狹義相對論中的加速度
三維加速度

在牛頓力學與狹義相對論中，三維加速度或座標加速度的定義保持一致。 \mathbf {a} =\left(a_{x},\ a_{y},\ a_{z}\right)是速度 \mathbf {u} =\left(u_{x},\ u_{y},\ u_{z}\right)對座標時間的一階導數，亦即是位置 \mathbf {r} =\left(x,\ y,\ z\right)對座標時間的二階導數：
然而在另一相異的慣性參考系中做三維加速度測量時，兩項理論的預測就出現重大歧異。牛頓力學中，時間是絕對的（ t'=t），採用的慣性系轉換式為伽利略轉換。因此，從伽利略轉換推導而得的三維加速度在所有慣性系中皆相同：
相反地，在狹義相對論中， \mathbf {r} 與 t兩者皆與勞侖茲轉換相依，因此三維加速度 \mathbf {a} 及其分量在不同慣性系也各不相同。當慣性系間的相對速度是沿著x軸，即 v=v_{x}（ \gamma _{v}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}為相對應的勞侖茲因子），勞侖茲轉換式為：
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}x'&=\gamma _{v}(x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}x&=\gamma _{v}(x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'\right)\end{aligned}}\end{array}} |  | 1a |
或是對於一長度 v及任意方向的速度向量 \mathbf {v} =\left(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)（其中 |\mathbf {v} |=v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}），勞侖茲轉換式為：
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)-t\gamma _{v}\right]\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {\mathbf {r\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r'\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)+t'\gamma _{v}\right]\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {\mathbf {r'\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}} |  | 1b |
為了求得三維加速度的轉換式，必須分別對勞侖茲轉換式中的空間座標 \mathbf {r} 及 \mathbf {r} '做時間 t與 t'的微分。首先是得到三維速度 \mathbf {u} 及 \mathbf {u} '的轉換式（亦稱為速度加成式）；爾後再次做時間 t與 t'的微分運算而得到三維加速度 \mathbf {a} 及 \mathbf {a} '的轉換式。從式(1a)出發，所得到的轉換式為平行（x方向）與垂直（y、z方向）於速度 v=v_{x}之加速度：
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}a_{x}^{\prime }&={\frac {a_{x}}{\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}^{\prime }&={\frac {a_{y}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{y}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}^{\prime }&={\frac {a_{z}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{z}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {a_{x}^{\prime }}{\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}&={\frac {a_{y}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{y}^{\prime }v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}&={\frac {a_{z}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{z}^{\prime }v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}\end{array}} |  | 1c |
若從式(1b)出發，則得到通解，速度與加速度可以是任意方向：
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  {\begin{aligned}\mathbf {a} '&={\frac {\mathbf {a} }{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}+{\frac {\mathbf {(a\cdot v)u} }{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {a} '}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)u} '}{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}} |  | 1d |
此轉換式表示：若有兩慣性系 S與 S'，兩者相對速度 \mathbf {v} ，則 S系中測到一物體瞬時速度為 \mathbf {u} 、加速度為 \mathbf {a} ，該物體在 S'系中則具有瞬時速度 \mathbf {u} '、加速度 \mathbf {a} '。一如速度加成式，這些加速度轉換式可保證一物體無法加速到光速，遑論超過光速。