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三維點群

幾何學中，三維點群是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群 O(3)的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。 O(3)本身則是全體等距同構的歐氏群 E(3)的子群。
立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。
立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以突顯與旋轉群（或真對稱群）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群 SO(3)之交。立體的旋轉群等於全體對稱群，當且僅當立體具手性（英语：）。
三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱，及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下，也稱分子對稱群。
有限考克斯特群是一族特殊的點群，僅由過原點的若干個鏡射生成。 n階考克斯特群是由 n個鏡射生成，可以考克斯特－丹金圖（英语：）表示。考克斯特符號（英语：）則改為用方括號和數字描述，並設有其他標記，用以表示旋轉群或其他子群。
群結構

SO(3)是直接歐氏群 E^{+}(3)的子群，其元素皆是直接等距同構，即保持定向的等距變換。 SO(3)僅含保持原點不變的直接等距同構。
O(3)則是 SO(3)與點反演生成的群 \{I,-I\}的直積：（此處點反演以其矩陣 -I表示，即單位矩陣 I乘上 -1。）
所以，三維空間中，藉點反演，可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應，此外， O(3)中僅由直接等距變換組成的子群 H（必包含在 SO(3)中，亦與 O(3)中含有點反演的子群 K一一對應。對應關係如下：
例如，若 H為 C_{2}，則 K為 C_{\mathrm {2h} }；若 H為 C_{3}，則 K為 S_{6}。（定義載於下文。）
若直接等距同構群 H有指數為 2的子群 L，則除以上含點反演的子群外，還有另一個對應的子群
含有間接等距變換，但不含點反演。式中 (A,I)與 A視為等同。舉例 H為 C_{4}，而 M為 S_{4}。
換言之， M是將 H\setminus L中的變換，乘上 -I得到。此群 M作為抽象群與 H同構。反之，任意對稱群，若有間接等距變換，但無點反演，則可以將所有間接變換反演，而變成旋轉群。等距群的分類（見下文）中，可以用此性質化簡問題。
二維情況下， k重旋轉的循環群 C_{k}皆是 O(2)和 SO(2)的正規子群。在三維中，固定旋轉軸，則相應有繞該軸的 k重循環群 C_{k}，是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外，由於指數為 2的子群必正規， C_{n}在 C_{n\mathrm {v} }中正規，也在 C_{n\mathrm {h} }中正規。此處 C_{n\mathrm {v} }是向 C_{n}添加過旋轉軸的反射面生成，而 C_{n\mathrm {h} }則是向 C_{n}添加與軸垂直的反射面生成。
固定原點的三維等距變換

\mathrm {R} ^{3}的等距變換中，固定原點的變換，組成正交群 O(3,\mathbb {R} )，簡記為 O(3)。其元素分類如下：
子群 SO(3) 中：
單位（恆等變換）；
繞過原點某軸的旋轉，且角度不為 180^{\circ }；
繞過原點某軸的旋轉，且角度為 180^{\circ }；
及以上變換但額外乘上點反演（將向量 x 映去 -x ），即：
點反演；
繞過原點的某軸，作角度不為 180^{\circ }的旋轉，後再作一次鏡射，鏡射面過原點，且與旋轉軸垂直；
關於過原點某平面的鏡射。
後三種元素又稱瑕旋轉。（視乎定義，末一種未必算。）
連同平移變換的簡介，見歐幾里得群。
共軛

比較兩件立體的對稱類時，原點可以分別選取，即兩件立體的中心不必相同。更甚者，兩件立體具有相同對稱類，意思是其對稱群 H_{1},H_{2}在 O(3)中為共軛子群，即存在 g\in O(3)，使 H_{1}=g^{-1}H_{2}g。
舉例：
兩件立體各僅有鏡射對稱，即使並非關於同一鏡面，仍屬同樣的對稱類；
同樣，若各僅有三重旋轉對稱，即使軸向不同，仍屬同樣的對稱類。
若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面，或兩者皆有，則兩個對稱群同屬一類，當且僅當有另一個旋轉 g，將前一個對稱群的整個結構，變換成後一個對稱群。（此種旋轉會多於一個，但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時，此種旋轉方會有無窮多個。）按定義，上文的 g不必為旋轉，也可以為鏡射，然而，由於對稱群的結構不具手性，祇需取 g為旋轉。（但空間群則不然，有 11對空間群具有手性，因為有螺旋變換。）
無窮等距變換群

有許多無窮等距變換群，如繞任意軸轉任意無理角度（即圈數或度數為無理數，或弧度數為 \pi 的無理數倍）的旋轉，所生成的無窮循環群；若加入繞同一軸的其他旋轉，還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉，則生成非交換群。一般而言（英语：），此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉，方能得到有限群，否則一般皆是無窮群。
作為拓撲群 O(3)的子群，上述無窮子群皆非閉子群。以下討論 O(3)的拓撲閉子群：
整個 O(3)是球對稱群、
相應的旋轉群是 SO(3)、
其他無窮等距變換群有五個，皆含有過原點的某軸，繞該軸的所有旋轉，另外可以：
添加或不添加過軸的各鏡面反射，
另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射。（共四個）
最後，若以上兩種反射都無添加，則可以只添加兩者的複合，相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的 180^{\circ }旋轉。（一個）
添加過軸的各鏡面反射的群，不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射，稱為兩種圓柱對稱性。注意若物理實體有無窮旋轉對稱，則亦必關於過軸的鏡面對稱。
此七個連續群，稱為極限點群或居里極限群，得名自最早研究此種群的皮埃尔·居里。軸向群可以分成七列無窮序列，其極限給出五個軸向極限群（有兩個重複），而 O(3)、 SO(3)則不是軸向群的極限。國際記號中，此七個群記為 \infty ,\ \infty 2,\ \infty /\mathrm {m} ,\ \infty \mathrm {mm} ,\ \infty /\mathrm {mm} ,\ \infty \infty ,\ \infty \infty \mathrm {m} ，次序在下文明確給出。
有限等距變換群

三維空間的對稱中，保持原點不動，等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群，亦可參見球面有限對稱群列表（英语：）。
不別共軛之異，三維有限點群只有：
7個無窮列，此七類群中，每個群至多一條旋轉軸有多於兩重旋轉。該些群皆是圓柱面的對稱群（的有限子群），其中圓柱面有限長或無限長是等價的，有時稱為軸向點群（英語：）或棱柱點群（英語：）。
7 個其他點群，每個有至少兩條至少三重的旋轉軸；也可以等價寫成有至少兩條三重旋轉軸，因為全部七個都有多條三重旋轉軸。若數出其三重以上的旋轉軸，所有可能組合有：
4條三重軸、
4條三重軸及 3條四重軸、
10條三重軸及 6條五重軸。
根據晶體學限制定理，僅得很少點群與離散平移對稱（英语：）相容：七列軸向點群中，有 27個；七個其他點群中，有 5個，合共 32個，稱為晶體學點群。
七個其他點群

餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱，因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中， C_{n}表示一條 n重軸，即旋轉角為 360^{\circ }/n， S_{n}則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號，首先是字母表示的熊夫利記號（英语：），然後括號內為軌形記號（英语：），然後為考克斯特記號（英语：）及圖，最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  T,\ (332)  [3,3]^{+}（）  23 階為 12 | 手性四面體對稱（英语：） | 有四條 C_{3}軸，是立方體的四條體對角線，也可以看成正四面體四個頂點分別到對面中心的連線。另有三條 C_{2}軸，是立方體三組對面的中心連線，也是正四面體三組對邊的中點連線。 T同構交錯群 A_{4}，即四個元素的偶排列的群。本群為正四面體的旋轉群，也是 T_{\mathrm {d} },\ T_{\mathrm {h} }及以下兩種八面體對稱群的正規子群。本群的 12個元素，與赫維茲四元數（英语：）的 24個可逆元，有一對二的關係，而後者又稱為二元四面體群（英语：）。 |
|  T_{\mathrm {d} },\ (^{*}332)  [3,3]（）  {\overline {4}}3\mathrm {m}  階為 24 | 全四面體對稱 | 本群與 T有相同的旋轉軸，但另有六塊鏡面，每塊經過立方體的兩條不在同一面的平行邊，也是正四面體六條稜各自的垂直平分面。每塊鏡面包含一條 C_{2}軸，兩條 C_{3}軸。原 C_{2}軸，加入鏡射後，變成 S_{4}軸。本群是正四面體的對稱群。 T_{\mathrm {d} }同構於 4個元素的對稱群 S_{4}，因為 T_{\mathrm {d} }的元素，會將 4條 C_{3}軸重新排列，而元素與此四條軸的排列一一對應。若一件物體繞其中一條三重軸，有 C_{3\mathrm {v} }對稱，則在 T_{\mathrm {d} }作用下，軌道有四件同樣的物體， T_{\mathrm {d} }就對應此四件物體的排列的集合。 T_{\mathrm {d} }是 O_{\mathrm {h} }的正規子群。 |
|  T_{\mathrm {h} },\ (3^{*}2)  [3^{+},4]（）  2/\mathrm {m} {\overline {3}},\ \mathrm {m} {\overline {3}}  階為 24 | 五角十二面體對稱 | 排球的縫線有 T_{\mathrm {h} }。（立方五角十二面體）本群與 T的旋轉軸相同，另有與立方體的面平行的鏡面。四條 C_{3}軸變成 S_{6}軸，並有關於中心的反演對稱。 T_{\mathrm {h} }同構於 A_{4}\times Z_{2}（因為 T與 C_{\mathrm {i} }皆是正規子群），而與對稱群 S_{4}不同構。若在立方體的每個面上，各畫一條線段，將該面分成兩個全等的長方形，且使得新增的線段不會相交於稜上，則所得的圖形的對稱群為 T_{\mathrm {h} }。該些對稱是：立面體四條體對角線的偶排列，及該等偶排列與中心反演的複合。本群亦是五角十二面體的對稱群。五角十二面體與前述的（面經分割的）立方體類似，但其中每個長方形換成有四邊等長，具一條對稱軸的五角形，而五角形餘下一條不同長度的邊，對應立方體的面上新增的線段。換言之，可以想像立方體的面在分割線隆起，並在該處變窄（即分割線變短）。本群為全二十面體對稱群的子群（但不正規），且是作為等距變換群的子群，而不僅是抽象子群。全二十面體對稱群有十條三重軸，而本群有其中四條。本群亦為 O_{\mathrm {h} }的正規子群。雖然記作 T_{\mathrm {h} }，本群並非任何四面體（英語：）的對稱群。 |
|  O,\ (432)  [4,3]^{+}（）  432 階為 24 | 手性八面體對稱（英语：） | 本群與 T類似，但各 C_{2}軸現改成 C_{4}軸，並有額外六條 C_{2}軸，是過正方體中心與（六對）稜中點的直線。本群與 S_{4}同構，因為其元素與四條三重軸的 24個排列一一對應，與 T類似。若物體繞某條三重軸有 D_{3}對稱，則在 O作用下，軌道有四件同樣的物體，而 O的元素也一一對應此四件物體的排列。本群是立方體與正八面體的旋轉群。若用四元數表示旋轉，則 O對應 24個赫維茲四元數（英语：）的可逆元及範數平方為 2的 24個利普希茨四元數（英语：），各除以 {\sqrt {2}}。與 T類似，此為一對二的關係。 |
|  O_{\mathrm {h} },\ (^{*}432)  [4,3]（）  4/\mathrm {m} {\overline {3}}2/\mathrm {m} ,\ \mathrm {m} {\overline {3}}\mathrm {m}  階為 48 | 全八面體對稱 | 本群與 O有同樣的旋轉軸，但也有鏡射，有齊 T_{\mathrm {d} }與 T_{\mathrm {h} }的所有鏡面。本群同構於 S_{4}\times Z_{2}（因為 O與 C_{\mathrm {i} }皆為正規子群），且是立方體與正八面體的對稱群。見八面體對稱（英语：）。 |
|  I,(532)  [5,3]^{+}（）  532 階為 60 | 手性二十面體對稱（英语：） | 本群為正二十面體與正十二面體的旋轉群，亦是全正二十面體對稱群 I_{\mathrm {h} }的指標（英语：） 2正規子群。本群的子群中，有十個 D_{3}與六個 D_{5}（即稜柱或反稜柱的旋轉群）。本群也包含五個 T子群（見五複合正四面體）。抽象而言， I同構於 5次交錯群 A_{5}，因為其元素作用在五個 T子群上，與其偶排列一一對應。等價地，可以考慮 I對前述五複合正四面體的五個單體的作用。以四元數表示旋轉，則 I對應 120個二十數（英语：）可逆元。與先前一樣，此為一對二的關係。 |
|  I_{\mathrm {h} },\ (^{*}532)  [5,3]（）  {\overline {53}}2/\mathrm {m} ,\ {\overline {53}}\mathrm {m}  階為 120 | 全二十面體對稱 | 本群為正二十面體與正十二面體的對稱群。 I_{\mathrm {h} }與抽象群 A_{5}\times Z_{2}同構，因為 I與 C_{\mathrm {i} }皆是正規子群。本群的子群中，有十個 D_{3\mathrm {d} }、六個 D_{5\mathrm {d} }（反稜柱的對稱）、五個 T_{\mathrm {h} }。 |
相關的連續群有：
旋轉群 SO(3)，即所有旋轉的群，亦記作 \infty \infty 或 K。
正交群 O(3)，所有旋轉和鏡射生成的群，亦記作 \infty \infty \mathrm {m} 或 K_{\mathrm {h} }。
如無窮等距變換群一節所言，任何物理實體，若有 K對稱性，則必有 K_{\mathrm {h} }對稱性。
軌形記號與階

