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薛定谔方程
歷史背景與發展

1900年，馬克斯·普朗克在研究黑體輻射中作出将電磁輻射能量量子化的假设，因此發現將能量  E 與頻率  \nu  關聯在一起的普朗克關係式  E=h\nu 。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦從對於光電效應的研究又給予這關係式嶄新的詮釋：頻率為  \nu  的光子擁有的能量為  h\nu  ；其中， h 因子是普朗克常數。 这一點子成為後來波粒二象性概念的早期路標之一。由於在狹義相對論裏，能量與動量的關聯方式類似頻率與波數的關聯方式，因此可以揣測，光子的動量 p與波長 \lambda 成反比，與波數 k成正比，以方程來表示這關係式，
路易·德布羅意認為，不單光子遵守這關係式，所有粒子都遵守這關係式。他於1924年進一步提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波動性與粒子性，這性質稱為波粒二象性。電子也不例外的具有這種性質。電子是一種物質波，稱為「電子波」。電子的能量與動量分別決定了伴隨它的物質波所具有的頻率與波數。在原子裏，束縛電子形成駐波；這意味著他的旋轉頻率只能呈某些離散數值。這些量子化軌道對應於離散能級。從這些點子，德布羅意複製出玻爾模型的能級。
在1925年，瑞士蘇黎世每兩周會舉辦一场物理學術研討會。有一次，主辦者彼得·德拜邀請薛定諤講述關於德布羅意的波粒二象性博士論文。那段時期，薛定諤正在研究氣體理論，他從閱讀愛因斯坦關於玻色-愛因斯坦統計的論述中，接觸德布羅意的博士論文，在這方面有很精深的理解。在研討會裡，他將波粒二象性闡述的淋漓盡致，大家都聽的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波動性，應該有一種能夠正確描述這種量子性質的波動方程。他的意見給予薛定諤極大的啟發與鼓舞，他開始尋找這波動方程。檢試此方程最簡單與基本的方法就是，用此方程來描述氫原子內部束縛電子的物理行為，而必能複製出玻爾模型的理論結果，另外，這方程還必須能解釋索末菲模型給出的精細結構。
很快，薛定諤就通过德布羅意論文的相對論性理論，推導出一個相對論性波動方程，他將這方程應用於氫原子，計算出束縛電子的波函數。但很可惜。因為薛定諤沒有將電子的自旋納入考量，所以從這方程推導出的精細結構公式不符合索末菲模型。他只好將這方程加以修改，除去相對論性部分，并用剩下的非相對論性方程來計算氫原子的譜線。解析這微分方程的工作相當困難，在其好朋友數學家赫爾曼·外爾鼎力相助下，他複製出了與波耳模型完全相同的答案。因此，他決定暫且不發表相對論性部分，只把非相對論性波動方程與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文。1926年，他正式發表了這論文。
這篇論文迅速在量子學術界引起震撼。普朗克表示“他已閱讀完畢整篇論文，就像被一個迷語困惑多時，渴慕知道答案的孩童，現在終於聽到了解答”。愛因斯坦稱讚，這著作的靈感如同泉水般源自一位真正的天才。愛因斯坦覺得，薛定諤已做出決定性貢獻。由於薛定諤所創建的波動力學涉及到眾所熟悉的波動概念與數學，而不是矩陣力學中既抽象又陌生的矩陣代數，量子學者都很樂意地開始學習與應用波動力學。自旋的發現者喬治·烏倫貝克驚嘆，“薛定諤方程給我們帶來極大的解救！”沃爾夫岡·包立認為，這論文應可算是近期最重要的著作。
薛定諤給出的薛定諤方程能夠正確地描述波函數的量子行為。在那時，物理學者尚不清楚如何詮釋波函數，薛定諤試圖以電荷密度来詮釋波函數的絕對值平方，但並不成功。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地詮釋了波函數的物理意義。但是薛定諤與愛因斯坦观点相同，都不贊同這種統計或機率方法，以及它所伴隨的非連續性波函數塌縮。愛因斯坦主張，量子力學是個決定性理論的統計近似。在薛定諤有生的最後一年，寫給玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根詮釋。
含時薛定谔方程導引

雖然含時薛定諤方程能夠啟發式地由幾個假設推導出來，但為便于論述，在作理論量子力學研究時，經常會直接將這方程當作一個基本假定。
含時薛定谔方程導引 > 啟發式導引 1

含時薛丁格方程的啟發式導引建立於幾個前提：
粒子的總能量  E 可以經典地表示為動能  T 與勢能  V 的總和：
愛因斯坦於提出光電效應時，指出光子的能量  E 與對應的電磁波的頻率  f 成正比：
德布羅意提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性，都是一種波動。微觀粒子的動量  p 與伴隨的物質波波長  \lambda  有關：
假設波函數是個複值平面波：
則其對於時間的偏導數為
這偏導數與能量有關：
類似地，波函數對於位置的二次偏導數為
這偏導數與動量有關：
引用古典力學的能量守恆定律，單獨粒子的總能量  E 為
因此，單獨粒子移動於一維位勢  V(x) 的薛丁格方程為
設定哈密頓函數  {\hat {H}} 為
就可以得到廣義形式的薛丁格方程：
含時薛定谔方程導引 > 啟發式導引 2

「哈密頓類比」是威廉·哈密頓在研究古典力學時給出的理論，又稱為「光學-力學類比」；哈密頓指出，在古典力學裏粒子的運動軌道，就如同在幾何光學裏光線的傳播路徑；垂直於這軌道的等作用量曲面，就如同垂直於路徑的等傳播時間曲面；描述粒子運動的最小作用量原理，就如同描述光線傳播的費馬原理。哈密頓發現，使用哈密頓-雅可比方程式，可以推導出最小作用量原理與費馬原理；同樣的形式論，可以描述光的物理行為，不論光是由遵守費馬原理的光線組成，還是由遵守最小作用量原理的粒子組成。
很多光的性質，例如，衍射、干涉等等，無法用幾何光學的理論來作解釋，必須要用到波動光學的理論來證實。這意味著幾何光學不等價於波動光學，幾何光學是波動光學的波長超短於粒子軌道曲率半徑的極限案例。哈密頓又研究發現，使用哈密頓-雅可比方程式也可以描述波動光學裏遵守惠更斯原理的光波，只要將光線的等傳播時間曲面改為光波的波前。薛丁格尋思，古典力學與量子力學之間的關係，就如同幾何光學與波動光學之間的關係；哈密頓-雅可比方程式應該對應於量子力學的波動方程式在某種極限的案例，而這極限應該也是物質波波長超短於粒子軌道曲率半徑的極限（或按照對應原理，普朗克常數趨於0的極限）；按照先前哈密頓類比的模式，依樣畫葫蘆，應該可以找到正確形式的波動方程式。這想法很正確，經過一番努力，他成功地推導出薛丁格方程式。
假設一個粒子移動於顯不含時位勢  V(\mathbf {r} ) ，它的哈密頓-雅可比方程為
其中， S(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}};t) 是哈密頓主函數， {\boldsymbol {a}} 是運動常數向量。
由於位勢顯性不含時，哈密頓主函數可以分離成兩部分：
其中，顯性不含時的函數  W(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}}) 是哈密頓特徵函數， E 是能量。
將哈密頓主函數公式代入粒子的哈密頓-雅可比方程，稍加運算，可以得到
哈密頓主函數對於時間的全導數是
哈密頓主函數  S 的常數等值曲面  \sigma _{0} 在空間移動的方程式為
所以，在設定等值曲面的正負面之後， \sigma _{0} 朝著法線方向移動的速度  u 是
這速度  u 是相速度，而不是粒子的移動速度  v ：
試想  \sigma _{0} 為一個相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，假設粒子的波函數所擁有的相位與  S 成正比：
其中， \kappa  是常數， A(\mathbf {r} ) 是參數為位置的係數函數。
將哈密頓主函數的公式代入  \Psi (\mathbf {r} ,t) 波函數，
注意到  E/\kappa  的因次必須是頻率，薛丁格靈機一動，想到愛因斯坦的光電效應理論  E=\hbar \omega  ；其中， \hbar  是約化普朗克常數， \omega  是角頻率。他嘗試設定  \kappa =\hbar  ，粒子的波函數  \Psi  變為
其中， \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{iW(\mathbf {r} )/\hbar }
\Psi (\mathbf {r} ,t) 的波動方程為
將  \Psi (\mathbf {r} ,t) 波函數代入波動方程，經過一番運算，可以得到
注意到  E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}} 。稍加編排，即可推導出含時薛丁格方程：
含時薛定谔方程導引 > 重要性質 > 歸一性

