自然對數
参考资料

↑  例如哈代和賴特所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."（log x 當然是以e為基，x的「納皮爾」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。）
↑  證明：從1到b積分1/x，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}。
↑  Ernest William Hobson, , Cambridge: The University Press, 1914
↑  Boyer, Carl B., , , New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8
↑  選取接近e的底數b，對數表涉及的bx為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的bx為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。
↑  以 10^{\frac {1}{2^{54}}}這個接近1的數為基礎。
↑  
博納文圖拉·卡瓦列里在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出定積分：

 \int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,a^{n+1}\qquad n\geq 0,
其不定積分形式為：

 \int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.
獨立發現者還有：皮埃爾·德·費馬、罗贝瓦尔的吉尔（英语：）和埃萬傑利斯塔·托里拆利。
↑  設a=1，x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形面積為f(b)，[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。
↑  J. J. O'Connor; E. F. Robertson, , The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001  [2009-02-02], （原始内容存档于2012-02-19）
↑  
卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的n(x的負數冪)，由於在x = 0處有個奇點，因此定積分的下限為1，而不是0，即為：

 \int _{1}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\qquad n\neq -1.
歐拉的自然對數定義：

 {\begin{aligned}\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1)\\&=\lim _{n\rightarrow -1}{\tfrac {1}{n+1}}(x^{n+1}-1)\\\end{aligned}}
↑  Maor, Eli, , Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14134-3 ,sections 1, 1.
Eves, Howard Whitley, , The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, ISBN 978-0-03-029558-4 , section 9-3
Boyer, Carl B., , New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 , p. 484, 489
↑   \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{x}=\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{\frac {x}{n}}
在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x/n。
↑  Lang 1997, section IV.2
↑  Wolfram, Stephen. . from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. （原始内容存档于2011-07-18） （英语）.
↑  Kline, Morris, , Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, 1998, ISBN 978-0-486-40453-0 , p. 386
↑  Havil, Julian, , Princeton University Press, 2003, ISBN 978-0-691-09983-5 , sections 11.5 and 13.8
↑  Eves, Howard, , Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.
↑  Ratcliffe, John, , Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006  [2014-03-28], ISBN 9780387331973, （原始内容存档于2014-01-12）, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.
↑  Sarason, Section IV.9.
雙曲線扇形是笛卡爾平面 \{(x,y)\}上的一個區域，由從原點到



(
a
,


1
a


)


{\textstyle (a,{\frac {1}{a}})}

和



(
b
,


1
b


)


{\textstyle (b,{\frac {1}{b}})}

的射線，以及雙曲線 xy=1圍成。在標準位置的雙曲線扇形有 a=1且 b>1，它的面積為 \ln(b)，此時雙曲線扇形對應正雙曲角。
當直角雙曲線下的兩段面積相等時， x的值呈等比數列，






x

2



x

1




=



x

1



x

0




=
k


{\textstyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}=k}

， y的值也呈等比數列，






x

2



x

1




=



x

1



x

0




=


1
k




{\textstyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}={\frac {1}{k}}}

。
自然對數的圖像和它在 x=1.5處的切線。
\ln(1+x)的泰勒多項式只在 -1<x\leq 1範圍內有逐步精確的近似。
在直角雙曲線(方程 y={\frac {1}{x}})下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於雙曲角 u的雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中 \cosh 和 \sinh 的 {\sqrt {2}}倍。
射線出原點交單位雙曲線 \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1於點 \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)，這裡的 \scriptstyle a是射線、雙曲線和 \scriptstyle x軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。