香港中學文憑考試數學科延伸部分
课程设计及内容 > 數學科延伸單元缺少的舊制課程內容

以下是在數學科延伸單元所缺少的內容，但包含在附加數學科、純粹數學科、高級程度應用數學科的1992年課程，及數學與統計學科的1991年的課程之中。
| 內容 | 附加數學科 | 純粹數學科 | 應用數學科 | 數學與統計學科 |
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數學基礎
| 集合語言：子集、母集、冪集、積集、等集、不相交集 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 基本邏輯：命題、真值、否定式、條件式、雙條件式、等價語句、蘊合式、量詞、例、反例 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 充份條件、必要條件、充要條件 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 反證法 | 无 | 有 | 无 | 无 |
數學歸納法
| 應用於整除性、遞推序列的公式的證明 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 用反向歸納法證明算術幾何平均不等式 | 无 | 有 | 无 | 无 |
不等式
| 絕對不等式 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 算術幾何平均不等式 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 柯西-施瓦茲不等式 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 解含絕對值不等式 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 解 (ax+b)/(cx+d)\geq k的不等式 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 解一元高次不等式、 P(x)/Q(x)\geq 0的不等式 | 无 | 有 | 无 | 无 |
一元實係數多項式
| 次數的性質： \deg\{f(x)g(x)\}=\deg f(x)+\deg g(x),   \deg\{f(x)+g(x)\}\leq \max\{\deg f(x),\deg g(x)\} | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 一元高於二次方程的係數和根的關係 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 相異根的數目不多於多項式的次數 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 整係數多項式有有理數根的必要條件（艾森斯坦判別法） | 无 | 有 | 无 | 无 |
| k重根的條件，以多項式和其各階導數的共根描述 | 无 | 有 | 无 | 无 |
向量
|  \mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3} 中向量的方向比、方向餘弦、方向角 | 无 | 有 | 有 | 无 |
|  \mathbb {R} ^{2}中向量分解為2個非共綫向量分量， \mathbb {R} ^{3} 中向量分解為3個非共面向量分量 | 无 | 有 | 有 | 无 |
| 拉密定理 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 向量值函數的微分法和積分法，純量倍數、純量積和向量積的微分法則 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 極坐標的向量：沿徑向量 {\hat {e}}_{r}及橫截向量 {\hat {e}}_{\theta }，並其微分  {\frac {d{\hat {e}}_{r}}{dt}}={\frac {d\theta }{dt}}{\hat {e}}_{\theta },  {\frac {d{\hat {e}}_{\theta }}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {e}}_{r}. | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 向量的線性相關性 | 无 | 有 | 无 | 无 |
|  \mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3} 中綫性相關向量分別為共綫及共面 | 无 | 有 | 无 | 无 |
|  \mathbb {R} ^{3}的直綫的兩點式、對稱式、參數式 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 以法綫和平面上一點求平面方程 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 從平面的通式求一點至一平面的距離 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 兩平面的夾角，兩平面的平行條件，平分兩平面夾角的平面方程，兩平面的相交綫的方向比 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 一直綫和一平面平行條件、垂直條件、夾角 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 兩直綫共面條件 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 純量三重積 \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )和向量三重積 \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ) | 无 | 有 | 有 | 无 |
矩陣
|  \mathbb {R} ^{2}上的幾何變換（反射、旋轉、位移、放大）的矩陣 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 從二元及三元綫性方程組的解有否存在性和唯一性，討論方程的幾何意義 | 无 | 有 | 无 | 无 |
複數
| 阿根圖、複數z的模 |z|、輻角 \arg z、共軛複數 {\overline {z}} | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 複數的極形式  z=r(\cos \theta +i\sin \theta ) ，極形式的乘法和除法 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 模和輻角的性質：  |z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|,  \arg z_{1}z_{2}=\arg z_{1}+\arg z_{2}+2k\pi  | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 複數實部和虛部的性質  |\operatorname {Re} z|\leq |z|,  |\operatorname {Im} z|\leq |z| | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 複數模的三角不等式 |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}| | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 共軛複數的運算性質 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 實係數多項式若有一非實數根，則其共軛複數也為根。 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 複數的簡單幾何應用 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 複數的幾何應用：複數 z_{1},z_{2},z_{3}適合 z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1}當且僅當其為一個等邊三角形的頂點 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 阿根圖上的軌跡 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 有理數指數的棣美弗定理 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 棣美弗定理於三角函數恆等式的應用 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 1的 n 次根及其幾何解釋 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 複數的 n 次根及其幾何解釋 | 无 | 有 | 无 | 无 |
二項式定理
| 二項展式中的最大項和最大係數 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 二項式定理的應用：求近似值 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 二項式係數的簡單性質，例如：  C_{0}^{n}+C_{1}^{n}+\cdots +C_{n}^{n}=2^{n},  {n \choose 0}^{2}+{n \choose 1}^{2}+\cdots +{n \choose n}^{2}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}} | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 非正整數指數的二項式定理及在 |x|<1區間收斂 | 无 | 无 | 无 | 有 |
序列及級數
| 序列及級數的運算 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 級數求和法：數學歸納法、裂項求和法、以輔助方程求綫性遞推定義的級數 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 序列及級數的極限 | 无 | 有 | 无 | 无 |
極限
| 左極限和右極限 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 直觀認識函數連續性（不包括ε-δ嚴格定義） | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 以極限判定函數在一點連續及在區間內連續 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 連續函數的和、積、複合為連續 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 連續函數在閉區間上有界 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 介值定理的直觀認識及應用 | 无 | 有 | 无 | 无 |
