有效数字

有效数字（significant figures，significant digits，简写 sig figs）或有效数，是能正确表达某物理量数值和精度的一个数或近似数，后者由准确数字和可疑数字组成，或是第1位不为零的数起至第1位不确定的数止，其间的所有数字。使用有效數字表示法的意義在於：測量後所記載的數量（物理量）是一組能夠表示出測量誤差的有意義數（字）。
有效数字是科学计算中用以表示一定长度浮点数精度的那些数字，一般指一个用小数形式表示的浮点数中，从第一个非零的数字算起的所有数字；例如：1.24和0.00124的有效数字都有3位。并且在取有效数字时一般会遵循四舍五入的进位规则。例如取1.23456789为三位有效数字后的数值将会是1.23，而取四位有效数字后的数值将会是1.235。
數字是表達數量的要件，常用的十進制是以數字大小從0~9當做一個循環性的依據，數字超過9進一位數，小於0退一位數的方式構成位數的變化量，因此形成數量的表達，以循環性來說，十進制是10個數字的循環，又如60個、12個、5個、2個，等多個數字的循環方式也存在於實際的生活中，純數字是抽象的，若數字附加有意義（significant）的物性（稱為單位unit）後才稱為有效數，所以本文針對有效數的運算，以及它的循環性酌量表達符合生活化。
一、 有效数（significant figures）的意義：                                                                                                                                                                     附有單位(unit)的數字才稱為有效數，沒有單位的數字稱為純數，所以有效數是代表有物性意義的數量，例如3 元、0.3 m、3.0 kg都是有效數，其中的3、0.3、3.0都是純數字，而元、m、kg都是單位，又如3個人、3個白人、3個黑人都是有效數，其中的3是純數，而人、或白人、或黑人，等都是一種單位，又如表達轉速的單位(轉/分)、或(圈/秒)，或表達心臟跳動的單位(次/分)、或(下/分)，又如表達一年四季的單位(季/年)、或一星期7天的單位(天/周)、或時薪100元的單位(元/時)，又如表達作用力(force)的單位為公斤x 米(kg x m)、等都是有2個單位的有效數，所以有效數是表達有意義而且可以實現的數量，即可以經由儀器(或工具)量測來表達的數量，若經由人的感覺量測出來的數量，則稱其為個人的主觀表達，故人的感覺量測是缺乏客觀公平性的原則，若經由有多數人的表達，則屬於社會科學。
二、有效位數（number of significant figure/digit
）的意義：                                                                                                                                                                      有效數是附有單位的數字，如果表達一個數，如321，若稱其為有效數時，則表示它是省略了單位，否則不該稱其為有效數。   在十進位制（Positional Decimal System）的數字(純數)，以數字1為最小變化量，數字是從0~9合計10個數字順序排列形成一個循環，若超過9則進一位數，小於0則退一位的方式構成位數的變化，即每一位數有10個數字循環，因此形成數量變化的表達方式，以循環性來說，十進位制是以第10個數字為開始重複循環的依據，又如60個、12個、5個、2個，等多種數字為循環依據的方式也存在於實際的生活中。
有效數占有的位數，稱其為有效位數，以十進位制來講，其中每一位的有效數也是符合十進位制的循環性，例如有效數300元、或0.03 m、或3.00 kg，這些有效數的有效位數都是3位數，其中300元的最小變化有效數為1元，而0.03 m的最小變化有效數為0.01 m，而3.00 kg的最小變化有效數為0.01 kg，若以3位有效位數的情形來表達最大的有效數，如上列的為999元、9.99 m、9.99kg，可知一個3位有效位數最多可以表達1000個有效數(從000~999)，因此有效位數越多位時，可以表達越多數量的有效數。
有效數的位數會因為表達的需求可改變為不同量的有效位數，即應用倍數、或分數的科學符號來改變位數的量，如百(102)、%(10-2)、千(103)、k(103)、毫(10-3)、m(10-3)、等多數種，舉例改變的方式:如100元是3位有效數，若改為2位有效數= 0.1千元，若改為1位有效數=1百元，如0.01萬元為3位有效數=100元，顯然的，科學符號是可以改變有效數的位數、以及其最小變化有效數，但與其單位無關，如3位有效數103 kg的表示方式可為:  103 kg = 103 x100 kg，其中數字103是3位有效位數，最小變化有效數是1 kg。                                                                                                    103 kg = 10 x11 kg，其中數字10是2位有效位數，最小變化有效數是10 kg。                                                                                                                 103 kg = 1 x 102 kg，其中數字1是1位有效位數，最小變化有效數是100 kg。                                                                                                      103 kg = 0.1 x 103 kg，其中數字0.1是2位有效數，最小變化有效數是100 kg。                                                                                                                    103 kg = 0.01 x 104 kg，其中數字0.01是3位有效數，最小變化有效數100 kg。                                                                                                                  103 kg = 103.0 x 10-1 kg，其中數字103.0是4位有效數，最小變化有效數1 kg，                                                                                                       103 kg = 103.00 x 10-2 kg，其中數字103.00是5位有效數，最小變化量是1 kg，依次類推。
