stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
駐玻利維亞外交機構列表
参考资料

↑  .   [2020-08-25]. （原始内容存档于2020-12-04）.  （页面存档备份，存于）
↑  .   [2020-10-30]. （原始内容存档于2021-07-09） （西班牙语）.  （页面存档备份，存于）
↑  .   [2020-08-25]. （原始内容存档于2022-03-20）.  （页面存档备份，存于）
Bolivian Ministry of Foreign Affairs （页面存档备份，存于）
阿根廷驻玻利维亚大使馆
秘鲁驻玻利维亚大使馆
大韩民国驻玻利维亚大使馆
上韃靼勒什蒂鄉

44°25′N 25°07′E﻿ / ﻿44.417°N 25.117°E﻿ / 44.417; 25.117
上韃靼勒什蒂鄉（羅馬尼亞語：），是羅馬尼亞的鄉份，位於該國南部，由特列奧爾曼縣負責管轄，處於布加勒斯特以西80公里，每年平均降雨量985毫米，海拔高度127米，2007年人口3,012。
高垣寅次郎

高垣寅次郎（1890年2月26日—1985年8月25日）是一位日本经济学家。
生平

1890年出生于日本广岛县尾道市。1913年毕业于东京高等商业学校（现一桥大学），师从佐野善作。同年进入三井银行，1915年留校任教。1924年升任教授，1926年获得博士学位。1943年与石桥湛山、山崎觉次郎创立日本金融学会，1944年担任拓殖大学校长，1950年至1982年担任日本金融学会会长。1962年担任成城大学校长，1952年担任日本学术振兴会理事长，
门下弟子有盐野谷九十九、鬼头仁三郎、高桥泰藏、新庄博、冈田俊平等。还有彰化商業銀行董事長吳金川。
荣誉

1951年被选为一桥大学名誉教授，1959年被选为日本学士院会员，1976年获得勳一等瑞宝章。
参考来源

↑  「高垣寅次郎について」 （页面存档备份，存于）成城大学
↑  . 中央研究院近代史研究所. 2015-08-31  [2021-02-15]. ISBN 9789860458800. （原始内容存档于2018-12-14） （中文（臺灣））.
凯伊拉龙属

| 凯伊拉龙属 化石时期：晚白垩世 马斯垂克阶  PreЄ Є O S D C P T J K Pg N  ▼   |
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6个不同视角下的正模标本前段尾椎

6个不同视角下的正模标本中段尾椎

科学分类 
界：: 动物界 Animalia
门：: 脊索动物门 Chordata
纲：: 蜥形纲 Sauropsida
总目：: 恐龍總目 Dinosauria
目：: 蜥臀目 Saurischia
亚目：: †蜥脚形亚目 Sauropodomorpha
下目：: †蜥腳下目 Sauropoda
演化支：: †泰坦巨龍類 Titanosauria
演化支：: †岩盔龙类 Lithostrotia
演化支：: †风神龙族 Aeolosaurini
属：: †凯伊拉龙属 Caieiria Silva Junior et al., 2022

模式種
†异尾凯伊拉龙 Caieiria allocaudata Silva Junior et al., 2022
凯伊拉龙（属名：Caieiria，命名自发现化石的凯伊拉地区）是巴西晚白垩世加尔加山组（英语：）（原为玛丽亚组（英语：）的一个层段）发现的一属泰坦巨龙类恐龙。模式种兼唯一种是异尾凯伊拉龙（Caieiria allocaudata）。
发现与命名

古生物学家卢埃林·伊沃·普莱斯（英语：）于19世纪40至60年代在巴西米纳斯吉拉斯州加尔加山组的“凯伊拉”地（"Caieira" locality）挖出数批泰坦巨龙类化石，并在1957年左右发现凯伊拉龙正模标本。其中两个――即“Series B”（或MCT 1488-R）和“Series C”（或MCT 1490-R）已分别成为泰坦巨龙类两个属――即三角区龙与包鲁巨龙的正模标本。前者的描述者亦将十节尾椎即MCT 1719-R归入三角区龙以作为这个新属的副模标本。2022年，西尔瓦·朱尼尔和同事报告了相同地区BR-262地发现的更多泰坦巨龙类化石，并根据这一新证据重新考虑将MCT 1488-R视为包鲁巨龙标本之一，因此将三角区龙列为包鲁巨龙的异名。他们还将尾部化石与三角区龙分开，并将其命名为新属新种异尾凯伊拉龙（Caieiria allocaudata）的正模标本。属名“Caieiria”命名自凯伊拉地，而种名“allocaudata”意为“奇怪的尾巴”，指其独特的解剖学特征。
描述

描述作者指出本属区别于布氏包鲁巨龙、里氏乌贝拉巴巨龙和弗氏冈瓦纳巨龙的2项特征。尾椎具有坚固的侧突且垂直扩展至其椎体高度的一半。前段尾椎的后椎骨关节突板（lamina postzygapophysealis）和中央副椎骨关节突板（lamina centrodiapophysealis）之间存在深凹。
古生态学

在2020年含化石岩层被划进其它地层前，加尔加山组的古生物群原被认为属于玛丽亚组。除包鲁巨龙和凯伊拉龙外，该地层的其它动物包括半鸟亚科的渔龙和鳄形超目的埃他鳄、佩罗鳄和乌贝拉巴鳄。
参考资料

1 2 3 4  Silva Junior, JC; Martinelli, AG; Marinho, TS; da Silva, JI; Langer, MC. . PeerJ. 2022, 10. e14333. doi:10.7717/peerj.14333 .
↑  Campos, D.A.; Kellner, A.W.A.; Bertini, R.J.; Santucci, R.M. . Arquivos do Museu Nacional. 2005, 63 (3): 565–593.
↑  Marcus Vinícius Theodoro Soares; Giorgio Basilici; Thiago da Silva Marinho; Agustín Guillermo Martinelli; André Marconato; Nigel Philip Mountney; Luca Colombera; Áquila Ferreira Mesquita; Julia Tucker Vasques; Francisco Romero Abrantes Junior; Luiz Carlos Borges Ribeiro. . Geological Journal. 2021, 56 (2): 951–975  [2022-11-19]. （原始内容存档于2022-11-15）.
刘彦仿