若已知群的軌形記號，則可計算其階數，等於 2除以軌形的歐拉示性數。軌形的歐拉示性數是將 2減去軌形記號中，各符號特徵數的總和：
無 {}^{*}或在 {}^{*}之前的 n，值為 (n-1)/n；
在 {}^{*}之後的 n，值為 (n-1)/(2n)；
{}^{*}與 \times 計為 1。
此公式同樣適用於壁紙群（英语：）與帶群（英语：）：對該等群，特徵數之和為 2，所以階數是無窮大。亦見壁紙群（英语：）條目。
反射考克斯特群

|  A_{3},\ [3,3],  |  B_{3},\ [4,3],  |  H_{3},\ [5,3],  |
| --- | --- | --- |
|   6塊鏡 |   3+6塊鏡 |   15塊鏡 |
|  2A_{1},\ [1,2],  |  3A_{1},\ [2,2],  |  A_{1}A_{2},\ [2,3],   |
|   2塊鏡 |   3塊鏡 |   4塊鏡 |
|  A_{1},\ [1],  |  2A_{1},\ [2],  |  A_{2},\ [3],  |
|   1塊鏡 |   2塊鏡 |   3塊鏡 |
三維反射點群又稱為考克斯特群，能以考克斯特－鄧肯圖（英语：）表示，是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群。該些鏡面將球面分割成球面三角形區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成，則該球面三角形退化，變成球面二角形（英语：）或半球面。在考克斯特記號（英语：），該些群是正四面體對稱（英语：） [3,3]、正八面體對稱（英语：） [4,3]、正二十面體對稱（英语：） [5,3]、二面體對稱（英语：） [p,2]。不可約群的鏡面數是 nh/2，其中 h是群的考克斯特數（英语：），而 n是反射方向的秩（維數），等於符號的下標。
| 熊夫利記號（英语：）> 多面體群 | 考克斯特－ 鄧肯圖標籤> 多面體群 | 考克斯特記號（英语：）> 多面體群 | 考克斯特記號（英语：）> 多面體群 | 群階> 多面體群 | 考克斯特數（英语：） （ h）> 多面體群 | 鏡數 （ m）> 多面體群 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  T_{\mathrm {d} } |  A_{3} |  |  [3,3] |  24 |  4 |  6 |
|  O_{\mathrm {h} } |  B_{3} |  |  [4,3] |  48 |  6 |  3+6 |
|  I_{\mathrm {h} } |  H_{3} |  |  [5,3] |  120 |  10 |  15 |
二面體群（英语：）
|  D_{1\mathrm {h} } |  2A_{1} |  |  [1,2] |  4 |  |  1+1 |
|  D_{2\mathrm {h} } |  3A_{1} |  |  [2,2] |  8 |  |  2+1 |
|  D_{p\mathrm {h} } |  I_{2}(p)A_{1} |  |  [p,2] |  4p |  |  p+1 |
循環群（英语：）
|  C_{2\mathrm {v} } |  2A_{1} |  |  [2] |  4 |  |  2 |
|  C_{p\mathrm {v} } |  I_{2}(p) |  |  [p] |  2p |  p |  p |
單鏡面
|  C_{1\mathrm {v} } |  A_{1} |  |  [\ ] |  2 |  |  1 |
旋轉群

有限旋轉群，即 SO(3)的有限子群，僅有：循環群 C_{n}（正稜錐的旋轉群）、二面體群 D_{n}（正稜柱或雙錐體的旋轉群）、 T（正四面體的旋轉群）、 O（正八面體或正六面體的旋轉群）、 I（正二十面體或正十二面體的旋轉群）。
特別地，二面體群 D_{3}、 D_{4}等，是平面正多邊形嵌入到三維空間後的旋轉群。此種薄片也可以視為退化的正稜柱，或稱為二面體，二面體群因而得名。
若物體的對稱類為 C_{n},\ C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ S_{2n}，則旋轉群為 C_{n}。
若物體的對稱類為 D_{n},\ D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }，則旋轉群為 D_{n}。
若物體的對稱類屬其他七種多面體對稱，則旋轉群是相應無下標的群，即 T,\ O,\ I之一。
當且僅當物體有手性（英语：）時，其旋轉群等於整個對稱群。換言之，手性物體就是對稱群在旋轉群列表中的物體。
用熊夫利記號（英语：）、考克斯特記號（英语：），及括號內的軌形記號（英语：）表示，旋轉群是：
| 反射（英语：） | 反射/旋轉 | 瑕旋轉 | 旋轉 |
| --- | --- | --- | --- |
|  C_{n\mathrm {v} },\ [n],\ (^{*}nn) |  C_{n\mathrm {h} },\ [n^{+},2],\ (n^{*}) |  S_{2n},\ [2n^{+},2^{+}],\ (n\times ) |  C_{n},\ [n]^{+},\ (nn) |
|  D_{n\mathrm {h} },\ [2,n],\ (^{*}n22) |  D_{n\mathrm {d} },\ [2^{+},2n],\ (2^{*}n) |  |  D_{n},\ [2,n]^{+},(n22) |
|  T_{\mathrm {d} },\ [3,3],\ (^{*}332) |  |  |  T,\ [3,3]^{+},\ (332) |
|  O_{\mathrm {h} },\ [4,3],\ (^{*}432) |  T_{\mathrm {h} },\ [3^{+},4],\ (3^{*}2) |  |  O,\ [4,3]^{+},\ (432) |
|  I_{\mathrm {h} },\ [5,3],\ (^{*}532) |  |  |  I,\ [5,3]^{+},\ (532) |
旋轉群與其他群的對應

下列群有點反演：
n為偶數時， C_{n\mathrm {h} }及 D_{n\mathrm {h} }、
n為奇數時， S_{2n}及 D_{n\mathrm {d} }（特別地， S_{2}=C_{\mathrm {i} }是僅由點反演生成的群，另有 D_{1\mathrm {d} }=C_{2\mathrm {h} }屬於前項）、
T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }。
如上文所述，此種群與所有旋轉群之間，有一一對應：
C_{n\mathrm {h} }（ n為偶）及 S_{2n}（ n為奇）對應 C_{n}。
D_{n\mathrm {h} }（ n為偶）及 D_{n\mathrm {d} }（ n為奇）對應 D_{n}。
T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }分別對應 T,O,I。
下列群具有間接（不保定向）的等距變換，但無點反演：
C_{n\mathrm {v} }、
n為奇數時， C_{n\mathrm {h} }及 D_{n\mathrm {h} }、
n為偶數時， S_{2n}及 D_{n\mathrm {d} }、
T_{\mathrm {d} }。
上述各群分別對應一個旋轉群 H及其指標 2的子群 L，使得該群是由 H的元素，加上 H\setminus L經點反演後的元素得到，如上文所述：
C_{n}是 D_{n}的指標 2子群，對應 C_{n\mathrm {v} }。
C_{n}是 C_{2n}的指標 2子群， n為奇時對應 C_{n\mathrm {h} }， n為偶時則對應 S_{2n}。
D_{n}是 D_{2n}的指標 2子群， n為奇時對應 D_{n\mathrm {h} }， n為偶時對應 D_{n\mathrm {d} }。
T是 O的指標 2子群，對應 T_{\mathrm {d} }。
極大對稱群

