十六元數
算術

十六元數的乘法和八元數一樣，不具備交換律及結合律。與八元數不同的是，十六元數不具備交错代数的特性。雖然如此，但十六元數仍然保有冪結合性，也就是說，對所有的十六元數集 \mathbb {S} 中的元素x，冪 x^{n}是可以明確定義的。同時，十六元數亦有柔性代數（英语：）的特性。
十六元數共有的16個單位。這16個單位十六元數是：
每個十六元數都是單位十六元數 e_{0},  e_{1},  e_{2},  e_{3}, ...,  e_{15}的線性組合，並構成了十六元數向量空間的基。 每個十六元數都可以用以下形式表示：
十六元數的加法和減法是通過將相應十六元數單位之係數的加法或減法來定義的。而十六元數的乘法是對加法的分配，所以兩個十六元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算。
十六元數和其他也由凯莱-迪克森结构來構造的代數結構一樣，其皆包含了依凯莱-迪克森结构構造來源的代數結構。例如十六元數可透過八元數代凯莱-迪克森结构來構造、八元數可透過四元數代凯莱-迪克森结构來構造、四元數可透過複數代凯莱-迪克森结构來構造、複數可透過實數代凯莱-迪克森结构來構造。因此，十六元數系包含了一個八元數系（由下方乘法表對應的 e_{0}至 e_{7}構造），亦包含了四元數系（由 e_{0}至 e_{3}構造），也包含了複數系（由 e_{0}至 e_{1}構造）和實數系（由 e_{0}構造）。
十六元數具有乘法單位元素 e_{0}和乘法逆元，但因為存在零因子因此無法構成可除代數（英语：）。換句話說，即十六元數的代數系統中，存在2個非零十六元數相乘為零，例如 (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})=0。其他基於凯莱-迪克森结构構造的超複數系統中，維度大於16的超複數也都存在零因子。
十六元數單元乘數表如下：
| e_{i}e_{j} | e_{i}e_{j} |  e_{j}>  e_{0}  |  e_{j}>  e_{1}  |  e_{j}>  e_{2}  |  e_{j}>  e_{3}  |  e_{j}>  e_{4}  |  e_{j}>  e_{5}  |  e_{j}>  e_{6}  |  e_{j}>  e_{7}  |  e_{j}>  e_{8}  |  e_{j}>  e_{9}  |  e_{j}>  e_{10}  |  e_{j}>  e_{11}  |  e_{j}>  e_{12}  |  e_{j}>  e_{13}  |  e_{j}>  e_{14}  |  e_{j}>  e_{15} |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  e_{i}  |  e_{0}  |  e_{0}  |  e_{1}  |  e_{2}  |  e_{3}  |  e_{4}  |  e_{5}  |  e_{6}  |  e_{7}  |  e_{8}  |  e_{9}  |  e_{10}  |  e_{11}  |  e_{12}  |  e_{13}  |  e_{14}  |  e_{15} |
|  e_{i}  |  e_{1}  |  e_{1}  |  -e_{0}  |  e_{3}  |  -e_{2}  |  e_{5}  |  -e_{4}  |  -e_{7}  |  e_{6}  |  e_{9}  |  -e_{8}  |  -e_{11}  |  e_{10}  |  -e_{13}  |  e_{12}  |  e_{15}  |  -e_{14} |
|  e_{i}  |  e_{2}  |  e_{2}  |  -e_{3}  |  -e_{0}  |  e_{1}  |  e_{6}  |  e_{7}  |  -e_{4}  |  -e_{5}  |  e_{10}  |  e_{11}  |  -e_{8}  |  -e_{9}  |  -e_{14}  |  -e_{15}  |  e_{12}  |  e_{13} |
|  e_{i}  |  e_{3}  |  e_{3}  |  e_{2}  |  -e_{1}  |  -e_{0}  |  e_{7}  |  -e_{6}  |  e_{5}  |  -e_{4}  |  e_{11}  |  -e_{10}  |  e_{9}  |  -e_{8}  |  -e_{15}  |  e_{14}  |  -e_{13}  |  e_{12} |
|  e_{i}  |  e_{4}  |  e_{4}  |  -e_{5}  |  -e_{6}  |  -e_{7}  |  -e_{0}  |  e_{1}  |  e_{2}  |  e_{3}  |  e_{12}  |  e_{13}  |  e_{14}  |  e_{15}  |  -e_{8}  |  -e_{9}  |  -e_{10}  |  -e_{11} |
