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内德·拉曼特

| 内德·拉曼特  |
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第89任康乃狄克州州長（英语：）
现任
就任日期 000000002019-01-09-00002019年1月9日
副州长: 蘇珊·拜謝維奇（英语：）
前任: 丹內爾·馬洛伊
 
个人资料
出生: 小爱德华·迈纳·拉蒙特 Edward Miner Lamont Jr.  (1954-01-03) 1954年1月3日（70歲）  美国華盛頓特區
政党: 民主党
配偶: 安·亨特雷斯（英语：）（1983年结婚）
儿女: 3
居住地: 康乃狄克州州長官邸（英语：）
学历: 哈佛大学 (AB) 耶鲁大学 (MBA)
签名: 
网站: Government website
小爱德华·迈纳·拉蒙特 （英語：）是美國民主党籍政治人物，現任康涅狄格州州长，在2018年的州长选举以49.4%的支持率當選，接替了不得人心的丹内尔·马洛伊。他承诺将大麻合法化、提高康州的最低工资和增加高速公路收费。
早年生活和教育

内德·拉蒙特于1954年1月3日出生于美国首都华盛顿特区，父母是卡米勒·赫洛内（原名布兹比）和爱德华·米纳·拉蒙。
参考资料

↑  . The New York Times.   [2019-05-01]. ISSN 0362-4331. （原始内容存档于2020-11-11） （美国英语）.
↑  . Morning Consult. 2019-01-10  [2019-05-01]. （原始内容存档于2019-07-23） （美国英语）.
↑  Keating, Christopher. . courant.com.   [2019-05-01]. （原始内容存档于2020-10-31）.
|  论 编康涅狄格州長（英语：） |
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|  老特倫布爾（英语：）  M·格里斯沃爾德（英语：）  亨廷頓  老沃爾科特（英语：）  小特倫布爾（英语：）  特雷德威爾（英语：）  R·格里斯沃爾德（英语：）  史密斯（英语：）  小沃爾科特  湯姆林森（英语：）  彼得斯（英语：）  愛德華茲（英语：）  富特（英语：）  愛德華茲（英语：）  埃爾斯沃思（英语：）  克里夫蘭（英语：）  R·S·鮑德溫  圖西（英语：）  比塞爾（英语：）  J·特倫布爾（英语：）  西摩爾（英语：）  龐德（英语：）  達頓（英语：）  邁納（英语：）  霍利（英语：）  白金漢（英语：）  霍利（英语：）  英格利殊（英语：）  傑維爾（英语：）  英格利殊（英语：）  傑維爾（英语：）  英格索爾（英语：）  賀伯特（英语：）  安德魯斯（英语：）  畢格羅（英语：）  沃勒（英语：）  哈里森（英语：）  P·朗恩斯伯里（英语：）  伯克利（英语：）  莫里斯（英语：）  科芬（英语：）  庫克（英语：）  G·朗恩斯伯里（英语：）  麥克林（英语：）  張伯倫（英语：）  羅伯茨（英语：）  伍德拉夫（英语：）  利利（英语：）  威克斯（英语：）  S·鮑德溫（英语：）  霍爾科姆（英语：）  萊克（英语：）  鄧普頓（英语：）  賓厄姆  J·H·特倫布爾（英语：）  克羅斯（英语：）  R·E·鮑德溫（英语：）  赫爾利（英语：）  R·E·鮑德溫（英语：）  斯諾（英语：）  麥康瑙希（英语：）  香農（英语：）  鮑爾斯（英语：）  洛奇（英语：）  魯比科夫  鄧普西（英语：）  麥斯基爾（英语：）  格拉索（英语：）  奧尼爾（英语：）  維克爾（英语：）  羅蘭（英语：）  雷爾  馬洛伊  拉曼特  |  老特倫布爾（英语：）  M·格里斯沃爾德（英语：）  亨廷頓  老沃爾科特（英语：）  小特倫布爾（英语：）  特雷德威爾（英语：）  R·格里斯沃爾德（英语：）  史密斯（英语：）  小沃爾科特  湯姆林森（英语：）  彼得斯（英语：）  愛德華茲（英语：）  富特（英语：）  愛德華茲（英语：）  埃爾斯沃思（英语：）  克里夫蘭（英语：）  R·S·鮑德溫  圖西（英语：）  比塞爾（英语：）  J·特倫布爾（英语：）  西摩爾（英语：）  龐德（英语：）  達頓（英语：）  邁納（英语：）  霍利（英语：）  白金漢（英语：）  霍利（英语：）  英格利殊（英语：）  傑維爾（英语：）  英格利殊（英语：）  傑維爾（英语：）  英格索爾（英语：）  賀伯特（英语：）  安德魯斯（英语：）  畢格羅（英语：）  沃勒（英语：）  哈里森（英语：）  P·朗恩斯伯里（英语：）  伯克利（英语：）  莫里斯（英语：）  科芬（英语：）  庫克（英语：）  G·朗恩斯伯里（英语：）  麥克林（英语：）  張伯倫（英语：）  羅伯茨（英语：）  伍德拉夫（英语：）  利利（英语：）  威克斯（英语：）  S·鮑德溫（英语：）  霍爾科姆（英语：）  萊克（英语：）  鄧普頓（英语：）  賓厄姆  J·H·特倫布爾（英语：）  克羅斯（英语：）  R·E·鮑德溫（英语：）  赫爾利（英语：）  R·E·鮑德溫（英语：）  斯諾（英语：）  麥康瑙希（英语：）  香農（英语：）  鮑爾斯（英语：）  洛奇（英语：）  魯比科夫  鄧普西（英语：）  麥斯基爾（英语：）  格拉索（英语：）  奧尼爾（英语：）  維克爾（英语：）  羅蘭（英语：）  雷爾  馬洛伊  拉曼特  |  |
|  论 编美國現任行政長官 |
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美国总统：乔·拜登 (D)
AL 艾维 (R)   AK 邓利维 (R)   AZ 霍布斯 (D)   AR 桑德斯 (R)   CA  (D)   CO 波利斯 (D)   CT 拉曼特 (D)   DE 卡尼 (D)   FL 德桑蒂斯 (R)   GA 肯普 (R)   HI 格林 (D)   ID 利特尔 (R)   IL 普里茨克 (D)   IN 霍尔科姆 (R)   IA 雷诺兹 (R)   KS 凱利 (D)   KY 贝谢尔 (D)   LA 蘭德里 (D)    ME 米尔斯 (D)   MD 摩尔 (D)   MA 希利 (D)   MI 惠特默 (D)   MN 沃茨 (DFL)   MS 里夫斯 (R)   MO 帕森 (R)   MT 吉安福特 (R)   NE 皮伦 (R)   NV 隆巴尔多 (R)   NH 蘇努努 (R)   NJ 墨菲 (D)   NM 卢汉·格里沙姆 (D)   NY 霍赫爾 (D)   NC 库珀 (D)   ND 伯古姆 (R)   OH 德文 (R)   OK 斯蒂特 (R)   OR 科特克 (D)   PA 夏皮罗 (D)   RI 麦基 (D)   SC 麥克馬斯特 (R)   SD 诺姆 (R)   TN 李 (R)   TX 阿博特 (R)   UT 考克斯 (R)   VT 斯科特 (R)   VA 杨金 (R)   WA 英斯利 (D)   WV 贾斯蒂斯 (R)   WI 埃弗斯 (D)   WY 戈登 (R)   联邦特区：  DC 鲍泽 (D)    非建制領地：  AS 毛加 (D)   GU 格雷罗 (D)   MP 帕拉西奥斯 (I)   PR 皮爾路易西 (D)   VI 布赖恩 (D)  
隸屬政黨： 共和黨 (R): 26人（26州）  民主黨 (D)：29人（24州、4領地、1特區）  无党派 (I)：1人（1領地）
嘎斯汰河