在量子力學裏，所有事件發生的機率，其總和等於1，這特性稱為歸一性，以方程表示為
為了滿足這特性，必須將波函數歸一化。薛定諤方程能夠自動地維持波函數的歸一性。假若，某波函數  \Phi (x,t) 尚未被歸一化。由於薛定諤方程為線性方程， \Phi (x,t) 與任何常數的乘積還是這個薛定諤方程的波函數。設定  \phi (x)=A\Phi (x,0) ；其中，  A 是歸一常數，使得
這樣，新波函數  \Phi _{A}(x,t)=A\Phi (x,t) 還是這個薛定諤方程的解答，而且， \Phi _{A}(x,0) 已經被歸一化了。在這裏，特別注意到歸一性方程的波函數  \Psi (x,t) 含時間，而對於位置的積分仍舊可能含時間。在某個時間的歸一化，並不保證隨著時間的流易，波函數仍舊保持歸一化。薛定諤方程有一個優良性質：它可以自動地保持波函數的歸一化。這樣，量子系統永遠地滿足歸一性。所以，薛定諤方程能夠自動地維持波函數的歸一性。
含時薛定谔方程導引 > 重要性質 > 歸一性 > 證明

總機率對於時間的導數為
思考含時薛定諤方程，
其複共軛是
將這兩個方程分別乘以波函數和波函數的共軛，再相減，可以得到
所以，總機率對於時間的導數為
在無窮遠的極限，符合實際物理的波函數必須等於零：
因此，薛定諤方程會維持波函數的歸一化性質，這性質不會隨著時間的流易而改變。
含時薛定谔方程導引 > 重要性質 > 線性方程

条目：態疊加原理
薛定諤方程是一個線性方程。滿足薛定諤方程的波函數擁有線性關係。假設波函數  \Psi _{A} 與  \Psi _{B} 是薛定諤方程的解，則任意線性組合  \Psi  也是薛定諤方程的解：
其中， a 與  b 是常數。
這線性組合可以延伸至任意多個波函數。因此，波函數的疊加也是同樣薛定諤方程的解。這種疊加性質是量子力學最為奧妙的性質之一。量子系統可以同時處於兩個以上的古典狀態；一個粒子可以同時出現在幾個不同位置，可以同時擁有不同的能量。
含時薛定谔方程導引 > 重要性質 > 線性方程 > 證明

根據含時薛定諤方程，
因此，這兩個解的線性組合  \Psi =a\Psi _{A}+b\Psi _{B} 為
所以， \Psi  也是這含時薛定諤方程的解，這證明了含時薛定諤方程是一個線性方程。類似地，也可以證明不含時薛定諤方程是一個線性方程。
不含時薛定諤方程導引

不含時薛定諤方程與時間無關，又稱為「能量本徵薛定諤方程」或「定態薛定諤方程」，可以用來計算粒子的本徵能量和其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想  \Psi (x,t) 的形式為
其中， E 是分離常數，稍後，會推論出  E 就是能量， \psi _{E}(x) 是對應於  E 的函數。
將這猜想解代入含時薛定諤方程，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛定諤方程
類似地，可以推導出三維不含時薛定諤方程
不含時薛定諤方程導引 > 重要性質 > 定態

波函數 \Psi (x,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }所代表的量子態稱為定態，雖然波函數本身與時間有關，機率密度 P(x)=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=|\psi _{E}(x)|^{2}只與位置有關。由於能量 E是個常數，定態所有與時間無關的可觀察量  O 的期望值都是常數：
波函數 \Psi (x,t)的相位因子 e^{-iEt/\hbar }在計算過程中会自動刪除，因此可以忽略此相位因子，而改使用不含時波函數 \psi _{E}(x)來指稱定態。處於定態的系統永遠是固定不變的。
不含時薛定諤方程導引 > 重要性質 > 明確能量

在古典力學裏，哈密頓量 H是系統的總能量：
在量子力學裏，對應的哈密頓算符 {\hat {H}}的形式為
其本徵函數為 \psi _{E}(x)，本徵值為 E，是系統的總能量：
{\hat {H}}、 {\hat {H}}^{2}的期望值為
因此，對於定態系統多次重複測量哈密頓量，所得到數據的標準差為0，換句話說，每次測量都會得到同樣的答案 E。
不含時薛定諤方程導引 > 重要性質 > 線性組合

不含時薛定諤方程有無窮多個本徵函數解 \psi _{n}(x)，每一個解對應一個能量本徵值 E_{n}：
含時薛定諤方程的一般解是這些解的線性組合：
其中， c_{n}是權重係數。
為了滿足歸一性，
這線性組合與時間有關，對應的機率密度與各種期望值都與時間有關。
物理意義

薛丁格方程與其解在物理學領域造成思維方面的突破性發展。薛丁格方程是一種嶄新的方程，關於它的解析引導出很多不尋常、出乎意料之中的結果。
物理意義 > 統計詮釋

条目：量子力學詮釋
在古典力學裏，運動於空間的粒子在任何時刻，都具有確定的位置與動量。這些物理量按照牛頓運動定律進行決定性的演化。在量子力學裏，粒子並不具有確定的位置與動量，對於這些物理量進行測量，會得到遵守粒子運動的機率分佈的隨機結果。
從含時薛定諤方程可以計算出粒子的波函數。按照廣義統計詮釋，由波函數 \Psi (x,t)，可以計算出粒子運動的機率分佈 P(x,t)：
因此，可以預測在某時刻，粒子處於某區域的機率。薛定諤方程描述粒子的波函數怎樣隨著時間流易而产生決定性演化。儘管可以計算出波函數的完整形式，也可以計算出粒子運動的機率分佈，但薛定諤方程無法準確地預測粒子在哪個時刻會處於哪個區域。
從波動觀分析，薛丁格方程式乃是一個波動方程式，它完美地描述一個與時間、位置有關的量子波所發生的運動行為與所具有的量子性質，而解答這波動方程式的波函數可以詮釋為「在某時間、某位置發生相互作用的概率輻」。這寬鬆的詮釋方式可以適用於波動觀或粒子觀。
物理意義 > 不確定性原理