離散點群中， O_{\mathrm {h} }和 I_{\mathrm {h} }並非任何其他離散點群的真子群，故謂極大。其公共子群中，最大的是 T_{\mathrm {h} }。由此，可以將二重旋轉對稱改成四重而得 O_{\mathrm {h} }，亦可加入五重旋轉對稱而得 I_{\mathrm {h} }。
類似地，有兩個晶體學點群並非任何其他晶體學點體的真子群： O_{\mathrm {h} }與 D_{6\mathrm {h} }。視乎方向，其極大公共子群為 D_{3\mathrm {d} }或 D_{2\mathrm {h} }。
按抽象群同構分類

下列若干個表，將前述諸群，按抽象群同構分類。
最小幾個不能表示成三維對稱群的抽象群為： 8階的四元群、 9階的 Z_{3}\times Z_{3}、 12階的雙循環群（英语：） \mathrm {Dic} _{3}，以及十四個 16階群的其中十個。
下表中，「 2階元素數」一列，數算 C_{2},C_{\mathrm {i} },C_{\mathrm {s} }三類等距變換子群的總數，是有助分辨抽象群類型的特徵數，而該總數之內，各類等距變換子群的數目，則有助辨別屬同一類抽象群的不同等距變換群。
按抽象群同構分類 > 循環群

n重旋轉對稱的對稱群為 C_{n}。其抽象同構類是循環群 Z_{n}，亦可記作 C_{n}。然而，另有兩列對稱群同構於循環群：
對於偶階數 2n，瑕旋轉群 S_{2n}（熊夫利記號），生成元為繞某軸 180^{\circ }/n的旋轉後關於與軸垂直的鏡面反射。 S_{2}也記為 C_{\mathrm {i} }，由點反演生成。
對於奇數 n，有階數 2n的群 C_{n\mathrm {h} }。該群有一條 n重旋轉軸，另有與該軸垂直的鏡射。換言之，群由兩種變換生成，即繞軸 360^{\circ }/n的旋轉，及該鏡射。 C_{1\mathrm {h} }又可記作 C_{\mathrm {s} }，僅由一個鏡射生成。
故可總結出下表：（十個循環晶體學點群以粗體標出，其滿足晶體學限制。）
| 階數 | 等距變換群 | 抽象群 |  2階元素數 | 環圖 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  1 |  {\boldsymbol {C_{1}}} |  Z_{1} |  0 |  |
|  2 |  {\boldsymbol {C_{2},C_{\mathrm {i} },C_{\mathrm {s} }}} |  Z_{2} |  1 |  |
|  3 |  {\boldsymbol {C_{3}}} |  Z_{3} |  0 |  |
|  4 |  {\boldsymbol {C_{4},S_{4}}} |  Z_{4} |  1 |  |
|  5 |  C_{5} |  Z_{5} |  0 |  |
|  6 |  {\boldsymbol {C_{6},S_{6},C_{3\mathrm {h} }}} |  Z_{6}\cong Z_{3}\times Z_{2} |  1 |  |
|  7 |  C_{7} |  Z_{7} |  0 |  |
|  8 |  C_{8},S_{8} |  Z_{8} |  1 |  |
|  9 |  C_{9} |  Z_{9} |  0 |  |
|  10 |  C_{10},S_{10},C_{5\mathrm {h} } |  Z_{10}\cong Z_{5}\times Z_{2} |  1 |  |
 \vdots
按抽象群同構分類 > 二面群

二維二面體群 D_{n}有旋轉和反射，但二維反射亦可視為在三維空間中，將不區分正反面的薄片翻轉。
然而在三維，反射與翻轉須作區分。以 D_{n}表示的對稱群，有 n條二重軸，與 n重的主旋轉軸垂直，但無反射。 D_{n}是正 n棱柱、正雙 n角錐、正 n角反棱柱、 n方偏方面體的旋轉群。若略作改動，如在每面加上相同的手性（英语：）標記，或稍為改變形狀，則可以使物體具有手性，從而令 D_{n}為其全對稱群。
相應的抽象群類型是二面體群 \mathrm {Dih} _{n}，亦可照樣記為 D_{n}。但除 D_{n}外，還有三個無窮序列的對稱群，同構於二面體群：
C_{n\mathrm {v} }，階為 2n，是正 n稜錐的對稱群；
D_{n\mathrm {d} }，階為 4n，是正 n角反稜柱的對稱群；
對應奇數 n的群 D_{n\mathrm {h} }，其階為 4n。當 n=1時，等同 D_{2}，已於上文討論，故此處可取 n\geq 3。
注意有以下同構：
於是可以整理出下表：（有 12個晶體學點群用粗體標示，另 D_{1\mathrm {d} }寫成等價的 C_{2\mathrm {h} }）
| 階數 | 等距變換群 | 抽象群 |  2階元素數 | 環圖 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  4 |  {\boldsymbol {D_{2},C_{2\mathrm {v} },C_{2\mathrm {h} }}} |  \mathrm {Dih} _{2}\cong Z_{2}\times Z_{2} |  3 |  |
|  6 |  {\boldsymbol {D_{3},C_{3\mathrm {v} }}} |  \mathrm {Dih} _{3} |  3 |  |
|  8 |  {\boldsymbol {D_{4},C_{4\mathrm {v} },D_{2\mathrm {d} }}} |  \mathrm {Dih} _{4} |  5 |  |
|  10 |  D_{5},C_{5\mathrm {v} } |  \mathrm {Dih} _{5} |  5 |  |
|  12 |  {\boldsymbol {D_{6},C_{6\mathrm {v} },D_{3\mathrm {d} },D_{3\mathrm {h} }}} |  \mathrm {Dih} _{6}\cong \mathrm {Dih} _{3}\times Z_{2} |  7 |  |
|  14 |  D_{7},C_{7\mathrm {v} } |  \mathrm {Dih} _{7} |  7 |  |
|  16 |  D_{8},C_{8\mathrm {v} },D_{4\mathrm {d} } |  \mathrm {Dih} _{8} |  9 |  |
|  18 |  D_{9},C_{9\mathrm {v} } |  \mathrm {Dih} _{9} |  9 |  |
|  20 |  D_{10},C_{10\mathrm {v} },D_{5\mathrm {h} },D_{5\mathrm {d} } |  \mathrm {Dih} _{10}\cong \mathrm {Dih} _{5}\times Z_{2} |  11 |  |
 \vdots
按抽象群同構分類 > 其他