刘彦仿（1924年—），男，山东海阳人，中国病理解剖学家，曾任中国人民解放军第四军医大学教授、博士生导师。
参考资料

↑  蔡开松, 于信凤主编; 曾卓明, 周溯源, 赵书刚副主编. . 沈阳: 辽宁人民出版社. 1991.
魔法少女小圓 PORTABLE

| 遊戲：魔法少女小圓 PORTABLE 魔法少女まどか☆マギカ ポータブル PUELLA MAGI MADOKA MAGICA PORTABLE |
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遊戲類型: 冒險遊戲・Roguelike
使用平台: PlayStation Portable
開發團隊: 万代南梦宫娱乐 Nitro+（開發協力）
發行商: 万代南梦宫娱乐
遊戲人數: 1人
發售日: 2012年3月15日
 工作團隊 
 演出監修：虛淵玄  製作人：富澤祐介、土居由直  設計協力：劇團狗咖哩  動畫製作：SHAFT 
 相關作品 
 原作：魔法少女小圓  関連作品：麻美的七上八下Tiro Finale（日语：） 
《魔法少女小圓 PORTABLE》（日语：）是一款於2012年3月15日發售的日本遊戲軟體。改編自2011年播出的電視動畫《魔法少女小圓》。支援平台為PlayStation Portable（PSP）。
玩法

遊戲類型是「地下冒險RPG」。遊戲分為兩個主要的部分：冒險部分和地下城部分。選單有五個選項：「從新開始」、「中途開始」、「Extra」、「資料安裝」、「設定」。
情節

参见：魔法少女小圓角色列表
遊戲分爲五條故事路綫。
開發

2011年引起巨大轟動的《魔法少女小圓》的第一款遊戲化作品。玩者將與5名魔法少女、魔法的使者丘比一起，與見滝原的「魔女」及使魔進行戰鬥。
這是万代南梦宫娱乐與Nitro+兩家公司的聯合項目。製作人是《噬神者》的富澤祐介、Nitro+的土居由直。原作電視動畫的編劇虛淵玄也參與演出監修。為了深入挖掘角色，本作不僅擴增電視動畫的後續發展，還增加了遊戲原創的音樂插曲。遊戲具有多重結局，故事和結局會根據玩者的選擇而改變。製作遊戲的構思，源自原作電視動畫第2話的製作過程。第4話播出後不久，兩位製作人在日本德島的Machi Asobi（）活動中正式決定開發本作。
選擇PSP平台的原因，在於其動畫表現能力受到各年齡層的廣泛支持。魔女設計仍為劇團狗咖哩，涵蓋原作沒有的新設計。動畫製作仍為SHAFT公司，並加入了更多新動畫，包括鹿目圓的眼睛與曉美焰的變身畫面。
音樂沿用ClariS的原作片頭曲Connect、Kalafina的原作片尾曲Magia。本作的廣告標語是「你可以改變你的命運」（）。
發行 > 包裝

通常版以及捆綁限定特典的「限定契約BOX」同時發售。
通常契約包
插圖BOX
特別影片收錄DVD
UMD/PSP軟體『魔法少女小圓 PORTABLE』
限定契約BOX
figma鹿目圓 制服Ver.套裝
特別影片收錄藍光光碟
丘比型小袋
曉美焰手帕
特別圖卡
SHAFT繪製插圖BOX
特製圖片標籤規格UMD/PSP軟體『魔法少女小圓 PORTABLE』
反響與評價

本作首周賣出了6萬套，最終累計銷售量12萬套。GameSpot玩者評分8.5（滿分10分），屬於粉絲向遊戲的普通成績。
参考资料

↑  .   [2019-03-21]. （原始内容存档于2011-10-26）.  已忽略未知参数|lingua= (帮助); 已忽略未知参数|accesso= (帮助); 已忽略未知参数|data= (帮助); 已忽略未知参数|titolo=（建议使用|title=） (帮助); 已忽略未知参数|editore= (帮助)
↑  .   [2019-03-20]. （原始内容存档于2017-07-07）.
↑  . www.vgchartz.com.   [2019-03-19]. （原始内容存档于2016-06-28）.
↑  Puella Magi Madoka Magica Portable Reviews - GameSpot
「電撃PlayStation」第500号 2011年8月 アスキーメディアワークス刊
外部連結

魔法少女まどか☆マギカ ポータブル 公式サイト （页面存档备份，存于）（バンダイナムコゲームス）
魔法少女まどか☆マギカ公式サイト （页面存档备份，存于）（アニプレックス）
琼博拉镇

| 琼博拉镇 |
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镇
坐标：43°32′58″N 80°59′30″E﻿ / ﻿43.54939°N 80.99165°E﻿ / 43.54939; 80.99165
国家:  中华人民共和国
上级行政区: 察布查尔锡伯自治县
村级区划单位数:  4 0社区 4行政村 
人口
 • 總計: 8,598人
时区: 北京时间（UTC+8）
: 新疆時間（UTC+6）
行政区划代码: 65 40 22 105
电话区号: +86 (0)999
琼博拉乡，是中华人民共和国新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州察布查尔锡伯自治县下辖的一个乡镇级行政单位。
行政区划

琼博拉乡下辖以下地区：
琼博拉村、​索墩布拉克村、​小博拉村和墩买里村。
参考资料

↑  . 中华人民共和国国家统计局. 2023-06-30 （中文（中国大陆））.
↑  . 中华人民共和国国家统计局. 2023-06-30 （中文（中国大陆））.
艾利斯鎮區 (密歇根州)

| 艾利斯鎮區 Allis Township |
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行政鎮區

