stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
群
基本性質 > 除法與減法

有時，某個群的運算可以跟直觀上的加法聯想在一起，這個運算也可以改記為「  + 」或「  \oplus  」，這時也會把  f+g^{-1} 改記為  f-g 或  f\ominus g ，這時會暱稱  f-g 為減法。更有甚者， g^{-1} 會被記為  -g 。
類似的，如果群的運算可以跟直觀上的乘法聯想在一起而改記為「  \times  」或「  \otimes  」，這時會把  f\times g^{-1} 改記為  f\div g 或  {\frac {f}{g}} ，並暱稱為除法；更有甚者， g^{-1} 會被記為  {\frac {1}{g}}  。
注意以上都是為了直觀理解方便所規定的簡寫，並不是斷定群的運算必然跟一般实数的加減乘除一模一樣。
群論術語

本章節羅列一些群論涉及到的概念，其并非群本身的固有性質，但其與群的應用息息相關。本章節使用了數學符號如  X=\{x,\,y,\,z\} 以示集合  X 包含元素  x,\,y 和  z，或以  x\in X 表記  x 是  X 的一個元素，而記號  f\colon ,\,X\to Y 意指  f 為將  X 的所有元各自唯一指定到  Y 的某個元的函數。
要超越上述純粹符號操作水平去理解群，必須采用更加結構性的概念。有一個概念性原理位于所有下列概念的底層：要发挥群提供的結構（而無結構的集合就沒有）的优势，與群有關的構造必須与群運算兼容。下列概念中以各種方式表现了這種兼容性。例如，群可以通過叫做群同態的函數相互關聯。根據上述這個原理，要求它們以精確的意义照顧到群結構。群的結構還可以通過把它們分解成子群和商群來理解。“保持結構”的原理是在數學中反復出現的一個主題，它是靠範疇來工作的一個實例，在這裡的情況下靠群范疇。
群論術語 > 群同態

条目：群同態
群同态是保持群結構的映射。稱兩群之間的映射  \varphi \colon \,G\to H 為群同態，當且僅當
對  G 的所有元  a,\,b 均成立。上式同樣蘊含了  \varphi (e_{G})=e_{H} 與  \forall a\in G,\,\varphi (a^{-1})=\left[\varphi (a)\right]^{-1}。因此說：群同態保持了群的所有結構。
兩群  G,\,H 被稱作同構的，當且僅當存在群同態  \rho \colon \,G\to H,\,\sigma \colon \,H\to G，使得  \rho \sigma =\operatorname {id} _{G},\,\sigma \rho =\operatorname {id} _{H}，也就是説，其複合分別得到了  G 和  H 上的恆等變換，此時也記  \sigma =\varphi ^{-1}。從抽象的觀點來看，同構的一類群携帶了完全相同的信息，或者說，在「模去」群結構以外的性質后，所有同構的群可以視作唯一的單個對象。例如，對群  G 中的某個元  a 已經證實了  aa=e_{G}，如果另一群  H 由映射  \varphi  同構于該群，則相當於證明了  \varphi (a)\varphi (a)=\varphi (e_{G})=e_{H}。
此外，一個群可以擁有非恆等變換的自同態或自同构，如果以映射為元，映射复合為群乘法，則任意群  G 擁有其自同態群和自同構群，分別記作  \operatorname {End} G 和  \operatorname {Aut} G。
群論術語 > 子群

条目：子群
非正式地說，子群是包含在更大的群内的一個群。
具體而論，對群  G 與其子集  H\subseteq G，如果  H 對  G 的群乘法  \circ _{G} 和幺元  e_{G}\in H 亦構成群，則稱  H 為  G 的一個子群，常記之為  H\leq G。
可以證明，可通過以下判據校驗群  G 的子集  H 是否爲其子群： H\leq G\Leftrightarrow \forall g,\,h\in H,\,g^{-1}h\in H。
前文所述的例子中，幺元與旋轉構成其一個子群  R=\left\{\operatorname {id} ,\,r_{1},\,r_{2},\,r_{3}\right\}，在上面的表格中突出為紅色：任意兩個旋轉，其複合仍爲旋轉，且任意旋轉可被一個相反方向上的旋轉所抵消。
了解子群族對于作為一個整體來理解群是重要的。
給定群  G 的任意子集  S\subseteq G，稱由  S 生成的子群為  \langle S\rangle =\left\{e,s_{1}s_{2}\cdots s_{n}\colon \,\forall i,\,s_{i}\in S\cup S^{-1}\right\}，其中  S^{-1}:=\left\{s^{-1}\colon \,s\in S\right\}。這是包含  S 的  G 的最小子群，由  S 本身的元素與其逆元的所有可能的有限乘積組成。
同樣在前文所述的二面體群中存在例子：由  \left\{r_{2},\,f_{v}\right\} 生成的子群為  \left\{\operatorname {id} ,\,r_{2},\,f_{v},\,f_{h}=f_{v}r_{2}\right\}。這一集合的確構成群，驗證時需要注意，在該群内有  \forall a,a^{2}=\operatorname {id} ，這也意味著所有元都是自身的逆元，也就是説該群的方次數為 2，關於這一性質，見後文所述之階。
群論術語 > 陪集

