space）是形式为 \{x\in X:f(x)\leq r\}的集合。（r是实数，f是X上的连续实值线性泛函）
定理 — 若X是（ \mathbb {R} 或 \mathbb {C} 上的）局部凸空间、C是X的非空闭凸子集，则 C等于包含它的所有闭半空间的交。
上述定理说明，局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是，在任何与配对相容的拓扑中，闭子集和凸子集都相同；即，若 {\mathcal {T}}、 {\mathcal {L}}是X上的任意局部凸拓扑，且有同样的连续对偶空间，则当且仅当X的凸子集在 {\mathcal {L}}拓扑中封闭，，此子集也在 {\mathcal {T}}拓扑中封闭。
这说明，X任意凸子集的 {\mathcal {T}}-闭等同于其 {\mathcal {L}}-闭，对X中任意 {\mathcal {T}}-闭圆盘A， A=A^{\circ \circ }。 
特别地，若B是X的一个子集，则当且仅当B是 (X,{\mathcal {L}})中的桶时，B也是 (X,{\mathcal {L}})中的桶。
下面的定理说明，桶（即闭吸收圆盘）恰是弱有界子集的极。
定理 — 令 (X,Y,b)是配对，使得X分离Y的点，并令 {\mathcal {T}}为配对的某拓扑。
则当且仅当X的子集等于Y的某 \sigma (Y,X,b)-有界子集的极时，此子集是X中的桶。
若X是拓扑向量空间，则
X的闭吸收平衡子集B吸收X的所有凸紧子集（即存在正实数r使得 rB包含此集）。
若X是豪斯多夫局部凸的，则X中每个桶都吸收X的每个凸有界完备子集。
所有这些都引出了麦基定理，这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之，定理支出，对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑，有界子集是相同的。
麦基定理 — 设 (X,{\mathcal {L}})是豪斯多夫局部凸空间，有连续对偶空间 X^{\prime }，并考虑规范对偶 \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle 。
若 {\mathcal {L}}是X上任意与对偶 \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle 相容的拓扑，则 (X,{\mathcal {L}})的有界子集与 (X,{\mathcal {L}})的有界子集相同。
极拓扑与同配对相容的拓扑 > 有限序列空间

令X表示标量 r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }的所有序列的空间，且对所有足够大的i都有 r_{i}=0。
令 Y=X，定义双线性映射 b:X\times X\to \mathbb {K} 为
 b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}. 
则 \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b)。 
此外，当且仅当存在正实数序列 m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }，使得 \left|t_{i}\right|\leq m_{i},\ \forall t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T、及所有指标i（或还有 m_{\bullet }\in X）时，子集 T\subseteq X是 \sigma (X,X,b)-有界（或 \beta (X,X,b)-有界）的。
由此可见，X的子集中有弱有界（即 \sigma (X,X,b)-有界）的，但没有强有界（即无 \beta (X,X,b)-有界）的。
另见

Beta对偶空间
双正交系统
对偶空间
对偶拓扑
对偶 (数学)
内积
L半内积
配对 (数学)
极集
极拓扑
约化对偶对
强对偶空间
线性映射空间泛函
弱拓扑
书目

Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. . Pure and applied mathematics Second. Boca Raton, FL: CRC Press. 2011. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
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