嘎斯汰河，位于中华人民共和国内蒙古自治区东部的一条河流，是查干木伦河右岸支流，河名源自蒙古语“嘎拉德斯汰”（蒙古语：），意为“火热的泉”。嘎斯汰河发源于克什克腾旗热水塘街道（热水塘开发区）西北黄岗梁阎清奎沟，东南流至热水塘街道驻地转东北流，经宇宙地镇、林西县县城林西镇，于大井镇蛤蟆石起成为林西县与巴林右旗之间的界河，最后于红星村平顶庙汇入查干木伦河。河流全长127千米，流域面积2616.33平方千米，河道平均比降6.2‰，年均径流量0.986亿立方米。嘎斯汰河上游流经山区，两岸植被较好，克旗的热水塘温泉远近闻名。中下游在林西县境内两岸土地肥沃，是内蒙古小麦的主产区之一。
参考资料

↑  . 林西县区划地名网.   [2020-07-04]. （原始内容存档于2020-07-04）.
↑  《中国河湖大典》编纂委员会.  (M)使用|format=需要含有|url= (帮助) 1. 北京: 中国水利水电出版社. 2014年4月: 236页. ISBN 978-7-5170-1950-3.
三角函数

：此条目的主题不是。
三角函数图像（动画演示）
三角函数（英語：）是數學很常見的一類關於角度的函数。三角函數將直角三角形的内角和它的两邊的比值相关联，亦可以用单位圆的各种有关线段的长的等价來定义。三角函数在研究三角形和圆形等几何形状的性质时有著重要的作用，亦是研究振动、波、天体运动和各种周期性现象的基础数学工具。在数学分析上，三角函数亦定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是複數值。
常見的三角函数有正弦函数（ \sin ）、余弦函数（ \cos ）和正切函数（ \tan 或 \operatorname {tg} 或 \operatorname {tang} ）；在航海学、测绘学和工程学等其他学科中还会用到例如余切函数（ \cot 或 \operatorname {ctg} ）、正割函数（ \sec ）、余割函数（ \csc ）、正矢函数和半正矢函数等其它三角函数。不同的三角函数之间的关系可以几何直观或计算得出，称为三角恒等式。
三角函数一般用于计算三角形中的未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学和物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也称双曲正弦函数、双曲余弦函数等。
历史

