量子成像
原理 > 全光路（物平面-像平面）

为简化计算，假设 \omega _{s}=\omega _{i}=\omega ，SPDC双光子共线，忽略所有比例常数（因此将 =替换为 \propto ），将 g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s},{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o})和 g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i},{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})代入像平面有效波函数（英語：）
 \Psi ({\overrightarrow {\rho _{1}}},z_{1},t_{1};{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2},t_{2})=\Psi _{o}\int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})\int d{\omega _{s}}d{\omega _{i}}\delta ({\omega _{s}}+{\omega _{i}}-{\omega _{p}})\times g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s};{\overrightarrow {\rho _{1}}},z_{1})e^{-i\omega _{s}t_{1}}g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i};{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})e^{-i\omega _{i}t_{2}}
可求出双光子有效波函数表达式
 \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\propto \int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega ;{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o})g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega ;{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})\propto e^{i{\frac {\omega }{c}}(s_{o}+s_{i})}\int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho _{s}}}e^{i{\overrightarrow {k_{s}}}\cdot {\overrightarrow {\rho _{s}}}}e^{{\frac {\omega }{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\times e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}\times \int _{source}d\rho '_{s}e^{i{\overrightarrow {k_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}e^{i{\frac {\omega _{i}}{2cd_{2}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho '_{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{2}}}\right\vert ^{2}}
完成二重积分
 \int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})e^{i{\overrightarrow {k_{s}}}\cdot {\overrightarrow {\rho _{s}}}}e^{i{\overrightarrow {k_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}\backsim \delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho '_{s}}})
后，双光子有效波函数表达式变形为
 \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\propto e^{i{\frac {\omega }{c}}(s_{o}+s_{i})}\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho _{s}}}e^{i{\frac {\omega }{2cd_{2}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{2}}}-{\overrightarrow {\rho _{s}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega }{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\times e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega }{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}
完成对 d{\overrightarrow {\rho _{s}}}的积分后，可变形为
 \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\propto e^{i{\frac {\omega }{c}}(s_{o}+s_{i})}\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{i{\frac {\omega }{2cs_{i}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{2}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega }{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}
用 s_{i}代替 d_{1}+d_{2}， d{\overrightarrow {\rho _{l}}}上的积分在物平面和像平面之间产生的点对点对应关系，由高斯薄透镜方程定义：
 \int _{lens}{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{i{\frac {\omega }{2c}}[{\frac {1}{s_{o}}}+{\frac {1}{s_{i}}}-{\frac {1}{f}}]\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{-i{\frac {\omega }{c}}({\frac {\overrightarrow {\rho _{o}}}{s_{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{s_{i}}})\cdot {\overrightarrow {\rho _{l}}}}\sim \delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})
用 {\overrightarrow {\rho _{2}}}等效代替 {\overrightarrow {\rho _{i}}}，则上式中的积分值趋向无穷大，应用高斯薄透镜方程
 {\frac {1}{s_{i}}}+{\frac {1}{s_{o}}}={\frac {1}{f}}
将 m={\frac {s_{i}}{s_{o}}}定义为成像系统放大倍数， \delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})表示物平面上的每一个 {\overrightarrow {\rho _{o}}}与像平面上的每一个 {\overrightarrow {\rho _{i}}}唯一对应，两向量方向相反，大小比为 m={\frac {\left\vert {\overrightarrow {\rho _{i}}}\right\vert }{\left\vert {\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert }}。
考虑到成像透镜尺寸有限（设半径为R），则积分会产生点扩散函数 somb(x)：
 \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{-i{\frac {\omega }{c}}({\frac {\overrightarrow {\rho _{o}}}{s_{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{s_{i}}})\cdot {\overrightarrow {\rho _{l}}}}\propto somb({\frac {R}{s_{o}}}{\frac {\omega }{c}}[{\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}}])
其中 somb(x)=2J_{1}(x)， J_{1}(x)是一阶贝塞尔函数，将物-像平面的点对点关系转化为点对像素关系，限制了成像的空间分辨率。在代入高斯薄透镜方程后，横向双光子有效波函数近似为一个 \delta 函数：
 \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{i}}})\sim \delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})
这表现了物-像平面之间的点对点相关性，即若在物平面 {\overrightarrow {\rho _{o}}}位置找到信号光子，则必然在像平面 {\overrightarrow {\rho _{i}}}位置找到闲置光子， {\overrightarrow {\rho _{o}}}和 {\overrightarrow {\rho _{i}}}满足 {\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}}=0， m={\frac {s_{i}}{s_{o}}}。
在信号光路的光学传递函数中再加入作为物体的光圈、收集透镜和光子计数检测器（英语：），其中后两者整体可视为一个桶探测器（英语：）。桶探测器对通过物体（光圈） A({\overrightarrow {\rho _{o}}})，触发光电联合检测的光子进行积分：
 R_{1,2}\propto \int _{object}d{\overrightarrow {\rho _{o}}}\left\vert A({\overrightarrow {\rho _{o}}})\right\vert ^{2}\left\vert \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},\Psi ({\overrightarrow {\rho _{i}}})\right\vert ^{2}\cong \left\vert A({\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})\right\vert ^{2}
同时，闲置光路中的探测器 D_{2}再次扫描像平面， {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{2}}}}={\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}。
综上所述，位置EPR相关性是双光子振幅相干叠加的结果：
 G^{(2)}({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{i}}})=\left\vert \int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})g({\overrightarrow {k_{s}}},{\overrightarrow {\rho _{o}}})g({\overrightarrow {k_{i}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\right\vert ^{2}
原则上，一对信号-闲置光子对包含用于在物平面和像平面间产生点对点对应关系的双光子振幅，因此量子成像又称为“双光子关联成像”。