艾利斯鎮區艾利斯鎮區在密歇根州的位置
坐标：45°16′00″N 84°11′31″W﻿ / ﻿45.26667°N 84.19194°W﻿ / 45.26667; -84.19194
國家: 美国
州份: 密歇根州
縣: 普雷斯克艾爾縣
面积
 • 总计: 170.80 平方公里（65.95 平方英里）
 • 陸地: 167.20 平方公里（64.56 平方英里）
 • 水域: 3.60 平方公里（1.39 平方英里）
海拔: 253 公尺（830 英尺）
人口（2020）
 • 總計: 925人
 • 密度: 5.42人/平方公里（14人/平方英里）
时区: EST（UTC-5）
 • 夏时制: EDT（UTC-4）
郵區編號: 49709, 49765
電話區號: 989（英语：）
GNIS ID: 1625824
艾利斯鎮區（英語：）是位於美國密歇根州普雷斯克艾爾縣的一個行政鎮區。
地方資料

艾利斯鎮區的面積為170.80平方千米，當中陸地面積為167.20平方千米，而水域面積為3.60平方千米。根據2020年美國人口普查的數據，當地共有人口925人，而人口密度為每平方千米5.42人。
參考文獻

1 2  . 2020 United States Census. United States Census Bureau.   [2021-09-14].
鮎川站

关于茨城縣已停用的車站，请见「」。
鮎川站（日语：／ Ayukawa eki */?）是位於秋田縣由利本莊市東鮎川，由利高原鐵道的鳥海山麓線車站。
歷史

1922年（大正11年）8月1日：橫莊鐵道鮎川站啟用。當時車站位於由利郡（日语：）鮎川村（日语：）。
1937年（昭和12年）9月1日：橫莊鐵道被國有化，成為鐵道省矢島線車站。此站同時改名為羽後鮎川站。
1949年（昭和24年）6月1日：日本國有鐵道成立。
1965年（昭和40年）4月：成為業務委託車站。
1971年（昭和46年）10月1日：成為無人車站（簡易委託化）。
1985年（昭和60年）10月1日：由利高原鐵道接管矢島線，成為由利高原鐵道鳥海山麓線車站。此站同時改名為鮎川站。
日期不詳 - 終止簡易委託，完全成為無人車站。
2003年（平成15年）12月25日：車站大樓重建。
2018年（平成30年）：車站附近的舊鮎川小學（國家登錄有形文化財）進行了改裝，鳥海山木之玩具美術館開幕。並進行了群眾募資，以在車站周邊進行工程。最後募集了528萬5,000日圓，於4月24日群眾募資完畢。車站大樓鄰接的候車室進行翻新，成為「玩具之町候車室」。
車站構造

此站是地面車站，設有1面1線的單式月台。曾經此站設有列車交會設備。在2003年12月，現時的車站大樓建成。
玩具之町候車室(2018年9月)
月台(2018年9月)
使用狀況

| 1日上落車人次> 年度 | 1日上落車人次> 1日平均人次 |
| --- | --- |
2011年: 51
2012年: 56
2013年: 45
2014年: 56
2015年: 42
2016年: 49
2017年: 44
2018年: 54
車站周邊

鮎川簡易郵局
國道108號
秋田縣道287號南由利原鮎川線（日语：）
鳥海山木之玩具美術館（此站西北方1公里。配合列車時間表，設有接送巴士）
注腳

↑  “業務委託駅に 子吉駅など五つ 秋鉄 来年四月から実施” 秋田魁新報 (秋田魁新報社): p5. (1964年10月17日 夕刊)
↑  “陳情攻勢で“無人化”が後退 秋鉄局 日中だけ駅員配置 ただし本年度いっぱい” 秋田魁新報 (秋田魁新報社): p12. (1971年9月29日 朝刊)
↑  . RAIL FAN (鐵道友之會). 2004-03-01, 51 (3): 24 （日语）.
↑  . 由利高原鉄道. 2018-04-25  [2018-10-07]. （原始内容存档于2021-01-31） （日语）.
↑  国土数値情報(駅別乗降客数データ)2011-2015年  （页面存档备份，存于）（日語） - 國土交通省，2020年8月30日參閲
↑  国土数値情報(駅別乗降客数データ)  （页面存档备份，存于）（日語） - 國土交通省，2020年9月12日參閲
相關條目

日本鐵路車站列表 A
外部連結

鮎川站 （页面存档备份，存于）（日語）（各站資訊） - 由利高原鐵道
马欢

马欢著《瀛涯胜览》
马欢（？—？），字宗道、汝钦，号会稽山樵，浙江会稽（今绍兴）人，是一名穆斯林，通晓阿拉伯语及波斯语。明朝通事（翻译官）、航海家，曾随郑和三次下西洋。为了纪念马欢，南沙群岛中有一岛名为马欢岛。
隨鄭和下西洋

永乐十一年（1413年，第四次下西洋），到访占城、爪哇、旧港、暹罗、古里、忽鲁谟斯等国
永乐十九年（1421年，第六次下西洋），到访满剌加、亚鲁国、苏门答剌、锡兰、小葛兰、柯枝、古里、祖法儿和忽鲁谟斯等国。
宣德六年（1431年，第七次下西洋），太监洪保派遣马欢等七位使者到天方朝圣。
马欢将下西洋时亲身经历的二十国国王、政治、风土、地理、人文、经济状况纪录下来在景泰二年成书的《瀛涯胜览》。
參考文獻

↑  . : 755页. ISBN 7-5027-6377-5.
明 马欢原著（万明校注）.  明钞本. 海洋出版社. 2005. ISBN 7-5027-6378-3.
向达. . ISBN 7-301-07154-X.
鯙亞目

| 鯙亞目 |
| --- | --- |


科学分类 
界：: 动物界 Animalia
门：: 脊索动物门 Chordata
纲：: 綱 Actinopteri
目：: 鰻鱺目 Anguilliformes
亚目：:  Muraenoidei