条目：不確定性原理
描述粒子物理行為的薛定諤方程是一種波動方程，它的波函數解答是一種延伸於空間的量子物理值波，具有波動性。在波動力學裏，做傅立葉分析可以得到一個重要結果，即假設波的波長越為明確，則波的位置越為不明確；反之亦然。物質波也遵守這結果，在量子力學裏，這結果蛻化為不確定性原理，即粒子的位置與動量不可同時被確定，位置的不確定性 \Delta {x}與動量的不確定性 \Delta {p}遵守不等式
不確定性原理表明了量子測量的不確定性，這是量子系統內秉的性質。由此性質还可以推導出粒子的波動性。
物理意義 > 量子測量

条目：量子測量
根據哥本哈根詮釋，粒子的運動遵守薛定諤方程，直到因被測量而發生波函數塌縮為止。假設對於某系統的某可觀察量做測量，而描述這系統的波函數是由這可觀察量的幾個本徵函數量子疊加而成，每次對於這可觀察量做測量只能得到本徵函數的本徵值，不能得到任何其它數值。當波函數塌縮現象發生時，由於粒子與測量儀器彼此相互作用，系統的波函數會按照機率分佈隨機的約化為原本幾個本徵函數中的單獨一個本徵函數。這是量子測量的關鍵要素，將波函數與可觀察量，如位置或動量，關聯在一起。
量子系統隨著時間流易而演化的兩個過程為薛定諤方程預測的演化、波函數塌縮。有些教科書會將這兩種過程分別當作量子力學的假設，然後從假設推導出量子力學的其他理論結果。很多物理學者認為，從薛定諤方程無法推導出波函數塌縮。這兩種過程具有迥然不同的性質。薛定諤方程預測的演化具有決定性，能夠從最初波函數預測未來的最終波函數；它還具有逆反性，能夠將時間逆反地從最終態演化回最初態。波函數塌縮具有非決定性，從最初態按照機率分佈隨機地約化至最終態，無法預測這最終態到底是甚麼；它還具有非逆反性，測量動作將量子態的信息發掘出來，這是一種無法時間逆反的程序，獲得的額外信息無法再還原。
物理意義 > 量子穿隧效應

条目：量子穿隧效應
在古典力學裏，當一個圓球慢慢地滾上一座高山，假若它沒有足夠能量翻過山頂到另一邊，它會停止滾動，往反方向滾回。但是，薛定諤方程預測，這圓球跑到另一邊的機率大於零，儘管它的能量不足以爬到山頂，這種波動性行為稱為量子穿隧效應，無法用微粒說來解釋這種效應。特別是對於微觀粒子與適當形狀的勢壘，做實驗很容易就可觀察到這種效應。阿尔法衰变 就是因為阿尔法粒子擺脫了本來不可能擺脫的強作用力束縛而從原子核逃逸出來的現象。
物理意義 > 粒子的波動性

非相對論性薛定諤方程是波動方程。遵守這方程進行運動的粒子因此會顯示出波動性行為。雙縫實驗是一個範例，它能夠展示出粒子通常不會進行的波動行為。從兩條狹縫傳播出來的物質波在某些位置會相長干涉，在某些位置又會相消干涉，因此形成複雜的干涉圖樣。直覺而言，假設，從發射源到探測屏，每次只會出現單獨一個粒子，即每次只有一個粒子獨自通過兩條狹縫，按照微粒說，累積多次發射不應該形成干涉圖樣。但是，做實驗可以實際觀察到這干涉圖樣，如同右圖從真正實驗獲得的圖樣所展示。這意味著，雖然每次只有一個粒子通過狹縫，這粒子可以同時通過兩條狹縫，自己與自己互相干涉。光子、電子、中子、原子、甚至分子，都可以表現出這種奇異的量子行為。
相對論性薛定諤方程

条目：相對論量子力學
薛定諤方程並沒有涉及到相對論效應。對於伽利略變換，薛定諤方程的形式不变。 對於勞侖茲變換，薛定諤方程的形式會改變。為了要涵蓋相對論效應，必須將薛定諤方程加以延伸。試想能量-動量關係式（英语：），
其中， c 是光速， m 是靜止質量。
將這關係式內的能量與動量改為其對應的算符，將整個關係式作用於波函數，可以得到
稍加編排，可以得到克莱因-戈尔登方程：
其中， \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2} 是达朗贝尔算符， \mu ={\frac {mc}{\hbar }}
對於勞侖茲變換，這方程的形式不會改變，是個勞侖茲不變式。但是，它是時間的二階微分方程，玻恩的統計詮釋不適用於它的解。它不適用於自旋1/2粒子，只適用於零自旋粒子。另外，這方程的解擁有正頻率和負頻率。平面波波函數解的色散關係式（dispersion relation）為
其中， \omega  是角頻率，可以是正值或負值。
對量子力學來說，正負角頻率或正負能量，是一個很嚴峻的問題，因為無法從底端來限制能量的最低值。雖然如此，加以適當的詮釋，這方程仍舊能夠正確地給出零自旋粒子的相對論性波函數。
將克莱因-戈尔登方程作因式分解，從所得到的兩個因子算符中的一個，可以得到整個狄拉克方程：
其中， m是自旋-½ 粒子的質量， \mathbf {r}  、 t 分別是空間位置、時間， \beta ={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}、 \alpha _{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}是係數矩陣， I是2×2單位矩陣， \sigma _{i}是泡利矩阵。
狄拉克方程乃是時間的一階微分方程，適用於自旋-½粒子。它的解稱為旋量，擁有四個分量，因此有四個線性獨立的解，其中兩個對應於粒子，另外兩個對應於反粒子。
解析方法

一般來說，解析薛定諤方程會用到下述這些方法：
量子微擾理論
變分原理
量子蒙特卡羅（英语：）方法
密度泛函理論
WKB 近似與半經典擴展
對於某些特殊的狀況，可以使用特別方法：
有分析解的量子力学系统列表（英语：）
哈特里-福克方法與後哈特里-福克（英语：）方法。
離散Delta位势阱方法
範例 > 自由粒子

条目：自由粒子
當位勢為零時，薛定諤方程為
這薛定諤方程有一個平面波解：
其中， \mathbf {k}  是波向量， \omega  是角頻率。
將這平面波解代入薛定諤方程，可以得到色散關係式
由於粒子存在的機率等於 1 ，波函數  \Psi (\mathbf {r} ,t) 必須歸一化，才能夠表達出正確的物理內涵。對於一般的自由粒子而言，這不是問題，因為，自由粒子的波函數，在位置空間或動量空間都是局部性的，只有在某些局部區域才呈有限值，在其它區域的數值都很微小，可以被忽略。
在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不需要呈特定的數值，自由粒子的波函數以波包形式來表示：
其中，積分區域  \mathbb {K}  是  \mathbf {k} -空間。
為了方便計算，只思考一維空間，
其中，振幅  A(k) 是線性疊加的係數函數。
從在時間  t=0 的波函數 \Psi (x,0) ，可以得到係數函數：
已知在時間  t=0 的波函數  \Psi (x,0) ，通過傅立葉變換，可以推導出在任何時間的波函數  \Psi (x,t) 。
範例 > 一維諧振子

条目：量子諧振子
在一維諧振子問題裏，質量為  m 的粒子移動於位勢  V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2} ，此粒子的哈密頓算符  {\hat {H}} 為
每一個能級所對應的能量本徵態必需滿足由這哈密頓算符所形成的薛定諤方程 ：
採用位置表現，解析這個微分方程，使用冪級數方法。可以得到一族的解：
其中，函數 {\mathfrak {H}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}} 為埃爾米特多項式。
對應於函數 {\mathfrak {H}}_{n}的能級為
一維諧振子的能譜有以下性質：
能量被量子化，只能呈離散數值，即  \hbar \omega 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多種量子力學系統的特徵。
最低能量（當n = 0）不為零，而是  \hbar \omega /2 ，被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動」，且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子引力學裏。
能級是等距的，諧振子問題的能譜與波耳模型或盒中粒子問題不同。
範例 > 球對稱位勢