微分
| 函數的可微性定義： \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}存在 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 連續性是可微性的必要條件 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 用微增量求函數的近似值 | 有 | 无 | 无 | 无 |
| 高階導數 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 萊布尼茲定理  {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(uv)=\sum _{r=0}^{n}C_{r}^{n}u^{(r)}v^{(n-r)} | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 用萊布尼茲定理求函數的高階導數，包括隱函數 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 洛爾定理和中值定理的直觀認識及應用 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 洛必達法則 | 无 | 有 | 无 | 无 |
積分
| 定積分不等式性質：   f(x)\geq g(x)在[a,b]上，則 \int _{a}^{b}f(x)dx\geq \int _{a}^{b}g(x)dx  |f(x)|\leq \phi (x)在[a,b]上，則 \left|\int _{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \int _{a}^{b}\phi (x)dx | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 積分中值定理 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 積分第一基本定理：  f(x)在[a,b]連續， F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt,a\leq x\leq b, 則 F(x)在[a,b]連續，在(a,b)上可微， F'(x)=f(x). | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 應用定積分證明一些無窮級數的極限 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 不定積分公式及對應導數：   \int \sec x\tan xdx=\sec x+c  \int \operatorname {cosec} x\cot xdx=-\operatorname {cosec} x+c  \int \operatorname {cosec} xdx=-\cot x+c | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 不定積分公式：   \int \tan xdx=\ln |\sec x|+c  \int \cot xdx=\ln |\sin x|+c | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 用t-公式（即 t=\tan {\frac {x}{2}}代入法）計算三角函數積分 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 用以微分證明的歸約公式計算三角函數積分 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 用從分部積分得出的歸約公式計算三角函數積分 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 用部分分數計算有理代數函數的積分 | 无 | 有 | 无 | 无 |
|  第一類廣義積分：  \int _{a}^{\infty }f(x)dx,  \int _{-\infty }^{b}f(x)dx 第二類廣義積分：  \int _{a}^{b}f(x)dx 當 f(x)在a或b趨向正或負無窮時 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 定積分用於求以參數方程或極形式給出的曲綫所圍的面積 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 定積分用於求曲綫（顯函數、參數方程或極形式）的弧長 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 定積分用於外殼法求旋轉體體積 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 定積分用於求旋轉體的表面積 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 用定積分轉換求級數和的極限 | 无 | 有 | 无 | 无 |
平面解析幾何
| 頂點為 (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})（逆時針方向）的多邊形面積：   {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\\vdots &\vdots \\x_{n}&y_{n}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}:={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{vmatrix}}, 其中 (x_{n+1},y_{n+1})=(x_{1},y_{1}). | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 兩相交直綫的交角公式及角平分綫方程 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 直綫的法綫式 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 兩平行直綫之間的距離 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 直綫族及圓族 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 極坐標與直角坐標相互轉換 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 極坐標系的曲綫描繪：直綫、圓、拋物綫、心臟綫、玫瑰曲綫 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 圓錐曲綫的直角坐標系的標準方程和參數方程 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 在直角坐標系上的軌跡：橢圓、雙曲綫、拋物綫，以幾何性質刻劃 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 在直角坐標系上的一般運動的軌跡 | 有 | 有 | 有 | 无 |
| 在極坐標系上的一般運動的軌跡 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 求平面曲綫的參數式 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 以參數式定義的平面曲綫的切綫 | 无 | 有 | 无 | 无 |
| 平面曲綫的法綫 | 有 | 有 | 无 | 无 |
| 以隱函數或參數式定義的平面曲綫的法綫 | 无 | 有 | 无 | 无 |
微分方程
| 一階微分方程 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 可分變量微分方程的解 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 綫性微分方程 {\frac {dy}{dx}}+p(x)y=q(x)的解 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 可分變量微分方程的解 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 二階微分方程分類 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 疊合原理 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 二階微分方程分類 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 常係數齊次方程的解 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 以待定系數法解常係數非齊次方程 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 一階微分方程組化為二階綫性微分方程 | 无 | 无 | 有 | 无 |
力學應用
| 用聯立方程、向量、純量及向量微積分、微分方程，解決涉及質點和剛體的機械系統力學問題。 | 无 | 无 | 有 | 无 |
數值分析
| 插值法和誤差估計 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 誤差的處理、估計及運算 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 函數的泰勒展開式及誤差估計 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 數值積分的梯形法則的誤差估計 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 森遜法則求數值積分及誤差估計 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 定點迭代法求方程數值解，收斂條件及誤差估計 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 牛頓法求方程數值解，收斂條件及誤差估計 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 正割法的推導和應用 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 試位法的推導和應用 | 无 | 无 | 有 | 无 |
分半法的應用（會考數學科）: 无
概率與統計
| 幾何分佈 | 无 | 无 | 无 | 有 |
| 獨立正態分布隨機變量的綫性組合 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 總體參數的最佳估計量條件：無偏及方差最小 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| 假設檢驗，包括單尾及雙尾檢驗，零假設、備擇假設、顯著性水平、臨界點、臨界域、接受區域、否定區域 | 无 | 无 | 有 | 无 |
| I型及II型誤差的概率 | 无 | 无 | 有 | 无 |