科
 見內文
鯙亞目為輻鰭魚綱鰻鱺目的一個亞目。
分類

鯙亞目下分3科，如下：
异蝮鯙科 Heterenchelyidae
软糯鳗科 Myrocongridae
鯙科 Muraenidae
出使各国考察政治大臣

五大臣，全稱出使各国考察政治大臣，是清朝末期仿日本明治维新之初派出欧美使节团之例而派出的考察欧美日各国政治制度等的五名大臣。
背景

1904年至1905年，各地督抚纷纷上书清廷要求举行立宪、实行变法。先后上书或面陈的有云贵总督丁振铎、云南巡抚林绍年、两江总督周馥、两广总督岑春煊、湖南巡撫端方等。1904年5月，张謇致信湖广总督张之洞，希望他奏请朝廷立宪，并代拟了一篇《拟请立宪奏稿》。1904年7月，张謇又致书绝交多年的学生、直隶总督袁世凯，称“日俄之胜负，立宪专制之胜负也”，希望袁主持立宪，并“以大久保相期，而自居小室信夫”。1905年7月2日，直隶总督袁世凯与两江总督周馥、湖广总督张之洞联名电奏，请定十二年后实行立宪政体，并奏请简派亲贵大臣分赴各国考察政治。该奏获清廷首肯。
远在1871年12月23日，日本即派出过以右大臣岩仓具视为正使，内阁顾问兼参议木户孝允、参议兼大藏卿大久保利通、参议兼工部大辅伊藤博文、外务少辅山口尚芳为副使的“欧美使节团”遍访欧洲、美国考察。34年后，清廷亦仿此五大臣出洋考察的前例。
派出

1905年9月24日（光緒三十一年八月二十六日），清廷派遣的出洋考察政治大臣五人（镇國公載澤、戶部侍郎戴鴻慈、兵部侍郎徐世昌、湖南巡撫端方、商部右丞紹英）因在正陽門車站遭遇革命党人吴樾以炸彈行刺，被迫延期。1905年10月26日，清廷改派山东布政使尚其亨、顺天府丞李盛铎会同载泽、戴鸿慈、端方出洋。
1905年12月7日考察团第一组端方和戴鸿慈出发。他们先后考察了日本、美国、英国、法国、德国、丹麦、瑞典、挪威、奥匈、俄国、荷兰、瑞士、意大利等13国。
1906年1月14日，载泽率领考察团第二组即尚其亨、李盛铎出发。考察团先后考察了日本、美国、英国、法国、比利时等5国。
考察团沿途获得了这14个国家的高规格款待，有机会参观考察各国国会、行政机关、学校、教会、工厂、农场、银行、监狱、邮局、剧院、博物馆、动植物园等，并会见各国政治家和学者，搜集各类文献资料。
成果

1906年夏秋季节，考察团成员先后回国，向清廷汇报了考察各国政治等方面的成果，明确提出了实行君主立宪的主张。端方、戴鸿慈一组进呈的奏折是端方委派考察团随员熊希龄请梁启超（此时仍被清廷通缉，流亡东京）撰写的，梁所撰各奏稿包括《请定国是以安大计摺》、《请改定官制以为立宪预备摺》、《请定外交政策密摺》、《请设财政调查局摺》与《请设立中央女学院摺》。第二组的首领、也是整个考察团的首领载泽单独呈交了《奏请宣布立宪密摺》，指出“宪法之行，利于国，利于民，而最不利于官”，并将日本宪政推为列国之首，依伊藤博文、惠积八束等讲说备述君主统治大权十七条，强调立宪有“皇位永固”、“外患渐轻”、“内乱可弭”三大利处，并严厉驳斥了“宪政既行，于满人利益有损”的说法。载泽和端方积极拥护宪政的态度对清廷决心实行预备立宪发挥了重要作用。载泽于1908年夏出版了《考察政治日记》。端方、戴鸿慈于1907年编纂出版了《列国政要》132卷，《欧美政治要义》18章。戴鸿慈1906年秋發表《出使九国日记》12卷。这些书籍的出版对中国国内官员、士绅等了解宪政和世界各国形势起到了积极作用。
掌故

清政府派五大臣从海外出洋考察归来时，带回一部放映机和影片在宫中放映，中途放映机发生爆炸，当场炸死一位官员。由此清室把电影看作不祥之物，在宫中禁止放映。
后续

1907年9月9日，清政府任命外务部右侍郎汪大燮、邮传部右侍郎于式枚、学部右侍郎达寿分别出任英、德、日考察宪政大臣，考察各君主立宪制国家的政治体制。
傅里叶变换

傅里叶变换（法語：，英語：，缩写：FT）是一种线性变换，通常定义为一种积分变换。其基本思想是一个函数可以用（可数或不可数，可数的情况对应于傅里叶级数）无穷多个周期函数的线性组合来逼近，从而这些组合系数在保有原函数的几乎全部信息的同时，还直接地反映了该函数的“頻域特征”。
傅里叶变换将函数的时域（红色）与频域（蓝色）相关联。频谱中的不同成分频率在频域中以峰值形式表示。
因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。在现代数学理论中，傅里叶积分变换可以得到各种推广，并在分析学中有广泛应用，构成了調和分析这一数学领域。
经过傅里叶变换生成的函数  {\hat {f}} 称作原函数  f 的傅里叶变换，应用意义上称作频谱。在特定情況下，傅里叶变换是可逆的，即将  {\hat {f}} 通过逆变换可以得到其原函数  f。通常情况下， f 是一个实函数，而  {\hat {f}} 则是一个复数值函数，其函数值作为复数可同时表示振幅和相位。
定义