条目：球對稱位勢
假設單獨粒子移動於球對稱位勢 ，描述這量子系統運動的薛定諤方程為
其中， \mu  是粒子的質量， \psi  是粒子的波函數， V(r) 是位勢， r 是徑向距離。
採用球坐標  (r,\,\theta ,\,\phi )，將拉普拉斯算子  \nabla ^{2} 展開：
滿足薛定諤方程的本徵函數  \psi  的形式為：
其中， R(r) ， \Theta (\theta ) ， \Phi (\phi ) ，都是函數。 \Theta (\theta ) 與  \Phi (\phi ) 時常會合併為一個函數 Y_{lm}(\theta ,\,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi ) ，稱為球諧函數。這樣，本徵函數  \psi  的形式變為：
範例 > 球對稱位勢 > 角部分解答

參數為天頂角  \theta  、方位角  \phi  的球諧函數  Y_{lm} ，滿足角部分方程
其中，非負整數  l 、 m 分別是角量子數、磁量子數。
磁量子數遵守關係式 -l\leq m\leq l。不同的  l 與  m 對應於不同的球諧函數解答  Y_{lm} ：
其中， i 是虛數單位， P_{lm}(\cos {\theta }) 是伴隨勒讓德多項式，以方程表示為
而  P_{l}(x) 是  l 階勒讓德多項式，以羅德里格公式表示為
範例 > 球對稱位勢 > 徑向部分解答

將角部分解答代入薛定諤方程，則可得到一維二階微分方程：
設定函數  u(r)=rR(r)，代入方程，經過一番繁雜的運算，可以得到
徑向方程變為
其中，有效位勢  V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2\mu r^{2}}}
這正是函數為  u(r) ，有效位勢為  V_{\mathrm {eff} } 的薛定諤方程。徑向距離  r 的定義域是從  0 到  \infty  。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。為了要更進一步解析，必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。
註釋

↑  假若哈密頓量不與時間顯性相關，則 {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial t}}=0。
↑  玻爾模型是根據角動量的量子化的假設而建構，其角動量 L滿足方程
 L=n{h \over 2\pi }=n\hbar ；

其中， n=1,2,\dots 是正整數。

德布羅意認為，伴随電子的電子波應該能夠完整地容納在電子軌道地圓周內，因此圓周應該是電子波波長的倍數：
 n\lambda =2\pi r。

實際而言，這方法將電子波一維約束於半徑為 r的圓形軌道。
↑  這相對論性波動方程後來又被奥斯卡·克莱因（Oskar Klein）與沃尔特·戈尔登（Walter Gordon）重新發現，因此命名為克莱因-戈尔登方程，適用於自旋為零的粒子，例如膺標介子（pseudoscalar meson）。
↑  在寫給物理學者威廉·维恩的一封書信中，他表示，要是我知道更多數學，那該多好！
↑  物理大師保羅·狄拉克主張，每一個光子只與自己相互干涉。不同的光子絕對不會相互干涉。但是後來，物理學者做實驗發現，幾個光子也會彼此相互干涉。
↑  實際而言，相對論性理論必需要考慮到粒子的成對生成與成對湮滅，也就是說，粒子數目不守恆。將這兩種機制納入考量後的統計詮釋適用於克莱因-戈尔登方程。
外部連結

理查·費曼應用路徑積分方法推導出薛定諤方程：Feynman's derivation of the Schrödinger equation。（英文）
Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 （英文）
量子物理学 （页面存档备份，存于） — 教科书有处理与时间无关的薛定谔方程（英文）
线性薛定谔方程 （页面存档备份，存于） EqWorld: 数理方程的世界。（英文）
非线性薛定谔方程 （页面存档备份，存于） EqWorld: 数理方程的世界。（英文）
一维的薛定谔方程 以及 书的目录.（英文）
所有关于三维的薛定谔方程  （页面存档备份，存于）（英文）
|  论 编量子力学 |
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 入門  數學表述  歷史 
背景:  入門  歷史 量子力學時間軸（英语：）  经典力学  舊量子論  基本量子力學詞彙表（英语：） 
基礎:  狄拉克符号  互补原理  密度矩陣  能级 基态  激发态  简并能级  零點能量  量子纏結  哈密顿算符  干涉  量子退相干  量子測量  量子非局部性（英语：）  量子態  态叠加原理  量子穿隧效應  散射理論（英语：）  量子力學對稱性（英语：）  不确定性原理  波函数 波函数坍缩  波粒二象性  量子跳躍（英语：）  量子位元  量子三位元 
表述:  量子力學的數學表述  海森堡繪景  相互作用繪景  矩陣力學  薛丁格繪景  路徑積分表述  相空间表述 
方程:  狄拉克方程式  克莱因-戈尔登方程  包立方程式  薛定谔方程 
空間幾何:  布洛赫球面  旋矢空間（英语：） 
詮釋:  量子力學詮釋  量子貝葉斯詮釋（英语：）  一致性历史  哥本哈根詮釋  德布罗意-玻姆理论  系綜詮釋  隱變量理論  多世界诠释  客觀坍縮理論  量子邏輯（英语：）  關係性量子力學  隨機量子力學（英语：）  交易詮釋  宇宙学诠释 
實驗:  阿弗沙爾實驗  貝爾測試實驗（英语：）  冷原子實驗室（英语：）  戴維森-革末實驗  延遲選擇量子擦除實驗  雙縫實驗  法蘭克-赫茲實驗  萊格特 - 加爾格不等式（英语：）  馬赫-曾德爾干涉儀  伊利澤-威德曼炸彈測試問題  波普尔实验  量子擦除實驗  薛定谔猫  施特恩-格拉赫实验  惠勒延迟选择实验 
（英语：）:  量子貝葉斯詮釋（英语：）  量子生物学  量子微積分（英语：）  量子化学  量子混沌（英语：）  量子認知（英语：）  量子宇宙學  量子微分（英语：）  量子動力學（英语：）  量子演化（英语：）  量子幾何（英语：）  量子群  測量問題（英语：）  量子概率（英语：）  量子隨機演算（英语：）  量子時空（英语：） 
量子技術:  量子演算法  量子放大器（英语：）  量子總線（英语：）  量子点 量子細胞自動機（英语：）  量子有限自動機  量子通道（英语：）  量子線路  量子复杂性理论  量子计算机 量子計算時間軸（英语：）  量子密碼學  量子電子學  量子誤差校正（英语：）  量子成像  量子圖像處理（英语：）  量子信息  量子密鑰分發  量子邏輯（英语：）  量子閘  量子機（英语：）  量子機器學習  量子超材料（英语：）  量子計量學（英语：）  量子网络（英语：）  量子神經網絡（英语：）  量子光学  量子編程  量子傳感器（英语：）  量子模擬器（英语：）  量子隱形傳態 
進階研究:  量子統計力學（英语：）  相對論之量子力學（英语：）  量子场论 量子場理論史（英语：）  量子引力  分數量子力學（英语：） 
物理學者:  普朗克  玻尔  埃倫費斯特  海森堡  薛丁格  德布羅意  玻恩  愛因斯坦  艾弗雷特  索末菲  馮诺伊曼  費曼  狄拉克  泡利  維恩  玻姆  貝爾  蔡林格 
  分类   物理学主题   维基共享 
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：各地 :  法国  BnF data  德国  以色列  美国  捷克 
圖為波函數在某一時刻的實部，橫軸是位置坐標軸。該波函數描述粒子移動於自由空間的物理行為。該波函數滿足勢函數  V 為零的薛定諤方程。點擊這裡即可觀看這波函數的實部隨時間演化的動畫。
隨著時間流易，雙縫實驗展示出電子累積於探測屏。
在勢壘左邊的粒子沒有足夠能量越過勢壘。但是，它可以量子穿隧到勢壘右邊。
束縛於諧振子位勢，八個能級最低的能量本徵波函數 ( n=0,\,1,\,\dots 7） 。橫軸表示位置  x 。此圖未經歸一化。
碳龙

