常微分方程
精确解总结

一些微分方程有精确封闭形式的解，这里给出几个重要的类型。
在下表中， P(x),Q(x);P(y),Q(y)和 M(x,y),N(x,y)是任意关于 x,y的可积函数， b,c是给定的实常数， C,C_{1},C_{2}\ldots 是任意常数（一般为复数）。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。
在积分解中， \lambda 和 \epsilon 是积分变量（求和下标的连续形式），记号 \int ^{x}F(\lambda )\mathrm {d} \lambda 只表示 F(\lambda )对 \lambda 积分，在积分以后 \lambda {}=x替换，无需加常数（明确说明）。
| 微分方程> 可分离微分方程 | 解法> 可分离微分方程 | 通解> 可分离微分方程 |
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| 一阶，变量 x和 y均可分离（一般情况,下面有特殊情况）  P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0\,\!  P_{1}(x)Q_{1}(y)\,\mathrm {d} x+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,\mathrm {d} y=0\,\! | 分离变量（除以 P_{2}Q_{1}）。 |  \int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,\mathrm {d} \lambda =C\,\! |
| 一阶，变量 x可分离  {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F(x)\,\!  \mathrm {d} y=F(x)\,\mathrm {d} x\,\! | 直接积分。 |  y=\int ^{x}F(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +C\,\! |
| 一阶自治，变量 y可分离  {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F(y)\,\!  \mathrm {d} y=F(y)\,\mathrm {d} x\,\! | 分离变量（除以 F）。 |  x=\int ^{y}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{F(\lambda )}}+C\,\! |
| 一阶，变量 x和 y均可分离  P(y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+Q(x)=0\,\!  P(y)\,\mathrm {d} y+Q(x)\,\mathrm {d} x=0\,\! | 整个积分。 |  \int ^{y}P(\lambda )\,{\mathrm {d} \lambda }+\int ^{x}Q(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda =C\,\! |
一般一阶微分方程
| 一阶，齐次  {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)\,\! | 令 y=ux，然后通过分离变量 u和 x求解。 |  \ln(Cx)=\int ^{\frac {y}{x}}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{F(\lambda )-\lambda }}\,\! |
| 一阶，可分离变量  yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0\,\!  yM(xy)\,\mathrm {d} x+xN(xy)\,\mathrm {d} y=0\,\! | 分离变量（除以 xy）。 |   \ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}\,\! 如果 N=M,解为 xy=C。 |
| 正合微分，一阶  M(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+N(x,y)=0\,\!  M(x,y)\,\mathrm {d} y+N(x,y)\,\mathrm {d} x=0\,\! 其中 {\frac {\partial M}{\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial y}}\,\! | 全部積分 |  {\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}M(x,\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{x}N(\lambda ,y)\,\mathrm {d} \lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}\,\! 其中 Y(y)和 X(x)是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数 F(x,y)满足初始条件。 |
| 非正合微分（英语：）,一阶  M(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+N(x,y)=0\,\!  M(x,y)\,\mathrm {d} y+N(x,y)\,\mathrm {d} x=0\,\! 其中 {\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}\,\! | 积分因子 \mu (x,y)满足   {\frac {\partial (\mu M)}{\partial x}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial y}}\,\! | 如果可以得到 \mu (x,y)：   {\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}\mu (x,\lambda )M(x,\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{x}\mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y)\,\mathrm {d} \lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\\\end{aligned}}\,\! |
一般二阶微分方程
| 二阶，自治  {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=F(y)\,\! | 原方程乘以 {\frac {2\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}，代换 2{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\,\!，然后两次积分。 |  x=\pm \int ^{y}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\epsilon )\,\mathrm {d} \epsilon +C_{1}}}}+C_{2}\,\! |
线性微分方程（最高到 n阶）
| 一阶线性，非齐次的函数系数  {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+P(x)y=Q(x)\,\! | 积分因子： e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }。 |  y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\epsilon )\,\mathrm {d} \epsilon }Q(\lambda )\,{\mathrm {d} \lambda }+C\right] |
| 二阶线性，非齐次的常系数  {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+cy=r(x)\,\! | 余函数 y_{c}：设 y_{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}，代换并解出 \alpha 中的多项式，求出线性无关函数 e^{\alpha _{j}x}。  特解 y_{p}：一般运用常数变易法（英语：），虽然对于非常容易的 r(x)可以直观判断。 |  y=y_{c}+y_{p} 如果 b^{2}>4c,则：  y_{c}=C_{1}e^{\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}+C_{2}e^{-\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}\,\! 如果 b^{2}=4c，则：  y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}\,\! 如果 b^{2}<4c,则：  y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}+C_{2}\cos {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}\right]\,\! |
|  n阶线性，非齐次常系数  \sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {\mathrm {d} ^{j}y}{\mathrm {d} x^{j}}}=r(x)\,\! | 余函数 y_{c}：设 y_{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}，代换并解出 \alpha 中的多项式，求出线性无关函数 e^{\alpha _{j}x}。  特解 y_{p}：一般运用常数变易法（英语：），虽然对于非常容易的 r(x)可以直观判断。 |  y=y_{c}+y_{p} 由于 \alpha _{j}为 n阶多项式的解：  \prod _{j=1}^{n}\left(\alpha -\alpha _{j}\right)=0\,\!，于是： 对于各不相同的 \alpha _{j}，  y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}\,\! 每个根 \alpha _{j}重复 k_{j}次，  y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}\,\! 对于一些复数值的αj，令α = χj + iγj，使用欧拉公式，前面结果中的一些项就可以写成  C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\phi _{j})\,\! 的形式，其中ϕj为任意常量（相移）。 |