平方根
計算方法 > 長除式算法

長除式算平方根的方式也稱為直式開方法，原理是 .(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+(2a+b)b。
首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如98765.432內小數點前的65是一組，87是一組，9是一組，小數點後的43是一組，之後是單獨一個2，要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組，順序為1' 04. 85' 73'。
將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下。
將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。
將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於但最接近上一步所得之差，並將該個個位數記下，且將上一步所得之差減去所得之積。
記下的數一次隔兩位記下。
重覆第3步，直到找到答案。
可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。
下面以 {\sqrt {200}}為例子：
{\begin{array}{ll}\quad {\color {Red}1}~~{\color {Green}4}.~~{\color {Blue}1}~~{\color {Purple}4}~~{\color {Orange}2}\\{\sqrt {2|00.00|00|00}}\\\quad {\underline {1\quad ~}}&\quad {\color {Red}1}\times {\color {Red}1}\leq 2\\\quad 1~00&a={\color {Red}1}0,b={\color {Green}4}\\\quad {\underline {~~\,96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2{\color {Green}4}\times {\color {Green}4}=96\leq 100\\\qquad ~4~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}0,b={\color {Blue}1}\\\qquad ~{\underline {2~81\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=28{\color {Blue}1}\times {\color {Blue}1}=281\leq 400\\\qquad ~1~19~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}0,b={\color {Purple}4}\\\qquad ~{\underline {1~12~96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=282{\color {Purple}4}\times {\color {Purple}4}=11296\leq 11900\\\qquad \quad ~~6~04~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}{\color {Purple}4}0,b={\color {Orange}2}\\\qquad \quad ~~{\underline {5~65~64}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2828{\color {Orange}2}\times {\color {Orange}2}=56564\leq 60400\\\qquad \quad \quad ~\,38~36\\\end{array}}
{\sqrt {200}}\approx 14.14213562373095048801668872421
四捨五入得答案為14.14。
事實上，將算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見n次方算法。
利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下：
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  {\sqrt {1}} |  =\, | 1 |
|  {\sqrt {2}} |  \approx  | 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462 |
|  {\sqrt {3}} |  \approx  | 1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909 |
|  {\sqrt {4}} |  =\, | 2 |
|  {\sqrt {5}} |  \approx  | 2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638 |
|  {\sqrt {6}} |  \approx  | 2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457 |
|  {\sqrt {7}} |  \approx  | 2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230 |
|  {\sqrt {8}} |  \approx  | 2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924 |
|  {\sqrt {9}} |  =\, | 3 |
|  {\sqrt {10}} |  \approx  | 3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639 |
|  {\sqrt {11}} |  \approx  | 3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609 |
|  {\sqrt {12}} |  \approx  | 3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818 |
|  {\sqrt {13}} |  \approx  | 3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293 |
|  {\sqrt {14}} |  \approx  | 3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307 |
|  {\sqrt {15}} |  \approx  | 3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937 |
|  {\sqrt {16}} |  =\, | 4 |
|  {\sqrt {17}} |  \approx  | 4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338 |
|  {\sqrt {18}} |  \approx  | 4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386 |
|  {\sqrt {19}} |  \approx  | 4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203 |
|  {\sqrt {20}} |  \approx  | 4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276 |