有效数字

儀器(源和表)的讀值與標準值的差值稱為偏差(deviation)，習慣稱器差，或
誤差(error)，修正讀值的目的是讓儀器獲得標準值，偏差的關係式有2種為:
偏差(D) = 標準值(S) – 讀值(R) ..........(1式)，其中標準值(S) = 讀值(R) +偏差(D)，
偏差(D) = 讀值(R) – 標準值(S) ..........(2式)，其中標準值(S) = 讀值(R) –偏差(D)，
在修正讀值時，採用1式比2式方便，因為2式的偏差值是要變號，習慣上，若儀器附有偏差(D)，而未提供計算偏差(D)的公式，則在修正時會有變號的困擾，一般上，認為偏差(D)值若在容許範圍內仍然正常，如不修正就失去標準值。
有時表達偏差會採用偏差率，即偏差率= (偏差D/標準值S)，該偏差率(比值)的範圍在0~1之間，常將其放大百倍，即偏差率% = (偏差D/標準值S) x100 %，習慣稱為誤差百分比、或稱誤差%。
4. 準確度(accuracy)的表達:                                                                                                                                                                                                               準確度是用來展現儀器(源和表)量測的功能，即表達儀器的量測範圍和有效位數、以及精密性，所以準確度是儀器的基本規格，其關係式為:                                準確度 = 量測的讀值(或範圍) ± 精密性，習慣稱準確度為精度(日本語)。                                                                                                                                     量測的讀值如果是刻度型，一般都在有效位數為3位以內，其中每一個刻度值都確定(certain)不會變化，但是數位型的讀值，其有效位數越多位時，越能觀察到有變化的讀值，例如一個有效5位數的儀器量測多次的讀值為10.234 cm、10.233 cm、10.229 cm、10.228 cm，其中的後2位有效數(紅字)是在變化，這種變化的讀值代表不確定(uncertain)，或不穩定，也就是說，讀值的不確定越大時，表示儀器越不好，所以採用不確定度(uncertainty)的值來比較儀器的好壞程度，該程度稱為儀器的精密性(precision)，習慣誤稱精密性為精密度，如下圖所示:
圖中是儀器量測三個點的有效數，其中每個點的平均值為1.001 V、9.98 V、100.8 V，讀值的尾數都是不確定，紅色線表示讀值的線性標準，在圖的右邊標記是表達讀值的平均值和其不確定度(± U)，圖中量測三個點的平均值皆與標準值(紅色線)有偏差，所以需要經過修正偏差後才能獲得標準值。
5. 精密性(precision)的表達:                                                                                                                                                                                                      精密性是表達儀器精密的程度，針對儀器讀值的變化程度以統計方式來評估這個變化的程度，該程度的表達稱為不確定度(uncertainty)，符號記為 ± U。  評估讀值的變化程度是計算讀值的標準差(standard deviation, SD)，符號為σ，對1個標準差σ只能對此評估信賴68%，2個標準差σ只能信賴95%，3個標準差σ只能信賴99%，早期表達讀值的不確定度(± U)，採用± 3σ表達，該± 3σ也當做判讀儀器是否正常的依據(標準)，稱其為儀器的容許差(tolerance)，或稱允收標準，如果這是大家要遵守的標準(數據)，就稱其為標準公差。
現下ISO GUM要求讀值的不確定度(± U)，採用± 2σ表達，稱其為擴充不確定度(expanded uncertainty)，該擴充不確定度是由2個部分組合，即A類標準不確定度和B類標準不確定度，其中A類標準不確定度是評估儀器讀值的標準差σ，而B類標準不確定度是評估量測架構的不確定度，包括儀器的解析度、追溯實驗室的不確定度、環境的溫度、濕度的不確定度、以及儀器量測範圍的線性不確定度等多項，然後將A類標準不確定度和B類標準不確定度組合計算後，才完成該讀值的不確定度。
八、 結論:
1. 有效数是有意義的數字，即附有單位的數字，該單位代表物性的意義，所以 有效數是可以實現的數量，該數量是透過儀器(或工具)量測來表達。
2. 有效數所占有的位數，稱為有效位數，有效位數的變化，如同十進位制改變  位數的方式(以0~9循環，最小變化數為1)，但是有效位數的循環數字是沒有限定，而有效數的位數是決定有效數的數量。
3. 有效數的加、減運算，必須在相同的有效位數下進行。
4. 有效數的乘法運算，結果會增加有效位數。而除法運算，結果要維持原來的有效位數，如圓周率π=3.14是由直徑為3位數的有效數計算而得。
5. 有效數的循環是依據時間t的進行，每一個循環的時間t稱為一個週期T， 單位為(秒/圈)，週期T的時間t為該循環的最大有效數，週期T的時間是沒有限定，在週期T內的時間t與週期T的比值= n圈，其中n= 0 ~1之間。
6. 以半徑旋轉說明產生弧長和角度的原因，以及隨著週期T的重複循環現象，詮釋一圈的弧長為弧長循環的最大有效數，單位(長度/圈)，以一段弧長與一 圈的弧長之比值，則弧長= n圈ⅹ一圈的弧長。同時以有效位數為2位的不同半徑與其一圈的弧長之比值=(6.3/圈)，則一圈的弧長= (6.3/圈)ⅹ半徑，故弧長= n圈ⅹ(6.3/圈)ⅹ半徑，其中僅n圈為變數，該變數為半徑旋轉量。
7. 詮釋一圈的角度為角度循環的最大有效數，單位(角度/圈)，以角度θ與一 圈的角度(360度/圈)之比值 = n圈。
8. 詮釋弧度= n圈ⅹ(6.3/圈)，或= ( nⅹ6.3)，其中n圈為變數，所以弧度因n圈而具有循環性，其中(6.3/圈)為循環的最大數(習慣稱2π弧度)，計算弧度可  採用時間、或長度、或角度為變數，驗證弧度是無單位的變數，不是角度。
9. 詮釋切線速度v=(弧度/時間t)ⅹ半徑= 角速度ωⅹ半徑，單位(長度/時間t)，其中符號ω = (1/週期T)ⅹ(6.3/圈)，或= 頻率fⅹ(6.3/圈)，若週期T或頻率f 固定時，則角速度ω為固定數，此時切線速度為定速，或半徑等速旋轉，則 波動速度 = 頻率f(圈/秒)ⅹ波長λ(長度/圈)，單位(長度/秒)。
10 詮釋正確的有效數稱為標準值，該值要透過實驗室的校正而獲得標準值和精 密性，如此才能有一致性的有效數。
九、 參考資料:
註1. 畫圓弧和畫角度的創新教學
https://www.youtube.com/watch?v=UoAak2sLk7U
註2. 驗證2π為定數的創新教學
https://www.youtube.com/watch?v=homdPhnEIlM
1.    探討弧度(radian)的意義
https://youtu.be/WcbXtHhf03E
2.      弧度是什麼(what is a radian)
https://youtu.be/UDCtg7S0prU
3.    數學教育的有效數之教學問題(pdf)(含國教院的回覆)
https://drive.google.com/file/d/1e_AZ7iLMPfT0U8YnPNke6WYhJXPjygvj/view?usp=drive_link
4. 從角的定義詮釋角度與弧度制的差異(PDF)，
https://drive.google.com/file/d/1n08shCkTlA6fHLv_TNOnPU8lavjQBcSq/view?usp=sharing
5. 探討弧度與三角函數的關係 (2024)pdf
https://drive.google.com/file/d/1RDLtn4t-jVvyMnBjZHPNjsVeNNKmGsP6/view?usp=sharing
6. 半徑旋轉與弧度的關係(pdf)
https://drive.google.com/file/d/10PkVk0oj3-zIqFhOrkCRJ02n1VtjlQdN/view?usp=sharing