叶状结构
完整性 > 叶状丛

最容易理解的完整性是叶状丛的总完整性，这是庞加莱映射概念的推广。
“第一回归映射”来自动力系统理论。令 \Phi _{t}是紧n-流形上的非奇异 C^{r}\ (r\geq 1)流。应用中，可以想象M是个回旋加速器或流体的闭合回路。若M有界，则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构 {\mathcal {F}}。若知道流的正方向，但不知道其他参数（轨迹形状、速度等），则称底叶状结构（underlying foliation） {\mathcal {F}}有向。假设流有全局横截面N，即N是M的n-1维紧正合嵌入的 C^{r}子流形，叶状结构 {\mathcal {F}}垂直于N，每条流线都与N相遇。由于N的维度与叶的维度是互补的，横截性条件是
令 y\in N，考虑M中所有序列 \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }的所有堆积点的ω-极限集合ω(y)，其中 t_{k}为无穷大。可以证明，ω(y)是紧非空的，是流线的并。若 z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),则有值 t^{*}\in \mathbb {R} 使得 \Phi _{t^{*}}(z)\in N，由此可得
由于N是紧的， {\mathcal {F}}横截于N，因此集合 \{t>0|\Phi _{t}(y)\in N\}是单调递增序列 \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }，并发散。
当 y\in N变化，令 \tau (y)=\tau _{1}(y)，这样定义一个正函数 \tau \in C^{r}(N)（第一回归时间），使得 \forall y\in N,\ \Phi _{t}(y)\notin N,\ 0<t<\tau (y),\ \Phi _{\tau (y)}(y)\in N.
定义 f:\ N\to N,\ f(y)=\Phi _{\tau (y)}(y).这是 C^{r}映射。若流反向，则完全相同的构造会得到逆的 f^{-1}；所以 f\in {\rm {Diff}}^{r}(N)。这个微分同胚是第一回归映射，τ称作第一回归时间。虽然第一回归时间取决于流的参数化，但f显然只取决于有向叶状结构 {\mathcal {F}}。可以将流 \Phi _{t}重参数化，使其保持非奇异、是 C^{r}类，且方向不翻转，从而使 \tau \equiv 1.
流有横截面N的假设是很受限的，意味着M是 S^{1}上纤维丛的总空间。事实上在 \mathbb {R} \times N上，可将 \sim _{f}定义为以下条件生成的等价关系：
等价地，这是加法群Z在 \mathbb {R} \times N上的作用的轨等价，定义如下
f的映射圆柱定义为 C^{r}流形
由第一回归映射f的定义与第一回归时间 \tau \equiv 1的假设，可立即得出映射
流的定义可诱导一个规范 C^{r}微分同胚
若记 M_{f}=M，则 \mathbb {R} \times N到R的投影诱导了 C^{r}映射
使M变为圆上纤维丛的总空间。这只是 S^{1}\times D^{2}到 S^{1}的投影。叶状结构 {\mathcal {F}}横截于这丛的纤维，限制到每片叶L的丛投影π是覆盖映射 \pi :\ L\to S^{1}，这就是叶状丛（foliated bundle）。
以 x_{0}\in S^{1}的等价类 0+\mathbb {Z} 为基点， \pi ^{-1}(x_{0})就是原横截面N。对 S^{1}上以 x_{0}为基点的每个环路s，同伦类 [s]\in \pi _{1}(S^{1},\ x_{0})的唯一特征是 {\rm {deg}}s\in \mathbb {Z} 。环路s提升到每条流线中的一条路径，很明显提升 s_{y}始于 y\in N、终于 f^{k}(y)\in N\ (k={\rm {deg}}s)。微分同胚 f^{k}\in {\rm {Diff}}^{r}(N)也用 h_{s}表示，称作环路s的总整体性。由于只取决于[s]，因此定义了同胚
称作叶状丛的总整体同胚。
更直观地运用纤维丛，令 (M,\ {\mathcal {F}})是余维为q的叶状n-流形，令 \pi :\ M\to B是纤维丛，具有q维纤维F与连通基空间B。假设所有这些结构都属于 C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )类，若r = 0，B支持一个 C^{1}结构。由于B上的最大 C^{1}图册都包含 C^{\infty }子图册，因此假设B如所期望那般光滑并不失一般性。最后， \forall x\in B，假设x有连通开邻域 U\subseteq B，和局部平凡化
其中φ是 C^{r}微分同胚（若r = 0则是同胚），将





F


∣

π

−
1


(
U
)


{\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}

带到积叶状结构 \{U\times \{y\}\}_{y\in F}。其中，





F


∣

π

−
1


(
U
)


{\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}

是叶为 L\cap \pi ^{-1}(U)的连通组分的叶状结构，L是 {\mathcal {F}}的叶。这是 C^{r}类“叶状丛”（foliated bundle） (M,\ {\mathcal {F}},\ \pi )的一般定义。
{\mathcal {F}}垂直于π的纤维（可以说 {\mathcal {F}}是垂直于纤维的），π到 {\mathcal {F}}的每片叶L的限制是覆盖映射 \pi :\ L\to B。特别是，每条纤维 F_{x}=\pi ^{-1}(x)都与 {\mathcal {F}}的每片叶相遇。纤维是 {\mathcal {F}}的横截，与流的横截完全类似。
叶状结构 {\mathcal {F}}横截于纤维不能保证叶是B的覆盖空间。这个问题的一个简单版本是 \mathbb {R} ^{2}的一个叶状结构横截于纤维
但有无限多叶缺失了y轴。在相应的图像中，“有箭头的”叶以及它们上面所有的叶都渐进于x = 0轴。一般称这种叶状结构为相对于纤维是不完备的，即当参数 x\in B接近某个 x_{0}\in B，一些叶“奔向无穷大”。更确切地说，可能有叶L，和一条连续路径 s:\ [0,\ a)\to L使得 \lim _{t\to a-}\pi (s(t))=x_{0}\in B，但 \lim _{t\to a-}s(t)在L的流形拓扑中不存在。这类似于不完备流，某些流线会在有限时间内发散。虽然这样的叶L可能在别处与 \pi ^{-1}(x_{0})相遇，但不能均匀覆盖 x_{0}的邻域，因此不可能是B在π下的的覆盖空间。F是紧的时， {\mathcal {F}}对纤维的横截性确实保证了完备性，于是



(
M
,


F


,
π
)


{\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}

是叶状丛。
B上有图册 {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha },\ x_{\alpha }\}_{\alpha \in A}，包含开连通坐标图，以及平凡化 \varphi _{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F，将 {\mathcal {F}}|\pi ^{-1}(U_{\alpha })带到积叶状结构。置 W_{\alpha }=\pi ^{-1}(U_{\alpha })，并记 \varphi _{\alpha }=(x_{\alpha },\ y_{\alpha })，其中（滥用符号） x_{\alpha }表示 x_{\alpha }\circ \pi ,\ y_{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to F是将 \varphi _{\alpha }与规范投影 U_{\alpha }\times F\to F组合而得的浸没。
图册 {\mathcal {W}}=\{W_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}的作用类似叶状图册。 W_{\alpha }的斑是 y_{\alpha }的水平集，这一族斑通过 y_{\alpha }，与F相同。由于预设了B支持某个 C^{\infty }结构，据怀特黑德定理，可在B上固定一个黎曼度量，择图册 {\mathcal {U}}为测地凸的。于是， U_{\alpha }\cap U_{\beta }总是连通的。若这个交非空，则 W_{\alpha }的每个斑都正好与 W_{\beta }的一个斑相遇。然后，通过设下式，可定义一个完整上循环（holonomy cocycle） \gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A} by setting