对于不同种类的函数，有一些不同版本的傅里叶变换的定义。对于定义在欧几里得空间  \mathbb {R} ^{d} 上的函数，可给出通常的连续傅里叶变换；对于定义在  d 维环面  \mathbb {T} ^{d} 上的函数，或者说周期函数，就给出傅里叶级数。进行傅里叶变换的函数的定义域可以推广到拓扑群，如局部紧交换群。
若「傅里叶变换」一词不加任何限定语，则往往是指所谓「连续傅里叶变换」，下文我们默认讨论连续傅里叶变换。其他的常见变种列于傅里叶变换的其他变种一节。
定义 > 傅里叶积分变换

对于一个多实变量的复函数  f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {C}  ，其傅里叶变换的结果（记作  {\hat {f}}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {C}  或  {\mathcal {F}}(f) ）最常見的定义方式是下面的傅里叶积分
{\mathcal {F}}(f)(\mathbf {k} )={\hat {f}}(\mathbf {k} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {x} )\ e^{-2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\ \mathrm {d} \mathbf {x} ,
称为傅里叶积分变换，其中粗体的  \mathbf {x} ,\mathbf {k} \in \mathbb {R} ^{d} 是  d 维实向量，点乘号  \cdot  则表示欧几里得内积。值得一提的是，不同的作者可能在定义中对积分号前的系数  1 和指数上的系数  -2\pi i 进行调整，不同领域有不同的惯用约定，参见变换参数的常见约定。
常可定义另一积分变换  {\mathcal {F}}^{-1} ：
{\mathcal {F}}^{-1}(f)(\mathbf {x} )={\check {f}}(\mathbf {x} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {k} )\ e^{2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {k} }\ \mathrm {d} \mathbf {k} ,
它称作傅里叶积分逆变换，满足  {\mathcal {F}}\circ {\mathcal {F}}^{-1}=\mathrm {id} 。
若某函数的傅里叶积分不收敛，则这一版本的傅里叶变换对其就无法定义；即便傅里叶积分收敛，所得的函数的积分逆变换也可能不收敛；或者这两个变换非互逆关系。所以须了解什么样的函数是可变换的，而且满足不同假設的函数的傅里叶变换可能性质不同。
另外，可行上述变换的函数太少，如各种多项式函数都无法用上面的积分定义，这些情况对于信号频域分析等直接应用而言也十分重要，从而有必要进行推广，这就是下面几小节的主题。
定义 > 收敛性

对于一个  \mathbb {R} ^{d} 上的连续函数  f 而言，要使其黎曼积分收敛，主要需限制其在趋向无穷远时的衰减速度。为使前述傅里叶积分收敛，可以考虑使得  |x^{d+\epsilon }||f(x)| 有界的连续函数  f ，其中  \epsilon >0 。容易验证这些函数在通常加法和数乘下构成一个向量空间，记作  {\mathcal {M}}_{\epsilon } 。这些函数都是黎曼可積的，并且乘上模为1的指数函数所得函数仍在  {\mathcal {M}}_{\epsilon } 中，也就是说其傅里叶积分也是收敛的。
定义 > 速降函数

{\mathcal {M}}_{\epsilon } 上的傅里叶变换已具备许多良好的性质。然而，由于未必有  f\in M_{\epsilon }\implies {\hat {f}}\in M_{\epsilon } ，所以  {\mathcal {F}}:{\mathcal {M}}_{\epsilon }\to {\mathcal {M}}_{\epsilon } 可能不具可逆性。一些分析表明，  {\hat {f}} 趋向无穷远时的衰减行为与  f 的连续性与可微性有关：为使  {\hat {f}} 更快地衰减，  f 应具有更好的光滑性，反过来也一样。这启发我们研究所谓速降函数，其任意阶导数的衰减速度都快于任意负幂次函数，其构成的向量空间称为速降函数空间，记作  {\mathcal {S}} 。速降函数的傅里叶变换仍是速降函数，那么上面的积分逆变换可以定义在整个  {\mathcal {S}} 上。可以证明该积分确实是逆变换，于是傅里叶积分变换是  {\mathcal {S}} 上的一个自同构。
定义 > 勒贝格积分与勒贝格可积函数

上述积分变换是基于黎曼积分的。然而相比之下，使用基于测度的勒貝格積分来定义傅里叶积分变换有许多的优势。下文提到傅里叶积分变换时都默认是勒贝格积分意义上的。
\mathbb {R} ^{d} 上全体勒贝格可积的函数构成的向量空间记作  L^{1}(\mathbb {R} ^{d}) 或此处省略地记为  L^{1} ，其是Lp空间的一种。对于勒贝格可积函数  f\in L^{1} 而言，由于  |f(x)e^{2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }|=|f(x)||e^{2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }|=|f(x)| ， f(x)e^{2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} } 也是勒贝格可积的，也就是说傅里叶积分变换在  L^{1} 上有定义。
一般来说可积函数  f\in L^{1} 的傅里叶变换  {\hat {f}} 未必是可积的。但对于其中可积的  {\hat {f}}\in L^{1} 可以证明，积分逆变换
\int _{\mathbb {R} _{d}}{\hat {f}}(\mathbf {k} )\ e^{2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {k} }\ \mathrm {d} \mathbf {k}
对于  \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d} 幾乎處處收敛于  f(\mathbf {x} ) 。
定义 > 平方可积函数

对于勒贝格积分定义的傅里叶积分变换而言，它仍是速降函数空间  {\mathcal {S}} 上的自同构。更具体地说，这是一个連續线性等距自同构（可查阅连续线性算子以了解可能导出的其他性质；另，这里所涉及的范数是L2范数）。
一个重要的事实是，  {\mathcal {S}} 在平方可積函數空间  L^{2} 中稠密，而  L^{2} 是一个希尔伯特空间。这意味着  {\mathcal {S}} 上的任一连续线性算子可以扩张到  L^{2} 上且保持连续性，且这样的扩张唯一。也就是说，若可找到速降函数序列  f_{n} 收敛于一个平方可积函数  f ，那么  f 的傅里叶变换可定义为序列  {\hat {f_{n}}} 的极限，而不产生收敛性与对  f_{n} 选择的依赖问题。
更进一步地，这个扩张还可以保持等距同构性质，在  L^{2} 上满足这一性质意味着傅里叶变换是一个幺正算子，这就是普朗歇尔定理的内容。
这一变换并不对于所有的平方可积函数都具有一个积分定义式，对于补集  L^{2}\setminus L^{1} 中的函数则需要通过极限来定义。故不再称其为积分变换，而是称为傅里叶-普朗歇尔变换或简单称为傅里叶变换或普朗歇尔变换。
定义 > 缓增分布