条目：陪集
在很多情況下，需要認為兩個元是等同的，如果它們只相差一個给定子群中的元素。例如，在上述  D_{4} 中，一旦進行了翻轉，再只进行旋轉而不再进行翻轉，正方形就永遠不能回到  r_{2} 的构型，此時可以認爲，旋轉運算對于是否已經進行了翻轉的問題是無關緊要的。陪集可用來把這種现象形式化：子群  H 定義了左陪集和右陪集，它們可以認為是把  H 平移了一个任意群元素  g。用符號表示， H 的包含  g 的左和右陪集分別構成集合
其中
同時也可以定義雙陪集為
顯然，左右陪集為雙陪集之特例，取某一側子群為  \{e\} 即可。
任何子群  H 的陪集形成了  G 的一个劃分，換言之，
對任兩個陪集  HxK,\,HyK， HxK\cap HyK\neq \varnothing \Leftrightarrow HxK=HyK，且
取陪集所有元作無交并有  G=\bigsqcup _{x}HxK，其中每個  x 作爲每個陪集之代表元被選取。
設有  HxK\cap HyK\neq \varnothing ，倘  hxk=h'xk'，則  x:=h^{-1}h'yk'k^{-1}\in HyK，即  HxK\subset HHyKK=HyK；同理  HyK\subset HxK。故而矛盾，第一句命題得證。
第二句命題是顯然的，不過須要注意到，代表元的選取依賴於選擇公理。
考慮左右陪集。 H 的左和右陪集可以相等也可以不相等。如果它們相等，就是說對于所有  G 中的  g 有  gH=Hg，則  H 被稱為正規子群。
在前面介绍的對稱群  D_{4} 中，由旋轉構成的子群  R 的左陪集  gR
要么等于  R，如果  g\in R ；
要么等于  U=f_{v}R=\left\{f_{v},\,f_{d},\,f_{h},\,f_{c}\right\}（用綠色突出）。
此處的子群  R 還是對  D_{4} 正規的，因為有  f_{v}R=U=Rf_{v}，且對于任何  f_{v} 以外的元素也類似。
群論術語 > 商群

条目：商群
有时，在由陪集形成的集合上可以赋予一个满足群公理的运算，使之成为商群或因子群。这仅在子群正规时可行。給定任何對  G 正規的子群  N，定義由  N 決定的商群為
這個定義是由關聯任何元素  g 到它的陪集  gN 的映射  G\to G/N 是群同態的想法（自身是上面提出的一般結構性考慮的一個實例）所激發的，或者是叫做泛性質的一般抽象考慮。陪集  eN=N充當了這個群的單位元，在商群中  gN 的逆元是  (gN)^{-1}=g^{-1}N。
|  \cdot  |  R |  U |
| --- | --- | --- |
|  R |  R |  U |
|  U |  U |  R |
商群  D_{4}R 的群表。
商群  D_{4}/R 的元素是代表單位元的  R 自身和  U=f_{v}R。商群上的群運算如右側所示。例如， UU=(f_{v}R)(f_{v}R)=(f_{v}f_{v})R=R。子群  R=\left\{\operatorname {id} ,\,r_{1},\,r_{2},\,r_{3}\right\} 與其構造的商群  D_{4}/R 均交換，而  D_{4} 本身并不交換。通過较小的群构造较大的群，例如從子群  R 和商群  D_{4}/R 构造  D_{4}，被抽象為叫做半直積的概念。
商群和子群一起形成了用它的展示描述所有群的一種方法：任何群都是這個群的生成元上的自由群模以“關係”子群得到的商群。例如，二面體群  D_{4} 可以由兩個元素  r 和  f 生成（比如  r=r_{1} 右旋，和  f=f_{\mathrm {v} }  垂直，或任何其他翻轉），這意味著正方形的所有對稱變換都是這兩個對稱或它們的逆元的有限復合。与
關係在一起，這個群就完全描述出來了。群的表示還可以被用來構造凱萊圖，它是一种利用图形来辅助理解离散群的工具。
此外，子群與商群以下列方式聯係起來： G 之子集  H 可視作由單射  H\rightarrowtail G 構造，而  G 對正規子群  N 之商群  G/N，則由一個滿射，即典範同態  \pi \colon G\twoheadrightarrow G/N 匯出。需要指出，一般意義上的同態既不一定單，亦不一定滿。
群論術語 > 共軛

条目：共軛類
如果同一個群中的兩個元素p 和q 滿足關係：p = x−1qx，其中x 也是同一個群中的元素，則稱元素p 和q 共軛。共軛关系是一个等价关系，即它满足三个性质：共軛是自反的、对称的和傳遞的。
在群中可以找到一個集合，這個集合中每一個元素都相互共軛，而在這個集合以外群的其他部分已經沒有任何元素與他們具有共軛關係了。稱这种集合為群中的一個共軛類。同一個群的兩個類之間一定沒有共同的元素。群中一個元素一定屬於且僅屬於一個類。如果群中沒有元素與該元素共軛，則該元素自成一類。
群論術語 > 階

条目：階 (群論)
群中元素個數稱為群G的階，記為|G|
条目：拉格朗日定理 (群論)
子群的階能整除這個群的階
應用

条目：群論應用
周期性壁紙引發壁紙群。
平面減去一個（粗體）點的基本群由在這個區域內的環路構成。
群的例子和應用大量存在。起點是上面介紹過的整數的群 Z 帶有加法作為群運算。如果把加法替代為乘法，就得到了乘法群。這些群是抽象代數中重要概念的前身。
群應用於很多數學領域中。數學物件的性质經常是通過将群關聯与数学对象关联，并研究相應的群的性質来研究的。例如，儒勒·昂利·庞加莱通過引入基本群創立了現在所謂的代數拓撲。通過這種連接方式，拓撲性質比如臨近和連續轉換成了群的性質。例如，右側的圖像描繪了平面減去一個點的基本群的元素。這個群的元素給出為在這個區域內的環路。藍色環路被認為是零同倫（因此是無關緊要的），因為它可以收縮為一個點。圓孔的存在防止了橙色環路被收縮。橙色環路（或任何環繞這個圓孔一次的其他環路）所生成的，去掉了一個點的平面的基本群是無限循環群。基本群以這種方式探測到了這個圓孔。
在更新近的應用中，影響已經被倒轉過來，由群論背景來激發幾何結構了。在類似的脈絡下，幾何群論采用了幾何概念，比如在雙曲群的研究中。其他一些大量应用群论的数学分支包括代數幾何和數論。例如，典型群和皮卡德群在代数几何上有重要应用；參見
除了上述理論應用之外，還存在很多群的實踐應用。密碼學依賴於抽象群論方式和從計算群論中特別是實現于有限群上的時候所得到的算法知識的結合。群論的應用不限於數學；科學如物理、化學和計算機科學都受益於這個概念。
應用 > 數