三、 儀器量測的解析度(resolution):                                                                                                                                                                                                                             有效數是可以實現的數量，代表它要經由儀器(或工具)量測表達，習慣稱其為讀值(reading)，或顯示值(display value)、或器示值(儀器顯示數值的簡稱)。儀器顯示最小的讀值(minimun value)與最大的讀值(maximun value)之間的數量，稱其為儀器量測(或顯示)的範圍(range)，儀器讀值的最小變化量，稱為儀器的解析度(resolution)，故儀器顯示的讀值一定是最小變化量的倍數，所以儀器顯示的範圍大小就可以依據其有效位數的數量來表達，例如3位數的有效數(最大999)可以顯示1000個數、4位數的有效數(最大9999)可以顯示10000個數、依此類推，儀器的讀值位數越多位，顯示的範圍越大就越好，也就是說，該儀器的量測能力越強。
四、 有效數的表達方式:     儀器(或工具)量測表達有效數的方式，分為刻度型(scale)和數位型(digital)。                                                                          1. 刻度型的表達:                                                                                                                                                                                                                              刻度型是每一個刻度(格線)代表一個有效數字，從0開始計數，如下圖所示為表達1位有效數、2位有效數、以及3位有效數的刻度方式:
例如1位有效數的刻度，每一格的數為1，故最小變化量為1，所以不能表達小於1的數字，依次順序增加，如10 cm的直尺，每一格為1 cm，最小變化量為1cm，總共有10格，故其最大數為10 cm。
例如2位有效數的刻度，每一格的數為0.1，故最小變化量為0.1，所以不能表達小於0.1的數字，依次順序增加，如10 cm的直尺，每一格(稱小格)為0.1cm，故最小變化量為0.1 cm，其中每5小格稱一中格為0.5 cm，10小格稱一大格為1.0 cm，共有10大格，合計100小格，故其最大數為10.0 cm，維持最小變化量為0.1 cm。
例如3位有效數的刻度，每一格的數為0.01，最小變化量為0.01，所以不能表達小於0.01的數字，依次順序增加，因為0.01 cm的實際長度很短不容易表達，如圖中的紅色數字，只能採用數字代表，如0.25 cm、0.50 cm、1.25 cm。
表達刻度的數字就是有效數，若有表達不符合刻度的數字時，如在1位有效數的刻度，在刻度1和2之間表達為1.5，因為最小變化量是1，故其中的0.5就是人為的，不是刻度上的有效數，又如在2位有效數的刻度之間表達數字，如在刻度0.2和0.3之間表達為0.25，因為最小變化量是0.1，故其中的0.05就是人為的，不是刻度上的有效數，這種人為的表達是不符合刻度的有效數，習慣上常稱其為估計值(estimated value)，如此所示的估計值就不是有效數，實務上估計值都應該為有效數，如上例2位有效數的刻度在0.2和0.3之間的表達應估計為0.2、或0.3。
2. 數位型的表達:    數位型的儀器是要觀察它能夠表達幾位有效數， 例如下圖所示:
一般上，第1位數為0~1，其它的位數為0~9，如最大值為1.999，最小為0.000，總共可以顯示2000個數目，稱其為三位半儀器，該儀器若顯示1.999表示最小變化量為0.001，若顯示199.9表示最小變化量為0.1，或顯示19.99表示最小變化量為0.01，如此表示儀器維持2000個讀值，但其最小變化量是在改變。  同樣是三位半的儀器，有些顯示最大值為4.999，最小0.000，共計5000個數目，現下能夠顯示最多位數的儀器為8位半，總共可顯示2萬萬個數目。
五、 有效數的運算:   有效數的運算與純數的運算是有差別，其結果要符合有效數的義義。                                                                                                           1. 有效數的加法和減法運算:                                                                                                                                                                                                相同位數的有效數才能相加減，如305元 + 5.3元 = 310元，餘0.3元，因為305元的最小變化量為1元，除非改變305元的有效位數，如為305.0元即可相加，305.0元+5.3元= 310.3元。若為純數時，其結果= 310.3。