条目：缓增分布和分布 (数学分析)
如前面所提到的，非零多项式函数不是可积或平方可积的，从而无法使用上面的方法来定义傅里叶变换。这一点可以通过考虑缓增分布（英语：）来解决。
分布（也称为是一种广义函数）是测试函数空间上的连续线性泛函（即，该空间的連續對偶空間的成员）。而缓增分布则是以速降函数为测试函数的情况。
缓增分布  f 的傅里叶变换  {\hat {f}} 定义为
{\hat {f}}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {C} :\varphi \mapsto f({\hat {\varphi }}).
也就是说，若记   {\mathcal {S}} 上的傅里叶变换为  {\mathcal {F}}_{0} 、  {\mathcal {S}} 的连续对偶空间为  {\mathcal {S}}' ，则  {\mathcal {F}}_{0} 的共轭算子  {\mathcal {F}}_{0}^{*} 在  {\mathcal {S}}' 上的限制就是缓增分布的傅里叶变换。
这个变换也是可逆的，并且在某种意义上是  {\mathcal {F}}_{0} 的扩张，也就是说可以用它来变换的函数比  {\mathcal {S}} 中的更多。为说明这一点，下面在一维情况下举些例子。
定义 > 缓增分布 > 例子

对于实轴上的速降函数  g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ) ，其有这样唯一一个由积分定义的连续线性泛函  g' 与之对应（这一点实际上只需局部可积函数）：
g':\varphi \mapsto \int _{\mathbb {R} }\varphi (x)g(x)\ \mathrm {d} x,
现在对其做傅里叶变换，得到
{\hat {g'}}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }{\hat {\varphi }}(x)g(x)\ \mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }\varphi (x){\hat {g}}(x)\mathrm {d} x,
其中第二个等号源于  {\mathcal {F}}_{0} 的如下性质（由富比尼定理易证）：
\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\hat {\psi }}(\mathbf {x} )\phi (\mathbf {x} )\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{\mathbb {R} ^{d}}\psi (\mathbf {x} ){\hat {\phi }}(\mathbf {x} )\mathrm {d} \mathbf {x} .
由此可看出线性泛函  {\hat {g'}} 以前述的方式唯一对应于函数  {\hat {g}} （唯一性在这样意义上理解：对应相同线性泛函的函数几乎处处相等）。在这个意义上它对于  g\in {\mathcal {S}} 是与  {\mathcal {F}}_{0} 的定义相重合的。
然而并非所有连续线性泛函都有这样的积分表示，如所谓求值泛函。0处的求值泛函作用于每个函数时，都给出该函数在0处的值：
\delta _{0}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {C} :\varphi \mapsto \varphi (0),
它正是所谓狄拉克δ函数，其傅里叶变换满足
{\hat {\delta _{0}}}(\varphi )=\delta _{0}({\hat {\varphi }})={\hat {\varphi }}(0)=\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)\ \mathrm {d} x,
而这正是常值函数  1 如前述方式对应的线性泛函  1' 。也就是说在这个意义上，狄拉克δ“函数”的傅里叶变换是  1 。从频谱意义上理解，这意味着常值函数的频谱集中在零频率处（或者说周期无穷大）  \exp \left(ikx\right)|_{k=0}=1 的情况。
定义 > 变换参数的常见约定

如前面提到的，傅里叶积分变换中有可调整的参数，对它们的调整不会造成变换性质的显著变化，而仅仅是对变换结果的定义域或值域进行了放缩。通过显式地引入参数  a,b ，傅里叶积分变换的通式可以写为
{\hat {f}}(\mathbf {k} ):=\left({\frac {|b|}{(2\pi )^{1-a}}}\right)^{d/2}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {x} )e^{ib\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\mathrm {d} \mathbf {x} ,
相应的满足  {\mathcal {F}}\circ {\mathcal {F}}^{-1}=\mathrm {id} ={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {F}}^{-1} 的逆变换定义为
{\check {f}}(\mathbf {x} ):=\left({\frac {|b|}{(2\pi )^{1+a}}}\right)^{d/2}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {k} )e^{-ib\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\mathrm {d} \mathbf {k} .
| 编号 | 选择 | 特性 |
| --- | --- | --- |
| 1 |  a=0 | 变换与逆变换有相同的前置因子，且变换是幺正的 |
| 2 |  (2\pi )^{1-a}=|b| | 正变换没有前置因子 |
| 3 |  (2\pi )^{1+a}=|b| | 逆变换没有前置因子 |
| 4 |  |b|=1 | 变换的自变量  k 对应于角频率 |
| 5 |  |b|=2\pi  | 变换的自变量  k 对应于频率 |
| 6 |  b<0 |  \exp(ix)贡献正频率部分的谱 |
| 7 |  b>0 |  \exp(-ix)贡献正频率部分的谱 |
一些选择组合因同时满足上面多个特性或在特定领域中自然出现而变得常见，列在下表。
| 编号 | a | b | 满足特性 | 场景 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0 | 1 | 1、4、7 | 现代物理 |
| 2 | 1 | -1 | 2、4、6 | 纯数学、系统工程 |
| 3 | -1 | 1 | 3、4、7 | 传统物理 |
| 4 | 0 |  -2\pi  | 1、2、3、5、6 | 信号处理 |
本节中使用的约定是  (a,b)=(0,-2\pi ) 。
应用

傅里叶变换在医学、数据科学、物理学、声学、光学、结构力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、大氣科學、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。
应用 > 数学