很多數系統，比如整數和有理數享有自然給予的群結構。在某些情況下比如對于有理數，加法和乘法運算二者都引發群結構。這種系統是叫做環和的更一般的代數結構的前身。
應用 > 數 > 整數

整數Z在加法下的群记為（Z, +），它在上面已經描述了。整數帶有用乘法替代加法的運算，(Z, ·)不形成群。閉合、結合律和單位元公理滿足，但逆元不存在：例如，a = 2是整數，但方程a·b = 1的唯一解在這種情況下是b = 1/2，它是有理數而非整數。因此不是所有Z的元素都有（乘法）逆元。
應用 > 數 > 有理數

對乘法逆元存在的要求建议了考慮分式
整數的分式（要求b非零）叫做有理數。所有這種分數的集合通常記為Q。對于有理數帶有乘法(Q,·),成為群仍有一個小障礙：因為有理數0沒有乘法逆元（就是說沒有x使得x·0 = 1），(Q, ·)仍然不是群。
但是，所有非零有理數的集合Q\{0} = {q ∈ Q, q ≠ 0}形成一個在乘法下的阿貝爾群，記為(Q\{0},·)。結合律和單位元公理從整數的性質中得出。閉合要求在去掉零之后仍成立，因為任何兩個非零有理數的乘積永遠不是零。最后，a/b的逆元是b/a，所以逆元公理也滿足。
有理數（包括0）在加法下也形成群。同時帶有加法和乘法運算產生更復雜的結構叫做環—如果同时除法总是可能的話（如在Q中）就是域，它在抽象代數中占據中心位置。群論理論因此位于這些實體的理論的底層部分。
應用 > 數 > 非零整數模以素數

對于任何素數p，模算術提供了整數模以p的乘法群。群的元素是不能被p整除的整數模p的同余类，就是說兩個數被認為是等價的如果它們的差被p整除。例如，如果p = 5，則精確地有四個群元素1, 2, 3, 4:排除了5的倍數而6和−4都等價于1。群運算給出為乘法。因此4·4 = 1，因為通常意义下的乘積16等價於1,而5整除16 − 1 = 15。以上事实記為
p的首要作用是確保了兩個都不被p整除的整數的乘積也不被p整除，因此指示的同馀類的集合在乘法下閉合。單位元如平常的乘法群一樣是1，而結合律可以從整數的相應性質得出。最后，逆元公理要求給定不整除于p的整數a，存在一個整數b使得
逆元b可以使用貝祖等式和最大公約數gcd(a, p)等于1的事實找到。在上述p = 5的情況下，4的逆元是4，3的逆元是2，因為3·2 = 6 ≡ 1 (mod 5)。所有的群公理都滿足。實際上，這個例子類似于上述（Q\{0},·），因為它是在有限域Fp中非零元素的乘法群，記為Fp×。這些群對于公开密钥加密是至關重要的。
應用 > 循環群

条目：循環群和阿貝爾群
循環群是其所有元素都是特定元素a的冪的群（在群運算被寫為加法的時候使用術語倍數）。在乘法符號下，群的元素是：
這裡的a2意味著a·a，而a−3表示a−1·a−1·a−1=(a·a·a)−1等等。這個元素a叫做這個群的生成元或本原元。
這類群的典型例子是單位一的n次複數根，由滿足zn = 1的複數z给出，其運算為乘法。任何有n個元素的循環群同構於這個群。使用某些域論，群Fp×可以被證明為是循環群：對于p = 5, 3是生成元因為31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2,而34 ≡ 1。無限循環群同構於（Z, +），它是前面介紹的整數在加法下的群。因為這兩個原型都是阿貝爾群，所以任何循環群都是。
阿貝爾群包括有限生成阿貝爾群的基本定理的研究是非常成熟的；對這個事態的反映是很多有關群論的概念，比如中心和交換子，描述了一個給定群不是阿貝爾群的程度。
應用 > 對稱群

条目：空間對稱群
参见：分子對稱性、空間群和对称性 (物理学)
對稱群是由給定數學對象的對稱組成的群，對稱源于它們的幾何本性（比如前面介紹的正方形的對稱群）或源于代數本性（比如多項式方程和它们的解）。概念上說，群論可以被認為是對稱性的研究。 數學中的對稱性極大的簡化了幾何或分析對象的研究。群被稱為作用於另一個數學對象X上，如果所有群元素進行某個在X上的運算兼容於群定律。在下面最右側例子中，7階的（2,3,7）三角群的一個元素通過置換突出的彎曲的三角形作用在鑲嵌上（其他的元素也是）。通過群作用，群模式被連接到了所作用到的對象的結構上。
在化學領域中，比如晶體學、空間群和點群描述分子對稱性和晶體對稱性。這些對稱性位于這些系統的化學和物理表現的底層，而群論使簡化對這些性質的量子力學分析成为可能。例如，群論被用來證實在特定量子級別間不出現光學躍遷簡單的因為涉及到了狀態的對稱性。
群不只對評定在分子中蘊含的對稱性有用，而且令人驚奇的它們還可以預測出分子的對稱性有时候可以改变。姜-泰勒效应是高對稱的分子的變形，此時，在通過分子的對稱運算相互關聯的一組可能基態中，该分子将采纳一個特定的低對稱的基態。
同樣的，群論還可以幫助預測在物質經歷相變的時候出現的物理性質的變更，比如晶體形式從立方體變為四面體。一個例子是鐵電物質，這裡從順電到鐵電狀態的變更出現在居里溫度時，與從高對稱順電狀態到低對稱鐵電狀態的變更有關，并伴隨著所謂的軟聲子模式，它是在變化時轉到零頻率的振動晶格模式。
這種自發對稱性破缺在基本粒子物理中找到了進一步應用，這裡它的出現与戈德斯通玻色子的出現有关。
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |

| 富勒烯展现了二十面體對稱。 | 氨NH3。它的對稱群是6階的，用120°旋轉和反射生成的。 | 立方烷C8H8刻畫了八面體對稱。 | 六水合銅（II）配合物[Cu(OH2)6]2+。相較于完美的對稱形狀，分子垂直膨脹大約22%（姜-泰勒效应）。 | （2,3,7）三角群是雙曲群，它作用在這個雙曲面的鑲嵌上。 |
有限對稱群比如马蒂厄群被用于編碼理論中，它又用于傳輸數據的糾錯和CD播放器中。另一個應用是微分伽羅瓦理論，它刻畫有已知形式的不定積分的函數，給出何時特定微分方程的解有良好表現的群論判定標準。在群作用下保持穩定的幾何性質在幾何不變量理論中研究。
應用 > 一般線性群和表示理論

