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沃尔夫冈·阿玛多伊斯·莫扎特之死
参考资料和注释 > 资料来源

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Davies, Peter J. . The Musical Times. August 1984, 125 (1698): 437–442. ISSN 0027-4666. JSTOR 963386. OCLC 484935994. doi:10.2307/963386.
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參見

古典音乐主题
|  论 编沃尔夫冈·莫扎特 |
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| 家人 |  利奥波德·莫扎特  安娜·瑪麗亞·莫札特  瑪利亞·安娜·莫札特  康絲坦茲·莫札特  玛丽亚·安娜·特克拉·莫扎特  法蘭茲·莫札特  卡尔·托马斯·莫扎特  约翰·格奥尔格·莫扎特  约瑟夫·兰格  锡西利亚·韦伯  約瑟法·韋伯  阿洛伊西亚·韦伯  苏菲·韦伯  格奥尔格·尼古劳斯·冯·尼森  |  |
| 生平 |  出生地  名字  国籍  大巡游  天花  意大利  柏林  离世  传记  |  |
| 音乐 |  克歇尔目录  莫扎特作品列表  钢琴独奏作品  咏叹调，艺术歌曲和卡农  弥撒曲  圆号协奏曲  钢琴协奏曲  歌剧  舞曲  交响曲  奏鸣曲  方法与技巧  |  |
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互質

在數論中，互質（英語：，符號：⊥，又稱）是指如果兩個或兩個以上的整數的最大公因數是1。依此定義：
如果數域是正整數 \mathbb {N^{+}} ，那麼1與所有正整數互質。
如果數域是整數  \mathbb {Z} ，那麼1和-1與所有整數互質，而且它們是僅有與0互質的整數。
兩個整數a與b互質，記為 a\perp b，也可以依其定义写成 \gcd(a,b)=1或 (a,b)=1。
互質的例子

例如8與10的最大公因數是2，不互質。
又如7、10、13的最大公因數是1，因此互質。
最大公因数可以通过辗转相除法得到。
整集互質與兩兩互質

三个或三个以上的整數互質有两种不同的情况：
這些整數的最大公因數是1，我們直接稱這些整數互質，也稱為整集互質（英語：）。以  \{6,8,9\}為例： \gcd(6,8,9)=\gcd(\gcd(6,8),9)=\gcd(2,9)=1
这些整數是两两互質的（英語：）。以 \{7,8,9\}為例： \gcd(7,8)=\gcd(7,9)=\gcd(8,9)=1\Rightarrow \gcd(7,8,9)=\gcd(\gcd(7,8),9)=\gcd(7,\gcd(8,9))=\gcd(\gcd(7,9),8)=1
兩兩互質是較為嚴格的互質，如果一個整數集合是兩兩互質的，它也必定是整集互質，但是整集互質不必然是兩兩互質，甚至可能兩兩皆不互質，例如 \gcd(6,15,10)=1，是整集互質，但 \gcd(6,15)=3、 \gcd(15,10)=5、 \gcd(10,6)=2，任兩者皆不互質。
性質

性质之一：整数a和b互質，当且仅当存在整数x,y，使得 xa+yb=1。
一般地，存在整数x,y使得 xa+yb=d，其中d是a和b的最大公因数（贝祖等式）。
判别方法

两个不同的质数一定互質。例如，2与7、13与19。
一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数互質。例如，3与10、5与 26。
1和任何一个自然数都互質。如1和9908。
相邻两个自然数互質。如15与16。
相邻两个奇数互質。如49与51。
较大数是质数，則两个数互質。如97与88。
两数都是合数（二数差较大），较小数所有的质因数，都不是较大数的因数，这两个数互質。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的因数，故这两数互質。
两数都是合数（二数差较小），这两数之差的所有质因数都不是较小数的因数，这两个数互質。如85和78。85－78=7，7不是78的因数，故这两数互質。
两数都是合数，较大数除以较小数的余数（大于“1”）的所有质因数，都不是较小数的因数，則两数互質。如 462与 221，462÷221=2...20，20=2×2×5。2、5都不是221的因数，故这两数互質。
輾轉相除法。如255与182。255－182=73，182－（73×2）=36，73－（36×2）=1，則（255，182）=1。故这两数互質。
參考來源

↑  .   [2014-10-19]. （原始内容存档于2014-10-19）.
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↑  Algebra II: Chapters 4-7, p.14
外部參考

Final Answers > Number Theory（页面存档备份，存于）
史丹福大學離散結構講義（页面存档备份，存于）
Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach, p.45（页面存档备份，存于）
下采韋利奇

50°42′19″N 24°38′19″E﻿ / ﻿50.70528°N 24.63861°E﻿ / 50.70528; 24.63861
下采韋利奇（烏克蘭語：），是烏克蘭的村落，位於該國西部沃倫州，由沃洛德米爾區負責管轄，面積1,200平方公里，海拔高度213米，2001年人口129，人口密度每平方公里0.11人。
參考資料