7C碳龙的结构，其中M表示金属原子
碳龙（carbolong）是一类金属有机配合物，其特征是含有长碳链（≥7个碳原子）的平面共轭体系，且至少存在三根金属-碳键。这类最早被夏海平课题组发现并命名。研究碳龙的化学被称作碳龙化学。
一些碳龙的吸光能力好，可用于光的转化，如用作光热响应材料或光疗试剂等。
卢氏蛸属

| 盧氏蛸屬 |
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科学分类 
界：: 动物界 Animalia
门：: 軟體動物門 Mollusca
纲：: 頭足綱 Cephalopoda
目：: 八腕目 Octopoda
科：: 古氏蛸科 Grimpoteuthidae
属：: 盧氏蛸屬 Luteuthis O'Shea, 1999

模式種
卢氏蛸 Luteuthis dentatus O'Shea, 1999
卢氏蛸属（学名：Luteuthis ），是古氏蛸科下的一个属。
下属物种

卢氏蛸 Luteuthis dentatus O'Shea, 1999
水试卢氏蛸 Luteuthis shuishi O'Shea & Lu, 2002
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分類單元識別碼:  维基数据: Q16521589  GBIF: 2289741  iNaturalist: 376927  IRMNG: 1209599  NCBI: 167154  NZOR: 064a06e6-ff7e-4861-91da-b318d7409b98  WoRMS: 390702
东安格利亚大学气候研究中心

东安格利亚大学气候研究中心（英語：，縮寫：CRU）是隸屬於英國东安格利亚大学的組織。作為在自然及人為氣候改變研究項目上的全球眾多領先學術機構之一，它得到廣泛的認受性。
它雲集了三十多名研究科學家與學生，並建立了大量應用於氣候研究的數據群，包括了全球溫度記錄來監測氣候系統，還有一些統計軟件包及氣候模型。
參見

全球暖化
外部連結

http://www.cru.uea.ac.uk/（页面存档备份，存于）
夢幻泉鄉

：此条目页的主题不是。
| 夢幻泉鄉> 遊樂設施 |
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總數: 4
其他遊樂設施: 4
状态: 營業中
東京迪士尼海洋
启用日: 2024年5月16日 (2024-05-16) (試營運) 2024年6月6日 (2024-06-06) (正式開幕)
夢幻泉鄉 （英語：Fantasy Springs）為東京迪士尼海洋於2024年6月6日開始營業之園區 此園區以三部迪士尼動畫為主題，分別為1953年的小飛俠，2010年的魔髮奇緣及2013年的冰雪奇緣。夢幻泉鄉園區內包括四個景點、三間餐廳、一家商店和一家設置於園區內的新豪華酒店。幻想之泉的建設成本預計為3200億日圓，開發面積約14萬平方公里，是東京迪士尼度假區自2001年東京迪士尼海洋開幕以來規模最大的擴建工程。
汤姆·福特

| 湯姆·福特 Tom Ford |
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湯姆·福特 2009年9月
出生: Thomas Carlyle Ford  (1961-08-27) 1961年8月27日（63歲）  美国德克萨斯州奥斯汀
教育程度: 帕森设计学院
职业:  时裝设计师  电影导演 
品牌:  Cathy Hardwick  Perry Ellis  Gucci  伊夫圣洛朗  Tom Ford 
配偶: Richard Buckley
汤姆·福特
湯瑪斯·卡萊爾·福特（英語：，1961年8月27日—），是一名美國男时裝设计师和導演，在时尚界拥有强大的影响力。
生平 > 早年生活

湯姆·福特在美國德克薩斯州奧斯汀出生，父母Tom Ford與Shirley Bunton均是地產經紀。幼年時，父母時常搬家，到了福特十一歲時才定居於新墨西哥州聖菲。福特十七歲高中畢業後，搬到紐約市，在紐約大學就讀美術史，但一年後已退學，移居洛杉磯以出演廣告維生。一二年後，福特決定完成大學課程，搬回紐約進入新學院的帕森設計學院，主修建筑学。畢業前那一年因希望轉入時裝界，而上了不少時裝設計的課，但是在1986年毕业時學位仍是建筑学。
生平 > 事業

初入行時，曾先后任职于“凯西·哈德维克”和“佩瑞·埃利斯（英语：）”两家時裝公司。1990年，国际一线时尚品牌“古馳”的创意总监道恩·麦罗将汤姆·福特招至麾下，担任女性成衣的设计师。汤姆·福特的时尚眼光和艺术天赋在这段时间内得到充分的发挥，很快他就被提升为“古馳”的首席执行官。截至1999年，汤姆·福特将一度濒临破产的“古馳”打造成一个拥有43亿美金市值的时尚航母。在汤姆·福特的决策下，“古馳”收购了著名时尚品牌“伊夫·圣罗兰”（Yves Saint-Laurent/YSL），而他本人則身兼两个品牌的创意总监。
2004年，汤姆·福特辞去这两个职务，宣稱希望專注於导演电影。2008年12月，由福特執導的《》開拍，劇本改編自克里斯多福·伊舍伍的同名小說（英语：），男主角 George 由柯林·佛斯飾演。電影在2009年的第66屆威尼斯影展首映，柯林·佛斯贏得沃爾庇杯最佳男演員獎。
2014年，湯姆‧福特獲得美國時尚奧斯卡CFDA(The Council of Fashion Designers of America, 美國時尚設計師協會)所頒發的終身成就獎。
2016年，汤姆·福特執導了其第二部電影《》。電影在2016年9月2日於第73屆威尼斯影展首映，並獲得評審團大獎。
生平 > 個人品牌

Tom Ford離開Gucci及 Saint-Laurent後，建立以自己名字為名的個人時裝品牌Tom Ford，主要以男女裝、眼鏡、香水及化妝品系列為主。
2018年，Tom Ford宣布推出腕錶系列與Bedrock Manufacturing Company合作，腕錶設有18K黃金、磨砂、光面不鏽鋼和啞黑類鑽碳膜4種不同錶殼，可配上超過50款不同顏色及物料的錶帶，包括手織和紋狀皮革以及鱷魚皮。於紐約時裝周中，作為第一出場品牌，但外界認為作品十分低調，而Tom Ford則解釋到本季就是想回到自己做設計師的初衷，只是想做讓男人和女人感到美麗自信的服裝。
私人生活