如305元 - 5.3元= 300元，在相同位數的有效數才能相減，因為305元的最小變化量是1元，沒有0.3元可以減，除非改變305元的有效位數，如為305.0元即可相減，305.0元- 5.3元= 299.7元，若為純數時，其結果= 299.7。                                                                                                                        2. 有效數的乘法運算:                                                                                                                                                                                                         如0.1 cm x 10 = 1.0 cm，結果有效數會增大，但維持其最小變化量0.1 cm，若為純數時，其結果= 1 cm，或= 1.0 cm(習慣上，約定該尾數0捨去成為1)。                                                                                                                                                                                                              如0.1 cm x 0.5 = 0.1 cm，因為乘數是分數(1/2)，被乘數0.1 cm為最小變化量無 法被2分配，若為純數時，其結果= 0.05，或四捨五入進位= 0.10，或=0.1。                                                                                                                                                                                                      如0.1 cm x 0.1 cm = 0.01 cm2，結果改變有效位數，最小變化量為0.01 cm2。                                                                                                                             如0.1 cm x 0.1 cm x 5 = 0.05 cm2，結果改變有效位數，最小變化量為0.01 cm2 。                                                                                                                                       如0.1 cm x 0.1 cm x 0.1 cm=0.001 cm3，改變有效位數，最小變化量為0.001 cm3   。                                                                                                      如0.1 cm x 0.1 cm x 0.1 cm x 5 = 0.005 cm3，結果的最小變化量為0.001 cm3。
3. 有效數的除法運算:                                                                                                                                                                                                                           如(1 cm /3人) = 0 (cm/人)，因有效數是1位數，最小變化量1cm不能被分配。                                                                                                                            如(1.0 cm/3人)=0.3(cm/人)，餘0.1 cm，因有效數是2位數，最小變化量0.1 cm。                                                                                                             如(1.00 cm/3人)=0.33(cm/人)，餘0.01cm，有效數是3位數最小變化量0.01 cm。                                                                                                            如(1.000 cm/3人)=0.333(cm/人)，餘0.001cm，因有效數是4位數，最小變化量  。                                                                                                                                                      為0.001 cm，若為純數時，其結果= 0.33333333… 表示沒有位數的限制。                                                                                                                                 習慣稱圓周率π=(圓周長/直徑)，該圓周長和直徑皆為可量測的有效數，如下表:
