狹義相對論中的加速度
歷史

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1899年：在一靜止靜電粒子系統 S_{0}（靜止於乙太（英语：）中）及具有相對平移的另一系統 S之間，亨德里克·勞侖茲在包含一因子 \epsilon 的情況下，推導出了加速度、力、質量之間的正確關係，下式中 k為勞侖茲因子：
勞侖茲提到了他無法決定 \epsilon 的值。若當時他設 \epsilon =1，則他的關係式會跟相對論關係式一模一樣。
1904年：勞侖茲以更詳盡的方法推導初上述關係式，採用了靜止於系統 \Sigma '及移動於系統 \Sigma 之粒子的性質，搭配上新的輔助變數 l，相當於1899年推導中的 1/\epsilon ，而得到：
這次勞侖茲可以展示 l=1，而他的數學式與相對論形式完全相符。他也推導了運動方程式：
對應於(5c)裡的 \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}，其中 l=1、 {\mathfrak {F}}=\mathbf {f} 、 {\mathfrak {G}}=\mathbf {p} 、 {\mathfrak {w}}=\mathbf {u} 、 k=\gamma ，以及視為電磁靜質量（英语：）的 m=e^{2}/(6\pi c^{2}R)。他更進一步地闡述：這些數學式不只適用於帶電粒子的力與質量，也適用於其他過程，因此使得乙太中地球運動的影響無法被偵測出來。
1905年：儒勒·昂利·庞加莱引入了三維力的轉換式(6a):
其中 {\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}={\frac {k}{l^{3}}}(1+\epsilon \xi )，而 k為勞侖茲因子， \rho 為電荷密度。或以現代符號表記： \epsilon =v， \xi =u_{x}， \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} ，以及 \Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} 。與勞侖茲相同，他設定 l=1。
1905年：阿爾伯特·愛因斯坦以其狹義相對論為基礎，推導出運動方程式。此表示出等價慣性系之間的關係，而不需要用到機械式乙太。愛因斯坦總結到，在一瞬時慣性系 k中，運動方程式維持牛頓力學形式：
此關係式對應到 \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}，因為 \mu =m， \left({\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}\right)=\mathbf {a} ^{0}，以及 \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}。透過轉換式轉換至一相對移動之系統 K，他得到了在新參考系中能觀察到之電磁分量方程式：
此關係式對應到(5b)，其中 \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)，因為 \mu =m， \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)=\mathbf {a} ， \left[\epsilon X,\ \epsilon \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\ \epsilon \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\right]=\mathbf {f} ，以及 \beta =\gamma 。也因此，愛因斯坦決定了縱向與橫向質量，儘管他將之與瞬時慣性系 k中的力 \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}（可透過共動的彈簧秤測量）以及在系統 K中之三維加速度 \mathbf {a} 做了關聯：
此關係式對應到(7b)，其中 m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}。
1905年：龐加萊引入了三維加速度轉換式（1c）：
其中 \left(\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right)=\mathbf {u} ，以及 k=\gamma ， \epsilon =v， \mu =1+\xi \epsilon =1+u_{x}v。
他更進一步地引入了四維力，採如下形式：
其中 k_{0}=\gamma _{0} and  \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} ，以及 T_{1}=\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} .
1906年：馬克斯·普朗克導出了運動方程式：
其中
以及
這些方程式對應到(5c)，其中 \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} ，以及 X=f_{x}， q=v， {\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} ，與勞侖茲（1904年）所給的相應。
1907年：愛因斯坦分析了一均勻加速參考系，得到與座標相依的時間膨脹及光速之關係式，類同於Kottler-Møller-Rindler座標。
1907年：赫爾曼·閔考斯基定義了四維力（他稱之為「移動力」）與四維加速度之間的關係：
對應到 m\mathbf {A} =\mathbf {F} 。
1908年：閔考斯基將 x,y,z,t對原時作微分的二次導數稱之為「加速向量」（四維加速度）。他展示了：在世界線上任一點 P，此向量的大小為 c^{2}/\varrho ，其中 \varrho 為從相對應「曲率雙曲線」（德語：）之中心點指向點 P所成之向量的大小。
1909年：馬克斯·玻恩 denotes the motion with constant magnitude of Minkowski's acceleration vector as "hyperbolic motion" (德語：), in the course of his study of rigidly accelerated motion. He set  p=dx/d\tau  (now called proper velocity) and  q=-dt/d\tau ={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}} as Lorentz factor and  \tau  as proper time, with the transformation equations
which corresponds to (8) with  \xi =c^{2}/\alpha  and  p=c\sinh(\alpha \tau /c). Eliminating  p Born derived the hyperbolic equation  x^{2}-c^{2}t^{2}=\xi ^{2}, and defined the magnitude of acceleration as  b=c^{2}/\xi . He also noticed that his transformation can be used to transform into a "hyperbolically accelerated reference system" (德語：).
1909年：古斯塔夫·黑格洛茲（英语：） extends Born's investigation to all possible cases of rigidly accelerated motion, including uniform rotation.
1910年：阿諾·索末菲 brought Born's formulas for hyperbolic motion in a more concise form with  l=ict as the imaginary time variable and  \varphi  as an imaginary angle:
He noted that when  r,y,z are variable and  \varphi  is constant, they describe the worldline of a charged body in hyperbolic motion. But if  r,y,z are constant and  \varphi  is variable, they denote the transformation into its rest frame.
1911年：索末菲 explicitly used the expression "proper acceleration" (德語：) for the quantity  {\dot {v}}_{0} in  {\dot {v}}={\dot {v}}_{0}\left(1-\beta ^{2}\right)^{3/2}, which corresponds to (4a), as the acceleration in the momentary inertial frame.
1911年：黑格洛茲 explicitly used the expression "rest acceleration" (德語：) instead of proper acceleration. He wrote it in the form  \gamma _{l}^{0}=\beta ^{3}\gamma _{l} and  \gamma _{t}^{0}=\beta ^{2}\gamma _{t} which corresponds to (4a), where  \beta  is the Lorentz factor and  \gamma _{l}^{0} or  \gamma _{t}^{0} are the longitudinal and transverse components of rest acceleration.
1911年：馬克斯·馮·勞厄 derived in the first edition of his monograph "Das Relativitätsprinzip" the transformation for three-acceleration by differentiation of the velocity addition
equivalent to (1c) as well as to Poincaré (1905/6). From that he derived the transformation of rest acceleration (equivalent to 4a), and eventually the formulas for hyperbolic motion which corresponds to (8):
thus
and the transformation into a hyperbolic reference system with imaginary angle  \varphi :
He also wrote the transformation of three-force as
equivalent to (6a) as well as to Poincaré (1905).
1912年-1914年：弗里德里希·科特勒（英语：）obtained general covariance of Maxwell's equations, and used four-dimensional Frenet-Serret formulas to analyze the Born rigid motions given by Herglotz (1909). He also obtained the proper reference frames for hyperbolic motion and uniform circular motion.
1913年：馮·勞厄 replaced in the second edition of his book the transformation of three-acceleration by Minkowski's acceleration vector for which he coined the name "four-acceleration" (德語：), defined by  {\dot {Y}}={\frac {dY}{d\tau }} with  Y as four-velocity. He showed, that the magnitude of four-acceleration corresponds to the rest acceleration  {\dot {\mathfrak {q}}}^{0} by
which corresponds to (4b). Subsequently, he derived the same formulas as in 1911 for the transformation of rest acceleration and hyperbolic motion, and the hyperbolic reference frame.