C_{2n\mathrm {h} }的階數為 4n，同構於抽象群 Z_{2n}\times Z_{2}。在 n=1時， C_{2n\mathrm {h} }等同 \mathrm {Dih} _{2}，已於上小節討論，故本小節僅考慮 n\geq 2的情況。
此系列的群可以整理成下表：（其中兩個晶體學點群以粗體強調）
| 階數 | 等距變換群 | 抽象群 |  2階元素數 | 環圖 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  8 |  {\boldsymbol {C_{4\mathrm {h} }}} |  Z_{4}\times Z_{2} |  3 |  |
|  12 |  {\boldsymbol {C_{6\mathrm {h} }}} |  Z_{6}\times Z_{2}\cong Z_{3}\times Z_{2}^{2}\cong Z_{3}\times \mathrm {Dih} _{2} |  3 |  |
|  16 |  C_{8\mathrm {h} } |  Z_{8}\times Z_{2} |  3 |  |
|  20 |  C_{10\mathrm {h} } |  Z_{10}\times Z_{2}\cong Z_{5}\times Z_{2}^{2}\cong Z_{5}\times \mathrm {Dih} _{2} |  3 |  |
 \vdots 
D_{n\mathrm {h} }的階數為 4n，同構於抽象群 \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}。對於奇數 n，已於上小節討論，故此處僅考慮階數為 8n的群 D_{2n\mathrm {h} }，其抽象群類別為 \mathrm {Dih} _{2n}\times Z_{2}。（ n\geq 1）
此系列的群可以整理成下表：（其中三個晶體學點群以粗體強調）
| 階數 | 等距變換群 | 抽象群 |  2階元素數 | 環圖 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  8 |  {\boldsymbol {D_{2\mathrm {h} }}} |  \mathrm {Dih} _{2}\times Z_{2}\cong Z_{2}^{3} |  7 |  |
|  16 |  {\boldsymbol {D_{4\mathrm {h} }}} |  \mathrm {Dih} _{4}\times Z_{2} |  11 |  |
|  24 |  {\boldsymbol {D_{6\mathrm {h} }}} |  \mathrm {Dih} _{6}\times Z_{2}\cong \mathrm {Dih} _{3}\times Z_{2}^{2} |  15 |   |
|  32 |  D_{8\mathrm {h} } |  \mathrm {Dih} _{8}\times Z_{2} |  19 |   |
 \vdots 
餘下七個多面體群是：（其中五個晶體學點群以粗體強調）
| 階數 | 等距變換群 | 抽象群 |  2階元素數 | 環圖 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  12 |  {\boldsymbol {T}} |  A_{4} |  3 |  |
|  24 |  {\boldsymbol {T_{\mathrm {d} },O}} |  \definecolor {linkblue}{rgb}{0.0235,0.2706,0.6784}\color {linkblue}{S_{4}} |  9 |  |
|  24 |  {\boldsymbol {T_{\mathrm {h} }}} |  A_{4}\times Z_{2} |  7 |  |
|  48 |  {\boldsymbol {O_{\mathrm {h} }}} |  S_{4}\times Z_{2} |  19 |  |
|  60 |  I |  A_{5} |  15 |  |
|  120 |  I_{\mathrm {h} } |  A_{5}\times Z_{2} |  31 |  |
基本域

| --- | --- |

二十面體對稱（英语：）的反射面與單位球面交於若干大圆，將球面分成 120個球面直角三角形的基本域。
點群的基本域是錐體。若物體有給定的對稱群，則指明物體的某一個基本域變換至哪個基本域，就足以確定該變換。另外，僅從該件物體在一個基本域內的形狀，就足以確定整件物體的形狀。若物體是曲面，則可由其被一個基本域截得的部分確定，該部分亦是（有邊界的）曲面，下稱「基本面」，延伸至基本域的徑向邊界面（即錐體的側面）。但是，若基本面與其他基本面（即基本面在其他基本域的複製），兩者的邊界未能貼合，則需要添加徑向的面或其他曲面，以使各基本面連接成一個整體。若基本面以反射面為界，則必然貼合。
基本面可以取為任意平面被基本域所截的部分，如此得到一個多面體，具有給定的對稱群，如四角化菱形三十面體的每一個面，即為全二十面體對稱（英语：）的一個基本面。若調整該面的方向，則有時可以使相鄰的若干個基本面共面，而合併成同一個面，得到具同樣對稱群的其他多面體，如正十二面體和正二十面體。若基本面的邊界能夠貼合，且基本面的法向量是在基本域內，則所得的多面體為凸多面體。
基本面也可以取為其他形狀，不必在同一平面內，例如可取為若干個不同平面的區域連接而成的曲面。
二元多面體群

考慮三維旋量群 \mathrm {Spin} (3)到旋轉群 SO(3)的二重覆疊投映。由於 \mathrm {Spin} (3)已是單連通，故為 SO(3)僅有的非平凡連通覆疊。
由子群的對應（英语：）， \mathrm {Spin} (3)與 SO(3)的子群（即旋轉點群）之間有伽罗瓦连接： \mathrm {Spin} (3)子群投映到 SO(3)，必為旋轉子群，而反之，旋轉子群的原像亦必為是 \mathrm {Spin} (3)的子群。注意 \mathrm {Spin} (3)可以等價描述成特殊酉群 SU(2)，或是單位四元數群，亦屬李群，拓撲上同胚於三維球面 S^{3}。
有限點群的原像稱為二元多面體群，記作 \langle l,n,m\rangle ，與多面體群 (l,m,n)對應，而名稱則是相應點群的名稱加上「二元」前綴，階數為點群階數的兩倍。例如，二十面體群（英语：） (2,3,5)的原像，便是二元二十面體群（英语：） \langle 2,3,5\rangle 。
二元多面體群為：
A_{n}: 正 n邊形的二元循環群（英语：），階數 2n。
D_{n}: 正 n邊形的二元二面體群（英语：） \langle 2,2,n\rangle ，階數 4n。
E_{6}: 二元四面體群（英语：） \langle 2,3,3\rangle ，階數 24。
E_{7}: 二元八面體群（英语：） \langle 2,3,4\rangle ，階數 48。
E_{8}: 二元二十面體群（英语：） \langle 2,3,5\rangle ，階數 120。
該些群能按ADE分類（英语：），而 \mathbb {C} ^{2}在二元多面體群作用下的商空間，是杜瓦爾奇點（英语：）。
對於不保定向的點群，情況較複雜，因為有兩個Pin群，所以對應給定的點群，有兩個可能的二元群。
注意前述「覆疊」僅是群的覆疊，而不是多面體空間的覆疊：球面本身單連通，並無非平凡覆疊。所以，並無所謂「二元多面體」覆疊原有的多面體。二元多面體群是旋量群的離散子群，所以若選定旋量群的表示，作用於一個向量空間，則該二元多面體群在該表示下，可能將某個多面體映到自身，例如在 \mathrm {Spin} (3)\to SO(3)映射下，二元多面體群作用為旋轉，與底下的（非二元）群是同一個多面體的等距變換，然而，在旋量表示（英语：）或其他表示下，二元多面體群可以作用在不同的多面體上。
二元多面體群不是射影多面體（英语：）的對稱群。球面確實覆疊射影空间（以及透鏡空間（英语：）），故可以考慮射影空間的密鋪，視之為另一種「多面體」，即射影多面體，但是，考慮二元多面體群時，並非取多面體所覆疊的空間，而是取覆疊對稱群的群，所以兩件事不相同。
參見