|  e_{i}  |  e_{5}  |  e_{5}  |  e_{4}  |  -e_{7}  |  e_{6}  |  -e_{1}  |  -e_{0}  |  -e_{3}  |  e_{2}  |  e_{13}  |  -e_{12}  |  e_{15}  |  -e_{14}  |  e_{9}  |  -e_{8}  |  e_{11}  |  -e_{10} |
|  e_{i}  |  e_{6}  |  e_{6}  |  e_{7}  |  e_{4}  |  -e_{5}  |  -e_{2}  |  e_{3}  |  -e_{0}  |  -e_{1}  |  e_{14}  |  -e_{15}  |  -e_{12}  |  e_{13}  |  e_{10}  |  -e_{11}  |  -e_{8}  |  e_{9} |
|  e_{i}  |  e_{7}  |  e_{7}  |  -e_{6}  |  e_{5}  |  e_{4}  |  -e_{3}  |  -e_{2}  |  e_{1}  |  -e_{0}  |  e_{15}  |  e_{14}  |  -e_{13}  |  -e_{12}  |  e_{11}  |  e_{10}  |  -e_{9}  |  -e_{8} |
|  e_{i}  |  e_{8}  |  e_{8}  |  -e_{9}  |  -e_{10}  |  -e_{11}  |  -e_{12}  |  -e_{13}  |  -e_{14}  |  -e_{15}  |  -e_{0}  |  e_{1}  |  e_{2}  |  e_{3}  |  e_{4}  |  e_{5}  |  e_{6}  |  e_{7} |
|  e_{i}  |  e_{9}  |  e_{9}  |  e_{8}  |  -e_{11}  |  e_{10}  |  -e_{13}  |  e_{12}  |  e_{15}  |  -e_{14}  |  -e_{1}  |  -e_{0}  |  -e_{3}  |  e_{2}  |  -e_{5}  |  e_{4}  |  e_{7}  |  -e_{6} |
|  e_{i}  |  e_{10}  |  e_{10}  |  e_{11}  |  e_{8}  |  -e_{9}  |  -e_{14}  |  -e_{15}  |  e_{12}  |  e_{13}  |  -e_{2}  |  e_{3}  |  -e_{0}  |  -e_{1}  |  -e_{6}  |  -e_{7}  |  e_{4}  |  e_{5} |
|  e_{i}  |  e_{11}  |  e_{11}  |  -e_{10}  |  e_{9}  |  e_{8}  |  -e_{15}  |  e_{14}  |  -e_{13}  |  e_{12}  |  -e_{3}  |  -e_{2}  |  e_{1}  |  -e_{0}  |  -e_{7}  |  e_{6}  |  -e_{5}  |  e_{4} |
|  e_{i}  |  e_{12}  |  e_{12}  |  e_{13}  |  e_{14}  |  e_{15}  |  e_{8}  |  -e_{9}  |  -e_{10}  |  -e_{11}  |  -e_{4}  |  e_{5}  |  e_{6}  |  e_{7}  |  -e_{0}  |  -e_{1}  |  -e_{2}  |  -e_{3} |
|  e_{i}  |  e_{13}  |  e_{13}  |  -e_{12}  |  e_{15}  |  -e_{14}  |  e_{9}  |  e_{8}  |  e_{11}  |  -e_{10}  |  -e_{5}  |  -e_{4}  |  e_{7}  |  -e_{6}  |  e_{1}  |  -e_{0}  |  e_{3}  |  -e_{2} |
|  e_{i}  |  e_{14}  |  e_{14}  |  -e_{15}  |  -e_{12}  |  e_{13}  |  e_{10}  |  -e_{11}  |  e_{8}  |  e_{9}  |  -e_{6}  |  -e_{7}  |  -e_{4}  |  e_{5}  |  e_{2}  |  -e_{3}  |  -e_{0}  |  e_{1} |
|  e_{i}  |  e_{15}  |  e_{15}  |  e_{14}  |  -e_{13}  |  -e_{12}  |  e_{11}  |  e_{10}  |  -e_{9}  |  e_{8}  |  -e_{7}  |  e_{6}  |  -e_{5}  |  -e_{4}  |  e_{3}  |  e_{2}  |  -e_{1}  |  -e_{0} |