叶状结构
叶状图与图册

为给叶状结构下精确定义，需先定义一些辅助元素。
\mathbb {R} ^{n}中的矩邻域是形式为 B=J_{1}\times \cdots \times J_{n}的开子集，其中 J_{i}是第i个坐标轴上（可能无界）的相对开区间。若 J_{1}具有形式 (a,\ 0]，则称B具有边界
在下面的定义中，坐标图（coordinate chart）被认为是在 \mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}，允许流形具有边界和（凸）角的可能。
n-流形M上余维为q的叶状图（foliated chart）是 (U,\ \varphi )，其中 U\subset M是开集， \varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }是微分同胚， B_{\pitchfork }是 \mathbb {R} ^{q}中的矩邻域， B_{\tau }是 \mathbb {R} ^{p}中的矩邻域。集合 P_{y}=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times \{y\})，其中 y\in B_{\pitchfork }称作这叶状图的斑（plaque）。 \forall x\in B_{\tau }，集合 S_{x}=\varphi _{x}=\varphi ^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork })称作叶状图的横截（transversal）。集合 \partial _{\tau }U=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times (\partial B_{\pitchfork }))称作U的切边界（tangential boundary）， \partial _{\pitchfork }U=\varphi ^{-1}((\partial B_{\tau })\times B_{\pitchfork })称作U的横截边界（transverse boundary）。
叶状图是所有叶状结构的基本模型，斑就是叶。 B_{\tau }表示“B-切”， B_{\pitchfork }表示“B-截”。还有多种可能。若 B_{\pitchfork },\ B_{\tau }都有空边界，则叶状图就建模了无界n-流形的余维-q叶状结构。若其中一个矩邻域有界，则叶状图建模了有界无角n-流形的叶状结构的各种可能性。具体来说，若 \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }，则 \partial U=\partial _{\tau }U是斑之并，斑表示的叶状结构切于边界。若 \partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }，则 \partial U=\partial _{\pitchfork }U是横截之并，叶状结构横截于边界。最后，若 \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }，则建模了叶状流形（foliated manifold），角分开了切边界与横截边界。
n-流形M上余维为q的 C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )类叶状图册（foliated atlas）是余维为q的叶状图的 C^{r}-图册 {\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}，只要P、Q在 {\mathcal {U}}的不同图中都是斑，P ∩ Q在P、Q中都是开的，它们就是相干叶状结构（coherently foliated）。
重新表述相干叶状图的有效方法是将 w\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }写作：
(U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })常写作 (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })，其中
在 \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })上，坐标公式可改写为
(U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }),\ (U_{\beta },\ x_{\beta },\ y_{\beta })是相干叶状结构这一条件意味着，若 P\subset U_{\alpha }是斑，则 P\cap U_{\beta }的连通分量位于 U_{\beta }的（可能不同的）斑中。等价地，由于 U_{\alpha },\ U_{\beta }的斑分别是横坐标 y_{\alpha },\ y_{\beta }的水平集， \forall z\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }都有邻域，其中公式
与 x_{\beta }无关。
叶状图册的主要用处是将重叠的斑连接起来，形成叶状结构；上述一般定义显得有点笨拙，一个问题是， (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })的斑可以与多个 (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })的斑相遇。甚至可能出现，一个图的斑与另一图的无穷多个斑相遇。不过，如下所示，假设情形更规则，也不失一般性。
若 {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}是叶状 C^{r}图册，则M上两具有相同余维和光滑度的 C^{r}类叶状图册 {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}是相干的： \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)。叶状图册的相干是等价关系。
上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过，我们也可以谈论闭的斑与横截：若 (U,\ \varphi ),\ (W,\ \psi )都是叶状图，使得 {\overline {U}}（U的闭包）是W的子集， \varphi =\psi |U；则，若 \varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },可知 \psi |{\overline {U}}，写作 {\overline {\varphi }}，将 {\overline {U}}微分同胚地带到 {\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.
符合以下条件的叶状图册称作规则的（regular）：
\forall \alpha \in A,\ {\overline {U}}_{\alpha }是叶状图 (W_{\alpha },\ \psi _{\alpha })的紧子集，且 \varphi _{\alpha }=\psi _{\alpha }|U_{\alpha }；
覆盖 \{U_{\alpha }|\alpha \in A\}是局部有限的；
若 (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha }),\ (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })都是叶状图册的元素，则每个闭斑 P\subset {\overline {U}}_{\alpha }的内部与最多与 {\overline {U}}_{\beta }中的1个斑相遇。
根据性质 (1)，坐标 x_{\alpha },\ y_{\alpha }延伸到 {\overline {U}}_{\alpha }上的坐标 {\overline {x}}_{\alpha },\ {\overline {y}}_{\alpha }，可以写成 {\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).性质 (3)等价于要求：若 U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing ，横坐标变化 {\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)独立于 {\overline {x}}_{\beta }.即
有公式
类似论断也适于开图（无覆盖线）。横坐标映射 y_{\alpha }可视作浸没
公式 y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\beta })可视作微分同胚
它们满足上循环条件，即，在 y_{\delta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\delta })上，
尤其是，
用上述关于相干性和规则性的定义，可证明每个叶状图册都有规则的相干细化。