Погода в селі Низькі Цевеличі（页面存档备份，存于）
史蒂夫·多德

| 史蒂夫·多德 Steve Dodd |
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出生: (1928-06-01)1928年6月1日 不明（见下）
逝世: 2014年11月10日(2014歲—11—10)（86歲）  新南威尔士州肖尔黑文市贝辛维尤
国籍:  
职业: 演员、饲育员
活跃时期: 1946年－2008年
史蒂夫·多德（英語：，1928年6月1日—2014年11月10日）是澳大利亚原住民男演员，以在时间跨度长达70年的澳大利亚电影中扮演土著人物闻名。多德起初的工作是饲育员和牛仔竞技骑手，后经澳大利亚男演员奇普斯·拉弗蒂推荐获得第一个出演电影的机会。多德曾在澳大利亚陆军服役6年，于朝鲜战争爆发后奔赴朝鲜半岛，事业因此受到影响，此外，其戏路相对狭窄，通常只局限于固定的人物类型。
多德参加过多部澳大利亚电影史上的重要作品演出，如《加里波利》和《吉米·布莱克史密斯的圣歌》，在后一部电影中扮演男主角的叔叔，亲手杀害了侄儿。他曾参演许多在澳大利亚拍摄的国际制作电影，但都是小角色，如《可口可乐小子》、《捍卫游侠》和《黑客帝国》等。此外，多德还在早期的澳大利亚电视剧中出演小角色，如《凶杀》和《淘金》等，后期还曾参演电视剧《空中医生》。2013年，他在悉尼歌剧院举办的第19届戴德利奖颁奖典礼上获吉米·里特终身成就奖。2014年11月10日，史蒂夫·多德在新南威尔士州去世，享年86岁。
除表演事业以外的个人生平

多德又名穆拉瓦（）或穆拉·沃拉（，意为飞鱼），是澳大利亚中部的阿兰达族（又名阿龙塔族）原住民。他的出生地仍然不明，有可能是北领地，也可以是南澳大利亚州，有一份来源中称他生于北领地的爱丽斯泉，也有来源称他生于爱丽斯泉西南方向的赫曼斯堡（），还有第3份来源认为多德是在南澳大利亚州的乌德纳达塔出生，多德本人也于2011年接受采访时自称是南澳大利亚人。根据1953年的一篇报纸文章，多德来自库伯佩地，并长期住在科尔布鲁克之家，这里安置有来自南澳大利亚州北部的许多土著儿童，部分住户之后经确认属于失窃的一代。对于多格的出生日期，目前仅有的纪录来自澳大利亚退伍军人事务部对曾参与朝鲜战争的澳大利亚退伍军人纪录，称他生于1928年6月1日。
根据1966年的一篇新闻报道，多德这时还没有结婚，之后的多个来源也完全没有提及他的婚姻状况。1971年，他在接受采访时称，自己的6个兄弟和父亲都住在北领地。
19至20世纪年间，许多澳大利亚男性原住民成为该国农牧产业的饲育员并发挥重要作用，还会参加饲育员技能竞赛表演（人称狂野骑士）。成为演员前，多德做过饲育员、驯马师和牛仔竞技骑手，其间还有段时间为骑手兼艺人斯默基·道森（）工作。多德是澳大利亚狂野骑士协会的一员，还曾在1964年卡加利牛仔节上表演。
多德曾进入澳大利亚陆军服役6年并参加朝鲜战争，隶属皇家澳大利亚团第1营，服役编号41018。他在2011年5月接受采访时称，自己是参军赶赴朝鲜半岛的第一个澳大利亚原住民军人。
澳大利亚战争纪念馆的长期展品中有一张多德在韩国身穿制服的照片。1969年起到至少1973年，他曾在新南威尔士航空公司担任向导，护送乌鲁汝－卡塔楚塔国家公园及澳大利亚中部其它景点的游客。据多德所说，他曾在1970年世界博览会和某次奥林匹克运动会上表演回力镖及长矛投掷。此外，他还曾参加1988年的澳大利亚二百周年庆祝活动，再现詹姆斯·库克船长200年前首次登上澳大利亚大陆的情景。
1985年，多德住在新南威尔士州的曼利（），这里属悉尼的北部郊区，他此已经在当地生活15年。多德生命中的最后20年是在新南威尔士州南海岸的圣乔治贝辛（）度过，于2014年11月10日去世，享年86岁。
演艺生涯 > 早期经历

1946年，澳大利亚男演员奇普斯·拉弗蒂（）在电影《长途跋涉者》（）的片场看到多德后决定让他出演一个小角色，这成为多德首度参加澳大利亚电影演出。多德一共出演过3部拉弗蒂主演的电影，下一部则是1950年的《苦泉》（），该片以“严肃探讨白人殖民者同（澳大利亚）原住民之间的关系”，同时又“比当时大部分澳大利亚电影人都更加大胆和诚实”而闻名。电影编剧布鲁斯·莫洛伊（）表示，《苦泉》清晰明确地描绘出澳大利亚殖民地时期土著黑人和白人殖民者之间的冲突，一定程度上给予澳大利亚原住民在电影银幕上长期被剥夺的公正待遇。
经拉弗蒂安排，多德得以在《苦泉》中出镜，扮演的是男演员迈克尔·佩特（）角色手下的翻译和追踪者。《苦泉》在南澳大利亚州北部的阔恩市（）地区取景拍摄期间，剧组成员及演员（特别是拉弗蒂）同阿兰达土著居民关系融洽。据佩特所说，拉弗蒂对原住民没有偏见，非常感激他们的参与，同这些人相处愉快。多德也很欣赏拉弗蒂对澳大利亚电影业的愿景，并对电影行业给澳大利亚土著居民带来的机遇心存感激。1952年，多德又在第3部拉弗蒂主演的电影《袋鼠》（）中出演小角色。
1957年，英国兰克影片公司来到澳大利亚，准备将罗尔夫·波尔德里伍德（）的澳大利亚殖民时期小说《武装抢劫》（）改编成同名电影。多德跟随该公司先后前往英国和美国，但这6个月里实际出演的角色缺乏记载。他自称曾于1971年同拉弗蒂第4度合作出演《内陆惊魂》（），但公布的电影演员名单上没有他的名字。同年他还在一部电影中扮演原住民财物保管员，片名据他所说叫《牺牲》（）。
1966年，多德在詹姆斯·卡修斯·威廉姆森（）制作的舞台剧《飞蛾的欲望》（）中出演达基·莫里斯（）一角，在墨尔本和悉尼演出了近3个月。1971年，他又在悉尼参演凯文·吉尔伯特（）具有开创性意义的作品《摘樱桃的人》（）。
多德还出现在澳大利亚的电视荧屏上，扮演过许多小角色，为斯默基·道森工作期间，他曾参演1966年6月播出的《与斯默基·道森历险：蒂姆前往沃克博特》（）。多德参与演出的其它电视作品还包括七号电视网介绍澳大利亚运输先驱科布公司（）的纪录片，以及澳大利亚广播公司的多部纪录片节目。他在20世纪60至70年代的许多澳大利亚早期电视剧中出演小角色，如《丛林袋鼠斯基皮》（）、《第四分局》（）、《三角洲》（）、《激流》（）、《动物医生伍宾纳》（）、《间谍军队》（）、《凶杀》（）和《淘金》（）。这其中《动物医生伍宾纳》是澳大利亚电视史上首次有原住民演员担任主角，不过出演这个角色的并非多德，而是宾迪·威廉姆斯（），扮演剧中主角收养的孩子。1973年，有报道称电视电影《马拉马拉》（）已经杀青，其中除大卫·古皮利（）和鲍勃·马扎（）两位原住民明星外，还有多德和扎克·马丁（）演出。
虽然多德参加过许多电视剧演出，但多年来他和其他原住民演员在电视中出演的都只是小角色，并且人物类型往往也局限在相对狭窄的范围内。据原住民演员、历史学家兼活动家加里·弗利（）回忆，多德曾开玩笑说，他对出演角色的全部台词只是“老大，他往那边走了！”感到很厌烦。针对这个问题，有评论员在评述1978年电影《尘海遗珠》（）时指出，电影中有很多无关紧要的场景，其中最明显的就是追踪者宾迪（，史蒂夫·多德饰）这个原住民角色出场的镜头，而且，这也是电影中对原住民形象错误刻板印象的又一次令人厌倦的强调。
演艺生涯 > 后期作品

多德参演过许多以澳大利亚原住民所面临问题为核心的电影，这些问题包括土地所有权和种族关系。这些题材的电影除上文所说的《苦泉》外，还有1978年的《吉米·布莱克史密斯的圣歌》（），后一部电影是多德和男演员杰克·汤普森（）首度合作，多德饰演原住民后裔吉米·布莱克史密斯（）的叔叔。片中吉米同白人女性吉尔达·马歇尔（，安吉拉·潘奇·麦格雷戈饰）结婚并有了孩子，多德饰演的部落长老对这场婚事感到担忧，并给吉米带去一个护身符，希望能保佑晚辈平安。宝琳·凯尔（）在《纽约客》撰文称赞两位黑人专业演员（另一个是杰克·查尔斯）的表演，特别是史蒂夫·多德的角色因谋杀罪名上庭受审的一场戏以及简单有力的台词：“你会觉得从下决心杀人到真正付诸实施应该需要一段时间，相信我，这只需要一瞬间。”
20世纪80年代是多德职业生涯中最忙碌的时期，据报道，到1985年时，他参演的影视作品已经有55部。1981年，他在电影《加里波利》（）中饰演“蛇皮比利”（），该片以1915年一战中的加里波利之战为背景，讲述两名青年男子的命运。接下来他又出演了《彻夜追逐》（）和《埃辛顿》（），两部电影都在1984年上映。1985年，他在澳大利亚爱情喜剧《可口可乐小子》（）中诠释乔先生（），该片还有包括埃里克·罗伯茨和格列塔·斯卡奇（）在内的国际影星演出。1986年，多德还在电影《少找钱》（）中亮相，此外，他还在20世纪80年代中期的热门电视剧《空中医生》（）中扮演过小角色。
除《吉米·布莱克史密斯的圣歌》外，多德还曾和杰克·汤普森合作出演1987年的电影《归零地》（），该片同样围绕当时原住民面临的问题展开，与近十年前的首度合作一样，汤普森也是本片的主演之一。这部惊悚片的背景是有关英国在马拉林加进行核试验时采用澳大利亚原住民做真人实验品的指控，剧情则围绕在核试验场地调查放射性污染的麦克莱兰皇家委员会展开，多德在片中扮演的小角色名叫弗雷迪·特加帕里加利（）。
不同来源对多德是否参演过1988年电影《黑暗中的呐喊》有不同说法，该片取材自阿扎里亚·张伯伦失踪案，《1978至1994年的澳大利亚电影》一书在介绍本片时没有列出多德的名字，但互联网电影数据库的所有演职人员名单上有。同年他还在讲述一系列原因不明谋杀案的恐怖片《卡戴查》（）中出演小角色，不过这部电影并没有发行。1990年有两部多德参演的电影上映，分别是美国影星汤姆·谢立克和英国演员艾伦·瑞克曼主演，在澳大利亚取景拍摄的西部片《捍卫游侠》（），以及以乡间小镇为背景的澳大利亚剧情片《十字路口》（）。
1991年的警察题材电影《致命》（）围绕一名原住民男性在被警察逮捕后死亡这一事件展开，是多德出演的又一部取材原住民政治敏感议题的电影，他出演的小角色名叫昆门古（）。与之前的《归零地》一样，本片涉及的事件有极高关注度，电影在调查被拘留原住民死亡事件皇家委员会发布报告的同期上映，该委员会之前花了4年时间调查为什么会有数量众多的澳大利亚原住民在被警察拘留期间丧生。
1999年，多德出演了短片《风》（），该片一共只有3名演员出镜，讲述青年黑人追踪者和白人警司追捕土著老人的故事，多德饰演的就是被追捕的老人。同年上映的还有他职业生涯中商业上最成功的电影《黑客帝国》。接下来，多德又出演了一集电视剧《爱丽斯》（），还有2007年的短片《我的祖国》（）和2008年电影《撕裂的太阳》（），这时他在澳大利亚电影和电视业已经贡献了60多个春秋。
2013年，多德在悉尼歌剧院举行的第19届戴德利奖颁奖典礼上获吉米·里特终身成就奖。该奖项以往的传统都是颁发给音乐家，但组织者认为，多德在澳大利亚艺术行业普遍对原住民存在歧视和刻板印象的时代仍然踏出一条新路，这条新路不但值得音乐领域仿效，也值得所有的艺术领域追随。
电影作品年表

| 片名 | 年份 | 角色 | 来源和注释 |
| --- | --- | --- | --- |
| 《长途跋涉者》 | 1946 | 小角色 |  |
| 《苦泉》 | 1950 | 小角色 |  |
| 《袋鼠》 | 1952 | 小角色 |  |
| 《内陆惊魂》 | 1971 | 不明 | 公布的电影演员表上没有他的名字，但有报道称他曾参加演出。 |
| 《我与小袋鼠》（，短片） | 1974 | 不明 | 由澳大利亚国家影音档案馆保存 |
| 《尘海遗珠》 | 1978 | 追踪者宾迪 |  |
| 《吉米·布莱克史密斯的圣歌》 | 1978 | 塔比吉 |  |
| 《加里波利》 | 1981 | 蛇皮比利 |  |
| 《彻夜追逐》 | 1984 | 纳里 |  由澳大利亚国家影音档案馆保存 |
| 《埃辛顿》 | 1984 | 不明 |  |
| 《可口可乐小子》 | 1985 | 乔先生 |  |
| 《少找钱》 | 1986 | 老酒鬼 |  |
| 《归零地》 | 1987 | 弗雷迪·特加帕里加利 |  |
| 《黑暗中的呐喊》 | 1988 | 尼珀·温马蒂 | 《1978至1994年的澳大利亚电影》一书在介绍本片时没有列出多德的名字  |
| 《卡戴查》 | 1988 | 比林努吉尔 |  |
| 《少年爱因斯坦》 | 1988 | 不明 |  |
| 《水推车》（，短片） | 1988 | 不明 | 由澳大利亚国家影音档案馆保存 |
| 《捍卫游侠》 | 1990 | 昆古拉 |  |
| 《十字路口》 | 1990 | 老蜘蛛 |  由澳大利亚国家影音档案馆保存 |
| 《致命》 | 1991 | 昆门古 |  由澳大利亚国家影音档案馆保存 |
| 《风》 | 1999 | 土著老人 |  |
| 《黑客帝国》 | 1999 | 盲人 |  |
| 《我的祖国》 | 2007 | 老大叔 |  |
| 《撕裂的太阳》 | 2008 | 原住民 |  |
参考资料 > 参考书目

Scott Murray (ed.) Australian Film 1978–1994: A Survey of Theatrical Features (2nd ed'n). Melbourne: Oxford University Press, Australian Film Commission and Cinema Papers; ISBN 0-19-553777-7.
促使多德走上电影银幕的男演员奇普斯·拉弗蒂
秩 (线性代数)

在线性代数中，一个矩阵  A 的列秩是列向量生成的最大线性无关组的向量个数。类似地，行秩是矩阵 A 的线性无关的横行的个数。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵  A 的秩（）。通常表示为  \mathrm {r} (A) ， \mathrm {rank} (A) 或 \mathrm {rk} (A)。
可替代定义 > 用定义

设  A 为  m\times n 矩阵。若  A 至少有一个  r 阶非零子式，而其所有  r+1 阶子式全为零，即矩阵的最高阶非零子式的阶数为r。则称  r 为  A 的秩。
可替代定义 > 用向量组的秩定义

对于  m 维线性空间  V 中的一个向量组  F=\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\}，若 
 F\supseteq S=\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}\} 中的  r 个向量线性无关，且若  r<s， \forall \alpha _{r+1}\in F-S， S\cup \{\alpha _{r+1}\} 中  r+1 个向量都线性相关，则称  \{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}\} 为  \{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\} 的极大线性无关组， r 为  \{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\} 的秩。可以证明  F 的秩等于向量组  F 生成的子空间的维数。
矩阵  A 的列秩定义为  A 的列向量组的秩，也即矩阵的列空间的维数。类似地，矩阵的行秩定义为  A 的行向量组的秩，即矩阵的行空间的维数。
可替代定义 > 用线性映射定义

考虑线性映射：
对于每个矩阵  A， f_{A} 都是一个线性映射，同时，对每个  F^{n}\to F^{m} 的
线性映射  f，都存在矩阵  A使得  f=f_{A}。也就是说，映射
是一个同构映射。所以一个矩阵  A 的秩还可定义为  f_{A} 的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵  A 称为  f_{A} 的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为  n-f 的核的维度；秩-零化度定理證明它等于  f 的像的维度。
行秩列秩相等性

矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分。其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。
给出这一结果的两种证明. 第一个证明是简短的，仅用到向量的线性组合的基本性质. 第二个证明利用了正交性. 第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基. 第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵，第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间，也都易于修改去证明当A是线性变换的情形.
行秩列秩相等性 > 证明一

令  A 是一个  m\times n 的矩阵，其列秩为  r . 因此矩阵  A 的列空间的维度是  r . 令  c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r} 是  A 的列空间的一组基，构成  m\times r 矩阵  C的列向量  C=[c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}]，并使得  A 的每个列向量是  C的 r 个列向量的线性组合. 由矩阵乘法的定义，存在一个  r\times n 矩阵  R, 使得  A=CR. ( A 的  (i,j) 元素是  c_{i} 与  R 的第  j 个行向量的点积.)
现在，由于  A=CR,  A 的每个行向量是  R 的行向量的线性组合，这意味着  A 的行向量空间被包含于  R 的行向量空间之中. 因此  A 的行秩 ≤  R的行秩. 但 R仅有 r行, 所以 R的行秩 ≤  r =  A的列秩. 这就证明了 A的行秩 ≤  A的列秩.
把上述证明过程中的“行”与“列”交换，利用对偶性质同样可证 A的列秩 ≤  A的行秩。更简单的方法是考虑 A的转置矩阵 A^{\mathrm {T} }，则 A的列秩 =  A^{\mathrm {T} }的行秩 ≤  A^{\mathrm {T} }的列秩 =  A的行秩. 这证明了 A的列秩等于 A的行秩. 证毕.
行秩列秩相等性 > 证明二

令 A是 m\times n矩阵，其行秩是 r. 因此 A的行向量空间的维度是 r，设 x_{1},x_{2},\ldots ,x_{r}是 A的行向量空间的一组基. 如果把这组基当作原像列向量看待，则向量集 Ax_{1},Ax_{2},\ldots ,Ax_{r}是线性独立的。 这是因为对一组标量系数 c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}，如果:
其中 v=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\ldots ,c_{r}x_{r}. 则可以推出有两个事实: (a)  v是 A行向量空间的线性组合, 即 v属于 A的行向量空间；(b) 由于 Av = 0,   v正交于 A的所有行向量，从而正交于 A的行向量空间的所有向量. 事实(a)与(b)结合起来，则 v正交于自身，这意味着 v = 0. 由 v的定义:
再由 x_{i}是 A的行向量空间的一组线性独立的基，可知 c_{1}=c_{2}=\cdots =c_{r}=0.  Ax_{1},Ax_{2},\ldots ,Ax_{r}因而是线性独立的.
Ax_{i}是 A的列空间中的向量. 因此 Ax_{1},Ax_{2},\ldots ,Ax_{r}是 A的列空间中 r个线性独立的向量. 所以 A的列向量空间的维数( A的列秩)必然不小于 r. 这证明了 A的行秩r ≤  A的列秩. 把这一结果应用于 A的转置矩阵可以得到:  A的列秩 =  A^{\mathrm {T} }的行秩 ≤  A^{\mathrm {T} }列秩 =  A的行秩. 这证明了 A的列秩等于 A的行秩，证毕.
最后, 还可以证明rk(A) = rk(A*), 其中A*是A的共轭转置或称施密特转置. 当A的元素都是实数, 这一结果变为rk(A) = rk(AT). 然而对于复系数矩阵，rk(A) = rk(A*)并不等价于行秩等于列秩, 需要用到上述两个证明.
行秩列秩相等性 > 证明三

令A是一个m×n矩阵. 定义rk(A)为A的列秩，A*为A的共轭转置或称施密特转置. 首先可知A*Ax = 0当且仅当Ax = 0.
其中‖·‖是欧氏范数. 这说明A的零空间与A*A的零空间相同. 由秩－零化度定理, 可得rk(A) = rk(A*A). A*A的每一个列向量是A*的列向量的线性组合. 所以A*A的列空间是A*的列空间的子空间. 从而rk(A*A) ≤ rk(A*). 即: rk(A) = rk(A*A) ≤ rk(A*). 应用这一结果于A*可获得不等式: 由于(A*)* = A, 可写作rk(A*) ≤ rk((A*)*) = rk(A). 这证明了rk(A) = rk(A*). 证毕.
性质

我们假定A是在域F上的m × n矩阵并描述了上述线性映射。
m × n矩阵的秩不大于m且不大于n的一个非负整数，表示為 rk(A) ≤ min(m, n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
只有零矩阵有秩0
A的秩最大为min(m,n)
f是单射，当且仅当A有秩n（在这种情况下，我们称A有“列满秩”）。
f是满射，当且仅当A有秩m（在这种情况下，我们称A有“行满秩”）。
在方块矩阵A (就是m = n)的情况下，则A是可逆的，当且仅当A有秩n（也就是A有满秩）。
如果B 是任何n × k 矩阵，则AB 的秩最大为A 的秩和B 的秩的小者。即： \operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} \ A,\operatorname {rank} \ B). 推广到若干个矩阵的情况，就是： \operatorname {rank} (A_{1}A_{2}\cdots A_{n})\leq \min(\operatorname {rank} \ A_{1},\operatorname {rank} \ A_{2},\cdots ,\operatorname {rank} \ A_{n}). 证明：考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为f 和g ，则AB表示复合映射f·g ，它的象Im f·g 是g 的像Im g 在映射f 作用下的象。然而Im g 是整个空间的一部分，因此它在映射f 作用下的象也是整个空间在映射f 作用下的象的一部分。也就是说映射Im f·g 是Im f 的一部分。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（A）。 对于另一个不等式：秩（AB）≤秩（B），考虑Im g 的一组基：（e1 ，e2 ，...，en ），容易证明（f(e1 )，f(e2 )，...，f(en )）生成了空间Im f·g ，于是Im f·g 的维度小于等于Im g 的维度。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（B）。 因此有：秩（AB）≤min(秩（A），秩（B））。若干个矩阵的情况证明类似。 作为"<"情况的一个例子，考虑积 {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}} 两个因子都有秩1，而这个积有秩0。 可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说A ）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时A 是满秩的。于是有以下性质：
如果B是秩n的n × k矩阵，则
 \operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).
如果C是秩m的l × m矩阵，则
 \operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).
A的秩等于r，当且仅当存在一个可逆m × m矩阵X和一个可逆的n × n矩阵Y使得
 XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}}
这裡的Ir指示r × r 单位矩阵。
证明可以通过高斯消去法构造性地给出。
西尔维斯特不等式: 如果 A 是一个 m × n 的矩阵且 B 是 n × k 的, 则
 \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).
这是下一个不等式的特例.
这个不等式是由Frobenius提出的: 如果 AB, ABC 和 BC 有定义, 则
 \operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC).
子加性：当矩阵 A和 B的形状相同时，有 \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B) . 因此，一个秩为k的矩阵能够表示成k个秩为1的矩阵的加和，但不能是k-1个或更少。
矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。
如果 A 是实数上的矩阵，那么 A 的秩和它对应格拉姆矩阵的秩相等。于是，对于实矩阵
 \operatorname {rank} (A^{T}A)=\operatorname {rank} (AA^{T})=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{T}).
该性质可以通过它们的零空间证明. 格拉姆矩阵的零空间由所有满足  A^{T}Ax=0的向量 x组成。如果上式成立, 那么下式也成立：  0=x^{T}A^{T}Ax=|Ax|^{2}，于是， Ax=0，即 A^{T}A与 A的零空间相同.
如果 A 是复数上的矩阵且 A* 表示 A 的共轭转置(i.e., A 的伴随), 则
 \operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{T})=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A).
性质 > 向量组的线性相关性

将 m个 n维列向量排列成 n\times m的矩阵A，这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩。
原向量组线性相关的充分必要条件为：
如果
则向量组线性无关。另外，不存在
特殊的，若向量的个数 m大于向量的维数 n，则根据：
这个向量组必然线性相关。
计算

计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此A的行阶梯形矩阵有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。
例如考虑4 × 4矩阵
我们看到第2纵列是第1纵列的两倍，而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以A的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行阶梯形矩阵:
它有两个非零的横行。
在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是奇异值分解（SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。
应用

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于方程的数目那么该方程组有唯一的一个精确解。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则方程组是不一致（Inconsistent）的。
在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。
註解

↑  证明: 对不等式 \dim \operatorname {ker} (AB)\leq \dim \operatorname {ker} (A)+\dim \operatorname {ker} (B)使用秩－零化度定理
↑  证明：商空间之间的映射C: ker(ABC) / ker(BC) → ker(AB) / ker(B)有定义且为单射。因此我们得到了关于核维数关系的不等式dim ker(ABC)-dim ker(BC) ≤ dim ker(AB) - dim ker(B), 利用秩-零化度定理即可得到结论（即dim ker(ABC)-dim ker(BC)=rank(BC)-rank(ABC), 右边同理）。或者也可以这么证明：假如M是一个子线性空间，A是线性映射，那么dim(A(M)) ≤ dim(M) (*); 记映射BC（注意先进行C映射后进行B映射）的像为im(BC), 映射B的像为im(B), 则im(BC)⊆im(B), 取im(B)中im(BC)的正交补（不一定要正交，构成直和关系即可，这里取正交补只是为了方便）记为D, 则dim(D)  =  rk(B) – rk(BC); 而由线性映射的规律知im(AB)  =  AD + im(ABC), 但不一定再是直和，即dim(AD) + rk(ABC) ≥ rk(AB), 利用不等式(*)可得dim(D)[=rk(B) – rk(BC)] + rk(ABC) ≥ rk(AB), 从而得证。
哲斯顿起义