傅里叶变换可用于将索伯列夫空间  W^{s,p} 上的范数从  s\in \mathbb {Z}  的情况推广至为  s\in \mathbb {R}  的情况。
一个随机变量的特征函数是機率密度函數的傅里叶变换  E(e^{it\cdot X})=\int e^{it\cdot x}d\mu _{X}(x) ，尽管技术上往往使用傅里叶-斯蒂尔切斯变换的形式。
应用 > 物理学

在处理具有波动方程背景的函数时，频域的信息处理起来通常更为方便，且信号的滤波等频域操作在器件方面有简单的实现。
除了力学振动、振荡电路等有明显波动方程背景的问题外，也有一些其他情况使得傅里叶变换在理论中自然地出现，如：
光学中，近轴近似下的菲涅耳衍射积分是一个傅里叶变换。
量子力学中，位置表象与动量表象之间的变换是一个傅里叶变换。
量子场论中，一个具有良好性质的场算子通常由創生及湮滅算符的傅里叶变换构造而来。
基本性质

下面性质的更直观的写法可参见常用傅里叶变换表。
基本性质 > 线性性质

傅里叶变换是线性映射。也就是说对于 



∀
α
,
β
∈

R

,

∀
f
,
g
∈
Dom
⁡
(


F


)
,


{\textstyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,\quad \forall f,g\in \operatorname {Dom} ({\mathcal {F}}),}

 也存在  {\mathcal {F}}(\alpha f+\beta g)=\alpha {\mathcal {F}}(f)+\beta {\mathcal {F}}(g).
基本性质 > 平移性质

可定义函数间的映射  \tau _{\alpha } 满足
\tau _{\alpha }(f)(x)=f(x-\alpha ),
称为平移算子。其可以推广到缓增分布上，定义为共轭算子  {\tilde {\tau }}_{\alpha }=\tau _{-\alpha }^{*}，也就是说对于
\forall \phi \in {\mathcal {S}}',\varphi \in {\mathcal {S}},\quad \phi (\tau _{-\alpha }\varphi )={\tilde {\tau }}_{\alpha }f(\varphi ),
其中省略了表示平移算子作用于函数所需的括号。下文不再区分函数与分布的平移，采用相同记号。
傅里叶变换与平移算子满足如下关系：
{\widehat {\tau _{\alpha }f}}(k)=\exp(-2\pi i\alpha k){\hat {f}}(k),
反过来，对于函数  g(x):=\exp(2\pi i\alpha x)f(x) ，也有  {\hat {g}}(k)=\tau _{\alpha }{\hat {f}}(k) 。
也就是说平移与相移相关联。
基本性质 > 放缩性质

f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right),\quad \ a\neq 0
a=-1 的情况即给出所谓反射性质。
基本性质 > 导数关系

傅里叶变换与导数算子满足如下关系：
{\widehat {\partial ^{\alpha }(f)}}(k)=\exp(2\pi ik)^{\alpha }{\hat {f}}(k),
其中  \alpha  是高阶导数，多元情况则一般化为多重指标。
反过来，对于函数  g(x):=(-2\pi ix)^{\alpha }f(x) ，也有  {\hat {g}}(k)=\partial ^{\alpha }({\hat {f}})(k) 。
也就是说求导在乘上频率是相关联的。
这里的导数算子也可以是缓增分布的导数算子，同样由共轭算子定义为  {\tilde {\partial }}^{\alpha }=(-1)^{\alpha }(\partial ^{\alpha })^{*} 。
基本性质 > 卷积定理

更多：卷积
若函数  f,g 有傅里叶变换，且存在卷积  f*g:x\mapsto \int _{\mathbb {R} }f(x-\xi )g(\xi )\,\mathrm {d} \xi  ，则该卷积的傅里叶变换即  {\hat {f}}{\hat {g}} 。
也可以推广地定义分布  \phi  与测试函数  \varphi  的卷积，这时同样有  {\widehat {\phi *\varphi }}={\hat {\varphi }}{\hat {\phi }} 。
基本性质 > 帕塞瓦尔定理

条目：帕塞瓦尔定理和普朗歇尔定理
L^{2} 上的傅里叶变换是等距映射。或者说，若函数  f\left(x\right) 平方可積，则 \int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|^{2}dx=\int _{-\infty }^{+\infty }|{\hat {f}}(\omega )|^{2}d\omega  。
基本性质 > 黎曼-勒贝格定理

条目：黎曼-勒贝格定理
傅里叶变换的其他变种 > 傅里叶级数

条目：傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数（Fourier series）的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：
其中 F_{n}为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
其中an和bn是实频率分量的振幅。
傅里叶分析最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。
傅里叶变换的其他变种 > 离散时间傅里叶变换

条目：离散时间傅里叶变换
离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆轉換。
傅里叶变换的其他变种 > 离散傅里叶变换

条目：离散傅里叶变换
为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换，将函数xn表示为下面的求和形式：
其中 X_{k}是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为 {\mathcal {O}}(n^{2})，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为 {\mathcal {O}}(n\log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
傅里叶变换的其他变种 > 在阿贝尔群上的统一描述

条目：龐特里亞金對偶性
以上的傅里叶变换都可以被统一描述为任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里亚金对偶性中的介绍。
傅里叶变换的其他变种 > 时频分析变换

条目：时频分析变换
小波变换，Chirplet变换和分数傅里叶变换的都是为了得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。
傅里叶变换的其他变种 > 傅里叶变换家族

条目：傅立叶变换家族中的关系
下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性。反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。下表给出详细的情形：
| 变换 | 时间 | 频率 |
| --- | --- | --- |
连续傅里叶变换: 連續，非週期性
| 傅里叶级数 | 連續，週期性 | 離散，非週期性 |
| 离散时间傅里叶变换 | 離散，非週期性 | 連續，週期性 |
离散傅里叶变换: 離散，週期性
常用傅里叶变换表