三角函数的早期研究可以追溯到古代。例如古埃及数学家在鑑別尼羅河泛濫後的土地邊界、保持金字塔每邊斜度相同，都使用了三角術，只是他們可能還沒有對這種方式定名而已。古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同）。对于指定弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这记法和现代的正弦函数等价。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》（）中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。
希腊文化传播到古印度后，印度人繼續研究了三角术。公元5世纪末的数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，後来古印度数学家亦用了这做法，和现代的正弦定义一致。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度（3.75°）的三角函数值表。然而古印度的数学与当时的中国一样，停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了正切和余切、正割和余割的概念，并计算了间隔10分（10′）的正弦和正切数值表。到了公元14世纪，阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化（古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式）的努力为後来三角学从天文学中独立出来，成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。
进入15世纪后，阿拉伯数学文化开始传入欧洲。随着欧洲商业兴盛起來，航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的三角函数值表。哥白尼的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯（英语：）制作了间隔10秒（10″）的正弦表，有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义，原来称弧对应的弦长是正弦，瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后，数学家开始将古希腊有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。弗朗索瓦·韦达给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。
18世纪开始引进解析几何等分析学工具，数学家开始用分析学研究三角函数。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示。将牛顿的结果告诉詹姆斯·格列高里，後者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。莱布尼兹在1673年左右也独立得到这结果。欧拉的《无穷小量分析引论》（，1748年）对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写、、、、和（）。
1631年徐光启与邓玉函、汤若望合撰《大测》首次将三角函数引入中国并确立了正弦、余弦等译名。
几何定义 > 以直角三角形來定义

直角三角形只有锐角（大小在0至90度之间的角）三角函数的定义。指定锐角 \theta 可做出直角三角形，使一個内角為 \theta ，對應股（对边a）、勾（邻边b）和弦（斜边h）：
几何定义 > 以直角坐标系來定义

假设



P
(
x
,
y
)


{\textstyle P(x,y)}

是平面直角坐标系



x
O
y


{\textstyle xOy}

中的一点，



θ


{\textstyle \theta }

是横轴正向







O
x

→





{\textstyle {\vec {Ox}}}

逆时针旋转到







O
P

→





{\textstyle {\vec {OP}}}

方向所形成的一個角，



r
=



x

2


+

y

2




>
0


{\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}

是



P


{\textstyle P}

到原点



O


{\textstyle O}

的距离，则 \theta 的六種三角函数定义为：
| 正弦 | 餘弦 | 正切 | 餘切 | 正割 | 餘割 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  \sin \theta ={\frac {y}{r}} |  \cos \theta ={\frac {x}{r}} |  \tan \theta ={\frac {y}{x}} |  \cot \theta ={\frac {x}{y}} |  \sec \theta ={\frac {r}{x}} |  \csc \theta ={\frac {r}{y}} |
这样可以定义任何角度的三角函数（除非当定义式无意义时）。大于360°或小于-360°的角度可认为是转了（逆时针／顺时针）不止一圈。而多转或少转了整数圈不会影响三角函数的取值。如果按弧度制方式记录角度，将弧长作为三角函数的输入值（360°等于 2\pi ），那么三角函数就是取值为全体实数R，最小正周期（基本周期）为 2\pi 的周期函数，如
正弦、余弦、正割或余割的基本周期是 2\pi 弧度或360°；正切或余切的基本周期是 \pi 弧度或180°。
几何定义 > 单位圆定义

三角函数亦可以根据直角坐标系 xOy中半径为1，以圆心为原点 O的单位圆来定义。指定一角 \theta ，假设 A(1,0)为起始点，如果 \theta >0则将 OA以逆时针方向转动，如果 \theta <0则以顺时针方向移动，直到转过的角度等于 \theta 为止。假设最终点A转到的位置为 P(x,y)，那么
| 正弦 | 餘弦 | 正切 | 餘切 | 正割 | 餘割 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  \sin \theta =y |  \cos \theta =x |  \tan \theta ={\frac {y}{x}} |  \cot \theta ={\frac {x}{y}} |  \sec \theta ={\frac {1}{x}} |  \csc \theta ={\frac {1}{y}} |
基本性质

从几何定义中能推导出很多三角函数的性质。例如正弦函数、正切函数、余切函数和余割函数是奇函数，余弦函数和正割函数是偶函数。正弦和余弦函数的图像形状一样（见右图），可以看作是沿著坐标横轴平移得到的两組函数。正弦和余弦函数关于



x
=


π
4




{\textstyle x={\frac {\pi }{4}}}

轴对称。正切函数和余切函数、正割函数和余割函数也分别如此。
基本性质 > 三角恒等式

条目：三角恒等式
不同的三角函数之间有很多对任意的角度取值都成立的等式，称为三角恒等式。最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方必定會是1。这能从斜边为1的直角三角形应用勾股定理來得出。利用符号形式表示的話，毕达哥拉斯恒等式为
因此可以推導出
另一個关键联系是和差公式，它能根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和与差的正弦和余弦。它们可以利用几何的方法使用托勒密的论证方法來推导出来；还可以利用代数方法使用欧拉公式來檢定。
| --- | --- |
  \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y  \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y  \tan \left(x+y\right)={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}  :   \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y  \cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y  \tan \left(x-y\right)={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}  
当两角相同，和角公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式（或倍角公式）：
这些等式还可以用来推导积化和差恒等式，以前曾經利用它把两数的积变换成两数的和而像对数那样使运算更快。（用制好的三角函数表）
還有半角公式：
基本性质 > 微积分

三角函数的积分和导数可参见导数表、积分表和三角函数积分表。以下是六種基本三角函數的導數和積分。
| 函数 |  \sin x |  \cos x |  \tan x |  \cot x |  \sec x |  \csc x |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 导数 |  \cos x |  -\sin x |  \sec ^{2}x |  -\csc ^{2}x |  \sec {x}\tan {x} |  -\csc {x}\cot {x} |
| 反导数（不计常数项） |  -\cos x |  \sin x |  -\ln \left|\cos x\right| |  \ln \left|\sin x\right| |  \ln \left|\sec x+\tan x\right| |  \ln \left|\csc x-\cot x\right| |
分析学定义 > 級數定義