球對稱群列表（英语：）
化學常用三維點群的特徵標表（英语：）
二維點群（英语：）
四維點群（英语：）
對稱——經某種變換後仍與原先相同
歐氏平面等距變換（英语：）
群作用——在一些集合上從一組到一組雙射的同態
點群——幾何學中，保持某一點不動的等距變換的群
晶系——空間群、格、點群、晶體的分類
空间群——空間中，某結構的對稱群（空间群列表）
小群列表
分子对称性——維持化學分子形狀不變的空間變換
參考文獻

↑  Curie, Pierre.  [論物理現象中的對稱及電場與磁場的對稱] (PDF). Journal de Physique. 1894, 3 (1): 393–415  [2021-09-06]. doi:10.1051/jphystap:018940030039300. （原始内容存档 (PDF)于2021-08-30） （法语）.
↑  Shubnikov, A.V.  [論皮埃尔·居里的對稱性研究].  [晶體對稱：舒勃尼科夫百年紀念論文集]. Pergamon Press. 1988: 357–364. ISBN 0-08-037014-4. doi:10.1016/B978-0-08-037014-9.50007-8 （英语）.
↑  Vainshtein., B. K.  2nd enlarged. Springer-Verlag Berlin. 1994: 93. ISBN 978-3-642-08153-8.
↑  Fisher, G.L.; Mellor, B.  [三維有限點群與珠鏈的對稱性] (PDF). Journal of Mathematics and the Arts. 2007, 1 (2): 85–96  [2021-09-07]. S2CID 40755219. doi:10.1080/17513470701416264. （原始内容存档 (PDF)于2021-08-31） （英语）.
↑  Coxeter, H. S. M.  [第12.6節：反射的數目].  [正多胞形]. : equation 12.61 （英语）.
↑  Burban, Igor.  [杜瓦爾奇點] (PDF) (講義).   [2021-09-17]. （原始内容存档 (PDF)于2021-08-30） （英语）.
Coxeter, H. S. M.  [第7章：二元多面體群].  [正複多胞形]. Cambridge University Press. 1974: 73–82 （英语）.
Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J.  [第6.5節：二元多面體群].  [離散群的生成元與關係] 4th edition. New York: Springer-Verlag. 1980: 68. ISBN 0-387-09212-9 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
Conway, John Horton; Huson, Daniel H.  [二維群的軌形記號]. Structural Chemistry (Springer Netherlands). 2002, 13 (3): 247–257. S2CID 33947139. doi:10.1023/A:1015851621002 （英语）.
外部鏈結

. （原始内容存档于2012-02-04） （英语）. ——顯示七個無窮序列的前幾項（跳過 n=5），以及其餘七個多面體群之五。
.   [2021-09-17]. （原始内容存档于2021-06-16） （英语）.
[每種對稱型的最簡典範多面體]. （原始内容存档于2008-03-16） （英语）.
Wei, Yi-Shu.  [點群與晶系] (PDF): 4–6. （原始内容 (PDF)存档于2012-10-24） （英语）.
Levy, Silvio.  [第10.1節 笛卡爾坐標系中對稱的公式（三維）].  [幾何公式與事實]. The Geometry Center.   [2021-09-17]. （原始内容存档于2021-04-18） （英语）.
無標記特定點的球面，對稱群為 O(3)。
七條圓柱形帶上，印有不同圖樣，使各自的對稱群等於七列軸向群中，取 n=6的情況。
葛量洪醫院

| 葛量洪醫院  |
| --- | --- |
2008年3月葛量洪醫院
基本
地址:  香港香港島南區香港仔黃竹坑道125號
: 22°15′04″N 114°10′23″E﻿ / ﻿22.25108°N 114.17309°E﻿ / 22.25108; 114.17309
组织结构
经营性质: 公共醫院
醫院类型: 專科醫院、教學醫院
主管机构: 醫院管理局及香港防癆心臟及胸病協會
所属机构: 香港大學李嘉誠醫學院
医院网络: 港島西聯網
医疗服务
: 無，急症室設於瑪麗醫院或港怡醫院
專科: 心臟病及肺病
直昇機坪: 無
床位数: 372張
歷史
建立时间: 1957年6月6日，​67年前​（1957-06-06）
联系方式
網站:  
地圖

葛量洪醫院（英語：）是香港一所公營醫院，位於香港島南區黃竹坑南部的黃竹坑道125號，由香港醫院管理局管理，隸屬港島西聯網。該院毗鄰黃竹坑醫院，但後者隸屬港島東聯網。
介紹

葛量洪醫院於1957年6月6日建成，以第22任香港總督葛量洪命名，並由其主持開幕，為周耀年李禮之畫則設計的建築項目，初時主要提供癆病治療，由香港防癆心臟及胸病協會管理，當時主要為肺結核病人提供治療服務。於1982年3月11日成為「香港心肺科醫療服務中心」，成為一所心臟胸肺科專科醫院，擁有接近500張病床，專注為患上心臟及胸肺病的成年人及兒童服務，提供住院、專科門診、治療及康復服務。
另外，葛量洪醫院與香港大學合作，為公立和私營機構的護士提供專科訓練，亦在2009年增設一所白內障中心，為白內障人士提供日間手術服務，2008年重辦護士學校，培訓登記護士，又設立了李嘉誠基金會寧養服務計劃寧養中心，為癌症者及家人提供全人照顧。
介紹 > 重建