福特是公开身份的同性恋者，說他在大學時經常到54俱樂部，因而意識到自己是同性戀。
福特在一次访谈中表示雖然在他心目中，他和同性生活伴侣理查德·巴克利（Richard Buckley，1948－2021）超過20年的同居生活已和婚姻沒兩樣，但仍然希望美國能通過同性婚姻（或公民伴侶）法，讓他們可以擁有所有配偶應得的權利（巴克利患上癌症，而福特每次陪同巴克利到醫院時都需帶上不少法律文件，但如果他們能結婚的話，福特就有在醫院探望巴克利的權利了）。巴克利比福特年長十三歲，是资深的时尚记者，曾擔任《时尚》杂志男士国际版（Vogue Hommes International）主编之職，但已因病情而于2005年辞职。兩人於2014年結婚。
福特亦提到他曾想领养孩子，不过因巴克利反对，而最後放棄了這個念頭，只不過福特於2012年領養了一名男孩。
福特对现代建筑非常感兴趣，他曾委托西班牙建筑师阿尔伯托·卡姆波·巴埃萨（Alberto Campo Baeza）和日本建筑师安藤忠雄为自己设计住宅。
電影作品

2009：《摯愛無盡》（A Single Man）－導演，監製，編劇
2016：《夜行动物》（Nocturnal Animals）－導演，監製，編劇
參考資料

↑  .   [2014-06-19]. （原始内容存档于2014-06-26）.
↑  Dingus, Anne. . Texas Monthly（英语：）. 1998年9月  [2009-12-23]. （原始内容存档于2012-09-14）.
↑  .   [2018-03-30]. （原始内容存档于2018-03-30）.
↑  Tom Ford為紐約時裝周打頭陣｜無奈有絲頽意還是我們慣於浮誇？
↑  Frankel, Susannah. . 《獨立報》. 1999年1月16日  [2009年12月23日]. （原始内容存档于2020年3月5日）.
1 2  Sessums, Kevin. . 倡导. 2009年12月－2010年1月, (1033)  [2010年1月5日]. （原始内容存档于2011年12月6日）.  请检查|date=中的日期值 (帮助)
1 2  Sieczkowski, Cavan. . 《赫芬顿邮报》. 2014年4月9日  [2014年4月9日]. （原始内容存档于2017年9月8日）.
末日之火 (2020年电视剧)

| 末日之火  |
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别名: 诛火燃尽 燃烧殆尽的火 熄灭
类型: 情节剧 剧情 复仇
格式: 电视剧
原作: 末日之火
导演: 克里格彭·马萨亚瓦尼奇（泰语：）（Fluke）
主演: 芮塔·彭安 克里格彭·马萨亚瓦尼奇（泰语：） 雅缇帕·拉查帕尔（泰语：） 徐志贤 永瓦蕾·安尼柏尔 韦阿·森恩 钟朋·阿卢迪吉朋 帕查彤·塔娜瓦 苼楠塔茬·塔纳潘披散（泰语：）
国家／地区:  泰國
语言: 泰语
集数: 22
每集长度: 约60分钟
制作
拍攝地點:  泰國
播出 
首播频道: GMM 25
播出日期: 2020年7月8日 (2020-07-08)—2020年9月17日 (2020-09-17)
 

GMM25 官方网站
《末日之火》（泰語：，羅馬化：Fai Sin Chua，英語：）是由克里格彭·马萨亚瓦尼奇（泰语：）（Fluke）自导自演，芮塔·彭安、雅缇帕·拉查帕尔（泰语：）、徐志贤、永瓦蕾·安尼柏尔、韦阿·森恩、钟朋·阿卢迪吉朋、帕查彤·塔娜瓦、苼楠塔茬·塔纳潘披散（泰语：）等人主演的泰国情节剧。剧情改编自同名小说，也是继1994年及2002年電視劇版后再度翻拍的剧集。
演员阵容

雅缇帕·拉查帕尔（泰语：） 饰演 奥拉维（Orawee）
芮塔·彭安 饰演 Vichuda
克里格彭·马萨亚瓦尼奇（泰语：） 饰演 萨恩（Tharn）
徐志贤 饰演 Ben
永瓦蕾·安尼柏尔 饰演 Atcharee（Fah）
韦阿·森恩 饰演 Aekaong（Ae）
苼楠塔茬·塔纳潘披散（泰语：） 饰演 Narin
帕查彤·塔娜瓦 饰演 Pakhwan（PP）
钟朋·阿卢迪吉朋 饰演 Ron
劇集迴響 > 泰國電視收視率

收視最低的集數以藍色表示，收視最高的集數以紅色表示，而空格則表示該集的收視沒有相關數據。
| 集數 No>  | 播放時段 (UTC+07:00) | 播放日期 | 平均收視率 | 來源 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2020年7月8日 (2020-07-08) | 星期三 20:10 | 0.307 |  |
| 2 | 2020年7月9日 (2020-07-09) | 星期四 20:10 | 0.40 |  |
| 3 | 2020年7月15日 (2020-07-15) | 星期三 20:10 | 0.276 |  |
| 4 | 2020年7月16日 (2020-07-16) | 星期四 20:10 | 0.412 |  |
| 5 | 2020年7月22日 (2020-07-22) | 星期三 20:10 | 0.317 |  |
| 6 | 2020年7月23日 (2020-07-23) | 星期四 20:10 | 0.40 |  |
| 7 | 2020年7月29日 (2020-07-29) | 星期三 20:10 | 0.347 |  |
| 8 | 2020年7月30日 (2020-07-30) | 星期四 20:10 | 0.449 |  |
| 9 | 2020年8月5日 (2020-08-05) | 星期三 20:10 | 0.452 |  |
| 10 | 2020年8月6日 (2020-08-06) | 星期四 20:10 | 0.464 |  |
| 11 | 2020年8月12日 (2020-08-12) | 星期三 20:10 | 0.438 |  |
| 12 | 2020年8月13日 (2020-08-13) | 星期四 20:10 | 0.43 |  |
| 13 | 2020年8月19日 (2020-08-19) | 星期三 20:10 | 0.45 |  |
| 14 | 2020年8月20日 (2020-08-20) | 星期四 20:10 | 0.465 |  |
| 15 | 2020年8月26日 (2020-08-26) | 星期三 20:10 | 0.65 |  |
| 16 | 2020年8月27日 (2020-08-27) | 星期四 20:10 | 0.60 |  |
| 17 | 2020年9月2日 (2020-09-02) | 星期三 20:10 | 0.607 |  |
| 18 | 2020年9月3日 (2020-09-03) | 星期四 20:10 | 0.70 |  |
| 19 | 2020年9月9日 (2020-09-09) | 星期三 20:10 | 0.63 |  |
| 20 | 2020年9月10日 (2020-09-10) | 星期四 20:10 | 0.702 |  |
| 21 | 2020年9月16日 (2020-09-16) | 星期三 20:10 | 0.471 |  |
| 22 | 2020年9月17日 (2020-09-17) | 星期四 20:10 | 0.752 |  |
| 平均收視率 | 平均收視率 | 平均收視率 | 0.487 | 1 |
聖哈辛托 (內華達州)

| 聖哈辛托 San Jacinto |
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鬼鎮

聖哈辛托聖哈辛托在內華達州的位置
坐标： 41°52′07″N 114°40′35″W﻿ / ﻿41.86861°N 114.67639°W﻿ / 41.86861; -114.67639
國家: 美国
州份: 內華達州
縣: 埃爾科縣
海拔: 1,585 公尺（5,200 英尺）
时区: PST（UTC-8）
 • 夏时制: PDT（UTC-7）
郵區編號: 89825
電話區號: 775（英语：）
GNIS ID: 845648
聖哈辛托（英語：）是位於美國內華達州埃爾科縣的鬼鎮。
歷史