在几何学中，三角函数的定义建立在几何直观上，只用几何和极限的性质就可以直接得知正弦和餘弦的導數。在分析学中，三角函數是解析函數，数学家利用泰勒級數给出了不依赖几何直观的代数定义：
可以证明以上的无穷级数对任意实数 x都是收敛的，所以很好地定义了正弦和余弦函数。
三角函数的级数定义經常用作严格处理三角函数和起点应用（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可以从实数系的基础发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。
其他三角函数的级数定义：
其中 B_{n}\,是伯努利数， E_{n}\,是欧拉数。
这些定义也可以看作是每个三角函数作为实函数的泰勒级数。从复分析的一條定理得出，这实函数到复数有唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，复数的三角函数是使用上述级数来定义。
分析学定义 > 級數定義 > 与指数函数和复数的關系

可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：
欧拉首先注意到这关系式，因此叫做欧拉公式。从中可推出，对实数x，
进一步还可定义对複自变量z的三角函数：
（其中 \sinh 、 \cosh 、 \tanh 為雙曲函數，其馬勞克林級數與對應的三角函數很類似，只差在正負號）
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

|  \sin(z) |  \cos(z) |  \tan(z) |  \cot(z) |  \sec(z) |  \csc(z) |
分析学定义 > 较少見的三角函數

除了上述六種基本函數，史上還有下列幾種较少見的三角函数：
弦函數（ \mathrm {crd} \;\theta ）：早期的三角函數表紀錄的是弦的全長（如托勒密全弦表），對應的三角函數為crd函數。不過今日此函數已被正弦函數取代，已經鮮少使用。
正矢（ \mathrm {versin} \;\theta ）、餘矢系列函數，與其半值函數（如半正矢系列函數）：早期導航術中很重要的三角函數之一，因半正矢公式出名。不過其定義和基本三角函數高度相關，因此在和普及後這個函數已經幾乎沒再使用。
外正割（ \mathrm {exsec} \;\theta ）和外餘割（ \mathrm {excsc} \;\theta ）：由於正割和餘割部分的數值十分接近一，因此運算時很容易出現灾难性抵消或數值誤差，因此出現了外正割和外餘割的函數與函數表來解決這類問題。不過這類問題在和普及後逐漸消失，因此這個函數已經幾乎沒再使用。
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 正矢 |  \mathrm {versin} \;\theta =1-\cos \theta  | 半正矢 |  \mathrm {haversin} \;\theta ={\frac {1-\cos \theta }{2}} |
| 餘的正矢 |  \mathrm {vercosin} \;\theta =1+\cos \theta  | 餘的半正矢 |  \mathrm {havercosin} \;\theta ={\frac {1+\cos \theta }{2}} |
| 餘矢 |  \mathrm {coversin} \;\theta =1-\sin \theta  | 半餘矢 |  \mathrm {hacoversin} \;\theta ={\frac {1-\sin \theta }{2}} |
| 餘的餘矢 |  \mathrm {covercosin} \;\theta =1+\sin \theta  | 餘的半餘矢 |  \mathrm {hacovercosin} \;\theta ={\frac {1+\sin \theta }{2}} |
| 外正割 |  \mathrm {exsec} \;\theta =\sec \theta -1 | 外餘割 |  \mathrm {excsc} \;\theta =\csc \theta -1 |
| 弦函數 |  \mathrm {crd} \;\theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right) |  |  |
分析学定义 > 微分方程定义

三角函数在物理学是研究振动和波不可或缺的工具，如简谐振动满足以下微分方程，正弦和余弦函数都满足
就是说，它们加上自己的二阶导数都等于0函数。在由所有这條方程的解的二维向量空间 V中，正弦函数是满足初始条件 y(0)=0和 y'(0)=1的唯一解，而余弦函数是满足初始条件 y(0)=1和 y'(0)=0的唯一解。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了 V的基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见线性微分方程）。很明显这條微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足 y''=-y\,，这意味着它们是二阶导数算子的特征函数。
正切函数是非线性微分方程
满足初始条件



y
(
0
)
=
0


{\textstyle y(0)=0}

的唯一解。有个非常有趣的形象证明证明了正切函数满足这微分方程，参见的Visual Complex Analysis。
分析学定义 > 微分方程定义 > 弧度的重要性

弧度通过测量沿着单位圆的路径的长度而指定一角，并构成正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的
则导数将正比于“振幅”。
这里的 k是表示在单位之间映射的常数。如果 x是度，则
如果 x是圈（轉， 2\pi 弧度， 360度），則
这意味着使用度（或圈）的正弦的二阶导数不满足微分方程
但满足
对余弦也是类似的。
这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此只有它的辐角是弧度的条件下，正弦的四阶导数才再次是正弦。因为凡是作为函数意义上的正弦、余弦、正切，都只用弧度定义，而不用360度的角度定义。
分析学定义 > 利用函数方程定义三角函数

在数学分析中，可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函数 \sin 和 \cos 使得对于所有实数 x和 y，下列方程成立：
并满足附加条件
从其他函数方程开始的推导也有可能，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这推导可以用来定义伽罗瓦域中的三角学。
计算