哲斯顿起义（英語：，也被称为亚庇双十节起义）是由郭衡南（英语：）领导本地华人和其他族群组成的亚庇游击队于英属婆罗洲日占时期进行的起义运动。这次行动使大约50至90名日本軍民丧命，并暂时控制了北婆罗洲首府亚庇和斗亚兰的几个邻近地区。但面对军火供应有限的情况，游击队在之后被迫退到隐藏处躲藏。日军随后于西海岸的定居点通过日本宪兵发动了一系列袭击，以抓拿游击队，并在搜寻中杀害了许多无辜平民。日军威胁将处决更多平民使游击队的首领最终决定自首投降，他们被逮捕和处决后，日军继续掌控北婆罗洲，直到1945年盟军解放军抵达。
背景

由于日军占领期间队人民采取严厉的统治，使北婆罗洲西海岸发生了一些反抗事件，并出现了由郭衡南（Albert Kwok）领导的游击队，其成员主要是马来西亚华人和一些原住民。郭衡南是一名来自砂拉越王国古晋的潮州人 ，曾在1940年通过英属马来亚回到婆罗洲前参与中國國民黨蔣中正所领导的中華民國紅十字會 。待在中國期間，郭衡南曾於廣州市就讀基督復臨安息日會設立的中學。1941年5月15日郭衡南抵達哲斯顿後，開始行醫治療痔疮。
1942年2月，郭衡南打算與位於北婆羅洲東部的澳軍與美軍聯繫，然而他到達冰廂岸鎮（英语：）後發現該地駐紮大量日軍士兵，因此無法穿越叢林。郭衡南知道必須與盟軍合作，尤其是美國遠東陸軍（英语：），因為在北婆羅洲周邊當時僅有該軍隊在進行抵抗運動，並配有充足軍火。
参考

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进一步阅读

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郭衡南是游击队的首领
萨奇卡龙属

| 萨奇卡龙属 化石时期：巴列姆阶 ~130–120 Ma  PreЄ Є O S D C P T J K Pg N      |
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萨奇卡龙正模标本

科学分类 
界：: 动物界 Animalia
门：: 脊索动物门 Chordata
纲：:  Reptilia
目：: †蛇頸龍目 Plesiosauria
科：: †上龍科 Pliosauridae
演化支：: †海猎龙类 Thalassophonea
亚科：: †短颈龙亚科 Brachaucheninae
属：: †萨奇卡龙属 Sachicasaurus Páramo Fonseca（英语：） et al., 2018

模式種
†生命萨奇卡龙 Sachicasaurus vitae Páramo Fonseca et al., 2018
萨奇卡龙（学名：Sachicasaurus）是上龙科短颈龙亚科（英语：）已灭绝的一个属，化石发现于安第斯哥伦比亚东部山脉昆迪博亚卡高原巴列姆阶的帕哈组（英语：）。模式种是生命萨奇卡龙（S. vitae）。
词源

属名Sachicasaurus取自化石发现地萨奇卡，而saurus在拉丁化希腊语中意为“蜥蜴”。种加词vitae在拉丁语中意为“生命”，之所以选择此名，是因为发现的化石激发了萨奇卡的生命。
描述

萨奇卡龙是种大型上龙类，正模标本长约10（33英尺）、重约17公噸（19短噸）。正模标本MP111209-1于2013年发现，由一个接近完整的颅骨，及包括一条完整后肢与各类椎骨在内的颅后材料组成。鉴别特征包括下颌骨联合很短、下颌齿数目减少（17至18颗，而其它上龙为25至40颗）、牙齿细长及其它特征。标本保存下来的部分为9.9（32英尺）长（可能缺少尾部末端的椎骨），被解释为一具亚成体。它是最大最完整的上龙科标本之一。
古环境

萨奇卡龙是帕哈组发现的四种上龙科之一，另外三种是阿科斯达龙、窄鼻龙和蒙基拉龙（英语：）。萨奇卡龙还与薄板龙科的卡拉瓦亚龙和莱瓦泳龙、海龟类的帕迪亚链龟（英语：）、桑当龟科的莱瓦龟（英语：）及大眼鱼龙科的穆伊斯卡鱼龙和锋齿鱼龙同期共存。
参考资料

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体型比较
淡水福佑宮

| 淡水福佑宮 |
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基本
位置:  臺灣新北市淡水區中正路200號
宗教: 台灣民間信仰
主神: 天上聖母
遗产指定: 良好
建筑详情
本殿構造: 硬山式
建立时间: 始建於乾隆四十七年（1782），落成於嘉慶元年（1796）
地圖

| 淡水福佑宮 |
| --- | --- |

位置:  臺灣新北市淡水區中正路200號 25°10′12″N 121°26′23″E﻿ / ﻿25.170118°N 121.439844°E﻿ / 25.170118; 121.439844
建成时间:  清朝嘉慶元年（1796年）
公众参观: 參觀費用：免門票