聖哈辛托的郵局於1898年設立，其後於1938年停運。
地理

聖哈辛托所處的海拔為高於海平面1585米（即5200英呎），而該地所採用的時區為UTC-8，即太平洋时区（PST）。同時該地設有夏令時間，為UTC-8調快一小時，即UTC-7（PDT）。
參考文獻

↑  . . United States Geological Survey.
↑  . Jim Forte Postal History.   [2024-09-23]. （原始内容存档于2024-09-23）.
|  论 编埃爾科縣行政區劃 |
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：埃爾科
| 城市 |  卡林  埃爾科  韋爾斯  西溫多弗  | 埃爾科縣在內華達州的位置 |
| 普查規定居民點 |  傑克波特  拉莫伊爾  芒廷城  蒙特洛  奧埃西斯  奧西諾  奧懷希  斯普林克里克  | 埃爾科縣在內華達州的位置 |
| 非建制地區 |  阿瑟  科因  柯里  迪斯  厄爾布爾士  傑克克里克  賈比奇  吉格斯  李  邁德斯  北福克  普萊森特瓦利  羅蘭  魯比瓦利  林登  尚蒂敦  謝爾曼  南福克  托阿諾  塔斯卡羅拉  韋爾科姆  懷爾德霍斯  | 埃爾科縣在內華達州的位置 |
| 鬼鎮 |  阿夫頓  阿拉松  布萊克福里斯特  布利恩  查爾斯頓  科布雷  康塔克特  科納科皮亞  卡頓伍德  德拉諾  迪納斯泰申  達頓  埃克塞爾西奧  費爾勞恩  費內倫  戈爾德克里克  哈利克  亨特  亨廷頓  洛雷  米特羅波利斯  莫林  穆爾  奧拉  帕茨維爾  皮闊普  里奧廷托  魯比城  聖哈辛托  沙夫特  錫爾弗佐恩  斯普魯斯蒙特  托巴爾  塔拉斯科  懷特羅克  | 埃爾科縣在內華達州的位置 |
| 印第安保留地 |  達克瓦利印第安人居留地‡  | 埃爾科縣在內華達州的位置 |
| 備註 |  ‡跨縣聚居地  | 埃爾科縣在內華達州的位置 |
何家蓓

| 何家蓓 Sandrine Holt |
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出生: Sandrine Vanessa Ho  (1972-11-19) 1972年11月19日（52歲）  英国伦敦克羅伊登
职业: 演员、模特
活跃时期: 1989年－
配偶: Travis Huff （2004年结婚—2011年離婚）
儿女: 1
何家蓓（英語：，直译：桑德琳·霍尔特，1972年11月19日—），加拿大女演員和模特。她出演過《24第5季》中的美國第一夫人助理伊芙琳·馬丁（Evelyn Martin）等角色。
家庭

何家蓓出生於英國倫敦。父亲为香港人，母亲为法国人。五歲時舉家移民至加拿大多倫多。
参考资料

↑  Holt, Sandrine. . www.theglobeandmail.com. Maggie Wrobel. 2013-11-15  [2016-09-13]. （原始内容存档于2016-03-04）.
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国际:  ISNI  VIAF  WorldCat 
各地:  西班牙  法国  BnF data  德国  以色列  美国  荷兰  波兰 
人物:  德意志传记 
其他:  SNAC  IdRef
英布

| 英布> 西楚当阳君→九江王→汉淮南王 |
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時代: 秦朝→张楚→西楚→西汉
主君: 張楚王陈胜→後楚懷王熊心→西楚霸王项羽→汉高帝刘邦
姓: 英姓
名: 布
姓名: 英布
籍貫: 六县（今安徽省六安市）
出生: 不详
逝世: 前195年（汉高帝十二年） 番陽（今江西省景德镇市西南）




英布（？—前195年），因受秦律被黥（拼音：qíng，注音：ㄑㄧㄥˊ），又称黥布，六县（今安徽六安）人，秦末汉初名将，項羽封其為九江王，后叛楚归汉，与韩信、彭越并称汉初三大名将，漢朝建立后封淮南王，由於朝廷接連消滅異姓王，又加上被仇家賁赫告發「意圖謀反」，英布不安，終於在前196年起兵反漢，被劉邦擊敗，英布逃亡時，被妻舅吳臣命鄉民刺殺而死。
生平经历 > 早期

英布年轻时，有位客人给他看相说：“当在受刑之后称王。”后因為犯法而受黥刑（与紋面不同），所以又称黥布。英布愉快地笑着说：“有人看了我的面相，说我当在受刑之后称王，现在大概是这种情形吧？”英布後來被帶到骊山當役徒，修筑秦始皇陵墓，骊山刑徒有数十万人，英布专门和罪犯的头目、英雄豪杰来往，其後帶領一些人逃到其它地方成為盜賊。
生平经历 > 秦末時期

秦末，陈胜、吴广发动大澤之變，反抗秦朝，英布去約番君（番陽县令）吴芮一同舉兵，番君被說服，於是加入起義行列，還把女兒嫁給英布，聚集了几千人。
在陳勝敗死於秦朝章邯之手後，英布带兵北上攻打秦左、右校的军队，在清波打败了他们，就带兵向东挺进。听说项梁平定了会稽，渡过长江向西进发，陈婴因为项氏世世代代做楚国的将军，就带领着自己的军队归属了项梁，向南渡过淮河，于是英布、蒲将军也归附项梁。項梁率师渡过淮河向西进发，攻打景驹、秦嘉等人的战斗中，英布骁勇善战，总是列于众军之首。立熊心為後楚懷王時，英布成為楚的當陽君。
项梁在定陶之役战死后，楚國迁都到彭城，将领们和英布也都聚集在彭城守卫。正当这时，秦军加紧围攻赵国，英布便隨宋義、項羽北上救趙，項羽刺殺宋義，發動兵變，英布歸項羽指揮。在前207年的鉅鹿之戰中，項羽命令英布先行率兵渡河攻擊秦軍，小勝數仗後，項羽帶領其餘楚軍跟諸侯聯軍投入戰場，擊破秦軍主力。诸侯军队服从项羽的原因，英布以少胜多也居一大功。
秦將章邯投降後，英布等人奉項羽之命在新安（今河南义马內）坑殺秦降兵二十餘萬人。在項羽進軍咸陽的過程中，英布經常擔任先鋒。到达函谷关，项羽不得入，又派英布等人，先从隐蔽的小道，打败了守关的刘邦军队，才得以进关，一直到达咸阳。
生平经历 > 項羽時期