计算三角函数是一個十分复杂的主题，由于和提供对任何角度的内置三角函数的科学计算器的广泛使用，现在大多数人都不再需要了。本节中将描述它在三个重要背景下的计算详情：历史上三角函数表的使用、使用的现代技术以及容易找到简单精确值的一些“重要”角度。（下面只考虑一个角度小范围，比如0到 {\frac {\pi }{2}}，因为三角函数的周期性和对称性，所有其他角度可以化简到这范围内。）
条目：生成三角函数表
在誕生前，人们通常通过对计算到多个有效数字的三角函数表的内插来计算三角函数的值。这种表格在人们刚刚产生三角函数的概念的时候就已经有了，它们通常是通过从已知值（比如 \sin {\frac {\pi }{2}}=1）开始并重复应用半角和和差公式而生成。
现代使用了各种技术。一个常见的方式，特别是在有浮点单元的高端处理器上，是组合多项式或有理式逼近（比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和Padé逼近，和典型用于更高或可变精度的泰勒级数和罗朗级数）和范围简约与表查找—首先在一个较小的表中查找最接近的角度，然后使用多项式来计算修正。在缺乏乘法器的简单设备上，有叫做CORDIC算法的一个更有效算法（和相关技术），因为它只用了移位和加法。出于性能的原因，所有这些方法通常都用来实现。
对于非常高精度的运算，在级数展开收敛变得太慢的时候，可以用算术几何平均来逼近三角函数，它自身通过复数椭圆积分来逼近三角函数。
计算 > 三角函数的特殊值

条目：三角函数精确值
特殊角度可用勾股定理（即毕氏定理）人手輕易计出三角函数的值。 \pi /60弧度（3°）的任何整数倍之正弦、余弦和正切都可人手计算。以下是常用的特殊函数值。
| 函数 |  0\ (0^{\circ }) |  {\frac {\pi }{12}}\ (15^{\circ }) |  {\frac {\pi }{6}}\ (30^{\circ }) |  {\frac {\pi }{4}}\ (45^{\circ }) |  {\frac {\pi }{3}}\ (60^{\circ }) |  {\frac {5\pi }{12}}\ (75^{\circ }) |  {\frac {\pi }{2}}\ (90^{\circ }) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  \sin  |  0 |  {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}} |  {\frac {1}{2}} |  {\frac {\sqrt {2}}{2}} |  {\frac {\sqrt {3}}{2}} |  {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}} |  1 |
|  \cos  |  1 |  {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}} |  {\frac {\sqrt {3}}{2}} |  {\frac {\sqrt {2}}{2}} |  {\frac {1}{2}} |  {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}} |  0 |
|  \tan  |  0 |  2-{\sqrt {3}} |  {\frac {\sqrt {3}}{3}} |  1 |  {\sqrt {3}} |  2+{\sqrt {3}} |  \pm \infty  |
|  \cot  |  \pm \infty  |  2+{\sqrt {3}} |  {\sqrt {3}} |  1 |  {\frac {\sqrt {3}}{3}} |  2-{\sqrt {3}} |  0 |
|  \sec  |  1 |  {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}} |  {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}} |  {\sqrt {2}} |  2 |  {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}} |  \pm \infty  |
|  \csc  |  \pm \infty  |  {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}} |  2 |  {\sqrt {2}} |  {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}} |  {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}} |  1 |
注： \pm \infty 有时会写作无定义（不存在）。
反三角函数

条目：反三角函数
三角函数属周期函数而不是单射函数，严格来说并没有反函数，要定义其反函数必须先限制三角函数的定义域，使得三角函数成为双射函数。基本的反三角函数定义为：
| 反三角函数 | 定义 | 值域 |
| --- | --- | --- |
|  \arcsin(x)=y\, |  \sin(y)=x\, |  -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\, |
|  \arccos(x)=y\, |  \cos(y)=x\, |  0\leq y\leq \pi \, |
|  \arctan(x)=y\, |  \tan(y)=x\, |  -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}\, |
|  \operatorname {arccsc}(x)=y\, |  \csc(y)=x\, |  -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0\, |
|  \operatorname {arcsec}(x)=y\, |  \sec(y)=x\, |  0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}}\, |
|  \operatorname {arccot}(x)=y\, |  \cot(y)=x\, |  0<y<\pi \, |
对于反三角函数，符号 \sin ^{-1}和 \cos ^{-1}经常用于 \arcsin 和 \arccos 。使用这种符号的时候，反函数可能跟三角函数的倒数混淆。“ \mathrm {arc} ”前缀可避免这种混淆，尽管“ \operatorname {arcsec} ”可能偶尔跟“arcsecond”（角秒）混淆。
正如正弦和余弦那样，反三角函数也可以根据无穷级数来定义。例如，
这些函数也可以通过证明它们是其他函数的原函数来定义。例如反正弦函数，可以写为如下积分：
可以在反三角函数条目中找到类似的公式。使用复对数可把这些函数延伸到复数辐角：
相关定理

三角函数，正如其名，在三角学十分重要。三角学研究发现了许多利用三角函数来刻画三角形、圆形或多边形的定理。
相关定理 > 正弦定理

条目：正弦定理
正弦定理声称对于边长为 a、 b和 c而相应角为 A、 B和 C的三角形，有：
其中 R是三角形的外接圆半径。正弦定理用于计算已知两角和一边时三角形的未知边长，是三角测量中常见情况，前述為數學常用。至於物理學應用為三分力且合力為0的情況。
相关定理 > 余弦定理

条目：余弦定理
余弦定理（也叫余弦公式）是勾股定理的延伸：
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C
也可表示为
\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}。
余弦定理用于确定三角形已知两边和一角时未知的值。
相关定理 > 正切定理