条目：一般線性群和群表示論
矩陣群由矩陣加上矩陣乘法一起構成。一般線性群GL(n, R)由所有可逆的n乘n的帶有實數元素的矩陣構成。它的子群被稱為矩陣群或線性群。上面提及的二面體群例子可以被看作（非常小的）矩陣群。另一個重要矩陣群是特殊正交群SO(n)。它描述了n維的所有可能旋轉。通過歐拉角，旋轉矩陣被用于計算機圖形學中。
表示理論是對群概念的應用并且對深入理解群是很重要的。它通過群作用於其他空間來研究群。一類廣泛的群表示是線性表示，就是說群作用在線性空間中，比如三維歐幾里得空間R3。G在n-維實向量空間上的表示簡單的是從群到一般線性群的群同態
以這種方式，抽象給出的群運算被轉換成用明確的計算可觸及到的矩陣乘法。
給定一個群作用，這給出了研究所作用的對象的進一步方法。在另一方面，它還產生了關于群的信息。群表示是在有限群、李群、代數群和拓撲群特別是（局部）緊群理論中的起組織作用的原則。
應用 > 伽羅瓦群

条目：伽羅瓦群
伽羅瓦群是通过对求解多項式方程的过程中涉及到的对称性的研究而被发展起来的。例如，二次方程ax2 + bx + c = 0的解給出為
對換表達式中的"+"和"−"，也就是置換方程的兩個解可以被看作（非常簡單的）群運算。類似的公式對於三次方程和四次方程也有，但是對於五次方程和更高次的方程就不普遍性的存在。与多項式相关联的伽羅瓦群的抽象性質（特別是它們的可解性）給出了那些多項式的所有解都可用根式表達的判定標準，就是說這些解可以類似上面公式那樣只使用加法、乘法和方根來表達。
這個問題可以使用域論來處理：考慮一個多項式的分裂域就把問題轉移到了域論的領域中了。現代伽羅瓦理論把上述類型的伽羅瓦群推廣到了域擴張，并通過伽羅瓦理論基本定理建立了在和群之間的嚴格關聯，再次凸顯了群在數學中無所不在。
有限群

条目：有限群
一個群被稱為有限群，如果它有有限個元素。元素的數目叫做群G的階。一類重要的有限群是n次对称群SN，它是N個字母的置換的群。例如，在3個字母上的n次对称群S3是由三個字母ABC的所有可能置換構成的群，就是說它包含元素ABC, ACB, ...,直到CBA，總共有6（或3的階乘）個元素。這類群是基礎性的，因為任何有限群都可以表達為n次对称群SN在適合的整數N下的子群（凱萊定理）。相似於上述正方形的對稱的群，S3還可以解釋為等邊三角形的對稱的群。
在群G中的一個元素a的階是最小的使得an = e的正整數n，這裡的  an表示 \underbrace {a\cdot \ldots \cdot a} _{n}，就是應用運算·於a的n個復本上。（如果·代表乘法則an對應於a的n次冪）。在無限群中，這個n可能不存在，在這種情況下a的階被稱為無限的。一個元素的階等于這個元素生成的循環子群的階。
更復雜的計數技術例如計數陪集，產生關于有限群的更精確陳述：拉格朗日定理聲稱有限群G的任何有限子群H的階整除G的階。西羅定理證明了它的部分逆命題。
上面討論的二面體群是8階有限群。r1的階為4，這是它生成的子群R（見上）的階。反射元素fv等的階是2。如拉格朗日定理所述這兩個階都整除8。上面的群Fp×有階p − 1。
有限群 > 有限单群分类

条目：有限单群分类
数学家们常常为寻求一种数学对象的完备的分类（或列表）而努力。并且这种分类是十分有用的: 如果有限群有一个完备的列表, 假设我们需要证明定理P时, 如果可以一步一步证明定理对列表中给出的群成立, 那我们即可证明定理P在有限群的领域内成立。这个目标迅速引出了一系列困难而意义深远的数学问题。

根据拉格朗日定理，p阶有限群（p为素数）必定是循环（阿贝尔群）群Zp。

p2阶群也被证明是阿贝尔群。但这一命题并不能推广到p3阶群，如上面的非阿贝尔群——8阶二面体群  \mathrm {D} _{4} 所示，其中 8 = 23。可以利用计算机代数系统来给较小的群列表，但没有对一切有限群的分类。 一个中间步骤是有限单群分类。如果一个非平凡群仅有的正规子群是平凡群和它自身，那么这个群叫做一个单群或简单群。合成列说明单群可以作为建构有限群的“砖块”。 有限单群分类是当代群论的一个主要成就。1998年的菲尔兹奖得主理查德·博赫兹成功地证明了怪兽月光理论。该猜想指出了有限单群中分类中的最大的散在群——“怪兽群”与一种来自经典复分析和弦理论（一种被认为统一了对许多物理学现象的描述的理论）的对象模函数之间的惊人而深刻的联系。
帶有額外結構的群

很多群同時是群和其他數學結構的例子。用范疇論的語言來說，它們是在范疇中的“群”物件，這意味著它們是帶著模仿群公理的（叫做態射的）變換的對象（可以是其他代数/数学結構）。例如，所有群（如上面定義的）也是一個集合，所以群是在集合范疇中的群物件。
帶有額外結構的群 > 拓撲群