 中華民國文化資產
官方名称: 淡水福佑宮
類型: 登錄等級：直轄市定古蹟 登錄種類：寺廟
詳細登錄資料
 
 
淡水福佑宮，俗稱「淡水媽祖廟」，位於臺灣新北市淡水區，主祀天上聖母媽祖。為新北市定古蹟。淡水福佑宮與淡水清水巖、淡水龍山寺、淡水鄞山寺合稱為「淡水四大廟」。
簡介

主祀天上聖母，配祀觀音菩薩、水仙尊王、文昌帝君、五路財神、月老星君、歷代祖師功德主。
清乾隆末年建，當時淡水三邑、同安、安溪、漳州的閩南人與汀州、潮州、嘉應等地的客家移民，均奉媽祖，共獻銀錢。嘉慶元年（西元1796年）竣工。淡水福佑宮背山而建，向上攀緣，即見清水祖師廟。佛教禪師慶西和尚任開山住持。
望高樓

福佑宮曾建一樓名曰望高樓，在上點燃油燈以作為燈塔指引船隻。凡蒙指引者均樂施香火錢。日治末期，二次大戰勃興，缺乏物資，望高樓石材乃被公家徵用，因而隤毀。
參見

媽祖廟
台灣媽祖信仰
淡水祖師廟
淡水龍山寺
淡水鄞山寺
北臺灣媽祖文化節
八里開臺天后宮
新莊慈祐宮
板橋慈惠宮
金山慈護宮
三峽興隆宮
汐止濟德宮
德心宮
參考資料

《三級古蹟--淡水福佑宮簡介》.淡水福佑宮管理委員會，2005年5月編。
↑  李雅雯.〈台北都會〉列文資？ 淡水清水巖祖師廟意願低 （页面存档备份，存于）.自由時報.2014-07-17
外部連結

官方网站
淡水福佑宮的Facebook專頁
淡水福佑宮-新北市觀光旅遊網 （页面存档备份，存于）
淡水福佑宮-台灣大百科全書 （页面存档备份，存于）
淡水福佑宮-新北市立淡水古蹟博物館 （页面存档备份，存于）
淡水福佑宮-文化部文化資產局 （页面存档备份，存于）
淡水福祐宮正殿媽祖
維基專題

关于維基百科上的維基專題，请见「」。
維基專題（英語：）是指维基百科编者為实现特定的编辑目标而在维基中建立的一個小組。各種語言的维基百科及其姊妹维基词典、维基语录、维基数据和维基文库均存在維基專題。此外维基以外的也有維基專題，例如OpenStreetMap和影片維基。2019冠状病毒病疫情期间，CBS新聞注意到英文维基百科的医学维基专题（WikiProject Medicine）在確保與疾病有關的條目的准确性方面發揮了作用。另一个引起人们注意的英文維基百科的維基專題是维基专题女科学家（WikiProject Women Scientists），《史密森尼》提到編輯通過參與該維基專題，使得英文维基百科上的女科学家條目數量从大约1,600個增加到5,000多個。
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每個維基專題都有一個特定的主題。英文维基百科的维基專題的页面位于名为「Wikipedia」 的中，也有部分维基媒体（如中文维基百科）设立了「WikiProject」专门用于放置维基专题页面。截至2021年，英语维基百科有2000多个维基專題，這些维基專題活跃程度不一。
2007年，英文维基百科引入了條目質量评估标准。英文维基百科的條目由維基專題评分。最低的條目質量等级為小作品（stub），然后依次為初級條目（start）、丙級條目（C）、乙級條目（B）、優良條目（good article，GA）、甲級條目（A）。最高等级為典範條目（featured article，FA）。條目必須经过評選才能成為優良條目或更高等級的條目。每天會有一篇典範條目榮登英文维基百科的首頁。
維基專題還能評判條目的重要性，條目可分為極高（top）、高（high）、中（mid）、低（low）、極低、無、不適用、未知等重要性等級。
卡米耶·肖当

| 卡米耶·肖当 |
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 第47任法国总理
任期 1930年2月21日—1930年3月2日
前任: 安德烈·塔尔迪厄
继任: 安德烈·塔尔迪厄
任期 1933年11月26日—1934年1月30日
前任: 阿尔贝·萨罗
继任: 爱德华·达拉第
任期 1937年6月22日—1938年3月13日
前任: 莱昂·布鲁姆
继任: 莱昂·布鲁姆
 
个人资料
出生: (1885-02-01)1885年2月1日  法國巴黎
逝世: 1963年7月1日(1963歲—07—01)（78歲）  美国华盛顿特区
政党: 激进党
卡米耶·肖当（法語：，法语发音：[kamij ʃotɑ̃]，1885年2月1日—1963年7月1日），法国第三共和国时期激进党政治家，三次出任法国总理。因在第二次世界大战中在法国对纳粹德国投降上所起作用而成为一个有争议的人物。被人形容为“智力丧失”（intellectually bereft）。