条目：正切定理
相关定理 > 餘切定理

条目：餘切定理
\cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}
其中



ζ
=




1
s


(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)




{\textstyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}

为三角形的内切圆半径，



s
=



a
+
b
+
c

2




{\textstyle s={\frac {a+b+c}{2}}}

为三角形半周长。
相关定理 > 周期函数

三角函数在物理也重要，如用正弦和余弦函数描述简谐运动，它描述了很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动的一维投影。
三角函数在一般周期函数的研究中也很有用。这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候是很有用的。每个信号都可以记为不同频率的正弦和余弦函数的（通常无限）和；这是傅立叶分析的基础想法，这里的三角级数可以用来解微分方程的各种边值问题。例如，方波可以写为傅立叶级数
右边动画可見，只用幾项就形成非常准确的估计。
参考资料

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a，b，h分別為角A的对边、邻边和斜边

用单位圆定义三角函数
在直角坐标系平面上f(x)＝sin(x)和f(x)＝cos(x)函数的图像
正弦函数（蓝色）十分接近于它的7次泰勒级数（粉色）
單位圓上的三角函數，包括了兩種正矢（versin、vercos）、餘矢（coversin、covercos）、弦函數（crd）、外正割（exsec）和外餘割（excsc）
大小为 30^{\circ }和 45^{\circ }的整数倍的 \theta 角和它们的精确正弦和余弦值标注在单位圆上。 \theta 角均用弧度制和角度制表示。 \theta 角所对应的单位圆上的点的坐标为（ \cos \theta ， \sin \theta ）
利萨茹（Lissajous）曲线，一种三角基的函数形成的图像
谐波数目递增的方波的加法合成动画
本格小說

本格小說可以是指下列事物：
1924年，《新潮》雜誌總編輯中村武羅夫（日语：）定義本格小說是一種純文學，用以區別私小說（I-novel）。
1995年，日本作家水村美苗（日语：）出版《本格小說（英语：）》一書。
游紹

| 游紹翔> 导演 |
| --- | --- |
罗马拼音: Yu Shao-Hsiang
英文名: Shawn Yu
昵称: 游紹
籍贯:  中華民國
出生:  (1978-05-18) 1978年5月18日（46歲）
职业: MV導演 微電影導演 廣告導演
活跃年代: 1998-2003滾石唱片中文部企劃 2004-2009 擔任MV導演 2009-2012 大象影片製作有限公司 導演。 2012- MV廣告微電影導演

游紹翔（1978年5月18日—），又名游紹，台灣MV導演，淡江大學大傳系畢業。曾擔任滾石唱片五月天、梁靜茹、光良、劉若英、黃嘉千、周華健等歌手企劃企劃。其所執導之廣告包含台灣、中國大陸、馬來西亞、新加坡等地作品,音樂錄影帶逾四百支,另有《神的孩子都在跳舞》、《五月天為愛而生》兩部紀錄片。
歷史

1998-2003 滾石唱片 中文部企劃,擔任五月天、梁靜茹、光良、劉若英、黃嘉千、周華健等歌手企劃。
2004-2021 擔任MV導演，共拍攝約500支音樂錄影帶。
2009-2012 大象影片製作有限公司 導演。
2012- MV廣告微電影導演
影片經歷

《Final Home 當我們混在一起 世界巡迴演唱會》（2004－2006）
影像統籌、影像製作
影片經歷 > 音樂錄影帶

| 年份 | 歌手 | 專輯 | 歌曲 | 首播日期 | 備註 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2007年 | 楊丞琳 | 任意門 | YouTube上的狼來了 | 2007年9月11日 |  |
| 2010年 | 郁可唯 | 藍短褲 | YouTube上的暖心 | 2011年1月4日 |  |
| 2011年 | 五月天 | 第二人生 | YouTube上的倉頡 | 2012年3月22日 |  |
| 2013年 | 丁噹 | 蘭陵王電視原聲帶 | YouTube上的手掌心 | 2013年8月6日 | 蘭陵王片尾曲 |
| 2013年 | 陳芳語 | Kimbonomics金式代 | YouTube上的Good Girl趕快愛 | 2013年12月19日 | MV結合百萬移動舞台 |
| 2014年 | 丁噹 | 步步驚情電視原聲帶 | YouTube上的身不由己 | 2014年4月22日 | 步步驚情約定版主題曲 |
| 2014年 | 王心凌 | 第十個王心凌 | YouTube上的說不出的味道 | 2014年8月8日 |  |
| 2016年 | 丁噹 | 當我的好朋友 | YouTube上的想戀一個愛 | 2016年3月1日 |  |
| 2016年 | 丁噹x MP魔幻力量鼓鼓 | 當我的好朋友 | YouTube上的Natural High | 2016年4月27日 |  |
| 2016年 | 谭维维 |  | YouTube上的Take My Hand | 2016年5月19日 | 美國電影《X戰警：天啟》中國區宣傳曲 |
| 2016年 | 張韶涵 | 全面淪陷 | YouTube上的第一頁 | 2016年7月31日 |  |
| 2016年 | 張韶涵 | 全面淪陷 | YouTube上的終於 | 2016年8月11日 |  |
| 2017年 | 潘瑋柏 | illi 異類 | YouTube上的漫動作 | 2017年1月5日 | 與關曉彤合唱 |
| 2018年 | 陳芳語 | #Tag Me | YouTube上的再愛我一天 | 2018年1月30日 |  |
| 2018年 | 蕭秉治 | 凡人Mortal | YouTube上的心狠手軟 | 2018年7月20日 |  |
| 2019年 | 郁可唯 | 路過人間 | YouTube上的十年如一日 | 2019年5月9日 |  |
| 2019年 | 郁可唯 | 路過人間 | YouTube上的是誰 | 2019年8月6日 |  |
| 2020年 | 郁可唯 |  | YouTube上的懂得雨天 | 2020年12月25日 |  |
外部連結