前206年，項羽分封天下十八路諸侯時，因为英布经常担任军队前锋，便立英布為九江王，以六為都。同年項羽尊後楚懷王為楚義帝後，暗中命令英布等人暗殺前往長沙途中的義帝。
前205年，田齊公族田荣背叛楚国，自立為齊王，项羽前往攻打齐国，向英布征调军队，英布托辞病重不能前往，只派将领带着几千人前去。刘邦在彭城打败楚军，英布又托辞病重不去辅佐楚国。项羽因此怨恨英布，屡次派使者前去责备英布，并召他前往，英布越发恐慌，不敢前往。项羽正为北方的齐国、赵国担心，西边又忧患刘邦起兵，知交的只有英布，又推重英布的才能，打算亲近任用他，所以没有攻打。
劉邦在彭城大敗後，派隨何成功遊說英布反叛項羽。这时，楚国的使者也在淮南，正迫不及待地催促英布出兵，住在宾馆里。随何径直闯进去，坐在楚国使者的上席，说：“九江王已归附汉王，楚国凭什么让他出兵？”英布显出吃惊的样子。楚国使者站起来要走。随何趁机劝英布说：“大事已成，就可以杀死楚国的使者，不能让他回去，我们赶快向汉靠拢，协同作战。”英布说：“就按照你的指教，出兵攻打楚国罢了。”于是杀掉使者，出兵攻打楚国。项羽对此反应激烈，派出项声、龙且进攻英布。战争持续了几个月，龙且、項聲在淮南的战役中，打败了英布的军队。英布想带兵撤退到汉国，又怕楚军拦截杀掉他，所以，和随何从隐蔽的小道逃归汉国。
英布到时，劉邦召見英布，但是刘邦完全沒有作好談話的準備，無禮地坐在床上，由美人洗脚。英布见状，怒火燃胸，后悔前来，想要自杀，卻在劉邦准备的宾馆中见到帐幔、用器、饮食、侍从官员一如刘邦所用那么豪华，英布又喜出望外，打消死意。于是英布就派人返回九江。这时项羽已经派项伯收编英布的部队，杀尽了英布的妻子儿女。英布派去的人找到不少当时英布的宠臣故友，带着几千人马回到汉国。刘邦又给英布增加了兵力一道北上，到成皋招兵买马，他的勢力又回復了一些。
前203年七月，劉邦封英布為淮南王。英布又派人进入九江，夺得了好几个县。前202年，英布和刘贾进入九江，诱降楚国大司马周殷，周殷反叛楚国后，以舒城的兵力攻占六县并进行屠城，调动九江的军队迎接英布；英布将几支军队合并，在城父屠城，随后到垓下會合其他漢軍打敗項羽，项羽拒絕了烏江亭亭長的建議，自刎而亡。
生平经历 > 漢高祖時期

項羽死後，漢王劉邦稱帝，淮南王英布成為異姓諸侯王之一。治下的地區包括九江、廬江、衡山、豫章等郡。前201年，英布到陈县朝见刘邦。次年，到洛阳朝见。前199年到长安朝见。其後英布眼見消滅異姓王風潮中韩信、彭越被呂雉誅杀，心中不安。呂雉诛杀彭越后，把他的屍首處以酼刑，剁成了肉酱，又把肉酱装好分别赐给诸侯。送到淮南，英布正在打猎，看到肉酱，特别害怕，暗中使人部署，集结军队，守候并侦察邻郡的意外緊急事變。
一次，英布為生病的宠幸小妾求醫時，醫師的家和淮南中大夫（侍中）贲赫家住对门，因此爱妾多次去醫師家治疗，贲赫认为自己是侍中，想要巴結她，就送去了丰厚的礼物，還隨著爱妾在醫師家饮酒。爱妾侍奉英布时，不慌不忙地称赞贲赫是忠厚老实的人。英布生气地说：“你怎么知道的呢？”爱妾就把與贲赫來往的情况全都告诉他。英布卻更懷疑她和贲赫通姦，召見贲赫。贲赫惊惧，借口有病不去。英布更加恼怒，就要逮捕贲赫。贲赫打算控告英布叛变，就坐着驿车前往长安。英布派人追赶，没赶上。贲赫到了长安，上书告变，说英有造反的迹像，可以在叛乱之前诛杀他。刘邦看了他的报告，对萧何商量，萧何说：“英布不应该造反，恐怕是這個人因怨诬陷他。请把贲赫关押起来，派人暗中验证淮南王。”英布见贲赫畏罪潜逃，上书言变，本来已经怀疑他会说出自己暗中布署的情况，刘邦的使臣又取得了許多不利英布的證據，英布就族滅贲赫的全家，起兵造反。英布造反的消息传到长安，刘邦大怒，立即释放了贲赫，封贲赫做了将军。
滕公夏侯婴推荐故楚令尹薛公，來商討平定英布的事。薛公向劉邦說：「英布之造反並不值得奇怪。倘使英布採用上計，那麼山東（崤函以東）之地就不是漢朝所能保有；若用中計，那麼雙方勝負難見分曉；若為下計，那麼漢可以高枕無憂了。上計就是東取吳，西取楚，合併齊，拿下魯，並傳檄燕、趙使他們各安其國，這樣山東就不是漢朝所有了。中計就是東取吳，西取楚，合併韓國，拿下魏國，並奪取敖倉之粟，堵住成皋，這雙方勝負就難見分曉。下策就是：東取吳，西取下蔡，把輜重歸於越，而本人往長沙，這樣陛下就可安枕無憂了。」劉邦問：「那英布會採取哪種策略？」薛公答說：「必取下策！英布及其手下皆為驪山亡命刑徒出身，有生之年取得這樣的地位，因而不會為子孫後代及百姓考慮，故而會出下計。」
刘邦病重，本不欲御駕親征，欲使太子劉盈代为出征。太子之门客商山四皓力陈利害，劝太子勿出征。吕后因此泣谏刘邦勿令太子出征，樊哙闯宫，刘邦无奈只好抱病率军亲征，撤除英布封爵，改封刘长为淮南王。英布初以为刘邦年事已高必不能亲征，而所虑者韩信、彭越等皆已死。起兵果如薛公所言，出兵东击荆国，荆王刘贾逃亡富陵，被英布军所杀。英布合并荆国部队，渡过淮河，与楚军战于徐（今安徽泗县）、僮（今安徽宿县）间。楚兵战略失当，为三军，结果英布败其一军，另二军皆散走。英布攻打楚国境内下蔡县的时候，下蔡亭长责骂英布：「陛下封你在东南为淮南王，难道还不能满足你们这些受黥刑的强盗胃口吗？为何还要造反？」
英布遂率军西向，前196年十月与汉军會戰于蕲。英布士兵非常精銳，刘邦驻兵於庸城，望英布之布阵如项羽一般，刘邦对此感到憤怒。刘邦于两军对垒时遥对英布曰：「何苦造反呢？」英布答曰：「我想當皇帝罷了！」两军遂战，结果英布战败而走。而齐相国曹参率领齐军也赶到，对淮南军进行夹击，淮南军队接连失利。刘邦遣别将追击，大败英布于洮水南、北，于是英布仅带数百人渡江南。長沙王吳臣是英布的妻舅，寫信偽稱要與其一起逃亡到越國。英布相信吳臣，于是跟随使者到番陽，随即被番阳人在兹乡百姓的農舍之中刺殺。
部下

賁赫，英布中大夫，英布懷疑與其妾私通，欲將之殺害，賁赫逃往劉邦處指英布密謀造反。
肥銖，英布副將，被灌嬰打敗。
朱建，英布國相，英布欲反，极力谏诤。
影視形象

電影《西楚霸王》（1994年）：由張利華飾演英布。
中國大陸電視劇《漢劉邦》（1998年）：由董子午飾演英布。
香港電視劇《楚汉骄雄》（2004年）：由王俊棠飾演英布。
中國大陸電視劇《楚汉風雲》（2005年）：由郭明翰飾演英布。
中國大陸電視劇《大風歌》（2010年）：由李寶成飾演英布。
中國大陸電視劇《楚汉爭雄》（2011年）：由郑仕明飾演英布。
中國大陸電視劇《楚汉傳奇》（2012年）：由胡东飾演英布。
杭州玄機科技信息技術有限公司製作的中國大陸三維武俠動畫《秦時明月》第五季君臨天下第24集（2015年）：由張欣擔任英布的配音員。