根據醫院管理局2016年制定的十年醫院發展計劃，葛量洪醫院將進行重建，原址設全港首間癌症科研及教學大樓，發展「癌症玫瑰園」，對付癌症這個本港「頭號殺手」。重建院內宿舍大樓耗資近30億元，最快2024年啟用，兼備科研、培訓及病人心理支援。重建後另一大樓則用作診症，將來港島西聯網甚至全港癌症病人，可在該院接受手術以外的高端治療。
工程原計劃興建地庫，但前期地質調查發現近山邊範圍的地下岩石水平面比預計高，挖掘地下岩石工程會變得更困難。醫管局因此改為建議將地面樓層面積進一步提高以取代地庫樓層面積。
2020年6月，香港立法會財務委員會通過11億元葛量洪醫院重建計劃第一期，預計2025年完工。
組織架構

港島西醫院聯網總監
李德麗醫生
葛量洪醫院行政總監：
繆潔芝 醫生
主席 ：
藍義方 先生
委員：
| --- | --- |
 林貝聿嘉教授，OBE，GBS，SBS，JP  周偉淦先生，JP  梁永鏗律師，JP  陳清霞博士  劉澤星教授  Mrs. Purciz Rusy SHROFF  鄧智偉教授  :  陳富強先生  何聞達先生  梁家駒醫生  梁樹賢先生  馬清楠先生，JP  鄭永強教授  馮載祥先生，SBS，JP
服務範圍

專科服務
急症老人科
心臟內科
紓緩醫學科
眼科
結核及胸肺內科
白內障中心
其他
生理學部
臨床心理學
營養學部
醫務社會工作服務部
職業治療
病理學部
藥房
物理治療部
放射科
言語治療
哀傷輔導
日間紓緩服務
義工服務
參見

香港防癆心臟及胸病協會
香港醫院列表
參考文獻

↑  . 香港工商日報. 1957-06-07.
↑  . 香港信報. 2022-03-09.
↑  . Docomomo 香港.   [2022-01-20]. （原始内容存档于2022-01-20）.
↑  . 醫院管理局.   [2022-07-28]. （原始内容存档于2022-06-14）.
↑  . 明報. 2017-08-07  [2020-10-13]. （原始内容存档于2021-02-26）.
↑  . 東網. 2019-07-03.
↑  . 頭條日報. 2020-06-26  [2020-10-13]. （原始内容存档于2020-09-28）.
↑  . 香港信報. 2022-03-09.
外部連結

官方网站
葛量洪醫院的眼科中心
PLZ-07自行榴弹炮

|  PLZ-07自行火炮  |
| --- | --- |
PLZ-07自行火炮
类型: 自行火炮
原产地:  中华人民共和国
服役记录
使用方:  中华人民共和国
生产历史
研发日期: 不详
生产日期: 不详
基本规格
重量: 24.5吨
长度: 6.66米
宽度: 3.28米
高度: 2.5米 (至炮塔顶)
操作人数: 5 (1名炮长，1名瞄准手，1名驾驶员兼机械师，2名装填手) 

装甲: 均质钢
主武器: PL-96型32倍径122毫米榴弹炮 
副武器: QJC-88 12.7毫米口径车载高射机枪
发动机: 6V150系列水冷增压式柴油机 CH400液力机械传动装置  544匹馬力
悬挂: 扭杆式
作战范围: 500公里
速度: 65千米/小时
2018年在新疆的PLZ-07
PLZ-07自行榴弹炮也称为07式122毫米自行榴弹炮或07式122毫米自行火炮，是中國人民解放軍装备的第三代122毫米口径的自行火炮。
PLZ-07自行榴弹炮参加了2009年10月1日的中华人民共和国国庆60周年阅兵式，排在装备方队的第10位，由中国人民解放军陆军第38集团军机械化步兵第113师第338团（“红军团”）的成员驾驶。
PLZ-07自行榴弹炮一般装备于解放军陆军合成旅下辖的炮兵分队。
总体设计

PLZ-07自行火炮沿用了PLZ-89自行榴弹炮的基本布局，动力-传动装置前置，全封闭型炮塔通过连接座圈装在底盘后部，履带式轻型通用底盘是由ZBD-04步兵战车底盘改造而来，车体前端削尖外形楔形体取消，侧装甲由内倾改为垂直。驾驶员位于车体左前部的驾驶室内，驾驶室内有液压助力式操纵装置、仪表和驾驶员终端显示器，其余炮班成员4人在炮塔与车体相连构成的密闭战斗室里，炮长在右侧前方位置，瞄准手在左侧前方位置，2名装填手（分别是一炮手负责弹丸装填/二炮手负责药筒装填）分坐其后，带有数字化火控系统与信息化数据传输设备，炮塔顶部装有卫星定位和通讯数据传输天线。车内带“三防”装置以及灭火抑爆系统。车体尾部开有后门，方便从车外补充弹药。
PLZ-07自行榴弹炮射击指挥自动化武器系统由营(连)侦察车、营(连)指挥车、气象雷达和侦校雷达车辆等组成。单炮可自动、半自动和手动进行直接瞄准和间接瞄准射击。
总体设计 > 武器系统

PLZ-07自行火炮装备有一门经改进身管的带有炮口制退器和身管抽气装置的PL-96牵引式榴弹炮，药室容积更大。炮塔能够360°环射。PLZ-07自行火炮配备半自动式装填机构，配用分装弹药，主要配备杀伤爆破榴弹。 发射底凹弹时最大射程18公里，发射底排弹时最大射程22公里。
辅助武器为一挺QJC-88式12.7毫米车载高射机枪。
总体设计 > 动力系统

PLZ-07自行火炮使用6V150系列544马力水冷增压柴油机，公路上最大行进速度可达到65公里/小时，最大行程500公里。
小核衣酸A

| 小核衣酸A> 识别 |
| --- | --- |
CAS号: 
PubChem: 90644856
SMILES:    CC[C@@H](C)[C@@H]1[C@@](O1)(C)[C@H]2[C@H]([C@@H]3CC=C(C[C@H]3C=C2C)C)/C=C/C=C/C=C/C(=O)O 
InChI:    1S/C26H36O3/c1-6-18(3)25-26(5,29-25)24-19(4)16-20-15-17(2)13-14-21(20)22(24)11-9-7-8-10-12-23(27)28/h7-13,16,18,20-22,24-25H,6,14-15H2,1-5H3,(H,27,28)/b8-7+,11-9+,12-10+/t18-,20+,21-,22+,24-,25-,26-/m1/s1 
InChIKey: GEGSNPGPRRSEET-YWHCRWFKSA-N
性质
化学式: C26H36O3
摩尔质量: 396.56 g·mol−1
若非注明，所有数据均出自标准状态（25 ℃，100 kPa）下。
小核衣酸A（英語：）是一种有机化合物，化学式C26H36O3，属于一种十氢化萘衍生物，带有环氧基团和共轭三烯结构，存在于一些小核衣科小核衣属（Pyrenula）真菌中，因而得名。
本多正信

| 本多正信 |
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玉繩藩（日语：）藩主
任期 1590年—1616年
前任: 新設
继任: 空缺（下一任：松平正綱（日语：））
江戶幕府老中
任期 1600年—1615年
 
个人资料
出生: 1538年 （天文7年）
逝世: 1616年7月20日(1616歲—07—20)（77—78歲） （元和2年6月7日）

時代: 戰國時代 - 江戸時代前期
出生日期: 天文7年（1538年）
出生地點: 三河國
逝世日期: 元和2年6月7日（1616年7月20日）
逝世地點: 江戶
改名: 正保、正信
别名: 弥八郎（假名）、正行、本多佐渡
戒名: 善德納誨院
墓所: 龍谷山本願寺
朝廷官位: 從五位下佐渡守
幕府職位: 江戶幕府關東總奉行、老中
主君: 德川家康→松永久秀→德川家康
藩: 相模国玉繩藩主
氏族: 本多氏
父: 本多俊正
兄弟: 正信、正重
正室: 壽林尼（戒名 釋屋妙受大姉）
子: 正純、政重、忠純
 
本多正信（日语：／ Honda Masanobu，1538年—1616年7月20日）是日本戰國時代武將、江戶時代初期大名，幕府老中。父親是本多俊正，別稱彌八郎。松平氏（後來的德川氏）家臣，鷹匠出身的武士。他育有三子，長子是正純、次子政重、三子忠純。相模國玉繩藩藩主。
經歷 > 從叛離到流浪

1538年在三河國出生，為本多俊正次子。最初作為鷹匠效忠家康。但在永禄6年（1563年），三河一揆眾發動了三河一向一揆，正信作為一揆眾武將，與弟弟正重一起與家康對立。翌年一揆軍被家康鎮壓，正信從德川氏叛逃，仕從大和的松永久秀。雖獲久秀重用，但當幕府將軍足利義輝被暗殺後，正信便離開了松永久秀，開始在諸國之間流浪。
但並無確切的歷史考證描述正信在流浪期間在何處做過何事。有一說為正信前往加賀與石山本願寺聯手，共同對抗織田信長（《藩翰譜》）。在諸國流浪末期，正信通過舊知大久保忠世向家康表達了想回到德川氏的願望。最終，在忠世的斡旋之下，順利回歸。具體回歸時期由於存在諸多說法，並不能確定。大致時間處於姉川之戰至本能寺之變發生前之間。
經歷 > 初露鋒芒

天正10年（1582年），發生本能寺之變，織田信長橫死。當時，家康正在堺之町遊覽，當其得知織田信長死訊便決定翻越伊賀。有一說為此時正信陪同家康翻越伊賀回到居城（《藩翰譜》）。其後，家康將武田舊領甲斐·信濃並合，任命正信為兩地奉行，進行實權統治。
天正14年（1586年）官從五位下佐渡守。
天正18年（1590年）小田原之戰後，家康依豐臣秀吉之令，信移往關東地區。正信被封賞相模玉繩1萬石領地，成為一位大名。
要說正信在歷史的舞台上嶄露頭角的話，應在時值慶長3年（1598年）秀吉去世之後。在此期間，正信作為家康的參謀極其活躍。據傳，在家康奪取政權的過程當中的許多謀略，比如發生在慶長4年（1599年）的前田利長謀反嫌疑的謀略之類，有一大半是正信獻的策。
慶長5年（1600年）關原之戰中，正信參與德川秀忠軍勢，在信濃的上田城遭遇善戰的真田昌幸，而延緩了軍機。此時，正信向秀忠進言，要求停止進攻上田城，但並未被採納。
經歷 > 幕府時期

為了使家康就任將軍，1601年本多正信積極與朝廷進行交涉。1603年家康就任將軍並創立江戶幕府，正信以家康側近的身份成為了幕府實則主導權。1605年德川家康讓位給秀忠成為大御所，正信成為了秀忠在江戶的顧問主導了幕府政務，1607年成為秀忠的老中。
1610年晉升為大老。1612年岡本大八事件，使本多正信勢力減弱，武斷派勢力增加，開始於大久保氏大久保忠鄰等人對立。1613年因生前的賄賂專橫被曝，已故的大久保長安全家被誅殺，正信的政敵大久保忠鄰亦因牽連失勢，增長了正信的勢力。
在晚年的時候，由於年老加上身體出現毛病，步行顯得相當困難。於大坂之陣中，繼續為家康獻策。1616年家康死後家督讓給長子正純，不接觸任何政務。在1616年7月20日因為病重而去世，終年79歲。三年後正純成為了宇都宮十五萬石大名，不過正純因為失勢而擁有領地全遭沒收。
人物及關係

在正信獲得家康信任以後，家康多以「朋友」來稱呼正信，能帶刀自由進出家康寢室，且家康時常是第一個理解正信想法的人。也因這層關係，讓正信一家在幕府初期得到極大的權勢，讓敵對的大久保派系毫無招架之力。
後世將正信評為「德川的智囊」，德川家康許多重要決策不少是出自其手，是德川家康一生最重要的參謀。
由於權力欲望極高且擅於操弄權謀術數，被武將派稱為「奸臣」，與其他本多氏關係惡劣。本多忠勝曾指他「膽小」及與自己的本多一族完全沒有關係，榊原康政也曾批評正信是貪戀權勢的腐儒，而正信也曾批評忠勝有勇無謀。
正信經常向兒子正純說「我們並非出生於大家族，對於現況非常滿足，能夠永遠保持這樣就好。」
在松永久秀部下的時代，久秀對於正信的評價：「我見過不少德川家的家臣，但絕大多數都是只重武勇之輩，唯獨正信剛柔並濟、不卑不亢，有異於常人的器量。」
關原之戰後，德川家康苦慮於石田三成嫡子石田重家的處置（當時將敵方主將的嫡子殺害、斬草除根是理所當然之事，但重家已經出家為僧，且發誓效忠德川家）。最後家康請正信過來商量，正信答以：「無論如何都有理由赦免重家。他的父親治部（三成）為您立下大功，難道不應該考慮一下嗎？」家康追問是什麼功勞，正信回答：「治部糾合西國諸大名掀起了無用的關原之戰，拜此之賜，才讓日本全國六十餘州如今都服從在德川家之下。」家康考慮之後同意將重家赦免。
後裔 > 彌八郎家・加賀本多家 （正信系）家譜

本多氏系圖
註記
1) 實線表示親生子女，虛線（垂直線）表示收養子女，虛線（水平線）表示婚姻狀況。
2) 基於版面配置，人名按出生順序排列。
3) 彌八郎家與加賀本多家皆屬於本多正信家族，但為顯示加賀本多家族的代數，所以單獨列出。