（中文）簡歷 - 游紹導演
町

町原指農地，亦為土地面積單位之一，同屬漢字文化圈的日本後來用於行政區劃。
中國的「町」

「町」指田界、田間小路、田地，在中國亦用於地名，如湖南省衡阳县三湖镇，即出自当地存在上湖町、中湖町和下湖町，当地人又合称“三湖町”，另有雲南省德宏傣族景颇族自治州瑞麗市畹町鎮。《南史·列傳·侯景傳》有載「先是江陵謠言：『苦竹町，市南有好井。荊州軍，殺侯景。』及景首至，元帝付諮議參軍李季長宅，宅東即苦竹町也。」當中的「苦竹町」即地名之例。上古時期亦曾将其作为地积单位之一，《左传·襄公二十五年》有“町原防，牧隰皋，井衍沃”；《禮記註疏》有「偃豬之地，九夫為規，四規而當一井；原防之地，九夫為町，三町而當一井。」
日本的「町」

町（日语音讀日语： chō、訓讀日语： machi），可以指：
町（ / ），日本行政區劃名稱，有以下兩種不同層級的單位，可指地方上的市鎮，或者都市內的次區域劃分：
行政町：日本《地方自治法》中的普通地方公共團體之一，在縣之下，與市、村同級，合稱「市町村」，行政機關為町役所，通常設於比村較繁榮的地方，相當於中國大陸及臺灣的鎮。如東京都奥多摩町、北海道森町、福岡縣遠賀町、廣島縣府中町等。在2018年10月1日福岡縣那珂川町升格改制為那珂川市後，日本普通地方公共團體的行政町共有743個。其中，關東地方的町大多唸作、關西地方、北海道的町則大多唸作。
町丁（日语：）的町：日本都市內的次分區，在區之下，與大字同級，相當於中國大陸的社區或臺灣的。如東京都澀谷區代官山町、日治臺北市的西門町。
町（），在和語中可指市區、街區、都市內的一小部分區域，亦可指小規模的都市或市鎮。
面積單位。1町=10反=3000坪，約9917平方公尺，約等於一公頃（一甲約2934坪，一公頃約3025坪）。
長度單位。1町=60間，約109.09公尺。
日本的「町」 > 日本具歷史背景的町

城下町
陣屋町
武家町
寺町
宿場町
港町
門前町（鳥居前町）
寺内町
社家町
在郷町
花町
溫泉町
參見

维基词典中的词条「」。
名稱以「」開頭的所有条目
名稱包含「」的頁面
参考资料

↑  《重編國語辭典修訂本》網路版
↑  .   [2011-01-02]. （原始内容存档于2011-11-23）.  三湖镇介绍，衡阳县政府公众信息网
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↑  . 中日新聞. 中日新聞.   [2022-07-06]. （原始内容存档于2022-07-06）.
參見

町 (單位)
町丁（日语：）
外部連結

（页面存档备份，存于） "Large City System of Japan"; graphic shows towns compared with other Japanese city types at p. 1 [PDF 7 of 40]
金牌黑幫

| 金牌黑幫  |
| --- | --- |
電影海報
基本资料
导演: 布萊恩·海格蘭
监制:  提姆·畢文  艾瑞克·費納  克里斯多福·克拉克  昆汀·柯蒂斯  布萊恩·奧利佛 
编剧: 布萊恩·海格蘭
原著: 《The Profession of Violence》 約翰·皮爾森作品
主演:  湯姆·哈迪  艾蜜莉·布朗寧  克里斯多福·艾克斯頓  柯林·摩根  泰隆·艾格頓 
配乐: 卡特·布威爾
摄影: 迪克·蒲柏
: 彼得·麥克諾迪
制片商:  Anton Capital Entertainment  十字小溪影業  StudioCanal  Working Title Films 
片长: 131分鐘
产地: 英國
语言: 英語
上映及发行
上映日期:  2015年9月9日 (2015-09-09)（英國）  2015年11月13日 (2015-11-13)（臺灣）  2015年11月20日 (2015-11-20)（美國）  
发行商: 環球影業
预算: 2500萬美元
票房: 4300萬美元
各地片名
中国大陆: 
香港: 
臺灣: 
《》（英語：，）是一部2015年英國犯罪驚悚片，為布萊恩·海格蘭執導和編劇。本片意味著海格蘭繼1997年的《鐵面特警隊》後再度重返犯罪類型的改編劇本，同時也是他執導的第五部電影。電影根據約翰·皮爾森的小說《The Profession of Violence: The Rise and Fall of the Kray Twins》改編而來，描述在1960年代的伦敦，一對雙胞胎黑道兄弟檔的黑帮历史。
由湯姆·哈迪一人分飾兩角並與艾蜜莉·布朗寧、柯林·摩根、大衛·休里斯、克里斯多福·艾克斯頓、查茲·帕明泰瑞、塔拉·菲茲傑拉德和泰隆·艾格頓共同主演。
主要拍攝於2014年6月開始在白金漢郡和倫敦等地進行。StudioCanal定於2015年9月9日在英國上映，而美國則由環球影業定於2015年11月20日發行。
劇情

在1960年代，「柯雷雙胞胎」是一對行徑暴力的黑道兄弟檔，兩人在工作的同時也控制自己神經質的一面。
Tom Hardy一人分饰两角，出演伦敦黑帮史上最叱咤风云的克雷兄弟，雷金纳德（Reginald Kray）和罗纳德（Ronald Kray）。他们统治了上世纪五六十年代整个伦敦的东区，从持械抢劫到暴力袭击，从收保护费到走私军火，谋杀，可以说是无恶不作。黑白两道通吃的他们在商界、政界、娱乐界都广受欢迎。兄弟中的弟弟自称是双性恋，与许多政客有染……警方在1968年将两兄弟捉拿归案，最终判处终身监禁，结束了他们罪恶的黄金时代…… （页面存档备份，存于）
演員

湯姆·哈迪 飾 羅納德·「朗尼」·柯雷／雷­金納德·「瑞基」·柯雷（Ronald "Ronnie" Kray／Reginald "Reggie" Kray）
艾蜜莉·布朗寧 飾 法蘭西絲·謝伊（Frances Shea），瑞基的女友
柯林·摩根 飾 法蘭基·謝伊（Frankie Shea）
克里斯多福·艾克斯頓 飾 倫納德·李德（Leonard "Nipper" Read）
泰隆·艾格頓 飾 愛德華·「瘋狂泰迪」·史密斯（Edward "Mad Teddy" Smith）
大衛·休利斯 飾 萊斯利·佩恩（Leslie Payne），柯雷兄弟的经纪人，与朗尼关系不和
阿奈林·巴纳德 飾 大衛·貝里（David Bailey）
保羅·安德森 飾 艾爾伯特·多諾霍（Albert Donoghue）
查茲·帕明泰瑞 飾 安傑洛·布魯諾（Angelo Bruno）
市場行銷

2014年6月13日，電影的首張劇照釋出，這透露了哈迪一人分飾兩角的邊疆區雙胞胎。
評價

爛番茄有62%的評級，平均得分6／10；該網站共識：「作為一部黑幫傳記片，《金牌黑幫》有著重大的缺陷，但湯姆·哈迪的雙重角色演出毫不遜色，使其不辜負了它的片名」。Metacritic得分55，好壞平均參雜。
備註

臺灣前譯：「黑幫傳奇」。
參考文獻

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外部連結

官方网站
互联网电影数据库（IMDb）上《Legend》的资料（英文）
Box Office Mojo上《Legend》的資料（英文）
爛番茄上《Legend》的資料（英文）
Metacritic上《Legend》的資料（英文）
|  论 编布萊恩·海格蘭執導電影 |
| --- | --- |
 《》（1999）  《狂野武士》（2001）  《食罪人》（2003）  《42號傳奇》（2013）  《金牌黑幫》（2015）  《善类》（2023）
查干木伦河

查干木伦河（蒙古语：，西里尔字母：），位于中华人民共和国内蒙古自治区东部的一条河流，是西拉木伦河左岸支流，河名在蒙古语中意为“白色的河流”。查干木伦河源流有二：灰通河（辉腾河、辉腾高勒）和阿尔尚河（阿尔山高勒、阿日山高勒），皆发源于巴林右旗索博日嘎镇东北端，大兴安岭山脉赛罕乌拉山东麓，两源于虎硕芒哈嘎查汇合后干流始称“查干木伦河”，蜿蜒向西南流经索博日嘎镇、林西县五十家子镇，在五十家子镇九连庄村（原兴隆庄乡）转南流，为巴林右旗与林西县的界河，经巴林右旗查干沐沦苏木、林西县官地镇，在林西县大井镇红星村平顶庙右纳嘎斯汰河后再次流入巴林右旗，转东南流，经巴林右旗政府驻地大板镇、德日苏宝冷水库，于查干诺尔镇楚图古楞汇入西拉木伦河。河流全长213.7千米，流域面积11450平方千米，河道平均比降2.55‰，年均径流量3.98亿立方米。查干木伦河上游两岸牧草丰美，是赤峰市主要牧业区。中游为农牧结合区，主要种植小麦。下游两岸多沙丘草甸。历史上查干木伦河是契丹族的故土和发祥地，流域内有多处辽金两代的历史遗址。
参考资料

↑  《中国河湖大典》编纂委员会.  (M)使用|format=需要含有|url= (帮助) 1. 北京: 中国水利水电出版社. 2014年4月: 235页. ISBN 978-7-5170-1950-3.
蒂亞戈·蒙泰羅 (網球運動員)

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全名: Thiago Monteiro
國家/地區:  巴西
居住地:  巴西里约热内卢
出生:  (1994-05-31) 1994年5月31日（30歲）  巴西摩基达斯克鲁易斯市
身高: 183
體重: 71
轉職業年: 2011
持拍: 左手（雙手反拍）
職業獎金: 403,904
大滿貫單打成績
澳網: 第二輪（2021）
法網: 第三輪（2020）
溫網: 第二輪（2017）
美網: 第一輪（2017、2019、2020）
蒂亞戈·莫拉·蒙泰羅（葡萄牙語：，1994年5月31日—），巴西男子職業網球運動員。2016年5月8日，他在法國普罗旺斯地区艾克斯贏得了個人職業生涯的首個ATP挑戰賽冠軍。