若採用3位有效位數計算圓周率π = 圓周長(6.28 cm) /直徑(2.00 cm) = 3.14， 所以圓周長 = 3.14 x 直徑(2.00 cm)，或 圓周長 = 3.14 x 2x半徑(1.00 cm)，因為相除的結果要維持原來的3位有效數。                                                                                                                                                            若半徑為2位有效數時，則圓周長 = 6.3 x (半徑1.0 cm) = 6.3 cm，若半徑為1位有效數時，則圓周長 = 6  x (半徑1 cm) = 6 cm。 若圓周長和直徑皆為純數時，則圓周率π = 31416….表示為無理數，  習慣上，將π =約3.14、或 =無理數、或π弧度=角180度，即詮釋不清楚。
如三角函數的表達，y = r sinθ，即y值隨半徑有效位數而變，如下表所示：   應用三角函數表達y值時，應考慮半經r的有效位數。
六、有效數的循環性:                                                                                                                                                                                           1. 循環的意義:                                                                                                                                                                                                                    十進位制的數字從0~9，共計10個數為一個循環(cycle)，若超過最大數為循環的依據，表達循環的現象以圓形和直線往復性來說明比較清楚，如下圖所示:                                                                                                                                                                                                                                如果循環的數字附有單位時，則該有效數具有循環性，這種有效數的循環性在生活上比比皆是，循環性的有效數，從最小2個數(0、1，或on off)以上皆可。                                                                                                                                                                                                                         2. 直線循環的有效數:                                                                                                                                                                                                                       直線循環是表達直線往復性的活動，如彈簧的壓縮和膨脹動作、活塞的往復循環動作、三角函數y= r sinθ的y值、等皆以直線位移的±距離做為循環的依據，該循環的距離即為最大有效數，若再配合時間t的進行來詮釋它的特徵，其中時間t和距離(長度)都是有效數。                                                         3. 圓形循環的有效數:                                                                                                                                                                                                       圓形循環是表達圓形的活動，如自然的天體現象(地球自轉)、或人造衛星繞地球，或進行圓周的活動，每循環一次的時間t、或稱繞行一圈的時間t可以為1日、或12時、或60秒、或1秒、或(1/60)秒、或百萬分之一(ppm) 秒、或其它的時間t(又如1年的24節氣，1星期為7天)、等，任何時間t都可以當做循環的最大有效數，該最大有效數即為進行循環依據的時間t。
量測圓形循環的時間t，每循環一圈(或1次)的時間t，稱1個週期T，單位(時間t/圈)，如在單位時間t裡表達循環的圈數(次數)，即表達循環快慢的情形，稱其為轉速(revolutions)，如每分鐘多少轉(rpm)，單位(圈/時間t)，或採用頻率f (frequency)來表達旋轉的速度(rotational speed)，如切線的速度(弧長/時間)、或心臟跳動的速率(次/分)、等，故週期T和頻率f是互為倒數，即f=(1/T)，習慣上，常將其單位”圈”(或次、或轉)省略，只留下時間t，顯然的失去循環的特徵，因而影響後續詮釋該數據的困擾和疑惑。
3.1 弧長循環的有效數: (1) 半徑旋轉產生弧長:                                                                                                                                                                                                                                                       圓形循環的架構，如圓的半徑(radius)是圓周到圓心的最短直線距離為有效數，若半徑旋轉時，半徑上的一點產生位移的軌跡稱為弧(arc)，該弧的長度稱為弧長，產生弧長的操作，如下圖所示:     圖中的創新方法，操作的步驟少，又能體會半徑旋轉產生弧長的情形(註1)。