下面的表记录了一些封闭形式的傅立叶变换。对于函数 f(x),  g(x)和 h(x)，它们的傅立叶变换分别表示为 {\hat {f}},  {\hat {g}} 和 {\hat {h}}。只包含了三种最常见的形式。注意条目105给出了一个函数的傅里叶变换与其原函数，这可以看作是傅里叶变换及其逆变换的关系。
常用傅里叶变换表 > 分布

|  | 时域信号 | 角频率表示的 傅里叶变换 | 弧频率表示的 傅里叶变换 | 注释 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  g(t)\!\equiv \!   {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}d\omega \, |  G(\omega )\!\equiv \!   {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}dt\, |  G(f)\!\equiv    \int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}dt\, | 基本定义 |
| 23 |  1\, |  {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )\, |  \delta (f)\, |  \delta (\omega )代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 |
| 24 |  \delta (t)\, |  {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\, |  1\, | 变换23的频域对应 |
| 25 |  e^{iat}\, |  {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)\, |  \delta (f-{\frac {a}{2\pi }})\, | 由变换103和23得到 |
| 26 |  \cos(at)\, |  {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega \!-\!a)\!+\!\delta (\omega \!+\!a)}{2}}\, |  {\frac {\delta (f\!-\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})\!+\!\delta (f\!+\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})}{2}}\, | 由变换101和25得到，应用了欧拉公式： \cos(at)=(e^{iat}+e^{-iat})/2. |
| 27 |  \sin(at)\, |  {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega \!-\!a)\!-\!\delta (\omega \!+\!a)}{2i}}\, |  {\frac {\delta (f\!-\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})\!-\!\delta (f\!+\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})}{2i}}\, | 由变换101和25得到 |
| 28 |  t^{n}\, |  i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\, |  \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(f)\, | 这里,  n是一个自然数.  \delta ^{(n)}(\omega )是狄拉克δ函数分布的 n阶微分。这个变换是根据变换107和24得到的。将此变换与101结合使用，我们可以变换所有多項式函数。 |
| 29 |  {\frac {1}{t}}\, |  -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )\, |  -i\pi \cdot \operatorname {sgn}(f)\, | 此处 \operatorname {sgn}(\omega )为符号函数；注意此变换与变换107和24是一致的. |
| 30 |  {\frac {1}{t^{n}}}\, |  -i{\begin{matrix}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\end{matrix}}\operatorname {sgn}(\omega )\, |  -i\pi {\begin{matrix}{\frac {(-i2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}}\end{matrix}}\operatorname {sgn}(f)\, | 变换29的推广 |
| 31 |  \operatorname {sgn}(t)\, |  {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\ \omega }}\, |  {\frac {1}{i\pi f}}\, | 变换29的频域对应 |
| 32 |  u(t)\, |  {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)\, |  {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi f}}+\delta (f)\right)\, | 此处 u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换101和31得到. |
| 33 |  e^{-at}u(t)\, |  {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}} |  {\frac {1}{a+i2\pi f}} |  u(t)是单位阶跃函数，且 a>0. |
| 34 |  \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\, |  {\begin{matrix}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\end{matrix}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{T}}\end{matrix}}\right)\, |  {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\, | 狄拉克梳状函数（英语：）——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变. |
常用傅里叶变换表 > 二元函数

|  | 时域信号 | 傅立叶变换 单一，普通频率 | 傅立叶变换 么正，角频率 | 傅立叶变换 非么正，角频率 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 400 |  \displaystyle f(x,y) |  \displaystyle {\hat {f}}(\xi _{x},\xi _{y})=   \displaystyle \iint f(x,y)e^{-2\pi i(\xi _{x}x+\xi _{y}y)}\,dx\,dy |  \displaystyle {\hat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})=   \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dx\,dy |  \displaystyle {\hat {f}}(\nu _{x},\nu _{y})=   \displaystyle \iint f(x,y)e^{-i(\nu _{x}x+\nu _{y}y)}\,dx\,dy |
| 401 |  \displaystyle e^{-\pi \left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\right)} |  \displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{-\pi \left(\xi _{x}^{2}/a^{2}+\xi _{y}^{2}/b^{2}\right)} |  \displaystyle {\frac {1}{2\pi \cdot |ab|}}e^{\frac {-\left(\omega _{x}^{2}/a^{2}+\omega _{y}^{2}/b^{2}\right)}{4\pi }} |  \displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{\frac {-\left(\nu _{x}^{2}/a^{2}+\nu _{y}^{2}/b^{2}\right)}{4\pi }} |
| 402 |  \displaystyle \mathrm {circ} ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}) |  \displaystyle {\frac {J_{1}\left(2\pi {\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}} |  \displaystyle {\frac {J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}} |  \displaystyle {\frac {2\pi J_{1}\left({\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}} |
400： 变量 \xi _{x}、 \xi _{y}、 \omega _{x}、 \omega _{y}、 \nu _{x}、 \nu _{y}为实数。二重积分是对整个平面积分。
401： 这两个函数都是高斯函数，而且可能不具有单位体积。
402： 此圆有单位半径，如果把  {\text{circ}}(t)认作阶梯函数  u(1-t); Airy分布用  J_{1}（一阶第一类贝塞尔函数）表达。(Stein & Weiss 1971，Thm. IV.3.3) harv error: no target: CITEREFSteinWeiss1971 (help)
常用傅里叶变换表 > 三元函数

| 时域信号 | 角频率表示的 傅里叶变换 | 弧频率表示的 傅里叶变换 | 注释 |
| --- | --- | --- | --- |
|  \mathrm {circ} ({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}) |  {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\sin[\omega ]-2\pi f_{r}\cos[\omega ]}{\omega ^{3}}} |  4\pi {\frac {\sin[2\pi f_{r}]-2\pi f_{r}\cos[2\pi f_{r}]}{(2\pi f_{r})^{3}}} | 此球有单位半径；fr是频率矢量的量值{fx,fy,fz}. |