条目：拓撲群
某些拓撲空間可以配備上群结构。為了讓群公理與拓撲交織良好，群運算必須是連續函數，就是說如果g和h只變化很小，那么g·h,和g−1必須變化不大。這種群叫做拓撲群，并且它們是在拓撲空間范疇內的群對象。最基本的例子是實數R在加法之下(R\{0},·)，任何其他拓撲比如複數或p進數也是類似。所有這些群都是局部緊拓撲群，所以它們有哈尔测度并可以通過調和分析來研究。前者提供了不變積分的抽象形式化。以實數情況为例，不变性意味着有：
對於任何常數c成立。在這些上的矩陣群也属于这种结构下，賦值向量環和賦值向量代數群也是如此，它們對數論是基礎性的。無限域擴張的伽羅瓦群比如絕對伽羅瓦群也可以配備上拓撲，叫做Krull拓撲，它又是推廣上面概述的和群的連接到無限域擴張的中心概念。適應代數幾何需要的這個想法的高級推廣是étale基本群。
帶有額外結構的群 > 李群

条目：李群 (數學)
李群（为纪念索菲斯·李而命名）是具有流形結構的群，就是說它們是局部上看起來像某個適當維度的歐幾里得空間的空間。這裡，作为額外結構的流形結構也必須是兼容的，就是說對應於乘法和求逆的映射必須是光滑的。
標準例子是上面介紹的一般線性群：它是所有 n\times n矩陣的空間的開子集，因為它由不等式
給出。這裡的A指示 n\times n矩陣。
李群在物理中是基礎性的：诺特定理把連續對稱与守恒定律关联起来。在空間和時間中旋轉和平移不变性是力學定律的基本對稱。它們可以被用來構造簡單的模型——比如在一種狀況下實施軸對稱常常會導致在解用來提供物理描述的方程上的重大簡化。另一個例子是，它有關於兩個相互運動的觀察者的時間和速度的測量。它們可以用純群論方式推演，通過把變換表達為闵可夫斯基時空的旋轉對稱。在忽略萬有引力的情況下，后者充當了狹義相對論的時空模型。闵可夫斯基時空的完全對稱群，就是說包括了平移，叫做庞加莱群。通過上述联系，它在狹義相對論中扮演了關鍵角色，并隐含地用于量子場論。 隨位置變化的對稱与規范場論一起构成现代物理对相互作用的描述的中心。
推廣

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
類似群的結構
|  | 完全性 | 結合律 | 單位元 | 除法 |
群: 是
| 幺半群 | 是 | 是 | 是 | 否 |
| 半群 | 是 | 是 | 否 | 否 |
| 環群 | 是 | 否 | 是 | 是 |
| 擬群 | 是 | 否 | 否 | 是 |
| 原群 | 是 | 否 | 否 | 否 |
| 廣群 | 否 | 是 | 是 | 是 |
| 範疇 | 否 | 是 | 是 | 否 |
在抽象代數中，通過放松定義群的某個公理可定義出更多的一般結構。例如，如果省略所有元素都逆元的要求，結果的代數結構就叫做幺半群。自然數集N（包括0）在加法下形成了幺半群，還有非零整數在乘法下(Z\{0},·)也是。有一種一般方法用來向任何（阿貝爾的）幺半群正式的增加元素的逆元，非常類似于從(Z\{0},·)得出(Q\{0},·)的方式，這叫做格罗滕迪克群。广群非常類似于群，除了復合a · b不必須在所有的a和b上有定義之外。它們由更加復雜形式的對稱的研究所引發，常見于拓撲和分析結構比如基本广群中。表格給出一些推廣群的結構。
參見

子群
群子集的乘積
正规子群
同构基本定理
有限群
中心化子和正规化子
拉格朗日定理
可解群
冪零群
半群
舒尔正交关系
注釋

《數學評論》列出了3,224篇2005年寫的關于群論和它的應用的研究論文。
閉合公理已經由·是二元運算的條件所蘊含。因此有些作者省略這個公理。。
比如參見Lang (2002, 2005)和Herstein (1996, 1975)的書。
但是一個群不由它的子群的格所決定。參見。
群運算的這么規范的擴展是泛性質的實例。
例如，依據拉格朗日定理，如果是有限的，則任何子群和任何商群的大小整除的大小。
詞同態演化自希臘語ὁμός—相同和μορφή—結構。
循環群的加法符號是。
例子參見塞弗特－范坎彭定理。
一個例子是群的群上同調，它等于它的分類空間的單同調。
有乘法逆元的元素叫做可逆元，參見。
通過增加分數的從整數到有理數的轉變推廣為分式。
用任何替代同樣是真的。參見。
例如，的乘法群的有限子群必然是循環群。參見。模和單純代數的撓概念是這個原理的另一個實例。
陳述的性質是素數的一個可能定義。參見素元。
例如，迪菲-赫爾曼密鑰交換協議使用離散對數。
阶不超过2000的群是已知的。这些群在同构意义下约有490亿个。参见.
在单群和一般群分类之间的缺口在于扩张问题，一个很难一般性求解的问题。参见.
等价地说，一个非平凡群是单群当且仅当它仅有的商群是平凡群和自身。参见, .
更嚴格的說，所有群都是某個圖的對稱群，參見。
更精確地說，monodromy作用在要考慮的微分方程的解的向量空間上。參見。
例如參見史瓦西度规，這裡的對稱極大的減小了物理系統的復雜性。
例如，這是有限簡單群的分類的關鍵。參見。
例如，群作用在單模上的效果的Schur引理。更加復雜的例子是絕對伽羅瓦群作用在平展上同调上。
單射和滿射分別對應於單同態和滿同態。在傳給對偶范疇的時候它們是可互換的。
注釋 > 引文

↑  Herstein 1975, §2, p. 26
↑  Hall 1967, §1.1, p. 1:“群的想法遍布在包括純數學和應用數學二者的整個數學中。”
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引用 > 一般引用

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引用 > 歷史引用

参见：群論在歷史上的重要出版物。
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外部連結

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Group （页面存档备份，存于） at PlanetMath.
The development of group theory （页面存档备份，存于） at The MacTutor History of Mathematics archive.
單位一的六次複數根形成一個循環群。z是本原元而z2不是，因為z的奇數冪不是z2的冪。
旋轉和翻轉形成一個大二十面體的對稱群。
兩個向量（左側展示），和它們乘以矩陣之后（中間和右側展示）。中間的表示了順時針旋轉90°，而右側的再按因子2伸縮了x坐標。
在複平面中的單位圓在複數乘法下是李群，所以是拓撲群。它是拓撲的因為複數乘法和除法是連續的。它是流形并因此是李群，因為所有小段比如在圖中的紅色圓弧，看起來像（顯示在底下的）實數線的一部分。
陸燦 (崇禎進士)

陸燦（？—1639年），字振玉，號墨涛，浙江嘉興府平湖縣人，明朝政治人物。
生平

天啓七年（1627年）舉丁卯科浙江鄉試第八名，崇禎七年（1634年）甲戌科進士，授山東濟南府推官，九年丙子分考，得士六人，趙進美以垂髫冠齊魯。監生宋玉鋐兄弟坐盗誣舉家，系狱數載，屡叩登聞不得白，燦獨察其冤，且廉知真盗系廠狱，因請復鞫，悉反其案釋之。莅任三年，釋殊死重囚七人，城旦以下十余人。十一年戊寅（1638年）十二月，清兵破居庸關南下，山東大震，巡撫颜继祖率師次德州，总监太监高起潜以兵駐臨清、濟寧間，濟南告急，巡按宋學朱適出巡章丘，急策騎馳至，閲城中兵惟土兵五百。及調莱兵七百，率司道嬰城固守。清兵築長圍三面困之，援兵不至，十二年己卯（1639年）正月二日黎明城陷，巡按御史宋學朱殉國死之，有人勸陸燦出逃，燦瞋目曰：「城存與存，城亡與亡，勿顧我。」遂死之，闔門皆遇難。
家族

曾祖陆尧夔，太学生；祖陆锡潔，庠生；父陸瀗，庠生。
引用

↑  《崇祯七年甲戌科进士履历便览》：陸燦，曾祖尧夔，太学生；祖锡潔，庠生；父瀗，庠生。墨涛，书一房，己酉年四月初八日生，嘉兴府平湖县人，丁卯乡试八名，会一百三名，三甲二百十二名，都察院观政，乙亥授济南府推官，丙子同考，己卯正月卒于虏难。
↑  《平湖縣志》
參考文獻

嘉慶《平湖縣志》·卷七·選舉
嘉慶《平湖縣志》·卷九·人物
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官衔
| 前任： 王敷極 | 明朝濟南府推官 崇禎年間－1639年 | 繼任： 丘祖德 |
|  论 编天啓七年（1627年）丁卯科浙江鄉試榜 |
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中式舉人 97名: 曹惟才 楊國肇 - 祁豸佳 - 許文岐 - 項堯睿 鮑尚絅 - 朱大典 - 陸　燦 - 許元釗 - 陸大紳 史惟傑 - 錢士驌 - 吳應芳 - 胡獻來 - 閔　度 - 王肇坤 - 徐明徵 - 楊琪森 - 鄭元霖 - 鄭胤唐 向　北 - 駱宏珪 - 陳函煇 - 袁大器 - 沈履祥 - 包元會 - 姚　潛 - 馬嘉植 - 葛徵奇 - 錢希中 重華 - 虞國階 - 詹見奇 - 葉　煥 - 趙林翹 - 陳百奇 - 曹頴洙 - 陳美發 - 俞增遠 - 沈金鑑 胡振芳 - 黎樹聲 - 鄭筦卿 - 周家俊 - 張明昌 - 毛鳳彩 - 吳希哲 - 胡長庚 - 沈兆行 - 應　對 丁允和 - 俞咨龍 - 張所見 - 謝嶽謨 - 虞國鎭 - 陳立政 - 莊國英 - 金汝礪 - 沈炳文 - 錢之璉 田正春 - 姚允致 - 應文煥 - 薛宏繹 - 徐　灝 - 嚴　端 - 吳　杉 - 趙履祥 - 鄭憲卿 - 曹成模 張漢傑 - 章美瑾 - 許金吉 - 孟稱堯 - 胡麒生 - 吳恭章 - 施惟誠 - 朱　紱 - 谷光焰 - 吳永澄 沈述裘 - 張拱樞 - 沈一夔 - 魏曰瑜 - 葛龍官 - 畢崇道 - 屠肇芳 - 周鳴讜 - 王士元 - 胡餘慶 葛百宜 - 朱顔復 - 陳士瓚 - 王士瑞 - 趙景和 - 徐允昇 - 倪元佐 - －－－ - －－－ - －－－
前一科：天啓四年甲子科　·　後一科：崇禎三年庚午科 同科鄉榜：順天 - 應天 - 浙江 - 江西 - 福建 - 湖廣 - 河南 - 山東 - 山西 - 陝西 - 四川 - 廣東 - 廣西 - 雲南 - 貴州
|  论 编崇禎七年（1634年）甲戌科殿試金榜 |
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第一甲 賜進士及第 共3名: 劉理順 - 吳國華 - 楊昌祚
第二甲 賜進士出身 共57名: 李　焻 - 顏茂猷 - 陳組綬 - 李　青 - 周之茂 - 周之璵 - 許文岐 - 王承曾 - 劉自竑 - 張　璀 黃祖年 - 劉夢謙 - 黎慶永 - 陳黃裳 - 李含乙 - 姚應翀 - 李　豫 - 林夢官 - 莊士英 - 嚴　栻 易震吉 - 趙　煇 - 徐葆初 - 周仲璉 - 惠戶實 - 孫　謀 - 朱廷煥 - 屈　動 - 葉士瑛 - 王世鈁 朱永佑 - 張懋熺 - 錢良翰 - 陳　素 - 劉大鞏 - 張允掄 - 韓文鉉 - 程　峋 - 項聲國 - 趙開心 沈在宥 - 杜時髦 - 段復興 - 蘇　瓊 - 朱大 - 曾應遴 - 戴　英 - 吳震交 - 汪希甲 - 王永積 戴明說 - 林佳鼎 -歐陽主生- 葛遇朝 - 黎志陞 - 馮之圖 - 王所諮  - －－－ - －－－ - －－－
第三甲 賜同進士出身 共242名: 田　闢 - 陰　潤 - 吳昌時 - 范士髦 - 陳慧嶪 - 錢瀛選 - 鄭崑貞 - 王敷極 - 彭　琯 - 夏雨金 荆本澈 - 雷起劍 - 趙秉樞 - 孫　襄 - 萬文英 - 田正春 - 康萬民 - 葛維垣 - 袁彭年 - 李　恪 衞楨固 - 龔震英 - 陳士梅 - 周大啟 - 祝啟庸 - 吳文瀛 - 金汝礪 - 余日新 - 李士焜 - 黃家瑞 鄧藩錫 - 王應元 - 毛鳳彩 - 劉弘緒 - 徐　灝 - 王應元 - 傅汝爲 - 牟　賢 - 韓承宣 - 許　直 游正中 - 方允昌 - 余尚春 - 陳　藎 - 汪宗友 - 馮士仁 - 徐孟邃 - 陸運昌 - 王　珵 - 南有臺 陶廷燁 - 章日炌 - 葉培恕 - 彭慶圖 - 蕭譜元 - 陳昌言 - 劉文翰 - 馬剛中 - 張晉徵 - 謝鼎新 甯予慶 - 張　質 - 萬世顯 - 趙明遠 - 陳文顯 - 羅　炌 - 汪元兆 - 陳豐頊 - 吳鍾巒 - 何　復 金毓峒 - 徐殿臣 - 耿始然 - 李瑞和 - 劉成治 - 張　星 - 陳子達 - 劉星耀 - 李陳玉 - 楊天精 朱芾煌 - 劉運隆 - 傅　巖 - 王廷諫 - 朱國翰 - 李振聲 - 孫必達 - 翁元益 - 左懋泰 - 張文煇 詹時雨 - 向　北 - 金玉鉉 - 文德翼 - 李長倩 - 陳志忠 - 張文烶 - 龔鼎孳 - 胡之彬 - 陳爾銘 鄭翼雲 - 成友謙 - 金　章 - 楊枝起 - 黃配玄 - 叚文炳 - 楊振甲 - 宛三奇 - 宋翼明 - 王士英 陳　瑾 - 賀登選 - 王鼎鉉 - 衞周胤 - 許　頴 - 任中麟 - 萬　任 - 陶嘉祉 - 吳國斗 - 吳應台 趙國鼎 - 鄭同玄 - 宋　屺 - 王孫蕙 - 王明德 - 魯　鑑 - 劉維仁 - 趙　堪 - 唐士嶸 - 凌世韶 胡　璇 - 朱國昌 - 李化熙 - 李芳華 - 李允佐 - 李原立 - 黃文經 - 曾亨應 - 關捷先 - 馬嘉植 張　琦 - 張首標 - 李悅心 - 宋祖乙 - 田瑞龍 - 劉之勃 - 白慧元 - 任元極 - 朱統銍 - 陶文彥 扶　綱 - 楊仁 - 俞志虞 - 張正聲 - 方廷淐 - 張若獬 - 劉世俊 - 唐順徵 - 連　元 - 李　鉉 崔育楩 - 裴希度 - 侯　佐 - 梁都汴 - 闕士琦 - 光時亨 - 韓獻策 - 李其茂 - 張星煒 - 殷宜中 張才善 - 沈煃晃 - 鍾鼎臣 - 楊玄錫 - 沈元龍 - 葛凝秀 - 譚景行 - 曲和聲 - 閻　禧 - 郭萬象 王化澄 - 吳洪昌 - 高允茲 - 邢國璽 - 李盛枝 - 王門弼 - 黃士藻 - 朱奉𮡶 - 宋祖法 - 劉禎慶 李景貞 - 向玉軒 - 李發元 - 郭啓科 - 蔡國光 - 汪國策 - 朱光熙 - 陳燕翼 - 張幼安 - 羅萬傑 彭元祚 - 萬民表 - 王大宪 - 蔣拱宸 - 劉　逵 - 李　植 - 林沖霄 - 張希奎 - 刘沂春 - 姚咨俊 秦如容 - 陸　燦 - 任天成 - 賈鶴年 - 馮貞吉 - 路　邁 - 陳我德 - 張弘弼 - 李　皐 - 沈肩元 韓啓泰 - 劉鳴謙 - 黃景明 - 沈加顯 - 漆　園 - 陸清源 - 陳函煇 - 鄭　封 - 劉　侗 - 俞墨華 陈际泰 - 張懋忠 - 傅雲龍 - 張　鑛 - 吳本泰 - 張　法 - 張　垣 - 梁羽明 - 喻以恕 - 陳龍正 張如蕙 - 李可棟  - －－－ - －－－ - －－－ - －－－ - －－－ - －－－ - －－－ - －－－
前一科：崇禎四年辛未科　·　後一科：崇禎十年丁丑科 同科進士：崇禎七年甲戌武科　·　同科副榜：崇禎七年甲戌科
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：人物 :  CBDB  SHL
单向前

单向前（1972年8月—），男，汉族，河南方城人，中华人民共和国政治人物。中国人民大学经济学院西方经济学在职博士。曾任安徽省卫生健康委员会党组书记，芜湖市市长，中共芜湖市委书记，安徽省副省长；现任中共安徽省委常委、省委秘书长。
生平

1995年毕业于北京师范大学，1995年8月进入人民日报社工作，历任人事局干事、副主任科员、主任科员（1997年9月到2000年7月在职就读中国社会科学院研究生院新闻系，获硕士学位），国内政治部记者、编辑、党建组副组长。
2003年5月，进入中央组织部工作，历任干部一局副处级干部，人才工作局四处副处长，组织局处长，组织二局（基层办）一处处长，组织二局（基层办）副巡视员、一处处长，组织二局（基层办）副巡视员。
2011年11月，挂职中共芜湖市委常委、副市长；2012年7月，挂任芜湖市委常委、中共繁昌县委书记；2014年12月，任中共铜陵市委副书记；
2018年11月，任安徽省卫生健康委党组书记；
2020年6月，任中共芜湖市委副书记。7月10日，任代市长。8月27日，当选市长。
2021年5月，任中共芜湖市委书记。6月，兼任市人大常委会主任。2022年1月不再兼任芜湖市人大常委会主任；
2023年1月，升任安徽省副省长。
2024年8月，任中共安徽省委常委、秘书长。
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基斯·麥洛連

| No>  19 – 香港東方 |
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登錄位置: 中鋒
聯賽: 香港甲一籃球聯賽 東亞超級聯賽 菲律賓籃球協會
個人資料
出生:  (1992-07-30) 1992年7月30日（32歲）  加拿大安大略省奥克维尔
登錄身高: 208（6英尺10英寸）
登錄體重: 113（249磅）
職業資料
大學: 維多利亞大學
職業生涯: 2015年至今
生涯歷史
2015–2016: 格蒙登天鵝（英语：）
2019: 溫哥華強盜（英语：）
2021–2022: 南青
2022: 溫哥華強盜（英语：）
2022–至今: 香港東方
 
生涯焦點與獎項
 香港甲一籃球聯賽總冠軍（2024年）  東南亞職業籃球聯賽總冠軍（2023年）  香港甲一籃球聯賽MVP（2024）  東南亞職業籃球聯賽最佳防守球員（2023年） 
 
基斯杜化·約翰·麥洛連（英語：，1992年7月30日—）為加拿大男子籃球運動員，司職中鋒，現時效力香港甲一籃球聯賽球隊香港東方。
職業生涯

2021年麥洛連前往香港效力南青，2022年4月因COVID-19疫情返回加拿大回鍋溫哥華強盜（英语：）。
2023年3月14日，香港東方在東南亞職業籃球聯賽以2比1擊退西貢熱火奪冠，麥洛連獲選最佳防守球員。
2024年2月6日，香港東方以3比1拿下香港甲一籃球聯賽總冠軍，麥洛連抱走MVP殊榮。12月10日，香港東方啟用麥洛連作為球隊在PBA委員盃（英语：）的外籍球員，麥洛連PBA首秀繳出32分、23籃板的表現。
參考資料

. International Basketball Federation (FIBA) - FIBA.basketball.   [2024-06-01].
↑  . 東方日報. 2022-04-16  [2024-06-01].
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↑  . on.cc東網. 2024-02-06  [2025-01-06].
↑  Reuben Terrado. . SPIN.ph. 2024-12-10  [2024-12-12].
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外部連結

基斯·麥洛連在fiba.basketball（英语）
基斯·麥洛連在fiba3x3.com（英语）
基斯·麥洛連在Eurobasket.com（球員）（英语）
基斯·麥洛連在RealGM（英语）
基斯·麥洛連在Proballers（英语）
基斯·麥洛連在Flashscore（英语）
|  论 编香港東方2023年東南亞職業籃球聯賽總冠軍 |
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 8 陳兆榮  10 托查摩利路斯（意大利语：）（FMVP）  13 卜聿揚  15 巴錫（法语：）  16 徐遠成  19 麥洛連  23 梁嘉顯  24 徐遠征  27 韋思庭（維基數據所列：）  28 迪維拉（維基數據所列：）  30 胡卓斌  35 蘇利文（維基數據所列：）  88 基拔
兩航事件

XT-610为当时唯一一架飞往中国大陆的康維爾240型客機，现于中国航空博物馆展出
周恩来总理同意将原中央航空公司潘国定驾驶的北飞起义主机（CV-240型XT-610号）命名为“北京”号的批示
兩航事件（台灣稱「兩航投共」，中國大陸稱「兩航起義」）發生於第二次國共內戰後期，當時屬於中華民國交通部的中國航空公司（簡稱中航）以及中央航空運輸公司（簡稱央航）兩家航空公司员工於1949年11月9日在香港宣布起义，由中航总经理刘敬宜、央航总经理陈卓林率领自英屬香港駕駛12架飛機飛在没有地面导航和气象保障的困难条件下、冒着可能遭遇敌軍袭击的危险，飞抵中华人民共和国天津、北京；与此同时，留港员工同國民黨当局和港英当局展开了“护产斗争”（当时尚有七十一架飞机以及仓库、器材等大批资产在香港），并将一个飞机修理厂、一个电讯修配厂及数千吨设备器材、航空油料运回大陸。兩航停泊在香港國際機場的71架飛機引起台海兩岸爭奪，中華民國政府將這批飛機售予陳納德在美國成立的民航空運公司，經過國共美英各方外交角力與法律訴訟後，最終香港最高法院於1952年10月8日判決民航空運公司勝訴，取得該批飛機。1987年，中华人民共和国政府与英国政府达成协议，不再追究对前中航、央航的资产要求等4项历史遗留的资产要求。作为交换，英国政府同意向中华人民共和国政府支付380万美元。
背景

在第二次世界大戰結束前，中華民國交通部屬下有兩大航空公司——中國航空公司（中航）及中央航空公司（央航）。1946年，陳納德與魏豪爾（英语：）成立私人資本民航空運隊。在國共內戰後期，中華民國政府轄下機關開始撤往台灣。中航、央航自1949年4月起從上海將為數約80架飛機，維修設備及後勤人員陸續移至香港。香港政府曾要求兩航飛機撤出啟德但被拒絕。
1949年2月，中共中央香港分局负责人潘汉年和夏衍，加上中共文化工作委员会駐紮於香港的张骏祥、蔡景超和等人聯繫上了中國共產黨黨員何鳳元，後者當時是中航香港办事处处长，從而進一步聯繫上了劉敬宜商議起事接受中国共产党领导；而陈卓林与邓士章等人此時也決定離開香港，因此開始聯繫央航派往南京的專員雷仲仁，由後者和北平接洽。國共談判破裂後，1949年7月，中国人民革命军事委员会委派吕明和當時的央航副总经理查夷平去香港策劃起事。二者在8月24日抵達香港，通過與香港的張鐵生、廖子茴等人聯繫，決定从原來的策動飛行員起事，扩大為策動兩航全體人員起事接受中华人民共和国领导，最終策動成功。