(2) 半徑旋轉一圈的時間t為循環的最大有效數:                                                                                                                                                                    因為半徑和時間t都是可量測的有效數，若將半徑旋轉的時間t與半徑的關係以2維圖表示如下所示:
圖中水平軸表示時間t的進行，即量測時間t來表達半徑旋轉的情形，而半徑旋轉一圈的時間t稱為週期T，記為1T，半徑旋轉一圈後又再重複循環，所以半徑旋轉一圈的時間t(週期T)為時間t循環的最大有效數，在2T表示半徑旋轉第二圈的時間t，依次類推，若每一圈的週期T都相等，即(1T=2T)，其中週期T的時間多久是沒有限定。
圖中垂直軸代表長度，半徑旋轉時其長度是固定不變，所以量測半徑旋轉一段時間t與一圈的時間t的比值(一段時間t /一圈的時間t ) = (t/T) = n圈，其中一週期T的時間t、或半徑旋轉一圈都是循環的最大有效數，故半徑旋轉在每一個週期T就進行重複循環一圈，其中n圈表示在一週期T裡半徑旋轉的數量，簡稱半徑旋轉量，該n圈的n值稱為圈分數n，或稱一圈的幾分之幾，其變化範圍在0 ~ 1之間。
(3) 一圈的弧長是弧長循環的最大有效數                                                                                                                                                                                  因為半徑和弧長都是可量測的有效數，半徑旋轉的時間t與弧長變化的關係，以2維圖表示如下:
圖中顯示半徑旋轉時，弧長S的變化是隨時間t的進行而改變，當半徑旋轉一段弧長S的時間t = (t/T)=n圈，當半徑旋轉一圈的弧長之時間t = 1週期T，然後隨著週期T一樣進行重複循環的現象，即每一圈的弧長都相等，其中半徑是固定數，故一圈的弧長為弧長循環的最大有效數，單位(長度/圈)，所以一段弧長S與一圈的弧長的比值，即[弧長S(長度) / 一圈的弧長(長度/圈)]= n圈，如此可以導出弧長的關係式為:弧長S(長度) = n圈x一圈的弧長(長度/圈)，其中一圈的弧長隨著半徑值成為固定有效數，故弧長的變數為n圈，或稱半徑旋轉量。
(4) 一圈的弧長與半徑的比值為固定數(6.3/圈)                                                                                                                                                               已知弧長S(長度) =半徑旋轉量ⅹ一圈的弧長(長度/圈)，其中一圈的弧長是隨著半徑的長度變化而成為固定的有效數，若採用三個不同半徑的圓形，試驗一圈的弧長與半徑的關係，如下圖所示:
圖中三個不同半徑1.0 cm、2.0 cm、3.0 cm皆為有效2位數的圓形，每個圓形的周邊長以數量6.3做比例分配，標註為1、2、3、4、5、6、6.3，試驗時，讓圓形在一直線上滾動量測弧長，即以圓形標註的6.3對正0刻度點開始滾動一圈後，再量測一圈的長度(註2)，如下圖所示:
圖中為半徑1.0 cm的圓形滾動一圈的弧長= 6.3 (cm/圈)，再計算一圈的弧長與半徑的比值，即(一圈的弧長/半徑) = [ 6.3 (cm/圈) /1.0 cm ] = ( 6.3/圈)。  同理，以半徑2.0 cm的圓形滾動一圈的弧長=12.6 (cm/圈)，再計算一圈的弧長與半徑的比值，即(一圈的弧長/半徑) = [12.6 (cm/圈)/2.0 cm ]= (6.3 /圈)。 同理，以半徑3.0 cm的圓形滾動一圈的弧長=18.9 (cm/圈)，再計算一圈的弧長與半徑的比值，即(一圈的弧長/半徑) = [18.9 (cm/圈)/3.0 cm ]= (6.3/圈)，    驗證有效2位數不同半徑的圓形，其比值(一圈的弧長/半徑)固定為(6.3/圈)。
(5) 半徑旋轉量為弧長關係式的變數:                                                                                                                                                                                          依有效2位數不同半徑的圓形驗證比值(一圈的弧長/半徑)為固定的(6.3/圈)，導出一圈的弧長(或圓周長) = (6.3/圈) ×半徑(長度)，單位(長度/圈)，則弧長關係式為弧長(長度)=半徑旋轉量ⅹ(6.3/圈)×半徑(長度)，其中半徑旋轉量為變數。  或 = n圈×(6.3/圈)×半徑(長度)。其中(6.3/圈)和半徑(長度)為定數。
習慣上，計算圓周長= 2π ×半徑(長度)，其中半徑(長度)和2π都為定數，將圓周長的單位”圈”省略只留下長度，顯然失去循環性的意義，同時該關係式兩邊都是固定數，若左邊的圓周長減少為一段弧長時，在右邊的數量又要如何減少?才能相等，顯然該關係式應為圓周長(或弧長)=變數×2π×半徑(長度)，當變數=1才會等於圓周長，故表達圓周長的公式省略變數(n圈)，顯屬邏輯的瑕疵。
3.2 角度循環的有效數: (1) 半徑旋轉產生角度:                                                                                                                                                                                                                       圓形循環的架構，半徑旋轉產生弧長，同時也產生角(angle)的形狀，角的形狀大小用角度表達，角度的單位為度(degree)，從角的定義(一定點和2邊線)，角的一邊線稱始邊線，另一邊線稱終邊線，顯然是以定點為圓心表達始邊線旋轉至終邊線的數量，稱其為角度θ，該數量即為半徑旋轉量，如下圖所示:
半徑旋轉產生角度θ，在平面上畫角度的操作(註1)，如下圖所示:
圖中的創新方法，操作的步驟少，又能體會半徑旋轉產生角度的情形。
(2) 角度有效數與弧長關係式:                                                                                                                                                                                                              若將半徑旋轉一圈的角度θ設定為圓心角360度，因為半徑和角度θ是可量測的有效數，將半徑旋轉的時間t與角度變化的關係以2維圖表示如下
圖中水平軸為時間t，垂直軸為角度θ的大小，顯示半徑旋轉時，角度θ的變化是隨著時間t的進行而改變，當時間t為週期T時，角度θ成為一圈的角度，然後隨著週期T一樣進行重複循環，即每次半徑旋轉一圈的角度都相等，故一圈的角度為角度循環的最大有效數，單位(角度/圈)。
在半徑旋轉進行一段時間t = n圈，即為角度θ，所以角度θ與一圈的角度之比值=[角度θ/一圈的角度(度/圈)]= n圈，其中n的範圍為0 ~ (360度/360度)，所以角度θ的變化與弧長的關係式為:                                                                                                                                                                        弧長(長度) = n圈x (6.3/圈) × 半徑(長度)，其中n圈為變數。                                                                                                                                                        = [角度θ/一圈的角度(度/圈)] x (6.3/圈) ×半徑(長度)。                                                                                                                                                       = (角度θ/ 360度)圈x (6.3/圈) ×半徑(長度)，其中角度θ為變數。
習慣上，將圓心角360度的單位”圈”省略只留下角度，顯然的失去循環的意義，同時，將一圓周長分割為360段弧長(等量分配法)，每一段弧長對應的圓心角稱為1度，故一圓周長為360度，這都是等量分配的方式，並不是詮釋產生弧長、或角度的原因。
3.3 弧度循環的有效數:                                                                                                                                                                                                                    1873年弧度(radian)是由英國數學家詹姆斯·湯姆森（James Thomson）提出，弧度的詞彙是由半徑(radius)和弧(arc)結合，即弧長=弧度ⅹ半徑，其中半徑為定數，則弧度為弧長的變數，所以從弧長的關係式可以導出弧度的意義是什麼。                                                                                                     (1) 弧度與弧長的關係:                                                                                                                                                                                                                          已知弧長=半徑旋轉量ⅹ(6.3/圈)ⅹ半徑，其中半徑為有效2位數。                                                                                                                          = (弧長S/一圈的弧長)ⅹ(6.3/圈)ⅹ半徑，其中弧長S為變數。                                                                                                                                               = (角度θ/一圈的角度)ⅹ(6.3/圈)ⅹ半徑，其中角度θ為變數。                                                                                                                                              = (時間t /一圈的時間t)ⅹ(6.3/圈)ⅹ半徑，其中時間t為變數。                                                                                                                                               = n圈ⅹ(6.3/圈)ⅹ半徑，其中n圈=半徑旋轉量。                                                                                                                                                                     =  nⅹ6.3 ⅹ半徑，其中n為變數，其範圍在0~1之間。                                                                                                                                                        上列關係可證弧度 = n圈ⅹ(6.3/圈)，其中(6.3/圈)是經由有效2位數的半徑導出為定數，而n圈(半徑旋轉量)中的變數n之範圍在0~1之間，故弧度具有變數的功能，該n圈可經有效數弧長S、或有效數角度θ、或有效數時間t，等不同的變數分別導出，所以弧度因n圈而具循環性，如下圖所示:
圖中水平軸為時間t，垂直軸為弧度的大小，顯示半徑旋轉時，弧度的變化是隨著時間t的進行而改變，當時間t為週期T時，弧度為6.3，然後隨著週期T一樣進行重複循環，即每次半徑旋轉一圈時的弧度都相等，故(6.3弧度/圈)為弧度循環的最大有效數，在半徑旋轉進行一段時間t = n圈，即弧度隨(nⅹ6.3)而變化，其中n的範圍為0 ~1，故計算弧度的有效位數為2位。
依據時間t的進行，在圓形循環的架構裡半徑旋轉量的變化產生弧長和角度的循環變化，如果半徑旋轉量是在動態，則無法量測弧長和角度，此時只能採用量測時間t為變數來表達半徑旋轉量(n圈)，如下圖所示:
圖中顯示半徑旋轉一圈的時間t ( 1週期T)裡，表達各個變數(時間、弧長、角度、以及弧度)的循環情形，其中以角度θ的有效數(最小變化有效數為1度)表達最清楚而且固定，如採用角度θ為變數，每間隔57度計算弧度循環的數值為:                                                                                                               n圈 = (57度/360度)圈 = (1/6.3)圈，則弧度 = (1/6.3)圈ⅹ(6.3/圈) = 1.0。                                                                                                                                      = (114度/360度)圈 = (2/6.3)圈，則弧度 = (2/6.3)圈ⅹ(6.3/圈) = 2.0。                                                                                                                         = (171度/360度)圈 = (3/6.3)圈，則弧度 = (3/6.3)圈ⅹ(6.3/圈) = 3.0。                                                                                                                                = (228度/360度)圈 = (4/6.3)圈，則弧度 = (4/6.3)圈ⅹ(6.3/圈) = 4.0。                                                                                                                                          = (285度/360度)圈 = (5/6.3)圈，則弧度 = (5/6.3)圈ⅹ(6.3/圈) = 5.0。                                                                                                                               = (342度/360度)圈 = (6/6.3)圈，則弧度 = (6/6.3)圈ⅹ(6.3/圈) = 6.0。                                                                                                                                = (360度/360度)圈 =(6.3/6.3)圈，則弧度= (6.3/6.3)圈ⅹ(6.3/圈) = 6.3。                                                                                                                       這只是弧度為整數的部分，實務上，弧度是要依據時間t和週期T來計算(t/T)，因為週期T可以為任何數值，導致變數(t/T)不方便表達和觀察。                              習慣上，將弧度視同角的量測(簡稱弳)是誤導，甚至用”度度量與弧度量”的語詞差別來區分，顯然的，弧度(rad)不是角(有一定點和2個邊線的形狀)，也不是角度θ。同時，國際上SI單位定義弧長等於半徑時，弧度 = 1，此定義也無法說明弧度的變化量是如何產生為其瑕疵所在。在2018年IS0認為弧度是(長度/長度)的導出單位，事實上，弧度是無單位的變數。
(2) 弧度與切線速度的關係:                                                                                                                                                                                                        當(弧長/時間t)是表示半徑上的點在時間t裡所位移的距離(弧長)，該點的位移速度即為半徑旋轉的特徵，該點的速度方向是垂直於半徑，所以稱其為切線速度v(或曲線速度，以便和直線速度區別)，單位(長度/秒)，即                                                                                                                                                切線速度v = (弧長 / 時間t ) =  (弧度ⅹ半徑)  / 時間t。                                                                                                                                                                           = (弧度 / 時間t) ⅹ半徑， 其中(弧度/時間t)習慣稱為角速度。                                                                                                                                                               = 角速度ω ⅹ半徑，其中將角(angle)當做弧度(rad)來表達。                                                                                                                                                其中符號ω應該是弧度(rad)的速度，符號ω = n圈ⅹ(6.3/圈) /時間t，單位(1/秒)。                                                                                                                            故切線速度v = [ n圈ⅹ(6.3/圈) / t ]ⅹ半徑，其中(t/T)= n 圈。                                                                                                                                                  =  (1/週期T)ⅹ(6.3/圈) ⅹ半徑，其中僅週期T(秒/圈)是變數，或。                                                                                                                              =  (頻率f)ⅹ(6.3/圈)ⅹ半徑，其中僅頻率f(圈/秒)是變數。                                                                                                                                                                    若將變數週期T、或頻率f確定後，則角速度ω成為固定值，則切線速度v成為等速，即半徑是在等速旋轉狀態，如下圖所示:
圖中表示確定週期T的時間t(或頻率f)後，半徑旋轉呈現等速狀態，在每一週期T裡的變數(時間t、弧長、角度θ、弧度)仍然依據半徑旋轉量(n圈)進行分配，所以常用一個週期T的行程來表達，半徑在等速狀況下，習慣表達符號ω= (2π/T)，或ω= 2πf，發現其中的2π、週期T、以及頻率f都少了單位圈，甚至將ω稱為角移、或角頻率，等稱呼，顯然與事實有差異。
已知切線速度v = 頻率f(圈/秒)ⅹ(6.3/圈)ⅹ半徑(長度)，若頻率f確定後，則切線速度v、或半徑旋轉都是在等速狀態，其中(6.3/圈)ⅹ半徑=一圈的弧長，該等速稱為波速= 頻率f(圈/秒)ⅹ波長λ(長度/圈)，單位(長度/秒)，其中波長λ稱為波動的距離，如光速、聲速、電磁波的速度、地球的自轉速、等。
(3) 三角函數是隨時間t的進行而具週期性                                                                                                                                                                            三角函數是討論直角三角形的角度θ和其邊長的關係，如下圖所示:
圖中圓心是在直角座標(X，Y)的原點(0，0)，半徑r旋轉產生弧長S和角度θ，在半徑r上的點P位置以座標表示為(x,y)，其中三邊(r、x、y)為直角三角形，三角函數是討論半徑r、角度θ、以及點P位置(x,y)之間的關係，例如正弦函數sinθ=(y/r)，其中角度θ是變數，所以y值隨著角度θ而變化。
因為半徑是在等速旋轉，所以只能量測時間t和一週期T的時間來計算它的變化量(n圈)= (t/T)，圖中以水平軸表示時間t的進行，以變數角度θ、或以變數弧度表達一週期T的循環情形，其中的變化速度與半徑旋轉的速度都是等速狀態，但是其點P位移的y值變化速度就不是等速，如圖中右邊曲線狀的垂直線段Y值之變化，所以要了解該y值的變化就需要以時間t為依據(角度θ是容易區分)，故採用弧度(ωt)來表達的緣由在此(例如sin ωt)，如果同時存在多數個函數時，才用角度θ來區分(如相位角，或sin (ωt±θ)，因為這些凾數都是重複循環，所以循環的最大有效數都以週期T為依據。
七、如何確認有效數是正確
1. 標準值(standard value):
有效數是量測儀器的讀值，如果該值不正確必將影響其應用的地方，所以確認有效數是否正確是必要的工作，國際組織IS0 GUM設定量測標準讓大家有依循的有效數，該數稱為標準值(standard value)，每個國家都建立標準實驗室來建立標準值和傳遞標準值，所以儀器(或工具)顯示的讀值應該與標準值相同。
量測的儀器區分為源(source)和表(meter)，二者互為量測的要件，只要任一個具有標準值即可傳遞標準值，所以一般使用的儀器(源或表)都須經由實驗室來傳遞標準值，這樣的作業稱為儀器校正(calibration)，因此儀器經由校正作業後可獲得標準值，即正確的有效數，故使用儀器量測就是要表達正確的有效數。
2. 量測的架構:   實驗室須具備有標準值的儀器(源和表)，稱其為標準件，如下圖所示:
一般上，使用的儀器(源或表)要送到實驗室校正後，可以獲得儀器(源和表)的讀值(有效數)和標準值、以及不確定度(uncertainty)，如此可了解該儀器的讀值是否正確、以及精密性(precision)，若儀器讀值不正確，則須修正成為標準值。
3. 讀值的修正: